Issuu

Instructor Eduardo Cubillos

Contenido Introducción -Clasificación de los Números………Pág. 3-10 -Números Naturales -Números Enteros -Números Racionales -Números Reales -Recta Real -Números Fraccionarios

-Problemas de Proporcionalidad…....Pág. 10-20 -Regla de Tres -Regla de Tres Simple -Regla de Tres Compuesta -Razones -Proporciones -Porcentajes

-Magnitudes…………………………….Pág. 20-21 -Factores de Conversión……………..Pág. 21-24 -Longitud -Masa -Superficie o Área -Volumen -Densidad -Presión -Energía -Energía Especifica

-Geometría……………………………...Pág. 24-25 -Áreas Cuerpos Planos -Áreas Cuerpos Cilíndricos -Volumen Cuerpos Cilíndricos

Bibliografía

Página 1

Instructor Eduardo Cubillos

INTRODUCCION El Curso de Aplicaciones Matemáticas, dirigido a los aprendices de nuevo ingreso a la Formación Profesional Integral del Servicio Nacional de Aprendizaje en el Centro Agropecuario de Buga, tiene como propósito iniciar al aprendiz en la dinámica técnica y tecnológica brindándole asesoramiento a través de sesiones de orientación para la generación de hábitos de estudio y nivelarlo académicamente en matemáticas básicas. En el área de matemática el objetivo del curso es reforzar en los aprendices de nuevo ingreso el conocimiento básico matemático, haciendo énfasis en una metodología de razonamiento, y pensamiento, a través de la resolución de problemas, brindándole al aprendiz herramientas que permitan solucionar problemas reales mediante el conocimiento matemático. El siguiente material pretende que el aprendiz fortalezca sus conocimientos básicos de Matemáticas para aplicarlas en un entorno real laboral, con temas como la clasificación de los números tales como: Números Naturales (Número cardinal, Ordinal), Números Enteros, Números Racionales, Números Irracionales y Números Reales, operaciones con fraccionarios, reglas de tres simples (directas e inversa) y compuestas (directas, inversas y mixtas). Igualmente hablaremos de razones y proporciones, y operaciones con porcentajes. Conoceremos las magnitudes y los factores de conversión, y finalmente una conceptualización del área geométrica con algunas áreas de figuras planas y cuerpos geométricos. Este material es una recopilación de textos de varias fuentes, junto a los aportes de instructores del área agroindustrial.

Página 2

Instructor Eduardo Cubillos

1. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS 1.1 Números Naturales Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N y son: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

1.2 Números Enteros Un número entero, es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos (-). El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…} Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

1.3 Números Racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Página 3

Instructor Eduardo Cubillos

1.3 Números Reales El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

1.3.1 Recta Real Es la representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

¿Cómo se construye? Se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

Página 4

Instructor Eduardo Cubillos

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

1.4 Números Fraccionarios Los Números Fraccionarios, son el cociente indicado a/b de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. b debe ser diferente (≠) 0. Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”. Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero: 14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32

Simplificación Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido: a/b=a.d'/b.d'=a'/b' Por ejemplo: 120/90= 12/9 La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10

Página 5

Instructor Eduardo Cubillos

Fracción Irreducible Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí. La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar: 12/= 4/3

Reducción a común denominador Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador. Por ejemplo, para reducirla al común denominador, las fracciones 2/3, 4/9 y 3/5 Se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene: 2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90 Es decir, es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90. Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene

30/45, 20/45, 27/445

que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.

Página 6

Instructor Eduardo Cubillos

Suma de Fracciones Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo: 2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45 Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

a + c = b

ad + bc bd

(se multiplica cruzado y los productos de suman) (se multiplican los denominadores)

Veamos un ejemplo: El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo? 1 + 1 = 4 3

1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7 (4)(3) 12 12

Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo. Pregunta ¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo? Solución: Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las proporciones a. Si

a = c entonces ad = cb b d

b. Si

a<c b d

entonces ad < cb

Página 7

Instructor Eduardo Cubillos

c. Si

a>c b d

entonces ad > cb

Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ? 7 ? 1 12 2

7(2) > 12(1), por lo tanto

7 > 1 12 2

De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo. Veamos otro ejemplo: A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a Maria? Solución 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11 3 5 15 15 15 A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones: 1. Fracciones homogéneas

( 1, 3, 5 ) 4 4 4 2. Fracciones heterogeneas ( 1, 2, 3 ) 3 5 7 Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogeneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.

Ejemplo de suma de fracciones homogéneas: 1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que 5 5 5 tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.> 2 +3 =5 7 7 7

Página 8

Instructor Eduardo Cubillos

Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:

1 +1 4 2

<Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son diferentes.>

Para sumar fracciones heterogéneas: 1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador.

1 +1 4 2

Paso 1 : 1 + 1 = ___ 4 2 8

Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8

Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8 Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.> 8 2 4

Resta de Fracciones En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.

Ejemplo 1:

5-1 =4 9 9 9

Resta de Fracciones Homogéneas

Página 9

Instructor Eduardo Cubillos

Ejemplo 2: 2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6

Producto de Fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: a/b * c/d = a*c/b*d

Inversa de una Fracción La inversa de una fracción a/b es otra fracción, b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1: a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1

Cociente de Fracción El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda: a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p

2. PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Por años la regla de tres ha sido una de las formas de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (Proporcionalidad) entre los valores involucrados.

2.1 Regla de Tres La regla de tres es la operación de hallar un término desconocido mediante dos o más valores conocidos de una proporción. Existen varios tipos de regla de tres. Página 10

Instructor Eduardo Cubillos

2.1.1 Regla de Tres Simple Esta trata de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres. Se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor C, calculamos un cuarto X. La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa. Será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor Ilustración 1- Regla Tres Simple de B, veamos cada uno de esos casos.

Regla de Tres Simple Directa La regla de 3 simple directa se da en los casos en que un valor con otro se den por igual, es decir que sean afectados en igual maneja. Si un valor es a "más", el otro valor también debe ir a "mas", del mismo modo si se va a "menos", el otro valor también iría a "menos". Lo anterior, se relaciona con el hecho de que la variable incógnita será comparada con la variable conocida para de terminar si la relación es directa o inversa.

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad. Es decir que a un aumento de A le corresponde un aumento en B Ilustración 2 Relación de Proporcionalidad

Diremos que A es a B directamente, como C es a X, siendo X igual al producto de B por X dividido entre A.

Página 11

Instructor Eduardo Cubillos

Ejemplo Si con 20 trabajadores se hace 20 inmuebles, ¿Cuantos inmuebles se harán con 10 trabajadores?

Diremos que X (numero de inmuebles que se harán) será igual al producto de 20 por 10 dividido 20, es decir que 10 trabajadores fabricaran 10 inmuebles.

Página 12

Instructor Eduardo Cubillos

Regla de Tres Simple Inversa En la regla de tres inversa tendremos que a un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

Diremos que que: A es a B inversamente, como C es a X, siendo X igual al producto de A por B dividido por C.

Ejemplo Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro? Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3 trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece constante.

Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad es inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

2.1.2 Regla de Tres Compuesta Módulo: Es la unidad mínima o básica de un código. Las barras y espacios están formados por un conjunto de módulos.

Página 13

Instructor Eduardo Cubillos

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

Regla de tres compuesta directa

Para resolver una regla de tres compuesta directa, decimos que todas las reglas de tres simples que la componente tienen una relación directa.

Es decir que todas las variables conocidas con relación a la incognita son proporcionales. Si una aumenta o disminuye, las otras aumentaran o disminuirán igualmente.

Ejemplo:

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $60000. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

Determinar el tipo de relación entre la variable incógnita y las variables conocidas, es decir: A más grifos, más pesos  Es una relación directa. Página 14

Instructor Eduardo Cubillos

A más horas, más pesos  Es una relación directa.

En este caso se determina que toda la regla de tres compuesta es de tipo directa ya que al aumentar los grifos abiertos aumentara el valor a pagar y al aumentar las horas aumentara el valor a pagar. Entonces al aplicar el despeje de X decimos que A1.B1.C1 están multiplicando, pasan a dividir a A2.B2.C2.D asi:

x= (15).(12).(20000)/(9).(10)= 3600000/90 = 40.000

Regla de tres compuesta inversa Una regla de tres compuesta inversa se presenta cuando al comparar la variable incógnita con las variables conocidas se encuentra que todas son inversas. Como lo vemos en la siguiente grafica:

X con respecto a A es inversa por lo tanto invertimos el denominador quedando A2/A1 y asi con todas las variables en su orden, y asi obtenemos que:

Al despejar la x todo lo que esta multiplicando pasara a dividir, quedando así:

Página 15

Instructor Eduardo Cubillos

Ejemplo 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?.

Determinar el tipo de relación entre la variable incógnita y las variables conocidas, es decir:

A menos obreros, mas días Entonces la relación es inversa = A2/A1 A mas horas, menos días Entonces la relación es inversa = B2/B1 Entonces X=

(5).(6).(2)/(4).(7)= 60/28= 2,14

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A más obreros, menos días Inversa A2/A1 A más horas, menos días Inversa B2/B1 A más metros, más días Directa. C1/C2

Página 16

Instructor Eduardo Cubillos

Entonces: La variable A con respecto a la incognita es inversa entonces obtenemos A2/A1 La variable B con respecto a la incognita es inversa entonces obtenemos B2/B1 La variable C con respecto a la incognita es directa entonces obtenemos C1/C2

Entonces:

Al despejar x decimos entonces:

X= (8).(6).(50).(9) / (10).(8).(30)= 21600/ 2400 = 9

2.2 Razones

Pรกgina 17

Instructor Eduardo Cubillos

2.3 Proporciones

Pรกgina 18

Instructor Eduardo Cubillos

2.4 Porcentajes

Pรกgina 19

Instructor Eduardo Cubillos

Ejemplo

3. MAGNITUDES Existen básicamente tres tipos de sistemas de unidades, que son: el SI (Sistema Internacional), el Inglés, el Técnico (Europeo e Inglés), el C.G.S y el M.K.S. El Sistema Internacional de Unidades se basa en la selección de siete unidades base bien definidas las cuales se consideran dimensionalmente independientes: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, el mol y la candela. El Sistema Ingles se basa en el pie, la libra y el segundo. El C.G.S se basa en el centímetro, el gramo y el segundo Página 20

Instructor Eduardo Cubillos

El M.K.S es muy parecido al SI y tiene como base al metro, kilogramo y el segundo. Magnitudes

Sistema Absoluto SI - M.K.S Unidad Símbol o Metro m

Longitud

Sistema Técnico

C.G.S

F.P.S

Europeo

Inglés

Pie

pie

Masa

Kilogramo

UTM

slug

Tiempo

Segundo

Kelvin

ºK

ºC

ºF

Candela

Amperio

mol

Newton

N= Kg.m/s2

Dina = g.cm/s2

Poundal = lb.pie/s2

kg.f

lb.f

Velocidad

m/s

cm/s

pie/s

m/s

pie/s

Aceleración

m/s2

cm/s2

pie/s2

m/s2

pie/s2

Trabajo o Energía

J = N.m

ergio = dina.cm

poundal.pie

kg.f.m

lb.f.pie

Potencia

W = J/s

ergio/s

poundal.pie/s

kg.f.m/s

lb.f.pie/s

Presión

Pa = N/m2

dina/cm2

poundal/pie2

cal

BTU

Temperatura Intensidad Luminosa Corriente Eléctrica Cantidad sustancia Fuerza

Calor

ºR

4. FACTORES DE CONVERSION Longitud m

Página 21

Instructor Eduardo Cubillos

Masa

Superficie o รกrea

Volumen

Densidad

Pรกgina 22

Instructor Eduardo Cubillos

Presión

Energía

Energía Específica

Página 23

Instructor Eduardo Cubillos

Temperatura. Ecuación 1 para convertir de grados Celsius a grados kelvin

T( o K )  T( O C )  275,15

Ec 1.

Ecuación 2 para convertir de grados Celsius a grados Fahrenheit





T( oF )  1,8 x T( oC )  32

Ec 2.

Ecuación 3 para convertir grados Fahrenheit a grados Celsius

T( oC ) 

T

( oF )



 32 / 1,8

Ec 3.

Ecuación 4 para convertir de grados Fahrenheit a grados Rankine

T( oR )  T( O F )  460

Ec 4.

5. GEOMETRÍA Áreas de algunas figuras planas

Página 24

Instructor Eduardo Cubillos

Áreas de algunos cuerpos cilíndricos

Volumen de algunos cuerpos cilíndricos

Página 25

Instructor Eduardo Cubillos

BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA http://ponce.inter.edu/cremc/fracciones3.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/NumFraccionarios.htm http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea http://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas) Adaptaci贸n Contenido Grupo Agroindustrial

P谩gina 26

Instructor Eduardo Cubillos