Unidad 3. Derivación e integración de variable compleja

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Programa de la asignatura:

Variable compleja

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Derivación e integración de variable compleja

Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

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Variable compleja Derivación e integración de variable compleja

Índice Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos de la Unidad ............................................................................................................ 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 3.1. Derivada compleja …………………………………………………………………..…………..4 3.1.1. Definición de Derivada …………………………………………………..……………………4 3.1.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann .................................................................................... 6 3.1.3. Aplicaciones de la Derivada de funciones de variable compleja .................................... 9 3.2. Integración compleja………………………………………………………………………….…10 3.2.1. La integral indefinida en el dominio complejo….………………………………………......10 3.2.2. Teorema de Cauchy ...................................................................................................... 13 3.2.3. Aplicación a la evaluación de integrales definidas ........................................................ 15 3.3. Teorema del residuo……………………………………………………………………………16 3.3.1. Cálculo de integrales y series de Laurent ..................................................................... 16 3.3.2. Aplicaciones .................................................................................................................. 19 Actividades .............................................................................................................................. 20 Autorreflexiones....................................................................................................................... 20 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 20 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 21

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Presentación de la Unidad En esta nueva Unidad estudiarás la teoría básica sobre dos de las más importantes operaciones de la variable compleja: la derivada e integral de una función. Similarmente como en cálculo de una variable real, existen reglas para el caso complejo que te permitirán operar tanto derivadas como integrales. El uso adecuado de estas reglas será de gran ayuda para resolver problemas de las ciencias e ingeniería. De manera global, el estudio detallado de estas nuevas herramientas matemáticas te pondrá en la ventajosa posición para abordar áreas tales como la teoría electromagnética, la mecánica de fluidos, entre otras áreas del conocimiento. Se espera que tales razones te motiven y que estas nuevas herramientas matemáticas adquiridas a lo largo de esta tercera Unidad, faciliten tu acceso a nuevas aplicaciones en las ciencias e ingeniería. Esta Unidad empieza por describir algunas de las propiedades de las derivadas de funciones de variable compleja. Asimismo, explica brevemente algunas de las consecuencias de trabajar con funciones analíticas. En el tópico de integración, nos ocuparemos de integrales de línea sobre el plano complejo y de los teoremas más sobresalientes de la integración en este campo, como son el teorema del Residuo, la serie de Laurent y el cálculo de polos y residuos. Te invito a disfrutar y a aprender de esta parte del curso, pues los conceptos te generarán competencias que te serán de mucha útilidad en las diferentes aplicaciones de la ingeniería en biotecnología.

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Propósitos de la Unidad

El estudio de esta Unidad te permitirá:   

Aplicar métodos de solución de derivadas de variable compleja. Aplicar métodos de solución de integrales de variable compleja. Aplicar el teorema del residuo en la solución de problemas de las ciencias e ingeniería.

Competencia específica

Analizar las técnicas de representación y solución de modelos físicomatemáticos empleando funciones de variable compleja junto con sus operaciones de derivación e integración, para la solución de problemas de la ingeniería.

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3.1. Derivada compleja En la Unidad anterior se mencionĂł que una gran cantidad de problemas de las ciencias e ingenierĂ­a tienen que ver con razones de cambio, esto es, la forma cĂłmo cambia una variable con respecto de otra. Por ejemplo, es bien sabido que la velocidad de un mĂłvil es conocida como la razĂłn de cambio del desplazamiento de ĂŠste respecto del tiempo. En forma anĂĄloga, la aceleraciĂłn es la razĂłn de cambio de la velocidad con el tiempo. TambiĂŠn afirmamos que estas razones de cambio, forzosamente tienen que ver con el concepto de derivada. En esta tercera Unidad ampliaremos este concepto a funciones de una variable compleja. Con ello, lograremos extender el rango de aplicaciones de esta herramienta matemĂĄtica a problemas que surgen en las ciencias e ingenierĂ­a.

3.1.1. Definición de Derivada ¿QuÊ es una derivada de una función de variable compleja? Supongamos que �(�) es una función de la variable compleja �; la derivada de esta ��

función se puede representar mediante �� (�0 ), en donde �0 es un número complejo, la definición de la derivada se puede expresar mediante: �� (� ) �� 0

= lim

∆đ?‘§â†’0

đ?‘“(đ?‘§0 +∆đ?‘§)−đ?‘“(đ?‘§0 ) . ∆đ?‘§

Como se puede observar, esta expresiĂłn no se aparta mucho de la definiciĂłn de la derivada de una funciĂłn de una variable real. Escencialmente tienen ambas la misma forma, la diferencia se encuentra en que en el caso de variable real, tanto la funciĂłn como su derivada se pueden graficar en el mismo plano. En variable compleja sin embargo, tanto la funciĂłn como su derivada no pueden ser graficadas en plano alguno. Esto se debe a que en realidad en la variable đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś, se encuentran dos variables. A continuaciĂłn se resuelve un ejemplo en donde se calcula la derivada de una funciĂłn de variable compleja. Ejemplo 01: Sea đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘§ 2 una funciĂłn de variable compleja. Calcular la derivada de la funciĂłn usando la definiciĂłn anterior. (đ?‘§ + ∆đ?‘§)2 − đ?‘§ 2 đ?‘‘ 2 (đ?‘§ ) = lim ∆đ?‘§â†’0 đ?‘‘đ?‘§ ∆đ?‘§ desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ?‘‘ 2 đ?‘§ 2 + 2đ?‘§âˆ†đ?‘§ + (∆đ?‘§)2 − đ?‘§ 2 (đ?‘§ ) = lim ∆đ?‘§â†’0 đ?‘‘đ?‘§ ∆đ?‘§ = lim (2đ?‘§ + ∆đ?‘§) = 2đ?‘§. ∆đ?‘§â†’0

Para llegar al mismo resultado como en la expresiĂłn anterior, existe un camino mĂĄs corto. Esto se logra cuando se hace uso de las conocidas fĂłrmulas de diferenciaciĂłn. Los nombres comunes son: reglas algebraicas, trigonomĂŠtricas, inversas, entre otras. A continuaciĂłn se enlistan algunas de las propiedades mĂĄs importantes de las derivadas en el plano complejo. Propiedades de las derivadas Sean đ?‘“(đ?‘§) y đ?‘”(đ?‘§) dos funciones analĂ­ticas de la variable compleja đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś, y sea đ?‘? una constante, entonces son vĂĄlidas las reglas de diferenciaciĂłn para estas funciones y estĂĄn dadas por: 1.

� [�(�) ¹ ��

�(�)] =

2.

đ?‘‘ [đ?‘?đ?‘“(đ?‘§)] đ?‘‘đ?‘§

=đ?‘?

��(�) ��

Âą

��(�) ��

(Derivada de la Suma o Resta de funciones)

��(�) ��

(Derivada del Producto de una funciĂłn por una constante)

3.

� [�(�)�(�)] ��

đ?‘‘

�(�)

4. �� [�(�)] =

= �(�)

�(�)

��(�) ��

+ �(�)

��(�) ��

đ?‘‘đ?‘“(đ?‘§) đ?‘‘đ?‘”(đ?‘§) −đ?‘“(đ?‘§) đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘§ [đ?‘”(đ?‘§)]2

đ?‘‘

5. đ?‘‘đ?‘§ (đ?‘?) = 0 6.

� (� � ) ��

(Derivada del Producto de dos funciones)

(Derivada del Cociente de dos funciones) (Derivada de una constante)

= đ?‘›đ?‘§ đ?‘›âˆ’1

(Derivada de una potencia)

Algunas de estas reglas son interesantes debido a que de estas mismas se pueden obtener a partir de la conocida propiedad de linealidad del operador derivada. La cual se expresa como: � [��(�) ¹ ��

đ?‘?đ?‘”(đ?‘§)] = đ?‘Ž

��(�) ��

Âąđ?‘?

��(�) , ��

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en donde đ?‘Ž y đ?‘? son constantes. Como podemos observar en la expresiĂłn, las constantes đ?‘‘

siempre salen del parÊntesis y el operador �� se distribuye sobre ambas funciones. En lo que sigue, usaremos las reglas de diferenciación para el caso de funciones de variable compleja. Empecemos tomando la función del Ejemplo 01 para comparar entre el mÊtodo anterior y el mÊtodo de las reglas de diferenciación. Ejemplo 02: Sea �(�) = � 2 una función de variable compleja. Calcular la derivada de la función usando las reglas de diferenciación enlistadas. Usando la regla con el numeral 6, y haciendo � = 2, podemos calcular la derivada de la función en tal forma que: � (� 2 ) ��

= 2đ?‘§ 2−1 = 2đ?‘§.

El resultado algebraicamente es el mismo que en el Ejemplo 01, con la importante diferencia del nĂşmero de operaciones; usando el segundo mĂŠtodo es menor. Esta es una de las ventajas del uso de las reglas de diferenciaciĂłn, lo que las vuelve muy Ăştiles en el cĂĄlculo de derivadas de funciones de una variable compleja. En la secciĂłn siguiente estudiaremos la derivada de una funciĂłn analĂ­tica; este tipo de funciones ya fueron estudiadas en el subtema 1.3.2, por lo que te invitĂł a que la revises.

3.1.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann Existe una clasificaciĂłn para las funciones de variable compleja que tiene que ver con su “continuidadâ€?, este tipo de funciones se llaman funciones analĂ­ticas. Una funciĂłn đ?‘“(đ?‘§) es analĂ­tica en đ?‘§0 si su derivada đ?‘“ ′ (đ?‘§0 ) no solo existe en đ?‘§0 , sino en todos los puntos de una vecindad de đ?‘§0 dentro de la regiĂłn đ?‘… de su dominio.

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Figura 1. Región R con el número �0 como centro de alguna vecindad de números alrededor del mismo.

Por lo anterior, una funciĂłn đ?‘¤ = đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘–đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) requiere de una condiciĂłn para que ĂŠsta sea analĂ­tica en la mencionada regiĂłn đ?‘…. Esta condiciĂłn se puede expresar mediante las ecuaciones siguientes: đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ł

= đ?œ•đ?‘Ś, đ?œ•đ?‘Ł

= − đ?œ•đ?‘Ľ,

Esas relaciones son llamadas Ecuaciones de Cauchy-Riemann, y las funciones �(�, �) y �(�, �) se dice que son funciones conjugadas. En el siguiente ejemplo se analiza una función con las características descritas.

Ejemplo 03: Sea la funciĂłn đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2. Podemos encontrar el laplaciano ∇2 đ?‘˘ de la funciĂłn đ?‘˘ mediante la expresiĂłn: đ?œ•2 đ?‘˘

đ?œ•2 đ?‘˘

∇2 đ?‘˘ = đ?œ•đ?‘Ľ 2 + đ?œ•đ?‘Ś2 = 2 − 2 = 0.

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Esto Ăşltimo significa que la funciĂłn đ?‘˘ satisface la ecuaciĂłn de Laplace o đ?‘˘ es una funciĂłn armĂłnica. Encuentra la funciĂłn đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tal que đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘˘ + đ?‘–đ?‘Ł sea una funciĂłn analĂ­tica de đ?‘§. Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemman: đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

=

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

= 2đ?‘Ľ,

= 2đ?‘Ľ,

en donde hemos asumido que:

que al integrar parcialmente con respecto de đ?‘Ś: đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘”(đ?‘Ľ), La funciĂłn real đ?‘”(đ?‘Ľ) es equivalente a la constante de integraciĂłn y es a su vez una funciĂłn que debe ser hallada. Esto se logra obteniendo la derivada parcial de la funciĂłn, pero ahora respecto de đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ľ

= 2� + �′(�),

Otra vez usando las Ecuaciones de Cauchy-Riemman tenemos: −

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś

= 2đ?‘Ś.

Comparando las dos Ăşltimas expresiones: đ?‘”′(đ?‘Ľ) = 0, por tanto: đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘?, donde đ?‘? es una constante. Entonces: đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘˘ + đ?‘–đ?‘Ł = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 + 2đ?‘–đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘? = đ?‘§ 2 + đ?‘?, En virtud de que đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś, las funciones đ?‘˘ y đ?‘Ł son llamadas funciones armĂłnicas conjugadas.

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En la siguiente secciĂłn se discutirĂĄn algunas de las aplicaciones de la derivada de una funciĂłn de variable compleja.

3.1.3. Aplicaciones de la Derivada de funciones de variable compleja Hasta aquĂ­, sĂłlo se ha discutido cĂłmo encontrar la derivada de una funciĂłn de variable compleja, esto para el caso de funciones analĂ­ticas y que cumplen con las ecuaciones de Cauchy-Riemman. En adelante, estudiaremos algunas de las aplicaciones de la diferenciaciĂłn en el plano complejo, propongamos para ello el ejemplo siguiente. Ejemplo 04: Una elipse đ??ś tiene como ecuaciĂłn đ?‘§ = 5 cos(đ?‘¤đ?‘Ą) + 3đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘¤đ?‘Ą), donde đ?‘¤ > 0, y đ?‘Ą es el tiempo, el cual debe ser representado en variable real. a) Representa grĂĄficamente la elipse y muestra que a medida que đ?‘Ą aumenta a partir de đ?‘Ą = 0, la elipse se genera en direcciĂłn contraria a la de las manecillas del reloj. b) Encuentra un vector unitario tangente a la curva đ??ś en cualquier punto. La grĂĄfica de la ecuaciĂłn se muestra en la figura siguiente. Por otra parte, a medida que đ?‘Ą aumenta de 0 a đ?œ‹â „2đ?œ”, de đ?œ‹â „2đ?œ” a đ?œ‹â „đ?œ”, de đ?œ‹â „đ?œ” a 3đ?œ‹â „đ?œ” y de 3đ?œ‹â „đ?œ” a 2đ?œ‹â „đ?œ”, la elipse se va generando como si un punto se moviera sobre de ella.

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Figura 2. Elipse C

Al mismo tiempo se puede calcular al vector tangente a la curva đ??ś en cualquier punto mediante la derivada de la funciĂłn đ?‘§: đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ą

= −5đ?‘¤đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘¤đ?‘Ą + 3đ?‘¤đ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘¤đ?‘Ą,

por lo que el vector unitario tangente a đ??ś serĂĄ: đ?‘‘đ?‘§â „đ?‘‘đ?‘Ą |đ?‘‘đ?‘§â „đ?‘‘đ?‘Ą |

−5đ?‘¤đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘¤đ?‘Ą+3đ?‘¤đ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘¤đ?‘Ą

= |−5đ?‘¤đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘¤đ?‘Ą+3đ?‘¤đ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘¤đ?‘Ą| =

−5đ?‘¤đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘¤đ?‘Ą+3đ?‘¤đ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘¤đ?‘Ą √52 đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 đ?‘¤đ?‘Ą+32 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 đ?‘¤đ?‘Ą

.

3.2. IntegraciĂłn compleja En este segundo tema de la Unidad se presenta el tĂłpico de integraciĂłn en el plano complejo, el cual tiene una importante gama de aplicaciones a las ciencias e ingenierĂ­a. Para comenzar la discusiĂłn sobre este tema, empecemos definiendo el concepto de integral en el dominio complejo, para ello se requiere recordar el concepto de integral en el caso real. Recordemos que una integral en su definiciĂłn mĂĄs bĂĄsica es una suma, la cual normalmente se asocia con el ĂĄrea bajo la curva de una funciĂłn. La condiciĂłn para llevar a cabo la integraciĂłn de una funciĂłn en variable real, es que el intervalo de la funciĂłn sea particionado en pequeĂąos subintervalos. En el caso complejo, la integraciĂłn se llevarĂĄ a cabo particionando dominios bidimensionales que se encuentran comunmente en el plano cartesiano. Conocer las diferencias entre ambos casos, real y complejo, nos pondrĂĄn en una situaciĂłn de ventaja para resolver problemas mĂĄs complicados de las ciencias e ingenierĂ­a.

3.2.1. La integral indefinida en el dominio complejo Empecemos estĂĄ secciĂłn asumiendo que tenemos una funciĂłn de variable compleja đ?‘“(đ?‘§) la cual es continua en todos los puntos de una curva đ??ś, como la que se muestra en la figura, se asume tambiĂŠn que ĂŠsta tiene longitud finita, es decir, đ??ś es una curva rectificable.

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Figura 3. Curva rectificable đ??ś. Entre cada pareja de puntos đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 y đ?‘?k existe una cuerda de longitud (đ?‘?đ?‘˜ − đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 ) o equivalentemente |đ?›Ľđ?‘?đ?‘˜ |

La curva đ??ś se divide en đ?‘› partes por medio de los puntos đ?‘?1 , đ?‘?2 , ‌ , đ?‘?đ?‘›âˆ’1 , que se eligen arbitrariamente. Establezcamos que đ?‘Ž = đ?‘§0 y đ?‘? = đ?‘§đ?‘› , sean respectivamente el primer y Ăşltimo punto de la curva. TambiĂŠn hemos supuesto que para cada arco que une al punto đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 con đ?‘?đ?‘˜ , [k de 1 a n] se elige un punto đ?œ‰đ?‘˜ y se forma la suma đ?‘†đ?‘› = đ?‘“(đ?œ‰1 )(đ?‘?1 − đ?‘Ž) + đ?‘“(đ?œ‰2 )(đ?‘?2 − đ?‘?1 ) + â‹Ż + đ?‘“(đ?œ‰đ?‘› )(đ?‘? − đ?‘?đ?‘›âˆ’1 )

En la expresiĂłn anterior, hemos supuesto que la funciĂłn đ?‘“(đ?‘§) ha sido evaluada en cada punto đ?œ‰đ?‘˜ . Por lo que surgen los valores đ?‘“(đ?œ‰1 ), đ?‘“(đ?œ‰2 ),â‹Ż, đ?‘“(đ?œ‰đ?‘› ), los que son multiplicados por las longitudes (đ?‘?1 − đ?‘Ž), (đ?‘?2 − đ?‘?1 ), ‌ , (đ?‘? − đ?‘?đ?‘›âˆ’1 ). En resumen, la expresiĂłn anterior arroja una suma đ?‘†đ?‘› , la cual puede ser simplificada usando la notaciĂłn que se convierte en: đ?‘›

đ?‘›

đ?‘†đ?‘› = ∑ đ?‘“(Ξđ?‘˜ )(đ?‘?đ?‘˜ − đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 ) = ∑ đ?‘“(Ξđ?‘˜ ) Δđ?‘?đ?‘˜ đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

en donde se ha establecido que đ?‘?đ?‘˜ − đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 = Δđ?‘?đ?‘˜ . Es importante comentar en esta parte que la suma discreta đ?‘†đ?‘› , permite encontrar la integral de lĂ­nea desde el punto đ?‘Ž = đ?‘§0 hasta đ?‘? = đ?‘§đ?‘› . Esta suma suele ser imprecisa por el hecho de que sĂłlo se han tomado los primeros đ?‘› puntos. La pregunta que surge es ÂżcuĂĄntos puntos mĂĄs debemos tomar? La respuesta es hacer que đ?‘› tienda a infinito, esto significa que đ?‘› es muy grande. La ventaja que tenemos ahora es que el error dismuye en la medida que aumentamos el valor de đ?‘›. Pensemos en el caso de poder aumentar el nĂşmero de subdivisiones de la curva đ??ś de Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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manera que la longitud |đ?›Ľđ?‘?đ?‘˜ | de la mayor de las cuerdas tienda a cero. AsĂ­ como đ?‘“(đ?‘§) es continĂşa, la suma đ?‘†đ?‘› tiende a un lĂ­mite que no depende de la manera en que se haga la subdivisiĂłn, este lĂ­mite se denota por: đ?‘?

âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§

đ?‘œ

âˆŤđ??ś đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§.

En este punto podemos observar que las integrales estĂĄn definidas sobre una curva dada, la cual fue particionada. Eso obliga a colocar como lĂ­mites de integraciĂłn inferior y superior, a las constantes đ?‘Ž y đ?‘?, en el sĂ­mbolo de integral. Este tipo de integrales es llamada integral definida. El caso contrario es inmediato, la llamada integral indefinida, la cual se puede expresar de la siguiente forma: âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§. El uso operativo de integrales de variable compleja esta basado en reglas que a continuaciĂłn se enlistan.

Propiedades de las integrales Suponga que đ?‘“(đ?‘§) y đ?‘”(đ?‘§) son integrables a lo largo de đ??ś, entonces se tienen las siguientes propiedades:

a) âˆŤC (đ?‘“(đ?‘§) + đ?‘”(đ?‘§))đ?‘‘đ?‘§ = âˆŤC đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ + âˆŤC đ?‘”(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ La integral de una suma es la suma de las integrales. b) âˆŤC đ??´đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = A âˆŤC đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ donde đ??´ = cualquier constante La integral del producto de una funciĂłn por una constante es la constante por la integral. b

b

c) âˆŤa đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = − âˆŤa đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ Al cambiar los lĂ­mites de integraciĂłn, el signo de la integral cambia. b

m

b

d) âˆŤa đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = âˆŤa đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ + âˆŤm đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ donde los puntos đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘š estĂĄn en đ??ś Si el intervalo de integraciĂłn se divide en dos partes, la integral se calcula en cada subintervalo. e) |âˆŤC đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§| ≤ ML Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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Donde |đ?‘“(đ?‘§)| ≤ đ?‘€, es decir đ?‘€ es una cota superior de |đ?‘“(đ?‘§)| en đ??ś, y đ??ż es la longitud de đ??ś. Las propiedades anteriores pueden describirse de varias maneras. Por ejemplo, si T, U y V son puntos sucesivos de una curva, la propiedad c) se expresa como: âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = − âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§. TUV

VUT

De igual manera, si đ??ś, đ??ś1 y đ??ś2 representan curvas desde đ?‘Ž hasta đ?‘?, o de đ?‘Ž a đ?‘š y de đ?‘š a đ?‘?, respectivamente, resulta natural considerar đ??ś = đ??ś1 + đ??ś2 y expresar la propiedad d) como: âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ + âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ đ??ś1 +đ??ś2

đ??ś1

đ??ś2

Ejemplo 05: Realizar la integraciĂłn de la siguiente funciĂłn: âˆŤ đ?‘§Ě…đ?‘‘đ?‘§ đ??ś

desde đ?‘§ = 0 hasta đ?‘§ = 4 + 2đ?‘–, a lo largo de la curva đ??ś dada por đ?‘§ = đ?‘Ą 2 + đ?‘–đ?‘Ą. La integraciĂłn se lleva a cabo sobre la curva, los puntos đ?‘§ = 0 y đ?‘§ = 4 + 2đ?‘– en đ??ś corresponden a đ?‘Ą = 0 y đ?‘Ą = 2, respectivamente. Por lo que la integral de lĂ­nea es igual a: 2 2 8đ?‘– (đ?‘Ą 2 + đ?‘–đ?‘Ą) đ?‘‘(đ?‘Ą 2 + đ?‘–đ?‘Ą) = âˆŤ (đ?‘Ą 2 − đ?‘–đ?‘Ą)(2đ?‘Ą + đ?‘–)đ?‘‘đ?‘Ą = 10 − âˆŤ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 3 đ?‘Ą=0 0

3.2.2. Teorema de Cauchy El teorema de Cauchy es una herramienta matemĂĄtica que facilita el cĂĄlculo de integrales en el dominio complejo. Permite ahorrar pasos y debido a que fue previamente demostrado, justamente por Cauchy, lo recomendable es emplearlo para el cĂĄculo de algunas integrales complicadas. La verdadera utilidad en esta secciĂłn es aplicarlo a problemas donde es requerido. Enunciemos al teorema de Cauchy. Sea đ?‘“(đ?‘§) una funciĂłn analĂ­tica en una regiĂłn đ?‘… del espacio y en su frontera đ??ś, entonces sucede que: ∎đ??ś đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = 0.

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Este teorema fundamental, que se llama teorema de la integral de Cauchy o simplemente teorema de Cauchy, es vĂĄlido tanto para regiones simplemente conexas como para regiones multiplemente conexas. Un ejemplo de este tipo de regiones se observa en la figura siguiente:

Figura 4. RegiĂłn simplemente conexa đ?‘….

Las consecuencias del teorema de Cauchy se pueden observar a continuaciĂłn en el siguiente ejemplo. Ejemplo 06: SupĂłn que đ?‘“(đ?‘§) estĂĄ en una regiĂłn simplemente conexa đ?‘…. Demuestra que: đ?‘?

âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ đ?‘Ž

es independiente de la trayectoria que une dos puntos cualesquiera đ?‘Ž y đ?‘?. Comencemos por definir el ĂĄrea đ?‘… rodeada de la curva đ??ś, la cual puede ser vista en la figura siguiente. De acuerdo con el teorema de Cauchy podemos afirmar que: âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = 0 đ??´đ??ˇđ??ľđ??¸đ??´

lo que se puede volver a expresar como:

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âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ + âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = 0 đ??´đ??ˇđ??ľ

đ??ľđ??¸đ??´

Despejando una de las integrales:

âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = − âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = âˆŤ đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ đ??´đ??ˇđ??ľ

đ??ľđ??¸đ??´

đ??´đ??¸đ??ľ

En la Ăşltima integral se observa que es lo mismo ir desde đ??ľ hasta đ??´, que en sentido contrario. Sin embargo, el cambio de sentido se Ă­ndica con un cambio de signo. Por tanto: đ?‘?

âˆŤđ??ś đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = âˆŤđ??ś đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = âˆŤđ?‘Ž đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ =0 1

2

que es lo que buscĂĄbamos demostrar.

3.2.3. AplicaciĂłn a la evaluaciĂłn de integrales definidas Comencemos con un ejemplo sobre el cĂĄlculo de integrales. El caso a estudiar es la integral de lĂ­nea del siguiente ejemplo: Ejemplo 07: (2,4)

EvaluĂŠ âˆŤ(0,3) (2y + x 2 )dx + (3x − y)dy a lo largo de: a) la parĂĄbola đ?‘Ľ = 2đ?‘Ą, đ?‘Ś = đ?‘Ą 2 + 3 b) las rectas de (0,3) a (2,3) y de (2,3) a (2,4). SoluciĂłn: Los puntos (0,3) y (2,4), que se encuentran en la parĂĄbola, corresponden a t=0 y t=1, respectivamente. AsĂ­ la integral dada es igual a: 1

1 2

2 ]2đ?‘‘đ?‘Ą

âˆŤ[2(đ?‘Ą + 3) + (2đ?‘Ą)

2

+ [3(2đ?‘Ą) − (đ?‘Ą + 3)]2đ?‘Ąđ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ(24đ?‘Ą 2 + 12 − 2đ?‘Ą 3 − 6đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą =

đ?‘Ą=0

0

33 2

A lo largo de la recta (0,3) a (2,3), y=3, dy=0 y la integral de lĂ­nea es igual a: 2

2

âˆŤ(6 + x x=0

2 )dx

+ (3x − 3)0 = âˆŤ(6 + x 2 )dx = x=0

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44 3

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A lo largo de la recta (2,3) a (2,4), x=2, dx=0 y la integral de lĂ­nea es igual a: 4

4

âˆŤ (2y + 4)0 + (6 − y)dy = âˆŤ (6 − y)dy = y=3

y=3

5 2

Por lo tanto, el valor buscado es: 44/3 +5/2 = 103/6. Una ecuaciĂłn de la recta que une (0,3) y (2,4) es 2y − x = 6. Se despeja đ?‘Ľ y se tiene đ?‘Ľ = 2đ?‘Ś − 6. Entonces, la integral de lĂ­nea es: 4

4 2 ⌉2đ?‘‘đ?‘Ś

âˆŤ ⌈2đ?‘Ś + (2đ?‘Ś − 6)

+ ⌈3(2đ?‘Ś − 6) − đ?‘ŚâŒ‰đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ(8đ?‘Ś 2 − 39đ?‘Ś + 54)đ?‘‘đ?‘Ś =

đ?‘Ś=3

3

97 6

1 2

TambiĂŠn se obtiene este resultado con đ?‘Ś = (đ?‘Ľ + 6).

3.3. Teorema del residuo El teorema del residuo es un mĂŠtodo muy usado para el cĂĄlculo de integrales de funciones de variable compleja. Para ello, la funciĂłn debe cumplir ciertas condiciones tales como el cĂĄlculo de puntos singulares aislados de la funciĂłn. Esto serĂĄ descrito a lo largo de esta secciĂłn. En el mismo contexto, se realizarĂĄn algunas aplicaciones tanto del teorema del residuo como de la serie de Laurent, ĂŠsta Ăşltima es un mĂŠtodo que aprovecha el cĂĄlculo de residuos para calcular integrales usando funciones de variable compleja, que por otros caminos podrĂ­a ser complicado.

3.3.1. CĂĄlculo de integrales y series de Laurent Sean đ??ś1 y đ??ś2 circunferencias concĂŠntricas de radios đ?‘…1 y đ?‘…2 , respectivamente, y centro en đ?‘Ž. Suponga que đ?‘“(đ?‘§) es univoca y analĂ­tica sobre đ??ś1 y đ??ś2 , asĂ­ como en la regiĂłn â„› en forma de anillo [tambiĂŠn llamada regiĂłn anular o corona] entre đ??ś1 y đ??ś2 que aparece sombreada en la figura.

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DerivaciĂłn e integraciĂłn de variable compleja

Figura 5. RegiĂłn anular.

Sea đ?‘Ž + â„Ž un punto en â„›. AsĂ­, se tiene que: đ?‘“(đ?‘Ž + â„Ž) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 â„Ž + đ?‘Ž2 â„Ž2 + â‹Ż +

đ?‘Žâˆ’1 đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’3 + 2 + 3 +â‹Ż â„Ž â„Ž â„Ž

donde: 1

đ?‘Žđ?‘› = 2đ?œ‹đ?‘– ∎đ??ś

1

đ?‘“(đ?‘§) đ?‘‘đ?‘§ (đ?‘§âˆ’đ?‘Ž)đ?‘›+1

� = 0,1,2, ‌

y 1

đ?‘Žâˆ’đ?‘› = 2đ?œ‹đ?‘– ∎đ??ś (đ?‘§ − đ?‘Ž)đ?‘›âˆ’1 đ?‘“(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ 1

� = 1,2,3, ‌

Y donde đ??ś1 y đ??ś2 se recorren en direcciĂłn positiva respecto de sus interiores. En las integrales anteriores pueden remplazarse đ??ś1 y đ??ś2 por cualquier circunferencia concĂŠntrica đ??ś entre đ??ś1 y đ??ś2 . AsĂ­ los coeficientes de la serie se escriben en una sola fĂłrmula. đ?‘Žđ?‘› =

1 đ?‘“(đ?‘§) đ?‘‘đ?‘§ ∎ 2đ?œ‹đ?‘– đ??ś (đ?‘§âˆ’đ?‘Ž)đ?‘›+1

� = 0, ¹1, ¹2, ‌

Mediante un cambio apropiado de notaciĂłn, lo anterior se escribe como: đ?‘Žâˆ’1 đ?‘Žâˆ’2 đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 (đ?‘§ − đ?‘Ž) + đ?‘Ž2 (đ?‘§ − đ?‘Ž)2 + â‹Ż + + +â‹Ż (đ?‘§ đ?‘§âˆ’đ?‘Ž − đ?‘Ž)2 donde:

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đ?‘Žđ?‘› =

1 đ?‘“(đ?œ ) ∎ đ?‘‘đ?œ 2đ?œ‹đ?‘– (đ?œ − đ?‘Ž)đ?‘›+1

� = 0, ¹1, ¹2, ‌

đ??ś

Esto es el teorema de Laurent, y las ecuaciones con los coeficientes, son la expansiĂłn de Laurent o serie de Laurent. La parte đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 (đ?‘§ − đ?‘Ž) + đ?‘Ž2 (đ?‘§ − đ?‘Ž)2 + â‹Ż se conoce como parte analĂ­tica de la serie de Laurent, mientras que el resto de la serie consta de las potencias inversas de đ?‘§ − đ?‘Ž, es la parte principal. Si la parte principal es cero, la serie de Laurent se reduce a una serie de Taylor. Ejemplo 08: 1

Obtenga el desarrollo de đ?‘“(đ?‘§) = (đ?‘§+1)(đ?‘§+3) en una serie de Laurent vĂĄlida para 1 < |đ?‘§| < 3, SoluciĂłn: Al descomponer en fracciones parciales a la funciĂłn: 1 1 1 1 1 = ( )− ( ) (đ?‘§ + 1)(đ?‘§ + 3) 2 đ?‘§ + 1 2 đ?‘§+3

Si |đ?‘§| > 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = (1 − + 2 − 3 + â‹Ż ) = − 2+ 3− 4+â‹Ż 1 2(đ?‘§ + 1) 2đ?‘§ (1 + ) 2đ?‘§ đ?‘§ đ?‘§ đ?‘§ 2đ?‘§ 2đ?‘§ 2đ?‘§ 2đ?‘§ đ?‘§

Si |đ?‘§| < 3, 1 1 1 đ?‘§ đ?‘§2 đ?‘§3 1 đ?‘§ đ?‘§2 đ?‘§3 = = (1 − + − +â‹Ż) = − + − +â‹Ż 2(đ?‘§ + 3) 6(1 + đ?‘§/3) 6 3 9 27 6 18 54 162 AsĂ­, la expansiĂłn de Laurent vĂĄlida tanto para |đ?‘§| > 1 como para |đ?‘§| < 3, es decir 1 < |đ?‘§| < 3, es: 1 1 1 1 1 đ?‘§ đ?‘§2 đ?‘§3 â€Śâˆ’ 4 + 3 − 2 + − + − + âˆ’â‹Ż 2đ?‘§ 2đ?‘§ 2đ?‘§ 2đ?‘§ 6 18 54 102

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3.3.2. Aplicaciones Para obtener el residuo de una funciĂłn đ?‘“(đ?‘§) en đ?‘§ = đ?‘Ž parece requisito tener que calcular el desarrollo en serie de Laurent en torno a đ?‘§ = đ?‘Ž. Afortunadamente, cuando đ?‘§ = đ?‘Ž es un polo de orden đ?‘˜, existe una fĂłrmula dada por: 1 đ?‘‘đ?‘˜âˆ’1 {(đ?‘§ − đ?‘Ž)đ?‘˜ đ?‘“(đ?‘§)} đ?‘Žâˆ’1 = lim đ?‘§â†’đ?‘Ž (đ?‘˜ − 1)! đ?‘‘đ?‘§ đ?‘˜âˆ’1 Si đ?‘˜ = 1 (polo sencillo), la expresiĂłn anterior toma la forma: đ?‘Žâˆ’1 = lim (đ?‘§ − đ?‘Ž) đ?‘“(đ?‘§) đ?‘§â†’đ?‘Ž

La utilidad de esta Ăşltima fĂłrmula se mostrarĂĄ en el siguiente ejemplo. Ejemplo 09: đ?‘§ Sea đ?‘“(đ?‘§) = (đ?‘§âˆ’1)(đ?‘§+1)2 se tienen los polos đ?‘§ = 1 y đ?‘§ = −1, que son polos de orden uno y dos. Haciendo đ?‘˜ = 2, residuo en đ?‘§ = 1 es: đ?‘§ 1 lim(đ?‘§ − 1) { }= 2 đ?‘§â†’1 (đ?‘§ − 1)(đ?‘§ + 1) 4

Ejemplo 10: Sea đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘’ −1â „đ?‘§ Cuando đ?‘§ = 0 se tiene una singularidad. Calculando la serie de Laurent para đ?‘“(đ?‘§) con đ?‘˘ = −1â „đ?‘§, se tiene entonces: 1 1 1 đ?‘’ −1â „đ?‘§ = 1 − + − +â‹Ż 2 đ?‘§ 2! đ?‘§ 3! đ?‘§ 3 en donde el residuo đ?‘§ = 0 es el cociente de 1â „đ?‘§, que es igual con -1.

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Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar. Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BVCO_U3_A1_XXYZ, donde BVCO corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación. Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BVCO_U3_ATR _XXYZ, donde BVCO corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad A lo largo de esta Unidad has podido adentrarte en la solución de derivadas e integrales en el plano complejo, asimismo has podido estudiar algunos casos de solución. Se enlistaron algunas de las propiedades de estos operadores en el plano complejo. Asimismo, se realizaron ejemplos para derivar e integrar funciones de variable compleja. En la sección tercera se estudió el teorema de Laurent y del residuo, éste último es un método muy explotado para el cálculo de integrales que a primera vista parecen ser muy complicadas, pero que al usarlo se vuelven muy directas, la dificultad se reduce a encontrar justamente los residuos.

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Fuentes de consulta

 

Churchill, R. V., Brown, J. W. (2004). Variable compleja y aplicaciones. 6ta. Edición. España: McGraw-Hill. ISBN: 0-07-010905-2. Courant, R., Robbins, H. (2006) ¿Qué son las Matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. Serie Ciencia y Tecnología. México: Fondo de Cultura Económica. ISBN: 978968166177. Spiegel, M. R., Lipschutz, S., Schiller, J. J., Spellman, D. (2011). Variable Compleja. Serie Schaum. España: McGraw-Hill Interamericana. ISBN: 978-607-150551-4. Wunsch, D. (1999). Variable compleja con aplicaciones. 2ª ed. México: McGrawHill. ISBN: 968-444-402-8.

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