Hidrostática, Javier Naranjo

Unidad 2 Hidroståtica Distribución de presión en un fluido En la figura se presenta un elemento de un fluido Δx, Δz, y Δs con profundidad b sin esfuerzo cortante, pero con presiones px, pz y pn a cada cara. El peso del elemento tambiÊn puede ser importante si el elemento es pequeùo se asume que el valor de la presión es igual, haciendo sumatorias de fuerzas.

(White, 2003) ďż˝ đ??šđ?‘Ľ = 0 = đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘?∆đ?‘§ − đ?‘?đ?‘› đ?‘?∆đ?‘ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ

ďż˝ đ??šđ?‘§ = 0 = đ?‘?đ?‘§ đ?‘?∆đ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘› đ?‘?∆đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ − 1/2đ?œŒđ?‘”∆đ?‘Ľâˆ†đ?‘§

Pero la geometrĂ­a del elemento se puede hacer las siguientes igualdades ∆đ?‘ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ = ∆đ?‘§

∆đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ = ∆đ?‘Ľ

Sustituyendo en la ecuaciĂłn de las sumatorias, las presiones quedan đ?‘?đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘›

đ?‘?đ?‘§ = đ?‘?đ?‘› + 1/2đ?œŒđ?‘”∆đ?‘§

Estas relaciones ilustran dos principios de la hidrostĂĄtica, o libre corte: (1) No hay cambio de presiĂłn en la direcciĂłn horizontal y (2) hay un cambio vertical en la presiĂłn proporcional a la densidad, gravedad y el cambio de profundidad. En el lĂ­mite cuando el Δz→0 las ecuaciones de se convierten en đ?‘?đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘§ = đ?‘?đ?‘› = đ?‘?

Fuerza de presiĂłn sobre un elemento fluido

La presiĂłn causa una fuerza neta sobre un elemento fluido cuando varĂ­a espacialmente. Para determinar esto, considere la presiĂłn actuando sobre las dos caras en direcciĂłn x como en la figura siguiente. La presiĂłn varĂ­a arbitrariamente, p=p(x,y,z,t)

(White, 2003) La fuerza neta en la direcciĂłn x sobre el elemento estĂĄ dada por đ?‘‘đ??šđ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘§ − ďż˝đ?‘? +

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ľďż˝ đ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘§ = − đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘‘đ??šđ?‘Ś = đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘§ − ďż˝đ?‘? +

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘Śďż˝ đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘§ = − đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś

De igual manera para las otras dos direcciones quedan:

đ?‘‘đ??šđ?‘§ = đ?‘?đ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ − ďż˝đ?‘? +

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?‘‘đ?‘§ďż˝ đ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘§

Por lo tanto el vector fuerza neta que se ejerce en el elemento debido a la presiĂłn es đ?‘‘đ?‘­đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘ = ďż˝âˆ’đ?’Š

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? −đ?’‹ − đ?’Œ ďż˝ đ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

Si la fuerza neta pro unidad de volumen, es decir fuerza neta especĂ­fica entonces queda đ?’‡đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘ = −∇đ?‘?

Es decir la fuerza neta especĂ­fica debido a la presiĂłn es igual al negativo del gradiente de presiĂłn (Mott, 2006)

Equilibrio de un elemento fluido El gradiente de presiĂłn es una fuerza superficial que actĂşa en los lados de las caras de un elemento fluido.

Existen tambiĂŠn fuerzas de cuerpo debido a campos gravitatorios o electromagnĂŠticos, actuando sobre la masa del elemento (Mott, 2006). AquĂ­ consideramos la fuerza de gravedad o el peso đ?‘‘đ?‘­đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Ł = đ?œŒđ?’ˆđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Śđ?‘‘đ?‘§ đ?’‡đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Ł = đ?œŒđ?’ˆ

En general tambiĂŠn hay fuerzas superficiales debido a los esfuerzos viscosos. Para un fluido incompresible con viscosidad constante la fuerza viscosa es: đ?’‡đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘? = đ?œ‡ ďż˝

đ?œ•2đ?‘˝ đ?œ•2đ?‘˝ đ?œ•2đ?‘˝ + + ďż˝ = đ?œ‡âˆ‡2 đ?‘˝ đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•đ?‘§ 2

Finalmente, el equilibrio se logrando aplicando la segunda ley de Newton y queda que (White, 2003) (Tu, Yeoh, & Liu, 2008):

đ?œŒđ?’‚ = ďż˝ đ?‘“ = đ?’‡đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘ + đ?’‡đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Ł + đ?’‡đ?‘Łđ?‘–đ?‘ đ?‘? = −∇đ?‘? + đ?œŒđ?’ˆ + đ?œ‡âˆ‡2 đ?‘˝

DistribuciĂłn de presiĂłn hidrostĂĄtica Si un fluido estĂĄ en reposo o a velocidad constante, es decir con aceleraciĂłn igual a cero y ∇2 đ?‘˝ = 0, la ecuaciĂłn de distribuciĂłn de presiĂłn se reduce a ∇đ?‘? = đ?œŒđ?’ˆ

Esta es la distribuciĂłn hidrostĂĄtica para cualquier fluido en reposo. Ahora, si consideramos que la gravedad sĂłlo tiene componente en una sola direcciĂłn la ecuaciĂłn nos queda, ya desarrollada en componentes. ∇đ?‘? = ďż˝đ?’Š

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘? +đ?’‹ + đ?’Œ ďż˝ = (đ?’Š0 + đ?’‹0 − đ?’Œđ?œŒđ?‘”) đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

Por lo tanto, la fuerza debido a la presiĂłn, en este caso el gradiente depende de la gravedad y la densidad del fluido. Como la presiĂłn es independiente de las componente x y y entonces las derivadas parciales pueden sustituirse por derivadas totales. Resolviendo la ecuaciĂłn diferencial, entonces la presiĂłn entre dos puntos dentro del fluido sĂłlo varĂ­a con la diferencia de la profundidad đ?‘‘đ?‘? = −đ?›ž đ?‘‘đ?‘§ 2

đ?‘?2 −đ?‘?1 = − ďż˝ đ?›žđ?‘‘đ?‘§ = đ?›ž(đ?‘§1 − đ?‘§2 ) 1

Entonces llegamos a la siguiente conclusiĂłn

La presiĂłn en un fluido estĂĄtico uniforme distribuido continuamente varĂ­a sĂłlo con la vertical y es independiente de la forma del contenedor. La presiĂłn es la misma en todos los puntos sobre un plano horizontal en el fluido. La presiĂłn aumenta con la profundidad en el fluido. (White, 2003) SĂ­ el fluido es incompresible, la presiĂłn en los lĂ­quidos es como se resolviĂł la ecuaciĂłn anterior. Sin embargo, para la distribuciĂłn de presiones para un gas, se tiene que considerar como un gas ideal; por lo tanto la ecuaciĂłn queda đ?‘‘đ?‘? đ?‘? = −đ?œŒđ?‘” = − đ?‘” đ?‘‘đ?‘§ đ?‘…đ?‘‡

Resolviendo la ecuaciĂłn diferencial

đ??żđ?‘›

đ?‘” 2 đ?‘‘đ?‘§ đ?‘?2 =− ďż˝ đ?‘?1 đ?‘… 1 đ?‘‡

Entonces el lado derecho de la ecuaciĂłn se puede resolver de dos formas la primera es considerando un proceso isotĂŠrmico y queda đ?‘?2 = đ?‘?1 đ?‘’

đ?‘”(đ?‘§2 −đ?‘§1 ) ďż˝âˆ’ ďż˝ đ?‘…đ?‘‡0

La cual es una aproximaciĂłn vĂĄlida, sin embargo si consideramos que la temperatura depende de la altitud sobre el nivel del mar, entonces se obtiene la siguiente ecuaciĂłn, Con z1 =0. đ?‘”

EJEMPLO

đ??ľđ?‘§2 đ?‘…đ??ľ đ?‘?2 = đ?‘?đ?‘Ž ďż˝1 − ďż˝ đ?‘‡0

đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’

đ?‘” = 5.26 (đ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’)đ?‘Ś đ??ľ = 0.00650 đ??ž/đ?‘š đ?‘…đ??ľ

Considera las condiciones de altura para la ciudad de Torreón, con 1250 MSNM, con una temperatura promedio de 30°C. Encuentre la presión atmosfÊrica considerando que la temperatura no cambia con respecto al nivel del mar y considerando que la temperatura varía, con T0=15°C.

Aplicaciones a manometrĂ­a Una columna estĂĄtica de fluido puede ser usado para medir una diferencia de presiĂłn entre dos puntos, a este dispositivo se le denomina manĂłmetro. Si se utilizan varĂ­as fluidos, se debe hacer el cambio de densidad conforme se aplica la ecuaciĂłn de la hidrostĂĄtica. La siguiente figura ilustra el uso de la ecuaciĂłn con una columna de mĂşltiples fluidos. La presiĂłn cambia conforme cada fluido y debe calcularse por separado, por lo tanto, la diferencia de presiĂłn entre los untos 5 y 1 serĂĄ la suma de los cambios de cada secciĂłn (Cengel & Boles, 2009). đ?‘?5 − đ?‘?1 = −đ?›žđ?‘œ (đ?‘§2 − đ?‘§1 ) − đ?›žđ?‘¤ (đ?‘§3 − đ?‘§2 ) − đ?›žđ??ş (đ?‘§4 − đ?‘§3 ) − đ?›žđ?‘€ (đ?‘§5 − đ?‘§4 )

En las aplicaciones en manĂłmetros, la diferencia entre los puntos de salida y entrada es la suma de cada diferencia de presiĂłn en cada salto de lĂ­nea de fluido. đ?‘?đ??´ − đ?‘?đ??ľ = (đ?‘?đ??´ − đ?‘?1 ) + (đ?‘?1 − đ?‘?2 ) + (đ?‘?2 − đ?‘?3 ) + (đ?‘?3 − đ?‘?đ??ľ ) = −đ?›ž1 (đ?‘§đ??´ − đ?‘§1 ) − đ?›ž2 (đ?‘§1 − đ?‘§2 ) − đ?›ž3 (đ?‘§2 − đ?‘§3 ) − đ?›ž4 (đ?‘§4 − đ?‘§đ??ľ )

Ejemplos 1.

Pressure gage B is measure the pressure at point A in water flow. If the pressure at B is 87 kPa, estimate the pressure at A in kPa. Assume all fluids are at 20°C. See Fig. (White, 2003)

2.

The classic use of a manometer is when two U-tube legs are of equal length, as in Figure, and the pressure involves a pressure difference across two horizontal points. The typical application is to measure pressure change across a flow device, as shown. Derive a formula for pressure difference in terms of system parameters in Figure. (White, 2003)

Fuerzas hidrostĂĄtica sobre superficies planas El diseĂąo de estructuras contenedoras de fluidos requiere de obtener las fuerzas hidrostĂĄticas sobre varias superficies solidas adyacentes al fluido. Estas fuerzas se relacionan con el peso del fluido. Si la densidad del fluido no cambia, entonces la fuerza sĂłlo con la profundidad.

(White, 2003) Para derivar formulas involucra la forma de la placa, establece un sistema coordinado in el plano del plato con el origen en su centroide. Mås una coordenada auxiliar Ξ abajo desde la superficie en el plano del plato.

Entonces la fuerza total sobre la superficie sobre un lado de la placa estĂĄ dado por đ??š = ďż˝ đ?‘? đ?‘‘đ??´ = ďż˝(đ?‘?đ?‘Ž + đ?›žâ„Ž)đ?‘‘đ??´ = đ?‘?đ?‘Ž đ??´ + đ?›ž ďż˝ â„Žđ?‘‘đ??´

La integral remanente eta evaluado por notar desde la Figure que h=Ξsinθ y por definiciĂłn, la distancia centroidal desde la superficie al plato es đ?œ‰đ??śđ??ş =

1 ďż˝ đ?œ‰đ?‘‘đ??´ đ??´

Entonces, si θ es constante a lo largo del plato. La ecuaciĂłn de la fuerza queda đ??š = đ?‘?đ?‘Ž đ??´ + đ?›ž sin đ?œƒ ďż˝ đ?œ‰đ?‘‘đ??´ = đ?‘?đ?‘Ž đ??´ + đ?›ž sin đ?œƒ đ?œ‰đ??śđ??ş đ??´

Finalmente, notando que ΞCG sin θ= hCG, la profundidad desde la superficie al centro de gravedad. đ??š = đ?‘?đ?‘Ž đ??´ + đ?›žâ„Žđ??śđ??ş đ??´ = (đ?‘?đ?‘Ž + đ?›žâ„Žđ??śđ??ş )đ??´ = đ?‘?đ??śđ??ş đ??´

Entonces la fuerza sobre un lado de cualquier plano sumergido en un fluido uniforme es igual a la presiĂłn en el centro de gravedad por toda el ĂĄrea de la superficie. Independientemente de la forma y el ĂĄngulo de inclinaciĂłn. (Mataix, 1982) Sin embargo, la fuerza no actĂşa sobre el centroide sino hacia donde estĂĄ la mayor presiĂłn en la superficie, es decir, hacia abajo del centro de gravedad. La lĂ­nea de acciĂłn de la fuerza pasa a travĂŠs del centro de presiĂłn CP del plato. Para encontrar las coordenadas (xCP,yCP), necesitamos hacer una suma de momentos de la fuerza resultante alrededor dl centro de gravedad. Para calcular el yCP, se tiene, đ??šđ?‘Śđ??śđ?‘ƒ = ďż˝ đ?‘Śđ?‘?đ?‘‘đ??´ = ďż˝ đ?‘Ś(đ?‘?đ?‘Ž + đ?›ž sin đ?œƒ đ?œ‰đ??śđ??ş )đ?‘‘đ??´ = ďż˝ đ?‘Śđ?‘?đ?‘Ž đ?‘‘đ??´ + đ?›ž sin đ?œƒ ďż˝ đ?‘Śđ?œ‰đ?‘‘đ??´

El tĂŠrmino don involucra la presiĂłn atmosfĂŠrica se hace por a definiciĂłn prpia del eje centroidal.

Introduciendo que Ξ=ΞCG-y, se obtiene đ??šđ?‘Śđ??śđ?‘ƒ = đ?›ž sin đ?œƒ ďż˝đ?œ‰đ??śđ??ş ďż˝ đ?‘Śđ?‘‘đ??´ − ďż˝ đ?‘Ś 2 đ?‘‘đ??´ďż˝ = −đ?›ž sin đ?œƒ đ??źđ?‘‹đ?‘‹

Donde el primer tĂŠrmino de la suma es cero y el segundo tĂŠrmino es el momento de inercia Ixx de ĂĄrea alrededor del eje x. Entonces el yCP đ?‘Śđ??śđ?‘ƒ = −đ?›žđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ

đ??źđ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘?đ??śđ??ş đ??´

El signo negativo representa que el centro de presiĂłn se encuentra debajo del centro de gravedad, es decir, donde existe mayor presiĂłn. AnĂĄlogamente para encontrar la coordenada xCP se obtiene que đ?‘Ľđ??śđ?‘ƒ = −đ?›žđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ

Ejemplos 1.

2.

đ??źđ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘?đ??śđ??ş đ??´

The gate in Figure ei 5 ft wide, is hinged at point B, and rests against a smooth Wall at point A. compute (a) the force on the gate due to seawater pressure, 8b) the horizontal forca P exerted by the wall al point A, and (c) the reaction at the hinge B. A tank of oil has a righ-triangular panel near the bottom, as in figure. Omitting atmospheric pressure find (a) hydrostatic force and (b) CP on the panel.

Fuerza hidrostĂĄtica sobre superficies curvas La fuerza hidrostĂĄtica sobre superficie curva es mĂĄs fĂĄcil de calcular por separado en sus componentes horizontal y vertical La componente horizontal de la fuerza sobre la superficie curva es igual a la fuerza sobre el ĂĄrea plana formada por la proyecciĂłn de la curva sobre el plano vertical normal a la componente.

La componente vertical de la fuerza de presiĂłn sobre superficie curva es igual in magnitud y direcciĂłn al peso de la columna entera de fluido, ambos lĂ­quido y atmĂłsfera arriba de la superficie curva. (White, 2003) Ejemplo 1.

A dam a parabolic shape z/z0=(x/x0)2 as shown in figure with x0=10ft y z0=24ft. The fluid is water, Îł=62.4 lbf/ft3, and atmospheric pressure may be omitted. Compute the horizontal and vertical force on the dam and their line of action. The width of the dam is 50ft.

Fuerza hidrostĂĄtica in multicapas de fluido La fuerza total sobre la superficie no es igual a la presiĂłn en el centroide por el ĂĄrea de la placa. Pero cada porciĂłn de la placa in cada capa de fluido satisface la ecuaciĂłn de la hidrostĂĄtica, entonces la sumas de todas las fuerzas es la fuerza total sobre la superficie đ??š = ďż˝ đ??šđ?‘– = ďż˝ đ?‘?đ??śđ??şđ?‘– đ??´đ?‘–

Similarmente el centroide de cada porciĂłn de placa en cada capa de fluido puede ser usado para localizar el centro de presiĂłn đ?‘Śđ??śđ?‘ƒđ?‘– = −

đ?œŒđ?‘– đ?‘”đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒđ?‘– đ??źđ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘– đ?‘?đ??śđ??şđ?‘– đ??´đ?‘–

đ?‘Ľđ??śđ?‘ƒđ?‘– = −

đ?œŒđ?‘– đ?‘”đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒđ?‘– đ??źđ?‘Ľđ?‘Śđ?‘– đ?‘?đ??śđ??şđ?‘– đ??´đ?‘–

Estas formulas localizan el centro de presiĂłn de cada una de las porciones de la fuerza Fi, El centro de presiĂłn de la fuerza total puede ser encontrado por una sumatoria de momentos con respecto a un punto conveniente, tal como la superficie. (White, 2003) Ejemplo A tank 20 ft wide is layered with 8 ft of oil, 6 ft of wĂĄter, and 4 ft of mercury. Compute 8a) the total hydrostatic force and (b) the resultant center of pressure of the fluid on the righ-hand side of the tank.

Fuerza de empuje y flotaciĂłn El mismo principio usado para calcular las fuerzas hidrostĂĄticas sobre superficies puede ser aplicado a la fuerza neta debido a la presiĂłn sobre cuerpos sumergidos o cuerpos flotantes. El resultado son las dos leyes de flotaciĂłn descubiertos por ArquĂ­medes en el siglo 3 a.c.

1.

2.

Un cuerpo inmerso en un fluido experimenta una fuerza de flotaciĂłn vertical igual al peso del fluido que desplaza.

Un cuerpo flotando desplaza su propio peso in el fluido en el cual flota. đ??šđ??ľ = đ??šđ?‘Ł (2) − đ??šđ?‘Ł (1) = (đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘“đ?‘™đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž 2) − (đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘“đ?‘™đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž 1) = đ?‘ƒđ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘“đ?‘™đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘”đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ

Se puede sumar las fuerzas verticales

đ??šđ??ľ = âˆŤđ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ(đ?‘?2 − đ?‘?1 )đ?‘‘đ??´ = −đ?›ž âˆŤ(đ?‘§2 − đ?‘§1 )đ?‘‘đ??´ = đ?›ž(đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘œ) (Mataix, 1982)

Ejemplo

A balloon of 10m of diameter is filled with helium and pressurized to 135 kPa and 20°C. The balloon material has a mass of 85 g/m2. Estimate (a) the tension of a mooring line and (b) the height in the standard atmosphere to which balloon will rise the mooring line is cut. Consider an atmospheric pressure of 100kPa and 20°C.

Referencias Cengel, Y. A., & Boles, M. (2009). Termodinamica (Sexta ed.). (V. Gonzalez y Pozo, & S. Sarmiento, Trads.)

Mexico: McGraw Hill.

Mataix, C. (1982). MecĂĄnica de Fluidos y mĂĄquinas tĂŠrmicas (Segunda ed.). Mexico: Oxford University Press.

Mott, R. L. (2006). MecĂĄnica de Fluidos 5ta Ed. MĂŠxico: Person Education Inc. Tu, J., Yeoh, G.-H., & Liu, C. (2008). Computational Fluid Dynamics (second ed.). Oxford, United Kingdom: Butterworth-Heinemann.

White, F. M. (2003). Fluid Mechanics 5th Edition. New York: McGraw-Hill .