UNIDAD EDUCATIVA MUNICIPAL "FERNÁNDEZ MADRID" TEMA: Aplicaciones prácticas de los números complejos PROYECTO DISCIPLINAR FECHA: Martes, 17 de enero de 2023 CURSO: 3RO BGU "C" REALIZADO POR: ALMEIDA EMILY CHIGUANO MELANYPARREÑO JAIRO
ÍNDICE Números Complejos.................................................. Gráfica de Diagrama de Venn................................. Propiedades de los números reales......................... Definición de un número complejo........................... Forma binómica........................................................ Operaciones con números complejos...................... Representación gráfica de un número complejo.... PORTADA............................................................................. ÍNDICE.................................................................................. RESUMEN............................................................................. DESARROLLO....................................................................... -Propiedad Conmutativa -Propiedad Clausurativa -Propiedad Asociativa -Conjugada de un número complejo -Opuesta de un número complejo -Expresión de un número complejo -Suma -Resta -Multiplicación -División -Forma Polar -Representación geométrica INVESTIGACIÓN............................................................... CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES...................................................... REFERENCIAS..................................................................
RESUMEN
CONTENIDO
NÚMEROS COMPLEJOS PROPIEDADES DE LOS REALES Números complejos a+bi Números areales +0i Números irracionales Números Racionales Enteros Números imaginarios a+bi, b distinto de 0 Números imaginarios puros bi, a=0 EJEM 4,5, 85 4, 0 5, 0 DEFINICIÓN Es una estructura algebráica compuesta por una parte real y una parte imaginaria PROPIEDAD CONMUTATIVA EJEMPLOS Indica que no importa el orden en que se sumen dos números, el resultado siempre va a ser el mismo. Dígitos Naturales
PROPIEDAD CLAUSURATIVA
Si cuando operamos los elementos de un mismo conjunto, el resultado de la operación es un elemento de ese mismo conjunto
EJEMPLOS
PROPIEDAD ASOCIATIVA
Nos indica que los números en una expresión aditiva pueden reagruparse usando paréntesis.
EJEMPLOS
DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN
DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS a+bi
Es una estructura algebráica compuesta por una parte real y una parte imaginaria
FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN
La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi, a se llama la parte real y b la parte imaginaria.
z=a+bi
Parte imaginaria Parte real
EJEMPLOS
CONJUGADA DE UN NÚMERO COMPLEJO
DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN
Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y el opuestos sus argumento.
su conjugada es:
PROCESO su conjugada es su conjugada es su conjugada es su conjugada es
EJEMPLOS
su conjugada es
DE UN NÚMERO COMPLEJO EJEMPLOS opuesto DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN los números complejos se
opuestos cuando el conjugado
abscisas opuesto: PROCESO opuesto opuesto opuesto opuesta
OPUESTO
llaman
de un número es simétrico al eje de
EXPRESIÓN DE UN NÚMERO COMPLEJO EJEMPLOS Parte r Parte Parte real: DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN El número complejo se compone de dos partes, siendo "a" la parte real y "b" la parte imaginaria. PROCESO Parte imaginaria: Parte imaginaria: Parte imaginaria: Parte imaginaria:
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
SUMA
¿CÓMO SE RESUELVEN?
Para sumar dos o más números complejos, simplemente tenemos que sumar a las partes real e imaginaria separadamente. Esto es similar a sumar polinomios, en donde sumamos los términos semejantes.
FORMA
EJEMPLOS
RESTA
¿CÓMO SE RESUELVEN?
Para resolver restas de números complejos, tenemos que identificar sus partes real e imaginaria y restarlas separadamente. Esto es muy parecido a restar polinomios, en donde identificamos y restamos los términos semejantes.
FORMA
EJEMPLOS
MULTIPLICACIÓN
¿CÓMO SE RESUELVEN?
Para multiplicar números complejos, se debe aplicar la propiedad distributiva a cus términos, teniendo en cuenta los signos; es decir, cada parte del primer número complejo se multiplica por cada parte del segundo número complejo
FORMA
EJEMPLOS
�� 2
DIVISIÓN
¿CÓMO SE RESUELVEN?
Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Luego, escriba la respuesta final en la forma estándar.
FORMA
EJEMPLOS
��
2
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
¿CÓMO SE GRAFICA?
Un número complejo se grafica en el plano de dos dimensiones, tomando el eje de las abscisas, la parte real; es decir, el valor de a; y el eje de las ordenadas la parte imaginaria.
NÚMEROS COMPLEJOS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA GRÁFICA
FORMA POLAR
DEFINICIÓN
Un número complejoen su forma polar se representa mediante un vector, en el cual se analizan 3 funciones trigonométricas
RAZÓN ARGUMENTO
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
¿CÓMO SE GRAFICA?
Para representar de manera geométrica un número complejo, debemos obtener su conjugada y su opuesta, y posicionarlo en el plano cartesiano junto con su vector o módulo
NÚMEROS
COMPLEJOS
GRÁFICA
EJERCICIOS CON NÚMEROS COMPLEJOS
FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO REALICE EJEMPLOS DE NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADA DE UN NÚMERO COMPLEJO HALLAR LA CONJUGADA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS su conjugada es su conjugada es su conjugada es su conjugada es
OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO HALLAR EL OPUESTO DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS EXPRESIÓN DE UN NÚMERO COMPLEJO EXPRESE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS opuesto opuesto opuesto opuesta Parte Parte real: Parte imaginaria: Parte imaginaria:
SUMA SUME LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS RESTA RESTE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS
MULTIPLICACIONES MULTIPLIQUE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS DIVISIÓN DIVIDA LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS
POLAR
=4 =5
FORMA
REPRESENTAR EN SU FORMA POLAR LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS RAZÓN ARGUMENTO
REPRESENTAR EN SU FORMA POLAR LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS
RAZÓ
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA REPRESENTAR EN SU FORMA GEOMÉTRICA LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS COMPLEJOS
INVESTIGACIÓN: APLICACIONES DELOSNÚMEROS COMPLEJOSENLA VIDA COTIDIANA
APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA
Los números complejos nos permiten representar situaciones de la realidad, cuya descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos números. Su uso abarca distintas áreas, que van desde las matemáticas hasta la ingeniería. Además, los números complejos pueden representar ondas electromagnéticas y corrientes eléctricas, por lo que su uso en el campo de la electrónica o las telecomunicaciones es fundamental. Es posible encontrar la aplicación de números complejos en:
OPERACIONES CON NÚMEROS OMPLEJOS
En las matemáticas se realizan distintas operaciones para hallar un resultado, comúnmente estas operaciones combinan los números reales con imaginarios.
10 + 7i – (2-13i) – (5+2i) 10 + 7i – 2 + 13i – 5 – 2i 3+18i
Figura 1. Espacio de ecuaciones matemáticas
EN LA CONTABILIDAD
En la contabilidad, es necesario implementar los números negativos como -1,-2-3… son esenciales cuando estamos hablando de deudas o créditos que representan una cantidad inexistente de dinero, pero que a su vez es posible de contabilizar.
EN CIRCUITOS É
La base matemática de los Circuitos Electricosson los números complejos. Cualquier cosa que necesite un circuito eléctrico, va a necesitar saber de números complejos. Por ejemplo, amplificadores, filtros, motores, generadores de energía elécrica, líneas de transmisión de energía eléctrica. Circuitos de medición y control, y todo eso se aplica en varias t di i utiliza transm señale (radio,
F i g u r a 2 . n e g o c i o s y c o n t a b i l i d a d F i g u r a 3 . C i r c u i t o s e l é c t r i c o s
EN LA CONTABILIDAD
Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha, amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica, centrales hidroeléctricas.
F i g u r a 4 . a n t e n a s a t e l i t a l
CONCLUSIONES
1.La comprensión de la importancia de los números complejos como conjunto numérico, permite expandir el conocimiento de las matemáticas al abarcar más allá de más de otros conjuntos numéricos aprendidos anteriormente.
2.Antes de introducir el tema de números complejos, dominar las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con antelación es necesario para su entendimiento y aplicación.
3.La teoría impartida por la docente permitió a los estudiantes adquirir los conocimientos necesarios para realizar operaciones con números complejos.
4.Los números complejos son una herramienta significativa en el cálculo y análisis de distintas ramas que aplican fórmulas, por ende, conocer las formas, propiedades y gráficas de números complejos a cabalidad son necesarias para su aplicación.
5.El refuerzo de la materia realizado mediante la aplicación de talleres, pruebas y tareas, tanto en clases como en casa, fue una práctica necesaria que afianzó lo aprendido acerca de los números complejos.
RECOMENDACIONES
1. Usar las diversas propiedades de los números reales con el objetivo de comprender el funcionamiento y desarrollo de operaciones con números complejos, así ayudando a nuestro desempeño
2 Tener en cuenta los principales conceptos que embarcan a los números complejos, como lo son los grupos numéricos más básicos, hasta las operaciones conpuestas como suma, resta, multiplicació y división.
3. Actualizar las estrategias didácticas para comprender mejor el contenido, ayudando y colaborando a un mejor y más eficiente aprendizaje; así como una comprensión más extensa del mundo matemático.
4. Analizar cada uno de los ejercicios realizados en el proyecto para así dominar el tema.
5. Preguntarse sobre la importancia de un modelo donde la matemática forma parte del diario vivir, y profundizar en las consistencias e inconsistencias de la existencia de los números complejos
REFERENCIAS
Guzman, J. H. (2021, enero 28). Aplicaciones de los Números Complejos. Neurochispas. https://www.neurochispas.com/wiki/aplicaciones -de-los-numeros-complejos/
Luz, M. (2018, octubre 12). AritméticaMatemáticas y sus propiedades. Spanish GED. https://www.spanishged365.com/propiedadconmutativa-asociativa-y-distributiva/
Números complejos en la vida cotidiana. (2019, septiembre 10). Matemáticas para Secundaria. https://proyectmatematicas.wordpress.com/201 9/09/09/numeros-complejos-en-la-vidacotidiana/ Resumen de números complejos (s.f).Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/mate maticas/aritmetica/complejos/numeroscomplejos-resumen.html
