ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

Nº 1 MARZO 2020

AÑO 1

Teoría de control sistemas de control en Tiempo Discreto

Universidad Fermín Toro

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Información Libre

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Nº 1 MARZO 2020

AÑO 1

Teoría de control sistemas de control en Tiempo Discreto

Editor

Universidad Fermín Toro

Dirección: Urb. Chucho Briceño, II Etapa. Edif. UFT. Cabudare, Lara

Jairo D. Escalona S. SAIA A

PĂĄg.

Sistema de Control Sistema de Control

.5

Estabilidad

.5

Sistema en Tiempo Discreto

.5

Estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto DiscretizaciĂłn de sistemas continuos

.6

ConversiĂłn a ecuaciĂłn de diferencias de la ecuaciĂłn diferencial de un elemento continuo

.6

TransformaciĂłn z exacta

.7

TransformaciĂłn z aproximada

.10

AnĂĄlisis de estabilidad

.15

TransformaciĂłn bilineal

.16

Condiciones necesarias

.16

Condiciones suficientes

.17

Test de Jury

.17

Anålisis gråfico de la estabilidad – Lugar de Raíces

.19

AnĂĄlisis de estabilidad en el espacio de estados

.19

AnĂĄlisis en estado de rĂŠgimen

.20

AnĂĄlisis de error en estado permanente

.21

contenido

Condiciones numĂŠricas de estabilidad

.13

Especificaciones de la respuesta transitoria Tiempo de levantamiento đ?’•đ?’“

.24

Sobrepaso mĂĄximo đ?‘´đ?’‘

.24

Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto

.24

Ejercicios resueltos

.25

Curiosidades

.34

Referencias

.35

TEĂ“RIA DE CONTROL II

3

editorial

La Revista Teoría de control nace con el ánimo de constituir un espacio de referencia de la investigación científica en el campo de Teoría de Control II, como la primera presentación de la Revista en el marco de una actividad académica organizada por la docente Marienny Arrieche en la UFT Cabudare.

Gracias al soporte de la www.saia.uft.edu.ve, la Revista ha podido desarrollarse a partir del trabajo de sencillez y excelencia en el diseño realizado por Jairo D. Escalona S También, la estrategia adoptada de editar un número electrónico a partir de los diversos objetivos en el marco de Teoría de Control II, ha contribuido a dotar a la Revista Teoría de control de un valor de altavoz puntual del progreso intelectual en este campo.

La Revista está indexada actualmente en la Red de Revistas Online (Publicaciones Libres) www.issuu.com.

Controlador centrífugo de presión en una máquina de vapor Boulton & Watt de 1788.

Jairo D. Escalona S. 4

AÑO 1

Sistema de Control

Estabilidad La Estabilidad de un sistemas de control es su propiedad más importante, tanto es así que no se puede hablar de sistema de control si éste no es estable. Un sistema es estable si responde con una variación finita a variaciones finitas de sus señales de entrada.

Sistema en Tiempo Discreto Un sistema en tiempo discreto es un operador matemático que transforma una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La notación T[.] es usado para representar un sistema general, tal como se muestra en la Figura, en el cual, una señal de entrada x(n) es transformada en una señal de salida y(n) a través de la transformación T[.]. Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algún número de formas diferentes.

estabilidad en los sistemas de control

Sistema de control

Es un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados.

Existen dos clases comunes de sistemas de control, sistemas de lazo abierto y sistemas de lazo cerrado. En los sistemas de control de lazo abierto la salida no interviene en la acción de control; mientras que en los de lazo cerrado si se va a requerir conocer la salida para ejercer el control del sistema. Un sistema de lazo cerrado es llamado también sistema de control con realimentación.

5

Estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto

DiscretizaciĂłn de sistemas continuos

6

Cuando un componente continuo forma parte de un sistema de control discreto, resulta importante poder calcular su respuesta a seĂąales muestreadas y asimismo analizar su influencia sobre la estabilidad global del sistema. Si se cuenta con la descripciĂłn analĂ­tica del elemento continuo bajo la forma de una ecuaciĂłn diferencial ordinaria lineal, resulta posible discretizarla, es decir convertirla en una ecuaciĂłn de diferencias.

Sea: đ?’…đ?’? đ?’š đ?’…đ?’?−đ?&#x;? đ?’š đ?’…đ?’š đ?’…đ?’Ž đ?’…đ?’š đ?’…đ?’– + đ?œśđ?’?−đ?&#x;? + đ?’?−đ?&#x;? + đ?œśđ?&#x;? + đ?œśđ?&#x;Ž đ?’š = đ?œˇđ?’Ž + đ?œˇđ?&#x;? + đ?œˇđ?&#x;Ž đ?’– đ?’? đ?’Ž đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• La ecuaciĂłn diferencial de

u(t)

Elemento continuo

y(t)

Si la seĂąal u(t) es muestreada con perĂ­odo T e interesa conocer los valores de y(t) en los instantes de muestreo, la ecuaciĂłn diferencial puede ser discretizada, reemplazando las derivadas primeras por diferencias retrĂłgradas sobre el perĂ­odo de muestreo. đ?’…đ?’š ∆đ?’š đ?’Œđ?‘ť đ?’š đ?’Œđ?‘ť − đ?’š( đ?’Œ − đ?&#x;? đ?‘ť) ቤ ≈ = đ?’…đ?’• đ?’•=đ?’Œđ?‘ť đ?‘ť đ?‘ť Las derivadas de orden superior se forman como diferencias de diferencias đ?’…đ?&#x;? đ?’š อ đ?’…đ?’•đ?&#x;?

≈ đ?’•=đ?’Œđ?‘ť

đ?’š đ?’Œđ?‘ť − đ?&#x;?đ?’š đ?’Œ − đ?&#x;? đ?‘ť + đ?’š (đ?’Œ − đ?&#x;?)đ?‘ť ∆đ?&#x;? đ?’š đ?’Œđ?‘ť = đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘ťđ?&#x;?

AĂ‘O 1

đ?’…đ?&#x;‘ đ?’š อ đ?’…đ?’•đ?&#x;‘

≈ đ?’•=đ?’Œđ?‘ť

∆đ?&#x;‘ đ?’š đ?’Œđ?‘ť đ?’š đ?’Œđ?‘ť − đ?&#x;‘đ?’š đ?’Œ − đ?&#x;? đ?‘ť + đ?&#x;‘đ?’š đ?’Œ − đ?&#x;? đ?‘ť − đ?’š (đ?’Œ − đ?&#x;‘)đ?‘ť = đ?‘ťđ?&#x;‘ đ?‘ťđ?&#x;‘

y asĂ­ sucesivamente. Se observa que las expresiones anteriores son tanto mĂĄs exactas cuanto menor sea el perĂ­odo de muestreo T respecto de las constantes de tiempo dominantes del elemento lineal.

Remplazando en la ecuaciĂłn diferencial, las derivadas por las correspondientes diferencias se obtiene

esta ecuaciĂłn de diferencias representa una relaciĂłn entre un nĂşmero n de valores precedentes de la seĂąal de salida y los m valores anteriores de la seĂąal de excitaciĂłn. ObsĂŠrvese que m y n se corresponden con el orden de las derivadas presentes en la ecuaciĂłn diferencial original.

Por cierto, aplicando transformaciĂłn z sobre esta ecuaciĂłn de diferencias, se puede obtener la funciĂłn de transferencia de pulsos correspondiente al elemento discretizado. ࡊ đ?’› đ?&#x;? + đ?œśđ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? + đ?œśđ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?œśđ?’?đ?’›âˆ’đ?’? = đ?‘ź ࡊ (đ?’›) đ?œˇđ?&#x;Ž + đ?œˇđ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?œˇđ?’Ž đ?’›âˆ’đ?’Ž đ?’€

ࡊ đ?’› đ?’€ đ?œˇđ?&#x;Ž + đ?œˇđ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?œˇđ?’Ž đ?’›âˆ’đ?’Ž = ࡊ (đ?’›) đ?&#x;? + đ?œśđ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? + đ?œśđ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?œśđ?’? đ?’›âˆ’đ?’? đ?‘ź

Sistema de control

đ?’š(đ?’Œđ?‘ť) + đ?œśđ?&#x;? ( đ?’Œ − đ?&#x;? đ?‘ť) + đ?œśđ?&#x;? ( đ?’Œ − đ?&#x;?đ?‘ť + â‹Ż + đ?œśđ?’? đ?’š đ?’Œ − đ?’? đ?‘ť = đ?œˇđ?&#x;Ž đ?’– đ?’Œđ?‘ť + đ?œˇđ?&#x;? đ?’– đ?’Œ − đ?&#x;? đ?‘ť + â‹Ż + đ?œˇđ?’Ž đ?’–( đ?’Œ − đ?’Ž đ?‘ť)

TransformaciĂłn z exacta Muy frecuentemente la operaciĂłn de una planta continua se encuentra insertada en una lazo discreto de control, recibiendo la seĂąal del controlador digital a travĂŠs de un actuador que es operado por un convertidor A/D dotado de un dispositivo de retenciĂłn. estabilidad en los sistemas de control

7

La variable controlada es medida y convertida en seùal digital a travÊs de un conversor A/D que opera como muestreador, cuyas principales características se resumen en Del u* Controlador digital ࡊ (�) �

đ?&#x;? − đ?’†âˆ’đ?‘ťđ?’” đ?’”

đ?‘Ž(đ?’”)

Conv. D/A con retenciĂłn

�/�

y(kT) ࡊ (�) �

Planta Conv. D/A y continua muestreador

Sistema de control

Planta continua bajo control discreto

Nuestra tarea consistirĂĄ en calcular la funciĂłn de transferencia de pulsos de la planta continua cuya funciĂłn de transferencia es đ?œˇđ?’Ž đ?’”đ?’Ž + â‹Ż + đ?œˇđ?&#x;? đ?’” + đ?œˇđ?&#x;Ž đ?‘Ž đ?’” = đ?’”đ?’? + â‹Ż + đ?œśđ?&#x;? đ?’” + đ?œśđ?&#x;Ž complementada por el dispositivo de retenciĂłn para un cierto valor del perĂ­odo T de muestreo. Formalmente entonces se tiene ࡊđ?&#x;Ž đ?’› = đ?‘Ž

ࡊ đ?’› đ?’€ đ?&#x;? − đ?’†âˆ’đ?‘ťđ?’” đ?’› − đ?&#x;? đ?‘Ž(đ?’”) =đ?’ ∗ đ?‘Ž(đ?’”) = đ?’ ࡊ (đ?’›) đ?’” đ?’› đ?’” đ?‘ź

G(s) puede ser descompuesta en fracciones parciales.

Denominaremos đ?‘šđ??€ a los residuos calculados sobre los polos đ?’”đ??€ , supuestos simples, de G(s). đ?’?

đ?‘Ž đ?’” =ŕˇ? đ??€=đ?&#x;?

8

đ?‘šđ??€ (đ?‘Ž) đ?’” − đ?’”đ??€

AĂ‘O 1

Por la propiedad de linealidad de la trasformaciĂłn z, resulta posible transformar los sumandos originados en la ecuaciĂłn anterior de forma individual y luego sumarlos, con lo que queda: đ?’?

đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?‘šđ??€ (đ?‘Ž) ࡊđ?&#x;Ž đ?’› = đ?‘Ž đ?’ â„’ −đ?&#x;? ŕˇ? đ?’› đ?’”(đ?’” − đ?’”đ??€ ) đ??€=đ?&#x;?

đ?’•=đ?’Œđ?‘ť

Para đ?’”đ??€ ≠đ?&#x;Ž resulta đ?’?

đ?‘šđ??€ (đ?‘Ž) ŕˇ? đ?’”(đ?’” − đ?’”đ??€ )

đ??€=đ?&#x;?

đ?’•=đ?’Œđ?‘ť

đ?&#x;? − đ?’†đ?’”đ??€ đ?‘ť đ?’› −đ?‘šđ??€ = đ?’”đ??€ (đ?’› − đ?&#x;?)(đ?’› − đ?’†đ?’”đ??€ đ?‘ť )

Para đ?’”đ??€ = đ?&#x;Ž aparece un polo doble en el origen, y es đ?’ â„’ −đ?&#x;?

En cada sumando denominador con

đ?’ â„’ −đ?&#x;? Ďƒđ?’?đ??€=đ?&#x;?

đ?‘šđ??€ (đ?‘Ž) đ?’”(đ?’”−đ?’”đ??€)

đ?‘šđ??€ (đ?‘Ž) đ?’”đ?&#x;? se el

= đ?’•=đ?’Œđ?‘ť

= đ?’•=đ?’Œđ?‘ť

đ?‘ťđ?‘šđ??€ (đ?’› − đ?&#x;?)đ?&#x;?

puede simplificar factor de la

−đ?‘šđ??€

đ?&#x;?−đ?’†đ?’”đ??€ đ?‘ť đ?’›

đ?’”đ??€ (đ?’›âˆ’đ?&#x;?)(đ?’›âˆ’đ?’†đ?’”đ??€đ?‘ť )

.

Una

(z–1) del sumatoria

z

en

el

numerador se puede asimismo simplificar con el divisor de la sumatoria. Empleando la definiciĂłn

Sistema de control

đ?’

â„’ −đ?&#x;?

đ?’›đ??€ = đ?’†đ?’”đ??€ đ?‘ť Para đ?’”đ??€ ≠đ?&#x;Ž resulta đ?’?

ࡊđ?&#x;Ž đ?’› = ŕˇ? đ?‘Ž đ??€=đ?&#x;?

đ?‘šđ??€ (đ?‘Ž) đ?&#x;? − đ?’›đ??€ ∗ đ?’”đ??€) đ?’› − đ?’›đ??€

estabilidad en los sistemas de control

9

Sistema de control

TransformaciĂłn z aproximada

La transformaciĂłn z exacta emplea la relaciĂłn đ?’› = đ?’†đ?‘ťđ?’” , por lo que en principio debiera ser posible emplear la relaciĂłn inversa đ?’” = ln(đ?’›)/đ?‘ť , para transformar la funciĂłn de transferencia continua. Lamentablemente la relaciĂłn inversa no conduce a una funciĂłn de transferencia racional en z. En consecuencia, se buscan relaciones simples que, aunque aproximadas, conduzcan a cocientes polinĂłmicos sencillos. đ?&#x;?

Partiendo de la funciĂłn de transferencia continua đ?‘Ž đ?’” = đ?’” que representa a un integrador, se buscan funciones discretas que aproximen la integraciĂłn.

Recordando el mĂŠtodo numĂŠrico de integraciĂłn por la regla del rectĂĄngulo tenemos dos posibilidades: operar con la suma superior o con la suma inferior sobre el paso de integraciĂłn T, que por cierto coincide con nuestro perĂ­odo de muestreo.

Suma superior ࡊ đ?’› đ?’š đ?’Œ = đ?’š đ?’Œ − đ?&#x;? + đ?‘ťđ?’– đ?’Œ → đ?’€ ࡊ đ?’› đ?’€ đ?‘ťđ?’› = ࡊ đ?’› đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?‘ź

đ?&#x;?−

đ?&#x;? ࡊ đ?’› = đ?‘ťđ?‘ź đ?’›

Suma inferior ࡊ đ?’› đ?’š đ?’Œ = đ?’š đ?’Œ − đ?&#x;? + đ?‘ťđ?’– đ?’Œ − đ?&#x;? → đ?’€ ࡊ đ?’› đ?’€ đ?‘ť = ࡊ đ?’› đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?‘ź

10

đ?&#x;?−

đ?&#x;? đ?&#x;? ࡊ đ?’› = đ?‘ťđ?‘ź đ?’› đ?’›

AĂ‘O 1

Teniendo entonces inicialmente sustituciĂłn para la variable s

dos

alternativas

đ?&#x;? đ?’”

=

đ?‘ťđ?’› , es decir, đ?’›âˆ’đ?&#x;?

đ??Ź=

đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?‘ťđ?’›

đ?&#x;? đ?’”

=

đ?‘ť , es decir, , đ?’›âˆ’đ?&#x;?

đ??Ź=

đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?‘ť

de

O bien

đ?’š đ?’Œ = đ?’š đ?’Œâˆ’đ?&#x;? +

đ?‘ť đ?’– đ?’Œ +đ?’– đ?’Œâˆ’đ?&#x;? đ?&#x;?

ࡊ � → �

ࡊ đ?’› đ?’€ đ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? = ∗ ࡊ đ?’› đ?‘ť đ?’›+đ?&#x;? đ?‘ź

đ?&#x;?−

đ?&#x;? đ?‘ť đ?&#x;? ࡊ đ?’› = đ?&#x;?− đ?‘ź đ?’› đ?&#x;? đ?’›

Se nota por una parte que la regla del trapecio corresponde a la semisuma de los resultados que brindan la suma inferior y la suma superior de la regla del rectĂĄngulo

đ?&#x;? đ?‘ťđ?’› đ?‘ť đ?‘ť đ?’›+đ?&#x;? + = ∗ đ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;?

Sistema de control

Una mejor aproximaciĂłn al integrador continuo es la que proporciona la regla del trapecio para la integraciĂłn numĂŠrica

Por otra parte, del desarrollo en serie del logaritmo de variable compleja đ?’›âˆ’đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? ln đ?‘§ = đ?&#x;? + đ?’›+đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’›+đ?&#x;?

đ?&#x;‘

đ?&#x;? đ?’›âˆ’đ?&#x;? + đ?&#x;“ đ?’›+đ?&#x;?

estabilidad en los sistemas de control

đ?&#x;“

+â‹Ż

11

truncado en el primer término, también se obtiene 𝒔≈

𝟐 𝒛−𝟏 ∗ 𝑻 𝒛+𝟏

que es denominada fórmula de Tustin. ෩ 𝒛 𝑼

𝑻

+

෩ 𝒛 𝒀

Sistema de control

𝟏 𝒛

12

෩ 𝒛 𝑼

෩ 𝒛 𝑼

+

+

𝟏 𝒛

𝟏 𝒛

𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓

𝑻

෩ 𝒛 𝒀

+

𝑻 𝟐

𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓

෩ 𝒛 𝒀

𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐 (𝑻𝒖𝒔𝒊𝒏)

AÑO 1

AnĂĄlisis de estabilidad Al igual que en el caso continuo, un sistema discreto es estable si, sometido a una seĂąal de entrada de amplitud limitada, responde con una seĂąal de salida tambiĂŠn limitada.

Un sistema de tiempo discreto que es excitado por una secuencia acotada |đ?&#x2019;&#x2013;(đ?&#x2019;&#x152;)| < đ?&#x2019;&#x201E; posee estabilidad de entrada/salida (en inglĂŠs BIBO stability) si su respuesta impulsiva converge hacia cero đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x152; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; lim đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x152;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

ࡊ đ?&#x2019;&#x203A; =đ?&#x2019; đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2018;Ž y puede ser descompuesta en fracciones parciales, cuando se conocen sus polos (raĂ­ces del denominador). En caso de polos simples se obtiene đ?&#x2019;?

ࡊ đ?&#x2019;&#x203A; =ŕˇ? đ?&#x2018;Ž đ??&#x20AC;=đ?&#x;?

đ?&#x2018;šđ??&#x20AC; đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ??&#x20AC; )

siendo đ?&#x2019;&#x203A;đ??&#x20AC; los polos y đ?&#x2018;šđ??&#x20AC; los residuos correspondientes. Por otra parte se admite el desarrollo en serie

Sistema de control

La funciĂłn de transferencia de pulsos es la transformada z de la respuesta impulsiva

đ?&#x2019;?

đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x152; = ŕˇ? đ?&#x2018;šđ??&#x20AC; đ?&#x2019;&#x203A;đ??&#x20AC; đ?&#x2019;&#x152;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ??&#x20AC;=đ?&#x;?

Se ve que para que đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x152;) converja hacia cero para đ?&#x2019;&#x152; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, es necesario que cada uno de los sumandos tienda a cero, lo cual obviamente requiere que | đ?&#x2019;&#x203A;đ??&#x20AC; | < đ?&#x;?. El mismo anĂĄlisis es igualmente vĂĄlido para polos mĂşltiples.

BIBO = Bounded Input Bounded Output (entrada acotada salida acotada)

estabilidad en los sistemas de control

13

Sistema de control

Se ha demostrado entonces que un sistema de tiempo discreto es estable, cuando todos los polos de la funciĂłn de transferencia de pulsos se encuentran en el interior del cĂ­rculo unitario en el plano z.

El desarrollo de las herramientas de software para simulaciĂłn de sistemas discretos, induce la tendencia simplista de querer comprobar la estabilidad en forma â&#x20AC;&#x2DC;directaâ&#x20AC;&#x2122; simulando la respuesta del sistema a una entrada conocida. Si la simulaciĂłn da estable, entonces el sistema debiera ser estable. Pero ello no es necesariamente verdadero, tal como lo demuestra el siguiente ejemplo, desarrollado a partir de đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2020;

đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201D;+đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2020;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201D;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x153;ś đ?&#x;?

+đ?&#x;?

đ?&#x2018;śđ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D; La excitaciĂłn de entrada es un escalĂłn đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2020; (đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť) = đ??&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť) con đ?&#x2019;&#x203A; ࡌđ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x203A; = transformada đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

La transformada de salida se calcula con ࡌđ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2019;&#x2122;ࡌđ?&#x153;ś đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x201C;Š đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x201D;+đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

đ?&#x;?

+đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x2020;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;ť sen đ?&#x2018;&#x2021; =đ?&#x201C;Š â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201D;+đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;?+đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2020;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;ť đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2018;ť cos đ?&#x2018;&#x2021; + đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x;?đ?&#x2018;ť

Con lo que đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x153;ś đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2020;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť sen đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2021; donde el tĂŠrmino senoidal posee amplitud creciente, debido a la exponencial positiva. Ahora bien, si el perĂ­odo de muestreo es đ?&#x2018;ť = đ??&#x2026;, el seno desaparece y la respuesta que se obtiene es

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x153;ś đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2020;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť 14

AĂ&#x2018;O 1

aparentemente estable. La inestabilidad ha quedado â&#x20AC;&#x2DC;ocultaâ&#x20AC;&#x2122; enmascarada por un valor del perĂ­odo de muestreo que no permite su observaciĂłn.

đ?&#x;? đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2018;ť=đ??&#x2026;

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;ť = đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2022; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2013;

đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;&#x201D;

đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x2022; đ?&#x;&#x2013; đ?&#x;&#x2014; k (periodos de muestreo)

Respuestas al escalĂłn del sistema para diferentes tiempos de muestreo

Condiciones numĂŠricas de estabilidad Algunos criterios, mediante los cuales puede probarse si las raĂ­ces de un polinomio đ?&#x2018;ˇ đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; + đ?&#x153;śđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x153;śđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + â&#x2039;Ż + đ?&#x153;śđ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;? = đ?&#x;&#x17D;,

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?

Sistema de control

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x153;ś (Variable de salida)

Lo que se acaba de exponer se grafica a continuaciĂłn, donde se observa claramente la inestabilidad de la salida para un perĂ­odo de muestreo diferente de đ?&#x2018;ť = đ??&#x2026;.

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x;?

se encuentran en el interior del cĂ­rculo unitario del plano z.

Por supuesto, puede objetarse que disponiendo de Matlab o de otro software aplicativo matemĂĄtico, el problema prĂĄctico de la determinaciĂłn de las raĂ­ces de un polinomio se encuentra resuelto y por lo tanto pudiera parecer ocioso hablar de condiciones numĂŠricas de estabilidad. Sin embargo estas condiciones y los mĂŠtodos asociados a las mismas permiten resolver problemas generalizados, tales como las determinaciĂłn de rangos de parĂĄmetros de controladores que aseguren el funcionamiento estable del sistema discreto.

estabilidad en los sistemas de control

15

TransformaciĂłn bilineal Empleando la transformaciĂłn bilineal

Sistema de control

đ?&#x2019;&#x203A;=

đ?&#x;?+đ?&#x2019;&#x2DC; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2DC;

el interior del cĂ­rculo unitario en đ?&#x2019;&#x203A; , se mapea sobre el semiplano izquierdo de đ?&#x2019;&#x2DC;. En consecuencia, el problema de determinar la existencia de raĂ­ces de đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x203A;) en el interior del cĂ­rculo unitario se reduce a determinar si todas las raĂ­ces de đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x2DC;) se encuentran en el semiplano izquierdo de đ?&#x2019;&#x2DC; por aplicaciĂłn del criterio de Routh sobre đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x2DC;).

Como la transformaciĂłn bilineal resulta en la prĂĄctica un mĂŠtodo trabajoso de aplicar, existe la tendencia de emplear otros criterios que brindan condiciones aplicables directamente sobre đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x203A;).

Condiciones necesarias Para evitar cĂĄlculo innecesarios, es siempre conveniente conocer condiciones simples, ya sean necesarias o solamente suficientes para asegurar la estabilidad de un sistema discreto lineal. Existen multitud de tales condiciones, de las cuales son realmente Ăştiles aquĂŠllas que puedan verificarse con facilidad.

Sin demostraciĂłn, se enuncian algunas necesarias aplicables al polinomio P(z):

condiciones

1.

2.

đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; < đ?&#x153;ś đ?&#x2019;? đ?&#x;&#x17D; < đ?&#x2018;ˇ đ?&#x;? < đ?&#x;?đ?&#x2019;? , đ?&#x;&#x17D; < â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x2019;? đ?&#x2018;ˇ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?) < đ?&#x;?đ?&#x2019;? donde n es el grado del polinomio P(z).

3. đ?&#x;? đ?&#x153;śđ?&#x2019;&#x160; < Ď&#x192;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x152;=đ?&#x;&#x17D; đ?&#x153;śđ?&#x2019;&#x152; , đ?&#x2019;&#x160; = đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;?, â&#x20AC;Ś , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?

4. Desarrollando el producto đ?&#x2018;ˇ đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2014; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;? , đ?&#x153;śđ?&#x2019;? = đ?&#x;? , se obtiene para đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x160; < đ?&#x;? la condiciĂłn necesaria 16

AĂ&#x2018;O 1

đ?&#x153;śđ?&#x2019;&#x160; <

đ?&#x2019;? , đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x160; = đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;?, â&#x20AC;Ś , đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?

Para polinomios con coeficientes reales, algunas de estas condiciones pueden especificarse aĂşn mĂĄs:

đ?&#x2019;? = đ?&#x;? đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; < đ?&#x;?, đ?&#x153;śđ?&#x;? < đ?&#x;? đ?&#x2019;? = đ?&#x;&#x2018; đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; < đ?&#x;?, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? < đ?&#x153;śđ?&#x;? < đ?&#x;&#x2018;, đ?&#x153;śđ?&#x;? < đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;? = đ?&#x;&#x2019; đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; < đ?&#x;?, đ?&#x153;śđ?&#x;? < đ?&#x;&#x2019;, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? < đ?&#x153;śđ?&#x;? < đ?&#x;&#x201D;, đ?&#x153;śđ?&#x;? < đ?&#x;&#x2019; Condiciones necesarias

1.

2.

đ?&#x153;śđ?&#x2019;? < Ď&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x152;=đ?&#x;&#x17D; đ?&#x153;śđ?&#x2019;&#x160; Cuando todos los coeficientes del polinomio đ?&#x2018;ˇ đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; + đ?&#x153;śđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x20AC;Ś + đ?&#x153;śđ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;? son positivos, entonces sus raĂ­ces pertenecen a la regiĂłn anular đ?&#x2019;&#x17D; â&#x2030;¤ đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;´ donde m y M son el menor y el mayor de los valores correspondientes a: đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? , đ?&#x153;śđ?&#x2019;?

đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? , đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

â&#x20AC;Ś

đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; đ?&#x153;śđ?&#x;?

Para el caso đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x2018;´ = đ?&#x;? se obtiene la condiciĂłn suficiente de estabilidad

Sistema de control

El cumplimiento de alguna de las siguientes condiciones es suficiente para asegurar que las raĂ­ces del polinomio đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x203A;) se encuentran en el interior del cĂ­rculo unitario:

đ?&#x;&#x17D; < đ?&#x153;ś đ?&#x;&#x17D; < đ?&#x153;śđ?&#x;? < â&#x2039;Ż < đ?&#x153;śđ?&#x2019;?

Test de Jury

El test de estabilidad de Jury (conocido tambiĂŠn como criterio de Jury-Blanchard) da las condiciones necesarias y suficientes para que las raĂ­ces de đ?&#x2018;ˇ(đ?&#x2019;&#x203A;) se hallen en el interior del cĂ­rculo unitario (condiciĂłn de estabilidad estricta). estabilidad en los sistemas de control

17

Ha de verificarse

đ?&#x2018;ˇ đ?&#x;? > đ?&#x;&#x17D;,

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;ˇ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?) > đ?&#x;&#x17D;

y ademĂĄs han de cumplirse las (nâ&#x20AC;&#x201C;1) restricciones đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; < đ?&#x153;śđ?&#x2019;? ; đ?&#x153;ˇđ?&#x;&#x17D; < đ?&#x153;ˇđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? ; đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x17D; < đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? : â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x17D; < đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;?

Sistema de control

donde đ?&#x153;ˇđ?&#x2019;&#x160; , đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x160; , . . . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;&#x160; , se obtienen de la tabulaciĂłn de Jury: đ?&#x2018;­đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; đ?&#x153;śđ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x153;śđ?&#x2019;? đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;Şđ?&#x;? đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; . . . . . . . . . đ?&#x;?đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152; â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x153;śđ?&#x;? â&#x20AC;Ś đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152; â&#x20AC;Ś đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? â&#x20AC;Ś đ?&#x153;śđ?&#x2019;&#x152; â&#x20AC;Ś đ?&#x153;śđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x152; â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;Şđ?&#x;? â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x17D; . . â&#x20AC;Ś . đ?&#x2018;ˇđ?&#x;? đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;? đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;? đ?&#x153;śđ?&#x2019;? đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D;

Arreglo tabular de Jury Los elementos de la tabla quedan definidos por đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x153;ś đ?&#x2019;?

đ?&#x153;śđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2018;Şđ?&#x;&#x17D; ; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x153;śđ?&#x2019;&#x152; ; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;Ş đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;? â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x17D; = ; đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;? = đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;ˇđ?&#x;?

đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152; ; đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x152;

NĂłtese que en la tabulaciĂłn de Jury los elementos de las filas pares (đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x152; + đ?&#x;?) tienen los mismos elementos que las filas impares precedentes (đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x152; + đ?&#x;?) escritos en orden inverso.

19

AĂ&#x2018;O 1

AnĂĄlisis grĂĄfico de la estabilidad â&#x20AC;&#x201C; Lugar de RaĂ­ces En las aplicaciones tĂŠcnicas, resulta de mucho interĂŠs el cĂĄlculo de la estabilidad de sistemas de control cuya funciĂłn de transferencia z de lazo abierto es conocida, como asimismo sus singularidades (polos y ceros). ࡊ đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2018;˛â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ž

đ?&#x2018;ľ đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;? â&#x20AC;Ś (đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x17D; ) = đ?&#x2018;˛â&#x2C6;&#x2014; ; đ?&#x2019;&#x17D;<đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Ť đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;? â&#x20AC;Ś (đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;? )

ࡊ đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ť đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x2018;˛ â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;ľ đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;?+đ?&#x2018;Ž

ࡊ đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Ž

El lugar de raĂ­ces es el lugar geomĂŠtrico de los ceros de la ecuaciĂłn caracterĂ­stica de lazo cerrado dependiente del parĂĄmetro K. Se reiteramos que, en el caso de sistemas de tiempo discreto el dominio de estabilidad estĂĄ restringido al interior del cĂ­rculo unitario.

AnĂĄlisis grĂĄfico de la estabilidad â&#x20AC;&#x201C; Lugar de RaĂ­ces La formulaciĂłn de sistemas de tiempo discreto empleando las tĂŠcnicas de variables de estado conduce de manera natural a la utilizaciĂłn de condiciones analĂ­ticas de estabilidad que configuran el mĂŠtodo de Liapunov.

Diferimos su presentaciĂłn para cuando estudiemos sistemas no lineales.

estabilidad en los sistemas de control

Sistema de control

El factor de amplificaciĂłn K es un parĂĄmetro de fĂĄcil ajuste.

La ecuaciĂłn caracterĂ­stica de lazo cerrado vale

19

AnĂĄlisis en estado de rĂŠgimen

Al igual que para los sistemas continuos, resulta posible aplicar para sistemas de control muestreado los conceptos de error de posiciĂłn, error de velocidad y error de aceleraciĂłn. w

e

ࡪđ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2018;Ž

Sistema de control

-

y

Sistema de lazo cerrado Para variables de comando w en escalĂłn, rampa y parĂĄbola se desea calcular el error de rĂŠgimen lim đ?&#x2019;&#x2020;(đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť) por aplicaciĂłn del đ?&#x2019;&#x152;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

teorema del valor final de la transformada z. El error estacionario de un sistema de control estable es: ࡪ(đ?&#x2019;&#x203A;) (đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?)đ?&#x2018;ž ࡪđ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x203A;) đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;? + đ?&#x2018;Ž

ࡊ (đ?&#x2019;&#x203A;) = lim lim đ?&#x2019;&#x2020;(đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť) = lim đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? đ?&#x2018;Ź

đ?&#x2019;&#x152;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;?

ࡪ (đ?&#x2019;&#x203A;) = đ?&#x2019;&#x203A;/(đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?) se Para una entrada en escalĂłn đ?&#x2019;&#x2DC;(đ?&#x2019;&#x2022;) = đ??&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2022;) , đ?&#x2018;ž tiene un error de posiciĂłn

đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2018; =

đ?&#x;? ࡪđ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x203A;) đ?&#x;?+đ?&#x2018;Ž

ࡪđ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x203A;) posee un Evidentemente, el error de posiciĂłn se anula si đ?&#x2018;Ž polo en đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?. ࡪ(đ?&#x2019;&#x203A;) = đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x203A;/(đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?)đ?&#x;?

Si el comando es una rampa đ?&#x2019;&#x2DC;(đ?&#x2019;&#x2022;) = đ?&#x2019;&#x2022; , đ?&#x2018;ž aparece un error de posiciĂłn

đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2014; =

đ?&#x2018;ť

ࡪđ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x203A;) lim đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ž

đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;?

ࡪđ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x203A;) posee un polo doble en y el error de velocidad se anula si đ?&#x2018;Ž đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?.

20

AĂ&#x2018;O 1

đ?&#x;? ࡪ(đ?&#x2019;&#x203A;) = đ?&#x2018;ťđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A;(đ?&#x2019;&#x203A; + Para una entrada parabĂłlica đ?&#x2019;&#x2DC;(đ?&#x2019;&#x2022;) = đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? , đ?&#x2018;ž

đ?&#x;?)/đ?&#x;?(đ?&#x2019;&#x203A;

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?)đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;?

aparece un error de aceleraciĂłn đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201A; =

đ?&#x2018;ťđ?&#x;? lim đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;?

đ?&#x;?

ࡪđ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x203A;) â&#x2C6;&#x2014;đ?&#x2018;Ž

ࡪđ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x203A;) posee un polo triple en đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?.

Que harĂĄ cero, si đ?&#x2018;Ž

AnĂĄlisis de error en estado permanente Una caracterĂ­stica importante asociada con la respuesta transitoria es el error en estado permanente. El desempeĂąo en estado permanente de un sistema de control estable se juzga en general por el error en estado permanente debido a entradas escalĂłn, rampa y aceleraciĂłn. A continuaciĂłn se mencionara un tipo de error en estado permanente que es causado por la incapacidad de un sistema para seguir tipos especiales de entradas. (Se debe notar que, ademĂĄs de este tipo de error en estado permanente, existen errores que pueden ser atribuidos a otras causas, como imperfecciones en los componentes del sistema, fricciĂłn estĂĄtica, zonas muertas, o el deterioro o edad del componente.

estabilidad en los sistemas de control

Sistema de control

Para el error đ?&#x2019;&#x2020;(đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2018;ť) en los instantes de muestreo, resulta indiferente si las integraciones corresponden a los polos de un controlador discreto en đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;? o a los polos en đ?&#x2019;&#x201D; = đ?&#x;&#x17D; de la parte continua. Sin embargo, el comportamiento entre los instantes de muestreo es diferente en uno y otro caso y el sistema serĂĄ capaz de seguir a la entrada en forma exacta, si los integradores corresponden a la parte continua (incluyendo en ella al dispositivo de retenciĂłn de orden cero).

21

En forma inherente, cualquier sistema fĂ­sico de control sufre de error en estado permanente en respuesta a ciertos tipos de entrada. Es decir, un sistema pudiera no tener ningĂşn error en estado permanente a entradas escalĂłn, pero el mismo sistema puede mostrar error en estado distinto de cero en respuesta a entradas rampa. DependerĂĄ del tipo de la funciĂłn de transferencia en lazo cerrado del sistema si un sistema dado muestra o no error en estado permanente en respuesta a un tipo dado de entrada.

La constante de posiciĂłn estĂĄtica đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2018; es

Sistema de control

đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2018; = lim đ?&#x2018;Žđ?&#x2018;Ż(đ?&#x2019;&#x203A;) đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;?

El error de actuaciĂłn en estado permanente en respuesta a una entrada escalĂłn unitario puede obtenerse a partir de la ecuaciĂłn đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D; =

đ?&#x;? đ?&#x;? + đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2018;

El error de actuaciĂłn en estado permanente en respuesta a una entrada escalĂłn unitario se convierte en cero si đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2018; = â&#x2C6;&#x17E;, lo que requiere que đ?&#x2018;Žđ?&#x2018;Ż(đ?&#x2019;&#x203A;) tenga por lo menos un polo đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?.

La constante de velocidad estĂĄtica đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2014; es

đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;Žđ?&#x2018;Ż(đ?&#x2019;&#x203A;) đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2014; = lim đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;ť El error de actuaciĂłn en estado permanente en respuesta a una entrada rampa unitaria puede obtenerse a partir de la ecuaciĂłn đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D; =

đ?&#x;? đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2014;

El error de actuaciĂłn en estado permanente en respuesta a una entrada rampa unitaria se convierte en cero si đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2018; = â&#x2C6;&#x17E;, lo que requiere que đ?&#x2018;Žđ?&#x2018;Ż(đ?&#x2019;&#x203A;) tenga un polo doble en đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?.

22

AĂ&#x2018;O 1

La constante de aceleraciĂłn estĂĄtica đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x201A; es đ?&#x;?

đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;Žđ?&#x2018;Ż(đ?&#x2019;&#x203A;) đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x201A; = lim đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2018;ťđ?&#x;?

El error de actuaciĂłn en estado permanente en respuesta a una entrada de aceleraciĂłn unitaria puede obtenerse a partir de la ecuaciĂłn đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D; =

đ?&#x;? đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x201A;

Las ecuaciones anteriores dan las expresiones para los errores de actuaciĂłn en estado permanente del sistema de control en tiempo discreto, en los instantes de muestreo para entradas escalĂłn unitario, rampa unitaria y de aceleraciĂłn unitaria, respectivamente.

Errores en estado permanente en respuesta a Sistema

Entrada escalĂłn đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ą =1

Entrada rampa đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ą =đ?&#x2018;Ą

Entrada de aceleraciĂłn 1 đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ą = 2 đ?&#x2018;Ą2

Tipo 0

đ?&#x;? đ?&#x;? + đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2018;

â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x17E;

Tipo 1

0

đ?&#x;? đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x2014;

â&#x2C6;&#x17E;

Tipo 2

0

0

đ?&#x;? đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x201A;

estabilidad en los sistemas de control

Sistema de control

El error de actuaciĂłn en estado permanente en respuesta a una entrada de aceleraciĂłn unitaria se convierte en cero si đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x201A; = â&#x2C6;&#x17E;, lo que requiere que đ?&#x2018;Žđ?&#x2018;Ż(đ?&#x2019;&#x203A;) tenga un polo triple en đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?.

23

Tiempo de levantamiento đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C; Es el tiempo que requiere la respuesta para pasar de 10 % hasta 90 %, de 5 % a 95 % o de 0 % a 100 % de su valor final, segĂşn la situaciĂłn. Para sistemas de segundo orden subamortiguados, por lo general se utiliza el tiempo de levantamiento de 0 % a 100 % . Para sistemas sobreamortiguados y sistemas con atraso de transporte, comĂşnmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10 % a 90 %.

Sistema de control

Sobrepaso mĂĄximo đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x2018; Es el valor mĂĄximo de la curva de respuesta medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado permanente de la respuesta difiere de la unidad, entonces es comĂşn utilizar el sobrepaso porcentual mĂĄximo. Queda definido por la relaciĂłn đ?&#x2018;şđ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x17D;ĂĄđ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2039;đ?&#x2019;&#x2020; =

đ?&#x2018;Ş đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ş(â&#x2C6;&#x17E;) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; % đ?&#x2018;Ş(â&#x2C6;&#x17E;)

La cantidad de sobrepaso mĂĄximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad relativa del sistema.

Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto Existen diferencias entre el cĂĄlculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto, como se vera a continuaciĂłn 1- En los sistemas de control en tiempo discreto, es importante que se seleccione adecuadamente el periodo de muestreo T, lo que no es necesario en sistemas continuos.

2 - El diagrama de Bode en sistemas de tiempo discreto requiere transformar la funciĂłn de transferencia pulso G(z) a una funciĂłn de transferencia G(w), mediante la transformada w, mientras que en tiempo continuo solo usa la transformada G(z).

3 - En los diagramas de Bode en tiempo continuo se sustituye s por jw para analizar el sistema de dominio de la frecuencia, mientras que en los sistemas discretos se sustituye w por jv, debido a que G(z) ha sido transformada a G(w).

24

AĂ&#x2018;O 1

A- Dado el sistema representado en la figura: +

đ?&#x2019;&#x203A; (đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?)(đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C;)

đ?&#x2018;˛

-

Determine el valor K y examine su estabilidad a travĂŠs del Criterio de Jury

Se busca la funciĂłn de transferencia

đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x20AC; đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2018;š đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x;?+đ?&#x2018;˛ đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x20AC; đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2018;š đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x20AC; đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;š đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x;?, đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x20AC; đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2018;˛đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2018;š đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x;?, đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x2018;˛ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2018;˛

đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;?

Entonces se trabaja con

Ejercicios Resueltos

SoluciĂłn:

đ?&#x2019;&#x2021; đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x;?, đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x2018;˛ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x;&#x17D; Por el criterio de Jury, hay que aplicar las condiciones de prueba 1- đ?&#x153;śđ?&#x2019;? < đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; ;

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2020;

đ?&#x153;śđ?&#x2019;? = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C;; đ?&#x153;śđ?&#x2019;? = đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x201C; < đ?&#x;?

Por lo que se cumple la primera condiciĂłn de prueba estabilidad en los sistemas de control

25

2- 𝐟 𝟏 > 𝟎

𝒇 𝟏 = 𝟏𝟑 − 𝟐 ∗ 𝟏𝟐 + 𝟏 ∗ 𝟏, 𝟓 + 𝑲 − 𝟎, 𝟓 > 𝟎 𝟏 − 𝟐 + 𝟏, 𝟓 + 𝒌 − 𝟎, 𝟓 > 𝟎 𝒌−𝟏 > 𝟎 𝒌>𝟏

3- 𝑷(−𝟏) > 𝟎 para n par y 𝑷(−𝟏) < 𝟎 para n impar.

Sistema de control

Para n impar 𝒇 −𝟏 = −𝟏𝟑 − 𝟐 ∗ −𝟏𝟐 − 𝟏 ∗ 𝟏, 𝟓 + 𝑲 − 𝟎, 𝟓 < 𝟎 −𝟏 − 𝟐 − 𝟏, 𝟓 − 𝒌 − 𝟎, 𝟓 < 𝟎 −𝒌 − 𝟓 < 𝟎 𝒌+𝟓 > 𝟎 𝒌 > −𝟓 Se desarrolla la tabla de Juty

𝒛𝟎 −𝟎, 𝟓 𝟏 −𝟎, 𝟕𝟓 −𝟎, 𝟓 − 𝑲

𝒛𝟏 𝟏, 𝟓 + 𝑲 −𝟐 𝟑 − 𝟎, 𝟓𝑲 𝟑 − 𝟎, 𝟓𝑲

𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝑲 − 𝑲𝟐

𝟎, 𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟏𝟐𝟓𝑲 − 𝟎, 𝟓𝑲𝟐

𝒛𝟐 −𝟐 𝟏, 𝟓 + 𝑲 −𝟎, 𝟓 − 𝑲 −𝟎, 𝟕𝟓

𝒛𝟑 𝟏 −𝟎, 𝟓

𝒃𝟎 = 𝜶𝟎 ∗ 𝜶𝟎 − 𝜶𝒏 ∗ 𝜶𝒏 𝒃𝟎 = −𝟎, 𝟓 ∗ −𝟎, 𝟓 − 𝟏 ∗ 𝟏 𝒃𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟏 𝒃𝟎 = −𝟎, 𝟕𝟓 𝒃𝟏 = 𝜶𝟎 ∗ 𝜶𝟏 − 𝜶𝒏 ∗ 𝜶𝒏−𝟏 𝒃𝟏 = −𝟎, 𝟓 ∗ 𝟏, 𝟓 + 𝑲 − 𝟏 ∗ −𝟐 𝒃𝟎 = 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝑲 + 𝟐 𝒃𝟎 = 𝟑 − 𝟎, 𝟓𝑲 𝒃𝟐 = 𝜶𝟎 ∗ 𝜶𝟐 − 𝜶𝒏 ∗ 𝜶𝒏−𝟐 𝒃𝟐 = −𝟎, 𝟓 ∗ −𝟐 − 𝟏 ∗ 𝟏, 𝟓 + 𝑲 𝒃𝟐 = 𝟏 − 𝟏, 𝟓 − 𝑲 𝒃𝟐 = −𝟎, 𝟓 − 𝑲

26

AÑO 1

𝒓𝟎 = 𝒃𝟎 ∗ 𝒃𝟎 − 𝒃𝒏−𝟏 ∗ 𝒃𝒏−𝟏 𝒓𝟎 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∗ −𝟎, 𝟕𝟓 − −𝟎, 𝟓 − 𝑲 ∗ −𝟎, 𝟓 − 𝑲 𝒓𝟎 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓 − 𝑲 − 𝑲𝟐 𝒓𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝑲 − 𝑲𝟐 𝒓𝟏 = 𝒃𝟎 ∗ 𝒃𝟏 − 𝒃𝒏−𝟏 ∗ 𝒃𝒏−𝟐 𝒓𝟏 = −𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝟑 − 𝟎, 𝟓𝑲 − −𝟎, 𝟓 − 𝑲 ∗ 𝟑 − 𝟎, 𝟓𝑲 𝒓𝟎 = −𝟐, 𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟕𝟓𝑲 + 𝟏, 𝟓 + 𝟐, 𝟕𝟓𝑲 − 𝟎, 𝟓𝑲𝟐 𝒓𝟎 = 𝟎, 𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟏𝟐𝟓𝑲 − 𝟎, 𝟓𝑲𝟐

𝒃𝒏−𝟏 > 𝒃𝟎 −𝟎, 𝟓 − 𝑲 > −𝟎, 𝟕𝟓 𝟎, 𝟓 + 𝑲 > 𝟎, 𝟕𝟓 𝑲 > 𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟎, 𝟓 𝑲 > 𝟎, 𝟐𝟓 𝑪𝟏 > 𝑪𝟎 𝟎, 𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟏𝟐𝟓𝑲 − 𝟎, 𝟓𝑲𝟐 > 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝑲 − 𝑲𝟐 𝟎, 𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟏𝟐𝟓𝑲 + 𝟎, 𝟓𝑲𝟐 > 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 + 𝑲 + 𝑲𝟐 𝟎, 𝟕𝟓 + 𝟑, 𝟏𝟐𝟓𝑲 + 𝟎, 𝟓𝑲𝟐 − 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓 − 𝑲 − 𝑲𝟐 > 𝟎 𝟎, 𝟒𝟑𝟕𝟓 + 𝟐, 𝟏𝟐𝟓𝑲 − 𝟎, 𝟓𝑲𝟐 > 𝟎 Completando cuadrados 𝑲≻−

𝟐,𝟔𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟎,𝟓

+ 𝟐, 𝟏𝟐𝟓 o 𝑲 <

𝟐,𝟔𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟎,𝟓

+ 𝟐, 𝟏𝟐𝟓

Ejercicios Resueltos

Realizando las siguientes comparaciones

Se toman las condiciones donde participa K 2- 𝒌 > 𝟏 3- 𝒌 > −𝟓 4- 𝑲 > 𝟎, 𝟐𝟓; 𝑲 ≻ −

𝟐,𝟔𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟎,𝟓

+ 𝟐, 𝟏𝟐𝟓 v 𝑲 <

𝟐,𝟔𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟎,𝟓

+ 𝟐, 𝟏𝟐𝟓

El criterio más estricto para que el sistema sea estable, es donde K pertenece a el intervalo 𝟏 < 𝑲 < estabilidad en los sistemas de control

𝟐,𝟔𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟎,𝟓

+ 𝟐, 𝟏𝟐𝟓 27

B- Determine cuantos lugares hay en el lugar de las raĂ­ces para la funciĂłn; dado el siguiente sistema de lazo cerrado. Determine su estabilidad a travĂŠs del mĂŠtodo de TransformaciĂłn Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh. đ?&#x2018;Žđ?&#x2018;Ż đ?&#x2019;&#x203A; =

đ?&#x2018;˛ đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τ đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τ đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τđ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?Τđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;?

Siga los pasos y reglas y dibuje las mismas SoluciĂłn:

Sistema de control

La ecuaciĂłn es caracterĂ­stica es đ?&#x;? + đ?&#x2018;˛đ?&#x2018;Ž đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2018;Ż đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;&#x17D; Entonces đ?&#x;?+đ?&#x2018;˛

đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τ đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τ đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τđ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?Τđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;?

=đ?&#x;&#x17D;

El lugar de las raĂ­ces comienza en los polos y termina en ceros.

Ceros

đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τ đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? Τ đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τ đ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? Τ đ?&#x;?

Polos đ?&#x2019;&#x203A;=đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;?Τđ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?Τđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;? đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?Τđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;? â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?Τđ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;?

Entonces el numero de lugares es igual al numero de ceros mas el numero de polos que, es cinco.

Se determina el centroide de las asĂ­ntotas del lugar de las raĂ­ces đ??&#x2C6;đ?&#x2018;¨ =

đ?&#x2019;? = đ?&#x;&#x2018;; 28

Ď&#x192; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x17D;

đ??Ś=đ?&#x;?

AĂ&#x2018;O 1

đ??&#x2C6;đ?&#x2018;¨ =

đ?&#x;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?Τđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;? + đ?&#x;?Τđ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2039;Τđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?Τđ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?Τđ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x201C;Τđ?&#x;&#x201D; đ??&#x2C6;đ?&#x2018;¨ = đ?&#x;? đ?&#x;&#x201C; đ??&#x2C6;đ?&#x2018;¨ = đ?&#x;&#x201D;

El nĂşmero de asĂ­ntotas es 1, (đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;?).

Se determina la asĂ­ntota del lugar de las raĂ­ces Âąđ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x17D;° đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x152; + đ?&#x;? ; đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x152; = đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x17D; Âąđ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x17D;° đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x17D;° đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;? đ??&#x2039;đ?&#x2018;¨ = đ?&#x;? đ??&#x2039;đ?&#x2018;¨ = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x17D;°

đ??&#x2039;đ?&#x2018;¨ =

Grafica 0,1 Lugar GeomĂŠtrico Polos Ceros

Eje Imaginario

0,05

Ejercicios Resueltos

đ??&#x2039;đ?&#x2018;¨ =

0

-0,05

-0,1 -6

-4

-2

0

Eje Real estabilidad en los sistemas de control

29

Para la transformación bilineal se tiene

𝟏+

𝑲 𝒛 + 𝟏Τ 𝟑 𝒛 + 𝟏Τ 𝟐 𝒛 𝒛 + 𝟏Τ𝟐 + 𝒋Τ𝟐 𝒛 − 𝟏Τ𝟐 − 𝒋Τ𝟐

=𝟎

Para determinar la estabilidad 𝟏 + 𝒛 𝒛 + 𝟏Τ𝟐 + 𝒋Τ𝟐 𝒛 − 𝟏Τ𝟐 − 𝒋Τ𝟐 + 𝑲 𝒛 + 𝟏Τ𝟑 𝒛 + 𝟏Τ𝟐 = 𝟎

La ecuación característica

Sistema de control

𝒛𝟑 + 𝑲 − 𝒋 𝒛𝟐 + 𝟓Τ𝟔 𝑲𝒛 + 𝟏Τ𝟔 𝑲 + 𝟏Τ𝟐 = 𝟎 Por transformación bilineal 𝒛=

𝒘+𝟏 𝒘−𝟏

𝟑

+ 𝑲−𝒋

𝒘+𝟏 𝒘−𝟏

𝒘+𝟏 𝒘−𝟏

𝟐

+ 𝟓Τ 𝟔 𝑲

𝒘+𝟏 + 𝟏Τ 𝟔 𝑲 + 𝟏Τ 𝟐 = 𝟎 𝒘−𝟏

Se multiplica la ecuación por 𝒘 − 𝟏 𝟑 𝒘 + 𝟏 𝟑 + 𝑲 − 𝒋 𝒘 + 𝟏 𝒘 − 𝟏 𝟐 + 𝟓Τ 𝟔 𝑲 𝒘 + 𝟏 𝒘 − 𝟏 + 𝟏Τ 𝟔 𝑲 𝒘 + 𝟏 𝟑 + 𝟏 Τ 𝟐 𝒘 + 𝟏 𝟑 = 𝟎

𝟐

𝒘𝟑 + 𝟑𝒘𝟐 + 𝟑𝒘 + 𝟏 + 𝑲 − 𝒋 𝒘𝟑 + 𝒘𝟐 − 𝒘 − 𝟏 + 𝟓Τ𝟔 𝑲 𝒘𝟑 − 𝒘𝟐 − 𝒘 + 𝟏 + 𝟏Τ𝟔 𝑲 𝒘𝟑 + 𝟑𝒘𝟐 + 𝟑𝒘 + 𝟏Τ𝟐 𝒘𝟑 + 𝟑𝒘𝟐 + 𝟑𝒘 = 𝟎 𝒘𝟑 + 𝟑𝒘𝟐 + 𝟑𝒘 + 𝟏 + 𝑲 − 𝒋 𝒘𝟑 + 𝑲 − 𝒋 𝒘𝟐 − 𝑲 − 𝒋 𝒘 − 𝑲 − 𝒋 + 𝟓Τ𝟔 𝑲𝒘𝟑 − 𝟓Τ𝟔 𝑲𝒘𝟐 − 𝟓Τ𝟔 𝑲𝒘 + 𝟓Τ𝟔 𝒌 + 𝟏Τ𝟔 𝑲𝒘𝟑 + 𝟏Τ𝟑 𝑲𝒘𝟐 + 𝟏Τ𝟑 𝑲𝒘 + 𝟏Τ𝟐 𝒘𝟑 + 𝟑Τ𝟐 𝒘𝟐 + 𝟑Τ𝟐 𝒘 = 𝟎 𝒘𝟑 + 𝑲 − 𝒋 𝒘𝟑 + 𝟓Τ𝟔 𝑲𝒘𝟑 + 𝟏Τ𝟔 𝑲𝒘𝟑 + 𝟏Τ𝟐 𝒘𝟑 + 𝟑𝒘𝟐 + 𝑲 − 𝒋 𝒘𝟐 − 𝟓Τ𝟔 𝑲𝒘𝟐 + 𝟏Τ𝟑 𝑲𝒘𝟐 + 𝟑Τ𝟐 𝒘𝟐 + 𝟑𝒘 − 𝑲 − 𝒋 𝒘 − 𝟓Τ𝟔 𝑲𝒘 + 𝟏Τ𝟑 𝑲𝒘 + 𝟓Τ 𝟔 𝒌 − 𝑲 − 𝒋 + 𝟑Τ 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝑲 − 𝒋 + 𝑲 + 𝟓Τ𝟐 𝒘𝟑 + 𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 + 𝟗Τ𝟐 𝒘𝟐 + 𝟑 − 𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ 𝟐 𝑲 𝒘 + 𝟓Τ 𝟔 𝒌 − 𝑲 − 𝒋 + 𝟓 Τ 𝟐 = 𝟎

30

AÑO 1

Mediante la tabla de Routh-Hurwitz 𝑲 − 𝒋 + 𝑲 + 𝟓Τ𝟐 𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 + 𝟗Τ𝟐 𝜶𝟏 𝜷𝟏

𝒘𝟑 𝒘𝟐 ተ 𝒘𝟏 𝒘𝟎

𝟑 − 𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 𝟓Τ𝟔 𝒌 − 𝑲 − 𝒋 + 𝟓Τ𝟐 𝜶𝟐

𝟎 𝟎

Entonces 𝜶𝟏

>𝟎

𝜶𝟐 =

𝜷𝟏

𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 + 𝟗Τ𝟐 𝟎 − 𝑲 − 𝒋 + 𝑲 + 𝟓Τ𝟐 𝟎 𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 + 𝟗Τ𝟐 𝜶𝟐 = 𝟎

𝜶𝟏 𝟓Τ𝟔 𝒌 − 𝑲 − 𝒋 + 𝟓Τ𝟐

− 𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 + 𝟗Τ𝟐 𝟎 𝜶𝟏 𝜷𝟏 = 𝟏Τ𝟔 𝒌 − 𝒋 + 𝟓Τ𝟐

=

Para que el sistema sea estable 𝑲−𝒋 −𝟏Τ𝟐𝑲+𝟗Τ𝟐 𝟑− 𝑲−𝒋 −𝟏Τ𝟐𝑲 −

𝑲−𝒋 +𝑲+𝟓Τ𝟐 𝟓Τ𝟔𝒌− 𝑲−𝒋 +𝟓Τ𝟐 𝑲−𝒋 +𝑲+𝟓Τ𝟐

1. 𝟎

2.

>

Ejercicios Resueltos

𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 + 𝟗Τ𝟐 𝟑 − 𝑲 − 𝒋 − 𝟏Τ𝟐 𝑲 − 𝑲 − 𝒋 + 𝑲 + 𝟓Τ𝟐 𝟓Τ𝟔 𝒌 − 𝑲 − 𝒋 + 𝟓Τ𝟐 𝑲 − 𝒋 + 𝑲 + 𝟓Τ𝟐

=

𝟏Τ𝟔 𝒌 − 𝒋 + 𝟓Τ𝟐 > 𝟎 𝟏Τ𝟔 𝒌 > 𝒋 − 𝟓Τ𝟐 𝒋 − 𝟓Τ𝟐 𝒌> 𝟏Τ𝟔

estabilidad en los sistemas de control

31

C. Determinar el valor de đ?&#x153;ś en el diagrama de bloques de la figura, de forma que tenga un error de velocidad de đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2014; = đ?&#x2018;ť/đ?&#x;?. + -

đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x2013; (đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?)

Sistema de control

đ?&#x153;ś

Se tiene đ?&#x2018;Ž đ?&#x2019; =

đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D;, đ?&#x;&#x2013; (đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?) đ?&#x153;ś=đ?&#x2018;Ż đ?&#x2019;

Donde el error, se da por đ?&#x2018;Ź đ?&#x2019; =

đ?&#x2018;š đ?&#x2019; đ?&#x2018;š đ?&#x2019; = đ?&#x;?+đ?&#x2018;Ž đ?&#x2019; đ?&#x2018;Ż đ?&#x2019; đ?&#x;?+đ?&#x2018;Ž đ?&#x2019; đ?&#x153;ś

Entonces para el error de velocidad đ?&#x2018;š đ?&#x2019; =đ?&#x2019; đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x2022; ;

đ?&#x2018;š đ?&#x2019; =

đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x2022; = đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2022; đ?&#x2018;ťđ?&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

đ?&#x;?

Usando đ?&#x2018;ťđ?&#x2019; đ?&#x2019;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2014; = lim đ?&#x2019; â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;? + đ?&#x2018;Ž đ?&#x2019; đ?&#x2018;Ż đ?&#x2019;

32

AĂ&#x2018;O 1

𝒆𝒗 = lim

𝒁→𝟏

𝒆𝒗 = lim

𝒁→𝟏

𝑻𝒁 𝒛−𝟏 + 𝒛−𝟏 𝑮 𝒁 𝑯 𝒁 𝑻𝒁

𝒛−𝟏 + 𝒛−𝟏

𝒆𝒗 = lim

𝒁→𝟏

𝟎+ 𝒛−𝟏

𝟏𝟎 𝒛 − 𝟎, 𝟖 𝜶 (𝒛𝟑 − 𝟐𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 − 𝟏)

𝑻 𝟏𝟎 𝒛 − 𝟎, 𝟖 𝜶 𝟑 (𝒛 − 𝟐𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 − 𝟏)

𝑻 𝒛𝟑 − 𝟐𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 − 𝟏 𝒁→𝟏 𝟏𝟎𝜶 𝒛 − 𝟎, 𝟖 𝒛 − 𝟏

𝒆𝒗 = lim Factorizamos

𝑻 𝒛 − 𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛 + 𝟏 𝒆𝒗 = lim 𝒁→𝟏 𝟏𝟎𝜶 𝒛 − 𝟎, 𝟖 𝒛 − 𝟏 𝑻 𝒛𝟐 − 𝒛 + 𝟏 𝒆𝒗 = lim 𝒁→𝟏 𝟏𝟎𝜶 𝒛 − 𝟎, 𝟖 𝑻 𝟏𝟐 − 𝟏 + 𝟏 𝒆𝒗 = 𝟏𝟎𝜶 𝟏 − 𝟎, 𝟖 𝒆𝒗 =

Ejercicios Resueltos

𝑻 𝒁→𝟏 𝟏𝟎 𝒛 − 𝟎, 𝟖 𝜶 𝒛 − 𝟏 (𝒛𝟑 − 𝟐𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 − 𝟏)

𝒆𝒗 = lim

𝑻 𝟐𝜶

𝑻

Como 𝒆𝒗 = 𝟐 por el enunciado 𝒆𝒗 =

𝑻 𝑻 𝟐𝑻 = →𝜶= 𝟐𝜶 𝟐 𝟐𝑻

Por lo tanto, 𝜶 = 𝟏 estabilidad en los sistemas de control

33

Chistes Abuela fosforescente - Mamá, mamá, ¿La abuela es fosforescente?

- No hijo, ¿Por qué?

- Entonces, se está electrocutando.

Colmo eléctrico

- Cuál es el colmo de un electricista?

- Que su mujer se llame luz y sus hijos le sigan la corriente

Curiosidades

¿Sabias que?

34

La electricidad es una fuente de energía secundaria? Esto significa que para generarla, hay que transformar las fuentes primarias de origen fósil (petróleo, gas natural, carbón) o renovable (biomasa, sol. agua, viento, etc.).Y después, hay que transportarla desde los lugares donde se genera hasta los centros de consumo a través de líneas eléctricas y cables subterráneos.

AÑO 1

Referencias Cova, W. (2017). Sistemas de control aplicado. Notas de catedra.

Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Rioja.

Departamento de Ingeniería Electrónica. Capitulo 3. Argentina.

Ogata, K. (2016). Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 2da Edición.

Editorial Prentice Hall Inc. México.

Ogata, K. (2018). Ingeniería de control moderna. 5ta Edición. Editorial Pearson-Prentice Hall. México.

Smith, A. (1997). Control automático de procesos. Editorial Limusa.

Referencias

estabilidad en los sistemas de control

35

TEORÍA DE CONTROL II

2020