Guía de los métodos del Simplex

Guía de los métodos del Simplex

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Editorial Método Gráfico Método algebraico Método Simplex Método de la M Grande Método de las Dos Fases Método Simplex Revisado Si de métodos hablamos Sabías que...

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Editorial La optimización matemática es una rama de matemática aplicada que es útil en muchos campos diferentes como: • Fabricación • Producción • Control de inventario • Transporte • Planificación • Redes • Finanzas • Ingenieria • Mecánica • Economía • Ingeniería de control • Comercialización • Modelado de políticas

Editorial • La óptimización matemática es importante porque: • Funciona mejor que métodos tradicionales de "adivinar y verificar“ • M. O. es mucho menos costoso que construir y probar • En el mundo moderno los centavos y los segundos importan demasiado

Método Gráfico • Pasos del Método: 1.-Graficar las retricciones a)Las desigualdades se convierten en igualdades b)Se buscan dos puntos c)Trazamos la línea d)La intersección de áreas • Graficar la función objetivo: Se debe dar un valor a Z para ubicar donde z aumenta o disminuye • Encontrar el punto óptimo en los extremos de la región

Método Gráfico • Ventajas: 1.- Es muy visual 2.- Fácil de aplicar 3.- Nos sirve para apoyarnos en la aplicación de conceptos de la programación lineal • Desventajas: 1.-Solo sirve para dos variables

Método Gráfico • Ejercicio Num. 1: Una empresa vitivinícola ha adquirido recientemente un terreno de 110 hectáreas. Debido a la calidad del sol y el excelente clima de la región, se puede vender toda la producción de uvas Sauvignon Blanc y Chardonay. Se desea conocer cuánto plantar de cada variedad en las 110 hectáreas, dado los costos, beneficios netos y requerimientos de mano de obra según los datos que se muestran a continuación:

Suponga que se posee un presupuesto de US$10.000 y una disponibilidad de 1.200 días hombre durante el horizonte de planificación. Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal para este problema. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo.

Método Gráfico • Variables de Decisión: X1 : Hectáreas destinadas al cultivo de de Sauvignon Blanc X2: Hectáreas destinadas al cultivo de Chardonay • Función Objetivo: Maximizar • Restricciones:

Donde las restricciones están asociadas a la disponibilidad máxima de hectáreas para la plantación, presupuesto disponible, horas hombre en el período de planificación y no negatividad, respectivamente.

Método Gráfico • El siguiente gráfico muestra la representación del problema de la empresa vitivinícola. El área achurada corresponde al dominio de soluciones factibles, donde la solución básica factible óptima se alcanza en el vértice C, donde se encuentran activas las restricciones de presupuestos y días hombre. De esta forma resolviendo dicho sistema de ecuaciones se encuentra la coordenada de la solución óptima donde X1=60 y X2=20 (hectáreas).

El valor óptimo es

Método Gráfico

Método Gráfico •

Ejercicio Num. 2: Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La siguiente tabla muestra: Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana La ganancia por unidad vendida de cada producto

Formule y resuelva a través del método gráfico un modelo de Programación Lineal para la situación anterior que permite obtener la máxima ganancia para el taller.

Método Gráfico • Variables de Decisión: X1 : Unidades a producir del Producto 1 semanalmente X2: Unidades a producir del Producto 2 semanalmente • Función Objetivo: Maximizar • Restricciones:

Las restricciones representan la disponibilidad de horas semanales para las máquinas A, B y C, respectivamente, además de incorporar las condiciones de no negatividad.

Método Gráfico •

El área de color verde corresponde al conjunto de soluciones factibles y la curva de nivel de la función objetivo que pasa por el vértice óptimo se muestra con una línea punteada de color rojo.

•

La solución óptima es X1=4 y X2=4 con valor óptimo representa la ganancia para el taller.

que

Método Algebraico • Pasos del método: 1.- Hallar una solución básica y factible (solución inicial) 2.- Expresar las inecuaciones como ecuaciones.

3.- Hallar una variable básica para cada ecuación: 4.- Organizar el sistema de ecuaciones lineales 5.- Escoger la variable que entra.

6.- Escoger la variable que sale.

7.- Reorganizar el sistema de ecuaciones.

8.- Repetir los pasos 2,3, y 4 hasta encontrar la solución.

Método Algebraico • Ventajas: 1.- Trabaja rápido en modelos sencillos 2.- Describe en cada iteración como se comportan las variables y que valor tiene z 3.- Funciona par modelos de n variables • Desventajas: 1.- Requiere revisar constantemente que se esta moviendo correctamente.

2.- El álgebra o como elegir las variables de entrada puede llegar a ser confuso 3- Realizar todo el proceso puede ser mucho mas tardado que el método simplex

Método Algebraico Ejercicio Num. 1: RMC es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en sustancias químicas.

En un proceso de producción particular, se emplean tres materias primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo para combustible se vende a compañías petroleras y se usa en la producción de gasolina y combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de empresas químicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como se muestra a continuación:

La producción de RMC está restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las siguientes cantidades de materia prima:

Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de producción, los materiales que no se lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden almacenar para las subsiguientes, son inútiles y deben desecharse.

El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, asignó todos los costos relevantes y llegó a precios que, para ambos productos, producirían una contribución a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y $ 30 para cada tonelada producida de base para solvente. Ahora usaremos la programación lineal para determinar la cantidad de aditivo para combustible y la cantidad de base para solvente para producir a fin de maximizar la contribución a la ganancia total.

Método Algebraico • Desarrollo: 1.- Trasladar la información relevante del problema a una tabla

2.- Describir el objetivo del problema, formular las restricciones y nombrar las variables Objetivo: Maximizar la contribución total a la ganancia.

Restricciones: Material 1 <= 20 Material 2 <= 5 Material 3 <= 21 F = Cantidad de toneladas para aditivo para combustible por producir.

S = Cantidad de toneladas para aditivo para solvente por producir 3.- Formular la función objetivo MAX = 40F + 30S

Método Algebraico 4. Realizar el modelo matemático MAX = 40F +30S sujeto a: 0.4F+0.5S <= 20 Ecuación 1 0.2S <= 5 Ecuación 2 0.6F+0.3S <= 21 Ecuación 3 F,S >= 0 5. Obtener la solución óptima e usan las ecuaciones 1 y 3 del problema: 0.4F+0.5S = 20 (Ecuación 4) 0.6F+0.3S = 21 (Ecuación 5) Se despeja F de la ecuación 4 0.4F+0.5S = 20 0.4F = 20-0.5S F = 50-1.25S (Ecuación 6)

Se sustituye F en la ecuación 5 0.6F+0.3S = 21 0.6(50-1.25S)+0.3S = 21 30-0.75S+0.3S = 21 -0.45S = 21-30 -0.45S = -9 S = -9/-0.45 S = 20 Se sustituye S en la ecuación 6 F = 50-1.25S F = 50-1.25 (20) F = 50-25 F = 25 Sustituir los valores en la función objetivoMAX = 40F+30S MAX = 40(25)+30(20) MAX = 1,000 + 600 MAX = $ 1,600

Método Algebraico •

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En conclusión se deben producir 25 toneladas de combustible y 20 toneladas de base para aditivo para obtener una utilidad máxima de $ 1,600. Para encontrar la línea que atraviesa la solución factible (punto blanco) se iguala a 0 F y S en la función objetivo y se encuentran los valores: 40F+30S=1,600.

Si F es 0 entonces: 30S = 1,600 S = 1,600/30 S = 53.33 (F=0,S=53.33) SI S es 0 entonces: 40F = 1,600 F = 1,600/40 F = 40 (F=40,S=0)

Método Algebraico •

Ejercicio Num. 2: Una compañía produce dos tipos de artículos, mediante un proceso que se compone de tres actividades. Los datos importantes del proceso se dan en la tabla:

•

Resuelva el modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada tipo de producto que deben fabricarse para maximizar la utilidad neta total.

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Desarrollo: max Z= 10x1+6X2

Método Algebraico

Sujeto a: 4X1+8X2<=800 4X1+3X2<=600 6X1+2X2<=600 Xi>=0 Forma estándar max Z=10X1+6X2 Sujeto a: 4X1+8X2+X3=800 4X1+3X2+X4=600 6X1+2X2+X5=600 Xi>=0 Tenemos 5 variables y 3 restricciones, por lo tanto tenemos 3 variables básicas y 2 no básicas La solución inicial del modelo es el origen: X1=X2=0 X3=800 X4=600

X5=600 Z=0

X1 y X2 variables no básicas X3 , X4 y X5 variables básicas Despejamos las variables básicas (X3 , X4 y X5) para dejarlas en función de las variables no básicas.

Observemos que Z ya está en función a las variables no básicas.

Z=10X1+6X2 X3=800-4X1-8X2 X4=600-4X1-3X2 X5=600-6X1-2X2 La variable de entrada, nos fijamos en el coeficiente más grande de la función objetivo, será X2 y su coeficiente es 10.

Z=10X1+6X2 X1 será variable básica y X2 no básica.

Para la variable de salida planteamos el conjunto de restricciones sin la variable no X4=600-4X1 básica X5=600-6X1 (X2).

X3=800-4X1

Método Algebraico Elegimos al de valor más pequeño.

Ahora X5 y X2 son variables no básicas.

X3 , X4 y X1 son variables básicas.

El modelo debe quedar en función de las nuevas variables no básicas, para ello despejamos a X 1 de la tercera ecuación.

X1=100-1/3X2-1/6X5 Sustituimos X1 en las demás ecuaciones El nuevo sistema queda de la siguiente manera: Z=10(100-1/3X2-1/6X5)+6X2 X3=800-4(100-1/3X2-1/6X5)-8X2 X4=600-4(100-1/3X2-1/6X5)-3X2 X1=100-1/3X2-1/6X5 Simplificando: Z=1000+8/3X2-5/3X5 X3=400-20/3X2+2/3X5 X4=200-5/3X2+2/3X5 X1=100-1/3X2-1/6X5 Determinar la nueva variable a convertir en básica Z=1000+8/3X2-5/3X5 X2 variable básica y X5 variable no básica.

Planteamos el conjunto de restricciones sin la variable no básica(X5).

X3=400-20/3X2

Hacemos cero a las variables básicas y el sistema queda de la siguiente manera: 0=400-20/3X2 X2=60 ---> X3=0 0=200-5/3X2 X2=120 ---> X4=0 0=100-1/3X2 X2=300 ---> X1=0 Elegimos el valor más pequeño.

Ahora X3 y X5 son variables no básicas.

Reescribimos el modelo en función a las nuevas variables no básicas, para ello despejamos X2 de la primera ecuación y sustituimos en las demás: X2=60+1/10X5-3/20X3 El nuevo sistema queda de la siguiente manera: Z=1000+8/3(60+1/10X5-3/20X3)-5/3X5 X2=60+1/10X5-3/20X3 X4=200-5/3(60+1/10X5-3/20X3)+2/3X5 X1=100-1/3(60+1/10X5-3/20X3)-1/6X5 Reduciendo términos: Z=1160-7/5X5-2/5X3 X2=60+1/10X5-3/20X3 X4=100+5/6X5-1/4X3 X1=80-2/15X5+1/20X3 Observamos que en la función objetivo los coeficientes de las variables son negativos, esto nos indica que ya no se puede elegir otra variable de entrada, es por ello que hemos llegado a la solución óptima: Z=1160 X2=60 X4=100 X =80

Método Algebraico Sustituimos los valores obtenidos en la función objetivo y restricciones: max Z= 10(80)+6(60)=1160 Para maximizar la utilidad neta se deben producir 80 artículos de tipo 1 y 60 de tipo 2, con esto se obtiene una ganancia de $1160 Sujeto a: 4(80)+8(60)<=800 Para la primera actividad(formado) podemos observar que la capacidad de minutos diarios es utilizada totalmente por los artículos producidos.

4(80)+3(60)<=600 Para la segunda actividad(corte) nos quedan aún 100 minutos para poder terminar los artículos, a diferencia de la primera actividad, no se cubre en su totalidad la capacidad que se tiene disponible.

6(80)+2(60)<=600 Para la tercera actividad(ensamble), también es alcanzada la capacidad máxima en minutos para poder terminar los artículos, es decir, no sobran minutos.

Método Simplex • Pasos del Método: 1.- Utilizando la forma estándar, determinar una solución básica factible inicial, igualando n-m variables iguales a cero.

2.- Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor pueda mejorar su valor en la función objetivo, cuando no existe esta situación, la solución actual es la óptima, sino ir al siguiente paso.

3.- Seleccionar la variable de salida.

4.- Determinar la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y la variable de salida en no básica.

Ir al paso 2.

Método Simplex • Ventajas: 1.- Es un método heurístico. Se basa en consideraciones geométricas y no requiere el uso de derivadas de la función objetivo.

2.- Es el método base para el resto de los métodos.

3.- Es de gran eficacia incluso para ajustar gran número de parámetros.

4.- Es fácil de implementar y usar.

• Desventajas: 1.- Converge más lentamente que otros métodos pues requiere mayor número de iteraciones.

2.- El origen debe pertenecer a la región.

3.- No encuentra la solución no factible.

Método Simplex Ejercicio Num. 1: En dos productos se requieren tres procesos consecutivos.

El tiempo disponible para cada proceso es de 10 horas diarias.

La tabla siguiente resume los datos del problema:

Planteamiento: x1= Cantidad de producto 1 a fabricar diariamente x2= Cantidad de producto 2 a fabricar diariamente max z= 2x1+3x2 Sujeto a: 10x1+5x2<=600 6x1+20x2<=600 8x1+10x2<=600

Método Simplex Paso 1. (Realizar forma estándar y determinar una solución básica factible inicial) Las restricciones <= se convierten en =.

Como las restricciones son <=, agregamos variables de holgura. max z= 2x1+3x2 Sujeto a: 10x1+5x2+x3=600 6x1+20x2+x4=600 8x1+10x2+x5=600 xi>=0 La solución inicial es el origen: x1=x2=0 x3=x4=x5=600 z=0 Por lo tanto Zj-Cj = Z-2x1-3x2=0 Lo siguiente será pasar los coeficientes de la forma estándar a la tabla del simplex.

Paso 2. Procederemos a elegir la variable de entrada (Yi), como es un caso de maximización, elegiremos al más negativo del Zj-Cj. A esta columna le llamaremos "columna pivote".

Método Simplex Paso 3. Seleccionaremos la variable de salida, será el mínimo valor que obtengamos de hacer la razón, es decir, la división del valor de la variable básica X i entre su correspondiente Yi . (*Las variables básicas son aquellas que aparecen como vector unitario (1 y 0's)) A este renglón le llamaremos "renglón pivote".

Al número que se encuentre en la intersección de la columna y el renglón pivote, le llamaremos "elemento pivote".

Con el método de Gauss-Jordan, convertiremos en 1 al elemento pivote y 0's al resto de la columna para determinar la nueva solución, después regresamos al paso 2.

Método Simplex

E Zj-Cj es positivo en su totalidad, lo que quiere decir que hemos llegado a la solución óptima.

Z=148.234 X1=52.94 X2=14.12 X3=X4=0 X5=35.3 Sustituyendo los valores obtenidos en el modelo, nos damos cuenta que para maximizar su utilidad, la empresa deberá producir diariamente 52.94 unidades del producto 1 y 14.12 unidades del producto 2.

La máxima utilidad la calcularemos sustituyendo los valores de x1 y x2 en la función objetivo: max z= 2(52.94)+3(14.12) max z= $148.24

Método Simplex Ejercicio Num. 2: Maximizar Z = f(x1,x2) = 3x1 + 2y2 sujeto a: 2x1 + x2 ≤ 18 2x1 + 3x2≤ 42 3x1 + x2 ≤ 24 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 Desarrollo: 1.- Normalizar las restricciones.

2·X1 + X2 + X3 = 182·X1 + 3·X2 + X4 = 423·X1 + X2 + X5 = 24 2.- Igualar la función objetivo a cero.

Z - 3·X1 - 2·X2 - 0·X3 - 0·X4 - 0·X5 = 0 3.- Escribir la tabla inicial del método Simplex.

Método Simplex

5.- Condición de parada Si el objetivo es la maximización, cuando en la última fila (fila indicadora) no existe ningún valor negativo entre los costes reducidos (columnas P1 en adelante) se alcanza la condición de parada.

De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos de forma iterativa.

6.- Elección de la variable entrante y saliente de la base.

18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] 7.- Actualizar la tabla.

Método Simplex 8.- Al comprobar la condición de parada se observa que no se cumple ya que entre los elementos de la última fila hay uno negativo, -1. Se continúa iterando nuevamente los pasos 6 y 7.

9.- Iterar pasos 6 y 7:

Método Simplex Fin del algoritmo.Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos cumpliéndose, por tanto la condición de parada.

La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los términos independientes (P0), en este ejemplo: 33. En la misma columna se puede ver el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: X1 = 3 y X2 = 12.

Deshaciendo el cambio de variables se obtiene x = 3 e y = 12.

Método de la M Grande • Pasos del Método: 1. Exprese el problema en forma estándar transformando las inecuaciones en ecuaciones introduciendo variables de holgura.

2. Agregue variables no negativas al lado izquierdo de cada una de las ecuaciones correspondientes a las restricciones de tipo (>=) o (=). Estas variables se denominan variables artificiales y su adición hace que las restricciones correspondientes.

Esta dificultad se elimina asegurando que las variables sean 0 en la solución final. Esto se logra asignando una penalización muy grande por unidad a estas variables en la función objetivo. Tal penalización se designará como –M para problemas de maximización y +M para problemas de minimización.

3. Utiliza las variables artificiales en la solución básica inicial; sin embargo la función objetivo de la tabla inicial se prepara adecuadamente para expresarse en términos de las variables no básicas únicamente. Esto significa que los coeficientes de las variables artificiales en la función objetivo deben ser 0 un resultado que puede lograrse sumando múltiplos adecuados de las ecuaciones de restricción al renglón objetivo.

4. Proceda con los pasos regulares del método simplex.

Método de la M Grande • Ventajas: 1.- Funciona con cualquier tipo de modelo lineal donde las variables son reales.

2.- Facilita distinguir a las variables duales en el análisis de decisiones

• Desventajas: 1.- El álgebra llega a complicarse demasiado con las M. 2.-Es difícil de introducir en una computadora

Método de la M Grande • Ejercicio Num. 1: Minimizar Z Min = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 Si utilizamos S1 como variable de superávit en la segunda restricción y S2 como variable de holgura en la tercera restricción, el problema en forma de ecuación es: Minimizar Z Min = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 - S1 = 6 x1 + 2x2 +S2 = 4 x1 , x2 , S1, S2 ≥ 0

Método de la M Grande Agregamos las variables artificiales R1 y R2 en las primeras dos ecuaciones y las penalizamos en la función objetivo con MR1 + MR2 (porque estamos minimizando). La PL resultante se da como: Minimizar Z Min = 4x1 + x2+ MR1 + MR2 Sujeto a: 3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 - S1 + R2 = 6 x1 + 2x2 +S2 = 4 x1 , x2 , S1, S2 ≥ 0 La solución básica inicial es (R1, R2, S2) = (3, 6, 4) Los coeficientes objetivo de X1 y X2 son 4 y 1, respectivamente, y parece razonable establecer M=100. Utilizando M=100, la tabla simplex de inicio se da como sigue (la columna z no cambia en todas las iteraciones):

Para eliminar la inconsistencia, tenemos que sustituir R1 y R2 en la fila z

MĂŠtodo de la M Grande

Se hace el mismo procedimiento que en el simplex:

Se hacen dos iteraciones mĂĄs y llegamos a este resultado:

Método de la M Grande • Ejercicio Num. 2: Minimice Z= 4X1 +X2

La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2

En el modelo modificado, ahora podemos utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial

Método de la M Grande Necesitamos hacer que el renglón -Z sea consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O

Método de las Dos Fases • Pasos del Método: 1.- Consideramos un modelo de programación lineal que se encuentra en su forma canónica, este modelo debe de ser transformado en su forma ampliada agregando variables artificiales en las restricciones donde el origen no es una solución.

2.- Ahora se cambia la función objetivo por una función de minimización donde las variables de decisión son las variables artificiales, pero tomamos el conjunto de restricciones de la función original.

3.- Procedemos a resolver el modelo que tenemos planteado hasta que se de uno de los siguientes casos: las variables artificiales salen de la base o la función objetivo obtiene el valor de cero. Si no ocurre ninguno, entonces el modelo no tiene solución 4.- Eliminamos las variables artificiales de las restricciones, pero conservamos los cambios que se dieron durante la fase 1.

5.- Regresamos a la función objetivo original y resolvemos el modelo con los cambios que se dieron en las restricciones durante la fase 1.

Método de las Dos Fases • Ventajas: 1.- Evita muchos problemas del método de la gran M 2.- Se pasa fácilmente del modelo ampliado a la forma estándar • Desventajas: 1- Resulta confuso el momento en el cual hay que cambiar de la función objetivo modificada a la función original.

2.- Requiere realizar dos tablas simplex por separado o una donde se juntan las dos funciones objetivo 3.- Es complicado o imposible visualizar lo que esta pasando en este modelo de una forma gráfica durante la primera fase

Método de las Dos Fases Ejercicio Num. 1: Minimizar Z Min = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 • Se agregan las variables artificiales necesarias Minimizar Z Min = R1 + R2 Sujeto a: 3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 - S1 + R2 = 6 x1 + 2x2 +S2 = 4 x1 , x2 , S1, S2 , R1. R2 ≥ 0 • Se crea la tabla

MĂŠtodo de las Dos Fases â&#x20AC;˘

R1 y R2 se sustituyen en la fila Z

Se aplican los procesos utilizados en el mĂŠtodo simplex en la nueva tabla

MĂŠtodo de las Dos Fases

Como z=0, podemos eliminar las columnas de las variables artificiales y reescribimos el problema original

MĂŠtodo de las Dos Fases Escribimos en la Z los valores iniciales pero negativos

Se sustituyen las variables bĂĄsicas

Método de las Dos Fases Aplicamos el método Simplex

Por lo tanto la solución es: X1=2/5 , X2=9/5 , Z=17/5

Método de las Dos Fases • Ejercicio Num. 2: • • • • •

La tienda ByK vende dos clases de gaseosas: Cola A1 y Cola ByK, menos costosa. El margen de utilidad aproximado de A1 es de 5 centavos por lata y la de ByK es de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas diarias. Aunque A1 es una marca reconocida, los clientes tienden a comprar más ByK porque es bastante menos costosa. Se estima que se venden cuando menos 100 latas de A1 y que ByK se vende más que A1 por un margen mínimo de 2:1. ¿Cuántas latas diarias de cada marca debe tener en existencia la tienda para maximizar la utilidad?

Método de las Dos Fases Desarrollo Sea Xi gaseosa tipo i (cola A1 , cola ByK ) Se desea maximizar las utilidades, entonces el modelo queda de la siguiente manera: Max Z=5x1 + 7x2 sujeto a: x1 >=100 x2 >=2x1 x1 + x2 <= 500 x1,2,3,4,5 >=0 Primero el modelo se pasa a su forma estándar Max Z=5x1 + 7x2 x1 - x3 = 100 -2x1 + x2 - x4 = 0 2x1 - x2 + x4 = 0 x1 + x2 - x5 = 500 x1,2,3,4,5 >=0 Después de haberlo pasado a su forma estándar, se pasa a su forma ampliada Max Z=5x1 + 7x2 x1 - x3 + a1= 100 x1 + x2 - x5 = 500 2x1 - x2 + x4 = 0

x1,2,3,4,5 >=0

a1 >=0

MĂŠtodo de las Dos Fases Ahora se procede a resolver la primera fase del modelo: Min Z=5x1 + 7x2 x1 - x3 + a1= 100 2x1 - x2 + x4 = 0 x1 + x2 - x5 = 500 x1,2,3,4,5 >=0

a1 >=0

MĂŠtodo de las Dos Fases â&#x20AC;˘ Ahora se borran las variables artificiales

Método de las Dos Fases

Por lo tanto: x1 =100, x2 =400, x3 =0, x4 =200, x5 =0, Z= 3300

Se concluye que diario se debe tener en existencia 100 latas de la marca cola A1 y 400 de la marca ByK, para tener una una venta de $3,300 centavos diarios.

Simplex revisado • Pasos del Método: Los pasos para hallar la solución optima son los mismos que en el método simplex. pero ahora se usan diferentes formulas: 1) Comenzamos por ubicar la solución inicial y los vectores de las matrices: Donde B es es una matriz que tiene los coeficientes correspondientes a las variables de decisión en las restricciones 2)Calculamos la variable de entrada con lo que seria la fila Zj-Cj, pero aplicamos esta formula: Zj-Ch=(Cb)(B^-1)(aj)-Cj Donde Cb son los valores de las variables no básicas en la función objetivo aj es una matriz que corresponde a los valores en las restricciones que corresponden a las variables no básicas Cj son los valores de las variables no básica que en la función objetivo Se utiliza el mismo criterio que en el método simplex: elegimos al valor mas pequeño si tenemos que maximizar la función o bien el mas grande si hay que minimizar.

3)Primero hay que calcular el nuevo valor de las variables básicas: Para calcular la variable de salida utilizamos la siguiente formula: Yi=(B^-1)(ai)

Simplex revisado Donde ai es un vector que corresponde a los valores de las restricciones de la variable de entrada Entonces hay que utilizar el mismo criterio para elegir a la variable de salida que ene le método simplex: Donde Xb e el vector con las soluciones actuales de las igualdades 4) Por ultimo hay que calcular el nuevo valor de las variables básicas, para eso hay que cambiar la matriz B, pues el vector de las variables básicas cambio, por lo tanto hay que cambiar los elementos de la matriz B para que correspondan a lo valores de las restricciones en su correspondiente variable básica.

Como cambio la matriz B, hay que cambiar la matriz B^-1 Tenemos que calcular el nuevo valor de Xb con la siguiente formula: Xb=B^-1(b) Donde b tiene que ser el valor que tenia el vector Xb anterior.

Se regresa al paso 2 hasta que ya no exista un variable de entrada.

Simplex revisado • Ventajas: 1.- Encuentra soluciones mas rápido porque no requiere tantos cálculos 2.- Es mas sencillo de programar 3.- Puede aceptar cualquier tipo de modelo bajo ciertos criterios especiales

• Desventajas: 1.- Tiene los mismo inconvenientes que el método simplex: normalmente no acepta funciones que no tengan solución en el origen.

2.- Puede complicarse el calculo de la inversa o la multiplicación entre matrices 3.- Requiere demasiadas tablas a comparación del método de la M grande

Simplex revisado â&#x20AC;˘ Ejercicio 1:

Simplex revisado

Simplex revisado • Ejercicio 2: Min -8x1-19x2-7x3 s.A 3x1+4x2+x3+x4=25 X1+3x2+3x3+x5=50 X1,x2,x3,x4,x5≥0 Los multiplicadores simplex son: El lado derecho transformado es: El valor objetivo es: Buscamos una variable no básica con costo reducido negativo, en este caso tomamos x2 La columna correspondiente a x2 expresada en la base actual es: Y la tabla es :

Simplex revisado Sale x4 y la tabla queda: ,la base actual es (x2,x5) y el valor objetico es -475/4 X3 entra a la base, la columna actualizada es .

La tabla queda:

Sale x5 y tenemos: Como todos los costos reducidos de las variables no básicas son positivos: la solución es óptima.

Por lo tanto la solución óptima del problema es x1 = x4 = x5 = 0, x2 = 25/9 y x3 = 125/ 9 . El valor óptimo es –150.

Si de métodos hablamos Método

Características

Ventajas y Desventajas

Tipo de planteamiento que resulve

Método Gráfico

* Gráfica la función objetivo y las restricciones *Ubica en la región factible solución óptima, no factible, múltiple o no acotada *Se trabaja directamente en la forma canónica *Encuentra la solución en la gráfica directamente

Ventajas Problemas con dos *Es relativamente o tres variables fácil de hacer y entender *Ubica todos los puntos extremos que son una solución factible Desventajas *Solo funciona con 2 ó 3 variables *Puede ser inexacto al tener muchas restricciones

Si de métodos hablamos Método

Características

Ventajas y Desventajas

Método Algebraico

*Es parecido al método simplex *Se mueve entre puntos extremos empezando en el origen *Se trabaja en la forma estándar. *Encuentra la solución cuando z ya no puede o empeora en una siguiente iteración

Ventajas Modelos con n *Trabaja rápido en variables modelos sencillos * Describe en cada iteración como se comportan las variables y que valor tiene z Desventajas *Requiere revisar constantemente que se esta moviendo correctamente

Tipo de planteamiento que resulve

Si de métodos hablamos Método

Características

Ventajas y Desventajas

Tipo de planteamiento que resulve

Método Simplex

*Trabaja en la forma estándar *El origen tiene que ser una solución factible *Se mueve a través de los puntos extremos *Describe cómo aumenta o disminuye z y dice que ocurre con las variables

Ventajas *Trabaja muy rápido para encontrar la solución óptima Desventajas *Requiere un cuidado muy grande del álgebra *Puede caer en un ciclo si no se tienen consideraciones, pero es muy raro

Modelos con n variables Modelos donde el origen es parte del conjunto de soluciones factibles

Si de métodos hablamos Método

Características

Ventajas y Desventajas

Tipo de planteamiento que resulve

Método de la Gran M

*Trabaja con el modelo ampliado *Tiene variables artificiales que están multiplicadas por un valor muy grande denominado por M *Las variables artificiales son poco atractivas para elegirlas como variable de entrada

Ventajas *Facilita distinguir a las variables duales en el análisis de decisiones Desventajas *El álgebra llega a complicarse demasiado con las M. *Es difícil de introducir en una computadora

Cualquier tipo de modelo lineal donde las variables son reales.

Método

DE LAS DOS FASES

Si de métodos hablamos Características

Ventajas y Desventajas

Tipo de planteamiento que resulve

*Trabaja con la forma ampliada *Trabaja con cualquier modelo. *Tiene dos fases: en la primera se plantea una función de minimización donde las variables son las v. artificiales y las restricciones son las mismas que en el modelo ampliado para ubicar la solución inicial

Ventajas *Evita muchos problemas del método de la gran M *Se pasa fácilmente del modelo ampliado a la forma estándar

Cualquier tipo de modelo lineal donde las variables son reales.

Desventajas *Resulta confuso el momento en el cual hay que cambiar de la función objetivo modificada a la función original.

Si de métodos hablamos Método

Características

Ventajas y Desventajas

Tipo de planteamiento que resulve

SIMPLEX REVISADO

*Es una diferente forma de realizar el método simplex *Se realiza tomando solamente los cálculos necesari os que se ocupan en toda la tabla del método simplex y expresándolo en forma de matrices

Ventajas *Encuentra soluciones mas rápido porque no requiere tantos cálculos *Es mas sencillo de programar Desventajas *Puede complicarse el calculo de la inversa o la multiplicación entr e matrices

Cualquier tipo de modelo lineal donde las variables son reales.

Sabías qué?

• La "optimización" proviene de la misma raíz que "Óptimo", lo que significa mejor. Cuando tú optimizas algo, lo estás "haciendo mejor".

• Algunos problemas tienen limitaciones y otros no.

• Las variables pueden ser discretas (por ejemplo, solo tener valores enteros) o continuas.

• Algunos problemas son estáticos (no cambian con el tiempo) mientras que algunos son dinámicos (los ajustes deben hacerse a medida que ocurren).

Conoce más a los creadores • Karl Ludwig von Bertalanffy (nacido el 19 de septiembre de 1901 en Viena, Austria y fallecido el 12 de junio de 1972 en Bufalo, Nueva York, Estados Unidos) fue un biólogo y filósofo austríaco, reconocido fundamentalmente por su teoría de sistemas.

En su "teoría general de sistemas" ,él afirma que las propiedades de los sistemas no pueden describirse significativamente en términos de sus elementos separados.

La compresión de los sistemas sólo ocurre cuando se estudian globalmente, involucrando todas las interdependencias de sus partes.

Más información: https://tempopti.blogspot.com/2019/08/karl-ludwi ng-von-bertalanffy.html

Conoce más a los creadores • Russell L. Ackoff Nació en Filadelfia en 1919. Estudió arquitectura (1941) y filosofía de la ciencia.

Fue un pionero y promotor del enfoque de sistemas y la investigación de operaciones aplicada al campo de las ciencias administrativas y, según sus propias palabras, un solucionador de problemas.

Por la importancia que las corporaciones tienen en la vida de cada día, propone que para una mejor vertebración de las partes que las integran y un mejor aprovechamiento de sus espacios vitales y de sus esferas de influencia, mecanismos de comunicacíón e interlocución basados en criterios democráticos y participativos.

Más información: https://tempopti.blogspot.com/2019/08/russell-lackoff.html

Conoce más a los creadores • George Bernard Dantzing George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2004), físico y matemático, es considerado como uno de los precursores de la Ingeniería Industrial. Nació en Pórtland, Oregón, EEUU. Asumió la dirección de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos de Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Fue este trabajo que lo motivó a realizar sus grandes hazañas matemáticas, debido a que la Fuerza Aérea necesitaba calcular el tiempo de duración de las etapas de un programa de despliegue, entrenamiento y suministro logístico de un modo más óptimo y eficaz. Aunque paso mucho tiempo para hallar esto, realizó un gran aporte en 1947 cuando propuso el Método Simplex para resolver un problema de programación lineal.

Más información: https://tempopti.blogspot.com/2019/08/george-b ernard-dantzing.html

Referencias y créditos: (2019). Retrieved 19 October 2019, from https://web.stanford.edu/group/sisl/k12/optimization/MO-unit1-pdfs/1.1optimization.pdf Clasificación de los métodos - Métodos de programación lineal. (2019). Retrieved 19 October 2019, from https://sites.google.com/site/metodosdeprogramacionlinealdan/clasificacion-de-losmetodos gestiondeoperaciones.net. Ejemplo del metodo simplex [Image]. Retrieved from https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/metodo-simplex-ejemplo/ Método Algebraico. (2019). Retrieved 19 October 2019, from https://inveoperaciones.wordpress.com/metodo-algebraico/ Programación Lineal: ejemplo del método Simplex. (2019). Retrieved 19 October 2019, from http://www.phpsimplex.com/ejemplo_metodo_simplex.htm Tutoriales, G. (2019). Programación Lineal (Método Gráfico). Retrieved 19 October 2019, from https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/programacionlineal-metodo-grafico/ yentelman.com. (2019). Like,dislike [Image]. Retrieved from https://www.yentelman.com/verb-patterns-like-y-dislike/

Referencias y créditos: (2019). Retrieved 19 October 2019, from https://www.fing.edu.uy/inco/cursos/modopt/imprimibles/solSimplex.pdf Simplex Method -- from Wolfram MathWorld. (2019). Retrieved 19 October 2019, from http://mathworld.wolfram.com/SimplexMethod.html sphotoedit. (2019). Lupa [Image]. Retrieved from https://pixabay.com/es/illustrations/lupa-vidrio-b%C3%BAsqueda-buscando-4186151/

Forma de Trabajo Alumno

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López Viveros Jaime Salvador

Todas

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Autor • López Viveros Jaime Salvador Actualmente estudiante de la carrera de matemáticas aplicadas y computación en la Fes Acatlán.

Le gusta leer por las tardes, los hotcakes y criticar gente.

No le gustan los gatos ni las películas dobladas al español de españa.