Математика 7, збирка задатака

ДР ВЕСНА ВРЦЕЉ КАЋАНСКИ

o

СЛОБОДАН ПАВЛОВИЋ

pr om

МАТЕМАТИКA

Ed

uk a

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА СЕДМИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

ДР ВЕСНА ВРЦЕЉ КАЋАНСКИ СЛОБОДАН ПАВЛОВИЋ Математика Збирка задатака за седми разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Др Бошко Влаховић

o

ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Др Наташа Филиповић

ДИЗАЈН И ПРЕЛОМ Дејан Перошевић

pr om

РЕЦЕНЗЕНТИ Снежана Богићевић, професор математике, ОШ ,,Јован Дучић”, Београд Др Немања Деретић, Београдска академија пословних и уметничких струковних студија, Београд Бојан Божиновић, професор математике

uk a

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

Ed

ИЗДАВАЧ ЕДУКА д. о. о., Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 327 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Др Бошко Влаховић, директор Штампа: BiroGraf Comp, Београд Издање бр.: 1, Београд, 2022. година Тираж: 1000

Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника Решењем број: 650-02-00166/2021-07.

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2)(076) ВРЦЕЉ-Каћански, Весна, 1954Математика : збирка задатака за седми разред основне школе / Весна Врцељ Каћански, Слободан Павловић. - Изд. бр. 1. - Београд : Eduka, 2022 (Београд : BiroGraf Comp). - 198 стр. : илустр. ; 26 cm Тираж 1.000.

ISBN 978-86-6013-564-5 1. Павловић, Слободан, 1948- [аутор] COBISS.SR-ID 73677577

© Едука д.о.о. Београд

Није дозвољено: репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући и фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

2

С А ДРЖ А Ј

САДРЖАЈ 1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

uk a

pr om

o

1. Подсети се 1.1 Рационални бројеви 1.1.1. Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja 1.1.2. Кореновање 1.1.3. Решавање једначина облика х2 = а, a ≥ 0 1.2. Ирационални бројеви 1.2.1. Квадратни корен који је ирационалан број 1.2.2. Рачунске операције с квадратним коренима 1.3. Реални бројеви и бројевна права 1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева 1.3.2. Бројевни интервал 1.3.3. Децимални запис реалног броја 1.3.4. Својства рачунских операција у скупу реалних бројева 1.3.5. Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa 1.3.6. Рационалисање имениоца разломка 1.4. Пропорционалност 1.4.1. Пропорција и продужена пропорција 1.4.2. Функција директне пропорционалности y = kx (k ∈ R) \ {0}

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

Ed

2. Подсети се 2.1. Примена Питагорине теореме 2.2. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник 2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао 2.4. Примена Питагорине теореме на паралелограм и ромб 2.5. Примена Питагорине теореме на трапез 2.6. Конструкције применом Питагорине теореме 2.7. Конструкција тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима 2.8. Растојање између две тачке у координатном систему

3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ

3. Подсети се 3.1. Стeпeн брoja чиjи je излoжилaц прирoдни брoj

6

6 11 11 15 18 19 20 21 23 24 25 26 27 28 28 29 29 31

34 35 39 42 44 47 49 51 53 55

58 59 61

3

С А ДРЖ А Ј 3.2. Алгебарски изрази 3.3. Полиноми 3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата 3.5. Растављање полинома на чиниоце са применом

66 68 72 77

4. МНОГОУГАО

80

81 84 86 88 90 93 95 97 99 103

5. КРУГ

106

pr om

o

4. Подсети се 4.1. Појам многоугла и врсте 4.2. Диjaгoнaлe мнoгoуглa 4.3. Углови многоугла 4.4. Правилни многоуглови 4.5. Конструкција правилних многоуглова 4.6. Oбим и пoвршинa многоуглова 4.7. Тежишна дуж и тежиште троугла 4.8. Висине троугла и четвороугла, ортоцентар троугла 4.9. Конструктивни задаци – примена подударности троугла

Ed

uk a

5. Подсети се 5.1. Централни и периферијски угао круга 5.2. Обим круга 5.2.1. Дужина кружног лука 5.3. Површина круга 5.3.1. Површине делова круга 5.4. Ротација

6. ОБРАДА ПОДАТАКА

124

7. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

139

6. Подсети се 6.1. Нумеричка обрада и графички приказ података 6.2. Аритметичка средина, медијана и модус

4

107 111 113 115 116 118 122

125 127 132

ПРЕДГОВОР

uk a

pr om

o

Ова збирка је намењена ученицима седмог разреда у основној школи да стекну базичну jeзичку и математичку писменост, осете радост у решавању математичких задатака, да сазнају како математика није апстрактна наука која лежи изван свакодневног живота, већ наука која тражи највише маште, која високо усавршава мисаоне процесе, и служећи другим наукама, помаже човеку да мења свет. Задаци у збирци груписани су по областима. На почетку сваке области дате су неопходне дефиниције, теореме и формуле, чије познавање је неопходно за решавање задатака из те области. Задаци су припремљени на основу програма математике за седми разред. Збирком је систематизован преглед програма математике за седми разред. При састављању задатака водило се рачуна о њиховом методичком слагању и повезивању по моделу концентричних кругова, тј. од лакших ка тежим, од познатих ка непознатим, од типичних до нешаблонских – одмерених и прилагођених сврси одговарајуће теорије. Посебно се захваљујемо рецензентима, који су дали низ корисних примедби и сугестија. Уверени смо да је њиховим прихватањем и поступањем по њима, збирка поправљена и употребна вредност унапређена. Са захвалношћу ћемо примити и критичке примедбе и сугестије корисника, пре свега наставника математике који остварују наставу уз помоћ нашег уџбеника и збирке.

Ed

Аутори

„Математика је наука младих. Бављење математиком представља такву гимнастику ума да је за њу потребна сва гипкост и издржљивост младости.” Норберт Винер

5

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ ,,Суштина математике је у њеној слободи.”

pr om

o

Георг Кантор

Фердинанд Лудвиг Филип Кантор

Био је немачки математичар. Најпознатији је као оснивач теорије скупова, која представља важан темељ математике, а највише се везује уз математичку логику. Према Кантору, бесконачне величине постоје. Сматрао је да има бесконачности различитих нивоа, па чак и то да их је произвољно (бесконачно) много. На пример, има онолико парних бројева 2, 4, 6,… колико и природних 1, 2, 3…, иако је први скуп подскуп другог.

uk a

Фердинанд Лудвиг Филип Кантор (1845–1918)

Ed

Кантор открива да реална права има онолико тачака колико и било који сегмент на њој, или да одсечак има исто толико тачака као и квадрат или коцка који су конструисани над њим. Изненађен и сам, написао је, у писму Јулијусу Дедекинду: „Видим, али не верујем”.

1. ПОДСЕТИ СЕ

Скуп природних бројева је: N = {1, 2, 3, 4, …}. Скуп целих бројева је: Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. p Скуп рациoналних бројева је: Q = q | p ∈ Z, q ∈ N . p Скуп ирационалних бројева је: I = y ≠ q | p ∈ Z, q ∈ N .

{ {

6

Скуп реалних бројева је: Q ∪ I = R.

}

}

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

Ако су представљени у децималном запису, рационални бројеви имају коначан број децимала или се те децимале периодично понављају. Бројеви који не могу бити представљени у облику разломака (тј. имају бесконачан непериодичан децимални запис) називају се ирационални бројеви. Такви су, на пример: √2, √3, √5.

Апсолутна вредност |a|=

{ –a,a, aa≥< 00 ⇔

x = b или x = – b

uk a

|x|=b

pr om

o

Ако је y ирационалан број, а k рационалан број различит од нуле, тада су k + y и k ∙ y такође ирационални бројеви.

–b<x<b x < – b или x > b a–b<x<a+b x < a – b или x > a + b

Ed

b >0 1. | x | < b ⇔ 2. | x | > b ⇔ 3. | x – a | < b ⇔ 4. | x – a | > b ⇔

b <0 1. | x | < b, је немогуће | x – a | < b, је немогуће 2. | x | > b, важи увек | x – a | > b, важи увек.

Квадрирање (а · b)2 = а2· b2 За b ≠ 0, (а : b)2= а2 : b2 , a 2= a2 b b2 (–а)2 = а2

( )

7

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ Кореновање √а ∙ b = √а ∙ √b; а ≥ 0 и b ≥ 0 a = √a ; а ≥ 0 и b > 0 b √b

√a = x ⟺ a = x2, ( a ≥ 0, x ≥ 0) √a² = |а| ⟺ √a² = а, за а ≥ 0

√a² = –а, за a <0

{

pr om

за а > 0 има два решења: х1 = √a и х2 = –√a; за а = 0 решења су: х1 = х2 = 0.

o

Квадратна једначина x2 = а

Особине операција у скупу R

Ed

uk a

Својство комутативности: a + b = b + a, a · b = b · a, за а, b ∈ R. Својство асоцијативности: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c, a, b, c ∈ R. Својство дистрибутивности: a · (b + c) = a · b + a · c зa a, b, c ∈ R. 1. За сваки реалан број а, а ≠ 0, постоји реалан број –а, супротан броју а, такав да је a + (–a) = (–a) + a = 0. Нула је број који не утиче на резултат сабирања – неутрални број. Збир реалног броја а и нуле је број a, тј. a + 0 = 0 + a = a.

2. За сваки реалан број а, а ≠ 0, постоји реалан број 1 , реципрочан броју а, такав a да је: 1 1 a · a = a · a = 1. Број један не утиче на производ па је неутрални елеменат за множење. За сваки реалан број а важи: a · 0 = 0 · a = 0 и a · 1 = 1 · a = a.

Рационалисање имениоца разломка (када је у имениоцу моном a, a > 0) 1 √a √a = 1 ∙ = √a √a √a a

8

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

Бројеви на бројевној прави Свaкoм рeaлнoм брojу мoжe сe придружити тaчнo jeднa тaчкa нa брojевнoj прaвoj. Свaкoj тaчки нa брojевнoj прaвoj мoжeмo придружити тaчнo jeдaн рeaлaн брoj.

Интервали

pr om

o

Отворен интервал, који означавамо (а, b), a < b, јесте скуп реалних бројева: (а, b) = {x | x ∈ R, a < x < b}. Затворен интервал, који означавамо [a, b], a < b, јесте скуп реалних бројева: [a, b] = {x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b}. Полуотворен интервал, који означавамо [a, b) или (a, b], a < b, у зависности која од крајњих тачака, a или b, припада интервалу, јесте скуп реалних бројева: [a, b) = {x | x ∈ R, a ≤ x < b} или (а, b] = {x | x ∈ R, a < x ≤ b}; x > a или x ∈ (a, + ∞); x ≤ b или x ∈(–∞, b].

uk a

Нека је са a* обележена приближна вредност броја која замењује тачну вредност броја обележену са a, тада апсолутна грешка ∆а је разлика тих вредности.

Ed

Апсолутна грешка броја је ∆а = |а – а*|

Правило заокругљивања вредности бројева

Aкo je првa изoстaвљeнa децимална цифрa мaњa oд 5, oндa пoслeдњa зaдржaнa цифрa oстaje нeпрoмeњeнa; Aкo je првa изoстaвљeнa децимална цифрa већа или једнака 5, а иза ње има још цифара различитих од нуле, тада пoслeдњa зaдржaнa цифрa увeћaвa сe зa jeдaн, тj. врши сe пoпрaвкa (кoрeкциja) тe цифрe; Aкo je првa изoстaвљeнa децимална цифрa упрaвo брoj 5, а иза ње нема цифара различитих од нуле, онда пoслeдњa зaдржaнa цифрa oстaje нeпрoмeњeнa укoликo je oнa пaрна, или се увeћaвa зa jeдaн aкo je нeпaрна (правило парне цифре).

9

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ Неке особине пропoрције: За позитивне бројеве a, b и c за које важи да је: a : b = b : c ⟺ b=√a ∙ c , каже се да је b геометријска средина за a и c; a : b = c : a ⟺ a=√b ∙ c , каже се да је а геометријска средина за b и c.

o

Златни пресек се зове размера двеју дужи ако важи: a : b = (a + b) : a, a > b.

Прoдужена пропoрција за a, b, с, a1, b1 и с1 различите од нуле је: a b c = = = k. a₁ b₁ c₁

pr om

а : а1 = b : b1 = с : с1, тј.

uk a

Скраћено се пише: а : b : с = а1 : b1 : с1. Из продужене пропорције изведене су пропорције (p ≠ 0): а : а1 = b : b1 = с : с1 = k; а : b : с = а1 : b1 : с1 = k; ap : bp : cp = а1 : b1 : с1; (a : p) : (b : p) : (с : p) = а1 : b1 : с1; а : b : с = а1p : b1p : с1p; а : b : с = (а1 : p) : (b1 : p) : (с1 : p); (a + b + с) : (а + b1 + с1) = a : а1; (a – b – с) : (а1 – b1 – с1) = a : а1.

Подела броја у размери

Ed

Број m делимо на два дела x и y у размери a : b. Тада је: x = m ∙ a и y = m ∙ b. a+b a+b

Број m делимо на три дела x, y и z у размери a : b : c. Тада је: x = m ∙ a , y = m ∙ b и z = m ∙ c. a+b+c a+b+c a+b+c

10

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

„Бројеви владају свемиром!” Питагорејци

1.1. РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

pr om

o

1.1.1. Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja

Запамти!

52 = 25 (–5)2 = 25 –52 = –25

ЗАДАЦИ

uk a

Наћи квадрате бројева: а) 1; б) 2; в) 5;

2.

Колико је: а) 12; б) (–1)2;

3.

Ed

1.

4.

г) 10.

в) 02?

Одреди природне бројеве чији су квадрати бројеви прве или друге десетице. Наћи квадрате природних бројева прве десетице.

5.

Који бројеви су једнаки својим квадратима?

6.

Који двоцифрени природни бројеви су квадрати бројева?

7.

Израчунати: а) 1 2 ; 3

()

()

б) 2 2 ; 5

()

в) 3 2 ; 5

()

г) 5 2.

8

11

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 8.

Колико је: 1 а) – 3 2;

б)

9.

Наћи: 1 а) 1 2 2;

( )

10.

Израчунати: а) 1,72;

11.

Израчунати: 3 3 а) –1 4 2; б) –2 5 2;

в)

1 б) 2 5 2;

( )

б) 2,32;

)

Попуни табелу:

а

в) 1,122;

г) 0,132.

(

(

)

)

(

0

1 в) – –1 2 2;

1

5

)

1 г) – –3 5 2.

– 3 4

–3

1,2

–2,4

Ed

б) 0,32 = 0,09;

в) (–2,1)2 > 0;

(

)

1 1 г) –1 3 2 = 1 9 .

Колико је:

( )

12

1 г) –2 8 2.

Ако је 1782 = 31684, колика је вредност израза –(–17,8)2?

а) 2 ∙ 1 2; 3

16.

( )

Која тврђења од датих су тачна? а) 0,22 = 0,4;

15.

3 в) 3 5 2;

)

( )

uk a

а2 (– а)2 – а2

14.

3 г) – 8 2?

(

–а

13.

( –53 )2;

o

(

( –25 )2;

pr om

12.

( )

( ( ))2;

в) 3 ∙ 5 2; 2

( 23 )2 ∙ (– 13 )2;

в) – (–2,1)2 ∙

1 б) 2 ∙ – 3

( )

( ( ))2?

г) – –3 ∙ – 1 4

Израчунати:

()

а) (–3)2 ∙ 2 2; 5

б)

( 2,11 )2 ;

(

( ))2.

г) – (– 32 ) ∙ – 1 4

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

Израчунати: а) ((–3)2 : (–3))2;

б)

( 103 )2 : ( 209 )2;

в)

18.

Израчунати вредност израза: 3 · 72 – 4 · 32 – (6 · 52 – 6).

19.

Израчунати вредност израза: 1 (1,75 – 2) : 1,5 – 2 2.

20.

Израчунати вредност израза: 1 1 1 1 32 · – 3 – 42 – 4 2 – 42 4 2 + 16 4 2.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

)

()

()

pr om

( )

Дужина теренa oблика квадрата је 5,6 m. Изразити обим и површину тог терена у cm и cm2. Одредити вредност израза: а) 2x2 – 8 ако је x = –2;

б) –x2+2 ако је x = –2,5.

uk a

22.

( )

( ) ( 34 )2.

1 г) 1 2 2 :

Одредити вредност израза: а) m2+ m – 2 ако је m = –0,3;

1 б) (1 – a)2 ако је a = – 5 .

За коју вредност x важи (–x)2 = –x2?

Ed

21.

(

( –35 )2 : ( 156 )2;

o

17.

1

Одредити вредност израза (x – 2)2 – (3x – 1)2 за x = – 1 .

3 9

1 Колика је вредност израза (x +1)2 – (2x – 1)2 за x = – 4 ?

4 1 Одредити вредност израза (x – 2)2 – (x + 2)2 за x = 4 .

Израчунај вредност израза: а) (4x – 8)2 – x(4x – 7) за x = –0,25; Изврши факторизацију бројева:

б) (0,1x – 8)2 – (0,1x + 8)2 за x = 10. а) 180;

б)

100 9 ;

1 в) 2 4 .

13

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

32.

33.

34.

Израчунати вредност израза: 1 (0,1)2 а) 10 2 : 0,01; б) (0,01) 0,12 ;

( )

в)

0,001 : 0,12 .

0,1· 0,012

Која од датих тврђења су тачна? а) Ако је a < 0, тада је a2< 0; б) a2 > a; в) Ако је a ≠ 0, тада је a2 > 0; г) Ако је а < 0, тада је a2 > |a|. Ако је a рационалан број, тада је a2 рационалан број.

4 5 Показати то на примерима: a = 7 , b =1 8 , c = 3,5, За које вредности реалног броја a важи да је a2< a?

Ed

uk a

35.

Ако је a дељив са b, тада је a2 дељив са b2. Доказати!

o

31.

Дате бројеве приказати као квадрате бројева: 1,44 а) 1764; б) 5,76; в) 9 .

pr om

30.

14

p d= q.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

1.1.2. Кореновање Запамти!

√а2 = |а|; (√а)2 = а, а≥0; (√–a)2 = –a, a<0.

pr om

o

√4 = √(2)2 = 2; √(–2)2 ≠ – 2; √(–2)2 =√4 = 2.

√а ∙ b = √а ∙ √b ; а ≥ 0 и b≥ 0; a √a b = √b; а ≥ 0 и b > 0.

Колика је дужина странице квадрата ако је његова површина 4 cm2?

37.

Израчунати: а) √1; б)√25;

38.

Ed

36.

uk a

ЗАДАЦИ

39.

1 = 1 ∙ √2 = √2 . √2 √2 √2 2

Нађи: а) √0;

б)√400;

Колико је: а) √(3)2; б) √(3,4)2;

в) √64;

г) √121.

в) √3600 ;

г) √10000.

в) √(–2)2;

г) √(–4,6)2?

40.

Израчунати вредност: 1 б) 9 ; в) а) √4; 2

41.

Израчунај следеће бројеве: 1 а) 16 ; б) 25 ; в) 64 ; 49 169

( 45 )2;

г)

( 23 )2.

144 г) 625 .

15

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ Израчунати: 2 а) _ 1 ; 3

( )

44.

45.

46.

47.

2

в)

(_ 67) ; 2

г)

(–85 ) .

2

Израчунати: а) 3 1 ; 16

1 б) 7 9 ;

6 в) 3 25 ;

9 г) 7 16 .

Израчунати: а) √0,36;

б) √0,81;

в) √1,21;

г) √6,25.

Израчунати: а) √0,01;

б) √0,0001;

в) √0,0081;

г) √0,000225.

Одредити вредност израза: √(–3)2 – √32 . Нађи вредност израза: а) √52 + √(–5)2 ; б) √(0,1)2 –

_ 1 .

10 2

( )

Ако је 2а + 21 = 29, колика је вредност израза √10a – 4?

49.

Колика је вредност израза √(–3)2 + √16 – √(–5)2 ?

52.

53.

Колико је: 1 4 а) 9 ∙ 25 ;

Ed

51.

uk a

48.

50.

16

( –27 ) ;

o

43.

б)

pr om

42.

б)

1 ∙ 36 64 25 ;

Колико је: 12 а) √8 ; б) 25 ;

2 4 в) 2 7 ∙ 3 7 ;

1 г) 3 16 ?

5 13 в) 3 9 ; г) 2 16 ?

Одредити вредност израза √50 + √32 – √72. Наћи вредност израза: а) 5√32 – 3√18 + 2√50;

б) 3√3 + 2√27 – √75 – √108.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

56.

57.

(

)

Која је вредност израза √12 + 2 ∙ (√75 – √27) ? √3 Одредити решење једначине 2√3 x = 3√2 .

3 2 Ако су x, y ∈ R, да ли су тачна следећа тврђења? Одговор поткрепити конкретним примерима: а) √xy = √x · √y ; б) √(–x)(–y) ≥ 0; в) √(xy)2 = xy; г) √|–x| · √|–y| = √|xy|.

o

55.

Одредити вредност израза

1_ 1 3 _ 1 1 2 4 ·3. √8

pr om

54.

Нађи вредност корена √36x2y2 за x ≥ 0 и y ≤ 0.

59.

Одредити вредност израза: а) (5 – √5)2 ; б) (√10 – √5)2;

в) (√2 – 1)2 ;

г) (√3 – √2)2 .

60.

Одредити вредност израза: а) (1+ √4)2 ; б) (√5 + √4)2 ;

в) (√3 + 5)2 ;

г) (√2 + √5)2 .

61.

Одредити вредност израза: а) (√3 – 5)2 ; б) (√2 – √5)2;

в) (√2 – √3)2;

г) (1 – √5)2 .

Ed

63.

uk a

58.

62.

1

Доказати да је вредност израза (2√5 – 3)(2√5 + 3) рационалан број.

Дати су бројеви: –(√3)2, (–√4)2 , (–2, 3)2, (–3√0,25)2 и – 1 ∙ (– 5)2 .

(–√2)2 Који од њих су негативни рационални бројеви?

17

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 1.1.3. Решавање једначина облика x2=а, a ≥ 0 Запамти!

x2 = 16 има два решења: x1 = √16 = 4 и x2 = – √16 = –4.

√16 = 4; – √16 = –4; √16 ≠ –4.

( )

в) x2= (–4)2;

г) x2= √36.

65.

x 9 Решити једначину 3 2 = 1 – 25 .

66.

Решити једначину (x – 2)2 = 1.

67.

Решити једначину (3 – x)2 = 9.

68.

Решити једначину √(2x + 1)2 = 5.

69.

Решити једначине: а) (x – 1)2 = 0; б) (2x + 4)2 = 0;

в) x2 – 5x = 0.

Решити једначине: а) (2x + 3)2 = 0; б) (x + 2)2 = 1;

в) (x – 1)2 = 25;

71.

У скупу реалних бројева није дефинисан квадратни корен негативног броја!

uk a

Ed

70.

18

Решити једначине: 49 а) x2= 25; б) x2= 81 ;

pr om

64.

o

ЗАДАЦИ

Решити једначину: а) |x| = 3; б) |x – 2| = 5;

г) (2x + 4)2 = 16.

в) |3 – 3x| = 3;

г) |2 + x| = 0.

72.

За које вредности x је √x 2 = –x?

73.

Да ли једначина x2 = –4 има решења у скупу рационалних бројева?

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

„Целе бројеве је створио бог, а све остало дело је човека.” Леополд Кронекер

1.

pr om

ЗАДАЦИ

o

1.2. ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Који од наведених бројева је ирационалан?

2 1 а) 3 ; б) 32; в) √2 ; г) 2 – 2 .

Колико има рационалних, а колико ирационалних бројева међу бројевима: –√3; √9; 3,14; 3√2; –√8?

3.

Да ли су бројеви рационални? а) –√5; б) –2,236;

4.

Ако су a и b ирационални бројеви, заокружити тачне исказе. а) a + b је увек ирационалан број; б) a + b може бити рационалан број; в) a · b је ирационалан број; г) √a је рационалан број; д) √b је ирационалан број.

в) –√5 + √5;

г) 2,3606799999...

Ed

uk a

2.

5.

Који број није рационалан?

3 а) –1; б) – 4 ; в) √4;

6.

1 Дат је скуп бројева: { 0,05; √8; 2 ; –√3 ; –3,14; √(–6)2; √0,01; –(–1)2 }.

г) √3 .

Који су рационални бројеви овог скупа, а који су ирационални?

19

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 7.

Дат је скуп бројева: {–√0,01 ; (√2)2; 1,23 ; 2√2 ; √(1,87)2; √3; √12}. Колики је збир рационалних бројева из овог скупа?

2 Дат је скуп бројева: { 5 ; –√0,04; √ π2; 1; √3 ; (–1)2 }. Производ свих рационалних бројева из овог скупа је: а) 2 ; б) 2 π; в) – 2 ; г) – 2 π√2 ; д) – 2 √3 .

25 25 25 25 25

9.

Који од датих бројева није рационалан? а) 1 ; б) π; в) √0,01 ; г) √ –4 .

3

pr om

10.

o

8.

Поређати по величини бројеве: 2√3 , √2 ∙ √3 , 3√2 .

uk a

1.2.1. Квадратни корен који је ирационалан број

ЗАДАЦИ

11.

12.

13.

20

Ed

ЗАДАЦИ

Решење једначине x2 = a припада скупу ирационалних бројева ако је a једнако: а) 2; б) 22; в) 32; г) 3. Од датих бројева одредити који су рационални, а који су ирационални.

2 а) √5 ; б) 9 ; в) 2 ∙ 4 2 ; г) 2 ∙ 2 .

2 5 25 9

()

Збир вредности корена √146 и √627 налази се између бројева: а) 35 и 36; б) 36 и 37; в) 34 и 35; г) 33 и 34; д) 37 и 38.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

1.2.2. Рачунске Oперације с квадратним коренима ЗАДАЦИ

14.

Колико је 3√4 – 2√16 + 5√0,25 – 3√1?

15.

Вредност израза √(–3)2 – √32 је: а) −6;

16.

Израчунати колико је: 4√42 – 2√16 – 2√(–4)2 .

17.

Израчунати √2 ∙ (– 0,6)2 + 0,32 – √4 ∙ 0,52 .

18.

Колико износи вредност израза 2√18 – 3√8 – √50 + 3√32?

19.

Колико износи вредност израза 2√27 + 4√12 – √75 – 2√48?

20.

Колика је вредност израза 4√8 – 10√5 – √32 + 3√125 – 2√2?

21.

Израчунати: а) √50 ∙ 32 ;

23.

24.

Израчунати: а) 128; 50

б)

o

г) 6.

в) √3√2 ∙ 6√2;

√80 √98 ; в) ; 3√5 √72

1 Израчунати вредност израза: 2√0,04 ∙ 6 4 –

г) √3√3 ∙ 9√3.

г)

2,42 .

2 ∙ 0,36

1 10 · 2,5 – 0,3 · √4 .

Израчунати вредност израза: 9 б) 1 + 4 2 ∙ √0,98. а) 2 1 + 3 2 : 1 ; 16 3 4

( ( ))

25.

в) 3;

pr om

uk a б) √4 ∙ 8 ∙ 18 ;

Ed

22.

б) 0;

Колико износи вредност израза:

()

2–

9 +1 16 3 +1 ?

4

21

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 26.

27.

Која је вредност израза: √8 + 4 ∙ (3√2 – 5√2) ?

5√2 Колико износи вредност израза:

6– 5 –1 9 ?

5 1– 9

28.

1 4 9 За a = 5 + – 1– ,b=6+ 3 –1 и c = 10 : 1 √100 – 1 9 9 25 5 √4 израчунати вредност израза 5a – c – b.

29.

1+ 9 + 25 16 ? Колика је вредност израза 5 3+ 4

30.

Колико износи вредност израза 3 – √3 – 2 – 2√2 ?

1 – √3 √2 – 2

31.

Упростити израз 3√32 + √8 – 2√72+ √18 .

6√2 – √2

32.

Колико износи вредност израза (√2 + √8 + √18 – √50)2?

33.

Израчунати вредност израза: 32 + 42 + 52 а) 6 + ; б) √1+ 0,21 – √1– 0,99 ; 5

35.

36.

(

pr om в) √0,5 ∙ 4,5 + √0,36 : 4 .

a2 , за a ≤ 0 и b > 0? b2

5 7 Израчунати: а) 1 – + 2 – ; 9 16

Израчунати вредност израза

б) 3√(–3)2 – 4√(–3)2 . √20 –(–2)2

a2 + √a2b за a = –3 и b = 9. b

37.

Колика је вредност 1 2

39.

40.

Колико износи вредност израза (√√9 + √16)2?

(– ba )2 – ( 2ba )2 , за a > 0 и b < 0?

38. Колико је 12 (4ab)2 ∙ 25 (2a5 )2 , за a < 0 и b < 0?

22

)

o

)

uk a

Колико је

Ed

34.

(

Колико износи вредност израза √(4√16 – 16√4)2 ?

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

„Алгебра је чудна, често она даје више но што се од ње тражи.” Жан ле Рон Д'Аламбер

o

1.3. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ И БРОЈЕВНА ПРАВА

pr om

Скуп Скуп реалних бројева реалних бројеваR

ͷ

Ǧ рационални бројеви ͳͶ ǡ −ʹ ǡ ͵ ͹ ǡ Ͳǡ͸ǡ Ͳǡʹ͵Ͷǡ

͵ – ирационални бројеви

Ǧ цели бројеви

Ͳǡ ͳǡ −ͳǡ −ʹǡ Ǧ͵ǡ ǤǤǤ

ͳ൅ ͷ ǡ ǤǤǤ ͹

ʹǡ − ͵ǡ

Ǧ природни бројеви

uk a

ͳǡ ʹǡ ͵ǡ Ͷǡ ǤǤǤ

1.

2.

3.

4.

Ed

ЗАДАЦИ

На бројевној правој одреди јединичну дуж и представи бројеве √3, √6 и √16 .

Наћи тачке на бројевној правој које одговарају бројевима: –√25, –√9, –√1, √1, √9 и √25. Одредити тачке чије су координате: 9 1 11 A – ; B – 6 ; C 1 ; 16 4 25

(

)

(

) (

)

( 259 ).

D

Представити следеће бројеве у декадном запису: а) 234; б) 8,062; в) 30257,109.

23

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева ЗАДАЦИ ЗАДАЦИ Који је од наведених бројева највећи? а) √10; б) 4; в) 9 ; г) 4,49.

2

6.

Који је највећи број у скупу – √2 ; √3 ; √4 ; – √5 ; – 6 + √5 ?

3 3 3 3 3

7.

Који од бројева √5; √4,9;

}

pr om

{

9 √4 + 0,49 је највећи, а који најмањи?

2;

Који је најмањи рационалан, а који најмањи ирационалан број од бројева у датом скупу {–2√2; –2√3; –2√4; –2√5; –2√9}?

9.

Који од предложених знакова неједнакости >, <, ≥ или ≤, треба ставити у квадратиће да би тврђења била тачна? а) 22 5; б) (–3)2 –32; в) (–2)2 (–1)2; г) 1 3 2 1 9 ; д) (–1)2 12.

5 25

12.

( )

Који од предложених знакова неједнакости >, <, ≥ или ≤, треба ставити у квадратиће да би тврђења била тачна? а) –√25 5; б) √6 – 6; в) –1,52 –√3; г) –2 1 2 21.

4 5

Ed

11.

uk a

8.

10.

24

o

5.

( )

Који од наведених бројева је најближи броју 2? а) √2; б) 3 – 2 ; в) √3.

3

Који од наведених бројева а = 1,42, b = 4 – √2 или c = 81 је најдаљи од броја 3?

25

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

1.3.2. Бројевни интервал ЗАДАЦИ ЗАДАЦИ Одредити унију интервала А = (–1, 6] и B = [1, 5).

14.

Одредити пресек интервала A = (–2, 2] ∪ (5, 7] и B = [–1, 3) ∪ [5, 13).

18.

19.

20.

]

pr om

17.

(

[

]

[

)

(

)

Колико целих бројева садржи заједнички део затворених интервала [–4, 3] и [–1, 6]? Од наведених интервала који интервал садржи број √15? а) (1,3, 2,4); б) (2,5, 3); в) (3,1, 4); г) (4,1, 5).

uk a

16.

Који од датих интервала садржи сва три броја 1 , 3 , 7 ?

3 2 3 1 7 3 1 а) , ; б) 0, ; в) ,3 ; г) 1 , 7 .

3 3 2 3 3 3

1 Који интервал садржи оба броја – 2 и 1? а) – 1 , 1 ; б) (–1, 1]; в) –1, 1 ; 2 2

(

)

[

]

г)

[ – 12 , 12 ].

Ed

15.

o

13.

Написати интервале који садрже број x тако да важе релације: 1 9 а) –√4 < x < 1 ; б) 25 ≤ x <2; в) |x| ≤ √0,25; г) x ≥ 3 .

2 Број y се налази у интервалима:

[ (

]

9 1 а) y ∈ [√4, √(–3)2 ); б) y ∈ – 1 , 2 ; 16 4 в) y ∈ – √0,16 , 2 ; г) y ∈ – ∞, – √9 .

2 2 √0,25

(

)

]

Напиши одговарајуће неједнакости за бројеве из датих интервала.

25

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 1.3.3. Децимални запис реалног броја ЗАДАЦИ ЗАДАЦИ

а) 2,25;

б) –1,333...;

г) 1,666...

Реални децимални периодичан број а написати у облику разломка: а) а = 0,323232...; б) а = 7,232232232...; в) а = 0,857142857142...

23.

Одредити два узастопна цела броја између којих се налази број: а) √5; б) –√10; в) 2√7; г) – √3 .

5

uk a

Одредити два најближа рационална броја написана са два децимална места између којих се налази број: а) √6 ; б) –√15; в) –2√8. Одредити два најближа рационална броја написана са два децимална места између којих се налази број: а) √2; б) –√8; в) 2√3; г) – √18 .

5

Ed

25.

pr om

22.

24.

26

в) 0,666...;

o

бројеве написати у облику разломака и представити их на бројев21. нојРационалне правој:

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

1.3.4. Својства рачунских операција у скупу ЗАДАЦИ реалних бројева

ЗАДАЦИ Изрaчунaти приближну врeднoст броја на две децимале:

27.

Изрaчунaти приближну врeднoст броја на три децимале: а) √2 ; б) √6 ; в) √2 ·√3 ; г) 2 .

3 3 √3 √6

28.

За бројеве x и y важе неједнакости: 3,47 ≤ x ≤ 3,57 и 1,03 ≤ y ≤ 1,09. Одреди интервале у којима се налазе: а) x + y; б) x – y; в) x ∙ y; г) x : y.

в) √2 + √8;

г) √7 .

4

uk a

pr om

б) 2√2 + 5√5;

Резултати мерења двеју величина а и b су: а = 2,71 ± 0,02 и b = 3,64 ± 0,02. У ком интервалу се налазе вредности израза: а) 2а + 3b; б) 2a – b; в) a ∙ b; г) b : a?

Ed

29.

а) 2√2 – √3;

o

26.

27

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 1.3.5. Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa ЗАДАЦИ Заокругли на две децимале бројеве: а) 1,345; б) 1,355; в) 1,357;

г) 1,3501.

31.

Заокругли на три децимале бројеве: а) 45,0015; б) 45,0025; в) 45,0027;

г) 45,0023.

32.

Попуни табелу: Број Број заокругљен на две децимале

Број заокругљен на три децимале

√5

√20

2√5

√45

3√5

Дати су бројеви а = 2,3475, b = –1,4234 и c = 0,1379. а) Заокругли ове бројеве на три децимале. б) Наћи колико је a + b – c пре и после заокругљивања.

uk a

33.

pr om

o

30.

Ed

1.3.6. Рационалисање имениоца разломка ЗАДАЦИ

34.

35.

28

Рационалисати имениoцe: 1 8 а) √5 ; б) 5 ; в) 7 ; √2

г) √2 . √3

Рационалисати имениоце у следећим изразима (a и b су позитивни рационални бројеви): 1 2a 8 а) ; б) 3b ; в) a ; г) √4a . √2a √9b

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

„Само у математици рачуни су увек чисти.” Здравко Курник

1.4. пропорционалност

ЗАДАЦИ

3.

4.

5.

После снижења цене за 12% нека роба вреди 9680 дин. Колика је била цена те робе пре снижења?

uk a

2.

Ученик је прочитао 5 неке књиге. Преостало му је да прочита још 105 стра12 на те књиге. Колико страна има књига?

Ако је x% од x једнако 4x, одредити x.

4 Суму од 120 000 динара треба да поделе брат од 8 година и сестра од 12 година, пропорционално годинама. Kако ће то урадити?

Ed

1.

pr om

o

1.4.1. Пропорција и продужена пропорција

Свеже грожђе садржи 80% воде, а суво 12%. Колико килограма свежег грожђа је потребно да се добије 5 kg сувог грожђа?

6.

Колико је x + y + z ако је x : y : z = 2 : 3 : 5 и 5x −3y + z = 36?

7.

Ако је a : b = 3 : 4, b : c = 6 : 5 и d : a = 7 : 6, колико је a : b : c : d?

8.

Ако је a : (b − c) : c = 3 : 5 : 2, колико је a : b : c?

9.

Ако је 10% од p једнако 20% од c, 20% од c једнако 30% од t и 100% од p једнако x процената од t, онда одредити чему је једнако x.

29

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 10.

Које бројеве добијамо ако се: а) број 60 подели на два дела у размери 7 : 3; б) број 35 подели у размери 1 : 1 ?

2 5

11.

Легура од 312 грама представља мешавину бакра и цинка у размери 7 : 5. Колико има цинка у легури?

Странице троугла чији је обим 112 cm стоје у размери 7 : 24 : 25. Израчунати дужине страница троугла.

o

13.

Износ од 660 динара поделити на три дела у односу 4 : 5 : 2. Одредити други део.

pr om

12.

Ако се спољашњи углови троугла односе као 1,5 : 2 : 2,5, како се односе одго14. варајући унутрашњи углови? У једној школи у осмом разреду, однос ученика који уче руски, немачки и ен15. глески дат је као 4 : 6 : 10. Одредити проценат ученика који уче сваки од наведених језика.

18.

19.

20.

30

uk a

17.

За израду 500 g месинга потребан нам је бакар и цинк. Колико грама бакра и цинка је потребно набавити да би се добила потребна количина месинга ако се зна да легуру месинга чини 32% бакра, 66% цинка и 2% осталих сировина? Кружна линија је подељена тачкама А, В, С на делове у размери 2 : 3 : 4. Наћи углове троугла АВС.

Ed

16.

Углови троугла се односе као 1 : 13 : 4. Колико износи највећи угао? а) 150°; б) 140°; в) 130°; г) 100°. Од двојице радника један би завршио посао за 15 дана, а други за 10 дана. За колико дана ће бити завршен посао ако оба радника раде заједно?

Три цеви пуне базен. Само прва цев напуни базен за 20 сати, друга за 12 сати, а трећа за 15 сати. За које ће се време напунити базен ако се отворе све три цеви истовремено?

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

1.4.2. Функција директне пропорционалности y = kx (k ∈ R \ {0})

ЗАДАЦИ

22.

23.

o

Ако тачка А (4, −8) припада графику функције директне пропорционалности, одреди коефицијент директне пропорционалности. Које тачке припадају правој y = 3x? а) (0, 3), (1, 3); б) (1, 3), (3, 6); в) (1, 4), (2, 6);

г) (1, 3), (2, 6).

Одредити функцију директне пропорционалности којој одговара табела: x

y

0

0

б)

x

y

−1

2

uk a

а)

1

3

0

0

2

6

1

−2

3

9

2

−4

Ed

24.

pr om

21.

Која графикa одговара графику функције x = y? а)

б)

в)

г)

y 6 5 4 3 2 1

y

y

y

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4 –5 –6

6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4 –5 –6

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4 –5 –6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4 –5 –6

31

1 РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ 25.

Која од датих тачка припада правој приказаној на слици? а) A (−3, 6); б) B (−2, 3); в) C (2, −3); г) D (3, −4). y 6 5 4 3 2 1

26.

o

x

pr om

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 –6

У координатном систему нацртај графике функција: 1 а) y = 2x; б) y = −3x; в) y = 2 x. y

uk a

6 5 4 3 2 1

27.

Ed

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 –6

Које од ових функција су растуће, а које су опадајуће?

x

Дате су две тачке А (−2, 1) и В (−6, 3). Наћи зависност између координата x и y одређену овим тачкама. На основу истог правила наћи координату x за трећу тачку C (x, −1).

y 6 5 4 B (–6, 3) 3 2 A (–2, 1) 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 C (x, y) –2 –3 –4 –5 –6

32

x

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1

„Природа је огромна књига у којој је записана наука. Она је стално отворена пред нашим очима, али је човек не може разумети уколико претходно не научи језик и слова којом је написана. А написана је језиком математике.”

Галилео Галилеј

o

Галилео Галилеј

Ed

uk a

pr om

Био је италијански астроном, физичар, математичар и филозоф, чија су истраживања поставила темеље модерној механици и физици. Један је од најзначајнијих Галилео Галилеј људи у историји науке.

(1564–1642) У оквиру научне револуције одиграо је значајну улогу у развоју модерне науке. Сматран је оцем савремене астрономије. Галилео је, инсистирањем на хелиоцентричном систему као исправној астрономској теорији, ушао у сукобе с црквом и другим астрономима, због њихове тадашње привржености класичном геоцентричном систему. Галилео је студирао медицину, али када је напунио осамнаест година, установио је да је математика много занимљивија и тада је он променио свој животни позив. Математика је, такође, по његовом мишљењу, имала много значајнију улогу у разумевању света. Током студирања је оформио своје филозофско мишљење, које je било супротно тада важећем, Аристотеловoм учењу. Галилео је преминуо 8. јануара 1642. године. Према легенди, на самрти је изговорио чувену реченицу: „Ипак се окреће!”

33

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Квадрат над хипотенузом c код правоуглог троугла једнак је збиру квадрата над обе катете a и b тог правоуглог троугла:

pr om

o

c2 = a2 + b2.

а2

Питагора, грчки филозоф и математичар (oкo 570–495. п. н. е.)

b2

c2

uk a

Питагора је рођен у Грчкој, недалеко од Милета. Своју школу основао је у

Ed

Кротону, граду у јужној Италији. Питагорејска школа није представљала само место изучавања филозофије и математике него и заједницу која је посебним правилима уређивала читав живот њених чланова. Питагорејце су занимале основе математике, појам броја, троугла и осталих математичких ликова. Питагора је веровао да се сви односи могу свести на операције с бројевима, да се све око нас и цели свемир може објаснити бројевима. Сматра се да је Питагора открио и доказао једну од основних и најзначајнијих математичких теорема, која је по њему названа Питагорина теорема.

Питагорејци су делили бројеве по геометријским фигурама.

34

2

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2. ПОДСЕТИ СЕ Троугао Свака страница троугла је мања од збира и већа од разлике преосталих двеју. Тако је, на пример, a < b + c, a > b – c. Наспрам веће странице троугла налази се већи угао, и обрнуто.

C γ Наспрам једнаких страница троугла налазе се γ једнаки углови, и обрнуто. b a Обим троугла: O = a + b + c. Збир унутрашњих углова у троуглу једнак је 180°. Спољашњи угао троугла једнак је збиру два A α c несуседна унутрашња угла.

pr om

o

1

Према цртежу, hc je висина из темена C која је ортогонална на страницу c = AB.

α A

p

D

uk a

a

b

hc

c

Правоугли троугао

B

C

Ако су a и b катете и c хипотенуза правоуглог троугла тада важи Питагорина теорема:

Ed

B

C

Површина троугла: P = c ∙ hc .

2 a∙h Слично важи да је: P = b ∙ hb = 2 a .

2

b

a2 + b2 = c2.

Површина тог троугла је: c∙h P = a 2∙ b = 2 c .

β

A

hc

a

α

Четвороугао Збир унутрашњих углова четвороугла је 360°, то јест: α1 + β1 + γ1 + δ1 = 360°. Збир спољашњих углова четвороугла је 360°. Обим четвороугла је збир дужина његових страница. Површина четвороугла ABCD је збир површина троуглова ABC и ACD, где је AC његова унутрашња дијагонала.

B

c

γ1 C γ

Dδ δ1

β β1 α

A α1

B

35

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Квадрат ro

Обим: O = 4a. . Површина: P = a2 = d2 a 2 На основу Питагорине теореме важи: d = a√2. Полупречник описаног круга је: ro = d 2. a Полупречник уписаног круга је: ru = .

2 Дијагонале су међусобно нормалне, подударне и полове се.

Једнакокраки троугао

a

pr om

Обим: O = 2a + 2b. Површина: P = a ∙ b. На основу Питагорине теореме важи: d2 = a2 + b2. Полупречник описаног круга је: ro = d .

2 Дијагонале су међусобно подударне и полове се.

d

o

Правоугаоник

ru

d

b

uk a

Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки. Ако је његова основица a и крак b, тада важи: Обим: O = a + 2b; Површина: P = a ∙ ha = b ∙ hb ; 2 2 a 2. Висина ha : ha2 = b2 – 2

a

A

ha

b

B

Ed

a

Једнакостранични троугао

C

C

Сваки од углова једнакостраничног троугла је 60°. За страницу a и висину h важи:

ro h

Обим: O = 3a;

36

b

hb

( )

Површина: P = a2√3 ; 4 a √3 Висина: h = ; 2 a√3 Полупречник описаног круга: ro = 2 h = 3 ; 3 Полупречник уписаног круга: ru = 1 h = a√3 .

6 3

ro

ru A

d

B

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Паралелограм

2

a

Обим: O = 2a + 2b. Површина: P = a ∙ ha или P = b ∙ hb. Наспрамни унутрашњи углови су једнаки. Дијагонале се међусобно полове.

hb b

ha

o

a

pr om

Ромб Обим: O = 4a. Површина: P = a ∙ h или P = d1 2∙ d2 . h Полупречник уписаног круга је ru = 2 . Дијагонале су узајамно нормалне: (d1⊥d2 ) и полове се. На основу Питагорине теореме важи: 2+ d2 2. a2 = d1 2 2

Трапез

uk a

( ) ( )

h

ru

b m

d

c

h a

Правоугли трапез Обим: O = a + b + c + d. Средња линија: m = a + b .

2 Површина: P = a + b ∙ h.

2 На основу Питагорине теореме важи: c2 = h2 + (a – b)2.

d2

a

Ed

Обим: O = a + b + c + d. Средња линија: m = a + b .

2 Површина: P = a + b ∙ h.

2

a

d1

b

d

m h a

c a–b

37

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Једнакокраки трапез

b

Обим: O = a + b + 2c. Средња линија: m = a + b .

2 Површина: P = a + b ∙ h.

2 На основу Питагорине теореме важи: c2= h2+ a – b 2.

2

)

m

a

o

(

c

pr om

Растојање између две тачке у координатном систему

Растојање између две тачке А (x1, y1) и B (x2, y2) јесте дужина дужи |АB|. d (АB)2 = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²;

Ed

uk a

d (АB) = √(x₂ – x₁)2 + (y₂ – y₁)2 .

38

h

c

a–b 2

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2

„Математика је, на свој начин, поезија идеја логике.” Алберт Ајнштајн

x

4 cm

3 cm

На слици је дат троугао.

Ed

2.

Одредити дужину непознате странице x у правоуглом троуглу на слици.

uk a

1.

pr om

ЗАДАЦИ

o

2.1. ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ

0,8 a

0,6 a

a Одреди да ли је тај троугао: а) једнакостраничан; б) једнакокраки; в) правоугли; г) ништа од наведеног.

3.

За троугао приказан на слици одредити дужину странице СА.

B 3 cm C

5 cm

x

A

39

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 4.

У правоуглом троуглу дужина хипотенузе је 13 cm, а дужина једне катете је 12 cm. Одреди дужину друге катете.

5.

Одреди дужину непoзнате странице x у правоуглом троуглу на слици.

x

9 cm

o

12 cm Израчунати дужину катете правоуглог троугла aкo је дужина хипотенузе 17 cm, а дужина друге катете 8 cm.

7.

У правоуглом троуглу дужина катете p = 6,38 cm, а хипотенузе r = 10 cm. Колика је дужина катете q?

pr om

6.

Израчунати дужину катете a правоуглог троугла ако је дужина друге катете b = 2a, а хипотенуза је дужине c = 10 cm.

9.

Која од следећих тројки бројева не чини дужине страница правоуглог троугла? а) √2, √3, √5; б) √3, 2√3, 4; в) 2√10 , 2√2, 2√8; г) 2, 2√3, 4.

10.

uk a

8.

Који од датих троуглова је правоугли?

Ed

а)

A

7 cm

C

в)

3 cm

2 cm

4 cm

I

40

4 cm

G

J 5m

13 m

B

8 cm

H

12 m

б) L

K г)

D 5m

E

6m

3m

F

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

11.

2

Израчунати површину правоуглог троугла чије су дужине катета a = 6 cm и b = 3 cm.

Површина правоуглог троугла је 24 cm2, а дужина једне катете 8 cm.

12. Израчунај обим тог троугла.

15.

Израчунати дужину висине над хипотенузом правоуглог троугла ако су дужине катета 6 cm и 8 cm.

o

14.

Катете правоуглог троугла су дужине 3 cm и 4 cm. Израчунај дужину висинe конструисане из темена правог угла тог троугла.

Брод је испловио из луке.

pr om

13.

СЕВЕР

Најпре је два сата пловио према истоку брзином 12 km, h а онда се окренуо према северу и пет сати пловио брзином 14 km. h Колико је после тих седам сати пловидбе био удаљен од

ЛУКА

uk a

луке?

ИСТОК

16. Израчунати мерни број обима фигура са слика. а)

б)

Ed

5 cm

3 cm

10 cm

в)

12 cm

12 cm 15 cm

3 cm

45

4 cm

41

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА „Сва деловања природе само су математичке последице малог броја устаљених закона.” Пјер Симон Лаплас

ЗАДАЦИ

Колико износи дужина дијагонале квадрата који има страницу дужине 2 cm?

2.

Колика је дужина странице квадрата АВСD aко је дужина дијагонале 10 cm?

3.

Колико износи дужина дијагонале правоугаоника који има странице дужине 2 cm и 0,4 dm?

4.

Базен за пливање има дужину 20 m, а ширину 15 m. Колико ће метара препливати пливач ако плива по дијагонали?

5.

Дијагонала правоугаоника је дужине 1 dm, а једна страница је дужине 6 cm. Колика је дужина друге странице тог правоугаоника?

6.

Дијагонала правоугаоника је дужине 13 cm, а дужина једне странице је за 1 cm мања од ње. Колика је дужина друге странице тог правоугаоника?

7.

Једна страница правоугаоника је дужине 6 cm, а дијагонала је три пута дужа од друге странице. Колика је дужина те странице?

Ed

uk a

1.

8.

42

pr om

o

2.2. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник

Ана је измерила дијагоналу и ширину једног правоугаоника. Установила је следеће: дијагонала је два пута дужа од дужине тог правоугаоника. Изразити дужину дијагонале правоугаоника у зависности од ширине правоугаоника обележене са x.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 4 Ако је дужина правоугаоника 30 cm, a ширинa je 3 дужинe, колико износи дијагонала и површина правоугаоника?

10.

Обим квадрата је 36 cm. Колика је дужина његове дијагонале и колика је површина тог квадрата?

11.

Странице правоугаоника су дужине 3 cm и 7 cm. Израчунај: а) обим и површину тог правоугаоника, б) дужину дијагонале квадрата чији је обим једнак обиму датог правоугаоника.

12.

Обим правоугаоника износи 32 cm, а однос страница је 3 : 1. Колике су дужине страница и дијагонале тог правоугаоника?

13.

Разлика дужина двеју страница правоугаоника је 4 cm, а дужина његовог обима 32 cm. Израчунати дужину дијагонале квадрата исте површине.

pr om

14.

o

9.

Површина једног квадрата је P1 = 4 cm2, а површина другог квадрата је P2 = 16 cm2. Који је однос дужина дијагонала тих квадрата? Спортско игралиште има облик правоугаоника површине 972 m2. Ако је ширина игралишта 27 m, израчунати: а) дужину игралишта; б) пречник описаног круга.

16.

Колико је потребно плочица од керамике квадратног облика чије су странице дужине 50 cm да би се обложило дно базена правоугаоног облика, ако је дужина мање странице базена 15 m, а дужина његове дијагонале 25 m?

Ed

18.

uk a

15.

17.

2

Једна страница правоугаоника је за 2 cm краћа од друге. Површина тог правоугаоника је за 12 cm2 већа од површине квадрата над мањом страницом. Колико износи дужина дијагонале и површина тог правоугаоника? Ако се страница квадрата повећа три пута, површина му се повећава за 128 cm2. Колике су дужине странице и дијагонале већег квадрата?

19.

Обим квадрата се повећао за 40%. За колико процената се повећава површина квадрата? Колика је дужина странице мањег квадрата ако је површина већег 49 cm2?

20.

За колико ће се променити површина и дужина дијагонале правоугаоника ако се дужина и ширина правоугаоника повећа за 30%?

43

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА „Неки математичар је рекао да задовољство лежи не у откривању истине, него у њеном тражењу.” Лав Толстој

ЗАДАЦИ

pr om

o

2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао

Израчунати: a) обим, б) дужину висине која одговара основици, в) површину једнакокраког троугла ако је: a = 14 сm, b = 12 cm.

2.

Основица једнакокраког троугла је дужине 8 cm, а обим је 30 cm. Колика је дужина висине над основицом тог троугла?

3.

Дужина висине једнакокраког троугла спуштена на основицу је ha = 8 cm. Колика је дужине крака тог троугла ако је његова површина 16 cm2?

5.

6.

Обим једнакокраког троугла је 32 cm, а основица му је за 2 cm већа од крака. Израчунати дужине висина тог троугла.

Ed

4.

uk a

1.

Израчунати обим правоуглог једнакокраког троугла ако је дужина хипотенузе √18 сm.

C

Дат је једнакокраки троугао ABC, као на слици. Одредити површину троугла ATB ако је дужина основице AB 5 сm, а дужина висине AT ' је 4 сm.

T А

7.

44

T' B

Површина једнакостраничног троугла је 49√3 cm2. Колики је обим тог троугла?

2

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

8.

9.

Kатете правоуглог троугла су 30 cm и 40 cm. Тачка М, која припада унутрашњој области троугла, удаљена је од катета по 5 cm. Колико је тачка М удаљена од хипотенузе? На географској карти (мапи) у размери 1 : 100 000, дужине катета правоуглог троугла износе 2 cm и 3 cm. Колика је површина троугла у природи? Колики је однос површине троугла у природној величини према површини троугла на мапи (географској карти)?

11.

pr om

o

10.

Висина једнакостраничног троугла је 3√3 cm. Колика је површина квадрата чија је страница једнака страници тог троугла?

На слици је приказан правоугли троугао DFE. Колика је дужина странице DE ако је EF = 5 cm, а угао DEF једнак 60o?

E 60°

D

14.

uk a

13.

Колика је дужина странице a ако су дати подаци на слици?

45° 45°

a

a

4 cm

Ed

12.

F

Израчунати површину правоуглог троугла чија је хипотенуза c = 10 cm и један његов оштар угао  = 45o. Израчунај површину троугла MNB:

а) aко је страница квадрата 6 cm, а тачке М и N су средишта страница АB и BC; б) aко су странице правоугаD C D C оника 6 cm и 4 cm, а тачке М и N средишта страница AB и BC. N

N A

M

а)

B A

M

B

б)

45

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 15.

Тачке M и N су средишта страница AB и BC квадрата ABCD странице дужине a = 8 cm.

D

C P N

Нека је P тачка на дијагонали BD таква да је троугао MNP једнакостраничан. Одредити удаљеност тачке P од темена D.

S M

B

Израчунати површину правоуглог троугла чија је хипотенуза c и један његов оштар угао  = 22o 30'.

17.

Производ дужина полупречника уписаног и описаног круга једнакостраничног троугла је 8 cm. Одредити површину троугла.

uk a

pr om

o

16.

Ed 46

A

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2

„Права математика је увек била лепа, а права је уметност увек била и истинита.” Владимир Девиде

ЗАДАЦИ

3.

4.

5.

4 cm a

D

3 cm F A

C

h

E

3 cm

B

uk a

2.

Колико износи површина паралелограма приказаног на слици ако је: AB = CD = 4 cm = а; EB = AD = 3 cm, DE = h?

Дужине страница паралелограма ABCD износе a = AB = 16 cm, b = BC = 12 cm, а дужина висине ha из темена D на страницу AB износи 6 cm. Израчунати дужину висине hb из темена B на страницу AD.

Ed

1.

pr om

o

2.4. Примена Питагорине теореме на паралелограм и ромб

Ако је код паралелограма дато a, b и ha, онда израчунај hb.

hb

b ha

a

Израчунати дужине висина паралелограма ha и hb ако је површина 240 сm2, а странице су 20 сm и 10 сm. Израчунати површину паралелограма на слици ако знамо да је једна страница дужине 12 cm а друга дужине 8 cm и да оне заклапају угао од 150о.

12 cm 8 cm

h 150°

8 cm

47

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 6.

7.

Дијагонала BD четвороугла ABCD нормална је на странице BC и AD. Ако је АВ = 15 cm, ВС = 12 cm и ∢DАB = ∢BCD, израчунати: а) обим, б) површину четвороугла АВСD.

15 cm

D 12 cm

12 cm A

15 cm

B

Дијагонале ромба су d1 = 1,6 cm и d2 = 3 cm. Израчунати: а) површину; б) обим; в) висину тог ромба. Страница ромба је a = 12 cm, а дијагонале се односе као 3 : 4. Израчунати дијагонале тог ромба.

9.

Површина ромба је 96 cm2, а једна његова дијагонала износи 3 друге. Ако је 4 обим једног квадрата једнак обиму ромба, одредити однос површине квадрата и површине ромба.

10.

Ако је висина ромба h = 6 cm и оштар угао 60о, израчунати површину ромба.

11.

Дијагонале ромба су d1 = 30 cm, d2 = 40 cm. За колико се његова површина разликује од површине квадрата једнаке странице?

12.

Једна дијагонала ромба је два пута већа од друге, а површина ромба 16 cm2. Колики је обим тог ромба?

13.

У правоугаоник чије су странице a = 30 cm и b = 16 cm уписан је четвороугао чија су темена средишта страница правоугаоника.

Ed

uk a

pr om

o

8.

16 cm

Одредити обим и површину тог ромба.

30 cm

14.

Одредити обим и површину ромба код кога висина полови страницу a = 4 cm.

a a 2

48

C

a 2

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2

„Ниједно људско проучавање не може се назвати истинском науком ако није прошло кроз математичке доказе.” Леонардо да Винчи

ЗАДАЦИ

У једнакокраком трапезу дужина крака је b = 6 cm, а основица a је двоструко дужа од основице c и важи b : c = 3 : 2. Израчунати површину тог трапеза.

Ed

2.

Средња линија трапеза износи 20 cm, а паралелне странице се односе као 5 : 3. Наћи те паралелне странице.

uk a

1.

pr om

o

2.5. Примена Питагорине теореме на трапез

3.

c

b

h

a

Израчунати површину и обим трапеза приказаног на слици.

6 cm 2 cm 4 cm

49

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 4.

Израчунати дужину краће основице једнакокраког трапеза ако је висина h = 8 cm, крак c = 17 cm, а дужа основица a = 35 cm.

b

h

17 cm

17 cm

x

7 cm

Одредити површину и обим фигуре са слике.

o

5.

a

pr om

5 cm

x

10 cm

Дужине основица једнакокраког трапеза су 20 cm и 6 cm, а површина му је 31,2 cm2. Колико износи дужина крака трапеза?

7.

3 Израчунати основицу b трапеза ако је основица a = 16 5 cm, а средња линија трапеза је m =12,4 cm.

8.

Крак једнакокраког трапеза има дужину 4 cm. Једна дијагонала тог трапеза дели његову средњу линију на одсечке од 2 cm и 4 cm. Израчунати обим и површину трапеза.

10.

Ed

9.

uk a

6.

Крак једнакокраког трапеза је 6 cm, један угао 120°, а мања основица једнака краку. Израчунати површину трапеза. На страници BC квадрата ABCD, дужине a = 25 cm, изабрана је тачка М тако да je ∢MAB = 30°. Израчунати однос површине трапеза AMCD и троугла ABM.

D

C M b

A

50

30°

a

B

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2

„Покретач математике није закључивање, него машта.” Огастес де Морган

ЗАДАЦИ

pr om

o

2.6. Конструкције применом Питагорине теореме

Конструисати троугао ABC ако је дата страница a, угао β и висина ha.

2.

Конструисати троугао ABC ако је BC = 6 cm, γ = 60°, β = 75°.

4.

5.

6.

Конструисати квадрат чија је површина једнака збиру квадрата на слици.

Ed

3.

uk a

1.

a

b

Дат је квадрат ABCD. Конструисати квадрат два пута веће површине.

Конструисати квадрат чија је површина једнака разлици површина двају квадрата чије су дужинe страница 5 cm и 3 cm. Конструисати трапез ABCD ако је дужина основице AB = 6 cm, дужина дијагонале АС = 7 cm, а углови на основици су  = 60° и β = 75°.

51

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 7.

Конструисати правоугаоник ако је дужина страница a = 4,5 cm, а дужина дијагонале d = 6 cm.

8.

Конструиши ромб ако је дужина његове дуже дијагонале 5 cm, а оштар угао износи 60°.

o

10.

Конструиши паралелограм ако је дата једна страница AB = 5 cm и дужине обеју дијагонала d1 = 6 cm и d2 = 7 cm. Конструисати паралелограм ABCD ако су дате дужине страница AB = 6 cm и BC = 4 cm и дужина дијагонале AC = 7 cm.

pr om

9.

Конструисати једнакокраки трапез ако је дата дужина основице a = 6 cm, угао  = 75° и дужина дијагонале d = 5,8 cm.

12.

Конструисати делтоид АВСD ако је дата дужина дијагонале која је и оса симетрије AC = 6 cm и дужине страница AB = 3 cm и BC = 5 cm.

Ed

uk a

11.

52

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2

„Не постоје чињенице, већ само интерпретације.” Фридрих Ниче

pr om

o

2.7. Конструкција тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима

uk a

Нека је бројевна права одређена тачкама O и А тако да дуж OА представља јединичну дуж те бројевне праве. Јединична дуж је одређена ако је тачки O додељен број 0, а тачки А број 1.

O

A

0

1

1.

2.

3.

4.

Ed

ЗАДАЦИ

а) Конструисати дуж дужине √2 ; б) Конструисати на бројевној правој тачке: A = √2 , B = –√22 , C = 2√2 , D = 3√2 и E = 2,5√2 . Одредити на бројевној правој бројеве: а) √3 ; б) –√3 ; в) –2√3 ; г) 4 – √3 . Конструисати дужи чије дужине одговарају датим бројевима: а) √5 ; б) √17 ; в) √6 ; г) √27 .

Конструисати дуж чија дужина је број √8 и представити тај број на бројевној правој.

53

2 ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА • Конструкција тачака у координатном систему са координатама које су ирационални бројеви

5.

Одредити у координатном систему тачке са координатама: A (√2 , 0); B (0, √2 ); C (–√2 , 0), D (0, –√2 ). Одредити у координатном систему тачке са координатама A (√2 , 0) и B (1+ √2 , 1).

7.

Одредити у координатном систему тачке са координатама A (√2 , 0) и B (–2, √2 ).

pr om

Одредити у координатном систему тачке са координатама: A (2, 3); B (1, √2 ); C (–√2 , –3).

uk a

8.

o

6.

√19

√3

√4 =2

√2

Ed

√18

√5 √6

√17

√7

√16 = 4

√8

√15 √9 =3

√14 √13

54

√12

√11

√10