Математика 8, уџбеник за 8. разред основне школе

Радица Каровић и Сузана Ивановић

МАТЕМАТИКА 8

Ed

uk a

pr om

o

Уџбеник за осми разред основне школе

Радица Каровић и Сузана Ивановић

МАТЕМАТИКА 8

Уџбеник за осми разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Др Бошко Влаховић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Др Наташа Филиповић СТРУЧНИ КОНСУЛТАНТИ Душан Мијајловић Никола Каровић

ДИЗАЈН И ГРАФИЧКА ПРИПРЕМА Јасмина Игњатовић

pr om

o

РЕЦЕНЗЕНТИ Др Ђорђе Баралић, виши научни сарадник, Математички институт САНУ, Београд Др Мића Станковић, редовни професор, Природно-математички факултет у Нишу Др Јелена Ивановић, асистент Архитектонског факултета Универзитета у Београду Веселинка Милетић, наставник математике

uk a

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

Ed

ИЗДАВАЧ Едука д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: http://www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Др Бошко Влаховић, директор ШТАМПА Ротографика, Суботица Издање бр.: 1, Београд, 2021. година

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2) КАРОВИЋ, Радица, 1967Математика 8 : уџбеник за осми разред основне школе / Радица Каровић и Сузана Ивановић. - Изд. бр. 1. - Београд : Eduka, 2021 (Суботица : Ротографика). - 284 стр. : илустр. ; 29 cm Тираж 1.500. - Библиографија: стр. 284.

ISBN 978-86-6013-520-1 1. Ивановић, Сузана, 1959- [аутор] COBISS.SR-ID 41447433

Тираж: 1500

© Едука д.о.о. Београд

Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника Решењем број: 650-02-00395/2020-07. Није дозвољено: репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући и фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

САДРЖАЈ 5 6

Предговор Водич кроз уџбеник

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

pr om

Пропорционалне величине Самерљиве и несамерљиве дужи Подела дужи у датој размери Талесова теорема Примена Талесове теореме Сличност троуглова Ставови сличности троуглова Примене сличности

o

СЛИЧНОСТ

uk a

Увод Однос тачке и праве, тачке и равни Односи правих, мимоилазне праве, одређеност равни Односи праве и равни Однос двеју равни. Диедар Ортогонална пројекција на раван Полиедар

8 10 14 19 26 32 40 47

54 59 66 71 76 80 87

Ed

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ Еквивалентни изрази. Појам једначине Еквивалентне једначине. Појам линеарне једначине с једном непознатом Решавање линеарних једначина с једном непознатом Примена линеарних једначина с једном непознатом Појам и решење линеарне неједначине с једном непознатом Решавање линеарних неједначина с једном непознатом

94 99 103 107 111 114

ПРИЗМА Призма – појам, елементи и врсте Дијагонале и дијагонални пресеци призме Мрежа призме Површина призме Запремина призме

120 125 130 135 142

ПИРАМИДА Пирамида – појам, елементи и врсте Једнакоивичне и правилне пирамиде Пресеци пирамиде и равни. Дијагонални пресек пирамиде Мрежа пирамиде Површина пирамиде Запремина пирамиде

150 155 160 165 170 175

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

pr om

o

Појам линеарне функције Експлицитни и имплицитни облик линеарне функције. Паралелност графика линеарних функција Нула линеарне функције Раст и опадање линеарне функције Знак линеарне функције. Испитивање графика Примена линеарне функције

182 187 192 195 199 203

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

uk a

Појам и решење једначине с две непознате. Појам система Графички приказ решења система. Еквивалентни системи Методе решавања система линеарних једначина с две непознате Примена система линеарних једначина с две непознате

208 214 220 226

ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

230 235 240 244 249 254 257 262

Резултати, упутства, решења Литература

269 284

Ed

Ваљак – појам и елементи Мрежа и површина ваљка Запремина ваљка Купа – појам и елементи Мрежа и површина купе Запремина купе Лопта – појам и елементи Површина и запремина лопте

o

ПРЕДГОВОР

pr om

„Човек који хоће савесно да утиче на развитак другог човека може да поступа само на један начин: да развија његову снагу мишљења, да га научи да посматра чињенице сам својим умом и да сам уме правити логичке закључке.” Светозар Марковић

Ed

uk a

Стварајући овај уџбеник, имали смо намеру да пажљивим избором примера и задатака развијамо твоју снагу мишљења, да те научимо да посматраш чињенице својим умом и да научиш да правиш логичке закључке. Ове вештине и стечено знање ће у много чему одредити твоје место у свету у који ћеш закорачити када на крају школске године затвориш и последњу страну књиге која је пред тобом. На почетку сваке теме, у примерима, истакли смо ситуације или прилике из реалног окружења у којима се можеш сусрести са математичким појмом који уводимо. У оквиру вежбања понудили смо помоћ у виду сугестије, инструкције или једног од начина на који би требало да закључујеш приликом решавања задатака. На крају сваке лекције је петоминутни тест којим провераваш своје знање. Желимо ти пуно радости коју знањем и решеним задатком можеш да осетиш. Срећно!

5

ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК НАУЧИЋЕШ У ЛЕКЦИЈИ

НАСЛОВ ЛЕКЦИЈЕ

МОТИВАЦИОНИ ПРИМЕР

Научићеш да уочаваш односе тачке и праве, тачке и равни и да формулишеш аксиоме везане за основне геометријске објекте.

ОДНОС ТАЧКЕ И ПРАВЕ, ТАЧКЕ И РАВНИ Билијар Да ли играш билијар? Поред тачака, правих, углова, пресека, осне и централне симетрије, за ову игру везује се још много математичких појмова. Током играња билијара, у једном тренутку, положаји куглица могу бити као на слици. Путања кретања беле кугле (тачка A), представљена је правом s. Куглу коју ће бела најпре ударити означена је тачком B, док смо неке од преосталих кугли означили са F и E. Тачке A и B су на путањи s, а у математици кажемо да тачке A и B припадају правој s и записујемо A ∈ s, B ∈ s или права s садржи тачке A и B, што записујемо s ∋ A, s ∋ B. Како тачке F и E нису на путањи s, онда оне не припадају правој s, што записујемо E ∉ s, F ∉ s, тј. s ∌ E, s ∌ F. Тачка може припадати или не припадати једној правој. На правој p су уочене две различите тачке A и B (Слика 2). Колико правих садрже ове тачке?

РЕШЕНИ ПРИМЕР СЛИЧНОСТ

Пример 2 Слични троуглови у различитим временским тренуцима:

Слика 8 Однос страница сличних троуглова

Слика 1

b1

a

q

Аксиома Одговор на ово питање исказаћемо аксиомом, тврђењем у математици које се не доказује, него се прихвата као чињеница.

АКСИОМА

ДЕФИНИЦИЈА

Аксиома 1 Две различите тачке одређују тачно једну праву.

Тачке A и B (Слика 2) одређују тачно једну праву p. Запис p (A, B) читамо: „Права p одређена је тачкама A и B.” Присетимо се и појма колинеарних тачака. Дефиниција 1 За три или више тачака кажемо да су колинеарне ако припадају истој правој. Уколико ово није испуњено, за те тачке кажемо да су неколинеарне.

c

B

b

C1

a

ТЕОРЕМА

a1

b1

B1

A = A1

c1

c

B1

B

Слика 9

pr om

r

c1

A

p

Слика 2

a1

o

b B

A1

a

b

A

C

C1

C

На Слици 9 су приказани слични троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1. На основу дефиниције сличности, ови троуглови имају подударне углове. Нека су подударни углови код темена A и A1, B и B1, C и C1, редом. Транслацијом троугла ∆A1B1C1 за вектор A1A и ротацијом за одређени угао око темена A1, троуглови се могу довести у положај који је приказан. Углови код темена B и B1, као и C и C1, јесу подударни, па можемо да закључимо да су праве које садрже странице a и a1 паралелне, па на основу Талесове теореме важи:

Коефицијент сличности

c1 b1 a1 c b a = = , тј. c = = . c b a b1 a1 1

Теорема 1

Ако су троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1 слични, онда су размере одговарајућих страница тих троуглова једнаке, тј. одговарајуће странице су �ро�орционалне. Размеру одговарајућих c b a страница означавамо словом k, тј. 1 = 1 = 1 = k . Број k називамо коефицијен�ом c b a сличнос�и.

uk a

59

34

ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБУ

ПОМОЋ У РЕШАВАЊУ И ДОДАТНА ПОЈАШЊЕЊА

СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1.

p q h a b c

A

α

q

7,2

2.

23,04 6,72

3 5

b

C

h

Ако ти се задатак чини тешким, немој да одустанеш.

D

Ed

Попуни табелу бројевним вредностима које одговарају ознакама са слике.

СЛИЧНОСТ

90°

90°

p

a

β

B

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

20

Један правоугли троугао има угао 42°, а други угао 46°. Да ли су ови троуглови слични? ДА

Катете правоуглог троугла су a = 12 cm и b = 16 cm. Одреди однос обима троуглова на које је овај троугао подељен висином која одговара хипотенузи. Ако се подсетиш како се одређује коефицијент сличности троуглова и у каквом односу су њихови обими у теми Сличнос� �роу�лова, задатак ћеш решити за мање од једног минута. Провери!

КРАТАК ТЕСТ ПРОВЕРЕ ЗНАЊА

5.

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

2. Једнакостраничном троуглу увећана је дужина странице два пута и тако је добијен њему сличан троугао. Однос површина полазног и новонасталог троугла је:

3.

а) 2;

б) 2√3;

ДА

НЕ

в) 4.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Троуглови са слике нису слични.

3.

4.

Прочитај став СУС сличности и подсети се како се решава Пример 3 на истој страни. Проверимо да ли важи пропорција АD : АС = АС : АВ = ............ Важи ∢DАС = ∢ ........... = 30°. На основу става СУС сличности, закључујеш да су троуглови ∆АDС и ∆АВС ............................................. Коефицијент сличности износи ....................... Користећи особине сличних троуглова, покушај самостално да одредиш дужине x и y.

Конструиши једнакостраничан троугао странице a = 4 cm, а затим конструиши дуж која је геометријска средина те странице и полупречника кружнице која је уписана у тај троугао. Нацртај произвољну дуж x, па конструиши дуж √x. За произвољне дужи a и b, конструиши дуж а)�a ∙ b ; б) 5

√a ∙ b .

5

ПРОЈЕКТНИ ЗАДАТАК НА ЗАДАТУ ТЕМУ

1

т јека

6

49°

D

4 2

B

A Троуглови са слике су слични. ДА

51

49°

4.

Често се говори о пројектима: пројекат изградње моста, пројекат научних истраживања, ..., рад на пројекту. Сви пројекти садрже план по коме су осмишљене активности, које имају за циљ настанак производа: изграђен мост, настанак нових открића... У оквиру пројеката, решавајући проблем, имаћеш прилику да добијеш одговор на најчешће постављено питање: „Зашто ово учим?” Да би пројекат био успешан, важно је направити добар план.

Про

C

(Заокружи тачан одговор.)

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

1

90°

6

3 90°

46

2

uk a

Ed o

pr om

СЛИЧНОСТ

7

Подсетићемо се примена размере, својстава пропорције, примена пропорције у свакодневном животу.

ПРОПОРЦИОНАЛНЕ ВЕЛИЧИНЕ

Под појмом размере (односа) два броја x и y (x ≠ 0, y ≠ 0) подразумевамо њихов количник x : y = yx . У том случају x је ūрви члан размере, док је y �ру�и члан размере. Пример 1

o

Једна од примена размере (умањења, увећања) се јасно види на следећим скицама.

14

8

14

8

14

8

8

R5

R5

22

R5

8

uk a

22

8

8

22

8

pr om

8

Умањена величина R1:2

Ed

Природна величина R1:1

Увећана величина R2:1

Слика 1

Две једнаке размере повезане знаком једнакости чине ūроūорцију: a : b = c : d, при чему је a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0 (a и b су пропорционални са c и d). Важна особина пропорције Производ спољашњих чланова a и d једнак је производу унутрашњих чланова b и c.

a:b= c:d 8

a·d= b·c

СЛИЧНОСТ

Географска карта На основу података са Слике 2, одредимо најкраће растојање (ваздушном линијом) између Београда и Новог Сада у природи. Карта је приказана у размери 1 : 3 000 000. То значи да дужини од 1 cm на карти одговара 3 000 000 cm у природи. На основу приложеног мерења, имамо да дужини од 3 cm на карти одговара x cm у природи, тј. важи пропорција 1 : 3 000 000 = 3 : x одакле је x = 3 ∙ 3 000 000 = 9 000 000 cm = 90 km.

o

Слика 2

pr om

Задатак 1 Ако је карта на Слици 3 урађена у размери 1 : 1 000 000, одреди растојање (ваздушном линијом) између два најудаљенија града обележена на карти. Упиши називе тих градова на карти. Покушај да упишеш називе и других градова који су означени тачкама.

Слика 3

uk a

Задатак 2

Ed

На Слици 4 приказана је макета манастира Високи Дечани, који се налази на Косову и Метохији у близини српског села Дечани. Манастир је грађен између 1327. и 1335. године, као задужбина краља Стефана Уроша III Дечанског и његовог сина. Налази се на Унесковој Листи светске баштине, заједно са још три манастира Српске православне цркве под именом „Средњовековни споменици на Косову”. Манастир Високи Дечани Унеско је прогласио за место културне баштине 2004. године, наводећи да су његове фреске „једно од највреднијих примера тзв. ренесансе Палеолога у византијском сликарству и драгоцен запис о животу у 14. веку”. Одреди висину манастира Високи Дечани у природној величини ако је на макети, која је израђена у односу 1 : 50, његова висина 60 cm.

Слика 4 Манастир Високи Дечани

Слика 5

9

САМЕРЉИВЕ И НЕСАМЕРЉИВЕ ДУЖИ

Научићеш да разликујеш самерљиве и несамерљиве дужи.

uk a

pr om

o

Мере У оквиру пројекта „Математички врт”, ученици из три одељења осмог разреда су помоћу штапа и канапа конструисали једнакостраничан троугао (VIII3), квадрат (VIII1) и круг (VIII2). Њихове ивице су означили садницама лаванде, а центре описане и уписане кружнице патуљастим тујама. Требало је да свако одељење направи план осликавања свог врта у одговарајућој размери. То је захтевало мерење одређених дужина помоћу истог алата – штапа и канапа. Дужина штапа је била мера којом су одређивали дужине дужи. Након првог мерења страница троугла и квадрата, као и полупречника круга, утврдили су да је конструкција добро обављена, тј. дужине страница троугла биле су једнаке четири штапа, код квадрата све странице једнаке пет штапова и полупречник круга једнак три штапа. Међутим, сва одељења су имала проблем: VIII1 никако није успевало да штапом измери дијагоналу квадрата, VIII3 висину троугла, а VIII2 је имало проблем да изрази обим круга, мерен канапом, у јединици штапа. И поред скраћивања штапа, до краја часа нису успели да одреде меру којом би решили свој проблем. Да ли постоји решење за њихов проблем?

Ed

Дужине дужи не морају увек бити изражене рационалним бројевима.

1

Размера двеју дужи

45°

Ако приказане дужи на слици имају наведене дужине, одредићемо размеру AB : CD. B

√2

1

45°

3 cm A

C

2 cm

D

Размера двеју дужи је размера одговарајућих мерних бројева њихових дужина које су изражене истом јединицом мере. |AB| 3 Размера ових дужи једнака је AB : CD = 3 : 2 или = = 1,5. |CD| 2 Зашто је важно да дужине дужи буду изражене истом јединицом мере? |AB| = 3 = 15, добили Ако би размера дужи |AB| = 3 cm, |CD| = 0,2 dm била количник 0,2 |CD| бисмо нетачну размеру.

10

СЛИЧНОСТ

Када дужину датих дужи изразимо истом јединицом мере |AB| = 0,3 dm, |CD| = 0,2 dm, |AB| 0,3 3 добијамо тачну размеру = = 1,5. = |CD| 0,2 2 Теорема 1

Размера двеју дужи не зависи од избора јединице мере у којој су изражене њихове дужине. На Слици 1 су приказане три дужи a, b и c. Ако пажљивије погледаш слику, приметићеш да се дуж a у дужи b садржи пет пута, док се у дужи c садржи три пута. Дакле, дуж a се садржи цео број пута и у дужи b и у дужи c.

a c

o

b Слика 1

pr om

Дефиниција 1

За дужи b и c кажемо да су (међусобно) самерљиве ако постоји дуж a која се у дужи b и c садржи цео број пута. Дуж a је заједничка мера за дужи b и c. Ако за две дужи не постоји заједничка мера, кажемо да су дужи (међусобно) несамерљиве.

Теорема 2

b = 5a = 5 ∈ Q c 3a 3

uk a

Вредност размере самерљивих дужи је рационалан број. Средња линија и тежиште

C

Ed

Пример 1

Средња линија m и страница c троугла ABC су самерљиве дужи. Заиста, рачунањем њихове размере добија се c m = 2 = 1 ∈ Q. c c 2

m c A Слика 2

Пример 2

На Слици 3 је приказан троугао ABC. Тачка T је тежиште троугла. Један од парова самерљивих дужи у троуглу ABC је тежишна дуж BB1 и дуж BT: |BB1| |BB1| = = 3 ∈ Q. |BT| 2 |BB | 2 1 3 Наведи још неке парове самерљивих дужи из овог троугла.

B

C

B1

A T

A1

B Слика 3 11

СЛИЧНОСТ

Несамерљиве дужи Теорема 3 Размера несамерљивих дужи је ирационалан број.

ВЕЖБАМО 1.

D

a

C

a

d

a

B

A

pr om

Страница и дијагонала квадрата су пример несамерљивих дужи. __ a a 1 √2 = __ = __ = ∈I d 2 a√2 √2

o

Пример 3

2.

Испитај самерљивост дужи: а) a = 3 cm; б) b = 2√2 cm; са дужи x = 0,7 cm.

3.

а) a = 9,3 cm; б) b = 7√27 cm; в) c = 2 cm; 3 су самерљиве са дужи x = 2√3 cm?

uk a

в) c = 1,52 cm;

a

Слика 4

г) d = 3π cm

Које од дужи:

Ed

г) d = √75 cm

Да ли су самерљиве хипотенуза правоуглог троугла и катета a ако је површина троугла P = 12 cm2 и друга катета b = 3√2 cm? Немаш идеју како да решиш 3. задатак?

Прочитај поново задатак. За решавање овог задатка потребно је да одредиш дужину ........................... и катете ......... Како се ради о правоуглом троуглу, применом Питагорине теореме одредићемо дужину хипотенузе. Математички запис Питагорине теореме је ...................... (запиши једнакост). Пре тога ћемо одредити дужину катете, а на основу података који су нам дати у задатку. Површина правоуглог троугла је P = ab . Заменом датих вредности и 2 решавањем једначине одреди непознату дужину катете: 12 = ... Сада имаш све податке да применом Питагорине теореме одредиш и хипотенузу. Дужи су самерљиве ако је количник ...................... рационалан број. Провери да ли ћеш и ти у овом случају добити рационалан број.

12

СЛИЧНОСТ

4. Које од наведених дужи су међусобно самерљиве? а) Полупречник описане кружнице квадрата и његова страница; б) Полупречник описане кружнице правилног шестоугла и његова дужа дијагонала; в) Полупречник уписане кружнице правилног шестоугла и његова краћа дијагонала; г) Висина и полупречник уписане кружнице једнакостраничног троугла.

Проверавамо своје знање (5 минута)

pr om

Постоје дужи чије су дужине ирационални бројеви. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

2.

3.

o

1.

Дате су дужи a = 1 cm, b = 1 dm. Размера њихових дужина a је: b а) 10 ; б) 1; в) 1 .

1 10 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Дијагонала квадрата странице 2 cm и дијагонала квадрата странице 3 cm самерљиве су. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ed

4.

uk a

Која је од следећих дужи заједничка мера за дужи x = 0,2 cm, y = 0,7 cm? а) 0,2 cm; б) 0,1 cm; в) 0,5 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

13

Научићеш како да дату дуж конструкцијом поделиш на 2, 3, 5, …, n једнаких делова.

ПОДЕЛА ДУЖИ У ДАТОЈ РАЗМЕРИ Сам свој мајстор Јован је сам свој мајстор. Након што је склопио плакар, остала му је летва коју жели да искористи и направи четири ноге за сто, а да притом буде економичан и искористи сав материјал. Ради стабилности стола, неопходно је поделити летву што је могуће прецизније. Јован се присетио начина којим ће прецизно (прецизније и од самог мерења метром) поделити летву.

A B Слика 1

B

A

B

Слика 2.1

C

A

uk a

A

pr om

o

Летву коју треба поделити на четири једнака дела, можемо посматрати као дуж AB. Сличан задатак смо решавали у петом разреду користећи својство симетрале дужи.

Слика 2.2

B

Слика 2.3

Ed

Тачком С смо поделили дуж AB на два једнака дела, тј. дуж је подељена у размери 1 : 1. Ако исти поступак применимо на дужи AC и CB, дуж AB ћемо поделити на четири једнака дела. То нам омогућава поделу дате дужи у размери 1 : 3 и 3 : 1. Овде ми симетрала дужи неће бити од помоћи!

Јован се предомислио и одлучио да направи троножац. Како ће поделити летву прецизно на три једнака дела? Подела дужи на произвољан број једнаких делова

Како ове поделе дужи важе само за појединачне случајеве, доказаћемо да се дуж може поделити на произвољан број једнаких делова, односно у било којој задатој размери. Посматрајмо угао 0° < ∢aAb < 180° који је пресечен трима паралелним правама p, q и r, као на слици. Нека праве p, q и r секу крак Ab угла ∢aAb у тачкама B, C и D тако да важи једнакост |AB| = |BC| = |CD|. Ове паралелне праве секу и други крак овог угла, и то редом у тачкама A1, A2, A3.

14

r

a

q p

A

A1

A2 B

A3

F E C

Слика 3

D

b

СЛИЧНОСТ

Помоћу лењира измери дужине дужи AA1, A1A2 и A2A3. Шта примећујеш?

Поменуте дужи имају исту дужину. Зашто? Доказаћемо ово тврђење. Плаве полуправе на слици конструисане су тако да садрже тачке A1 и A2 и паралелне су краку Ab угла ∢aAb. Означимо словима E и F одговарајуће пресеке. Због паралелности, најпре правих p, q и r, а затим и плавих полуправих, закључујемо да су четвороуглови BCEA1 и CDFA2 паралелограми (имају два пара паралелних страница). Како су наспрамне странице паралелограма једнаке, мора бити |BC| = |A1E| и |CD| = |A2F|. Посматрајмо троуглове ∆ABA1, ∆A1EA2 и ∆A2FA3. Како је |AB| = |BC| = |CD|, на основу претходног закључка важи: |AB| = |A1E| = |A2F|. Углови чија је област означена зеленом бојом међусобно су једнаки као углови са паралелним крацима. Исто важи и за углове чија је област означена црвеном бојом. Став УСУ:

o

Два троугла су подударна ако имају једнаку по једну страницу и једнаке на њој налегле углове.

pr om

На основу става (УСУ) подударности троуглова, закључујемо да су троуглови ∆ABA1, ∆A1EA2 и ∆A2FA3 подударни. Из њихове подударности закључујемо оно што смо мерењем наслутили, тј. |AA1| = |A1A2| = |A2A3|. Наведени доказ оправдава поступак поделе дужи у датој размери. Пример 1

uk a

Дату дуж AB подели у размери 2 : 3. Решење: С обзиром на то да делимо дуж у размери 2 : 3, дуж AB ћемо поделити на 2 + 3 = 5 једнаких делова. Један крај дужи AB представља почетак помоћне полуправе (обојена плавом бојом). На помоћној полуправој конструишемо пет подударних дужи произвољне дужине.

B

А

B

Ed

А

Слика 4.1 Слика 4.2 Крајњу тачку последње конструисане дужи спојимо са тачком B, а затим паралелно тој дужи, црвеном бојом цртамо праве како је приказано на слици. А

B А

Слика 4.3

B

Слика 4.4 15

СЛИЧНОСТ

Црвене праве секу дуж AB у четири тачке које деле дуж AB на пет једнаких делова. Тачка која дели дуж AB у размери 2 : 3 је тачка C приказана на слици. Дакле, AC : CB = 2 : 3.

A

C

B

Слика 4.5 Пример 2

делова.

O (0)

⎩ ⎭

5 P ⎧10⎫ ⎩ ⎭

8 Q ⎧10⎫ ⎩ ⎭

1

uk a

0

1 T ⎧10⎫

⎩ ⎭

pr om

⎩ ⎭

o

1 4 На бројевној правој одредићемо прецизно тачке P⎧ 2 ⎫ и Q⎧ 5 ⎫ . ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 8 1·5 4·2 5 = = . Како је НЗС(2,5) = 10, координате тачака P и Q су: и 2 · 5 10 5 · 2 10 5⎫ 8⎫ ⎧ ⎧ Дакле, треба представити тачке P 10 и Q 10 . Јединичну дуж делимо на десет једнаких

Слика 5

Ed

Дуж OT представља десети део јединичне дужи. Како је |OP| = 5 ∙ |OT| и |OQ| = 8 ∙ |OT|, дуж OT је и заједничка мера дужи OP и OQ. Да ли су дужи OP и OQ самерљиве? Зашто? Задатак 1

За градњу моста (дуж AB) чији је нацрт приказан, грађевинском инжењеру је потребно да одреди положај стубова. Ако су потребна још два стуба да држе мост (стубови морају бити на једнакој удаљености од стубова означеним тачкама A и B и међусобно), означи тачкама места на дужи AB где ће се они градити. Ако је размера нацрта 1 : 1500, одреди растојање између стубова у природи. (У�у�с�во: Измери дужину дужи AB која је приказана на слици.)

16

А

В

Слика 6

СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1. Дуж дужине: а) 7 cm; б) √5 cm конструкцијом подели на седам једнаких делова, а затим одреди тачку која дату дуж дели у размери 3 : 4.

Дужина дужи је ирационалан број? Помоћ...

pr om

o

Дуж дужине √5 можемо посматрати као хипотенузу троугла чије су дужине катета мерни бројеви који задовољавају Питагорину теорему. Присети се у уџбенику за седми разред како се конструише правоугли троугао када су познате дужине његових страница. Покушај да задатак завршиш самостално.

2.

Дуж AB = 11 cm конструкцијом подели у размери 2 : 3 : 5, а затим одреди дужине добијених делова.

3.

в) квадрат

В

Ed

А

uk a

Конструиши: а) једнакостраничан троугао; б) правилан шестоугао; чији је обим једнак дужини дате дужи AB.

Да покушамо да решимо задатак под а)?

Обим многоугла представља збир дужина свих његових страница. Правилни многоуглови имају све ......................... и све ......................... једнаке. Једнакостраничан троугао има три једнаке странице. То значи да је AB = 3a, где је a дужина странице тог троугла. За конструкцију овог троугла потребна ти је дужина .......... Подсети се у примерима како се дуж дели на два и више једнаких делова. Настави да самостално решаваш задатак.

17

СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Обележи на слици тачку која дели дуж AB у размери 4 : 1.

A

B

2.

3.

pr om

o

Дуж дужине 12 cm подељена је у размери 1 : 2 : 3. Дужина најмањег тако добијеног дела је: а) 4 cm; б) 2 cm; в) 1 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) На колико је најмање делова потребно поделити јединичну дуж да би се на њој 3 2 1 прецизно представиле тачке M⎧ 4 ⎫ , N⎧ 3 ⎫ , P⎧ 2 ⎫ ? ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ б) 12;

в) 9.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

Најмањи број једнаких делова на које треба поделити дуж AB у размери 125 : 375 : 500 је: а) 3; б) 5; в) 8; г) 25. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ed

4.

а) 6;

18

Научићеш да формулишеш Талесову теорему, уочаваш одговарајуће дужи и формираш пропорције од одговарајућих дужи.

ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА

o

Кеопсова пирамида Гробница египатског фараона Кеопса, једна од најстаријих пирамида на свету, вековима задивљује својом величином и тајанственошћу. Сврстава се у ред седам светских чуда античког доба, које је једино очувано до данас. Посебну пажњу јој је посветио један од оснивача грчке филозофије и математике, Талес. Један од седам грчких мудраца античког доба упустио се у мерење једног од седам светских чуда. Желео је да одреди висину Кеопсове пирамиде.

uk a

pr om

Можеш ли да замислиш са којом се величином Талес суочио? Ипак, успео је у својој намери...

Ed

Слика 1

Слика 2

На интернету сам пронашла пуно података о Талесу и његовом животу и раду.

Како је Талес размишљао За одређивање дужине H (види Слику 1), искористио је сунчеве зраке и штап дужине h, који је укопао у песак недалеко од пирамиде. Означимо са t и s редом дужине сенки пирамиде и штапа. Сачекао је тренутак када ће дужина сенке штапа бити једнака дужини штапа h = s, (види Слику 2). Тада је укопао нови штап на место сенке коју баца врх пирамиде (тачка T). Како су сунчеви зраци паралелни, из једнакости h = s закључио је да је H = t + b , односно 2 да је висина пирамиде једнака збиру дужина сенке пирамиде и половине дужине b, једне од димензија основе пирамиде.

19

СЛИЧНОСТ

Задатак 1 Користећи Талесов поступак, попуни празна поља (хипотенузе m и n троуглова су паралелне). a)

б) n

m

y

3m 40 m

n

y

x

Слика 3

o

3m

m

pr om

Талес је у свом поступку стрпљиво чекао тренутак када ће дужина сенке штапа бити једнака висини тог штапа. Замисли ситуацију у којој је Талес пропустио тај тренутак. Да ли би он могао да израчуна висину Кеопсове пирамиде и у неким другим ситуацијама? Један од згодних тренутака би могао бити тренутак у коме је дужина сенке штапа два пута дужа од висине штапа. Какав би тада закључак Талес могао да изведе? Задатак 2

uk a

На основу података са слике, одреди висину H Кеопсове пирамиде.

Ed

Слика 4

Правоугле троуглове из Задатка 2 можемо, транслаторним кретањем, довести у положај као на Слици 5. Дужи DE и CB су паралелне. На основу Питагорине теореме, важи AD = h√5 и AC = H√5. Како је h = 2h = h√5 , то важе пропорције H 2H H√5 DE = AE = AD .

CB AB AC

C

H

D h A

Испитаћемо да ли су тачне пропорције AD = DC = AC .

AE EB AB

2h

E

B 2H

Слика 5

( ) Како важи h√5 = H – h √5 = H√5 , то су наведене пропорције тачне.

2h 2H (H – h) ∙ 2 20

СЛИЧНОСТ

У општем случају, паралелне праве DE и CB не морају пресецати праву AB под правим углом. Одговарајући одсечци на правама ће и даље бити пропорционални, односно важи наредна теорема. Теорема 1 ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА: Две различите праве p и q пресечене су паралелним правама a, b, c. Размера било којих двеју дужи са праве p једнака је размери одговарајућих дужи праве q.

Праву q могу транслаторним кретањем довести до поклапања са правом l.

c

b a p

A

pr om

l

C

o

B

M

q

N

P

uk a

Према ознакама са слике, биће:

AB MN = , AC MP

Ed

AB MN = , BC NP

c

b

AC MP = .

BC NP

B

a

A

p

c

b

C

a одговарајуће дужи

C

B A

одговарајуће дужи

p

одговарајуће дужи q

M

N

q

P

M

N

P

Слика 6 На Слици 6 су приказане одговарајуће дужи из Талесове теореме. За дуж AB одговарајућа је дуж MN. Слично, дужи BC одговара дуж NP. Такође, дужи AC је одговарајућа дуж MP.

21

СЛИЧНОСТ

Ако применимо особину пропорција (*), добијамо: AB MN = BC NP AB BC = MN NP

одговарајуће дужи

(*) Ако важи a c = (a, b, c, d ≠ 0), b d онда важи и d c a b = , као и = . b a c d

одговарајуће дужи

Задатак 3

Попуни празна поља тако да једнакост буде тачна (види Слику 6).

AB MN = , AC MP

AC

MP

=

o

=

NP

pr om

AB

AC MP = BC NP

Када паралелне праве пресецају краке конвексног угла (Слика 7), применом Талесове теореме добијамо OA = AB = OB . Такође, важи и OM = OA = AM .

OM MP OP OP OB BP

A

O

M

P

C

D

B

F

q

Слика 8

Ed

Слика 7

У положају правих са Слике 8, према Талесовој теореми, важи: Пример 1

AO OD DF . = = OB OC CE

Одредићемо дужину дужи x и y са Слике 9, при чему важи AM||BP.

22

E

O

q

Решење: OA AB 4,5 x Из = тј. = добијамо OM MP 5 9 x = 8,1 cm.

OМ AM 5 y = тј. = Из пропорције OP BP 14 5,6 добијамо y = 2 cm.

p

A

uk a

B

p

p B x

5,6 cm

A

4,5 cm

O

y

5 cm

M

9 cm

Слика 9

P

q

СЛИЧНОСТ

Пример 2 На основу података са слике, висину стуба h одређујемо као непознати члан пропорције h = 3,4 , одакле је h = 4,488 m ≈ 4,5 m.

1,65 1,25

h

h

3,4 m

Слика 10

1,65 m

1,25 m

ВЕЖБАМО 1.

1,25 m 3,4 m

o

1,25 m

1,65 m

pr om

1,65 m

uk a

Ако су црвене праве на цртежима паралелне, попуни празна места у пропорцијама.

x

z

t

c

Ed

y

а)

д)

x z = y

a = c d

б)

ђ)

x z = x+y

a = e f

a

b

d f

e

в)

е)

t+z = t y d+f

=

b a

г)

ж)

x+y y = t+z

a+c+e = a+c b+d

23

СЛИЧНОСТ

2. Одреди дужину дужи x, y и z са слике ако дужи y и z припадају паралелним правама.

1 cm 2 cm

y z x 4 cm

3.

C

o

Права m садржи тежиште T једнакостраничног троугла странице a = 2 cm и паралелна је једној од страница. Одреди дужине дужи x и y.

x

pr om

m

A

y

a

B

Подсети се особина и конструкције једнакостраничног троугла. Потребне информације можеш да пронађеш на интернету или у уџбенику за седми разред.

uk a

Уколико ти затреба, можеш да искористиш моју помоћ.

T

4.

Ed

Како тежиште дели дату дуж у односу ........ : 1, то на основу Талесове теореме важи (x + y) : x = 3 : ......... Даље настави самостално.

5m

На основу података са слике, одреди висину H приказане стамбене зграде.

H

23 m

24

4m

6m

СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. На основу података са слике (m||n), тачна је пропорција: а) a : d = b : c, б) a : b = c : d, в) d : b = a : c. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

n

d m

c

b

a

2.

3.

o

Ако су црвене праве паралелне, дужина дужи BP са слике је: а) 3,5; б) 4; в) 2,5. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

A

O

2

Ако је m||BC и T тежиште троугла ∆ABC, заокружи слова испред тачних исказа.

Ed

4.

а) x : y = 2 : 1 б) t : z = 2 : 1 в) z : t = 2 : 3 г) (t – z) : z = 1 : 3

2

4

pr om

Ако су црвене праве паралелне, дужина дужи x са слике је: а) 4; б) 3 ; в) 12. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

x

6

B

1

3

M

A

z

P

t

x C

T

m

y B

25

Научићеш да примењујеш Талесову теорему у решавању проблема у нашем окружењу, као и да конструишеш четврту геометријску пропорционалу.

ПРИМЕНА ТАЛЕСОВЕ ТЕОРЕМЕ

Талес пре Питагоре... Питагора пре Талеса... Коју прво теорему применити у решавању задатка? Како бити сам свој мајстор и решити проблем малог простора у свом стану?

pr om

o

Степениште Услед недостатка простора, Богдан се досетио да би простор испод степеништа могао да искористи и направи ормариће. За врата ормарића у стоваришту „Сам свој мајстор” може да наручи плочу по нацрту који је направио. На основу података са слике, одреди површину простора који Богдан жели да затвори. Плаве дужи су једнаке дужине и износе по 30 cm.

D

A 40 cm F 30 cm G

T

C

M

H

uk a

E

30 cm

N

60 cm

B

Слика 1

Ed

Тражена површина је заправо површина правоуглог трапеза ABCD (Слика 1). Применом Питагорине теореме на троугао ∆AFE, добијамо дужину странице AE = 50 cm. Када 40 30 AF FG = = , тј. применимо Талесову теорему, добијамо , па је EH = 37,5 cm.

50 EH AE EH Како је FG = GN = NT, на основу доказаног својства поделе дужи у датој размери, мора бити

EH = HM = MD = 37,5 cm, одакле је AD = 50 + 3 ∙ 37,5 = 162,5 cm. Такође, AT = 40 + 3 ∙ 30 = 130 cm. Применом Питагорине теореме на троугао ∆ATD, добијамо DT = 97,5 cm.

190 + 60 AB + CD Површина трапеза је сада P = ∙ DT = ∙ 97,5 = 12187,5 cm2 = 1,21875 m2.

2 2 Богдан је одлучио да купи нешто више материјала, односно плочу површине 1,3 m2.

26

СЛИЧНОСТ

Пример 1 Грчки мудрац, висок 1,7 m, налази се у положају у ком може да види предњи део брода, у истом правцу. На основу података са слике, одредићемо растојање брода од копна. Решење: Тражено растојање добијамо одређивањем непознатог члана пропорције 1,7 1,7 + 170 = , одакле је x = 202 m. x 2

2m

170 m

x

Слика 2

pr om

Богдан стоји у положају приказаном на слици. Ако је дубина базена 3,3 m, одреди колико је Богдан висок.

o

Пример 2

uk a

Решење: Одређивањем непознатог члана пропорције 1,2 x = добијамо да је Богданова висина 2,2 3,3 x = 1,8 m.

2,2 m

1,2 m

Слика 3

„Непозната дуж” – четврта геометријска пропорционала

Ed

Пример 3

Ако су задате дужи a, b и c, конструисаћемо дуж x тако да важи: a : x = b : c.

Решење: На крацима конвексног угла са теменом у тачки A конструисаћемо дужи чије су дужине једнаке дужима a, b, c (Слика 4). Kонструкцијом дужи b добијамо тачку B на краку угла.

a b

c

x=?

Слика 4

Слично, на другом краку, конструкцијом дужи c, добијамо тачку D, а конструкцијом дужи a, тачку C. Нацртамо праву m која садржи тачке B и D, затим праву која садржи тачку C и паралелна је са правом m. Добијена права, коју смо означили са n, сече други крак угла у тачки E. Дуж DE је тражена дуж x.

27

СЛИЧНОСТ

Зашто је дуж x тражена дуж?

n m

На Слици 5 примећујемо да су испуњени услови Талесове теореме (праве m и n су паралелне), па је можемо применити:

C a B

b

b = a , тј. a : x = b : c. c x

Дакле, дуж x јесте тражена дуж. Дуж x се још зове и че�вр�а �еоме�ријска ūроūорционала.

c

A

x

D

E

Слика 5

pr om

o

Талесова теорема нам даје могућност да конструишемо производ и количник двеју дужи, тј. дужи чије су дужине једнаке производу и количнику дужина двеју датих дужи. Заправо, конструкција дужи y = a ∙ b је конструкција четврте геометријске пропорционале из пропорције y : a = b : 1 (1 – дужина дужи која се a пута садржи у дужи a).

Задатак 1

а) Конструисати производ датих дужи a и b. б) Запиши пропорцију помоћу које је могуће конструисати количник задатих дужи a и b.

b a Слика 6

uk a

Обрат Талесове теореме

Ed

Обрнуто тврђење Талесове теореме, тзв. обрат Талесове теореме, широко се примењује у проблемима из свакодневног живота. Наиме, на основу утврђених размера међу одсечцима, можемо закључити паралелност правих које образују те одсечке. Посматрајмо полуправе Op и Oq које секу праве a и b у тачкама A, B, M и P (види СлиOA OM ку 7), тако да важи = .

OB OP Да ли су тада праве a и b паралелне? Ако претпоставимо да a и b нису паралелне, тада би постојала права c, c ≠ a, која садржи тачку A и c||b.

Према Талесовој теореми би важило OA OS = , где је S пресек праве c и OB OP полуправе Oq.

b

p

B a

c A

O

S

P

M

q

Слика 7

Тада би било OM = OS, па самим тим и M ≡ S. Дакле, праве a и c се поклапају, што је у супротности са претпоставком, па важи a||b.

28

СЛИЧНОСТ

Теорема 2 ОБРАТ ТАЛЕСОВЕ ТЕОРЕМЕ: Две различите праве p и q пресечене су правама a, b, c. Ако је размера било којих двеју дужи са праве p једнака размери одговарајућих дужи праве q, тј.

AB MN AB MN AC MP = , = или = , BC NP AC MP BC NP

Проверавање паралелности уз помоћ лењира и угломера није прихватљиво.

A

M

N

P

Ed

uk a

q

Пример 4

B

a

p

C

pr om

Теорема каже да треба да буде испуњена бар једна једнакост.

c

b

o

онда су праве a, b, c паралелне.

Испитај паралелност правих a и b (Слика 8).

D

Решење:

Према теореми, довољно је испитати једну OA AB = ? од пропорција. Да ли важи OC CD Како је једнакост 18 = 4,5 тачна (провери), 12 3 на основу обрата Талесове теореме, закључујемо да су праве a и b паралелне.

C 12 cm О

3 cm

b

a

18 cm

А

4,5 cm B

Слика 8

29

СЛИЧНОСТ

Пример 5

b

Испитаћемо паралелност правих a и b (Слика 9). Решење: OA AB = Како једнакост није тачна (нису OC CD тачне ни остале, провери), на основу обрата Талесове теореме закључујемо да праве a и b нису паралелне.

p

D

a

24 cm

C 8 cm

O

5,5 cm A

17,6 cm

q

B

Слика 9

pr om

1.

o

ВЕЖБАМО

3.

За дужи a и b из задатка 1, конструиши дуж: а) a ∙ b; б) a ∙ (a + b); в) a : b.

uk a

2.

Дате су дужи a = 2 cm, b = 3 cm и c = 4 cm. Конструиши дуж x тако да важи пропорција: а) a : b = c : x, б) a : x = b : c.

Да ли су праве m и n са слике паралелне?

4.

Прочитај Теорему 2. Довољно је да утврдиш да ли важи једна од пропорција међу одговарајућим дужима да би праве биле паралелне.

3

Ed

Мала помоћ?

3,5

Праве a и b са слике су паралелне. Одреди површину троугла ∆ABC.

m 8

6 b

a

E

8 A

3

C

B

30

n

6

D

СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Висина дрвета са слике једнака је: а) 3 m, б) 2 m, в) 4 m. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

?

1m

1m

2.

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

pr om

На основу података са слике, важи x : z = y : t.

o

4m

y

x

z

3.

t

uk a

Да ли су праве m, n са слике паралелне?

4.

Ed

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

У пропорцији 1 : a = x : b, дуж x представља: а) количник дужи a ; б) производ дужи a ∙ b ; b (Заокружи слово испред тачног одговора.)

2

1 2,4

1,2

n

m

в) количник дужи b . a

31

Научићеш да уочаваш сличне троуглове и користиш особине сличних троуглова у решавању различитих проблемских ситуација.

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА Посматрај приказане објекте на сликама. Шта уочаваш?

Слика 1.1

Слика 1.3

Слика 1.2

pr om

o

Парови објеката на свакој од слика се разликују једино по величини. Таква особина (исти облик, а различита величина) се може уочити и међу троугловима.

Слика 2

Ed

uk a

Експеримент На посебним папирима у боји, уз помоћ троугаоног лењира, нацртајмо троуглове као на Слици 3, а затим их изрежимо и поставимо у положаје као на сликама. Коју особину имају плави и зелени троугао? Посматрани троуглови имају подударне .....................................................

Слика 3

Дефиниција 1

Ако два троугла имају подударне углове, за те троуглове кажемо да су слични.

C

γ a

b

A

α

c

C1 γ b1 α

a1

A1

β

β c1

α

γ

�ABC � �A1B1C1 β

B Слика 4

32

B1

СЛИЧНОСТ

Сличност троуглова ∆ABC и ∆A1B1C1 записујемо ∆ABC ~ ∆A1B1C1 и читамо: „Троугао ABC сличан је троуглу A1B1C1.” При записивању сличних троуглова водимо рачуна да редослед навођења темена одговара теменима једнаких углова (Слика 4). Одговарајуће странице За странице сличних троуглова које се налазе наспрам подударних углова кажемо да су одговарајуће.

a

b

A

α

c

A1

β c1

B1

C

γ

a

b

β

B

A

α

a1

C1 γ b1 α A1

B1

β c1

C

γ

a

b

β

c

a1

C1 γ b1 α A1

B

A

α

B1

β c1

o

γ

a1

pr om

C

C1 γ b1 α

β

c

B

Слика 5

Страници a одговара страница a1 (налазе се наспрам угла α), страници b одговара страница b1 (налазе се наспрам угла β), страници c одговара c1 (налазе се наспрам угла γ). Задатак 1

Ако важи ∆KLM ~ ∆NPQ, обележи на слици темена троуглова на одговарајући начин.

uk a

Пример 1

∆EGF и ∆ABC јесу / нису слични. (Заокружи тачан одговор.)

α

Q

γ γ

β K

Слика 6

Ed

Посматрајмо парове жутих и плавих троуглова. Шта можемо приметити код углова жутих троуглова? Како је унутрашњи угао код темена P једнак 180° – (66° + 42°) = 72°, а унутрашњи угао код темена M једнак 180° – (65° + 73°) = 42°, закључујемо да троуглови ∆SPQ и ∆MNL нису слични. Пар плавих троуглова представља пар једнакокраких троуглова. Угао код темена C једнак је 180° – 2 ∙ 18° = 180° – 36° = 144°, док су у другом троуглу углови код темена E и G једнаки 180° – 144° = 36° = 18° .

2 2 Закључујемо:

β

α

S

L

66°

65°

P

42°

F 4 cm

Q

73° N

M 4 cm

144°

G C A

18°

E

18°

Слика 7 33

B

СЛИЧНОСТ

Пример 2 Слични троуглови у различитим временским тренуцима:

Слика 8

C

b1 A1

a

b

c1 c

B

a1

B1

uk a

A

pr om

C1

C

o

Однос страница сличних троуглова

b

C1

a

a1

b1

A = A1

c1

c

B1

B

Слика 9

Ed

На Слици 9 су приказани слични троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1. На основу дефиниције сличности, ови троуглови имају подударне углове. Нека су подударни углови код темена A и A1, B и B1, C и C1, редом. Транслацијом троугла ∆A1B1C1 за вектор A1A и ротацијом за одређени угао око темена A1, троуглови се могу довести у положај који је приказан. Углови код темена B и B1, као и C и C1, јесу подударни, па можемо да закључимо да су праве које садрже странице a и a1 паралелне, па на основу Талесове теореме важи:

Коефицијент сличности

c1 b1 a1 c b a = = , тј. c = = . c b a b1 a1 1

Теорема 1 Ако су троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1 слични, онда су размере одговарајућих страница тих троуглова једнаке, тј. одговарајуће странице су �ро�орционалне. Размеру одговарајућих c b a страница означавамо словом k, тј. 1 = 1 = 1 = k . Број k називамо коефицијен�ом c b a сличнос�и.

34

СЛИЧНОСТ

У задацима ћемо често користити следеће једнакости: a = k ∙ a1, b = k ∙ b1, c = k ∙ c1.

Ако са O и O1, редом, означимо обиме сличних троуглова ∆ABC и ∆A1B1C1, а са k њихов O = k? коефицијент сличности, можемо ли да тврдимо да важи O1 Означимо са a, b, c странице троугла ∆ABC, а са a1, b1, c1 одговарајуће странице, редом, троугла ∆A1B1C1. Из ∆ABC ~ ∆A1B1C1 следи a = ka1, b = kb1, c = kc1. Даље је: O a+b+c ka1 + kb1 + kc1 k ∙ (a1 + b1 + c1) = = = =k a1 + b1 + c1 a1 + b1 + c1 O1 a1 + b1 + c1 Овим смо доказали да важи следећа теорема.

o

Теорема 2

pr om

Размера обима сличних троуглова једнака је њиховом коефицијенту сличности. Слични троуглови морају имати пропорционалне одговарајуће странице. Да ли важи обрнуто, тј. да ли из пропорционалности одговарајућих страница можемо закључити да су троуглови слични? a b c На слици су приказана два троугла ∆ABC и ∆LMK за чије странице важи . Да ли = = l m k ови троуглови морају имати подударне углове?

uk a

Измерио сам одговарајуће углове помоћу угломера. Делује да су им мере једнаке. Међутим, то треба потврдити.

C

Ed A

K

a

b

M

l

k

m L

c

B

На страници AC троугла ∆ABC одредимо тачку K1 тако да је AK1 = m. Слично, на страници AB одредимо тачку M1 тако да је AM1 = k. Дужину странице KM1, насталог троугла ∆AM1K1, означимо са l1. b c b m следи , одатле, на основу обрата Талесове теореме, закључујемо Како из = = m k c k да дужи a и l1 припадају паралелним правама.

Углови плаве унутрашњости су подударни као углови са паралелним крацима. Исто важи и за углове зелене унутрашњости, па се лако да закључити да троуглови ∆AM1K1 и ∆ABC имају подударне углове.

35

СЛИЧНОСТ

C b

C

K1

l1

m A

b

a

k

K1

a l1

m M1

B

A

k

Слика 10

M1

B

o

a b c . Такође, на основу Талесове теореме важи На основу претпоставке, важи да је = = l m k a b c a a = = . Из последње две пропорције следи једнакост = , па је l = l1. l1 m k l l1

pr om

Троуглови ∆LMK и ∆AM1K1 су подударни (ССС), а из те подударности следи да они имају подударне углове. На основу наведених тврдњи, закључујемо да троуглови ∆LMK и ∆ABC имају подударне углове, па морају бити слични. Дакле, важи тврђење: Теорема 3

Пример 3

uk a

Ако су странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла, ти троуглови су слични.

Ed

Странице једног троугла су 3,6 cm, 4,5 cm и 8,1 cm, а другог 2,7 cm, 1,2 cm и 1,4 cm. Да ли су ови троуглови слични?

3,6 4,5 8,1 = = Решење: Да би троуглови били слични, морала би да важи пропорција . Како 1,2 1,4 2,7 једнакост 3,6 = 4,5 не важи, троуглови нису слични.

1,2 1,4 Сличност троуглова подразумева да је један троугао умањена (док је други увећана) или подударна верзија другог. Пример 4 Странице троугла су a1 = 15 cm, b1 = 24 cm, c1 = 36 cm. Ако је најдужа страница њему сличног троугла 72 cm, одреди обим тог троугла.

Решење: Како најдужој страници првог троугла одговара најдужа страница другог, мора бити: а b 72 = = а1 b1 c1 = k, тј.

a b 72 = = = k.

15 24 36

O Одавде имамо да је k = 2, па како је = k, где је O1 = a1 + b1 + c1 = 75 cm, O1 O = 2, па је O = 150 cm. добијамо да је 75 36

СЛИЧНОСТ

Слични троуглови и средња линија

C x

y m

D

E

x

y B

c Слика 11

o

Талесова теорема и сличност заиста су моћан алат.

pr om

Користећи својства сличности троуглова, доказаћемо да је средња линија DE троугла ∆ABC паралелна страници AB и два пута краћа од ње. Како су тачке D и E, редом, средишта страница AC и BC, биће AD = DC = x и BE = EC = y.

AC 2x BC 2y = = 2, Даље, имамо DC = x = 2 и A EC y закључујемо да важи: AC BC = . Одавде, на основу обрата Талесове DC EC теореме, важи да су m и c паралелне. Троуглови ∆ABC и ∆DEC су слични (образложи зашто), x y m 1 m па је даље , тј. c = 2 m. = = , одакле je = 2x 2y c 2 c

ВЕЖБАМО

uk a

1.

Повежи стрелицом сличне троуглове.

2,5 cm 36°

Ed

2,5 cm

3 cm

3 cm

36°

90°

Ако ти затреба помоћ...

90°

x

2 cm

2√3 cm

x

x

2 cm

3 cm 90°

60°

90°

3 cm 60°

2,4 cm

4 cm

2,4 cm

Прочитај још једном дефиницију сличности троуглова, као и решења примера који су дати након дефиниције, а затим размисли и покушај да решиш задатак.

37

СЛИЧНОСТ

2. Одреди дужине страница x, y и z зеленог троугла ако је коефицијент сличности плавог и жутог троугла једнак коефицијенту сличности жутог и зеленог троугла.

6 cm

4 cm

4 cm

y 4,8 cm

?

x

pr om

Катете правоуглог троугла су 4,5 cm и 4,5 √3 cm. Ако је хипотенуза њему сличног троугла 6 cm, одредити коефицијент сличности, као и однос површина ових троуглова.

uk a

Колико парова сличних троуглова је могуће уочити на слици? Образложи одговор.

5.

90°

90°

Ненад, који је висок 1,88 m, стоји поред уличне светиљке. У једном тренутку, дужине сенки Ненада и светиљке су редом 0,94 m и 3,6 m. Одредити висину светиљке.

Ed

6.

z

o

5 cm

3.

4.

3,2 cm

E

На слици је дат правилни шестоугао ABCDEF. Доказати да су троуглови ∆CGB и ∆ACD слични.

D

F

C G A

38

B

СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Да ли су слични троуглови са слике? НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

3.

2 4

1,8

90°

3,6

pr om

ДА

3

o

2.

Најкраћа страница троугла који је сличан троуглу са слике дужине је 1. Дужина најдуже странице тог троугла је: а) 1,5; б) 2 ; в) 6. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

90°

60°

Свака два једнакокрако-правоугла троугла су слична. (Заокружи тачан одговор.)

Заокружи слова испред тачних исказа.

а) Ако су два троугла међусобно подударна, онда су и међусобно слична. б) Ако су два троугла међусобно слична, онда су и међусобно подударна. в) Ако је ∆T1 ~ ∆T2 и ∆T2 ~ ∆T3 , онда је и ∆T1 ~ ∆T3. г) Коефицијент сличности два троугла може бити једнак 1.

Ed

4.

НЕ

uk a

ДА

39

СТАВОВИ СЛИЧНОСТИ ТРОУГЛОВА

Научићеш да формулишеш и примењујеш ставове сличности.

Ако су два троугла слична и дужине одговарајућих страница су једнаке, ти троуглови су подударни. Подударност је специјалан случај сличности. У општем случају, слични троуглови немају једнаке дужине одговарајућих страница (Слика 1).

слични и подударни

слични, али нису подударни

Задатак 1

60° 2 cm

≅

4 cm

72°

30°

60° 2 cm

Слика 2

4,5 cm

~

72°

2,5 cm 36°

2,5 cm

Ed

4,5 cm

90°

uk a

30°

2√3 cm

pr om

o

Слика 1 Означи темена приказаних троуглова, а затим запиши тврђење које је приказано на сликама.

али

Слика 3

4,5 cm 72°

90°

~

4,5 cm 72°

≅

2√3 cm 4 cm

2,5 cm 36°

2,5 cm

Присети се ставова подударности.

Да бисмо утврдили сличност двају троуглова, није увек потребно да доказујемо једнакост свих одговарајућих углова или пропорционалност свих одговарајућих страница. Слично као код подударности троуглова, важе тврђења на основу којих можемо једноставније доказати сличност двају троуглова.

40

СЛИЧНОСТ

Ставови сличности

44°

62°

Одреди најмањи број података на основу којих можеш да закључиш да су следећи троуглови слични.

74°

Слика 4

44°

62° 74°

44°

74°

pr om

Решење: Довољно је уочити два једнака угла међу посматраним троугловима да би они били слични. Трећи угао ће бити једнак као допуна до 180°.

74°

o

Пример 1

Слика 5

Први став сличности троуглова (УУ):

Ако су два унутрашња угла једног троугла подударна са два унутрашња угла другог троугла, онда су ти троуглови слични.

C

uk a

Доказаћемо да је код сличних троуглова размера одговарајућих висина једнака коефицијенту сличности тих троуглова.

G

G

C

hg

α А

α

E

H

Ed

hc

β

F

hg hc

β

D

H

β

F

β D

B

B

Слика 6

Нека важи да је ∆ABC ~ ∆EFG, при чему је њихов коефицијент k. Означимо, редом, са hc и hg висине које одговарају страницама c и g. На основу првог става сличности троуглова, имамо да је ∆DBC ~ ∆HFG (образложи зашто), па BC h је c = = k. hg FG

Задатак 2

Доказати да је количник површина двају сличних троуглова једнак квадрату њиховог коефицијента сличности.

41

СЛИЧНОСТ

Други став сличности троуглова (СУС): Ако су две странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла и њима захваћени углови подударни, онда су ти троуглови слични. Пример 2

B

Испитајмо сличност троуглова ∆ABC и ∆DEC са слике.

2,4 cm

Решење:

A

Задатак 3

0,8 cm

C

4,8 cm

o

1,6 cm

D

E

Слика 7

pr om

Како је 2,4 = 0,8 и како су одговарајући 4,8 1,6 углови код темена C једнаки као унакрсни углови, на основу другог става сличности троуглова закључујемо да су троуглови ∆ABC и ∆DEC слични.

Катете једног правоуглог троугла су 7 cm и 5 cm, а другог 8,4 cm и 6 cm. Да ли су ови троуглови слични? Задатак 4

uk a

C

Ed

Испитај сличност троуглова са заједничком страницом на Слици 8.

16

55°

55°

D

36

24

A

B Слика 8

Трећи став сличности троуглова (ССС): Ако су странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла, онда су ти троуглови слични. Пример 3 Испитај сличност троуглова ∆ABC и ∆BDC са Слике 9. На колико начина се то може урадити?

2 cm

A

42

4 cm

C

D

2√2 cm 2 cm

2√2 cm

B Слика 9

СЛИЧНОСТ

Решење: Како је

2

=

2√2 ∆ABC ~ ∆BDC.

2

= 2√2 (провери), на основу трећег става сличности троуглова, важи 4 2√2

Применом обрата Питагорине теореме покушај да докажеш сличност троугла ∆ABC и ∆BDC. Четврти став сличности троуглова (ССУ):

Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и ако су унутрашњи углови наспрам дужих од тих страница подударни, онда су ти троуглови слични. Другим речима, ако за троуглове на слици c b важи c = , при чему је b > c b1 1 (па и b1 > c1) и ∢ABC = ∢A1B1C1 = β (тј. углови

C

o a

pr om

b

наспрам дужих страница једнаки), тада су троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1 слични. Пример 4

β

c

A

a1

C1

b1

c1 A1

B

Слика 10

N

uk a

Испитати сличност троуглова ∆MON и ∆QOP који су приказани на слици. Решење:

Важи једнакост 8,4 = 5,4 = 1,2 и 7 4,5 ∢MON = ∢QOP (унакрсни углови).

Ed

Ови углови се налазе наспрам дужих

8,4 cm O M 4,5 cm

страница, па ће, према четвртом ставу сличности, троуглови ∆MON и ∆QOP бити

слични.

P

B1

β

5,4 cm Q

7 cm

Слика 11

43

СЛИЧНОСТ

ПОДУДАРНИ ИЛИ СЛИЧНИ – СТАВОВИ Подударни троуглови

Слични троуглови

~

≅

ССС: Два троугла су слична ако су странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла.

СУС: Два троугла су подударна ако су две странице једног троугла и угао захваћен њима једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла.

СУС: Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла и њима захваћени углови једнаки.

УСУ: Два троугла су подударна ако имају једнаку по једну страницу и оба одговарајућа угла налегла на ту страницу.

УУ: Два троугла су слична ако су два унутрашња угла једног троугла једнака са два унутрашња угла другог троугла.

ССУ: Два троугла су подударна ако су две странице једног троугла једнаке двема страницама другог троугла и притом су једнаки углови наспрам дужих од њих.

ССУ: Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и ако су унутрашњи углови наспрам дужих од тих страница једнаки.

Ed

uk a

pr om

o

ССС: Два троугла су подударна ако су странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог.

ВЕЖБАМО

1.

Испитај сличност троуглова ∆ABC и ∆MPQ са слике. a) C

P 7,5 A

4,5

M Q в)

б) A=M

4

3

10

Q

M 12,5

P B

B

36°

8 Q 36°

C

A M

10

P

12 9,6

C=Q B

C

A

44

P

г)

B

СЛИЧНОСТ

2.

C

Ако је BC||B1C1, доказати да су троуглови ∆ABC и ∆AB1C1 са слике слични.

B

B1

A C1

3. Ако два једнакокрака троугла имају бар један једнак спољашњи угао, да ли ови троуглови морају бити слични?

4.

m

Т

B

C

D

uk a

Испитај сличност зеленог и плавог троугла са слике. Којој врсти четвороугла припада ABCD? Образложи одговор.

Ed

F

D x E

A

5.

C

o

pr om

На слици је дат неједнакостранични троугао ∆ABC. Одреди дужину дужи x ако је m||AB, T тежиште, CE висина тог троугла и CD = 17 cm, CF = 10 cm.

2 cm

O

4,5 cm

2,25 cm 4 cm

A

B

6. Дијагонала AC четвороугла ABCD са слике полови угао код темена A. Ако је угао код темена A 60°, одреди дужине дужи x, y. Покушај да задатак решиш на два начина.

D

12 7

A

y C

√3 1,75

x

B

45

СЛИЧНОСТ

Прочитај став СУС сличности и подсети се како се решава Пример 3 на истој страни. Проверимо да ли важи пропорција АD : АС = АС : АВ = ............ Важи ∢DАС = ∢ ........... = 30°. На основу става СУС сличности, закључујеш да су троуглови ∆АDС и ∆АВС ............................................. Коефицијент сличности износи ....................... Користећи особине сличних троуглова, покушај самостално да одредиш дужине x и y.

Проверавамо своје знање (5 минута)

pr om

1.

o

Ако ти се задатак чини тешким, немој да одустанеш.

Један правоугли троугао има угао 42°, а други правоугли троугао има угао 46°. Да ли су ови троуглови слични? ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

2.

3.

а) 2;

uk a

Једнакостраничном троуглу увећана је дужина странице два пута и тако је добијен њему сличан троугао. Однос површина полазног и новонасталог троугла је: б) 2√3;

в) 4.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Троуглови са слике нису слични. НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Ed

ДА

C 1

49°

49°

D

4 2

B

A

4. Троуглови са слике су слични. ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

1

90°

6

3 90°

46

2

Научићеш да решаваш практичне проблеме помоћу сличности и конструишеш геометријску средину двеју дужи.

ПРИМЕНЕ СЛИЧНОСТИ Примена сличности на правоугли троугао

α b

C

q

D

h 90°

90°

p

o

A

β B

a

pr om

На слици је приказан правоугли троугао ∆ABC. Нека је h висина која одговара хипотенузи, а p и q су редом одсечци BD и DA које ова висина одваја на хипотенузи. На слици можеш да уочиш укупно три правоугла троугла. Да ли су поменути троуглови међусобно слични? Испитаћемо да ли важи: ∆ABC ~ ∆ACD, ∆ABC ~ ∆CBD, ∆CBD ~ ∆ACD.

Слика 1

uk a

Ако су α и β, редом, углови код темена A и B, онда је α + β = 90°. У троуглу ∆ACD важи да је ∢ACD + α + 90° = 180°, одакле је α + ∢ACD = 90°. На основу наведених једнакости, добијамо да је ∢ACD = β. Такође, за троугао ∆CBD важи ∢BCD = α. На основу става УУ једноставно можемо тврдити да важи ∆ABC ~ ∆ACD, ∆ABC ~ ∆CBD, ∆CBD ~ ∆ACD. Искористимо сваку од доказаних сличности.

Ed

c b Из ∆ABC ~ ∆ACD, добијамо пропорцију b = q , oдакле следи b2 = q ∙ c. c a Из ∆ABC~∆CBD, добијамо пропорцију , oдакле следи a2 = p ∙ c. = a p h p Из ∆CBD~∆ACD, добијамо пропорцију , oдакле следи h2 = p ∙ q. = q h

Како доказане једнакости повезују елементе правоуглог троугла са одсечцима које на хипотенузи одваја висина која јој одговара, оне су врло применљиве. Уз помоћ једнакости b2 = q ∙ c и a2 = p ∙ c, можемо одредити збир:

a2 + b2 = p ∙ c + q ∙ c = (p + q) ∙ c = c ∙ c = c2, тј. a2 + b2 = c2. Уз помоћ сличности троуглова доказали смо Питагорину теорему. Пример 1

Висина која одговара хипотенузи правоуглог троугла дели хипотенузу c = 12,5 cm на одсечке p и q. Ако је q = 8 cm, израчунај обим и површину овог троугла.

47

СЛИЧНОСТ

Решење: Из c = p + q, добијамо p = 12,5 – 8 = 4,5 cm. Даље, из једнакости a2 = p ∙ c, добијамо a2 = 4,5 ∙ 12,5 = 56,25, одакле је a = 7,5 cm. Дужину друге катете можемо добити применом једнакости b2 = q ∙ c, или помоћу Питагорине теореме. Из c2 = a2 + b2 следи: b2 = c2 – a2 b2 = 12,52 – 7,52 b = 10 cm Сада је обим троугла O = a + b + c = 7,5 + 10 + 12,5 = 30 cm, док је површина a ∙ b 7,5 ∙ 10 P= = = 37,5 cm2.

2 2

o

Задатак 1

pr om

Дужина хипотенузе правоуглог троугла је c = 15 cm, а дужина једне катете b = 12 cm. Одреди однос површина троуглова на које је овај троугао подељен висином која одговара хипотенузи. Геометријска средина дужи и њена конструкција Из једнакости h2 = p ∙ q, добијамо да је h = √p ∙ q. Дефиниција 1

uk a

Дуж h = √p ∙ q називамо �еоме�ријском сре�ином дужи p и q.

За произвољне две дужи можемо конструисати њихову геометријску средину, конструкцијом висине која одговара хипотенузи одговарајућег правоуглог троугла.

Ed

Пример 2

За задате дужи x и y, конструисаћемо њихову геометријску средину, тј. дуж √x ∙ y.

A

x

D

y

B

C

A

x

D

Слика 2 48

y

B

A

x

D

y

B

СЛИЧНОСТ

Решење: Најпре конструишемо збир дужи x + y, а затим симетралу тог збира. Са центром у средишту дужи x + y конструишемо кружницу чији је полупречник једнак x + y , а затим конструишемо 2 нормалу на дуж x + y у тачки D. Нека је C пресечна тачка нормале и кружнице. Дуж CD је тражена дуж. Остаје да то и докажемо. По конструкцији, троугао ∆ABC је правоугли, дуж CD је висина која одговара хипотенузи, па је према једној од доказаних једнакости CD2 = x ∙ y, тј. CD = √x ∙ y. Дакле, дуж CD је геометријска средина дужи x и y.

Задатак 2

У седмом разреду смо научили да конструишемо ове дужи помоћу Питагорине теореме. Ово је други начин.

Конструиши дуж чија је дужина једнака √5 cm.

pr om

o

Упутство: Тражена дуж је геометријска средина дужи x = 5 cm и y = 1 cm.

uk a

Река Како одредити ширину реке без преласка на другу страну обале?

A

D

E x

2x

B

C

Ed

Слика 3

Нека дуж AB представља ширину реке. Тачком A означен је објекат смештен уз саму обалу реке, а тачком B објекат са њему супротне стране. Непосредно уз објекат B фиксирали смо (нормално на раван земље) штап дужине x (дуж EB) тако да крај његове сенке пада у објекат A и припремили штап дужине 2x. Већим штапом се удаљавамо од реке до тренутка док и крај сенке дужег штапа не дође у објекат A. Тада фиксирамо већи штап (притом добијамо тачку C) и дужина дужи BC биће једнака дужини дужи AB, тј. ширини реке. Остаје да докажемо исправност нашег мерења. Ово је могуће извести на више начина (примена Талесове теореме и ставова сличности). Троуглови ∆ABE и ∆ACD су слични (образложи), па имамо да је: x AB = .

2x AC Даље је: 2AB = AC. Како је још и: AC = AB + BC, једноставно је закључити да је AB = BC. 49

СЛИЧНОСТ

Летовање Милан и Јована летују на острвима која се налазе у непосредној близини. Јована са својим родитељима летује у хотелу „Сунце” на једном острву, а Милан у хотелу „Олимпија” на другом. Миланов тата процењује да Милан може чак и да преплива до Јованиног острва и да не мора да буде тужан што не летују у истом хотелу. „Погледај мало боље ову скицу коју сам ти нацртао. Учио си на часовима математике о сличним троугловима, а и Талеса сте помињали.

S β

x

B

α A

o

Слика 4

pr om

Покушај да нешто од тога примениш и одредиш удаљеност између твог и Јованиног хотела. Не мораш да нас чекаш, можеш и пливајући да стигнеш до Јоване”, тешио је тата Милана. Ако тачком A означимо позицију хотела у којем је смештен Милан, а тачком S означимо место на којем се налази хотел у којем је смештена Јована, можеш ли да помогнеш Милану да одреди удаљеност између хотела у којима су смештени? Да ли је Миланов тата у праву? На Милановом острву одаберимо произвољно тачку B. Дужину дужи AB можемо измерити. Нека је AB = 750 m. Даље, измеримо величине углова код темена A и B троугла ∆ABS.

Ed

uk a

Означимо их са α и β. Једноставно можемо конструисати троугао ∆A1B1S1 сличан троуглу ∆ABS. За дужину дужи A1B1 можемо узети произвољну дужину. Због једноставнијег рачуна, нека је A1B1 = 7,5 cm. Можемо измерити дужину дужи A1S1. Претпоставимо да смо измерили и да је дужине 14 cm. По конструкцији, важи да је ∆A1B1S1 ~ ∆ABS, па имамо: x AB x 75000 , одакле је , тј. = = x1 A1B1 7,5 14 x = 140000 cm = 1400 m.

S1 x1

β α A1

7,5 cm

B1

Слика 5

Соба Уз помоћ сличности троуглова можеш измерити висину своје собе користећи батеријску лампу, ласер, огледало и сл. Осмисли детаљно тај поступак, запиши га у својој свесци, а затим одреди висину своје собе.

50

СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1. Попуни табелу бројевним вредностима које одговарају ознакама са слике.

7,2

q h

c

5

2.

23,04 6,72

3

b

b

C

q

h

D 90°

90°

p

a

β

B

o

a

α

20

pr om

p

A

Катете правоуглог троугла су a = 12 cm и b = 16 cm. Одреди однос обима троуглова на које је овај троугао подељен висином која одговара хипотенузи.

uk a

Ако се подсетиш како се одређује коефицијент сличности троуглова и у каквом односу су њихови обими у теми Сличнос� �роу�лова, задатак ћеш решити за мање од једног минута. Провери!

3.

5.

Ed

4.

Конструиши једнакостраничан троугао странице a = 4 cm, а затим конструиши дуж која је геометријска средина те странице и полупречника кружнице која је уписана у тај троугао. Нацртај произвољну дуж x, па конструиши дуж √x. √a ∙ b За произвољне дужи a и b, конструиши дуж а)�a ∙ b ; б) .

5 5

кат

је Про

Често се говори о пројектима: пројекат изградње моста, пројекат научних истраживања, ..., рад на пројекту. Сви пројекти садрже план по коме су осмишљене активности, које имају за циљ настанак производа: изграђен мост, настанак нових открића... У оквиру пројеката, решавајући проблем, имаћеш прилику да добијеш одговор на најчешће постављено питање: „Зашто ово учим?” Да би пројекат био успешан, важно је направити добар план.

51

СЛИЧНОСТ

ПРОЈЕКТНИ ЗАДАТАК Кабинет математике је потребно преуредити како би се направило довољно простора за дигиталну опрему, а да се притом не угрози постојећи простор ученика. Направи идејни пројекат за преуређење кабинета. Циљ пројекта (поред основног продукта пројекта, навести бар још два циља: примена стечених знања из математике и других предмета….)

умањење, увећање, Талесова теорема и њен обрат, примена сличности троуглова

o

Учесници у пројекту; аутори пројекта (навести имена учесника, као и називе организација које учествују у реализацији пројекта)

pr om

Време почетка и завршетка пројекта Место (простор) у којем ће се изводити активности за реализацију пројекта

Потребни ресурси (материјални и људски ресурси)

Ed

uk a

Разрада плана уз навођење датума извођења за сваку активност • Сакупљање идеја за реализацију постављаног пројектног задатка (brainstorming = навала идеја) и одабир • Прецизирање радних задатака • Индивидуални радни задаци • Одређивање и израда математичких задатака у оквиру пројектног задатка • Одређивање тема из других наставних предмета који доприносе реализацији плана • Софтверски алати који ће се користити • Прикупљање материјала који доказује да је тим радио на изради пројекта (фотографије, видео-снимци, документација) Представљање пројекта (навести начин, место и време где ће се пројекат представити) Оцена пројекта (дати осврт на урађено у пројекту, истаћи добре стране и недостатке који су уочени, као и навести идеју за даље истраживање ако их има) 52

Препорука Користи слободан софтверски алат „Како направити 3D нацрт стана” или неки сличан слободан софтвер

Ed

uk a

pr om

o

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

53

Подсетићеш се основних геометријских објеката.

УВОД Морам да измерим земљиште и направим лепу кућу за себе.

Да бисмо разумели геометрију, морамо да се кратко осврнемо на њен развој.

pr om

o

Почетак геометрије се поклапа са почетком градње објеката на земљишту. У тој градњи постоје неки просторни односи који важе и дан-данас. Хеленски математичар Еуклид је у најчитанијем делу Елементи (300. г. п. н. е.) засновао геометрију. Од тада па до доба ренесансе, суштинских промена у геометрији није било. Крајем деветнаестог века, геометрија се и формално, аксиоматски утемељује. Наиме, немачки математичар Давид Хилберт, у свом делу Основи �еоме�рије (1899), особине основних геометријских појмова: тачке, праве и равни и њихове односе одређује аксиомима.

uk a

стагнација у развоју геометрије

Еуклид, Елементи

Хилберт, Основи �еоме�рије

300. г. п. н. е.

19, 20. век

Ed

У ранијим разредима смо се упознали са основним геометријским објектима – тачка, права и раван. Одговоре на питања шта је тачка, шта је права, шта је раван нисмо дали, јер се поменути објекти, према договору, не дефинишу. Тачка, права и раван

Геометријски објекти којима смо се до сада бавили, попут троугла, круга, четвороугла, многоугла у општем случају... представљају фигуре које се налазе у равни, а део геометрије који се бави таквим фигурама назива се ūланиме�рија. Ове године ћемо пажњу посветити и геометријским објектима у простору, а део геометрије који се бави њима назива се с�ереоме�рија. На почетку ћемо се бавити основним геометријским објектима (тачка, права, раван) и њиховим међусобним односима (положајима). Подсетимо се: Тачке се обележавају великим словима латинице (A, B, C, D, E, F, G, … S, X, …), а графички се приказују кружићем.

54

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

X

B S

β γ

A

α A

a

π

C Слика 1

pr om

o

Праве означавамо најчешће малим писаним словима латинице (a, b, c, …, p, q, r, s, …, m, n, …). Како је права неограничена са обе стране, ми графички можемо приказати само један њен део, цртањем праве линије.

m

t

a

s

Слика 2

s Q P

Ed

uk a

У петом разреду смо дефинисали полуправу (део праве ограничен са једне стране тачком) и дуж (део праве ограничен двема различитим тачкама). На Слици 3 приказана је полуправа Ms и дуж PQ. Колико има тачака на једној правој? Да ли дуж која има већу дужину има више тачака од дужи мање дужине?

Помоћу штапа и канапа На Слици 4 је приказан угао ∢aEb и праве c и d које секу краке тог угла у тачкама A, B, C и D. Да ли је више тачака на дужи AB или CD? Посматраћемо полуправе са почетком у тачки E које секу дужи AB и CD. Замисли конце везане за ексер E као моделе тих полуправих. Колико таквих полуправих постоји у области угла ∢aEb? Има их бесконачно много. Свакој тачки пресека полуправе и дужи AB одговара тачно једна тачка пресека те полуправе и дужи CD.

M Слика 3

E c

B

A C

D

d b

a Слика 4

55

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Како оваквих полуправих има бесконачно много, можемо да закључимо да дужи AB и CD, као и праве одређене тим дужима, садрже бесконачно много тачака. То значи да дужи AB и CD имају једнак број тачака. Равни означавамо грчким алфабетом (α, β, γ, δ, …, ε, π, ρ, … σ, τ, …). Раван је неограничена, па можемо приказати само један њен део уз помоћ разних модела из окружења и њихових геометријских интерпретација, а најчешће је то паралелограм.

π

pr om

β

o

α

Слика 5

uk a

Лупа Обележи тачку на листу папира, а затим је погледај помоћу лупе. Тачка не мења своје значење – она у најширем смислу представља положај објекта који је означен том тачком, без обзира на „дебљину” приказа. Тачка, као основни математички објекат, нема „дебљину”. На исти начин посматрамо праву.

Ed

Геометрија је заиста савршена!

Задатак 1 Да ли се уз помоћ шест штапића могу саставити четири једнакостранична троугла (без деформације штапића)?

56

Имам проблем да решим овај задатак у равни.

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Потреба да се изађе из једне равни има за последицу појам простора – окружење у ком се и сами налазимо. Скуп објеката са следеће слике илуструје неке односе тачке, праве и равни, а самим тим и њихов положај у простору. a

C

α T

m A

n

S

π

o

Слика 6

pr om

Геометријске објекте у простору можемо посматрати из више перспектива. Пeрспектива

Ed

uk a

Марко је погледао коцку из различитих положаја. Неке ивице коцке није могао видети, па их је морао замислити. Замишљене ивице нацртао је испрекиданом линијом, што ћемо и ми убудуће чинити.

a)

б)

в)

г)

Слика 7

Задатак 2

Одговори на следећа питања: 1. Колико ивица има коцка? Одговор: .................................................................

2. За сваки од положаја наведи колико ивица коцке Марко види, а колико не. Одговор: ..............................................................................................................................................

3. У ком положају Марко види највише, а у ком најмање ивица? Одговор: ..............................................................................................................................................

57

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Задатак 3 Марко је из одређеног положаја погледао неке објекте са Слике 8. Ако је том приликом видео , које је објекте могао погледати? Заокружи слова испод тачних одговора.

a)

б)

в)

г)

a)

б)

в)

г)

pr om

На Слици 9 дата је мрежа коцке. Којој од понуђених коцака одговара та мрежа? Заокружи тачан одговор.

o

Слика 8

Задатак 4

Ed

uk a

Слика 9

58

Научићеш да уочаваш односе тачке и праве, тачке и равни и да формулишеш аксиоме везане за основне геометријске објекте.

Слика 1

uk a

pr om

Билијар Да ли играш билијар? Поред тачака, правих, углова, пресека, осне и централне симетрије, за ову игру везује се још много математичких појмова. Током играња билијара, у једном тренутку, положаји куглица могу бити као на слици. Путања кретања беле кугле (тачка A), представљена је правом s. Куглу коју ће бела најпре ударити означена је тачком B, док смо неке од преосталих кугли означили са F и E. Тачке A и B су на путањи s, а у математици кажемо да тачке A и B припадају правој s и записујемо A ∈ s, B ∈ s или права s садржи тачке A и B, што записујемо s ∋ A, s ∋ B. Како тачке F и E нису на путањи s, онда оне не припадају правој s, што записујемо E ∉ s, F ∉ s, тј. s ∌ E, s ∌ F. Тачка може припадати или не припадати једној правој. На правој p су уочене две различите тачке A и B (Слика 2). Колико правих садрже ове тачке?

o

ОДНОС ТАЧКЕ И ПРАВЕ, ТАЧКЕ И РАВНИ

a

b

A

p

B r

q

Слика 2

Ed

Аксиома Одговор на ово питање исказаћемо аксиомом, тврђењем у математици које се не доказује, него се прихвата као чињеница. Аксиома 1

Две различите тачке одређују тачно једну праву. Тачке A и B (Слика 2) одређују тачно једну праву p. Запис p (A, B) читамо: „Права p одређена је тачкама A и B.” Присетимо се и појма колинеарних тачака. Дефиниција 1 За три или више тачака кажемо да су колинеарне ако припадају истој правој. Уколико ово није испуњено, за те тачке кажемо да су неколинеарне.

59

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Задатак 1

A

На основу Слике 2, допуни реченице тако да буду тачне. а) Тачка D .................................... (припада/не припада) правој a. Математички то записујемо .............................. б) Тачке A, B и C ............................... (припадају/ не припадају) истој правој.

C

D

a

B

Слика 2

pr om

o

За ове три тачке кажемо да су ................................................. в) Тачке A, B, C и D ......................................... (припадају/не припадају) истој правој. За ове четири тачке кажемо да су ............................................................. г) Права a ......................... (јесте/није) одређена паровима тачака B и C, B и D, D и C. Ако јесте, записујемо ..........................................

Ed

uk a

Рад на пројекту Ана, координатор у групи, позвала је своје сараднике Бојану, Цоку, Дејана и Ену у своју кућу како би у најкраћем року завршили пројектну документацију. Нису се видели скоро месец дана, па су се срдачно сви међусобно руковали. Колико је том приликом остварено руковања?

E Анину групу можемо представити тачкама. Када се Ана рукује са осталима, том приликом D добијамо укупно четири руковања – плаве A путање. Када се Бојанa рукује са осталима, том приликом добијамо укупно три руковања – црвене путање. Приметимо да је руковање B Ане и Бојане и Бојане и Ане једно руковање.

C Слично, када се Цока рукује са осталима, том приликом добијамо још два руковања – Слика 3 зелене путање. Као малопре, руковање Бојана–Цока и Цока–Бојана, као и Ана–Цока и Цока–Ана, јесте једно руковање. За Дејана oстало је једно ново руковање. Било је укупно 4 + 3 + 2 + 1 = 10 руковања. Можемо рачунати и на други начин: Како се свака особа може руковати са четири особе, укупно би било 5 ∙ 4 = 20 руковања. У том случају би се свако руковање поновило два пута, за чим нема потребе, па наш је производ 5∙4 потребно преполовити. Дакле, решење је = 10 руковања.

2 Овај начин је згоднији уколико имамо велики број људи у просторији, тј. ако имамо n особа, укупан број руковања би био n ∙ (n – 1) .

2 60

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Применом овог модела, можемо формулисати следеће тврђење. Теорема 1 За n различитих тачака, од којих никоје три нису колинеарне, постоји одређених правих.

n ∙ (n – 1) њима 2

Пример 1

pr om

o

Одредићемо: а) број различитих правих које су одређене са 100 различитих тачака, међу којима никоје три нису колинеарне. б) број различитих правих одређених са шест тачака, међу којима су тачно четири колинеарне.

Решење: Слика 4 100 ∙ 99 а) Број тражених правих једнак је = 4950.

2 б) Посматрајмо Слику 4. Број различитих правих које су одређене са ових шест тачака једнак је 10. Доцртај те праве.

uk a

У каквом односу могу бити тачка и раван?

S

P M

N Q

Ed

Слично односу тачке и праве, тачка може припадати или не припадати датој равни. Листови свеске представљају моделе равни α и β. Тачка Q припада равни α, што записујемо са Q ∈ α. Тачка P не припада равни α, што записујемо са P ∉ α. Исказе Q ∈ α и P ∉ α можемо записати и као α ∋ Q и α ∌ P.

β

α

Слика 5

Задатак 2

Види Слику 5, а затим допуни следеће исказе симболима ∈, ∉, ∋, ∌ тако да искази буду тачни. а) S ........ α; г) M ........ β; б) β ........ N; д) α ........ M; в) N ........ α; ђ) P ........ β.

61

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Одређеност равни Колико је најмање тачака потребно да би једна раван била одређена?

A

С

В π

За стабилност сточића потребне су најмање три ножице!

Слика 6 За три различите неколинеарне тачке, постоји тачно једна раван која их садржи. Аксиома 2

pr om

o

Три различите неколинеарне тачке одређују тачно једну раван.

Раван π је одређена трима различитим и неколинеарним тачкама A, B и C, што записујемо π (A, B, C). Дефиниција 2

Пример 2

uk a

За четири или више тачака кажемо да су комūланарне ако припадају истој равни. Уколико ово није испуњено, кажемо да су те тачке некомūланарне.

Ed

Тачке M, N, P и Q са Слике 7 су компланарне, док су тачке F, N, P и Q некомпланарне. Како за n различитих тачака од којих никоје

три нису колинеарне постоји n ∙ (n – 1) правих које оне одређују, тако и за 2 n различитих тачака од којих никоје четири

нису компланарне постоји n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) равни које су њима 6 одређене. Последњу формулу наводимо без

E

C D

F

B P

A M

Q N

Слика 7

образложења.

Са α (M, N, P) можемо означити раван одређену тачкама M, N, P. Како та раван садржи и тачку Q, исту раван смо могли означити и са α (M, N, Q). Како је у питању исти геометријски објекат записан на другачији начин, користићемо ознаку „≡”, па можемо записати: α (M, N, P) ≡ α (M, N, Q). (Ознаку „≡” читамо као „идентички једнако”.)

62

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Пример 3

компланарне тачке

Посматрајмо квадар ABCDA1B1C1D1. Ивице AD, D1D и DC се не виде из овог положаја. Тачке A, D, D1 и A1 су компланарне (припадају истој страни квадра). Тачке A, B, C и C1 нису компланарне. Тачни су следећи искази: A ∈ α (B, C, D), A ∉ β (D, C, C1) π (B, C, C1) ≡ φ (B, B1, C1). Пример 4

D1

A1

C1

B1 D

A

C

B некомпланарне тачке

o

Слика 8

pr om

Одредићемо све равни које су одређене теменима A, B, C и D1 квадра са Слике 8.

Решење: Свака тројка неколинеарних тачака одређује једну раван. Тражене равни одређене су тројкама тачака: A, B, C; A, B, D1; B, C, D1; A, C, D1. Укупно четири равни.

uk a

На Слици 9 су приказане тачке A, B, C и D које припадају равни α и тачке E, F и G које јој не припадају. Посматрајмо праве a (D, C), b (A, G), c (E, F). Права a = a (D, C) одређена је тачкама које припадају равни α = α (B, C, D). Да ли ће и цела права припадати тој равни?

Е F

D A

C B

α

Ed

Права a припада равни α, што записујемо: a ⊂ α и читамо: „a је подскуп од α”.

G

Слика 9

Аксиома 3

Ако две различите тачке припадају истој равни, тада и права одређена тим тачкама припада тој равни. Паралелне праве Аксиома 4 Нека је у равни дата права p и тачка A која не припада тој правој. Постоји тачно једна права те равни која садржи тачку A и са правом p нема заједничких тачака.

A

p

α

Слика 10 63

СЛИЧНОСТ ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ВЕЖБАМО 1. Одреди број различитих правих које су одређене са пет тачака, међу којима никоје три нису колинеарне.

2. Одреди број различитих правих одређених са шест тачака, међу којима су а) тачно три колинеарне; б) тачно четири колинеарне.

o

Хвала ти!

Можеш да се вратиш на почетак данашње лекције и прочиташ још једном како је одређен укупан број руковања на састанку код Ане.

pr om

Задатак под б) је већ урађен тако што смо праве цртали и бројали. Шта ће се догодити ако имам 1000 тачака, од којих је 30 колинеарних, како ћу тада да поступим?

Када примениш формулу, колико ће правих одредити шест неколинеарних тачака?

У овом случају имаш .............. колинеарне тачке. Уколико би и оне биле неколинеарне, оне би одредиле тачно .............. праве. То значи да од укупног броја одузмеш .............. праве, јер оне у овом случају одређују једну исту праву. То значи да ових шест тачака, од којих су три колинеарне, одређују тачно .............. правих.

uk a

∙ (n – 1) = 2

3.

Ed

Хвала ти пуно, ја заправо овај поступак могу да применим и у случају са 1000 тачака. Наравно! Покушај да решиш пример под б) на начин на који је решен пример под а).

Израчунај укупан број дијагонала n-тоугла.

4. Колико је најмање, а колико највише правих одређено четирима различитим тачкама на кружници и центром круга? Скицирај одговарајуће слике.

5. Колико је правих одређено теменима правоуглог троугла и: а) центром уписане кружнице; б) центром описане кружнице?

6. Колико је правих, а колико равни одређено теменима коцке? Скицирај слику.

7. Са колико је тачака, међу којима никоје три нису колинеарне, одређено 36 правих?

64

СЛИЧНОСТ ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Тачке A, C и D са слике нису колинеарне. ДА

НЕ

A

(Заокружи тачан одговор.)

D C

2.

o

Број различитих правих одређених 21 тачком, међу којима никоје три нису колинеарне, јесте: а) 210; б) 200; в) 190. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

pr om

3.

Број различитих правих одређених са 5 тачака, међу којима су тачно три колинеарне, јесте: а) 6; б) 8; в) 10. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

4.

Ed

uk a

Колико је најмање правих одређено теменима квадрата и тачком унутар тог квадрата? а) 4 ; б) 6 ; в) 8. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

65