Математика уџбеник за 8. разред основне школе

Page 1

Радица Каровић и Сузана Ивановић

МАТЕМАТИКА 8

Ed

uk a

pr om

o

Уџбеник за осми разред основне школе


Радица Каровић и Сузана Ивановић

МАТЕМАТИКА 8

Уџбеник за осми разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Др Бошко Влаховић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Др Наташа Филиповић СТРУЧНИ КОНСУЛТАНТИ Душан Мијајловић Никола Каровић

ДИЗАЈН И ГРАФИЧКА ПРИПРЕМА Јасмина Игњатовић

pr om

o

РЕЦЕНЗЕНТИ Др Ђорђе Баралић, виши научни сарадник, Математички институт САНУ, Београд Др Мића Станковић, редовни професор, Природно-математички факултет у Нишу Др Јелена Ивановић, асистент Архитектонског факултета Универзитета у Београду Веселинка Милетић, наставник математике

uk a

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

Ed

ИЗДАВАЧ Едука д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: http://www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Др Бошко Влаховић, директор ШТАМПА Ротографика, Суботица Издање бр.: 1, Београд, 2021. година

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2) КАРОВИЋ, Радица, 1967Математика 8 : уџбеник за осми разред основне школе / Радица Каровић и Сузана Ивановић. - Изд. бр. 1. - Београд : Eduka, 2021 (Суботица : Ротографика). - 284 стр. : илустр. ; 29 cm Тираж 1.500. - Библиографија: стр. 284. ISBN 978-86-6013-520-1 1. Ивановић, Сузана, 1959- [аутор] COBISS.SR-ID 41447433

Тираж: 1500

© Едука д.о.о. Београд

Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника Решењем број: 650-02-00395/2020-07. Није дозвољено: репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући и фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.


САДРЖАЈ 5 6

Предговор Водич кроз уџбеник

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

pr om

Пропорционалне величине Самерљиве и несамерљиве дужи Подела дужи у датој размери Талесова теорема Примена Талесове теореме Сличност троуглова Ставови сличности троуглова Примене сличности

o

СЛИЧНОСТ

uk a

Увод Однос тачке и праве, тачке и равни Односи правих, мимоилазне праве, одређеност равни Односи праве и равни Однос двеју равни. Диедар Ортогонална пројекција на раван Полиедар

8 10 14 19 26 32 40 47

54 59 66 71 76 80 87

Ed

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ Еквивалентни изрази. Појам једначине Еквивалентне једначине. Појам линеарне једначине с једном непознатом Решавање линеарних једначина с једном непознатом Примена линеарних једначина с једном непознатом Појам и решење линеарне неједначине с једном непознатом Решавање линеарних неједначина с једном непознатом

94 99 103 107 111 114

ПРИЗМА Призма – појам, елементи и врсте Дијагонале и дијагонални пресеци призме Мрежа призме Површина призме Запремина призме

120 125 130 135 142


ПИРАМИДА Пирамида – појам, елементи и врсте Једнакоивичне и правилне пирамиде Пресеци пирамиде и равни. Дијагонални пресек пирамиде Мрежа пирамиде Површина пирамиде Запремина пирамиде

150 155 160 165 170 175

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

pr om

o

Појам линеарне функције Експлицитни и имплицитни облик линеарне функције. Паралелност графика линеарних функција Нула линеарне функције Раст и опадање линеарне функције Знак линеарне функције. Испитивање графика Примена линеарне функције

182 187 192 195 199 203

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

uk a

Појам и решење једначине с две непознате. Појам система Графички приказ решења система. Еквивалентни системи Методе решавања система линеарних једначина с две непознате Примена система линеарних једначина с две непознате

208 214 220 226

ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

230 235 240 244 249 254 257 262

Резултати, упутства, решења Литература

269 284

Ed

Ваљак – појам и елементи Мрежа и површина ваљка Запремина ваљка Купа – појам и елементи Мрежа и површина купе Запремина купе Лопта – појам и елементи Површина и запремина лопте


o

ПРЕДГОВОР

pr om

„Човек који хоће савесно да утиче на развитак другог човека може да поступа само на један начин: да развија његову снагу мишљења, да га научи да посматра чињенице сам својим умом и да сам уме правити логичке закључке.” Светозар Марковић

Ed

uk a

Стварајући овај уџбеник, имали смо намеру да пажљивим избором примера и задатака развијамо твоју снагу мишљења, да те научимо да посматраш чињенице својим умом и да научиш да правиш логичке закључке. Ове вештине и стечено знање ће у много чему одредити твоје место у свету у који ћеш закорачити када на крају школске године затвориш и последњу страну књиге која је пред тобом. На почетку сваке теме, у примерима, истакли смо ситуације или прилике из реалног окружења у којима се можеш сусрести са математичким појмом који уводимо. У оквиру вежбања понудили смо помоћ у виду сугестије, инструкције или једног од начина на који би требало да закључујеш приликом решавања задатака. На крају сваке лекције је петоминутни тест којим провераваш своје знање. Желимо ти пуно радости коју знањем и решеним задатком можеш да осетиш. Срећно!

5


ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК НАУЧИЋЕШ У ЛЕКЦИЈИ

НАСЛОВ ЛЕКЦИЈЕ

МОТИВАЦИОНИ ПРИМЕР

Научићеш да уочаваш односе тачке и праве, тачке и равни и да формулишеш аксиоме везане за основне геометријске објекте.

ОДНОС ТАЧКЕ И ПРАВЕ, ТАЧКЕ И РАВНИ Билијар Да ли играш билијар? Поред тачака, правих, углова, пресека, осне и централне симетрије, за ову игру везује се још много математичких појмова. Током играња билијара, у једном тренутку, положаји куглица могу бити као на слици. Путања кретања беле кугле (тачка A), представљена је правом s. Куглу коју ће бела најпре ударити означена је тачком B, док смо неке од преосталих кугли означили са F и E. Тачке A и B су на путањи s, а у математици кажемо да тачке A и B припадају правој s и записујемо A ∈ s, B ∈ s или права s садржи тачке A и B, што записујемо s ∋ A, s ∋ B. Како тачке F и E нису на путањи s, онда оне не припадају правој s, што записујемо E ∉ s, F ∉ s, тј. s ∌ E, s ∌ F. Тачка може припадати или не припадати једној правој. На правој p су уочене две различите тачке A и B (Слика 2). Колико правих садрже ове тачке?

РЕШЕНИ ПРИМЕР СЛИЧНОСТ

Пример 2 Слични троуглови у различитим временским тренуцима:

Слика 8 Однос страница сличних троуглова

Слика 1

b1

a

q

Аксиома Одговор на ово питање исказаћемо аксиомом, тврђењем у математици које се не доказује, него се прихвата као чињеница.

АКСИОМА

ДЕФИНИЦИЈА

Аксиома 1 Две различите тачке одређују тачно једну праву.

Тачке A и B (Слика 2) одређују тачно једну праву p. Запис p (A, B) читамо: „Права p одређена је тачкама A и B.” Присетимо се и појма колинеарних тачака. Дефиниција 1 За три или више тачака кажемо да су колинеарне ако припадају истој правој. Уколико ово није испуњено, за те тачке кажемо да су неколинеарне.

c

B

b

C1

a

ТЕОРЕМА

a1

b1

B1

A = A1

c1

c

B1

B

Слика 9

pr om

r

c1

A

p

Слика 2

a1

o

b B

A1

a

b

A

C

C1

C

На Слици 9 су приказани слични троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1. На основу дефиниције сличности, ови троуглови имају подударне углове. Нека су подударни углови код темена A и A1, B и B1, C и C1, редом. Транслацијом троугла ∆A1B1C1 за вектор A1A и ротацијом за одређени угао око темена A1, троуглови се могу довести у положај који је приказан. Углови код темена B и B1, као и C и C1, јесу подударни, па можемо да закључимо да су праве које садрже странице a и a1 паралелне, па на основу Талесове теореме важи:

Коефицијент сличности

c1 b1 a1 c b a = = , тј. c = = . c b a b1 a1 1

Теорема 1

Ако су троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1 слични, онда су размере одговарајућих страница тих троуглова једнаке, тј. одговарајуће странице су �ро�орционалне. Размеру одговарајућих c b a страница означавамо словом k, тј. 1 = 1 = 1 = k . Број k називамо коефицијен�ом c b a сличнос�и.

uk a

59

34

ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБУ

ПОМОЋ У РЕШАВАЊУ И ДОДАТНА ПОЈАШЊЕЊА

СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1.

p q h a b c

A

α

q

7,2

2.

23,04 6,72

3 5

b

C

h

Ако ти се задатак чини тешким, немој да одустанеш.

D

Ed

Попуни табелу бројевним вредностима које одговарају ознакама са слике.

СЛИЧНОСТ

90°

90°

p

a

β

B

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

20

Један правоугли троугао има угао 42°, а други угао 46°. Да ли су ови троуглови слични? ДА

Катете правоуглог троугла су a = 12 cm и b = 16 cm. Одреди однос обима троуглова на које је овај троугао подељен висином која одговара хипотенузи. Ако се подсетиш како се одређује коефицијент сличности троуглова и у каквом односу су њихови обими у теми Сличнос� �роу�лова, задатак ћеш решити за мање од једног минута. Провери!

КРАТАК ТЕСТ ПРОВЕРЕ ЗНАЊА

5.

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

2. Једнакостраничном троуглу увећана је дужина странице два пута и тако је добијен њему сличан троугао. Однос површина полазног и новонасталог троугла је:

3.

а) 2;

б) 2√3;

в) 4.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Троуглови са слике нису слични.

3.

4.

Прочитај став СУС сличности и подсети се како се решава Пример 3 на истој страни. Проверимо да ли важи пропорција АD : АС = АС : АВ = ............ Важи ∢DАС = ∢ ........... = 30°. На основу става СУС сличности, закључујеш да су троуглови ∆АDС и ∆АВС ............................................. Коефицијент сличности износи ....................... Користећи особине сличних троуглова, покушај самостално да одредиш дужине x и y.

Конструиши једнакостраничан троугао странице a = 4 cm, а затим конструиши дуж која је геометријска средина те странице и полупречника кружнице која је уписана у тај троугао. Нацртај произвољну дуж x, па конструиши дуж √x. За произвољне дужи a и b, конструиши дуж а)�a ∙ b ; б) 5

√a ∙ b . 5

ДА

ПРОЈЕКТНИ ЗАДАТАК НА ЗАДАТУ ТЕМУ

т јека

6

49°

49°

D

4 2

B

A 4. Троуглови са слике су слични. ДА

51

C

(Заокружи тачан одговор.) 1

Често се говори о пројектима: пројекат изградње моста, пројекат научних истраживања, ..., рад на пројекту. Сви пројекти садрже план по коме су осмишљене активности, које имају за циљ настанак производа: изграђен мост, настанак нових открића... У оквиру пројеката, решавајући проблем, имаћеш прилику да добијеш одговор на најчешће постављено питање: „Зашто ово учим?” Да би пројекат био успешан, важно је направити добар план.

Про

НЕ

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

1

90°

6

3 90°

46

2


uk a

Ed o

pr om

СЛИЧНОСТ

7


Подсетићемо се примена размере, својстава пропорције, примена пропорције у свакодневном животу.

ПРОПОРЦИОНАЛНЕ ВЕЛИЧИНЕ

Под појмом размере (односа) два броја x и y (x ≠ 0, y ≠ 0) подразумевамо њихов количник x : y = yx . У том случају x је ūрви члан размере, док је y �ру�и члан размере. Пример 1

o

Једна од примена размере (умањења, увећања) се јасно види на следећим скицама.

14

8

14

8

14

8

8

R5

R5

22

R5

8

uk a

22

8

8

22

8

pr om

8

Умањена величина R1:2

Ed

Природна величина R1:1

Увећана величина R2:1

Слика 1

Две једнаке размере повезане знаком једнакости чине ūроūорцију: a : b = c : d, при чему је a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0 (a и b су пропорционални са c и d). Важна особина пропорције Производ спољашњих чланова a и d једнак је производу унутрашњих чланова b и c.

a:b= c:d 8

a·d= b·c


СЛИЧНОСТ

Географска карта На основу података са Слике 2, одредимо најкраће растојање (ваздушном линијом) између Београда и Новог Сада у природи. Карта је приказана у размери 1 : 3 000 000. То значи да дужини од 1 cm на карти одговара 3 000 000 cm у природи. На основу приложеног мерења, имамо да дужини од 3 cm на карти одговара x cm у природи, тј. важи пропорција 1 : 3 000 000 = 3 : x одакле је x = 3 ∙ 3 000 000 = 9 000 000 cm = 90 km.

o

Слика 2

pr om

Задатак 1 Ако је карта на Слици 3 урађена у размери 1 : 1 000 000, одреди растојање (ваздушном линијом) између два најудаљенија града обележена на карти. Упиши називе тих градова на карти. Покушај да упишеш називе и других градова који су означени тачкама.

Слика 3

uk a

Задатак 2

Ed

На Слици 4 приказана је макета манастира Високи Дечани, који се налази на Косову и Метохији у близини српског села Дечани. Манастир је грађен између 1327. и 1335. године, као задужбина краља Стефана Уроша III Дечанског и његовог сина. Налази се на Унесковој Листи светске баштине, заједно са још три манастира Српске православне цркве под именом „Средњовековни споменици на Косову”. Манастир Високи Дечани Унеско је прогласио за место културне баштине 2004. године, наводећи да су његове фреске „једно од највреднијих примера тзв. ренесансе Палеолога у византијском сликарству и драгоцен запис о животу у 14. веку”. Одреди висину манастира Високи Дечани у природној величини ако је на макети, која је израђена у односу 1 : 50, његова висина 60 cm.

Слика 4 Манастир Високи Дечани

Слика 5

9


САМЕРЉИВЕ И НЕСАМЕРЉИВЕ ДУЖИ

Научићеш да разликујеш самерљиве и несамерљиве дужи.

uk a

pr om

o

Мере У оквиру пројекта „Математички врт”, ученици из три одељења осмог разреда су помоћу штапа и канапа конструисали једнакостраничан троугао (VIII3), квадрат (VIII1) и круг (VIII2). Њихове ивице су означили садницама лаванде, а центре описане и уписане кружнице патуљастим тујама. Требало је да свако одељење направи план осликавања свог врта у одговарајућој размери. То је захтевало мерење одређених дужина помоћу истог алата – штапа и канапа. Дужина штапа је била мера којом су одређивали дужине дужи. Након првог мерења страница троугла и квадрата, као и полупречника круга, утврдили су да је конструкција добро обављена, тј. дужине страница троугла биле су једнаке четири штапа, код квадрата све странице једнаке пет штапова и полупречник круга једнак три штапа. Међутим, сва одељења су имала проблем: VIII1 никако није успевало да штапом измери дијагоналу квадрата, VIII3 висину троугла, а VIII2 је имало проблем да изрази обим круга, мерен канапом, у јединици штапа. И поред скраћивања штапа, до краја часа нису успели да одреде меру којом би решили свој проблем. Да ли постоји решење за њихов проблем?

Ed

Дужине дужи не морају увек бити изражене рационалним бројевима.

1

Размера двеју дужи

45°

Ако приказане дужи на слици имају наведене дужине, одредићемо размеру AB : CD. B

√2

1

45°

3 cm A

C

2 cm

D

Размера двеју дужи је размера одговарајућих мерних бројева њихових дужина које су изражене истом јединицом мере. |AB| 3 Размера ових дужи једнака је AB : CD = 3 : 2 или = = 1,5. |CD| 2 Зашто је важно да дужине дужи буду изражене истом јединицом мере? |AB| = 3 = 15, добили Ако би размера дужи |AB| = 3 cm, |CD| = 0,2 dm била количник 0,2 |CD| бисмо нетачну размеру. 10


СЛИЧНОСТ

Када дужину датих дужи изразимо истом јединицом мере |AB| = 0,3 dm, |CD| = 0,2 dm, |AB| 0,3 3 добијамо тачну размеру = = 1,5. = |CD| 0,2 2 Теорема 1

Размера двеју дужи не зависи од избора јединице мере у којој су изражене њихове дужине. На Слици 1 су приказане три дужи a, b и c. Ако пажљивије погледаш слику, приметићеш да се дуж a у дужи b садржи пет пута, док се у дужи c садржи три пута. Дакле, дуж a се садржи цео број пута и у дужи b и у дужи c.

a c

o

b Слика 1

pr om

Дефиниција 1

За дужи b и c кажемо да су (међусобно) самерљиве ако постоји дуж a која се у дужи b и c садржи цео број пута. Дуж a је заједничка мера за дужи b и c. Ако за две дужи не постоји заједничка мера, кажемо да су дужи (међусобно) несамерљиве.

Теорема 2

b = 5a = 5 ∈ Q c 3a 3

uk a

Вредност размере самерљивих дужи је рационалан број. Средња линија и тежиште

C

Ed

Пример 1

Средња линија m и страница c троугла ABC су самерљиве дужи. Заиста, рачунањем њихове размере добија се c m = 2 = 1 ∈ Q. c c 2

m c A Слика 2

Пример 2

На Слици 3 је приказан троугао ABC. Тачка T је тежиште троугла. Један од парова самерљивих дужи у троуглу ABC је тежишна дуж BB1 и дуж BT: |BB1| |BB1| = = 3 ∈ Q. |BT| 2 |BB | 2 1 3 Наведи још неке парове самерљивих дужи из овог троугла.

B

C

B1

A T

A1

B Слика 3 11


СЛИЧНОСТ

Несамерљиве дужи Теорема 3 Размера несамерљивих дужи је ирационалан број. Пример 3

ВЕЖБАМО 1.

a

C

a

d

a

o

D

A

pr om

Страница и дијагонала квадрата су пример несамерљивих дужи. __ a a 1 √2 = __ = __ = ∈I d 2 a√2 √2

2.

Испитај самерљивост дужи: а) a = 3 cm; б) b = 2√2 cm; са дужи x = 0,7 cm.

3.

а) a = 9,3 cm; б) b = 7√27 cm; в) c = 2 cm; 3 су самерљиве са дужи x = 2√3 cm?

uk a

в) c = 1,52 cm;

a

B

Слика 4

г) d = 3π cm

Које од дужи:

Ed

г) d = √75 cm

Да ли су самерљиве хипотенуза правоуглог троугла и катета a ако је површина троугла P = 12 cm2 и друга катета b = 3√2 cm? Немаш идеју како да решиш 3. задатак?

Прочитај поново задатак. За решавање овог задатка потребно је да одредиш дужину ........................... и катете ......... Како се ради о правоуглом троуглу, применом Питагорине теореме одредићемо дужину хипотенузе. Математички запис Питагорине теореме је ...................... (запиши једнакост). Пре тога ћемо одредити дужину катете, а на основу података који су нам дати у задатку. Површина правоуглог троугла је P = ab . Заменом датих вредности и 2 решавањем једначине одреди непознату дужину катете: 12 = ... Сада имаш све податке да применом Питагорине теореме одредиш и хипотенузу. Дужи су самерљиве ако је количник ...................... рационалан број. Провери да ли ћеш и ти у овом случају добити рационалан број.

12


СЛИЧНОСТ

4. Које од наведених дужи су међусобно самерљиве? а) Полупречник описане кружнице квадрата и његова страница; б) Полупречник описане кружнице правилног шестоугла и његова дужа дијагонала; в) Полупречник уписане кружнице правилног шестоугла и његова краћа дијагонала; г) Висина и полупречник уписане кружнице једнакостраничног троугла.

Проверавамо своје знање (5 минута)

pr om

Постоје дужи чије су дужине ирационални бројеви. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 2.

3.

o

1.

Дате су дужи a = 1 cm, b = 1 dm. Размера њихових дужина a је: b а) 10 ; б) 1; в) 1 . 1 10 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Дијагонала квадрата странице 2 cm и дијагонала квадрата странице 3 cm самерљиве су. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ed

4.

uk a

Која је од следећих дужи заједничка мера за дужи x = 0,2 cm, y = 0,7 cm? а) 0,2 cm; б) 0,1 cm; в) 0,5 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

13


Научићеш како да дату дуж конструкцијом поделиш на 2, 3, 5, …, n једнаких делова.

ПОДЕЛА ДУЖИ У ДАТОЈ РАЗМЕРИ Сам свој мајстор Јован је сам свој мајстор. Након што је склопио плакар, остала му је летва коју жели да искористи и направи четири ноге за сто, а да притом буде економичан и искористи сав материјал. Ради стабилности стола, неопходно је поделити летву што је могуће прецизније. Јован се присетио начина којим ће прецизно (прецизније и од самог мерења метром) поделити летву.

A B Слика 1

B

A

B

Слика 2.1

C

A

uk a

A

pr om

o

Летву коју треба поделити на четири једнака дела, можемо посматрати као дуж AB. Сличан задатак смо решавали у петом разреду користећи својство симетрале дужи.

Слика 2.2

B

Слика 2.3

Ed

Тачком С смо поделили дуж AB на два једнака дела, тј. дуж је подељена у размери 1 : 1. Ако исти поступак применимо на дужи AC и CB, дуж AB ћемо поделити на четири једнака дела. То нам омогућава поделу дате дужи у размери 1 : 3 и 3 : 1. Овде ми симетрала дужи неће бити од помоћи!

Јован се предомислио и одлучио да направи троножац. Како ће поделити летву прецизно на три једнака дела? Подела дужи на произвољан број једнаких делова

Како ове поделе дужи важе само за појединачне случајеве, доказаћемо да се дуж може поделити на произвољан број једнаких делова, односно у било којој задатој размери. Посматрајмо угао 0° < ∢aAb < 180° који је пресечен трима паралелним правама p, q и r, као на слици. Нека праве p, q и r секу крак Ab угла ∢aAb у тачкама B, C и D тако да важи једнакост |AB| = |BC| = |CD|. Ове паралелне праве секу и други крак овог угла, и то редом у тачкама A1, A2, A3. 14

r

a

q p

A

A1

A2 B

A3

F E C

Слика 3

D

b


СЛИЧНОСТ

Помоћу лењира измери дужине дужи AA1, A1A2 и A2A3. Шта примећујеш?

Поменуте дужи имају исту дужину. Зашто? Доказаћемо ово тврђење. Плаве полуправе на слици конструисане су тако да садрже тачке A1 и A2 и паралелне су краку Ab угла ∢aAb. Означимо словима E и F одговарајуће пресеке. Због паралелности, најпре правих p, q и r, а затим и плавих полуправих, закључујемо да су четвороуглови BCEA1 и CDFA2 паралелограми (имају два пара паралелних страница). Како су наспрамне странице паралелограма једнаке, мора бити |BC| = |A1E| и |CD| = |A2F|. Посматрајмо троуглове ∆ABA1, ∆A1EA2 и ∆A2FA3. Како је |AB| = |BC| = |CD|, на основу претходног закључка важи: |AB| = |A1E| = |A2F|. Углови чија је област означена зеленом бојом међусобно су једнаки као углови са паралелним крацима. Исто важи и за углове чија је област означена црвеном бојом. Став УСУ:

o

Два троугла су подударна ако имају једнаку по једну страницу и једнаке на њој налегле углове.

pr om

На основу става (УСУ) подударности троуглова, закључујемо да су троуглови ∆ABA1, ∆A1EA2 и ∆A2FA3 подударни. Из њихове подударности закључујемо оно што смо мерењем наслутили, тј. |AA1| = |A1A2| = |A2A3|. Наведени доказ оправдава поступак поделе дужи у датој размери. Пример 1

uk a

Дату дуж AB подели у размери 2 : 3. Решење: С обзиром на то да делимо дуж у размери 2 : 3, дуж AB ћемо поделити на 2 + 3 = 5 једнаких делова. Један крај дужи AB представља почетак помоћне полуправе (обојена плавом бојом). На помоћној полуправој конструишемо пет подударних дужи произвољне дужине. B

А

B

Ed

А

Слика 4.1 Слика 4.2 Крајњу тачку последње конструисане дужи спојимо са тачком B, а затим паралелно тој дужи, црвеном бојом цртамо праве како је приказано на слици. А

B А

Слика 4.3

B

Слика 4.4 15


СЛИЧНОСТ

Црвене праве секу дуж AB у четири тачке које деле дуж AB на пет једнаких делова. Тачка која дели дуж AB у размери 2 : 3 је тачка C приказана на слици. Дакле, AC : CB = 2 : 3.

A

C

B

Слика 4.5 Пример 2

делова.

O (0)

⎩ ⎭

5 P ⎧10⎫ ⎩ ⎭

8 Q ⎧10⎫ ⎩ ⎭

1

uk a

0

1 T ⎧10⎫

⎩ ⎭

pr om

⎩ ⎭

o

1 4 На бројевној правој одредићемо прецизно тачке P⎧ 2 ⎫ и Q⎧ 5 ⎫ . ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 8 1·5 4·2 5 = = . Како је НЗС(2,5) = 10, координате тачака P и Q су: и 2 · 5 10 5 · 2 10 5⎫ 8⎫ ⎧ ⎧ Дакле, треба представити тачке P 10 и Q 10 . Јединичну дуж делимо на десет једнаких

Слика 5

Ed

Дуж OT представља десети део јединичне дужи. Како је |OP| = 5 ∙ |OT| и |OQ| = 8 ∙ |OT|, дуж OT је и заједничка мера дужи OP и OQ. Да ли су дужи OP и OQ самерљиве? Зашто? Задатак 1

За градњу моста (дуж AB) чији је нацрт приказан, грађевинском инжењеру је потребно да одреди положај стубова. Ако су потребна још два стуба да држе мост (стубови морају бити на једнакој удаљености од стубова означеним тачкама A и B и међусобно), означи тачкама места на дужи AB где ће се они градити. Ако је размера нацрта 1 : 1500, одреди растојање између стубова у природи. (У�у�с�во: Измери дужину дужи AB која је приказана на слици.)

16

А

В

Слика 6


СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1. Дуж дужине: а) 7 cm; б) √5 cm конструкцијом подели на седам једнаких делова, а затим одреди тачку која дату дуж дели у размери 3 : 4.

Дужина дужи је ирационалан број? Помоћ...

pr om

o

Дуж дужине √5 можемо посматрати као хипотенузу троугла чије су дужине катета мерни бројеви који задовољавају Питагорину теорему. Присети се у уџбенику за седми разред како се конструише правоугли троугао када су познате дужине његових страница. Покушај да задатак завршиш самостално. 2.

Дуж AB = 11 cm конструкцијом подели у размери 2 : 3 : 5, а затим одреди дужине добијених делова. 3.

в) квадрат

В

Ed

А

uk a

Конструиши: а) једнакостраничан троугао; б) правилан шестоугао; чији је обим једнак дужини дате дужи AB.

Да покушамо да решимо задатак под а)?

Обим многоугла представља збир дужина свих његових страница. Правилни многоуглови имају све ......................... и све ......................... једнаке. Једнакостраничан троугао има три једнаке странице. То значи да је AB = 3a, где је a дужина странице тог троугла. За конструкцију овог троугла потребна ти је дужина .......... Подсети се у примерима како се дуж дели на два и више једнаких делова. Настави да самостално решаваш задатак.

17


СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Обележи на слици тачку која дели дуж AB у размери 4 : 1.

A

B

2.

3.

pr om

o

Дуж дужине 12 cm подељена је у размери 1 : 2 : 3. Дужина најмањег тако добијеног дела је: а) 4 cm; б) 2 cm; в) 1 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) На колико је најмање делова потребно поделити јединичну дуж да би се на њој 3 2 1 прецизно представиле тачке M⎧ 4 ⎫ , N⎧ 3 ⎫ , P⎧ 2 ⎫ ? ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ б) 12;

в) 9.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

Најмањи број једнаких делова на које треба поделити дуж AB у размери 125 : 375 : 500 је: а) 3; б) 5; в) 8; г) 25. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ed

4.

а) 6;

18


Научићеш да формулишеш Талесову теорему, уочаваш одговарајуће дужи и формираш пропорције од одговарајућих дужи.

ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА

o

Кеопсова пирамида Гробница египатског фараона Кеопса, једна од најстаријих пирамида на свету, вековима задивљује својом величином и тајанственошћу. Сврстава се у ред седам светских чуда античког доба, које је једино очувано до данас. Посебну пажњу јој је посветио један од оснивача грчке филозофије и математике, Талес. Један од седам грчких мудраца античког доба упустио се у мерење једног од седам светских чуда. Желео је да одреди висину Кеопсове пирамиде.

uk a

pr om

Можеш ли да замислиш са којом се величином Талес суочио? Ипак, успео је у својој намери...

Ed

Слика 1

Слика 2

На интернету сам пронашла пуно података о Талесу и његовом животу и раду.

Како је Талес размишљао За одређивање дужине H (види Слику 1), искористио је сунчеве зраке и штап дужине h, који је укопао у песак недалеко од пирамиде. Означимо са t и s редом дужине сенки пирамиде и штапа. Сачекао је тренутак када ће дужина сенке штапа бити једнака дужини штапа h = s, (види Слику 2). Тада је укопао нови штап на место сенке коју баца врх пирамиде (тачка T). Како су сунчеви зраци паралелни, из једнакости h = s закључио је да је H = t + b , односно 2 да је висина пирамиде једнака збиру дужина сенке пирамиде и половине дужине b, једне од димензија основе пирамиде.

19


СЛИЧНОСТ

Задатак 1 Користећи Талесов поступак, попуни празна поља (хипотенузе m и n троуглова су паралелне). a)

б) n

m

40 m

m

n

y

x

Слика 3

o

3m

y

3m

pr om

Талес је у свом поступку стрпљиво чекао тренутак када ће дужина сенке штапа бити једнака висини тог штапа. Замисли ситуацију у којој је Талес пропустио тај тренутак. Да ли би он могао да израчуна висину Кеопсове пирамиде и у неким другим ситуацијама? Један од згодних тренутака би могао бити тренутак у коме је дужина сенке штапа два пута дужа од висине штапа. Какав би тада закључак Талес могао да изведе? Задатак 2

uk a

На основу података са слике, одреди висину H Кеопсове пирамиде.

Ed

Слика 4

Правоугле троуглове из Задатка 2 можемо, транслаторним кретањем, довести у положај као на Слици 5. Дужи DE и CB су паралелне. На основу Питагорине теореме, важи AD = h√5 и AC = H√5. Како је h = 2h = h√5 , то важе пропорције H 2H H√5 DE = AE = AD . CB AB AC

C

H

D h A

Испитаћемо да ли су тачне пропорције AD = DC = AC . AE EB AB

2h

E

B 2H

Слика 5

( ) Како важи h√5 = H – h √5 = H√5 , то су наведене пропорције тачне. 2h 2H (H – h) ∙ 2 20


СЛИЧНОСТ

У општем случају, паралелне праве DE и CB не морају пресецати праву AB под правим углом. Одговарајући одсечци на правама ће и даље бити пропорционални, односно важи наредна теорема. Теорема 1 ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА: Две различите праве p и q пресечене су паралелним правама a, b, c. Размера било којих двеју дужи са праве p једнака је размери одговарајућих дужи праве q.

Праву q могу транслаторним кретањем довести до поклапања са правом l.

c

b a p

A

pr om

l

C

o

B

M

q

N

P

uk a

Према ознакама са слике, биће:

AB MN = , AC MP

Ed

AB MN = , BC NP

c

b

AC MP = . BC NP

B

a

A

p

c

b

C

a одговарајуће дужи

C

B A

одговарајуће дужи

p

одговарајуће дужи q

M

N

q

P

M

N

P

Слика 6 На Слици 6 су приказане одговарајуће дужи из Талесове теореме. За дуж AB одговарајућа је дуж MN. Слично, дужи BC одговара дуж NP. Такође, дужи AC је одговарајућа дуж MP.

21


СЛИЧНОСТ

Ако применимо особину пропорција (*), добијамо: AB MN = BC NP AB BC = MN NP

одговарајуће дужи

(*) Ако важи a c = (a, b, c, d ≠ 0), b d онда важи и d c a b = , као и = . b a c d

одговарајуће дужи

Задатак 3

Попуни празна поља тако да једнакост буде тачна (види Слику 6). AB MN = , AC MP

AC

MP

=

o

=

NP

pr om

AB

AC MP = BC NP

Када паралелне праве пресецају краке конвексног угла (Слика 7), применом Талесове теореме добијамо OA = AB = OB . Такође, важи и OM = OA = AM . OM MP OP OP OB BP

A

O

M

P

C

D

B

F

q

Слика 8

Ed

Слика 7

У положају правих са Слике 8, према Талесовој теореми, важи: Пример 1

AO OD DF . = = OB OC CE

Одредићемо дужину дужи x и y са Слике 9, при чему важи AM||BP.

22

E

O

q

Решење: OA AB 4,5 x Из = тј. = добијамо OM MP 5 9 x = 8,1 cm. OМ AM 5 y = тј. = Из пропорције OP BP 14 5,6 добијамо y = 2 cm.

p

A

uk a

B

p

p B x

5,6 cm

A

4,5 cm

O

y

5 cm

M

9 cm

Слика 9

P

q


СЛИЧНОСТ

Пример 2 На основу података са слике, висину стуба h одређујемо као непознати члан пропорције h = 3,4 , одакле је h = 4,488 m ≈ 4,5 m. 1,65 1,25

h

h

3,4 m

Слика 10

1,65 m

1,25 m

ВЕЖБАМО 1.

1,25 m 3,4 m

o

1,25 m

1,65 m

pr om

1,65 m

uk a

Ако су црвене праве на цртежима паралелне, попуни празна места у пропорцијама.

x

z

t

c

Ed

y

а)

д)

x z = y

a = c d

б)

ђ)

x z = x+y

a = e f

a

b

d f

e

в)

е)

t+z = t y d+f

=

b a

г)

ж)

x+y y = t+z

a+c+e = a+c b+d

23


СЛИЧНОСТ

2. Одреди дужину дужи x, y и z са слике ако дужи y и z припадају паралелним правама.

1 cm 2 cm

y z x 4 cm

3.

C

o

Права m садржи тежиште T једнакостраничног троугла странице a = 2 cm и паралелна је једној од страница. Одреди дужине дужи x и y.

x

pr om

m

A

y

a

B

Подсети се особина и конструкције једнакостраничног троугла. Потребне информације можеш да пронађеш на интернету или у уџбенику за седми разред.

uk a

Уколико ти затреба, можеш да искористиш моју помоћ.

T

4.

Ed

Како тежиште дели дату дуж у односу ........ : 1, то на основу Талесове теореме важи (x + y) : x = 3 : ......... Даље настави самостално. 5m

На основу података са слике, одреди висину H приказане стамбене зграде. H

23 m

24

4m

6m


СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. На основу података са слике (m||n), тачна је пропорција: а) a : d = b : c, б) a : b = c : d, в) d : b = a : c. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

n

d m

c

b

a

2.

3.

o

Ако су црвене праве паралелне, дужина дужи BP са слике је: а) 3,5; б) 4; в) 2,5. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

A

O

2

Ако је m||BC и T тежиште троугла ∆ABC, заокружи слова испред тачних исказа.

Ed

4.

а) x : y = 2 : 1 б) t : z = 2 : 1 в) z : t = 2 : 3 г) (t – z) : z = 1 : 3

2

4

pr om

Ако су црвене праве паралелне, дужина дужи x са слике је: а) 4; б) 3 ; в) 12. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

x

6

B

1

3

M

A

z

P

t

x C

T

m

y B

25


Научићеш да примењујеш Талесову теорему у решавању проблема у нашем окружењу, као и да конструишеш четврту геометријску пропорционалу.

ПРИМЕНА ТАЛЕСОВЕ ТЕОРЕМЕ

Талес пре Питагоре... Питагора пре Талеса... Коју прво теорему применити у решавању задатка? Како бити сам свој мајстор и решити проблем малог простора у свом стану?

pr om

o

Степениште Услед недостатка простора, Богдан се досетио да би простор испод степеништа могао да искористи и направи ормариће. За врата ормарића у стоваришту „Сам свој мајстор” може да наручи плочу по нацрту који је направио. На основу података са слике, одреди површину простора који Богдан жели да затвори. Плаве дужи су једнаке дужине и износе по 30 cm. D

A 40 cm F 30 cm G

T

C

M

H

uk a

E

30 cm

N

60 cm

B

Слика 1

Ed

Тражена површина је заправо површина правоуглог трапеза ABCD (Слика 1). Применом Питагорине теореме на троугао ∆AFE, добијамо дужину странице AE = 50 cm. Када 40 30 AF FG = = , тј. применимо Талесову теорему, добијамо , па је EH = 37,5 cm. 50 EH AE EH Како је FG = GN = NT, на основу доказаног својства поделе дужи у датој размери, мора бити

EH = HM = MD = 37,5 cm, одакле је AD = 50 + 3 ∙ 37,5 = 162,5 cm. Такође, AT = 40 + 3 ∙ 30 = 130 cm. Применом Питагорине теореме на троугао ∆ATD, добијамо DT = 97,5 cm. 190 + 60 AB + CD Површина трапеза је сада P = ∙ DT = ∙ 97,5 = 12187,5 cm2 = 1,21875 m2. 2 2 Богдан је одлучио да купи нешто више материјала, односно плочу површине 1,3 m2.

26


СЛИЧНОСТ

Пример 1 Грчки мудрац, висок 1,7 m, налази се у положају у ком може да види предњи део брода, у истом правцу. На основу података са слике, одредићемо растојање брода од копна. Решење: Тражено растојање добијамо одређивањем непознатог члана пропорције 1,7 1,7 + 170 = , одакле је x = 202 m. x 2

2m

170 m

x

Слика 2

pr om

Богдан стоји у положају приказаном на слици. Ако је дубина базена 3,3 m, одреди колико је Богдан висок.

o

Пример 2

uk a

Решење: Одређивањем непознатог члана пропорције 1,2 x = добијамо да је Богданова висина 2,2 3,3 x = 1,8 m.

2,2 m

1,2 m

Слика 3

„Непозната дуж” – четврта геометријска пропорционала

Ed

Пример 3

Ако су задате дужи a, b и c, конструисаћемо дуж x тако да важи: a : x = b : c.

Решење: На крацима конвексног угла са теменом у тачки A конструисаћемо дужи чије су дужине једнаке дужима a, b, c (Слика 4). Kонструкцијом дужи b добијамо тачку B на краку угла.

a b

c

x=?

Слика 4

Слично, на другом краку, конструкцијом дужи c, добијамо тачку D, а конструкцијом дужи a, тачку C. Нацртамо праву m која садржи тачке B и D, затим праву која садржи тачку C и паралелна је са правом m. Добијена права, коју смо означили са n, сече други крак угла у тачки E. Дуж DE је тражена дуж x.

27


СЛИЧНОСТ

Зашто је дуж x тражена дуж?

n m

На Слици 5 примећујемо да су испуњени услови Талесове теореме (праве m и n су паралелне), па је можемо применити:

C a B

b

b = a , тј. a : x = b : c. c x

Дакле, дуж x јесте тражена дуж. Дуж x се још зове и че�вр�а �еоме�ријска ūроūорционала.

c

A

x

D

E

Слика 5

pr om

o

Талесова теорема нам даје могућност да конструишемо производ и количник двеју дужи, тј. дужи чије су дужине једнаке производу и количнику дужина двеју датих дужи. Заправо, конструкција дужи y = a ∙ b је конструкција четврте геометријске пропорционале из пропорције y : a = b : 1 (1 – дужина дужи која се a пута садржи у дужи a).

Задатак 1

а) Конструисати производ датих дужи a и b. б) Запиши пропорцију помоћу које је могуће конструисати количник задатих дужи a и b.

b a Слика 6

uk a

Обрат Талесове теореме

Ed

Обрнуто тврђење Талесове теореме, тзв. обрат Талесове теореме, широко се примењује у проблемима из свакодневног живота. Наиме, на основу утврђених размера међу одсечцима, можемо закључити паралелност правих које образују те одсечке. Посматрајмо полуправе Op и Oq које секу праве a и b у тачкама A, B, M и P (види СлиOA OM ку 7), тако да важи = . OB OP Да ли су тада праве a и b паралелне? Ако претпоставимо да a и b нису паралелне, тада би постојала права c, c ≠ a, која садржи тачку A и c||b.

Према Талесовој теореми би важило OA OS = , где је S пресек праве c и OB OP полуправе Oq.

b

p

B a

c A

O

S

P

M

q

Слика 7

Тада би било OM = OS, па самим тим и M ≡ S. Дакле, праве a и c се поклапају, што је у супротности са претпоставком, па важи a||b. 28


СЛИЧНОСТ

Теорема 2 ОБРАТ ТАЛЕСОВЕ ТЕОРЕМЕ: Две различите праве p и q пресечене су правама a, b, c. Ако је размера било којих двеју дужи са праве p једнака размери одговарајућих дужи праве q, тј. AB MN AB MN AC MP = , = или = , BC NP AC MP BC NP

Проверавање паралелности уз помоћ лењира и угломера није прихватљиво.

A

M

N

P

Ed

uk a

q

Пример 4

B

a

p

C

pr om

Теорема каже да треба да буде испуњена бар једна једнакост.

c

b

o

онда су праве a, b, c паралелне.

Испитај паралелност правих a и b (Слика 8).

D

Решење:

Према теореми, довољно је испитати једну OA AB = ? од пропорција. Да ли важи OC CD Како је једнакост 18 = 4,5 тачна (провери), 12 3 на основу обрата Талесове теореме, закључујемо да су праве a и b паралелне.

C 12 cm О

3 cm

b

a

18 cm

А

4,5 cm B

Слика 8

29


СЛИЧНОСТ

Пример 5

b

Испитаћемо паралелност правих a и b (Слика 9). Решење: OA AB = Како једнакост није тачна (нису OC CD тачне ни остале, провери), на основу обрата Талесове теореме закључујемо да праве a и b нису паралелне.

p

D

a

24 cm

C 8 cm

O

5,5 cm A

17,6 cm

q

B

Слика 9

pr om

1.

o

ВЕЖБАМО

3.

За дужи a и b из задатка 1, конструиши дуж: а) a ∙ b; б) a ∙ (a + b); в) a : b.

uk a

2.

Дате су дужи a = 2 cm, b = 3 cm и c = 4 cm. Конструиши дуж x тако да важи пропорција: а) a : b = c : x, б) a : x = b : c.

Да ли су праве m и n са слике паралелне?

4.

Прочитај Теорему 2. Довољно је да утврдиш да ли важи једна од пропорција међу одговарајућим дужима да би праве биле паралелне.

3

Ed

Мала помоћ?

3,5

Праве a и b са слике су паралелне. Одреди површину троугла ∆ABC.

m 8

6 b

a

E

8 A

3

C

B

30

n

6

D


СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Висина дрвета са слике једнака је: а) 3 m, б) 2 m, в) 4 m. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

?

1m

1m

2.

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

pr om

На основу података са слике, важи x : z = y : t.

o

4m

y

x

z

3.

t

uk a

Да ли су праве m, n са слике паралелне?

4.

Ed

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

У пропорцији 1 : a = x : b, дуж x представља: а) количник дужи a ; б) производ дужи a ∙ b ; b (Заокружи слово испред тачног одговора.)

2

1 2,4

1,2

n

m

в) количник дужи b . a

31


Научићеш да уочаваш сличне троуглове и користиш особине сличних троуглова у решавању различитих проблемских ситуација.

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА Посматрај приказане објекте на сликама. Шта уочаваш?

Слика 1.1

Слика 1.3

Слика 1.2

pr om

o

Парови објеката на свакој од слика се разликују једино по величини. Таква особина (исти облик, а различита величина) се може уочити и међу троугловима.

Слика 2

Ed

uk a

Експеримент На посебним папирима у боји, уз помоћ троугаоног лењира, нацртајмо троуглове као на Слици 3, а затим их изрежимо и поставимо у положаје као на сликама. Коју особину имају плави и зелени троугао? Посматрани троуглови имају подударне .....................................................

Слика 3

Дефиниција 1

Ако два троугла имају подударне углове, за те троуглове кажемо да су слични. C

γ a

b

A

α

c

C1 γ b1 α

a1

A1

β

β c1

α

γ

�ABC � �A1B1C1 β

B Слика 4

32

B1


СЛИЧНОСТ

Сличност троуглова ∆ABC и ∆A1B1C1 записујемо ∆ABC ~ ∆A1B1C1 и читамо: „Троугао ABC сличан је троуглу A1B1C1.” При записивању сличних троуглова водимо рачуна да редослед навођења темена одговара теменима једнаких углова (Слика 4). Одговарајуће странице За странице сличних троуглова које се налазе наспрам подударних углова кажемо да су одговарајуће.

a

b

A

α

c

A1

β c1

B1

C

γ

a

b

β

B

A

α

a1

C1 γ b1 α A1

B1

β c1

C

γ

a

b

β

c

a1

C1 γ b1 α A1

B

A

α

B1

β c1

o

γ

a1

pr om

C

C1 γ b1 α

β

c

B

Слика 5

Страници a одговара страница a1 (налазе се наспрам угла α), страници b одговара страница b1 (налазе се наспрам угла β), страници c одговара c1 (налазе се наспрам угла γ). Задатак 1

Ако важи ∆KLM ~ ∆NPQ, обележи на слици темена троуглова на одговарајући начин.

uk a

Пример 1

∆EGF и ∆ABC јесу / нису слични. (Заокружи тачан одговор.)

α

Q

γ γ

β K

Слика 6

Ed

Посматрајмо парове жутих и плавих троуглова. Шта можемо приметити код углова жутих троуглова? Како је унутрашњи угао код темена P једнак 180° – (66° + 42°) = 72°, а унутрашњи угао код темена M једнак 180° – (65° + 73°) = 42°, закључујемо да троуглови ∆SPQ и ∆MNL нису слични. Пар плавих троуглова представља пар једнакокраких троуглова. Угао код темена C једнак је 180° – 2 ∙ 18° = 180° – 36° = 144°, док су у другом троуглу углови код темена E и G једнаки 180° – 144° = 36° = 18° . 2 2 Закључујемо:

β

α

S

L

66°

65°

P

42°

F 4 cm

Q

73° N

M 4 cm

144°

G C A

18°

E

18°

Слика 7 33

B


СЛИЧНОСТ

Пример 2 Слични троуглови у различитим временским тренуцима:

Слика 8

C

b1 A1

a

b

c1 c

B

a1

B1

uk a

A

pr om

C1

C

o

Однос страница сличних троуглова

b

C1

a

a1

b1

A = A1

c1

c

B1

B

Слика 9

Ed

На Слици 9 су приказани слични троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1. На основу дефиниције сличности, ови троуглови имају подударне углове. Нека су подударни углови код темена A и A1, B и B1, C и C1, редом. Транслацијом троугла ∆A1B1C1 за вектор A1A и ротацијом за одређени угао око темена A1, троуглови се могу довести у положај који је приказан. Углови код темена B и B1, као и C и C1, јесу подударни, па можемо да закључимо да су праве које садрже странице a и a1 паралелне, па на основу Талесове теореме важи:

Коефицијент сличности

c1 b1 a1 c b a = = , тј. c = = . c b a b1 a1 1

Теорема 1 Ако су троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1 слични, онда су размере одговарајућих страница тих троуглова једнаке, тј. одговарајуће странице су �ро�орционалне. Размеру одговарајућих c b a страница означавамо словом k, тј. 1 = 1 = 1 = k . Број k називамо коефицијен�ом c b a сличнос�и. 34


СЛИЧНОСТ

У задацима ћемо често користити следеће једнакости: a = k ∙ a1, b = k ∙ b1, c = k ∙ c1.

Ако са O и O1, редом, означимо обиме сличних троуглова ∆ABC и ∆A1B1C1, а са k њихов O = k? коефицијент сличности, можемо ли да тврдимо да важи O1 Означимо са a, b, c странице троугла ∆ABC, а са a1, b1, c1 одговарајуће странице, редом, троугла ∆A1B1C1. Из ∆ABC ~ ∆A1B1C1 следи a = ka1, b = kb1, c = kc1. Даље је: O a+b+c ka1 + kb1 + kc1 k ∙ (a1 + b1 + c1) = = = =k a1 + b1 + c1 a1 + b1 + c1 O1 a1 + b1 + c1 Овим смо доказали да важи следећа теорема.

o

Теорема 2

pr om

Размера обима сличних троуглова једнака је њиховом коефицијенту сличности. Слични троуглови морају имати пропорционалне одговарајуће странице. Да ли важи обрнуто, тј. да ли из пропорционалности одговарајућих страница можемо закључити да су троуглови слични? a b c На слици су приказана два троугла ∆ABC и ∆LMK за чије странице важи . Да ли = = l m k ови троуглови морају имати подударне углове?

uk a

Измерио сам одговарајуће углове помоћу угломера. Делује да су им мере једнаке. Међутим, то треба потврдити.

C

Ed A

K

a

b

M

l

k

m L

c

B

На страници AC троугла ∆ABC одредимо тачку K1 тако да је AK1 = m. Слично, на страници AB одредимо тачку M1 тако да је AM1 = k. Дужину странице KM1, насталог троугла ∆AM1K1, означимо са l1. b c b m следи , одатле, на основу обрата Талесове теореме, закључујемо Како из = = m k c k да дужи a и l1 припадају паралелним правама.

Углови плаве унутрашњости су подударни као углови са паралелним крацима. Исто важи и за углове зелене унутрашњости, па се лако да закључити да троуглови ∆AM1K1 и ∆ABC имају подударне углове. 35


СЛИЧНОСТ

C b

C

K1

l1

m A

b

a

k

K1

a l1

m M1

B

A

k

Слика 10

M1

B

o

a b c . Такође, на основу Талесове теореме важи На основу претпоставке, важи да је = = l m k a b c a a = = . Из последње две пропорције следи једнакост = , па је l = l1. l1 m k l l1

pr om

Троуглови ∆LMK и ∆AM1K1 су подударни (ССС), а из те подударности следи да они имају подударне углове. На основу наведених тврдњи, закључујемо да троуглови ∆LMK и ∆ABC имају подударне углове, па морају бити слични. Дакле, важи тврђење: Теорема 3

Пример 3

uk a

Ако су странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла, ти троуглови су слични.

Ed

Странице једног троугла су 3,6 cm, 4,5 cm и 8,1 cm, а другог 2,7 cm, 1,2 cm и 1,4 cm. Да ли су ови троуглови слични? 3,6 4,5 8,1 = = Решење: Да би троуглови били слични, морала би да важи пропорција . Како 1,2 1,4 2,7 једнакост 3,6 = 4,5 не важи, троуглови нису слични. 1,2 1,4 Сличност троуглова подразумева да је један троугао умањена (док је други увећана) или подударна верзија другог. Пример 4 Странице троугла су a1 = 15 cm, b1 = 24 cm, c1 = 36 cm. Ако је најдужа страница њему сличног троугла 72 cm, одреди обим тог троугла.

Решење: Како најдужој страници првог троугла одговара најдужа страница другог, мора бити: а b 72 = = а1 b1 c1 = k, тј.

a b 72 = = = k. 15 24 36

O Одавде имамо да је k = 2, па како је = k, где је O1 = a1 + b1 + c1 = 75 cm, O1 O = 2, па је O = 150 cm. добијамо да је 75 36


СЛИЧНОСТ

Слични троуглови и средња линија

C x

y m

D

E

x

y B

c Слика 11

o

Талесова теорема и сличност заиста су моћан алат.

pr om

Користећи својства сличности троуглова, доказаћемо да је средња линија DE троугла ∆ABC паралелна страници AB и два пута краћа од ње. Како су тачке D и E, редом, средишта страница AC и BC, биће AD = DC = x и BE = EC = y. AC 2x BC 2y = = 2, Даље, имамо DC = x = 2 и A EC y закључујемо да важи: AC BC = . Одавде, на основу обрата Талесове DC EC теореме, важи да су m и c паралелне. Троуглови ∆ABC и ∆DEC су слични (образложи зашто), x y m 1 m па је даље , тј. c = 2 m. = = , одакле je = 2x 2y c 2 c

ВЕЖБАМО

uk a

1.

Повежи стрелицом сличне троуглове. 2,5 cm 36°

Ed

2,5 cm

3 cm

3 cm

36°

90°

Ако ти затреба помоћ...

90°

x

2 cm

2√3 cm

x

x

2 cm

3 cm 90°

60°

90°

3 cm 60°

2,4 cm

4 cm

2,4 cm

Прочитај још једном дефиницију сличности троуглова, као и решења примера који су дати након дефиниције, а затим размисли и покушај да решиш задатак. 37


СЛИЧНОСТ

2. Одреди дужине страница x, y и z зеленог троугла ако је коефицијент сличности плавог и жутог троугла једнак коефицијенту сличности жутог и зеленог троугла.

6 cm

4 cm

4 cm

y 4,8 cm

?

x

pr om

Катете правоуглог троугла су 4,5 cm и 4,5 √3 cm. Ако је хипотенуза њему сличног троугла 6 cm, одредити коефицијент сличности, као и однос површина ових троуглова.

uk a

Колико парова сличних троуглова је могуће уочити на слици? Образложи одговор.

5.

90°

90°

Ненад, који је висок 1,88 m, стоји поред уличне светиљке. У једном тренутку, дужине сенки Ненада и светиљке су редом 0,94 m и 3,6 m. Одредити висину светиљке.

Ed

6.

z

o

5 cm

3.

4.

3,2 cm

E

На слици је дат правилни шестоугао ABCDEF. Доказати да су троуглови ∆CGB и ∆ACD слични.

D

F

C G A

38

B


СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Да ли су слични троуглови са слике? НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

3.

2 4

1,8

90°

3,6

pr om

ДА

3

o

2.

Најкраћа страница троугла који је сличан троуглу са слике дужине је 1. Дужина најдуже странице тог троугла је: а) 1,5; б) 2 ; в) 6. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

90°

60°

Свака два једнакокрако-правоугла троугла су слична. (Заокружи тачан одговор.)

Заокружи слова испред тачних исказа.

а) Ако су два троугла међусобно подударна, онда су и међусобно слична. б) Ако су два троугла међусобно слична, онда су и међусобно подударна. в) Ако је ∆T1 ~ ∆T2 и ∆T2 ~ ∆T3 , онда је и ∆T1 ~ ∆T3. г) Коефицијент сличности два троугла може бити једнак 1.

Ed

4.

НЕ

uk a

ДА

39


СТАВОВИ СЛИЧНОСТИ ТРОУГЛОВА

Научићеш да формулишеш и примењујеш ставове сличности.

Ако су два троугла слична и дужине одговарајућих страница су једнаке, ти троуглови су подударни. Подударност је специјалан случај сличности. У општем случају, слични троуглови немају једнаке дужине одговарајућих страница (Слика 1).

слични и подударни

слични, али нису подударни

Задатак 1

60° 2 cm

4 cm

72°

30°

60° 2 cm

Слика 2

4,5 cm

~

72°

2,5 cm 36°

2,5 cm

Ed

4,5 cm

90°

uk a

30°

2√3 cm

pr om

o

Слика 1 Означи темена приказаних троуглова, а затим запиши тврђење које је приказано на сликама.

али

Слика 3

4,5 cm 72°

90°

~

4,5 cm 72°

2√3 cm 4 cm

2,5 cm 36°

2,5 cm

Присети се ставова подударности.

Да бисмо утврдили сличност двају троуглова, није увек потребно да доказујемо једнакост свих одговарајућих углова или пропорционалност свих одговарајућих страница. Слично као код подударности троуглова, важе тврђења на основу којих можемо једноставније доказати сличност двају троуглова.

40


СЛИЧНОСТ

Ставови сличности

44°

62°

Одреди најмањи број података на основу којих можеш да закључиш да су следећи троуглови слични.

74°

Слика 4

44°

62° 74°

44°

74°

pr om

Решење: Довољно је уочити два једнака угла међу посматраним троугловима да би они били слични. Трећи угао ће бити једнак као допуна до 180°.

74°

o

Пример 1

Слика 5

Први став сличности троуглова (УУ):

Ако су два унутрашња угла једног троугла подударна са два унутрашња угла другог троугла, онда су ти троуглови слични.

C

uk a

Доказаћемо да је код сличних троуглова размера одговарајућих висина једнака коефицијенту сличности тих троуглова. G

G

C

hg

α А

α

E

H

Ed

hc

β

F

hg hc

β

D

H

β

F

β D

B

B

Слика 6

Нека важи да је ∆ABC ~ ∆EFG, при чему је њихов коефицијент k. Означимо, редом, са hc и hg висине које одговарају страницама c и g. На основу првог става сличности троуглова, имамо да је ∆DBC ~ ∆HFG (образложи зашто), па BC h је c = = k. hg FG

Задатак 2

Доказати да је количник површина двају сличних троуглова једнак квадрату њиховог коефицијента сличности.

41


СЛИЧНОСТ

Други став сличности троуглова (СУС): Ако су две странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла и њима захваћени углови подударни, онда су ти троуглови слични. Пример 2

B

Испитајмо сличност троуглова ∆ABC и ∆DEC са слике.

2,4 cm

Решење:

A

Задатак 3

0,8 cm

C

4,8 cm

o

1,6 cm

D

E

Слика 7

pr om

Како је 2,4 = 0,8 и како су одговарајући 4,8 1,6 углови код темена C једнаки као унакрсни углови, на основу другог става сличности троуглова закључујемо да су троуглови ∆ABC и ∆DEC слични.

Катете једног правоуглог троугла су 7 cm и 5 cm, а другог 8,4 cm и 6 cm. Да ли су ови троуглови слични? Задатак 4

uk a

C

Ed

Испитај сличност троуглова са заједничком страницом на Слици 8.

16

55°

55°

D

36

24

A

B Слика 8

Трећи став сличности троуглова (ССС): Ако су странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла, онда су ти троуглови слични. Пример 3 Испитај сличност троуглова ∆ABC и ∆BDC са Слике 9. На колико начина се то може урадити?

2 cm

A

42

4 cm

C

D

2√2 cm 2 cm

2√2 cm

B Слика 9


СЛИЧНОСТ

Решење: Како је

2

=

2√2 ∆ABC ~ ∆BDC.

2

= 2√2 (провери), на основу трећег става сличности троуглова, важи 4 2√2

Применом обрата Питагорине теореме покушај да докажеш сличност троугла ∆ABC и ∆BDC. Четврти став сличности троуглова (ССУ):

Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и ако су унутрашњи углови наспрам дужих од тих страница подударни, онда су ти троуглови слични. Другим речима, ако за троуглове на слици c b важи c = , при чему је b > c b1 1 (па и b1 > c1) и ∢ABC = ∢A1B1C1 = β (тј. углови

C

o a

pr om

b

наспрам дужих страница једнаки), тада су троуглови ∆ABC и ∆A1B1C1 слични. Пример 4

β

c

A

a1

C1

b1

c1 A1

B

Слика 10

N

uk a

Испитати сличност троуглова ∆MON и ∆QOP који су приказани на слици. Решење:

Важи једнакост 8,4 = 5,4 = 1,2 и 7 4,5 ∢MON = ∢QOP (унакрсни углови).

Ed

Ови углови се налазе наспрам дужих

8,4 cm O M 4,5 cm

страница, па ће, према четвртом ставу сличности, троуглови ∆MON и ∆QOP бити

слични.

P

B1

β

5,4 cm Q

7 cm

Слика 11

43


СЛИЧНОСТ

ПОДУДАРНИ ИЛИ СЛИЧНИ – СТАВОВИ Подударни троуглови

Слични троуглови

~

ССС: Два троугла су слична ако су странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла.

СУС: Два троугла су подударна ако су две странице једног троугла и угао захваћен њима једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла.

СУС: Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне страницама другог троугла и њима захваћени углови једнаки.

УСУ: Два троугла су подударна ако имају једнаку по једну страницу и оба одговарајућа угла налегла на ту страницу.

УУ: Два троугла су слична ако су два унутрашња угла једног троугла једнака са два унутрашња угла другог троугла.

ССУ: Два троугла су подударна ако су две странице једног троугла једнаке двема страницама другог троугла и притом су једнаки углови наспрам дужих од њих.

ССУ: Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и ако су унутрашњи углови наспрам дужих од тих страница једнаки.

Ed

uk a

pr om

o

ССС: Два троугла су подударна ако су странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог.

ВЕЖБАМО

1.

Испитај сличност троуглова ∆ABC и ∆MPQ са слике. a) C

P 7,5 A

4,5

M Q в)

б) A=M

4

3

10

Q

M 12,5

P B

B

36°

8 Q 36°

C

A M

10

P

12 9,6

C=Q B

C

A

44

P

г)

B


СЛИЧНОСТ

2. C

Ако је BC||B1C1, доказати да су троуглови ∆ABC и ∆AB1C1 са слике слични. B

B1

A C1

3. Ако два једнакокрака троугла имају бар један једнак спољашњи угао, да ли ови троуглови морају бити слични? 4.

m

Т

B

C

D

uk a

Испитај сличност зеленог и плавог троугла са слике. Којој врсти четвороугла припада ABCD? Образложи одговор.

Ed

F

D x E

A

5.

C

o

pr om

На слици је дат неједнакостранични троугао ∆ABC. Одреди дужину дужи x ако је m||AB, T тежиште, CE висина тог троугла и CD = 17 cm, CF = 10 cm.

2 cm

O

4,5 cm

2,25 cm 4 cm

A

B

6. Дијагонала AC четвороугла ABCD са слике полови угао код темена A. Ако је угао код темена A 60°, одреди дужине дужи x, y. Покушај да задатак решиш на два начина.

D

12 7

A

y C

√3 1,75

x

B

45


СЛИЧНОСТ

Прочитај став СУС сличности и подсети се како се решава Пример 3 на истој страни. Проверимо да ли важи пропорција АD : АС = АС : АВ = ............ Важи ∢DАС = ∢ ........... = 30°. На основу става СУС сличности, закључујеш да су троуглови ∆АDС и ∆АВС ............................................. Коефицијент сличности износи ....................... Користећи особине сличних троуглова, покушај самостално да одредиш дужине x и y.

Проверавамо своје знање (5 минута)

pr om

1.

o

Ако ти се задатак чини тешким, немој да одустанеш.

Један правоугли троугао има угао 42°, а други правоугли троугао има угао 46°. Да ли су ови троуглови слични? ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

2.

3.

а) 2;

uk a

Једнакостраничном троуглу увећана је дужина странице два пута и тако је добијен њему сличан троугао. Однос површина полазног и новонасталог троугла је: б) 2√3;

в) 4.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Троуглови са слике нису слични. НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Ed

ДА

C 1

49°

49°

D

4 2

B

A

4. Троуглови са слике су слични. ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

1

90°

6

3 90°

46

2


Научићеш да решаваш практичне проблеме помоћу сличности и конструишеш геометријску средину двеју дужи.

ПРИМЕНЕ СЛИЧНОСТИ Примена сличности на правоугли троугао A α b

D

h 90°

90°

p

β B

a

pr om

C

q

o

На слици је приказан правоугли троугао ∆ABC. Нека је h висина која одговара хипотенузи, а p и q су редом одсечци BD и DA које ова висина одваја на хипотенузи. На слици можеш да уочиш укупно три правоугла троугла. Да ли су поменути троуглови међусобно слични? Испитаћемо да ли важи: ∆ABC ~ ∆ACD, ∆ABC ~ ∆CBD, ∆CBD ~ ∆ACD.

Слика 1

uk a

Ако су α и β, редом, углови код темена A и B, онда је α + β = 90°. У троуглу ∆ACD важи да је ∢ACD + α + 90° = 180°, одакле је α + ∢ACD = 90°. На основу наведених једнакости, добијамо да је ∢ACD = β. Такође, за троугао ∆CBD важи ∢BCD = α. На основу става УУ једноставно можемо тврдити да важи ∆ABC ~ ∆ACD, ∆ABC ~ ∆CBD, ∆CBD ~ ∆ACD. Искористимо сваку од доказаних сличности.

Ed

c Из ∆ABC ~ ∆ACD, добијамо пропорцију b c Из ∆ABC~∆CBD, добијамо пропорцију = a h Из ∆CBD~∆ACD, добијамо пропорцију = q

=

b 2 q , oдакле следи b = q ∙ c.

a , oдакле следи a2 = p ∙ c. p p , oдакле следи h2 = p ∙ q. h

Како доказане једнакости повезују елементе правоуглог троугла са одсечцима које на хипотенузи одваја висина која јој одговара, оне су врло применљиве. Уз помоћ једнакости b2 = q ∙ c и a2 = p ∙ c, можемо одредити збир:

a2 + b2 = p ∙ c + q ∙ c = (p + q) ∙ c = c ∙ c = c2, тј. a2 + b2 = c2. Уз помоћ сличности троуглова доказали смо Питагорину теорему. Пример 1

Висина која одговара хипотенузи правоуглог троугла дели хипотенузу c = 12,5 cm на одсечке p и q. Ако је q = 8 cm, израчунај обим и површину овог троугла. 47


СЛИЧНОСТ

Решење: Из c = p + q, добијамо p = 12,5 – 8 = 4,5 cm. Даље, из једнакости a2 = p ∙ c, добијамо a2 = 4,5 ∙ 12,5 = 56,25, одакле је a = 7,5 cm. Дужину друге катете можемо добити применом једнакости b2 = q ∙ c, или помоћу Питагорине теореме. Из c2 = a2 + b2 следи: b2 = c2 – a2 b2 = 12,52 – 7,52 b = 10 cm Сада је обим троугла O = a + b + c = 7,5 + 10 + 12,5 = 30 cm, док је површина a ∙ b 7,5 ∙ 10 P= = = 37,5 cm2. 2 2

o

Задатак 1

pr om

Дужина хипотенузе правоуглог троугла је c = 15 cm, а дужина једне катете b = 12 cm. Одреди однос површина троуглова на које је овај троугао подељен висином која одговара хипотенузи. Геометријска средина дужи и њена конструкција Из једнакости h2 = p ∙ q, добијамо да је h = √p ∙ q. Дефиниција 1

uk a

Дуж h = √p ∙ q називамо �еоме�ријском сре�ином дужи p и q.

За произвољне две дужи можемо конструисати њихову геометријску средину, конструкцијом висине која одговара хипотенузи одговарајућег правоуглог троугла.

Ed

Пример 2

За задате дужи x и y, конструисаћемо њихову геометријску средину, тј. дуж √x ∙ y.

A

x

D

y

B

C

A

x

D

Слика 2 48

y

B

A

x

D

y

B


СЛИЧНОСТ

Решење: Најпре конструишемо збир дужи x + y, а затим симетралу тог збира. Са центром у средишту дужи x + y конструишемо кружницу чији је полупречник једнак x + y , а затим конструишемо 2 нормалу на дуж x + y у тачки D. Нека је C пресечна тачка нормале и кружнице. Дуж CD је тражена дуж. Остаје да то и докажемо. По конструкцији, троугао ∆ABC је правоугли, дуж CD је висина која одговара хипотенузи, па је према једној од доказаних једнакости CD2 = x ∙ y, тј. CD = √x ∙ y. Дакле, дуж CD је геометријска средина дужи x и y.

Задатак 2

У седмом разреду смо научили да конструишемо ове дужи помоћу Питагорине теореме. Ово је други начин.

Конструиши дуж чија је дужина једнака √5 cm.

pr om

o

Упутство: Тражена дуж је геометријска средина дужи x = 5 cm и y = 1 cm.

uk a

Река Како одредити ширину реке без преласка на другу страну обале?

A

D

E x

2x

B

C

Ed

Слика 3

Нека дуж AB представља ширину реке. Тачком A означен је објекат смештен уз саму обалу реке, а тачком B објекат са њему супротне стране. Непосредно уз објекат B фиксирали смо (нормално на раван земље) штап дужине x (дуж EB) тако да крај његове сенке пада у објекат A и припремили штап дужине 2x. Већим штапом се удаљавамо од реке до тренутка док и крај сенке дужег штапа не дође у објекат A. Тада фиксирамо већи штап (притом добијамо тачку C) и дужина дужи BC биће једнака дужини дужи AB, тј. ширини реке. Остаје да докажемо исправност нашег мерења. Ово је могуће извести на више начина (примена Талесове теореме и ставова сличности). Троуглови ∆ABE и ∆ACD су слични (образложи), па имамо да је: x AB = . 2x AC Даље је: 2AB = AC. Како је још и: AC = AB + BC, једноставно је закључити да је AB = BC. 49


СЛИЧНОСТ

Летовање Милан и Јована летују на острвима која се налазе у непосредној близини. Јована са својим родитељима летује у хотелу „Сунце” на једном острву, а Милан у хотелу „Олимпија” на другом. Миланов тата процењује да Милан може чак и да преплива до Јованиног острва и да не мора да буде тужан што не летују у истом хотелу. „Погледај мало боље ову скицу коју сам ти нацртао. Учио си на часовима математике о сличним троугловима, а и Талеса сте помињали.

S β

x

B

α A

o

Слика 4

pr om

Покушај да нешто од тога примениш и одредиш удаљеност између твог и Јованиног хотела. Не мораш да нас чекаш, можеш и пливајући да стигнеш до Јоване”, тешио је тата Милана. Ако тачком A означимо позицију хотела у којем је смештен Милан, а тачком S означимо место на којем се налази хотел у којем је смештена Јована, можеш ли да помогнеш Милану да одреди удаљеност између хотела у којима су смештени? Да ли је Миланов тата у праву? На Милановом острву одаберимо произвољно тачку B. Дужину дужи AB можемо измерити. Нека је AB = 750 m. Даље, измеримо величине углова код темена A и B троугла ∆ABS.

Ed

uk a

Означимо их са α и β. Једноставно можемо конструисати троугао ∆A1B1S1 сличан троуглу ∆ABS. За дужину дужи A1B1 можемо узети произвољну дужину. Због једноставнијег рачуна, нека је A1B1 = 7,5 cm. Можемо измерити дужину дужи A1S1. Претпоставимо да смо измерили и да је дужине 14 cm. По конструкцији, важи да је ∆A1B1S1 ~ ∆ABS, па имамо: x AB x 75000 , одакле је , тј. = = x1 A1B1 7,5 14 x = 140000 cm = 1400 m.

S1 x1

β α A1

7,5 cm

B1

Слика 5

Соба Уз помоћ сличности троуглова можеш измерити висину своје собе користећи батеријску лампу, ласер, огледало и сл. Осмисли детаљно тај поступак, запиши га у својој свесци, а затим одреди висину своје собе.

50


СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1. Попуни табелу бројевним вредностима које одговарају ознакама са слике. 7,2

q h

c

5

2.

23,04 6,72

3

b

b

C

q

h

D 90°

90°

p

a

β

B

o

a

α

20

pr om

p

A

Катете правоуглог троугла су a = 12 cm и b = 16 cm. Одреди однос обима троуглова на које је овај троугао подељен висином која одговара хипотенузи.

uk a

Ако се подсетиш како се одређује коефицијент сличности троуглова и у каквом односу су њихови обими у теми Сличнос� �роу�лова, задатак ћеш решити за мање од једног минута. Провери! 3.

5.

Ed

4.

Конструиши једнакостраничан троугао странице a = 4 cm, а затим конструиши дуж која је геометријска средина те странице и полупречника кружнице која је уписана у тај троугао. Нацртај произвољну дуж x, па конструиши дуж √x. √a ∙ b За произвољне дужи a и b, конструиши дуж а)�a ∙ b ; б) . 5 5

кат

је Про

Често се говори о пројектима: пројекат изградње моста, пројекат научних истраживања, ..., рад на пројекту. Сви пројекти садрже план по коме су осмишљене активности, које имају за циљ настанак производа: изграђен мост, настанак нових открића... У оквиру пројеката, решавајући проблем, имаћеш прилику да добијеш одговор на најчешће постављено питање: „Зашто ово учим?” Да би пројекат био успешан, важно је направити добар план. 51


СЛИЧНОСТ

ПРОЈЕКТНИ ЗАДАТАК Кабинет математике је потребно преуредити како би се направило довољно простора за дигиталну опрему, а да се притом не угрози постојећи простор ученика. Направи идејни пројекат за преуређење кабинета. Циљ пројекта (поред основног продукта пројекта, навести бар још два циља: примена стечених знања из математике и других предмета….)

умањење, увећање, Талесова теорема и њен обрат, примена сличности троуглова

o

Учесници у пројекту; аутори пројекта (навести имена учесника, као и називе организација које учествују у реализацији пројекта)

pr om

Време почетка и завршетка пројекта Место (простор) у којем ће се изводити активности за реализацију пројекта

Потребни ресурси (материјални и људски ресурси)

Ed

uk a

Разрада плана уз навођење датума извођења за сваку активност • Сакупљање идеја за реализацију постављаног пројектног задатка (brainstorming = навала идеја) и одабир • Прецизирање радних задатака • Индивидуални радни задаци • Одређивање и израда математичких задатака у оквиру пројектног задатка • Одређивање тема из других наставних предмета који доприносе реализацији плана • Софтверски алати који ће се користити • Прикупљање материјала који доказује да је тим радио на изради пројекта (фотографије, видео-снимци, документација) Представљање пројекта (навести начин, место и време где ће се пројекат представити) Оцена пројекта (дати осврт на урађено у пројекту, истаћи добре стране и недостатке који су уочени, као и навести идеју за даље истраживање ако их има) 52

Препорука Користи слободан софтверски алат „Како направити 3D нацрт стана” или неки сличан слободан софтвер


Ed

uk a

pr om

o

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

53


Подсетићеш се основних геометријских објеката.

УВОД Морам да измерим земљиште и направим лепу кућу за себе.

Да бисмо разумели геометрију, морамо да се кратко осврнемо на њен развој.

pr om

o

Почетак геометрије се поклапа са почетком градње објеката на земљишту. У тој градњи постоје неки просторни односи који важе и дан-данас. Хеленски математичар Еуклид је у најчитанијем делу Елементи (300. г. п. н. е.) засновао геометрију. Од тада па до доба ренесансе, суштинских промена у геометрији није било. Крајем деветнаестог века, геометрија се и формално, аксиоматски утемељује. Наиме, немачки математичар Давид Хилберт, у свом делу Основи �еоме�рије (1899), особине основних геометријских појмова: тачке, праве и равни и њихове односе одређује аксиомима.

uk a

стагнација у развоју геометрије

Еуклид, Елементи

Хилберт, Основи �еоме�рије

300. г. п. н. е.

19, 20. век

Ed

У ранијим разредима смо се упознали са основним геометријским објектима – тачка, права и раван. Одговоре на питања шта је тачка, шта је права, шта је раван нисмо дали, јер се поменути објекти, према договору, не дефинишу. Тачка, права и раван

Геометријски објекти којима смо се до сада бавили, попут троугла, круга, четвороугла, многоугла у општем случају... представљају фигуре које се налазе у равни, а део геометрије који се бави таквим фигурама назива се ūланиме�рија. Ове године ћемо пажњу посветити и геометријским објектима у простору, а део геометрије који се бави њима назива се с�ереоме�рија. На почетку ћемо се бавити основним геометријским објектима (тачка, права, раван) и њиховим међусобним односима (положајима). Подсетимо се: Тачке се обележавају великим словима латинице (A, B, C, D, E, F, G, … S, X, …), а графички се приказују кружићем. 54


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

X

B S

β γ

A

α A

a

π

C Слика 1

pr om

o

Праве означавамо најчешће малим писаним словима латинице (a, b, c, …, p, q, r, s, …, m, n, …). Како је права неограничена са обе стране, ми графички можемо приказати само један њен део, цртањем праве линије.

m

t

a

s

Слика 2

s Q P

Ed

uk a

У петом разреду смо дефинисали полуправу (део праве ограничен са једне стране тачком) и дуж (део праве ограничен двема различитим тачкама). На Слици 3 приказана је полуправа Ms и дуж PQ. Колико има тачака на једној правој? Да ли дуж која има већу дужину има више тачака од дужи мање дужине?

Помоћу штапа и канапа На Слици 4 је приказан угао ∢aEb и праве c и d које секу краке тог угла у тачкама A, B, C и D. Да ли је више тачака на дужи AB или CD? Посматраћемо полуправе са почетком у тачки E које секу дужи AB и CD. Замисли конце везане за ексер E као моделе тих полуправих. Колико таквих полуправих постоји у области угла ∢aEb? Има их бесконачно много. Свакој тачки пресека полуправе и дужи AB одговара тачно једна тачка пресека те полуправе и дужи CD.

M Слика 3

E c

B

A C

D

d b

a Слика 4

55


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Како оваквих полуправих има бесконачно много, можемо да закључимо да дужи AB и CD, као и праве одређене тим дужима, садрже бесконачно много тачака. То значи да дужи AB и CD имају једнак број тачака. Равни означавамо грчким алфабетом (α, β, γ, δ, …, ε, π, ρ, … σ, τ, …). Раван је неограничена, па можемо приказати само један њен део уз помоћ разних модела из окружења и њихових геометријских интерпретација, а најчешће је то паралелограм.

π

pr om

β

o

α

Слика 5

uk a

Лупа Обележи тачку на листу папира, а затим је погледај помоћу лупе. Тачка не мења своје значење – она у најширем смислу представља положај објекта који је означен том тачком, без обзира на „дебљину” приказа. Тачка, као основни математички објекат, нема „дебљину”. На исти начин посматрамо праву.

Ed

Геометрија је заиста савршена!

Задатак 1 Да ли се уз помоћ шест штапића могу саставити четири једнакостранична троугла (без деформације штапића)?

56

Имам проблем да решим овај задатак у равни.


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Потреба да се изађе из једне равни има за последицу појам простора – окружење у ком се и сами налазимо. Скуп објеката са следеће слике илуструје неке односе тачке, праве и равни, а самим тим и њихов положај у простору. a

C

α T

m A

n

S

π

o

Слика 6

pr om

Геометријске објекте у простору можемо посматрати из више перспектива. Пeрспектива

Ed

uk a

Марко је погледао коцку из различитих положаја. Неке ивице коцке није могао видети, па их је морао замислити. Замишљене ивице нацртао је испрекиданом линијом, што ћемо и ми убудуће чинити.

a)

б)

в)

г)

Слика 7

Задатак 2

Одговори на следећа питања: 1. Колико ивица има коцка? Одговор: ................................................................. 2. За сваки од положаја наведи колико ивица коцке Марко види, а колико не. Одговор: .............................................................................................................................................. 3. У ком положају Марко види највише, а у ком најмање ивица? Одговор: ..............................................................................................................................................

57


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Задатак 3 Марко је из одређеног положаја погледао неке објекте са Слике 8. Ако је том приликом видео , које је објекте могао погледати? Заокружи слова испод тачних одговора.

a)

б)

в)

г)

a)

б)

в)

г)

pr om

На Слици 9 дата је мрежа коцке. Којој од понуђених коцака одговара та мрежа? Заокружи тачан одговор.

o

Слика 8

Задатак 4

Ed

uk a

Слика 9

58


Научићеш да уочаваш односе тачке и праве, тачке и равни и да формулишеш аксиоме везане за основне геометријске објекте.

Слика 1

uk a

pr om

Билијар Да ли играш билијар? Поред тачака, правих, углова, пресека, осне и централне симетрије, за ову игру везује се још много математичких појмова. Током играња билијара, у једном тренутку, положаји куглица могу бити као на слици. Путања кретања беле кугле (тачка A), представљена је правом s. Куглу коју ће бела најпре ударити означена је тачком B, док смо неке од преосталих кугли означили са F и E. Тачке A и B су на путањи s, а у математици кажемо да тачке A и B припадају правој s и записујемо A ∈ s, B ∈ s или права s садржи тачке A и B, што записујемо s ∋ A, s ∋ B. Како тачке F и E нису на путањи s, онда оне не припадају правој s, што записујемо E ∉ s, F ∉ s, тј. s ∌ E, s ∌ F. Тачка може припадати или не припадати једној правој. На правој p су уочене две различите тачке A и B (Слика 2). Колико правих садрже ове тачке?

o

ОДНОС ТАЧКЕ И ПРАВЕ, ТАЧКЕ И РАВНИ

a

b

A

p

B r

q

Слика 2

Ed

Аксиома Одговор на ово питање исказаћемо аксиомом, тврђењем у математици које се не доказује, него се прихвата као чињеница. Аксиома 1

Две различите тачке одређују тачно једну праву. Тачке A и B (Слика 2) одређују тачно једну праву p. Запис p (A, B) читамо: „Права p одређена је тачкама A и B.” Присетимо се и појма колинеарних тачака. Дефиниција 1 За три или више тачака кажемо да су колинеарне ако припадају истој правој. Уколико ово није испуњено, за те тачке кажемо да су неколинеарне.

59


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Задатак 1

A

На основу Слике 2, допуни реченице тако да буду тачне. а) Тачка D .................................... (припада/не припада) правој a. Математички то записујемо .............................. б) Тачке A, B и C ............................... (припадају/ не припадају) истој правој.

C

D

a

B

Слика 2

pr om

o

За ове три тачке кажемо да су ................................................. в) Тачке A, B, C и D ......................................... (припадају/не припадају) истој правој. За ове четири тачке кажемо да су ............................................................. г) Права a ......................... (јесте/није) одређена паровима тачака B и C, B и D, D и C. Ако јесте, записујемо ..........................................

Ed

uk a

Рад на пројекту Ана, координатор у групи, позвала је своје сараднике Бојану, Цоку, Дејана и Ену у своју кућу како би у најкраћем року завршили пројектну документацију. Нису се видели скоро месец дана, па су се срдачно сви међусобно руковали. Колико је том приликом остварено руковања? E Анину групу можемо представити тачкама. Када се Ана рукује са осталима, том приликом D добијамо укупно четири руковања – плаве A путање. Када се Бојанa рукује са осталима, том приликом добијамо укупно три руковања – црвене путање. Приметимо да је руковање B Ане и Бојане и Бојане и Ане једно руковање. C Слично, када се Цока рукује са осталима, том приликом добијамо још два руковања – Слика 3 зелене путање. Као малопре, руковање Бојана–Цока и Цока–Бојана, као и Ана–Цока и Цока–Ана, јесте једно руковање. За Дејана oстало је једно ново руковање. Било је укупно 4 + 3 + 2 + 1 = 10 руковања. Можемо рачунати и на други начин: Како се свака особа може руковати са четири особе, укупно би било 5 ∙ 4 = 20 руковања. У том случају би се свако руковање поновило два пута, за чим нема потребе, па наш је производ 5∙4 потребно преполовити. Дакле, решење је = 10 руковања. 2 Овај начин је згоднији уколико имамо велики број људи у просторији, тј. ако имамо n особа, укупан број руковања би био n ∙ (n – 1) . 2 60


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Применом овог модела, можемо формулисати следеће тврђење. Теорема 1 За n различитих тачака, од којих никоје три нису колинеарне, постоји одређених правих.

n ∙ (n – 1) њима 2

Пример 1

pr om

o

Одредићемо: а) број различитих правих које су одређене са 100 различитих тачака, међу којима никоје три нису колинеарне. б) број различитих правих одређених са шест тачака, међу којима су тачно четири колинеарне.

Решење: Слика 4 100 ∙ 99 а) Број тражених правих једнак је = 4950. 2 б) Посматрајмо Слику 4. Број различитих правих које су одређене са ових шест тачака једнак је 10. Доцртај те праве.

uk a

У каквом односу могу бити тачка и раван?

S

P M

N Q

Ed

Слично односу тачке и праве, тачка може припадати или не припадати датој равни. Листови свеске представљају моделе равни α и β. Тачка Q припада равни α, што записујемо са Q ∈ α. Тачка P не припада равни α, што записујемо са P ∉ α. Исказе Q ∈ α и P ∉ α можемо записати и као α ∋ Q и α ∌ P.

β

α

Слика 5

Задатак 2

Види Слику 5, а затим допуни следеће исказе симболима ∈, ∉, ∋, ∌ тако да искази буду тачни. а) S ........ α; г) M ........ β; б) β ........ N; д) α ........ M; в) N ........ α; ђ) P ........ β.

61


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Одређеност равни Колико је најмање тачака потребно да би једна раван била одређена?

A

С

В π

За стабилност сточића потребне су најмање три ножице!

Слика 6 За три различите неколинеарне тачке, постоји тачно једна раван која их садржи. Аксиома 2

pr om

o

Три различите неколинеарне тачке одређују тачно једну раван.

Раван π је одређена трима различитим и неколинеарним тачкама A, B и C, што записујемо π (A, B, C). Дефиниција 2

Пример 2

uk a

За четири или више тачака кажемо да су комūланарне ако припадају истој равни. Уколико ово није испуњено, кажемо да су те тачке некомūланарне.

Ed

Тачке M, N, P и Q са Слике 7 су компланарне, док су тачке F, N, P и Q некомпланарне. Како за n различитих тачака од којих никоје

три нису колинеарне постоји n ∙ (n – 1) правих које оне одређују, тако и за 2 n различитих тачака од којих никоје четири

нису компланарне постоји n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) равни које су њима 6 одређене. Последњу формулу наводимо без

E

C D

F

B P

A M

Q N

Слика 7

образложења.

Са α (M, N, P) можемо означити раван одређену тачкама M, N, P. Како та раван садржи и тачку Q, исту раван смо могли означити и са α (M, N, Q). Како је у питању исти геометријски објекат записан на другачији начин, користићемо ознаку „≡”, па можемо записати: α (M, N, P) ≡ α (M, N, Q). (Ознаку „≡” читамо као „идентички једнако”.) 62


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Пример 3

компланарне тачке

Посматрајмо квадар ABCDA1B1C1D1. Ивице AD, D1D и DC се не виде из овог положаја. Тачке A, D, D1 и A1 су компланарне (припадају истој страни квадра). Тачке A, B, C и C1 нису компланарне. Тачни су следећи искази: A ∈ α (B, C, D), A ∉ β (D, C, C1) π (B, C, C1) ≡ φ (B, B1, C1). Пример 4

D1

A1

C1

B1 D

A

C

B некомпланарне тачке

o

Слика 8

pr om

Одредићемо све равни које су одређене теменима A, B, C и D1 квадра са Слике 8.

Решење: Свака тројка неколинеарних тачака одређује једну раван. Тражене равни одређене су тројкама тачака: A, B, C; A, B, D1; B, C, D1; A, C, D1. Укупно четири равни.

uk a

На Слици 9 су приказане тачке A, B, C и D које припадају равни α и тачке E, F и G које јој не припадају. Посматрајмо праве a (D, C), b (A, G), c (E, F). Права a = a (D, C) одређена је тачкама које припадају равни α = α (B, C, D). Да ли ће и цела права припадати тој равни?

Е F

D A

C B

α

Ed

Права a припада равни α, што записујемо: a ⊂ α и читамо: „a је подскуп од α”.

G

Слика 9

Аксиома 3

Ако две различите тачке припадају истој равни, тада и права одређена тим тачкама припада тој равни. Паралелне праве Аксиома 4 Нека је у равни дата права p и тачка A која не припада тој правој. Постоји тачно једна права те равни која садржи тачку A и са правом p нема заједничких тачака.

A

p

α

Слика 10 63


СЛИЧНОСТ ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ВЕЖБАМО 1. Одреди број различитих правих које су одређене са пет тачака, међу којима никоје три нису колинеарне. 2. Одреди број различитих правих одређених са шест тачака, међу којима су а) тачно три колинеарне; б) тачно четири колинеарне.

o

Хвала ти!

Можеш да се вратиш на почетак данашње лекције и прочиташ још једном како је одређен укупан број руковања на састанку код Ане.

pr om

Задатак под б) је већ урађен тако што смо праве цртали и бројали. Шта ће се догодити ако имам 1000 тачака, од којих је 30 колинеарних, како ћу тада да поступим?

Када примениш формулу, колико ће правих одредити шест неколинеарних тачака?

У овом случају имаш .............. колинеарне тачке. Уколико би и оне биле неколинеарне, оне би одредиле тачно .............. праве. То значи да од укупног броја одузмеш .............. праве, јер оне у овом случају одређују једну исту праву. То значи да ових шест тачака, од којих су три колинеарне, одређују тачно .............. правих.

uk a

∙ (n – 1) = 2

3.

Ed

Хвала ти пуно, ја заправо овај поступак могу да применим и у случају са 1000 тачака. Наравно! Покушај да решиш пример под б) на начин на који је решен пример под а).

Израчунај укупан број дијагонала n-тоугла. 4. Колико је најмање, а колико највише правих одређено четирима различитим тачкама на кружници и центром круга? Скицирај одговарајуће слике. 5. Колико је правих одређено теменима правоуглог троугла и: а) центром уписане кружнице; б) центром описане кружнице? 6. Колико је правих, а колико равни одређено теменима коцке? Скицирај слику. 7. Са колико је тачака, међу којима никоје три нису колинеарне, одређено 36 правих? 64


СЛИЧНОСТ ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Тачке A, C и D са слике нису колинеарне. ДА

НЕ

A

(Заокружи тачан одговор.)

D C

2.

o

Број различитих правих одређених 21 тачком, међу којима никоје три нису колинеарне, јесте: а) 210; б) 200; в) 190. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

pr om

3.

Број различитих правих одређених са 5 тачака, међу којима су тачно три колинеарне, јесте: а) 6; б) 8; в) 10. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 4.

Ed

uk a

Колико је најмање правих одређено теменима квадрата и тачком унутар тог квадрата? а) 4 ; б) 6 ; в) 8. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

65


ОДНОСИ ПРАВИХ, МИМОИЛАЗНЕ ПРАВЕ, ОДРЕЂЕНОСТ РАВНИ

Бож

ида

Вожда К арађор

ђа

uk a

ра

Аџи

је

Луткарско

јво де М

иш ић а

позориште Бу ле ва рд ок тор аЗ о

р

o

Во

ушана Цара Д

Слика 1

pr om

Ситуације У каквом односу могу бити две праве? Улице које се секу, млазови воде, бели трагови авиона на небу... Све су то ситуације у којима можеш да уочиш неки од односа у којем се могу наћи две праве или више њих. Улице Војводе Мишића и Цара Душана представљају модел две праве које се секу. Праве које се секу имају тачно једну заједничку тачку (види Слику 2). Пресечна тачка правих a и b је тачка A, што записујемо a ∩ b = {A}. Млазеви воде су модел паралелних правих као другог могућег односа две праве. Две праве су ūаралелне ако се не секу и припадају истој равни.

Научићеш да препознаш односе у којима су дате праве и формулишеш тврђења која се тичу одређености равни.

b

A

a

Слика 2

Ed

a

Слика 3

a

b

Слика 4

b

Слика 5

Праве a и b са Слике 4 су паралелне, што записујемо a||b. Тада је a ∩ b = ................. (допуни реченицу тако да буде тачна). Праве приказане на Слици 5 се ūоклаūају. Такве праве сматрамо паралелним. Пруга Шине железничке пруге модели су паралелних правих, иако из ове перспективе делује као да су у питању праве које се секу. Зашто?

Слика 6 66


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

o

Путање кретања два авиона, као и путање кретања возила на мосту и брода (Слика 7) илуструју трећи однос у ком се могу наћи две праве. То је случај када се праве не секу и када нису паралелне. За праве које се не секу и нису паралелне кажемо да су мимоилазне. Мимоилазне праве не припадају истој равни.

pr om

Слика 7 Пример 1

m

Ed

Задатак 1

а) Наведи бар три пара паралелних и три пара мимоилазних правих одређених ивицама ове коцке. б) Колико је правих одређено тачкама S, A, B, A1, B1? в) Одреди праву паралелну правој p која садржи тачку D1. г) У каквом је односу та права са правама m и n? д) Колико равни одређених теменима коцке садрже праву n?

D1

E C1

B1

S

uk a

Посматрајмо коцку ABCDA1B1C1D1 са слике. Како тачке A и C1 припадају равни π, то ће, према Аксиоми 3, права a(A, C1) припадати тој равни, тј. a(A, C1) ⊂ π. Како E ∈ n(C1, D1), то ће права b(B, E) припадати равни π, тј. b(B, E) ⊂ π. Праве m и n су паралелне и садржане у равни β(A1, B1, C1 ). Пар правих m и p представљају пар мимоилазних правих.

A1

n

D

A π

C p

B

Слика 8 Мимоилазне праве није згодно цртати на папиру. Зашто?

Присетимо се аксиома које смо до сада поменули. Аксиома 1 Две различите тачке одређују тачно једну праву.

67


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Аксиома 2 Три различите неколинеарне тачке одређују тачно једну раван. Аксиома 3 Ако две различите тачке припадају истој равни, тада и права одређена тим тачкама припада тој равни. Аксиома 4

pr om

Теореме о одређености равни

o

Нека је у равни дата права p и тачка A која не припада тој правој. Постоји тачно једна права те равни која садржи тачку A и са правом p нема заједничких тачака.

Теореме, у којима ћеш пронаћи одговор, биће твој савезник у изради разних макета, а можда и неких архитектонских решења. Теорема 1

Права и тачка ван те праве одређују тачно једну раван.

A

С

В π

р

Ed

uk a

Доказ: Нека је дата права p и тачка C која јој не припада. На правој p можемо уочити две различите тачке A и B. Тачке A, B и C су три различите неколинеарне тачке, па на основу Аксиоме 2 одређују тачно једну раван.

Слика 9

Теорема 2

Две праве које се секу одређују тачно једну раван.

A

С

В

Доказ: Нека се праве p и q секу у тачки B. Изаберимо на правој p тачку A различиту од тачке B и тачку C на правој q различиту од тачке B. Како важи да је A ≠ C (зашто?), тачке A, B и C су три различите неколинеарне тачке, па на основу Аксиоме 2 одређују тачно једну раван. 68

π

q

р

Слика 10


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Теорема 3 Две паралелне праве одређују тачно једну раван.

q

A

С

В

Доказ: Нека су дате паралелне праве p и q које се не поклапају (Слика 11). На правој p изаберимо две различите тачке A и B, а на правој q тачку C. Тачке A, B и C су три различите неколинеарне тачке, па на основу Аксиоме 2 одређују тачно једну раван.

π

р

Слика 11

A1

D1

pr om

Посматрајмо квадар ABCDA1B1C1D1 са слике. Права a(A, B) и тачка C одређују тачно једну раван. За ту раван можемо рећи да је одређена и неколинеарним тачкама A, B и D, тј. β(A, B, D). Иста раван одређена је правама a(A, B) и n(B, C) које се секу. Паралелне праве b(B1, C1) и c(B, C) одређују тачно једну раван. Ова раван је такође одређена неколинеарним тачкама B, C и C1. Исту раван одређују и паралелне праве e(B, B1) и f(C, C1).

o

Пример 2

uk a

A

C1

B1

D

C

B

Слика 12

1.

Ed

ВЕЖБАМО

Заокружи слово испред тачног исказа. а) Три неколинеарне тачке одређују тачно једну раван. б) Права и тачка која јој припада одређују тачно једну раван. в) Две праве које се секу одређују тачно једну раван. г) Две праве су паралелне ако се не секу. 2. Колико је највише равни одређено трима паралелним правама? Нацртај слику. 3. Колико је најмање, а колико највише равни одређено једном правом и трима тачкама које јој не припадају? Нацртај могуће положаје.

69


СЛИЧНОСТ ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

4. Колико је равни одређено двема правама које се секу и трећом која је паралелна некој од тих правих? Да ли је решење јединствено? Уколико затреба, ево мале помоћи!

Нацртај одговарајућу слику. Да ли је то једини могући положај задатих правих у простору? Провери како су остали из разреда скицирали праве, а затим покушај да тачно одговориш на питање.

1.

pr om

Две праве могу имати тачно две заједничке тачке. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 2.

Дате су две мимоилазне праве m и n. Ако је p||m, који од следећих случајева није могућ? а) p ∩ n = ∅; б) p ∩ n ≠ ∅; в) p ≡ n. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

3.

o

Проверавамо своје знање (5 минута)

4.

Ed

Колико је најмање равни одређено двема правама које се секу и двема тачкама ван тих правих? а) 1; б) 3; в) 5. (Заокружи слово испред тачног одговора.) Колико највише равни могу да одреде три праве које се секу у једној тачки? а) 2; б) 4; в) 3. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

70


ОДНОСИ ПРАВЕ И РАВНИ

Научићеш да уочаваш различите односе правих и равни.

Пикадо Ако стрелицу за пикадо и цевчицу представимо као моделе правих, а мету за гађање и површ сока као моделе равни, измоделирали смо случај да права и раван имају тачно једну заједничку тачку. Овим је описан случај у коме кажемо да права ūро�ире раван, а заједничку тачку називамо �ачком ūро�ора. На Слици 2, права p продире раван γ у тачки A, тј. p ∩ γ = {A}.

o

Слика 1

pr om

p

А

γ

Слика 2

Ed

uk a

У каквом још односу могу бити права и раван? Положена оловка на папиру представља модел дужи која одређује праву у равни папира. Ивице степеништа су модели дужи које одређују праве паралелне равни пода.

Слика 3

Уколико права не продире раван, за ту праву кажемо да је паралелна датој равни, тј. права и раван су ūаралелне. Ако су права p и раван π паралелне, то записујемо са p||π. Специјалан случај паралелности праве и равни јесте када права припада равни. p

π

π

p

Слика 4 71


СЛИЧНОСТ ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Торта Свака свећица на торти модел је праве која је нормална на равну површ торте. n

A

α

Слика 5

o

Дефиниција 1

pr om

Права која продире раван и која је нормална на све праве те равни које садрже тачку продора нормална је на ту раван. Праву која је нормална на раван називамо нормалом те равни.

Колико има правих у равни α које садрже тачку продора? Бесконачно много. Практично је немогуће испитати нормалност сваке од тих правих са правом n (Слика 5).

uk a

Следећа теорема значајно олакшава утврђивање нормалности праве на раван. Нормалност праве на раван Теорема 1

Ed

Права n, која продире раван α, нормална је на ту раван ако је нормална на две различите праве те равни које садрже тачку продора. Пример 1

Како је ABCDA1B1C1D1 квадар, то важи ∢ABB1 = ∢CBB1 = 90°. Дакле, права a је нормална на праве b и c. Праве b и c припадају равни β(B, C, D), па на основу Теореме 1 важи да је права a нормална на раван β(B, C, D), тј. a ⊥ β(B, C, D). Пронашли смо две праве равни β нормалне на a. То је довољно да закључимо да је a нормала.

A

a

D1

A1

B1

D

β

C

c

B

Слика 6 72

C1

b


СЛИЧНОСТ ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Нека је дата раван π и тачка C која јој припада. Колико има правих које садрже тачку C и нормалне су на раван π?

Једино нормала на раван гради прав угао са двема правама те равни које садрже тачку продора.

80° 85°

C

π

Слика 7

Можемо формулисати следеће тврђење: Теорема 2

pr om

o

За раван π и тачку C те равни, постоји тачно једна права која садржи тачку C и нормална је на раван π. Можемо посматрати раван и тачку ван те равни и извести сличан закључак. За раван α и тачку S ван те равни, постоји тачно једна права која садржи тачку S и нормална је на раван α. Растојање Ако са S1 означимо тачку продора, дужину дужи SS1 зовемо рас�ојањем тачке S од равни α. Колико је растојање тачке S1 од равни α?

α

uk a

n

S1

Слика 8

Ed

Пример 2

S

Нека је растојање тачке S од равни α 3√3 cm. Означимо са O продор нормале која садржи тачку S на раван α. Нека је дат и круг са центром у тачки O и полупречником 3 cm који припада истој равни. а) Да ли су све тачке са кружнице подједнако удаљене од тачке S? б) Ако је T произвољна тачка са кружнице, које су мере унутрашњих углова троугла ∆SOT? Решење: а) Нека су тачке T и M произвољне тачке са кружнице. Троуглови ∆SOT и ∆SOM су подударни (Став СУС). На основу тога закључујемо да важи ST = SM, дакле: све тачке са кружнице су подједнако удаљене од тачке S.

S

O α

T

M

Слика 9 73


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

б) Како је права p(O, S) нормала на раван α, то је угао ∢SOT = 90°. Троугао ∆SOT је правоугли, па применом Питагорине теореме добијамо да је ST = 6 cm. Мере унутрашњих углова троугла ∆SOT су 30°, 60° и 90°. Образложи зашто.

Рођендан На рођенданској торти, свећице су модели нормала на раван торте. У каквом су оне међусобном односу? c

a b

C

A

o

B

pr om

α Слика 10

Како су a, b и c нормале на дату раван, назначени углови морају бити прави. Да ли важи a||b, b||c и a||c? Ако претпоставимо да се, рецимо, праве a и b секу, и ако са D означимо њихову пресечну тачку, тада би троугао ∆ABD имао два права угла, што је немогуће. Дакле, важи следеће тврђење.

uk a

Теорема 3

Постоји бесконачно много нормала на исту раван и све су међусобно паралелне!

Ed

Праве нормалне на исту раван међусобно су паралелне.

ВЕЖБАМО

1.

На основу слике покушај да одговориш тачно на питања: а) У каквом су односу праве p(C, C1) и p(A1, D1)? У каквом су односу поменуте праве са равни β(D, C, C1)? б) Посматрајмо праву p(B, B1). Наведи равни које одређују стране квадра тако да: б1) права p(B, B1) продире сваку од равни; б2) права p(B, B1) припада свакој од равни; 74

A1

D1

C1

B1 A

D C

B


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

в) Колико правих одређених ивицама квадра продиру раван β(A, B, C)? г) Колико правих одређених ивицама квадра које садрже тачку B1 продиру раван β(A, B, C)? Помоћ?

Пре него одговориш на питања, прочитај још једном у каквом положају се могу наћи праве и равни, као и праве међусобно. У својој свесци табеларно представи све могуће положаје, а затим покушај да тачно одговориш на следећа питања у задатку. Положај праве и равни

Положај правих у равни

Положај правих које не припадају истој равни

2.

3.

pr om

o

Тачка S удаљена је √2 cm од равни α. Ако је тачка продора нормале из тачке S на раван α теме квадрата странице a = 6 cm, одреди растојање тачке S од средишта квадрата.

uk a

Права p(S, T) је нормала на раван β(A, B, C). Тачка продора T уједно је и тежиште троугла ∆ABC. Ако је ST = 8 cm, TA1 = 3 cm, TB1 = 2,5 cm, TC1 = 2 cm, одреди растојања тачке S од свих темена троугла ∆ABC.

B1

A

S

2,5 cm

2 cm T C1

C 3 cm

A1 B

1.

Ed

Проверавамо своје знање (5 минута) Две праве које се секу могу са неком равни имати тачно једну заједничку тачку. (Заокружи тачан одговор.) ДА НЕ 2. Ако је права паралелна са двема различитим равнима, тада су те равни паралелне. (Заокружи тачан одговор.) ДА НЕ 3. Праве m и n које се секу одређују раван α. Ако права p садржи пресечну тачку правих m и n и притом важи p ⊥ m, p ⊥ n, која од следећих тврђења могу бити тачна? (Заокружи слова испред тачних одговора.) а) p припада равни α; в) p је нормала равни α; б) p продире раван α; г) p је паралелна равни α. 4. Права која је мимоилазна са правом дате равни може бити нормала на ту раван. (Заокружи тачан одговор.) ДА НЕ 75


Научићеш да уочаваш различите односе двеју равни и дефинишеш диедар и угао диедра.

ОДНОС ДВЕЈУ РАВНИ. ДИЕДАР Равни у простору У каквом односу се могу наћи две равни у простору? Аксиома 5

Ако две равни имају једну заједничку тачку, тада оне имају бар још једну заједничку тачку.

pr om

o

Ако две равни имају једну заједничку тачку, на основу Аксиоме 5 имаће бар још једну заједничку тачку. Те две тачке одређују заједничку праву тих равни. α

q

uk a

β

Слика 1

Ed

За две равни које имају заједничку праву и немају заједничких тачака ван те праве кажемо да се секу. Разлистана књига и отворени лаптоп модели су за равни које се секу. Заједничку праву тих равни називамо ūресечном ūравом. Равни α и β се секу, тј. имају заједничку праву q: α ∩ β = q. α β

α≡β

Слика 2 Равни које се не секу су паралелне. Полице у више нивоа представљају моделе паралелних равни. Ове равни немају заједничких тачака. Равни које имају све тачке заједничке, попут преклопљених листова, јесу равни које се поклапају. Њих сматрамо паралелним равнима. У оба случаја записујемо α || β. 76


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Пример 1 Посматрајмо квадар ABCDA1B1C1D1 са слике и равни одређене његовим странама. а) Колико равни садржи праву p? б) У каквом су односу те равни? в) Које равни су паралелне равни α = α(A, B, B1)? У каквом су односу те равни са равни β = β(B, C, C1)? г) Које равни секу раван α? У каквом су односу те равни са равни β = β(B, C, C1)?

p

D1

A1

B1

D

A

C1

α

β

C

B

pr om

o

Слика 3 Решење: а) две равни, α, β; б) секу се; в) раван α и раван γ(D, C, C1) и оне секу раван β; г) δ(A, D, D1) (паралелна је равни β), ε(A, B, C) (сече раван β), β (паралелна је са β), π(A1, B1, C1) (сече раван β).

Нека је права q пресек равни α и β. Нека су дате праве a и b тако да је a ⊂ α, a ⊥ q и b ⊂ β, b ⊥ q. Праве a и b се секу у тачки која припада правој q. Угао који образују праве a и b јесте угао који образују равни α и β (углови φ1 и φ2 приказани на Слици 4).

uk a

α

a

β

α a

q

β

Ed

b

q φ1

α

a

a

q φ1

b

Слика 4

α

β

φ2

φ2

β b

q φ1

φ2

b

Слика 5 77


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Диедар Две полуравни са заједничком граничном правом и једним од два дела на који деле простор чине �ие�ар. На Слици 5 су осенчена два од четири диедра које ове равни одређују. Полуравни називамо с�ранама �ие�ра, пресечну (граничну) праву називамо ивицом �ие�ра, док су углови φ1 и φ2 у�лови �ие�ара. Види Слику 6. стране диедра

α

ивица диедра

φ2

β

o

φ1

β

α

pr om

угао диедра

Слика 6

Пример 2

D

A

α

uk a

Угао диедра одређен равнима α и β и делом простора који припада унутрашњости квадра износи 90o.

D1

A1

C1

B1

β

За равни α и β које образују угао од 90o кажемо да су нормалне.

C

B

Слика 7

Ed

Пример 3

p

Два једнакокрака троугла са заједничком основицом припадају странама диедра. Угао φ тог диедра је угао одређен правама које садрже висине троуглова које одговарају основицама (види Слику 8). На Слици 9 је означен диедар чији је угао β. H

b

b

φ a Слика 8 78

G

E

F D

C

β

a

B

A

Слика 9


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1.

A

p

D1

A1

α

C1

B1

D

β

C

B

o

Посматрајмо квадар ABCDA1B1C1D1 са слике и равни одређене његовим теменима. а) Колико равни садрже праву p? б) Које равни су нормалне на раван β = β(B, C, C1)? У каквом су односу те равни са равни α = α(A, B, B1)?

pr om

в) Које равни секу раван α? У каквом су односу те равни са равни β? г) Наведи два пара равни које захватају оштар угао. Образложи зашто је тај угао оштар. Запиши у својој свесци кратак подсетник о међусобним положајима у којима се могу наћи равни. Запиши све што знаш о диедру, а затим покушај да тачно урадиш задатак.

1.

uk a

Проверавамо своје знање (5 минута)

2.

Ed

Две равни које се секу могу имати тачно једну заједничку тачку. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Две равни са заједничком нормалом морају бити паралелне. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 3. На слици је приказана коцка. Угао одређен „плавом” и „црвеном” равни је прав. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

4. Две равни које са трећом равни образују једнаке углове увек су паралелне. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 79


Научићеш да одређујеш ортогоналну пројекцију тачке, дужи и праве на раван у различитим случајевима и да дефинишеш угао између праве и равни.

ОРТОГОНАЛНА ПРОЈЕКЦИЈА НА РАВАН Ортогонална пројекција тачке на раван

Кликер који слободно пада у воду направиће траг на површини воде. Ако полазну позицију кликера означимо тачком A, а одговарајући траг на површини воде тачком A1, тада за тачку A1 кажемо да је ортогонална пројекција тачке A на раван одређену површином воде, при чему је права n(A, A1) нормална на ту раван. A

pr om

o

n

π

A1

Слика 1

uk a

Дефиниција 1

C

Ортогонална пројекција тачке A на раван π јесте тачка продора нормале n, која садржи тачку A, на ту раван.

D

Ed

Тачка D представља ортогоналну пројекцију тачака C и E на раван π (Слика 2).

Слика 2

Пример 1

Тачка T је ортогонална пројекција тачке S на раван α = α(A, B, C). Нека је T1 ортогонална пројекција тачке T на раван. Како тачка T припада равни α(A, B, C), то ће се она поклапати са својом ортогоналном пројекцијом на ту раван, тј. T ≡ T1. Шта је ортогонална пројекција тачке S на раван β(A, S, C)?

E

π

S

C B1 A

C1

T ≡ T1

Слика 3 80

A1 B


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Ортогонална пројекција дужи на раван

o

Упознали смо се са ортогоналном пројекцијом тачке на раван. Шта представља ортогонална пројекција једне дужи на раван, приказано је сликама, при чему је модел дужи оловка.

pr om

Слика 4

Ортогоналну пројекцију једне дужи на раван чини скуп ортогоналних пројекција свих тачака те дужи. Ортогонална пројекција дужи је одређена ортогоналним пројекцијама њених крајњих тачака.

A

B

B

A

A1

uk a

A

B1

A1

B B1

A1 ≡ B1

Слика 5

Ed

Ортогонална пројекција дужи која припада правој која је паралелна пројекцијској равни јесте дуж чија је дужина једнака дужи која се пројектује. Ортогонална пројекција дужи која припада правој која продире пројекцијску раван јесте дуж чија је дужина мања од дужине дужи која се пројектује. Ортогонална пројекција дужи која припада правој која је нормална на пројекцијску раван јесте тачка њеног продора на пројекцијску раван. Пример 2 Посматрајмо квадар ABCDA1B1C1D1 са слике и раван α = α(A, B, C). Ортогонална пројекција тачке D1 на раван α је тачка D. Ортогонална пројекција тачке C на раван α је тачка C. Ортогонална пројекција дужи A1D1 на раван α је дуж AD. Ортогонална пројекција дужи A1C на раван α је дуж AC.

A1 A

D1

C1

B1 D C

B

Слика 6 81


ТАЧКА, СЛИЧНОСТ ПРАВА И РАВАН

Ортогонална пројекција праве на раван Слично ортогоналној пројекцији дужи на раван, можемо одредити и ортогоналну пројекцију праве на раван. Ако је права p паралелна равни, њена ортогонална пројекција је права p1 те равни одређена ортогоналним пројекцијама произвољних двеју тачака праве p, као што је приказано на Слици 7. У овом случају важи p || p1. p

p

B

A1

B1

Слика 7

B

p1

P P

B1

o

p1

A

pr om

p

Слика 8

У случају када права има своје делове са обе стране равни, није важно са које ћемо стране пројектовати.

uk a

У случају када права продире раван (Слика 8), њена ортогонална пројекција на раван је права p1 те равни, која садржи тачку продора и ортогоналну пројекцију произвољне тачке праве p, различите од тачке продора. На крају, у случају када је права p нормална на раван, њена ортогонална пројекција је тачка продора P (Слика 9).

Слика 9

Ed

Мердевине У тренутку када сунчеви зраци падају под правим углом, сенка коју остављају објекти за собом заправо је њихова ортогонална пројекција на раван тла. Ако су мердевине извучене на дужину од 4 m и притом њихова ортогонална пројекција на раван тла има дужину 2 m, одредићемо приближно на којој висини куће су мердевине постављене (√3 ≈ 1,73). На основу Питагорине теореме, важи h2 = 42 – 22, одакле је h = 2√3 m ≈ 3,46 m.

h

Слика 10 82


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

На Слици 11 приказан је део крова са податком о његовом нагибном углу (нагибу) према равни пода. Нагиб крова према равни пода јесте угао између једне од греда (које припадају кровној конструкцији) и равни пода. У овом случају тај угао износи 45o. Како прецизно да дефинишемо нагибни угао? Посматрајмо праву p која продире раван, а која није њена нормала.

45°

Слика 11 Нагибни угао

pr om

o

Угао φ, одређен правом p и њеном ортогоналном пројекцијом на раван β, назива се на�ибни у�ао (нагиб) праве p према равни β (Слика 12). Овај знак на путу означава опасан успон!

Пример 3

uk a

β

Ed

Ако је пројекција тачке S на раван α(A, B, C) тачка пресека дијагонала квадрата ABCD, онда је нагибни угао праве p(A, S) у односу на раван α(A, B, C) угао између праве p(A, S) и праве којој припада дијагонала AC.

p1

p

φ

P

Слика 12 C

a

D

a

S

a

A

a

S

D

B a

O A

Пример 4

C

a

a

a

B

Слика 13

Тачке A и B припадају правој p и налазе се са исте стране пројекцијске равни. Нагибни угао праве p према тој равни је 60°. Ортогоналне пројекције тачака A и B редом су удаљене 3 cm и 6 cm од тачке продора. Одредити међусобно растојање тих двеју тачака, као и њихова растојања од те равни.

83


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Решење: Према услову задатка је PA1 = 3 cm, PB1 = 6 cm, дакле, A1B1 = 6 – 3 = 3 cm. Троугао ∆PA1A има унутрашње углове 30°, 60°, 90°, па је PA = 3 ∙ 2 = 6 cm и 6√3 = 3√3 cm. Слично, у троуглу ∆PB1B AA1 = 2 12√3 = 6√3 cm. је PB = 2 ∙ 6 = 12 cm, a BB1 = 2 Остаје још AB = PB – PA = 12 – 6 = 6 cm.

B

A

p

P 60°

3 cm B1

3 cm A1

Слика 14

Пример 5

pr om

o

Тачке A и B су са различитих страна равни π. Означимо њихове ортогоналне пројекције на раван са A1 и B1, редом, а са P тачку продора дужи AB кроз раван π. Ако је AA1 = 4 cm, BB1 = 5 cm, A1B1 = 12 cm, одредити дужину дужи AB.

Пример 6

uk a

Решење: �� � Ако дуж AB транслирамо за вектор AA1 = a, добијамо дуж A1B2 чија је дужина једнака дужини AB. Како је B1B2 = 5 + 4 = 9 cm, на основу Питагорине теореме важи да је A1B22 = A1B12 + B1B22, одакле је A1B2 = AB = 15 cm. Реши овај задатак и применом сличности.

π

A1

B2

B

� a

B1

P

A

Слика 15

Ed

Тачка S се налази у унутрашњости диедра чији је угао 120° и једнако је удаљена од страна диедра. Ако је тачка S удаљена 8 cm од ивице диедра, одреди растојање тачке S од страна диедра, као и растојања њених ортогоналних пројекција на стране диедра од ивице диедра.

Решење: Нека су S1 и S2 ортогоналне пројекције тачке S

на равни диедра. Троуглови ∆SPS1 и ∆SPS2 су подударни (страница SP им је заједничка, SS1 = SS2, углови код темена S1 и S2 су прави), 120° = 60° и PS1 = PS2. па је ∢S1PS = ∢S2PS = 2 Троугао ∆S1PS има унутрашње углове 30°, 60°, 8 = 4 cm . Важи PS2 = 4 cm. 90°, па је PS1 = 2 8√3 На крају, SS1 = SS2 = = 4√3 cm. 2 84

S

S1

8 cm

60°

P 60°

S2

Слика 16


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

ВЕЖБАМО 1.

D1

A1

D

A

C

B

2.

S

pr om

На основу ознака са слике, допуни следеће реченице: а) Ортогонална пројекција тачке S на раван α је ....................... б) Ортогонална пројекција дужи ST на раван α је ....................... в) Ортогонална пројекција дужи TO на раван α је ....................... г) Ортогонална пројекција дужи SO на раван α је .......................

C1

B1

o

Посматрајући слику, одреди: а) ортогоналну пројекцију тачке C на раван β(A, D, D1); б) ортогоналну пројекцију дужи BB1 на раван β(D, D1, C1); в) ортогоналну пројекцију дужи AB на раван β(B, C, C1).

O

M

T

uk a

α

3.

4.

Ed

Пажљиво прочитај пример са оловкама, а затим покушај да допуниш реченицe како би тврђење било тачно.

Тачке A и B су са исте стране равни π. Нека су A1 и B1 ознаке њихових ортогоналних пројекција на раван π, редом. Ако је AA1 = 7 cm, BB1 = 13 cm, A1B1 = 8 cm, одредити дужину дужи AB. Дата је коцка ивице 4 cm. Попуни табелу мерним бројевима дужина ортогоналних пројекција задатих дужи на одговарајуће равни. раван

дуж

EG

FG

HO

H

G O

E

HB

F

D

C

α(A, B, C)

β(E, A, D)

A

B

85


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Ортогонална пројекција праве на раван може бити тачка. (Заокружи тачан одговор.) ДА НЕ 2. Ортогонална пројекција полуправе на раван може бити: б) полуправа или тачка;

в) дуж или полуправа.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

pr om

3.

o

а) права или тачка;

Дуж дужине 5 cm паралелна је равни. За дужину њене ортогоналне пројекције x на раван важи: а) x = 0 cm;

б) 0 cm < x < 5 cm;

в) x = 5 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 4.

а) 2 cm;

uk a

Један крај дужи AB = 2√2 cm припада равни. Ако је угао између дужи AB и равни једнак 45°, тада је ортогонална пројекција дужи AB на раван једнака: б) 1 cm;

в) 0 cm;

г) √2 cm.

Ed

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

86


Научићеш да разликујеш равне од просторних и закривљених површи, дефинишеш полиедар и наводиш основне елементе полиедара.

ПОЛИЕДАР Геометријске фигуре у равни којима смо се до сада бавили, попут троугла, четвороугла, многоугла у општем случају, круга итд., одређују �оврши у равни. Уопштено, равну �оврш одређује свака затворена линија у равни која ту раван дели на два дела. На Слици 1 дати су примери неких равних површи.

Слика 1

pr om

o

Спајањем и савијањем разних површи по њиховим ивицама, добијамо �оврш у �рос�ору.

Слика 2

Ed

uk a

Уколико један од делова површи у простору није равна површ, такву површ називамо закривљена �оврш у �рос�ору.

Pавна површ (правоугаоник)

Закривљена површ у простору Слика 3

Коју год равну фигуру да савијем изван њене равни, добијам површ у простору!

На Слици 4 приказана је површ која је делом равна (садржи круг), а делом закривљена.

Затворена површ – геометријско тело Слика 4 87


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Геометријско тело За површ која дели простор на два дела, кажемо да је за�ворена. Затворена површ заједно са делом простора који ограничава чини �еоме�ријско �ело.

pr om

o

У свакодневном животу често се срећемо са разним површима у простору. Које од следећих површи из нашег окружења представљају геометријска тела?

Слика 5

Дефиниција 1

uk a

Полиедар

Ed

Геометријско тело ограничено површи састављеном из коначног броја многоуглова назива се �олие�ар. Притом, свака два многоугла која чине полиедар имају или тачно једну заједничку страницу или је њихов пресек празан скуп. Свака два суседна многоугла припадају различитим равнима.

Конвексан полиедар

Неконвексан полиедар Слика 6

88


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

На Слици 6 приказан је конвексан и неконвексан �олие�ар. Полиедар је конвексан ако садржи сваку дуж чије му крајње тачке припадају. За конвексан полиедар важи да се све његове тачке налазе са исте стране било које равни којој припада једна његова страна. Слика 7 приказује зашто је „петокрака” неконвексан полиедар.

pr om

На Слици 8 приказан је неконвексан полиедар. Доцртај бар једну дуж чије крајње тачке припадају полиедру, а цела дуж не.

o

Слика 7

Задатак 1

uk a

Најпознатији полиедри са којима си се до сада упознао/упознала су квадар и коцка.

Ed

Елементи полиедра

Слика 8

ивица полиедра

страна полиедра

теме полиедра Слика 9

Многоуглови којима је полиедар ограничен јесу с�ране �олие�ра. Заједничка страница двају суседних многоуглова јесте ивица �олие�ра, док је заједничка тачка трију или више многоуглова �еме �олие�ра. 89


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Пример 1 Стране полиедра који је приказан на Слици 10 чине четири четвороугла и два троугла. Наведи те четвороуглове и троуглове: .............................................................................. Неке од ивица овог полиедра су AC, BF, DG. Колико ивица има овај полиедар? Одговор: .............................................................. Тачке A, D, F, C су нека темена овог полиедра. Колико укупно има темена? Одговор: ..............................................................

F

G E

D C

B

A Слика 10

o

Задатак 2

pr om

Колико је најмање штапића потребно за састављање модела полиедра? Колико тај полиедар има страна, ивица и темена? Скицирај тај полиедар.

Посебну пажњу ћемо посветити правилним полиедрима. Дефиниција 2

Слика 11

Ed

Платонова тела

uk a

Полиедар који је ограничен правилним многоугловима називамо �равилним �олие�ром.

тетраедар

хексаедар (коцка)

Правилни полиедри

октаедар

додекаедар

икосаедар

Слика 12 На Слици 12 приказани су неки правилни полиедри. Ових пет полиедара познато је под називом – Пла�онова �ела.

Платон 90


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

Називи Платонових тела зависе од броја страна које тај полиедар ограничавају, а порекло им је у грчком језику: �е�ра – 4, �ен�а – 5, �о�ека – 12... Тетраедар и октаедар су ограничени једнакостраничним троугловима. Хексаедар (коцка) је ограничен квадратима, додекаедар правилним петоугловима, икосаедар једнакостраничним троугловима. Истражи више о њима.

Проверавамо своје знање (5 минута) Правилни шестоугао није равна површ. (Заокружи тачан одговор.) ДА НЕ

pr om

2. Колико ивица има октаедар? а) 6;

б) 8;

o

1.

в) 12.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 3.

4.

Ed

а)

uk a

Који је од следећих полиедара конвексан? (Заокружи слово испред тачног одговора.)

б)

в)

г)

Коцка је засечена као на слици. Колико страна има добијени полиедар? а) 18;

б) 14;

в) 24;

г) 16.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

91


Ed

uk a

pr om

o

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН СЛИЧНОСТ

92


Ed

uk a

pr om

o

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

93


Научићеш да одређујеш област дефинисаности израза, испитујеш еквивалентност двају израза и дефинишеш једначину и њено решење.

ЕКВИВАЛЕНТНИ ИЗРАЗИ. ПОЈАМ ЈЕДНАЧИНЕ

У седмом разреду смо упознали алгебарске изразе попут 2x + 1, 13 – x, 5,12a – 5, 1 7 m – n2, 13xyz, – ∙125, 2m3 + 3, итд. 3 8 Сваки од њих може описивати извесну правилност. На графикону су приказани подаци о продаји банане и јабуке током једне године. Количина продатог воћа дата је у тонама. 14 12

Слика 1

2)

(1

(1

р

ар

ар

(1

р

ба

це

ве

Де

Но

Се

Ок

пт

то

мб

мб

ба

ем

Ав

uk a банане

1)

0)

)

(9

(8

ст

Ју

н

)

)

(7

(6

)

Ју

ај

Ап

М

ри

ар

М

л

т(

(5

(4

3)

)

ар

Ф

Ја

еб

ру

ну

ар

(2

(1

)

0

)

2

гу

4

л

6

)

8

pr om

o

10

јабуке

Ed

У првој половини године продаја банана расте, и то по одређеном правилу: 1 → 3

3=2∙1+1

3 → 7

7=2∙3+1

2 → 5 4 → 9 5 → 11 6 → 13

5=2∙2+1 9=2∙4+1

Када број који одговара одређеном месецу помножим са 2 и том производу додам 1, добијам количину продатих банана тог месеца.

11 = 2 ∙ 5 + 1 13 = 2 ∙ 6 + 1

Размишљајући на приказан начин, закључујемо да израз 2x + 1 описује ову продају. Ако на исти начин размотримо продају јабуке, добијамо да израз 13 – x описује ту продају. Изразе у којима се јавља једна променљива x, означаваћемо са A(x), B(x), S(x), итд.

94


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

У изразу A(x) = 2x + 1, уместо променљиве x можемо, осим вредности из скупа {1, 2, 3, 4, 5, 6} које смо користили у уводном примеру, заменити било који реални број, тј. израз A(x) = 2x + 1 има смисла за било који реалан број. На пример, за x = √2 израз A(x) = 2x + 1 има вредност A(√2) = 2√2 + 1. 3 Ако посматрамо израз T(x) = , примећујемо да за x = 5 дати израз нема смисла. Зашто? x–5 Дефиниција 1

Скуп вредности променљиве неког израза за које тај израз има смисла, тј. има бројевну вредност, назива се скуп допустивих вредности или облас� �ефинисанос�и тог израза.

o

Укуцај на дигитрону 3 : 0. Какву си поруку добио/добила?

pr om

С тим у вези, област дефинисаности израза A(x) = 2x + 1 је скуп свих реалних бројева R, док је област дефинисаности 3 израза T(x) = скуп реалних бројева из ког смо x–5 искључили број 5: R\{5}.

Примењујући законе који важе у скупу реалних бројева (комутативност за сабирање и множење, дистрибутивност, асоцијативност, особине супротних бројева, итд.), израз A(x) = 2x + 1 можемо записати и на следеће начине: 1 + 2x,

1 + x ∙ 2,

2 ∙ (x +

1 ), 2

x + (x + 1),

1 – (–2x).

Дефиниција 2

uk a

Сви наведени изрази, добијени коначном применом правила рачунања у скупу реалних бројева, еквивален�ни су међусобно.

Ed

Два израза A(x) и B(x) су еквивален�на ако имају исту област дефинисаности и ако су њихове бројевне вредности једнаке за све вредности из области дефинисаности, тј. важи A(x) = B(x) за свако x из области дефинисаности.

Пример 1

Да ли су изрази C(x) = x + x и D(x) = x2 еквивалентни? Решење: Област дефинисаности оба израза је исти скуп, R. Остаје да упоредимо њихове бројевне вредности, тј. да ли важи C(x) = D(x) за свако x ∈ R. C(1) = 1 + 1 = 2, D(1) = 12 = 1, па је C(1) ≠ D(1), дакле бројевне вредности им се разликују за x = 1, па изрази нису еквивалентни. Пример 2

Доказаћемо да су изрази F(x) = 2x + 3x и G(x) = 5x еквивалентни. Решење: Област дефинисаности ових израза је исти скуп, R. Остаје да се уверимо да важи F(x) = G(x) за свако x ∈ R. Како је 2x + 3x = (2 + 3) ∙ x = 5x (дистрибутивни закон), то су изрази F(x) и G(x) еквивалентни. 95


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Идентитет Дефиниција 3 Једнакост еквивалентних израза са променљивом представља и�ен�и�е�. Пример 3 Изрази (x – 1)2 и x2 – 2x + 1 су еквивалентни (имају исту област дефинисаности и њихове бројевне вредности су једнаке за сваку вредност из области дефинисаности), па је једнакост (x – 1)2 = x2 – 2x + 1 (квадрат бинома) идентитет.

Постоји одређена правилност у кретању продаје банана и јабука. У првој половини године, продаја банана креће са три тоне у јануару, а затим се повећава за две тоне сваког наредног месеца. Истовремено, продаја јабука креће са 12 тона у јануару, а затим се смањује за по једну тону сваког наредног месеца. За изразе A(x) = 2x + 1 и S(a) = 13 – a, којима је описана продаја, кажемо да су линеарни.

pr om

o

Ако дневно решавам по 10 задатака, онда број урађених задатака расте линеарно!

Дефиниција 4

Пример 4

uk a

Алгебарски израз A(x) је линеаран ако је еквивалентан изразу облика ax + b, при чему су a, b ∈ R, a ≠ 0.

96

7 = 13 – 6

банане

)

М

ај

ри л

Ју н

(5

(6

)

)

(4

3)

)

ар т(

(2

Ап

2 ∙ 6 + 1 = 13

8 = 13 – 5

0

М

2 ∙ 5 + 1 = 11

9 = 13 – 4

2

ар

2∙4+1=9

10 = 13 – 3

4

)

2∙3+1=7

11 = 13 – 2

6

ру

2∙2+1=5

12 = 13 – 1

8

(1

2∙1+1=3

13 – x

10

еб

2x + 1

2x + 1 = 13 – x

12

Ф

У ком месецу прве половине године се продала иста количина банана и јабука, односно у ком месецу изрази A(x) = 2x + 1 и B(x) = 13 – x имају исту вредност?

14

ну ар

Уједначена продаја – једнакост

Ја

Ed

Израз 2x – 3 ∙ (1 – x) је линеаран. Зашто? Решење: Како важе једнакости 2x – 3 ∙ (1 – x) = 2x – 3 + 3x = 2x + 3x – 3 = 5x + (–3), а последњи израз има облик ax + b за a = 5 и b = –3, то је полазни израз линеаран.

јабуке


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

У априлу (4) су продате једнаке количине банана и јабука 2 ∙ 4 + 1 = 13 – 4 = 9, тј. A(4) = B(4). Одговор на постављено питање можемо потражити у једнакости израза A(x) = B(x) 2x + 1 = 13 – x, тј. проблем можемо представити једначином. Дефиниција 5 Два алгебарска израза, од којих бар један садржи непознату величину, повезана знаком једнакости чине је�начину.

pr om

L(x) = D(x)

o

знак једнакости

лева страна једнакости

десна страна једнакости

Претходна једнакост A(x) = B(x), тј. 2x + 1 = 13 – x, представља једначину са једном непознатом, док је x = 4 њено решење. Дефиниција 6

Пример 5

uk a

Сваки реалан број који, замењен у једначини уместо непознате, претвара једначину у тачну бројевну једнакост, представља решење те једначине.

10 8 6 4

банане

2)

1)

(1

р

це

ве

Де

Но

Се

Ок т

пт е

об

мб

мб а

ар

ар

мб а

р

(1

(1

(9

0)

)

8)

ст (

гу

0

)

2

(7

Посматрај на графикону кретање продаје у другој половини године. Одреди који изрази описују продају банана и јабука у овом периоду. Одреди месец у ком је продата иста количина банана и јабука, запиши одговарајућу једначину и њено решење.

12

Ав

Задатак 1

Ју л

Ed

Број a = –2 је решење једначине 7 – 3a = 13, јер важи 7 – 3 ∙ (–2) = 13.

јабуке

97


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

ВЕЖБАМО 1. Одреди област дефинисаности израза:

2.

а) 13 – x;

б) x;

в)

4 . x–4

Провери еквивалентност датих израза: б) 2 + x и 2x;

а) Прочитај Дефиницију 2 и Примере 1 и 2. Област дефинисаности израза .................... је скуп R. Израз .................... је дефинисан за све реалне бројеве осим ..................... На основу Дефиниције 2, можемо да закључимо да изрази .................... (јесу/нису) еквивалентни.

3.

4.

в) x2 ∙ x5 и x7.

pr om

Немаш идеју?

5x2 ; 5x

o

а) x и

Састави бар две једначине чије је решење x = –

1 . 2

uk a

Наведи неко од решења једначина 0 ∙ x = 7 и 2x + x = 3x.

1.

Ed

Проверавамо своје знање (5 минута) Област дефинисаности израза x – 3 је: 2 а) R\{3};

2.

б) R;

в) R\{2};

⎰3 ⎱ г) R\⎱ 2 ⎰.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Изрази A(x) = x5 и B(x) = x3+ x2 међусобно су еквивалентни. ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

3. Израз 8x – 64 је линеаран. 5 ДА

4.

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Скуп решења једначине (4 – √16) ∙ x = 0 је: а) R; 98

б) ∅;

в) {0}

(Заокружи слово испред тачног одговора.)


Научићеш да испитујеш еквивалентност једначина, користиш еквивалентне трансформације у формирању еквивалентних једначина и препознаш линеарну једначину.

ЕКВИВАЛЕНТНЕ ЈЕДНАЧИНЕ. ПОЈАМ ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

uk a

pr om

Време које је Марко издвојио за учење биологије на дневном нивоу представља решење одговарајуће једначине. Ако са x означимо време (у минутима) које је Марко предвидео за учење биологије, тада је на 1 проучавање уџбеника Марко утрошио x, на додатну 2 1 1 ∙ x , а на израду тестова 45 минута, што литературу 2 2 можемо и да илуструјемо:

o

Планирање учења Марко је направио план учења биологије и на дневном нивоу издвојио одређени број сати за то. Половину тог времена утрошио је на активно читање предвиђених лекција и прикупљање информација из уџбеника. Половину остатка времена посветио је учењу из додатне литературе (углавном садржаји које је пронашао на интернету), да би преосталих 45 минута провео у решавању тестова, како би проверавао своје знање. Колико је сати Марко издвојио за учење и проверавање знања?

1 x 2

1 1 ∙ x 2 2

45

Ed

x

1 1 x+ x + 45 = x. Проблем се своди на решавање једначине 2 4 Усвојићемо поступке који ће нам омогућити да ефикасно решимо ову једначину и једначине тог типа. Решимо сваку од следећих једначина: 1 x + 2 = –5 ; 3a + 21 = 0 ; –7 = x ; y+7=0; – t + 5,5 = 9. 2 Број –7 је решење сваке од ових једначина. Дефиниција 1

За једначине које имају једнаке скупове решења, кажемо да су еквивален�не. Пример 1 Једначине x + 1 = –5 и 2x + 12 = 0 еквивалентне су јер имају исти скуп решења {–6}.

99


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Пример 2 Испитајмо да ли су једначине x2 = 49 и |x – 1|= 6 еквивалентне. Решење: Скуп решења једначине x2 = 49 је {–7, 7}, а за једначину |x – 1|= 6 скуп решења је {7, –5}. Како су им скупови решења различити, ове једначине нису еквивалентне. Пример 3 Једначине 5x + 3 = –1 и –1 = 5x + 3 су еквивалентне. Зашто? Пример 4

pr om

Еквивалентне трансформације

o

x Једначине x – 1 = 4 и 20 = 4x су еквивалентне. Такође, једначине 20 = 4x и + 3,5 = 6 су 2 x еквивалентне. Да ли су тада једначине x – 1 = 4 и + 3,5 = 6 еквивалентне? 2 Наводимо тврђења која ћемо користити у решавању једначина. Теорема 1

Ed

uk a

Посматрајмо једначину A(x) = B(x). (1) Ако левој и десној страни једначине �о�амо (о�узмемо) исти израз, добија се једначина еквивалентна полазној. A(x) = B(x) /+C(x) A(x) + C(x) = B(x) + C(x) (1) Ако леву и десну страну једначине �омножимо (�о�елимо) истим изразом различитим од нуле, добија се једначина еквивалентна полазној. A(x) = B(x) /∙ C(x) A(x) ∙ C(x) = B(x) ∙ C(x)

Теорема 2

Посматрајмо једначину A(x) = B(x). Ако израз који се јавља у једначини заменимо њему еквивалентним изразом, добија се једначина еквивалентна полазној. То значи да, ако је A(x) = S(x), након замене, полазна једначина се трансформише у S(x) = B(x), која је еквивалентна полазној.

Поступцима описаним у претходним тврђењима, полазна једначина се трансформише, при чему се у сваком наредном кораку добијају еквивалентне једначине. Зато ове трансформације називамо еквивален�ним �рансформацијама.

100


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ СЛИЧНОСТ

Пример 5 Да ли су еквивалентне једначине 2x + 1 = 0 и x = –

x

/∙

1 1 = (– 1) ∙ 2 2 = –

1 2

1 2

Множимо једначину („смета” нам број уз непознату).

Мењамо изразе њима еквивалентним.

o

(2x) ∙

2x = – 1

Одузимамо левој и десној страни 1 (раздвајамо познате од непознатих). Бројевне изразе мењамо њиховим вредностима.

pr om

2x + 1 = 0 /–1 2x + 1 – 1 = 0 – 1 =0 =–1

1 ? 2

Полазна једначина еквивалентна је једначини x = – 1 . 2 За овај облик једначине кажемо да је решени облик једначине. То је, дакле, најједноставнији облик једначине која је еквивалентна полазној.

uk a

Како ова једначина има јединствено решење, број – 1 (ово је једини број који се може 2 заменити у једнакости x = – 1 уместо непознате величине да би се добила тачна бројевна 2 једнакост), то ће и полазна једначина имати јединствено решење – 1 . 2 Непосредном провером се можемо уверити у ову тврдњу: 1 2x + 1 = 2 ∙ ⎧ 2 ⎫ + 1 = –1 + 1 = 0. ⎩ ⎭

Ed

У претходном одељку је било речи о линеарним изразима. То су изрази еквивалентни изразу облика ax + b, a, b ∈ R. Слично дефинишемо линеарну једначину: Дефиниција 2

Једначина са једном непознатом која се еквивалентним трансформацијама може свести на једначину облика ax + b = 0, a, b ∈ R назива се линеарна је�начина.

Пример 6

Једначина 2x + 1 = 0 је линеарна једначина. Зашто?

Пример 7

Једначина (2x – 1)2 – 4x2 = 7 се своди на 4x + 6 = 0, па је она линеарна.

101


СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ ЛИНЕАРНЕ Ево како сам ја рачунао! 3 ∙ (x – 2) = 6x 3 ∙ (x – 2) – 6x = 0 3 ∙ (x – 2) – 3 ∙ 2x = 0 3 ∙ (x – 2 – 2x) = 0 3 ∙ (–x – 2) = 0 –x – 2 = 0

Пример 8 Проверимо да ли је једначина 3 ∙ (x – 2) = 6x линеарна. Решење: Наводимо два пута у еквивалентним трансформацијама којим је могуће доћи до решења: 3 ∙ (x – 2) = 6x

3 ∙ (x – 2) ∙

/∙

1 1 = 6x ∙ 3 3

x – 2 = 2x

2x = x – 2

1 3

3 ∙ (x – 2) = 6x

3x – 6 = 6x

/–x + 2

3x – 6 – 6x = 6x – 6x –3x – 6 = 0

И ти си добио једначину облика ax + b = 0

o

2x – x + 2 = x – 2 – x + 2 x+2=0

/–6x

pr om

па је полазна једначина линеарна.

ВЕЖБАМО 1.

Повежи еквивалентне једначине као што је започето: 4x + 5 = 17

x+1=0

uk a

2x – 5 = 21

x2 = 9

|x|= 3 1 x = 6,5 6– 2 1 x ∙ ( – 0,785) = 0 2

x=3

0 = 19x

Ed

x – 13 = 0

Помоћ?

Прочитај пажљиво Дефиницију 1 и пример који следи након ње у лекцији, а затим размисли и покушај да тачно решиш задатак.

2. Испитај еквивалентност једначина:

3.

а) x2 = 36 и |x| = 6,

б) |x – 8| = 5 и x – 8 = 5,

в) x2 + 7 = 1 и |x| = –289.

Које једначине од наведених су линеарне?­ 2x – 17 = 5x,

102

x + 5 – 1 = 2,7, 7

3 – x = 0, x

√2 x + 5 = 3x,

1 – (1 – x)2 = 5.


РЕШАВАЊЕ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Научићеш да решаваш једначину облика ax + b = 0 и једначине које се своде на тај облик и да решаваш сложеније једначине које се своде на линеарне.

Решење линеарне једначине у општем облику Решићемо једначину: /–b

ax ∙

ax = –b /∙

1 1 = –b ∙ a a b x=– a

1 a

o

ax + b – b = 0 – b

pr om

ax + b = 0

Дискусија У случају када је a ≠ 0 и b ∈ R, тада једначина ax + b = 0 има је�инс�вено решење b ⎰ b⎱ x = – , па је њен скуп решења . ⎱ a⎰ a

У случају када је a = 0, једначина 0 ∙ x + b = 0, где је b ∈ R и b ≠ 0, своди се на једначину:

uk a

0∙x=–b . =0 ≠0

Ed

Како последња једнакост није тачна ни за једно x ∈ R, то једначина 0 ∙ x + b = 0 где је b ∈ R и b ≠ 0 нема решења, тј. x ∈ ∅. У случају када је a = 0 и b = 0, једначина 0 ∙ x + 0 = 0 своди се на једначину:

0∙x=0. =0

Како је последња једнакост тачна за свако x ∈ R, то је скуп решења једначине 0 ∙ x + 0 = 0 скуп R.

Једначине које ћемо у наставку решавати еквивалентним трансформацијама се могу свести на једначину облика ax + b = 0.

103


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Пример 1 Решићемо једначине: а) 5x – 0,5 = 2 ; 2

б) 5 ∙ (1 –

3 15 x) = ; 4 2

в) 4x – x – 2 = 3 – x . 3 2

а) 5x – 0,5 = 2 / ∙ 2 2 5x ∙ 2 – 0,5 ∙ 2 = 2 ∙ 2 2 5x – 1 = 4 /+ 1 5x – 1 + 1 = 4 + 1

Најпре ћемо се ослободити разломка!

Након што смо се ослободили разломка, левој и десној страни додајемо исти израз за раздвајање познатих и непознатих.

1 5 1 1 5x ∙ =5∙ 5 5

o

/∙

pr om

5x = 5 x=1

1 3 15 x) = /∙ 5 4 2 3 3 1– x= /∙4 4 2

в) 4x – x – 2 = 3 – x 3 2

б) 5 ∙ (1 –

– 3x = 2 2 3

1 / ∙⎧ 3 ⎫ ⎩ ⎭

Заграде око израза x – 2 и 3 – x су обавезне!

24x – 2x + 4 = 9 – 3x

24x – 2x + 3x + 4 = 9

25x = 9 – 4 25x = 5

Ed

x=–

/–4

24x – 2 ∙ (x – 2) = 3 ∙ (3 – x)

uk a

4 – 3x = 6

/∙6

x=

1 5

/∙

/+ 3x

За ослобађање од разломка у овом примеру, помножићемо најмањим заједничким садржаоцем за имениоце.

1 25

Наводимо примере решавања и неких сложенијих једначина које можемо решити помоћу линеарних једначина. Пример 2 Решићемо једначине:

Решење:

а) (x – 1) ∙ (x + 2) = 0;

а) (x – 1) ∙ (x + 2) = 0

б) |x + 1| = 3.

104

x – 1 = 0 или x + 2 = 0 x = 1 или x = – 2

Производ два чиниоца једнак је нули ако је бар један од чинилаца нула!


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ СЛИЧНОСТ

Провером сам утврдио да једначина x2 + x – 2 = 0 има решења 1 и –2.

x + 1 = 3 или x + 1 = – 3 x = 2 или x = – 4

Пример 3

Ако је A = 2x – 1, B = 4 ∙ (x2 + 2),

Једначина |x + 1| = –3 нема решења. Зашто?

Решење:

A2 – B = 5

(2x – 1)2 – 4 ∙ (x2 + 2) = 5

4x2 – 4x + 1 – 4x2 – 8 = 5

uk a

решићемо једначину A2 – B = 5.

Грешком сам уместо 3 написао –3. Имао сам проблема да решим ту једначину.

o

б) |x + 1| = 3

Пример 4

Једначина коју си добио није линеарна!

Шта сад?

pr om

Покушао сам овако: (x – 1) ∙ (x + 2) = 0 x2 + 2x – x – 2= 0 x2 + x – 2= 0

– 4x – 7 = 5 – 4x = 12 x=–3

Ed

Једначина 2x – 3 = 0 има смисла за x – 1 ≠ 0 тј. x ≠ 1. Количник је једнак нули када је дељеник x–1 3 . једнак нули, па мора бити 2x – 3 = 0, одакле је x = 2

ВЕЖБАМО

1.

2.

Реши једначине: а) 0,4 ∙ x = 2;

б) x + 2 = 0,4 +

1 1 a . ; в) = 24 ∙ 6 2 4

Сад имаш све што ти је потребно да ефикасно одредиш време које је Марко издвојио за учење биологије (пример на страни 99).

105


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

3. Сара је са другарицом размењивала поступак решавања једначине. Случајно јој се мастило разлило по задатку. Помози Сари да открије делове решавања које је мастило прекрило.

= 42x

/∙

2x – 5x + 5 = 42x – 3x

– 45x = – 5 4.

x=

Изгледа компликовано?

=–5

1 /∙ ⎧ 45⎫ ⎩ ⎭

Пажљиво испитај поступак којим је Сара решавала задатак. Срећом, мастилом није умрљан важан део који ће ти помоћи да реконструишеш њен поступак.

o

2x – 5 ∙

= 4,2x

pr om

0,2x – 1 ∙ 2

uk a

x Реши једначине а) 2 – x + 3 = + x – 1 ; б) 2 ∙ (3x – 1) ∙ (–x + 5) = 0 ; 2 4 4 в) 4x – 6 = 0 ; г) |5x – 7| = 6 ; д) –2 ∙ (x – 1)2 – 3 = –(3x – 1) ∙ (3x + 1) + 7 ∙ (x2 – 2). x

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Ed

Једначине 1 x – 3 = 0 и x = – 6 су еквивалентне. 2

ДА 2.

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Поступак решавања једначине са слике је коректан. ДА

4.

(Заокружи тачан одговор.)

Једначина 2 ∙ (x – 1 + 0,3x) = 5x је линеарна. 2 ДА

3.

НЕ

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Скуп решења једначине –(x + 1) + 2 = 1 – x је: а) {1};

106

б) R;

в) ∅;

г) {–1} .

/∙6 2– x–1 = x 3 6 12 – 2x – 1 = x – 2x – x = – 12 + 1 – 3x = – 11 11 x= 3

(Заокружи слово испред тачног одговора.)


ПРИМЕНА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Научићеш да примењујеш линеарне једначине у решавању проблема из свакодневног живота, као и у другим областима математике.

pr om

Вожња уз навигацију Андреј путује код својих пријатеља за викенд. На пола пута он увек прави паузу да би се одморио од вожње. Након што је прешао 2 пута, на навигацији се појавило 5 обавештење да има још 12 km до места за паузу. Колико укупно километара треба Андреј да пређе да би стигао до пријатеља?

o

У реалном окружењу, науци и проблемским задацима постоји много прилика које можемо описати једначином. Решења тих једначина представљају уједно и решења проблемских ситуација.

Први начин: Означимо са x укупан број километара које Андреј треба да пређе. Према условима задатка, 2 пута преостало је још 12 km до половине пута. Дакле, проблем се своди након пређених 5 2 1 на решавање једначине: x + 12 = x. 5 2

Ed

uk a

2 1 x + 12 = x /∙ 10 5 2 4x + 120 = 5x 120 = 5x – 4x 120 = x Дакле, Андреј треба да пређе 120 km да би стигао до пријатеља.

Дру�и начин: Посматрај Слику 1. Дужину целог пута (целину на слици) поделили смо на десет једнаких делова. (НЗС (2, 5) = 10). Можемо једноставно закључити да осенчени део

представља десети део целине, тј. 12 km представља 1 пута. 10 Дакле, 1 x = 12, па једноставно закључујемо да је 10 x = 120 km.

1 x 2

2 x 5

Слика 1

12 km

107


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Времеплов Мајка има 37 година, а син 17 година. а) За колико година ће мајка бити два пута старија од сина? б) Пре колико година је син био три пута млађи од мајке?

pr om

а) Означимо тражени број година са t. Ако је мајка два пута старија од сина, тада мора да важи (17 + t) ∙ 2 = 37 + t . Решење ове једначине је t = 3 (провери). Заиста, за три године ће мајка имати 40, а син 20 година.

o

Како проверити тачност решења задатка чији смо проблем представили једначином? Уколико поступимо у складу са дефиницијом решења једначине, ми ћемо проверити само тачност постављене једначине, али не и решење самог задатка. Да бисмо проверили да ли смо тачно решили задатак, добијено решење једначине проверавамо у условима који су дати у задатку. Андреј прави паузу на пола пута. Како је прешао две петине од укупно 120 km, што износи 48 km, до места за паузу остало му је још 12 km, што је тачно, јер је половина пута на 60 km.

Задатак 1

uk a

б) Овог пута се „враћамо у прошлост”, па ћемо одузимати непознати број година. Ако је син три пута млађи од мајке, тада мора да важи (17 – t) ∙ 3 = 37 – t. Решење ове једначине је t = 7 (провери). Заиста, пре седам година је мајка имала 30, а син 10 година.

Ed

За колико година ће однос година мајке и сина из претходног задатка бити: а) 3 : 2, б) 5 : 3? Задатак 2

Пре колико година је мајка била пет пута старија од сина? Задатак 3 Искористи „временску линију” (Слика 2) па направи свој задатак. Задатак 4 Упореди године својих укућана, па састави сличан проблем. Задатке можете заједно решавати!

108

9

29

11

31

10 ...

17 ...

20 21 22 ...

30 ...

37

прошлост

садашњост

...

40 41

будућност

42 ...

Слика 2


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ СЛИЧНОСТ

Базен У базену је 400 литара воде чија је температура 48℃. Колико треба сипати литара воде чија је температура 17℃ да би температура у базену износила 25℃ и тако била погодна за купање?

o

Означимо непознату количину воде (у литрима) са x. Количина топлоте коју садржи сваки део мешавине једнака је количини топлоте мешавине, па мора да важи: 400 ∙ 48 + x ∙ 17 = (400 + x) ∙ 25. Решење ове једначине је x = 1150, па је потребно досипати 1150 ℓ воде температуре 17℃ да би температура воде била 25℃. Круг

pr om

2 обима једног круга недостаје дужина кружног лука од 3π cm до обима 5 круга, одреди површину тог круга. 2 Означимо са O обим круга. Према услову задатка, важи: O + 3π = O. 5 Решење ове једначине је O = 5π cm.

Ако дужини од

Како је O = 2rπ, добијамо 5π = 2rπ, одакле је r = 2,5 cm.

uk a

Сада је P = r2π, па је P = 6,25π cm2.

Правоугли троугао

Одреди вредност променљиве x на Слици 3.

Ed

Како је троугао са слике правоугли, применом Питагорине теореме добијамо: (3x + 1)2 = 62 + (3x – 1)2 9x2 + 6x + 1 = 36 + 9x2 – 6x + 1 12x = 36 x=3.

6 cm

3x + 1 3x – 1

Слика 3

109


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

ВЕЖБАМО 1. Формирај одговарајућу једначину и одреди:

2.

3.

а) број чија је половина 11,5;

б) број чије

3 износе 18. 5

Наташа је на пијаци купила три килограма кромпира, један килограм кајсија, два килограма банана и један килограм малина. Њен рачун је износио 865 динара. Ако је воће платила 700 динара, колико кошта килограм кромпира?

pr om

o

Збир трећине, четвртине и половине неког броја је за два већи од тог броја. Који је то број?

4.

uk a

6.

Једна катета правоуглог троугла је за 1 cm краћа од хипотенузе. Ако је друга катета 7 cm, одредити обим и површину тог троугла. Цена карте за биоскоп најпре је поскупела за 20%, а затим појефтинила за 20% и сада износи 192 динара. Колико је износила цена карте пре поскупљења? Цену карте коју треба да одредимо означићемо са .......... (100%). Прва промена цене: 100%x + 20%x = .................... = 1,2x нова цена (100%). Друга промена цене: 80% нове цене = .......... ∙ 1,2x = 192 x = 192 : .......... Почетна цена карте износила је ............... динара.

Ed

5.

Један унутрашњи угао четвороугла је два пута већи од другог, а три пута мањи од трећег. Ако је четврти угао тог четвороугла 45°, одреди мере преосталих унутрашњих углова тог четвороугла.

Проценти?

110


pr om

Административна забрана На рачуну у банци Марко има 14800 динара. Два пута у току месеца, по административној забрани, Марку се одбија исти износ за плаћање рате за мобилни телефон који је недавно купио. С обзиром на то да се Марко бави графичким дизајном, потребна му је графичка табла, која кошта 12000 динара. Колико највише може да износи део рате за мобилни телефон коју плаћа Марко да би могао себи да приушти графичку таблу?

o

ПОЈАМ И РЕШЕЊЕ ЛИНЕАРНЕ НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Научићеш да испитујеш еквивалентност неједначина и препознаш линеарну неједначину.

Ако са x означимо део рате за мобилни телефон коју отплаћује Марко, проблем се своди на неједнакост: 14800 – 2 ∙ x ≥ 12000. Дефиниција 1

uk a

Неједнакост у којој се јавља бар једна променљива представља неје�начину. Скуп свих допустивих вредности променљиве које, замењене у неједначини, претварају неједначину у тачну бројевну неједнакост, чини ску� решења неје�начине.

Ed

Неједнакост 14800 – 2 ∙ x ≥ 12000 представља неједначину са једном непознатом. Ова неједнакост је задовољена за све реалне бројеве који су мањи или једнаки од 1400, тј. x ≤ 1400, па ће скуп решења ове неједначине бити {x|x ≤ 1400 и x ∈ R}. За неједначине облика x ≤ 1400, y ≥ – 5, t < 1 кажемо да су неједначине задате у решеном облику. Из њих директно одређујемо њихове скупове решења. Пример 1

Повежи неједначине са одговарајућим скупом решења: x ≤ 3 5 ≥ x + 2 x < –1 –3 ≥ x

Еквивалентне неједначине

{x|x < –1 и x ∈ R} {x|x ≤ –3 и x ∈ R} {x|x ≤ 3 и x ∈ R} {x|x ≥ –3 и x ∈ R}

Дефиниција 2 За неједначине које имају једнаке скупове решења, кажемо да су еквивален�не. Наводимо тврђења која ћемо користити у решавању неједначина. 111


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Теорема 1 Нека су A, B и C изрази са променљивом. а) Неједначине A < B и B > A су еквивалентне. б) Ако су изрази B и C еквивалентни, онда су неједначине A < B и A < C еквивалентне.

Теорема 2

Ако и једној и другој страни неједначине додамо (одузмемо) исти израз, добијамо неједначину еквивалентну полазној.

pr om

Теорема 3

A < B /–C A–C<B–C

o

A < B /+C A+C<B+C

а) Ако обе стране неједначине помножимо (поделимо) истим пози�ивним бројем, при чему знак неједнакости остаје исти, добијамо неједначину еквивалентну полазној. A < B /∙ C (C > 0) A∙C<B∙C

A < B /: C (C > 0) A:C<B:C

uk a

б) Ако обе стране неједначине помножимо (поделимо) истим не�а�ивним бројем, при чему знак неједнакости заменимо супротним, добијамо неједначину еквивалентну полазној.

Ed

A < B /∙ C (C < 0) A∙C>B∙C

A < B /: C (C < 0) A:C>B:C

Пример 2

1 Показаћемо да су неједначине 5 – x ≤ 1 + x и ≤ x еквивалентне. 2 3

5–x ≤1+x /∙3 3 3 ∙ 5 – x ≤ 3 ∙ (1 + x) 3 5 – x ≤ 3 + 3x /– 3x 5 – 4x ≤ 3

/– 5

1 – 4x ≤ – 2 /∙ ⎧ 4 ⎫ ⎩ ⎭ 1 x≥ 2 Последња неједначина је еквивалентна неједначини 1 ≤ x. 2 112

Могло је и овако: – 4x ≤ – 2 |+ 2 + 4x 1 2 ≤ 4x |∙ 4 1 ≤x 2


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ СЛИЧНОСТ

Као и код једначина, уводимо појам линеарне неједначине са једном непознатом. Дефиниција 3 За неједначину са једном непознатом кажемо да је линеарна ако се еквивалентним трансформацијама може свести на једну од неједначина облика ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, при чему је a ∈ R, b ∈ R.

Пример 3

1. 2.

pr om

ВЕЖБАМО

o

5–x ≤ 1 еквивалентна је неједначини –4x ≤ –2 (претходни пример), која а) Неједначина 3 је еквивалентна неједначини –4x + 2 ≤ 0, па је полазна неједначина, према дефиницији, линеарна. б) Неједначина 2 ∙ (x – 1)2 – 2x2 > 5 је еквивалентна неједначини 4x + 3 < 0 (провери), па је самим тим неједначина линеарна.

Провери да ли a = 3 припада скупу решења неједначине – а + 5 < a + 2. 7 Састави две неједначине које су еквивалентне неједначини a ≤ –0,3.

uk a

Мала помоћ?

Ed

Можеш искористити теореме 1, 2 и 3 наведене у лекцији и саставиш бар две неједначине које су еквивалентне датој.

Проверавамо своје знање (5 минута)

1.

2.

9 Неједнакост 1,72 – 0,89 ≥ � + 5 је тачна. 16 4

(Заокружи тачан одговор.)

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Неједначине 1 – 2x ≤ 5 и x – 2 ≥ 0 су еквивалентне. ДА

4.

НЕ

Број 3 припада скупу решења неједначине x – 3 < 0. ДА

3.

ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Неједначина x2 – (2x2 + 1) < 5x – x2 је линеарна.

ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

113


РЕШАВАЊЕ ЛИНЕАРНИХ НЕЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Научићеш да решаваш линеарну неједначину користећи еквивалентне трансформације и представљаш скуп њених решења на различите начине.

Решити линеарну неједначину значи одредити скуп вредности променљиве за које та неједначина постаје тачна бројевна неједнакост. Скуп решења неједначине можемо представити скуповно, али и помоћу интервала и бројевне праве. Пример 1

pr om

o

Неједначине дате у свом решеном облику представићемо помоћу интервала и бројевне праве. 1 а) x < 2 1 Скуп решења ове неједначине је {x|x < и x ∈ R}, што помоћу интервала записујемо 2 1 (–∞, ). Овај интервал је неограничен са леве стране, па за његово записивање користимо 2 ознаку –∞, коју читамо: „минус бесконачно”. 1 2

uk a

1 (–∞, ) 2 1 Број не припада 2 интервалу.

Ed

б) –3,2 ≤ y < 0 Скуп решења ове неједначине је {y|–3,2 ≤ y < 0 и y ∈ R}, што помоћу интервала записујемо [–3,2 ,0). [–3,2 ,0) Број –3,2 припада интервалу.

–3,2

0

в) 3 ≤ t ≤ 2√5 Скуп решења ове неједначине је {t|3 ≤ t ≤ 2√5 и t ∈ R}, што помоћу интервала записујемо [3, 2√5]. Празан кружић значи да одговарајући број не припада скупу, а пун да припада!

114

3

2√5


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ СЛИЧНОСТ

г) z ≥ 2 Скуп решења ове неједначине је {z|z ≥ 2 и z ∈ R}, што помоћу интервала записујемо [2, +∞). Овај интервал је неограничен са десне стране, па за његово записивање користимо ознаку +∞ коју читамо: „плус бесконачно”.

2

Решавање линеарне неједначине у општем облику

ax + b < 0 ax < –b

b

/–b 1 /∙ . а

a a

(b, +∞)

pr om

Посматрајмо, најпре, случај када је a ≠ 0:

(–∞, а]

o

Решићемо линеарну неједначину у општем облику: ax + b < 0, при чему a, b ∈ R. (Слично је и за остале неједнакости.)

(–∞, а)

b

a

a

[b, +∞)

a a

[а, b]

[а, b) (а, b]

(а, b)

Приказ интервала на бројевној правој

b b b b

uk a

Дискусија Слика 1 Нисмо сигурни да ли је a позитиван или негативан број, зато ћемо посматрати два случаја: b b b , x ∈ R} = (–∞, – ). 1) a > 0 , тада имамо x < – , па је скуп решења тада {x|x < – а а а b b b , па је скуп решења тада {x|x > – 2) a < 0 , тада имамо x > – , x ∈ R} = ( – , +∞). а а а

Ed

У случају када је a = 0 неједначина ax + b < 0 се своди на 0 ∙ x + b < 0. Скуп решења ове неједначине зависи од знака вредности b. Можемо размотрити два случаја: 1) b < 0 , тада је неједнакост 0 ∙ x + b < 0 тачна за сваки реалан број, па је скуп решења неједначине R = (–∞, +∞). 2) b ≥ 0 , тада неједнакост 0 ∙ x + b < 0 није тачна ни за један реалан број, па је скуп решења те неједначине празан, тј. ∅. Пример 2

Одредићемо скупове решења неједначина: а) 2x – 1 ≤ 0,2 ; 5

б) 4 – x >

1 ; 3

в) 0 ∙ x – 0,2 < 0 ;

г) 0 ∙ x – 1 > 3 . 115


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

a)

б)

1 ≤ 0,2 / ∙ 5 5 10x – 1 ≤ 1 / + 1 1 10x ≤ 2 / ∙ 10 1 x≤ 5 2x –

1 5

1 /∙3 3 12 – 3x > 1 / – 12 1 – 3x > – 11 / ∙ ⎧ 3 ⎫ ⎩ ⎭ 11 x< 3 4–x>

11 3

pr om

o

в) Неједначина 0 ∙ x – 0,2 < 0 се своди на – 0,2 < 0, што је тачна бројевна неједнакост. Решење неједначине је скуп свих бројева x ∈ R. г) Неједначина 0 ∙ x – 1 > 3 се своди на –1 > 3, што је нетачна бројевна неједнакост. Решење неједначине је празан скуп, тј. ∅. Пример 3

Ed

uk a

9 Одредићемо све природне бројеве x за које је разлика израза 3,5x – 3 и – + 2x 4 2 ненегативна. Решење: Израз A је ненегативан ако је A ≥ 0. Проблем се своди на решавање неједначине: 3,5x – 3 – (– 9 + 2x) ≥ 0 4 2 3,5x – 3 + 9 – 2x ≥ 0 /∙4 4 2 2 ∙ (3,5x – 3) + 9 – 8x ≥ 0 7x – 6 + 9 – 8x ≥ 0 3 –x+3≥0 –x≥–3 /∙ (–1) Тражени природни бројеви су 1, 2 и 3. x ≤ 3 Пример 4

Дати су изрази A = 2x + 1, B = (x – 1) ∙ (x + 1) и C = 5x. Одредићемо највећи цео број за који израз A2 – 4B није мањи од израза C. Решење: Проблем се своди на решавање неједначине: A2 – 4B ≥ C (2x + 1)2 – 4 ∙ (x – 1) ∙ (x + 1) ≥ 5x 4x2 + 4x + 1 – 4 ∙ (x2 –1) ≥ 5x 4x2 + 4x + 1 – 4x2 + 4 ≥ 5x |–5x – 5 5 4x – 5x ≥ – 5 –x≥–5 |∙ (–1) x ≤ 5 Највећи цео број за који израз A2 – 4B није мањи од израза C је број 5. 116


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ СЛИЧНОСТ

Пример 5 Одредићемо збир свих простих бројева p за које важе неједнакости: 4 ≤ 3p – 2 ≤ 16. Решење: На основу теорема 2 и 3, имамо да важи: Прости 4 ≤ 3p – 2 ≤ 16 |+ 2 бројеви имају тачно два делиоца! 4 + 2 ≤ 3p – 2 + 2 ≤ 16 + 2 1 6 ≤ 3p ≤ 18 |∙ 3 2≤p≤6 Тражени прости бројеви су 2, 3 и 5. Њихов збир је 2 + 3 + 5 = 10.

Пример 6

–2

8

б) |2x + 1| ≥ 3 2x + 1 ≤ – 3 или 2x + 1 ≥ 3 2x ≤ – 4 или 2x ≥ 2 x ≤ – 2 или x ≥ 1

pr om

|x – 3| < 5 –5<x–3<5 –5<x–3 и x–3<5 –x<2 и x<8 x>–2 и x<8

uk a

a)

o

Решићемо неједначине: a)|x – 3| < 5; б)|2x + 1| ≥ 3 и одговарајући скуп решења представити на бројевној правој.

–2

1

1.

Ed

ВЕЖБАМО

Реши неједначине, а затим скуп решења представи на бројевној правој:

2.

а) 2x + 3 < 8;

б) 4 – x ≥ 3; 2

в) а – 3 ≥ 2; 6

г) x ∙ ( 1 + 2) < – 0,25. 4

Реши неједначине, а затим скуп решења представи на бројевној правој:

3.

а) 2x – 7 ≤ 1 + 2x;

б) 1 + a > 3 – а – 1 . 2

Реши неједначине, а затим скуп решења представи на бројевној правој: a) |3x – 1| < 7;

б) |8 – x| ≥ 2. 117


ЛИНЕАРНЕ СЛИЧНОСТ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

4.

6. 7.

8.

Одреди све негативне целе бројеве x веће од – 2 за које је израз 3 ∙ (x – 1) – (3x + 1) + 9x + 4 негативан. 2 4

Одреди највећи цео број који увећан за своју четвртину има вредност мању од 20.

Разлика квадрата два узастопна непарна природна броја мања је од 40, а већа од 24. Одреди те бројеве. B

pr om

Одреди дужину дужи y са слике ако је њена дужина цео број, y ≠ BC и y ≠ AB и важи CA = 2√3 cm.

o

5.

Дати су изрази M = 3x + 1, N = x – 2 и S = 3(x + 1)2. За које вредности променљиве x је тачна неједнакост M ∙ N > S?

y

118

90°

2√3 cm

30°

Троугао ∆ABC је правоугли, што значи да је мера угла код темена B једнака ............°. Како троугао ∆ABC представља половину једнакостраничног троугла, то је BC = ............ и AB = ............. У сваком троуглу важи да се наспрам већег угла налази дужа страница. Зато, дужина дужи y, као хипотенуза, мора бити већа од ............ cm. Истовремено, дужина дужи y, као страница тупоуглог троугла, мора бити мања од ............ cm. Дакле, за дуж y важи неједнакост ............ cm < y < ............ cm. Како дужина дужи y мора бити цео број, то ће важити y = ............ cm.

Ed

Немаш идеју?

uk a

C

A


uk a

Ed o

pr om

ПРИЗМА


ПРИЗМА – ПОЈАМ, ЕЛЕМЕНТИ И ВРСТЕ

Упознаћеш се са појмом призме, њеним основним елементима и врстама.

Предузетник Јелена је покренула сопствени посао, за чију је успешност начин пласирања производа јако важан. Знала је да амбалажа, кутијица у којој пакује своје производе, шаље личну поруку купцу. Посебну пажњу је посветила моделу који ће имати довољну запремину, као и површину коју треба обложити украсним папиром, а да се притом уклопи у буџет.

o

Модели кутија за које се Јелена опредељује представљају моделе �ризми.

uk a

pr om

Нека су равни α и β паралелне, при чему петоугао ABCDE припада равни α (Слика 1). Посматрајмо ортогоналне пројекције страница тог петоугла на раван β. Како су све странице петоугла ABCDE дужи паралелне равни β, то ће њихове пројекције на ту раван имати исту дужину. Ако са A1, B1, C1, D1, E1 означимо, редом, ортогоналне пројекције тачака A, B, C, D, E на раван β, добијени петоугао A1B1C1D1E1 је подударан петоуглу ABCDE. Праве p(A, A1), p(B, B1), … представљају нормале и на раван α и на раван β. Из тог разлога, тачке A, B, A1, B1 су темена правоугаоника. Слично томе, можемо уочити још четири правоугаоника одређена теменима полазног и пројектованог петоугла. Наведи те правоугаонике. D

E

A

C

B

β

A1

E1

B1

D

E

D1

� a

C1

а) Права призма

C

B

α

Ed

α

A

A1

E1

B1

D1

β C1

б) Коса призма

Слика 1 Призма и елементи призме Дефиниција 1 Права �ризма је геометријско тело ограничено са два подударна многоугла (који припадају различитим паралелним равнима) и оноликим бројем правоугаоника колико један од тих многоуглова има страница. Другим речима, права призма је полиедар ограничен са два n-тоугла који припадају паралелним различитим равнима и n правоугаоника. 120


ПРИЗМА

� Посматрајмо петоугао A1B1C1D1E1 (Слика 1а). Транслацијом тог петоугла за вектор a , који није нормалан на раван α, добијамо тзв. косу �ризму (Слика 1б). У овом случају, праве p(A, A1), p(B, B1), … нису нормале на равни α и β, док, рецимо, темена A, B, A1 и B1 одређују паралелограм. Бавићемо се проучавањем искључиво правих призми, па ћемо често уместо термина „права призма” користити само „призма”. Подударни многоуглови који припадају различитим паралелним равнима називају се основе (базе) �ризме. Правоугаоници одређени теменима одговарајућих страница многоуглова називају се бочне с�ране �ризме. Унија тих правоугаоника представља омо�ач �ризме. Површ призме састоји се из две основе (базе) и омотача (Слика 2). У зависности од броја страница базе, призме могу бити тростране, четворостране, петостране, шестостране, итд. Види Слику 3.

БАЗА

o

О М ОТАЧ

pr om

БАЗА

Слика 2

четворострана

Ed

тространа

uk a

Врсте призми

петострана

шестострана

Слика 3

Призму чија је основа троугао називамо �рос�раном �ризмом. Слично томе, уколико је основа призме четвороугао, за ту призму кажемо да је че�ворос�рана итд. У општем случају, ако је основа призме n-тоугао, за ту призму кажемо да је n-тострана. Темена базе су �емена �ризме. Странице база називамо основним ивицама �ризме, док су правоугаоници који чине омотач призме – с�ране �ризме. Поред основних, разликујемо и бочне ивице �ризме – дужи чије су крајње тачке одговарајућа темена основа, а чија дужина представља растојање између равни основа. То растојање је висина �ризме. Најчешћа ознака за висину призме је H.

основне ивице темена бочне ивице

Слика 4 121


ПРИЗМА

Пример 1 Одредићемо број темена, ивица и страна призме ако је она: а) тространа; б) четворострана; в) n-тострана. Решење: Нека је t број темена, i број ивица и s број страна призме. а) Како је број темена призме укупан број темена њених основа, онда је t = 2 ∙ 3 = 6 темена. Број ивица тростране призме једнак је i = 2 ∙ 3 + 3 = 3 ∙ 3 = 9, док је број страна једнак s = 2 + 3 = 5. б) У случају четворостране призме имамо: t = 2 ∙ 4 = 8, i = 2 ∙ 4 + 4 = 3 ∙ 4 = 12, док је s = 2 + 4 = 6. в) У општем случају, када имамо n-тострану призму, важи: t = 2 ∙ n, i = 2 ∙ n + n = 3 ∙ n и s = 2 + n.

o

Пример 2

pr om

Задржавајући ознаке из претходног примера, одредићемо врсту призме за коју је једнакост t + i + s = 44 тачна. Решење: Из t + i + s = 44 добијамо 2n + 3n +2 + n = 44, одакле је n = 7, па је у питању седмострана призма. Врсте призми

a

Ed

uk a

Призма чије су базе правоугаоници јесте ква�ар, а призма чије су базе и бочне стране квадрати је коцка. Уколико су основе призме правилни многоуглови, за ту призму кажемо да је �равилна. Тада разликујемо �равилну �рос�рану (основа је једнакостраничан троугао), �равилну че�ворос�рану (основа је квадрат), �равилну шес�ос�рану (основа је правилан шестоугао), итд. Призма која има све ивице једнаке дужине назива се је�накоивична призма. x

a

x

x

x

a

x

b

b b

b b

b

y z

z

y

x

a a

a a

x

b

b

x

x x

b b

c

b a

b

b a

Слика 5

a

b

a

b b

Слика 6

На Слици 5 приказане су, редом, правилна тространа, четворострана и шестострана призма, којима ћемо посветити посебну пажњу. На Слици 6 приказан је квадар у општем случају и његови специјални случајеви (коцка и правилна четворострана призма). 122


ПРИЗМА

Омотач правилне призме састоји се из међусобно подударних правоугаоника чија је једна страница једнака основној, а друга бочној ивици призме. На Слици 7 приказане су једнакоивична тространа и шестострана призма. Дужине свих њихових ивица су једнаке. Једнакоивични квадар је коцка.

a a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a

Слика 7

Допуни исказе неком од понуђених речи, тако да буду тачни:

pr om

1.

o

ВЕЖБАМО

три, квадар, коцка, осам, шест, петнаест, десет, правоугаоник, пет, шестоугао, квадрат, правилни, двадесет.

2.

3. 4.

Ed

uk a

а) Коцка има ............................. страна. б) Бочна страна праве призме је ........................................ в) Основа шестостране призме је ...................................... г) Призма ограничена правоугаоницима је ....................................... д) Призма је правилна ако су основе ........................................ многоуглови. ђ) Тространа призма има ....................................... бочне ивице. е) Квадар има ..................................... темена. ж) Петострана призма има ................................... ивица, од којих је ................................... бочних и ............................. основних. Ако је t број темена, i број ивица и s број страна n-тостране призме, одреди врсту призме за коју важе једнакости: а) s + i = 10;

б) t + i + s = 56.

Да ли постоји n-тострана призма за коју важи 2t – i + s – 4n = 19?

Тространа и четворострана призма имају заједничку бочну страну. Колико најмање, а колико највише темена има њима одређено тело?

123


ПРИЗМА

Како то тело изгледа?

Прочитај пажљиво задатак. Овај проблем се своди на проблем у равни. Подсети се шта све може бити унија четвороугла и троугла: ............................................................................................................................ Прикажи све случајеве који задовољавају услов задатка, а да притом представљају базу новонастале призме (троугао и четвороугао имају једну заједничку страницу).

ДА 2.

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Постоји призма која се састоји само из девет правоугаоника. ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Збир дужина свих ивица једнакоивичне дванаестостране призме је 108 cm. Збир дужина основних ивица је:

Ed

4.

(Заокружи тачан одговор.)

За број темена t неке призме може да важи једнакост 2t + 1 = 16. ДА

3.

НЕ

pr om

Петострана призма има десет основних ивица.

uk a

1.

o

Проверавамо своје знање (5 минута)

а) 36 cm;

124

б) 72 cm;

в) 96 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)


ДИЈАГОНАЛЕ И ДИЈАГОНАЛНИ ПРЕСЕЦИ ПРИЗМЕ

Научићеш да одређујеш дужине дијагонала и површине дијагоналних пресека призме.

Инвестиција Јелена је направила уштеду у буџету тако што је кутију пресецањем поделила на две мање у које може да упакује свој производ. На колико начина је Јелена могла да пресеца кутије? Посматрајмо призму ABCDA1B1C1D1 (Слика 1). Дуж која спаја темена призме и није садржана ни у једној страни призме представља дијагоналу призме. Рецимо, дуж D1B је дијагонала призме. Колико различитих дијагонала ове призме можемо уочити? Поред дијагонале призме, разликујемо дијагоналу основе (нпр. дуж BD) и дијагоналу бочне стране (нпр. дуж AD1).

дијагонала бочне стране

C1

D1 B1

o

A1

дијагонала призме

pr om

D

C

B

A

дијагонала основе Слика 1

uk a

Како су бочне ивице нормалне на раван основе, то су троуглови ∆BDD1 и ∆ADD1 правоугли. Да ли је на Слици 1 могуће уочити још неке правоугле троуглове? Запиши те троуглове.

Ed

Одредићемо дужину дијагонале квадра у зависности од његових ивица a, b, c. На Слици 2 је задат квадар ABCDA1B1C1D1, који можемо посматрати као четворострану призму чија је основа правоугаоник са страницама a и b. Висина призме је ивица c. Дијагоналу основе означили смо са d, а дијагоналу квадра са D. Троугао ∆BDD1 је правоугли, па можемо применити Питагорину теорему: D2 = d2 + c2. Троугао ∆BAD је правоугли, па важи d2 = a2 + b2. Сада је D2 = a2 + b2 + c2, одакле је D = √a2 + b2 + c2. D1

A1

c

c

D

D

B1

d

b A

C1

a

1)

c

A1

C

c

b B

D1

B1

c

c

b A

C1

b

D

d a

2)

C

B

Слика 2 125


ПРИЗМА

Коцка је квадар чије су све ивице једнаке, па је дужина дијагонале коцке ивице a једнака D = √a2 + a2 + a2 = √3a2 = a√3.

На Слици 2 исти квадар смо посматрали из различитих перспектива. На Слици 2, под 2, очигледније је да је троугао ∆BDD1 правоугли. Међутим, на тој слици је мање приметно да је троугао ∆BAD правоугли са правим углом код темена A.

a D a a a

Слика 3

pr om

o

Примери пресека призме и равни

б)

в)

Ed

uk a

a)

г)

д)

ђ)

Слика 4

На Слици 4 приказани су неки пресеци призме и равни. Поред могућности да раван и призма немају заједничких тачака или да је њихов пресек тачно једна тачка (у том случају пресек је теме призме), пресек равни и призме може бити ивица призме, правоугаоник, троугао... Нама су најзначајнији они пресеци који садрже дијагоналу призме. Пресек призме и равни која је одређена једном од ивица призме и дијагоналом призме назива се �ија�онални �ресек �ризме (Слика 4, в, д). Дијагонални пресеци квадра На Слици 5 размотримо различите дијагоналне пресеке квадра и равни. Дијагонални пресеци су правоугаоници чија је једна страница основна или бочна ивица, а друга дијагонала основе или бочне стране. Приметимо да је дијагонала ових дијагоналних пресека уједно и дијагонала квадра. 126


ПРИЗМА

c

c

D

D

dc

c b

b

do a

db a

1)

D

b a

2)

3)

Слика 5

Дијагонални пресек коцке

pr om

o

Одредимо површину дијагоналног пресека на Слици 5, под 1 у зависности од дужина ивица квадра. Одговарајући дијагонални пресек је правоугаоник чије су странице дијагонала основе do и ивица квадра c. Ако са PDP1 означимо површину дијагоналног пресека са слике под 1, биће: PDP1 = do ∙ c. На основу Питагорине теореме, важи do = √a2 + b2, па је PDP1 = √a2 + b2 ∙ c, тј. PDP1 = c√a2 + b2. Сличним разматрањем одреди површине дијагоналних пресека са слика под 2 и 3.

Коцка ивице a има шест подударних дијагоналних пресека. Дијагонални пресек је правоугаоник страница d (дијагонала стране коцке) и a (ивица коцке), па је његова површина PDP = a ∙ d = a ∙ a√2 = a2√2.

uk a

D a a a

Ed

Слика 6

Дијагонални пресек правилне четворостране призме Одредићемо површину дијагоналног пресека који је нормалан на раван основе правилне четворостране призме. Посматрајмо Слику 7 и дијагонални пресек ACC1A1. Основа ове призме је квадрат, па важи do = a√2. Површина дијагоналног пресека једнака је PDP = do ∙ H, тј. PDP = a√2 ∙ H.

a

D1

do

A1 H

A

C1 H

B1 D

C

a

do

a B

Слика 7

127


ПРИЗМА

Дијагонални пресек правилне шестостране призме

H

D1

H

D1

pr om

D2

o

Одредићемо површине дијагоналних пресека правилне шестостране призме који су нормални на раван основе, у зависности од основне ивице a и висине призме H. Означимо са d1 и d2 дужу и краћу дијагоналу основе правилне шестостране призме. Ова призма има дужу и краћу дијагоналу, које су на слици означене са D1 и D2. Самим тим, код правилне шестостране призме разликујемо већи и мањи дијагонални пресек, чије ћемо површине означити редом са PDP1 и PDP2 (Слика 8).

d2

d1

a

H

D2

d1

d2

a

a

Слика 8

Задатак 1

uk a

Како је d1 = 2a и d2 = a√3, то ће, у складу са уведеним ознакама, бити: PDP1 = 2aH и PDP2 = a√3 ∙ H.

Ed

Одреди дужине дијагонала правилне шестостране призме у зависности од основне ивице a и висине призме H. Пример 1

Дужа дијагонала правилне шестостране призме је 5 cm, а њена висина H = 3 cm. Одредићемо дужину њене краће дијагонале, као и површине већег и мањег дијагоналног пресека. Решење: Посматрајмо Слику 8. На основу Питагорине теореме, важи D12 = d12 + H2, одакле је 52 = d12 + 32, одакле је d1 = 4 cm. Како је d1 = 2a, то је a = 2 cm. Из d2 = a√3 , добијамо да је d2 = 2√3 cm. На основу Питагорине теореме, важи D22 = d22 + H2, одакле добијамо да је D2 = √21 cm. Површина већег дијагоналног пресека је PDP1 = 2aH = 12 cm2, а мањег PDP2 = a√3 ∙ H = 6√3 cm2. 128


ПРИЗМА

ВЕЖБАМО 1. 2.

3.

Одреди обим и површину дијагоналног пресека који је нормалан на раван основе правилне четворостране призме чија је основна ивица 4 cm, а висина 12 cm.

Одреди дужине дијагонала правилне шестостране једнакоивичне призме у зависности од њене основне ивице a, а затим израчунај њихову дужину за a = 3√5 cm.

Већи дијагонални пресек правилне шестостране призме (нормалан на раван основе) је квадрат површине 36 cm2. Одреди површину мањег дијагоналног пресека, као и дужине дијагонала. Покушај да самостално урадиш Пример 1 у овој лекцији. Нацртај у својој свесци цртеже који су приказани у оквиру тог примера. То ће ти помоћи при решавању овог задатка. Већи дијагонални пресек правилне шестостране призме је правоугаоник чије су странице дужа ............ и ............ призме. По услову задатка, овај правоугаоник је ........................ површине 36 cm2. Како су странице квадрата ............, важи да је Н = ............ Краћа дијагонала d2 = ........ √3. Површина мањег дијагоналног пресека је PDP2 = ........ H. Заврши задатак самостално.

uk a

Помоћ?

pr om

o

4.

Одреди дужину дијагонале коцке ивице a = 3 cm.

1.

2.

3.

4.

Ed

Проверавамо своје знање (5 минута)

Дијагонала квадра чије су ивице 3 cm, 4 cm и 12 cm има дужину: а) 13 cm; б) 10 cm; в) 4√10 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) Тространа призма има дијагоналу бочне стране. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Дијагонала коцке има дужину 3√3 cm. Основна ивица те коцке је: а) 9 cm; б) 3 cm; в) 27 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Дијагонални пресек правилне четворостране призме је квадрат површине 8 cm2. Дужина основне ивице те призме је: а) 2 cm; б) 4 cm; в) 2√2 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 129


Научићеш да конструишеш мрежу неких призми на различите начине.

МРЕЖА ПРИЗМЕ

pr om

Кутије су модели призми. Ради конструкције модела, корисно је посматрати стране призме на различите начине.

o

Ја сам своје кутије развио. Тако сам уштедео простор. На тај начин могу лакше да сагледам димензије кутија и направим план за израду нових!

Имам велики број кутија у подруму које ми заузимају превише места!

Мрежа призме

Слика 1

uk a

Фигура која се састоји из свих страна призме назива се мрежа �ризме. Уз помоћ мреже призме може се направити њен модел.

Слика 2

Ed

Коцка је геометријско тело које се састоји из шест подударних квадрата. Скицирај фигуре са Слике 3 на папиру, а затим покушај да од тих фигура саставиш модел коцке. Шта примећујеш? a b c a b c Слика 3

Слика 4

Мрежа квадра чије су ивице a, b и c се састоји из три пара подударних правоугаоника. Види Слику 4. 130


ПРИЗМА

Задатак 1 На Слици 5 су дате мреже коцке и квадра са означеном једном базом. Одреди положај друге базе, а затим обој омотач.

БАЗА

БАЗА БАЗА

pr om

Мрежа тростране призме

o

Слика 5

На Слици 6 приказана је мрежа тростране призме основних ивица a, b и c и висине H. Мрежа ове призме је конструисана на два начина.

a

a

О

М

Ed

uk a

Први начин: Конструишемо правоугаоник чијa је једна страница једнака обиму основе, а друга је једнака висини призме H. Поделимо тај правоугаоник на три правоугаоника ширине a, b и c, на начин који је приказан на Слици 6, а затим на наспрамним страницама једног од тих правоугаоника конструишемо троугао чије су странице дужина a, b и c. Дру�и начин: Најпре конструишемо троугао чије су дужине страница a, b и c. Над сваком страницом троугла конструишемо правоугаоник чија је друга страница једнака дужини висине H. Над једним од конструисаних правоугаоника конструишемо троугао чије су дужине страница a, b и c, водећи рачуна о редоследу страница троугла, као што је приказано на Слици 7.

БАЗА c

b

О

А

Т

b

Ч

H

БАЗА Слика 6

H H a

b c

H

Слика 7 131


ПРИЗМА

Задатак 2 Приказана су два начина конструкције мреже тростране призме. Конструиши мрежу ове призме и на трећи начин. Направи модел те призме ако је a = 5 cm, b = 6 cm, c = 4 cm.

На Слици 8 приказане су мреже и модели правилне тростране и четворостране призме основне ивице a и висине H. a a a

БАЗА

a a

a

H

О

БАЗА a

М

О

a

Т

a

А

Ч

БАЗА

pr om

o

H

a

БАЗА

Слика 8

Присети се поступка поделе дужи на једнаке делове.

uk a

Мрежа правилне шестостране призме

Ed

Конструисаћемо мрежу правилне шестостране призме чији је омотач задати правоугаоник ABCD. Како је правоугаоник ABCD омотач правилне шестостране призме, то су његове странице једнаке 6a и H. Дужи AB и CD ћемо поделити на шест једнаких делова, користећи поступак поделе дужи. На тај начин смо добили дужину основне ивице правилне шестостране призме. Даље, конструишемо правилне шестоуглове који представљају базу призме, као на Слици 9. Направи модел ове призме за AB = 12 cm и BC = 7 cm.

132

a a

D

a

a

a

a a

a

a

a a

C

H

H

A

B

Слика 9


ПРИЗМА

ВЕЖБАМО

4.

5.

6.

Конструиши мрежу квадра чије су дужине ивица 6 cm и 8 cm, а дужина дијагонале 10√2 cm.

Конструиши мрежу тростране призме чија је основа једнакокраки троугао са страницама дужина 2,5 cm и 5 cm, а висина призме 8 cm.

o

3.

Дијагонала коцке има дужину 5√3 cm. Конструиши мрежу те коцке.

Конструиши мрежу једнакоивичне четворостране призме чија је основа ромб странице 3 cm и унутрашњег угла 60°.

pr om

2.

Конструиши мрежу коцке ивице 2 cm.

Омотач правилне петостране призме је квадрат површине 625 cm2. Нацртај мрежу те призме. Упутство: За цртање правилног петоугла, одреди његов унутрашњи угао, а затим искористи угломер. Конструиши квадрат странице a = ............... Основа призме је правилан ................................., на основу чега можеш да закључиш да квадрат треба поделити на пет правоугаоника чија је једна страница дужине 5 cm. Даље поступи по упутству.

Ed

Помоћ?

uk a

1.

Проверавамо своје знање (5 минута)

1.

Која од следећих фигура може бити мрежа коцке? (Заокружи слово испред тачног одговора.)

a)

б)

в)

г) 133


ПРИЗМА

o

Ако је омотач правилне четворостране призме квадрат, тада је висина призме једнака обиму основе. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

pr om

4.

На слици је приказана мрежа петостране призме. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

uk a

3.

Било која три пара подударних правоугаоника могу чинити мрежу квадра. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ed

2.

134


Научићеш да одређујеш површину призми да би решио/решила практичне проблеме.

ПОВРШИНА ПРИЗМЕ

30 cm 6 cm

Слика 1

15 cm 8 cm

Слика 2

pr om

Површина призме

10 cm

o

Колико је cm2 украсног папира потребно за облагање кутије облика правилне шестостране призме са Слике 1? Колико је грама фарбе потребно за фарбање спољашњег дела дрвене кутије за оловке са Слике 2 ако је за фарбање 100 cm2 површине потребно 5 грама боје? Да бисмо одговорили на постављена питања, потребно је да знамо да рачунамо површину призме.

Површина призме биће једнака збиру површина свих њених страна. Другим речима, површина призме једнака је површини фигуре која представља њену мрежу. Пример 1

uk a

Посматрајмо мрежу тростране призме са Слике 3. На основу података о површини њених страна, можемо одредити површину призме: P = 2 ∙ 1,5 + (5 + 10 + 7) = 3 + 22 = 25 cm2.

Ed

површина површина базе омотача

У општем случају, ако словом B означимо површину базе призме, а словом M површину њеног омотача, тада је површина призме једнака: P = 2 ∙ B + M.

10 cm2

5 cm2

1,5 cm2

7 cm2

Слика 3

Размотримо сада површине неких специјалних призми. Површина коцке ивице a једнака је P = 6 ∙ a2 (Слика 4), док је површина квадра чије су ивице a, b и c једнака P = 2 ∙ (ab + bc + ca) (Слика 5).

135


ПРИЗМА

Површина коцке

a

a c

b

Површина квадра a ab

a a a2 P=6∙a

2

a2 a2

a2

bc a2

ca

b bc

c

ab

a2

P = 2 ∙ (ab + bc + ca)

Слика 4

ca

Слика 5

Пример 2

P = 2 ∙ (ab + bc + ca) = = 2ab + 2 ∙ (bc + ca)

uk a

P = 6a2 = 2a2 + 4a2

pr om

o

Ако једну од страна коцке или квадра узмемо за базу, обрасце за њихову површину можемо свести на облик P = 2 ∙ B + M.

Ed

Површина коцке је 294 cm2. Одредићемо дужину њене дијагонале. Решење: Из 294 = 6a2, добијамо a2 = 49, одакле је a = 7 cm. Дужина дијагонале коцке једнака је D = 7√3 cm. Пример 3

Површина коцке је за 64 cm2 већа од површине две њене стране. Одредићемо површину дијагоналног пресека те коцке. Решење: Према услову задатка, важи: 6a2 = 2a2 + 64, одакле је 4a2 = 64, па је a = 4 cm. Површина дијагоналног пресека једнака је PDP = a ∙ a√2 = a2√2, па је PDP = 16√2 cm2.

Пример 4

Квадар има ивице дужине 6 cm и 8 cm и дијагоналу D = 15 cm. Одредићемо површину квадра. Решење: Нека је a = 6 cm и b = 8 cm. Из D2 = a2 + b2 + c2, добијамо c = 5√5 cm. Површина квадра је P = 2 ∙ (ab + bc + ca) = 2(48 + 70√5) cm2. 136


ПРИЗМА

a

Површина правилне четворостране призме a

a

P = 2 ∙ a2 + 4aH

Слика 6

pr om

uk a

Ed

a

H

Површина правилне тростране призме

У случају правилне тростране призме основне ивице a и висине H, површина основе једнака је површини једнакостраничног троугла странице a, док је површина омотача једнака збиру површина три подударна правоугаоника страница a и H (Слика 7). Површина правилне тростране призме a2√3 + 3aH. једнака је P = 2 ∙ 4

a

o

Посматрајмо правилну четворострану призму основне ивице a и висине H (Слика 6). Површина основе једнака је површини квадрата странице a. Површина омотача једнака је збиру површина четири подударна правоугаоника страница a и H, па је површина правилне четворостране призме једнака P = 2a2 + 4aH.

a

a

a

a

a

H

2 P = 2 ∙ a √3 + 3aH 4

Слика 7

Пример 5

Површина омотача правилне четворостране призме је 24 cm2, а њена висина 3 cm. Одредићемо површину ове призме. Решење: Из M = 4aH имамо 24 = 4a ∙ 3, одакле је a = 2 cm. Сада је површина базе B = 22 = 4 cm2, па је површина призме једнака P = 2B + M = 2 ∙ 4 + 24 = 32 cm2. Пример 6

Дијагонала правилне четворостране призме образује са равни основе угао од 60°. Ако је дужина дијагонале основе једнака 6√2 cm, одредићемо површину призме. 137


ПРИЗМА

Решење: Из 6√2 = a√2 добијамо дужину основне ивице: a = 6 cm. Троугао ∆DBF има унутрашње углове 30°, 60°, 90°, па важи D = 2d, одакле је D = 12√2 cm. На основу Питагорине теореме, важи H2 = D2 – d2, па је H2 = (12√2)2 – (6√2)2, одакле је H = 6√6 cm. Површина базе је једнака B = 62 = 36 cm2, а површина омотача је M = 4aH = 4 ∙ 6 ∙ 6√6 = 144√6 cm2. Површина је P = 2B + M = 2 ∙ 36 + 144√6 = 72 ∙ (1 + 2√6) cm2.

H

G

F

E D D

H

C

60°

a

o

d a

A

B

pr om

Слика 8

Пример 7

uk a

Збир свих ивица правилне тростране призме је 72 cm, а висина је два пута дужа од основне ивице. Одредићемо површину те призме. Решење: Према услову задатка, важи 6a + 3H = 72. Дељењем последње једнакости са 3 добијамо 2a + H = 24. Како је H = 2a, биће 2a + 2a = 24, одакле је a = 6 cm, a H = 2 ∙ 6 = 12 cm. Површина a2√3 62√3 базе једнака је B = = = 9√3 cm2, док је површина омотача 4 4 M = 3aH = 3 ∙ 6 ∙ 12 = 216 cm2.

Ed

Површина призме једнака је P = 2B + M = 2 ∙ 9√3 + 216 = 18 ∙ (√3 + 12) cm2. Површина правилне шестостране призме

a

Одредимо још површину правилне шестостране призме у зависности од њене основне ивице и висине. Види Слику 9.

a

a

a

a

H

H

2 P = 2 ∙ 6 ∙ a √3 + 6aH 4

Слика 9

138

a


ПРИЗМА

Полица Невена је решила да офарба унутрашњи део полице облика правилне шестостране призме. Ако су подаци као на Слици 10 и ако је за фарбање 1 dm2 површине потребно 8 грама боје, одредићемо колико је боје потребно Невени. (Узети √3 ≈ 1,7 и резултат заокруглити на цео број.)

1,5 dm

4√3 dm

Слика 10

o

Невена фарба базу и омотач правилне шестостране призме чија је краћа дијагонала основе једнака 4√3 dm, а висина 1,5 dm. Из d2 = a√3, имамо 4√3 = a√3, одакле је a = 4 dm.

pr om

a2√3 42√3 =6∙ = 40,8 dm2. 4 4 Површина омотача је M = 6aH = 6 ∙ 4 ∙ 1,5 = 36 dm2.

Површина базе је сада B = 6 ∙

Површина која се фарба једнака је: P = B + M = 40,8 + 36 = 76,8 ≈ 77 dm2. За бојење ове површине потребно је 77 ∙ 8 = 616 грама боје.

1.

uk a

ВЕЖБАМО

Ивица коцке има дужину 4 cm. Одреди:

2.

3.

Ed

а) дужину дијагонале коцке;

б) површину дијагоналног пресека;

в) површину коцке.

Одреди површину квадра чије су ивице 3 cm, 5 cm и 8 cm. Одреди површину правилне четворостране призме основне ивице 6 cm и висине 14 cm.

Мала помоћ?

Погледај пажљиво Слику 6.

139


ПРИЗМА

4.

a

Одреди површину квадра чија је мрежа дата на слици.

84 cm2

5 cm

b c

13 cm

Одреди површину правилне једнакоивичне призме у зависности од њене основне ивице a ако је та призма: а) тространа; б) шестострана, а затим израчунај њихове површине за a = 2√2 cm.

6.

7.

Површина правилне четворостране призме је 544 cm2, а њена основна ивица 8 cm. Одреди површину њеног дијагоналног пресека.

Угао између дијагонале бочне стране и основне ивице правилне тростране призме је 30°. Ако је висина те призме 8 cm, одреди њену површину. Петоугао са слике је основа петостране призме висине 10 cm. Одреди површину те призме ако је површина најмањег квадрата у квадратној мрежи једнака 1 cm2.

9.

Ed

uk a

8.

pr om

o

5.

Осенчени делови правилног шестоугла са слике, основне ивице 4 cm, чине базу призме висине 12 cm. Одреди површину тих призми. a)

140

б)

в)

г)


ПРИЗМА

Проверавамо своје знање (5 минута)

а) 12 cm2;

б) 24 cm2;

в) 18 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ако словом X означимо површину омотача призме, а словом Y површину базе, тада је површина призме једнака:

4.

а) 1 cm;

б) 2X + Y;

в) 2Y + X.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

o

3.

а) X + Y;

pr om

2.

Површина коцке ивице 4 cm мања је од површине квадра ивица 3 cm, 4 cm и 6 cm за:

Основна ивица правилне четворостране призме је 2 cm, а база и омотач имају исту површину. Висина те призме је: б) 2 cm;

в) 0,5 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина правилне једнакоивичне шестостране призме ивице 1 cm је: √3 ⎫ + 1 cm2; ⎩ 4 ⎭

а) 6 ∙ ⎧

√3 ⎫ + 1 cm2; ⎩ 2 ⎭

б) 6 ∙ ⎧

uk a

1.

Ed

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

√3 ⎫ + 2 cm2. ⎩ 4 ⎭

в) 6 ∙ ⎧

141


Научићеш да одређујеш запремину призми да би могао/могла да решиш практичне проблеме.

ЗАПРЕМИНА ПРИЗМЕ Јединице мере

Основна јединица мере за �ужину је дуж дужине 1 m (метар). Основна јединица мере за �овршину је квадрат чија је страница дужине 1 m (метар квадратни). Основна јединица мере за за�ремину је коцка чија је ивица дужине 1 m (метар кубни). 1 m2

1 m3

pr om

o

1m

Слика 1

Слика 2

Слика 3

uk a

На Слици 1 приказана је линија дужине 4 m, јер се састоји од четири дужи дужине 1 m. На Слици 2 приказана је фигура у равни чија је површина 6,5 m2. Посебну пажњу посветићемо запремини неких геометријских тела. На Слици 3 приказан је квадар који можемо у потпуности испунити коцкама ивице 1 m. Укупан број употребљених коцака представља запремину квадра. У једном реду можемо сместити 4 ∙ 2 коцке, а како таквих редова има три, у квадар стаје 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24 коцке. Закључујемо да је запремина квадра једнака 24 m3.

Ed

Запремина квадра и коцке

Уопштено, запремина квадра чије су ивице a, b и c једнака је производу дужина тих ивица: a

c

b

V=a∙b∙c

Запремина коцке ивице a једнака је: a

a a 142

V = a ∙ a ∙ a = a3

Запремина је део простора који заузима неко тело. Изражавамо је помоћу јединичних коцака.

Присети се... 1 m3 = 1000 dm3 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 l 1 cm3 = 1000 mm3 На латинском volumen значи запремина. Отуда ознака V.


ПРИЗМА

Комода Комода са Слике 4 састоји се из пет фиока облика квадра, од којих су две веће (међусобно подударне) и три мање (међусобно подударне). Ако се спајањем две мање фиоке добија већа, на основу података са слике, одредити запремину веће и мање фиоке, као и запремину целе комоде. Ако са V1, V2 и V редом означимо запремине веће 36 cm 30 cm

40 cm

Слика 4

pr om

V1 = 40 ∙ 30 ∙ 36 = 43200 cm3 и 1 1 V2 = ∙ V1 = ∙ 43200 = 21600 cm3. 2 2 V = 2V1 + 3V2 = 151200 cm3 = 151,2 dm3.

o

фиоке, мање фиоке и целе комоде, онда важе следеће једнакости:

Пример 1

Маса тела

uk a

Коцка ивице 2 cm и квадар ивица 1 cm, 2 cm и 4 cm имају једнаке запремине. Ако прикажемо ова геометријска тела, примећујемо да се она не могу довести у положај поклапања. Наиме, ако се два геометријска тела могу довести до поклапања, тада запремине тих тела морају бити једнаке.

Ed

Одредићемо масу дрвене коцке ивице 20 cm, ако знамо да је густина дрвета (на температури 20℃) једнака 800 kg/m3. Како је 20 cm = 0,2 m, добијамо: m = V ∙ ρ = (0,2)3 m3 ∙ 800 kg/m3 = 6,4 kg.

Маса тела је основно физичко својство сваког тела – величина која описује количину материје у телу. Једнака је производу запремине и густине тела: m = V ∙ ρ. Основна јединица за мерење масе је 1 килограм (1 kg).

Пример 2 Одредићемо запремину правилне четворостране призме основне ивице 3 cm и висине 10 cm. Решење: Запремина призме је једнака V = a ∙ a ∙ H = 3 ∙ 3 ∙ 10 = 90 cm3.

H a a Слика 5 143


ПРИЗМА

Приметимо да смо запремину правилне четворостране призме могли записати у облику V = a ∙ a ∙ H = a2 ∙ H = B ∙ H. Уопштено, запремину призме чија је основа правоугаоник страница a и b, а висина H, израчунавамо по обрасцу V = a ∙ b ∙ H = B ∙ H. Познати италијански математичар Бонавентура Кавалијери бавио се, између осталог, и запремином призме. Успео је да докаже да је запремина сваке четворостране призме једнака производу површине њене базе и њене висине. Бонавентура Кавалијери (1598–1647), италијански математичар, радио је на проблемима оптике, кретања, недељивости итд. Посебан допринос у геометрији дао је у такозваном Кавалијеријевом принципу.

Запремина четворостране призме

B

pr om

H

o

V=B∙H

Ed

uk a

Размотримо сада запремине тространих призми. Тространа призма чија је основа правоугли троугао може се допунити до призме чија је основа правоугаоник или паралелограм у општем случају (Слика 6).

Слика 6 Означимо површину основе ове тростране призме са B1, а њену запремину са V1. Нека су B и V површина базе и запремина призме настале спајањем ове призме са њој подударном, 1 1 1 као на Слици 6. Сада је очигледно да је V1 = V= B∙H= ∙ 2B1 ∙ H = B1 ∙ H. 2 2 2 Дакле, и запремина тростране призме чија је основа правоугли троугао једнака је производу површине њене основе и висине. 144


ПРИЗМА

Тространа призма чија је основа произвољан троугао може се увек поделити на две призме чије су основе правоугли троуглови (Слика 7). Запремина тростране призме чија је основа троугао ∆ABC и висина H биће једнака: V = V1 + V2 = B1 ∙ H + B2 ∙ H = (B1 + B2) ∙ H = B ∙ H

C

A

B1

B2

B

Слика 7

Запремина тростране призме

o

V=B∙H

B

pr om

H

Слика 8

Ed

uk a

Како се сваки многоугао дијагоналама може поделити на троуглове, запремина сваке призме једнака је производу површине њене основе и висине. Види Слику 8. Запремине неких правилних призми приказане су на Слици 9.

H

H

H

a a

a a 2 V = a √3 ∙ H 4 a) запремина правилне тростране призме

a a

V = a2 ∙ H

б) запремина правилне четворостране призме

2 V = 6 ∙ a √3 ∙ H 4 в) запремина правилне шестостране призме

Слика 9

145


ПРИЗМА

Пример 3 Основа призме је трапез површине 35 cm2. Ако су основице трапеза дужина 6 cm и 8 cm, а висина трапеза једнака висини призме, одредићемо запремину те призме. Решење: На основу површине трапеза можемо одредити дужину висине: Из 35 = 6 + 8 ∙ h добијамо да је h = 5 cm, па је и H = 5 cm. 2 Запремина призме је једнака V = B ∙ H = 35 ∙ 5 = 175 cm3.

Пример 5

uk a

pr om

Површина дијагоналног пресека правилне четворостране призме је 65 cm2. Ако је дужина основне ивице те призме 5 cm, одредићемо њену запремину. Решење: На основу површине дијагоналног пресека (Слика 10), можемо одредити дужину дијагонале бочне стране. Из 65 = 5d добијамо d = 13 cm. На основу Питагорине теореме важи H2 = d2 – a2 = 132 – 52, па је H = 12 cm. Запремина призме једнака је V = B ∙ H = 52 ∙ 12 = 300 cm3.

o

Пример 4

d

H

a

a

Слика 10

Ed

Из резервоара за воду облика правилне тростране призме висине √3 dm могуће је у три наврата напунити акваријум облика квадра чије су ивице дужина 8 dm, 9 dm и 12 dm (сваки пут се сипа цео резервоар и празни се до краја). Одредићемо површину резервоара. Решење: Запремина призме једнака је трећини запремине квадра. Ако са V означимо запремину 1 призме, тада је V = ∙ 8 ∙ 9 ∙ 12 = 288 dm3. Како је висина призме H = √3 dm, можемо 3 a2√3 a2√3 ∙ H = 288, тј. ∙ √3 = 288, одакле се одредити дужину основне ивице призме: 4 4 добија a = 8√6 dm. Површину базе правилне тростране призме можемо одредити из једнакости B ∙ H = 288, тј. B ∙ √3 = 288, одакле је B = 96√3 dm2.

Површина омотача призме једнака је M = 3aH = 3 ∙ 8√6 ∙ √3, одакле је M = 72√2 dm2. Површина призме је сада P = 2B + M = 2 ∙ 96√3 + 72√2, па је P = 24(8√3 + 3√2) dm2. 146


ПРИЗМА

Пример 6 Одредићемо однос запремина правилне шестостране призме (Слика 11) и призме чија је основа осенчени део правилног шестоугла ако претпоставимо да призме имају једнаке висине. Решење: B∙H V Тражени однос је једнак V1 = 1 = 3. 2 B∙H 3

Слика 11

3.

4.

Запремина коцке је 64 cm3. Њена дијагонала представља ивицу друге коцке. Одреди запремину те коцке. Одреди запремину правилне једнакоивичне четворостране призме ако дијагонала њене основе има дужину 3√2 cm.

Површина омотача правилне тростране призме је 12 cm2. Ако су висина призме и основна ивица у односу 4 : 3, одреди запремину призме.

Сребрни привезак за кључеве је облика правилне шестостране призме основне ивице 1,5 cm и висине 0,4 cm. Одреди приближно на једну децималу густину сребра у g/cm3 ако је маса привеска 24 g. Узети √3 ≈ 1,7.

Ed

5.

pr om

2.

Одреди запремину квадра ако је дужина његових ивица 5 cm, 2,5 cm и 4 cm.

uk a

1.

o

ВЕЖБАМО

Помоћ?

Маса је једнака m = ........ ∙ V, па се задатак своди на решавање једначине (................) ∙ V = BH. Подсети се како се израчунава површина правилног шестоугла. Дебљина привеска је заправо ................................ правилне шестостране призме. Настави решавање задатка самостално.

147


ПРИЗМА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

2.

Запремина коцке ивице 6 cm је: а) 36 cm3;

б) 216 cm3;

в) 144 cm3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Две призме имају једнаке површине основа. Њихове запремине ће бити једнаке ако имају једнаке дужине:

pr om

а) 3 cm;

б) 2 cm;

а) 2 : 1 ;

б) 3 : 1;

в) 1 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Већим дијагоналним пресеком нормалним на раван основе, правилна шестострана призма је подељена на две призме чије су запремине у односу:

uk a

4.

Основна ивица правилне четворостране призме је 2 cm, а запремина 12 cm3. Висина те призме је:

в) 1 : 1.

Ed

3.

o

а) дијагонала; б) основних ивица; в) висина. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

148

(Заокружи слово испред тачног одговора.)


uk a

Ed o

pr om

ПИРАМИДА


ПИРАМИДА – ПОЈАМ, ЕЛЕМЕНТИ И ВРСТЕ

Упознаћеш се са појмом пирамиде, њеним основним елементима и врстама.

Еленин задатак Елена је добила задатак да провери могу ли приказани троуглови (Слика 1) бити стране неког полиедра, под претпоставком да су дужи истих боја једнаке дужине.

3 cm

5 cm

Слика 1

o

6 cm

pr om

9 cm

7 cm

4 cm

Успела сам да саставим полиедар.

Пирамида

uk a

Она је троуглове прецртала на папир, а затим их изрезала. Спајањем страница једнаких дужина успела је да састави полиедар.

Ed

Обојени троугао можемо допунити до многоугла са већим бројем страница (Слика 2). На Слици 3 приказан је полиедар који се састоји из четвороугла и четири троугла са заједничким теменом. Овај поступак можемо наставити.

Слика 2

Слика 3

Дефиниција 1 Полиедар чију површ чине n-тоугао и n троуглова са заједничким теменом назива се �ирами�а. 150


ПИРАМИДА

Нека је дата раван α и тачка S која јој не припада (Слика 4). Означимо словом O ортогоналну пројекцију тачке S на раван α. На кружници, чији је центар тачка O, означимо n различитих тачака A1, A2, A3…, An. Ове тачке одређују многоугао у равни α. Пирамида SA1A2A3… An је права пирамида. Права пирамида

Коса пирамида

S

An

An

α

Слика 4

A3

Елементи пирамиде

Ed

uk a

Многоугао A1A2A3… An који чини део површи пирамиде назива се база или основа �ирами�е, док су троуглови ∆SA1A2, ∆SA2A3... бочне с�ране �ирами�е. Ови троуглови чине омо�ач �ирами�е. Заједничко теме троуглова је врх �ирами�е. Приликом означавања пирамиде, користићемо редослед по ком најпре наводимо врх, а затим темена основе. Темена базе и њен врх чине �емена �ирами�е. Странице базе су основне ивице �ирами�е, а странице бочних страна су бочне ивице �ирами�е (Слика 6).

Дефиниција 2

O A2

Слика 5

pr om

A2

� v A1

α

o

O A1

S

A3

S

ОМОТАЧ C

D

БАЗА

A

B S

бочне ивице

темена

C

основне ивице

D A

B

Слика 6

Пирамида је �рава ако су испуњени следећи услови: 1. Постоји описана кружница око њене основе; 2. Дуж чије су крајње тачке врх пирамиде и центар описане кружнице основе нормална је на раван основе пирамиде. Пирамида за коју не важи први или други услов назива се коса �ирами�а. � Када транслирамо многоугао A1A2A3… An за вектор v , који није нормалан на раван α (Слика 5), дуж OS није нормална на раван основе (није испуњен други услов из дефиниције), па је ова пирамида коса. Косе пирамиде неће бити предмет нашег изучавања, већ ћемо се бавити искључиво правим пирамидама. 151


ПИРАМИДА

У Примеру 2 на 73. страни, у оквиру области Тачка, �рава и раван, доказали смо да је свака тачка кружнице подједнако удаљена од тачке S, ST = SM (Слика 7). Ако применимо ово својство на праву пирамиду (Слика 4), добијамо да је SA1 = SA2 = … = SAn. Теорема 1

S

O α

Бочне ивице праве пирамиде једнаких су дужина.

T

M

Слика 7

Бочне стране праве пирамиде су једнакокраки троуглови.

o

Пример 1

pr om

Паралелограм који није квадрат ни правоугаоник не може бити основа праве пирамиде. Наиме, око тог паралелограма није могуће описати кружницу, тј. није испуњен први услов из Дефиниције 1, па ова пирамида није права, већ коса. Број темена, ивица и страна пирамиде

Ed

uk a

У зависности од броја страница многоугла који је основа пирамиде, међу пирамидама разликујемо тространу, четворострану, петострану, шестострану, итд.

Слика 8

Број бочних страна пирамиде једнак је броју основних ивица. Свака пирамида има једну основу, па важи: Тространа пирамида има 3 + 1 = 4 стране, четворострана 4 + 1 = 5, петострана 5 + 1 = 6, шестострана 7, ... n-тострана пирамида има n + 1 страну. Пирамида има једнак број основних и бочних ивица. Тространа пирамида има три основне и три бочне ивице, па има укупно 2 ∙ 3 = 6 ивица. Слично, четворострана пирамида има 2 ∙ 4 = 8 ивица, петострана 2 ∙ 5 = 10 ивица... n-тострана пирамида има 2n ивица. Пирамида која има n страна има n + 1 теме. 152


ПИРАМИДА

Пример 2 Нека је t број темена, i број ивица и s број страна пирамиде. Ако важи 4i + 2t = 3s + 34, одредићемо о којој је пирамиди реч. Решење: Из 4i + 2t = 3s + 34 добијамо једначину 4 ∙ (2n) + 2 ∙ (n + 1) = 3 ∙ (n+1) + 34, одакле је n = 5. Дакле, у питању је петострана пирамида. Висина пирамиде; апотеме Растојање врха пирамиде од равни њене основе назива се висина �ирами�е. Као и код призме, висину најчешће означавамо словом H. Висина бочне стране која одговара основној ивици назива се а�о�ема �ирами�е. Пирамида која има n страна има n апотема. Апотеме најчешће означавамо са h1, h2, h3, итд. Висина пирамиде (Слика 10) једнака је дужини дужи OS, где је O центар описане кружнице око њене основе, а S врх пирамиде.

pr om

Слика 9

A

uk a

Пример 3

S

h1 H h3

h2

C

O B

Правоугли троугао чије су катете AC = 6 cm и BC = 8 cm основа је праве пирамиде висине H = 5 cm. Одредићемо дужине апотема пирамиде.

Слика 10

Ed

Решење: Означимо словом O центар описане кружнице основе. Како је центар описане кружнице правоуглог троугла средиште хипотенузе, то је висина пирамиде једна од апотема пирамиде h1 = H = 5 cm. Нека су D и E подножја апотема h2 и h3, редом. Одредимо дужине дужи OE и OD. Тачке D и E су средишта страница AC и BC, редом, па су дужи OE и OD средње линије троугла ∆ABC. 1 1 Одатле је OE = BC = ∙ 8 = 4 cm и 2 2 1 1 OD = AC = ∙ 6 = 3 cm. 2 2

h1

H

o

h2

S

E

h3

C

h1

h2 D B

O A

Слика 11

Троугао ∆SOD је правоугли, па важи h22 = H2 + OD2, одакле је h2 = √34 cm. Слично, из троугла ∆SOE имамо h32 = H2 + OE2, одакле је h3 = √41 cm.

153


ПИРАМИДА

ВЕЖБАМО

3. 4. 5.

а) n = 11;

б) n = 14;

в) n = 20.

Пирамида има 17 страна. Одреди број ивица и темена те пирамиде. О којој је пирамиди реч? Одреди број темена пирамиде чији је број ивица за 9 већи од броја страна.

Производ броја темена и броја ивица пирамиде је 180. О којој је пирамиди реч?

o

2.

Одреди број ивица, темена и страна n-тостране пирамиде ако је:

Одреди дужине апотема праве пирамиде чија је основа правоугаоник страница AB = 12 cm и BC = 4√2 cm, а висина пирамиде H = 8 cm. У сваком задатку, где год је то могуће, скицирај пирамиду и означи дате елементе. Потруди се да скица буде што вернија условима задатка. Дужину апотеме која одговара страници BC одредићемо применом Питагорине теореме на правоугли троугао ................. Дуж OE = ................. cm. h12 = ............ + 64, одакле је h1 = ........ cm. Покушај да самостално одредиш другу апотему која одговара страници AB.

Ed

uk a

Помоћ?

pr om

1.

Проверавамо своје знање (5 минута)

1.

2.

3.

4.

Петострана пирамида има шест темена. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Ромб може бити основа праве пирамиде. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Постоји пирамида која је ограничена са пет троуглова. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Бочне ивице сваке пирамиде једнаких су дужина. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 154

D

C

O A

F

D

h2 H O

A

F

E B

h1 B

C E


Упознаћеш се са правилним и једнаковичним пирамидама. Научићеш да одређујеш дужине ивица, као и висине неких пирамида.

ЈЕДНАКОИВИЧНЕ И ПРАВИЛНЕ ПИРАМИДЕ Правилна пирамида

S

S

S

s

s H

H

a 2

a

r

R a

R = a√3 3

Ed

r = a√3 6

s2 = H2 + R2

s

h

uk a

r

s

s

h

a R a

pr om

o

Права пирамида чија је основа правилни многоугао јесте правилна пирамида. Дакле, основне ивице правилне пирамиде једнаких су дужина. Бочне стране правилне пирамиде међусобно су подударни једнакокраки троуглови. На Слици 1 су приказане, редом, �равилна �рос�рана (основа једнакостранични троугао), �равилна че�ворос�рана (основа квадрат) и �равилна шес�ос�рана пирамида (основа правилни шестоугао). Једнакости у којима је s бочна ивица пирамиде, R полупречник описане кружнице и r полупречник уписане кружнице основе, као и последице примене Питагорине теореме на сваку од пирамида, користићемо у решавању задатака.

a 2

h2 = H2 + r2 Слика 1

Пример 1

Одредићемо дужину бочне ивице правилне тростране пирамиде чија је основна ивица a = 6 cm, а висина H = a. Решење: Полупречник описаног круга основе је a√3 R= = 2√3 cm (Слика 2). 3 На основу Питагорине теореме, важи s2 = H2 + R2, тј. s2 = 62 + (2√3)2, одакле је s = 4√3 cm.

H

h

a

R

a

r a

R = a√2 2 r= a 2

s

R=a

a 2

r = a√3 2 2

s2 = h2 + ⎧ a ⎫ ⎩2⎭

s

H

R a

Слика 2 155


ПИРАМИДА

Пример 2 Бочна страна правилне четворостране пирамиде нагнута је према равни основе под углом од 60°. Ако је висина те пирамиде H = 4√3 cm, одредићемо дужину њене апотеме и основне ивице. Решење: Унутрашњи углови осенченог троугла (Слика 3) су 30°, 60° и 90°, па важи h = 2r. Применом Питагорине теореме добијамо h2 = H2 + r2, тј. (2r)2 = (4√3)2 + r2, одакле је

a

a

Слика 3

o

Пример 3

60° r

pr om

r = 4 cm. Сада је h = 2 ∙ 4 = 8 cm. a Из r = , добијамо a = 8 cm. 2

h

H

Бочна ивица правилне шестостране пирамиде је s = 3√2 cm, док је основна ивица a = 2√2 cm. Одредићемо висину пирамиде и апотему. Решење: Један од начина: Како је R = a = 2√2 cm, на основу Питагорине теореме добијамо H2 = s2 – R2, одакле је

S

s

s H

h

uk a

a

H = √10 cm. 2 Из h2 = s2 – ⎧ a ⎫ , тј. h2 = (3√2)2 – (√2)2 добијамо ⎩2⎭ h = 4 cm.

a

R

a 2

a

Слика 4

Ed

Једнакоивичне пирамиде

Пирамиде чије су све ивице међусобно једнаке називамо једнакоивичним пирамидама. На Слици 5 приказане су тространа, четворострана и петострана једнакоивична пирамида. Бочне стране једнакоивичне пирамиде јесу једнакостранични троуглови.

a

a a

a

a

a

a

a

a a

a a

a

a a a

Слика 5 156

a

a


ПИРАМИДА

Тетраедар Тространа једнакоивична пирамида назива се тетраедар. Да ли је тетраедар права пирамида? Да се подсетимо, пирамида је права ако се око њене основе може описати кружница и ако је дуж чије су крајње тачке центар те кружнице и врх пирамиде нормална на раван основе.

S

a

o

a

H

A

pr om

Око основе тетраедра се може описати кружница (Слика 6). Нека је S1 ортогонална пројекција тачке S на раван основе. Троуглови ∆AS1S, ∆BS1S и ∆CS1S су подударни (ССУ), па важи да је AS1 = BS1 = CS1 , на основу чега закључујемо да је тачка S1 центар описане кружнице троугла ∆ABC јер је подједнако удаљена од његових темена. Дуж SS1 је нормална на раван основе, па је тетраедар права пирамида.

a

S1

C a

B

Слика 6

Пример 4

Ed

uk a

Одредићемо висину тетраедра у зависности од ивице a. Решење: Применом Питагорине теореме на правоугли троугао ∆AOS (Слика 7), добијамо 2 a√3 ⎫ H2 = a2 – R2, тј. H2 = a2 – ⎧ , ⎩ 3 ⎭ a√6 . одакле је H = 3

S

a H h

C a A

R

O

a

r

Е B

Слика 7

Задатак 1 Применом Питагорине теореме на троугао ∆EOS (Слика 7), одреди дужину висине тетраедра у зависности од ивице a. У�у�с�во: a√3 . Троугао ∆BCS је једнакостранични троугао странице a, па је SE = h = 2

157


ПИРАМИДА

Пример 5 Одредићемо висину једнакоивичне четворостране пирамиде ивице a. Решење: Свака једнакоивична пирамида мора бити правилна, па је основа ове пирамиде квадрат (Слика 8). Дужи AO и OE су полупречници описане,

a

h

H D

C

a

А

r

O

R

E

B

Слика 8

pr om

троугао ∆AOS, добијамо H2 = a2 – R2, тј. 2 a√2 ⎫ a√2 ⎧ 2 2 . H =a – , одакле је H = 2 ⎩ 2 ⎭

a

o

односно уписане кружнице основе пирамиде, па a√2 a је AO = R = и OE = r = . 2 2 Применом Питагорине теореме на правоугли

S

Задатак 2

Применом Питагорине теореме на троугао ∆EOS (Слика 8) одреди дужину висине једнакоивичне четворостране пирамиде у зависности од ивице a. Задатак 3

uk a

Одреди унутрашње углове троугла ∆AOS (Слика 8). Колико износи мера нагибног угла бочне ивице ове пирамиде према равни основе?

1.

Ed

ВЕЖБАМО

Дужина ивице тетраедра је 12 cm. Одреди висину тетраедра.

Једноставније је него у Примеру 4.

Пажљиво прочитај Пример 4 у овој лекцији, а затим покушај да једнакости које су доказане у њему употребиш у решавању задатка. 2. 3.

Висина једнакоивичне четворостране пирамиде је 6 cm. Одреди ивицу те пирамиде. Дужина бочне ивице правилне тростране пирамиде је s = 10 cm, а висина H = 8 cm. Одреди дужину основне ивице пирамиде.

158


ПИРАМИДА

4.

5.

Нагибни угао бочне ивице правилне четворостране пирамиде према равни основе је 45°, а висина H = 5 cm. Одреди дужину бочне и основне ивице пирамиде.

Угао између бочне ивице и висине правилне шестостране пирамиде је 60°, а висина H = 6√3 cm. Одреди дужину бочне ивице и апотему пирамиде.

Проверавамо своје знање (5 минута) Тетраедар је ограничен са три једнакостранична троугла. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

4.

Висина тетраедра ивице √6 cm је: 1 а) 2 cm; б) 0,5 cm; в) cm. 6

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

3.

Апотема једнакоивичне четворостране пирамиде основне ивице 2 cm је: √3 а) √3 cm; б) 2√3 cm; в) cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 2

Бочна ивица правилне шестостране пирамиде s = 8 cm нагнута је према равни основе под углом од 60°. Дужина основне ивице те пирамиде је: а) 16 cm;

б) 4√3 cm;

Ed

2.

pr om

o

1.

в) 4 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

159


ПРЕСЕЦИ ПИРАМИДЕ И РАВНИ. ДИЈАГОНАЛНИ ПРЕСЕК ПИРАМИДЕ

Научићеш да одређујеш површине неких пресека пирамиде и равни.

Пресек пирамиде и равни

pr om

o

На Слици 1 приказани су неки од могућих случајева пресека равни и пирамиде.

Ed

г)

б)

в)

uk a

a)

д)

ђ)

Слика 1

Пресек пирамиде и равни, осим празног скупа, може бити теме пирамиде, нека њена ивица или њена страна. Пресек пирамиде и равни још једино може бити многоугао, чији број темена зависи од многоугла који је у основи, али и положаја равни у односу на основе. Пример 1 Посматрајмо тетраедар SABC и раван одређену средиштима бочних ивица. Одредићемо површину пресека пирамиде и те равни у зависности од ивице тетраедра. Решење: На Слици 2 приказан је тетраедар и његов пресек са равни која је одређена средиштима E, F и G бочних ивица. 160

S

G E

F C

a A

a

a

Слика 2

B


ПИРАМИДА

Дужи одређене овим тачкама су средње линије подударних бочних страна, па је троугао a ∆EFG једнакостранични са страницом . 2 2

⎧ a ⎫ √3 a2√3 . Површина троугла ∆EFG је једнака P = ⎩ 2 ⎭ =

Пример 2

a√2 a√3 ⎫ ⎧ a ⎫ добијамо h2 = ⎧ . – , одакле је h = 2 ⎩ 2 ⎭ ⎩2⎭ a√2 a∙ a2√2 a∙h 2 . = Површина пресека је P = = 4 2 2 2

2

S

a

a

A

C B

E

pr om

Нека је тачка E средиште ивице AB тетраедра SABC (Слика 3). Одредићемо површину пресека тетраедра и равни која је одређена тачкама E, C и S. Решење: Посматрани пресек је једнакокраки троугао, чији су краци апотеме тетраедра, а основица ивица тетраедра. На основу Питагорине теореме,

16

o

4

S

a

a√3 2

C

h

a√3 2

E

Слика 3

uk a

Дијагонални пресек пирамиде

Ed

Пресек пирамиде и равни која је одређена дијагоналом основе и врхом те пирамиде јесте дијагонални пресек пирамиде. Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде Површина дијагоналног пресека правилне четворостране пирамиде основне ивице a и a√2 ∙ H висине H је PDP = . Види Слику 4. 2

s

s PDP

H

d

a

a

Слика 4

Пример 3

Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде је једнакостранични троугао површине 9√3 cm2. Одредићемо дужину бочне и основне ивице пирамиде. Решење: Како је дијагонални пресек једнакостранични троугао, то је s = d (Слика 4). s2√3 добијамо s = d = 6 cm. Из d = a√2 добијамо a = 3√2 cm. Из 9√3 = 4 161


ПИРАМИДА

Пирамида – основа правоугаоник На Слици 5 приказана је права четворострана пирамида чија је основа правоугаоник. Дијагонални пресек је једнакокраки троугао чији су краци бочне ивице, а основица дијагонала основе. Висина овог троугла је уједно и висина пирамиде. Површина тог пресека је: PDP =

s PDP

s

H b

d a

√a2 + b2 ∙ H . 2

Слика 5

Пример 4

pr om

o

Основа праве пирамиде је правоугаоник страница 6 cm и 8 cm, а висина пирамиде је 16 cm. Површина дијагоналног пресека је: √a2 + b2 ∙ H √62 + 82 ∙ 16 = = 80 cm2. PDP = 2 2

Дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде Правилна шестострана пирамида има два различита дијагонална пресека. Како правилни шестоугао има дужу и краћу дијагоналу, то код ове правилне пирамиде разликујемо већи и мањи дијагонални пресек.

Ed

uk a

А) Већи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде Већи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде је једнакокраки троугао (Слика 6) чија је основица дужа дијагонала d1 правилног шестоугла. Његова површина је: 2a ∙ H PDP1 = = aH. 2

Пример 5

H

s

s

PDP1 a

d1

a

a

Слика 6

Површина основе правилне шестостране пирамиде је 216√3 cm2. Ако бочна ивица пирамиде има дужину s = 15 cm, одредићемо површину већег дијагоналног пресека. Решење: a2√3 добијамо a = 12 cm. На основу Питагорине теореме можемо одредити Из 216√3 = 6 ∙ 4 висину пирамиде: H2 = s2 – a2, одакле је H = 9 cm. Површина већег дијагоналног пресека једнака је PDP1 = aH = 12 ∙ 9 = 108 cm2.

Б) Мањи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде Мањи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде је једнакокраки троугао (Слика 7) чија је основица краћа дијагонала основе пирамиде. 162


ПИРАМИДА

Висину овог дијагоналног пресека одређујемо применом Питагорине теореме: 2 a⎫ ⎧ 2 2 h =H + . ⎩2⎭ Површина мањег дијагоналног пресека правилне шестостране пирамиде једнака је: a√3 PDP2 = ∙ √4H2 + a2 . 4

s s

H h

a

PDP2 a

d2

a

Слика 7

pr om

2.

Основа праве пирамиде је правоугаоник страница 6 cm и 8 cm, а бочна ивица има дужину 13 cm. Одреди површину дијагоналног пресека. Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде је правоугли троугао хипотенузе 5√2 cm. Одреди дужину апотеме пирамиде.

3.

Пажљиво прочитај задатак још једном, а затим нацртај скицу. Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде увек је ........................... троугао. То значи да је у нашем задатку дијагонални пресек ........................... правоугли троугао. Како сваки такав троугао представља ........................... квадрата, хипотенуза тог троугла је заправо ........................... квадрата. Даље настави самостално да решаваш задатак.

Ed

Пажљиво читај!

uk a

1.

o

ВЕЖБАМО

Угао између бочне ивице и висине правилне шестостране пирамиде је 60°, а висина H = 8√3 cm. Одреди површину већег и мањег дијагоналног пресека пирамиде.

163


ПИРАМИДА

Проверавамо своје знање (5 минута)

Висина правилне четворостране пирамиде је 16 cm, а бочна ивица има дужину 20 cm. Површина дијагоналног пресека ове пирамиде једнака је:

3.

а) 192 cm2;

4.

а) 6 cm;

б) 384 cm2;

в) 96 cm2. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

o

2.

Пресек тетраедра и равни може бити тачка. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Већи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде је једнакостранични троугао површине 9√3 cm2. Дужина основне ивице пирамиде једнака је: б) 3 cm;

pr om

1.

в) 6√3 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ed

uk a

Мањи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде нормалан је на раван основе. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

164


Научићеш да конструишеш мрежу неких пирамида.

МРЕЖА ПИРАМИДЕ

Слика 1 Мрежа пирамиде

pr om

o

Еленин полиедар Од четири троугла (Слика 1), таквих да странице исте боје имају једнаке дужине, Елена је у свом експерименту прво саставила фигуру као на Слици 2, а затим склопила полиедар, тј. пирамиду (Слика 3).

Слика 2

Слика 3

Ed

uk a

Фигура која се састоји из свих страна пирамиде назива се мрежа пирамиде. На Слици 2 приказана је мрежа Еленине пирамиде. Мрежу праве пирамиде чине многоугао (основа) и једнакокраки троуглови (омотач пирамиде).

Слика 4

Пример 1

Конструисаћемо мрежу праве пирамиде чија је основа правоугаоник страница 1,5 cm и 2 cm, а дужина бочне ивице јој је 2,5 cm. Решење: Најпре конструишемо правоугаоник чије су странице дужина 1,5 cm и 2 cm, а затим над тим страницама конструишемо једнакокраке троуглове чији су краци дужине 2,5 cm (Слика 5). Добијена фигура је тражена мрежа пирамиде.

2 cm

2,5 cm 1,5 cm

Слика 5 165


ПИРАМИДА

На Слици 6 приказана је мрежа пирамиде из Примера 1 задата на други начин. 1,5 cm

2,5 cm

2 cm

Слика 6 Размотримо сада мреже неких правилних пирамида. Мрежа �равилне �рос�ране �ирами�е јесте фигура која се састоји из једнакостраничног троугла и три подударна једнакокрака троугла.

pr om

o

s

a

s a

a

s

s

a

s

a

a

uk a

Слика 7

Мрежа �равилне че�ворос�ране �ирами�е јесте фигура која се састоји из квадрата и четири подударна једнакокрака троугла.

s a

a

a

s

a a

Слика 8

Мрежа �равилне шес�ос�ране �ирами�е јесте фигура која се састоји из правилног шестоугла и шест подударних једнакокраких троуглова.

s s s

s

a

a

a

a

a

s

s

a a

a a

Слика 9 166

s

s

s

Ed

a


ПИРАМИДА

Пример 2 На слици 10 су приказане две различите мреже тетраедра ивице 3 cm. 3 cm 3 cm

3 cm

3 cm

3 cm 3 cm

pr om

Слика 10

o

3 cm

Задатак 1

Покушај да прикажеш мрежу тетраедра на начин на који није приказан у претходном примеру.

Пример 3

Ed

uk a

Конструисаћемо мрежу правилне шестостране пирамиде основне ивице 1,5 cm, а апотеме 2 cm. Решење: Најпре конструишемо један од шест једнакокраких троуглова од којих је састављен омотач пирамиде. Конструишемо дуж дужине 1,5 cm, затим конструишемо њену симетралу и на симетрали дуж дужине 2 cm. Ова дуж је апотема пирамиде.

1,5 cm

1,5 cm 2 cm

Слика 11 Даље конструишемо још пет једнакокраких троуглова који су подударни већ конструисаном троуглу, тако да имају заједнички крак, као на Слици 11. Над једном од основица тих троуглова конструишемо правилни шестоугао, који представља основу пирамиде. Конструиши мрежу ове пирамиде и на други начин.

167


ПИРАМИДА

ВЕЖБАМО 1.

Конструиши мрежу тетраедра ивице 4 cm. Помоћ?

Тетраедар је правилна једнакоивична пирамида која се састоји од .............. једнакостранична ................................ За анализу конструкције мреже, види Пример 2.

5.

6.

o

pr om

4.

Ленка је нацртала правилан шестоугао и над сваком страницом са спољашње стране једнакостраничан троугао. Да ли фигура коју је Ленка нацртала може бити мрежа правилне шестостране пирамиде? Конструиши мрежу праве пирамиде чија је основа правоугли троугао чије су дужине катета 5 cm и 7 cm, а највећа бочна страна једнакостранични троугао.

Нацртај паралелограм тако да дужина једне његове странице буде два пута већа од друге, а његов угао 60°. Конструиши потребне дужи тако да добијеш мрежу тетраедра. Направи модел тог тетраедра.

uk a

3.

Конструиши мрежу правилне једнакоивичне четворостране пирамиде чија дијагонала основе има дужину 3√2 cm.

Површина основе правилне шестостране пирамиде је 3√3 cm2. Ако је бочна ивица два пута дужа од основне ивице, конструиши мрежу ове пирамиде.

Ed

2.

Проверавамо своје знање (5 минута)

1.

Заокружи слово испод фигуре која представља мрежу пирамиде.

а) 168

б)

в)


ПИРАМИДА

2.

Фигура са слике може представљати мрежу правилне: а) тростране; б) четворостране; в) петостране пирамиде. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

Омотач пирамиде може бити правоугаоник. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ed

4.

pr om

o

3.

Мрежа тетраедра може бити конвексна фигура. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

169


Научићеш да одређујеш површину неких пирамида.

ПОВРШИНА ПИРАМИДЕ

Као и у случају призме, површина пирамиде једнака је површини фигуре која представља њену мрежу. Пример 1 Размотрићемо мрежу пирамиде са Слике 1 и одредити њену површину. Решење: Како је површина пирамиде једнака збиру површина њених страна, то важи: P = 3,3 + (5,25 + 3 + 4,5) = 16,05 cm2. површина омотача

3 cm2

o

3,3 cm2

pr om

површина базе

5,25 cm2

4,5 cm2

Уопштено, ако словом B означимо површину базе, а словом M површину омотача пирамиде, тада је површина пирамиде једнака P = B + M.

Слика 1

S

uk a

Површине неких правилних пирамида

s

s

H

h

a

R a

s

s

Ed

H

S

S

r

s

h

s H

h

a

a R a

r

a

R

r a

ah a2√3 +3∙ 2 4 Површина правилне тростране пирамиде

ah 2 Површина правилне четворостране пирамиде

ah a2√3 +6∙ 2 4 Површина правилне шестостране пирамиде

Слика 2

Слика 3

Слика 4

P=

P = a2 + 4 ∙

P=6∙

Пример 2 Површина правилне тростране пирамиде чија је дужина основне ивице a = 6 cm и апотеме 6 ∙ 12 62√3 +3∙ = 9(√3 + 12) cm2. h = 12 cm једнака је P = 2 4 170


ПИРАМИДА

Површина тетраедра a

Тетраедар је ограничен са четири подударна једнакостранична троугла странице а. Његова површина једнака је збиру њихових површина, a2√3 = a2√3. тј. P = 4 ∙ 4

a

Слика 5

Нагиб

S

s

s

o

PDP

H

D

pr om

Бочна ивица правилне четворостране пирамиде нагнута је према равни основе под углом од 45°. Ако је површина дијагоналног пресека једнака 18 cm2, одредићемо површину пирамиде. Види Слику 6. Према условима задатка, троугао ∆ACS је једнакокраки правоугли, па важи d = s√2, где је d дијагонала основе, а s бочна ивица пирамиде.

a

A

45°

d

a

C a

B

Слика 6

P2

cm

Ed

10

На Слици 7 дата је мрежа праве четворостране пирамиде чија је основа правоугаоник. На основу података са слике одредићемо површину те пирамиде. Део омотача пирамиде се састоји из два правоугла једнакокрака троугла чије су катете дужине 10 cm, па је дужина основне ивице a = 10√2 cm. Површина базе је B = 12 ∙ 10√2 = 120√2 cm2.

P1

12 cm

Правоугаоник

uk a

Како важи d = a√2, то закључујемо да је a = s. Задата површина дијагоналног пресека је s2 површина троугла ∆ACS, па важи 18 = , одакле је s = 6 cm. Такође је и a = 6 cm. 2 Како је ова пирамида једнакоивична четворострана, то ће њена површина бити једнака: a2√3 2 = 36 (1 + √3) cm2. P=a +4∙ 4

P1 P2

Слика 7

Према ознакама са слике, површина омотача је M = 2P1 + 2P2. Важи P1 = 48 cm2 и P2 = 50 cm2 (образложи), па је M = 196 cm2. Површина пирамиде је P = B + M = (120√2 + 196) cm2.

171


ПИРАМИДА

Пример 3 Одредићемо површину праве четворостране пирамиде чија је основа правоугаоник страница a = 10 cm, b = 32 cm, а висина пирамиде H = 12 cm. Решење: Види Слику 8. Површина основе пирамиде је B = ab = 10 ∙ 32 = 320 cm2. Омотач се састоји из два пара подударних једнакокраких троуглова основица a и b, чије ћемо површине означити са Pa и Pb , редом.

S

D

h2

H

h1

C E

O A

F

B

Слика 8 2

2

2

o

a b На основу Питагорине теореме, важи h1 = H + ⎧ ⎫ и h22 = H2 + ⎧ ⎫ , одакле је ⎩2⎭ ⎩2⎭ 2

pr om

1 1 ah2 = 100 cm2 и Pb = bh1 = 208 cm2. 2 2 Површина омотача пирамиде једнака је M = 2(Pa + Pb) = 616 cm2.

h1 = 13 cm и h2 = 20 cm. Сада је Pa =

Коначно, површина пирамиде једнака је P = B + M = 320 + 616 = 936 cm2.

Ed

uk a

Украс На основу података са Слике 9, одредићемо количину фарбе потребну за фарбање украса за јелку састављеног од две правилне шестостране пирамиде са заједничком основом ако је за фарбање 100 cm2 површине потребно 3,5 g боје. Површина за фарбање једнака је двострукој површини омотача правилне шестостране пирамиде. Применом Питагорине теореме на једну од бочних страна пирамиде, имамо: 2

2

14 cm

Слика 9

2

a 14 h = s –⎧ ⎫ , тј. h2 = 252 –⎧ ⎫ одакле је h = 24 cm. ⎩2⎭ ⎩ 2⎭ 2

25 cm

ah = 2016 cm2. Из пропорције 100 : 2016 = 3,5 : x добијамо 2 x = 70,56 g. Дакле, за фарбање украса потребно је 70,56 g боје. Даље, имамо P = 2M = 2 ∙ 6 ∙

172


ПИРАМИДА

ВЕЖБАМО

2.

Површина основе правилне тростране пирамиде је 9√3 cm2, а њена висина H = √22 cm. Одреди површину омотача пирамиде. На слици је дата мрежа четворостране пирамиде чија је основа правоугаоник. Одреди површину те пирамиде.

5.

Дијагонални пресек правилне четворостране пирамиде јесте једнакостранични троугао странице 4 cm. Одреди површину пирамиде.

Бочна ивица правилне шестостране пирамиде s = 8 cm нагнута је према равни основе под углом од 60°. Одреди површину пирамиде. Део привеска за кључеве има облик фигуре са слике. Ова фигура се састоји из призме и две подударне једнакоивичне четворостране пирамиде са којима има заједничке основе. Висина призме је два пута дужа од њене основне ивице. Ако је површина основе призме 36 cm2, одреди површину привеска.

Ed

6.

48 cm2

uk a

4.

pr om

4 cm

o

3.

Одреди површину тетраедра чија je ивица a = 12 cm.

8 cm

1.

Изгледа компликовано?

Пажљиво анализирај слику привеска, а затим ћемо заједно решити задатак. Површина привеска једнака је збиру површина .................... призме и .................... пирамида. Омотач ових .................... чини .................... једнакостраничних троуглова. Њихова страница једнака је ............................. ивици базе, површине 36 cm2. Пирамида и призма су правилне, па је у основи .................... чија је страница дужине ............... cm. Висина призме је ............... cm. Покушај да самостално наставиш са решавањем. 173


ПИРАМИДА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

2.

Ако са X означимо површину омотача пирамиде, а са Y површину базе, тада је површина пирамиде једнака: а) 2Y + X; б) Y + 2X; в) Y + X. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

3.

а) 2√3 cm2;

в) 4√3 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

o

б) √3 cm2;

а) 8 cm2;

б) 12 cm2;

pr om

Површина правилне четворостране пирамиде основне ивице 2 cm и апотеме 4 cm је: в) 20 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Бочна страна правилне шестостране пирамиде има површину 5 cm2, а основа 8 cm2. Заокружи слово испред површине те пирамиде: б) 53 cm2;

174

в) 38 cm2.

uk a

а) 13 cm2;

Ed

4.

Површина тетраедра ивице 2 cm једнака је:


Научићеш да одређујеш запремине неких пирамида.

ЗАПРЕМИНА ПИРАМИДЕ

pr om

o

Мионина чаролија Миона је у тиму „Архимед” добила задатак да истражи однос запремине призме и пирамиде. Одлучила се за коцку и правилну четворострану пирамиду једнаке основне ивице a. Мрежу коцке је „поплочавала” пирамидама, а затим је више пута покушавала да склопи коцку. Успела је када је уочила да висина пирамиде мора бити два пута краћа од дужине ивице коцке. На слици је приказан начин на који је она поступала.

Слика 1

uk a

Добијена коцка састоји се из шест правилних четвоространих пирамида основне ивице a и a висине , па ће запремина коцке бити једнака запремини шест таквих пирамида: a3 = 6V, 2 1 1 a 1 1 одакле је V = a3. Последњу једнакост је записала у облику V = ∙ a2 ∙ = BH = Vпризме 6 3 2 3 3 где смо са Vпризме означили запремину правилне четворостране призме основне ивице a и висине H.

Ed

Призма и пирамида; однос запремина

Посматрајмо моделе пирамиде и призме подударних основа и једнаких висина. Када течност из пирамиде преспемо у призму, течност ће „покрити” призму до трећине њене висине.

H

H

H

H 1 H 3

Слика 2 Запремина праве пирамиде висине H и површине основе B једнака је: V =

1 BH. 3

175


ПИРАМИДА

Запремине неких правилних пирамида S

R a

h r

a 2

a R a

s

r

H a 2

1 2 V= ∙a ∙H 3 Запремина правилне четворостране пирамиде

Слика 3

Слика 4

h

a R

a

r a

1 a2√3 V= ∙6∙ ∙H 3 4 Запремина правилне шестостране пирамиде

a 2

Слика 5

pr om

1 a2√3 ∙H V= ∙ 3 4 Запремина правилне тростране пирамиде

Пример 1

s

h

o

H

H a

s

s

s

s

S

S

Запремина правилне тростране пирамиде основне ивице a = 12 cm и висине H = 3 cm једнака 1 122√3 ∙ 3 = 36√3 cm3. је V = ∙ 3 4

uk a

Пример 2

Ed

Одредићемо запремину тетраедра у зависности од његове ивице a. Решење: a√6 Како је висина тетраедра једнака H = , то је запремина тетраедра једнака: 3 2 3 1 a √3 a√6 a √2 V= ∙ ∙ = . 3 4 3 12 Пример 3

Запремина праве четворостране пирамиде чија је основа правоугаоник страница 16 cm и 1 1 12 cm, а висина H = 6 cm, износи V = BH = abH = 384 cm3. 3 3 Пример 4

Права четворострана пирамида, чија је основа правоугаоник, има апотеме дужина 30 cm и 25 cm. Ако је висина пирамиде 24 cm, одредићемо запремину те пирамиде.

S

h2 H

b a

Слика 6 176

h1


ПИРАМИДА

Решење: Посматрајмо Слику 6. Нека је h1 = 30 cm и h2 = 25 cm. На основу Питагорине теореме, важи h1

2

2

2

a b = H + ⎧ ⎫ и h22 = H2 + ⎧ ⎫ , одакле је a = 36 cm и b = 14 cm. Запремина пирамиде ⎩2⎭ ⎩2⎭ 2

једнака је V =

1 1 BH = abH = 4032 cm3. 3 3

Ed

Пример 5

uk a

pr om

o

Сребрни накит Сребрни накит се састоји из коцке и две подударне правилне четворостране пирамиде као на Слици 7. Ако је густина сребра 10,49 g⁄cm3, одредићемо масу накита (на једну децималу). 1 cm 3,4 cm Запремина тела V једнака је збиру запремина коцке Vk и двоструке запремине правилне четворостране пирамиде Vp. Према подацима са слике, ивица коцке има дужину 1 cm, па је њена запремина Vk = 13 = 1 cm3. Слика 7 3,4 – 1 = 1,2 cm, а њена основна ивица a = 1 cm, па је Висина пирамиде једнака је H = 2 1 2 ∙ 1 ∙ 1,2 = 0,4 cm3. запремина пирамиде једнака Vp = 3 Запремина тела је једнака V = Vk + 2Vp = 1 + 2 ∙ 0,4 = 1,8 cm3. Маса накита је једнака m = V ∙ ρ = 1,8 ∙ 10,49 = 18,882 ≈ 18,9 g. Нагибни угао бочне стране правилне шестостране S пирамиде према равни основе је 60°. Ако је висина те пирамиде H = 2√3 cm, одредићемо њену површину и запремину. Решење: Посматрајмо Слику 8. Троугао ∆SOE је половина H једнакостраничног троугла, па важи r = 2 cm и a√3 h = 4 cm. Из r = , добијамо 2 4√3 O r a= cm. Површина пирамиде је: a 3 2 ah a √3 a +6∙ , одакле добијамо P=6∙ 2 4 Слика 8 2 P = 24√3 cm . 1 a2√3 ∙6∙ ∙ H, одакле је V = 16 cm3. Запремина пирамиде је V = 3 4

h

E

177


ПИРАМИДА

ВЕЖБАМО

5.

6.

7.

o

4.

Апотема правилне тростране пирамиде је h = 8 cm, а површина омотача 48 cm2. Одреди запремину те пирамиде. Права четворострана пирамида чија је основа правоугаоник површине 60 cm2, а висина 13 cm, дијагоналним пресеком је подељена на две тростране пирамиде. а) Одреди запремину добијених тространих пирамида; б) Ако је једна од основних ивица 5 cm, одреди површину дијагоналног пресека четворостране пирамиде.

pr om

3.

Одреди запремину правилне тростране пирамиде основне ивице a = 16 cm и висине H = 6 cm.

Бочна ивица правилне четворостране пирамиде има дужину 9 cm, а основна ивица и висина су у размери 1 : 2. Одреди површину и запремину пирамиде.

uk a

2.

Одреди запремину тетраедра ивице a = 4 cm.

Већи дијагонални пресек правилне шестостране пирамиде јесте једнакостранични троугао површине 4√3 cm2. Израчунај запремину те пирамиде.

Одреди масу дрвеног модела октаедра чија је ивица 8 cm, ако је густина дрвета ρ ≈ 0,7 g⁄cm3. Резултат заокруглити на цео број.

Ed

1.

Маса?

178

Подсети се: Октаедар је геометријско тело које чине две једнакоивичне четворостране пирамиде са заједничком основом. Поред густине, маса тела зависи и од ............................... тог тела. Задатак се, дакле, своди на одређивање запремине тела. Запремина тела једнака је збиру запремина ................................ Настави самостално да решаваш задатак.


ПИРАМИДА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

На слици су дате три подударне призме и у сваку је уписана пирамида. То подразумева да се основа сваке пирамиде поклапа са основом призме у коју је уписана, а да јој врх припада другој основи. Запремине ове три пирамиде су једнаке.

4.

27√2 cm3; 12

б)

2√2 cm3; 3

pr om

Збир дужина свих ивица тетраедра је 12 cm. Запремина тетраедра је: а)

3.

(Заокружи тачан одговор.)

в) 4 cm3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Запремина правилне четворостране пирамиде основне ивице 2 cm и висине 3 cm је: а) 8 cm3;

б) 12 cm3;

в) 4 cm3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

2.

НЕ

o

ДА

Запремина правилне шестостране пирамиде је 8√3 cm3. Ако је висина пирамиде 4 cm, тада је дужина основне ивице једнака: 2√3 cm; 3

б) 2 cm;

Ed

а)

т јека

Про

в)

√3 cm. 3

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Пројектни задатак За израду плана пројектног задатка користи структуру која је дата у оквиру првог пројекта. Математички украси Упутство: У сусрет новогодишњим празницима, користећи моделе полиедара, направи украсе за јелку.

179


Ed

uk a

pr om

o

ПИРАМИДА

180


Ed

uk a

pr om

o

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА


Научићеш да препознаш линеарну функцију и одредиш њен коефицијент правца и слободни члан.

ПОЈАМ ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ

Пијаца Милан је на пијаци обишао четири тезге, на којима су биле следеће цене кромпира по килограму:

55 динара

45 динара

pr om

Слика 1

60 динара

o

50 динара

Колико би динара требало Марко да плати приликом куповине 3 kg кромпира на свакој тезги? Једноставним множењем долазимо до цене: 3 ∙ 50 = 150 динара, 3 ∙ 55 = 165 динара, 3 ∙ 45 = 135 динара, 3 ∙ 60 = 180 динара. Уопштено, ако цену за килограм кромпира означимо са x, а цену коју Марко треба да плати са y, онда важи y = 3 ∙ x.

uk a

По�се�имо се: Зависност променљивих величина x и y изражена је условом облика y = k ∙ x, k ∈ R, и тада за x и y кажемо да су �ирек�но �ро�орционалне величине, док је вредност k коефицијен� �ирек�не �ро�орционалнос�и. Поменута зависност се зове и функција �ирек�не �ро�орционалнос�и.

Ed

Притом, величина x је независна, док је величина y зависна (од величине x), па зависност y = k ∙ x можемо написати као y(x) = k ∙ x. Скуп свих уређених парова тачака (x, y) за које важи y = k ∙ x, k ∈ R чини график функције директне пропорционалности (права). На Слици 2 приказан је график функције y = 3 ∙ x. x y=3∙x

–1 –3

0 0

1 3

2 6

3 9

y 9 6

y = 3x

3

–2 –1 0 1 2 3 –3

Слика 2 182

x


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Милан обично носи торбу за пијацу, али данас је кренуо без ње, па је морао да доплати 2 динара за биоразградиву кесу. Ако купује исту количину кромпира (3 kg), при чему се цене нису мењале, колико сада треба да плати? Према ценама које су остале непромењене, Милан сада треба да плати: 3 ∙ 50 + 2 = 152 динара, 3 ∙ 55 + 2 = 167 динара, 3 ∙ 45 + 2 = 137 динара, 3 ∙ 60 + 2 = 182 динара. Слично као у претходном примеру, ако цену за килограм кромпира означимо са x, а цену коју Милан треба да плати са y, онда важи y = 3 ∙ x + 2.

o

y 9 8 6 5

pr om

На Слици 3 приказани су графици функција y = 3 ∙ x и y = 3 ∙ x + 2. Приметимо да су вредности функције y = 3 ∙ x + 2 за 2 веће од вредности функције y = 3 ∙ x, за сваку вредност променљиве x. x

y=3∙x+2

–1 –1

0 2

1 5

2 8

uk a

Плави график се добија транслацијом � црвеног графика за вектор a приказан на слици. У каквом су односу графици ових функција?

y = 3x + 2

3 2

y = 3x

–2 –1 0 1 2 3

� a

x

–3

Слика 3

Ed

Линеарна функција Дефиниција 1

Зависност променљивих величина x и y облика y = k ∙ x + n; k, n ∈ R називамо линеарном функцијом. Број k је коефицијент правца, а n слободни члан. За уређени пар (x0, y0 ) кажемо да је пар одговарајућих вредности линеарне функције y = k ∙ x + n ако је тачна једнакост y0 = k ∙ x0 + n.

Слично као код функције директне пропорционалности, важи да је величина x независна променљива, док је y зависна (зависи од x), па линеарну функцију можемо записати и као y(x) = k ∙ x + n, а често се користи и запис f(x) = k ∙ x + n. Пример 1

Зависност y = 3x + 2 из претходног примера представља линеарну функцију. Коефицијент правца те линеарне функције је k = 3, док је слободни члан n = 2.

183


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Која је зависност линеарна? Како одредити k и n? Пример 2 Одредићемо које од следећих зависности представљају линеарну функцију и за њих одредити k и n. 1 а) y = –2x – √2, б) y = – x, г) y = 5x – 1 – 3x, в) y = (x + 1)2 + 3, 2 1 – 2x 5 , ђ) y = (x – 1)2 – x2, ж) 3y – x = 6. е) y = + 2, д) y = 5 x Решење:

o

а) Јесте линеарна функција: k = –2, n = –√2. 1 б) Jесте линеарна функција: k = – , n = 0. 2 в) Како је y = (x + 1)2 + 3 = x2 + 2x + 4, ова зависност није линеарна функција.

pr om

г) Добијамо y = 5x – 1 – 3x = 2x – 1, па ово јесте линеарна функција: k = 2, n = –1. 1 – 2x 1 2 2 1 д) Имамо y = = – x, па ово јесте линеарна функција: k = – , n = . 5 5 5 5 5 2 2 2 2 ђ) Добијамо y = (x – 1) – x = x – 2x + 1 – x = –2x + 1, па ово јесте линеарна функција:

Пример 3

uk a

k = –2, n = 1. е) Није линеарна функција. 1 ж) Из 3y – x = 6 добијамо 3y = x + 6, па је y = x + 2, дакле, јесте линеарна функција: 3 1 k = , n = 2. 3

Ed

7 Одредићемо коефицијент правца линеарне функције y = kx + 0,5 тако да уређени пар (1, ) 2 буде пар одговарајућих вредности ове линеарне функције. Решење: 7 Мора бити испуњена једнакост = k ∙ 1 + 0,5, одакле, решавањем једначине, добијамо да 2 је k = 3. График линеарне функције Дефиниција 2 Скуп свих тачака A(x0, y0 ) координатног система за које важи y0 = k ∙ x0 + n чини �рафик линеарне функције y = k ∙ x + n. График линеарне функције је �рава.

184


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Пример 4 Нацртаћемо график функције y =

1 x – 1. 2

Решење: На основу Дефиниције 2 бирамо произвољно вредности из скупа реалних бројева за независну променљиву x. Заменом вредности независно променљиве у формулу којом је задата функција, добијамо редом вредности зависно променљиве y: 1 1 y = (–2) – 1 y = (–4) – 1 2 2 y y=–2–1 y=–1–1

y

–4 –3

–2 –2

0

–1

Довољно је да одредим две тачке које припадају графику да бих га нацртао!

2 0

1

–4

–3

–2

–1

0

1

o

x

y=–2

pr om

y=–3

–1

2

x

–2 –3

uk a

У координатном систему означићемо тачке чије су координате (–4, –3), (–2, –2), (0, –1), (2, 0), па је права која их садржи график дате функције.

ВЕЖБАМО

Богдан штеди новац за нови таблет. Тренутно има 1600 динара. Сваког месеца он уштеди 1000 динара. а) Колико пара ће имати после x месеци? б) После колико месеци ће моћи да купи таблет који кошта 18000 динара?

Ed

1.

Функција штедње?

а) Број месеци у којима Богдан штеди новац означићемо са x (независна променљива). Ако сваког месеца уштеди 1000 динара, то значи да ће за два месеца уштедети 2 ∙ 1000, за 3 месеца 3 ∙ 1000, за 5 месеци 5 ∙ 1000, за x месеци уштедеће ............... динара. Како већ има ............... динара, за x месеци ће укупно имати 1600 + ................ Ако са y означимо укупну количину новца (зависна променљива) који ће Богдан имати након x месеци, формулом y = .......... x + .......... можемо израчунати колико је Богдан укупно имао новца након 2, 3, 4, 5… месеци штедње. б) Ако укупну суму новца означимо са y, то значи да из формуле 18000 = .......... x + .......... одређујемо колико је месеци Богдану потребно да штеди како би купио таблет. 185


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

2.

Ана се вози таксијем до другарице која је на другом крају града. Таксиста наплаћује старт 70 динара, а сваки пређени километар 60 динара. а) Колико ће Ану коштати вожња ако је од другарице удаљена 3 km? б) Колико Ана треба да плати вожњу ако треба да пређе x километара? в) Ана се није дуго задржавала код другарице, па је замолила таксисту да је сачека. Таксиста чекање наплаћује 400 динара за сат времена. Ако се Ана задржала пола сата, а након тога таксијем вратила кући, колико је укупно новца издвојила за такси, рачунајући долазак, чекање таксисте и одлазак?

3.

pr om

o

1 Нацртај график функције y = x + 1 тако што ћеш одредити две различите тачке које му 4 припадају.

Проверавамо своје знање (5 минута)

2.

Којом од формула је задата линеарна функција? 4 1 а) y = x; б) –y = x2; в) y = ; г) y = – ∙ (x + 1). x 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

1.

За линеарну функцију y = –x важи: а) k = –1, n = 1;

б) k = –1, n = 0;

в) k = 1, n = –1.

3.

Ed

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

(Заокружи тачан одговор.)

4.

� a

На слици је приказан график функције 1 y = x + 1. 2 ДА НЕ –3

y

–2

–1

2 1

0

–1

1

2

x

� Транслацијом графика са претходне слике за вектор a добија се график функције директне пропорционалности. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 186


ЕКСПЛИЦИТНИ И ИМПЛИЦИТНИ ОБЛИК ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ. ПАРАЛЕЛНОСТ ГРАФИКА ЛИНЕАРНИХ ФУНКЦИЈА

o

Datum: 21. 11. 2016. Vreme: 18.32 Sto #: 24 Br. gostiju: 5 Konobar: Semi Art. Kol. Suma ---------------------------------------------------Nescafe 3 Topla čokolada 2 ---------------------------------------------------Ukupno: 540,00

pr om

Фискални рачун Петоро колега је после посла отишло у кафић. Њих троје је пило хладни нес, док је двоје наручило топлу чоколаду. Када су погледали рачун, приметили су да се мало кафе просуло по ценама, а могао се видети само укупан износ за плаћање. Саставићемо једнакост којом је могуће описати овај рачун. Ако са x означимо цену за један хладни нес, а са y цену једне топле чоколаде, тада ће важити 3x + 2y = 540. Ситуацију из кафића смо представили помоћу једначине са две непознате.

Научићеш да преводиш линеарну функцију из експлицитног у имплицитни облик и обрнуто и да препознаш линеарне функције чији су графици паралелне праве.

Слика 1

3x + 2y = 540

|–3x 1 |∙ 2

Ed

2y = –3x + 540 3 y = – x + 270 2

uk a

Приметимо да последња једнакост представља и везу између променљивих x и y, коју можемо трансформисати. Ако желимо једнакост која директно рачуна цену једне топле чоколаде (или цену једног неса) када је позната цена другог напитка, рачунали бисмо на следећа два начина: 3x + 2y = 540

3x = –2y + 540 2 x = – y + 180 3

|–2y 1 |∙ 3

Примећујеш да, уколико једну од променљивих (нпр. x ) прогласимо независном, а другу ( y ) 3 зависном, једнакост y = – x + 270 представља линеарну функцију. 2 3 Како смо једнакост 3x + 2y = 540 трансформисали у y = – x + 270, једнакост 2 3x + 2y = 540 одређује линеарну функцију. Задатак 1

Докажи да једнакост ax + by + c = 0; a, b, c ∈ R, b ≠ 0 одређује линеарну функцију облика a c y=– x– . b b

187


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Експлицитни и имплицитни облик линеарне функције Дефиниција 1 За дату линеарну функцију облика y = k ∙ x + n; k, n ∈ R кажемо да је задата у свом екс�лици�ном облику. Ако је линеарна функција одређена једнакошћу ax + by + c = 0; a, b, c ∈ R, b ≠ 0, онда кажемо да је она задата у свом им�лици�ном облику. Пример 1

uk a

pr om

o

Одредићемо вредност реалног броја a у једнакости 2x – 5y – (1 – a) = 0, тако да график линеарне функције одређене овом једнакошћу садржи тачку A(1, –1). Одредићемо и коефицијент правца те линеарне функције. Решење: Једнакост 2x – 5y – (1 – a) = 0 представља линеарну функцију задату у имплицитном облику. Заменом одговарајућих координата тачке A(1, –1) добијамо једначину по непознатој a: 2 ∙ 1 – 5 ∙ (–1) – (1 – a) = 0, одакле је a = –6. Сада је имплицитни облик линеарне функције 2x – 5y – 7 = 0. Да бисмо одредили коефицијент правца ове линеарне функције, потребно је да одредимо њен експлицитни облик. 7 2 Из 2x – 5y – 7 = 0 добијамо –5y = –2x + 7, одакле је y = x – . Из последње једнакости 5 5 2 једноставно одређујемо коефицијент правца k = . 5

Ed

Видели смо да за b ≠ 0 једнакост ax + by + c = 0 одређује линеарну функцију. У случају када је b = 0, јасно је да немамо линеарну функцију. Тада се једнакост c ax + by + c = 0 своди на ax + 0 ∙ y + c = 0, одакле је x = – , дакле, добијамо једнакост облика a x = d, где је d реалан број. Како изгледају тачке у равни одређене нпр. једнакошћу x = 2? То је скуп свих тачака координатног система чија је x координата једнака 2. На Слици 2 приказане су једначине правих x = 2 и x = –1. Права x = 0 је y-оса. Праве облика x = d; d ∈ R, паралелне су y-оси.

y(x = 0)

x = –1 –2

–1

2 1

0

–1

x=2 1

Слика 2

188

2

x(y = 0)


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Паралелност графика линеарне функције

pr om

o

У програмском пакету Геогебра, скицирали смо графике функција:

Ed

uk a

Слика 3

Слика 4 Упореди коефицијенте правца датих функција и пажљиво погледај њихове графике, а затим допуни реченице тако да исказ буде тачан. Коефицијенти правца функција на истој слици су ................................................., а њихови графици су .................................................. Теорема 1 Графици линеарних функција чији су кеофицијенти правца једнаки јесу паралелне праве. 189


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Пример 2

� v

pr om

o

Одредићемо експлицитни облик линеарне функције чији график настаје транслацијом � 1 графика функције y = x – 1 за одређени вектор v и садржи тачку A(–1, 1). 2 Решење: У Геогебри смо приказали график дате функције плавом бојом, а график тражене линеарне функције приказан је црвеном бојом.

Слика 5

Тражену линеарну функцију записаћемо у облику y = k ∙ x + n.

uk a

Како је црвени график добијен транслацијом плавог графика за неки вектор, ови графици

Ed

морају бити паралелни. На основу претходног тврђења закључујемо да су коефицијенти 1 правца ових линеарних функција једнаки. Дакле, k = . Како тачка A(–1, 1) припада графику, 2 заменом одговарајућих вредности, добијамо једначину са променљивом n: 1 3 1 3 1 = ∙ (–1) + n, чије је решење n = . Тражена линеарна функција је y = x + . 2 2 2 2

Пример 3

Одреди вредност реалног броја m тако да графици функција y =

y = 8mx + 5 – x буду паралелне праве. Решење:

1 mx – 1 и 3

1 1 mx – 1 је k1 = m. Како је 3 3 y = 8mx + 5 – x = (8m – 1)x + 5, важи да је k2 = 8m – 1. Услов паралелности графика линеарне Коефицијент правца линеарне функције y =

функције је да имају једнаке коефицијенте праваца, тј. мора бити k1 = k2. Одавде добијамо једначину по непознатој m: 1 3 m = 8m – 1, чије је решење m = . 3 23 190


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

ВЕЖБАМО

2.

Запиши следеће линеарне функције у експлицитном облику: а) x + y + 2 = 0, 4x – 3y г) = –2, 12

Подсети се у лекцији, а затим запиши експлицитни облик линеарне функције: y = ........... + ............ Како тачка В припада графику, тачна је једнакост: –4 = 2k + ............ Даље је 2k = ........... + 1,2, па је k = ............ Експлицитни облик ове функције је y = ........... + ............ Имплицитни облик функције је a ........ + b ........ + c = 0. Покушај да задатак до краја решиш самостално.

pr om

Одреди вредност реалног броја p, тако да графици линеарних функција 2p + 1 y = (–1 + p)x + 35 и y = – x – 3√71 буду паралелне праве. 4

uk a

4.

в) 4x – 2y – 6 = 0,

Тачка B(2, –4) припада графику линеарне функције чији је слободни члан 1,2. Одреди њен имплицитни облик.

Експлицитно, имплицитно?

3.

б) 5x – y – 3 = 0, 1 д) 5y – + √3 ∙ x = 1. 6

o

1.

Одреди линеарну функцију чији график садржи тачку A(1, 2) и паралелан је графику функције 6x + 2y – 34 = 0.

1.

2.

3.

4.

Ed

Проверавамо своје знање (5 минута)

Експлицитни облик линеарне функције 4x – 2y + 8 = 0 је y = 2x – 4. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Линеарне функције y = 3x – 1 и y = 4x + 5 – x имају једнаке коефицијенте правца. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 1 Графици линеарних функција y = x + 3 и 4y – 2x + 17 = 0 паралелне су праве. 2 ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Графици функција y = –2mx и y = (m + 6)x – 357 су паралелне праве за: а) m = –2; б) m = 2; в) m = 1. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

191


НУЛА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ

pr om

Гигабајт Никола располаже са 100 гигабајта интернета које користи у пословне сврхе. Дневно користи 4 гигабајта. а) Одредићемо формулу која ће Николи помоћи да проверава и контролише преостали број гигабајта након одређеног броја дана. б) Апликација обавештава Николу када потроши 50% података и када потроши све. После колико дана ће Николи стићи ова обавештења?

o

Научићеш да одредиш нулу линеарне функције и пресечне тачке њеног графика са координатним осама.

uk a

а) Ако са y означимо број преосталих гигабајта након x дана, тада је y = 100 – 4x, тј. y = –4x + 100. Добијену зависност можемо посматрати као линеарну функцију. б) Како је 50% ∙ 100 = 50, потребно је да израчунамо вредност променљиве x за коју је y = 50. Добијамо: 50 = –4x + 100, одакле је x = 12,5. Дакле, после 12 дана и 12 сати, апликација шаље Николи прво обавештење. Друго обавештење стиже када се потроше сви гигабајти. Дакле, потребна нам је вредност променљиве x за коју је y = 0, тј. 0 = –4x + 100, одакле је x = 25. Дакле, после 25 дана ће Никола добити обавештење да је потрошио све гигабајте. У општем случају, за линеарну функцију y = kx + n значајна је вредност променљиве x за коју је y = 0.

Ed

Нула функције

Дефиниција 1

Вредност независно променљиве x за коју је вредност линеарне функције y = kx + n; k, n ∈ R једнака нули назива се нула функције. Нула линеарне функције y = 3x + 3 (Слика 1) је x координата тачке A(–1, 0), односно решење једначине 0 = 3x + 3.

y(x = 0)

9

y = 3x + 3

6 3

3 y= 2 x–3

A(–1, 0) B(2, 0) –2 –1 0 1 2 3 –3

Слика 1 192

x(y = 0)


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

3 x – 3, а затим запиши одговарајућу једначину и провери „Прочитај” нулу функције y = 2 решење. Другим речима, нула линеарне функције је x координата пресечне тачке графика функције и ............................................. (допуни тако да исказ буде тачан). За линеарну функцију y = k ∙ x + n; k, n ∈ R одредићемо координате пресечне тачке A њеног графика са x-осом. Како пресечна тачка припада x-оси, мора бити y = 0. Координата x те n тачке је решење једначине 0 = kx + n, одакле је x = – . k n Дакле: Тачка A(– , 0) је �ресечна �ачка �рафика линеарне функције y = k ∙ x + n; k, n ∈ R k n са x-осом. Нула �е линеарне функције је x0 = – . k Вратимо се на претходни пример. Представимо табелом број дана и број преосталих гигабајта:

100

10 60

15 40

20

25

o

y = –4x + 100

0

20

0

pr om

x

Координата x тачке M(25, 0), тј. x = 25 представља нулу функције y = –4x + 100. Пре коришћења интернета (број протеклих дана је једнак нули), Никола је имао y = –4 ∙ 0 + 100 = 100 гигабајта. Решење ове једначине је ордината тачке N(0, 100), дакле, вредност зависно променљиве y за коју је x = 0. За x = 0 вредност променљиве y у линеарној функцији y = k ∙ x + n; k, n ∈ R је y = k ∙ 0 + n, тј. y = n.

Ed

uk a

Дакле, слободни члан ове линеарне функције је y координата пресечне тачке њеног графика са y-осом. Тачка B(0, n) је �ресечна �ачка �рафика линеарне функције y = k ∙ x + n; k, n ∈ R са y-осом. Пример 1

За линеарну функцију 2y – 8x + 1 = 0 одредићемо пресечне тачке са координатним осама и скицирати њен график. Решење: Експлицитни облик ове линеарне функције је 1 1 y = 4x – , дакле, k = 4 и n = – . Како је 2 2 1 – 1 n 2 = , то су пресечне тачке са x и y – =– 8 4 k 1 1 осом редом тачке A⎧ , 0⎫ и B⎧0, – ⎫ . Сада 2⎭ ⎩8 ⎭ ⎩ можемо нацртати график. Види Слику 3.

y(x = 0)

A(– n , 0) k

B(0, n) 0

1

x(y = 0)

Слика 2

y(x = 0) 0 1 8 – 1 2

1

x(y = 0)

Слика 3 193


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

y(x = 0)

Шта је пресек графика линеарне функције и x-осе када је k = 0?

y=n 0

3.

pr om

o

x(y = 0)

Одреди нуле следећих линеарних функција: 5x – 3 = y. а) y = –3x – 2; б) 5x – 2y + 7 = 0; в) 2

Одреди координате пресечне тачке графика функција и координатних оса, а затим скицирај одговарајући график. 3 а) y = x + 2; б) y = x – 2; в) 4x – 3y – 2 = 0. 2

uk a

2.

y=0

За n = 0 добијамо праву y = 0, која се поклапа са x-осом, па је њихов пресек скуп свих тачака x-осе.

1 Нула линеарне функције је x0 = , а коефицијент правца k = –5. Одреди експлицитни 5 облик ове функције и скицирај њен график.

Ed

1.

x(y = 0)

y(x = 0) 0

ВЕЖБАМО

Када је n ≠ 0, права y = n је паралелна x-оси, па је њихов пресек празан скуп.

Проверавамо своје знање (5 минута)

1.

2.

3.

4.

Решење једначине 0 = 5x – 17 је нула функције y = 5x – 17. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Нула линеарне функције y = –x + 5 је x = –5. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) График линеарне функције y = 17x + 354 сече y осу у тачки A(0, 354). ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Две различите линеарне функције које имају исту нулу могу имати паралелне графике. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 194


Научићеш да разликујеш растуће и опадајуће линеарне функције.

РАСТ И ОПАДАЊЕ ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ

Буџет а) Јелена штеди новац од џепарца за екскурзију. Одлучила је да се одрекне грицкалица и слаткиша које купује свакодневно. Она на тај начин штеди 200 динара дневно. Ако Јелена већ има уштеђевину од 1000 динара, записаћемо формулу која Јелени помаже да рачуна количину новца коју штеди. Представићемо табелом штедњу по данима на недељном нивоу. Означимо са y количину новца којом Јелена располаже, а са x број дана. Тада је: y = 1000 + 200x, тј. y = 200x + 1000. 1

1200

x

1

3

4

5

1400 1600 1800

6

7

2000 2200 2400

pr om

y = 200x + 1000

2

o

x

б) Марко је издвојио 6000 динара за куповину на пијаци за одређени период. Сваког дана он потроши просечно 150 динара на куповину воћа и поврћа. Записаћемо формулу која описује Марков буџет. Представићемо табелом потрошњу по данима на недељном нивоу. Ако користимо ознаке као у делу под а), биће: y = 6000 – 150x, тј. y = –150x + 6000. 5850

3

4

5700 5550 5400

uk a

y = –150x + 6000

2

5

6

7

5250 5100 4950

Ed

Можемо да приметимо да, када Јелена штеди новац, вредности зависно променљиве се повећавају са повећањем вредности независно променљиве (уштеда расте из дана у дан). С друге стране, у случају Маркове потрошње, вредност зависно променљиве се смањује са повећањем вредности независно променљиве (количина новца се смањује услед свакодневне потрошње). Уопштено, претходна два случаја која смо анализирали случајеви су растуће и опадајуће линеарне функције. Раст и опадање линеарне функције Дефиниција 2 Линеарна функција је рас�ућа ако повећање независне променљиве доводи до �овећања зависно променљиве. Линеарна функција је о�а�ајућа ако повећање независне променљиве доводи до смањења зависно променљиве. Можемо ли на основу експлицитних облика линеарних функција y = 200x + 1000 и y = –150x + 6000 закључити која је од њих растућа, а која опадајућа?

195


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Пример 1 На Слици 1 приказани су графици две растуће линеарне функције, док су на Слици 2 приказани графици две опадајуће линеарне функције. y(x = 0)

y(x = 0)

3 y= 2 x+3

6

y = 3x – 2

1

–2 –1 0 1 2 3 –2

Слика 1

y = –x – 2 x(y = 0)

y = –2x + 6

3

–2 –1 0 1 2 3 –3

x(y = 0)

pr om

4 3

o

6

Слика 2

Коефицијенти правца растућих функција су позитивни бројеви, док су коефицијенти правца опадајућих функција негативни бројеви.

uk a

Услов под којим функција расте или опада Дата је линеарна функција y = k ∙ x + n; k, n ∈ R. Нека су A(x1, y1) и B(x2, y2) произвољне тачке са графика те линеарне функције, тако да је x1 > x2. Нека је k > 0.

Ed

Множењем неједнакости x1 > x2 са k добијамо kx1 > kx2, одакле, додавањем слободног члана добијамо kx1 + n > kx2 + n, па је y1 > y2. Дакле, повећање вредности независне променљиве доводи до повећања вредности зависне променљиве, па је према Дефиницији 2, функција растућа. На исти начин, у случају k < 0, из x1 > x2 добијамо y1 < y2, па је функција у том случају опадајућа.

У случају када је k = 0, добијамо y = 0 ∙ x + n, па је y = n. Ова функција увек има исту вредност (n). Такву функцију називамо конс�ан�ном функцијом. Она није ни растућа ни опадајућа. Теорема 2

Линеарна функција y = k ∙ x + n; n ∈ R чији је коефицијент правца позитиван реалан број (k ∈ R, k > 0) јесте рас�ућа. Линеарна функција y = k ∙ x + n; n ∈ R чији је коефицијент правца негативан реалан број (k ∈ R, k < 0) јесте о�а�ајућа. У случају када је k = 0, функција је конс�ан�на. 196


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Пример 2 Испитаћемо да ли је функција 4x – 5y + 1 = 0 растућа или опадајућа. Решење: 4 1 4 Експлицитни облик ове линеарне функције је y = x + . Како је k = > 0, ова функција је 5 5 5 растућа.

Пример 3

ВЕЖБАМО

2.

Које од следећих функција су растуће, које опадајуће, а које константне? а) y = x + 1;

б) y = –3x + 17;

в) 7x + 6y – 1 = 0;

г) y = –3√3.

Одреди вредност највећег природног броја m за које је линеарна функција m y = ⎧2 – ⎫ x + 1 растућа. За тако добијено m скицирај график функције. 2⎭ ⎩

Прочитај Дефиницију 2 у овој лекцији. Услов да функција расте је да k ........ 0. Коефицијент правца дате функције је k = ......... Скуп решења ове неједначине је ......................... Највећи природан број који задовољава неједнакост је ................. Покушај да тачно завршиш задатак.

Ed

Помоћ?

uk a

1.

pr om

o

Одредићемо вредност реалног броја p тако да линеарна функција y = (2p + 8)x – 17 буде опадајућа. Решење: Функција је опадајућа када је њен коефицијент правца негативан, тј. k < 0. Одавде добијамо неједначину 2p + 8 < 0, одакле је p < –4.

3. Коефицијент правца опадајуће линеарне функције решење је једначине 0,5 – Ако график те функције садржи тачку A(–2, 3), одреди ту функцију.

x2 = –40. 2

197


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Проверавамо своје знање (5 минута)

o

4.

Линеарна функција y = (2m + 7)x + 3 за m = –3 је: а) растућа; б) опадајућа. (Заокружи слово испред тачног одговора.) Скуп реалних вредности m за које је линеарна функција y = –2mx – 2 опадајућа је: (Заокружи слово испред тачног одговора.) а) (–∞, 0); б) (0, +∞); в) (–2, +∞).

pr om

3.

Линеарна функција y = 4x + 1 – 5x је растућа. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

uk a

2.

Функција y = –x + 5 је опадајућа. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ed

1.

198


Научићеш да одредиш знак линеарне функције, скицираш њен график и испиташ њен ток.

ЗНАК ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ. ИСПИТИВАЊЕ ГРАФИКА

Тренутно стање –7500

јануар фебруар –6000

–4500

pr om

o

Дозвољени минус Марку је банка у којој има отворен рачун дозволила да узме једну плату унапред, тј. оде у тзв. дозвољени минус. Тренутно стање на његовом рачуну је –7500 динара. Сваког наредног месеца, почев од јануара, решио је да уплаћује исти износ, како би измирио своје дуговање и наставио да штеди. У табели је приказано стање на рачуну за период јануар–јун. Одредићемо износ који је Марко уплаћивао сваког месеца. Ако са x означимо број месеци, а са y тренутно стање на рачуну, одредићемо формулу по којој се то стање обрачунава. Одредићемо у ком периоду је Марко био „у минусу”, када је био „на нули” и у ком периоду је био „у плусу”? март

април

мај

јун

јул

август

–3000

–1500

0

1500

3000

4500

Ed

uk a

Апсолутна вредност разлике било које две суседне суме доводи нас до износа који је Марко уплаћивао сваког месеца. Тај износ је 3000 – 1500 = 1500 динара. Према наведеним условима, важи: y = –7500 + 1500x, тј. y = 1500x – 7500. Из табеле једноставно одређујемо негативне вредности са Марковог рачуна. То је случај у месецима: јануар, фебруар, март и април. У мају, Марко није више имао дугове и тада је стање на његовом рачуну било нула. Наредних месеци, на рачуну су се нашле позитивне вредности, и то у јуну, јулу и августу.

x

y = 1500x – 7500

1

–6000

нула функције 2

–4500

3

–3000

4

–1500

негативне вредности зависне променљиве y<0

Слика 1

5 0

y=0

6

1500

7

3000

8

4500

позитивне вредности зависне променљиве y>0

На Слици 1 табелом су приказане вредности променљиве y за x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Нула ове линеарне функције раздваја негативне и позитивне вредности зависне променљиве. За x < 5 важи y < 0, тј. важи неједнакост 1500x – 7500 < 0 у скупу природних бројева (провери). 199


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Слично, за x > 5 важи y > 0, тј. важи неједнакост 1500x – 7500 > 0 у скупу природних бројева. За x = 5, добијамо y = 0.

3000 2000 1000

Ово је био пример растуће линеарне функције. Посматрајмо сада опадајућу линеарну функцију 3 y = – x + 3. Одредимо, најпре, нулу ове функције. 2 3 x + 3 добијамо x = 2. Из 0 = – 2 3 x+3 2

6

0 3

2

0

4

–3

0 1 2 3 4 5 6 7 –1000 ––––––– –2000 –3000 –4000

Слика 2

6

–6

3

uk a

Ed

У табели су приказани могући случајеви у зависности од знака коефицијента правца.

y(x = 0) Поново имамо специјалан случај када је k = 0.

200

–2 –1

3 y=– 2 x+3

0 1 2

x(y = 0) –––––––

Слика 3

y=k∙x+n

k>0 k<0

За x < x0 важи y < 0, тј. k ∙ x + n < 0

За x > x0 важи y > 0, тј. k ∙ x + n > 0 За x < x0 важи y > 0, тј. k ∙ x + n > 0 За x > x0 важи y < 0, тј. k ∙ x + n < 0

y = n(n > 0) 0

y(x = 0)

+++++++

За x < 2 важи y > 0, док за x > 2 важи y < 0. Знак зависне променљиве y приказан је на Слици 3. Када смо одредили вредности независне променљиве за које је зависна променљива позитивна, односно негативна, кажемо да смо одредили знак те линеарне функције. Одредићемо знак линеарне функције у општем случају y = k ∙ x + n; k, n ∈ R. Нека је x0 нула ове линеарне функције.

x(y = 0)

o

y=–

–2

+++++++

pr om

x

y(x = 0)

y=0

x(y = 0) y = n(n < 0)

Тада се линеарна функција своди на y = n. Њен знак заправо зависи од знака слободног члана.


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Пример 1 Скицираћемо график и испитаћемо знак функције 0,5y + x + 1 = 0. Решење: Експлицитни облик ове линеарне функције је y = –2x – 2, а њена нула је x = –1. Како је ова функција опадајућа, знак одређујемо на следећи начин: За x < –1 важи y > 0, док за x > –1 важи y < 0.

3

y = –2x – 2

0 1 2 3

–2 –1 –3

x(y = 0)

Слика 4

pr om

o

Пример 2

Одредићемо експлицитни облик линеарне функције чији је график задат на Слици 5. Решење: Линеарну функцију одређујемо у облику y = k ∙ x + n; k, n ∈ R. На основу података са слике, закључујемо да је n = –√3 и да график ове функције садржи тачку A(1,5; 0). Заменом одговарајућих вредности добијамо једначину по k: 0 = k ∙ 1,5 – √3, чије је решење 2√3 k= . Тражена линеарна функција је 3 2√3 y= x – √3. 3

y(x = 0)

1

y(x = 0)

0

1 1,5

x(y = 0)

–√3

uk a

Слика 5

1.

2.

Ed

ВЕЖБАМО

Скицирај графике и испитај знак следећих линеарних функција: 4x – 2y – 1 = –1; г) y = –x + √2. а) 3y – 4x –2 = 0; б) –3 = y; в) 4

Одреди експлицитни облик линеарних функција чији су графици приказани на слици. a) y(x = 0) 2 1 –2,5

1

б) 2,4

y(x = 0)

1 0

x(y = 0)

0

1

1,2

x(y = 0)

201


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

3.

4.

(Заокружи слова испред тачних одговора.)

За функцију y = –8 важи да је: а) увек позитивна; б) увек негативна; в) има и позитивне и негативне вредности. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

2.

За линеарну функцију y = –x + 1 важи: а) за x > 1 је y > 0; б) за x > 1 је y < 0; в) за x > 5 је y < 0; г) за x < 1 је y < 0.

Линеарна функција има слободни члан n = 5 и нулу x0 = 7. За x < 7 важи y < 0. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ed

1.

pr om

Проверавамо своје знање (5 минута)

o

Помоћ?

а) Подсети се експлицитног облика линеарне функције у уџбенику. Функција је одређена коефицијентом правца ........ и ........................ n те функције. Тачка у којој график функције сече осу y има координате В(0, ........), то значи да је n = ........, a функција има облик y = kx + ......... Остаје још да одредимо ......... Пресечна тачка графика са x-осом је A(........, 0) (можеш поново да прочиташ нулу функције). Како тачка A припада графику, решавањем једначине 0 = ........x0 + 2 одређујемо коефицијент правца ......... Функција чији је график приказан је y = ........ +.........

Највећи природан број за који је функција y = –x + 3 позитивна јесте: а) 2; б) 1; в) 3. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

202


Научићеш да примењујеш линеарну функцију у геометрији.

ПРИМЕНА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ

Једна од важних примена линеарних функција јесте примена у геометрији. Површине неких фигура могуће је представити као линеарну зависност. Такође, уз помоћ графика линеарних функција може се, на једноставан начин, одредити површина фигуре коју они ограничавају. Пример 1 h

16 cm2

h

o

На наспрамним страницама квадрата са Слике 1 конструисани су подударни једнакокраки троуглови. Одредићемо површину добијене фигуре у зависности од висине троугла h.

Слика 1

Пример 2

uk a

pr om

Решење: Основица једнакокраког троугла је страница квадрата. Како је површина квадрата једнака 16 cm2, закључујемо да је његова страница a = 4 cm. 1 1 Површина једног троугла биће P∆ = ah = ∙ 4h = 2h. 2 2 Површина фигуре је P = 2 ∙ P∆ + 16, тј. P = 4h + 16. Последњу једнакост можемо посматрати и као линеарну функцију независно променљиве h и зависно променљиве P. Коефицијент правца ове линеарне функције је k = 4 и слободни члан n = 16. y(x = 0)

Ed

Одредићемо површину троугла ограниченог B 5 графиком линеарне функције 4y – 5x – 20 = 0 и координатним осама. Решење: Експлицитни облик ове линеарне функције је A 5 y = x + 5. O –4 x(y = 0) 4 Тражени троугао је ∆AOB (Слика 2). Овај троугао је правоугли са катетама AO = 4, BO = 5, па је 1 Слика 2 P = ∙ 4 ∙ 5 = 10. 2 На�омена: У координатном систему јединична дуж је јединица мере, па за дужине дужи и површине користићемо само одговарајуће бројевне вредности. Пример 3 Одредићемо обим и површину троугла ограниченог графицима линеарних функција √3 y = –x + 2 и y = x + 2 и x-осом, као и углове које ови графици заклапају са у-осом. 3

203


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Решење: Посматрамо троугао ∆ABC (Слика 3). Његова површина је једнака 1 P = ∙ 2 ∙ (2√3 + 2) = 2√3 + 2 = 2 ∙ (√3 + 1). 2 На основу Питагорине теореме, важи: AC = 4 и BC = 2√2, па је обим једнак O = 2 ∙ (3 + √2 + √3). Тражени углови су ∢ACO = 60°, док је ∢BCO = 45°. Образложи зашто.

y(x = 0)

C 2

√3 y= 3 x+2

A –2√3

y = –x + 2

B 2 x(y = 0)

O

Слика 3

Пример 5

uk a

pr om

Одредићемо површину четвороугла ограниченог правама: y = x + 1, y = 0, x = 4 и y = 4. Решење: Тражени четвороугао је трапез, чије су основице AB = 5 и DC = 1, а висина BC = 4. Површина трапеза је AB + DC 5+1 P= ∙ BC = ∙ 4 = 12. 2 2 Решење провери у Геогебри помоћу опције area.

o

Пример 4

y(x = 0)

Ed

График функције y = x – 1 ротира за угао од 15° око тачке N(1, 0) у смеру супротном кретању казаљке на сату. Одредићемо линеарну функцију чији је график права која настаје том ротацијом. Решење: Троугао ∆OBN (Слика 5) је једнакокрако-правоугли (OB = ON), па је његов оштар угао 45°. Због тога је угао између графика функције y = x – 1 и позитивног дела x-осе једнак 45°. Након ротације, угао између црвене праве и позитивног дела x-осе биће једнак 60°. Сада, унутрашњи углови троугла ∆AON износе 30°, 60°, 90°, па је OA = √3. Зашто?

Слика 4

15°

y=x–1

0

–1 B

–√3

N 1

45°

x(y = 0)

A

Слика 5

Како црвени график сече y-осу у тачки A(0, –√3), њен слободни члан је n = –√3. Тражена линеарна функција садржи тачку N(1, 0) и изражена је обликом y = √3 x – √3. 204


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

ВЕЖБАМО 1.

Одреди обим и површину троугла који график функције y = 2x – 4 образује са координатним осама.

Одреди површину четвороугла ограниченог правама y = 4x + 2, y = 4x – 2, y = 1, y = –1.

Права y = 2 ротира око тачке N(0, 2) за угао 60° у оба смера кретања казаљке на сату. Одреди једначине тако добијених правих.

Ed

4.

pr om

3.

Над страницом a једнакостраничног троугла конструисан је правоугаоник чија је једна страница једнака a, док друга има дужину 1 cm. Одреди формулу за одређивање обима настале фигуре у зависности од: а) странице a; б) полупречника круга уписаног у тај троугао; в) висине тог једнакостраничног троугла.

uk a

2.

Подсети се како се црта график линеарне функције, а затим нацртај прецизно график дате функције. Одреди површину правоуглог троугла који је одређен координатним осама и графиком дате линеарне функције.

o

Изгледа тешко?

Пројектни задатак За израду плана пројектног задатка користи структуру која је дата у оквиру првог пројекта.

кат

је Про

Тренинг по мери сваког Од интензитета тренинга зависи на који ће се начин обликовати тело. Поред интензитета, јако је важан интервал у коме се креће пулс у току тренинга. У�у�с�во: Користећи Карвоненову формулу искористи зависност пулса вежбача од интензитета тренинга. Направи план тренинга. Пре�ло� за вежбаче: Правити посебан план за дечаке и девојчице.

205


Ed

uk a

pr om

o

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

206


Ed

uk a

pr om

o

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ


Научићеш да одредиш скуп решења линеарне једначине са две непознате и дефинишеш систем линеарних једначина и његово решење.

ПОЈАМ И РЕШЕЊЕ ЈЕДНАЧИНЕ С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ. ПОЈАМ СИСТЕМА

pr om

o

Пливање и стони тенис Богдан тренира пливање и стони тенис. Пливање тренира три пута недељно, а стони тенис два пута. Његовог друга Николу интересује колико времена посвећује сваком тренингу, јер размишља да му се придружи. Богдан му је одговорио следеће: Укупно проводим 12 сати недељно тренирајући. Да ли ти је то довољно да закључиш колико ми трају тренинзи? Никола је размишљао овако: „Ако са x означим трајање једног тренинга пливања у сатима, а са y трајање једног тренинга стоног тениса (такође у сатима), добијам једнакост 3x + 2y = 12. Добио сам једначину са две непознате.

Ed

uk a

Не могу тачно да одредим вредности за x и y. Покушао сам неколико пута: Ако је нпр. x = 3, онда важи 3 ∙ 3 + 2y = 12, одакле добијам да је y = 1,5. Дакле, ако тренинг пливања траје 3 сата, онда стони тенис тренираш сат и по. Још једна могућност је ова: За x = 2,5 важи 3 ∙ 2,5 + 2y = 12, одакле добијам да је y = 2,25. Дакле, уколико ти пливање траје 2 h 30 min, онда стони тенис траје 2 h 15 min”. Богдан га је прекинуо питањем: „Колико таквих могућности постоји?”. „Изгледа бесконачно много”, одговори Никола. Линеарна једначина са две непознате Дефиниција 1 Једнакост у којој се јављају тачно две непознате називамо је�начином са �ве не�озна�е величине. Решење једначине са две непознате x и y јесте уређени пар (x0, y0), x0 ∈ R, y0 ∈ R, такав да, заменом одговарајућих вредности (x са x0, y са y0), једначина се претвара у тачну бројевну једнакост. Скуп свих оваквих парова представља ску� решења �е је�начине.

208


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

pr om

o

Из Богдановог и Николиног разговора видели смо да једнакост 3x + 2y = 12 представља једначину са две непознате x и y. Разматрања која је спровео Никола доказују да су уређени парови (3; 1,5) и (2,5; 2,25) решења ове једначине. Слично можемо закључити да су и уређени парови (2, 3) и (1; 4,5) такође решења ове једначине. У општем случају, оваквих уређених парова има бесконачно много, тј. једначина 3x + 2y = 12, за x, y ∈ R има бесконачно много решења. Како ова решења можемо скуповно записати? 3 Из 3x + 2y = 12, добијамо y = – x + 6, па сва 2 3 решења једначине имају облик (x, – x + 6), y(x = 0) 2 при чему је x ∈ R. Наиме, за сваку вредност 6 променљиве x добијамо вредност променљиве y. 3 y=– 2 x+6 Ови уређени парови одговарају тачкама са 3 графика линеарне функције y = – x + 6. На 2 Слици 1 приказан је њен график. 0 4 x(y = 0) Како је скуп свих тачака са овог графика уједно и скуп решења одговарајуће једначине са две непознате, можемо рећи да смо на овај начин �рафички представили тај скуп решења. Слика 1 Пример 1

Ed

uk a

Једнакост –2x2 + y – 1 = 0 представља једначину са две непознате. Ако ставимо x = x0, добијамо y = 2x02 + 1, па су решења ове једначине одређена скупом {(x0, 2x02 +1) | x0 ∈ R}. Уређени парови (1, 3) и (–1, 3) су решења ове једначине, док уређени пар (0, 2) то није. (Провери!) Како једнакошћу –2x2 + y –1 = 0 није одређена линеарна функција, решења те једначине нећемо приказивати графички. Еквивалентне једначине са две непознате Тврђења везана за једначине са једном непознатом важе и за једначине са две непознате. Дефиниција 2 За две једначине са две непознате које имају једнаке скупове решења, кажемо да су еквивален�не. Дефиниција 3 Једначина са две непознате која се еквивалентним трансформацијама може свести на једначину облика ax + by + c = 0; a, b, c ∈ R, назива се линеарна је�начина са �ве не�озна�е (x и y). 209


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Изразима који се налазе са различитих страна једначине са две непознате можемо додавати (одузимати) исти израз, множити (делити) их изразом различитим од нуле.

Пример 2

0

y(x = 0)

x(y = 0)

uk a

y =– c b

y(x = 0)

pr om

o

3 Једначина y = – x + 6 еквивалентна је једначини 3x + 2y – 12 = 0, па је полазна једначина 2 линеарна једначина са две непознате. За линеарну једначину са две непознате облика ax + by + c = 0, рамотрићемо графички приказ њених решења у два случаја (Слика 2). c У случају a = 0, b ≠ 0 важи 0 ∙ x + by + c = 0, одакле је y = – . b c У случају a ≠ 0, b = 0 важи ax + 0 ∙ y + c = 0, одакле је x = – . a

Слика 2

0

x =– c a

x(y = 0)

Ed

Николин проблем Вратимо се разговору између Богдана и Николе. Како Никола није успео да одреди трајање Богданових тренинга, незадовољан је затражио још информација, како би евентуално сазнао шта га интересује. „Једног дана у недељи имам заказана оба тренинга. Пливање ми почиње у 10 h. Након тог тренинга правим паузу од сат времена, а затим идем на стони тенис, који завршавам у 16 h. Мислим да ти је то довољно” , помогао му је Богдан. Никола је одговорио: „Хмм… то би требало да ми буде довољно! Како сам са x означио трајање једног тренинга у пливању, а са y трајање једног тренинга у стоном тенису, према информацијама које си ми дао мора да важи x + 1 h + y = 16 h – 10 h, одакле се добија x + y = 5 h”. Убрзо након добијања нове везе између променљивих x и y, Никола је радосно узвикнуо: „Знам, тренинг у пливању траје 2 h, а у стоном тенису 3 h!” Богдан је потврдио тачност Николиног рачуна. Како је Никола дошао до овог резултата?

210


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

3 x + 6)| x ∈ R}, тада су уређени парови 2 (3; 1,5), (2,5; 2,25), (2, 3), (1; 4,5), ... нека од решења ове једначине. Ако томе додамо услов x + y = 5, тј. да проведено време на оба тренинга мора бити 5 h, Никола је лако закључио да то задовољава уређени пар (2, 3).

Како једначина 3x + 2y = 12 има скуп решења {(x, –

Дакле, уређени пар (2, 3) представља заједничко решење једначина 3x + 2y = 12 и x + y = 5. Систем две линеарне једначине са две непознате Дефиниција 4

pr om

o

Две линеарне једначине са две непознате величине чине сис�ем о� �ве линеарне је�начине са �ве не�озна�е: ⎰a1x + b1 y + c1 = 0 ⎱a2x + b2 y + c2 = 0, при чему су a1, a2 коефицијенти уз непознату величину x, b1, b2 коефицијенти уз непознату величину y, c1, c2 слободни чланови (a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ R).

Дефиниција 5

2

Пример 3

2

2

uk a

Решење сис�ема линеарних једначина са две непознате јесте уређени пар који представља решење сваке од једначина које чине систем. Уређени пар (m, n) је решење система: ⎰a1x + b1 y + c1 = 0 ⎰a1m + b1 n + c1 = 0 ⎱a x + b y + c = 0, ако су тачне једнакости ⎱a m + b n + c = 0. 2

2

2

Ed

Уређени пар (2, 3) је решење система ⎰3x + 2y = 12 ⎱x + y = 5 јер су тачне једнакости 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 12 и 2 + 3 = 5. Уређени пар (–1, 2) није решење система. Зашто?

211


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

ВЕЖБАМО 1.

2. 3.

Заокружи слово испред једначине чије је решење уређени пар (1, 1). а) 2x – y = 1, б) 3y – 2x = 9, в) x + 0,5y – 1 = 0, г) x – y = 0.

Провери да ли је уређени пар (–1, √2) решење једначине 2x – y2 + xy√2 = –2. Одреди бар четири решења једначине –

1 x + 3y – 5 = 0. 2

5. 6.

7.

8.

Одреди вредност реалног броја m тако да уређени пар (–1, 3) буде решење једначине 4 – 3y + 4mx = 0.

Ed

4.

uk a

Помоћ?

pr om

o

Можеш да размишљаш на начин како је Никола размишљао са почетка ове лекције. Нека је нпр. x = ......... Ако у дату једначину уврстиш уместо x број ........, добићеш једначину са једном непознатом. Уређени пар бројева (x, y) = (........, ........) је једно решење полазне једначине. За одређивање других решења можеш да поступиш на исти начин или да одредиш општи облик решења попут Николе (да на пример изразиш непознату y у зависности од променљиве x): 3y = ........ + 5, одакле је y = ......................... Скуп свих уређених парова облика (x, ................) је скуп решења полазне једначине. Из тог облика можеш једноставно да одредиш решења једначине.

Графички прикажи решења једначине из претходног задатка за тако добијено m.

Састави бар две линеарне једначине са две непознате чијем скупу решења припада уређени пар (–3, 5).

Да ли је уређени пар (1, 2) решење система ⎰2,2x – 3y = –3,8 ⎱– 1 x + 0,75y = 2? 2

Састави бар два система линеарних једначина са две непознате чије је решење уређени пар (–1, 1). 212


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Уређени пар (–1, 0) је решење једначине –5x + 7y2 + x6 y√2 = 5.

ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

2. 3m + 2n = –5m – n је линеарна једначина са две непознате. 7 (Заокружи тачан одговор.) НЕ

Једначина ДА

в) m = –1.

Уређени пар (1, –1) је решење система ⎰x – y = 2 ⎱–x – 2y = 1. ДА

НЕ

o

б) m = 1 ;

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

pr om

а) m = 0;

(Заокружи тачан одговор.)

uk a

4.

Ако је уређени пар (0, –1) решење једначине x – my + 1 = 0, онда је

Ed

3.

213


Научићеш да решаваш систем линеарних једначина графички и препознаш еквивалентне системе.

ГРАФИЧКИ ПРИКАЗ РЕШЕЊА СИСТЕМА. ЕКВИВАЛЕНТНИ СИСТЕМИ y(x = 0) 6 5

3x + 2y = 12

o

3

pr om

Графички приказ Николиног решења Проблем из разговора Николе и Богдана свео се на решавање система линеарних једначина са две непознате ⎰3x + 2y = 12 ⎱x + y = 5, чије је решење уређени пар (2, 3) – заједничко решење једначина система. Свака од једначина система представља линеарну функцију чији је график графички приказ решења те једначине, што значи да графички приказ решења система чине заједничке тачке графика тих линеарних функција.

0

2

x+y=5

4 5

x(y = 0)

Слика 1

Ed

uk a

Зелена и црвена права са Слике 1 се секу, тј. имају тачно једну заједничку тачку, па је решење нашег система јединствено и одређено координатама пресечне тачке. До решења система могли смо доћи и на следећи начин: 3 За x = p jедначина 3x + 2y = 12 има скуп решења {(p , – p + 6)| p ∈ R}, док је скуп решења 2 једначине x + y = 5 једнак {(q, 5 – q)| q ∈ R}. Како тражимо заједничка решења ових једначина (пресек скупова њихових решења), морају важити следеће једнакости: 3 p = q и – p + 6 = 5 – q. Како важи p = q, друга једначина се своди на линеарну једначину са 2 3 једном непознатом: – p + 6 = 5 – p чије је решење p = 2. (Провери!) Одавде се добија да је 2 x = 2 и y = 3. Природа решења система линеарних једначина Подсети се у каквом се односу могу наћи две праве у равни? То ће нам помоћи да одредимо природу решења система линеарних једначина. b A a

214

b a

b a


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Ако се графици двеју линеарних функција секу, онда одговарајући систем једначина има је�инс�вено решење (претходни пример). Преостале могућности су да графици припадају паралелним правама које се не поклапају (тада систем нема решења) и да се графици поклапају (систем има бесконачно мно�о решења). Пример 1

Пример 2 Прикажимо решења система

uk a

⎰y + 2x + 3 = 0 ⎱4x = 10 – 2y графички.

Решење: Експлицитни облик линеарне функције y + 2x + 3 = 0 је y = –2x – 3. Слично, експлицитни облик линеарне функције 4x = 10 – 2y је y = –2x + 5. Како су им коефицијенти правца једнаки, закључујемо да су њихови графици паралелне праве, дакле немају заједничких тачака, па систем нема решења (Слика 3).

Ed

1 2

1 y + 0,25x = 2

pr om

еквивалентне међусобно. Праве које чине графички приказ решења се поклапају, па систем има бесконачно много решења (Слика 2).

y(x = 0) x + 4y – 2 = 0

o

Решићемо графички систем једначина 1 ⎰y + 0,25x = 2 ⎱x + 4y – 2 = 0. Решење: И једна и друга једначина система имају 1 1 исти експлицитни облик y = – x + , па 4 2 одатле закључујемо да су једначине система

0

2

x(y = 0)

Слика 2

5 y + 2x + 3 = 0

– 3 2

y(x = 0)

4x = 10 – 2y

0 –3

5 2

x(y = 0)

Слика 3

Пример 3 Уколико су једначине система задате у свом решеном облику ⎰x = –1 ⎱y = 4,

тада је решење система уређени пар (–1, 4). Прикажи графички решење овог система.

215


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Еквивалентни системи, еквивалентне трансформације Пример 4 Нека су дати системи: ⎰ x = –3 S 1: ⎱y=2

2

x+2=0 S 3: ⎰ 3 ⎱ y = 1.

⎰2x + 6 = 0 S 2: ⎱3y – 6 = 0

2

Опиши ток еквивалентних трансформација у смеру S1 → S2 → S3 , а затим у супротном смеру.

Одреди решење сваког од система. Шта закључујеш? Дефиниција 6

pr om

o

Системе који имају једнаке скупове решења називамо еквивален�ним.

Системи S1, S2 и S3 из Примера 4 су еквивалентни. Наводимо тврђење које ће нам омогућити ефикасно решавање система линеарних једначина са две непознате. Теорема 1

⎰A = B ⎱C = D

S 2:

⎰A = B ⎱A + C = B + D.

Ed

S 1:

uk a

а) Ако се нека од једначина система замени њој еквивалентном једначином, добијени систем је еквивалентан полазном систему. б) Ако једну од једначина система заменимо једначином чија је лева страна збир левих страна једначина, а десна збир десних страна, добијамо систем који је еквивалентан полазном систему, тј. системи S1 и S2 су еквивалентни:

в) Ако се из једне једначине система изрази једна непозната, а затим замени уместо исте непознате у другој једначини, добија се систем еквивалентан полазном.

Пример 5 Системи ⎰x + 2y = –1 J 1: ⎱2x – 2y = 7

⎰x + 2y = –1 J 2: ⎱3x + 0 = 6

међусобно су еквивалентни.

216

⎰x + 2y = –1 J 3: ⎱x = 2

⎰2 + 2y = –1 J 4: ⎱x = 2

3 ⎰y = – J 5: 2 ⎱x = 2


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

⎰x + 2y = –1 J 2: ⎱3x + 0 = 6

J 3:

⎰x + 2y = –1 ⎱x = 2

еквивалентне једначине

мењамо у првој једначини

сабирамо леву и десну страну

J 4:

⎰2 + 2y = –1 ⎱x = 2

еквивалентне једначине

3 ⎰y = – J 5: 2 ⎱x = 2

Ed

uk a

pr om

o

⎰x + 2y = –1 J 1: ⎱2x – 2y = 7

Уз помоћ Геогебре једноставно сам успео да добијем све праве одређене једначинама из система Примера 5. Све праве се секу у истој тачки!

То је и логично, с обзиром на то да су сви системи из Примера 5 међусобно еквивалентни. Штавише, комбинацијом сваке две једначине од четири које си унео у програм добијају се еквивалентни системи!

217


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

ВЕЖБАМО

2.

Реши графички следеће системе: a) б) 1 1 ⎰2y + 3x + 2 = 0 ⎰y = 2 x – 2 ⎱ y = – 3 x + 3; ⎱y = 1 x – 1; 2 3

Који од следећих система је еквивалентан систему

Еквивалентни?

б) ⎰5x – 2y = –34 ⎱2x + y = –1

1 ⎰– y = x – 1 2 ⎱2x + y – 2 = 0.

⎰x = –4 ? ⎱y = 7

в) ⎰7x + 28 = 0 ⎱y+x=7+x

pr om

a) ⎰–x – 6y + 38 = 0 ⎱5x – 3y = –29

в)

o

1.

На слици је приказано графичко решење система. Наведи два еквивалентна облика тог система.

Ed

3.

uk a

Пажљиво прочитај Дефиницију 1 из ове лекције. Дати систем је приказан у решеном облику, па можеш да закључиш да је уређени пар (x, y) = (......., .......) његово решење. Користећи дефиницију, покушај да тачно одговориш на питање и да образложиш свој одговор.

218

2

–2,5

y(x = 0)

0

1

x(y = 0)


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

3

⎰ y=– 5 x–2 Систем једначина ⎱ y=– 3 x+3 ДА

нема решења.

5

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

2. је:

3. ⎰x = y +1 J 1: Системи ⎱3y + x = 5 НЕ

4.

⎰x = y +1 J 2: и ⎱3y + y +1 = 5

су еквивалентни.

(Заокружи тачан одговор.)

uk a

ДА

pr om

1 ); б) ∅; в) (x, y), x ∈ R, y ∈ R. 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

а) (x, y) = (–1, –

o

⎰–7x + 5y – 6 = 0 Решење система ⎱–14x + 10y – 12 = 0

Ако су једначине неког система међусобно еквивалентне, тада систем има јединствено решење. НЕ

Ed

ДА

(Заокружи тачан одговор.)

219


МЕТОДЕ РЕШАВАЊА СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Научићеш да решаваш систем линеарних једначина методом замене и методом супротних коефицијената.

МЕТОДА ЗАМЕНЕ У решавању задатака до сада се често користио поступак који представља методу решавања система.

o

Пример 1

pr om

Обим једнакостраничног троугла је 12 cm. Одредићемо висину тог троугла. Решење: ⎰3a = 12 , који је Дужину висине овог троугла можемо потражити решавањем система ⎱h = a√3 a=4 ⎰a = 4 ⎰a = 4 2 еквивалентан систему , тј. , одакле је ⎰ . a√3 4√3 ⎱h = ⎱h = ⎱h = 2√3 2 2

Пример 2

uk a

Дакле, висина троугла je h = 2√3 cm. Поступак који смо користили у решавању овог система назива се ме�о�а замене. Састоји се у томе да се из једне од једначина изрази једна непозната, а затим добијени израз замени у другој једначини уместо те непознате. На тај начин, друга једначина се своди на линеарну једначину са једном непознатом.

Ed

Обим правоугаоника је 24 cm. Ако је једна његова страница за 1 cm краћа од друге, одредићемо дужине тих страница. Решење: ⎰2a + 2b = 24 Формирајмо систем линеарних једначина са две непознате: . Овај систем је ⎱a = b – 1 еквивалентан систему

⎰b = 6,5 ⎰b = 6,5 ⎰2(b – 1) + 2b = 24 , одакле је , тј. , па је решење ⎱a = b – 1 ⎱a = 6,5 – 1 ⎱a = b – 1

система уређени пар (a, b) = (5,5; 6,5).

У овом примеру смо изразили непознату a (друга једначина) у зависности од непознате b, а затим је заменили у првој једначини, чиме смо прву једначину свели на једначину са једном непознатом.

220


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Маријана и Дејана У једној књижари Маријана је за две вежбанке и три хемијске платила 130 динара. Њена другарица Дејана је купила четири вежбанке и пет хемијских и платила 240 динара. Одредићемо колико кошта вежбанка, а колико хемијска у тој књижари. Цену за вежбанку и хемијску означимо редом са x и y. Према условима задатка, можемо ⎰2x + 3y = 130 формирати систем . Да бисмо применили методу замене, можемо, рецимо, ⎱4x + 5y = 240 из прве једначине изразити непознату x, а затим добијени израз заменити уместо непознате x у другој једначини. Добијамо низ еквивалентних система: –3y + 130 –3y + 130 –3y + 130 x= x= ⎰2x = –3y + 130 ⎰ ⎰x = 2 2 2 → → � → –3y + 130 ⎱4x + 5y = 240 ⎱4x + 5y = 240 ⎱ y = 20 4∙ + 5y = 240 2

Пример 3

⎰ x = 35 ⎱ y = 20.

Дакле, вежбанка кошта 35, а хемијска 20 динара.

o

pr om

–3 ∙ 20 + 130 ⎰x= 2 ⎱ y = 20

Лакше је да

x + 3 2y – 5 еквивалентне системе ⎰– 2 + 3 = –2 записујемо један Методом замене решићемо систем . ⎱(2x – 1)2 – 2y = 3 + 4x2 испод другог. Решење: x + 3 2y – 5 Потребно је = –2 | ∙ 6 + – 3 2 поједноставити једначине у систему. Прву множим са 6 да се ослободим разломка, (2x – 1)2 – 2y = 3 + 4x2

uk a

–3 ∙ (x + 3) + 2 ∙ (2y – 5) = –12 4x2 – 4x + 1 – 2y = 3 + 4x2 –3x – 9 + 4y – 10 + 12 = 0 –4x – 2y + 1 – 3 = 0

1 2

Ed

–3x + 4y – 7 = 0 –4x – 2y – 2 = 0

–3x + 4y – 7 = 0 –2x – y – 1 = 0

|∙

–3x + 4y – 7 = 0 y = –2x – 1

–3x + 4(–2x – 1) – 7 = 0 y = –2x – 1 –11x – 11 = 0 y = –2x – 1

x=–1 y = –2 ∙ (– 1) – 1 x=–1 y=1

Решење система је уређени пар (x, y) = (–1, 1).

а у другој примењујем квадрат бинома и сређујем!

Сви коефицијенти су дељиви са 2! Можемо помножити 1 једначину са и олакшати рачун! 2 Најлакше је изразити непознату y из друге једначине и заменити у првој. На тај начин избегавамо рад са разломцима.

Добијену вредност за x мењамо у другој једначини и добијамо систем у решеном облику.

221


o

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

pr om

МЕТОДА СУПРОТНИХ КОЕФИЦИЈЕНАТА

Поред методе замене, при решавању система линеарних једначина ефикасна је и ме�о�а су�ро�них коефицијена�а. Уколико су коефицијенти уз исту променљиву супротни бројеви, применом Теореме 1б сабирањем левих и десних страна једначина, једна једначина система се своди на једначину са једном непознатом.

uk a

Пример 4

Методом супротних коефицијената решићемо систем

Ed

Решење: –5x – 2y = 2 7x + 2y = 6

–5x – 2y = 2 –5x – 2y + 7x + 2y = 2 + 6 –5x – 2y = 2 2x = 8 –5x – 2y = 2 x=4

–5∙ 4 – 2y = 2 x=4

Другу једначину система заменимо збиром једначина система.

Сада смо другу једначину свели на једначину са једном непознатом, коју лако решавамо.

Даље настављамо методом замене.

–2y = 22 x=4 y = –11 x=4

Решење система је уређени пар (x, y) = (4, –11). 222

⎰–5x – 2y = 2 ⎱7x + 2y = 6.


o

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Задатак 1

pr om

Реши овај систем методом замене. Процени којим начином брже долазиш до решења. Пример 5

Решимо следеће системе методом супротних коефицијената: a) б) ⎰3x + 4y = –8 ⎰4x – 6y = –11 ⎱–5x – 2y = 9; ⎱–2x – 3y = 7.

Множењем друге једначине са –3 коефицијенти уз y биће супротни бројеви!

Ed

4x – 6y = –11 15x + 6y = –27

uk a

Решење: a) 4x – 6y = –11 –5x – 2y = 9 |∙ (–3) 4x – 6y = –11 19x = –38 4x – 6y = –11 x = –2

4 ∙ (–2) – 6y = –11 x = –2

1 2 x = –2 y=

Решење система је уређени 1 пар (x, y) = (–2, ). 2 223


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Решење: б) 3x + 4y = –8 |∙ 2 –2x – 3y = 7 |∙ 3

Овде није довољно помножити само једну једначину да бисмо добили супротне коефицијенте!

6x + 8y = –16 –6x – 9y = 21 6x + 8y = –16 –y = 5

6x + 8 ∙ (–5) = –16 y = –5

1.

Методом замене реши следеће системе: a) б) ⎰x = 5 ⎰y = x – 5 ⎱7x – 9y = –1; ⎱–x + 2y = –13;

в) ⎰ x – y + y = 2 2 ⎱4x – 3y = –19.

Методом супротних коефицијената реши следеће системе: a) б) в) ⎰–x + 6y = –12 ⎰7x – 3y = 5 ⎰2x – 1,2y = 2

Ed

2.

uk a

ВЕЖБАМО

pr om

Решење система је уређени пар (x, y) = (4, –5).

o

x=4 y = –5

⎱2x + 3y = 4;

Одакле почети?!

224

⎱–4x + 7y = –17,8;

⎱–2x + 12y = –24.

в) Подсети се општег облика система, а затим издвој коефицијенте уз променљиве: a1 = ........ b1 = ........

a2 = ........ b2 = ........ Коефицијенти уз непознату x ће бити супротни бројеви ако прву једначину помножиш са –......... Коефицијенти уз непознату y ће бити супротни бројеви ако прву једначину у систему помножиш са –......... Примени методу описану у лекцији. Пажљиво рачунај.


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

3.

Реши систем једначина:

⎰(2x – 2)2 – 2y – 4 ∙ (x – 1)(x + 1) = 0 ⎱8x + 2y –1 = 0.

Проверавамо своје знање (5 минута) Сабирањем једначина система

2.

а) 2x = 1;

б) 2y = 4;

⎰x – y = 1 добија се једначина: ⎱x + y = 3

в) 2x = 4.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

3.

uk a

pr om

Систем са слике решен је: а) методом замене; б) методом супротних коефицијената; в) ниједном од наведених метода. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

o

1.

–x + 2y = 5 y=x–3

–x + 2(x – 3) = 5 y=x–3 –x + 2x – 6 = 5 y=x–3 x = 11 y=8

4.

Ed

Марко је решавао одређени систем. Користио је методу замене и након сређивања једначине добио је једнакост 0 = 0. Тај систем: а) има јединствено решење; б) нема решења; в) има бесконачно много решења. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Богдан је решавао одређени систем. Користио је методу супротних коефицијената и након сређивања једначине добио је једнакост 2 = 3. Тај систем:

а) има јединствено решење; б) нема решења; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

в) има бесконачно много решења.

225


Научићеш да примењујеш системе линеарних једначина у решавању проблема.

ПРИМЕНА СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Фискални рачун На основу података са приказаних рачуна, одредити прекривене вредности.

Количина 4 5

Цена

Назив артикла Патике Ципеле

Количина 2 3

o

Назив артикла Патике Ципеле

Фискални рачун бр. 2

pr om

Фискални рачун бр. 1

Износ за плаћање: 38000 динара

Цена

Износ за плаћање: 21400 динара

Ако цену једног пара патика означимо са a, а пара ципела са b, на основу првог рачуна важи једнакост 4a + 5b = 38000, а на основу другог рачуна важи 2a + 3b = 21400. Решавањем

⎰4a + 5b = 38000 добијамо тражене вредности (a, b) = (3500, 4800), па је цена ⎱2a + 3b = 21400 патика 3500, а ципела 4800 динара.

uk a

система

Ed

Функција Одредићемо експлицитни облик линеарне функције чији график садржи тачке A(–3, 5) и B(2, 3). Линеарну функцију одређујемо у облику y = kx + n, ,тј. одређујемо њен коефицијент правца и слободан члан. Како тачке A(–3, 5) и B(2, 3) припадају њеном графику, мора бити: 5 = –3k + n и 3 = 2k + n. 2 19 ⎰5 = –3k + n Решење система је (k, n) =⎧– , ⎫ , па је тражена линеарна функција ⎱3 = 2k + n ⎩ 5 5⎭ 19 2 . y=– x+ 5 5

Бројеви Слађан је замислио два броја. Ако је разлика тих бројева једнака 2, а разлика њихових квадрата 24, одредићемо бројеве које је Слађан замислио. Означимо непознате бројеве са x и y. Према условима задатка, важи x2 – y2 = 24 и x – y = 2, па ⎰x2 – y2 = 24 ⎰(x – y) ∙ (x + y) = 24 . Применом разлике квадрата добијамо посматрајмо систем ⎱x – y = 2 ⎱x – y = 2 ⎰x + y = 12 тј. . Решење овог система је (x, y) = (7, 5). Никола је замислио бројеве 7 и 5. ⎱x – y = 2 226


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

Проценат Ако се страница квадрата увећа за 20%, онда се обим повећа за 28 cm. Одредићемо обим већег квадрата. Означимо страницу полазног квадрата са a, а увећаног са a1. Према условима задатка, важи a1 = 1,2a и 4a1 = 4a + 28. ⎰a1 = 1,2a Решење система је (a, a1) = (35, 42). Обим већег квадрата је O1 = 4a1, па је ⎱4a1 = 4a + 28 O1 = 4 ∙ 42 = 168 cm.

ВЕЖБАМО Учешће у математичком кампу „Мост” потврдило је 216 учесника, и то два пута више дечака него девојчица. Колико је девојчица, а колико дечака је потврдило своје учешће?

3.

Обим правоугаоника је 30 cm. Ако је једна његова страница два пута дужа од друге, одреди површину правоугаоника. Суседни углови паралелограма су у односу 1 : 3. Одреди мере тих углова.

4.

5.

Подсети се својстава паралелограма у уџбенику за шести разред. Суседне углове паралелограма обележимо са ........ и ......... Математичким симболима запиши податке у задатку који су ти важни: суседни углови паралелограма су суплементни, па је ........ + ........ = ......... Према услову задатка важи ........ : ........ = 1 : 3. Сада имаш формиран систем линеарних једначина који можеш да решиш произвољном методом.

Ed

Морам да се присетим особина паралелограма!

uk a

2.

pr om

o

1.

Цене за килограм парадајза и кромпира су у односу 5 : 7. Ако је за три килограма парадајза и четири килограма кромпира плаћено 430 динара, колико треба платити за шест килограма парадајза и десет килограма кромпира? 1 График линеарне функције садржи тачке C(–1, 3) и D⎧3, ⎫. Одреди површину троугла ⎩ 2⎭ који тај график образује са координатним осама.

227


Ed

uk a

pr om

o

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

228


Ed

uk a

pr om

o

ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА


Упознаћеш се са појмом ваљка и његовим основним елементима. Научићеш да одређујеш површину осног пресека ваљка.

ВАЉАК – ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ

pr om

o

Цилиндар Ана је за свој четрнаести рођендан организовала тематску прославу на коју је позвала све своје другове и другарице из одељења. У позивници је нагласила да сви гости буду обучени у стилу деветнаестог века, јер су јој се допадале раскошне хаљине које су тада биле модерне. На фотографијама, које је слала својим гостима након славља, приметила је да су скоро сви другови носили цилиндре, чувену врсту мушких шешира који су у првој половини тог века били незаобилазни у свакој прилици. Били су то статусни симболи који су се са пажњом чували у посебним кутијама.

За објекте који нас окружују а који су истог или сличног облика какав има овај чувени шешир и кутија у коју се пакује, кажемо да су цилиндрична или ваљкаста. Цилиндрична површ; ваљак

Прав ваљак

A

О

k

β

A1

O1

Слика 1

k1

B1

α

Коси ваљак

k

О

B

Ed

α

uk a

У геометрији цилин�ар или ваљак представља геометријско тело које се не сврстава у полиедре. Нека су дате две паралелне и различите равни α и β и кружница k у равни α са центром у тачки O (Слика 1). Ортогоналне пројекције тачака кружнице k на раван β образују кружницу k1 истог полупречника. B

A

β

� v

A1

O1

k1

B1

Слика 2

Праве одређене тачкама кружнице k и њима одговарајућим тачкама кружнице k1 описују површ коју називамо цилин�рична �оврш. Кругови одређени кружницама k и k1 заједно са делом цилиндричне површи чине затворену површ. Дефиниција 1 Геометријско тело ограничено са два подударна круга која припадају различитим паралелним равнима и делом цилиндричне површи назива се ваљак. 230


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Елементи ваљка

БАЗА

s1

s2

r

s4

О М О ТАЧ

БАЗА

s3

висина

r

изводнице

полупречници основе

Слика 3

o

Изво�нице ваљка су дужи које припадају правама које описују цилиндричну површ, а чије крајње тачке припадају кружницама k и k1. Дужи AA1 и BB1 са Слике 1 неке су од изводница ваљка. Кругови који су део површи ваљка називају се основе (базе), док је део цилиндричне површи његов омо�ач. Растојање између основа ваљка, тј. растојање између равни које садрже основе, назива се висина ваљка.

pr om

Врсте ваљка На Слици 1 приказан је �рав ваљак. Изводнице правог ваљка су нормалне на равни које садрже основе ваљка. Дужина изводнице једнака је његовој висини. � Транслацијом једне од основа за вектор v , који није нормалан на раван α (Слика 2), настаје коси ваљак.

H

s=H

s

s

H

s>H

Ed

Пример 1

uk a

Слика 4 Изводнице косог ваљка нису нормалне на равни које садрже основе ваљка, а изводница је дужа од висине ваљка. Види Слику 4. Предмет нашег изучавања биће прав ваљак, па ћемо реч �рав често изостављати подразумевајући је.

Правоугаоник страница a и b ротира за 360° око своје странице a (Слика 5). На тај начин настаје ваљак чија је основа круг полупречника b, а висина једнака дужини странице a. Прав ваљак, као и сва друга тела која настају ротацијом неке фигуре, спада у ро�ациона (обр�на) �ела. Прав ваљак настаје и ротацијом правоугаоника око једне његове осе. a b

Слика 5 231


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пресеци ваљка и равни На Слици 6 приказани су неки пресеци ваљка и равни. б)

Оса и осни пресек правог ваљка

pr om

Слика 6.

г)

p 2r

H

H

2r

Слика 7

Ed

uk a

Нека је задат ваљак висине H и полупречника основе r (Слика 7). Права p одређена центрима основа ваљка јесте оса ваљка. Пресек ваљка са равни која садржи његову осу јесте правоугаоник чије су странице 2r и H и назива се осни �ресек ваљка. Површина осног пресека ваљка је Pop = 2r ∙ H. Пример 2

в)

o

a)

Површина осног пресека ваљка је 63 cm2, а висина 7 cm. Одредићемо дужину полупречника

основе. Решење: Ако у једнакости Pop = 2r ∙ H заменимо дате вредности, добијамо 63 = 2r ∙ 7. Решавањем једначине одређујемо полупречник r = 4,5 cm. Пример 3

Осни пресек ваљка је квадрат дијагонале 5√2 cm. Одредићемо висину и дужину полупречника његове основе. Решење: Како је осни пресек квадрат, то важи H = 2r. Из 5√2 = H√2 добијамо H = 5 cm. H Даље је r = = 2,5 cm. 2 232


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 4 Дат је правоугаоник страница a и b, при чему је a > b. Одредићемо висину и полупречник основе ваљка који настаје ротацијом овог правоугаоника око симетрале а) дуже странице; б) краће странице. Решење: a b а) r = , H = b ; б) r = , H = a. 2 2

b 2

Слика 8

pr om

3.

Одреди површину осног пресека ваљка полупречника основе 1,2 cm и висине 5 cm.

Осни пресек ваљка је правоугаоник чија је дужина једне странице 15 cm, а дијагонале 25 cm. Одреди површину осног пресека. Ако је висина ваљка једнака дужини дуже странице правоугаоника, одреди дужину полупречника основе тог ваљка. Правоугаоник чији је обим 40 cm, а једна страница три пута дужа од друге, ротира око: а) дуже странице; б) краће странице; в) симетрале дуже странице; г) симетрале краће странице. Одреди дужину полупречника основе и висину насталог ваљка.

Ed

Симетрала дужи?

uk a

2.

o

ВЕЖБАМО 1.

a 2

в) Симетрала дужи дели дату дуж на ................ једнака дела и са њом образује угао од ................. Покушај да направиш модел правоугаоника и симетрале његове дуже странице. Види Пример 4.

4.

Квадрат дијагонале 6√2 cm ротира око симетрале своје странице. Одреди дужину полупречника основе и висину ваљка који притом настаје.

233


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Проверавамо своје знање (5 минута)

3.

а) 24 cm2;

в) 9 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Квадрат површине 36 cm2 ротира око своје странице. Полупречник основе тог ваљка је: а) 3 cm;

б) 6 cm;

в) 9 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ротацијом правоугаоника око своје дијагонале настаје ваљак. ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Пресек ваљка и равни може бити дуж. НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

uk a

ДА

Ed

4.

б) 12 cm2;

o

2.

Површина осног пресека ваљка пречника 6 cm и висине 2 cm је:

pr om

1.

234


Научићеш да одредиш мрежу и површину ваљка.

МРЕЖА И ПОВРШИНА ВАЉКА

Кутија На слици је приказана кутија за одлагање цилиндра, која представља модел ваљка. Ако део цилиндричне површи исечемо по једној од изводница и изрежемо обе основе ваљка, можемо добити фигуру састављену од два круга и једног правоугаоника. БАЗА

o

r

pr om

О М О ТАЧ

2rπ

H

r БАЗА

Слика 1

uk a

Мрежа ваљка

Ed

Омотач ваљка је правоугаоник чија је дужина једне странице једнака висини, а дужина друге једнака обиму основе ваљка. Фигура у равни састављена од правоугаоника чије су странице једнаке H и 2rπ и два круга полупречника r представља мрежу ваљка висине H и полупречника основе r. Дакле, за одређивање мреже једног ваљка, довољно ће нам бити да одредимо димензије одговарајућег правоугаоника и полупречник круга који га додирује. Пример 1

Одредићемо мрежу ваљка који настаје ротацијом квадрата површине 64 cm2 око своје странице. Решење: Како је H = r = 8 cm, мрежа ваљка се састоји из два круга полупречника 8 cm и правоугаоника чија је једна страница 8 cm, а друга 2rπ = 2 ∙ 8π = 16π. Пример 2

Омотач ваљка је правоугаоник чија је једна страница два пута дужа од друге. Одредићемо висину и полупречник ваљка у зависности од краће странице правоугаоника. 235


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Решење: Означимо краћу страницу омотача са x. У случају x када је H = x имамо 2rπ = 2x, одакле је r = . π x Ако је H = 2x, имамо 2rπ = x, одакле је r = . 2π

2x

x 2x

x

Слика 2

Површина ваљка

o M = 2rπ ∙ H

Ed

Пример 3

uk a

pr om

Слично као код призме и пирамиде, до формуле за површину ваљка ћемо доћи посматрајући фигуру која представља његову мрежу. Означимо словом B површину базе ваљка, а словом M површину омотача (Слика 3). Како ваљак, попут призме, има две базе, то ће површина ваљка, у ознаци P, бити једнака P = 2B + M. Површина правог ваљка полупречника основе r и висине H једнака је: P = 2B + M = 2r2 π + 2rπ ∙ H = 2rπ(r + H).

B = r2π

H

B = r2π

Слика 3

Површина омотача ваљка једнака је производу обима основе и висине тог ваљка, M = O ∙ H.

Површина правог ваљка полупречника 3 cm и висине 7 cm једнака је P = 2rπ(r + H) = 2 ∙ 3π ∙ (3 + 7) = 60π cm2.

Пример 4

На Слици 4 је дата мрежа правог ваљка. Одредићемо његову површину на основу датих података (π ≈ 3). Решење: Како је r = 2,5 cm, из 3x = 2rπ добијамо x = 5 cm. Дакле, висина ваљка је једнака H = x = 5 cm, па му је површина P = 2rπ(r + H) = 2 ∙ 2,5 ∙ 3 ∙ (2,5 + 5) = 112,5 cm2. 236

2,5 cm x 3x

Слика 4


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 5 Површина ваљка полупречника r чији је осни пресек квадрат једнака је P = 2rπ(r + 2r) = 6r2 π. Пример 6

o

Површина ваљка је 192π cm2. Ако је збир дужина полупречника и висине 16 cm, одредићемо површину омотача тог ваљка. Решење: Из 192π = 2rπ(r + H) имамо 192 = 2r ∙ 16, одакле је r = 6 cm. Како је r + H = 16 cm, то је висина H = 10 cm. Површина омотача је M = 2rπ ∙ H = 120π cm2.

pr om

Ваљак и призма

Пример 7

Слика 5

Слика 6

uk a

За ваљак кажемо да је уписан у призму ако су основе ваљка уписане у основе призме (Слика 5). Ако су основе ваљка описане око основе призме, тада кажемо да је ваљак описан око призме (Слика 6). У оба случаја, висине ваљка и призме су једнаке.

Ed

Ваљак је уписан у правилну тространу призму основне ивице 6 cm и висине 12 cm. Одредићемо површину тог ваљка. Решење: Висина ваљка је такође H = 12 cm. Полупречник основе ваљка је полупречник круга уписаног a√3 6√3 = = √3 cm. Површина ваљка је једнака у основу призме, па је r = 6 6 P = 2rπ(r + H) = 2√3 π(√3 + 12) cm2. Пример 8

Дрвени сандук са слике модел је геометријског тела састављеног од квадра и половине одговарајућег ваљка. Према подацима са слике, одредићемо колико је боје потребно за фарбање спољашњег дела сандука ако је за фарбање 1 dm2 потребно 10 g боје (π ≈ 3,1).

4 dm 3 dm

Слика 7

6 dm

237


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Решење: Површина која се фарба једнака је збиру површина пет одговарајућих страна квадра, половине површине омотача ваљка и површине једне основе ваљка. Дакле, површина је: 1 P = 2 ∙ 3 ∙ 4 + 2 ∙ 6 ∙ 4 + 3 ∙ 6 + ∙ 2 ∙ (1,5)π ∙ 6 + (1,5)2 π ≈ 90 + 27,9 + 6,975 = 124,875 dm2. 2 За фарбање ове површине потребно је приближно 124,875 ∙ 10 = 1248,75 g боје.

ВЕЖБАМО

3.

o

2.

Одреди мрежу ваљка који настаје ротацијом квадрата дијагонале 4√2 cm око: а) његове странице; б) симетрале његове странице.

pr om

1.

Одреди површину ваљка висине H = 8 cm и полупречника основе r = 3 cm.

Површина ваљка је 200π cm2, а полупречник основе r = 5 cm. Одреди површину омотача ваљка.

5.

Одреди површину ваљка који је:

а) уписан;

uk a

4.

б) описан око коцке ивице 6 cm.

Правилна шестострана призма висине 6 cm и дужине основне ивице 4 cm описана је око ваљка. Одреди површину тог ваљка. Прочитај пажљиво део који се односи на ваљак и призму у овој лекцији. Висина призме је ................ ваљка. Полупречник основе ваљка је једнак полупречнику ................ у правилни шестоугао, односно r = ........... Остаје ти још неколико корака да завршиш задатак.

Ed

Ваљак уписан у призму?

6.

Ако је однос површине правог ваљка и површине његовог омотача 3 : 2, докажи да је осни пресек тог ваљка квадрат. У ком су односу површина тог ваљка и површина његове основе?

238


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Проверавамо своје знање (5 минута) Површина ваљка пречника основе 2 cm и висине 1 cm је:

2.

а) 4π cm2;

3.

а) 225π cm2; б) 275π cm2;

в) 2π cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

в) 250π cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина ваљка је 300π cm2, а полупречник основе 5 cm. Површина омотача је:

НЕ

o

Ваљак је описан око правилне једнакоивичне шестостране призме. Основа призме је уписана у основу ваљка. ДА

(Заокружи тачан одговор.)

Омотач ваљка је квадрат странице 2 cm. Обим основе ваљка је рационалан број. НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

uk a

ДА

Ed

4.

б) 3π cm2;

pr om

1.

239


Научићеш да одређујеш запремину ваљка и неких његових делова.

ЗАПРЕМИНА ВАЉКА

Ваљак, као и призма, има две базе.

n=3

n=4

pr om

o

Има ли разлике? За одређивање запремине ваљка користићемо својства њему сродног геометријског тела – призме. На сликама је приказан ваљак у који је уписана тространа, четворострана, петострана, шестострана и седмострана призма.

n=5

Слика 1

n=6

n=7

uk a

Приметимо да, са повећањем броја основних ивица призми, разлика између површина основе ваљка и површине основе призме све је мања. Такође, можемо наслутити да ће за довољно велико n (број основних ивица правилне призме), разлика између запремина ваљка и запремине призме бити занемарљива.

Ed

Испоставља се да се запремина ваљка може рачунати на исти начин као и запремина призме. Запремина правог ваљка површине базе B и висине H једнака је V = B ∙ H. Ако је полупречник основе ваљка r, а висина H, запремина ваљка једнака је V = r2π ∙ H. Пример 1

H

B = r2π

Слика 2

Запремина ваљка полупречника 4 cm и висине 5 cm једнака је V = r2π ∙ H = 42π ∙ 5 = 80π cm3. Пример 2

Одредићемо запремину ваљка који је уписан у правилну четворострану призму основне ивице 8 cm и висине 10 cm. 240


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Решење:

8 = 4 cm. Висина 2 ваљка је H = 10 cm, па је његова запремина V = r2π ∙ H = 42π ∙ 10 = 160π cm3. Основа ваљка је уписана у основу призме, па је полупречник ваљка r =

Пример 3

Одредићемо запремину правог ваљка чији је осни пресек квадрат у зависности од: а) полупречника основе ваљка; б) висине ваљка.

o

Решење: а) Важи H = 2r, па је запремина ваљка једнака V = r2π ∙ (2r) = 2r3π. 2 H H⎫ 1 ⎧ б) Из H = 2r, имамо r = , па је запремина ваљка једнака V = π ∙ H = H3π. 2 4 ⎩2⎭

pr om

Пример 4

Ваљак висине H = 18 cm је двема равнима, које су паралелне његовим основама, подељен на три права ваљка, чије су запремине у односу 1 : 2 : 3. Одредићемо висине тако добијених ваљака.

H1 H2 H3

Ed

uk a

Решење: Означимо са V1, V2 и V3 запремине новодобијених ваљака, а са H1, H2 и H3 њихове висине, као на слици. Нека је V1 : V2 : V3 = 1 : 2 : 3. Ова пропорција важи ако важе пропорције V1 V 1 V 1 2 и 2 = . = , 1 = V2 V V 2 3 3 3 3 2 r πH V 1 1 Из 1 = , имамо 2 1 = , одакле је r πH V2 2 2 2 H1 1 . = H2 2

Слика 3 H1 H2 1 2 Слично важи и = = . H3 H3 3 3 Дакле, важи продужена пропорција H1 : H2 : H3 = 1 : 2 : 3. Како је и H1 + H2 + H3 = 18 cm, тражене висине су H1 = 3 cm, H2 = 6 cm и H3 = 9 cm.

241


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 5 Одредићемо површину и запремину тела са слике. Решење: Како приказано тело представља четвртину одговарајућег ваљка, то ће и запремина тела бити једнака четвртини запремине ваљка: 1 1 V = r2 π ∙ H = ∙ 82 π ∙ 12 = 192π cm3. 4 4

12 cm

8 cm

Слика 4

pr om

o

Површина приказаног тела једнака је збиру четвртине површине омотача, површине два правоугаоника и половини површине основе ваљка: 1 1 1 P = ∙ 2rπ ∙ H + 2 ∙ r ∙ H + r2 π = ∙ 2 ∙ 8π ∙ 12 + 2 ∙ 8 ∙ 12 + 32π = 80π + 192 = 16(5π + 12) cm2. 4 2 4

Пример 6

Ed

uk a

Одредићемо масу дела гвоздене цеви приказане на Слици 5 ако је густина гвожђа 7,8 g/cm3 и π ≈ 3,14. Резултат ћемо заокруглити на целе бројеве. Решење: Запремина цеви једнака је разлици запремина већег и мањег ваљка, тј. V = 32 π ∙ 6 – 22 π ∙ 6 ≈ 94,2 cm3. Маса цеви је једнака m = V ∙ ρ = 94,2 ∙ 7,8 = 734,76 g ≈ 735 g.

1 cm

4 cm 6 cm

Слика 5

ВЕЖБАМО

1.

2.

Обим основе ваљка је 16π cm, а осни пресек ваљка је квадрат. Одреди запремину тог ваљка. Површина ваљка је 96π cm2, а полупречник основе r = 4 cm. Одреди запремину ваљка.

Помоћ?

242

У задатку је дат полупречник основе ваљка. За одређивање његове запремине потребно је само да одредиш ................ ваљка. Заменом једнакости по којој рачунаш његову површину добићеш једначину из које можеш да одредиш ................ ваљка. Остаје још да вредности замениш у једнакост V = r2π ∙ H.


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

3.

4.

Један ваљак је описан, а други уписан у правилну шестострану призму основне ивице 2 cm и висине 10 cm. Одреди површину и запремину тела које настаје када се из већег ваљка издуби мањи. Одреди густину материјала од којег је направљена кованица пречника 28 mm и дебљине 2,1 mm. Маса кованице је 9 g. Узети π ≈ 3,14 и резултат заокруглити на целе бројеве.

pr om

o

5.

Пластелин запремине 19,6π cm3 обликован је у ваљак висине 10 cm. Одреди дужину пречника основе тог ваљка.

Проверавамо своје знање (5 минута)

3.

а) 12π cm3;

б) 6π cm3;

в) 4π cm3.

uk a

2.

Запремина ваљка полупречника основе 2 cm и висине 3 cm је:

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина базе ваљка је 49π cm2, а површина омотача 28π cm2. Запремина тог ваљка је:

а) 49π cm3;

б) 196π cm3;

Ed

1.

в) 98π cm3. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ваљак је подељен двема равнима, које су паралелне равни основе, на три ваљка једнаких висина. Запремине сва три ваљка међусобно су једнаке. ДА

4.

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Запремина ваљка уписаног у коцку ивице 4 cm је: а) 8π cm3;

б) 16π cm3;

в) 64π cm3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

243


Упознаћеш се са појмом купе и њеним основним елементима. Научићеш да одредиш површину осног пресека купе.

КУПА – ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ

o

Конус или фишек? Породица Јокић је направила план управљања производњом органског кукуруза кокичара, по наруџбини. Планом је обухваћено и продајно место на коме ће се продавати кокице, а за које је задужена најстарија сестра Анђела. Она је, поред прегледа корисности машина на дневном и недељном нивоу, направила преглед потреба за материјалом на дневном и недељном нивоу. На основу тога, предвидела је да кокице пакује у папирне фишеке, који су и финансијски и еколошки прихватљива амбалажа. Многи објекти који нас окружују имају облик фишека: корнет за сладолед, папирне рођенданске капе и сл. и за њих кажемо да су купастог облика.

pr om

Ни купа није полиедар.

Конусна површ; купа

uk a

Посматрајмо раван α и тачку S која јој не припада (Слика 1). Нека је тачка O ортогонална пројекција тачке S на раван α и нека је k произвољна кружница у тој равни чији је центар тачка O. Све праве које садрже тачку S и са кружницом k имају заједничку тачку описују површ која се назива конусна �оврш. S

Ed

Права купа

S

Коса купа

k

α

A

O

B

Слика 1

k C α

� v

A

O

C B

Слика 2

Дефиниција 1 Геометријско тело ограничено кругом и делом конусне површи назива се ку�а.

244


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Елементи купе врх

S висина

ОМОТАЧ

БАЗА

Круг одређен кружницом k (Слика 1) је основа (база) ку�е, док је део конусне површи омо�ач ку�е. Тачка S је врх ку�е. Растојање врха купе од равни основе назива се висина ку�е. Дужи чија је једна крајња тачка S, а друга припада кружници k називају се изво�нице ку�е. Дужи SA, SB и SC су неке од изводница купе (Слика 1).

изводница

H

s

r полупречник основе

Слика 3

Врсте купа

pr om

o

На Слици 1 приказана је �рава ку�а. Ортогонална пројекција врха купе на раван основе је центар основе купе. Теорема 1

Изводнице праве купе су једнаких дужина.

Ротација

uk a

� Транслацијом основе праве купе за вектор v , који није нормалан на раван основе, добија се коса ку�а (Слика 2). Изводнице косе купе нису једнаких дужина. Бавићемо се искључиво правом купом, па ћемо често уместо �рава ку�а рећи само ку�а.

Ed

Правоугли троугао чије су катете a и b и хипотенуза c ротира око катете a. На тај начин настаје права купа висине a, изводнице c и полупречника основе b, па купа, као и ваљак, спада у ро�ационо (обр�но) �ело.

Слика 4

245


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пресеци купе и равни На Слици 5 су приказани неки пресеци купе и равни. б)

pr om

Слика 5 Оса и осни пресек праве купе

в)

Нека је дата права купа полупречника r, висине H и изводнице s (Слика 6). Права p, одређена врхом купе и центром њене основе, назива се оса ку�е. Пресек купе и равни која садржи њену осу је троугао који се назива осни �ресек ку�е. Осни пресек купе је једнакокраки троугао чија је основица пречник основе, а краци њене изводнице. Висина која одговара основици овог троугла једнака је висини купе.

uk a

s H

2r

Слика 6

Ed

Пример 1

p

s

Површина осног пресека праве купе

Површина осног пресека купе висине H и полупречника основе r једнака је 1 Pop = ∙ 2r ∙ H = rH. 2 Троугао ∆SOB на Слици 7 је правоугли, па на основу Питагорине теореме важи s2 = H2 + r2.

г)

o

a)

S

s

s H

A

r

O

r

B

Слика 7

Правоугли троугао чија је хипотенуза c = 25 cm, а једна катета a = 15 cm ротира око дуже катете. Одредићемо дужине изводница, полупречника основе и висину купе која притом настаје. 246


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Решење: Ако другу катету означимо са b, на основу Питагорине теореме добијамо да је b = 20 cm. Дужина изводнице купе једнака је дужини хипотенузе овог троугла, па је s = 25 cm. Полупречник основе једнак је дужини краће катете, па је r = 15 cm, док је висина купе једнака дужини дуже катете, тј. H = 20 cm. Пример 2

Површина осног пресека купе полупречника 12 cm и висине 15 cm је Pop = rH = 12 ∙ 15 = 180 cm2. Пример 2.1

3 cm2. Одредићемо пречник основе купе ако је H = 3 cm. 5

o

Површина осног пресека купе је 12

pr om

Решење: 3 Заменом вредности у једнакости Pop = rH, добијамо 12 = r ∙ 3, одакле је r = 4,2 cm. Пречник 5 основе је, дакле, 2r = 8,4 cm. Пример 3

Осни пресек купе је једнакостранични троугао. Одредићемо површину тог пресека у зависности од: а) полупречника основе купе; б) изводнице купе.

а) Pop =

uk a

Решење: Како је осни пресек купе једнакостранични троугао, то важи s = 2r. (2r)2 √3 s2 √3 = r2 √3. б) Pop = . 4 4

C

Ed

Пример 4

Једнакокраки троугао основице 10 cm и крака 13 cm ротира око симетрале основице. Одредићемо дужину изводнице и површину осног пресека купе која притом настаје. Решење: На Слици 8 дат је једнакокраки троугао ∆ABC, чија је основица AB = 10 cm и краци AC = BC = 13 cm.

A

O

B

Слика 8

Ротацијом овог троугла око симетрале основице настаје купа чија је изводница једнакa крацима овог троугла. Пречник основе те купе једнак је основици троугла, док је висина купе једнака висини троугла која одговара основици. Дакле, s = 13 cm и 2r = 10 cm. На основу Питагорине теореме, имамо H = 12 cm. Површина осног пресека купе једнака је Pop = rH = 5 ∙ 12 = 60 cm2. 247


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

ВЕЖБАМО 1. 2.

Одреди површину осног пресека праве купе полупречника основе 7 cm и висине 14 cm. Правоугли троугао чије су катете 9 cm и 12 cm ротира око:

а) краће,

б) дуже катете.

Одреди полупречник основе, висину и изводницу тако добијене купе. Осни пресек праве купе је једнакостранични троугао чија је: а) страница 4 cm, б) висина 4√3 cm. Одреди полупречник основе и изводницу те купе.

o

3.

Види Пример 3 у овој лекцији. А) Основица осног пресека је ................ основе купе. Како је осни пресек купе у задатку ......................... троугао, то је s = ............. √3 Б) Висина једнакостраничног троугла странице a једнака је h = ........ . 2

Осни пресек купе је једнакокраки правоугли троугао чија је хипотенуза 6√2 cm. Одреди полупречник основе, висину и изводницу те купе.

uk a

4.

pr om

Помоћ?

1.

2.

Ed

Проверавамо своје знање (5 минута) Површина осног пресека купе полупречника 3 cm и висине 5 cm је: а) 7,5 cm2;

б) 8 cm2;

в) 15 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Правоугли троугао чије су катете 6 cm и 8 cm ротира око једне од катета. Дужина изводнице купе која притом настаје је:

3.

4.

а) 10 cm;

б) 12 cm;

в) 4 cm.

ДА

НЕ

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Осни пресек праве купе нормалан је на раван основе. (Заокружи тачан одговор.)

Сви осни пресеци праве купе међусобно су подударни. ДА

248

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)


Научићеш да одређујеш мрежу и површину купе.

МРЕЖА И ПОВРШИНА КУПЕ

Амбалажа На сликама је приказан модел праве купе. Омотач представља Анђелину амбалажу у којој ће продавати кокице. Ако овај омотач расечемо по једној од изводница и изрежемо круг који чини основу модела, добијамо фигуру у равни која се састоји из кружног исечка и круга.

pr om

o

О М О ТАЧ

БАЗА

Слика 1

Изводнице праве купе су једнаких дужина, па је њен омотач, развијен у равни, заправо кружни исечак.

uk a

Мрежа праве купе полупречника основе r и изводнице s јесте фигура у равни састављена од кружног исечка полупречника s и круга полупречника r (Слика 2).

Ed

Дужина кружног лука l, кружног исечка који одговара омотачу, једнака је обиму основе купе. Нека је α централни угао кружног исечка (омотача купе).

s α r

s l

Слика 2

2sπ 2sπ Како је l = ∙ α, а мора бити и l = 2rπ, то из једнакости ∙ α = 2rπ закључујемо 360° 360° sα r= , што указује на то да је задавањем кружног исечка мреже купе задата и основа те 360° купе, а самим тим и њена мрежа. Конструкција Конструисаћемо мрежу купе чијем омотачу одговара кружни исечак централног угла од 45° и полупречника 8 cm. 249


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Конструисаћемо најпре угао од 45° чије је теме тачка S, а затим у области тог угла конструисаћемо и кружни исечак полупречника 8 cm. sα добијамо полупречник Из једнакости r = 360° основе купе r = 1 cm. На произвољној полуправој у области конструисаног угла, чији је почетак тачка S, конструишимо тачку O тако да је SO = s + r = 9 cm. Остаје да се конструише кружница са центром у тачки O и полупречником r.

S

O

45°

Слика 3

o

Површина праве купе

s

pr om

Фигура у равни која представља мрежу купе омогућава да једноставније одредимо формулу за израчунавање површине те купе. Посматрајмо Слику 4. Ако словом B означимо површину базе купе, а словом M површину омотача, тада ће површина купе бити једнака P = B + M. Површина базе је B = r2 π.

M

s

r

uk a

B

Ed

Површина омотача једнака је површини Слика 4 одговарајућег кружног исечка, па је s2 π ∙ α. M= 360° s∙l Последња једнакост се може записати у облику M = . Како је дужина лука l једнака 2 s ∙ 2rπ обиму основе купе, то важи M = = srπ. 2 Дакле, P = B + M = r2 π + rsπ = rπ(r + s).

Пример 1

На Слици 3 приказана је мрежа купе чија је површина једнака P = 1 ∙ π ∙ (1 + 8) = 9π cm2.

Пример 2

Обим основе праве купе је 10π cm. Ако је висина те купе 12 cm, одредићемо њену површину. Решење: Из 2rπ = 10π, имамо, r = 5 cm. На основу Питагорине теореме, важи s2 = H2 + r2, одакле је s = 13 cm. Површина купе је једнака P = rπ(r + s) = 5π(5 + 13) = 90π cm2. 250


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 3 Једнакостранични троугао (Слика 5) површине 16√3 cm2 ротира око симетрале своје странице. Одредићемо површину купе која притом настаје.

s

s

r

r

Решење: s2 √3 = 16√3 добијамо 4 s = 8 cm, па је r = 4 cm. Важи s = 2r. Из

Површина купе је једнака P = rπ(r + s) = 48π cm2.

Слика 5

Пример 4

o

Омотачу купе одговара полукруг површине 8π cm2. Одредићемо површину ове купе.

pr om

Решење: s2 π ∙ 180° = 8π добијамо s = 4 cm. Како је M = rsπ, тј. 8π = r ∙ 4π, имамо да је r = 2 cm. Из 360° Површина купе је P = rπ(r + s) = 12π cm2.

Пример 5

uk a

Површина базе ку�е увек је мања о� �овршине њено� омо�ача. Заиста, како важи r < s, то је тачна неједнакост rπ < sπ, тј. r2 π < rsπ. Дакле, B < M.

Ed

Тело са Слике 6 чини ваљак и две подударне купе чије се основе поклапају са основама ваљка. Ваљак и купе имају заједничку осу (права p). Ако је осни пресек тог тела правилни шестоугао странице 6 cm, одредићемо површину тела.

Решење: Површина тела једнака је збиру површина двају омотача купе и омотача ваљка.

H

s

r

r

s

p s

s

H

Слика 6

Изводница купе је страница правилног шестоугла, па је s = 6 cm, док је полупречник основе купе, уједно и полупречник основе ваљка, једнак половини краће дијагонале правилног s√3 6√3 шестоугла, па је r = = = 3√3 cm. 2 2 Висина ваљка једнака је дужини странице правилног шестоугла, тј. H = 6 cm. Површина тела је P = 2rsπ + 2rπH = 2rπ(s + H) = 2 ∙ 3√3 π(6 + 6) = 72√3 π cm2.

251


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

ВЕЖБАМО 1. 2.

3.

3 Омотачу праве купе одговара круга полупречника 10 cm. Одреди полупречник, висину 5 и изводницу те купе. Одреди површину купе чија је изводница 7 cm, а полупречник основе 4 cm.

Правоугли троугао чије су катете 8 cm и 15 cm ротира око: а) краће; б) дуже катете. Одреди површину тако добијене купе.

5.

Осни пресек купе је једнакостранични троугао странице x. Одреди површину купе у зависности од x.

Како је осни пресек купе ......................... троугао странице x, то је s = ......... Страница овог троугла је ......................... основе купе, а то значи да је r = ......... Сада је P = ................ π(........ + ........) ...

uk a

Помоћ?

Из правог ваљка полупречника основе 7 cm и висине 24 cm издубљена је права купа чија је основа подударна са основом ваљка и висина једнака висини ваљка. Одреди површину тако добијеног тела.

Ed

6.

pr om

o

4.

Конструиши мрежу праве купе чија је изводница 4 cm, а полупречник основе 1 cm.

252


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Која од следећих фигура може представљати мрежу купе?

3.

г)

Површина купе чија је изводница 2 cm, а полупречник основе 1 cm је: а) 4π cm2;

б) 3π cm2;

в) 6π cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина омотача купе увек је већа од површине њене базе. ДА

НЕ

(Заокружи тачан одговор.)

Две подударне купе образују тело као на слици. Ако је r полупречник основе, а s изводница и једне и друге купе, тада је површина тела једнака: а) 2r2 π;

б) rsπ;

в) 2rsπ.

Ed

4.

в)

uk a

2.

б)

pr om

a)

o

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

253


Научићеш да одређујеш запремину купе.

ЗАПРЕМИНА КУПЕ

На сликама су приказане купе у којима су, редом, уписане тространа, четворострана, петострана, шестострана и седмострана пирамида (врх пирамиде поклапа се са врхом купе, а основа пирамиде је уписана у основу купе).

n=4

n=5

n=6

n=7

o

n=3

Слика 1

pr om

Слично поступамо као и у случају поређења ваљка и одговарајуће призме. Наиме, са повећањем броја основних ивица пирамиде, разлика између површине основе купе и површине основе пирамиде све је мања, а за довољно велико n биће занемарљиво мала. Купа и пирамида су сродна геометријска тела, тј. имају једну базу. Испоставља се да се и запремина купе може рачунати као запремина пирамиде.

Ed

r

uk a

Експериментално се може утврдити да је запремина праве купе једнака трећини запремине ваљка исте висине и полупречника основе (Слика 2).

H

r

H

H

H

r

r

Слика 2 Дакле, запремина праве купе површине базе B и висине H једнака је 1 V = BH. 3 1 Запремина праве купе полупречника основе r и висине H једнака је V = r2 πH. 3 Пример 1

Запремина праве купе полупречника основе 3 cm и висине 5 cm једнака је 1 1 V = r2 πH = ∙ 32 π ∙ 5 = 15π cm3. 3 3 254

1 H 3


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 2 Обим основе праве купе је 20π cm, а површина њеног омотача 260π cm2. Одредићемо запремину те купе. Решење: Из 2rπ = 20π добијамо r = 10 cm. Како је rsπ = 260π, то важи s = 26 cm. На основу Питагорине теореме, важи H2 = s2 – r2, одакле је H = 24 cm. 1 Запремина купе једнака је V = ∙ 102 π ∙ 24 = 800π cm3. 3 Пример 3

o

Из ваљка је издубљена купа. Основа те купе се поклапа са основом ваљка, а врх са центром наспрамне основе ваљка (Слика 3). Одредићемо однос запремина ваљка и тако добијеног тела.

pr om

Решење: Слика 3 Запремина ваљка је VV = BH, док је запремина 1 2 купе Vk = BH. Запремина тела насталог издубљивањем је VT = VV – Vk = BH. 3 3 VV 3 B∙H Тражени однос је = = . VT 2 B∙H 2 3 Пример 4

Решење:

uk a

Купа је уписана у тетраедар ивице a. Одредићемо запремину те купе у зависности од a.

Купа је уписана у пирамиду ако је основа купе уписана у основу пирамиде, а врхови им се поклапају.

Основа купе је уписана у основу тетраедра, па је полупречник основе купе једнак r =

Ed

a√6 Показали смо да је висина тетраедра ивице a једнака H = . 3 2 1 a√3 ⎫ a√6 a3 √6 π Запремина купе једнака је V = ⎧ = π∙ . 3⎩ 6 ⎭ 3 108

a√3 . 6

Пример 5

Одредићемо површину и запремину тела са Слике 4. Решење: Ако са H означимо висину купе, тада важи H2 = s2 – r2, па је H = 16 cm. Површина тела једнака је збиру површина омотача купе, омотача ваљка и основе ваљка: P = rsπ + 2rπHV + r2 π = 984π cm2, где смо са HV означили висину ваљка. Запремина тела једнака је збиру запремина купе и ваљка: 1 V = ∙ 122 π ∙ 16 + 122 π ∙ 25 = 4368π cm3. 3

20 cm

12 cm

25 cm

Слика 4 255


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

ВЕЖБАМО

4.

5. 6.

Висина купе је 4√3 cm, а изводница два пута дужа од полупречника основе. Одреди запремину купе. Одреди запремину купе чији је осни пресек једнакостранични троугао странице: а) 2 cm; б) x cm.

o

3.

Површина основе купе је 25π cm2, а висина једнака пречнику основе. Одреди запремину купе.

Помоћ потражи у 5. задатку из претходне лекције!

pr om

2.

Одреди запремину купе чији је полупречник основе 4 cm, а висина 6 cm.

Купа је описана око тетраедра ивице 3 cm. Одреди запремину купе.

Из коцке ивице 6 cm издубљена је права купа. Основа купе уписана је у страну коцке, а врх купе припада наспрамној страни коцке. Одреди запремину тако добијеног тела.

uk a

1.

Проверавамо своје знање (5 минута)

2.

Запремина купе полупречника основе 1 cm и висине 3 cm је: а) π cm3;

б) 2π cm3;

Ed

1.

в) 3π cm3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Висина купе је два пута краћа од висине ваљка. Ако су основе ваљка и купе подударне, однос њихових запремина једнак је:

3.

а) 1 : 3;

б) 6 : 1;

в) 3 : 1.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Двe купе образују тело као на слици. Запремина тела једнака је: а) 54π cm3;

б) 72π cm3;

в) 36π cm3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

4.

Запремина купе уписане у коцку ивице 6 cm је: а) 54π cm3;

б) 18π cm3;

в) 6π cm3.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 256

6 cm

3 cm

18π cm3


Упознаћеш се са појмом лопте и сфере, као и са особинама великог круга лопте. Научићеш да одређујеш површину пресека лопте и равни под одређеним условима.

ЛОПТА – ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ

pr om

o

Милошев развој У изобиљу играчака које су технолошки све напредније, Милошеви родитељи су одабрали лопту, играчку која је од давнина позната, а која ни данас не престаје да буде центар забаве. Њима је познато да игре са лоптом утичу на психофизички развој детета. У почетку је Милошева лопта била велика и мека. Касније су смањили величину лопте како би Милош могао да је пребацује из једне руке у другу. Са годину дана почео је да хвата лопту, а са три је научио и да је ухвати обема рукама. Сада Милош има четрнаест година и не раздваја се од своје кошаркашке лопте. Упознаћемо се са особинама Милошеве омиљене играчке. Сфера. Лопта

Ed

uk a

Са појмом кружнице и круга упознали смо се раније. На Слици 1 је приказан део путање црвене тачке која формира линију са особином да је свака тачка те линије подједнако удаљена од једне сталне тачке. Скуп свих тачака једне равни које су подједнако удаљене од једне сталне тачке те равни назива се кружница (Слика 2). Кружница дели раван на два дела. Унија кружнице и дела равни који је том кружницом ограничен назива се кру� (Слика 3).

Слика 1

Слика 2

Слика 3

Слика 4

Слика 5

Слика 6

Да ли све тачке које су подједнако удаљене од једне сталне тачке морају нужно припадати истој равни? Потреба за излажењем из равни (слике 4 и 5) доводи до формирања специјалне затворене површи, а самим тим и геометријског тела који је том површи ограничен (Слика 6).

257


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Дефиниција 1 Скуп свих тачака у простору које су подједнако удаљене од једне сталне тачке формирају затворену површ која се назива сфера. Геометријско тело ограничено том површи назива се ло��а.

Елементи лопте Тачка која је подједнако удаљена од свих тачака сфере назива се цен�ар сфере, тј. центар одговарајуће лопте.

o

Q

M

pr om

Дуж чија је једна крајња тачка центар сфере (лопте), а друга произвољна тачка која припада сфери, назива се �олу�речник сфере (ло��е). Полупречник сфере тј. лопте означавамо са r. Сферу са центром у тачки O и полупречником r означавамо са S(O, r), а одговарајућу лопту са L(O, r). На Слици 7 је приказана лопта L(O, r), за коју важе искази: а) O ∈ L(O, r) и O ∉ S(O, r); б) |MO| = |SO| = r; в) |PO| < r; г) Q ∉ L(O, r) и Q ∉ S(O, r).

O

P

S

Слика 7

uk a

Ротација

r

Ed

Круг полупречника r ротира око једне од својих оса (Слика 8). Добијено геометријско тело је лопта полупречника r. Дакле, лопта је ро�ационо (обр�но) �ело.

Слика 8 Пример 1 Одредићемо полупречник лопте која настаје ротацијом круга описаног око правоуглог троугла чије су катете 12 cm и 16 cm.

Решење: Полупречник круга описаног око правоуглог троугла једнак је половини хипотенузе. Ако са c означимо дужину хипотенузе, из c2 = 122 + 162, добијамо да је c = 20 cm. Тражени полупречник c 20 = 10 cm. је једнак r = = 2 2 258


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пресеци лопте и равни На Слици 9 приказани су неки пресеци лопте и равни.

Слика 9

pr om

o

Пресек лопте и равни може бити празан скуп, тачка или круг. Пресек лопте и равни која садржи центар те лопте назива се велики кру� ло��е. Полупречник великог круга лопте једнак је полупречнику те лопте. Кружницу која ограничава велики круг називамо великом кружницом. Полулопта

Велики круг лопте раздваја лопту на две �олуло��е. Полулопта је, дакле, геометријско тело ограничено великим кругом и полусфером.

велики круг

r

O

Истраживање

uk a

полусфера

Слика 10

Ed

Земљина кугла је један од модела лопте. Меридијани су замишљене линије које представљају велике кружнице те лопте. Да ли све паралеле одговарају великим кружницама?

Велики и „мали” круг Нека је лопта L(O, r) пресечена са равни која је од центра лопте удаљена за дужину d, d ≠ 0 (Слика 12). Пресек те равни и лопте је „мали” круг са центром у тачки O1 и полупречником r1 = O1M. Права која садржи тачке O и O1 нормална је на ту раван, па је троугао ∆OO1M правоугли. На основу Питагорине теореме, важи r2 = d2 + r12.

Слика 11

O1

r1

d

M r

О

Слика 12 259


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 2 Лопта L(O, 17 cm) пресечена је са равни која је од центра лопте удаљена 15 cm. Одредићемо површину пресека лопте и те равни.

Решење: Из једнакости r12 = r2 – d2 имамо r12 = 172 – 152, одакле је r1 = 8 cm. Површина пресека је P = r12 π = 64π cm2.

ВЕЖБАМО

3.

o

2.

Одреди полупречник лопте која настаје ротацијом око осе: а) круга пречника 6 cm; б) круга обима 10π cm; в) круга површине 49π cm2.

pr om

1.

Обим великог круга лопте је 12π cm. Одреди полупречник те лопте.

Дат је квадрат странице 4 cm. Одреди полупречник лопте која настаје када круг а) уписан у квадрат; б) описан око квадрата, ротира око своје осе. Помоћ?

5.

Лопта L(O, 20 cm) пресечена је са равни која је од центра лопте удаљена 16 cm. Одреди обим и површину пресека лопте и те равни.

Ed

4.

uk a

Покушај да самостално урадиш Пример 1 у лекцији, а затим прикажеш ротацију сликом.

Раван је од центра лопте удаљена 12 cm. Ако је њен пресек са лоптом круг површине 25π cm2, одреди обим и површину великог круга те лопте.

260


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Проверавамо своје знање (5 минута) За сваку тачку на сфери постоји тачно један велики круг који је садржи. ДА

Постоје три колинеарне тачке које припадају истој сфери. ДА

(Заокружи тачан одговор.)

Обим великог круга лопте је 18π cm. Полупречник те лопте је: а) 3 cm;

б) 6 cm;

в) 9 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Пресек лопте и равни, која је од њеног центра удаљена 2 cm, представља круг чији је полупречник једнак том растојању. Полупречник лопте је: а) 4 cm;

б) 2√2 cm;

в) 5 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

uk a

4.

НЕ

Ed

3.

(Заокружи тачан одговор.)

o

2.

НЕ

pr om

1.

261


ПОВРШИНА И ЗАПРЕМИНА ЛОПТЕ

Научићеш да одређујеш површину и запремину лопте.

Pсфере

=

2 ∙ Pполусфере

2 ∙ 16,6

33,2

≈ 4. 8,5 8,5 r2 π Испоставља се да овај однос важи за лопту произвољног полупречника. Pвеликог круга

=

pr om

o

Математичка секција Чланови математичке секције су добили задатак да путем експеримента одреде површину лопте задатог полупречника r. Зато су поделили лопту на две полулопте. Ученици су били подељени у две групе, при чему је једна група добила задатак да фарба равну површ полулопте (велики круг), а друга група заобљени део полулопте (полусферу). Свака група је имала на располагању исту количину фарбе, а задатак је био да након фарбања упореде количину потрошене фарбе. Наравно, претпоставка је да нема расипања фарбе и да обе групе фарбају под истим условима. Колико су фарбе потрошили, мерили су електронском вагом. Резултати мерења су следећи. За фарбање великог круга утрошено је приближно 8,5 g боје, док је за фарбање полусфере било потребно приближно 16,6 g боје. Како је однос површина полусфере и одговарајућег великог круга једнак односу утрошене количине фарбе за њихово фарбање, то је

Теорема 1

uk a

Површина лопте

Ed

Површина лопте полупрeчника r једнака је P = 4r2 π.

Пример 1

Површина лопте полупречника r = 3 cm једнака је P = 4r2 π = 4 ∙ 32 π = 36π cm2.

Пример 2

Површина великог круга лопте је 16π cm2. Одредићемо површину те лопте.

Решење: Како је површина лопте четири пута већа од површине њеног великог круга, то је површина лопте једнака P = 4 ∙ 16π = 64π cm2.

262


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 3 Одредићемо површину полулопте у зависности од полупречника r (Слика 1).

r

r O

Решење: Површина полулопте једнака је збиру површина великог круга и површине одговарајуће полусфере, па је тражена површина једнака 1 P = r2 π + ∙ 4r2 π = 3r2 π. 2

Слика 1

o

Запремина лопте

pr om

У циљу одређивања формуле за запремину лопте, поделићемо њену сферу на мале (заобљене) делове. Види Слику 2. Са довољно великим уситњавањем сфере, ти делови се могу сматрати и многоугловима које можемо посматрати као основе пирамида чији је врх центар лопте, а висина једнака полупречнику лопте.

uk a

Слика 2

Ed

Ако са B1, B2, B3,…, Bn означимо површине делова на које је сфера разложена, тада ће збир тих површина бити једнак површини лопте, дакле: B1 + B2 + B3 + ... + Bn = 4r2 π. 1 1 Запремина пирамиде чија је површина основе B1 једнака је V1 = B1 ∙ H = B1 ∙ r. 3 3 Запремина лопте ће у том случају бити једнака збиру запремина свих n посматраних пирамида, па важи 1 1 1 1 Vлопте = V1 + V2 + V3 + ... + Vn = B1 ∙ r + B2 ∙ r + B3 ∙ r + ... + Bn ∙ r = 3 3 3 3 1 1 4 = r ∙ (B1 + B2 + B3 + ... + Bn) = r ∙ 4r2 π = r3 π. 3 3 3 Теорема 2

Запремина лопте полупречника r једнака је V = Пример 4

4 3 r π. 3

Запремина лопте полупречника r = 3 cm једнака је V =

4 3 ∙ 3 π = 36π cm3. 3 263


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Пример 5 Одредићемо запремину лопте чија је површина 324π cm2.

Решење: Из 4r2 π = 324π имамо r2 = 81 одакле је r = 9 cm. Запремина лопте једнака је 972π cm3.

Пример 6

Одредићемо површину лопте чија је запремина 288π cm3.

Пример 7

1 4 3 2 ∙ r π = r3 π. 2 3 3

pr om

Запремина полулопте полупречника r једнака је V =

o

Решење: 4 3 Из r π = 288π добијамо r3 = 216, одакле је r = 6 cm. Површина лопте је једнака 3 P = 4 ∙ 62 π = 144π cm2.

Маса

Одредићемо масу гвоздене кугле пречника 4,8 cm. Густина гвожђа је 7,8 g/cm3 и π ≈ 3. Резултат ћемо заокруглити на једну децималу. Полупречник кугле је 2,4 cm, па је њена запремина једнака 4 ∙ 2,43 π ≈ 55,3 cm3. Маса кугле једнака је m = ρ ∙ V ≈ 7,8 ∙ 55,3 ≈ 431,3 g. 3

Пример 8

uk a

V=

Ed

Тело са Слике 3 се састоји из купе и полулопте. Ако је изводница купе s = 6√2 cm, одредићемо површину и запремину тела. Решење: На основу података са слике важи s = H√2 = r√2, па је H = r = 6 cm. Површина тела једнака је збиру површина омотача купе и површине полусфере, 1 па је P = rsπ + ∙ 4r2 π = 36(√2 + 2)π cm2. 2 Запремина тела једнака је збиру запремина купе и полулопте: V=

1 2 2 r πH + r3 π = 216π cm3. 3 3 264

s

H

O

Слика 3

r

45°


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Лопта и коцка За лопту кажемо да је у�исана у коцку ако све стране те коцке додирују лопту (Слика 4). Полупречник те лопте једнак је половини ивице коцке. Лопта је о�исана око коцке ако сва темена те коцке припадају сфери те лопте (Слика 5). Полупречник те лопте једнак је половини дијагонале коцке.

r

a r a

Слика 4

r

pr om

Лопта је уписана у коцку ивице 2 cm. Одредићемо површину и запремину те лопте.

o

Пример 9

Ротациона тела

a

r a

Слика 5

uk a

Решење: a 2 Полупречник лопте једнак је r = = = 1 cm 2 2 (Слика 4). Површина лопте једнака је P = 4 ∙ 12 π = 4π cm2, 4 4 а запремина јој је V = ∙ 13 π = π cm3. 3 3

Ed

Купа и лопта уписани су у ваљак (Слика 6). Збир запремина купе и лопте једнак је запремини ваљка. Заиста, како је Vваљка = r2 π ∙ 2r = 2r3 π и важи 2 4 Vкупе + Vлопте = r3 π + r3 π = 2r3 π, тврђење је 3 3 доказано. Осни пресек ваљка са Слике 6 јесте квадрат чија је страница једнака пречнику лопте.

Слика 6

265


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

ВЕЖБАМО

3. 4.

5.

Запремина лопте је 500 π cm3. Одреди: 3 а) површину лопте; б) обим великог круга. Површина полулопте је 192π cm2. Одреди запремину одговарајуће лопте.

o

2.

Одреди површину и запремину лопте чији је: а) полупречник 4 cm; б) пречник 6 cm; в) велики круг површине 25π cm2.

Одреди површину и запремину лопте која настаје ротацијом круга око своје осе ако је тај круг уписан у ромб висине 12 cm.

pr om

1.

Из ваљка чији је осни пресек квадрат површине 16 cm2 издубљена је полулопта чији је

велики круг подударан са основом ваљка. Одреди површину и запремину тако добијеног тела.

Поморанџа представља модел лопте полупречника 3 cm. Ако је дебљина коре поморанџе 0,5 cm, одреди проценат поморанџе који заузима кора. Узети π ≈ 3 и резултат заокруглити на једну децималу.

Ed

7.

Лопта је описана око коцке ивице 4√3 cm. Одреди површину и запремину те лопте.

uk a

6.

Проценат?

266

Кора поморанџе заузима запремину која представља разлику ......................... између укупне запремине поморанџе и дела који не припада кори. Запремина целе поморанџе је ........................., а запремина дела који не припада кори је .......................... Подсети се примене процената из шестог разреда.


ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Површина лопте полупречника 2 cm једнака је: а) 4π cm2;

б) 8π cm2;

в) 12π cm2;

г) ниједан од понуђених одговора.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина полулопте два пута је већа од површине великог круга. ДА

НЕ

4.

o

3.

32 Запремина лопте је 3 π cm3. Полупречник те лопте једнак је: а) 2 cm; б) 8 cm; в) 3 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) (Заокружи тачан одговор.)

pr om

2.

Лопта је описана око коцке дијагонале 9 cm. Полупречник те лопте једнак је: б) 3√3 cm;

в) 4,5 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ed

uk a

а) 4 cm;

267


Ed

uk a

pr om

o

ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА

268


Ed

uk a

pr om

o

РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

269


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

СЛИЧНОСТ САМЕРЉИВЕ И НЕСАМЕРЉИВЕ ДУЖИ 1. а) самерљиве; б) несамерљиве; 2. б) и г). 3. Јесу. 4. б), в), г). Тест: 1. ДА; 2. в); 3. б); 4. ДА.

в) самерљиве;

г) несамерљиве.

ПОДЕЛА ДУЖИ У ДАТОЈ РАЗМЕРИ

pr om

o

1. Упутство: Дуж б) најпре треба конструисати помоћу Питагорине теореме. Види помоћ. 2. Дату дуж треба поделити на 2 + 3 + 5 = 10 једнаких делова. Тражени делови су 2,2 cm, 3,3 cm, 5,5 cm. 3. Упутство: Најпре је потребно дуж поделити на а) три; б) шест; в) четири једнака дела. Види помоћ. Тест: 1. 2. б); 3. б); 4. в).

ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА

д)

x z = y t

a b = c d

б)

x z = x + y c+t

a b = e f

uk a

1. а)

ђ)

е)

t + z y+x = t y d+f b = c+e a

Ed

2. x = 4 cm, y = 5 cm, z = 10 cm. 3 3 3. x = 4 cm, y = 2 cm. 3 3 4. H = 12 m. Тест: 1. б); 2. в); 3. в); 4. а) и в).

в)

ПРИМЕНА ТАЛЕСОВЕ ТЕОРЕМЕ 1. Види Пример 3 на страни 27. 2. б) Упутство: Конструисати дуж y тако да важи y : a = (a + b) : 1. 3. Нису паралелне. 4. P = 6. Тест: 1. в); 2. НЕ; 3. ДА; 4. в).

270

г) ж)

x+y y = t+z t

a + c + e b+d+f = a+c b+d


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА 1.

2,5 cm 36°

3 cm

3 cm

36°

2,5 cm

2 cm

90°

x

x

4 cm

x 2 cm 3 cm

2√3 cm

90°

90°

60°

2,4 cm

2,4 cm

2. ДА;

3. ДА;

pr om

Тест: 1. б);

60°

P1 3. k = 3 , = 9 . 4. Три пара сличних троуглова. 2 4 P2 6. Троуглови ∆CGB и ∆ACD су троуглови са унутрашњим угловима 30°, 60°, 90°.

2. x = 3,84 cm, y = 2,56 cm, z = 3,2 cm. 5. 7,2 m.

3 cm

o

90°

4. а), в), г).

СТАВОВИ СЛИЧНОСТИ ТРОУГЛОВА

Ed

uk a

1. а) Како је 4 ≠ 4,5 , ови троуглови нису слични; 10 12,5 б) Угао код темена A је заједнички за ова два троугла, па ће, на основу става УУ, они бити слични; в) Како је 12 = 9,6 и углови наспрам дужих страница једнаки, на основу става ССУ, ови 8 10 троуглови ће бити слични; г) Углови код темена C и Q су једнаки као унакрсни, док су углови код темена A и M једнаки као периферијски углови над истим луком. Дакле, на основу става УУ, ови троуглови су слични. унакрсни углови 2. Троуглови су слични на основу става УУ. Види Слику 1. C 3. Да. 4. x = 8 cm. 5. Упутство: Испитај пропорционалност одговарајућих страница. Четвороугао ABCD је трапез. √13 √39 6. x = ,y= . 4 7 Тест: 1. НЕ; 2. в); 3. НЕ; 4. ДА.

B

B1

A углови са паралелним крацима

C1

Слика 1

271


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

ПРИМЕНЕ СЛИЧНОСТИ p

1,8

q h

1,96

3,2

12,8

23,04

3

12

7

2,4

a

7,2

b

4

c

5

2. 3 . 4 Задаци 3, 4, 5: Погледај Пример 2 (48. страна).

6,72

9,6 16

24 25

20

pr om

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

o

1.

ОДНОС ТАЧКЕ И ПРАВЕ, ТАЧКЕ И РАВНИ

Слика 2

Слика 3

Ed

uk a

1. 10 правих. 2. а) 13 правих; б) 10 правих. n (n – 3) . 3. 2 4. Најмање је одређено 6 правих (Слика 2), а највише 10 правих (Слика 3). 5. а) 6 правих; б) 4 праве. 6. 28 правих и 20 равни. 7. 9 тачака. Тест: 1. ДА; 2. а); 3. б); 4. б).

ОДНОСИ ПРАВИХ, МИМОИЛАЗНЕ ПРАВЕ, ОДРЕЂЕНОСТ РАВНИ 1. в). 2. 3 равни (Слика 4). 3. Најмање 1 раван (Слика 5), а највише 4 равни (Слика 6). 4. Може бити одређена 1 раван (Слика 7) или 2 равни (Слика 8). Тест: 1. НЕ; 2. в); 3. а); 4. в). Слика 4

Слика 5 272

Слика 6

Слика 7

Слика 8


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

ОДНОСИ ПРАВЕ И РАВНИ 1. а) Mимоилазне су. Права p(C, C1) припада равни β(D, C, C1). Права p(A1, D1) продире раван β(D, C, C1). б) б1) β1(A1, B1, C1), β2 (A, B, C); б2) β1 (A, B, B1), β2(B, B1, C); в) четири праве: p(A, A1), p(B, B1), p(C, C1), p(D, D1); г) само једна права p(B, B1). 2. 2√5 cm. 3. SA = 10 cm, SB = √89 cm, SC = 4√5 cm. Тест: 1. ДА; 2. НЕ; 3. б), в); 4. ДА.

ОДНОС ДВЕЈУ РАВНИ. ДИЕДАР

pr om

o

1. а) 3 равни: α(A, B, B1), β(B, C, C1), γ(B, B1, D); б) α(A, B, B1) (поклапа се са равни α), δ(A, B, C) (сече раван α), ε(A1, B1, C1) (сече раван α), ρ(C, C1, D) (паралелна је равни α); в) β(B, C, C1) (поклапа се са равни β), δ(A, B, C) (сече раван β), ε(A1, B1, C1) (сече раван β), π(A, A1, D) (паралелна је равни β); г) α(A, B, B1) и γ(B, B1, D), δ(A, B, C) и φ(A, B1, C1). Угао који заклапају ове равни је оштар, јер је то угао између странице и дијагонале одговарајућег правоугаоника (правоугаоник ABCD и правоугаоник AA1BB1) који представља страну квадра. Тест: 1. НЕ; 2. ДА; 3. НЕ; 4. НЕ.

ОРТОГОНАЛНА ПРОЈЕКЦИЈА НА РАВАН

4√2

4

Ed

α(A, B, C)

uk a

1. а) тачка D; б) дуж CC1; в) тачка B. 2. а) тачка O; б) дуж OT; в) дуж TO; г) тачка O. 3. AB = 10 cm. 4. дуж EG FG HO HB раван β(E, A, D)

4

4

Тест: 1. ДА; 2. б); 3. в); 4. а).

2√2 2

4√2 4√2

ПОЛИЕДАР Тест: 1. НЕ; 2. в); 3. в); 4. б).

273


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ ЕКВИВАЛЕНТНИ ИЗРАЗИ. ПОЈАМ ЈЕДНАЧИНЕ

o

1. а) R; б) R; в) R ∖ {4}. 2. а) нису еквивалентни; б) нису еквивалентни; в) еквивалентни су. 3. На пример: 4x + 2 = 0, 1 – x = 1. 4. Једначина 0 ⋅ x = 7 нема решења. 2 Једначина 2x + x = 3x има бесконачно много решења. Решење је свако x ∈ R, на пример x = 1000. Тест: 1. б); 2. НЕ; 3. ДА; 4. а).

1.

pr om

ЕКВИВАЛЕНТНЕ ЈЕДНАЧИНЕ. ПОЈАМ ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ 4x + 5 = 17

x2 = 9

2x – 5 = 21

x+1=0

|x|= 3 1 x = 6,5 6– 2 1 x ∙ ( – 0,785) = 0 2

x=3

0 = 19x

uk a

x – 13 = 0

2. а) еквивалентне су; б) нису еквивалентне; x + 5 3. 2x – 17 = 5x, – 1 = 2,7, √2 x + 5 = 3x. 7

в) еквивалентне су.

Ed

РЕШАВАЊЕ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ 1. a) x = 5, б) x = –1,1, в) a = 16. 2. Марко је за учење биологије издвојио 180 минута, односно 3 сата. 3.

0,2x – 1 ∙ (x – 1) = 4,2x 2 2x – 5 ∙ (x – 1) = 42x 2x – 5x + 5 = 42x – 3x – 42x = – 5 – 45x = – 5 x= 1 9

274

1 /∙ ⎧ 45⎫ ⎩ ⎭

/ ∙ 10

4. а) x = 3 ; б) x = 1 или x = 5; в) x = 3 ; 2 3 2 13 1 г) x = 5 или x = ; д) x = –2. 5 Тест: 1. НЕ; 2. ДА; 3. НЕ; 4. б).


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

ПРИМЕНА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ 1. а) x = 23, б) x = 30. 2. 55 динара. 3. Број 24. 4. 70°, 35°, 210°. 5. O = 56 cm, P = 84 cm2.

6. Цена карте је износила 200 динара.

ПОЈАМ И РЕШЕЊЕ ЛИНЕАРНЕ НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

1. припада; 2. На пример: 10a + 3 ≤ 0, 0,7 – a ≥ 1. Тест: 1. ДА; 2. НЕ; 3. НЕ; 4. ДА.

РЕШАВАЊЕ ЛИНЕАРНИХ НЕЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

2. a) x ∈ R;

б) a > 1 2 . 3

5 2

5 4. x < – 11 .

5. x = –1.

ПРИЗМА

2 13

6. 15.

15

3. а) –2 < x < 8 ; 3

7. 7 и 9.

uk a

x∈R

2

в) a ≥ 15;

г) x < –

o

б) x ≤ 2;

pr om

1. а) x < 5 ; 2

–2

8. y = 3 cm.

8 3

1 9

1 . 9

б) x ≤ 6 или x ≥ 10. 6

10

Ed

ПРИЗМА – ПОЈАМ, ЕЛЕМЕНТИ И ВРСТЕ 1. а) шест; б) правоугаоник; в) шестоугао; г) квадар; д) правилни; ђ) три; е) осам; ж) петнаест, пет, десет. 2. а) не постоји таква призма; б) деветострана призма; 3. Не постоји таква призма. 4. Тело може имати најмање 6 темена, а највише 10 темена. Тест: 1. ДА; 2. НЕ; 3. НЕ; 4. б).

ДИЈАГОНАЛЕ И ДИЈАГОНАЛНИ ПРЕСЕЦИ ПРИЗМЕ 1. D = 3√3 cm,

2. ODP = 8(3 + √2) cm. PDP = 48√2 cm2.

3. Дужа дијагонала призме је

D1 = a√5, а краћа D2 = 2a. За a = 3√5 cm њихове дужине су D1 = 15 cm и D2 = 6√5 cm.

4. Површина мањег дијагоналног пресека је 18√3 cm2. Дужина дуже дијагонале призме је 6√2 cm, а краће 3√7 cm. Тест: 1. а); 2. ДА; 3. б); 4. а). 275


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

МРЕЖА ПРИЗМЕ

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

60°

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

Слика 11

276

5 cm

5 cm

2,5 cm

5 cm

5 cm

2,5 cm

5 cm

5 cm

8 cm

5 cm

Слика 10

3 cm

Ed

3 cm

3 cm

8 cm

uk a

Слика 9

2 cm

5 cm

5. Види Слику 11.

pr om

2 cm

4. Види Слику 10.

o

1. Види Слику 9. 2. a = 5 cm. Као у задатку 1. 3. Ивице квадра су дужина 6 cm, 8 cm и 10 cm. 6. a = 5 cm, H = 25 cm (Слика 12). Тест: 1. б), в); 2. НЕ; 3. НЕ; 4. ДА.

3 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm 5 cm 5 cm

25 cm

25 cm

5 cm

5 cm

5 cm 5 cm 5 cm

5 cm

Слика 12


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

ПОВРШИНА ПРИЗМЕ 1. а) D = 4√3 cm; б) PDP = 16√2 cm2; в) P = 96cm2. 2. P = 158 cm2. 3. P = 408 cm2. 4. P = 358 cm2. √3 + 3⎫ . За a = 2√2 cm, P = 4(√3 + 6) cm2; б) P = 3a2 (√3 + 2). За a = 2√2 cm, 5. а) P = a2 ⎧ 2 ⎩ ⎭ P = 24(√3 + 2) cm2. 6. PDP = 104√2 cm2. 7. P = 288√3 cm2. 8. P = 3(47 + 10√2) cm2. 9. а) P = 12(10 + 3√3) cm2; б) P = 32(3 + 4√3) cm2; в) P = 8(12 + 7√3) cm2; г) P = 16(12 + √3) cm2. Тест: 1. а); 2. в); 3. в) ; 4. б).

ПИРАМИДА

3. V = 27 cm3.

4. V = 3 cm3.

5. ρ ≈ 10,5 g.

pr om

1. V = 50 cm3. 2. V = 192√3 cm3. Тест: 1. б); 2. в); 3. а); 4. в).

o

ЗАПРЕМИНА ПРИЗМЕ

ПИРАМИДА – ПОЈАМ, ЕЛЕМЕНТИ И ВРСТЕ

uk a

1. а) 22 ивице, 12 темена и 12 страна; б) 28 ивица, 15 темена и 15 страна; в) 40 ивица, 21 теме и 21 страна. 2. Реч је о шеснаестостраној пирамиди, која има 32 ивице и 17 темена. 3. 11 темена. 4. Реч је о деветостраној пирамиди. 5. h2 = 6√2 cm, h1 = 10 cm. Тест: 1. ДА; 2. НЕ; 3. НЕ; 4. НЕ.

Ed

ЈЕДНАКОИВИЧНЕ И ПРАВИЛНЕ ПИРАМИДЕ

1. H = 4√6 cm. 2. a = 6√2 cm. 5. s = 12√3 cm, h = 3√39 cm. Тест: 1. НЕ; 2. а); 3. а); 4. в).

3. a = 6√3 cm.

4. s = 5√2 cm, a = 5√2 cm.

ПРЕСЕЦИ ПИРАМИДЕ И РАВНИ. ДИЈАГОНАЛНИ ПРЕСЕК ПИРАМИДЕ

5√3 cm. 1. PDP = 60 cm2. 2. h = 2 3. Површина већег дијагоналног пресека пирамиде је PDP1 = 192√3 cm2, а површина мањег дијагоналног пресека пирамиде је PDP2 = 144√7 cm2. Тест: 1. ДА; 2. а); 3. б); 4. НЕ.

277


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

МРЕЖА ПИРАМИДЕ 1. a

2. a = 3 cm.

a

a a

a

a

a a

a a

a a

a = 4 cm

a

a a = 3 cm

o

a

a

a

a

pr om

a

3. Не може, јер не постоји правилна једнакоивична шестострана пирамида. 5.

c c b

uk a

4.

c

90°

a

a

a

c

a a

Ed

c

c

c

60°

a

a

6. Основна ивица је a = √2 cm. Види Пример 3 на страни 167. Тест: 1. б); 2. ДА; 3. в); 4. НЕ.

ПОВРШИНА ПИРАМИДЕ 1. P = 144√3 cm2. 2. M = 45 cm2. 3. P = 16(9 + √6) cm2. 4. P = 8(1 + √7) cm2. 5. P = 24√3(1 + √5) cm2. 6. P = 72(4 + √3) cm2. Тест: 1. в); 2. в); 3. в); 4. в). 278


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

ЗАПРЕМИНА ПИРАМИДЕ 16√2 8√47 cm3. cm3. 2. V = 128√3 cm3. 3. V = 3 3 169 cm2. 4. а) V = 130 cm3; б) PDP = 2 5. P = 18(1 + √17) cm2, V = 36√2 cm3. 6. V = 12 cm3. 7. m ≈ 169 g.

1. V =

Тест: 1. ДА; 2. б); 3. в); 4. б).

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 1. а) y = 1600 + 1000x; б) после 17 месеци. 2. а) 250 динара; б) y = 70 + 60x; в) 630 динара.

y(x = 0)

2 A(0, 1)

pr om

Тест: 1. а), г); 2. б); 3. ДА; 4. ДА.

3.

o

ПОЈАМ ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ

0 1

B(4, 2) 1 y= 4 x+1 4

x(y = 0)

ЕКСПЛИЦИТНИ И ИМПЛИЦИТНИ ОБЛИК ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ; ПАРАЛЕЛНОСТ ГРАФИКА ЛИНЕАРНИХ ФУНКЦИЈА в) y = 2x – 3, г) y = 4 x + 8; 3 1 4. y = –3x + 5. 2. 10y + 26x – 12 = 0. 3. p = . 2 Тест: 1. НЕ; 2. ДА; 3. ДА; 4. а). б) y = 5x – 3,

uk a

1. а) y = –x – 2,

д) y = –

√3 x+ 7 . 30 5

НУЛА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ

Ed

1. а) x = – 2 ; б) x = – 7 ; в) x = 3 . 3 5 5 2. а) са x-осом: A(–2, 0), са y-осом: B(0, 2) (Слика 13); б) са x-осом: A( 4 , 0), са y-осом: 3 B(0, –2) (Слика 14); в) са x-осом: A( 1 , 0), са y-осом: B(0, – 2 ) (Слика 15). 3. y = –5x + 1. 2 3 Тест: 1. ДА; 2. НЕ; 3. ДА; 4. НЕ. y(x = 0)

y= x+2

y(x = 0)

B(0, 2) A(–2, 0)

0

Слика 13

1

x(y = 0)

3 y= 2 x–2 0

B(0, –2)

1

x(y = 0) 4 A( 3 , 0)

Слика 14

y(x = 0)

B(0, – 2 ) 3

4x – 3y – 2 = 0

0

1 x(y = 0)

1 A( 2 , 0)

Слика 15 279


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

РАСТ И ОПАДАЊЕ ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ 1. а) растућа функција; б) опадајућа функција; г) константна функција. 2. m = 3. 3. y = –9x – 15. Тест: 1. ДА; 2. НЕ; 3. а); 4. б).

в) опадајућа функција;

ЗНАК ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ. ИСПИТИВАЊЕ ГРАФИКА

1 2

2 3

0

3y – 4x – 2 = 0

1

uk a 3 2

4x – 2y – 1 = –1

4

Ed

1

–1 – 3 4

0

–1

x(y = 0)

в) y > 0 за x > – 3 , y < 0 за x < – 3 . 4 4 y(x = 0)

y(x = 0)

pr om

y(x = 0)

б) y < 0 за x ∈ R.

o

1. а) y > 0 за x > – 1 , y < 0 за x < – 1 . 2 2

x(y = 0)

0

y=–3

–3

x(y = 0)

г) y > 0 за x < √2, y < 0 за x > √2. y(x = 0)

√2

1

y = –x + √2 0

1 √2

x(y = 0)

2. а) y = 0,8x + 2; б) y = –2x + 2,4. Тест: 1. б), в); 2. б); 3. НЕ; 4. а).

ПРИМЕНА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ 1. O = 6 + 2√5, P = 4.

3. P = 2.

280

2. а) O = 3a + 2 cm;

4. y = –√3 x + 2 и y = √3 x + 2.

б) O = 6r√3 + 2 cm;

в) O = 2h√3 + 2 cm.


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ ПОЈАМ И РЕШЕЊЕ ЈЕДНАЧИНЕ С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ. ПОЈАМ СИСТЕМА 3. На пример: (–10, 0), (–4, 1), (2, 2), (8, 3). 4. m = – 5 . 4 5 4 x+ . 5. Експлицитни облик функције чији график треба нацртати је y = – 3 3 x + 13 = y. 7. Није. 6. На пример: y – 8 = x, 2 ⎰6x – 2y = –8 ⎰y = 3x + 4 8. На пример: , . ⎱3y – 3x + 1 = 4 ⎱6y – 3x = 9 2 Тест: 1. ДА; 2. ДА; 3. в); 4. ДА. 2. Није.

pr om

o

1. а), г)

ГРАФИЧКИ ПРИКАЗ РЕШЕЊА СИСТЕМА. ЕКВИВАЛЕНТНИ СИСТЕМИ 1. а)

y(x = 0)

–2

–1

y = 1 x –1 3

1 0 2 –1

1

3 x(y = 0)

Ed

–2

в)

y(x = 0)

y= 1 x– 1 2 2

uk a

–3

б)

2y + 3x + 2 = 0

2 – 3 –1

3

y=– 3 x+3 2

1 0

–1

1

2

x(y = 0)

y(x = 0)

– 1 y=x–1 2

2

2x + y – 2 = 0

1 0

1

x(y = 0)

281


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

2. Системи б) и в). 1 ⎰ 2 y=1–x ⎰2x + y = 2 . 3. На пример: , ⎱y = 0,8x + 2 ⎱4x = 5y – 10 Тест: 1. ДА; 2. в); 3. ДА; 4. НЕ.

МЕТОДЕ РЕШАВАЊА СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 1. а) (x, y) = (5, 4); б) (x, y) = (–3, –8); в) (x, y) = (–1, 5). 2. а) (x, y) = (1, 2 ); б) (x, y) = (– 4 , –3); в) систем има бесконачно много решења. 3 5 3. Систем нема решења. Тест: 1. в); 2. а); 3. в); 4. б)

pr om

o

ПРИМЕНА СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 1. 144 дечака и 72 девојчице. 2. P = 50 cm2. 361 . 4. 1000 динара. 5. P = 80

3. 45° и 135°.

ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА ВАЉАК – ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ

2. Pop = 300 cm2, r = 7,5 cm.

uk a

1. Pop = 12 cm2.

3. а) r = 5 cm, H = 15cm;

б) r = 15 cm, H = 5cm;

г) r = 2,5 cm, H = 15 cm. 4. r = 3 cm, H = 6 cm. Тест: 1. б); 2. б); 3. НЕ; 4. ДА.

в) r = 7,5 cm, H = 5 cm,

Ed

МРЕЖА И ПОВРШИНА ВАЉКА 1. а) r = 4 cm, H = 4 cm;

3. M = 150π cm2.

4. а) P = 54π cm2;

б) r = 2 cm, H = 4 cm.

б) P = 36π(1 + √2) cm2.

2. P = 66π cm2. 5. P = 24π(1 + √3) cm2.

6. Осни пресек ваљка је правоугаоник чије су суседне странице висина ваљка H и пречник основе тог ваљка 2r. Како је H = 2r, осни пресек ваљка је квадрат. P : B = 6 : 1. Тест: 1. а); 2. в); 3. ДА; 4. ДА.

ЗАПРЕМИНА ВАЉКА 1. V = 1024π cm3.

2. V = 128π cm3.

4. P = 2π(21 + 10√3) cm2, V = 10π cm3. Тест: 1. а); 2. в); 3. ДА; 4. б).

282

3. 2r = 2,8 cm.

5. ρ ≈ 7 g⁄cm3 .


РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

КУПА – ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ 1. Pop = 98 cm2.

2. а) r = 12 cm, H = 9 cm, s = 15 cm;

3. а) r = 2 cm, s = 4 cm; б) r = 4 cm, s = 8 cm. Тест: 1. в); 2. а); 3. ДА; 4. ДА.

4. r = 3√2 cm, H = 3√2 cm, s = 6 cm.

МРЕЖА И ПОВРШИНА КУПЕ 1.

2. r = 6 cm, H = 8 cm, s = 10 cm.

90°

3. P = 44π cm2.

б) P = 200π cm2. 4. а) P = 480π cm2; 3x2 π . 6. P = 560π cm2. 5. P = 4 Тест: 1. в); 2. б); 3. ДА; 4. в).

pr om

o

r

ЗАПРЕМИНА КУПЕ 1. V = 32π cm3.

4. а) V =

б) r = 9 cm, H = 12 cm, s = 15 cm.

π√3 cm3; 3

250 π cm3. 3 x3 π√3 cm3. б) V = 24

2. V =

3. V =

64 π√3 cm3. 3

uk a

6. V = 18(12 – π) cm3. 5. V = π√6 cm3. Тест: 1. а); 2. б); 3. в); 4. б).

ЛОПТА – ПОЈАМ И ЕЛЕМЕНТИ 1. а) r = 3 cm;

б) r = 5 cm;

Ed

3. а) r = 2 cm; б) r = 2√2 cm.

в) r = 7 cm.

5. O = 26π cm, P = 169π cm2. Тест: 1. НЕ; 2. НЕ; 3. в); 4. б).

2. r = 6 cm.

4. O = 24π cm, P = 144π cm2.

ПОВРШИНА И ЗАПРЕМИНА ЛОПТЕ 500 π 256 π cm3. cm3; б) P = 36π cm2, V = 36π cm3; в) P = 100π cm2, V = 3 3 2048 π cm3. 2. а) P = 100π cm2; б) Ovk = 10π cm. 3. V = 3 4. P = 144π cm2, V = 288π cm3. 32 π 5. P = 28π cm2, V = 6. P = 144π cm2, V = 288π cm3. 7. p ≈ 42,1%. cm3. 3 Тест: 1. г); 2. а); 3. НЕ; 4. в).

1. а) P = 64π cm2, V =

283


ЛИТЕРАТУРА

o

• • • •

pr om

uk a

• •

Милан Божић, Преглед историје и филозофије математике, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 2002. Иван Ивић и сар., Активно учење, Институт за психологију, Београд, 1997. Емил Каменов, Континуитет у васпитању у раном детињству: прелазак из предшколске установе у школу, Настава и васпитање, 1997. Александар Липковски, Линеарна алгебра и аналитичка геометрија, Завод за уџбенике, Београд, 2007. Светозар Марковић, Одабрани листови, Ново покољење, Београд, 1949. Милош Радојчић, Елементарна геометрија, Научна књига, Београд, 1961. Мића Станковић, Основи геометрије, Природно-математички факултет, Ниш, 2006. Robert Fagen, Modelling how and why play works; in J.S. Bruner et al. (eds.): Play: its role in development and evolution. Harmondsworth: Penguin Books, Greenberg, 1976 https://tiometar.wordpress.com/

Ed

284