Mатематика 4б

Page 1

Софија Зарупски

om

o

МАТЕМАТИКА Ed

uk a

pr

Уџбеник за четврти разред основне школе


Софија Зарупски Математика 4б Уџбеник за четврти разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Проф. др Бошко Влаховић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Доц. др Наташа Филиповић ПРЕДМЕТНИ УРЕДНИК Наташа Ковжан Кун

om

o

РЕЦЕНЗЕНТИ Снежана Петровић, професор разредне наставе, ОШ „Петефи Шандор“, Нови Сад Тања Мартић, наставник математике, ОШ „Иван Гундулић“, Нови Сад Татјана Гргуров, наставник математике, ОШ „Иван Гундулић“, Нови Сад

pr

ДИЗАЈН И ПРЕЛОМ Јелена Коштица

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

uk a

ИЛУСТРАЦИЈЕ Нина Игњатовић

Ed

ИЗДАВАЧ ЕДУКА д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Проф. др Бошко Влаховић, директор ШТАМПА Издање бр. ТИРАЖ


САДРЖАЈ БРОЈЕВИ – ДРУГИ ДЕО

Ed

uk a

pr

om

o

Учимо: Једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати сабирак �������������������������������������������������������������������������������������������������������� 8 Вежбамо: Израчунавамо непознати сабирак . �������������������������������������������������������������������������������10 Учимо: Једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати умањеник �������������������������������������������������������������������������������������������������11 Вежбамо: Израчунавамо непознати умањеник ����������������������������������������������������������������������������12 Учимо: Једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати умањилац �������������������������������������������������������������������������������������������������14 Вежбамо: Израчунавамо непознати умањилац ����������������������������������������������������������������������������15 Вежбамо: Једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0 ������������������������������������������������16 Учимо: Сложене једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0 ����������������������������������18 Вежбамо: Сложене једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0 ����������������������������21 Понављамо: Неједначине са сабирањем и одузимањем ���������������������������������������������������������22 Учимо: Неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати сабирак ������������������������������������������������������������������������������������������������������23 Вежбамо: Неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати сабирак ������������������������������������������������������������������������������������������������������25 Учимо: Неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати умањеник �������������������������������������������������������������������������������������������������27 Вежбамо: Неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати умањеник �������������������������������������������������������������������������������������������������29 Учимо: Неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати умањилац �������������������������������������������������������������������������������������������������30 Вежбамо: Неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0: израчунавамо непознати умањилац �������������������������������������������������������������������������������������������������32 Учимо: Једначине са множењем и дељењем у скупу N0: израчунавамо непознати чинилац ������������������������������������������������������������������������������������������������������33 Вежбамо: Једначине са множењем и дељењем у скупу N0: израчунавамо непознати чинилац ������������������������������������������������������������������������������������������������������34 Учимо: Једначине са множењем и дељењем у скупу N0: израчунавамо непознати дељеник ����������������������������������������������������������������������������������������������������36 Вежбамо: Једначине са множењем и дељењем у скупу N0: израчунавамо непознати дељеник ����������������������������������������������������������������������������������������������������38 Учимо: Једначине са множењем и дељењем у скупу N0: израчунавамо непознати делилац ������������������������������������������������������������������������������������������������������40 Вежбамо: Једначине са множењем и дељењем у скупу N0: израчунавамо непознати делилац ������������������������������������������������������������������������������������������������������41 Вежбамо: Једначине са множењем и дељењем у скупу N0 ������������������������������������������������������43 Учимо: Сложене једначине у скупу N0 ������������������������������������������������������������������������������������������������45 Вежбамо: Сложене једначине у скупу N0 ������������������������������������������������������������������������������������������48 Учимо: Зависност производа од чинилаца �������������������������������������������������������������������������������������49 Вежбамо: Зависност производа од чинилаца ������������������������������������������������������������������������������50 Учимо: Зависност количника од дељеника и делиоца ���������������������������������������������������������������51 Вежбамо: Зависност количника од дељеника и делиоца ���������������������������������������������������������52


Учимо: Неједначине у скупу N0: израчунавамо непознати чинилац ������������������������������������ 53 Вежбамо: Неједначине у скупу N0: израчунавамо непознати чинилац ������������������������������� 55 Учимо: Неједначине у скупу N0: израчунавамо непознати дељеник ������������������������������������ 57 Вежбамо: Неједначине у скупу N0: израчунавамо непознати дељеник ������������������������������ 58 Учимо: Неједначине у скупу N0: израчунавамо непознати делилац ������������������������������������� 59 Вежбамо: Неједначине у скупу N0: израчунавамо непознати делилац ������������������������������� 60 Сада знам много више ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 61 Проверавамо научено ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 62 ГЕОМЕТРИЈА

БРОЈЕВИ – ТРЕЋИ ДЕО

pr

om

o

Понављамо: Научили смо из геометрије ������������������������������������������������������������������������������������������ 68 Понављамо: Правоугаоник и квадрат ������������������������������������������������������������������������������������������������ 69 Учимо: Квадар и коцка ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 71 Учимо: Својства квадра. ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 72 Учимо: Својства коцке ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 73 Вежбамо: Својства квадра и коцке ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 74 Учимо: Мрежа за модел коцке ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 75 Учимо: Мрежа за модел квадра ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 76 Вежбамо: Мрежа за модел коцке и квадра ������������������������������������������������������������������������������������� 77 Сада знам много више ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 78 Проверавамо научено ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 79

Ed

uk a

Понављамо: Разломци ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 82 Учимо: Упоређивање разломака једнаких бројилаца ��������������������������������������������������������������� 83 Вежбамо: Упоређивање разломака једнаких бројилаца и именилаца ������������������������������ 86 Учимо: Једнаки разломци ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 88 Вежбамо: Једнаки разломци ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 89 Учимо: Сабирање разломака једнаких именилаца ��������������������������������������������������������������������� 90 Вежбамо: Сабирање разломака једнаких именилаца ���������������������������������������������������������������� 91 Учимо: Одузимање разломака једнаких именилаца ������������������������������������������������������������������ 92 Вежбамо: Одузимање разломака једнаких именилаца ������������������������������������������������������������� 93 Вежбамо: Сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца ������������������������������������ 94 Понављамо: Децимални запис броја са једном децималом . ��������������������������������������������������� 95 Учимо: Децимални запис броја са две децимале ������������������������������������������������������������������������� 97 Вежбамо: Децимални запис броја са две децимале ������������������������������������������������������������������� 98 Учимо: Сабирање и одузимање бројева са највише две децимале ������������������������������������� 99 Вежбамо: Сабирање и одузимање бројева са највише две децимале �������������������������������100 Сада знам много више ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������101 Проверавамо научено ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������102


МЕРЕЊЕ И МЕРЕ – ДРУГИ ДЕО

o

Учимо: Површина коцке ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 106 Учимо: Површина квадра ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 108 Вежбамо: Површина коцке и квадра ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 110 Учимо: Мерење запремине ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 115 Вежбамо: Мерење запремине ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 116 Учимо: Јединице за мерење запремине ��������������������������������������������������������������������������������������������������� 117 Вежбамо: Јединице за мерење запремине ���������������������������������������������������������������������������������������������� 119 Учимо: Запремина квадра ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 120 Вежбамо: Запремина квадра ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 121 Учимо: Запремина коцке ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 122 Вежбамо: Запремина коцке ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 123 Сада знам много више ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 124 Проверавамо научено ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 125

om

ЗАНИМЉИВИ БРОЈЕВИ ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 129

Ed

uk a

pr

РЕШЕЊА ТЕЖИХ ЗАДАТАКА ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 134


УПУТСТВО ЗА КОРИШЋЕЊЕ УЏБЕНИКА Овде се налазе задаци који ће ти помоћи да обновиш раније стечена знања.

УЧИМО

Ово су стране на којима усвајаш нова знања.

ВЕЖБАМО

Овде се налазе задаци који ће ти помоћи да усвојиш и утврдиш знања из претходне лекције.

НАУЧИЋЕШ

На овим странама се налази преглед садржаја веће целине која следи.

o

ПОНАВЉАМО

На овим странама се налазе сва важна правила и поступци које треба да знаш.

Овако су означени задаци према нивоима постигнућа.

uk a

основни ниво

pr

САДА ЗНАМ МНОГО ВИШЕ

om

ПРОВЕРАВАМО Овде се налазе задаци помоћу којих провераваш своја стечена знања. НАУЧЕНО

средњи ниво

Легенда

Ed

напредни ниво

Рад у свесци

Садржи важне податке који се налазе на слици или цртежу. Занимљиви задаци Чик израчунај! Задатак у коме је показан поступак или начин на који се долази до решења

Рад у пару

Рад у групи или тиму

Задатак у коме користиш олакшице при рачунању

1.

Истраживачки задатак

На овој адреси можеш да пронађеш сличне задатке: https://dms.rs/kengur/zadaci/.


БРОЈЕВИ други део НАУЧИЋЕШ:

om

o

• да у скупу N0 решаваш просте и сложене једначине са сабирањем, одузимањем, множењем и дељењем; • о зависности производа од чинилаца;

pr

• о зависности количника од дељеника и делиоца;

uk a

• да решаваш просте неједначине са решењима из скупа N0 и да њихова решења записујеш применом одговарајућих симбола;

Ed

• да решаваш разне задатке применом једначина и неједначина и тако прошириш стечена знања о својствима рачунских операција и редоследу њиховог извођења; • да усмено и писмено образложиш поступке решавања задатка.


ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ САБИРАК УЧИМО Кључне речи: једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0, непознати сабирак

Твоје претходно знање...

om

o

Непознати сабирак израчунавамо тако што од збира одузмемо познати сабирак. 350 + х = 800 х = 800 − 350 х = 450 Проверавамо: 350 + 450 = 800

pr

На исти начин непознати сабирак одређујемо у скупу природних бројева са нулом. 1. Од кабла дужине 1 400 m исечен је део дужине 400 m. Колика је дужина другог дела кабла?

uk a

• Дужина другог дела кабла је непозната, зато је означавамо са х. Записујемо једнакост: х + 400 = 1 400. • Једнакост х + 400 = 1 400 зове се једначина; х је непознати сабирак. • Користи податке са цртежа и напиши шта недостаје.

+ 400

Ed

1 400

х + ____ = 1 400

__ = 1 400 – ____

– 400

__ = 1 000

П: 1 000 + 400 = 1 400

(реч „провера” означили смо словом П)

Дужина другог дела кабла је ______ m. 2. Реши следеће једначине. Тачност резултата провери са својим паром. а) x + 5 648 = 7 208

б) 4 270 + x = 6 370

в) x + (13 544 – 6 289) = 9 527 x + ________ = _______

__________________

__________________

__________________

__________________

____________________

П: ________________

П: ________________

____________________ П: ___________________

8


3. Одреди број којим треба увећати збир бројева 8 800 и 5 366 да би добијени збир био 17 241. Једначина: (_______ + _______) + __ = __________ _____________________ _____________________

То је број ________.

4. Површина Бачке, Баната и Срема је 21 506 km2. Површина Бачке је 8 671 km2, а површина Срема је 3 838 km2. Ако са х означимо површину Баната, допуни шта недостаје и израчунај ту површину.

o

(_____ + _____) + х = 21 506 ____________________________ _______________

uk a

pr

Површина Баната је ___________.

om

____________________________

Ed

5. Стефан је замислио један број. Ако га увећаш за 20 374, добићеш највећи петоцифрени број записан цифрама 0, 1, 2, 3 и 4. Који број је Стефан замислио? Једначина: __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________

Одговор: ___________________________________________________________________________ 6. Реши једначине: а) (43 962 + 1 038) + x = 45 708;

б) x + (15 000 – 8 496) = 11 472.

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

9


ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ САБИРАК ВЕЖБАМО Кључне речи: једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0, непознати сабирак

Реши једначине. а) m + 2 700 = 6 900

в) n + 4 444 = 6 232

_______________

_______________

__________________

_______________

_______________

_______________

__________________

_______________

П: _____________

П: _____________

П: _________________

П: _____________

Збир два броја је 5 000. Ако је један од тих бројева 2 499, колики је други број?

3.

Једначина: ________________________

За колико треба да увећаш број 18 275 да би добијени збир био 36 400? Једначина: ________________________

________________________

________________________

pr

________________________

uk a

П: ________________________

Кристина је купила књигу, прибор за цртање и часопис. Све то је платила 1 655 динара. Ако је цена књиге 849 динара, а цена часописа 145 динара, колика је цена прибора за цртање? Напиши једначину и реши задатак.

Ed

4.

6.

10

г) 2 550 + k = 10 000

o

2.

б) 5 410 + c = 9 000

om

1.

5.

________________________ П: ________________________

Који број треба додати разлици бројева 12 800 и 7 357, да би добијени збир био највећи четвороцифрени број записан цифрама 0, 1, 4 и 6? _________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________

___________________________

Цена прибора за цртање је _______ дин.

То је број __________.

Додај бројеве у укрштеницу тако да једнакости буду тачне.


ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊЕНИК УЧИМО

Кључне речи: једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0, непознати умањеник

Твоје претходно знање...

o

Непознати умањеник израчунавамо тако што саберемо разлику и умањилац. х − 600 = 300 х = 300 + 600 х = 900 Проверавамо: 300 + 600 = 900

om

На исти начин непознати умањеник одређујемо у скупу природних бројева са нулом. 1. Мића је купио патике чија је цена 1 595 динара. Коју новчаницу је дао трговцу ако је добио кусур 405 динара?

pr

• Непозната је вредност новчанице коју је Мића дао трговцу, зато је означавамо са х. Записујемо једнакост: х − 1 595 = 405 • Једнакост х − 1 595 = 405 зове се једначина; х је непознати умањеник. – 1 595 • Користи податке са цртежа и напиши шта недостаје. 405

uk a

х − 1 595 = 405 __ = 1 595 + ____ __ = ______

+ 1 595

Мића је трговцу дао новчаницу од _______ динара.

Ed

2. Реши следеће једначине. Тачност резултата провери са својим паром. а) x – 7 854 = 6 574 б) x – 14 728 = 9 839 в) x − 5 403 = 29 376 __________________

__________________

___________________

__________________

__________________

____________________

П: ________________

П: ________________

П: ___________________

3. Од прикупљене старе хартије рециклирано је 27 834 kg. Остало је још 12 166 kg. Колико килограма старе хартије је било припремљено за рециклажу? Једначина: ______________________

4. Који број треба да умањиш за збир бројева 3 296 и 4 888 да би добијена разлика била 2 555? Једначина: ______________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

За рециклажу је било припремљено

То је број ____________.

_________ хартије.

11


ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊЕНИК ВЕЖБАМО Кључне речи: једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0, непознати умањеник

Израчунај непознати умањеник, а затим провери тачност резултата. а) х – 2 000 = 5 679

в) m – 5 555 = 7 777

х = _______________

c = _______________

m = _______________

х = _________

c = _________

m = _________

П: ________________

П: ________________

П: ________________

Цена јакне је снижена за 899 динара. Јована је ту јакну купила за 2 850 динара. Колика је била цена јакне пре снижења?

o

2.

б) c – 3 462 = 8 000

Једначина: ________________________ ________________________

pr

________________________

om

1.

П: ________________________

3.

uk a

Пре снижења цена јакне је била _________ динара. Од ког броја можеш одузети број 7 926 тако да добијеш разлику 4 853? Податке из текста унеси у шему задатка. Постави и реши једначину. __________________

Ed

__________________ __________________ To је број _______.

4.

Марко је од своје уштеђевине потрошио 1 200 динара за прибор за пецање и 2 895 динара за ранац. Остало му је 1 835 динара. Колико је Марко имао уштеђеног новца? Једначина: _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ Марко је имао ________ динара.

12


5.

Милена је замислила један број. Ако га умањиш за 6 183, добићеш број који је за 1 065 мањи од броја 2 005. Који је број Милена замислила? Једначина: ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ _________________________________

om

Према датој шеми, напиши једну проблемску ситуацију коју ћеш решити помоћу једначине. Реши једначину и напиши одговор. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

pr

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________

uk a

_______________________________________________________________ Једначина: ___________________________________

Ed

6.

То је број ____________.

o

П: ________________________________

___________________________________ ___________________________________ ___________________________________

Одговор:

___________________________________________________________________________

13


ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊИЛАЦ УЧИМО

Кључне речи: једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0, непознати умањилац

Твоје претходно знање...

om

o

Непознати умањилац израчунавамо тако што од умањеника одузмемо разлику. 970 − х = 520 х = 970 − 520 х = 450 Проверавамо: 970 − 450 = 520

На исти начин непознати умањилац одређујемо у скупу природних бројева са нулом.

uk a

pr

1. Јоца је имао 3 000 динара. Купио је једну енциклопедију и остало му је 1 055 динара. Колика је цена енциклопедије? • Непозната је цена енциклопедије, зато је означавамо са х. Записујемо једнакост: 3 000 − х = 1 055 • Једнакост 3 000 − х = 1 055 зове се једначина; х је непознати умањилац. –x • Користи податке са цртежа и напиши шта недостаје.

Ed

3 000 − х = 1 055 __ = 3 000 − ______ __ = ______ П: _________________

3 000

1 055 + 1 945

Цена енциклопедије је _______ динара.

2. Решења датих једначина представи словима М, Т и А на бројевној полуправој. Ако тачно решиш задатак, добићеш једну реч. а) 1 372 – х = 1 322 М;

б) 21 849 – х = 21 759 Т;

в) 93 605 – х = 93 535 А.

У којој игри се користи добијена реч? Одговор: ________________________________________________________________ 3. Реши следеће једначине и провери тачност решења. а) 5 700 – a = 2 460; б) 3948 – b = 1 579; в) 11 000 – c = 8 472; г) 27 406 – m = 6 548 + 12 774; д) (63 845 – 38 329) – n = 25 514.

14


ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊИЛАЦ ВЕЖБАМО Кључне речи: једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0, непознати умањилац

1.

Израчунај непознати умањилац, а затим провери тачност резултата. а) 7 300 – а = 2 300

в) 10 000 – c = 4 900

b = _______________

c = _______________

а = _________

b = _________

c = _________

П: ________________

П: ________________

П: ________________

o

а = _______________

Ваздушна удаљеност између Београда и Лондона износи 1 694 km. Путнички авион је полетео из Београда према Лондону и после 2 часа лета остало је да пређе још 565 km. Колико километара је авион прелетео за 2 часа лета? Дате податке унеси у скицу задатка. Напиши одговарајућу једначину и дођи до одговора.

3.

Којим бројем треба да умањиш збир бројева 4 596 и 2 900, да би добијена разлика била 1 496?

Ed

(_______ + _______) − __ = ______

5.

За 2 часа лета, авион је прелетео ___________.

uk a

____________________________ ____________________________ ____________________________

pr

om

2.

б) 8 620 – b = 5 210

4.

Који број треба да одузмеш од 5 000 да би добијена разлика била једнака збиру бројева 1 549 и1 388? _______ – __ = ______ + ______

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

То је број _______.

То је број _______.

Према датој шеми, напиши једну проблемску ситуацију коју ћеш решити помоћу једначине. Реши једначину и напиши одговор. _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ Једначина: _____________________________________ _____________________________________ Одговор:

_____________________________________

___________________________________________________________________________

15


ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0 ВЕЖБАМО

Реши једначине и провери тачност рачунања. а) х + 2 000 = 3 500 __________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

П: ________________

П: ________________

П: ________________

ђ) 4 508 – х = 1 236

д) х – 3 725 = 2 850

o

г) 5 320 + х = 68 540 __________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

П: ________________

П: ________________

П: ________________

pr

За колико треба умањити број 10 000 да би разлика била 3 268? Једначина:

uk a

2.

в) 3 000 – х = 1 500

б) х – 1 200 = 2 800

om

1.

Кључне речи: једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

_______________ → _______________ → _______________ Одговор: ________________________________________________ Од ког броја треба одузети број 5 724 да би се добио највећи троцифрени број?

Ed

3.

Једначина: ______________________ ______________________ ______________________

4.

То је број __________.

Саша је замислио један број. Када га увећаш за 3 860, добићеш 6 290. Који је број Саша замислио? Једначина: ______________________ ______________________ ______________________

5.

То је број __________.

Марко је од своје уштеђевине потрошио 4 200 динара. Остало му је 835 динара. Колико је Марко имао уштеђеног новца? Једначина: ____________ → _____________ → ______________ Марко је имао _____________ динара.

16


Реши једначине: а) (8 500 + 1 200) − x = 4 600

б) x − (2 400 − 1 300) = 900

________________________

________________________

x = _____________________

x = _____________________

x = _____________________

x = _____________________

Провера:

Провера:

________________________

________________________

в) x + 294 = 3 860 − 1 520

г) (5 904 − 1 203) − x = 4 000

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

________________________

Провера:

Провера:

om

________________________

________________________

pr

Аутомобил је прешао 2 634 километра од места С до места М. Колику дужину пута је аутомобил прешао од места Е до места D? Користећи скицу, састави и реши једначину. _____________________________

uk a

_____________________________ _____________________________ _____________________________

Од места Е до места D аутомобил је прешао ____________.

Ed

7.

o

6.

• Исти задатак реши помоћу израза. _________________________________________________________________________ 8. Колика је површина планете Земље? Одговор: ___________________________________ Колика је површина копна на Земљи? Одговор: ___________________________________ Напиши једначину и израчунај укупну површину воде на Земљи. __________________________________ __________________________________ __________________________________ Укупна површина воде на Земљи је _______________.

17


СЛОЖЕНЕ ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0 УЧИМО Кључне речи: сложене једначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

om

o

Сада ћемо научити како се решавају једначине у којима је непознати број елеменат сабирка.

Непознати број припада првом сабирку. Зато цео запис х – 500 посматрамо као непознати сабирак.

pr

Решавамо једначину са непознатим сабирком:

Решавамо једначину са непознатим умањеником: х = 700

uk a

х = ____ + ____

Ed

Проверавамо: (700 – 500) + 1 800 = _____ + ______ = 2 000 1. Пекари су од једне количине брашна у првој недељи потрошили 690 kg. Када су за следећу недељу добили још 800 kg, имали су укупно 1 060 kg брашна. Колико су пекари имали килограма брашна на почетку прве недеље? Настави да рачунаш како је започето. Једначина: (___ − 690) + 800 = ______ (___ − 690) = ______ − _____ ___ − 690 = ______ __________________ __________

Пекари су на почетку прве недеље имали _______ брашна.

2. Реши једначине и провери тачност решења.

18

а) (х – 360) + 5 600 = 10 700;

б) 4 800 + (3 200 – х) = 6 900;

в) 13 760 + (х – 6 493) = 15 000;

г) (4 900 + х) + 1 320 = 7 000.


3. Аца је замислио један број. Ако га умањиш за 850, а затим добијену разлику увећаш за 2 430, добићеш број 2 530. Који је број Аца замислио? Једначина: __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ __________________

Аца је замислио број _______.

om

o

Сада ћемо научити како се решавају једначине у којима је непознати број елеменат умањеника.

pr

Непознати број припада умањенику. Зато цео запис 5 700 − х посматрамо као непознати умањеник.

uk a

Решавамо једначину са непознатим умањеником:

Ed

Решавамо једначину са непознатим умањиоцем:

4. Реши следеће једначине: а) (2 920 – х) – 1 900 = 500; в) (3 400 + х) – 500 = 3000;

б) (х – 13 000) – 6 000 = 1 500; г) (4 700 + х) – 3 600 = 2 100.

5. Јоца је замислио један број. Ако га увећаш за 1 000, па добијени збир умањиш за 500, добићеш 3 000. Постави једначину, дођи до решења и открићеш број који је Јоца замислио. (__ + 1 000) − ____ = ______ _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________ П: ___________________________________

Јоца је замислио број _______.

19


6. Ива је написала свој срећан број. Увећала га је за 8 075, а затим је добијени збир умањила за 5 236. Добила је број 2 846. Који је Ивин срећан број? Једначина: ____________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ _________________

Ивин срећан број је _______.

om

o

Сада ћемо научити како се решавају једначине у којима је непознати број елеменат умањиоца.

pr

Непознати број припада умањиоцу. Зато цео запис х + 2 100 посматрамо као непознати умањилац. Решавамо једначину са непознатим умањиоцем:

uk a

Решавамо једначину са непознатим сабирком:

Ed

7. Реши следеће једначине: а) 9 000 – (х + 4 700) = 4 000; в) 32 500 – (х – 1 400) = 32 000;

б) 20 900 – (5 600 – х) = 15 700; г) 23 457 = 30 527 – (8 052 – х).

8. Проучи цртеж. Колику дужину пута је авион летео по неповољним временским условима? а) Ако тачно поставиш и решиш једначину, доћи ћеш до одговора. ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ Одговор: _____________________________________________________________________ б) Исти задатак реши коришћењем израза. _____________________________________________________________________________

20


СЛОЖЕНЕ ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0 ВЕЖБАМО

Кључне речи: сложене једначине са сабирањем и одузимањем

Реши следеће једначине. Добијена решења упореди са датим тачним решењима. Ако се неко твоје решење не слаже са решењем које је дато, покушај да пронађеш грешку и поново реши једначину.

2.

_____________ = ________________

_____________ = _________________

_____________ = ________________

х = _____________________________

х = ____________________________

х = _____________________________

х = ____________________________

52 000 – (х – 12 000) = 35 000 _____________ = ________________ х = ____________________________

o

_____________ = _________________

_____________ = ________________

4.

uk a

3 800 = 9 800 – (х – 1 600)

_____________ = ________________ х = ____________________________ х = ____________________________

6.

5 400 = (6 000 – х) + 1 300

_____________ = ________________

_____________ = ________________

_____________ = ________________

_____________ = ________________

х = ____________________________

х = ____________________________

х = ____________________________

х = ____________________________

Ed

7.

47 000 + (38 000 – х) = 80 000 _____________ = ________________

х = ____________________________

5.

(2 500 + х) + 3 200 = 6 700

om

3.

(х + 3 900) – 4 500 = 1 800

pr

1.

(х – 3 356) – 2 509 = 1 894 + 1 673

8.

12 800 – 7 254 – (х + 1 539) = 3 895

_____________ = ________________

__________ – (х + 1 539) = 3 895

_____________ = ________________

_____________ = ________________

х = ____________________________

х = ____________________________

х = ____________________________

х = ____________________________

х = ____________________________

х = ____________________________

21


НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ ПОНАВЉАМО 1.

Кључне речи: неједначине са сабирањем и одузимањем

Прочитај следеће записе:

х < 7,

а − 2 > 18,

20 > 3 + b,

3 < m < 10,

75 − c > 70.

Неједнакост у којој се на једној страни јавља непознати број назива се ______________. Које бројеве можемо додати броју 203 да добијемо број који је мањи од 210? Записујемо неједначину: 203 + а < 210. Скуп решења неједначине лако можемо да одредимо помоћу нацртане табеле.

Попунимо табелу и подвучемо сваки збир који је мањи од 210.

om

o

uk a

pr

Уочавамо да је: 203 < 210, 204 < 210, 205 < 210, 206 < 210, 207 < 210, 208 < 210 и 209 < 210. Значи, сваки број изнад подвученог збира може да се напише уместо слова а, јер ће тада дата неједнакост бити тачна. То су бројеви: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Закључујемо: скуп решења је {0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6}. Можемо га записати и овако: а ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Решити неједначину значи одредити њен скуп решења. Одреди скуп решења неједначине помоћу табеле.

Ed

2.

m ∈ {_________________________________}.

х ∈ {_________________________________}.

с ∈ {_________________________________}. 3.

22

Написаним неједначинама одреди скуп решења. а) 345 + х < 350; ___________________

б) m – 1 < 4; ___________________

в) 20 – b > 10. ____________________


НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ САБИРАК УЧИМО Кључне речи: неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

Зорица је у перницу ставила 7 нових фломастера. Сада је њихов укупан број мањи од 15. Одреди колико је Зорица могла да има фломастера пре него што је додала 7 нових. Неједначину х + 7 < 15 можемо решити на два начина:

om

Помоћу табеле.

o

Постављамо неједначину х + 7 < 15.

pr

На основу добијених података, закључујемо да је скуп решења х ∈ {0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7}. Значи, пре додавања нових фломастера, Зорица је могла да има: 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6 или 7 фломастера.

uk a

Решавањем одговарајуће једначине и извођењем закључка на основу својстава зависности збира од промене сабирака. Ако решимо одговарајућу једначину, лако ћемо одредити решење неједначине:

Неједначину х + 7 < 15 можемо да решимо и овако:

Ed

Знамо да ће се збир умањити ако један сабирак умањимо. Зато смер неједнакости остаје непромењен: х < 8.

Закључујемо да решење неједначине чине бројеви: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записујемо решење неједначине: х ∈ {0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7}.

1. Реши следеће неједначине како је показано у 2. начину. а) х + (1 503 − 1 403) < 110;

в) 13 477 + х < 13 485;

б) 4 578 + х > 7 988;

г) х + 3 495 < 3 499.

23


Које вредности може да има непозната х у следећим неједначинама? Проучи дате примере. + 5 < 10 + 5 > 10 Решавањем одговарајуће једначине одредићемо вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост: =5 =5 =5 <5 >5 Вредности непознате х су следећи бројеви: 0, 1, 2, 3, 4. 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9, ...

o

5, 6, 7, 8 , 9, ...

om

Знак ≤ читамо: мање или једнако или није веће.

=5

Знак ≥ читамо: веће или једнако или није мање.

uk a

pr

Трима тачкама (...) означавамо да се започето ређање бројева наставља без ограничења.

Ed

2. Користи горе наведене примере и реши дате неједначине. Поред сваке неједначине нацртан је један круг. Ако неједначина има више решења, круг обој жутом бојом. Ако неједначина има само једно решење, круг обој плавом бојом. Ако неједначина нема решење, круг обој црвеном бојом.

24

9 + х ≤ 15

36 + х < 36

х ≤ ______

х < ______

х ≤ ______

х < ______

х ∈ {______________}.

х ∈ {______________}.

72 + х ≤ 78

40 + х < 41

х ≤ ______

х < ______

х ≤ ______

х < ______

х ∈ {______________}.

х ∈ {_____________}.


НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ САБИРАК ВЕЖБАМО Кључне речи: неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

1.

Одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. Реши неједначину помоћу табеле.

o

а) 5 + х ≤ 13;

om

х ∈ {__, __, __, __, __, __, __, __, __} б) х + 28 ≥ 34.

uk a

Реши неједначине. а) 29 358 + 4 536 + х ≥ 34 000

б) 10 000 + х ≤ 16 038 − 6 008

________ + х ≥ 34 000

10 000 + х ≤ _________

х ≥ ________________________

__________________________

х ≥ ________________________

__________________________

Ed

2.

pr

х ∈ {__, __, __, __, __, __... }

х ∈ {_______________________}

х ∈ {_______________________}

Тачност решења неједначине можемо да проверимо на следећи начин: 33 921 + х > 33 927 х > 33 927 − 33 921 х>6 х ∈ {7, 8, 9, 10, ...}

У скупу решења проверимо прву вредност коју би могла да има непозната х. У овом случају то је број 7. 33 921 + 7 = 33 928. Како је 33 928 > 33 927, за вредност непознате х = 7 (и свих бројева који су већи од 7), неједнакост је тачна.

в) х + (13 405 – 8 763) ≤ 4 650

г) (57 926 – 38 300) + х ≥ 19 700

_______________________

_______________________

_______________________

_______________________

_______________________

_______________________

х ∈ {_______________________}

х ∈ {_______________________}

25


3.

Раша је замислио највећи могућ број који, када га увећаш за 3 996, добићеш број који је мањи од 4 000. Одреди број који je Раша замислио. Неједначина: _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________________________ Раша је замислио број ______.

Које бројеве можеш додати броју 1 376 тако да збир не буде већи од броја 1 380?

o

4.

_______________________ _______________________

om

Неједначина: _______________________

5.

Ed

uk a

pr

_____________________________________

Ако разлику бројева 16 950 и 7 920 увећаш неким бројем, резултат ће бити већи од 10 000. Колика може да буде вредност непознатог броја? Неједначина: _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________________________

26


НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊЕНИК УЧИМО

Кључне речи: неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

Решићемо неједначину х – 35 ≥ 4. Неједначину х – 35 ≥ 4 можемо решити на два начина:

om

o

Помоћу табеле.

На основу добијених података, закључујемо да је скуп решења х ∈ {39, 40, 41, 42, ...}

pr

Решавањем одговарајуће једначине и извођењем закључка на основу својстава зависности разлике од промене умањеника. Неједначину х – 35 ≥ 4 можемо да решимо и овако:

uk a

Ако решимо одговарајућу једначину, лако ћемо одредити решење неједначине:

Ed

Знамо да се разлика увећава када се умањеник увећава. Зато смер неједнакости остаје непромењен: х ≥ 39.

Како у скупу N0 умањеник не може бити мањи од умањиоца, закључујемо да решења неједначине чине бројеви: 39, 40, 41, 42, ...

Записујемо решење неједначине: х ∈ {39, 40, 41, 42, ...}.

1. Реши неједначине. а) m − 20 ≥ 6

б) n − 3 < 2

в) х − 408 ≥ 2

m ≥ ___ + __

n < ___ + ___

х ≥ ___ + __

m ≥ ___

n < ___

х ≥ ___

m ∈ {___, ___, ___, ....}

n ∈ {__, __}

х ∈ {_________________}

27


2. Реши неједначине користећи табеле. а) х – 1 523 ≤ 4;

х ∈ {_________________________________________} б) х – 8 098 > 3;

o

х ∈ {_________________________________________}

om

в) х – 5 992 < 6.

pr

х ∈ {_________________________________________}

а) х – 12 103 ≤ 97;

uk a

3. Реши неједначине:

б) х – 9 588 > 12. _______________________

_______________________

_______________________

_______________________________

_______________________________

Ed

_______________________

4. Који број можеш умањити за 9 993, а да добијена разлика није мања од броја 7? _______________________ _______________________ _______________________ ________________________________________

28


НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊЕНИК ВЕЖБАМО

Кључне речи: неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

Одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. Реши неједначину помоћу табеле.

1.

а) х – 3 ≥ 5;

o

х ∈ {___, ___, ___, ___, ___, ___, ...}

2.

Реши неједначине: а) m – 54 < 4;

pr

х ∈ {___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___}

om

б) х – 2 ≤ 7;

б) n – 599 ≥ 9;

____________________

__________________

____________________

х ∈ {______________________}

___________________________

в) х – (245 + 338) > 417;

г) а – (2 851 – 2 845) < 1.

__________________

____________________

__________________

____________________

__________________________

____________________________

3.

Ed

uk a

__________________

Ана је замислила један број. Ако га умањиш за највећи једноцифрени број, добићеш разлику која није већа од 5. Које бројеве је Ана могла да замисли? Неједначина: _______________ → _______________ → _______________ Одговор: ____________________________________________________

4.

Марко је купио књигу по цени од 595 динара. Колико је могао да има динара ако му после те куповине није остало више од 5 динара? __________________________________________________________ __________________________________________________________ Одговор: ____________________________________________________

29


НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊИЛАЦ УЧИМО

Кључне речи: неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

Решићемо неједначину 35 − х ≥ 30.

om

o

Неједначину 35 − х ≥ 30 можемо решити на два начина: Помоћу табеле.

На основу добијених података, закључујемо да је скуп решења х ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

pr

Решавањем одговарајуће једначине и извођењем закључка на основу својстава зависности разлике од промене умањиоца. Ако решимо одговарајућу једначину, лако ћемо одредити решење неједначине:

= 35

30

=5

Знамо да се разлика умањује када се умањилац увећава (и обрнуто). Зато мењамо смер неједнакости: х ≤ 5.

uk a

= 30

Неједначину 35 − х ≥ 30, можемо да решимо и овако:

Ed

Како у скупу N0 умањеник не може бити мањи од умањиоца, закључујемо да решења неједначине чине бројеви: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Записујемо решење неједначине: х ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

1. Реши неједначине. Тачност решења провери у свесци. а) 9 − а ≥ 6;

б) 12 − b < 10;

в) 205 − c > 198.

а ≤ __ − __

______________________

______________________

а ≤ __

_____________

_____________

а ∈ {__, __, __, __}

b ∈ {____________________}

c ∈ {____________________}

Не заборави да у скупу N0 умањеник не може бити мањи од умањиоца.

30


2. Реши неједначине користећи табеле. а) 66 – х ≥ 59;

х ∈ {__, __, __, __, __, __, __, __} б) 32 – х > 27;

o

х ∈ {__, __, __, __, __}

om

в) 100 – х < 97;

3. Реши неједначине:

б) 105 − х > 98.

uk a

а) 30 − х ≥ 25;

pr

х ∈ {__, __, __, __, ... ,___}

___________________

___________________

___________________

_____________________________

_____________________________

Ed

___________________

4. Којим бројeм можеш умањити број 240 тако да добијена разлика није већа од 230? _______________________ _______________________ _______________________ _________________________________________________

• Зашто је скуп решења ове неједначине коначан? Одговор: __________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

31


НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ УМАЊИЛАЦ ВЕЖБАМО

Јоца је попунио табелу, а ти одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. а) 12 – х ≥ 3;

х ∈ {___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___}

om

б) 7 – х ≤ 2;

pr

х ∈ {___, ___, ___} 2.

o

1.

Кључне речи: неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу N0

Одреди решење неједначине помоћу табеле.

uk a

а) 520 – х ≥ 510;

х ∈ {___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___}

Ed

б) 10 – х ≤ 4;

х ∈ {___, ___, ___, ___, ___} 3.

32

Реши неједначине. Не заборави да у скупу Nо умањеник не може бити мањи од умањиоца.

Када је у неједначини непознат умањилац, смер неједнакости се мења!

а) 8 − х < 2; _____________________ _____________ х ∈ {___________________}

б) 16 − х ≤ 11; ________________ _____________ х ∈ {____________________}

в) 312 − х ≥ 306; _____________________ _____________ х ∈ {____________________}

г) 500 − х > 492; _____________________ _____________ х ∈ {___________________}

д) 734 − х < 728; ______________________ _____________ х ∈ {____________________}

ђ) 985 − х ≥ 978. _____________________ _____________ х ∈ {____________________}


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ УЧИМО

Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Твоје претходно знање...

o

Непознати чинилац израчунавамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем. 10 ∙ х = 470 х = 470 : 10 х = 47 Проверавамо: 10 ∙ 47 = 470

om

На исти начин непознати чинилац одређујемо у скупу природних бројева са нулом.

3 ∙ х = ______ х = 2 100 : __ х = ____

uk a

pr

1. Три тениске лоптице имају исту цену, а заједно коштају 2 100 динара. Израчунај цену једне лоптице. • Нека је цена једне лоптице х динара. Записујемо једнакост: 3 ∙ х = 2 100 • Једнакост 3 ∙ х = 2 100 зове се једначина; х је непознати чинилац. • Користи податке са цртежа и напиши шта недостаје.

∙x 3

2 100 : 700

Ed

П: 3 ∙ 700 = 2 100 Цена једне лоптице је _____ динара.

2. Реши следеће једначине. Тачност резултата провери са својим паром. а) 12 ∙ х = 1 620; б) х ∙ 1 000 = 253 000; в) 15 ∙ х = 4 500. _________________

____________________

_________________

_________________

_______________

_________________

П: __________________

П: ____________________

П: ___________________

3. Сарина породица сваки дан купи један хлеб по истој цени. У месецу мају само за хлеб су потрошили 1 705 динара. Израчунај цену хлеба који купују. Једначина:

___________________ ___________________ ____________ П: ___________________

Цена хлеба износи ___ динара.

33


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ ВЕЖБАМО Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Реши следеће једначине и провери тачност решења. _______________

х = __

_______________

П: __ ∙ __ = ____

П: _______________

om

х = ____ : __

г) х ∙ 7 = 1 120;

в) х ∙ 3 = 135; ________________

_______________

________________

_______________

П: _______________

П: _________________

ђ) 5 ∙ х = 3 275.

д) 100 ∙ х = 95 000;

_________________

uk a

________________ ________________

_________________

П: ________________

П: _________________

Ако један број увећаш 12 пута, добићеш производ 67 476. О ком броју је реч? Заокружи слово испред тачног одговора.

Ed

2.

Једначина: _____________________________

3.

o

б) 8 ∙ х = 72;

а) х ∙ 10 = 400;

pr

1.

а) 5 632

_____________________

б) 5 623

_____________________

г) 5 326

П: _____________________________

д) 5 236

Један чинилац је разлика бројева 2 386 и 2 358, а производ је 4 088. Колики је други чинилац? Заокружи слово испред тачног одговора. Једначина: _____________________________

34

_____________________

а) 148

_____________________

б) 246

_____________________

г) 146

П: _____________________________

д) 164


Упиши у празна поља одговарајуће бројеве тако да једнакости у укрштеницама буду тачне.

5.

Који број је означен

pr

om

o

4.

Ed

uk a

? Проучи слику и реши задатак.

35


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЉЕНИК УЧИМО Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Твоје претходно знање...

om

o

Непознати дељеник израчунавамо тако што количник помножимо делиоцем. х : 3 = 20 х = 20 ∙ 3 х = 60 Проверавамо: 60 : 3 = 20

pr

На исти начин непознати дељеник одређујемо у скупу природних бројева са нулом.

х : 4 = __

x

Ed

х = 28 ∙ __

uk a

1. Проучи дати пример и напиши шта недостаје. Ученици првог разреда једне основне школе распоређени су у 4 одељења са једнаким бројем ученика. Ако у једном таквом одељењу има 28 ученика, колико ђака има у првом разреду? • Нека је х укупан број ученика првог разреда. Записујемо једнакост: х : 4 = 28. • Једнакост х : 4 = 28 зове се једначина; х је непознати дељеник. :4 • Користи податке са цртежа и напиши шта недостаје. 28 ∙4

х = 112

П: 112 : 4 = 28

У тој школи има ____ ђака првака. 2. Реши следеће једначине. Тачност резултата провери са својим паром.

36

а) х : 6 = 320;

б) х : 2 = 4 556;

в) х : 35 = 2 000.

_________________

____________________

_________________

_________________

_______________

_________________

П: __________________

П: ____________________

П: ___________________


3. Који број умањен 12 пута даје количник 1 586? Једначина: _____________________ _____________________ _________________ П: __________________

То је број _________.

4. Два брата и сестра деле уштеђевину на једнаке делове. Свакоме од њих припало је 6 540 динара. Колико су укупно уштедели динара?

o

Једначина:

om

_____________________ _____________________ _________________

Укупно су уштедели ________ динара.

pr

П: __________________

Једначина:

uk a

5. За једно такмичење у пливању пријавило се 8 екипа. Ако је свака екипа пријавила 25 такмичара, колико је укупно пријављених такмичара?

_____________________

Ed

_____________________ _______________

Укупно је пријављено __________ такмичара.

6. Госпођа Ана ради у кухињи једног хотела. Све тањире распоредила је на 16 полица, тако што је на сваку полицу ставила 65 тањира. Колико на тим полицама има тањира? Постави и реши једначину. Обој тањир са тачним одговором. _____________________ _____________________

1 030

1 035

1 040

_________________ П: __________________________________

37


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЉЕНИК ВЕЖБАМО

Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Растко треба да реши једначину х : 6 = 60. Обој шешир на коме је написан поступак помоћу ког ће Растко доћи до тачног решења.

2.

Реши следеће једначине и провери тачност решења.

om

o

1.

б) х : 10 = 30;

а) х : 8 = 5;

_______________

х = __

_______________

pr

х = ____ ∙ __

П: _______________

П: __ : __ = ____

г) х : 9 = 20;

в) х : 5 = 12;

_______________

________________

_______________

uk a

________________

П: _______________

П: _________________

ђ) х : 4 = 385.

Ed

д) х : 7 = 128;

3.

________________

_________________

________________

_________________

П: ________________

П: _________________

Ако један број умањиш 9 пута, добићеш количник 296. Који је то број? Заокружи слово испред тачног одговора. Једначина: _____________________________ _____________________ _____________________ П: _____________________________ а) 2 664

38

б) 2 669

в) 2 660

г) 2 665


4.

Све убране јабуке разврстане су у 4 класе. Ако у свакој класи има 355 kg јабука, колико је килограма јабука убрано? Једначина: _____________________________ _____________________ _____________________ П: _____________________________ Одговор: _____________________________________________________

o

Стефан је прескочио висину од 112 cm, а то је 4 пута мање него што је скочио удаљ. Одреди дужину његовог скока удаљ.

om

5.

Једначина: _____________________________ _____________________ _____________________

pr

П: _____________________________

Душан је купио монитор и рачунар. Цена монитора је 6 980 динара и он је 8 пута јефтинији од рачунара. Постави и реши једначину помоћу које ћеш израчунати цену рачунара. Једначина: ______________________

Ed

6.

uk a

Дужина скока удаљ износи ______ cm или ____ dm ____ cm.

_____________________ _____________________

П: _____________________

Цена рачунара је _________ динара. • Цену рачунара одреди и помоћу израза. Израз: _____________________________________________________

39


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЛИЛАЦ УЧИМО

Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Твоје претходно знање...

o

Непознати делилац израчунавамо тако што дељеник поделимо количником. 54 : х = 6 х = 54 : 6 х=9 Проверавамо: 54 : 9 = 6

om

На исти начин непознати дељеник одређујемо у скупу природних бројева са нулом. Напомена: не може се делити нулом!

pr

1. На једном такмичењу има 60 учесника. Распоређени су у више мањих група, тако да их у свакој групи има по 6. У колико група су учесници распоређени? • Нека је х број група. Записујемо једнакост: 60 : х = 6. :x • Једнакост 60 : х = 6 зове се једначина; х је непознати делилац. • Користи податке са цртежа и напиши шта недостаје. 60 х = 60 : __ х = 10

∙ 10

Учесници су распоређени у ___ група.

Ed

П: 60 : __ = 6

uk a

60 : х = __

6

2. Израчунај непознати делилац. а) 4 900 : х = 70;

б) 8 600 : х = 100;

в) 1 000 : х = 25.

_________________

____________________

_________________

_________________

_______________

_________________

П: __________________

П: ____________________

П: ___________________

3. Колико пута треба умањити број 12 975 да би се добио количник 25? Једначина: _____________________ _____________________ _________________ П: _____________________ Да би се добио количник 25, број 12 975 треба умањити ___ пута.

40

4. Цена фудбалске лопте је 1 176 динара. Када би сваки дечак дао по 98 динара, могли би заједно да купе ту лопту. Колико дечака учествује у куповини лопте? Једначина: _____________________ _____________________ _________________ П: _____________________ У куповини лопте учествује ___ дечака.


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЛИЛАЦ ВЕЖБАМО

Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Повежи линијом једначину са одговарајућим решењем.

2.

Реши следеће једначине и провери тачност решења.

om

o

1.

б) 544 : х = 8;

а) 725 : х = 5;

_______________

pr

х = ____ : __ х = __

_______________

П: _______________

П: __ : __ = ____

г) 1 134 : х = 9;

uk a

в) 459 : х = 3;

________________

_______________

________________

_______________

П: _______________

Ed

П: _________________ д) 1 995 : х = 7;

3.

ђ) 2 116 : х = 4.

________________

_________________

________________

_________________

П: ________________

П: _________________

Колико пута је умањен број 1 380 ако је добијен количник 15? Једначина: _____________________________ _____________________ _____________________ П: _____________________________ Број 1 380 умањен је ___ пута.

41


Реши једначине. Добијене бројеве пронађи у таблици и у празна поља напиши називе животиња. Тако ћеш сазнати којим животињама припадају остављени трагови.

Ed

uk a

pr

om

o

4.

42


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0 ВЕЖБАМО Реши једначине. а) 7 ∙ х = 2 100;

б) х : 44 = 100;

в) 3 000 : х = 5.

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

_________________

П: ________________

П: ________________

П: ________________

2.

om

o

1.

Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Који број треба поделити бројем 27 да би се добио количник 605? Једначина: ___________________ ___________________

3.

То је број _____.

uk a

П: ________________

pr

___________________

Када разлику бројева 6 000 и 5 964 помножиш непознатим бројем, добићеш производ 4 968. Одреди непознати број. Једначина: ___________________

___________________

Ed

___________________

П: ________________

4.

То је број _____.

Проучи слику. Одреди број који недостаје у празном пољу.

43


ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ У СКУПУ N0 ВЕЖБАМО

Кључне речи: једначине са множењем и дељењем у скупу N0

Забавите се попуњавањем бројевних укрштеница...

Ed

uk a

pr

om

o

Упиши у плава поља одговарајуће бројеве тако да једнакости у укрштеници буду тачне. Добијена решења провери са осталим члановима групе.

44


СЛОЖЕНЕ ЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0 УЧИМО

Кључне речи: сложене једначине у скупу N0

o

Када решавамо сложене једначине, морамо да поштујемо редослед рачунских операција!

Предност има дељење.

pr

om

Предност има множење.

Ed

uk a

У сложеним једначинама налазе се најмање две једначине које треба да решимо и тако одредимо непознати број. Важно је да применимо знање о редоследу обављања рачунских операција и тако одредимо шта је непознато. На пример, у једначини 3 ∙ х + 1 000 = 3 100, уочавамо две рачунске операције: множење и сабирање. Како множење има предност над сабирањем, цео запис 3 ∙ х посматрамо као непознати сабирак. Зато смо прво решили једначину са непознатим сабирком, а затим једначину са непознатим чиниоцем. 1. Реши следеће једначине: а) 4 ∙ x + 3 200 = 5 600;

б) 320 : x + 4 000 = 4 064;

в) 8 000 + 5 ∙ x = 10 000.

45


2. Реши следеће једначине: б) x : 5 – 120 = 800;

в) 1 200 : x – 300 = 300.

om

o

а) 200 ∙ x – 400 = 5 000;

3. Реши следеће једначине и провери тачност решења. б) 63 000 – x : 10 = 62 750;

в) 5 620 – 2 250 : x = 4 870.

Ed

uk a

pr

а) 8 100 – x ∙ 520 = 6 540;

4. Реши следеће једначине и провери тачност решења. а) (800 – x) ∙ 2 = 100;

46

б) 8 ∙ (x + 950) = 7 624;

в) 10 ∙ (x − 724) = 7 230.


в) (x – 50) : 3 = 650.

om

o

5. Реши следеће једначине: а) (9 650 – x) : 4 = 605; б) (3 000 + x) : 10 = 356;

6. Реши следеће једначине и провери тачност решења. б) 3 200 : (x − 90) = 320;

в) 10 000 : (х + 12) = 500.

Ed

uk a

pr

а) 7 400 : (x + 30) = 100;

1 440 : (500 − 480) = 1 440 : 20 = 72

7. Реши следеће једначине и провери тачност решења. а) 2 280 : (35 + x) = 38; б) 5 060 : (x – 67) = 55; в) 10 240 : (360 − x) = 32. Маја је по истој цени купила 2 плаве и 3 зелене гумице за косу. Све гумице је платила 360 динара. Израчунај цену једне гумице. • Нека је цена гумице x динара. • Постављамо једначину: 2 ∙ x + 3 ∙ x = 360 5 ∙ x = 360 x = _____ : ___ x = ____ Проверавамо: 2 ∙ 72 + 3 ∙ ____ = 144 + 216 = 360 Цена једне гумице је 72 динара. 8. Реши и ти сличне једначине и провери тачност решења. а) 5 ∙ x + 2 ∙ x = 2 800; б) x + x + x = 16 494; в) 4 ∙ x + 5 ∙ x = 8 613.

47


СЛОЖЕНЕ ЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0 ВЕЖБАМО

Кључне речи: сложене једначине у скупу N0

Забавите се откривањем ендемских биљака које живе у Србији... За сваку тачно решену једначину открићете слику једне ендемске биљке (која живи само у одређеном крају) у Србији. Испод слике упишите назив биљке. Сарађујте у групи и упоредите своје резултате са осталим групама.

om

Молика (а + 2 760) : 700 = 4 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________

Дивљи кестен (4 170 – m) : 80 = 52 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________

Панчићев одољен 500 : (30 − х) = 20 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________

Муника 2 400 : (х − 15) = 80 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________

Ed

48

Ртањска метвица 25 · (х – 10) = 400 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________

pr

uk a

Планински јавор 12 800 – 5 · х = 10 000 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________

Наталијина рамонда х : 20 – 5 800 = 2 200 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________

o

Панчићева оморика 18 · х + 7 600 = 13 000 _____________________________ _________________________ _________________________ ________________


ЗАВИСНОСТ ПРОИЗВОДА ОД ЧИНИЛАЦА УЧИМО

Кључне речи: зависност производа од чинилаца, сталност производа

Шта ће се догодити са производом бројева 6 и 10 ако чиниоце увећамо или умањимо? •

Допуни записе одговарајућим бројевима. 6 ∙ 10 = 60 Чинилац 6 је увећан 2 пута и производ се увећао 2 пута.

6 ∙ (10 ∙ 3) = 6 ∙ __ = 180

Чинилац 10 је увећан __ пута и производ се увећао 3 пута.

(6 : 2) ∙ 10 = __ ∙ 10 = 30

Чинилац 6 је умањен 2 пута и производ се умањио __ пута.

6 ∙ (10 : 2) = 6 ∙ __ = 30

Чинилац 10 је умањен 2 пута и производ се умањио __ пута.

om

o

(6 ∙ 2) ∙ 10 = 12 ∙ __ = 120

Шта уочаваш? Објасни.

pr

Када се један чинилац увећа или умањи неколико пута, и производ се увећа или умањи исто толико пута. Ово важи за све бројеве из скупа N. Ако су бројеви а и b дељиви бројем с и ако је а ∙ b = p, онда можемо да запишемо: а ∙ (b ∙ с) = p ∙ с

uk a

(а ∙ с) ∙ b = p ∙ с

и

(а : с) ∙ b = p : с

а ∙ (b : с) = p : с.

Шта ће се догодити са производом бројева 6 и 10 ако један чинилац увећамо неколико пута а други чинилац умањимо исто толико пута? Допуни записе одговарајућим бројевима.

Ed

6 ∙ 10 = 60

(6 ∙ 2) ∙ (10 : 2) = __ ∙ 5 = 60

Чинилац 6 је увећан __ пута, а чинилац 10 је умањен __ пута. Производ се _________ променио.

(6 : 3) ∙ (10 ∙ 3) = __ ∙ 30 = 60

Чинилац 6 је умањен __ пута, а чинилац 10 је увећан __ пута. Производ се _________ променио.

Шта уочаваш? Објасни.

Када се један чинилац увећа а други смањи исти број пута (и обрнуто), производ се неће променити. Ово својство називамо сталност производа и важи за све бројеве из скупа N. Ако су бројеви а и b дељиви бројем с и ако је а ∙ b = p, онда можемо да запишемо: (а ∙ с) ∙ (b : с) = p и (а : с) ∙ (b ∙ с) = p. У неким задацима, ово својство можеш да користиш као олакшицу при рачунању. На пример: 125 ∙ 8 = (125 ∙ 2) ∙ (8 : 2) = 250 ∙ 4 = 1000

49


ЗАВИСНОСТ ПРОИЗВОДА ОД ЧИНИЛАЦА ВЕЖБАМО

а) увећа 2 пута;

• Производ ће бити (а · 2) ∙ b = 400 ∙ __ = _____;

б) умањи 2 пута?

• Производ ће бити (а : 2) ∙ b = 400 : __ = _____.

На основу датих података представи зависност производа од промене чинилаца. Проучи дати пример. пример

a · b = 200 a · (b : 2) = 200 : 2

a · b = 2 000 (a · 5) · b = _____ · ___

o

2.

Производ два броја је 400. Колики ће бити нови производ ако се само један чинилац: а ∙ b = 400

a · b = 5 600 (a : 100) · b = _____ : _____

om

1.

Кључне речи: зависност производа од чинилаца, сталност производа

a · b = 2 000 (a · 5) · b = _____ · ___

pr

a · b = 285 a · (b ∙ 100) = ____ · ____

Дужина странице једног квадрата износи 20 cm.

uk a

3.

а) Израчунај обим тог квадрата. О = ___ cm · __ = ___ cm

Ed

б) Колики ће бити обим тог квадрата ако његову страницу: • увећамо 4 пута;

______________

• умањимо 2 пута? ______________

• Обим квадрата ће бити ____ cm. • Обим квадрата ће бити ___ cm.

4.

Користи својство о сталности производа и израчунај на лакши начин.

5.

Израчунај на лакши начин: а) 50 · 420 = (___ · __) · (____ : __) = 100 · ____ = _______ б) 88 · 125 = (___ : __) · (____ · __) = ____ · 1000 = _______ в) 3 400 · 500 = __________________________________________________________

50


ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ДЕЉЕНИКА И ДЕЛИОЦА УЧИМО

Кључне речи: зависност количника од дељеника и делиоца, сталност количника

Шта ће се догодити са количником ако дељеник увећамо или умањимо?

400 : 8 = 50

• Допуни записе одговарајућим бројевима. 400 : 8 = 50 Дељеник је увећан 2 пута, количник се увећао __ пута.

(400 : 2) : 8 = 200 : __ = 25

Дељеник је умањен 2 пута, количник се умањио __ пута.

o

(400 ∙ 2) : 8 = 800 : __ = 100

om

Када се дељеник увећа или умањи неколико пута, и количник се увећа или умањи исто толико пута. Ово важи за све бројеве из скупа N. Ако су бројеви а и b дељиви бројем с и ако је а : b = k, онда можемо да запишемо: (а ∙ с) : b = k ∙ с

(а : с) : b = k : с.

pr

а:b=k

Шта ће се догодити са количником ако делилац увећамо или умањимо? • Допуни записе одговарајућим бројевима.

uk a

400 : 8 = 50

400 : (8 · 5) = ____ : 40 = 10

Делилац је увећан 5 пута, количник се умањио __ пута.

400 : (8 : 2) = ____ : 4 = 100

Делилац је умањен __ пута, количник се увећао 2 пута.

Ed

Када се делилац увећа неколико пута, количник се умањи исто толико пута. Када се делилац умањи неколико пута, количник се увећа исто толико пута. Ово важи за све бројеве из скупа N. Ако су бројеви а и b дељиви бројем с и ако је а : b = k, онда можемо да запишемо: а:b=k

а : (b ∙ с) = k : с

а : (b : с) = k ∙ с.

Шта мислиш, када се количник неће променити? Проучи дате примере.

Шта уочаваш? Објасни.

Када се дељеник и делилац помноже или поделе истим бројем, количник се неће променити. Ово својство називамо сталност количника и важи за све бројеве из скупа N. Ако су бројеви а и b дељиви бројем с и ако је а : b = k, онда можемо да запишемо: а:b=k

(а ∙ с) : (b ∙ с) = k

(а : с) : (b : с) = k.

• У неким задацима ово правило користимо као олакшицу при рачунању. На пример: 4 600 : 200 = (4 600 : 100) : (200 : 100) = 46 : 2 = 23 или 4 600 : 200 = 46 : 2 = 23.

51


ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ДЕЉЕНИКА И ДЕЛИОЦА ВЕЖБАМО

3.

• Количник ће бити (а · 2) : b = 400 ∙ __ = _____;

б) умањи 2 пута?

• Количник ће бити (а : 2) : b = 400 : __ = _____;

o

а) увећа 2 пута;

Количник два броја је 300. Колики ће бити нови количник ако се само делилац: а : b = 300

om

2.

Количник два броја је 400. Колики ће бити нови количник ако се само дељеник: а : b = 400

а) увећа 3 пута;

• Количник ће бити а : (b ∙ 3) = 300 : __ = _____;

б) умањи 3 пута?

• Количник ће бити а : (b : 3) = 300 ∙ __ = _____;

Допуни следеће тврдње:

pr

1.

Кључне речи: зависност количника од дељеника и делиоца, сталност количника

а) Када се делилац умањи 3 пута, количник се _______________________________.

uk a

б) Када се делилац увећа 12 пута, количник се _______________________________.

Користи правило о сталности количника и израчунај на лакши начин:

5.

Како ће се променити количник два броја ако се:

Ed

4.

а) дељеник увећа 2 пута, а делилац умањи 10 пута; ___________________ • Количник ће се _________________________________________________ б) дељеник умањи 5 пута, а делилац се увећа 2 пута? ___________________ • Количник ће се _________________________________________________

52


НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ УЧИМО Кључне речи: неједначине у скупу N0, израчунавамо непознати чинилац

Којим бројевима можеш да помножиш број 20 тако да је добијени производ мањи од 100?

Тражене бројеве добићу решавањем неједначине 20 ∙ х < 100.

om

o

Неједначину 20 ∙ х < 100 можемо решити на два начина: Помоћу табеле.

На основу добијених података, закључујемо да је скуп решења х ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.

pr

Решавањем одговарајуће једначине и извођењем закључка на основу својстава зависности производа од чинилаца.

uk a

Ако решимо одговарајућу једначину, лако ћемо одредити решење неједначине:

Неједначину 20 ∙ х < 100 можемо да решимо и овако:

Ed

Знамо да се производ умањује када се умањује чинилац. Зато смер неједнакости остаје непромењен: х < 5.

Закључујемо да решење неједначине чине бројеви: 0, 1, 2, 3, 4.

Записујемо решење неједначине: х ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.

1. Реши неједначине и провери тачност решења. а) 50 ∙ х ≤ 150;

б) 30 ∙ х ≥ 240;

в) х ∙ 12 < 108.

х ≤ ____ : ___

______________________

______________________

х ≤ ___

______________________

______________________

х ∈ {___, ___, ___, ___}

х ∈ {__________________}

х ∈ {__________________}

53


2. Заокружи бројеве који припадају скупу решења неједначине 32 ∙ x ≤ 160. ____________________ ____________________ ____________________ х ∈ {_________________________} 1

2

3

4

5

6

7

8

9

om

3. Одреди решење неједначине 24 ∙ x < 168 помоћу табеле.

10

o

0

pr

х ∈ {_________________________}

4. Реши неједначине:

б) х ∙ 35 < 210;

Ed

uk a

а) 43 ∙ х > 172;

54

в) 52 ∙ х ≥ 416.


НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ЧИНИЛАЦ ВЕЖБАМО Кључне речи: неједначине у скупу N0, израчунавамо непознати чинилац

1.

Одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. Реши неједначину помоћу табеле. а) х ∙ 4 ≤ 28;

o

х ∈ {_________________________}

om

б) 5 ∙ х ≥ 30;

Реши неједначине и провери тачност решења. а) 7 ∙ х ≤ 1 456;

____________________

______________________

____________________

______________________

__________________________

___________________________

в) х ∙ (205 − 196) ≥ 1 800;

г) (2 851 – 2 845) ∙ х ≤ 150.

Ed

3.

б) 15 ∙ а < 15;

uk a

2.

pr

х ∈ {_________________________}

____________________

______________________

____________________

______________________

____________________

______________________

___________________________

___________________________

Заокружи бројеве који припадају скупу решења неједначине 600 · x ≤ 7 200. ____________________ ____________________ ____________________ __________________________ 1, 5, 8, 13, 4, 7, 11, 3, 6, 12, 15, 2, 10, 9, 14.

55


4.

Реши неједначину. 700 · x ≤ 6 150 – 1 950 ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ х ∈ {_________________________}

У скупу А прецртај све бројеве који нису решење неједначине 12 · x ≥ 96.

pr

om

o

5.

____________________ ____________________

uk a

____________________ х ∈ {_________________________}

Мина је убране малине спаковала у пластичне посуде. Маса малина у свакој посуди је 500 g. Ако на пијаци није продала више од 30 kg малина, колико је највише посуда са малинама продала?

Ed

6.

Колико у 30 kg има грама?

Неједначина: ___________________________ ___________________________ _________________ х ∈ {_________________________}

Мина је могла да прода највише ____ посуда са малинама.

56


НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЉЕНИК УЧИМО

Кључне речи: неједначине у скупу N0, израчунавамо непознати дељеник

Које бројеве можеш да поделиш бројем 8 тако да добијени количник буде мањи од броја 6?

Тражене бројеве добићу решавањем неједначине х : 8 < 6.

om

o

Неједначину х : 8 < 6 можемо решити на два начина: Помоћу табеле у којој за вредности променљиве уписујеш бројеве који су дељиви са делиоцем.

pr

На основу добијених података, закључујемо да скупу решења неједначине припадају сви бројеви који су мањи од 48, а који су дељиви са 8. То су бројеви: 8, 16, 24, 32, 40. Решавањем одговарајуће једначине и извођењем закључка на основу својстава зависности количника од дељеника.

uk a

Ако решиш одговарајућу једначину, лако ћеш одредити скуп решења:

Неједначину х : 8 < 6 можемо да решимо и овако:

Ed

Знамо да се количник умањује када се умањује дељеник. Зато смер неједнакости остаје непромењен: х < 48.

У скупу N0 дељеник не може бити мањи од делиоца и дељеник мора бити дељив са делиоцем. Зато решење неједначине чине бројеви: 8, 16, 24, 32, 40.

Записујемо решење неједначине: х ∈ {8, 16, 24, 32, 40}.

• Знаш да је 9 : 8 = 1 (остатак 1), да је 10 : 8 = 1 (остатак 2), да је 11 : 8 = 1 (остатак 3). • За број 16 кажемо да је дељив са 8, а за број 9 кажемо да није дељив са 8. Зато је у скупу решења неједначине х : 8 < 6 најмањи број 8, сваки следећи број је за 8 већи, а највећи број 40. 1. Допиши шта је потребно тако да решења датих неједначина буду тачна. а) х : 2 ≥ 5. х ≥ __ ∙ __ х ≥ ___ х ∈ {10, 12, ___, ...}

б) х : 3 < 6; х < __ ∙ __ х < ___ х ∈ {3, 6, __, 12}

в) х : 6 ≤ 4. х ≤ __ ∙ __ х ≤ ___ х ∈ {6, 12, ___, ___}

57


НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЉЕНИК ВЕЖБАМО 1.

Кључне речи: неједначине у скупу N0, израчунавамо непознати дељеник

Одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. Реши неједначину помоћу табеле. а) х : 7 > 5;

х ∈ {____________________________________}

om

o

б) х : 3 ≤ 8;

х ∈ {____________________________________} Реши неједначине и провери тачност решења.

uk a

а) х : 5 > 3; ____________________ ____________________ _____________________________

pr

2.

Ed

в) х : 9 > 5; ____________________ ____________________ _____________________________ д) х : 3 ≤ 12; ____________________ ____________________ _____________________________ 3.

б) х : 7 < 2; ______________________ ______________________ ______________________________ г) х : 4 > 4; ______________________ ______________________ ______________________________ ђ) х : 10 ≥ 7. ______________________ ______________________ _____________________________

Које бројеве можеш да поделиш бројем 5 тако да добијени количник буде мањи од 9? ______________________ ______________________ х ∈ {____________________________________}

4.

Запиши неједначину са непознатим дељеником чији је скуп решења: а) х ∈ {10, 20, 30, 40};

______________________________

б) х ∈ {7, 14, 21, 28, 35}. ______________________________

58


НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЛИЛАЦ УЧИМО

Кључне речи: неједначине у скупу N0, израчунавамо непознати делилац

Којим бројевима можеш да поделиш број 12 тако да добијени количник не буде већи од броја 3?

Тражене бројеве добићу решавањем неједначине 12 : х ≤ 3.

o

Неједначину 12 : х ≤ 3 можемо решити на два начина:

om

Помоћу табеле у којој за вредности променљиве уписујеш бројеве који су дељиви са дељеником. Најмањи број променљиве је 1, а највећи број једнак је дељенику. Нулу изостављамо, јер не можемо делити нулом.

pr

На основу добијених података, закључујемо да је скуп решења х ∈ {4, 6,12}. Решавањем одговарајуће једначине и извођењем закључка на основу својстава зависности количника од делиоца. Ако решиш одговарајућу једначину, лако ћеш одредити скуп решења:

uk a

Неједначину 12 : х ≤ 3 можемо да решимо и овако:

Ed

Знамо да се количник умањује када се делилац увећава (и обрнуто). Зато мењамо смер неједнакости: х ≥ 4.

У скупу N0 делилац не може бити већи од дељеника и дељеник мора бити дељив са делиоцем. Зато решење неједначине чине бројеви: 4, 6, 12.

Записујемо решење неједначине: х ∈ {4, 6,12}.

1. Допиши шта је потребно тако да решења датих неједначина буду тачна. а) 30 : х ≥ 6; б) 50 : х < 2; в) 80 : х ≤ 5. х ≤ __ : __ х > ________ х ≥ ________ х ≤ ___ х > ___ х ≥ ___ х ∈ {1, __, __, 5} х ∈ {__} х ∈ {__, ___, ___} 2. Попуни табелу.

На основу добијених података, напиши бројеве који су решења датих неједначина: а) 30 : х ≤ 6;

х ∈ {___, ___, ___, ___, ___}

б) 30 : х > 6.

х ∈ {___, ___, ___}

59


НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0: ИЗРАЧУНАВАМО НЕПОЗНАТИ ДЕЛИЛАЦ ВЕЖБАМО 1.

Кључне речи: неједначине у скупу N0, израчунавамо непознати делилац

Каћа је попунила табелу, а ти одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. а) 20 : х ≤ 5; 20

10

5

4

2

6

3

2

1

9

х ∈ {___, ___, ___} Одреди решење неједначине помоћу табеле.

1

pr

2.

om

18

o

х ∈ {___, ___, ___, ___} б) 18 : х > 3.

uk a

а) 80 : х ≥ 8;

х ∈ {___, ___, ___, ___, ___} б) 30 : х ≥ 6.

Ed

30 : х

х ∈ {___, ___, ___} 3.

Реши неједначине и провери тачност решења. а) 72 : х > 9; ________________ ________________ ________________________ в) 48 : х ≥ 16; ________________ ________________ __________________________

60

б) 100 : х ≤ 4; _________________ _________________ _______________________ г) 75 : х < 5. _________________ _________________ _______________________

Када је у неједначини непознат делилац, смер неједнакости се мења!


САДА ЗНАМ МНОГО ВИШЕ Кључне речи: једначине и неједначине у скупу N и скупу N0

Непознати умањеник

Непознати чинилац

Непознати дељеник

Непознати умањилац

om

o

Непознати сабирак

Ed

uk a

pr

Непознати делилац

61


ПРОВЕРАВАМО НАУЧЕНО Кључне речи: једначине и неједначине у скупу N0

Реши једначине и провери тачност решења. б) x – 7 506 = 3 624;

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

П: ________________________

П: ________________________

в) 6 000 – х = 5 402;

г) 8 · х = 2 000;

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

П: ________________________

П: ________________________

д) х : 51 = 30;

ђ) 9 025 : х = 95.

__________________________

__________________________

om

o

а) х + 14 927 = 15 006;

pr

1.

__________________________

__________________________

П: ________________________

uk a

2.

П: ________________________

Одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. Реши неједначину помоћу таблице.

Ed

а) 9 + х ≤ 16;

х ∈ {__, __, __, __, __, __, __, __} б) х − 4 ≥ 3; 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

–4

х ∈ {___, ___, ___, ...} в) 8 − х ≥ 3. 0

1

8

х ∈ {__, __, __, __, __, __}

62


3.

Који број треба одузети од броја 12 600 да се добије број 7 849? Једначина: __________________________ __________________________ __________________________ П: _________________________

4.

То је број ___________.

Од ког броја треба одузети збир бројева 4 658 и 2 742 да се добије број 3 777? Једначина: __________________________ __________________________

Реши неједначине и провери тачност решења.

б) 7 000 – x ≤ 6 979; ____________________ ____________________ x ∈ {_______________________}

uk a

а) x + 3 615 ≤ 3 621; ____________________ ____________________ x ∈ {_______________________}

pr

5.

om

П: _________________________

o

__________________________

6.

г) 10 000 – x ≥ 9 910. ____________________ ____________________ x ∈ {_______________________}

Ed

в) x – 674 ≤ 26; ____________________ ____________________ x ∈ {_______________________}

Рециклажом 1 t старе хартије спашавамо 17 стабала дрвећа. У свом складишту фабрика за рециклажу имала је 3 846 kg старе хартије. Колико је тона хартије могло бити рециклирано ако после тог поступка није остало мање од 847 kg хартије? Неједначина: ___________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Колики је број спашених стабала за најмању могућу количину рециклиране хартије? Допуни шта недостаје: • Ако рециклажом 1 t старе хартије спашавамо 17 стабала, рециклажом __ t старе хартије спасићемо __ ∙ 17 = ____ стабло.

63


Реши једначине: а) (х – 2 800) + 3 740 = 8 000

б) (10 000 − х) – 3 590 = 4 410

в) 9 420 – (х + 1 865) = 3 285

г) 5 836 – (6 940 – х) = 1 274

Реши неједначине и провери тачност решења.

uk a

8.

pr

om

o

7.

а) 30 ∙ x ≥ 240;

б) х : 4 < 5; ____________________

____________________

____________________

x ∈ {_______________________}

x ∈ {_______________________}

в) х : 5 > 3;

г) х : 8 ≥ 2.

____________________

____________________

____________________

____________________

___________________________

___________________________

Ed

____________________

9.

Заокружи бројеве који су решења неједначине 56 : х ≥ 7.

1

64

2

3

4

5

6

7

8

9


Поштуј правила о редоследу рачунских операција и реши једначине. а) 5 ∙ х + 5 940 = 6 610

б) 12 : х + 2 197 = 2 200

в) 8 640 : (х − 424) = 15

г) 13 743 – x : 2 = 12 997

Одреди вредности непознате х за које се добија тачна неједнакост. Реши неједначину помоћу табеле. а) 50 : х > 2;

uk a

11.

pr

om

o

10.

_____________________ _____________________

Ed

x ∈ {__, __, __, __}

б) 32 : х ≤ 8. _____________________ _____________________ x ∈ {__, __, __, __}

12.

Запиши и реши неједначину са непознатим делиоцем чији је скуп решења x ∈ {1, 2, 3, 6, 9}. _____________________ _____________________ ______________

Када је у неједначини непознат делилац, смер неједнакости се мења!

65


Откриј замишљени дан у седмици

1. Означи дане у седмици, почев од понедељка, бројевима од 1 до 7. 2. Изабери било који од њих. 3. Удвостручи редни број изабраног дана и увећај га за 5. 4. Добијени збир помножи са 5 и резултату допиши нулу са десне стране.

om

o

5. Саопшти ми резултат и рећи ћу ти твој изабран дан.

Петак – 5.

Ed

uk a

pr

((5 · 2 + 5) · 5) · 10 = 750

Од цифре стотина саопштеног броја одузмем број 2, 7 – 2 = 5. Замишљени дан је петак!

Одиграј ову игру са својим друговима који не знају за ову чаролију и добро се забави!

66


ГЕОМЕТРИЈА НАУЧИЋЕШ:

Ed

uk a

pr

om

o

• које су особине геометријских тела квадра и коцке; • да правиш мреже површи квадра и коцке; • да правиш моделе квадра и коцке.


НАУЧИЛИ СМО ИЗ ГЕОМЕТРИЈЕ ПОНАВЉАМО

Кључне речи: просторни облици, геометријска тела, геометријске фигуре, линије, тачке

Повежи линијом облик из простора са одговарајућим геометријским телом.

2.

Нацртане су геометријске фигуре. а) Напиши њихове називе.

Ed

uk a

pr

om

o

1.

б) Каквим линијама су оивичене нацртане фигуре? Обој поље са тачним одговором.

Подсети се!

68


ПРАВОУГАОНИК И КВАДРАТ ПОНАВЉАМО Кључне речи: правоугаоник и квадрат

1.

Нацртан је правоугаоник OSRP. а) Темена правоугаоника су тачке: ___, ___, ___, ___. б) Странице правоугаоника су дужи:

om

Колико на цртежу има:

pr

2.

o

____, ____, ____ и ____.

а) правоугаоника који нису квадрати; ___

Посматрај цртеж и допуни:

Ed

3.

uk a

б) квадрата? ___

а) Суседне странице нацртаног правоугаоника су: MN и ND, ______ и ______, ______ и ______, ______ и ______. Оне су међусобно нормалне, а по дужини ________________.

б) Наспрамне странице су: ______ и ______, ______ и ______. Оне су међусобно паралелне, а по дужини ___________________.

69


4.

Нацртаном квадрату обележи темена, а затим допуни реченице.

• Странице квадрата су дужи: __________________________.

o

• Наспрамне странице су дужи: ______________________________.

om

• Суседне странице су дужи: _______________________________.

• Квадрат је правоугаоник коме су све странице _______________ дужине.

Повежи стрелицом како је започето.

6.

Колико квадрата видиш на слици? У табели са бројевима обој поље са тачним одговором.

70

Ed

uk a

pr

5.


КВАДАР И КОЦКА УЧИМО Кључне речи: квадар и коцка

1. Напиши на линијaма којим моделима геометријских тела одговарају предмети на слици.

__________

___________

____________

Тела ограничена само кривим или кривим и равним површима називају се обла или обртна тела. Таква тела су:

uk a

pr

Тела ограничена само равним површима називају се рогљаста тела. Нека од таквих тела су:

___________

o

__________

om

__________

Ed

• Предмете облика квадра и коцке називамо моделима квадра и коцке. Неки од њих направљени су од гипса, дрвета, пластике, картона или неког другог материјала. • Служе за проучавање геометријских тела квадра и коцке.

Проучаваћемо квадар и коцку.

2. a) Каквог облика су стране квадра? Одговор: ______________________________________________________________ б) Каквог облика су стране коцке? Одговор: ______________________________________________________________

71


СВОЈСТВА КВАДРА УЧИМО

Кључне речи: својства квадра, стране, ивице, темена, дужина, ширина, висина

За проучавање квадра користићемо један његов модел. 1. Један ученик држи у руци модел квадра. Други ученик на сваку страну уписује њен редни број. Уочавамо: Квадар је ограничен са 6 равних површи облика правоугаоника. Те површи се називају стране квадра. Наспрамне стране квадра су подударне. По међусобном положају те стране су паралелне.

B

om

o

• На слици су обојене наспрамне стране квадра. Шта уочаваш?

B

B

pr

Помоћу симбола за подударност ≅ можемо да запишемо да су стране ADNM и BCOE подударне: ADNM ≅ BCOE.

2. Користи знак за подударност и запиши парове осталих подударних страна.

uk a

_______________________________________________________________

Ed

Дужи које ограничавају стране квадра називају се ивице квадра. Све ивице квадра можемо разврстати у 3 групе по 4 ивице које су међусобно подударне и паралелне. 3. Посматрај цртеж квадра.

Именуј све ивице које су међусобно једнаке по дужини.

Темена квадра су крајње тачке ивица.

Из сваког темена полазе по 3 ивице. Оне представљају димензије квадра: дужину (а), ширину (b) и висину (c). По међусобном положају те ивице су нормалне. 4. Које ивице полазе из темена А? Заокружи слово испред тачног одговора. • Из темена А полазе ивице: а) АD, AM и MN; б) AM, AB и АD; в) AM, AB и BC.

72


СВОЈСТВА КОЦКЕ УЧИМО

Кључне речи: својства коцке, стране, ивице, темена

• За проучавање коцке користићемо један њен модел. • Колико коцка има страна? • Каквог облика су стране коцке?

• Колико коцка има темена? • Именуј сва темена коцке на цртежу.

om

• Посматрај коцку која се налази на цртежу. • Колико коцка има ивица? • Именуј све њене ивице.

o

Стране коцке су подударни квадрати.

pr

• На основу уочених особина коцке, закључујемо: Коцка је квадар који је ограничен са 6 подударних квадрата.

uk a

1. Користи знак за подударност и запиши све парове подударних страна коцке. ________________________________________________________________

Ed

2. Скицу коцке можеш лако да нацрташ у 4 корака. Проучи цртеж и нацртај скицу коцке у свесци.

3. Јоца је слагањем једнаких коцака направио тела приказана на сликама. Допуни таблице бројем употребљених коцака у сваком реду. пример

3 1

73


СВОЈСТВА КВАДРА И КОЦКЕ ВЕЖБАМО

1.

Кључне речи: својства квадра и коцке, стране, ивице, темена, дужина, ширина, висина

Допуни тврдње: • Квадар је геометријско тело ограничено са 6 _________. • Коцка је квадар који је ограничен са __ квадрата. Обој наспрамне стране квадра. Горњу и доњу страну обој црвено, предњу и задњу жуто, а леву и десну зелено.

3.

Допуни започето цртање квадра и коцке.

4.

Посматрај цртеж квадра и допуни реченице:

5.

Ed

uk a

pr

om

o

2.

Квадар има ___ темена и ___ ивица.

Наспрамне стране нацртаног квадра су: _____ и _____, _____ и ____, _____ и _____.

Дужину квадра представљају ивице: АВ, DC, ____ и ____.

Ширину квадра представљају ивице: ВС, ____, ____ и ____.

Висину квадра представљају ивице: BE, ____, ____ и ____.

На слици је приказана ___________. •

Наведи стране које са горњом страном SRОN имају заједничке ивице. _____, _____, _____, _____.

Именуј стране коцке ако је ABRS предња страна: a) лева ___________; б) доња ___________.

74

Ивице које полазе из темена R су: _____, _____ и _____.


МРЕЖА ЗА МОДЕЛ КОЦКЕ УЧИМО

Кључне речи: мрежа за модел коцке

Када изравнамо исечен модел коцке и ставимо га на сто, добићемо мрежу површи коцке.

pr

Ако исечемо модел коцке дуж неких његових ивица тако да може да се расклопи, уочићемо свих 6 страна коцке.

om

o

Како да направим кутију за поклон облика коцке?

Ed

uk a

Мрежа коцке може да има различите облике. Проучи дате примере.

1. Нацртај различите мреже за коцке чије су димензије: а) а = 5 cm; б) а = 35 mm. Направи од хартије њихове моделе. 2. Пронађи коцку која је добијена сечењем и савијањем страна приказане мреже. Заокружи одговарајући број.

75


МРЕЖА ЗА МОДЕЛ КВАДРА УЧИМО Кључне речи: мрежа за модел квадра

om

o

Кaда отворим овај модел квадра од картона добићу мрежу површи квадра.

pr

Овако изгледа мрежа површи квадра.

Ed

uk a

1. Према датој скици нацртај мрежу површи квадра чије су димензије:

2. Мрежа површи квадра може да има различите облике. На цртежу се налазе мреже површи два квадра. Подударнe стране обој истом бојом.

3. Направи моделе квадра од картона чије су димензије: а) а = 7 cm, b = 5 cm, c = 3 cm;

76

б) а = 1 dm, b = 6 cm, c = 1 dm.


МРЕЖА ЗА МОДЕЛ КОЦКЕ и квадра ВЕЖБАМО

Кључне речи: мрежа за модел коцке и квадра

Соња, Аца и Ива су добили задатак да нацртају мрежу квадра. Учитељица је саопштила да је само Ива тачно урадила задатак. На Ивином цртежу једнаке стране обој истом бојом.

2.

Раша је успешно направио модел коцке од картона. Коју од нацртаних фигура је користио за мрежу коцке коју је направио? Заокружи слово испред тачног одговора.

3.

Нацртај мрежу коцке као што је показно на цртежу. На исти начин бројевима од 1 до 6 обележи њене стране. Од те мреже направи модел коцке и пронађи је на слици. Заокружи одговарајући број.

4.

Нацртај мрежу за модел квадра чије су димензије: а = 6 cm, b = 4 cm, c = 7,5 cm.

5.

Коста је савијањем жице дужине 2,4 dm направио рам облика квадрата. Колико му је још жице потребно да би направио модел коцке чија је ивица једнака ивици рама облика квадрата који је направљен?

Ed

uk a

pr

om

o

1.

Забавите се прављењем модела квадра и коцке од сламчица... Можете их лепити пластелином. Дајемо вам два примера.

77


САДА ЗНАМ МНОГО ВИШЕ Кључне речи: коцка и квадар

Знам да су квадар и коцка геометријска тела и која су њихова својства. • Квадар је ограничен са 6 равних површи облика правоугаоника. Те површи се називају стране квадра.

o

• • • • •

om

Наспрамне стране квадра су подударне. То записујем овако: ABCD ≅ MEON. По међусобном положају те стране су паралелне. Квадар има 3 пара подударних страна. Дужи које ограничавају стране квадра називају се ивице квадра. Све ивице квадра можемо разврстати у 3 групе по 4 ивице које су међусобно подударне и паралелне. Квадар има 12 ивица. Темена квадра су крајње тачке ивица. Квадар има 8 темена.

pr

Ed

uk a

• Из сваког темена квадра полазе по 3 ивице. Оне представљају димензије квадра: дужину (а), ширину (b) и висину (c). На цртежу квадра уочавам да из темена A полазе ивице: АВ, AD и AM.

Коцка је квадар ограничен са 6 подударних квадрата.

Знам да цртам мреже коцке и квадра и да правим њихове моделе.

78 78


ПРОВЕРАВАМО НАУЧЕНО Кључне речи: коцка и квадар

1.

Наведи три предмета из твоје околине који су: а) облика квадра; __________________, ___________________, ____________________. б) облика коцке. __________________, ___________________, ____________________.

2.

Посматрај цртеж квадра и напиши шта недостаје. • Квадар има ___ страна, ___ темена и 12 __________________.

o

• Све стране квадра су ___________________. Наспрамне стране

om

су подударне, а по међусобном положају ____________________. • Подударне стране квадра су:

АВЕО ≅ DCMN, __________________ и _____________________.

pr

• Из темена N полазе ивице: ____, ____, ____.

• Дужину квадра означили смо словом ___, ширину словом ___, а висину словом ___.

Посматрај цртеж коцке и напиши шта недостаје.

uk a

3.

• Коцка је квадар који има __ страна облика __________________. • Све стране коцке су ________________. Наспрамне стране

Ed

су подударне, а по међусобном положају ____________________. • Подударне стране коцке су: BNOC ≅ _________, _______________ и _________________. • Из темена С полазе ивице: ____, ____, ____. • Ивице коцке су: ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____.

4.

Нацртај мрежу за модел квадра чије су димензије: а = 3 cm, b = 2,5 cm, c = 1 cm.

79


80

uk a

Ed o

om

pr


БРОЈЕВИ

трећи део

o

НАУЧИЋЕШ: да прочиташ и запишеш још неке разломке; да упоредиш разломке једнаких бројилаца или именилаца; да препознаш једнаке разломке; да сабираш и одузимаш разломке једнаких именилаца; да запишеш резултат мерења дужине децималним бројем са највише две децимале; • да сабираш и одузимаш децималне бројеве са највише две децимале; • да примениш стечена знања у разним задацима.

Ed

uk a

pr

om

• • • • •


Разломци ПОНАВЉАМО Кључне речи: разломци, понављање градива трећег разреда

5 8

Број изнад разломачке црте зове се бројилац. Означава број издвојених делова. Разломачка црта

1.

Посматрај цртеж и напиши шта недостаје. Фигура је подељена на __ једнаких делова.

om

o

Број испод разломачке црте зове се именилац. Означава на колико једнаких делова је подељено једно цело.

pr

Обојена су __ дела. Разломак који одговара обојеним деловима је

Обој део фигуре који је означен разломком.

3.

82

Ed

2 3

uk a

2.

.

4 7

Изрази разломком обојени део фигуре.

5 10

1 5


4.

Милица је на цртежу зеленом бојом означила део новца који је потрошила. а) Део потрошеног новца изрази разломком.

Соња је једну торту поделила на 10 једнаких делова.

10 . 10

Разломци као што су: 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 и 10 представљају једну целину 2 3 4 5 6 7 8 9 10 или једно цело.

2 2

=1

8 = 8

4 4

=1

5 5

=

10 =1 10

Ed

6 = 6

uk a

Зато су они и међусобно једнаки.

5.

Записујемо једнакост: 1 =

om

=

pr

o

б) Црвеном бојом обој део преосталог новца. Изрази га разломком.

Део фигуре који је допуна до једног целог обој црвеном бојом. Изрази тај део разломком.

6 8

5 9

4 5

83


УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ БРОЈИЛАЦА УЧИМО

Кључне речи: упоређивање разломака једнаких бројилаца

Посетићемо се како се упоређују разломци једнаких именилаца.

1. Посматрај цртеже. Упореди дате разломке и допуни тврдње. 2

4

2 8

4 8

<

om

8

o

• Разломци 8 и 8 имају једнаке ___________________. 4 • Већи је разломак , јер му је бројилац _____________.

2. Упореди следеће разломке. Упиши у 1 6

5 6

7 9

4 9

одговарајући знак: < или >.

2 5

uk a

1 3

Ed

2 3

pr

Од два разломка једнаких именилаца, већи је онај разломак чији је бројилац већи.

1 7

4 5

6 7

3 4

2 4

4 10

8 10

Сада ћемо научити како се упоређују разломци једнаких бројилаца.

3. Посматрај цртеже. Упореди дате разломке и допуни тврдње. 2 6

2 8

2 10

• Сва три разломка имају једнаке бројиоце, а различите ___________________. • Највећи разломак је • Најмањи разломак је

, зато што му је именилац најмањи број. , зато што му је именилац _____________ број. 2 2 < 6 10

Од два разломка једнаких бројилаца, већи је онај разломак чији је именилац мањи.

84


4. Обој део фигуре изражен разломком. Црвеном бојом заокружи већи разломак.

pr

om

o

пример

3 7

6 7

8 8

8 6

5 8

6 8

2 3

2 4

4 8

4 9

7 10

7 8

5 7

5 9

1 4

1 6

5 5

4 5

4 6

7 9

7 8

9 10

9 9

2 4

2 10

6 7

6 9

Ed

3 5

одговарајући знак: < или >.

uk a

5. Упореди следеће разломке. Упиши у

6. Огњен, Лена и Стева се такмиче у брзини слагања слагалице. Одлучили су да после 15 минута слагања слагалице прогласе победника. За предвиђено време Огњен је

сложио

3 3 3 слагалице, Лена , а Стева . 6 5 4

а) Црвеном бојом заокружи највећи разломак, а плавом најмањи.

3 6

3 4

3 5

б) Ко је победник овог такмичења? Одговор: _____________________________________________________________ в) Који такмичар је сложио најмањи део слагалице? Одговор: _____________________________________________________________

85


УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ БРОЈИЛАЦА И ИМЕНИЛАЦА ВЕЖБАМО Кључне речи: упоређивање разломака једнаких бројилаца и именилаца

Упиши одговарајуће разломке. 1 4

3 4

0

1

0

3 3

0

Упореди разломке тако што ћеш у

2 3

4 6

Обојене делове целине представи разломком. Упиши у

3.

Поређај разломке по величини, од најмањег до највећег:

Ed

uk a

2.

а) 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 ; 10 4

8

5

7

9

3

6

б) 5 , 3 , 7 , 2 , 4 , 9 , 6 , 8 . 9

86

9

9

9

9

9

9

9

1

написати одговарајући знак: < или >. 2 8

1 3

1 6

pr

1 4

5 8

o

0

om

1.

4 8

одговарајући знак: >, < или =.


4.

одговарајући знак: > или <.

2 3

2 9

4 7

4 5

7 10

7 8

4 6

4 8

1 9

1 5

3 4

3 3

5 7

5 10

3 5

3 7

2 6

2 4

4 8

4 5

8 10

8 9

4 5

4 7

6 9

6 8

3 10

3 4

Подсети се како се упоређују разломци једнаких именилаца. Упиши у одговарајући знак: > или <. 4 5

2 5

5 9

8 9

7 10

4 10

4 8

6 8

2 3

1 3

6 7

3 7

2

Миличина бака је у башти посадила салату и лук. На 5 површине баште налази се 2 салата, а на 7 површине налази се лук. Које поврће је посађено на већој површини?

uk a

6.

3 4

pr

1 4

om

o

5.

Упореди разломке једнаких бројилаца. Упиши у

_______________________________________________________________________

7.

Ed

Одговор: _______________________________________________________________

Које бројеве можеш да напишеш уместо

тако да неједнакост буде тачна?

Заокружи слово испред тачног одговора.

2 > 6

5 > 7

3 < 5

2

7 3

а) 2, 3, 4, 5

б) 7, 8, 9,10

в) 3, 5, 7, 9

а) 1, 2, 3, 4

б) 4, 5, 6, 7

в) 1, 3, 5, 7

а) 6, 7, 8, 9

б) 1, 2, 3, 4

в) 3, 4, 5, 6

87


ЈЕДНАКИ РАЗЛОМЦИ УЧИМО Кључне речи: упоређивање разломака, једнаки разломци

Ива и Лука су направили малу кућну лабораторију. Они често праве разне експерименте. У праву си. Усула сам

У епрувету сипамо

2

тачно 6 лимуновог сока.

om

o

1 лимуновог сока. 3

1

2

pr

и . За исту количину лимуновог сока, Ива и Лука су користили разломке 3 6 Да ли су њихова мерења тачна? Провери на цртежу. За разломке који представљају исте делове кажемо да су једнаки.

1

1 = 3 6

1 = 2 6

1 = 3 9

1 = 4 8

1 = 2 8

Ed

1 = 2 4

uk a

1. Посматрај разломачке траке и запиши једнаке разломке.

2 = 3 6

2 = 4 8

1 = 2 10

2 = 3 9

3 = 4 8

2. Упиши одговарајући именилац или бројилац тако да једнакост буде тачна. а) 1=

1 = 5 10

88

2 = 5 10

3 = 5 10

4 = 5 10

б) 1=

2 4

= =

5

6

= =

3 8

= =

7

10

= 9; .


ЈЕДНАКИ РАЗЛОМЦИ ВЕЖБАМО Кључне речи: упоређивање разломака, једнаки разломци

Испод обојених делова фигура напиши одговарајуће једнакости. Погледај пример.

1 2

1 4 1 4

1 2

1 2

1 2 = 2 4

пример

1 3 1 3

1 6

1 3

1 1 6 6 1 1 1 6

1 5

6 6

1 5 1 5

1 5

1 1 8 8 1 8 1 1 1 8 8 8

1 10 1 10

1 3

1 3

Који разломак се крије иза

?

1 6

1 3

uk a

=

1 2

3.

=

1 6 1 1 1 6 6 6

1 6

1 10

1 10

1 6

1 1 10 10

1 6 1 1 1 6 6 6

1 3

1 3

1 9

1 3

1 9

1 9 1 9

1 9

1 9

1 9

1 9 1 9

=

1 4 1 4

1 4 1 4

1 8 1 8

1 1 8 8 1 8 1 1 1 8 8 8

=

Проучи слику и напиши шта недостаје.

Заокружи слово испред тачног одговора.

Ed

2.

1 1 1 10 10 1 10 10

1 5

=

1 8 1 8

1 2

1 6

=

pr

1 4 1 4

1 8 1 8 1 1 8 8

=

=

1 4 1 4

1 1 8 8 1 8 1 8

o

1 2

1 4 1 4

om

1.

2 5

4 10

1 5

1 5

1 5

8 10 1 4 1 4

1 4 1 4

6 8

1 2 1 1 6 6 1 6

4 6 2 3

1 5

3 5

3 4 1 3

1 5

1 4

1 6 1 1 6 6

5 9

89


САБИРАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА УЧИМО

Кључне речи: сабирање разломака једнаких именилаца

Ана је исекла пицу на шест једнаких делова. Стефан је прво појео 3 2 пице, а затим још . Колико делова пице је Стефан појео? 6 6

• Број делова пице које је Стефан појео израчунаћемо сабирањем 3

2

разломака 6 и 6 .

5

3+2 3 2 + = 6 6 6

= 6

Стефан је појео

пице.

o

Рачунамо овако:

1. Одреди збир следећих разломака. 2 2 + = 4 4

4 3 + = 9 9

1 4 + = 5 5

2 1 + = 3 3

3 1 + = 4 4

3 3 + = 6 6

2 7 + = 10 10

5 2 + = 7 7

5 2 + = 8 8

uk a

pr

4 2 + = 8 8

om

Разломке једнаких именилаца сабирамо тако што одредимо збир њихових бројилаца. Именилац остаје непромењен.

Ed

Збир два разломка може да буде већи од једног целог. Погледај пример.

4 5

4+3 5

3 5

7 5

2. Допуни започета сабирања. 3 4

5

3. Израчунај:

90

2 4

4 6

4

6 3 6 + = 5 5 8 2 + = г) 9 9

а)

2 2

;

2 7 + = 7 7 6 2 д) + = 6 6

б)

2

8

8

;

2 2

; ;

2 2 + = 3 3 3 5 ђ) + = 4 4

в)

; .


САБИРАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА ВЕЖБАМО 1.

Кључне речи: сабирање разломака једнаких именилаца

Испод обојених делова фигура напиши одговарајуће једнакости и обој одговарајуће решење. Погледај пример. пример

2 3

3 3

4 1 + = 5 5 8 5 + = 6 6

3

9

+

7

7 7

=

3

+

pr

Упиши одговарајући именилац или бројилац тако да једнакост буде тачна. 6 3 = 3

uk a

2.

om

o

1 3

+

5

=

7 9

3

+

4

=

6 4

4

5

+

+

2 = 8 8

3

9

= 5

2

+

1 3 = 2

5 3 + = 8 8

6

+

10

=

9 10

4 4 + = 10 10

У игрици „Разло-трикс” проналазиш разломке и записујеш их у одговарајућа поља. За успешно одиграну игрицу, потребно је да савладаш сва три нивоа.

4.

Никола је нацртао скицу површи свог пластеника са распоредом леја у њему. Леје је означио словима, различитим бојама и представио их у табели.

Ed

3.

Израчунај део површи пластеника који заузимају следеће леје. – Спанаћ и блитва заузимају ______________________________ површине пластеника. – Мрква и першун заузимају ______________________________ површине пластеника. – Першун, лук и блитва заузимају __________________________ површине пластеника.

91


ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА УЧИМО

Кључне речи: одузимање разломака једнаких именилаца

6

У посуди је било 10 коцкица леда. Каћа је извадила 10 од укупног броја. • Колико је коцкица леда остало у посуди? Знамо да једно цело има

10 . Зато ћемо број преосталих коцкица леда 10 10 6

израчунати одузимањем разломака 10 и 10 .

6

10 – 6 10

4

= 10

4

У посуди је остало 10 коцкица леда.

om

10

Рачунамо овако: 10 − 10 =

o

=

pr

Разломке једнаких именилаца одузимамо тако што одредимо разлику њихових бројилаца. Именилац остаје непромењен. 1. Одреди разлике. 4 2 – = 5 5

3 2 – = 3 3

5 3 – = 6 6

9 7 – = 10 10

8 3 – = 8 8

7 5 – = 7 7

10 5 – = 10 10

7 2 – = 9 9

3 1 – = 2 2

uk a

7 5 – = 9 9

Ed

Разлика два разломка може да буде већа од једног целог. Погледај пример.

10 5

3 5

10 – 3 5

7 5

2. Допуни започета одузимања. 8 4

2 4

5

4

5

10

6 3

6

3. Израчунај:

92

5 3 – = 9 9 7 5 – = г) 6 6

а)

; ;

10 – 7 9 д) – 8

б)

5 = 7 6 = 8

3

; ;

8 2 – = 5 5 6 4 ђ) – = 4 4

в)

; .


ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА ВЕЖБАМО Кључне речи: одузимање разломака једнаких именилаца

1.

Обој разлику осенчених делова фигура и напиши одговарајућу једнакост. Погледај пример. пример

4 9

5 9

6 4 – 6 6

9 5 – 8 8 1 10

3.

8 2 – 5 5

7 7

4 8

6 5

6 5 – 10 10

Ed

7 3 – 8 8

2 6

10 6 – 10 10

pr

Повежи линијом одузимање са одговарајућом разликом. 3 1 – 3 3

uk a

2.

om

o

9 9

4 10

3 9

9 2 – 7 7

10 7 – 9 9

6 3 – 8 8

2 3

4 6

5 5

6 3 – 9 9

9 4 – 5 5 5 4

3 8

6 2 – 6 6

8 3 – 4 4

2 7

6 4 – 3 3

8 6 – 7 7

1

1

На кошаркашкој утакмици Немања је постигао 3 од укупног броја кошева, а Воја . 6 Преостали број кошева постигао је Јоца. • Осенчи на цртежу део који представља број Немањиних и Војиних кошева. • Који је део од укупног броја кошева постигао Јоца? Заокружи слова испред тачних одговора.

4.

1

а) 2

1

б) 3

1

в) 6

2

г) 6

3

д) 6

На Тањином рођенданском ручку, торта је подељена на једнаке делове. Гости су појели 1 1 торте, а Тања једно парче које износи торте. 2 10

• Осенчи на цртежу део торте који су појели Тања и њени гости. • Који део торте је остао? Заокружи слова испред тачних одговора.

2

а) 10

2

б) 5

4

в) 5

4

г) 10

3

д) 5

93


сабирање и ОДУЗИМАЊЕ РАЗЛОМАКА ЈЕДНАКИХ ИМЕНИЛАЦА ВЕЖБАМО 1.

Кључне речи: сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца

3

4

Милица је у суботу прочитала 10 књиге, а у недељу још 10 . а) Део прочитане књиге осенчи на цртежу. б) Који део књиге је Милица прочитала за викенд? Одговор: _______________________________________________________________ Воја је са својом групом кренуо у освајање планинског врха. До прве паузе прешао је 2 пута. 6

• Део пређеног пута осенчи на цртежу. • Који део пута је Воји преостао да би стигао до циља? 2

а) 6

б) 6

4

г) 6 2

3

_____________________________________________ 1

а) 7

2

3

б) 7

uk a

Заокружи слово испред тачног одговора. 4.

3

в) 6

Зорица је направила воћну салату. Киви чини 7 укупне масе воћа, а малине 7 . Који део направљене салате чини остало воће?

pr

3.

1

om

Заокружи слово испред тачног одговора.

o

2.

в) 7

4

5

г) 7

д) 7

5

Коста је јуче помагао тати у пластенику. Пре подне је залио 9 нових садница, а после 1 подне још . Који део садница није стигао да залије? 9

Ed

________________________________________________ Обој саксију са тачним решењем.

6 9

5.

2 9

4 9

3

2

Ива је планирала да учи 2 часа. Математику је вежбала 4 часа, а граматику 4 часа. Који део планираног времена је провела у учењу осталих предмета? 1. корак Податке из текста прикажи графички.

94

3 9

2. корак Израчунај део времена проведног у вежбању математике и граматике.

3. корак Израчунај део времена проведеног у учењу осталих предмета.

Одговор: ___________________________________________________________________


ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС БРОЈА СА ЈЕДНОМ ДЕЦИМАЛОМ ПОНАВЉАМО Кључне речи: децимални запис броја са једном децималом, јединице мере за дужину

На цртежу смо 1 m представили као траку издељену на 10 једнаких делова. Сваки део представља 1 dm или десети део целине.

Ed

uk a

pr

om

o

Подсетићемо се које су јединице мере за дужину мање од једног метра.

При писању децималног броја користимо запету која одваја цео део од децималног дела.

1.

Прочитај следеће децималне записе бројева:

Издвој и запиши децималне записе који су већи од једног целог. ____, ____, ____, ____.

95


2.

Кројачица је одсекла три траке. Црвена трака је дужине 1 m 5 dm, плава 3 dm 8 сm, а зелена 9 cm 5 mm. Дужине ових трака изрази: а) мањом јединицом мере: 1 m 5 dm = 15 dm; 3 dm 8 сm = ___ сm; 9 cm 5 mm = ___ mm. б) већом јединицом мере: 1 m 5 dm = 1,5 m; 3 dm 8 сm = ___ dm; 9 cm 5 mm = ___ сm. в) Децимални запис 1,5 читам: један цео и ______ десетих.

Стефан је нацртао три дужи и записао њихове дужине. Изрази сваку дужину већом јединицом мере, тако што ћеш на линију написати одговарајући децимални број.

o

3.

Резултат мерења дужине изрази децималним бројем.

pr

4.

om

SO = 4 cm = ____ dm; AB = 12 cm = ____ dm; MN = 86 mm = ____ cm.

5 m 7 dm = ____ m

4 dm 4 cm = ____ dm

uk a

6 mm = ____ cm 8 dm = ____ m

3 cm = ____ dm

13 m 4 dm = ____ m

Ed

16 cm 8 mm = _____ cm

28 dm 1 cm = _____ dm

5.

Нацртај дуж: а) АВ = 0,8 dm; б) CD = 8,2 cm; в) OK = 6,5 cm.

96


ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС БРОЈА СА ДВЕ ДЕЦИМАЛЕ УЧИМО

om

o

Кључне речи: децимални запис броја са две децимале, јединице мере за дужину

pr

1. Допуни тврдње:

1 dm = ____ mm. Зато кажем да је 1 mm ____________ део дециметра и записујем:

uk a

1 mm = _____ dm.

Ива је висока 135 cm. Њену висину можемо да изразимо у метрима: 135 cm = 1,35 m.

Ed

У децималном броју са две децимале запета одваја цео део од децималног дела. Цифре лево од запете означавају број целих које тај број садржи, а цифре десно од запете означавају број десетих и стотих делова. Вредност сваке цифре децималног броја зависи од позиције (места) коју та цифра заузима. У децималном броју 1,35 цифра 1 се налази испред запете и означава број целих јединица (Ј). Цифра 3 се налази на првом месту иза запете и означава број десетих делова. У таблици месних вредности позиција је означена малим словом (д). Цифра 5 се налази на другом месту иза запете и означава број стотих делова. У таблици месних вредности позиција је означена малим словом (с). 2. Напиши шта недостаје. 1,05 → 1 цео и 5 ________________; 3,28 → ___ цела и 28 стотих; 0,99 → ___ целих и 99 ________________.

3. Попуни табелу као што је започето. а) 2,53 б) 0,69 в) 5,09

97


ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС БРОЈА СА ДВЕ ДЕЦИМАЛЕ ВЕЖБАМО

Кључне речи: децимални запис броја са две децимале, јединице мере за дужину

1.

Повежи као што је започето.

2.

Изрази у метрима:

Изрази у дециметрима:

o

3.

1 mm = _____ dm; 7 mm = _______;

om

1 cm = _____ m; 3 cm = _______;

53 mm = _______; 47 mm = _______.

25 cm = _______; 78 cm = _______.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1,15 11,5

115

Ed

uk a

0

pr

Попуни табелу како је започето. Напиши колико дециметара, центиметара и милиметара одговара дужини дрвених бојица.

4.

5.

Нацртај дужи: а) АВ = 1,36 dm; б) OM = 0,58 dm; в) RS = 1,05 dm.

98


САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ БРОЈЕВА СА НАЈВИШЕ ДВЕ ДЕЦИМАЛЕ УЧИМО

Кључне речи: сабирање и одузимање бројева са највише две децимале

Сабирање децималних бројева слично је сабирању природних бројева.

om

o

1. Проучи приказан поступак сабирања децималних бројева и попуни празна поља. • Шта уочаваш?

pr

Цифре збира добијамо сабирајући вредности цифара сабирака на истим позицијама. 2. Сабери:

• 0,5 + 0,3 = ____; • 1,4 + 0,5 = ____; • 1,37 + 0,21 = ______; • 1,25 + 0,33 = ______;

uk a

• 0,8 + 3,1 = ____; • 0,6 + 1,3 = ____; • 1,12 + 0,45 = ______; • 0,15 + 1,04 = ______.

Ed

Одузимање децималних бројева слично је одузимању природних бројева.

3. Проучи приказан поступак одузимања децималних бројева и попуни празна поља. • Шта уочаваш?

Цифре разлике добијамо када од вредности цифара умањеника одузмемо вредности цифара умањиоца. Водимо рачуна да се цифре које одузимамо налазе на истим позицијама. 4. Одреди разлике: • 1,9 − 0,5 = ____; • 1,6 − 0,3 = ____; • 1,86 − 0,25 = ______; • 1,39 − 0,17 = ______; • 1,7 − 0,4 = ____; • 1,5 − 1,2 = ____; • 1,47 − 1,03 = ______; • 1,06 − 0,04 = ______.

99


САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ БРОЈЕВА СА НАЈВИШЕ ДВЕ ДЕЦИМАЛЕ ВЕЖБАМО

Попуни празна поља одговарајућим бројевима. 1,3

0,5

0,5

0,3

0,7

0,1

1,08

0,04 1,67

1,7

1,25

0,13 1,14

0,51 1,84

0,02

0,06 1,05

0,03 1,19

0,07

0,31

0,1

1,68

Напиши број који недостаје тако да једнакост буде тачна. Погледај пример. а) 1,3 + ____ = 1,5 + 0,4; 1,3 + 0,6 = 1,9;

б) ____ + 1,2 = 1,3 + 0,5;

pr

2.

om

o

1.

Кључне речи: сабирање и одузимање бројева са највише две децимале

____ + 1,2 = ____;

д) ____ + 1,45 = 0,36 + 1,63;

uk a

г) 1,24 + 0,32 = ____ + 1,15; ____ = ____ + 1,15;

____ + 1,45 = ____;

Испод делова слагалице напиши одговарајуће разлике.

4.

Збир два суседна броја у пирамиди налази се у пољу изнад њих. Напиши бројеве који се крију иза сличица.

Ed

3.

100

в) 0,7 + 1,2 = ____ + 1,6; ____ = ____ + 1,6; ђ) 1,47 + ____ = 0,32 + 1,56; 1,47 + ____ = ____.


САДА ЗНАМ МНОГО ВИШЕ Кључне речи: сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца, сабирање и одузимање бројева са највише две децимале

Знам да сабирам и одузимам разломке једнаких именилаца.

4 5

4+3 5

3 5

7 5

3 5

10 – 3 5

om

10 5

o

Разломке једнаких именилаца сабирамо тако што одредимо збир њихових бројилаца. Именилац остаје непромењен.

7 5

pr

Разломке једнаких именилаца одузимамо тако што одредимо разлику њихових бројилаца. Именилац остаје непромењен. Знам да читам и пишем децималне бројеве са две децимале.

Ed

uk a

Вредност сваке цифре децималног броја зависи од позиције (места) коју та цифра заузима. У децималном броју 1,35 цифра 1 се налази испред запете, на месту целих, и означава број јединица (Ј). Цифра 3 се налази на првом месту иза запете и означава број десетих делова (д). Цифра 5 се налази на другом месту иза запете и означава број стотих делова (с).

Знам да сабирам и одузимам децималне бројеве са највише две децимале.

101


ПРОВЕРАВАМО НАУЧЕНО Кључне речи: сабирање и одузимање разломака једнаких именилаца, сабирање и одузимање бројева са највише две децимале

1.

Поређај дате разломке по величини, од најмањег до највећег: 3 3 3 3 3 3 3 3 , , , , , , , ; 5 2 6 10 4 9 7 8 б) 8 , 4 , 6 , 2 , 1 , 7 , 3 , 5 . 8 8 8 8 8 8 8 8

а)

_______________________________________________ _______________________________________________

Обој збир осенчених делова фигура и напиши одговарајућу једнакост.

3.

Обој разлику осенчених делова фигура и напиши одговарајућу једнакост.

4.

Израчунај.

7 5 – = 7 7

5.

Ed

3 1 + = 4 4

uk a

pr

om

o

2.

3 5 + = 7 7

2 4 + = 8 8

3 5 + = 7 7

6 3 + = 10 10

8 4 – = 6 6

4 2 – = 4 4

8 5 – = 8 8

9 6 – = 10 10

За потребе једног расадника поручене су саднице листопадног и зимзеленог дрвећа, од чега

2 чине саднице листопадног дрвећа. Који део поруџбине чине саднице 5

зимзеленог дрвећа? _________________________________________________ Одговор: _________________________________________________

102


6.

Попуни табеле.

7.

Израчунај: 0,06 + 0,12 = _____;

1,8 − 0,3 = _____;

0,7 − 0,5 = _____;

1,69 − 0,53 = ______;

1,49 − 1,16 = ______.

om

o

1,25 + 0,34 = _____;

Напиши на линију одговарајући децимални број.

0,7 − ____ = 0,1

0,54 − ____ = 0,04

_____ + 1,4 = 1,48

____ − 0,5 = 1,3

____ − 0,36 = 1,53

0,03 + _____ = 0,75

1,9 − ____ = 1,1

1,07 − ____ = 1,02

0,25 + _____ = 0,76

____ + 1,7 = 1,8 1,2 + ____ = 1,6

pr

0,3 + ____ = 0,9

Попуни празна поља у табели. Напиши бројеве који се крију иза сличица.

Ed

9.

0,3 + 1,6 = ____;

uk a

8.

0,4 + 0,2 = ____;

+

0,53

0,14

1,42

0,27

10.

Проучи цртеж и реши задатак.

103


Откриј замишљени број Паран број 1. Замисли неки паран број. 2. Увећај га три пута, па добијени производ подели са два. 3. Добијени количник утростручи.

Ed

uk a

pr

((12 · 3) : 2) · 3 = 54

om

12

o

4. Саопшти ми резултат и рећи ћу ти твој замишљен број.

Замислио си број 12!

(54 : 9) ∙ 2 = 6 ∙ 2 = 12

Одиграј ову игру са својим друговима који не знају за ову чаролију и добро се забави!

104


МЕРЕЊЕ И МЕРЕ други део

pr

om

како да израчунаш површину коцке; како да израчунаш површину квадра; које су јединице мере за запремину; шта је запремина тела; како да израчунаш запремину коцке и квадра; да примениш стечена знања у различитим задацима.

Ed

uk a

• • • • • •

o

НАУЧИЋЕШ:


ПОВРШИНA КОЦКЕ УЧИМО

Кључне речи: површина коцке

Подсети се: јединице мере за површину су 1 mm2, 1 cm2, 1 dm2, 1 m2, 1 a, 1 ha, 1 km2. Површина коцке се састоји из 6 подударних квадрата.

Р = 6 ∙ (а ∙ а) Р = 6 ∙ а2

om

Р=а∙а Р = а2

o

Зато је површина коцке једнака површини 6 квадрата:

pr

1. Израчунај површину коцке ако је дужина њене ивице: а) а = 7 cm; б) а = 5 dm; P = 6 ∙ (__ ∙ __)

P = 6 ∙ (7 cm ∙ 7 cm)

P = __ ∙ (__ dm ∙ __ dm)

P = 6 ∙ ___ cm2

P = 6 ∙ ___ dm2

P = _____ cm2

Када рачунаш површину тела, важно је да јединице мере буду исте.

uk a

P = 6 ∙ (а ∙ а)

P = _____ dm2

Ed

2. Површина једне стране коцке износи 64 dm2. Колика је површина те коцке? Заокружи слово испред тачног одговора. а) 69 dm2 б) 364 dm2 в) 384 dm2

3. Збир дужина свих ивица једне коцке је 120 cm. Израчунај површину те коцке. а = _________

____________________ ____________________ __________________ _____________

106


4. Колика је површина коцке чија је једна страна квадрат обима 64 сm? _________________________ _________________________ _________________________ _______________ _______________

o

Одговор: ______________________________________________________

om

5. На слици је пластична кутија (без поклопца) облика коцке. Колико је употребљено квадратних центиметара пластичне плоче ако је дужина њене ивице 8 dm? _________________________ _________________________ _______________

pr

_________________________

uk a

_______________

Ed

Употребљено је __________ пластичне плоче.

6. Табуре на слици је облика коцке. За облагање свих страна потрошено је 150 dm2 тканине. Колика је висина тог табуреа? Заокружи слова испред тачних одговора.

а) 5 dm

б) 50 dm

в) 5 сm

г) 0,5 m

107


ПОВРШИНA КВАДРА УЧИМО Кључне речи: површина квадра

om

o

Површина квадра се састоји од 6 правоугаоника од којих су по 2 подударна.

Ed

uk a

Зато ћемо површину квадра израчунати сабирањем површина свих 6 правоугаоника.

pr

Знамо да је површина правуогаоника једнака производу његових суседних страница.

P = 2 ∙ (a ∙ b) + 2 ∙ (b ∙ c) + 2 ∙ (a ∙ c) или краће P = 2 ∙ (a ∙ b + b ∙ c + a ∙ c)

1. Израчунај површину квадра чијe су димензије: a = 5 cm, b = 4 cm, c = 2 cm. P = 2 ∙ (a ∙ b) + 2 ∙ (b ∙ c) + 2 ∙ (a ∙ c) P = 2 ∙ (5 ∙ __ + 4 ∙ 2 + 5 ∙ __) cm2 P = 2 ∙ (20 + __ + 10) cm2 P = __ ∙ 38 cm2

2. Израчунај површину квадра чије су димензије: а) a = 6 cm, b = 5 cm, c = 2 cm; б) a = 8 dm, b = 4 dm, c = 7 dm; в) a = 9 mm, b = 8 mm, c = 6 mm.

108

P = ____ cm2


3. На цртежу је кабина за пресвлачење облика квадра. Према подацима са цртежа израчунај колико је квадратних метара платна употребљено за њену израду? ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ За израду кабине употребљено је _____ платна.

o

На оваквим кабинама под и и плафон немају платно!

om

4. Према датим подацима израчунај колико је употребљено картона да се направи кутија на слици? ____________________________________________

pr

____________________________________________ ____________________________________________

9

____________________________________________

uk a

____________________________________________

Ed

За прављење кутије употребљено је _____ картона.

5. Димензије једног квадра су a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. За колико ће се повећати његова површина ако се свака његова ивица повећа за 3 cm? ______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

Одговор: ______________________________________________________

109


ПОВРШИНА КОЦКЕ И КВАДРА ВЕЖБАМО Кључне речи: површина коцке и квадра

1.

Ако је ивица једне коцке 5 cm, како ћеш израчунати површину те коцке? Заокружи слово испред тачног одговора. a) P = 6 + (5 ∙ 5) cm2 б) P = 6 ∙ (5 + 5) cm2

Ако је површина једне стране коцке 49 cm2, како ћеш израчунати површину те коцке? Заокружи слово испред тачног одговора.

om

2.

o

в) P = 6 ∙ (5 ∙ 5) cm2

a) P = 6 + 49 cm2 б) P = 6 ∙ 49 cm2

Како ћеш израчунати површину квадра ако су његове димензије: a = 3 dm, b = 4 dm, c = 5 dm? Заокружи слово испред тачног одговора.

uk a

3.

pr

в) P = 5 ∙ 49 cm2

a) P = 2 ∙ (a ∙ b + b ∙ c + a ∙ c) = 2 ∙ (3 ∙ 4 + 4 ∙ 5 + 3 ∙ 5) dm2 б) P = 6 ∙ (a ∙ b + b ∙ c + a ∙ c) = 6 ∙ (3 ∙ 4 + 4 ∙ 5 + 3 ∙ 5) dm2

5.

Израчунај површину коцке чија је ивица: а) a = 4 cm;

Ed

4.

б) a = 8 dm.

P = 6 ∙ (a ∙ a)

P = 6 ∙ (__ ∙ __)

P = __ ∙ (__ ∙ __) cm2

P = __ ∙ (__ ∙ __ ) dm2

P = __ ∙ ____ cm2

P = ________ dm2

P = ______ cm2

P = ______ dm2

Израчунај површину квадра ако је a = 5 сm, b = 2 сm, c = 7 сm. P = 2 ∙ (a ∙ b + b ∙ c + a ∙ c) P = 2 ∙ (__ ∙ __ + __ ∙ __ + __ ∙ __) cm2 P = 2 ∙ (___ + ___ + ___) cm2 P = 2 ∙ ____ cm2 P = ____ cm2

110


6.

Колико је потребно квадратних центиметара украсног картона да би се направила кутија облика коцке ивице 4 cm? ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ Одговор: ____________________________________________________________________

o

Кутија са поклоном на слици има ивице дужине: a = 5 dm, b = 3 dm, c = 1,5 dm. Колико је употребљено квадратних центиметара украсног папира за облагање те кутије ако је за њено паковање употребљено 54 cm2 папира више него што је њена површина? ________________________________________________________

om

7.

________________________________________________________

pr

________________________________________________________ ________________________________________________________

uk a

________________________________________________________ За облагање кутије употребљено је ________ украсног папира. Дужина свих ивица коцке је 24 dm. а) Израчунај дужину ивице те коцке.

Ed

8.

9.

б) Израчунај површину те коцке.

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

_______________________________

Израчунај дужину ивице коцке ако је њена површина: а) P = 96 сm²;

б) P = 294 dm².

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

111


10.

На слици је лимено сандуче за пошту чија је висина једнака његовој дужини. На предњој страни сандучета налази се отвор за пошту облика правоугаоника, чије су димензије 15 cm и 3 cm. Према датим подацима, израчунај површину лимене плоче која је употребљена за његову израду. 1. корак

2. корак

Површина отвора на предњој страни:

Површина стране кутије са отвором:

15

3. корак

cm

Површина лимене плоче:

Р = __ ∙ __

11.

om

o

Р = ________

Две коцке, ивице а = 2 сm, слепљене су једном страном као што је приказано на слици. Напомена: када се слепе две коцке на приказан начин „нестану” две стране!

pr

По којој формули се може израчунати површина сложеног тела? Заокружи слово испред тачног оговора. б) P = 12 ∙ а2

в) P = 8 ∙ а2

uk a

а) P = 10 ∙ а2

Ed

Израчунај површину сложеног тела са слике.

Површина тела са слике износи ________________.

12.

Базен облика квадра има димензије: а = 8 m, b = 6 m, с = 2 m. Колико је потребно керамичких плочица облика квадрата странице 4 dm да се поплочају стране и дно базена? Заокружи слово испред тачног одговора. а) 650

112

б) 550

в) 655

г) 605

д) 950


om

o

Тело на слици настало је лепљењем 4 једнаке коцке различитих боја. Стрелице показују 6 различитих позицијa одакле се тело посматра: са предње и задње стране, одозго и одоздо, слева и здесна.

pr

• Ленка је тело посматрала са леве стране и нацртала фигуру састављену од два квадрата. Заокружи слово испред фигуре коју је Ленка нацртала.

uk a

• Саша је тело посматрао са предње стране и нацртао фигуру састављену од четири квадрата. Заокружи слово испред фигуре коју је Саша нацртао.

• Нацртај фигуре које се виде ако се тело посматра одозго и одоздо. Обој те фигуре одговарајућим бојама.

Ed

13.

а) посматрање тела одозго;

б) посматрање тела одоздо.

• Колика је површина тела на слици ако је ивица коцке дужине 2 сm? Заокружи слово испред тачног оговора. а) P = 12 ∙ а2 = 12 ∙ 4 сm² = 48 сm² б) P = 14 ∙ а2 = 14 ∙ 4 сm² = 56 сm² в) P = 18 ∙ а2 = 18 ∙ 4 сm² = 72 сm²

113


Забавите се решавањем водоравне укрштенице.... Трудите се да изражавате своје идеје и да поштујете идеје чланова своје групе. Добијена решења упоредите са осталим групама. З Колика је површина коцке чија је једна страна квадрат обима 32 cm?

Н Ако је површина коцке 294 сm², колика је површина једне њене стране?

А Збир дужина свих ивица једне коцке је 120 dm. Израчунај површину те коцке и изрази је у квадратним метрима.

om

o

Њ Лепљењем 6 једнаких коцака у истом реду, добијено је сложено тело. Ако је ивица једне коцке 5 cm, колика је површина сложеног тела?

З

uk a

Н

pr

Е Дужине ивица једног квадра су 10 cm, 7 cm и 5 cm. Ако се свака ивица умањи за 2 cm, за колико центиметара квадратних ће се умањити његова површина?

А

Ed

Њ

114

Е


МЕРЕЊЕ ЗАПРЕМИНЕ УЧИМО Кључне речи: мерење запремине

Предмети који нас окружују заузимају део простора. Неки предмети су често истог облика и можемо их поредити по вeличини. Тада кажемо да је један од њих већи, мањи или су једнаки. 1. Посматрај изглед Јоцине собе. Процени и именуј: а) два предмета истог облика који су различите величине;

o

_____________________________________ _____________________________________

om

б) два предмета истог облика који су исте величине.

pr

Сви предмети који нас окружују заузимају део простора. 2. Ива слаже коцке у кутију. Погледај слику. Колико коцака је Ива ставила у кутију?

Већ сам попунила пола кутије.

uk a

Да ли је кутија довољно велика да у њу могу да стану све коцке?

Одговор: _________________________ _________________________________ Колико коцака ће испунити цео простор кутије?

Ed

Одговор: _________________________ _________________________________

Када одређујемо колики простор неко тело заузима, одређујемо његову запремину. Значи, запремина тела одговара простору који то тело заузима. 3. Ива је простор кутије попунила са 16 једнаких коцака. Ако за јединицу мере узмемо једну такву коцку, колика је запремина кутије коју је Ива попунила? Заокружи слово испред тачног одговора. а) 8

б) 12

в) 16

г) 18

Ако желимо да измеримо запремину неког тела, морамо да употребимо одговарајућу мерну јединицу.

115


МЕРЕЊЕ ЗАПРЕМИНЕ ВЕЖБАМО Кључне речи: мерење запремине

Запремина је __ коцака.

Запремина је __ коцака.

pr

Ed

Запремина тела је 7 коцака.

3.

Запремина тела је 9 коцака.

Запремина тела је 10 коцака.

Запремина тела је 8 коцака.

Сложена тела на слици састављена су од једнаких коцака. Ако је јединица мере једна таква коцка, одреди запремину сваког тела.

Запремина је __ коцака.

116

Запремина је __ коцака.

Спој линијом тело са одговарајућом запремином.

uk a

2.

Запремина је __ коцака.

o

Сложена тела на сликама састављена су од једнаких коцака. Ако је јединица мере једна таква коцка, попуни табеле и одреди запремине тела.

om

1.

Запремина је __ коцака.

Запремина је __ коцака.


ЈЕДИНИЦЕ ЗА МЕРЕЊЕ ЗАПРЕМИНЕ УЧИМО Кључне речи: јединице за мерење запремине

o

Твоје претходно знање... Дужине смо мерили дужима. Јединице мере за дужину су: 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km.

pr

om

Површине смо мерили квадратима. Јединице мере за површину су: 1 mm2, 1 cm2, 1 dm2, 1 m2, 1 a, 1 ha, 1 km2.

Ed

uk a

1. Нацртане коцке су обележене словима М, А и N. Процени њихове запремине и допуни тврдње. • Највећу запремину има коцка обележена словом ___. • Коцка ___ има мању запремину од коцке ___, а већу запремину од коцке ___. • Најмању запремину има коцка ___. Да бисмо одредили запремину неког тела, потребно је да га измеримо. Запремину коцке и квадра меримо коцкама. Нацртана је коцка чија ивица има дужину 1 cm. Запремина те коцке је један кубни центиментар. Уместо „кубни центиметар” пишемо cm3.

Мања јединица за запремину од 1 cm3 је кубни милиметар. Кубни милиметар је запремина коцке чија је ивица дужине 1 mm. Уместо „кубни милиметар” пишемо mm3. Знаш да је mm ∙ mm = mm2. Тако је и mm ∙ mm ∙ mm = mm3 1 mm3 је јединица за мерење запремине која је 1 000 пута мања од 1 cm3. Значи, 1 cm3 = 1 000 mm3.

117


Већа јединица за запремину од 1 cm3 је кубни дециметар. Кубни дециметар је запремина коцке чија је ивица дужине 1 dm. Уместо „кубни дециметар” пишемо dm3. Знаш да је dm ∙ dm = dm2. Taко је и (dm ∙ dm) ∙ dm = dm3 На цртежу је умањено представљена коцка чија је запремина 1 dm3. Шта мислиш, колико је потребно коцака запремине 1 cm3 да се попуни њен простор? Проучи цртеж. Изведи закључак и заокружи слово испред тачног одговора. а) 10 б) 100 в) 1000 г) 10 000

pr

om

o

Знаш да један литар (1 l) течности испуњава коцку чија је ивица 1 dm. 1 l = 1 dm3

uk a

Знаш да је: 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml. Како је 1 dm3 = 1 l, то је и 1 cm3 = 1 ml.

1 dm3 је јединица за мерење запремине која је 1 000 пута већа од 1 cm3. Значи, 1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 000 000 mm3.

Ed

Већа јединица за запремину од 1 dm3 је кубни метар. Кубни метар је запремина коцке чија је ивица дужине 1 m. Уместо „кубни метар” пишемо m3. Знаш да је m ∙ m = m2. Taко је и (m ∙ m) ∙ m = m2 ∙ m = m3 На цртежу је умањено представљена коцка чија је запремина 1 m3. •

Шта мислиш, колико је потребно коцака запремине 1 dm3 да се попуни њен простор? Проучи цртеж. Изведи закључак и заокружи слово испред тачног одговора. а) 10

б) 100

в) 1 000

г) 10 000

1 m3 је јединица за мерење запремине која је 1 000 пута већа од 1 dm3. Значи, 1m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3.

118


ЈЕДИНИЦЕ ЗА МЕРЕЊЕ ЗАПРЕМИНЕ ВЕЖБАМО Кључне речи: јединице за мерење запремине

1.

Изрази у наведеним јединицама мере: 1 m3 = ______ dm3; 1 dm3 = ______ сm3; 1 сm3 = ______ mm3; 1 dm3 = ____ l; 3 m3 = ______ dm3; 5 dm3 = ______ сm3; 7 сm3 = ______ mm3; 9 dm3 = ____ l. Јана је направљеним соком од зове испунила највећу посуду коју је имала. Сав сок пресула је у 6 флаша од 2 l. Колика је запремина посуде у којој се налазио сок?

3.

Запремина посуде је _____.

om

_______________________________________________

o

2.

Попуњавањем табеле означи вредност сваке цифре.

4.

Напиши одговарајући број.

uk a

pr

20 500 dm3 = __ m3 ____ dm3;

46 m3 = ________ dm3; 6 970 сm3 = __ dm3 ____ cm3; 8 027 000 cm3 = __ m3 ___ dm3; 79 507 mm3 = __ cm3 ____ mm3; 500 dm3 = ____ l = __ hl;

2 950 I = ____ hl __ l.

Попуни табеле.

6.

Да би превезао колицима 3 m3 песка, Јанко је морао да их напуни тачно 15 пута. Са колико је кубних дециметара песка (у просеку) сваки пут напунио колица?

Ed

5.

___________________________________________ Одговор: ___________________________________ ___________________________________________

Кубним метрима се мере веће количине: ваздуха, воде, плина, земље, песка, шљунка...

119


ЗАПРЕМИНА КВАДРА УЧИМО Кључне речи: запремина квдра

Сада ћемо научити како се израчунава запремина квадра. На нацртaном квадру означене су његове три ивице које полазе из истог темена: дужина (а), ширина (b) и висина (с).

pr

om

o

На слици је приказано како користимо три димензије квадра за рачунање његове запремине. • Шта уочаваш?

Мерни број дужине (а = 4 cm) и ширине (b = 3 cm) користили смо за израчунавање броја коцака које леже на доњој страни квадра чија је површина а ∙ b. • Четири коцке по три реда заузимају површину доње стране квадра, што чини слој од 4 ∙ 3 = 12 коцака. • Мерни број висине (с = 2 cm) показује да 2 слоја по 12 коцака попуњава простор квадра, а то је 12 ∙ 2 = 24 коцке. Зато се запремина квадра рачуна множењем површине стране (а ∙ b) са висином с. • Ако запремину квадра означимо словом V, а дужине три ивице које полазе из истог темена са а, b и с, можемо записати формулу за израчунавање запремине било ког квадра:

Ed

uk a

Запремина квадра једнака је производу дужина његових трију ивица које полазе из истог темена.

Сада можемо применом формуле лако да израчунамо запремину квадра на слици: V = а ∙ b ∙ с = (а ∙ b) ∙ с = (4 ∙ 3) cm2 ∙ 2 cm = 12 cm2 ∙ 2 cm = 24 cm3

1. Одреди запремину квадра ако су његове димензије: а) а = 8 cm b = 6 cm с = 4 cm V=а∙b∙с V = __ cm ∙ __ cm ∙ __ cm V = ___ cm3

120

б) а = 4 m в) а = 11 dm b=4m b = 3 dm с=3m с = 2 dm V = ____________ V = ____________ V = ____________________ V = ____________________ V = ___________ V = ___________


ЗАПРЕМИНА КВАДРА ВЕЖБАМО Кључне речи: запремина квдра

Запиши бројеве који недостају и израчунај запремине квадара на сликама.

o

1.

Vazno

а = 5 dm b = 2 dm с = 10 dm

Израчунај запремину квадра чије су дужине ивица које полазе из истог темена: а = 8 cm, b = 5 cm, с = 1 dm.

3.

pr

Према датим подацима израчунај запремину квадра на слици.

Vazno

а = ___ сm b = ___ сm с = __ dm = ___ сm V = ___________________ V = ___________________ V = _________

uk a

2.

om

Vazno

V = ____________________ V = ____________________ V = _________

4.

Ed

Vazno

Нолетова соба има дужину 5 m, ширину 4 m и висину 28 dm. Колика је запремина Нолетове собе? Заокружи слова испред тачних одговора. а) 56 m3

5.

б) 560 m3

в) 5 600 dm3

Kолико је литара воде потребно да се напуни акваријум облика квадра чије су димензије: а = 40 сm, b = 20 сm и c = 50 сm?

г) 56 000 dm3 6.

Ева је купила акваријум облика квадра чија је дужина 12 dm, а ширина 2 dm. У њега је усула 48 l воде и тако га напунила до половине његове висине. Колика је висина тог акваријума?

Одговор: ______________________________

121


ЗАПРЕМИНА КОЦКЕ УЧИМО Кључне речи: запремина коцке

Сада ћемо научити како се израчунава запремина коцке када је позната дужина њене ивице. Већа коцка на слици садржи 8 мањих коцака чија је запремина 1 сm3. Већ ти је познато да је њена запремина 8 сm3.

om

o

Рачунамо: V = (2 ∙ 2 ∙ 2) сm3 V = 8 сm3 Дужина ивице ове коцке је __ сm.

uk a

pr

Знаш да је коцка квадар чије су све ивице једнаке дужине. Знаш и да је запремина квадра једнака производу његове три ивице које полазе из истог темена. Према томе, ако је дужина ивице коцке 2 сm, њена запремина је (2 ∙ 2 ∙ 2) сm3 = 8 сm3. Ако дужину ивице коцке означимо словом а, онда можемо записити формулу за израчунавање запремине било које коцке:

Ed

или

V = a3

стране

Запремина коцке једнака је троструком производу дужине њене ивице. 2. Oдреди запремине коцака на слици како је започето.

а = 3 cm а2 = ___ cm2 V = ___ cm2 ∙ __ cm V = ___ cm3

122

а = 4 cm а2 = ___ cm2 V = ___ cm2 ∙ __ cm V = ___ cm3

3. Колико воде стане у акваријум облика коцке чија је ивица дужине 30 cm? Обој посуду са тачним одговором.


ЗАПРЕМИНА КОЦКЕ ВЕЖБАМО 1.

Кључне речи: запремина коцке

На слици су приказане две коцке. Како ћеш израчунати запремину сваке коцке? Заокружи слово испред тачног поступка. а) 1 cm ∙ 2 cm ∙ 1 cm б) 2 cm ∙ 2 cm ∙ 2 cm в) 4 cm ∙ 2 cm ∙ 2 cm

o

Милош је нацртао коцку. Измери дужину њене ивице.

om

2.

а) 2 cm ∙ 3 cm ∙ 1 cm б) 3 cm ∙ 1 cm ∙ 1 cm в) 3 cm ∙ 3 cm ∙ 3 cm

а = _________ •

Израчунај њену запремину.

3.

pr

V = _______________________________________ Ако је површина једне стране коцке 64 cm2, колика је њена запремина?

4.

Попуни табелу у којој је дата дужина ивице коцке.

64 cm2 = а ∙ а а = ___ cm

uk a

Рачунам дужину ивице коцке:

5.

Ed

V = ____________________________

Збир дужина свих ивица коцке је 108 сm. Израчунај запремину те коцке. Рачунам дужину ивице коцке:

Рачунам запремину коцке:

Дужина ивице коцке износи ______.

Запремина коцке је __________.

Забавите се прављењем модела квадра и коцке од картона. Од направљених модела правите разне грађевине и макете...

123


САДА ЗНАМ МНОГО ВИШЕ Кључне речи: јединице за мерење запремине, запремина коцке и квадра

Знам да израчунам површину коцке и квадра. Површина коцке једнака је површини 6 квадрата:

Површина квадра једнака је површини 6 правоугаоника од којих су по 2 подударна:

Ed

uk a

pr

om

o

Знам јединице за мерење запремине и њихове међусобне односе.

Знам да израчунам запремину квадра и коцке. Запремина квадра једнака је производу дужина његових трију ивица које полазе из истог темена.

Запремина коцке једнака је троструком производу дужине њене ивице. или V = а3

124 124


ПРОВЕРАВАМО НАУЧЕНО Кључне речи: јединице за мерење запремине, запремина коцке и квадра

Коју формулу ћеш применити за израчунавање површине коцке? Заокружи слово испред тачног одговора.

2.

а) P = 2 ∙ (a ∙ b) + 2 ∙ (b ∙ c) + 2 ∙ (a ∙ c)

а) 4 ∙ (a ∙ a)

б) P = 2 ∙ (a + b) + 2 ∙ (b + c) + 2 ∙ (a + c)

б) 6 + (a ∙ a)

в) P = 2 ∙ (a ∙ b + b ∙ c + a ∙ c)

в) 6 ∙ (a ∙ a)

Израчунај површину коцке чија је ивица:

om

3.

Којe формулу ћеш применити за израчунавање површине квадра? Заокружи словa испред тачних одговора.

o

1.

б) a = 7 dm.

а) a = 5 cm;

P = 6 ∙ (__ ∙ __)

P = 6 ∙ (a ∙ a)

P = __ ∙ (__ ∙ __ ) dm2

P = __ ∙ (__ ∙ __) cm2 P = ______ cm2 Израчунај површину квадра ако је a = 4 сm, b = 2 сm, c = 5 сm.

uk a

4.

P = ________ dm2

pr

P = __ ∙ ____ cm2

P = ______ dm2

5.

P = 2 ∙ (a ∙ b + b ∙ c + a ∙ c)

P = 2 ∙ (__ ∙ __ + __ ∙ __ + __ ∙ __)

Ed

P = 2 ∙ (___ + ___ + ___) cm2 P = 2 ∙ ____ cm2

P = ____ cm2

Изрази у наведеним јединицама мере: 1 m3 = ______ dm3; 1 dm3 = ______ сm3; 1 сm3 = ______ mm3; 1 dm3 = ____ l.

6.

Милош је слагањем коцака различитих боја, запремине 1 dm3, направио различита тела. Одреди њихове запремине. Погледај пример.

7.

Запремина жуте коцке на цртежу је 1 cm3. Твоји другари су почели да их слажу у кутије облика квадра. На основу података са цртежа напиши шта недостаје. Стављено је ___ коцака.

Стављене су ___ коцке.

Недостаје још ___ коцака.

Недостаје још ___ коцака.

Запремина кутије је ___ cm3.

Запремина кутије је ___ cm3.

125


8.

Изрази у наведеним јединицама мере: 3 m3 = _______ dm3;

7 000 cm3 = ___ dm3;

9 cm3 = _______ mm3;

12 000 mm3 = ______ cm3;

16 dm3 = _______ cm3;

25 000 dm3 = _____ m3;

5 dm3 = ___ l;

14 l = ___ dm3;

4 m3 = ______________ mm3;

5 000 000 000 mm3 = _____ m3;

30 dm3 = ____________ cm3;

136 000 cm3 = ______ dm3;

120 cm3 = ____________ mm3;

68 000 000 cm3 = ______ m3.

Попуни табеле.

10.

Јоца је започео слагање жутих коцака. Колико износи део запремине тела коју ће Јоца попунити истим коцкама? Проучи цртеж и обој поље са тачним одговором.

126

Ed

uk a

pr

om

o

9.


Ако је ивица једне коцке 3 cm, израчунај запремину и површину сложених тела приказаних на сликама.

12.

На слици су два сложена тела састављена од једнаких коцака: црвене, жуте, зелене и плаве боје.

uk a

pr

om

o

11.

а) Десно од цртежа тела налазе се шест фигура које су сатављене од девет квадрата. Ако свако тело посматраш одозго, коју од нацртаних фигура видиш? За свако тело пронађи тачно нацртану фигуру и у напиши одговарајуће слово.

Ed

б) Ако је ивица коцке дужине 2 cm, одреди запремину ових тела.

127


13.

На слици је сложено тело састављено од једнаких коцака чија је ивица 5 cm. а) Испод цртежа тела налази се шест фигура које су састављене од четири квадрата. Ако тело посматраш одозго, коју од нацртаних фигура видиш? Пронађи тачно нацртану фигуру и у напиши одговарајуће слово.

Ed

uk a

pr

om

o

б) Проучи слику и израчунај запремину овог тела.

128


ЗАНИМЉИВИ БРОЈЕВИ УПОЗНАЋЕШ:

Ed

uk a

pr

om

o

• интересантне задатке из чудесног света бројева, чијим решавањем можеш да провериш своје способности закључивања и сналажљивости.


БРОЈ 100

Не мењајући редослед датих цифара стави између неких од њих знакове + или – тако да се добије тачна једнакост: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

Једно решење ти је дато. Укупно има 11 решења.

1. 123 – 45 – 67 + 89 = 100 7. __________________________

3. __________________________

8. __________________________

4. __________________________

9. __________________________

5. __________________________

10. _________________________

6. __________________________

11. _________________________

uk a

pr

om

o

2. __________________________

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 100

Једно решење ти је дато. Укупно има 15 решења.

Ed

1. 98 – 76 + 54 + 3 + 21 = 100

130

2. __________________________

9. __________________________

3. __________________________

10. __________________________

4. __________________________

11. __________________________

5. __________________________

12. __________________________

6. __________________________

13. __________________________

7. __________________________

14. __________________________

8. __________________________

15. __________________________


САМО СЕДМИЦЕ

Користећи се знацима рачунских операција, прикажи сваки од бројева 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 са по четири седмице: Постоји више решења. Нека од њих су написана. Пронађи и ти нека решења. 1 = 77 : 77

o

2=7:7+7:7

7 =__________________________

om

3 = (7 + 7 + 7) : 7

8 = __________________________

4 =__________________________

9 = __________________________

6 =__________________________

10 =__________________________

pr

5 =__________________________

uk a

ПАРНЕ И НЕПАРНЕ ЦИФРЕ

Ed

Не мењајући редослед датих цифара стави између њих неки од знакова рачунских операција тако да се добије тачна једнакост: Дато је једно решење. Постоји више решења. Пронађи нека од њих.

2468=13579 24 + 6 + 8 = 1 + 35 – 7 + 9 ______________________________

______________________________

______________________________

______________________________

131


МАГИЧНИ КРУГ

У сваки кружић на нацртаној фигури упиши по један од првих 18 природних бројева, али тако да добијеш магични круг. Збир бројева на сваком кругу треба да буде једнак збиру бројева на сваком пречнику великог круга.

pr

om

o

Упутство: Збир бројева на крајевима пречника сваког круга треба да износи 19. Формирај парове бројева чији је збир 19: 1 и 18, 2 и 17, 3 и 16, ...

uk a

ПИРАМИДА ОД 10 КВАДРАТА

Ed

Пирамиду састављену од десет нумерисаних квадрата треба заменити другом, истог облика и састављену од истих квадрата, али тако да се ни један од њих не додирује ни са једним од оних са којима се додирује на слици.

132

Постоји више решења. Једно од решење смо дали. Покушај и ти да дођеш до једног решења.


Ed

uk a

pr

om

o

РЕШЕЊА ТЕЖИХ ЗАДАТАКА


РЕШЕЊА ТЕЖИХ ЗАДАТАКА БРОЈЕВИ – други део

6. 5. 7. 8. 3.

32.

Задатак треба да урадиш самостално. Задатак треба да урадиш самостално. Решења су дата на истој страни. Решења су дата на истој страни. б) 16 – х ≤ 11 а) 8 – х < 2 х ≥ 16 – 11 х>8–2 х≥5 х>6 х ∈ {5, 6, 7, ..., 16} х ∈ {7, 8}

4.

Ed

35.

5.

43.

134

4.

д) 734 – х < 728 х > 734 – 728 х>6 х ∈ {7, 8, 9, ..., 734}

uk a

г) 500 – х > 492 х < 500 – 492 х<8 х ∈ {0, 1, 2, ..., 7}

o

13. 15. 21.

х = 967

om

Задатак 5. 6.

pr

Страна 10.

в) 312 – х ≥ 306 х ≤ 312 – 306 х≤6 х ∈ {0, 1, 2, ..., 6} ђ) 985 – х ≥ 978 х ≤ 985 – 978 х≤7 х ∈ {0, 1, 2, ..., 7}


Рад у групи

48.

Рад у групи

Ed

uk a

pr

om

o

44.

52.

5.

а) 2 ∙ 10 = 20 Количник ће се увећати 20 пута. б) 5 ∙ 2 = 10 Количник ће се умањити 10 пута.

135


4. 3.

64.

9.

65.

10.

а) 72 : х > 9; х < 72 : 9 х<8 х ∈ {1, 2, 3, 4, 6}

б) 100 : х ≤ 4; х ≥ 100 : 4 х ≥ 25 х ∈ {25, 50, 100}

56 : х ≥ 7 х ≤ 56 : 7 х≤8 х ∈ {1, 2, 4, 7, 8} а) 5 ∙ х + 5 940 = 6 610 5 ∙ х = 6 610 − 5 940 5 ∙ х = 670 х = 670 : 5 х = 134

в) 48 : х ≥ 16; х ≤ 48 : 16 х≤3 х ∈ {1, 2, 3}

г) 75 : х < 5. х > 75 : 5 х > 15 х ∈ {25, 75}

o

58. 60.

30 kg = 30 000 g 500 · х ≤ 30 000 х ≤ 30 000 : 500 х ≤ 60 х ∈ {0, 1, 2, 3, 4, ..., 60} Мина је могла да прода највише 60 посуда са малинама. а) х : 10 ≤ 4; б) х : 7 ≤ 5.

om

6.

б) 12 : х + 2 197 = 2 200 12 : х = 2 200 − 2 197 12 : х = 3 х = 12 : 3 х=4

pr

56.

а) 50 : х > 2; х < 50 : 2 х < 25 х ∈ {1, 2, 5, 10}

б) 32 : х ≤ 8. х ≥ 32 : 8 х≥4 х ∈ {4, 8, 16, 32}

uk a

г) 13 743 – x : 2 = 12 997 x : 2 = 13 743 − 12 997 x : 2 = 746 x = 746 ∙ 2 x = 1 492

Ed

11.

в) 8 640 : (х − 424) = 15 х − 424 = 8 640 : 15 х − 424 = 576 х = 576 + 424 х = 1 000

12.

Страна

70.

136

Дајемо ти два примера: 1) 18 : х ≥ 2;

2) 36 : х ≥ 4.

ГЕОМЕТРИЈА

Задатак

6.

Упутство за пребројавање квадрата: сваки квадрат се нумерише једноцифреним бројем; ако немамо довољно бројева, тада користимо и слова. На крају се наведу сва решења записивањем бројева (слова) који образују дати квадрат. Тачан одговор је 13.


77.

5.

Рам од жице је модел квадрата чији је обим 2,4 dm = 24 сm. Да бисмо израчунали колико је још потребно жице да би Коста направио модел коцке чија је ивица једнака ивици рама, морамо да израчунамо дужину ивице рама. Како је обим квадрата 24 сm, записујемо: О=4∙а Израчунали смо да је дужина ивице рама 6 сm. Знаш 24 сm = 4 ∙ а да коцка има 12 ивица. Како је Коста већ направио а = 24 сm : 4 модел једне њене стране која има 4 ивице, за израду а = 6 сm осталих 8 ивица требаће му још 8 ∙ 6 сm = 48 сm жице. БРОЈЕВИ – трећи део

Задатак 7. 3.

91.

4.

1) б) 7, 8, 9,10

2) а) 1, 2, 3, 4

3) б) 1, 2, 3, 4

uk a

pr

om

o

Страна 87. 89.

Ed

На скици пластеника доцртај линије тако да површ пластеника буде издељена на најмање делове означене словима П, Л и Б (на осмине). Тако ћеш боље уочити колико осмина заузимају површине већих леја.

93.

3.

4.

137


5.

100.

4.

103.

9.

o

94.

10.

Ed

uk a

pr

112.

om

10.

11. 12.

138

Тачан одговор је а) Р = 10 ∙ а2. Површина тела са слике износи 40 cm2. Рачунамо површину 4 бочне стране базена и његовог дна које треба поплочати: Р = 2 ∙ (b ∙ c + a ∙ c) + a ∙ b Р = 2 ∙ (12 + 16) m2 + 48 m2 Р = 2 ∙ 28 m2 + 48 m2 Р = 56 m2 + 48 m2 Р = 104 m2 = 10 400 dm2 Да се поплочају стране и дно базена, потребно је 10 400 dm2 : 16 dm2 = 650 плочица. • Тачан одговор је а) 650.


13.

114.

Рад у групи

116.

3.

121.

6.

Висина акваријума је 4 dm.

126.

10.

а) Тачан одговор је V = 32 сm3.

127.

11.

pr

uk a

б) Тачан одговор је V = 30 сm3.

Ed

12.

om

o

113.

128.

13.

а) Испод тачно нацртане фигуре налази се слово И. б) V = 875 cm3.

139