Programación lineal y sus métodos

P R O G R A M A C I Ó N L I N E A L

Y

S U S

M É T O D O S

Damaso Reyes Belén Huerta Balbueba Enrique Serrano Ramírez Viviana Tapia Pineda Brenda Itzel Alumnos de M@

CONTENIDO Presentación del proyecto........ 1 Editorial...................................... 2 “Si de métodos hablamos“ ........ 3 Método Gráfico.......................... 4 Método algebraico..................... 11 Método Simplex......................... 14 Método de la M Grande............. 30 Método de las Dos Fases.......... 36 Método Simplex Revisado......... 41 “Conoce más a los creadores”... 51 Referencias y créditos............... 54 Forma de Trabajo...................... 56 Autores...................................... 57

Presentación La programación lineal es el campo de la programación matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales. El método tradicionalmente usado para resolver problemas de programación lineal es el Método Simplex.

Métodos de programación lineal Son los métodos para poder resolver los planteamientos para maximizar o minimizar los problemas.

Hay distintos tipos de métodos cada uno con sus ventajas y desventajas los cuales son los siguientes Metodo Grafico Metodo Simplex Metodo algebraico Método de la M grande Método de dos fases Método simplex revisado

Editorial

“Si de métodos hablamos“

Método Gráfico Pasos del método Para aplicar este método, seguiremos los siguientes pasos: 1.Plantear el problema en términos matemáticos.

2.Trazar el gráfico de las de las restricciones.

3.Determinar la región factible.

4.Trazar la función objetivo.

5.Encontrar la solución visual.

6.Calcular la solución algebraica.

Ventajas y desventajas del método gráfico Ventajas 1. Es un método fácil y básico.

2. Requiere conocimiento de programación lineal.

3. Es una base para el aprendizaje para métodos mas complejos.

Desventajas 1. Solo pueden ser para modelos de dos incógnitas o 3.

2.Solo puede ser 2 variables.

Ejercicio 1: La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.

El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

Planteamiento: Max z=4000XT + 5000XT’ XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar 0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a” 0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b” 0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c” Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables

XT = x XT' = y Igualamos las restricciones,

0,12X + 0,2y = 500

0,15X + 0,1y = 300

0,072X + 0,027y = 108

Acto seguido iniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.

Por ejemplo, para un x = 0 0,12(0) + 0,2y = 500 0,2y = 500 500/0,2 = y 2500 = y y para un y = 0 0,12x + 0,2(0) = 500 0,12x = 500 x = 500/0,12 x = 4167

Seguimos con la segunda restricciรณn, 0,15X + 0,1y = 300

Tercera restricción, 0,072X + 0,027y = 108

En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.

Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima en cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos).

La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).

Función objetivo, ZMAX = 4000x + 5000y luego igualamos a 0.

4000x + 5000y = 0

luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la gráfica correspondientes a la ecuación (en esta ocasión es recomendable más de dos coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).

Una vez se ha esbozado la función objetivo (línea negra) sacamos replicas paralelas a esta que se encuentren con cada vértice, y solo en el caso en que la línea imaginaria paralela a la función objetivo no corte el polígono solución se ha encontrado la solución óptima. En otras palabras trasladamos la función objetivo por todo el polígono conservando su forma paralela con la original, la detenemos en los vértices y evaluamos si esta corta o no el conjunto solución.

Claramente solo en el punto "B", es decir en el vértice formado por la intersección de las ecuaciones 1 y 2, la línea imaginaria no corta el polígono solución, entonces es este punto el correspondiente a la coordenada óptima.

Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolución de ecuaciones lineales 2x2

De esta forma hemos obtenido los valores para "x" y "y".

Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT y XT' x = XT y = XT' XT = 555,55 XT' = 2166,67 y la contribución obtenida (reemplazando las variables en la función objetivo) es de: Zmax = 4000XT + 5000XT' Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67) Zmax = 13.055.550

Ejemplo 2 The Really Big Shoe es un fabricante de calzado deportivo para básquetbol y fútbol. El gerente de marketing, Ed Sullivan, tiene que decidir la mejor forma de gastar los recursos destinados a publicidad. Cada uno de los equipos de fútbol patrocinados requiere 120 pares de zapatos. Cada equipo de básquetbol requiere 32 pares de zapatos. Los entrenadores de fútbol reciben $300,000 por concepto de patrocinio para calzado, y los entrenadores de básquetbol reciben $1,000,000.

El presupuesto de Sullivan para promociones asciende a $30,000,000.

The Really Big Shoe dispone de una provisión limitada (4 litros, o sea, 4,000 centímetros cúbicos) de flubber, un compuesto raro y costoso que se utiliza en la fabricación del calzado atlético de promoción. Cada par de zapatos para básquetbol requiere 3 cc de flubber y cada par de zapatos de fútbol requiere 1 cc. Sullivan desea patrocinar el mayor número de equipos de básquetbol y fútbol que sus recursos le permitan.

1. Formule un conjunto de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones 2. Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.

3. ¿Cuál es el número máximo de cada tipo de equipo que The Really Big Shoe podrá patrocinar?

Resolviendo el sistema de ecuaciones x = 12 y = 26

MĂŠtodo algebraico

MÉTODO SIMPLEX Anteriormente utilizamos el método gráfico para resolver problemas de dos variables, sin embargo en la realidad pocos casos tienen sólo dos variables, por lo que es importante contar con herramientas que nos permitan resolver modelos con más de dos variables. En 1947 el matemático norteamericano Jorge Dantzig desarrolló un algoritmo para resolver problemas de PL de dos o más variables conocido como método simplex.

El método simplex es otra de las herramientas importantes con que cuenta la investigación de operaciones para apoyar la toma de decisiones cuantitativas, es decir, este método se utiliza para resolver modelos de programación lineal, del mismo modo que el método gráfico, con la ventaja de no tener límite en la cantidad de variables de decisión que se incorporen al modelo. Por lo tanto se pueden manejar n variable y m restricciones, siempre y cuando cumplan con las características de la programación lineal.

Una observación importante sobre el método es que puede ser muy sensible a errores de redondeo, dado que se llevan a cabo gran cantidad de operaciones.

Para evitar este tipo de errores, se recomiendan dos acciones: 1. Utilizar el redondeo simétrico con la cantidad de decimales adecuados a la magnitud de las variables de decisión.

2. Realizar las operaciones con fracciones.

El método simplex está basado en el método de Gauss-Jordan, pero además de resolver un sistema de ecuaciones, evalúa la función objetivo en la solución y con esto permite determinar si esta solución es óptima o no; en caso de no ser óptima el algoritmo recorre los vértices del polígono de soluciones factibles analizando el proceso iterativo hasta obtener el valor que maximiza o minimiza la función objetivo.

VENTAJAS DEL MÉTODO SIMPLEX· Es un método eucarístico. Se basa en consideraciones geométricas y no requiere el uso de derivadas de la función objetivo.

Es de gran eficacia incluso para ajustar gran número de parámetros.

Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia.

Se puede usar con funciones objetivo muy sinuosas pues en las primeras iteraciones busca el mínimo más ampliamente y evita caer en mínimos locales fácilmente.

DESVENTAJAS DEL METODO SIMPLEX Converge más lentamente que otros métodos pues requiere mayor número de iteraciones.

EJEMPLO 1

• En la primera celda escribimos la etiqueta “Variable básicas”, en la siguiente la etiqueta “Z”, después de esta celda se escriben los nombres de las variables originales del modelo, seguidas de las variables de holgura. En la última celda se coloca la etiqueta “Solución”. Además, identificamos los renglones de la tabla para realizar operaciones entre ellos con mayor facilidad.

• El segundo renglón contiene los coeficientes, correspondientes a cada variable original, de la función objetivo escrito como se obtuvo en el Paso 2 y con el coeficiente cero para todas las variables de holgura y la “Solución”.

• En la primera columna y a partir del tercer renglón se enlistan verticalmente todas las variables de holgura empleadas. También a partir del tercer renglón y después de la primera celda del mismo, se colocan los coeficientes de cada una de las restricciones en la columna de la variable correspondiente (esto genera los componentes de una matriz identidad en las variables de holgura).

En este caso existen dos coeficientes negativos asociados al renglón de Z, por lo que se debe continuar con el proceso.

Paso 5. De los coeficientes del renglón Z se toma el que tenga el mayor valor negativo (número menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser básica).

Paso 6. Se divide el coeficiente de la columna “Solución” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la división se selecciona el menor valor positivo y todo el renglón asociado a este valor. Ésta es la variable que sale de la base (pasa a ser no básica).

Nota: Las divisiones entre cero o entre números negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas, el problema no tiene solución y el proceso termina.

De la tabla se selecciona el renglón de la restricción tres.

Paso 7. La celda que se encuentra en la intersección de la columna con el renglón seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los demás elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad

Donde se realizó la operación:

Donde se realizó la operación:

Paso 8. Se repite el proceso desde el Paso 4 operando sobre matrices hasta obtener todos los coeficientes del renglón Z, con valores mayores o iguales a cero.

Regresemos al Paso 4. En este caso existe un coeficiente negativo asociado al renglón de Z, por lo que debe continuar el proceso.

Paso 5. De los coeficientes del renglón Z se toma el que tenga el mayor valor negativo (número menor) y se selecciona toda la columna. La variable de esta columna es la que entra al sistema (pasa a ser básica).

Paso 6. Se divide el coeficiente de la columna “Solución” entre el elemento correspondiente de la columna seleccionada en el punto anterior, y de los resultados de la división se selecciona el menor valor positivo y todo el renglón asociado a este valor. Ésta es la variable que sale de la base (pasa a ser no básica).

Nota: Las divisiones entre cero o entre números negativos no se toman en cuenta. Si todas son negativas o indeterminadas, el problema no tiene solución y el proceso termina.

De la tabla se selecciona el renglón de la restricción uno

Paso 7. La celda que se encuentra en la intersección de la columna con el renglón seleccionado contiene un elemento al que, por medio de operaciones elementales entre renglones, se convierte en elemento pivote y los demás elementos de su columna, en ceros; con esto se obtiene una nueva columna de la matriz identidad.

La celda con doble marco contiene al elemento que deberá servir como pivote y como se tiene un 6 en la celda es necesario convertirlo en 1.

Donde se realizรณ la operaciรณn:

MĂŠtodo de la M Grande

Método de las Dos Fases Pasos para el método de las 2 fases

FASE 1. Formule un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de las variables artificiales.

La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. Si el problema tiene un espacio factible el valor mínimo de la función objetivo óptima será cero, lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. En este momento pasamos a la fase 2. * Si el valor mínimo de la función objetivo óptima es mayor que cero, el problema no tiene solución y termina anotándose que no existen soluciones factibles FASE 2. Utilice la solución óptima de la fase 1 como solución de inicio para el problema original. En este caso, la función objetivo original se expresa en términos de las variables no básicas utilizando las eliminaciones usuales Gauss-Jordan.

Ventajas Evita muchos problemas del método de la M grande.

Se pasa fácilmente del modelo ampliado al de la M grande.

Desventajas Resulta confuso en el moment0 en el que hay que cambiar de la función objetivo modificada a la función original.

Requiere realizar dos tablas simplex por separado o una donde se juntan las dos funciones objetivo.

Es complicado o imposible visualizar lo que está pasando en este modelo de una forma gráfica durante la primera fase.

Ejemplo 1

Para llevar el problema a la forma estándar agregamos las variables de exceso no negativas X4 y X5 para la primera y segunda restricción, respectivamente. El problema queda como sigue:

Para ello agregaremos 2 variables artificiales (o variables auxiliares) no negativas que llamaremos X6 y X7 (una para cada restricción) que nos permitirá tener una solución básica factible inicial.

Luego, el método en su Fase I minimiza la suma de las variables auxiliares (en este caso 2 variables). En consecuencia, el problema de la Fase I queda definido por:

Construimos la tabla inicial de la Fase 1:

Continuando con las iteraciones del Método Simplex ingresamos la variable X3 a la base (criterio: variable no básica con costo reducido más negativo) y realizamos el mínimo: Min{1/4; 3/2/2}=1/4 ==> el pivote se encuentra en la fila 1 por tanto deja la base la variable básica X6 (variable básica asociada a la fila 1).

Se realiza una iteración del Método Simplex y se actualiza la tabla:

Ahora las variables no básicas con costo reducido negativo son X1 y X4. Hacemos entrar a la base a la variable X1 y calculamos el mínimo: Min{1/4/1/2; 1/1}=1 ==> el pivote esta en la fila 1 y por tanto la variable X3 deja la base. En este punto es importante destacar un aspecto: “es una situación inusual (pero no por ello incorrecto) que una variable que en una iteración previa haya ingresado a la base, deje ésta inmediatamente en la iteración posterior”. Si bien este es el caso al cual nos enfrentamos continuaremos con las iteraciones del Método Simplex:

Notar que ahora tenemos una solución básica factible con las variables X1=1/4 y X2=1/2.

Adicionalmente todas las variables no básicas (X3, X4, X5, X6, X7) tienen costos reducidos mayores o iguales a cero. Por último y muy importante el valor de la función objetivo al finalizar la Fase I es cero, condición indispensable para seguir a la Fase II del método.

Si el valor de la función objetivo al concluir la Fase I del Método Simplex de 2 Fases es distinto a cero el problema es infactible, es decir, no tiene solución (su dominio de soluciones factibles es vacío).

Para seguir con la Fase II eliminamos la(s) columna(s) asociadas a las variables artificiales y actualizamos el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original. Se obtiene en consecuencia la siguiente tabla:

Buscamos ahora llevar a cero el costo reducido a cero para las variables X1 y X2 (variables básicas al finalizar la Fase I). Para ello desarrollamos operaciones fila multiplicando la fila 1 por -1 y luego sumando a la fila 3 (también multiplicamos por -1 la fila 2 y sumando a la fila 3).

Finalmente se logra conservar la estructura de variables básicas para las variables X1 y X2 y las variables no básicas tienen costos reducidos mayores o iguales a cero. En consecuencia estamos frente a la solución óptima del problema con X1=1/4 y X2=1/2.

Ahora veremos un segundo ejemplo siguiendo los pasos:

Ejemplo 2 Minimizar

Sujeto a:

FASE I Minimizar Sujeto a:

Minimizar Sujeto a:

FASE II. Minimizar

Método Simplex Revisado El método revisado o método del simples con multiplicadores: Se basa en los mismos principios que el simplex, pero en cada iteración no se calcula toda la tabla, y la información que se necesita para pasar de una solución factible básica a otra se obtiene directamente de las ecuaciones originales.

El método simplex revisado conserva las mismas características que el método simplex: 1) Las variables de decisión tienen que ser mayor a cero 2) Las restricciones tienen que tener la forma <= La diferencia entre el método simplex normal y el revisado es que la mayoría de los números que aparecen en la tabla del método normal no se usan realmente en las iteraciones, por lo cual en el método revisado solo se calculan los valores necesarios para encontrar la solución optima a través de matrices.

Sin embargo, este método requiere muchas operaciones de matrices y deja de estar tan estructurado como el método simplex, por lo cual es muy posible confundirse durante las iteraciones

Ventajas Encuentra soluciones mas rápido porque no requiere tantos cálculos Es mas sencillo de programar Puede aceptar cualquier tipo de modelo bajo ciertos criterios especiales

Desventajas

Tiene los mismo inconvenientes que el método simplex: normalmente no acepta funciones que no tengan solución en el origen.

Puede complicarse el calculo de la inversa o la multiplicación entre matrices Requiere demasiadas tablas a comparación del método de la M grande

Ejercicio 1

Ejercicio 2

¿Sabías que...?

Muchos problemas que se resuelven fácilmente como problemas de programación lineal llegan a ser irresolubles para propósitos prácticos cuando se exige que las variables de decisión sean enteras (es decir, que el tiempo y el costo necesario para los cálculos resultan demasiado grandes)

Los programas de resolución de investigación de operaciones son también llamados “Slacks o Sorplus”

Mientras que para la programación lineal existen algoritmos que corren en tiempo polinómico, la programación lineal entera es NP-completo y por tanto, nadie ha sido capaz (ni se cree que se pueda) de encontrar ninguna forma eficiente de resolverlos.

Muchas aplicaciones no se pueden abordar con los métodos de solución de la Programación Lineal porque tienen el principio de la "no divisibilidad", esto es, algunas o todas las variables deben tomar valores enteros.

George B. Dantzig logró resolver dos ejercicios que nadie había podido resolver antes, esto lo hizo pensando que eran ejercicios de clase que estaba entregando a destiempo pues no había llegado ése día a la hora.

El modelo de Programación Entera simplemente un modelo matemático Programación Lineal que agrega condición de que algunas o todas variables deben ser enteras.

es de la las

¿QUIENES FUERON LOS CREADORES DE ESTOS MÉTODOS? George Bernard Dantzig George Bernard Dantzig Ourisson nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland, en el estado de Oregon de los Estados Unidos de América. Hijo de Tobías Dantzig, matemático ruso, y Anja Ourisson, lingüista francesa especializada en idiomas eslavos, quienes emigraron a EEUU en 1910, después de casarse.

Basándose en el método input-output, ideado por el economista ruso Wassily Leontief en 1939 (por cuyo trabajo recibió el Premio Nobel), estableció el problema general de Programación Lineal. Sin embargo los problemas planteados eran demasiado complejos para las computadoras más veloces de la época. Se hacía necesario desarrollar un método capaz de encontrar soluciones en un tiempo razonable. En este punto entró en juego la intuición geométrica que Dantzig había desarrollado en su juventud. Según sus propias declaraciones: «Comencé observando que la región factible es un cuerpo convexo, es decir, un conjunto poliédrico. Por tanto, el proceso se podría mejorar si se hacían movimientos a lo largo de los bordes desde un vértice al siguiente. Sin embargo, este procedimiento parecía ser demasiado ineficiente. En tres dimensiones, la región se podía visualizar como un diamante con caras, aristas y vértices. En los casos de muchos bordes, el proceso llevaría a todo un recorrido a lo largo de ellos antes de que se pudiese alcanzar el vértice óptimo del diamante». En el verano de 1947 realizó la primera formulación del método Simplex.

George Stigler (George Joseph Stigler; Renton, 1911 - Chicago, 1991) Economista estadounidense. Miembro destacado, junto con Milton Friedman, de la llamada Escuela de Chicago, defendió la libre competencia y profundizó en las teorías de la producción, de los oligopolios, de la información y de las estructuras industriales. En 1982 fue galardonado con el Premio Nobel de Economía.

George Stigler perteneció a un gran número de instituciones, como el Center for Advanced Study in the Behavioral Sciences de Stanford, la American Economic Association (de la que fue presidente), el Center for the Study of the Economy and the State (que él mismo fundó), la National Academy of Sciences o la History of Economics Society (de la que también fue presidente). Recibió asimismo multitud de galardones y reconocimientos, entre los que cabe destacar la Medalla Nacional de las Ciencias y muy especialmente el Premio Nobel de Economía, que le fue otorgado en 1982 "por sus estudios sobre la estructura industrial y el funcionamiento de los mercados y de las causas y efectos de la regulación pública".

George J. Stigler se caracterizó durante toda su vida por sus posiciones contrarias a la intervención del Estado en la economía. En este ámbito, cuestionó la existencia de grandes organizaciones reguladoras que no cumplen sus objetivos y trabajó en la medición de los efectos y consecuencias de la regulación pública. Fue uno de los primeros economistas en plantear los problemas de la economía de la información y dedicó gran atención a analizar la verosimilitud de las hipótesis y su contrastación con los datos reales en las organizaciones empresariales.

Ralph Gomory Edward (nacido el 07 de mayo 1929) Gomory es el hijo de Andrew L. Gomory y Schellenberg Marian. Se graduó de la Escuela George en Newtown, Pensilvania, en 1946.

Recibió su BA de la universidad de Williams en 1950, estudió en la Universidad de Cambridge , y recibió su doctorado en matemáticas de la Universidad de Princeton en 1954.

Sirvió en la Marina de EE.UU. desde 1954 a 1957. Mientras servía en la marina de guerra, cambió su enfoque hacia las matemáticas aplicadas en la investigación de operaciones .

Entre sus logros matemáticos estaban fundando contribuciones al campo de la programación entera , un área activa de investigación en la actualidad. Él era profesor Higgins y profesor asistente en la Universidad de Princeton, 1957-59. Se unió a la División de Investigación de IBM en 1959. Hay, sin dejar su trabajo matemático importante, también inició una carrera que ayudaron a establecer esa empresa como una de las principales instituciones de investigación del mundo. Después de once años en IBM, fue nombrado director de la investigación y de inmediato comenzó a dirigir la compañía en el desarrollo de algunos de los productos más excitantes del mundo y nuevas tecnologías. Él continuó jugando un papel de liderazgo durante 20 años, finalmente fue ascendido al cargo de vicepresidente senior de IBM para la Ciencia y la Tecnología.

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Autores: Mi nombre es Belen Damaso Reyes tengo 20 años, cumplo el 9 de junio, estudió el quinto semestre de la carrera Matemáticas Aplicadas y Computación en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán, perteneciente a la UNAM. De las cosas que más me gustan hacer son caminar sola o acompañada en plazas, parques, o simplemente en la calle, me gusta mucho bailar, especialmente los géneros de salsa y cumbia. Me gusta investigar cosas acerca de mi carrera. Si hay tiempo libre me gusta ver películas o series de terror. La materia de optimización me parece de las más atractivas e interesantes, pues es muy práctica.

Huerta Balbuena Enrique Me llamo Enrique huerta Nací y crecí en mi Cdmx actualmente resido en mi bella Neza la belleza, me gusta jugar vídeo juegos, el fútbol, y el alcohol Dios bendiga el reggaeton amen,pero siempre concentrado en el objetivo que es titularme en mi carrera siempre feliz que la tristeza es temporal.

Viviana Serrano Ramírez

Mi nombre es: Tapia Pineda Brenda Itzel estudio Matemáticas Aplicadas y Computación en FES Acatlán, voy en 5 semestre de la carrera, tengo 21 años, el 1 de Diciembre de este año cumplo 22, lo que más me gusta hacer es bailar,siempre me ha gustado bailar y explorar lugares. Mi música favorita es indie-rock, aunque soy muy versátil, la materia de optimización me ha parecido muy interesante desde que empezó, hay temas que me interesan y para mi la materia en un futuro me servirá de mucho.