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Racioc铆nio L贸gico


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Raciocínio Lógico / Obra organizada pelo Instituto IOB – São Paulo: Editora IOB, 2013. ISBN 978-85-63625-77-9


Sumário

Introdução, 7 Capítulo 1 – Conjuntos, 9 1. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais, Símbolo de Pertinência e Inclusão, 9 2. Subconjuntos, 10 3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades – Descobertas, 11 4. Triângulo de Pascal – Problemas de Combinatória, 12 5. Triângulo de Pascal – Aplicação em Combinatória, 15 6. Triângulo de Pascal – Aplicação e Propriedades, 16 7. Números Tetraédricos, 17 8. Fibonacci, 19 9. Diagramas de Venn, 21 10. Conceito de Problema, 25 11. Problema da Pizza, 26 12. Férias em Cabo Frio, 27 13. Questões Envolvendo Sistemas Lineares, 27 14. Questão do Delegado Federal, 30 15. Questão do Tribunal, 30 16. Princípio das Gavetas de Dirichlet, 31


Capítulo 2 – Princípios Básicos da lógica, 33 1. Problema do Diofanto, 33 2. Julgamento Final, 34 3. Problema do Detetive Carvalho, 35 4. Desafio do U2, 36 5. Árvore de Porfírio e Definição, 37 6. Proposição, Premissas e Silogismo, 39 7. Silogismo, 40 Capítulo 3 – Conectivos Lógicos I, 43 1. Construção da Tabela – Conjunção e Disjunção, 43 2. Macete do Sorvete e suas Aplicações, 46 3. Utilização de Diagramas, 49 4. Condicional – Valéria Falou tá Falado, 50 5. Condicional – Problemas Diagramados, 50 6. Problema dos Engenheiros do Hawaii, 51 7. Macete da Condicional, 52 8. Problema dos Tribunais, 53 Capítulo 4 – Conectivos Lógicos II, 55 1. Negação – Conceitos Lógicos, 55 2. Negação de Uma Condicional, 56 3. Prática das Negações e suas Equivalências, 58 4. Negações – Prática e Simbologia, 59 5. Simbologia das Negações, 60 6. Questões de Concurso, 60 7. Uso de Diagramas, 61 8. Diagramas, 62 9. Bicondicional, 63 10. Bicondicional – Foco em Diagramas, 64 11. Valorização Lógica, 65 12. Questões de Concurso – Valoração da Prova, 65 Capítulo 5 – Valores Lógicos, 67 1. Valores Lógicos – I, 67 2. Valores Lógicos – II, 68 3. Valores Lógicos – III, 69 4. Resolução de Questões, 70 Capítulo 6 – Cálculo Proposicional, 72 1. Proposições Relacionadas, 72 2. Diagramação dos Valores Lógicos, 74 3. Diagramação do Termo Intermediário, 76 4. Equivalências, 77


5. Tabelas de Equivalência, 78 6. Proposições Logicamente Equivalentes, 78 7. Questões de Concurso – Equivalência Lógica – Simbólico, 80 Capítulo 7 – Argumentos, 82 1. Tautologia, 82 2. Tautologia e Redundância, 83 3. Redundâncias e Contradição, 84 4. Charada de Einstein, 85 Capítulo 8 – Lógica de Argumentação, 86 1. Definição e Exemplos, 86 2. Frases Argumentativas, 87 3. Questões de Prova, 88 4. Questão do TRT, 89 5. Valores Lógicos e Cálculo Proposicional, 89 6. Cálculo Proposicional e Argumentos, 91 7. Quantificadores, 93 Capítulo 9 – Lógica Dedutiva e Indutiva, 95 1. Problema do Dr. House, 95 2. Método Dedutivo, 96 3. Método Indutivo, 97 4. Resolução Categórica – Mentira versus Verdade e os Quatro Carros, 98 5. Usando a Tabela – Problema da Vovó Vitória, 99 6. Dedução e Indução Usando Exclusividade, 100 Capítulo 10 – Análise Combinatória, 102 1. Introdução – Análise Combinatória, 102 2. Princípio Fundamental de Contagem, 103 3. Método de Pensamento da Análise Combinatória, 104 4. PFC: Método, 104 5. Tabuleiro de Xadrez, 105 6. Uso do e/ou, 105 7. Anagramas, 106 8. Anagrama – Questão de Cinema – I, 107 9. Anagrama – Questão de Cinema – II, 108 10. Anagrama – Outras Aplicações, 108 11. Comissões, 109 12. Problema da Lâmpada, 110 13. Agrupamento de Pessoas, 111 14. Questão da Lanchonete, 112


Capítulo 11 – Probabilidade, 113 1. Definição e Problema da Moeda, 113 2. Eventos Complementares e Exclusivos, 115 3. Probabilidade – Conceito, 115 4. Probabilidade Condicional, 116 5. Lei de Murphy, 118 6. Probabilidade de Não Ocorrer um Evento, 118 7. Distribuição Binomial, 119 8. Problema das Urnas, 120 9. Teorema de Bayes, 120 10. Questões, 122 11. Problema do Filme – Quebrando a Banca, 123 Gabarito, 124


Introdução

Raciocínio Lógico Matemático, embora seja estudado pela Lógica como ramo da Filosofia, suas aplicações vão além de qualquer disciplina isoladamente considerada. Os padrões do raciocínio lógico são aplicáveis a qualquer área de estudo em que o argumento seja empregado, em especial nos raciocínios matemáticos, os quais são o enfoque do nosso trabalho. O Raciocínio Lógico pode ser empregado em qualquer domínio onde as conclusões presumidamente devam apoiar-se em provas. Isso inclui um sério esforço intelectual, assim como nos casos práticos da nossa vida cotidiana. Por falar em vida cotidiana, esta apostila foi elaborada com o objetivo específico para a provas de concursos. Por se tratar de aplicação prática, na qual a prova versará sobre a habilidade do candidato em entender a estrutura de relações lógicas nas relações arbitrárias entre pessoas, foi explorado o conceito e a dimensão do argumento nestas relações, a fim de atender nosso objetivo. A lógica vem do grego logos, que significa palavra, pensamento, ideia, argumento, relato, razão, ou lógica. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida.


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Raciocínio Lógico

Tradicionalmente, lógica é também a designação para o estudo de sistemas prescritivos de raciocínio, ou seja, sistemas que definem como se “deveria” realmente pensar para não errar, usando a razão, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado nas outras áreas, como na psicologia cognitiva. Dá-se o nome de Lógica aristotélica ao sistema lógico desenvolvido por Aristóteles, a quem se deve o primeiro estudo formal do raciocínio. Dois dos princípios centrais da lógica aristotélica são a lei da não contradição e a lei do terceiro excluído. A lei da não contradição diz que nenhuma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e a lei do terceiro excluído diz que qualquer afirmação da forma “P ou não ~P” é verdadeira. Esse princípio deve ser cuidadosamente distinguido do “princípio de bivalência”, aquele segundo o qual para toda proposição (p), ela ou a sua negação é verdadeira. A lógica aristotélica, em particular, a teoria do silogismo, é apenas um fragmento da assim chamada lógica tradicional. A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial e Ciência da computação. Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possível criar uma máquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para esse fim. Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por humanos podem ser auxiliadas por computador. Usando demonstração automática de teoremas os computadores podem achar e checar demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas. Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de hardware.


Capítulo 1

Conjuntos

1. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais, Símbolo de Pertinência e Inclusão 1.1 Apresentação Nesta unidade, será apresentado o conteúdo do curso e conceitos sobre conjuntos e simbologia.

1.2 Síntese Todo o curso será voltado para medir a capacidade de compreender o processo lógico a partir de um conjunto de hipóteses até se chegar a uma conclusão. Para auxiliar o pensamento, deve-se estruturar o raciocínio e, para isso, serão utilizados recursos como símbolos e diagramas. Em um primeiro momento trabalhando com estímulos visuais e posteriormente com estímulos não visuais.


10 Tipos de Raciocínios Raciocínio Verbal: É a leitura chamada de lógica formal, em que trabalha-se com conectivos, proposições, negações e condicionais. Verbalizar o que se está pensando. Raciocínio Matemático: Usado quando há necessidade de alguma conta, algum artifício matemático; por exemplo, equação de 1º e 2º graus. Raciocínio Sequencial: Raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, são aqueles problemas em que é preciso saber a sequência lógica. Simbologia: Economiza-se palavras. Indiretamente traduz o que se quer dizer. Pertence (∈) e não pertence (∉) são símbolos de pertinência, aquele que relaciona um elemento com um conjunto. Para o relacionamento entre conjuntos, trabalha-se com símbolos de inclusão, se um conjunto está ou não dentro do outro. Os símbolos de inclusão são: está contido (⊂), não está contido (⊄), (⊃) e não contém (⊅). Simbologia: ∈ → pertence. ∉ → não pertence. ⊂ → está contido. ⊄ → não está contido. ⊃ → contém. ⊅ → não contém. ∪ → união (ou). ∩ → interseção (e). – → diferença (exceto). Dica: A ou B é o mesmo que A ∪ B. A e B é o mesmo que A ∩ B. Exceto B é o mesmo que A – B ; Não B ... Jamais B.

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2. Subconjuntos 2.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre questão de subconjuntos.


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2.2 Síntese Subconjuntos ou partes de um conjunto A B

Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então, dizemos que B ⊂ A (B está contido em A) ou que A ⊃ B (A contém B). O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Obs.: Número de subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de elementos do conjunto. Ex.: A = {1,2,3} o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos, ou seja, P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Exemplo: Um conjunto passa a possuir 512 subconjuntos depois de retirarmos 3 elementos de um outro conjunto. Quantos subconjuntos tinha o primeiro conjunto? Resolução: 512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 29, ou seja, o novo conjunto tem n = 9, mais 3 elementos teremos 12 elementos. Então, o primeiro conjunto ficará com 212 = 4.096 subconjuntos.

3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades – Descobertas 3.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre Triângulo de Pascal e suas propriedades.

O Triângulo de Pascal recebe essa nomenclatura devido ao matemático Blaise Pascal (1623 – 1662), mas na Itália é conhecido como triângulo de Tartaglia e, na China, como triângulo de Yang Hui. Apesar de os chineses já o conhecerem há 1700 anos antes de Pascal, foi ele quem descobriu a maioria de suas propriedades.

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3.2 Síntese


12 Triângulo de Pascal N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 N=7 N=8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 P=0

1 2 3 4 5 6 7 8 P=1

1 3 6 10 15 21 28 P=2

1 4 10 20 35 56 P=3

1 5 15 35 70 P=4

1 6 21 56 P=5

1 7 28 P=6

1 8 P=7

1 P=8

Apresentação: Propriedades do Triângulo de Pascal:  Toda linha começa e termina com o número 1.  Relação de Stifel: Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.  Simetria: O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura.  A soma dos elementos de uma linha é sempre 2n, onde n é o número da linha.  Os números naturais aparecem na segunda diagonal. Aplicação prática: Dado o seguinte conjunto, A = {1,2,3} o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos, ou seja,P(A) = {Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} O número de subconjuntos será 2³ onde o expoente 3 representa a linha do triângulo de Pascal, nesse caso teremos os seguintes valores dessa linha:

Chegamos à conclusão de que haverá 1 subconjunto com 0 elementos, 3 subconjuntos com 1 elemento, 3 subconjuntos com 2 elementos e 1 subconjunto com 3 elementos.

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4. Triângulo de Pascal – Problemas de Combinatória 4.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre a cor da pele humana.


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4.2 Síntese No caso da cor da pele humana, considerando apenas cinco fenótipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos (N ou B) ou não acrescentar nada, se não efetivos (n ou b). Fenótipos

Número de genes

Negro

4 genes efetivos e 0 não efetivos

mulatos escuros

3 genes efetivos e 1 não efetivo

mulatos médios

2 genes efetivos e 2 não efetivos

mulatos claros

1 gene efetivo e 3 não efetivos

Branco

0 gene efetivo e 4 não efetivos

Se acontecer um cruzamento entre di-híbridos, quais serão as proporções fenotípicas da descendência? Com conhecimentos de Genética: (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?) NnBb x NnBb Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb gametas

NB

Nb

nB

nb

NB

NNBB

NNBb

NnBB

NnBb

Nb

NNbB

NNbb

NnbB

Nnbb

nB

nNBB

nNBb

nnBB

nnBb

nb

nNbB

nNbb

nnbB

nnbb

Observa-se que há 16 combinações genotípicas diferentes, sendo: 4 genes efetivos e 0 não efetivo

NNBB

4 mulatos escuros 6 mulatos médios

3 genes efetivos e 1 não efetivo 2 genes efetivos e 2 não efetivos

4 mulatos claros 1 branco

1 gene efetivo e 3 não efetivos 0 gene efetivo e 4 não efetivos

NNBb ou nNBB NNbb, nnBB ou NnBb Nnbb ou nnBb nnbb

menor frequência = 1/16 . maior frequência = 6/16 . menor frequência = 1/16

maior expressividade . média expressividade . mínima expressividade

Raciocínio Lógico

1 negro


14 Ou seja, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos escuros : 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco Usando o Triângulo de Pascal: Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b). Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4.

Raciocínio Lógico

Nº de Genes

Coeficientes

0

1

1

11

2

121

3

1331

4

14641

1 negro

4 efetivos e 0 não efetivo

1p4q0

4 mulatos escuros

3 efetivos e 1 não efetivo

4p3q1

6 mulatos médios

2 efetivos e 2 não efetivos

6p2q2

4 mulatos claros

1 efetivo e 3 não efetivos

4p1q3

1 branco

0 efetivo e 4 não efetivos

1p0q4

Portanto, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos escuros : 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco. Aplicação matemática do Triângulo de Pascal − (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b² (n=2). − (a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ (n=3). − (a+b)4 = 1a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1b4 (n=4). Método Em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b; A partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”; A soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio; O primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero; O primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio; A expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio; Em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b0= 1, a1= a, b1= b); Expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente); Expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente);


15 Soma dos expoentes de a e de b em cada monômio: 5 (expoente do binômio); A expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1).

5. Triângulo de Pascal – Aplicação em Combinatória 5.1 Apresentação Nesta unidade, daremos continuidade ao estudo sobre Triângulo de Pascal.

5.2 Síntese O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta nos problemas de análise combinatória, onde teremos a linha representando os elementos disponíveis e a coluna representando os elementos “pedidos”.

1. (Esaf) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é: a) 35. b) 45. c) 210. d) 73. 2. (UNB/Téc. Ad./Ancine/2006) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de animação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação. 3. (Cespe) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição, de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas?

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Exercícios


16 4.

(TRT 9ª) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12.

6. Triângulo de Pascal – Aplicação e Propriedades 6.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos a aplicação e propriedades no triângulo de Pascal.

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Números Triangulares

Números Triangulares, também chamados de números figurados, é um número que pode ser representado na forma de um triângulo equilátero. Tais números são calculados através de duas fórmulas: T(n) = 1+2+3+...+n que é o mesmo que: Tn = [n(n+1)]/2 Ou como no teorema: O quadrado de todo número inteiro maior que um é a soma de dois números triangulares consecutivos. T(1) = 1 T(n+1) = T(n)+(n+1)


17

7. Números Tetraédricos

5. A cela da delegacia D1 tem capacidade para abrigar, em caráter provisório, 6 detentos. Na noite em que foram capturados 4 homens e 5 mulheres, 3 dessas pessoas tiveram de ser transportadas para a cela de outra delegacia. De quantas maneiras distintas puderam ser selecionados os 6 que ficariam na cela se, de acordo com as normas dessa delegacia, o número de homens não pode exceder o número de mulheres naquela cela? a) 44. b) 54. c) 64. d) 74. e) 84. 6. Se M = {1, 2, 3 ... 7}, o número de subconjuntos de M, com 3 elementos, é igual a: 7. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses? 8. (FCC) Um número que pode ser representado pelo padrão abaixo é chamado número triangular.

Raciocínio Lógico

Exercícios


18

A soma dos oito primeiros números triangulares é: a) 110. b) 120. d) 140. c) 130. e) 150. 9. (Fundep) Suponha que Ronando passa por esse caminho todo dia. Suponha, ainda, que, no caminho de Ronando, uma nova pedra se soma às anteriores, a cada dia. Assim sendo, é CORRETO afirmar que, no final de 100 dias, Ronando terá tido em seu caminho: a) 100 pedras. b) 5.050 pedras. c) 6.250 pedras. d) 8.850 pedras. 10. (FCC) Números figurados são assim chamados por estarem associados a padrões geométricos. Veja dois exemplos de números figurados.

Raciocínio Lógico

A tabela abaixo traz algumas sequências de números figurados. Números triangulares

1

3

6

10

?

Números quadrados

1

4

9

16

?

Números pentagonais

1

5

12

22

?

Números hexagonais 1 6 15 28 ? Observando os padrões, os elementos da quinta coluna, respeitando a ordem da tabela, devem ser:


19 a) 20, 30, 40, 50. b) 18, 28, 45, 50. c) 16, 36, 46, 56. d) 15, 25, 40, 50. e) 15, 25, 35, 45.

8. Fibonacci 8.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos a sucessão de Fibonacci.

8.2 Síntese

Existem várias aplicações da Sucessão de Fibonacci, ou mesmo da razão áurea, tais como o Nautilus, a razão entre as diversas configurações de uma borboleta, a razão entre os ossos de cada membro do nosso corpo, as simetrias dos animais e plantas, a simetria do nosso rosto; em odontologia a Periodontologia é baseada na razão áurea, movimentos de frequência na física etc. Anexando dois quadrados com lado = 1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora, outro quadrado com lado = 2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a Sequência de Fibonacci.

Raciocínio Lógico

“As somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci”. Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização dos elementos do Triângulo de Pascal:


20

 

Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13, de acordo com a figura abaixo; repita o mesmo procedimento nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

 

Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do Nautilus marinho.

Raciocínio Lógico

 

Para o crescimento de cada gomo, demora 3 dias. Para completar o desenho acima, quantos dias levarão? Comentário: Temos a seguinte sequência: 1+1 = 2; 2+1 = 3; 3+2 = 5; 5+3 = 8; 8+5 = 13; 13+8 = 21. 21 * 3 dias = 63 dias para completar.


21 Muitos estudantes de matemática, ciências ou artes ouviram falar de Fibonacci somente por causa do seguinte problema do Liber abaci: um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz a um novo par que é fértil a partir do segundo mês? Logo a sequência fica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Se dividirmos cada termo desta sequência, a partir do número 21, pelo seu precedente obteremos aproximadamente o número 1,618, que é o “número de ouro” dos gregos: 21/13 = 1,61538; 34/21 = 1,61904; 55/34 = 1,61764; 89/55 = 1,61818. Razão Áurea pode ser escrita como:

 

9. Diagramas de Venn 9.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos os diagramas de Venn.

9.2 Síntese INTERSEÇÃO: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em comum, estes formam a INTERSEÇÃO desses conjuntos. A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B} Propriedades 1) A  A  = A

  

Raciocínio Lógico

Exemplos:

1) A  A = A

A  A = A1) A  A = A = 2) A 1) 2) A  = 

2)BA  3) A  B = A = 2) A  = 

 

 


UNIÃO: Dados dois conjuntos quaisquer, a UNIÃO desses conjuntos é agrupar em um só conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}

  Propriedades

Exemplos:

 

1) A  A = A  1) A  A = A

1) A  A =

2) A  = A

2) A 

3) A  B = B  A 

3) A  B =

2) A  = A

3) A  B = B  A 

  DIFERENÇA: Dados dois conjuntos quaisquer, a DIFERENÇA entre eles

 

é tirar do primeiro os elementos comuns aos dois. A – B = { x / x ∈ A e x ∈ B } Exemplos:

Observação B  A então (A –AB) é o (A – B) é o B  então

B  A então (A – B) é o

conjunto complementar conjunto complementar

conjunto complementar

de B em relação a A.relação a A. de B em

de B em relação a A.

= A  ‐ B,  com  C = A ‐CB, com C AB = A ‐ B,   com    B  A BA BA B A

 

B A

 

Exercícios 11. (FCC – 2010 – SJCDH/BA – Agente Penitenciário) Em relação às pessoas presentes em uma festa, foi feito o diagrama abaixo, no qual temos:

Raciocínio Lógico

 

22

  P: conjunto das pessoas presentes nessa festa; M: conjunto dos presentes nessa festa que são do sexo masculino; C: conjunto das crianças presentes nessa festa.


23 Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes na festa que são do sexo feminino está representado em cinza. a)

 

b)

 

c)

 

d)

e)

 

e)

12. (Prova: FCC – 2010 –Bahiagás – Téc. Processos Organizacionais) Admita as frases seguintes como verdadeiras. I. Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas também são tenistas (T). II. Alguns tenistas e futebolistas também jogam vôlei (V). III. Nenhum jogador de vôlei surfa. A representação que admite a veracidade das frases é:

Raciocínio Lógico

 


24 a)

b)

  c)

 

d)

 

e)

Raciocínio Lógico

13. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que leem ambos? 14. Uma pesquisa de opinião envolvendo, apenas, dois candidatos (A e B) determinou que 57% das pessoas eram favoráveis ao candidato A e que 61% eram favoráveis ao candidato B. Sabendo-se que 23% eram favoráveis tanto ao candidato A quanto ao B, é CORRETO afirmar que: a) A pesquisa não é válida, pois o total das preferências, considerando o candidato A e o candidato B, é de 118%, o que não é, logicamente, possível. b) Exatamente 5% das pessoas entrevistadas não são favoráveis a nenhum dos dois candidatos. c) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato A, mas não, ao candidato B.


25 d) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato B, mas não, ao candidato A. e) Exatamente 38% das pessoas entrevistadas são favoráveis ao candidato A e indiferentes ao candidato B.

10. Conceito de Problema 10.1 Apresentação Nesta unidade, abordaremos o conceito de problemas.

10.2 Síntese Para resolvermos as questões de conjunto devemos antes demais nada ler atentamente o enunciado e iniciarmos a solução pelas interseções, para depois computarmos os outros dados do problema. Veja as questões e acompanhe a solução:

15. Numa escola de 870 alunos, 450 deles estudam Finanças, 320 estudam Lógica e 110 deles estudam as duas matérias (Finanças e Lógica). Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam APENAS Finanças? b) Quantos alunos estudam APENAS Lógica? c) Quantos alunos estudam Finanças ou Lógica? d) Quantos alunos estudam nenhuma das duas disciplinas? 16. (Fundep) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que: 210 pessoas compram o produto A. 210 pessoas compram o produto B. 250 pessoas compram o produto C. 20 pessoas compram os três produtos. 100 pessoas não compram nenhum dos três. 60 pessoas compram os produtos A e B. 70 pessoas compram os produtos A e C.

Raciocínio Lógico

Exercícios


26 50 pessoas compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 670. b) 970. c) 870. d) 610.

11. Problema da Pizza 11.1 Apresentação Nesta unidade, veremos o problema da pizza.

11.2 Síntese Neste bloco trabalharemos com a primeira lei da lógica que é a Lei da Exclusão, ou seja, só existem dois valores: certo ou errado; gosto ou não gosto; verdade ou mentira etc. Na questão a seguir podemos resolvê-la usando esta ideia:

Raciocínio Lógico

Exercícios 17. (Fundep) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:  82% do total de entrevistados gostam de chocolate;  78% do total de entrevistados gostam de pizza; e  75% do total de entrevistados gostam de batata frita. Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de a) 25%. b) 30%. c) 35%. d) 40%. 18. (Desafio) Uma pesquisa foi feita no melhor curso do Brasil, IOB, contando-se 1.000 alunos, 800 dos quais são mulheres, 850 prestarão pro-


27 va em Campinas, 750 usarão caneta azul e 700 levarão garrafinha de água. Qual o número mínimo de alunos que apresentam, ao mesmo tempo, todas as características citadas? a) 50. b) 100. c) 150. d) 200.

12. Férias em Cabo Frio Exercícios 19. No último verão, o professor Délio passou com sua família alguns dias na praia. Houve sol pela manhã em 7 dias e sol à tarde em 12 dias. Em 11 dias houve chuva e se chovia pela manhã, não chovia à tarde. Quantos dias o professor Délio passou na praia? a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) 15. 20. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam pelo menos uma das 3 livrarias A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados: Das 90 pessoas que frequentam a livraria A, 28 não frequentam as demais. Das 84 pessoas que frequentam a livraria B, 26 não frequentam as demais. Das 86 pessoas que frequentam a livraria C, 24 não frequentam as demais. 8 pessoas frequentam as 3 livrarias. Determine: a) O número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias. b) O número de pessoas que frequentam pelo menos 2 livrarias. c) O total de pessoas ouvidas nesta pesquisa.

13.1 Apresentação Nesta unidade, serão abordadas questões envolvendo sistemas lineares.

Raciocínio Lógico

13. Questões Envolvendo Sistemas Lineares


28

13.2 Síntese Neste bloco, vamos resolver questões importantes de conjuntos que utilizam álgebra linear na solução, ou seja, o problema requer um pré-requisito de álgebra para a solução. Na resolução de problemas deste tipo devemos utilizar apenas operações aritméticas simples, para não alterar a dimensão do problema, isto é, apenas operação linear como soma, subtração e multiplicação por uma constante, não alterando, assim, a grandeza em questão. Veja a solução das questões abaixo: Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam, pelo menos, uma das três livrarias, A , B e C. Foram obtidos os seguintes dados:  das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não frequentam as demais;  das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não frequentam as demais;  das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não frequentam as demais;  8 pessoas frequentam as três livrarias. a) Determine o número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias. b) Determine o número de pessoas que frequentam, pelo menos, duas livrarias. c) Determine o número total de pessoas ouvidas. Comentário:

De acordo com diagrama acima teremos: 28  8  x  y  90  26  8  x  z  84 efetuando as operações teremos 24  8  y  z  86 

 x  y  54   x  z  50  y  z  54 

Raciocínio Lógico

se somarmos todas as três equações teremos: 2 x  2 y  2 z  158 54  z  79 z  25   x  y  z  7950  y  79 logo  y  29 54  x  79 x  25  


29 R1) 28 + 26 + 24 = 78 pessoas. R2) x + y + z+ 8 = 79 + 8 = 87 pessoas. R3) 78 + 87 = 165 pessoas.

21. Na compra de equipamentos para um grupo de técnicos, foram gastos R$ 1.040,00 em 4 arquivos, 3 cavaletes e 2 walkie-talkie; logo depois foram gastos R$ 1.000,00 na compra de 2 arquivos, 3 cavaletes e 4 walkie-talkies. Para adquirir um objeto de cada, ou seja, um arquivo, um cavalete e um walkie-talkie serão necessários: a) R$ 324,00 b) R$ 360,00. c) R$ 280,00. d) R$ 340,00. e) R$ 420,00. 22. (Esaf/Tec. M. Faz./2009) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40%. b) 33%. c) 57%. d) 50%. e) 25%. 23. Na sequência de números 1, 2, 3, ..., 100, quantos números não são múltiplos de 3 e nem de 4? a) 50. b) 48. c) 46. d) 44. e) 42.

Raciocínio Lógico

Exercícios


30

14. Questão do Delegado Federal Exercício 24. Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias, foi constatada a presença de três tipos de vírus – A, B e C. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. Com base nessa situação, julgue os itens abaixo. I – O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas.  II – O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230. III – 345 moradores apresentaram somente um dos vírus. IV – Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos, dois vírus. V – O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa de 16% do total de pessoas examinadas.

15. Questão do Tribunal

Raciocínio Lógico

Exercício 25. (UnB – Téc. STF/2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes: ( ) (UnB – Téc. STF/2008) Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários. ( ) (UnB – Téc. STF/2008) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários.


31

16. Princípio das Gavetas de Dirichlet 16.1 Síntese Exemplo 1: Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo aniversário no mesmo mês? Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses (12) é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês. O argumento empregado acima é conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio das Casas dos Pombos. Um possível enunciado para este princípio é o seguinte: Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos. (Uma maneira um pouco mais formal de dizer o mesmo é: se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetiva). Exemplo 2: Uma prova de concurso possui 10 questões de múltipla escolha, com cinco alternativas cada. Qual é o menor número de candidatos para o qual podemos garantir que pelo menos dois deles deram exatamente as mesmas respostas para todas as questões? Solução: Neste caso, os objetos são os alunos e as gavetas são as possíveis sequências de respostas. Como cada questão pode ser respondida de 5 modos, a prova pode ser preenchida de 5 x 5 x 5 x … 5 = 510 = 9.765.625 modos. Logo, só se pode ter a certeza de que dois candidatos fornecem exatamente as mesmas respostas se houver pelo menos 9.765.626 candidatos.

26. Ricardo Erse veste-se apressadamente para um encontro muito importante. Pouco antes de pegar as meias na gaveta, falta luz. Ele calcula que tenha 13 pares de meias brancas, 11 pares de meias cinzas, 17 pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas. Como elas estão todas misturadas, ele resolve pegar certo número de meias no escuro e, chegando no carro, escolher duas que tenham cor igual para calçar. Qual é o menor número de meias que Ricardo Erse poderá pegar para ter certeza de que pelo menos duas são da mesma cor? a) 12. b) 10.

Raciocínio Lógico

Exercícios


32

Raciocínio Lógico

c) 8. d) 6. e) 5. Questão de Prova O enunciado abaixo refere-se às questões de nos 27 e 28. Em uma urna, há 18 esferas: 5 azuis, 6 brancas e 7 amarelas. Não é possível saber a cor de uma esfera sem que ela seja retirada. Também não é possível distingui-las a não ser pela cor. N esferas serão retiradas simultaneamente dessa urna. 27. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esferas retiradas, haverá duas da mesma cor? a) 2. b) 3. c) 4. d) 7. e) 8. 28. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que, entre as esferas retiradas, haverá duas com cores diferentes? a) 2. b) 3. c) 4. d) 7. e) 8.


Capítulo 2

Princípios Básicos da lógica

1. Problema do Diofanto 1.1 Apresentação Nesta unidade, vamos introduzir as duas outras leis básicas da lógica.

1.2 Síntese 1ª lição: Leia com atenção o texto e preste atenção nas entrelinhas, aqui o nosso português é top de linha!!! Desafio: Numa brincadeira na escola de Diofanto, ele deve retirar o menor número possível de frutas (sem ver) de uma das três caixas rotuladas da seguinte maneira: maçã, pera e maçã e pera, onde os rótulos estão todos fora de ordem. Quantas frutas ele deve retirar para colocar os rótulos nas caixas corretas e de qual(ais) caixa(s) ele deve fazê-lo?


34 Resposta: retirando apenas uma fruta da caixa rotulada como “pera e maçã” conseguiremos definir as demais caixas. Desafio: O agente da UCT, Jack Bauer, foi entregue ao terrorista Abu Fayed, e o terrorista disse: “Diga uma frase para salvar sua vida: Se ela for verdadeira, nós te fuzilamos; porém, se for falsa, nós te enforcamos.” Jack Bauer pensou rapidamente, disse a frase e saiu livre e vivo, como sempre... – Qual foi a frase dita por Jack? Resposta: Ele disse que seria enforcado! O Jack só poderia ser enforcado se tivesse mentido, então se ele disse que seria enforcado, e de fato a frase dele seria verdadeira e a maneira certa de morrer era fuzilado. Mas se fosse fuzilado, a frase seria falsa e deveria ser enforcado. 2ª lição: “Se nós quisermos atingir resultados nunca antes atingidos, devemos utilizar métodos nunca antes utilizados.” Ou seja, jogar a verdade contra a mentira, ou mesmo induzir a pessoa ao erro ou a uma contradição é a coisa mais lógica a se fazer...

2. Julgamento Final

Raciocínio Lógico

2.1 Síntese Quando estamos diante de uma situação onde não podemos concluir a verdade eminente, procuramos algo ou fala contraditória, caso exista, utilizamos o princípio da contradição, ou indução ao erro. No problema do Julgamento Final, como um guardião fala apenas a verdade e o outro, apenas a mentira, induzimos um deles à resposta do outro. Questão: O DIA DO JULGAMENTO FINAL Segundo uma antiga lenda, quando morremos nos deparamos com dois guardiões que estão à frente de duas portas: uma nos leva ao céu e a outra ao inferno. Não sabemos qual porta é qual, sabemos apenas que um dos guardiões diz sempre a verdade e outro mente sempre, mas também não sabemos qual é qual. Qual a pergunta (e uma só pergunta) que devemos fazer para que possamos desfrutar de uma vida eterna no céu? Comentário: (Adaptada do livro “O homem que calculava”). Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade.


35 Que pergunta você faria? Resposta: – “Se você fosse o seu colega, qual porta você me indicaria?” A resposta será exatamente o contrário do que se fará. Porta esquerda = Liberdade. Porta direita = Morte. Se fala a verdade = Porta direita → Contrário → Porta esquerda. Guarda 1 Se fala a mentira = Porta direita → Contrário → Porta esquerda. Questão: Valéria quis saber do amigo enigmático Fenelon Portilho quais eram as idades de seus três filhos. Ele deu a primeira pista: – O produto de suas idades é 36. – Ainda não é possível saber, disse Valéria. – A soma das idades é o número da casa aí em frente. – Ainda não sei. – Meu filho mais velho é BOTAFOGUENSE. – Agora já sei, afirmou Valéria. Qual era o número da casa em frente? Solução: Nesta questão do Professor Fenelon, a cada dica necessitamos de outra, pois ainda permanecemos na dúvida, ou seja, a dúvida só prevalece porque temos mais de uma possível resposta, daí a necessidade da próxima dica, até que a última dica elimina por completo as outras opções. Enfim, para que haja a certeza lógica a questão ou enunciado tem de nos fornecer todos os dados necessários para uma única solução, sem dúvidas ou suposições. Possibilidades 1 1 1 1 1 2 2 3

1 2 3 4 6 2 3 3

Somas 36 18 12 9 6 9 6 4

38 21 16 14 13 13 11 10

Casa

Idade

* *

2, 2, 9

Exercício 29. Investigando uma fraude bancária, o Detetive Marcelo Carvalho colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:

Raciocínio Lógico

3. Problema do Detetive Carvalho


36 1) Se Henrique é culpado, então Rafael é culpado. 2) Se Henrique é inocente, então Rafael ou Pedro são culpados. 3) Se Pedro é inocente, então Rafael é inocente. 4) Se Pedro é culpado, então Henrique é culpado. As evidências colhidas por Marcelo indicam, portanto, que: a) Henrique, Pedro e Rafael são inocentes. b) Henrique, Pedro e Rafael são culpados. c) Henrique é culpado, mas Rafael e Pedro são inocentes. d) Henrique e Rafael são inocentes, mas Pedro é culpado. e) Henrique e Pedro são culpados, mas Rafael é inocente.

4. Desafio do U2 Concerto do U2 A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos precisam cruzar a ponte para chegar lá. Todos os quatro participantes estão do mesmo lado da ponte. Você deve ajudá-los a passar de um lado para o outro. É noite. Na ponte só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma lanterna. Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser jogada etc. Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz: Bono: 1 minuto para passar. Edge: 2 minutos para passar. Adam: 5 minutos para passar. Larry: 10 minutos para passar. Por exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minutos terão passados e o show sofrerá um atraso. Como organizar a travessia? Solução: Lado A

Travessia

Lado B

Raciocínio Lógico

Adam e Larry Bono e Edge (2 minutos) Adam e Larry Bono (1 minuto)

Edge

Bono

Adam e Larry (10 minutos)

Edge

Bono

Edge (2 minutos)

Adam e Larry

Bono e Edge (2 minutos)

Adam e Larry Bono, Edge, Adam e Larry

Total

17 minutos


37

5. Árvore de Porfírio e Definição 5.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre a árvore de Porfírio.

5.2 Síntese

Raciocínio Lógico

“O raciocínio matemático tem por base certos princípios que são exatos e infalíveis”. John Adams Árvore de Porfírio: Porfírio criou uma estrutura lógica – a Árvore de Porfírio – que, partindo de um conceito ou gênero amplo, divide esse gênero em outros tantos gêneros subordinados, mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos, por meio de um par de opostos, chamado “diferenças”. O processo de divisão pelas diferenças segue até que a espécie mais baixa seja alcançada, espécie essa que não pode ser mais dividida.


38

Raciocínio Lógico

SAPO OU CAVALO? (INCRÍVEL, MAS É A MESMA IMAGEM!)

Definição de Lógica Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos. Para Aristóteles a lógica é um instrumento para o exercício do pensamento e da linguagem, oferecendo-lhes meios para realizar o conhecimento e o discurso e não uma ciência teorética, nem prática nem produtiva, mas um instrumento para as ciências, para o conhecer. O objeto da lógica para Aristóteles é a proposição, que exprime, por meio da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito. A verdade pode sofrer uma série de conceituações. Vejamos as consequentes: Verdade Lógico-Formal – é a que se refere à coerência na estrutura do raciocínio quanto às conclusões alcançadas, obedecendo a princípios formais do pensamento e segundo enunciados estabelecidos, a partir dos quais se desenvolve o pensamento que expressa uma nova proposição, um novo enunciado ou uma nova verdade. Assim, a verdade lógico-formal é a que representa acordo com as leis do pensamento, a partir de princípios ou definições anteriormente estabelecidos. Verdade Objetiva – é a que se refere à conformidade do conhecimento com a coisa conhecida ou a “conformidade do pensar com o ser”. Se digo que o dia está nublado, é preciso que, no instante que faça tal afirmação o céu esteja, realmente, nublado. Verdade Ontológica, Metafísica ou do Ser – é a que se refere à essência mesma das coisas. Quando digo que a manteiga é pura, quero dizer que não foi acrescido nenhum elemento estranho, mas que só contém a natureza própria da manteiga. Em outras palavras, exprime o ser das coisas, correspondendo exatamente ao nome que se lhe dá. Verdade Moral – é a que se refere ao agir, à “conformidade da expressão oral com a mente”, podendo receber o nome também de veracidade. A verdade moral significa a correspondência entre a expressão do pensamento e o pensamento.


39 O Erro, em Lógica, chama-se falsidade. Em Moral, quando a pessoa erra conscientemente, chama-se mentira. O erro pode ter causa lógica, psicológica ou moral.

6. Proposição, Premissas e Silogismo 6.1 Apresentação Nesta unidade, continuaremos o estudo sobre princípios básicos da lógica.

6.2 Síntese Proposição Vem de “propor” que significa submeter à apreciação; requerer em juízo; vem do latim proponere. Logo proposição é uma frase a ser julgada. Toda proposição apresenta três características obrigatórias: – sendo oração, tem sujeito e predicado; – é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); e – tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F).

30. (UNB/2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. 1. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” 2. A expressão X + Y é positiva. 3. O valor de 4 + 3 = 7 . 4. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. 5. O que é isto? Outra... Um romano mentiroso diz: – “Todo romano é mentiroso.” – Logo podemos concluir que: Nada, nada, nada, nada... 31. (FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:

Raciocínio Lógico

Exercícios


40 1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pelé é brasileiro. 3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria. 5. A metade de um número. 6. O triplo de 15 é maior que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números: a) 1, 2 e 6. b) 2, 3 e 4. c) 3, 4 e 5. d) 1, 2, 5 e 6. e) 2, 3, 4 e 5. Premissa Do latim: praemissa. Cada uma das duas proposições de um silogismo. 32. (UnB – Agente – PF/2004) Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) Toda premissa de um argumento válido é verdadeira. ( ) Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido. ( ) Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido. ( ) É válido o seguinte argumento: Todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.

7. Silogismo 7.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre o silogismo.

Raciocínio Lógico

7.2 Síntese Silogismo Do latim: syllogismus Dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas premissas, delas se tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão.


41 1 – Deus ajuda quem cedo madruga... Quem cedo madruga, dorme à tarde... Quem dorme à tarde, não dorme à noite... Quem não dorme à noite, sai na balada!!! Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!! 2 – Deus é amor. O amor é cego. Stevie Wonder é cego. Conclusão: Stevie Wonder é Deus. 3 – Me disseram que eu sou um ninguém. Ninguém é perfeito. Conclusão: Eu sou perfeito. Mas só Deus é perfeito. Portanto, eu sou Deus. Se Stevie Wonder é deus, eu sou Stevie Wonder. Mas Stevie Wonder é cego, eu estou cego. 4 – Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos. Quanto mais queijo, mais buracos. Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo. Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo. 5 – Toda regra tem exceção. Isto é uma regra. Logo, deveria ter exceção. Portanto, nem toda regra tem exceção.

7 – Quando bebemos, ficamos bêbados. Quando estamos bêbados, dormimos. Quando dormimos, não cometemos pecados. Quando não cometemos pecados, vamos para o céu. Então, vamos beber para ir para o céu!

Raciocínio Lógico

6 – Existem biscoitos feitos de água e sal. O mar é feito de água e sal. Logo, o mar pode ser um biscoitão.


42 8 – Hoje em dia, os trabalhadores não têm tempo para nada. Já os vagabundos... Têm todo o tempo do mundo. Tempo é dinheiro. Logo, os vagabundos têm mais dinheiro do que os trabalhadores. 9 – Se você estudar, você passará. Se você passar, você irá se casar. Logo, se você estudou, se casou.

Raciocínio Lógico

33. (F.C.Chagas – Téc. Jud. – TRT 6ª Região/2006) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa. – Todo indivíduo que fuma tem bronquite. – Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Relativamente a esses resultados, é correto concluir que: a) Existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho. b) Todo funcionário que tem bronquite é fumante. c) Todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. d) É possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte habitualmente ao trabalho. e) É possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite.


Capítulo 3

Conectivos Lógicos I

1. Construção da Tabela – Conjunção e Disjunção 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre construção de tabelas.

1.2 Síntese Conectivos lógicos São expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma proposição formando uma nova proposição. Os conectivos lógicos básicos são: “não” (Negação); “e” (Conjunção Aditiva); “ou” (Disjunção, podendo ser exclusiva ou não);


44 “se... então” (Condicional); “se e somente se” (Bicondicional). As Tabelas-Verdade A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como se segue: • Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. • Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa. • Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas – sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Ao analisarmos uma proposição ela poderá ser verdadeira ou falsa, assim podemos construir o corpo de uma tabela-verdade. A B V V V F F V F F E continuando se tivermos 03 proposições teríamos uma tabela de 08 linhas, pois seriam 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades de valorações das proposições. A V V V V F F F F

B V V F F V V F F

C V F V F V F V F

Conjunção A conjunção A ∧ B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então A ∧ B é falsa. A B A∧B V V V F F V F V F F F F A conjunção só será verdadeira se ambas forem verdadeiras, caso contrário, será falsa.

Raciocínio Lógico

Este critério está resumido na tabela-verdade ao lado


45 Disjunção A disjunção A ∨ B é verdadeira se ao menos uma das proposições A ou B é verdadeira; se A e B são ambas falsas, então A ∨ B é falsa. Este critério está resumido na tabela-verdade ao lado

A

B

A∨B

V V V V F V V V F F F F A Disjunção só será falsa se ambas forem falsas, caso contrario será verdadeira. Exemplo 1: A: O Homem é um ser vivo. (V) B: Cães são vegetais. (F) A∧B: O Homem é um ser vivo e Cães são vegetais, é uma proposição falsa. (F) Exemplo 2: A: 3 + 4 = 7. B: “Rômulo é magro.” A∧B: 3 + 4 = 7 e “Rômulo é magro” é uma proposição que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F) dependendo do valor lógico de B, a qual pode ser verdadeira (V) ou falsa (F). Para que a conjunção seja falsa, basta que uma delas seja falsa. Para que a disjunção seja verdadeira, basta que uma das proposições que a compõe seja verdadeira. Exemplos de Disjunção: A: “Todo botafoguense é campeão.” (V) B: “O gelo é quente.” (F) A∨B: “Todo botafoguense é campeão ou o gelo é quente” é uma proposição verdadeira. A: “O Brasil foi campeão da copa de 2010.” (F) B: “todo ser vivo é mamífero.” (F) A∨B: “O Brasil foi campeão da copa de 2010” ou “todo ser vivo é mamífero” é uma proposição falsa.

34. (UnB – Analista – TRT 1ª R./2008) Considere que são V as seguintes proposições: – “Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro, então Joaquim é bacharel em direito”; – “Joaquim é ministro”.

Raciocínio Lógico

Exercício


46 Nessa situação, conclui-se que também é V a proposição: a) Joaquim não é desembargador. b) Joaquim não é desembargador, mas é ministro. c) Se Joaquim é bacharel em direito então Joaquim é desembargador. d) Se Joaquim não é desembargador nem ministro, então Joaquim não é bacharel em direito. e) Joaquim é bacharel em direito.

2. Macete do Sorvete e suas Aplicações 2.1 Síntese Disjunção Ou Feneló é professor de informática (V) ou é dublê do Fábio Assunção (F). Como é disjunção, a frase é verdadeira. Conjunção Feneló é professor de informática (V) e dublê de Fábio Assunção (F). A frase é falsa porque é uma conjunção. Regra do Sorvete Chocolate e Chocolate Morango ou Morango V V V V V F F V F V F V F F F F Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é verdadeiro, então, do ponto de vista lógico, podemos dizer que: “Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.” “Se Paulo não é paulista, então Pedro não é pedreiro.” Mas dizer que: “Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista” é uma falsidade. Comentário: Frase principal: “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é verdadeiro; como trata-se de uma disjunção, obrigatoriamente alguém tem de ser verdadeiro, assim: “Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.” É uma frase verdadeira, pois negamos a primeira proposição, assim para manter a veracidade da frase principal, temos de concluir que a segunda proposição é obrigatoriamente verdadeira.

Raciocínio Lógico

Chocolate

Morango


47 “Se Paulo não é paulista, então Pedro não é pedreiro.” É uma frase verdadeira, pois ao negarmos a segunda proposição temos de afirmar a veracidade da primeira, para manter a frase principal verdadeira. “Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista.” É uma falsidade. Concluir que esta frase é falsa é mais do que verdade, pois tornamos ambas as proposições falsas e uma disjunção só será falsa caso ambas sejam falsas. Exemplo 1: Sou amiga de Bob ou sou amiga de Dylan. Souamiga de Marley ou não sou amiga de Bob. Sou amiga de Kaleb ou não sou amiga de Dylan. Ora, não sou amiga de Kaleb. Assim, a) Não sou amiga de Marley e sou amiga de Bob. b) Não sou amiga de Kaleb e não sou amiga de Marley. c) Sou amiga de Bob e amiga de Marley. d) Sou amiga de Dylan e amiga de Marley. e) Sou amiga de Dylan e não sou amiga de Kaleb. Comentário: Veja a sequência de diagramas.

Raciocínio Lógico

Se não sou amiga de Kaleb, então é falso dizer que sou.


48 Assim obrigatoriamente direi que não ser amiga de Dylan é uma verdade, pois a disjunção só será verdadeira se “alguém” for verdadeiro.

Assim sendo, ser amiga de Dylan é falsidade.

Portanto, ser amiga de Bob é uma verdade.

Logo, não ser amiga de Bob é falsidade.

Raciocínio Lógico

Logo temos de concluir que ser amiga de Marley é verdade.


49 Analisando as alternativas concluiremos que: a) Não sou amiga de Marley e sou amiga de Bob. b) Não sou amiga de Kaleb e não sou amiga de Marley. c) Sou amiga de Bob e amiga de Marley. d) Sou amiga de Dylan e amiga de Marley. e) Sou amiga de Dylan e não sou amiga de Kaleb.

3. Utilização de Diagramas O uso de diagramas na lógica ajuda a compreensão visual da linguagem corrente. Veja algumas dicas:

35. (Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) Estudo e fumo. b) Não fumo e surfo. c) Não velejo e não fumo. d) Estudo e não fumo. e) Fumo e surfo. 36. (Analista de Finanças e Controle – AFC – STN/2008) Ao resolver um problema de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x = p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x ≠ e. Assim, Ana corretamente conclui que: a) x ≠ a ou x ≠ e. b) x = a ou x = p. c) x ≠ a e x ≠ p. d) x = a e x ≠ p. e) x = a e x = p.

Raciocínio Lógico

Exercícios


50

4. Condicional – Valéria Falou tá Falado 4.1 Síntese Condicional Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se ... então.... (símbolo: à); e o bicondicional ... se, e somente se ... (símbolo: ↔). O condicional se A, então B (AàB) é falso somente quando A é verdadeira e B é falsa; caso contrário A à B é verdadeiro. Dica: “A CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA NO VALÉRIA FALOU TÁ FALADO” Veja a tabela-verdade Correspondente à proposição A → B:

A V V F F

B V F V F

AàB V F V V

Exemplos 1. A: O sol é uma estrela. (V) B: A lua é uma estrela. (F) A à B: O sol é uma estrela então a lua é uma estrela é uma proposição falsa. 2. A: A terra é quadrada. (F) B: Miguel é especial. (V) A à B: A terra é quadrada então Miguel é especial será sempre verdadeira independentemente do valor lógico de B.

5. Condicional – Problemas Diagramados

Raciocínio Lógico

Exercícios 37. Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo: a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia. b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia. c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz. d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz.


51 38. Um raciocínio lógico é considerado correto quando é constituído por uma sequência de proposições verdadeiras. Algumas dessas proposições são consideradas verdadeiras por hipótese e as outras são verdadeiras por consequência de as hipóteses serem verdadeiras. De acordo com essas informações e fazendo uma simbolização segundo as definições incluídas no texto II, julgue os itens subsequentes, a respeito de raciocínio lógico. Considere como verdadeira a seguinte proposição (hipótese): ( ) “Joana mora em Guarapari ou Joana nasceu em Iconha.” Então, concluir que a proposição “Joana mora em Guarapari” é verdadeira constitui um raciocínio lógico correto. ( ) Se a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha e no estado do Espírito Santo são produzidas orquídeas” for considerada verdadeira por hipótese, então a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha” tem de ser considerada verdadeira, isto é, o raciocínio lógico formado por essas duas proposições é correto. 39. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderleia não viajou. d) Carla não foi ao casamento ou Vanderleia viajou. e) Vera e Vanderleia não viajaram.

6. Problema dos Engenheiros do Hawaii

Exercícios 40. (Delegado da Polícia Civil/ES) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma sequência de proposições, e é considerada

Raciocínio Lógico

Analise agora... Na música do Engenheiros do Hawaii ... “Crimes perfeitos não deixam suspeitos” (Humberto Gessinger): é verdadeira, logo: Renato cometeu um crime. Renato é suspeito. Logo o crime não foi perfeito.


52 correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições. Considere a seguinte sequência de proposições: 1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso. 2) O criminoso não foi preso. 3) Portanto, o crime foi perfeito. Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a sequência é uma dedução lógica correta. 41. Considere as seguintes frases: I – Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. II – Os cariocas são alegres. III – Marcelo é empregado da PETROBRAS. IV – Nenhum indivíduo alegre é rico. Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem. ( ) Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres. ( ) Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico. ( ) Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca. ( ) Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são alegres.

7. Macete da Condicional

Raciocínio Lógico

Exercícios 42. Os amigos Jamba, Thales e Rômulo contavam histórias acerca de suas incursões futebolísticas. Jamba e Rômulo mentiram, mas Thales falou a verdade. Então, dentre as opções seguintes, aquela que contém uma proposição verdadeira é: a) Se Thales mentiu, então Jamba falou a verdade. b) Se Rômulo mentiu, então Jamba falou a verdade. c) Rômulo falou a verdade e Thales mentiu. d) Rômulo mentiu e Jamba falou a verdade. e) Jamba falou a verdade ou Thales mentiu. 43. Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês.


53 b) Pedro é português e Alberto é alemão. c) Pedro não é português e Alberto é alemão. d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês. e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês. 44. Se Astrubal é amigo de Leôncio, então Salgado é amigo de Pedro. Se Salgado é amigo de Pedro, então Pedro é amigo do João. Se Pedro é amigo de João, então João é amigo de Dimitri. Se João é amigo de Dimitri, então Thales é amigo de Diego. Se Thales é amigo de Diego, então Nina é feia. Ora Nina não é feia. 45. (Esaf – Serpro/2001) Cícero quer ir ao circo, mas não tem certeza se o circo ainda está na cidade. Suas amigas, Cecília, Célia e Cleusa, têm opiniões discordantes sobre se o circo está na cidade. Se Cecília estiver certa, então Cleusa está enganada. Se Cleusa estiver enganada, então Célia está enganada. Se Célia estiver enganada, então o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade, ou Cícero não irá ao circo. Verificou-se que Cecília está certa. Logo, a) O circo está na cidade. b) Célia e Cleusa não estão enganadas. c) Cleusa está enganada, mas não Célia. d) Célia está enganada, mas não Cleusa. e) Cícero não irá ao circo.

8. Problema dos Tribunais

Raciocínio Lógico

Termo Intermediário Em uma proposição composta condicional, temos a ideia e a conclusão, sabendo que ela só será falsa se a “ideia” for verdadeira e a “conclusão” for falsa, assim sendo sabemos que: 1) Se a ideia é verdadeira e a conclusão é verdadeira, a resposta será verdadeira; “Se eu tenho lá dentro, então eu tenho lá fora.” 2) Se a conclusão é falsa e a ideia é falsa, a resposta será verdadeira. “Se negamos lá fora, então negamos lá dentro.” 3) Se negamos a ideia, não necessariamente negamos a conclusão, ou seja, podemos não ter a hipótese, mas mesmo assim chegamos à conclusão, que foi denominada: “Sujeito Intermediário.” “Está fora lá de dentro e dentro lá de fora.” Veja o diagrama:


54 Em uma condicional podemos não ter a ideia, mas chegar à conclusão, termo intermediário. Atenção: Quando uma condicional tem sua hipótese falsa, ou seja, o princípio é falso, não interessa a conclusão, ela sempre será verdadeira.

Exercícios

Raciocínio Lógico

46. Se Marta pratica esporte, então ela é saudável. Mas Marta não pratica esporte. Logo, baseados somente nessas informações, podemos concluir que: a) Ela é saudável. b) Ela não é saudável. c) Alguém não pratica esporte. d) Ninguém é saudável. 47. (UnB – Analista/TRT – 1ª R./2008) Tendo em vista as informações do texto I, considere que sejam verdadeiras as proposições: I – Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso público; II – José ingressou no tribunal por concurso público; e III – João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso público. Nesse caso, também é verdadeira a proposição. a) José é advogado. b) João não é advogado. c) Se José não ingressou no tribunal por concurso público, então José é advogado. d) João não ingressou no tribunal por concurso público. e) José ingressou no tribunal por concurso público e João é advogado. 48. (Esaf) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então, a) Se jogo, não é feriado. b) Se não jogo, é feriado. c) Se é feriado, não leio. d) Se não é feriado, leio. e) Se é feriado, jogo.


Capítulo 4

Conectivos Lógicos II

1. Negação – Conceitos Lógicos 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos a negação dos conceitos lógicos.

1.2 Síntese Negação A proposição ~A tem sempre valor oposto de A, isto é, ~A é verdadeira quando A é falsa e ~A é falsa quando A é verdadeira Não “par vezes” = Não do não  Sim. Não “ímpar vezes” = Não do não do não  Não. A

¬A

V

F

F

V


56 ¬(A ∧ B) = ¬A ou ¬B A

B

A∧B

A∧B

¬ (A ∧ B)

¬ (A ou B)

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

¬A

¬B

(¬ A) ∨ (¬B)

F

F

F

F

V

V

V

F

V

V V V A negação da negação é a afirmação da proposição. Exemplo: Não fui eu não, então fui eu. A negação de A e B é não A ou não B. Exemplo: A negação de Você é alto e bonito é: Você não é alto ou você não é bonito. A negação de A ou B é não A e não B. Exemplo: A negação de Você é cruzeirense ou atleticano é: Você não é cruzeirense e você não é atleticano. Anteriormente vimos que: Para que uma proposição composta por uma conjunção seja falsa basta que uma das frases que a compõe seja falsa. Para que uma composição composta por uma disjunção seja verdadeira basta que uma das frases que a compõe seja verdadeira. A negação do E é OU A negação do OU é E.

2. Negação de Uma Condicional

Raciocínio Lógico

A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão: ~(AàB) = A ∧ ~B. A

B

~A

~B

AàB

~(AàB)

A∧~B

~A~B

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

V


57 Por exemplo, para negar a frase: Se você jogar na Mega você ganhará. A negação será: Você jogou na Mega e não ganhou. A negação da frase: Se meu time ganhar então vou sambar até amanhecer. É... Meu time ganhou e não sambei até o amanhecer. Proposição

Equivalente da Negação

AeB

Não A ou não B

A ou B

Não A e não B

Se A então B

A e não B

A se e somente se B (↔)

Algum A não é B

Todo A é B

Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B Obs.: Para negar o todo, basta ter uma exceção. Obs.: Para negar algum, deve-se negar o todo. − A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição: nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é mamífero. A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição: nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é mamífero; A negação da proposição: Tenho 1,80 m de altura e você está pisando no meu pé é: Não tenho 1,80 m de altura ou você não está pisando no meu pé; A negação da proposição: 3+5=8 é a proposição: 3+5 ≠ 8; Se p é a proposição: Existe um homem que é mortal, então a negação de p é a proposição: ~p dada por Não existe um homem que seja mortal, ou ainda: Nenhum homem é mortal.

49. Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos”? a) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. b) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos.

Raciocínio Lógico

Exercícios


58 c) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. d) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. e) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. 50. Em uma grande e renomada academia sabe-se que: “nenhum desportista é rico” e que “alguns fisiculturistas são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade: a) Alguns desportistas são fisiculturistas. b) Alguns fisiculturistas são desportistas. c) Nenhum desportista é fisiculturista. d) Alguns fisiculturistas não são desportistas. e) Nenhum fisiculturista é desportista.

3. Prática das Negações e suas Equivalências

Raciocínio Lógico

Exercícios 51. Sejam p e q duas proposições. A negação de p ∧ ~q equivale a: a) ~p ∨ ~q. b) ~p ∧ ~q. c) ~p ∨ q. d) ~p ∧ q. e) p ∧ ~q. 52. A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é: a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá. d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá. 53. A negação de “O gato mia e o rato chia” é: a) “O gato não mia e o rato não chia”. b) “O gato mia ou o rato chia”. c) “O gato não mia ou o rato não chia”. d) “O gato e o rato não chiam nem miam”. 54. A negação de “x ≥ -2” é: a) x ≥ 2. b) x ≤ -2. c) x < -2. d) x ≤ 2.


59

4. Negações – Prática e Simbologia Revisão: A negação do ∧ é ∨. A negação do ∨ é ∧.

Raciocínio Lógico

55. (Fiocruz/2010 – FGV) A negação lógica da sentença “Se não há higiene então não há saúde” é: a) Se há higiene então há saúde. b) Não há higiene e há saúde. c) Há higiene e não há saúde. d) Não há higiene ou não há saúde. e) Se há saúde então há higiene. 56. (UnB – Analista – TRT – 1ª R./2008) Proposições compostas são denominadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos V ou F, para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples que as compõem. Assinale a opção correspondente à proposição equivalente a “¬[[A ∧ (¬B)]→C]”. a) A ∧ (¬B) ∧ (¬C) b) (¬A) ∨ (¬B) ∨ C c) C→[A ∧ (¬B)] d) (¬A) ∨ B ∨ C e) [(¬A) ∧ B] → (¬C) 57. (Fiscal do Trabalho/1998) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 58. (Esaf – Analista – MPOG/2008) Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que: a) X ≠ B e Y ≠ D. b) X = B ou Y ≠ D. c) X ≠ B ou Y ≠ D. d) Se X ≠ B, então Y ≠ D. e) Se X ≠ B, então Y = D.


60 A negação de uma condicional é: Afirmar a “ideia” e negar a “conclusão”. 1. ¬[A∨B] = (¬A) ∧ (¬B). 2. ¬[A ∧ B] = (¬A) ∨ (¬B). 3. ¬[A → B] =A ∧ (¬B). 4. ¬[(A∨B) →C] =(A∨B) ∧ (¬C). A: Hoje é terça-feira; B: Valéria é feliz; C: Está chovendo. (A∨B) → C = Se hoje é terça-feira ou Valéria é feliz, então está chovendo. (A∨B) ∧ (¬C) = Hoje é terça-feira ou Valéria é feliz e não está chovendo. 5. ¬[A →(B∨C)] = Reafirma A e nega B ou C: A ∧ [(¬B) ∧ (¬C)]. 6. ¬[(A → B) → (B∨C)] = Repete a ideia e nega a conclusão: (A→B) ∧ [(¬B) ∧ (¬C)]. 7. ¬[(A∨B) ∧ (C → D)] =[(¬A) ∧ (¬B)] ∨ [C ∧ (¬D)].

5. Simbologia das Negações 8. ¬[(¬A) → (B∧C)] = (¬A) ∧ (¬B) ∨ (¬C). 9. ¬[(A → B) ∨ (B → C)] = [A ∧ (¬B)] ∧ [B ∧ (¬C)]. 10. ¬[(A →B) ∧ (C → (¬D))] = [A ∧ (¬B)] ∨ [C ∧ D]. 11. ¬[¬(A → B) → ((¬B)∧(¬C))] = Repete ∧ Nega [¬(A → B)]∧[ B ∨ C ] ou [A ∧ (¬B)]∧[ B ∨ C ]. 12. ¬[(A → B) → (B → C)] = Repete ∧ Nega (A → B) ∧ [ (B ∧ (¬C)].

6. Questões de Concurso

Raciocínio Lógico

Exercícios 59. Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.


61 60. A negação da afirmação condicional “se Ana viajar, Paulo vai viajar” é: a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) Se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e) Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 61. Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 62. A negação de “Não é verdade que não irei ao cinema ou ao teatro”, é: a) Irei ao cinema e ao teatro. b) Irei ao cinema ou ao teatro. c) Não irei ao cinema e não irei ao teatro. d) Não irei ao cinema ou não irei ao teatro. e) Não irei ao cinema ou irei ao teatro.

7. Uso de Diagramas 63. Se Fuinha é culpado, então Beraldo é culpado. Se Fuinha é inocente, então ou Beraldo é culpado, ou Rapadura é culpado, ou ambos, Beraldo e Rapadura, são culpados. Se Rapadura é inocente, então Beraldo é inocente. Se Rapadura é culpado, então Fuinha é culpado. Logo, a) Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado. b) Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é inocente. c) Fuinha é inocente, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado. d) Fuinha é culpado, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente. e) Fuinha é inocente, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente. 64. Ou PLOG = BLOG, ou CLOG = DLOG, ou EGLE = FLOG. Se GLOG = HUGLI, então EGLE = FLOG. Se CLOG = DLOG, então GLOG = HUGLI. Ora, EGLE ≠ FLOG, então: a) CLOG = DLOG ou GLOG = HUGLI. b) PLOG ≠ BLOG e CLOG ≠ DLOG. c) CLOG ≠ DLOG e GLOG = HUGLI. d) PLOG = BLOG e CLOG ≠ DLOG. e) CLOG = DLOG ou PLOG ≠ BLOG.

Raciocínio Lógico

Exercícios


62

8. Diagramas Vejamos agora outro tipo de raciocínio.

Raciocínio Lógico

Exercícios 65. Se Valéria não fala italiano, então Marcelo fala alemão. Se Valéria fala italiano, então ou Vinícius fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. Mas Leonardo fala espanhol se e somente se não for verdade que Juliana não fala francês. Ora, Juliana não fala francês e Vinícius não fala chinês. Logo, a) Valéria não fala italiano e Nestor não fala dinamarquês. b) Vinícius não fala chinês e Nestor fala dinamarquês. c) Juliana não fala francês e Leonardo fala espanhol. d) Marcelo não fala alemão ou Valéria fala italiano. e) Marcelo fala alemão e Nestor fala dinamarquês. 66. No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Davidson dança, o grupo de Davidson é aplaudido de pé. Sabe-se, também, que, aos domingos, ou Diofanto vai ao parque ou vai pescar na praia. Sempre que Diofanto vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa, e sempre que Diofanto vai ao parque, Davidson dança. Então, no último domingo: a) Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson foi aplaudido de pé. b) O grupo de Davidson não foi aplaudido de pé e Diofanto não foi pescar na praia. c) Davidson não dançou e o grupo de Davidson foi aplaudido de pé. d) Davidson dançou e seu grupo foi aplaudido de pé. e) Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson não foi aplaudido de pé. 67. Ou Lógica é fácil, ou Aramis não gosta de Lógica. Por outro lado, se Direito não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Aramis gosta de Lógica, então: a) Se Direito é difícil, então Lógica é difícil. b) Lógica é fácil e Direito é difícil. c) Lógica é fácil e Direito é fácil. d) Lógica é difícil e Direito é difícil. e) Lógica é difícil ou Direito é fácil. 68. (Concurso UFMG. – Tec. Administrativo – Fundep/2010) Considere as proposições dadas abaixo:


63 A: 2 + 2 = 4. B: Nem sempre a semana tem 7 dias. C: A palavra azul não começa com a letra a. Considere as expressões: X = (~A) ∧ (~B) ∧ (~C) Y = (~A) ∨ (~B) ∨ (~C) Z = A∨B ∨ C Dados: X, Y e Z acima, pode-se afirmar que (X ∨ Y ∨ Z) e (X ∧ Y ∧ Z) resultam, respectivamente, em: a) Falso e falso. b) Verdadeiro e verdadeiro. c) Falso e verdadeiro. d) Verdadeiro e falso.

9. Bicondicional 9.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre bicondicional.

9.2 Síntese

Bicondicional

A se e somente se B

A↔B

A

B

A↔B

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F F V Bicondicional (Condição necessária) Dica: Bicondicional (condição necessária) ↔ para nós vivermos bem.

Raciocínio Lógico

Diferença entre Condição Necessária para Condição Suficiente: – Na condição suficiente há o intermediário. Todo A é B, mas nem todo B é A. – Na condição necessária não existe o intermediário. Todo A é B e todo B é A. O condicional A se e somente se B (A ↔ B) é verdadeiro somente quando A e B são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer o condicional ↔ é falso.


64 Você gosta

Ele(a) gosta

Relacionamento

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F F V A se e somente se B = A ↔ B, será verdadeira se A e B forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, caso contrário, ela será falsa. Dizemos que A é condição necessária para B e vice-versa. Por exemplo: Você vencerá se e só se você se esforçar, ou seja, só vence quem se esforça, quem esforça vence, assim esforço é condição necessária para você vencer.

Exercícios 69. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre. b) D não ocorre ou A não ocorre. c) B e A ocorrem. d) Nem B nem D ocorrem. e) B não ocorre ou A não ocorre.

10. Bicondicional – Foco em Diagramas

Raciocínio Lógico

Exercícios 70. (Esaf – ACE – TCU/2002) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu, logo: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.


65 d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

11. Valorização Lógica Exercícios 71. Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição. Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões A∨B e ¬A sejam proposições compostas. A proposição A∨B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir: ( ) (UnB – Agente – MPE – AM/2008) Se a proposição A for F e a proposição (¬A)∨B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é V. (¬A) ∨ B. V ∨ ? = V. 72. (UnB – Agente – MPE – AM/2008) Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a proposição ¬(A∨B) ∨ (A∨B) é sempre V. 73. (UnB – Agente – MPE – AM/2008) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.

12. Questões de Concurso – Valoração da Prova

74. (UnB – Agente – PF – Reg./2004) Considere as sentenças abaixo: I – Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II – Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III – Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV – Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V – Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.

Raciocínio Lógico

Exercício


66 Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir: P

Fumar deve ser proibido.

Q

Fumar deve ser encorajado.

R

Fumar não faz bem à saúde.

Raciocínio Lógico

T Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes: ( ) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T). ( ) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R). ( ) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. () A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P. () A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).


Capítulo 5

Valores Lógicos

1. Valores Lógicos – I 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre valores lógicos.

1.2 Síntese Valoração lógica em linguagem corrente Para trabalharmos com valores lógicos na linguagem corrente, basta substituirmos as proposições simples por letras do alfabeto e os conectivos por seus respectivos símbolos. Então, a frase: Maria é alta e Joana é magra, pode ser representada por A ∧ B e assim por diante. Por exemplo: Maria é alta e Joana é magra.


68 A: Maria é alta. B: Joana é alta.

Exercícios Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes. 75. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples. 76. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. 77. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”. 78. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta. 79. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. 80. (UnB – Analista – SEBRAE/2008) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”. Proposição

Equivalente da Negação

Todo A é B

Algum A não é B

Algum A é B

Nenhum A é B

81. (NCE – Téc. – MAPA/2005) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é: a) Me caso e não compro sorvete. b) Não me caso ou não compro sorvete. c) Não me caso e não compro sorvete. d) Não me caso ou compro sorvete. e) Se me casar, não compro sorvete.

Raciocínio Lógico

2. Valores Lógicos – II Dentro do quadro de dicas destacaremos: A e B = A ∧ B → só será verdadeira se A e B forem verdadeiras, caso contrário será sempre falsa. A ou B = A ∨ B → só será falsa se A e B forem falsas, caso contrário será sempre verdadeira. Se A então B = A → B , só será falsa Se A for verdadeira e B for falsa, ou seja, No Valéria Falou tá Falado. Por exemplo:


69 Se sou botafoguense, então você será reprovado, é falsa, pois, Valéria Falou tá Falado e você será aprovado. Se o gato late, então o cachorro mia, é verdadeiro, pois falso implica em falso. Dizemos que A é condição suficiente para que B aconteça. A se e somente se B = A ↔ B, será verdadeira se A e B forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, caso contrário, ela será falsa. Dizemos que A é condição necessária para Be vice-versa. Por exemplo: Você vencerá se e só se você se esforçar, ou seja, só vence quem se esforça, quem se esforça vence, assim, esforço é condição necessária para você vencer.

Exercícios 82. (UnB – Agente – PF/2004) Se as proposições P e Q são verdadeiras, então a proposição (¬P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira. 83. (UnB – Agente – PF/2004) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa. 84. (UnB – Agente – PF/2004) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira. 85. (NCE – Cont. – Radiobras/2004) Se não é verdade que todas as pessoas que consomem sal terão hipertensão, então: a) As pessoas que consomem sal não terão hipertensão. b) As pessoas que não consomem sal terão hipertensão. c) Há pelo menos uma pessoa que consome sal e não terá hipertensão. d) Há pessoas que consomem sal e terão hipertensão. e) As pessoas que não consomem sal não terão hipertensão. 86. (Fiscal do Trabalho/1998) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim é florido e o gato mia. b) O jardim é florido e o gato não mia. c) O jardim não é florido e o gato mia. d) O jardim não é florido e o gato não mia. e) Se o passarinho canta, então o gato não mia.

Questão de concurso (Cespe) Texto I – para as questões de 87 a 88 Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa — F —, mas não V e F simultaneamente. Proposições simples são simbolizadas por letras maiúsculas A, B, C etc., chamadas letras proposicionais.

Raciocínio Lógico

3. Valores Lógicos – III


70 São proposições compostas expressões da forma A ∨ B, que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V; A∧B, que é lida como “A e B” e tem valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F; ¬A, que é a negação de A e tem valores lógicos contrários aos de A.

Exercícios 87. Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição composta que tem sempre valor lógico F. a) [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∨ B]. b) (A ∨ B) ∨ [(¬A) ∧ (¬B)]. c) [A ∧ (¬B)] ∨ (A ∧ B). d) [A ∧ (¬B)] ∨ A. e) A ∧ [(¬B) ∨ A]. 88. Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem exatamente 2 valores lógicos F e 2 valores lógicos V, para todas as possíveis atribuições de valores lógicos V ou F para as proposições A e B. a) B ∨ (¬A). b) ¬(A ∧ B). c) ¬[(¬A) ∧ (¬B)]. d) [(¬A) ∨ (¬B)] ∧ (A ∧ B). e) [(¬A) ∨ B] ∧ [(¬B) ∨ A].

4. Resolução de Questões

Raciocínio Lógico

Exercícios 89. (UnB – Analista – TRT – 1ª R./2008) Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por ¬[P→(¬Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por: a) (¬P) ∨ Q. b) (¬Q) → P. c) ¬[(¬P) ∧ (¬Q)]. d) ¬[¬(P → Q)]. e) P ∧ Q.


71

P

Q

R

P∧R

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

V F F F F

F V V F F

F V F V F

F F F F F

V F V F V

Raciocínio Lógico

90. (UnB – Analista – TRT– 1ª R./2008) Considerando as definições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição. a) ¬(A ∧ B). b) (¬A) ∨ (¬B). c) (¬A) ∧ (¬B). d) (¬A) → B. e) ¬[A ∨ (¬B)]. 91. (UnB – Analista – TRT – 1ª R./2008) Proposições compostas são denominadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos V ou F, para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples que as compõem. Então, é correto dizer que a proposição equivalente a “¬[[A ∧ (¬B)]→C]” é “A ∧ (¬B) ∧ (¬C)”. 92. Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “∨”, “∧”, “→” e “¬” representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras – V – ou como falsas – F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados à lógica proposicional. ( ) (UnB – Téc. – STF/2008) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P∧R) → Q.


Capítulo 6

Cálculo Proposicional

1. Proposições Relacionadas 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre cálculo proposicional.

1.2 Síntese O uso dos diagramas na lógica transforma a linguagem corrente em simples gráficos envolvendo uma simbologia básica e clara. Apenas operando com os conectivos lógicos conseguimos através destes diferenciar condição suficiente de necessária; negações e condicionais, assim como o uso da conjunção e da disjunção.


73

Considerações:

Dica: Na frase: Se A então B , temos que A é condição suficiente para que B aconteça, mas não vice-versa. Na frase: A se e somente se B, A é condição necessária para que B aconteça e vice-versa. Recordando negação:

Exercícios 93. (UnB – Téc. – Seger – ES/2006) A proposição “O estado do Espírito Santo não é produtor de petróleo ou Guarapari não tem lindas praias”

Raciocínio Lógico

Proposição Equivalente da Negação AeB Não A ou não B A ou B Não A e não B *Se A então B A e não B **A se e somente se B (↔) (A e não B) ou (B e não A) Todo A é B Algum A não é B Algum A é B Nenhum A é B Obs.: Para negar o todo, basta ter uma exceção. Obs.: Para negar algum, deve-se negar o todo.


74 corresponde à negação da proposição “O estado do Espírito Santo é produtor de petróleo e Guarapari tem lindas praias.” 94. (UnB – Téc. – STF/2008) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (¬P) ∨ (Q → R). P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

¬P

Q→R V F V V V V V V

2. Diagramação dos Valores Lógicos 2.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre diagramação dos valores lógicos.

2.2 Síntese

Raciocínio Lógico

O uso dos diagramas na lógica transforma a linguagem corrente em simples gráficos envolvendo uma simbologia básica e clara. Apenas operando com os conectivos lógicos conseguimos através destes diferenciar condição suficiente de necessária; negações e condicionais, assim como o uso da conjunção e da disjunção.


75 Considerações:

Dica: Na frase: Se A então B , temos que A é condição suficiente para que B aconteça, mas não vice-versa. Na frase: A se e somente se B, A é condição necessária para que B aconteça e vice-versa. Termo Intermediário Em uma proposição composta condicional, temos a ideia e a conclusão, sabendo que ela só será falsa se a “ideia” for verdadeira e a “conclusão” for falsa, assim sendo, sabemos que: 1) Se a ideia é verdadeira e a conclusão é verdadeira, a resposta será verdadeira; “Se eu tenho lá dentro, então eu tenho lá fora.” 2) Se a conclusão é falsa e a ideia é falsa, a resposta será verdadeira. “Se negamos lá fora, então negamos lá dentro.” 3) Se negamos a ideia, não necessariamente negamos a conclusão, ou seja, podemos não ter a hipótese, mas mesmo assim chegamos à conclusão, que foi denominada: “Sujeito Intermediário”. “Está fora lá de dentro e dentro lá de fora”. Veja o diagrama:

Exercício 95. (Esaf – Ministério do Turismo/2008) ou A=B, C=D, ou E=F. Se G=H, então E=F.

Raciocínio Lógico

Em uma condicional podemos não ter a ideia, mas chegar à conclusão, termo intermediário.


76 Se C=D, então G=H. Ora, E≠F. Então: a) C = D ou G = H. b) A ≠ B e C ≠ D. c) C ≠ D e G = H. d) A = B e C ≠ D. e) C = D ou A ≠ B.

3. Diagramação do Termo Intermediário VILA 51 à HOMEM IDEAL

Exercícios

Raciocínio Lógico

96. (Anpad) Numa Vila afastada, chamada Vila 51, tem-se que “se um homem não é inteligente, então é bonito” e que “se é inteligente, então é preguiçoso”. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que: a) Homens inteligentes não são bonitos. b) Homens que não são bonitos não são inteligentes. c) Homens bonitos são preguiçosos. d) Homens que não são bonitos são preguiçosos. e) Homens bonitos não são inteligentes. Obs.: Para resolver essa questão deve-se observar as premissas do diagrama exposto abaixo: Comentário:

O X é o sujeito intermediário. O X “Está fora lá de dentro e dentro lá de fora”. – Se eu tenho lá dentro, eu tenho lá fora. (condição suficiente). – Se eu nego lá fora, eu nego lá dentro. (equivalência). – Se eu nego lá dentro, não necessariamente eu nego lá fora. (intermediário).


77 97. Marcelo não ir ao México é condição necessária para Stella ir à Suécia. Heberth não ir à Holanda é condição suficiente para Marcelo ir ao México. Stella não ir à Suécia é condição suficiente para Marcelo não ir ao México. Heberth ir à Holanda é condição suficiente para Stella ir à Suécia. Portanto: a) Heberth não vai à Holanda, Marcelo não vai ao México, Stella não vai à Suécia. b) Heberth vai à Holanda, Marcelo vai ao México, Stella não vai à Suécia. c) Heberth não vai à Holanda, Marcelo vai ao México, Stella não vai à Suécia. d) Heberth vai à Holanda, Marcelo não vai ao México, Stella vai à Suécia. e) Heberth vai à Holanda, Marcelo não vai ao México, Stella não vai à Suécia.

4. Equivalências 4.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos as relações de equivalência.

4.2 Síntese

P

Q

PQ

~Q

~P

~Q~P

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

Raciocínio Lógico

Relações de equivalência são aquelas que possuem a mesma tabela-verdade (possuem o mesmo valor lógico). Quando p é equivalente a q, indicamos: p ↔ q. Obs.: − Notemos que p equivale a q quando o condicional p « q é verdadeiro. − Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência. − Hipótese ↔ tese. (P  Q) ↔ (~Q  ~P)


78 Exemplo – Negação de uma condicional: = ~[(P∧Q)  R] ↔ (P ∧ Q ∧ ~R). Ou seja, afirma-se a ideia “(P∧Q)” e (∧) nega-se a conclusão (~R). Obs.: Equivalências que mais caem em prova. − AB é equivalente a ~B~A (Nego lá fora, nego lá dentro). – AB é equivalente a ~A ∨ B (Nego a primeira ou afirmo a segunda).

Exercícios 98. Duas grandezas “x” e “y” são tais que “se x = 3, então, y = 7”. Pode-se concluir que: a) Se x ≠ 3, então y ≠ 7. b) Se y = 7, então x = 3. c) Se y ≠ 7, então x ≠ 3. d) Se x = 5, então y = 5. e) Nenhuma das conclusões acima é válida. 99. Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então Z é W” é: a) X é Y ou Z é W. b) X é Y ou Z não é W. c) Se Z é W, X é Y. d) Se X não é Y, então Z não é W. e) Se Z não é W, então X não é Y.

5. Tabelas de Equivalência Exercício 100. A proposição p  ~q é equivalente a: a) p ∨ q. b) p ∨ ~q. c) ~p  q. d) ~q  p. e) ~p ∨ ~q.

Raciocínio Lógico

6. Proposições Logicamente Equivalentes 6.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos as proposições logicamente equivalentes.


79

6.2 Síntese Proposições logicamente equivalentes 1. (A ∧ V) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C). 2. (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C). 3. A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). 4. A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Lei de Morgan (Aplicável somente para conjunções e disjunções)

5. ~ ~ A ↔ A. 6. A à B ↔ ~A v B. 7. A à B ↔ ~B à ~A. Observação – Cuidado A à (B ∨ C) ≠ (A à B) ∨ (A à C). A à (B à C) ≠ (A à B) à C. (A ∧ B) à C ≠ (A ∧ C) à (B ∧ C).

Exercício

A

B

A∧B

A∨B

AàB

A↔B

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

Raciocínio Lógico

101. (Esaf) Uma equivalência da proposição: “Se Melício joga futebol, então, Thábata toca violino” é: a) Melício joga futebol se, e somente se, Thábata toca violino. b) Se Melício não joga futebol, então, Thábata não toca violino. c) Se Thábata não toca violino, então, Melício não joga futebol. d) Se Thábata toca violino, então, Melício joga futebol. e) Se Melício toca violino, então Thábata joga futebol. Obs.: Atenção: − ~ (A ∧ B) = (~A) ∨ (~B). − ~ (A à B) = A ∧ (~B). − A à B = ~A ∨ B. − A à B = (~B) à (~A). Tabela Base


80

7. Questões de Concurso – Equivalência Lógica – Simbólico

Raciocínio Lógico

Exercícios 102. (Cespe/UnB – PF/2004) Texto para os três itens seguintes. Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por PQ, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por PQ, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por PQ, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬ P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F, associadas a essa proposição. A partir das informações do texto acima, julgue o item subsequente. ( ) As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ¬ P são iguais. 103. (Cespe/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬ R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira ( ou ¬ R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue os itens que se seguem. ( ) De acordo com a regra da contradição, P → Q é verdadeira quando ao supor P ∧ (¬ Q) verdadeira, obtém-se uma contradição. 104. (Cespe/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬ R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou ¬ R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item que se segue. ( ) As proposições (P ∨ Q) → S e(P → S) ∨ (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.


81

Raciocínio Lógico

105. A proposição ¬(p → ¬r) → q ∧ r é falsa, se: a) p e q são verdadeiras e r é falsa. b) p,q e r são verdadeiras. c) p e q são falsas e r é verdadeira. d) p,q e r são falsas. e) p e r são verdadeiras e q é falsa.


Capítulo 7

Argumentos

1. Tautologia 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre tautologia.

1.2 Síntese Tautologias são formas proposicionais cujos exemplos de substituição são sempre proposições verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Exemplo 1: ~(A∧B) ↔ (~A ∨ ~B) é uma tautologia pois: A V V F F

B V F V F

A∧B V F F F

~(A∧B) F V V V

~A F F V V

~B F V F V

~A∨~B ~(A∧B)↔(~A∨~B) F V V V V V V V


83 Exemplo 2: (A∧B) → (A ↔ B) é uma tautologia pois: A V V F F

B V F V F

A∧B V F F F

A↔B V F F V

(A∧B) →( A ↔ B) V V V V

2. Tautologia e Redundância Exemplo: Chama-se tautologia à toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. Comentário: − A  ( A ∨ B) − A  (A ∧ B) − (A ∨ B)  B − (A ∨ B)  (A ∧ B) − [A ∨ (~A)]  B A V V F F

B V F V F

A∨B V V V F

A  (A ∨ B) V V V V

106. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? a) p ∨ q. b) p ∧~ q. c) (p ∨ q) → (~ p ∧ q). d) (p ∨ q) → (p ∧ q). e) (p ∧ q) → (p ∨ q).

Raciocínio Lógico

Exercício


84

3. Redundâncias e Contradição 3.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre contradição.

3.2 Síntese Contradições São formas proposicionais cujos exemplos de substituição são sempre proposições falsas, independente dos valores lógicos das proposições simples que as contém. ‘‘A negação de uma tautologia é sempre uma contradição, enquanto, a negação de uma contradição é sempre uma tautologia.’’ (A∧B) ∧ [~(A↔B)]: A

B

A∧B

A↔B

~(A↔B)

(A∧B)∧[~(A↔B)]

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

V

F

F

V

F

F F F V F F • Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.

Raciocínio Lógico

Exercício 107. Se Ana diz a verdade, Beto também fala a verdade, caso contrário, Beto pode dizer a verdade ou mentir. Se Cléo mentir, David dirá a verdade, caso contrário, ele mentirá. Beto e Cléo dizem ambos a verdade, ou ambos mentem. Ana, Beto, Cléo e David responderam, nessa ordem, se há ou não um cachorro em uma sala. Se há um cachorro nessa sala, uma possibilidade de resposta de Ana, Beto, Cléo e David, nessa ordem, é: S: há cachorro na sala. N: não há cachorro na sala. a) N, N, S, N. b) N, S, N, N. c) S, N, S, N. d) S, S, S, N. e) N, N, S, S.


85

4. Charada de Einstein 4.1 Apresentação Nesta unidade, abordaremos a charada de Einstein.

4.2 Síntese

CASA 1 Amarela Norueguês Água Laranja Gatos

CASA 2 Azul Dinamarquês Chá Abacate Cavalos

CASA 3 Vermelha Inglês Leite Goiaba Pássaros

CASA 4 Verde Alemão Café Maçã Peixe

CASA 5 Branca Suíço Cerveja Abacaxi Cachorros

Raciocínio Lógico

Os enigmas lógicos são feitos e desenvolvidos visando, junto aos diagramas, o treinamento da leitura codificada em dicas dispostas em ordem aleatória para que o aluno as organize em linhas e colunas, preenchendo as tabelas ou diagramas. Dizem – não há prova disso – que o próprio Einstein bolou o enigma abaixo, em 1918, e que pouca gente, além dele, conseguiria resolvê-lo. Então, esta é a sua chance de se comparar à genialidade do mestre. Numa rua há cinco casas de cinco cores diferentes e em cada uma mora uma pessoa de uma nacionalidade. Cada morador tem sua bebida, seu tipo de fruta e seu animal de estimação. A questão é: quem é que tem um peixe? Siga as dicas abaixo: • Sabe-se que o inglês vive na casa vermelha; o suíço tem cachorros; o dinamarquês bebe chá. • A casa verde fica a esquerda da casa branca; quem come goiaba cria pássaros; o dono da casa amarela prefere laranja. • O dono da casa verde bebe café; o da casa do centro bebe leite; e o norueguês vive na primeira casa. • O homem que gosta de abacate vive ao lado do que tem gatos; o que cria cavalos vive ao lado do que come laranja; e o que adora abacaxi bebe cerveja. • O alemão só compra maçã; o norueguês vive ao lado da casa azul; e quem traz abacate da feira é vizinho do que bebe água. Resolução:


Capítulo 8

Lógica de Argumentação

1. Definição e Exemplos 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos definição e exemplos de lógica de argumentação.

1.2 Síntese Em um argumento as proposições p1, p2, .... pn são premissas e a proposição q é chamada conclusão do argumento. Nenhum homem rico é vagabundo. Todos os analistas são ricos. Portanto, nenhum analista é vagabundo. É um argumento de premissas: Nenhum homem rico é vagabundo e todos os analistas são ricos, e conclusão: Nenhum analista é vagabundo.


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Exercício 108. Se Felipe toca violão, ele canta. Se Felipe toca piano, então ele não canta. Logo: a) Se Felipe não toca violão, então ele não toca piano. b) Se Felipe toca violão, então ele não toca piano. c) Se Felipe toca violão, então ele não canta. d) Se Felipe canta, então ele não toca violão. e) Se Felipe toca piano, então ele canta.

2. Frases Argumentativas 2.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos as frases argumentativas.

2.2 Síntese O raciocínio argumentativo consta de uma sequência ordenada e com nexo de várias proposições, mas não apenas para a abordagem de um tema. Visa provar, justificar, fornecer razões e defender um ponto de vista, buscando convencer alguém de alguma coisa nem sempre clara e evidente. De um lado, as afirmações ou negações explicam, justificam, fundamentam ou oferecem motivos ou razões constituindo as chamadas PREMISSAS; de outro, a decorrência, consequência ou resultado daquilo que foi justificado constitui as chamadas CONCLUSÕES. Premissas e conclusões estão sempre em relação de dependência. Uma não existe sem a outra e ambas juntas constituem e identificam um argumento.

109. Considere as premissas:  Paulo é cantor ou Pedro é escritor.  Se Pablo gosta de salada então Miguel não é pianista.  Se Miguel não é pianista então Pedro não é escritor.  Paulo não é cantor e Gustavo é carioca. A partir dessas premissas, é CORRETO afirmar que:

Raciocínio Lógico

Exercícios


88 a) Paulo não é cantor e Pedro não é escritor. b) Pablo gosta de salada e Gustavo é carioca. c) Pedro é escritor e Miguel é pianista. d) Paulo não é cantor e Pablo gosta de salada. 110. Considerando que alguns advogados são políticos e que não é verdade que algum escritor é político, conclui-se que: a) Nenhum advogado é escritor. b) Algum advogado não é escritor. c) Algum advogado é escritor. d) Nenhum escritor é advogado. 111. Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos matemáticos são pessoas alegres”, então, necessariamente: a) Toda pessoa alegre é matemático. b) Todo matemático é professor. c) Algum professor é uma pessoa alegre. d) Nenhuma pessoa alegre é professor. e) Nenhum professor não é alegre.

3. Questões de Prova

Raciocínio Lógico

Exercícios 112. Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: a) Todo matemático seja louco. b) Todo louco seja matemático. c) Algum louco não seja matemático. d) Algum matemático seja louco. e) Algum matemático não seja louco. 113. Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é necessário que: a) Todas as mulheres sejam boas cozinheiras. b) Algumas mulheres sejam boas cozinheiras. c) Nenhum homem seja bom cozinheiro. d) Todos os homens sejam maus cozinheiros. e) Ao menos um homem seja mau cozinheiro. 114. Julgue a proposição “Todo cristão é teísta”. Algum cristão é luterano. a) Todo teísta é luterano. b) Algum teísta é luterano.


89 c) Algum luterano não é cristão. d) Nenhum teísta é cristão. e) Nenhum luterano é teísta. 115. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira (que corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico): a) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto, Sócrates é mortal. b) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser, e todo ser é homem. c) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto, cachorros não são gatos. d) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos. e) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto, algumas cadeiras têm quatro pés.

4. Questão do TRT Exercícios (TRT/2004 – Estruturas Lógicas) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam NÃO, E e OU, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens que se seguem: 116. ( ) ¬ P ∨ Q é verdadeira. 117. ( ) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira. 118. ( ) [P ∧ ( Q ∨ S)] ∧ (¬ [(R ∨ Q) ∨ (P ∧ S)]) é verdadeira. 119. ( ) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.

5. Valores Lógicos e Cálculo Proposicional

120. (Anpad) Considere as seguintes proposições compostas: é um número irracional. I – Se 8 é um número primo, então II – Londrina é uma cidade do estado do Paraná ou São Luís é a capital de Alagoas.

Raciocínio Lógico

Exercícios


Raciocínio Lógico

90 III – Todo número divisível por 2 é um número par e 10 é um número ímpar. IV – Se a Itália é um país da América do Sul, então São Paulo é uma cidade da Europa. Os valores lógicos das proposições I, II, III e IV formam a seguinte sequência: a) V, V, F, V. b) V, V, F, F. c) F, V, F, V. d) F, F, V, F. e) V, F, V, V. 121. Sejam p: 9 + 32 = 51 q: O comprimento de uma circunferência é πr2, onde r é o raio da circunferência. Então, a proposição verdadeira é: a) ( p ∨¬q) → q. b) ¬ (p ∨ q) → q. c) (p ∧¬ q) → q. d) (¬ p ∨¬ q) → q. 122. Sejam as proposições: p: Renata é produtora. q: Renata é simpática. Então, a proposição ¬(q ∨¬p), em linguagem corrente é: a) Renata não é produtora e não é simpática. b) Renata é produtora e não é simpática. c) Renata é simpática, mas não é produtora. d) Renata não é produtora ou é simpática. e) Renata é produtora ou é simpática. 123. (UnB – Téc. Informática – SEAD/2007) Considere a proposição composta: (A ∨ B) ∨¬(A ∧ C), em que A, B e C têm os seguintes significados: A: Carla lê livros de ficção. B: Carla lê revistas de moda. C: Carla lê jornais. Assinale a opção correspondente à tradução adequada e correta para a proposição composta apresentada acima, referente a uma personagem fictícia denominada Carla, considerando-se ainda as proposições A, B e C acima definidas. a) Carla lê livros de ficção e revistas de moda, mas não lê livros de ficção ou lê jornais.


91 b) Carla lê somente livros de ficção e revistas de moda, e não lê jornais. c) Carla lê livros de ficção e revistas de moda, ou ela não lê livros de ficção e jornais. d) Carla lê livros de ficção e revistas ao mesmo tempo, e não lê livros de ficção nem jornais. 124. Considere as seguintes proposições simples: p: Galone vai ao clube. q: Jeferson é divertido. A proposição composta ¬(p ∧ ¬q), em linguagem corrente, é: a) Galone vai ao clube ou Jeferson é divertido. b) Galone vai ao clube e Jeferson é divertido. c) Galone não vai ao clube e Jeferson não é divertido. d) Galone não vai ao clube e Jeferson é divertido. e) Galone não vai ao clube ou Jeferson é divertido.

6. Cálculo Proposicional e Argumentos

125. Das seguintes premissas: P1: Joana é bonita e simpática ou Joana é alegre. P2: Joana não é alegre. Conclui-se que Joana é: a) Bonita ou simpática. b) Não bonita ou não alegre. c) Bonita e não simpática. d) Não bonita e não simpática. e) Bonita e simpática. 126. Sabe-se que se João ama Maria, então José ama Marta. Por outro lado, sabemos que José não ama Marta, e podemos concluir que: a) João e José amam Maria. b) José ama Maria e João ama Marta. c) João não ama Maria e José ama Marta. d) José não ama Marta e João não ama Maria. e) João ama Maria e José ama Marta. 127. Considerando verdadeiras as proposições “Se João cometeu um grave delito, então ele sonegou impostos” e “João não sonegou impostos”, pode-se concluir que

Raciocínio Lógico

Exercícios


92 a) João sonegou impostos. b) João cometeu um grave delito. c) João cometeu um grave delito e ele sonegou impostos. d) João não cometeu um grave delito. 128. Se Beto estuda com Maria, então Maria é aprovada nos exames. Se Maria é aprovada nos exames, então Ana é reprovada nos exames. Se Ana é reprovada nos exames, então Pedro estuda com Ana. Ora, Pedro não estuda com Ana. Logo: a) Ana não é reprovada e Maria é aprovada. b) Ana é reprovada e Maria é aprovada. c) Ana não é reprovada e Beto não estuda com Maria. d) Maria é aprovada e Beto estuda com Maria. 129. X é A, ou Y é B. Se X é A, então Z é C. Ora, Y não é B. Logo: a) X não é A. b) Z é C. c) Z não é C e X é A. d) Z não é C , ou Y é B. e) Se Z é C, então Y é B. 130. Considerando as seguintes premissas: P1: X é A e B ou X é C. P2: X não é C. Conclui-se que X é: a) A ou B. b) A e B. c) Não A ou não C. d) A e não B. e) Não A e não B. Em resumo devemos ter conhecimento da tabela-base e das equivalências. Veja a tabela de equivalências Equivalências Lógicas (Possuem a mesma tabela-verdade) 1. (A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C) 2. (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C) Raciocínio Lógico

3. A ∧ (B ∨ C) ↔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C) 4. A ∨ ( B ∧ C ) ↔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C) 5. ~~A ↔ A 6. A → B ∧ ~A ∨ B (IMPORTANTE) 7. A → B ↔ ~B → ~A (IMPORTANTE)


93 131. Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então Z é W” é: a) X é y ou Z é W. b) X é Y ou Z não é W. c) Se Z é W, X é Y. d) Se X não é Y, então Z não é W. e) Se Z não é W, então X não é Y. 132. A proposição p  ~q é equivalente a: a) p ∨ q. b) p ∨ ~q. c) ~p  q. d) ~q  p. e) ~p ∨ ~q.

7. Quantificadores

133. Todos os animais são seres vivos. Assim: a) O conjunto dos animais contém o conjunto dos seres vivos. b) O conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais. c) Todos os seres vivos são animais. d) Alguns animais não são seres vivos. e) Nenhum animal é um ser vivo. 134. Todo cavalo é um animal. Logo: a) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. b) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. c) Todo animal é cavalo. d) Nem todo cavalo é animal. e) Nenhum animal é cavalo. 135. Das afirmações: • Alguns gatos são centopeias. • Centopeias gostam de jogar xadrez. Podemos concluir que: a) Existem centopeias que não são gatos. b) Centopeias miam. c) Se João não gosta de jogar xadrez então João não é uma centopeia. d) Gatos gostam de jogar xadrez. e) Gatos têm 100 pernas.

Raciocínio Lógico

Exercícios


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Raciocínio Lógico

136. Das afirmações “todo animal roxo tem 13 pernas” e “todo unicórnio é roxo” pode-se concluir que: a) Existem unicórnios roxos. b) Não existem animais de 13 pernas. c) Todo unicórnio tem 13 pernas. d) Todos os animais de 13 pernas são unicórnios. e) Todo animal roxo é um unicórnio. 137. Se a proposição “Nenhum A é B” for verdadeira, então, também será verdade que: a) Todos não A são não B. b) Alguns não B são A. c) Nenhum A é não B. d) Nenhum B é não A. e) Nenhum não B é A. 138. São verdadeiras as seguintes afirmações: I – Todos os mô são bô. II – Todos os rê são bô. III – Alguns rê funcionam. Então, a sentença que é consequência lógica de I, II e III é: a) Alguns bô que funcionam não são rê. b) Alguns bô funcionam e alguns bô que funcionam não são rê. c) Alguns bô funcionam e nenhum mô funciona. d) Alguns mô funcionam. e) Alguns bô funcionam.


Capítulo 9

Lógica Dedutiva e Indutiva

1. Problema do Dr. House 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos lógica dedutiva e indutiva.

1.2 Síntese A lógica é um instrumento para organizar o raciocínio, portanto, não é uma forma de ampliar conhecimento. É uma forma de raciocinar, de articular o pensamento de um jeito específico: ligação de ideias, umas como premissas das outras observando as regras estabelecidas pela própria lógica (princípio da identidade; não contraditório; 3º excluído; regras de validade do silogismo categórico etc.).


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Exercícios Problema do Dr. House 139. Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. House, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco androides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. House, distraído, não ouve a resposta. Os androides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. House pôde, então, concluir corretamente que o número de androides do tipo V, naquele grupo, era igual a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 140. Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

2. Método Dedutivo

Raciocínio Lógico

Exercícios 141. Em certo planeta, todos os Aleves são Bleves, todos os Cleves são Bleves, todos os Dleves são Aleves, e todos os Cleves são Dleves. Sobre os habitantes desse planeta, é correto afirmar que: a) Todos os Dleves são Bleves e são Cleves. b) Todos os Bleves são Cleves e são Dleves.


97 c) Todos os Aleves são Cleves e são Dleves. d) Todos os Cleves são Aleves e são Bleves. e) Todos os Aleves são Dleves e alguns Aleves podem não ser Cleves. 142. Questionados sobre a falta ao trabalho no dia anterior, três funcionários do Ministério das Relações Exteriores prestaram os seguintes depoimentos: Aristeu: “Se Boris faltou, então Celimar compareceu.” Boris: “Aristeu compareceu e Celimar faltou.” Celimar: “Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois faltou.” Admitindo que os três compareceram ao trabalho em tal dia, é correto afirmar que: a) Aristeu e Boris mentiram. b) Os três depoimentos foram verdadeiros. c) Apenas Celimar mentiu. d) Apenas Aristeu falou a verdade. e) Apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade.

3. Método Indutivo

143. Três amigos: Gilberto, Glauco e Gustavo, deixaram seus veículos em um estacionamento pago. Um dos veículos era vermelho, o outro, cinza, e o terceiro, preto. O vigilante perguntou aos três rapazes quem era o proprietário de cada um dos veículos. O dono do veículo vermelho respondeu: “O veículo cinza é do Gilberto”. O proprietário do veículo cinza falou: “Eu sou Glauco”. E o do veículo preto disse: “O veículo cinza é do Gustavo”. Sabendo que Gustavo nunca diz a verdade, que Gilberto sempre diz a verdade, e que Glauco às vezes diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente de quem era cada veículo. As cores dos veículos de Gilberto, Glauco e Gustavo eram, respectivamente: a) Preta, cinza e vermelha. b) Preta, vermelha e cinza. c) Vermelha, preta e cinza. d) Vermelha, cinza e preta. e) Cinza, vermelha e preta. 144. Três amigos (João, Marcelo e Rafael) trabalham num hotel de categoria internacional, desempenhando funções diversas. Um deles é porteiro, o outro é carregador e, por fim, há um telefonista. Sabendo-se que:

Raciocínio Lógico

Exercício


98 − se Rafael é o telefonista, Marcelo é o carregador; − se Rafael é o carregador, Marcelo é o porteiro; − se Marcelo não é o telefonista, João é o carregador; − se João é o porteiro, Rafael é o carregador. Portanto, a atividade profissional de João, Marcelo e Rafael (nessa ordem), observadas as restrições acima, é: a) Porteiro, telefonista, carregador. b) Telefonista, porteiro, carregador. c) Carregador, telefonista, porteiro. d) Porteiro, carregador, telefonista. e) Carregador, porteiro, telefonista.

4. Resolução Categórica – Mentira versus Verdade e os Quatro Carros

Raciocínio Lógico

Exercícios 145. Quatro carros estão parados ao longo do meio-fio, um atrás do outro: Um Fusca atrás de outro Fusca. Um carro branco na frente de um carro prata. Um Uno na frente de um Fusca. Um carro prata atrás de um carro preto. Um carro prata na frente de um carro preto. Um Uno atrás de um Fusca. Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrás), temos, então: a) Uno branco, Fusca preto, Fusca prata e Uno prata. b) Uno preto, Fusca prata, Fusca preto e Uno branco. c) Uno branco, Fusca prata, Fusca preto e Uno Prata. d) Uno prata, Fusca preto, Fusca branco e Uno preto. e) Uno branco, Fusca prata, Uno preto e Fusca prata. 146. Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina. b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina. c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina. d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática. e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia.


99 147. Três rivais, Ana, Bia e Cláudia, trocam acusações: A Priscila mente – diz Larissa. A Débora mente – Priscila diz. Larissa e Priscila mentem – diz Débora. Com base nessas três afirmações, pode-se concluir que: a) Apenas Larissa mente. b) Apenas Débora mente. c) Apenas Priscila mente. d) Larissa e Débora mentem. e) Larissa e Priscila mentem.

5. Usando a Tabela – Problema da Vovó Vitória

148. Vovó Vitória procura saber quem comeu o bolo que havia guardado para o lanche da tarde. Joãozinho diz: 1) Não fui eu. 2) Eu nem sabia que havia um bolo. 3) Foi o Marcelo. Marcelo diz: 4) Não fui eu. 5) O Joãozinho mente quando diz que fui eu. 6) Foi o tio Rodrigo. Rodrigo diz: 7) Não fui eu. 8) Eu estava lá embaixo consertando a minha bicicleta. 9) Foi o Pedrinho. Pedrinho diz: 10) Não fui eu. 11) Eu nem estava com fome. 12) Não foi a Maria Fernanda. Maria Fernanda diz: 13) Não fui eu. 14) Eu estava com o tio Rodrigo na praia. 15) Foi o Marcelo.

Raciocínio Lógico

Exercícios


100 Vovó Vitória, que não é boba, percebe que cada um deles mentiu sobre uma única das afirmações que fez e encontrou o comilão. Quem comeu o bolo? a) Joãozinho. b) Marcelo. c) Tio Rodrigo. d) Pedrinho. e) Maria Fernanda. 149. Três colegas – João, Paulo e Pedro – estão em uma fila esperando para serem atendidos. João sempre fala a verdade, Paulo nem sempre e Pedro sempre mente. O que está na frente diz “João é quem está entre nós”. O que está no meio afirma “eu sou o Paulo”. Finalmente, o que está atrás informa “Pedro é quem está entre nós”. O primeiro, o segundo e o terceiro na fila são, respectivamente: a) João, Paulo e Pedro. b) João, Pedro e Paulo. c) Paulo, Pedro e João. d) Paulo, João e Pedro. e) Pedro, Paulo e João. 150. Três amigos – Leonardo, Esteban e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: “Esteban é casado com Teresa”. Leonardo: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Esteban é Regina”. Esteban: “Nestor e Leonardo mentiram, pois a minha esposa é Sandra”. Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Leonardo, Esteban e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina. b) Sandra, Regina, Teresa. c) Regina, Sandra, Teresa. d) Teresa, Regina, Sandra. e) Teresa, Sandra, Regina.

Raciocínio Lógico

6. Dedução e Indução Usando Exclusividade Exercícios 151. Ramirez aprontou uma baita confusão: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Júlio, Márcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de


101

Raciocínio Lógico

aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio. Portanto: a) Quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio. b) Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio. c) Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto. d) Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto. e) O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio. 152. Quatro motos de marcas diferentes, Yamaha, Suzuki,Kawasaky e Honda, não necessariamente nessa ordem, formam uma fila. A moto que está imediatamente antes da moto Kawasaky é menos veloz do que a que está imediatamente depois da moto Kawasaky. A moto Suzuki é a menos veloz de todas e está depois da moto Kawasaky. A moto Yamaha está depois da moto Honda. As marcas da primeira e da segunda moto da fila são, respectivamente: a) Yamaha e Suzuki. b) Honda e Kawasaky. c) Kawasaky e Suzuki. d) Suzuki e Honda. e) Honda e Yamaha. 153. (FGV) Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não políticos. Todos os políticos sempre mentem e todos os não políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito. O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é realmente um político. Quantos dos 3 nativos, são políticos? a) Zero. b) Um. c) Dois. d) NDA.


Capítulo 10

Análise Combinatória

1. Introdução – Análise Combinatória 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos análise combinatória.

1.2 Síntese Análise Combinatória é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los. A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas etc. Fatorial Definição: n! = n (n -1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1 para n ∈ N e n ≥ 1


103 O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial. Ex.: 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 6 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Convenção: 0! = 1.1! = 1 Observação: n! = n (n - 1)! Ex.: 8! = 8 x 7! 10! =10 x 9! 100! = 100 x 99 x 98! 98! 98! PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM

Exercícios 154. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir? A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira camisa poderá escolher uma das quatro saias. 155. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas (a, b, c) onde a ∈ {C,K}, b ∈ {C,K} e c ∈ {C,K}, logo, o resultado procurado é: 2 x 2 x 2 = 8

2. Princípio Fundamental de Contagem

156. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)? 157. E se fossem com algarismos distintos? 158. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?

Raciocínio Lógico

Exercício


104 159. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º , 2º e 3º lugares? 160. De quantas maneiras podemos distribuir aleatoriamente, três bonés, quatro réguas e cinco canetas entre Henrique e Salgado?

3. Método de Pensamento da Análise Combinatória Exercício 161. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.

4. PFC: Método

Raciocínio Lógico

Exercícios 162. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? 163. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido? 164. (Esaf/TFC – 02) Em um campeonato participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter classificação para os três lugares a) 240. b) 270. c) 420. d) 720. e) 740. 165. Juliana Godoy possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Valéria Lanna pede emprestado à Juliana Godoy quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Juliana Godoy retira do closed quatro caixas


105 de sapatos. O número de retiradas possíveis que Juliana Godoy pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) 681.384. b) 382.426. c) 43.262. d) 7.488. e) 2.120.

5. Tabuleiro de Xadrez Exercícios 166. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas? 167. Um tabuleiro especial de xadrez possui 64 casas dispostas em 8 linhas e 8 colunas. Um jogador deseja colocar 8 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 8 peças poderão ser colocadas? 168. Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F.

6. Uso do e/ou

169. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor? 170. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor, duas faces consecutivas não podem ser da mesma cor.

Raciocínio Lógico

Exercícios


106 171. (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a: a) 9. b) 15. c) 20. d) 24. e) 30. 172. Observe o diagrama

O número de ligações distintas entre X e Z é: a) 39. b) 41. c) 35. d) 45.

7. Anagramas

Raciocínio Lógico

Exercícios 173. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a: a) 10. b) 20. c) 48. d) 52. e) 100. 174. Duas das 50 cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher 2 das 50 cadeiras, para ocupá-las, é: a) 1.225. b) 2.450.


107 c) 250. d) 49! Anagramas O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema. 175. Com relação à palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: a) No total? b) Começados por BR? c) Começando por vogal e terminando em consoante?

8. Anagrama – Questão de Cinema – I (PF/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes. 176. (UnB – Agente – PF/2004) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 × 10!. 177. (UnB – Agente – PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30. 178. (UnB – Agente – PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6. 179. (UnB – Agente – PF/2004) “O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! × 8!.

Raciocínio Lógico

Exercício


108 180. De quantos modos podemos ordenar 3 livros de Lógica, 3 de Direito, 2 de Filosofia Oriental e 2 de Português, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem?

9. Anagrama – Questão de Cinema – II Exercícios 181. Comrelação à palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: a) Com as letras BR juntas nesta ordem? b) Com as letras BR juntas em qualquer ordem? 182. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2. b) 4. c) 24. d) 48. e) 120. 183. Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA? 184. E com a palavra ITATIAIA? 185. E com a palavra APROVADO? 186. Se uma pessoa gasta exatamente 1 hora para escrever cada grupo de 672 anagramas da palavra PARAGUAI, quanto tempo levará para escrever todos, se houver um intervalo de 30 minutos entre um grupo e outro, para descansar?

10. Anagrama – Outras Aplicações

Raciocínio Lógico

Exercícios 187. (BB/2007) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.


109 188. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas sequências de cores podemos observar? 189. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirige-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é, movendo-se da esquerda para a direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?

190. O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra PAPILOSCOPISTA é:

11. Comissões

191. Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa? a) 120. b) 210. c) 720. d) 4.050. e) 5.040. 192. O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre: a) 15.000.000 e 25.000.000. b) 25.000.000 e 35.000.000. c) 35.000.000 e 45.000.000. d) 45.000.000 e 55.000.000. 193. Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é: a) 12. b) 42.

Raciocínio Lógico

Exercício


110 c) 160. d) 1.120. e) 1.200. 194. Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a: a) 55. b) 65. c) 110. d) 121. 195. Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é: a) 35. b) 38. c) 40. d) 42.

12. Problema da Lâmpada

Raciocínio Lógico

Exercícios 196. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente? a) 120. b) 240. c) 14.400. d) 86.400. e) 3.608.800. 197. Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é: a) 63. b) 79. c) 127.


111 d) 182. e) 201.

13. Agrupamento de Pessoas

198. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é: a) 16. b) 64. c) 30. d) 8. e) 36. 199. Um sinal de trânsito sonoro pode ser composto, no máximo, por 3 silvos. Um silvo pode ser breve ou longo. 200. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é: a) 45. b) 90. c) 1.022. d) 101. 201. (BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70. 202. A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70.

Raciocínio Lógico

Exercícios


112 b) 35. c) 45. d) 55.

14. Questão da Lanchonete Considere agora a equação: x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande, e corremos o risco de esquecer alguma solução. Resolução: Temos de dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero. Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:

Raciocínio Lógico

Logo teremos uma permutação com elementos repetidos (como em ARARA), 9!  36 assim: 7!2! Resposta: Portanto, existem 36 soluções inteiras positivas para a equação. Questão da Lanchonete Fui à lanchonete do Seu Fausto e pedi 10 refrigerantes para levar para a equipe de filmagem. Ele disse que tinha: Coca, Fanta, Sprite e Guaraná. De quantas maneiras distintas posso fazer o pedido? Comentário: 10 Posso pedir tudo de um único sabor ou dois, ou três ou quatro sabores. Por exemplo: 03 cocas, 03 fantas, 02 sprites e 02 guaranás. 05 cocas, 0 fantas, 05 sprites e 0 guaranás. Traduzindo para o macete acima: C + F + S + G = 10. ◊ ◊ ◊| ◊ ◊ ◊| ◊ ◊| ◊ ◊ = BBBTBBBTBBTBB, resumindo anagrama com repetição ou macete da ARARA, logo teremos:

13! 13.12.11.10! � � 2�� 10! .3! 10! .3.2.1


Capítulo 11

Probabilidade

1. Definição e Problema da Moeda 1.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre probabilidades.

1.2 Síntese A probabilidade está associada ao estudo da Genética (exemplo visto anteriormente); jogos de azar; estatísticas etc. Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades, em sua obra “Doutrina das Probabilidades”, publicada em 1718, ele apresenta mais de 50 problemas, além da lei dos erros ou curvas de distribuição. Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores


114 relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras. O ponto central em todas as situações em que usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. Espaço Amostral Chamamos de espaço amostral (S) um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Chama-se Evento (E) todo subconjunto de (S), associado a um experimento aleatório qualquer. Probabilidade de um Evento Elementar Vejamos as situações seguintes: 1. Lançamento de uma moeda e observação da face superior. Seja S = {k, c} o espaço amostral, onde c representa “cara” e k, “coroa”. Os números ½ e ½ podem representar as chances de ocorrência dos eventos elementares {k} e {c}. É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em aproximadamente metade deles ocorra cara e na outra metade ocorra coroa. Indicamos então: PK = ½ e PC = ½. Generalizando, sendo S = {e1, e2, e3, . . ., en}, Um espaço amostral finito, a cada evento elementar {e1} associamos um número real p({ei}), chamado probabilidade do evento elementar {ei}, que satisfaz as seguintes condições: ⇒ p({ei}) é um número não negativo: p({ei}) ≥ 0; ⇒ A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é 1: p({e1}) + p({e2}) +. . . + p({en}) = 1 Consequentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos: 0  pei   1

Raciocínio Lógico

Exercícios Probabilidade de um evento qualquer 203. No lançamento de uma moeda defeituosa, qual a probabilidade de sair cara, sabendo-se que esta é o dobro da probabilidade de sair coroa? 204. Ainda no exemplo anterior, se jogássemos 3 vezes consecutivas este dado, qual a probabilidade de sair 2 caras e 1 coroa?


115

2. Eventos Complementares e Exclusivos Exemplo: No lançamento de um dado honesto, o evento número ímpar {1, 3, 5} é o evento complementar do evento número par{2, 4, 6}. Então: E = {2, 4, 6} = {1, 3, 5} Eventos Mutuamente Exclusivos Os eventos exclusivos jamais ocorrem simultaneamente. Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3, 6} são mutuamente exclusivos porque jamais ocorrem simultaneamente. Probabilidades Amostrais Equiprováveis Um espaço amostral é chamado equiprovável quando seus eventos elementares têm iguais probabilidades de ocorrência. Observamos a seguinte situação: No lançamento de um dado não viciado e observação da face superior, temos as seguintes possibilidades: Como o dado não é viciado, consideramos essas possibilidades equiprováveis, ou seja, têm a mesma probabilidade de ocorrer. Utilizando um raciocínio semelhante ao de Fermat, observamos que temos uma possibilidade favorável de que ocorra o evento desejado. Por exemplo, o aparecimento do número 5 na face superior do dado – num total de 6 possibilidades. Diremos então que a probabilidade de que o referido evento ocorra é 1/6.

3. Probabilidade – Conceito 3.1 Apresentação Nesta unidade, veremos o conceito de probabilidade.

3.2 Síntese

P(E) =

número de possibilidades favoráveis Número total de possibilidades

Ex.:Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que:

Raciocínio Lógico

Generalizando, se num fenômeno aleatório as possibilidades são equiprováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por p(E), será dada por:


116 210 pessoas compram o produto A; 210 pessoas compram o produto B; 250 pessoas compram o produto C; 20 pessoas compram os 3 produtos; 100 pessoas não compram nenhum dos 3; 60 pessoas compram os produtos A e B; 70 pessoas compram os produtos A e C; 50 pessoas compram os produtos B e C. Solução: Primeiro, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:

Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados.

Exercícios 205. Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja: a) Consumidora de apenas um dos produtos? b) Consumidora de, no mínimo, dois produtos? c) Sabendo que a pessoa sorteada consome C, qual a probabilidade dela também consumir B? 206. A probabilidade de ocorrer um evento A é 1/3, a probabilidade de ocorrer um evento B é ½ e a probabilidade de ocorrer ambos é ¼. PA = 1/3 PB = ½ P(A e B) = ¼

Raciocínio Lógico

4. Probabilidade Condicional 4.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre probabilidade condicional.


117

4.2 Síntese Probabilidade Condicional Analisemos a seguinte situação: Retirando-se sucessivamente, e sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrerem 3 de espada? Solução: Chamemos de E o evento “ocorrerem 3 cartas de espadas”. Na 1ª retirada, a probabilidade de ocorrer carta de espadas é 13/52 (num baralho de 52 cartas, há 13 de espadas; tendo sido obtida 1 carta de espadas, a probabilidade de ocorrer outra é 12/51; obtidas 2 cartas de espadas nas duas primeiras retiradas, a probabilidade de ocorrer outra na 3ª retirada é 11/50. Usando a fórmula da probabilidade condicional, temos:

p E  

13 12 11 11 . .  52 51 50 850

Curiosidade: Num jogo de Pôquer, qual a probabilidade de ocorrer uma trinca e uma dupla? (considerando que um jogador recebe as cinco cartas de uma só vez). Solução: A 1ª carta é aleatória: 52/52. A 2ª carta terá probabilidade: 3/51. A 3ª carta terá probabilidade: 2/50. A probabilidade da 4ª: 48/49. E a da 5ª: 3/48. Daí teremos o seguinte: 5 maneiras (ordem) diferentes disso acontecer. Logo, a probabilidade desejada será:

Eventos Independentes Dizemos que n eventos E1, E2, E3, ..., En são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de terem ou não ocorrido os outros. Para n eventos independentes temos: p(E1 e E2 e E3 e ... e En) = p(E1) . p(E2) . p(E3) . ... . p(En).

Raciocínio Lógico

.

52 3 2 48 3 x x x x x5! 0,3% 52 51 50 49 48


118

5. Lei de Murphy 5.1 Apresentação Nesta unidade, abordaremos a Lei de Murphy.

5.2 Síntese Até mesmo a Famosa lei de MURPHY: Temos em mãos um molho com 5 chaves e ao tentarmos abrir uma porta, não sabemos qual delas servirá. Então, tentamos a 1ª e se não conseguirmos (separamos esta), tentamos a segunda, e assim por diante, até chegar à última, sempre separando a que já tentamos. Segundo MURPHY a probabilidade de acertarmos a chave na última tentativa é maior que na primeira; ele está certo ou errado? Responda você. Ele está errado, pois é a mesma probabilidade: Temos de analisar o problema da seguinte maneira: P(a) = acertar a chave = 1/5 e P(e) = errar a chave 4/5.

1ª tentativa: 1/5 4 1 1 2ª tentativa: .  5 4 5 4 3 1 1 3ª tentativa: . .  5 4 3 5 4 3 2 1 1 4ª tentativa: . . .  5 4 3 2 5 4 3 2 1 1 1 5ª tentativa: . . . .  5 4 3 2 1 5

6. Probabilidade de Não Ocorrer um Evento Raciocínio Lógico

Exercício 207. Dois prêmios iguais são sorteados entre 5 concorrentes, sendo 3 brasileiros e 2 italianos. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, qual é a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro?


119 208. (UFMG) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param: ⇒ se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; e ⇒ se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá. Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18. Então é correto afirmar que o outro cubo tem: a) Quatro faces brancas. b) Uma face branca. c) Duas faces brancas. d) Três faces brancas.

7. Distribuição Binomial 7.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos sobre distribuição binomial.

7.2 Síntese Distribuição Binominal Generalizando, se em cada uma das n tentativas de um fenômeno aleatório a probabilidade de ocorrer um evento é sempre P(E), a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas K das n alternativas é dada por:

n k n k Pn    . P  . 1 - P  k

4!  6 possíveis resultados. 2!.2!

1 1 1 1 3 37,5% . . . .6  2 2 2 2 8

Raciocínio Lógico

Comentário: Um casal deseja ter 4 filhos, sendo dois casais. Qual a probabilidade de isso ocorrer? HHMM que é o mesmo que um anagrama com 4 letras, sendo 2 Hs e 2Ms, portanto, usando o macete da ARARA, teremos:


120

8. Problema das Urnas Exercícios 209. (Cesgranrio – Controlador – Aeronáutica/2007) Há duas urnas sobre uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é: a) 5/12. b) 1/3. c) 1/4. d) 1/6. e) 1/12. 210. Antônio, Bruno, César, Dário e Ernesto jogam uma moeda idônea 11, 12, 13, 14 e 15 vezes, respectivamente. Apresenta a menor chance de conseguir mais caras do que coroas: a) Antônio. b) Bruno. c) César. d) Dário. e) Ernesto.

9. Teorema de Bayes 9.1 Apresentação Nesta unidade, estudaremos o teorema de Bayes.

Raciocínio Lógico

9.2 Síntese Propriedades:

P( A  B )  P( A  B) P( A  B )  P( A  B)


121 Comentário: Em outra unidade de estudo abordamos o tema Negação de uma conjunção de uma disjunção; este assunto esta diretamente ligado às propriedades acima, veja o lembrete: Proposição

Equivalente da Negação

AeB

Não A ou não B

A ou B

Não A e não B

Ou seja: A negação do E é OU. A negação do OU é E. Teorema de Bayes Se A1, A2, A3, ..., Ai são eventos mutuamente exclusivos de maneira que A1 ∪ A2 ∪...=S P(Ai) = prob. conhecidas dos eventos. B = um evento qualquer de S, conhecendo-se todas as probabilidades de P(B/A). Então,

P ( Ai / B ) 

P ( Ai ).P ( B / Ai ) P ( A1 ).P ( B / A1  P ( A2 ).P ( B / A2 )  ...)

Escolheu-se uma urna ao acaso e tirou-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Deseja-se determinar a probabilidade da bola ter vindo da urna 2. Da urna 3. U1

U2

U3

3 1 5 9

4 3 2 9

2 3 3 8

9 7 10 26

P(U1) = 1/3. P(U2) = 1/3. P(U3) = 1/3 ( eventos equiprováveis). P(Br/U1) = 1/9. P(Br/U2) = 3/9=1/3. P(Br/U3) = 3/8. 1 1 . 24 3 3 P(U 2 / Br )   1 1 1 1 1 3 59 .  .  . 3 9 3 3 3 8 Faça você agora para a urna 3.

Raciocínio Lógico

Urnas Cores Pretas Brancas Vermelhas


122

10. Questões

Raciocínio Lógico

Exercícios 211. Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TCE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$ 500,00. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a: a) 0. b) 1/6. c) 1/4. d) 1/3. e) 1/2. 212. A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$ 1.000,00 é igual a: a) 3/4. b) 2/3. c) 1/2. d) 1/6. e) 0. 213. Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par? a) 15. b) 20. c) 23. d) 25. e) 27. 214. Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é: a) 150/216. b) 91/216. c) 75/216.


123 d) 55/216. e) 25/216.

11. Problema do Filme – Quebrando a Banca Exercícios

Raciocínio Lógico

215. (Esaf – MPOG/2005) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a: a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 2/3. e) 3/4.


124

Raciocínio Lógico

Gabarito

1.

Alternativa A. Comentário: N=7 e P=3 → 35 (Vide triângulo).

2.

Correto. Comentário: Comédia: N=05 e P=02 → 10 10 x 15 = 150. O item está correto. Animação: N=06 e P=02 → 15

3.

Incorreto. Comentário: 3 em 7 (N=07 e P=03) = 35 2 em 4 (N=04 e P=02) = 6 2 em 2 (N=02 e P=02) = 1

35 x 6 x 1 = 210.

4.

Incorreto. 3 em 5 : N=05 e P=03 à 10.

5.

Alternativa D. Comentário: São 4 homens e 5 mulheres, que terão de ser organizados de forma que a quantidade de homens não ultrapasse a de mulheres na formação de um grupo de 6 pessoas, logo teremos:


125 1) Grupo com 3 homens (em 4 possíveis) e 3 mulheres (em 5 possíveis): N = 4 e P = 3 * N = 5 e P = 3 à 4 * 10 = 40 2) Grupo com 2 homens (em 4 possíveis) e 4 mulheres (em 5 possíveis): N = 4 e P = 2 * N = 5 e P = 4 à 6 * 5 = 30 3) Grupo com 1 homem (em 4 possíveis) e 5 mulheres (em 5 possíveis): N=4eP=1*N=5eP=5à4*1=4 Somando todas as combinações: 40+30+4 = 74 Possibilidades 6.

35. Escolher 3 em 7: N = 7 e P = 3 à 35

7.

120. Brasileiros – 3 em 6 à N = 6 e P = 3 à 20 20 * 6 = 120 Japoneses – 2 em 4 à N = 4 e P = 2 à 6 Podemos formar uma diretoria com 120 modos diferentes.

8.

Alternativa B. Comentário: 120. 1+2 = 3+3 = 6+4 = 10+5 = 15+6 = 21+7 = 28+8 = 36. 1+3+6+10+15+ 21+28+36 = 120.

9.

Alternativa B. Comentário: Fórmula:

= (100 x 101) / 2 = 5.050.

10. Alternativa E. Comentário:

12. Alternativa A. Se levarmos em conta a afirmação III, já excluímos C, D e E. Pela primeira afirmação, vemos que B é incorreta, pois não há intersecção entre F e S. 13. 40%. 80% + 60% = 140% dos alunos. Passaram 40% (o máximo é 100%) – O que passa é sempre a Intercessão.

Raciocínio Lógico

11. Alternativa A.


126 14. Alternativa B. Comentário: 57% + 61% = 118% Intercessão é o que repete, logo: 118% - 23% = 95% Faltam 5% para 100%

15. A) 340 ; B) 210 ; C) 660 ; D) 210.

Raciocínio Lógico

16. Alternativa D. Comentário: Primeiro, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:

Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados. E se perguntássemos o seguinte: Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja:


127 a) Consumidora de apenas um dos produtos? 370 37 P1   610 61 b) Consumidora de no mínimo dois produtos? 140 14 P2   610 61 c) Sabendo que a pessoa é consumidora de C, qual a probabilidade de também consumir B? 50 1 P  250 5

18. Alternativa B. Comentário: Resolução 1: 1.000 alunos M = 800  200 não são mulheres (1.000 – 800). P = 850  150 não farão prova em Campinas (1.000 – 850). C = 750  250 não levarão caneta azul (1.000 – 750). G = 700  300 não levarão garrafa (1.000 – 700).

Raciocínio Lógico

17. Alternativa C. Comentário: Quando somamos 82% + 78% + 75% = 235%, ou seja, passam 135% de um todo (100%) que é o equivalente às interseções de chocolate com pizza e com batata (a flor do centro); porém, ao somarmos dois a dois como se os alunos sempre consumissem no mínimo dois tipos de alimento, teremos: 82 + 75 = 157%, passou 57%. 82 + 78 = 160%, passou 60%. 75 + 78 = 153%, passou 53%. Somando agora o que passou obtemos 170% e deveria ser 135%, como achamos acima, logo 35% “estão repetidos”, ou seja, consomem os três alimentos, no mínimo. Ou ainda, usando a lei da exclusão, acompanhe a explicação:  82% gostam de chocolate, logo 18% não gostam de chocolate;  78% gostam de pizza, logo 22% não gostam de pizza;  75% gostam de batata frita, logo 25% não gostam de batata frita. As pessoas que não gostam de algum produto não podem entrar na Interseção, ou seja: 65% (18 + 22 + 25). Se 65% das pessoas não gostam de alguma coisa, 35% (100% – 65%) gostam de alguma coisa.


128 Logo, 900 é o máximo de pessoas que não podem possuir as 4 características (200+150+250+300). Para 1.000 alunos, 100 possuirão as 4 características (1.000 – 900). Resolução 2: 1.000 alunos M = 800 800 + 850 à Passou 650 (1.650 – 1.000) P = 850 C = 750 750 + 700 à Passou 450 (1.450 – 1.000) G = 700 Somando 650 + 450 = 1.100 à Passou 100 (1.000 – 1.100).

Raciocínio Lógico

19. Alternativa E.

Sol pela manhã: 7 – x Sol à tarde: 12 – x Dias com sol o dia inteiro: x Dias de Chuva = 11 dias 7 – x + 12 – x = 11 –2 X = 11 – 7 –12 2X=8 X=4 Somando todos os períodos temos: (7 – 4) + (12–4) +4 = 15 O professor passou 15 dias na praia. Esta dica serve apenas para este estilo de problema: É só somarmos tudo e o resultado dividirmos por 2: 7 + 12 + 11 = 30 → 30 / 2 = 15 dias.


129 20. A) 78 ; B) 87 ; C) 165.

A → X+Y+36 = 90 B → X+Z+34 = 84 C → Y+Z+32 = 86 A → X+Y = 90–36 à 54 B → X+Z = 84–34 à 50 C → Y+Z = 86–32 à 54 X + Y = Y+Z (pois X + Y =54 e Y + Z = 54) X + Y = Y+ Z àX = Z

21. Alternativa D. Comentário: 4a + 3c + 2w = 1.040 2a + 3c + 4w = 1.000 6a + 6c + 6w = 2.040 (Dividir todos por 6). a + c + w = 340. 22. Alternativa C. Comentário: Passou de 100%, 157 – 100.

Raciocínio Lógico

Substituindo (B): 2X = 50 X = 25, Z = 25 e Y = 29 a) Número de Pessoas que frequentam apenas uma das livrarias: 28 + 26 + 24 = 78. b) Número de pessoas que frequentam pelo menos 2 livrarias: Y+X+Z+8 = 25+29+25+8 = 87. c) O total de pessoas ouvidas nesta pesquisa: Somam-se todos os valores = X+Y+Z+28+8+26+24 = 165.


130 Mat Geo Eco 1 2 1    4 5 3 15

 24

 20 60

Bio 1  4

 15

Qui 1 3

 20

94 1 , 5666   60



157% %

23. Alternativa A. Comentário: Múltiplos de 3 de 1 até 100, é só dividir por 3 ⇒ 100 ÷ 3 = 33 e resto 1. Múltiplos de 4 de 1 até 100, é só dividir por 4 ⇒ 100 ÷ 4 = 25. Múltiplos de 12 de 1 até 100, é só dividir por 12 ⇒ 100 ÷ 12 = 8e resto 4. O resto não é importante, mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo:

Logo temos 50 números que não são múltiplos nem de 2 e nem de 4.

Raciocínio Lógico

24. I) C; II) E; III) C; IV) C; V) E. Comentário:

40 + x + 80 – x + 80 + x + x + 70 – x + 90 – x + y + 5 = 500 365 + y = 500 y = 135 C = É o dobro de apenas B. 90 – x + x + 70 – x + y = 2(80 + x)


131 160 – x + 135 = 160 + 2x 135 = 3x x = 45 I – 45/500 = 9% (item certo). II – C = 90 – x + x + 70 – x + y = 90 + 70 – 45 + 135 = 250 (item errado). III – 40 + x + 80 + x + y = 120 + 45 + 45 + 135 = 345 (item correto). IV – 80 – x + 90 – x + 70 – x + x = 240- 90 = 150 (item correto). V– B e C = 70; restante = 430. Logo: 430/500 > 16% (item errado). 25. I) C; II) C. Comentário:

X + 20 + 10 + 10 + 10 + 15 + 5 = 85 X + 70 = 85 X = 15 I)

26. Alternativa E. Comentário: Ricardo tem 4 cores de meias em mãos (1 branca, 1 cinza, 1 azul e 1 preta). Quando Ricardo pegar a 5ª meia, obrigatoriamente terá um par de meias da mesma cor.

Raciocínio Lógico

II)


132 27. Alternativa C. Comentário: Temos 3 bolas distintas (azuis, brancas e amarelas); ao retirar a 4ª bola, obrigatoriamente haverá duas bolas com a mesma cor. 28. Alternativa E. 29. Alternativa B. Solução:

Raciocínio Lógico

30. Incorreto. 31. Alternativa A. Vamos analisar as frases: 1. Três mais nove é igual a doze. Se eu perguntar se essa frase é verdadeira ou falsa, logo você vai responder que a frase é verdadeira. Então, se ela é verdadeira ela tem um valor lógico, logo representa uma proposição. 2. Pelé é brasileiro. Óbvio que é verdadeiro. Você sabe que ela tem um valor lógico, logo, também é uma proposição. 3. O jogador de futebol. Como é que eu vou dizer se essa frase é verdadeira ou falsa se ela está incompleta? Não é uma proposição. 4. A idade de Maria. Também não posso dar um valor lógico para esta frase.


133 5. A metade de um número. Eu também não consigo dar um valor lógico a esta frase. 6. O triplo de 15 é maior do que 10. Com certeza essa frase tem um valor lógico. Inclusive é um valor lógico verdadeiro. Portanto, as frase 1, 2 e 6 são proposições lógicas. E aí uma observação: Toda proposição é uma sentença, mas nem toda sentença é uma proposição. São sentenças lógicas as frases 1, 2 e 6. 32. I) Incorreto; II) Incorreto; III) Incorreto; IV) Correto. 33. Alternativa C. 34. Alternativa E. 35. Alternativa E.

36. Alternativa E. Comentário: Ao informar que x ≠ e, tornamos falsa a segunda proposição, assim, obrigatoriamente a primeira terá de ser verdadeira, logo é correto concluir que x = a e x = p.

38. I) Incorreto; II) Correto. I. A presença do “ou” elimina a premissa, sendo assim, qualquer uma delas pode ser verdadeira. II. É uma proposição formada por uma conjunção, o que liga uma premissa a outra é o “E”. 39. Alternativa E. Solução: A última conclusão que iremos extrair, com base no nosso quadro-resumo que rege a estrutura em tela, é a seguinte:

Raciocínio Lógico

37. Alternativa C. Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes: à Beto não briga com Bia. (“premissa incondicional”); à Bia não vai ao bar. (conclusão da terceira premissa); à Beatriz não briga com Bia. (conclusão da segunda premissa); à Beraldo não briga com Beatriz. Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a resposta correta será o item C (“Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz”).


134 Agora, resta-nos elencar as conclusões todas do nosso raciocínio. Foram as seguintes: à O navio não afundou. (premissa incondicional, “verdade” do enunciado); à Vanderleia não viajou. (conclusão da terceira proposição); à Carla foi ao casamento. (conclusão da segunda proposição); à Vera não viajou. (conclusão da primeira proposição). 40. Incorreto.

Diagrama AàB

A ↔ B.

41. I) Correto; II) Correto; III) Incorreto; IV) Incorreto.

Raciocínio Lógico

Ou seja, em um relacionamento só não nos damos bem se nós gostarmos e a outra pessoa não gostar o resto, vale tudo!!!!! Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições, que podem ser de duas espécies: Condição suficiente: Se A, então B = A à B. Se a ideia (A) é falsa, a conclusão será sempre verdadeira + Lei do absurdo.


135 Condição necessária: Se A e, e somente se B = A ↔ B. A ideia será sempre igual a conclusão. A (Ideia) V V F F

B (Conclusão) V F V F

AàB V F V V

42. A) Correto; B) Incorreto; C) Incorreto; D) Incorreto; E) Incorreto. Comentário: Os amigos Jamba, Thales e Rômulo contavam histórias acerca de suas incursões futebolísticas. Jamba e Rômulo mentiram, mas Thales falou a verdade. a) Se Thales mentiu, então Jamba falou a verdade. F à F (V). b) Se Rômulo mentiu, então Jamba falou a verdade. à V à F (F). c) Rômulo falou a verdade e Thales mentiu. à F e F (F). d) Rômulo mentiu e Jamba falou a verdade. à V e F (F). e) Jamba falou a verdade ou Thales mentiu. à F ou F (F).

44. Astrubal não é amigo de Leôncio. Comentário: Ora Nina não é feia. Então, Thales não é amigo de Diego. Logo, João não é amigo de Dimitri. Assim, Pedro não é amigo de João.

Raciocínio Lógico

43. Alternativa B.


136 Salgado não é amigo de Pedro. Logo, Astrubal não é amigo de Leôncio. 45. Alternativa E. Comentário: Cecília/Certa à Cleusa/Enganadaà Célia/EnganadaàCirco não está na cidade.

Se Cícero quer ir ao circo e se o circo não está na cidade, então Cícero não irá ao circo. 46. Alternativa C. Comentário: Este é um exemplo de sujeito intermediário. Marta, apesar de não praticar esporte, poderá ser ou não saudável.

Raciocínio Lógico

47. Alternativa C. Comentário: I – Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso público; II – José ingressou no tribunal por concurso público; e III – João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso público. Nesse caso, também é verdadeira a seguinte proposição: Quando se parte de um princípio falso, a conclusão é sempre verdadeira. F à (V ou F) = V. Outra maneira de abordarmos a condicional é com o uso de diagramas comparativos:


137 Na condição (A à B), negando a existência do conjunto maior (B), será condição suficiente para a inexistência do conjunto menor (A). 48. Alternativa A. Veja a solução da questão com o uso dos diagramas.

49. Alternativa E. A negação de 4 = 5 é ≠ 5; e A negação de 3 > 1 é 3 ≤ 1. 50. Alternativa D. 51. Alternativa C. 52. Alternativa B. 53. Alternativa C. 54. Alternativa C. 55. Alternativa B. 56. Alternativa A. Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão: ¬[[A ∧ (¬B)] → C]=A ∧ (¬B) ∧ (¬C) Ideia

Conclusão

57. Alternativa E. Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão: 58. Alternativa C. 59. Alternativa A. 61. Alternativa C. Comentário: A negação de Todo A é B: Algum A não é B. A negação de todos os aldeões é: Algum aldeão.

Raciocínio Lógico

60. Alternativa C.


138 Atenção: Não é verdade = Negar. A negação de uma negação = Sim, portanto, uma afirmação. A negação de “Não é verdade que meu time é campeão”, quer dizer que “meu time é campeão”. 62. Alternativa D. Comentário: A negação de uma negação é uma afirmação. ¬[¬ (¬ IC ∨ ¬ IT)] = (¬ IC) ∨ (¬ IT). A negação do E é OU. A negação do OU é E. A negação da condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão. A negação de todo A é B = Algum A não é B. A negação de algum A é B = Nenhum A é B. 63. Alternativa A.

Raciocínio Lógico

64. Alternativa D.


139 65. Alternativa A. Comentário: A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema: QUESTÃO RESOLUÇÃO Valéria não fala italiano

Marcelo fala alemão

Valéria fala italiano

Vinícius fala chinês ou Nestor fala dinamarquês

Nestor fala dinamarquês

Leonardo fala espanhol

Não for verdade que Juliana não fala francês

Leonardo não fala espanhol

Juliana não fala francês e Vinícius não fala chinês

Nestor não fala dinamarquês

Valéria não fala italiano

Raciocínio Lógico

66. Alternativa D.


140 67. Alternativa B.

68. Alternativa D. Comentário: Segundo a veracidade das proposições, temos que: A: 2 + 2 = 4 (VERDADE). B: Nem sempre a semana tem 7 dias (FALSIDADE). C: A palavra azul não começa com a letra a (FALSIDADE). Ou seja, A = V. B = F. C = F. Aplicando as propriedades da negação, conjunção e disjunção, assim como suas respectivas valorações da tabela verdade, temos: X = (~A) ∧ (~B) ∧ (~C) = F ∧ V ∧ V = F. Y = (~A) ∨ (~B) ∨ (~C) = F ∨ V ∨ V = V. Z = A∨B ∨ C= V ∨ F ∨ F = V. Portanto , teremos que: (X ∨ Y ∨ Z) e (X ∧ Y ∧ Z) = ( F ∨ V ∨ V ) e ( F ∧ V ∧ V ) = verdadeiro e falso.

Raciocínio Lógico

69. Alternativa C. Comentário:

Exemplos: • A: 4<3 (F). • B: 5<2 (F). • A ↔ B: 4<3 se, e somente, se 5<2 é verdadeira. • A: O sol é uma estrela (V).


141 • B: A lua é uma estrela (F). • A ↔ B: O sol é uma estrela, se, e somente se, a lua é uma estrela, é uma proposição falsa. 70. Alternativa C. Comentário:

A lógica sentencial trata das proposições que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Suponha que letras maiúsculas do alfabeto (A, B, C etc.) representem proposições básicas. Proposições compostas são formadas a partir de proposições pré-construídas. Assim, as seguintes estruturas são proposições compostas: “A e B” (denotada por A∧B), que é V se e somente se A é V e B é V; “A ou B” (denotada por A∨B), que é F se e somente se A é F e B é F; “não A” (denotada por ¬A), que é F se A é V, e é V se A é F; “se A então B”(denotada por A → B), que é F se e somente se A é V e B é F. Para exemplificar, se A, B e C são proposições, então as formas ¬A∨B, (A∨B)∧C, (¬A∧¬B)∨C, B → (A∧C) são proposições. Considere que P seja uma proposição composta em que ocorrem apenas as proposições básicas A, B e C e os símbolos ¬, ∧, ∨, e que P seja V se e somente se A, B e C tiverem as valorações V e F mostradas na tabela abaixo:

Comentário: A) (¬A∧B∧C) ∨ (A∧¬B∧C) ∨ (A∧B∧¬C).

Raciocínio Lógico

A expressão correta para a proposição P, para todas as valorações apresentadas das três proposições básicas é:


142

B) (A∧¬B∧C) ∨ (¬A∧B∧¬C) ∨ (A∧B∧¬C).

71. Incorreto. Comentário: Logo, a proposição B não precisa ser obrigatoriamente Verdadeira para que a saída seja verdadeira.

Raciocínio Lógico

72. Correto. Comentário: Perceba que as proposições são invertidas, ou seja, quando uma for falsa, a outra será verdadeira. A

B

A∨B

¬A∨B

¬ (A ∨ B) ∨ (A ∨ B)

V

V

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

73. Correto. Comentário: A negação de Todo é Algum, a negação de Algum é nenhum. Todos os beija-flores voam rapidamente = Algum beija-flor não voa rapidamente. 74. I) Incorreto; II) Correto; III) Correto; IV) Correto; V) Incoreto. I) (P) ∧ (¬ T) = Fumar deve ser proibido e Muitos europeus não fumam.


143 II) (¬ P) ∧ (¬ R) = Fumar não deve ser proibido e Fumar faz bem à saúde. III) R → P = Se Fumar não faz bem à saúde, então Fumar deve ser proibido. IV) (R ∧ (¬T)) → P = Se Fumar não faz bem à saúde e Muitos europeus não fumam, então Fumar deve ser proibido. V) T → ((¬ R) ∧ (¬ P)) = Se Muitos europeus fumam, então Fumar faz bem à saúde e Fumar não deve ser proibido Atenção: A: Água é essencial para a vida. B: Carboidratos são importantes para a produção de energia. C: Caminhar é saudável. (A ∧ (¬ B)) → C = Se água é essencial para a vida e carboidratos não são importantes para a produção de energia, então caminhar é saudável. 75. Correto. 76. Incorreto. 77. Incorreto. 78. Incorreto. 79. Correto. 80. Incorreto. 81. Alternativa C. Comentário: A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é: Não me caso e não compro sorvete. Definição de Descoberta “Uma descoberta consiste em ver o que todo mundo viu e pensar o que ninguém pensou.” Jonathan Suriff

Raciocínio Lógico

“Nem tudo que é legal, é moral. Nem tudo que é ilegal, é imoral.” Veja o esquema abaixo:


144 82. Incorreto. Comentário: Se P e Q são proposições verdadeiras, então ¬P e ¬ Q são proposições falsas, logo (¬P) ∨ (¬ Q) é Falso, pois F ∨ F = Falso. 83. Incorreto. Comentário: Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R  (¬T) é Verdadeira. Em uma condicional, quando a ideia é falsa, a conclusão sempre será verdadeira. Veja a tabela-verdade correspondente à proposição A  B:

A

B

AB

V V V V F F F V V F F V Vamos ver agora em qual destas linhas se encaixa a nossa questão. Temos uma condicional “se...então” no qual o antecedente é falso e a consequência é falsa (pois o segundo termo é a negação da proposição T, que é verdadeira). Sendo assim, estamos nos referindo à quarta linha da tabela e, portanto, a sentença será verdadeira. Neste caso, bastaria sabermos que o antecedente é falso para “matar” a questão pois, seja lá qual fosse o outro termo, pela tabela a sentença seria verdadeira. 84. Correto. Comentário: Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional: (P ∧ R) → (¬ Q). (V ∧ F) → (¬ V). F → F = V. 85. Alternativa C. Comentário: Se não é verdade que todas as pessoas que consomem sal terão hipertensão, então: Alguém que consome sal não terá hipertensão (C).

Raciocínio Lógico

Proposição

Equivalente da Negação

Todo A é B

Algum A não é B

Algum A é B

Nenhum A é B


145 86. Alternativa C.

87. Alternativa A. Comentário: Considerando todos os valores V ou F atribuídos às proposições A e B, assinale a opção correspondente à proposição que tem sempre o valor F. Para a disjunção (“v”) para que um seja verdadeiro, basta que qualquer deles seja verdadeiro. A

B

¬A

¬B

A ∧ (¬B)

(¬A) ∨ B

Tudo

V

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

89. Alternativa E. Comentário: Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a

Raciocínio Lógico

88. Alternativa E. Comentário: Assinale a opção que corresponde à proposição composta que tem exatamente 2 valores lógicos F e dois valores lógicos V, para todas as possibilidades [...]. [ (~A) ∨ B] ∧ [ (~B) ∨ A].


146 P e a Q, uma proposição simboliza por ~[(P à (~Q)] possui os mesmos valores lógicos que a seguinte proposição: P ∧ Q. A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão. Sendo assim, P ∧ Q. 90. Alternativa C. Comentário: Considerando as seguintes definições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à simbologia correta dessa proposição é (~A) ∧ (~B). 91. Correto. Comentário: Negar uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão: ¬[[A ∧ (¬B)] → C]. Ideia

Conclusão

92. Resultado:

93. Correto. 94. Correto.

Raciocínio Lógico

95. Alternativa D.


147 Veja o diagrama: “A descoberta consiste em ver o que todo mundo viu e pensar o que ninguém pensou.” Jonathan Suriff

96. Alternativa D. Comentário: “se um homem não é inteligente, então é bonito” e que “se é inteligente, então é preguiçoso.” 1. Se o homem é não inteligente, ele é bonito. 2. Se o homem é inteligente, ele é bonito (sujeito intermediário). Se o homem é inteligente, ele é preguiçoso. 3. Se o homem é inteligente, ele não é bonito. Se o homem é inteligente, ele é preguiçoso. 4. Se o homem é inteligente, ele é preguiçoso. 5. Se o homem é não inteligente, ele é preguiçoso (sujeito intermediário). Se o homem é não inteligente, ele é bonito. 6. Se o homem é não inteligente, ele é não preguiçoso. Se o homem é não inteligente, ele é bonito. Será possível qualquer uma dessas proposições. Todas essas proposições podem ocorrer, mas não necessariamente ocorrerá. Apenas uma das alternativas ocorrerá necessariamente, qual seja, a letra “d”, já que todo homem não bonito é preguiçoso.

Raciocínio Lógico

“Nem tudo que é legal, é moral. Nem tudo que é ilegal, é imoral.” Veja o esquema abaixo:


148 97. Alternativa D.

98. Alternativa C.

Se x = 3 então y = 7. Se y ≠ 7, então x ≠ 3. 99. Alternativa E.

Raciocínio Lógico

100. Alternativa E. Comentário: PàQ é equivalente a ~Qà~P ou PàQ é equivalente a ~P ∨ Q. Sendo assim: P à ~Q = (a) Q à ~P (alternativa inexistente) | (b) ~P ∨ ~Q. A

B

~A

~B

A ∧ B ~A ∧ B

A∧~B ~A∧~B A∨B

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

Observação / Cuidado! A à (B ∨ C) ≠ (A à B) ∨ (A à C). A à (B à C) ≠ (A à B) à C. (A ∧ B) à C ≠ (A ∧ C) à (B ∧ C).


149

101. Alternativa C. Negação Proposição A A∧B A∨B A→B A↔B Todo A é B Algum A é B

Negação ¬A (~A) ∨ (~B) (∧A) ∧ (~B) A ∧ (~B) [A ∧ (~B)] ∨ [B ∧ (~A)] Algum A não é B Nenhum A é B

Lei de Morgan I. ¬( p ∧ q) ↔ ¬ p ∨¬q II. ¬( p ∨ q) ↔ ¬ p ∧¬q Não confundir: III. ¬( p → q ) ↔ ¬ p → ¬q

Observação – Cuidado! A à (B ∨ C) ≠ (A à B) ∨ (A à C). A à (B à C) ≠ (A à B) à C. (A ∧ B) à C ≠ (A ∧ C) à (B ∧ C).

P V V F F

Q V F V F

P∨Q V V V F

¬P F F V V

Q →¬ P F V V V

103. Correto. Comentário: P ∧ (¬ Q) só será verdadeira se ambas forem verdadeiras, ou seja, se P é verdadeira e Q é falsa. Assim, sendo a proposição P → Q é falsa. Logo, ao dizer que isto é uma contradição é verdade.

Raciocínio Lógico

102. Incorreto. Comentário: A → B ↔ ~B → ~A “Se negamos lá fora, negamos lá dentro.” A → B ↔ ~A ∨ B “Negamos a primeira ou afirmamos a segunda”. Construção da tabela, caso não se lembre das equivalências:


150 104. Incorreto. Comentário: Não se aplica a propriedade distributiva para uma condicional, apenas para conjunções e disjunções, segundo Lei de Morgan. Veja a construção da tabela: (P ∨ Q) → S P → S

Q→S

(P → S) ∨ (Q → S)

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

P

Q P∨Q

S

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

105. Alternativa E. Comentário: ¬(p → ¬r) → q ∧ r é falsa, então ¬(p → ¬r) é verdadeira e q ∧ r é falsa, pois Valéria Falou tá Falado. Assim ¬(p → ¬r) sendo verdadeira, então (p → ¬r) é falsa e novamente Valéria Falou tá Falado e p será verdadeira e r será verdadeira, porque ¬r é falsa. Agora, por outro lado, q ∧ r é falsa se e só se, uma delas é falsa e como r é verdadeira, então necessariamente q será falsa. Veja a construção da tabela. A

B

A∧B

A∨B

A→B

A↔B

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

Raciocínio Lógico

106. Alternativa E. P

Q

P∧Q

P∨Q

(P ∧ Q)  (P ∨ Q)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V


151 107. Alternativa D.

108. Alternativa B. Todo homem é ser vivo. Todos os seres vivos são dotados de alguma inteligência. Seres dotados de inteligência são seres pensantes. Um ser pensante raciocina. Todos os que raciocinam não possuem ignorância, que é a ausência do saber. Os que ainda não sabem são ingênuos. Os ingênuos são mortais. Logo, todos os homens são seres mortais. Todo método deve ser normatizado. Tudo o que é normatizado é organizado. A organização exige disciplina. Os disciplinados são eficazes. A eficácia leva a bons resultados. Bons resultados são almejados. O que é almejado custa caro. Portanto, não existe método de baixo custo.

Raciocínio Lógico

109. Alternativa C. Comentário:


152

Raciocínio Lógico

110. Alternativa B. Comentário:

O argumento: Se penso, existo. Penso. __________________ Logo, existo. é um argumento válido. De fato, argumento é formado das duas premissas: p1: Se penso então existo; e p2: Penso e da conclusão Existo. Como as premissas devem ser verdadeiras, a proposição: Penso é verdadeira e, assim, para que p1 seja verdadeira, a proposição: Existo deve ser verdadeira. Consequentemente, o argumento é válido. Nenhum estudante é preguiçoso. João é um artista. Todos os artistas são preguiçosos. João não é um estudante. Analisando o argumento dado, podemos perceber que ele é formado por três premissas: P1: Nenhum estudante é preguiçoso. P2: João é um artista. P3: Todos os artistas são preguiçosos. e uma conclusão: C: João não é um estudante. Por P3: O conjunto dos artistas está contido no conjunto das pessoas preguiçosas. Por P1: O conjunto das pessoas preguiçosas e o conjunto dos estudantes são disjuntos. Por P2: João pertence ao conjunto dos artistas. Todo método deve ser normatizado.


153 UNIVERSO DAS PESSOAS PESSOAS PREGUIÇOSAS

ESTUDANTES

ARTISTAS JOÃO

Logo, observando os diagramas de Venn, temos que a conclusão C: João não é um estudante, é verdadeira e o argumento é valido. 111. Alternativa C. 112. Alternativa E. 113. Alternativa E. 114. Alternativa B. Comentário: Veja o diagrama:

115. Alternativa E. Comentário: Um argumento é dito INCONSISTENTE se suas premissas não podem ser simultaneamente verdadeiras. Alternativa A – Argumento e conclusão válidos. Alternativa B – O argumento é inválido, mas a conclusão não é verdadeira. Alternativa C – Argumento é válido, e a conclusão é logicamente válida, mas não corresponde à realidade. Alternativa D – Argumento inválido. 116. Correto. Comentário: substituindo os valores de P e Q em ¬ P ∨ Q, teremos: F ou V, que é verdadeira.

118. Correto. Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em [ P ∧ ( Q ∨ S )] ∧ ( ¬ [( R ∨ Q ) ∨ ( P ∧ S )] ) teremos: [V ∧ (V ∨ V)] ∧ (¬ [(V ∨ V) ∨ (V ∧ V)]). [V] ∧ [¬ (V)]. V ∧ F = Falso.

Raciocínio Lógico

117. Incorreto. Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em ¬ [( ¬ P ∨ Q) ∨ ( ¬ R ∨ S )], teremos: ¬ [ ( F ou V) OU ( F ou V) ] = ¬ [ V ou V) = Falso.


154 119. Correto. Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em ( P ∨ ( ¬ S)) ∧ ( Q ∨ ( ¬ R)) teremos: (V ∨ (F)) ∧ (V ∨ (F)). V ∧ F = Verdadeiro. 120. Alternativa A. 121. Alternativa C. Comentário: Ambas as proposições são falsas. Sendo assim: − Alternativa A: (p ∨ ~q) à q = (F ∨ V) à F = V à F (F). − Alternativa B: ~(p ∨ q) à q = ~(F ∨ F) à F = ~F à F = V à F (F). − Alternativa C: (p ∧ ~q) à q = (F ∧ V) à F = F à F (V). 122. Alternativa B. 123. Alternativa C. 124. Alternativa E. 125. Alternativa E. Comentários: Tabela Base

Raciocínio Lógico

A V V F F Negação

B V F V F

A∧B V F F F

A∨B V V V F

AàB V F V V

A↔B V F F V

Proposição Negação A ~A A∧B (~A) ∨ (~B) A∨B (∧A)∧(~B) AàB A ∧ (~B) A↔B [A ∧(~B)] ∨ [B∧(~A)] Todo A é B Algum A não é B Algum A é B Nenhum A é B Proposições logicamente equivalentes 1. (A ∧ V) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C). 2. (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C). 3. A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). Lei de Morgan 4. A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 5. ~ ~ A ↔ A. 6. A à B ↔ ~A ∨ B. 7. A à B ↔ ~B à ~A.


155 126. Alternativa D. 127. Alternativa D. 128. Alternativa C. 129. Alternativa B. 130. Alternativa B. 131. Alternativa E. Comentário: AàB, sendo equivalente a“~B à ~A” ou “~A v B”. Sendo assim: X=Y à Z=W = Z≠W à X≠Y ou X≠Y ou Z=W. 132. Alternativa E. Comentário: PàQ é equivalente a ~Qà~P ou PàQ é equivalente a ~P ∨ Q. Sendo assim: P à ~Q = (a)Q à ~P (alternativa inexistente) | (b) ~P ∨ ~Q. 133. Alternativa B. 134. Alternativa B. 135. Alternativa C. 136. Alternativa C. 137. Alternativa B. 138. Alternativa E.

139. Alternativa B. 140. Correto. 141. Alternativa D. 142. Alternativa D. 144. Alternativa C. Comentário: Partindo do princípio de que Marcelo não é telefonista, João é carregador. Portanto, Marcelo só pode ser porteiro (MntàJcàMpàFt). Se Marcelo é porteiro, ele não é carregador, e Rafael não é telefonista. Chega-se a uma contradição (primeira proposição). Se não ser telefonista leva-se a uma contradição, a conclusão é que Marcelo é telefonista (o

Raciocínio Lógico

143. Alternativa B.


156 princípio era falso). Se Marcelo é telefonista e Rafael não é o carregador, somente João é o carregador e o Rafael é o porteiro. Em suma, assim MntJcMpFt ⇒ Contradição: MtFpJc. 145. Alternativa C. Comentário: U

Branco

F

Prata

F

Preto

U

Prata

146. Alternativa A. 147. Alternativa D. 148. Alternativa D. Comentário: Parte-se do pressuposto de que foi Pedrinho, ou que Rodrigo está mentindo, onde leva a frase 8 ser verdadeira (sendo as demais verdadeiras, 7 e 9). 1. V; 2. V; 3. M; 4. V; 5. V; 6. M; 7. V; 8. M; 9. V; 10. M; 11. V; 12. V; 13. V; 14. V; e 15. M. 149. Alternativa C. 150. Alternativa D.

Raciocínio Lógico

151. Alternativa A. 152. Alternativa B. 153. Alternativa B. Solução: Políticos = mentem. Não políticos = verdade. Nativo I = vc é político???? → Não deu para ouvir...


157 Nativo II diz: I falou que não é político. Nativo III diz: I é político. Vamos jogar a verdade contra a mentira, usando o II e o III: Versão A. Se Nativo II fala a verdade (ele é não político), ele só repete o que o nativo I diz... Se o Nativo I falou a verdade (ele não é político), logo o nativo III mente, daí o Nativo III é político. Agora se o Nativo I falou a mentira, então ele é político e o nativo III fala a verdade. Logo, se o Nativo II fala a verdade temos um e apenas um político. Versão B. Vamos considerar que o Nativo II fala mentira (ele é político), então, quando ele diz que o nativo I falou que não é político(é mentira); logo, o nativo I disse que é político e se ele é político, ele mente, o que é uma contradição, assim, o nativo II não pode ter mentido, então, vale a versão A. Portanto, temos apenas um político. Comentário: Falando a verdade ou mentira, a resposta do nativo I será sempre “não político”. Portanto, II fala a verdade, e o nativo III fala a mentira (sendo um político), tornando o nativo I um não político. Numa ou noutra hipótese haverá sempre um político. 154. O número total de escolhas será: 4 x 5 = 20. 155.

9

x

9

x

9

=

729 números.

Raciocínio Lógico

156. 729 números.


158 157. 504 números. 1º

9

x

8

x

7

=

504 números.

158. 4.536 números Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 O número não começar por 0 (zero), logo: 1º

9

x

9

x

8

x

7

=

4.536 números

159. 120 possibilidades 1º Lugar

2º Lugar

3º Lugar

6

x

5

x

4

=

120 possibilidades

160. 4 x 5 x 6 = 120 maneiras. 161. Pelo P. F. C., teremos: Jogo 1

Jogo 2

C1 Cm C2

C1 Cm C2

3

x

3

...

Jogo 14

C1 Cm C2 x...x

3

= 314 resultados.

Raciocínio Lógico

Em Resumo: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo! ⇒ Se o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas. 162. 12 modos Resolução:


159 de A para B = 3 possibilidades. de B para C = 4 possibilidades. Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 x 4 = 12. 163. 480 placas Resolução: Placa → 2 . 2 . 5 . 4 . Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 = 480.

3

.

2

164. Alternativa D. Resolução: 1º Lugar

2º Lugar

3º Lugar

10

x

9

x

8

=

720 possibilidades

165. Alternativa A. Resolução: Primeira caixa: 89 possibilidades (já que a terceira deve ser a caixa nº 20). Segunda caixa: 88 possibilidades (já que a primeira já foi retirada e a terceira deve ser a caixa nº 20). Terceira caixa: 1 possibilidade (a questão determina que a terceira deve ser a caixa nº 20). Quarta caixa: 87 possibilidades (já que as três primeiras caixas já foram retiradas). Com isso, é só multiplicar as possibilidades: 89 x 88 x 1 x 87 = 681.384. 166. 576 maneiras Resolução: Para se colocar 1 (uma) peça temos 16 maneiras. Para se colocar a 1ª peça temos 16 maneiras: •

Para se colocar a 2ª peça temos 9 maneiras: •

Para as 3ª e 4ªpeças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 x 9 x 4 x 1 = 576.

Raciocínio Lógico


160 167. (8!)² maneiras. Resolução: 64 x 49 x 36 x 25 x 16 x 9 x 4 x 1 = 1.625.702.400. 8*8 x 7*7 x 6*6 x 5*5 x 4*4 x 3*3 x 2*2 x 1*1 = (8!)² 168. 342 maneiras. Resolução: Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: Escola E → 6 x 4 = 24 maneiras. Escola F → 5 x 3 = 15 maneiras. Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 x 15 = 360 maneiras. Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de: (6 x 1) x (1 x 3) = 18, temos: 360 – 18 = 342. 169. 6.720 modos Resolução: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720. 170. 16.464 modos Resolução: 8 x 7 x 7 x 7 x 6 = 16.464.

Raciocínio Lógico

171. Alternativa C. Resolução: Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9. Soma 8: 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 4 opções. Soma 10: 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 5 opções. Total de tentativas: 4 x 5 = 20. 172. Alternativa B. Resolução: Possíveis caminhos XRZ = 3 x 1 = 3. XRYZ = 3 x 3 x 2 = 18. XYZ = 1 x 2 = 2. XSYZ = 3 x 2 x 2 = 12. XSZ = 3 x 2 = 6. TOTAL = 3 + 18 + 2 + 12 + 6 = 41. 173. Alternativa D.


161 Resolução: É um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeu o erro de fazer o cálculo: 4 x 5 x 5 = 100 (errado!) Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos, assim: Nº com algarismos repetidos mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados. Usando o P.F.C. teremos: Nº com algarismos repetidos = x. Nº com algarismos distintos= 4 x 4 x 3 = 48. Total de nº formados = 4 x 5 x 5 = 100. Portanto, x + 48 = 100. x = 52. 174. Alternativa B. Resolução: 50 x 49 = 2.450. 175. A) 720; B) 24; C) 192. Resolução: a) 6! = 720. b) 4! = 24 ⇒|BR| 4 x 3 x 2 x 1. c) 2 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 = 192. 176. Correto. Resolução: 12! = 12 x 11 x 10! 177. Correto. Resolução: 11! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 178. Errado. 10! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

180. 3.456 modos Resolução: 4! x 3! x 3! x 2! x 2!9. 181. Resolução: a) BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto, a resposta é 5! = 120. b) Em qualquer ordem, teremos 5! . 2! = 240

Raciocínio Lógico

179. Correto. 10! x 2 = 10 x 9 x 8! x 2 180 < 720.


162 182. Alternativa D. Resolução: 4! x 2! = 48 183.

5! 120   10 3!2! 6.2 184.

8!  560 3!3!2! 185.

8!  1.080 2!2! 186. 14h e 30min Resolução:

8! 8 * 7 * 6 * 5 * 4   6.720 3! 6.720/672 = 10 horas. 9 Intervalos de descanso. 9 x 30 min. = 270 min. à 4 horas e 30 minutos. 187. Correto. Resolução:

7!  140 3!3! 188. Resolução: É como se fosse uma sequência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição.

5!  10 3!.2! 189.

Raciocínio Lógico

Resolução: É um anagrama com repetição do tipo DDDDCCC, ou seja:

7!  35 4!.3!


163 190. Resolução:

14!  908107200 3!2!2!2!2! 191. Alternativa B. Resolução: 10 9 8 7 � � � � 210� 4 3 2 1 192. Alternativa D. Resolução:

60 59 58 57 56 55       50.063.860 6 5 4 3 2 1 193. Alternativa D. Resolução: Beatles x Rolling Stones x U2

5 4 8 7 4 3 2  x  x    1.120 2 1 2 1 3 2 1 194. Alternativa A. Resolução: Precisamos de 2 mãos: 11 10   55 2 1

195. Alternativa A. Resolução:

7 6 5    35 3 2 1

197. Alternativa A. Resolução: Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa. As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 – 1 (todas apagadas) = 63

Raciocínio Lógico

196. Alternativa A. Resolução: Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala. 10 9 8    120 3 2 1


164 198. Alternativa C. Resolução: Pode-se formar palavras de uma, duas, três ou quatro letras e as opções por letra são duas (ponto ou traço), logo: 2 (1 letra) 2.2 = 4 (2 letras) 2.2.2 = 8 (3 letras) 2.2.2.2 = 16 (4 letras) Total = 30 199. Resolução: 2 2.2 = 4 2.2.2 = 8 2 + 4 + 8 = 14 sinais de trânsito. 200. Alternativa C. Resolução: São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1.024 – 2 = 1.022. (opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B). 201. Correto. Resolução: É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem: Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja: 12 11 x  66 2 1 pares diferentes, ou,

C12, 2 

12!  66 10!.2!

Raciocínio Lógico

202. Alternativa D. Resolução: Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos). 8 7 6 5 6 5 . . .  .  70  15  55 4 3 2 1 2 1 203. 2 / 3 Resolução: Temos p(c) = 2p(k) e p(c) + p(k) = 1.


165 Portanto: 2 p k   p k   1  p k   Portanto : p (c) 

1 3

2 3

204. 4 / 9 Resolução: As possíveis maneiras são: CCK, CKC ou KCC, portanto, teremos:

2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 x x  x x  x x  3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 205. A) 37/61; B) 14/61; C) 25%.

P1 

370 37  610 61

P2 

140 14  610 61

50  25 % 250

206. Faltam 5/12.

1 1 1 7    12 4 4 12

207. 61 /125. Ser premiado pelo menos um brasileiro implica não serem premiados 2 italianos. Chamemos de E o evento “serem premiados 2 italianos”. Usando a fórmula da probabilidade condicional, verificamos que a probabilidade de serem premiados 2 italianos é:

2 1 1 p E   .  5 4 10

p E   1  p(E)  1 

1 9   90% 10 10

Exemplo de Tiro ao Alvo Probabilidade de acerto = 20% = 1/5 Probabilidade de errar = 80% = 4/5

Raciocínio Lógico

Aplicando agora a fórmula da probabilidade de não ocorrer o evento E, obtemos a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro:


166 O alvo é uma lâmpada e a pessoa pode dar 3 tiros. Qual a probabilidade de acertar a lâmpada? A1 + E1A2 + E1E2A3

1 4 1 4 4 1  .  . . 5 5 5 5 5 5 1 4 16 25  20  16 61     5 25 125 125 125 Qual a probabilidade de não ocorrer o evento?

1 – E1E2 E3 4 4 4 64 1 . .  5 5 5 125 1

64 61  125 125

208. Alternativa A. Comentário: X ⇒ número de faces pretas do segundo cubo. Logo, teremos:

1 x 5 (6  x) 11 .  .  6 6 6 6 18 x  30  5 x  22 x2 209. Alternativa A. Comentário:

 B  2(2 / 3) U1 =   P  1(1 / 3)

 B  1(1 / 3) U2=   P  2(2 / 3)

Raciocínio Lógico

Ao retirarmos uma bola qualquer que pode ser branca ou preta da urna U1, a probabilidade de se retirar uma branca da urna U2, será: Se a bola retirada for branca teremos: BB Se a bola retirada for preta teremos: PB Daí pode acontecer: BB ou PB, donde:

2 2 1 1 5     3 4 3 4 12 210. Alternativa B. Comentário: A menor chance de conseguir mais caras do que coroas significa a menor probabilidade de obter mais caras que coroas. Portanto, temos de analisar caso a caso:


167 a) Antônio – 11 vezes. 6  0,5  50% 12 caras

coroas

11

0

10

1

9

2

8

3

7

4

6

5

5

6

4

7

3

8

2

9

1

10

0

11

b) Bruno – 12 vezes.

caras

coroas

12

0

11

1

10

2

9

3

8

4

7

5

6

6

5

7

4

8

3

9

2

10

1

11

0

12

E assim por diante, logo:

Raciocínio Lógico

6  0,4615  46,15% 13


168 c) Cesar – 13 vezes: Serão 7 em 14, ou seja, 50%. d) Dário – 14 vezes: Serão 7 em 15, ou seja, 46,66%. e) Ernesto – 15 vezes: Serão 8 em 16, ou seja, 50%. 211. Alternativa D. Comentário: 2 1 1 1 x x  3 2 1 3 212. Alternativa E. Pois se ele acerta duas, ele acerta 03, portanto não tem como ele ganhar exatamente 1000,00. 213. Alternativa C. 214. Alternativa B.

Raciocínio Lógico

215. Alternativa D.


Cemrac 21 11 13  

Cemrac 211113

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