Biografía
Weierstrass nació en Ostenfelde, Ennigerloh, provincia de Westfalia, entonces parte de Prusia. Era hijo de Wilhelm Weierstrass, un funcionario del gobierno, y de Theodora Vonderforst. Su interés por las matemáticas comenzó cuando era estudiante en la escuela Theodoriamun en Paderborn. Fue enviado a la Universidad de Bonn para prepararse para conseguir un puesto de funcionario estatal. Sus estudios estaban centrados en derecho, economía y finanzas, por lo que entraron en conflicto con su deseo de estudiar matemáticas. Resolvió este conflicto prestando poca atención a su carrera universitaria, estudiando matemáticas en privado. Finalmente dejó la universidad sin titularse. Después de que estudiase matemáticas en la Academia de Münster y de que su padre le consiguiese un puesto como profesor en una escuela de Münster, fue certificado como profesor en esa ciudad. Durante su periodo de estudio, Weierstrass asistió a las conferencias de Christoph Gudermann y se interesó por las funciones elípticas.
En 1843 impartió clase en Alemania y en el oeste de Prusia, y desde 1848 enseñó en el Lyceo Hosianum en Braunsberg.
A partir de 1850 Weierstrass sufrió un largo periodo de enfermedad, pero pudo publicar documentos que le llevaron a la fama y la distinción. La Universidad de Königsberg le entregó un título de doctor honorario el 31 de marzo de 1854. En 1856 consiguió una plaza en el Gewerbeinstitut, la que más tarde se convertiría en la Universidad Técnica de Berlín. En 1864 pasó a ser profesor de la Universidad Friedrich-Wilhelms en Berlín, institución que más tarde se transformó en la Universidad Humboldt de Berlín. Los últimos 3 años de su vida los pasó sin poder moverse, y terminó muriendo en Berlín de neumonia.
Además de sus prolíficas investigaciones cabe señalar que fue profesor de cátedra en la Universidad de Berlín, en la que tuvo entre sus discípulos a Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge, Sofia Kovalévskaya y Edmund Husserl.
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Contribuciones
Aunque los cursos de Weierstrass fueron publicados por sus alumnos a lo largo de su vida, viendo que todo su legado peligraba a causa de las diferencias con Kronecker, decidió editar él mismo sus obras completas. En 1894 editó el primer volumen, el segundo, el año 1895, y tras su muerte sus discípulos Johannes Knoblauch (1855-1915) y Georg Hettner (1854-1914) editaron hasta siete volúmenes, el último en 1927. Finalmente, todos fueron reimprimidos en 1967. Hay que señalar el interés de Weierstrass para que todo lo que se publicase derivado de sus investigaciones fuera cierto y riguroso. Para él lo más importante no era la autoría de la publicación, ni que se le citara, sino que se pudiese hacer progresar verdaderamente el conocimiento científico. Esta vertiente generosa hacia la investigación no era ni mucho menos habitual en la época.
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Sello conmemorativo que ilustra el famoso ejemplo de función continua no diferenciable en ningún punto de Karl Weierstrass. 5 Eponimia Además de los distintos conceptos matemáticos que llevan su nombre, se tiene que: El cráter lunar Weierstrass lleva este nombre en su memoria. El asteroide (14100) Weierstrass también conmemora su nombre.
En análisis matemático, el teorema de aproximación de Weierstrass es un resultado que afirma que las funciones reales continuas definidas en un intervalo cerrado y acotado pueden ser aproximadas tanto como se quiera por un polinomio. Es decir, los polinomios de coeficientes reales son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo cerrado.
Karl Weierstrass dio una demostración de este resultado en 1885. Posteriormente, Marshall H. Stone generalizó el teorema (Stone, 1937) y simplificó la demostración. A esta generalización se la conoce como el teorema de Stone–Weierstrass.
Se puede demostrar que
TEOREMA DE APROXIMACIÓN DE WEIERSTRASS
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Funciones elípticas de Weierstrass
En el ámbito de las matemáticas, las funciones elípticas de Weierstrass son un grupo de funciones elípticas que poseen una forma particularmente simple (cf funciones elípticas de Jacobi); han sido designadas en honor al matemático Karl Weierstrass. Esta clase de funciones es también llamada funciones P y generalmente se las escribe utilizando el símbolo (que corresponde a una letra P estilizada, llamada P de Weierstrass).
Considerando los dos períodos la función elíptica de Weierstrass es una función elíptica con períodos W1 Y W2 definida como:
para todo par de generadores de la retícula define la función de Weierstrass como una función de una variable compleja y una retícula.
La suma indicada previamente es homogénea con un grado menos dos, con lo cual se puede definir la función de Weierstrass para todo par de períodos, como:
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En el análisis real, el teorema de Bolzano-Weierstrass es un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeo dimensionalmente finito Rn. El teorema establece que cada sucesión acotada en Rn tiene una subsucesión convergente. Una formulación equivalente es que un subconjunto de Rn es secuencialmente compacto si y solo si es cerrado y acotado.
Demostración
El teorema de Bolzano y el de Weierstrass son resultados que parecen intuitivos y evidentes pero demostrarlos rigurosamente es díficil, ya que es necesario usar propiedades "profundas" de la estructura de la recta real (habitualmente se demuestran usando la propiedad de existencia del supremo o la de los intervalos encajados). Las demostraciones se salen del nivel de este curso por lo que no aparecen aquí.
TEOREMASDEBOLZANOYDEWEIERSTRASS
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La función de Weierstrass es una función definida por el matemático Karl Weierstraß. Está definida en la recta y toma valores reales. Es una función continua en todo punto y no es derivable o diferenciable en ninguno. Además, el gráfico de la función de Weierstrass es una curva no rectificable de dimensión fractal superior
La función de Weierstrass fue la primera conocida con esta propiedad. De este modo, Weierstrass mostró que era falsa la conjetura que circulaba en aquella época que afirmaba que las funciones continuas eran diferenciables salvo en puntos aislados.
La función, tal como la definió Weierstrass, es la siguiente:
La prueba de que la función es continua es sencilla. Dado que las sumas parciales son continuas y que la serie es uniformemente convergente, se deduce que el límite es continuo. Otra propiedad interesante de esta función es su condición fractal. Si bien su gráfico no es rigurosamente autosemejante (véase ampliación en el gráfico, arriba), la dimensión del mismo gráfico no es uno ni dos. De hecho la dimensión de Hausdorff está acotada inferiormente por:
F U N C I Ó N D E W E I E R S T R A S S
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A continuación se presenta una pequeña demostración del teorema: Sea f una función meromorfa en un entorno local V \ {z0}, y sea z0 una singularidad esencial. Supongamos por reducción al absurdo que existe un b al cual la función no se acerca indefinidadmente; es decir, supongamos que existe un cierto complejo b y un ε > 0 tal que |f(z) − b| ≥ ε para todo z en V perteneciente al dominio de f . La nueva función:
Ha de ser holomorfa }, anulándose en los polos de f. En virtud del teorema de extensión analítica de Riemann puede ser extendida analíticamente para todo V, de modo que la función original se puede expresar en términos de g de la siguiente forma: para todo z en V \ {z0}. Considérense las dos posibles situaciones
Si el límite es 0, entonces f tiene un polo en z0 . Si el límite es distinto de 0, entonces z0 no es una singularidad de f. Ambas posibilidades contradicen la suposición de que z0 es una singularidad esencial de f . de modo que el teorema queda probado.
TEOREMA DE WEIERSTRASS-CASORATI
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El teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.
Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado, [a,b]}[a,b] entonces hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir
para cualquier
TEOREMA DE WEIERSTRAS
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Bernues, Julio. "El Teorema De Stone Weierstrass." Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 13, no. 4 (2010): 705 11 "El Teorema de Stone Weierstrass." Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 13(4): 705 711. J. Bernúes, Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 13 (4), 705 711 (2010). BIBLIOGRAFÍAS 12
