Lógica Proposicional

LÓGICA PROPOSICIONAL INTRODUCCIÓN

CLASES DE PROPOSICIONES:

La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del saber; en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones .

En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet, ...)

1.

Proposición Simple: Son proposiciones que no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación.

Ejemplo: * Cincuenta es múltiplo de diez.

2.

Proposición Compuesta: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación.

Ejemplo: * 29 es un número primo y 5 es impar.

ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa una idea.

CONECTIVOS LÓGICOS: Símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta.

Los conectores lógicos que usaremos son : SÍMBOLO

PROPOSICIÓN: Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s.

~ ∧ ∨ →

Ejemplo: * Túpac Amaru murió decapitado. * 9 < 10 * 45 = 3 − 2 ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden

↔

Δ

OPERACIÓN SIGNIFICADO LÓGICA Negación No p Conjunción pyq Disyunción poq Condicional

Si p, entonces q

Bicondicional Disyunción Exclusiva

p si y sólo si q "o ........ o ........"

tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.

OBS: La negación es un conector monádico, afecta solamente a una proposición.

Ejemplo:

OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD

Si : P(x ) : x > 6

La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y se determina mediante una tabla de verdad.

Se cumple que: P(9) : 9 > 6 es verdadero P(2) : 2 > 6 es falso

El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional.

1.

Conjunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y".

Tabla de Verdad p q p ∧ q

V V F F

V F V F

V F F F

Aritmética

2.

Disyunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o".

Tabla de Verdad p q p ∨ q

V V F F 3.

V F V F

V V V F

IMPORTANTE: *

Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos se dice que el esquema molecular es tautológico.

*

Se dirá que el esquema molecular es contradictorio si los valores del operador principal son todos falsos.

*

Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es contingente o consistente.

Disyunción Exclusiva: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "o ..........., o ............."

Tabla de Verdad p q p Δ q

V V V F F V F F 4.

F V V F

Condicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico : "Si ............, entonces .............."

Tabla de Verdad p q p → q

V V V F F V F F 5.

V F V V F

Bicondicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: ".............. si y sólo si .............."

LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.

Principales Leyes: a.

p∧p≡ p b.

6.

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Negación: Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición:

c.

d.

Ley Distributiva:

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e.

Ley de la Doble Negación: ~ (~ p) ≡ p

f.

Leyes de Identidad:

p∨V ≡ V ; p∨F ≡ p p∧V ≡ p ; p∧F ≡ F

p ~p V F V

Ley Asociativa:

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

Tabla de Verdad

F

Ley Conmutativa: p∨q ≡q∨p

p∧q ≡ q∧p

Tabla de Verdad p q p ↔ q

V V

Ley de Idempotencia: p∨p ≡ p

g.

Leyes del Complemento:

p∨~ p ≡ V p∧~ p ≡ F

OBSERVACIÓN: La cantidad de filas en una tabla es: # filas = 2 n

h.

Donde n es la cantidad de proposiciones simples.

Ley del Condicional: p → q ≡~ p ∨ q

i.

CIRCUITOS LÓGICOS

Ley de la Bicondicional:

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) p ↔ q ≡ ~ (p Δ q) j.

Ley de Absorción: p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables : cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico: 1.

p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (~ p ∧ q) ≡ p ∨ q p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ q k.

Circuito Serie: Dos interruptores conectados en serie representan una conjunción. p

Leyes de "De Morgan":

2.

~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q ~ (p ∧ q) ≡~ p ∨ ~ q

q

< >

p∧ q

Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción.

p

< >

CUANTIFICADORES:

p∨ q

q 1.

Cuantificador

Universal:

Sea la función

proposicional f(x) sobre un conjunto A, el cuantificador ∀ ("para todo") indica que todos los valores del

LÓGICA BINARIA

conjunto A hacen que la función proposicional f(x )

La lógica binaria trata con variables que toman 2 valores discretos y con operaciones que asumen significado lógico, para este propósito es conveniente asignar los valores de 1 y 0.

sea verdadera.

∀ se lee : "Para todo"

PRINCIPALES COMPUERTAS LÓGICAS *

Compuerta AND de dos entradas.

Ejemplo:

p q

: x 3 + 2 > 5 donde x ∈ N (x ) La proposición cuantificada es : Sea : f

∀ x ∈ N ; x 3 + 2 > 5 es falsa.

2.

*

Compuerta OR de dos entradas p q

Cuantificador existencial: Sea f(x ) una función proposicional sobre un conjunto A el cuantificador ∃ (existe algún) indica que para algún valor del conjunto

*

p *

∃ se lee : "Existe algún"

2

(x ) : x − 5 < 8 + 2

Sea f

, donde : x ∈ Z

∃ x ∈ Z / x − 5 < 8 es verdadera:

+ , la proposición:

p

~p

Compuerta NAND de dos entradas

p q

*

q

Compuerta NOT

A, la función proposicional f(x) es verdadera.

Ejemplo:

p∧ q

~ (p ∧ q)

Compuerta NOR de dos entradas p q

~ (p q)

Aritmética

EJERCICIOS PROPUESTOS 01. De los siguientes enunciados: * Qué rico durazno. * 7 + 15 > 50

a) VFV d) FVF

2 2 * x + y = 25 ¿Qué alternativa es correcta?

02. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son proposiciones? * ¡Dios mío .... se murió! * El calor es la energía en tránsito. * Baila a menos que estés triste. * Siempre que estudio, me siento feliz. * El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífero marino. b) 2 e) 5

b) 1 e) 4

c) 2

04. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (3 + 2 = 5) ∨ (7 − 2 = 11) (4 − 1 = 3) → (2 − 10 = −8)

⎛⎜ 12 = 2 ⎞⎟ ↔ ⎛⎜ 1 + 1 = 3 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 2⎠ ⎝ b) VFVV e) FVVV

b) VFF e) FFF

c) VVV

07. Simbolizar:

~p

~q

q Si la proposición que se obtiene es falsa. ¿Cuáles son los valores de p y q respectivamente? a) VV d) FF

b) VF c) FV e) No se puede precisar

08. Si la proposición: (p →~ q) ∨ (~ r → s) es falsa, deducir el valor de verdad de : (~ p∧ ~ q)∨ ~ p

a) V c) V o F. e) Es V si p es F.

b) F d) No se puede determinar.

09. Si la proposición compuesta: (p ∧ q) → (r ∨ t) Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:

a) p ; r d) q ; t

b) p ; q e) p ; r ; t

c) r ; t

10. Si "p" es una proposición falsa, determina el valor de verdad de la expresión: {(p → q) ∨ [r → (~ q ∧ p)]} → (r ∧ p ∧ q) a) Verdadero. b) Falso. c) Verdadero o falso. d) Verdadero sólo si q es verdadero. e) Falso sólo si r es falso.

(3 + 7 = 10) ∧ (12 > 5)

a) VVFV d) VVVF

a) VVF d) VFV

c) 3

03. Dadas las siguientes expresiones: * El átomo no se ve, pero existe. * Los tigres no son paquidermos, tampoco las nutrias. * Toma una decisión rápida. * Hay 900 números naturales que se representan con tres cifras. * La Matemática es ciencia fáctica. * Es imposible que el año no tenga 12 meses. ¿Cuántas no son proposiciones simples? a) 0 d) 3

c) VFF

06. Si : (p ∧ ~ q) → r ; es falsa, determinar los valores de verdad de "p", "q" y "r".

a) Una es proposición. b) Dos son enunciados abiertos. c) Dos son expresiones no proposicionales. d) Dos son proposiciones. e) Todas son proposiciones.

a) 1 d) 4

b) VVV e) FFF

c) VVVV

05. Determinar el valor de verdad de cada una de la siguientes proposiciones: I. Si : 3 + 1 = 7, entonces : 4 + 4 = 8 II. No es verdad que : 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.

III. Madrid está en España o Londres está en Francia.

11. Si la proposición: (p ∧ q) → (q → r) es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes fórmulas: I. ~ (p ∨ r) → (p ∨ q) II. (p∨ ~ q) → (~ r ∧ q) III. [(p ∧ q) ∨ (q ∧ ~ r)] ↔ (p∨ ~ r)

a) VVF d) VFF

b) VFV e) FVV

c) VVV

12. Los valores de verdad de las proposiciones "p" , "q" , "r" y "s" son respectivamente V, F, F y V. Obtener los valores de verdad de:

17. Sea : U = {1 , 2 , 3}, el conjunto universal.

Hallar el valor de verdad de: 2 I. ∃ x , ∀ y / x < y + 1

∀ x , ∃ y / x 2 + y 2 < 12

I.

[(p ∨ q) ∨ r] ∧ s

II.

II.

r → (s ∧ p)

2 2 III. ∀ x , ∀ y / x + y < 12

III. (p ∨ r) → (r ∧ ~ s)

2 2 IV. ∃ x , ∃ y / x + y < 12

a) VFF d) VVF

b) FVV e) FFF

c) VVV

13. Si la proposición: p → (r ∨ s) Es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I.

(~ s ∨ t) ∨ ~ p

II.

r↔p

III. t →~ r

b) Una e) Cuatro

c) Dos

14. Si la proposición compuesta: ~ [(p∧ ~ r) → (r Δ ~ q)] no es falsa. Hallar el valor de verdad de las proposiciones r, p y q respectivamente.

a) FVV d) FVF

b) VVF e) VFF

c) VFV

15. De la falsedad de la proposición : (p →~ q) ∨ (~ r → s) se deduce que el valor de verdad de los esquemas:

I.

(~ p ∧ ~ q) ∨ (~ q)

c) VVV

19. Hallar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: I. (∀ x ∈ R , x = x) ∧ (∃ x ∈ R , x + 1 > x) II. (∀ x ∈ R , x 2 ≠ x) ∧ (∃ x ∈ Z , x + 1 ≠ x - 1) III. (∃ x ∈ N , x ≠ 0) ⇒ (∀ x ∈ Q , x ≠ 0) IV. (∃ x ∈ N , x − 3 ≤ x) ⇒ (∀ x ∈ R , x − 1 ≥ x) a) FVVF d) VFFF

b) FVVV e) VVVF

c) VVFF

20. Sea : A = {1 , 2 , 3} Determinar el valor de verdad de las siguientes expresiones:

∃ x ∈ A , ∀ y ∈ A / x2 < y + 1

IV. ∃ x ∈ A , ∃ y ∈ A , ∀ z ∈ A/ x 2 + y 2 ≤ 2z 2 a) VFVV d) FVVV

*

p(x ) : ∀x ∈ R , x 0 = 1

*

q (y ) : ∃ y ∈ N / y 2 ≤ 0

*

r(z) : ∀ z ∈ R , z 2 − 9 2 = (z + 3)(z − 3)

b) VVFV e) VVVV

c) VVVF

21. Señalar la expresión equivalente a la proposición: (p∨ ~ p) ∧ (~ q∨ ~ p)

Indique el valor de verdad de: p ↔ q , p → r , r∨q b) FVV e) FFF

c) VFV

III. ∃ x ∈ A , ∀ y ∈ A , ∃ z ∈ A/ x 2 + y 2 < 2z 2

16. Sean las proposiciones:

a) FFV d) VVV

b) FFV e) FFF

II. ∀ x ∈ A , ∃ y ∈ A / x2 + y2 < 12

III. (p → q) ↔ [(p ∨ q)∧ ~ q] Son respectivamente : b) FFF e) FFV

c) VVVF

18. Si : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?

I. ∀ x ∈U : x ≥ 3 ∨ x < 4 II. ∃ x ∈ U : x + 2 < 8 ⇒ x > 6 III. ∀ x ∈ U : x + 2 = 5 ⇔ x - 1 = 2

I.

II. (~ r ∨ q) ↔ [(~ q ∨ r) ∧ s]

a) VFV d) VVF

b) VVFF e) VVFV

a) VVV d) FVF

IV. (r → p) ∨ (s → t) a) Ninguna d) Tres

a) VFVF d) VVVV

a) q → p b) p → q c) (p → q) →~ p d) ~ p → (p → q)

c) VFV

e) (q → p) →~ p

Aritmética

22. Indicar el valor de verdad de: I.

28. Simplificar: M = [(~ p ∨ q) → (~ q ∨ p)]∧ ~ (p ∧ q)

p → (p ∨ q)

II. (p ∧ q) → (p ↔ q)

a) q d) ~q

III. ~ [(p ∧ q) → p] a) VVV d) FVF

b) VFV e) FVV

c) VVF

II. (p ∧ q) → p

29. Simplificar:

a) p∧ ~ q

b) ~ p ∨ q

c) ~ (p ∧ q)

d) ~ (p ∨ q)

e) p ∨ q

III. (p ∧ q) → (p ↔ q) IV. p → (p ∨ q)

30. De la veracidad de: b) VVVF e) FVVV

c) FVFV

~ [(p →~ q) ∨ (~ r →~ s)] Deducir el valor de verdad de :

I. 24. Simplificar el siguiente circuito:

III. p →~ [q →~ (s → r)]

~p q

~p

B

~q p

a) FVV d) VFF

b) VVF e) FFF

c) FFV

31. Indicar el valor de verdad de: I.

a) p ∨ q

b) ~ p ∨ q

d) ~ p ∧ q

e) ~ p∨ ~ q

c) p ∧ q

~q ~p

III. [p ∧ (p → q)] → (q Δ r) es una contingencia. a) VVV d) VFV

p q

b) p∨ ~ q e) p ∧ ~ q

(~ p ∧ ~ q) ↔ (p ∨ q) es una contradicción.

II. [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) es una tautología.

25. Hallar la proposición equivalente al circuito lógico: q p

a) p d) ~ p ∨ q

~ (~ q ∨ ~ s) →~ p

II. ~ (~ r ∧ s) ↔ (~ p →~ q)

q A

c) ~p

~ [(~ p → q) ↔~ p] → [q → (p →~ q)]

23. Indicar el valor de verdad de: I. ~ [(p ∧ q) → p]

a) VFVF d) VFFV

b) p e) ~ p ∨ q

c) p ∨ q

26. Simplificar la proposición que corresponde al circuito:

q

b) VVF e) FVV

c) VFF

32. De los siguientes esquemas: *

(q → r) ∨ (~ p → r)

*

[p ∧ (p → q)] → p

[(~ p ∧ q) →~ r] →~ [r ∧ ~ (p∨ ~ q)] Indicar en el orden dado cuál es Tautología (T), Contingencia (S) o Contradicción (C):

*

~p q

p ~q p

a) p ∨ q

b) ~ p ∨ q

d) ~ p ∧ q

e) ~ p∨ ~ q

c) p ∧ q

(p → q) → [(p∧ ~ q) ∨ (p ∨ q)]

b) q e) p → q

b) T , S , C e) S , C , T

c) C , T , S

33. Dado el siguiente enunciado:

27. Simplificar a su mínima expresión:

a) p d) p ∨ q

a) T , C , S d) S , T , C

c) p ∧ q

~ [{~ ([p ∨ q] ∧ p) ⇒~ (q ∧ r)} ∨ q]

Según su tabla de verdad, podemos decir que dicha proposición es una: a) Tautología. b) Contradicción. c) Contingencia. d) Ley lógica. e) Equivalencia lógica.

34. Si:

a

p →~ q ≡~ (p ∇ ~ q)

I.

a * b ≡ (a → b) ∨ [b∨ ~ (a → b)]

II. ~ (p ∇q) ∨ (p ↑ q) ≡ p → q

b ≡ {a ∨ [b → (a ∨ b)]} →~ a

III. ~ p ↑ q ≡~ (~ p ∇q)

Reducir : {[(p * q)

r] * (~ p * q)} {q * (p∧ ~ q)}

a) ~p d) p

b) V e) q

a) Sólo I d) I y III

b) Sólo II e) Todas

c) F 39. Si: p ∗ q ≡ p →~ q

p# ~ q ≡ (p ↔ q) →~ p Simplificar:

35. Si se define:

p Δ q ≡ (p∧ ~ q) ∨ (q ∧~ p)

[(p ∧ q) ∗ (p ∨ q)# (p → q)]

Simplificar: ~ [(p Δ ~ q) →~ q] a) p ∧ q d) ~p

b) p ∨ q e) ~q

c) ~ p ∧ q

36. Se define el operador : (+), por la siguiente tabla:

p

q

p

+ q

V V

V

V F F V

V F

F

V

F

a) ~ p ∨ q

b) p

d) ~ p∨ ~ q

e) ~p

40. Si: p * q =~ p ∧ ~ q Expresar ~p usando únicamente el operador (*)

41. La proposición equivalente más simple del siguiente circuito:

b) p ∨ q e) V

c) ~ q ∨ q

M 37. Se definen los operadores # y θ por las siguientes tablas:

p

q

p # q

p

q

p

θ

q

V V

F

V V

F

Es:

V F F V

F F

V F F V

V V

a) p d) p

F

V

F

V

F

c) ~q

a) (p * p) * p b) (p * ~p) * p c) ~(p * q) d) p * q e) p * (q * q)

Simplificar: (p + q) + p a) F d) p ∧ q

c) I y II

F

p

~q

q

~p

r

p

q

r

~p

~q

b) q e) ~q

N t

c) r

42. El circuito lógico: Simplificar:

~p a) q → p

b) q Δ p

d) p ∧ q

e) q →~ p

~q

p

[(p# ~ q) θ p] ∧ (q θ ~ p)

~q

c) p ∨ q

q

A r

38. Se definen los operadores " ∇ " y " ↑ " por las siguientes tablas:

p q p ∇ q p ↑ q V V F V V F V F F V F V F F F V ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

r s t

s t r s t

r

~p

B

s t

Es equivalente a: a) p

b) q

d) ~q

e) p ∧ q

c) ~p

Aritmética

43. El circuito lógico más simple equivalente al siguiente circuito:

p q

~p ~q

s

t

A q

~p ~q

~p ~q

~r

p

Simplificar el siguiente circuito:

y x q

p t

s

B

q

p q r

p p

q y x x y

q q

a) A

B

q

p

b) A c) A

s

d) A

t

e) A

p q

x y x y

p

B

q

q x y y x x y

q

q

B a) p ∧ q

B

t

s

b) p ∧ q ∧ r ∧ s ∧ t c) r ∧ s d) s ∧ t e) p ∨ q ∨ r ∨ s ∨ t

B

44. Si: A ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ∧ [(p ∧ t) ∨ (p ∧ ~ t)]

q

~q

~q

~p

q

q

B≡

46. Sabiendo que la instalación de cada llave cuesta S/. 20.

Cuánto se ahorraría si hacemos una instalación mínima; pero equivalente a:

~p

El circuito simplificado de A → B es:

r ~p

r

~r

~p a)

~q

~r

~q

p

p

q

p

p b)

~q

~r

a) 80 d) 160

~p c)

q

r

~q

r

d)

⎧1 si p es Verdadero F(p) = ⎨ ⎩0 si p es Falso Si:

q

e)

F(m) = 1 donde m = (p ∨ r) → s

~r

45. Si la proposición x ∨ y es equivalente al circuito:

q ~r ~q r

p

q

~p

~q

r

c) 140

47. Para una proposición cualquiera, "p" se define:

p

p

b) 100 e) 180

F(n) = 0 donde n = p ∨ (r → p) Halle: F(p ∧ r) + F(r ∨ s) + F(p → s) + F(~ p)

p q ~r

p

~s ~t

r s t

q

a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3

51. Si m y n son números reales, además se define:

48. La siguiente función:

⎧ 3m ⎪⎪ n + 1 ; Si x es proposici ón verdadera f(x ) = ⎨ ⎪ 3n − 1 ; Si x es proposición falsa ⎪⎩ m

⎧1 ; Si p es verdadera F(p) = ⎨ ⎩0 ; Si p es falsa Si : F

(x )

= 1 ∧ F(y) = 0

Donde :

Hallar:

x ≡ (p∧ ~ r) ↔ (s ↔ w)

y ≡ w∨ ~ s Hallar:

M=

Sabiendo que: f + f = 21 (q) (r) Siendo:

E = F[(s ↔~ w) ↔ (~ p ∨ r)] + F[~ (~ r →~ p) → (t → (w ∧ ~ p))]

a) 0 c) 2 e) Tautología

m + n n m

q : 4 < 3 ↔ −1 = 0

b) 1 d) No se puede determinar

r : −1 < 0 → (−1)2 < 0 1 3 d) 1

a)

49. Sean las proposiciones: p: Si N ∈ Z + , entonces: MCD (N ; N 2 + 1 ) =1 q: El conjunto vacío es subconjunto y elemento. r: MCD (ab07 ; 7) = 7 s: MCM (a ; b) = a × b ↔ MCD (a ; b) = 1 Además sean las proposiciones x e y:

b) − 3

c)

1 7

e) 3

52. Sean r, s, t, pi , q i donde i = 1 ; 2 ; ..... ; n proposiciones tales que p ∧ t es falsa para todo i = 1 ; 2 ; ......... ; n

s ≡ p1 ∨ p 2 ∨ p 3 ∨ .... ∨ p n es verdadera.

P(x ;y ) ≡ x ∧ y

r ≡ (p1 ∧ t) ∨ (p 2 ∧ t) ∨ .... ∨ (p n ∧ t)

Q(x ;y) ≡ x → y

q i ≡ pi ∨ t es falso para i par y es verdadera para i impar.

⎧1 ; si x es verdader o F(x) = ⎨ ⎩0 ; si x es falso Calcule:

Hallar el valor de verdad de:

{(p5 ∨ t) ↔ (q 2 ∧ p1)} Δ {~ (q1 ∧ q 2 ) ∨ (p3 ∧ t)}

F = F(P(p;q)) + F(Q(q;r )) + F(P(r;s))

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

50. Sea la función: f :{p/p es proposición} → {0 , 1} definido

⎧1 , si p es verdadero =⎨ ⎩0 , si p es falso Indicar si es verdad la siguiente igualdad: por f

(p )

f (p → q) = 1 − f(q) ⋅ f (~ p)

a) Verdadero. b) Falso. c) Faltan datos. d) No se puede determinar. e) Depende del valor de verdad de r.

53. Sea "S" una proposición que corresponde a la siguiente tabla:

p

q

s

V V

F

V F V F V V F

a) Verdadero b) Falso c) Depende de q d) Es contradictorio e) Es un enunciado abierto

F

F

Y "r" la proposición más simplificada, equivalente a:

[(p → q) ↔~ q] ∧ ~ q ¿Cuál es el circuito más sencillo, equivalente al que resulta de conectar en paralelo los circuitos correspondientes a "~r" y a "s"?

Aritmética

p

57. Diseñe el circuito que cumple con la siguiente tabla:

~q

x y

a) p

b)

z F

0 0 0 1 0 0 1 0

q

p

0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

c)

q d)

~p

q

e)

~p

~q

1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

54. El equivalente de:

Utilice compuertas lógicas:

p q

xy z F a)

a) p d) ~q

b) ~p e) p ∧ q

c) q x b) y z

55. Dado el siguiente circuito: c)

p q

x y z

F F

x

s Si s es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de p y q respectivamente? a) VV d) FF

b) VF e) Faltan datos

F

d) y z e) x

F

58. Expresar la operación lógica F; según la tabla:

c) FV

x y

z F

0 0 0 0 0 0 1 1

56. Los profesores de Aritmética de la academia TRILCE han diseñado un circuito integrado que recibe p y q como entradas y s como salida.

0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

p

1 0 1 1 1 1 0 0

s

1 1 1 0

q

a) p d) F

b) q e) p ∨ q

c) V

a) x y z + xyz c) x + y + z e) xyz

b) (x + y)z d) x y z + x y z

59. Dada la siguiente tabla:

x y

60. El circuito lógico permite detectar el estado de 3 aviones A, B, C de tal manera que la lámpara de alarma en la base se enciende cuando los tres aviones están averiados o cuando sólo el avión A está averiado.

Expresar F en función de las entradas A, B y C: Avión sin averías: 0 Avión con averías: 1 Lámpara apagada: 0 Lámpara encendida: 1

z F

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1

A

B

C

1 1 1 1 Diseñar el circuito: x y z

Lámpara de alarma

F

A B C

Circuito Lógico

F BASE

que cumple con dicha tabla utilizando las compuertas: INVERSOR, AND, OR.

x a) y z

a) F = A(B C + BC) b) F = A + BC c) F = ABC d) F = A (B + C)

F

e) F = A B C

x F

b) y z

x c)

F

y z

x d) y z

x e) y

F

F

EL VAGO DE COZ "En la antigua ciudad de Coz, de la que ya no queda un solo recuerdo, gobernaba un adivino muy astuto. Toda la población trabajaba salvo él, grandísimo vago, que ejercía de enlace psicoastral. Cada día obligaba a algún desdichado ciudadano a competir contra él en un extraño concurso. El aspirante debía formular al adivino una pregunta acerca de algún suceso futuro cuya respuesta debía ser simplemente "sí" o "no". En caso de que el vago acertase la respuesta, el desafortunado concursante se convertía en su esclavo y era obligado a trabajar para él de por vida. Si el adivino errase la respuesta, éste sería depuesto, convertido en asno y condenado a rebuznar durante mil años. Por desgracia para los pobladores de Coz, el vago poseía una esfera de cristal, que funcionaba mediante la magia capaz de anticipar el futuro con toda certeza. Si usted fuera el próximo rival del malvado vago. ¿Qué pregunta le haría?".

Aritmética

Claves 01.

a

31.

a

02.

b

32.

d

03.

e

33.

b

04.

d

34.

c

05.

a

35.

a

06.

b

36.

e

07.

b

37.

a

08.

b

38.

e

09.

b

39.

a

10.

b

40.

b

11.

c

41.

c

12.

d

42.

c

13.

d

43.

e

14.

a

44.

a

15.

b

45.

b

16.

b

46.

d

17.

e

47.

c

18.

c

48.

c

19.

d

49.

c

20.

e

50.

b

21.

c

51.

e

22.

c

52.

a

23.

e

53.

c

24.

d

54.

b

25.

d

55.

b

26.

c

56.

e

27.

d

57.

a

28.

d

58.

d

29.

c

59.

c

30.

e

60.

a

LÓGICA PROPOSICIONAL I.

DEFINICIÓN: Es llamada también lógica de las proposiciones sin analizar, tiene por objeto de estudio a las proposiciones y su formalización con la finalidad de determinar sus valores lógicos.

II.

PROPOSICIÓN (ENUNCIADO): Se denomina así a las expresiones lingüísticas de las cuales se puede afirmar que son verdaderas o falsas.

CARACTERÍSTICAS * Toda proposisión es una oración aseverativa, pero no toda oración es una proposición. * Toda proposición o es verdadera (V) o falsa (F) (no puede ser ambas a la vez). * Dentro del razonamiento, la proposición puede ser premisa o conclusión. * La proposición verdadera o falsa se puede afirmar o negar. * Los enunciados matemáticos tienen el rango de proposición.

Ejm.: - Los futbolistas son deportistas.

(V) - Todo africano es asiático.

(F) - La botánica estudia a las plantas.

(V) (V

III. CLASES DE PROPOSICIONES: Las proposiciones se clasifican básicamente en: simples y compuestas. po posici osici osic osi 3.1 PROPOSICIONES SIMPLES (Atómicas) Son siempre afirmativas y no se pueden descomponer. pone on one ner. ner r.

Pueden ser: A. PREDICATIVAS.- Aquellas que presentan, en su estructura, truc tru ru ucctttura, sólo un sujeto y un solo predicado (el sujeto uc puede hallarse tácito).

Ejm.: - Los huancayinos son alegres.

- Las ballenas son mamíferos.

B. RELACIONALES.- Presentan en su estructura un vínculo, dos sujetos o más.

Ejm.: - Pedro es amigo de José.

- La Trigonometría es más compleja que la Geometría.

- Lucho y Maricarmen se odian.

3.2 COMPUESTAS (Moleculares, Coligativas) Están constituída por más de una proposición simple unida por las conectivas y, o, entonces, si y sólo si, o la negación (no). Son las siguientes: A. Negativas.- Son las que presentan la negación (no, no es cierto que, es falso que, es mentira que, no ocurre que, etc.).

Ejm.: - Rocío no es menor de edad.

- Es falso que el gallo y la gallina sean acuáticos.

B. Conjuntivas .- Presentan como conectiva a la "Y". La conjunción puede hallarse tácita, o puede ser reemplazada por sus sinónimos: Como, pero, a la vez, además, incluso, también, aunque, a pesar, sin embargo, ni, etc.

Ejm. - Nelly y Roger son médicos - Ruby es lingüista también literata.

C. Disyuntivas.- Presentan como conectiva a la "O", "u", "o ... o...", son de dos tipos: Inclusiva o Débil.- Cuando de las alternativas que se proponen se cumplen todas ellas, ya sea al mismo tiempo o de manera alternada.

Ejm:

- Jennifer es cantante o abogada.

- La mesa es un mueble o es de madera.

Exclusiva o Fuerte.- Cuando de las alternativas que se proponen se cumple sólo una y se excluye la otra.

Ejm.: - César Vallejo murió en Lima o en París.

- O corremos o caminamos D.Condicional (Implicativa).- Presentan como conectiva la palabra "Entonces" o sus equivalentes: luego, por lo tanto, en conclusión, en consecuencia, de ahí, etc. Esta proposición indica una relación de causa - efecto, (antecedente - consecuente) La condicional se puede hallar tácita, sobrentendida.

Su esquema básico es:

Se divide en:

Condicional Directo.- Aquí se presenta primero el antecedente y luego el consecuente (causa - efecto).

Ejm.

Condicional Inverso.- Aquí se presenta nta primero nt rim m el consecuente luego el antecedente. Se usa las conectivas: dado que, puesto que, ya que, porque, si, i siempre siem siemp emp mp pre re que, cada vez que, etc.

Ejm.

Alex trabaja a

necesita dinero.

E. Bicondicional (doble implicación).- Presentan como conectiva iva a "Si y sólo si", o sus equivalentes: cuando y sólo cuando, entonces y sólo entonces, etc.

Ejm. - Edwin corre si y sólo si quiere llegar a la meta.

- Héctor se baña cuando y sólo cuando lo invitan a un matrimonio.

PRÁCTICA 01.Señale la proposición que no sea disyunción exclusiva: a) Mañana es lunes o martes. b) La cría de la perra es macho o hembra. c) Sara es estudiante o abogada. d) España está ubicada en Asia o Europa. e) O vamos a la discoteca o vamos a la biblioteca.

02. "Martha Hildebrandt es peruana porque nació en Lima", la afirmación anterior es una proposición: a) Simple. b) Compuesta. c) Conjuntiva. d) Condicional. e) Condicional inversa.

03. ¿Cuál de los siguientes es una proposición conjuntiva? a) Porque soy peruano, hablo en castellano. b) Así como estoy casado, soy mayor de edad. c) Lucrecio es médico o arquitecto d) Rony y Joel son socios. e) Sócrates bebió la cicuta y murió.

04.Relacione correctamente: I. Máximo tenía bolsa de viaje, sin embargo viajó. o no o viaj vi via II. El gato es un animal doméstico.

III. No se da el caso que el sol sea una estrella.

IV. Epicuro es hedonista o filósofo.

A. Negación.

B. Conjunción.

C. Disyunción.

D. Simple predicativa. a) IA -IIB-IIIC-IVD b) IB-IID-IIIA-IVC c) IC-IID-IIIA-IVB d) ID-IIA-IIIB-IVC e) IB-IID-IIIC-IVA 05. ¿Cuál es la conectiva que tiene mayor jerarquía en la siguiente afirmación?

"Carolina viajó a Brasil, también a E.E.U.U.; más aún, aprendió el idioma portugués e inglés.

Consecuentemente, su viaje fue exitoso". a) También. b) Más aún. c) Consecuentemente. d) e. e) Más aún y consecuentemente.

06. Señale la alternativa que sea una proposición condicional invertida. a) Si tomo cerveza entonces no tomo vino. b) Milagros aprobó el examen de ahí que le entregarán su título profesional. c) Los tigres son animales salvajes. d) Porque quiero estudiar en la universidad, me preparo adecuadamente.

e) John Locke fue empirista debido a que sostenía que la única fuente del conocimiento es la experiencia sensible.

07. "Tanto Rocky como Pedro son profesionales; si tienen título profesional". Lo anterior es : a) Una conjunción. b) Un condicional directo. c) Un condicional inverso. d) Una bicondicional. e) Una negación.

08. "Jhonson es líder u orador". ¿Qué tipo de proposición es? a) Conjunción. b) Disyunción exclusiva. c) Disyunción inclusiva. d) No es proposición. e) Simple.

09. Señale Ud, cuál es una proposición compuesta disyuntiva fuerte: a) Félix es cusqueño o peruano. b) O postulamos a la UNI o a UNMSM. c) Cuando corrí, llegué temprano. d) Puede ser que mañana llame por teléfono a mi amigo Arturo. e) El agua de mar es salada.

10. La expresión: "Los estudiantes universitarios pobres 10 sson estudiosos; sin embargo, tienen limitaciones Presenta como antecedente a: eeconómicas". co co ó a)) Tienen Tien limitaciones económicas. b) L Los o estudiantes universitarios pobres. c) Los os estudiantes universitarios tienen limitaciones económicas. d) Los universitarios son pobres y tienen limitaciones económicas. e) Ninguna, porque no es una proposición condicional.

11. ¿Cuál es una proposición compuesta? a) Shakira y Paulina Rubio son vecinas. b) Jennifer, la dueña de la botica, está embarazada. c) Los insectos son invertebrados. d) Todo hombre es racional. e) Los eucaliptos juegan y las palmeras bailan.

12. ¿Qué proposición es :"Es el caso que eres un buen postulante si te preparas en TRILCE"? a) Conjuntiva. b) Disyuntiva. c) Bicondicional. d) Condicional. e) Negativa.

13. Una proposición disyuntiva inclusiva, será: a) Héctor es soltero o casado. b) Si hay dinero, iremos de vacaciones. c) La leche está fría o caliente.

d) Rommel es líder u orador. e) Eres tú o soy yo quien se casará con Diana.

14. Una proposición es elemental cuando: a) Carece de oraciones. b) Tiene una sola oración. c) Contiene implicación. d) Se divide en dos o más significados. e) Posee un solo significado.

15. La finalidad de todo enlace lógico es: a) Relacionar variables entre sí. b) Encontrarse en una proposición básica. c) Establecer valores veritativos. d) Operar lógicamente. e) Formar proposiciones simples.

16. La proposición: "Aneth está en Lima o en Chincha", presenta una disyunción exclusiva porque: a) Está en los dos lugares a la vez. b) Está en Chincha sí y sólo si está en Lima. c) Se está en Lima entonces va a Chincha. d) No puede estar en los dos lugares a la vez. e) Puede al mismo rato ir a los dos lugares.

17. ¿Cuál no es una proposición conjuntiva?

I. Marco y Dante son amigos.

II. César es tan amable como Zoila.

III. A pesar que Juan es alto, no llega al techo.

IV. Hoy cantas pues estás feliz.

V. El niño llora si tiene hambre. a) I - II - III. b) III - IV - V. c) Sólo IV y V. d) I - IV - V. e) I - II - V. 18. Señale la correspondencia: 1. Si la puerta está abierta, sale el gato a la calle.

2. La historia es una ciencia social o fáctica.

3. Quizás vengas mañana si hoy es Lunes.

4. Puede ser que mañana te llame. a. b. c. d.

Disyuntiva.

Condicional.

No es proposición.

Condicional invertida.

a) 1c , 2a , 3b , 4d. b) 1b , 2a , 3d , 4c. c) 1d , 2c , 3a , 4b. d) 1a , 2b , 3c , 4d. e) 1b , 2a , 3c , 4b.

19. En las siguientes expresiones, marque aquella que es una proposición básica relacional: a) Todos los mamíferos son vertebrados. b) Juan y Lucio viajaron al Sur. c) Tanto Perú como Chile están al sur de América. d) Vargas Llosa y Bryce Echenique son contemporáneos.

e) Charo y Sophie son hermanas; pero no trabajan juntas.

20. ¿Cuál de los siguientes es un enunciado aseverativo lógico?

1. Mi deseo es trabajar por los pobres.

2. La teoría de la relatividad.

3. El sol es una estrella.

4. Ciertos mamíferos son carnívoros. a) Todos. b) 1 y 2. c) 3 y 4. d) Sólo 4. e) Ninguno.

21. La característica principal de una proposición coligativa, es que: a) Por lo menos tiene una proposición básica. b) Debe llevar cuantificadores. c) Debe llevar términos de enlace. d) Debe tener una copula. e) Relaciona necesariamente a dos sujetos.

22. Señale la correspondencia: 1. Amigo amable.

2. A pesar que te estimo, no te saludo.

3. Salgo de viaje puesto que es fin de año.

4. Marcelo y Rosita son compañeros. a. b. b. c. c. d.

Condicional.

Simple o atómica.

Conjuntiva.

C Simple Simple relacional.

Sim Si

a) 1a , 2b 2b , 3c , 4d. b) 1b , 2cc , 3a , 4d. c) 1d , 2a , 3b , 4c. d) 1a , 2d , 3b , 4c. e) 1c , 2d , 3b , 4a.

23. Indique cuál es una proposición conjuntiva: a) Sonia o Martha son médicas. b) El caballo relincha cada vez que trota. c) La Física es una ciencia fáctica ya que requiere de la matemática. d) Iré al cine; sin embargo, no te llevaré. e) Gloria y Ramón son amantes.

24. Señale cuál es una proposición simple: a) El gato y el lobo son carnívoros. b) Carola o Juana son enemigas de Pedro. c) Júpiter no es tan grande como el sol. d) Otras personas son más cultas que ustedes. e) El Perú y Bolivia son países tercermundistas.

25. No es característica de la proposición simple: a) Siempre es afirmativa. b) No se puede descomponer en varias proposiciones. c) Puede tener 2 sustantivos (sujeto compuesto). d) Puede ser interrogativa.

e) No puede ser negativa.

26. Señale Ud. cuál es proposición: a) Más bella que un amanecer. b) ¿Por qué me tratas mal? c) Trabajarás por las noches. d) A pan duro, diente agudo. e) ¡Gané la Tinka!

27. Señale Ud. cuál no es característica de la proposición: a) Toda proposición o es verdadera o es falsa. b) La proposición falsa se puede afirmar o negar. c) Toda oración exclamativa es una proposición. d) Dentro del razonamiento la proposición puede ser premisa o conclusión. e) La oración informativa puede ser proposición.

28. A qué clase de proposición corresponde: "La música es un arte a pesar que es un sentimiento". a) Simple. b) Disyuntiva. c) Condicional. d) Conjuntiva. e) No es proposición.

29. Señale qué aseveración es verdadera: a) Toda oración es una proposición. gaga aab) La proposición simple puede ser afirmativa o negativa. c) Toda condicional indica causa - efecto. d) La oración dubitativa puede ser proposición al forman parte de una compuesta. e) La proposición compuesta está formada por varias proposiciones simples.

30. Señale cuál no es característica de la proposición: a) Toda proposición o es verdadera o es falsa. b) La proposición falsa se puede afirmar o negar. c) Toda oración aseverativa es una proposición. d) La oración interrogativa puede ser proposición. e) Dentro del razonamiento, la proposición puede ser premisa o conclusión.

31. Indique cuál no es una proposición conjuntiva: a) "Emelly y Flavia son contadoras". b) "El caballo relincha a la vez que trota". c) "La Física es una ciencia táctica a pesar que requiere de la matemática". d) "Te amo, sin embargo no me casaré". e) "Gloria y Ramón son amantes".

32. La proposición: "Aunque esté caro compraré una computadora" es : a) Una disyuntiva. b) Simple predicativa. c) Simple relacional. d) Una conjuntiva. e) Un condicional indirecto.

33. En la siguiente lista de proposiciones relacione correctamente: 1. Condicional.

2. Disyuntiva.

3. Conjuntiva.

4. Simple relacional.

A. El león es un mamífero a la vez que carnívoro.

B. Arturo está a la derecha de Moisés.

C. El agua está salada porque es del mar.

D. Almorzamos estofado o arroz chaufa. a) C1 , D2 , A3 , B4. b) A1 , B3 , C3 , D4. c) B1 , C2 , D3 , A4. d) D1 , A2 , B3 , A4. e) D1 , A2 , B3 , C4.

34. De las siguientes proposiciones, cuál no pertenece a la disyunción fuerte: a) "Augusta es norteña o sureña". b) "César Vallejo murió en Lima o en París". c) "Te vistes o te desvistes para correr". d) "Vamos al parque de las leyendas o vamos a pasear". e) "El día de mi cumpleaños es el 26 o el 29 de agosto".

35. Señale cuál es una proposición compuesta: a) Voy al cine solo los domingos. b) b ¿Estás cansado y fatigado? c) c) Sergio es más hábil que Jorge. d)) Salgo Salg de viaje en invierno. e)) Juego la lotería sólo si no hay fraude.

Ju 36. El enunciado : "La Física es una ciencia; sin embargo no es complicada", posee básicamente: a) 2 proposiciones simples. b) 1 proposición compuesta. c) 2 proposiciones negativas. d) 1 proposición simple y 1 proposición compuesta. e) 1 proposición simple y 1 proposición compuesta condicional.

37. A la proposición simple se le conoce también como: a) Compuesta. b) Atómica. c) Molecular. d) Universal. e) Particular.

38. Indique la condicional inversa : a) Iré al concierto siempre que tenga dinero. b) El equipo peruano ganó ya que entrenó mucho. c) Nos divertimos mucho en la fiesta. d) Hace frío, por lo tanto me abrigo. e) a y b.

39. Señale lo correcto: a) Las expresiones imperativas son proposiciones. b) "Ojalá me regalen una bicicleta", es falso que sea

una proposición. c) El teléfono es chismoso. d) Sólo b. e) a y c.

40. Señale la proposición negativa simple: a) Pedro y Omar son desconsiderados. b) No ocurre si es de confianza, que traicione. c) Es falso que, Juan es inmoral. d) Mariela irá de viaje si y sólo si saca buenas notas. e) Es imposible que Juan mienta.

41. "El Imperio Incaico se encuentra en América del Sur"; es una proposición de tipo: a) Simple predicativa. b) Atómica relacional por ubicación. c) Simple predicativa de grado. d) Conjuntiva relacional. e) Atómica predicativa disyuntiva.

42. Son aquellas proposiciones que carecen de enlaces lógicos o conjunciones gramaticales, se refiere: a) Conjuntiva. b) Disyuntiva. c) Simple. d) Bicondicional. e) Negativa. a 43. Javier trabaja, además, estudia inglés; es una proposición. a) Simple. b) Coligativa. c) Compuesta. d) Molecular. e) Todas menos la a.

44. La Lógica Proposicional también es conocida como lógica: a) De clases. b) De predicados. c) Cuantificacional. d) De las proposiciones analizadas. e) De las proposiciones sin analizar.

45. Conector monádico, considerado también como modificador lógico: a) Conjunción. b) Disyunción. c) Negación. d) Condicional. e) Bicondicional.

46. Las proposiciones atómicas: a) Presentan operadores. b) Pueden ser negativas. c) Pueden ser falsas. d) Son divisibles. e) No son relacionales.

47. "Alberto y José son hermanos"; es ejemplo de proposición : a) Atómica. b) Conjuntiva. c) Molecular. d) Disyuntiva. e) Condicional.

48. "Cuando llueve en plena tarde soleada, se produce el llamado arcoiris"; es ejemplo de proposición: a) Conjuntiva. b) Simple. c) Condicional. d) Bicondicional. e) Disyuntiva.

49. "Estoy vivo o estoy muerto"; es una proposición: a) Disyuntiva débil. b) Conjuntiva. c) Condicional. d) Disyuntiva fuerte. e) Bicondicional.

50. Señale la proposición atómica: a) Luis y Alberto estudian juntos. b) No volveré a verla, amada mía. c) Ojalá llueva en la sierra de Lima. d) No es cierto que estudie en la UNI. e) Como practicas, dominas el curso. e) 51. ¿Qué corresponde a una proposición Qu Q u é estructura ué stru condicional? d icion a) .................. o .................. ... .. b) .................. de ahí que .................. c) .................. pese a que .................. d) .................. como .................. e) .................. sin embargo ..................

52. Ubique la proposición conjuntiva: a) No es cierto que cante y baile. b) Ángel y Melissa son vecinos. c) Entre Ica y Ancash está Lima. d) César y Andrés son médicos. e) Al igual que te amo, te odio.

53. ".................. debido a que .................. "; corresponde a: a) Condicional inverso. b) Condicional directo. c) Disyuntivo. d) Conjuntivo. e) Negativo.

54. Moro no fue romántico ni modernista. Por ello, no siguió una poética tradicional. ¿Qué conectores se indican? a) Negación - conjunción - condicional. b) Negación - disyunción - condicional. c) Negación - condicional - conjunción.

d) Negación - conjunción - bicondicional. e) Negación - conjunción - disyunción.

55. Proposición molecular que establece una relación de antecedente y consecuente: a) Conjunción. b) Disyunción. c) Condicional. d) Bicondicional. e) Negación.

56. Señale la expresión que establezca una disyunción exclusiva: a) Moro escribió en castellano o en francés. b) La proposición es verdadera o falsa. c) Paco toca guitarra o cajón. d) Postularé a San Marcos o a la Católica. e) Luis trabaja o estudia con dedicación.

57. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es proposicional? a) Zeus fue una divinidad griega o romana. b) Los Elfos son personajes de una obra literaria. c) El ornitorrinco es un mamífero, pero pone huevos. iad do d) El presidente del Perú no ha renunciado. ettzsche. che. che hee h e) La fascinante y compleja filosofía de Nietzsche.

58. "Darío vendrá hoy, solo si su hermano se queda en casa". Es una proposición: a) Condicional c) Disyuntiva e) Bicondicional

b) Negativa d) Conjuntiva

59. "Salma toca piano, también el violín". Es una proposición: a) Conjuntiva c) Condicional e) Negativa

b) Disyuntiva d) Bicondicional

60. ¿En cuál de los casos se emplea el conector "porque"? a) Fumo mucho ........ caeré enfermo. b) Estudio ........ aprobaré el examen. c) Salí temprano; ...... llegué tarde. d) Me abrigo .......... la temperatura es baja. e) Viajarás al Norte ........ te irás al Sur.

En nuestro quehacer diario, constantemente hacemos deducciones, esto significa que cada conclusión que establecemos se deduce de "algo"; este algo o punto de partida se llama "premisa". Por ejemplo, si exponemos un trozo de hielo al calor, se deduce que el hielo se derrite; o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo, deduce que va a llover; o también de "todos los mamíferos son vertebrados" se puede concluir en que "algunos seres vertebrados son mamíferos". De esta manera, se puede afirmar que constantemente existe un criterio lógico para el análisis de situaciones que permitirán establecer una noción científica de la realidad.

Por lo tanto. ¡Recuerda!

"La Lógica, justamente, es una ciencia que estudia los métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez de las inferencias, razonamientos o argumentos".

La Lógica, como conocimiento orgánico y sistemático, aparece por primera vez con Aristóteles (S. IV a. C.) quien la define como un "instrumento" que ayuda al hombre a razonar correctamente mejorando la investigación de la naturaleza ("Organon"). Su objetivo quedó definido como el análisis formal de los razonamientos. *

LA LÓGICA FORMAL Es una ciencia que busca hallar los esquemas universales y válidos en todo momento, según los cuales suele y debe pensar el hombre para alcanzar la verdad.

El objeto de estudio de la lógica formal es investigar la estructura de los conceptos, juicios y razonamientos, sus relaciones de validez, métodos y principios cip pio io que u la determinan. ue Actualmente, la lógica formal se ha tornado Lógica Matemática (o simbólica) cuyo objetivo es demostrar la "validez" do en nL Lóg de los argumentos simbólicos o formalizadoss ("La ("L L Lógica es la ciencia de la inferencia formalmente válida") La Pero, ¿qué es una "inferencia" y cómo se determina na su su "validez"?

Es una estructura de proposiciones donde a partir de u una o más de ellas, llamadas "Premisa(s)", se obtiene otra proposición que se llama "Conclusión" ón ; será válida cuando las premisas nte ttee entre sus componentes, es decir, impliquen a la conclusión; cuando existe relación coherente la conclusión se deduce lógicamente de las premisas. ¿Cómo se clasifican?

Las inferencias pueden clasificarse como: 1. Inferencias Inductivas: Son aquellas donde la conclusión es probable en relación a las premisas. Para obtener una inferencia inductiva, se parte de premisas particulares y luego se establece una conclusión general. Estas inferencias, desde el punto de vista de la Lógica, no son válidas ni inválidas.

Ejemplo: Bruno es psicólogo y ayuda a las personas.

Flavia es psicóloga y ayuda a las personas.

Arturo es psicólogo y ayuda a las personas.

Probablemente, todos los psicólogos ayuden a las personas.

2. Inferencias Deductivas: Son aquellas cuya conclusión es necesaria en relación a las premisas. Para obtener una inferencia deductiva se parte de premisas generales obteniéndose una conclusión particular.

Ejemplo: Todos los humanos son mortales.

Aristóteles es un ser humano.

Aristóteles es mortal.

A su vez, estas inferencias se clasifican como: A) INFERENCIAS INMEDIATAS: Tienen una premisa y una conclusión.

B) INFERENCIAS MEDIATAS: Tienen dos o más premisas y una conclusión.

PROPOSICIONES Las "proposiciones" son expresiones del lenguaje informativo que tienen la cualidad de ser verdaderas(V) o falsas(F), es decir, tienen valor veritativo.

Ejemplo: * La plancha es un artefacto eléctrico. * A. Salazar Bondy nació en el Perú. * 4+3=7 * Las aves son acuáticas.

Es necesario resaltar que, lo que interesa fundamentalmente de las proposiciones es su sentido de verdad o falsedad, dado que enunciados distintos pueden expresar una misma proposición.

Ejemplos: * Diego y Sebastián son hermanos. * Diego es hermano de Sebastián. * Sebastián es hermano de Diego.

Además, se debe tener en cuenta que expresiones diferentes idiomas, también pueden presentar una misma proposición. ess een di dife d ife Ejemplo: * Mariella y Ricky son estudiantes. * Mariella and Ricky are students.

FUNCIONES BÁSICAS DEL LENGUAJE: 1.

FUNCIÓN INFORMATIVA: Es aquella que se encarga de comunicar información que provienee d de la realidad que nos rodea, hace referencia o describe al Mundo Objetivo, mediante el uso de oraciones verdaderas o ffalsas (proposiciones). Es el lenguaje utilizado por las ciencias: Ejemplos: - La Lógica es una ciencia abstracta.

- Todo mamífero es un ser vivo.

- Trujillo es la capital de la primavera.

- Me preparo en la "TRILCE".

- Francia es un país latino.

2.

FUNCIÓN EXPRESIVA: Se encarga de comunicar acontecimientos que ocurren en el Mundo Subjetivo, es decir vivencias.

Ejemplos: - La vida es hermosa y vale la pena vivirla.

- ¡Oh más dura que el mármol, Galatea!

- Dios mío, estoy llorando el ser que vivo.

- Me gusta el vestido que compraste.

- Te amo, ven a mis brazos.

3.

FUNCIÓN APELATIVA: Se encarga de modificar, inducir o impedir la realización de una acción determinada utilizando para ello oraciones exclamativas. Se clasifican en órdenes, pedidos, sugerencias, preguntas, consejos, mandatos, súplicas, insinuaciones, etc.

Ejemplos: - Siéntate y escucha lo que te digo.

- Prohibido arrojar basura bajo pena de arresto.

- ¿Cuándo será el examen de UNMSM? - "Más vale ser cabeza de ratón que cola de león".

PRÁCTICA 01. La validez, en una inferencia se establece cuando: a) Hay verdad en sus proposiciones. b) El razonamiento es verdadero. c) Las premisas implican a la conclusión. d) La conclusión no es falsa si las premisas son ambiguas. e) Todas.

02. "Tu deber es ingresar a la universidad". ¿Qué función básica del lenguaje se cumple, en la oración anterior? a) Informativa. b) Directiva. c) Expresiva. d) Descriptiva. e) Referencial.

03. El objetivo más importante de la lógica en su aplicación a la ciencia y al discurso cotidiano es : a) La estructuración de las inferencias. b) La justificación y crítica de las inferencias. c) El análisis de la teoría proposicional. d) La validez de un esquema molecular conjuntivo. e) El pensamiento coherente.

04. La lógica es una ciencia formal, que estudia: ud dia: d dia ia a: a: a) Las proposiciones verdaderas. b) El pensamiento abstracto. c) La estructura válida de un pensar racional. d) La verdad derivada de una inferencia. e) El pensar correctamente y con coherencia lógica.

05. "Es una deducción donde el juicio concluyente se ha derivado lógicamente de una premisa". a) Inferencias inmediatas. b) Inferencia lógica. c) Razonamiento deductivo. d) Inferencias mediatas. e) Silogismo categórico.

06. En las siguientes alternativas, escoja la que define a una proposición: a) La mujer del César. b) Qué bonita es mi academia. c) Contigo me siento bien. d) Un lapicero es un lapicero. e) Debes ser fiel a tus principios.

07. El enunciado: "Si Raúl está después que Juan, entonces Diego no es el último", se denomina: a) Inferencia inmediata. b) Lógica proposicional. c) Inferencia mediata. d) Silogismo categórico. e) Proposición categórica.

08. El siguiente argumento: Todo piurano es norteño.

Algunos héroes son piuranos.

Muchos héroes son piuranos.

Se refiere a:

a) Un silogismo categórico. b) Un razonamiento. c) Un argumento mediato. d) Todos. e) a y b.

09. Señale una proposición verdadera: a) No hay peruanos que sean cubanos. b) Los gatos son pardos. c) Si Carlos estudia, Carlos ingresa. d) Los patriotas son rebeldes. e) Toda planta es saludable.

10. La lógica formal: a) Analiza contenidos. b) Formula silogismos. c) Analiza hipótesis. d) Fórmula teorías. e) Analiza estructuras.

11. Señale Ud. que función del lenguaje corresponde a la lógica: a) Directiva. b) Declarativa. c) Interrogativa. d) Activa. e) Reflexiva.

12. Qué función expresa el siguiente enunciado: "Quisiera sacarme la Tinka". a) Informativa. b) Reflexiva. c) Directiva. c) D d) Expresiva. e)) Activa.

A 13. Si al razonar encontramos que la conclusión no es falsa, se concluye que las premisas ........ a) Son afirmativas. b) Son verdaderas. c) Pueden ser negativas. d) Pueden ser ambas V y F. e) Pueden ser V y afirmativas.

14. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones no expresa una función lógica del lenguaje? a) ¡Te amo! b) Ojalá apruebe el examen. c) "Cállate". d) ¿Qué te pasa? e) Hoy es lunes.

15. Indique la aseveración que expresa una función activa: a) Mañana salgo de viaje. b) Los caballos son ágiles. c) ¡Qué amable! d) Te buscaré. e) "Ud. estudie".

16. ¿Qué aseveración expresa una función descriptiva? a) ¿Vas al cine? b) "Ud. no me mire". c) Elena es maestra. d) Flor, eres una buena amiga. e) Hoy me baño.

17. ¿Cuál de los conceptos no define la verdad? a) Correspondencia con la realidad. b) Reflejo de la realidad en el cerebro. c) Respeta las reglas. d) Cuando se repite tal como es. e) Producto de comprobar que es así.

18. ¿Qué aseveración es verdadera? a) Toda verdad es una afirmación. b) La verdad se puede negar. c) Lo falso es negativo. d) Un razonamiento puede ser verdadero. e) Lo inválido es falso.

19. Se cumple esta función cuando se transmiten conocimientos adquiridos de segundas o terceras personas : a) Declarativa. b) Activa. c) Interrogativa. d) Expresiva. e) Operativa.

20. El siguiente razonamiento es: Los físicos son científicos fácticos.

Los científicos fácticos son naturalistas.

De ahí que algunos naturalistas no sean físico. a) Inválido. b) Incorrecto. c) Verdad. d) Válido. e) Falso.

21. La validez se caracteriza por ser producto de ................. específicas. a) Un conjunto de verdades. b) El uso de reglas. c) Valores y normas. d) Afirmaciones. e) Aseveraciones.

22. No indica una función informativa: a) Hermosa mañana. b) Noche fría. c) Pantalón largo. d) Fiebre alta. e) c y d.

23. La Lógica, en sentido general, comprende el estudio de: a) La verdad. b) Las proposiciones. c) Los juicios válidos. d) Las inferencias. e) Los conocimientos formales.

24. ¿Cuál de las siguientes expresiones no pertenece al lenguaje usado por la Lógica? a) "La Lógica no estudia hechos fácticos". b) "El agua hierve a determinada temperatura". c) "Quisiera que estuvieras a mi lado". d) "No todo mamífero es vertebrado". e) "Es posible que algunos peruanos no sean ayacuchanos".

25. El siguiente argumento: "Si todo hombre es mortal, entonces algunos seres mortales son humanos" se clasifica como : a) Inferencia deductiva mediata. b) Inferencia inductiva inmediata. c) Inferencia deductiva e inductiva. d) Inferencia deductiva inmediata. e) Inferencia inductiva mediata.

26. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados : * Verdad y afirmación son lo mismo. * La Lógica es una ciencia de naturaleza formal. * Falsedad y negación no son lo mismo. * Las proposiciones pueden ser válidas o inválidas. a) FVFV. b) FVVF. c) VVFF. d) FFVV. e) VVVV. 27.

27 . La Lógica, se clasifica como una ciencia: a) Empírica. a b ) Social. b) c) Fáctica.

Fáctic F d) Formal.

Fo e) Natural. tur tu 28. Deducir, es una expresión lógica que significa: a) Inferir. b) Razonar. c) Argumentar. d) Llegar a una conclusión. e) Todas.

29. Señale una expresión que contenga una función del lenguaje lógico: a) "Todos los peces viven en los océanos". b) "La historia del hombre". c) "Los triángulos son amarillos". d) "Que hermosa luna llena". e) "Jamás te dejaré partir".

30. Para formar una inferencia, por lo menos deben existir: a) Dos proposiciones. b) Varias proposiciones. c) Una proposición. d) Tres proposiciones. e) Más de dos proposiciones.

31. El término "validez" es aplicable a ............... y esto se demuestra por el análisis de su ................. a) inferencias - contenido.

b) proposiciones - estructura. c) inferencias - estructura. d) proposiciones - contenido. e) la ciencia lógica - premisa.

32. Para que cualquier oración sea considerada una proposición lógica, es necesario tener en cuenta que : 1. La oración describa un hecho real.

2. La oración sea imperativa.

3. La oración sea aseverativa.

4. La oración contenga exclamaciones. a) 1 , 2 y 3. b) 1 , 3 y 4 . c) Todos son requisitos. d) Sólo 1 y 3. e) 2 y 4 .

33. ¿Cuál es el objeto de estudio de la Lógica? a) La proposición. b) La verdad. c) El pensamiento. d) La inferencia. e) La realidad. len engguaj uaje: jee 34. Una proposición es enunciada en un lenguaje: a ) Expresivo. b) Informativo. c) Apelativo. d) Desiderativo. e) a y c.

35. En una inferencia inductiva la conclusión es: a) Necesaria. b) Absoluta. c) Probable. d) Relativa. e) Contingente.

36. La Lógica aparece de manera orgánica en los escritos de: a) Platón. b) Sócrates. c) Thales. d) Aristóteles. e) Pitágoras.

37. Las inferencias se dividen en: a) Verdaderas - falsas. b) Válidas - falsas. c) Inductivas - deductivas. d) Simples - compuestas. e) Silogismos - inmediatos.

38. ¿Cuál no es una proposición? a) 2 + 3 = 6 b) Lima es capital de Chile. c) Vallejo es autor de Trilce. d) ¿Qué edad tiene Alberto? e) No es cierto que llueva.

39. Una proposición: a) Es aseverativa. b) Tiene valor veritativo. c) Carece de sentido. d) a y b . e) Todas.

40. ¿En qué función del lenguaje ubicamos a la proposición? a) Apelativa. b) Conativa. c) Informativa. d) Expresiva. e) Fáctica.

41. "¡Estoy harto de tus caprichos, mujer inmadura!" ¿En qué función del lenguaje se halla? a) Informativa. b) Apelativa. c) Emotiva. d) Fáctica. e) Representativa.

42. "¿Cuántos diálogos escribió Platón?"

Se halla en función: a) Apelativa. b) Expresiva. c) Fáctica. d) Informativa. e) Poética.

43.

43 Inferencia que presenta una premisa de la cual se deriva 43 una una cconclusión. a) Inductiva. b)) Mediata.

M c) F Falacia. d) Proposición. e) Inmediata.

44. Constituye una proposición: a) 2x + 1 = y b) Marte tiene dos satélites. c) Tus cejas son dos aves heridas. d) ¿Qué edad tienes? e) Joven, deje de hablar.

45. VERDAD a) Validez b)Inferencia c) Validez d)Premisas e) Conclusión

: : : : : :

PROPOSICIÓN : pensamiento. falsedad. inferencia. razonamiento. validez.

46. Una inferencia puede ser: a) Verdadera o falsa. b) Deductiva o inductiva. c) Válida o deductiva. d) Falaz o inválida. e) Deductiva o silogística.

47. Una inferencia inductiva se define por su carácter de: a) Necesidad. b) Validez. c) Falsedad. d) Probabilidad. e) Inconclusa.

48. De las siguientes expresiones: I. C. Vallejo es poeta europeo.

II. A. Einstein es físico.

III. Estudia para que ingreses.

IV. Te deseo suerte en el examen. a) Dos no son proposiciones. b) Ninguna es proposición. c) Todas son proposiciones. d) Una es proposición. e) Tres son proposiciones.

49. La Lógica según Aristóteles es: a) Ciencia primera. b) Ciencia del pensamiento. c) Instrumento para pensar. d) Razonamiento coherente. e) Método matemático.

50. Con respecto a la Lógica, marque V o F: I. Es una ciencia del pensamiento. ( ) II. Es una ciencia de la inferencia. ( ) III.El padre de la Lógica no es Aristóteles ( ) IV.Es una ciencia formal ( ) a) VVVV. b) FVFV. c) FVVF. d) VFFV. e) FVFF. 51. En toda inferencia válida: a) La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. b) Las premisas se derivan de la conclusión. c) Hay coherencia con la realidad observada. d) Las proposiciones son las premisas y la conclusión. e) Todas las proposiciones deben ser verdaderas.

52. De las siguientes expresiones, indique cuál es proposición: a) Tengo que ingresar a la UNI. b) Deseo estudiar arquitectura. c) Prohibido fumar. d) x + 1 = y e) 2 > 4 53. Un silogismo presenta: a) Dos inferencias. b) Una premisa y conclusión. c) Dos conclusiones. d) Un par de premisas. e) Sólo premisas.

54. Una inferencia donde la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, se dice que es: a) Incoherente. b) Falaz. c) Inductiva. d) Verdadera. e) Válida.

55. P. Todo hombre es mortal.

C. Algún hombre es mortal.

Lo anterior es un ejemplo de: I. Inferencia.

II. Silogismo.

III. Deducción.

IV. Inducción.

V. Mediata.

VI. Inmediata. a) I , III , VI. b) I , III , V. c) II , V. d) I , IV , VI. e) Sólo II. 56. Si llueve, no seca la ropa. Llueve. Por ello, no seca la ropa.

Es una inferencia: a) Inductiva. b) Deductiva. c) Mediata. d) Inmediata. ee)) b y c 57. INDUCCIÓN NDU DUCCIÓ UCCIÓ a) Proposición ro op p b)Inferencia en c) Deducción d)Lógica e) Premisa

: : : : : :

PROBABILIDAD verdad. validez. necesidad. inferencia. conclusión.

58. Es correcto sobre la Lógica: a) Determina el origen de los razonamientos. b) Estudia las leyes del pensamiento. c) Investiga hechos de la realidad. d) Determina la validez de inferencias. e) Estudia la coherencia del lenguaje.

59. La proposición se caracteriza por: a) Ser verdadera o falsa. b) Ser exclamativa. c) Ser compuesta. d) Afirmar. e) Tener operadores.

60. El enunciado "Cambiáte y vámonos a comprar", pertenece a qué función del lenguaje. a) Informativa. b) Expresiva. c) Conativa. d) Directiva. e) c y d.

Aritmética 1.

Dadas las proposiciones p: Edgar es profesor, q: Matías es ingeniero, r: David es médico. Hallar la expresión simbólica del enunciado: “Si Matías no es ingeniero y no es cierto que Edgar sea profesor, porque David es médico”. aq p) o (p v r) A) (a D) (q v p) o r

B) (aq ap) o (p v r) E) (ap aq) o ar

C) r o (aq ap)

Solución: p: Edgar es profesor, q: Matías es ingeniero, r: David es médico “Si Matías no es ingeniero y no es cierto que Edgar sea profesor, porque David es médico”.

CLAVE: C r o (aq ap) 2.

Determine cual o cuales de las siguientes proposiciones son contingencias: i) (~ p o q) l (p q) ii) (p q) ' ~ p iii) (p ' q) o (p q) A) i y ii

B) i y iii

C) Sólo i

D) Sólo ii

E) ii y iii

Solución: p q V V V F F V F F

(i) (~ p o q ) l (p q) F V V F V F V V V V F F

V V V V

(ii) (p q)'~p

V V V F

Luego: (II), (III) son contingencias.

V V V F

V F V F F V V V

(iii) (p ' q) o ( p q) F V V F V F F V

V F F F CLAVE: E

3.

Si la proposición (a ar s) l [ (p ' as) l (p aq) ] es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicado.

I. (as q) ' p II. a[(aq l r) o t] III. [p (q s)] l [(r o q) a(q t)] A) VVV

B) VFV

C) FFF

D) FFV

E) FVF

Solución: (ar s) l [ (p ' as) l (p aq) ] { F F p' F F p V V F V F V V F p { F; q { F; r { F; s { V I. (as q) ' p { (aV F) ' F{ F ' F { F II. a[(aq l r) o t] { a[(aFl F) o t] { a[F o t] { a[V] { F III. [p (q s)] l [(r o q) a(q t)] { [F (F V)] l [(F o F) a(F t)] { FlV{F CLAVE: C 4.

Dadas las proposiciones M y N tales que M{p (p (p (p … …(p q)…

…))))

abcb5 paréntesis N{ap (p (ap (p … …(ap q)…

…))))

2014 paréntesis Simplifique la proposición [ M o ( N M) ] A) a q

B) p a p

C) a p q

D) p a p

E) p

Solución: M{p (p (p (p …

…(p q)…

…))))

abcb5 paréntesis N{ap (p (ap (p … …(ap q)…

{ p p { p (absorción)

…)))){

2014 paréntesis Para una cantidad par de paréntesis: p q Luego N { a p ( p q ) { a p q (absorción) Luego [ M o ( N M) ] { p o [ (a p q) p] { a p ( p q ) { a p q CLAVE: C

5.

Se define p p V V F F

q según la tabla q V F V F

p

q F V F F

Halle la conclusión de la proposición {[( ap q) A) VFFV

B) FFVV

C) FFFF

q]

q}

D) FVVF

ap E) FVVV

Solución: p V V F F 6.

q V F V F

{[( ap q) q] q} ap F FV F V F V F F F FF F F F F F F V FV F V F V F V V VF V F V F F V

CLAVE: C

Simplificar la proposición { (p q ) [a(r o q) (aq o ar ) ] } [ (r aq) o q ].

A) p q

B) ap q

C) p aq

D) p q

E) ap aq

Solución: { (p q ) [a(r o q) (aq o ar ) ] } [ (r aq) o q ] ≡ { (p q ) [a(ar q) (q ar ) ] } [a (r aq) q ] ≡ { (p q ) [(r aq) (q ar ) ] } [(ar q) q ] ≡ { (p q ) [((r aq) q) ar ) ] } [(ar q) q ] ≡ { (p q ) [ (r q) ar ] } q ≡ { (p q ) [ (r ar) q ] } q ≡ { (p q ) [ V q ] } q ≡ { (p q ) V } q ≡ {p q} q≡ p q 7.

CLAVE: D

Si ( q o ‫ ׽‬t) es falsa y (p ∆ t) es verdadera, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicado. i) ‫ ׽[ ׽‬p (‫ ׽‬q ‫ ׽‬p)] ii) (p t) s iii) [p (‫ ׽‬q t)] ˩ [(p o q) ‫( ׽‬q t)] A) FFV

B) FVV

C) FVF

D) VFV

Solución: Como ( q o ‫׽‬t) ≡ F; (p ∆ t) ≡ V entonces q ≡ F, t ≡ V, p ≡ F i) ‫ ׽[ ׽‬p ˄ (‫ ׽‬q ˅ ‫ ׽‬p) ] ≡ F V

V V V

E) VVV

ii) (p ˅ t) ˅ s ≡ V V V iii) [ p ˅ ( ‫ ׽‬q ˄ t ) ] ˩ [ ( p o q ) ˄ ‫ ( ׽‬q ˄ t ) ] ≡ V V

V

V

V V

‫ ׵‬FVV 8.

CLAVE: B

­ 1 si "p"es T ® ¯ 2 si "p"es F Calcule el valor de F(c) + F(b) + F(a), donde c { ~ q o (~ p ~ q) b { > (r ~ p) (p q)@o r a { >q l (p q)@ l (q ~ p)

Se tiene que: F(p)

A) 5

B) 2

C) 3

D) 6

E) 4

Solución: c { ~ q o (~ p ~ q) { q (~ p ~ q) { ~ p (q ~ q) { ~ p V { V b { >(r ~p) (p q)@o r { >(p ~ p) (r q)@o r { >F (r q)@o r { F o r { V a { >q l (p q)@ l (q ~ p) { ~ (q ~ p) l (q ~ p) { F Por lo tanto F(c) + F(b) + F(a) = 1 + 1 + 2 = 4 9.

CLAVE: E

Si [ (~ p q) o (p r) ] { [ (s t) l (~ s ~ t)], la proposición [ (p r) o(s t) ] (q t), es equivalente a A) s

B) t

C) ~ t

D) ~ s

E) ~s t

Solución: [ (~ p q) o (p r) ] { [ (s t) l (~ s ~ t)] { [ (s t) l ~ (s t)] { F [ (~ p q) o (p r) ] { F F V V F F V F p { F, q { V, r { F Luego [ (p r) o(s t) ] (q t) { [ (F F) o(s t) ] (V t) { [ F o (s t) ] (V t) { V t { t CLAVE: B

10. Se define p q { a(p q) l p, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicado. aq)

I. [(p A) VFF

q] l q

II. (p

B) FVF

aq) ' a(ap o q)

C) VFV

III. (ap

D) FFV

aq) l (p aq)

E) VVV

Solución: p q { a(p q) l p ≡ [(p q) ap] [a(p q) p] ≡ [(p q) ap] [(ap aq) p] ≡ [(p q) ap] F ≡ [(p q) ap] ≡ ap q I. [(p aq) q] l q ≡ [(ap aq) q] l q ≡ [a (ap aq) q] l q ≡ [(p q) q] l q ≡ q l q ≡ V II. (p aq) ' a(ap o q) ≡ (ap aq) ' a(p q) ≡ a(p q) ' a(p q) ≡ F III. (ap aq) l (p aq) ≡ (p aq) l (p aq) ≡ V CLAVE: C 11. Clasifique las siguientes proposiciones como tautología (T), contradicción (F) o contingencia ( C ), en el orden indicado.

I. ( p o q ) o aq II. (a q p ) ' [ p ' ( p q) ] III. ( q ' a p ) l ( p ' q ) A) TFC

B) FTC

C) TCF

D) CTF

E) CCT

Solución: I. (p o q) o aq ≡ a(ap q) aq ≡ (p aq) aq ≡ aq … ( C )

12.

II. p V V F F

q V F V F

(aq p ) ' [ p ' (p q)] F V V V V F V V V V V V F V F F F V F V V V V F V F F F …(T)

III. p V V F F

q V F V F

( q ' ap ) l ( p ' q ) V V F F F F F F F V V F V F V F V V F F …(F)

CLAVE: D

Si p # q ≡ a( q o p) y p q ≡ (q o p), simplificar la proposición {q [(p (r # s)) p]} o [( ap # aq) a q] A) p q

B) p q

C) p

D) q

E) s

Solución: p # q ≡ a( q o p) ≡ a( aq p) ≡ q ap ≡ ap q p q ≡ (q o p) ≡ aq p ≡ p aq {q [(p (r # s)) p]} o [( ap # aq) a q] ≡ {q [(p (ar s)) p]} o [( p aq) a q] ≡ {q p} o [( p aq) q] ≡ {q ap} o [q p] ≡ a{q ap} [q p] ≡ {aq p} [q p] ≡ p q CLAVE: A

1.

“Si Adán comió la manzana entonces Eva lo tentó”, equivale a A) Si Adán no comió la manzana, entonces Eva lo tentó B) Adán no comió la manzana pero Eva lo tentó C) o Eva lo tentó o Adán comió la manzana D) Si Eva no lo tentó, Adán no comió la manzana E) Ya que Eva lo tentó, Adán no comió la manzana Solución: p : Adán comió la manzana q : Eva lo tentó “Si Adán comió la manzana entonces Eva lo tentó” p o q A) B) C) D) E)

2.

apoq ap q p'q aqoap≡poq qoap

CLAVE: D

Determine cuantas de las siguientes proposiciones son contradicciones.

I) ~ p ' ( q ~p ) II) p ( q o p ) III) p ( q ~p ) IV) ( p o q ) ( p ~q) A) 2

B) 3

C) 0

(I) ~ p ' ( q ~p )

(II) p (qop)

D) 1

E) 4

(III) p ( q ~p )

(IV) ( p o q ) ( p ~q)

Solución: p q V V V F F V F F

V F F F

V V F V

Luego sólo (IV) es contradicción

V F F F

F F F F CLAVE: D

3.

Si el valor de verdad de la proposición { (a p a q ) o { a ( p q ) [ a p o ( p q ) ] } } Δ q es falsa, halle el valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones en el orden indicado: I. q Δ p II. (p o q) (q o p) III. ap q A) FFV

B) FVV

C) VFV

D) VVF

E) FFF

Solución: { (a p a q ) o { a ( p q ) [ a p o ( p q ) ] } } Δ q { a( p q ) o {a ( p q ) [ p ( p q ) ] }Δ q ( p q ) { a( p q ) p } Δ q { ( p q ) p }Δ q pΔq F luego p , q son iguales.

I. q Δ p ≡ F

4.

II. (p o q) (q o p) ≡ V

III. ap q ≡ V

CLAVE: B

¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes proposición (p o p) o r?

a la

I. [( p q ) p] o r II. ( r q ) a( ar q ) III. ( p ar) a( p r ) IV. [p ( q p ) ] o ( p r ) A) i

B) i y iii

C) ii

D) ii y iv

E) iii y iv

Solución: Tenemos que (p o p) o r ≡ r V or i. [( p q ) p] o r ≡ p o r (NO) ii. ( r q ) a( ar q ) ≡ ( r q ) (r aq) ≡ r (q aq) ≡ r (SI) iii. ( p ar) a( p r ) ≡ ( p ar) (ap ar ) ≡ [( p ar) ar] ap ≡ ar ap (NO) iv. [p ( q p ) ] o ( p r ) ≡ p o ( p r ) ≡ ap ( p r ) ≡ V (NO) CLAVE: C 5.

Si p(x): x2 = 16, q(x) = x – 3 = 8 y r(x): x + 4 < 9; determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, en el orden indicando I. p(–4) o [~ q(2) ~ r(3)] II. >r(2) ~ p(2)] o r(1) III. >q(3) l p(4)@ l [r(6) ~ p(2)] A) FFV

B) FVV

C) VVV

D) VVF

E) FFF

Solución: I. p(–4) o [~ q(2) ~ r(3)] ≡ V o [~ F ~ V] ≡ V o V ≡ V II. >r(2) ~ p(2)] o r(1) ≡ >V ~ F] o V ≡ V o V ≡ V III.>q(3) l p(4)@ l [r(6) ~ p(2)] ≡ >F l V@ l [F ~ F] ≡ Fl F ≡ V 6.

Si p * q ≡ ( p q ) a ( a p q ), simplificar la proposición >(p*aq)*ap@ a>(p*r) (q*r)@ A) q a q

B) p a p

C) p q

D) p q

Solución: p * q ≡ ( p q ) a ( a p q ) ≡ ( p q ) ( p aq ) ≡ p aq Luego > ( p * a q ) * a p @ a > ( p * r ) ( q * r ) @ ≡ > (p q) * a p @ a > ( p ar ) ( q ar ) @ ≡ > (p q) p @ a > ( p q ar ) @ ≡ (p q) [a ( p q) r @ ≡ F ≡ q a q 7.

CLAVE: C

E) p

CLAVE: A

Indique cuántas de las siguientes proposiciones lógicas son tautologías I. [ap (q o r)] l [p o (aq r) ] II. [ap l q] [ (p o aq) (q Δ p)] III. (q l p) [(q p) a (p q)] IV. [a(p o q) (aq p) ] A) Cero

B) Uno

C) Dos

D) Tres

E) Cuatro

Solución: I. [ap (q o r)] l [p o (aq r) ] ≡ [ap (aq r)] l [ap (aq r) ] ≡ V II. [ap l q] [ (p o aq) (q Δ p)] ≡ [ap l q] [ (ap aq) (q Δ p)] ≡ [ap l q] [a(p q) (q Δ p)] ≡ (q Δ p) [a(p q) (q Δ p)] ≡ (q Δ p) ≡ C III. (q l p) [(q p) a (p q)] ≡ (q l p) a (q l p) ≡ V IV. [a(p o q) (aq p) ] ≡ [a(p q) (aq p) ] ≡ [(ap aq) (aq p) ] ≡ p aq CLAVE: C 8.

Si p # q está definido por la tabla

p

q

p#q

V V F F

V F V F

V V F V

Simplifique la proposición (p # q) # p.

A) ~ p

B) ~ q

C) p q

D) p q

E) p ~ p

Solución: p q (p # q) # p V V F F

V F V F

V V F V

V V V V V F V F

CLAVE: E

9.

Simplifique la proposición p ' {q [ (poq) (po h)] [ q '(h a h)]} A) h

C) h q

B) p

D) p aq

E) ap

Solución: p ' {q v [ (ap v q) (ap v h)] v [ q '(h va h)]} ≡ p ' {q v [ (ap v q) (ap v h)] v [ q '(h va h)]} ≡ p ' {q v (q ' T) v (ap v (q h))} ≡ p ' {q v aq v (ap v (q h))} ≡ p ' {T v (ap v (q h))} ≡ p ' T ≡ ap q según la tabla de valores de verdad

10. Se define r q V V F F

CLAVE: E

r V F V F

r

q F F V F

Determine la conclusión de la proposición r A) VVFV

B) VVFF

Solución: q r V F V F F V F F

r V F V F

C) VFFF

{( q ar) V V V F F V F V V F F F F F F V

>( q D) VFVF

( aq r )} F F F V F F F F F V F V F V V F

ar) ( aq

r)]

E) FVVF

CLAVE: D

Lógica Proposicional Sigo practicando 16. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas? a) El Perú cumplió 198 años de fundación. b) María es esposa de José y ama de casa. c) Él es el mejor escritor peruano. d) ¡El mejor equipo del mundo es el Barcelona de España! a) 0 b) 3

c) 1 d) 2

e) 4

17. Realiza la tabla de valor de verdad del siguiente esquema molecular. e indica que tipo de proposición es. a) Tautológico b) Contradictorio c) No se puede determinar d) Ambiguo e) Contingente 18. Simboliza la siguiente proposición.

Ricardo ira a la fiesta, si solo si lo acompaña Ivet y Yenni. a) b) c) d) e) 19. Si las siguientes proposiciones: y son verdadera y falsa, respectivamente, determina los valores de verdad de: I) II) III) a) FVF c) FVV e) VVV b) FFV d) VVF

20. Si la siguiente preposición lógica compuesta es fal sa, determina el valor de verdad de cada propos ción: Si Richard trabaja bien y no comete errore entonces no corregiriamos tantos errores. a) VVF c) FVV e) VVV b) VFV d) FFF

21. Del resultado de la tabla de verdad del siguient esquema molecular: , se tien que la diferencia entre la cantidad de verdades falsedades es: a) 1 c) 5 e) 7 b) 3 d) 6

22. Los valores de verdad de las siguientes proposicione a) (3 + 5 = 8) v (5 – 3 = 4) b) c) d) Son respectivamente: a) VVVV c) VVFF b) VVFV d) VFVF

e) FFVF

23. Sean las proposiciones: p = 23 + 32 = 17 q = 74 = 2401 r = 32 + 43 > 150 Los valores de verdad de los siguientes esquema moleculares son respectivamente.

• • • a) FFV c) VVV e) FFF b) VVF d) FVF

24. Si r = V ; p = V y s = V los valores de las siguiente proposiciones son: a) [(p↔~s)→r] b) (p→~s)Δ(r∨s) c) [~r∧~(s↔~p)] a) VVV c) VVF e) FFF b) VFV d) FFV

25. Si “x” es un número impar e “y” es par determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

I. y + x = impar II. xy = número negativo III. x.y = par a) VVF c) FVF e) VVV b) VFF d) VFV 26. De los siguientes esquemas moleculares, ¿Cuántos son tautológicos? a) b) c) d) a) 0 c) 3 e) 4 b) 2 d) 1 27. Simboliza las siguientes proposiciones lógicas.

• No es el caso que Orlando sea jugador y árbitro.

• Jorge practica tenis pero no asiste al club. a) b) c) d) e) 28. Indica la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si h y k son enteros divisibles por 10, entonces la suma y la diferencia de ellos termina en la cifra 0.

II. Si h y k son múltiplos de 9 con h > k > 0, entonces el cociente h/k es un múltiplo de nueve.

III.Si h y k son múltiplo de 8 con h; k > 0, entonces el MCD (h; k) es un múltiplo de ocho. a) VFV c) VVV e) VVF b) FFF d) VFF 29. Determina los valores de verdad de p, q y r si se sabe que: es verdadero a) VFV c) FVV e) VVF b) VFF d) FVF 30. Si las siguientes proposiciones no son falsas: a) b) (p→q)↔q Determina los valores de verdad de: • • • a) FFF b) FVV

c) VVV d) FVF

e) VFF

Claves 16.

17.

d e

21.

22.

b a

26.

27.

d d

18.

b

23.

b

28.

a

19.

20.

e b

24.

25.

c d

29.

30.

a d