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EsercizioVerificarechelafunzionedeterminantedefinitasull’insiemedellematriciM2×2avaloriinRnon`elineareStabilireseT`elineare(infattigf(u+v)= g(f(u+v))=g(f(u)+f(v))=g(f(u)+g(f(v))=gf(u)+gf(v))EsercizioMostrarecheindicandoconR=T+Sl’applicazionedenitadaR(x)=T(x)+S(x)doveT edSsonoapplicazionilinearidaVinVeancoralineareEsercizioVerificarechelaApplicazionilineariSoluzioniEserciziEsercizioDireseleseguentiapplicazioni sianolinearionof:R!R;f(x)=x2+2xf:R!R,f(x)=sin2x+cos2xf:R2!R2,EsercizioMostrarecheindicandoconR=T+Sl’applicazionedenitadaR(x)=T(x)+ S(x)doveTedSsonoapplicazionilinearidaVinVeancoralineareEsercizioTrovaretutteleapplicazionilineariT:R4→R3talicheT(1;;0;0;0)=(1;2;1),e T(0;1;0;1)=(1;1;1)EsercizioEsercizisuapplicazionilineariPertuttoilseguito,senonspecificatoesplicitamenteKindichera`uncampoeV,W,Uspazi vettorialisuKCosedaricordareDefinizioneEserciziosvoltosulleapplicazionilineariConsideriamol’endomorfismofdiR3taleche:f=;f=;f=1;vogliamo determinarelamatriceAcheEsercizisvoltisulleapplicazionilineari.StabilireseT`elineare.Dataun’applicazionelineare,scriverlainformamatricialerispettoalle basicanonichedeglispazidipartenzaediarrivodell’applicazione(vediesercizionellapaginaseguente)ApplicazionilineariSuggerimentiSoluzioni CapitoloDiagonalizzazionedimatricieapplicazionilineariSuggerimentiSoluzioniApplicazionilineariindexApplicazionilineariNucleoeimmaginedi un’applicazioneIsomorfismodispazivettorialiLamatricerappresentativaIldeterminanteApplicazionilineariEsercizioSiaT:R3→R3l’applicazionedefinitadaT(x 1,x2,x3)=(x2,x2,2x3)Valelarelazionedim(V)=dim(Ker(T))+dim(Im(T))EsercizioSiconsiderilatrasformazionelineareT:R3→R3chehacomematrice associata,rispettoallabaseβ=(1,0,0)T;(0,1,0)T;(1,0,1)Tinpartenzaeinarrivo,lamatriceTheorem(Teoremadelladimensione)EsercizioSiaU= (x;y;z;t)talichex+y+z t=0;x+ESERCIZISULLEAPPLICAZIONILINEARI1)Siconsideril’applicazionelinearedaR4aR2denitada(x1;x2;x3;x4) 7!(x+xxx4;x+x4):Determinare(1)ilsuonucleoelasuaimmagine;(2)lacontroimmaginedi(1;1))Scriverel’espressioneincoordinatedell’endomorsmodiR3 denitoda(1;0;0)7!(0;1;1);(1;1;0)7!(0;0;1EserciziosvoltosulleapplicazionilineariConsideriamol’endomorfismofdiR3taleche:f=;f=;f=1;vogliamo determinarelamatriceAcherappresental’endomorfismorispettoallabasecanonicadiR3inpartenzaeinarrivoSoluzioneEsempioSiaT:R2!R3denitada T(x;y)=(x+y;2x3y;y)EsercizioStabilireseesisteunaapplicazionelineareT:R2→R2CapitoloApplicazionilineariSuggerimentiSoluzioni CapitoloDiagonalizzazionedimatricieapplicazionilineariSuggerimentiSoluzioniCapitoloProdottoscalare,ortogonalit´aebasiortonormaliSuggerimentiSoluzioni CapitoloEndomorfismiematricisimmetricheApplicazionilineariProprietàelementaridelleapplicazionilineariSianoV;W;ZspazivettorialisulcampoK)f(0V) =W(infattif(0V)=f(0v)=f(v)=W))g:W!ZSef;gsonolineari)gf:V!ZèlineareSol:Notiamocheilvettoreimmaginew:=(x+y;2x3y;y)dell’applicazioneTe descrittoApplicazionilineariEsercizioSiaT:R3→R3l’applicazionedefinitadaT(x1,x2,x3)=(x2,x2,2x3).VericareseTeunaapplicazionelineareomeno.Sia T:V!Wunaapplicazionelineare