Matematyczne zadania problemowe w klasach początkowych

Matematyczne zadania problemowe w klasach pocztkowych – midzy wiedz osobist a jej formalizacj

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow1 1

2010-03-02 11:16:15

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow2 2

2010-03-02 11:16:15

Alina Kalinowska

Matematyczne zadania problemowe w klasach pocztkowych – midzy wiedz osobist a jej formalizacj

Kraków 

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow3 3

2010-03-02 11:16:15

© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Impuls”, Kraków 

Recenzent: prof. zw. dr hab. Bogusław Śliwerski

Redakcja wydawnicza: Małgorzata Miller

Projekt okładki: Katarzyna Kerschner

Publikacja dofinansowana przez Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

ISBN ----

Oficyna Wydawnicza „Impuls” - Kraków, ul. Turniejowa / tel. () --, fax () -- www.impulsoficyna.com.pl, e-mail: impuls@impulsoficyna.com.pl Wydanie I, Kraków 

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow4 4

2010-03-02 11:16:15

Spis treci Wstp ...............................................................................................................



. Zadania tekstowe we wczesnej edukacji ........................................  .. Zadania matematyczne – ich tematyka i struktura ..........................  .. Klasyfi kacje i typy zadań ....................................................................  .. Cele i funkcje zadań tekstowych ........................................................  .. Podejścia do rozwiązywania zadań tekstowych ................................  ... Podejście sprawnościowo-obliczeniowe ..................................  ... Podejście poszukujące ...............................................................  .. Niektóre przyczyny matematycznych niepowodzeń uczniów ...........  . Wiedza osobista w rozwijaniu mylenia matematycznego w klasach najniszych .........................................................................  .. W poszukiwaniu definicji wiedzy ucznia ...........................................  .. Wiedza osobista i wiedza publiczna ...................................................  .. Konstruowanie znaczeń – natura konstruowania ............................  .. Wiedza osobista uczniów w rozwiązywaniu zadań tekstowych – między fabułą tekstu a strategią myślenia ........................................  . Rozwizywanie problemów przez najmłodszych uczniów .........  .. Myślenie twórcze i rozwiązywanie problemów .................................  .. Nauczanie problemowe w szkole ........................................................  .. Myślenie twórcze i rozwiązywanie problemów matematycznych w klasach najmłodszych ......................................................................  . Metodologia bada własnych ............................................................  .. Uzasadnienie przyjętego paradygmatu metodologicznego ...............  .. Przedmiot i cel badań .......................................................................... 

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow5 5

2010-03-02 11:16:15



Spis treci

.. Problemy badawcze i hipotezy badawcze ...........................................  .. Zmienne i wskaźniki badawcze ..........................................................  .. Metody, techniki i narzędzia badawcze .............................................  .. Organizacja i teren badań ...................................................................  . Nadawanie znacze matematycznych w transmisyjnym modelu edukacji wczesnoszkolnej – analiza jakociowa ..........  .. Edukacja transmisyjna zagrożeniem dla rozwoju myślenia matematycznego młodszych uczniów ................................................  .. Niepowodzenia uczniów w rozwiązywaniu zadań tekstowych i ich przyczyny ..................................................................................... ... Reprezentacje umysłowe pojęć matematycznych ................... ... Zakres nauczycielskiego przyzwolenia na samodzielne rozwiązywanie zadań twórczych przez uczniów .................... ... Matematyczne zadanie tekstowe – symulacja życiowego problemu czy schematy usztywniające myślenie .................... ... Znaczenie zadań problemowych w kontekście doświadczeń poznawczych słabszych uczniów ............................................. ... Metodyczne i merytoryczne błędy nauczycieli i kandydatów na nauczycieli ....................................................

     

.. Znaczenia nadawane przez nauczycieli i kandydatów na nauczycieli wczesnoszkolnej wiedzy matematycznej ...................  ... Myślenie matematyczne kandydatów na nauczycieli .............  ... Strategie rozwiązywania zadań problemowych przez studentów wczesnej edukacji .........................................  .. Nauczanie vs uczenie się matematyki ................................................  .. Uczniowskie błędy – niewykorzystany potencjał nadawania znaczeń matematycznych ...................................................................  . Rozwizywanie zada tekstowych przez najmłodszych uczniów w wietle wyników bada eksperymentalnych ...........  .. Wyniki klas II i III w zakresie rozwiązywania tekstowych zadań matematycznych w świetle badań ...........................................  .. Rozwiązywanie zadań problemowych – rozwój kompetencji uczniów w klasach II i III .....................................................................  .. Zależność między poziomem umiejętności uczniów w rozwiązywaniu zadań problemowych a poziomem kompetencji w rozwiązywaniu standardowych zadań tekstowych ....................... 

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow6 6

2010-03-02 11:16:15

Spis treci



. Konstruktywistyczna perspektywa wczesnoszkolnej edukacji matematycznej ......................................................................  .. W jaki sposób najmłodsi uczniowie mogą samodzielnie konstruować wiedzę matematyczną? .................................................  .. Konstruowanie znaczeń matematycznych przez najmłodszych uczniów przejawiające się w strategiach rozwiązywania zadań problemowych ...........................................................................  ... Odkrywanie reguł matematycznych .......................................  ... Tworzenie intuicji matematycznych ........................................  .. Pytania w uczeniu się matematyki .....................................................  .. Język codzienny ucznia – stymulacja czy ograniczenie znaczeń matematycznych ...................................................................  .. Miejsce zadań problemowych w edukacji matematycznej – refleksje nauczycielek po zakończeniu eksperymentu ......................  . Wnioski z bada ....................................................................................  Spis tabel .....................................................................................................  Spis wykresów i schematów ....................................................................  Bibliografia ...............................................................................................  Aneks ............................................................................................................... 

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow7 7

2010-03-02 11:16:15

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow8 8

2010-03-02 11:16:15

Wstp Badanie zjawisk zachodzących w procesie nauczania jest nieustającym wyzwaniem na całym świecie. Zmieniająca się coraz szybciej społeczna i naukowa rzeczywistość rodzi nowe dylematy związane z nowoczesnym kształceniem instytucjonalnym. Konieczna jest ewolucja postrzegania roli wiedzy szkolnej i jej użyteczności w procesie rozwoju jednostki. Jest to tym bardziej istotne, że szkoła jako instytucja znalazła się w kryzysie. Ukazywana jest, zdaniem Z. Kwiecińskiego, „jako skuteczne narzędzie adaptacji ludzi do istniejących struktur i stosunków panowania ekonomicznego, politycznego i ideologicznego, dystrybucji władzy i kontroli nad społeczeństwem”. Ciąży również na niej wiele zarzutów, między innymi została oskarżona o niszczenie w dzieciach zdolności i motywacji poznawczych, tłumienie ich zainteresowań, potencjału twórczego czy ograniczanie wiary we własne możliwości. Szkoła więc jest krytykowana na płaszczyźnie edukacyjnej, choć nie tylko.

Nauczanie matematyki również nie spełnia w wielu krajach pokładanych w nim oczekiwań. Zdaniem H. Poirier: „oficjalnie wszystko jest w porządku. Ale od kulis nauczanie matematyki jest oskarżane o wiele złego: zbyt niedostępne, zbyt mechaniczne, odarte z sensu. Królowa dyscyplin przechodzi kryzys bez precedensu”.

Konstruktywizm – jako teoria wiedzy – stworzył możliwości postrzegania z innej perspektywy, czym jest nauczanie i uczenie się w szkole, a także jakie skutki edukacyjne mogą być udziałem uczniów. Powstaje pytanie, czy owa perspektywa przełożyła się w polskiej rzeczywistości edukacyjnej na takie organizowanie zajęć szkolnych, aby możliwe było tworzenie procedur umysłowych, które stają się podstawą kompetencji rozwiązywania problemów. Zadanie to okazało się trudne.

Wskazuje na to niepokojąco wysoki odsetek młodzieży, który nie radzi sobie z rozwiązywaniem problemów. Osiągają w najlepszym razie efekty edukacyjne,

 Z. Kwieciński, Między patosem a dekadencją. Studia i szkice socjopedagogiczne, Wrocław , Wydawnictwo Naukowe Dolnośląskiej Szkoły Wyższej, s. .  Tamże, s. .  H. Poirier, L’echec des Maths a l’ecole. A qui la faute, „Science et Vie” , Num. , s. – –.

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow9 9

2010-03-02 11:16:15



Wstp

które J. Kozielecki określa jako posiadanie wiedzy biernej, którą, według niego, uczeń jedynie „zdolny jest [...] mechanicznie reprodukować, ale jednocześnie nie umie jej zastosować. [...] Takie bierne struktury poznawcze odgrywają minimalną rolę w sterowaniu zachowaniem”.

Prowadzone od kilku lat zewnętrzne sprawdziany dla klas szóstych i egzaminy gimnazjalne obnażyły problem niewystarczających osiągnięć naszych uczniów w tej dziedzinie. Potwierdzeniem są wyniki badań przeprowadzonych w ramach Programu Międzynarodowej Oceny Uczniów – OECD/PISA i opracowanych przez I. Białeckiego oraz J. Hamana. Ireneusz Białecki twierdzi, że uczniowie, „którzy dzisiaj mają wysokie kompetencje matematyczne i naukowe, już w niedalekiej przyszłości będą decydowali o sukcesie swojego kraju w rozwoju nowoczesnej, konkurencyjnej gospodarki. Z drugiej strony ci, których kompetencje w tych dziedzinach są najniższe, będą mieli trudności tak na rynku pracy, jak i we w pełni aktywnym uczestnictwie w życiu publicznym”. Według badań z  roku, uczniowie polscy w zakresie kategorii związanej z kompetencjami myślenia matematycznego i naukowego uplasowali się na trzeciej od końca pozycji. Słabe wyniki polskie mogą więc rodzić obawy, że nasi absolwenci będą mniej konkurencyjni na europejskim rynku pracy.

Wyniki badań z  r. w ramach tego samego programu potwierdziły zasadność owych obaw. Nowym obszarem poddanym badaniu była umiejętność rozwiązywania problemów. Barbara Ostrowska, jedna z autorek opracowania wyników, stwierdziła, że w tej dziedzinie „nasi uczniowie wypadli najsłabiej spośród testowanych w badaniach PISA dziedzin”. Wyraźnie zaznaczył się również niski poziom kompetencji związanych z myśleniem abstrakcyjnym rozumianym jako analiza i uogólnianie, a „nasi uczniowie radzą sobie gorzej niż przeciętny uczeń świata z zadaniami angażującymi myślenie abstrakcyjne”.

Polski matematyk A. Pelczar potwierdził słowa Ostrowskiej, pisząc, że „można chyba zaryzykować opinię o niepokojąco niskim poziomie edukacji matematycznej. Proste błędy logiczne i brak umiejętności posługiwania się matematyką są dość oczywistymi tego konsekwencjami”.

Pojawiają się również głosy wyrażające silny niepokój związany z możliwością obniżania się poziomu edukacyjnego już w klasach najmłodszych. Edyta Gruszczyk-Kolczyńska, opisując realizację niektórych założeń zintegrowanej edukacji, przedstawia z obawą o stan wiedzy matematycznej najmłodszych  J. Kozielecki, Koncepcje psychologiczne człowieka, Warszawa , Wydawnictwo Akademickie „Żak”, s. .  I. Białecki, J. Haman, Program Międzynarodowej Oceny Uczniów – OECD/PISA. Wyniki polskie – raport z badań, , http://www.men.waw.pl/oswiata/istotny/pisa.htm.  B. Ostrowska, „Rozwiązywanie problemów” w programie PISA [w:] Wyniki Badań PISA, http:// www.ifispan.waw.pl/pisa/praca.pdf.  Tamże.  A. Pelczar, Matematyka dla „wybranych”? „Forum Akademickie” , nr .

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow10 10

2010-03-02 11:16:15

Wstp



uczniów, zmiany w obecnie prowadzonych zajęciach szkolnych. Badania przeprowadzone przez W. Puśleckiego dotyczące kompetencji trzecioklasistów w wybranych zakresach językowych oraz wiedzy matematycznej również wskazują na niezadowalające wyniki, szczególnie te dotyczące rozwiązywania zadań z treścią. Jak wynika z przedstawionych danych, mniej niż połowa badanych trzecioklasistów osiągnęła odpowiedni poziom, przy czym uczniowie szkół wiejskich wypadli zdecydowanie słabiej.

Założenia edukacyjne obecnej reformy dawały nadzieję na otwarcie szkoły w kierunku kształcenia samodzielnego myślenia uczniów oraz zajmowania się problemami. Wśród umiejętności, na których rozwój nauczyciele w szkole podstawowej powinni, według autorów reformy, zwracać baczną uwagę, znajduje się kompetencja: „Rozwiązywanie problemów w twórczy sposób”. Szukanie nowych dróg postępowania w celu znalezienia nieznanego uczniowi wcześniej rozwiązania łączy się z twórczym i aktywnym działaniem. Oba te aspekty ludzkiego myślenia znalazły swoje miejsce, choć w różnym zakresie, w obecnych programach dydaktycznych i charakteryzują między innymi nauczanie problemowe. Jest ono coraz częściej wskazywane jako ten rodzaj działalności nauczycielskiej, który kontrolowany założeniami programowymi, pozwoli nauczycielom na przeniesienie ciężaru z działania typu nauczanie, na działanie uczniów typu uczenie się.

Szkoła z całym bagażem instytucjonalnych zalet i wad często niepokoi, szczególnie jako miejsce podejmowania licznych działań edukacyjnych pustych rozwojowo, które J. Rutkowiak porównuje do „nic nieznaczącego wypełniacza czasu i przestrzeni klas szkolnych”. Część dydaktyków wczesnej edukacji opisuje wiele niepożądanych elementów procesu nauczania obecnych w rzeczywistości szkolnej. Skutki braku krytycyzmu metodologicznego, czy świadomość barier blokujących zmiany w polskiej edukacji elementarnej skłaniają do namysłu nad nadal aktualnym pytaniem sformułowanym przez J. Kozieleckiego:  E. Gruszczyk-Kolczyńska, O niektórych pułapkach zintegrowanego kształcenia [w:] H. Moroz (red.), Edukacja zintegrowana w reformowanej szkole, Kraków , Oficyna Wydawnicza „Impuls”, s. .  W. Puślecki, Po trzech latach zintegrowanej edukacji, Kraków , Oficyna Wydawnicza „Impuls”, s. .  „Biblioteczka Reformy” nr , Ministerstwo Edukacji Narodowej o reformie programowej. I Etap Edukacyjny – kształcenie zintegrowane, , s. .  J. Rutkowiak, Zmiana edukacyjna w świadomości/nieświadomości nauczycieli, „Problemy Wczesnej Edukacji” , nr (), s. .  D. Klus-Stańska, Konstruowanie wiedzy w szkole, Olsztyn , Wydawnictwo UW; D. Klus- Stańska, M. Nowicka, Sensy i bezsensy edukacji wczesnoszkolnej, Warszawa , WSiP; E. Gruszczyk- Kolczyńska, O niektórych pułapkach zintegrowanego kształcenia [w:] H. Moroz (red.), Edukacja zintegrowana w reformowanej szkole, Kraków , Oficyna Wydawnicza „Impuls”; W. Puślecki, Po trzech latach zintegrowanej edukacji, Kraków , Oficyna Wydawnicza „Impuls” i inni.

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow11 11

2010-03-02 11:16:15



Wstp

„Jak kształtować aktywne doświadczenie jednostki, co robić, aby mogła ona sprawnie operować swoją wiedzą o świecie i o sobie?”. Pytanie to nie traci na swojej ważności w odniesieniu do wiedzy najmłodszych uczniów, szczególnie w perspektywie możliwości jej samodzielnego konstruowania, a początkowa wiedza matematyczna okazuje się wciąż słabo zbadana, mimo swojego znaczenia dla dalszego rozwoju myślenia matematycznego.

Praca niniejsza składa się z siedmiu rozdziałów. Pierwszy został poświęcony opisowi, czym jest tekstowe zadanie matematyczne. Jaka jest jego tematyka, struktura i rola w nauczaniu początkowym matematyki. Przybliżone również zostały dwa podejścia do rozwiązywania zadań tekstowych, które są obecne w literaturze przedmiotu.

Zawartość drugiego rozdziału koncentruje się wokół definicji wiedzy, jej rodzajów i sposobów powstawania w umyśle jednostki. Przedstawia znaczenie wiedzy osobistej ucznia w rozwiązywaniu tekstowych zadań matematycznych.

Rozdział następny został poświęcony zagadnieniom związanym z twórczym myśleniem i rozwiązywaniem problemów oraz możliwości ich zaistnienia w procesie edukacyjnym matematyki w klasach najmłodszych.

Czwarty rozdział zawiera opis i uzasadnienie przyjętego paradygmatu metodologicznego. Przedstawia przedmiot i cel badań oraz problemy i hipotezy badawcze.

Następne rozdziały mają charakter empiryczny. Rozdział piąty poświęcony został analizie jakościowej transmisyjnego modelu edukacji. Przedstawia niektóre płynące stąd zagrożenia dla myślenia matematycznego uczniów z najmłodszych klas. Podejmuje również próbę opisu, jakie znaczenia nadają nauczyciele i kandydaci na nauczycieli wczesnoszkolnym treściom matematycznym.

W następnym rozdziale zostały przedstawione ilościowe wyniki eksperymentu, a w ostatnim – siódmym z kolei została podjęta próba przybliżenia możliwości konstruowania wiedzy matematycznej przez najmłodszych uczniów oraz analizy uczniowskich znaczeń matematycznych przejawiających się w strategiach rozwiązywania przez nich zadań problemowych.

W zakończeniu pracy są zamieszczone wnioski z przeprowadzonych badań.

 J. Kozielecki, Koncepcje..., dz. cyt., s. .

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow12 12

2010-03-02 11:16:15

Wstp



*** Składam serdeczne podziękowania Pani Profesor Dorocie Klus-Stańskiej, dzięki której powstała ta książka. Spotkanie z Panią Profesor, Jej mądrość, życzliwość oraz okazane zaufanie zmieniły moje życie. Dziękuję za możliwość doświadczania nieustannej inspiracji intelektualnej oraz za wszystkie niezwykle cenne i pomocne uwagi. Szczególnie ciepło dziękuję mojemu mężowi Grzesiowi za wsparcie i cierpliwość.

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow13 13

2010-03-02 11:16:15

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow14 14

2010-03-02 11:16:15

. Zadania tekstowe we wczesnej edukacji .. Zadania matematyczne – ich tematyka i struktura Rozwiązywanie zadań tekstowych na lekcjach matematyki ma służyć ważnym i różnorodnym celom. W edukacji matematycznej najmłodszych dzieci jest postrzegane przez dydaktyków jako jedno z niezbędnych w kształtowaniu rozumienia matematyki. Kształcenie myślenia matematycznego w szkole powinno między innymi prowadzić do nabywania umiejętności rozwiązywania zadań tekstowych. Bez tej kompetencji funkcjonowanie matematyczne człowieka można by porównać do bardzo prostej maszyny liczącej, wykonującej podstawowe działania arytmetyczne. Nie o taki efekt edukacyjny walczą dydaktycy matematyki, zdając sobie sprawę z bogactwa procesów intelektualnych uruchamianych w sytuacji zadaniowej. Rozumienie zależności logicznych między liczbami występującymi w zadaniu matematycznym, dostrzeganie relacji między danymi, szukanie rozwiązania i wreszcie – obliczenie wyniku tworzą ciąg czynności, które powinny dostarczać uczniom doświadczeń z zakresu samodzielnego rozwiązywania problemów. Korzyści osiągane dzięki rozwiązywaniu zadań matematycznych są pojmowane wielotorowo, poczynając od najprostszego przeniesienia w postaci „opanowania podstawowych pojęć matematycznych”, aż po „rozwijanie postawy intelektualnej wyrażającej się w twórczym, logicznym i krytycznym myśleniu, samodzielnym pokonywaniu trudności i matematycznym analizowaniu zjawisk”.

Tekstowe zadanie matematyczne jest specyficznym, najczęściej spreparowanym i dostosowanym do potrzeb uczniów na odpowiednim poziomie nauczania oraz charakteryzującym się określoną strukturą konstruktem, który, według M. Cackowskiej, składa się z dwóch warstw: werbalnej i matematycznej. Strona werbalna charakteryzuje się specyficznym układem ciągów zdań powiązanych logicznie, zawierających również liczby, będące ze sobą w logicz E. Gruszczyk-Kolczyńska, Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki, Warszawa , WSiP, s. .  Tamże.  M. Cackowska, Rozwiązywanie zadań tekstowych w klasach I–III, Warszawa , WSiP, s. .  Tamże.

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow15 15

2010-03-02 11:16:15



. Zadania tekstowe we wczesnej edukacji

nych zależnościach. Analizując przykładowe zadania tekstowe, można stwierdzić, że zawartość zadania matematycznego składa się z historyjki opisującej pewną sytuację (zdarzenie życiowe) z wplecionymi liczbami jako wartością daną i poszukiwaną, wyrażoną „głównym pytaniem”. Zofia Cydzik uważa, że „zadanie tekstowe składa się z sytuacji życiowej i warunków matematycznych określonych za pomocą wielkości danych i wielkości poszukiwanej, powiązanych ze sobą takimi zależnościami logicznymi, których ustalenie prowadzi do odpowiedzi na główne pytanie w zadaniu”.

Autorzy podkreślają, że zadanie powinno zawierać w swoim tekście przykład sytuacji życiowej bliskiej doświadczeniom uczniów. Ma to znaczenie szczególnie na początkowym etapie nauki jako ułatwienie zrozumienia treści i powiązania jej z formułą matematyczną, pozwalającą zapisać sposób rozwiązania i w rezultacie odpowiedzieć na główne pytanie. Właśnie tematyka zadania, obok struktury, jest wskazywana jako ważny element, decydujący o zainteresowaniu ucznia, a w najmłodszych klasach jest traktowana jako istotny czynnik wpływający na chęć podjęcia pracy przez dziecko. Aktywność ucznia jest proporcjonalna do motywacji, więc umieszczenie w podręczniku zadań o treści zbliżonej do zainteresowań dziecka znacznie poprawiłoby nauczanie sposobów poszukiwania rozwiązywania. Prowadzone przez E. Stuckiego badania wykazały, że najchętniej rozwiązywane przez dzieci zadania traktują o samych uczniach, ich najbliższym otoczeniu, a w następnej kolejności o ich codziennych doświadczeniach życiowych. Tekst zadania dzięki swojemu podobieństwu do prawdziwej sytuacji praktycznej może, jego zdaniem, pomóc zrozumieć problem matematyczny. Bez zrozumienia trudne, a czasem niemożliwe jest przeniesienie rozwiązania na zapis symboliczny, czyli język matematyczny, konkretnej sytuacji opisanej w zadaniu. „Prawdziwość” czy praktycyzm tekstu zadania mogą się przejawiać też w zastosowaniu symulacji za pomocą konkretnych przedmiotów, stanowiących odpowiednik opisanych zależności. Symulacja jest również możliwa przy zastosowaniu innych pomocniczych przedmiotów, na przykład krążków. Dzięki temu symulacja może być etapem pośrednim w procesie matematyzacji, a praktyczne przedstawienie problemu stwarza możliwości w zakresie sposobu rozwiązania dla innych sytuacji podobnych. Odpowiedź na główne pytanie stanowi powód do satysfakcji z dobrze wykonanej pracy i gratyfikacji za strony nauczyciela.  E. Stucki, Metodyka nauczania matematyki w klasach niższych, cz. I, Bydgoszcz , Wydawnictwo Uczelniane WSP, s. .  Z. Cydzik, Poradnik metodyczny do nauczania matematyki w klasach I i II, Warszawa , WSiP, s. .  Tamże, s. .  E. Stucki, Metodyka nauczania..., dz. cyt., cz. I, s..  S. Turnau, Zadania tekstowe i nauczanie stosowania pojęć matematycznych [w:] Z. Semadeni (red.), Nauczanie początkowe matematyki, t. III, Warszawa , WSiP, s. .

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow16 16

2010-03-02 11:16:16

.. Zadania matematyczne – ich tematyka i struktura



Tekst zadania matematycznego może również wzbudzić zainteresowanie, kiedy znalezienie rozwiązania staje się źródłem ciekawej informacji z zakresu tematyki pozamatematycznej. Zaciekawienie wynikiem może się wiązać z konkretną informacją, na przykład: „Jaka jest rzeczywista wielkość słonia morskiego wyliczona za pomocą skali?”. Ten rodzaj zainteresowania ucznia przenosi ciężar badania rzeczywistości z problemu matematycznego na sytuację przyrodniczą, wymagającą zastosowania umiejętności matematycznych. Może się zdarzyć, że treść zwróci uwagę dziecka na problem ogólniejszy, związany z aktualnymi doświadczeniami poznawczymi. W związku z tym na przykład abstrakcyjne dla ucznia zagadnienie dotyczące działania silnika benzynowego może również zaciekawić go jako problem, ponieważ może być elementem jego, jak pisze S. Turnau, „intelektualnego środowiska”.

Nienajlepiej oceniana jest jakość zadań dla najmłodszych uczniów przez E. Stuckiego. „W obecnych podręcznikach nadal mamy stanowczo za mało zadań tekstowych, a te, które się proponuje, są mało interesujące pod względem tematyki i struktury”. Niepokoi niewystarczająca liczba zadań w podręcznikach, co może spowodować, że niektórzy nauczyciele nie będą widzieli potrzeby zajmowania się na etapie wczesnoszkolnym zadaniami w szerszym zakresie.

Niedostępność lub ograniczona dostępność zadań odpowiadających potrzebom poznawczym uczniów zaburza wspieranie rozwoju ich matematycznych kompetencji.

Również H. Moroz stwierdza, że w prowadzonych przez niego badaniach zadania konstruowane dla potrzeb podręcznikowych okazały się słabymi stymulatorami myślenia matematycznego, spełniając głównie rolę ćwiczenia sprawności rachunkowej, a ich wpływ na rozwój intelektualny uczniów był minimalny.

Doświadczenia matematyczne są udziałem dzieci dużo wcześniej, zanim umiejętności te zaczną podlegać szkolnemu rozwijaniu zgodnie z programem nauczania. Dzieci w wieku przedszkolnym już mają do czynienia w wielu przypadkach z matematyczną sytuacją zadaniową. Kiedy mają osiem cukierków i chcą obdzielić nimi po równo czterech swoich kolegów, szybko zorientują się, że dla każdego starczy po dwa. „Fabuła”, choć nie została zapisana i być może nie do końca nawet uświadomiona przez dziecko, stanowiła osnowę sytuacji, a poradzenie sobie z rozwiązaniem tego problemu nie stanowiło dla dziecka większej trudności. Wykonało ono dzielenie, nie uświadamiając sobie nawet stosowania matematycznych kompetencji. Rozwiązało zadanie tekstowe za pomocą dostępnych mu procedur. Większość dzieci przedszkolnych radzi sobie

 Tamże.  E. Stucki, Metodyka nauczania..., dz. cyt., cz. I, s. .  H. Moroz, Z doświadczeń nad modernizacją nauczania początkowego matematyki, Warszawa , WSiP, s. .

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow17 17

2010-03-02 11:16:16



. Zadania tekstowe we wczesnej edukacji

z tego rodzaju zadaniami życiowymi. W szkole sytuacja zmienia się i problemy pochodzące z ich, posługując się określeniem S. Turnaua, „intelektualnego środowiska”, zostają wyparte przez zadania proponowane przez nauczyciela lub podręcznik. Nie służą już z reguły rozwiązaniu osobistej rzeczywistej trudności, stając się problemem jedynie z tytułu nadania mu takiej roli przez nauczyciela.

Edyta Gruszczyk-Kolczyńska dostrzega, że dzieci przekształcają z powodzeniem sytuacje życiowe w zadania do rozwiązania, które najczęściej charakteryzują się niepełnymi danymi, ale barierą stają się dla nich podane w gotowej postaci szkolne zadania matematyczne. Zwraca uwagę na kilka przyczyn powodujących tę sytuację, wśród których wymienia te wynikające z aktualnie osiągniętego przez dziecko poziomu rozwoju intelektualnego i emocjonalnego, takie jak niedostateczne możliwości myślenia operacyjnego, oraz te związane ze sposobem realizowania programu szkolnego, czyli niezrozumienie przez dziecko konwencji szkolnego zadania matematycznego czy brak osobistego zapotrzebowania na rozwiązanie problemu. Problemy z zadaniami mają jednak nie tylko dzieci, które nie reprezentują niezbędnej dojrzałości intelektualnej i emocjonalnej. Według E. Stuckiego, również uczniowie zdolni nie są wolni od niepowodzeń, choć ich przyczyna jest zupełnie inna. Niepokoi go, że na lekcjach matematyki „struktury zadań są zazwyczaj proste i takie same”. Uczeń dobrze radzący sobie z nimi szybko przyzwyczaja się do schematu rozwiązania, angażując w coraz mniejszym stopniu myślenie matematyczne. Rozwiązywanie zadań tekstowych może zamienić się w czynność, która polega głównie na mechanicznym stosowaniu się do określonego przez nauczyciela sposobu postępowania. Zadanie może więc zatracić wszelkie znamiona problemu do rozwiązania w sensie samodzielnej, intelektualnej działalności ucznia.

Tak jak umiejętność czytania nie powinna być celem samym w sobie, lecz służyć do zdobywania informacji, przeżyć emocjonalnych, poznania świata, tak w nauczaniu matematyki umiejętność zapisu i wykonania działań arytmetycznych nie powinna stanowić jedynie ćwiczonej w zadaniach kompetencji rachunkowej. Ich rozwój powinien w pojęciu nauczyciela i dziecka skutkować tworzeniem coraz doskonalszych narzędzi do zapisu tego procesu myślowego, który dziecko wykonało, radząc sobie z problemem zawartym w zadaniowej historyjce.

Zadanie tekstowe ma charakterystyczną budowę, dość szczegółowo opisywaną w literaturze. Struktura ta stanowi swego rodzaju konwencję formułowania problemu. Sposób rozwiązywania, przejawiający się w liczbie wykorzystanych działań arytmetycznych, liczbie rozwiązań (jedno, wiele lub ich brak) czy korzystaniu z odpowiednich danych (odrzucanie danych niepotrzebnych  E. Gruszczyk-Kolczyńska, Dzieci ze specyficznymi..., dz. cyt., s. .  Tamże.  E. Stucki, Kształtowanie pojęć matematycznych w klasie I, Toruń , OCDN, s. .

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow18 18

2010-03-02 11:16:16

.. Zadania matematyczne – ich tematyka i struktura



lub wprowadzanie brakujących), a wreszcie rodzaj niezbędnych procedur i ich dostępność (znane, nieznane, pełne, niepełne) jest podstawą różnicowania zadań.

Edyta Gruszczyk-Kolczyńska definiuje strukturę zadania, jako stworzoną w określonej konwencji historyjkę, „w której podano wielkości liczbowe, a zależności między nimi podano słownie. W pytaniu końcowym określa się wartość poszukiwaną”.

Treść, ujęta w określone zwroty, odróżnia się od treści jakiejkolwiek historyjki naturalnej, zawierając informacje niematematyczne, ograniczone do minimum. Stanowi w ten sposób często wyznacznik pozwalający wyróżnić zadanie wśród innych sytuacji zadaniowych. W tekstowym zadaniu matematycznym struktura ma odmienny charakter od sytuacji życiowej, ponieważ podane tu jest „wszystko, co do znalezienia odpowiedzi jest potrzebne”.

Według Z. Cydzik, powinno ono być zbudowane w taki sposób, aby uczniowie mogli czytać je z odpowiednim nastawieniem, zdając sobie sprawę z tego, że liczby występujące w tekście są ze sobą logicznie powiązane, a ułożenie i zapisanie działania arytmetycznego pozwoli na podanie odpowiedzi na główne pytanie. W tym zakresie oczekuje się od nich, że wykonają kolejne, zaplanowane przez nauczyciela kroki, wiodące ich najkrótszą drogą do celu. Takie rozumienie procedury postępowania ucznia przy rozwiązywaniu zadań tekstowych niesie określone konsekwencje. Główny nacisk położony jest na skojarzenie przez dziecko określonych zwrotów typu: „jeszcze”, „dołącz”, „zabrano” itp. z zapisem odpowiedniego działania matematycznego, czyli wytworzenie w umyśle ucznia bezpośredniego związku symbolu matematycznego z odpowiednim słowem z języka potocznego. Z punktu widzenia nauczyciela pomaga to w szukaniu w tekście kluczowych słów wskazujących na działanie konieczne do rozwiązania zadania. Dziecko musi przeczytać ze zrozumieniem tekst zadania, aby mogło odnaleźć i zrozumieć w treści odpowiednie elementy opisujące związki logiczne między wielkościami matematycznymi. Jednak sztywno wymagany i ściśle określony przez nauczyciela sposób postępowania w przypadku rozwiązywania zadań może powodować, że podjęcie przez uczniów czytania jest z góry skierowane na wyłapywanie najważniejszych fragmentów i łączenie ich zgodnie z wcześniej wyćwiczonymi skojarzeniami dotyczącymi działań.

Według E. Stuckiego, uczniowie często podejmują właśnie takie czynności, manipulując liczbami, zmieniając dane w zadaniu czy wykorzystując je po prostu w kolejności pojawiania się ich w tekście. Jego zdaniem, jest to przyczyna niewystarczających osiągnięć uczniów w zakresie rozwiązywania zadań, a sytuację

   

E. Gruszczyk-Kolczyńska, Dzieci ze specyficznymi..., dz. cyt., s. .

H. Moroz, Wykłady o nauczaniu matematyki, Warszawa , PWN, s. .

Z. Cydzik, Poradnik metodyczny..., dz. cyt., s. .

E. Stucki, Metodyka nauczania..., dz. cyt., cz. I, s. .

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow19 19

2010-03-02 11:16:16



. Zadania tekstowe we wczesnej edukacji

tę może poprawić znalezienie ćwiczeń, które pozwolą lepiej zrozumieć uczniom strukturę zadania i jego treść.

Edmund Stucki poświęca wiele uwagi strukturze i tematyce zadań, traktując te elementy jako najważniejsze dla budzenia zainteresowania uczniów.

Uważa, że dla ich rozwoju myślenia ważny jest odpowiedni dobór zadań w tym zakresie, przedstawiający się następująco: w pierwszej kolejności powinno się proponować uczniom zadania o tej samej tematyce i tej samej strukturze, następnie zadania o tej samej tematyce i innej strukturze, a w końcu zadania o innej tematyce i innej strukturze.

Szerzej rozumie pojęcie struktury zadania matematycznego M. Cackowska, zwracając uwagę na warstwę werbalną struktury, stanowiącą fabułę o charakterystycznej budowie. Autorka opisuje dokładnie cechy, twierdząc, że „Spójność tej fabuły osiągana jest w ten sposób, że treść kolejnych zdań stanowi ciąg odpowiedzi na ukryte w tekście pytania. Ramę modalną tekstu zadania tworzy zdanie oznajmujące, pełniące funkcję formuły początku, oraz zdanie pytające bądź rozkazujące, które pełni rolę formuły końca”. Oprócz tak określonej części „fabularnej” zadanie powinno zawierać dane i niewiadome, które „mogą być wyrażone liczbami lub słownie, za pomocą terminów matematycznych”, między którymi są nakreślone związki za pomocą wyrażeń potocznych, możliwych do przełożenia przez dziecko na język operacji matematycznych.

Ustrukturowane na podobieństwo pewnej historyjki, która porusza temat atrakcyjny dla ucznia, zadanie matematyczne jako obiekt zabiegów edukacyjnych łączy, jak uważa E. Stucki, treści abstrakcyjne z praktyką życia codziennego. Jego zdaniem, treść zadania nie może być oderwana od znanej dziecku rzeczywistości, ponieważ staje się w ten sposób nieatrakcyjna i niezrozumiała, a w konsekwencji nie motywuje ucznia do rozwiązywania zadania. Struktura i tematyka zadań mogą więc stwarzać okazje do symulacji prawdziwych sytuacji życiowych. Być może ważność tego problemu stała się jedną z przyczyn wyróżnienia wśród szkolnych zagadnień matematycznych zadania tekstowego, między innymi przez zdefiniowanie jego struktury, określenie celów i zadań, jakim podlegają, oraz ustalenie typologii.

 E. Stucki, Metodyka nauczania..., dz. cyt., cz. I, s. .  Tamże, s. .  M. Cackowska, Rozwiązywanie zadań tekstowych w klasach I–III. Poradnik metodyczny, Warszawa , WSiP, s. .  Tamże, s. .  E. Stucki, Metodyka nauczania..., dz. cyt., cz. I, s. .

Kalinowska_Rozwiazywanie tekstow20 20

2010-03-02 11:16:16