UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
UNIDAD 2 FUNCIONES Estoy bien, estudio bien
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FUNCIONES
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD A través del desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante identifique las diferentes conceptos de las funciones, además de entender el funcionamiento de las mismas de acuerdo a sus necesidades.
OBJETIVOS – PROBLEMAS
El estudiante desarrollarla destreza en los conceptos de funciones, graficas y propiedades que le permitirán identificar en estas conceptos fundamentales para aplicarlo en problemas relacionados a su ámbito laboral.
EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA
Concepto de Funciones Herramientas para el estudio de las funciones Características de las funciones matemáticas
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REFERENTES TEÓRICOS
Función Cuando mencionamos en el contexto matemático a palabra función a veces desconocemos que este concepto está muy ligado a nuestro ámbito cotidiano con situaciones puntuales tales como cuando compras un artículo en una cadena de tienda cuando utilizas el peso automático para pesar un producto y saber cuánto tienes que pagar, cuando te acercas a la estación de gasolina y relacionas el dinero con la cantidad de galones que le suministran a tu automóvil entre otros. Teniendo esto en cuenta podemos decir que una función es una relación existente entre dos conjuntos, el conjunto de partida y el conjunto de llegada con la condición de que todo elemento del conjunto de partida debe estar relacionado con un y solo un elemento del conjunto de llegada. A continuación ilustraremos algunos ejemplos cuando es y cuando no es una función. Identificación de una función con conjunto.
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En este caso el conjunto A que es el conjunto de partida se conoce con el nombre de dominio de la función f y se representa con y está compuesto por todos los aquellos números reales para los cuales se puede calcular su imagen. El conjunto B que representa el conjunto de llegada también se conoce con el nombre de Codominio y se simboliza con . El rango es un subconjunto del dominio en el cual todo elemento de este se relaciona con al menos un elemento de dominio, este se simboliza con Nota Una clara diferencia entre el rango y el dominio se puede evidenciar en los graficos mostrados anteriormente . En el grafico 1 el mientras que el . En el grafico 2 el mientras que el En el grafico 3 el mientras que el . En el grafico 4 el mientras que el .
.
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De este suceso salen dos definiciones importantes. Se dice que una funcion : es inyectiva cuando todo elemento del dominio le corresponde un valor distinto en el codominio, es decir existe tal que . Se dice que una funcion : es sobreyectiva cuando el codominio es igual al rango, es decir si . Se dice que una funcion : es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.
Identificacion de una funcion graficada en el plano cartesiano Para identificar si una grafica en el plano cartesiano es un función se traza una linea paralela al eje y, si esta toca la grafica en dos o mas puntos, entonces podemos afirmar que la grafica correspondiente en el plano cartesiano no es una función, en caso contrario lo sera. Simplemente con observar el eje de abscisas de dicha gráfica podemos saber el dominio de la función. Porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica. Grafica 1.
La grafica 1 representa una función debido a que cumple con la condicion planteada, debiido que si trazamos una linea paralera al eje Y obtenemos que esta solo e inteceptada en un solo punto.
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Grafica 2.
La grafica 2 no es una funcion debido a que al pasar una recta paralela al eje y encontramos que hay un punto en el eje x que tiene tres imágenes distintas en e eje y lo cual no cumple la definicion de función.
Como encotrar el Dominio y el rango de una función graficada en el plano cartesiano Encontrar el dominio y el rango de una función en el plano cartesiano consiste en trasladar a lo largo de sus ejes unas líneas paralelas a este, luego se verifica los puntos en los cuales la línea en mención tiene salto en la grafica, o en otras palabras los puntos que no permiten desplazar las rectas no pertenecen al dominio o al rango de esa función.
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Grafica 3.
En la gráfica 3 observamos una línea verde que nos va a permitir encontrar el dominio de la función, la cual desplazamos hacia la izquierda, esa línea se desplaza sin sufrir ningún salto hasta el punto x=-5 por lo cual el dominios serán los números reales mayores o iguales a -5, mientras que la línea roja nos permite identificar el rango de la función estos es que el rango de la función que aparece en la gráfica serán los numero reales menores o iguales a 3. Ahora mostraremos una gráfica que presenta salto, la cual nos va a permitir observar que sucede cuando se presenta esta situación.
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Grafica 4.
Aquí podemos notar que la gráfica presenta saltos, cuyos datos se encuentren en esos salto los sacaremos del dominio y del rango respectivamente. Para el dominio se tiene que la gráfica salta en dos partes , con lo cual el dominio queda conformado por los números reales menos los números que están entre -2 y -1 menos los números que están entre 4 y 5 en términos matemáticos . Mientras que el rango será el conjunto de los números reales. Como encontrar el Dominio y el rango en un polinomio Para encontrar el dominio de un polinomio se deben tener en cuenta las siguientes pistas. 1. Si es un polinomio de grado n entonces su dominio serán los reales. 2. Si el polinomio esta dado en términos de una fracción entonces el dominio serán los reales sacando los valores que hacen cero el denominador de la fracción, es decir sacando las raíces del denominador.
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3. Si es un radical entonces hay que tener en cuenta los siguiente si el radical tiene por índice un número impar entonces el dominio serán todos los números reales, ahora si el radica tiene por índice un numero par, los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la función. Para calcular el dominio de este tipo de funciones resolvemos la inecuación f(x) >0, la solución de dicha inecuación ser el dominio de la función Operaciones entre funciones Sea operaciones
Suma Producto
Cociente
Compuesta
y
se definen las siguientes
Nota 1. La composición defunciones no es conmutativa es decir 2. La función reciproca o inversa de una función denotada por cumple la condición
. es aquella que
Ejemplo 1 Sea
y
dos funciones definidas por Entonces encontrar
a.
b.
c.
d.
e.
f.
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Solución. a. Aquí simplemente aplicamos la propiedad y se resuelve la suma de polinomios, esto es de donde
b. Aplicamos la propiedad del producto entre funciones, y luego se destrozan los paréntesis y por último se agrupan los términos semejantes =
c. Aplicamos la propiedad de la composición de funciones, y luego se destrozan los paréntesis y por último se agrupan los términos semejantes
d. Aplicamos la propiedad de la composición de funciones, y luego se destrozan los paréntesis y por último se agrupan los términos semejantes
e. en este caso se aplica la propiedad del cociente de funciones, y luego se verifica a ver si se puede simplificar las funciones que queda en el numerador con la del denominador para así obtener un resultado.
f. aquí lo primero que se hace es encontrar la función despejando x en termino de la función esto es
la cual se encuentra
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Entonces
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD
Taller de Ejercicios
Evaluación Unidad.
RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE Computador Acceso a internet
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BIBLIOGRAFIA Larson, R; Hostetler, R. Calculo. España. Mcgraw-HILL 1992. Demana, F; Waits, B; Foley,G; Kennedy, D Precálculo, Grafico, Numérico, Algebraico. México Pearson Educación 7°Ediccion 2007. Fonseca, L. Espiral 11° Serie De Matemática. Grupo Editorial Norma. Bogotá 2006 . Mesa, M. Símbolos 11° Matemática Aplicada; Editorial Voluntad; Bogotá 2006 Cifuentes, J. Hipertexto- Matemática 11°;Editorial Santillana 2010. Leithold, Luis. El Cálculo. 7° Edición México: Oxford 1998 Ayres, Frank. Mendelson, Elliot. Calculo Diferencial. Mcgrawhill: Bogotá 2001 Leithold, Luis. Matemáticas Previas Al Cálculo : Funciones, Gráficas Y Geometría Analítica, Con Ejercicios Para Calculadora Y Graficadora. 3a.Ed. -- México : Oxford University Press,, 1998 Stewart, James. Cálculo Conceptos Y Contextos, Bogotá Thomson,1999 Edwards C.H Jr Y .Penney, David, Cálculo Diferencial E Integral -- 4a.Ed Pearson Educación 1997 Warner, Stefan. Cálculo Aplicado, Thomson Learning, México 2002, México Purcell, Edwin J, Cálculo Con Geometría Analítica. Prentice Hall México 1993 Hughes, Deborah. Calculo. Compañía Editorial Continental, S. A México 2000. Larson, Ron, Hostetler, P. Cálculo. Mcgraw-Hill México 2006 Swokowski, Earl. Cálculo Con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana,, México 1989. Allendoerfer, Carl. Oakley Cletus. Matemáticas Universitarias. Mcgraw-Hill Latinoamericana S.A, Bogota 1990, C2000.
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Escudero T. Rafael. Matemáticas Y Su Relación Con Las Ciencias De La Vida. Ediciones Universidad Del Norte Uninorte, Bogotá 2000 Pérez G, Javier. Calculo Diferencial e integral. Universidad de Granada. 2006. Rondon , D Jorge. Calculo Diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. 2010. Spivark, Michael. Cálculo Infinitesimal. Editorial Reverte S.A 1996.