Graad 8 • Handleiding Wiskunde
Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
© Optimi
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.
Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg.nr.: 2011/011959/07
Wiskunde
Handleiding
Graad 8
Aangepas vir KABV
DM Oost
Tema 3
Tema 4
INHOUDSOPGAWE
en verwantskappe
Tema 5.1 Meetkunde: Meting, ruimte en vorm
Tema 5.2 Euklidiese meetkunde
Tema 5.3 Oppervlakte, omtrek en volume
Tema 6
Tema 7
8
Tema 9
Tema 10
Tema 11 Goue reëls in wiskunde
Moeilikheidsvlakke
Die asteriske by elke bewerking dui die moeilikheidsvlak aan. Hierdie vlakke is op alle toetse en eksamens van toepassing en word ook in die handleiding aangedui.
y Gebruik wiskundige feite en woordeskat
y Gebruik korrekte formules
y Skat en rond waardes af
y Verstaan teoretiese kennis
y Voer bekende prosedures uit
y Pas begrippe toe wat uit verskeie stappe bestaan
y Maak afleidings uit gegewe inligting
y Doen basiese bewerkings soos aangeleer uit voorbeelde en oefeninge
y Doen komplekse berekeninge en hoë-orderedenasie
y Euklidiese meetkunde
y Daar is geen duidelike pad na die oplossing nie
y Dui verbande, ooreenkomste en verskille tussen voorstellings aan
y Vereis konseptuele en holistiese begrip
y Ongesiene nie-roetineprobleme wat nie noodwendig moeilik is nie
y Probleme moet dikwels in verskillende dele opgelos word
y Dikwels op praktiese probleme in die alledaagse lewe gerig
y Hoë-ordebegrip en -prosesse
Dikwels as versnelling in kurrikulum beskou. Word nie in toetse en eksamens ingesluit nie.
BELANGRIK: Die jaarplan is aangepas om veranderinge aan die KABV te weerspieël. Die volgorde waarin onderwerpe in die handleiding aangebied word, is nie noodwendig korrek nie. Raadpleeg ALTYD die jaarplan vir die korrekte volgorde waarin onderwerpe gedek moet word.
Byvoorbeeld: Alhoewel die volgorde van onderwerpe wat in Kwartaal 1 gedek moet word as Tema 1, Tema 2 en Tema 3 in die handleiding aangebied word, is die korrekte
die jaarplan Tema 1, Tema 7 en Tema 8.
Tema 1: Getallestelsels
Tema 1: Getallestelsels
Oefening 1: Waar kom getallestelsels vandaan?
Video-oefening 1
Daar is bewyse dat die Ishango-mense van die Demokratiese Republiek van die Kongo (DRK) merkies op bene gemaak het om beeste of familielede mee te tel. Die oudste been wat al gevind is om hierdie beweringe te staaf, is ongeveer 20 000 jaar oud.
’n Ander getallestelsel is die Egiptiese getallestelsel wat uit simbole bestaan het. Die getallestelsel wat ons egter vandag gebruik, is die Hindoe-Arabiese stelsel en is meer as 1 000 jaar gelede deur Hindoe-Arabiese wiskundiges ontwikkel. Jy kan die vergelyking tussen hierdie twee getallestelsels in die tabel hieronder sien.
1.4* Bestudeer die getal 234 654 365 123 987 341 236 687.
Skryf die getal neer wat 10 000 meer as hierdie getal is.
1.5*** Ondersoek vir die pret
Teken die tabel oor in jou antwoordboek en skryf die begrippe “optel”, “aftrek”, “vermenigvuldig” en “deel” in twee ander tale neer.
Afrikaans Optel Aftrek Vermenigvuldig Deel
Engels Addition Subtraction Multiplication Division
Sepedi Go hlakantšha Go ntšha Go atiša Go arola
Oefening 2: Verwantskappe en Venn-diagramme Video-oefening 2
Werk die volgende voorbeeld versigtig deur sodat jy die teorie kan leer.
Voorbeeld
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {2; 4; 6; 8; 10}
B = {1; 2; 3; 4}
met beide hande in die lug
1.1* Skryf die Egiptiese ekwivalent vir 3 516 neer.
1.2* Skryf die Egiptiese ekwivalent vir 2 182 neer.
1.3*** Skryf die Hindoe-Arabiese syfer vir ��
neer.
Skets ’n Venn-diagram om die bogenoemde te illustreer.
Bepaal
1. Watter getalle is in A ∪ B?
Dit beteken A verenig met B. Ons kan ook sê “in beide A of B”.
Die antwoord is dan {1; 2; 3; 4; 6; 8; 10}.
Die antwoord word tussen krulhakies gegee en elke element word met ’n kommapunt geskei.
2. Watter getalle is in A ∩ B?
Dit beteken snyding tussen A en B en al die getalle wat in beide
A en B is, moet in die antwoord gegee word.
Die antwoord is dan {2; 4}.
3. Watter getalle is in A’?
Dit beteken die getalle wat nie in A is nie.
Die antwoord is dan {1; 3; 5; 7; 9}.
4. Watter getalle is in B’?
Dit is die getalle wat nie in B is nie.
Die antwoord is dan {5; 6; 7; 8; 9; 10}.
5. Watter getalle is in A’ ∩ B?
Dit beteken die getalle wat nie in A is nie, maar wat wel in B is.
Die antwoord is {1; 3}.
2.1*** Skets ’n Venn-diagram van die volgende:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
A = {1; 6; 7; 8}
B = {4; 5; 6; 8}
Bepaal
2.1.1 A ∪ B
2.1.2 A ∩ B
2.1.3 A’
2.1.4 B’
2.1.5 A’ ∪ B’
2.2** Skets ’n Venn-diagram van die volgende:
U = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}
A = {11; 16; 17; 18}
B = {11; 16; 20}
Bepaal
2.2.1 A ∪ B
2.2.2 A ∩ B
2.2.3 A’
2.2.4 B’
2.2.5 A ∩ B’
Video-oefening
Video-oefening 2.2
2.3** Skets ’n Venn-diagram van die volgende: natuurlike getalle in een versameling, telgetalle in die ander versameling en heelgetalle as die universele versameling.
Gebruik die volgende simbole: Bepaal
Die volgende inligting word vir jou gegee in verband met gaste by ’n troue:
y Daar was 150 gaste in totaal.
y Die gaste sluit in familie, vriende en kollegas.
Video-oefening 2.6
2.4* Skets ’n Venn-diagram van die reële getallestelsel, die rasionale getallestelsel en die irrasionale getallestelsel.
Video-oefening 2.4
Gebruik die volgende simbole:
Reële getalle = R
Rasionale getalle = Q
Irrasionale getalle = Q’
2.5* Die volgende versamelings word in die getekende Venn-diagram voorgestel: telgetalle, natuurlike getalle, heelgetalle, rasionale getalle, irrasionale getalle en reële getalle. Watter letter verteenwoordig elk van hierdie versamelings?
Video-oefening 2.5
SAMPLE
y Altesaam was daar 15 kinders en 10 van die kinders was familie.
y Die kollegas was altesaam 17 volwassenes en daar was 3 meer vroue as mans.
Indien 6 van die 60 mans by die troue familie was en die familie altesaam 23 van die gaste was, teken ’n Venn-diagram om te bepaal hoeveel vroulike vriende daar was.
Oefening 3: Volgorde van bewerking
Bewerkings word altyd in ’n sekere volgorde gedoen. Ons noem dit “volgorde van bewerking”:
1. Hakies
2. Eksponente
3. “Van”, wat vermenigvuldig beteken
4. Vermenigvuldig en deel van links na regs
5. Optel en aftrek van links na regs
Voorbeeld 1
Vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen.
2 + 3 × 10 – 6 + (3 – 2) + 1 2 van 12
= 2 + 3 × 10 – 6 + 1 + 1 2 van 12
= 2 + 3 × 10 – 6 + 1 + 6
+ 30 – 6 + 1 + 6
27 + 6 = 33
Voorbeeld 2
Onthou: Wanneer die bewerking tussen hakies klaar bereken is, moet jy die hakies weglaat.
Vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen.
3.1* 4 + 2 × 3 – 1
3.2* 1 + 3 × 2 ÷ 6 – 2
3.3*
(5 – 1) 3.8** 10 – 4 + (3 – 1) × 3
3.9* 3 × 0 + 2 × 0
3.10** (6 – 2 + 7) + (3 – 2 + 12)
SAMPLE
Oefening 4: Herleiding van woorde na wiskunde
Video-oefening 3 Video-oefening 4
Simbool Betekenis Ander woord × Vermenigvuldig Produk ÷ Deel Kwosiënt – Aftrek Verskil + Optel Som
Herskryf die sinne as wiskundige uitdrukkings. Volg dan die volgorde van bewerking en vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen.
Voorbeeld
Trek die som van 32 en 70 af van die produk van 15 en 10 en deel die antwoord dan deur ’n half.
[(15 × 10) – (32 + 70)] ÷ 1 2
= [150 – (32 + 70)] ÷ 1 2
= [150 – 102] ÷ 1 2
= [150 – 102] × 2
= 48 × 2
= 96
4.1* Die som van (20 – 3 × 6) en (5 – 2).
4.2* Die produk van (2 + 4) en (10 – 8).
4.3** Die kwosiënt as 20 deur (4 + 6) gedeel word.
4.4** Die verskil tussen 34 en (10 – 2 + 3).
4.5* Trek 10 af van (20 + 2).
4.6* Trek (10 + 2) af van 24.
4.7* Trek 24 af van (20 + 6).
4.8** Trek 14 af van 26 + 3.
4.9** Trek 10 + 6 af van 40 – 10.
4.10** Die produk van (12 – 3) en (8 + 2).
4.11** Die verskil tussen 18 en die helfte van 10.
Video-oefening 4.1 tot 4.8
4.13*** Trek (5 + 6 – 2) af van (10 + 8) en tel dan (3 + 9) by die antwoord.
4.14*** Die helfte van die produk van 60 en (2 + 6 – 1).
4.15** Die kwosiënt van (24 – 8) as dit gedeel word deur die helfte van 16.
Video-oefening 4.10
SAMPLE
Herskryf die sinne as wiskundige uitdrukkings. Volg die volgorde van bewerking en vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen. y Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
4.12** Tel 6 en 50 bymekaar en vermenigvuldig dit met die verskil tussen 5 en 3.
4.16** Vermenigvuldig die verskil tussen 28 en 15 met die som van 10 en 2.
4.17*** Trek 5 van 8 af en deel dit deur die helfte van 6.
Video-oefening 4.13 tot 4.17
4.18*** Vermenigvuldig die som van (10 – 4) en (8 + 12) met die verskil tussen 12 en 6.
Oefening 5: Herleiding van wiskunde na woorde
Herskryf die wiskundige uitdrukkings in woorde. Vereenvoudig die uitdrukkings deur die volgorde van bewerking en doen slegs een bewerking
per stap.
y Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
y Onthou die “=”-tekens.
5.1* 4 + 12 + 1 000
5.2* 57 – 15
5.3* 18 ÷ 6 × 3
5.4** 24 ÷ 1 2 van 12
5.5** 55 – 4(2 + 9) 5.6*** 3(5 + 4) – 1 4 van 20 × 4
5.7** 55 – (7 × 5) + 100 5.8* 0 – (6 – 6) 5.9*** (2 ∙ 2 15 van 45 – 1) + (5 × 3 5 )
5.10* 2 + 2 – 2 × 2
Video-oefening 5.1 tot 5.6
Video-oefening 5.9
Oefening 6: Joernaalinskrywing (regstelling van foute)
Die bewerkings in hierdie oefening is foutief gedoen.
Gee ’n verduideliking in woorde van die fout(e) wat in elke stap begaan is.
Doen dan die bewerking(s) korrek.
Voorbeeld
3 + 4 × 7
12 × 7 ......... stap 1
19 ......... stap 2
Stap 1: Die “=”-teken ontbreek en die volgorde van bewerking is foutief.
Vermenigvuldiging moet eerste gedoen word.
Stap 2: Die “=”-teken ontbreek.
Omdat die volgorde van bewerking in stap 1 foutief gedoen is, is stap 2 ook verkeerd.
Korrekte bewerking:
3 + 4 × 7
= 3 + 28
= 31
6.1** 49 ÷ (3 + 4) + 2 – 3
49 ÷ 6 + 2 ……….. stap 1
= 49 ÷ 8 ….……..... stap 2
16 ……………......… stap 3
6.2** 4 × 3 + 2
4 + 5 ……..……....... stap 1
9 ………………......... stap 2
Video-oefening 6.1 tot 6.3
6.3** 15 – 2 + 4 ÷ 2
= 13 – 2 + 4 ÷ 2 …….. stap 1
= 13 – 2 + 2 ………...... stap 2
13 – 4 ……………...…... stap 3
SAMPLE
= 9 ……………………..... stap 4
6.4** 24 ÷ (2 + 4) + 2 24 ÷ 2 + 6 ………….…. stap 1
= 24 ÷ 8 ……….……..... stap 2
= 16 ………………...…... stap 3
6.5** (6 + 4) × 1 2 van 20 – 6
= 10 × 1 2 van 14 ……... stap 1
= 5 van 14 ….……........ stap 2
= 70 ……..…….........…... stap 3
Oefening 7: Voorstellings op getallelyne
Verskillende skryfwyses van getallestelsels
1 Natuurlike getalle
Simbool: N
Getabelleer: N = {1; 2; 3; ...}
Grafiese voorstelling op ’n getallelyn:
0 1 2 3 4 5
Video oor grafiese voorstelling 1 tot 3
Getallelyn R N
Getallelyne is altyd R, wat “reëel” beteken.
2 Telgetalle
Simbool: N0
Getabelleer: N0 = {0; 1; 2; 3; ...}
Grafiese voorstelling op ’n getallelyn:
0 1 2 3 4 5
3 Heelgetalle
Simbool: Z
Getallelyn R N0 0 is ’n natuurlike getal.
Getabelleer: Z = {... -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
Grafiese voorstelling op ’n getallelyn:
4 Rasionale getalle
Dit is enige getal wat as a b geskryf kan word waar a en b heelgetalle is. Let op dat b nie 0 mag wees nie. (Indien b = 0, is die antwoord ongedefinieerd.)
Simbool: Q of Ra (gebruik verkieslik Q)
Getabelleer: Kan nie getabelleer word nie omdat dit so baie getalle insluit.
Grafiese voorstelling op ’n getallelyn: -2 -1 0 1 2 Getallelyn R
5 Irrasionale getalle
Dit is ’n desimale getal wat nie eindig nie en ook nie repeteer nie, en dus nie rasionaal is nie. Die vierkantswortel van ’n priemgetal is irrasionaal, bv.: √ ; √ 3 ; √ 5 ; asook π (die aantal keer wat die middellyn van ’n sirkel in die omtrek van dieselfde sirkel indeel).
Voorbeeld: √ = 1,414213562...
Simbool: Q’ (uitgespreek “nie-Q”) of IRa (gebruik verkieslik Q’)
Getabelleer: Kan nie getabelleer word nie omdat dit so baie getalle insluit en die presiese waarde nie bekend is nie.
Grafiese voorstelling op ’n getallelyn: Kan nie voorgestel word nie, want dit sal presies soos die rasionale getallelyn lyk.
6 Reële getalle
Dit is getalle wat bestaan en dus gedefinieer kan word. Dit is dus al die rasionale en irrasionale getalle saam.
Simbool: R
Getabelleer: Kan nie getabelleer word nie omdat dit so baie getalle insluit.
Grafiese voorstelling op ’n getallelyn: -2 -1 0 1 2
Getallelyn R R
Let op dat ’n getallelyn altyd ’n reële lyn is.
7 Niereële getalle
Dit is getalle wat nie bestaan nie (bv. √ -3 ) en dus nie gedefinieer is nie.
Simbool: Bestaan nie
Getabelleer: Kan nie getabelleer word nie, want dit bestaan nie. Grafiese voorstelling op ’n getallelyn: Kan nie voorgestel word nie, want die getalle bestaan nie.
Tabelleer die volgende getalle (indien moontlik) en stel dit dan grafies voor op ’n getallelyn. Verwys na die voorbeeld om die oefening te kan doen.
Voorbeeld
Tabelleer alle reële getalle wat groter as -3 is, maar kleiner en gelyk aan 12. Stel dan hierdie getalle grafies voor op ’n getallelyn.
Getabelleer: Dit kan nie getabelleer word nie aangesien daar te veel getalle is. Grafiese voorstelling op ’n getallelyn: -3 12
Getallelyn R -3 < x ≤ 12, x ∊ R
Die soliede lyn dui op reële getalle.
Die kolletjie onder die getal is oop (leeg) as die getal nie ingesluit is nie. Hier word gevra vir getalle groter as -3, maar nie gelyk aan -3 nie. In hierdie geval is 12 wel ingesluit, dus is die kolletjie toe (ingekleur).
Die volgende simbole word gebruik om die wiskundige notasie onderaan die getallelyn te skryf:
> beteken “groter as”
< beteken “kleiner as”
≥ beteken “groter en gelyk aan”
SAMPLE
≤ beteken “kleiner en gelyk aan”
7.1* Alle telgetalle kleiner as 5.
7.2** Rasionale getalle tussen 4 en 10.
7.3** Reële getalle vanaf -10 tot en met 8.
7.4*** Heelgetalle kleiner as 3 en groter en gelyk aan -3.
7.5*** Alle reële getalle kleiner as 1 saam met alle reële getalle groter en gelyk aan 4.
7.6*** Alle heelgetalle groter as -4 wat ook natuurlike getalle is.
Oefening 8: Bewerkings met natuurlike getalle
Vereenvoudig die volgende wiskundige uitdrukkings. Onthou die volgorde van bewerking asook die “=”-teken. Doen slegs een bewerking per stap.
Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
8.1* 2 + 5 – 1 × 3
8.2* 10 – 24 ÷ 6 ÷ 2
8.3* (120 – 45 + 5) ÷ 40
8.4* 20 × 3 ÷ 15 + 4
8.5* 16 ÷ 8 × 3 – 5
8.6* (4 + 7 – 3) × (30 ÷ 3)
8.7* 10 – (2 × 4) ÷ 8
8.8* 10 + 10 + 2 + 2 + 3 × 3 – 4 × 4
Onthou die “=”-teken vooraan elke stap.
Video-oefening 8.1 tot 8.8
Oefening 9: Bewerkings met telgetalle (veral nul)
Vereenvoudig die volgende wiskundige uitdrukkings. Doen slegs een bewerking per stap.
8.9**** Ondersoek die volgorde van bewerking op jou sakrekenaar. Is dit nodig om een bewerking op ’n slag op ’n sakrekenaar in te voer, of sal die sakrekenaar self “weet” watter bewerking eerste gedoen moet word?
SAMPLE
Video-oefening 9
Let op as daar ’n 0 in die uitdrukking is. Toets die antwoord met ’n sakrekenaar.
As jy nie weet wat om met die bewerking te doen nie, vra die fasiliteerder of ’n maat.
Oefening 10: Bewerkings met heelgetalle
y Optel van negatiewe getalle:
Bv. (-2) + (-3) = -2 – 3 = -5
y Aftrek van negatiewe getalle: Bv. (-2) – (-3)
-2 + 3 = 1
y Vermenigvuldiging van negatiewe getalle:
Bv. (-2)(-3) = +6
y Deling van negatiewe getalle: Bv.
= 2
Onthou:
2. Twee tekens langs mekaar beteken dat hulle vermenigvuldig word.
3. As daar geen teken voor ’n getal staan nie, is die getal positief.
Vermenigvuldiging
van heelgetalle
Die hakies is nodig om aan te dui dat dit vermenigvuldiging is. Sonder hakies sou dit ’n optel- en aftrekbewerking gewees het. Behou die hakies om die antwoord van die “maalsom” en verwyder dit in die laaste stap.
SAMPLE
(10 – 15) + (6 – 5) Die tekens verander op dieselfde manier vir
Deling van heelgetalle
Drie hakies wat met mekaar vermenigvuldig moet word, word van regs na links uitgewerk.
Voorbeeld (-2)(+4)(-1) = (-2)(-4) = 8
Deling van heelgetalle geskied op dieselfde manier as vermenigvuldiging –deel eers die tekens en dan die getalle.
Onthou dat twee tekens langs mekaar vermenigvuldiging beteken.
Voorbeeld 2 – (-1) = 2 + 1 = 3
Oefening 11: Bepaling van KGV en GGD van heelgetalle
kleinste gemene veelvoud
Wat jy eers moet weet
grootste gemene deler
y Veelvoude is getalle waarin die gegewe getal deelbaar is.
Bv. veelvoude van 6 is {6; 12; 18; 24; 30; ...}
y Faktore is getalle wat in die gegewe getal kan indeel.
Bv. faktore van 12 is {1 ; 2; 3; 4; 6; 12}
Die getal se maaltafels.
11.6**
Bepaal die GGD van 16 en 24.
11.7* Bepaal die GGD van 20 en 30.
11.8** Bepaal die GGD van 15, 45 en 60.
11.9** Bepaal die GGD van 22, 33, 44, 55 en 66.
Video-oefening 11.6 en 11.7
Video-oefening 11.11 en 11.12
Getalle tot en met die gegewe getal wat presies (sonder ’n res) in die gegewe getal indeel.
Bepaal beide die veelvoude en die faktore van die onderstaande getalle.
Voorbeeld
Veelvoude van 8 = {8; 16; 24; 32; …}
Faktore van 8 = {1; 2; 4; 8}
Video-oefening 11.1 tot 11.3
Veelvoude is getalle groter as die getal wat gegee word. Faktore is getalle kleiner as die getal wat gegee word.
Bepaal die GGD van twee of meer heelgetalle
Voorbeeld
Bepaal die GGD van 6 en 8.
Faktore van 6 = {1; 2; 3; 6}
Faktore van 8 = {1; 2; 4; 8}
SAMPLE
Alternatiewe metode:
Priemfaktore
6 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
GGD = 2
Gemeenskaplike delers = {1; 2} ∴ GGD = 2
(Grootste gemene deler is dus die grootste faktor wat in albei getalle voorkom.)
11.10*** Wat is die grootste heelgetal wat in 14, 28 en 42 sal kan indeel?
Bepaal die KGV van twee of meer heelgetalle
Voorbeeld
Veelvoude van 6 = {6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; ...}
Veelvoude van 8 = {8; 16; 24; 32; 40; 48; ...}
Alternatiewe metode:
Priemfaktore
Gemeenskaplike veelvoude = {24; 48; ...} ∴ KGV = 24 (Kleinste gemene veelvoud is dus die kleinste getal waarin 6 en 8 kan indeel.)
11.11* Bepaal die KGV van 9 en 12.
11.12* Bepaal die KGV van 5, 6 en 15.
11.13** Bepaal die KGV van 7, 9 en 21.
11.14** Bepaal die KGV van 19, 38 en 76.
Video-oefening 12
11.15*** Bepaal die KGV van die eerste ses natuurlike getalle.
11.16**** Bepaal die KGV van 1 2 , 1 3 en 1 4 .
Oefening 12: Deelbaarheidsreëls
Jy moet die volgende deelbaarheidsreëls ken en kan toepas om te bepaal of ’n getal deelbaar is deur 'n sekere ander getal sonder dat jy deling hoef te doen.
Deelbaar deur 2
Deelbaar deur 3
Indien die getal op ’n 2, 4, 6, 8 of 0 eindig. Dus, ’n ewe getal.
Indien die som van die individuele syfers ’n veelvoud van 3 is. (Bv. 263: 2 + 6 + 3 = 11. Dus, 263 is nie deelbaar deur 3 nie.)
Deelbaar deur 4 Indien die laaste twee syfers ’n veelvoud van 4 is.
Deelbaar deur 5 Indien die getal op 0 of 5 eindig.
Deelbaar deur 6 Indien die getal deelbaar is deur 2 sowel as deur 3.
Deelbaar deur 8 Indien die laaste drie syfers ’n veelvoud van 8 is.
Deelbaar deur 9 Indien die som van die individuele syfers ’n veelvoud van 9 is.
Deelbaar deur 10 Indien die getal op ’n 0 eindig.
Deelbaar deur 11
Indien die individuele syfers in die getal bymekaar getel en afgetrek word in ’n afwisselende patroon (bv. 913: 9
– 1 + 3 = 11) en die antwoord op óf 0 óf 11 eindig.
Alle ander getalle moet jy met deling bereken.
Voorbeeld
Dui aan deur watter getalle in die tabel is 1 364 deelbaar? Verskaf redes vir jou antwoord. Rede
SAMPLE
Deelbaar deur 2 Ja, 1 364 is ’n ewe getal.
Deelbaar deur 3 Nee. Indien 1, 3, 6 en 4 bymekaargetel word, is die antwoord 14, wat nie ’n veelvoud van 3 is nie.
Deelbaar deur 4 Ja, die laaste twee syfers (1 364) is ’n veelvoud van 4.
Deelbaar deur 5 Nee, die laaste getal is nie 0 of 5 nie.
Deelbaar deur 6 Nee, die getal is nie deelbaar deur beide 2 en 3 nie.
Deelbaar deur 8 Nee, die laaste drie syfers (1 364) is nie ’n veelvoud van 8 nie.
Deelbaar deur 9 Nee, die som van al die syfers is 14, wat nie ’n veelvoud van 9 is nie.
Deelbaar deur 10 Nee, 1 364 eindig nie op 0 nie.
Deelbaar deur 11 Ja, want 1 364 (1 – 3 + 6 – 4 = 0).
12.1** Deur watter getalle is 810 deelbaar? Verskaf redes soos in die voorbeeld.
12.2**
Deur watter getalle is 812 deelbaar? Verskaf redes soos in die voorbeeld.
12.3** Deur watter getalle is 1 242 deelbaar? Verskaf redes soos in die voorbeeld.
12.4** Deur watter getalle is 3 240 deelbaar? Verskaf redes soos in die voorbeeld.
12.5*** Vind uit wat is die deelbaarheidsreël vir 7.
12.6**** Ondersoek die moontlikheid om reëls te kan kry vir deelbaarheid deur 12, 13, 14 en 15.
Oefening 13: Eienskappe van bewerkings
Die kommutatiewe eienskap (omruil van getalle)
Voorbeeld
2 + 3 = 3 + 2 en 4 × 3 = 3 × 4
D.w.s. optelling en vermenigvuldiging is kommutatief. Maar 2 – 3 ≠ 3 – 2 en 4 3 ≠ 3 4
Die assosiatiewe eienskap (voeg in of verander hakies)
Voorbeeld
2 + 3 + 4
= (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) en 6 × 7 × 8 = (6 × 7) × 8 = 6 × (7 × 8) Maar 9 – (5 + 2) ≠ (9 – 5) + 2 en 9 ÷ 3 × 4 ≠ 9 ÷ (3 × 4)
Die distributiewe eienskap (verwyder hakies)
Voorbeeld
Hierdie eienskap word die meeste gebruik.
Noem die eienskap wat in die volgende bewerkings gebruik word. Skryf elke keer die letter en die eienskap wat gebruik is neer.
13.1* 24 + 2(24 + 3)
= 24 + 48 + 6 … A
= 24 + 6 + 48 … B
= 30 + 48 …….... C = 78 13.2* 2(26 + 13 ) – 2 = 52 + 26 – 2 … A
= 52 – 2 + 26 … B = 50 + 26 …….... C = 76 13.3** 12
SAMPLE
Video-oefening 13.1 en 13.2
(12 + 8) + (13 + 7) + (14 + 6) + (15 + 5)… B
20 + 20 + 20 + 20……....……....……....……....... C = 80
2 × 3 + 6 × 8 – 3(4 – 2) = (2 × 3) + (6 × 8) – 3(2) …. A
= 6 + 48 – 6 …………….......….. B = 6 – 6 + 48 …………….......….. C = 48
Gebruik die eienskappe van bewerkings om die volgende wiskundige uitdrukkings makliker op te los. Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie. 13.5*** 1 438 + 4 + 87 + 12 + 13 13.6*** 6 699 + 9 966 + 1 + 4 13.7*** 2 × 28 × 5 – 2(16 × 5)
Gebruik die distributiewe eienskap om die hakies in die volgende wiskundige uitdrukkings te verwyder en vereenvoudig daarna.
13.8** 2(4 – 5 – 1) + 3(4 – 2)
13.9** 4 – 2(10 – 3)
13.10** 5 × 6(2 – 11) + 4(2 + 3)
13.11** (-2 + 1) – (4 + 3)
13.12** 3(5 – 6 – 8) – 2
Die volgende voorbeeld dui die teenoorgestelde (omgekeerde) van die distributiewe eienskap aan.
Voorbeeld
3(11 + 4 + 1 – 2)
= 33 + 12 + 3 – 6
Omgekeerde
33 + 12 + 3 – 6 = 3(11 + 4 + 1 – 2)
Skryf die omgekeerde distributiewe eienskap van die onderstaande wiskundige uitdrukkings neer. Moenie die uitdrukking vereenvoudig nie. Slegs een stap is dus nodig.
13.13*** 40 + 24
13.14*** 450 – 250 + 50
13.15*** 8 + 20 – 36
13.16*** 26 + 28 – 30
13.17*** 875 + 25
Oefening 14: Priem- en saamgestelde faktore
’n Priemfaktor is ’n getal wat nie kleiner gemaak kan word nie. Al die priemfaktore = {2; 3; 5; 7; 11; 13; ...}
Die ander getalle is saamgestelde faktore = {4; 6; 8; 9; 10; ...} priem
Die getal 1
saamgesteld
Neem byvoorbeeld die getal 12. Die getalle wat in 12 kan indeel word gegee deur {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Priemfaktore van 12 = {2; 3}
Saamgestelde faktore van 12 = {4; 6; 12}
Die getal 1
12 geskryf as die produk van die getal se priemfaktore: 12 = 2 × 2 × 3
Faktore van 12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Voorbeeld
Herskryf die volgende getalle as die produk van elke getal se priemfaktore. Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
Leertjiemetode
14.1* Gebruik die leertjiemetode om die priemfaktore van 48 te bepaal. Skryf dan 48 as die produk van die getal se priemfaktore.
14.2* Tabelleer al die saamgestelde faktore van 12.
14.3**** 14.3.1 Gebruik die leertjiemetode om die priemfaktore van 300 te bepaal.
14.3.2 Skryf dan 300 as die produk van die getal se priemfaktore.
14.3.3 Tabelleer die saamgestelde faktore van 300.
Tema 1: Getallestelsels
14.4** Gebruik die leertjiemetode om die priemfaktore van 1 200 te bepaal. Skryf dan 1 200 as die produk van die getal se priemfaktore.
SAMPLE
14.3.4 Watter van hierdie faktore is vierkantsgetalle?
14.3.5 Stel die antwoorde wat gegee is in 14.3.1 tot 14.3.4 met ’n Venn-diagram voor.
Video-oefening 14
Video-oefening 14.1 tot 14.3
Video-oefening 14.6 tot 14.8
14.5*** 14.5.1 Bepaal die priemfaktore van 64 sonder om die leertjiemetode te gebruik.
14.5.2 Skryf dan 64 as die produk van die getal se priemfaktore.
14.5.3 Tabelleer 64 se saamgestelde faktore.
14.5.4 Tabelleer die vierkantsgetalle wat faktore van 64 is.
14.5.5 Stel al die antwoorde met ’n Venn-diagram voor.
14.6** Bepaal die priemfaktore van 810 sonder om die leertjiemetode te gebruik. Skryf dan 810 as die produk van die getal se priemfaktore.
14.7** Bepaal die priemfaktore van 875 sonder om die leertjiemetode te gebruik. Skryf dan 875 as die produk van die getal se priemfaktore.
14.8*** Bepaal die kortste moontlike manier om die priemfaktore van 1 000 te bepaal. Skryf dan 1 000 as die produk van die getal se priemfaktore.
14.9**** Teken ’n Venn-diagram van al die positiewe heelgetalle wat in 48 kan indeel.
14.10**** Bepaal die priemfaktore van 1 728.
y Skryf 1 728 as die produk van die getal se priemfaktore.
y Bepaal die kubiese faktore van 1 728.
14.11*** Skets ’n Venn-diagram van die faktore van 72 deur die volgende in te sluit:
y priemfaktore
y saamgestelde faktore
y vierkantsgetalle
y kubiese getalle
Vierkantsgetalle = {12; 22; 33; 42; …} = {1; 4; 9; 16; …}
Kubiese getalle = {13; 23; 33; …} = {1; 8; 27; …}
14.12**** Ondersoek of die volgende ook faktore van ’n getal kan wees:
y Die getal 0
y Negatiewe getalle
y Breuke
Oefening 15: Bewerkings met rasionale getalle
Optel en aftrek van rasionale getalle
Hierdie metode is ook korrek, maar kan moeilik raak om te gebruik wanneer dit by algebra kom. Leer eerder om die linkerkantste metode te gebruik. of
Bereken die volgende deur te vereenvoudig.
Verander altyd ’n gemengde breuk na ’n onegte breuk voor jy begin.
Bv. 2 2 5 = 12 5
SAMPLE
Video-oefening 15.1 tot 15.4
Vereenvoudiging van breuke beteken dat die aantal breuke minder gemaak moet word. Deur die KGV te kry, word die aantal breuke minder en verdien jy punte.
Moenie die breuke op die volgende wyse doen nie:
Binnekort word breuke met veranderlikes bekendgestel (dus met x en y) en dit gaan baie moeilik wees indien jy hierdie metode gebruik.
Bereken breuke eerder só: 2 3 + 1 12 = 8 + 1 12 = 9 12 Ons noem dit “lang-lyn-deling” met die KGV as noemer.
Onthou ook dat die vraag vra dat jy vereenvoudig. Indien daar aanvanklik twee breuke is, word die eerste punt toegeken sodra dit een breuk gemaak word. Jy mors dus tyd deur die eerste metode te gebruik (soos in laer grade).
15.9**** In ’n graad 8-groep leerders speel 3 5 sokker en 1 6 rugby, 1 10 neem deel aan atletiek en 1 15 dans. Bepaal watter breukdeel leerders nie aan buitemuurse aktiwiteite deelneem nie. Aanvaar dat elke leerder net aan een aktiwiteit deelneem indien hulle wel deelneem.
Video-oefening 15.9
15.10**** Beskou die volgende voltooide bewerking:
5 3 4 – 7
Is die bewerkings korrek of foutief? Bespreek.
Indien die bewerkings foutief is, gee die korrekte bewerking.
Indien die bewerkings korrek is, watter eienskappe word hier gebruik?
Vermenigvuldiging en deling van rasionale getalle
Verander die ÷ na × en ruil die tweede breuk se teller en noemer om.
Ontbind in priemfaktore. Die ∙ beteken ×.
Deel uit en skryf neer wat oorbly.
Weergee die breuk in die eenvoudigste vorm.
Vereenvoudig die volgende deur elke saamgestelde getal eers as die produk van die getal se priemfaktore neer te skryf. Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
SAMPLE
Onthou dat ’n ÷ omgedraai moet word en dan ’n × word.
Onthou priemfaktore
Gemengde oefening (+, –, × en ÷)
y Onthou om die volgorde van bewerking te volg. y Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
Video-oefening 15.21 en 15.22
Sien jy die terme wat deur + en – geskei word? Elke term moet dus eers vereenvoudig word, m.a.w. onthou die volgorde van bewerking.
