Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.
Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg.nr.: 2011/011959/07
Wiskunde
Fasiliteerdersgids
Graad 8
Aangepas vir KABV
DM Oost
1. Algemeen
Notas aan die fasiliteerder
Maak seker dat jy die volgende ontvang het:
y 'n Handleiding met die betrokke jaar se leermateriaal.
y 'n Fasiliteerdersgids met die volgende: Hierdie inligtingsbrief.
Die graad 8-jaarprogram.
Die handleiding-memorandum waarin al die vrae se antwoorde verduidelik word.
y 'n Portefeuljeboek met die volgende: Assesseringsbeplanning
Alle assesserings vir die jaar
y Die portefeuljeboekmemorandum wat die volgende bevat: Assesseringsbeplanning ȇ Memorandums van al die take en toetse
2. Handleiding
Die handleiding bevat al die nodige verduidelikings en oefeninge om begrippe aan leerders te verduidelik, asook om hul vaardighede in en kennis van wiskunde te ontwikkel.
y Bestudeer die teorie en voorbeelde met al die verduidelikings.
y Doen ’n paar bewerkings en merk dit volgens die memorandum.
'n CASIO fx-82ES (Plus)-sakrekenaar word vir leerders aanbeveel, maar enige goeie wetenskaplike sakrekenaar is voldoende.
Enige ander goeie wiskundebronne kan van hulp wees, solank dit aan die KABV-vereistes voldoen.
3. Portefeuljeboek
Verwys na die portefeuljeboek vir alle assesseringstake vir die jaar.
4.1 Leeruitkomste
Die uiteensetting van die leeruitkomste wat in graad 8 en 9 vereis word, is soos volg:
Leeruitkoms 1 Getalle, bewerkings en verwantskappe 40%
Leeruitkoms 2 Patrone, funksies en algebra 15%
Leeruitkoms 3 Ruimte en vorm (meetkunde) 15%
Leeruitkoms 4 Meting in ’n verskeidenheid kontekste 15% Leeruitkoms 5 Datahantering 15%
4.2 Moeilikheidsvlakke
Die asteriske by elke bewerking dui die moeilikheidsvlak aan. Hierdie vlakke is op alle toetse en eksamens van toepassing en word ook in die handleiding aangedui.
y Gebruik wiskundige feite en woordeskat
Vlak
1 *
Vlak
2 **
Vlak
3 ***
Vlak
4 ****
y Gebruik korrekte formules
y Skat en rond waardes af
y Verstaan teoretiese kennis
y Voer bekende prosedures uit
y Pas begrippe toe wat uit verskeie stappe bestaan
y Maak afleidings uit gegewe inligting
y Doen basiese bewerkings soos aangeleer uit voorbeelde en oefeninge
y Doen komplekse berekeninge en hoë-orderedenasie
y Euklidiese meetkunde
y Daar is geen duidelike pad na die oplossing nie
y Dui verbande, ooreenkomste en verskille tussen voorstellings aan
y Vereis konseptuele en holistiese begrip
y Ongesiene nie-roetineprobleme wat nie noodwendig moeilik is nie
y Probleme moet dikwels in verskillende dele opgelos
y Dikwels op praktiese probleme in die alledaagse lewe gerig
y Hoë-ordebegrip en -prosesse
Vlak
5 ***** Verryking Dikwels as versnelling in kurrikulum beskou. Word nie in toetse en eksamens ingesluit nie.
5. Jaarplan
SAMPLE
BELANGRIK: Die jaarplan is aangepas om veranderinge aan die KABV te weerspieël. Die volgorde waarin onderwerpe in die fasiliteerdersgids aangebied word, is nie noodwendig korrek nie. Raadpleeg ALTYD die jaarplan vir die korrekte volgorde waarin onderwerpe gedek moet word.
Byvoorbeeld: Alhoewel die volgorde van onderwerpe wat in Kwartaal 1 gedek moet word as Tema 1, Tema 2 en Tema 3 in die fasiliteerdersgids aangebied word, is die korrekte volgorde volgens die jaarplan Tema 1, Tema 7 en Tema 8.
Enige
Tema 1: Getallestelsels
Tema 1: Getallestelsels
Oefening 1: Waar kom getallestelsels vandaan?
Daar is bewyse dat die Ishango-mense van die Demokratiese Republiek van die Kongo (DRK) merkies op bene gemaak het om beeste of familielede mee te tel. Die oudste been wat al gevind is om hierdie beweringe te staaf, is ongeveer 20 000 jaar oud.
’n Ander getallestelsel is die Egiptiese getallestelsel wat uit simbole bestaan het. Die getallestelsel wat ons egter vandag gebruik, is die Hindoe-Arabiese stelsel en is meer as 1 000 jaar gelede deur Hindoe-Arabiese wiskundiges ontwikkel. Leerders kan die vergelyking tussen hierdie twee getallestelsels in die onderstaande tabel sien.
Skryf die Egiptiese ekwivalent vir 3 516. neer
SAMPLE
Skryf die Egiptiese ekwivalent vir 2 182 neer.
Skryf die Hindoe-Arabiese syfer vir ��
neer.
1 miljoen + 2 duisende + 2 tiene + 3 ene = 1 002 023
1.4* Bestudeer die getal 234 654 365 123 987 341 236 687. Skryf die getal neer wat 10 000 meer as hierdie getal is.
234 654 356 123 987 341 246 687
1.5*** Ondersoek vir die pret
Leerders moet die tabel oorteken en die begrippe “optel”, “aftrek”, “vermenigvuldig” en “deel” in twee ander tale neerskryf.
Leerders moet die volgende voorbeeld versigtig deurwerk sodat hulle die teorie kan leer.
Voorbeeld
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {2; 4; 6; 8; 10}
B = {1; 2; 3; 4}
Skets ’n Venn-diagram om die bogenoemde te illustreer.
Bepaal
1. Watter getalle is in A ∪ B?
Dit beteken A verenig met B. Ons kan ook sê “in beide A of B”.
Die antwoord is dan {1; 2; 3; 4; 6; 8; 10}.
Die antwoord word tussen krulhakies gegee en elke element
word met ’n kommapunt geskei.
2. Watter getalle is in A ∩ B?
Dit beteken snyding tussen A en B en al die getalle wat in beide
A en B is, moet in die antwoord gegee word.
Die antwoord is dan {2; 4}.
3. Watter getalle is in A’?
Dit beteken die getalle wat nie in A is nie.
Die antwoord is dan {1; 3; 5; 7; 9}.
4. Watter getalle is in B’?
Dit is die getalle wat nie in B is nie.
Die antwoord is dan {5; 6; 7; 8; 9; 10}.
5. Watter getalle is in A’ ∩ B?
Dit beteken die getalle wat nie in A is nie, maar wat wel in B is.
Die antwoord is {1; 3}.
2.1*** Skets ’n Venn-diagram van die volgende:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
A = {1; 6; 7; 8}
B = {4; 5; 6; 8}
Bepaal
2.1.1 A ∪ B
Dit is A saam met B = {1; 4; 5; 6; 7; 8}
A ∪ B beteken in beide A of B.
2.1.2 A ∩ B
Dit is die getalle wat in albei versamelings voorkom = {6; 8}
2.1.3 A’
Onthou dat hierdie werk versamelingleer is, en die antwoorde dus tussen krulhakies met kommapunte tussenin gegee moet word.
Ons lees hierdie as “nie in A nie” = {2; 3; 4; 5; 9}
2.1.4 B’
Ons lees hierdie as “nie in B nie” = {1; 2; 3; 7; 9}
2.1.5 A’ ∪ B’
Ons lees hierdie as “nie in A nie vereniging met wat nie in B is nie” = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}
2.2** Skets ’n Venn-diagram van die volgende:
U = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}
A = {11; 16; 17; 18}
B = {11; 16; 20}
SAMPLE
Bepaal
2.2.1 A ∪ B
A saam met B = {11; 16; 17; 18; 20}
2.2.2 A ∩ B
In A en B = {11; 16}
2.2.3 A’
Nie in A nie = {12; 13; 14; 15; 19; 20}
2.2.4 B’
Nie in B nie = {12; 13; 14; 15; 17; 18; 19}
2.2.5 A ∩ B’
Oppas vir hierdie een! Dit word gelees as: “In A maar nie in B nie” = {17; 18}
2.3** Skets ’n Venn-diagram van die volgende: natuurlike getalle in een versameling, telgetalle in die ander versameling en heelgetalle as die universele versameling.
Gebruik die volgende simbole:
Natuurlike getalle = N
Telgetalle = N 0
Heelgetalle = Z
U = Heelgetalle = Z positiewe + negatiewe + nul
Negatiewe heelgetalle
2.4*
Telgetalle (N 0) Natuurlike getalle (N)
Bepaal
2.3.1 N ∩ N 0
Die snyding tussen die telgetalle en die natuurlike getalle is die natuurlike getalle.
∴ N = {1; 2; 3; 4; ...}
2.3.2 Z ∪ N
Al die heelgetalle saam met die natuurlike getalle is die heelgetalle.
∴ Z = {... ; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
2.3.3 Z ∩ N
Die heelgetalle se snyding met die natuurlike getalle is die natuurlike getalle.
∴ N = {1; 2; 3; 4; ...}
2.3.4 N’
Nie in natuurlike getalle nie is dan die negatiewe heelgetalle plus nul.
∴ N’ = {...; -4; -3; -2; -1; 0}
Skets ’n Venn-diagram van die reële getallestelsel, die rasionale getallestelsel en die irrasionale getallestelsel.
2.5* Die volgende versamelings word in die getekende Venn-diagram voorgestel: telgetalle, natuurlike getalle, heelgetalle, rasionale getalle en reële getalle. Watter letter verteenwoordig elk van hierdie versamelings?
A = {Natuurlike getalle}
B = {Telgetalle}
C = {Heelgetalle}
D = {Rasionale getalle}
E = {Irrasionale getalle}
U = {Reële getalle}
2.6**** Die volgende inligting word vir jou gegee in verband met gaste by ’n troue:
y Daar was 150 gaste in totaal.
y Die gaste sluit in familie, vriende en kollegas.
y Altesaam was daar 15 kinders en 10 van die kinders was familie.
Totaal: 150
SAMPLE
y Die kollegas was altesaam 17 volwassenes en daar was 3 meer vroue as mans.
Indien 6 van die 60 mans by die troue familie was en die familie altesaam 23 van die gaste was, teken ’n Venn-diagram om te bepaal hoeveel vroulike vriende daar was.
Kollegas = 17
Mans = 7
Vroue = 10
Familie = 23
Mans = 6
Vroue = 23 – 6 – 10 = 7
Kinders = 10
Vriende = 47 + 58 + 5 = 110
Mans = 47
Vroue = 58
Kinders = 15 – 10 = 5
In hierdie berekening word die Venn-diagram gebruik om die bewerkings uit mekaar te hou. Daar is geen snyding nie en alle getalle moet stelselmatig ingevul word. Die antwoord is 58 vroulike vriende.
Oefening 3: Volgorde van bewerking
Bewerkings word altyd in ’n sekere volgorde gedoen. Ons noem dit “volgorde van bewerking”:
1. Hakies
2. Eksponente
3. “Van”, wat vermenigvuldig beteken
4. Vermenigvuldig en deel van links na regs
5. Optel en aftrek van links na regs
Voorbeeld 1
Vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen.
Onthou: Wanneer die bewerking tussen hakies klaar bereken is, moet die hakies weggelaat word.
Vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen.
3.1* 4 + 2 × 3 – 1
4 + 2 × 3 – 1
= 4 + 6 – 1
= 10 – 1 = 9
Doen een bewerking per stap. Dit sal die leerders die volgorde van bewerking leer, asook die gebruik van die “=”-teken. Onthou dat voor en ná die “=”-teken altyd identies moet wees.
Onthou, die opdrag is om slegs een bewerking per stap te doen.
SAMPLE
Hierdie uitdrukking bevat twee terme. Al die getalle voor die minus is term 1 en dan dié na die minus is term 2. Elke term moet vereenvoudig word, voordat die twee terme van mekaar afgetrek kan word.
In hierdie uitdrukking word drie terme gegee. Die – ná die 10 en die + voor die hakie skei die drie terme van mekaar.
Leerders moet dus hierdie drie terme se antwoorde bepaal voordat hulle die finale antwoord kan verkry.
Begin deur die terme te identifiseer.
Die + ná 18 skei die twee terme van mekaar. Term 1 is dus 18 en term 2 is 24 ÷ 4 ÷ (3 – 2 × 0).
Leerders moet eers die antwoorde op die twee terme apart bepaal en dan die bewerking doen.
3.20*** 1 4 van 16 + 1 8 van 8 – 2 × 2
1 4 van 16 + 1 8 van 8 – 2 × 2
= 4 + 1 8 van 8 – 2 × 2
= 4 + 1 – 2 × 2
= 4 + 1 – 4
= 5 – 4 = 1
Oefening 4: Herleiding van woorde na wiskunde
Simbool Betekenis Ander woord
× Vermenigvuldig Produk
÷ Deel Kwosiënt
– Aftrek Verskil + Optel Som
Herskryf die sinne as wiskundige uitdrukkings. Volg dan die volgorde van bewerking en vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen.
Voorbeeld
Trek die som van 32 en 70 af van die produk van 15 en 10 en deel die antwoord dan deur ’n half.
[(15 × 10) – (32 + 70)] ÷ 1 2
= [150 – (32 + 70)] ÷ 1 2
= [150 – 102] ÷ 1 2
= [150 – 102] × 2
= 48 × 2
= 96
4.1*
Die som van (20 – 3 × 6) en (5 – 2).
(20 – 3 × 6) + (5 – 2)
= (20 – 18) + (5 – 2)
= 2 + (5 – 2)
= 2 + 3
= 5
SAMPLE
4.2*
Die produk van (2 + 4) en (10 – 8).
(2 + 4) × (10 – 8)
= 6 × (10 – 8)
= 6 × 2
= 12
4.3**
Die kwosiënt as 20 deur (4 + 6) gedeel word.
20 ÷ (4 + 6)
= 20 (4 + 6) = 20 10 = 2
Die verskil tussen kwosiënt en koëffisiënt is belangrik.
Kwosiënt is die antwoord van ’n deelsom.
Koëffisiënt is die getal wat met ’n veranderlike vermenigvuldig word. Bv. As -2�� gegee word, is -2 die koëffisiënt van ��.
4.4**
Die verskil tussen 34 en (10 – 2 + 3).
34 – (10 – 2 + 3)
= 34 – (8 + 3)
= 34 – 11
= 23
“Verskil” beteken altyd dat die kleiner getal van die grootste getal afgetrek word sodat die antwoord positief is.
4.5* Trek 10 af van (20 + 2).
(20 + 2) – 10 = 22 – 10 = 12
4.6* Trek (10 + 2) af van 24.
24 – (10 + 2)
= 24 – 12 = 12
4.7* Trek 24 af van (20 + 6).
(20 + 6) – 24
= 26 – 24 = 2
4.8** Trek 14 af van 26 + 3.
(26 + 3) – 14
= 29 – 14 = 15
4.9** Trek 10 + 6 af van 40 – 10.
(40 – 10) – (10 + 6)
= 30 – (10 + 6)
= 30 – 16 = 14
Onthou dit wat afgetrek word, word tweede geskryf. Dit waarvan afgetrek word, word eerste geskryf.
4.10** Die produk van (12 – 3) en (8 + 2).
(12 – 3) × (8 + 2)
= 9 × (8 + 2)
= 9 × 10
= 90
SAMPLE
Hakies word ingevoeg om die terme te skei. Dit maak ook die bewerking makliker.
4.11** Die verskil tussen 18 en die helfte van 10.
18 – 1 2 van 10 = 18 – 5 = 13
Onthou, die opdrag was om een bewerking per stap te doen.
Herskryf die sinne as wiskundige uitdrukkings. Volg die volgorde van bewerking en vereenvoudig die uitdrukkings deur slegs een bewerking per stap te doen.
y Leerders mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
4.12** Tel 6 en 50 bymekaar en vermenigvuldig dit met die verskil tussen 5 en 3.
(6 + 50) × (5 – 3)
= 56 × (5 – 3)
= 56 × 2
= 112
Onthou dat die hakies eerste bereken moet word. Die volgorde van bewerking moet ook binne die hakies toegepas word.
4.13*** Trek (5 + 6 – 2) af van (10 + 8) en tel dan (3 + 9) by die antwoord.
(10 + 8) – (5 + 6 – 2) + (3 + 9)
= 18 – (5 + 6 – 2) + (3 + 9)
= 18 – (11 – 2) + (3 + 9)
= 18 – 9 + (3 + 9)
= 18 – 9 + 12
= 9 + 12 = 21
4.14*** Die helfte van die produk van 60 en (2 + 6 – 1).
1 2 van 60 × (2 + 6 – 1)
= 1 2 van 60 × (8 – 1)
= 1 2 van 60 × 7
= 30 × 7 = 210
4.15** Die kwosiënt van (24 – 8) as dit gedeel word deur die helfte van 16. (
4.16** Vermenigvuldig die verskil tussen 28 en 15 met die som van 10 en 2.
(28 – 15) × (10 + 2)
= 13 × (10 + 2)
= 13 × 12 = 156
SAMPLE
4.17*** Trek 5 van 8 af en deel dit deur die helfte van 6.
(8 – 5) 1 2 van 6 = 3 ( 1 2 van 6)
4.18*** Vermenigvuldig die som van (10 – 4) en (8 + 12) met die verskil tussen 12 en 6.
[(10 – 4) + (8 + 12)] × (12 – 6)
= [6 + (8 + 12)] × (12 – 6)
Kwosiënt is die antwoord van ’n deelsom Die ÷ is ook ’n hakie. Dus moet die teller en noemer eers vereenvoudig word voordat daar gedeel word. Onthou, “som van” beteken tel bymekaar, en “verskil tussen” beteken “trek af ” . Gebruik blokhakies by hierdie soort somme om die terme van mekaar te skei.
= [6 + 20] × (12 – 6)
= 26 × (12 – 6)
= 26 × 6 = 156
Oefening 5: Herleiding van wiskunde na woorde
Herskryf die wiskundige uitdrukkings in woorde. Vereenvoudig die uitdrukkings deur die volgorde van bewerking en doen slegs een bewerking per stap.
y Leerders mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
y Onthou die “=”-tekens.
5.1* 4 + 12 + 1 000
Die som van 4, 12 en 1 000. 4 + 12 + 1 000 = 16 + 1 000 = 1016
5.2* 57 – 15
Die verskil tussen 57 en 15. 57 – 15 = 42
5.3* 18 ÷ 6 × 3
Die kwosiënt van 18 as dit gedeel word deur 6 en dan met 3 vermenigvuldig word.
18 ÷ 6 × 3 = 3 × 3 = 9
5.4** 24 ÷ 1 2 van 12
Die kwosiënt as 24 deur die helfte van 12 gedeel word.
24 ÷ 1 2 van 12 = 24 ÷ 6 = 4
SAMPLE
5.5** 55 – 4(2 + 9)
Onthou, “van” beteken vermenigvuldig, maar “van” geniet voorkeur bo ’n gewone ×.
Trek 4 keer die som van 2 en 9 af van 55.
55 – 4(2 + 9) = 55 – 4(11) = 55 – 44 = 11
5.6*** 3(5 + 4) – 1 4 van 20 × 4
Trek ’n kwart van die produk van 20 en 4 af van 3 keer die som van 5 en 4.
Trek die produk van 7 en 5 af van 55 en tel 100 by die antwoord.
55 – (7 × 5) + 100
= 55 – 35 + 100
= 20 + 100 = 120
5.8* 0 – (6 – 6)
Trek die verskil tussen 6 en 6 van nul af.
0 – (6 – 6)
= 0 – 0 = 0
5.9*** (2 ∙ 2 15 van 45 – 1) + (5 × 3 5 )
Bepaal die som van die verskil tussen 2 keer twee vyftiendes van 45 en 1, en die produk van 5 en drie vyfdes.
(2 ∙ 2 15 van 45 – 1) + (5 × 3 5 )
= (2 ∙ 6 – 1) + (5 × 3 5 )
= (12 – 1) + (5 × 3 5 )
= 11 + (5 × 3 5 )
= 11 + 3 = 14
Tema 1:
5.10* 2 + 2 – 2 × 2
Die verskil tussen die som van 2 en 2 en die produk van 2 en 2. 2 + 2 – 2 × 2
= 2 + 2 – 4
= 4 – 4 = 0
SAMPLE
Volgorde van bewerking moet hier baie goed toegepas word. Omdat daar twee terme tussen hakies is, maak dit nie saak watter hakie eerste gedoen word nie, solank die finale berekening met die antwoorde van die hakies gedoen word.
Oefening 6: Joernaalinskrywing (regstelling van foute)
Die bewerkings in hierdie oefening is foutief gedoen.
Gee ’n verduideliking in woorde van die fout(e) wat in elke stap begaan is.
Doen dan die bewerking(s) korrek.
Voorbeeld
3 + 4 × 7
12 × 7 ......... stap 1 19 ......... stap 2
Stap 1: Die “=”-teken ontbreek en die volgorde van bewerking is foutief.
Vermenigvuldiging moet eerste gedoen word.
Stap 2: Die “=”-teken ontbreek.
Omdat die volgorde van bewerking in stap 1 foutief gedoen is, is stap 2 ook verkeerd.
