Graad 7 • Handleiding Wiskunde
Besit en gepubliseer deur Optimi, deel van Optimi Central Services (Edms) Bpk. Impalalaan 7, Doringkloof, Centurion, 0157 info@optimi.co.za www.optimi.co.za
© Optimi
Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg, mag geen gedeelte van hierdie boek in enige vorm of op enige manier elektronies of meganies, insluitend fotokopiëring, bandopname, of enige inligtingstoring-en-herwinningstelsel, gereproduseer of versend word sonder die uitgewer se skriftelike toestemming nie.
Die uitgewer dra geen verantwoordelikheid vir die voortbestaan of akkuraatheid van URL’e van eksterne webwerwe of webwerwe van derde partye waarna daar in hierdie publikasie verwys word nie, en waarborg nie dat enige inhoud op sulke webwerwe akkuraat of toepaslik is, of sal bly nie.
Daar is gevalle waar ons nie die kopiereghouer kon kontak of opspoor nie. Die uitgewer is bereid om enige foute of weglatings so gou as moontlik reg te stel indien die saak onder ons aandag gebring word.
Reg.nr.: 2011/011959/07
Wiskunde
Handleiding
Graad 7
Aangepas vir KABV
DM Oost
INHOUDSOPGAWE
Jaarbeplanner: Verkorte weergawe
K1
K2 Getallestelsels: Breuke 1
K2
K2
K3
K3
K3
K3
K4
Die Novembereksamen handel oor die hele jaar se werk
Moeilikheidsvlakke
Hierdie vlakke word in al die toetse en eksamens gehandhaaf en is ook in die handleiding as maatstaf aangedui. Die sterre by elke som dui die moeilikheidsvlak aan.
Vlak 1 *
Vlak 2 **
• Gebruik wiskundige feite en woordeskat
• Gebruik korrekte formules
• Skat en rond waardes af
• Teoretiese kennis
• Voer bekende prosedures uit
• Pas begrippe toe wat uit verskeie stappe bestaan
• Maak afleidings uit gegewe inligting
Vlak 3 ***
Vlak 4 ****
Sample
• Basiese bewerkings soos aangeleer uit voorbeelde en oefening
• Komplekse berekeninge en hoëorderedenasie
• Euklidiese meetkunde
• Geen duidelike pad na die oplossing nie
• Aandui van verbande, ooreenkomste en verskille tussen voorstellings
• Vereis konseptuele en holistiese begrip
• Ongesiene nieroetineprobleme wat nie noodwendig moeilik is nie
• Probleme moet dikwels in verskillende dele opgelos word
• Dikwels op praktiese probleme in die alledaagse lewe gerig
• Hoëordebegrip en -prosesse
Vlak 5 ***** Verryking
Dikwels as versnelling in kurrikulum beskou. Word nie in toetse en eksamens ingesluit nie.
Tema 1: Getallestelsels
Onderwerpe in hierdie gedeelte
• Waar kom getallestelsels vandaan?
• Natuurlike getalle
• Telgetalle
• Heelgetalle
• Breuke (rasionale getalle)
• Wortels (irrasionale getalle)
• Eienskappe van getallestelsels. Assosiatiewe, kommutatiewe en distributiewe eienskappe
Oefening 1: Waar kom getallestelsels vandaan?
Daar is bewyse dat die Ishango-mense van die Demokratiese Republiek van die Kongo (DRK) merkies op bene gemaak het om hul beeste of familielede te tel. Die oudste been wat al gevind is om hierdie beweringe te staaf, is meer as 20 000 jaar oud.
Die getallestelsel wat ons vandag gebruik, is die Hindoe-Arabiese stelsel en is meer as 1 000 jaar gelede deur Hindoe-Arabiese wiskundiges ontwikkel. Die Egiptiese getallestelsel het uit simbole bestaan. Kyk na die twee getallestelsels hier onder.
Video oefening 1
1.1* Skryf die Egiptiese syfer vir 3 516 neer.
1.2* Skryf die Egiptiese syfer vir 2 182 neer
1.3*** Skryf die Hindoe-Arabiese syfer vir ��������������������
neer.
1.4* Beskou die getal 234 654 365 123 987 341 236 687 Skryf nou die getal 10 000 meer as hierdie getal neer
1.5*** Ondersoek: Vir die pret Teken die volgende tabel oor en skryf die begrippe optel, aftrek, vermenigvuldig en deel in enige ander twee tale neer.
Oefening 2: Natuurlike getalle
Natuurlike getalle is getalle van 1 tot oneindig. Die simbool hiervoor is N. As ons dit tabuleer, lyk dit so: N = {1; 2; 3; 4; 5 ...}.
Onthou die krulhakies en die kommapunt tussen elke getal.
Indien ons alle getallestelsels saam gaan voorstel, sal A die sirkel met die natuurlike getalle wees.
Simbool is N.
A is die natuurlike getalle. Soos die tema vorder, sal B, C, D en E aan jou verduidelik word.
Video oefening 2
Elke syfer in ’n natuurlike getal het ’n ander betekenis.
Voorbeeld
Sample
Video oefening 2 voorbeeld
Die woord miljard en biljoen dui op dieselfde getal. Miljard word byna nooit in Amerika en Brittanje gebruik nie, maar gereeld in Kontinentale Europa.
Desimale getallestelsel
1 miljoen = 1 000 000 = 106
Ses nulle
1 miljard = 1 000 000 000 = 109
Nege nulle
1 biljoen = 1 000 000 000 000 = 1012
Twaalf nulle
1 triljoen = 1 000 000 000 000 000 000 = 1018
Agtien nulle
Duisendmiljoen (1 000 000)2 (1 000 000)3 (1 000)2
2.1** Voltooi die tabel deur elke keer die plekwaarde van die 7 te beskryf. Getal Beskrywing
Voorbeeld 345 278 Tiene
2.1.1* 34 527 823
2.1.2* 2 782
2.1.3** 5 278 254
2.1.4** 7 254 164
2.1.5*** 952 754 123
2.1.6* 12 334 527
2.1.7** 34 527 825 455
2.1.8* 782
2.1.9**** 34 784 556 723
2.2** Skryf die volgende getalle in die tabel Beskrywing Getal
Voorbeeld 4 Honderdduisende 400 000
2.2.1* 6 Tiene
2.2.2* 12 Duisende
2.2.3** 876 Miljoene
2.2.4* 9 Ene
2.2.5** 47 Honderde
2.2.6*** 639 Tienduisende
2.2.7**** 32 456 Honderde
2.3*** Tel 10 by elkeen van die volgende getalle. Skryf die antwoord in die tabel. Getal Antwoord
2.3.1* 65 382
2.3.2* 1 234
2.3.3** 87 592
2.3.4*** 96 795
2.3.5**** 9 328 999
2.4** Doen die bewerking met elke getal.
Voorbeeld 3 761 Tel 400 by 4 161
2.4.1** 676 767 Tel 1 miljoen by.
2.4.2* 78 493 Trek 50 af
2.4.3** 78 493 Tel 9 000 by.
2.4.4** 12 121 212 Trek 1 miljoen af
2.4.5**** 875 462 867 Tel 4 honderdduisend by.
2.4.6** 444 444 Tel 5 000 by
2.5** Breek die volgende natuurlike getalle op soos in die voorbeeld.
Voorbeeld 1 234 567 = 1 000 000 + 200 000 + 30 000 + 4 000 + 500 + 60 + 7
2.5.1* 648
2.5.2* 33 333
2.5.3**** 54 545 454
2.5.4** 5 678
2.5.5* 6
2.5.6** 765 432
2.6** Rangskik die volgende natuurlike getalle van klein na groot {2 542; 154; 2 441; 2 523; 2 509}
2.7** Rangskik die volgende natuurlike getalle van groot na klein {592; 523; 2 600; 2 699}
In Wiskunde gebruik ons simbole om groter as en kleiner as aan te dui Indien ons van links na regs kyk, kan ons die volgende sê:
Groter as
Video 2.4
Video 2.5
2.8** Vul ’n < of ’n > tussen die getalle in.
Wanneer jy natuurlike getalle optel en aftrek, toon genoeg stappe as bewys dat jy nie ’n sakrekenaar gebruik het om die antwoord te bepaal nie.
Voorbeeld
2 379 + 6 666 = 2 379 + 6 666 9 045
Kyk mooi waar die = geplaas word.
Leer hoe en waar om die teken te plaas. 9 370 – 6 666
Vereenvoudig die volgende sonder ’n sakrekenaar. Toon jou stappe
2.9*
2.10** 17 + 25 Gebruik jou antwoord en skryf die antwoord van 17 honderd plus 25 honderd neer
2.11** Gebruik jou antwoord en skryf die antwoord van 17 miljoen plus 25 miljoen neer
2.12**** Bepaal die som van 17 Honderdduisende en 25 Tienduisende.
Berekeninge met natuurlike getalle kan slegs een van die volgende vier wees:
Voorbeelde van bewerkings met natuurlike getalle
Optel
Vermenigvuldiging
Aftrek Kort deling
Lang deling
Skryf die getalle altyd mooi onder mekaar.
• Ene onder Ene
• Tiene onder Tiene
• Honderde onder Honderde, ens.
Gebruik die voorgeskrewe metodes en doen die volgende berekeninge. Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie
2.13** 2 345 + 999
2.14** 2 345 – 999
2.15** 2 345 × 99
2.16*** 2 345 ÷ 9 deur middel van lang deling.
2.17*** 2 345 ÷ 99 deur middel van lang deling.
2.18**** 2 345 ÷ 999 deur middel van lang deling.
Woorde moet na bewerkings herlei word om woordprobleme op te los. Die volgende woorde vir bewerkings kan voorkom. Leer dit en gebruik dit reg.
Simbool Betekenis Ander bewoording × Vermenigvuldig Produk van ÷ Deel Kwosiënt van – Aftrek Verskil tussen + Optel Som van
Skryf die volgende woorde oor in bewerkings en vereenvoudig sonder ’n sakrekenaar.
2.19** Wat is die som van 12 en 56?
2.20** Bereken die produk van 12 en 56
2.21** Wat is die kwosiënt indien 56 deur 12 gedeel word? Gee ook die res.
Die res word gevra.
Jy het dus nie ’n keuse nie en moet lang deling gebruik. Ons gaan later met desimale werk. Vir eers is die antwoord en die res albei natuurlike getalle.
2.22***
2.23****
’n Drukkery druk 1 436 boeke per dag. Hoeveel boeke het hulle in Julie 2013 gedruk as hulle nie naweke gewerk het nie?
’n Seiljag vaar 275 km in dieselfde rigting op die eerste dag, en dan elke dag 35 km verder as die vorige dag. Hoe ver is die seiljag van die hawe aan die einde van die derde dag?
Hawe
Dag 1 = 275 km
Dag 2
Dag 3
Video 2.19 tot 2.23
2.24*** Juan ry 1 035 meter na ’n spesifieke winkel. John ry 2 285 meter na dieselfde winkel. Hoeveel verder bly John van die winkel af as Juan?
2.25 Sandra moet 34 rompies vir dogters in ’n toneelstuk maak. Sy koop 2 rolle materiaal met 44 meter materiaal op elke rol Elke rompie benodig 3 meter materiaal.
2.25.1*** Toon alle berekeninge en bepaal hoeveel materiaal sy kort Jy mag nie ’n sakrekenaar gebruik nie.
2.25.2*** Daar moet telkens 3 meter materiaal aaneenlopend wees om die rompies te maak. Die materiaal kan nie gelas word nie. Verduidelik hoeveel rolle materiaal sy moet koop en hoeveel materiaal op elke rol gaan oorbly sodat 34 stukke van 3 meter elk afgesny kan word
Rond die natuurlike getalle af tot die naaste 10, 100 en 1 000.
Voorbeeld
Rond af tot 10.
(Dit beteken 10 moet daarin kan deel sonder ’n res).
Rond af tot 100.
(Dit beteken 100 moet daarin kan deel sonder ’n res).
Rond af tot 1 000.
(Dit beteken 1 000 moet daarin kan deel sonder ’n res).
Kyk na die Ene.
• Indien minder as 5 rond af na onder
• Indien 5 of meer rond af na bo
Kyk na die Tiene en Ene (laaste 2 getalle).
• Indien minder as 50, rond af na onder
• Indien 50 of meer, rond af na bo
Kyk na die laaste 3 syfers.
• Indien minder as 500, rond af na onder
• Indien 500 of meer, rond af na bo Video 2.24 en 2.25
2.26** Rond die getalle af en voltooi die tabel.
Vraag: Getal Tot die naaste ... Antwoord Rede
7 766 10
7 766 100
7 719 1 000
7 371 10
890 100
1 miljoen 1 000
Rond die volgende getalle af tot die naaste 5.
Voorbeeld
(Dit beteken 5 moet daarin kan deel sonder ’n res. Onthou, die Ene wat ’n 1 of 2 is, sal na onder afrond en die Ene wat 3 of 4 is, sal boontoe afrond.)
• 62 benader tot die naaste 5 is 60
• 63 benader tot die naaste 5 is 65
• 84 benader tot die naaste 5 is 85
Ons gebruik die ≈ wanneer ons in Wiskunde benader. Om verwarring te voorkom, skryf ons altyd die getal waarna ons benader ná die antwoord.
Voorbeeld
26 ≈ 30 tot die naaste 10.
3 456 ≈ 3 500 tot die naaste 100
2.27*** Benader 123 456 tot die naaste 5
2.28**** Benader 74 tot die naaste 7
2.29*** Shaun koop ’n broek vir R243 en ’n baadjie vir R679.
2.29.1* Benader elkeen tot die naaste R10 en gee dan die bedrag wat gesamentlik vir die broek en baadjie betaal is.
2.29.2** Indien Shaun die getalle eers opgetel het en dan benader het, wat sou die bedrag dan wees?
2.29.3*** Wat is die verskil tussen die antwoorde van die vorige twee vrae? Dink jy dat ’n mens altyd dieselfde antwoorde gaan kry?
Video 2.26 Video 2.27 tot 2.29
Volgorde van bewerkings
Indien ’n vraag ’n kombinasie van optel, aftrek, vermenigvuldiging en deling vereis, is daar ’n paar reëls wat jy moet volg om die bewerking te doen.
Onthou: + , –, × , ÷ moet in ’n sekere volgorde geskied.
Dié volgorde geld tot graad 12. Leer dit nou sodat jy nooit weer hieroor hoef te bekommer nie.
Volgorde van bewerkings:
1. Hakies (…)
2. Eksponente
3. “van” wat vermenigvuldig beteken
4. Vermenigvuldig en deel van links na regs
5. Optel en aftrek van links na regs
Vereenvoudig die volgende deur slegs een bewerking per stap te doen.
Voorbeeld 1
2 + 3 × 4
= 2 + 12
= 14
Voorbeeld 2
23 – (12 + 8) + 2 = 23 – 20 + 2
= 3 + 2 = 5
Voorbeeld 4
2 + 3 × 10 – 6 + (3 – 2) + 1 2 van 12
= 2 + 3 × 10 – 6 + 1 + 1 2 van 12
= 2 + 3 × 10 – 6 + 1 + 6
= 2 + 30 – 6 + 1 + 6
= 32 – 6 + 1 + 6
= 26 + 1 + 6
= 27 + 6
= 33
Sample
Onthou, die hakie val weg as jy klaar die bewerking gedoen het.
Voorbeeld 3
30 3 × 2 + 15 5
= 10 × 2 + 15 5
= 20 + 15 5
= 20 + 3
= 23
Voorbeeld 5
2 + 23 × 2 –1 3 van (21 + 3)
= 2 + 23 × 2 – 1 3 van 24
= 2 + 8 × 2 – 1 3 van 24
= 2 + 8 × 2 – 8
= 2 + 16 – 8
= 18 – 8
= 10