INHOUDSOPGAWE
9.1.2 Gebruik van die sinusreël wanneer twee hoeke en ’n sy teenoor een van hierdie hoeke gegee is (HHS) ..................................................................... 73
Oefening 9.1.1: Die gebruik van die sinusreël wanneer twee hoeke en ’n sy teenoor een van die hoeke gegee is .................................................... 74
9.1.3 Gebruik van die sinusreël wanneer twee sye en ’n hoek wat nie ’n ingeslote hoek tussen die twee sye is nie, gegee is (SSH) ...................... 75
Oefening 9.1.2: Gebruik van die sinusreël wanneer twee sye en ’n hoek wat nie ’n ingeslote hoek tussen die twee sye is nie, gegee is .................... 78
9.2 Die kosinusreël ......................................................................................... 78
9.2.1 Bewys van die kosinusreël .......................................................................... 79
9.2.2 Gebruik van die kosinusreël wanneer twee sye en die ingeslote hoek tussen hulle gegee is (SHS) ........................................................................ 79
Oefening 9.2.1: Los driehoeke met behulp van die kosinusreël op wanneer twee sye en die ingeslote hoek tussen hulle gegee is .................................. 80
9.2.3 Gebruik van die kosinusreël wanneer drie sye gegee is (SSS) ................... 81
VOORWOORD
1 (11 weke)
2 (11 weke)
3 1. Eksponente en wortelvorme Ondersoek of projek
3 2. Vergelykings en ongelykhede
2 3. Getalpatrone
3 4. Analitiese meetkunde Toets
4 5. Funksies
4 6. Trigonometrie: Funksies, vergelykings en identiteite
3 Eksamen
Oefenvraestelle verskyn in die handleiding.
Werkopdrag of toets
Junie-eksamen
1 7. Meting Toets
3 8. Euklidiese meetkunde
3 (10 weke)
4 (9 weke)
2 9. Trigonometrie: Probleme in twee dimensies
2 10. Waarskynlikheid Toets
2 11. Finansies, groei en verval
3 12. Statistiek
3 Hersiening
3 Eksamen
Oefenvraestelle verskyn in die handleiding. Eindjaareksamen
Sample
* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.
Optimi se graad 11-wiskundeproduk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™leermodel gebaseer is om jou te help om suksesvol te wees in jou studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 11-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.
Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om jou leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.
Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe jy dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal. Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 12 temas verdeel.
Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 6 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 7 tot 12 (kwartaal 3 en 4).
Tydsindeling
Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskundeonderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (algebraïese uitdrukkings) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan jou en jou fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat jou vordering toelaat. As jy stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat jy nog steeds al die werk betyds kan bemeester.
Wenk: Gebruik die voorgestelde tydsindeling saam met jou vordering om jou lesse te beplan.
Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens jy die kennis en begrippe wat jy geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Jy moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.
Die leeraktiwiteite wat as deel van die OLP se lesstrukture beskikbaar is, behels verskillende formate en vlakke van interaksie. Die hulpbronne ondersteun nie net die leerproses nie, maar bied jou ook die geleentheid om nuwe kennis in te oefen.
Wenk: Hoe meer oefeninge jy doen, hoe groter is die kans dat jy sukses gaan behaal in wiskunde.
Struktuur van temas
Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.
Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik.
Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir jou makliker te maak om daardeur te werk. Die struktuur is soos volg:
Inleiding
Dit sê kortliks vir jou waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat jy in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.
Voorafkennis
Hierdie afdeling sê vir jou watter bestaande kennis jy nodig het om die betrokke tema te bemeester.
Hersiening
Dit kan een van die volgende behels:
1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word,
2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat jy self jou voorafkennis kan toets, of
3. ’n kombinasie hiervan.
Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.
Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel.
Elke subtema het die volgende struktuur:
1.1 SUBTEMA
Inleiding
Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.
Uitgewerkte voorbeelde
Uitgewerkte voorbeelde wys jou hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help jou om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.
Oefeninge
Die oefeninge gee jou die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat jy al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.
Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings).
Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar jy die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.
Opsomming van tema
Hier sien jy ’n opsomming van wat jy in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.
Oefening om die tema af te sluit
Sample
Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat jy probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.
Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer jy jou werk kan herken, sê jy dikwels “O, ja!” maar jy sukkel om dit te onthou wanneer jy eksamen skryf. Wanneer jy jou werk kan herroep, beteken dit dat jy daardie kennis in jou langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel jou in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit jou langtermyngeheue te herroep.
Wanneer jy dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak jy dikwels lui en dink jy nie meer na oor die oefening nie. Jy is oortuig daarvan dat jy presies weet watter soort som of probleem jy moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van jou leerproses, leer jy om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat jy werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want jy kan die werk herroep en nie net herken nie.
Selfevaluering
In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar jy krities moet nadink oor die mate waarin jy sekere begrippe en prosedures bemeester het.
Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:
1. Alarm! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.
2. Help! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.
Voltooi nou die volgende tabel.
Onderwerp 1 2 3 4 5
Die twee vraestelle aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel:
Vraestel 1
Eksponente en wortelvorme, vergelykings en ongelykhede (Tema 1 en 2)
(Tema 3)
Finansies, groei en verval (Tema 11)
Vraestel 2
Wenk: Voltooi elke selfevaluering so eerlik as moontlik. As daar aspekte is wat jy nie onder die knie het nie, gaan kyk weer daarna en maak seker dat jy dit wel bemeester. Vra die fasiliteerder vir hulp. Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat jy die betrokke onderwerp bemeester het nie, selfs al beteken dit dat jy meer tyd aan ’n sekere tema bestee as wat die KABV aanbeveel.
Assesseringsvereistes
Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.
Sample
Wenk: Maak seker dat jy weet watter temas in watter vraestel gedek word. Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor diesamestelling van die eksamens.
Funksies en grafieke (Tema 5) 45 ± 3
Waarskynlikheid (Tema 10) 20 ± 3
Let op:
(Temas 6 en 9)
en euklidiese meetkunde (Temas 7 en 8)
• Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sakrekenaars moet net gebruik word om standaard- numeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer.
• Formuleblaaie word nie in graad 11 tydens toetse en finale eksamens voorsien nie.
Aanvullende boeke
Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend:
• Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za
• Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com
• Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.
Sakrekenaar
Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.
TEMA 7
METING
Inleiding
Hierdie tema is hersiening van graad 10-werk, en handel spesifiek oor:
1. die omtrek en oppervlakte van tweedimensionele (2D) vorms
2. die volume en buiteoppervlakte van regte prismas, silinders, sfere, regte piramides en regte keëls (driedimensionele (3D) voorwerpe)
3. die uitwerking op volume en buiteoppervlakte wanneer enige afmeting met ’n konstante faktor k vermenigvuldig word.
Voorafkennis
Jy moet reeds weet:
• hoe om die omtrek en oppervlakte van die volgende te bereken:
◦ veelhoeke
◦ sirkels
• hoe verdubbeling van enige van die afmetings van ’n 2D vorm die omtrek en oppervlakte daarvan beïnvloed
• hoe om die buiteoppervlakte en volume van die volgende te bereken:
◦ kubusse
◦ reghoekige prismas
◦ driehoekige prismas
◦ silinders
◦ piramides
◦ keëls
◦ sfere
• hoe die toepassing van ’n faktor k op enige of al die afmetings van regte prismas en silinders hul volume beïnvloed.
Waarom is dit belangrik om meting te kan doen?
Meting laat ons toe om die fisiese wêreld deur middel van getalle te beskryf. Ons gebruik meting vir baie praktiese toepassings, byvoorbeeld:
• om die breedte en lengte van voorwerpe te bepaal
• om seker te maak dat artikels in bepaalde ruimtes pas
• om strukture volgens die korrekte groottes te bou.
Ons gebruik ook meting om die oppervlakte of kapasiteit (volume) van items te bereken. Munisipaliteite moet byvoorbeeld weet hoeveel water benodig word om reservoirs te vul.
Poliëders waarvan jy reeds vantevore geleer het
7.1 OMTREK EN OPPERVLAKTE VAN TWEEDIMENSIONELE VORMS
Wat is omtrek?
Sample
In wiskunde definieer ons die omtrek van ’n tweedimensionele vorm as die afstand rondom die vorm. Dit geld ook vir geboë vorms (sirkels, ovale of ellipse) of boë.
Wat is oppervlakte?
Ons kan die oppervlakte van ’n tweedimensionele (2D) vorm definieer as die 2D ruimte wat daardie vorm beslaan. Oppervlakte word in vierkante eenhede gemeet, byvoorbeeld cm 2 , m 2 en km 2 .
Hoeke van ’n reëlmatige veelhoek
Die grootte van elke binnehoek van ’n reëlmatige veelhoek is 180° × ( n 2) n , waar n
die aantal sye voorstel.
Hier is voorvoegsels wat gebruik word om veelhoeke te beskryf: 1 Mono- 6 Heksa-
Bi- 7 Hepta-
Belangrike formules
Vorm Oppervlakte Omtrek
Uitgewerkte voorbeeld 1
PQRS is ’n parallelogram met QR = 20 cm, h = 8 cm en RS = 12 cm.
Reghoek
Vierkant
Driehoek
Parallelogram
Bereken:
a) die oppervlakte van PQRS b) die omtrek van PQRS.
Oplossings
a) Oppervlakte PQRS = b × ⊥ h
Oppervlakteformule = 20 × 8
Stel waardes in = 160 cm 2
b) Omtrek PQRS = 2(l + b)
Onthou die eenheid
Oppervlakteformule = 2(20 + 12)
Stel waardes in = 64 cm
Uitgewerkte voorbeeld 2
’n Prisma op ’n vierkantige basis het ’n hoogte van 16 cm. Die hoeklyn van die basis is √ 288 cm.
Oefening 7.1:
Oppervlakte en omtrek van tweedimensionele vorms
1. ABCD is ’n ruit met sye waarvan die lengte 4 3 x cm is. Die hoeklyne sny mekaar by O en die lengte van DO = x cm. Druk die oppervlakte van ABCD in terme van x uit.
Bereken:
a) die oppervlakte van die basis
b) die lengte van ’n sy van die basis.
Oplossings
a) Hoeklyn 2 = sy 2 + sy 2 Pythagoras
(√ 288 ) 2 = 2 × sy 2
Oppervlakte = sy 2 = 144 cm 2
b) Sy 2 = 144
Sy = 12 cm
Sample
2. Jy wil nuwe reghoekige vadoeke vir jou kombuis maak. Die afmetings van elke vadoek is 30 cm × 45 cm. Die afmetings van die stuk materiaal wat jy beskikbaar het, is 1 m × 1,8 m.
2.1 Bereken die oppervlakte van een vadoek in vierkante meter.
2.2 Jy wil ’n dekoratiewe rand om elke vadoek voeg. Bereken die omtrek van die vadoek.
2.3 Bepaal die aantal vadoeke wat jy uit die beskikbare materiaal sal kan maak.
3. Lauren se wiskundehandboek is 30 cm lank en 20 cm breed. Sy merk op dat die afmetings van die bokant van haar lessenaar in dieselfde verhouding as die afmetings van haar handboek is.
3.1 As die bokant van haar lessenaar 1,2 m lank is, bereken die oppervlakte van die bokant van haar lessenaar.
3.2 Lauren gebruik karton om elke hoek van haar lessenaar met ’n gelykbenige driehoek te bedek soos in die diagram hier onder gewys word:
Belangrike formules vir volume
Reghoekige prisma
Bereken die volgende in meter of vierkante meter:
3.2.1 die nuwe omtrek van die sigbare gedeelte van die bokant van haar lessenaar
3.2.2 die nuwe oppervlakte van die sigbare gedeelte van die bokant van haar lessenaar.
7.2 VOLUME EN BUITEOPPERVLAKTE VAN DRIEDIMENSIONELE
VOORWERPE
Wat is volume?
Ons kan volume definieer as die driedimensionele ruimte wat ingesluit word of beslaan word deur ’n 3D voorwerp.
Wat is buiteoppervlakte?
Dit is die totale oppervlakte van die vlakke van ’n driedimensionele (3D) voorwerp. Die buiteoppervlakte is die oppervlakte van alles wat met verf bedek sal word as jy die voorwerp in ’n blik verf sou doop.
Driehoekige prisma
Die basis van ’n driedimensionele voorwerp is een van die twee ewewydige, kongruente sye van die voorwerp.
Wat is ’n piramide?
’n Piramide is ’n meetkundige voorwerp wat ’n veelhoek as basis het en waarvan die sye in ’n punt wat die toppunt genoem word, konvergeer. Met ander woorde, die sye is nie loodreg op die basis nie.
Wat is ’n regte piramide?
’n Piramide is ’n regte piramide as die lyn van die toppunt na die middelpunt van die basis loodreg op die basis is.
Wat is ’n keël?
Keëls is soortgelyk aan piramides; hul basisse is egter sirkels.
Nog formules vir volume
Voorwerp
Piramide met ’n vierkantige basis
Volume = 1 3 × opper vlakte van basis × ⊥hoogte van piramide of keël
Wat is ’n sfeer?
Sfere is voorwerpe wat perfek rond is en vanuit enige rigting dieselfde lyk.
Piramide met ’n driehoekige basis
Buiteoppervlakte
• Beskou die net van die voorwerp: Vou die voorwerp soos ’n kartonboks oop en druk dit plat om al die 2D meetkundige vorms wat daarin ingesluit is, te kry.
• Bereken die oppervlakte van elke 2D meetkundige vorm.
• Tel hierdie oppervlaktes bymekaar om die totale buiteoppervlakte te bepaal.
Voorwerp
Reghoekige prisma Reghoek
Regte keël
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde
• Gebruik in die klaskamer of tuis.
home classroom college workplace
