rozv_yazannya_do_zbirnika_zadach_i_kontrolnih_ro by illya Dobro

ВАРІАН Т 1 1.

3. 4. 5. 6.

Точки С (-2; 0; 0), .0(0; 1; 0), £(0; 0; - 8) і Р (-4; 0; 0) - лежать на координатних осях. С і Р лежать на осі ОХ; О - на осі ОГ, Е - на осі 02. Точки N(-2; 0; 4), Р(-4; 4; 0), #(0; 1; 6), 0 ( - 8; 0; 0) належать координатним площинам. N(-2; 0; 4) - площині (XO Z), Р (-4; 4; 0) площині (ХО У), К(0; 1; 6) - площині (У 0 2 ), 0 (-8 ; 0; 0) - площині (ХО У) і (Х О г). Точки А(4; -7 ; 1) і В(-4; 7; -1). Е; К. На відстані 4, 2 і 1. ОС = О А =А В = 1; А(0; 0; 1), В (і; 0; 1), С(і; 0; 0).

А (4; 0; 0), 0 (0 ; 0; 0), С(0; 4; 0), 0,(0; 4; - 4 ) ,

В ( 4 ;-4 ;0 ) , В ,( 0 ;- 4 ;- 4 ) , А ,( - і;0 ;0 ) , 0,(0; 0 ;- 4 ) . 89.

ОК = >/9 + 25 + 36 = у/Т0. 1) £ (-2 ; 3; 4), А (6; 1; - 2 ) . Нехай точка М -2 + 6

середина відрізка РК, тоді *м = — - — =

Сі

ум Л ± 1 = 2, * „ = 1 ^

= 1;

М (2; 2; 1);

2) Р (-3; 0; 4), ІІГ(3; 5; - 2 ) . Нехай точка N -3 + 3 середина тоді = — -— = 0, Сі

' У„ = Ц ^ = 2,5, г„ = ^ 10.

= 1;

N (0; 2,5; 1).

Дано: А ( - 3; 8; 5), М ( - 5; 4; - 6). Точка М - середина відрізка. Нехай точка -З + х В(х; у; г), тоді -5 = — - — ; -1 0 = -3 + х; х = -7; Сі

4 = —“

8 = 8 + 1/;

г/ = 0;

- 6= ^ ;

-1 2 = 5 + 2;

г = -17. Отже, точка В (-7; 0; -1 7 ). 11.

М(3; -5 ; і) , ЛГ(-1; 7; 5). Нехай точка А (х; у; г) З

ділить відрізок М К у відношенні 3:1, тоді точка Р ділить відрізок М К - пополам. дсР =1, у р =1, =3; Р(1; 1; 3); А ( х 1; у,; г ,); 1+ 7 . - = - = 4;

3+5 . л!г\ л л\ 2 , = - ^ - = 4; А(0; 4; 4).

С (-5; 2; 1). Знайти: координати точки І), пехаи /ш ьхі - паралелограм, діагоналі його перетинаються в точці 0 (х ; у; г). Знайдемо 3 -5 координати точки О. * = —— = А -4 + 2 і 5 + 1 0 п іл і о\ у ------— —-~1^ 2 — — 3; О у—\\ Її 3). Сл

Сі

Знайдемо координати точки 0 ( х 1; уг; г1). -1 = - ^

;

- 2 = -6 + х,;

х1 = 4;

Сі

_1 = 1 ± ^ ; З = ——

- 2 = 1 + «/,; 6 = 6 + г,;

«/, = -3 ;

г, = 0. Отже, 0 (4 ; -3 ; 0).

Сі

13.

Дано: В, (2; - 3; 4) - середина АС; С, ( - 6; 1; 2) - середина АВ;

С ( - 3; 4; 6); ^ ^ ----- С Знайти: координати точок А і В. 1) Знайдемо координати точки А. ^ ±£с= 2;

хл + (-3)

= 4;

^ ± ^ = -3;

</д +4 = - 6;

хд = 7; і/д = -10;

А (7; -1 0 ; 2); 2) Знайдемо координати точки В.

= 4; = 8 - 6 = 2;

ХА + ХН — хсі Мл±Ув_ = ус:>

14.

І 12 ^ — = -6; и > хв = - 1 2 - 7 = -19; 102+Ув =1;

і/в = 2 + 10 = 12;

?А-+гя = г • І ± ? « = 2 ; 2„ = 4 - 2 = 2. 2 2 ’ « Отже, В(-19; 12; 2). Дано: А (4; 1; - і) , В (2; 4; - 4 ) , С(1; 2; 1) середини сторін АА^С,. Знайти координати точок Ах, Вх, Сх. Нехай точки А, (де,; ух; 2,), *6

В[ (х2; і/2; 22)> С, (х3, і/3; 23). 4 _ *1 + *2 2 1 = Уі + Уг , 2 Маємо

Х 2

Х 3 .

2_~ Т ~ ’ 1 - У2 + Уз . 2 2

хі + хг = Уі+У2 = 2; 2. + г2 = -2;

■^2 ^3 —4» У2 + Уз= 8; г2 + г3 = -8;

2 3

1 = Хі+2 Х?;

х ,+ х 3 =2;

2 = ^- ^ 3 ;

^ + у 3 =4;

х, + х3 = 2; Уі+Уз = 4і г1+гі =2;

хг + х 3 = 4;

Х3

Уг+У3 = 8; г2 + г3 = - 8;

Уз ~ Уг = 2; г3 = 4;

|Уз ~Уг =2; 2*з = -2;

1У2 + Уг = 8: 2у3 = 10; у3 = 5;

х3 = -1;

23 = -2 , отже, точка С, (-1; 5; - 2 ) . Розглянемо: х, - 1 = 2; г , - 2 = 2;

де, = 3; ух + 5 = 4; у, = -1; 2! =4; Д ( 3 ; - 1 ; 4 ) ;

*і + хг = 8; 3 + х2 = 8; х2 = 5; Уг+У2 = 2; - 1 + у2 = 2; у2 = 3; 2, + г2 = -2; 4 + г2 = -2; г2 = - 6;

Д (5; 3; - б ) .

Відповідь: А(3; -1 ; 4), Д (5; 3; - 6) 15.

1) АВ = ^(3 + 1)2 + ( - 2 - 2 )2 + ( 3 - 5 )2 = >/16 + 16 + 4 = = л/36 = 6;

АВ = 6;

2) АВ = уІЗ2 + 2г + (-2 )2 = 79 + 4 + 4 = л/І7; 16.

Дано: ДАВС; м

АВ = ТГт.

А ( 3 ;-1 ;- 2 ) ;

В (-5; 7; 4); С(1; 5; 2); Знайти: МАГ - середня лінія.

6‘ л------- ;------- я І ™ = У8! + (-8 )’ + (-6 )’ = -У64 + 64 + 36 = ТЇ64 = = 7 Г 4 Г = 2л/4Ї, а МЛГ = І А В = І-2ч /4І = >/4І; МЛҐ = л/4 Ї;

И спосіб. _ 3 + 1

хм ~

О.

~ ’

Ум

_ " 1 + 5 _о.

~ '

М (2; 2; 0); ** = ^ ± 1 = - 2;

-2 + 2

2м ------2

Уі/=1 ± ї = в;

2„ = ± ^ = 3;

17.

ЛГ(-2; 6; 3);

МЛҐ = >/42 + 42 + З2 = >/16 + 16 + 9 = ТІЇ. АБ2 = ( 4 - і ) 2 + ( - 5 - у ) 2 +(2 + 4)2; 49 = 9+ (5 + у)2 + 36;

(5 + у)2 = 49 - 45;

5 + у = 2 або 5 + у = -2; Відповідь: -3 або - 7 18.

(5 + у )2 =4;

у = -3 або у = -7.

Нехай точка М (0; у, 0) рівновіддалені від точок А ( - 2; 3; 1), В(1; 2; - 4 ) , тоді АМ 2 = ВМ2;

22 + (у - з )2 + ( - і )2 = (~і )2 +(у - 2)2 + (~4)2; 4 + {/2- 6у + 9 + 1 = 1 + «/2-4«/ + 4 + 16; -2 у = 7; у = - 3,5. Отже, точка М (0; -3 ,5 ; 0). 19.

1) Нехай А(0; 0; г), В(х; у, 0), С(-12; 10; - 5 ) середина АВ. Знайти координати точки А і В. Маємо - 1 2 = —- — ;

х = -24;

10 = ^ - ^ ; у = 20; - 5 = ^ ; 2 = - 10; 2 2 2) АВ = 7242 + 202 + 102 = 7576 + 400 + 100 = ТЇ076 = = 2 •7269. Отже, А(0; 0; -1 0 ); 20.

АВ = 27269. / Ч " >7°

В (-24; 20; 0).

Дано: А (2 ;-3 ; і); В (-1; 0; 4);

С(4; 1; 5) і Я (7; - 2; 2); М——------ Довести, що АВСИ - ромб. іч _ ~ 1 + 7 о. _ 0 -2 _ . _ 4 +2 _ 1) *о 2 ~ _ 2 — 2о - 2 “ 1 0(3; -1 ; 3); о-» _ ^+4 _ _ 2) *0, 3;

_ -3 +1 _ - _ 1; 20_

+ -

З,

Ох (3; -1 ; 3). Отже, О і О, - співпали, а якщо в чотирикутника діагоналі перетинаються і

точкою перетину діляться навпіл, то АВС£> паралелограм; 3) Знайдемо АВ = ^32 + (-3 )2 + (-3 )2 = ^ 2 7 = Зч/З; ВС = л/52 + І2 + І2 = >/27 = 3%/3. 0тже> АВ = ВС, а якщо в паралелограмі сторони рівні, то він є ромбом, отже АВСВ - ромб, що й треба було довести. 21.

Знайдемо середину відрізка ВС. х = —

= 5;

-1 + 13 Л -4 + 18 _ У ------ ------- Ь; 2 ------- - -------7. Середина відрізка

22.

ВС має координати (5; 6; 7), а де координати точки А. Отже, А, В і С лежать на одній прямій і точка А лежить між точками В і С. 1) Відповідно початку координат А (3; - 4 ; і) -> А '(-3 ; 4; - 1 ) ; С(5; 1; 9 )-> -> С'(-5; -1 ; - 9 ) ;

В (-2; 1; - 3 ) - » В '( 2 ; -1 ; 3);

£ » ( - 2 ; - 9 ; - 8) - » £>'(2; 9; 8);

£ ( 0 ;0 ;3 ) - >

-> £ '(0; 0; - 3 ) ; Р(0; - 8; 9 )-> Р'(0; 8; - 9 ) ; 2) Відносно площини ХУ А(3; - 4 ; 1) -> А '(3; -4 ; - 1 ) ; В (-2; 1; - 3 ) - > -> В '(-2 ; 1; 3);

С(5; 1; 9) -> С'(5; 1; - 9 ) ;

£>(-2; - 9 ; - 8)-> £ > '(-2 ; - 9 ; 8); £ (0; 0; 3) -> -+ £ '(0 ; 0; - 3 ) ; Р(0; - 8; 9) -> Ґ (0; - 8; - 9 ) ; 3) Відносно площини XZ А (3; -4 ; 1)->А'(3; 4; 1); В(-2; 1; -3 )-> В "(-2 ; 1; 3); С (5; 1; 9) —» С"(5; -1 ; 9); 2; 9; - 8);

£>(-2; - 9 ; - 8)->

Е (0; 0; 3 ) - > £ '( 0 ; 0; 3);

Р (0; - 8; 9 ) —>Р~(°; 8: 9)ї 4) Відносно осі OZ А(3; - 4 ; і) -> А4 (-3; 4; 1);

В(-2; 1; - 3 ) - +

—> Д, (2; -1 ; - 3 ) ;

С (5; 1; 9) -> С4 (-5; -1 ; 9);

£>(-2; - 9 ; -8 )-> £ > 4(2; 9; - 8); —> £ 4 (0; 0; 3); 23.

Е (0; 0; 3) —»

Р(0; - 8; 9 )-> Р4 (0; 8; 9).

М (4 ; - 7 ; 2). 1) N - початку координат АГ(-4; 7; -2);

МИ = ^82 + (-142) + (4)2 = 764 + 196+ 16 = >/276 = = 2769; = 2>/б9; 2) N - симетрична відносно площини У£, тоді N (-4 ;-7 ; 2); 24.

М # = ^(4 +4)2 + (-7 + 7)2 + (2 - 2 )2 =

= >/б4 = 8; МИ = 8. А (5; -3 ; 4) і £>(-3; 1; - 2 ) симетричні відносно С. т \ х = —— 5 " 3 = 1; 1 Нехай С(х; у; г), 2=

25.

— = 1;

у = ~3 - -+-1 = 1 1;

С (1; -1 ; 1), так як АС = СИ.

М (а; Ь; с). Розглянемо симетрію точки М (а; Ь; с) відносно площини ХУ; Л/(а; і>; с) —> Мх (а;

- с ) , відносно

ХЯ, М[ (а; &; - с) —» М2(а; - Ь; - с), відносно YZ, М2 (а; - Ь; - с ) -> М3(-о ; - і>; - с ) , а М (а; Ь; с) -» М3 (-а; - 6; - с), а відносно початку координат М (а; Ь; с) -» М 3 (-а; -Ь; - с ) . Отже, отримана точка М3 (-а; - Ь; - с) симетрична відносно початку координат точці М (а; &; с). 26 і 27. На ст. 8. 28.

1) АВ(1 -2 ; - 4 - 3 ; 5 - 1 ) = А В (-1; -7 ; 4); 2) АВ(7; - 6; - 1 ) .

29.

1) А В (-7; 8; - 4 ) ;

СО(х + 2; у + 6; г + 11);

2) АВ = С£>, х + 2 = -7;

х = -9 ;

2 + 11 = -4 ;

у + 6 = 8; у = 2; 2 = -15. Отже, х = -9, у = 2, 2 = -15. 30.

Дано: ІС(3; 9; - 1 5 ) ; відкладено вектор о ( 2; - 2; 1); Знайти координати кінця вектора. Нехай координати кінця вектора М (х ; у; г), тоді КМ = (х - 3; у - 9; г +15); у - 9 = -2 ; у = 7; М (5; 7; -1 4 ).

31.

2 + 15 = 1;

"О

х = 5;

2 = -14. Отже,

с Дано: А (3 ;-2 ; 5);

1) АВ (-5; 9; - 6);

32.

х - 3 = 2;

В (-2 ;7 ;-і);

С (-4; 14; - 4 ) ; О (і; 5; 2); Довести, що АВСВ паралелограм. £>С(-5; 9; - 6); Отже, а в = ^С;

2) А О (-2; 7; - 3 ) ; ВС(-2; 7; - 3 ) ; а Б = ВС, отже, АВСО - паралелограм. ^------------ 7 е Д Дано: ано: А л ( 3 ;- 24 ; 1); В ( - 6; 4; 2); / ^— .......... »£. АО = ВС;

2>(-3; 2; - 4 ) ; Знайти координати кообл точки С.

С(х; у; г);

А В (-б ; 4 ; - 5 ) ;

ВС (х + 6; у - 4; 2 - 2). Так як АВСВ паралелограм, то АВ = ВС; х + 6 = - 6; де =-12; і/ - 4 = 4; г/ = 8; 2 - 2 = -5; г = -3. Отже, С (-12; 8; - 3 ) . 33.

|о| = 79 + 16 + 25 = 572;

|&|= 716 + 4 + 16 = 7§6 = 6;

|&|= |с|; |с| = 79 + 2 + 25 = 7зб = 6; 5 = ТГ+49 = 750 = 572; = 734. Отже, |а| = |4

|о| = |5|; і = 74 + 5 + 25 =

|Ь|= |с|.

34.

Дано: /п ( 5 ;- 3 ;г ) ; 25 + 9 + г2 =81;

35.

|т| = 9; Знайти: г.

г2 = 81 - 34;

22 =47;

2 = ±л/47;

г = >/47 або 2 = -747. Так як координати вектора рівні, то х2 +х 2 + х 2 = 36;

Зх2 = 36;

х 2 = 12;

х = ±2>/з.

Отже, р(2у/3; 2л/з; 2-Уз) або р(-2>/3; -2>/3; -2>/з). 36.

1) Нехай а + Ь = с, тоді с (3; -3 ; 11);

а-Ь = т; 2)

т ( 5; -7 ; 1);

а + Ь = >/9 + 9 + 121 = ТЇ39; а - Ь = 725 + 49 + 1 = 775 = 5>/з.

37.

СА + СВ = 0. Нехай точка С(х; у; г), тоді СА(3-х; - 4 - і / ; 1 -г );

С В (-2-х, 6 -у ; - З - г ) , тоді

СА + СВ = т (1 - 2х; 2 - 2у; - 2 - 2г) = 0 (0; 0; 0); 1 - 2л: = 0; х = - ; 2

2- 2у = 0; у = 1;

- 2-22 = 0, г = - 1,

отже 38.

а (х 1; у х; г х);

Ь(х2; у2\г2);

х, + х2 = 4;

х1 - х2 = 6;

Уі+У2 = - і ; 2, + 22 = 5;

у1- у 2 = 3;

2х, = 10;

а -Ь = п;

х, + х2 + х, - х2 = 10;

«і - г, = - і ;

х, = 5;

Отже, а (5; 1; 2); 1 + і/2 = “ її

а+Ь = т;

2і/, =2; 5 + х2 =4;

Уг - “ 2;

ух = 1;

2г, =4;

х2 = -1;

2 + г2 =5;

г2 =3.

39.

Отже, Ь(—1; - 2 ; 3). Не можуть.

40.

Нехай д + Ь- с = сі, тоді а + Ь = т (1; 3; 5), а

2, = 2;

т - с = 5(0; - 6; г - 5 ) ;

< /(0 ;-6 ;г -5 );

Модуль вектора |<і| набуває найменшого значення, якщо 2 = 5, тоді |й|= 6. 41.

а (2; - 3 ; 4);

*(-1; 6; 2).

1) 2а + Ь = /ге; 2а =(4; - 6; 8);

2) За + 4Ь = ге; За (6; - 9 ; 12); + 4Ь (-4; 24; 8);

+ Ь(-Ї, 6; 2); т ( 3; 0; 10);

ге(2; 15; 20);

3) 4а -Ь = с; 4а (8; -1 2 ; 16); + -Ь( 1; - 6; - 2); с(9; -1 8 ; 14); 4 ) - З а ( - 6; 9 ;- 1 2 ) ;

- 2&(2; -1 2 ; - 4 ) ;

-За -2Ь = 5(4; - 3 ; -1 6 ). 42.

Дано: с = (-З а + £ );

а(4; 0 ; - 3 ) ;

Ь (4 ;-6 ;-3 );

Знайти: |с|. -За (-12; 0; 9); £ (4; - 6; - 3 ) ; с ( - 8; - 6; 6); |с|= >/64 + 36 + 36 = л/І36 = 2>/34. 43.

Дано: І )( 3 ; - 2 ; - 5 ) ;

£ (-1 ; 4; 7);

ЛГ(і; 3; б);

£ (-3 ; 9; 18); Чи колініарні вектори ИЕ і КР. 1) Знайдемо координати векторів йЕ і КЕ. Л Б(-4; 6; 12);

^ ( - 4 ; 6; 12).

Вектори БЕ і КР - колініарні, так як

44.

координати пропорційні. Співнаправлені вектори а і т, Ь і т, а і <1,

45.

а (3; у, 6);

46.

Знайдемо у. — — ~ = 12; у = -2; -о 4 -------З 6 Знайдемо г: Зл = -3 6 ; г = -12. - 6 __ г_____ Знайдемо |а|= + 4 + 36 = -^49 = 7. Так як |ь| = 21,

Ь і сі. Ь(-6; 4; г).

то &(9; - 6; -1 8 ). 47.

5а - 7Ь = 2а + 4Ь;

5а - 2а = 4& + 7Ь;

За = 116;

а ~ — °у отже, вектори а і Ь співнаправлені, так О

48.

як а = Аг •Ь. ^ Д а н о :

А ( 2 ;- 3 ; 1);

В (-4 ; 2; 3);

С ( 6 ;1 ;- 4 ) ; 0 ( 2 2 ; - 5 ; - 1 3 ) ; / ---------------Довести, що АВСО - трапеція. 1) Доведемо, що ВС і АО співнапрямлені. В С (10;- 1 ; - 7 ) ; АО (20; - 2; -1 4 ); 10 -1 -7 1 — ---2 0 = ^2 = ЧІ4 = 2 :ОТЖЄ’ ВС і А В ~ співналравлені, тобто паралельні; 2) А В (-6; 5; 2), ОС(-16; 6; 9);

49.

Отже, АВ не паралельна ОС. Значить, в чотирикутнику АВСО, АХ) ||ВС, а АВ не паралельна ОС, а такий чотирикутник трапеція. Точки А (2; 3; - 7 ) , В (4; 5; - і) і С(0; 1; 11) не лежать на одній прямій, так як вектори АВ і ВС не колініарні.

50.

Вектори

V4 51.

2' 16

4’

3) |с| = І, 52.

1) _ одиничні.

Й = 1.

|а] = 79 + 16 =5;

2) Ь(2; -3 ; - 6); Г2

, гі(0; 0;

йб = 1; 116

1) а (-3 ; 4; 0);

т Ф

° ' :

|*>|= 74 + 9 + 36 = 749 = 7;

+ т2 + р2; яг + т2 + р2

+ т2 + р2

2 +. Ш2 +. р 2

1) 5^ + 3 ^ - 2^3 =_а, тоді а (5; 3; - 2 ) ; 2) Ц + 5 ^ Ь ; _ Ь(4; 0; 5);

53.

3) - пі^ + = с; с (т; - п; А). Любий вектор можно розкласти за векторами а(3; - 2 ; 0), Ь(-2; 4; 1) і с(-1 ; - 3 ; 4). Отже, т = Яа + цЬ + ис. Знайдемо Я, ^ і и склавши ЗЯ - 2/1 - V = 5; -2А + 4и м - Зі» = -17;’ ОЯ + // + 4і> = 11; Розв’яжемо цю систему рівнянь. /* + 4и = 11; /і = 11-4и. систему рівнянь:

ЗЯ - 2 (11 - 4и) - 1» = 5;

|ЗЯ + 8и -2 2 -и 5 ;

- 2Я + 4 (11 - 4и) - Зь = -17;

[-2Я + 44 - 16и - Зі» = -17;

|ЗЯ + 7и = 27; 2 [-2Я - 19и = -61; 3

|бЯ + 14и = 54; 1-6Я -57 ц = -183:

___________________________ -43» = -129:

и = 3:__________

т = 2а - Ь+ Зс. S

Дано: М - середина АС; 1) Aß. SÄ + Aß = SB; c

AB = S B -S Ä ; 2) ВС. ВС + SB = SC; ВС = SC - SB;

3) B M

BM + MC = BC;

MC = - AC; 2

BM = В С - MC = S C - S B - - AC;

_ _ _ _ _ 4) AB + ßC = AC; = SC - SÄ;

AC = SB - SA + SC - SB =

MC = —SC - 1 SÄ;

І77Т І7ГТ 1 5) BM = S C - SB - —SC + - S A = - S A + - S C - Sß; 2 2 2 2 Отже, BM = 0,5SA + 0,5SC - Sß. Дано: ABCD - квадрат; AK = BK = CK = DK; 1) KA + AD = KD

AD = KD -K A ;

2) Y 5 + DC = KC DC = K C -K D 3) KD = K A -K B + КС. Дано: ß £ ; EA = 1 :2 ; BF : FC = 3 :1; f ß + BE ——CB H — BA, тоді 4 3 Д

57.

FË = - P Ä + — P B -- P C . З 12 4 1 1) a b = 2 b - cos 60° = 10 •—= 5;

fr y

2) a ft = 7 •1 •cos 150° = 7( - c o s 30°) = — — ; 2 3) a -ft = 6 •9 cos 90° = 0. 58.

1) a-ft = 8 - 1 5 + 2 = -5;

59.

3) a-ft = 6 - 2 - 4 = 0. 12- y + 10 = 14; - y = 1 4 -2 2 ; a ft

60-

61.

cos<p

д.|ь|

2) a -ft = 0 + 0 -1 4 = -14; - y = - 8;

-8 -1 + 6 т їт т п

у = 8.

-3

> Я б + т + 9 " 3-V26 ~

-726 cos с? = ------- . 26 Дано: AABC; В (2; - 2 ; 5);

A (l; -3 ; 4); C(3; 1; 3);

__________ Знайти: cos ZA, cos ZB, cos ZC. 1) A B (l; 1; 1); AC(2; 4 ; - 1 ) ; cosZA = 2 + 4 -1 5 5 5 і— /------------ і— і— t—> cos Z-A. — і—, V3-V4 + 16 + 1 V3-V21 3v7 3V3 .. 2 + 12 + 2 16 16 2) cos ZC = 71 + 9 + 4 ^ 4 + 16 + 1 7 І 4 -7 2 І 7 Т б ’ 3) B A (-1 ;- 1 ; - 1 ) ; BC(l; 3 ; - 2 ) ; . 0 _ - 1 - 3 + 2 _ -2 cos /La . Так як cos ZB < 0, to 62.

63.

трикутник тупокутний. Вектори перпендикулярні, якщо a ft = 0; ----4 a •ft = 2 - 6 + 5z = 0; 5z = 4; z = —= 0,8; z = 0,8. 5 1) Кут між векторами гострий, якщо a ft > 0; a •ft = 2x + 4 -1 8 = 2x -1 4 > 0; при * > 7 кут гострий;

2x > 14;

2) Прямий, якщо a •ft = 0; 2л: —14 = 0; 3) Тупий, якщо a •ft < 0; х < 7.

л: > 7;

х = 7;

64.

1) Знайдемо координати вектора д д А В ( 7 - 5 ; 1 - 3 ; - 1 - ( - 1 ) ) = А В (2; - 2 ; 0 ); 2) Знайдемо кут м іж АВ і і, (1; 0; 0 ); cos а, =

2 -0 + 0

>/8 •1

2^2_

4 Ї'

cos а, = 45°;

3) Знайдемо кут між АВ і ^ (0; 1; 0 );

0 - 2 +0 V2 2 2\І2 ■1 42 ‘ 2 4) Знайдемо кут між АВ і ^ (0; 0; 1); cos а, = — З — = 0;

а3 = 90°.

Дано: А (5; -3 ; 2);

65.

В (9; -1 ; 3);

С(12; - 5 ; - 1); (8; - 7 ; - 2 ) ; Довести, що ABCD прямокутник. 1) Доведемо, що ABCD - паралелограм. АВ(4; 2; 1);

DC(4; 2; і); Вектори д в =

АВ II DC, отже ABCD - паралелограм; 2) Знайдемо АВ ■AD;

AD(3\ - 4 ; - 4 ) ;

АВ ■AD = 4 •3 + 2 •(-4 ) + 1 •(-4 ) = 1 2 - 8 - 4 = 0; Отже, АВ -L AD, а значить ABCD прямокутник. 66.

Нехай п(х; у, z), тоді 5х - Зу + 4z = -100, а так як _ _ х у г вектори ті і k колініарні, то — = — = —» 5 -3 4 x_z _ 5z ; І4 г /= 32; у = - - г ; ¥ ~ 4 ’ Х ~ ~4’ 4 Зі ' 4 *

Маємо ° ’ л о

L 3. 2 + 4г = -10 0 ; І 4/

+ - 2 + 4г = -100; 4 4

25z + 9г +162 =-400;

50г = -4 0 0 ;

г - - 8 , тоді

5 (-8 ) * = - 1 - - 2 = -1 0 ;

-3 (-8 ) „ у —----- 7- ^ = 6.

_ 4 Відповідь: «(-1 0 ; 6; - 8) 67.

Дано:

/ л> аЬ = 120°;

|а|

V Г. а Ь; = 5- 6 сов 120° =

) - —= -15; 2

2) [а + Ь^Ь = а-Ь + Ь2 = -15 + 36 =21; 3) (ь - а) а = Ьа - а = - 1 5 - 2 5 = -40; 4) (2а + 3£>) •а = 2а2 +3& - а = 2 -25 + 3 - (-15) = 50 -4 5 = 5. 68 . Дано: а = 30°;

|а| = 1;

|ь|= 1;

Знайти: (а —2Ь) ■(2а + ь) =,2а —4Ь а + аЬ-2Ь = = 2 - 4 •1 •1 •сов 30° + 1 •1 •сов 30° - 2 = -3 •— = - — . 2 2 Зл/3 Відповідь:-------2

69.

Д = 3;

\ї\ = 2;

^ (о; б) = 60°;

1) Знайти: 1)|а + ь|; (а + ї ) 2

=7 + 2аЬ + Ь2 = 9 + 4+2-3• 2

| = 13 + 6 = 19;

|а + £>|= у/Ї9; 2) |2а - ЗЬ| = ^(2а - 3&)* = \І4а - 12аЬ + %

= >/4 9 - 12 •3 •2 сов 60° + 9-4 = 7 і2 -3 = >/36 = 6. І2а - ЗЬІ = 6.

70.

а = m + 3п;

|го| = 1;

Знайти:

|л| = 1;

т 1 n;

b = 2т - п;

fr).

а ■b cos Z a = 7=r H П 1) a ■b = (m + 3nj •[2m - n'j = 2m + 6mn - m n - 3n = = 2 - 3 + 5m n = - 1; 2) |a| = >Jm + 6 m n + 9 n

= TIÔ;

|ft|= y]4m - 4 mn + n.2 = JE; 3) cos ce =

y- = — = -0,1-72. VIO •v5 5V2 •V2 Відповідь: cos a = _o, 1^2 71.

Дано: a (-2 ; 3; 1) і 6 (1; 4; —3) ;

(a + febjlfe;

Знайти: K. 1) kb(k; 4k; -3 k );

â + kb = c ( k - 2; 3 + 4k; 1 - ЗА);

2) c 1 b , тоді c b = 0; + (1 - 3k) ■(-3 ) = 0; 26/г + 7 = 0;

72.

(k - 2) 1 + (3 + 4k) ■4 + k - 2 + 12 + 16* + 9k - 3 = 0;

k=-— . 26

Відповідь: k = ~— ZO Дано: A (l; 5; 8), B (5; 2; 9), C(7; 4; 7) і D (8; 3; 0). Довести, що AB 1 (BCD). 1) Знайдемо координати AB, BC, BD; AB(4; -3 ; l) , BC(2; 2; - 2 ) , BD(3; 1; - 9 ) ; 2) Доведемо, що AB 1 BC, AB 1 BD. Знайдемо скалярний добуток AB ■BC і AB і BD; AB •BC = 8 - 6 - 2 = 0, отже ÂB ± BC;

AB BD = 1 2 - 3 - 9 = 0; АВ 1 BD, а якщо АВ 1 ВС і А б 1 BD, то пряма АВ ±(пл. BCD), що й треба було довести. Так як Ай •МК = 0, так як АВ 1 МК; АВ(4; 3; 1);

МК (х - 2; у - 3; z +1), тоді

4(х - 2) + 3(у - 3) + z +1 = 0;

4 x - 8 + 3 i/-9 + z + l = 0;

4х + Зу + z - 16 = 0. Відповідь: 4х + Зу = z -1 6 = 0 74.

1) А (4; -1 ; 5) —» АЧх'; у ; г');__________________ Паралельне перенесення задається формулою х, = х + а, ух = у + b, z, = z + с. х' - 4 = 3; АА, ( х '- 4 ; у' + І; г '- 5 ) ;

у '+ 1 = -2 ; г' - 5 = 8;

х =7; У = -3; z' = 13;

Отже, А (4; —1; 5) —> А '(7; - 3 ; 13); а = 4, Ь = -2, с = 8; 2) В (0; - 3 ; - 2 ) —» В '(4; -5 ; 6); 3) С(2; 0; 0)-* С '(б ; - 2 ; 8); 4) 0 (0 ; 0; 0) - > 0 '( 4; -2 ; 8). 75.

А (-3 ; 1; 2) —> А'(5; -1 ; 4). 1) Знайдемо формули паралельного перенесення. 5 = -3 + а; а = 8; -1 = 1 + 6; Ь= -2; 4= 2 + <г, с = 2, тоді В (-4; 5; - 7 ) - » В '(4; 3; - 5 ) .

76.

А (-7; 3; - 2 ) і В (4; - 5 ; і). 1) А -» В;

4 = -7 + а;

1 = -2 + с;

с = 3;

а = 11:

- 5 = 3 + Ь;

Ь = - 8;

*і = х + 11; ф0рМули Уі = У - паралельного г, = г + 3; перенесення; 2 ) В - » А ; - 7 = х + а; - 7 = 4 + а; а = -11; З = -5 + Ь; Ь = 8; - 2 = 1 + с; с = -3;

х, —х —11;

Отже,

77.

Уі = У + 8; = 2 -3 ;

_ формули паралельного перенесення.

1) Знайдемо формули паралельного перенесення. К { - 3; - 2 ; 5) -> К, (2; 4; 1); 2 = -3 + а; а = 5; 4 = -2 + 6; 6 = 6; 1 = 5 + с; с = -4; х, = х + 5; Отже,

Уі = У + 6; г, = г - 4 ;

2) Р(2; - 7 ; 4) -» Р, ( 7 ;- 1 ; 8); 7 = 2 + а;

а = 5; -1 = -7 + 6; 6 = 6; 8 = 4 + <г, с = 4;

х, = х + 5; Отже, Ух = У + 6; гх = г + 4; 78.

Такого паралельного перенесення не існує. На ст. 12. Дано: а |т, Ь\\т; ІУР = 10 см;

МЫ - 6 см;

МР = 14 см;

Знайти: ZЛf^VP. 1) Розглянемо ДМ//Р і за Теоремою косинусів, маємо МР2 = МЫ + Л^Р2 - 2 •МЛГ ■ДГР ■соз ZMЛГP; 196 = 36 + 100 - 2 •6 ■10 •сов ZMArP; -120 соз ZMЛrp = 196 -136;

соэ ZMЛrP =

60 -120

1 2’

Дано: ДАВС є а;

ДАСВ -

рівносторонній; АВ =

см;

СС, 1 р; СС, = 2 см; Знайти: ZCMC1. см 8Тз 7з = 4 (см); — =зіп60°; СМ = — АС З 2) ДМСС1 - прямокутний; ZMClC = 90°, СС, . 2 1. тоді т77Т = з ш ^ СМСі: Т о’ 4=2 М,С 1) СМ 1 АВ;

зіп ZCMC1 = - ; 1 2 Відповідь: зо°

СМ 1 АВ;

ZCMC1 = 30°. 1

Дано: С е а; £>є Р; АВ = 24 см; АС = СВ = 13 см; АО = ВБ = 15 см; Z y = 60°; Знайти: СІ). 1) ДАСВ - рівнобедрений; АМ = МВ = 24-2 = 12;

СМ = 7 і3 2 -1 2 2 = >/25 = 5 (см); 2) Г>М = л/152 - 122 = >/27 -3 = 9 (см); 3) ДСМБ. За Теоремою косинусів СІ)2 =25 + 8 1 - 2 - 5 •9соз60° = 25 + 81 - 45 = 61; СІ) = у[бї (см). Відповідь: Тбї Дано: ДАВ£ є а; АВСІ) - квадрат; АВСІ) є Р; АВ = 4>/2 см; ЕБ = 4 см; Знайти: /КУК 1) ДАБВ - рівносторонній;

АЕ = ВЕ = АВ = 4%/2;

ЕР 1 АВ;

АЕ = 4>/2;

2 2) 8 = 24 + 32 - 2 ■27б 472 соэ 8 = 24 + 32 - 327з сов Z£FІ^Г;

84.

соэ ZEF.fi: = — 7з = 32

Катети утворюють кути по зо°.

1) ZM M 1І:’ = 60°. За Теоремою косинусів знайдемо ¥М . М гР ||КК, ; -2-3-8соз60°;

М ,£ = 8 см;

М і?2 = З2 + 82 -

М£ 2 = 9 + 6 4 -2 4 =49;

2) М Д , = РК = 7 Ї 5;

М £ = 7 см;

ЛРМЛГ - прямокутний.

МІС = -749 + 15 = Тб4 = 8 (см). Відповідь: 8 см Дано: А є а; АС ± МІУ; АС = 5 см; В є /}; ВД 1 МАГ; ВД = 8 см; СД = 24 см; АВ = 25 см; Знайти: величину двогранного кута. 1) Проведемо С£ ||ВД, тоді Сі? = ВД = 8 см; В£ ||СД; В£ = СД = 24 см; 2) ДАВ£ - прямокутний. А£ = 7252 - 242 = 749 1 = 7 (см);

3) /АСЕ - шуканий. Розглянемо дАСІ*’ і за Теоремою косинусів знайдемо /АСЕ

87.

АЕ2 = АС2 +СЕ2 - 2 АС СЕ- сов /АСЕ; 49 = 25 + 64 - 2 5-8- сов /АСЕ; 89 - 49 40 1 ’ = 80 = 2 ' 0тже’ АСР = 60°Дано: А є а; К є р; /АНМ = 60°; /АКО = 45°; Знайти: величину двогранного кута. 1) Нехай АИ = а, тоді АМ = а зіп60° = — 2) АО = ОК =

ау/2

3) ДАМО - прямокутний. sin Z A M O -

ОА АМ

а72 а>/3 7 2 -7з 7б Я /АМО = агсвіп з ; 2 ' 2 ТЗ-ТЗ 88. Вказівка на ст. 102. Малюнок 29. Відповідь: 2у/9Ї с м 89. Вказівка на ст. 102. 90. Геометричним місцем точок є бісекторна площина, тобто площина, яка проходить через бісектрису двогранного кута. 91. Вказівка на ст. 102. Відповідь: ^58 см 92-93. Вказівка на ст. 103.

94.

6 вершин, 5 граней.

95.

96. 97. 98. 99.

5 вершин, 5 граней

або Не існує. 1) Трикутник; 2) Дванадцятикутник; 3) ( ^ - 2) - гранник. Не існує, так як кількість ребер у призми кратне числу 3. Дано: АВСБ - квадрат; АВ = 4 см; АА{ = 7 см; Знайти: ВД. 1) ВБ = 7 і 6 + 16 = 4^2 ( см); 2) Д£>Д В - прямокутний; ВД = >/32 + 49 = УІ8І = 9 (см);

100.

В £>,=9(см ).

Дано: АВСБ - ромб; АА, = 4 см; АВ = 8 см; ZBOZ» = 60°; Знайти: Д І) і А,С. 1) Знайдемо діагоналі ромба ВИ2 = 64 + 64 -2 •8 •8 •сов 60° = 64 + 64 - 64 = 64;

ВІ> = 8;

АС = в7з (см); 2) АВВ,І) - прямокутний. В,£> = 7 і 6 + 64 = 780 = 475 (см); 3) ДАА(С - прямокутний. А,С = Т ї б Т б Г з = 716 + 192 = 7208 = 4ТЇЗ Відповідь: 475 см;

47ІЗ см

( с м ).

Дано: АВСБ - квадрат; В, В = 17 см; ВД =15 см; Знайти: ОС,. 1) ЛВДВ - прямокутний. ВБ = л/і72 -1 5 2 = \І32 2 = 8 (см); 2 ) АВ = АВ = -^- = 4уі2 (см)

3) АБСХС - прямокутний. ВС, = >/32 + 225 = >/257 (см). 102 .

Відповідь: >/257 см Сі Ві Дано: АВСБ - рівнобічна ! ! трапеція; СВ = 12 см; 4АВ = 18 см; СР1АБ; С£ = 3 см; 8: Знайти: кути. — А 1) СВ = КР = 12 см; ВВ = А * = (1 8 -1 2 ): 2 = 3 (см);

**^І> = - = 1; О

ZB = 45°; ^А = 45°; 2) СВ : ВВ = ^ В . Бг _С> Дано: А В С В А ^ С ^ - куб; 103. А» в ;... л

с и

аг>/2 = 16>/2; Відповідь: 4 см 104.

в ЛА.С.С = 16>/2 см2; Знайти: АВ. 1) Нехай АВ = а, тоді АС = аТ2; = а •ал/2 = а272; а2 = 16;

а = 4 (с м ).

Дано: АВСБА^В^Б, правильна призма; АВ = 4 см; ZClAД = 30°; Знайти: ВД = СС^ ZC1AC. 1) АДС1 - прямокутний, так як

А А 1 ДС,, то і АД 1 С,В, (за теоремою про три перпендикуляра). АС, = 4 -2 = 8

( cm );

= sin Z30°;

ДС, 2) ДАДВ - прямокутний.

= ctg30°;

АД = 4>/3;

ВВ, = V16 3 -1 6 = V32 = 4ч/2 (см); 3) ЛСС,А - прямокутний.

сс

= sin ZC,АС;

4л/2 V2 — = — ; ZC,AC = 45°. 8 2 1 Відповідь: 4^2 см; 45° 105. F,_________Dr Дано: ABCDFK С» правильний шестикутник;

£>А, = 8-^5 см; АВ = АА,; Знайти: АВ і DB,. С 1) Нехай сторона шестикутника АВ = а,

тоді АА, = a, AD = 2а;

AAA,D - прямокутний.

(8л/5)2 = а 2 + 4а2 = 5а2;

64-5 = 5а2;

а2 =64; а = 8; АВ = 8 см; 2) BZ> - діагональ шестикутника, Z.C = 180° ' 4 =120°; 6 В£>2 = а2 + а2 + 2а а •cos60° = За2 = 3 64 = 192; BD = л/ї92 = 8ч/3; 3) ДВД.0 - прямокутний. BlD = л/і92 + 64 = л/256 = 16 (см). Відповідь: 8 см, 16 см

Дано: ААСВ ~ прямокутний; /В = 30°; АВ = 8 см; ZMCB = 60°; Знайти: 1) АС = 1 - 8 = 4 (см);

• гВС = 8 — = 473 (см); 2 ' ' 2) ВС 1 АС, отже МС 1 АС, ЛАМС прямокутний; ВС __ 473 = сов60°; СМ = — = 8-Тз (см); МС

=1 4 вТз =1б7з (см2) або 2

= 1 •4 •4-Уз = вТз (см );

ДАЛ/С

_ ^ллвс _

сов60°

= 8%/з = (см2). 1 Відповідь: Іб73 см2 2 107. Шуканий переріз - трикутник, висота якого дорівнює половині діагоналі призми. _С Є_________ С

1) АС = 4-У2;

ДІ> = 764 + 16-2 =

= 764 + 32 = 796 =47б;

*------------- 0

2)Л=1-47б=27б;

3) 5ир = І 4 7 2 ■27б = 47Ї2 = 87 з (см2). 2

Відповідь: в7з см2 Сі Дано: ДАВС " правильний; АВ = 8 см; А ^ = 12 см; Знайти: 5б і 8Л. 1) 56 = Ржи ■Н ; в4 = 8 -3-12 = 24-12 = 288 (см2);

2) Я. = Я .+25* 5„ = 2 •16

+ 288 = 32^3 + 288 = 32(9 + 7 з) см2.

Відповідь: 288 см2; 32(9+ >/з) см" Дано: дАВС ~ рівнобедрений; АВ = АС; ВС = 8 см; АМ 1 ВС; АМ = 3 см; АА, = 6 см; Знайти: . 5Я = 5 6 + 250( В 1) «ос» = ^ -8 -3 = 12 (см2); 2) ВМ = МС = 4 (см); АВ = >/9 + 16 = >/25 = 5 (см); 3) 56 =(5 + 5 + 8) 6 = 18-6 = 108 (см2); 4) Я, =108 + 2-12 = 108 + 24 = 132 (см2). Відповідь: 132 см2 АС = 30 см; ^С,І>С = 60°; Знайти: Зб. Я. 1) АО = ОС = 15 см; ВО = ОГ> = 8 см; ААОО —прямокутний; АВ = >/225 + 64 =7289 =17 (см);

= *#60°; СС, = 17>/3; 1/С 3) 56 = 4 •17 •17>/3 = 1156>/з (см2). 111. „С> Дано: АВСБ - квадрат; АВ, = т; /АВ^В = а; Знайти: 56. 2) Л0С,С - прямокутний.

= Рж„ •Я. 1) ДАВ,В - прямокутний;

АВ = ABX•sin a = m ■sin a;

BBX= m ■cos a;

2) S6 = 4 ■msin a ■m cos a = 2m2 sin 2a. Відповідь: 2m2sin 2a 112. a3 = R\/3;

a3 = 2>/3 •>/з = 6

(cm );

Я =6

cm,

так

як

грані бічних граней квадрати. S„ =3-6 6 = 108 (см2). 113.

Відповідь: 108 см2 В, ( Дано: ABCD - паралелограм; Сі АВ = 8 см; AD = 15 см; /Е Л ZA = 60°; SBBjDiD = 130 см2; Знайти: S6. S* = і>_ •Я. 1) Знайдемо BD. BD2 = АВ? + AD2 - 2■ АВ■AD■cos60°; BD2 = 64 + 225 - 2 •8 •15 •- = 64 + 225 -1 2 0 = 169; BD = 13

(cm);

2) 5ВВіВі£) = ВИ - ВВ1;

130 ВВ, = — = 10 (см);

3) 5б = 2 (8 + 15) 10 = 46 10 = 460 (см2). Відповідь: 460 см2 Сі Дано: АВСАХВХСХ - пряма призма; АВ = 10 см; ВС = 17 см; АС = 21 см; Знайти: АА,.

= 312 см2;

1) в. = ^ + 2 5 ^ ; 8 і = авс знайдемо за формулою Герона 10 + 17 + 21 48 = V24 14-7-3 = Р - ----- 2----- = Т = V8 •3 •7 •2 ■7 ■3 = 7 -3-4 = 21-4 =84 (см2); 2) S6 = 3 1 2 -2 -8 4 = 312 -1 68 = 144 (см2);

3) Я = ^ = — = 3 (см). Р 48 v ' Відповідь: 3 см Bl С' Дано: АВСЛА,В,С,Д правильна призма; Q

S6 = 64 c m 2; S„ = 96 см2; Знайти: АА,. 1)S„ =S6+2Sxtt; 2 5 ^ = 9 6 -6 4 = 32;

SKH = 16 (см2);

AB = AD = VTô = 4

( cm);

2) S6 = і5™ •Я ; 64 = 4 •4 •Я; Я = ^ = 4 (с м ). lo Відповідь: 4 см 116. ^ ----------- P* Дано: ABCDFK К, В ’ пРавильний шестикутник; ^ ' ‘ ‘— BFl = 8 c m ; ZFBF, = 30°; Знайти: S„. r 1) AFF,B - прямокутний. A 1 ° Ял/ч FF, = —•8 = 4; FB = 8• cos30° = —— = 4-Уз (см); 2 2 3) ae = Я, отже, AB = 2>/3; Se =6-2л/3-4 = 48Тз (см2); 4) ««и = 6 •

= 6 ■~ ~ ~ = 18-Уз (см2); 4 4 5) S, = 48>/з + 2 •18л/з = (48 + 36)л/з = 84-Уз (см2). 117.

Відповідь: 84-Уз см2 g( Дано: ABCD - рівнобічна УІ їч трапеція; ВС = 8 см; I 1 >Di ZA = 60°; АС - бісектриса ZA; ZACA, = 30°; Знайти: 56. 1) «S# = -Рос. ' A4., ; 2) Так як АС - бісектриса, то ZCAD = ZBCA (як

внутрішні різносторонні), тоді дАВС ~ рівнобедрений. АВ = ВС = СЛ = 8 см; ZАВС = 180° - 2 •30° = 120°; 3) ААВС; АС2 = 64 + 64 - 2 •8 •8 •сов 120°; АС2 = 64 +64 + 64 = 3-64; АС = 8>/з (см); 4) ДАА,С - прямокутний. ^ - = tgЖ■, АА. = 8Т З — = АА = 8 (см); АС З 5) ААСБ - прямокутний. ZACZ) = 90°; АО2 = (87з)2 + 82 =64-3 + 64 = 64-4; АЛ = 8-2 = 16; 6) Р«,, = 8 + 8 + 8 + 16 = 40; = 4 0 -8 = 320 (см2). Відповідь: 320 см2 118. Дано: ДАВС ~ правильний; = 5; ZAI£B1 = а; Знайти: 5б. 1) Нехай сторона основи а, тоді

^ И = Я. 45

4-Уз ■Б

= 4.4.

І45ч/з

2л/^7з а = 7з = з * тод1 а = У з = 7з : 2) Д А ^В - прямокутний; ВВ1 = А ^ ^ а; 2

ВВі =2) [ ^ сі8а'> = —- — — •

а = 45>/з ^

= а.

З Відповідь: ІЗу/Зіїца 119. Дано: ДАВС _ правильний; АВ = а; С,М = МС; ZMFC = а; Знайти: £6. 1) ДАСВ - правильний; г СР1АВ-, ГС = азіп60° = — ; 2

2) AMFC - прямокутний; МС = CF ■tga = =

а>/3

і— •tg or, тоді CC, = aV3 tg a;

3) S6 = 3a •aV3 tg a = 3a2>/з tg a. Відповідь: 3а2л/з tga ^ --------- C' Дано: ABCD - ромб; AC = d; 120. f / 1^1 / js . N

ZB, AB = a; ZB.AC = /?; Знайти: S6. 1) ДАДС - рівноберений, так як

ІD/ АД = CB, ZB,AC = ZB,CA = /3; ZABjC = 180° - 2/J; За Теоремою синусів AC AB, sin (180°-2)3) sin /3 ’ d ■sin p d sin p d sin 2P 2 sin/? cos/J 2 cos/J 2) AABjB - прямокутний; cos a; BB, = „ ^ „ sin a; AB = 2 cos P 2 cos p d cosa dsin a 2<r sin 2a _ d sin 2a 3) S6 = 4 2 cos p 2 cos P 4 cos2 p 2 cos2 P d2 sin 2a Відповідь: 2 сов2 /3 121. Сі Дано: АВСА^С, - правильна

призма; АВ = 8 см; АА, = 2 см; М - середина А, В,; Знайти: 1) АМИС - трапеція рівно так як АС ЦМИ і АМ = СМ; 2) МИ = - А ЇС1 = 1 - 8 = 4 (см);

3) Знайдемо висоту трапеції ZAA1M прямокутний, АМ = У4 + 16 =>/20 (см);_________

ДАММХ - прямокутний; АМХ= ( 8 - 4 ) : 2 = 2 (см); 4) ДАММ, - прямокутний; ММ, = 7 2 0 -4 = %/Тб = 4; 5 )5 пер= і ± ^ - 4 = 12-2 = 24 (см2). Відповідь: 24 см2 122. Я призми? Я = 12• віпЗО0 = 12 -1 = 6 (см). Ві Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; 123. АВ = АС = 10 см; ВС =; 16 см; Знайти: 5ВВіС|С. 1 )А М 1 ВС; СМ = ВМ = 16 : 2 = 8 см; АМ = >/100-64 = 736 = 6 (см); 2) А,М 1 ВС; АА, = ВД = 4^3, тоді СС,ДВ прямокутник; 5 = 16 -4-Уз = 64-Уз (см2). Відповідь: 64-Уз см2 124. Нехай бічне ребро призми дорівнює І, тоді і-4 + /-5 + /-7 = 48; Ш = 48; / = 3 (см ). Відповідь: 3 см З , Дано: АС = 8 см; АВ = 15 см; 125. АА, = 12 см; (САА,) 1 (ВАА,); Знайти: 56. 1) /.САВ = 90°; ВС = 7225 + 64 = 7289 = 17 см; 2) Я, = ( 8 + 15+ 17)-12 = 480 (см2). 126.

А<__________ .Сі Дано: АВС - правильний; АВ = 6 см; АА1В1В - квадрат; ГВ- /

В В ^ С і АА,С(С паралелограми; ZДBC = ZA1AC = 30°;

r Знайти: S6. S6 = 62 + 6 -6 s in 3 0 ° + 6 -6 s in 3 0 ° = 36 + 18 + 18 = 72; S6 = 72

c m 2.

127.

C. Дано: ABCAXBXCX - похила призма; AAX= AB = AC = 6 c m ; ZA1AC = ZAXAB = 45°; Знайти: S6. 72 = 6 ■6 ■sin 45° = 36 ~ = 1872;

= 1872;

2) |S'AA) C1C 3) BBXCXC - ромб; BBXCXC - квадрат і S = 6-6 = 36; 4) St = 1872 + 1872+36 = 3672 +36 = 3 6 (7 2 + l) Відповідь: 36(72 + 1)

c m 2.

cm "

128. Нехай ребро призми а, тоді б -а + б- а + 8 - а sin 30° + 8a sin 30° = 220; 12a + 4a + 4a = 220; 20a = 220; a = 11 ( c m ) . Відповідь: 11 cm 129 Дано: ABCDAXBXCXDX D, прямокутний; AD = 5 c m ; A AB = 6 c m ; BDx = 7б5; s. Знайти: Sn. * 1 )5 . = Se + 2 -S 0C>;

S". = 5 -6 = 30

( c m 2) ;

2) BD = л/25 + 36 = 7бТ; 3) ADDXB - прямокутний; DDX= 7 6 5 -6 1 = 7 Ї = 2; 4) S6 = 2 •(5 + 6) •2 = 44 5) S„ =44 + 60 = 104 Відповідь: 104

cm 2

(cm 2) ;

( c m 2) .

В, 130.

иі

А І-8-

12 /

Нехай діагональ £>Д = х см, тоді АВ = х - 10; А£> = х - 9; ААХ= х - 1. Маємо

/ -0

1) Д О 2 = АВ2 + АВ2 + ААх \

х2 = (х - 10)2 + (х - 9)2 + (х - 1)2;

х2 = х 2 - 20х +

+100 + х2 - 18х + 81 + х2 - 2х = 1; Зх2 - 40х +182 = х2; 2х2 -4 0 х + 182 = 0; х2 -2 0 х + 91= 0; х1 =13; х, *7 , тоді АВ = 1 3 -1 0 = 3; АО = 1 9 - 9 = 4; АА, = 1 3 -1 = 12; 2) Я, = 2 (3 + 4) 12+ 2 -3 -4 = 14 12+ 24 = = 168 + 24 = 192 (см2). 131.

Відповідь: 192 см2 Сі___ 8 < Дано: АВСЛ - квадрат; О.

Аі

= 160 см2; Знайти: АА,.

УС

= 128 см2;

1) в. - $ + 2^ ! 25ет = = 1 6 0 -1 2 8 = 32; $ *„= 16 ;

АВ = ВС = л/ї6 = 4 (см); 1оо 2) = Росн •АА,; АА, = і ^ = 8 (см). 4 •4 Відповідь: 8 см 132. 8< _С> Дано: АВСЛ - прямокутник; АВ : А £ = 3 : 5; ОС, = 10 см; СД = 2л/ІТ; Знайти: АВ, А£>, АА,. 1) АВ = Зх, АО = 5х; 2) 100 = 9х2 + СС*і

СС, = ВД;

СС,2 = 100- 9 х 2;

3) 4 41 = 25хг + ВД2; ВД2 = 164 - 25х2, але ВД = СС,; Маємо 100 - 9хг = 164 - 25х2; 16х2 = 64; х2 = 4; х = 2;

4) AB = 6 c m ; AD = 10 c m ; СС/ = MO - 36 = 64; CC, = 8 c m . Відповідь: 6 c m , 10 c m , 8 cm D’ -c < Дано: ABCDAlBlClDl 133. прямокутний паралелепіпед; R il ВД = d; /LDBDX= a; ZDXBCX= p; C Знайти: Se. 1) ADB,B - прямокутний; х > Д = Д В -в іп а ; £ D ,= d s i n a ; BD = d cosa; 2) ДДВС, - прямокутний; Z.DXCXB = 90°; ДС, = d sin/?; 3) AADB - прямокутний. AD2 = BD2 - AB2; AD2 = d2cos2 a - d 2 sin2 P = d2 (cos2a - sin2 /3); AD = d-y/cos2a - sin2 P; 4) Ss = 2 •/d-y/cos2 a - sin2 P + d sin Дj •dsin a = = 2d2 sin a |>/cos2a - sin2 P + sin Pj. Відповідь: 2d2sin a Ucos2 a - sin2 P + sin p j 134.

Дано: ABCD - ромб; AB = 4

4. u і * '+*•*-, c

cm;

ZA = 60°; AA, = 3

ABAD - рівносторонній; AB = BD = 4

cm;

Знайдемо AC. AC2 + 16 = 2 •(16 + 16); AC2 =4 16 -1 6 = 3 16;

2) ДАА^ - прямокутний. V9 +

cm;

Знайти: CA.

A1C =

cm 2

>/57

Відповідь: A,C = >/57

( c m ).

AC = 4>/3;

Дано: ABCD - паралелограм; AD = 4 cm; AB = 8 cm; 4 r Bi

ZA = 60°; AC = ВД; Знайти: Ss.

Z - - 4в 1) St = Ркя •H ; A----------2) AADC; ZD = 180° - 60° = 120°; AC2 = 16 + 64 - 2 •4 •8 •cos 120° = 80 + 32 = 112; AC = >/ЇІ2 =4>/7 (cm); 3) AC = BD, = 4^7; 4) BD2 = 16 + 64 - 2 ■4 8 ■cos 60° = 80 - 32 = 48; BD = >/48; 5) ДDDXB - прямокутний. DD, =>/112-48 =>/64 = 8 (cm); 6) S6 = 2• (4 + 8)• 8 = 24• 8 = 192 (cm2). 136.

Відповідь: 192 cm2 jP’ Дано: ABCD - ромб; = 6 cm 2 ;

“— -i—-• Bi / ___ > ■g — =- =-; AC 8 4

S ЛД,С,С = 8

c m 2;

Знайти: S„. 1) = DD, BD = 6; = AA[ •AC = 8; ZXD, = AA,; 4BD = 3AC;

A C = -B D ; 3

BD = x;

■AC = —x, а сторона AB = a, o 2) тоді AC2 + BZ?2 = 4AB2; 25x2 . 2 5x ------ = 4a ; — = 2a; 9 3 3)вб=4 — Л = ~ й ; D O 10-6 2 0 ( cm 2) . S6 =

x2 +

= 4a2;

5x a =— ; 6 x-A = 6, тоді Відповідь: 20

cm 2

137. Вказівка на ст. 103. Відповідь: 2>/з см Дано: АВСБ - квадрат; 138. 0і °1 АД = СД; АА, =7,5 см;

В А Д О і(А В С );

АВ = б72 см; Знайти: Я. 1) ДАДС - рівнобедрений; ДО = Я;

АС = бТ2 •72 = 12 (см);

АО = ОС = 01) = ОВ = 1 2 :2 = 6 (см); 2) ДОД О - прямокутний, £)Д = ^7,52 - б2 = = 713,5-1,5 = 79 1,52 = 1,5-3 = 4,5 (см). Відповідь: 4,5 см 139. £ = ZASC + ZCSB + ZASB < 360°. 140. Ні, так як кількість ребер будь-якої піраміди є парне число. 141. 5 1 )5 0 1(А В С ); БО = Н; 2) Z■SAO = а;

3) ZSMA.

С 142. Ні, не існує, так як £ =60° ' 6 = 360°, а це бути не може. 143.

Дано: БАВС SA.BC - правильна піраміда; БО = 8 см; АВ - ВС = АС = 6 см; Знайти: ЗА.

В 2) Д5АО - прямокутний.

БА = 764 + 12 = 776 = 74 19 = 27Ї9 Відповідь: 27Ї9 см

(см).

Дано: БАВСБ - правильна; АВ = 8 см; ЗА = 10 см; Знайти: 5 АЇС1) Здзс = ~А С Б О ;

АС = 8^2 (см);

АО = ОС = 4^2; 2) ДАБО - прямокутний; БО = л/ЮО -3 2 = Тб8 ; 3) Яд = - •8^2 •768 = 4>/2-4 -17 = 8ч/34 (см2).

2 Відповідь: 8-^34 см2 Дано: БАВСИ - правильна; 145. БО = 12 см; АС = 4уі2 см; Знайти: БМ. 1) АВ =

^{І = 4 (см);

о м = - - 4 = 2 (см); 2 ' ' 2) АЗОМ - прямокутний. БМ = 7 Ї44 + 4 = >/Ї48 = 2>/37 (см). Відповідь: 146. 5

2 л/ 3 7

см

Дано: БАВС - правильна піраміда; БО = 6 см; АБМО = 45°; Знайти: АВ. 1) ДБМО - прямокутний; МО = БО = 6 (см);

2) г = 6 (см);

а3 = 2г>/з = 12>/з (см).

Відповідь: 12>/3 см 147. Дано: ае = 4 см; Л = 8 см;

Знайти: 5б.

24-8 = 12-8 = 96 (см2). Відповідь: 96 см2

Дано: /АБВ = 30°; Знайти: 56. 1) $ = 9 ^

;

= БВ = 8 см;

Б ^ = і - 8 8 зіп30° =

= 4 .8 - 1 = 16 (см2); В 2) Я, =“9 -16 = 144 (см2). Відповідь: 144 см2 149. Б6 збільшиться в 6 разів. Дано: БАВСБ - правильна 150. піраміда; БМ 1 ВС; БМ = 6 см; БО = 3 см; Знайти: Б„. 1) АБМО - прямокутний; МО = л/36 - 9 = л/27 = Зл/З (см); 2) а3 = 2гТз = 2 ЗТЗ •л/з = 18 (см); 3) я, = і •6 ■(18• 3) = 3• 54 = 162 (см2). 2

Відповідь: 162 см2 151. ^осн = 152.

’ соз60°;

Отже, ^

= 0’ 5‘

Відповідь: 0,5 § Дано: БАВС - правильна піраміда; АВ = 2 см; /БМА = 30°; Знайти: вл.

2)5,=^

1 ) « „ = 4 ^ = Л ( с м ’ );

= 2 (СМ’ ) ;

Відповідь: (2 + -Уз) см2

3> М

2+^ К

Дано: SABCD - правильна піраміда; SA = 8 c m ; SO = 4 см; Знайти: S6. 1) S* 4

л . -SM;

2) AASO - прямокутний; AO = 7 6 4 -1 6 =748 = 4ТЗ (см); 3) АС = 8л/з, а АВ =

= 47б (см), тоді 0 М = 27б;

4) ДSOM - прямокутний; Sm = 716 + 24 = 740 = 2у/Ї0

(см );

5) S6 = - 1 б 7 б -27І0 = 1б7б0 =327Ї5 ( с м 2 ) . 2 Відповідь: 327Ї5 см2 154. Дано: SABCD - правильна піраміда; SA = 8 см; ZSAO = 30°; Знайти: S6. А 1) ASOA - прямокутний; SO = —SA = 4 cm;

AO = 8 cos30° =

= 473 (cm); 2 2) АВ = 4 7 з -7 з =12 ( cm); 3 )М 0 - & ‘ Ш = Т 3 ” 4) ДSOM - прямокутний,

Г3^

SM = 7 l6 + 12 = 728 = 277; 5) S6 = 1 -3 6 -2 7 7 =3677 (cm2).

Відповідь: ЗбТ7 см2

Дано: SABCD - правильна піраміда; SM і SN - апофеми Z MSN = 60°; АВ = ВС = АС = 4 см; Знайти: S„. Sn = S6 + SXB. =

( c m 2) ;

2) AMSN - рівносторонній; MN - середня лінія AABC;

MN = 1 -4 = 2 ( c m ) , тоді SM = SN = 2 ( c m ) ;

3) S6 = 1 -1 2 -2 = 12

(cm 2) ;

4) Sn = 4V3 +12 = 4^3 (l + л/з) Відповідь: (4-\/3 + 12) 156. S" 157.

c m 2.

cm 2

= 3 6 _ 2 ^ = 9 iyg (c m 2) ;

s n = 4 . 9^/3 = Збл/З (c m 2) .

Дано: SABCD - правильна; SM 1 BC; SM = 8 c m ; ОМ = 3 Знайти: S„. S„ = Soch + S6. 1) AB = 6 cm ; 2) Se = l - 8 ( 4 - 6 ) = 4-24 = 96

2 3) S„ =36 + 96 = 132

Sxtl = 36

cm ;

cm 2;

( cm2);

( c m 2) .

Дано: SABC - правильна; AB = CB = AC = 6 cm ; SO = 4 c m ; Знайти: 1) SM; 2) ZSAO; A 3) ZSMO; 4) S„. 1) ASOM - прямокутний; 6 3

ТїбТз

ТЇ9

(c m );

2) OA = Я = -^jL = -JL = 2лУЗ;

= tg ZSAO;

—%=■= tg ZSAO; 2^3

Дг = tg ZSAO; ZSAO = ar ctg ; %/3 3 SO 3) ASMO - прямокутний; r = tg ZSMO; MO 4 4-у/з 4J3 = tg ZSMO; = tg ZSMO; ZSMO = ar c t g - j - ; 4)

~ S6 + S ^ ; Se =

159.

S^,, -

збТз

= 9-Уз ( c m 2) ;

і •18■ V l 9 = 9-У Ї9 ( c m 2) ;

S„ = 9>/з+9>/Ї9 = 9 (Т З + Т Ї9 ) c m 2. S Дано: SABC - правильна піраміда; ZSCM = 60°; Я = 2>/3 c m ; ►C Знайти: S6.

1) a3 = 2V3 >/3 = 6 2)O M = J3 3) CO = 2ч/§;

(cm );

(cm);

— = tg60°; SO = 2>/з •7з = 6 Co 4) ASOM - прямокутний; ОМ = -/З;

( cm );

SM = лУзбТз = л/39; 5) S6 = і •18 -V39 = 9>/39 160.

( c m 2) .

Відповідь: 9-У39

cm 2

Дано: SABC - правильна; S M 1 A C ; SM = т; ZSMO = a; Знайти: S6. 1) ASOM - прямокутний; МО = т ■cos a; r = т cos a; a3 = 2г-Уз = 2т cos a j 3 (см );

2) Se = — б тсоза У з •т = 3m2V3 соза. 2 Дано: SABC - правильна; Soі = AO, = R; ZASB = а; Знайти: S.. АВ = 2R; АВ = 2Д sin а; 1) sin а 2) -т = 2Д; sin ZABS ( 1 8 0 -а '1 / = 2.Rsin 9 0 ° - - = 2Ясоз—; AS = 2Дзіп 2 2 3) S^g = - •2Дсоз— •2i?cos— •sin а 2 2 2 а 4) S. = 3 •2R cos —sin а = 6J? cos 6 2

= 2R2cos2—■sin а; 2 а —sin а. 2

Відповідь: 6Д2cos2—sin а 162.

Дано: SABCD - правильна; ZSAO = ZSCO = а; ОМ 1 SC; ОМ = 6; Знайти: SC. 1) AOSC - прямокутний; ZOSM = 90° - а; 2) AOSM - прямокутний;

0 М = sin (90°- а ) ; SO = & cos а SO 3) AOSC - прямокутний; SO 2Ь 2-Ь = sin а; SC = sin а 2 cos а •sin а sin 2а SC Дано: SABCD - правильна; 163. ZSCO = 45°; Знайти: 1) ZSMO; 2) ZBSC. 1) Так як ZSCO = 45°, то AOSC _ прямокутний і

рівнобедрений; SO = ОС = R. Нехай ОС = х, тоді SO = х, AB = -у=- = у/2х;

ОМ =

г -9

— = tg ZSMO; = tg ZSOM; ОМ у]2х ZSMO = агctg уі2;

х, тоді і—

tgZSMO = V2;

1 уі2 2) ASOM - прямокутний; ОМ = —AB = — х\ Z

Сл

SM 2 = х 2 + —х 2 = —х г; Б М = ^ ; 4 2 V2 3) ABSM - прямокутний; SM 1 ВС; SM бісектриса;

ВМ

, хио>іГ = tg ZBSM;

, х-4 2 tg ZBSM = ^_

= 4 = = — ; ZBSM = 30°; л/3 З 4) /.ВБС = 2 •30° = 60°. Відповідь: а п ^ 72; 60° 164. в Дано: БАВС - правильна; ^ 5 М 0 = а; Знайти: 1) ZSA0, ZASB = /ВЯС. 1) Позначимо ОМ = г, тоді еф ОА = 2г; ------= tg а; БО = г tg а; ь

МО 80

2) ААБО - прямокутний; —— = tg ZSAO; АО 2г

/.БАО; tg ZSAO = ^ (І

;

ZSAO = arctg —tg а ; 3)СМ = МВ = ^ - = гуіЗ; — = соза; 5М = 2 SM cos а . СМ . . . . . . r>/3 cosa /г тоді ----- = tg Z.CSM; --------------- = V3 cos а; SM г

ZCSM = arctg(73 cos а ), а ZCSB = 2arctg(73cosa). Дано: MABCD - правильна піраміда; AB = a; c

ZMBD = ZMAC = a;

Знайти: Snep. 1) В площині MBD через точку О проведем OK II MB. Точки А і К лежать в одній площині, К ІС також, отже, ДAKC - шуканий переріз. . Smkc = —АС ■ОК; АС = 42а. 2 З прямокутного AMOZ) знайдемо MD: 0D cos a; MD = — 1v2Пa і --------= 1 >/2в . ---------------= MD 2 cos a 2 cos a За теоремою Фалеса точка К - середина MD. AOKD -рівнобедрений, то ZKDO = ZKOD = а. Тоді KD = —MD = -a- ; OK = KD = 1 . 2 4 cos a 4 cos a 42a e 1 a2 •2 a2 S&AKC = ~ V2a ---------- = --------------= ---------2 4 cos a 2-4 cos a 4 cos a a2 Відповідь: --------4 cos a 166. Дано: SABCD - правильна; SA = 12 c m ; BD = 8^2 Знайти: Sotp. 1 ) 0 3 = 472;

AB = —

c m

М/С 1 B A так як MK ||SO 2) AfF = 4

; OB = - B D = 472; 7 2 3) SO = 7 1 4 4 -3 2 = 7 ЇЇ2 = 477; MK = 277; (

c m

)

;

(

c m

);

ОРМК - переріз, трапеція. 4 ) 5 пер= і ^ - 2 л / 7 = 12Т7 (см2). Відповідь: і2л/7 см2 167. ДАВС - гострокутний, так як 8 0 і ( А В С ) і О е(А В С ) і равносторонній. 5 Дано: АВСБ - паралелограм; 168. ZSAC = ZSCA; ZSДD = ZSDB; Довести, що основа висоти піраміди - точка перетину діагоналей паралелограма АВСИ. О А 1) Розглянемо ДАВС, в нього кути при основі рівні, а значить ДАВС ~ рівнобедрений. БО - є медіана, так як ОА = ОС; 2) їЛ в О - теж рівнобедрений £ 0 - медіана. В рівнобедреному трикутнику медіана є і висотою. Отже, БО - висота піраміди і основа висоти піраміди є точка О, що й треба було довести. 169. ? ТТянг»! АНС.Г) —ппямпкїтвик!

А М О так як ВС1 оічні реора рівні, то в проектується в центр описаного кола. 1) = 2БііА8В + 23лазо; 2) ДОБР - прямокутний, ОР = 4 см, тоді &Р = >/16 + 16 =4^2;

=--6-4> /2= 1272 2

3) ДБОМ - прямокутний, ОМ = —•6 = 3 (см); = >/і6 + 9 = 725 = 5, тоді

(см2 );

влад = ^ - 5 - 8 = 20 (см2); 4) в б = 2 ■12\[2

2 •20 = (25^2

40) см2.

Дано: вАВС - піраміда;

ZC = 135°; АВ = бТ2; ZSAO = ZSCO = ZS^Ю = 30°; Знайти: БО. 1) Так як кути рівні, то ви проектується в центр описаного кола. В тупокутному трикутнику центр описаного кола знаходиться поза трикутником. За теоремою синусів, знайдемо Я. АВ _ бл/2 = 2Я; = 2Я; віпІЗб0 віл 45° 2) ДБОС - прямокутний. БО

—

2Я = 12;

= 2Т з

(с

і? = 6 (см);

Відповідь: 2>/з см 171.

Дано: АВСБ - рівнобічна трапеція; ZA = 60°; АВ = СИ = 4 см; бісектриса ZA;

АС -

ZSBO = ZSCO = 30°; Знайти: 50. 1) Так як АС - бісектриса, то ДАВС “ рівноберений; АВ = ВС = 4 см; 2) ДАСІ) - прямокутний; /АСИ = 90°. Отже, центр описаного кола знаходиться на середині А£>, тобто АО = ОБ = ОС = Я. А так як всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною рівні кути, то висота піраміди проектується в центр описаного кола. Отже, БО - висота; 3) ДАВС - рівнобедрений. За Т. косинусів

АС2 = АВ2 +ВС2 - 2 АВ ВС- соз ZABC; соз/АВС =

так як ZABC = 180° -6 0 ° = 120°

АС1 =16 + 16 + 16 =48;

АС = л/48 =4л/з (см);

4) ДАСВ - прямокутний. ZACZ) = 90°; АВ2 = 48 + 16 = 64; А £ = 8 (см ); Отже, АО = СШ = 4 = Я;

БО , оло 5) ДВВО - прямокутний, ——= ь§ои ; ви _ _ . 7з 4Тз’ , 5 0 = 4 -----= ------ (см). З З 473 В ідповідь : ------- см З 172. Дано: АВСВ - ромб; ВВ = 4 см; ZA = 60°; ZSMO = ZS^VO = 45°; Знайти: Вв. 1) Так як усі бічні г утворюють з площиною А КЛ/ основи, піраміди кути по 45°, то висота піраміди проектується в центр 1, вписаного кола. Отже, ОМ = ОТ'/ = г, а А

де Л - висота ромба; 2) АВ = ВВ = АВ = 4 см, так як ДАВВ ~ вк рівносторонній ВК 1 АВ; ——= зіп60°; А1) /З ВЛГ = 4 •— = 2у[з, тоді ОМ = ОЛГ = </з см;

ом

3) ДВОМ - прямокутний, —— = сов 45 ; ОІИ

1б У б = 8Уб(см2)

Відповідь: 8л/б см2 Дано: дАВС ~ прямокутний; ZC = 90°; ВС = а; ZA = у; ZSMO = ZSЛГO = р; Знайти: 5„.

1) 5

б =

сов (З

АС = і їе а ; ---ВС О

« г с !* а

Бя = &б + Яос я *;

АС = а с іе а ;

2) 5 ^ = - а а ^ о с = ---- - ---- ; 3)' &.б = °п п ! 2•сов р с _ а 2ь ^ а о _

— ---------------------+

а2 ctg а _ а2 ^ 2 сов/?

а2 с іб а ( і + соз/?)

СОЗ Р

174.

сов Р 2р а < * Єа 2с о з 2 соз/З

2 сов р х Р а2 сіе асоз 2 — 2

2 2Р а іїе а с о з —

Відповідь:

соз р Дано: ДАВС “ рівнобедрений; ZB = ZC = 2а; ОМ = г; ZSMO = ZSFO = Р; Знайти: 56. 1) 5в =

Р 2) ВМ - бісектриса; ZABM = ZCBM = 2а : 2 = а; СОЗ

3) АВОК - прямокутний; —— = *tg а;

зк

ВК = — — = г •ctg а, тоді д о = 2г ■^ сс

а;

4) За теоремою синусів знайдемо АС. /.ВАС = 180° - 4а; АС В° зіп 2а зіп (180° - 4а) ’ _ ВС вігі 2а _ 2г ^ а •зіп 2а _ г а> віп4а 2 зіп 2а сов 2а сов 2а 5)

= -В С 2 = г2 ctg2а З ,. 6) в. = соз Р г Відповідь: 175.

АС зіп2а = - - 2 г ■сtga■- - ^ — ■зіп2а = 2 соз2а •Їй 2а; _ г2 СІЄ2а •tg 2а (см2). сов р •tg 2а •^ а соз р Дано: АВСО - рівнобедрений; ВС = 4 см; АО = 8 см; ZSMO = 60°; Знайти: 5„. = 2 .Я соз 60° 1) АВ = 2 + 4 = 6 (см);

в п = 8я І & = *“ЧІ + в осн > 1)

в 2*

ВГ = 7 3 6 -4 = Т32 = 4^2; Л іН

& О

2 ) ^ = | - ( 4 + 8)-472=2472(см 2);

3) Я, = 3 •24^2 = 7272 ( см2). Відповідь: 7272 см2 176. Рис. 8. ст. 21. 1) ZSMC; 2) ZSAC; 3) ZSBC. 177. $ Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; ВС = 18 см; АВ = АС = 15 см; 5А = 5 см; Знайти: в.. СБВ1 )5 АМ= 5 д5С= і - 5 1 5 = ^ ( с м 2);

2) ABSC - рівнобедрений; SC = SB = V25 + 225 = = V25Ô = 5VÏÔ;

SF 1B C ; BF = FC = 18: 2 = 9 ( c m ) ;

SF = V250-81 = VÏ69 = 13 S„sc

(cm );

= | і8 -1 3 = 9-13 = 117 (см2);

3) S6 =2 — + 117 = 75 + 117 = 192 (см2).

Відповідь: 192 см2 D Дано: дABC ~ прямокутний; 178. АС = 16 см; З см;

1 ) S ^ B = | -1 8 -2 0 = 180 (см2); 2 ) 5 ^ = 1 - 1 8 1 6 = 18-8 = 144 (см2);

3) BC = V202 -1 6 2 = >/36 -4 =6- 2 = 12 ( c m ) за T. Піфагора; 4) АС 1 BC, тоді і ВС 1 DC (за Т. про три перпендикуляра) ; 5) DC = Vl 82 + 162 = V324 + 256 = 7580 = 2^145; 6)

= —•12 ■2VÏ45 = 12л/І45 (см2);

2 =144 + 180 + 127145 =324 + 12n/Î45 = 12(27 + VÏ45).

Відповідь: 12 •(27 + >/і45 ) см2 179

Дано: ABCD - квадрат; SD l(A BC); ç

/І

SD = 4 см; ZSCD = ZSAD = 30°; Знайти: Se. 2) Так як SD = 4 см, то SC = 8 см;

Ядсвх) = 5м«А = і •8 •4 ■зіп 60° = 8-\/з (см2); 3) Так як ВС і. £>С, то і вС 1 ВС, отже ДВвС ~ прямокутний. 5ВЯС = - ■БС ■ВС; ИС = 764 - 16 = 748 = 473;

ВС = ЯС = 473;

Sf.sc = -• 4х/3 •8 = 1673 (см2);

4) 8ЛЗВ = Звзс = ІбТз см , тоді 56 = 2 -8 7 з + 27з-16 = 1б7з+3273 =48Тз

(

см

2).

Відповідь: 487з с м 2 180. Вказівка на ст. 104. Дано: АВСИ - прямокутник; ББ 1 (АВС); ББ = Л; ZSBI> = а; Знайти: 56.

ZSC.D = р;

1) = ^ЛАвВ Здсвв 2) ABSD - прямокутний. BD = Л ctg а;

ЗдАЯС»

cd = - -----, h о SD = — 1ft •Аt •ctg 4. а = ----Л2 ctg а; SB тоді- SB ----sinor 2 2 3) ACSD - прямокутний. CD = h ctg p; SC = - ^ — ; S^sc = \ h h c t g ß = ^-h2ctgP; sin P 2 2 4) DB 1 AC, отже SB 1 AB (за Т. про три перпендикуляра); ASBA ~ прямокутний; S ^ S = \ S B AB Л -^ — h c tg Р = ^ ^ - ; 2 2 sin a 2 sin a 5) AASC - прямокутний. о

1 і. х * ft2ctga ctg or------------- = ------------— ; 2 sin P 2 sin P _ 1 , 2 , я 1 ,2 , Л2ctg p 6) Se = - ft2 ctg p + - h2ctg or + ■■■ . 2 2 2sina asc

= — •Л

ft2 ctg a = 2 sinp

ctg ß ctg а sin a sin ß f . . o ctg a ctg ß ctg а + ctg ß + —- — + — sin ß sin а Дано: ДАВС “ рівнобедрений; AC = ВС = 8 cm;

ctg ß + ctg а +

ZBAC = ZABC = 30°; (ASB) 1 (ABS);

S O I (ABC);

ZSMO = ZSNO = 30°; Знайти: Sn. ‘-’n = 5

ABC

"I"SAsß + SBSC + Sasç.

D Soc« = I •8 ■8 •sin ZACB;

ZACB = 180° - 2 •30° = 120°;

R SXH =32 sin 120° = 32 — = 16л/3 (cm2); 2)

AB sin 120°

AC sin 30°

sin 30°

2 2

3) BO + OA = 8л/3; BO = OA = 4>/3; 4) AOBN - прямокутний. — = sin30°; ßO

ОЛГ = 4 > / з і = 2>/3; 2 SO 5) AOSN - прямокутний. — = tg 30°; г ON SO = 2>/3 — = 2 3 6)

( c m );

AASB;

S ^ B = - - 2 -8 > /з 2 WS = 2-SO = 4 ( c m ); = 1 . 4 - 8 = 16

= 8 Т з ( c m 2 );

------------*

( c m 2);

7) S„ = Ібл/3 + 8Тз + 2 •16 = 24^3 + 32 = 8(4 + зТз) cm2. Відповідь: 8(4 + ЗуіЗ cm2)

Дано: АВСЯ - прямокутник; АВ = 8 см; ВС = 15 см; (АМВ) ±(А В С ); МК - висота піраміди; Знайти: Зб. Відповідь: (і20 + 16л/з + 4>/2731 184. Ст. 22 рис. 9. 185. С,_____В

Дано: АВСЯА,В,С,Яі правильна зрізана піраміда; АВ = 8 см; А, Д = 6 см; АА, = 5 см; Знайти: 3„.

О / схЛ и

\в м

1) *^авсс = 64 см ; = 36 см ; 2) А,М 1 АВ; АМ = (8 - 6): 2 = 1; А,М = 7 2 5 -1 = л/24 = 2Тб; Р +Р 32 + 2 4 -2>/б =5бТб; 3) 56 2 0 2 4) Д, = 64 + 36 + 5бТб = (іОО + ббл/бІ см2. '

Відповідь: (ЮО + 56-^61 см2 186.

Сі

__Ві

Дано: АВСЯА^С^Я, правильна зрізана піраміда; Т—Г «. !> АВ = 10 см; А,Д = 6 см; ZДBO = 45°; и А Знайти: ВДЯ,Я-рівнобічна трапеція. 1) ЯВ = 10^2 см;

ДД = 6>/2;

Д М = ДМ,;

ДМ, 1 ВД

2) ВМ, = ЯМ = (і0л/2 - 6л/2): 2 = 4>/2 : 2 = 2>/2; 3) ДЯДМ - прямокутний; ^Д Я М = 45°; Д М = ЯМ = 2%/2;

г .

б-у/2 + 10>/2 272 = 1672 4) 5пео = "'р 2 Відповідь: 32 см2 187. --------С, Дано: АС = 10 ZM 1MO = 60°; 2 Знайти: ОО, м 1) М,Р ± ОМ; 2) £С = - ^ = 572 (см);

72 =32 (см2).

см;

*• ДС, = 6 см;

= Н. 00! = М,Р;

£>,С, = - ^ = 3^2 (см);

2 2 2 4) АРМ,М - прямокутний;

^ - ^ ^ б О 0; М ,Г = Т2 л/з =>/б (см). РМ Відповідь: ООі = 7б см 188. і"■ 0<_ и-5 ' Дано: ЛВСА1В1С, - правильна зрізана піраміда; 00, = 4 см; АВ = 16 см; А,Д = 8 см; Знайти: в.. 1 )5 в _=Р^і+-РМ2 М і;

Р ,=48;

Р2 = 24; 4

2 , 0 М ' І ж = ^у!6 ; £у!6 >/о ОМ і ОМ і - радіус вписаного кола;

3) МЛ,, = - / ^ т = # ^ ( С “ ); 48 + 24

8 _ 72 4 -Уз _

\/з ~ 2 \/з ~

= 24 4^3 =9бУз (см2). Відповідь: 9бТз см2

7Г

С<Оі Ві • Дано: АВСВАХВХСХВХ правильна зрізана піраміда; \\ АВ = 8 см; Д Д =2 см; 00, = 6 см; 0 Знайти: Здііс.о,. 1) АВС,Д - трапеція, так як А£|| Д В,, а ДВ, 2)

Ц С,2)„

отже АВ ЦС,Д, Д £ = >/бІ см;

•>/бї = 5>/бї (см2).

Відповідь: 5 ,/бї см2 190. 6 кутів, так як октаедр має 6 вершин. 191. У = 180•3 = 540°; а = — = 108°. ^ 5 1) Сума кутів при одній вершині 108°-3 = 324°; 2) Так як додекаедр має 20 вершин, то 324° •20 = 6480°. Відповідь: 6480° 192. 5Л= 480 см2. Ікосаедр має 20 граней, тоді = 4 8 0 :2 0 = 24 (см2). 193. а = 6.

Знайти: Я,,.

вп = 2а2>/3; Відповідь: 72у/з Сі_______Ві 194.

=2-ЗбТз =72>/з (см2). см

Дано: куб; АС, = й; Знайти: Бп. 1) ^ = 6а2; 2) а = За ; 6 •сі2 •З

Відповідь: 2(і2

й _ _ (і4 З а = Л|— = - = =

= 2сГ.

195. 196.

: S0KT = 2л/з : 1 . Дано: SABCD = 156 см2; OA = R = 6 Знайти: Я = 0 0 ,. 1) AD = 6 -2 = 12 ( c m ) ;

___^C

2) Я = —

= 13

(

c m

Відповідь: 13 см q Дано: АС = 8 см; 197. Знайти: Я і Я .

’

ZCAD = 30°;

2) AD = 8 •cos30° = —

3) АО = OD = 4>/3 :2 = 2>/з (см); 4)

;

1) CD = - - 8 = 4 (см); 2 л---------

Я = 4 см; = 4>/з (см);

Я = 2>/з см;

= л-(гУз)2 = 12л (см2).

Відповідь: 4 см; 12лг см2 198. _С Дано: ABCD - осьовий переріз; OA = R = 8 см; АС - CD = 2 см; Знайти: Snep. 1)CD = x; АС = х + 2; AD = 8-2 = 16; 2) ДACD - прямокутний; АС2 = AD2 +CD2; +4 = 256 + х2;

(х + 2)2 = 256 + х2;

4х = 2 56т 4;

4х = 252;

х2 +4х + х = 63;

3) S = 16-63 = 1008 (см2). Відповідь: 1008 см2 199.

£ 0в

1 •1

о-лй

Дано: ООі = 5 см; ОМ 1 AD; ОМ = 4 см; АС = 13 см; Знайти: R. 1) АACD - прямокутний; AD = V132 - 52 = V l8-8 = 3 -4 = 12 (см);

2) AAOD - рівнобедрений; AM = MD = 6 OA = >/36 + 16 = л/52 = 2л/Гз

( c m );

(c m ).

Відповідь: гТЇЗ cm C ~ Дано: ABCD - квадрат; От АВ = А£> = 27б см; А[С, = 5 см; а Знайти: 5л,в,едi - .e y 0)

1) АВ = ВС = 275;

ДА,С, Д -

прямокутний; Д Д = >/25 - 20 = '/б; =275 -75 = 1 0 (см2). Відповідь: 10 см2

201. 5„.р =Ог; « = 30°; Знайти: площу осьового перерізу. cos 30° 202 .

7з

Відповідь: | 7 зо г d Дано: ABCD - квадрат; АВ = 6 см; Знайти: Sn,p. 1)

MN = 6 см;

Sabb,a = 1 2 - 6 = 7 2 (c m 2) ;

2) С = 2лг; С = 2л •6 = 12тг; 3) SMNrK = МК ■MN; DZ = 3 см; DM = 6 см; AMDK -

рівнобедрений; MZ = KZ; = 727 =373 (см);

M Z = 736 - 9 =

МК = 6>/3 (см);

= 6 •б7з = 3673 (см2). Відповідь: 72 см2; 12тг; 36>/3 см2

203.

Дано: АВСИ - осьовий переріз;

О М 1 А . Д ; 0М = І Д ;

«л вс0 = О г;

Знайти:

.-■І©РІ

Зл.в.с.в,-

^4,адс, =

2) Зласп = 2Д •АВ;

А А •А Д ;

2Д АВ = О :

А£) •АВ;

&авсо -

АВ =

О, 2Д

Г~> д 2^

3) ДМОА, - прямокутний; А М = ЛД2 - — = 3^ - = у л /3 ;

А ,А = 2 у > /з = ДТЗ;

4) 5Лів,ад = д 7 3 - ^ = ^ 2Д о %/з Відповідь: —1— С 2 204. в Дано: ( А

-’лесп

& лпгп =

В С £ ) ± ( А В М 7У ) ;

8 СМ

)

^ А В М ІЇ “ ^

СМ |

Знайти: 5 всмн1) 2)

=А В А І> ; = АВ ■ВМ;

А В А О = 8;

АВ

А В В М = 15;

ВМ "

І5 ’

АЛГ

+ 1 ч

---- X ^ 15

А В = ^ - =Н ; ВМ х .ч „ 17 4) ^ОСЛ/ЛГ —ТГ 15 * ' Відповідь: 17 см2

= ВМ = х, тоді ВС = А О = — х; 15 ДДГА£) - прямокутний, так як Z^VAZ) опирається на діаметр;

3) Нехай

)

225х2 + 64хг 225

/289х2 17 = — х; 225 15

0 17x15 “^ссм^---- -- “ 15 •х

о\ (см ) ‘

Дано: ОО, = 5 см; Д = 10 см; АС = 13 см; Знайти: ОМ. 1) АСБ - прямокутний; АБ = 7 1 6 9 -2 5 = >/Ї44 = 12 (см); 2) ДАОБ - рівнобедрений; ОА = ОБ = 10; АМ = МБ = 1 2 :2 = 6 (см); 3) ОМ = \І102 - б2 = Тб4 = 8 (см). Відповідь: 8 см 206. Вказівка на ст. 104. Відповідь: 2 &rcctg т с Дано: ОМ 1 АВ; ОМ = сі; 207. /АОхВ = а; 0,М 1 АВ; ОхМ = т; Знайти: Д = ОА = ОВ. •'І; \ !1І \В 1) ДАО,М - прямокутний; АМ = tg /АОхМ; 0,М /АО.М = - а ;

АМ = О.М ■t g — = m tg —;

2) ДОАМ - прямокутний; ОА = ^< ь: Д = Відповідь: 208.

Дано: йддсо = 5; £ с В Ьх /

/1 #/ •• / а

/САБ = а; Z АОхБ = Д; Знайти: ОО, = Н, 0,А = Д. 1) $ авсо = АБ ■СБ; АБ = СБ ■с ^ а; 5 = АБ ■СБ; Б = СБ ■ ■СБ;

= S tga; СБ = Н = СБ2 =■ с tga 2) АБ2 = 2Д2 - 2 •Д2 •соз/3; АО2 = 2Д2 (і - сов/З) =

= 2В2 ■2зіп2 —;

АО = 2Я зіп —; АО = 2_____

_ _ y Jstg a ■

а _

_____ 2

2зіп -

— . Відповідь: ' С

209.

•tg « ■ctg сс _ у /^ сі^ а 2 в іп —

■с^ог,

2 вігі ____

4 S ■ c tg a

■

2 з іп £ 2 Дано: АС = ZЛOD = а ; АМ = М І); Z 0 1^^0 = x: Знайти: ^ шсг).

1) 5лва> = АХ» •АВ; ДАОІ> рівнобедрений; АМ = М І); ОМ = лг, тоді -ZAO£> = ZAOM; 2

— = ОМ

;

АМ = дг -

—; А І) = 2д: tg —; 2 2 2) АООі М - прямокутний;

ОО ш = іе г ’ 3) в

° 0 ' =х4еу:

= 2xtg^ ■ ■ xtgy = 2хг tg ^ • tg y ;

4) ААСО - прямокутний; АС2 = х 2 tg2 у + 4Х2 сі£ 2 ~ = Ґ Ч -О ^ а tg 2 у + 4 tg 2 — х2 = tg 2 у + 4 tg г ^ а 2 •<і •tg — tg х 5)' 5 ПЄГ) = або, якщо tg у = tg 2 у + 4 tg 2 ^ 2<і2 tg — _______ ctg у

(^ « у

1 ^X 2 « —---- + 4 tg — •ctg у 2

2(І2сі£ у ■^ Відповідь:

а , 2 « 4 іг 2- с І в 2у + 1

2 1 0 . Вказівка на ст. 104. 2 1 1 . Так як навколо прямокутника можно описати коло, то описати циліндр можно. 2 1 2 . Можно, так як у ромб можно вписати коло. 2 1 3 . Тупокутний. 2 1 4 . Можно, так як / А + / С = / В + / И = 180°. 2 1 5 . Ні, так як Ві _____ С АВ - ВС — = іС£> = х; ---------- к Л І) —

_____ 1 л

В.

т -Ф -,

АВ1 = - х ;

ЯС, =

АО = — + — + х = 2х, тоді х + х Ф х + 2х;

2х * Зх, суми протилежних сторін не рівні. 2 1 6 . Вказівка на ст. 104. • Відповідь: 3 : 4 Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; /.С = 90°; А4, = 10 см; 5 6 = 40 см2; Знайти: і?. 1) Я = —АВ, так як ААВС ~ 40 прямокутний; 5 6 = Р ■Н; /* = — = 4 ( с м ) ;

2) Нехай АС = ВС = х;

АВ = С;

. С>/2 + С>/2 + с = 4; тоді

с ( і + л / 2 )-4 ;

С-

АС = ВС =

Сл/£ + С = 4;

^ , тоді

С>/2

г 2|( 7 2 - 1 ) 1 (7 2 + 1) (л/2 - 1 ) Відповідь: 2 ( 7 2 - і) см

8 П" = ^

218. Д ш . л = ^ М ;

Н = у[2а -Н (см2).

Відповідь: 7 2 •а ■Я см2

21 9 .

Дано: вдвсо = 5 ; Знайти: в 6 призми. 1) 2 И АВ = Б; а 3 = д 7 3; 2Д •Я = Я; 5 6 = За Я ; я. = 3 д 7 3 — = - Я 7 з . 6 2Д 2

Відповідь: - я 7 з см2

С,

220 .

В,

Дано: АВСБА^В^О, правильна призма; ОМ = г ; Z Я M F = а ; Знайти: Б6. 1) АВ = АО = 2Д;

K F = 2Rtga^,

= 8Д •2Д tg а = 16Д І е а .

Відповідь: І б Д ^ а

221 . Сі \м

б,

Дано: АВСА^В^С, - правильна трикутна призма; АА, = Я ; ОМ = Д;

Знайти: 5„„„.

N1 Л/

1) 5 пер = МЛ^ •ЛҐЛГ, = МІУ •Я ;

2) АВ = ВС = АС = 2Д 73;

3) в = д 7 з •Я = Д Я 7з. Відповідь: Д # 7 з См2

М # = - •2 д 7 з = д 7 3 ; 2

Дано: д ABC ~ рівнобедрений;

АВ = AC;

ZACB = ZABC = а ;

/ С ХВС = Р;

R^^R.

Знайти: S6 - ? 1 ) 5 в = і ^ - С С і;

ВС = 2i?sin /А ;

ВС = 2 R; sin ZA

ZA = 1 8 0 ° - 2 а ;

ВС = 2 R sin (180° - 2 а ) = 2 Я з іп 2 а ; 2) СС, = ВС ■tg Р = 2R sin 2 а tg P ;

АС = 2 R; AC - 2 R sin а ; sin а 4) Рос* = 4 R s in a + 2 R sin 2 a = 4 R s in a + 4 R s in a c o s a = а = 4 J? s in (l + c o sa ) = 8/ ?sin a cos2 —; v ' 2 3)

5) St = 8 R sin a ■cos2 — •2 R sin 2 a tg P =

= 16 R2 sin a sin 2 a cos2 — tg p. 2 Відповідь: 16Л 2 sin a sin 2 a tg p cos2 ^ Дано: конус; Довести, що МС = MD. 1) &ASB осьовий переріз; AASB ~ рівнобедрений;

223.

SO 1 АВ;

SO - бісектриса;

2) CM 1 SA, DM 1 SB; CM = DM, а так як М будь-яка точка, то всі точки SO рівновіддалені від твірних. g Дано: SO = 9 см; SM = 1 1 с м ; 224. Знайти: ОМ. 1) AMSO - прямокутний;

MO = V 1 2 1 -8 1 = 7 І 0 = 2 у/Ї 0 (cm). [ .-* 0 ^

Відповідь: 2>/Го см

Дано: в М = вМ = 12 см; ДМ5іУ ~ правильний; Знайти: 5 0 , ОМ. 1) Так як дМЙЛГ - правильний, тоді

225.

<••+6 5 ?

МЛГ = 12;

МО = ОЛГ = 6 (см );

2) Д М 50 - прямокутний; вО = УІ122 - б 2 = л/18 -6 = 6-Тз (см). Відповідь: 6 см; 22 6 .

бТз см

Дано: вО = 12 см;

5 А -А О = 8;

Знайти: 5 1) АО = х;

БА = 8 + х;

АБ2 = БО2 + А 0 2; (8 + х)2 = 144 + х 2; 64 + 16х + х2 = 144 + х2; 16х = 80;

х = 5 (с м );

16х = 144 - 64;

Я = 5 (с м );

АВ = 5• 2 = 10 (см ); 2) - 5 ^ = - АВ- БО = - 1 0 2 2 Відповідь: 60 см2 22 7 .

12 = 60 (см2).

Дано: БО = 18 см;

ОА = 6 см;

О, А, = 4 см; Знайти: ОО,. 1) Д А вО ^Д А ^О ,;

—

1Я 4 °°> ЯО, = і ^ 1 = 12 (см ); 2) 0 0 , = 18 - 12 = 6 (см ). 22 8 .

50‘

Відповідь: 6 см

Дано: ОМ = 9 см; Знайти: 5 ,, 5 2. 1) Д М 5 0 ~ Д М ,5 0 ,;

Б 0 2 = 0 , 0 2 = ОО,; М° М ,0,

М ,0. Я = М О - Я ; 1 1 З

ЛГ,0, = 9 •— = 6 З

(cm );

S, = я •36 = 36л

(cm2 );

2) 0 2M 2 = —М 10 1 = 3 ( c m ) ; S 2 = 9л (см2). 2 Відповідь: 9л см2; 36л см2 Дано: ZSAO = 30°; Я = 6 см; Знайти: SO. 1) &ASB - рівнобедрений;

sin ЗО

Н SB = 2 •6 і б (см ); S B = 6 ( c m ) ; 2 2 3 0 . 2) ДASO - прямокутний. SO - 6 •s in 30° = 3 (см ). Відповідь: 3 см = tcZSAO R ? Дано: = a ; SMSB=Or; ОСИ С /.' М Ю D S asB - 7: SO ■AB; AB = 2R; u __ 2 A 1 O AO = OB = R; 0r = - S 0 2R; S O R = Or; R = r 2 r SO 2) ASAO - прямокутний; SO = R t g a ; Д=

Я tg a

_ Г» . Ä t g a« = Or;

D2 Д =

tg a

2) З** =

= лОг ctg a. tg a Відповідь: лОг ctg a 231.

Дано: AB = 12 см;

ZAOB = 60°; Satp = 72 см2; Знайти: ZOMS. 1) ДAOB - рівносторонній; AO = OB = 12 (cm);

2) 5 пер = —АВ ■БМ; 72 = 6 5 М ; БМ = 12 (см ); 2 ДАОМ ~ прямокутний; ОМ = 6>/з (см );

ОМ /л, . 0 3) АБМО - прямокутний; -г г г - сов/О М З ; 5М

бТз

л/з

/п и с

7з

------= — ; соз АОМ8 = — ^ОМЯ = 30°. 12 2 2 Відповідь: ZO M S = 30° Дано: АВ = т; /АОВ = а ; /ЗАО = Р; 232. Знайти: БО = Я . 1) ААОВ - рівнобедрений;

ОМ 1 АВ; АМ

/А О М = /В О М = - ;

. а

------ = з іп —; АО 2

АО =

2зіп — 2

m tg Р

Відповідь: 2 з і п “ 2 23 3 . М Дано: МО = ь Л см; ОР 1 АВ;

ОР = 3 см; Знайти: ОК 1 МР. 1) АМОР - прямокутний; М Р = >/9 + 72 = УІ81 = 9 (см ); 2) (Ж 1 М Р ;

ОР2 = М Р - Р Х ;

ОХ2 = ОР2 - Р Х 2 = 9 - 1 = 8; ОХ = 78 = 2

у і2

Відповідь: 2л/2

см

(см ).

9 = 9 РХ; ОХ =

Р Х = 1;

= 2^2 (см ).

Дано: ZASB = (p; SO = h; ZASO = a;

234.

Знайти: S^g. 1) AASO - прямокутний;

SO SA

h SA = ------- ; cos a

BC = sin30°; AB

AB = 2• 10 = 20

— = cos a ;

A Ci h sin<p ■sin (p = 2) S ASB= 2 cos2 a 2 cos2 a h2 sin (p Відповідь 2 cos2 a Дано: OO, = H = 10 c m ; ZJBAO = 30°; 235. Знайти: BA. 1) BC = OO! = 10 c m ; BC 1 AO ; д ABC ~ прямокутний;

Відповідь: 20

(cm) .

236.

Дано: AB = 15

0 ,B

= 6

cm;

OO, = 12

;

Знайти: S ^ d1) ABCD - рівнобічна тр

ВМЦОО,;

BM = 0 0 , = 12

;

ААВМ ~ прямокутний; AM = V l5 2 - 1 2 2 = У27 -3 =' 9 2) AO = 9 +

= 15

A£> = 30(cm );

BC = 12

12 = 42 6 = 252 («•*)■

3) S n,P = Відповідь: 252

237.

(cm ) ;

(cm );

cm2

Дано: AO : BO, = 9 : 5 ;

OOi = 15

cm;

AB = 17

Знайти: S nep. 1) AO = 9x;

BO t = 5x; AM = 9x - 5x = Ax;

;

(cm );

2) ДАВМ - прямокутний; іб х 2 = 289 - 225 = 64;

х 2 = 4; х = 2; 3) АО = 2 18 = 36; ВС = 2 ■10 = 20; 16х2 = 6 4 ;

0 3 6 + 2 0 л_ 56 . . оо 1С ЛОП І 2\ 8 лвсо = — 2----- 15 = у - 15 = 28 15 = 420 (см ). Відповідь: 420 см2 -2^С /в£Т\

!Р\

= 9 см2;

Я2 = — ; я

Я ,2 = —; я

д, =

Я, = 4 - ; л/я

А V * = 4 (см ); ^ %/Я

4) Зпер = я •~

5 2 = 25 см2;

Знайти: в, 1) я Я ,2 = 9;

2^ я Я 2 = 25; А 3 ) .^

Дано:

дз = 4 . л/я

- 16 (см2).

Відповідь: 16 см2 СЬ с Дано: Я = 10 см; 23 9 . АО = 10 см;

г = 8 см;

ВО, = 8 см; АВ 1 ВО;

Знайти: 5„„„. 1) 5 пер = ВС + А£> 0 0 1 = 2 0 ± 1 6 0 () = 1 8 - 0 0 , ; 7 пер 2 1 2 2) В М 1 АХ»; 3) АМ = 2 см;

МІ» = 18 см;

прямокутний; В М 1 АО; В М 2 = 2 1 8 = 36;

В М 2 = АМ •МІ»;

В М = 6 (см );

4) 5 пср = 1 8 - 6 = 108 (см2). Відповідь: 108 см2

ДАВ/) ВМ = ОО, = 6;

оі о

240.

Дано: ВО, = 6 см;

АО = 9 см;

ZCAZ) = 30°; Знайти: 5 ЛВСВ, СІ), і) СС, II 0 0 , ;

АЛ = 9 •2 = 18;

С,С = ОО,;

АС, + С ,І) = 18;

С,£> = З;

АС, = 1 5 (см ); 2 ) і * а _ ^ 3 0 о;

ОС, =15 — = 5 7з (см); З

С,Я = 3 (с м );

3) АВССХ - прямокутний. С£> = 7 7 5 + 9 = 7 8 4 = 2721 (см ). Відповідь: 2721 см 241.

Оі ^

Дано: ВО, = 8 см; АО = 13 см; АВ = 13 см;

Знайти: ------1) ВВ, 1 АО; АВ, = 1 3 - 8 = 5 (см );

ВВ, = 0 ,0 ; ВВ, = 7 і 3 2 - 5 2 =

= 7 1 8 - 8 = 1 2 (см ); 2) Зпер

ОО,;

АО = 13• 2 = 26;

ВС = 8 - 2 = 16;

5 пер = 16 + 26 12 = 42 6 = 252 (см2). 2

Відповідь: 252 см2 2 4 2 . Вказівка на ст. 105. 243. Дано: ДАВС ~ прямокутний; БО = Я ; Довести, що 5 0 1 АВ. 1) Так як ДАВС ~ прямокутний, то центр описаного кола є середина гіпотенузи, отже 5 0 1 АВ. Отже, висота конуса БО є висотою грані АЯВ.

Дано: SABCD - піраміда; ABCD - прямаокутник; АС = BD = 8 см; Z SCO = ZSAO = ZSBO = ZSDO = 30°; Знайти: SAC - осьовий переріз конуса.

S&ASC' 1) Так як всі бічна ребра нахилені під кутом а = 30° до площини основи, то висота проектується в центр описаного кола, отже АО = ОС = Я = 8 : 2 = 4 (см );

яп 2) ASAO - прямокутний; п\

_ 1 С 4V3 - g з

/о SO = 4• — ;

л/З / З '

7з Відповідь: 1 6 — см2 З 245 . § Дано: SABCD - піраміда; АВ = ВС = 10 см;

АС = 16 см; с

SO = 9 см;

Знайти: SMSK. 1)

2) MO = ОК = г;

Нехай AMSK ~ осьовий переріз конуса; 2S г Площу трикутника

знайдемо за формулою Герона = Ю + Ю + 16 _ 2

8 _ ^ 1 8 . 8 . 8 . 2 = 8 V 9 -2 -2 =

' ' 3) -S = —- 9- 2 — = — = 24 (см2). «р 2 3 3 1 1 Відповідь: 24 см2

до

= 8 ■3 •2 = 48 (см2), отж 1о о

24 6 .

Дано: конус; вО = 4л/з см; ZM SO = 30°; Навколо конуса описано піраміду з основою трапеція. Середня лінія якої дорівнює 10 см; Знайти: в в-в1р. 1) Так як суми протилежних сторін рівні м іж собою, то АЛ + ВС = АВ + СВ = 10 2 = 20, тоді Рк „ = 20 + 20 = 40 (см ); О

2) — = 0X330°; ЗМ = 4^ ' 2 = 8 (см); 5М 7з к 1

3) Яв = - - 4 0 - 8 = 160 (см2). 2 Відповідь: 160 см2 247. Дано: АВСО - квадрат; ^ авсо “ 36 см ;

5діВіСіСі = 16 см ;

£>6 = 40 см2; В піраміду вписано зрізаний конус; Знайти: 5 МЛ^ |ЛГ - осьовий переріз. 1) ОМ = -А & , 2

АВ = уі3 6 = 6 ;

ОМ = 3 см;

М,ІУ = 4 см ;

2 )О М 1 = і л , В 1; А,В, = -Уїб = 4; ОМ, = 2 см; 2 Л^М = 6 см; Р +Р їв + 24 3) 5б = -*-----2.-ММр 40 = ——— •ММ1; ММ1 = 2 (с м ); 2

4) ОО, ||М ,£ ;

ОО, = М ,£ ;

М2*1 = 3 - 2 = 1 (см );

5) Д М М ,£ - прямокутний; 6 ) 5 пер= 1 ^ - > / 3 = 5 ч / з (см2). Відповідь: бТз см2

= ^ 4 - 1 = ^3;

Дано: БАВС - піраміда; д АВС ~ прямокутний; ® АВС = ^ 2 »

Z A = (Х\

ZSAO = Z S £ 0 = ZSCO = р; Навколо піраміди описано конус; Знайти: 1) Так як всі ребра нахилені до площини основи під кутом р , то висота піраміди проектується в центр описаного кола. О - середина гіпотенузи і є центром описаного кола; 2) 8 &авс = —АВ ■АС ■з іп а ; 2

АС = АВ ■с о з а , тоді

О„ = —•АВ ■АВ с о в а в ш а = —А В2 вій 2а; г

40,

; АВ = 2.1——— ; AO = J ° г ; V sin 2 а V зіп 2а зіп 2а _ 1 3) S nep = —SO ■AB; ASOA - прямокутний; ' П'р " 2

SO AO

-----= tg

і;

so j

І °г і/sin 2а

ог зіп 2а

■tgp, тоді

•tgp-i

tg p віп 2а

O tg P

Відповідь: — ------, . si n 2« 2) Зовні кулі. 2 4 9 . 1) Усередині кулі; Дано: 0 £ = 8 см; АР = 6 см; 250. Знайти: ОА. 1) 0 £ 1 МЛГ; АОАР ~ прямокутний; ОА = 7 6 4 + 36 = УЇОО = 10 (см ). 251.

Дано: 0 0 , = 12 см; Знайти: в = ОА.

С = Юяг см;

1) С = 2л г; 10л = 2лг; г = 5 (см ); АО, = 5 (см ); 2) А0 0 , А - прямокутний;

ІІІІп

ГВ ОО, 1 АВ; АО

Знайти: «пер•пер = ЯГ*«п» 1) ДАОВ - рівнобедрений;

ДОАО, - прямокутний;

= сов30°;

АО, = 6 соз30° = 6 — = 3л/3 (см ); 2

2) АО, = ВО, = г;

в = я •(Зл/З)2 = 27л (см2).

Дано: 5 в = 0 ;

253.

5 п„р - ® ;

Знайти: 5 П(ір. Вто пер = я г 2. 1) ДАОВ - рівнобедрений; ОО, 1 АВ; ДОАО, - прямокутний;

АО

= сов30°;

АО, = 6• соз30° = 6■ — = Зл/З (см); 1 2

2) АО, = ВО, = г;

Я = я •(Зл/З )* = 27я (см2).

Відповідь: 27л см2

254.

Дано: МО, : 0 , 0 : ОТУ = 2 : 3 : 5 ; І

" —Ф■«.* - А

Знайти: в , : Я2. 1) Нехай Я = 5х, ОО, = Зх, тоді МО, = у]25х2 - 9 х 2 = 7 і 6 х 2 = 4х;

2) Д *2'л •16х2; ^ = я 25х2, тоді 5 , : Я, = 16 : 25. Відповідь: 1 6 :2 5 С Дано: Д = 6 см; ААВС 255. прямокутний; АВ = 4 см; / ІЧ -ч в'~'Т?*м"'\А Знайти: ОМ. 0 * 1 ) 1) АМ = ВМ В М = г, г; г = 2 см; СМ ( = 2 см; 2) ДОМС - прямокутний;

ОМ = 7 3 6 - 4 = 732 = 4>/2 (см ). Відповідь: 4>/2 см Дано: АВ = 16 см;

256.

— = 2г;

ZC = 150°; «і = 12 см; Знайти: Я. 1) Знайдемо радіус перерізу за теоремою синусів АВ „ 16 = 2г; = 2г; зіп 1 5 0 ‘ віп 30°

2г = 32;

г = 1 6 (с м ) ;

2) Н = 7 2 5 6 + 144 = 7 4 0 0 = 20 (см ). Відповідь: 20 см ^ Дано: ОМ = Я = 16 см; 257.

ДАВС -

правильний; <% = 48 см; •/ І• ?

Знайти: ОО,. 1) г = - ^ 1 = “І = 8 7 з

(см) ;

МО, = 873;

2) ДОМО, - прямокутний; ОО, = 7 2 5 6 - 64 •3 = = 7 2 5 6 - 1 9 2 = 7б4 = 8 (см ). Відповідь: 8 см С_____ В Дано: АВСО - рівнобічна; 258. АО = 36 см; ВС = 16 см;

ОМ = Л = 13 см; Знайти: ОО,. 1) 0 ,М = г = —ССх;

ОС, = АВ, = ( 3 6 - 1 6 ) : 2 = 10 (см); 2) АО + ВС = ОС + АВ (так як чотирикутник описаний навколо кола). 16 + 36 = 52; ОС = АВ = 52 : 2 = 26 (см );

3) ССі = УІ262 - 102 = 736 16 = 6 4 = 24 (см ); 4) 0 ,М = -■ 24 = 12 (см );

5) ЬООХМ ~ прямокутний; ОО, = ^О М 2 - 0 , М 2 = 7 1 6 9 - 1 4 4 = 7 2 5 = 5 (см ). Відповідь: 5 см Відповідь: 8 см 259. Відстань 8 см 260. Дано: 0[А = 13 см; 0 2А = 15 см; А 0 , 0 2 = 1 4 см; Знайти: С. 1) С = 2тг •АВ; 2)

АВ =

2в о .о 2

знайдемо за формулою Герона.

= 13 + 1 о + 14 ш 8 _ ^2і , 8 . 6 7 = 2 = 7 7 - 3 - 8 - 3 - 2 - 7 = 7- 3- 4 = 84 (см2); р . ОД 3) АВ = — р - = 12 (с м ); 4) С = 2тг •12 = 24я (см ). Відповідь: 24тг см

261. V = 3 - 5 - 4 = 60 (см3). 262. Бп = 6 а 2 = 96; V = а3;

263.

а2 =16;

а = 4;

V = 4 3 = 64 (см3).

Відповідь: 64 см3

= а •а •віп 30° = 36 ■— = 18 (см2);

У = 30СЯ Н;

2 V = 1 8 -6 = 1 0 8 (см3).

Відповідь: 108 см3

264.

С*---------- я®'

Дано: АВ = 6 см;

АО = 8 см;

^С,АС = 45°; Знайти: V.

1) К = 5 ^ -.Я ; 2)

= 6 -8 = 48 (см2);

АС = 736 + 64 = 7 Ї0 0 = 10 (см

3) ААС,С - прямокутний і рівнобедрений; АС = СС, = 10 (см ); 4) V = 48 10 = 480 (см3). Відповідь: 480 см3 ----------- О* Д .

О,

\ І// / 8 \V*.

Дано: АВ = 8 см;

В .В = 16 см; ^АВ,£> = 45°; Знайти: V. 1) У = 8к я ВВі; 2) АДАВ, - прямокутний;

" АЯ = АВ, = 872 (см); 3) ДАВІ)

= 8 - 8 - 7 2 = 6 4 7 2 (см2);

прямокутний; в # = 7б4 + 128 = 7 і 92;

4) ДАВ, В - прямокутний;

ВВ1 = 7 2 5 6 - 1 9 2 = 7 б 4 = 8 (см ); 5) V = 6 4 7 2 - 8 = 5 1 2 7 2 (см3). Відповідь: 51272 см3 ----------- Ві

266 .

Дано: АВ = 6 см;

/Л О В = 60°;

СІЧ

/ Ш« / і,.»'

ZC1BC = 30°;

1) V = Вося •Я ; ZAOB = 60°, отже ДАОВ ~ рівносторонній;

АО = ОВ = АВ = 6 (см );

О 2) ВІ> = АС = 12 (см ); , , с З

<*2 . „по 144 73 = — зіп 60° = ------------ = 3673 (см2); 2

4) ДСС1А - прямокутний; СС. = А С - tg30° = 1 2 — = 473; 1 З 5) К = 3 6 7 3 -4 7 3 = 1 4 4 -3 = 432 (см3). Відповідь: 432 см3

Сі-

а,

Дано: АВСЛ - ромб; АС = 6 см;

/А В С = 60°; ААХ в 2 рази менше АВ; Знайти: V. 1) ААВС - рівносторонній; АВ = АС = 6 см;

2) «ос» = 6 - 6 - з іп 6 0 ° = ^ у 1 = 18>/з (см2); 3) А4, = - А В = - - 6 = 3 (см);

V = 18>/з •3 = 54>/з (см3).

Відповідь: 5 4 7 3 см3 С».-----------,8» Дано: АВ = 4 см; 268. ZAOB = 60°; ZBOB1 = 45°; Знайти: V. 1) ДАОВ - рівносторонній; АО = ОБ = АВ = 4 (с м );

АС = ВО = 8 (см ); 2 ) 5 „ „ = ^ ~ = 1 6 ^ (см 2); 3) ОВ = 4 см; 4)

16>/3 •4

ВВ, = ОВ = 4 см; =

64>/з

(с м 3 ).

Відповідь: 64л/з см3 С’---------- Дано: АВСБ - ромб; ZCACI = (і; 26 9 .

АВ = а і Z B = а ; Знайти: V.

Аі с ії

3 ■ /

= а 2 віл а ;

2) МИС;

АС2 - а 2 + а2 - 2а2сова =

= 2а2 (1 - cos а ) = 4 а 2 sin2 — (за Т. косинусів);

АС = 2а sin —

2 3) AACCt - прямокутний;

а СС, = АС tg P = 2а sin — •tg /?; 2

ІЛ.

4) V = a 2 sin а ■2а sin — •tg (5 = 2a 3sin a sin — tg /J.

Відповідь: 2a sin — sin a tg /J

270.

B»

Дано: ABCD - паралелограм; BC = 5 c m ; CD = 8 c * ;

ZC = 30°; S. = 104 Знайти: V.

J mmm

= 5 -8 sin 30°

Відповідь: 80

271.

104

1) S6 = PXH ■H;

cm2;

H = — ^= 4

3) F = 2 0 - 4

(cm2) ;

(cm ); (cm3).

cm3

---------- j S i

Дано: AB = a;

BC = i>;

ZClBC = a ; Знайти: F. B

1) ДCC,B - прямокутний; CCt = £>tg a;

= a b\ 3 )V = a b b t g a = ab2 tg a .

272.

Відповідь: ab2 tg a B. Ai

A tj ei s / / —

Дано: ABCD — паралелограм; ZA —a ; ‘S.ggn —S ; Af; - N; AAi Dl D Знайти: V. 1) Нехай

D AB = a, AD = b, AAl = h, b- h = M; A

тоді

a h = N; a •6 sin a = S;

Маємо a

a" n '

M a sin a = S; N

M a N '

a ■M sin a ---------------- = S; N

5-ЛГ — -----;9 а =— л/ ------;* VМ віп а

М віп а

273.

Відповідь: у/в - N ■М з іп а В» Сі Дано: АВСБ - прямокутник; / Я ОЬГ / | |\

і у - -- у .у С

АС = АВ> = 13; СВі = 15; Знайти: V. 1) у = АВ ■АИ ■ААХ. Нехай

АВ = а, АО =Ь, ААХ= Л, тоді

&»**** О а 2 + Л2 = 1 6 9 ;

■а 2 +Ь2 = 1 0 6 ; Ь2 + к 2 = 225; 2а2 + 2Ь2 + 2 Л2 = 500; 106 + Л2 = 250;

а2 + Ь2 + Л2 = 250;

Л2 = 2 5 0 - 1 0 6 = 144;

2) 169 + б2 = 250;

Ь2 = 250 - 1 6 9 = 81;

3) а 2 + 144 = 169;

а 2 = 25;

Л = 12 (см); &= 9 ( с м ) ;

а = 5 (см);

4) V = 5 -9 12 = 60 -9 = 540 (см 3). Відповідь: 540 см3 274.

Г Таи л- А Т І С П

прямокутний; ^ 7 = < £ 3 0 ° ; Аи

— ттпсттит^хггиїтк;

СС\ = 6 ~

= 2%/з (см);

3) AC : AC, = cos 30°;

AC, = -jL =

= W 3 (cm) ;

4) AAC,Z) - прямокутний; ZADC, = 90°, a ZAC,Z> = ZDAC, = 45°;

AD = 4>/3 •— = 2>/б (cm) ; 2

5) ADCtC - прямокутний;

DC = y/DC* - CC,2 = л/24 - 1 2 =л/Ї2 =2ч/з (cm); 6) V = 2>/б •2лУз ■2>/3 fc 8 •Зл/б = 24%/б (см3). Відповідь: 24л/б см3 = 4 •9 •sin 30° = 18 (см2);

275.

Я = 6 s in 45° =

= 6- — = 3^2 (cm); V = 1 8 -3 ^ 2 = 54л/2 (см3). 2 V = 6 - 3 - 9 = 1 8 -9 = 162 ( cm3). 276.

277. a = 3

cm;

Я = 2-^2;

= 4 - 4 = 16 (cm2);

278.

- Я = 9-2л/2 = 18>/2 (см3). /ö Л = 4• — = 2>/3; 7 = 32V3 (см2). •2

279. К = SO CH•Я ;7 S___ осн осв = a2 sin а ;7 F = а2 sin а •Я . 280. Вказівка на ст. 105, рис. 31. Відповідь: 6-721 см3 281. Вказівка на ст. 105, рис. 32. Відповідь: т ■Q

282.

В'

Дано: ААВС ~ рівнобедрений; AB = АС = 17 см;

ВС = 16 см; Z ß,C ß = 30°; Знайти: V. 1) АСВ,В - прямокутний; Ü 2)

= tg 3 0 °;

ВВ, = 16

= —В С ■AM ; 2

ВМ = СМ = 1 6 : 2 = 8 (см );

= - 1 6 - 1 5 = 8 15 2 Відповідь: 120 c m 3 S

ocb

a6 = 4;

16л/3

(cm3).

Знайти: V.

Я = 4;

Soc„= 6 .

120

= 24-ТЗ;

V = 24^3 •4 = 96-Уз

(cm3).

Відповідь: 9бТз см3 284.

С»_______Ві

Дано: AAjQC - квадрат; Здд.с.с = 16 см ; Знайти:

1) АС = л/їб= 4; 2) АВ =

СС1 = 4 ( с м ) ;

= 2^2 (см );

3) V = SoclI •Я = ^ •4 = 32 (см3). 28 5 .

Дано:

D, ABCDFKAlB1ClDlFlK l правильна шестикутна призма; СВ, = d; 0 ZBCB, = a ; __________Знайти: V. 1) ABBjC®- прямокутний. BC = d c o s a ; 2) BC = ae;

BB1 = d sin a ;

d 2 cos2 a%/3 3 ,2 2 SXH = 6 --------------- — = - d cos2 aV 3;

4 2 тг ЗТЗ ,2 2 . . 373d3 cos2 a sin a 3) 7 = ------d2 cos a d s m a = -------------------------2

3yfs

Відповідь: ------d3 cos2 ct sin ct 2

(cm3).

С>

Ш\

ЛЛ

V г АВСЛ^С, = Vг> N, F і М - середини сторін;

С 1) V =

N В S=

MN = —;

4 '"а4' У2 ./

^-л/З

а 27 з 16 !

■Н =

а27з В’ Дано: ABCD - квадрат; = 16 см2; АС в 3 рази ABCD

28 7 .

менша АВ,; Знайти: F. 1)

AC = 4^2 (см ),

АВ = V l6 = 4 (см );

тоді

АВ, = 12^2 (см);

2) ЛАВ В, - прямокутний; в В, = У і44 - 2 - 1 6 = = л/288 - 1 6 = >/272 = 4>/і7 (см ); V = 16 •4-7І7 = 64>/І7 (см 3) . Відповідь: 64VT7 см3 2 8 8 . С___________ бі At

Дано: АС = АВ;

ZA = а ;

АС, = d ; С, AD = р; Знайти: V. 1) ДАС,С - прямокутний; СС, = С, А ■sin р;

AC = С,А cos/J; СС, = d sin/J; AC = d cos Р; 1 d2 2) <SOCII = —•d cos p ■d cos p sin a = — cos2 P sin a ;

2 d2

3) V = — cos2 P sin a ■d sin p - — cos2 p sin p sin a .

Відповідь: — cos2 P sin P sin a 2

28 9 .

АВ = с;

Дано: ДАВС;

ZA = а ; / В = Д; CBCt = у; Знайти: V. 1) ДАВС; ZC = 180° - (а + /3); За теоремою синусів АВ с •sin а ВС ВС = sin ZC sin а sin ( а + р ) ’ 2) ABCtC - прямокутний. ВС 3)

001

g7,

СС _ с sin а ' tg У . 1 sin ( а + /ї)

= - АВ •ВС sin /?= - •с • г П“ - ч - sin p = 2 2 sin (а + /J)

_ 1 с2 sin a sin p sin ( a + P) c2 sin a sin P c s i n a t g y _ c3 sin2 a ■sin p •tg у 4) V = 2 s i n ( a + /?) s in (a + /?) 2 sin2 (a + P) 2

с sin a sin p tg у 290.

Дано: ДАВС - прямокутний; ZBAC = 45°; ВС = 6 см;

V = 108 см3; Знайти: Sn. 1) як ZA = 45°;

ДАВС - рівнобедрен

ВС = AC = 6;

АВ = 6л/2 (с м );

2) Sm = 1 - 6 6 = 1 8 (см 2); 3) V = So c a H;

Н =

4) S„ = 2 •Sx„ + S6;

108

= 6 (см );

S6 = (B C + AC + A B ) H =

= (б + 6 + 6л/І) •6 = 6 (2 + >/2) •6 = Зб(2 + л/2); S„ = 2 - 1 8 + Зб(2 + л/2) = З б (з + >/2) (см2).

/ В = АО = 30°; Z B1AB = 60°; ВВ1 = Я = 9 см; Знайти: V. 1) ДАВВ, - прямокутний; — =^ 60°; вд

АВ = 9 — = 3>/3; з / г -\2 1 97 2) 5осн =(ЗУ З) 8іп30° = 27 і = ^ - ; 27 л 243 _ / Зч 3) к = — •9 = = 121,5 (см ]. 2

292.

Відповідь: 121,5 см3 Ві___________ Аі Дано: ААСВ ~ прямокутний;

ВС = а; ZA = а ; Знайти: V.

ВС

1 ) ------ = в і п а ;

С АС 2 )-^ =^ а ; 3)

АВ

АС = а

ZA^BA = р;

а АВ = -----------; в іп а

а;

= ^ а а с Ь і а = а С*Є а ; АА

4) ААА'В - прямокутний; ——- = 1&Р; АВ 5) V =

а сіц а 2

Відповідь:

а ^ р

віп а а 3 сі# Р

. .

аЛ еР АА1 = — -- ; апа

а ctg a tg P 2 з іп а

2 в іп а

АС = ВС; ZA = Z B = а ; /В^АВ = Р ; АД = ф, Знайти: V. 1) ДАВД - прямокутний;

ВВХ= AB, sin р; BBV= d ■sin P; 2) AB = d •cos p ; д ABC ~ рівнобедрений; ZC = 180° - 2a; За теоремою синусів AB AC „„ _ AB sin P _ d cos P sin P AC = sin2a sin (180°- 2 a ) sin ZC sin ZB „ 1 ._ ._ . 1 d cos P sin P- d cos P sin a 3) S oc„ = - ■AC ■AB •sin a = ------------ ----- ------------------= KU 2 2 sin 2a d 2 cos2 P ■sin p ■sin a 2 sin 2a 4) V =

d2 cos2 P sin P sin a d sin p _ d3 cos2 P sin2 p sin a _

2 sin 2a _ d3 cos2 P sin2 p sin a

2 ■2 sin a •cos a Відповідь:

2 sin 2a

d 3 cos2 P sin2 P 4 cos a

d3 cos2 P sin p sin 2 a Дано: CXK = 10

294. гЛ’

;

ABCDFK - правильний

ІС ! ’ D\--

C ,F = 2V21

шестикутник; Знайти: V.

\ 'S""

Y)V = S ^ C C l -, 2) Нехай сторона шестикутника а, тоді СК = 2а; 180° •4 3) AFDC - рівнобедрений; Z CDF = — - — = 120°; о За теоремою косинусів р с 2 = а 2 + о2 -

- 2 - а - a- cos 120° = a 2 + a 2 + 2a2 •— = 3a2;

2 4) Розглянемо ЛFCXC ~ прямокутний;

FC = aV3;

CC,2 = (2V2T)2 - ( a -Уз)2 = 84 - За2; 5) Розглянемо АКСХС - прямокутний; СС,2 = 1 0 0 - 4 а 2, маємо 8 4 - З а 2 = 100 - 4 а 2; -З а 2 + 4 а 2 = 1 0 0 - 8 4 ; а 2 = 16; а = 4; СС,2 = 1 0 0 - 4 16 = 1 0 0 -6 4 =36;

CQ =>/36 = 6 (см);

V = 24’Уз 6 = 144>/з (см 3). Відповідь: 144-Уз см3 295.

Аі

Дано: ДАВС ~ прямокутний;

/М

АС = ВС;

АВ = с;

АМ = МА,;

= Я; Знайти: Упр 1Н ' пр= 5 Л ВС

АС = ВС = с •біп 45° =

суі2

' А А

ТОДІ

:Т 2

І 5 о°в 4 ; 2 “ 4 2) ДВМС' - прямокутний, так як д/с ± ВС (за Т. про три перпендикуляра); «оси ~

20 20 2 СМ = — = ВС г%/2

-'двсм = —ВС ■СМ; 2

3) ДАМС - прямокутний; АМ = 160 2 - с 4 2с2

4с

802

2л/20

с_ 2

2с

АА, = - 7 3 2 0 2 - 2 с 4;

4) V = -

- 4 з 2 Я 2 -2 с * = -> / 3 2 0 2 - 2 с 4 = с________

= 0,25сл/32О2 - 2 с 4. Відповідь: 0,25с732ф 2 - 2 с 4 296. Дано: АВСІ) - рівнобічна В» трапеція, в яку можно А» вписати коло; ВС = 4 см; І8 іс А_0 = 16 см; В ,І) в 2 рази ,* : більше 2г, де г - радіус А 6М

вписаного кола; Знайти: У .

1) АМ = £ N = ( 1 6 - 4 ) : 2 = 6 (см ); 2) Так як в трапецію можна вписати коло, то АВ + ВС = АВ + СБ; АВ + СБ = 20;

АВ = СБ = 10 (см); 3) ААВМ - прямокутний;

ВМ = 7 і 0 0 - 3 6 = Тб4 = 8 (см ); 4) БМ = 4 + 6 = 10 (см );

ДМ В Б - прямокутний;

В Б = 100 + 64 = 164; 5) 5 0СН =

•8 = 80 (см2);

6) Так як ВуБ = 2- (2г) = 2 - 8 = 16 (см ); 7) ДВВХБ - прямокутний;

ВВ, = >/256-164 = 7 9 2 = 2^23; 8) V = 8 0 -2 7 2 3 = 1 6 0 7 2 3 ( см3). Відповідь: 160^23 см3

Кі

297.

Бі

Дано: АВСБКР шестикутник; ААХК ХК - квадрат;

Знайти: Упр. 1) Нехай сторона шестикутника дорівнює а, тоді

АК = а 2 + а 2 + 2а2 соб 60° = а%/3;

АА, = А/С = аТЗ;

2) АААХБ - прямокутний; АО = 2а;

оч 2с/Тз 3) АА, = — т= - ; 77

6<*27 з -2<*7з З6гі377 к = -----------р ------= — —— ; 7 •7 7 49

4) в « . = 6 Відповідь: 2 9 8 . Відповідь: 299.

4<і2 •Уз

6с£2Уз

7Л4 ЗбУга3

49 2 в 2 зіп 2а

б»

а +Ь С1 Дано: АВСО >- квадрат; АВ, = 17 см; 5 6 = 480 см2; Знайти: У. 1) Нехай сторона основи а, а В Д = Л, тоді 5 б = 4а •Л; 480 = 4 а-Л ;

а-Л = 120;

2) ААВ^В - прямокутний; а 2 + Л2 = 289; а 2 + Л2 = 289; 3) Маємо систему

(а 2 +Л2 = 289; •2

а •Л = 120;

а 2 + Л2 + 2аЛ = 529;

[2аЛ = 240;

(а + Л)2 = 232;

Іа + Л = 23; | (а -Л )2 = 4 9 ;

|о + Л = 23; Іа - А = 7; 2а = ЗО; а = 15;

Л = 8, тоді

V = 225 ■8 = 1800 (см3), а якщо а = 8, а Л = 15, то V = 64 •15 = 960 см3. Відповідь: 1800 см3 або 960 см3

Дано: АВСИ - ромб; В.0 = гі; ZD = Z B = а ; Знайти: У.

ZB1OB = у;

1 ) 0 В = 02) = | ;

Щ ОВ -

= іе г ’

2) ДАОС - рівнобедрений; АО = .ОС; 1)0 -

бісектриса; /С Б О = /А ІЮ = —; —

4 )5

Г>С =

= сов^;

3) ДСШС - прямокутний; ОС

а 2*> сов— 2

<і2 •2 віп — сов — <Іг ^ — 2 _ 2 ■8іпа = ________2 л 2 и 4 сов2 — ** 4 сов — 2 2 іе - •ід у

301.

/.В^АСХ= а ; АС, = АД = й; Знайти: V. 1) Розглянемо ЛВ, АСХ ~ рівнобедрений за Т. косинусів; Д С,2 = сі2 - 2сІ ■(і ■соз а = 2сІг - 2сі2 соз а ; Д С , = ^ 2гі2 ( і -

соба

) = Л 2 < і 2 •2 в і л 2 — = 2 < і в і п — ;

2) С,Д = В С = 2 й з і п - ; 2 ^ л2 2гізіп ^ | >/3 3)

= (Івіп2 —43;

4) ДАДВ - прямокутний; В Д = ^сі2 - Асі2 зіп2 ^ = <1^1 - 4 зіп2 • 2— а 5) V - сі2зіп2—-Уз •сШ - 4 вігі2— = сі3 віп2— ІЗ іІ - 4.. віп 2 V 2 2\ а

V = S „ H;

SKK = - - 6 - 6 s i n l 2 0 ° = 18 — = 9 n/3 (cm2);

# = 1 - 4 = 2 (cm);

V = 9Уз •2 = Ів Т з (cm3).

Відповідь: 18у/з cm3

303.

A i ______________ r c ,

Дано: ДABC

правильний;

AB - a-, О - центр AABC; ZA,AO = or; Знайти: V. 1) AO = -j = , так як д о = R; 2) AAAtO - прямокутний;

3) S '

OCH

0Д

а 2Уз a 2-Уз -, тоді У =

304.

~ tgcc, CM, - - j^ tgcr, a

a3 tg a

7 Г ‘6 “ '

Дано: ДЛВМ ~ правильний; АВ = 3 см; АВСБ - грань призми, яка є ромбом; В£> = 4 см; Знайти: V. 1) У ш 8 „ - Н і

« « . = ^ ( см2);

2) АС2 + ВІ>2 = 4 9; 3) 5 , = І ^

АС2 + 16 = 36;

Ас = УІ>0 = 2 ^ 5 ;

= 4>/5 (см2);

4) Л - ромба є висотою призми. * = М ,

тод і К = ^

З Відповідь: зУ Ї5 см3

14-^

4 -3

= з У І 5 ( с м 3).

305.

Дано: АВСИ - ромб;

У»

Р (

\ (л, \ \ с і - 4.___-\б \ / \ / О

/Г

АВСО = А А & В = В В & С ; АВ = 8 см; = 60°; Знайти: V. Зх, = 8 - 8 - 8Іп 605 =

= 64 — = 3 2 7 3 (см ); 2 Відповідь: 256^2 см3 3 0 6 . Вказівка на ст. 106.

К = 256>/2 (см3).

Відповідь: —аіпг Сі

3 0 7 . Г = І 5 0С> Я . 8 +8 +6 знайдемо за формулою Герона Р = ----- ------ = Сі

= — = 11;

5 = ^11 (11 - 8) (11 - 8) (11 - 6) =

Сі

= Зл/ЇГб = 3>/55;

^ = І - З л/5 5 - 5 = 5>/55 (см3).

Відповідь: 5-755 см3 3 0 8 . Рис. 12 (ст. 33). ^пір = з Н ' 8 авсо> ЗV" = Я •Бдди; тоді ЗV = Я

3 АВС0 = 2 •Б лво,

Я •вддср = бР-.

Відповідь: Кп>рал = 6^ 3 0 9 . Рис. 13, ст. 33. 1) Нехай ребро куба а, тоді V = а 3; 2) В піраміді в основі &МКР ~ правильний;

пт/- плІ/- О.УІ2 МР = РК = М К = ------;

, /п

3) г тр. М РК буде

ау/2

а 2 -2 уіЗ

а 2у/ з

= ------------= -------- ; 4 -4 8

’ тоді висота

12 1 а '4 з а отже кшр = -■ З 8-л/з

12 а3

24'

7з’

Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; АВ = ВС - 10 см; АС = 16 см; ZS^?M = 60°; Знайти: V. 1) ВМ ± АС;

СМ = МА =

2) Так як В М і АИ - медіани, то

ВО = - В М = -■ 6 = 4 (см );

З З V ' 3) АвВО - прямокутний; БО = 4 і& 60° = 4л/3; 4) 5 ^ = 1 -6 16 = 48 (см2); 5) V = і •48• 4>/з = 64>/з (см3). З Відповідь: б4л/з см3 311 . Так як У - ~ 8 ЖН■Н, ТО У1 = - тН п28 хи = и

т - п2 = V ■тп2.

=— з 312.

Відповідь: у т ■п2

Дано: ВАВСО - правильна піраміда; ZSAO = 30°; АВ = ВС = АС = 6 см; Знайти: V. 1 1) У = - ^ И Н; З

&ОСИ -

збл/з

= 9\/з (см2);

2) Так як бічне ребро утворює з площиною основи Z 30o, то висота проектується в центр описаного кола, отже Я = АО;

0 АО = - щ = 2\/3;

3) АБОА - прямокутний; ЯО = АО

30° = 2^3 — = 2 (см ); З

4) К = і - 9 Т з -2 = 6ч/з ( с м 3 ) . .З Відповідь: бл/3 см3 Б Дано: БАВСІ) - правильний; 313. АС = В£» = гі; /Б М О = а ; Знайти: V. 1 £І2 1 ) ^ = х 5 ос. Л ; ; 2) Так як бічні грані утворюють з площиною основи рівні кути, то висота піраміди проектується в центр вписаного кола.

ОМ = г = —; АВ = ■£-; 2 уІ2 3) АБОМ - прямокутний; ЯО = ОМ ..

•Ід а ;

1 гі2 с ^ д

К = --------------------- —

ОМ=-4=; 2 уі2

d tg a ■ y J 2

^J2d3t g a

= --------------------- = --------------------- .

2л/2 24 24 Т & іЧ е а Відповідь: -------------24 314. д Дано: БАВСБ - правильна піраміда; ЙАС = АВБИ; ® О

•-* 0 * 4 / Л

ААБС ~ рівносторонній; Знайти: V. 1) Нехай АС = а, тоді

г а 27 З

4573

л/з

■

зТ з 7з — -Г

а - 2^ —

5 0 = 5С віп 60° =

а2

Й Л .

] ¥

а •7 з 5 0 = а •віп 60° = — — ;

2) Д50С; 50=

_0 [Ш ;

2в -У в ..г в л / в

/ч/з

3 -7 з

Відповідь:

2 ’

[ЇЇв

а = . ==;

[Ю т/з,

V7з

3^3

2575

зТз

31 5 .

Дано: 5АВС - правильна; АО = Д = 6 см; ZSAO = 30°; Знайти: V. 1) Д50А - прямокутний; ^ 3 0 ° ; 5 0 = 6 — = 2 7 3 (см ); З 2) Оз = д Т З ;

а3 = АВ = бТз, тоді

(6 ^ ) ' Уз

3 6 ,3 ^

’

3) у = І - 2 7 Т З -273 = 1 8 -3 = 54 (см3). Відповідь: 54 см3

Дано: БАВСИ - правильна; ZSЛ^O = а ; ^ - середина БО

К - середина БМ; Р К = а; Знайти: V. 1) ДОБМ - прямокутний; РК - середня лінія; Р К = —ОМ;

ОМ = 2а, а

= SO = 2 a t g a ; ОМ 2) АВ = ВС = 4а; в * . = 16а2; 1 ■> 3 2а3і е а 3) V = —■16а -2а З

З2а3 t g а Відповідь: -----------317.

Дано: БАВСБ - правильна; ОМ 1 БМ; ОК = 3 см; ZSM O = 60°; Знайти: V. 1) ДОКМ - прямокутний;

ОМ = -^3- = 2л/з (см ); АВ = 4%/з (см ); 2) ДМБО - прямокутний; БО = ОМ ^ 60° = 2^3 - -Уз = 6 (см ); 3) в « , = 16 3 = 48;

4) V = —•6 ■48 = 96 (см3). З

Відповідь: 96 см3 5 Дано: БАВС - правильна; 318. АВ = 6 см; /В К С = 120°; Знайти: V. 1) У’ * і в вен- в О = І ^ И . Б О З 3 4 =— З

БО = З І Ї БО;

2) СК 1 вА;

В К 1 БА;

Z СКВ = 120°;

У = з 7 з вО; х2 =12;

ОА = Д = 4 = = 2>/3; 7з х = 2>/3;

Б К = У -; 2 у2 = 1 6 ; у = 4;

36 = З * 2;

3 )С 5 = у;

12 = у2 - У - = - у 2; 4 4

4) ЯО2 = 1 6 - 1 2 = 4;

5 0 = 2;

5) V = з Т з ■2 = бТз (см3). Відповідь: бТз

см3

Дано: вАВС - правильна; БА = ЯВ = БС = а; /А Б В = а ; Знайти: V. 1) ДАБВ - рівнобедрений;

А В 2 = а 2 + а 2 - 2а 2 сова; А В2 = 2а2 ( і - сов а ) = = 2а2 •2 зіп 2 — = 4а2 віп2 —; 2

АВ = 2азіп —; 2

/ \2 2а віп ® І •7 з — = а 2 зіп2 — >/3; 2 о • а 2а вхп — 3) ОВ = Д = ■ ____ 2 . 78 ’

л 2 • 2 4а віп — 4) АвОВ - прямокутний; 5 0 2 = а 2 __________— =

За2 - 4 а 2 віп2 а

2 _

БО = - ? - «/з - 4 віп2 — = 7з V 2

3 - 4 віп2 ^ 2 . 7з

’

“л ,--5) V = - - аU ‘ 0X11 sin 2 -VІvг - Л З 2__________ 7 з • 2— ® •, I3о - 4л sin • 2 —. ® = -1а 3 sin З 2 V 2 Відповідь: —а 3 sin 2- J 3 - 4 sin 2 — n 3 2 \ 2 320. Дано: SABCD - правильна; SM = SK = a; ZKSM = а ; Знайти: V. 1) AMSK - рівнобедрений; АЖ 2 = в 2 + а 2 - 2а а •cos а (за Т. косинусів); КМ 2 = 2а 2 (1 - cos а ) = 2а 2 •2 sin 2— = = 4 а * sin2 —;

O f = 2 a s in —, тоді BD = 4 a sin — ;

16а2 sin 2 — = _________ 2. _ ga2 - 2 « . Сторона квадрата 2 _________ 2’

АВ = л/s = J 8 a 2 sin 2— = 2\І2а sin —, тоді і 2 2

ОМ = уі2 ■a sin ^ . Розглянемо &SOM і із теореми Піфагора, маємо SO = ^ а 2 - 2a2 sin2 ^ = = a ,| l-2 sin 2 — =aV cosa; V 2

V = і •8а2 sin2 — •aVcoea = 3 2

= —a 3 sin2 — V cosa. Відповідь: —a3 sin2 — ч/cosa З о 2 3 2 Дано: SABCD - правильна; SO = A; ZASB = а ; Знайти: V.

321.

Нехай A S = S B = <>, тоді за

Т. косинусів АВ2 = 2Ь2 -

-2 b 2 c o s a = A B2 = 2b2 - 2b2 cos a = 2b2 (1 - c o s« ) = = 4ft2 sin2 —; 2

AB = 2b sin —; 2

2) AC = BD = 2bsin — •J 2 ;

AO = b j 2 s i n - ; 2

3) &SOA - прямокутний; h2 = b 2 - 2b2 sin2 —;

h2 = b 2 l - 2 s i n 2 — ; b2 =

c o sa

h 2 = b 2 ■cos a ;

b= V cosa

4Л2 sin2 — .. 2-А . a 4) AB = —j = = ■sin —; SKM = ________ 2 . co sa л/cos a & . 4Л2 зіп2 — il ! 4Л3 sin2 — 2a 5) V = —h ------------- — = -----------sin 3 co s a 3cosa 2 3co sa 4Л3 sin2 — Відповідь: ________ 2. 3co sa 322. Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; A B = 6 см; AC = BC = 5 c m ;

ZSAO = /S C O = 60°; Знайти: V. 1) Так як бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, то О - центр описаного кола; ОА = ОС = — — і

4S 2) Знайдемо за формулою Герона. 5+5+6 = 8; S = >/8 -З -3 2 = 3 - 4 = 12 (см 2); Р - ----- ^

R =

5-5-6

4-12 " 8 ’

3) AASO - прямокутний; SO = ОА ■tg 60° =

25л/з

4) V = - 1 2 З Відповідь: S

25-Тз

25л/з

(см3).

Дано: ДАБС ~ прямокутний; ZC = 90°; ZJ3 = /3; АС = Ь; /SA O = ZSBO = /S C O = <р; Знайти: V. 1) Так як бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, то висота піраміди проектується в центр описаного кола, тобто в точку О, де О - середина гіпотенузи А В ;

2) ААВС - прямокутний; 3) ^ = | 6

2 sin P '

SO = АО •tg (p =

Відповідь: 324.

;

& •sm • (90° /ПЛО- p ) = -------& COS/Î b2 ------—= — ctg P; s in /З 2 sm p 2

4) АО = OB =

3 2

АС _ • я Ло _ Ь ~ sШР> АВ - —

AASO _ прямокутний,

2 sin p 2sin/î

■tg<?>;

1 2 - sin/?

fr3 tgcpctgP 12sin /? Дано: SABC - піраміда; СВ = 15 c m ; A S = 16 c m ; AC = 17 cm ; /SM O = /SN O = 60°; Знайти: F. 1)

знайдемо за формулою 15 + 16 + 17 = 24; Герона. P = ■

r = OM = — = 4 8 —

= >/21; ASOM P 48 прямокутний; SO = OM •tg 60° = V2 I •-s/3;

2) У = - •>/21 - V3 - 24л/2І = 21 '-2.1-'

3 Відповідь: 168>/3 S 325.

= 168л/з (cm3).

cm3

Дано: AABC ~ рівнобедрений;

AB = a; AC = BC ; ZACB = a ; ZSMO = ZSKO = p; Знайти: V. 1) SO проектується в центр вписаного кола; 2) ДABC - рівнобедрений; АС = BC = b ;

AB2 = АС2 + ВС2 - 2 ■АС ■BC cos а = 2Ь2( 1 - cos а ) = = 2Ь2 •2 sin2 — = 4 b2 sin2 —;

2 г>2 =

2 sin — 2

1,2 . 1 а 2 sin а = - Ь 2 s in a = --------------2

4) ОМ = OK = r = / . a a 1 + sin — — __ i.

. a sin — 2

b =•

. 2— а 4. sin

а 4 sin —

а 2 = 4І>2 sin2 —;

а а а -2 sin — cos — 2 _

4 sin — 2 2’

= a +a 2 sin — sin 2 a x — a •sin . a— 2o ------ctg 4 2 2 r = '. . аЛ 1 + sin — 2

P=a+2-

co s— л 2 •sin • — а а -------— . а 2 sin —

1 +s in -l 2j а a cos — 5) SO = — -------- Z— I

. ос 1 + sin — 2 .

б)

а a cos —

______2

2fl+sinl 2 J

tg p ;

і ос

ос

a ctg — a cos — •tg р

з а а. „ a ctg — cos — tg р

у= __________ 2________ 2______ __________ 2 З

, . ос 1 + sin — 2

2_____

24 1 + sin

а а a ctg —cos — tg/J Відповідь:

24 1 + sin

Дано: SABCD - піраміда; ABCD - ромб; АБ = AD = a; ZA = а ; ZSMO = ZSFO = Р;

326.

Знайти: V. ,ч о 2 . 1) S,*,, = а sin а ;

. a 2 sin а Л ^ = -----------= а sin а ; а 2) Висота піраміди проектується в центр вписаного кола; ОМ = г = —sin а ; 3 ) ASOM - прямокутний; SO = —sin а •tg Р;

1 2 а О 3 9 4) V = — a s i n a •—s in a t g p = — sin a - t g p . 3 2 6

a3 . 2

Відповідь: — sin a •tg p 6

Дано: БАВС - піраміда; ВС = 13 см; АС = 14 см;

АВ = 15 см;

5А 1 (АВС);

- 4 см; Знайти: V. «оси = у 1 р { р - а ) { р - ь ) { р - с ) ;

р = 13 + 1у - — = 21;

в = л/21 8 - 7 - 6 = > /7 - 3 - 8 - 7 - 3 - 2 = 7 - 3 - 4 = 84 (см2); у = І . 8 4 - 4 = 2 8 - 4 = 112 (см3).

328.

Відповідь: 112 см3 ^ Дано: д АВС ~ прямокутний; / С = 90°; ВС = а; /В А С = а ;

Б А Ї (А ВС );

ЯА = —АВ; 2

Знайти: V.

1 ) — = s in a ; AB

AB =

а sin а

SA =

2 sin а

2) S ^ * , = і В С - AB sin (9 0 ° - а ) = —а — 2 v ; 2 s in a а ctg аг _ 1_ a 2 c tg a -a З

соє а =

12 -sin а

2-2sina

а ■ctg а 12 •sin а 329.

Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; АВ = ВС = а; /А В С = а ; S B 1 (A BC ); /S M B = (p; Знайти: У. _ 1 . a 2 sin a 1) S^„ = —■а а •sin а = -----------; °“ 2 2 2)

ВМ а = cos —; ВС

В М = ВС •co s— = acos —;

ASM В ~ прямокутний;

SB = tg «jtr, ВМ

SB = BM ■tg <p = a cos — tg <p; 2

з • a . , 2 ■ a •sm a cos — tg (p Ir 1 a s in a a . 2 K = ---------------a cos — •tg (p = ------------------- --------. 3 2 2 6

a3 .

Відповідь: — sin a cos — tg (p 6 2 S Дано: д ABC ~ прямокутний; ZC = 90°; BC = a; ZB = a; (SC B) 1 (A BC );

ZSM C = /?;

( S C A ) l(A B C ); Знайти: V. 1) ДABC - прямокутний; AC — = tg a ; І5С

AS = a tg a ;

a2 tg a 1 SXI = - o a t g a = Z

AB = —- — ; CM 1 AB; cos a a tffa a te a S A = —CM ■AB = CM = - 8 л 2 2 2AB s in a 2. a ------- - cos a a tg a cos a cos a a sm a 2 2 •a a sin a tg P;

2 ) - ^ = co sa ; AB

У _ 1 a 2 tg a 2

a sin a tg P _ a 3 tg a sin a •tg p 2 12

дЗ

Відповідь: — tg a sin a tg p 331.

Дано: SABC - піраміда; (SAC) 1 (A BC );

AC = BC = 6

ДА5С _ правильний;

2) AASC - правильний;

cm;

3) S M = 6 s in 60° = ^ ^ 2

= з 7 з ( cm);

4) Г = і-1 8 -3 > / 3 =18л/з ( cm3). З Відповідь: І8л/з см3 S Дано: ДАВС “ рівносторонній; АВ = С,; ДAS В - прямокутний;

ZASB = 90°; Знайти: V.

2) ASAB;

S M 1 АВ;

= ZSAB = 45°;

SA = S B ;

АВ = а;

Z SBA =

ВМ = SM = - ; 2

3) у - 1 ° 2^ * а - а3^ * 3 4 2 24 а 3>/З Відповідь: S 333. к. Дано: ДАВС “ прямокутний; /

ZC = 90°;

ВС = a;

ZABC = /};

(ASC) 1 (A BC ); ZSC B = a ; Знайти: V. ^ Висота піраміди знаходиться в грані ASC, S M 1 AC. 1 ) ^ = tg #

AC = a •tg /J; SM, = j U a t g / 3 =

В 1 a 2 tg В В 2)-S M = a t g a t g —; K = --------- •a t g a •t g ^ - = 2 3 2 2 a3 б = — t g / Jtg a t g - £ . D Z a3 0 Відповідь: — tg / ? tg a tg — o z

ж у у і |\

334.

Дано: ДАВС “ рівнобедрений; АВ - ВС = a; ZSFM = /3;

/ / Г \ \ ^

/В А С = a ; Знайти: V.

(SAC) 1 (A BC );

І) ZABC = 180° - 2а; а 2 зіп 2 а 2) 5 ^ , = і •а •в ■8іп (180° - 2 а ) »• 2 . БМ = Н = - а

3) в М 1 АС ;

зіп2аЬцр;

2 .... 1 а 2 зіп 2 а 1 . . , _ а 3 . 2о , „ 4) У = --------------------- а sm 2 а tg / ? = — віп 2atg / }. 3 2 2 12 а3 Відповідь: — зіп2 2 а р іи 3 3 5 . Дано: - 3 см; а = 5 см; Я = 4; Знайти: У. 1) У ^ Я ^ + Я г + Т а д ’);

$=9;

Я2 = 25;

У = і - 4 ( 9 + 25 + л/9-25) = | ( 3 4 + 15) = і у ^ = ^ . 196 з Відповідь: — — см ж

Дано: А В С Б А ^ С ^ правильна зрізана піраміда;

336.

/& ' * ^ ї '" ''/

А ,В , = 4 см;

А В = 6 см;

/М ,М О = 30°; Знайти: У. 1) « авсв = 6 = 36; 5діВ]Сі0і = 4 = 16; 2) М ,Р 1 ОМ; М Р = 3 - 2 = 1; 0 ,М , = 4 : 2 = 2; ОМ = 6 : 2 = 3; 3) ДРМ,М - прямокутний; ^ ї - ^ 3 0 о; РМ

РМ ,=1— ; ‘ З

4) у = І . ^ ( 3 6 + 1 6 + л/36 •16) = ^

•(52 + 24) =

7бТз з Відповідь: ——— см Дано: АВСА^ВуСі - правильна

= 4 см;

зрізана піраміда;

/А^АО = 45°;

АА1 = 6 см; Знайти: V.

1 АО,

3) О,А, =

А,Р = 6 •зіп45° = Зл/2 (см);

=—

(см );

= 4г/3;

ОА =

ОА = 3>/2 + ^

972+4^3 Іб Т з

4) в ^

9->/2 + 4-Уз

тоді

_ * й + ± / | 7§ = 9 ^ 1 2 = ( з Л + 4 ) с м ; ( з 7 б + 4 ) 27 з (70 + 24'/в)У з

(б4 + 24>/б + 1 б )7 з ^ ~ 85н.і2 У 8 д

з а Т з Л г ТТв

зб Т з + зб Т г

5) V = —Н З

Я = ОО, = А ,*1 = Зл/2; +1872 +

V = | •3>/2 (4л/3 + 17,5>/3 +

(з5>/з + зб%/2) ^ = Т І •(гь / з + 18>/2 +

+>/210 + 72>/б) = 21-^6 + 36 + 7 2 •>/210 + 72>/б. Відповідь: 36 + 21>/б + уі210 уі2 + 144>/з см3

Дано: А,В, = 4 см; АВ = 6 см; БО = 3 см; Знайти: V зрізаної піраміди і) «яво) = 36 (см2); ■З’л.в.с.і), = 4 = 1 6 (см ); 2) ДА50 с« Д Д 5 0 , (за першою ознакою);

° А = І 2 = 3 ^ ’ ° іАі = ~32= 2 ^* 2 -3 50, 0 , Д . Щ = 2 2 І Ї ' __

50, = 5 0 ~ ОА 3 3^2’ Значить: ОО, = 3 - 2 = 1 (см );

= 2 (см );

3) Г = І - і (36 + 16 + 736 16) = І ( 5 2 + 24) = — (см3). 76 з Відповідь: — см О 339.

Дано: ДАВС - рівнобедрений; АВ = АС = 10 см; ВС = 12 см; А,В, = Д С, = 5 см; В,С, = 6 см; ZA,AO = 45°; Знайти: V.

1) АМ = л/іО2 - 6 * = 716 -4 = 8 (см); 5 ^ = 1 - 8 1 2 = 48 (см2);

2) Д М , = л / 25-9 = >/їб = 4 (см );

в зд е , = | ' 4 ' 6 = 12 <СМ’ ); „ 10 10 12 25 / V 3) Нехай АО = В, = - 4 - 48 = — (см ); _ 5-5-64 25 4) Нехай Д О , = Д г---- = — , тоді

25 /

АЕ = ----------- = — (см); 4 8 8 У 1 5) ААА^ - прямокутний; А-Р = -— ^ 4 5 ° = — (см); О

6) V = -■ — - ( 4 8 + 12 + 7 4 8 0 2 ) = —

8 ' 25 84 25-7 3 -8

175

3*8

( 60 + 2 4) =

= 8 7 ,5 (см3).

Відповідь: 8 7 ,5 см3

340. Висота піраміди проектується в центри вписаних кіл. в, - площа меншої основи, в 2 - площа нижньої основи. За формулою Герона знайдемо площу основ. 13 + 14 + 15 42 1) А = = 1 1 = 21; Д = 7 2 1 - 8 - 7 - 6

= 7 7 - 3 - 8 - 7 - 3 - 2 = 7- 3- 4 = 84 (см2); 2Й 2 -84 . , ч г. = — = ------- = 4 см); 1 Р 42 v ; 26 + 28 + 30 84 2) р, = ----------------- = — = 42;

^ = ^42 ( 4 2 - 2 6 ) ( 4 2 - 2 8 ) ( 4 2 -ЗО) =7 4 2 - 1 6 - 1 4 - 1 2 = = 4 7 7 - 6 - 7 - 2 - 1 2 = 4 7 - 1 2 = 336 (см2), тоді 2-336

г, = — —— = 8 (см ); 84 3) ОМ = 8 - 4 = 4 (см);

ОО, = 4 ^ е 6 0 ° = 473;

4) V = і •4 7 3 (3 3 6 + 84 см2 + 7 3 3 6 - 8 4 ) = =

.5 8 8 = - - - - - = 4 7 3 •196 = 7 8 4 7 5 (см 3). 3 ' '

Відповідь: 78473

см3

3 4 1 . За формулою Герона знайдемо площі основ.

1) р = 7 + 1 2 ± 13. = І 2 = 16

/ 1б . 9 . 4 . 3 =

1 2 2 = 3 ■4 ■2-Уз = 24-Уз (см2); 2) р = 14 + 2 4 + .26 _ 64 _ 32 732 - 1 8 - 8 - 6 = 2 2 2 = л/іб - 2 - 9 - 2- 8 - 2 - 3 = 4 •3 •2■ 4>/з = 96ч/з (см2); 3) Я = 4 (см ); 4) Г = і ■4 (24х/з + 9бТз + Т э б Т Г ^ Ж ) = = |(і20л/з + 24 •2>/з) = |(і68ч/з) = 4 ■56>/з = = 2• 24-Уз (см3). Відповідь: 224-Уз см3 3 4 2 . Я, = ^ ^ = 9>/з (см2); Я = >/б;

= ЗбТз (см2);

К = і ■>/б |э>/3 + 3 6 7 3 + >/9%/з •З б Т з) = +

(„«>)•

Відповідь: 63^2 см3 3 4 3 . Нехай а - ребро куба, тоді у - а 3шЯкщо ребро

а а и

а3

куба зменшили в 4 рази, то V. = — •— •— = — . 4 4 4 64 Об’єм куба зменшили в 64 рази. кі о 3 4 4 . V, = 23 = 8; У2 = 8 3 = 512; п = = 64 (кубиків). О

3 4 5 . Нехай а - ребро першого куба, ау/2 ~ ребро другого куба, тоді V, = а 3;

У2

2а3Т2 2>/2 — - —^3— - — ■

Уг = (а>/2) = 2а3\І2;

Відповідь: 2 уі2 :1

Дано: Узлвс = V;

БО, . 0 , 0 = 2 : 3 ; Знайти: V зріза піраміди. Нехай Кивс = д ‘ 5 0 ' 5 «н г = —Я •в . Піраміда О

БАВС, тоді

ЙДДС,

А.в.С, 2) ^ , = - 00,

= -о о . З

45. 25

' 4Б 2Б) ( _ 45 5-451 5 + — + . ------- = - ОО. Б + — + — З 1 25 5 25 V 25

25 5 + 4 3 + 105

. 1 . 1 * . » * З 5 25 117 Відповідь:

= ІО О , — 5 = З 1 25

І Я 5 .1 Н = І ^ 1 І . 3 125 125

3 4 7 . Відношення об’ємів 1 :7 :1 9 . 3 4 8 . Гц = я Я 2Я ; 349. ■ /• • и# • І .

Кц = тг-1 6 - 6 = 96л: (см3). Дано: ОО, = 4 см; ZCAD = 30°; Знайти: V. 47) . — 1 ) — = ^ 3 0 ° ; АО = 4 - Т З (см ); 2) А 0 = 0 0 = 2>/з (см );

3) К = я (2л / з)2 -4 = 4 8 ^

( с м 3 ).

Відповідь: 48л см3 350.

Дано: АВСИ - квадрат; АС = а; Знайти: V. 1) СО = А£) = ~^=, отже СО = Я =

АО = ОБ =

2^2 ’

{ а \2 1 а 2) V = п \ 2 4 2 ) 42 . 42а3п

842

(см 3).

Відповідь: ——— * Г1 351. Дано: АВСИ - осьовий переріз; СЮ1 = АВ = Я ; 5 ^ = Я-, В Знайти: V. 1) АО = — ; Я

л(?_ З2 •Я = 4Я2 4Я Д 3 5 2 . 1) Д = 4г; г = — ; 4 2) V = л

АО = ОІ> = — ; 2Я £0^ Відповідь: 4Я

2 2) Я = і л , тоді V; = тгД2 Н = ^ - ; 4

3) К = тг * ! ■ * = 4) V, : V, =

7 г Д 2Л

Відповідь: 4 ; і 3 5 3 . 1) V = ЛВ.-Н-,

л Д2Л 16

’

7гД 2Л

лЯН

У1 : Уг = 4 : 1 .

1 4

16 7

2^ я 2; 5 ;

лЛ 2

V ~ Б'

2) ^пер = 2Д Я ; 3 )5 = 2 ^ Я ;

Бл

5 =^

- Я- ;

вл

4К Я = 5 2я;

Я =— . 4К

„ 2^ „ т^2 Відповідь: Д = — ; Н = —— яй 4К 354. ^ Дано: АВСИ - квадрат; А В = т ; Знайти: 7 . /71

1) Я = А 6 = т ; 2) 2яД = т ; Д = — ; , ... ч, . 2я т лт т 3) V = л ■ -— | •т = т Відповідь: ----

4л

2л

4л1

4л

О-ЛІ О

Дано: ВИ = 12 см; /ЛО И = 120°; ОМ 1 АО; ОМ = 9 см; Знайти: V . 1) ДАОИ - рівнобедрений;

ОМ 1 АІ); ОМ - бісектриса і медіана; д АОМ ~ прямокутний; — = tg 6 0 o; ОМ

АМ = ЗТЗ (см ); К '

—

АО

= соз60

АО = у = 6 (см ); 2) АО = бТЗ; 3) ДАВ/) - прямокутний; А В = 7144 - 1 0 8 = >/36 = 6 (см); 4) К = * - 3 6 - 6 = 2 1 6 * (см3). Відповідь: 2 1 6 * см3 Дано: АВМ7У і АВСІ) - перерізи 3 5 6 . М —і циліндрів; /Л А В = 120°; —48 см і

А В —8 см,

Знайти: V . 48 1) АИ = А О = - ^ = 6 (см ); 2) ДОАЛ/ - рівнобедрений;

^ р = ^ = і 89 :- ^ > .о = 30°; 2

т ——— = 2Д; За Т. синусів зіп 30° Д = 6 (см );

^ = 2Д; 12 = 2Д; 1_ 2 Гц = * Д 2Я = * - 3 6 8 = 2 8 8 * ( см3).

Відповідь: 2 8 8 * см3

Дано: /LAO = /?; М - середина АВ; ОхМ = а; /О М О х = а ; Знайти: V. 1) ДООхМ - прямокутний;

ОО. . . Л1, -----і- = sin а ; ОО. = а ■sm а ; ОМ = a cos а; 0 LM 1 2) ДАОВ - рівнобедрений; ОМ 1 АВ; ОМ і бісектриса /LAOM = ZBO M = ОМ б 3 ) = cos — ;

_ . ОМ a cos а ОА = ------- w = -------— ; А 2 cos — cos — 2

4) V = я

а cos а

а sin а =

cos — 2 rca sin а cos а

C 0

DH Л

С iI

» : \i _ ___ ’ 9 - і !

2) ДАОВ

к а 3 sin а cos2 а р cos 7 —

р cos 7 —

Відповідь: 358.

Дано: ABCD - переріз циліндра; ZAOB = a ; B£> = d; ZABD = /?; Знайти: V. 1) ДАОВ - прямокутний;

АВ ~ ^ = совр; AB = d co sp ; AD = d sin Р; рівнобедрений; AO = OB = Д;

ОМ 1 АВ;

ZAOM = ZBOM = —;

AM = ВМ = d c 0 3 ^ ; 2 AM . а dcosP —— = sin —; ОА = —; 3) AAOM - прямокутний; ОА 2 2sin — 2

\2і

ґ 4) V = л ■d sin р

d cos Р

_ nd sin р •d 2 cos2 /? _

• — а 2о s m

4 sin — 2

Т _ леї3 ЗІП Р СОЗ2 Р

леї3 8ІП Р СОЗ2 р а Відповідь: 4 зіп' 2 Дано: АВСО - осьовий переріз; = Р; /.С М Б = а ; Знайти: V. Нехай АС = сі, тоді

а 4 зіп' 2

35 9 .

АМ = МС = МО = - .

л 2 1) СО

сі2 4

2 гі2 - 2 •— •соз а (за Т. косинусів); 4 4

сі2

<і2 ,

сі2

га

СО = ---------- соз а = — (1 - соз а ) = ----- 2 зіп — = = сі2 віп2 —;

СІ) = сі •зіп —;

2) ДАСО - прямокутний; АО2 = <і2 -<і2 зіп2 ^ = = <*2 1 - з і п — = гі2 соз2 —; А/) = соз—; 2 2 2 ^ а а л 3) Р = 2(А О + С£>) = 2 а соз— + а зіп — 2

а 2

. а 2

Р = 2сІ соз — + віп — • — а Ро ■зіп

2 а , . а ) соз — + зіп —

4) Сі) =

АО = -

а Ро со з— 2

2 со з— l + tg 2 Я =•

l + tg

а . а , соз — + зіп — ;

Р віп

2 і

„ а 2 сов — . ♦ „ І 2 ■;

АО = ОІ>»Д;

х-ів^ 4 1 + ІЄ

Відповідь:

л р 3 і &2

, о '* 32 1 + « * ?

/.О^МО = <р;

Д а н о : К тол= К ;

360.

Знайти: 5 пер. 1) 5 пер = 2 Я •Я; 2) тгЯ2Я = У;

ОМ = 0 0 1 •с ів <?;

Я = Я •с ів ер; 3) тгЯ2 Яів<р = ^ ;

Я3 =

яів<р

Я =

СІ&«3£>

= Яів<р;

Я = Зі

4) Я = \[

5) 8 -

=21

V п V ----------ів<р = 2з/—5— т— 7 Г ів < р

у я

<Р

Ьц<р =

- * ] у2 *Є3(Р - 2ï|v2 ■tg(p _ п*Іу 2 ЇЄ<Р ~ 1 К2ІЄ2<Р ■ ^ ~ У ‘ Відповідь: 2 Кк = -з 5 «о «. Я = -з я Я 2Я ;

V = із л ■16• 6 = 32ж \ (см3). ;

362.

Дано: АБАВ ~ правильний; 5,^8 = 4%/3 см2; Знайти: V. 1) У = - л И 2Н; З

Б = ^ ; 4

а 2 =16;

4%/з =

а = 4;

2) ДА£0 - прямокутний;

вО = 4 — = 2л/3;

— = в т 6 0 °; ЗА

АО = ОВ = 2( с м) ;

3) К = - л - 4 - 2 л / з = ^ ^ (см3). З з 8л/3л см З 363. Дано: АБАВ ~ рівнобедрений; 5 0 = Я ; ZA SB = а; Знайти: V. 1) ZASO = ZBSO = - ; 2

АО БО

а 2

-----= ^ —;

.„

„ . а

АО = Н ^ —; в2

Я 3 1Є2 ^

2) У = - Н Н 2 іЄ2- = З

364.

Відповідь: в

Я 3 і б2 £ Дано: АВ = Я ;

/.БМО = 60°;

ОМ = 12 см; Знайти: V. 1) ААОВ - рівносторонній;

АО = ОВ = АВ; = віп 60°;

ОА =

12-2

= 8ч/з (с м );

2) ASOM - прямокутний;

SO = tg 60°; ОМ

SO = 12уіЗ;

3) V = —я •12л/з •64 •3 = я •4>/з •192 = 768л/3я (см3). З Відповідь: 768л/3я см3 ® Дано: SA = I; MO 1 SA;

ZSOM = а; Знайти: V. 1) &OSM - прямокутний; J > AASO; ZMSO = 9 0 ° - а ; А оQ AO = / sin (90° - а ) = I cos а ; = cos (90° -or); І - - + — ,\

SO = I sin a ; 2) V = —я •I2 cos2 or •/sin or = —I3 •я cos2 or sin or. 3 3

366.

Відповідь: .9 3

cos2 or sin or Дано: AB = a;

ZAOB = a ; AM = MB; ZSMO = p ; Знайти: V. 1) ДAOB - рівнобедрений; AO = OB = R; OM 1 AB;

ZAOM = ZBOM = —; 2

= sin —; 2

AM = M B = —; 2

OM = —■ctg —;

OA = — - — ; 2 sin —

2) AOSM - прямокутний;

SO = OM t g p = ^ - t g p ctg I

» Г ’ Ї Я-777Ї-1'Ч>-’* Т4 sin — 2

^ 3tgpctg~ 24 sin — 2

а па tg/?ctg — Відповідь:

24 sin2 -

1) ВС = а, тоді АС = a ctg 30° =

= а\І3;

V. = —п ■а - а 2 -3 = п а 3; З 2) АС = a ctg 30° = а43; 1 Го 2 л а 3уІЗ К = —ла\І3 •а = --------- ;

тг

3) Vx : Г2 = я а 3 :

па Ч/З О

_ я а 3 ■3 _ /г . “ л а з /д “ 4 6 : 1* Відповідь: 7 з : і 36 8 .

Дано: AS = S B = 4

cm;

A S = R, = 4 c m ; Знайти: V. 1) За T. косинусів;

BS sin ZA 4 = 8 sin ZA;

B S = 8 sin ZA;

= 2 -4;

1 sin ZA = —;

ZA = 30°;

2) AASO - прямокутний; —— = sin 30°; Ao

SO = 4 •— = 2; 2

— = cos30°; AS

AO = 4 •— = 2>/3;

3) V = — n - 4 - 3 - 2 = 8n ( c m 3 ) . Відповідь: o 369. Дано: SO, : 0 0 , = 3 : 2 ; Знайти: відношення;

cm3

1) V = —n R 2 ■H; 3 2) ASM ,0, v) ASMO (за першою ознакою);

SO, r SO ~ R'

r =

SO, 1L R SO

I f

r- f *

1 , 1 9 , 3 K-9R2 3) V. = - к г 2 SO. ——к ----- R 2 - H = ---------- Я; 1 3 1 3 25 5 125 4) V = - k R 2 H; 3 nT, 1 . 9n tfH \25к^Н -21кіЄ Н 98 k R2H 5) V. = -n R rH ----------- = ---------------------------= ------------- : 2 3 125 3 125 3 125 9 k R 2H ■3 •125 27 6) K : K = 1 2 125 •98 k R H 98 Відповідь: 27 : 98 37 0 . S Дано: SA, SB , SC - твірні конуса; ZASB = ZASC = ZBSC = a ; AB = o; Знайти: V. 1) ДASB = AASC = ABSC, отже

AB = BC = AC = a;

3) AASB - рівнобедрений. За T. косинусів a 2 = 2SA2 - 2SA2 ■cos a ;

a 2 = 2SA 2 ( l - cos a ) =

a a = 2 ■AS ■sin —;

= 4 SA ■sin — ;

AS =

3) ABSO - прямокутний;

a 2 •3 - a 2 •4 sin2 — 2 12 sin2

SO2 =

2sin — a2

. . 2a

4sm —

a “ 3 —4 sin2 — 2 1 2 sin 2 —

3 - 4 sin —

2 SO _= a v 2~Js sin — 2

a 9 - 1 2 sin2 6 sin — 2

£ l3

Відповідь:

. а 54 sin — 2

Дано: 8 asb ~ Z SM O = [і; Знайти: V.

ZASB —се;

= —S B ■SA •sin a ; 2 2S I 2S ' SA SA2 = sin a Vsin a ’ 2) S ^ = S ^ - cos p = S • cos p ; 1 Маємо ^ OB2 sin a = S cos P; OB2 = 2 S COS ^ 2 sin a l2S ■COS P OB V sin a 3) OM = OB c o s - ; SO = OM ■t g P; 2 l2S c o s p a l2 S c o s P a OM = .1-------- — cos—; SO = .1-------- — cos—• V sin a 2_____ V sin a 2 .. rr 1 2Scos/J I2S cos P a . „ 4 ) V = - * • — :---- - J — :---- - c o s - t g / J = 3 sin a V sin a 2 3

1 / 2S cos p = —к sin a 3 Відповідь: —n o

co s^ tg p .

' 2S cos p V •cos —tg p 2 sin a

372. к Л я ^ + ^ + Д ^ ) ; V = 1;г •з(б4 +36 +-Уб4 -Зб) = 7г(100 +8- 6) = 148л (см3).

Дано: АО = 12 см; АВ = 13 см; Знайти: V.

373.

ВО, = 2 см;

к Л * я ( д , 1 + д І, + я 1 ігг). 1) АВ, = 1 2 - 2 = 10 (см); 2) ВВ, = >/169-100 = Тб9; 3) К = |л-•Тб9 •(144 + 4 +24) =|я>/б9 •172 = 1 ^ ^ . 1) АМ = В - г; 2) В М = ( Д - г ) ^ а ;

374. ГЙІЇ - ц

3) К = ія ( і г - г ) Ч & а ( Д 2 + г2 + Дг) = З = і л ( в 3 - г 3) і в а . О Відповідь: —(В 3 - г3) •івог 375.

Дано: ^

=2; АВ =8см; /ВАО = &Г;

Знайти: V. 1) Нехай ВО, = г, тоді АО = 2г; ВС 1 АО; АС = 2 г - г = г;

вс

2) ААВС - прямокутний; —— = зіп60°; лГ ВС = 8— =4>/з (см); АС = АВ соз60° =8 —=4 (см); 2

г = 4 (см), тоді В = 8 (см);

3) V = - л - 4>/3-(16+ 6 4 + 32) = 1^ 71 :- 11 2 = 448-ТЗя / 3\ . 448л/3/г 3 =---------- (см ). Відповідь: ------------см

Уп по„.в = К. 1) В К 1 ОЛ;

АА50 с« АВБО х;

^ • = —; 1 - ^ - = —; В = 2г; ЯО В 2 •Я В 2) К = —тг •4 г2 •Я ; V. = іт г г 2 — = - л г 2Н; 3 1 3 2 6 3) Г = —л г 2Н ~ —л г 2Н = ^ - ^ я т 2Я; З 6 6 7 Г„= лгг2Я ; Г = І Д ; ^ = 1 * 4 ^ # = А ’б _7 7 ; Ч = 0 "• Відповідь: —V

377.

Дано: ВАГ, = 5,1 см; ІЖ = 11,9 см; АВ = 10 см; Л-/ї,г+-}3*.\ Знайти: V /') О} зр' І,окус* ч'* ' ^ ° — 1) ААКБ V) ЬВКС (за першою ВС В К ВС 5,1 _ З ознакою); ^ = Ж ; ^ = ВС = —АО; 2г = —•2В; г = - В ; 7 7 7 2) В М ІЛ О ; А М = В - - В = - В ; 7 7 3) ВМ г = 1 0 0 - — В2; 49

4) МІ> = В +- В = — ; 7 7

ВИ = 5,1 +11,9 = 17;

4 9 0 0 -1 6 В 2 5) ДМ В Б - прямокутний; В£) = ------- —-------+ 49 100В2 4900 - 16В2 + 100В2 17 = 49 49 4900 + 84В2 289 = 289 = 1 0 0 - — В 2+ — В 2; 49 49 49 84 12В2 „ 2 2 8 9 -1 0 0 =— В2; 189 = 63 -7 = 4В , 49 7

6) B M 2 = 1 0 0 - — 10,52 = 1 0 0 - 16 1----2 - = 49 49 = 100 - 16 2,25 = 100 - 36 = 64; BM = 8 ( c m ) ; 7) K = i- 8 * ( l0 ,5 2 + 4,52 + 10,5-4,5) = 3

= -* (1 1 0 ,2 5 + 20,25+ 47,25) = - * 3 3 = 8 k -59,25 = 474* ( c m 3 ) . Відповідь: 474*

cm3

= — k R 3 = 4- ~ 3 6 - 6 - = 72-4* 3 3 379. Rl : Ri = 3 : 4; Знайти: Vx : V2. Vx : V2 = 27 : 64.

R,3 = - R 3; 380. К = -3* Д 3; -3 k R4? = —; 5 4 5 1 • V25 ^25 Відповідь: ~ 7 ^ ~ ~ ~1~

Д ,= Д . n 3/5

378.

= 6;

177,75 =

288*

(cm3).

381. V = —* •73 - —* ■53 = - * ( 7 3 - 53) = - * -21 8 = — *. 3 3 3 v ; 3 3 Я ц = 6 c m ; Я = 4 c m ; 382. Знайти: Дкул1, якщо Va = VK. 1) Va = * -3 6 -4 = 144*;

VK= ! * i ? 3; 3

144* = —*R 3; 144-3 = 4Д3; 3 R3 = 9 - 3 - 4 ; R = 3 ^ 4 ( c m ) . Відповідь:

3 ^ 4 cm

36-3 = Д3;

Дано: 0 0 , =3 см;

383.

= —в л см3; З

Знайти: С = 2кг\ -; 4Д3 = 500; з з Я3 = 125; г = 5 (см); 2) ДАОО, - прямокутний; ЛО, = 7 2 5 - 9 = Т іб = 4 (см); 3) С = 2л •4 = 8тг (см). Відповідь: 8л см 384.

Дано: ^ОАВ = а ; Знайти: V. 0 * 'ї" Р і)0,

385.

сова

Відповідь:

К4 б 4ЇЇ л Зя сов3 а

4575* Зтг соз3 а

С Дано: АВСБ - ромб; АС = а; ВИ = Ь; ОО, = т ; Знайти: V .

1 ) 5 = — ; в =А0Л; ' 2 ' а& = 2 А Х ) • А;

2) 4 А 0 2 = а 2 + Ь2;

ІЗ г = Л—; \я

4 (^ ) З 7л •сов3 а

3) К = - я З

5 Ґ = —; я

1) я г 2 = в ;

АП 2) — і- = сов а ; ОА -= соб а 0А / п гч

5пер = в;

А£>2 =

, и2 а +о

7а2 + Ь2 3) Тоді а Ь = 2 -------------Л;

аЬ

Л=

— = ^ 1^ ; 2 1

О.М = - Н = О .М = —^ = ; 2 2ч/Т Т ^

4) ДОО[М - прямокутний, ОМ" = ОМ

4 т 2 (а 2 + Ь2) + а 2Ь2 4 (а 2 +62) ^4 т 2 (а 2 + Ь“) + а 2Ь2 2 (7 ^ 7 ^ )

5) V = - п З

’

а 2Ь2 + 4 т г ( а 2 +Ь2) 4 (^fe27 b 2)2

4 " а V + 4/п2 («2 ^ 2)1 = —п З 4 (а2 + Ь2) / \

а 2&2 + 4от2 (а 2 + Ь2) Відповідь: дЯ

Дано: Як =4 Знайти: V

їО

386.

4 (°2+ >2

4 —з і К-„ = ТГЛ2 Д - - = п -9 •Г« 3 V / V 3/ ) = 27я см3). Відповідь: 27я см3 387. Дано: О,А = 8 см; Як = 10 см; Знайти: в СЄГМ 1) ОО, = >/100-64 = Тзб = 6 (см); 2) Л = 10 - 6 = 4;

= я •16 10-1 З

1Й 26 416 * з\ = 16л----- = ------ я СМ ). З 3 1 ' 416 з Відповідь: —— я см О

388. RK = 4 см; Знайти: Vсс = 6; 2л R 2h 2 л -1 6 -б2 = 64 л (см3). З З Відповідь: 64л см3 389. ^ 0і Дано: R „ Ki = 12 см; ZAOB = 90°; Знайти: Vсект g 1) ДАОВ - прямокутний і рівнобедрений; АВ = 12^2 см; 0 0 , = 6>/2 см; 2) Л = 12 - 6-У2 = 6 (2 - V2 ) см; 3) V =

2л 144 -6 (2 ->/2)

= 576л (2 -V 2 ) см3

Відповідь: 576л ( 2 - V 2 ) см3 390. S6 = 2л RH ; 391.

S6 = 2л •4 •3 = 24л (см2).

Відповідь: 24л см2 _С Дано: АС = 8 см; ZCAD = 60°; Знайти: S6. S6 = 2л RH. 1) ДСАО - прямокутний; CD = 8 •sin 60° = 4\/з (см ); AD = 8 cos 60° = 4 (см ); 2) AO = OD = 4 : 2 = 2 (см); 3) S6 = 2л 2 4л/з = 16л >/3 ( см2).

Відповідь: ІблТз см2 392. Відповідь: 1:11

8 ЛИСО =

Знайти: 56. 1) 2Д •Я = в ; 2) £і6 = 2 к ДЯ = Яя; Відповідь: 5 . п 394. Дано: Я = ЗЯ ,;

56 = 5 •я.

Я, =— ; О

2яД Я = 516;

2лтЯ, = &,6;

2яг •— = - л г Н ; З З

_ 2лгН _ г в, 3 ■2л Д Я ЗД Відповідь: Д : г = 3 :1 Дано: Я = 4Д; 5в = 288л см2; 395. £ Ои Знайти: Д І Я . 1) 2л:ДЯ = 288л-; Д Я = 144; Д 4Д = 144; Д2 = 36; Д = 6 (см); Я = 4-6 =24 (см). Відповідь: 6 см; 24 см 396. Дано: АВСИ - квадрат; АО = АВ = 4>/2 см; ^АОЯ = 60°; Знайти: в„. Я,, = Я* + 25осв = 2яД Я + 2яД32 = і = 2яД(Д + і). 1) ДАОО - рівнобедрений, а так я к ZAOD = 60°, т ДАОВ ~ правильний; АО = ОБ = 4%/2 (см); Я = 4л/2 (см); 2)

=2яД(Д + Я ) = 2я -4ч/2(4>/2 +4ч/2) = = 8яТ2 -8Т2 = 128я (см2).

Відповідь: 128/г см2

397. Дано: 5б = 12я см2; V = 18л см3; Знайти: Я . Я, = 2тгЯЯ; V = яД 2Я ; 2яД Я = 12я ;

я Я 2Я = 18лг;

12я = 2я •3• Я ; Я = 2 (см). Дано: АС = 15 см; = 23в; Знайти: 5Л. 1) АО = 2Д; СИ = Я ; 4Д2 + Я 2 = 225; 2) 2 я Д (Я + Д) = 2 -2яЯ Я ; 3) Тоді 4 Я 2 + Я 2 = 225; 5 Я 2 = 225; Я = 3^5 (см ); Д = 3>/5(см);

Я 2 = 45;

4) Я, = 2к •Зл/5 •(Зл/5 +3>/б) = 6л/5 •6л/бя = = 36 ■5я = 180я (см2). Відповідь: 180я см2 399. С В Дано: АС = 8 см; З н ай ти :5 П. О

/АСИ = 30°;

4 4 = 2яй Я = 4-4л/з = 16>/3; в « = 7[ Я - і- = — О / 1\ 4) Ф = 16-Уз + — = 8 2-Уз + — (см2). ТГ ГГ ' '

Відпов

S abcd = І б Т з CM2 ; ZBDA = 60°; Знайти: S П. 1) AAOD - рівнобедрений;

AD2 = 3R 2; AD = Ry/З; 2) SADВ - прямокутний; AB - AD ■tg60° =

= R yfe y[3 = 3R; H = ЗR; 3) H ■AD = 16-ТЗ; ЗЯ •Дл/з = 16>/3; я ' =т :

ЗЯ2 = 16;

я * ^ (см );

е 4 Г4 12 ^ 8* 16 _ 128л: , 5 )S - ' 2,t Ц & І і ' Т і ' 128/г 2 Відповідь: —~— см Дано: ZAOB = Р; AM = MB; ZOyMO - a ; 0 ,M = m; Знайти: S s. S6 = 2k HR. 1) Д001М - прямокутний; OO, = яг sin a ; OM = m cos a ;

2) AAOB - рівнобедрений; ZAOM = ZBOM = ом уз ----- = cos —; OA 2

AO =

m cos a

P ’ cos — 2

3) S6 = 2k m sin a

m cos a

к пій sin 2a

cos P

P cos —

к т 2 sin 2a P~ Відповідь: cos — 2

to |ta

401.

2ч

402.

Дано: Я = ІбТз см; ZB.BO = 60°; Знайти: Ss . 1) Я = 17 см; S6 = 27tR H = = 2 ;r l7 16>/3 = 544тгл/з (см2).

403.

Відповідь: 544/гч/з см2 Дано: Va = V; ZOAO, = а ; Знайти: S n. 1) 7гЯ2Я = V; ДАОО, - прямокутний; ОА = Я; ОО, = Я tg а ; V І V л - R 2 R t g a = V; Я3 =—— ; Я = з/—-— ; tg a у я tga 2) ОО, =

\ 7 rtg a

tg a ;

тг J У , , l v t g 2а \ \ 7Гtg а J л /

І-------- у = 2ж у ——— ! (1 + t g a ) = 2(1 + t g а)фсУ2 ctg2a . Відповідь: 2(1 + t g а ) ^ л У 2 •ctg2 a 404. Вказівка на ст. 108, рис. 36. Відповідь: 2/гТз см2 405. Я = 4 см; / = 5 см; Знайти: Sa. St = л Ri, S6 = л ■4 ■5 = 20тг (см2). Відповідь: 20я см2 406. S Дано: Я = 5 см; Я = 12 см; Знайти: S6. 1) AS = >/l44 + 25 = >Яб9 = 13 (см); 2) S6 = * - 5 13 = 65тг (см2).

Відповідь: 65л см2 Дано: ААБВ ~ рівнобедрений; БО 1 А В ; БО = 10 см; ААБВ = 90°; Знайти: 5 П. Б „ = л н ( я +г ) . 1)ZA = ZB = 450; БО = 10 см; А 0 = 5 0 = Ю см; 2) АБ = л/ЮО + ЮО = 10^2; 3) Я, = я - 1 0 (і0 + 10>/2) = 1 0 0 я (і + >/2) (см2). Відповідь: ЮОтг ( і + \/2) см2 Дано: БО = Я ; ААБВ = 2а; Знайти: 5 п. 1) ААБВ - рівнобедрений; V ZASO = ZBSO = а ; АО = БО ■t g a = Н ^ а ; БО АО Я ---- = сов а ; АБ = ------- ; сова * н 2) в,, = тг ■ а Н ^ а + ------сова ( Я з іп а Я 4 лН t g а - +----(і + він а ) . =яЯ а сова сова сова лН 2^ а ( і + віп а) Відповідь: соз а 5 409. Дано: Бкя = 36я см2; 5„ = 96я см2; Знайти: V. 1 )Б п =Бк я +Б6; 96л = 36л + Б6; Бб = 60я; лЕІ = 60л; ЯІ = 60; 2) л Я 2 = 36я; В 2 = 36; Д = б (с м ); £= 10 (см); 3) АБАО - прямокутний; 408.

БО = VI00 - 36 = у/64 = 8 (см);

4) V = і я •36 8 = 12л •8 = 96/г (см3). З Відповідь: 96л- см3 5 Дано: Бп = 200л см2; АБ = 17 см; Знайти: V. 1) 200л: = л:Я(/ + Я); 200 = Я(17 +Я); Я2 + 1 7 Я - 200 = 0; Я = 289 + -17 +33 16 = — = 8 (см); Я, Ф -25; +800 = 1089; Д = 2

2) ДЗАО - прямокутний;

БО = \І172 - 82 = \І25 •9 = 5-3 = 15 (см);

3) V = —л -64 • 15 = 5-64 -7Г = 320тг (см3). Відповідь: 320лг см3 Дано: £І6 = 32л см2; БО = 4\ІЗ см; Знайти: ZSAO. 1) лЯІ = 32л; Я І = 32; 2) ДАОБ - прямокутний; АО = с ій а ; АО = 4\ІЗ ■сі% а , БО тогда АО = 4 уіЗ ■^ а ; АО = 4 7 з •сі£ а ; БО . 4%/з ---- = в т а ; 5А =------- ; 5А Бша 3) Я -1 = 32;

± Ц _ . 4^ ' сЬ^ а =32; віп а

З сов а = 2; 3 сова = 2• (і -сов2 а); 2 сов2 а + віп2 а +3 сов а - 2 = 0; сов а = х; 2х2 + Зх - 2 = 0; £) = 9 + 16 = 25;

х . = ^ - ^ =і ; 1 4 2

сова = —; а = 60°. 2

хг * - 2 ; 2

Відповідь: 60°

SdASB = Знайти: SA. 1) AS = SB; ZA = Z.B = 45°; AO = SO = OB = R;

2) AS = J R 2 + R 2 = Ryf2;

S =—

S = R 2;

= {R^ ) 2

і—

R = yJS;

3) AS = sf2S; 4) Sn =7tR(l + R ) = Ky/S •(V2S +

= ;r>/s ■V s (V2 + l) = 7TS .(7 2 + l) . Відповідь: n S ■[y[2 +1) 413.

Дано: S M : MO = 3 :2 ; Знайти: S, : S2. 1) BO = R; ™ = -5 ; SA З

2) S 16= ttRI; 16

AM = r = —R; S B = —SA-, 3

S2 = K r S A = A - R - l = ^ ^ ; 26 5 5 25

->4 c

Q tcR I 16 di 3) S, = n Rd ; l -------=— kRI; 3k 25 25 9k RI I&k RI 4) S2 : S 3 = = 9 :1 6 . 25 25 Відповідь: 9:16

414. Висота конуса ділиться у відношенні (>/3 + і| : 2. 415. S Дано: ZSAO = a ; SASB = S; Знайти: S П. 1) AO = R; SO = R t g a ; 2) S. = - - 2 R SO = R R t g a = і 2

t g a

з )А 8 « -5 -, сов а

Д =. р -

\ tg a r

41 ^ = , ^ “ ; сов а

5) 5„ = я Д (Д + /) = я -^5015« = А ^ ^ с ї^ а . - у/8

сова

к Б ■ ctga (1 +сова) = сова

я в •2 сов2 — „ 2 _ о і а а а ~К ° ^ 2 2 зш —•сов — 2 2

•2 сов2 —

_______2 ж

віп а

Відповідь: яЯ ■ctg

м| Я

Д2 =— ;

416.

Дано: ZASB = 120°; РАЗВ = 24 см; Знайти: 5 п. 1) А З = в В = 1; 2) 21 + 2И = 24; І + Я = 12; 3) — = 2тгД; - = 2Л; / = ЗЯ; З З 4)З Я + Я = 12; 4І? = 12; Д = 3 (с м );

і = 9 (с м );

5) 5„ = тгЯ (Я + /) = я • 3 ■(3 + 9) = 36/г (см2). Відповідь: Збтг см2

Дано: І = 2Я; Довести, що розгортна бічної поверхні є півкруг. 1) Я6 = пШ; = тс Я ■2Я = 2лЯ 2;

418.

2) 2л/ = 2тгЯ; — = 2л-Я; п І = п - Я; / = 2Я, отже Л/ п = 2, розгортка є півкруг. Дано: АВ = а; /ЛОВ = « ; ZASB = <р; Знайти: 5 п. \ . \ В 5„= ;гЯ(/ + Я ). 1) ДАОЙ - рівнобедрений; ОМ 1 АВ; АМ = М В = —; АМ . а ----- = віп —; АО 2

/ЛОМ = ZBOM = —; 2 а АО = ---------- : 2 він —

2) ААЯВ - рівнобедрений; АВ2 = І2 + 12 —2/2 сов «р; а 2 = 2£2 - 2£2 сов «р = 2/2 (1 —сов (р) = 412 віп2 —; 2

9, 2віп <Р 3) Бл = п 2віп па

2зіп

. <р . а віп —+ віп — 2 2

. (р . а па~ в т —+ зіп — 2 2

2 •2 віп —•віп —•віп — 2

2зіп — 2)

4віп —віп2 2

п а 2 -2 sin

(р + а

cos

<р-а 4

ср -а >+а 4 003 4 ■ 2— а ■sin • -~ ф 2оsin

п а sm-

. . 2а . < р 4 sin —sin-r

2 . ср+ а (р-а п а sin 1------ cosx-----________4_______ 4 • 2 а • Ч> 2О sin —•sin — 2 2 Дано: ZASB = a ; ZSM O = Р; 419. SO = Я ; Знайти: S n. 1) ДASB; AS = S B = і, 2) AOSM - прямокутний; SO = ctg Р; OM = H c t g P ; = sin/3; оС/ uiw SM = - ± - ; sin p 2) AASB - рівнобедрений; SAf ± AB;

ZASM = Z B S M = —; 2

— =c o s-; SA 2

a . n a cos — sm 3 • cos — 2 2 H2 - Я = 3) AO2 = SA2 - SO 2 = • 2 n 2 ® Sin P cos — H

1 - sin2 P cos2 ^ a sin P cos —

AO sin P cos — 2 H 4) S„ = n R ( l + R ) = n ■ ■ Pn cos — a Sin 2

Відповідь: S i n 2 / W « S 2 Дано: /ASB = a ; /SM O =ß; I• !і о Знайти: S< 1) S6 = я й ;

2 ß c o s 22

S ^ e = Q;

Q = I AB •SM ; 2

SA = і

2) Q = - - І I ■s in ос; 2 ■Q = l 2 sin a ; 2 i2 _ 2Q Г =■ : « Æ sin а V sm a J2 _ »2 3) A S2 = l 2 + 12 - 2 1 I- cos а = 2/2 (l - cos а ) =

= 2/2 -2зіп2 — = 4/2 sin2 —; 2 2

AB = 2/sin —; 2

AM = M ß = / s in -; 2 SM а а І 2Q J а 4 ) = cos —; S M = SA ■c o s — = .1-------- cos —; SA 2 ____ 2 Vsin а 2 5) ОМ = S M - cos /3 = c o s - cos ß ; ________ Vsin « 2 6) АО = /2 sin2 —+ Z2 cos2 ß ■cos2 — = r u _= JI 2Q x OA V sina Г- 2 ® 1 2 a 2 ОС I 2Q <./sin —+cos ß ■cos — = . ------ X

ОС+ cos22 /о3 cos22 —; OC sin22 —

р*

\sii

1 - sin2 P cos2 — 2

*2 Pn COS2 — (X 2Q 1л - sin — \sm a sin a n -2Q ! . 2 Ta = ------- J l - s i n 0 cos —. sin a V ______ 2______ n -2Q Г . 2 Ta Відповідь: —;-----J l - s i n p cos — sin a V 2 421. Дано: r = 8 c m ; i? = 9 c m ; 1 = 5 c m ; Знайти: S6. S6 = лі(г + R); Sf =n -5-(8+ 9) = 85 n (cm2). 422.

Відповідь: 85л cm2 Qi q Дано: AB = 6 c m ; ZBAO = 60°; AB = BC; Знайти: St . A 1) 6 = 2r; г = 3 (с м ); AM ААВМ ~ прямокутний; . — = cosou ; AB AB = 6 — = 3 (cm); 2 V ' 2) AO = 3 +3 = 6 (cm); 3) S6 = n ■6(3 + 6) = 54/r (cm2).

Відповідь: 54я cm2 Дано: OO, = 6 cm; 423. ZABM = 30°; BD 1 AB; /r;• »l\4 % \ Знайти: S6. __ > 1) BM = 0 ,0 = 6 cm; 2) ДАВМ - прямокутний; — = cos30°; AS

AS = ^ І = 4л/з (см); V3

AM = —AB = 2-Уз ( c m ) ; 2 3) AABD - прямокутний; B M 1 AD; BM 2 = AM • MD\

36 = 2>/3 MB;

AO = OD = 4 V3 c m ; 4) MO = BO! = 4л/з - 2>/з = 2л/з

(c m );

5) S6 = я •4^3 •(273 +4>/3) = л •4 • Відповідь: 72л

ofi M B = —r =

•бл/З = 72л

( c m 2) .

cm2

424

' * BM = m sin a ; AM = m cos a ; 2) Якщо AC 1 BD, t o M.F = 0 0 ,; 3) Se = л/ (R + r ) = л т ■m sin a = л т 2 sin a . Відповідь: лт.2 sin a 425. Я = 4 c m ; S„ = 4лЯ2 = 4л • 16 = 64л (см3). 426. S Kr = S ; SK = 4 л R 2 =4 S ( c m 3 ) . 427. Площа поверхні збільшилась в 9 разів. 428. 1) R - зменшився в 4 рази, а площа поверхні зменшилась в 16 разів. 429. 1) ££ =4л— =лat =5^. Нехай а , Ь - катети, с - гіпотенуза; 4 h2 2) SK ' = 4 л — = лЬ2 = S2; 4 2 3) 5^ = 4 л -— = л с 2 = л (а2+Ь2) = лс12+лЬ22 = S, +S2. Відповідь: + S2

Дано: ОО, = 5 см; Знайти:

£>пср = 144тг см2;

1) л г 2 = 144я; г 2 = 144; г = 12; О,А = 12 см; 2) А0 0 ,А - прямокутний; АО = 7І44+ 25 = >/169 = 13 (см); 3) 5К=4*/? =4 я •169 =676я (см2). В і д п о в і д ь : 676л см2 431. А

Дано: АС = 9 см;

ВС = 12 см;

1) V =—лгЯ2Н =—тг •144 ■9 =432тг (см5); З з В 2) Бб = я Ш; АВ - І = >/81 + 144 = = 7225 =15 (см); Я6 = п • 12 •15 = 180* (см2).

Відповідь: 432я см3 і 180л см2 432.

Дано: а = 13 см, 6 = 20 см і с = 21 см; Знайти: V і 5 6.

1) V = V, + У2 = - л О С 2 ■ВО + З + - л О С 2 ОА = - л О С 2 •(ВО + АО) = З з = —лОС2 ■21 = 7яОС2; З 2Б 2) ОС = Площу трикутника знайдемо за 13 + 20 +21 формулою Герона. Р = ------------ 2~ в = >/27 • 14 •7 •6 = >/9 •3 •7 • 2 •3 ■2 •7 = 3 •7 •3 ■2 = = 21 6 = 126 (см2);

ОС = ^ ^

= 2 -6 = 12 (см);

V = 7л 144 = 1008л (см3);

3) в = яД ВС + л Я ■АС = л И (В С + АС) = =12я-33=396л (см2). Відповідь: 1008л см3, 396л см2

Дано: ДАВС “ прямокутний; АС = b; ZA = а ; Знайти: S. S = S, + S2 = л ■ОС • АС + лОС ВС = = л - ОС(АС + В С ). ОС 1 ) ---- = sin а ; ОС = b sin а ; АС

в вс 2 ) = t g a ; BC = b t g a ;

AC S = л ■b s i n a ( b + b ■t g a ) = лЬ2 sin a ( l + tg a ) c m 2. Відповідь: лЬ2 sin a ( l + tg a ) c m 2 Дано: ABCD - рівнобічна; 434. А В AD I BC; AD = a; BC = b ; ZA = a ; Оі Знайти: V,. О 07 V6 = —л ■О, В 2 ■АО, + л ■О, В 2 •0 ,0 2 + З 3)

+- л С О 2 D02 = - л - ОхВ 2 (AO, + DO, + 3 0 ,0 2). З з 1) АБО,А - прямокутний; О,В = AO, t g a = а-Ь (а~ Ь ) = — -t g a ; AO, = D02 = - ; 2 т. 1 ( а - 6 ) -tg2 а f a - b a -b 1 V = —л ■------- 2---------- -----+ 3-6 +-----З 4 =1 д .( а.

t?- - (a +2fr) = -^ я(а-& )2 (a +2 6 )tg 2а. 12

1 2 Відповідь: ~rzK {a ~b) -(a + 2ft)-tg2a XCt 435. Вказівка на ст. 109, рис. 37. АВ 1) ААСВ - прямокутний; sin Р sin 90° АВ =------ ; sin Р

АВ

= cos Р;

СВ = АВ cos р = —-СЯ3^ ; sin Р

2) — = sin(90°-/3); BC V ' _ b cos2 /3 sin p

CD = B C cos p = —°S ^ ■cos p И sin p

= 4 ^ ( 1 +cos2 P ) ; віп Р вІП Р Sin P v ' b cos p b cos2 p _ Kb'2 cos3 P 4) S2. = л sin P sin P sin2 P _ Kb2 ,л 2 n\ Kb2 cos3 /J 5) = — z 1 + cos2 p ) + — ~ n r - = Sin P ' ' Sin P Kb' sin P + COS2 P sin P + COS3 P ^ віп Р віп Р кЬ Відповідь: - - у . (sin )8 + cos2 P sin P + cos3 /?) sin p ' Дано: ABCD - паралелограм; DC = AB = a; ABCD = Q; Знайти: Vт.об* 1) Утов = к і ї■y22 ■Н, так я к об’єм тіла обертання дорівнює об’єму циліндра, який В отримали обертанням АВЯГР; 3 ) S ,e —к - b

2) в = а /г;

Л = —;

V = кН2 ■а =

кЯ2 кЯ2 = — •о. = ----- .

Відповідь: 437.

KQ2

Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; АВ = 12 см; /ЛСВ = 120°; Знайти: 5^. 1) АК 1 ВС; ZСАВ = ZCBA = = (180° -1 2 0 ° ): 2 = 30°;

2) ААВК - прямокутний; АК = —АВ = 1-12 = 6; & С» 3) ААСК - прямокутний; ZKAC = 60° -3 0 ° = 30°; АК = cos30°; А К = ^ - = 4л/з (см); AC yft 4) ST0<s = S, - S 2 = к • 6 •12 - п •6 •4^3 = к ■24(3 - л/з) = = 24тг(з —л/з) (см2). Відповідь: 24я(3 —-Тз) см2 438. Рис. 14.

Дано: АС = a;

ZBAC = а ;

1) BF = ^ t g a ; <и

2) V7.o6. = 2Vt -2V 2;

Vj - об’єм зрізаного конуса;

r = —t g a ; R = —t g a + b, тоді u & 2 К .«. = ~ t g a ( a t g a + 6b);

439. 1) V = S Va =7t

Відповідь:

■H = k R 2H; a 2 Лa 2H ■H = 4 kcc H

R =

a-\f2

( c m 3 ).

призма; AC = BC; ZA = a ; BC , = d ; ZCBCX= p ; Знайти: V описаного циліндра. 1) AВСуС - прямокутний; СС, = d ■sin р ; BC = d ■cos P; BC 2) За T. синусів знайдемо R. —— — = 2R; sin ZA d ■cos P _ д _ d cos p ' sin a ’ 2 sin a ’ 3) V = k R 2H;

Va = n ~ - ~ - ^ d s i n P = 4 sin a

441. At

n d 3 cos2 В sin P n d 3 cos2 P sin б • Відповідь: 4 sin2 a 4 sin a Дано: S6 вписаного циліндра; 1) ОМ = r циліндра; AO = OB = AB = 8 c m ; OM = 8 •sin 60° = 4\/3

(cm)

;

2) S6 = 2n rH = 2тг ■473 •4 = = Z2 k 4 z ( c m 2 ) .

442. At

Дано: ABCAXBXCX - правильна; AAX= а; /АгВА = a ; Знайти: Б,6.ЦЯЛ* 1) Радіус вписаного циліндра це радіус кола вписаного в АВ = я аиЛі»Яр.; ' ^ = СІЄа; АВ = а с ^ ^ ,

основу М оч - _ Дз _

273

273 3 ) 5 6 = 2л Д Я = 2 я . ^ ^ . а = ^ і ^ 2 >/з 7з

УЗтга2 ctg « (см2). З 7з Відповідь: -^ T T ^ c tg a см2 З S Дано: БАВС - правильна 443. піраміда; АВ = 6 см; 5А = 4 см; Знайти: і описаного навколо піраміди. 1) ОВ = Я = - щ = 2>/з (см); SO = у/1 6 -1 2 = V4 = 2 (см);

^ = ± * • 1 2 . 2 = 8* (см3); 2) в, =тгі?(Я +/); Бп = я-2>/з(2ч/з +4) = 4л/Зл(>/з+2). Відповідь: 8л см3, 4л/Зл(-^3+2) см2 Дано: д АВС ~ прямокутний; ВС = а; ААВС = Р; БВ = Ь; Знайти: Vконуса 1) Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника - це середина гіпотенузи, отже ОВ = АО = Д = — ; — = с о з Р ; 2 АВ л г> а п а АВ = -------, тпгт; В =--------; соз Р 2 соз Р 2) ААБО - прямокутний; § о = л/АБ2 - АО2 = і 2 _ о 2 _ І 4 Ь ^ с о з ^ - ^ _ уіЛЬ^со^ Р - м 2 У 4 соз р у 4 сов2 Р 2 соз Р 3 ) У Л Л ___? !___ уІ4Ь2с о з 2 р - а г _ З 4 соз2 Р 2 соз р _ п а 2^4Ь2 соз2 р - а 2 24 сов2 р па ■•■^4Ь2 соз2 Р - а 2 Відповідь: 24 соз2 Р 445. 5 Дано: д АВС ~ рівнобедрений; АВ = ВС\ АС = т; АВАС = а ; АБМО = АБРО = <р; С Знайти: в п конуса, вписаного в піраміду. 1) Так я к АБМО = АБРО, то О - центр вписаного кола, а значить ОМ = О*1= г;

AAJBM - прямокутний;

2) r = —

.„ т т АВ = -------- = --------- ; 2 sin а 2 sin а т т •т ■sin or = ■ 2 2 sin а т , яг = —■АВ ■АС ■sin а - — ------- т ■sin а = — 2 2 sin а 4 т /п(і + 8Іпа) т + т = ------ + т = —1------------ -; 2) Р = 2 • 2 •sin а sin а sin от /nsina т 2 sin а З) г = 2 m ( l + s in a ) 2(1 +sin а ) ’ 4) ZOSM - прямокутний; ОМ _ ,, т sin а ----- = cos <р; S M = —------------ г-------- ; SM 2(1 + sin а ) •cos (р sin or;

5) S n =K

т sin а m srna 2(1 +sin a) 2(1 +sin а )

л т 2 sin2 а ґ

446.

m sin a 2(1 +sin a ) cos ip л т 2 sin2 сг • cos"2 <Р

1 +COSI 'Р 4(1 + sin a )“ 2 (l + sin or) cos <p S Дано: ABCD - ромб; AB = 16 c m ; ZB = 60°; Z SM O = ZSNO = 30°; Знайти: V Kкон уса = — 0 л гН . 1) Так я к усі двогранні кути при основі рівні по 30°, то вершина піраміди проектується в центр вписаного кола, отже ОМ = ON = г; 2) CF 1 A D ;

г = —Л; С»

CF = DC ■sin 60° = 16 •— = 8-Уз (см); 2

3) г = —• 8 у/з = 4л/3;

ДS O M - прямокутник;

/о

БО = ОМ ^ 3 0 ° ;

4^3 •— = 4 (см); 3 к -16-3-4 = 64л1 (см3). 4) У =1тг (4>/з)’ -4 = Відповідь: 64я см3 ®’ ---- -С» Дано: АВ = 1 см; АО = 2 см; АА, = 5 см; Знайти: Vкулі* а д С 1) Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда “О знаходиться в точці перетину його діагоналей; 2) Знайдемо В,І>; В ,0 2 = 1 + 4 + 25 = ЗО; І— . „ ДО = 730, ТОДІ в =

л/30

= 5*^30 (см1). 3 3 8 8 ' ' Відповідь: 5лл/30 см3 448. Ві _Сі Дано: АВСОА1В1С1Б 1 правильна призма; АА, = 6 см;

Яку* = 9 см; Знайти: 5б. 1) В10 = 01) = В; Д В = 18 см; 2) АВВ,В - прямокутний; в р - ^182 - б2 = = ,/(18+ 6 )(1 8 - 6 ) = >/24 12 = 12ч/2 (см); 3) АВ = ^ = = 12 (см); л/2 72 ' 7 4) 5б = • Я ; Я6 = 48-6 = 288 (см2). Відповідь: 288 см2

«кулі = Знайти: S.б. п а р ал ел еп іп ед у 1) DO = В,0 = R, тоді DB, = 2Я; / 'А 2) ABB,D - прямокутний; ВВ, = B,.D s in a = 2 B sin a ; BD = 2 R c o s a ; AD sin /3; 3) ДАВ£> - прямокутний; BD AB AD =2B cos a sin /?; -— = cos B; AB = 2 R c o s a c o s B ; BD 4) S6 = P - H = 2(2Bcosasin/J +2Bcosacos/J) -2B sin a = = 4 B co sa • 2B sin a(sin / J + c o s p ) = = 4Я2 sin 2a (sin P + cos P ). Відповідь: 4B 2s in 2 a (s in /3 + cos/3) 450. Di____ C< Дано: ABCDAlB iClDl - куб; AB = 6 c m ; Знайти: V і S Kyj!i вписаної в А і Dі C к Уб1) AA, є діаметр кулі, вписаної / В в куб, отже г - —■6 = 3 (с м ); Aij

Сі

2) V =-т с-2 7 =36тг (см3); 5Л=4к г г =4л-9 =36л (см2). З Відповідь: 36л см3, 36л см2 451. Нехай сторона основи призми а. Так я к в призму можно вписати кулю, то Н = 2г, г - радіус кулі, г кулі дорівнює г вписаного в основу кола. Отже, тг _ г = 7 з ’ тоді а ї ї ’ '1*2n/3 ’ Відповідь: ,/§ 452. г

14 •\[з

= 7^3 ( см), отже

г = 7лУз ( см). Відповідь: 7,/з см 453. Радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в

ДАВС, ВС = - АВ = 4 (см); АС = 4>/з (см); 2 В. 4 + 4>Уз - 8 4-Уз - 4 г =■

Відповідь: 2 ( 7 3 - 1 ) см 454. Дано: г - 4 см; = 48 см; Знайти: 3осн. 1) Центр кулі є серединою висоти призми, отже Я = 4 -2 = 8 (см); 2) Зв =/>_ # ;

їй , = ^ = 6 (см);

3) 5ос1І = і р - г = - і- 6 - 4 = 12 (см2). Відповідь: 12 см2 455. С,ш------------ Дано: Лкул1 = г; ДАВС “ правильний; \ Знайти: Кпр.

< Nі /

2 )а ^ = 2 гу [3 ;

-я; 3) 5оа, =

4 4) V = З г2Л -2 г = 6г3>/з (см3). Відповідь: 6 г 3\ЇЗ см3 456. У6 = V; кулю внесено в призму; Знайти: Vкулі’

я = 2г;

= Зг2ТЗ;

Нехай сторона шестикутника а, тоді г = Упв СІІ ■Я ;' п р = 5О ОСИ

Я = 2г;1 а =

1) 5 « . =6 . £ ! Д Л а 273; а= 2,

аТз

2г 7Г К = ї а Ч З, так я к

2г то 7?’ = 2 . І £ І 73 . 2г = ^ О

= 4г3ТЗ;

У = 4 г 3у/3;

= 2 Г -Л • 2г ,

г3 = - ^ = ^ ^ ; 4ч/з

3 )^

Л Яг з Л я . І ^ = ^ кул1 З 3 12 9 У-ЛУІЗ Відповідь У

457. Нехай а - сторона правильного трикутника; г - радіус, вписаного в трикутник; лЯ -- ^“

радіус описаного кола навколо трикутника; а а а а _ а -4 3 1 г= >а Я = 2Тз л/3 ’ 2%/з ‘ л/3 ~ 2ТЗ -а ~ 2 ’ Я ^ вписаної в призми ТПд ’ а ^ описаної Я2 =

Я '°

+ г2; Я = 2 іV2 * ;/ г „2 а„ 2 а„ 2 Ьа а4§ Я2 = — — =----=— ;; пЯ =— = -----++— 4 -3 3З 12 2ТЗ а . аУб а ■2^3 _ 1 Уб 3) Отже, г : Я = 2у і з ‘ а 4 ь ~ 2^3 а 4 ї - Л ~ 5 ' 75 * * Відповідь: — 5

Дано: вАВС - правильна; /БАО = /ЯСО = 45°; Довести, що центр кулі збігається з основою висоти піраміди. £ 1) Так я к бічні ребра утворюють з площиною основи кути по 45°, то БО = ОА = і? ~ радіус описаного кола. Радіус кул і Як, висота піраміди Н і радіус кола, описаного навколо основи піраміди пов’язані співвідношенням;

459.

460. 461. 462. 463.

= (Дкол. - Я)* + Д І .. отже Дкул1 = Точка О - збігається з основою висоти піраміди. Дано: БО =12 см; ААБС прямокутний; А8 = БС; Знайти: Я . , описаної навколо піраміди. А----------- ^ 1) ЙО = 12 см; АО = вО = 12 см; Центр кулі лежить на прямій, що містить висоту піраміди і співпадає з центром кола, описаного навколо ААБС; 2) Центр кола - О, так я к д АБС ~ прямокутний і центр кола лежить на середині гіпотенузи; 3) Отже і?кул1 = АО = БО = 12 (см). Відповідь: 12 см Вказівка на ст. 109, рис. 38. Відповідь: 13,5 см Вказівка на ст. 110. Відповідь: 8 см кЬ6 Вказівка на ст. 110. Відповідь: —т ОП Дано: БАВС - правильна піраміда; АВ = а; / Б М 0 1 = а ; Знайти: гкулі. 1) ОО, = г; МО ~ бісектр ZSMO = ZO,MO = —; 2

МО, = ; 1 2Тз

2 ) ^ - = t g - ; ОО, = -^= MO, Б2 1 273 „. . ал/з сг В ідп о відь:-------tg — 464.

а ~2‘

Дано: SABCD - правильна призма; Z SM O = а ; Дкулі = г; Знайти: S o піраміди. 1) МО, - бісектриса ZSMO; ZAMOx = ^ i ОО, =г; ОМ а а = ctg —; ОМ = r ctg —; 00, ОМ = cos а ; 2) ASOM - прямокутний; SM а ОМ r c t* i . SM = cos а cos а 3) Aß = 2 0 M = 2 r c t g - ; = 4r2 • ctg2 “ ; 2 а а t g — 4r ctg' а r c___ 2 _____ __ 2. 4 ) S e = -P o a SM = ~ 8 r c tg ^ cos а cos а

а 1 , 4r2ctg2I = 4r ctg — 5) <S„ = 4r c t g2^« + 1+ 1= cos а cos а

465.

2 cos — 8 r2 ctg2 —cos2 — * 4г* et*1 2 --------- 2 . . ------ — 2------ 2 2 COS 0Г cos а а 08r 2 ctg і 2® 2 ^ —cos — 2 cos а Дано: SABCD - правильна піраміда; ZMSN = 60°; SO = 9 Знайти: гкуді. 1) ZSMW = ZSN M = 60°; &MSN ~ рівносторонній;

cm ;

— = s in 60°; SM = ^ 1 = 6л/3 ( c m ) ; SM Ж 2) OM2 =36 3 - 8 1 = 1 0 8 -8 1 = 27; OM = 3>/3; 3) OO, = OM ■t g 30° = З-ТЗ •— = 3 ( c m ) ; 3 4) Отже, r = 3 ( c m ) . Відповідь: 3 c m Даво: AC = £C = 8 c m ; 466. ZACB = 120°; ZSM O = 60°; Знайти: OO, = rKyjlj. A

1) AB = ТЗ~64 =8n/3

( c m );

2) Р =8 +8 +8-7з = 16 +8>/з = 8(2 +л/з); 1 /ч 3) S ^ = —•8• 8• sin 120° = 32• ——= 16\/3 ( c m 2 ) ; 2 2 2S 2 167 з 4>/з ( 2 - 7 з ) 4) ОМ = — = « A0V* = ------- --------- - = 4>/з (2 - %/3); ** 8(2 + л/з) 1 ' 1 OO AOxM O - прямокутний; — 7 = tg 30°; UM OO, = 4 V 3 (2 - V 3 ).^ = l5

fc ^ h 5

= 4 (2 -V 3 ).

Відповідь: 4-(2 -л / з) c m 467. Дано: SABCD - правильна піраміда; Z SM O = a ; О, - центр кулі; SO, = m ; Знайти: Kкулі.. 1) О, Є SO; 4 2) OO, = r = m cos a ; 3) V = —я т 3 cos3 a . 3 Відповідь: —/rm3 cos3 a У

Так я к висота циліндра дорівнює діаметру основи, то осьовий переріз - квадрат, а в квадрат можно вписати коло. Отже, в циліндр можно вписати кулю центр ЯКОЇ Д,ул1 дорівнює г циліндра, 2Я = Я , отже центр кулі знаходиться на середині висоти. 0 ,0 2 = ООг = Я. 469. V. = пг2Н = л г 2 ■Я = 2лт 2 • г = 2я г 3; 2г3/г З З V ГV = 4л г 3 2 470.

осьовий переріз; ОО, = Я ; АВСІ> /АМО = а\ Знайти: іїкулі, описаної навколо циліндра. 1) Центр кулі співпадає з серединою

висоти циліндра. 0 ,М = ОМ = — , тоді МА = ії; Ск 2) ДАМО - прямокутний; ОМ Я = сов а ; АМ = АМ 2 сов а Я Відповідь: 2 сов а Дано: АВСБ - квадрат; Дкуді = Д; 471. Знайти: V . 1) ОО, = АО = 2г; ґ н } 2 .2. +г 2) Д2 = В.2 = 2г2; ш 2 Я Д>/2 Д2 г2 = ° 1 Г “ г/2 ' 2 ’ ДЄ Г = АО:

р2 р2 3) V = яг2Я = я ----- 2 г - к — 1 72 яД 3Т2 лД 37 2 Відповідь:

Дано: АО = ОВ = 6 см; ZASS = 30°; Знайти: Укулі, описаної навколо конуса. 1) Центр кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса: АВ = 2Д; 2) ААБВ - осьовий переріз, тоді віп 30‘ 12 = 2Д; Д = 12 (см). віп ЗО' Відповідь: 12 см Дано: ОМ = 15 см; БО = 36 см; 473. Знайти: Д вписаної кул і і Д, описаної кулі. 1) Центр вписаної кулі леж висоті конуса і співпадає з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса; Д г Д 15 Я -Д 7 ^ +г 36 - Д 7 і5 г + 362 ’ Д -7225+ 1296 =15(36 - Д ) ; Д •71521 = 540 - 15Д; Д -39 + 15Д = 540; 54Д = 540; Д = 1 0 (с м ). Відповідь: 10 см 2) «„„.кулі! Д2 = ( Я - Д ) г + г2; Д2 = (36 - Д)2 + 225; Д2 =129 6- 7 2Д + Д2 +225; 1 ^ =2 1 І. 8 8 1 Відповідь: 21 — д = 1521 72

72Д = 1521;

т Знайти: RKyni, вписаної в конус і описаної. 1) ASAO - прямокутний; SO = a sin a ; AO = a cos а , тоді г R a cos а Н R V F 77 а si11ос-R yja2gjn2а +ц2сод2 а R a cos a R = cos а ; a sin a - R а •1 а sin а - R a sin 2а R = а sin а • cos a - R cos a ; R + R cos а = а sin 2а a sin 2а Д (і + cos а ) = R = . „ „ . 2-2 cos — а sin 2 а а 2 sin a cos а 2 а 4л cosг — 4 cos „ . а а а ■2 sin —cos — cos а а 9------------- 9 ------------------ ---------- = a t g —cos а . , а 2 2 cos — 2 . a = 2R; R = -------- ; r = a t g —cosa. srn a 2 s in a 2 , a a В і д п о в і д ь : a • cos a ■tg —, — ---2 2 s in a 475. Вказівка на ст. 110. 476. В___С Твірну зрізаного конуса видно під кутом 90°.

477.

в Мс

Дано: АВ = 12

cm;

ZBAD = 60°;

Знайти: MO = ON = R, AN і ВМ. 1) ААВВХ - прямокутний; A BiN = 12 ■sin 60° = бТз, тоді MO = ON = ЗТЗ (см);

2) AAON - прямокутний, AO - бісектриса; /NAO = 30°; — = ctg30°; AN = З^/з •л/З = 9 ( c m ) ; ON v ' 3) АБМО - прямокутний, BO - бісектриса; /ABC = 180° - 60° = 120°; / М В О = 60°;

— = ctg60°; BM = 3>/3 — = 3 ( c m ) . MO 3 v 7 Відповідь: зТз c m , 3 c m , 9 c m 478. Вказівка на ст. 110. О, Дано: ABCD - рівнобічна трапеція; /ВАО = а ; ( ^ AO = R; ВО, = г; ► D Знайти: Я описаної навколо зрізаного конуса. 1) СС, 1 AD;

DC, = R - r ;

= cosa;

CD = ^— ^\ CC, = (Я - r) ■t g a ; cosa 2) AC2 = (Д + r) + (Я - r) • tg 2 a ;

A C =>/(fi + r)2 + (H - r )2 tg 2a ; 3 )^ , 2Д; sm a 2 sin a Радіус кулі співпадає з радіусом кола, описаного навколо д ACD.

/AON = /DON = —; 2

— =tg~ ; ON 2

AN = R ■tg

to |S3

. J{R + r f + (R - r f tg 2 a Відповідь: -і :------- 1---- -------- ---------2 sin a 479. в M C Дано: ОМ = ON = R; ZAOD = a; / N. q \ Знайти: V зрізаного конуса. / (^ S4 S \ - рівнобедрений; /Г А AN = ND = R;

ZBOM + 90° + - = 180°; ZBOM = 90° 2 / а \ ВМ 9 0 ° -- ; ВМ =Я МО 2 2

N1 | й

2) АВОМ - прямокутний;

3) К = -тг-2Д З V=

2іГтг

Відповідь: д 71^

а .

2«

^ 2 ОС

*г ? +с‘ 8 1 +1 Дано: 0 0 , = —5 0 ;

480.

= 4 * Я 2Я .

Знайти: VI, 1) 00, = - Я ; 2

ДЙМО,

« й .= " й .; БО ОИ

м0, , ї ^ 1 Л я ; 1 Я 2

2 ) К = і я Д 2Я; З тгЯ2Я = —- — ;

ДА^О (за першою ознакою);

у = л г 2- Н ц 2

ЗУ п = ~8~‘

Відповідь:

481. Вказівка на ст. 111, рис. 40. алtg у Відповідь: (1+ 7 ^ а )

-Н = 2

4 37

ВАРІАНТ 2 1.

3. 4. 5. 6. 7.

89.

Точки К (-23; 0; 0) і Р ( 0; 0; 101) лежать на координатних осях К (-23; 0; 0) - лежать на осі ОХ, а Р - на осі ОЕ. Точки В (-5 ; 7; 0 ), С (5; 0; - 1 2 ), Я (0; 17; - 2 0 ) і /-’ (О; - 9 ; 0) - лежать у координатних площинах. В (-5 ; 7; 0 )є (ХОУ); ^ є (Х О У ); С(5; 0 ; - 1 2 ) є ( Х О г ) ; £> є(У 02). Точки Т ( - 2; 3; і) і В (2; 3; 1) - лежать на прямій, паралельній осі ординат. Точки ІЗ і С лежать в площині, паралельній площині (У 2 )М ( - 9; 7; - 3 ) на відстані 9; 7 і 3. 0 (0 ; 0; 0 ), в (0 ; 2ч/3; 0), л (0 ; 73; з ). 0 (6 ; 0; 6), А (0; 0; 6), Ах(0; - 6 ; б), В,(0;-6>/2; б), в(бТ 2; - 6 ; б ), С(б; 0; 0), 0 ,(6 ; - 6 ; 0 ), 0 ,(0 ; - 6 ; 0). ОЕ = 7144 + 16 + 1 = 7 Ї6 І. 1) Нехай середина відрізка БТ точка М (ас; у ; г ) .

Отже, М (2; 7; - 6); 2) Нехай точка N (хх\ у у; г х) - середина відрізка в Т , тоді

-1 + 10

= — -------

г, = І ± І = 5,5; 10.

N (4,5; - 1; 5,5).

/ ч ^ 0+ * №(х; у; г ) , тоді -6 = ;

* = -12;

11.

= 7 - 3;

г = 4. Отже, М (-12; 12; 4).

А ( 4 ;- 5 ; 2), В (1 2 ;- 3 ; - 4 ) ; •В А С :С В = 1 :3 ; Знайти: С (х; у ; г ) . м

1) —- =—• Використаємо формули СВ о а. а, сг, г = -----!--- 2 ,+ ----- !--- 22; X = ----- 2--- X, + а , +а 2 а , +а 2 а, + а 2 а, а, а, +-----5---- х2; у = ----- ї— УГ+— - — у , і а, + а 2 а , +а 2 а , +а 2 У нас а , =1, а 2 = 3, тоді а, +а 2 = 4; 3 *1 Маємо х = —-4+ —-12 = 3 + 3 = 6; 4 4 З / сч 1 „ = _ . ( - 5 ) +- ( - з ) =/ оч — -15 - - = -3 - =18-4,5 ; г = | - 2 + і (-4 ) = | - і = і - 0 ,5 ;

С (6 ;- 4 ,5 ; 0,5).

або II спосіб. 1) Нехай точка К (де; у ; г ) середина відрізка АВ, 4 + 12 0 -5 -3 тоді х = —у — = 8; у = —— = -4 ; г = -1; 4 +8 „ с - середина АК. хс = —- — = 6; Сі

Ус = ~~~~ = ~4*5; 2с = ^ і = 0,5; С (6 ;-4 ,5 ; 0,5). 12.

Дано: АВСХ> - паралелограм; А ( - 3 ; 8 ; - 5 ) ; С (-7 ; 6; 7);

/ ^ О Ч / Л О

2>(4;- 2 ; - 3 ) ; Знайти: координати точки В. -3 -7 _ 8 +6 _ 1) О - середина АС. ха = —- — = -5; г/0 = —— = 7; ^

-5 + 7 , гп = —-— = і;

Сі

х = -14;

У + (-2) 7 = ——^

1 = ^—

2 =2 -3 ;

14 = у - 2 ;

і/ = 16;

2 = 5.

Відповідь: В (-14; 16; 5) 5 Дано: А, - середина ВС; С і /\ ^ А і с г - середина АВ; А ( 5 ;3 ;- б ) ; А1 (-4 ; 3; - 2 ) ; 4 ( 3 ; - 1 ; - 2 ) ; ^ Знайти: координати В і С. „. . _ 5 +х 1) Нехай В (х; у ; г ) , тоді о = —— ; 6 = 5 + х; -6 + 2

-1 =— у = -5 ; - 2 = 2 2 -4 +6 =2; В ( і;- 5 ;2 ) . Нехай С (х ,; у х\ 21), тоді х = 1;

14.

-4 = 1 ^ 5 .;

х, = -9 ;

3= = Ц ^;

Уі - 1 1 ;

-2 = ^ - ;

21 = -5;

С (-9 ; 1 1 ;- 5 ) .

Відповідь: В (і; - 5 ; 2), С (-9 ; 11; - 5 ) в Дано: М , N. К ~ середина сторін м/Х Л / ДАВС; М (-2 ; 3; 4 ); N (3; 5; 2); * ( 3 ; - 5 ; 1); Д іг ^ л Знайти: координати А, В , С. Нехай А (х 1; у х\ г х) , В ( х 2; у г ; г ,) , С(х„; у ,; % ), тоді *1 +*1 = 2;

& + Уг = 3;

= 4;

*2 + * 3 _ о.

--- ------- А,

х, +х, = -4; У, +Уг = 6; * +

= 5; а і і . . 2

хг +х3 = 6;

х, +х, = 6;

Уг +У* =10; 22 +2, = 4;

Уі + у» = - 10; 2, +2, =2;

Маємо хх + х2 + х2 + х3 + хх + х3 = 8; у х + у 2 + у 2 + +Уз + Уі + Уз = 6; гі + г 2 + г 2 + г 3 + г х + г 3 = 14; 2х, + 2 х2 + 2х3 =8; 2Уі + 2у г + 2 у3 =6; 2гх + 2гг + 2^ = 14; “4 + Хд —4, Хд —8, 6 + У, = 3; Уз = -3; 8 + г3 = 7; у3 = -1; де, + 6 = 4; хх = -2 ; у, +10 = 3; у , = -7; х2 + 6 = 4; х2 = -2; г2 + 2 = 7; г2 = 5. Відповідь: А (-2; - 7 ; 15.

\х1 +х2 + х3 =4; у 1+ у2 + у3 =3; г х + г 2 + = 7;

0тж е С (8; _3; _ і) . А (-2; - 7 ; 3); г!+ 4 = 7; г, = 3; у2 + (-1 0 ) = 3; у 2 = 13; 3), В (-2; 13; 5), С(8; - 3 ; - і)

1) ЕГ = }/(7 - І ) 2 +(-7 +4)2 + ( 1 0 - 4)2 = = У36 + 9 + 36 = л/81 = 9;_________ 2) £*• = ^(5 + З)2 + (-2 - 4)2 + (-1 - З)2 =

= -</64 + 36 + 16 = Т п б = 2>/39. Відповідь: 9; 2 у/39 В Дано: ДАВС; А (3; - 5 ; 0 ); В(7; 1; 4 ); С (-3; 9; 16); МИ - середня лінія; І спосіб. 1) АС = ^6г + (-1 4 )2 + (-1 6 )2 = У36 +196 + 256 = = л/488 = 2\І122; 2) М И =І •2у[Ї22 = ТЇ22 ( см). 2 II спосіб. Нехай М ( х ; у\ г ) - середина АВ, тоді

3 +7 -5 + 1 _ 0 +4 . х = —— = 5; у = —- — = -2; 2 = —— = 2; 2 2 2 М (5; - 2 ; 2); Нехай N (х,; у х; у г ) - середина ВС, 4 = 2; о тоді *1 = — N(2; 5; 10);

10 = 5; к {/,= —

20 = іп 2, = — 10;

М# = ^(5 - 2)2 + (-2 - 5)2 + (2 - 10)2 =

17.

= >/9 + 49 + 64 = ТЇ22. Відповідь: _ ^/Ї22 Дано: А (-2; 3; г); В ( і ; - 5 ; - 2 ) ; АВ = 7у[2; Знайти: 2 . АВ2 = (1 + 2)2 + (-8 )2 + (-2 - г)2; 98 = 9 + 64 + 4 +

18.

+4г + г 2; г 2 + 4г + 77 - 98 = 0; 22 + 4 г-2 1 = 0; г1 = -7 ; г 2 = 3. Відповідь: 3 або - 7 А ( 4 ;- 5 ; 6) і В (2; 3 ; - 4 ) . Нехай С(х; 0; 0) - лежить на осі абсцис і АС = ВС; Знайти: С (х; 0; 0). 1) АС2 = (4 - х)2 + (-5 )2 + б2 = (4 - х)2 + 25 + 36 =

19.

= ( 4 - х ) 2 +61;

ВС2 = ( 2 - х ) 2 +9 + 16 =

= ( 2 - х ) 2 +25;

( 4 - х ) 2 / 61 = ( 2 - х ) 2 + 25;

7 7 - 8х = 29 - 4х; 16 - 8х + х 2 + 61 = 4 - 4 х + +х2 + 25; 4х = 48; х = 12. Відповідь: С (12; 0; 0) Нехай А (0; у , 0 ), В (х; 0; г), С ( - 2; 1; - 3 ) середина АВ; Знайти: координати А і В і АВ. 1) “ 2 = — -3 = ^ І £ ; &

; х = -4 ;

1 = ^ ;

у = 2;

г = -6. Отже, А(0; 2; 0), В (-4; 0; - 6 ) ;

2) АВ = 716 + 4+ 36 = 7б6 = 2Т ії. Відповідь: А (0; 2; 0), В ( - 4 ; 0 ; - 6 ) , АВ = 2у/і 4 20.

Дано: А (-1; 5; 3); АВ = 2ТІ4; В (-3 ; 7 ; - 5 ) ; С(3; 1 ;- 5 ) і й ( 5 ;- 1 ;3 ) ; Довести, що АВСІ> - ромб. 1) Доведемо, що АВСИ - паралелограм. Знайдемо координати точки О; оч _ -1 + 3 _ 5 +1 _ „ _ 3 -5 _ 2) хо ~ 2 " ’ - 2 — ’ 2° ~ 2 ~ ’ 0 (і; 3; - 1 ) . Знайдемо середину ВИ. -3 + 5 7 -1 -5 + 3 1; . ууо п , ----------= 3; г п°> = ---------= -1; хпо, -----------= 2 2 2 0,(1; 3; -1 ). Отже, точка О і О, - співпадають, а якщо діагоналі чотирикутника перетинаються 1 точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник паралелограм. Отже, АВСВ паралелограм; 3) Знайдемо АО = 7б2 + 6г + 0 = бТ2;

21.

22.

АВ = у/22 + 22 + 82 = 74 + 4 + 64 = 772= бТ2; АВ = АВ = бТ2, отже у паралелограма АВСВ сторони рівні, отже АВС£> - ромб, що й треба було довести. А ( - 3; - 7 ; 4 ), В(2; 3; - 1 ) , С (-4; - 9 ; 5). 1) Знайдемо АС =71 +4 +1 = 7б; АВ =725 +100 +25 = = ТЇ50 = 57б; ВС = 736 + 144+36 = 7216 = б7б. Отже, АС + АВ = б7б; АС + АВ = ВС. Значить, точки А, В, С - лежать на одній прямій, точка А лежить м іж точками В і С. Дано: М ( - 3; 5; - і ) , N (0; -1 ; 7), К (8-, 12; 6 ); В (10; - 5 ; 5), £ (4; 0; 0), £ (-11; - 2 ; - 4 ) .

23.

1) Відносно початку координат М х(3; - 5 ; і) , N ,(0 :1 ; - 7 ) , К , ( - 8 ; - 1 2 ; - 6 ) , Р ( - 1 0 ;5 ;- 5 ) , £ ,(4; 0; 0), F, (11; 2; 4); 2) Площини XZ. Точки симетричні площині XZ, мають координати (х; - у , z); М2 (-3; - 5 ; - 1 ) , N2 ( 0; 1; 7), tf(8 ; 12; 6), Р(Ю; 5; 5), Е2 ( 4; 0; 0), F3 (-11; 2; - 4 ) ; 3) Площини YZ. (-х ; у , z ); М 3 (3; 5; - і ) , ЛГ(0;- 1 ; 7), К ( - 8 ; 12; 6), Р (-1 0 ; - 5 ; 5), Е3( - 4; 0; 0), J j ( l l ; - 2 ; - 4 ) ; 4) Осі ОХ. ( х; - у , - z ); М4( - 3; - 5; і ) , ЛГ4( 0 ;1 ;- 7 ) , К А(8; -1 2 ; - б ) , Р4 (10; 5; - 5 ) , £4 (4; 0; 0 ), F< (-11; 2; 4). А (3; - 8 ; 6) і В (х; у ; z) - симетричні 1) початку координат; 2) площині (Х У ); Знайти: АВ. 1) В (-3 ; 8 ; - 6 ) ; АВ = 4 36 + 256 + 144 = = >/436 = 2-УЇ09; 2) Площині (х; у ) ;

В (3; - 8 ; - 6 ) ;

АВ = ,](3 - З)2 + (-8 + 8)2 + (6 + б)2 = Т і?" = 12. 24.

Відповідь: 2-УЇ09, 12 Дано: £(-3; 8; 7), F ( - 9; 6; -2 ) - симетричні відносно точки М; Знайти: М (х; у; z). EM = MF, М - середина -3 -9 . 8 +6 _ відрізка EF. х ------- — = -6 ; у = —-— = 7;

г = ^ - ^ = 2,5; М ( - 6; 7; 2,5). _________ 2______________

Відповідь: М (-6 ; 7; 2,5) 25. А (лі; л; р ) -» А, (лг; л; - р) відносно (Х У ); А, (лг; п; - р) —>Аз (-лг; л; - р) відносно (У Я); ( - т ; л; - р) —>Ад (лі; - л; р) відносно початку координат. А (лі; л ; р) —» Аз (лі; - п; р ) - відносно (ХЕ), що і треба було довести. 26-27. Збірник ст. 50. 28. 1) А Б (-4; 9; 10); 2) А Б (4 ;- 6 ; - 6 ) . 29. Дано: М (-3 ; 2; г ) , 7 У (4 ;-6 ;3 ), К ( х ; 1; - 1 0 ), £(2; у ; - 15); М Й = ЕК; Знайти: х, у , г . 1) Ш І ( 7 ; - 8 ; 3 - г ) ; я:- 2 = 7;

30.

31.

х = 9;

2 ) Е К ( х - 2 ; 1 - у ; 5 ) ; 1 - у = -8; г/ = 9; З - г = 5; г = -2 . Відповідь: 9; 9; -2 ^ (-8; 3; - 5 ) кінець вектора а (6; - 9 ; 2); Знайти: координати початку вектора. Нехай А (х; у ; г) - координата початку вектора,

тоді АХ ( - 8 - х ; 3 - у ; - 5 - г ) ; - 8 - х = 6; х = -14; 3 - у = -9; у = 12; - 5 - 2 = 2; г = -7, отже, А (-14; 12; - 7 ) . Відповідь: А (-14; 12; - 7 ) 7К Дано: М(-3; 2 ;-4 ); ЛГ(-1; 6; 6); * ( 6 ; 7; 8); Р (4; 3; - 2 ) ; Довести, що М И К Р м паралелограм. 1) MN (2; 4; 10); РАГ(2; 4; 10); MN = Р К ;

Г 7'

МЛП f РЛТ . Отже, А М К Р - паралелограм.

32.

Знайти: координати С(х\ у; z). 1)B C =ÂD; ВС( х - 2 і у - 3 ; 2 +8);

-------- JD ÂD(~ 7; 1; 8), тоді х - 2 = -7 ; х = -5; {/-3 = 1; у = 4; z + 8 = 8; 2 = 0. Отже, С (-5; 4; 0). Відповідь: С (-5; 4; 0) 33.

= >/25 + 9 + 16 = 5>/2; |b| = >/4 + 1 + 49 = V54 = 3>/б; = >/4 + 36 + 10 = >/50 = 5^2; = 754= зТб;

ldi = >/9 + 9 + 36 =

|m| = >/25+ 25+ 4 = >/54 = зТб.

d| = |m| = 3>/б. чВідповідь: |а |= |^|> |б = 15 = н л (х ; -Ю ; 8); |л| = 13. Знайти: х.

Отже, |я| = |с| = 5 у/2;

34.

|іг| = >/х2 +100 + 64 = ТЇ64 + Х7; 35.

36.

164 + х 2 = 169;

х 2 = 5; х = ±>/5. Відповідь: ^5 або -у/5 я (х; у; 2 ); л| = Зу/З; х = у ; г = -х , ТОді >/хг + х 2 + х 2 = Зл/З; хТз = 3>/3; х = 3. Отже, л(3; 3; - 3 ) . Дано: с (-3 ; 1; 2), с і( 5; - 6 ; 7); Знайти: 1) с + 5 і с - 5. 1) Нехай т = с + сІ, тоді т(2\ - 5 ; 9); Нехай л = с - 5 , тоді л (-8 ; 7; - 5 ) ; 2) |т| = л/4+25+ 81 = >/ЇЇ0; |л| = >/64 +49 +25 = >/і38.

37.

Дано : Ш С - Ш = д\ Знайти: К (х; у ; 2 ).

М ( 0 ;6 ;- 8 ) ;

1) Ш ( х ; - ( 5 - у ) ; 2 + 8 ); М К - Ш =д ;

N (-6; 3; 7);

Ш ( - 6 -х ; 3 -у ; 7 -г);

Ш С(х; у - 5 ; 2 + 8);

0 (0 ; 0; 0);

Отже, х - (-6 - х) = 0; 2х + 6 = 0; х = -3; у у ) =0; 2 у - 8 = 0; у = 4; 2 +8 - 7 +z = 0; 2 г = -1; z = -0,5; АГ(-3; 4; - 0 ,5 ) . Відповідь: К ( - 3; 4; - 0 ,5 ) 38.

Нехай 1) а ( х х; у,; zï ) ;

b (x 2; у2; z2);

a + b = m ( x l +х2; у , + у2; г, + z2); а -Ь = л (х, - х 2; у, - у 2; zl - z 2), отже

х, + х2 = -4;

х, - х2 = -3;

Уі +Уі = 5; z, + 22 = 7;

Уі - У г = 15 ;

zx - z 2 = -25;

а) je, = х2 - 3; 2 х2 - 3 = -4 ; 2х2 = -1 ; х, = - 0 ,5 - 3 = -3 ,5 ; х2 = -0 ,5 ;

39. 40.

б) у х = 15 + у 2; 15 + 2у2 = 5; 2 у 2 = -10; у 2 = -5; у , = 1 5 - 5 = 10; в) z, = г2 - 25; 2г2 - 25 = 7; 2г2 = 32; г2 = 16; 2| = 16 —25; г, = -9; 2) а (-3 ,5 ; 1 0 ;- 9 ) ; Ь (-0,5; - 5 ; 16). 1) може; 2) ні; 3) ні. т ( 4 ; - 2 ; 12); л (і; 3; 1); Â ( - l ; y ; - 1 6 ) ; р ї- л - л | набуває найменшого значення. 1) Нехай с = т - п - k;

с(4; - 5 - у; 27);

Ici = л/і6 + (5 + і/)2 +729 = ^745 + (5 + г/)2; |с|2 = 745 +25 + 10і/ + і/2;

f = і/2 + ІОу + 770 -

квадратична;

(-5; 745) - вершина

= -5;

параболи; 25 - 50 + 770 = 745. Отже, при у = -5, Ici = >/745.

41.

Дано: а ( 4 ; - 7 ; - 3 ) ; Ь ( - 3; 6; 22); _ _ _ За (12; - 21; - 9); 1) За + Ь = с; + б(-3; 6; 22); с(9; -1 5 ; 13); _ _ _ 2 )4 а + 6Ь = гі;

4а (16; - 28; -1 2 ); + 6Ь (-18; 36; 132); И(-2; 8; 120);

_ _ _ 3) Ь - 4а = т ;

Ь(~3; 6; 22); -, -4 а (-16; 28; 12);

_ _ _ 4) ЗЬ - Ь а = п;

& -4 а = от(-19; 34; 34); 3&(-9; 18; 66); + 1, -5 а (-20; 35; 15); л (-2 9 ; 53; 81).

42.

Дано: а (5 ;- 1 2 ; 4);

& (1;- 2 ; 2);

т = 2 а -З Ь ;

Знайти: й * 2а (10; - 2 4 ; 8); ^ -ЗЬ (-3; 6; - 6 ) ; т ( 7; -1 8 ; 2);

43.

44.

2) |то| = 749 + 324 + 4 = 4377. Відповідь: |/я| = 4377 Знайдемо координати векторів А В І С О . А В(-1; 9; 2); с Б ( 2; 6; 4); Вектори колінеарні, якщо координати пропорційні. 1 9 2 — — * —* —■ Отже, вектори АВ і СЮ не колінеарні. І о 4 1) щ і п - протилежно напрямлені; 2) т і р - співнапрямлені; п і й -

співнапрямлені.

45.

х -8 12 Вектори колініарні, якщо 24 ~ у ~ -36 ’

46.

£ = А ; - Зх = 24; х = -8 ; 24 -3 -8 ; 24 Нехай координати вектора

— = у -З

у = 24.

т ( Я - ( - 3 ) ; Я -4; Я -(-5 )), тоді |т| = ^9Я2 + 16Я2 + 25Я2 = л/ІОЯ7 = 5Ял/2. 5ЯТ2=10>/2; 47.

а, Ь, с;

Я = 2. Отже, т (-6; 8; - 1 0 ).

4а - 9Ь + 5 с = 2а - 6Ь + 6с;

4а - 9Ь - 2а + 6Ь = 6с - 5с; 2 а - З Ь = с так я к а і

то і с колініарний векторам а і Ь. 48.

Дано: М (-2; 3 ; - 5 ) ;

I _____ Д м

Р [ 2; 5; 2);

Г ( 4 ;1 ;6 ) ; К ( - 4 ; - 3 ; - 8 ) ; Довести, що М Р Р К трапеція.

Доведемо, що М Р і АГ колініарні, а М К і Р К не колініарні. Знайдемо координати цих векторів. Отже, М Р і КР“ - колініарні, а М Р(4; 2; 7);

К Р ( 8; 4; 14);

М К (-2; - 6 ; - 3 )

49.

не колініарні, значить М Р Р К РЁ{ 2; - 4 ; 4) трапеція. Знайдемо координати векторів. ~5Ё, Ї Ї , ~ЁЁ; Ш?(1; 3; 4); ЭР(3\ 9; - 4 ) ;

£ Г (2; 6; - 8 ) - вектори не

колініарні, значить не лежать на одній прямій.

50.

|я| = 1, то вектор одиничний. Знайдемо модулі векторів, а = - І І 1 - 9 - 1 V9 + 9 + 9 V9 9_ _4_ J _ _ /14 V25 + 25 + 25 ” V25’

Ь=

V9 9 9 |d|= VO+ 1 +0 = л/Г = 1; |е|= Vl + 0 +1 = ч/2. 51.

Відповідь: а, b, d 1) а (5; 0; -1 2 ); |а| = >/25 + 144 = ТЇ69 =13; . А - о- — І1 3 ’ ’ 13 '* 2) b(-3; 4; 8 ); Ы = >/9 +16 + 64 = V§9; ґ 3 . -4 -8 л kV89 ’ 7 8 9 ’ 7 8 9 , 3) c(m; т ; t ) ; Іс| = y jm 2 + т 2 + t2 = 72m2 + t 2 т

52.

-т

-t

7 2 т 2 + *2 уІ2т2 + і 2 7 2 т 2 + (2 ^"(1; 0; 0), ^ (0 ; 1; 0 ), ^ (0 ; 0; 1); Знайти: 1) 6 ^ - 1 4 ^ - 19Сз = т (6; -1 4 ; - 1 9 ); 2) - 7 ^ - 9 ^ = й (-7 ; - 9 ; 0 ); 3) а/, + ЬІ2 - еі^ = Ъ(а; 6; - с ).

53.

л (11; - 4 ; 11) розкласти за веторами а ( і;2 ;3 ) ;

&(2; -1 ; 1);

с ( 3 ;- 5 ; 2); х + 2 у + Зг

Нехай п = ха + уЬ + г с , тоді

= 11;

2х У + 2 Зх - Ь у + 2 г = 11; Розв’яжемо цю систему рівнянь методом Гауса.

а) -

2х + 4 у + 6 г = 22; 2 х - у + г = -4;

Зх + 6 у + 9 г = 33; б) ~Зх - 5у + 2г = 11;

11у + 7 г = 22; 55 у + 55г = 286; ' 55у + 35г = 110; 20г = 176; 2 = 8,8; г) тоді І іу + 7 •8,8 = 22; Н у = 2 2 -6 1 ,6 ; 11і/= -39,6; у = -3,6; д) г = 8,8; х + 2 •(-3 ,6 ) + 3 • 8,8 = 11; х = 11 + 7,2 - 26,4; х = - 8 ,2 . Отже, 5 у + 5 у = 26; І5у + Ьг = 26; 11 в) \і1у + 7г = 22; 5

п = - 8 , 2 а - 3,6 Ь + 8 ,8с. 1)МА + АС = МС; АС = МС - МА;

2) АЕ = -Л С = - ( м С - М А ) ; __ 2___ 2^. ___ 3) МВ + ВА = МА; ВА = МА - М В; № + КВ = ВА; А ґ = Ш - Л і = МА - ~МВ - УВ; +Т д = АС; А^ = АС -ГС ; А ? = М С -М Л -Г С ; АГ = Ж - М А + РВ; А^ = МА - М В - І С ; 2АҐ = М С - М В; Відповідь: А Р = —(М С -М В ). Через вектори ВА, ВС, В/). 1) ВА - ВР = Л4, але СВ = ЇМ, —-яО отже СВ = ВА - ВІ>; 2) БА + АВ = £>В; БС + СВ = БВ; СБ = ВЕ> - 5С; СО = ДА, отже АВ = В С -В Р ;

Дано: AM : M B = 2 :3 ; AN : NC = 3 :2 ; Виразити MN через DA, DB, DC. I) DA + AC = DC; AC = DC - DA; __ __ __ DB + BA = DA;

AN = - AC = - ( d C - DA) __ 5 _ __5 ' 1 BA = D A - DB, тоді

АВ = Ш - Ш ;

~AM = —~AB = - C d B - 1 5 a h h'

3 —- 3 — 2 — 2 — MN = —DC - —DA - —DB + —DA = 5 5 5 5 =- D C - - D A - - D B . 5 5 5

Відповідь: Ш 57.

58. 59. 60.

61.

=\ D C -\ D A -\ D B O

1) a fe = 8 - 7 cos45° = 56 — = 28>/2; 2 2) a • &= 10 • 11 • cosl20° = 110 • (-c o s 60°) = -5 3) a b = 5 - 6 cos 90° = 0. 1) a 6 = 4 + 6 - 4 8 = -38; 2) a -6 = 21+ 8 - 18 = 11; 3) a b = -40 + 10 + 30 = 0. 2 0 - 2 p + 6p = 8; 4 p = 8 - 20; 4p = -12; p = -3. Відповідь: - 3 10-6 + 6 10 Юч/зо cosZlfl, ЬI — і----------- і----------- — і— — v ' V25 + 1+ 4 •V4 + 36 + 9 V30 •7 30-7 730 ./— -\ Тзо ; cosZ (a, b] = ■ 21 --------- Дано: д л б с ; -A (l;- 4 ; ; - i ) ; B ( 4 ;7 ;0 ) ; C (-2; 1; 6) Знайти: кути. —\

1) АВ( 3; 11; 1);

АВІ = yj9 + 121 + 1 = <ЛзТ;

А С{- 3; 5; 7); Іс| = >/9 + 25 + 49 = л/83; -9 + 55 + 7 53 cosZ = ч/ГзІ •л/83 УЇЗІ •л/83 ’ 2) В С (- 6 ;- 6 ; 6); |вс| = л/36 + 36 + 36 = бТЗ;

ВА (-3; - 11; - 1);

62.

63.

cos ZB =

78 13 _6ч/3-7ЇЗІ У393 ’ 3) С А (3 ;- 5 ; - 7 ) ; СВ(6; 6 ; - 6 ) ; 1 8 - 3 0 + 42 ЗО 5 cos ZC = 6-Уз •783 673 >/83 7249' Трикутник гострокутний,так як cos ZA > 0, cos ZB > 0 і cos ZC > 0. a l b , якщо о -6 = 0 ; a 6 = 6 * - 2 - 1 0 ; 6 x - 1 2 = 0; 6x = 12; x = 2. Відповідь: 2 a ( 4 ; - 7 ; - 2 ) ; b(3 ; у ; - 1 ) ; 1) гострий, якщо a b > 0; 1 2 -7 y + 2 > 0 ; - 7 у > -14; у < 2; 2) прямий, якщо а -6 = 0; -7 у = -14; у = 2; 3) тупий, якщо а b < 0; - 7 у < -14; у > 2.

64.

12 —7і/ + 2 = 0; 14 —7г/ < 0;

А В ( 7 - 5 ;- 4 + 4 ; - 2 - 2 ) ; АВ(2; 0 ; - 4 ) ; V 2-1 2 2 1 1) І, (1; 0; 0 ); cosa = - 7=— І—- = _ = —_ = ' ' si 4 + 16 Vl v20 2v5 v5 2 0 + 0 1 + 0 -4) о 2) Іг (0; 1; 0); „ р . --------^ - L - 2 . „ . 0; Р = 90°;

0 )4 ( 0 ; O il);

cosr = - ^ = - | .

Відповідь: cos a =

65.

, (i = 90°, cos /3 = 2>^ . 5 5 A (6; - 4 ; 2); B(3; 2; 3); C(0; 1; 0); Z)(3;- 5 ; - 1 ) ; Довести, що ABCD - прямокутник. 8 -----------------C AB 1 AD. 1) A B(-3; 6; 1); AD(-3; -1 ; - 3 ) ; AB ■AD = 9 - 6 - 3 = 0; Отже, AB 1 AD;

66.

2 )A B ± B C ; B C (- 3 ;- 1 ; - 3 ) ; AB BC = = 9 - 6 - 3 = 0; AB 1 BC, отже, ABCD прямокутник. Нехай вектор a (2 A ;- 5 A ;-A ), тоді a ■ft = 4A + 25A + A = -90; a (-6; 15; 3).

67.

Z (a, ft) = 135°;

|a| = 3;

30A = -90; |fc|= 7;

A = -3, отже,

Знайти:

1) a •ft = 3• 7• cos 135° = -3• 7• cos45° = ~2 1 ' ^ ; 2 a ■ft = —10,5>/2; 2 ) | а - ї ] '( і = а - a -ft = 9 + 10,5-У2; 3) (ft - 2^)ft = ft - 2І5 =49 - 2 •(-10,5V2) = 49 + 2lT 2; II 1-0

68 .

а і її >-»

4) 2aft + 5a2 = 2 •(-1 0 ,5>/2) + 45 = -2b/2 + 45. z ( a , ft)

(3a + ft) (a - ft) = 3a2 + aft = 2 - 2 1 1 cos 120° = 2 - 2 Відповідь: 3

-2

= 2 + 1 = 3.

69.

Дано: |а| = 4;

|fe = 5;

z ( a , fe) = 135°;

Знайти: 1) |a + b ; 2)|&-3a|. 1)

la + b ( = a + 2a •b + b = 16 + 25 - 2 ■4 ■5 •— = 1 1 ________ 2 = 4 1 -2 0 V 2 ; |a + fe| = ^41 - 20-/2;

—.2 -2 — —2 1 ?0 • J 9 2 ) f t - 3 a = b - 6a b + 9a =25+ V +144 = 1 1 _________ 2_ = 169 + 60T2; |&-3a| = Vl69 + 60T2.

70.

Дано: a = ЗА + p і b = k - 2p; k i p ;

|Â| = 1; |p| = 1;

a b = ^3k + p) •(& - 2p) = 3k + kp - 6 k p - 2 p 2 =

= 3 + 0 - 0 - 2p = l ;

|â|2 = (3Â + p)2 =

= 9k2 + 6 k p + p 2 = 10;

|a| = 7 l0 ;

|б| =

= k - 4kp + 4p2 = 1 + 4 = 5; Ifel = л/5; 1 1 72 cos or = - 7= — ■== = — = = — . TlO •V5 5V2 10 72

В ідповідь: cos a = —

71.

лс(л; - 2 n; 8л). Нехай лс + d = a; a •c = 0;

a (3 + л; 1 - 2л; 8л - 4) ;

(3 + л) ■1 + (1 - 2л) •(-2 ) + (8л - 4) • 8 = 0;

3 + л - 2 + 4л + 64л - 32 = 0; 31 Відповідь: — 72.

6 9 л -3 1 = 0;

л= — . 69

Треба довести, що DA ± АВ і DA 1 АС, тоді DA 1 (пл. ABC). 1) DA (в; - 4 ; 2); А В ( 1; 3; 3);

£>А •АВ = 6 - 1 2 + 6 = 0, отже ПА 1 АВ; 2) АС ( - 3 ;- 1 2 ;- 1 5 ) ; БА ■АС = -18 + 48 - ЗО = = -4 8 + 48 = 0; Отже, б а 1 АС, а значить ПА 1 (пл. АВС), що і треба було довести. 74.

Дано: а (-4 ; 2 ; - 6 ) ; 1) Нехай М (4; - 2 ; 7) ->

(х; у; г), тоді

ММ, = а ( -4 ; 2; - 6 ) ; МЛ^ (х - 4 ; {/+ 2; 2 - 7 ) ; х - 4 = -4 ; х = 0; у + 2 = 2; у = 0; г - 7 = -6; 2 = 1; М, (0; 0; 1); М (4; - 2; 7) -> М, (0; 0; і ) ; 2) ІУ(-2; 0; - 1 ) —» ЛГ,(х,; у 2,); іМ ^ х , +2; у,; 21 + і) = а ( -4 ; 2; - 6 ) ;

75.

76.

х + 2 = -4 ; х = -6; у 1 = 2; 2, +1 = -6; 21 = -7; ЛГ(-2; 0; - 1 ) - * ^ ( - 6 ; 2; - 7 ) ; 3) І5Г(0; 0; - 8 ) - » АГ, (-4; 2; - 1 4 ); 4) 0 (0 ; 0; 0) -> О, (-4; 2; - б). М (-8; 6; - 3) —» М х(3; - 7; 2). Знайти: ^ (-1; —9; б) —>К х(х; у; г). Задамо паралельне перенесення З = -8 +а; а = 11; - 7 = 6 + 6; Ь = -13; с = 5; х ' = х + 11; Отже у ' = У - 13; ЛГ(-1; - 9 ; 6) -> К, (10; -2 2 ; 11). г = г + 5; Дано: АГ (2; - 3 ; 7) і * ( - 3 ; - 5 ; 0); 1) М -> К ; 2) К -> М; 1) Будь-яке паралельне перенесення задається формулами х = х + а; у ' = у + Ь; г' = г + с; -З = 2 + а; а = -5; —5 = —3 + Ь; Ь = -2; 0 = 7 + с; с = -7 . Отже, вектор п (-5; - 2 ; - 7 ) ; 2 )2 = -3 + а,; - 3 = -5 + ^ ; 7 = 0 + с;

а, = 5; б, = 2; с = 7; 77.

т ( 5; 2; 7).

1) А (-3 ; 1 ; -6 )-> А ,(2; 3 ; - 9 ) ; 2 = -3 + а; 3 = 1+6; 6 = 2; - 9 = -6 + с; с = -3; Отже, х' = х + 5; у ' = у + 2; г = г - 3; 2) В(4; - 6 ; 3)-> Д (9; - 4 ; 6); 9 = 4 + 0 ^ - 4 = -6 + 6,; 6 = 3 + с,;

а = 5;

а і = 5; х = х + 5; Ьі1 = 2; отже у(/ = »у + 2;’ с, = 3; г ' - г + 3; 78. 79.

Отже, такого паралельного перенесення не існує. Ст. 54 збірника. / Р а / Дано: а\\т, 6 1|т ; а/ ZBAC = 30°; АВ = 8 см; АС = 2у/з с м ; ВА 1 т ; СА 1 т; С Ь р\ Знайти: ВС. 1) ЛАЖГ за I і. косинусів д е 2 = 64 +12 -

80.

-2 •8 •2>/з •— = 76 - 48 = 28; ВС = 728 = 2>І7 (см). 2 ' ' а а / Відповідь: 2^7 см / _ Дано: а ||6; АС = 2>/7 см; // ао // Л АБ 1 т; АВ = 4 см; СВ 1 т ; СВ = 6 см; ч С Л К Знайти: В.Р. 1) АС2 = АВг +ВС2 - 2 АВ BC •cosZABC; 28 = 16 + 3 6 - 2 - 4 6•cosZABC; 2 8 - 5 2 = = -48coвZABC; - 24 = -48cosZABC; сов ZABC =—; 2

оч „ „ _ 2 бТз _ 673 6ч/21 . бТ2Ї } ^ / Г = 7 Г = ~ Т " Bl« nOB^ b: — Дано: ДАВС “ рівносторонній; 5давс = ^6^3 см j CD ± ß ; AB = З-УЗ см; Знайти: /CAD. 1) ACDA - прямокутний; 2) ^ДЛЛС

а 2у/з

3б>/3 =

4 _________

2л/3 4

а 2 =144;

а = 12;

3) CD = y j l 22 - (зл/з)2 = V 1 44-27 = ТЛУ; 4) CD2 = 144 + 27 - 2 • 12 •зУз •cosa; 117 = 171-72cosa>/3;

cos а =

72>/з

y/3

а = arccos-

я . . Vs Відповідь: а = arccos — 4 Дано: /AFD = 120°; ВС = 4 см; A e a , D e ß ; AB = АС = DB = DC; _AD = 6 см; Знайти: AB. 1) AABC і A.B рівнобедрені, AF 1 BC, DF 1 BC; AF = FD = x; 2) AAFD; AD2 = AF2 + DF2 - 2 •AF • DF •cos 120°; 36 = 3x2; x 2 = 12; 3) CF = F ß = 4 :2 = 2 ( c m ) ; AB2 = B F 2 + AF2;

AB = Vl2 + 4 = Vl6 = 4 Відповідь: 4 см

(c m ).

Дано: ABCD і A B E F квадрати; AB = 8 c m ; CE = 8^2 c m ; Знайти: ZCBE. 'ß

Так як AB = BC = B E = 8

( c m );

СЕ = 64 + 64 - 2 •8 8 ■cos ZCBE; 128 = 1 2 8 -1 2 8 cos ZCBE; cos ZCBE = 0; ZCBE = 90°. Відповідь: 90° Дано: ДАВС є а ;

ДABC ~

рівносторонній; ZCMO = 60°; Знайти: ZCBO і ZCAO. 1) СО ± р. Позначимо: CM = а, тоді д МСО ~ прямокутний; ал/з 2) MC = BC sin 60°;

ВС =

2а

со

3) ДСВО - прямокутний; —— = sin ß; ВС ал/з •>/з 3 • « 3 „ .3 ------------ = —; s i n p = —; р = arcsin—; 2 -2а 4 4 4

8 5.

4) ZCAO = ZCBO = arcsin —. 4 Дано: СВ 1 т; AB = 3 см;

DA 1 т;

AD = 6^2 см;

ВС = 8 см; ZCBC, = 45°; Знайти: CD. 1) AD 1 BCX; 2) За Т. косинусів знайдемо СС,;

AD = ВСХ = 6-72;

СС,2 = 64 + 72 - 2 •8 •6>/2 ■— = 64 + 72 = 96 = 40; 2 CCt = V4Ö; AB = DC, = 3;

3) ДСС,Р;

С Р = >/40 + 9 = >/49 = 7 (с м ).

86.

Дано: Р є « ; К є /5; РК = 9 см; ZP.DC = 30°; _____ С /

Р,#, = У38 см; Знайти: РР,.

А:АГ, = бТЗ;

1) Р ,* , = АГС = >/38;

2) РС = >/81 - 38 = 7 4 3 ; 3) РС2 = РР,2 + Р,С2 - 2РР, •Р,С •сов 30°; 43 = РР,2 + 108 -2 • РР. -6>/3 — ;

43 = РР,2 + 108 - 18РР,;

РР, = х;

-4 3 = 0; х 2 - 18х + 65 = 0; 9 +4 _ _ х. = ------- = 13; х 9 = 5.

х2 -1 8 х + 1 0 8 -

Р, = 8 1 - 6 5 = 16;

Відповідь: РР, = 5 або РР, = 1 3 Дано: ZABC = 30°; Z A PB = 45°; Знайти: ZADC. 1) Нехай АО = х, тоді хуі2

AB = x sin 45° = •

х>/2 1 х\І2 2) ДСАВ - прямокутний; АС = ------- — = -------; 2 2 4 3) — = sinZADC; — = sinZADC; AD 4-х V2 ZADC = arcsin — . 4

90.

• • ---V2 Відповідь: arcsin 4 Куля вписана в двогранний кут.

sin ZA PC= — ; 4

Дано: 5АВС - даний тригранний кут; / И С.С. = 60°;

ZA SB = ZASC = 45°; Знайти: АВБС. 1) Через точку Б ребр проведемо БВ ± &4, БС 1 5А. Розглянемо ДББВ і ДБ8С вони рівні по катету і прилеглому куту, ЯБ - спільний. Z.DSB = ZDSC = 45°, а значить ЭВ = БС і Б В = БС = х ; 2) Нехай SD = х, тоді SC =

ББ

cos 45° 3) ДBSC - правильний; ВС = Хуі2;

= W 2;

4) АВБС, по теоремі косинусів ВС2 = БС2 + Б В 2 -2 Б С ■Б В ■cos АВБС; cos ZDBC = х 2 + х 2 —2 х 2 = -------— 5-------= 0, отже, ДDBC = 90°, а кути 2х АСБВ = ABC Б = 45°. Дано: ZASC = Z A SB = ZCSD = а ;

93.

Знайти: ZCAB, ZABC, ZACB. 1) ДАВС - рівносторонній, так як АС = АВ = ВС, отже ZCAB = ZABC = ZACB = 60°.

94.

С, Аі

Ґ---- 1— в. o j.„ 0

#00

/ В

8 - вершин, 6 - граней.

95.

96.

Не існує.

97.

1) трикутник;

98.

99.

2) 12-кутник; 3) —-многокутник. О Не існує, так як кількість ребер будь-якої призми кратна числу 3. Сі Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; А, АВ = ВС = 5; ВИ 1 АС; у' ВИ = 4 см; СС, = 8 см; / о 8* 1% ^ Знайти: АС,. Хі 1) АО = £С ; А В = л/25 - 1 6 = В = \І9 = 3 (см ); 2) АС = 6 (см );

3) ДАСіС - прямокутний; АС, = л/36 + 64 = 10. Відповідь: 10 Сі _Ві Дано: А В С й - прямокутник; 100 . АВ = 6 см; ZAOB = 60°; " с '" *

АА, = 5 см;

В Знайти: В Д . Л ' ________ 1) ДАОВ - рівнобедрений; ■У-'С* АО = с/к, а так як /А О В = 60°, то АО = ОВ = АВ = (і (см ); 2) ВИ = 12 (см );

Д£>£>,В - прямокутний;

В£>, = >/144 + 25 = >/їб9 = 13 (см). Відповідь: 13 см

тСі

■ /% С

Дано: А ВС В - ромб; СА, = 12 см; В В, = 8 см; ВВ, - 4 см; Знайти: АВ = А В. 1) ДАДС - прямокутний;

АС = 7144 - 16 = Т Ї2 8 = 8л/2 (см ); ' ' А 0П 2) Д ВВ,В - прямокутний; В В = ч/б4 - 1 6 = >/48 = 4>/3; 3) В£>2 + АС2 = 4 •А В2; 176 = 4 А В2; 10 2 .

128 + 48 = 4 •АВ2;

А В2 = 44;

АВ = -УЇ4 = 2>/ЇІ (см ).

Відповідь: 2 Т П см Ві Сі Дано: АВСВ - рівнобічна; ВС = 9 см; А В = 15 см; ■Є А

АВ = СВ = 6 см; Знайти: ^ВА В. 1) АМ = ВМ = (15 - 9 ) : 2 =

С[ N

= 3 (см); — = созАА = - = -\ У ’ АВ ‘ 6 2 2) А другі кути по 120°. Відповідь: 60°, 120° 103.

Ві

^С(

І А = 60°;

£> = 60°;

Дано: АВС2)А1В 1С1Д - куб; В В 1 = 4-Тз см; Знайти: 5-'вв1 В о1гс 1) сі2 = За2;

(і = а Т з, а - ребро

куба; 4>/з = аТЗ; 2 ) В В = 4>/2;

в = 4>/2 •4 = 16-72 (см2).

Відповідь: \ б 4 ї см2

а = 4 (с м );

104.

Дано: ABCD - квадрат; A4, = 18 c m ; ZB,D B = 60°;

В,

/ ( 4 т і < $к ~ А ,**

Знайти: AD і ZDB,A. 1) ADB,B -прямокутний.

в 7

— = ctg60°; ВВ,

DB = 1 8 — = 6л/3; З

Ф 2) АВ = Щ = 3v/6(cm); DB| = V324 +108 = ТІ32 = 12>/3; 3) DA ± A ß; Зл/б л/2 -----т= = — ; І2л/3 4

В,А 1 AD;

— = sin ZDB,A; DB, .п _ . . V2 ZDB.A = arcsin — . 1 4

Відповідь: ZDBXA = arcsin — , AB = з7б (cm) 4 Дано: ABCDFK 105. правильний шестикутник; AB = АА, = ВВ, = 4; Знайти: AD,, АС,. 1) AD, = САГг = <*,; АС, - KD, = d 2; 2) AD = 2Л = 2 -4 = 8 ( cm ) ;

AADD, - прямокутний;

AD, = л/16 + 64 = л/80 = 4>/5 (см );

3) АС2 = 4 2 + 4 2 - 2 •4 •4 •cos ZABC; 180 6 - 2 ) ZABC --------і-------= = 120°; АС2 = 1 6 + 1 6 6 - 2 16 cos 120° = 32 + 2 •16 cos 60° = 32 + 16 = 48; А С = у /Ї8 = 4 у іЗ

(cm );

4) ДАС,С - прямокутний. АС, = л/16 + 48 = >/64 = 8 (см ). Відповідь: 4^5 см, 8 см

Дано: ДАВС' ~ правильний; CM 1 AB;

CM = 4>/3 см;

8 млв = 32 см ; Знайти: ZDMC. 1) МС = ВС sin 60°; В

4>/з = ВС — •; БС = 8 (см ); = ^ AJB DM ; 2

2) 3) —

МБ

7з

= COS

ZCMD;

= cos ZCMD;

32 = - 8 Б М ; 2 —

Б М = 8 (с м ) ;

cos ZCMD;

ZCM D = 30°.

Відповідь: зо°

107.

8»

/ / v»A w • • I A/ ;■■■

Дано: ABCD - квадрат; AC = 2л/2

;

ZCAC, = 45°;

Знайти: S„. В

1) AC = 2>/2;

■■ ‘ ■

2) CCt = AC = 2>/2

AB = А Б =

o/ y 'W

\ 1

(c m );

3) ААВД - прямокутний; AB, = V8 + 4 = >/l2 = 2л/з 4) S „ p = 2 - 2 7 3 = 4>/3

108.

(cm );

(cm2).

Відповідь: 4>Уз см2 C, jg , Дано: ABCD - квадрат; A B = 6 c m ; AA, = 9 c m ; / /

L / C l... /

Знайти: S6, S„. В

l ) S ,= P K I ff; S6 = 2 4 - 9 = 216

(cm 2);

= 216 + 72 = 288 (см2). Відповідь: 216 см2, 288 см2 Ві Аі Дано: ДАВС ~ прямокутний; АВ = 10 см; ВС = 6 см; \< ААХ= 8 см; ...................... -;*А Знайти: 5 п. 1)

+ 2 5«*;

2) АСР= л/Ю0 - 3 6 = /64 = 8 (см ); 3) Я6 = ( 6 + 8 + 1 0 )-8 = 2 4 -8 = 192 (см2); 4) З * . = ^

= 24

(см2);

5) Я, = 1 9 2 + 48 = 240 (см2). 110.

Відповідь: 240 см2 Сі Ві Дано: АВСІ> - прямокутник; АВ = 6 см; АЛ = 8 см; Оі ZCIAC = 45°;

/л V. и

Знайти: Вб. 1) АС = УІ36 + 64 = л/ЇОО = 10 (см);

2) АССХА - прямокутний; сс = ій 45°; СС. = АС = 10 (см ); АС 1 ' ' 3) « 6 = р™ -Я ; 5 6 = (6 + 8) •2 •10 = 28 -10 = 280 (см2). Відповідь: 280 см2

111 .

Дано: ДАВС - правильний; А, В = гі;

ZABA1 = 0 ;

Знайти: 5 б. 1) ДАВА, - прямокутний; А А ,= гізт / ?; В

АВ = сі сов/З;

о ^2

2) Зб = 3сі сов Р ■(і вігі р = ----- віл 2 р.

3^2 Відповідь: —— віп2/? и

Сі

Оі Аг

-4-

о ;...

Дано: А В С й - квадрат; АВ = - А А 1;

Я = 6 7 2 см;

В. С

Знайти: 5 б. 1) а = бТ2 л/2 = 12 (см );

АА, = 2§ (см ); 3) в6 = 4 - 1 2 - 2 4 = 4 8 - 2 4 = 1152 (см2). 113.

Відповідь: 1152 см2 С> Дано: АВСИ - квадрат; 8

о ;...

в,

ал , с , с

8>/2 см2; ААХ= 4 см;

Знайти: в б. 1) АС = 8^2 : 4 = 2>/І (см );

і'жі:''.. .

2) А £ = - ^ 1 = 2 (см );

3) ^ = 4 - 2 - 4 = 32 (см2). Відповідь: 32 см2 ВС —15 см; Знайти: 5 .

Герона. Р = ^

13 + 14 + 15

=>/21-8-7-6 = л / 7-3-8-7-3-2 = 7 -3 -4 = 84 (см2);

2) 84 = 14 •А Д ;

АА, =

=у

= 6 (см );

3) 5 в = (1 3 + 14 + 15) 6 = 4 2 - 6 = 252 (см2);

= 2 5 2 + 2 84 = 252 + 168 = 420 (см 2).

Відповідь: 420 см2 = 2 0 ^ 3 см;

115. Дано: £ 6 = 12>/3 см2; Знайти: Я . 1)

2 8 ^ = 207 з -1 2 л / з = 8^3;

= 5 6 + 25,.,,; 5 о « = 4 У з ( с м 2);

4>/з = °

;

2) в 6 = РЖІ Я ;

5 « » = ^ ;

а 2 = 16;

а = 4 (с м );

12>/з = 12 •Я ;

Я = У3 (см ).

Відповідь: 7 з см 116. Нехай сторону шестикутника позначимо через а, тоді АО = 2а, тоді ^ = 2а Я ; 4 = 2 а Я ; Я = —; = 6 а - = 12 (см2). а а ' Відповідь: 12 см2 Дано: ABCD - рівнобедрена; 117. Сі В, ВС = 4 см; AD = 12 см; Di • \% І• _ СА - бісектриса ZBCD; І_

^i\TN

Ä s r - W V3 ZAQC = 30°; /у іі ■ '. .jчі .Л і__і ги Знайти: S .. N S6 = PK a H . 1) Так як СА - бісектриса кута, то ДАОС рівнобедрений; DC = AD = 12 см; 2) CM 1 AD;

DM = ( 1 2 - 4 ) : 2 = 4 (см );

CM = >/144-16 = У Ї28 = 8^2; 3) ДACM - прямокутний; AM = 4 + 4 = 8 AC = VT28 + 64 = 8\/3 ( c m ) ; CC 4) ACC, А - прямокутний; ——7 = ctg 30°; /iU

(c m );

СС, = 8n/3 - 7з = 24 5) S6 = (4

(cm );

12) •24

40 24

960

(c m 2 ).

Відповідь: 960 c m 2 Сі Br Дано: ABCD - квадрат; Sm =Q ;

л сі.д. *

ZC1ABl = P;

Знайти: 5 6. В

5 6 = Рхя ■Н .

1) 8 0сн = а2, де а - сторона

квадрата; а2 = Q;

а = VQ; Ркн = АТО; АВ, _ + о. 2) АС, В, А - прямокутний; - ctg p , АВ, = Vq ctg/J; 4Q 3) S 6 = 4>/q • У® = . ^ . Відповідь: віп р sin p sin p 119. В< Дано: АВСГ) квадрат; C< АВ = АХ) = 6; АС - діагональ; М

Z МОВ = Р; ВМ = М В,;

Знайти: 5 6. 1 ) АС = 6л/2;

ВО = -л / 2 (с м );

МВ . . 2 2) ДОВМ - прямокутний; - г —■= ^ р; СЛо = 2 У2 ‘

тоді

tg р-,

3) В6 = 46 •*»/2 tg р = 4*І2Ь2 tg р. Відповідь: 4 уі2Ь2 tg Д 120 . BD = d;

ZBCxD = a\

ZCxOC = Р; Знайти: S 6. 1) ABC,Z) - рівнобедрений;

C .O L B D ;

OB = OD = —;

ZOC.B = - ;

ОС, , a __ d a — - = ctg — ; OC, = — •ctg —; OB 2 2 2 2) ДС,ОС - прямокутний; OC,

= sin ß ;

CC, = —ctg — sin ß; 1 2 2

3) ACOB - прямокутний; BC 2 = — + OC2; 4 OC = OC. co sß = —ctg — ■co sß; BC2 = — + 1 2 2 4 a a + — ctg — cos ß ; B C = —J l + ctg — cos ß ;

A 2a To d . a . _ ¥ C° S 22 c t g - s i n 0 =

d 2\

1 + ctg 2 — cos2 ß .

= d2 ctg Відповідь: d2 ctg

121 .

Сі

П!/ і fi J/-*

Дано: ABCD - квадрат; AB = 8-\/2 c m ; CC, = 3 M - середина B,C,; Знайти:

;

__ = ±BD M O ;

BD = 8>/2 •>/2 = 1 6

(c m );

2) ДСС,М - прямокутний; д м = MC, = 8>/2 : 2 = = 4^ 2;

MC = V 16-2 + 9 = V32 + 9 = n/ІЇ;

3) MC = M B = Т і ї ; 4) M F 1 BD;

4) ДОМВ ~ прямокутний;

OF = OB = 4

(c m );

SM FB -

прямокутний; M F = 41 - 16 = %/25 = 5

(cm );

Відповідь: 40 см2 І

Н _ 6-2 — _ —12 — 4 V/? ---------------------------3 (І с м )\.

віпбО0 у/з Відповідь: 4^/3

123.

у/з

См

В»___________гСі

Дано: АВ = ВС = 13 см; АС = 10 см; О - точка перетину медіан; ZB1BO = 45°; Знайти: площу грані АА,С,С.

1) ААВС - рівнобедрений; М - середина АС, ВМ = л/іЗ2 - 52 = -ч/і8 •8 = 3 4 = 12 (см ); 2) Медіани точкою перетину діляться у відношенні

2:1, отже ВО = —•В М = — 12 = 8 (см ), тоді О о А ВВ,0 - прямокутний; ВО = В ,0 = 8 (см ); 3 ) 5 ^ = 1 0 - 8 = 80 (см2). Відповідь: 80 см2

124. 5 в = (5 + 5 + 16) 13 = 16 13 = 208 (см2). Відповідь: 208 см2

125.

Дано: [АА,СХС) ІІС С .В .В ); СА = 5 см;

СВ = 12 см;

/А С В = 90°; 5 б = 240 см2; Знайти: І. 1) ААВС - прямокутний; АВ = >/25 + 144 = 13 (см ); 2) 5 6 = (5 + 12 + 13)-/; Відповідь: 8 см

і= ^

= 8 (с м ).

2) Я* = 2 4-3> / 2зіп 60° + 6 4 = 12>/б+24 = 12(ч/б+2). Відповідь: 12(\/б+2) 12 8 . а = 6;

Г/= 8;

5 6 = 2 •6 •8 •зіп 60° + 2 - 6 8 = 48-Тз + 48 ■2 = = 48(>/з + 2) (см2). Відповідь: 48 ( 7 з + 2) см В'

129.

”

► >: АВ = 8 см;

АО = 15 см;

ZA1CA = 60°; Знайти: 5 п. ■®гі = +25^. 1) ААІ)С - прямокутний; АС = 7 6 4 + 2 2 5 = 7 2 8 9 = 1 7 (см ); 2) ДАА,С - прямокутний; АА, = АС -ге 60° = І7л/3 (см ); 3)

= 8 15 = 120 (см 2);

= 2 •(23) •1 7>/з = 46 ■17>/з = 782>/з (см2);

= 2 ■120 + 782>/з = (240 + ?82л/з) см2.

Відповідь: (240 + 782-Уз) см2 р

Дано: АА, = 2л/2; г

сі-Ь = 3; Знайти: 5 о. 1) а = сі - 2;

с і - а = 2;

Ь = сі - 3;

сі2 = а2 + Ь2 + с2;

сі2 = ( с і - 2)2 +

+ (d - З)2 + 8;

d2 = d2 - 4 d + 4 + d2 - 6 d + 9 + 8;

d2 = 2d2 - lOd + 21; тоді a = 5

ft = 4

(c m ),

2) Sxt = 5 4 = 20 3) S6 = 2 - 9 2 7 2 ;

d 2 - lOd + 21 = 0;

d = 7 ( c M),

( cm );

(cm 2 );

S 6 = 36>/2

( c m 2);

4) S„ = 20 •2 + 36>/2 = 40 + 36>/2 = 4 (lO + 9ч/2) Відповідь: 4 ( l 0 + 9-v/2j

131.

Сі c— 1— D> s j... у # / A----------D

Дано: AB : AD = 1 : 2 ; S6 = 60

2 5 ^ = 7 6 - 6 0 = 16;

x = 2;

з ) S i =POCHH-, Відповідь: 5

132.

В>

1) S „ = S 6 + 2Seca; S ^ S ^ m 2);

2) AB = x, AD = 2x, тоді 2x •x = 8; x 2 = 4;

S„ = 76 c m 2 ; Знайти: H . c

AB = 2 H =^

2x2 = 8;

AD = 4

;

(c m ).

Дано: AC = 9 CB, = 1 2

;

АД =11

;

Знайти: DB, = d.

--ОІС

1) Нехай AB = a, AD = ft, BB, = c, a 2 + c 2 = 121; тоді

ft2 + c2 = 144; a 2 + b2 = 81; 2 a 2 + 2c2 + 2ft2 = 346;

2 (a 2 + c2 + ft2) = 346;

a 2 + c2 + ft2 = 178;

2) D B,2 = a 2 + ft2 + c2, отже DB,2 = 178; DB, = T l7 8 ( c m ) .

Відповідь: V l78

Сі

___Si

Дано: AC, = d;

ZC,AC = a;

ZDCA = /?;

Ai Сд.л. Л к■ « № 1і*

Знайти: S 6. В

1) ДСС,А - прямокутний; C C , = d s i n a ; AC = d co sa ; 2) AACD - прямокутний;

AD = AC •sin P = d cos a sin P;

DC = d cos a cos P;

3) S6 = Ржя ■H = 2 (d cos or sin p + d cos a cos p) d s in a = = 2d2 co sa sin a (sin p + cos p) = d2 sin 2a (sin P + cos p ) . Відповідь: d2 sin 2a (sin P + cos p ) _Сі Дано: ABCD - паралелограм; Di 134. AD = 10 c m ; AB = 16 c m ; Si -r -f ZA = 60°; AA, = 4 Т Ї0 c m ; ♦

Знайти: CA,. 1) ДАВС; Z B = 180° - 60° = 120°;

AC2 = 1 0 0 + 2 5 6 - 2 - Ю

16 cos 120°;

AC2 = 356 + 160 = 516; 2) ДAA,C - прямокутний; CA, =>/160 + 516 = >/676 = 26 135.

(c m ).

Відповідь: CA, = 26 c m Ві Ci Дано: ABCD - ромб; ZA = 60°; Dі BI.X. -"V*C

AC = 8>/з см; Z B ,£ B = 30°; Знайти: S6. 1) За теоремою косинусів: нехай AB = а; /Л В С = 120°;

AC2 = A B2 + ВС2 - 2 - A B - ВС- cos 120°; 64 •3 = a 2 + a2 + 2a2 co s60° = 3 a 2; a2 = 64;

a = 8;

AB = BC = 8

;

2) ABAD - рівнобедрений, але ZA = 60°, отже він рівносторонній, BD = 8 см;

8л/з _ 25бУз

4) S6 = 4 - 8 Відповідь:

136.

3 З

256л/3

с<

п Н — ТВ> ?ч -~ / .-V

”

(см 2). 3

см Дано: ABCD - ромб; S p = 120 см2; = 40 см2; ^ лл,СіС = 96 см ; Знайти: Я = АА,. BDAC і) йосЯ = ---------- : Нехай <*,<£,= 240;

В Д = d,, АС = d2, а АА, = Я , тоді d, 40 5 5 d2 ~ 96 ~ 1 2 ’ отже ^ = ^ 2 ^ ’ d/ = 2 0 - 5 = 100; 96 2) Я = — = 9 ,6 (см ).

5 ^ ^

d, •Я = 40; с ^ Н = 96; ^ =240;

гі2 = 1 0 ( с м ) ; Відповідь: 9,6 см

137. Дано: ABCD - квадрат; АА, = В Д = СС, = £>Д = 12 см. Знайти: Я . Вказівка на ст. 103. 1) Я = 12 s in 60° = 6-Уз (см ). 138.

%______ яС.

/k 'P /f »Л » 7

. м

Відповідь: 6>/з см

Дано: BD = 10 см;

АС = 32 см;

Я = 12 см; Знайти: АА, = В Д . 1) ОВ = 5 см; і, =>/25 + 144 = 1 3 (см );

2) ОС = 16 см;

Я = 12;

1 = 4 256 + 144 =

= >/400 = 20 (см ). Задача має два розв’язки. Відповідь: 13 см або 20 см Б £ = ZA SB + /В Я С + ZCSD +

139.

+ZAS.D < 360°. Не існує, так як число ребер парне число. 140.

1) БО = Я ;

141.

2) ZSCO;

3) ZSM O .

Л М О 142. Існує, так як бічні грані - правильні трикутники і сума плоских кутів 60° •5 = 300° < 360°. 5 Дано: вАВСБ - правильна; 143. БО = Н = 6 см; БС = 10 см; Знайти: АВ = СИ = ВС = АВ. 1) АБОС - прямокутний; А

ОС = >/100 - 3 6 =>/64 = 8 (см );

16 2) АС = 16 см, а АО = ^ = (см )І2 Відповідь: 8^2 см Дано: вАВСБ - правильна; 144. &взо - 48 см2; АВ = 8\І2 см; Знайти: 5А. 1) ВИ = АС = 8\І2 >/2 = 16 (см ); 2 )5 ^ = ^ 1 6 5 0 ; 48 = 8 5 0 ;

5 0 = 6 (см );

з) я л = Т б з Т з б = 10 ( см ). Відповідь: 10 см 145. 8 Дано: БАВС - правильна; БО = 10 см; АМ 1 СІ); АМ = 6 см; уА Знайти: БМ 1 АВ. 1) ААМВ - прямокутний; АМ = віп 60°; АВ

АВ = ^ 3 - = -*| = 4>/з (см ); 4 /г г = — = 2 (с м ); 2-73 3) Л 50М - прямокутний;

2) ОМ = г;

5 М = л/ЮО + 4 = л/Ї04 = 2^26 (см). 146.

Відповідь: 2 уі2 6 я

см

Дано: БАВСИ - правильна; 5 0 = 4 см; ZSM O = 60°; Знайти: АВ. ОМ-

, 2 •>/з

8ч/з ,

2) а< = 2г = 4 —£ - = —

(см).

8>/з Відповідь: ------см З

147. вв = і - 9 Р;

= і - 9 - 3 2 = 16-9 = 144 (см 2).

Відповідь: 144 см2 Ґ1 —•4 •4 ■зіп45° = 3 16- — = 24л/2 (см2). 2

Знаходимо площу одної грані і множимо на 6, а

Sг» = — •/•/• sin 45°. 2 14 9 . S 6 збільшиться в 2 рази. 150. S Дано: SABCD - правильна; SM L A B ; S M = 10 см; /У\УЧ „ SO = 6 см; / л ,-V В // Знайти: S 6. / . * * О 'Л / м О**--------- д 1) ДSMO - прямокутний; ОМ = >/100-36 = л/б4 = 8 (см ); 2) АВ = 8 - 2 = 16 (см );

S6 = і - 3 2 - 1 0 = 160 (см2). 2

Відповідь: 160 см2 15 1 .

Дано: S , в 2 рази більше S

Знайти: ZSMO. с 1) S6 = —2^2-; cos а =

152.

В S

Відповідь: 60° Дано: SABCD - правильна; АВ = 6 см; ZSMO = 60°; Знайти: S П. 2) ASOM - прямокутний;

В М = М А = 3 см; SM = 2 -3 = 6

ОМ = 3 см;

(cm );

3) S 6 = | - 2 4 - 6 = 1 2 -6 = 72 4) S„ = 36 + 72 = 108 Відповідь: 108

( cm 2 ).

(cm 2 );

— = cos 60°; SM

т / / /І \

\ .

/ /_ 11 ..1 - - « ;| г п с — Г Т Г \--’У

Дано: 5АВС - правильна піраміда; 5А = 9 см; БО = 6 см; Знайти: 5«. 1) ДА 50 - прямокутний; Г7Г, —

ПТ

—

АО = Т в їТ з б = 745 = Зч/б (см);

2) АВ = Зл/5 •>ІЗ = 3>Яб ( см );

3) ОМ = г = - Я = — (см ); 2 2 4) Д 50М - прямокутний; 5М = , 3 6 +

45 4

144+45 V

= 2 ^ 2 1 (см);

5) 5в = --9 у іЇЕ --у і2І = — 7 і5 21 = — -3->/35 ( с м 2 ) . 2 2 4 4 1 ' Відповідь: ——у/3 5 см 2 с 154. Дано: &АВСІ) - правильна; АС = В І) = бТ2; А

ZSAO = Z SB O = 60°; Знайти: 5 6.

С 8 1) АО = ОС = 3>/2; 2) ДА50 - прямокутний; 5 0 = Зл/2 ^ 6 0 о = з 7 6 (см ); 3) АВ = ^

= 6 (см );

ОМ = і АВ = 3 (с м );

4) ZSO M - прямокутний; ЯМ = ч/54 + 9 = л/бЗ = 3^7 (с м ); 5) Я, = і - 2 4 - З Т 7 =36>/7 (см 2).

Відповідь: 36^7 см2

Дано: 5АВС - правильна піраміда: вА = в В = вС = 2л/2 см;

вМ 1 АВ; Знайти: в П . 1)

вМ = -А В ; 2

Нехай А В = 2а, т

ААБМ ~ прямокутний; а2 + а2 = 8; а 2 = 4;

а = 2 см;

2 )5 . = ^ + 5 ^ ;

2а2 = 8;

= 2 см, а АВ = 4 см;

Я«, =

= 4х/з(см 2);

Я, = -• 2• 12 = 12 (см2); 5 л =4ч/3+12 = 2 = 4 ( ^ + 3) см2. Відповідь: 4(-Уз + з ) с м 2

156.

Дано: вАВСИ - правильна піраміда; вА = АВ = 8 см; Знайти: 5 л. = + ®осщ1 ) « о с .= 8 2 = 64 (см 2); 2) вк = 4 - 5 м м ;

ААБВ - правильний;

5 д * в = ^ р = 1бТз (см2), тоді 5 в = 4 1бТз =64>/з (см 2); 3) Я, = 64 + 64>/з = 6 4 ( і + >/з) см2. Відповідь: 6 4 ( і + >/з) см2

157.

Дано: БАВС - правильна; БМ 1 АВ; БМ = 4 см; Д = 3л/3; Знайти: в Л. 1) Так як я = 3>/3 см, то Оз = ЗТЗ •уіЗ = 9 (с м );

„ _

81^Уз /

2) Д . - —

(см );

3) Яв = 1 - 2 7 - 4 = 54 (см2);

= 5 4 + ^ 7 3 (смг) = 27 2 + ^ 7 з

см

Відповідь: 27 Ї + І Л І см 4 158. 5 Дано: £АВСО - правильна; АВ = 8 см; ЯМ 1 АВ; БМ = 5 см; Знайти: 1) 5 0 . 1)

с ----------- в

ОМ = 1 АВ = 4 см; ЛЯО

____ 2

прямокутний; <90 = 7 2 5 -1 6 = 79 = 3 (см); 3 0 = 3 (см); 2) ^ £ А 0 ;

АС = 8ч/2;

ОА = 4л/2;

— = ій ^вАО; АО

‘в & 4 0 * ї з г і г 3) ZSM O ; ДОЯМ - прямокутний; ЯО Я Ч — = tgZ SM O ; tg Z S M 0 = - ; ZSM O = a r c t g - ; ОМ 4 4 4 ) 8 я = 5 6 + 5 ося; ^о с ,, =82 =64 (см 2); 5 в = 1 - 3 2 - 5 = 80 (см2);

5 . = 6 4 + 80 = 144 (см 2).

Відповідь: 144 см2 Дано:

= 2 уІ З ;

Zcf = 45°;

Знайти: в в. сов 45 ZA = Z B = ZO = 60°; АО = АВ = ОВ;

ОМ = АО •зіп 60°;

АО = 2

Д ' 2 = 4;

Ц Р6 = 24, або ай = 4, тоді #-

1 ^ = - •24 •2>/з = 24>/3; 2

5в = 24^

Відповідь: 24л/б см2

2 = 24>/б (см2).

Дано: SABCD - правильна піраміда; АС = BD = d; Z.SMO = а; Знайти: S 6.

Відповідь:

161 . А

л2

2 cos а Дано: SABCD - правильна; /.SAD = а ; г — вписаний в бічну грань; Знайти: S6. 1) Центр кола, вписаного в трикутник лежить на перетині бісектрис; ВОх бісектриса; /М В О х = — \

2) AB SM - прямокутний; а SM = r ctg — •tg а. Отже,

SM ВМ

, ВМ = r ctg

ö |<м

ВМ , а -------= ctg —; MO, 2

= tg a ;

а а а S6 = - - 8 г c tg — r c tg — t g a = 4 ґ ctg 2 — t g а а Відповідь: 4 r ctg “ — tg а

162 .

Дано: SABC - правильна; SO = Н ; /S M O = а; Знайти: SA. УА 1) AOSM - прямокутний; ОМ = ctg а ; SO ОМ = Я ctg а ; г = Я ctg а;

2) ОА = R = 2г;

ОА = 2Н ctg а;

3) ДSOA - прямокутний; SA = V# 2 + 4 Я 2 ctg 2 а = Hyjl + 4 ctg 2 а . Відповідь: H -yJl + 4 ctg 2 а Дано: SABC - правильна; ZSM O = 30°; Знайти: ZSAO, ZASB.

прямокутний; -777- = tg 30°;

мо

SO = r — ; АО = 2г; З SO 2) ДASO - прямокутний; — = tg ZSAO; АО

rVЗ

------- = — ; З -2г 6 3)

. 7з

ZSAO = аг ctg — ; 6

= sin ZSAO; tg а AS л 3 1 13 1 + — = — ;— ; — = 36 cos а 12 . 2 1

“

“ ■ «!

= — ; 1 + tg 2 а = * 6 cos а 1 2 12 — -— ; cos а = — ; cos а 13

г -7 з 7 їз ^ ------- ~ =

= г*13; г— уаслж ГУІЗ-З прямокутний; sin ZASM = — •

AM = MB

AM ------= sin ZASM ; AS ZASB = 2 arcsin

6A SM З

ч ZASM = arcsin - 7— ; V l3

V13

•.

■Уз

4 U l V/Olll ■ Г — — Відповідь: /S A O —ar ctg ——,» ZASB = b2 arcsin 6 V13

Дано: МАВС - правильна; АВ = АС = ВС = Ь; ZMKO = ZM FO = Р; К і F середини сторін АВ і ВС; Знайти: S KMF. 1) F K - середня лінія ААВС;

2) OF = OK = r = FM =

— = co sр; FM

2л/з

cosp 2\ІЗ ■cos Р ’ ь 3) ДF M K - рівнобедрений; FP = РК = —; М Р 1 FK;

=ь

Ь2 16

ь2

МР

V12 cos2 Р

у Г

4 - 3 cos2 р

48 cos2 Р

4•cos Р

4) &FMK

(

1 12 cos2 р

1 \ 16 J

4 - 3 cos2 Р

4 - 3 cos Р

2 2 4 cos р У 4 - 3 cos2 Р

16 cosІ Р Відповідь:

4 - 3 cos2 Р 16 COS Р

16 6 . Рис. 21. Так як БО - проектується в точку О, а О - це центр описаного кола, то дАВС ~ тупокутний. 168. 5 Дано: АВСБ - паралелограм; ЯА = БС; вВ = Я/); Довести, що вО - висота піраміди. 1) ДА5С - рівнобедрений; ЯО 1 АС;

2) АВ5£) - рівнобедрений; БО ± ВВ; Отже, ЗО - висота піраміди. 169. я Дано: БАВСИ - піраміда; АВСБ - прямокутник; АВ = 12 см; ВС ~ ЗО см; 5 0 1 (А В С );

БО = 8 см;

ZSAO = /Я В О ; Знайти: Зб\ Так як бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, то вершина висоти проектується в . центр описаного кола. 5 в = 2 5 Л<;Д + 2 5 в<;с. 1) вМ = л/б4 + 225 = >/289 = 17 (см ); 2) ЯІУ = 76 4 + 36 = л/Г00 = 10 (см ); 3) в * « , = і - 1 2 17 = 6 17 = 102 (см2); 4 )5 ^ = !

ЗО 10 = 150 (см2);

5) 5 6 = 2 102 + 2 150 = 2 0 4 + 3 0 0 = 504 (см2). 170.

Дано: ZABC = 150°; 5 0 = 12 см; /З А О = Z S £ 0 = ZSCO = 60°; Знайти: АС. 1) Д50А - прямокутний;

Я — = ^ 6 0 ° ; АО = 12■ — = 4>/3: з 50 З 2) О - центр кола описаного навколо ДА ДАВС, тоді за теоремою синусів xsin (180° - 30°) ; Відповідь: 4>/з См

АС sin 150°

= 2Я;

АС = 2 •4>/з х

AC = 2 •4^3 •І = 4л/з (с м ).

Дано: SABCD - піраміда; ABCD - рівнобічна трапеція; AB = ВС = CD = 6 см;

ZABC = 120°; SO = 2 v 2

SO 1 (ACD);

cm;

ZSCO = ZSDO = ZSBO = ZSAO; Знайти: ці кути. 1) Так як ребра утворюють рівні кути, то висота проектується в центр описаного кола, отже ОС = OD = АО = R. Навколо рівнобедреної трапеції можно описати коло; 2) СС, 1 AD;

= 2 DC, = 6 соз60° = 3 (см ), тоді

СС, = C D s in 6 0 ° =

= З-УЗ (см );

ЛАСС\ - прямокутний; АС, = 6 + 3 = 9 (см ); АС = V81 + 27 = >/Ї08 = 6>/3; 3)Д ACD;

АС - = 2Д; sin 60°

2 '-^ = 12; 2Я = 12; лУз SO 4) ASOD - прямокутний; = tg ZSDO;

Я = 6;

= — ; ZSDO = a r ctg — . 3 3 72 Відповідь: a r ctg — o S „ = — 7ГГГ: Sjjcj. знайдемо за формулою Герона 1 72. co s30° 5+5+8 Р = -----------= 9 (с м ); S oc, = >/9(9 - 5 ) ( 9 - 5 ) ( 9 - і ) = tg ZSDO = — 6

= 3 •4 •2>/2 = 24^2 (см2);

S6 = - 24^ co s30°

= 24>Й - 2 = 8 •2>/б = ІбТб (см2).

7з

173.

в « . = | •Ь ■Ь ■зіп а =

= 5 ^ , + 5 в;

сов Р

Ь2 яіп а 2

2 сов р

Ь2 віп а / 1 1+соз р • о віп а соз 2

Ь2 зіп а

Ь2 віп а 2 соз Р } Ь2 віп а ■2 сов2 — 2 _ 2 сов р

Р 2

сов р ,2 Р Ь віп а соз 2 — В ід п о в ід ь :---------------- 2 СОЗр Дано: ААВС ~ рівнобедрений; АВ = АС; ZA = а; Д описаного кола; ЛвМО = ZSЛГО = р;

Знайти: 5 в. с СОЗ

ВС 1 ) ------- = 2Д; зіп а

ВС = 2 Д 9Іп а;

2) ZC = Z S = 9

ВС ТОді віпсс

Сі

АС зіп 9 0 ° -

3) в«. = - 2Д соз — •віп а = 2Д2 сов2 — віп а ; 2/

2 Д2 віп а соз2 — соз Д 2Д2 віп а соз2 — Відповідь: _____________ 2 со вД

СІ> = 10 см; а = 45°; Так як всі двугранні кути рівні, то 8 проектується в центр вписаного М А в. кола; S в, = ~ S oca + S f co s45° Знайдемо S 6; SM1I. BM . ono 1) AABM - прямокутний; — — = sin dU ; Т

AJd

AB = 1 0 -2 = 20; ' 2) Так як в основу можно вписати коло, то AD + CB = AB + CD; AD + СВ = 10 + 20 = ЗО; Sm = ^ - 1 0 = 150 (см2); 2 юи 1 5 0 -2 /г / 2\ 150 3) S . = ---------- = — г=г— = 150 •V2 (см ); 6 соз 45° V2 ' ' 4) Sn = 1 5 0 + 150л/2 = 1 5 0 (і + ^ 2) см2. Відповідь: 1 5 0 (l + V2) см2 1 7 6 . Рис. 22. 1) ZSCA;

2) ZSBA і ZSCA. Дано: SA і. (A BC ); АВ = 13 см;

SA = 12 см;

ВС = 14 см;

АС = 15 см; Знайти: S 6. ■Sg —S^Agg + S tM SC 1) 2)

= - ^ 1 2 - 1 3 = 6 1 3 = 78

+ &ABSC •

(cm2);

= - - 1 2 - 1 5 = 6 -1 5 = 90 ( c m 2 ) ; 2 1 oo 3) 5дд5С = - S M •BC; A M = ■ BC знайдемо за формулою Герона

= 13 + 14 + 15 _ 42 _

V 2 1 -8 -7 -6 =

= л / 3 -7 -8 -7 -3 -2 = 3- 7- 4 = 8 4 (см2), тоді AM = ^ ® і = 12 (см ); 14 V ' 4) AASM - прямокутний; S M = V144 + 144 = 12>/2 ( см ); 5) SBSC = 1 •I 2V2 •14 = 84>/2 (см 2); S e = 78 + 90 + 84-^2 = 168 + 84^2 = 8 4 (2 + -Щ см2. Відповідь: 8 4 ( 2 + >/2 ) см2

178.

Дано: SABC - піраміда; ДАВС “ прямокутний; A S = 8 см; ZABC = 60°; Z SM C = 45°; Знайти: S e. = *^ДА5С ^ЛАвв' 1) ДАВС - прямокутний; АС = 8 •sin 60° = = 4 -У з(см );

ВС = 8 ■co s60° = 4 (см );

СМ 2) ACM В - прямокутний; —— = sin 60°; CjD CM =

= 2>/з (см );

3) ASCM - прямокутний і рівнобедрений; SC = CM = 2V3 (см ); 4 ) 8 М5С= ±-4> / 3-2> / з= 12 (см2); с

= | -4-2> / з = 4 7 з ( см2);

6) ASMC - прямокутний і рівнобедрений;

СМ 241-2 4 л / зТ 2 гг. . ЯМ = ----------= — »«— = — т^- = 2\/6 (см ); соэ45° 72 42-42 У ' 7 ) 5 м 5В = | '8 - 2 7 б = 8 7 б (см2); 8) в б = 1 2 + 4>/з+8л/б = 4 ( з + >/3+27б) (см 2). Відповідь: 4 (з + 7 з + 2^ 6) см2 17 9 .

Дано: АВСБ - квадрат;

БО ± (А В С );

АВ = 8 см;

ZSAD = 60°; Знайти: в6. В

= 2 5 ^ 0 + 2 5 дляв.

1) ДА£>£> - прямокутний; 51) = 8 •Ій 60° = 8л/3; 2) Йллзі, =

| •8ТЗ •8 = 3 2 7 3 (см 2) ;

3) Так як РА 1 АВ, то і 5А 1 АВ (за Теоремою про три перпендикуляра). Отже, дЗАВ ~ 8 прямокутнии; А 5 = ---------- = 16 (с м ); сов 60° ' ' ^ л в = | 16 - 8 = 64 (см2); 4) £ 6 = 2 - 6 4 + 2 - 3 2 -73 = 6 4 ( 2 + 7з) (см2). Відповідь: 6 4 (2 + Т з) см2 180.

Дано: АВСБ - квадрат; АВ = а; З В І(А В С );

вВ = Ь;

Знайти: Бп. 1) 5 0СВ= а 2; 2 ) 3 АВ5= 8 в з с = \ а Ь = ^ ; 3) ВС 1 £>С, тоді вС 1 Г)С, отже Д 05С прямокутний; вС 2 = а 2 + Ь2; вС = 4 а 2 + Ь2; = —а ■4 а2 + Ь2; 2

a\fa2 + b2 ______ 2

n — TF

!--------------= ab + ava + b ;

5) Sn = ab + a>/a2 + b2 + a 2 = a

+ \Ja2 + b2 + a J .

Відповідь: Sn = a fb + -Ja2 + b2 + a j s Дано: ABCD - прямокутник; SB 1 (A BC ); S D = a ; Z.SDC = a ;

ZSDA = p;

Знайти: S6.

ASCD - прямокутний, т

за теоремою про три перпендикуляра SC 1 DC; CD = а ■cos a ; SC = a sin a ; 1 a2 sin 2а 2) = —а ■sin а ■a cos а = ------------ ; 2 4 3) ACSB - прямокутний; SB = -Ja2 sin2 a - a 2 cos2 a = = aVsin2 a - cos2 a = a>/-cos2a;

2 a > 90°;

4) S 4cse = S6asb = \ a ■co sa •a 7 - co s2a = а2 і------- — = — cos a v - cos 2 a ; 2 ^ r. a 2 sin 2 a „ 2 /------- ~ 5) S 6 = 2 --------------+ 2 a ■cos a v - cos 2 a = 4 sin 2 a = 2a2 + cos a V - cos 2a Відповідь: 2a 182.

f sin 2a і------- — ---------+ cos a y - cos 2a 4 Дано: SABC - піраміда; ДАВС - правильний; S M 1 AB; AB = 8 c m ; >S

Z SN M = 30°; Знайти: S □OB . 1) «ос-

= Іб Т з

(cm2);

------------------4__________ :---------

2) M N = - B C = 4 2

(c m );

3 )Ш

SM = 4 ' # ;

' іе Ж ’

5 , SW = M ; ■®MSC = S&CSB>

6 ) S MSC= ^ - 8 M5C

S„ = 16V3 +

+ I b ® + « ± ® . 1 « V S 1 + —+ — 3 3 = 1673 . 8 = 1 2 8 ^ ( cm2). 3 3 ' 1 Відповідь: 18 3 .

128-Уз

—

-—

Дано: ABCD - квадрат; (M DC) 1 (B C D ); AB = 16

MD = MC = 10

'! \cV \ g »41—- V / M FLD C; =

;

1) ADMC - рівнобедрений; D F = FC = 1 6 : 2 = 8

>/100 - 64

S CAfC =

—

(cm );

1 6 -6

(cm2);

2) AABM - прямокутний; Здавлґ = —M B ■AB; & B F = V256 + 64 = >/320; 3) B M = >/36 + 320 = >/356 = 2>/89; 4 )S ^ B = |

;

Знайти: S 6.

£>----------- ^

l 6 2>/89 = 16>/89;

5) S 6 = 4 8 + 3 16>/89 = 4 8 (1 + 7 8 9 ) Відповідь: 4 в ( і + -789)

18 4 . Збірник ст. 64, рис. 23.

Дано: АВСА,В,С, - правильна зрізана піраміда; АВ = 6 см;

А,В, = 4 см; Знайти:

АА1 = 8 см;

5 , = 3 АВС + ^А^С, + &6Ш 1 ) 3 д э с = ^ р = э 7 з ( с(см2); м 2);

= 1^

= 4>/3 (см2);

2 ) ^ = 1 ( Р 1 + Р ,).Л ; 3 ) В 1Г 1 А В ;

В,Р = Л;

А ,М = МВ, = 4 : 2 = 2 (см );

В Р = РЛГ = 6 : 2 = 3; 4) В ,Р = >/б4-1 =ч/бЗ=зТ7;

= - •(18 + 1 2 )-Зч/7 = 2 = ЭТЗ + 4>/з + 45>/7 =

= 45-77;

= ( і з Т з + 4 5 Т 7 ) см2.

Дано: АВС£>А,В,С,Д правильна зрізана піраміда; АА, = 4 см; АВ = 6 см; ОО, = 2 см; Знайти: З ^ с с -

= (АС + Д С , ) 1 ; 2) АС = 6>/2;

АО, = 3%/2;

3) ЛАА,Р - прямокутний; АР = >/16-4 = Т Ї 2 = = 2>/3; АС,

РО, = Зл/2 - 2-Уз, отже А, О = 7 2 (з - Т б );

= 2ч / 2 ( 3 - ч / б ) ;

4 ) 5 ^ с,с = 6 ^2 + 6-72 - 2л/Ї2 = ( і 2>/2 - 4-Уз) (см2). Відповідь: (і2>/2 -4л/з) см2

АХВХ= 6 см;

Дано: АВ = 8 см; ZM 1MO = 45°; Знайти: ООх. 8 ОМ =

2) ДМ М ХК - прямокутний; М К = М ХК = 4; Я/Г„

>/з ,

‘ т3 ~ Ж • Уз Відповідь: — см м к

~- т

і ї

(см >-

Дано: АВ = 10 см;

188.

А,В! = 6 см;

ОО, = Я = 2 см;

Знайти: 5 б.

= 40 см;

Р2 = 24 см;

2) М М , = Т Ї Т Ї = ^8 = 2л/2; 3) 56 = —•(40 + 24) •2-У2 = 2 = 64>/2 (см2). Дано: АВСАХВХСХ - правильна

189.

П§!__.'.у^С зрізана піраміда; А В = 18 см; [

ЛГ

0 0 1 = 8 см;

ВАХС - переріз. Знайти: 5 , .

1) 5 пер = - 1 8 Л = 9 Л;

2 )0 ,А , = 2 ^ = ^

= 9 см;

А ,Р ± В С ;

3) Д0[ В,К сл АОРК, тоді О.К = х;

О.К

А.К = кр' '

ОК = 8 - х ; 8 -7 *

* 2

8 -х

2л: = 8 - х ;

Зх = 8;

= А 'Л . 2 ■з 7 з х = —; З

0^ = 2 4 -8 = 1 6 9 ч2

3) ДАхОхК - прямокутний; А К

ч3 ,

= /8ГТ64 = щ ш т ш Л ш V3 9 V 9 V 9 3_______ 4) АРКО - прямокутний; р к = л/ОІ?2 + СЖ? =

5) Л ^ = 1 (7 307 + 7499); 6) 5«Р = 1 - 1 8 1 ( 7 3 0 7 + 7499) = 3 ( 730 7+7 499 ). 2

190. 20 тригранних кутів. 191. У ікосаедра 12 вершин; при одній вершині сума плоских кутів 60° •5 = 300°, а сума всях кутів 3 0 0 °-1 2 = 3600°.

192. в октаедре = 240 см2. Знайти: площу однієї грані. У октаедра 8 граней, тоді 5 одніеі = —— = ЗО (см2). О

Відповідь: ЗО см2

193. 1 = 8 см; ікосаедра; Знайти: 5 П. 1)

= 5а27 3 ;

Відповідь:

5„ = 5 ■6 4 7 3 = 3 2073 (см2).

3 2 0 7 з

см 2

1 9 4 . Тетраедр має 4 грані; ^ ~^/з ’ 3 п = а 24 3 ;

° ~

в„ = З Д 2>/3 (см2).

Відповідь: ЗДг7 з см2 19 5 . І октаедра 6 см; Знайти: ребро куба. У октаедра 8 граней. Центри граней октаедра 8 р вершини куба с =2 = 2 '2>/3 = 4 у/ з (см ). 196-

Дано: ОО, = 8 см;

АО = Я = 7 см;

Знайти: 8 лвсй = 8 •14 = 112 (см2). Відповідь: 112 см2 Дане: ООі = 6 см;

ZACD = 60°;

Знайти: АС і 5 осп. 1) ЛАСІ) - прямокутний; ^ ^ = соз60°; АС

АС =

І 2

= 12 (см );

2) — = tg 6 0 °; АД = 6 у/3; СО 3) АО = ОВ = ЗТЗ (см ); 4) Я", = я й 2;

5 ^ = л :-27 = 2 7 * (см2).

Відповідь: АС = 12 см; 1 9 8 '

&&їФ\

в = 27тг см2

Дано: АС = 13 см;

АО - 0 0 , = 1 см;

Знайти: Б. 1) Нехай ООх = х, тоді АО = х + 1, а АО = 2х + 2; 2) ЛАСО - прямокутний;

АС2 = АО2 + С і)2;

169 = (2х + 2)2 + х 2;

169 = 4 х 2 + 8х + 4 + х 2;

5 х 2 + 8х - 1 6 5 = 0;

Д = 16 + 825 = 841;

ж, =

-4 + 90

■ б

= 5 (см );

-3 3 - » отже, 0 0 1 = 5 см, АО = 6 см; о 3) 5 пср = 5• 12 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2 х2

Дано: Я = 8 см; А Б = СВ = 12 см; АС = 20 см; Знайти: ОМ 1 АВ. 1) ААСВ - прямокутний; АВ = > /400-144 = >/256 = 16 (см ); 2) ААОВ - рівнобедрений; ОМ 1 АВ; АМ = М В = 16 : 2 = 8 (см ). Отже, ОМ = О, тобто переріз є осьовим. Відповідь: О

200 .

Дано: АС = 5 уі2; А1В хС1Б 1 ~ квадрат; = Ю см ; ЛВСР-

О)

1) А,/), = А,В, = л/Го см; 2) ААОС - прямокутний;

АО = 7 5 0 - 1 0 = 7 4 0 = 2 Т Ї0 ; 3) 5 авсв = 7 Ї 0 2 Т Ї0 = 20 (см2). Відповідь: 20 см2

201 .

Дано:

= в;

ZУVAD = 60°;

Знайти: 5 ЛВМН' N

1) ДАТУ/) - прямокутний; АМ 1 — = сов 60°; А/У = 2Д •— = Я; А/) 2

= АВ Я,

5 2 Відповідь: — см А

§ 5 лвсо=2/гАВ = 5 , отже Д А Б = - .

1) &мюв = 9 •10 = 90 (см2); 2) с = 2кИ = 2к ■5 = Ютг (см );

3) ОС = 2 (см ); ГС = л/25 - 4 = УІ2Ї;

Ж = 2>/2І;

= 9 •2 уі2 І = 18721 (см2).

Відповідь: 90 см2;

Юл см;

18л/2І см2

Дано: 8 лвсй *

203.

ОМ = —і?;

Знайти: 1) ДР’ОІ'’, - рівнобедрений; ОМ 1 РР,;

^М = МР,, тоді 2Я.УІ2

™ = М !,# = 2) 5 П,Р =

4Я>/2

З /О

рк

= 2і і р

= А В •2І? = в ;

4Дч/2 ГРі =■

/ Й ■2 уі2

2 уі2 8

204.

= 20-у/з Дано: 2и-\/3 см2; см 8 авв>л, = ЗО см2; /И А А 1 = 30°; Знайти: 5 Л ,В ,С С ' 1) 3 АВСг> = АВ •АО; Нехай А В = Я , тоді АО = 2 ) ^

, =Я

М --3 0 ;

20Т з = А В •АО;

20-Уз

Я ЗО ^ А=^ :

3) Розглянемо ДОАА, і за Т. косинусів знайдемо

п, ОА,;

. 2 900 1200 _ 30 2073 ОА = — г + ---- -— 2 ---------------- сов ЗО = 1 Я2 Я2 Я Я 2100 600 3 300 ю7з Я2 я2 Я2 я

4 ) 5 Л,В,С£>

ю7з Я = ю 7 з (см2). я

Відповідь: ю Т з см2

205.

Дано: ОО, = 16 см;

ОМ 1 АС;

АО = Л = 8 см; ОМ = 6 см; Знайти: ZACB. 1) ДАМО - прямокутний; А~"

АМ = ч/б4 - 36 = л/28 = 277 (см );

2) АМ = А К = 2 у/ Ї (см ), а АВ = 2 ■2-Л = 4-Л (см ); 3) ААСВ 4 77 1о

АВ прямокутний; —— = t g a ; св

=^а;

їд а = — ; 4

Відповідь: агсі£

206 .

а = а іч *£ — . 4

Дано: АВ в 2 рази менше АВ; Знайти: ЛАМО. 1) Нехай АВ = Я , тоді АО = 2/гЯ; 2тгД = 2 Я ;

Я = тгД;

2) ДАМО - прямокутний; Я Я АО = — ; ОМ = — ; л 2 АО — = ЛАМО; ом

^ = tg ЛАМО; л Я

- = tg ^АМО; я

ZAMO = а г г і £ - , л

Відповідь: 2 а іч ^ — л

Дано: ABCD - переріз; AC = d;

fAВ

• •

ZAOD = a ; ZCAD = ß; ОМ 1 AD; Знайти: ОМ. AC 1 ) -----= cos ß ; AD = d •cos ß; AC

ч4

2) &AOD - рівнобедрений; AM = MD = —co sß ; а ZAOM = ZDOM = —; 2

о м = c tg і —; а -----AM 2 d n , a Відповідь: —cos ß ■ctg —

ОМ = —cos ß c tg —.

Дано: ABCD - переріз циліндра;

20 8 .

s abcd ~ & ^DOyO = a ; ZCAD Знайти: OA = R, AB = H .

1) AADC - прямокутний; AD = ctg cp; AD = DC ■ctg (p; DC Нехай DC = Я , тоді AD = Я ■ctg (р; 2) S = AD ■DC = Я ctg (р Я = Я 2 ctg ер; S = Q;

=■ ctg (р

Я =

ctg cp’ DO . = tg a ; 3) Д0 0 ,D - прямокутний; DO = ОО, •tg a;

209.

Відповідь:

Ctg<£>

Q •t g ctg <p

DO = R =

tg a

V c t g< P

Дано: ОМ 1 AB;

a .

ОМ = d;

ZAOj В = a; Знайти: S,пер • * і■

1) ДАОхВ - рівнобедрений; ZA = ZB =

= 90° - —;

(p;

2) АМ = М В =

АИ

;

5„.р = А В Л2);

3) АМО,В - прямокутний; ОхМ = М В с ^ ^ \

= ^6 90° -

ООх = 1 М В 2 ■ctgг ^ - d 2.

0 0 , = ^ ^ ї ^ а с ї ^ 2^ - ^ 2; 4) /Л О В = 2а;

^АОМ = ZBOM = а ;

5) АМ = с ^ а ;

АВ = 2dtga^,

МВ =

6) ОО, = d J *£2а с * £ 2 ^ - - 1 ; 7) 8 П'Р = 2d ■іе а •d y|tg2a ■ctg2 ^ - 1 ; 5 пЄР = м 2 ■^ < г 2« - с ( г 2| - і ;

210 . Рис. 24 у збірнику. 211 . Не можна, так як навколо ромба не можна описати коло. 2 1 2 . Не можна, так як в прямокутник не можна вписати коло. 213. Трикутник - гострокутний. 214. Так, можна, так як суми протилежних кутів рівні. 215. Не можна, так як 16 * 7 •2; 16 * 14.

216. а6 = Я;

= 6Я Н ; 6 Л Я _ 3 _ гг Т Ш = ІТ 2

а4 = д 7 2;

5 6 = 4Д>/2;

Відповідь: зТ 2 : 4 5 6 = 120 см2; АА, = 6 см; ^1) = 60°; Знайти: ОМ. 1) 5 в = Р Н; Р =—

= 20 (см );

2) АВ = АО = 2 0 : 4 = 5 (см ); 3 )С Р ± А £ >);;

СІ СР = ЕЮ ■віп 60°;

СР = 5 — = —

;

1, . __ . 5ТЗ 55л/3 уЇЗ , 4) г = —Л = ------(см ). Відповідь: ------- см 2 4 4 218. С В, Дано: ДАВС “ правильний; АВ = а; В

Знайти: БМ1І/К. 1) г =

АА, = Я ;

® ; 2 )М Р = - ^ = 4 - ; 2ч/3 2л/3 >/3

= - ^ н = а ' Ну^ . Відповідь: у[з з 2 1 9 . Дано: В □ер. цял. = я . Знайти: В.. я 1 )2 Я Я = <?; Я = - ^ - ; ав = Д ; 2Н 6 он 2) 5 6 = 6а6 •Я = 6Д •Я = У„—- = 3$. 2Я Відповідь: ЗО 3)

а - Н у/з

пер

Дано: АВСА[В1СХ - правильна; ОВ = ОС = г; ЛГА^ММ, осьовий переріз циліндра; /'ЛГММ, = /?; Знайти: В«б призми . 1)Оз=г>/3;

Ра г= 3 г у / 3 ;

2) ДЛ^ММ, - прямокутний; М М , = 2 г - ^ / ї ; 3) В6 = 3 гл / 3 -2 г^ / 3 = 6 л / 3г2 ^ / 3 . Відповідь: бл/Зг2 ^ / ? 2 2 1 . аА= а ; 1) г =

Я - висота;

Знайти: Впеі>.

2 )5 „ р =2г Я = ^ - 2 Я = а Я.

Відповідь: а я

/А = а;

АС = АВ; О — центр

вписаного кола; / А ХСА = а; ОМ = ОГ = г; Знайти: 5 в. 1) /С А М = /В А М = —, так як АМ - бісектриса кута; 2) СР = СМ = х, тоді АС = гсЬ ц ^ и а МС = А С в іп —; х = х + г с і§ 2 І

+ х;

АС а . а — віп —; 2 2/

= віп^-; ^

а а . а 008 ~2 х = х а п - + г с Ь е - - віп— = г ------ — 2зіп — сов— = 2 2 2 .а 2 2 віп — 2 0 2и 2гсов — _______2 . = г2сов2—; х 1 —£>іп— І = 2г сов2 —; х = > 2 • — а 11 - зш 2 4г сов — . 3) ВС = _______ 2 > і1 - 8 ХП • — а 2

0 2 ** 2гсов 4) АС = А 8 = г с і г - + -----------*- = 2 , . а 1 - віп — 2 г с і£ — - г віп — ctg — + 2г сов2 —

і1 -в іп • — а 2 а 2 і1 - з іп • — а 2

а 01 ґ Іі -з іп а с о в — ГСІЄ2 2 а 1і - я • п— 2

Так як вО 1 М И, то МО = ОН К М = К И , вО - серединний перпендикуляр.

2 2 4 . Я = >/121-25 = %/% = 4>/б (см) Дано: ОА = Я = 6 см;

225.

/А Б В =

ДАвВ ~ рівнобедрений; Знайти: 6 0 = Я , >9А. .> а 8

1) ДАвО - прямокутний; АО = вО = 6 см;

2) А 5 = Т з б Т з б = 6л/2 ( см ). Відповідь: 6 см; бТ2 см Дано: АО = 8 см; ЙЛ - БО = 2 см; Знайти: Бм в. 1) Нехай Я - висота конуса, тоді БА = Н + 2; 2) ДАБО - прямокутний; ( Я + 2)" = Н г + 64; 4 Я = 60;

Я = 15 (см );

= - АВ БО; 2

Я 2 + 4 Я + 4 - Я 2 = 64;

АВ = 2 •8 = 16;

Бьазв = —•16 •15 = 8 ■15 = 120 (см2). 2 Відповідь: 120 см2 Дано: Д = 10;

22 7 .

І = 26;

Б 0 1 = 4 ,8 см; Знайти: 5 пер. 1) ДМБО - прямокутний; М-----------"БО = >/262 - ЮТ = >/36 16 = 6 4 = 24 (см ); 2) АМБО <*>А К Б 01 (за першою ознакою); МО АГО, 3) 228.

БО

50,

г, л 1 0 -4 ,8 АГО, = = 2 (с м ); ‘ 24

- пг2 = к ■4 = 47Г

(см 2).

Відповідь: 4я см2

Дано: АО = 24 см; БОг : 0 20, : 0 ,0 = 3 : 4 : 5 ; Знайти: в, і Б2. 1) АБВ02^ А Б А 0 (за першою ознакою); БОг = Зх;

50, = їх ;

В 02

г>г\ 24 •Зх „ , » ВО, = — -— = 6 (см ); ‘ 12х

Зх '

Б, = л:гг2 = п •36 (см 2) = 36л: (см2); 2) ЛА50 ел дс^О , (за першою ознакою); АО

БО

СО,

БО,

24 ї х

СО, = 1

12л:

= 14 (см );

Б2 = п ■142 = 196л (см2). Відповідь: Збтг см2;

196ж см2

Дано: /А Б В = 30°; Знайти: АВ.

229.

Я = 12 см;

АП 1 1) — = 2Д; АВ = 2 1 2 - = 12 (см); £5ІпЗО° 2 1 ' ААБВ - рівнобедрений; АВ2 —АБ2 + Я В2 - 2АБ ■БВ соз 30°; 2АБ2 7 3 144 = 2АБ - : =

а б 2[ 2

1 4 4 -(2 + >/з)

144(2 + л/з)

(2 - Т з )(2 + л/з)

4 -3

АЗ = А 5 = 12• л/І + Т з. 230.

- 4 з ); = 144 (2 + Т з );

Відповідь: Х2^2 + 7 3

Дано: ЛАБВ ~ осьовий переріз; ZA SB = /J;

Р^В = Р ;

Знайти: в,*,. 1) 2 •А 5 + 2 АО = Р; Р А5 + Я = —;

Р А 5 = - - Д;

АВ

А5

віп /З

АЯ =

віп 90° - — 2

2Д соз — 2 _ віп Р

2ЙС08 — 2 „

2 вш — •сов —

. Р'

вш -

Я Л

п + к = —; . Р~ 2 0 2’ зіп — віл 2 в 2 Р ■віп — _ 2 __ . Л =

Я 1і

• — Я + S1.I1 2

вігі — 2

2 •І 1 + віп Р2 віп2 — 4) в™ = л Р

=л ■

О \2 1 + зіп — 2

тгР2 зіп2 £ _________ 2_ Відповідь: 231.

1 + віп — 2 Дано: АО = 16 см;

/Л О В = 60°;

5 0 = 24 см; Знайти: /Я М О . 1) ДАОВ - рівнобедрений; ОМ 1 /Л О М = /В О М = 30°; — = соз30°; ОА

ОМ = 16 — = 8ТЗ (см ); 2 у '

Р 2’

SO ОМ - ? l r = tg ZSM O; tg ZSM O = V3; ZSM O = 60°. 8>/3 Відповідь: 60° S Дано: AB - хорда; ZAOB = a ; ZASB = P; SA = S B = /; Знайти: SO. ..J I - .A 8

1) AASB - рівнобедрений; AB2 = I2 + 12 - 211 cos /J = 2Z2 (1 - cos P) ;

A B 2 = 2l2 -2 sin2 — = 4/2 sin2 — ;

AB = 2/sin— ;

AM = M B = /sin —;

2) Проведемо ОМ 1 AB, тоді ZAOM = ZBOM = AAOM - прямокутний; П лп, I sin — AM _ 2 AO = a . a sin — sin —

. a = Sln ^ ’

i2 sin2 ^ SO 2 = I2 ------------ 2. 3) ASAO - прямокутний; a sin 2

. 2P

■ 2a

- Sill ^— s i n -----Sin 2 2 ---------- S a sin

I------------------ — ол z / • 2a . 2P SO = ------- J s i n ----- sin —. . a\ 2 2 sin —

a . 2P --------- J s i n ------sin — Відповідь ідь: sm — a » 2 2

Дано: СБ - хорда; ОМ 1 СБ; ОМ = 9 см; БО 1 пл.; БО = 4; О К 1 Б М ; ОК = 4 ,5 см; Знайти: 5 0 . 1) Розглянемо Д 50М і ДБКО подібні за першою ознакою. У подібних трикутників сторони пропорційні ОМ БМ 9 БМ БМ = 2 Я ; ОК БО 4,5 4 ,5 Я 2) ДОБМ - прямокутний; Б М 2 = БО2 + ОМ 2; 4 Я 2 = Я 2 + 81;

З Я 2 = 81;

Я 2 = 27;

Я = 3л/з(см).

Відповідь: з Т з см 23 4 .

Дано: БА = 5В ; ОА = ОВ = В ;

ZASB = а ; ZSAO = р\

Знайти: 5 ^ . 1) ДЙАО - прямокутний; АО „ 0 В -----= сов р; БА = -------- ; 5А . сов р В віп а 1 В 1 2) = —АЙ •ВБ •віп а = — •б і п а = 2 соз2 Р 2 сов2 Р В 2 віп а Відповідь: 2 сов2 р 23 5 . Дано: АО = 8 см; 0,А , = 4 см;

ZA1AO = 60°; Знайти: Я = 0 0 ,. 1) А, В І 0 ,0 ;

А, В 1 АО;

АВ = 8 - 4 = 4 (см ); 2) ДАА,В - прямокутний; BxB = AB t g 60° = 4 >/з (см ). Відповідь: 4л/з см

Дано: АО = 22 см;

ВО, = 14 см;

АВ = 17 см; Знайти: 3 ^ . А

------1) ВВ, 1 АО;

АВ, = 2 2 - 1 4 = 8 (см );

2) ДАВД - прямокутний; ВВ, = 7 2 8 9 - 6 4 = л/225 = 15 (см ); _ 2 2 -2 + 2 1 4 3) АВСО - трапеція; 5 ---------- ---------- 15 = 36 15 = 540 (см2). Відповідь: 540 см2 Дано: АО = 21 см;

^ С

23 7 .

«ГЛ

0 ,В = 9 см;

АВ : ОО, = 13 : 5; Знайти: в ляс/>1) Нехай АВ = ІЗ х, ОО, = 5х,

А ВВ, ||0 , 0 ;

ВВ, = 0 , 0 = 5х;

АВ, = 21 - 9 = 12,

тоді ДАВВ, - прямокутний; АВ, = ^/АВ2 - В В ,2 = = л/і69лг2 - 2 5х2 = 12л:; х = 1, тоді ОО, = 5; 2) SABCD = • ООх\

АВ, = 12л:;

12 = 12л:;

= 1 ® ± І2 5 = і5 о (см2).

Відповідь: 150 см2 238.

В^^~^

Дано: S, = 12 см2; S , = 24 см2; 0 , 0 2 : 0 20 = 1 :3 ; Знайти: S3. 24 1) АО = — ;

/24 2>/б АО = . — =

7Г

в о , - М Ж

во,1 = 2) АМ = ^ V7T

- ^

у/Л

=^ ( ^ - і ) ; УІЛ '

у[л

3) Д А ВМ ^ А С ВМ ,;

^ - =7 ; AM 4

. 2 -Уз >/з тоді і'іЛ = —— + ■ у[л 2 уік S3 =7Г-

5>/з 2ч/тг

CM, = - ^ = - ^ 1 , 4л/я 2Тя

5л/з 2\[л

2 5 -3 75 1 в о , 2v = тг-------- = — = 1 8 — (см ). Атг A А V / 4тг

Відповідь: 1 8 — см2 4 239. Дано: АВ = 8 см;

ZBAO = 60°;

D B LA B -, Знайти: ОА = R і 0 , 5 = г. АВ 1) AABD - прямокутний; —— = cos60°; AD А В = AD

AD = 16;

AO = OD = 8

2) ДABM - прямокутний;

(cm)

;

AM = cos 60°; AB

AM = 8• і = 4 ( cm); 3) OM = 8 - 4 = 4 ( cm). 240.

Відповідь: 8

Дано: A B = 4

і 4

cm;

ZBAO = 60°; BD = 2-УЇ9; Знайти: В і r.

1) B B , 1 AD;

BB, = AB •sin 60° = 4 •—— = 2V3;

2) AB, = 4 •cos 60° = 2; 3) ADBB, - прямокутний; DB, = V4 1 9 - 1 2 = V76 - 1 2 = 7 6 4 = 8 ( cm); 4) AD = 2 + 8 = 10 (cm),

тоді

5) OB, = BO, = 5 - 2 = 3 ( cm). Відповідь: 5 см і 3

R - — = 5 (cm);

Дано: г = 10;

Я = 16;

АВ = т= 10 см;

АО = 32;

ВС = 20;

Знайти: 5 ВЧ>.

1) ВВ, ЦОО,;

ВВ, = 0 0 ,;

АВ, = 1 6 - 1 0 = 6 (см ); 2) ДАВВ, - прямокутний; ВВ, = л/ЮО-36 = >/б4 = 8 (см ); 3) 5 П,Р =

•8 = 52• 4 = 208 (см2).

Відповідь: 208 см2

242. Рис. 25 у збірнику. 243. Основа висоти конуса знаходиться в 244.

гострокутному трикутнику. Дано: АО = 18 см; ZDAC = 60°; БА = ЯВ = БС = 52) = 12 см;

Знайти: =? 1) Навколо прямокутник описати коло, отже навколо піраміди можно описати конус. Центр описаного кола - точка перетину діагоналей; 2) ЛАОС - прямокутний; АС = ^

А Г)

= созбО ;

= 2 18 = 36 (см );

2 , А 3) ДАвО - прямокутний; АО = ОС = 18 (см ), а за умовою АБ = 12 (см ). Відповідь: Задача не має розв’язку, так як гіпотенуза не може бути меншою за катет. Дано: вАВС - піраміда; 245. АВ = 13 см; ВС = 14 см; АС = 15 см; ZSM O = 30°; Знайти: отрерЬу кмус,1) Так як двограні кути рівні, то висота піраміди проектується в

центр вписаного кола; ОМ = г - — . Площу дABC знайдемо за формулою Герона Р= = 7 - 3 - 4 = 84 (см2);

г = - ^ 1 = 4 (с м ); 42 2) ASMO - прямокутний; SO = MO •tg 30° = 4 — = — ; 3 3 4 /з Іб Т з , 3 )S „ = ^ 8 ^см )• 2 З Відповідь:. ібТз см 246. S Дано: SO = 8 см; ОМ = 6 см; АВ = CD = 15 см; Знайти: S п1р<м|д.. 1) S M = л/64 + 36 = л/ЇОО = Ю; 2) AMSO - прямокутний; ш-

ОМ ------= cos ZSM O; cos ZSM O = — = —; SM 10 5 3) Так як точка О - центр вписаного кола, то всі двогранні кути при ребрах рівні, тоді S . = - ^ - Знайдемо S ^ ,. AD + ВС = 2АВ = cosa = 3 0 ( с м ) ; А = 2г = 2 6 = 12 (см ), отже ЗО S„ce = - ^ 1 2 = 180 (см2);

180

180 1 8 0 -5 / ач ==- — = 300 (см ). З 5 Відповідь: 300 см2 4) S 6 =

cos ZSMO

= (ф +ф

ю Л Ї -іо Л .* ;

й=і ^

= ч/7;

10>/2

2) ДАА,М - прямокутний; АМ = Зуі2 - 2 уі2 = л/2 (см); АА, = >/7 + 2 = уі9 = 3 (см ). Відповідь: 3 см 5 Дано: ДАВС “ прямокутний; 248. АВ = с; Z B = ^3; ZSM O = а; Знайти:

2) ДАВС - прямокутний; АС = с зіп р;

г = ——^— ; а

С вІП 3 + С С О в б -

с С/ . д л -\ г = ------------------ ------ = -(зіп / 2 + с о в ) 3 -1 );

ЯО , 3) ДвОМ - прямокутний; ——г = ЧГ « ; ОМ ЙО = ОМ •ід а = - (зіп р + сов р - 1) •ід а ;

1 4 )5 „ .Р = ^ 5 0 М Р ;

М Р = 2г;

«пч>= - с (з іп / ? + со з/ ї-1 .)-(зіп / ? + со з/ 3 -1 )ід а = 2 2 2

= — (зіп Р + сов р - 1)2 ■ід а . В

ід п о в ід ь :

С2 2 (віп Р + соз Р —1) - і д а 4

—

1) Точка знаходиться зовні, так як Я < 5; 2) Точка знаходиться усередині кулі; 3) Або всередині кулі, або зовні кулі. 250. 8 см; 25 см 251. д Дано: = 34; с = 16л см; Знайти: ОО,. 1 )1 6 л := 2 л г ;

г = 8 (с м );

2) Дкулі = 3 4 : 2 = 17 (см); 3) ОО, = >/і72 —8 2 = 7 2 5 - 9 = 5 - 3 = 15 (см ). Відповідь: 15 см 252. Дано: ZOAO, =30°; 5 пеР = 6471 см2; 1) к г 2 = 64я; г = 8 ( с м ) ;

2) ДАОО, - прямокутний; ^ - = соз30°; ОА

„

ібТз ,

АО = — соз ЗО

Я = — -— (см ).

253.

= - в;

Дано: 5 , = 5 ,; Знайти: ОО, = ? 14

о2

1) л/г = 5 ; Я г2

- г

3 2

„2

3 2 2

Я =-Г;

= - ;

— г =-—; кг

ґ =

—

37Г

2 с

к г^ -в ;

;

2) ДОО,А - прямокутний; ОО, = —г - г 2 = — ; __

г>/2 ,

° ° '=^ =~ (см ); [2ЇЇ у/2 2 [ Т ГТ

"У їГ Т "їУ а Г У а Г

гга 7м2 /2в ПГ

Дано: 7УО, : 0 , 0 : ОМ = 3 : 4 : 7 ; Знайти: в , : в 2 : Б3. в, : в 2 : в 3 = 9 : 1 6 : 49.

Дано: дАВС ~ рівносторонній;

25 5 . с

АВ = 9 см; ОО, = 3 см; Знайти: ОС = Я. 1) 0,С = -^=- = з 7 з (см );

2) ОС = 7 9 + 27 = 7 3 6 = 6 (см ). Відповідь: 6 см Дано: АС = 36; 256.

Д,улі = 25 см;

АВ = ВС = ЗО см; Знайти: 0 ,0 . і) в , =

ао,

;

Площу ААВС знайдемо за формулою Герона ЗО + ЗО + 36 .0 р ш ------- ------- = 48; Я = ^ 4 8 -(4 8 -ЗО) (4 8 -ЗО) (4 8 - 3 6 ) = 7 4 8 1 8 - 1 8 1 2 = = 74• 12• 182 •12 =12•18•2 = 432 (см2); оч _ 3 0 -3 0 36 3 0 -1 0 1 5 -5 75 2) А = ---------------= ---------- = -------- = — ; п 4 -4 3 2 4 -4 4 4________ І 5625 3) ДАО,О - прямокутний; 0 0 , = Л625 — = —7 Ю 0 0 0 -5 6 2 5 = - 7 4 3 7 5 = - 7625• 7 = — 7 7 (см). 4 4 4 4 Відповідь: 6 ,2 5 7 7 см

V \

257.

Дано: АВС£> - ромб; ОО, =18 см; АС = 40 см; ВІЗ = ЗО см;

1) ОМ = Я; О Л 2) Знайдемо г перерізу г = 600 (см2); 2а = 50;

40 ЗО ------ -------

4 а 2 = 1600 + 900; = а •Л;

а = 25, тоді

4 а 2 = 2500; 600 Л = —— = 24 (см ),

Пі

а г = 0 ,М = — = 12 (см );

2) ДОО,М - прямокутний; МО = Т324 + 576 = = л/900 = ЗО ( см ). 258.

Відповідь: 30 см

Дано: АВСО - рівнобічна трапеція; АВ = СВ = 8 см; / А = 45°;

ОО, = бТ2 см;

1) О,В = —

ВРІАО;

В Р = 8 •віп 45° = 4>/2, тоді О,В, = 2>/2; 2) ДОДО, - прямокутний; ОВ, = л/72 + 8 = = ТвО = 4>/5 (см). Відповідь: 4 7 5 см Дано: ОА = 10 см;

-----ч. ( V

/ЯК —

Л )

0 ,А = 17 см;

С „ „ .іб * с , Знайти: ОО, 1 ) 167Г = 2 7 г г ;

А 0 2 = 8 (см ); 2) 0 А 0 2 - прямокутний; 0 0 2 = Т І 00 - 64 = 7 3 6 = 6 (см );

= 8 ( с м );

3) Д 0,Л 02 - прямокутний; 0 , 0 2 = >/і7г - 8 2 = 7 2 5 9 = 5 3 = 15 (см ). 4) ОО, = 6 + 15 = 21 (см). Відповідь: 21 см

К = о Ь с;

с = ----- ; а-Ь Відповідь: 4 см

262. Кув« = 64 см3; 1) а 3 = 64;

140 20 . , х с = ------ = — = 4 (см ). 5 -7 5

Знайти: £„.

а = 4;

2) Я, = 6 16 = 96 (см2).

Відповідь: 96 см2

263. 8 КН = 8 •8 •віп 60° = 3273; V = 3273 8 = 256 7 з (см3). Відповідь: 25бТз см3

264.

-------- _С» с' і

Оі £

____ 3 , 0 = сі;

Дано: А В С 0А 1В1С10 1 прямокутний; ЛВ1ОВ = 60°; А В = 5 см; Знайти: І'. 1)К=аЬс; & = АО; с = В В ,;

сі2 = а2 +Ь2 + с2;

ДВВ,І> -

прямокутний; В ,В = ^ з іп 6 0 о = с =—

В£>2 = 25 + б2; „ 2) гі2 = 2 5 + - — 25 + — ; 4 4

;

В £> =

— - 2 5 = &2; 4 гі2 = с?2;

Ь=.1— ~ 25; V4

2 2 4 II Якщо А В = АО = 5, то й = 10^2; ^ _ 5 •1072 •>/3 10 = 125^ 4

В/> = 5У2(см);

/ *ч '

ВВ! = 572 ■>/з = 5л/б, то

V = 5 •5 •бТб = 125Тб (см3).

Дано: ZC, АС = 30°; СС, = 4 см; АВ = DC = 6 см; Знайти: V.

с ’-------- В' /

ой

/ лл

1) АСС,А - прямокутний;

— = ctg30°; АС = 4л/3; СС, 2) AACD - прямокутний; £>С2 = АС2 - AD2; A D 2 = 4 8 - 3 6 = 12;

АО = 2>/з(см);

3) V = 2-Уз •6 • 4 = 48^3 (см2). Відповідь: 48>/з см2

266.

Дано: ZCOD = 60°;

А,С = В,£) = 8 см; ZDlBD = 45°; Знайти: V. 1) BD = DDj, так як ДІ)ДВ прямокутний і рівнобедрений; 2) BD, - 8 см; BD = DDl = 4>/2; 3) ZS,OC = 60°, отже ДС = 4 см; ВС = >/32-16 = 4 (см); 4) АВ = >/32-16 = 4 (см); 5) F = 4 ■4 •4>/2 = 64-У2 (см3). Відповідь: 64л/2 см3

С.

267. в» а

х-

Дано: ABCD - паралелограм;

ZD = ZB = 120°; АА, = BD; AD = 8 см; АВ = 12 см; Знайти: V. 1) За теоремою косинусів

® знайдемо BD. BD2 = AD 2 + +АВ2 - 2 - A D A B -co s Z a; ZA = 180°-120° = 60°;

БО2 = 64 + 144 - 2 8 12 - = 64 + 144 - 96 = 112; 2 ВР = 7ЇТ 2 = 7 і6 -7 = 4л/т (см), отже АА,

= 4 у/ 7

(с м );

Гї 2) 5«, = 8 1 2 - зіпбО0 = 96• ——= 48-Уз (см2); 2 3) V = 4вТз • 4л/7 = 192721 (см3). Відповідь: 192721 см3 Дано: АВ = 6 см; 268.

АС = 12 см;

ZB1BM = 30°; Знайти: V.

А В

1) Знайдемо ВМ. да ВС ~ прямокутний; АВ2 = АС ■А М ; 36 = 12 АМ; АМ = 3 (см);

?О

)В М 2=АМ М С;

-3 = 9;

ЗІ

МС = 1 2

ВМ 2 = 3 -9 ;

в м = 7 9 і = з 7 з ( см);

3) ДВВ1М - прямокутний; ВВ! -В М Л % 30° = зТз • — = 3 (с (см); 3 4) ВС2 = 1 4 4 - 3 6 = 108; ВС = бТз (см); 5) V = 6 -б 7 з -3 = 1087з (см3). Відповідь: Ю8ТЗ см3 Дано: АВСИ - ромб; ZA = а; 269.

о.

^ С А = /3;

ВІ) = <*;

Знайти: V.

1) За теоремою косинусів, знайдемо сторону = АВ2 + А З 1 - 2- АВ- А й • соз а; АВ = АВ = х; сі2 = х 2 + х2 - 2 х 2 сова = 2х2 (і - соз а);

!« 4 sin — ,

2) BD 1 AC;

AO = ОС;

2 sin — 2

BO = OD = ~ ; 2

= ctg —; AO = —ctg —; AC = d c tg —; 2 2 2 2 3) ЛАА.С - прямокутний; А Д = AC - t g ß = Bo

= d ctg^tgß;

a 2__

d -2sin —cos —

= „ . a 0 . a •sm a = • . .

a . a 4 s in — sin — 2 2

2 sin — 2 sm —

2 - а sin —

6 2’

Ö) V = y c t g | d c t g | t g / J = y c t g 2| t g / ? . d3 .a „ Відповідь: — ctg —tg/3 С»

270.

Cj.

Дано:

8 aa, d , d = А Д Знайти: V. 1) S ABBiAi = A B A A x;

2; =

AB = — = 7 (см); 9 V 1

D 2) S W

= 63 см;

=ADA\;

108

A D = ^ - = 12 (см);

3) SOCH = 7 -1 2 sin45° = 8 4 .— = 42>/2 (см2); 2 4) V = 4 2 ^ - 9 = 378ч/2 (см3). Відповідь: 378^2 см3

;

Дано: ABCDA^B^D, прямокутний паралелепіпед: / * 1 Г)і / ' Оr v!*--, / і.• AC, = d; ZC^AB = a; ZA^DA = ß ; Знайти: V. 1) V = S K a H; AD = a; & .''0 V D AB = b; AA, = a tg ß; 2) AC2 = a 2 + ft2; d 2 = a2 tg ß + a2 + b2; CC, = d ■sin a; AA, = CC, = d sin a; AC = d • cos a; AD = AA, ■ctg ß = d sin or •ctg ß; CD = -Jd2 cos2 or - d2 sin2 a ctg2 ß; 3) V = AD ■CD ■AA, = d sin or • ctg ß x

xd |7cos2 a - sin2 a ctg2 /3 j •d sin or = = d3 sin2 a ctg ß ■yjcos2 a - sin2 a • ctg2 ß . ßr яСі Дано: ABCD - ромб;

272. A.

jß .

= S;

SBB,D,V ~ P ’ ^AA.qC T Q> Знайти: V. C, , n _ . . Aru 0 _ AC ■BD 1) A4jC,C _ M ‘ AC, SABCD-------— , S bb1d,d =

' ^D\

2) AA, • AC = Q; AA, BD = P; — = ® ; A C = - BD ; BD P P 3) S = £ . i ^ _ ; P 2

i s - P = Q B D 2;

Відповідь 273. F = 10 16-9 = 1440

3 ).

BD2 =

Дано: ABCD - прямокутник; AO = R = 6 c m ; ї - e J c ZAA.C = 60°; ZAA,B = 45°; Знайти: V. 1) АAA,C - прямокутний; АС = 6 -2 = 12 (см); АА, = АС ■c tg 60° = =1

=4л/ з (см);

2) ДАА,В - прямокутний; ZA,AB = 90°; АА, = А_В = 4>/з (см); 3) AD = 7144 - 48 = л/96 = 4л/б; 4) V = 4л/з 4л/з ■4>/б = 64•3• 7б = 192-Уб (см3). Відповідь: 192л/б см3 Дано: ABCD - ромб; 275. АС = 8 см; АА, = 12 см; ZA.AM = 30°; Знайти: V. 1) AABD - рівносторонній; BD = AB = AD = а; Знайдемо сторону ромба 64 64 + а2 = 4а2; 64 = За2; а2 = — ; S = — sin60° = 3 3 64 • 7з 32^3 / 2\ = ---------= -------- см ; 3-2 3 і ' 2) ДАА,М - прямокутний; А,М = 12 ■s in 30° = 6 (см); 3) у

= 1 ^ - 6 = 64^3

Відповідь: 64-Тз см3

( с м 3 ).

276. V = Snep -8 = 2 - 3 s in 4 5 ° - 8 = - ^ ^ - 8 = 24^2 (см3) 2 Відповідь: 24^2 см3 Дано: ABCD - ромб; 277. АВ = 8 см; ZABC = 60°; BB, = 8 см; ZB,BM = 45°; Знайти: V. l ) V = So a t H;

7з

= 8 • 8 •s in 60° = 64 •——= 32>/3 (см2); 2 3) АБДМ - прямокутний; Д М = 8 sin 45° = = 8- — = (см); 2 4) V = 32-73 • 4\І2 = 128л/б (см3). 278.

279.

Відповідь: 128>/б см3 Дано: ABCD - прямокутник; АВ = 5 см; AD = 8 см; А А ^ В і £>ДС,С прямокутник; AAt = BBj = 4 см; V = Sx„ - Н = а2 Н; V = a 2 -b^Jcos 2(3; Нехай ABCD - квадрат, АВ = а,

АД = Ъ, ZA,AB = ZA,AD = /3; Проведемо АХМ L (A B D ); М К 1 AD; M N 1 АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляра А1К 1 AD; A^N 1 АВ; ДАА^К = AAA^N (за гіпотенузою і гострим кутом); А К = AN = AAj •cos /?; A K = b cos (i;

А М = J b2 cos2 р + b2 cos2 P = b cos p4%',

AM =

= y]b2 - 2b2 cos2 p = b j l - 2 cos2 p = &7sin2 P - cos2 p = 280.

2p - тупий кут. = byj- cos 2p; V = a2 -byj- cos 2/3. Ci Дано: ABCD - прямокутник; a = 4 c m ; fe = 3 c m ; Z= 5 c m ; C ZC,PO = 45°; ZC.tfO = 30°;

Знайти: F. ^ -----------1) Проведемо висоту C,0 паралелепіпеда. Нехай C,0 = Л, тоді /і 7Ч = Л cos 30° = ; ОР = h; 2) O C . ] k ’ + ! £ . J Ï f ,

3) ОС = і АС;

АС = 716 + 9 = 7 2 5 = 5;

™ L 25 /Ї25 575 4) С.О = . 25 + — = . -----= ------ ; 1 V 4 у 4 2

7Л2 25 -----= — ; 4 4 ,2 25 , 5 т/ л о ® 60>/7 см / з \. Л = — ; h = -== ; F = 4 • 3 •-т= = -рг = -------( 7 77 JÎ 7 ' .

Відповідь:

282.

6077

Ві

/і

*4-

/ і.е. -уу )С •v ' --Ч __ і

см Дано: ABCD - ромб; BD = 12 см; АС = 16 см; ZA АВ = 45°; Знайти: V. 1 ) ^оси =

2) 4АВ2 = 144 + 256; АВ = 10 (см);

= 9 6 (с м 2);

4АВ2 = 400;

АВ2 = 100;

3) ДАВ[В - прямокутний; ВВ, = АВ • tg 45° = 10; 4) V = 96 10 = 960 (см3).

Відповідь: 960 см3

4 V = у/з - 2 = 2>/з (см3). 284. / = 6 %/2 , тоді а = 6 (см);

Відповідь: 2у/з см3 У = 8ХЯ Н;

«ос. = 6 • ^ ^ ■ = 54>/з (см2);

Я = 6л/2 ~

= 6 (см);

V = 54-\/з ■6 = 324-^3 (см3). Відповідь: 324-Уз см3 ---------Дано: АВСИ - квадрат; 285.

</ДДО = а; Знайти: V. 1) ВД£) - прямокутний; Х)Д = с/ •віп а; В Б = сі ■сов а;

(і2 сов2 а

Відповідь:

. . сі3 соз2 а віп а (см3). •с/ віп а =

(і3 сов2 от віп а

286.

дорівнює а, 1 .^ 2) МЛГ = -А С 2 tf.fi/г, V Відповідь: —

Дано: АВСБАХВ1С1БХ правильна; V = ^ ЛДВіСА; ЛГ, Р, N. М - середини сторін квадрата; Знайти: V. 1) Нехай сторона АВСГ» тоді у = а 2 • Я ; а\/2 „ 2а2 = £ а _ К ~~2 Т°ДІ “ ~2"

Ядзс =25л/3 см2; Н = - В А 1; З Знайти: V. 1) АВ = а;

^ / 1 = 25>/3; 4 а2 = 100; а = 10 (см); 2) Нехай АА, = х, тоді ВА, = 4х, тоді 16х2 = х 2 + 100; 2 20 х2 = З

х=

15х2 = 100;

/20 \ З

Зх2 = 20;

2>/5 >/3 ’

Щ ^ = 5 0 Я (см3). >/з Відповідь: 50>/5 см3 3 )У = ™

288

АБ = АС; ВС = Ь; .с^А = р; ZA1BA = у, Знайти: V. 1) АВАС - рівнобедрений; ЛВАМ = ЛСАМ =

вм . р ----- = зіп —; АВ 2

ло Ь АВ = -------- —; ■ Р 2сузіп —

2 віл — 2 ^ в т ^ -с о в 2 ■4 він

В М = МС

„ 1 6 ЗІП р • з т /> --------------- =

2) ВОСИ = Л-

1-Ь

2)3

2 4 зіп2 — ,2

2 _

- І -£ < * * £ • . р 4 8 2’ 4віп

-О І<М

А М 1В С ;

АА, = А В * г = ^ Щ ;

2 sin — b2 ctg 12 b t g y 4) V = i 2 sin —

b3 c t g ^ t g у

8sin 4

b3 c t g ^ t g y

Відповідь: 289.

8 sin — 2 Дано: ВС = a; ZA = a; ZB = p; ZA^BA = y; Знайти: V. 1) ДАВС , за теоремою синусів ВС AC a •sin /? sin a sin P ’ sin a

sin a _ a 2 s in /3 sin (a + /Ї) 2 sin a _ a • sin (a + P) AB BC AB = 3) sin a s in ( l8 0 ° - ( a + P)) sin a ’ 4) AAAjB - прямокутний; AA, = AB tg y ; a sin (a + P) А/Ц = ------ ^----- — • tg y, sin a еч тл a 2sin /3 sin (a + /?) a s in ( a + /?) 5) к ---------- ; tg у = 2 sin a sin a _ a3 sin P sin 2 (a + /}) tg у 2 sin2 a a 3s in P sin2 ( a + P) t g y Відповідь: ----------- — —-------------2 sin a

АС = 90°;

АВ = 8 см;

/ А = 30°; V = 48лУз см3; Знайти: 5 П.

1) АС = АВ ■сов 30е =

= 4>/3; ВС = 4; 2 )5 осв=|-4л/3-4=8л/з (см); 8л/3 4) в6 = Р Н = (8 + 4 + 4 7 3 )-6 = 4(3 + >/з)-6 =

= 24(з + Тз)

(с

2);

5) Я,, = « * + 2 8 ^ =24Т з(ч/з + і) + 16л/3 = = 72 + 24>/з + ІблУз = (72 + 40>/з) см2. Відповідь: (72 + 40-Тз) см2 291

С>

Дано: АВСБ - ромб; / А = 45°;

Знайти: V. 1) АВСХС - прямокутний; СС, = ВС, •віл 30° = 4 (см);

ВС = 8• сов30° =

8-%/з = 4 ,/з (см); 2

2) 5«, =(4>/з)28Іп450 = 48- — = 24л/2 (см2); 2 3) V = 24л/2 4 = 96^2 (см3). Відповідь: 96^2 см3

Ві

Дано: д АСВ “ прямокутний; АВ = с; ZA = a ; ZB,CB = /3; Знайти: F. 1) ВС = с • sin а; АС = с •cos а; 2)

= — с с ■cos а •sin а =

2 с2 sin 2а

3) AСВ,В - прямокутний; ЯВ, = ВС tg р = c s in a ■tg Р; с sin 2а sin a tg р с sin 2а 4) V = csinatgP = Відповідь:

с3 sin 2a sin a t g Р

ч Дано: дABC “ рівнобедрений; АВ = АС; ВС = a; ZA = а; ZC1BC = p; BiУ Знайти: V. 1) АВС,С - прямокутний; В СС, = ВС ■tg /3 = а ■tg Р; 2) ВС2 = АВ2 + АС2 - 2 - АВ AC cos а (за Т.

293. Аі_________ іСг

а2 = 2.r2( l- c o s a ) ;

х = — -— ; 2 sin — 2

а2 = 2х2 - 2х2 cos а;

а2 = 4х2 sin2

а = 2 х sin

АВ = АС = ■ ° 2 sin — 2 а а а ■2 sin —•cos— 3) S.*., ----------------sin а = ------------ - — 2 _ 2 Л . 2а 0 • г— а 4 sin — 8sin 2 2 = — C tff^' 4 2’ 2 З 4) у = • ctg ^ a t g Р =^—ctg ^ tg p. 4 і 4 2

to I R

косинусів); АВ = АС = х;

В<

Дано: ABCD - квадрат; АС, = 8 см; АД = 6 см; Знайти: V. 1) АВ = AD = а, тоді АС = а>/2;

2) АС,2 = СС,2 + АС2; 64 = СС,2 + 2а2; 3) ДАВ,Б - прямокутний; 36 = а 2 + В,В2; [СС,2 + 2а2 =64; , , | ДВ + а =36;

СС, = Д В = Я ;

а 2 =28; а = 2л/7; 4) 36 = 28 + ВД2; ВД2 = 8; ВВ, = 2^2; SXII = а 2 = 28; 5) F = 28-272 =56л/2 (см3). Відповідь: 56>/2 см3 Дано: ДАСВ - прямокутний; АА, = Я ; ВС = а; = в; Знайти: У. 1) К = 5 ^ Я ; 2) ДАВ,С - прямокутний; ВС 1 АС, отже ДС 1 АС (за теоремою про три перпендикуляра); 8МВіС = —АС • Д С = в; АС ДС = 2S; 3) ДС = лУя2 + а 2;

АС =

>/я2 + а 2 1

4) S.

а • 2S +а

5) Г =

S a

у/н2 + а 2

(см з\

Уя2 + а 2 1

' S a - Я ___3 Відповідь: *---------- см 7 я 2+ а 2

С)______ Вг д,

К N

Дано: АВСБ - рівнобічна трапеція; АВ = І)С = 5 см; МЛГ = 3 см; ZB1DB = 30°; Знайти: V. 1) У = 8оа, Я;

З = 15 (см2), так як в трапецію можно вписати коло, то А£) + ВС = АВ + С£> = 5 + 5 = 10 (см); 3) ВР 1 АВ; ВР = 3 см; АВ - 5 см, тоді АР = > /2 5 -9 = Тїб = 4 (см); 4) 4 + 4 + 2л: = 10; 2х = 1 0 - 8 ; £>Р = 4 + 1 = 5 (см);

РК = ВС = х;

2дг = 2;

х = 1 (см);

5) ДВВР - прямокутний; р в = \І25 + 9 = л/§4; 6) АОВВ; - прямокутний; ВВ, = 734 ^ 3 0 ° =

7) іл = і 5 . ^ 1 _ І = 5 .7 Ї0 2 (см3).

З Відповідь: 5л/Ї02 см3 С в’ Дано: ABCDMN 297. д, правильний Di шестикутник; ВАГ = d; АА,ВіВ - квадрат; S *\--'V ^ Знайти: V. 180°(6 - 2) 1) ZBAN = ------ і------ ^ = 120°; М N 2) Нехай АВ = А/У = х, тоді ВАГ2 = а 2 + х 2 - 2 -х х сов 120° = 2х2 + х2 = 3 х 2; dVЗ X= х2 = ■

d s!З

4) Знайдемо SOCH= 6

4 -9 сч тл сг2л/з dsl3 d 3 , ^ = —о Vсм /. 5) V = -------------о о

Відповідь:

Дано: АВСА1В1С1 - правильна призма; А, В = 25 см; S6 = 504 см2; Знайти: V. 1) S6 = Ркн ■Я ; Нехай АВ = а, тоді За • Я = 504; а - Я = 168; 2) ДАО,В - прямокутний; а2 + Я 2 = 625; fa2 + Я 2 =625; 3) МйЄМО 12а • Я = 168 2: а2 + 2а Я + Я 2 = 961; (а + Я ) = З І2; [а + Я = 31; (а - Я )2 = 289;

а - Я = 17: 2а = 48;

а = 24;

24'ТЗ 5 7 6 ^ = 144^ 4 4 V = 144%/3 •7 = 1008-Уз (см3)

Я = 7 (см );

(см і).

—

Відповідь: 1008>/3 см3 Ві Дано: ABCD - ромб; АВ = а; 300.

•:;/в

ZA = а; ZC,OC = р; Знайти: V. 1) V = SOCH• Я;

S„B = а ■а ■sin а = a 2 sin а; 2) ДBQZ) - переріз; CO 1 BD; С,0 1 BD ; ZC,OC = р; 3) ДDCO - прямокутний, так як у ромба BD 1 АС;

ZDCO = ZBCO = —, так як у ромба діагоналі

. СО а а є бісектрисами кутів = cos^ : U J - a cos—; 4) ACC,О - прямокутний; CC, = CO ■tg p = a cos —• tg /J; 2 ct or 5) V = a 2sin a • a cos — • tg /3 = a 3sin a cos—• tg p. 2 2 a Відповідь: a 3 sin a cos —tg >3 301.

Дано: ABCDAxBxCyDx правильна призма, значить ABCD - квадрат; DCX= ВС, = d; ZDCXB = a; Знайти: V. 1) ADC,В - р1внобедрени

DB2 = d 2 + d 2 - 2 d d- cos a = 2d2 - 2d2 cos a; BD2 = 2d2 (1 - cos a ) = 2d2 •2 sin2 — = 4d2 sin2—; 2 2

BD = 2d sin —; 2 4d2 sin2 — 2) SOCH = '

n »sin . — or 2d 3) AB = — = V 2 d sin ^ ; 4) ADC,C - прямокутний;; CC, = J d 2 - 2d2 sin2 —

l - 2 s i n 2— ;

CC, = d%/cos a ;

V = 2d2 sin2— • d-Jcos a = 2d3 sin2—Vcosa. 2 2

302. ^ 5 К, Я 1) Площу основи знайдемо за формулою Герона р = — 13 - — = 16; Я = 716 12 3 1 =4 6= 24 (см2); 2 Я = 8зіп45° = 8 — = 4л/2 (см); 2 V = 24 • 4>/2 =96>/2 (см3). Відповідь: 9б>/2 см3 303. гб> Дано: ААВС ~ правильний трикутник; А, О = Л; О - центр описаного кола; ZAA]p = Р; Знайти: У. 1) ДАА,0 - прямокутний; АО = А^О ■ Р = Ь ^ р ; 2) АО = Я = очо **/

_ осн4 ~

а3 = Д>/3;

>/з

н2\я2р ь І з -

а3 = Н і 5 ру/ 3;

_ зТ зл2 іє 2 д . —

зУз/г2 р ь _ зУзл3 і е 2 р 4 4 . Зл/ЗЛ31Є2 р Відповідь: --------------4 г _

304. 50СВ =36;

а = 6;

Л = а ■віп 30° = 6 - —= 3; 2 Г = 36 3 = 108 (см3).

305. ^ос» =

= 8 (см);

Я =4

У = 8 - 2 уіЗ (см3) = 1б7з (см3).

Відповідь: 16л/3 см3

= 2-Тз (см);

307.

Дано: АВ = 6 см; ВС = 8 см; ZABC = 30°; Я = 5 см; Знайти: V. 1) «ос. = — 6 8 вій30° = 12 (см2); 2) V = ^ 12- 5 = 20 (см3).

Відповідь: 20 см3 308. Рис. 26. в « - Я = 6К;

Уш ш с-Уі

Відповідь: 61^ 309. Рис. 27.

1 )Д £ : = - а ;

ІУР

9 а 2 +, — 4 а2 — _ ал/289 ■л — >16 25 4-5

Г2 -а І = 17а 20

4 а2 а^81 + 64 (2 V + —а = Ж 7 Л = 4 -3 9 I3 , \1 6 2 = ^ Т Ї 4 5 ; ДДГ = І а; А1Е = - а ; ІЖ і™ . 3•5 V 1 1 3 1.Н а .А 7 ї^ = "і“1"1" “ 3 4 а 2 20 12 а 3>/І45 17 а 317УІ45 8-240 ” 1920 17 ■V • >/Ї45 Відповідь: 1 9 2 0 .... « £ - , / і а ’ + — а* = - 2 -

, ^

,Ш

;

Дано: д АВС ~ рівнобедрений; АВ = ВС = 10 см; АС = 12 см; ВС і СМ - бісектриси; БС = 13 см; 1) Знайти об’єм піраміди. Так я к висота проектується в точку перетину бісектрис, то О - центр вписаного кола; 2) Зхи = - АС ВМ; ВМ 1 АС ; АМ = МС = 6 (см); 2 _____ ВМ = 7 Ї 0 0 - 3 6 = >/64 = 8 (см); ««я = і -12- 8 = 48 (см2); 3) ЯМ = VIЗ2 - б2 = л/169 - 36 = -УЇЗЗ; 2в 2-48 „ / \ 4) ОМ = — = -------= 3 (см); Р 32 ' ' 5) 5 0 = > /133-9 = >/Ї24 = 2>/зТ; 6) К = - • 48• 2л/31 = 4 8 ? ^ . = 32л/31 (см3). З 3 1 ' 311. 1) V = —£>„.„ Я . Нехай а - сторона основи; К .І £ ^ .Я 8^ .Я ; 3 4 12 2) т Н = Н 1;

а, = - ; д

1 2 /і2

З от

а2 Я-Уз • т 312.

■тН =

. Відповідь:

Г т

Дано: АВСИРК - правильний шестикутник; АВ = 6 см; ^ М О = 60°; Знайти: V.

1) Sx a = 6 - ^ Ь ^ = 54>/3 (cm2); 4

2) ДАОВ - рівносторонній; —— = sin 60°; OM = 6 — = 3^3 ( cm); 2 v ' 3) AOSM - прямокутний; 5 0 = зТз tg60° = 3 73 >/3 = 9 (см); 4 ) F = і • 9 •54>/з = 162-Уз (см3).

З Відповідь: 162>/3 см3 S Дано: SABC - правильна 313. піраміда; SO = і/; ZASO = <р; Знайти: V. 1) AASO - прямокутний; ОА — = tg(p; ОА = ht gc p; C/o 2) ОА - радіус описаного кола навколо ДАВС; АВ = Д->/3;

AB = А • tgq? •>/3;

= ^ L hз

4) F =

Відповідь: 314.

3 -4 73 • /і3 tg 2 <р

tg 2 ^

Дано: SABCD - правильна; £>asc = S; ZSAO = а; Знайти: F. !)

= ^ S O AC = SO-OA; 2 2) SO = OA tg а, тоді S

asc

8 = ИА2 ■ а; і с АС = 2 і^ а

ОА2 =

tga

;

ОА =

---- , тод1

сі2 3) Знайдемо площу основи — ; 5 45 _ 25 . t g a 2 t g a ’_______

4) Б О = P ^ ■ t g а = Чtga \ З Відповідь: 315.

tga

3tga

tg а 2Б ■у/ б л ^ сс

- 37 к — "

Дано: БАВСБ - правильна піраміда; і? = 4 см; ZSMO = 45°; Знайти: V. 2 ) 5 осн= ^ = 32 (см2);

3) а2 = 32;

а = 4л/2 (см);

АВ = 4%/2, тоді

ОМ = г = 2 уі2 (см);

4) АОБМ - прямокутний; 5 0 = ОМ -Ье 45° = 2уі2 5) V = - •32• 2уі2 = * 316.

с м

;

см3 (см3) . Відповідь: З З Дано: 5АВСІ) - правильна піраміда; /А Б О = <р; М - середина А8; ОМ = т ; Знайти: V.

2) ААОБ - прямокутний; ОМ - медіана, отже

AS = 2m, тоді AO = 2m ■sin <p\ OS = 2m cos ip-, „ 16/ra2sin2fl> „ 2 • 2 3) Soc* = -------5----= 8,71 Sln W Ct

AC = 4 m sin <p\

1 , 2 16m3 . 2 4) V = - -8 m sin <p ■2m cos (p = -------sin <p • cos <p. 3 3 16 з . 2 Відповідь: — /л sin (p-cos(p 3 S Дано: SABC - правильна 317. піраміда; ZSM O = 45°; OF 1 SM ; OF = 3 c m ; Знайти: V. 1) AMFO - прямокутний; OF = M F = 3; OM

V9 + 9

= 3 ^ 2 (c

);

2) ОМ = г, тоді a3 = 2гу/ з = бТб (cm); 3) ASOM - прямокутний; SO = OM = 3-^2 4 ) S „ . = ^ / 3 . 5 4 V 5 ( c» -);

);

5) V = -■ 54>/3 • 3>/2 = 54>/б (c m 3). 3 Відповідь: 54>/б c m 3 S Дано: SABCD - правильна 318. піраміда; ZAMC = 120°; c m ;; іЗ/у 1 AB = BC = 4 cm Знайти: V. 1) F = —• S • Я = i -16 - Я = — Я ; З З 3 2) ZMAO = ZMCO = (180° -1 2 0 ° ): 2 = 30°; fc'

O 'A / D

— = tg30°; OM = O C — = — ; OC 3 3 AC = 4>/2; ОС = 2уі2 ( cm).

Дано: БАВС - правильна піраміда: БМ 1 АВ ; БМ = а ; ZAS В = а; Знайти: V.

ДАБВ - рівнобедр

ZASM = АВБМ = ® ; 4 т т = ^ - ; БМ а АВ = 2 а і е —; 2

АМ = а ^ ~

4а 2^ 2 —Л 3)' в осн =

= а 2 іє 2^->Уз (см2); 2а

4) МО = г =

2 _

atg —

5) ЯО = Ма -

Ч (-ГГ2 а 3 ~** 2 .

6) 7 = - а 2 іц2 - уіЗ - - ^ 3 2_____

Відповідь: а 3 t g2 320.

Дано: БАВС - правильна піраміда:. БО ± (АВС ); БО = Л; БМ 1 ВС; БМ 1 АВ; = 90°; Знайти: V. у - 1«~*.

к.

1) Нехай АВ = ВС = АС = а, тоді М И = і а, так як М И - середня лінія ААВС; БМ = БIV =

а 2) МО = г = —у=, 2\/3 3) АБМО - прямокутний; ^О 2 = Б М 2 - М О2 =

= — - — = 3£і ц 2£і _ £ І . 8 12 24 24 3)

а2 =

£і ; 24

а * =24Лз;

= 24Л- - ^ - = 6Л27 з (см2); 4

4) V = —• 6Л27 з • Л = 2-УзЛ3 (см3). З Відповідь: 2>/зЛ3 см3 в Дано: БАВС - правильна 321. піраміда; БМ 1 АВ; БМ = а; = а; Знайти: V. 1) Нехай ОМ = г, тоді СО = 2г; АСБО БО , С/~% О 4прямокутний; —— = щ а; 2) ДБОМ - прямокутний; а 2 = г2 + 4г2 іє 2 а; а2 = г 2(і + 4 іє 2а); 1

г2 = - — у ; г = ■■■■ г -------; 1+ 4 ^ а

3 )5 0 = ^ £ 2 _ ; >/1 + 4 іє 2 а 4) АВ = 2г>/з = у [ї+ л їе ^ а

5) 8 ОСИ = '

4о2 ■ЗТЗ (і + 41є2а )-4

а2 ■373 1 + 41є2а ’

З 1 + 4 і Є2а ^1 + 4 і Є2а

з• (1 + 44в*а у2

2л/За3 tg а Відповідь:

( і + 4 ій 2а ) 2 Дано: д АВС ~ рівнобедрений; АВ = ВС = 8 см;

ZABC = 120°; вА = вС = = 17 см; Знайти V. 1) то висота піраміди проектується в центр описаного кола, отже ОС - ОА = ОВ - Я. _ а-Ьс , АС = 2Я; 2) В = — або 4в зіп120° АС2 = 64 + 64 - 2 • 8 • 8 •соз 120° =128 + 64 = 192;

АС = 8л/з (см); 2Л = 16;

АС

віп ьи

= 2Я;

Лз

Л = 8 (см);

3) ДОвС _ прямокутний; БО = 7 і7 2 - 82 = л/25 -9 = 5 -3 = 15 (см);

4) 5«. = —• 8 ■8 віпігО 0 = 32 • зіпбО0 = 2

= 16^3 (см2); 5 ) V = і • 15 • 16-Уз = 80-Уз (см3).

Відповідь: 80л/3 см3 •

Так як Б

Дано: SABC - піраміда; д ABC ~ прямокутний; АВ = С; ZA = а; ZSAO = у; Знайти V. 1) Т утворюють з площиною основи рівні кути, то висота піраміди проектується в центр описаного кола. В прямокутному трикутнику середина гіпотенузи є центром описаного кола, ОА = ОВ = ОС = R =

2 с 2) AASO ~ прямокутний; SO = ОА • tg у = —tg у; Ск

3) ДАВС- прямокутний; AC = C cosa , тоді с. 1 Л С2 sin 2а S = - С С ■cos a sin а = ------------; 4 2 4 v т, 1 C 2 sin 2а С , С3 sin 2а tg у 4) v ----------------------tg у = -------------- — (см3). ' 3 4 2 24 С3 sin 2а tg у см Відповідь: 24 324. Дано: ДАВС АБ = 3 см; ВС = 8 см; ZB = 60°; ZSMO = Z S ^гO = 30°; Знайти V. 1) Так як всі двогранні кути рівні, то вершина піраміди проектується в центр вписаного 25 кола; ОМ = ON = г; г = Р ' 2) 5^, = - 3 8 sin60° =12 — = 6ч/3 (см2);

3) АС за т. косинусів АС2 = 9 + 64 - 2 • 3 •8 •cos 60°; АС2 = 73 - 24 = 49; АС = 7 (см); 4 ) Р = 3 + 8 + 7 = 18 (см); 2 •6-Уз 2 л/з / > г= (см); 18 З 5) AOSM - прямокутний; SO = ОМ tg 30°;

2л/з S 2 , V SO ------------- -- - (см З З З 4>/3 / з \ 4-у/з а 6) V = - - - 6 y / 3 = (см J. Відповідь: —— см , З з з 325. Дано: АБ = АС = ft; ZB = ZC = ß; ZSM O = ZSNO = a; Знайти V. 1 ) 0 - центр вписаного кола; г =— • 2) ZA = (180 - 2 ß ) \ 2 = 90° - ß; 3) S4 = —• AS • AC sin ZA = - b b - sin (90° ~ ß ) = b jL i,

BC 4) За теоремою синусів gin (90° _ /})

AB 8in ß ’

_ Ь_соз0 _ b d g ß. sin ß 5) P = 2b + b ■ctg ß = b(2 + c t g ß); 2 &2cos/J _ b2 c os ß b cos ß 6) Г _ y T ( 2 + ^ t g ^ _ F ( 2 T c t g ^ ” ^ + c t ^ ’ fccos ß 7) AMSO ~ прямокутний; " 2 + ctg/5

’

1 Ьг cos ß b cos ß t g a _ b3 cos2 ß tg a / 3 \ 2 (2 + ctg/J) ~ 6 (2 + ctg/?) 'C M b3 cos2 ß t g a з Відповідь: 6 (2 + c tg Д) CM * Дано: SABCD - піраміда; ABCD - ромб; ZA = a; Z S MO = ZSFO = <p; SO = H; Знайти V. 1) О - центр вписаного кола, вписаного в ромб. AOSM - прямокутний; ОМ = SO -ctg <р; ОМ = Я - ctg (р; У

~ 3

2) г = ОМ = —Л, де h - висота ромба; А

ВВ, 1 AD;

ВВ, = 2 г = 2Я ctg р; ВВ, 3) ААВВ, - прямокутний; ""Trr = sin0:’ -1Д_ 2Я ctg <р' ^ sin a sin а 4) 5КЯ = a h ; S .. 5) Г

■2Н ctg «, = sin a sin а 1 ц 4 tf 2 ctg2у 4 Я 3 ctg2 у З sin а Зsin а 4 Я ctg2<р

;

Дано: AB = 7 см; ВС = 10 см; АС = 13 см; Н = SA ±( АВС) ; S F 1 B C ; SF = 8 (см); Q n n u iv n r Т/

За формулою Герона знайдемо площу ААВС р = 7 + 10 + 13 2 5 = >/15 8 -5 -2 = 4 •5>/з = 20л/з (см2); 2)

1 ВС; АР 1 ВС (за т. про три перпендикуляри) А Р = —

= ^

= 4ТЗ

(с м );

ВС 10 У ; 3) ДАиБГ ~ прямокутний; А5 = Тб4^48 = Тїб = 4 (см); 4) F = --20>/3-4 = ^ ^ ^ З

(см3). Відповідь: Ві

80ТЗ

см

Дано: SABC - піраміда; ДАВС “ прямокутний; ВС = а; ZABC = а; S A l(A B C ); ,ZSCA = <p\ Знайти V. АС .

328.

АС = а tg a ; a •a • tg a

o tg a

■ S oc, =

SA 2) —— = tg<p; SA = a - t g a -tg<p; AU ov „ 1 2 tg a , , a 3 tg 2 a t g 9 3) v = ö a - z - a t g a tg<p = ------- -------- . 6 і b a 3 tg 2a tg<p Відповідь: 6 s Дано: SABCD - піраміда; 329. ABCD - ромб; ZABC = a; AB = BC = a ; ZSM ß = ß; Знайти V. 1) Так як (ASB) JL (ABC); (SBC) 1 (ABC), то SB - є висотою піраміди.

, __ 3 ) BM 1 DC;

B M = h;

a 2sin a

h = ---------- = a sin a; a

4) V = -^Soch 'H ; a s BM - прямокутний; O SB = BM ■tg (p = a sin a •tg (p; Tr 1 2 • - x a 3sin2atg<p V = —■a sin a ■a sin a tg <p = ----------------- . 3 * 3 330. Дано: SABC - піраміда; д ABC “ прямокутний; AC =b; ZB = p; (ASC) 1 (ABC); (BSC) ± (ABC); ZSM C = a; Знайти V. h BC 1) ДАВС - прямокутний; ^ T = c tg ^ : BC = b- ctg ß;

1 , . , n b2 c t g ß Sw = - - b b- ctg ß = ---------;

AC ■ Я 2 ) TAB ÏÏ = sm ^ ;

ла Ь A 8 = _T_^ sin p ; 2S b2 ctg ß ■sin ß , cos ß . n n CM = ---- = -------— ------ —= b ------— sin p = b cosp; AB b sin ß 3) ACSM - прямокутний; SC = b cos ß tg a; .. 1 b2 ctg ß Ьг ctg ß cos ß tg а 4) V = ö ----- ~ - b c os ß t g a = ------у & . 6 1 o b ctg ß cos ß t g a Відповідь: s 331. Дано: SABCD - піраміда; ABCD - квадрат; AC = 14>/2 cm;

(SAB) 1 (ABC); AB = 14 c m ; SB = 13 SA = 15 c m ; Знайти V.

c m

;

1) Так як (А5В) 1 (АВС), то висота піраміди є висота ААБВ , тобто БМ 1 АВ; БМ = Я; 2) 5К> = — = — - — = 196; АВ = АО = VI96 =14 (см); 3) Здляв = ^ А В Б М ; Знайдемо за формулою Герона 13 + 14 + 15 Р = = 21: S = >/21- 7 -8 -6 = = > /7 -3 -7 -8 -3 -2 = 7 -3 -4 = 84 (см2); 2Б 2-84 =12 (см); БМ АВ 14 4) V = —• 12• 196 = 784 (см3). Відповідь: 784 см3. 5 3 Дано: БАВСИ - піраміда; 332. (Я А В )І(А В С ); АВС Б - квадрат; АВ = а; ААБВ ~ рівносторонній; Знайти V. 1) БМ 1 АВ; БМ = Я ;

2) Л5 = АВ = ЯВ = а; БМ = а БІ п 6 0 ° = ^ р (см); (ом*). Відповідь: 333.

а3л/3

см Дано: SABC - піраміда; ДАВС ~ прямокутний; (ASB) 1(А ВС); АВ = с; ZA = а ; ZSNO = ZSMO = /?; Знайти V. 1) АС = c-co sa; ВС = с • sin а;

2) S abc " 2 4 ' 3) Так як ( A S B ) 1 (ABC ) , то SO 1 AB і SO висота піраміди; тг 1 ІГ с2sin 2а 1 __ , . „ 4) V = —■Н ------------ = — Не2 sin 2а; З 4 12 MO = ВО cos а; Н = MO tg ß = BO ■cos a - tg ß5) Тоді F = — c2 sin 2а BO cos а tg/3; 12 6) Так як CO - бісектриса, то використаємо властивості бісектриси BO _ ВС ВО _ с sin а BO . ---- = tg a ; ОА АС ’ ОА с cos а ’ OA SO = ОА ■tg а; 7) Нехай ВО = х; ОА = с - х, тоді x = ( c - x ) - t g a ; х = с- t g a - х ■tg a ; х + x t g a = с • tg a ;

x ( l + tg a ) = с tg a ;

х=

во = _£ії££..

1+ tg a

и тж е'

1 + tg a

8) V = — • c2 ■sin 2a •cos a tg ß ■ c 12 tg a + 1 1 c3 sin 2a cos a tg ß tg a 12 ( tg a + 1) c3 sin 2a cos a tg ß tg a Відповідь: 1 2 (tg a + l) 334. Дано: SABC - піраміда; ДАВС ~ рівнобедрений; (SAC) ± (ABC); AS = SC; ZABC = a; ZSFM = ß; S M I AC; S M = H; Знайти V.

= 2 ' АВ2 • зіп а;

2) V = —•—А В 2 зіп а ■Я ;

З 2 3) ВС = 2 Н ^ р ;

РМ = Н - ^ Р ;

4 ) V = і •—• 4 Я 2 &&2 р ■зіп а ■Я = —Я 3

3 2

Р зіп а.

Відповідь: —Я 3 ctg2 Р зіп а . О

335. Г - І Я ^ + ^ + 7 а д ) ; 4>/з

V =—5

16>/3

•І¥

. ^

16л/3

+ 4 Л + 2 Л ] - ^ ( 7 Л ) . 2 ^

^ 3 '

336.

(с

у З ч / Дано: л , В, = 4^2 см; ААІ = 6 см; АА1АМ=6СР; Знайти V.

1) ДА,МА -прямокутний; А1М = 6 —

3>/3

(с

);

<у

2) АЛ/ = АА, • соз60° = 6 •—= З (см); 2 3) А,С, = 4>/2 -лІ2 = 8 (см); А,О, = 4 см; тоді АО = 4 + 3 = 7 см; АС = 14 см; 4) Я, = ^

= 32 (см2);

Са

5 )Я 2 = ^ = 98 (см2); 6) Г = і- З л /3 -(98+ 7 9 8 -3 2 + 32) = N/3(130 + 7 -8 ) = З ' ' =>/3-(130 + 56) = 186^3 (с^). Відповідь: І8 б 7 з см3-

Дано: ABCA1B lC1 правільна зрізана піраміда; AB = 6 см; А 1В 1 = 3 см; ZC,CM = 60°; Знайти V. 1) ° іс і =

2) ОС ~

(см)ї

—2>/з (см);

3) ДС,МС - прямокутний; MC = 2V3 - V3 = 7 з (см); С,М = >/3 tg60° =Л/3-73 = 3 (см);

4) S». =

9-Уз

7 = --3 З

„

S2 = '

звТз

9Тз . 36>/3 . ^ І 7 з

4 5 ^ 3 ^ 6 3 7 3 4 4 4 338.

36V3 '

, ,} \ > Дано: АВСА,В1С1 правільна зрізана піраміда; AB = 6 см; А1В 1 = 3 см; SO = Н = 10 см; Знайти V. 1) Розглянемо AM SO і AMjSO, - вони З

о м

= І7 з = ^

(см ) :

7з 2

SO! = ^ - ^ 9 = 5 (см), тоді ОО, = 5 (см); 2 •v3 Знайдемо площі нижньої і верхньої основ

9У§ —:—;

ЗбУз

SH= — -— ,

тоді

9Уз . ЗбУз . ^9У з ЗбУз 4 4 f 4бУз 4

339.

З -б У з' 4

5 63УЗ ЮбУз З" 4 “ 4

ґ 45л/з

Відповідь:

ІвУз ЮбУз

см

Дано: а в с а 1в 1с 1 зрізана піраміда; Д С , = 6 c m ; AC = 8 см; ZABC = 150°; ZA,AO = 60°; Знайти V. 1)

3) А,М 1 ОА;

,^ = 2Д; sm l5 0

2 • МА = 8 - 6 = 2 ; MAt = 2V3 (см);

Я = 2Уз (см); 4) Знайдемо площі основ АВ = ВС = х; АС2 = jc2 + х2 - 2 • х • х ■cos 150° = 2х2 + 2х2 cos 30° =

У зї

= 2х2 (і + cos 30°) = 2х2 1 + ■ 64 = 2х х =

( 2 +Ж = х*(2 + У з); 2 ' --------

8 ■у2 - Уз Уг + У з -У г -У з

х2=

= 8 У2 - УЗ;

64 2 + Уз

• іг;по •втІб О =

32 1 (2 + л/з) • 2

2 + ч/з

1 6 -( 2 - Т з )

= 1б ( 2 -Т з );

4 -3

Я, • - ■ С 1В1 В Д

8іп150°;

36 4 -І 2 2 + л/з 2

^ = = 9 (2 ~ Т з);

36 = хг2 + х? + 2Х? • Я (2 + Я )

= 18; (

х,2 =

36 = 2х,2 36 2 + у/з'

/' ~™*

5 ) К = і-2 Т з - 16 (2 - л/з) + 9 (2 - >/з) + ^16 9 (2 -У з)2

= І • 2>/з • (25(2-> /3) + 4 • 3 ( 2 - 7 з)) = 2-Уз 340.

|з7 (2 --У з)|. Відповідь: —^ -3 7 (2 -> /з ) см3.

Дано: ДА1В1С1 трикутник; В ]С1 = 8 см; В^А = 26 см; АІС1 = ЗО см; Z^VMO = 45°; И М І А В ; М М ^ З у/2 см; Знайти V. Знайдемо за формулою Герона 8 + 26 + 30 64 Р == — = 32; 2 1) 3 ^ = ^ 3 2 ( 3 2 - 8 ) ( 3 2 - 2 6 ) ( 3 2 -ЗО ) = = >/16 •2 ■24 •6 ■2 = 4 ■2уі4 - 6 - 6 = 8 - 2 - 6 = 96 (см2); 2) 0,ЛЛ = г =

2в

2 96 = 3 (см); 64

О.К LOM; NK

N K = M N ■sin 45° = 3 ^ 2 •

л/2 -= 2

M N •cos 45°

4) O M = 3 + 3 = 6 (c

= 3-У2 •—

3 (c

);

5> J H f ) ; f 4 : Sz=384 ('»“); 6) V = - •3 • ( 9 6 + 3 8 4 + >/96 • 3 8 4 ) = 4 8 0 + 9 6 •2 = 3 = 480 + 192 = 672

( c m 3 ).

341.

ід п о в ід ь

: 6 7 2 c m 3.

Дано: ABCA^Bfi, зрізана піраміда; B lCl = 7 cm; A,C = 1 0 cm; A,B, = 1 3 Cm; BC = 1 4 cm; AC = 2 0 cm; A В = 2 6 cm; грань AA1ClC ± (ABC); MM \ 1 AC; MM \ = tf; В Б 1 = 8 cm; Знайти V. Знайдемо площі нижньої і верхньої основ за формулою Герона і ) р =

14 + 2 0 + 2 6 = 3 0;

S, = V30 •16 •10 •4 = 10 • 4 • 2л/з = 80ч/з (см2);

2) S2 = Vl5 • 8 • 5• 2 = 4 5v/3 = 20Тз ?2 = 7+ 10 + 13 = 15;

(с

2);

3) я = л/64 - 25 = >/39; V = і ■V39 •(2073 + 80ТЗ + >/20>/з ■80ТЗ) = = і V39 • (іООл/з + 4073) = іТ 3 9 •73 ■140 = = —л/ЇЗ 140 = 14оТЇЗ (см3). З v ' Відповідь: І40л/Гз см3-

Дано: А В С0А1В 1С10 1 правільна зрізана піраміда; АВ = 4 см; А ,Б1 = 2 см; АА,АВ = т °\ Знайти V. 1) Знайти в; = 42 = 16 (см2); Б2 = 22 = 4 (см2); N

2) АМ = ВЛГ = ( 4 - 2 ) :2 = 1 (см);

АМ ----- = соз60°; АА^

ААг = — = 2 (см);

3) ОА, = — = >/2; ОА = — = 2^2; 2 2 АР = 2 уі2 - уі2 = >І2 (см ), тоді АА А^ - прямокутний; А ^ = > /4 -2 = л/2 = Я ;

4) И = - - 7 2 (і6 + 4 + лЯб^4) = — -28 = ^ ^ Відповідь:

2872

(см3).

см

343. Об'єм куба збільшиться в 27 разів. 344. V, = 93 = 81 • 9 = 729 (см3); 790

К2 = З3 = 27 (см);

п = -----= 27 (кубів).

27 345. 1) Нехай ребро одного куба а см, тоді Ух = а3; СІ о? 2 )г і = а; ах^2 = а; 0,= - ^ = ; ^2 = ^ 2 ’ 3) К '• У2 ~ а* ’•

а3

= 2л/2 :1.

Відповідь: 2уі2 :1 •

3) КАВСЛ^С, = І я . Я - — • є н = 2 6 ' 5 ■я 81 81 26 • Я • Я Відповідь: Дано: Б 0 3 = 0 30 2 = 0 20, = = 0 ,0 = - • Я ; Знайти вО, = —Я ; 3 4 5 0 , = —• 2Я = —Я; 2 4 2 З в 0 1 = —Я ; іг „ ± .1 .! ї.і64 ’ 8 ‘ 64 ' ’ 7, : V = 1 : 8 : 27 : 64. 348. К = тгЯ2Я ; К = тг • 36 • 3 = 108* (см3). Дано: АВС£> - осьовий переріз циліндра; АО = ОИ = 3 см; ^САО = 60°; Знайти V. 1) ДАС£> _ прямокутний; СБ = А О - 1#60° = 6 -7 з= б 7 з (см);

2) К = * •9 6>/з = 54>/&г (см3).

Відповідь: 54 ^ 3 * см3 •

авси

Знайти V. 1) Я = АІ?; АО = уіО: Д лОІЯ

Дано: АО - ОБ = Д; ^АВСО = Знайти V.

351.

1 ) 8 = 2 Д Я;

Я =

2Д

2) V = 7Г -Д2 •— = ' 2Д я-ЙД (см3). тг-ів-Д см & 352. 1) Нехай Д І Я радіус і висота першого циліндру, тоді у = к Я гН\ Д 2) г = —; Л = З Я - радіус і висота другого & циліндра; Відповідь:

= к - - З Н = ?ПІ*2Н 4 4 лгД2Я • 4 4 У:У1= ЗтгД Я 353.

Відповідь: 4:3. Дано: Кц = V; ^АВСИ = ^ ^осн >

Знайти Д І Я . 1) 5 ЛВС0 = 2Д ■Я; 2) V = 7г Д 2Я

;

5 « = * Д2:

3 ) 2 Я Н = -лВ?; 2 4)

V = л Я 2Н\

2Н = ~лЯ; 2

У = л В? — ;

Я=

Я =

лї/4У 14У і Г==- = Ц4У- л. л

7г’

V =

Я =— ; 4 ;г2Я3

лЯ

І4У Відповідь: Р/—$■', уі2У~ л . Vл Дано: АВСБ - квадрат; АВ = Н ; 2;гЯ = А£>; Знайти К. д_ і ) АІ) = £)С = Я '’ Я = 7Ґ

354.

2) 2яЯ =

тгЯ = 4Я;

я =

2\І2л ’

Ясі3 8тг2 72

8Ял

Ібтг

Я с і3 Відповідь: 16л

355.

Дано: ОМ ± АВ ; ОМ = 4 см; ОА = ОВ = 12 см; В Д = 10 см; Знайти V. 1) ДАОВ~ рівнобедрений; АМ = МВ; А М = >/144-16 = Т Ї2 8 = 8>/2 (см ); АВ = 1бЯ (см);

2) ДАДВ - прямокутний. Так як Д В = 10 , а АВ = 1бТ2 • т0 ПРИ таких даних задача не має розв'язку, так як гіпотенуза менше катета. Задача не має розв'язку.

Дано: ZCBD = ZC1А Д = 60°; ^ллсс, = ■З’лвао, ~ 42 см ; Я = 2л/з см; Знайти V. 1)ДСВІ)- рівнобедрений; ZB = 60°; 42 Отже ВС = С£) —В2) —а; ВС — 2) Я = 2л/3; 3 ) АВ = у

а = 2 ^ 3 л / з = 6 (см); = 7 (см);

Я = 7;

4) V = тсЯ2 - Я = тг • 12 •7 = 84я (см3). Відповідь: 84я

с м

3•

357.

Дано: АВ - хорда; ZAOB = а; ОМ = сі; ZOIBO = ер; Знайти К. 1) ААОВ~ рівнобедрений; ОМ 1 АВ; ОМ а _. й /А О М = /В О М = - ; ----- = соз —; ОА = — ; ОА 2 а 2 2 _ _ 2) АОуОВ - прямокутний; ОО, = 0 5 ^ ^ = -------- ; сов — dtgcp _ леї tg<p У = л(см3). 2а а 3) сов — соз — совз —а 2 Дано: АВ = а; 358. /Л О В = а; ZAOlB = /3; Знайти V. 1) ААОВ~ рівнобедрений; ОМ 1 АВ; АМ= МВ = - ; Z^40M = ZB0M = - ;

АМ АО

. а — ; 2

АО =

Я =■ 2 віл — 2 БІП 2 2) ДАО, В - рівнобедрений; АО, = БО, = х; АВ2 = х2 + х 2 - 2х2 сов р = 2х2 (і - сов р ); ----------=

б іп

а2 = 2х2 (1 - сов/?) = 4х2 віп2 —; . р

а = 2х віп —;

х= 2

б іп

Р ’

3) ДО,ОБ - прямокутний; а -ТІП2^, і-іп2“ зал---- зш —; щ = р------- ^ ---------- ---------------у4ап2— 4ап2~ 2 з т ^ з і п - ’ 2 2

1 2

4) V = к Я 2Н; а2 а / . 2а Гг V = п -------------------------------, з т ----- зіп о . V 2 4 зіп — 2 віп —віп — 2 2 2 па3 І. , а . ,Р = ----------------—• , з т ---- віп — в . з а- з .т -Р \ 2 2 овіп 2 2 ла3 І . 2« . 2 Р ----------------- •. / з і п ---- зіп — Ідь: 8діпз о 0;„3 «а д т Р V 2 2. Відповідь: 2 2 359. Дано: АВСБ - осьовий переріз; РАВСП = Р ; ZCAZ> = а; Знайти V. 1) Р = 2 (Я + 2Я) = = 2 Я + 4Б; .

Я + 2Л = - ; 2 2) ДАСІ) - прямокутний; СБ = 2 И ^ а \ 2 Б ^ а + 2Д = —; 2

2В(1 + І д а ) = —; 2

я =

4 (і + г& а)’

СЯ = Я =

4 (і + і§ а ) 2( l + t g a ) ' л ■Р3 ■t g a V=л 16(1 + t g a ) 2 2( l + t g a ) 32( 1+ t g а) 3 ' лР3tg a Відповідь: щ 1 + Ь еау р 2

Р • tg а

Дано: Уа = V; АВСВ - осьовий переріз; ZCAD = у; Знайти 1) &авсо = АІ) ■Е)С', ^ авсп = 2Д БС = 2 ЛЯ; 2) V = л Я 2Н; ДАСИ ~ прямокутний; С£> — = Іеу; Н = 2R■t gy, тоді А±)

Я3 =

V = л К і ■2 Rtg y = 2л^^i t g r ,

Я=

2лtgy

отже Я = 2;

2я^у

27^ у

tg y = 2з

*Чб2у. 2я

У і е У - л К *еу

2тг Відповідь: 4,

2;г

Т^2 tg y 4тг2

361. V = - - 4 - л 9 = 12л (см3). З ' ' 362. Дано: ДА5В в прямокутний; 5

азв

16 см2ї

Знайти V.

1 ) V = - л Я 2Н;

З АЯ - в В 2) 16 = ---- ----- ; >

4тг

2) ДАВВ ~ рівнобедрений; / А = ZB = 45°; 5 0 = АВ ■вігі45° = 4 ^ 2 -----= 4 (см); 2 у ' АО = 4 (см); тг ^ - 64я / з \ 64я з 3) V = —я •4 • 16 = — ( см ). Відповідь: —— см . о о о 363. Дано: ЛАвВ ~ рівно бедрений трикутник; АВ = ЯВ = а; ZA - ZB = а; Знайти V. 1) ААБО ~ прямокутний; БО = АВ зіп а ; SO = a- sin а; АО = АЯ ■соз а = а ■сов а; 2) V = —па cos а •a sin а = — я cos а sin а. З З а3 2 Відповідь: — я • cos a ■sin a . З 364. kS Дано: AB = 8 см; ZAOB = 90°; Z S MO = 45°; Знайти V. V = —n R 2H\

AO = OB

= 8

2) O M 1 A B ;

—

= 4 ^ 2

(cm );

2 OM = AW = 4

(cm );

3) AOSAf ~ прямокутний; SO = 4 tg 4 5 °= 4 tr 1 00 і 128я / з\ 4) з я •32 • 4 = (см ). 128я з Відповідь: —- — см .

(cm );

AM = M S = m; Знайти V. 1) AASO ~ прямокутний;

ОМ - медіана AASO, A = —AS; AS = 2т; & SO = 2т ■cos а;

2) ОА = 2т ■sin a;

1 л 4т 9 sin . 2 а 2т г, cos а = ----S'” 3Trsin • 2a -c o s a . 3) тVг = — 1 З З 8 т3 . 2

Відповідь: ----- я sin a cos а . З 366. Дано: ОМ 1 АВ;

ОМ = d; ZAOB = а; ZASB = р; Знайти V. 1) ДА О В - рівнобедрений; ОМ LAB; ZAOM = /LBOM = —,

ТОДІ

а cos-

AM =

АВ = 2)

а sin — 2

s in — AASB “ рівнобедрений. 2 Нехай AS = BS = х, тоді за теоремою косинусів АВ2 = х2 + аг2 - 2х • х •cos Р; АВ2 = 2х2 (1 - cos Р) = 2х2 -2 sin2 АВ2 = 4x2 sin2 —;

AB = 2xsin —; 2 2d d п . а . Р . а . Р’ 2 sin —s in — s m —sin — 2 2 2 2 2

АВ х =/З 2 sin — 2

3) ДЛ50 - прямокутний; БО = 1 * I БІП ■ 2— ОС • вШ . 2— Р

сі2 2а сов —

-а а а • 2Р — . Іс о зТ ---з т• 2— зт —= . а . р а V 2 2 2 в т —віп — соз 2 2 2 2сІ

а з т- 2—; Р . Iс о з! «---- з т- 2— V 2 2 2 ■ Р з іп а з т —

і/ = -7Г---1 V

а Р = 16 сов — зіп —зіп —

__ 2— а в т а з іп —І сов 2 _2 леї3 .116 сов2 —- зіп2 —віп2 —. 2 2 2 о а • ■ — Р V З сов2 — віп а зіп 2 2 2лЛ3 а - 2Р ■І. с оГз «---- з •т 2 — зт — V 2 2 2. Відповідь: 3со82 « 8і п а з т £ 2 367. 1) ДАВС _ прямокутний; ВС = АС ■\-ga-, АС = Я; 4)

2 = —яЕ?і%а = —яА С ?^ а. З з 1) ВС = АС •t ga; У2 = - л ( А С ^ а ) 2 АС =

= —лА С 2 tg 2 а АС = З = —я АС3 Іб2 а;

У2 :У1 = - я A C 3t g 2 а : - лА С 3 t g a З З

= ід а : 1.

Дано: ААБВ ~ рівнобедрений; АВ = 673 см; АО, = 6 см; Знайти V. 1) АО = ОВ = 3>/3 (см); 2) ДА0,0 - прямокутний; ОО, = >/36-27 = > /9 = 3 (см); 3) 5 0 = 6 + 3 = 9 (см); 4) V = —л ■(зТ з)2 • 9 = Зтг • 27 = 81;г (см3). Відповідь: 81я см3 • Дано: V, : К2 = 8 :19; Знайти вО, : 0 ,0 . 1) Нехай вО = Я ; 5 0 , = Л; 0 ,0 = Я - Л;

369.

ТОДІ V; = - ^ Г 2 - Л , ;

гг + Д г); З т г(Я -Л )(д 2+ г 2 + Дг) ~ (Я -Л )(Д 2 + г2 + Дг)

00 | 0 5

_______ к г г\ ■З_______ _________ г^Л,________

9г2Л, = 8 (Я - Л) ( д 2 + г2 + Д г); 9г2Л, = 8Я Д 2 - 8ЛД2 + 8 Я г 2 - 8Лг2 + 8ЯДг - 8ЛДг; 27г2Л = 8Д2 ( Я - Л) + 8 (Я г 2 + Я Д г-Л Д г); 27г2Л + 8й(Дг) = 8Д2 (Я -Л ) + 8 Я (г 2 + Яг); л(27г2 +8Дг)

8Д2 0 0 ,

8 (0 0 ,

+ А)(г2 +

Дг)

= 8Д2 • ОО, + 800, г2 + 8 0 0 , Д2 + 8Л2 + 8/іЯг; Л(27г2 + 8Дг) = 800, (Д2 + г г + Дг) + 8Л (г2 + Я г); Л(27г2 + 8Яг - 8г2 - 8Яг) = 800, (Д2 + Дг + г2); Л • 19г2 = 80 0 , (Д2 + Дг + г2);

8(rf +W ) ( B-r) 8 ( K- / j _8_, Щ 19 r(R -r) lSH(R-r) 19A * > де 0 0 { - висота зрізаного конуса. Так як Я3 - г 3 = ( Д - г ) ( л 2 +Я/- + Г2); Дано: SA = SB = SC = а; Z SAB = ZSBC = ZSAC = a; Знайти V. 1) AASB = ABSC = AASC ~ рівні; J_

370.

2) V = ± ttR 2 H; 3) AASB ~ рівнобедрений; ZASB = 180° - 2a; за теоремою косинусів знайдемо АВ2 = а2 + а 2 - 2а ■а ■cos (і80° - 2а) = = 2а2 + 2а 2 cos 2а = 2а2 (і + cos2а) = 2а2 • 2 cos2 а = = 4а2 cos2 а;

АВ = 2а cos а;

2a cos а 4) ААВС ~ рівносторонній; R -----5) ASOB “ прямокутний; SO = J a 2 За2 - 4а2 cos2а

з 1

4а2 cos2а

4л:а cos а 371.

4а 2 cos2 а

3 - 4 cos2 а 3 3 - 4 cos2 а 3 V

3 - 4 cos а Дано: = Q; ZSMO = a; ZAOB = (і; Знайти V. 1) З ьавв = ^ S M A B ; S M AB = 2Q; 2) Нехай A M = MB = a;

В В АМ тоді ОМ = А М ■с ^ — = асій^-; О А = ------г

; Р

3111“

•

Р ’ 2

БШ —

я в с ій вМ = ОМ : сов а = а : сов а сій — = ------- ; 2 сова 5 0 = ОМ •Ід а; а2 сій — а с^ — 2_. 3) Маємо 20} —• __ — 2а; Я = сова сова 2 <3сов а _ , /З а 2 = ------ - г - = 0 - с о в а -ій ^ - ; .Р " с ій ^ /

лч 4) >" = -* З •

В 1 а 2 Я -ас*г£-1вав - * ------- а сій- І£а= 2 «З яп Р ^ . /З зш— 2

О со в аій ^ а ------- ------ ».. с ^ -^- • їй а = 1 £ 1

■12 — р 81X

1 лО ооб « ій аій |сій |^ Я оова^ — ^ ОапауОсоєаій^ Р а•п 2 —

" = 3"

“ 7)8

3111 —

л Q sm a'{^ $|Q c o scc tg ^

Відповідь: З

біп'

372. г1 = 5 см; і? = 7 см; Н = 4 см. V = і •я • # ( 2 5 + 49 + 35) = і * • 4(74 + 35) = З з Л я . 4 . 1 0 9 = 136* (см3). 3 436л:3 з Відповідь: —- — см .

Дано: АВ = 5 см; ОО, = 3 см; ОА = 7 см; Знайти V. 1) В В, 1 АО; В В, = 0 ,0 ; ДАВВ, - прямокутний; АВ, = V25 - 9 = 4 (см); 2) ВО, = ДО = 7 - 4 = 3

(с м );

3) V = —л -3(49 + 9 + 21) = 7Г• 79 (см3). З Відповідь: 79 л см3. 374. Дано: ОА = Д; AS = I; ZBAO = а ; Знайти V. 1) ВД і. AO; ВВ, ІО О ,; ДАВД - прямокутний; ВВ, = і •sin а; АВ, - І ■cos а; ОВ1 = R - I cos а; ВОх = ОД = R - I cos а; 2) V =^7rZsina(.R2 + (R - I cos a f + Д (Д - Jcosa)) = = —— —(Д2 + Д2 -2 R lo o sa + l2 оовг a + R? -RloosaJ = = ^ S^n a (ЗД2 - 3RI cos a + l2 cos2 a ) . nl sin a / 0 _2 nr), ,2 2 \ Відповідь: ----------(ЗД —ЗД /cos cc + 1 cos a ) . 3 375. Дано: BO, : AO = 3 :7 ; OO, = 8 (c m ) ; BM1 A O- , ZABM = 60°; Знайти V. 1) Нехай BOj = 3x; AO = 7x, тоді AM = 7x - 3x = Ax\ 2) ДАВМ ~ прямокутний;

АМ ВМ 3) ВО, = 2>Уз • 3 = бТЗ; 4) V =

АО = 2^3 • 7 = 14>/3;

-8(36 -3 + 196 -3 + 6 -7з-14ч/з) =

= —гг(Ю8 + 588 + 84 • 3) = —7г (696 + 252) = З з 8п • 948 = 8л -316 = 2528л- (см3). Відповідь: 2528л см3• 376.

647 = 377 ; 377.

ТЛ

Дано: 5 0 , : ОО, = 3 :1 ; 7зр.конуса = 7. 1) 7 1к _ Даного У2 = У1к - V, тоді ( аV 64 7к - 7 ч_ 27 ’ 277к = 64(7, - У); 647 = 647к - 277к*; 64 „ 64 37 Відповідь: — V . Дано: АВСИ - осьовий переріз конуса; АС ± В2); АВ = 4 см;

ZBAO = 60°; Знайти 7. 1) В К 1 А£>; д АВС ~ прямокутний; /ч 1 ВК = АВ віпбО0 = 4 — = 2 уіЗ; АК = 4 — =2(см); 2 2 2) Так як АС ± ВІ>. то БО, + АО = 0 0 , = 2>/з. Маємо ВО, = г, АО = Я. | я + г = 2л/3; 2Д = 2>/з + 2; Д = 7 3 + 1; | я - г = 2;

2г = 2>/з - 2 ;

г= 7 з-1 ;

3) 7 Л я -2Тз [(7 з + і ) Ч ( 7 з - і )2 + ( ^ + і )(Т з - і )] = гТзтг, (з + 2>/з +1 + 3 - 2>/3 + 1 + 3 - 1) = з 20>/Зл 20>/Зл см (см3). Відповідь:

• 10 =

4 - 4 256я (см3). 378. V = —яД = —я •64 = 3 256я см Відповідь: 379. Д : Й2 = 2 :3 . 380. Радіус кулі треба збільшити в з/з разів. 381. V. - К = 252л-; 1 2

- я Д3 - - я •27 = 252л; З З

І Д 3 - 3 6 = 252; —Д3 = 288; Д3 =72-3; З З Д = >/216 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 382. Vк “ Vкулі' Знайти Дкулі.. 1) V = —кВ.2 • 3 = —я4 ■3 = 4я; З З = 1; 2) —яД = 4я; з ; Відповідь: см

Д3 = 3;

Д = 3/з (см).

Дано: 0 0 1 = 5 см; Яп,р = 144я; Знайти V. 1) я г 2 = 144я; г2 = 144; г = 12 (см); 2) ДОС^А - прямокутний;

383.

ОА =>/25 + 144 = Т Ї6 9 = 13 (см );

тл 4 /ю \3 4 л -2197 8788л / Зч 3) Укулі = - л (13) = ----- ------= — — (см3). 8788л з Відповідь: — -— см .

Дано: ZQA01 = р; Знайти Б пер .

Ккулі = V;

1) —ТгД3 - V', ’ З 4л \4тг 2) АОАОІ ~ прямокутний;

С^А = Д сов Р; 3) 5 пер = л г 2;

[ЗУ ОгА = ? ----- совР; 4л ■сов Р

8 аер= л \

( з к > = Л ■СОБ2 Р — . \ 4л / 1

385.

2 /з Г'ЗУ'І Відповідь: я сов р , 4я ,

ДаНО: К кулі = ^ д АВС - рівнобедрений; АВ = АС = Ь; ZC = ZB = а; Знайти ООг 1) ZA = 180°- 2 а ; ВС АВ зіп (і8 0 ° - 2 а ) віпа ’

А В -8іп2а й ^ в іп а с о в а = 2Ь сов а; вш а в іп а 25 л 1 . . . о Ь2 віп 2а 2) г = — ; 5 = —Ь Ь ■вігі 2а = ----------- ; } Р 2 2 Р = 2Ь + 2Ьсоза = 2Ь(1 + сова) = 2Ь-2сов2—= 4Ьсов2—; 2 2 Л1. 2 Ь г з і п2а &зіп2а ОМ = г = --------------- = ----------- ; 2-4&со82— 4соз2 — ВС =

4> іл :Д 3 =К ;

,3 ^ 4л І

Д3 = — ; 4л 16^

ЗV Д = ?І— ; !4л

а ’Відповідь: ^ 4л

Дано: Д = 5 см; Л = 6 см; Знайти V сегмента. ґ

и \

V = як2 Д - *

37 V = л -36 5 - —

Дано: 0,А = 9 см; Д = 15 см; Знайти V більшого сегмента. 1) АООхА ~ прямокутний;

387.

00 , = 7 2 2 5 -8 1 = УЇ44 =12(см); 2) Л = 12 + 15 = 27 (см); 3) 7 = я ■272115 - — ] = я • 729 (15 - 9) = я •729 • 6 = = 4374я (см3). Відповідь: 43 747г см3' 388. Д = 6; Л = 2. 2яД 2Л 2 я -3 6 -2 = 487Г (см3). 7сект = з з Відповідь: 48 я см3 • Дано: Дкулі = 6 см; 389. АВ = 60°; Знайти V сектора. 1) АА0,0 - прямокутний; ^ О В = 60° • то» ZA 001 = 30°;

7з

ОО, =А О -созЗО0 = 6 - — = 3>/3 (см); 2 2) А = 6 - З'УЗ = 3(2 - -у/з) (см); 2/г •36 - 3(2 - >/з)

3 )7 =

= 72л (г - -Тз) (см3).

Відповідь: 72л (2 - л/З) см3

390. Дано: Я = 5 см; Я = 6 см;

Знайти

= 2лНН = 2тг • 5 • 6 = 60л- (см2). Дано: АС = 10 см; ZAMI> = 120°; Знайти Б,,. 1) А М = МС; В М = МИ = 5 см;

391.

АО2 = 25 + 2 5 -2 -5 -5 со з1 2 0 ° = 5 0 + 25 = 75; А£> = 5л/3; 2) СІ) = -УіОО - 75 = л/25 = 5 (см); 3) Я* = 2л •— • 5 = 25>/Злг (см2). 2 Відповідь: 25 ч/Злг см2 392. Дано: /А О В = 90°; 5* = 2лДЯ;

АВ = і?л/2;

5пер = Дч/2лЯ; 1 ) АВ = —■360°; Коло

4 ділиться у відношенні 3:1.

393.

: ^2

2 Г3 ] . 'Г ~ І 6 : 16 ' Відповідь: 9:1. V4 У1 • V4 / Дано, — АВСВ - квадрат; Знайти . АО = СБ; А й 2 = в; 4«’ - *

я =|

я = 2 — = >/£; 2

Б# = 2л НН = 2 л ------ -У5 = лЯ.

Відповідь: л’З •

= 2лД Я ;

в г = 2лВп ■Н 2;

2лДЯ, = 2лДп • Я 2; = —;

Отже:

в, = 52;

Я, = п • Я 2;

^ 2 . = і; Я1

: в 2 = п : 1.

395.

Дано: Я* = 2 5 ^ ; Бп = 256л см; Знайти Д І Я . 1) ~ в д- + 25'осн; 48ХЙ = 256л; 50 = 64 л;

жД2 = 64л; Д2 = 64; Д = 8 (см); 2) 2лДЯ = 2 •64л; ДЯ = 64; Я = 8 ( с м ) . Відповідь: Д = 8 см і Я = 8 см. Дано: Д = 6 см; 396. ZAOD = 90°; Ш )= 1 2 см ; Знайти 8 п. = 2л ДЯ + 2л Д2 = = 2лД (Я + Д); 1) АО2 = 36 + 36; АО2 = 72; АО = 6Ч/2 (см); 2) АВ = >/144-72 = л/72 = бл/2 (см); 3) Я, = 2 л -б (б Т 2 + б ) = 7 2 л (Т 2 + і) (см2). 397. Дано: 7в = 54л см3; лД 2Я = 54л;

Я = 3 см;

Д2 • Я = 54;

Д2 =18;

в 4 = 2лДЯ = 2л •3>/2 • 3 = 18лТ2 398.

Знайти

(с

Д = 3^2 (см); м

2).

Дано: = 8ХХ; АС = 5 см; Знайти 5 п. 1) в . - л + г в . . ; 2лДЯ = яД 2; 2Я = Д; Я =| ;

2Д = АО; С£» = Я ;

2) 25 = Я + 4Я ; 17Л2 = 100;

25= — + 4 Яг; 25 = 4 4 100., дв -- - 10 Я2 = — ^ . . ян -- ж5 ,•

10 10 5 г+ 3) Ял = 2 лгЯ (Я + Я ) = 2 я --7== л/Ї7 [>/І7 у / ї ї ; 20л: _15_ _ 3007Г ЗООя 2 (см2). Відповідь: ------- см , 7Г7 ’ ТЇ7 “ і7 17 399. Дано: АВСБ - разгортка; АС = 10 см; ZCMI> = 60°; Знайти 5 п. = 2тгЛ(Я + Я) 1) СБ = МС = МИ = = 5 (см); 2) 2лЯ = АО; (см); ^ і) 8 . - 2 » .2л

2п

5л/з

2л Я = 543; Я = —— ; 2л

= 5Тз

\ > 2&ТЗ (2тг + л/з) (см2). 2тг

'і 0 я + 5 ^ 2;г ^ /

25^3 (2я + >/з) см 2я Дано: ВИ = 8 см; ZADS = 60°; О М 1 А О ; ОМ = 3 см; Знайти 5 П. 1) ДААО;

Відповідь: 400.

АВ = 8- — = 4 І Ї (см); А О = 8 ± = 4 (см);

2 2) ААОМ ~ прямокутний; АО = >/4 + 9 = >/ЇЗ; і)

= 2 я Д (Я + Я ) = 2я:7 Ї з (7 ЇЗ + 47 з ) =

26тг + 8тг>/39 =2лг(іЗ + 4 Т їз)

(с

2).

Відповідь: 2я^13 + 4^131 см2. Дано: ZCAB = а; ІА О В = р; АО = ОВ = Д; Знайти . 1) в , = 2лІІН; 2) ААОВ~ рівнобедрений; АВ2 = Д2 + Д2 - 2Д • Д сов р = 2 Д 2 (1 - сов Д) = Р_ = 4Д2зіп2 —; = 2Д2 •2 зіп2— 2

. Р АВ2 = 4Д2 зіп2 —; АБ = 2Дзіп —;: зіп — 2 2 3) ДСАВ “ прямокутний; СП = АВ ^ а ;

СИ = 2Д біп — ^ а ;

4) Й,, = 2яД г Д в і п ^ ^ а = 4тгД2 з і п ^ ^ а . О

Відповідь: 4яД 2 зіп — 2 402.

о:. Дано: = ІООгг; Д = 10 см; АВ = 13 см; Знайти ОМ. 1) 2лЯН = ІООтг; ДЯ = 50; Н = 5 (см); 2) ААВВ1- прямокутний; ВВ, = 0 0 , = 5;

АВ, = л/іЗ2 - 5 2 = 718 -8 = 2 6 = 12 (см); 3) ДАОВ, - рівнобедрений; ОМ 1 АВ; АМ = МВ = 6 (см); 4) ОМ = \JlOO - 36 = -Тбї = 8 (см). Відповідь: 8 см.

Дано: F = V; ZCAD = a; Знайти S n. S„ = Ss + 2 SKH = = 2л HR + 2k R 2 = 2k R [ H + R); Уц = tcR 2H; 1) ACAD ~ прямокутний; CD = AD t ga; CD = 2R tg а, тоді V = k R 2 • 2R ■tg a; 2л R t g a = F;

2) Sn = 2л ■з = 2л • з, = 2л

R =

2л t g a

27г tg a

2І

V 2л t g a

R =з

2л t g a

І V — t g a + з/--------2л tg а у 2л t g a

v 2тг tg а

V Y ——---- ( tg a + l) 2я tg a

f I

405. Д = 3; / = 4; 406. А5

= л ■З 4 = 12л: (см2).

Дано: 5 0 = 15 см; вА = 1 7 см; Знайти . 1) ДАЙО- прямокутний; АО = л/і72 - 152 =

2) в, = 407.

= л/32• 2 = >/б4 = 8 ( с м ) ; • 17 = тг • 8 • 17 = 136л: (см2). Відповідь: 136^ см2Дано: ДАБВ ~ осьовий переріз; АВ = 8 см; ZASB = 120°; Знайти . 1) АО = ОВ “ 4 см; 2) М О В “ прямокутний;

AO . 4 2 8>/3 , v ---- = sin 60°; A S = (cm ); AS ■^ Тз з° 8V3 32*л/§ ( cm 2). S4 = * •4 • З З Дано: SA = а; ZSAO = а ; Знайти S n. Sn = nRl +*Я 2 = = nR (l + R); 1) AASO ~ прямокутний; AO cosa; AO = a-cosa;

2) Sn = * a cosa (a +aco sa) = * a2 c o sa(l + cosa) = = паг cosa •2 cos2—= 2л a2 cos a cos2—. Відповідь: 2лa2 cos a cos'

a 2 '

Дано: FK= 18*; SO = 2 ’ AO; Знайти S I).

409.

1) —*.R2# = 18тг; З R2H = 54; так як Н = 2Я, то R2 -2R = 54; Н = 6 (см); 2) Sn = * -3 (3 + 6) = 27* 410.

( c m 2 ).

Відповідь: 27* см2Дано: Sn = 90* см2; І - R - 8 см; Знайти V. 1) 90* = *і?(Д + і); І = 8 +Я; 90 = Я(Я + 8 + Я); 2R2 +8 Я = 90;

Я2 +AR - 4 5 =0; R, = 5; R2 * -9; R = 5; 2) ASAO ~ прямокутний; SO = V 169-25 = ТЇ44 = 12 ( c m ) ;

Дано: S„ = 108я

1 = 13;

, SO = бТЗ; Знайти ZSAO ■ 1) JtR (I + R) = 1087Г,

Д(/ + Я) = 108; 2) ASOA~ прямокутний; ——=ctg os AO =e fs ■ctg a; SO

3) Маємо

— =sin or, A S= ^ ^ -; AS siii a бТз + 6>/з cos a = 108; •ctg a sin a sin a

6>/3 •6 уіЗ ctg a (1 + cos a ) = 108; sin a cos a (l +cosa) = l; cos a +cos2a = sin2 a; sin2 a cos a + cos2 a = 1 - cos2 a; 2 cos2 a + cos a - 1 = 0; Нехай cos a = y; 2y2 + y - l = 0; D = 1 + 8 = 9; = 1 4 2 y2 = -1; cos a = —; a = 60°; c o s a * --l.

412.

Дано: AASB ~ прямокутний; P

r bA SB

= rP-'

Знайти S n. Sn = л:R(l + R) 1) 2l + 2R = P; 1 + R = —;

I2 + I2 = (2R )2;

R =4 - ; V2

2l2 = 4Я2;

I V2

R2 = j ;

R = - - 1;

21 S„ = 7Г ■- 7*= —p ; ^ л 42 2 P 2

l2 =2R2;

P 2

p 11= RD ---2 .

------- —r-f l \ ---- /

v ^ +1

;

----- Zp = —i= ; 1 2 72 1 + 72 1 2 V5

1 + 72 t t .f v z

* P -(V 2 -1 )

3) " ',/ 2 ( 1 + 72) 2 " 4 (l + 7 2 ) ( 7 2 - l) ЛГ.Р2 (V2 - 1)

*^(>/2-1) ( c m 2) . В і д п о в і д ь :

Дано: SJ^tfO = 2:3; Знайти відношення бічних поверхонь. 1) AO = R; SO = Я ; SA = Z; BK = r; SAT = h; SB = lx;

413.

2) ABSK - AASO; AO 5 D 5 -----= - ; R = - r ; BK 2 2

0 5 5 . 25лті 3) S* =7Г‘ 2 Г'2 ^ = _ 4 ; 0 25rcrL , 2\nrL

. S '* =7trl;

4) S ! = —

5) S „ : S , = 2 1 Ї І : лгі; 4 Відповідь: 21:4.

S, :S, = 2 1 :4 .

Знайти SO, : ОО,. 1) S, = nr\; SB = 2) S2 = tc12 (R + r); І2 = AB; rll =l2 {R + r); rll - l 2r = LzR; r {k ~ i?)= i?R'>

415.

r =

SO, r 3> 0 ,0 я ’ Я - Л (і,- £ ,)Л ’ H - h / , - i j ’ Л = SO,; OO, = H -h . Дано: ZASO = p, Ss = S Знайти S n. S„ = тгД(і + Д); S^ = /гй/; 1) AASO ~ прямокутний, J AO = SA sin /3;

AO = /■sin P; V __* r S=nlwn.pU, S =7d2sin/J; i2 =———; Z= ,/• Trsin/) \ /rsin/?’ S sin /Ї 2) = C l \/Л я:Гsin 811 /J ) o _ [SshTp f I S , IS sin p ) 3 ) si - * i l x | V

я-

= Syjain P

Уяг \Vsin /? v ^sfsirTp

■^8in p

1 + sin p = S - ( l +sin/3). д/sin P Відповідь: S ( l + sin/J). = Syjain P

Ядам = 64 см2 Знайти 8 п. в4(ия= |-2Л -вО = 64; Я ■ЯО = 32; Я, = *Я2 + лШ;

1) С - довжина дуги сектора *Ял */ •150 */ •5 С= 180 180 6 51 = 12Я; і = — Я; 5 2) ДАФО - прямокутний;

5лі

= 2*Я;

3 0 = № Я2 - Я 2 = Я І ^ И ^ 7 Ш V 25 V 25 5 3) Я 5 0 = 64; _2

320

Я •—-УГЇ9 = 64; 5 . _

;

— >/ЇІ9 = 64;

320

320*

Я = ■г - ; тоді 5 = * • = -у— ; Ті19 >/119 7ГЇ9 ,320 12 320 12-320 * 12-64 119-5 320* 320•12* 320* +64•12* 4) в . = /119 5 •7 і1 9 -УЇ19 320*+ 768* 1088* 7ЇІ9 1088*>/П9 119 >ЯЇ9 ТП9 ->/П9 64*7ЇІ9 (см2). 64*ТГЇ9 Відповідь: ----- -----417.

/ 2ч (см ). 2лЯ = *і,

2Я = І, отже твірна в 2 рази більше за радіус конуса.

АЛОВ = а;

/АБВ = (5;

Знайти 5 п. вп = лЯ (і + Я);

1) ОМ і. АВ; /АОМ = /ВОМ = —; 2 а а АМ = Я вігі —; АВ = 2ІІзіп —;

АМ а = віп—; АО 2 2) ДАБВ ~ рівнобедрений; АВ2 = 1 2 + 1 2 - 2 1 2 с о я Р ;

2 АЗ = БВ = І;

4 Я 2 з і п 2 — = 212 ( і - соб Р ) ;

а 4Д28Іп2—= 4/2зіп2—; 2Яяп—= 2/ап—; І = ------ 2 ,. 2 2 2 2 . Р віп -— 2 . а . Р 7ГІЇ зш —+ єіп — 2 2 +Я 5, = тгД 3) . Р зш — 2 Дано: /ЛОВ = Р; 419. /ОБМ =ср; БО = Н

Л ет

Знайти . 1) ДОБМ ~ прямокутний; ОМ = БО OM = H■tg(p; ЗМ = 2) ДАОВ ~ рівнобедрений; ОМ 1 АВ; ОМ р ----- = сов —; ZАОМ = /ВОМ = Р . ОА 2 ОМ Htg(p АО = р р ’ сов — соз —

Н С0 Я ф

AW (і 3 ) 7ОМ ^7 =tg o 2’

rr в Ш =H tg<ptg£; 2

4) AASM - прямокутний; A S = i/AM2 +S M 2 = =J l f i g 2? \

= J h 2^ ^

2 cos <p у

cos (p

2 cos <p

^ .s in <p• tg V =-----^-p+ 1;7 cos (p \ 2

Ss = 71Rl = к ■Htg(P . - Л — . /sin2 (p tg2 — + 1 =

С08Д cos? V cos __ 2_________ 2

7tH2tg<p ^sin2 <p• p

j +1

cos —cos Й) 2

KH2tg(p I . 2 2p ” -----Jam <p tg ¥- + l їдь: „„„і* олЛ 2 Відповідь: cos^ cos<?, 2 420. Дано: ZASB = P; ZSMO = <p;

Ss = S

Знайти S ^ . 1) k RI = S ; s „p = 1 m

Z2 sin P 2

2) AASM ~ прямокутний; AS = Z; AM = Z•sin

to|ta

або S «p = —l = 2 l sinP —

-s m

SM = Z•cos—; 2 OM 3) AOSM ~ прямокутний; 7 — = cos <p; оM OM = SM •cos (p = Icos^coscp; 4) AAOM ~ прямокутний;

= VoM^kAM 7 =

Р __ ,2 . 2 Р _ . р 2 -2 Р ^ І,2 СОЗ —С ОЗ,2 ()?+£ ШП —= І. соз2 —соз <р+зіп —;

2Р

5) І2 =

„„„2

соз

, » 2 Р _ 0. + зіп — = о;

І г -Р л^соз

І 7^ р -2 Р л^соз сов2 (р + 31П —

2 з іп — сов— Я

ввіпуЗ

2^соз2^ соз2<р+зіп2— 2язіп —./сі#2 —сов2<р+1 2 2V 2 421. в , = л-і(і? +г ); 422.

= л -9 (4 +6) = 90* (см2). Дано: АВ = / = 10 см; СЮ, = 8 см; Я* = ЮОтг см2 Знайти Д, г. 1) я/(Д + г) = ЮОя; 100

Д +г = ■ 10

Д + г = 10;

2) ВГ 1 АВ; ВІР = Я = 8; 3) ДАВ*1 - прямокутний; = >/100-64 = = -Узб = 6 (см), отже Д - г = 6; |Д+г =10 -г =6 _____ 4) Маємо ІД 2Д =16; Д =8 (см); Відповідь: 8 см, 2 см.

Дано: АВ — 10 см; /ВАМ = 60°; ZCAD = 30° Знайти 3 6 . 1) ДАВМ- прямокутний; так як ВМ 1 АО; — = 8іп60°; ВМ = 10 — = б7з (см); АВ 2 АМ = 10•—= 5 (см); 2 ' ' 2) ВМ = 0 ,0 = ССр 3) ДАС[С —прямокутний; | Д -г = 5 + г = 15 4) Отже, маємо ІД 1______ 2R = 20; Я = 10; г = 5; 5) Ss - 7С■10(10 +5) = 150тг (см2). 424.

Дано: OOj = Я ; АС 1 ВИ, ZBAB, = /}; Знайти . 1) ДАВВ]- прямокутний; ВВ, . Я —-і- = sin В; АВ = ------ ; АВ sin Р 2) Так як AC ± BD> то ОО, = ВО, +АО; Я = г +R; Я2 Відповідь: sin Р sin Р sin Р 425. R = 6 см; S„ = 4тгії2 = 47Г •36 = 144л (см2). - це плоша 426. S n = S; Sn = 4 k R2 = 4 •(яЯ 2); а великого круга. Отже Sxp = —. 427. Площа поверхні зменшилась в 16 р. 428. Радіус кулі збільшили в 3 p., а об'єм кулі збільшився в 27 р._________________________

АС = 14 см; ВС = 15 см; АО + ОС = 14 см; Знайти V і S4.

АВВ С - діаметри трьох куль; АС-

; s 2 - площі поверхності менших куль Знайти: S s.

1) S = r c A C 2; АВ2 = — ; Тоді А

ВС2 = ^ -

00=120» =

= ^ +А +з Й Ж = 1 (5 , + з 2 + Т з Г А ); Л

я '

2) в3 =яг- —(в, + 52 +л/5[ •52) = ^ +52 +^ 7Г '

■в2.

Відповідь: й, + 5 2 + >/31 • в 2 •

Дано: 0 0 , = 8 см; С =12л см Знайти 3 ^ . 1) 2лг = 12л; г = 6 (см); ___ 2) ЛОО,А- прямокутний; ОА = 764 + 36 = >/Ї00 = 10 (см); 3 ) в = 4л В2 = 4л •100 = 400л (см2). Відповідь: 400л см2 • Дано: А В = 5 см; 431. АВ = 12 см; Знайти V і . 1) АВ = Я ; А£> = В При обертанні прямокутника одержуємо ціліндр

430.

V = лВ.гН = л -25-12 = 300л (см3);

= 2лВЯ = 2 л •5•12 = 120л (см2). Відповідь: 300л см3;

120л см2.

____________

1) В наслідок обертання д ABC навколо АС одержали два конуса V . = - л А О О В 2 + -лО С ОВ2 = тов З З = —ж •ОВ2 •(АО + ОС)= — л ОВ2; З з 2S 2) ОВ 1 АС; ОВ = h; ^ = -— 1 Знайдемо площу ЛІ/ трикутника за формулою Герона __13 +14 +15 _ 01 Р --------- 21, =>/21-8-7-6 = 7-3-4 = 84 (см2); ^ =— 2 8 4 = 4и (см); \ Л .. 14 1С 224л / Зч 2) К.о*. = — л •16 = (см ); = л -4 -13 +л 4 -15 = 52л + 60л = 112л (см2). 224 з 11Л 2 Відповідь: — л см ; 112л см . О 433. Дано: д АВС ~ прямокутний; ВС = а; ZA = а; Знайти 5 . 1) В наслідок обертання дАВС навколо гіпотенузи отримали два конуса 5„.т.о«. = я В • АС +лВ •ВС = лВ (АС + ВС); 2) Я = ОС; ZCAB = а ; ^СВО = 90° - а; П .Т .О О .

AC BC

---- = ctga;

BC = a;

AC = a ■ctga;

---- = sin (90° - a ) ;

OC = acosa; BC 3) S nr o6 = n ■a cos a (actga + a) = n a2 cos a [ctga +1).

Відповідь: к a2 cos a ( ctga + 1). Дано: BC = b; ZA = ZD = p-, AB = CD = C; Знайти Vт.об.,. 1) AABBl - прямокутний; BBl = AB sin P = C sin P; ABl = C cos p;

2) K * = n +2VK= nR2h +2 •^ k R2AB, = = л C2 sin2 P ■b +2 •—n ■C2 sin2 P ■C cos P = f

=ttC sin p b + — C cos fl =тгС2sin2P (3b +2C cos P). 3 Відповідь: tcC2 sin2 P (3b + 2Ccos p). 435. Дано: ААВС ~ прямокутний; AB = C; ZA = a; m. _L AB; Знайти Vt ^ . 1) K.o. = vm- v; - f2; 2) ААВС - прямокутний; AC = C ■cosa; BC = C s in a ; 3) АСАМ ~ прямокутний; /САМ = 90° - a; AM cos(9Cr і пг&- a j ;і AM = Co-c o s a sin • a =------------; C sin 2 a -----= AC 2 CM = AC ■sin (90° - a) = C •cos a ■cosa = C cos2 a;

4) ДNBC ~ прямокутний; ZBCM = а; NC 1ГЛ . , С •sin 2а ---- = cos a; NC = С •sin а ■cos а = ------------ ; ВС . 2 ^ тг у-,2 С- sin 2а л С - sin 2а 5 ) П = * С -------- ------- з------ : 1 2 \ С- sin 2а 1 „з 4 . _ 6)-тг г[ = —7г (С •cos а ) ------ ------= —лС cos a sin 2а; 2 6 1 С •sin 2а /С •sin 2а V 1 = — л:С3 sin3 2а; 7) V, = —л 24 пС3 sin 2а —7гС3sin 2а cos4а + —лС3 sin3 2а 6 4 лС3 sin 2а , 2 2а 1 —1 cos4. а —1 sin2 З 2 \ лС3 sin 2а 6 - 2 cos4 а - 3 sin2 2а \ / лС3 sin 2a ( 6 - 2 cos4 a - 3 sin2 2a) 12

Відповідь:

‘

лС3 sin 2a (б - 2 cos4 a - 3sin2 2a)

436.

Дано: ABCD - ромб; ZA = a; d ABCD = S; Знайти V. 1) S p = a -a s m a ; a2 sin a = S;

2) AAAXD - прямокутний, ZA,AD = 90° - a; АД = AD •cos (90° - a ) = AD •sin a = a sin a; AXD = AD ■sin (90° - a ) = AD •cos a = a cos a;

3) ^ , . = ^ - 2 ^ ; AC, = a + a cos a = a ■2 cos2—; AA, = a sin a ;

Уц = л ■(а віп а)2 •а ■2 •сов: а І в

=л

■2 СОБ' 2л сов віп а 2 V чзіп зіп а 2 ^зіп а Т г 1 / \ 2 1 5 віп . 2а = V" = —ласова а в т а ) =—л а с о в а -------З 3 віпа Вл віл 2а-Ув 1 І 5 _ . = —л . -------- й в іп а • соза = З Vзіп а 6-\/зіп а 2Вж віп 2а-\/в 2 1 <#а б-ТзїїГа а Тв віп 2а = 2ж5 сов 2 ^/зіп2 а зіп а \ / ОС соз2 — зіп 2а = 2л8\[§

437.

Дано: ДАВС ~ рівнобедрений; ZA = ZC = 15°; Обертається ДАВС навколо АВ; Знайти . = V, - У2; де ^ - об'єм конуса при обертанні навколо АМ, а 7 г - навколо ВМ, тоді !)

= - л - С М 2 (АВ + В М ) - - л С М 2 (ВМ) =

= -л С М 2 (АВ + В М - ВМ) = -л С М 2 ■АВ = -л С М 2;

3 3 2) /АВС = 180^ -2-15° = 180° -30° = 150°>тоДі ZCBM = 30°;

СМ = ВС зіп 30° = 8 - і = 4 (см);

2 128 О 128 / 1^0 3) Коб. =—•л -16 =——7Г (см-). Відповідь: ~^~л см гг

АС = Ь; ОМ - с; А

ZАВС = 2/?; Знайти Vт.об... Ут.об. = Vц - 2К,З р .ко н .’;

1) Уц = лс2Ь; 2) ААВМ ~ прямокутний; /АВМ = Р; АМ = —; с*

ВМ = —ctgp; ОВ = с - - Щ р ; 2 2 ( \2 т/ 1 Ь V - —71 — с2 +| с - —сішР с --с ііР * 3 2 лЬ с2 +с2 -c■b■ctgp +— с££2/? +с2 - — ctgP ~6~ 4

Зс2 - —c■b■ctgp + — ctg2p 4 1 ь2 2 К ,= ^ - 3 с2 - —с Ь ctgp + — * З 12 т

2р

с2 - —с - Ь - ^ Р + — ^ 2Р 12

1 Ь2 3) Кт.об = « с2Ь -лЬ с2 ----с-Ь ■ctgp +— ctg2p 2

= лс2Ь - лЬс2 + —лЬ2с ■ctgP =-лЬ2^ р с ~ е ^ Р о 2

лЬ3^ 2р 12 с --^ р

Відповідь:

439. Дано: а = АВ; і ї —висота; Знайти: V , описаного навколо призми. Л = ^=;

V = лВ.2Н = л ■— ■Н =

л а 2Н

Відповідь: —-— .

л а 2Н

Дано: дАВС ~ рівнобедрений; АВ = АС\ ВС = а; ZА = а ; ЛВ^В = р ; Знайти: V , описаного навколо призми. 1) Знайдемо Я описаного кола ВС = 2R; sin a

= 2 R;

sin а 2 sin а 2) ДВ[СВ - прямокутний; ВХВ = ВС ■tgp = atgP\ 7га tg/J atgP = 3) V = k R2H ; Уц = п 4 sin2 а 4 sin2 а Відповідь:

na3tgP

4 sin2а Дано: А ВС А ^С і ~ правильна призма; АВ = 4 см; А41 = 3 см; Знайти циліндра. 4 2 2>/з 1 ) г = 2 Т з = >/з з :

441.

2) S,5 = 2 •пгН = 27Г

Відповідь:

2УЗ З

3 = 4 луіЗ ( с м 2 ) .

смг Дано: АВСА1В1С1 правильна призма; АС = гі; ^АгСА = 0 ; Знайти V , вписаного в призму.

442.

сі сіуі2 ' ) а в = в с =Т 2 =—

тоді г =

d>/2

АА

3) У = к Гс/72

тгсГ 8

7ГСГ

■dtgP - - — tgp. Відповідь: —— tgp ,

Дано: вАВСБ ~ правильна піраміда; АВ = 4 см, а ЯО = 2^7 см : Навколо піраміди описано конус; Знайти V, Б . 1) К = ±ягД2Я ; Д =^

= 2Т2; у- =іл-8-2Т 7 =^ ^

(см3);

2) Д5ВО _ прямокутний; ВЯ = >/28 +8 = уі3 6 = 6 (см); Я, = тгЛ (г + Л ) = /г 2>/2 (б + 2л/2) = (8 + 12л/2)тг =

= 4^2 +3>/2)л (см2) 1бТ7я 444.

см3;

4^2+3-У2)л см2. Дано: ДАВС “ прямокутний; ВС = а; /ВАС = а; /ЯВО = у, Знайти Vк о н у с а описаного

навколо піраміди. 1) Навколо прямокутного трикутника можно описати коло. О - середина гіпотенузи ВС . ло а АВ = ------- ; АВ віп а 2) ДВБО ~ прямокутний;

---- = зіп а;

ВО = ОА = Я =

2 зіп а

ла tgcp

Дано: ABAC ~ рівнобедрений; АВ = АС = a; ZВАС = /З ZSMO = ZSNO = <р; Знайти: S n. Sn = л г (і + r);

1) Знайдемо'^'вснови. так як двогранні кути рівні то висота піраміди проектується в центр вписаного кола, отже ОМ = ON = г - радіус конуса. 2S 0 1 ■ п a2 sin /З г = — ; S„rtl = —•а ■а ■sin В =----------; р

осн

2) Знайдемо сторону ВС, використовуючи теорему конусів ВС2 = а2 + а 2 - 2 ■а ■а ■cos /3 = 2а2 - 2а2 cos /3 = = 2а2 (1 - cos /3) = 2а2 •2sin2 —=

• 2 —; 0 sin 2

ВС = 2a sin —;

. — Д'і = 2а + 2а sin — = 2а f .1 +sm 2/ V. а 2 sin /3 asin/3 . — я . — /зі 2 ' 1 + sin 4) 2а fi1 +sm 2/ 1 2J 5) ANSO ~ прямокутний; 3) Р

а sin Р

6) &SBN - прямокутний; BN=-BC; B N -asin —; _______ 2____________ 2 a sin2p • 2 —+P a 2sin SB =yjBN2 +SN2 = 1 +sin COS (p • — P •cos2 <p+sin2 P sin2 —•4 1 +sin 2 ( sin • — P\ COS (p

/3\2 |4sin2— ' 1 +sin— •cos2<jp+sin2P;

• Я 2cos (p i1 +srn— 2 a sin/ • — Я 1і + sin 2

4 sin2^ l 1 +sin—] -cos2<p+sin2/}

asin/î ^P 1 +sin

2cos (p 1+sin P

na2 sin p

1 + sin p ï 1 +sin

nnp ] )

4sin2—• 1+sin— ■cos2<p+sin2/3 2 2 2cOS<jP

яа^аіпД і1+srn— • P) 2

/4 sin2 —• 1 +sin — •cos2 (p+sin2 P sin /? +■ cos Ç>

Дано: д АВС ~ рівнобедрений; АВ = ВС = 20; АС = 24 см; и..)С АБМО = ^ N 0 = 45°; Знайти V". 1) Вл вписати коло. Так як усі двогранні кути при основі рівні, то висота піраміди проектується в центр вписаного кола, отже, 5 0 - є висота конуса. 2) ОМ = ON = г = — ; ДАВС знайдемо за формулою Герона р = 20 +20 + 24 ^ .

Я =Т32 12 12 8 = 12-8-2 = 192 (см2); 2 192 . , > г = - ^ - = 6 (см); 3) АЭМО ~ прямокутний;

50 ми

= 6 (ш ):

4) К = іт г 36 6 = 72л: (см2). З Відповідь: 72л- см3 447. Дано: ВВ, = 8 см; в, АВ, = 10 см; АС = 17 см; Описано кулю; Знайти 5 ікулі Кулю можна описати навколо призми, так як навколо прямокутника можна описати коло; Якулі = Я 1) АВ = V1 0 0 -6 4 = 6 (см);

2) ЭВ = 736 +225 = Т26І ( см); 3) 4)

= | ^ 2 6 І (см); = 4лгД2 = 4 •^ •261л = 261л: (см2).

с,

Дано: Я„„.КІ/М=13 см; АВ = АС = СВ = 5>/з см; Зпа“™ о призми.

1 ) Центр описаної кулі лежить на с середині висоти призми, що з'єднує центри кіл, описаних навколо основ призми. Отже, К - центр кулі; АК = 13 см, а АО = -р=- = 5 (см );

2) ААКО ~ прямокутний; ОК = л/і69 - 25 = уіШ = 12 (см); 3) Я = 12-2 = 24 (см); 4) Я, = 3 •5>/з •24 = З60ч/3 (см2). Відповідь: 360 л/з см2 • 449.

Дано: АВСШ,В;С,І>, прямокутний паралелепіпед; АО = а; ZCAD = а ; ZBB1.D = р; Знайти 5_у.„ описаної навколо паралелепіпеда. 1) Центр кулі, описаної навколо прямокутного

паралелепіпеда знаходиться на середині висоти. Отже, точка О - центр кулі, а ОС = Д. 2) дАСИ - прямокутний; - ^ - = сова;

АС = ■ а

сова

АС

а АС = ВИ = сова

_ ctg р; 3) ДВВ1В - прямокутний; Щ = ВО

сова 4) ДКОС ~ прямокутний; КС = а сЬё р

_ І

2 соз а аг сіЄ2р _

а2

2 сов а ’ Т°Д1

\ 4 сов2а а ф г^ р = . а 1 2 сов а 2 сов а віл р 5) ^ = 4тг

4 сов а віп Р тга2 Відповідь: сов а віп Р 450.

4 сов2а 2 сов а віп р ’

па

сов а віп Р

Дано: а - 2->/з см ! навколо куба описано кулю. Знайти V і в. 1) Центр кулі О середина ВВГ тобто В,О = ОО = Д; 2) ДО2 = За2 = 3 12 = 36; Д Д = >/зб = 6; тоді Д = З (см); К

3) ^ = 1тг-27 = 36л (см3); З 4) 5 = 4тгЯ2 = Збтг (см2). Відповідь: 36п см3; 36ж см2.

І о, / с# # /0 /

В призму вписана куля.

АВ

Знайти . 1) Так як куля вписана в

п р и з м у , ТО лЯ

2) Нехай сторона а, тоді г - —і

Я = а, тоді —= 1і. а

- г -- — Н -,

г - —і

~ 2 ~ ~ 2 ’

1 Відповідь: —- А. п

452.

Дано: ААВС ~ правильний; АВ = 6 см; Знайти Якулі. 1) Я = г, де г - радіус кола, вписаного в основу 6 З г =• ~7 з (см); 273 Відповідь: 7 з с м .

453.

Дано: АВ = 16 см; ВС = 28 см; АС = ЗО см; Знайти: Якулі, вписаної в призму. 1) Радіус вписаної кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми.

А,

\ N1 / 2Я 2) Г = 7Г-

Площу основи знайдемо за

формулою Герона Р =

16 + 28 +ЗО 74 = 37;

в = ^37(37 - 16)(37 - 28)(37 - ЗО) = =л/37 •21 •9 •7 =7 ■3>/37 •3 =2іТЇІТ (см2);

2 2Ь/ГП 21>/ГГТ 2іТз , V (см). 74 37 7 з7 2 і 7ПТ В ід п о в ід ь : ---------- с м . 37 454. в,*, = 8 см2. В призму вписана куля Г = ------------- = ---------- = і---

Л = Г=Ц .

н = 2г.

1) 5 о с .= ^ г ; 2)

16 = Р • г;

Р =^ ;

= Рос„ Я = у - 2 г = 32 (см2).

Відповідь: 32 см2.

455- Лкул1 = г»

Знайти Н = 2г,

Д = | = '-;

а = 2г;

V = 4г2• 2г = 8г5. Відповідь: 8г3. 456- 7кулі " Л Знайти К р. 4 1 ) У к = - л г 8;

4ят = ЗУ";

г = Д;

Я = 2г;

гз _ ЗК. 4л ’ 4

« = 2 ,7 5 ;

* ..< £ ± * .» 4 « , 4

к _ Зг2л/з 2г _ 6г37 з = З гз/д = З ЗК = 9К 4 4 2Г 2 4лг 8 я ' 9^

В і д п о в і д ь : —— . ОК

а 457. 1) Нехай сторона квадрата а, тоді г = —, отже, а радіус кулі, вписаної в призму дорівнює —; <и 2) Центр описаної кулі лежить на середині висоти;

а>/2

. , тоді

а йУІ2 а -2 /г —• = ------ т= = 1 : ^ 4 .

2 ’ 10А1

Відповідь: і ; 72 •

2‘ 2

2 а>/2

Дано: БАВСИ правильна піраміда; БА = ЯС - БВ = БО; Довести, що центр кулі описаної навколо піраміди, збігається з центром основи. 1) Так як ребра рівні, то висота піраміди проектується в центр описаного кола. Точка О - центр описаного кола навколо квадрату. 2) Центр кулі лежить на прямій, що містить висоту піраміди і співпадає з центром кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, бічною стороною якого є бічне ребро піраміди, а висотою - висота піраміди. Радіус кола дорівнює радіусу цього кола. Отже, О - центр описаної кулі. Дано: БАВСБ - правильна 459. чотирикутна піраміда; &АБС ~ рівносторонній трикутник; Знайти Якуяі, описаної навколо піраміди. 1) ДАЗС-рівносторонній; ЯО і АС; АО = ОС; /.БАО = 60°; 73 АО = ^ 6 0 ° ; АО = 9 — = 373 (см); БО З V ' 2) АС = АЯ = БС = 673 (см); Відповідь: 6 см. 461.

Дано: БАВС правильна піраміда; ЯОІ 24 см; Я'о П С .Н А В К О Л О Л С 5 3

= 12^3 см; Знайти Я,кулі*

ДСБВ - прямокутний, так як Я = 12>/з (см); СМ = 12-УЗ; 5 0 = >/і44 ■3 - 144 = 7144 •2 = 12^2 (см); Тоді В2 = (Я - В)2 + г2; В2 = (і2ч/2 - В )' + 242 = 144 •2 - 24>/2В + В2 +576; 288 +576 = 24-У2Я; „ 864 36 3672 1о/^ , ч Й=^ ' ^ “ ~ * 18'й ( с м ) Відповідь: 18^2 см • 462. Дано: БАВСИ правильна чотирикутна піраміда; 5А = Ь; АВ = а; Знайти в П. Ял = 4лВ2; В - радіус кулі 1) ДА50 - прямокутний трикутник А О .О С = ^

= г,

2) В2 = (Я - В)2 + г 2;

В2 = Я 2 -2 Я В +В2 + г2;

2ЯВ = Я 2 + г2; Я +г В= 2Я

Ь2 - — + 2а_

4 _

-а 2

72 •72&2 - а2

Ь4 2/гЬ4 2я64 5, =4я3> " 2(2Ь2- а 2) йт2 - а2 ‘ Відповідь: -&-2-—2- . 463. Радіус кулі В, висота піраміди Я і радіус кола г,

вписаного в основу піраміди, пов язані співвідношеннями: г = Я ctg р;

. Д

^ 77’

я -д Я с іє Д

Н ~Я

д •^ я 2(і +сіє2/}) =я д я

д віп Р

1 ЗІпР

сіє /?(я

- д );

= Я с іє / ї( Я - Д ) ;

= Я сіє/? - Д сієД ;

Д + Д сіє Р віп і

= Я

сіє Р;

Д Дсовб гг , о Д /, оч г, , 0 ~: д . я =Н сішР\ ^ — (і + созР) = Н ^ Р ; віл р віп р зт р Р _ Я •с і є Р •зіп р _ Я с і є Р -зіпр _ 1 + С 08 Р 2 созз/? — 2 Я •с і є УЗ-2зіп — с о з — 2 —= Я ctgPtg@-; 2 сов2 —

464.

Д = Я с іє Д іЄ ^ -. .5 2

Відповідь: Я сіє Д ^є —. Сі

Дано: БАВС - правильна піраміда; zSMO = а ; д кулі " г; Знайти 5 п піраміди. 1) ОО, =г;

ZSM 01 = Z 0M 01 = - ; 1 1 2 а = с іє —; ОМ = г с іє —; ОО, 2 2 2) Д5МО - прямокутний;

мо ----- = cos a ; SM

сд,

ОМ SM =------cos a

3 )М О = г , = - ^ - ;

or rCt* 2 cos а

= 2-у/з • r c tg ^ ;

а - сторона основи; 4) S , = i p - S M ;

P = i-6 V 3

rctg "= 3 V 3

ctg^ ;

. зТз •r 2 ctg2 — S ,= 3 V 5 r c t g | . i ^ =------------ L i ; 2 cos a ctg a г fa 12>УЗг2 ctg2 — 5» S „ . ^ =--------J ------ 2 . . 37ЇГ- c t g - f ; 4 4 2 3>/3г2 ctg2 6) s n =-------------- 2 + 3^ r 2 ctg2 a _ cos a 2 ~ 3>/3r2 ctg2 = ЗТЗГ2 ctg2 (l +cos a ) = ■+1 = 2 1 cos a cos a 3>/3r2ctg2 ^ -2 cos2 — бТЗг2 ctg2 —cos2 ^ 2 cos a cos a 465. Дано: SABC - п р а в и л ь н а п ір а м ід а ; SO = 12 c m ; SM = 13 c m ; Знайти R вписаної в піраміду. D MO = V l6 9 -144 = = >/25 = 5 ( c m ); 2) MO = r, тоді

R H -R

r \ / Jp T ?’ R 5

R 5 12 - R V144 +25 12 - f? 13 13Д <=60 - 5Д; 18Й = 60; ЗЯ = 10; R = — ( cm ). 3 V 1

Відповідь: —

Дано: АВСБ —ромб; АВ = 50 см; АС = 80 см; БО = 32 см; Знайти Я вписаної в

піраміді. 1) ААОВ ~ прямокутний; АО - ОС = 40 см; ОВ = 72500 -1600 = >/900 = 30 (см); ВИ = 60 (см); 2400 2) 5 , = ^ - ^ = 2400 (см2); А, = ^ = ЗО (см); 80 тоді г *= 15 см; Д _ г . і? 15 3) Я - Д ~ + гг ’ 3 2 - Д " >/225 +1024 5 Д •71249 =15 3 2 - 1 5Д; Д •7і249 + 15Д = 480; Д (71249 +15) = 480; Д = -7--4 - 0----- (см). ' ' 71249 + 15 467. ^Дано: а а = Ь;* Я = Я м с .п ір, а м ід и ’; Знайти ^кулі, вписаної в піраміду. ь ьТз Д г г= 27з 6 ’ Я -Д 7 я 2 +г 2 ’ Д •7 я 2 + г2 = гЯ - гД; Д -7 Я 2 +г2 + гД = гЯ; Д=

гН

яг> 7 з

Д=

&7з

Д= 6 - І ^ Т з + 7 я 2 +з&2] ( яьТз ' Кулі =д-я-І [& 7з+ 7я2 +зг>2 ;

+- 7 я 2 + зб2 6 я& Т з

ьТз + 7 я 2 +зь2 3

4л яьТз | 3 & 7з+7я2+зь2 /

468. Кулю можна вписати тільки в такий циліндр, висота якого дорівнює діаметру основи. Радіус кулі дорівнює радіусу циліндра, а діаметр кулі дорівнює висоті циліндра. Отже, Я = 2г. Центр кулі знаходиться на середині висоти ціліндра. 469. Знайти : в хулі. SSa = 2лгН; S Sa = 2кг -2г = 4 л г ; S Ky„i = 4 л Я 2; R = r; SKyJIl = 4 л г 2;

S a:Sx = 1:1. 470.

Дано: ^САО = а; А// = = Я; Знайти Якулі, описаної навколо ціліндра. 1) Центр кулі співпадає з що лежить на осі циліндра. Тобто О - центр кулі. 2) ААСІ) ~ прямокутний; АО = 2Я; CD . CD = 2R t g a; ON - Riga-, A D ‘ te K 3) AO* = AN1 +ONa; AO’ = Д! + Л* tg! a =

= Д2 (l + tg2 a ) = R2 cos2 a R

471.

Отже, AO = ■ cos a

Відповідь: cos a Дано: R - радіус кулі основи конуса - великий круг. Знайти V . Ук = ± л г 2Н;

' Відповідь:

Н = R;

з з

ДАБВ ~ прямокутний; Знайти Дкул1, описаної навколо конуса. 1) Центр кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. 2) Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений прямокутний д АБВ ■ Центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи, отже, О - центр кулі, тоді 1 В ; Я = 8 (см). . . Я = -А Відповідь: 8 см. 2 v ' Дано: ЗА = 17 см; 473. АО = 8 см; Знайти г - вписаної та Я описаної кулі. 1) ДАВО ~ прямокутний; БО = 7 і7 2 - 8 2 = = 5 3 = 15 (см); 2) Радіус вписаної кулі, радіус конуса г і висота конуса пов'язані співвідношенням Я г Я 8 Я -Я 15 - Я 7225 +6 4 ’ 4 н 2 +г2 К =— ; 17Я = 8(15 - Я); 17Я = 120-8 Я ; 15 - Я 17 120 25Я = 120; Я = Я = у = 4,8 (см); 25 ’ 3) Для описаної кулі Я2 = (Я - Я) +г2; Я2 = Я 2 -2 Я Я + Я2 +г2; Я 2 + г2 = 2ЯЯ; 225 +64 = 2 15 Я; _ 289 .1 9 , х 19 л = - 30” - ЗО ' СМ/‘ Відповідь: 4,8 см; У— см.

Дано: Д = АО; АА8В ~ осьовий переріз; ZASB = а; Знайти Я вписаної кулі і Д - описаної. 1) S O I Aß; ZASO = ZBSO =

а £

ДASO - прямокутний; ——= cos —J SO = AS cos—;

SO = Я c t g - ; 2

або

= ctg —; 2

A S = --------

2) Д вписаної кулі д. _ г H -R K~ 7 t f T ? ’

Ä c t g | - i^

AO cos-а 2

Д. Rct а _

Д = 7 я * + Д *’

Г д 2Сі Є2| + Д2

а 1 +ctg2— І = Д Ä c t g - - Ä K|;

д. я- І _ = Д2 . ^ | - Д - Д К; sin — 2 Д — — = Ä c tg ^ -Ä x; а 2 sin — /

- ^ - + ДК= f ic t g ^ ; . а 2 sm — к 2 D . а . а Д ctg — sin —

„ - +1 . — а - 1sin 1 +Ь sin — 2 п , а . а „ а 2 R ctg —sin — Д cos 2 2 _____ 2 Л,п = Відповідь: , .а , .а 1 +sm — 1 +sin —

3 ) R знайдемо K , = (н - Ronf + R2',

Ron = Я 2 - 2HRoa + Д і + Й2; H *

2Я^„ =H + R ; і 2— « 1 +ctg

2 R ctg R

Д2 Ctg2-

Д2

Ron

2H 2Д ctg — 1 • 2— « sin R 2 _ a 2 ctg 2 sin2 —ctg -2

Я Я a 2„ sin . — a cos — a sin a cos —

2sin3 « ------ 2

2 s in « 2 Відповідь: л оа - R sin a Дано: ZSAO = a; В конус вписано кулю,

475.

vk = v ;

Знайти V"конуса г R 1 ) i m =r I - твірна конуса. R = cos a; H -R R = H cos a - R cos a; R (l + cos a ) = H cos a; H cos a H —•

2 cos2- - радіус кулі; 2) VK =

H cos a a 8o „__e cos —

3V = 4тгЯ3; ZV 4n ’ a

2 6V cose — ___ 2 . H3 =• 7Гcos3 a

R3 -

ЗУ 47Г

лгі/3 cos3 a = 6V cos6 —; I6 K C O S 6 -

я = v ------л cos a

осьовий переріз зрізаного конуса. Тоді радіус кола, описаного навколо трапеції АВСИ дорівнює радіусу кола, описаного навколо ДАВ£). 2) Так як ВИ 1 АВ >то ДАБИ ~ прямокутний і центр описаного кола є О - середина гіпотенузи. ВМ = sin а; ВМ = а ■sin а; В М 1 А О . тоді АВ AM = а ■cos а; АВ2 = AD ■AM; а . Л __ а AD = AO = OD = 2 cos а Якулі —

479.

,2 а1 = AD a cos а;

Отже а Відповідь: Вкулі = 2 cos а ' Дано: В,ПНС>Я0І кулі = В; ZBAO = а;

Знайти V . 1) 0 2 - центр вписаної кулі, тоді ОО, = 2R; 2) ВМ 1 АО; AM = ВМ ctg а; ВМ 2В„ AM = 2ВКctg а ; АВ = sin а sm а 3) Нехай радіуси основ В і г, тоді R - г = 2 Вк ctg а; 2 •2Я. 2В 2Я +2г = 2 •АВ =-----В + г =-----------sin а sin а Маємо: В - г = 2ВХctg or; 2Я„ В +г = ■ sin а 2Д = 2BKcosor + _2B*_ = 2В (cos а +1) = sin а sin a sm а 2В 0 2 or 2 B„ •2 cos2 ^ -------2 cos —= — = 2B c tg ^ ; а 2 sino: 2 2sin о • — а •cos — 2

2BKc tg |

2 а ------ сіє — к ^віп а 2

зіп а

а 2

У = - л - 2ЯК Я ^ 2^ +Якс ід | д , -------- с ^ —

. — а зіп 2

\*> +^2

2 а ------- с ^ — а 2 81П— 2

= л2Л к -ДМ ^ 2^ +

2 а ---------е ^ — . — а 2 віл 2

.а

2 а і а --------сів —

. а +с‘г 2 зіп — 2 » — Я» З

2СЇЄ|

г И ЗІП—

- 2 ------------

. ! ї і . а зіп — 2

81П —

2«' * 2 2л Я

. г— а ЗІП 2

2ттЯ зіп — 2 ,а _ а 4 +с о в ---- 2соз —

З віп — 2 4 +с о в ----2 сов— 2 2 Відповідь: З е т 2— 2л Ял

480. Дано: Як:Яц = 3:2; К = V; Знайти V Тоді У = лЯІ ■Я ц; 1) Дк = і « а

Кк« =з І * Я к2 Я к, = -37 Г -4Я *ц -2Я «а =

9 2) Я к = | я ц = ГГЛЯІ ■Я„ - І - У ; 8'

V = *У . * 8

9Т Відповідь: — УЛ Дано: БАВСО правильна піраміда; АВ = а;

АБМО = а

Вписано в куб Знайти Vкуба, . 1) Нехай РК = X - ребро куба КМ = ■

їв а

=х сів

2) КМ = Х ^ а ; ЫК = а - 2 - КМ; X = а - 2 -Х сів а; X + 2Х с і в « = а; Х =

1 + 2 ctg а 1 + 2 сів а

Відповідь: (і + 2с^ а )з

(1 + 2 сів а)

З•

КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ ва ріан т

Контрольна робота 1 1. Дано: М(3; -2 ; 1); N(5; 2; -3). 1) Знайти координати середини відрізка і довжину ММ. Нехай точка С(х; у; г) - середина відрізка, тоді 3+5 . -2+ 2 . 1 -3 , х =------= 4; у =-------- = 0; г =------ = -1; 2 2 2 Отже, С(4; 0; -1). 2) Знайдемо довжину МЛГ._______ МЛГ = ^(5 - З)2 + (2 +2)г + (-3 - І)2 = = 74 +16 + 16 =736 =6. Відповідь: С(4; 0; -1 ); 6. 2. А(-2; 1; 3); В(3; - 2 ;- 1 ) ; С(-1; 4 ;^ ). Знайти: 1) координати векторів д £ і АС * 2) модуль вектора » 3) координати вектора Ш/ = 2А В -З А С -

1) АВ(5;-3; -4 );

АС(1; 3 ;-1 );

2) |АВ| = 725 +9 + 16 = 750 = 572; 2А В(Ю ;-6;-8); -ЗА С (7;-15;-5)

6 ) ------ -------------МИ (7;-15;-5)

•

М (4; 3; 4) -> М, (і; 3; 0) К (і; -8; 3) —>ЛГ, (6; -2; 7) Задамо паралельне перенесення 1 = 4 + а; а ~ -З 3 = 3 + Ь; Ь- 0 0 = 4 + с; с = -4 х1 = х - З Отже, г1 = 2 -4 перенесенні К (і; -8; 3) —>К 1 (-2; -8^-1).

Отже такого паралельного перенесення не існує, в , А (-2 ;-4 ; 1)1

ß(-5;-5;-l)f “ Р“ ™» ^ паралелограма 0 ( 1; 3; 2 ) - точка перетину діагоналей. Знайти координати вершин С і D. _2 1) О - середина АС; 1 = —-— ; 2 = -2 +х;

х = 4;

З= У = 8; 2 = — ; 2 -1 = г; 2 = 1; 2 2 Отже, точка С(4; 8; 1). 2) Нехай точка D fa ; у,; z ,) ; О - середина BD; _ Тоді• 11 ------т

гр

;

*1 .

—® ^"Уі . .. _ 1 о. —*> о« _------> У \ —12,

_ п.

*1 = 6; Точка £>(7; 12; 5 ).

Відповідь: С(4; 8; і ) ; D ( 7; 12; 5 ). а (-2; 8; ^4) і^ ö (1; —4; k ); При якому значенні k вектори а і Ь: 1 ) колініарні; 2 ) перпендикулярні. 1) Вектори колініарні, якщо -2 8 -4 -4 „ т “ =т ; т =- 2 : 4=2fc 2) Вектори перпендикулярні, якщо а . ь = 0; ö ü = - 2 - 3 2 - 4 Ä = 0; - 4Ä = 34; Ä = - — ; 17 4 ft = - — = -8,5 . Відповідь: А = 2; k - -8,5. Дано: |а = 3; |fe|= 2; Z(a; b) = 60°; Знайти 2 а - Щ . |2а - Зб| = J (2 а - 3bj' = УІ4а -12аЬ + 9Ь = = >/36 +3 6 -1 2 3 -2cos60° = ^ 7 2 -1 2 -6 - і = = >/72 - 36 = 6.

Відповідь: 6.

Контрольна робота 2 Дано: д АВС~ прямокутний АС = 8 см; ВС = 6 см; АА, = 5 см; Знайти 5 п. ‘З’л = 5 , +25 ; і)

з«.

= ^ ~

= 24

(см 2 ) :

2) АВ = >/64 +36 = 10; 3) 5 , = Р0СВ Я ; в , =(8 +6 + 10) 5 = 120 (см2); 4) в,, =120 +2-24 = 120 +48 = 168 (см2). Відповідь: 168 см2. Дано: БАВСВ - правильна піраміда; вА = 10 см; вО = 8 см; Знайти 1) ДА50 ~ прямокутний; АО = у/1 0 0 -6 4 = = у/36 = 6 (см); 2) АС = 2*6 = 12 см; 3) 5 ^ = 1 12-8 = 48 (см2). Відповідь: 48 см2. Дано: ABCDA^Bfi^D^ правильна призма; АВХ= a; ZABD = а; Знайти Ss . Ss =Poa Я ; 1) ДАВ,!) - прямокутний, так як АВ і. AD; В ^ 1 AD (за т. про три AD

перпендикуляри) тоді ~ТрГ = ^ga; AD = a t g а; АВ . А В '1 a tg a a ----- = sin a ; DB, =------- = — - — =------- ; DBl ___ sin a sin a cos a 2) BD=tJ2AEP =atg«V2, тоді ABBlD - прямокутний

BBl = J — -----2a2 tg2 a = —- — Vl - 2sin2a ; Vcosl a _____ cos a 3) Ss = 4a tg a ---------v 1 - 2 sin2 a = 4a2 t g a і 2— 4a2 tg a /---- —

=-------—Vl -2 s in a =---------- Vcos2a. 4a t g a r— . 2 4a tg a /---- — Відповідь: ---------- v l- 2 s in a =-----------vcos2a cos a cos a Дано: SABC - піраміда; BC = CA; AB = a; ZSMO = 0;

Знайти S .

Sn - ss +s„

<5 т *^och >

1) AABC ~ рівнобедрений; BC = CA = X; AB2 = X 2 + X 2 - 2X ■X ■cos a; AB2 = 2X2 (1 - cos a ) = 2X2 •2 sin2- = 4X2sin2 - ; rr n2 2 2 a2 =4X2sin2—; X2 =---------- ; 2 4 sin — 2 X= \A ■ г— a 4 sin 2sin — 2 2 a 2 •2o sin ■— a •cos — a a 2ctg— * a_2 . s i n a = -----------2------ 2 _ ----- І 2 Sxx = 2) 2 4 sin' a 2 •4sin2— 4 a 2 ctg —

2, sx=_____ 4 • cos P ' a 2 cJ t. g CC-

u, a 2 ctg i — w a ctg —

4) S „ = ---- — A + a2 ctg 4 •cos p

P= •2 cos —

1+ COS P a P a c tg — cos —

, a 2P Відповідь: a ct6 —•cos —_ 2 cos p 2

2co&P

Дано: SABC - піраміда; ВС = АС; ВС = 12 см; SA = 8 -Уз c m ; ZSMA = 30°; Знайти S n. с 1) Так як (SAB) 1 (ABC) (SAC) 1 (ABC), то висота піраміди SA - їх спільне ребро; AM 2) ASAM прямокутний; SiV = ctg30°; AM = 87 з - л/з =24 (см); SM = 4 5 sin 30°

8^ = 1 б Т З ; 1^ 2 S„H ося = ІВ £ С • AM = і2 • 12 • 24 = 144 v(см2); / 3) BM = МС = 6 (см); АВ2=242 + 62; АВ = V576 +36 = л/бГ2 = 4>/39; 4) StA8B= S „ ac =|-8Тз -4ч/39 = 16-ЗТЇЗ =48713; 5) 5дв5С= і і2 1 б 7 з = 9 б 7 з (см2); 6> =і - 24 12 = 144 (см2); 7) Sn =144 +2 -48ТЇЗ +96ТЗ =48(з +2ТЇЗ+2>/з) (см2). Відповідь: 48 (з +2>/l3 +2-Уз) см".

Контрольна робота З 1.

Дано: АО = 6 см; ZCAD = 60°; Знайти Н. 1) AACD ~ прямокутний; AD = 2R = 12 (см), тоді — = tg60°; AD CD = 12• v3 (см).

ААЯВ ~ осьовий переріз. Знайти 5 ^ . 1) ДАБО ~ прямокутний; 5 0 = >/169-25 = ТЇ44 = 12;

Відповідь: 60 см2.

Дано: 0 0 1 = 4 см; Z0A01 = 30°; Знайти 5 . АО “'Р 1) ВО,- = сі£30°; АО[ = 4 •>/3; 2) 5пер = я (4>/з) ; 5пер =48ж (см2). Відповідь: 48л см2 • с Дано: АО = 5 см; 0 0 = 8 см; ОМ 1 АО; ОМ = 4 см; Знайти 5авсп. 1) ДАОО ~ рівнобедрений; ОМ ± АО; АМ = МО; АМ = л/25-16 = 79 = 3; АО = 6 (см); 2) = 6 • 8 = 48 (см2). Відповідь: 48 см2. __ Дано: ZASB = <р; 5 0 = Л; ^А 50 = а; Знайти в пер . 1) ДА50 - прямокутний; БО с, Л — = віп а; оА =------ ; 5А , віп а 2) «пер = -А 5 -В 5 -зіпер; й2чіпт . Л2 вІП зт<р = 8(111Ф Відповідь: 2 бій а 2 віпа зіпа 2ап а

/|\

Дано: д АВС ~ рівнобедрений; АВ = ВС; АС = а; ZАВС = а ;

ZSCO =ZSBO =ZSAO =р; Знайти БО. Навколо піраміди описано конус, висота конуса співпадає з висотою піраміди. 1) Так як бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, то О - центр описаного кола АС = 2Д; = 2Я; Я = ОС = зіп а віп а 2э т а 08 * я 2) д ОБС - прямокутний; о Г * * Л аіцр БО = О С ^ р = а І е ( І Відповідь: 2віп а 2эта .

Контрольна робота 4 1.

Дано: АВСВАіВ^С10 1 пряма призма; АО = 15 см; ВО = АС = 17 см; А ^ = 10 см. 1) ДАВО ~ прямокутний; АВ = л/289 - 225 = = л/б4 = 8 (см); 2) К = 8 -1 5 -1 0 = 1200 (см3). 2. Дано: БАВС - піраміда; ВС = 13 см; АВ = 14 см; АС = 15 см; ЙО 1(А ВС ); БО - 6 см; Знайти V. і) = 2Б„и; 2) Зддвс знайдемо за формулою Герона

S = V 2 1 8 -7 -6 = V7-3-8-7-3-2 = 7-4 3)

V = 2 * 8 4 *= 1 6 8 ( c m 3) .

3 = 84

( с м 2) ;

В і д п о в і д ь : 1 6 8 c m 3.

Дано: ДАВС “ рівнобедрений; АС = АВ; ZA = а; АуС = d; ZAXCA = р; Знайти V. 1)

v -s „ -H i

2) ДААХС - прямокутний; АА, = d ■sin Р; АС = d ■cos р ; 0 1 . 0 , а . d2 COS2р Sin О Т 3) SXB = —d ■cos p d cos p sin a =--------- -------- ; d2^bos2 P sin a n d3 cos2 б s&i a sin б 4) V' =-------- ---------- d sin p = -----------d£cos P sin a sin P Відповідь: Дано: ДАВС “ рівнобедрений; АВ = АС = 12 см; ZB = ZC = 30°; ZSBO = ZSCO = ^ЯАО = 60°; Знайти 1) ZA = 180°-ЗО -2 = 120°; ДАВС “ тупокутний. Так як бічні ребра утворюють рівні кути по 60°, то висота піраміди проектується в центр описаного кола, а центр описаного кола в тупокутному трикутнику знаходиться поза колом. ^ = 2Я; 24 = 2Я; £ 2 Я = 12; ОВ = ОС = О А^ 12 см; 3) Д50В - прямокутний;-— = 60°; ЙО = 12>/3;

2) Знайдемо Н: зіпЗО

= 2Я;

иВ

1 л/ч 4) 5,*, = —•12 •12 •зіп 120° =6 12 — = 36>/3 (см2); л2

5) V = —■12>/3 •36 •>/3 = 12 •36 = 432 (см3). Відповідь: 432 см3 Дано: АВСБ - ромб; ZB = ZD = а; £>В = гі; ZSMO = ZSЛгO = <р;

а 2) ZCBD = ZABD =- ; ' 2

Знайти К. 1) Висота піраміди проектується в центр вписаного кола, отже, (Ж = ОМ = г = —; 2 ОВ = - ; 2 ОА , а _ . <2 а

ДАОВ - прямокутний; -

=1 « - ;

ОЛ = - ^ - ;

---- = соз —; АВ = ----------; АС = й Л з —\ АВ 2 2 2о__« сов — а 2 а —•сі dг tg — 3) з =------- 2— =-------2 а а <з сґ tg —•2 соз — 4) в = аЛ; Л = —=------- ----------—= —•соз —; а 2-гі 2 2 О М = -сІ\,£ - с о з - ; а

АГ,

Л П

5) ДЙОМ ~ прямокутний; « сов — а а,, — ЯО = (р\ 2 ,, а а, ,г і а 6) ^ = ± ____ * ^_________ 2 _ 1 3,3 , , а 2 а 2 = Ї 2 * * 2 Т Ґ Є(Ра „ Відповідь: ^ = — ій2 —соз —t g ер.

Контрольна робота 5 Знайти 2Я = сі. ДаНО: К у л і = ЗбЖ см - л і ? 3 =36л; 4Л3 = 3 •36; Я3 =27; Я ■ З, З Відповідь: 6 см. а сі = 2 • 3 = 6 (см). Дано: АО = 6 см; БО = 8 см; Знайти V і Б6 . 1) У = - л Я 2Н; } З V = —7Г•36 •8; З , ч К = 96л (см3); 2) вА = 764 +36 = >/Ї00 = 10 (см); 3) 8 1 =лШ; 5 = л -6 •10 = 60я (см2). Відповідь: 9бж см3; 60л см2Дано: ОА = 6 см; ZQA01 =45°; Знайти V і в.і • 1) ОО, = 6 зіп450; 0 0 1 = 3>/2 (см); АО! = З-УІ (см); 2 ) Г = тгЛ2Я ; V = лЛЪ г42 = 54лл/2 (см3); 3) = 2л ДЯ; = 2л •3-^2 ■Зл/2 = Збтг (см2). Відповідь: 54л >/2 см3;

У = -л -4 -Ф = ^ ^ -

36л см2• Дано: ДА5В правильний; АБ = АВ = 5 8 = 4 см; Знайти V. 5 0 = >/16-4 = ТЇ2; 5 0 = 273 (см); Відповідь:

8лТз

см

Дано: /АОВ = 120°; ZA01B = 60°; АВ = 6 см; Знайти . 1) ААОхВ - рівнобедрений, а так як ZA01B = 60°, то рівносторонній АО, = ВОх = АВ = б см; 2) ААОВ ~ рівнобедрений; АМ = МВ = 3 см ZAOM = ZBOM = 60°; — = він 60°; АО ОА = = 2>/3 (см); 3) ОО, = 7 3 6 -1 2 = 724 = 2Тб (см); 4)

='2* •27з •27б = 8я •ТЇ8 = 24*72 (см2).

Відповідь: 24я 72 см2 • Дано: АВСБ - осьовий переріз; 5 авсп = 5; /САО = а; Знайти V. 1) ААСІ)“ прямокутний; СІ) = 2В • а; 2) в = 2В •2В tg а; 4tg а в • 2 tg а І 5 _ тгвТв 3) V = пВ.г - Н = к 4 tg а \ 4 t g a 2 ^ 2 ^ а з кв*

71Б* Відповідь: 4 ^

Контрольна робота 6 1.

2) ВВ, = A B tg 3 0 ° =

Дано: ABCD паралелограм; AB = 4 см; AD = 6 см; ZßAD =60°; ZB, AB =30°; Знайти 5 П . І) SXH= 4 -6 sin 6 0 ° = = 127з (см); 4-Тз

3) Sn = S s+ 2S0CX; Ss = 20• s =^ 3

4^3

(см2);

+24^3 = 8 0 ^ +7 2 ^ = 15271 , , , з 3 v ' Дано: OO, = бТЗ; ZCAD = 30°; Знайти V. 1) AD = CD ctg 30° = = 57 3-7 3 = 1 5 ( c m ) ; 2) AO = OD = ^ ;

3) V = жД2Я = * ' 2l 5 -5~

= K l l 2 5 yf3 (cm3).

9 ■9

Відповідь: 3.

n • 1125 ЯГ

•7з CM

Дано: SABC- правильна; AB = a; ZSMO = a; Знайти V. а 2Т з ;

SO = O M tg a = a , tg a ; іТ з

а tg а 24 А( 1; 73;3); В (і;0 ;2 );

С (-1;-1;3);

і 2>(-1;0;3)

Знайти кут між векторами ~д]$ і

с]$.

АВ і СІ) АВ\(0 ;- 7 3 ;- і );

|АВ| = 2; соб а

\с5\

0 - 7з + 0 -Я = ---------------- = -------- ;

а = агссов

- уіЗ сов а = ------- : 2

7з = т г - —= —7Г = 150°.

Відповідь: 150°. Дано: д АВС ~ рівнобедрений; ВС = ВА = Ь; /А = ZC = Р; Знайти й . !) «т.об. = л - О В С В + +л ■ОВ ■АВ = = л ■ОВ ■[СВ + А В );

2) ДСОВ ~ прямокутний; ОВ = віп а; ОВ = Ь•віп а; ВС 3) 5 Т = я -Ьбіп а(Ь +Ь) = 2лЬ2 зіп а.

Відповідь: 2лЬ2 віп а ■

ВАРІАНТ 2 Контрольна робота 1 1. Нехай точка С(х; у; г) - середина відрізка АВ, тоді +4 1 5 +1 „ 3 -5 1 Х ~ 2 =_ У ‘ — ’ * 2 =Т = - 1; Отже, С(-1; 3; -1). 2) АВ = ^/іО2 + (-4)2 +(-8 )2 = 7Ї00 +16 +64 =

= 7Ї80 = 6 75. Відповідь: С (-1 ;3 ;-і); АВ = бТб . М (-4; -2 ; 1); ІУ(3; -1 ; -1 ); Х(2; 1; -3). 1) Знайти координати векторів д/дг і ХМ ї М Я(7; 1; -2 ); КМ ( 6; 3; -4 );

2) Модуль вектора ІМЛ/1 = 749 +1 +4 = 754 = з7б; 3) РР = ЗМЛГ - 2КМ • ЗМ7У (2 1 ;3; - 6); - 2 К М (- 12; - 6; 8 )

Р ^ (9;-3;2) А (-1 ;3 ;-4 ) —>А, (4;5; —7) В (6; -4; 5) —» В, (і 1; -2; 8) Чи існує паралельне перенесення. Задамо паралельне перенесення 4 = -1 + а; а =5 х‘ = дс + 5 5 = 3 + Ь; Ь= 2 Отже, у 1 - у + 2 -7 = -4 + с; с = -3 2і = 2 - З В (6;-4; 5)-> В1(11;-2; 2). Отже такого паралельного перенесення не існує. в _____ с Дано: АВСВ паралелограм; А(2; -4 ; 1); В(-6; 2; 3); л о І)(4; 0; -1);

Знайти С і О. -6 + 4 1) Нехай 0(х; у; г) середина ВБ; Тоді * = —— — = -1;

2+0 , 3 -1 , у = - у - = і; * = — = і; 2) Нехай С(х1; ух; 24); -1 .І І І І

х, = -4;

0 ( - 1 ; 1 ; 1).

І -І ір .;

1 +2 1 = 2 1 ; 2, = 1 ; Отже С(-4; 6 ; і ) . Відповідь: 0 (-1 ; 1; 1); С(-4; 6 ; 1). т (і; -4; -3) і л(5; р ;-15); 1 -4 -З 1) Колініарні д - — - 7 ^7:: — Л ; р = - 20; Р 5 2) Перпендикулярні т п = 0; 5 - 4 р + 45 = 0; - 4 р = -50; р = 12,5; Відповідь: р = -20; р = 12,5. Дано: |а = Зл/2; |ь| = 2; z (a ; &) = 45°; Знайти За - 2&1. |3а - 2Ь\ = Мза - 2ь)* = \І9а - 12аЬ + 46* =

= 7918-12 -з 7 2 -2 с о з4 5 9+4 =>/162-72 +4 =7Й Відповідь: >/94 .

Контрольна робота 2 1. 1) в , =(17 + 17 +1 6 )1 0 = = 500 (см2) ; Я = 7 і7 2 - 82 = 15; 2) 5^, = —•16-15 = 8-15 = 120 (см2);

4) S„ = 500 + 240 = 740

( cm s ) . Відповідь: 740 см2. Дано: SABCD - правильна піраміда; АС = 24 см; SA —26 см; Знайти «мас • 1) AASO ~ прямокутний; АО = ОС = 12 см; SO = V262 - 12* = 738 -14 =Vl9-2-7-2 = 2n/19•7 (см); 2) Smsc = I 24 •2>/ІЗЗ = 24>/ЇЗЗ (см2). Відповідь: 24>/іЗЗ см2. Дано: ABCDAlBlClDl правильна призма; ВС, = d; ZBC,A = /3; Знайти S „. 1) ДАС,В - рівнобедрений, За теоремою косинусів АВ2 = d2 +d2 - 2d2 cos /5 =

= 2d2 (1 - cos/3) = 2d2 •2 sin2 — = 4d2sin2—; 2

AB = 2d sin 2) ДCC,B- прямокутний; 4d2sin2

cc,

= dJf 1 - 4 sin2^

3) Si = P ™ # = 3 - 2 d s in £ d J l- 4 s in 2£ = 4 2 V 2

= 6d sin -

4 sin —; 2 2 ' Й' 2d sin — 4d2 sin2—-Уз 2 ________ 2 = d2 sin2—73; — 2

- I F

4) 51

S„ = 6d sin —. 1 - 4 sin 2 — +d 2 sin 2 —л/з = ____ 2_V 2________ 2_____

_ _ _ _ _

Відповідь: ^ 8ІП| 6 ^ 1 -4 зіп г |+л/3 8іп | Дано: АС = АВ = Ь; ЛВ = ЛС = /З; ZSMO = ^ N 0 = <р;

Знайти 5 П . 1) ZA = 180°-2/3; Я .,8» і ■Ь Ь■8ІП(180“ - 20) = 2 ) 3 , = ^ = * І 5 їїіМ ; с

созір 2соз <р Ь2 5іїї2Р Ь2 з і п 2 б

3 ) 5 ----------- = 2

і >2 з і п

2ЙҐ,

—+-----—=---- 1 +■

2соз^»

СОЗ (р

<р Ь2 віп 2Р •соз2— Ь2 віп 2Р 2 соз2 — 2 _ 2 соз <р соз <р

Відповідь:

Ь2 зіп р соз2 — соз(р

Дано: БАВС - піраміда; (5СА )1(АВС); (5СВ)±(АВС); АС = ВС = (р; Знайти 5 . 1 П

ЛБМС = 45°

СМ = — = - ^ 1 = 4 - = 2л/2 (см); АВ 4>/2 уі2 4) ДЯСМ - прямокутний; БС = СМ = 272; СМ 0 272 . / ч ———= соз45 ; 5 М ---- т=— 4 (см); 5) ТІ 2 6)

=8 +2-|-272-4 +і - 4 7 2 - 4 =

= 8 +872+ 872 =8 +1672 = 8(1 + 272) (см2). Відповідь: 8 ( і +272) см2.

Дано: 0 0 , = 8 см;

ZCAD = 30°; Знайти Я.

АО . г»/чо ^ = с^ 3 0 ; АО = 8 •73; АО = 2Д; 2) і? = 473 (см). Відповідь: 473 См • Дано: ЙО = 6 см; А£ = 10 см; і)

Знайти

1) АО = >Д00-36 = 8 (см); 2) АВ = 16 см; 3 ) Х і Г = | - 6 1 6 = 3 1 6 = 48 (см 2). Відповідь: 48 смг. -------. Дано: Я = 17 см; «л ОО, = 15 см; Знайти Зпер.

1) ДАОО, - прямокутний; 0 ,А = 7 і 72 -1 5 2 = = 732 -2 =8 (см);_______

2) -S^p =лг* =л-64 =64я (см2). В і д п о в і д ь : 64;г сма • Дано: ОМ 1 АВ ; ОМ - 3 см; АВ *=8 см; ОО, - 6 см; Знайти S Nnu>. 1) ДАОВ ~ рівнобедрений; ОМ 1 АВ\ AM = MB = 8 :2 = 4 (см);

2) ДЛОМ ~ прямокутний; Ж) =79+16 =-^25 =5 (см); Відповідь: 60 см2. 3)5,NTKP = 10*6 = 60 (см2). Дано: ZASB = а; АО = Д; ZSAO = /?; Знайти S ASB* 1) AASO - прямокутний; АО „ ._ Д ---- = cos р; A S = 2 cos /3 AS Д sin a = 2) S,A ASB cos p 1 Д sin « Відповідь: Д* sin a 2 cos2 P _ 2 cos2 P Дано: AABC рівнобедрений; AC = AB = a; ZC = ZB = a; ZSAO = ZSCO = ZSBO = Pi

Знайти <SA. 1) Так як ребра утворюють з площиною основи кути рівні, то О - центр описаного кола — = 2Д; Д = ——— ; sin а о д 2 sin а ---= cos Р; 2) ASOA ~ прямокутний; SA сл - 0А а ■ ■ ~ cosp 2 sin a cos P В*доовідь. 2sin a c o s P '

Контрольна робота 4 1. V = 5 осе -Я ;9 Знайдемо другий катет а = Т ІЗ ^ -ЇІ2 = 725 = 5 (см); V = ^ •12 •5-5 = 150 (см3). Відповідь: 150 см3. 2. Дано: а = 13 см; Ь = 20 см; с = 21 см; Н - 9 см; Знайти Г. 1) Площу >ЩУ основи знайдемо за формулою Герона 13 + 20 + 21 54 Р =. - = 27; S =^/27(14 -7-6) = 7 9 - 3 - 7 - 2 - 7 - 3 2 = 7■ 2■ 3 •3 = = 14 9 = 126 (см2); 2) F = 1 -9 -1 2 6 = 3-126 = 378 (см3). Відповідь: 378 см3. Дано: АВ = ВС = 6; ZB = р; ZB^CB = <р; Знайти V. 1) V =» S •# ; «скн ——Ь 'Ь ■8ІПР =

_ fe2 sin /J " 2 ’ 2) ДСВ,В - прямокутний; —^7 = tg (р; ВВ, = b tgcp; _ & sin р btg(p _ b3 sin Р t g (р }

Відповідь: Ь sin Р tg(p _ Дано: SABC - піраміда; ДАВС ” рівнобедрений; АС = 12 см; ZABC = 120°; ZSAO = ZSCO = ZSBO = 60°; Знайти F. 1) Так як бічн утворюють з площиною основи рівні кути, то

висота піраміди проектується в центр описаного кола. Так як д АВС ~ тупокутний, то центр описаного кола знаходиться поза трикутника. 2) —ЛС~5- = 2Д; ■■= 2і?; = 2Я; зіп120 віпбО ~ 7Г Я = 4>/з (см); ДАЗО - прямокутний; SO = A 0tg60°; 5 0 = 4ч/з-л/з = 12 (см); 3) ^ = 1 ^ 1 2 = 4 5 ^ ; АВ AC 4) Знайдемо площу основи sin 120° sin 30° ’ 1 12 sin 30° 1 2 1 = 6_ 2 = 1 2 = 4 7 з ; АВ = sin 60° 7з 7з л/з 1 1 5) = і •12 4>/з •sin30° = 6 •4-Уз •^ = 12 л/з (см2); 6) V = 4 •12^3 = 48-Тз (см3). Відповідь: 48-Уз См3 • Дано: SABCD - піраміда; ABCD - ромб; ZB = р; АС = d ; -

ZSMO = ZSNO = а;

Знайти V. 1) Та нахилені під одним кутом, то вершина висоти проектується в центр вписаного кола. О - центр кола, точка перетину діагоналей ромба. OM = ON = r = —; d

Р ZABO = —; В тоді BD = d ■ctg —;

2) ДАБО - прямокутний; ОА = —; ОВ ОА

В 2

---- = ctg—;

ОВ = —ctg —; 2 2

0 А = sin■ — Р; АБ лв= и ---АВ 2 2 sin — 2

<*■<*<**4 ^ 3) 5 «, =----- --------------- у ^ -> <12сіЄ^ - 2 в іп ^

Л = -------- 2-------- 2. _ ^ 2 -і

4,гЛ

аб° «ос,=АВ-Л;

соз^

о 0 . д^п В_ = (І СОд Р. • еіп1 2 2

соз А;

5) АОвМ ~ прямокутний; 5 0 = —сов —1£ а; 2 2 ^2 1 1 ^ обІ В (І3 В В 6) V * -*--------- 6---- сов — а =— сЬе —сов —Ьва. ’ 3 2 2 2 12 2 2 В ід п о в ід ь :

сі3 VСі

В с*

В &

—-c tg —сов —tgG^

Контрольна робота 5 1. Дано: = 144* см 4*Я2 = 144*; Я2 = 36; В і д п о в і д ь : 12 см. 2.

Знайти сі = 2Я. Я = 6; сі = 12 (см). Дано: 5 0 = 5 см; Я = 12 см; Знайти V і ■ 1) V = і * •144 •5 = ' З = *•48•5 = = 240* (см3);

2) ДАБО ~ прямокутний; А5 = уі52 + 122 = 725 +144 = ТЇ69 = 13 (см); 3 ) 8 і = я ЯІ\ в = * 1 2 1 3 = 156* (см2). Відповідь: 240* см3; 156* см2 •

Дано: ABCD - осьовий переріз; АС = 12 см; ZCAD =45°; Знайти V і Ss . 1) AACD ~ прямокутний; CD = 12 sin45°; CD = l 2 ~ - = 6y/2 (см); 2) AD = 6>/2 (cm);

AO = OD = 3>/2 cm; 3) V = 7Г • 18 • 6>/2 = 108л/2я (cm3); 4) = 2nRH\ Sg = 2л- -3>/2 -6>/2 = 72л (cm2). Відповідь: Ю8л/27г cm3;

12k cm2 • Дано: AASB ~ осьовий

переріз конуса; AASB - прямокутний; AB = 6 cm; Знайти V.

1 ) AS = SB; SO± AB; AO = OB = 3 (cm); 2) SO = 3 (cm); 3) Іг = - я - 9 - 3 = 9тг (cm3).

Відповідь:

Cm3-

Дано: ZAOB = 90°; ZAO,B = 60°; R = 8 Знайти S s . -

cm;

1) ДАОВ - прямокутний; AB = 8>/2 ( c m ) ; 2) AAOxB - рівнобедрений; ZAOxB = 60°; Отже, AAO,B - рівносторонній; AO, = 0,B = 8^2 ( c m ) ; 3) ДОО,В - прямокутний; OO, = >/128-64 =>/64 = 8 ( c m ) ;

4) = 2* 8 -8 = 128* =128* (см2). Відповідь: 128* см2^АВСО = ^ 0 ,М 0 = а ; Знайти V. 1 )5 авсо = 2Я-Я; 2) АООхМ -прямокутний; ОО, = ОМ ■tg а; в = 2В ■Л tg а;

3) ОО, = I ^

\2tga

■tga = Л

--------.V 2

2tga Ч 2 2tgaV * в> _ | Stg a Відповідь: 2 ід а У 2

Контрольна робота 6 1. с,

------2

Дано: АВСБ - ромб;

^ = 30°; АВ, = 8 см; ZB^AB = 60°; Знайти в П. ®п = « і + 25ос„ 1) ААЦВ - прямокутний Тз ВВ, =АВ, в т 60° = 8 — = 4>/з (см); 2 АВ = АВ[ ■сов60° = 8 —= 4 (см); 2 2) «ос. = 16-8ІП300 = 8 (см2);

3 ) Sg = 4-4-4V3 = 64\/з (cm2); 4)

S. = 64^3 + 16 = 16(4>/з + і) ( cm2). Дано: R = AO = 2^2 cm; ZCA£> = 45°; Знайти V. 1) &ACD ~ прямокутний і рівнобедрений; AD = CD = 2 •2>/2 = = 4>/2 ( cm); .

2 ) Г = тгЯ2Я ; F = я •8 •4%/2 = 32уі2л (cm3). Відповідь: 32>/2л-

cm3 •

Дано: SAJBC- правильна піраміда; SA = SB = SC = т ; ZSAO = а; Знайти V. 1) ASOA ~ прямокутний; SO = SA ■sin or; SO = m ■sin a; OA = m ■cosa; 2) OA = Я; тоді AB = Д73; AB = m-j3 cos a; 3m2cos2<W3 4 1 3m2 cos2 аУз . -ТЗ/п3 cos2 a sin a •m sin a = ■ 4) V = —■ 3 yfem“ cos* a sin a Відповідь: 3) S_=

(тУ з cosor) v/3

M ( 3;-2;>/2); W (2;-l;0);

JT (-l;-5;4);

Знайти кут між векторами

P (0;-4;4);

і ЇЇР •

1) Знайдемо координати векторів M N (-l;l;-v/ 2); ^ Р ( і ; 1; 0); |м^|

|*р|

: л/ї = 2; И : 0 cos а = 0; а = 90°.

-1 + 1 3> соза = - ї 7 2 = Ш Відповідь: 90°.

Дано: ДАВС “ рівнобедрений; АВ = ВС; АС = а; ZB = а;

Знайти S Т.ОО.. При обертанні д ABC навколо АС отримуємо два конуса Sr o6 = 2 ■л ■ОВ ■АВ\

1) ДАВС ~ рівнобедрений; АО = ОС = —; 2

OBLAC-,

ZABO =ZCBO = —, тоді ОВ =АО c t g - = - c tg - ;

2 AO . а ---- = sin —; АВ = АВ

2sin — 2

л a2 ctg ~

оч STo6 = 2л —ctg —•

2) тов

2 sin — 2

я а 2 c t g t- « Відповідь:

. а 2sm — 2

а 2о sin — 2