Ecuaciones Paramétricas

ELIPSE

2021

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

CIRCUNFERENCIA

PARÁBOLA

EJERCICIOS, EJEMPLOS Y GRÁFICAS

HIPÉRBOLA

Revista publicada por Ibis Delgado I.U.P. Santiago Mariño. Venezuela Edición Abril 2021

2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

Contenido * Ecuaciones Paramétricas

Pág.3

E. P. Elipse

Pág.3

E. P. Circunferencia

Pág.4

E. P. Parábola

Pág.5

E. P. Hipérbola

Pág.6

Ibis Delgado Nuestra Portada

* Gráfica de Ecuaciones Paramétricas

Pág.7

Diseño Paramétrico

* Transformación de Ecuaciones Paramétricas A las Cartesianas

Pág.8

* Longitud de Arco en E. Paramétricas

Pág.8

* Ejercicios

Pág.9

Notas del Editor Las Ecuaciones Paramétricas son elementales para el cálculo del diseño de diversas obras que contengan dichas

figuras,

nos

sirve

para

levantar

planos

topográficos, ya que el relieve de diversos terrenos está contenido de infinitas curvas, en fin, infinidad de aplicaciones de utilidad que van a permitir la mejora en la vida cotidiana.

En esta Edición única, conseguiremos explicar el concepto de Ecuación Paramétrica, la Ecuación de la Elipse, de la Circunferencia, de la Parábola y la Hipérbola con una serie de Ejercicios y Trazados de la Curva; se explica cómo transformar las Ecuaciones Paramétricas en Cartesianas y la Longitud del Arco en las Ecuaciones Paramétricas.

Revista publicada por Br. Ibis Delgado.

Estudiante Ingeniería Civil I.U.P. Santiago Mariño. Venezuela. Única Edición Abril 2021

3 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

Las Ecuaciones Paramétricas van a permitir representar una curva o superficie en un plano, o en el espacio, a través de valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable llamada Parámetro, donde cada coordenada se considera un Punto que depende de la Función del Parámetro.

Dos Ecuaciones Paramétricas van a representar una sola Curva, referidas perfectamente al Sistema de Ejes Cartesianos (en el eje de Abscisas y el de Ordenadas).

Donde:

Podemos plantear las ecuaciones paramétricas de la elipse:

Si la elipse horizontal está centrada en el origen de coordenadas (0, 0), sus ecuaciones paramétricas se simplificarán.

X = F(z) Y = F(z) Cada Punto (X, Y, Z) se representa en el Sistema de Coordenadas, donde “Z” representa el Parámetro.

Ejercicios: Ver página 8

La misma construcción geométrica se aplicará en el caso de una elipse vertical, cuyo centro esté en el origen de coordenadas (0, 0).

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2), es constante.

Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

Parametrización de la Elipse: A partir de una elipse horizontal con centro en O (o1, o2) y semiejes a y b, se trazan dos circunferencias de radios también a y b. Un segmento cualquiera OQ, que corta a la circunferencia menor en P, forma un cualquiera t con el semieje positivo de las abscisas. A la vista de la imagen, la abscisa del punto Q coincidirá con la de un punto X de la elipse. De la misma manera, la ordenada del punto P será la misma que la del punto X.

Entonces, las ecuaciones paramétricas serán, donde t, es el parámetro:

4 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

E. PARAMÉTRICA DE LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia constante r, llamada radio, del centro (C). La circunferencia es el perímetro del círculo.

Parametrización de la Elipse: Los puntos (x,y) de la circunferencia también se pueden expresar a partir del ángulo (θ) del punto a través de la circunferencia respecto al eje de coordenadas x, mediante la ecuación paramétrica. El ángulo se puede expresar radianes (θ∈[0,2π]) o en los grados sexagesimales (θ∈[0º,360º]).

Es decir, la fórmula reducida de la ecuación paramétrica es:

O sea, X = C1 + r . cos θ͟

y Y = C2 + r . sen θ͟

El coeficiente r es el mismo, puesto que representa el Radio de la Circunferencia.

5 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz.

La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica.

El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que “parecerá” más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes.

Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varía la escala.

Parametrización de la Parábola: La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente y tendrá un término en x². Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente y tendrá un término en y².

Consideremos una parábola horizontal (cuyo eje es el X de las abscisas), su vértice está en el centro de coordenadas V (0, 0) y que la parábola está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0), a la derecha del vértice. La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2, porque la directriz y el foco equidistan del vértice.

Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (que, por definición de la parábola, son iguales) tendrán la longitud: Operando y simplificando, obtenemos la ecuación ordinaria o canónica reducida de la parábola referida a esta configuración: Que es la de la parábola horizontal con vértice en (0, 0) y abierta a la derecha.

La ecuación de una parábola horizontal se corresponde con dos funciones. Despejando la variable dependiente y.

La solución positiva de la raíz cuadrada es la función cuya gráfica es la media parábola de arriba mientras que la solución negativa es la función de la media parábola de abajo.

6 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA HIPÉRBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante. El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.

Parametrización de la Hipérbola: El primer grupo de parámetros traza la mitad derecha de la hipérbola, mientras que el segundo grupo la mitad izquierda. Esta forma de la ecuación paramétrica es especialmente útil para representar el movimiento de objetos que solo cruzan una mitad de la hipérbola.

Una de las formas paramétrica de una hipérbola:

La hipérbola horizontal puede ser representada por la ecuación: F ( t ) = (x ( t ), y( t )) x ( t ) = un segundo( t ) y ( t ) = b tan( t )

Una hipérbola vertical puede ser representada por la ecuación: F ( t ) = ( x ( t ), y( t ) ) x ( t ) = b tan( t ) y ( t ) = un segundo( t ) Puedes escribir una hipérbola horizontal en forma paramétrica usando estas funciones: F ( t ) = ( x(t), y(t) ) x ( t ) = un Cos(t) y ( t ) = b sen(t) x ( t ) = - un cos(t) y ( t ) = b sen(t) El primer grupo de parámetros izquierda traza la mitad derecha de la hipérbola, mientras que el segundo grupo la mitad. Esta forma de la ecuación paramétrica es especialmente útil para representar el movimiento de objetos que solo cruzan una mitad de la hipérbola.

7 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

b) Trazar la Curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: A continuación, se muestran varios ejercicios donde se muestra como se grafican las Ecuaciones Paramétricas.

1

X = 4 𝑡³

1

Y = 2 𝑡²

;

a) Trazar la Curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: 1

X = 4 𝑡²

;

1

Y = 2 𝑡³

Sustituimos los valores en t :

t

x

y

-3

-6,75

-4,5

-2

-2

-2

t

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1

-0,25

-0,5

x

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

0

0

0

y

-13,5

-4

-0,5

0

0,5

4

13,5

1

0,25

0,5

2

2

2

3

6,75

4,5

Graficamos:

Graficamos:

La Curva, resulta ser una Parábola Semi Cúbica en Vertical.

La Curva, resulta ser una Parábola Semi Cúbica en Horizontal.

8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

longitud mediante la longitud poligonal que pasa por dichos puntos.

Aplicando una simple reducción se pueden transformar las ecuaciones paramétricas en cartesianas. Para ello la longitud de la curva se puede estudiar aplicando el teorema de Pitágoras y sus componentes.

La ecuación Cartesiana es la que está representada por: Ax + Bx + Cz + D = 0 Donde (x,y,z) serían los puntos en el espacio, que van a complementar la ecuación y formar un plano.

Para conseguir la Ecuación Cartesiana de un plano, partiendo de la Paramétrica, se han de seguir los siguientes pasos con la idea de eliminar el parámetro: -

Despejar el parámetro de una de las ecuaciones dadas Sustituir en la otra ecuación el valor del parámetro Finalmente se consigue la Ecuación Cartesiana.

Ejercicios: Ver página 10

Para encontrar la Longitud del arco se trabaja en pequeños segmentos lineales, denominados “diferencial de hipotenusa”, que, una vez conseguidas todas las distancias de la curva, se suman y se consigue su longitud total aproximada.

Fórmulas: Si y=f(x), tiene derivada f’ continua en [𝒂, 𝒃], la longitud de arco de f entre a y b está definida por: 𝑏

s = ∫𝑎 √1 + [𝑓′(𝑥)]² dx Para una curva x=g(y) la longitud de arco de g entre c y d está definida por: 𝑑

s = ∫𝑐 √1 + [𝑔′(𝑦)]² dy La Longitud de Arco es la distancia que corresponde al recorrido de un arco o curva, representada en una dimensión lineal.

La longitud de arco de una curva definida paramétricamente, mediante dos funciones dependientes de t como x=f(t) e y=g(t), desde el punto [𝑓(𝑎), 𝑔(𝑎)] hasta el punto [𝑓(𝑏), 𝑔(𝑏)], se calcula mediante: 𝑏

La forma de calcular la longitud consiste en dividir la curva / arco en segmentos pequeños, escogiendo una cantidad de puntos en la curva, y así, aproximar la

s = ∫𝑎 √[𝑓 ′ (𝑡)]2 + [𝑔′(𝑡)]² dt

Ejercicios: Ver página 11

9 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

EJERCICIOS DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS E

1. Para un segmento de una recta de 4cm de longitud, que se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas.

Como 𝑆𝑒𝑛²𝜃 + C𝑜𝑠²𝜃 = 1, entonces:

Determinar el lugar geométrico descrito por un punto P (x,y)

𝟏𝟔

𝒙²

𝒚²

+ 𝟑𝟔 = 1

Situado sobre el segmento ̅​̅​̅​̅ 𝐴𝐵 a 10cm del extremo que se apoya sobre el eje x, según la figura:

Entonces decimos que el lugar geométrico de P(x,y) es una Elipse Vertical con centro en el origen, y sus semi ejes miden 6 y 4 cm.

Según figura: 𝑥

cos 𝜑 = 𝑠𝑒𝑛 𝜑 =

4 𝑦 6

»

𝒙 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝝋

»

𝒚 = 𝟔𝒔𝒆𝒏𝝋

Verificamos que sea una sola curva y la elevamos al cuadrado: ( 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ( 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑥 4 𝑦 6

𝑥²

)²

»

𝐶𝑜𝑠²θ = 16

)²

»

𝑆𝑒𝑛²θ = 36

Se suman: 𝑥² 16

𝑦²

+ 36 = 𝑆𝑒𝑛²𝜃 + C𝑜𝑠²𝜃

𝑦²

10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

2. Obtener la ecuación rectangular de la curva, según las siguientes ecuaciones: 𝒙² = 𝟔𝒄𝒐𝒔²𝝋 𝒚² = 𝟔𝒔𝒆𝒏²𝝋 Graficamos: Se despeja la paramétrica: 𝑥²

𝑐𝑜𝑠²𝜑 =

𝑠𝑒𝑛²𝜑 =

y

6

𝑦² 6

Se suman cada uno de los miembros: 𝒔𝒆𝒏2 𝝋 + 𝒄𝒐𝒔²φ =

𝑥² 6

+

𝑦² 6

: Como 𝒔𝒆𝒏2 𝝋 + 𝒄𝒐𝒔²φ = 1, entonces: 𝑥²

+

6

𝑦² 6

=1

Luego, simplificamos: 𝑥²+𝑦² 6

=1

»

x² + y² = 6

La Ecuación representa a una Circunferencia con centro en el origen.

Despejando X y Y, verificamos que es una circunferencia.

X = √6 − 𝑦² Y = √6 − 𝑥² X Y

0 1 2 2,4 2,2 1,4 2,4 2,2 1,4 0 1 2

11 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

EJERCICIOS PARA TRANSFORMAR ECUACIONES PARAMÉTRICAS EN ECUACIONES CARTESIANAS E

1) Transformar las siguientes Ecuaciones Paramétricas en Rectangular.

Para x = t² – 4

𝑡

y

y=2

3) Transformar las siguientes Ecuaciones Paramétricas en Rectangular. x = 4t²

y

y = t⁴ + 2

Se despeja a t en cualquiera de las ecuaciones: 𝑡

y=2

» t = 2y

Luego se sustituye t en la otra ecuación:

Hallamos el parámetro en una de las ecuaciones:

x = t² – 4

x = 4t²

»

x = ( 2y )² – 4

»

t² =

𝑥 4

La Ecuación Rectangular es: X = 4y² - 4

»

x + 4 = 4y²

»

(-4,0)

Le colocamos raíces: √t² = √𝑥 4

»

𝒙

t = √𝟒

2) Transformar las siguientes Ecuaciones Paramétricas en Rectangular. x=

1

;

√𝑡+1

𝑡

y = 𝑡+1

Sustituimos en la otra ecuación:

t ˃ -1

;

Elevamos al cuadrado la ecuación de X, para despejar a t (en este caso sería más complejo la sustitución): (x=

1 √𝑡+1

)² » 1

»

t = 𝑥² - 1

x² = »

1

»

𝑡+1

t+1=

1 𝑥²

𝟏−𝒙²

x=

𝑡

»

»

y=

𝟏−𝒙² 𝒙² 𝟏 𝒙²

y=

»

𝟏−𝒙² 𝒙² 𝟏−𝒙² ( )+1 𝒙²

y=

»

𝒙

𝑥

y = ( 4 )4/2 + 2 y=

𝟏−𝒙² 𝒙² 𝟏−𝒙2 +𝒙² 𝒙²

y=(

𝑥 4

)² + 2

𝑥 2 (1−𝑥 2 ) 𝑥2

La ecuación rectangular es: y = 1 - x²

𝒙

y = (√𝟒 )⁴ + 2 y = ( (√𝟒 )1/2 )⁴ + 2

𝒙²

Sustituimos a t en la ecuación de Y: y = 𝑡+1

y = t⁴ + 2

Parábola de Centro (0,1) cuando t ˃ -1

La ecuación rectangular es: y=

𝒙² 𝟏𝟔

+2

12 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

EJERCICIOS DE LONGITUD DEL ARCO EN LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS E

1) Determine la longitud de la gráfica curva r dada en forma paramétrica por las ecuaciones: 𝑥 (𝑡) = 𝑡 (𝑡) 𝑦 = 𝑡2 + 1

r(t) = {

en el intervalo [0,1] en el intervalo [0, 𝜋]

𝑏

𝑠 = ∫𝑎 √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡 Derivamos las ecuaciones:

La longitud de una curva de la forma r(t) = (x(t), y(t)) en un intervalo [𝑎, 𝑏] está dada por: 𝑏

𝒚 (𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟏

;

𝑥 (𝑡) = 8 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 (𝑡) = 8 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 7

r(t) = {

Viene dada por la fórmula de Integración:

𝒙 (𝒕) = 𝒕

2) Determine la longitud de la gráfica de la curva r, dada en forma paramétrica por las ecuaciones:

𝑠 = ∫𝑎 √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡 Derivamos las ecuaciones:

𝒙′ (𝒕) =

𝑑𝑥

𝒚′ (𝒕) =

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑

= 𝑑𝑡 · 𝑡 = 1 =

𝑑 𝑑𝑡

𝑥 (𝑡) = 8 𝑠𝑒𝑛 𝑡

· 𝑡 2 + 1 = 2t

𝑦 (𝑡) = 8 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 7

Sustituimos los valores en la integral:

𝒚′ (𝒕) = −8 𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑏

𝑠 = ∫𝑎 √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡

Sustituimos los valores en la integral:

1

√[1]2

𝑠=∫

+

[2𝑡]2

𝒙 ′(𝒕) = 8 𝑐𝑜𝑠 𝑡

𝑑𝑡

0 𝑏

1

𝑠 = ∫ √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡

𝑠 = ∫ √(1 + 2𝑡)² 𝑑𝑡

𝑎

0 𝜋 1

= ∫ √[8 cos 𝑡]2 + [−8 𝑠𝑒𝑛 𝑡]2 𝑑𝑡

𝑠 = ∫ (1 + 2𝑡) 𝑑𝑡

0

0 𝜋 2

𝑠 = [1 + 2(1)] − [1 + 2(0)]² 𝑠=

[3]2

− [1]²

𝑠 = 9− 1 𝒔= 𝟖

ǀ10

= ∫ √64 (cos² 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛²) 𝑑𝑡 0

Como cos² 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛² = 1 𝜋

𝜋

= ∫0 √64 𝑑𝑡 = 8 ∫0 𝑑𝑡 𝑠 = 8 (π) − 8 (0) ǀ𝜋0 𝒔 = 𝟖𝝅

13 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

3) Determine la longitud de la gráfica curva r dada en forma paramétrica por las ecuaciones: r(t) = {

𝑥 (𝑡) = 𝑎 cos 𝑡 𝑦 (𝑡) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡

4) Determine la longitud de la gráfica de la ecuación: 𝑥

en el intervalo [0,2𝜋]

Viene dada por la fórmula de Integración: 𝑏

𝑠 = ∫𝑎 √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡

f(x) =∫0 √𝑡 + 4 dt, en [1,2] La fórmula de la longitud de la curva de forma y = f(x), en un intervalo [𝑎, 𝑏] es: 𝑏

Derivamos las ecuaciones:

𝑠 = ∫𝑎 √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥

𝒙 (𝒕) = 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒕

Derivamos la ecuación:

𝒚 (𝒕) = 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝒕

𝑥

𝒙′ (𝒕) = 𝑎. −𝑠𝑒𝑛 𝑡

f’(x) = ( ∫0 √𝑡 + 4 dt )’

𝒚′ (𝒕) = 𝑎. cos 𝑡

f’(x) = √𝑥 + 4

Sustituimos los valores en la integral:

Sustituimos el valor en la integral:

𝑏

𝑠 = ∫𝑎 √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡

2

2𝜋

𝑠 = ∫ √[𝑎. −𝑠𝑒𝑛 𝑡]2 + [𝑎. cos 𝑡]2 𝑑𝑡

2 𝑠 = ∫1 √1 + [√𝑥 + 4] 𝑑𝑥

0

2

𝑠 = ∫ √5 + 𝑥 𝑑𝑥

2𝜋

1

√(𝑎². 𝑠𝑒𝑛² 𝑡) + (𝑎². 𝑐𝑜𝑠² 𝑡) 𝑑𝑡

𝑠=∫ 0

Se cambia la variable:

2𝜋

√(𝑎²)(𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠² 𝑡) 𝑑𝑡

𝑠=∫

u² = 5 + x ;

2u du = dx

0

Como cos² 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 1

si x=1; → u²=5+(1) → u=√6 si x=2; → u²=5+(2) → u=√7

2𝜋

√(𝑎²)(1) 𝑑𝑡

=∫ 0

2

Entonces: 𝑠 = ∫1 √5 + 𝑥 𝑑𝑥

2𝜋

√𝑎² 𝑑𝑡

=∫ 0

√7

𝑠 = ∫ 2𝑢² 𝑑𝑢 √6

2𝜋

= ∫ 𝑎 𝑑𝑡 0

s = a . t ǀ2𝜋 0 s = (a (2π)) – (a (0)) s = a2π

2𝑢³

=( =

3

14 3

s=

ǀ √7 = √6

√7 − 𝟏𝟒 𝟑

2(√7 )³

12 3

3

√6

√𝟕 - 4√𝟔

-

2(√6)³ 3

)

14 ECUACIONES PARAMÉTRICAS. I.U.P. SANTIAGO MARIÑO

En la carrera de Ingeniería Civil se emplean con frecuencia los cálculos con ecuaciones paramétricas. Generalmente en los diseños se consigue o se busca, distintas formas, que han de estar en equilibrio y/o consideradas para con el resto del diseño, y para ello, es que es necesario el uso de las ecuaciones que van a permitir el uso de datos exactos. Cualquier error en dichos cálculos, sería fatal; como, por ejemplo, en el diseño de un puente o un edificio, e infinidad de elementos.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Revista publicada por Ibis Delgado I.U.P. Santiago Mario. Venezuela Matemática III – Ingeniería Civil Edición Única Abril 2021