EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES. ∂z ∂z de la primera forma y comprobar usando la segunda ; ∂x ∂y 1 forma: a) z = ln x 2 + y 2 = [ln( x − y ) + ln( x + y )] 2 y −y e + e e y − e−y b) z = e x ⋅ + ex ⋅ = e x+ y 2 2
1. En cada ejercicio hallar
[ [
] [
]]
( x − 2) 2 + y 2 1 = ln ( x − 2) 2 + y 2 − ln ( x + 2) 2 + y 2 ( x + 2) 2 + y 2 2 ∂z ∂z 2. Si z = (x2 + y2)sen(x2 + y2), demostrar que y − x =0 ∂x ∂y x ∂z ∂z 3. Demostrar que la función z = y 2 sen satisface la ecuación: x + y = 2z y ∂x ∂y
c) z = ln
1
∂z ∂z + y2 =0 ∂x ∂y y ∂ 2U ∂ 2U 5. Demostrar que U = tan-1 x es una solución de + 2 =0 ∂x 2 ∂y
4. Si z = xe y , entonces x
x2 + y2 ∂z ∂z , demostrar que x + y =0 2 ∂x ∂y y dG ( y ) ∂z dF ( x) ∂z 7. Si z = f(F(x)+G(y)), demostrar que ⋅ − =0 dy ∂x dx ∂y
6. Si z = f
2 ∂ 2U 2 ∂ U = c ∂t 2 ∂x 2 9. Demostrar que la ecuación diferencial del problema 8 se satisface por U = f ( x − ct ) + g ( x + ct ), donde f (u ) y g (v ) son funciones cualesquiera. 10. En los siguientes problemas, hallar las segundas derivadas parciales f xx , f yy , f xy , f yx :
8. Si U = sen( x − ct ) + cos( x + ct ), entonces
10.1. f ( x, y ) = 5 x 4 y 3 + 2 xy x +1 10.2. f ( x, y ) = y −1 10.3. f ( x, y ) = e x
2
y