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PORTAFOLIO DEL EDUCADOR Portafolio con materiales teóricos y prácticos para capacitar y apoyar al educador en la aplicación del Programa Cifras

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(ífr?J.s· CONTENIDO DEL PORTAFOLIO

El portafolio del educador está dividido en cuatro partes. Contiene artículos, didácticas, formatos y herramientas de evaluación, que esperamos sean de utilidad para la aplicación del programa.

Parte l. Fundamentos Artículos relacionados con los temas del programa: Numerosidad Cardinalidad Orden y ordinalidad Una aproximación al concepto de número La lógica del sistema decimal de numeración Comprensión del valor posicional (Basado en la teoría de Kamii) Situaciones aditivas numéricas simples

Parte 2. Didácticas Con diferentes actividades organizadas de acuerdo a las colecciones: Didácticas Dígitos Didácticas Cifras Didácticas Summas

Parte 3. Formatos Formatos para realizar ejercicios de acuerdo a las colecciones: Cifras: Representación de cantidades en el ábaco corto C ifras: Sumas y restas en el ábaco corto C ifras: Representación de cantidades en el ábaco corto C ifras: Sumas y restas con unidades de primer y segundo orden Summas: Representación de cantidades con unidades de diverso orden Summas: Sumas y restas con unidades de diverso orden Summas: Sumas llevando y restas prestando

Partes 4 Evaluación Herramientas necesarias para llevar a cabo el seguimiento y verificación de los resultados obtenidos por los aprendices en cada una de las fases del programa: Instrumentos de evaluación: General, Dígitos y Cifras Logros y niveles de logro esperados al final de cada una de las fases Planillas de evaluación

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Portafolio del educador del Programa Cifras®de Herramientas & Gestión® Prohibido lo reproduc ción por cualquie r medio [fotocopio. microfilmación. etc.) - www.herram iento sygestion.com • coneo@he rro m ientosygestion.com

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Texto manuscrito del profesor Cario Federici


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Contenido del portafolio PORTAFOLIO DEL EDUCADOR

AUTOR Juan Carlos Negret Paredes DESARROLLO CONCEPTUAL Y PEDAGÓGICO Carol Susana Acosta C. July Andrea Ortiz Valencia Paula Llinás Abello EQUIPO EDITORIAL Juan Carlos Negret P. Teresa Moreno S. DISEÑO GRÁFICO Y DIAGRAMACIÓN Teresa Moreno Sánchez

PORTA FOLIO DEL EDUCADOR • Prefacio .................................................. 3 • Introducción ........................................... . S • Contenido del Portafolio .......................... 11 l.

FUNDAMENTOS ..................................... • Numerosidad ......................................... • Cardinalidad .......................................... • Orden y ordinalidad ................................ • Una aproximación al concepto de número .. • Comprensión del valor posicional .............. • Situaciones aditivas numéricas simples ........ Caja de herramientas ................................. Alcance y secuencia conceptual ...................

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11. DIDÁCTICAS .......................................... 57

• Didácticas Dígitos ................................... 59 • Didácticas Cifras ..................................... 69 • Didácticas Su mmas ................................. 79 EDICIONES PREVIAS DEL PORTAFOLIO CIFRAS Primera edición 2005 H & G © Juan Carlos Negret P. ISBN XXXXXX Derechos reservados. Es propiedad del autor. El Método contenido en esta publicación y la publicación no puede ser reproducida en todo ni en parte, archivada o transmitida por ningún medio electrónico, mecánico, de grabación, de fotocopia, de microfilmación, o en otra forma sin el previo consentimiento del autor. Primera edición, 2008 Herramientas & Gestión Editores Cia. Ltda. Carrera 15 N° 116-36 Oficina 606, Bogotá, D.C., Colombia PBX 4811000- FAX 620 5696 E-mail: correo@herramientasygestion. com Web: www.herramientasygestion.com Impreso en Colombia por

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111. FORMATOS ........................................... 89

IV. EVALUACION .............................................. 1OS • Introducción ................. ....................... 107 • Instrumento de evaluación General. ......... 109 • Instrumento de evaluación Dígitos ........... 11 3 • Instrumento de evaluación Cifras ............. 11 7 • Logros y Niveles de logro General ...... ..... 121 • Logros y Niveles de logro Dígitos ............ 123 • Logros y Niveles de logro Cifras .............. 12 S • Planillas de evaluación ........................... 12 7

NUESTRA ORGANIZACIÓN ....................... 131

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(ífr?J.s· PREFACIO

Quisiera hacer de este prefacio al Portafolio de Educador del Programa Cifras, un acto de expresión de reconocimientos y agradecimientos para las personas que contribuyeron a su realización, pues es en este texto, sobre todo en la sección de fundamentos teóricos, en donde esta más visible sus presencia. Los agradecimientos principales son para el maestro Cario Federici Casa con quien tuve el privilegio, en la mesa de su casa, de aprender las razones y los sentidos lógicos y humanos de la matemática -en singular como él la definía- y con ella, algunos principios y actitudes básicas del ser humano, como el de la "coherencia en la teoría", "la to lerancia en la vida",o "la disposición permanente a hacerse siempre preguntas", que él consideraba lo singular y más humano de lo humano. Quiero hacer especial mención a Carlos Eduardo Vasco, otro gran maestro en la educación matemática, discípulo a su vez de Federici, a quién conocí en la Universidad Javeriana y a quien reconozco como uno de los mayo res expertos en los temas lógicos articulados a la psicología genética. Con él trabajamos y discutimos arduamente algunos de los textos aquí presentados, y en particular, el de estructura aditiva y el sistema dec imal de notación de los números. Con él, analizamos en su detalle máximo el pensamiento de Federici, coeditamos unos de sus libros sobre La lógica de los Cardinales Relatores, y de él escuche por primera vez contra-proposiciones que interpelaban críticamente el saber del maestro. Igualmente quiero reconocer a los docentes y directivos de la Facultad de Psicología de la Universidad Javeriana en las décadas del 80 y 90, y en particular a GracielaAidana de Conde, ArnoldoAristizábai,Ángela María Robledo, y a Jorge Castaño, con quienes labré los fundamentos iniciales de esta propuesta. En especial, quiero expresar mi agradecimiento a Jorge Castaño y Ángela María Robledo, con quiénes produjimos los documentos teóricos sobre estructura aditiva y sistema de decimal de notación, presentados en la sección de inicial de este portafolio. Desde el punto de vista editorial, reconozco los aportes iniciales de Luis Bernardo Peña -mi maestro en estos oficios desde que hicimos con él las Hojas Pedagógicas-; de manera más reciente, de Carlos Sánchez -director editorial d el Programa Letras e iniciador de mi trabajo en este campo- y de Martha Osorno, por su cercana y experta mirada como editora del área. La elaboración de los módulos, materiales y herramientas del Programa fue pos ible gracias al equipo de Herramientas & Gestión, del cual quiero destacar por su directa participación a Teresa Moreno S., por sus aportes editoriales y gráficos, a Andrés Prieto, nuestro ilustrador estrella, y a las maestras y amigas con las que hemos construido toda la base didáctica d el programa: Liz de Pé rez, Paula Llinas,July Andrea Ortiz, Carol Susana Acosta y Edna Esperanza Marín.

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(ífr"As· Termino como comencé, hablando del maestro Federici, ya que he querido que en este documento -con el debido respeto a su memoria y permiso de sus hijas Simonetta y Emilia- dar testimonio de las lecciones que recibí, haciendo público los apuntes manuscritos que, para aclarar alguna duda o enfatizar algún punto, el maestro Federici escribía de manera espontánea en mi cuaderno en cualquier momento de la lección; así como presentar, a t ítulo ilustrativo y casi arqueológico, los documentos elaborados en uno los primeros Apple Macintosh de la época, en los que recogí las interpretaciones que hacia de lo que oía y entendía de cada lección, textos que preservé en un baú l durante más de diez años y que rescate para componer los que son hoy, los artículos introductorios de este portafolio, y en particular, los referidos a la numerosidad, la cardinalidad y el orden.

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Texto manuscrito del profesor Cario Federici

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(ífr?J.s· INTRODUCCIÓN

El PROGRAMA CI FRAS es una propuesta pedagógica para la iniciación matemática, desarrollada con base en las enseñanzas «léndicas», lógicas y humanas del Profesor Federici. Se inicia en la década de los ochenta con los trabajos de investigación realizados en el Departamento de Psico logía Edu cativa de la Universidad Javeriana; y se nutre y enriquece a lo largo de los años con los aportes de un amplio número de maestros, de innumerables colegios y escuelas, y con el equipo de editores, diseñadores e ilustradores de Herramientas & Gestión. Profundizando en el conocimiento de la psicogénesis y de la historia de las matemáticas, el énfasis y el carácter innovador del PROGRAMA C IF RAS consiste en usar la escritura posicional o «cifrada» de los números, como herramienta estructurante del pensamiento matemático, de manera tal que en cada momento, el aprendiz entienda lo que hace, comprenda lo que piensa y diga con coherencia lo que enuncia. El Profesor Federici insistía que era fundamental ser coherente en el pensamiento y consecuente en el d iscurso, de manera tal que discurso y pensamiento orquestados

con la experiencia física y lógica, genera ran en el cerebro un sistema de conexiones neuronales estructuradas, básicas para tejer la urdimbre compresiva. Retomando la etimología de la palabra «lendel » -que refiere a las huellas que dejan en la tierra los animales de labranza-, llamaba de manera metafórica LENDE LES a estos surcos neuronales que una buena educación matemática contribuiría a urdir.

La peculiaridad del programa Partimos de esta reflexión para presentarles el PROGRAMA C IFRAS, una propuesta pedagógica para la iniciación matemática, desarrollada con base en las enseñanzas del Profesor Federici; que se inicia con la investigación que realizamos con Jorge Castaño y Ángela María Robledo, bajo la tutela de Carlos Eduardo Vasco en el Departamento de Psicología Educativa de la Universidad Javeriana. El énfasis y el carácter innovador del PROGRAMA CI FRAS consiste en usar el lenguaje, oral y escrito como herramie nta estructurante del pensamiento matemático, dándole gran importancia a la comprensión profunda del valor y la notación posicional de los números y a las operaciones basadas en dicha estructura, de manera tal que en cada momento, el aprendiz entienda lo que hace, comprenda lo que piensa y diga con coherencia lo que piensa en lo que enuncia.

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(ífr"As· Los componentes del programa Al igual que el Programa Letras, el PROGRAMA CIFRAS es un conjunto de teorías, principios, estrategias de capacitación y de herramientas didácticas y materiales. Para el educador el programa cuenta con el presente «Portafolio para el educador» en donde encuentra los marcos y fundamentos teóricos e históricos del programa y un conjunto complementario de didácticas e instrumentos de evaluación. Para los ap rendices el programa ofrece tres cuadernillos, una para cada una de las fases del proceso. Estos cuadernillos además de presentar los pasos y ofrecer didácticas modelo en cada fase, son ante todo instrumentos de evaluación y seguimiento de manera tal que los educadores, las familias, y los mismos apren dices puedan constatar los avances en el proceso constructivo, regular los ritmos y tiempos del mismo y verificar la consecución de las metas en los tiempos previstos. Presentamos a continuación cada una de las fases del programa:

FASE 1: DÍGITOS Colección de actividades y cuadernillo de seguimiento para aprender a escribir y operar con los números dígitos desde el cero hasta el nueve

Fase del proceso en la que los aprendices construyen el concepto de número y aprenden la arit mética básica con los números desde el O hasta el 9.

PROGRAMA

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Usamos la palabra DÍGITOS en dos sentidos. En primer lugar para destacar que las nociones básicas de cantidad que aquí trabajamos, se construyen teniendo como soporte el cuerpo y en particular los dedos de las manos. Este hecho se puede constatar en la cultura, por ejemplo, en el caso de los Papúes de Nueva Guinea que tienen un sistema de cuantificación sin números soportado en las partes del cuerpo. Pero es sobre todo en el desarrollo infant il en donde los dedos de las manos adquieren una importancia crucial al constituirse en conjuntos modelos a partir de los cuales se construye la noción de equinumerosidad, base de los números cardinales. Igualmente, hablamos de DÍGITOS debi do a que las cantidades con las que t rabajamos -que van del O al 9- se representan escrituralmente utilizando un sólo y único signo para cada caso. Este hecho es para nosotros tota lmente relevante, pues fue el invento Hindú que transformó las matemáticas de occidente, dando base al sistema de notación decimal que hoy usamos, y es el motivo por el cual no abordamos aquí el número 1O -escrito con dos signos- ni los que continúan.

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(ífr?J.s· El proceso planteado en esta etapa, se basa en los planteamientos del profe sor Cario Federic i en relación a la construcción de los números. Se inicia con el orden binario aplicado a las cantidades discretas, que permite, dados dos conjuntos, establecer en cual HAY MÁS o HAY MENOS cosas, y continúa con la relación de equivalencia en el cual los conjuntos tienen LA MISMA cantidad de elementos. Acto seguido, se bautiza esta equivalencia con los NÚMEROS CARDINALES PROPIETIVOS, como los llamaba el profesor Federici, para destacar el hecho de que nominan esta propiedad cuantitativa común de los conjuntos. El proceso sigue con la compre nsión de la secuencia, basada en la reiteración del MÁS UNO, lo que da lugar al CONTEO repetido y continua con la relación PARTE- T ODO, como condición pa ra entrar en la OPERACIONES ADITIVAS con los números hasta el 9. Como se ve, nos diferenciamos de la gran mayoría de propuestas de iniciación en la matemática en las que se «resuelve» el tema del número con tres o cuatro didácticas de conteo, ignorando que dicho concepto de número se construye sólidamente sólo como resultado de la integración de sus aspectos cardinales y ordinales, y en estrecha dependencia con las formas de notación o escritura.

FASE 2: CIFRAS Colección de actividades y cuadernillo de segu imiento para aprender a escribir y operar con los números con valor posicional hasta el 99

En el contexto cotidiano vemos como constantemente los aprendices escriben los números como hablan y como los entienden, es decir, de manera aditiva (mil de una parte con sus ceros y cuatrocientos de otra parte con sus ceros) sin comprender ni usar el valor ni la notación posicional. Son también muy conocidos los trabajos de Constance Kamii, quien muestra que un gran porcentaje de estudiantes de primero y segundo de primaria, cuando se les pregunta por el significado del dígito 1 en el numeral 16, le atribuyen el valor de una unidad simple, sin caer en cuenta de que por su posición refiere a «diez unidades». Como lo señala Kamii, lo más interesante es que ésta concepción se presenta en niños que hacen un manejo acertado de las «decenas» y «unidades», tal como se las enseña el método tradicional, ciertamente porque para ellos las decenas son entidades concretas que existen físicamente - en una caja- o gráficamente - en un torre- y no son unidades de segundo orden con un valor relativo en un sistema numérico. Estos puntuales pero significativos hechos, dejan ver la complejidad inherente a la comprensión del valor y la notación posicional de los números, son los que dan lugar y razón a esta etapa del programa qu e denominamos C IFRAS, la tercera de la serie del Programa que tiene este mismo nombre.

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(ífr"As· Esta etapa, pretende implementar algunas didácticas que permitan que los aprendices que entienden el número como un sistema homogéneo de unidades, empiecen a comprenderlo como un sistema heterogéneo de unidades de diverso orden con base diez, que tiene además un sistema posicional de escritura que da cuenta de esa estructuración decimal. Su nombre proviene de la palabra árabe <<Sifr», traducción arábiga de la expres ión «Sunya» que usaban los Hindúes para el nombrar el vacío o cero. Con ello se le rinde tributo a la civilización Hindú que inventó el cero, articulándolo con un sistema posicional de escritura, base del que hoy usamos en occidente, destacando el hecho de que es un sistema construido con un código, es decir, un sistema cifrado que para poder ser escrito, leído y usado comprensivamente requiere ser descifrado. La colección CIFRAS inicia con un repaso de la Aritmética Digital. Posteriormente introduce los números cifrados: unos números con formas de enunciación y de escritura diferente a los numerales de nuestra cultura, -pero similar a la que usaban los Hindúes- en los que se hace expl ícita la estructura decimal y posicional subyacente a ellos, pero invisible para los aprendices. Posteriormente -en una alegoría al momento en que en la edad media se descubre en occidente el invento Hindú- los duendes entregan a los humanos unos pergaminos que permiten hacer una traducción, o si se quiere una equivalencia entre discursos, entre los números cifrados y los numerales convencionales. Posteriormente se reconstruye con estas nuevas unidades de segundo orden, los aspectos cardinales, ordinales y algunas operaciones aditivas básicas -composición, descomposición y complemento- en el círculo numérico hasta el 99.

FASE 3: SUMMAS Colección de actividades y cuadernillo de seguimiento para aprender a escribir y operar con los números con valor posicional hasta el 999

Concluida la fase anterior, en donde los aprendices han alcanzado la comprensión de la lógica de construcción numérica de nuestro sistema de numeración enten diendo e l componente de valor posicional , se hace necesario espolar este dominio a las unidades de tercer orden abordando nuevamente las relaciones de equinumerosidad, consecutividad, interestancia, etc. En esta fase se retoman los planteamientos y aportes del Profesor Federici, y de esta manera se introduce la estructura aditiva en donde se reconoce que las situaciones aditivas numéricas simples no se corresponden con las for mas habituales en las que se conciben, basta reconocer que estas son muy variadas y su clasificación descriptiva se complementa con una clasificación estructural y se fundamenta en las relaciones en términos de la composición y descomposición de part es inh erent es a todas las relaciones lógicas, las cuales se convierten para el aprendiz en exigencias que se denominan demandas lógicas de las situaciones, estas relaciones se evidencian cuando nos preguntamos qué debe entender el aprendiz para comprender y resolver la situación a la qu e se enfrenta.

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(ífr?J.s· Esta fase denominada Summas inició con una ejercitación del cálculo mental con operaciones que no superen el número 20, este primer paso permite preparar a los aprendices para el proceso de suma «llevando» y resta «prestando» el cual se convierte en el segundo paso, allí se trabajan sus algoritmos con unidades de primer y segundo orden mediante un proceso en el que está implícita la comprensión del valor posicional. Posteriormente se introduce la estructura aditiva que contempla los diferentes tipos de situaciones aditivas con evento y sin evento. En el siguiente paso se hace la extensión de los números presentando las unidades de tercer orden aplicando la escritura de cantidades con números y letras como se hizo en la fase anterior, dando lugar a la ejercitación del conteo repetido y el trabajo con algoritmos de suma y resta que incluyen dichas unidades. Por último se presenta el trabajo de problemas, situaciones matemáticas que requieren el dominio de los conceptos abordados a lo largo del programa. Esperamos, con el equipo desarrollador, que el PROGRAMA CIFRAS se convierta en una auténtica herramienta de apoyo en la loable y fundamental tarea de educador en la matemática.

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