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ESTUDIO DIDÁCTICO COMPARATIVO DEL USO DE INSTRUMENTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS: EL CASO DE LA REGLA Y EL COMPÁS Y EL DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADOR.

HUGO GARCÍA CALDERÓN

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA SANTIAGO DE CALI 2008

ESTUDIO DIDÁCTICO COMPARATIVO DEL USO DE INSTRUMENTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS: EL CASO DE LA REGLA Y EL COMPÁS Y EL DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADOR.

HUGO GARCÍA CALDERÓN

TESIS PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE MAGÍSTER EN EDUCACIÓN

DIRECTOR DE TESIS: JORGE ARCE CHAVES

CODIRECTOR DE TESIS: CÉSAR AUGUSTO DELGADO GARCÍA

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA SANTIAGO DE CALI 2008

CONTENIDO

Pág

INTRODUCCIÓN

5

1.

ESTADO DEL ARTE

9

1.1

EL USO DEL COMPUTADOR Y LOS PROGRAMAS GRAFICADORES 10

1.2

DIFICULTADES HALLADAS AL TRATAR CONCEPTOS GEOMÉTRICOS

1.3

PROPUESTAS PARA LA ENSEÑANZA DE CONCEPTOS GEOMÉTRICOS 23

1.4

FENÓMENOS DIDÁCTICOS DE LA DEMOSTRACIÓN

26

1.5

SABERES INCORPORADOS AL ESTUDIO DIDÁCTICO

35

2

FUNDAMENTOS CONCEPTUALES Y TEÓRICOS

42

2.1

FUNDAMENTOS CONCEPTUALES

42

2.1.1

Significados de algunos conceptos geométricos.

44

2.1.2

Significados de algunos conceptos afines.

49

2.1.3

Significados de algunos conceptos de la didáctica.

52

2.1.4

Funciones de los instrumentos.

58

2.2

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

63

2.2.1

Caracterización didáctica

68

3

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Y LA METODOLOGÍA

78

3.1

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

78

3.2

LA METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

83

3.2.1

Fase uno, análisis preliminares y a-priori

83

3.2.2

Fase dos, concepción de las situaciones didácticas y adidácticas.

84

3.2.3

Fase tres, puesta en marcha.

87

3.2.4

Fase cuatro, análisis a posteriori

90

4

ANÁLISIS PRELIMINARES Y A-PRIORI

91

4.1

ANÁLISIS PRELIMINARES

91

4.1.1

Análisis de propuestas curriculares y de textos escolares.

92

19

4.1.2

Concepciones sobre cómo construir poliedros.

135

4.1.3

Concepciones y dificultades de los estudiantes.

161

4.1.4

Resultados preliminares.

171

4.2

ANÁLISIS A-PRIORI

173

4.2.1

Fijación de criterios para estudiar la problemática.

176

4.2.2

Análisis epistemológico, cognitivo y didáctico.

180

5

DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS Y ADIDÁCTICAS

190

5.1

FUNDAMENTOS QUE SE INCORPORARON

191

5.2

SITUACIÓN PROBLEMA QUE SE FORMULÓ

197

5.3

CÓMO AFRONTAR LA SITUACIÓN

201

6

ANÁLISIS APOSTERIORI

226

6.1

ANÁLISIS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS ESTUDIANTES

226

6.1.1

Resultados de la experiencia piloto.

227

6.1.2

Resultados de la experiencia definitiva.

232

6.1.3

Resultados de la identificación de ventajas y limitaciones.

239

6.2

ANÁLISIS DE LO PREVISTO Y LO SUCEDIDO

244

6.2.1

Confrontación de los dos análisis.

248

6.2.2

Aportes del estudio didáctico.

255

7

PROYECCIONES

260

CONCLUSIONES

264

BIBLIOGRAFÍA REFERENCIAS DOCUMENTALES

275 281

ANEXOS

Pág

Anexo A: Transcripción de unas definiciones de conceptos geométricos

288

Anexo B: Trascripción de respuestas de la prueba piloto

290

Anexo C: Trascripción de respuestas de la prueba definitiva

296

Anexo D: Trascripción de respuestas del sondeo

304

Anexo E: Trascripción de respuestas del sondeo NO 1

306

Anexo F: Trascripción de respuestas del sondeo NO 2

311

Anexo G: Guía de trabajo para construir poliedros

314

Anexo H: Planteamiento de enunciados de las situaciones

316

Anexo I: Registros que no se analizaron

318

Anexo J: Registros de la construcción de un prisma NO 1

327

Anexo K: Registros de la construcción de un prisma NO 2

331

Anexo L: Registros de la construcción de un prisma NO 3

335

Anexo LL: Registros de la construcción de un prisma NO 4

339

DIAGRAMAS, TABLAS Y FIGURAS

Pág

Diagrama de contenidos del Bloque Modular de Dibujo Técnico del SENA

109

Diagrama de la Unidad 7: Geometría

123

Diagrama de la estructura temática de la cartilla: Construcciones geométricas 4 127

Diagrama de la estructura temática de la cartilla: Proyecciones diédricas y ortogonales 6

129

Diagrama de la unidad No 3: Proyección diédrica o multiplanar

132

Diagrama de la estructura temática del texto Dibujo técnico 10

135

Figura 4.1.2.1. Porcentaje de profesores por área

151

Tabla 4.2.1.1. Total de respuestas por cuestionario

152

Tabla 4.1.2.2. Distribución de frecuencias por tipos de ventajas

153

Tabla 4.1.2.3. Distribución de frecuencias por tipos de limitaciones

156

TABLA 4.1.2.4. Distribución de frecuencias en qué consiste construir una figura geométrica

159

Tabla 4.1.2.5. Distribución de frecuencias de aspectos que intervienen para construir un poliedro con regla y compás y el CAD

160

Tabla 4.1.2.6. Distribución de frecuencia de distinciones entre dibujar y construir 162

Tabla 4.1.2.7. Distribución de frecuencias por herramientas usadas para construir una figura geométrica.

164

Tabla 4.1.2.8. Distribución de frecuencias por inconvenientes que presentan las herramientas.

165

Tabla 4.1.2.9. Distribución de frecuencias por habilidades para construir una figura geométrica.

166

Tabla 5.3.1. Prismas rectos

218

Dibujo de isométricos de prismas rectos con CAD

219

Tabla 5.3.2. Conceptos geométricos y habilidades

221

Construcción de un cuadrado con regla y el compás

226

Construcción de un rectángulo con regla y el compás

227

Construcción de un cuadrado con el programa CAD

228

Construcción de un rectángulo con el programa CAD

230

Construcción del prisma recto con regla y el compás

232

Construcción de un prisma recto con el programa CAD

233

RESUMEN

En este trabajo se indagaron diversas investigaciones y se analizaron diseños curriculares, textos escolares, cartillas, encuestas y sondeos, orientados a la concepción de situaciones, las que se usaron en las experimentaciones en donde se observaron las acciones del estudiante y se obtuvieron sus registros, y luego se precisaron cuáles fueron las ventajas y limitaciones didácticas que se presentaron.

Tuvo como objetivo central, indagar en los registros y en las interacciones de los estudiantes, las ventajas y limitaciones didácticas que se produjeron con el uso de la regla y el compás, y el programa de diseño asistido por computador y, como objetivos específicos, utilizar situaciones didácticas y adidácticas en la enseñanza de la construcción geométrica de poliedros para la identificación de las ventajas y limitaciones didácticas, teniendo como referente la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, y, determinar las ventajas y limitaciones didácticas que se dieron con el uso de una herramienta y la otra.

El proceso se llevó a cabo basado en la metodología de la ingeniería didáctica; en el que se hicieron los análisis preliminares y a priori, el diseño de la instrumentación que se puso a prueba con profesores y estudiantes, la concepción de las situaciones didácticas y adidácticas y los análisis a posteriori.

Los resultados fueron: hallazgo de los estudios que proporcionaron los conocimientos y los conceptos geométricos para el diseño de los instrumentos, verificación de las deficiencias que tuvo el estudiante en el campo de la construcción

de

poliedros

y

las

relaciones

que

se

dieron

entre

los

comportamientos y el uso de las herramientas con las producciones, determinación de las ventajas didácticas para el uso de la instrumentación y las

limitaciones en el cumplimiento de los objetivos de aprendizaje, y delimitación del ambiente ideal para la enseñanza.

Palabras clave: ventajas y limitaciones didácticas, regla, compás, programa CAD, construcción geométrica, poliedro, situación didáctica y adidáctica, e, ingeniería didáctica.

INTRODUCCIÓN

Este informe de investigación contiene los resúmenes de las diversas fuentes de información que se consultaron y analizaron afines y relacionadas a la construcción geométrica de poliedros con regla y el compás y el programa de diseño asistido por computador, los resultados de las exploraciones que se realizaron

para elegir las propuestas curriculares y textos escolares; las

inferencias que se hicieron a la información conseguida por medio de encuestas y sondeos; los resultados de los análisis e interpretaciones de la puesta en marcha de las experiencias, las proyecciones y conclusiones que se derivaron.

La importancia de este estudio está en comprender el ámbito de la construcción geométrica de poliedros que es un ambiente propicio para familiarizarse con la instrumentación para el diseño en los primeros niveles que deben afrontar los estudiantes de las especialidades técnicas y tecnológicas. Sus aportes se sitúan en la resolución de problemas, las aplicaciones para diseñar, reproducir y mejorar los productos, el uso de nuevas tecnologías y las implicaciones que tienen al tratarlas en el proceso de enseñanza. También se tratan los fundamentos con los que se puede mejorar el proceso de enseñanza en el aula de clases, igualmente, que los principios para diseñar situaciones didácticas y adidácticas sobre la construcción de poliedros que faciliten desarrollar la autonomía en los estudiantes.

Desde lo teórico tuvo como referente la teoría de las situaciones didácticas, en la que se destacan los conceptos de obstáculo epistemológico, situación didáctica, situación adidáctica, situación fundamental, contrato didáctico, transposición didáctica y los tres supuestos siguientes: el estudiante aprende por adaptación a

un medio como producto de contradicciones y dificultades, el saber se construye entre las buenas preguntas y las buenas respuestas y cuando el estudiante es capaz de resolver situaciones adidácticas se aprendió un saber.

La instrumentación que se .puso a prueba, posibilitó la identificación de los fundamentos y los conocimientos con los que se constituyó un saber a enseñar, el que se incorporó en el diseño de situaciones, con la información que se consiguió de la puesta en marcha de éstas, se interpretó y organizó para contrastarla con la prevista y determinar los argumentos para esclarecer el planteamiento del interrogante ¿Cuáles son las ventajas y limitaciones didácticas que tiene el uso de la regla y el compás y, el programa de diseño asistido por computador para hacer la construcción geométrica de un poliedro?.

Las intenciones del estudio estuvieron centradas en utilizar situaciones didácticas y adidácticas en la enseñanza para la identificación de las ventajas y limitaciones didácticas de la construcción geométrica de una determinada familia de poliedros, tanto con la regla y el compás, y el programa de diseño asistido por computador y, en determinar las ventajas y limitaciones didácticas que se dieron en los dos procesos, tanto el que se realizó con la regla y el compás como el que se hizo con el programa de diseño asistido por computador, en el aprendizaje y la enseñanza.

El informe tiene siete capítulos que corresponden a los análisis e interpretaciones de investigaciones, al fundamento teórico y conceptual, el problema de investigación y su metodología, a los análisis preliminares y a-priori, a la concepción de las situaciones didácticas, a los resultados de la puesta en marcha de las experiencias y el análisis a posteriori, las proyecciones y las conclusiones del estudio.

12

En el capítulo uno, se clasificaron las investigaciones que se hallaron en la misma área de indagación en cuatro apartados, teniendo en cuenta los nexos temáticos y en cada uno se hizo un resumen sintético. Con los saberes tratados en los resúmenes sintéticos y las conclusiones que se obtuvieron en cada uno, se derivaron los conocimientos geométricos, epistemológicos, didácticos y teóricos que se encontraron relacionados para construir poliedros y se incorporaron en las temáticas del estudio didáctico.

En el capítulo dos, se explicitan las características didácticas, el fundamento teórico y conceptual, las relaciones que se establecieron en el sistema didáctico, los inconvenientes que se presentaron y los conocimientos que se pusieron en juego en la construcción geométrica de poliedros.

El capítulo tres trata sobre el problema de investigación, los objetivos, las hipótesis y se describe cada una de las fases que se llevó a cabo basadas en la metodología de la ingeniería didáctica

En el capítulo cuatro, se hacen los análisis preliminares que fundamentan la concepción de las situaciones didácticas de la ingeniería. Éstos fueron el producto de indagaciones en lo curricular, en los textos escolares, en las opiniones de profesores, y en los sondeos realizados a los estudiantes. Al final, se analizan apriori la dimensión epistemológica, cognitiva y didáctica, y como resultado se plantearon las hipótesis del estudio.

En el capítulo cinco, se trata lo concerniente a la concepción de las situaciones didácticas y adidácticas en el campo de las construcciones geométricas de poliedros. Para ello, se identificaron los conocimientos que poseían los estudiantes y se derivaron de los análisis hechos en el capítulo uno, dos, tres y cuatro los fundamentos y los conceptos geométricos con las que se estructuraron, enseguida

13

se dieron instrucciones para llevarlas a cabo y se previó lo que harían para resolverlas.

En el capítulo seis, se analizaron e interpretaron las interacciones y la información contenida en los registros. Enseguida se hicieron dos análisis sintéticos, uno a la parte predíctiva, basado en las previsiones para poner en marcha las situaciones y otro, a posteriori fundamentado en las observaciones obtenidas en las experiencias. A partir de los resultados que se derivaron de la confrontación, se precisaron los argumentos para fundamentar la validez de las hipótesis y hacer nuevos aportes.

En el capítulo siete, se exponen algunos planteamientos que surgieron durante las diferentes averiguaciones y actividades que se hicieron en el estudio didáctico.

Por último, se tratan las conclusiones y se adjuntan los anexos que recogen unas definiciones de conceptos geométricos, las respuestas a las encuestas y sondeos planteados, y los registros que elaboraron los estudiantes y que sirvieron para fundamentar los resultados.

14

1

ESTADO DEL ARTE

El estudio didáctico comparativo se inició con una revisión bibliográfica específica para hallar información, conocimientos y saberes específicos o relacionados sobre el estado del campo de las ventajas y limitaciones didácticas que tienen el uso de la regla sin marcas y compás y el programa de diseño asistido por computador (En inglés Computer Aided Desig (CAD)) en la construcción de poliedros, con la intención de aproximar respuestas a una de las preguntas derivadas del problema de investigación que se formuló así: ¿Qué estudios se han realizado en la misma área de indagación o en campos afines con la construcción geométrica?

Las investigaciones halladas (propuestas didácticas, propuestas metodológicas, debates, ponencias, artículos, exploraciones y estudios), con nexos al campo de las ventajas y limitaciones didácticas que tienen el uso de la regla sin marcas y compás, y el CAD, se clasificaron teniendo en cuenta un sector afín donde se pudieran ubicar y las relaciones temáticas que vinculan el uso de la instrumentación (herramientas físicas, conocimientos y conceptos que intervienen en la construcción geométrica) para construir poliedros.

De las que se han hecho en la misma área de indagación o en campos afines, se identificaron cuatro en el interior del campo del problema de investigación: a la primera, se le denominó “el uso del computador y los programas graficadores”; a la segunda, “dificultades halladas al tratar conceptos geométricos”, a la tercera, “propuestas didácticas para la enseñanza de conceptos geométricos” y, a la cuarta, “fenómenos didácticos de la demostración”.

Para facilitar la interpretación de los aspectos expuestos en cada investigación, se hizo un resumen a cada una, basado en lo que trata y las conclusiones a que llegó. Enseguida, con el conjunto de resúmenes de cada denominación anteriormente mencionada, se hizo un resumen sintético.

Por último, se analizó e interpretó lo arrojado en los resúmenes sintéticos, de donde se dedujeron algunos conocimientos, saberes y estrategias que fueron incorporados en el diseño de la instrumentación que se puso en juego, con la que se consiguió la información que sirvió para estructurar las respuestas que se dieron a las preguntas que se derivaron del problema de investigación.

1.1 EL USO DEL COMPUTADOR Y LOS PROGRAMAS GRAFICADORES

Pere

Marquès

Graells

(2000),

analiza

e

identifica

algunas

ventajas

e

inconvenientes en el aprendizaje, que están vinculados al uso del computador como soporte para ejecutar materiales multimedia, y determina las siguientes ventajas: motiva a dedicar más tiempo a trabajar y aprender, individualiza el trabajo, desarrolla la iniciativa, propicia el trabajo en grupo,

aprendizaje con

menos tiempo, aprendizaje a partir de los errores, permite realizar muy diversos tipos de tratamiento a una información muy amplia y variada, múltiples perspectivas

e

itinerarios,

proporciona

la

autoevaluación

del

estudiante,

interacción y continua actividad intelectual, abarata los costos de la formación, contacto con las nuevas tecnologías y el lenguaje audiovisual, constituye un buen medio de investigación didáctica en el aula, facilita la evaluación y control, liberan al profesor de trabajos repetitivos, proporciona entornos de aprendizaje e

16

instrumentos para el proceso de la información, proporciona una gran flexibilidad en los horarios de estudio y una descentralización geográfica de la formación.

Igualmente, menciona los siguientes inconvenientes: el exceso de motivación puede provocar adicción, distracción (se dedican a jugar en vez de trabajar), ansiedad,

aislamiento,

diálogos

muy

rígidos,

aprendizajes

superficiales,

desorientación informativa, dependencia de los demás, visión parcial de la realidad, control de calidad insuficiente, falta de conocimiento de los lenguajes, cansancio visual y otros problemas físicos, desarrollo de estrategias de mínimo esfuerzo y la formación del profesorado supone un costo añadido.

Julián Conesa Pastor y otros (2000), plantean, si es conveniente reemplazar la enseñanza de los contenidos de la geometría descriptiva por el uso del programa CAD; y en el caso que se enseñe éste, ¿a qué se debe dedicar mas tiempo?, a la enseñanza teórica, o a usar el programa. Las argumentaciones que se dieron alrededor de lo antes planteado conducen a determinar tres posturas: usar, no usar el computador y, la intermedia, usar los instrumentos tradicionales y el computador.

Concluyen que es necesario hacer bocetos a mano alzada para fundamentar las ideas y los conceptos; afirman que se deben realizar ejercicios mediante los instrumentos tradicionales que posibiliten fomentar la capacidad de visión espacial, y que el CAD no es sino una forma de concretar los conocimientos que se adquieren mediante la enseñanza tradicional, y que de ninguna manera podrían sustituir a la expresión gráfica, porque el estudiante debe usar los distintos sistemas de representación más usuales en ingeniería (Diédrico, Planos acotados y Axonométrico).

17

Adán F. Sanz y A. Cobos Moyano (2000), exponen la fundamentación y los alcances que tiene la expresión gráfica. Con respecto a la enseñanza de los contenidos y la metodología del programa de CAD, definen tres tendencias, así: orientación hacia el uso del programa; explicación teórica de un determinado CAD que proporcione al estudiante el conocimiento básico de los comandos; presentar una teoría y los conocimientos usados por los sistemas CAD.

Concluyen, que es necesario sustituir los contenidos que se enseñan en la geometría descriptiva para introducir los conceptos teóricos básicos y la metodología orientarla hacia un mayor uso del computador y la informática gráfica.

M. A. Murray-Lasso (2000), estudia las diferencias que se producen en la enseñanza para trazar figuras geométricas planas entre instrumentos tradicionales como la regla sin marcas, el transportador, las escuadras y el compás, y, el programa LOGO.

Sostiene que es indispensable que los estudiantes se familiaricen con el uso de regla sin marcas y compás, y el ambiente computarizado LOGO, por dos razones: el ambiente computacional facilita resolver problemas científicos, técnicos y es afín con la automatización; y los tradicionales hay que aprenderlos porque fomentan la organización del razonamiento.

Concluye que muchas de las diferencias entre el ambiente tradicional y el ambiente LOGO, se basan en las condiciones impuestas al uso de la regla sin marcas y compás; la diferencia de enfoques entre la geometría Euclidiana y la geometría analítica. La primera, enfatiza lo geométrico en donde lo importante son los objetos geométricos. La segunda, se basa en el plano cartesiano para poder determinar puntos por medio de dos números y se utilizan el álgebra y la trigonometría para determinar distancias con precisión.

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María José González López (2000), estudia si, el uso del programa CABRI es necesario para hacer una demostración. Toma como base la siguiente afirmación: Cuando los estudiantes son capaces de producir muchas configuraciones fácil y rápidamente, entonces simplemente no tienen necesidad de más convicción/verificación. El problema se intensifica por una facilidad de Cabri que permite chequear si ciertas características de las configuraciones (perpendicularidad, pertenencia a,…) son ciertas en general. […] El ordenador, funcionando como una “máquina de demostración” reduce (elimina) la necesidad de los estudiantes de generar demostración (verificación) (De Villiers, 1998, p.374).

De lo mencionado en la cita deriva, que el uso del programa es un obstáculo para demostrar, entendida como convicción/verificación, y es de utilidad para las demostraciones que se basan en la explicación y descubrimiento.

Analiza una situación que se puso en juego con profesores, la que consistía en construir una cometa dinámica y en la que se obtuvieron dos resultados; el primero,

permitir a los estudiantes descubrir y formular una conjetura, y el

segundo guiarlos hacia una explicación que ilustre la demostración como descubrimiento; esto lo lleva a expresar que las actividades de la situación fueron explicitadas para que sólo una fuera necesario resolverla con la intervención del profesor. Finalmente, concluye que no es el programa, ni la interacción espontánea la que puede generar explicaciones, sino la preparación de la situación lo que genera los resultados esperados.

José Arquímedes Gómez Gabaldón (2000), basado en la teoría propuesta por Efraim Fischbein donde el objeto geométrico es tratado como poseedor de dos componentes, uno conceptual y otro figural, estudia en el programa CABRI las diferentes acciones que pueden llevarse a cabo con la construcción de figuras geométricas.

19

Concluye que las ventajas que tiene el uso del programa CABRI son: posibilita que las figuras adquieran vida propia mediante el movimiento, permite ir a una fase cualquiera del dibujo, admite aplicaciones para geometría en 2D y 3D, facilita un aprendizaje individualizado ya que los diferentes dibujos realizados son susceptibles de ser puestos en la red para que el estudiante pueda repasarlos desde su casa, el trazado del dibujo paso a paso de acuerdo con el ritmo del aprendizaje, permiten apartarse de las exposiciones estáticas en el tablero.

Ángela Alemán de Sánchez (2002), estudia los usos que se dieron al computador en la enseñanza de las matemáticas, entre ellos menciona los siguientes: como tablero electrónico, como Hojas electrónicas, como Editor de ecuaciones, permite solucionar problemas de puntos críticos de una función para clasificarlos como máximos o mínimos relativos, la simulación de fenómenos naturales, en el uso de juegos educativos, en lenguajes de programación para el aprendizaje de conceptos, y apoyo a la administración de la docencia.

Concluye que el uso del computador en sus diversas modalidades ofrece, sobre otros métodos de enseñanza, ventajas tales como: participación activa del estudiante en su aprendizaje, interacción entre el estudiante y la máquina, la posibilidad de dar una atención individual al estudiante, la posibilidad de crear micromundos que le permiten explorar y conjeturar, permite el desarrollo cognitivo del estudiante, control del tiempo y secuencia del aprendizaje por el estudiante, y a través de la retroalimentación inmediata, él puede aprender de sus errores.

Mercedes Anido y otros (2002), estudian una propuesta de aprendizaje en la enseñanza de la Geometría analítica, que permite seleccionar situaciones didácticas concretas en las que se utiliza el programa SCILAB, en forma tal que la interacción de los estudiantes con el computador facilite el paso de las abstracciones a la integración de los cuadros algebraico y geométrico que

20

requieren un aprendizaje significativo de la Geometría Analítica en el primer año de estudios superiores.

La propuesta se puede resolver de varias formas por los estudiantes, usando el programa SCILAB. A partir de la representación se hace la inducción de las propiedades de las supercónicas 1 para realizar

situaciones de acción,

de

formulación e institucionalización. La realización de éstas y el análisis a-priori, permiten identificar las posibilidades de la representación computarizada para la profundización del concepto de familias de curvas generadas por la variación de un parámetro.

Vera Lucía de Mendonca Silva (2003), estudia en escuelas del Brasil el modo de inserción, acceso y uso de los computadores en ellas. Encuentra, que la mayoría de instituciones no cuentan con instalaciones apropiadas, con los materiales y el personal capacitado, lo que les dificulta llevar a cabo la formación.

Concluye que la escuela con el computador como recurso didáctico, generó en los estudiantes un cambio en la forma de pensar y sus relaciones. Significó la descentralización del saber, y representó un cambio en la forma de enseñar y de valorar el aprendizaje.

Carlos Erario Morciego García (2004), estudia lo que fue la enseñanza de la geometría y el dibujo técnico en escuelas, liceos y universidades de cuba. Analiza las propuestas y programas de estudio y su aplicación, y destaca el grado de profundización que se logró, el aumento de publicaciones en lo técnico, en el

1

Supercónicas: familia de curvas que se generan a partir de dar distintos valores numéricos a e en una y se categorizan de acuerdo a los ecuación del tipo: rangos que tome dicho exponente.

21

contenido pedagógico y artístico. Afirma que desde Gaspard Monge 2 , la Geometría descriptiva ha sido la base teórica del Dibujo técnico en casi todos los países y ahora es la base del CAD.

Describe cómo la expresión gráfica se convierte en un área del conocimiento que se articula con otras y hace un estudio de campo de donde deriva que en algunas empresas y entidades, el programa que usan para los proyectos de ingeniería y arquitectura es el AutoCAD.

Concluye, que en la expresión gráfica, existen planteamientos similares en otros países sobre el impacto de las nuevas Tecnologías de la Información y las Comunicaciones, que obligan a modificar la dedicación y los contenidos de los programas. Las nuevas tecnologías influyen en el desarrollo de la Ingeniería gráfica y en el futuro de las áreas relacionadas, como la Geometría descriptiva y el Dibujo técnico, lo que contribuye a fomentar la creatividad y a mejorar la formación del profesional.

RESUMEN SINTÉTICO. En este tipo de investigaciones se pueden caracterizar tres subsectores afines, a saber:

A)

Los que estudian el uso del computador como soporte para ejecutar

materiales multimedia y para llevar a cabo tareas de las matemáticas dedican esfuerzos para saber qué puede proporcionar la máquina. En éstos se determinan que es una buena ayuda tanto en la enseñanza como en el aprendizaje, que es una herramienta que presenta ciertas ventajas, como 2

Gaspard Monge, matemático francés que desarrolló el sistema diédrico. Éste es “uno de los cuatro sistemas fundamentales de proyección que integra la geometría descriptiva” (Raya Moral, 1999, p.13). Ésta tiene por objeto establecer las normas y fijar las propiedades en virtud de las cuales se pueden, no solamente representar los cuerpos que tienen tres dimensiones, sobre una superficie que tiene dos, sino que, a su vez, de dichas representaciones se pueden deducir elementos que nos pueda interesar medir, en unos casos, o determinar su forma y posición, en otras.

22

fomentar las habilidades intelectuales y motrices, y algunos inconvenientes, uno de ellos, que no facilita el desarrollo de la creatividad.

Lo expuesto en cada investigación, del subsector antes enunciado, derivó en las conclusiones siguientes: El uso del computador facilita el aprendizaje y la estructuración del conocimiento en el estudiante.

El computador es una ayuda didáctica, que favorece fomentar habilidades intelectuales y motrices.

La actividad que realiza el estudiante usando el computador debe ser orientada y controlada por el profesor para que se favorezca el fomento de las habilidades.

La mayoría de las instituciones educativas no cuentan con instalaciones apropiadas, con materiales y personal capacitado, para ajustarse a los cambios que actualmente demandan las comunidades, lo que dificulta llevar a cabo formación con el uso del computador.

B)

Los que estudian la enseñanza de la geometría y el Dibujo técnico, el

uso de los programas CAD y LOGO, y herramientas tradicionales (la regla sin marcas, el compás, el transportador y la escuadra) para identificar las diferencias que hay al construir figuras geométricas con el uso de éstos.

Analizan lo que fue la enseñanza de la geometría descriptiva y el dibujo técnico, y cómo una y otra, se convirtieron en un conocimiento fundamental para el estudio de la ingeniería gráfica, el programa CAD, el trazado de formas artificiales y naturales por medio de la representación de isométricos y vistas.

Con respecto a la enseñanza de los contenidos y la metodología para usar el programa CAD, se definen tres tendencias, así: orientación hacia el uso del programa; explicación teórica de un determinado CAD que

23

proporcione al estudiante el conocimiento básico de los comandos, y presentar una teoría y los conocimientos usados por los sistemas CADs. En relación a la enseñanza del trazado de figuras geométricas planas, se exploran las diferencias que se producen con el uso del programa LOGO y las herramientas tradicionales. Opinan que es conveniente el uso tanto de la regla sin marcas y compás, como el programa, por dos razones: el programa facilita resolver problemas científicos y técnicos y los tradicionales hay que aprenderlos porque fomentan la organización del razonamiento.

De lo tratado en cada investigación, del subsector antes mencionado se derivaron las siguientes conclusiones: Las diferencias entre el uso de las herramientas tradicionales y el programa LOGO, se basan en las condiciones impuestas al uso de la regla sin marcas y compás, y los enfoques entre la geometría Euclidiana y la geometría analítica.

Es necesario cambiar la forma de enseñar la geometría descriptiva para introducir los conceptos teóricos básicos y la metodología orientarla hacia el uso de programas graficadores y las herramientas tradicionales.

Para fundamentar las ideas y los conceptos se deben hacer bocetos a mano alzada y realizar ejercicios con las herramientas tradicionales que posibiliten fomentar la capacidad de visión espacial, y los programas graficadores son una ayuda didáctica que facilita el aprendizaje de los conocimientos geométricos.

La Geometría descriptiva y el Dibujo técnico se integraron alrededor de la expresión gráfica, la que se convirtió en el eje de la formación de los ingenieros.

C)

Los que estudian el uso de los programas CABRI y SCILAB para

representar, trazar y hacer construcciones de figuras geométricas. Esbozan actividades con la intención de saber en qué pueden contribuir para hacer una demostración, y si, el uso de éstos, permite llevar a cabo situaciones de

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aprendizaje donde el estudiante movilice conceptos de la geometría analítica tanto en lo algebraico, como en lo geométrico y viceversa.

Las conclusiones que se derivan de las investigaciones que caracterizan lo anteriormente expuesto son las que se mencionan a continuación: El uso de los programas graficadores implica que las actividades sean preparadas, teniendo en cuenta que con éstos se facilita hacer “demostraciones” basadas en la explicación y el descubrimiento.

Las actividades donde se requiera demostrar y sean llevadas a cabo usando programas graficadores, pueden ocasionar obstáculos sino se tiene en cuenta la explicación y descubrimiento.

Los programas graficadores ofrecen ventajas para trazar y dibujar las figuras geométricas.

Por último, las ventajas e inconvenientes tratados sirven tenerlos en cuenta cuando se usen la regla sin marcas y compás, y el CAD para construir poliedros.

1.2 DIFICULTADES HALLADAS AL TRATAR CONCEPTOS GEOMÉTRICOS

Gregoria Guillén Soler (2000), estudia los procesos de enseñanza y aprendizaje, y obtiene información de cómo los estudiantes construyen ciertos objetos mentales 3 relacionados con los sólidos y cómo van progresando durante el

3

Con respecto al término objeto mental, Luis Puig (2000, p.17) indica, que «podemos partir de una imagen inicial: la contraposición objeto mental/concepto es una contraposición entre lo que está en la cabeza de las personas -los objetos mentales- y lo que está en las matemáticas como disciplina –los conceptos». Y señala, que la idea de objeto mental hay que verla como un medio de organización de fenómenos. Y que los objetos mentales se constituyen en cadenas fenómenos/medios de organización, de la misma manera que sucede con los conceptos, con el consiguiente aumento de nivel. Las propias definiciones de los conceptos pueden formar parte de los objetos mentales que se están constituyendo pero no los sustituyen.

25

proceso de aprendizaje, incorporando propiedades e ideas erróneas en los objetos mentales que forman con los prismas, pirámides, el cilindro, el cono y la esfera.

Define como prismas de caras regulares la familia que tienen bases regulares y caras laterales cuadradas. Los prismas de caras iguales son los romboedros y considera el cubo como un romboedro.

La ideas erróneas que identifica son: las ocasionadas por las propias representaciones físicas de los sólidos, las fomentadas por el propio proceso de enseñanza al introducir los conceptos con modelos físicos, las que pueden ocasionarse por el proceso de aprendizaje cuando surgen problemas de lenguaje, los juicios para establecer las propiedades que se encuentran en las subfamilias o las que se basan en parte de la figura.

Al continuar su investigación, Gregoria Guillén Soler (2001) hace una breve descripción sobre la clasificación de los prismas y las tareas en las cuales, es necesario identificar y enumerar las subfamilias. Trata los errores y las dificultades que se presentan en la representación e identificación tanto visual como en lenguaje escrito. Muestra que al diseñar las tareas para introducir conceptos geométricos hay que dar distintos ejemplos de cada uno o que surjan en el contexto de la actividad. En tareas para hacer construcciones de modelos físicos, se deben colocar muestras construidas en diferentes materiales y en distintos contextos para que se observen.

Juan Pablo Mora (2001), estudia las soluciones que se dieron al problema de la duplicación del cubo y cómo éstas originaron conocimientos geométricos y matemáticos y expone las que plantearon Hipócrates, Arquitas, Menecmo, Eudoxo4, Nicomedes, Apolunio, Heron, Diocles, Eratóstenes y Arquímedes.

4

Eudoxo usó en la solución del problema de la duplicación del cubo un procedimiento que consistía en inscribir o circunscribir figuras rectilíneas en una figura curvilínea, y repetir el proceso aumentando el número

26

Afirma que los tres problemas clásicos de construccion geométrica, no tienen solución usando sólo la regla sin marcas y compás, pero pueden tener una solución aproximada por otros métodos como el uso de las cónicas o las curvas como la cisoide de Diocles o la concoide de Nicomedes.

Concluye que el estudio del problema se vinculó a los problemas de la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo y que a partir de los intentos de solución surgió: sección de cónicas, descubrimiento de los inconmensurables, los números irracionales, método de exhausción y el cálculo aproximado del número pi5.

Precisa que la aparición de los números inconmensurables fue insuficiente para comparar la diagonal de un cuadrado, de un cubo o de un pentágono regular con su

lado

o

arista

respectivamente,

éstas

parejas

de

segmentos

son

inconmensurables, por pequeña que sea la unidad de medida elegida. Es posible que los inconmensurables dieran origen a los números irracionales ya que son atribuidos a la aparición de la raíz cúbica de dos, en el problema de la duplicación del cubo, o, a la demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado6.

Roberto López y Mercedes Anido (2001), estudian las dificultades que se le presentaron a los estudiantes en el primer año de Arquitectura, en el área de la geometría tales como: dificultades por carencias en la formación, deficiencia en lo de lados o caras indefinidamente, de esta forma las figuras rectilíneas se aproximarían cada vez más a las curvilíneas.

5 Arquímedes muestra, un procedimiento para construir polígonos inscritos y circunscritos, con un número de lados cada vez mayor que puede iniciar con un triángulo o con un cuadrado, e ir duplicando el número de vértices y de lados, y cortar los arcos circulares o lados correspondientes de cada polígono. Así; de un cuadrado inscrito se puede construir el octágono, un polígono de 16, de 32, de 64, de 128 lados y así sucesivamente; y elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi entre perímetro del círculo y el diámetro, éste se conoce como el método predecesor del cálculo de límites.

6

Una limitación que se encontraron los griegos en la construcción geométrica, se halló en la medición de la diagonal del cuadrado de lado una unidad.

27

aprehendido, escaso conocimiento de la geometría Euclidiana elemental, dificultades de utilización del lenguaje gráfico y simbólico, imposibilidad de uso de los registros verbales, numéricos, simbólicos y gráficos, dificultad para visualizar en el plano y en el espacio las propiedades de los vectores, dificultades en la partición del espacio en octantes, dificultades en el manejo bidireccional de la relación entre R2 y R3 y entre el plano y el espacio, carencias en el conocimiento y manejo de los sistemas de proyecciones, dificultades en la comprensión y construcción de un lugar geométrico dado por una propiedad y recíprocamente.

Después de hacer experimentaciones con estudiantes y analizar la información conseguida, confrontan los datos obtenidos con los de la hipótesis inicial, y concluyen que el trabajo con herramientas computacionales facilita el recorrido de las fases del aprendizaje que propone Van Hiele 7 y se verifican las etapas del desarrollo de la percepción espacial que señala Pallascio y otros8. De igual forma, evalúan en los primeros semestres universitarios el método de enseñanza tradicional en la formación de un pensamiento geométrico visual y un pensamiento formal.

RESUMEN SINTÉTICO. En este tipo de investigaciones se estudian las dificultades que se producen en el aprendizaje de los conceptos geométricos; uso de estrategias didácticas que ayudaron a precisar las carencias que se presentan en los estudiantes. Son tratados los errores que se encontraron en la representación e interpretación de las familias de los prismas y su identificación visual, y en lenguaje escrito. La forma cómo estructuran los conceptos

7 Anne Teppo (1991); trata los cuatro niveles de razonamiento que plantea el modelo de Van Hiele que son: reconocimiento, análisis, clasificación y deducción formal.

8

“En el estudio de la percepción espacial, R. Pallascio y otros proponen cinco etapas: la visualización, la estructuración, la traducción, la determinación y la clasificación” (Arias y Vallejo Gerena, 2002, p.12).

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geométricos relacionados con los sólidos y los inconvenientes que se les presentan por el deficiente conocimiento que poseen de la geometría elemental.

Con relación al estudio de las soluciones dadas al problema de la duplicación del cubo, indican que se trata de representar el número irracional que diera la solución por medio de construcciones geométricas con la regla sin marcas y compás.

Las conclusiones que se derivan de las investigaciones que se relacionan con el estudio de las dificultades que se identificaron y los conocimientos geométricos y matemáticos que se hallaron, son las que se mencionan a continuación: Los estudiantes incorporan propiedades e ideas erróneas en los objetos mentales que forman con el estudio de algunos sólidos.

Las ideas erróneas son originadas por las representaciones físicas y la introducción de conceptos por medio de modelos físicos en la enseñanza.

Al diseñar las tareas para introducir los conceptos geométricos se debe tener en cuenta ejemplos que muestren los sólidos construídos en diferentes materiales y diferentes contextos.

Evaluar en los primeros semestres de estudio el método de enseñanza tradicional en la formación de un pensamiento geométrico visual y formal.

La búsqueda de soluciones al problema de la duplicación del cubo dió origen a conocimientos geométricos y matemáticos como las secciones cónicas y los inconmensurables y se podría decir que los números irracionales 9 permiten asociarlos con dichas soluciones, ya que algunos pueden ser representados por medio de construcciones geométricas.

9

“el descubrimiento de los irracionales hizo que los griegos abandonaran la presunta certeza absoluta de la intuición aritmética y la cambiaran por la intuición geométrica; para ello elaboraron la teoría de las proporciones”. (Gascón, 1998, p3).

29

1.3 PROPUESTAS PARA LA ENSEÑANZA DE CONCEPTOS GEOMÉTRICOS.

Oscar Jesús San Martín Sicre y Haydeé Mascareño Gallegos (2001); exponen una propuesta didáctica diseñada con base en la Teoría de Guy Brousseau. Ésta se fundamenta en seis aspectos enunciados así: motivación de tipo cognoscitivo; actividades lúdicas; planteamiento de problemas significativos; desarrollo de diversas actividades de aprendizaje que propician las acciones cognitivas en los estudiantes; la formulación de sus descubrimientos; los procesos de validación del conocimiento, y las características de las intervenciones pedagógicas.

La ponen a prueba con estudiantes de segundo grado de educación primaria para saber sin son capaces por si mismos de construir la tabla del dos, cuando para ello se pone en juego la Teoría de las Situaciones didácticas. Concluye, que el investigador debe conseguir despertar el interés para que los estudiantes puedan apropiarse del problema e intentar resolverlo, si esto sucede, habrá conseguido la devolución del problema.

Óscar Jesús San Martín Sicre (2002), expone una propuesta didáctica con un enfoque constructivista, basado en el principio que el estudiante es quien de manera activa construye su propio conocimiento como resultado de sus interacciones tanto con el medio físico como con el social. Ésta se fundamenta en hacer construcciones geométricas con el transportador sin marcas, como las siguientes: *

Dada una recta m y un punto A sobre la misma, levantar la perpendicular a m que pase por el punto A.

*

Dada una recta n y un punto B exterior a la misma, construir la perpendicular a n que pase por el punto B.

30

*

Dada una recta p y un punto C exterior a la misma, construir la paralela a p que pase por el punto C.

Deduce que el uso del transportador sin marcas en la solución de problemas de construcciones geométricas está constituido por lo que él denomina carácter virtual; lo que se puede asemejar a la escuadra porque en el semicírculo de éste se puede trazar un triángulo rectángulo ya que, todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Yulaimis Leyva González (2004), plantea una propuesta que facilita la formulación de problemas geométricos, compuesta de acciones dirigidas a estimular el surgimiento de nuevos interrogantes a partir de un objeto geométrico y propone una metodología para ponerla en marcha en el contexto escolar.

Los componentes de ésta son: seleccionar un objeto conocido para plantear el problema, analizar las partes que constituyen el objeto, clasificar e identificar propiedades de cada una de las partes, buscar relaciones entre éstas, y fijar las relaciones por medio de sus propiedades.

Concluye que desde el punto de vista teórico la propuesta se puede realizar porque facilita la formulación de problemas geométricos y se puede mejorar por medio de la práctica o el análisis teórico.

Ariana Rodríguez Suárez y otros (2004), elaboran una propuesta documentados en experiencias que tienen de la enseñanza de la asignatura Geometría descriptiva, de la revisión y fundamentación teórica del currículo, de la revisión bibliográfica y de la exigencia de un nuevo profesional. Ésta permite explicar diferentes fenómenos y procesos y mejorar las deficiencias que presentan los estudiantes.

31

La propuesta metodológica se basa en tres temáticas, dos sobre geometría descriptiva

y una sobre la formación de valores, enunciados de la manera

siguiente: la primera, se basa en generalidades, proyecciones ortogonales del punto, la recta y el plano; situaciones relativas del punto, la recta y el plano, y método de transformación del abatimiento; la segunda, trata de los poliedros, líneas y superficies curvas; desarrollo de superficies y axonometrías, y la tercera, de la responsabilidad, honestidad, estética, independencia y creatividad.

RESUMEN SINTÉTICO. En este tipo de investigaciones se estudian algunas propuestas para la enseñanza de conceptos geométricos, que buscan mejorar el proceso de aprendizaje en las áreas de la geometría y la geometría descriptiva.

En éstas, unas se fundamentan en probar que los estudiantes pueden construir su conocimiento como resultado de interacciones con el medio, como la que intenta mostrar que los estudiantes son capaces de construir la tabla del dos y la que demuestra que usar el transportador sin marcas, es similar a usar la escuadra para construir figuras geométricas planas; otra se fundamenta en experiencias que se tienen de la enseñanza de la Geometría descriptiva, de la revisión y fundamentación teórica del currículo; de la revisión bibliográfica y de la exigencia de un nuevo profesional que permita explicar diferentes fenómenos y procesos y mejorar las deficiencias que presentan los estudiantes.

Las conclusiones que se derivan de las investigaciones que se basan en la enseñanza de conceptos geométricos son las que se mencionan a continuación: Desde el punto de vista teórico se puede llevar a cabo la propuesta de la formulación de problemas geométricos y mejorarla por medio del análisis teórico.

El uso del transportador sin marcas es semejante a usar una escuadra sin marcas.

Enseñar, la geometría descriptiva teniendo en cuenta los valores humanos.

32

Despertar interés en los estudiantes para que se puedan apropiar del problema propuesto y poder lograr así su devolución.

1.4 FENÓMENOS DIDÁCTICOS DE LA DEMOSTRACIÓN

Isabel Escudero (2000), plantea un ejercicio sobre el corte de un cubo por un plano y se trata de justificar si la sección es un cuadrado. Expresa que parece haber una progresión que va desde lo informal a lo formal que afecta los razonamientos.

Hace un análisis de las respuestas dadas al ejercicio e interrelaciona sus comentarios sobre lo que el estudiante conoce del programa CABRI y deduce que no es el programa CABRI lo que puede generar explicaciones sino el diseño de las actividades el que facilita conseguir los resultados esperados.

Concluye, que una exigencia para usar el programa CABRI, es que la figura geométrica conserve su relación espacial, independiente de los desplazamientos que se hagan al dibujo en la pantalla. Para ello se debe comunicar al computador un procedimiento de construcción que permita identificar las relaciones espaciales. Ángel Martínez Recio (2001), considera que la demostración matemática admite distintas interpretaciones. La que prevalece es la demostración deductiva formal.

Esta interpretación es restringida desde un punto de vista epistemológico y conduce a dificultades en distintos niveles educativos. Acorde con dicha razón, revisa la interpretación formalista de la demostración matemática para ajustar su significado a otras formas de argumentación usadas por los matemáticos y cercanas a las prácticas de los estudiantes.

33

Usa la idea de esquema personal de demostración como esquema representativo de respuestas personales dadas por un colectivo amplio de estudiantes.

Encuentra cuatro tipos básicos de esquemas personales de demostración matemática: informal, empírico-inductiva, deductiva informal y deductiva formal.

Concluye que se puede ampliar el sentido formalista que se da a la demostración hacia la argumentación informal, la prueba empírico-inductiva, la demostración deductiva informal y la demostración deductiva formal que constituyen aspectos complementarios. Éstas son fases de un proceso que comienza con la formulación de las primeras conjeturas hasta los procesos finales de expresión formalizada.

César Sáenz Castro (2001), examina estudios experimentales sobre la práctica escolar de la demostración, los obstáculos, las dificultades epistemológicas, cognitivas y didácticas del concepto. Sostiene que la demostración lógico matemática se puede abordar como un concepto amplio, abierto y menos formal.

Mediante el análisis de problemas que tienen como objetivo estudiar el sistema conjetura-demostración, llevados a cabo con estudiantes de secundaria, concluye que las tareas matemáticas de explorar, formular preguntas, conjeturar y reorganizar las conjeturas, son las áreas más atractivas y aquellas por las que el aprendizaje de las matemáticas puede ser de utilidad. Evidencia la necesidad de trabajar el sistema de conjeturas, pruebas y refutaciones.

Juan Godino y Ángel Recio (2001), hacen un estudio sistemático sobre los diversos significados de la demostración en distintos contextos institucionales, los que son atribuidos al vocablo por científicos y comunidad académica, así como su relación con otras nociones próximas, tales como explicación, argumentación, razonamiento, y verificación.

34

Es razonable que los estudiantes tengan dificultades en identificar el uso de cada tipo de argumentación debido a que se encuentran simultáneamente relacionados con distintas instituciones en las que se ponen en práctica distintos esquemas argumentativos.

Concluyen que tales esquemas institucionales de demostración pueden ser factores explicativos de los esquemas subjetivos, por lo que, deben ser tenidos en cuenta e investigados con más profundidad.

Marcelino Ibañes Jalón (2001), intenta dar respuesta a algunos cuestionamientos que surgen al reflexionar sobre el aprendizaje de la demostración matemática. En particular: ¿En qué consiste entender las demostraciones matemáticas? ¿Qué clase de pruebas convencen a los estudiantes? ¿Reconocen los estudiantes las demostraciones matemáticas? y ¿Cómo influye la forma de redactar los enunciados de los teoremas en su comprensión?

Hace el análisis de las actividades que realizan los estudiantes y encuentra que presentan dificultades en la comprensión para hacer demostraciones; concluye que para entender qué es una demostración y su procedimiento matemático, se deben tener en cuenta tres condiciones, a saber: comprender el enunciado, lo que incluye aspectos matemáticos, semánticos y lógicos; entender los pasos, comprenderla de forma general, y conocer los procesos de cálculo, los de visualización, los de analogía y los geométricos.

La clase de pruebas que convencen a un estudiante depende de su esquema de prueba, en el caso de los bachilleres no es sencillo determinarlo.

35

Carmen Samper de Caicedo y otros (2003), indican que la forma como se presenta un problema de demostración influye en la manera de entenderlo y solucionarlo. La formulación de los enunciados en las actividades es un componente fundamental del ambiente de aprendizaje para la comprensión de los estudiantes.

Lo que ocupó la atención en la preparación de las actividades de Geometría plana, fue el planteamiento del enunciado que favoreciera la actividad demostrativa. La experiencia incluyó acciones propias de la heurística, como visualizar, explorar, analizar, conjeturar y verificar.

Concluyen que el análisis y las descripciones logradas de la actividad demostrativa, deja entrever que efectivamente hay diferencias ocasionadas en la formulación del enunciado. Una de ellas tiene que ver con la anticipación de una respuesta: si el enunciado prácticamente la insinúa o si lo que se pide es hacer un estudio acerca de un tema tiene poco sentido explicitar la intuición que se pueda tener al respecto. Otra diferencia tiene que ver con la posibilidad de enunciar un teorema en el formato usual de la geometría. Es natural que la respuesta al problema planteado sirva de referencia para formular el teorema y por consiguiente entre más disfrazado esté el hecho geométrico, será más difícil para el estudiante encontrar la esencia del mismo.

Héctor Bohórquez y Ana Ismenia Hernández de Rincón (2003), estudian si el razonamiento común constituye un obstáculo epistemológico para el aprendizaje de la geometría. Los estudiantes tienen la concepción de que es válido razonar en geometría de la misma forma que se hace usualmente dentro del contexto cotidiano.

36

Este obstáculo se manifiesta por lo general en situaciones para las cuales, dada la hipótesis de una implicación, el individuo presume la unicidad de dicha hipótesis por desconocer la existencia de otras que conduzcan a la misma tesis. La alta incidencia que se da permite concluir que su presencia se encuentra generalizada en la población, lo cual puede caracterizarse como obstáculo epistemológico.

Marcelino Ibañes y Tomás Ortega (2003), estudian el reconocimiento en diferentes procesos matemáticos con estudiantes de primer curso de bachillerato.

Determinan las dificultades que los estudiantes tienen en esta tarea y se proponen instrucciones mediante las cuales es posible mejorar esta habilidad.

Por medio de encuestas y actividades se evalúan a profesores y estudiantes de diferentes niveles sobre si saben identificar qué es una demostración. Elaboran el concepto de reconocimiento como una idea que comprende tres fases: distinción, identificación y toma de conciencia de sus consecuencias.

Algunas de las conclusiones que enuncian son las siguientes: el reconocimiento de la demostración está en relación con la evolución del esquema de prueba del estudiante y, en gran parte, viene determinado por los esquemas inductivos. El reconocimiento de los procesos matemáticos por parte del estudiante puede mejorar con instrucciones adecuadas.

Antonio Jesús Pan Collantes (2005), presenta una demostración sobre la imposibilidad de dar una solución con regla y compás a los tres problemas clásicos de la geometría y lo hace en tres fases:

En la primera fase, trata sobre la aparición de la regla sin marcas y compás, y la importancia que tiene para los griegos resolver los problemas geométricos con éstos, ya que se pueden trazar figuras geométricas con muy buena simetría.

37

Las condiciones que impusieron para construir figuras geométricas y las limitaciones10 que hallaron para solucionar la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, condujo a los matemáticos11 a averiguar, qué se podía hacer con regla qué con compás y a plantear alternativas que facilitara construir figuras geométricas; es así como algunos obtuvieron los resultados siguientes: mostrar que se pueden hacer algunas construcciones geométricas sólo con el compás; probar que toda construcción geométrica con la regla y compás puede ser llevada a cabo con una regla y un compás rígido (Es una herramienta que permite trazar circunferencias de un único radio prefijado); demostrar que sólo es necesaria una regla y una circunferencia fija en papel para hacer ciertas construcciones geométricas, y probar que las construcciones geométricas hechas con la regla sin marcas y compás se pueden hacer usando sólo compás y una línea recta definida por dos puntos, sin trazarla.

En la segunda fase, hace una breve introducción a la teoría algebraica de cuerpos y extensiones. Plantea tres definiciones y un teorema

12

para hacer la

demostración.

10

Una de las limitaciones que hallaron los griegos para construir un cuadrado de igual área que un círculo, está en poder construir la raíz cuadrada del número pi.

11

Entre ellos, Carl Friedrich Gauss, intentó construir el heptágono regular usando la regla y el compás, y demostró que dicha construcción es imposible. No obstante, aportó métodos para construir figuras de diecisiete lados, doscientos cincuenta y siete lados, y sesenta y cinco mil quinientos treinta y siete lados.

Además, que las construcciones con regla y el compás de polígonos regulares con un número de lados impar, sólo eran posibles, cuando el número de lados era primo de la serie 3, 5, 17, 257, y 65537 o un producto de dos o más de éstos números.

12 “Definición 1. Un cuerpo es un anillo conmutativo (F, +, ·) tal que 0 es distinto de 1 y todos los elementos de F salvo 0 tienen inverso multiplicativo.

Esto es, un cuerpo es un conjunto con las mismas propiedades para la adición y la multiplicación que los reales (R), los racionales (Q) o los complejos (C).

Definición 2. Dados dos cuerpos K y K′, se dice que K′ es una extensión de K si K ≤ K′.

Nos centraremos únicamente en las extensiones de la forma K′ = K(x), esto es, el menor cuerpo que contenga a K y a x, siendo x un elemento que no pertenezca a K (si perteneciese, entonces K(x) = K).

Definición 3. Se define el grado de una extensión K ≤ K′ y se simboliza por [K′ : K] como la dimensión de K′ considerado como espacio vectorial sobre K. Es fácil probar que si la extensión es de la forma K ≤ K(x) el grado coincide con el grado del polinomio irreducible con coeficientes en K que verifica x.

38

En la tercera fase, valiéndose de lo que significa una construcción con la regla sin marcas y compás, y de lo planteado en la fase anterior, hace la demostración con cada problema por reducción al absurdo y concluye, que es imposible dar solución a los tres problemas clásicos.

RESUMEN SINTÉTICO. Los cuestionamientos que surgen al reflexionar sobre el aprendizaje de la demostración 13 matemática son: ¿En qué se fundamenta?, ¿Cuáles pueden llevar a cabo los estudiantes?, ¿Se puede identificar una demostración matemática? y ¿En qué

forma la redacción de los enunciados,

afecta comprenderla? Los análisis de las actividades de aprendizaje realizados para dar respuesta a los cuestionamientos antes planteados llevan a expresar que los estudiantes presentan dificultades, obstáculos, dificultades epistemológicas, cognitivas y didácticas en la comprensión para hacer demostraciones. También, por medio de encuestas y actividades se evalúan, a profesores de diferentes niveles para saber si pueden identificar lo que es una demostración.

Al estudiar el razonamiento común, en contraste con el científico, conduce a afirmar que aquel constituye un obstáculo epistemológico para el aprendizaje de la geometría. Los estudiantes tienen la concepción de que es válido razonar en geometría de la misma forma que se hace usualmente dentro del contexto cotidiano.

De igual manera, es estudiado el reconocimiento en tareas de geometría y los estilos de la demostración que tienen que ver con el tipo de inteligencia del Teorema 4. Sean K, F y H tres cuerpos con K ≤ F ≤ H. Se verifica que [H : K] = [H : F] · [F : K]”. (Pan Collantes, 2005). El subrayado con negrita es nuestro.

13

Aristóteles (1997, p.60) sostiene que “la demostración debe partir de un principio, recaer sobre un objeto y demostrar algo de ese objeto”, es decir, ésta se basa en principios que él denomina axiomas, los cuales deben servir para demostrar.

39

estudiante. Por medio de la idea de esquema personal de demostración, son encontrados, cuatro tipos básicos de esquemas personales de demostración matemática:

argumentación

informal,

la

prueba

empírico-inductiva,

la

demostración deductiva informal y demostración deductiva formal.

Son estudiados los diferentes significados atribuídos a la demostración, en distintos contextos institucionales, por científicos y comunidad académica así como su relación con nociones próximas como explicación, argumentación, razonamiento y verificación. La que prevalece es la deductiva formal y lleva a dificultades.

La formulación de las actividades es un componente fundamental de organización de la clase para implementar una concepción de demostración. La forma como se presenta un problema, influye en la manera de entenderlo y solucionarlo.

Se hace el análisis a las respuestas dadas al ejercicio sobre el corte de un cubo por un plano para justificar si la sección es un cuadrado y se articulan con lo que se sabe del programa CABRI y se deriva, que no es el programa lo que puede generar explicaciones sino el diseño de las actividades, lo que facilita conseguir los resultados esperados.

Por último, las condiciones impuestas para construir figuras geométricas y las limitaciones para hallar la solución de la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, llevaron a los matemáticos a buscar soluciones, lo que dio origen a otras alternativas en el uso de las herramientas para construir figuras geométricas y a demostrar la imposibilidad de darles solución.

Las conclusiones, que se derivan de lo tratado sobre las investigaciones basadas en la demostración, son las siguientes:

40

El proceso de reconocimiento comprende tres fases: distinción, identificación y toma de conciencia de sus consecuencias.

Las tareas matemáticas de explorar, formular preguntas, conjeturar y reorganizar las conjeturas, deben ser estudiadas a profundidad.

La clase de demostraciones que entienden los estudiantes dependen de su esquema de prueba.

La argumentación informal, la prueba empírico inductiva, la demostración deductiva informal, y la demostración deductiva formal constituyen aspectos complementarios de la demostración.

Una exigencia para el uso del programa CABRI es que la figura geométrica debe conservar su relación espacial, independiente de los desplazamientos que se hagan en la pantalla al dibujo; para ello, se debe comunicar al computador un procedimiento geométrico de construcción.

Para entender qué es una demostración y su procedimiento se deben tener en cuenta tres condiciones: a) comprender el enunciado, los pasos de la demostración y entenderla de forma general, y c) conocer los procesos de cálculo, los de visualización, los de analogía y los de geometría.

La demostración realizada sobre la imposibilidad de dar una solución a los tres problemas clásicos, muestra que probablemente los griegos no disponían de los

implementos,

de

los

conocimientos

y

conceptos

geométricos

para

solucionarlos. La regla y el compás facilitan la solución de una buena cantidad de problemas pero son insuficientes porque algunos no se pueden resolver.

Las investigaciones consultadas proporcionan las orientaciones para implementar una concepción sobre la demostración y proporcionan los conocimientos que permiten prever cuál será su comportamiento en el aprendizaje de conceptos geométricos para construir poliedros.

41

1.5 SABERES INCORPORADOS AL ESTUDIO DIDÁCTICO

Lo tratado en los resúmenes y resúmenes sintéticos facilitó visualizar las relaciones e implicaciones que hay con el problema de investigación. Podría decirse, que el surgimiento de una avalancha de tecnologías en los programas para usar en el computador, alucinó a unos profesores, y otros, rechazaron la implementación de éstas porque atentaban contra sus prácticas tradicionales de enseñanza. Dentro de este contexto, se vislumbra que los ambientes que se pueden generar, a partir de los programas y las tecnologías tradicionales, pueden conducir a integrar, mejorar o generar alternativas, que posibiliten el uso de las prácticas tradicionales y modernas.

Desde lo expuesto, los objetos geométricos que se pueden movilizar en el salón de clase que usen tecnologías informáticas o herramientas tradicionales llevan a plantear en la enseñanza estrategias y logísticas que consideren la presencia de éstos, ya que tanto unos como otros, son medios que permiten desarrollar de modo distinto, ciertas habilidades a nivel intelectual y motriz que movilizan conceptos, conocimientos, aptitudes y actitudes en el proceso de aprendizaje.

Se colocarán en relación los elementos encontrados en los trabajos sobre las problemáticas afines a esta investigación y algunos aspectos epistemológicos que definen algunas restricciones del saber objeto de indagación. Éstos, pueden ser incorporados en el diseño de la instrumentación y en la estructuración de las respuestas que se dieron a los cuestionamientos que se formularon.

La interpretación que se ha hecho permite asegurar que si bien, las investigaciones abordan tópicos en relación directa con las temáticas del estudio didáctico, éstas deben ser entendidas como facetas que se pueden articular, o no,

42

a éste. Desde está perspectiva, podría decirse que no fue posible encontrar estudios que de forma específica indaguen sobre la construcción geométrica de poliedros usando la regla sin marcas y compás, y el CAD. En este sentido, los estudios tipificados sólo corresponden aquellos que son afines o que se encuentran relacionados con el campo de investigación.

En cuanto a los conceptos geométricos que el estudiante debe poseer, desde lo tratado en la totalidad de las investigaciones, se podría decir que se precisa tener conocimiento de un poliedro, del sistema diédrico para construir los isométricos y las vistas.

Establecer relaciones entre las funciones de la regla sin marcas y compás y los comandos del programa CAD, tales como: el comando línea, el comando punto, el comando arco y el comando círculo; las representaciones de éstos podrían ser semejantes a los trazos que se hacen con la regla sin marcas y compás o viceversa. En este sentido es claro que los conocimientos que debe poseer un estudiante para hacer una construcción geométrica de un poliedro son aquellos que se relacionan con los objetos geométricos básicos tales como punto, línea recta, plano y sus relaciones.

Las construcciones geométricas básicas tales como construir la mediatriz a un segmento dado, construir la perpendicular a una recta a través de uno de sus puntos, construir la perpendicular a una recta a través de un punto exterior, construir una recta paralela a través de un punto exterior a una recta dada, construir un ángulo congruente a un ángulo dado, construir ángulos de 300, 450, y 600, y construir la bisectriz a un ángulo dado, pueden ser llevadas a cabo con la regla sin marcas y compás y/o el programa CAD.

43

En lo referente a las variables macro-didácticas estarán dadas en función de la verificación de los conocimientos previos que posean los estudiantes, las interacciones y relaciones que se construyen para dar solución a las situaciones problema y la maestría que se tenga en convertir situaciones problemas para que el estudiante las lleve a cabo de forma independiente. La característica fundamental

es que las construcciones geométricas de poliedros se puedan

realizar con la regla y compás y el programa CAD o viceversa.

Lo tratado por medio de las tipificaciones indican que las variables didácticas para diseñar situaciones didácticas y adidácticas en la enseñanza pueden ser las que tienen como referencia el tipo de sólido, los programas graficadores (CAD, CABRI, LOGO, SCILAB…), las escuadras, el transportador, la regla y compás, ya que con estos se pueden hacer variaciones en las problemáticas que enfrente el estudiante al construir un poliedro y mediante éstas establecer diferenciaciones que son interés en la indagación. Las actividades que se deben llevar a cabo son: las que tienen que ver con los modelos de los poliedros y los enunciados que por medio de éstos sean propuestos.

Según lo expuesto en los estudios hallados es necesario diseñar las actividades para conseguir los resultados esperados, y formularlas de tal forma que sean claras, que no sugieran posibles respuestas para que los estudiantes las entiendan y las puedan resolver. Lo que sirvió para incorporarlo en las situaciones que se llevaron a cabo con los estudiantes.

Una actividad central que se previó realizar en este estudio didáctico fue diseñar situaciones didácticas y adidácticas para la enseñanza de la construcción geométrica de una determinada familia de poliedros, tanto con la regla y el compás, y el programa de diseño asistido por computador, teniendo como referente la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau.

44

En los estudios expuestos, se percibe que las habilidades de pensamiento que se ponen en juego son diversas desde las que hacen referencia a las concepciones acerca de la matemática, métodos, procesos del pensamiento matemático y características típicas de la matemática entre otras son objeto de indagación pero en este estudio nos interesamos por las que intervienen con el uso de la regla y el compás y el programa CAD.

Las que se fomentan en el estudiante con el programa CAD son las siguientes: saber encender y apagar el computador, reconocer los íconos y herramientas más comunes del escritorio, manejar el puntero del mouse y el teclado, saber justificar lo que se hace para construir una figura geométrica, aprender a partir de los errores, acceder a bases de datos por medio de Internet, interactuar con la ventana del programa y estimular la creatividad, y las habilidades que se fomentan en el estudiante con el uso de la regla sin marcas y compás son: saber trazar, conocer las funciones de las herramientas, saber justificar lo que se hace para hacer una construcción geométrica, interactuar en el espacio de la hoja de papel y fomentar la iniciativa.

Los requerimientos para que un estudiante

transfiera las habilidades de un

contexto donde se use el programa CAD a otro donde se use la regla sin marcas y compás,

son:

fundamentación

de

los

conceptos

geométricos

básicos,

conocimiento de los iconos y los comandos, y realización de ejercicios para fomentar la capacidad de visión espacial.

En cuanto a la transferencia de las habilidades de un contexto donde se use la regla sin marcas y compás a otro donde se use el CAD, y viceversa, es posible preverlo con los conocimientos e ideas que plantean las tipificaciones, mas no se puede determinar con precisión; es probable que las habilidades que alcanzan los estudiantes con un instrumento, se puedan transferir a otro o viceversa.

45

Desde una mirada al contexto global de las investigaciones halladas, los ambientes propicios que se deducen para orientar y poner en marcha situaciones didácticas y

adidácticas para construir poliedros usando regla y compás y el

programa CAD son aquellos donde se puedan generar problemáticas que permitan fomentar las habilidades motrices e intelectuales en los estudiantes. Las herramientas y materiales que deben poseer son: reglas, compases, el programa CAD (CD), lápices, marcadores, computadores, mesas, sillas, y tableros. Desde esta

perspectiva quedan implicados las técnicas, las tecnologías que son

incorporadas y los procesos y métodos que son aplicados.

Las restricciones que se pueden tener en cuenta son las que se mencionan a continuación:

*

Desde lo epistemológico, la complejidad para demostrar y las dificultades encontradas por el escaso conocimiento geométrico para darle solución a los problemas 14 de construir algunos polígonos y poliedros, y la enseñanza basada en la cantidad (lo numérico y la medida), ocasionaron oposición para que la construcción geométrica fuera un saber poco enseñado.

Las tecnologías tradicionales (regla y compás) presentaron limitaciones para construir algunas figuras geométricas, también se deriva que el aprendizaje de los conceptos geométricos presentó dificultades, en tanto que la tecnología informática (uso del computador y programas graficadores) ofrece facilidades para el aprendizaje y la estructuración del conocimiento, favorece fomentar habilidades intelectuales y motrices.

Construir figuras geométricas usando tecnología informática, basada en el enfoque de la geometría analítica, puede tener algunas limitaciones,

14

“Problema científicos = Ideales explicativos – Capacidades corrientes. Así pues, el desequilibrio entre I y C es la fuente de los conflictos que se constituyen en problemas para la comunidad científica y el motor del progreso de la empresa científica en la búsqueda, siempre incompleta, de nuevos re-equilibrios entre I y C.” (Delgado García, 2000, p.4).

46

teniendo en cuenta la demostración que hizo Antonio Jesús Pan Collantes, al demostrar la imposibilidad de resolver los tres problemas clásicos, en la que se fundamentó, en planteamientos de la geometría analítica y en la teoría de cuerpos y extensiones.

En lo que concierne al conocimiento geométrico para construir figuras geométricas, surge un cuestionamiento alrededor de lo planteado ¿Cuáles son las construcciones que se pueden hacer con dichos instrumentos?

Desde la perspectiva de este estudio, se articula el proceso de proyección ortogonal

con

el

proceso

de

construcción

geométrica,

vinculando

instrumentación tradicional e informática, conservando las condiciones impuestas por los griegos y asumiendo los principios de la geometría descriptiva para hacer la construcción geométrica. *

Desde lo cognitivo, la poca movilidad que se dio para construir figuras geométricas, no contribuyó a que se fomentarán las habilidades motrices e intelectuales y de visión espacial.

Las ideas originadas por las representaciones físicas, la introducción de conceptos por medio de modelos físicos, y los valores humanos, son aspectos a tener en cuenta en la formulación de las situaciones adidácticas que sean propuestas y poder lograr así su devolución.

*

Desde lo didáctico, el uso de la tecnología no ha sido comprendido por los profesores para impartir la educación valiéndose de éstos, estableciendo estrategias para que sea así. Ésta ofrece ventajas e inconvenientes y pueden ser tenidos en cuenta en la forma de enseñar y aprender a construir poliedros.

Las actividades deben ser preparadas para que permitan al profesor orientar y controlar el proceso y favorezca el fomento de las habilidades; para ello, es necesario usar los programas graficadores como ayudas didácticas para enseñar la geometría, ya que facilitan el aprendizaje y proporcionan ventajas para trazar y dibujar las figuras geométricas.

47

El análisis hecho en las investigaciones proporciona argumentos razonables para incorporarlos en el diseño de las situaciones y prever los comportamientos que tengan los estudiantes para hacer construcciones geométricas.

Pareciera que las interpretaciones que se pueden dar en forma global a los resultados llevarán a dar respuesta a la pregunta de investigación planteada.

Desde un punto de vista parcial puede ser que sea cierto, pero desde la integración de las diferentes variables que componen el problema, faltaría esclarecer los procesos mediante los cuales se puedan establecer las relaciones con las interacciones con determinadas poblaciones, con el diseño de situaciones.

Desde esta perspectiva, las investigaciones expuestas pueden sólo aportar las orientaciones de las variables referidas a las ventajas y limitaciones didácticas que se pueden presentar en la enseñanza y aprendizaje de los objetos geométricos, el conocimiento de la instrumentación y la utilidad de los programas graficadores.

Finalmente, una tecnología de interés que se identificó para el estudio en los resultados de las diferentes investigaciones se centra en desarrollar estrategias que resuelvan las dificultades y obstáculos que se presentan en los procesos para enseñar y aprender geometría.

48

2.

FUNDAMENTOS CONCEPTUALES Y TEÓRICOS

En este capítulo se precisaron las características didácticas a partir de las interpretaciones que se hicieron en las diversas fuentes de información que fueron halladas, en contexto, en las interacciones, en los registros producidos por los estudiantes al construir poliedros usando la regla sin marcas y el compás, y el programa de diseño asistido por computador y, en las relaciones que se establecieron en el interior del sistema didáctico en funcionamiento.

Fueron explicitados los conceptos y los fundamentos que se requirieron poner en juego para comprender el funcionamiento del sistema didáctico y las interacciones entre el profesor, los estudiantes y la instrumentación. La teoría que fundamentó lo antes tratado fué la Teoría de las Situaciones Didácticas.

2.1 FUNDAMENTOS CONCEPTUALES

Las herramientas físicas usadas para construir poliedros fueron: el lápiz con el que se dibujo a mano alzada, la regla sin marcas y el compás con los que se trazaron líneas rectas y circunferencias, y el computador con el programa CAD con el que se hicieron representaciones de líneas rectas, segmentos y círculos usando comandos o íconos.

Cuando los estudiantes usaron la regla y el compás y, el computador con un CAD para construirlo, se generó un ambiente que los motivó y les facilitó la estructuración de los conceptos geométricos y, fomentaron un pensamiento geométrico ubicado en la modelación y el diseño, y es probable que puedan “servir de introducción al interesante dominio de la automatización que tiene tanta importancia en la vida moderna” (Pontes Pedradas, 2005, p.11). En la enseñanza sirvieron de ayuda didáctica para plantear situaciones y propiciar las interacciones entre los estudiantes donde los conceptos geométricos adquirieron sentido con problemáticas de la realidad.

Los conceptos geométricos puestos en juego, resultaron de las interpretaciones que se hicieron en propuestas curriculares y textos, con los que se determinó el saber a enseñar teniendo como referente el planteamiento establecido por Edwin Hemmerling (2002, p.332) referido a un procedimiento en el cual “todo problema de construcción puede resolverse siguiendo los pasos siguientes:

Paso I: Un enunciado del problema que dirá lo que se va a construir.

Paso II: Una figura representando las partes dadas.

Paso III: Un enunciado de lo que se da en la representación del paso II. Paso IV: Un enunciado de lo que se va a construir, es decir, el resultado final que debe obtenerse.

Paso V: La construcción, con una descripción de cada paso. Debe darse una justificación de cada paso en la construcción.

Paso VI: Una demostración de que la construcción en el paso V proporciona los resultados deseados”.

Los conocimientos geométricos relacionados y afines que se tuvieron en cuenta en el diseño de las situaciones didácticas y adidácticas fueron los que se derivaron de los análisis e interpretaciones que se hicieron en las diversas fuentes de información, los que sirvieron para constituir el saber “construcción geométrica de

50

poliedros usando regla y compás y/o un CAD”, con él que se llevó a cabo las experiencias para indagar en las interacciones de los estudiantes y en sus registros las ventajas y limitaciones didácticas que se produjeron.

Las temáticas que se determinaron relacionadas con la fundamentación geométrica y didáctica, afines y relacionadas fueron: “significados de algunos conceptos geométricos, afines y de la didáctica” y “funciones de los instrumentos”.

A continuación, se expondrán los que sirvieron para fundamentar las acciones que se realizaron durante el proceso de indagación.

2.1.1 Significados de algunos conceptos geométricos.

En este estudio se utilizaron las definiciones de línea recta, plano, líneas rectas paralelas, segmento, rayo, ángulo, líneas rectas perpendiculares, bisectriz, triángulo, triángulo isósceles, polígono, círculo, poliedro, prisma y prisma recto que figuran en la Geometría Elemental de Edwin Hemmerling (2002). (Ver anexo A).

¿Los significados de punto, línea recta, líneas rectas paralelas y perpendiculares, circunferencia y círculo fueron equivalentes cuando se usó la regla y el compás y el programa CAD?

Con el computador y un CAD, el punto fue el inicio de la ejecución de cualquier comando o ícono. Se observó que al aumentar o disminuir la forma del punto haciendo zoom, se tuvo una idea similar a cuando definen el punto mediante “…una minúscula marca en una hoja de papel o pizarrón, evidentemente esto no es un punto. Si fuera posible subdividir la marca y, a continuación, subdividir de nuevo las marcas más pequeñas y así sucesiva e indefinidamente, todavía no

51

tendríamos un punto. Sin embargo, nos acercaríamos a una condición que la mayoría de nosotros asigna a la de un punto” (Hemmerling, 2002, p.21)

Una línea recta con el CAD se representó con el comando línea auxiliar la que dio la sensación de extenderse en forma indefinida en ambos extremos, y con el comando línea se representó un segmento deformado, éste también se usa para representar una secuencia de segmentos conectados con los que se pudo dar forma a un polígono. En tanto que con la regla se trazó una línea recta y se dejó indicada con flechas en los extremos y designando dos puntos sobre ella con letras mayúsculas y un segmento se trazó entre dos puntos entendido como una porción de la línea recta.

Dos líneas rectas paralelas con el CAD se determinaron con el comando orto y ejecutando el comando línea auxiliar, y en apariencia si se considera la pantalla como un plano fueron similares a las que se trazaron con regla y compás.

Dos rectas perpendiculares con el CAD se determinaron con el comando orto y ejecutando el comando línea auxiliar, y se formaron orientando el cursor, y quedaron similares a las que se trazaron con regla y compás.

El comando círculo representó el área de un polígono de n lados. El significado que se le atribuyó al círculo representado fue igual al que se trazó con el compás, y el de la circunferencia representada fue el de contorno de la superficie, en tanto que la trazada fue el de curva cerrada.

De lo antes tratado se puede observar que punto, línea recta, líneas rectas paralelas y perpendiculares en la geometría Euclidiana no son lo mismo que punto y línea recta con el programa CAD.

52

¿Cómo fueron tratadas la bisectriz y la mediatriz?, éstas tuvieron significados distintos, ya que el proceso de construcción fue diferente y los resultados no coincidieron cuando se usó una u otra herramienta. Con el CAD se asumió como el procedimiento que se realizó con los comandos línea, arco y círculo para represéntalas en la pantalla del computador. Con regla y compás se asumió como el procedimiento que se hizo para construirlas mediante el trazado.

¿El significado de construcción geométrica de un poliedro fue equivalente cuando se usó un instrumento o el otro? construirlo usando la regla y compás o algunos comandos de un CAD fueron procedimientos distintos que cada uno posibilitó darle forma a través de pasos sucesivos, usando los conceptos básicos de la geometría, los conocimientos afines y relacionados. Los que se utilizaron para ser construidos fueron de la familia de los poliedros rectos.

Construirlo con el CAD fue un procedimiento en el que se llevaron a cabo los siguientes pasos:

I)

Expresar un enunciado del poliedro que va a representar en el área gráfica.

II)

Representarlo mediante cada parte que lo constituyen.

III)

Describir el procedimiento que llevó a cabo para representarlo.

IV)

Probar en forma verbal o escrita que lo realizado proporcionó representarlo.

Con la regla y el compás se construyó teniendo en cuenta el procedimiento planteado en el tercer párrafo página 43.

53

La mayoría de las construcciones en el ámbito de este estudio didáctico estuvieron relacionadas con las propiedades de intersección de dos rectas, de una recta y un círculo o de dos círculos, y tuvieron en cuenta lo siguiente15: a.

Dados dos puntos, podemos dibujar una línea recta que los conecte.

b.

Dadas dos rectas (no paralelas), podemos localizar su punto de intersección.

c.

Dados un punto P y una longitud r, podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en P.

d.

Dada una circunferencia, podemos localizar sus puntos de intersección con otra circunferencia o una línea recta.

e.

Dos círculos O y P con radios a y b se intersectan exactamente en dos puntos, si la distancia c entre sus centros es menor que la suma de sus radios pero mayor que la diferencia de ellos. Los puntos de intersección se encontrarán en los semiplanos diferentes formados por la recta que pasa por los centros.

El proceso de trazado y representación para construirlo con regla y compás y el CAD o viceversa fue el siguiente:

I)

Establecer homologaciones entre las funciones de la regla y compás y los comandos.

II)

Expresar un enunciado del poliedro que se iba a construir con regla y compás o CAD.

III)

Trazar o representar las partes y construirlo.

IV)

Describir cada paso justificándolo y dar las explicaciones que condujeron a su construcción.

V)

Volver a construir el mismo poliedro usando la otra herramienta (regla y compás o CAD)

15

What is Mathematics?. Courants and Robbins, Oxford University Press, New York, 1941

54

Las habilidades que se pusieron en juego fueron, reconocer la regla, el compás, el computador y el programa CAD, dominio del trazado y representación de construcciones geométricas básicas (Fueron la construcción de la mediatriz a un segmento dado, construcción de una línea recta

perpendicular a una recta a

través de uno de sus puntos, construcción de una línea recta paralela a través de un punto exterior a una recta dada y construcción de la bisectriz a un ángulo dado).

Como

se

puede

notar

la

construcción

consta

de

varias

actividades

interconectadas, en la que cada una exige poner en juego las habilidades de interpretación, de comprensión, de resolución de problemas, de análisis y de síntesis; tener coordinación con las manos y los sentidos del tacto, y la visión para el manejo de la herramienta, saber leer y seguir instrucciones e interactuar con el ambiente donde se hizo y tener dominio de los conceptos básicos de geometría.

Desde la perspectiva del estudio didáctico, construir un poliedro se basó en construir su isométrico (a mano alzada o con regla y compás o con el programa CAD) o en construir sus vistas frontal, lateral y de planta (a mano alzada o con regla y compás o con el programa CAD)

o en construir una de sus figuras

geométricas proyectadas (a mano alzada o con regla y compás o con el programa CAD) y se entendió que un poliedro es una figura cuando se encuentra representada en la pantalla del computador o trazada en la hoja de papel con regla y compás.

La demostración fue entendida como la argumentación que elaboró el estudiante en forma escrita o verbal, en la que puede utilizar definiciones, supuestos y teoremas explícitamente o implícitamente basados en los conceptos geométricos para convencer a un auditorio que con estos puede construir un poliedro. En este sentido Rina Hershkowitz (2001, p.1), comenta la experiencia realizada en la

55

investigación doctoral sobre los procesos para demostrar de Orly, quién encuentra “que las formas exitosas de convencer son aquellas que están basadas en el razonamiento deductivo (incluyendo la refutación mediante contraejemplo). En lo anterior, se considera que las funciones principales del razonamiento son entender, explicar y convencer”.

Al respecto, Gilbert Arsac (1987, p.37) precisa, “En geometría, la aparición de la demostración está relacionada históricamente a la de la concepción abstracta de los objetos de la geometría, digamos abusivamente, a su definición axiomática.

Querer introducir en la enseñanza la demostración a propósito de la geometría argumentando el carácter concreto de ésta, es sostener una paradoja de la que hay que estar conscientes: es precisamente el carácter concreto de los seres geométricos que hace inútil la demostración: la "prueba por la figura" basta”.

En concordancia con lo antes tratado, los conceptos que se pusieron en juego con regla y compás o un CAD produjeron poliedros que no fueron ni equivalentes, ni semejantes, ni congruentes, lo que llevó a formular un término que se le denominó similar para entender la proximidad de la forma y tamaño entre lo representado y lo trazado, además, hay diferencias desde la geometría eulidiana porque algunos axiomas y postulados incluyen el término trazar y éste se asocia a la regla y el compás.

De lo realizado y analizado se dedujo que el procedimiento de construcción con uno y otro instrumento fueron diferentes, al igual que la hoja de papel y la pantalla como plano, y desde la perspectiva de lo investigado y los análisis preliminares hechos, se dedujo que una construcción puede ser entendida como:

a.

Dibujo: representación gráfica de un objeto (bidimensional).

56

b.

Teorema de existencia: de acuerdo a definiciones, axiomas, y teoremas previos, probar que el objeto (bidimensional) existe.(exhibir el objeto, mostrarlo a la vista).

c.

Modelo o maqueta: representación tridimensional de un objeto tridimensional.

d.

Representación bidimensional de un objeto tridimensional o de algunas de sus propiedades

2.1.2 Significados de algunos conceptos afines.

Es explicitado el significado de cada uno de los conceptos siguientes: dibujo a mano alzada, boceto, vista, programa CAD, comando, ícono, ventana, menú, clip, proyección, isométrico, perspectiva, y otros como construir, dibujar, diseñar, modelo, trazar, esbozo y representar.

El dibujo a mano alzada consistió en dibujar con lápiz como única herramienta. Un boceto fue la elaboración de los dibujos preliminares del poliedro, o también se consideró como el primer dibujo que se elaboró a mano alzada.

Vista se entendió como una figura geométrica plana que se obtuvo de la proyección ortogonal que se hizo a un poliedro, y el desarrollo fue la figura que se obtuvo de extenderlo sobre un plano.

El programa CAD, es una secuencia de instrucciones y reglas informáticas para ejecutar ciertas tareas, que indican al hardware de un computador qué operaciones debe realizar con los datos. Éstas, se encuentran relacionadas con la generación de modelos con las características de tamaño, de contorno y de forma de cada componente y almacenados como dibujos bi y tridimensionales.

57

Comando fue una orden o instrucción que se dio al computador mediante el ratón o el teclado. El ícono fue un botón que tiene la imagen de la figura geométrica que representa.

La ventana del CAD contiene básicamente en su configuración dos elementos; los menús de comandos que se usaron para crear los poliedros (archivo, edición, ver, insertar, formato, herramientas, dibujo, acotar, modificar, imagen, ventana) y el área gráfica donde se representó todo lo dibujado.

Un menú fue entendido como una serie comandos que se encuentra organizados en una barra con un nombre específico y que se utilizaron para hacer una representación determinada.

Clip fue la acción que se hizo con el ratón. El cursor fué representado por una cruz y fue controlado por el ratón y se usó para localizar puntos, seleccionar o dibujar objetos, o desplegar menús de comandos.

La proyección de un poliedro fue la que resultó de proyectar en un plano todos sus puntos, y la perspectiva o el isométrico fue el que se trazó o representó, y dio la sensación de tener volumen, es decir, tener tres dimensiones

Se precisó de habilidad para el manejo de la barra de comandos principal, barra de modos, barra de modelado de piezas y barra de visualización. Las que se manipularon por medio del teclado o el ratón, lo que se logró con cada una de ellas, se explica a continuación: la barra principal proporcionó acceso a comandos estándar y de propiedades de objetos, la barra de modos facilitó acceso a los diferentes modos de modelado de piezas, la barra de modelado de piezas suministró acceso al modo de la pieza, y la barra de visualización permitió un control sobre cómo se desea observar el poliedro.

58

¿Fueron sinónimos construir, dibujar, diseñar, modelo, trazar, esbozo y representar? Los profesores consideran que construir es un proceso que consiste en trazar con precisión y regulado por propiedades geométricas, y dibujar es un actividad libre donde se trata de conocer la forma y hacer el trazo deseado (c.f. capítulo 4, 4.2.1, Concepciones sobre cómo construir poliedros, pp.150-152).

Desde el ámbito de las construcciones de poliedros, el concepto diseñar incluyó los otros: desde una perspectiva implica hacer elaboraciones que respondieron a una necesidad, la que pudo interpretarse como una carencia que se dio en términos entre lo que fue y lo que será, lo que significo que la concepción de las situaciones solucionó dos insuficiencias que se presentaron y en este caso estas vienen dadas por la intención de aprender y de enseñar. Desde lo antes explicitado la connotación que se dio a cada uno fue la siguiente:

*

Construir: término usado con frecuencia en este estudio didáctico, con el que se denotó, disponer de los conceptos geométricos y herramientas según sean requeridas en su proceso a fin de facilitar su construcción.

*

Dibujar: Delinear en una superficie de la hoja de papel o en la pantalla, y sombrear imitando la forma de un poliedro.

*

Modelo: Construcción teórica, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad, que se elaboró para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.

*

Trazar: fue entendido como lo que se hizo con el lápiz, lapicero o compás con el fin de delimitar con líneas los contornos a un poliedro.

*

Esbozo: bosquejo sin definir los contornos ni dar por terminado el dibujo de un poliedro.

*

Representar: fueron las acciones que se hicieron mediante el teclado y el ratón usando los comandos o íconos para ver las figuras dibujadas en la pantalla del área gráfica de la ventana de un CAD.

59

2.1.3 Significados de algunos conceptos de la didáctica.

Los conceptos que fundamentaron las diferentes acciones que se llevaron a cabo en el estudio didáctico fueron: concepción, obstáculo epistemológico, situación didáctica, situación adidáctica, situaciones fundamentales, el medio, temporalizar, contextualizar, personalizar, reproducir, contrato didáctico, transposición didáctica, variables macrodidácticas, variable didáctica, sistema didáctico, habilidades, ventaja y limitación. Éstos se utilizaron con el significado que se detalla a continuación:

El concepto concepción se utilizó con el significado dado por Artigue (1990) quién para establecer su definición plantea, que <<De la misma manera que en un concepto matemático distinguimos: −

La noción matemática tal como se define en el contexto del saber sabio en una época dada,

−

El conjunto de los significantes asociados al concepto,

−

La clase de problemas en la resolución de los cuales él toma sentido,

−

Las herramientas: teoremas, técnicas algorítmicas, específicas del tratamiento del concepto;

Distinguiremos en las concepciones de los sujetos, sus diversos componentes y, en particular: −

La clase de situaciones-problema que dan sentido al concepto para el alumno,

−

El conjunto de significantes que es capaz de asociarle, en particular las imágenes mentales, las expresiones simbólicas,

−

Las herramientas, teoremas, algoritmos que él dispone para manipular el concepto>>. (Artigue, 1990, pp.21-22).

60

Afirma, que “de hecho, lo que interesa al didacta, no es en el fondo la comprensión de esa estructura global hipotética sino la identificación de concepciones locales que se manifiestan en la situación y el análisis de las condiciones de paso de algunas concepciones locales a otras, cuando él trata de rechazar una concepción errónea, de poner en lugar una concepción que permita mejorar la eficacia dentro la resolución de tal o tal clase de problemas o de favorecer la movilidad entre las concepciones ya disponibles. Desde ese punto de vista, el objeto local es la herramienta adecuada”. (Artigue, 1990, p.22). Así que, nos ocupamos de observar las acciones de los estudiantes y profesores con las se hizo inferencias plausibles, de las concepciones locales.

Un obstáculo es una concepción que fue en principio eficiente para resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplicó a otro.

Los trabajos que se refieren a Bachelard (1938) y a Piaget (1975) muestran que el error y el fracaso no tienen el papel simple que uno quiere a veces hacerle jugar. El error no es sólo efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, como se cree en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje. Sin embargo, es el efecto de un conocimiento anterior. Que ha tenido su interés, su éxito, pero que, ahora, se revela falso, o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos e imprevisibles, ellos están constituidos de obstáculos. En el funcionamiento, tanto del maestro como del alumno, el error está formado por el sentido del conocimiento adquirido. (Brousseau, 1983, p.171).

Un obstáculo epistemológico será una concepción, un conocimiento, jamás una dificultad o una falta de conocimiento. Este conocimiento produce un conjunto de respuestas adaptadas en un contexto determinado, aunque puede ser generador de respuestas falsas cuando tiene lugar en un contexto diferente. De otro modo, el conocimiento original tiende a resistir al conjunto de

61

contradicciones y a la presencia de un conocimiento más estabilizado.

(Zambrano, 2005, p.47).

Situación didáctica se usó de acuerdo al significado dado por Guy Brousseau (1999, p.14) como un conjunto de relaciones

establecidas

explícita e

implícitamente entre un estudiante un grupo de estudiantes, un cierto medio (comprendiendo eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (el docente), profesor, con el fin de que los estudiantes se apropien un saber constituido o en vía de constituirse.

Situación adidáctica como una situación problemática que incita al estudiante actuar y a que construya su conocimiento al interactuar con el entorno, mientras que el profesor renuncia a participar, y precisa que “cada conocimiento puede caracterizarse por una o más situaciones a-didácticas que preservan su sentido y que llamaremos situaciones fundamentales”. (Brousseau, 1999, p.93).

El medio se usó de acuerdo al significado dado por Guy Brousseau (1999, pp.69127) como el objeto de la interacción del estudiante, fue el problema específico y las condiciones en que lo realizó, incluyendo los materiales, lápiz, regla, compás, papel y otros, fue a lo que se enfrentó, las acciones del maestro, la consigna que dio, las restricciones que puso, las informaciones y las ayudas que proporcionó, las expectativas que tuvo sobre la acción del estudiante y que mediante mecanismos diversos, transmitió, fue el subsistema sobre el cual actúo el estudiante. Los subsistemas aquí tratados, permitieron generar en el interior otros.

Los conceptos temporalizar, contextualizar y personalizar como los usa Brousseau anteponiendo los afijos des, re y redes. En el primer caso los usa con el afijo des para referirse a la actividad intelectual que hace el científico mediante la comprensión y interpretación de los fenómenos para darles un estatus de un saber

62

en un contexto de una comunidad, igualmente en el segundo caso los usa el afijo re para referirse al quehacer del

profesor para connotar los fenómenos de

transposición didáctica que él realiza y en el tercer caso los usa el afijo redes para referirse al proceso de aprendizaje que hace el estudiante.

El término reproducir se usó de acuerdo al significado dado por Guy Brousseau (1999. pp.69-127); con él se designa la actividad que realiza el estudiante para resolver una situación didáctica, a través de ésta, él fórmula, prueba e intercambia con otros. Es entendido como el esfuerzo que debe hacer el profesor para convertir una actividad científica en situaciones didácticas que pueda vivenciar el estudiante, es decir, el trabajo que él hace es inverso a la actividad del investigador y la que realiza el estudiante equiparable a la del investigador.

Contrato didáctico se usó de acuerdo al significado dado por Guy Brousseau como el conjunto de comportamientos del profesor que son esperados por los estudiantes y al conjunto de comportamientos de los estudiantes que el profesor espera de ellos. Ese contrato es el conjunto de reglas que determinan, una pequeña parte explícitamente, pero sobretodo implícitamente, lo que cada socio de la relación didáctica deberá hacer y, lo que de alguna manera deberá exigir al otro. (Brousseau; 1982; cit. por Gálvez; 1985; p.8). Los compromisos que se derivan del contrato didáctico global mediante el saber, permiten tipificar otros por medio de la relaciones del sistema didáctico.

Transposición didáctica se usó de acuerdo al significado dado por Yves Chevallard (1999, pp.50-58) como los propósitos por los que un objeto del saber deviene en un conocimiento que se debe enseñar y, en consecuencia, un objeto de enseñanza. Para él, el saber erudito es diferente al saber enseñado, y coloca en evidencia las diferencias entre el saber sabio y el enseñado, hecho llevado a cabo en dos transposiciones, una externa, del saber sabio al saber a enseñar, que

63

figura en el currículo, y luego otra interna, del saber a enseñar al saber enseñado, en la que participa el profesor por medio de la puesta en contexto del saber.

Variables macro-didácticas fue entendida como aquellos elementos conceptuales del saber sabio, susceptibles de tomar diferentes órdenes en la secuencia del currículo del saber a enseñar y que al tomarlos, provocan estrategias cognitivas diferentes. La elección de estas variables afectan a las variables didácticas.

Variable didáctica fue entendida como un componente de una situación que por su manipulación permite crear una nueva situación adidáctica que plantea una exigencia cognitiva deseada para que el enfrentamiento con la situación, si es exitosa, provea un conocimiento.

<<En la definición de situación adidáctica la noción de variable que hay que definir: se llaman variables de una situación matemática a aquellos elementos del juego formal que son susceptibles de tomar diferentes valores y que al tomarlos, provocan cambios tales en el juego que hacen variar la estrategia óptima (ganadora)>>. <<Una variable de una situación adidáctica se llama variable didáctica si sus valores pueden ser manipulados (fijados o cambiados) por el profesor. Partiendo de un conocimiento concreto y de una situación adidáctica específica de dicho conocimiento, resulta que la modificación de valores de las variables didácticas de esta situación adidáctica permite engendrar un tipo de problemas a los que corresponden técnicas o estrategias de resolución>>(Chevallard, Y.; Bosh, M.; y Gascón, J., 1997, p.214).

El sistema didáctico lo constituye el profesor, los estudiantes, el saber, el medio y sus relaciones.

64

Las habilidades que se pusieron en juego fueron entendidas como las aptitudes y actitudes para hacer determinadas tareas y actividades con la regla y compás o con el CAD. Desde esta perspectiva se tomaron dos tipos de habilidades, las motrices, y las intelectuales. Las motrices tuvieron que ver con el uso de las herramientas físicas, y las intelectuales con la forma en que se aplicaron los conocimientos y conceptos geométricos. También se tuvieron en cuenta las que se establecieron para el uso del computador y que se mencionan a continuación:

Un reporte de fácil lectura del Servicio de Evaluación Educativa de 1998 (ETS, por su sigla en inglés) esboza el debate sobre la efectividad de la tecnología y concluye que el uso de computadores para enseñar habilidades de orden superior como interpretar, razonar y resolver problemas, estaba "positivamente relacionado al logro académico en matemáticas y al ambiente social de la escuela". Además, "usar los computadores para enseñar habilidades de orden inferior (como aprender hechos y datos) estaba negativamente relacionado" a las mismas variables. Muestra también que la naturaleza, no la frecuencia, del uso en la escuela era factor crítico.

(Goldenberg, 2003, p.3).

Las habilidades que se mencionan en la cita, se pueden ubicar en lo intelectual, igualmente que las que trata Leonard; Gerace y Dufresne. (2002), “Todos los profesores tienen grandes expectativas para sus estudiantes. Quieren que los estudiantes no sólo entiendan el material, sino que también desarrollen habilidades de pensamiento de orden superior, tales como el análisis, el razonamiento y la resolución de problemas”. En este contexto la Psicomotricidad se entendió como las habilidades que se fomentan para estimular la coordinación de las funciones motrices e intelectuales.

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Las que puso en juego el estudiante fueron determinadas teniendo en cuenta los siguientes aspectos: El tipo de herramienta usada. El tipo de poliedro. El diligenciamiento de los registros. El tipo de situación realizada.

Al revisar el significado de las palabras ventaja, limitación y didáctica en diferentes diccionarios, se encontró que la primera palabra es un sustantivo femenino y designa superioridad de una persona o cosa respecto de otra. El segundo es la acción y efecto del verbo transitivo limitar, que designa fijación, restricción, poner límites a algo y el tercero, según Guy Brousseau (1991, pp.1-2), es un adjetivo, califica lo que es apropiado para la enseñanza, lo que tiene por finalidad la enseñanza y, más en general, lo que está relacionado con la enseñanza.

El significado que se dio a la expresión ventajas y limitaciones didácticas, se hizo teniendo en cuenta lo tratado y lo expuesto en el párrafo anterior, una Ventaja Didáctica fué aquella o aquellas condiciones que favorecieron el uso de instrumentación y las que permitieron la implementación de acciones didácticas para mejorar el proceso de aprendizaje. En cuanto, Limitación Didáctica fué la que resultó en el aprendizaje y la enseñanza con el uso de las herramientas, de los conocimientos, de las habilidades y el medio, y dificultaron el cumplimiento de los objetivos.

2.1.4 Funciones de los instrumentos.

¿Para este estudio fueron sinónimos las expresiones instrumento y herramienta?

La instrumentación de que se dispuso, fueron el lápiz, la regla, el compás, el computador y algunos comandos del CAD, los conocimientos y conceptos afines y de didáctica, los lenguajes y teorías que intervinieron en una construcción, los

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conceptos geométricos, el dibujo de isométricos, los desarrollos y las vistas para construir poliedros.

Las herramientas fueron entendidas como los objetos tecnológicos físicos que se usaron para hacer el trazado o representación, básicamente se trató de dos en este estudio, que se pudieron caracterizar así: la primera consta del computador con teclado, ratón, pantalla, unidad central de procesamiento, programa CAD e impresora; y la segunda compuesta por papel, lápiz, regla y compás. Como se puede notar instrumento y herramienta connotan significados diferentes.

La construcción de un poliedro con el uso de la instrumentación ya mencionada, fué un proceso en que el estudiante lo describió, identificó las partes que lo componen, las propiedades y proposiciones en que se fundamentó, para luego probar que éstas proporcionaron construirlo de forma razonada, es decir, se hizo una distinción entre lo que configuró y lo que se representó o como establece Howard Gardner (1997, p.221) interpretando a Piaget hay “una distinción entre el conocimiento figurativo, en el que el individuo retiene la configuración de un objeto (como en una imagen mental), y el conocimiento “operativo” en el que se hace mas hincapié en transformar la configuración (como en la manipulación de este tipo de imagen)”.

¿Cuáles fueron los requerimientos para usar las herramientas? Se determinaron los siguientes para su uso: tener los conocimientos básicos de geometría, conocer las funciones de la regla y el compás y las relaciones entre las funciones de los comandos o los íconos del programa CAD, actualizar el programa, encender y apagar el computador, reconocer los íconos y herramientas comunes del escritorio, trazar con regla y compás, probar teniendo en cuenta los conceptos básicos de la geometría y las funciones de la herramienta, manejar el teclado, el puntero del ratón y la ventana de dibujo.

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¿Cómo se usaron las herramientas? El uso de la herramienta (regla y compás o CAD) fué un medio para comprender los conceptos geométricos, el desarrollo de habilidades motrices e intelectuales, entender la tecnología y las funciones que desempeñaron, permitieron el trazado o representación y la concreción del dibujo del poliedro.

La regla sin marcas, el compás y el lápiz fueron usados en el trazado de polígonos y poliedros, en arcos y circunferencias, en el dibujo de isométricos, de esbozos y de vistas, y con las que se hicieron construcciones geométricas en la hoja de papel. El computador sirvió de medio para que el programa CAD pudiera cumplir sus diferentes funciones de representación.

El programa sirvió para hacer las representaciones de polígonos y el dibujo de isométricos, mediante el uso de los comandos o íconos en el área gráfica que fueron visualizadas en la pantalla y utilizada la impresora para ver el dibujo impreso. Las habilidades motrices que se pusieron en juego estuvieron vinculadas con el uso del teclado, el ratón y los comandos; y las intelectuales ligadas con la aplicación de los conocimientos y conceptos geométricos, y se usó un programa versión 2002 que incorpora facilidades de uso.

¿Cuáles fueron las homologaciones que se establecieron? Las que se determinaron fueron entre el segmento trazado con regla y lápiz y lo representado por el comando línea, entre la circunferencia y el círculo trazados con el compás y lo representado por el comando círculo, y entre la pantalla y una hoja de papel.

Para hacer la homologación del segmento se precisó que con el lápiz se trace por medio de la regla desde un punto inicial hasta un punto final; y con el comando línea se haga un clip inicial en un lugar de la ventana de dibujo y luego un clip final para representar el segmento. Para trazar una circunferencia con el compás se

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apoyó la punta del compás en uno de sus extremos y luego se tomó un punto inicial con el otro extremo para trazarla y uno final con el que se culminó, con el comando círculo se hizo clip en un lugar de la ventana de dibujo y luego otro clip para representarlo.

En cuanto a la pantalla, la interacción para representar el punto, el segmento, y algunas figuras geométricas estuvieron predeterminadas y funcionan de forma automática, se pudieron mover y su forma variar, dilatándolas o encogiéndolas moviendo el cursor con el ratón, en tanto que en la hoja de papel lo trazado se puede mover siempre que se determine giros o transformaciones, y su forma variar estableciendo razones de igualdad y proporcionalidad entre sus partes.

¿Cuáles fueron los conceptos involucrados y las funciones de las herramientas? el concepto geométrico que se puso en juego con la regla y el comando línea fue el de segmento; con el compás fue el de circunferencia/círculo y con el comando círculo fue círculo/circunferencia. En la orientación de los conceptos círculo y circunferencia con el uso del compás y el comando círculo se debió aclarar qué era cada uno.

Con la regla se trazó un segmento fino, en tanto que con el comando línea se representó un segmento deformado; con el compás se trazó una circunferencia, en tanto que con el comando círculo se representó un polígono n lados. Los estudiantes no establecieron diferencia entre lo trazado y lo representado

En cuanto a las funciones de las herramientas, la regla sirvió para trazar segmentos o indicar líneas rectas; el comando línea sirvió para representar segmentos; el compás sirvió para trazar circunferencias y transportar segmentos; y el comando círculo sirvió para representar polígonos de n lados. Existe diferencia entre la función del compás, y la función del comando círculo, con el

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primero se trazaron circunferencias y con el segundo se representaron polígonos de n lados

El modo que fue usado la regla y compás en las distintas construcciones, se hizo de acuerdo a las necesidades de trazo que se tuvieron en un momento determinado.

Éstas

se

vincularon

a

la

habilidad

de

construir

líneas

perpendiculares, líneas paralelas, bisectrices y mediatrices.

Se detectó que en el uso de la instrumentación se puso juego las habilidades motrices e intelectuales. De igual forma, se observó que las técnicas para el manejo del computador, requirió de la interpretación, la comprensión, la resolución de problemas, análisis y síntesis. La técnica para su manejo fue similar a la que requirió el uso de la regla y el compás.

Finalmente desde lo tratado y hallado en los análisis preliminares las herramientas pueden ser consideradas como:

*

Extensión de un sentido (por ejemplo: lupas, gafas, micro y telescopios como extensión del sentido de la visión)

*

Prótesis o

sustitución de un miembro o de un órgano (por ejemplo, las

prótesis en la ortopedia) *

Extensión de una función o de un proceso de un órgano (por ejemplo, el libro, el computador como extensión de la memoria)

*

Instrumento de representación (por ejemplo, la regla y compás como medios para hacer representaciones gráficas de objetos geométricos y de sus propiedades).

Respecto a lo antes expuesto, se infiere que el uso de la herramienta está vinculado a una técnica y unos conocimientos y saberes específicos, lo que lleva

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citar lo siguiente: “… la evolución histórica de la técnica es difícil de abordar, debido a que se trata de una actividad mas polifacética que la tecnología, y tan antigua como el hombre” (González y Hernández, 2000,136p). Considerar la actividad técnica así, supone que los procedimientos están acompañados de unos saberes de diferente naturaleza. Desde está perspectiva las habilidades pueden estar vinculadas a un saber como, que se incorpora a un orden de actividades u operaciones que permiten alcanzar el objetivo. Todo lo cuál requiere de una serie de saberes que se relacionan con lo que se hizo.

2.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Para hacer el diseño de tareas, de encuestas, de sondeos, de situaciones adidácticas, se acudió a la Ingeniería Didáctica, según Michéle Artigue (1999, p.42)

ésta

noción aborda dos funciones, ella “llega a significar tanto unas

producciones para la enseñanza, basadas en resultados de investigaciones que han utilizado metodologías externas a la clase, como una metodología de investigación específica”, su principal supuesto se basa en que las construcciones teóricas que fueron elaboradas en el proceso de investigación se pueden someter a experimentación para obtener resultados más confiables.

Los supuestos teóricos que condujeron la enseñanza y el aprendizaje, tuvieron como referente los siguientes: el estudiante aprendió a construir un poliedro por la adaptación que hizo al medio como producto de contradicciones y dificultades, los conceptos geométricos surgieron del planteamiento entre las buenas preguntas y las buenas respuestas y aprendió a construirlo cuando fue capaz de hacerlo de forma autónoma.

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Los fundamentos teóricos de la regla sin marcas y el compás, se encontraron en dos postulados de Euclides: dados dos puntos, podemos trazar una línea recta que los conecte, y dados un punto P y una longitud r, podemos trazar una circunferencia de radio r con centro en P. Los fundamentos del programa CAD se hallaron en que para dibujar se introducen las coordenadas mediante un lápiz óptico, y el dibujo es completado mediante formas geométricas llamadas primitivas, tales como; líneas, arcos, circunferencias y polígonos.

La Ingeniería Didáctica se utilizó como metodología de estudio y se basó en llevar a cabo un proceso metódico, a nivel de los análisis preliminares, de los pronósticos y de los diseños de instrumentos. Éstos facilitaron hacer un trabajo organizado de los estudios preliminares, la concepción, puesta en marcha, y confrontación de los resultados alcanzados con los previstos. Se utilizó para determinar aquellos aspectos que resultaron en los procesos para poder constituir el nuevo saber que se puso en juego mediante las situaciones, con las que se facilitó establecer diferenciaciones entre los dos procedimientos llevados a cabo con regla y compás y el programa CAD. Utilizar la teoría de las situaciones didácticas 16 como referente para enseñar a construir poliedros con el uso de las herramientas, ayudó a entender las relaciones que se dieron entre los estudiantes con las situaciones adidácticas, condujo a comprender sus comportamientos frente a los problemas que resolvieron con la instrumentación, a la observación de las acciones y sus registros para la toma de decisiones en la orientación del aprendizaje y ajustar los enunciados para convertirlas en autónomas..

16

“Brousseau toma las hipótesis centrales de la epistemología genética de Jean Piaget como marco para modelizar la producción de conocimientos” (Sadovsky, 2001, p.2).

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Poner en juego la instrumentación por medio de la “teoría de las situaciones didácticas”, desde una perspectiva didáctica, llevó a entender las interacciones y a identificar algunas ventajas y limitaciones que surgieron en la solución de una determinada situación adidáctica.

El instrumento que se uso de medio para Indagar sí los estudiantes fueron capaces de utilizar el saber que apropiaron con la construcción de un poliedro determinado usando el CAD, en otra situación en la que trabajaron con la regla y el compás o viceversa, y con el que se identificaron algunas ventajas y limitaciones didácticas fue la situación adidáctica.

La información que se generó en el proceso de orientación y aprendizaje a través de las actividades y las prácticas para construir poliedros que enfrentaron los estudiantes con el uso de la instrumentación, se tuvieron en cuenta las interacciones generadas y las relaciones que se establecieron en el interior del sistema didáctico en funcionamiento. Éstas cumplieron funciones diferentes que contribuyeron a entender su función global.

Las interacciones que se dieron fueron: la interacción entre profesor y estudiante, o sea, la relación de enseñanza; la interacción entre estudiante y saber, relación de aprendizaje y la interacción entre profesor y saber, relación didáctica. En éstas relaciones se detectaron diferencias con una y otra instrumentación generadas por el tipo de herramienta usada, el tipo de poliedro, el tipo de situación y el registro diligenciado.

En la relación de enseñanza, se diseño las situaciones para que posibilitaran en el estudiante identificar y apropiarse del saber y esto de modo que le permitiera comparar su producción con el saber que establece la comunidad científica y cultural de nuestra época.

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Las características que tuvieron las situaciones didácticas fueron las siguientes: ser situaciones problema que le permitieron al estudiante abordar la construcción geométrica de poliedros con cualquier herramienta manual, abstracta e informática; intercambiar, formular y validar opiniones. Proyectar la experiencia con situaciones que cumplieran con las características mencionadas, fue necesario

esbozarlas, según las condiciones del salón de clases y de los

estudiantes. De forma que se pudo definir las acciones didácticas que llevaron al intercambio, formulación y validación de los conocimientos.

Conseguir el compromiso del estudiante en su aprendizaje y en la construcción del conocimiento, supuso por una parte, definir su actuación y por otra, generar estrategias que hicieron necesario enfrentar las situaciones. Para lo cual las acciones se estructuraron de manera que pudo interactuar con los medios y apoyarse en el profesor, y así conseguir que desarrollará su autonomía para que resolviera las situaciones por si mismos.

Definir las relaciones que los estudiantes tuvieron con el profesor a través de los medios y viceversa, favoreció la interpretación de los datos. Para ello las situaciones se presentaron en varias acciones didácticas en forma de preguntas y ejercicios. Se formularon los objetivos de enseñanza y aprendizaje, en relación con los contenidos que se trataron. Con lo que se puso en juego los conocimientos geométricos necesarios para hacer la construcción geométrica de un poliedro, la identificación de las figuras geométricas que lo componen, el plegado y sus vistas, y aprender a hacer los dibujos.

Sin duda, que con las condiciones expuestas se consiguió que el estudiante interactuara con sus compañeros, los medios físicos, intercambiara opiniones, persuadiera en la validez de su argumentación y determinara reglas para solucionar las situaciones. Las situaciones didácticas permitieron al estudiante

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interactuar con el medio y el profesor. En otras palabras, valerse de éstas para llevar a cabo su aprendizaje, y en las adidácticas debió apoyarse en lo que estimo conveniente, conocimientos, experiencias, aprendizajes previos, etcétera, sin recurrir al profesor.

La construcción geométrica de poliedros ayudo a la apropiación de los conceptos geométricos y al dominio de las construcciones básicas, las que permitieron resolver las problemáticas que se le presentaron en éste ámbito. Las actividades que integraron las situaciones didácticas y adidácticas fueron: estudiar algunas nociones de los poliedros, hacer homologaciones entre las funciones de las herramientas, identificar construcciones geométricas básicas, y construir poliedros rectos.

Por último, el diseño de las situaciones y la realización de éstas, exigió del profesor una gestión controlada que permitiera una buena reproducción. Requirió que el estudiante interviniera, que formulara, que probara, que construyera modelos, conceptos, teorías, que las intercambiara con otros, que reconociera los que están conformes con la cultura, y que tomara los que fueran útiles. Para hacer posible esto, en las experimentaciones se pusieron en juego los conocimientos sobre la construcción geométrica de poliedros, en un aula donde se contó con la instrumentación ya mencionada.

En estas condiciones, se explicara la relación que tuvo el estudiante con el saber y los medios. Para que él hiciera la construcción geométrica con la regla y el compás, después de que la hubiera hecho en un computador con programa CAD, y a la inversa, debió apropiarse del conocimiento y luego olvidar el contexto donde lo aprendió, de tal manera que el conocimiento pudiera utilizarlo y adecuarlo al nuevo contexto.

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Asumiendo la teoría de las situaciones didácticas, se pudieron prever los comportamientos posibles, y en un momento posterior interpretar el significado de los comportamientos observados, o sea, que fue lo que se reprodujo en situación.

Determinar las ventajas y limitaciones con el uso de las herramientas ya mencionadas en el proceso de aprendizaje, llevó a la interpretación de las reproducciones que se dieron y, al análisis de los resultados del proceso dentro del sistema didáctico.

Interpretar las ventajas y limitaciones didácticas que se presentaron con el uso de las herramientas como la regla y el compás y de informática gráfica a través de lo que se reprodujo en situación, llevó a la observación de las diferentes acciones que realizó el estudiante, y el estudio de los fenómenos que tienen lugar en las relaciones que se establecieron en el interior del sistema didáctico.

En consecuencia, a partir de la puesta en marcha de situaciones didácticas en el salón de clase se pudo despertar en los estudiantes interés para que fueran capaces de resolver actividades creativas, en las que no se requirió la intervención del profesor, y los conocimientos se originaron por adaptación a un medio que apareció como problemático, es decir, utilizar por sí mismos el saber que apropiaron empleando el computador con programa CAD, en una situación en la cual trabajaron con la regla y el compás la construcción geométrica de poliedros de manera autónoma.

Partiendo de éste principio, se adelanto la enseñanza de la construcción geométrica de poliedros, donde se transfirió lo aprendido en un contexto donde se utilizó el computador a otro donde se usó la regla y el compás y, viceversa, y mediante sus resultados se identificaron algunas ventajas y limitaciones didácticas que se presentaron en las interacciones y los registros. Lo cuál debe ser el producto de la orientación y la interacción de los elementos del sistema didáctico.

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2.2.1 Caracterización didáctica.

La construcción geométrica de poliedros usando regla y compás, y el programa CAD, sirven para ambientar la enseñanza de la geometría plana, la geometría del espacio, la geometría descriptiva y el dibujo técnico. Además, los “Resultados recientes de investigación constatan la potencia del uso de nuevas tecnologías en la enseñanza del álgebra y de la geometría, así como en promover la colaboración de los estudiantes de secundaria en trabajos de diseño” (Hoyos, 2001, p.1), lo que muestra este caso que el uso de programas graficadores (como: CABRI, LOGO, SCILAB, y SOLID EDGE) fue un ámbito propicio para orientar las bases para el diseño de formas poliédricas.

Uno de los objetivos que se logró en este ámbito fué acercar a los estudiantes a la comprensión de la instrumentación para el diseño, que son fundamentales para fomentar un pensamiento tecnológico. Desde esta perspectiva, éste se convierte en el primer nivel, que deben abordarse en las especialidades técnicas, tecnológicas, y los primeros semestres de las ingenierías.

Usar dos tipos de herramientas de forma alternada17 en el aprendizaje fue una condición establecida para determinar las diferencias y una característica que sirvió para entender el aprendizaje por adaptación a un ambiente problemático donde el estudiante fue estructurando el conocimiento entre preguntas y respuestas cuando construyó el poliedro con una herramienta o la otra.

Además de permitir detectar diferencias en las aptitudes, en las actitudes, en la aplicación de los conocimientos, en los conceptos y en los registros, aportó otros

17

Alternado quiere decir que se usó primero un tipo de herramienta (RC o programa CAD) para la construcción geométrica de un poliedro y luego se usó la otra (programa CAD o RC).que cumplía función igual o semejante para construir el mismo poliedro.

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beneficios para el aprendizaje del estudiante, está en mejores condiciones de enfrentar problemáticas donde ponga en juego sus habilidades de transferencia, de adaptabilidad, de acomodación de los conocimientos y conceptos de una instrumentación a otra.

Contribuyeron a desarrollar y establecer estrategias en la enseñanza para el aprendizaje, tales que lo que se aprendió usando una, debió reforzarse con la otra, o aprender lo que no se pudo. Estas consecuencias podemos considerarlas para optimizar los aprendizajes.

Las concepciones que tuvieron los estudiantes sobre lo que es una construcción geométrica y las que se abordaron en las experiencias estuvieron centradas en trazar y dibujar, en lugar de la demostración, lo que hicieron se fundamentó en probar valiéndose de los significados de las funciones de las herramientas y los conceptos geométricos.

Una de las características que se destaca en este trabajo, fué que se agregó construir poliedros con el programa CAD, en donde sólo fue permitido usar los comandos línea, círculo y copiar y en los que no se use medición cuantitativa.

Contrato didáctico. A los compromisos que surgieron entre el profesor, los estudiantes y el saber, se les ha definido como contratos didácticos.

Lo que caracteriza a cada contrato es una cierta distribución de la responsabilidad entre el profesor y los alumnos. Tales responsabilidades se apoyan sobre la posibilidad de reconocer ciertos índices de que una acción ha producido un cierto efecto. Esos índices pueden ser la aparición de ciertos comportamientos o producciones por parte de los alumnos. Conforme a esta teorización, las distintas responsabilidades que puede asumir el profesor repercuten en las de los alumnos y dan lugar a diversos contratos que van, de los no didácticos, a los fuertemente

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didácticos. La menor responsabilidad del docente sería asumida en los primeros. (Ávila, 2001, p10).

La puesta en juego de las situaciones adidácticas condujo a comprobar que se establecieron unos compromisos entre el profesor y el saber, entre el estudiante y el saber, entre el profesor y el estudiante, y entre el estudiante y estudiante. Éstos facilitaron adelantar la enseñanza y aprendizaje de la construcción geométrica de poliedros donde se transfiera lo aprendido, adecuándolo a un contexto donde se utilizó el computador a otro donde se uso regla y compás o viceversa.

El eje o el centro de las diferentes averiguaciones estuvieron en hacer la lectura e interpretación de la información que se originó en las interacciones entre profesor y estudiante, entre estudiante y el medio, entre profesor y el medio, y entre estudiante y estudiante con el uso de la instrumentación y lo que se detectó en los registros escritos, el interés estuvo en determinar las diferencias y limitaciones que originaron la orientación y el aprendizaje.

¿Cuáles fueron las relaciones que se determinaron en el proceso realizado? La interpretación de lo que ocurrió en las relaciones que los estudiantes tuvieron con el profesor a través de los medios y viceversa, se hizo mediante el saber que se presentó en varias acciones didácticas en forma de preguntas, se formularon los objetivos de enseñanza y aprendizaje en relación con los contenidos tratados y se pusieron en juego los conocimientos geométricos necesarios para la identificación de las figuras geométricas que componen el poliedro.

RELACIÓN DE APRENDIZAJE. Él construyo el poliedro con regla y compás, y después con programa CAD o viceversa. Para lo cual, apropió el conocimiento usando un tipo de herramienta de manera que éste, lo utilizó y lo adecuó al nuevo

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contexto. Las habilidades intelectuales que fomentó con regla y compás fueron puestas en juego con el CAD al construir el mismo poliedro.

RELACIÓN DIDÁCTICA. Implicó tener en cuenta el conocimiento y las habilidades para el uso de las herramientas (Véase Anexo D). Esto significó que las actividades que se propusieron cumplieron ciertas características que posibilitaron a los estudiantes “redescontextualizar y redespersonalizar su saber y esto, de tal modo, que identifiquen su producción con el saber que impera en la comunidad científica y cultural….”(Brousseau,1999, pp.69-127).

RELACIÓN DE ENSEÑANZA. La que tuvo el estudiante con el profesor a través de los medios y viceversa, ayudó en la interpretación de la información que se obtuvo. En el proceso él apropió los conceptos geométricos e hizo las construcciones geométricas básicas, las que le permitieron resolver las problemáticas que se le presentaron en éste ámbito. Las actividades se integraron en tres situaciones adidácticas que se organizaron de acuerdo a los objetivos que se alcanzaría con cada una. La primera situación, su objetivo fue dibujar un poliedro y la

identificación de las partes que lo componen, y los conceptos

geométricos que se utilizan para construirlo con regla y compás y el CAD. La segunda situación, su objetivo fue identificar las funciones de los elementos básicos para construir un poliedro. La tercera situación, su objetivo fue hacer la construcción geométrica de polígonos y poliedros con regla y compás y el CAD.

La problemática que se estableció fue: construye un prisma recto. Hazlo con regla y el compás, y luego construye el mismo pero con el programa de CAD, o viceversa. Compare los dos resultados y saque conclusiones. La interpretación que hicieron y la puesta en marcha permitió detectar el grado de aplicación que le dieron a los conceptos. Transferir los conocimientos y habilidades adquiridas usando la regla y compás, a otra donde usaron el programa CAD y viceversa, es

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decir poner en juego los conocimientos adquiridos y adaptarlos a un procedimiento en una situación nueva.

Lo antes enunciado fue la compresión que se hizo de lo que sucedió en el proceso que se llevó a cabo con las situaciones adidácticas, es decir las diferentes momentos que se realizaron, se encontraban articuladas entre si, las que corresponden a lo que se denomina en la teoría, momentos de la acción, de la formulación, de la validación y de institucionalización. Lo que muestra la validez que los conocimientos geométricos que se usaron para construir un poliedro con regla y compás, fueron los mismos que se usaron para construirlo con el CAD y viceversa, la diferencias radican en el uso de la herramienta, el procedimiento y en la forma de aplicarlos.

Desde una perspectiva de la teoría de situaciones; la didáctica de la construcción geométrica de poliedros es la que estudia la comunicación de los saberes geométricos y los problemas inherentes a las ventajas y limitaciones didácticas con el uso de la regla, el compás, el computador, los comandos o íconos línea, círculo y copiar, las interacciones y las relaciones de los subsistemas puestos en acción. Igualmente, los conocimientos matemáticos que le conciernen, las habilidades que vinculan el uso de las herramientas con los conocimientos y el estudio de toda clase de representaciones.

Ventajas y limitaciones didácticas. ¿Cómo se entendió una ventaja y una limitación didáctica, y cómo se precisaron?, según Guy Brousseau, la palabra “didáctica” tiene varias connotaciones, dentro de las que se destacó la siguiente:

Es un intento de constituir una ciencia de la comunicación de los conocimientos y de sus transformaciones; una epistemología experimental que intenta teorizar la producción y circulación de los saberes. (Brousseau, 1991, p.2).

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El significado que se dio a las expresiones Ventaja Didáctica y Limitación Didáctica se hizo, tendiendo en cuenta las siguientes condiciones: la primera, no se puede homologar la noción de obstáculo tratada por Guy Brousseau con la de Limitación Didáctica, debido a que obstáculo es una serie de nociones que facilitan la fijación o apropiación del conocimiento para el estudiante, y, “cuando un sujeto logra sobrepasar el obstáculo que lo separa del objeto, en su cerebro se produce un cambio radical y por tanto adquiere el conocimiento. Luego el conocimiento no se lograría por la capacidad de relación directa que se establezca frente a un objeto sino por las dificultades que dicho conocimiento comporta” (Zambrano, 2005); y la segunda se trataron sólo las que se dieron en el funcionamiento del sistema didáctico.

Desde lo enunciado, las que tuvieron el uso de la regla y compás y el programa CAD, fueron las que se identificaron mediante los compromisos que se dieron durante las relaciones de aprendizaje, de enseñanza y con los medios.

Una ventaja fué la que permitió la toma de decisiones para reorientar el aprendizaje y se determinó por las condiciones que favorecieron el uso de la instrumentación en el aprendizaje cuando se hicieron las construcciones. En cuanto, limitación fue la que dificultó lograr el objetivo propuesto y surgió de los estudiantes, del profesor, de las variables didácticas, de los conocimientos, de las habilidades, las que procedieron del uso de la herramienta y la interacción con el medio.

Éstas produjeron efectos favorables y desfavorables, detectados por medio de los procesos realizados y en los registros, destacándose los que surgieron mediante la situaciones (de acción, de formulación y de validación), el contracto didáctico, la transposición didáctica, la variable didáctica, las herramientas de trazado y representación, el contexto y los propios de los conocimientos.

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Aunque, se identificaron algunas ventajas y limitaciones didácticas que tuvo el uso de la herramienta, la respuesta al problema de investigación fue entendida en función de la variabilidad de las representaciones (incluye los elementos del ambiente de aprendizaje), el tipo de poliedro, la cognición del estudiante, el tipo de situación que fue diseñada y los procedimientos.

Unas fueron identificadas en los registros, en el aprendizaje, en la enseñaza, en las situaciones adidácticas, en el contrato didáctico, en las variables didácticas, en el contexto, en los Instrumentos y en las concepciones que tienen los profesores y los estudiantes, otras se obtuvieron producto de las observaciones de las diferentes acciones de donde se identificaron algunos de los aspectos en donde tuvieron su origen, como el uso alternado de la herramienta.

Tomando en consideración lo experimentado se observó que la utilización de las herramientas permitieron la identificación de algunas ventajas y limitaciones didácticas. Lo que facilitó adelantar el aprendizaje, donde se

transfirió lo

aprendido usando la regla y compás para construir un poliedro, a otro donde se utilizó el programa CAD para construir el mismo, o viceversa.

Lo anterior puede ser entendido como un fenómeno que articula dos procesos, en el cual, lo que se aprendió en el uno, pudo ser homologado y transformado en el otro, o viceversa, en éstos se pusieron en juego las habilidades intelectuales y motrices, y puede ser explicado o comparado con lo que se denomina, transferencia vertical o transferencia lateral.

En el primer caso, el alumno es capaz de aprender resultados semejantes pero de mayor complejidad, las habilidades adquiridas en una situación se transfieren a otra más compleja, usualmente en la misma área del conocimiento; por ejemplo, calcular las medidas de los lados de un rectángulo y calcular las mismas medidas para

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conocer las dimensiones de una cancha de basquetbol. La transferencia lateral la concibe Gagné como la capacidad del alumno de ejecutar una tarea diferente, pero semejante y del mismo nivel de complejidad que la ya aprendida; por ejemplo, resolver un ejercicio geométrico abstracto y después resolver un problema parecido para resolver un problema real. (García, 2000, p.17).

El proceso que vivenció el estudiante con una u otra herramienta, puede ser ubicado en el primer caso. Aunque resulta que los procesos llevados a cabo con regla y compás son considerados anticuados con relación a los realizados con el programa CAD, ponen de manifiesto la falta de comprensión en este campo y evidencia que la herramienta se juzga por la utilidad operativa, y no, como un medio que permite fomentar las habilidades intelectuales de orden superior. La transferencia es tratada en un solo sentido tanto la vertical como la lateral, lo que deja un campo abierto para futuras investigaciones.

Lo antes explicitado confirma que homologar las funciones de la regla y compás con las funciones de los comandos permitió evidenciar la transferencia de conocimientos y habilidades de una instrumentación a otra.

Las habilidades intelectuales que se fomentaron fueron (c.f. subsección 4.1.2): la capacidad de visión espacial, la creatividad, relacionar lo abstracto con lo concreto, reforzar los conceptos, tener sentido de orden, aseo e imaginar y las habilidades Psicomotrices, y las que Leonard; Gerace, y Dufresne, plantean de la forma siguiente:

Todos los profesores tienen grandes expectativas para sus estudiantes. Quieren que los estudiantes no sólo entiendan el material, sino que también desarrollen habilidades de pensamiento de orden superior, tales como el análisis, el razonamiento y la resolución de problemas. (2002, p.12).

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La idea de homologar resultó de los distintos análisis e interpretaciones que se hicieron en los estudios sobre el uso del computador y los programas. Las condiciones para transferir las habilidades de un contexto donde se usó la regla y compás, a otro donde se usó el CAD estuvieron mediadas por las homologaciones que se determinaron entre el funcionamiento de una, u otra instrumentación; para facilitar la comprensión de éstas, se hicieron comparaciones entre los elementos que se representaron y trazaron y entre las funciones de las herramientas.

La comprensión fue una habilidad que jugó un papel importante en el proceso que realizaron los estudiantes con una u otra herramienta, y fue entendida como:

La capacidad de adquirir conocimientos, aptitudes y conceptos y aplicarlos en forma adecuada en nuevas situaciones. Si alguien sólo repite cuando se le enseña, no sabemos si el individuo comprende. Si una persona aplica el conocimiento en forma promiscua, sin que tenga importancia si es apropiado, entonces yo no diría que comprende... Pero si la persona sabe dónde aplicar y dónde no aplicar los conocimientos y puede hacerlo en situaciones nuevas, entonces comprende.

(García, 2000, p.11).

Lo que se derivó de lo anterior y de lo experimentado es que hay implícito una noción de transferir, que puede interpretarse que lo aprendido fue acomodado o adaptado para resolver situaciones nuevas, es decir,

El proceso de «transferencia» se refiere a la generalización que permite responder no sólo a la información original que se aprende sino a otras informaciones semejantes y cónsonas con dicha información: (García, 2000, p.17).

Finalmente, a pesar de reconocer que el pensamiento espacial es una capacidad fundamental en el desarrollo del pensamiento científico, y en el desempeño de la

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mayoría de las profesiones científicas 18 , técnicas y tecnológicas, las reformas educativas19 que se dieron en nuestro país le concedieron poca importancia.

Los esfuerzos que se hicieron en aras de mejorar los procesos de enseñanza no fueron suficientes para que los estudiantes se apropien de los fundamentos de la geometría. Al parecer los profesores de matemáticas no cuentan con la instrumentación que les facilite hacer el nuevo desarrollo curricular.

18

En esta dirección Fernando Cajas (2001, p.10) expresa “que nadie duda de que las sociedades modernas dependen de las ingenierías, hasta el extremo de que los ingenieros son considerados como los pilares sobre los que descansa el desarrollo y funcionamiento de la sociedad contemporánea, no existen mayores conocimientos de ingeniería en educación primaria y secundaria. Conocimientos básicos de ingeniería, como son las ideas de diseño y control de sistemas, no han sido trasladados al conocimiento escolar”.

19

Los cambios realizados en el currículo de las matemáticas,…“Podríamos decir que hasta los años sesenta, en los programas antiguos de 1937 para la primaria, y en los de 1951 y 1962 para el bachillerato, se suponía que había que evaluar por contenidos”… “Más tarde, ya en la década de los sesenta, comenzó la ola de la tecnología educativa y el diseño instruccional y se resolvió que había que cambiar la evaluación por contenidos por la evaluación por objetivos específicos.” (Vasco, 2002, p.2.). No, se evidenciaron en el campo de la geometría.

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3

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Y LA METODOLOGÍA

Este capítulo trata sobre el problema de investigación y el análisis que llevó a plantearlo, luego se exponen los objetivos y las hipótesis que orientaron el estudio didáctico, se determina la metodología de trabajo basada en una ingeniería didáctica, que se utilizó para la revisión y clasificación de investigaciones, de propuestas curriculares, de textos escolares, el diseño de encuestas, de sondeos y de situaciones didácticas y adidácticas.

3.1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Este estudio se Inició, con un planteamiento para identificar las funciones mediante las cuales fuera posible transformar figuras planas en tridimensionales.

Después, se reformuló para ubicarlo en las dificultades y obstáculos que presentan los estudiantes cuando representan objetos tridimensionales en el plano, y posteriormente se hicieron otros intentos para formular el problema, algunos fueron:

¿Cuáles son las condiciones que deben tenerse para implementar y validar una situación didáctica sobre el análisis, interpretación y representación de un ortoedro, en el aula de clases?

¿Cuál es la didáctica que sirve para comprender las limitaciones y ventajas que se dan cuando se utiliza el computador con el programa de diseño asistido por

computador, la regla y el compás en el aprendizaje de la construcción geométrica de un poliedro?

Los cuestionamientos antes mencionados y la lectura, análisis e interpretación que se hizo de forma global a los cuatro documentos titulados así: “Uso de nuevas tecnologías en el aula de matemáticas”, “Computer technology and the teaching of geometry”, “Estructura del aprendizaje en el contexto de los sistemas CAD”, y “Tendencias mundiales de la gráfica, en la ingeniería y la arquitectura”, dejaron entrever una problemática que versaba sobre el dibujo técnico, el uso del CAD, uso de nuevas tecnologías en el aula, el trazado con lápiz y papel y los contenidos de la geometría descriptiva.

La problemática fué delimitada alrededor de lo tecnológico, las habilidades intelectuales y motrices y, la construcción geométrica de poliedros con herramientas manuales y de informática gráfica. Se destacaron los estudios que sirvieron para ampliar y continuar la indagación y, las tendencias que se presentan en la enseñanza y el aprendizaje.

Las consideraciones anteriores llevaron a plantear el problema de investigación. El que se centró en lo relacionado con las ventajas y limitaciones didácticas que tiene el uso de la regla y el compás y, el programa de diseño asistido por computador para hacer la construcción geométrica de poliedros. Para lo que se enunció la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las ventajas y limitaciones didácticas que tiene el uso de la regla y compás y, el programa de diseño asistido por computador para hacer la construcción geométrica de un poliedro? Ésta se desagrego en las siguientes preguntas:

a.

¿Cuáles son las habilidades que logra el estudiante tanto con el programa de diseño asistido por computador, como con la regla y el compás?

88

b.

¿Cuáles son los conceptos geométricos que el estudiante debe poseer para hacer la construcción geométrica de poliedros con la regla y el compás y, con el programa de diseño asistido por computador?

c.

¿Cuáles son las actividades que se deben llevar a cabo en situaciones didácticas y adidácticas para hacer la construcción geométrica de poliedros con el programa de diseño asistido por computador

y, con la regla y el

compás? d.

¿Cuáles son las variables didácticas que deben tenerse en cuenta para diseñar situaciones didácticas y adidácticas en la enseñanza de la construcción geométrica de poliedros con el programa de diseño asistido por computador y, con la regla y el compás?

e.

¿Cuál es el ambiente propicio para colocar en marcha didácticas y

situaciones

adidácticas sobre la construcción geométrica de poliedros

usando el programa de diseño asistido por computador y, la regla y el compás? f.

¿Las habilidades que alcanzan los estudiantes en la construcción geométrica de poliedros con el programa de diseño asistido por computador, se pueden transferir a un contexto donde se use la regla y el compás y viceversa?

g.

¿Cuáles son las condiciones que deben tenerse en cuenta para transferir las habilidades de un contexto donde se use el programa de diseño asistido por computador a otro donde use la regla y el compás?

h.

¿Qué estudios se han realizado en la misma área de indagación o en campos afines con la construcción geométrica?

OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN. En el documento original del proyecto de tesis se formularon los objetivos que se transcriben a continuación:

89

OBJETIVO GENERAL Indagar en los registros generados por los estudiantes al enfrentar situaciones didácticas y adidácticas de construcciones geométricas de poliedros, en las interacciones de los estudiantes con el uso de la regla y el compás y, el programa de diseño asistido por computador, lo concerniente a las ventajas y limitaciones didácticas que se producen en el aprendizaje y en la enseñanza.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS a) Diseñar situaciones didácticas y adidácticas para la enseñanza de la construcción geométrica de una determinada familia de poliedros, tanto con la regla y el compás, y el programa de diseño asistido por computador, teniendo como referente la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau. b) Identificar las variables de comando didácticas que posibilitan el diseño de las situaciones didácticas y adidácticas. c) Recoger y analizar los registros escritos en papel y de pantalla, información almacenada en disquete, que producen los estudiantes cuando hacen la construcción geométrica de poliedros usando el programa de diseño asistido por computador y la regla y el compás. d) Elaborar la caracterización didáctica con la información que origina la orientación y aprendizaje de la construcción geométrica de poliedros con la regla y el compás, y el programa de diseño asistido por computador. e) Determinar las diferencias y limitaciones didácticas que se dan en los dos procesos, tanto el que se realiza con la regla y el compás como el que se hace con el programa de diseño asistido por computador, en el aprendizaje y la enseñanza de la construcción geométrica de poliedros.

En el proceso de investigación, los objetivos específicos fueron modificados y se planteo realizar el objetivo general mediante los dos objetivos específicos siguientes:

i.

Utilizar situaciones didácticas y adidácticas para la identificación de las ventajas y limitaciones didácticas en la construcción geométrica de una determinada familia de poliedros, teniendo como referente la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau.

90

ii.

Determinar las ventajas y limitaciones didácticas que se dieron en los dos procesos, tanto el que se realizó con la regla y el compás como el que se hizo con el programa de diseño asistido por computador.

En el objetivo modificado i, se incorporó el objetivo especifico a), como una actividad a realizar, al igual que se consideró que el b) estaba incorporado en el a); el c), se estimó como una exigencia metodológica, que se alcanzó en la realización de las situaciones, donde se observaron las acciones del estudiante y se obtuvieron sus registros, y el d), su logro eran el resultado de explicaciones inherentes a los fundamentos teóricos que resultaron de las diferentes averiguaciones que se hicieron.

HIPÓTESIS DE INVESTIGACION. Las hipótesis que se plantearon como resultado de los análisis preliminares fueron las siguientes:

i.

El uso de la regla y compás para la construcción de un poliedro y luego con el programa CAD, permitirá identificar las ventajas y limitaciones didácticas de los medios utilizados para el aprendizaje de tales construcciones.

ii.

Los conocimientos geométricos que se usan para construir un poliedro con regla y compás, son los mismos que se usan para construirlo con el CAD y viceversa, la diferencia radica en la forma de aplicarlos.

iii.

Homologar las funciones de la regla y compás con las funciones de los comandos permite evidenciar la transferencia de conocimientos y habilidades de una instrumentación a otra.

iv.

Las acciones del estudiante y sus registros permiten la toma de decisiones para orientar el aprendizaje.

v.

Las habilidades intelectuales que se fomentan con regla y compás para construir un poliedro pueden ser puestas en juego con el CAD al construir el mismo poliedro.

91

vi.

Es posible identificar contratos entre los estudiantes al resolver una situación problema para obtener el saber; de igual manera los que se dan entre el profesor y el saber; y entre el estudiante y el saber.

vii.

Lo que se reproduce en situación y en los registros facilita determinar las ventajas y limitaciones por medio del análisis, la interpretación, articulando la observación de las diferentes acciones realizadas por los estudiantes.

3.2 LA METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

Para la revisión y clasificación de investigaciones, de propuestas curriculares, de textos escolares, el diseño de instrumentos y la puesta en marcha de situaciones adidácticas; la metodología de estudio se llevó a cabo en cuatro fases.

3.2.1 Fase uno, análisis preliminares y a-priori.

Las intenciones de lo realizado en esta fase fueron; conseguir información para la estructuración de respuestas provisionales a las preguntas a, b, c, d, e, f, g y h, y en saber que tratamiento se le había dado a la construcción geométrica de poliedros en propuestas curriculares, en textos escolares y en cartillas.

Para lo que se revisaron propuestas curriculares, lineamientos curriculares de matemática, estándares de matemática, textos escolares y cartillas de dibujo y se seleccionaron algunos, luego se analizaron y se establecieron relaciones entre éstos que facilitaron determinar los conceptos, los contenidos, el saber a enseñar y las actividades didácticas. Con las conclusiones que se obtuvieron, se derivaron

92

los conocimientos geométricos, didácticos y teóricos; que se encontraron relacionados para construir poliedros, y se incorporaron en las temáticas del estudio didáctico.

Se estudió e hizo una lectura de las diferentes relaciones, los procedimientos para construir poliedros, los conocimientos que se ponen en juego para usar las herramientas. En este caso particular, se obtuvo información sobre la utilidad de los programas gráficadores, la tecnología que se identificó en los resultados de las diferentes investigaciones se centro en desarrollar estrategias que resolvieron las dificultades y obstáculos que se presentan para enseñar y aprender geometría.

Los análisis que se hicieron de las propuestas curriculares y textos escolares, mostraron que cuentan con poca fundamentación, y prevalece en estos una concepción basada en que construir es dibujar o trazar, y se concluyó que la enseñanza se ha centrado en la noción de dibujo y en el funcionamiento de la cantidad, es decir, en el trazado, en lo numérico y en la medida, lo que ha impedido la movilización de esquemas1 en los estudiantes para construir poliedros en lo geométrico y en lo grafico.

3.2.2 Fase dos, concepción de las situaciones didácticas y adidácticas.

Los objetivos que guiaron esta fase se centraron en tres; saber que concepciones tienen los profesores y como llevan a cabo la enseñanza, sondear sobre que aprendieron los estudiantes y sus concepciones, y en determinar una situación problema y en diseñar las situaciones adidacticas.

1

Esquema lo define Vergnaud ( 1999, p.142) como una “organización invariante de la conducta por una clase de situaciones dadas”

93

Lo que se fundamentó en experiencias piloto, donde se hicieron encuestas con profesores y se interpretó la información obtenida.

Se realizaron sondeos y pruebas con estudiantes. Con la información que se obtuvo en éstos se confirmó que los conocimientos y conceptos geométricos seleccionados fueron

los que se ponían en juego para construir figuras

geométricas planas y se corroboró que se puede construir una línea recta perpendicular a una dada, la bisectriz de un ángulo y construir algunos polígonos usando regla y el compás y el CAD; igualmente homologar las funciones entre las herramientas para establecer qué habilidades se ponen en juego y la variación del tipo de polígono. También, se verificó que éstos fue necesario diseñarlos para conseguir la información requerida y formularlos de forma que fueran claros para que se pudieran responder.

Fueron incorporadas al estudio, algunas de las conclusiones que se derivaron de las encuestas, al igual que los saberes previos identificados que tenían los estudiantes sobre las temáticas relacionadas para construir polígonos, y se tuvieron en cuenta las dificultades más frecuentes que se les presentaron.

Finalmente, se identificaron las concepciones de los estudiantes y profesores, y se analizo a priori el sistema didáctico en funcionamiento, en la dimensión epistemológica, cognitiva y didáctica, y, se determinaron las restricciones y las hipótesis de la ingeniería.

DISEÑO DE SITUACIONES DIDÁCTICAS Y ADIDÁCTICAS. Se determinaron los fundamentos geométricos y se tomaron en cuenta los datos conseguidos en el contexto de los salones de clase y, se articularon las conclusiones obtenidas de un diagnóstico, con lo que se establecieron las habilidades, y las variables didácticas.

94

Se precisaron las características y las restricciones para usar la instrumentación, se fijaron las condiciones para transferir las habilidades motrices e intelectuales y se concluyó en la formulación de una situación problema y a continuación, se describió como quedó constituida una situación fundamental y se dieron las instrucciones para que fuera resuelta, y se esbozó a-priori la forma en que la resolverían los estudiantes.

El diseño de las situaciones requirió la identificación de las variables didácticas, y la realización de éstas, exigieron hacer ajustes que permitieron una buena aceptación para resolverlas. Fué preciso tomar en consideración actividades que hicieran que los estudiantes a través de los medios se apropiaran del saber. Para ello, se tuvieron en cuenta los conceptos que son el fundamento de la teoría de las situaciones didácticas y algunos que fueron fundamento para el estudio ya tratados.

Trabajar con los poliedros rectos favoreció el diseño de las situaciones y ayudó a perfeccionar el procedimiento que condujo a su construcción. En la enseñanza fue favorable usar de forma alternada las herramientas para construirlo con una u otra.

Para la organización del saber enseñar, se comenzó por analizar las características que presenta, la forma como es tratado en las propuestas curriculares y textos escolares, como se enseña y se aprende, y las diferencias que tuvo cuando fue incorporado en cada momento. Las interpretaciones que se hicieron a los saberes específicos y afines que se hallaron, sirvieron de referente para constituir el saber “construcción geométrica de poliedros usando regla y compás y CAD”, el que se enseñó en las experiencias que se llevaron a cabo en este estudio.

95

En el diseño de las situaciones didácticas, la transposición didáctica fue una etapa de adaptabilidad entendida como la que ocurre del saber enseñar al saber enseñado, que se hizo para organizar los conocimientos específicos y afines en situaciones problémicas con la intención de ponerlas en marcha y poder hallar datos que ayudaron a acopiar información y conocimientos para organizarlos y estructurar un saber sobre la construcción de poliedros.

El profesor fue un diseñador de las relaciones e interacciones que vincularon el problema o las situaciones problema a las actuaciones de los estudiantes, de tal forma que les permitió interactuar con otros y formar su propia concepción del saber que estuvo en juego.

La situación problema formulada. Las características de las situaciones fueron determinadas en función de la connotación del saber que fue enseñado, de las realizaciones que fueron llevadas a cabo por los estudiantes y de las relaciones ya tratadas. Esto, teniendo en cuenta, las que realizaron y resolvieron por medio de la acción, de la formulación, de la prueba, de la construcción de modelos, de lenguajes, de teorías y el intercambio con otros.

El saber que se relacionó de forma específica con la construcción de poliedros, fue convertido en situaciones que pudieron vivenciar los estudiantes. Lo que supuso reflexionar y dedicar esfuerzos para obtener información y dar respuestas que contribuyeron a su diseño.

3.2.3 Fase tres, puesta en marcha.

Esta fase tuvo como objetivos, Interpretar las acciones de los estudiantes y recoger datos y registros, y se basó en la puesta en juego de las situaciones. Los

96

que intervinieron fueron: los estudiantes, el profesor y la instrumentación ya explicitada. Las interacciones que se dieron entre éstos fueron: profesor y estudiante, estudiante y saber, profesor y saber y, estudiante y estudiante.

¿Cuál fue el proceso de aprendizaje para construir un poliedro recto con las herramientas?, el proceso que realizó el estudiante para aprender a construirlo fue el siguiente: primero interpretó y comprendió las situaciones problema que se le comunicaron de forma verbal o escrita, asimilación2, luego hizo descripciones y análisis de la noción de un poliedro recto que reprodujo de los que hay en el programa Poly 3 , situación en la que se generó una interacción entre los estudiantes y las herramientas, acción, después generó las soluciones para establecer relaciones entre las funciones de los comandos y las de la regla y compás, situación cuya intención fue la comunicación de informaciones entre estudiantes para la determinación de homologaciones entre las herramientas, formulación.

Una vez superada la etapa anterior, acomodación4, determinó cuál fué el proceso que hizo con cada herramienta que usó, situación en la que se trató de convencer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que hicieron sobre el poliedro construido, validación, y luego, fue necesario que reprodujera por si sólo lo que aprendió y usarlo por sí mismo para construirlo con la otra herramienta en condiciones diferentes, y posteriormente el profesor organizó las observaciones que detectó en el proceso para darles sentido y orientarlas, situación destinada a establecer los conocimientos y conceptos geométricos por parte del profesor, institucionalización.

2

“aumento de esquemas ya adquiridos por agregación de hechos nuevos”. (Brousseau, 1999, p.116).

3

El programa poly permite visualizar poliedros y sus desarrollos.

4

“reorganización de esquemas para responder preguntas nuevas o para resolver contradicciones” (Brousseau, 1999, p.116).

97

Los estudiantes se apropiaron de la situación problema planteada, lo que garantizó construir el poliedro, es decir, el estudiante acepto la situación propuesta y adquirió la responsabilidad de resolverla, devolución. La situación que resolvieron por sí solos con un tipo de herramienta, se caracterizó por enfrentarlos a problemáticas que solucionaron en forma independiente en la que el profesor no intervino.

¿Cómo saber cuando los estudiantes aprendieron construir un poliedro?, para saber cuando los estudiantes sabían construirlo, debieron resolver tres situaciones que buscaban que se construya con la regla y compás y luego con el programa CAD o viceversa. Luego transferir las habilidades y conocimientos aprendidos con un tipo de herramienta y ponerlos en juego construyéndolo con la otra o viceversa, en la que debieron actuar de forma autónoma.

Esto supuso que los estudiantes definieron los conceptos geométricos e hicieron la construcción geométrica del poliedro, ya fuera con la regla y compás o el programa CAD, y teniendo en cuenta las condiciones que fueron explicitadas en el instrumento que describió la Situación Didáctica (Véase anexo G).

Un elemento de la teoría con el que se determinaron las relaciones que se pusieron en juego entre los subsistemas fundamentales fue el contrato didáctico. Éste es un medio de regulación para que el juego se mantuviera vivo. Para conseguir el compromiso de los estudiantes en su aprendizaje, se generaron estrategias que provocaron la necesidad de enfrentar las situaciones como la interacción permanente con ellos y los cuestionamientos a lo tratado.

¿Cómo se identificaron los contratos entre el estudiante al resolver las situaciones adidácticas para construir un poliedro recto; de igual manera los que se dieron

98

entre el profesor y el saber; y entre el estudiante y el profesor? Mediante las interacciones que se establecieron entre los elementos que intervinieron en el interior del sistema didáctico. Los contratos que pudieron determinarse fueron: un contrato indirecto que se fijó entre el estudiante y el uso de la instrumentación, un contrato genérico determinado por el profesor por medio de las herramientas y los conocimientos que subyacen para el uso de estos, un contrato directo, que se estableció entre el estudiante y el profesor y un contrato social que se constituyó por medio de las distintas relaciones de los estudiantes. Éstas fueron las responsabilidades que se detectaron cuando los estudiantes y el profesor se relacionaron para incorporar los conocimientos y el saber requerido.

¿Cómo se entendió y utilizó la teoría de las situaciones didácticas en el aprendizaje y enseñanza de la construcción geométrica de poliedros? Sirvió de referente para plantear las situaciones que posibilitaron un trabajo regulado y negociado del saber que se puso en juego. El estudiante aprendió cuando fue capaz de resolver situaciones problémicas mediante la adaptabilidad que él hizo de los conocimientos con las variables del medio.

La actividad del estudiante haciendo una interpretación de lo que sucedió, corresponde, en parte, a la concepción que hizo de poliedros mediante la interpretación de la problemática que se le propuso; y en reproducirlos.

Evidentemente, se generaron las condiciones con las que identificó las propiedades geométricas y conceptos que puso en juego para construirlos.

3.2.4 Fase cuatro, análisis a posteriori

Los objetivos de lo realizado en esta fase fueron; organizar la información para su interpretación, determinar las ventajas y limitaciones didácticas y en elabora la

99

caracterización didáctica. Para lo que se hicieron los análisis a posteriori, los que estuvieron basados en la interpretación de los datos encontrados en los registros que se consiguieron mediante la puesta en marcha de las situaciones adidácticas, y en establecer un significado para las ventajas y limitaciones identificadas.

Enseguida, se hicieron dos análisis sintéticos, uno a la parte predictiva basado en las previsiones para poner en marcha las situaciones didácticas y otro a posteriori fundamentado en las observaciones obtenidas en las experiencias, y la interpretada en los registros. Se confrontaron los dos procesos y se derivaron las conclusiones.

A partir de los resultados que se derivaron de la confrontación, se precisaron las características didácticas, basadas en los referentes teóricos y conceptuales que se tuvieron en cuenta, y en las interpretaciones que se trataron desde el sistema didáctico y se dedujeron los argumentos para fundamentar la validez de las hipótesis.

100

4

ANÁLISIS PRELIMINARES Y A-PRIORI

Este capitulo trata sobre los análisis que se hicieron en las propuestas curriculares, textos escolares y la información que se recogió de encuestas y sondeos realizados a profesores y estudiantes de instituciones educativas de la media académica y técnica y los análisis a-priori que se hicieron al sistema didáctico. Lo antes mencionado es tratado en dos secciones:

En la primera se hicieron los análisis preliminares basados en las propuestas curriculares y de textos escolares, en la información que se consiguió por medio de encuestas y sondeos aplicados a profesores y estudiantes sobre las temáticas relacionadas para construir figuras geométricas con las herramientas.

La segunda trata de los análisis a-priori sobre el funcionamiento del sistema didáctico basados en los análisis y resultados de la sección anterior, y se fijaron los criterios para analizar a-priori cada una de las dimensiones que establece la Metodología de la Ingeniería Didáctica (dimensión epistemológica, la dimensión cognitiva y la dimensión didáctica).

4.1

ANÁLISIS PRELIMINARES

En esta sección se hizo el análisis de las propuestas curriculares y textos escolares con el fin de saber cómo se trataron los conceptos geométricos relacionados con la construcción geométrica de poliedros. Las propuestas y textos

seleccionados se analizaron en forma independiente y se establecieron relaciones que facilitaron determinar los conceptos, los contenidos, las habilidades y las actividades didácticas.

También trata lo concerniente a las inferencias que se hicieron como resultado del procesamiento e interpretación de la información que se consiguió por medio de las encuestas aplicadas a profesores de la media académica y técnica, alrededor de las ventajas y limitaciones que tiene hacer construcciones geométricas con regla y compás, y el programa de diseño asistido por computador (CAD), y se identificó lo que saben los estudiantes y sus concepciones sobre las temáticas relacionadas para construir figuras geométricas con regla y compás, y el programa CAD.

4.1.1 Análisis de propuestas curriculares y de textos escolares.

Con el fin de saber cuál es el tratamiento que se da a los conceptos geométricos relacionados con la construcción geométrica de poliedros, se hace un análisis a las propuestas curriculares y a los textos escolares.

Para establecer los criterios que permitieron la elección de las propuestas curriculares y los textos escolares se hizo una exploración en instituciones de educación básica, técnica y en librerías.

Las propuestas curriculares y textos escolares seleccionados son analizados en forma independiente y se determinaron los conceptos, los contenidos, las habilidades y actividades que se tuvieron en cuenta en el diseño de las situaciones didácticas y adidácticas, cabe destacar que en el momento de la elección de éstas ninguna desarrolla temas de acuerdo con la teoría de Situaciones didácticas.

102

¾

Exploración para elegir las propuestas

De las propuestas curriculares, que se encuentran para orientar la formación de los estudiantes en el SENA del Complejo Salomia de la Ciudad Santiago de Cali, se seleccionó para hacer el análisis el bloque modular de dibujo técnico de la especialidad en Automatización y Control de Procesos (Colombia. Servicio Nacional de

Aprendizaje, 2000),

porque

en él se mencionan

algunas

construcciones geométricas y tiene mejor expuestos los contenidos relacionados con la geometría.

El análisis de la propuesta curricular de las instituciones técnicas se hizo con la de una Institución Educativa Técnico Industrial24 por dos razones: es una institución que tiene reconocimiento social a nivel de la ciudad Santiago de Cali por la calidad de sus egresados, tiene una buena organización en la sala de dibujo con herramientas tradicionales y usan dos programas graficadores, el diseño asistido por computador y SOLID EDGE V-10, y facilitaron la propuesta curricular de los grados sexto a décimo primero del área de dibujo industrial.

Para elegir los textos escolares, se realizó una exploración a veinticinco instituciones educativas, quince de media académica y diez de la media técnica.

En cuanto a los textos guías que sirven de base para orientar en geometría y el dibujo técnico, se preguntó en qué grados se enseña geometría y dibujo técnico, y cuál era el texto guía en cada caso. Las respuestas se dieron en algunos casos por profesores, por el rector o por el coordinador.

Los resultados obtenidos del procesamiento de la información de la exploración, se resumen así: en donde se enseña el dibujo técnico desde el grado sexto hasta octavo es en las instituciones técnicas y para guiar el trabajo de los estudiantes 24

Se mantiene en anonimato el nombre de la institución.

103

se realiza mediante los textos escolares: Dibujo Técnico Creativo 2, Matemática PH nueva edición, grados 7 y 8, Dibujo Artístico 6 a 11, Dibujo Técnico Creativo 2, Dibujo Técnico Aplicado 10 y 11 y se utilizan talleres, guías de trabajo, fotocopias de textos, tareas en textos que tiene la biblioteca del colegio, en algunos casos éstos son preparados por el profesor que orienta la materia o por un comité de área.

En cuanto a las instituciones académicas para orientar el área de la geometría se hace por medio de los textos escolares Matemática PH nueva edición 6 y 7, ALFA 7 con Estándares y Aventuras Matemática 7 y se ayudan con talleres y guías de trabajo que prepara el profesor o un comité de área y se colocan tareas de textos que tiene la institución educativa.

Con estudiantes de grado noveno y undécimo de Instituciones Educativas Técnico Industrial, se solicitó un taller de Matemáticas o de Dibujo Técnico que conservaran del grado que cursaban o anteriores y facilitaron varios que tienen la siguiente organización: el nombre de la institución, espacios en blanco para que el estudiante los llene con su nombre, con el grado y nombre del profesor.

Aparecen ejercicios que se supone son fotocopiados de un texto, y al final aparece una nota que hace mención a las condiciones de entrega del taller.

Se consultó a varios docentes de dibujo, y unos preparan sus propios talleres, otros se guían por el texto de Ediarte25.

Es de suponer que los documentos que se elaboran para hacer tareas, talleres y demás actividades de aprendizaje no incorporan datos de los textos de donde se

25

El texto escolar Dibujo Técnico Creativo es conocido en la comunidad escolar como Ediarte.

104

extrae la información, es posible que éstos se fundamenten en el saber de los profesores o de la comunidad educativa de la Institución, por lo tanto éstos no proporcionan suficiente información que facilite hacer la elección de los textos.

Se consultó a los vendedores de mostrador en las librerías26, ¿Cuál es el texto de matemáticas y de dibujo de los grados sexto, séptimo, octavo, noveno, décimo y undécimo que es pedido con mayor frecuencia en temporada escolar?, la respuesta es que los textos que se solicitan son diversos y

mostraron los

siguientes: Matemáticas

en

Matemáticas

6,

Construcción Herramientas

6,

Dimensión

Matemáticas

7,

Matemática Estrategias

6,

Herramientas

Matemáticas

6,

Estrategias Matemáticas 7, Desafíos Matemáticos 6, Desafíos Matemáticos 7, Inteligencia Científica 6, Inteligencia Científica 7, Inteligencia Lógico Matemática 6, Inteligencia Lógico Matemática 7, Matemáticas Prentice Hall 6, Matemáticas Prentice Hall 7, Nova 7, Matemáticas 6, Block Base 30, Dibujo Técnico Creativo 7, Dibujo Técnico Creativo 8, Dibujo Técnico Aplicado 11.

Después de observar e inspeccionar cada uno de los textos, se hizo una primera interpretación de la forma como se trata el tema de interés; unos se dedican a las operaciones aritméticas, otros a la medición, otros en cada capítulo refieren un tópico de la geometría, algunos son descriptivos y unos son breves. Los aspectos antes expuestos sirvieron para establecer los criterios de selección.

Cinco razones por lo menos llevaron a tomar la decisión de elegir los textos escolares siguientes: Matemáticas énfasis con Competencias 7 (Padilla Chasing, 2001), Alfa con Estándares 6 (Camargo Uribe, 2004), Dibujo Técnico Aplicado 10 (Zabala Vargas, 1996) y Dibujo Técnico Creativo 2 (Páez Téllez y Villa Medina, 26

Librería Atenas, Librería Nacional, Librería el Paisa, Librería y Papelería Ramírez, Librería y Papelería Antaño. Todas están ubicadas en la ciudad Santiago de Cali.

105

1999). Son ediciones recientes, muy entendibles la aplicación de los conceptos con variedad de ejemplos, la claridad con que se muestran algunas construcciones geométricas, la forma en que se presenta el dibujo de algunos poliedros y la relación que se puede establecer entre conceptos del dibujo técnico tradicional y la construcción de poliedros.

Posteriormente, se observó de forma mas detenida el tratamiento que se hace de los contenidos en los cuatro textos escolares seleccionados y se decidió que el análisis se haría con el texto escolar Alfa con Estándares 6 porque hace un introducción a la construcción geométrica y trata los poliedros en forma detallada y los textos Dibujo Técnico Creativo 2 y Dibujo Técnico Aplicado 10, porque es donde se encuentran los conceptos geométricos básicos y los principios del dibujo técnico, y además, porque algunas instituciones educativas los usan actualmente.

Los textos con que cuenta el Servicio Nacional de Aprendizaje son manuales, guías, talleres, cartillas y libros en casi todas las ocupaciones y especialidades. Éstos son utilizados para orientar la formación como ayudas didácticas en las ocupaciones, especialidades técnicas y tecnológicas. Varios de estos textos se elaboraron por instructores, por expertos y en algunos casos son de autoría de otros países que por medio de convenios autorizan al SENA para que se hagan traducciones y reproducciones en nuestro país.

Las cartillas que se tienen de dibujo técnico la elaboraron instructores del SENA. Éstas son usadas por un buen porcentaje de instructores tanto de dibujo como de las ocupaciones, especialidades técnicas y tecnológicas. Para hacer el análisis de los contenidos, se seleccionaron las siguientes: Construcciones Geométricas y Proyecciones Diédricas y Ortogonales,

porque es donde se encuentra la

fundamentación de las construcciones geométricas y se usan con mucha frecuencia por los estudiantes.

106

¾

Análisis de las propuestas curriculares

A continuación se verá cuál es la disposición que tienen los temas en el interior de las unidades en que están divididas las propuestas curriculares y las relaciones que se pueden establecer entre los temas con la noción de construcción geométrica de poliedros. Se observará, también, la configuración temática interna que tiene la organización de cada una de dichas unidades.

a)

Bloque modular de dibujo técnico. El análisis de la propuesta curricular del

Bloque Modular de Dibujo Técnico, se hizo bajo los criterios siguientes: el tipo de relaciones que se establecen en el interior de éste, cómo se relacionan las temáticas con los conceptos de construcción geométrica de poliedros; los propósitos que se persiguen y fijación de un diagrama de bloques que exprese claramente las relaciones entre las temáticas.

La propuesta curricular en la especialidad de Tecnología en Automatización Industria, tiene varios bloques modulares en los que se incluye el de Dibujo Técnico.

El Bloque Modular de Dibujo Técnico, lo componen Módulos Instruccionales en el área del dibujo técnico, un objetivo y una presentación de cada módulo instruccional. Los instruccionales, contienen el objetivo, los requisitos para llevarlo a cabo y las diferentes operaciones que deben hacerse. Él bloque se encuentra organizado de la siguiente forma: PROGRAMAS MODULARES DE AUTOMATIZACIÓN27 BLOQUE MODULAR: DIBUJO TÉCNICO. ESPECIALIDAD: TECNOLOGÍA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL 27

Tomado del Catálogo Nacional de Ocupaciones SENA. Dirección General. Santafé de Bogotá COLOMBIA, 1997. pp.51-56

107

OBJETIVO DEL BLOQUE MODULAR: El estudiante al aprobar el curso estará en capacidad de dibujar a mano alzada elementos de máquina para llevarlos a planos ajustados a normas internacionales.

MÓDULOS INSTRUCCIONALES QUE LO INTEGRAN NOMBRE DURACIÓN Construcciones Geométricas 20 horas Teoría de la Proyección 10 horas Vistas Múltiples 20 horas Vistas de Sección 10 horas Acotado* 10 horas Intersecciones y Desarrollos 10 horas

El Bloque lo constituyen seis módulos instruccionales en los que se pueden notar que son temáticas básicas que se enseñan en el dibujo técnico. Según el orden expuesto primero se debe enseñar las construcciones geométricas y luego la teoría de la proyección y así sucesivamente.

Los dos módulos instruccionales que se eligieron para el análisis se resaltaron con negrita cursiva y tienen la siguiente estructura: 1.

PROGRAMAS MODULARES DE AUTOMATIZACIÓN BLOQUE MODULAR: DIBUJO TÉCNICO. ESPECIALIDAD: TECNOLOGÍA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL MÓDULO INSTRUCCIONAL: Construcciones Geométricas OBJETIVO: Capacitar al estudiante mediante un proceso para que interprete, resuelva y aplique los problemas relacionados con construcciones geométricas.

REQUISITOS: Conceptos básicos de geometría: líneas, ángulos, mediatriz, bisectriz, paralelas y perpendiculares.

OPERACIONES Trazos perpendiculares a una línea recta Trazos de ángulo Trazos de triángulos Construcción de polígonos regulares Curvas de enlace Secciones cónicas Cicloide, epicicloide, hipocicloide

2.

PROGRAMAS MODULARES DE AUTOMATIZACIÓN BLOQUE MODULAR: DIBUJO TÉCNICO. ESPECIALIDAD: TECNOLOGÍA EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL MÓDULO INSTRUCCIONAL: Vistas Múltiples OBJETIVO: Describir el tamaño de los sólidos representados en las proyecciones ortogonales aplicando normas básicas de acotado y dimensionado.

REQUISITOS: Construcciones geométricas, abstracción, vistas, conceptos sobre teoría proyección según normas técnicas.

OPERACIONES

108

Posiciones de las vistas Proyección de superficies planas Círculos Dibujos de vistas principales Vistas auxiliares

Los módulos instruccionales plantean los conceptos y temas que se encuentran relacionados entre sí. Al parecer, son tareas las que se explicitan en lo que se denomina operaciones, de modo que el estudiante fomenta sus habilidades y aprendizaje de los conceptos mediante éstas. A continuación, se ha construido el diagrama de contenidos del Bloque Modular de Dibujo Técnico del SENA, de la especialidad de Tecnología en Automatización Industrial.

VISTAS DE SECCIÓN Planos de corte Visualización de una sección o corte: longitudinal, transversal, escalonado Tipos de secciones: giradas, desplazadas, abatidas

TEORÍA DE LA PROYECCIÓN Proyección ortogonal Isometría Proyección isométrica, dimétrica frontal y oblicua

INTERSECCIONES Y DESARROLLOS Desarrollo de superficies Intersecciones Aplicaciones en ductos y tuberías

VISTAS MÚLTIPLES Posiciones de las vistas Proyección de superficies planas Círculos Dibujos de vistas principales Vistas auxiliares

ACOTADO Reglas Inscripciones Tipos de cotas Criterios de acotado

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Trazos perpendiculares a una línea recta Trazos de ángulo Trazos de triángulos Construcción de polígonos regulares Curvas de enlace Secciones cónicas Cicloide, epicicloide, hipocicloide

Diagrama de contenidos del Bloque Modular de Dibujo Técnico del SENA

Las relaciones que son establecidas en el interior de la propuesta del bloque modular se pueden apreciar en el diagrama de contenidos, éstas se centran en el módulo instruccional Construcciones Geométricas y vinculan los módulos instruccionales: Teoría de la proyección, Vistas de Sección y Vistas Múltiples

109

mediante los conceptos de las construcciones geométricas,

el trazado de

perpendiculares, de triángulos, de polígonos y de otros tipos de trazo.

El propósito que se persigue en el bloque modular es dibujar a mano alzada elementos de máquina para llevarlos a planos y ajustarlos a normas internacionales. En el diagrama de bloques se expresan las relaciones entre los módulos instruccionales y a continuación se enuncian los objetivos que se deben alcanzar en los módulos instruccionales que se seleccionaron.

Interpretar y resolver problemas relacionados con las construcciones geométricas, la representación de sólidos en un plano mediante aplicación del dibujo isométrico.

Describir el tamaño de los sólidos representados en las proyecciones ortogonales aplicando normas básicas de acotado y dimensionado.

b)

Propuesta curricular de los grados 60 hasta 110. La organización de la

propuesta curricular de la Institución Educativa Técnico Industrial, en el área de dibujo industrial es la siguiente: nombre del área, título que expide la institución, justificación, misión, visión, objetivos generales, capacidades terminales, perfil profesional y ocupacional, formación en dibujo técnico básico, y contenidos de los grados 60 hasta 110. Ésta se encuentra estructurada de la siguiente forma:

NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICO INDUSTRIAL NOMBRE DEL ÁREA: DIBUJO INDUSTRIAL. TÍTULO A EXPEDIR: BACHILLER CON PROFUNDIZACIÓN EN DIBUJO INDUSTRIAL. JUSTIFICACIÓN Los diseñadores, ingenieros, técnicos y operarios de las diferentes especialidades del ámbito industrial requieren, además de un lenguaje hablado y escrito de un lenguaje gráfico que les permita plantear y confrontar sus ideas en lo concerniente al desarrollo de un producto, de un proceso, de una máquina, etc.

Teniendo en cuenta el currículo, crearon la cátedra de dibujo técnico, esencial para la formación integral del futuro egresado, cátedra que fija la diferencia entre un empírico y un técnico con formación académica.

110

En el medio industrial no es suficiente que: el ingeniero, el técnico y el operario, se comuniquen con ayuda de un lenguaje gráfico, se necesita de alguien que les sirva de enlace; esta labor se le ha encomendado a un técnico con formación teórica-práctica en lo relacionado con el trazado, las normas y las convenciones de carácter universal que rigen el dibujo y con formación teórica en los diferentes procesos de manufactura específicos del área metalmecánica, este técnico es el DIBUJANTE INDUSTRIAL. MISIÓN Orientar en los educandos las potencialidades del dibujo como lenguaje de comunicación gráfica universal, permitiéndole enriquecer sus conocimientos con base en las nuevas tecnologías, garantizándoles su ideal de vida y la proyección de este ideal para el servicio de su familia, de la sociedad y del país.

VISIÓN Propiciar la formación integral de sus estudiantes de forma tal que a la par que se apropien del conocimiento técnico y de los conceptos propios de la especialidad también se distingan como personas con alto sentido ético y moral que les permita tomar las decisiones correctas en su relación con las demás personas con las que comparten un espacio de trabajo; lo anterior unido a una formación en el aprender a aprender que despierte en ellos la creatividad y la motivación para ser del estudio y la investigación una norma de vida, proyectando todo este bagaje hacia el desarrollo de una mentalidad empresarial.

OBJETIVOS • Fomentar en los jóvenes que ingresan a la especialidad valores de convivencia como respeto a la vida y a los demás derechos humanos permitiendo que la formación responda a la necesidad de desarrollo integral del ser.

•

Conciliar lo humanístico, lo científico, lo tecnológico y lo técnico en coherencia con la vida activa del trabajo de manera sistemática, globalizada y conceptual.

•

Fomentar y orientar la indagación en el campo Científico-Tecnológico hacia la búsqueda de soluciones reales a los paradigmas que la vida socio-laboral hoy nos presenta con el uso de nuevas tecnologías.

•

Alcanzar altos niveles de rendimiento en la formación socio-ética, académica y técnica de los dibujantes y su función en las otras especialidades.

•

Fomentar la creatividad y libertad estética con el uso hardware y software.

•

Dotar a los educandos de los conocimientos tecnológicos y computacionales para la exploración en Internet y los programas de diseño.

CAPACIDADES TERMINALES El dibujante industrial debe ser un individuo con entrenamiento especial, para asistir al ingeniero en su desempeño profesional. Su trabajo puede ir, desde la simple labor de delineante – ya obsoleta –hasta la labor de diseñador o de especialista en control de la calidad.

En general el dibujante sirve de puente para establecer la comunicación entre el ingeniero y otros técnicos y/u operarios. El dibujante debe ejercitarse, enormemente, su juicio e imaginación para realizar el trabajo encontrado y asumirlo con mayor responsabilidad que otros técnicos vinculados al desarrollo del producto.

111

PERFIL PROFESIONAL Y OCUPACIONAL: DELINEANTE–CAD, DIBUJANTE DE TALLER, DIBUJANTE PROYECTISTA, DISEÑADOR Y DIBUJANTE JEFE. FORMACIÓN EN DIBUJO TÉCNICO BÁSICO. Formación dirigida a los grados 60, 70, 80 y 90 El objetivo final es capacitar al estudiante, de cualquiera de las especialidades técnicas, en la teoría de las proyecciones, normas y convenciones propias del dibujo técnico que le permitan en un futuro, leer e interpretar los planos relacionados con su especialidad.

CONTENIDOS GRADO 60 • DIBUJO A PULSO • CALIGRAFÍA TÉCNICA • INTRODUCCIÓN A LAS PROYECCIONES • MEDICIÓN • CONSTRUCCIÓN DE ISOMETRÍAS CONTENIDOS GRADO 70 • USO DE LAS ESCUADRAS • PROYECCIÓN ISOMÉTRICA • PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SÓLIDO • LAS TRES DIMENSIONES DEL ESPACIO • LA PROYECCIÓN DIÉDRICA • INTERPRETACIÓN DE PROYECCIONES DIÉDRICAS CONTENIDOS GRADO 80 • ESCALAS DE REPRESENTACIÓN • REPRESENTACIÓN ISOMÉTRICA DE SUPERFICIES CILÍNDRICAS • REPRESENTACIÓN DIÉDRICA (VISTAS) DE OBJETOS QUE PRESENTAN FORMAS CILÍNDRICAS • INTERPRETACIÓN DE PROYECCIONES DE OBJETOS QUE PRESENTAN FORMAS CILÍNDRICAS • NORMAS BÁSICAS DE ACOTADO CONTENIDOS GRADO 90 • NORMAS BÁSICAS DE ACOTADO • SECCIONES Y CONVENCIONES • TIPOS DE CORTES • CONVENCIONES MAS USUALES CONTENIDOS PROFUNDIZACIÓN TÉCNICA GRADOS 80 Y 90 • CONSTRUCCIÓN DE SÓLIDOS ISOMÉTRICOS CON SUPERFICIES PLANAS • CONSTRUCCIÓN DE SÓLIDOS ISOMÉTRICOS CON SUPERFICIES CILÍNDRICAS • INTERPRETACIÓN DE PROYECCIONES DE OBJETOS CON SUPERFICIES PLANAS Y CILÍNDRICAS CONTENIDOS DE LA ESPECIALIDAD GRADO 100 EJES TEMÁTICOS • CONOCIMIENTO DEL AMBIENTE DE TRABAJO Y MANEJO DE COMANDOS 2D DE AUTOCAD PARA EL TRAZADO DE DIBUJOS EN EL CAMPO DE LA INGENIERÍA • ELEMENTOS DE SUJECIÓN DESMONTABLES • ELEMENTOS DE SUJECIÓN NO DESMONTABLES • MEDICIONES

112

• •

ENGRANAJES CILÍNDRICOS RECTOS ENGRANAJES CÓNICOS RECTOS

MODELADO DE PIEZAS, DE CONJUNTOS Y GENERACIÓN DE PLANOS EMPLEANDO SOLID EDGE V-10 CONTENIDOS DE LA ESPECIALIDAD GRADO 110 EJES TEMÁTICOS • TOLERANCIAS Y AJUSTES DIMENSIONALES • CONOCIMIENTO DEL AMBIENTE DE TRABAJO Y MANEJO DE COMANDOS 2D DE AUTOCAD PARA EL TRAZADO DE DIBUJOS EN EL CAMPO DE LA INGENIERÍA • MARCAS DE ACABADO SUPERFICIAL • DIBUJOS DE ENSAMBLE • DIBUJOS DE DESPIECE • CONOCIMIENTO DEL AMBIENTE DE TRABAJO Y MANEJO DE COMANDOS 3D DE AUTOCAD PARA EL MODELADO DE DIBUJOS EN EL CAMPO DE LA INGENIERÍA • MODELADO DE PIEZAS, DE CONJUNTO Y GENERACIÓN DE PLANOS EMPLEANDO SOLID EDGE V-10 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE 0 Los estudiantes inician, en el grado 10 , la elaboración de un anteproyecto que, por lo general, está relacionado con los procesos de manufactura propios de la industria metalmecánica. Esta 0 labor es afinada en el grado 11 y presentada como proyecto final al terminar el curso, cumpliendo el siguiente requisito: Debe adecuarse a un formato preestablecido para la formulación de un proyecto.

En la propuesta anterior se resaltaron con negrita cursiva las temáticas que son analizadas en los grados séptimo y décimo. A continuación se exponen los contenidos temáticos de cada grado.

CONTENIDOS GRADO 70 • USO DE LAS ESCUADRAS • PROYECCIÓN ISOMÉTRICA • PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN SÓLIDO • LAS TRES DIMENSIONES DEL ESPACIO • LA PROYECCIÓN DIÉDRICA • INTERPRETACIÓN DE PROYECCIONES DIÉDRICAS Nota: la propuesta del texto en grado séptimo coincide con la temática de la propuesta curricular del texto escolar DIBUJO TÉCNICO CREATIVO 2.

CONTENIDOS DE LA ESPECIALIDAD GRADO 100 EJES TEMÁTICOS • CONOCIMIENTO DEL AMBIENTE DE TRABAJO Y MANEJO DE COMANDOS 2D DE AUTOCAD PARA EL TRAZADO DE DIBUJOS EN EL CAMPO DE LA INGENIERÍA • ELEMENTOS DE SUJECIÓN DESMONTABLES • ELEMENTOS DE SUJECIÓN NO DESMONTABLES • MEDICIONES

113

• •

ENGRANAJES CILÍNDRICOS RECTOS ENGRANAJES CÓNICOS RECTOS

MODELADO DE PIEZAS, DE CONJUNTOS Y GENERACIÓN DE PLANOS EMPLEANDO SOLID EDGE V-10 Nota: las temáticas no aparecen especificadas en la propuesta curricular

La configuración interna de los contenidos temáticos de cada grado no es explícita en la propuesta. El tipo de relaciones que se pueden establecer es externo.

Se puede decir que las temáticas del grado séptimo se encuentran relacionadas entre sí mediante la afinidad de los conceptos que se pueden usar en el interior, por tal razón el Uso de las Escuadras, La Proyección Isométrica, La Proyección Ortogonal de un Sólido, Las Tres Dimensiones del Espacio, La Proyección Diédrica y La Interpretación de Proyecciones Diédricas, pueden ser vistas tomando como eje temático La Proyección Diédrica, por medio de ésta se pueden enseñar las construcciones geométricas.

En cuanto el grado décimo, el tratamiento que se dio fue similar al anterior. Las temáticas Conocimiento del Ambiente de Trabajo y Manejo de Comandos 2D de AUTOCAD para el Trazado de Dibujos en el Campo de la Ingeniería, Elementos de

Sujeción Desmontables, Elementos de Sujeción no Desmontables, Mediciones, Engranajes Cilíndricos Rectos, Engranajes Cónicos Rectos y el Modelado de Piezas, de Conjuntos y Generación de Planos Empleando SOLID EDGE V-10. El eje temático de éstas podría ser la temática Conocimiento del Ambiente de Trabajo y Manejo de Comandos 2D de AUTOCAD para el Trazado de Dibujos en el Campo de la Ingeniería.

Es factible que por medio de la temática enunciada en el párrafo anterior se pueda estudiar el uso de los diferentes comandos y las construcciones geométricas. El

114

propósito que se persigue en los grados séptimo y décimo tendría que formularse tomando como referente los objetivos expuestos en la propuesta.

De lo tratado en las propuestas se derivan algunas temáticas que vinculan el dibujo técnico y la construcción geométrica. Esto está en concordancia con lo planteado en los lineamientos curriculares de matemáticas, lo que permite establecer ciertas relaciones como describir figuras y cuerpos, representar objetos tridimensionales y clasificar polígonos.

La propuesta de la Institución Educativa Técnico Industrial, se centra en los temas y es por medio de éstos que el estudiante aprende. También se nota que hay diferencias en los objetivos expuestos, mientras en la propuesta del SENA se centra en lo específico, la otra da una mirada a lo humano y disciplinar. No obstante, el tratamiento que se da al uso de las herramientas y los conceptos geométricos guarda tres diferencias que se pueden

encontrar en el siguiente

cuadro:

Institución Educativa Técnico Industrial.

SENA.

Usan transportador, reglas y lápices para el trazado de líneas rectas perpendiculares, líneas rectas paralelas y ángulos.

Hay aplicación en los dibujos de la construcción geométrica de perpendiculares paralelas, triángulos y polígonos.

Usan dos programas graficadores en los grados décimo y décimo primero.

Usan la regla y compás para el trazado de líneas rectas perpendiculares, líneas rectas paralelas y ángulos.

Se orienta por medio de ejercicios en el plano para construir líneas rectas perpendiculares paralelas, triángulos y polígonos.

Los programas tienen uso específico, según sea la ocupación o especialidad.

La propuesta de la Institución Educativa Técnico Industrial, se puede prestar para varias interpretaciones debido a que las temáticas expuestas no dan a conocer los conceptos geométricos que serían tratados en cada curso.

En la propuesta del bloque modular de dibujo técnico del SENA se exponen los conceptos geométricos que deben ser tratados, por lo que se puede dar una

115

unidad de criterios alrededor de la formación que se imparte a los estudiantes.

Esto podría presentar alguna variabilidad en cuanto a la perspectiva que pueda asumir quién lo oriente.

c)

Referente en lineamientos y estándares curriculares. Ahora se verá qué

orientaciones se dan en los lineamientos curriculares de matemáticas. Hay en éstos un enfoque que pretende fomentar el pensamiento espacial en los estudiantes y para ello es fundamental que en la enseñanza de la geometría se estudien las figuras geométricas y su concreción en el plano, ésto lleva a dar los primeros pasos hacia el dibujo técnico. Es allí donde cobran importancia las construcciones geométricas. Según se plantea en Matemáticas y lineamientos curriculares.

El principal objetivo de cualquier trabajo en matemáticas es ayudar a las personas a dar sentido al mundo que les rodea y a comprender los significados que otros construyen y cultivan. Mediante el aprendizaje de las matemáticas los alumnos no sólo desarrollan su capacidad de pensamiento y de reflexión lógica sino que, al mismo tiempo, adquieren un conjunto de instrumentos poderosísimos para explorar la realidad, representarla, explicarla y predecirla; en suma, para actuar en y para ella (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 1998, p.35).

Y además se propone que para elaborar una estructura curricular del área de las matemáticas, se organice con base en los tres aspectos siguientes:

Procesos generales que tienen que ver con el aprendizaje, tales como el razonamiento; la resolución y planteamiento de problemas; la comunicación; la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. Estos procesos específicos se relacionan con el desarrollo del pensamiento numérico, el espacial, el métrico, el aleatorio y el variacional, entre otros.

Conocimientos básicos que tienen que ver con procesos específicos que

116

desarrollan el pensamiento matemático y con sistemas propios de las matemáticas.

El contexto tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que les dan sentido a las matemáticas que aprende. Variables como las condiciones sociales y culturales tanto locales como internacionales, el tipo de interacciones, los intereses que se generan, las creencias, así como las condiciones económicas del grupo social en el que se concreta el acto educativo, deben tenerse en cuenta en el diseño y ejecución de experiencias didácticas. (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 1998, pp.35-36).

El contexto debe tenerse en cuenta en el diseño de situaciones problémicas, que deben propender por la intervención del profesor y los estudiantes, de manera que se produzcan interacciones que lleven a que los estudiantes generen interrogantes que los conduzcan a la incorporación del saber. Esto hace que

la situación problemática se convierta en un microambiente de aprendizaje que puede provenir de la vida cotidiana, de las matemáticas y de las otras ciencias (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 1998, p.36).

Ahora, en el contexto geométrico, se parte del planteamiento de Howard Gardner de su teoría de las inteligencias múltiples, en la que una de las inteligencias que posee el ser humano es la espacial y considera que ésta es fundamental para fomentar el pensamiento científico y es empleada en la resolución de problemas de representación, de ubicación, de orientación y distribución de espacios. En este sentido se estima que la mayoría de las profesiones científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico, la arquitectura, las ingenierías, la aviación, y muchas disciplinas científicas como química, física, matemáticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia espacial (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 1998, p.56).

117

Como se puede notar, fomentar la inteligencia espacial es de suma importancia, porque con ésta es posible comprender las tres dimensiones y hacer su representación. Desde esta perspectiva la geometría puede contribuir como herramienta a interpretar y comprender la modelación de la realidad o modelarla.

Las construcciones geométricas hacen parte de esa instrumentación que posibilita la concreción de los objetos que son ideados por el hombre.

Lo cual lleva a movilizar las figuras geométricas y los conceptos para hacer dibujos y construcciones en el plano por medio del trazado con herramientas tradicionales e informáticas. Para lograr lo antes mencionado se sugiere: La representación en el plano de cuerpos sólidos o de objetos de la realidad, puede hacerse mediante dibujos de vista única o dibujos de vista múltiples. Los dibujos de vista única son aquellos en los que se ilustran las tres dimensiones del objeto en una sola vista, con lo cual logra representar el objeto de una manera muy próxima a la realidad. Hay dos maneras de hacer estos dibujos: mediante axonometrías y mediante perspectivas cónicas (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 1998, p.60).

Los estándares curriculares parecen conservar la misma propuesta que la expuesta en los lineamientos curriculares de matemáticas. En éstos, de nuevo se percibe esa intención ya comentada en los párrafos anteriores. Para analizar los contenidos que hay en las propuestas curriculares y los textos escolares se tomarán de referente los estándares que se mencionan a continuación:

Representar objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas, identificar y describir figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales, clasificar polígonos en relación con sus propiedades y resolver y formular problemas usando modelos geométricos (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 2003. pp.22-23).

118

Se toman éstos porque es donde de alguna manera se trata lo relacionado con la construcción geométrica de poliedros.

También se han introducido ciertos conceptos de geometría descriptiva que dan sentido a los conceptos geométricos. Al respecto, los lineamientos expresan lo siguiente:

El dibujo en perspectiva se puede utilizar con mucho provecho para la educación estética y para el ejercicio de las proyecciones de objetos tridimensionales en la hoja de papel y de la hoja de papel al espacio. Para esto último se puede empezar por dibujar cubos y cajas en perspectiva, de manera que unos oculten parcialmente a los otros y luego tratar de colocar cubos y cajas de cartón sobre una mesa de manera que se vean como en el papel (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 1998, p.60).

Atendiendo a lo planteado, la construcción geométrica resulta ser una herramienta que juega un papel importante en las proyecciones en el plano de un objeto tridimensional. Su aplicación en la elaboración de los dibujos no puede ser dada de forma que se pierda el significado de construcciones geométricas tales como la construcción de una línea perpendicular a una línea recta dada y el trazado de los dibujos.

Es de anotar que el Dibujo Técnico no aparece en la ley 115 de 1994, como un área obligatoria y fundamental. Para tener un referente con el cual se pueda hacer el análisis se tendrán en cuenta las pautas que se mencionan a continuación:

En virtud de la autonomía escolar ordenada por el artículo 77 de la ley 115 de 1994, las instituciones educativas deben elaborar su propio currículo y formular los logros de su trabajo pedagógico a partir de los lineamientos generales de los procesos curriculares y de los indicadores de logros, establecidos por el Ministerio de Educación Nacional.

Los

indicadores

de

logros

desde

las

diferentes

especialidades

de

la

educación media técnica serán formulados por los establecimientos educativos,

119

como parte de los indicadores de logros específicos, de acuerdo con el proyecto educativo institucional

y

atendiendo

las

orientaciones

del

artículo

17,

de

la resolución número 2343 de junio de 1996. (Molano Ávila, 2001, p.306).

El Ministerio de Educación Nacional fija pautas a las instituciones de educación media técnica y académica y éstas tienen autonomía para, a partir de allí, formular su propio currículo. Como las matemáticas corresponden a un área obligatoria para el logro de los objetivos de la educación media, se tendrá en cuenta ésta para el análisis del texto escolar seleccionado y determinar qué fundamento puede tener en el diseño de las propuestas curriculares técnicas que llevan cabo las instituciones.

El comportamiento que puedan tener las matemáticas y en especial la geometría en las propuestas es de cierta relevancia y en este sentido tienen vigencia los lineamientos curriculares de matemáticas en sus planteamientos. Se tomarán éstos y los estándares para hacer el análisis de la organización y posibles relaciones establecidas en las propuestas de los textos escolares y las que pueda haber con las que componen el marco de temas de enseñanza de este estudio. ¾

Análisis de las propuestas de textos escolares

Se describirá cómo se encuentran estructurados cada uno de los textos escolares y cartillas y cuál es la disposición que tienen los temas en el interior de las unidades en que se ha dividido la propuesta en cada texto escolar y cartilla, las diferentes relaciones que se pueden establecer entre los temas con la noción de construcción geométrica de poliedros. Se transcribe qué configuración temática interna tiene la organización sugerida.

La información obtenida se analizó bajo los siguientes criterios: el tipo de relaciones que están establecidas en el interior de la unidad, cómo se relacionan

120

las temáticas con los conceptos para construir un poliedro, qué propósitos se persiguen y elaboración de un diagrama de bloques que exprese de forma clara las relaciones entre las temáticas de las unidades elegidas que permitan tomar elecciones de la organización temática en el diseño de situaciones problemas en concordancia con la teoría de situaciones didácticas. a.

Alfa con estándares 6. El texto está organizado en diez unidades. La unidad

tiene: título temático, estándares, procesos de conexiones, comunicación, razonamiento y resolución de problemas, ¿cómo surgió?, me preparo, ¿en qué se aplica?,

lecciones con su logro y procesos, taller de competencias, glosario,

pasatiempos, evaluación de competencias, y avancemos hacia el ICFES.

De estas diez unidades se analizará la que se denomina UNIDAD 7: GEOMETRÍA, que trata sobre conceptos geométricos que se relacionan con la construcción de poliedros. A continuación, se transcribe la organización de la propuesta sugerida en el texto: ALFA CON ESTANDARES 6 UNIDAD 1: Números Naturales UNIDAD 2: Teoría de números UNIDAD 3. Problemas, lógico y conjuntos UNIDAD 4. Números fraccionarios UNIDAD 5: Números decimales UNIDAD 6: Medida UNIDAD 7: Geometría UNIDAD 8: Movimiento en el plano UNIDAD 9: Razón, proporción y porcentaje UNIDAD 10: Estadística

La UNIDAD 7: GEOMETRÍA, tiene seis lecciones dedicadas al estudio de las figuras geométricas. La lección uno estudia los sólidos mediante cuatro desarrollos, los que son dibujados en cartulina, éstos sirven de moldes para hacer el tetraedro, el octaedro, el cubo y el cilindro. Los elementos de la geometría como punto, línea

121

recta, segmento, plano y ángulo se obtienen de los análisis a los poliedros elaborados en cartulina.

La UNIDAD 7 del texto Alfa con Estándares 6 se eligió porque es donde se trata la construcción geométrica de poliedros. A continuación se transcriben sus contenidos: CONTENIDOS Procesos ¿Cómo surgió?

Me preparo ¿En qué se aplica?

Elemento de la geometría Dibujo de sólidos geométricos Congruencia de segmentos y ángulos Taller de competencias 13 Cómo construir definiciones Rectas paralelas y perpendiculares Polígonos, triángulos y cuadriláteros Taller de competencias 14 GLOSARIO PASATIEMPOS EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS AVANCEMOS HACIA EL ICFES

La construcción en cartulina del tetraedro, el octaedro y el cubo se toman como ejemplo para fijar el nombre del poliedro. Los elementos como punto, segmento, línea recta, figura plana y plano son fundamentados de la siguiente forma:

La huella que deja un vértice de un poliedro sobre una hoja nos da la idea de punto.

La huella que deja una arista del poliedro nos da la idea de un segmento. Al prolongar indefinidamente un segmento en ambos sentidos obtendremos una línea recta. La huella que deja una cara de un sólido en una hoja es una figura plana. La prolongación de cualquier figura plana en todos los sentidos nos sugiere la idea de un plano. (Camargo Uribe, 2004, p.195).

Tres métodos son utilizados

para reconocer cuándo dos líneas son

perpendiculares o paralelas. El primero se hace mediante comparación con figuras

122

geométricas que tengan la propiedad que se quiere probar o con doblado de papel. El segundo se hace midiendo o usando escuadras y el tercero mediante regla y compás. Los procesos de construcción geométrica son sólo por medio del trazado, no se llega a demostrar, ¿Por qué son perpendiculares? o ¿Por qué son paralelas? A continuación se ha construído un diagrama de la estructura temática de la UNIDAD 7 para facilitar la comprensión de la forma en que encuentran articulados los contenidos.

SÓLIDO De

Construcción con cartulina

Las huellas que deja

LÍNEA RECTA

Tetraedro Octaedro

PUNTO definen los

POLIEDROS

Cubo

Sirven para definir

PLANO ÁNGULO

Cilindro RECTAS PARALELAS

SEGMENTO CON PAPEL

TRAZAR MÉTODOS RECTAS PERPENDICULARES

CON ESCUADRAS CON LA REGLA Y EL COMPÁS

DIAGRAMA DE LA UNIDAD 7: GEOMETRÍA

Las posibles relaciones que se dan en el interior de la unidad son: intentar establecer unas nociones por medio de las huellas que dejan en una hoja, las partes (vértices, aristas y caras) que constituyen un poliedro, las que dan las ideas de punto, segmento, línea recta y figura plana.

Finalmente, los conceptos son tratados de forma muy superficial, lo que puede llevar a que se generen ideas erróneas, alrededor de lo que pueden ser líneas rectas perpendiculares y rectas paralelas. Por consiguiente lo que se refiere a las

123

proyecciones ortogonales de puntos, líneas y planos de un poliedro se pueden ver afectadas con este tipo de orientación.

Los logros que se persiguen son: Identificar los elementos de los cuerpos geométricos, dibujar algunos sólidos geométricos e identificar y construir perpendiculares y paralelas. Éstos son acordes con lo se expone en la unidad, pero se hace necesario profundizar todos los aspectos tratados con relación a la construcción geométrica.

b.

Cartillas sobre dibujo. Las cartillas seleccionadas tienen la siguiente

organización: Introducción, objetivo terminal, explicación del tema, ejercicios, prueba final y bibliografía. Presenta instrucciones a cada uno de los temas y luego se dispone de varios ejercicios para que los realice el estudiante. Se dan explicaciones a los conceptos geométricos, aplicaciones de éstos por medio de ejemplos y hay una ordenación en el nivel dificultad con que son propuestos los ejercicios.

En este aspecto se intenta hacer una comprensión de la organización y posibles relaciones de las secciones que componen las cartillas. Las propuestas que hay en las cartillas Construcciones Geométricas 4 y Proyecciones Diédricas y Ortogonales 6, enseguida se transcriben: CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 4 1 2 3 4 5

SECCIONAMIENTO DE SEGMENTOS PERPENDICULARES TRAZADO DE PARALELAS Y ÁNGULOS TRAZADO DE TRIÁNGULOS TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES TRAZADO DE TANGENTES Y ENLACES

DE

RECTA

Y

TRAZADO

DE

PROYECCIONES DIÉDRICAS Y ORTOGONALES 6 1. PROYECCIÓN ORTOGONAL 2. PROYECCIÓN DIÉDRICA DESDE EL TERCER CUADRANTE

124

3. PROYECCIÓN DESDE EL PRIMER CUADRANTE 4. TRAZADO DE LAS VISTAS

Como se puede notar el nombre de una cartilla concuerda con el nombre del módulo instruccional, el nombre de los módulos instruccionales de la propuesta curricular son coherentes con el nombre de las temáticas de las cartillas. A continuación se transcriben los contenidos de las temáticas seleccionadas y resaltadas con negrita cursiva.

CONTENIDOS TEMÁTICOS 1.

SECCIONAMIENTO DE SEGMENTOS DE RECTA Y TRAZADO PERPENDICULARES Dividir un segmento en dos partes iguales Dividir un segmento de recta en cualquier número de partes iguales Trazar una perpendicular desde un punto exterior a la recta Trazar una perpendicular por un punto ubicado sobre la recta Trazar una perpendicular por un extremo de la recta Caso I Caso II EJERCICIOS. 2. TRAZADO DE PARALELAS Y ÁNGULOS Trazar una paralela a una línea cualquiera a una distancia dada Trazar una paralela a una recta que pasa por un punto dado Trazar la bisectriz de un ángulo Trazar un ángulo de 60 grados Trazar un ángulo de 120 grados Trazar un ángulo de 30 gados Trazar un ángulo 90 grados Trasladar un ángulo a otro punto EJERCICIOS. 3. TRAZADO DE TRIÁNGULOS Trazar un triángulo conociendo sus tres lados Trazar un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que lo forman Trazar un triángulo conociendo un lado y dos ángulos Trazar un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto EJERCICIOS. 4. TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES Trazar un polígono regular de tres lados Trazar un polígono regular de 4 y 8 lados (cuadrado y octágono) Trazar un polígono regular de 5 y 10 lados (pentágono y decágono) Trazar un polígono regular de 6 lados (hexágono) Trazar un polígono regular de cualquier número de lados (Método General)

DE

La cartilla Construcciones Geométricas 4, está dedicada al trazado de figuras geométricas con regla y compás mediante procedimientos. Se empieza por la

125

división de un segmento en dos partes iguales y luego se continúa para hacer una división en un número cualquiera de partes. Es de anotar, que la división en partes iguales del segmento se realiza mediante el trazado, al parecer con la mera observación se puede llegar a determinar la división esperada. El tratamiento mencionado es el que se da en el trazado de todas las figuras geométricas propuestas.

Con la intención de entender las diferentes relaciones que hay entre los temas; se hizo un diagrama de la estructura temática que permita visualizar de forma esquemática los nexos que se establecen entre cada uno de los temas. A continuación se presenta.

126

POR UN PUNTO UBICADO SOBRE EXTERIOR LA RECTA

CUALQUIER NÚMERO DE PARTES IGUALES DIVIDIR UN SEGMENTO EN DOS PARTES IGUALES

DESDE UN PUNTO EXTERIOR AUNA RECTA

UNA PERPENDICULAR A UNA RECTA QUE PASE POR UN PUNTO DADO

POR UN EXTREMO DE LA RECTA Ángulos de: 300, 600, 900, 1200.

UNA PARALELA UNA LÍNEA CUALQUIERA A UNA DISTANCIA DADA

UN ÁNGULO CUALQUIERA Y TRASLADARLO A UN PUNTO LA BISECTRIZ DE ÁNGULO TRIÁNGULOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO

POLIGÓNOS REGULARES

TRAZAR

CINCO LADOS

TRES LADOS

CUATRO LADOS

SEIS LADOS

Conociendo TRES LADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS

LA HIPOTENUSA Y UN CATETO

CUALQUIER NÚMERO DE LADOS

Diagrama de la estructura temática de la cartilla: construcciones geométricas 4

127

El objetivo que se propone al finalizar el estudio del tema es que el estudiante estará en capacidad de aplicar los procedimientos explicados en la solución y trazado de triángulos y polígonos regulares. Éste no es explícito, es muy global y no expresa lo que se explica y realiza28.

La cartilla Proyecciones Diédricas y Ortogonales 6, los contenidos de las temáticas seleccionadas y resaltadas con negrita cursiva, son las que aparecen en seguida: CONTENIDOS TEMÁTICOS 1.

PROYECCIÓN DIÉDRICA DESDE EL TERCER CUADRANTE Proyección Diédrica de un cuerpo Giro de los planos de proyección Proyección desde el tercer cuadrante Eliminación de vistas Elección de dos vistas Dibujo de dos vistas Líneas ocultas Líneas de centro Líneas coincidentes

4.

TRAZADO DE LAS VISTAS Empleo de un línea a inglete Espaciamiento de las vistas EJERCICIOS

Hay diferentes tipos de proyecciones y las que estudia de forma particular la cartilla son las ortogonales. Se dan ejemplos con el punto, la línea recta, plano y algunos poliedros. Éstos se estudian en el primer y tercer cuadrante por medio de sus proyecciones ortogonales frontal, lateral y de perfil.

Para observar las diferentes relaciones que son establecidas entre los temas se elaboró un diagrama de la estructura temática de las Proyecciones Diédricas y Ortogonales 6, a continuación aparece éste: 28

La afirmación se sustenta, si se interpreta mediante el modelo que se “representa sobre los ejes del espacio tridimensional los procesos generales, los tipos de pensamiento y los sistemas propios matemáticos. El contexto es como el espacio que los envuelve y se representa con una esfera” (Colombia. Ministerio de Educación Nacional, 1998, p.37); lo que puede justificar las falencias expresadas para entender una construcción geométrica desde ésta perspectiva pero puede ser adecuado para entrenar o aprender a repetir.

128

PERSPECTIVA

PUNTO

PROYECCIONES

RECTA

ORTOGONALES PLANO S e POLIEDRO

PRIMER CUADRANTE Se obtienen SEIS VISTAS Se seleccionan tres Planos: Frontal, Horizontal y Perfil

u s a n

TERCER CUADRANTE

SE OBTIENEN DOS DIMENSIONES

ANCHO

LARGO

Se obtienen SEIS VISTAS Se seleccionan tres Planos: Frontal, Horizontal y Perfil

Diagrama de la estructura temática de la cartilla: proyecciones diédricas y ortogonales 6

El tratamiento que se da entre las proyecciones ortogonales y las construcciones geométricas, no refleja la aplicación de éstas, ni en los dibujos expuestos, ni en las explicaciones. Se limitan a construcciones geométricas básicas desde el trazado de éstas sin llegar a mostrar el porqué de los trazos realizados hacen posible éstos.

129

Los objetivos que se proponen en los temas elegidos son los que se enuncian a continuación: • • • • •

Identificar las proyecciones Diédricas de cuerpos, Trazar en el sistema A.S.A las vistas Describir la forma de una pieza, Trazar en el sistema A.S.A las tres vistas de una pieza.

Bosquejar en el sistema A.S.A las vistas

Cuando se finaliza el estudio del tema, se estará en capacidad de trazar las vistas con las herramientas y aplicando el procedimiento adecuado.

Finalmente, las cartillas de alguna manera expresan la propuesta del bloque modular de Dibujo Técnico, a tal punto que la cartilla Construcciones Geométricas 4 refleja la propuesta del módulo instruccional Construcciones Geométricas.

c.

Dibujo técnico creativo 2. Éste, se organiza en cinco unidades. La unidad

tiene la siguiente organización: un título, indicadores de logros específicos, generalidades, actividades de dibujo, aplicación de conceptos y procedimiento de construcción.

Las cinco unidades abordan los conceptos básicos del dibujo y se relacionan con la construcción geométrica. A continuación se transcribe la organización de la propuesta sugerida en el texto de Dibujo Técnico Creativo 2 para grado séptimo y se elige la UNIDAD 3: Proyección Diédrica o Multiplanar que tiene relación con el tema de interés: DIBUJO TÉCNICO CREATIVO 2 UNIDAD 1: USO DE LAS ESCUADRAS UNIDAD 2: REPRESENTACIÓN DE LOS CUERPOS EN EL PLANO UNIDAD 3: PROYECCIÓN DIÉDRICA O MULTIPLANAR UNIDAD 4: INTERPRETACIÓN DE PROYECCIONES DIÉDRICAS UNIDAD 5: NOCIONES BÁSICAS PARA EL ACOTADO

130

En la unidad temática elegida del texto Dibujo Técnico Creativo 2, se describe cuál es la disposición que tienen los temas en el interior, las diferentes relaciones que se pueden establecer entre los temas con la noción de construcción geométríca de poliedros. La configuración temática interna que tiene la organización sugerida, es la que se menciona a continuación: CONTENIDO UNIDAD 3: LA PROYECCIÓN DIÉDRICA O MULTIPLANAR Indicadores de logro específicos Proyección Diédrica o Multiplanar Principios de la proyección Diédrica Proyección ortogonal de un sólido Franjas de proyección Proyección de superficies Aplicaciones Selección de vistas Aplicaciones Líneas de contorno oculto Preferencia de líneas Aplicación Actividades

La unidad No 3 Proyección Diédrica o Multiplanar empieza explicando qué es la Proyección Diédrica y refieren que se pueden presentar dos perspectivas según si el observador se mueve o si gira el sólido29. En cualquier ubicación el observador es hipotético de modo que las líneas de proyección entre el plano y el sólido se vuelven paralelas entre sí y perpendiculares al plano.

Las relaciones son dadas por medio del color, el dibujo y la señalización de éstos.

La proyección Diédrica es asumida como un método que posibilita la descripción de un poliedro por medio de las vistas reflejadas en uno o más planos que forman entre si ángulos rectos.

29

Los sólidos que son tratados en todo el texto son poliedros.

131

Consideran que se pueden presentar dos puntos de vista en las proyecciones, uno cuando el observador permanece en el mismo lugar y es él quien gira o rota el poliedro y el otro cuando el observador se mueve alrededor del poliedro. Las caras del poliedro que se proyectan son seis: frontal, lateral derecha, lateral izquierda, superior, interior y posterior. De las cuales se seleccionan las tres que mejor describan el poliedro.

Para observar las diferentes relaciones que se establecen entre los temas, se tomó como eje temático central el sólido, y se ha construido un diagrama de la estructura temática de la unidad. A continuación, se expone éste.

Diagrama de la unidad No 3: proyección diédrica o multiplanar Para

MÉTODO PROYECTAR LAS CARAS

Es un

Se basa

LA PROYECCIÓN DE UNA SUPERFICIE PUEDE SER UNA RECTA O UN PLANO

LA PROYECCIÓN DE UN VÉRTICE SERÁ UN PUNTO

LA PROYECCIÓN DE UNA ARISTA PUEDE SER UN PUNTO O UNA RECTA

PROYECCIÓN DIÉDRICA De un P R I N C I P I O S

SÓLIDO

DESCRIBIR LA FORMA

Mediante

LA FRONTAL LA SUPERIOR LATERAL

Tienen seis

E n

Son usadas

VISTAS De las

u n

LÍNEAS DE PROYECCIÓN SON PARALELAS Y PERPEDICULARES

PROYECCIONES ORTOGONALES E n

FRANJAS PROYECTANTES M u e s t r a n

D o s O m á s

PLANOS

GIROS

Es de suponer de acuerdo a lo experimentado con estudiantes que las nociones de línea recta perpendicular y una recta paralela, no se fomentan, no se sabe, si en el trazado se proporcionan aplicaciones de las construcciones geométricas o es el trazo que se hace por medio de las escuadras lo que se impone y lo que el

132

estudiante aprende es una aproximación que se puede convertir en una idea errónea.

Los conceptos de la construcción geométrica y sus posibles aplicaciones no son claros en el trazado de los dibujos que se exponen en la unidad. La dedicación al parecer se centra en describir el poliedro por medio de las vistas, en los cuales no interesa que se pongan en juego las construcciones geométricas, sino que el dibujo quede bien terminado y presentado, es decir, se educa para reproducir.

Los indicadores de logro son: analiza y comprende los principios de la proyección diédrica y multiplanar; identifica las vistas principales de un objeto teniendo en cuenta sus posiciones relativas; dibuja con escuadras las vistas de un modelo dado aplicando las proporciones indicadas por la cuadrícula isométrica y dibuja, a mano alzada, sobre las cuadrículas rectangulares las tres vistas principales de un modelo dado aplicando las proporciones indicadas por la cuadrícula isométrica.

Éstos, se pretenden alcanzar con los ejercicios que se dejan indicados para que el estudiante los resuelva. Es por medio de modelos, es decir, se pone un poliedro tipo que sirve para que mediante vistas se reproduzcan los trazos que éste tiene.

d.

Dibujo técnico aplicado 100. La propuesta se presenta en cinco unidades. La

unidad tiene la siguiente distribución: un título que se desagrega en tres ejes temáticos y tiene lecturas de apoyo. Se hizo el análisis de las relaciones que se establecen entre las unidades y la UNIDAD 5: Dibujo y Diseño Asistido por Computador con la noción de construcción geométrica de poliedros. La organización expuesta en el texto se muestra a continuación:

133

DIBUJO TÉCNICO APLICADO 10 Manejo de instrumentos UNIDAD 1: Técnicas plásticas UNIDAD 2: Geometría descriptiva UNIDAD 3: Fundamentos del dibujo arquitectónico UNIDAD 4: Dibujo mecánico UNIDAD 5: Dibujo y diseño asistido por computador

Se describe qué configuración temática interna tiene la organización sugerida de la unidad, cuál es la disposición que tienen los temas en el interior de la unidad que se eligió, las diferentes relaciones que se pueden establecer entre los temas con la noción de construcción geométrica de poliedros. A continuación se exponen las temáticas de la unidad: CONTENIDO TEMÁTICO UNIDAD 5: DIBUJO Y DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADOR 1.1 Ayudas gráficas 1.1.1 Comando Zoom 1.1.2 Comando Pan 1.1.3 Comando Object Snap 1.1.4 Comando Inquiry 1.2 Comandos de ayuda para dibujar 1.2.1 Comando Hatch 1.2.2 Comando Text 1.2.3 Comando Undo 1.2.4 Comando Select 1.2.5 Comando Units Control 1.2.6 Comando Drawing Limits Lectura: La evolución de la imagen

La unidad inicia proponiendo el interrogante, ¿Qué es dibujar en AUTOCAD? Se responde que es hacer la descripción de una imagen gráfica mediante órdenes dadas por el usuario con el ratón o el teclado. Se continúa definiendo los diferentes comandos por escrito y se muestra en una página, la ventana de Autocad con cada uno de los comandos que componen el programa. Terminada esta explicación, hay una lectura titulada Evolución de la Imagen, que trata de las herramientas que se usan en el dibujo y los cuidados que se deben tener.

134

Por medio de fotografías de la ventana de dibujo del programa, se dan explicaciones de los comandos. Las ayudas gráficas y las ayudas de dibujo, son tratadas en dos secciones. No hay aplicaciones con dibujos, si no que se limita a la explicación de los comandos, lo que dificulta establecer relaciones con la construcción geométrica. Una debilidad del texto es que no tiene propósitos definidos en ninguna unidad, deben identificarse después que sean realizados los ejercicios que se preparan. Este tipo de texto no tiene propósitos por cada unidad.

Por último, aparece una serie de ejercicios que corresponden a las cinco unidades del texto, de los cuales uno se plantea resolverlo con Autocad, usando sólo el comando HATCH. El tratamiento que se da a éste no es colocado en juego mediante los comandos y en los ejercicios de aplicabilidad no se proponen para que sean usados.

Para visualizar las relaciones que se establecen entre los temas se elaboró un diagrama de la estructura temática de la UNIDAD No 5: Dibujo y Diseño Asistido por Computador y se ha puesto como eje temático el AUTOCAD. A continuación aparece éste, con las relaciones que se establecieron con los temas que constituyen la unidad:

135

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

DESCRIPCIÓN DE UNA IMAGEN GRÁFICA

Basada en un

Son la

PLANTILLA LOS DIBUJOS

AUTOCAD Es una

Construye Tiene Comandos de

AYUDAS GRÁFICAS

COMO: PAN ZOOM INQUIRY OBJECT SNAP

AYUDAS DE DIBUJO

COMO: HATCH TEXT UNDO SELECT CONTROL DRAWING LIMITS

G u I A do p o r EL TECLADO O EL RATÓN

Diagrama de la estructura temática del texto dibujo técnico 10

Finalmente, el texto escolar Dibujo Técnico Creativo 2, concretiza la propuesta del grado séptimo de la Institución Educativa Técnico Industrial, en tanto que el texto escolar Dibujo Técnico Aplicado 10, expresa similitudes en el nombre de la temáticas pero se aleja en cuanto la aplicación de los conceptos que deben ser tratados con el programa de CAD.

¾

Relación de propuestas curriculares y de textos escolares

Las relaciones se pueden caracterizar así: las que permiten vincular lo expuesto en las propuestas institucionales y, la forma en que los textos escolares y cartillas las concretizan, y las relaciones que se establecen entre las de los textos escolares y cartillas.

136

Las estructuras de las unidades muestran las categorías que se usan en uno u otro texto. En el primero, Alfa con Estándares 6, se basa en un listado de temas, en el segundo, Dibujo Técnico Creativo 2 se hace por temas siguiendo una secuencia, y en el tercero, Dibujo Técnico Aplicado 10, es un listado de temas.

En el primero las relaciones se dificultan establecerlas porque no se articulan los temas para su continuación con otros, mientras que el segundo se facilita la comprensión por la continuación que se da a las temáticas tratadas. El tercero muestra en dos páginas las relaciones que se establecen en el interior de cada unidad y los temas son desagregados en otros menos complejos.

Ahora, la estructura temática de cada una de las cartillas se hizo siguiendo una secuencia, lo que permite evidenciar relaciones directas que se expresan tanto en la estructura de las cartillas como en la propuesta curricular del Servicio Nacional de Aprendizaje.

Al dar una mirada a los dos textos de dibujo y a la propuesta curricular de la Institución Educativa Técnico Industrial, se detectan varias coincidencias como por ejemplo, temáticas con el mismo nombre, tres de las seis temáticas del grado séptimo son las mismas que tiene el texto Dibujo Técnico Creativo 2, las otras tres son muy similares y en consecuencia, el texto en casi en un noventa por ciento, concuerda con lo expuesto en Contenidos grado 70. En lo que se refiere al texto de grado diez, dos temáticas son acordes y el resto no guardan ninguna similitud con los Contenidos de la especialidad grado 100. (Véase b) Propuesta curricular de los grados 60 hasta 110, p.101).

El texto Alfa con Estándares 6, su estructura es muy próxima a lo planteado en los estándares básicos de los grados sexto a séptimo. La forma como se presenta la construcción geométrica de poliedros es preliminar y se debe profundizar la fundamentación de construcciones básicas.

137

En la organización de las dos propuestas tanto la del SENA como la de la Institución Educativa Técnico Industrial, se notan algunas discrepancias y similitudes, que se mencionan a continuación:

Hay similitudes en cuanto las temáticas mencionadas en una y otra, al parecer es en la intensidad horaria en donde se pueden establecer diferencias, por ejemplo, mientras en la del SENA, el Acotado se da mediante un módulo instruccional de diez horas, en la de la Institución Educativa Técnico Industrial, se inicia el Acotado* desde el grado octavo con Normas Básicas de Acotado y se continúa en grado noveno mediante temáticas como Normas Básicas de Acotado, Secciones y Convenciones, Tipos de Cortes y Convenciones más usuales.

La propuesta de la Institución Educativa Técnico Industrial está centrada en la aplicación de las construcciones por medio del dibujo, es decir, en el trazado de los poliedros es donde se busca la aplicación de los conceptos geométricos. Al parecer los contenidos se han desagregado en mayor medida y éstos se dan por medio de seis cursos de duración anual. Presta atención al trazado de las figuras geométricas por medio de regla, escuadra y compás, se hace la representación de los dibujos y hay interés por los programas graficadores.

En tanto que la del SENA parte de las construcciones geométricas básicas y aborda los conceptos geométricos para luego aplicarlos en el dibujo técnico, éstá se da por medio de seis módulos con una duración de noventa horas. La construcción geométrica se da en el primer módulo que se denomina Construcciones Geométricas, éste está articulado a los otros cinco de manera que se percibe cierta conexión entre las temáticas tratadas.

Finalmente, las propuestas expuestas en los textos escolares y cartillas reflejan en gran proporción, lo planteado en las curriculares. Las temáticas tratadas en textos

138

y cartillas son muy similares y facilitan que se puedan concretizar en una y otra.

Las diferencias se encuentran en las interpretaciones que se le pueden dar a la de la Institución Educativa Técnico Industrial y las perspectivas para concretizarlas por medio del currículo, en éstas se va construyendo una concepción de la matemática basada en trazar y dibujar.

En lo epistemológico las curriculares cuentan con orientaciones elementales sobre la construcción de poliedros, y en los textos escolares se impone un enfoque reducionista o simplista del significado de los conceptos.

Desde lo cognitivo, el desarrollo de las habilidades motrices e intelectuales de los estudiantes concordante con lo mencionado en el párrafo anterior deben de ser mínimas, lo que incide de forma directa en la fundamentación y en la apropiación de los conocimientos y conceptos básicos de la geometría.

En lo didáctico, las curriculares y la de los textos escolares y cartillas sirven sólo de ayuda y complemento para el diseño de tareas y actividades que contribuyan al aprendizaje, y en éstas deben tenerse en cuenta que no se da un tratamiento que facilite desarrollar el pensamiento lógico y geométrico.

El planteamiento que hay en los lineamientos curriculares y los estándares pueden ser abordados de forma preliminar y luego darle continuidad por medio de las construcciones geométricas de poliedros. ¾

Síntesis

Este apartado sintetiza la forma en que son tratados los temas: construcción geométrica de perpendiculares, de paralelas, de polígonos, la proyección ortogonal, el trazado de las vistas, el uso de regla y compás y el CAD, igualmente la orientación que se le dio a los conceptos relacionados con la construcción

139

geométrica de poliedros en las propuestas curriculares y en la de los textos escolares y se determinan las restricciones.

¿Cómo se trata la construcción geométrica por medio de la proyección Diédrica en las unidades de los textos escolares? Si partimos que la construcción geométrica es un proceso que consta de varias fases interconectadas, en la que cada fase exige ciertas habilidades intelectuales y motrices, procedimientos y conceptos geométricos

para

resolverlas,

entonces,

son

necesarios

el

manejo

de

herramientas como regla, lápiz, compás, programa CAD; tener dominio de los conceptos básicos de geometría, así mismo, poner en juego habilidades como la interpretación, la comprensión, la resolución de problemas, el trazado, el análisis y la síntesis; tener coordinación entre las manos y los sentidos del tacto y la visión para el manejo de la herramienta, saber leer y seguir instrucciones e interactuar con el ambiente donde se va hacer la construcción.

El concepto Construcción Geométrica de un Poliedro, no es tratado, tal vez por las limitaciones que se tienen al momento de construir una figura geométrica o debido a que no aparece en las propuestas o a que algunas se dificulta hacerlas sólo con la regla y compás, además, porque existen algunos profesores que no aceptan o no tienen conocimiento de las condiciones impuestas por la misma geometría.

Podríamos decir que el tratamiento que es dado en cada una de las propuestas curriculares y los textos escolares, admiten las construcciones geométricas sin ninguna fundamentación y el rigor que éstas exigen. Las aproximaciones expuestas tienen nexos temáticos que hicieron factible relacionarlas, pero de ningún modo sugieren intenciones en fomentar tanto los conocimientos como las habilidades que éstas posibilitan.

Es conveniente tomar varios de los aspectos tratados tanto en las propuestas curriculares como en los textos para constituir un saber a enseñar. Para ello, se

140

propone que la fundamentación que arrojó la interpretación de las propuestas curriculares en el área de la geometría, el dibujo técnico y los textos escolares se tenga en cuenta para enseñar a construir poliedros.

Para facilitar la articulación de los aspectos y nociones al saber Construcción Geométrica de Poliedros, los conocimientos se determinaron con los resultados de una prueba que se llevó cabo con estudiantes30 y lo que se analizó e interpretó en las propuestas curriculares y la de los textos escolares.

Lo que posibilitó el planteamiento de preguntas referidas a las situaciones que son propuestas, a las variables y a los objetivos. Por medio de las respuestas se obtuvieron los conocimientos y conceptos que se constituirían como el Saber a Enseñar y se derivan las restricciones de lo tratado en las propuestas analizadas.

Desde una perspectiva de la teoría de situaciones los conocimientos y conceptos geométricos estarían integrados en una determinada problemática que le facilite al estudiante desarrollar sus habilidades intelectuales y motrices por lo que éstos estarían regulados en función de la actividad de enseñanza.

Los conocimientos que se deben poseer para hacer una construcción geométrica de un poliedro usando el computador y regla y compás, son los que se relacionan con las construcciones geométricas básicas, conceptos básicos de la geometría y el manejo de las herramientas. Los que se podrían prever de acuerdo a lo expuesto en los aspectos anteriores, son:

30

Para esta prueba se seleccionaron quince estudiantes de tres Instituciones Educativas (cinco de cada una), y se propusieron ocho preguntas para responder antes y después de hacer los ejercicios. Los ejercicios trataban sobre construcción de figuras geométricas básicas, construcción de polígonos usando la regla, el compás y el programa de CAD.

141

•

Conocimientos básicos de la geometría plana y del espacio relacionados con los poliedros.

•

Dominio de técnicas de trazado de construcciones geométricas básicas.

•

Conceptos de punto, línea recta, plano, perpendicularidad, paralelismo, polígonos, polígonos regulares, construcción geométrica y poliedro.

•

Trazado de paralelas, de perpendiculares, de mediatrices, de bisectrices, de circunferencias, de ángulos con regla y compás y con el CAD.

•

Elementos de un poliedro, arista, vértice, diagonales y objetos geométricos que lo componen.

•

Sistema diédrico, proyecciones, vistas, esbozos, bocetos y croquis.

•

Iniciación al programa CAD, comandos, operaciones, procedimientos para usarlo y primitivas.

•

Configuración del entorno de dibujo del programa CAD para iniciar cualquier trazado.

•

Dominio de terminología: comando, ventana, ícono, menú, barra, fichero y programa.

•

Conocimiento de la regla, el compás y el computador.

•

Manejo de regla y compás para el trazado de segmentos, arcos y ángulos.

•

Obtención de las vistas necesarias para representar un poliedro por medio del sistema diédrico.

•

Elaboración de esbozos, de bocetos y construcciones de poliedros con la ayuda de herramientas manuales e informáticas.

•

Procesos del pensamiento matemático como generalizar, particularizar, conjeturar, justificar, definir, acotar y representar.

También, se destacan dos teoremas relacionados con los poliedros: el de Euler, en el cual se afirma que el número de caras (C) mas el número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) + 2, es decir, C+V=A+2; y el de Cavalieri, en el cual se establece que si dos sólidos tienen la misma altura y las secciones paralelas a

142

sus bases, a la misma distancia de éstas, tienen áreas iguales, ambos sólidos tienen el mismo volumen.

Las estrategias que se abordan en la solución de las actividades y problemas propuestas son: usar materiales físicos como cartulina, cartón paja, madera de balso, plastilina, etcétera y se incluye utilizar los hechos históricos basados en Aristóteles Pitágoras, platón, Arquímedes, y otros matemáticos que han trabajo los poliedros.

Los recursos requeridos para la enseñanza y aprendizaje son: compás, regla, lápiz, computador, hojas de papel, programa CAD, formatos para dibujo, borrador, tablero, transportador sin marcas, y cinta transparente.

Basado en la teoría de situaciones didácticas ¿Qué tipo de situaciones se deben proponer para que el estudiante resuelva cierta clase de problemas que involucren construcción de poliedros? Se precisan de aquellas donde se pongan en juego las habilidades de interpretar, comprender, analizar, sintetizar, resolver problemas, dibujar a mano alzada, trazar perpendiculares, ángulos, triángulos, polígonos regulares, representar poliedros en un plano, describir gráficamente la forma de los poliedros, acrecentar habilidades y destrezas en el uso de las herramientas para hacer la construcción geométrica. Las actividades que se previeron para el diseño de las situaciones didácticas son aquellas que articulan la totalidad de los conocimientos y habilidades expuestas en los párrafos anteriores.

De los registros recogidos cuando los estudiantes usan regla y compás para representar objetos geométricos se identificaron las siguientes actividades: hacer esbozos y bocetos, usar la regla, el compás y el lápiz, contestar preguntas, encontrar soluciones a las actividades propuestas, escribir las ideas que surjan,

143

elegir ideas, evaluar, dibujar isométricos y vistas, transportar segmentos, determinar bisectrices y mediatrices y cortar arcos y líneas.

Respecto al programa CAD conviene comprender la ventana de dibujo. Ésta está compuesta por la barra de menús, en la qué cada menú contiene un listado de comandos, un comando puede ser un botón que se identifica por un ícono, la barra de herramientas estándar contiene botones como edición, rehacer, imprimir etcétera, el área gráfica es donde se pueden hacer los dibujos por medio del cursor, la ventana de comandos es donde se ve lo que se está usando o lo que está pasando en el área de dibujo.

También se determinaron las siguientes actividades con los comandos: escoger en el menú archivo, crear una plantilla para un dibujo, identificar y diferenciar cada elemento gráfico del dibujo, crear capas, dibujar los contornos de la pieza en una capa, convertir contornos en regiones o elementos de 2D, extruir para obtener el poliedro, comprobar que está bien realizado, visualizar el dibujo, modificar y guardar. Es de destacar que algunas funciones de la regla y compás las realiza el programa de forma automática por ejemplo representar un círculo.

¿Cuáles son las variables que se deben tener en cuenta? Conforme a lo tratado las variables didácticas son: el tipo de poliedro, el tipo de instrumento de representación el que incluye la regla y compás, escuadras, transportador, programas (CAD y SOLID EDGE) con las que se hace el proceso de representación.

Los objetivos de enseñanza que se propusieron en las diferentes situaciones previstas son los siguientes: Fomentar las habilidades intelectuales y motrices en los estudiantes con la construcción geométrica de prismas rectos usando herramientas manuales y de informática gráfica. Interpretar los procedimientos, los

144

conceptos y los comportamientos que presentan los estudiantes para desarrollar las prácticas. Averiguar qué temáticas se aprendieron. Recoger información del proceso que realizan. Establecer qué tipo de habilidad se fomenta cuando los estudiantes realizan una construcción geométrica y qué contenidos geométricos son requeridos. Identificar las ventajas y limitaciones didácticas que se dan en el proceso de aprendizaje para hacer la construcción geométrica. Verificar si las habilidades que lograron los estudiantes con el programa CAD para hacer la construcción geométrica de un prisma recto son las mismas que se desarrollan con regla y compás o viceversa.

Los objetivos que se determinaron para llevar a cabo las situaciones son:

•

Transferir las habilidades intelectuales y motrices fomentadas con las herramientas manuales a las de informática gráfica al hacer la construcción geométrica de poliedros, ya sea para emplearlas en el programa CAD o para aplicarlas con regla y compás o viceversa.

•

Elaborar esbozos, bocetos y trazados que representen el poliedro, optando por un determinado medio, y aplicando los conceptos y técnicas básicas propias del instrumento de representación.

•

Describir gráficamente el poliedro usando las construcciones geométricas básicas y entender los conceptos, terminología y las técnicas que sustentan las construcciones geométricas.

•

Aplicar los conocimientos aprendidos en la interpretación del dibujo del poliedro dado o ideado.

•

Manejar las herramientas manuales e informáticas en la realización de ejercicios sobre construcciones geométricas de poliedros.

•

Realizar trazados de poliedros con el programa CAD, conociendo y aplicando las órdenes, recursos y el lenguaje particular que dicha herramienta necesita.

•

Obtener o idear las vistas necesarias que definen el poliedro que se desea

145

describir.

•

Preparar el entorno de trabajo del programa CAD y efectuar los trazados haciendo uso de los comandos de dibujo, edición y de ayuda al trazado, con criterio de exactitud con el programa CAD.

Las restricciones que se detectaron son las que se mencionan a continuación:

*

La fundamentación sobre la construcción de poliedros que se halló en las propuestas curriculares es

preliminar, y el tratamiento que se da en los

textos escolares y cartillas se centran en aplicaciones del dibujo y uso de materiales (cartulina, plastilina etcétera), también se destaca la información coloquial que se encontró en éstos para construirlos. *

Debido a lo antes mencionado, es evidente que los fundamentos para construir figuras geométricas, son insuficientes lo que puede generar limitaciones para enseñar y aprender a construir poliedros.

*

Es necesario que el profesor cambie la forma de enseñar, realizando el análisis de las propuestas curriculares y textos escolares, e intente hacer el diseño de las actividades que permitan una orientación regulada y ayude al estudiante a desarrollar sus capacidades.

En conclusión, se identificaron los conceptos y contenidos geométricos que son movilizados tanto en la geometría como en el dibujo técnico, en el ámbito académico vigente, se determinaron las relaciones que son establecidas con los conceptos en las propuestas analizadas, las variables, los objetivos y las actividades para identificar las ventajas y limitaciones didácticas que hay cuando se usan regla y compás, y el programa CAD.

146

4.1.2 Concepciones sobre cómo construir poliedros.

Esta subsección trata sobre el procedimiento que se siguió en el diseño de las encuestas,

las inferencias que se hicieron y las conclusiones que obtuvieron

como resultado del procesamiento e interpretación de la información conseguida con la prueba piloto y unas encuestas aplicadas a profesores de algunas instituciones de la media académica y técnica de la ciudad Santiago de Cali.

Los resultados que se consiguieron con la prueba piloto sirvieron de base para el diseño de la prueba definitiva. Los cuestionarios que se aplicaron para recoger la información en forma definitiva fueron tres: uno para profesores de geometría o de matemáticas de la media académica, otro para profesores de matemáticas de geometría o de dibujo técnico de la media técnica y el último para profesores de todas las áreas31.

Los profesores que participaron en la prueba definitiva trabajan en las áreas siguientes: Matemáticas, Dibujo Técnico y CAD, Matemáticas para Técnicos, Informática y Metalmecánica. Las inferencias que se hicieron de las opiniones que emitieron los profesores alrededor de las ventajas y limitaciones que tiene el hacer construcciones geométricas de poliedros con regla y compás, y el programa de CAD, se organizaron en tres agrupaciones y de allí se derivaron las correspondientes conclusiones. ¾

Procedimiento que se siguió en el diseño de las encuestas.

31

Se incluyó a profesores de todas las áreas porque se supone que la construcción geométrica ha sido de conocimiento en su formación profesional y además desde una perspectiva sistémica en un momento determinado puede hacer parte para orientar a los estudiantes.

147

Los cuestionarios se diseñaron teniendo en cuenta el siguiente procedimiento: elaboración de un cuadro de especificaciones; identificación de núcleos temáticos (Ventajas y limitaciones didácticas, construir poliedros, uso de herramientas y habilidades), determinación de niveles de complejidad, cantidad de preguntas, redacción de preguntas, clasificación de preguntas y edición del cuestionario.

Primero se diseñó un cuestionario con el que se hicieron pruebas aleatorias en forma individual con profesores de áreas relacionadas. Con los resultados se pudo detectar que hay preferencia por contestar preguntas abiertas y no por marcar una opción; que es excesivo el tiempo para hacer la lectura y dar las respuestas y que la cantidad de preguntas era exagerada. Con lo antes mencionado, se determinaron las condiciones para mejorar la formulación de las preguntas del cuestionario que se usó en la prueba piloto.

Los resultados de la prueba piloto mostraron que se debía mejorar el planteamiento de algunas preguntas y conservar la cantidad, esto sirvió para tenerlo en cuenta en el diseño de los tres cuestionarios con los que se acopió la información de forma definitiva.

Las preguntas se formularon con la intención de identificar qué saben y qué opinión tienen los profesores acerca de la instrumentación que se usa para construir poliedros. La información conseguida se logró articularla con la obtenida en los análisis precedentes y tenerla en cuenta para estructurar y precisar las variables, conceptos y contenidos en el diseño de las situaciones didácticas y adidácticas.

148

¾

Alcances de la prueba piloto.

La muestra32 extraída de la población de los profesores33 de la educación media académica y técnica de algunas instituciones educativas de la ciudad Santiago de Cali para la prueba piloto fue: dieciséis de algunas áreas y cuatro de matemáticas, en total veinte profesores. Las inferencias que se hicieron de los datos obtenidos (Véase Anexo B), son las siguientes:

Las opiniones de los profesores sobre lo que es una construcción geométrica en el plano y el espacio, presenta una variedad de significados para el lenguaje cotidiano que pueden ser afines con las definiciones que se dan desde las matemáticas. Éstas, se agruparon de la siguiente forma: diseñar figuras geométricas, modelar figuras geométricas, dibujar figuras geométricas y desarrollar el pensamiento espacial. Dentro de las que se destaca modelar figuras geométricas.

En cuanto a las dificultades de los estudiantes observadas por los profesores para construir cuerpos geométricos, manifiestan que se ocasionan en el manejo de las herramientas, en la medición, no tener conceptos claros, no poseer conocimientos previos, en relacionar las bases teóricas con la práctica y no saber cómo se hacen las construcciones geométricas. Las limitaciones de los estudiantes las encuentran en la falta de herramientas y la desmotivación que muestran.

32

Se afirma que el investigador puede examinar la muestra que le sea de utilidad para su estudio, como el caso del “Muestreo Intencional el investigador selecciona a mano los casos que serán incluidos en su muestra sobre la base de su propio juicio en cuanto la tipicidad. De esta manera se construye una muestra que es satisfactoria para sus necesidades específicas” (Cohen Lawrence Manion, 1990, p.139), es decir, por conveniencia se selecciona una pequeña muestra de unidades de la totalidad y se examina.

33

Los profesores que participaron de la prueba piloto fueron de las áreas de Informática, de Psicología, de Matemáticas, de Dibujo Técnico, de Química, de Electricidad, de Mecánica, de inglés, de Filosofía y Sociales.

149

En los aspectos didácticos o geométricos en donde encuentran limitaciones, los profesores

encuestados refieren

que éstas se localizan en

la escasa

fundamentación en geometría que poseen los estudiantes debido a la poca dedicación e importancia que se le da.

Los aportes que tiene enseñar la Construcción Geométrica están en la fundamentación que deben recibir los estudiantes en los primeros grados de la educación básica34, en la formación para ingenieros y arquitectos, en aquellos que estudien el Dibujo Técnico, en fomentar la habilidad de visión espacial en las áreas tecnológicas y en el manejo de las tres dimensiones.

Con respecto al uso de textos escolares y material de apoyo en la enseñanza y el aprendizaje de la construcción geométrica, algunos profesores opinan que su aplicación es muy teórica y no proporciona aplicaciones de los conceptos, además, limita al estudiante a investigar otras fuentes de información.

Las habilidades que se fomentan para construir un poliedro se organizaron en dos las intelectuales, las motrices y se le atribuye mayor importancia a las primeras (Véase anexo B, pregunta 5).

Trece profesores encuestados no están de acuerdo con sustituir los contenidos que se enseñan en las construcciones geométricas usando regla y compás por la enseñanza de los conceptos teóricos básicos para usar tecnología informática.

Cuatro están de acuerdo con sustituirlos y tres opinan que se deben tener en cuenta ambos.

34

Respecto a la educación básica en el artículo 19 de la Ley 115 de 1994 se expresa lo siguiente: “La educación básica obligatoria corresponde a la identificada en el artículo 356 de la Constitución Política como educación primaria y secundaria; comprende nueve (9) grados y se estructurará en torno a un currículo común, conformado por las áreas fundamentales del conocimiento y de la actividad humana” (Colombia.

Ministerio de Educación Nacional, 2001, p.120).

150

El término demostración es desconocido por la mayoría, manifiestan no conocer el vocablo POLIEDRO y

además algunos

la mayoría no conocen los

términos que trató el cuestionario, lo que es un síntoma de la escasa fundamentación en geometría que tienen los profesores incluyendo los de matemáticas.

Las concepciones de lo que es una demostración geométrica (Ver anexo B, pregunta 8) se agruparon de la siguiente forma: construir modelos partiendo de una teoría, exponer figuras geométricas, identificar áreas y hacer figuras. Dentro de las que se destaca construir modelos partiendo de una teoría.

Finalmente,

los resultados muestran que las preguntas arrojan información

valiosa que posibilita juzgar la pregunta central del problema de investigación, pero se debe afinar la formulación de algunas con el intención de identificar con precisión qué saben los profesores sobre las ventajas y limitaciones didácticas que tiene el uso de regla y compás y el programa CAD para construir poliedros. ¾

Resultados de la prueba definitiva.

La muestra extraída de la población de los profesores de la educación media académica y técnica de algunas instituciones educativas de la ciudad Santiago de Cali para la prueba definitiva fue: ocho profesores de matemáticas, tres de dibujo técnico y CAD, dos de informática y cuatro de metalmecánica, en total diecisiete profesores.

Los tres cuestionarios con los que se recogió la información definitiva se les denominó cuestionario No1, No 2 y No 3; con el cuestionario No 1 la información se obtuvo de cuatro profesores de Matemáticas de instituciones académicas; con el

151

cuestionario No 2 la información se obtuvo de cuatro profesores de Matemáticas para técnicos y tres de Dibujo Técnico y CAD de instituciones técnicas, en total siete y con el cuestionario No 3 la información se obtuvo de dos profesores de Informática y cuatro de Metalmecánica, en total seis. A continuación se muestra en la figura 4.1.2.1 el porcentaje de profesores por área.

Figura 4.1.2.1. Porcentaje de profesores por área

Profesores de Metalmecánica 23.5%

Profesores de Matemáticas 23.5%

Profesores de Informática 11.7%

Profesores de Dibujo Técnico y CAD 17.6% Profesores de Matemáticas para Técnicos 23.5%

La cantidad de respuestas dadas por los diecisiete profesores de instituciones técnicas y académicas, se tabuló en la Tabla 4.2.1.1

Tabla 4.2.1.1. Total de respuestas por cuestionario PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8

No CUESTIONARIO Cuestionario No 1 Cuestionario No 2 Cuestionario No 3 No respondieron Total

3 6 6 2 17

3 7 6 1 17

3 7 6 1 17

2 6 6 3 17

4 7 5 1 17

3 6 6 2 17

4 5 6 2 17

3 7 6 1 17

9

10

Total

3 4 4 6 17

3 4 5 5 17

31 59 56 24 170

Las respuestas corresponden al 85.9% y, las que no se dieron, corresponden al 14.1%.

152

¾

Interpretación de las opiniones.

En el anexo C, se transcriben completamente las respuestas obtenidas con la aplicación de los cuestionarios No 1, No 2 y No 3. Para hacer la interpretación, se clasificaron las respuestas en tres grupos que se denominaron Ventajas y Limitaciones para construir figuras geométricas, Construcción de Poliedros y Uso de herramientas y Habilidades que se ponen en juego; en cada uno se organizaron los datos en gráficos de barras. A continuación, se hicieron algunas inferencias estadísticas y se determinaron las conclusiones.

a.

Ventajas y limitaciones para construir figuras geométricas. Se agrupan las

ventajas y limitaciones que se hallaron en el registro y se derivan las inferencias estadísticas y las conclusiones que resultaron del análisis.

Ventajas. Para interpretar el comportamiento de las respuestas referente a las ventajas que tiene construir una figura o cuerpo geométrico en el plano con regla y compás y/o con el programa CAD, los datos se agruparon

en nueve

categorías. En la Tabla 4.1.2.2 se muestra la distribución de frecuencias por tipos de ventajas.

Tabla 4.1.2.2. Distribución de frecuencias por tipos de ventajas FRECUENCIA REGLA Y VENTAJAS COMPÁS Permite que las medidas de los polígonos sean 4 precisas.

El computador realiza la construcción dándole los datos.

Desarrolla habilidad en la medición y la 5 comparación.

Agiliza la percepción visual para la medición.

2

%

CAD

%

9,1

8

18,2

12

27,3

11,4

2

4,5

4,5

2

4,5

153

Proporciona conocer y aplicar las condiciones geométricas.

Las medidas se pueden modificar.

Facilita convertir una figura plana en una figura volumétrica.

Proyecta una imagen de un plano a otro.

Facilita proponer figuras sin tener limitaciones por medidas específicas.

Total

3

6,8

1

2,3

15

34,1

1

2,3

2 1

4,5 2,3

1

2,3

29

65,9

Los profesores encuestados emitieron un total de cuarenta y cuatro opiniones respecto a las ventajas que tiene construir figuras geométricas, de las cuales, sólo el 34.1% de ellas corresponden a regla y compás y se enmarcan sólo en cinco categorías. El resto, es decir, el 65.9% corresponden al CAD y se enmarcan en ocho categorías.

Las categorías que se comparten representan el 61.4% y son: “Permite que las medidas de los polígonos sean precisas”, “Desarrolla la habilidad en la medición y la comparación”, “Agiliza la percepción visual para la medición” y “Proporciona conocer y aplicar condiciones geométricas”. La que tiene mayor frecuencia es ”Permite que las medidas de los polígonos sean precisas” y representa el 27.3% y se sitúa en el programa CAD.

Cuatro categorías no compartidas se sitúan en el CAD y representan el 36.4% de las opiniones dadas son: “El computador realiza la construcción dándole los datos”, “Las medidas se pueden modificar”, “Facilita convertir una figura plana en una figura volumétrica” y “Proyecta una imagen de un plano a otro”.

Una categoría no compartida se ubica en construir figuras geométricas con regla y compás y representan el 2.3% y es: “Facilita proponer figuras sin tener limitaciones por medidas específicas”.

154

CONCLUSIONES. En opinión de los profesores encuestados el CAD muestra una superioridad indiscutible frente al uso de regla y compás. En donde se comparten categorías, el uso del CAD se destaca en permitir que las medidas de los polígonos sean precisas. En la Tabla 4.1.2.2 se aprecia que los profesores le encuentran mayores ventajas al uso del programa CAD que a la regla y el compás. Por otro lado es importante resaltar que el 36.4%.de las ventajas que se le atribuyen al programa CAD no las posee la regla y compás, igualmente, que 2.3% de las ventajas que goza la regla y compás no las tiene el CAD.

Las ventajas que tiene construir una figura geométrica con el uso de regla y compás y el programa CAD son las siguientes: permite que las medidas de los polígonos sean precisas, desarrolla habilidad en la medición y la comparación, darle una medida real a la figura, agiliza la percepción visual para la medición y proporciona conocer y aplicar las condiciones geométricas.

Las ventajas que tiene construir una figura geométrica con el uso de regla y compás de acuerdo a la opinión de los profesores son las siguientes: permite que las medidas de los polígonos sean precisas, desarrolla habilidad en la medición y la comparación, realiza darle una medida real a la figura, agiliza la percepción visual para la medición, proporciona conocer y aplicar las condiciones geométricas y facilita proponer figuras sin tener limitaciones por medidas específicas.

Las ventajas que tiene construir una figura geométrica con el uso del programa CAD son las siguientes: permite que las medidas de los polígonos sean precisas, el computador realiza la construcción dándole los datos, desarrolla habilidad en la medición y la comparación, realiza darle una medida real a la figura, agiliza la percepción visual para la medición, proporciona conocer y aplicar las condiciones geométricas, las medidas se pueden modificar, facilita

155

convertir una figura plana en una figura volumétrica y proyecta una imagen de un plano a otro.

Por último, los profesores le asignan mayores ventajas al uso del programa CAD para hacer construcciones geométricas frente al uso de regla y compás. Pero también se observa que dichas ventajas del CAD se ubican en dos clases, las que se basan en la conservación de la información y las que se caracterizan por la precisión y rapidez.

Limitaciones. Para la interpretación del comportamiento de las respuestas obtenidas por medio de los cuestionarios referida a las limitaciones que presentan el uso de la instrumentación para construir figuras geométricas, los datos se agruparon en trece categorías. En la Tabla 4.1.2.3 se muestra la distribución de frecuencias por limitaciones para

hacer construcciones

geométricas.

Tabla 4.1.2.3. Distribución de frecuencias por tipos de limitaciones Regla, compás, escuadras, transportador LIMITACIONES y lápiz.

Uso inadecuado de las herramientas.

13 Escaso conocimiento de los conceptos geométricos.

10 Dificultad para usar líneas rectas perpendiculares y 5 paralelas.

Desconocimiento del programa CAD. No saber construir un poliedro a partir de un plano.

8 Poca habilidad para construir figuras planas como 4 polígonos.

No se evalúan las habilidades manuales.

2 FRECUENCIA

%

CAD.

%

12,6 9,7 4,9

5 9 4

4,9 8,7 3.9

7,8 3.9

7 6 2

6.8 5.8 1,9

1,9

2

1,9

156

Dificultad para la visualización tridimensional de los poliedros.

Deficiencia en la memoria visual del espacio.

1

1,0

1

1,0

1

1,0

1

1,0

Desmotivación para resolver tareas.

1

1,0

1

1,0

2

1,9

Falta habilidad para hacer una extrusión y representar una figura en 2D. Falta habilidad para usar hojas de block sin trazo.

1

1,0

Ninguna.

10

9,7

7

6,8

Total

56

54,4

47

45,6

Los profesores encuestados emitieron un total de ciento tres opiniones de las cuáles el 54.4% corresponden a las limitaciones que tienen el uso de regla y compás y se enmarcan en once categorías, el resto 45.6% se sitúa en el programa CAD y se enmarcan en doce categorías.

Las categorías que se comparten representan el 90.4% y son: “Uso inadecuado de las herramientas”, “Escaso conocimiento de los conceptos geométricos”, “Dificultad para usar líneas rectas perpendiculares y paralelas”, “No saber construir un poliedro a partir de un plano”, “Poca habilidad para construir figuras planas como polígonos”, “No se evalúan las habilidades manuales”, “Dificultad la visualización tridimensional de los poliedros”, “Deficiencia en la memoria visual del espacio”, “Desmotivación para investigar”, y “Ninguna”. Se destaca que el CAD su frecuencia es menor o igual en la mayoría de las categorías que se comparten con regla y compás.

El 1% lo representa una categoría que corresponde sólo a la regla y compás “Falta habilidad para usar hojas de block sin trazo”. El 8.7% lo representan las categorías que no comparte el programa CAD y son: “Falta habilidad para hacer una extrusión y generar una geometría en 2D” y “Desconocimiento del programa CAD”.

157

CONCLUSIONES. En opinión de los profesores encuestados el escaso conocimiento

de

los

conceptos

geométricos,

uso

inadecuado

de

las

herramientas y no saber construir un poliedro a partir de un plano, muestran frente al resto que, es donde se hallan las mayores limitaciones para construir poliedros. En la Tabla 4.1.2.3 se puede notar que los profesores le encuentran mayores limitaciones al uso de la regla y compás que al uso del programa CAD. Se destaca que el 16.5% no encuentra limitaciones para construir figuras geométricas.

Las que tiene construir una figura geométrica con el uso de regla y compás, son las siguientes: uso inadecuado de las herramientas, escaso conocimiento de los conceptos geométricos, dificultad para usar líneas rectas perpendiculares y paralelas, no saber construir un poliedro a partir de un plano, poca habilidad para construir figuras planas como polígonos, no se evalúan las habilidades manuales, dificultad para la visualización tridimensional de los poliedros, deficiencia en la memoria visual del espacio, desmotivación para investigar, falta habilidad para usar hojas de block sin trazo y ninguna.

Las que se encuentran para construir una figura geométrica con el uso del programa CAD son las siguientes: uso inadecuado de las herramientas, escaso conocimiento de los conceptos geométricos, dificultad para usar líneas rectas perpendiculares y paralelas, desconocimiento del programa CAD, no saber construir un poliedro a partir de un plano, poca habilidad para construir figuras planas como polígonos, no se evalúan las habilidades manuales, dificultad para la visualización tridimensional de los poliedros, deficiencia en la memoria visual del espacio, desmotivación para investigar, falta habilidad para hacer una extrusión y generar una geometría en 2D y algunos profesores no identifican limitaciones.

158

Las limitaciones que se mencionan con el uso de regla y compás, y el programa CAD para construir una figura geométrica son las siguientes: uso inadecuado de las herramientas, escaso conocimiento de los conceptos geométricos, dificultad para usar líneas rectas perpendiculares y paralelas, desconocimiento del programa CAD, no saber construir un poliedro a partir de un plano, poca habilidad para construir figuras planas como polígonos, no se evalúan las habilidades manuales,

dificultad para la visualización tridimensional de los

poliedros, deficiencia en la memoria visual del espacio, desmotivación para investigar, falta habilidad para hacer una extrusión y generar una geometría en 2D, falta habilidad para usar hojas de block sin trazo, y ninguna.

Los profesores le asignan más limitaciones al uso de regla y compás para construir figuras geométricas frente al uso del programa CAD. Pero se advierte que las limitaciones de regla y compás se encuentran en no saber usar las herramientas, a la par, que las del programa CAD, se destaca, el no saber usar el programa. En general, unas y otras se pueden situar en no saber el manejo de las herramientas y el escaso conocimiento de los conceptos geométricos.

Los resultados se clasifican en dos, la deficiente fundamentación en geometría que tienen los estudiantes y no saber usar las herramientas. Podría decirse que en la primera es en donde se encuentran las mayores limitaciones y le siguen en importancia no saber usar las herramientas.

b.

Construcción de poliedros. Aquí se exponen las inferencias obtenidas con

respecto a qué consiste construir una figura geométrica, algunos aspectos que intervienen para construir un poliedro, la diferencia entre construir y dibujar y se derivan las conclusiones que resultaron del análisis de éstas.

159

En que consiste construir una figura geométrica. Para interpretar el comportamiento de las respuestas obtenidas mediante los cuestionarios con relación en que consiste construir una figura geométrica, los datos se agruparon en seis categorías. En la Tabla 4.1.2.4 se muestra la distribución de frecuencias en qué consiste construir una figura geométrica.

Tabla 4.1.2.4. Distribución de frecuencias en qué consiste construir una figura geométrica EN QUÉ CONSISTE CONSTRUIR FRECUENCIA Oportunidad de verla desde varios puntos de vista.

3 Crear una figura con diferentes dimensiones.

2 Toda imagen mental tiene una representación que la podemos 2 convertir a geométrica cuando la parametrizamos.

Realizar un esquema de una figura a partir de unas especificaciones 2 predeterminadas.

% 23,0 15,4 15,4

Definir el número de lados (polígonos regulares) su tamaño, determinar si es inscrito o circunscrito y dar uso al compás y escuadras.

Es un modelo abstracto.

Total

2

15,4

2 13

15,4 100

15,4

Los profesores encuestados emitieron trece opiniones de las cuales corresponde el 15.4% a “Crear una figura con diferentes dimensiones”, el 15.4% a “Toda imagen mental tiene una representación que la podemos convertir a geométrica cuando la parametrizamos” , el 15.4% a “Realizar un esquema de una figura a partir de unas especificaciones predeterminadas”, el 15.4% a “Definir el número de lados (polígonos regulares) su tamaño, determinar si es inscrito o circunscrito y dar uso al compás y escuadras”, el 15.4% a “Es un modelo abstracto” y el 23% “Oportunidad de verla desde varios puntos de vista”.

CONCLUSIÓN. La concepción de los profesores que predomina (Ver Tabla 4.1.2.4) respecto a qué es construir una figura geométrica es: “oportunidad de verla desde varios puntos de vista”. Con una misma frecuencia se encuentran las siguientes: “crear una figura con diferentes dimensiones; “toda imagen mental

160

tiene una representación que la podemos convertir a geométrica cuando la parametrizamos”; “realizar un esquema de una figura a partir de unas especificaciones predeterminadas”; “definir el número de lados (polígonos regulares) su tamaño, determinar si es inscrito o circunscrito y dar uso al compás y escuadras” y “es un modelo abstracto”.

Aspectos que intervienen para construir un poliedro. Para interpretar las respuestas obtenidas por medio de los cuestionarios y referidas a los aspectos que intervienen para construir un poliedro con regla y compás y el programa CAD, los datos se agruparon en ocho categorías. En la Tabla 4.1.2.5 se muestra la distribución de frecuencias para construir poliedros.

Tabla 4.1.2.5. Distribución de frecuencias de aspectos que intervienen para construir un poliedro con regla y compás y el CAD ASPECTOS FRECUENCIA % El proceso de construcción.

8 30,8 Tener claridad de conceptos como ángulo, mediatriz, vistas, proyección 7 26,9 y poliedro.

Utilizar parámetros como un punto de origen, ángulo y espacio 3 11,6 tridimensional.

Hacerlo a mano alzada.

2 7,7 Organización y planeación donde se va a dibujar.

2 7,7 Conocer sistemas de medidas con que se desea trabajar.

2 7,7 Conocer los comandos que le permitan graficar las diferentes aristas con 1 3,8 sus medidas y ángulos determinados.

Practicar constantemente.

1 3,8 Total 26 100

Los profesores encuestados emitieron veintiséis opiniones de las cuales el 30.8% corresponde a “El proceso de construcción”, el 26.9% a “Tener claridad de conceptos como ángulo, mediatriz, vistas, proyección y poliedro”, el 11.6% a “Utilizar parámetros como un punto de origen, ángulo y espacio tridimensional”, el 7.7% a “Hacerlo a mano alzada”, el 7.7% a “Organización y planeación donde se va a dibujar”, el 7.7% a “Conocer sistemas de medidas con que se

161

desea trabajar”, el 3.8% a “Conocer los comandos que le permitan graficar las diferentes aristas con sus medidas y ángulos determinados” y el 3.8%

a

“Practicar constantemente”.

CONCLUSIONES. Los aspectos que intervienen para construir un poliedro con el programa CAD son: tener claridad del concepto poliedro, conocer sistemas de medidas con que se desea trabajar, conocer los comandos que le permitan graficar las diferentes aristas con sus medidas y ángulos determinados, el número de lados, forma de la base, altura, si es recto regular o si es irregular o inclinado, las vistas y la perspectiva, conocer bien el poliedro, dimensionarlo con exactitud, manejo contínuo de longitudes, tener un sistema de referencia, ejercitar su construcción geométrica, el proceso de armado y la Organización y planeación donde se va a dibujar, conocimiento del plano y conceptos como ángulos y mediatrices.

Finalmente, los profesores encuestados le ven mayor importancia al proceso de construcción y tener claridad de conceptos como ángulo, mediatriz, vistas, proyección y poliedro.

Diferencias entre dibujar y construir. La información que se obtuvo mediante las respuestas dadas en los cuestionarios sobre las diferencias que existen entre dibujar y construir un poliedro con las mismas herramientas, se organizaron en doce categorías en la Tabla 4.1.2.6 se muestra la distribución de frecuencias por diferencias entre dibujar y construir.

Tabla 4.1.2.6. Distribución de frecuencia de distinciones entre dibujar y construir FRECUENCIA DIBUJAR % CONSTRUIR DISTINCIÓN La apreciación de la representación gráfica es 2 10,0 1 precisa.

Se conoce su forma y se copia.

1 5,0 Se hace el trazo deseado.

1 5,0

% 5,0

162

Las medidas son aproximadas.

1

5,0

Se trabaja en el dibujo técnico.

1

5,0

No requiere de compás ni de regla.

1

5,0

Requiere de herramientas y movimientos específicos.

4

20,0

Hay manejo de sistemas de medición.

1

5,0

No se puede establecer el trazo que se quiera.

1

5,0

Hay imprecisiones por el uso de las herramientas.

1

5,0

Un trabajo de dibujo en el plano.

1

5,0

Ninguna.

2

10,0

2

10,0

Total

9

45,0

11

55,0

Los profesores encuestados emitieron un total de veinte opiniones, de las cuales el 45% corresponden a dibujar y el resto 55% se refieren a construir. Las categorías que se comparten representan 35% y son: “La apreciación de la representación gráfica es precisa” y “Ninguna”.

Las categorías no compartidas sobre dibujar representan 25% y son: “Se conoce su forma y se copia”, “Se hace el trazo deseado”, “Las medidas son aproximadas”, “Se trabaja en el dibujo técnico” y “No requiere de compás, ni de regla”.

Las categorías no compartidas sobre construir representan el 40% y son: “Hay manejo de sistemas de medición”, “No se puede establecer el trazo que se quiera”, “Hay imprecisiones por el uso de las herramientas”, “Un trabajo de dibujo en el plano” y “Requiere de herramientas y movimientos específicos”..

CONCLUSIONES. Con la opinión de los profesores encuestados se pueden establecer diferencias entre dibujar y construir, así, para dibujar un objeto se conoce su forma y se copia, se hace el trazo deseado, las medidas son aproximadas, se usa la proyección y no requiere de compás, ni de regla, mientras que construir, se usan sistemas de medición, se establece el trazo, hay

163

imprecisiones por el uso de las herramientas, se hace en el plano, requiere de la regla, el compás, el transportador y movimientos específicos.

Construir y dibujar son dos actividades muy diferentes, la primera consiste en hacer trazos con precisión y regulado por propiedades geométricas, las medidas son exactas, es un trabajo de dibujo en el plano, requiere de la regla, el compás y el transportador, tiene movimientos específicos y manejo de sistemas de medición. En tanto que la segunda es más libre, con medidas aproximadas, no requiere regla y compás, se trata de conocer la forma y copiarla y hacer el trazado deseado.

c.

Uso de herramientas. A continuación se exponen las inferencias y las

conclusiones

que se

obtuvieron

sobre

las

herramientas

usadas

y

los

inconvenientes que presentan cuando se usan para construir un poliedro.

Herramientas usadas. Para la interpretación de las respuestas obtenidas por medio de los cuestionarios con respecto a las herramientas que deben ser usadas para hacer una construcción geométrica con regla y compás y el programa CAD, los datos se agruparon en ocho categorías. En la Tabla 4.1.2.7 muestra la distribución de frecuencias por tipo de herramienta que es usada.

Tabla 4.1.2.7. Distribución de frecuencias por herramientas usadas para construir una figura geométrica.

HERRAMIENTA FRECUENCIA % Las escuadras.

11 23,4 Los Instrumentos geométricos graduados.

10 21,3 El compás.

9 19,1 El transportador.

9 19,1 El lápiz.

4 8,5 El programa CAD. 2 4,3 Los marcadores.

1 2,1 El plano para hacer el dibujo.

1 2,1

164

Total

47

100

Los profesores encuestados emitieron cuarenta siete opiniones, el 91.5% corresponde al uso de “Escuadras”, “Instrumentos geométricos graduados”, “Compás”, “Transportador” y el “Lápiz”; y el 8.5% al uso del “Programa CAD”, “Marcadores” y “Dibujo en el plano”.

CONCLUSIÓN. En opinión de los profesores encuestados, las herramientas que usan para construir una figura geométrica son las escuadras, los instrumentos geométricos graduados, el compás, el transportador y el lápiz y en muy poca proporción el programa CAD, los marcadores y el dibujo en el plano.

Inconvenientes que presenta el uso de las herramientas. Para interpretar las respuestas obtenidas por medio de los cuestionarios referentes a las herramientas que causan inconvenientes en el aprendizaje de la construcción de figuras geométricas, los datos se agruparon en ocho categorías. En la Tabla 4.1.2.8 se muestra la distribución de frecuencias por herramientas que causan inconvenientes para construir figuras geométricas.

Tabla 4.1.2.8. Distribución de frecuencias por inconvenientes que presentan las herramientas INCONVENIENTES

FRECUENCIA

%

165

El manejo de las escuadras.

4

22,2

El uso del transportador.

3

16,7

El uso de la regla.

3

16,7

Los procesos para usar el compás.

3

16,7

No tener conocimiento de la raíz cuadrada.

2

11,1

Aplicación de los conceptos.

1

5,5

El uso del lápiz.

1

5,5

No saber el ángulo entre la hipotenusa y el cateto.

1

5,5

Total

18

100

Los profesores encuestados emitieron un total de dieciocho opiniones y se sitúan el 55.5% en “El manejo de las escuadras”, “El uso del transportador” y “El uso de la regla”, y el 44.5% en “Los procesos para usar el compás”, “no tener conocimiento de la raíz cuadrada”, “Aplicación de los conceptos”, “El uso del lápiz” y “No saber el ángulo entre la hipotenusa y el cateto“.

CONCLUSIONES. En las diferentes opiniones de los profesores encuestados sobre las herramientas que causan inconvenientes para construir una figura geométrica, se destaca el manejo de las escuadras y le siguen en importancia el uso del transportador, la regla y procesos para usar el compás. Se asignan menor importancia al conocimiento de la raíz cuadrada, aplicación de los conceptos, el uso del lápiz y no saber el ángulo entre la hipotenusa y el cateto.

Las herramientas que presentan mayores inconvenientes para construir una figura geométrica son las escuadras, el transportador y la regla y el compás.

d.

Habilidades que se ponen en juego. En los siguientes párrafos se describen

las inferencias y conclusiones que se obtuvieron sobre habilidades. Para hacer la interpretación de las respuestas obtenidas por medio de los cuestionarios referidas a las habilidades que se fomentan cuando se construye una figura geométrica, los

166

datos se agruparon en catorce categorías. En la Tabla 4.1.2.9 se muestra la distribución de frecuencias de las habilidades.

Tabla 4.1.2.9. Distribución de frecuencias por habilidades para construir una figura geométrica HABILIDADES

FRECUENCIA

%

Desarrollar la motricidad.

12

24,5

Manejar los instrumentos de medición.

10

20,4

Fomentar la capacidad de visón espacial.

7

14,3

Crear.

5

10,2

Observar.

3

6,1

Interpretar.

2

4,1

Relacionar lo abstracto con lo concreto.

2

4,1

Desarrollar la memoria visual.

2

4,1

Medir los ángulos de cada figura.

1

2,0

Hacer la construcción geométrica de las vistas.

1

2,0

Desarrollar la Psicomotricidad.

1

2,0

Reforzar los conceptos.

1

2,0

Tener sentido de orden y aseo.

1

2,0

Imaginar.

1

2,0

Total

49

100

Los profesores encuestados emitieron cuarenta y nueve opiniones que corresponden el 44,9% a “Desarrollar la motricidad” y “Manejar los instrumentos de medición”, el 14,3% a “Fomentar la capacidad de visón espacial”; el 16,3% a “Crear” y “Observar”, el “12,3% a “Interpretar”, “Relacionar lo abstracto con lo concreto” y “Desarrollar la memoria visual y el 12% a “Medir los ángulos de cada figura”, “Hacer la construcción geométrica de las vistas”, “Desarrollar la Psicomotricidad”, “Reforzar los conceptos” y “Tener sentido de orden y aseo” e “Imaginar”.

167

CONCLUSIONES. Las habilidades motrices que se fomentan para construir una figura geométrica son: desarrollar la motricidad, manejar los instrumentos de medición, medir los ángulos de cada figura y hacer la construcción geométrica de las vistas.

Las habilidades intelectuales que se fomentan para construir una figura geométrica son: la capacidad de visón espacial, la creatividad, relacionar lo abstracto con lo concreto, reforzar los conceptos, tener sentido de orden y aseo e imaginar. Se incluye en este tipo de habilidades desarrollar la Psicomotricidad.

Se deriva de las opiniones de los profesores encuestados que se le asignan mayor importancia a fomentar las habilidades intelectuales en las que se destaca fomentar la capacidad de visión espacial y en las habilidades motrices se destaca desarrollar la motricidad y manejar los instrumentos de medición. ¾

Referencias que justifican la opinión de los profesores.

Las habilidades que se fomentan mediante el uso de las herramientas son las motrices y las intelectuales por medio de la comprensión y aplicación de los conceptos geométricos. Las condiciones para transferirlas, de acuerdo a la experimentado con los estudiantes, depende de las oportunidades para que puedan cambiar de instrumentación, es decir, llevar a cabo situaciones con un tipo de herramienta (programa CAD) y después hacerlo con otro (regla y compás), o resolver situaciones nuevas cambiando el tipo de poliedro que se proponga construir.

El poco conocimiento que poseen los profesores de la instrumentación usada para construir poliedros se puede reconocer en las respuestas; el desconocimiento del vocablo poliedro y ausencia sobre el conocimiento de la demostración y las

168

concepciones que tienen sobre lo que es una construcción geométrica, ponen en claro la poca dedicación a las construcciones geométricas. Esta problemática ha sido expuesta por investigadores como Guillén Soler y Figueras Mourut de Montpellier (2005, p.233) al respecto escriben “Si nos centramos en la geometría de los sólidos, en estos trabajos se subraya la poca atención que se presta a la enseñanza de la misma en las escuelas y la manera en que ésta se enseña: se hace a partir de dibujos. Se apunta también que algunos docentes priorizan el estudio de la medida al de la geometría”.

En el mismo sentido, Grecia Gálvez Pérez (1985, p.3) menciona lo siguiente: “Desgraciadamente, el tratamiento escolar de esta disciplina suele reducirse al reconocimiento de cuerpos y figuras, a la memorización de nombres, definiciones y fórmulas y, en el mejor de los casos, al seguimiento de instrucciones (recetas) para reproducir determinadas construcciones”. Además, se considera que “la geometría tridimensional casi ha desaparecido o ha sido confinada a un rol marginal en el currículo de la mayoría de los países” (Hernández y Villalba, 2001, p.2).

Igualmente, se sostiene que “No es posible construir conocimiento sin manejar la espacialidad y por ello, cuando no se aprende la geometría de Euclides y los planes de estudio no la incluyen alejamos nuestro niños y jóvenes no solamente del saber matemático sino, del conocimiento en general” (Pérez, 1990, p.1).

La construcción geométrica es una temática que de acuerdo a lo que expresan los profesores encuestados, se le da poca importancia, y se podría afirmar que está casi ausente en la enseñanza. Esto no sólo se expresa en las opiniones de los profesores sino que Rochera Gaya (2006, p.1) dice que “se suele tratar casi de forma simbólica en los programas de esta materia, viéndose más, posiblemente, en el área de plástica (Dibujo Lineal). Por otra parte, con la utilización de los

169

ordenadores y de programas de CAD (Diseño Asistido por Ordenador) o de geometría interactiva, la utilización real del compás y del transportador se ha reducido al mínimo, habiendo casi desaparecido en las área profesionales”.

El surgimiento de nuevas tecnologías que suplen a otras y el acelerado cambio que se dan en los programas para ser utilizados en el computador y el síndrome que ha generado el uso de éste en todos los medios sociales, se ha convertido en una herramienta esencial para hacer actividades rutinarias, sin la cual, no se podrían llevar a cabo. Ahora, algunos consideran que “El uso de la computadora es altamente deseable en la enseñanza y el aprendizaje de las ciencias y de la Matemática en particular. Cuando el alumno utiliza la computadora se logra un ambiente que lo estimula hacia el descubrimiento y que facilita la construcción de conceptos”. (Villanueva Armenteros, 2004, p.1).

En este estudio se asume el computador, la regla, el compás y el programa CAD como ayudas didácticas que facilitan el aprendizaje de los conceptos geométricos; en este sentido Alonso Oliva (1998, p.8) sugiere lo siguiente: “Los ordenadores pueden combinarse con otros medios para facilitar las adaptaciones individuales de la enseñanza”. ¾

Conclusiones

La definición de los núcleos temáticos fue de utilidad en la formulación de las preguntas y en la identificación de lo que opinan los profesores encuestados alrededor de lo que se presenta al aprender y enseñar a construir un poliedro. Los resultados obtenidos al ser articulados con los que se consiguieron en los análisis precedentes posibilitan tener una visión de lo que puede ser el diseño y preparación de las situaciones didácticas y adidácticas, permiten tener unos conocimientos amplios y precisos de los siguientes aspectos:

170

*

Ventajas didácticas que tiene construir una figura geométrica bidimensional y tridimensional.

*

Las limitaciones didácticas que se presentan en el aprendizaje.

*

Estrategias para superar las limitaciones que surgen en el aprendizaje.

*

Actividades que presentan limitaciones a los estudiantes.

*

Conocimientos y conceptos geométricos para construir entendido como dibujar y trazar.

*

Herramientas que se usan para construir un poliedro como objeto tridimensional y como representación en el plano de un objeto tridimensional.

*

Inconvenientes que se presentan para construir una figura geométrica.

*

Habilidades que se fomentan para construir una figura geométrica.

Los resultados globales tanto de la prueba piloto como la prueba definitiva, en razón a las ventajas y limitaciones didácticas, uso de herramientas y habilidades son coincidentes algunos de los aspectos hallados como: tener conocimientos previos; saber los conceptos básicos de geometría; relacionar la teoría y la práctica; la medición; las habilidades de pensamiento; habilidades de visión espacial; habilidades motrices; habilidades cognitivas; uso de la regla, compás y escuadras;

lo qué es una construcción geométrica; las diferencias que se

establecen entre dibujar y construir una figura geométrica; y el énfasis que se hace en la enseñanza a la cantidad (lo numérico y la medición).

Las restricciones identificadas son las que se mencionan a continuación:

* El poco conocimiento que poseen los profesores de la instrumentación usada para construir poliedros se aprecia en las respuestas dadas en la encuesta. El uso del programa CAD es mínimo. * Desconocimiento del vocablo poliedro y ausencia sobre el conocimiento de la demostración.

171

* La pluralidad de significados de lo qué es una construcción geométrica. * Los profesores encuestados le ven más ventajas al uso del programa CAD que a la regla y compás y más limitaciones al uso de regla y compás. * La mayoría de los profesores encuestados no está de acuerdo en sustituir los contenidos que se enseñan en geometría por el uso de la tecnología informática.

Estos elementos ponen en evidencia la poca dedicación que se le da a esta temática y las dificultades que se puedan encontrar al momento de enseñar, debido a que los profesores encuestados reconocen la deficiente fundamentación que tienen los estudiantes.

Las dos primeras restricciones expresan la escasa aplicación que se le da tanto a las herramientas tradicionales como a las informáticas para construir figuras geométricas y, por consiguiente, se pueden encontrar inconvenientes en los estudiantes al momento de enseñar. Las concepciones que tienen los profesores hacen difícil que aparezca una relación entre construcción y demostración cuando construir es trazar, dibujar, modela….Además, se encuentra en lo hallado que no hay diferencia entre figura y representación de un poliedro por lo que el tratamiento que se da es muy similar.

La tercera muestra la variedad de significados coloquiales que le atribuyen los profesores encuestados a la construcción geométrica de poliedros lo cual puede generar en los estudiantes dificultades en el aprendizaje y concepciones equivocadas.

Las dos últimas son objeto de análisis ya que el surgimiento de nuevas tecnologías que suplen a otras (regla y compás, y el CAD) y el acelerado cambio que se dan en los programas para ser utilizados en el computador y el uso de

172

éstos en todos los medios sociales, se convirtió en una herramienta de uso común.

Finalmente, las opiniones de los profesores encuestados aportan información precisa sobre el uso de la instrumentación para tenerla en cuenta en el diseño de las situaciones e indican que es posible construir poliedros con regla y compás y el programa CAD o viceversa y hacer la identificación de las ventajas y limitaciones didácticas que se encuentran con el uso de las herramientas.

4.1.3 Concepciones y dificultades de los estudiantes.

Esta subsección trata lo concerniente al procedimiento que se siguió para el diseño de los sondeos; también, se hace la interpretación de la información obtenida con los sondeos realizados a estudiantes de algunas instituciones técnicas y tecnológicas de la ciudad Santiago de Cali y se derivan las inferencias de la muestra.

Los estudiantes que participaron en los sondeos estudian Soldadura por Trazado y Corte de Productos Metálicos, Programación de Equipos de Mecanizado por Arranque y Viruta y, grado noveno y décimo primero de la educación media técnica.

Con las interpretaciones que se hicieron a las respuestas de cada sondeo que realizaron los estudiantes para construir figuras geométricas planas con regla y compás, y el programa CAD se pudieron identificar las concepciones que tienen sobre la construcción geométrica, las expectativas y conocer las posibles dificultades y ventajas que se les presentan.

173

A continuación se presenta el procedimiento que se siguió para el diseño de los sondeos realizados, los resultados que se consiguieron y las conclusiones que se derivaron. ¾

Procedimiento para el diseño de los sondeos.

Los sondeos se diseñaron teniendo en cuenta el siguiente procedimiento: elaboración de un cuadro de especificaciones, identificación de núcleos temáticos, determinación de niveles de complejidad, cantidad de preguntas o ejercicios, redacción de preguntas o ejercicios, clasificación de preguntas o ejercicios y edición del formato para el sondeo o prueba.

Primero se planteó una pregunta con la que se hizo un sondeo en forma aleatoria con un grupo de estudiantes que estuvieran iniciando formación en una ocupación o especialidad técnica o tecnológica. De los grupos que cumplían con las condiciones expuestas, el grupo de la ocupación Soldadura por Trazado y Corte de Productos Metálicos, se facilitó para llevar a cabo la prueba en el Aula Taller de Tecnología Básica Transversal del SENA Complejo Salomia de la ciudad Santiago de Cali.

A los diez y seis estudiantes que asistieron fue propuesta la pregunta: ¿Para usted qué es una Construcción Geométrica?, las respuestas que se dieron fueron transcritas completamente en el anexo D.

Las respuestas dadas por los estudiantes se agruparon en tres categorías: en lo geométrico, en el dibujo y en el lenguaje cotidiano. La interpretación de éstas, hizo pensar que hay ideas y conceptos equivocados, que se asemejan a un conocimiento cotidiano y fueron entendidas como el proceso para dibujar ciertas formas o cuerpos. Esto, fue una razón que sirvió para ser complementada con el

174

comportamiento que tuvieron los estudiantes cuando realizaron construcciones geométricas básicas.

La información obtenida por medio del sondeo sirvió de base para

buscar

alternativas que facilitaron la identificación de algunas características de las variables didácticas y detectar algunas limitaciones que aparecen cuando se construyen polígonos.

Una alternativa que se ensayó fue proponer un sondeo previo que integró preguntas y ejercicios de construcciones geométricas básicas y determinar si eran de utilidad para conseguir la información requerida.

Para el diseño se establecieron dos núcleos temáticos a saber: construcciones de figuras geométricas básicas y construcciones de polígonos, de donde se formularon las preguntas y ejercicios.

Con los resultados del sondeo previo se pudo detectar que la cantidad de preguntas era exagerada y que los estudiantes tienen preferencia por hacer las siguientes actividades: construir una línea paralela a una línea recta S por un punto P exterior a ella, construir un triángulo conocidos los tres lados y construir un cuadrado conocido un lado.

Con lo antes mencionado se determinó reducir la cantidad de preguntas y de ejercicios y preservar los núcleos temáticos para hacer el diseño de la prueba, con la que se recogió la información de forma definitiva.

175

¾

Sondeo previo NO 1

Se puso en juego el sondeo previo que se preparó teniendo en cuenta tres bloques. En el primer bloque se formularon ocho preguntas. En el segundo bloque dieciocho ejercicios y en el tercero bloque una pregunta.

Las preguntas y ejercicios formulados tenían la intención de recoger información para identificar ventajas y limitaciones en el uso de la instrumentación, igualmente, concepciones, procedimientos, conceptos y conocimientos que se movilizan en el aprendizaje para construir figuras geométricas planas.

La experiencia se llevó a cabo con cinco estudiantes de grado noveno y cinco estudiantes de grado décimo primero de Instituciones educativas técnicas35.

De forma oral se les consultó ¿Qué recuerdan de lo que les enseñaron en geometría? los estudiantes respondieron lo siguiente: piezas geométricas, conocimientos de medición, ángulos, polígonos y fórmulas para hallar áreas, alturas y volúmenes.

Enseguida se les entregó una hoja con ocho preguntas; las respuestas que se dieron, fueron transcritas completamente en el anexo E. Luego, se entregaron dos hojas en donde se transcribieron los ejercicios.

Los diez estudiantes eligieron el programa CAD, después de varios intentos, seis decidieron hacerlo con regla y compás, solicitaron orientación para saber si lo que habían hecho estaba bien. Hubo dificultad para hacerles entender que no se trataba de dibujar sino de hacer el procedimiento que les condujera a probar cómo

35

Se mantiene en anonimato el nombre de las instituciones.

176

lo construyó. Algunos estudiantes logran distinguir entre dibujar y construir mediante el uso de los conceptos geométricos y el de la herramienta.

Para finalizar, se solicitó que respondieran la pregunta siguiente: ¿Para usted qué es una construcción geométrica? Las respuestas dadas aparecen completamente transcritas en el anexo E con letra cursiva subrayada.

Las construcciones que prefieren hacer los estudiantes indagados son:

i.

Dada una línea recta S y un punto P exterior a ella, trazar una paralela a ella que pase por el punto.

ii.

Dados tres lados conocidos, trazar un triángulo.

iii.

Dado un lado, trazar un cuadrado.

Los ejercicios seleccionados por los estudiantes muestran que ellos consideran que el trazado con la regla, el compás y el lápiz es suficiente para decir que se ha hecho una construcción geométrica.

En la realización de los ejercicios se detectó que hubo dificultades con el uso del programa CAD, y regla y compás, debido a que los conceptos geométricos no se aprendieron y hay limitaciones para entender qué es una construcción geométrica.

Las construcciones geométricas que hicieron se fundamentan en razones del dibujo, en el caso de la construcción de un triángulo se basaron en explicar cómo se hace el trazado usando regla y compás. Las explicaciones que se dan para el trazado de líneas y circunferencias no están fundamentadas en conceptos geométricos sino en argumentos cotidianos. Las herramientas referenciadas son las que se usan en el dibujo técnico como escuadras, reglas, lápices y compás.

177

Las

construcciones

geométricas

que

se

aprendieron

están

referidas

a

elaboraciones con papel o cartulina.

Las respuestas que se dieron a la pregunta ¿Para usted qué es una construcción geométrica? muestran que la realización de los ejercicios tiene influencia en la concepción que se tenga de la construcción

geométrica, las concepciones

iniciales que tenían los estudiantes, se ubicaban en lo cotidiano y las concepciones finales se situaban en hacer construcciones geométricas teniendo en cuenta regla y compás y los conocimientos geométricos.

Las concepciones que tienen los estudiantes sobre la construcción geométrica varían fácilmente cuando intentan construir figuras geométricas planas, lo que puede ser una ventaja para enseñarlas, si se toman como referente para observar la evolución que tienen en la enseñanza.

Las dificultades mencionadas por los estudiantes se ubican en la construcción de objetos físicos o el uso de herramientas del taller de dibujo o taller mecánico. Las referidas a la construcción geométrica son hacer dibujos y falta de conocimientos geométricos. Tienen dificultades con todas las temáticas de geometría.

En cuanto aprender geometría estiman que se deben ampliar el horario y consideran que es un área que les aporta en su conocimiento y futuro.

La prueba fue de utilidad en la identificación de limitaciones para hacer construcciones geométricas con las herramientas, la deficiencia en los conceptos y conocimientos geométricos que poseen los estudiantes y las concepciones equivocadas que tienen de lo que es una construcción geométrica.

178

Los resultados mostraron que con cuatro preguntas y dos ejercicios era suficiente para llevar a cabo una prueba con los estudiantes. ¾

Sondeo sobre construcciones geométricas NO 2.

De acuerdo a lo observado y los resultados alcanzados, se hizo otro sondeo con un grupo de estudiantes del SENA con la misma intencionalidad que el sondeo previo, en el que se propusieron cuatro preguntas para ser contestadas al iniciar y dos ejercicio de los preferidos por los estudiantes.

Las preguntas fueron las siguientes: ¿Para usted qué es una construcción geométrica?,

¿Qué

herramientas

ha

usado

para

hacer

construcciones

geométricas?, ¿Qué dificultades se le presentaron para construir una figura geométrica? y ¿Cuáles son los aspectos que intervienen en una demostración geométrica? Las respuestas aparecen completamente transcritas en el anexo F.

En cuanto a los ejercicios, se propusieron construir un triángulo conocidos los tres lados y construir un cuadrado conocido un lado.

Las concepciones que tienen sobre qué es una Construcción geométrica se agruparon, unas en la medición y otras en lo cotidiano. Se podría decir que ambas son el resultado de la interpretación que se le puede dar al verbo CONSTRUIR, pues este sugiere significados variados dependiendo en el contexto donde se está usando el término y el vocablo geometría se lo asocian a figura.

Las herramientas que usan los estudiantes para hacer construcciones geométricas son las siguientes: regla, compás,

transportador, plomadas, escuadras,

curvígrafo, calculadora, lápiz, Autocad, hojas de papel para dibujar, regla de nivel, niveles, portaminas, tijeras y regla T.

179

Las concepciones que tienen los estudiantes de lo qué es una demostración se ubican en la medición, en la técnica, en la exposición de objetos, en hacer algo, en repetir o copiar un modelo. No hay una concepción cercana de lo que puede ser una demostración geométrica y manifiestan, que las dificultades que se les presenta para construir una figura geométrica están en la medición, la interpretación y la motricidad.

Para construir un triángulo conocidos los tres lados y un cuadrado conocido un lado, con las condiciones establecidas para usar los íconos que cumplieran con las mismas funciones de regla y compás, posibilitaron que hicieran varios ensayos en la ventana de dibujo del CAD, pero se les dificultó hacer la construcción geométrica debido a que el entorno para interactuar se restringe para hacer construcciones porque las figuras geométricas están predeterminadas y es combinando éstas cómo se puede construir.

En cuanto a las ventajas que tiene usar regla y compás es la movilidad que se tiene para hacer el trazado de las figuras geométricas, las que tiene usar el CAD, es la facilidad de borrado y el zoom que se le puede hacer a las figuras.

Los estudiantes tuvieron dificultades para fundamentar que los trazos permiten construir la figura geométrica y demostrar que las representaciones hechas con los íconos proporcionan los resultados esperados.

En la construcción geométrica con regla y compás, las justificaciones se hicieron por medio de descripciones de lo que fue el manejo de las herramientas con las que se trazaron las figuras geométricas.

Por último, las concepciones que poseen los estudiantes son muy corrientes; se centran en la medición y la interpretación que se le puede dar al verbo construir.

180

Igualmente, piensan que dibujar es lo mismo que hacer la construcción de una figura geométrica. Según, Campanario y Otero (2000, p.4); “la existencia de ideas previas científicamente incorrectas permite entender por qué los alumnos plantean ciertas preguntas aparentemente absurdas pero que para ellos están llenas de sentido”, este puede ser un aspecto que fundamente por qué los estudiantes tienen el convencimiento que dibujar es construir.

Además, “dado que las ideas previas funcionan como marcos conceptuales, también dirigen y orientan el procesamiento de la información que se estudia en los libros o la interpretación de las explicaciones del profesor” (Campanario y Otero, 2000, p.4); lo que implica hacer énfasis, en las situaciones que se planteen para orientar las concepciones y las ideas

equivocadas que puedan tener

algunos.

Los ejercicios que resolvieron los estudiantes usando regla y compás, y el programa CAD en la construcción de figuras geométricas planas, muestra que se pueden construir poliedros usando la misma instrumentación, como algunos afirman, que “la geometría bidimensional es sólo un estudio preliminar que tiene que ser dominado antes de enfrentar las dificultades de la geometría tridimensional”. (Douady, 2001, p.2).

¾

Conclusiones.

Las diferentes concepciones de construcción geométrica identificadas se agruparon en cuatro a saber: diseño de figuras geométricas, dibujo de figuras geométricas, modelación de figuras acotadas y descripciones de

figuras

geométricas.

181

Las pruebas que realizaron los estudiantes muestran que hay un conocimiento inadecuado sobre lo que es una construcción geométrica, que la demostración como una etapa que hace parte del proceso de la construcción geométrica es algo que no se conoce. Las limitaciones que se presentan en el dominio de los conocimientos y conceptos geométricos son consecuencia de la deficiencia en su formación. Otras limitaciones se ubicaron en la comprensión de los enunciados de los problemas propuestos, en el tipo de construcción y el uso de la instrumentación.

Observar cómo los estudiantes enfrentan situaciones de construcciones geométricas fue de utilidad para evidenciar las limitaciones que se les pueda presentar, cómo las resuelven y el dominio de los conceptos básicos de la geometría. Hay limitaciones para hacer construcciones geométricas básicas en el programa CAD, teniendo en cuenta sólo los comandos o íconos que cumplan las mismas funciones de regla y compás.

Lo que se observa es que las construcciones geométricas básicas se pueden llevar a cabo, siempre y cuando, se use el ícono línea, arco, y luego se debe aplicar el ícono copiar, que copia la figura y trasporta todas sus características iguales, ello garantiza una de las funciones del compás, de transportar segmentos de igual medida.

Las restricciones, que se detectaron con los estudiantes se expresaron de la siguiente forma: *

Desconocimiento de lo qué es una construcción geométrica y lo que es una

demostración y deficiente conocimiento de los conceptos geométricos básicos para construir poliedros.

182

*

Las concepciones que poseen los estudiantes son muy corrientes; se

centran en la medición y la interpretación que se le puede dar al verbo construir.

Las dificultades están en la medición, en la interpretación y en la motricidad. *

Los estudiantes confunden los sólidos que aprendieron hacer con papel o

cartulina y las herramientas que han usado como tijeras, plomadas, niveles y regla T con las construcciones de figuras geométricas y las herramientas que se usan para hacer su trazado o representación.

Lo experimentado por los estudiantes muestra que se pueden construir figuras geométricas bidimensionales con regla y compás, y con el programa CAD y viceversa. Teniendo en cuenta que para hacer la construcción geométrica de un poliedro se requiere tener dominio de los mismos conceptos básicos de geometría, se puede señalar que construir poliedros con regla y compás, y el programa CAD y viceversa es factible.

4.1.4 Resultados preliminares.

Las averiguaciones que se hicieron en las investigaciones, en los diseños curriculares, en los textos escolares, en sondeos con estudiantes, en encuestas con profesores se derivaron los resultados que se sintetizan enseguida.

Las condiciones para transferir las habilidades de un contexto donde se usó la regla y el compás a otro donde usó el CAD, se determinó que estaban mediadas por las homologaciones que fueron establecidas entre el funcionamiento de una y otra instrumentación, éstas se obtuvieron de las comparaciones que se hicieron entre los elementos que se representaron y trazaron y entre las funciones de las herramientas.

Las propuestas curriculares que se analizaron cuentan con una fundamentación

183

geométrica preliminar y se orientan a la aplicación de los

conocimientos y

conceptos geométricos al dibujo y a la construcción de poliedros mediante materiales (cartulina, plastilina entre otros) y en los textos escolares y en las cartillas hay enfoques que sacrifican los fundamentos de los conceptos geométricos para facilitar el aprendizaje.

Los ejercicios que resolvieron los estudiantes con la construcción de figuras geométricas planas, mostraron que confunden entre lo qué es un polígono y un poliedro y los sólidos que aprendieron hacer con papel, cartulina o plastilina, con las construcciones geométricas y se derivó que se pueden construir poliedros usando la misma instrumentación.

Los profesores le asignan mayor importancia a fomentar la capacidad de visión espacial, desarrollar la motricidad y manejar los instrumentos de medición. Le ven mayores ventajas al uso del CAD que a la regla y compás, y más limitaciones al uso de la regla y compás que al CAD. Consideran que construir consiste en trazar con precisión y regulado por propiedades geométricas y dibujar es una actividad libre, se trata de conocer la forma y hacer el trazo deseado.

El diseño de las situaciones se debe hacer con base en modelos sólidos de poliedros que sus enunciados sean claros para que permitan al profesor orientar y controlar el proceso y favorezca fomentar las habilidades en el estudiante. Las variables didácticas son el tipo de poliedro, regla, compás y los comandos. Los ambientes propicios para orientar es donde se puedan generar interacciones que permitan fomentar las habilidades motrices e intelectuales, que tengan reglas, compases, lápices, computadores, programas CADs (en CD o DVD), mesas, sillas y tableros.

184

Las actividades que se determinaron fueron: dibujar isométricos y las vistas, definir las funciones de las herramientas y establecer relaciones y resolver problemas sobre la construcción de poliedros.

Las habilidades que se determinaron que se ponen en juego fueron: manejar el computador (incluye el teclado, el ratón, instalar el programa y abrirlo) y saber trazar con regla y compás, conocer las funciones de las herramientas, establecer homologaciones entre las funciones de los comandos y las de la regla y compás, interactuar en el espacio de papel o con la ventana del CAD y probar lo que se hizo con una u otra herramienta

Los conceptos que se determinaron fueron los que se relacionan con las funciones de las herramientas y conceptos geométricos, afines y de la didáctica. (Véase Capítulo 2, 2.1, Fundamentos Conceptuales, p.44)

4.2

ANÁLISIS A-PRIORI

En los análisis preliminares mencionados en la sección anterior se pudieron identificar los conocimientos y conceptos geométricos relacionados para construir poliedros, la fundamentación teórico y conceptual, el tratamiento dado en la enseñanza tradicional y las concepciones de los estudiantes y profesores.

Al hacer el análisis del sistema didáctico en funcionamiento puede notarse que construir poliedros con la instrumentación ya comentada, es un saber que se enseñó muy poco, lo que implicó buscar temáticas afines y relacionadas que permitieron la estructuración de dicho saber, es así como se recurrió a la preparación de sondeos y pruebas para experimentar con los estudiantes y

185

precisar, si los conocimientos y conceptos geométricos seleccionados eran los que se ponían en juego para construir figuras geométricas planas.

Se confirmó que se puede construir una línea recta perpendicular a una dada, la bisectriz de un ángulo y construir algunos polígonos usando regla y el compás y el programa CAD; igualmente homologar las funciones entre las herramientas para establecer qué habilidades fueron puestas en juego y la variación el tipo de polígono a construir.

También se verificó en los sondeos y pruebas que es necesario diseñar las actividades para conseguir los resultados esperados y formularlas de forma que sean claras para que se puedan resolver. Asimismo, se detectaron que se fomentan las siguientes habilidades:

*

Saber encender y apagar un computador, instalar el programa CAD, reconocer la ventana y la barra de menús, los comandos que constituyen cada menú, las herramientas más comunes y manejar el puntero del Mouse y el teclado.

*

Usar los conceptos geométricos de punto, línea recta, plano y sus relaciones.

*

Conocer las funciones de regla y compás y establecer comparaciones con las funciones de los comandos del programa CAD.

*

Interactuar con la ventana del CAD

*

Saber trazar con regla y el compás, sintetizar y visualizar.

Las condiciones para construir con una u otra herramienta u otro, son: identificar las funciones de las herramientas y hacer análisis comparativos para homologarlas, cambiar de herramienta y mostrar que con los trazos o representaciones que se logra con una, se puede construir con la otra, solucionar

186

los problemas que surgen,

resolver situaciones nuevas cambiando el tipo de

poliedro.

Los equipos y herramientas requeridos para hacer construcciones con regla y el compás y el programa de CAD en las experiencias realizadas en los salones de clase son: regla sin marcas, compases, el programa CAD, lápices, marcadores, computadores, mesas, sillas y tableros.

Lo que se percibió en los análisis de las propuestas curriculares, textos escolares y en las encuestas con los profesores, es que la enseñanza se ha centrado en la noción de dibujo y en el funcionamiento de la cantidad, es decir, en el trazado, en lo numérico y en la medida, lo que impide la movilización de esquemas en los estudiantes para construir poliedros en lo geométrico.

*

En lo geométrico es poco lo que se ha incidido para fundamentar los conceptos básicos de la geometría. En los estudios hallados se evidencia que hay carencia en la formación de geometría y deficiencias de visión espacial. Aunque se plantean alternativas para enseñarla de modo dinámico y ligada a problemas de la vida cotidiana y articulada a los programas graficadores, no se han podido superar las deficiencias que muestran los estudiantes.

*

En lo gráfico es muy poco lo que se muestra en las propuestas curriculares, en los textos escolares, en los lineamientos curriculares y en los estándares.

Se nota que se quieren superar estas debilidades incluyendo temáticas afines, pero no han dado buenos resultados, es lo que se evidencia en los análisis hechos.

187

En cuanto a las concepciones que tienen los profesores sobre lo qué es una demostración geométrica son de uso coloquial y se pudieron tipificar así: construir modelos partiendo de una teoría, exponer figuras geométricas e identificar áreas.

Con relación a las concepciones de lo que es una Construcción Geométrica son de de uso común y se pudieron tipificar así: diseñar figuras geométricas, modelar figuras con medidas, dibujar figuras y fomentar el pensamiento espacial.

Las concepciones que tienen los estudiantes sobre lo qué es una construcción geométrica se pudieron tipificar en tres: unir puntos, líneas rectas y planos; hacer dibujos con formas y líneas geométricas y unir líneas para dar forma a algo.

Al comparar las concepciones de profesores y estudiantes se deriva que el abordaje de situaciones didácticas de la construcción geométrica de poliedros puede estudiarse la viabilidad de acercar las concepciones detectadas a una que sea muy próxima, que se encuentre institucionalizada desde lo geométrico.

4.2.1 Fijación de criterios para estudiar la problemática.

Con el propósito de facilitar la comprensión de

las hipótesis que se pueden

derivar de los análisis preliminares, se organizarán de acuerdo a tres aspectos a saber:

a.

Las construcciones geométricas. En el campo de las construcciones

geométricas se pudieron identificar las que se mencionan enseguida:

188

*

Los conocimientos geométricos que se usan para construir un prisma recto con regla y el compás son los mismos que se usan para construirlo con el programa CAD y viceversa, la diferencia radica en el procedimiento seguido con una y otra herramienta.

*

Los prismas rectos facilitan la construcción geométrica con regla y el compás, y el programa CAD y viceversa.

*

Homologar las funciones de la regla y el compás con los íconos o comandos línea, círculo, arco y copiar, permiten evidenciar la transferencia de conocimientos y habilidades de una instrumentación a otra.

*

Es posible reemplazar las funciones de algunos comandos de los menús del programa CAD por las funciones de regla y el compás, y homologar dichas funciones.

*

Los conocimientos y conceptos geométricos que se aprenden con regla y el compás al construir un poliedro recto se pueden transferir para construirlo con el programa CAD.

*

Es posible construir poliedros con regla y el compás, y el programa CAD o viceversa e identificar las ventajas y limitaciones didácticas con el uso de la instrumentación.

*

Los conocimientos y conceptos geométricos que se utilizan para construir poliedros rectos con regla y el compás y CAD son: trazar perpendiculares y paralelas, trazar bisectrices, mediatrices y conocer el punto, línea recta, plano y sus relaciones.

*

Usar el sistema de representación 36 diédrico facilita la extensión de los conocimientos geométricos para construir poliedros con regla y el compás y el programa CAD.

36

En el contexto de la geometría descriptiva se conoce como sistemas de representación, al diédrico o de vistas y el de mano alzada, y se usan elementos como papel, lápiz, reglas, escuadras, transportadores y compás.

189

*

Usar sistemas de representación elimina hacer la demostración de la construcción geométrica.

a.

Relación de estudiante-saber a enseñar. En la relación de aprendizaje se

pudieron identificar las que se mencionan a continuación:

*

La interacción del estudiante para construir poliedros rectos se hace efectiva cuando las actividades son transcritas en formatos de papel, lo que posibilita tomar las decisiones puntuales en el salón de clase.

*

El uso del programa CAD para construir poliedros puede producir limitaciones a nivel de la creatividad de los estudiantes.

*

Las habilidades motrices que se fomentan para construir un poliedro con regla y el compás difieren de las que se fomentan para construirlo con el programa CAD.

*

Las habilidades intelectuales que se fomentan con regla y el compás para construir un prisma recto pueden ser puestas en juego con el programa CAD al construir el mismo prisma.

*

Las habilidades motrices e intelectuales que fomentan los estudiantes se pueden determinar a partir del tipo de instrumento usado, diligenciamiento del registro y el tipo de situación resuelta.

*

El aprendizaje del uso de las herramientas para construir poliedros requiere de situaciones adidácticas donde se den interacciones de acción, de formulación, y de validación.

c.

Relación de profesor-estudiante. En la relación de enseñanza se pudieron

identificar las que se mencionan a continuación:

*

Es posible identificar contratos entre los estudiantes y el medio al resolver una situación problema para obtener el saber.

190

*

El proceso de comunicación de los conocimientos puede ser planteado ampliamente mediante guías escritas, ya que facilita la planeación y observación de enseñanza y aprendizaje.

*

Es factible adelantar la enseñanza para construir poliedros rectos donde se pueda transferir lo aprendido con el uso de regla y el compás; a otro donde se use el programa CAD y viceversa.

*

La institucionalización de una situación didáctica no se hace por medio de la confrontación de análisis sino con la observación e interacción de lo que producen los estudiantes en la clase.

*

Se pueden detectar las ventajas y limitaciones didácticas que tiene el uso de regla y el compás y el CAD en los registros escritos que producen los estudiantes al construir un poliedro.

*

Lo que se reproduce en situación y en los registros facilita determinar las ventajas y limitaciones por medio del análisis, la interpretación, articulando la observación de las diferentes acciones realizadas por los estudiantes.

*

Existen niveles de construcción que pueden ser identificados en las posibilidades de que dispone el estudiante de acción, de formulación, y de validación.

Lo hasta aquí expuesto posibilitó tener una visión amplia y precisa de lo que aportan los análisis en el esclarecimiento de la problemática objeto de la indagación y permitió determinar los criterios a tener en cuenta para identificar el sistema de restricciones y aquellos aspectos que faciliten la contextualización y la personalización de los conocimientos para definir las problemáticas y contratos didácticos que estructuren las situaciones didácticas y adidácticas.

Para el estudio de la problemática se establecieron las tres dimensiones de análisis presentadas en la Ingeniería Didáctica, que corresponden a la

191

epistemológica, la cognitiva y la didáctica. El análisis de cada una se hizo teniendo en cuenta los criterios que se enuncian a continuación:

*

Definir las restricciones en cada dimensión para poder extender la enseñanza de la construcción de poliedros de lo geométrico a lo gráfico o viceversa, teniendo en cuenta los objetivos de investigación.

*

Hacer una síntesis en la dimensión epistemológica de las características identificadas para construir figuras geométricas con regla y el compás y el programa CAD; una síntesis en la dimensión cognitiva de las características cognitivas de los estudiantes que participaron de la puesta en marcha de las experiencias y una síntesis en la dimensión didáctica de las características del funcionamiento del sistema didáctico.

*

Usar el conocimiento de obstáculo epistemológico para orientar el análisis de la dimensión epistemológica; el conocimiento de situación adidáctica para orientar el análisis de la dimensión cognitiva, y el conocimiento de contrato didáctico para orientar el análisis de la dimensión didáctica.

*

Analizar y determinar las hipótesis en cada dimensión.

4.2.2 Análisis epistemológico, cognitivo y didáctico.

Con las restricciones identificadas en los análisis preliminares se determinaron las que se tuvieron en cuenta en el diseño de las situaciones didácticas y adidácticas para enseñar a construir una determinada familia de poliedros con regla y el compás, y el programa CAD y se tienen en cuenta el objetivo del estudio didáctico.(Véase sección 3.1)

192

a.

Análisis de la dimensión epistemológica. La construcción geométrica

entendida como un medio que facilita la comprensión de los conceptos geométricos es reconocida su importancia para fomentar el pensamiento lógico deductivo; en el caso de las pruebas que se hicieron para solucionar la duplicación del cubo condujo a descubrir conceptos geométricos y matemáticos como los números irracionales. Los resultados de los estudios (c.f. Mora J, 2001, p.21) muestran que la construcción geométrica facilitó la comprensión de éstos y actualmente es un pilar para diseñar objetos sólidos.

Los problemas que se encontraron en el ámbito de las construcciones geométricas fueron: *

Construir un cuadrado de área igual a un círculo dado.

*

Dividir un ángulo en tres partes iguales usando solamente regla y el compás.

*

Construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo inicial.

*

Hallar la diagonal de un cuadrado y la diagonal de un pentágono de lados unitarios.

*

Construir polígonos regulares inscritos y circunscritos a partir del heptágono.

*

Usar sólo la regla y el compás, usar sólo la regla o sólo el compás o sólo el transportador para hacer algunas construcciones geométricas.

Las limitaciones encontradas para construir algunas figuras geométricas pueden ser la expresión de concepciones erróneas u obstáculos epistemológicos; veamos algunas que se detectaron en el contexto de los análisis:

*

Pensar que toda figura geométrica se debe construir sólo con regla y compás impidió la construcción geométrica de polígonos regulares inscritos y circunscritos a partir del heptágono.(c.f. sección 1.2 la cita 6)

*

El concepto de número y el proceso de medición que usaban los griegos

193

imposibilitó encontrar la diagonal de un cuadrado y la diagonal de un pentágono de lados unitarios.

Podría considerarse que algunas de estas limitaciones dieron origen a obstáculos epistemológicos, ya que se conservaron y de alguna manera se convirtieron en una barrera para el aprendizaje.

El programa CAD fue concebido como un medio para dibujar utilizando el teclado y un lápiz óptico con el que es posible seleccionar íconos en la ventana de dibujo.

Las limitaciones que se imponen son considerar que al computador se le dan los datos y éste hace la construcción de las figuras geométricas, que el programa permite que las medidas de los polígonos sean precisas, pensar que las figuras geométricas se pueden construir sólo a partir de los programas graficadores y pensar que el empleo del computador o la calculadora restringe el desarrollo de las habilidades intelectuales en el estudiante.

Con el fin de poder definir los conocimientos que obstaculizan el aprendizaje de la construcción geométrica de prismas rectos, se homologaron las funciones entre los comandos o íconos y las funciones de regla y el compás y se supone que los conceptos y conocimientos geométricos que se usan con regla y el compás son análogos a los usados con el programa CAD, pero la herramienta determina la clase de representación que se haga. (Véase sección 2.1).

Lo que dificultará a los estudiantes construir un prisma recto de acuerdo a lo que se ha tratado, es poder definir las funciones de la regla y el compás, ya que los estudios muestran que se ha estado centrado en usar las herramientas y la utilización de contenidos. De igual manera, identificar los comandos del programa CAD que cumplan las mismas funciones de regla y el compás, saber qué es un prisma recto y las partes que lo componen, dibujar el isométrico y las vistas, hallar

194

las proyecciones ortogonales y construir una línea perpendicular a línea recta dada.

Lo tratado hasta aquí indica que construir un prisma recto con regla y el compás, y el programa CAD, o viceversa, supone que las dos hipótesis que se mencionan a continuación se cumplan:

Los conocimientos geométricos que se usan para construir un prisma recto con regla y el compás son los mismos que se usan para construirlo con el programa CAD y viceversa, la diferencia radica en el procedimiento seguido con una y otra herramienta.

Homologar las funciones de la regla y el compás con las funciones de los iconos o comandos línea, círculo, arco y copiar permiten evidenciar la transferencia de conocimientos y habilidades de una instrumentación a otra.

b.

Análisis de la dimensión cognitiva. De acuerdo con los sondeos realizados a

los estudiantes37, se encontró que poseen en lo geométrico, cierto conocimiento de lo básico de la geometría Euclidiana, conocen polígonos, figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales; en lo numérico, saben la aritmética básica; en lo gráfico, poseen cierto conocimiento y experiencia de las herramientas manuales y de informática gráfica. Han usado el computador y las calculadoras en alguna circunstancia.

Con base en las restricciones que se identificaron en las encuestas, en los sondeos, y en el aprendizaje (ejemplo: construir un cuadrado), como no usar ayudas escritas (por los costos), no poseer los conceptos y conocimientos básicos

37

La población objeto de este estudio fueron estudiantes que tienen edades entre diez y siete y diez y nueve años, cursan los dos primeros trimestres como técnicos o tecnólogos en el SENA de la ciudad Santiago de Cali.

195

de la geometría detectados, esto indicó que construir prismas rectos es una temática poco conocida para los estudiantes de nivel secundario, pero cuentan con las habilidades mínimas para usar las herramientas.

Los estudios encontrados establecen algunas diferencias en el uso de regla y el compás, y el uso de programas en el computador; los que han tenido trascendencia en el aprendizaje y han planteado cambios en la enseñanza de la geometría y el dibujo. Éstos muestran que el uso de los programas como CAD, CABRI, LOGO, SOLID EDGE, SCILAB…, permiten que los estudiantes realicen de forma dinámica las representaciones y los dibujos, pero a pesar de las bondades que ofrecen se destacan las dificultades y los inconvenientes que presentan en el aprendizaje. Las que se pudieron identificar son: los que tienen que ver con el uso inadecuado de las herramientas y el escaso conocimiento de los conceptos geométricos y las que resultan de las concepciones de profesores y estudiantes detectadas en el estudio con las encuestas y sondeos realizados.

Teniendo en cuenta la definición de situación didáctica dada por Brousseau, se consideró que el estudiante es capaz por si sólo de construir un prisma recto con regla y el compás y luego con el programa CAD. Por lo que, el proceso de transposición didáctica que hizo el profesor debió atemperarse para hacer una devolución en la que el estudiante se apropiara de las situaciones adidácticas. Las condiciones que se impusieron a la problemática con los instrumentos, debía interpretarlas y poner en juego sus decisiones y luego, el profesor organizar las observaciones hechas en el proceso para darles sentido y orientarlas.

El proceso que realizó el estudiante para aprender a construir un prisma recto fue el siguiente: primero comprendió las situaciones problema que se le comunicó de forma verbal y escrita y las sometió a su interpretación, luego, hizo descripciones y análisis de la noción de prisma recto, después generó posibles soluciones.

196

Una vez superada la etapa anterior, determinó cuál fue el proceso de construcción geométrica que debía hacer y la herramienta que usaría y luego, fue necesario que reproducir por si sólo lo que aprendió y usarlo por sí mismo para construir el prisma recto con la otra herramienta en condiciones diferentes.

La efectividad de la interacción estudiante-medio se comprobó a partir de las actividades transcritas en formatos de papel o en el tablero y de las decisiones puntuales que se tomaron en el salón de clases.

Las habilidades que fomentó para construir el prisma recto como comprender, interpretar, describir y organizar, fueron objeto de acomodación cuando se concretizo la construcción con la regla y el compás y después se hizo lo mismo con el programa CAD y viceversa.

Los medios con los cuales interactuó el estudiante y en los que recontextualizó la construcción geométrica de prismas rectos fueron: primero, la regla y el compás, posteriormente en el computador 38con el programa CAD, lo cual implicó un salto cualitativo y una adaptación nueva al ambiente CAD, de tal manera que el conocimiento usado con regla y el compás se adaptó a las demandas cuando se trabajo con el CAD.

Los estudiantes enfrentaron un medio que apareció problemático, usando los conocimientos que en ese momento poseían e interpretar las retroalimentaciones que provenían de la situación, de la interacción de sus pares y la mediación del profesor.

38

Según Adolfo García Pain (2000), la enseñanza asistida por computador se puede entender como un conjunto de técnicas en la que debe existir una estructura por temas y cuya finalidad es poder seguir un proceso educativo individualizado, la metodología a aplicar debe estar basada en una fuerte motivación del estudiante.

197

Se espera que estas actividades susciten el interés de los estudiantes y los motiven a desplegar acciones creativas en las que no intervenga directamente el profesor, pero que este contribuya a orientarlas didácticamente.

De lo tratado en esta dimensión se derivaron las dos hipótesis siguientes:

Las acciones de los estudiantes y sus registros permiten la toma de decisiones para orientar el aprendizaje.

Las habilidades intelectuales que se fomentan con regla y el compás para construir prismas rectos pueden ser puestas en juego con el programa CAD al construir el mismo prisma.

c.

Análisis de la dimensión didáctica. La enseñanza de la construcción

geométrica de poliedros de acuerdo a lo hallado fue poco difundida a nivel de la educación básica y media. Cuatro razones pueden ser la causa, la primera, sólo es permitido el uso de regla y el compás; la segunda, su concepto no es tratado en las propuestas curriculares, la tercera, no poseer la suficiente fundamentación geométrica y la cuarta, la demostración por ser un proceso que presenta dificultades en su aprendizaje por el rigor que exige.

Algunos obstáculos didácticos que se dedujeron de lo tratado fueron centrarse en el uso de los instrumentos para realizar construcciones geométricas usando sólo regla o sólo el compás o sólo el transportador para hacer algunas construcciones geométricas, el escaso conocimiento en geometría para solucionar algunos problemas de construcción geométrica, la enseñanza basada en la cantidad.

Lo que se deriva de los análisis preliminares es que la educación ha estado centrada en la trascripción de contenidos y prevalecen las teorías basadas en la reproducción, por lo que se incide más en los procesos de memorización. Esta es

198

una limitación que se encuentra, y se tendrá en cuenta en la implementación de las experimentaciones para construir prismas rectos, en donde el estudiante pone en juego sus habilidades de creación, de trabajo en grupo, de comunicación y de autonomía. El planteamiento que subyace en la situaciones adidácticas es coherente con lo que es la función del profesor en el futuro, en donde “…debe convertirse en el director, es decir, debe ser un guía en la formación y la construcción del

conocimiento de los alumnos, y debe ser un estímulo en el

autoaprendizaje del alumnado, proporcionándole los recursos necesarios para aprender a aprender por sí mismos”. (Carretero Díaz,. 2001, p.5).

Las situaciones tendrán las siguientes características: ser situaciones problema que permitan abordar la construcción geométrica de prismas rectos con cualquier herramienta (regla y el compás), abstracta (mano alzada) e informática (programa CAD) y generar condiciones para intercambiar, formular y validar opiniones. Para diseñar situaciones de acuerdo a las condiciones de los estudiantes y del Aula Taller de Tecnología Básica Transversal, se plantearon las siguientes actividades: definir las funciones de las herramientas, dibujar isométricos y las vistas y resolver problemas sobre la construcción de prismas rectos.

La construcción geométrica usando regla y el compás y el programa de CAD, se presentará en varias acciones didácticas en forma de preguntas y ejercicios. Se formularán los objetivos de enseñanza y aprendizaje, los contenidos que se tratarán, los conocimientos geométricos necesarios para construir un prisma, las figuras geométricas que lo componen, sus vistas y aprender a hacer los dibujos.

El manejo de los conceptos geométricos con el uso del programa CAD y regla y el compás, de acuerdo a los aspectos determinados en la dimensión epistemológica y los identificados en los sondeos con estudiantes, ofrecen facilidades en la implementación de prácticas en el aprendizaje para construir prismas rectos.

199

Las limitaciones que se imponen son de tipo tecnológico, según sea la versión del programa por las funciones que se incorporan de una a otra. En este sentido, son los comandos o íconos que se tengan los que determinan las limitaciones que se puedan presentar en las representaciones que se hacen con los íconos y van a estar vinculadas con el uso del programa y la versión de éste, igualmente las concepciones que tienen estudiantes y profesores sobre construir poliedros.

La relación que se establezca entre el profesor y las herramientas manuales y los programas informáticos y el conocimiento de la construcción geométrica de poliedros con regla y el compás, cumplió con ciertas características que posibilitó a los estudiantes redescontextualizar y “redespersonalizar su saber.

Conseguir el compromiso de los estudiantes con su aprendizaje para construir prismas rectos, supone por una parte, tener en cuenta su actuación (ya definida en la dimensión cognitiva) y por otra, generar estrategias que provoquen la necesidad de enfrentar las situaciones. Para lo cual las actividades se estructuraron de tal manera que se pueda interactuar con los medios y apoyarse en el profesor y así conseguir que desarrollen su autonomía.

Para conseguir la devolución, el estudiante fué motivado de forma verbal y mediante una guía de trabajo escrita en donde se encontraban explícitas las situaciones problemas que se orientaron en el proceso; ésta, servió como medio de comunicación y fué una ayuda para estimular la interacción que facilitó detectar las ventajas y limitaciones didácticas que tiene el uso de regla y el compás y el CAD.

Los registros escritos que se produjeron como resultado de la interacción, sirvieron para determinar las ventajas y limitaciones por medio del análisis y la interpretación, articulando la observación de las diferentes acciones que se

200

realizaron con los estudiantes y los referentes de la información que se derivaron de los análisis preliminares.

En el uso del programa CAD para hacer construcciones geométricas como ya se ha planteado, se tuvo en cuenta desactivar ciertas opciones como por ejemplo rejilla, orto…, y sustituir las funciones de los comandos o íconos, línea, punto, arco, círculo y copiar, por las funciones de la regla y el compás, es decir, la regla permitió trazar líneas rectas y segmentos y el compás posibilitó trazar circunferencias, arcos y trasportar segmentos de igual magnitud.

Los estudiantes, al resolver las problemáticas que se plantearon, se establecieron compromisos para afrontar la situación problema de modo que algunos se interesaron por aspectos específicos como hacer el dibujo, dibujar a mano alzada, definir los conceptos geométricos, definir las funciones de las herramientas….

Esto facilitó que el profesor interactuara con los estudiantes y orientará la problemática.

La situación permitió al estudiante interactuar con el profesor para llevar a cabo su aprendizaje y en las adidácticas debió apoyarse en lo que consideró conveniente, conocimientos, experiencias, aprendizajes previos, etcétera, sin recurrir al profesor.

Lo antes expuesto sirvió para que los estudiantes interactuaran con sus compañeros,

el

profesor,

los

medios

físicos,

intercambiaran

opiniones,

persuadieran en la validez de su argumentación y determinaran reglas para resolver las situaciones problema que fueron propuestos.

De lo tratado, se derivaron las hipótesis que se exponen a continuación:

201

Es posible identificar contratos entre los estudiantes al resolver una situación problema para obtener el saber. De igual manera los que se pueden dar entre el profesor y el saber; y entre el estudiante y el saber.

Lo que se reproduce en situación y en los registros facilita determinar las ventajas y limitaciones por medio del análisis, la interpretación, articulando la observación de las diferentes acciones realizadas por los estudiantes.

Como se puede notar, los análisis y las experimentaciones, sirvieron de referente para extender las realizaciones de la construcción geométrica de algunos poliedros con regla y el compás al programa CAD y viceversa, con lo cual se podrán identificar las diferencias que se den en el sistema didáctico en funcionamiento; igualmente, adelantar el aprendizaje para construirlos, donde se transfiere lo aprendido en un contexto donde se utilice el programa CAD para construir un poliedro a otro donde se use regla y el compás para construir el mismo o viceversa.

Tomando en consideración las condiciones asumidas en los análisis a-priori se puede formular la siguiente hipótesis: la utilización de la regla y el compás para la construcción de prismas rectos y luego con el programa CAD o viceversa, permite identificar las ventajas y limitaciones didácticas de los medios utilizados para el aprendizaje de tales construcciones.

202

5.

DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS Y ADIDÁCTICAS

Este capítulo trata sobre la concepción de las situaciones didácticas y adidácticas en el campo de las construcciones geométricas de poliedros. Su planteamiento y fundamentación se hicieron con base en las nociones afines que se hallaron en las indagaciones, en los diseños curriculares para técnicos del Servicio Nacional de Aprendizaje, en las propuestas curriculares de instituciones educativas técnicas, en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas, en los Estándares Básicos de Matemáticas, en los textos escolares y en las cartillas.

Para estructurarlas se determinaron los fundamentos, los conceptos geométricos y las condiciones para usar las herramientas. Para ello, se tomaron en cuenta los datos conseguidos en las encuestas y el contexto de los salones de clase. Se tuvieron en cuenta las dificultades más frecuentes que se les presentaron a los estudiantes en los sondeos, al igual, que sus concepciones.

En la formulación de la situación problema, se asumieron las restricciones que se trataron en los análisis de la dimensión epistemológica, cognitiva y didáctica y las respuestas que se dieron a las preguntas a), b), c), d), e), f) y g) derivadas del problema de investigación (Véase sección 3.1).

Lo mencionado en los párrafos anteriores se trató en tres secciones. En la primera, se abordaron las conclusiones derivadas de un diagnóstico38 y se articuló con los resultados de los sondeos con estudiantes y lo que se derivó de los 38

Éste es importante realizarlo, porque “en la selección de los problemas a proponer a un grupo de alumnos hay que tener en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los conocimientos que la persona requiere para su solución y las motivaciones para realizarla”.(Rizo Cabrera y Campistrous Pérez, p.6).

análisis preliminares. Con base en lo antes enunciado se respondieron las preguntas a), b), c) y d), y con las respuestas se determinaron las habilidades, los conceptos geométricos, las actividades y las variables didácticas para tener en cuenta en la enseñanza de la construcción de poliedros.

En la segunda, se precisaron las características de la situación problema y las condiciones que se tuvieron en cuenta para usar la instrumentación. Con las respuestas que se dieron al resto de preguntas e), f) y g), se fijaron las condiciones para transferir las habilidades motrices e intelectuales y se concluyó en la formulación de una situación problema.

En la tercera, se describe como está constituída una situación fundamental, se dieron las instrucciones para que fuera resuelta y se esbozó a-priori la forma en que la iban a resolver los estudiantes.

5.1 FUNDAMENTOS QUE SE INCORPORARON

Antes de formular las situaciones adidácticas, se hizo un diagnóstico con estudiantes con el que se facilitó el reconocimiento de los distintos conceptos que convergen en la construcción geométrica de un cuadrado. En éste se plantearon dos bloques de ejercicios 39 que se basaron en construir un cuadrado de lado 39

En el primer bloque se formularon los siguientes: 1) Construye mediante el uso de la regla y el compás un cuadrado de lado conocido 2) ¿Para tí, qué función cumple la regla y el compás para construir el cuadrado? 3) ¿Qué pasos seguiste para construir un cuadrado? 4) ¿Qué paso te causó menor dificultad? y 5) ¿Qué paso te causó mayor dificultad?. En el segundo bloque se plantearon los siguientes: 1) Construye un cuadrado de lado conocido usando el programa de CAD 2) ¿Cuáles de los íconos de la ventana de dibujo cumplen la misma función que la regla sin marcas y el compás? 3) ¿Con los íconos identificados qué pasos llevaste a cabo para construir el cuadrado? 4) ¿Qué paso te causó menor dificultad? y 5) ¿Qué paso te causó mayor dificultad?

203

conocido y el objetivo era identificar los conceptos geométricos que se utilizan y las dificultades que se les presentan a los estudiantes para usar la regla y el compás, y el programa CAD. Los resultados confirmaron el bajo nivel que poseen los estudiantes con respecto al conocimiento de la construcción geométrica de un cuadrado. Se identificaron algunos conceptos que desconocen, como qué es un cuadrado y qué es una perpendicular y expresaron que les gusta estudiar las figuras geométricas pero el tiempo dedicado para su estudio es muy poco.

Con las conclusiones que se derivaron del diagnóstico, los sondeos a estudiantes y los que se obtuvieron de los análisis preliminares referente a las habilidades, se dio respuesta a la pregunta a), que se planteó así: ¿Cuáles son las habilidades que logra el estudiante tanto con el programa de diseño asistido por computador como con la regla y el compás al construir un poliedro?

Las habilidades exigidas en la manipulación de la instrumentación se notaron en el diagnóstico y en los sondeos, que se caracterizaron unas, por la destreza que algunos estudiantes mostraron en el uso de las herramientas y otras en la aplicación de los conceptos. En el proceso de construcción con la regla y el compás, intervinieron una mano para apoyar la regla y otra para dibujar líneas rectas con el lápiz, cuando se usó el compás se ocuparon una mano para sostener una punta en la superficie mientras con la otra mano se hace girar la punta de la mina o lápiz que va trazando un arco o una circunferencia.

Cuando se usó el programa CAD, la mayor parte del proceso se realizó interactuando con el menú de comandos, los comandos y manipulando el ratón con una mano, señalizando con un dedo y algunas veces se recurrió al teclado, lo que se caracterizó por fomentar la habilidad de interactuar con las distintas imágenes que se hacen visibles en la pantalla.

204

La construcción geométrica de un cuadrado con el uso de las herramientas facilitó a los estudiantes el análisis, la interpretación y ensayar estrategias en su resolución. Algunos mostraron que tienen buen sentido de la proporcionalidad, pusieron en juego la creatividad y concretaron los conceptos geométricos que tienen.

Teniendo en cuenta que un poliedro para Hemmerling (2002, p.429) es la unión de un número finito de regiones poligonales, cada una de las cuales contiene un polígono y su interior, tales que: el interior de dos regiones cualesquiera no se intersectan y cada lado de cualquiera de los polígonos también es un lado de exactamente uno de los otros polígonos. Cada una de las regiones poligonales se llama cara del poliedro. La intersección de dos caras cualesquiera del poliedro es una arista del poliedro. La intersección de dos aristas cualesquiera es un vértice del poliedro, lo que supone que las habilidades que se fomentaron construyendo polígonos en el diagnóstico y sondeos son de la misma tipología que para construir poliedros, además que los objetos geométricos básicos para hacer construcciones geométricas son el punto, línea recta, plano y sus distintas relaciones.

Lo tratado anteriormente y lo que se deriva de los objetivos, de los indicadores de logro y de los estándares que se exponen tanto en las propuestas curriculares como en los textos escolares, llevó a determinar dos tipos de habilidades para construir un poliedro con la regla y el compás y el programa CAD: las motrices para usar las herramientas, el manejo del computador, uso de regla y el compás y el trazado, y las intelectuales para poner en juego los saberes que tienen los estudiantes alrededor de una construcción geométrica determinada como el análisis, la resolución de problemas, el razonamiento, la interpretación, la comprensión, la síntesis, la visualización y el uso de los conceptos geométricos.

Las cuatro primeras habilidades son caracterizadas por algunos investigadores

205

como habilidades de pensamiento de orden superior (Véase Capítulo 2, 2.1.3, Significados de algunos conceptos de la didáctica, p.57).

Los pasos difíciles para construir el polígono con la regla y el compás son trazar el ángulo de 900, usar el compás y trazar los lados iguales. En cuanto el programa, identificar el menú de comandos, usar el comando línea, arco, copiar y utilizar la medición.

Relacionaron lo que hicieron con el compás con lo representado por el comando círculo y lo que hicieron con la regla con lo representado por el comando línea; los resultados indicaron que para construir el polígono con los comandos intentaron seguir los mismos pasos que con la regla y el compás.

Basado en los conceptos geométricos, las actividades y las variables didácticas que se utilizaron en los sondeos, el diagnóstico y lo tratado al respecto en los resultados de los análisis preliminares, se dieron las respuestas a los tres subpreguntas b), c) y d), con las que se fijaron los conceptos geométricos, las actividades y las variables didácticas para construir poliedros.

La pregunta b) fue planteada así: ¿Cuáles son los conceptos geométricos que el estudiante debe poseer para hacer la construcción geométrica de poliedros con la regla y el compás y, con el programa de CAD? De lo tratado en los análisis preliminares y de las observaciones que se hicieron en el diagnóstico y sondeos, se derivaron los conceptos geométricos que el estudiante debe saber. Éstos fueron los siguientes: línea recta, líneas rectas paralelas y perpendiculares, ángulo, polígono y circunferencia. También se hicieron homologaciones entre el trazado de líneas rectas y segmentos que se consiguen usando la regla, con las representaciones de líneas rectas y segmentos

206

que se obtienen con los comandos línea y línea auxiliar y entre el trazado de circunferencias, arcos y transportar segmentos de igual magnitud que se logran usando el compás, con las representaciones de circunferencias, arcos y transportar segmentos de igual magnitud que se obtienen con los comandos círculo, arco y copiar.

De las concepciones sobre qué es hacer la construcción geométrica de poliedros, que se identificaron en las encuestas con profesores, se derivaron algunos aspectos que se integraron en una que se fundamentó en construir un isométrico (a mano alzada, o, con regla y el compás o con el programa CAD), o en construir las vistas frontal, lateral y de planta (a mano alzada, o con regla y el compás o con el programa CAD), o en construir una de las figuras geométricas proyectadas (a mano alzada, o, con regla y el compás o con el programa CAD).

El dominio de la concepción anterior llevó a saber construir las figuras geométricas que se obtienen de las proyecciones ortogonales o en dibujar el isométrico del poliedro y en hacer homologaciones entre las funciones de la regla y el compás, y el CAD, con lo que se garantizó que las construcciones geométricas hechas con una u otra instrumentación fueran homólogas.

En

ambos

casos

la

construcción

geométrica

fue

entendida

como

un

procedimiento que posibilitó dar forma a una figura geométrica a través de pasos sucesivos, usando las propiedades de las figuras geométricas y los conceptos básicos de la geometría, valiéndose de la regla y el compás o el programa CAD. Los poliedros que se utilizaron para formular las situaciones problema fue la familia de los poliedros rectos.

207

La pregunta c) es la siguiente: ¿Cuáles son las actividades que se deben llevar a cabo en situaciones didácticas y adidácticas para hacer la construcción geométrica de poliedros con el programa de CAD y, con la regla y el compás?

De las actividades que fueron llevadas a cabo para construir polígonos 40 , se tomaron las siguientes: construcción de la mediatriz a un segmento dado, construcción de una línea recta

perpendicular a otra, en uno de sus puntos,

construcción de una línea recta paralela que pase por un punto exterior a una línea recta dada y construcción de la bisectriz a un ángulo dado.

Y la pregunta d) es: ¿Cuáles son las variables didácticas que deben tenerse en cuenta para diseñar situaciones didácticas y adidácticas en la enseñanza de la construcción geométrica de poliedros con el programa de CAD y con la regla y el compás?

En lo concerniente a las variables didácticas que se tuvieron en cuenta en los sondeos para construir polígonos y lo tratado en los análisis preliminares se derivaron las siguientes: la clase de poliedro recto, las representaciones y sus dibujos, el uso del programa CAD, y la regla y el compás. Con lo planteado se pudieron hacer variaciones en las actividades para que las habilidades alcanzadas en un contexto específico pudieran acondicionarse para ponerlas en juego en el otro o viceversa.

También se regularon en función de los conocimientos previos que poseen los estudiantes, las interacciones y las relaciones que se construyeron para dar solución a la situación problema y la maestría que se tuvo en la formulación de preguntas para que el estudiante las resolviera de forma independiente.

40

En los sondeos realizados a los estudiantes sobre la construcción geométrica de polígonos, se pudo evidenciar que las construcciones mencionadas se hacen con la regla y el compás y/o el programa CAD.

208

5.2 SITUACIÓN PROBLEMA QUE SE FORMULÓ

¿Cuál fue la situación problema que resolvieron los estudiantes? Fue aquella con la que se generó un ambiente de interacción entre los estudiantes y el profesor, en el que se asumieron responsabilidades definidas y orientadas a conseguir el mismo objetivo: aprender los conceptos geométricos para hacer la construcción geométrica del poliedro con la regla y el compás o con el programa CAD. Las principales características de la situación problema fueron las siguientes: permitió el desarrollo de las habilidades motrices e intelectuales, constituyéndose en el instrumento y eje principal del aprendizaje, los conceptos geométricos requeridos fueron soportes que permitieron llevarla a cabo y/o comprenderla; los conocimientos circularon en su puesta en marcha, sustituyendo las tradicionales exposiciones por parte del profesor y generó espacios para conjeturar, intercambiar opiniones con otros, buscar información e incorporar lo que era acorde a la concepción del estudiante.

La situación problema formulada fue desglosada en varios enunciados y preguntas que se integraron en situaciones adidácticas, orientadas a hacer esbozos de isométricos y a construir figuras geométricas, que facilitaron intercambiar, formular, validar opiniones y acrecentar sus habilidades intelectuales y motrices para poner en juego los conocimientos geométricos a partir de sus propias experiencias y de sus interacciones con el medio.

También sirvió para que los estudiantes la resolvieran haciendo construcciones geométricas usando la regla y el compás o el programa CAD. Para ello, los conocimientos, los conceptos geométricos que se aprendieron y las habilidades intelectuales y motrices que se fomentaron con las actividades usando la regla y el

209

compás, fue preciso ponerlas en juego de forma autónoma para resolverla con el programa CAD o viceversa. ¾

Características del aula taller.

Se especificaron las características físicas del Aula Taller de Tecnología Básica Transversal ubicada en el complejo Salomia de la ciudad Santiago de Cali. Ésta tiene seis computadores con conexión a Internet, una impresora, cinco mesas para hacer experimentación, siete mesas para trabajo manual, cuarenta asientos, un tablematic y cinco armarios que contienen herramientas de electrónica y mecánica y discos con programas de dibujo. No cuenta con transportadores, reglas sin marcas y compases.

Especificar lo que hay en el aula taller sirvió para dar respuesta a la pregunta e) que se planteó así: ¿Cuál es el ambiente propicio para colocar en marcha situaciones didácticas y adidácticas sobre la construcción geométrica de poliedros usando el programa CAD o la regla y el compás?

Saber qué tiene y como está constituida fue de utilidad para alistar guías, reglas sin marcas, compases, lápices, programa CAD, organización de mobiliario… y ayudas requeridas en la puesta en marcha de las situaciones. Con la infraestructura que tiene el aula taller y con lo que se alistó, se llevaron a cabo situaciones adidácticas en las que los estudiantes consultaron por Internet, interactuaron con otros e hicieron tareas de forma individual y grupal.

210

¾

Condiciones para usar la instrumentación.

Asumiendo los resultados de los análisis preliminares, referente al uso de la instrumentación, se intenta ahora hacer comprensión de los instrumentos para construir poliedros.

La regla sin marcas sirve para trazar líneas rectas y segmentos y el compás para trazar arcos, trasportar segmentos de igual magnitud, determinar puntos por donde pasa una línea recta paralela a otra o por donde pasa una línea recta perpendicular a otra.

Con el programa CAD, el comando línea sirve para representar segmentos, el comando rayo sirve para representar semirrectas, el comando línea auxiliar sirve para representar líneas rectas, el comando arco sirve para representar arcos a partir de punto inicial y punto final y el comando círculo sirve para representar circunferencias a partir del centro, el radio o el diámetro. Estas representaciones se logran mediante el teclado. Los íconos que se asimilan a los comandos antes mencionados se ejecutan por medio del ratón.

Los objetos geométricos como punto, línea recta, plano y sus relaciones que se movilizaron en el trazado del poliedro mediante el uso de la regla y el compás, exigen saber las funciones de la herramienta y solucionar las problemáticas que se presentaron para hacer los dibujos. En el caso del programa se requirió saber las funciones de los comandos con los que se hicieron las representaciones de figuras geométricas y de ciertas heurísticas para hacer los dibujos.

Con ambas herramientas para construir un poliedro se hizo necesario el dominio de las construcciones geométricas básicas, concebir lo que se quiere mostrar y

211

luego utilizar los conceptos geométricos para hacer su concreción y verificar que los trazos cumplieron con los resultados esperados.

Lo antes expuesto posibilitó dar respuesta a la siguiente pregunta f) que se planteó de la siguiente forma: ¿Las habilidades que alcanzan los estudiantes en la construcción geométrica de poliedros con el programa de CAD, se pueden transferir a un contexto donde se use la regla y el compás y viceversa?

Se puede entender el cambio de una instrumentación a otra en cuanto a los conocimientos movilizados con el uso de una herramienta (regla y el compás) y transferirlos a la otra (programa CAD), o viceversa. Con relación a las habilidades motrices se diferencian en el tipo de movimiento que se hizo con las manos y las intelectuales se diferencian en la forma de

hacer la acomodación de los

conocimientos y conceptos geométricos.

La pregunta g) fue planteada así: ¿Cuáles son las condiciones que deben tenerse en cuenta para transferir las habilidades de un contexto donde se use el programa de CAD a otro donde use la regla y el compás?

Las condiciones están determinadas por las homologaciones que se establecen entre el funcionamiento de una u otra instrumentación. Lo que indican las experiencias que se llevaron a cabo con polígonos, es que los procesos realizados con un tipo de herramienta para hacer construcciones geométricas son diferentes pero los conocimientos y conceptos geométricos que intervienen son los mismos y diferenciados en el grado de acomodación que hace el estudiante. De tal manera que los requerimientos para construirlo en cuanto a los conocimientos y los conceptos geométricos son los mismos, lo que se requiere fomentar es un tipo de habilidad conforme a la herramienta y/o la versión del programa.

212

La situación problema que recogió lo tratado y que se ajusta para que los estudiantes puedan redescontextualizar y redespersonalizar el saber construcción geométrica de poliedros usando la regla y el compás y/o el programa CAD, y con las que se facilita identificar las ventajas y limitaciones didácticas, fue la siguiente:

Construye un prisma recto. Hazlo con regla y el compás, y luego construye el mismo pero con el programa de CAD, o viceversa. Compare los dos resultados y saque conclusiones.

La característica fundamental de la situación problema propuesta es que las construcciones se pueden realizar con la regla y el compás y/o el programa CAD. Los conocimientos y habilidades que el estudiante debe poseer para darle solución son los que fueron ya comentados.

5.3

CÓMO AFRONTAR LA SITUACIÓN

¿Cómo se presentó la situación fundamental a los estudiantes? Se les entregó una guía de trabajo (Véase Anexo G) donde se dieron indicaciones para enfrentarla. En ésta se explicita cómo usar la regla y el compás, y el programa CAD para construir un poliedro y los conceptos geométricos que fundamentaron la construcción geométrica; el profesor los orientó mediante preguntas.

Para que los estudiantes la respondieran completamente, la situación problema se desagregó en varios enunciados y preguntas que se integraron en tres situaciones adidácticas (Véase Anexo H).

213

¾

Secuencia de situaciones adidácticas.

La intención de la secuencia de situaciones que se diseñaron fue construir un prisma recto con regla y el compás y con el programa de diseño asistido por computador.

Las variables didácticas estuvieron dadas en función de la verificación de los conocimientos previos que poseían los estudiantes, las interacciones y las relaciones que se establecieron en la solución a las situaciones y la maestría que se tuvo en orientarlos para que las realizaran en forma independiente; lo que se caracterizó por el tipo de prisma recto y de herramienta que se usó.

Los estudiantes leyeron la guía de trabajo y luego elaboraron una relatoría por escrito de lo que entendieron. Después, entregaron cada situación resuelta en la medida en que la iban terminando.

Los procesos que hicieron cuando usaron una u otra herramienta ¿fueron distintos?, es decir, ¿El aprendizaje de la construcción geométrica usando el programa CAD o regla y el compás fueron procesos diferentes?, ¿Cómo se identificaron las ventajas y limitaciones y las habilidades que pusieron en juego?, ¿Cuál fue el proceso que facilitó la extensión de las habilidades intelectuales y motrices de un tipo de instrumentación a otra?

La construcción geométrica de un prisma recto llevó a que se apropiaran de los conceptos geométricos definidos en la sección nombrada “fundamentos que se incorporaron”, y el dominio de las construcciones básicas, lo que les facilitó resolver las problemáticas que se presentaron.

214

Hicieron elecciones diferentes, algunos prefirieron usar la regla y el compás, y después, el programa CAD. Otros, eligieron el programa CAD para construirlo y luego con la regla y el compás. Cada proceso lo iniciaron como quisieron y los procedimientos que llevaron a cabo con una u otra herramienta para construirlo fueron análogos (más no iguales).

Las habilidades que pusieron en juego se identificaron teniendo en cuenta el tipo de herramienta usada, el diligenciamiento de los registros y el tipo de situación.

Las ventajas y limitaciones que surgieron para hacer la construcción geométrica se identificaron a partir de los conceptos geométricos que usaron con regla y el compás o el programa CAD en la aplicación de las instrucciones establecidas, en el procedimiento seguido, en las construcciones geométricas básicas que hicieron y en la información que se derivó de los registros escritos y la almacenada en CDs. El análisis de la información recolectada permitió concluir que se presentan variaciones en la forma de aplicar los saberes y en las representaciones que resultan cuando se construye el prisma recto con regla y el compás o el programa CAD. En el caso de las habilidades puestas en juego, las motrices se diferenciaron en los movimientos que hicieron con la herramienta y en las intelectuales en el modo de acondicionar los conceptos geométricos para hacer la construcción geométrica. ¿Qué dificultades se presentan a los estudiantes cuando construyen un prisma recto usando regla y el compás y luego lo construyen con el programa CAD o viceversa? Para que los estudiantes hagan extensiones de los conocimientos de una instrumentación a otra en lo geométrico, las dificultades que se les presentan en el aprendizaje entre cada tipo herramienta son las siguientes: la deficiente

215

fundamentación en geometría que poseen, identificar qué es un prisma, reconocer qué es un prisma recto, trazar el isométrico y las vistas, terminar la construcción geométrica, instalar el programa, hacer análisis comparativos para construir el poliedro, homologar las funciones de la regla y el compás y las funciones de cada comando o ícono, la facilidad operativa que brinda el programa y la forma de interactuar con los comandos o íconos en la ventana de AUTOCAD. También, se tuvo en cuenta lo tratado en los análisis de la dimensión epistemológica, cognitiva, y didáctica.

En cuanto el saber, se tendrán cuenta las dificultades expuestas por Castro y Castro (1997, p.118), referidas así: se “encontrarán dificultades para comprender las partes ocultas en una representación plana de los objetos de tres dimensiones, o para realizar de forma correcta actividades en las que intervengan isometrías o dibujos de sólidos.”.

La situación problema que resolvieron los estudiantes por medio de la secuencia de situaciones fue construir un prisma recto con regla y el compás y luego construir el mismo pero con el programa CAD o viceversa y comparar los dos resultados que obtengan y derivar las conclusiones. A continuación, se describe como afrontaron cada situación. a.

Caracterización de lo realizado en la primera situación. El objetivo de esta

situación fue dibujar prismas rectos y la

identificación de las partes que los

componen y los conceptos geométricos que se utilizan para hacer su construcción geométrica con regla y el compás y el programa CAD. La variable didáctica que se tuvo en cuenta para que los dibujaran se basó en elegir sólo prismas rectos que sus bases fueran triángulos equiláteros, cuadradas o rectangulares y usar sólo regla y el compás o el programa CAD. Esta decisión

216

facilitó la movilización de los conceptos geométricos para que los estudiantes se apropiaran de éstos. La especificación del tipo de prisma y el tipo de herramienta permitió impedir el uso de otras herramientas como escuadras u otros programas como CABRI, SOLID EDGE, etcétera y que los estudiantes dibujaron sólo los prismas indicados.

Los conceptos geométricos que los estudiantes pusieron en juego fueron los siguientes: segmento, líneas rectas paralelas y perpendiculares, ángulo, triángulo equilátero, cuadrado, rectángulo, polígono, circunferencias, isométrico, comando, ícono, clip, área gráfica, menú y prisma recto. Se tuvieron en cuenta las homologaciones que hicieron en la situación anterior. Igualmente, cómo se traza la mediatriz a un segmento dado, el trazo de una línea recta perpendicular a otra por uno de sus puntos, el de una línea recta paralela por un punto exterior a una línea recta dada, y el de la bisectriz a un ángulo dado.

Las habilidades que fomentaron fueron las motrices, con el uso del lápiz, la utilización del computador y el uso de regla y el compás, y las intelectuales para poner en juego los saberes y los conceptos geométricos que tenían alrededor del dibujo de un prisma recto.

El trabajo que llevaron a cabo fue dibujar los isométricos de los prismas rectos en las celdas indicadas en la Tabla 5.3.1, luego diligenciaron el resto de celdas con el nombre del prisma, la cantidad de partes que lo componen y las características principales que tienen, enseguida, respondieron las preguntas que se propusieron y por último, se diligenciaron los datos de la Tabla 5.3.2.

La institucionalización se hizo verificando lo que respondieron los estudiantes en el formato escrito y tomando correctivos en aquellos casos que se notaron inconsistencias en los dibujos copiados del programa Poly y en las respuestas.

217

El proceso realizado. En esta situación, los estudiantes no sabían qué era un prisma recto, no sabían dibujar el isométrico de un prisma recto y las partes que lo componen. Para superar estas dificultades se acudió al programa POLY (o formas sólidas), que muestra una diversidad de isométricos de poliedros con sus desarrollos para que eligieran los prismas que quisieran dibujar.

Luego dibujaron los isométricos de cada prisma recto, de base triángulo equilátero, una de base cuadrado y otro de base rectangular, algunos los dibujaron a mano alzada como se muestra en la Tabla 5.3.1, en las celdas No 1, No 2 y No 3, y diligenciaron el resto de celdas con sus características y elementos que la componen.

DIBUJO

No 1

Tabla 5.3.1. Prismas rectos No 2

No 3

ELEMENTOS Nombre

Prisma recto de base cuadrada

Prisma recto de base triángulo equilátero

Prisma recto de base rectangular

Tipo de cara de la base No de caras No de vértices No de aristas Características

cuadrado

Triángulo equilátero

Rectángulo

Seis Ocho Doce Caras en cuadrada

Cinco Seis Nueve Caras en forma de rectángulo y triángulo equilátero

Seis Ocho doce Caras en forma de rectángulos

Tiene tres caras rectangulares y dos triángulos equiláteros

Todas las caras son rectángulos

Otras

forma

Todas las caras son rectángulos

Otros dibujaron los isométricos con el programa CAD, usaron el menú dibujo y luego hicieron clip en el ícono polígono y después en la ventana de comandos entraron el número cuatro para cuadrado (o tres para triángulo), luego especificaron un punto como centro y eligieron entre inscrito o circunscrito y por

218

último arrastraron el polígono dándole el tamaño que quisieron. Después fueron al menú dibujo y dieron región al polígono (cuadrado o triángulo) y aplicaron nuevamente el menú dibujo y se eligió extrusión para darle profundidad, con lo que se obtuvo el isométrico del prisma recto.

En el caso del prisma rectangular, usaron el menú dibujo y eligieron el ícono rectángulo e hicieron clip para arrastrarlo con el cursor y luego cilp para formarlo; algunos especificaron el ancho y luego el largo y obtuvieron el dibujo del rectángulo; luego localizaron el menú dibujo y se eligió extrusión para darle profundidad, con lo que se obtuvo el isométrico del prima recto. A continuación se muestra en la ventana del programa CAD los dibujos hechos.

Dibujo de isométricos de prismas rectos con CAD

219

La pregunta del literal a) la respondieron así: las figuras geométricas identificadas son segmentos, triángulos equiláteros, rectángulos y cuadrados.

La del literal b) la respondieron así: en el caso de los segmentos se puede trazar tomado dos puntos de una línea recta, en el caso del triángulo queda determinado trazando los tres lados. En el caso del rectángulo se puede trazar conociendo el lado menor y la diagonal o dos lados y el ángulo comprendido; el caso del cuadrado se traza conociendo un lado, y tomaron en cuanta en su elección el rectángulo y el cuadrado.

La pregunta del literal c) la respondieron así: la construcción geométrica del cuadrado y el rectángulo se fundamentaron en la construcción de la mediatriz a un segmento dado, construcción de una línea recta perpendicular a una línea recta que pase por uno de sus puntos, construcción de una línea recta paralela por un punto exterior a una línea recta dada.

La pregunta del literal d) la respondieron así: las habilidades que se deben poseer para construir las figuras geométricas mencionados fueron las motrices, con el uso del lápiz, el manejo del computador y uso de regla y el compás; y las intelectuales para poner en juego los saberes y los conceptos geométricos alrededor de la construcción geométrica de una de las figuras mencionadas, como el análisis, el razonamiento, la interpretación, la síntesis y la visualización.

La pregunta del literal e) la respondieron así: los conceptos que se pusieron en juego fueron segmento, líneas rectas paralelas y perpendiculares, ángulo, triángulo equilátero e isósceles, cuadrado, rectángulo y circunferencia. Los estudiantes diligenciaron la Tabla 5.3.2, así:

220

Tabla 5.3.2. Conceptos geométricos y habilidades NOMBRÉ DEL CONCEPTOS HABILIDADES POLÍGONO Y SU DIBUJO GEOMÉTRICOS e Cuadrado Segmento, líneas rectas Motrices paralelas y intelectuales perpendiculares, mediatriz y cuadrado.

Rectángulo Segmento, líneas rectas Motrices e paralelas y intelectuales perpendiculares, rectángulo.

b.

Caracterización de lo realizado en la segunda situación. El objetivo de esta

situación fue identificar las funciones de los elementos básicos para construir prismas rectos.

La condición impuesta de homologar las funciones de la regla y el compás con las funciones de los comandos del programa CAD sirvió para que después construyeran los prismas rectos con cualquiera de las dos herramientas y permitió conocer los conceptos geométricos que los estudiantes pusieron en juego y determinar los que debían apropiar.

Al determinar las funciones sólo de la regla y el compás y los comandos construcción de línea, línea, círculo y copiar se imposibilitó el usó de las marcas e impidió usar otros comandos y herramientas como escuadras o programas.

Los conceptos geométricos que pusieron en juego fueron el de punto, línea recta, segmento, circunferencia, el conocimiento de la regla, el compás, el computador y los procedimientos para usarlos en el trazado y la representación de segmentos, circunferencias, arcos y ángulos y el uso de terminología como comando, ícono, clip, área gráfica, ventana, menú, barra y fichero.

221

Las funciones las definieron así: la regla sirve para trazar líneas rectas y segmentos y el compás para trasportar segmentos de igual medida y trazar arcos y dibujar circunferencias. El comando línea se usa en la representación de segmentos, el comando construcción de línea en la de líneas rectas, el comando arco en la de arcos y el comando círculo en la de circunferencias.

Las habilidades que se fomentaron cuando utilizaron las herramientas fueron las intelectuales como analizar, comparar, interpretar, comprender y visualizar y las motrices cuando usaron el lápiz, el computador, la regla y el compás.

La forma como se llevó a cabo la situación fue: primero determinaron las funciones que cumplen la regla y el compás y luego establecieron cuáles de los comandos del programa CAD cumplían las mismas funciones de la regla y el compás, después explicaron por qué y qué tipo de herramientas preferían para construirlo.

Para llevarla a cabo los estudiantes se organizaron por parejas y los registros generados los presentaron así como los habían hecho.

La institucionalización se hizo articulando algunas ideas que movilizaron de lo que era la función de cada herramienta y luego se establecieron las relaciones entre las funciones de los comandos y las de la regla y el compás y de este modo se homologaron las funciones entre ambas herramientas.

El proceso realizado. Los estudiantes dieron respuestas de acuerdo a los conocimientos que poseían. Éstas tuvieron significaciones muy acordes al lenguaje cotidiano. Después respondieron los interrogantes como lo consideraron o se les ocurría. Fue necesario que el profesor interviniera para hacerlos reflexionar sobre las funciones que cumplen las herramientas, antes de usarlas, ya que era conveniente saber el proceso que se llevaría a cabo con cada una y el tipo de relaciones que se pueden establecer.

222

El proceso que realizaron algunos para determinar las funciones de las herramientas fue precisar la función que cumplen la regla y el compás y luego determinar las funciones de los comandos construcción de línea, línea, círculo, arco, copiar y otros determinaron la función de los comandos y después las de la regla y el compás. Relacionaron la función del compás, con lo representado por el comando círculo y la función de la regla con lo representado por el comando línea y construcción de línea.

Algunos prefirieron utilizar el computador y el programa CAD para construir el prisma recto y otros la regla y el compás, las razones para su preferencia se basaron en que el programa ofrece facilidades para la construcción y los que eligieron usar la regla y el compás afirmaron que no sabían utilizar el CAD. Los estudiantes ensayaron con el programa CAD para representar líneas y circunferencias, de igual modo, usaron la regla y el compás e hicieron comparaciones para homologar las funciones de las herramientas, con lo que pusieron en juego sus habilidades de análisis, de comparación, de interpretación, de comprensión, de visualización y aplicaron los conceptos geométricos. c.

Caracterización de lo realizado en la tercera situación. El objetivo de esta

situación fue hacer la construcción geométrica de polígonos y prismas rectos con regla y el compás y el programa CAD. Las variables didácticas que se tuvieron en cuenta para hacer la construcción geométrica de polígonos y prismas rectos fueron: en el caso de los polígonos se basó en elegir sólo el rectángulo y el cuadrado, y en el de los prismas rectos se eligieron los de base cuadrada y rectangular. También se tuvo en cuenta el cambio de regla y el compás por el del programa CAD; lo cual facilitó la movilización de los conceptos geométricos para que los estudiantes se apropiaran

223

de éstos.

La especificación del tipo de polígono y prisma recto y el cambio de herramienta impidió el uso de otras herramientas como escuadras u otros programas como CABRI, SOLID EDGE etcétera y que los estudiantes construyeran sólo los polígonos y prismas indicados.

Los conceptos geométricos que los estudiantes movilizaron fueron los que se utilizaron en la situación anterior, el cubo, la perspectiva, los prismas rectos de base cuadrada o rectangular. También se pusieron en juego la construcción de la mediatriz a un segmento dado, construcción de una línea recta perpendicular a una línea recta que pase por uno de sus puntos, construcción de una línea recta paralela por un punto exterior a una línea recta dada y construcción de la bisectriz a un ángulo dado.

Las habilidades que fomentaron fueron las motrices para usar las herramientas, como el manejo del computador y uso de regla y el compás, y las intelectuales para poner en juego los saberes y los conceptos geométricos cuando construyeron el polígono y el prisma recto, igualmente, el análisis, la resolución de problemas, el razonamiento, la interpretación, la comprensión, la síntesis y la visualización.

La forma como llevaron a cabo la situación fue: trazaron a mano alzada el polígono y luego algunos lo construyeron usando la regla y el compás y otros el programa CAD. Compararon lo que hicieron con los ejercicios resueltos y explicaron cuáles eran las diferencias que encontraron. Luego describieron cómo harían la construcción geométrica de un prisma recto.

Después explicitaron las propiedades que aplicaron para fundamentar la

224

construcción geométrica, las organizaron para que permitieran construir el prisma recto y eligieron el que construirían; algunos lo construyeron con el programa CAD y después con regla y el compás; otros lo construyeron con regla y el compás y después con el programa CAD. La institucionalización se hizo verificando lo que los estudiantes pusieron en juego con cada herramienta y orientando para que tomaran los correctivos en los formatos (o donde estuvieran llevando los apuntes), en aquellos casos en los que se notaron inconsistencias en la construcción de los polígonos y los prismas rectos.

El proceso realizado. La situación se orientó para que los estudiantes construyeran los polígonos y los prismas rectos con un tipo de herramienta y se dejó que la misma construcción la resolvieran por sí mismos con la otra herramienta.

Dibujaron a mano alzada sobre una hoja de papel un isométrico del prisma recto, luego hicieron la representación de sus partes, de tal forma que cumplieran con todas las instrucciones dadas. Intentaron acomodar el procedimiento que ya habían hecho con un tipo de herramienta cuando construyeron el polígono o el prisma recto de forma autónoma.

Los estudiantes trazaron a mano alzada un cuadrado nombrado como □ABCD y un rectángulo como

BCDE que se muestran a continuación.

A

B

D C Cuadrado

B

E

C

D Rectángulo

225

Luego, mencionaron que un rectángulo es aquel que tiene los lados opuestos paralelos y un ángulo recto y que un cuadrado es un rectángulo que tiene los cuatro lados iguales. i.

Construcción de un cuadrado con regla y el compás. Para construir el

cuadrado trazó una circunferencia de diámetro BA, luego trazaron dos arcos, uno con centro en A y otro en B, por los puntos de intersección de los arcos trazaron la línea recta

(mediatriz) al segmento

, la que cortó a los arcos y con la que se

determinaron los puntos C y D, luego trazaron los segmentos

,

,

y

con los que formaron un cuadrilátero ADCB; los cuatro triángulos que se formaron en el interior del círculo son triángulos rectángulos isósceles congruentes, por ser sus catetos radios iguales por construcción, sus hipotenusas son los lados del cuadrilátero y forman ángulos de noventa grados, por tanto la figura trazada es un cuadrado BDAC.

Construcción de un cuadrado con regla y el compás

ii.

Construcción de un rectángulo con regla y el compás. Trazaron la línea

recta l, tomaron el segmento

y por el punto A trazaron una línea perpendicular

m; luego trazaron una línea perpendicular n que pase por B; con lo que m es

226

paralelo a n, luego trazaron una línea

paralela

, con lo que se obtiene un

cuadrilátero DCBA que tiene los lados opuestos paralelos y más de un ángulo de noventa grados; por tanto la figura geométrica formada es un rectángulo.

Construcción de un rectángulo con regla y el compás

Lo antes realizado es una elaboración que se propondrá pero se puede pensar en otra alternativas

dentro del proceso enseñanza como prohibir utilizar algunas

figuras, dar solo el texto escrito para buscar la figura. iii.

Construcción de un cuadrado con el programa CAD. Para construir el

cuadrado, localizaron con el menú, el comando circulo y lo representaron y lo marcaron con diámetro AB; nuevamente especificaron menú de dibujo y eligieron el comando circulo y lo representaron con centro en A y con radio mayor que el anterior; repitieron

este procedimiento y representaron otra circunferencia con

centro en B y de radio igual al de centro en A; otros lo copiaron y lo colocaron en B.

227

Después, con el cursor trazaron un segmento por donde se cortaron las circunferencias de radios iguales y marcaron las intersecciones con D y C; luego trazaron los segmentos

,

,

y

y formaron un cuadrilátero ADBC.

Argumentaron que los lados del cuadrilátero son las hipotenusas de los cuatro triangulo rectángulos isósceles iguales que se forman al interior del circulo y concluyeron que el cuadrilátero es el cuadrado ADBC. A continuación se muestra en la ventana del programa CAD lo antes explicitado.

Construcción de un cuadrado con el programa CAD

iv.

Construcción del rectángulo con el programa CAD. Algunos, localizaron en

el menú dibujo el comando línea recta y la representaron como l, luego localizaron el comando círculo y lo representaron haciendo que el centro fuera un punto de la línea recta l y marcaron el diámetro FG; nuevamente localizaron en el menú de

228

dibujo y eligieron el comando circulo y lo representaron con centro en F y con radio mayor que el anterior; repitieron este procedimiento y representaron otra circunferencia con centro en G y de radio igual que el de centro en F; otros lo copiaron y lo colocaron en G. Después, trazaron una línea recta m por donde se cortaron las circunferencias de centros F y G, la segmento

cual es perpendicular al

y el intercepto es A.

Nuevamente localizaron el comando círculo y lo representaron sobre la línea recta l, marcaron el diámetro HJ, localizaron el menú de dibujo y eligieron el comando círculo y representaron otra circunferencia con centro en H y con radio mayor que la anterior; repitieron este procedimiento y representaron otra con centro en J y de radio igual que la de centro en H. Después, con el cursor trazaron el segmento n por donde se cortaron las circunferencias de radios iguales y marcaron el punto B donde corta al segmento

, el cual es perpendicular a n, con lo que m y n son

paralelos; y por último trazaron la recta

paralela al segmento

, con lo que

formaron el cuadrilátero DCBA con los lados opuestos paralelos y con un ángulo de noventa grados, por tanto □ABCD es un rectángulo. A continuación se muestra la ventana del programa CAD, los dibujos realizados.

229

Construcción de un rectángulo con el programa CAD

Otros, usaron el menú dibujo y eligieron el comando rectángulo e hicieron clip para arrastrarlo con el cursor y luego cilp para formarlo, por este camino el CAD lo hace automáticamente, lo que implica que las definiciones y conceptos geométricos no los pueda poner en juego el estudiante. Algunos intentaron mostrar que se podía hacer lo mismo con el cuadrado, pero se les mostró que se requiere usar la medición para construirlo con lados iguales.

Compararon lo que hicieron con regla y el compás y el programa CAD, y explicaron las diferencias que encontraron; cuando intentaron seguir el mismo proceso que se hace con regla y el compás, tuvieron dificultades para representarlo; luego de varios ensayos, lo pudieron construir.

Cuando se hizo con el comando rectángulo, el CAD determina la forma del

230

polígono; el procedimiento para representarlo es automático, en tanto que con la regla y el compás, se debe determinar la forma y hacer el procedimiento. Esto dificulta mostrar que las representaciones cumplen las propiedades; y se debe aceptar que la figura cumple con las propiedades mediante la visualización, el proceso que realiza la máquina y el programa para representar la figura. v.

Construcción del prisma recto con regla y el compás. Para construir el

prisma recto, recurrieron a las perspectivas o isométricos.

El procedimiento que hicieron consistió en trazar el prisma recto de base cuadrada o base rectangular a mano alzada en perspectiva o isométrico.

Después trazaron dos líneas rectas perpendiculares m y l

en las que su

intersección es O; tomaron como centro O y trazaron una circunferencia de radio OA; después tomaron A como centro y trazaron otra circunferencia de radio AO. Las circunferencias antes trazadas se cortaron en los puntos E y D y se trazó por el punto O y E el segmento

y hicieron lo mismo para trazar los segmentos

y

(son radios iguales por construcción), y con el trazo de los tres segmentos se formó un triángulo equilátero OAE. Hicieron el mismo proceso para formar el triangulo equilátero ODA. Con lo que se puede garantizar que los segmentos

y

forman ángulos de treinta grados con la línea recta m, determinaron que los segmentos

,

y

son los ejes del prisma recto.

Por la línea recta que pasa por DO tomaron el ancho tomaron la profundidad

y la que pasa por OA la altura

Después se trazaron líneas paralelas a las marcadas los segmentos

paralelo a

y por la que pasa por OE

,

paralelo a

,

,

y las marcaron. y

paralelo a

y determinaron y

paralelo a

231

; por último, se trazaron por el segmento paralelo a

paralelo a

y por el lado

; con lo que formaron el isométrico del prisma recto HOFIJGK. A

continuación se muestran los dibujos que hicieron.

Construcción del prisma recto con regla y el compás

vi.

Construcción del prisma recto con el programa CAD. Trazaron dos líneas

rectas perpendiculares m y l en que su intersección es O; localizaron el comando círculo y tomaron como centro O y lo representaron de radio OB; nuevamente, localizaron el comando circulo y tomaron B como centro y trazaron otra circulo de radio BO. Las circunferencias antes representadas se cortan en los puntos H y F y se trazaron los segmentos

,

y

(son radios iguales), con los que se formó

232

un triángulo equilátero OFB, luego se hizo lo mismo para formar otro triangulo equilátero OBH,

con lo que se garantiza que los segmentos

y

forman

ángulos de treinta grados con la línea recta m y tomaron como ejes para formar el prisma recto a los segmentos

como el ancho, y

de profundidad y

de

altura.

Después trazaron una línea paralela a cada segmento marcado ( determinaron los segmentos y

paralelo a

el lado

paralelo a

,

paralelo a

; por último, se trazaron por el segmento

paralelo a

,

y

), y

paralelo a

paralelo a

,

y por

; con lo que formaron el isométrico del prisma recto

HOFIJKG. A continuación se muestran los dibujos en la ventana del CAD.

Construcción de un prisma recto con el programa CAD

¾

Análisis de lo que sucedió en la secuencia de situaciones.

233

En general los estudiantes trabajaron en parejas, donde planearon cómo resolverían las situaciones. Después, prepararon una presentación de lo que era la solución de la situación problema. Fue escogido, un estudiante al azar, salió, dio a conocer lo que hicieron en cada situación y entregaron los registros. Los materiales que se usaron para llevar a cabo la situación fueron el formato donde se encuentran explicitadas, el papel, el lápiz, la regla, el compás, el borrador, el computador, el programa CAD, CDs e impresora.

Lo realizado por los estudiantes, indica que al construir un prisma recto con regla y el compás y el programa CAD, los conocimientos geométricos que se usaron para construirlo con regla y el compás, fueron los mismos que se usaron para construirlo con el programa CAD y viceversa, la diferencia radicó en el procedimiento y en la forma de usar la instrumentación, igualmente, como se resolvió la segunda situación mostró que homologar las funciones de la regla y el compás con las funciones de los íconos o comandos línea, círculo, arco y copiar, permitieron que los conocimientos y habilidades puestos en juego con una herramienta los tuvieran en cuenta para llevar a cabo la construcción con la otra.

La interacción de los estudiantes para construir un prisma recto se hizo efectiva porque las situaciones se transcribieron en formatos de papel, lo que muestra con claridad en las tres situaciones, que tener escritos los enunciados y las instrucciones, sirve para recordarles el orden y lo que estan haciendo y además, posibilitó tomar las decisiones puntuales en el salón de clase; igualmente, las habilidades intelectuales que se fomentaron con regla y el compás para construir prismas rectos se notó que las pusieron

en juego con el programa CAD al

construir el mismo prisma recto.

234

También se identificaron contratos al resolver las situaciones tales como los establecidos entre el profesor y los estudiantes para construir el prisma recto; de igual manera los que se dieron entre el profesor y el saber para asegurar una buena devolución, y entre el estudiante y el saber para adaptarse y resolver las situaciones problema.

Lo que se reproduce en situación y en los registros, facilitó determinar las ventajas y limitaciones por medio del análisis y la interpretación, articulando la observación de las diferentes acciones realizadas, ya que éstas dejaron evidenciar los conceptos y habilidades que se pusieron en juego cuando se construyó el prisma recto.

Las ventajas de la realización de la 1a situación estuvieron en determinar los conceptos y las habilidades para usar las herramientas, la facilidad que presenta el programa Poly para visualizar los prismas y el trazado de los prismas se hizo fácil cuando los visualizaron.

Las ventajas que tuvo la realización de la 2ª situación fueron las homologaciones que se establecieron con las funciones de regla y el compás con los comandos; esto facilitó entender tanto la construcción con una u otra herramienta como las concepciones que tenían los estudiantes, referidas a las facilidades que ofrece la máquina y los programas para llevar a cabo las actividades de forma rápida y sin ningún esfuerzo, ya que consideran que el computador hace el trabajo.

Fomentaron la habilidad motriz y visual cuando se usó el ratón, el teclado y el puntero, los comandos son de fácil acceso lo que facilitó la interacción; el área gráfica de la ventana de dibujo no está limitada, las figuras geométricas se reducen o aumentan el tamaño como se prefiera dentro de los márgenes de la pantalla.

235

De igual forma el escaso conocimiento de los conceptos geométricos y el desconocimiento del programa CAD, llevó a limitaciones para poder determinar las funciones de las herramientas y la identificación de las relaciones entre éstas y la identificación de las funciones de los comandos para homologar las funciones de regla y el compás. La habilidad motriz y visual son diferentes a las que se fomentaron con regla y el compás;

el trazado no es continuo es virtual; se

impusieron limitaciones para homologar las funciones de regla y compás, por ejemplo, no usar el comando orto, los comandos que usen medición; el área gráfica de la ventana de dibujo es movible y fomentan la organización del razonamiento y tiene una mayor cantidad de opciones para interactuar.

Las ventajas que tuvo la realización de la 3ª situación fueron que la construcción de los polígonos es fácil llevarla a cabo con el programa CAD cuando se tiene habilidad en el manejo de los comandos y que las figuras geométricas tienen movimiento en la ventana de dibujo; se fomentaron la iniciativa y la creatividad al interactuar en el área gráfica con los comandos; se facilitó la corrección de errores, lo cual fue una buena ayuda didáctica y en cuanto a la prueba, se concibe como la explicación de lo que se construyó. Las argumentaciones elaboradas usaron los conceptos y los conocimientos geométricos y la enseñanza se facilitó por que se preparó con anticipación.

Las limitaciones que se encontraron con el programa CAD fueron que el aprendizaje de los conocimientos geométricos fue rápido, es decir se aprende lo que requiere en el momento lo que implica darle continuidad si no se olvida, hubo dificultad para hacer la prueba en lugar de la cual se escribe qué se hizo con cada comando; la enseñanza de los conceptos geométricos genera falsos aprendizajes debido a que los comandos representan aproximaciones de las figuras geométricas; la interacción para hacer la prueba se hizo desde la perspectiva de

236

las funciones de los comandos, cansancio en los ojos al estar expuesta la visión a la luz de la pantalla del computador.

Las ventajas que se encontraron cuando usaron la regla y el compás fueron: el trazado es continuo, tienen funciones propias tanto la regla como el compás, facilitó la interacción para hacer la construcción, fomentaron la iniciativa y la creatividad con pocas opciones, la visión esta expuesta a la luz natural, fomentaron la habilidad motriz y visual, se pudo dimensionar el entorno del papel donde se hizo el trazado de la figura geométrica, es una buena ayuda didáctica, fomentaron la organización del razonamiento ya que la prueba se hizo a partir de la elaboración del

argumento basado en los trazos realizados con regla y el

compás y los puestos en juego, se fomentaron las habilidades para interiorizar los conceptos geométricos usados y éstos se ubicaron en la geometría Euclidiana.

Las limitaciones que se encontraron con el uso de la regla y el compás fueron: el aprendizaje de los conceptos fue lento con relación al que se dio con el programa CAD; los conceptos geométricos que se usaron fueron de la geometría Euclidiana; las figuras geométricas que se hicieron no se pueden mover; las herramientas para trazar fueron regla, lápiz y el compás; el entorno de la hoja de papel no es dinámica y es limitada; la habilidad motriz y visual que fomentaron es diferente a la que se fomentó con el programa CAD; la corrección de errores es complicada e incómoda; es limitada la exploración que se realizó en el entorno de papel.

Como se puede notar, las experimentaciones sirvieron para extender las habilidades fomentadas con la construcción geométrica de algunos polígonos y prismas rectos con regla y el compás al CAD. Con las condiciones que se enunciaron, fueron identificadas las ventajas y limitaciones didácticas que se detectaron en el funcionamiento del sistema didáctico; igualmente, se adelantó el aprendizaje para construir prismas rectos, donde se transfirió lo aprendido en un

237

contexto donde se utilizó el programa CAD para construirlo, a otro donde se usó regla y el compás para construir el mismo prisma recto o viceversa.

Finalmente, las ventajas y limitaciones didácticas que tienen el uso de regla y el compás y, el programa CAD para construir prismas rectos, fueron las que se detectaron en las relaciones de aprendizaje y de la enseñanza mediante el uso de las herramientas. Por lo que una ventaja didáctica tuvo dos significados: las condiciones que favorecieron el aprendizaje de los conceptos geométricos con el uso de las herramientas y los criterios favorables que se atribuyeron a una herramienta en comparación con la otra. En cuanto a limitación didáctica tuvo igualmente dos connotaciones: las que resultaron de las interacciones para el logro de un propósito establecido y las que procedieron del uso de la herramienta, de los conocimientos, de las habilidades y el medio.

238

6.

ANÁLISIS A POSTERIORI

Los análisis a posteriori presentados en este capítulo están basados en los datos que se consiguieron mediante la puesta en marcha de las situaciones adidácticas.

Con la información recogida en las experiencias, se hicieron descripciones y observaciones de lo que fue cada proceso, después, se estudiaron los registros que se habían producido y posteriormente se confrontaron lo previsto con lo sucedido.

Las producciones de los estudiantes que se generaron en la experiencia piloto se analizaron e interpretaron y de allí se hizo una síntesis. Después, se analizó lo sucedido en la experiencia definitiva y se estudiaron los registros seleccionados y se determinaron algunas ventajas y limitaciones didácticas.

Enseguida se hicieron dos análisis sintéticos, uno, a la parte descriptiva y predictiva, basado en las previsiones realizadas para poner en marcha las situaciones didácticas y otro, a posteriori, fundamentado en las observaciones obtenidas, la información conseguida en las experiencias y la interpretada en los registros. Se confrontaron los dos procesos y se derivaron las conclusiones para fundamentar la validez de las hipótesis y poder así hacer nuevos aportes.

6.1 ANÁLISIS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS ESTUDIANTES

Con estudiantes de la carrera técnico profesional de mantenimiento industrial y técnico

de

mantenimiento

en

el

SENA,

se

pusieron

en

juego

las

experimentaciones, que se llevaron a cabo en un aula taller de Tecnología Básica Transversal del SENA, complejo Salomia de la ciudad Santiago de Cali. Primero se describió e interpretó lo que sucedió en la experiencia piloto y se sintetizó lo tratado, después, se analizó lo que ocurrió en la experiencia definitiva y de ésta se eligieron los registros que se estudiaron y a continuación se trataron las ventajas didácticas y limitaciones didácticas que se identificaron en las interacciones y en los registros de los estudiantes.

6.1.1 Resultados de la experiencia piloto.

En la experiencia piloto41 se entregó a cada estudiante la guía de trabajo (Véase Anexo G). Se solicitó que se leyera y luego se preguntó si entendían qué iban hacer. Todos coincidieron que se trataba de construir un poliedro usando regla y el compás y/o el programa de diseño asistido por computador (CAD).

Luego se entregó a cada estudiante una hoja que contenía los enunciados de la primera situación (Véase Anexo H). En la que se hicieron las siguientes reformulaciones:

*

¿Qué figuras geométricas se pueden identificar en las caras de un prisma recto? Desarmar el prisma en figuras geométricas.

41

La prueba piloto se realizó con diez alumnos que estudian la carrera técnica de mantenimiento industrial en el SENA, los días 12, 15, 16, 17 y 18 de agosto de 2005.

240

*

¿Qué figuras geométricas son requeridas para construir un polígono de los identificados?

*

¿Cuál es el nombre de las figuras que conforman el prisma?, ¿cuáles definiciones

o

postulados

fundamentan

su

existencia?,

¿cómo

se

construyen? *

¿Qué operaciones o tareas debes realizar para darle forma al prisma, con las figuras geométricas identificadas?

*

Ahora elige uno de los polígonos de la tabla No 2 (Véase Anexo H) y determina los conocimientos y herramientas a usar para construirlo, ¿cuál usará primero y cuál después?

Fuera de los modelos de prismas que hallaron en algunas páginas de Internet, se apoyaron en el programa POLY en donde hay modelos de isométricos y desarrollos de poliedros. De éstos, obtuvieron los prismas que dibujaron, identificaron las partes que los constituyen y concluyeron que una característica que tienen es que están formados por la unión de polígonos. La mayoría de los prismas rectos que dibujaron, sus caras son polígonos de tres, cuatro y seis lados.

Mencionaron que para construir los polígonos se requiere saber medir y tener fórmulas de áreas y se pudo detectar que se confunde sólido con polígono.

En la segunda situación, la observación y la interacción llevaron a hacer reformulaciones para que se comprendieran los enunciados y las preguntas que se propusieron.

El cuestionamiento ¿Los conocimientos y habilidades que se deben poseer para construir un prisma recto con regla y compás son los mismos que para construirlo

241

con el programa de diseño asistido por computador y viceversa?; algunos respondieron sí y otros no y no justificaron sus respuestas.

Los estudiantes indicaron que las funciones de regla y compás son: la regla sirve para trazar líneas rectas y el compás para trasladar segmentos de igual medida y hacer arcos, círculos y circunferencias. Igualmente, que las funciones de los íconos son: el ícono línea sirve para representar líneas rectas, líneas paralelas y líneas perpendiculares, el ícono arco se usa para hacer arcos y el ícono círculo para hacer círculos.

Relacionaron las funciones de los íconos línea y círculo con las funciones de regla y compás, el punto como un elemento en el espacio que no se le puede dar una definición y el segmento como un elemento que está contenido en la línea recta. Éste es un nivel de conocimiento que manifestaron los estudiantes.

En la tercera situación (Véase anexo H), no tuvieron inconvenientes para resolver la mayoría de los enunciados, algunos estudiantes no entendieron qué quiere decir: “Haga la construcción geométrica de la figura geométrica elegida en la segunda situación del numeral c)”; hubo que preguntarles: “de acuerdo a la elección de la figura geométrica que hizo en la situación anterior, ahora debes construirla”.

Por último, se propuso a los estudiantes que realizaran en forma independiente lo siguiente: Dibuje un poliedro recto que tenga cinco caras y seis vértices; con el programa CAD y/o regla y compás y haga las proyecciones ortogonales. La mayoría hizo el dibujo del isométrico del prisma triangular y las proyecciones ortogonales.

Síntesis de lo que se obtuvo en la prueba piloto. En la construcción geométrica de prismas rectos usando regla y compás, y el CAD, se diferenciaron los procesos

242

realizados; en tanto que el proceso con la regla y compás se basó en hacer trazos con la mano, con el programa CAD se fundamentó en ejecutar los comandos o íconos mediante el ratón y el teclado.

Las funciones las definieron así: la regla sirve para trazar líneas rectas y el compás para trasportar segmentos de igual medida y trazar arcos y dibujar círculos. El ícono línea representa segmentos, el ícono arco representa arcos y el ícono círculo representa circunferencias.

No hubo dificultad para dibujar los isométricos de los prismas rectos, los desarmaron e identificaron las partes que lo componen y obtuvieron con facilidad el desarrollo. Algunos estudiantes llevaron a cabo un procedimiento para construir fundamentados en las funciones de regla y compás, y otros las construcciones las hicieron a partir de superposición o agregación de polígonos.

La situación que resolvieron de forma autónoma se llevó a cabo así:

*

Dos alumnos eligieron la construcción de un triángulo equilátero, que resultó de una proyección ortogonal del prisma recto triangular y usaron el programa CAD para construirlo. La justificación que hicieron de forma verbal fue la siguiente: se toma el ícono círculo y se representa, luego el mismo se copia y pega (transportar)de forma que un punto de la circunferencia pase por el centro de la otra. Después, se toma una de las intersecciones de las dos circunferencias y desde allí se trazan segmentos de rectas a cada uno de los centros, y por último, se traza un segmento de recta entre los dos centros.

Así se construye el triángulo equilátero, las razones por las cuáles, el triángulo es equilátero es que los tres lados son radios congruentes.

243

*

Cinco eligieron la construcción de un rectángulo, el que resultó de una proyección ortogonal del prisma recto triangular y usaron regla y compás para construirlo; hicieron el dibujo en el papel sin explicaciones.

*

Tres intentaron construir el prisma recto con regla y compás, sin obtener buenos resultados.

Una estrategia que se abordó para facilitar que los estudiantes se apropiaran de algunos conceptos básicos de la geometría, fue hacer el análisis del prisma recto, en donde se separaron las partes que lo componen y se determinaron los enunciados y las preguntas alrededor de éstas. En este sentido se plantearon las tres situaciones adidácticas que

llevaron a los estudiantes a intercambiar

opiniones, a formular conjeturas, analizarlas e interpretarlas para construirlo.

Se puede decir que hubo una buena devolución en la prueba piloto de las situaciones adidácticas, ya que éstas llevaron a construir el prisma recto. Lograr, tanto la comprensión de las partes que lo constituyen como lo realizado, sirvió para que los estudiantes se apropiaran de un proceso y lo adecuaran para construilo.

Los pasos para construir un prisma recto son: comprender el problema, dibujar el isométrico, hacer el trazado con regla y compás o la representación usando los comandos o íconos y fundamentar la construcción geométrica en las funciones de regla y compás, con los íconos o los comandos.

La información que se obtuvo de los registros de la prueba piloto, muestra que los estudiantes fácilmente pueden acomodar su lenguaje cotidiano y su forma de pensar al proceso de construcción geométrica.

Los resultados conseguidos sirvieron para entender que era mejor formular de

244

manera verbal la situación problema y los enunciados de las tres situaciones previstas, que se transcribieran de acuerdo a lo que iba sucediendo en la interacción y a partir de allí orientar la experiencia de la construcción del prisma recto.

Lo antes mencionado sirvió de referente para poner en marcha la experiencia definitiva, teniendo como base lo que se había previsto en las situaciones, los ajustes comentados y de acuerdo a las inquietudes que iban surgiendo en los estudiantes.

6.1.2 Resultados de la experiencia definitiva.

Esta experiencia42 se inició proponiendo de forma oral que resolvieran el siguiente ejercicio: Construye un cuadrado mediante el uso de la regla y el compás. Los estudiantes dibujaron un cuadrado y lo presentaron como si ya lo hubieran construído. Se les preguntó ¿Cómo se podía saber qué era un cuadrado? No pudieron dar respuesta y buscaron en Internet qué era un cuadrado, con lo que hallaron, intentaron de nuevo y esta vez mostraron una figura geométrica con cuatro lados iguales, se les preguntó ¿Cómo se garantiza que los ángulos son de 900? A lo qué no dieron respuesta y se les facilitó un CD donde se encuentra cómo construir líneas rectas perpendiculares, líneas rectas paralelas y la bisectriz de un ángulo.

Cuando los estudiantes pudieron hacer dicha construcción, se orientó para que la hicieran con el programa CAD unicamente usando el ícono línea y el ícono círculo.

El proceso que realizaron es muy similar al anterior, pero con una mayor dificultad 42

La experiencia definitiva se realizó con veinte alumnos que estudian la carrera técnico de mantenimiento

en el SENA, los días 23 y 24 de febrero de 2006

245

para hacer la representación usando los íconos, porque cuando no se tiene habilidad se copia la figura y se sobrepone. La construcción del cuadrado se culminó cuando fueron capaces de justificar que las representaciones que hicieron con cada comando posibilitaban construirlo.

A cada estudiante se le entregó la guía de trabajo (Véase Anexo G), y se le pidió que la leyeran y después se les preguntó, si entendían qué iban a hacer. Algunos preguntaron cómo iban a construir el prisma. Se explicó que para construirlo, debían utilizar las mismas funciones de las herramientas y las mismas relaciones que identificaron con la construcción geométrica del cuadrado. Se pidió que determinaran qué herramienta usarían primero y cuál después para construir el prisma. Para construirlo, usaron regla y compás y, después el programa CAD.

La situación problema que se propuso fue la siguiente: Construye un prisma recto.

Hazlo con regla y compás, y luego construye el mismo pero con el programa de diseño asistido por computador o viceversa. Compara los dos resultados y saca conclusiones.

Los estudiantes consultaron por medio del buscador Google el descriptor prisma recto con el que encontraron varias definiciones y representaciones. De algunas definiciones que hallaron se citan las siguientes:

*

Un tipo más general de cuerpo es un prisma. Las bases inferior y superior del prisma son polígonos (triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etcétera) paralelos e idénticos (congruentes). Las caras laterales son paralelogramos.

*

El prisma es recto si las caras laterales son perpendiculares a las bases. En caso contrario es oblicuo. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

246

*

Poliedro que tiene dos caras opuestas que son regiones poligonales paralelas y congruentes las cuales se llaman bases del prisma. Las demás caras son superficies limitadas por paralelogramos.

*

En geometría, un prisma es un poliedro formado por dos copias paralelas de alguna

base

poligonal

unidas

por

caras

que

son

rectángulos

o

paralelogramos. En el caso en que las caras de unión sean rectangulares, el objeto es llamado prisma recto.

Los estudiantes trazaron el isométrico del prisma recto, sólo con regla y compás, sin darle explicación al dibujo que resultó y se les orientó haciéndoles saber que debían escribir y fundamentar los trazos, y se les preguntó ¿Cuál fue el procedimiento que se hizo para construirlo? y decidieron hacer lo indicado y entregaron lo realizado.

Después, se dedicaron a construirlo con el programa CAD; a los que tenían inquietudes de cómo construirlo, se les orientó para que usaran sólo íconos que cumplieran las mismas funciones de regla y compás, lo cual fue suficiente para que lo hicieran. Cuando terminaron el dibujo en la ventana del CAD, lo guardaron en una carpeta que nombraron como Situación.

Interpretación de la información que contienen los registros. Al interpretar la información de cada registro, se encontró que algunos hicieron sólo el dibujo en perspectiva con el programa o con regla y compás, y en otros, el proceso que hicieron son idénticos; por las razones mencionadas (Ver Anexo I), se eligieron los registros de cuatro estudiantes en el que los procesos en ambos casos son comprensibles, y se interpretó, primero el registro en el que se trabajó con el programa CAD y luego con regla y compás y los dos registros estudiados de cada estudiante se incluyeron en un solo anexo.

247

Estudio de registros del estudiante No 1. El prisma recto que se construyó con el programa CAD, en el registro, los datos no fue posible interpretarlos (Ver anexo J), el proceso realizado se ve muy organizado, pero haber omitido dar nombres a las representaciones, hizo que se perdiera la información. Al parecer con los dos primeros dibujos se obtuvo la representación del prisma recto que se muestra en el tercer dibujo.

Al intentar hacer el proceso, siguiendo los pasos que aparecen detallados en el registro con el programa CAD, se encuentra que los primeros cuatro pasos son comprensibles, desde el quinto hasta el trece tienen inconsistencias; no se sabe cómo se trazan las bisectrices, en qué dirección se prolongan los líneas y se confunde línea recta con segmento.

La construcción geométrica de un prisma recto que se llevó a cabo con regla y compás

es la que se comenta a continuación: dibujó un triángulo equilátero,

enseguida

divide un ángulo de 600 en dos de 300, dibujó dos triángulos

equiláteros congruentes, luego trazó un cuadrado y parte de éste para dibujar el isométrico, es lo que se observó en el registro de papel.

Al hacer un análisis comparativo, se encuentra que con regla y compás, el proceso se explicito por medio de dibujos en forma organizada, y no se da ningún argumento escrito en los primeros nueve pasos. En cuanto el trabajo realizado con el programa CAD se observa bien organizado lo que está escrito, pero al pasar del paso tres al cuatro para saber como resulto el segmento

, se dificultó su

interpretación, también, se nota que el dibujo del isométrico del prisma recto resultó de los dos dibujos anteriores.

248

En conclusión, construir un prisma recto con el programa CAD permitió hacer un mejor argumento escrito para fundamentar la construcción y hacerlo con regla y compás facilita hacer el trazado y el dibujo.

Estudio de registros del estudiante No 2. En el proceso descrito para construir un prisma recto con el programa CAD el estudiante lo hizo en dos fases (Ver anexo K). Una en la que construyó un cuadrado y en la otra construyó el isométrico a partir del cuadrado. Para construir el cuadrado, el argumento se fundamentó en lo que se trazó, pero no se explicita el ícono usado en cada caso. En general el estudiante no usa bien la nomenclatura.

El isométrico del prisma recto se hizo con regla y compás en cinco fases. En la primera fase se construyó un triángulo equilátero, en la segunda toma el triángulo equilátero para formar un ángulo de 900, en la tercera se construyó un cuadrado con base en el ángulo formado en la fase anterior, en la cuarta se toma el cuadrado ABCD y del vértice A se traza un segmento hacia arriba y a la izquierda de la base de éste formando un ángulo de 450, en la quinta fase se sigue aplicando el mismo procedimiento a los otros vértices del cuadrado para obtener el prisma recto.

El proceso realizado se basa en el trazado para hacer los dibujos de las figuras geométricas, que llevan a construir el isométrico, y los argumentos que se dieron en cada fase no son suficientes para mostrar que el trazado de los dibujos es válido.

Al comparar el trabajo realizado en los dos registros, se nota que con regla y compás la construcción se basa en el trazado de los dibujos, en tanto que el realizado con el programa CAD se explicita el argumento escrito, es decir, en tanto

249

que con la regla y compás

se apoya la prueba en el dibujo con el CAD se

describe la figura que representa el ícono.

Estudio de registros del estudiante No 3. Al construir el prisma recto con los íconos o comandos, el estudiante diferencia entre el nombre del ícono y el trazo que hizo con éste. El proceso para dibujar el isométrico se entiende hasta el paso sexto (Ver Anexo L). A partir del séptimo, se comienza a tener dificultades para comprender lo que está escrito y los trazos del dibujo.

Para construir el prisma recto con regla y compás se llevó a cabo en cuatro fases.

En la primera fase se trazó un segmento AB al cual se le construyó una perpendicular; en la segunda, tercera y cuarta fase se construye el isométrico sin ninguna fundamentación. El argumento escrito concuerda con el tipo de trazo que se hizo; se dibujó el prisma recto de forma que se acomodaron los trazos para conformarlo.

En conclusión, el tratamiento que se dio para construir con regla y compás es del mismo tipo que cuando se utilizan íconos o comandos, los trazos y las representaciones organizan para obtener el prisma recto. Se nota que hay un mejor argumento en la parte escrita para fundamentar construirlo con el programa.

Estudio de registros del estudiante No 4. En el proceso realizado con el programa CAD, confunde línea recta con segmento para construir el prisma; teniendo en cuenta que la representación es un segmento de recta, el proceso que se hizo se entendió hasta el paso noveno; a partir del décimo hay inconsistencias con el trazado y el argumento, no se sabe como se trazó el diámetro c2 - b2, tampoco se puede probar que el prisma es recto (Ver anexo LL).

En el proceso que realizó el estudiante con regla y compás para construir el

250

prisma recto se distinguieron cuatro fases. En la primera fase, se hicieron varios trazos para dibujar un rectángulo; en la segunda, trazó de forma distinta para dibujar otro rectángulo; en la tercera, dibujó ocho circunferencias de tal manera que con sus intersecciones pudo dibujar el prisma y en la cuarta, se le dieron longitudes al prisma. Ninguna de las fases tiene argumento escrito.

En conclusión, la construcción geométrica con regla y compás se hizo mediante el trazado y no hay explicaciones escritas. En el programa CAD, el argumento escrito es más explícito para fundamentar lo que se construyó, y los segmentos representados para obtener el prisma tienen la misma longitud y coinciden para formarlo.

Análisis de lo observado en las interacciones y en registros. Los estudiantes construyeron el poliedro mediante la comprensión que hicieron de las problemáticas que se propusieron en las situaciones, y su adaptación al medio problemático como resultado de la elaboración de argumentos que fueron útiles en algunos casos y en otros no, lo que se podría caracterizar en dos niveles, la primera fue el resultado de la que se hizo cuando se uso un tipo de herramienta (regla y compás o programa CAD) y la segunda para unos mas sencilla y para otros fue mas compleja cuando se uso la otra herramienta (regla y compás o programa CAD) .Es el caso de aquellos que poseían disposición para hacer las cosas y buscaron alternativas por si mismos, lo que constituyó una ventaja para que fomentarán sus habilidades por medio de la apropiación del saber y otros conocimientos afines.

El ambiente de aprendizaje en donde los estudiantes realizaron el proceso se detectó que algunos eran capaces de adaptarse mas fácilmente a los situaciones propuestas y otros no resultaron favorecidos, debido a actitudes como querer que se le construyera el poliedro para luego ellos hacerlo del mismo modo.

251

En el proceso que realizó el estudiante para construir el poliedro, el profesor debió ordenar los conocimientos y conceptos geométricos e integrarlos en tres situaciones adidácticas con diferentes niveles de complejidad (de acción, formulación y validación), conducentes a la construcción geométrica del poliedro recto, y fomentar cierta habilidad táctica para emplearlas como medio de enseñanza para que se aceptará la responsabilidad de resolver los problemas y cuestiones allí propuestos.

El estudiante para construir el poliedro lo llevó a cabo en tres situaciones adidácticas. En la primera de acción, dibujó isométricos de poliedros e identificó las partes que lo componen, basado en el programa Poly. En la segunda de formulación, hizo homologaciones entre las funciones de la regla y compás y los comandos del CAD, e identificó las diferentes funciones que facilitaban construirlo.

En la tercera de validación, donde hizo la construcción geométrica de un poliedro recto determinado.

Las situación de acción tuvo en la marcha la siguiente connotación, formarse la idea de lo que es un poliedro recto, imaginar los isométricos de los poliedros y dibujarlos, la de formulación establecer homologaciones entre las funciones de cada herramienta, y las de validación construir geométricamente el poliedro.

El tipo de comportamiento y actitudes que asumieron los estudiantes frente a las situaciones que fueron propuestas proporcionó ventajas, como dedicación en la realización a las diferentes actividades que exigía la construcción, cooperación entre los estudiantes para compartir los avances que se iban logrando en la construcción.

El uso alternado de uno y otra herramienta para construir un poliedro favoreció el aprendizaje, debido a que el estudiante se forma primero la idea de lo que iba a

252

construir, imaginó el isométrico que condujo a dibujarlo, luego estableció las diferentes relaciones y funciones de las herramientas e hizo homologaciones y, por último pudo construirlo en donde apropió y colocó en juego los conceptos geométricos, después, hizo un esfuerzo en la transferencia y adaptabilidad para acomodar y colocar en juego los conceptos geométricos en la construcción con la otra herramienta, dichas realización fueron posible a los planteamientos expuestos en la tercera situación.

6.1.3 Resultados de la identificación de ventajas y limitaciones.

El análisis y la interpretación, articulando la observación de las diferentes acciones realizadas por los estudiantes facilitó determinar las ventajas y limitaciones de lo que se reprodujo en los registros.

El CAD, además de la diversidad de opciones que ofreció, presentó numerosas ventajas, aportó rapidez en la representación de las figuras, gracias al fácil manejo de los comandos que permitieron la interacción y accesibilidad, ofreció la posibilidad de transportar figuras mediante el comando copiar. La ventaja de guardar los dibujos en memoria fue que se pudieron modificar la información correspondiente y no se pierden los datos, se conservan.

Sin embargo, plantea problemas de tipo económico y técnico. La dotación de equipos exige un costo elevado, la certificación y actualización del programa.

También

conviene

destacar

los

problemas relativos a la variación

de

procedimientos y técnicas para poner al día el uso del programa. En este sentido, se deben elaborar técnicas que aseguren a los usuarios el desarrollo de estrategias en la superación de las dificultades que se puedan presentar.

253

Desde una perspectiva usar la regla y compás es más fácil que el uso del programa, con el CAD para representar un polígono o un poliedro se requiere de más movimientos que corresponden a las funciones asignadas a los comandos, teclado, ratón y pantalla con las que se pueden movilizar conocimientos muy coloquiales de acuerdo a las concepciones del estudiante, al considerar que sabe geometría cuando no se han apropiado de los conceptos básicos, de igual forma los pasos para el trazado son menores, que en la representación con el CAD

Podría asegurarse que las herramientas determinan sistemas de representación, tomando en consideración el proceso vivenciado, el CAD tiene más signos, desarrolla mayor habilidad, realiza diferentes funciones con respecto a la regla y compás.

El CAD con respecto a los métodos tradicionales (regla y compás), elimina inexactitudes en cuanto el trazado porque éste está predeterminado por el programa (representaciones) y reduce la habilidad para dibujarlo. Su relación trazado-herramienta y representación-herramienta para su construcción, en la primera el estudiante realiza movimientos con la herramienta muy acorde con el trazo que se va haciendo, y en la segunda se establece comunicación para los movimientos con la ventana de dibujo en el área gráfica y de allí se seleccionó el comando y se fue construyendo, es decir, en una los movimientos estuvieron determinados por la herramienta en tanto que en la otra los determinó el programa mediante movimientos visuales con el teclado y el ratón.

Construir un cuadrado con regla y compás es mas demorado que construirlo con el CAD porque éste trae predeterminada la figura, en cambio cuando se hicieron con regla y compás los movimientos y el pulso variaron en cada estudiante y llevo a que fuera demorado construirlo. Podría estimarse que el programa usado y el

254

poliedro obtenido proporcionaron un resultado que rinde más, lo que tuvo implicaciones en ahorro de tiempo para hacer el dibujo.

El uso del programa requirió de una máquina alimentada por energía eléctrica, lo que puede ser una ventaja para usar la regla y el compás que requirió energía muscular, también,

La decoración que se le puede hacer al poliedro puede ser una potencialidad del programa con respecto a la regla y el compás. También, el uso del programa necesitó de una máquina alimentada por energía eléctrica en cambio usar la regla y el compás requirió energía muscular

Ventajas y limitaciones identificadas en las interacciones al aprender y enseñar.

Las relaciones que se dieron dentro del sistema didáctico en funcionamiento, posibilitaron identificar algunas ventajas y limitaciones, para ello, se contrastó, por un lado, la instrumentación usada con el lápiz, la regla, el compás y papel, y por el otro, la utilizada con el programa CAD.

Las ventajas que se detectaron en la interacción de los estudiantes en los registros y en la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos geométricos involucrados rn la construcción de polidros con el uso de regla y compás fueron las siguientes:

*

El trazado es en forma continua, tiene funciones propias tanto la regla como el compás, facilitan la interacción para hacer la construcción, fomentan la iniciativa y la creatividad con pocas opciones, la visión está expuesta a la luz natural, fomentan la habilidad motriz y visual, se puede dimensionar el entorno del papel donde se hizo el trazado de la figura geométrica, es una buena ayuda didáctica, fomentan la organización del razonamiento, la prueba

255

se hizo a partir de argumentar los trazos realizados con regla y compás, se fomentan las habilidades para interiorizar los conceptos y los conocimientos y los conceptos geométricos usados se ubican en la geometría euclidiana.

Las ventajas que se determinaron al enseñar y aprender conceptos geométricos usando el programa CAD fueron las siguientes:

*

Las figuras geométricas tienen movimiento en la ventana de dibujo, fomentan la iniciativa y la creatividad al interactuar en la ventana de dibujo con distintos íconos, fomentan la habilidad motriz y visual cuando se usa el ratón, el teclado y el puntero en la ventana de dibujo, los íconos son de fácil acceso lo que hace la interacción fácil, la ventana de dibujo no está limitada, las figuras geométricas se reducen o aumentan (dilataciones y contracciones) el tamaño como se prefieran dentro de los márgenes de la pantalla, facilita la corrección de errores en las figuras geométricas que se estén representando, es una buena ayuda didáctica, las condiciones impuestas a las funciones de regla y compás pueden ser tenidas en cuenta por medio de homologaciones con los comandos o íconos, la prueba se basa en la explicación de lo que se construyó, el aprendizaje de los conceptos y los conocimientos se hizo rápido pero de forma superficial, los conceptos geométricos usados tienen relación directa con la geometría analítica métrica y la enseñanza se facilita si se prepara con anticipación.

Las limitaciones que se encontraron en la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos geométricos con el uso de regla y compás fueron las siguientes:

*

El aprendizaje de los conceptos es lento con relación al que se dio con el programa CAD, los conceptos geométricos que se usan son sólo de la geometría euclidiana, las figuras geométricas hechas no se pueden mover

256

como se mueven con el CAD (traslaciones, rotaciones, reflexiones), las herramientas para el trazado son regla, lápiz y el compás, el entorno de la hoja de papel no es dinámico y es limitado, la habilidad motriz y visual que se fomentan es diferente a la que se fomentan con el programa CAD, la corrección de errores es complicada e incómoda, es limitada la exploración que se realiza en el entorno de papel.

Las limitaciones que se hallaron al enseñar y aprender los conceptos geométricos con el programa CAD fueron los siguientes:

*

El aprendizaje de los conocimientos geométricos se hizo de forma superficial, se deben imponer muchas limitaciones para homologar las funciones de regla y compás por ejemplo, no usar el ícono orto, los íconos y comandos que usen medición, dificultad para hacer la prueba si no se escribe qué se hizo con cada comando o ícono, la enseñanza de los conceptos geométricos genera falsos aprendizajes debido a que los comandos representan aproximaciones de las figuras geométricas, el trazado no es continuo es virtual, se deben identificar las funciones de los comandos o íconos para homologar las funciones de regla y compás , la interacción para hacer la prueba se hizo desde la perspectiva de las funciones de los comandos o íconos, cansancio visual, la habilidad motriz y visual son diferentes a las que se fomentan con regla y compás, no se puede dimensionar la ventana de dibujo donde hizo el trazado, fomentan la organización del razonamiento y se tiene una mayor cantidad de opciones para interactuar.

Finalmente, las ventajas y limitaciones didácticas que tienen el uso de regla y compás

y, el programa CAD para hacer la construcción geométrica de un

poliedro, fueron las que surgieron de las relaciones de aprendizaje, y de enseñanza mediante el uso de los instrumentos.

257

6.2 ANÁLISIS DE LO PREVISTO Y LO SUCEDIDO.

Para hacer la confrontación de lo previsto y lo sucedido, se hizo un análisis sintético de los resultados que se obtuvieron para la estructuración de las situaciones que se llevaron a cabo y a continuación se hizo otro análisis sintético con los resultados de lo experimentado, con los que se establecieron las posibles diferencias, los contrastes que se dieron, y poder así, hacer nuevos aportes.

Análisis sintético de lo previsto. En el diseño de las situaciones, se analizaron las tareas que son requeridas para el uso de la regla, el compás, el programa CAD, el computador y las habilidades. Se tuvieron en cuenta las restricciones que se identificaron en la dimensión epistemológica, cognitiva y didáctica.

En lo que concierne a la organización global de la ingeniería se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos: que los estudios encontrados estuvieran relacionados con la construcción geométrica de poliedros; el diseño de las encuestas, los sondeos y las situaciones se establecieron de acuerdo a referentes matemáticos y geométricos; se tuvieron en cuenta el sistema diédrico, las funciones de los íconos línea, copiar, círculo y las funciones de la regla y compás y sus homologaciones.

Las situaciones adidácticas se prepararon articulando los conceptos que son tratados en textos escolares, propuestas curriculares, en las investigaciones, las herramientas determinadas a usar y en lo geométrico el tipo de poliedro. Para ello, se utilizaron los principios de la teoría de Guy Brousseau sobre el proceso de organización de los conocimientos y de la Transposición Didáctica de Chevallard, con los que se identificaron y organizaron los conocimientos que se pusieron en juego. Igualmente, sirvieron para contextualizar las respuestas que se dieron de forma provisional a las preguntas que se derivaron de la pregunta de investigación.

258

En la experiencia piloto se previó que en la primera situación los estudiantes no sabían qué era un prisma, qué era dibujar el isométrico y qué partes lo componen.

Para superar estas dificultades, se acudiría al programa POLY, que muestra una diversidad de isométricos de poliedros con sus desarrollos para que eligieran los poliedros que quisieran dibujar.

En la segunda se previó que los estudiantes darían respuestas a los cuestionamientos de acuerdo a los conocimientos que ellos poseían, muy acordes al lenguaje cotidiano, o cómo se les ocurriera. Para esto fue necesario orientar sobre las funciones que cumplen las herramientas y sus relaciones.

Para la situación tercera, se previó que los estudiantes dibujarían a mano alzada sobre una hoja de papel un isométrico, luego harían la representación gráfica de sus partes de tal forma que cumplieran con todas las instrucciones dadas.

Después obtendrían las vistas y construirían las figuras geométricas proyectadas.

Intentarían acomodar el procedimiento que ya habían aprendido con un tipo de instrumentación cuando la hicieran de forma autónoma.

Finalmente, en el caso de la experiencia definitiva se asumió lo experimentado en la prueba piloto, se planteó la construcción de un cuadrado, una situación problema,

las

tres

situaciones

previstas

y

se

orientaría

a

partir

de

cuestionamientos teniendo en cuenta los ajustes que se hicieron a las situaciones.

Análisis sintético de lo experimentado. En las experiencias que se llevaron a cabo, los estudiantes construyeron un prisma recto usando regla y compás, y luego hicieron la misma construcción geométrica con los comandos o íconos, asumiendo homologaciones entre las funciones de los íconos línea, copiar, arco y círculo y las funciones de la regla y compás .

259

Las habilidades motrices que fomentaron usando regla y compás fueron; trazar segmentos de recta, arcos y hallar intersecciones para darle forma al prisma en la hoja de papel. Las que se fomentaron utilizando los comandos o íconos fueron: usar el ratón, el teclado y ubicar el cursor en el ícono preferido o ingresar el comando requerido para representar el prisma, y en general, coordinación con las manos y los sentidos del tacto y la visión. Las habilidades que se logran son muy análogas, se usan dos formas distintas de representación para hacer la misma construcción del prisma, la herramienta determina la representación que se hizo.

Las habilidades intelectuales que se fomentaron fueron generar modelos de poliedros, analizar, comprender, resolver problemas, sintetizar e interpretar para luego poner en juego los conceptos geométricos en la construcción geométrica, usar los conceptos geométricos donde sean requeridos, saber leer, definir el proceso de construcción geométrica, seguir instrucciones, interactuar con los distintos elementos de la instrumentación donde se va construir el poliedro. En el caso del programa CAD, las habilidades que se ponen en juego fueron análogas a que las que se fomentan con regla y compás

pero la organización de las

acciones y de los conocimientos es de aplicación distinta.

Las dificultades que se encontraron se ubican en la métrica. Los estudiantes están educados en la cuantificación y la medición, lo que hizo que su pensamiento se concretice e intenten darle valores a la regla sin marcas, a las divisiones definidas que tienen algunos comandos y se intentó sumar ángulos de 600 y otro de 300 en el caso de construir un cuadrado.

Los estudiantes hicieron con facilidad las vistas, es decir, el dibujo de polígonos no presenta dificultad para hacerlos. La fase de dibujar en perspectiva un prisma, la mayoría lo hizo bien. Las dificultades resultan cuando se va a justificar lo que se trazó o representó.

260

La observación hecha en el sitio donde se llevaron a cabo las experiencias y las interacciones de los estudiantes confirmaron que construir un poliedro requiere saber hacer las construcciones geométricas básicas, como construir la bisectriz de un ángulo, construir polígonos de tres y cuatro lados y conocer las propiedades de los triángulos, saber el manejo del computador, conocer los comandos o íconos línea, círculo y copiar, usar regla y compás , y poder generar los procedimientos para poner en juego los conceptos geométricos.

Los resultados de lo experimentado muestran que los conceptos geométricos aprendidos y las habilidades fomentadas usando regla y compás para construir un prisma, son movilizados y luego organizados para utilizarlos con los comandos o íconos en la construcción geométrica del mismo prisma.

Las actividades que se llevaron a cabo con el programa CAD fueron las siguientes: escoger en el menú archivo comandos como abrir y guardar, identificar y diferenciar cada elemento gráfico, usar los íconos línea, círculo, copiar, comprobar que el dibujo está bien realizado, visualizar el prisma recto, modificar y guardar. Las que se llevaron a cabo con el lápiz, regla y compás son: hacer esbozos, trazar, transportar segmentos, determinar bisectrices y mediatrices y cortar arcos y líneas. En general, contestar preguntas, encontrar soluciones a las preguntas propuestas, escribir las ideas que surgieron, elegir ideas y evaluar.

En cuanto a las variables didácticas que corresponden a la organización de las secuencias de enseñanza, la forma en que se pusieron en juego fue a partir de los conocimientos previos, el cambio de herramienta, la forma que hicieron la construcción geométrica con el programa CAD y luego en forma independiente con regla y compás, las construcciones básicas y el tipo de prisma recto.

261

6.2.1 Confrontación de los dos análisis.

De lo previsto y lo obtenido y las diferenciaciones entre los comportamientos posibles y el significado de los comportamientos observados, se puede decir que inicialmente no se contaba con la idea de que las funciones de regla y compás se pudieran homologar con las funciones de los íconos del programa CAD, ésta resultó de las averiguaciones e interpretaciones que se hicieron.

Uno de los aspectos que se previeron en el planteamiento de las situaciones fué lo referente a las restricciones para hacer la “demostración” desde el rigor que exige, dado el escaso conocimiento que posee el estudiante; lo que se hizo para superar este tipo de dificultad en el proceso; fue convalidar el proceso que él comprendió de acuerdo a su nivel de conocimientos en geometría que le permitiera probar como construyó el poliedro.

Para construir el prisma con el programa CAD, en lo que concierne a la “demostración”, algunos estudiantes, la hicieron de forma verbal ante el profesor y otros la hicieron de forma escrita. En éstas se intenta probar que las representaciones hechas con los comandos o íconos proporcionan construir el prisma. En cuanto a la construcción con regla y compás, la hicieron basados en las funciones de las herramientas.

Las experiencias realizadas indicaron que las situaciones formuladas para construir poliedros son motivadoras, pueden

ser usadas para

posibles

reproducciones y es conveniente seleccionar aquellas familias que faciliten la construcción geométrica de sus caras para enseñarlos.

Aunque se tenían todas las previsiones para poner en marcha las situaciones, fue necesario hacer ajustes cuando se estaban resolviendo las situaciones porque las

262

observaciones y interacciones así lo exigían. Hubo que hacer esfuerzos para orientar haciendo cuestionamientos.

Considerando que las propiedades geométricas involucradas en la construcción del poliedro con una u otra instrumento se conservan, fue viable establecer homologaciones para que tengan sentido los trazos y las representaciones, es decir, lo representado por el ícono línea, es homologado a un trazo que se hizo con la regla, lo representado por el ícono círculo es homologado al trazo que se hizo con el compás y la función que hace el ícono o el comando copiar es homologada a la función trasportar segmentos de igual magnitud que se hace con el compás. Asumiendo las homologaciones entre el trazado y lo representado con las herramientas, se generaron figuras geométricas similares con una u otra instrumentación.

Las actividades que se llevaron a cabo con el programa CAD y regla y compás fueron: construcción de la mediatriz a un segmento dado, construcción de una línea recta perpendicular a otra, en uno de sus puntos, construcción de una línea recta paralela a través de un punto exterior a una recta dada, construcción de ángulos de 300, 450, 600 y 900, construcción de la bisectriz a un ángulo dado, hacer esbozos, contestar preguntas, encontrar soluciones a los cuestionamientos propuestos, escribir las ideas que surgieron, elegir ideas, evaluar, dibujar, trazar y transportar segmentos, determinar bisectrices y mediatrices, cortar arcos y líneas, identificar y diferenciar cada elemento gráfico, modificar y guardar.

Las variables didácticas que se tuvieron en cuenta en la enseñanza fueron: la clase de poliedro, las representaciones y sus dibujos, el uso de las herramientas, los conocimientos previos que poseen los estudiantes, las interacciones y relaciones que se construyen para dar solución a las situaciones problema, la maestría que se tuvo en formular preguntas alrededor de los poliedros para que el

263

estudiante las lleve a cabo de forma independiente y el tipo de pregunta que se formuló alrededor de los aspectos que se estuvieron tratando.

Las habilidades que alcanzaron los estudiantes usando el programa CAD se pudieron transferir a un contexto donde se use regla y compás y viceversa, si se tienen en cuenta las homologaciones que se establecieron en el proceso, ya que el cambio de una instrumentación a otra facilitó acomodar los conocimientos y conceptos geométricos movilizados con el uso de una herramienta y transferirlos a la otra.

Las habilidades motrices se diferencian en el tipo de movimiento que se haga con las manos y las intelectuales se diferencian en la acomodación de los conocimientos y conceptos geométricos.

Las condiciones para transferir las habilidades de un contexto donde se use el programa CAD a otro donde use regla y compás, están mediadas por las homologaciones que se determinaron entre el funcionamiento de una u otra instrumentación; para facilitar la comprensión de éstas, se debió hacer comparaciones entre los elementos que se representaron o trazaron y entre las funciones de las herramientas.

Lo que se encontró es que los procesos realizados con un tipo de herramienta para construir un prisma recto son similares, y, los conocimientos y conceptos geométricos que intervienen son los mismos y diferenciados en el grado de acomodación que hizo el estudiante. De tal manera que los requerimientos para construirlo en cuanto a los conocimientos y los conceptos geométricos son los mismos, lo único que se requiere es fomentar la habilidad conforme al instrumento.

264

Ahora, “algunos autores se han preocupado por caracterizar el origen de esa transformación. Es decir, se han interesado por la génesis instrumental de las herramientas computacionales. En dicha génesis combinan dos procesos: a. el sujeto se adapta a la herramienta. b. El sujeto adapta la herramienta a sí mismo.

Estos procesos ocurren mediante la producción de esquemas de uso, orientados a las acciones directamente vinculadas a la herramienta. Estas acciones del estudiante están condicionadas por la naturaleza de la herramienta misma“.

(Moreno Armella, 2002, p.86).

En el caso de este estudio, el tipo de herramienta determinó el registro que se elaboró, es decir, resultaron dos registros diferentes para hacer la misma construcción geométrica, muy similar a la notación de un número que es representado como 0.25, o ¼, o 25x10-2. “En realidad, la escritura decimal, la escritura fraccionaria, la escritura con exponentes, constituyen tres registros diferentes de representación entre los números” (Duval, 1999, p.44). Lo anterior indica, que existe una relación entre las representaciones planteadas por Duval y la posibilidad de lo que se puede hacer con la herramienta.

En cuanto a las hipótesis que se plantearon en cada dimensión se precisan los resultados a continuación:

*

En la dimensión epistemológica, teniendo en cuenta lo hallado, es posible que los conocimientos y conceptos geométricos que se usaron para construir un poliedro con el programa CAD, fueron los mismos que se usaron para construirlo con regla y compás y viceversa, la diferencia radicó en la forma de aplicarlos debido a la organización de la acciones que condujeron de una a otra.

265

Hacer homologaciones entre las funciones de las herramientas permitió establecer diferenciaciones en lo que se hizo con una u otra y facilitaron evidenciar la forma en que son utilizados los conocimientos y las habilidades en una instrumentación y en la otra. *

En la dimensión cognitiva, transcribir las situaciones en formatos de papel son medios con los cuales se hizo fácil establecer la interacción del estudiante o si se escriben en el tablero se hacen efectivas, lo que posibilita tomar las decisiones puntuales en la orientación.

Las habilidades que se pusieron juego para construir una determinada familia de poliedros, son organizaciones de los conocimientos, de los conceptos geométricos y de los movimientos que realiza el estudiante según sea la herramienta, “se cree que las computadoras son tecnología pero el lápiz, el papel, el bolígrafo, los libros, el signo =, el pizarrón, el alfabeto, no son…Pero en realidad sí lo son: son tecnologías inventadas por el ser humano para servir de amplificadores y reorganizadores43 a su cognición” (Moreno Armella, 2002, p.80).

Los niveles de construcción que se identificaron se establecen en las posibilidades de que dispone el estudiante de acción, de formulación y de validación. En los procesos vivenciados mediante las situaciones problema se podría asegurar que los estudiantes hicieron elaboraciones en distintas formas o niveles que les permitió llegar a construir el poliedro, éstos se pueden expresar así:

I.

Formar la idea de lo que es un poliedro, cómo se trazan los isométricos y desarrollos con la ayuda del programa POLY.

II.

Identificar las partes y elementos geométricos que constituyen un poliedro.

43

Luis Moreno Armella (2002, p.78) considera que “La amplificación puede traducirse así: hacer lo de antes, pero mejor. La re-organización como: hacer nuevas cosas y reorganizar las anteriores en función de las nuevas posibilidades”.

266

III.

Hacer el trazado de figuras geométricas.

IV.

Hacer un esbozo de la construcción geométrica.

V.

Construir las proyecciones ortogonales de prismas rectos.

VI.

Desarrollar estrategias para poner en juego lo aprendido. Lo que lleva a que se incorporen conocimientos y habilidades afines para adaptarlos a la nueva situación problema.

Estas elaboraciones son

las concreciones que se lograron, para lo que el

estudiante se imaginó un poliedro, lo dibujó e identificó las partes geométricas que lo constituyen, identificó los conocimientos básicos de la geometría y pudo construirlo siguiendo el procedimiento de forma razonada. Dichas elaboraciones son el resultado de las interacciones con las herramientas, como M. Mercé Santandreu Pascual (2004, p.2) afirma, “cuando se trabaja o se utiliza un medio tecnológico, como puede ser el informático, para representar un modelo matemático, el conocimiento no es solamente el que se lee en la pantalla, éste es el resultado de una construcción en el proceso de interacción con la máquina”.

En conclusión, es posible transferir 44 las habilidades intelectuales y motrices cuando se cambia de herramienta para construir poliedros usando el programa CAD y/o regla y compás , siempre y cuando se establezcan relaciones entre las funciones de las herramientas y se adecúen en una u otra. En este sentido, es viable, ya que los registros dejan evidencia de dicho proceso.

Además, “Podemos decir que es un objetivo de todo profesor de Matemática que sus alumnos puedan transferir las habilidades adquiridas en un contenido, a otro contenido que requiera de éstas, aunque sea de una forma parcial”. (Blanco

44

“Se ha demostrado que la transferencia tiene lugar más fácilmente en personas que la han experimentado más”. (Navarra, 2004, p.8).

267

Sánchez, 2001, p1). De lo contrario, si los estudiantes no fomentan sus habilidades de transferencia es condenarlos hacer tareas repetitivas.

*

En la dimensión didáctica, se identificaron algunos contratos como los que se dieron entre el profesor y el saber y entre el estudiante y el saber. Los estudiantes cuando entendieron la situación adidáctica, asumieron la responsabilidad de apropiarse de los conocimientos y saberes requeridos para darle solución a los cuestionamientos en los que debe modificar la organización de los conocimientos y conceptos adquiridos.

De igual manera, entre los estudiantes se establecieron responsabilidades para colaborarse y darle solución a la situación propuesta y el profesor le asistió la responsabilidad de observar la variabilidad del proceso y asumir los ajustes requeridos.

Con las experiencias y análisis hechos se identificaron algunas ventajas y limitaciones didácticas a partir de lo que se reproduce en situación y en los registros, articulando la observación de las diferentes acciones realizadas por los estudiantes. Además, la construcción de algunos poliedros sólo con regla y compás

no es posible (construcciones como la duplicación del cubo), lo que

indica que puede ser objeto de otras averiguaciones que aporten datos para saber cuáles son las potencialidades que presenta la tecnología en el caso de poliedros complejos.

Se destaca que con el programa CAD, las representaciones que se hicieron con el comando o el ícono línea son una línea quebrada o en escalera y con el comando o ícono círculo son un polígono de n lados; esto se convierte en una gran deformación que es transferida a las figuras geométricas que se construyeron. En tanto que con regla y compás el trazado es “perfecto” y las construcciones de

268

líneas rectas perpendiculares, paralelas, polígonos y poliedros obedecen al mismo principio.

Lo que se infiere con el programa de las interacciones y los registros es que la representación

de

líneas

rectas,

líneas

rectas

paralelas,

líneas

rectas

perpendiculares…, tienen deformaciones pero para la percepción de los estudiantes que las visualizaron dieron la sensación de ser perfectas como las que se hicieron con regla y compás. Lo antes mencionado lleva a grandes confusiones entre lo que es círculo y circunferencia, entre interior y frontera, entre lo que es una curva cerrada y una superficie plana.

Los conocimientos y conceptos geométricos son incorporados, organizados y aplicados según el tipo de herramienta. Éstos al ser aprendidos trazando con regla y compás

para construir un prisma, fomentan en el estudiante habilidades

motrices e intelectuales ya tratadas y cuando se construye el mismo prisma sólo usando

los comandos, son acomodados en una nueva estructura que al ser

puestos en juego se logra fomentar unas habilidades muy similares a las que se consiguen con el trazado; en el caso inverso las acciones llevadas a cabo con las representaciones se aligera la representación del prisma y en el trazado es más demorado. El uso de la instrumentación para hacer la misma construcción con una u otra herramienta se llevaron a cabo desde lo trazado a lo representado y viceversa.

Finalmente, la condición para hacer construcciones geométricas sólo con regla y compás, fue similar a la que se tuvo en cuenta para hacerlas con el programa CAD, es decir, se usaron sólo los comandos o los íconos línea, círculo y copiar.

6.2.2 Aportes del estudio didáctico.

269

Este estudio didáctico con el que se identificaron algunas ventajas y limitaciones didácticas que tiene el uso de las herramientas manuales y de informática gráfica, con estudiantes de especialidades técnicas y tecnológicas, aportó pistas que sirven para esclarecer las inquietudes y planteamientos que surgieron en torno, a si es conveniente reemplazar los contenidos de la geometría descriptiva por el uso del programa CAD. Éstas son tratadas a continuación:

*

Con relación a los bocetos que se hicieron a mano alzada para fundamentar las ideas y conceptos para construir poliedros, se llevaron a cabo con cualquiera de las dos herramientas, es decir, las construcciones geométricas de prismas rectos hechas con regla y compás , también se pusieron en juego con el programa CAD y posibilitaron fomentar la capacidad de visión espacial. Tanto unas como otras, son ayudas que potencian la organización de los conocimientos y conceptos geométricos de forma distinta.

*

En cuanto a si es necesario reducir los contenidos que se enseñan en la construcción de un poliedro con regla y compás

para introducir los

conceptos teóricos básicos y la metodología orientarla hacia un mayor uso del computador, los resultados muestran que, tanto lo que se enseña con una como con otra instrumentación, los conocimientos y conceptos geométricos que se orientaron fueron los mismos y en este sentido ambos permiten resolver los problemas que contribuyan a fomentar la capacidad de visión espacial.

Los resultados tratados sirven de base para suponer que no son los contenidos a lo que se debe fijar la atención sino en las habilidades que se pueden fomentar y a los medios usados, porque “Mientras los alumnos no desarrollan el hábito de transferencia de conocimiento de un contexto a otro, los conceptos académicos tienden a ser casi ideas inertes”. (Navarra, 2004, p.8).

270

Por tanto, reemplazar los contenidos de la geometría por los que se enseñan y aprenden a través del programa CAD, pueden ofrecer discordancia por el tipo de tecnología a usar porque de alguna forma influyen en los resultados que generan; no obstante, los prisma rectos que se hicieron con una u otra herramienta fueron diferentes, y ello implicó a quien lo hizo fomentar habilidades en un nivel diferente de organización de los conocimientos.

¿Los objetivos, los resultados de aprendizaje y aquellas características en que se sustenta cada herramienta se pueden homologar? Sustituir la regla, el compás, la escuadra y el transportador por el programa CAD desde lo educativo, seria inconveniente, porque se le impediría a los estudiantes que fomentarán sus habilidades de pensamiento tanto con una tecnología como con la otra.

Desde el sistema educativo, al estudiante se le debe proporcionar el contacto con todo tipo de instrumentación tecnológica ya que en nuestras sociedades conviven todo tipo de instrumentos. Por lo tanto, al sistema educativo le corresponde ayudar a desarrollar una formación en donde el estudiante esté en capacidad de usar cualquier tipo de herramienta tecnológica. Sería facilitarles ejercitarse, para transferir habilidades, conceptos y conocimientos en unas y otras. Esto optimizaría de forma considerable las habilidades de los estudiantes como afirma Agustín Navarra (2004, p.9): “Cuando los alumnos son capaces de transferir conocimiento de contextos conocidos a contextos nuevos, su bagaje de conocimiento crece. Y mientras más uno sabe, mientras más contextos conocemos, más fácil es relacionar conceptos conocidos con conceptos desconocidos”.

De otra parte, en los contextos escolares con vocación técnica y tecnológica, la enseñanza con el uso de tecnologías en el aula deben orientarse a potenciar las posibilidades que éstas ofrecen, en donde se puedan mostrar las bondades y debilidades que tienen y enseñar y aprender con un medio o con otro.

271

Las explicaciones que se dieron para enseñar a construir poliedros, valiéndose de programas informáticos (CAD) o con herramientas manuales (regla y compás ), fue lo que se detectó en la interacción y en los registros de las experiencias que se realizaron con los estudiantes. Si bien es cierto que el estudio realizado da pistas en el esclarecimiento de si se puede o no sustituir la construcción geométrica de poliedros con regla y compás para construirlos con el programa CAD, no permiten asegurar lo mismo sobre los conceptos específicos de la geometría descriptiva, sus bondades y debilidades que puedan tener cuando se ponen en juego con las herramientas.

En las experiencias realizadas cuando se construyeron poliedros, el estudiante se orientó en el uso de un tipo de herramienta (regla y compás) y luego él debía hacer lo mismo con la otra (programa CAD) sin la ayuda del profesor. Lo que ocurrió es que él es capaz de desarrollar la habilidad para acomodar los conocimientos y construir el poliedro. Las habilidades que logra el estudiante tanto con el programa CAD como con regla y compás, como ya se ha dicho, varían en su nivel

de aplicabilidad y las representaciones que resultan con una u otra

herramienta.

La tecnología del programa CAD, en este caso se convierte en una ayuda didáctica para enseñar a construir poliedros con cierta variación. El proceso de construcción tiene variaciones a nivel de las habilidades tanto motrices como intelectuales; en las intelectuales la variación se halla en la organización que se le da a los conocimientos y conceptos geométricos para ser aplicados y en las motrices los movimientos se organizan conforme el tipo de herramienta. Lo que cambia son los procesos involucrados en el uso de la instrumentación. Por tanto al hacer las comparaciones, las posibilidades que ofrecen estas dos tecnologías se encuentran en la variación de procedimiento, de trazado y representación que se hizo con una u otra instrumentación.

272

Cabe decir que la construcción geométrica de poliedros usando regla y compás y el programa CAD, puede considerarse como un saber en vías de ser constituido, que debe estudiarse para incorporarlo en los planes y programas del Ministerio de Educación Nacional de Colombiano. Además, en las instituciones técnicas tiene mayor importancia en la dimensión laboral que en las academias

y esto es

recomendable bajo las actuales condiciones de cambios permanentes que jalonan las tecnologías y que obligan a cambiar las estructuras laborales y educativas para responder a las demandas sociales.

De acuerdo a Edgar Andrade Londoño (1996, pp.2-8), “esta situación demanda, entre otras cosas, que los modelos educativos centrados en preparar para el empleo sean reemplazados por modelos centrados en el trabajo. Aquí la distinción clave es que el trabajo es una actividad creadora, fuente de artefactos e instrumentos, y también de conocimiento y otros aspectos intelectuales, en fin de cultura. Por otra parte, el empleo es una tarea reiterativa, parcial y con frecuencia alienante”; además afirma, que “en los campos de la investigación, el diseño y la vida cotidiana, la mayoría de los problemas son "débilmente estructurados", percibidos como necesidades antes que como problemas propiamente dichos. En contraste, los problemas de los libros de textos están claramente enunciados. Esta disparidad puede explicar por qué estudiantes capaces para resolver problemas de texto, generalmente tienen dificultades para transferir esta habilidad a situaciones externas al salón de clase” (el subrayado es nuestro).

273

7.

PROYECCIONES

La observación de la interacción de los estudiantes al trazar, representar y al hacer dibujos con regla y compás y luego con un CAD o viceversa condujo a que se propongan algunas aspectos y cuestionamiento que podrían servir como problemas para otros trabajos futuros de indagación, éstas fueron surgiendo cuando se realizaban las diferentes actividades de investigación.

Los cuestionamientos que surgieron para la formulación del problema que orientó el estudio didáctico, pueden servir de referencia en futuras investigaciones.

Algunos de ellos fueron:

¿Cuáles son los factores que dificultan a los estudiantes el análisis, interpretación y representación de un ortoedro?

¿Cuál es la dificultad que se presenta con mayor frecuencia en la interpretación y análisis de un paralelepípedo de papel o cartulina?

¿Los contenidos que se enseñan en la geometría descriptiva son los mismos que se enseñan con el programa de diseño asistido por computador, y viceversa?

¿Los conocimientos y habilidades que se aprenden con el programa de diseño asistido por computador son los mismos, que se aprenden con la geometría descriptiva?

¿Qué ventajas e inconvenientes tienen usar el programa de diseño asistido por computador?

¿Cuáles son las diferencias que se presentan aprender geometría descriptiva con el programa de diseño asistido por computador, y de forma tradicional?

¿Qué tipo de geometría se aprende en el programa de diseño asistido por computador?

¿Es posible hacer construcciones geométricas de poliedros con el programa de diseño asistido por computador?

¿Cuáles son las diferencias que tienen hacer construcciones geométricas con el programa de diseño asistido por computador y la regla y el compás?

Clasificar aquellas familias de poliedros que su representación facilite su construcción, a modo de ejemplo tomamos el caso de los poliedros arquimedeanos, construirlos inicialmente en papel, a partir de su desarrollo, y luego hacer la construcción geométrica de uno de los polígonos que componen el desarrollo, o, de las vistas. Es recomendable saber si éste se puede construir, y plantear las situaciones problema que conduzcan a su construcción, antes de enseñarlo.

Otro campo de averiguación que sería interesante abordar es la construcción geométrica de los cuerpos redondos, tópico que podría ser tan interesante como los poliedros, ya que éstos al igual que los otros hacen parte de los sólidos.

Seria conveniente mostrar como cierta clase de guías en el campo de la construcción de poliedros con regla y compas y el progrma CAD para un trabajo determinado ofrecen ciertas ventajas y limitaciones con respecto a otras. La guía propuesta como situación ofrece la oportunidad para que los profesores la tomen como de referencia para que sea mejorada en la enseñanza incluyendo el uso de otros progrmas como Solid Edge, Cabri y Word.

La transferencia vertical y laterales tratadas, lo hacen en un solo sentido tanto la una como la otra, lo que deja un campo abierto para futuras investigaciones, desde esta perspectiva analizada, ¿cómo se podría fomentar transferir

275

concepciones acerca de la matemática, métodos, procesos de pensamiento matemático, enfoques, representaciones, características típicas de la matemática, que son independientes de las tecnologías de representaciones utilizadas?

Hacer propuestas de situaciones didácticas que permitan acceder a concepciones de construcción y demostración superiores a las expresadas en los cuestionarios por estudiantes y profesores en esta indagación.

La construcción geométrica de poliedros sería una temática que haría parte de lo que podría ser la didáctica de “la construcción de poliedros”, por ejemplo, se podrían estudiar otras alternativas de relaciones en su ámbito como la clase de representaciones generadas por instrumentos informáticos y las herramientas para las construcciones físicas e incluso, incluir las tratadas por los instrumentos involucrados en este trabajo.

Un poliedro puede ser construido no sólo con regla y compás y el CAD sino con cualquier tipo herramienta u otro tipo de programa que permita hacer su representación. Las herramientas tecnológicas que se pueden considerar incluirlas en el ámbito de las construcciones geométricas serian reglas, compases, transportadores, lápices, papel, las multimediales como CD, DVD, memoria USB, MP4, los programas gráficadores y las hipermediales entre otras. ¿Qué tipos de construcción geométrica de poliedros podrían considerarse para ser trabajados como representación grafica con esta instrumentación?

Indagar ventajas y limitaciones didácticas en donde no se aborden aspectos locales sino específicos de la geometría, que respondan a los siguientes cuestionamientos: ¿Corresponden las mismas definiciones y propiedades de las figuras geométricas hechas con regla y compás y programas graficadores, o se debe establecer una geometría acorde a los instrumentos utilizados? ¿El área

276

donde se hace el dibujo en un programa gráficador considerada como plano es equivalente a la hoja de papel como plano?

Hay asociada a cada una de estas tecnologías una imagen de la matemática, que se vincula solo al desarrollo de habilidades intelectuales y motrices en esta muestra y como puede ser ampliada a otros ámbitos propios de la matemática, como por ejemplo, cómo en cada instrumento subyace una manera de concebir la matemática de enseñarla y aprenderla, en donde jueguen un papel importante los teoremas, las definiciones, las propiedades y proposiciones en una demostración, en donde se puede diferenciar con mayor finura la diferencia entre una herramienta simbólicas, teóricas y físicas, en donde se profundice consolide la diferencia entre herramienta e instrumento.

Construir poliedros hace parte de un problema mas general como la construcción de múltiplos y submúltiplos de un volumen dado. Dado un volumen de lado uno, se puede construir uno que tenga su volumen doble? Este problema griego vale la pena ser indagado con estudiantes de nivel de educación primaria para calcular los múltiplos y submúltiplos del cubo unidad

En cuanto a los términos visualización tridimensional y memoria visual utilizados por los profesores encuestados queda por indagar que mínimo de conocimientos debe tener el estudiante para desarrollar estas habilidades.

277

CONCLUSIONES

Respecto a la Indagación en los registros generados por los estudiantes al enfrentar situaciones didácticas y adidácticas de construcciones geométricas de poliedros, en las interacciones de los estudiantes con el uso de la regla y el compás y, el programa de diseño asistido por computador, lo concerniente a las ventajas y limitaciones didácticas que se produjeron en el aprendizaje y en la enseñanza, se derivaron las siguientes conclusiones:

El uso del computador facilita el aprendizaje y la estructuración del conocimiento; es una ayuda didáctica, que al ser utilizada posibilita mejorar las destrezas. La actividad que realiza el estudiante usándolo debe ser orientada y controlada por el profesor para que se fomenten las habilidades en lo intelectual y lo motriz.

Para fundamentar las ideas y los conceptos se deben hacer bocetos a mano alzada y realizar ejercicios con las herramientas tradicionales que posibiliten fomentar la capacidad de visión espacial; los programas graficadores CAD facilitan el aprendizaje de los conocimientos geométricos siempre y cuando se observe lo que hacen los estudiantes y se oriente su aprendizaje.

Las

pruebas que realizaron los estudiantes, mostraron que hay un

conocimiento muy escaso sobre lo que es una construcción geométrica, que la demostración como una etapa que hace parte del proceso de la construcción geométrica es algo que no se conoce. Las limitaciones que se presentaron en el dominio de los conocimientos y conceptos geométricos

fueron evidentes por la deficiencia en su formación. Otras se ubicaron en la comprensión de los enunciados de los problemas propuestos, en el tipo de construcción, y el uso de la herramienta.

Observar cómo los estudiantes enfrentaron situaciones de construcciones geométricas fue de utilidad para evidenciar las limitaciones que se les presentaron, cómo las resolvieron y el dominio de los conceptos básicos de la geometría.

Hay limitaciones para hacer construcciones geométricas

básicas en el programa CAD, teniendo en cuenta sólo los comandos que cumplan las mismas funciones de la regla y el compás.

Lo que se observó fue que las construcciones geométricas básicas (Construcción de la mediatriz a un segmento dado, construcción de una línea recta perpendicular a otra, en uno de sus puntos, construcción de una línea recta paralela a través de un punto exterior a una recta dada y construcción de la bisectriz a un ángulo dado

), se pueden llevar a cabo, siempre y

cuando, se use el comando línea, arco y luego se debe aplicar el comando copiar, que copia la figura y trasporta todas sus características iguales; ello garantiza una de las funciones del compás, de transportar segmentos de igual medida.

Los estudiantes desconocen lo que es una construcción geométrica y lo que es una demostración y tienen deficiente conocimiento de los conceptos geométricos básicos para construir poliedros. Las concepciones que poseen los estudiantes son muy corrientes, se centran en la medición y la interpretación que se le puede dar al verbo construir.

Los estudiantes confunden los sólidos que aprendieron hacer con papel o cartulina, y las herramientas que han usado como tijeras, plomadas, niveles

279

y regla T con las construcciones de figuras geométricas tridimensionales y las herramientas que se usan para hacer su trazado o representación.

Uno de los resultados que se derivó de lo experimentado con el programa CAD fue los falsos aprendizajes que se pueden dar al utilizar términos geométricos para describir lo que representan los comandos; como el caso del comando línea que se puede visualizar como un segmento con escalones simétricos seguidos y el caso del comando círculo que es posible percibirlo como un polígono de n lados, lo que implica cierta complejidad cuando se trata de construir poliedros rectos.

Los registros obtenidos de los sondeos y los resultados de lo experimentado dejan las evidencias de las conclusiones antes expuestas.

Respecto a utilizar situaciones didácticas y adidácticas para la identificación de las ventajas y limitaciones didácticas en la construcción geométrica de una determinada familia de poliedros, teniendo como referente la teoría de las situaciones didácticas, en su selección y en el proceso realizado para concretarlas se derivaron las siguientes conclusiones:

Lo hallado en las investigaciones sobre el tratamiento que se recomienda dar a la demostración con el uso de los programas graficadores (CAD, LOGO. CABRI, SOLID EDGE…) sirvió para entender la complejidad que lleva. Lo que se abordó fue el planteamiento de situaciones problema en las que el estudiante se apropió de éstas para estructurar modelos de poliedros.

Al diseñar las tareas para introducir los conceptos geométricos, se debe tener en cuenta el

programa POLY ya que es una ayuda para que los

280

estudiantes observen los poliedros en diferentes posiciones, con sus desarrollos, vistas e isométricos.

Las actividades deben ser preparadas para que permitan al profesor orientar y controlar el proceso y favorezca el fomento de las habilidades, para ello es necesario usar los programas graficadores CAD como ayudas didácticas para enseñar la geometría, ya que facilitan el aprendizaje y proporcionan ventajas para trazar y dibujar las figuras geométricas.

La complejidad para demostrar y las dificultades encontradas por el escaso conocimiento geométrico para darle solución a los problemas de construir algunos polígonos y poliedros, y la enseñanza basada en la cantidad (lo numérico y la medida), es probable que haya sido lo que ocasionó que la construcción geométrica fuera un saber poco enseñado.

Las interpretaciones que se hicieron en forma global de algunos resultados de investigaciones, llevaron a dar respuestas parciales a la pregunta de investigación

planteada,

y

hacer

la

integración

de

los

diferentes

conocimientos hallados para esclarecer los procesos mediante los cuales se definen las relaciones y las posibles interacciones de proceso del aprendizaje. El análisis hecho en las investigaciones proporcionó argumentos razonables para ser incorporados en el diseño de las situaciones y prever los comportamientos que tuvieron los estudiantes para hacer construcciones geométricas.

Las investigaciones aportaron información referida a las ventajas y limitaciones didácticas que se presentan en la enseñanza y aprendizaje de los objetos geométricos, el conocimiento de la instrumentación y, la utilidad de los programas graficadores. La tecnología que se identificó en los

281

resultados de las diferentes investigaciones se centra en desarrollar estrategias que resuelvan las dificultades y obstáculos que se presentan en los procesos para enseñar y aprender geometría.

En los estudios que se hallaron, se evidencian las consecuencias que dejó la reforma que se dio en los años setenta en el ámbito mundial en la enseñanza de las matemáticas. Se detectaron carencias de visión espacial y deficiencias en la formación en geometría. Aunque en éstos se plantean alternativas para enseñar la geometría de modo dinámico y ligada a problemas de la vida cotidiana y articulada a los programas graficadores, aún no se han podido aminorar las deficiencias en los estudiantes.

En el proceso realizado, se hallaron algunos estudios que proporcionaron los conocimientos y los conceptos geoméricos, se identificaron las relaciones que tienen los comportamientos y las producciones del estudiante con el uso de los instrumentos, se establecieron las estrategias en el diseño de las situaciones didácticas y adidácticas, se precisaron las variables didácticas, se determinaron las habilidades que se fomentan en el estudiante, las condiciones para transferirlas y se delimitó el ambiente ideal para la puesta en marcha de situaciones didácticas y adidácticas.

Se notaron algunas discrepancias en las propuestas curriculares que se analizaron, en cuanto a las temáticas mencionadas en una y en la otra, al parecer es en la intensidad horaria donde se pueden establecer diferencias; mientras en una el acotado se da en diez horas, en la otra se inicia el acotado desde el grado octavo con normas básicas de acotado y se continua en grado noveno.

282

Lo tratado en los textos escolares y cartillas, están centradas en la aplicación de las construcciones por medio del dibujo y es en el trazado de los poliedros donde se busca la aplicación de los conceptos geométricos. Las temáticas tratadas en éstas son muy similares y facilitan llevarlas a cabo. Las diferencias se encuentran en las interpretaciones que se les pueda dar y las perspectivas para concretizarlas por medio del currículo propuesto.

Las temáticas tratadas en los textos escolares y cartillas son muy similares y facilitan que se puedan concretizar. Las diferencias se encuentran en las interpretaciones que se les pueda dar. Lo tratado en los textos escolares reflejan en gran proporción lo expuesto en las propuestas curriculares.

En lo

curricular y los textos escolares se identificaron los conceptos y

contenidos geométricos que son movilizados tanto en la geometría como en el dibujo técnico, en el ámbito académico vigente y se determinaron las relaciones que se establecieron con los conceptos.

La capacidad de visión espacial

se reconoce como fundamental en el

desarrollo del pensamiento científico y se requiere que sea fomentada en el desempeño de la mayoría de las profesiones científicas, técnicas y tecnológicas, pero los esfuerzos hechos para fomentarla son insuficientes.

Los cambios que se dieron en el currículo de las matemáticas en Colombia no han contribuido a fomentar la capacidad de visión espacial.

Las

orientaciones que se introdujeron en los lineamientos curriculares y en los estándares, no fueron suficientes para superar las falencias detectadas en los estudiantes en la fundamentación y apropiación de los conceptos de la geometría. Lo que se supone es que los profesores no pudieron

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implementarlas o no cuentan con buena instrumentación que les facilite hacer el desarrollo curricular de éstas.

Lo expuesto en los párrafos anteriores indican que los esfuerzos que se hicieron en aras de mejorar los procesos de enseñanza, son escasos para superar las deficiencias que presentan los estudiantes, en los fundamentos de la geometría, lo que exige un enorme trabajo para superar la problemática identificada.

En este sentido, el proceso esbozado para llevar a cabo el estudio didáctico puede ser una alternativa que proporcione herramientas conceptuales y de diseño para que los profesores hagan sus propias construcciones o preparaciones de los contenidos o temáticas que vayan a orientar desde una perspectiva científica.

El poco conocimiento que poseen los profesores encuestados de la instrumentación usada para construir poliedros, se hace evidente en las respuestas dadas en la encuesta. El uso del programa CAD, es mínimo.

Desconocimiento del vocablo poliedro y ausencia sobre el conocimiento de la demostración. Éstos son elementos que pusieron en evidencia la poca dedicación que se le dio a esta temática y las dificultades que se encontraron al momento de enseñar; se comprendieron y orientaron en la consecución de los objetivos.

La variedad de significados coloquiales que le atribuyen los profesores encuestados a la construcción geométrica de poliedros puede generar dificultades en el aprendizaje y concepciones equivocadas en los estudiantes.

284

Pese al poco uso que se le da al programa CAD los profesores encuestados le ven más ventajas al uso del programa CAD que a la regla y el compás, y más limitaciones al uso de regla y el compás. Éstos son objeto de análisis, ya que el surgimiento de nuevas tecnologías que suplen a otras (regla y el compás y el CAD) y el acelerado cambio que se dan en los programas para ser utilizados en el computador y el uso de éstos en todos los medios sociales, se convirtió en una herramienta de uso común, y llevó a que se descarten las herramientas tradicionales, sin tener en cuenta las bondades que ellas ofrecen.

Las opiniones de los profesores encuestados aportaron información precisa sobre el uso de la instrumentación, para tenerla en cuenta en el diseño de las situaciones didácticas y adidácticas, y en la identificación de las ventajas y limitaciones didácticas que se encuentran con el uso de las herramientas.

Los resultados hallados en la revisión bibliográfica, los análisis hechos a las propuestas curriculares, a los de los textos escolares, a los estándares, a los lineamientos curriculares y cartillas, y las opiniones dadas por los profesores fueron los referentes que condujeron a las conclusiones antes tratadas.

Respecto a la determinación de las diferencias y limitaciones didácticas que se dieron en los dos procesos tanto el que se realiza con la regla y el compás como el que se hizo con el programa de diseño asistido por computador para construir poliedros; las conclusiones que se determinaron fueron las siguientes:

Es necesario cambiar la forma de enseñar la geometría para introducir los conceptos teóricos básicos, la metodología orientarla hacia el uso de programas graficadores CAD y las herramientas tradicionales; articular el

285

dibujo técnico e implementarlas en la educación básica y media en todos los niveles. Se recomienda usar la familia de los prismas rectos.

La regla y el compás presentaron limitaciones para construir algunas figuras geométricas, también se derivo que el aprendizaje de los conceptos geométricos presentó dificultades; en tanto que el uso del computador y programas graficadores ofreció facilidades para el aprendizaje y la estructuración del conocimiento, favoreció fomentar habilidades intelectuales y motrices.

Construir

figuras

geométricas

tridimensionales

usando

programas

graficadores CAD, puede tener algunas limitaciones, teniendo en cuenta que los comandos ofrecen aproximaciones de la representación de las figuras geométricas; y el uso de la tecnología no ha sido comprendido por los profesores para impartir la educación valiéndose de éstos, estableciendo estrategias para que sea así.

De lo analizado en los registros es coincidente el tratamiento que el estudiante le dio al argumento escrito para fundamentar la construcción, pues se muestra cierta facilidad para escribir la argumentación con el programa CAD. Al parecer la tecnología activa ciertos procesos cognitivos en el sujeto, que pueden estar fundamentados en la rapidez para hacer la representación de las figuras y el resultado que ofrece.

De los procesos realizados con la regla y el compás, se advierte que se fundamentaron en la idea de pegar y unir lo que se traza para construir el poliedro y el argumento escrito es casi ausente. Se podría decir que hay una relación directa entre la habilidad manual para hacer el trazado y la herramienta, lo que permite dar por sentado el proceso escrito, es decir, es

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como tácito para quien hizo el dibujo. En tanto que hacerlo con el programa CAD, el movimiento que se da a nivel manual con el comando no es tan fino, es decir, el movimiento está delimitado por el comando, ésta podría ser una razón que justifica los resultados que se deducen de los registros.

Los resultados que se anuncian en cada capítulo son de utilidad y ayuda para que el profesor organice y mejore la intervención en el aula de clases por medio del diseño de situaciones de construcción geométrica de poliedros con el uso del programa CAD y regla y el compás o temáticas afines.

La construcción geométrica de poliedros es un campo amplio en el que se pueden abordar sectores específicos para investigarlos, en este caso, se trabajó un sector que se relaciona con las ventajas y limitaciones que tiene el uso de las herramientas para construirlos de forma geométrica. Es un ámbito propicio para ambientar la enseñanza de la geometría plana, la geometría del espacio, la geometría descriptiva, una aproximación al dibujo técnico, uso de programas graficadores para la enseñanza de las geometrías y los fundamentos para diseñar usando instrumentación tradicional y la tecnología informática.

Finalmente, se podría decir que las conclusiones determinadas sobrepasaron los objetivos que fueron expuestos en este estudio didáctico, ya que se trataba de una indagación local en el que se pudiera determinar las diferencias que se dieron con el uso de uno y otro instrumento, lo que llevaría a identificar ventajas y limitaciones didácticas, y determinar con cual instrumento se estuvo más cerca de lograr los objetivos con el CAD o con el de regla y compás, lo que implicaría sólo diferenciar los objetivos que se propusieron en cada situación, pero se llegó no sólo a lo antes enunciado si no que se aproximó la siguiente conclusión:

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Teniendo en cuenta lo expuesto en el capítulo 2 (p.42) denominado Fundamentos conceptuales y teóricos y lo realizado con la instrumentación, se puede aproximar una función, basada, en que las ventajas y limitaciones didácticas pueden identificarse entre aquello o aquellas condiciones que favorecieron el uso de una instrumentación para hacer construcciones geométricas de poliedros y las que permitieron la implementación de acciones didácticas para mejorar el proceso de aprendizaje, lo que significó que la concepción de las situaciones solucionó dos carencias que se presentaron, y en este caso éstas vienen dadas en términos de aprender y de enseñar.

Igualmente, para limitación didáctica es la que resulta en el aprendizaje y la enseñanza entre el uso de las herramientas, de los conocimientos, de las habilidades, y las que dificultan el cumplimiento de los objetivos.

De lo experimentado se concluye que las ventajas y limitaciones didácticas tuvieron su origen en los ambientes problematizadores donde el estudiante fomentó sus habilidades de adaptabilidad, de transferencia y de acomodación de los conocimientos y conceptos al construir un poliedro con regla y el compás y/o el CAD y se identificaron en su proceso y en las interacciones con el medio.

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ANEX XOS

Ane exo A: Transcripción de unas d definicioness de conce eptos geom métricos

En este estudio o se utilizaron n las definicio ones que se mencionan a continuación: “…A Aunque no podemos p deffinir la palabrra “recta”, la reconocemo os como un cconjunto de puntos”. p Y se e desscribe como:: “…la que no n tiene parttes curvas, o bien como o la que se extiende sin n cambiar de e dire ección”. “…La recta se de enota design nando dos pu untos sobre ella con letra as mayúscula as o bien por medio de una le etra minúscu ula cerca de ella”. e (Hemm merling, 2002 2, pp.21-22). “…Un plano pue ede imaginarse como un n conjunto de e puntos. Pod demos pensar en el plan no constituido o de un número infinito de puntos p que fo orman una superficie s qu ue no tiene espesor pe ero que tiene e larg go y anchos infinitos. (He emmerling, 2002, pp.22-2 23), smo plano y cuya interse ección es el conjunto c nulo o se dice que e Doss rectas que se encuentrran en el mis son n paralelas. (Hemmerling ( g, 2002, p.23), La parte de la re ecta AB entrre A y B, juntto con los pu untos A y B, se s llama seg gmento AB. (Hemmerling ( g, 200 02, p.30) p de la recta l, entonces el con njunto de pu untos que co onsiste de A y todos loss Si A y B son puntos pun ntos que se encuentran e d mismo la del ado de A que e B es el rayyo de A haciia B. El puntto A se llama a pun nto extremo del d rayo AB. (Hemmerling, 2002, p.32 2)

a unión de dos d rayos que tienen el mismo m punto o extremo. Lo os rayos se llaman ladoss Un ángulo es la u punto extre emo común recibe el no ombre de vértice del áng gulo. (Hemm merling, 2002 2, del ángulo y su p.34) a formar un ángulo á recto.. Se dice que e Doss rectas son perpendiculares si, y sólo si, se intersectan para los rayos y los segmentos son s perpendiculares entrre sí, si, y só ólo si, son su ubconjuntos de las rectass Hemmerling, 2002, p.44). perrpendicularess entre sí. (H r bisectorr o la bisectriz de un áng gulo es el rayyo cuyo punto extremo es e el vértice del ángulo y El rayo el cual c divide a al ángulo en dos d ángulos congruentess. (Hemmerliing, 2002, p.44).

La unión de los tres segm mentos , y se llama triáng gulo si, y só ólo si, A, B y C son tress ntos no coline eales. (Hem mmerling, 200 02, p.47) pun s y sólo si, s tiene dos lados que sean congru uentes. Un triangulo ess Un triángulo ess isósceles si, uilátero si, y sólo si, tiene e tres congru uentes. (Hem mmerling, 2002, p.48) equ n congruente es cuando tie enen la mism ma forma y el mismo tamaño. (Hemm merling, 2002 2, Doss figuras son p.117)

302 2

Postulado básico de la congruencia. Aunque definimos dos triángulos congruentes si tres pares de lados y tres pares de ángulos son congruentes, puede probarse que los triángulos son congruentes si se sabe que son congruentes unos cuantos pares de partes correspondientes.

(Hemmerling, 2002, p.129) Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes. (Hemmerling, 2002, p.143) En un plano que contiene dos rectas paralelas, si una es perpendicular a una de las dos paralelas, también es perpendicular a la otra. (Hemmerling, 2002, p.177) La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180. (Hemmerling, 2002, p.188) Un polígono es un conjunto de puntos, el cual es la unión de los segmentos tales que: (1) cada punto extremo es el punto extremo de precisamente dos segmentos; (2) ningún par de segmentos se intersecta excepto en un punto extremo; y (3) ningún par de segmentos con el mismo punto extremo son colineales. Los segmentos se llaman lados del polígono. Los puntos extremos se llaman vértices del polígono. Lados adyacentes del polígono son aquellos pares de lados que comparten un vértice. Se dice que dos vértices son vértices adyacentes si son puntos extremos del mismo lado. Dos ángulos de un polígono son ángulos adyacentes si sus vértices son adyacentes.

(Hemmerling, 2002, p.205) Un círculo es el conjunto de los puntos en un plano, cada uno de los cuales es equidistante de un punto dado del plano. El punto dado se llama centro del círculo. Frecuentemente, los círculos se trazan con un compás. (Hemmerling, 2002, p.232).

Un poliedro es la unión de un número finito de regiones poligonales, cada una de las cuales contiene un polígono y su interior, tales que: (1) el interior de dos regiones cualesquiera no se intersectan y (2) cada lado de cualquiera de los polígonos también es un lado de exactamente uno de los otros polígonos. Cada una de las regiones poligonales se llama cara del poliedro. La intersección de dos caras cualesquiera del poliedro es una arista del poliedro. La intersección de dos aristas cualesquiera es un vértice del poliedro. (Hemmerling, 2002, p.429).

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas, llamadas bases, las caras restantes siendo paralelogramos. “…las caras que son paralelogramos se llaman caras laterales y sus intersecciones se llaman aristas laterales. Las aristas laterales son iguales y paralelas”. “…La altura h de un prisma es la distancia perpendicular entre los planos de las bases”. (Hemmerling, 2002, p.430) Un prisma recto es un prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. Puede demostrarse que, un prisma recto, las caras laterales son rectángulos y las aristas laterales son iguales a la altura.

Figura la define Euclides así: “Definición 13. Un límite es lo que es extremo de algo.

Definición 14. Una figura es aquella que está contenida por cualquier límite o límites.

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 19. Figuras rectilíneas son aquellas que están comprendidas por líneas rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras les comprendidas por cuatro y multiláteras les comprendidas por más de cuatro líneas rectas” (Euclides, 2003).

Anexo B: Trascripción de respuestas de la prueba piloto

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PRUEBA PILOTO: CONTESTADA POR PROFESORES DE ALGUNAS INSTITUCIONES EDUCATIVAS ACADÉMICAS Y TÉCNICAS 1 • • • • • • • • • • • • • • • •

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¿Para usted qué es una construcción geométrica?

Es algo relacionado con la geometría y el trazo de líneas para formar figuras.

Una construcción geométrica es una representación de un objeto en el espacio.

Es una figura diseñada por medio de puntos, líneas, planos y o volúmenes.

Son medidas que tienen como objetivos lineamientos en las relaciones espaciales entre un punto.

Crear o dibujar figuras geométricas.

Es algo que ha sido desarrollado teniendo en cuenta unas medidas exactas para lograr un fin determinado.

Esta es el núcleo de las figuras geométricas.

Es un modelo sólido en el cual se usan líneas rectas y curvas.

Son figuras trazadas con líneas rectas y curvas.

Es graficar las diversas figuras geométricas haciendo secuencias con ellas.

Crear figuras.

Es todo lo que se pueda llamar edificios en fin todo lo que lleve medidas.

Es construir figuras, dar forma a las figuras geométricas.

Es la elaboración de una estructura imaginaria cuya base es la utilización de figuras con sentido propio y teniendo como punto de referencia curvas o rectas.

Es el desarrollo del pensamiento espacial.

Es la formación de figuras y estructuras que están determinadas por la unión de puntos, o cálculos de espacios o parte de una fórmula, donde se miden dimensiones, metros, centímetros, milímetros etcétera.

Es la elaboración de un modelo a partir de elementos como puntos, rectas o planos.

Es la elaboración de modelos en base a figuras geométricas como triángulos rectángulos etcétera.

Creo que es una composición realizada con diferentes figuras geométricas, a la cual se le da una forma determinada.

Es el desarrollo del pensamiento espacial. ¿Qué dificultades u obstáculos se le presentaron para aprender hacer la construcción geométrica?

Creo que lo más importante para un buen manejo es un dominio de las herramientas de trabajo.

La geometría desarrolla el pensamiento abstracto y la construcción de una figura geométrica en tres dimensiones, puede generar dificultades en tanto no estamos acostumbrados a este tipo de construcción.

No tengo una inteligencia matemática por lo cual no me es comprensible la geometría profunda.

Una construcción geométrica plantea medidas y trazos en un espacio determinado.

Sobre todo en el área motriz.

Se hace necesario poseer un conocimiento previo y claro de los conceptos a utilizar.

Cognitivo y motriz.

Se me dificulta el cálculo de medidas como áreas, ángulos diámetros, radios etcétera.

Ninguna porque conozco las diversas figuras.

El no conocer el nombre de muchas medidas y como se utilizan. las medidas.

Dentro de las dificultades se encuentran: la falta de un concepto que se conozca donde pueda establecerse una definición del mismo que permita avanzar a partir de especifícar (Sic).

Saber como realizar la reunión de estos elementos y que características debían tener los conjuntos formados.

El manejo apropiado de escuadras y escalas.

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•

El dominio del espacio de un objeto en tres dimensiones.

3

De acuerdo a su experiencia ¿Cuáles considera que sean los aportes representativos que tienen enseñar la construcción geométrica?

La representación se hace fácil cuando hay una buena teoría sobre el tema.

La geometría desarrolla el pensamiento espacial, y estas habilidades son muy importantes en áreas como la ingeniería o la arquitectura.

Dar muy buena fundamentación en las primeras enseñanzas y explicar las aplicaciones técnicas de ese conocimiento.

Medidas, trazos, alineaciones, cálculos.

Desarrolla habilidades motrices.

Crear la conciencia de la importancia de investigar y conocer previamente la operación a desarrollar.

Pienso que ayuda a la ubicación espacial y a desarrollar otras habilidades.

Sirve como base para aquellos estudiantes que seguirán el estudio de dibujo técnico y otras áreas semejantes.

Que los alumnos aprendan diversas figuras geométricas.

La manera de conocer las formas y estructuras de cada de elemento.

Por medio de ella se muestran muchas cosas que son representación de nuestra cultura.

Ayudan en la tecnología, acaban con el conductismo. enseña a los estudiantes a tener en cuenta que todo sobre la fase de la tierra tiene un orden, un espacio, un tiempo, que debe tener en cuenta para su vida personal, social y familiar.

Capacitación porque solo la enseñanza en primaria.

Son muy importantes porque permiten tener un desarrollo tecnológico en muchas situaciones de la vida cotidiana, pero facilitar cualquier tipo de trabajo analítico, razonamiento.

Desarrollo del pensamiento crítico, analítico, cognitivo de un individuo. Además relaciona el espacio con el medio donde se desenvuelve el individuo.

Ubicación espacial y desarrollo cognitivo.

La verdad es que no tengo ninguna experiencia en la enseñanza de este tema puesto que no es el área que manejo.

Pero creo que un aporte significativo sería que el aprendizaje de éste conllevaría ejercitar la imaginación y la creatividad en el estudiante.

Manejo de objetos tridimensionales.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

4 • • • • • • • • • •

¿Cuál es su opinión de disminuir los contenidos que se ofrecen para hacer construcciones geométricas con herramientas tradicionales, para introducir los conceptos teóricos básicos en el uso de tecnología informática?

Es bueno que las herramientas rudimentarias sean reemplazadas por la tecnología, pues esto agilizará más el aprendizaje y será rápido. Aunque ambos son necesarios.

Sería importante que la enseñanza de la geometría tuviera en cuenta la tecnología informática, porqué es una herramienta que el estudiante va utilizar en muchas ramas de aplicación.

Si la tecnología informática se aplica al aprendizaje de la geometría sería un gran logro.

Se debe facilitar todas las herramientas básicas para llegar a un conocimiento general.

Daría facilidad a los niños para construir figuras geométricas, pero no desarrollaría del mismo modo las habilidades motrices.

Es una buena opción puesto que la informática nos permite un trabajo mas rápido y preciso.

Considero que no se deben disminuir ya que debe ser primordial manejar conceptos y procesos tradicionales.

Considero que la tecnología cubre muchas ramas una de ellas es el dibujo técnico, considero que se le debe enseñar a los estudiantes.

La matemática es muy importante en los diversos contextos por esta razón entre mas sencilla y dinámica se haga la explicación de ella será fantástico.

Como los seres siempre estamos predispuestos a cambios intelectuales en la marcha de la tecnología es bueno instruirlos para que sean valiosos en el avance de la sociedad.

305

• • • • • •

5

No estoy de acuerdo con disminuir los contenidos porque el hombre está dejando que computador haga todo y debemos convertirnos en investigadores.

Ninguno porque trabajo con primaria.

Considero que si no se tiene en cuenta los conceptos básicos, como se aplicó lo que se aprendió, al desarrollo o la práctica. es necesario la parte teórica- práctica.

Limita un poco el pensamiento crítico, pues, por ejemplo el ordenador “asume” por el individuo, pero aumento el proceso cognitivo y expande mucho más su visión.

La informática permite trabajar con mayor exactitud y mas velocidad.

El uso de una tecnología informática facilita una mejor utilización de herramientas que hacen que el manejo de espacio sea mayor, además identificamos los errores y corregimos para obtener un dibujo excelente.

La construcción geométrica de triángulos rectángulos permite fomentar sólo las habilidades motrices.

Si ¿Cuáles?

• Motricidad fina, gruesa, también la parte cognitiva.

No ¿Por qué?

• Se puede desarrollar el pensamiento abstracto.

• Desarrolla la habilidad conceptual de medidas y proporciones, la habilidad de visualización.

• Fomentan otras habilidades que el hombre según su interés motive.

• Además de motricidad se utiliza la capacidad de medición y coordinación.

• Porque este maneja la parte cognitiva.

• Además de habilidades motrices los triángulos rectángulos permiten estudiar ángulos, ubicación en el espacio y otros.

• Considero que la geometría es mucho mas.

• Estimula otras habilidades tales como cognitivas y la comunicativa.

• El niño desarrolla habilidades en el conocimiento, en la parte artística que lograran un avance en su aprendizaje.

• También fomenta, la creatividad, arte una forma de expresión afectiva, cognitiva etcétera.

• Ayuda en muchos campos.

• También permite asimilar la situación determinada por el espacio, la coordinación, tiempo, entre otros, pues ayuda a desarrollar habilidades mentales.

• Debe tener una habilidad cognoscitiva de medición para acertar en el proceso.

• Esta construcción le permite también desarrollar la exactitud en mediciones y manejo de conceptos tales como área, base, etcétera.

• Creo que fomentará habilidades cognitivas, estéticas entre otras.

• También desarrollamos las partes conceptuales, matemáticas, solución a problemas, toma de decisiones.

• Desarrollo lo cognitivo.

6

Usar textos escolares y material de apoyo en el aprendizaje de la construcción de figuras geométricas ocasiona dificultades.

Si ¿Cuáles?

• Las aplicaciones son muy teóricas y no proporcionan aplicaciones técnicas a los conceptos.

• Encasillar al individuo en parámetros definidos y la poca exploración que haga por parte de él, ya que se atiene a los conceptos enunciados.

No ¿Por qué?

• Porque esto ayuda al niño a una mejor formación y estimula la parte de la motricidad fina.

• El docente puede darle una buena utilización a las guías y facilitar el trabajo de los estudiantes.

• Todo material didáctico proporciona conocimiento al hombre.

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a.

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a.

• • • • •

Se da una ayuda a aquellos estudiantes que no poseen las capacidades necesarias.

Son ayudas didácticas que facilitan el aprendizaje.

Los estudiantes pueden tener base para saber que es rectángulo, como obtener el área, que es la altura, perímetro.

Los textos nos ayudan a preparar nuestras clases y a conocer más acerca del texto.

Por el contrario servirán como un fácilitador en el aprendizaje.

Son herramientas de apoyo en la construcción de procesos.

Le permite tener un afianzamiento que le permite mejorar sus capacidades de pensamiento de creación.

Crea agilidades y destreza en el hijo.

Se van a tener en cuenta conceptos importantes que ayudarán a realizar una buena construcción de figuras geométricas.

Permiten que se tenga una fuente de comparación para guiarse en el proceso.

Se indagarán conceptos nuevos.

Son ayuda para que el estudiante investigue y desarrolle su aprendizaje.

Las ayudas didácticas permiten mayor desarrollo en el aprendizaje. ¿Qué estrategias de evaluación le han facilitado la identificación de dificultades en el aprendizaje de la construcción geométrica de poliedros?

No comprendo el contexto.

Nunca he evaluado eso.

Análisis de relaciones espaciales.

Creación de figuras sin ayuda de reglas.

Nunca he trabajado con elementos que tengan que ver con geometría.

La realización de una figura como un cubo o un triángulo.

La ubicación espacial.

Desarrollo de modelos geométricos en cartón.

Enuncie algunas de las dificultades que haya identificado.

Los estudiantes no desarrollan el pensamiento abstracto.

El hombre se limita al encontrar poca documentación de un área nueva que le exija superación.

Falta de motricidad fina, coordinación ubicación espacial.

No tengo porque no comporta con educandos nada de medidas.

Falta de medición, unión de los puntos.

Manejo de instrumentos.

Falta de conocimientos.

Dificultad en el proceso de medición.

Falta de interpretación de medidas.

Falta de ubicación espacial.

Mencione los inconvenientes que se le han presentado en la fase demostrativa para construir un poliedro.

No he recibido una inducción clara para responder con certeza.

Poco interés por el tema, y falta de reconocimiento de espacios.

No conozco como se construye un poliedro.

Falta de atención a las explicaciones.

Se basan los individuos en conceptos teóricos sin explorar nuevas alternativas. ¿Qué es para usted una demostración geométrica?

Es una secuencia de procesos tendientes a dar validez a leyes y regulaciones geométricas.

No lo sé.

Es un planteamiento de cálculos y lineamientos en un plano.

Generar una figura a mano alzada.

Es la identificación de señalización de un área.

307

• • • • • • • • •

9 • • • • • • • • • •

a.

• • • • • • • • •

10 • • • • • • • •

• • •

Es la gráfica de figuras geométricas.

Una exposición de figuras.

Coger algo de medidas y decirle al educando esto se llama, y se usa así.

Es el manejo del espacio.

La creación de una figura.

Realizar un proceso en el cual a partir de modelos definidos se recreen nuevas figuras con parámetros establecidos. es construir un modelo partiendo de una parte o fase teórica.

Sería hacer una construcción y explicarla claramente.

Cuando el niño identifica áreas, signos relacionados con la geometría. ¿En qué tipo de tareas presentan dificultades los estudiantes para hacer la construcción geométrica de un poliedro?

Algunos le cuesta trabajo identificar el área de un perímetro cuadrado.

La principal dificultad es entender.

Las medidas y áreas establecidas.

La mecanización del mismo hace de el un ser incapaz de trabajar sin ayudas.

Me imagino que es en el uso de las medidas que deben ser exactas.

Memorización de medidas.

Memorización de las medidas.

En la práctica demostrativa.

En la medición y manejo de instrumentos.

Interpretación de medidas.

Mencione algunas dificultades.

Sacar la fórmula a un perímetro.

Se presentan dificultades en cuanto a la fundamentación de los estudiantes.

Para que sirve, como se aplica en la realidad ese conocimiento.

Práctica y memorización.

No confiar en sus propias capacidades.

Ubicación de la regla, no saber cuál escuadra deben utilizar para tal medida.

Usar escuadras y reglas así como el transportador.

Relacionar la teoría con la práctica.

Conversión de pulgadas a centímetros y viceversa. ¿Qué limitaciones ha encontrado para hacer la construcción geométrica de poliedros?

Ninguna, ya que las guías son claras al realizar las explicaciones correspondientes.

Los estudiantes no llegan motivados a las clases.

Nunca he enseñado este tema.

No he enseñado.

Manejo de los instrumentos.

Desmotivación al tema que se está enseñando.

Manejo de instrumentos.

Falta de herramientas. a) Enuncie los aspectos didácticos, cognitivos, o geométricos en donde los ha encontrado.

En que el niño o joven no saben demostrar lo que han enseñado para que aprenda a desenvolverse en su vida.

Si se coloca un modelo el individuo lo sigue, si el se siente perdido.

Modelos didácticos para resolver.

OBSERVACIONES DE LOS PROFESORES:

308

• • •

• • • • •

Sería muy bueno que se diera primero una inducción clara y concisa sobre el tema a tratar pues yo soy docente de primaria más no especialista aún en geometría.

Las preguntas abiertas no las respondo porque van dirigidas a quienes enseñan geometría campo distinto al que yo me desempeño.

Aunque geometría no es mi área considero, que a la mayoría de los estudiantes les causa cierto grado de dificultad, pero es muy bueno que los estudiantes adquieran las bases mínimas del mundo de la geometría, además de que esta base le sirve para aquellos estudiantes que estudie alguna ingeniería.

No conozco el concepto de poliedro.

Soy técnica en preescolar, estudiante de básica primaria.

Estas preguntas desenfocadas de mi área profesional pero interesante conocer sobre estos temas.

Yo nunca lo había escuchado el término poliedro.

Me fue muy difícil responder este cuestionario porque como lo mencione no manejo esta área por lo tanto no conozco la mayoría de los términos, espero que algunos de estos conceptos sean despejados a través de este curso.

309

Anexo C: Trascripción de respuestas de la prueba definitiva

CUESTIONARIO No 1 CONTESTADO POR PROFESORES DE MATEMÁTICAS 1. a.

b. c.

2. a. b. c.

3. a.

b. c.

4.

¿Qué ventajas tiene construir un polígono con regla sin marcas o con un programa de diseño asistido por computador (CAD)?

Que se puede construir diferentes polígonos con una misma cantidad de lados pero con diferentes dimensiones y diferentes medidas de ángulos, en el sistema CAD se puede construir figuras especificando las medidas y los ángulos del polígono, se pueden cambiar de escala y se hacer mas polígonos semejantes a partir de uno de referencia.

Las ventajas que se puede obtener al realizar la actividad con una regla sin marcas son múltiples, una de ellas puede ser hacer comparaciones, y aproximaciones.

Comodidad y precisión.

¿Cuáles crees que sean las ventajas que tiene, usar la regla sin marcas, o el programa de diseño asistido por computador para construir una figura geométrica?

Ayuda al estudiante a proyectar una imagen de un plano a otro, y a convertir una figura plana en una figura volumétrica.

Nos permita desarrollar habilidad en la medición y la comparación.

Con CAD es más cómodo y preciso, permitiendo la modificación de medidas.

¿Qué diferencia existe entre dibujar un poliedro y construirlo con las mismas herramientas?

Al construirlo se necesita de destreza del estudiante en sistemas de medición, además de manejar instrumentos como regla, compás, transportador entre otros. Al dibujarlo simplemente necesita conocer su forma y copiarlo.

Diferencias: tener error al trazo de la figura ejemplo; en el computador no se puede establecer el trazo que se quiera, mientras que a mano alzada se puede hacer el trazo deseado.

Dibujarlo es mas preciso, en el proceso de la construcción, la inadecuada manipulación de las herramientas y un espacio no apropiado traen consigo imprecisiones.

b.

¿Cuáles crees que sean los aspectos que intervienen para construir un poliedro con la regla sin marcas?

Primero que todo no se podrá dimensionar con exactitud un poliedro, sino existe un sistema de referencia.

Conocer bien la figura a realizar; practicar constantemente la figura para no tener errores.

5. a. b. c. d.

¿Habitualmente, qué tipos de herramientas usas para hacer una construcción geométrica? regla, compás, transportador y escuadras. regla compás y transportador.

Escuadras de 450, 600 y transportador y regla.

Escuadras, transportador, compás.

6.

¿Qué herramientas de las que usas, pueden presentar inconvenientes para construir un triángulo rectángulo, conocidos la hipotenusa y un cateto?

Con el transportador, cuando sólo tiene medidas de ángulos y con una regla sin marcas.

a.

a.

310

b.

Dos dieron la respuesta, Ninguna.

7. a. b. c. d.

¿Para ti, qué habilidades se fomentan cuando construyes una figura geométrica?

La observación, interpretación y destreza.

Realizar segmentos, trazados y líneas.

Habilidades psicomotrices, cognitivas, fomentan la creatividad.

Pensamiento geométrico trazado fino.

8.

¿Qué limitaciones ha encontrado para hacer la construcción geométrica de poliedros?

Enuncie los aspectos didácticos, cognitivos, o geométricos en donde los ha encontrado.

Hasta ahora no he tenido ningún inconveniente.

Visualización tridimensional de los poliedros. Escaso conocimiento de los estudiantes sobre construcción de figuras planas.

Espacio, mala manipulación de herramientas conceptos geométricos errados o no conocidos.

a. b. c.

9. a. b. c.

10. a. b. c.

¿En qué actividades, se les presentan limitaciones a los estudiantes para hacer la construcción geométrica de un poliedro? Menciona las limitaciones.

Generalmente en la construcción se presentan problemas en los vértices.

En las propiedades geométricas de los poliedros, manejo adecuado de las herramientas.

Mal manejo de escuadras, imprecisiones.

¿Qué estrategias de evaluación te han facilitado la identificación de limitaciones en el aprendizaje de la construcción geométrica de poliedros?

Construir poliedros a partir de un plano.

Construcción de figuras planas como polígonos. Conocimiento sobre las propiedades geométricas de polígonos.

Evaluar habilidades manuales y manejo de instrumentos.

OBSERVACIONES DEL PROFESOR: • El manejo de herramientas CAD hace mas fácil para el estudiante la aplicación y construcción de figuras geométricas pero limita la interpretación y la habilidad del estudiante, para realizar esquemas de figuras geométricas.

• No puedo responder las preguntas del 1 al 4, por que no he utilizado en mi trabajo la regla sin marcas o el programa de diseño asistido por computador.

CUESTIONARIO No 2 CONTESTADO POR PROFESORES DE MATEMÁTICAS DIBUJO TÉCNICO 1

¿Qué diferencia has encontrado, entre dibujar un poliedro y hacer su construcción geométrica con las mismas herramientas?

a.

Se usan básicamente los mismos instrumentos, excepto las tijeras, el curtidor, y el pegante, cuando se va hacer el desarrollo del volumen.

Ninguna.

b.

2

¿Según tu experiencia, cuáles son los aspectos que intervienen para construir un poliedro con la regla sin marcas?

311

a. b. c.

Al realizar el plano del poliedro para su construcción es necesario que las medidas sean perfectas, ya que en el proceso de armado puede no coincidir, o no dar el resultado esperado.

Los aspectos que intervienen en la construcción de un poliedro con una regla sin marcas son la organización y planeación del espacio en que se va a hacer el dibujo.

Para construir el poliedro regular o irregular en esas condiciones, sería imposible dibujar el poliedro regular ya que las magnitudes serian aproximadas.

3 a. b. c.

¿Qué herramientas usas para hacer una construcción geométrica?

Para hacer desarrollos se usan cartón doble for, bisturí, escuadras, lápiz, tijeras, pegante.

Las herramientas que usa son: escuadra de 450, 600, lápiz 2h y hb y compás si se requiere.

Si utilizamos el software CAD serían todas las herramientas de diseño o graficación que tenga el programa.

4

¿Qué herramientas te han presentado inconvenientes para construir un triángulo rectángulo, conocidos la hipotenusa y un cateto?

En mi caso no tengo ninguna falencia.

Ninguna es tan fácil, tanto en CAD como con herramientas.

a. b.

5 a.

b.

6 a. b.

7 a. b. c.

8 a. b. c.

¿Qué habilidades consideras se pueden fomentar cuando se construye una figura geométrica?

El dibujo técnico desarrolla habilidades tales como identificar el dibujo técnico como elemento fundamental en el desarrollo tecnológico. Desarrolla el sentido crítico mediante la observación y análisis de las diferentes manifestaciones técnicas que se dan en nuestro medio. Afinar el sentido visual, la motricidad fina, corregir o mejorar la caligrafía, desarrolla sentido de orden y aseo…

Las habilidades que se adquieren en la construcción de una figura geométrica son como por ejemplo: manejo de escuadra, interpretación de planos, construcción de vistas geométricas y manejo de lápiz.

Los estudiantes tienen limitaciones para construir un poliedro recto, usando la regla sin marcas. Si, ¿Por qué?

Manejo del espacio.

No, ¿Cuáles son las condiciones para construirlo? Software de modo manual: formato e instrumentos.

La limitación que se le puede presentar a un estudiante para construir un prisma recto, con el programa CAD, es desconocer los comandos de la ventana de dibujo. Si, ¿Por qué?

Es necesario conocer los comandos y tener cierto manejo del computador.

Si, Es básico para esquematizar cualquier geometría.

Si, Desconocen el programa.

La construcción geométrica de triángulos rectángulos permite fomentar las habilidades motrices. Si, ¿Cuáles?

Manejo de escuadras, coordinación ojos mano, sentido de proporciones …

La creatividad.

Desplazamientos lineales de las extremidades superiores.

312

9 a.

10

a.

¿Qué limitaciones has encontrado para hacer la construcción geométrica de poliedros?

Enuncia los aspectos didácticos, cognitivos, o geométricos en donde las ha encontrado.

Para la construcción de poliedros con herramientas CAD es muy sencillo, ya que una vez generada la geometría en 2D se realiza una extrucción, lo más importante es la ubicación en el espacio.

¿Qué limitaciones has encontrado con el uso de la regla sin marcas o el programa CAD para hacer la construcción geométrica de poliedros? Menciona las figuras geométricas en donde has encontrado las limitaciones.

Las limitaciones para poliedros regulares en CAD no existe. En modo manual seria posible, que existan limitaciones.

OBSERVACIONES DEL PROFESOR El instrumento debe ubicar al encuestado si se trata de CAD o dibujo de mesa.

CUESTIONARIO No 2 CONTESTADO POR PROFESORES DE MATEMÁTICAS 1 a. b.

c. d.

2

¿Qué diferencia has encontrado, entre dibujar un poliedro y hacer su construcción geométrica con las mismas herramientas?

Al dibujarlo se puede hacer con medidas aproximadas, y con instrumentos las medidas son exactas (escala).

Básicamente, se convierte en una discusión muy clara. El dibujarlo es un problema de proyección y dibujo técnico; mientras su construcción es un trabajo de dibujo en el plano y se hace sencillo.

Dibujar un poliedro no requiere de compás, ni regla pero al construirlo si se requiere de instrumentos precisos como la regla el compás y el transportador.

La diferencia está en las precisiones para la apreciación de la representación gráfica porque la construcción requiere de herramientas y movimientos específicos.

c. d.

¿Según tu experiencia, cuáles son los aspectos que intervienen para construir un poliedro con la regla sin marcas?

El conocimiento del plano y conceptos geométricos tales como ángulos, y mediatrices (construcción).

En la referencia de unidades regulares es muy favorable y no impide un trabajo con resultados satisfactorios.

Calcular la longitud de las aristas que se requieren para el poliedro.

La apreciación de longitudes según experiencia o manejo continúo de las mismas.

3 a. b. c. d.

¿Qué herramientas usas para hacer una construcción geométrica?

Escuadras compás, transportador, regla.

El dibujo en el plano y la estructura básica establecida.

Regla, compás, transportador y marcadores.

Instrumentos geométricos graduados según medida a usar.

4

¿Qué herramientas te han presentado inconvenientes para construir un triángulo rectángulo, conocidos la hipotenusa y un cateto?

Construirlo con el compás.

El conocimiento de los estudiantes del concepto básico de cuadratura y raíz cuadrada como operaciones inversas y complementarias.

El no saber el ángulo entre la hipotenusa y el cateto.

a. b.

a. b. c.

313

d.

La precisión del compás.

5

¿Qué habilidades consideras se pueden fomentar cuando se construye una figura geométrica?

Manejo adecuado de instrumentos, la distribución adecuada del espacio, la correcta posición.

La perspectiva y concretar mas conceptos abstractos.

La perspectiva, el razonamiento espacial y el buen manejo de los instrumentos de medición.

Manejo o movimientos en el plano de las regletas o herramientas usadas. Enriquecimiento de memoria visual. Apreciación de figuras geométricas agradables a la vista.

a. b. c. d.

6 a. b. c.

Los estudiantes tienen limitaciones para construir un poliedro recto, usando la regla sin marcas. Si, ¿Por qué?

No se le da importancia a la conceptualización.

No saber calcular las medidas.

Es poca su experiencia en manejo de longitudes.

No, ¿Cuáles son las condiciones para construirlo? a.

Igualdad y equivalencia en la regularidad de sus medidas.

7

La limitación que se le puede presentar a un estudiante para construir un prisma recto, con el programa CAD, es desconocer los comandos de la ventana de dibujo. Si, ¿Por qué?

Utiliza comandos incorrectos.

No se conoce el programa.

No conocer bien el programa.

Es poca la experiencia en manejo de longitudes.

a. b. c. d.

8 a. b. c.

La construcción geométrica de triángulos rectángulos permite fomentar las habilidades motrices. Si, ¿Cuáles?

El manejo correcto de las escuadras.

Refuerza conceptos y relaciona lo abstracto con lo concreto.

Con mayor manejo experiencial se desarrolla la motricidad.

No, ¿Por qué? Solo dibujan y miden.

9 a. b. c.

10

a.

¿Qué limitaciones has encontrado para hacer la construcción geométrica de poliedros?

Enuncia los aspectos didácticos, cognitivos, o geométricos en donde las ha encontrado.

En el manejo inadecuado del espacio tridimensional al ser plasmado en un plano bidimensional.

Tiempo: Implica un trabajo que requiere mucho tiempo. Importancia: se le resta importancia a este tema, o, a los temarios de matemática en la educación media vocacional.

Brindar una clase sin ayudas didácticas tecnológicas por el manejo de reglas y tablero en forma vertical y brindando visualización al estudiante.

¿Qué limitaciones has encontrado con el uso de la regla sin marcas o el programa CAD para hacer la construcción geométrica de poliedros? Menciona las figuras geométricas en donde has encontrado las limitaciones.

La mala fundamentación en los conceptos básicos de la geometría para construir pirámides, prismas y cilindros.

314

b. c.

Desconocimiento del programa CAD. La regla sin graduación cuando no se tiene memoria visual del espacio longitudinal a conocer.

CUESTIONARIO No 3 CONTESTADO POR PROFESORES DE INFORMÁTICA 1. a. b.

2. a. b.

3.

¿Qué ventajas tiene construir con el programa de diseño asistido por computador, un polígono regular?

Que a medida que lo construye puede corregir sus medidas, ajustándolo a lo que necesita.

Proceso rápido, si hay que corregir no requiere de implementos de borrado, hay orden (sin el uso de papelería), almacena. La información y además es segura, confiable entre otras. ¿Cuáles crees que sean las ventajas que tiene, usar la regla sin marcas para construir una figura geométrica?

Que a medida que corres, el te va diciendo el diámetro de ésta.

Refinamiento y relación de lo mental y la apreciación visual.

a. b.

¿Qué estrategias usaste para superar las limitaciones que surgieron en el aprendizaje de la construcción geométrica de polígonos?

El manejo de líneas perpendiculares y verlas desde varios ángulos y analizarlas.

Investigar.

4. a. b.

¿Para usted en qué consiste construir una figura geométrica?

Que se brinda la oportunidad de verlo desde varios puntos de vista.

Es un modelo abstracto.

5. a.

¿Cuáles crees que sean los aspectos que intervienen para construir un poliedro con el programa de diseño asistido por computador (CAD)?

Al construirlo puede ver sus vistas o proyecciones.

6. a. b.

¿Con qué herramientas te enseñaron a construir figuras geométricas?

Con transportador, regla y escuadras.

Regla, lápiz, y transportador.

7. a. b.

8. a. b.

9. a.

¿Qué herramientas te causaron inconvenientes en el aprendizaje de la construcción de figuras geométricas?

El análisis y ver el número de ángulos.

Transportador.

¿Qué habilidades pusiste en juego cuando aprendías a construir perpendiculares y triángulos?

Imaginación a un cien por ciento.

Las escuadras.

¿Qué limitaciones encontraste para hacer la construcción geométrica de polígonos regulares? Enuncie los aspectos geométricos en donde las encontró.

La simetría.

315

10.

¿En que actividades se te presentaron las mayores limitaciones para hacer la construcción geométrica de perpendiculares y paralelas? Menciona las limitaciones.

a.

La medida de los lados.

CUESTIONARIO No 3 CONTESTADO POR PROFESORES DE METALMECÁNICA 1. a. b. c. d.

2. a. b. c. d.

3. a. b. c. d.

4. a. b. c. d.

5. a. b. c. d.

¿Qué ventajas tiene construir con el programa de diseño asistido por computador, un polígono regular?

Es mas fácil porque sólo se le dan los datos al computador y este realiza la operación.

Mayor precisión en las medidas. Rapidez en su estructuración.

Generalmente los programas de diseño contienen las figuras de polígonos regulares simplemente basta especificar sus dimensiones.

La rapidez, la precisión y la exactitud.

¿Cuáles crees que sean las ventajas que tiene, usar la regla sin marcas para construir una figura geométrica?

Hay que acrecentar los conocimientos en cada estudiante, y esforzarse por darle una medida real a la figura.

Destreza para resolver un problema, esto conlleva a desarrollar habilidades. Es fundamental aplicar y conocer las condiciones geométricas que requiere dicha figura.

Permite proponer diferentes figuras sin tener limitaciones por medidas específicas.

Qué se adquiere la noción de la proporción y se agiliza la percepción visual de las medidas y distancias y ángulos.

¿Qué estrategias usaste para superar las limitaciones que surgieron en el aprendizaje de la construcción geométrica de polígonos?

La habilidad de manejar espacios en un plano.

Ejercitar cada una de las construcciones. Emplear el transportador.

Aprender a manejar el transportador y construir ángulos con escuadras de 300 y 450.

Practicar el uso del compás y el uso de las escuadras de 600 y 450.

¿Para usted en qué consiste construir una figura geométrica?

Crear una figura con diferentes dimensiones.

Toda imagen mental tiene una representación que la podemos convertir a geométrica cuando la parametrizamos.

En realizar un esquema de una figura a partir de unas especificaciones predeterminadas.

Definir el número de lados (polígonos regulares) su tamaño, determinar si es inscrito o circunscrito y dar uso al compás y escuadras.

¿Cuáles crees que sean los aspectos que intervienen para construir un poliedro con el programa de diseño asistido por computador (CAD)?

Hacerlo a mano alzada y crear una figura.

Debe haber claridad del concepto poliedro. Se utilizan parámetros tales como un punto de origen, ángulo y espacio tridimensional.

Primero conocer sistemas de medidas con que se desea trabajar, conocer los comandos que le permitan graficar las diferentes aristas con sus medidas y ángulos determinados.

Número de lados, forma de la base, altura, si es recto regular, irregular, inclinado.

316

6. a. b. c. d.

¿Con qué herramientas te enseñaron a construir figuras geométricas?

Regla, transportador, escuadras…

Regla, compás, lápiz.

Escuadras, transportador, regla, compás y el sistema CAD. El compás, escuadra a 450, escuadra a 600, transportador (opcional).

7.

¿Qué herramientas te causaron inconvenientes en el aprendizaje de la construcción de figuras geométricas?

La regla sin marcas.

Procesos con el compás.

El manejo de la escuadras para determinar los ángulos.

Un poco de manejo de las escuadras.

a. b. c. d.

8. a. b. c. d.

9. a. b. c.

10. a. b. c.

d.

¿Qué habilidades pusiste en juego cuando aprendías a construir perpendiculares y triángulos?

Tener las medidas y ángulos de cada figura.

Manejo de escuadras.

El uso del compás para ubicar el punto por donde pasaba la recta perpendicular a la línea de referencia y el transportador para la medición de los ángulos internos del triángulo.

El manejo del compás especialmente, el trazo de las perpendiculares (ejes de coordenadas).

¿Qué limitaciones encontraste para hacer la construcción geométrica de polígonos regulares? Enuncie los aspectos geométricos en donde las encontró.

Los procedimientos son paso a paso y respeta un orden espacial.

Ninguna, ya que son figuras sencillas y se manejan frecuentemente.

Más que todo encontrar el punto exacto del vértice en los lados del polígono con la punto del lápiz.

¿En qué actividades se te presentaron las mayores limitaciones para hacer la construcción geométrica de perpendiculares y paralelas?. Menciona las limitaciones.

Las hojas de block porque no tienen ningún tipo de trazado.

Cuando no se utilizan escuadra y regla esto es solo compás.

Se presentan limitaciones cuando se hace una línea paralela con el compás, pues en la construcción es necesario unir las tangentes y aquí es donde se presentan algunas dificultades.

No tuve limitaciones.

OBSERVACIONES DEL PROFESOR Las limitaciones en la construcción de figuras geométricas, se presentan cuando no se cuentan con las herramientas adecuadas o un previo conocimiento de manejo de éstas.

317

Anexo D: Trascripción de respuestas del sondeo57

1.

¿Para usted qué es una construcción geométrica?

Concepciones ubicadas en lo geométrico: a)

Es la realización de un objeto o figura compuesta por puntos, rectas, ángulos entre otras hechas en un plano para obtener una idea sobre algún trabajo u objeto a realizar.

b)

Es una unión de puntos por medio de esta unión se llegan a las líneas.

c)

Es una reunión de varios puntos o rectas que al unirlos nos dan un fin determinado, dependiendo de la forma que se trace.

d)

Es armar una serie de elementos que son realizados uniendo figuras en forma de líneas.

e)

Es la unión de líneas las cuales al unirlas forman unos ángulos.

f)

Es la unión de líneas hechas por dos puntos o varios que al ubicarlos forman varios ángulos y se puede ver una perspectiva de gráfico geométrico.

g)

Es la unión de líneas, curvas, etcétera como paralelas, diagonales, perpendiculares para así construir un plano o gráfica de un objeto u otra cosa.

Concepciones ubicadas en el dibujo: a)

Es un dibujo con formas y líneas geométricas las cuales se llevarán a una forma material.

b)

Tiene por objeto el estudio de las figuras, es decir aquellas figuras que pueden dibujarse sobre una superficie, también es una unión de líneas con un punto de referencia para hacer una figura.

c)

Es un dibujo hecho a partir de líneas de medidas exactas que pueden ser usadas para representaciones matemáticas, arquitectura, dibujo técnico etc. y hecho a partir de los fundamentos de la gravedad.

d)

Es realizar una gráfica en la cual se representa una forma ya sea plana circular o semicircular dependiendo de lo que vaya a realizar. Ejemplo: para la creación de un balón de fútbol se realiza haciendo un grafico, teniendo en cuenta, su tamaño, forma, diámetro, área, volumen, etc. No solamente para figuras realizadas en materiales como plástico, metal, cuero, etc. También son utilizados como esquemas para una construcción ya sea comercial, industrial y residencial y se utiliza en todos los campos laborales y estudiados.

57

Éste sondeo se realizó, a diez y seis alumnos que estudian Soldadura por Trazado y Corte de Productos Metálicos en el SENA.

318

Concepciones ubicadas en el lenguaje cotidiano: a)

Es una unión de líneas que se cruzan dando forma a algo.

b)

Para mi como su palabra lo dice es una construcción de objetos por medio de líneas.

c)

Es la unión de miles de puntos que a su vez dan forma a todo tipo de gráficas.

d)

Es una pieza que está compuesta ya sea, por las medidas de sus lados o la construcción con varios lados.

e)

Pienso que es la realización de algo lo cual se basa en círculos, líneas, circunferencias, etcétera.

319

Anexo E: Trascripción de respuestas del sondeo No158

En el primer bloque se respondieron las siguientes preguntas: 1

¿Para usted qué es una construcción geométrica? Las respuestas que dieron los estudiantes a esta pregunta aparecen transcritas en el tercer bloque con letra negrita.

2

¿Qué herramientas cree que se usan en la construcción geométrica?

• Compás, reglas, lápiz, escuadras, hojas, y conocimientos.

• Para mi se utiliza la imaginación, un lapicero una hoja y figuras geométricas y también las cosas que se necesiten para hacer las figuras geométricas (reglas…).

• Las herramientas que se pueden utilizar en la construcción geométrica son: regla, lápiz, compás…

• Las herramientas que se pueden usar son: compás, calibrador, transportador, escuadra, etc.

• Las herramientas que creo que se deben utilizar son: compás, escuadras, transportador, lápiz adecuado.

• Ya que esta relacionado con la geometría se supone que sus herramientas principales son el metro, reglas, lápices, compás, borrador, teniendo en cuenta que esto se utilizaran en el plano.

• Se deben usar todas aquellas herramientas que sirvan para medir como el calibrador, micrómetro, metro, transportador etc.

• Metros, escuadras, lápices, reglas.

• Se utilizan las escuadras, flexo metro, lápiz, calibrador, transportador, en fin todos aquellos objetos que sirvan para medir.

• Se utilizan lápices, reglas, compases, circunferencias, .transportadores, curvigrafo, etc.

3

¿Ha aprendido hacer alguna construcción geométrica? Si__ No__ ¿Cuál?

Siete estudiantes respondieron de forma afirmativa y colocaron argumentación y tres que respondieron no, dos agregaron argumentación escrita y uno no. ¿Cuál?

• Las figuras geométricas como son: triángulos, estrellas, cuadrados, planos.

• Por ejemplo un cuadrado, un triangulo, hexágono, una pirámide, prisma, cono, cilindro, exaedros, paralelepípedos, cubos etc.

• Cilindro, cubos, hexaedro.

• He aprendido hacer cubos, conos, hexágonos etc.

• Una de las figuras que he construido fue una pirámide en clase de geometría.

• Piezas cónicas elaboradas en el torno con un ángulo exacto.

• Con las maquinas pieza cilíndricas y cubos.

• Construí una pesa, en la cual primero hicimos el plano con las medidas a escala que creímos que eran las indicadas para que la pesa quedara tal cual como queríamos. Luego la elaboramos con sus respectivas medidas y nos quedo como nos imaginamos.

58

Este sondeo se realizó, con diez estudiantes de grado noveno y undécimo de la educación media técnica, en el SENA.

320

4

¿Qué dificultades se le presentaron para hacer una construcción geométrica?

• Las medidas exactas y la falta de conocimientos teóricos.

• Todas las cosas que uno va a realizar tienen sus dificultades peor nada es imposible por ejemplo al realizar la pirámide las punta no me coincidían en el mismo vértice.

• Las dificultades que se presentaron para hacer una construcción geométrica fueron las medidas.

• La dificultad que se me presentaban eran las medidas y cuando comenzaba a unir las partes.

• Una de las dificultades que tuve fue que no tenía todos los materiales necesarios.

• Las principales dificultades son la elaboración de dibujos ya que se requiere mucha delicadeza y dedicación.

• Muchas veces elaborando piezas la más dura es elaborar el ángulo de una medida que quede precisa.

• Las mediciones y la elaboración.

• Que muchas veces las mediciones tomadas no eran las indicadas, y no nos salía el trabajo tal cual como nos lo imaginábamos.

• Para mi las dificultades que se me presentaron es que no se el manejo de algunas herramientas para hacer las construcciones.

5

¿Qué cambiarías u omitirías de los procedimientos para hacer una construcción geométrica?

• No cambiaria nada pues todos los procedimiento que necesite son importantes para una mejor seguridad, pues de la carrera solo queda cansancio.

• No le cambiaría nada ya que la geometría es una ciencia que estudia los cuerpos y si se le cambia algo altera todo.

• Yo cambiaria el método que hay para hacer estas figuras geométricas no sean regulares • Todos los pasos se deben hacer para obtener una pieza perfecta.

• Ninguno por que todos son necesarios.

• No le cambiaria nada ya que para hacer una construcción geométrica se necesitan todos los pasos detallados.

• Yo cambiaria que la construcción geométrica no tuviera tantos procedimientos para elaborar superficies de figuras circulares.

• Tres no respondieron.

6

¿Qué opinión le merece aprender geometría?

• Para mi la opinión que merece aprender la geometría es que con ella vamos a tener un mejor conocimientos pues en la mayoría de nuestra vida vemos problemas de construcción geométrica ya sea con ángulos grados etc.

• Para mi la opinión es que la geometría se lleve con mas horas en los colegios y que nos ayuda a crear todos los objetos que vayamos a hacer todo en este mundo tiene geometría.

• La geometría es una de la materias fundamentales para la vida cotidiana.

• Pues que la opinión que yo tengo con la geometría nos sirve mucho en la vida diaria como calcular el perímetro de una finca o algo.

• Es una materia que es muy fundamental por que sin ella no podríamos construir edificios y otras cosas.

• La geometría es algo esencial y lo debemos aprender ya que se usa mucho.

• Tener un conocimiento y manejo del tema.

• Que es muy importante para todo lo que encontramos en nuestro entorno para saber las medidas de todo lo que existe.

• Para mi aprender geometría es muy importante por le que servir para algún trabajo que se asigne y que tenga que ver con medidas y operaciones con segmentos.

• Un estudiante colocó la siguiente observación: Di la opinión de lo que se sabe sobre el tema

321

7

Señale con una equis(x) en lo que tuvo dificultad para aprender la construcción geométrica.

Fundamentar las proposiciones Hacer las demostraciones Plantear proposiciones Problemas propuestos

8

5 1 5

Trazar arcos, círculos y segmentos Fundamentar la demostración Hacer el dibujo Otras, ¿cuál?: acotado

1 2 1

Señale con equis (x) en lo que tuvo dificultades para aprender la geometría

Calcular el volumen de los cuerpos de revolución.

Hallar áreas de polígonos 5 Hallar superficie de figuras circulares Perímetro de polígonos 2 Hallar superficie de polígonos Problemas propuestos 3 Operaciones con segmentos Calcular volúmenes 2 Trazar figuras geométricas Hallar superficies 1 Otros, ¿cuales?

4 1 2 4 1

Las cantidades señaladas en las celdas de las tablas de preguntas 7 y 8 corresponden a lo que cada estudiante señaló

En el segundo bloque los ejercicios eligieron de cada agrupación para resolver son los siguientes:

I.

En la primera agrupación se hicieron las siguientes elecciones que aparece con cursiva subrayado: a.

construir una línea perpendicular a la línea recta S por el punto P. Fue elegido dos veces

b.

construir una línea perpendicular a la semirrecta S por el extremo A.

c.

construir una línea perpendicular a la línea recta S por el punto O.

d.

construir una línea paralela a la línea recta S por el punto P. Fue elegido cinco veces

e.

construir la bisectriz del ángulo que forman las rectas concurrentes r y s.

II. En la segunda agrupación, se hicieron las siguientes elecciones que aparece con cursiva subrayado: a.

construir un triángulo conocido los tres lados a, b y c. Fue elegido cuatro veces

b.

construir un triángulo rectángulo conocidos los dos catetos c1 y c2. Fue elegido una vez

c.

construir un triángulo Isósceles conocida la base b y la altura h. Fue elegido dos veces.

d.

construir un triángulo Isósceles dados los dos lados iguales c y el Angulo opuesto.

e.

construir un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia, conocidos la hipotenusa p y la altura h.

f.

construir un triángulo equilátero conocida su altura h.

g.

construir un triángulo rectángulo conocidas la hipotenusa p y un cateto c1.

322

III. En la tercera agrupación, se hicieron las siguientes elecciones que aparece con cursiva subrayado: *

construir un cuadrado, conocido el lado AB. Fue elegido seis veces.

*

construir un rectángulo, conocidos la diagonal CD y el lado menor AB.

*

construir un romboide conocidos ambos lados a y b y el ángulo c comprendido.

*

construir un pentágono regular conocidos el lado AB.

*

construir un hexágono regular conocido el lado AB.

*

construir un trapecio isósceles inscrito en una circunferencia dada conocida la longitud de los lados no paralelos, AB y CD.

En el tercer bloque se colocó la pregunta siguiente: ¿Para usted qué es una construcción geométrica? La que se respondió antes de iniciar a resolver los ejercicios de construcciones geométricas y se respondió después. Las respuestas con cursiva subrayado corresponde a la que se dio después de hacer los ejercicios.

•

• • •

• •

•

• •

Una Construcción geométrica es construir una figura por medio de herramientas y procedimientos dando origen a una figura plana ya sea imaginaria o real.

Una construcción geométrica es una serie de procedimientos formales y estrategias que por medio de unas herramientas como son el compás, el lápiz, la regla podemos formar o dar origen una figura plana.

Para mi una Construcción geométrica es construir figuras según como lo imaginación Para mi una construcción geométrica es que llevado dos puntos se pueden construir figuras geométricas utilizando compás y regla Para mi una construcción geométrica es todo lo que esta hecho de ángulos y rectas.

Una construcción geométrica son los objetos que mediante un compás y una regla y ciertos procedimientos lleguemos a una conclusión Para mi una construcción geométrica es construir objetos por medio de pasos y medidas.

Para mi una construcción geométrica es hacer una figura empleando compás, reglas y teniendo sus medidas.

Construir un objeto por medio de pasos y medidas.

Una construcción geométrica es el proceso mediante el cual se construye figuras. Empleando reglas, compás etc.

Según entiendo construcción geométrica es cuando un determinado elemento se elabora, basándose en las leyes geometrías (medidas, cotas, distancias, tamaño…) y que además de esto se puede primero elaborar un plano en 3D como base o fundamento inicial.

No respondió.

Construcción geométrica es algo que elaboramos con respectivas medidas. Teniendo en cuenta medidas exactas.

Una construcción geométrica es algo elabora teniendo como base figuras geometrías como puede ser un triangulo, cuadrado o demás derivados de cada uno de esto. Aunque no sabia esto, me ayudo aclarar muchas dudas acerca de esto.

Es una elaboración de un instrumento. Un objeto. Cubos, cónicas por medio de unas medidas y dimensiones.

No respondió.

Construcción geométrica, es cuando elaboramos algún objeto con respectivas medidas exactas, primero lo haceos a lápiz y papel, posteriormente se pasa a lo real con las

323

•

medidas pensadas según el plano.

Es la forma de hacer alguna figura con una serie de pasos exactos que nos demuestra que, lo que se pretende demostrar es correcto, y que la figura quede exactamente como es.

Para mi construcción geométrica es el estudio y la clasificación de medidas y es una construcción si se hacen con diferentes medidas o figuras geométricas.

Una construcción geométrica es analizar un tema para así poder realizarlo sabiendo que hay que hacer y de que partes consta y es una construcción con medidas y herramientas como compases y reglas para así poderlas realizar en el computador.

324

Anexo F: Trascripción de respuestas del sondeo No259

1.

¿Para usted qué es una construcción geométrica?

En la medición: • Es tener unas medidas precisas para elaborar algún proyecto.

• Para mi la construcción geométrica puede ser el procedimiento que una persona puede usar para darle precisión a una medida al triangulo rectángulo-cuadrado etcétera.

• Para mi una construcción geométrica es aquella en la cual se realiza una figura con determinados medidas, puntos y figuras.

• Es un objeto que es elaborado teniendo en cuenta medidas y ángulos precisos.

• Construcción geométrica es hacer figuras por medio de unas medidas que nos dan, donde se puede construir un triangulo, cuadrado o rectángulo.

• Es hacer una figura pero teniendo en cuenta las medidas y cuantos lados posee para darle el nombre geométrico.

• Es la aplicación, utilización de determinadas tipos de figuras con sus respectivas medidas.

• Es trazar líneas con cierta medida o ángulo el cual nos sirve de guía para realizar un ejercicio.

En lo cotidiano: • Es una figura que resulta luego de manejar distintas herramientas de diseño con las cuales podemos hacer triángulos, circunferencias, elipses etcétera. Existen muchos tipos de figuras geométricas y muchas herramientas para poder diseñarlas.

• Una construcción es lo que se puede realizar con una serie de figuras que tienen formas y tamaños determinados siendo que pueden constituir una construcción grande o una construcción chica.

• Para mi una construcción geométrica es un trabajo en el cual se tiene en cuenta las figuras geométricas.

• Edificación y combinación de figuras geométricas.

• Es un proceso por el cual se realizan figuras que constan desde líneas rectas hasta curvas, mediante estos procesos podemos hacer figuras como cuadros, cubos, triángulos etcétera.

• Construcción geométrica es lo que uno puede construir a partir de las formas geométricas que son triángulos, rectángulos, circulas o también puede ser la construcción de las figuras geométricas.

• Es diseñar una figura el cual posea unas formas básicas que son líneas y círculos etcétera.

• Una construcción geométrica es algo donde sobresalen los cuadrados, triángulos, círculos, óvalos, etcétera.

• Realizar trabajos de proyecciones y trazado para alcanzar una figura.

• Es donde se utilizan una serie de líneas, donde usted le da una forma requerida o inventiva.

• Es la construcción que se hace a partir de unos trazos.

• Es la unión de varias figuras geométricas entre si, en las cuales vamos a formar otra figura tal. ¿Qué herramientas ha usado para hacer construcciones geométricas?

• Regla, compás. Transportador y plomadas.

• Reglas, de 45 y 60 transportadores, compás, lápiz.

• La regla, el compás, curvígrafo, transportador, calculadora.

• Lápiz, compás, reglas, transportador, Autocad, diseño, punto a punto.

59

Este sondeo se realizó, con veinte alumnos que estudian “Programación de equipos de mecanizado por arranque y viruta” en el SENA.

325

• • • • • • • • • • • • • • • •

Reglas, compás, escuadras, transportador. transportador, reglas, compás, hojas de papel para dibujar. regla compás transportador escuadras.

Plomada, regla de nivel.

Escuadras, compás, transportador, reglas, plomadas niveles.

Una regla, lápiz, compás.

Reglas, compás, transportador, tijeras.

Portaminas, tijeras y regla.

Reglas y compás.

Reglas, compás, escuadra, transportador e imaginación.

Reglas transportador, compases lápiz.

Escuadras, compás regla T. Regla compás escuadras y lápiz.

El transportador, compás regla.

Curvígrafo.

No contesto.

¿Qué dificultades se le presentaron para construir una figura geométrica?

• No saber como desarrollar las medidas.

• Que algunas figuras cono octágono, hexágonos, etcétera deben ser perfectos sus lados y es un poco complicado lograr esto, ejemplo: una estrella es complicada realizarla con todos sus lados perfectos.

• Al medir sus ángulos os dan desiguales entonces se debe hacer un análisis, del porque están desiguales para sustentarlo.

• Ninguna.

• Cuando las figuras tienen una forma muy irregular es difícil hacerlas porque sus medidas pueden variar de tal forma que son difícil de cuadrarlas.

• Me ha dificultado en ser preciso con las medidas.

• Las dificultades que se me han presentado no saber manejar las reglas, confusión con algunos procesos geométrico.

• Las herramientas que he usado son las escuadras compás y transportador.

• Es la materialización de una construcción, ejemplo un edificio con formas geométricas se emplearían rectángulos, cuadrado, círculos, triángulos.

• Unidades decimales, manejo de decimales, o unidades milimétricas.

• Que muchos valores o medidas que nos dan no los entendemos.

• No saber mucho sobre medidas ni formulas.

• Las medidas por que cada lado es diferente o igual, ejemplo: los triángulos, hay unos que tienen todos los lados iguales. Otro que tiene lados desiguales. Todos los lados iguales.

• Saber las medidas de ellas y tener las herramientas necesarias.

• La dificultad mas frecuente, consiste en las aproximaciones de las medidas.

• Talvez la precisión e las mediciones.

• Que el trazado no coincide con ciertos puntos para alcanzar el objetivo.

• La interpretación del texto.

• La precisión, la exactitud y las medidas, instrumentación.

• Cumplimiento de normas como volumen , área. ¿Cuáles son los aspectos que intervienen en una demostración geométrica?

• es lo que se obtiene de haber realizado mediciones exactas.

• Es una figura perfecta, con sus lados y ángulos perfectos.

• Es el objeto en si como lo es triangulo-rectángulo, etcétera.

• Una demostración geométrica es aquella que se da por entender en cuadros, en triangulaciones, círculos o porcentajes, diagramas rectangulares, tablas de ascenso y descenso.

• Es una visión de figuras geométricas.

326

• • • • • • • • • • • • • •

Una demostración geométrica es cuando nos enseñan una figura geométrica el cual la tenemos que realizar, o analizarla como esta elaborada.

Para mi una demostración geométrica es una situación en la cual se le explica una persona como poder hacer una figura o una paralela.

Es coger una de las herramientas geométricas por ejemplo el compás y buscar la forma de hacer un octágono.

Resultado preciso o milimétrico de un objeto.

Es lo que se ha hecho.

Es la exposición de una figura como tal.

Una demostración geométrica es hacer una figura de acuerdo al nombre y las reglas para construirlo.

Es hacer algo que se parezca a una figura geométrica.

Una demostración geométrica para mi consiste en poder explicar el porque de una forma.

Un trabajo geométrico que se puede hacer.

Demostrara y asimilar varias formas para un solo objetivo.

Crear una figura a partir de unas medidas.

Es una figura con sus medidas y cálculos precisos.

Dos no respondieron.

BLOQUE DE EJERCICIOS. Haga posibles dibujos de cómo espera que va quedar la figura geométrica, o el polígono. Luego elija la herramienta que va usar. Después, defina un procedimiento que posibilite mostrar que con su uso y las propiedades geométricas se puede lograr el resultado. a)

Construir un triángulo conocido los tres lados a, b y c.

b)

Construir un cuadrado, conocido el lado AB.

327

Anexo G: Guía de trabajo para construir poliedros

La guía de trabajo la componen el objetivo de aprendizaje, instrucciones, resultados esperados y observaciones del estudiante. A continuación se explicitan: OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Construir un prisma recto con la regla y el compás, y luego construirlo con el programa de CAD en forma autónoma o viceversa.

INSTRUCCIONES. Antes de iniciar, lea e interprete, luego, proceda a hacer los dibujos de las figuras geométricas a mano alzada. Se sugiere primero, reunirse con sus compañeros de grupo y hacer las prácticas que sean necesarias para encontrar la solución a cada actividad. Intente establecer homologaciones entre las funciones de los comandos del programa CAD y las funciones de la regla, de igual manera hágalo con el compás. Después, escriba las ideas que surjan y, elija las que se ajusten al dar su repuesta, luego utilice el programa CAD o la regla y el compás, si así, lo requiere.

La forma que se propone para llevar a cabo el trabajo es la que se menciona a continuación:

* *

Comprenda la situación problema y los enunciados de la situación adidáctica propuesta, luego intercambie opiniones con los compañeros para identificar el procedimiento que le permita dar una solución.

Plantee soluciones, determinando los conceptos y figuras geométricas requeridas y luego defina un procedimiento con la instrumentación qué usará. Pruebe si lo planteado posibilita construir el poliedro de forma razonada, y fundamentada en los conceptos y proposiciones geométricas.

La mayoría de las construcciones geométricas con regla y compás están relacionadas con las propiedades de intersección de dos rectas, de una recta y un círculo, o de dos círculos. En los desarrollos de las construcciones se supuso lo siguiente:

i. ii. iii. iv. v.

“Dados dos puntos, podemos dibujar una línea recta que los conecte.

Dadas dos rectas (no paralelas), podemos localizar su punto de intersección.

Dados un punto P y una longitud r, podemos dibujar una circunferencia de radio r con centro en P. Dada una circunferencia, podemos localizar sus puntos de intersección con otra circunferencia o una línea recta.

Dos círculos O y P con radios a y b se intersectan exactamente en dos puntos, si la distancia c entre sus centros es menor que la suma de sus radios pero mayor que la diferencia de ellos. Los puntos de intersección se encontrarán en los semiplanos diferentes formados por la recta de los centros” (Ver página 47 del capítulo 2).

Para hacer una construcción geométrica se inicia elaborando un boceto en el cual deben estar los pasos que se van a seguir. Éstos pueden ser los siguientes:

* * * *

Plantear el problema o enunciado de la construcción geométrica.

Dibujar una figura geométrica representando las partes dadas.

Elaborar un enunciado de lo que se da en la representación de la figura.

Explicar lo que se va a construir, es decir, el resultado que se obtiene.

328

* *

Describir cada paso de lo que hace en la construcción geométrica y dar una justificación de cada uno.

Mostrar que la construcción geométrica es la esperada.

Ahora, ponga en juego lo mencionado para hacer la construcción geométrica de un poliedro, manipulando la herramienta que haya escogido, en el caso del computador, valerse del ratón y el teclado para ubicar la barra de herramientas que necesite y seleccionar de ésta el comando que va a trabajar, realizar todos los pasos que indicó en el boceto. Comparta con los compañeros lo realizado y luego entréguelo o déjelo guardado en una carpeta de la unidad C. En caso que use la regla y el compás, lleva a cabo el mismo procedimiento.

Finalmente, el trabajo propuesto se hace en dos fases consecutivas, en la primera fase, debe hacer la construcción geométrica del poliedro con regla y compás, valiéndose de la orientación del profesor y en la segunda hacer la misma construcción con el programa CAD sin la ayuda del profesor; debe valerse de las indicaciones dadas, los conocimientos y las habilidades adquiridas.

En caso que en la primera fase elija el programa CAD para construirlo se hace lo mismo, es decir, el profesor orientará la construcción con el CAD y se abstendrá de intervenir cuando el estudiante use regla y compás.

En la construcción geométrica de un prisma recto debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

* * * * * *

Seguir las instrucciones dadas.

Seleccionar la herramienta. ¿Cuál primero y cuál después?

Poner en juego las habilidades motrices e intelectuales acordes con la herramienta seleccionada.

Especificar las condiciones y procedimientos para construirlo.

Diligenciar los registros de acuerdo a las instrucciones dadas.

Tomar correctivos a los errores, aplicando los procedimientos establecidos.

RESULTADOS ESPERADOS. El resultado de aprendizaje que el estudiante debe alcanzar, es construir un prisma recto de acuerdo a las instrucciones establecidas y la instrumentación requerida.

Determinar qué propiedades y conceptos geométricos se emplearon en cada construcción geométrica y precisar qué herramienta usada, ya sea la regla y el compás, o el programa CAD.

OBSERVACIONES DEL ESTUDIANTE. Las que surjan del estudiante.

329

Anexo H: Planteamiento de enunciados de las situaciones

PRIMERA SITUACIÓN. En la Tabla 5.3.1, dibuja en las celdas No 1, No 2 y No 3, un prisma recto en cada una, en perspectiva o isométrico, con sus características y elementos que lo componen.

TABLA 5.3.1. PRISMAS RECTOS Dibujo del Prisma Recto No 1 No 2

No 3

Elementos que lo componen Nombre Tipo de cara No de caras No de vértices No de aristas Características Otras

a) b) c) d) e) f)

¿Qué figuras geométricas puedes identificar en el trazado de los prismas rectos mencionados en la Tabla 5.3.1? ¿Tienen alguna forma de trazado especial? Organízalas según sea el número de lados y selecciona una. ¿Cuáles son las propiedades que fundamentan la construcción geométrica de la figura elegida? ¿Cuáles son las habilidades que debes poseer para construirla?

De acuerdo a la herramienta usada, ¿Cuáles son los conceptos requeridos para construirla?

Diligencia la Tabla 5.3.2 de acuerdo a lo respondido en e), y d).

TABLA 5.3.2. HABILIDADES Y HERRAMIENTAS USADAS Nombre de la figura y dibujo

Conceptos y habilidades

Herramienta usarías

que

330

SEGUNDA SITUACIÓN. Una alternativa que sirve para determinar los conceptos geométricos y las habilidades para construir un poliedro según sea el tipo de herramienta usada es contestar el siguiente interrogante: ¿Los conocimientos y habilidades que se deben poseer para construir un prisma recto con regla y compás son los mismos que para construirlo con el programa de diseño asistido por computador y viceversa?

Sí__ ¿Cuáles?____________________________________________________________________ No __ ¿Por qué?__________________________________________________________________ Partiendo de esta pregunta se desprenden algunos interrogantes que debes responder. a) b) c)

Explica las funciones que cumplen la regla y el compás. ¿Cuáles de los comandos del programa CAD cumplen las mismas funciones de la regla y el compás? ¿Qué tipo de herramientas prefieres para hacer la construcción geométrica de un poliedro? ¿Por qué?

TERCERA SITUACIÓN. Haga la construcción geométrica de la figura geométrica elegida en la primera situación del numeral c). a) b) c) d) e)

Primero trázala a mano alzada y luego realiza la construcción geométrica usando la regla y el compás, y/o el programa CAD. Compara tus resultados con los ejercicios resueltos y explica cuales son las diferencias que encuentras. ¿Cómo describirías y plantearías la construcción geométrica de un prisma recto? ¿Cuáles serían las propiedades que aplicarías para fundamentar la construcción geométrica y cómo las organizarías para qué proporcionen los resultados esperados? Élige un prisma recto, y realiza la construcción geométrica con el programa de diseño asistido por computador y/o con regla y compás.

331

Anexo I: Registros que no se analizaron

Se anexan los registros que no fueron analizados, porque se seleccionaron aquellos en el que los dos procesos de construcción geométrica del prisma recto fueran comprensibles, y finalizados en cada caso, tanto el que realizaron los estudiantes con el programa CAD como con la regla y compás.

a)

PRISMA HEXAGONAL

*Primero realizo una circunferencia *coloco el cursor en uno de los vértices, con el mismo radio anterior realizo otra circunferencia, esta me cortara la circunferencia anterior en dos puntos hay tengo una parte de mi hexágono *coloco el cursor en el otro extremo del vértice, realizo el mismo procedimiento anterior obteniendo los seis cortes que necesito en la circunferencia para construir el hexágono. *ahora lo convertiré en un sólido a través de unos comandos *barra de menú selecciono Draw y me voy a región selecciono objeto clic izquierdo y entré *barra de menú de dibujo selecciono Sólidos, Extrude selecciono objeto, enter le doy el grosor enter y enter. *barra de menú View Shade, Gouraud Shaded selecciono y obtengo mi sólido.

332

b)

CONSTRUCCIÓN DEL PRISMA RECTANGULAR

Para la elaboración del prisma rectangular abrí el programa CAD, seleccione el comando rectángulo di clic sobre el Model y lo desplacé para con el clic para poder darle la figura al rectángulo, luego mi fui al menú Draw seleccione el comando región, luego con el Mouse de clic sobre la figura para seleccionar y le di enter para crear la región. Luego me fue al menú Draw seleccione el comando sólido, luego el comando Extruder, selección la figura con el Mouse dándole clic sobre ella y le di enter, después del di el espesor de 20mm y le di enter para darle el espesor a la figura. y finalmente tome el menú View utilizando el comando Shade y el comando Flat Shaded y di clic para darle color a la figura, y para poder rotarla me fui al comando de rotación y con Mouse empecé a rotar la figura.

333

334

Anexo J: Registros de la construcción de un prisma NO 1

1.

Trazamos una línea o segmento con medidas cualquiera (A-B) con la barra de dibujo con el ícono línea y posteriormente trazamos una circunferencia de centro A. y otra de centro B pero ambas con el mismo radio de segmento AB desde la barra de dibujo con el ícono circulo (centro-radio)

2.

Con el punto de intersección de las dos circunferencias, trazamos dos líneas formando un triangulo equilátero que se forma al unir las dos líneas con el segmento AB una línea sale desde A y la otra línea sale desde B.

3.

Copiamos el segmento AB y lo pegamos al lado de este formando el segmento AC que debido hacer copiado del segmento AB es igual en su largo a este.

4.

Al segmento AC le aplicamos los pasos 1y2 con las mismas barras e íconos para formar otro Angulo equilátero

5.

Con los puntos de intersección de las tres circunferencias trazamos las bisectrices a los dos triángulos equiláteros las cuales son asignadas desde el ícono línea.

6.

Con dos líneas hechas desde ícono línea unimos las bisectrices con los puntos de intersección entre las circunferencias y las líneas de las bisectrices formando un cuadrado.

7.

Seleccionamos el cuadrado, lo copiamos y lo pegamos

8.

Prolongamos la línea BD desde el punto d hacia arriba y la línea CD desde el punto c hacia la derecha horizontalmente.

9.

Trazamos una circunferencia de radio CD con el ícono círculo centro radio y en el punto de corte de la línea prolongada BD trazamos la línea hasta C formando segmento CE

10. Copiamos la línea AB y la pegamos continúa a B, formando BF que tendrá las mismas medidas que AB enseguida prolongamos la línea F desde el punto G hacia arriba con el ícono línea y G se forma en el corte de en la línea prolongada de CD la cual le llamamos G.

335

11. Copiamos la línea AB y la pegamos continua a F, formando la línea FH que es igual a AB, además prolongamos la línea H con el ícono línea desde I que se formo en el corto línea prolongada CD formando I. 12. Formamos otra circunferencia de radio con el ícono circulo centro-radio GI que corto la línea prolongada H a este punto le llamamos J , después unimos con una línea desde el ícono línea G y J. 13. Finalmente con líneas desde el ícono línea unimos los puntos EG y formando un prisma

FI

336

337

338

Anexo K: Registros de la construcción de un prisma NO 2

Para construir un prisma en el programa AUTOCAD, utilizando herramientas la línea y el circulo se siguen los siguientes pasos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

como

Trazamos un rayo de “L” Trazamos un segmento AB Se traza una circunferencia con centro en B con radio “r” a esta circunferencia la llamaremos “c2” En la intersección de “c2” y el rayo “L” le llamaremos punto “C” que forma ángulo ABC que es un ángulo llano (180º) Al ángulo ABC le sacamos la bisectriz y forma 2 ángulos de 90º Se traza una circunferencia con centro en A con radio “r” a esta circunferencia le llamaremos “c1” En la intersección de “c1” y el rayo “L” le llamaremos punto D que forma un ángulo DAB que es un ángulo llano (180º) Al ángulo DAB le sacamos la bisectriz y forma 2 ángulos de 90º En la intersección “c1” y la bisectriz del ángulo DAB forma el vértice “E” En la intercepción “c2” y la bisectriz del ángulo ABC Forma el vértice “F” Trazamos un segmento EF

CONSTRUCCIÓN Para construir un prisma tomamos como referencia el cuadrado anterior Seguimos los siguientes pasos:

339

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Trazamos una bisectriz al ángulo FBC que llamaremos bisectriz “Z” Se traza una circunferencia con centro en “D” con radio “r” a esto le llamaremos “c3” En la intersección de “c3” y “Z” será el vértice “G” Trazamos un segmento FG Trazamos la bisectriz del ángulo CDE que es un ángulo llano (180º) y que dan 2 ángulos de 90º En la intersección de la bisectriz del ángulo CDE y “c3” será el vértice “H” Se traza una circunferencia con centro en “E” y radio “r” a esta le llamaremos “c4” Se traza una circunferencia con centro en “H” y radio “r” esta se llamara “c5” En la intersección de “c4” y “c5” será el vértice “I” Trazamos un segmento HI Trazamos el segmento IG Trazamos el segmento EH Trazamos el segmento FI y obtenemos el prisma requerido

340

341

342

Anexo L: Registros de la construcción de un prisma NO 3

1.

Con el comando línea el cual tiene la función de trazar líneas rectas marcamos un segmento A, B.

2.

Luego con el comando circulo el cual traza o hace circunferencias de cualquier radio, es utilizado desde los puntos A, B lo cual genera dos puntos de unión entre las dos circunferencias una e la parte superior del segmento A, B y otra en la parte inferior, estos punto se llaman C y D.

3.

Trazamos una línea o segmento de el punto C al D lo cual crea una perpendicular con el segmento A, B y un punto de unión llamado E.

4.

Desde el punto E utilizamos el comando circulo y trazamos un arco (una semicircunferencia) del punto A al punto B.

5.

El arco pasara por un punto en el segmento vertical C, D este punto tendrá nombre F.

6.

Desde el punto F utilizamos el comando circulo y trazamos un arco del punto A al punto D uniendo en sus extremos los dos arcos graficados, formando los puntos G y H.

7.

Cada punto de intersección entre los dos arcos y la recta C, D deben ser unidos con el comando línea formando un rombo horizontal y consiguiendo así la base del prisma.

8.

El comando circulo lo utilizamos del punto G al C Y VICEVERSA, IGUALMENTE DEL PUNTO H AL C Y VICEVERSA. lo cual nos genera un punto de cruce entre dos segmentos, este cruce nos da un Angulo de 90 grados con los extremos derecho e izquierdo de la base o rombo.

9.

Con el comando línea trazamos una recta de los lados de la base a la intersección hecha en el paso anterior y desde la extensión de esta rectas

343

repetimos los pasos anteriores formando la parte superior del prisma y por ende realizando la terminación de este.

10. Con el comando recortar que sirve para cortar líneas, arcos... borramos las partes que no eran necesarias mostrar en el proceso de la construcción del prisma.

LINEAS PERPENDICULARES: son aquellas líneas que al interceptarse forman un ángulo de 900 grados.

INTERSECCIÓN: punto de encuentro entre dos líneas.

344

345

346

d un prism ma NO 4 Anexo LL:: Registross de la construcción de

* * * *

mos una lín nea recta a-b a Trazam Luego trazamos t u circunfferencia de una e radio a-b b con centrro en a Despué és trazamo os una circcunferencia a de radio a-b a con ce entro b Trazam mos una lín nea igual a-b a la cual llamaremo os a-c con la que se forma el e diámetro o c-b de la a primer cirrcunferencia. El cual se forma una u circunfferencia co on centro c

*

El punto o superior donde se cruzan lass circunfere encias con n centro punto d a-b lo llamamos l o superior donde se cruzan lass circunfere El punto encias con n centro a--c lo llama aremos punto e.

Sacamo a con centtro en d cuyo borde p pega en ra adio a-b os una circcunferencia Sacamo os una circcunferencia a con centtro en e cuyo borde p pega en ra adio a-c Los pun ntos de cru uce de las circunferencias con centro e-d d, trazamos s una línea re ecta que pa arta desde e a con medidas c-b.

* * * *

347 7

*

* * *

Del punto superior donde termina la línea lo nombramos a2.

Teniendo como centro el punto a2 trazamos una circunferencia de radio a2-b2 y de diámetro c2-b2.

Trazamos otra circunferencia partiendo del punto a2 con centro c2.

El punto superior de cruce de la circunferencia con centro a2 y con centro b2 lo llamamos d2.

El punto superior de cruce de la circunferencia con centro a2 y con centro c2 lo llamamos e2.

UNIÓN DE PUNTOS PARA FORMACIÓN DEL PRISMA

348

349