FORMULAS

ñJIÁNUAL

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TE#NTCÁS

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MAT{UAL DE

rónnnuLAS TEC¡{ICAS

tng. Luis Alberto Cobacango L. Mg. Mat.

PRESENTACIÓN Es un honor como Docente de la Universidad Técnica de Manabí, presentar al estudiantado de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Físicas, y Químicas este compendio de Fórmulas de algunas de las

MANUAL DE FORMULAS TECNICAS

ramas de las Matemáticas, que a veces son un poco temidas por

TERCERA EDIC]ÓN

nuestros estudiantes.

IMPRESO SEPTIEMBRE 08 DE 20I2 Email : luis_cobacango@hotmail.com

El presente documento que va dirigiclo especialmente a ellos, es una fi¡sntc do ftcll eonsulta, hasado en la experiencia de algunos años de

oompütlr matÉrlaa relacionadas con las Matemáticas.

E¡te herramiente gue pretende ser de mucha utilidad en su carrera como estudiante de Ingeniería, espero sea de mucha ayuda a todos ustedes y a todo profesional que necesite un documento que le proporcione de forma ágil, la información basica de algunas partes de

las Matemáticas como por ejemplo: Álgebra, Geometría Analítica, Trigonometría, Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

LUIS ALBERTO COBACANGO L. UNIvERSIDAD TÉcN¡ce pp M¿Nngi FACULTAD DE CTENCIAS r.¿etenÁtrC¡.S, FiSTCAS y qUil,UCaS PortoviejoMmabí-Ecudor

ñ

Ár,cEnna INDICE

El álgebra es una de las principales ramas de las matemáticas que estudia Ias estructuras, las relaciones y las cantidades. Etimológicamente, la palabra

álgebra proviene del vocablo arabe "al-jabr" y signlfica "reducción,'

Algebra

5

Geometría Analítica

20

Trigonometría

23

Derivación

F't a

Integración

4t

Bibliografia

50

Resolución de la ecuación de segundo grado

l.- Factorizando: Se descompone Ax2 + B*+ C en factores, se iguala cada

JJ

factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan.bon respecto a x.

2.- Completando el cuadrado. Se transpone C al segundo miembro, se divide la ecuación por el coeficiente de x2, se añade a ambos miembros el cuadrado de Ia mitad del coeficiente de x y se extrae laraíz cuadrada-

3.- Empleando la formula:

xt=

_b +

",164;¿

/¡-á

Propiedades De La potenciación

Potcncia de exponentc O

POTENCIACIÓN La potenciación ei una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base ay exponente /r.

un número (distinto de 0) elevado al exponente o da como resultado la uniauo 1l¡, puesto que:

Se escribe an, y se lee: «a elevado a D). Su definición varÍa según el a7

t =;i = a7-7 - ao

conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

F Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Potencia de exponente I Toda potencia de exponente I es igual a la base:

an=ax...xa a\ =a

-Y--

Por ejemplo: 2a :2.2.2.2=16.

) Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base, pero con exponente positivo.

q-P a-

Ejemplo: 541 = 54

'. \

7

Potencia de exponentc negativo

qP

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión, pero con exponente positivo:

F Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m equivale au¡araiz: r

t-¡ - ao-n:!= al

ad*:i/án I

7

an

Cualquier número elevado a O equivale a l, excepto el caso particular de Oo que, en principio, no está definido.

[Iultiplicacién de potencias de igual base El producto de dos o miá.s potencias de igual base es igual a la base elevada

I-a definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

a Ia suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los

expon§ntes):

{ . au= o^*' Ejemplos:

93. 92

: g3*2 _ gs

aan l-\='b' hn

,b*0

División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

Propiedades quc no cumple la potenciación No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

(a*b) +am+bm

{= a--r, A+0

(a-b) *am-bm Ejemplo:

I=gt-t -n."

No cumple Ia propiedad conmutativ4 exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

ab +b' Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

(a*¡n ¡ 1n¡r"l

cada uno al exponente de dicha potencia Es deci¿ una potencia de base a.á

Potencia de base l0

y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor

En las potencias con base I 0, el resultado será la unidad desplazada tantas

á también elevado a n:

potlciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda

(a.b)n:¿" .6'

ci ol exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.

Ejemplos:

Potencia de una potencia

l0-r=0.00001

La potencia de una potencia de base a es i§ual a la potencia de base a y

I 0a=0,000 I l0'3=0,001

cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se

l0'2=0,01 t

multiplican los exponentes):

l0o-l

(ü"=a'*"

l0'r=0,1,

l0l-10

( t

102=100

Debido a esto, la notación ab" se reserva para significar o&t /yu qu" 1aá¡" se puede escribir sencillamente como a&.

l0l= 1.000 |

l0a=10.000' l0'=100.000 I t0ó-1.000.000 v

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

(a.b)n-qa'6n

l':)

Cuandc¡ esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

x3 x3/3 'v' gs/s

Propiedades de Ia radicación Las propiedades de la radicación son bastante simila¡es a las propiedades de

x ys

Ejemplo:

la potenciación. puesto que unaraíz es una potencia con exponente racional.

Ejemplo:

(Vo')u = (a+)B =tato

.\,lF = #/+

Raíz de una raíz Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se

Raíz de un producto

conserva la cantidad subradical.

,hrJ^ = h- JzrZ ^lg . ,h6 = 3.4 = 72

"@-H,

o también se puede hacer de esta manera

,l?4 =1816 =t[fi[=12

Con n y rn distintos de cero (0)

Ejemplo:

Raíz de un cociente

.r

El cociente delaraa de una fracciór¡ es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raiz del denominador.

aE -1t^ 'tr;=; = ffn+o

- f:

Con n distinto de cero (0)

Ejemplo:

,ld 3 : .14 -:- z

F'v'

i\I,\TIIICES so denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en fbrma rectangular, flormando filas y columnas.

Logaritmo En matemáticas, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.

Identidades logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de

cada uno de los números de que consta la matriz se denomina eremento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocup4 es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

los factores.

Log(ab): log(a) + log(b)

F El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Iog(a/b)

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4,3yZ,2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de column4 se dice que es de orden: 2,

: Iog(a) - log(b)

) El logaritmo de una potencia es igual al producto ehtre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A__ o (a¡j), y un elemento cualquiera de la mism4 que se encuentra en la fila i v en la columna j, por a¡¡.

log(a'):xlog(a)

) El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

Loe(?r)

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los

§lementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

TIPOS DE IVIATRICES

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que

lllotriz fila

hacer:

Una matriz fila está constituida por una sola fila 1

'Jy = y¡

i2 3 -lj IVI¡friz columna La matriz columna tiene una sola columna

.t

i

I

l-tl l:l t ,:

l\lllriz rli:rgon:rl

J

1\[atriz rectangular

l.lt r¡rrr rul¡lriz tli:rgonal todos los elemenlos situados por encima y por rlcl:;rio rlc lu rlintorurl principal son nulos.

La nl,a,triz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

¡1 2 5¡ i9,I 3. l\Iatriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a¡¡ constituyen la diagonal principal.

.l l\l¡t( riz csc¡rl;rr I Inrr nlalriz csclllr es una mat¡iz diagonal en la que los elementos de Ia

rlingonal principal son iguales.

:. rl

La diagonal secundaria la f,orman Ios elementos con i+j : n+I.

{' r :i l:; tr :l

H¡lllz irlrntidad o unidad I llrrr rr¡¡llriz irlrntidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la rl[r¡lorlrl ¡rrilrcipal son iguales a 1.

Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.

/o tt o\ t0 0J Matriz triangular superior

l':i

l' '- tl lllulriz traspuesta llurl¡l una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la makiz que se otf icno cambi¿rndo ordenadamente las filas por las columnas

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la

diagonal principal son ceros.

(i 7 -t\ 1,,

-, .,l

[: ) ':) Matriz triangular inferior En una matriz triangutar inferior los elementos situados por encima de la

diagonal principal son ceros.

fz3o) A-lr 2 ol

lrsuJ

(A')'-

^

(/t I ll)r= A'+ B' (trA¡r = ,r' ,1t

1213)

A,=13 2 sl

l;;il

lrrr fr¡ ,..rrl lillr

(A' B¡t=3t ' ¡t

i

l.o r¡l ,,. rrnl |,.,,t

[rFr

,,,.

I

f,r

frul

Matriz regular D¡tcrmlncntc d¡ ordcn uno Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversalorrl =arr

Matriz singular

l5l=5

Una matriz singular no tiene mahiz inversa-

Determinantc de orden dos

Matriz idempotente i¡¡l i.."l ,árt

Una matriz, A, es idernpotent§ §i:

aerl

=¡ 1¡?22-ar-t21

.A2=A. Matriz involutiva

i2

=i=z.zr,,-r,.r, L, ¡ ) - t+B -7 i-1 2i

Una mairiz, A, es involt¡tivu si:

A2=I.

DeterminaRte de orden tres

Matriz simétriea

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria define como sigue:

Una matria simétrica ea una matriz cuadrada quo verifica:

A=At.

A-

verifica:

ar. a,,i la, t"

lár, á_r, ár,!=

Matriz ¡ntisimétrlca o hemlslmétricr Unamatriz antislmótriea o hemisimAtrica es unamat¡iz cuadradaque

larr ar: ar¡i

&¡¡ á22 a¡3 * ¡1zil:¡l tt* an azl a¡: -

- 8 ls iz¡ 8sl'&r2 á2¡ 8¡6- 8¡1 O4 O32.

A =-Ar.

z !t, ls li

A=10 2 -s¡

Matriz ortogonal

l-2 L +i=

Una matriz es ortogonal si verifica que:

¡t'At= I. DETERMINANTES

A cad¿ maÍiz cr¡adrada A se le asigna un escalar particula¡ denominado d¿Íermhrnnte de A, dsnotado por lAl o por det (A).

s. 2. 4+2. (-5). G2)+ I . 0. l -

t' z' (-2) -2' 0' 4-3' Gs)' t =

=24+20+.0-G4)-0-(-¡s)= .r . =41+4+15=63 t7

A: (ail. El determinante de A se

')

,¿1- I

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo)'

PROPIEDADES DE LOS DETERT}IINANTES

1,,

:t :11.,, *_,, §61

,1. Si clr rrn dotenninantc sc cambian entre sí dos líneas paralelas su

rlrlcnrrinn¡ltc cambia dc signo.

l.lAtl= lAl EI determinante de una matriz A y el de su traspue§ta At son iguales'

^^Zl t¿éul ,ror A=3 2 ?l At=s 2 Li :o 7 6l :zt ol lAl = lÁ'l= -2

2.lAl:0 si: Posee dos lÍneas iguales

12321 A=i3 2 3l-0 iaaal tL¿-l

Todos los elementos de una línea son nulos.

12321 A=i3 2 3l=0

¡oool Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras. t54nl ,t

A=il 2 +l =o

issol

:'r21 1201 | : o--2 t 2l rr 5 6l 's s o] 5. si a los clcmentos de una línea se Ie suman los elementos de otra paralela rrrrrltiplioarlos previamente por un no real el valor del determina¡te no varía.

') 1 2

12 |

7t

I2 oi .16 cr-2c¡+c,+c, ln ol=ru irs6 lssrzl l¡ §i se multiplica un determina¡rte por un número real, queda multiplicado ¡ror rlicho núrmero cr:alquier líne4 pero sólo una.

| 2t ,2.2 t 2l

1 2:

12 I-¡ '.:.11 2 0=,r.2 2 ol=12 2 ol

lss6;s.2s6l

loso;

7. lii krdos los elementos de una fila o columna estiin formados por dos rrrrrrrrndos, dicho determinante se descompone en la suma de dos r lrl c:u¡t i nantes.

'¡

t

2ii2L2ll2

12:

n, t¡ a -c ¿_c/i=r¿ á al=l» c cl,

:rs6l:ssol

lsso:

F3=F1*F2

fi lA.B¡=l^l.lBl 3. Un determinante triangular es igual al producto de tos elementos de la

diagonal principal.

I I rlrlcnninnnte de un producto es igual al producto de los determinantes.

Si

l¡rs rt't.l¡ts sort parulclas es m/=n2; si las rectas son

¡r'r¡rcrtrlit'trlrrrcs cs nl¡ ln,=

-L

(.1) l,lcuur.h¡nrs rlc ll¡ línc¡r rcct¡ l,ln li¡ncirin rler r¡no rlc sus puntos y de la penrliente

GEOMETRIA ANALITICA

v--Y

t: m(x-x )

La Geometría Analítica se encarga del estudio de la figuras a partir de un l,ln funcirin rlc lrr pcndicnte y de la ordenada en el origen

sistema de coordenadas, utilizando los métodos propios del análisis

Y:mr+b

matemático y del álgebra.

lln funci(tn (lc dos de sus puntos

Entre las fórmulas mas importantes de la Geometria Analític4 tenemos las

t-h _!z-lt x-xt xz-xt

siguientes:

(l)

Distancia entre dos puntos r¡(x1,¡',) y pz(xz,yz) En función de los segmentos que determina sobre los

I

ojcs:

(xr-xz)z

xy -*:-=lab

Pendiente de n1 y p2

Yt-Y, m: X1 X2t

("t )

-

Coordenadas del punto medio.

l)istnncir dcl punto pr(xr,yr) a ta recta Ax+By+C=O

, _A*r* BylI u+JF** (:§)

C

llr:lucioncs cntre las coordcnadas rectangulares y las polares

y=pcos0, y=psen0, ,=|{*,+*r),v:tv,+vr)

(2\ Angulo de dos rectas en función de sus pendientes Tn" - Tn ' ' to)= " 1, * m1.m2

P=

,¡r'Tl', o: arctgL

({r} l'lcr¡rtci6n de ln circunfcrcne ia

T'IIIGONOMETRTA Centro(h,k). (x-h)2 + |-kf +

I * I'ris,n.rr¡ctrla cs r¡nu r¿rnlu dc las matemáticas, que estudia la medición rlr' hrr I t'ir't¡lfirrlos.

(7) Ecuaciones de la parábola

lrt ¡rrlrrlrrir lri¡lrrr.rrr.rrÍ. sc deriva del vocablo griego "Trígono', que ',rt'nili('l "'l rir'irr¡rrrlo" y "lVlctrón', que significa "Medida"

Con vérfice en el origen y2=2px, foco (t/2 p,0).

l:2py,

foco(0,1/2 p).

Con vé¡tice en (h,K)

: 27(x-h), ej e Y:h @-hf=2p(t-h), eje rh (J'-k)'z

Con eje en el eje de las y I

l) (,lrurlo rcrngcsinral (,,): si rt' rlivirh: l* circunfcrencia en 360 partes iguares, el ránguro central rrrtrcs¡rorrtlic-nte l cada una de sus partes es un ángulo de un grado (l ") 'rr r tr¡lcliirnnl.

llrr Ir¡¡rkr ticno (r0 tnintitos (') y un minuto tiene 60 segundos (").

)

I

l'¡u'u r¡lrrlir rlngulor sc utiliznn las siguientcs unidades:

)) I{urlirln (rad):

Y=Ax2 +c

I r l¡¡ ntcrli«lr clc un ángulo cuyo arco mide un radio.

(8) Ecuaciones de otras curvas Elipse con centro en el origen y focos en el eje de las x

x2 \¡2 or* W=

L

(a> b)

2¡r rad =360'

.(

r rad = 180'

Hipérbola con cent¡o en el origen y focos en el eje de las x

x2 y2 o..- w=1 Hipérbola eqailátera con centto en el origen y los ejes de las coordenadas

l' lr,lr ¡ rI rr:

t l(I' --+ ra<i ü _= foo 30or o = _: rt I

,lttg

como asínfotas

,,

,..,¡

I UOe

) ,r/ l rutl .r ', xl=c

n_ ff

ltt"3

¡¡r.

ilIl! t tlgo lr .- _ ¡: .- _..

()i)'

RAzoNES TRIGoNoMÉrruc¿.s:

§¡,t .\N I l,l c

r,r'ulltl(' rh,l ¡inlr¡lo

Ii cs l¡r rirzrirr invcrsa del coseno de B.

b

sr'r: ll

A

hipotenusa r:o.s

B

cLlteto o"dyacente c

I ()§1,.(',{N I l,l

SENO Seno del iíngulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo

yla

('r'r'qrrrlr rlcl rin¡,1¡11¡ l¡ cs la razón invcrsa del seno de B.

hipotenusar'.rr: /J ,=

senB:

co.teto opuesto b

hípotenusa

+t

hipotenusa a

SEr! B

= cateto

opuesto

b

a

COSENO

lln¡o¡rr.s lrigotrnlnétrir:rs dc cutlquicr iingulo

Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y

I'r' ll¡rllr r:irutulltrrr:rrciu gonionrútrica

hipotenusa.

cosBJ!##g=i

a aquélla que tiene su centro en e'l *rl¡¡r'rr rli: crxlrrlc¡uullrs y su r¡dio cs la unidacl. En la ci¡cunferencia ¡r,rrl*rrrrtlrir,:[ krs c"ics tlc crxrrtlcnadas dclimitan cuatro cuadrantes que se

nrurr.rln ur scrr(irkr contruio a las agujas del relo-i.

lltll' y'l'(l§ ron trirlngulos scmejantcs. lll llt y '¡"¡rt' ron trirlngulos semcjantcs.

TANGENTE Tangente del angulo B: es la razón entre el cateto opuesto al angulo y cateto adyacente al ángulo.

sen B

tgB= cos

B

cateto opuesto cateto adyacente c

ll

lr l .,,)/"-§

| ,-r,,'tl,i.

-.1f1,,1 , l,\

I\ l¡ ,

I | I

/

-1 <sena<t

../

-lSr:os¿¡ ( I

- rQ

r"tr'fl

I

COTANGENTE Cotangente del angulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

rPilft -F{_

l,l

1

COTOB=-=-

"

tgB

cosB senB

cateto adyacente cateto opuesto

r,tl

olt-=-=r).§' t'q or'

os' f

- os'

OP

PQ_Sr"_S7

tga = OQOTr

It¡t/rrro\ f rigorrolrri'lriclrs dc Ios ángulos de 30. y 60o

oP os os :os OQoTr

cos¿=9:oo

= .ff

cotgct.: PQ_s'T'_s'T' T AT, oQ

I

¡ lr{)t' I

Signos Algebraicos De Las Funciones

Trigonométricas .E

.t I

',, rr 10"

sen6o"=-=V3

l.t

L2

/t

' /r

¡ r,', {{}"

I

i,/l{)"

1

-1

cos60":Z=l t2

t.l '/

¡¡

"/r t/r

l.t

\i3

V)

rg60'=i=../¡

t

2

Hay una regla muy sencilla para aprenderse los signos del Seno, Coseno y Tangente, en cada uno delos cuadrantes. Se basa en la siguiente frase:

TODAS SIN TACOS

It¡uotrr.s ll'igorrolnólr.ic¡¡s dcl ángulo de 45,

Jt.

Y se desglosa de la siguiente forma:

F En el primer cuadrante Todas son positivas. ) En el segundo cuadrante solo es positivo el Seno (SIN en inglés), y su recíproco.

) En el tercer cuadrante solo es positivo la Tangente, y su recíproco. ) En el cua¡to cuadrante solo es positivo el Coseno, y su recíproco.

L{2 Jl. -, | Jt.

,l ¿ ¿

de la de rlngulos

Razones trigonométricas de ángulos notables

a: 0o

30" 45o

sen 0

Lg.€10 222

cosl-J5'lTL T

T

60o

90u

27A'

1800

-1 ,

0

E€fL b

gsenb asenb

-1

0

fl\6

tgo

b

-+ -éo

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICA§ FT,NDAMENTALES

sen?x*cpszx=L

sen x. cscx =7

I* tg2x csczx = 1t cotgzx

cosx.secx:7

seczx =

tan x. cotx

:7

l§f@doble §t(

¡

^L 5en

x:- csc x

co§x:§ecÍ 1

serur 1 cot 't co"s .f

cosx 1 seu,t tann 1) SEC X:eos Í cscx

f.

--senf

lr ,Í',

a. 7/z+7/, cos zx

tr r l,)n I

'tgta tr

proporcional al seno del ángulo

R.azones trigonométricas del ángulo mitad

¡ lil.*¡

Sen; = + l----¡-

-1

CoS; = + I;+.*A l--A

) -

lfdo cr igual a la suma de los cuadrados dol producto de ambos por el coseno

A tci= * t-Ii:.*á

{1+cosÁ

- 2bc cosA

Transformaciones de sum4s ert productos senA* senB =zsenffcosff

y rur lados comespondientes son a y b,

senA- senB =zcosffsenff cos:{* cos.¿{

cosB=zr*ff*r+

- cosB = -zrruA*B ,r"+

Transformaciones de productos en sumas sen A . cos B =

,1

1

)lsen(A+

B) + sen(á + B)]

cos A .sen B = jlsen(A+ B) _ sen(á _ B)l

cosá . cos B = sen A .ssn B =

1

ilcos(A+

B) + cos(Á - B)l

1

+ B) - cos(á - B)] -;[cos(á ¿

30

,t

tr¡le+

ri. lb t m oongctdo eomo el teorema det ü-l*l¡ttíü!n!E i¡ual dc úrii, y se puecie

Htsf

ssnssn doc tados ! un ánguto

-_--T

DERIVACIÓN I I ,',r

"r'tr'

{lr rrr't\'r(r,. cs t¡¡lo rrc los <ios conceptos cgntrares

der cárcuro

lltl lnlleqlrrrnl

ILl,r *,l .rrrr| *r r¡r "lr¡rrirrcrivacra" o integrar; ambos están reracionados ¡,ü rl fr',r.r*¡r lr¡¡rrrir¡rcrrt^l crer cálcuro. A su vez, Ios dos conceptos

Area de un triángulo

r'9*l,rlF¡ rh'l rrilrrr, r':rliin l¡¿sados en er concepto de

rímite, el cuar separa

El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura

l$ r*xrr',rrrrr¡* ¡rr*'irrs, c.nro el árgebr4 ra trigonometría o la geometría

correspondiente.

t,tellllr rt. rh'l uilr ulo

e=

1

1b.h Ill¡ ril,,t 1,,\R,\ I)tiRIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

El área de un triangulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno

t.,()IT.IvI T]LAs DE DERIYACIÓN

del ríngulo que forman.

O=

7

rU.a.senC

El á¡ea de un triringulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circrmscritatlt ,1, - '

a'b'c

" - -JRA_

*("+u-w) ax

- =d'qd'-ddx d.x dx

El area de un triríngulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscr semiperímetro I

A=r.p

4(*) ' = rP dx'

d.x

frr"¿ = "ff+ "fi 33

t?.^§cnNoBNrrs VI

*@\ = no"-'#

f lftrrftmtcae)

.lg VIa

fi(x") = nx"-r

vII

d ly) : vataai ax\oJ úz

VIIa

vIII

dn

Unv= tos.v)

d»

a/u\-¿' dt ¿r \c,/

c

tly _ d.y tlo

tlx

dv'dx'

siendo y función de u

ff+ t", .u"ff.

x

tty ila

1

ü' d,

síend.o y funclónd.e x ,.

IryADA§ DE FUNCIONES TIIOONoMÉTRICAs

f,,lrrnu). cosp *

ftfnl .ncuf, ll

xxtv dv

xvI

ft(ctO 12) = -csc'll l;

xvll

fiG"cu) --

xvIII

fiGsc

seco ts v

xxv

d»

f(arc sec v) =

d,

"JAj dv

frt"rt cscv) =

-d,

"G-1

d;

xxl,I

v) = -csc tt ctg u

¿ll

fi(o* vers v) = #

d; DERIVADAS DE LAS FUNCIONES

HIPERBÓLICAS DERTVADAS DE FUNCTONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

d

XXVII

dv -¡se7r nv: COshV ;

XXVIII

frcoshv = senhv ff

xxlx

*tnOv = sechz.v d.

xxx

*nnou=-cschzu#

,d»

xrx

luersv = senv dr

ilo

xx

dr fi(arc s"na) = JG

dv

.lt

xxI

fit"r,

cosu) =

-G dv

XXII

ftf*'wd= #

x^\,\l

ftsecnv = -sech v tshv ff

XXXII

frcscnv = -csch u ctghv

¡l¡

xxIIl

fit"r,

cts v) = _tl*tz

d;

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN

HIPERBÓLICAS INVERSAS

TÉRNTINoS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

do

xxxlu

Lsenh-L y - -L .to4t d-x

.

senn.D = ib

L\XIV

Lcosh-lü- -*

dx

+\ltL-L

dú

)LYXV

(u> 1) coshv =

(r'<t)

d., Ltoh-t u = !-v2

dx"

eu-e-o __u_,

xxxvl

xxxvlI

lctg

tlv -É

dr

d»

xxxvIII

Lcsch-L v = --* dx ,z{r. lt+4

ev-e-p

, ev + e-u

senhu tghu=-=

ev - g-D

Cschv =

eD * e-w

2

e" - e-t'

(t'> 7) ctghv =

.rv !- sec h-r u = +tJ-ÉL-oz

"

ev + e-o

cosnu

n:7 v = v2-l

oT )- o-u

(0<u<1)

(u' > o)

L

1

tgh" ,sechu - coshv , cschu = senh v

INTEGRACIÓN La integración es un conjunto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático.

INTEGR.{L INDEFIMDA Integrar es el proceso rccíproco del de derivar, es deci¿ dada una función

f(x). busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

FUNCIONES HIPERBéLICASINVERSAS

LOGAÚTMICAS EN TÉRMINOS DE FUNCIONES

Se dice. entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x)l dicho de otro modo las primitivas de f(x) son Ias funciones derivables F(x) tales que:

F'(x): ¡1*¡

t¡

Senh-r x = ln (x +^17-+

(Para cualquier valor de

Si una función f(x) tiene primitiv4 tiene infinitas primitivas. diferenciándose todas ellas en una constante.

x)

lF(x)+Cl'=F(x)+ 0 : F'(x)

=

f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede Cosh-r x = tn (x *^17=7¡

(xl1)

tener una función.

Se representa por J f(x) dx.

Se lee: Integral de f(x) diferencial de x.

(x' < t)

tgh-lx=lri=

J es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cual es la variable de la función que se integra-

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

ctgh-lx

(*'> l)

='-¡ofi

Si F1x) es una prirnitiva de f(x) se tiene que: Jf(x) dx =F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

.-1

*:rn1,1t L'

secn

i-t

(0<xS1)

PR.OPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

I. La integral de una suma de funciones es igual a las sumas de las integrales de esas funciones.

JIf(x) + g(x)l dx =fi(x) dx +Jg(x) dx csch

I

x:ln

[i.F;]

(r'> o)

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

f k f(x) dx = kJf(x) dx 47

INTEGRALES DE FUNCIONES

TRrcoNoprÉrRrcas INTEGRALES .

(8)

!senadv:-cosu*C

(e)

I casv dv = senv * C

REGLAS DE INTEGnncróN DE FUNCIoNES

ELEMENTALES

(l) !(¿u+du-dw)= Í*r+ [ dv- [dw

4x>+7N'' +t lQ :-t-:.1"::.- (¡a,t) ,, (.-u2 +X ')

lseczvdu=tgu*C

irt Iailv = at dv

(ll)

!csczvdv=*ctgv*C !

!d.x=x*C

(3)

(t2l

!secatgvda=secp*C

(t3)-

!cscvctgvdu:-csc.D+C

(t4)

I tg a da = -l:n cos a *.C = ln sec v * C

(rs)

! ctg v du = lnsenv * C

(r6)

t seca du = ln(seca + tgu) + C

(l 7)

t csc v dv = ln(csc u - ctg v) + C

¡r;

-n+1

(4)

!u"dv=!---+C

(5)

loi:tno+c

(a + -1)

:ltm * ln c =ln cu (haciendo C=lnc)

(6)

Íavda=!_+c lna

r

(?) !e"do=**C

43 42

+

.2,

r:. )

{) ')'

-,

I_,. ' ),' '.

INTEGRACIÓX PON SUETITUCIÓN

')

') , '''

TRIGONOMÉTNICT DE LA FORM,{:

I

1

INTEGRALES DE LA FORIIA az y uz

(1s)

I *=!orc

tg !1¿

.ñt4 u JWrt I

(le)

[ =d'=:'Inu-'+c 2d D+i

t »z-dz

(v'> a')

I

Psra:

Hdgrre:

Psra obtsntr:

J"zl.uf

ur8 §en z

ü có§z

do Ooorz.dL = u=atgz

acecz

u-a§0cz

a tgz

I

i

I

(19 a)

(20)

(21)

4- = lmtz+ c

J| dz-út

r

L=

" Ja2-v2

2d

a-D

JÑ

(t2 < az)

,rc s"n!+ c a

+.= tn(u + Ju' ¡ o'l + c

t {v-fa-

r

u2-a2

ozal .,

lÉ\l

{aris

q.^

tl'

a

u,/

rtÑ

q

INTEGRACIÓN POR PARTE§ Ei método de integración por partes permite aalcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la siguiente fórmula:

(22)

f

,lF=$ ¿v =!J;z -úZ +t2a arc sen!+ C

["d"=uu-["a"

(23)

I

)"

rl: y'' ).)

-

) I

-),.

)

I

i

LIATE Loog.,t-i.ct v ¡-r Ti.'5rnomelricq .Lnr:Ct$3 €) A\oeb.qico

ts

@ 1 - ,:3," ''lo*[t'itq @ [-^p., neoc^ql.

INTEGRALES DE LA FORNIA OzYVz EN TERilIINOS DE FIINCIONES }IIPERBÓLICAS INVER§AS

INTEGRALES HIPERBÓLICAS DE LAS FUNCIONES

TRTGoNoMÉrRrels

r1?) \'-t

tr JvZ+aZ

L=

senh-7!d + c

(v cualquier valor)

L=

c cosh-r"-+ t

(ula)

(24) [ senhu du = coshv * C

(2s)

I cosha dv = senho * C

(26)

I tgnv da = Incasha * C

(27)

I ctgnv da = Insenha * C

(33)

ur Jpz_az

(3{)

Íih=L,Wn-li+ c

(u2 < ar)

j

(28)

t sechz u dv = tghv * C

(2e)

I c1chz v du = -ctghu * C

(30)

(31)

(35)

l#= -f,ctshazo* c

(o'> a')

(36)

ur ñal-vl

&=

¡ -!-sss¡-r!¡ a o.

(0<u<a)

L=

c -Lcsch-r!+ I d'

(v cualquier valor)

(38)

!dv

aa =i.lF +& +lsenn-rt+ c

(3e)

!

(37)

I sechu tghu du = -sechu * C

r

" 'ѻl+a2

I cscho ctghu dv = -cschv * C

l'v

ttt

=;'lFrt -f,cosn-l!+ c

[o re)o* = [n' f {,)r, * ["u fi,)a*

INTEGRAL DEFIMD,{

iü.

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de

Dada una función (x) y un intqrvalo [4 b], la inregral definida es igual al

inte*erales.

:irea Iimitada enhe lia gráfica de (x), el eje de abgcisas, y las verticales ¡:a

lb

y x=b.

J^Vk)

+.e(x)l o*=

fb rb k)dx+ Jof )"g@)dx

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por lo integral de la función.

¡D

¡b

| **¡1fiax=** Ja| f(x)dx Jr PRI}IER TEOREÑI.{ FI.INDAMENTAL DEL CALCULO Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea Ia función F

definida por

FC)

:,f fk) dx, para tlda x e la,bl;

entonces F es una antidcrivada dc fon [a, b], esto es

La integral definida se representa por I! f f¡a*.

F'(x): (x)

Jes el signo de inüe.gración.

SEGUNDCTTEORE}IA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

a límite inferior de la integración.

Sea f una funolón contlnus on cl lntcrvalo cerrado [a h], si F es una

b límite superior de la integración

antiderivad¿ dc fon [g b], onlonccs:

f(x) es el integrando o función a integrar.

1

dx es diferencial de x, e indica cuál es ta variable de la función que se

I

integra-

,

PROPIEDADE§ DE LA INTEGRAL DEFINIDA

{

.1. El valor de Ia integral definida cambia de signo si se pormutan los límites de

inteCraciél.D

,a

| ¡qx¡ax= - | ¡1x¡ax' 2. si tos timites de intelfición coinciderjl a,.o, deflrnid¿ vale cero.

[" ¡1o¡* = o

.l

Jd

3. Si c es un punfo i¡rerior del intervalo [q b], la integral defurida se descompone como la suma de dos integrales extendida_c a los intervalos [4 c] y [c, b].

:,

f' fC*lo*= F(á) - F(a)

T"*i <o[oci á'-t'Pt" Co""b;

J

BIBLIOGRAFIA

do uá'lob\" o

O:qbe§§ U: O 1v"C§

* Earl W. Swokowshi, Álgebra y Trigonometría con Geor¡ietrla * Joseph H- Kindle, GeometríaAnalitic4 primera Edic.iéU, Editorial

heo 1',

cc:C)>) tr1§,O o \)'):- or o

,: = o{ge

Analític4 Segunda Edicióq Editorial Iberoaméricao México 19g6.

4r-ú-- a\

ó{ )= :ó' 'J

t:fY.

.l^^'O

Fliperbo\r c(l(3s ¿

Mc GRAWHILL, México 1991.

h .z ,/, t\ v.*: -hñ th

fr

.t

.i. Ea¡l W. Swokowshi, Cálculo con Geometría Analítica, Sogunda

0

:ll=¡ntl (

Edición, Editorial Iberoamérica, México 1 988.

xt ,F rx

,,

'l' Granville, $mith, I.ongley, Cáculo Diferencial e Integral, Editorial

(

I

Hispano'americano, México I 97 6.

= <-P ntv¡x+r)4 xt rrv+t¡?O

Foc{.rr .I.*{.*,"J* J

ü-. :i" 6§ L

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