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Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución
Capítulo 9
Una vez que se han calculado las masas concentradas en los nodos, la matriz de masa de la estructura puede formularse con facilidad. Considere de nuevo el marco de dos niveles y dos crujías de la figura 9.2.1b. Las fuerzas externas asociadas con la aceleración ü1 = 1 (figura 9.2.5b) son m11 = m1, donde m1 = ma + mb + mc (figura 9.2.6c) y mi1 = 0 para i = 2, 3, …, 8. Del mismo modo, las fuerzas externas mi4 asociadas con ü4 = 1 (figura 9.2.5c) son cero para toda i, excepto, quizá, para i = 4. El coeficiente de m44 es igual a la inercia rotacional de la masa concentrada en el nodo intermedio del primer piso. Esta inercia rotacional tiene una influencia insignificante sobre la dinámica de las estructuras prácticas, por lo que se establece que m44 = 0. Entonces, para una idealización de masa concentrada, la matriz de masa suele ser diagonal:
mi j = 0
i=j
mjj = mj
o
0
(9.2.10)
donde mj es la masa concentrada asociada con el j-ésimo grado de libertad traslacional y mjj = 0 para un grado de libertad de rotacional. La masa concentrada en un nodo está asociada con todos los grados de libertad traslacionales de dicho nodo: (1) los grados de libertad horizontales (x) y verticales (z) para un marco de dos dimensiones y (2) los tres grados de libertad traslacionales (x, y y z) para un marco tridimensional. La representación de masas puede simplificarse para los edificios de varios niveles debido a los efectos restrictivos de las losas o diafragmas de piso. Por lo general, cada diafragma de piso se considera rígido en su propio plano, pero es flexible a la flexión en la dirección vertical, que es una representación razonable del comportamiento real de varios tipos de sistemas de piso (por ejemplo, el concreto colado en el sitio). La introducción de este supuesto implica que ambos grados de libertad horizontales (x y y) de todos los nodos en un nivel están relacionados con los tres grados de libertad de cuerpo rígido del diafragma de piso en su propio plano. Estos tres grados de libertad del diafragma del j-ésimo nivel, definidos en el centro de la masa, son las traslaciones ujx y ujy en las direcciones x y y, y la rotación ujθ alrededor del eje vertical (figura 9.2.7). Por lo tanto, la masa debe definirse sólo en estos grados de libertad y no necesita identificarse por separado para cada nodo. La masa del diafragma proporciona la masa asociada con los grados de libertad ujx y ujy, y el momento de inercia del diafragma alrededor del eje vertical a través de O da la masa asociada con el grado de libertad ujθ. La masa del diafragma debe incluir las contribuciones de la carga muerta y la carga viva sobre el diafragma, de los elementos estructurales (columnas, muros, etcétera) y de los elementos no estructurales (muros divisorios, acabados arquitectónicos, etcétera) entre los pisos. La idealización de masas para un edificio de varios niveles se complica si el diafragma de piso no puede suponerse rígido en su propio plano (por ejemplo, en un sistema de piso con viguetas de madera y láminas de madera contrachapada). La masa del diafragma debe entonces asignarse a los nodos individuales. Las cargas muertas y vivas distribuidas al nivel
u jθ O
u jy u jx Figura 9.2.7 Grados de libertad para un diafragma de piso rígido en el plano, con masa distribuida.
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