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Ecuaciones de movimiento, planteamiento del problema y métodos de solución
Capítulo 9
De una manera similar a la ecuación (9.1.6), es posible deducir
f D1 = c1 u˙ 1 + c2 (u˙ 1 − u˙2 )
f D2 = c2 (u˙ 2 − u˙1 )
(9.1.9)
En forma matricial, la ecuación (9.1.9) es
f D1 f D2
=
c1 + c2 −c2
−c2 c2
u˙ 1 u˙ 2
o
f D = cu˙
(9.1.10)
El vector de la fuerza restauradora del amortiguamiento fD y el vector de velocidad u˙ se relacionan a través de la matriz de amortiguamiento c para el edificio cortante de dos niveles. Ahora, se sustituyen las ecuaciones (9.1.7) y (9.1.10) en la ecuación (9.1.3) para obtener
mu¨ + cu˙ + ku = p(t)
(9.1.11)
Esta ecuación matricial representa dos ecuaciones diferenciales ordinarias que controlan los desplazamientos u1(t) y u2(t) del marco de dos niveles sometido a las fuerzas externas dinámicas p1(t) y p2(t). Cada ecuación contiene las dos incógnitas u1 y u2. Por lo tanto, las dos ecuaciones están acopladas y presentadas de esta manera deben resolverse simultáneamente.
9.1.2 Equilibrio dinámico De acuerdo con el principio de D’Alembert (capítulo 1), al incluir las fuerzas de inercia, un sistema dinámico está en equilibrio en cada instante de tiempo. Para las dos masas en el sistema de la figura 9.1.1a en la figura 9.1.2 se muestran los diagramas de cuerpo libre, incluyendo las fuerzas de inercia. Cada fuerza de inercia es igual al producto de la masa por su aceleración, y actúa en sentido opuesto a la dirección de la aceleración. A partir de los diagramas de cuerpo libre, la condición de equilibrio dinámico también da la ecuación (9.1.3), que conduce a la ecuación (9.1.11), como se mostró en la sección anterior. fI2 p 2(t) fS2
fD2 fI1
p 1(t)
fS1
fD1
Figura 9.1.2 Diagramas de cuerpo libre.
9.1.3 Sistema de masa-resorte-amortiguador Se ha presentado el sistema lineal de dos grados de libertad idealizando un marco de dos niveles (un enfoque que debería ser atractivo para los estudiantes de ingeniería estructural). Sin embargo, el sistema clásico de dos grados de libertad que se muestra en la figura 9.1.3a consta de dos masas conectadas mediante resortes y amortiguadores viscosos lineales, sometidas a las fuerzas externas p1(t) y p2(t). En cualquier instante de tiempo, las fuerzas que actúan sobre las dos masas son como se muestran en sus diagramas de cuerpo libre (figura 9.1.3b). Las condiciones resultantes del equilibrio dinámico también conducen a la ecuación (9.1.11), donde u, m, c, k y p(t) están definidas como se hizo anteriormente.
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