Sección 5.4 TABLA 5.4.1
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Método de Newmark
MÉTODOS DE LA ACELERACIÓN PROMEDIO Y LA ACELERACIÓN LINEAL
Aceleración promedio constante
Aceleración lineal
u¨
u¨
u¨i+1
u¨i+1
u¨i
u¨i ti
t
ti+1
ti
t
ti+1
τ
τ
Δt
Δt
1 u(τ ¨ ) = (u¨ i+1 + u¨i ) 2 τ u(τ ˙ ) = u˙i + (u¨ i+1 + u¨i ) 2 t (u¨ i+1 + u¨i ) u˙ i+1 = u˙ i + 2 τ2 u(τ ) = u i + u˙ i τ + (u¨ i+1 + u¨ i ) 4 t)2 (u¨ i+1 + u¨ i ) u i+1 = u i + u˙ i t + 4
u(τ ¨ ) = u¨i +
τ t
(u¨ i+1 − u¨i )
u(τ ˙ ) = u˙i + u¨ i τ +
(5.4.2)
τ2 (u¨ i+1 − u¨ i ) 2 t
(5.4.3)
t (u¨ i+1 + u¨ i ) 2 τ3 τ2 + (u¨ i+1 − u¨ i ) u(τ ) = u i + u˙i τ + u¨ i 2 6 t 1 1 u¨ i+1 + u¨ i u i+1 = u i + u˙i t + t)2 6 3
u˙ i+1 = u˙i +
(5.4.4) (5.4.5) (5.4.6)
tiempo, en el que τ = t se sustituye para obtener la ecuación (5.4.4) de la velocidad u˙ i+1 en el ˙ ) da la ecuación (5.4.5) para la variación u(τ) del desplainstante i + 1. La integración de u(τ zamiento en el paso de tiempo, en el que τ = t se sustituye para obtener la ecuación (5.4.6) del desplazamiento ui+1 en el instante i + 1. Al comparar las ecuaciones (5.4.4) y (5.4.6) con la ecuación (5.4.1), se demuestra que las ecuaciones de Newmark con γ = 12, y β = 14 son iguales a las que se deducen suponiendo una aceleración promedio constante, y aquellas con γ = 12 y β = 16 corresponden al supuesto de una variación lineal de la aceleración.
5.4.3 Sistemas lineales Para los sistemas lineales es posible modificar la formulación original de Newmark a fin de permitir la resolución de las ecuaciones (5.4.1) y (5.1.4) sin iteración. La ecuación (5.1.4) especificada para los sistemas lineales se convierte en
m u¨ i+1 + cu˙ i+1 + ku i+1 = pi+1
(5.4.7)
De la ecuación (5.4.1b) üi+1 puede expresarse en términos de ui+1:
u¨ i+1 =
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1 t)2
(u i+1 − u i ) −
1 t
u˙ i −
1 −1 2β
u¨ i
(5.4.8)
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