Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.
Si Pm-1 fuera cierta, por la condición segunda del principio de inducción Pm será también cierta, y entonces m ∉ B, llegando una contradicción. Por otra parte si Pm-1 fuera falsa, entonces m-1 ∈ B, y por tanto m no sería el mínimo de B, llegando nuevamente a una contradicción. En resumen sería B = ∅ y como consecuencia todas las proposiciones son ciertas, luego el principio de inducción es válido.
Ejemplo.- Si aplicamos el principio de inducción para demostrar que para todo número natural n es 1 + 3 + . . . + (2.n - 1) = n 2 . 1. Vemos que para n = 1. Es 1 = 1 2 , por lo que es cierta. 2. Supuesto cierto para n. Como: 1+3+...+(2.n-1)+(2.(n+1)-1) = n2 + (2.(n+1)-1) = n2 + (2.n+1) = (n+1)2. Luego es cierta también para n +1. También se utiliza el principio de inducción para comprobar si ciertas sucesiones definidas por recurrencia están bien definidas.
8. Operaciones. Estructuras algebraicas. Dado un conjunto A. Diremos que * es una operación interna de A, si * es una aplicación: * : A x A → A : (a,b) → * (a,b) Cuya notación algebraica es * (a,b) = a * b. Diremos que ° es una operación externa por la derecha (respectivamente por la izquierda) con respecto a otro conjunto B de A, si ° es una aplicación: ° : A x B → A : (a,b) → ° (a,b).
(respectivamente ° : B x A → A : (a,b) → ° (a,b) ).
Cuya notación algebraica es ° (a,b) = a ° b. - Un subconjunto B ∈ P(A) es ESTABLE para la operación interna *, si B*B ⊂ B. Es decir si para cualquier par de elementos a, b ∈ B se cumple que a*b ∈ B. - Si G es un conjunto en el que hay definida una operación interna *, que cumple la propiedad asociativa, se denomina potencia n-ésima de x de la ley de composición interna a: (producto de n veces x)
x n = x n-1 * x = x n–2 * x * x = . . . = x * x *
... * x
Además, se cumple: – Si ∃ x – 1 : (x–1) n = x – n . – x n * x m= x n+m .
para ∀ x, y ∈ G.
– Si la ley * es conmutativa (x*y)p = xp * yp .
para ∀ x, y ∈ G.
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