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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

CONCEPTOS

BÁSICOS

DE

LA

TEORÍA

DE

CONJUNTOS.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. ÍNDICE 1. Conjuntos y aplicaciones. 2. Producto cartesiano. 3. Correspondencias. 4. Relaciones binarias. 5. Aplicaciones. 6. Números cardinales. Conjuntos finitos e infinitos. 7. El principio de inducción. 8. Operaciones. Estructuras algebraicas.

1. Conjuntos y aplicaciones. Hasta el siglo XIX se utilizaban los conjuntos, sin sentir la necesidad de reflexionar o fundamentar matemáticamente. Debido una mayor utilización y generalización de los conjuntos en todas las ramas , a principios del siglo XIX empezaron a surgir las dificultades y las paradojas. En la actualidad, se utiliza la teoría de conjuntos creada por el matemático ruso George Cantor, esta teoría constituye la base de las matemáticas modernas.  Según Cantor (ver http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Canto) “Un conjunto es un una colección de objetos reales o pensados, definidos como un todo”. Un objeto está definido, cuando podemos considerarlo como elemento aislado y cuando podemos determinar con precisión si está o no en un conjunto.  Según los Bourbakistas (Matemáticos pertenecientes a una escuela francesa del siglo XX – Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki) "Un conjunto esta formado por elementos susceptibles de poseer ciertas propiedades y de tener entre ellos, o con elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones". A pesar de podríamos encontrar mas definiciones de conjuntos, consideramos un conjunto como un concepto fundamental de las Matemáticas que no necesita ser definido. uno de los pilares de las matemáticas es el estudio de las estructuras algebraicas, a través de la teoría de conjuntos, así por ejemplo, la estructura de grupo y subgrupo es básica en el estudio de la Geometría, ya que se basa en estudiar el grupo de transformaciones. O el estudio de la estructura de anillo, es básico para el conocimiento de propiedades del anillo de polinomios.

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

 Generalmente los conjuntos se designan por letras mayúsculas A, B, C, ..., y los elementos de un conjunto por minúsculas a, b, c, ... Si a es un elemento de un conjunto A, ponemos a ∈ A y si no es un elemento de a ponemos a ∉ A. Hay dos métodos fundamentales de construcción de conjuntos: 1. Por extensión: que consiste en enumerar o proporcionar en una lista, todos sus elementos.

 Ejemplo: A = {a, b, c, d}. 2. Por abstracción: que consiste en imponer una regla (proposición), que no sea ambigua (o se verifica o no se verifica, pero no ambas a la vez), para definir sus elementos.

 Ejemplo B = {n ∈ ℕ : n > 5}.  Dados dos conjuntos A y B, diremos que A es subconjunto de B, y escribiremos A ⊂ B, cuando todos los elementos de A estén en B. Si A es subconjunto no vacío de B y distinto B, entonces diremos que A es subconjunto propio de B y escribiremos A ⊆ B. •

Cuando un conjunto A no tiene ningún elemento, diremos que A es el conjunto vacío y representaremos por ∅ (es evidente que es subconjunto de cualquier otro).

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales, A = B, cuando tiene los mismos elementos, es decir cuando A ⊂ B y B ⊂ A.  Un conjunto E es universal o de referencia, cuando todos los conjuntos surgidos de una

situación o problema son subconjuntos de E.  Sean A y B dos subconjuntos del conjunto de referencia E, podemos definir los siguientes subconjuntos: A* = { x ∈ E : x ∉ A }

 Complementario de A.  Unión de A y B.

A∪B={x∈E: x∈A ó

x ∈ B }.

 Intersección de A y B.

A∩B={x∈E: x∈A y

x ∈ B }.

Si A ∩ B = ∅, decimos que A y B son conjuntos disjuntos.  Denominamos: P(E) = PARTES DE E = El Conjunto de todos los posibles conjuntos de E. •

Si definimos las operaciones internas ∪ = unión,

∩ = intersección,

* = complementario.

(P(E),∪, ∩,*) tiene estructura de ÁLGEBRA DE BOOLE, ya que se puede comprobar que la aplicación * y las operaciones ∪ e ∩ están bien definidas. Y que (P(E),∪) y (P(E),∩) son GRUPOS CONMUTATIVOS y las operaciones unión e intersección tienen como elementos neutros el conjunto ∅ y el conjunto E respectivamente. Además, en dicha estructura se cumple la distributividad respecto de ambas operaciones.

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(P(E),∪, ∩,*) también se cumple las siguientes propiedades Idempotencia: A ∪ A* = E A ∩ A* = ∅. Leyes de Morgan: (A ∪ B)* = A* ∩ B* (A ∩ B) * = A* ∪ B* Y la propiedad: A =A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) También es útil utilizar las operaciones - y ∆, siendo para dos subconjuntos A y B de E: A - B = A ∩ B* A ∆ B = ( A-B ) ∪ ( B-A ).

2. Producto cartesiano.  Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de los conjuntos A y B es el conjunto: A x B = { { a , {a,b} } : a ∈ A y b ∈ B }. A los elementos {a,{a,b}} = (a,b) se les denomina pares ordenados.

 Ejemplo: Sean A= {1,2,3} y B = {a.b}: A x B = {(1,a),(1,b), (2,a),(2,b), (3,a),(3,b)}. Las propiedades del producto cartesiano son a)

AxB≠∅

A ≠ ∅ y B ≠ ∅.

b)

A=ByC=D

A x C = B x D.

c)

Si A x B = C x D ≠ ∅ ⇒

d)

A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C);

e)

(B ∪ C) x A = (B x A) ∪ (C x A).

f)

A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C);

g)

(B ∩ C) x A = (B x A) ∩ (C x A).

h)

A x (B - C) = (A x B) - (AC x C).

i)

(B - C) x A = (B x A) - (C x AC).

A = C y B = D.

# Demostración: a)

b)

A≠∅ y B≠∅

A x B ≠ ∅.

Si suponemos A ≠ ∅ o B ≠ ∅ ⇒ A x B ≠ ∅.

Si (x,y) ∈ A x C, como x ∈ B, y ∈ D ⇒ (x,y) ∈ B x D ⇒ A x C ⊃ B x D. Si (x,y) ∈ B x D, como x ∈ A, y ∈B ⇒ (x,y) ∈ A x C ⇒ A x C ⊂ B x D.

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Luego A x C = B x D. c)

Si A x B = C x D; Si (x,y) ∈ A x B, como (x,y) ∈ C x D

⇒ A ⊂ C y B ⊂ D.

Si (x,y) ∈ C x D, como (x,y) ∈ A x B

⇒ C ⊂ A y D ⊂ B.

Luego A = C y B = D. d)

Si (x,y)∈ A x (B ∪ C) ⇒ x ∈ A, y ∈ {B ∪ C} ⇒ (x,y) ∈ (AxB) ∪ (AxC) Si (x,y)∈ (AxB)∪ ( AxC)⇒ (x,y)∈(AxB) ó (x,y)∈(AxC)⇒ x∈A, y∈{B∪ C} Luego A x (B ∪ C) = (AxB) ∪ (AxC).

e)

Si (x,y)∈(B ∪ C) x A ⇒ x ∈ {B ∪ C}, y∈A ⇒ (x,y) ∈ (BxA) ∪ (CxA) Si (x,y)∈ (BxA)∪ (CxA)⇒ (x,y)∈(BxA) ó (x,y)∈(CxA)⇒ x∈{B∪C}, y∈A Luego (B ∪ C)xA = (BxA) ∪ (CxA).

f)

Si (x,y)∈ A x (B ∩ C) ⇒ x ∈ A, y ∈ {B ∩ C} ⇒ (x,y) ∈ A x (B ∩ C) Si (x,y)∈(AxB)∩(AxC)⇒ (x,y)∈(AxB) y (x,y)∈(AxC)⇒ x∈A, y∈{B∩ C} Luego A x (B ∩ C) = (AxB) ∩ (AxC).

g)

Si (x,y)∈(B ∩ C) x A ⇒ x∈{B ∩ C}, y∈A ⇒ (x,y) ∈ (BxA) ∩ (CxA) Si (x,y)∈(BxA) ∩ (CxA)⇒ (x,y)∈(BxA) y (x,y)∈(CxA)⇒ x∈{B∩C}, y∈A Luego (B ∩ C)xA = (BxA) ∩ (CxA).

h)

Teniendo en cuenta f) y las propiedades de los complementarios. A x (B-C) = A x (B∩ CC) = (AxB) ∩ (AxCC) = (AxB) - (ACxC)

i)

Teniendo en cuenta g) y las propiedades de los complementarios. (B-C) x A = (B∩ CC) x A = (BxA) ∩ (CCxA) = (BxA) - (CxAC).

3. Correspondencias  Sean dos conjuntos A y B, f es correspondencia de A en B, si f es un subconjunto de A x B. Al conjunto A se le llama conjunto inicial y al conjunto B conjunto final de la correspondencia. Además, si f es una correspondencia de A en B, denominamos: - Imagen de f del elemento a ∈ A:

f(a)

= { b ∈ B : (a,b) ∈ f }.

- Imagen inversa de f de elemento b ∈B:

f - 1(b) = {a ∈ A: (a,b) ∈ f }.

- Conjunto original de f:

Org f = { a ∈ A : f(a) ≠ ∅}.

- Conjunto imagen de f:

Im f

= {b ∈Β : f-1(a) ≠ ∅} = = {b ∈Α: ∃ a ∈A, (a,b) ∈ f }

Si f es una correspondencia de A en B y g es otra correspondencia de B en C, se llama composición de f con g a la correspondencia f ° g de A en C, donde: f ° g = {(a,c) ∈A x C : ∃ b ∈ B con (a,b) ∈ f y (b,c) ∈ g}. 4


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4. Relaciones binarias Las relaciones binarias son un caso especial de correspondencias:  Una relación binaria R de un conjunto E, es una correspondencia del conjunto E en si mismo. Existen dos tipos fundamentales de relaciones binarias:

1. Relaciones binaria de equivalencia Es aquella que cumplen las propiedades Reflexiva : ∀ a ∈ A,

⇒ (a,a) ∈ R.

Simétrica : ∀ a, b ∈ A, con (a,b) ∈ R

⇒ (b,a) ∈ R.

Transitiva : ∀ a, b ∈ A, con (a,b), (b,c) ∈ R

⇒ (a,c) ∈ R.

Dada una relación de equivalencia R en un conjunto E, para cada elemento e ∈ E, el conjunto [e] = { y ∈ E : (y,e) ∈ R }, se denomina clase de equivalencia del elemento e y al conjunto formado por todas las clase de equivalencia conjunto cociente y se le denomina E/R.

 Ejemplo.- Si fijamos un número natural n y definimos en el conjunto ℤ de los números enteros, la relación R de equivalencia, definida por: xRy

n | x - y.

Es fácil comprobar que dicha relación cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Esta relación, se denomina CONGRUENCIA MÓDULO n, y se representa: x ≡ y(n)

x ≡ y MOD n.

o

Además, dado que para cada número entero x, existen dos enteros m y r tales que: x = m.n + r

0 ≤ r < n.

El conjunto cociente ℤ/R estará formado por las clases:

[x] = { y ∈ Z : n | x - y }. Es decir:

ℤ/R = {[0] , [1] , [2] , ... , [n-1] }.

2. Relaciones binaria de orden

Es aquella que cumplen las propiedades Reflexiva : ∀ a ∈ A,

⇒ (a,a) ∈ R.

Antisimétrica : ∀ a, b ∈ A, con (a,b), (b,a) ∈ R

⇒ a = b.

Transitiva : ∀ a, b ∈ A, con (a,b), (b,c) ∈ R

⇒ (a,c) ∈ R.

Cuando solo cumple la propiedad reflexiva y transitiva decimos que es una relación de preorden. Y Si se verifica las propiedades antireflexiva, antisimétrica y transitiva de orden estricto. Si un conjunto E está dotado de una relación de orden R, diremos que dicha relación es TOTAL cuando todos los elementos de E están relacionados.

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 Ejemplo.- Si P(U) es el conjunto de PARTES de U (U≠ ∅) y R la relación en P(U) A R B ⇔ A ⊂ B. Se comprueba fácilmente que R es de orden.

5. Aplicaciones  Sean dos conjuntos A y B, se denomina aplicación de A en B a toda correspondencia f entre A y B que verifique: 1. Para cada a ∈ A, ∃ b ∈ B, tal que (a,b) ∈ f. 2. Dado un a ∈A, si ∃ b, b’ ∈ B, tal que (a,b), (a,b’) ∈ f •

b = b’

De esta forma, en una aplicación de A en B, cada elemento a ∈ A está relacionado como máximo con un único elemento. Para definir una aplicación, se utiliza habitualmente la siguiente notación: f:A  B Y para cada elemento b relacionado con a se denota por b = f(a). Es decir si f : A → B es una aplicación para cada x ∈ A, Cardinal {f(x)} ∈ {0,1}.  Cuando los conjuntos A y B son numéricos, a la aplicación f se le denomina función.  En cada aplicación f : A  B podemos distinguir los conjuntos: Dominio de f = Dom f = { a ∈ A : ∃ f(a) }. Imagen o Recorrido de f = Im f = { b ∈ B : ∃ a ∈ A, f(a) = b }. Gráfica de f = { (a, f(a) ) : a ∈ A }. ◦ Dos aplicaciones f y g : A → B son iguales cuando: Dom f = Dom g;

Im f = Im g;

f(x) = g(x), ∀ x ∈ Dom f.

 Dadas dos aplicaciones R de A en B y R’ de B en C, que con la notación habitual representamos por f : A  B; g : B  C. Si f(A) ⊂ B, donde f(A) = { b ∈ B : ∃ a ∈ A tal que f(a) = b}. Se define la composición de aplicaciones a la aplicación R’’ de A en C dada por: 1. Para cada a ∈ A, ∃ c ∈ C, tal que (a,c) ∈ R’’. 2. Dado un a ∈ A, si ∃ c, c’ ∈ B, tal que (a,c), (a,c’) ∈ R’’, será c = c’. Y que habitualmente denotamos por g ° f : A → C. Es decir: R’’ = { (x, g(y) ) : x ∈ A, ∃ ! f(x) = y ∈ B, ∃ ! g(y) ∈ C }.  Si H ⊂ A y f : A → B es una aplicación, se llama imagen de H mediante f al conjunto f(H) = { y ∈ B : ∃ x ∈ H, f(x) = y }.  La imagen inversa o reciproca de y ∈ B es el conjunto: f - 1 (y) = {x ∈ A : f(x) = y}.

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 Sea una aplicación f : A → B, decimos: f es inyectiva si ∀ x, x’ ∈ A, tales que f(x) = y = f(x’). Es x = x’ f es sobreyectiva si ∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A tal que f(x) = y. f es biyectiva cuando f es inyectiva y sobreyectiva.  Sea H ⊂ A ⊂ E, y sea una aplicación f : A → B. g : H → B : g(x) = f(x) para ∀ x ∈ H.

 A la aplicación:

Se le denomina, Restricción de f a H y se representa por f | H .  Si ∃ la aplicación: h : E → B : h(x) = f(x) para∀ x ∈ A, Se le denomina, Prolongación de f a E.  Si f : A → B es una aplicación biyectiva, podemos definir su aplicación inversa: f - 1 : B → A, tal que a = f - 1(b) = f - 1 ( f (a) ). Dicha aplicación es única y biyectiva y se deduce a partir de las proposiciones 1. f : A → B es sobreyectiva

∃ aplicación g: B → A: f ° g = I B.1

2. f : A → B es inyectiva

∃ aplicación g : B → A: g ° f = I A .1

3. f : A → B es biyectiva cuando ∃ una aplicación g: B → A tal que g ° f = I A . y f ° g = I B. Además dicha aplicación es única y se le denomina g = f - 1.

 Ejemplo.- f : ℝ  ℝ

+

∪ {0} : x :  f(x) = x 2 es una aplicación suprayectiva, ya que para

todo número real no nulo ∃ x = (y) 1/2 tal que f(x) = ((y)1/2) 2 = x. Y no es inyectiva, ya que f((x)1/2) = f(-(x)1/2) = x, siendo (x)1/2≠ -(x)1/2 .

 Ejemplo.- La composición de aplicaciones inyectivas es otra aplicación inyectiva. Pues si f : A → B y g: B → C, son aplicaciones inyectivas. Si x, x’ ∈ A son tales que g(f(x)) = g(f(x’)). 1. Por ser g inyectiva si f(x), f(x’) tal que g(f(x)) = g(f(x’) será f(x)= f(x’). 2. Y por ser f inyectiva si x, x’ tal que f(x)= f(x’) será x= x’. Luego, de 1. y 2. se deduce que g(f(x)) = g(f(x’) y por la arbitrariedad de x, x’ se tiene que: ∀ x, x’ ∈ A tal que g(f(x))= g(f(x’)) es x = x’. Luego la aplicación: g ° f : A → C es INYECTIVA.  Si f es una aplicación de E en F (f : E  F). •

1.- f es INYECTIVA  ∃ una aplicación g de F en E (g : F  E) tal que f compuesta con g es la aplicación identidad en E ( g ° f = I E ).

2.- f es SUPRAYECTIVA SI ∃ una aplicación g de F en E (g : F  E) tal que g compuesta con f es la aplicación identidad en F ( f ° g = I F ).

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I A e I B representan las aplicaciones identidad para A y B respectivamente, Es decir: I A (x) = x ∀ x ∈ A e I B (y) = y ∀ y ∈ B.

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# Demostración: 1.- A) ⇒ ) Si f es inyectiva y E ≠ ∅ (Si E = ∅ es trivial) y xo es un elemento arbitrario fijo de E. Para cada y ∈ F, y ∈ Im f ó y ∉ Im f: 1) Si y ∈ Im f, por ser f inyectiva ∃! x ∈ E : f(x) = y. Por lo que podemos definir g : F E tal que g(y) = x. Es decir g ° f (x) = x par cualquier x ∈ E. 2) Si y ∉ Im f, definimos g(y) = xo y se comprueba inmediatamente que g es aplicación y que se cumple g ° f (x) = x, para ∀ x ∈ E. B) ⇐ ) Recíprocamente, supongamos que  g : F  E tal que g ° f = I E . Entonces, para cualquier x, x’ ∈ E, tales que f(x) = y = f(x’). Como por hipótesis es: g ° f (x) = x, g ° f (x’) = x’ . Se tiene que x = x’. Es decir f es INYECTIVA. 2.- Si para todo y ∈ F, se tiene f ° g (y) = y. Para todo y ∈ F, existe un elemento g(y) tal que f(g(y)) = y. Como g(y) ∈ E, denominando x = g(y) tenemos que para cada y ∈ F ∃ x ∈ E tal que f(x) = y f(g(y)) = f ° g (y) = 1F(y) = y. Y por tanto la aplicación f es suprayectiva.  Teniendo en cuenta los dos resultados anteriores, obtenemos que: La aplicación f : E → F es biyectiva cuando existe una aplicación g de F en E de forma que g ° f es la identidad en E y que g ° f es la identidad en F. Es decir: ( g ° f = I E ) y ( f ° g = I E ) # Demostración: ⇐

Por propiedades anteriores, si g ° f = IE y f °g = IF f es INYECTIVA y SOBREYECTIVA, es decir f es BIYECTIVA.

Si f : E  F es BIYECTIVA para ∀ y ∈F ∃! x ∈E tal que f(x) = y, y definiendo g(y) = x para todo y ∈F. Se cumple g ° f = 1E y f ° g = 1F .

 Si f : E → F es una aplicación, y R es relación de equivalencia en E tal que x R y  f(x) = f(y). Decimos que R una relación de equivalencia asociada a f. Si definimos la aplicación: g : E/R  f(E) : g([x]) = f(x) Tenemos que la aplicación g es biyectiva. Y la descomposición canónica de f : E  F será: f(x) = i ° g ° φ (x) = i ( g ( φ (x) ) ) . Donde:

E φ

f

F

φ(x) = [x] es inyectiva E/R

g

i

i(y) = i(g([x]) = i(g(φ(x))) es biyectiva f(E) 8


Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

6. Números cardinales. Conjuntos finitos e infinitos. Durante muchos siglos la naturaleza del infinito ha sido objeto de controversia, hasta que Cantor aportó el concepto de infinito en su obra “la aritmética de los números transfinitos“, a pesar, de que gran al principio gran parte de la comunidad matemática fue reacia a dichos resultados, pero una vez aplicado a las distintas ramas de las Matemáticas, se produjo un gran avance en la Matemática teórica. No todos los conjuntos infinitos son de igual tamaño, por ejemplo el conjunto de todos los puntos de una recta y el conjunto de todos los números fraccionarios son infinitos, sin embargo el primero de tales conjuntos es de tamaño mayor que el segundo. Dos conjuntos A y B tiene el mismo número cardinal si existe una aplicación biyectiva f : A → B  Si A es un conjunto finito, denominamos cardinal (Card A) al número de elementos de A.  Si P(U) es el conjunto de todos los subconjuntos de un cierto conjunto U y definimos la relación R en P(U), A R B ⇔ Car A = Car B. Además, dicha relación es de equivalencia.  Un conjunto A es infinito, si existe un subconjunto B de A distinto de A tal que Car A = Car B. En caso contrario se dice que A es finito.

 Ejemplo.- El conjunto ℕ de los números naturales es infinito, ya que si consideramos el subconjunto de los números pares de ℕ, P = { 2.n : n ∈ ℕ }, podemos establecer una aplicación biyectiva f : ℕ → P : n → 2.n.  Dos conjuntos finitos A y B tiene el mismo número cardinal si tienen el mismo número de elementos. no sucede lo mismo con conjuntos infinitos, por ejemplo, el conjunto infinito ℝ se puede poner en biyección con el intervalo (0,1) mediante la aplicación

f  x =

x . Sin embargo, dado que 1x

no se puede establecer siempre una biyección entre conjuntos infinitos, por ejemplo no existe ninguna aplicación biyectiva del conjunto ℕ de los números naturales en el conjunto ℝ de los números reales.  Un conjunto A se dice que es infinito numerable si Car A = Car ℕ. Conjunto de este tipo son los números enteros y los números racionales. Hasta finales del siglo XIX se hablaba de conjunto o clase de objetos que poseen una propiedad dada (principio de abstracción) , y los métodos de la teoría intuitiva de conjuntos

se convirtieron en una

metodología común para todas las ramas de las Matemáticas. Es por ello que surgieron las primeras contradicciones entre los años 1900 y 1930, y como consecuencia se hizo un esfuerzo por axiomatizar una teoría de conjunto, surgiendo algunas preguntas como: ¿Cuál es la relación entre los conjuntos finitos e infinitos?. Cantor introdujo la noción de potencia para comparar el tamaño de los conjuntos infinitos, obteniendo algunos resultados como:

El Principio de abstracción dice que toda función proposicional P(x) define un conjunto X cuyos elementos son los objetos x para los que P(x) es verdadera.

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

Algunos resultados obtenidos por Cantor son: 1.- Un conjunto A es numerable si Card(A) = Card(ℕ). 2.- Dados dos números cardinales α = card(A) y β = Card(B) α < β si existe una aplicación invectiva f : A → B. 3.- Si denotamos por P(A) al conjunto de todos los subconjuntos de A, entonces Card (A) < Card (P(A)). De esta manera siempre podemos pasar de un cardinal a otro mayor. #Demostración: Fácilmente se demuestra para conjuntos finitos que Car P(A) = 2 Car A . Ya que si A es un conjunto de n elementos, entonces el número de conjuntos de 0 elementos es 1, el número de conjuntos de 1 elemento es n, el número de conjuntos de 2 elementos de es

n. n−1 2

y

continuando así sucesivamente, tenemos: Card (P(A)) =

 n0  n1 n2⋯ nn

= 2 n > n = Card(A).

En el caso de un conjunto arbitrario podemos definir: Card(P(A) = Card( {0,1}A ). Siendo, {0,1}A = { f : A  {0,1}: f es una función }. Obteniendo, entonces CardP(A) = 2 Car A > Card A De esta forma el teorema se expresa como: Car A < 2 Car A . 4.- 2 ℵ0 = Cardℝ (se denominó potencia del continuo c). Si ℵ0 ≤ α ≤ c, entonces, α =ℵ0 ó α = c.

5.- Hipótesis del continuo:

 Cantor, estudió los cardinales de los conjuntos numéricos habituales, obteniendo: 

Si A = ∅ ⇒ CARD(A) = 0.

Si A = { a 1 , a 2 , ... , a n } ⇒ CARD(A) = n.

Si existe una aplicación biyectiva: f : ℕ A : n  f(n) = a n

Como f : ℕ → ℤ : n → f(n) =

⇒ CARD(A) = CARD(ℕ).

[

[]

]

n−1 n . I { n=2k : k ∈ℕ}  n . I { n=2k−1 : k ∈ℕ} n 2 2 ⇒

Es una aplicación biyectiva 

Como f : ℚ=

{ qp : qp es irreducible}∪0 x=

p q

p

q

p.

q

CARD(ℚ) ≤ CARD(ℤ) = CARD(ℕ)

Como f : ℤ x ℤ → ℚ : (p,q) → f((p,q)) = =



p . I {  p , q≠{ p ,0 }∪{ 0, q }} .  p , q0. I { p ,q ≠{ p ,0}∪{ 0,q } } . p , q q

Es una aplicación inyectiva 

→ℤ :

→ f(x) = [2 . 3 ]. I { x0 }  x [ 2 3 . 5]. I { x0 }  x 

Es una aplicación inyectiva 

CAR(ℕ) = CAR(ℤ).

CARD(ℤxℤ) ≤ CARD(ℚ)

Teniendo en cuenta las dos propiedades anteriores y que ℤ ⊂ ℤ x ℤ CARD(ℕ) = CARD(ℤ) ≤ CARD(ℤxℤ) ≤ CARD(ℚ) ≤ CARD(ℤ) = CARD(ℕ).

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

Como f : (0,1)  (a,b) : x  f(x) = a + x.(b-a) es inyectiva ⇒ CARD((0,1)) ≤ CARD((a,b))

Como h: ℝ  (0,1) : x 

f  x =

∣x∣ es inyectiva es ⇒ CARD(ℝ) ≤ CARD((0,1)). 1∣x∣

Luego, ∀ (a,b) ⊂ ℝ, a, b ∈ ℝ será CARD((a,b)) ≤ CARD(ℝ) ≤ CARD((0,1)) 

Como g: ℝ x ℝ  (0,1) x (0,1) : (x,y) 

⇒ CARD(ℝ) = CARD((a,b)) = CARD((0,1)).

g  x , y=

∣x∣ ∣y∣ , 1∣x∣ 1∣ y∣

es biyectiva

⇒ CARD(ℝ x ℝ) ≤ CARD((0,1) x (0,1)). 

Como F: (0,1) x (0,1)  (0,1): (x,y) = (0'a1 a2...an ...,0' b1 b2 ...bn ...)  F(x,y) = 0'a1b1 a2b2 ...anbn ... Es inyectiva ⇒ CARD ( (0,1)x(0,1) ) ≤ CARD( (0,1) )

⇒ CARD(ℝ) = CARD( (0,1)x(0,1) ).

Como G: ℝ x ℝ  ℂ: (a,b)  a + b i es biyectiva ⇒ CARD (ℝxℝ) ≤ CARD(ℂ) ⇒ CARD((0,1)) = CARD(ℝ) = CARD((0,1)x(0,1)) = CARD (ℝxℝ) ≤ CARD(ℂ)

Además para cada conjunto A, H: A Partes(A) : x → H(x) = {x} ✰ es inyectiva, ya que si x ≠ y es H(x) = {x} ≠ {y} = H(y) ✰ no es sobreyectiva, ya que si {x,y} ∈ PARTES(A), como, H(x)= {x}, H(y) = {y} si existe algún z ∈ A, tal que f(z) ={x,y} será z = x

ó

z = y.

⇒ CARD (A) ≤ CARD(Partes(A)), para cualquier conjunto A, luego

ℵ 0 = CARD(ℕ) = CARD(ℤ) = CARD(ℤxℤ) = CARD(ℚ) < < CARD((0,1)) = CARD(ℝ) = CAR( (0,1)x(0,1) ) = CARD (ℝxℝ) ≤ CARD(ℂ) = ℵ 1 

Como cualquier número del intervalo (0,1) lo podemos escribir en notación decimal binaria, es decir [0,1) = { 0 ' a1 a2 ... an ... : ai ∈ {0,1}}. Y como la aplicación φ : [0,1)  Partes(ℕ) : x = 0 ' a1 a2 ... an ...  φ(x) = { i ∈ N : ai = 1 }. Es una aplicación inyectiva ⇒ CARD(PARTES(ℕ)) ≤ CARD([0,1)). Y como la aplicación: α: Partes(ℕ)  [0,1) : H  α(H) =

n ∈H

1 3n

Es inyectiva ⇒ CARD([0,1)) ≤ CAR(PARTES(N)). Luego: ⇒ CARD([0,1)) = CARD(PARTES(N)) = ℵ1 .  Además Cantor conjeturó la siguiente hipótesis: Si w es tal que Card (ℕ) ≤ w ≤ Card(ℝ). Entonces: w = Card (ℕ) o

w = Card(ℝ).

Además, al cardinal de ℝ, le denominó potencia del continuo Resumiendo

ℵ 0 = CARD(ℕ) = CARD(ℤ) = CARD(ℤxℤ) = CARD(ℚ) < < CARD((0,1)) = CARD(ℝ) = CARD((0,1)x(0,1)) = CARD(ℝxℝ) = CARD(ℂ) = ℵ 1 . 11


Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

 A pesar de la importancia de estos resultados, a partir del Principio de abstracción “toda función proposicional P(x) define un conjunto X cuyos elementos son los objetos x para los que P(x) es verdadera”, supuso el empeño de algunos matemáticos por axiomatizar la teoría de conjuntos. Este principio sin embargo generó dos importantes paradojas:

 Paradoja de Cantor: Sea X el conjunto definido por la proposición: P(x) : x es un conjunto.Es decir el conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos. Debido a su definición, el conjunto Partes(X) estará contenido en X, por ser todos los elementos de Partes(X) conjuntos. Por tanto: Card Partes(X) ≤ Card X. Y por el teorema de Cantor: Card x < Card Partes(X). Luego se llega a la contradicción: Card Partes(X) < Card Partes(X).

 Paradoja de Rusell: Sea X el conjunto definido por la proposición: P(x): x es un conjunto tal que x ∉ X. Es decir, X es el conjunto cuyos elementos son los conjuntos que no se contiene a si mismos como elementos. Es fácil pensar en conjuntos x de ese tipo. Por ejemplo el conjunto de los números naturales no se contiene a si mismo como elemento. La pregunta es si el propio conjunto X es un elemento de X. 1.- Si X ∈ X por la definición del conjunto X, tendríamos que X ∉ X, lo cual es una contradicción. 2.- Si X ∉ X, se deduce de nuevo por la definición X ∈ X, lo cual es contradictorio.  La primera axiomatización de la teoría de conjuntos se debe a Zermelo en 1908 (ver http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Zermelo). Se conoce como, la teoría de Zermelo-Fraenkel y algunos de sus principales axiomas (ver http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel) son: Axioma de extensionalidad: Dos conjuntos son iguales si y solo si poseen el mismo número de elementos. Axioma del par no ordenado: Dados dos conjuntos, existe otro conjunto cuyos elementos son dichos conjuntos. Axioma de la unión: Para cada conjunto C cuyos elementos son conjuntos, existe otro conjunto A tal que si x ∈ B para algún elemento B ∈ C, entonces x ∈ A. Axioma de las partes: Para cualquier conjunto X, existe el conjunto P(X) de sus partes. Axioma remplazamiento: Para cualquier conjunto X, y una propiedad P predicable de elementos de X. Existe un conjunto de elementos x de X, que verifican la propiedad P. Axioma del infinito: Existe algún conjunto infinito.

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

Axioma de regularidad.: Dada una clase C de X, existe un elemento de C que no tiene ningún elemento común con X. Zermelo (1904) introdujo el axioma de elección: Si A es una familia de conjuntos de X no vacíos, existe por lo menos una aplicación: e : Partes(A) → Partes(A) : B  e(B) = x ∈ B. La dificultad

del enunciado radica en la imposibilidad de establecer un método general que nos

diga como extraer un elemento de cada miembro de la colección. Como consecuencia de este axioma, los cardinales α y β de dos conjuntos siempre son comparables: α < β, α > β o α = β. Para Lebesgue (ver http://es.wikipedia.org/wiki/Henri_L%C3%A9on_Lebesgue), la cuestión fundamental para aceptar o no este axioma es saber, que quiere decir que un conjunto existe en matemáticas. Junto con el axioma de elección, también tenemos los siguientes resultados:  El lema de Zorn (débil y fuerte): Todo conjunto inductivo2 (totalmente inductivo - el conjunto de todas las cadenas - para la condición débil) tiene elemento maximal.  Principio de buena ordenación: Todo conjunto ordenado (X,≤), que tenga la propiedad de que cada conjunto linealmente ordenado, posea extremo superior, tiene el menos un elemento maximal. Los axiomas introducidos por Zermelo, fueron aceptados por gran parte de la comunidad matemática a principios del siglo XX, sin embargo, también existió una corriente de matemáticos denominada intucionismo, que no aceptaban estos axiomas. La aparición de conjuntos paradójicos se evita mediante el llamado Axioma de selección, que exige que para que un conjunto pueda definirse mediante una función proposicional P(x), debe existir algún conjunto previo U, tal que si P(x) es cierta para un elemento x, entonces x ∈ U. De esta manera se restringe el principio de abstracción de la teoría intuitiva y se eliminan conjuntos demasiados grandes.

Para apreciar la dificultad del axioma, pensemos en una colección infinita de parejas de gemelos idénticos. Dado que siempre existirán diferencias entre los dos gemelos de cada pareja. Si estas diferencias se pudieran formular mediante un algoritmo, entonces podríamos enunciar nuestro método de elección de esta manera. ¿Pero quién nos asegura que tal algoritmo existe?. 2

Un conjunto ordenado (X , <= ) es inductivo, si para cualquier cadena H = ( H , <= ) "totalmente ordenada "

INCLUIDO en ( X , <= ). H está acotada superiormente.

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

7. El principio de inducción. El principio de inducción matemática se utiliza como instrumento de demostración para propiedades discretas (infinitas numerables). Existen múltiples aplicaciones de su uso, una de las versiones más habituales del principio en cuestión es:  Sea P 1 , P 2 , . . . , P n , . . . una colección infinita numerable de proposiciones (afirmaciones que son verdaderas o falsas pero no ambas cosas). Si sucede que: 1. P 1 es cierta. 2. Para todo n si P n es cierta, también lo es P n + 1 . Entonces todas las proposiciones son ciertas. El siguiente teorema establece la equivalencia entre el principio de inducción y la propiedad de buena ordenación de los números naturales.  El principio de inducción es equivalente a afirmar que para todo subconjunto no vacío B de los números naturales, existe un elemento mínimo m = min B en B tal que m ≤ B, ∀ b ∈ B. # Demostración:

⇒ Supongamos cierto el principio de inducción y sea B un subconjunto de los números naturales. Si suponemos que no existe min B en B. Definimos el subconjunto A = { n ∈ N : 1, 2 , . . . , n ∉ ℕ }. Vamos a comprobar que A = ℕ. Para ello demostramos que la proposición Pn = {n ∈ A} cumple: 1. P

es cierta, pues si no fuera cierta 1∈ B, y por tanto min B = 1 y llegaríamos a una

1

contradicción. 2. Si P n es cierta entonces P n + 1 es también cierta. Pues si n ∈ A, entonces 1, 2,..., n ∉ B. Si n+1 ∈ A, entonces n+1= min B, que es una contradicción por estar en contra de la hipótesis, luego n+1 ∉ N y por tanto n +1 ∈ A. Es decir Pn+1 es también cierta. Luego, si se cumple el principio de inducción, se deduce que A = ℕ. Por la propia definición de A, concluiríamos que B = ∅, que será una contradicción, por la hipótesis de ser B un conjunto no vacío. Por tanto existirá min B.

⇐ Supongamos que todo subconjunto no vacío B de ℕ admite un min B. Sean P1, P2,...,Pn,... proposiciones que verifican las dos condiciones del principio de inducción. Si definimos el subconjunto de ℕ: B = { n ∈ ℕ: P n es falsa}. Supongamos que B ≠ ∅ y sea m = min B, que por hipótesis será un elemento de B. Además m ≠ 1, ya que al ser P1 cierta tenemos que 1 ∉ B.

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

Si Pm-1 fuera cierta, por la condición segunda del principio de inducción Pm será también cierta, y entonces m ∉ B, llegando una contradicción. Por otra parte si Pm-1 fuera falsa, entonces m-1 ∈ B, y por tanto m no sería el mínimo de B, llegando nuevamente a una contradicción. En resumen sería B = ∅ y como consecuencia todas las proposiciones son ciertas, luego el principio de inducción es válido.

 Ejemplo.- Si aplicamos el principio de inducción para demostrar que para todo número natural n es 1 + 3 + . . . + (2.n - 1) = n 2 . 1. Vemos que para n = 1. Es 1 = 1 2 , por lo que es cierta. 2. Supuesto cierto para n. Como: 1+3+...+(2.n-1)+(2.(n+1)-1) = n2 + (2.(n+1)-1) = n2 + (2.n+1) = (n+1)2. Luego es cierta también para n +1. También se utiliza el principio de inducción para comprobar si ciertas sucesiones definidas por recurrencia están bien definidas.

8. Operaciones. Estructuras algebraicas. Dado un conjunto A.  Diremos que * es una operación interna de A, si * es una aplicación: * : A x A → A : (a,b) → * (a,b) Cuya notación algebraica es * (a,b) = a * b.  Diremos que ° es una operación externa por la derecha (respectivamente por la izquierda) con respecto a otro conjunto B de A, si ° es una aplicación: ° : A x B → A : (a,b) → ° (a,b).

(respectivamente ° : B x A → A : (a,b) → ° (a,b) ).

Cuya notación algebraica es ° (a,b) = a ° b. - Un subconjunto B ∈ P(A) es ESTABLE para la operación interna *, si B*B ⊂ B. Es decir si para cualquier par de elementos a, b ∈ B se cumple que a*b ∈ B. - Si G es un conjunto en el que hay definida una operación interna *, que cumple la propiedad asociativa, se denomina potencia n-ésima de x de la ley de composición interna a: (producto de n veces x)

x n = x n-1 * x = x n–2 * x * x = . . . = x * x *

... * x

Además, se cumple: – Si ∃ x – 1 : (x–1) n = x – n . – x n * x m= x n+m .

para ∀ x, y ∈ G.

– Si la ley * es conmutativa (x*y)p = xp * yp .

para ∀ x, y ∈ G.

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

 Si dos

conjuntos E y F están dotados de dos operaciones internas binarias * y *’

respectivamente podemos definir la operación interna producto

α

en el conjunto producto ExF,

mediante (x,y) α (s,t) = ( x*s , y*’t ). En el caso de ser E = F y * = *’, dicha operación producto también se representa por * y se denomina extensión de * al conjunto E x E.  Si R es una relación de equivalencia en el conjunto E en el que está definida la operación interna * estable para R, se designa también por * al operación [x]*[y] = [(x*y)] inducida por el conjunto cociente E/R.  Propiedades de las leyes de composición interna. Una operación * interna en un conjunto E cumple la propiedad: Asociatividad .-

Si ∀ x, y, z ∈ E es x*(y*z) = (x*y)*z.

Conmutatividad .-

Si ∀ x, y ∈ E es x*y = y*x.

Existencia de neutro .-

Si ∃ e ∈ E tal que ∀ x ∈ E es x = x*e = e*x.

Existencia de simétrico.-

Si ∀ x ∈ E ∃ x’ ∈ E tal que x*x’ = x’*x = e.

 Diremos que la operación *’ interna es distributiva (es distributiva cuando lo es a la izquierda y a la derecha) respecto de la operación interna * cuando se cumple ∀ x, y, z ∈ E: ( x * y ) *’ z = ( x * ' z ) * ( y * ' z ). z *’ ( x * y ) = ( z * ' x ) * ( z * ' y ).  Algunas consecuencias importantes de estas propiedades son: 1. No puede existir más de un elemento neutro. 2. Si una operación cumple la propiedad asociativa, cada elemento no puede tener más de un inverso. 3. Si una operación cumple la propiedad asociativa, entonces para cada elemento que posea inverso, se cumple: ( x -1 )-1 = x # Demostración

( x * y ) - 1 = y -1 * x - 1 .

:

1. Sean e y e’ dos elementos neutros de la operación * del conjunto E, entonces: e * e’ = e’ * e = e

e’ * e = e * e’ = e’.

Luego e = e’. 2. Si e es el elemento neutro de la operación * del conjunto E, que cumple la propiedad asociativa. Supongamos que x’ y x’’ son dos inversos del elemento x ∈ E. Entonces: x’’ = x’’ * e = x’’ * ( x * x’ ) = ( x’’ * x ) * x’ = e * x’ = x’. 3. Como x * x - 1 = x - 1 * x = e. Luego ( x - 1 ) - 1 = x. 16


Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

Como ( y * x ) - 1 * ( x * y ) = y -1 * ( x - 1 * x ) * y = y -1 * x - 1 * x * y = y -1 * e * y = e. Luego ( x * y ) - 1 = y -1 * x - 1 .

 Ejemplo.- La aplicación en el producto del conjunto ℤ de los números enteros m.c.d.(x,y) es una aplicación interna, ya que si definimos dicha operación con el símbolo aritmético *, dicha operación está bien definida, además cumple las propiedades asociativa y conmutativa, ya que para cada x, y, z ∈ Z, se tiene ( x * y ) * z = m.c.d. ( m.c.d. ( x , y ) , z ) = m.c.d. ( x , y , z ) = = m.c.d ( x , m.c.d. ( y , z ) ) = x * ( y * z ). (x*y)

= m.c.d. ( x , y ) = mc.d. ( y , x ) = y * x.

Hay que observar que dicha operación no tiene elemento neutro.  Diremos que un conjunto E se le ha dotado de ESTRUCTURA ALGEBRAICA, cuando se ha definido en él un número finito de operaciones binarias (internas o externas). Al conjunto E se le denomina soporte de la estructura. Evidentemente E puede ser soporte de diferentes estructuras, por ejemplo ( ℕ,+) y (ℕ,*).  Algunas estructuras algebraicas más importantes son: GRUPOS.(G,*).- Conjuntos G con una operación interna * verificando las propiedades: Asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de inverso para todo elemento de G. ▪ Cuando el conjunto G no cumple ninguna de las operaciones anteriores, pero la operación * está bien definida decimos que (G,*) es un GRUPOIDE. Y si solo cumple la propiedad asociativa, decimos que es un SEMIGRUPO (con o sin elemento neutro). ▪ Cuando un grupo (G,*) cumple la propiedad conmutativa, se denomina GRUPO CONMUTATIVO O ABELIANO. ANILLOS (A,+,*).- Conjuntos A con dos operaciones internas + y * tales que (A,+) es un grupo conmutativo (A,*) verifica la propiedad asociativa y se cumple la propiedad distributiva de la operación * respecto de la operación +. ▪ Cuando (A,*) es SEMIGRUPO (A,+,*) es SEMIANILLO (con o sin elemento neutro de *) ▪ Cuando un grupo (G,*) cumple la propiedad conmutativa, se denomina ANILLO CONMUTATIVO O ABELIANO. ▪ Habitualmente al elemento neutro de + se le denomina CERO y al elemento neutro de * se le denomina UNO CUERPOS3 (K,+,*).- Conjuntos K con operaciones internas + y * tal que (K,+) y (K-{e +},*) son grupos abelianos y se cumple la propiedad distributiva de * respecto de +. 3

Generalmente son de interés los conmutativos

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Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

ESPACIOS VECTORIALES sobre un cuerpo K (V,+,.)K .- Conjuntos V, tal que (V,+) es un grupo conmutativo, y . es una operación externa: . : K x V  V : (α, v)  . (α ,v) = α . v Tal que cumple las propiedades: 1.- α . (v+w) = α . v + α . w

para ∀ α ∈ K, ∀ v, w ∈ V .

2.- ( α + β ) . v = α . v + β . v

para ∀ α, β ∈ K, ∀ v ∈ V .

1.- ( α β ) . v = α . ( β .v )

para ∀ α , β ∈ K, ∀ v ∈ V .

1.- 1 . v = v

para ∀ v ∈ V .

 Ejemplo.- Un tipo importante de grupos está constituido por los grupos de transformaciones geométricas con la operación ° (composición de aplicaciones). Por ejemplo: El grupo de traslaciones, de rotaciones, de movimientos y de semejanzas. Un grupo que utilizamos habitualmente es (ℚ,+), donde ℚ representa el conjunto de los números racionales y + la operación suma. Algunas estructuras básicas de anillos son: el anillo de los números enteros (ℤ,+,.) y el anillo de los polinomios de una variable con coeficientes en ℝ (R[x],+,.). Donde + y por es la suma y el producto, en el primer caso de números enteros y en el segundo caso de polinomios. Algunas estructuras de cuerpo relevantes son: el cuerpo de los números racionales (ℚ,+,.), los números reales (ℝ,+,.), los números complejos (ℂ,+,.) y el cuerpo de funciones racionales de una variable (R(x),+,.).  Sean E y F dos conjuntos dotados de unas determinadas estructuras algebraicas y f una aplicación de E en F. Decimos que f : E

 F, es un HOMOMORFISMO de ESTRUCTURAS

ALGEBRAICAS cuando se cumple: a) Para cualquier operación interna * de E, existe una y sola una *’ de F, tal que para ∀ x, y ∈ E f ( x * y ) = f(x) *’ f(y). b) Para cualquier operación externa ° de E, existe una y sola una ° ’ de F, tal que para ∀ x ∈ E y ∀α∈K

f ( α ° y ) = α °’ f(y).

 Cuando f es biyectiva, decimos que f es un isomorfismo, o que E es ISOMORFO a F.

 Ejemplo.- Dados los grupos (ℝ,+) y (ℝ*,.) donde + y . son las operaciones de suma y producto habituales, y ℝ* es ℝ - {0}. Si definimos la función f : ℝ → ℝ* : x → e x Y dado que se cumple, f(x.y) = f(x) + f(y) y que f es una aplicación biyectiva (como se puede demostrar fácilmente) tenemos que f es un ISOMORFISMO DE GRUPOS.  Si f es un homomorfismo de E en F. Y * y *’ son las operaciones internas definidas en E y F respectivamente, se cumple: 18


Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.

1.- f(E) ⊂ F ; 2.- f - 1 (e F ) ⊂ E . 3.- Si * es asociativa, entonces *’ es asociativa. 4.- f (e E ) = e F . 5.- Si b es el simétrico de a en E, f(b) lo es de f(a) en F.  En el caso de homomorfismo entre espacios vectoriales, se denomina APLICACIÓN LINEAL.  Dado que una de las estructura más importantes utilizadas en las Matemáticas, el la de GRUPO G, conviene resaltar algunos aspectos esenciales como: H ⊂ G es SUBGRUPO de G, si H con la operación definida en G tiene el mismo elemento neutro que G, y si para ∀ h ∈ H , entonces h – 1 ∈ H.

 Ejemplo.- Si consideramos el conjunto G de los números enteros con la operación +, es fácil comprobar que tiene estructura de grupo conmutativo. Y si tomamos en dicho grupo, el conjunto H de números múltiplos de 5, entonces, será subgrupo de G.

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Conjuntos