Sumatoria, propiedades y sumatorias notables(taller).

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Facultad de Ingenierı́a en Electrónica y Automatización

Sumatoria, propiedades y sumatorias notables

Taller 1

Autores: Edwin Guachi, David Quilumba, Raúl Robayo

Julio 2022

1.

Definición.

La sumatoria es un operador matemático, el cual representa de manera abreviada la suma de muchos o infinitos sumandos. Los sumandos de un sumatorio se expresan como una variable (comúnmente como x, y, z, . . .), cuyos valores dependen de un ı́ndice (comúnmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. ¿Cuál es la función del ı́ndice? El ı́ndice empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. Notación: n X

xi = x1 + x2 + ... + xn−1 + xn

i=1

La expresión se lee: ”sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n”. Donde: i → Valor inicial (Lı́mite inferior). n → Valor final (Lı́mite superior).

Ejemplo: 3 X

xi = x1 + x2 + x3

i=1

2.

Propiedades de las Sumatorias.

a) Propiedad de la constante: El sumatorio de una constante es igual a la constante multiplicada por el número de sumandos: n X

b = b + b + ... + b = n · b

donde :

b∈R

i=1

Ejemplo: 6 X

2=2+2+2+2+2+2

i=1

= 2 × 6 = 12 b) Constante por una función: La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable. n X

KXi = K

i=1

n X

Xi

i=1

Ejemplo: 6 X

3i = 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + 3 · 4 + 3 · 5 + 3 · 6

i=1

= 3 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =3

6 X

i

i=1

1

c) Propiedad conmutativa: Al cambiar el orden de los términos, permanece el mismo resultado. n X

(xi + yi ) = x1 + y1 + x2 + y2 + ... + xn + yn

i=1

= y1 + x1 + y2 + x2 + ... + yn + xn n X = (yi + xi ) i=1

Ejemplo: Comprobar que: 3 X

(xi + yi ) =

i=1

3 X (yi + xi ) i=1

Primero hallaremos el resultado de: 3 X

(xi + yi )

i=1 3 X

(xi + yi ) = (1 + 2) + (2 + 4) + (3 + 6)

i=1 3 X

(xi + yi ) = 18

i=1

Ahora hallaremos el resultado de: 3 X

(yi + xi )

i=1 3 X

(yi + xi ) = (2 + 1) + (4 + 2) + (6 + 3)

i=1 3 X

(yi + xi ) = 18

i=1

Como ambos valores son iguales a 18, queda comprobado que: 3 X

(xi + yi ) =

i=1

3 X (yi + xi ) i=1

d) Propiedad distributiva: El valor de una sumatoria donde existe una constante multiplicada por los sumandos, es el mismo que el valor que se obtiene al multiplicar la constante por la sumatoria. a·

n X

(xi ) = a · (x1 + x2 + ... + xn )

i=1

= ax1 + ax2 + ... + axn =

n X (axi ), i=1

2

a∈R

Ejemplo: 5 X

5 X (3x) =3( x)

x=1

3(

i=1 5 X

x) = 3 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

i=1

3(

5 X

x) = 3(15)

i=1

3(

5 X

x) = 45

i=1

Comprobando: 5 X

(3x) = 3 · (1) + 3 · (2) + 3 · (3) + 3 · (4) + 3 · (5)

x=1 5 X

(3x) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15

x=1 5 X

(3x) = 45

x=1

e) Propiedad asociativa: El valor de una sumatoria donde existe una constante multiplicada por los sumandos, es el mismo que el valor que se obtiene al multiplicar la constante por la sumatoria. El resultado de una suma es siempre el mismo sin importar cómo agrupemos los términos. En este caso, la sumatoria de una suma, es igual a la suma de las sumatorias individuales. n X i=1

(xi + yi ) +

n X

zi = x1 + y1 + x2 + y2 + ... + xn + yn + z1 + z2 + ... + zn

i=1

= x1 + x2 + ... + xn + y1 + z1 + y2 + z2 + ... + yn + zn =

n X i=1

Ejemplo: Hallar: 4 X

(xi + yi )

i=1

4 4 4 X X X (xi + yi ) = xi + yi i=1

i=1

i=1

4 X (xi + yi ) = (1 + 2 + 3 + 4) + (2 + 4 + 6 + 8) i=1

3

xi +

n n X X (yi + zi ) = (xi + yi + zi ) i=1

i=1

4 X

(xi + yi ) = 10 + 20

i=1 4 X

(xi + yi ) = 30

i=1

Comprobando: 4 X (xi + yi ) = (1 + 2) + (2 + 4) + (3 + 6) + (4 + 8) i=1 4 X (xi + yi ) = (3) + (6) + (9) + (12) i=1 4 X (xi + yi ) = 30 i=1

f) Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1): n n n n X X X X (axi + b) = axi + b=a xi + nb i=1

i=1

i=1

a, b ∈ R

i=1

Nota: a

n X

xi + nb ̸= a

n X

(xi + nb)

i=1

i=1

Si cada sumando involucra más de un término, tendremos que escribir la expresión del sumando entre paréntesis. Por ejemplo: 3 X

i2 + 5 = 12 + 22 + 32 + 5 = 1 + 4 + 9 + 5 = 19

i=1

Mientras que: 3 X (i2 + 5) = 12 + 5 + 22 + 5 + 32 + 5 = 1 + 5 + 4 + 5 + 9 + 5 = 29 i=1

4

3.

3.1.

Sumatorias notables.

Los “n” primeros números naturales: n X

i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =

i=1

n(n + 1) 2

Ejemplo: 7 X

i=1+2+3+4+5+6+7

i=1

7 · (7 + 1) 2 = 28

=

3.2.

Los “n” primeros números cuadrados perfectos: n X

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 =

i=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

Ejemplo: 100 X

i2 =

i=1

· (101) · (201) 100

6

= 338 350

3.3.

Los “n” primeros números cubos perfectos: n X

i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = [

i=1

Ejemplo: 20 X

k3 = [

k=1

20(21) 2 ] 2

= 2102 = 44 100

5

n(n + 1) 2 ] 2

3.4.

Los “n” primeros números cuartos perfectos: n X

i4 = 14 + 24 + 34 + 44 + ... + n4 =

i=1

n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1) 30

Ejemplo: n X

5(6)(11)(75 + 15 − 1) i4 =

3 0

i=1 = 11 · 89 = 979

Referencias [1]

Matemáticas profe Alex. Suma de los primeros cuadrados. https://youtu.be/66vZIr3- cYg. Accedido en Julio de 2022.

[2]

Matemáticas profe Alex. Suma de los primeros cubos. https://youtu.be/sMt7kPxZ5yc. Accedido en Julio de 2022.

[3]

Matemáticas profe Alex. Suma de los primeros números naturales. https : / / youtu . be / dR _ gK1IzKgw. Accedido en Julio de 2022.

[4] analisis. http://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/ciencias_estadisticas/ analisis_exploratorio_datos/documentacion_archivos/ejercicios/ejercicios_sumatorios. pdf. Accedido en Julio de 2022. 2012-2013.

[5]

mateacem. Propiedades de sumatorias. https://mateacem.com/2020/11/18/propiedades-desumatorias/. Accedido en Julio de 2022. Nov. de 2020.

[6]

superprof® . sumatoria - Diccionario de Matemáticas. https://www.superprof.es/diccionario/ matematicas/estadistica/sumatoria.html. Accedido en Julio de 2022.

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