DEFINICIÓN DEL ÁLGEBRA Rama de la matemática que trata de la cantidad considerada del modo más general, sirviéndose de letras para representarla. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es toda asociación de constantes numéricas y letras (variables), entrelazados por cualquiera de los operadores matemáticos de: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, o una combinación limitada de éstos. Para que una expresión sea considerada algebraica, una variable nunca se debe ubicar como exponente de una potenciación o como índice de una radicación.. Ejemplos: 3 5 2 (3) 5
25
5 x 3 3 x 2 7 x7
3x
2x1 / 2 xy1 / 3 y 2
2 xy3 5 x 3
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se puede realizar de acuerdo a : Según su número de términos
Monomios
Multinomios
Según la naturaleza de su exponente
1término Binomios ...... 2 términos Trinomios ...... 3 términos Cuatrinomios ...... 4 términos ................................................ Polinomios ...... n términos Entera
Racional
Fraccionaria
Irracional
1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL Es aquella expresión que se caracteriza porque sus variables tienen exponentes enteros, es decir; ninguna variable (letra) está afectada de exponente fraccionario o radical. Ejemplos: 3x 2 5 y 2 z 2y 3
12 xy 2x y
x 2y3 z
EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA Es aquella expresión algebraica cuya parte literal está afectada de exponentes naturales. Eso implica que no tiene letras o variables en el denominador. Ejemplos: –7 x 2 – 2x – 3 5 xy 3 x 2 2 y 3
EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA Es aquella expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente ENTERO NEGATIVO en su parte literal(variable). Eso implica que posee letras en el denominador. Ejemplos:
2x 4
2 x4
3xy x1 2 x 3 3 y 2 xy 1
3 xy
2 x3
3 y2
1 x
x y
2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL Es aquella expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente fraccionario en su parte literal. Es decir; presenta radicales afectando a la parte literal o variable. Ejemplos: x3y1/2 3xy xy x 2 3
x 2 y5 z
2ab1 / 3 a 2 2x1 / 2 y1 / 3 2
OBSERVACIONES * * * * *
Las expresiones que no corresponden al concepto de expresión algebraica conforman al conjunto de expresiones no algebraicas ó trascendentes. El conjunto de las expresiones algebraicas y las no algebraicas conforman el universo de la expresión matemática. Todas las constantes numéricas diferentes de cero son consideradas como expresiones algebraicas RACIONALES O ENTERAS de grado igual a cero. Sólo la expresión algebraica posee el concepto de grado algebraico. En una expresión algebraica, los exponentes de su parte literal deben estar comprendidos en el campo de los números racionales (Q).
Por lo expuesto; analicemos las expresiones: 3
Es una expresión algebraica irracional
xy
x 2 2 xy y 2
Es una expresión algebraica racional entera
xy y 2
Es una expresión algebraica racional fraccionaria
34
1
5
7
1
Es una constante numérica, por lo que será una expresión algebraica racional entera
3
2x3
No es una expresión algebraica se trata de una expresión trascendente exponencial. Es una expresión trascendente exponencial.
(x 1) x
Cos 2 (x 2 x 3) 2
3
1 x x x ...
Es una expresión trascendente trigonométrica. No es una expresión algebraica porque tiene infinitos términos.
También: 1 2 1 3 1 2 x z xy 3 5 4
......
Racional entera
2x 3 y 5 z
......
Racional entera
5 x 3 5 y 2 7 z4
......
Racional entera
2x 2 5 y 3
......
Racional fraccionaria
7 xy
TERMINO ALGEBRAICO (MONOMIO) Es la expresión algebraica mínima en la cual sus elementos (variables y números) no están separados por el signo “+” o el signo “–”. Estando asociados sus elementos con los operadores matemáticos de : Multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplo:
5xyz
Es un monomio racional entero.
5 7
Es un monomio racional entero.
x 3 y7
Es un monomio irracional.
xy z x x 3 5
Es un monomio irracional.
x 4 yz 2
Es un monomio racional fraccionario.
Un término algebraico consta de los siguientes elementos: Exponentes
Signo
2
- 5X Y Coeficientes
3 Parte literal: Variables
Se distingue: SIGNO Símbolo matemático que indica la cualidad del término, puede ser positivo (+) ó negativo (–). Ejemplo 4x2y3 5
7x y
el signo es “–” el signo es “+”
Cuando se trata de un término precedido del signo(+) se puede omitir la escritura del mismo. Ejemplo 12x5y2
el signo que se antepone es +
COEFICIENTE Es el número o parámetros que multiplica a la parte literal o variable, considerándose su respectivo signo. Ejemplo 4x2y3 el coeficiente es –4 PARTE LITERAL Conformada por las letras (variables) que aparecen en el término algebraico. (VARIABLE) Ejemplo: –4x2y3 La parte literal es xy EXPONENTE número que se coloca en la parte superior derecha de la letra o variable. Ejemplo 4x2y3 el exponente de x es 2. el exponente de x es 3. OBSERVACIONES *
Si en un término algebraico el coeficiente es un número entero positivo indicará las veces que se debe repetirse como sumando la expresión afectada. Ejemplo. 7 x xx x x x x x 7 veces
120 x xx x .. .. .... .. x 120 veces
nx x x x .......... .......... x ; ( n Z ) n veces
*
Si el exponente es un número entero positivo indicará las veces que debe repetirse como producto (factor) la expresión afectada.
Ejemplo: x7 x . x . x . x . x . x . x 7 veces
x120 x . x . x . x ........ x 120 veces
x n x . x . x.......... ..x n veces
TÉRMINOS O MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. Ejemplo: 2x 2 y 3
;
15 2 3 x y 4
Son términos algebraicos semejantes porque poseen las mismas variables “x” e “y” afectadas con los mismos exponentes, así: El exponente de “x” es 2 en ambos monomios. El exponente de “y” es 3 en ambos monomios. OBSERVACIONES. *
Los monomios
3 85
x 2 yz
;
3 85
x 2 yz
son semejantes porque poseen iguales variables afectadas de los mismos exponentes,
asimismo observamos que presentan igual coeficiente. Por lo tanto; además de ser semejantes, son iguales. *
x 2 y 3 ; 3x 4 y 2
no son términos semejantes, presentan las mismas variables pero afectadas de exponentes distintos.
PROPIEDAD ADITIVA DE LOS TÉRMINOS SEMEJANTES Si dos o más términos son semejantes estos pueden sumarse algebraicamente atendiendo a sus coeficientes. Ejemplo: abc 1997 abc 26 abc 15 abc
Sumando algebraicamente sus coeficientes: 1 + 1997 + 26 – 15 = 2009 Luego obtenemos: 2009 abc GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. DEFINICIÓN – Se denomina grado de una expresión algebraica a una característica relacionada con los exponentes de sus variables. – Nuestro estudio se centrará en el campo de las expresiones algebraicas racionales enteras, por lo tanto el grado es un número entero y positivo. – Se distinguen dos tipos de grados: el Grado Relativo y el Grado Absoluto. – Cuando hablamos del Grado Relativo nos referimos a una determinada variable de la expresión; y cuando mencionamos el Grado Absoluto, nos referimos a todas las variables de la expresión en discusión. 2. NOTACIÓN G.A. G.R.
= Grado Absoluto = Grado Relativo
3. GRADOS DE UN MONOMIO ENTERO Y RACIONAL 3.1. El Grado Relativo se refiere sólo a una variable y está dado por el exponente que afecta a dicha variable. 3.2. El Grado Absoluto del monomio está dado por la suma de los exponentes de sus variables (Suma de los grados relativos).
Ejemplo 1: Sea el monomio 5x7 y3 z6 GR(x) = 7 GR(y) = 3 GR(z) = 6 GA = 7 + 3 + 6 GA = 16
Este monomio es de séptimo grado con respecto a “x” Este monomio es de tercer grado con respecto a “y” Este monomio es de sexto grado con respecto a “z” Este monomio es de grado dieciséis con respecto a todas sus letras.
Ejemplo 2: Hallar el coeficiente del monomio: M(x; y) = 23a-b x8a yb-3 Sabiendo que su grado absoluto es 10 y el grado relativo respecto a “y” es 2. SOLUCIÓN: EXTRAYENDO LOS DATOS DEL EJEMPLO GR(y) = 2
b-3=2
b=5
a=1
GA = 10, de aquí se concluye: GR(x) = 8
8a = 8
CALCULANDO EL COEFICIENTE SOLICITADO. Coeficiente =
23a b
Coeficiente = 2 3(1)5 2 3 5 2 2 Coeficiente =
1 4
4. GRADOS DE UN POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL 4.1. El Grado Relativo de un polinomio, viene expresado por el mayor exponente que afecta a la variable. 4.2. El Grado Absoluto de un polinomio, se determina ubicando el término que tiene mayor grado absoluto. El mencionado valor viene a ser el grado absoluto del polinomio. Ejemplo: Sea el polinomio: P(x; y; z) =
3 x 5 yz8 2 3 x 8 y 2 z3 5 x 4 y 6 z2 z9 y 2
Exponentes de x
5
8
4
Exponentes de y 1
2
6
2
Exponentes de z 8
3
2
9
13
12
11
0
Grado absoluto de cada monomio 14 Por lo realizado se concluye: GR(x) = 8
Este polinomio es de octavo grado con respecto a “x”
GR(y) = 6
Este polinomio es de sexto grado con respecto a “y”
GR(z) = 9
Este polinomio es de noveno grado con respecto a “z”
GA = 14
Este polinomio es de grado catorce con respecto a todas sus letras.
GRADOS EN OPERACIONES CON POLINOMIOS:
Son los polinomios P (x) de grado “m”, y Q (x) de grado “n” (m > n): Suma: P (x) + Q (x) es de grado “m” Resta: P (x) – Q (x) es de grado “m” Multiplicación: P (x) . Q (x) es de grado “m + n” Cociente: P (x) Q (x) es de grado “m – n” Potencia: [P (x) ] k es de grado “m . k”
m
Raíz: k P(x) es de grado k
POLINOMIOS ESPECIALES.- Tenemos: -
Polinomios Homogéneos.- Es aquel cuyos términos presentan el mismo grado. Ejemplo: P (x,y,z) 2x2yz2 3x3z2 x5 ; es homogéneo de 5to. grado
-
Polinomios Ordenados.- Cuando los exponentes de la variable que se toma como referencia guardan cierto orden, ya sea ascendente o descendente. Ejemplo: P (x,y) 55 y2 x3y4 xy5 ; es ordenado en forma decreciente respecto a “x”, y en forma creciente respecto a “y”.
-
Polinomio Completo.- Es el que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el exponente cero (término independiente) hasta el exponente mayor. Ejemplo: P (x) 4x2 2x4 3 x3 5x ; es completo, de cuarto grado y tiene 5 términos, uno más que el grado.
-
Polinomios Idénticos.- Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente.
-
Ejemplo: P(x) ax3 bx c y Q(x) mx3 nx p ; son idénticos P(x) Q(x) a = m; b = n y c = p Polinomios Idénticamente Nulos.- Son aquellos cuyos coeficientes son todos nulos (su valor es cero).
Ejemplo: P(x) ax4 bx2 cx d ; será nulo si cumple que: a = 0; b = 0; c = 0 y d = 0 VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO.- Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le asigna determinados valores a sus variables. Ejemplo: P(x,y) x3 2x2y 3xy2 4y3 Si: P(0,1)= 03 2(02 )(1) 3(0)(12 ) 4(13 ) P(0, 1) = 0 – 0 + 0 – 4 P(0,1) = –4 Si: P(1,1)= 13 2(1)2 (1) 3(1)(1)2 4(1)3 P(0, 1) = 1 – 2 + 3 – 4 P(0,1)=–2
Ejercicios 1.-Si t1 abxa y3 ; t 2 2x2yb , son términos semejantes. Calcular: t1 t2 . Solución: Por dato: abx a y3 Se concluye: t2
t1
;
2x 2 yb son semejantes, luego: a = 2
= (2) (3) x 2 y3
= 2x2y3
=
;
b=3
6x 2 y3
t1 t2 8x 2 y3
2.-Si el polinomio: P(x; y) = (a 2)x 2a 1y b 2 (a b)x 2a 3 y b 3 (3b 1)xa 1y b 1 Es de grado absoluto 10, mientras que el grado relativo de “x” es 7. Calcular la suma de los coeficientes de “P”. Solución: 1º Se recomienda elaborar el siguiente cuadro: P(x; y) = (a 2)x 2a 1y b 2 (a b)x 2a 3 y b 3 (3b 1)xa 1y b 1 Exponentes de x
2a+1
2a+3
a+1
Exponentes de y
b+2
b-3
b+1
Grado absoluto
2a+b+3
2a+b
a+b+2
2º Nos piden la suma de los coeficientes, es decir: (a + 2) + (a - b) + (3b - 1) a + 2 + a - b + 3b - 1 = 2a + 2b + 1
...........
3º Calculamos “a” y “b” haciendo uso de los datos, así: 2a = 4 a = 2 2(2) + b + 3 = 10 4 + b + 3 = 10 b=3 4º Los valores de “a” y “b” lo reemplazamos en 1 , para obtener la suma de coeficientes. 2a + 2b + 1 * GR(x) = 7 ** GA = 10
2a + 3 = 7 2a+b+3 = 10
2(2) + 2(3) + 1 4 + 6 + 1 = 11 3. De: P(x, y) xa 6ya 5 x2a 6y4 (xy)a 7 Calcular el G.A. mínimo: Solución: Como el grado es (+); también para que el grado A sea mínimo debe de tener el grado cero: xa 7 . ya 7 GA (P(x, y)) = 2(a – 7) = 0
a=7 P(x, y) xy12 x8 y4 1
1
GA (P(x, y)) = 13 5. Calcular el valor de “m” con la condición, que el polinomio: E(x, y) x2mn4 ymn2 x2mn3ymn1 x2mn2ym3n
Sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los grados relativos a “x” e “y” sea iguala a 6. Solución: GR(x) = 2m + n – 2 GR(x) – GR(y) = 6 GR(y) = m + n + 3; (2m + n – 2) – (m + n + 3) = 6 m = 11 G.A.(x, y) = 3m + 2n + 1 = 28 n = –3 6. Sabiendo que en el monomio n 1 n 2 n 1 2 n 1 1 n n n M(x, y) (x n )n (y n )n
El GR(x) es 32. Halle el GR(y) Solución:
M(x, y) =
n 2 n 1 2 n n xn . yn
n 2n n M(x, y) = x n . y n
n 3n 2
[3 n 2 (2n 1)]
n n 1 n n 1 n 2n nn
M(x, y) = y
M(x, y) = xn GR(x) = 32
3n 1
y
. yn
2n 1
n 3n 1 2 3(2)1
n=2 GR(y) =
n 2n 1 2 2(2)1 8
7.-Halle la reducción de: G(x, y) 2mxm2n . ym3 3nx2yn2
mn 0 Solución: Para que sea reductible los términos tienen que ser semejantes 2 = m – 2n m–3=n+2 Resoluciones: n=3 m=8 G(x, y) = 2(8) x 2 y5 + 3(3) x 2 y5 G(x, y) = 25x2y5
n 3n 2