Memorias I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia

i

ii

I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA 16 de Abril de 2015 Edif. de Posgrado de la Facultad de Humanidades y Educación de la Universidad del Zulia Maracaibo, Estado Zulia República Bolivariana de Venezuela DISEÑO DE PORTADA Luis Andrés Castillo, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática Teléfono: +58 426-6674438 luis.castillo@aprenderenred.com.ve Estado Zulia, Venezuela DIAGRAMACIÓN Ender Méndez, Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática Teléfono: +58 414-6741311 endere.mendes@gmail.com Estado Zulia, Venezuela COMPILADORES Juan Luis Prieto González Rafael Enrique Gutiérrez Primera edición: Octubre de 2015 ISBN: 978-980-12-8307-2 Depósito legal: Ifx06120153701736 © 2015 Asociación Civil Aprender en Red Los trabajos aquí publicados han sido sometidos a un proceso de evaluación a cargo de especialistas en el campo de la Educación Matemática de diferentes universidades Derechos reservados © Asociación Civil Aprender en Red

http://www.aprenderenred.com.ve Se autoriza la reproducción total o parcial, con fines académicos, previa cita a la fuente: Prieto, J.L. y Gutiérrez, R.E. (Comps.). (2015). Memorias del I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia. Maracaibo, Venezuela: A.C. Aprender en Red. iii

I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA ORGANIZADO POR Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática Con el apoyo del Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI) y la Maestría en Matemática Mención Docencia de la Universidad del Zulia (LUZ) GRUPO TEM: TECNOLOGÍAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA Consejo General (Periodo 2014-2015): Juan Luis Prieto González Coordinador General Rafael Enrique Gutiérrez Coordinador Académico Ivonne Sánchez Coordinadora Administrativa Luis Andrés Castillo Coordinador de Tecnologías Stephanie Díaz Coordinadora del Voluntariado CENTRO DE ESTUDIOS MATEMÁTICOS Y FÍSICOS Dr. Rafael Luque Director MAESTRÍA EN MATEMÁTICA MENCIÓN DOCENCIA Dra. María Escalona Coordinadora

iv

I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA COMITÉ ORGANIZADOR Irene Sánchez © Juan Luis Prieto González Rafael Luque COMISIÓN TÉCNICO-ACADÉMICA Stephanie Díaz © Luis Andrés Castillo Rafael Gutiérrez Angela Cervantes Jhorfy Reyes Ender Méndez Luis Fuentes Alessandro Arenas Marianel Escobar COMISIÓN ADMINISTRATIVA Ivonne Sánchez © Edixelys Barreto COMISIÓN LOGÍSTICA Verónica Navarro © Nixon Simanca Lendry Rondón Génesis García Jaineth Pérez José Fuenmayor EQUIPO DE PROMOTORES Angela Cervantes Ivonne Sánchez Jhorfy Reyes Leonela Rubio Luis Andrés Castillo Rafael Enrique Gutiérrez Stephanie Díaz

v

I ENCUENTRO DE CLUBES GEOGEBRA DEL ESTADO ZULIA EQUIPO DE EVALUADORES Ana Duarte Castillo Universidad Nacional Abierta duarteann@gmail.com Angélica Martínez Universidad Pedagógica Experimental Libertador angelicmar5@gmail.com Delisa Bencomo Universidad Nacional Experimental de Guayana delisabencomo@gmail.com José Ortiz Buitrago Universidad de Carabobo ortizbuitrago@gmail.com Juan Carlos Sotillo Universidad Bolivariana de Venezuela cosasdejuancho2@gmail.com Leonard Sánchez Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda leonardsanchez@gmail.com Sandra Quero Universidad del Zulia sandra_quero@hotmail.com Yaneth Ríos García Universidad del Zulia yanriosgarcia@gmail.com Yolanda Serres Voisin Universidad Central de Venezuela yolanda.serres.voisin@gmail.com Yofran Rodríguez Universidad Nacional Experimental Rafael María Baralt yofranrodriguez@hotmail.com TRADUCCIONES AL INGLÉS Verónica Navarro Grupo TEM veronica.navarro@aprenderenred.com.ve vi

PRESENTACIÓN “Una de las tareas más hermosas y gratificantes que tenemos por delante como profesores y profesoras es ayudar a los educandos a constituir la inteligibilidad de las cosas, ayudarlos a aprender a comprender y a comunicar esa comprensión a los otros”.

Paulo Freire, en El Grito Manso (1996)

El libro de Memorias que se presenta a continuación compila los trabajos que se han expuesto en el “I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia”, un evento promovido por el “Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática”, realizado el 16 de abril del 2015 en las instalaciones del Posgrado de la Facultad de Humanidades y Educación (FHE) de la Universidad del Zulia (LUZ), en la ciudad de Maracaibo. El encuentro fue concebido como un espacio para la socialización e integración de saberes respecto a la elaboración de simuladores con el GeoGebra, el cual ha tomado forma en diecisiete ponencias que muestran las experiencias de estudiantes de Educación Media al realizar esta actividad.

En sus trabajos, los jóvenes autores explican con detalle la manera de resolver tareas de simulación de algún fenómeno real de su interés, apoyando sus reflexiones en el uso del GeoGebra y en cierta teoría matemática que ha emergido en las discusiones con los promotores y que les ha servido para explicar y justificar sus decisiones y acciones durante el proceso. Estos trabajos han sido realizados por veinticinco estudiantes de Educación Media y siete estudiantes para profesores de Matemática y Física de LUZ (promotores del Club GeoGebra), quienes de forma libre y voluntaria han participado tanto en el desarrollo de las actividades de simulación como en su sistematización. Estas actividades se enmarcan en el proyecto “Club GeoGebra para la Diversidad”, iniciado por el Grupo TEM en octubre de 2013 y que, para el año escolar 2014-2015, se ha consolidado a través de siete Clubes GeoGebra, puestos en funcionamiento en igual número de instituciones de los municipios Maracaibo, San Francisco, Cabimas, Mara y La Cañada de Urdaneta.

Las reflexiones sobre el trabajo en los clubes nos hacen creer que la actividad de simulación con GeoGebra es una oportunidad de vivir la matemática desde el punto de vista de su utilidad práctica para la modelación de fenómenos reales. Asimismo, valoramos la práctica de sistematizar las experiencias de simulación como un medio importante para crear vínculos con los conceptos y relaciones matemáticas escolares. Además, resaltamos la posibilidad que tienen los promotores de los clubes, como futuros profesores de Matemática y Física, de aprender matemática junto a los liceístas y desarrollar sus capacidades para identificar momentos de aprendizaje propicios, interpretar el pensamiento matemático de los liceístas e intervenir con el propósito de que estos se apropien del conocimiento institucionalizado.

Además de estos trabajos, se cuenta con una conferencia, dos conversatorios, un reconocimiento al desempeño investigativo y una reseña. La conferencia estuvo a cargo de Ángel Olivero y Wilmer Campos, dos estudiantes pioneros en la simulación con GeoGebra, vii

quienes desde su experiencia reflexionan sobre las posibilidades de aprender Matemática y ciencias afines a través de la participación en un Club GeoGebra. Los conversatorios estuvieron a cargo de la Br. Leonela Rubio y la MSc. Milena Veliz, quienes tratan los temas de la sistematización de las experiencias de simulación con GeoGebra y la importancia de valorar el trabajo estudiantil, respectivamente. Seguidamente el Dr. Fidel Gerdez, en representación del Departamento de Matemáticas y Física de la FHE de LUZ, hace un reconocimiento especial a la Br. Leonela Rubio por ser la primera estudiante de este departamento en ser acreditada como Investigadora PEII por el Estado. Finalmente, la reseña corresponde con la creación del Instituto GeoGebra de Maracaibo, el primero de su tipo en Venezuela, a cargo del MSc. Juan Luis Prieto G., coordinador de esta institución.

La organización del I Encuentro de Clubes GeoGebra contó con el apoyo del Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI) y la Maestría en Matemática mención Docencia de la FHE de LUZ. Desde el Grupo TEM estamos muy agradecidos por esta ayuda que fue determinante al momento de realizar el evento. Agradecemos también el apoyo y reconocimiento hacia el encuentro de parte del Vicerrectorado Académico (VAC) de LUZ, la División de Investigación de la FHE, la Coordinación Académica de la Zona Educativa del Zulia (ZEZ) y la ABECyT Zulia; así como también las gestiones realizadas por nuestros profesores aliados Hender Vera, Angélica Fuenmayor, Yender Araujo, Yvonne Rodríguez, Irene Sánchez, Franklin Villalobos y Zulay Estrada. De manera especial damos las gracias a los padres y representantes de los participantes de cada Club GeoGebra, quienes se hicieron presentes en el encuentro para respaldar el proyecto. El nivel de cohesión mostrado por el equipo es una evidencia de lo importante que resulta estrechar y mantener los vínculos entre las instituciones de Educación Media, la universidad y la comunidad en general, cuando se quiere contribuir al desarrollo del potencial creativo de nuestros jóvenes liceístas y futuros profesores.

Destacamos la presencia en el encuentro del Dr. Antonio Castejón (Jefe de la ZEZ), la Dra. Xiomara Arrieta (por el VAC de LUZ), la Dra. Dalia Plata (por la Red de Investigación Estudiantil de LUZ), la Dra. María Escalona (Coordinadora de la Maestría en Matemática mención Docencia), la Dra. Dilida Luengo (Coordinadora del PNF de Educadores de la UBV Zulia), el Lcdo. Heriberto Briceño (miembro de la ABECyT Zulia), el Dr. Fidel Gerdez (Jefe del Departamento de Matemáticas y Física), los profesores Dr. Ángel Vílchez, Dra. Mercedes Delgado y Dra. Yaneth Ríos (miembros del Departamento de Matemáticas y Física), la MSc. Milena Veliz (Orientadora de la U.E.P. Fe y Alegría Ana Soto, Barquisimeto, Edo. Lara), profesores de Matemática de otras instituciones, estudiantes de la Licenciatura en Educación mención Matemáticas y Física de LUZ y participantes del PNF de Profesores de Educación Media Micromisión Simón Rodríguez en el estado Zulia.

Para finalizar, agradecemos la colaboración de los profesores Ana Duarte Castillo, Angélica Martínez, Delisa Bencomo, José Ortiz Buitrago, Juan Carlos Sotillo, Leonard Sánchez, Sandra Quero, Yaneth Ríos, Yolanda Serres y Yofran Rodríguez, quienes se han dedicado a valorar, con sentido y criterio humano y profesional, los diecisiete trabajos que se presentan en estas memorias. También extendemos nuestro agradecimiento a la Br. Verónica Navarro, voluntaria

viii

del Grupo TEM, por realizar la traducción al inglés de cada uno de los resúmenes de los trabajos, además de esta presentación.

Como Paulo Freire bien lo refiere al inicio de esta presentación, nos alegra y gratifica enormemente haber servido a este grupo de estudiantes liceístas, quienes hoy tienen la oportunidad de ver en estas memorias el reflejo de ese coraje de juventud que les ha llevado a experimentar, comprender y compartir lo que comprenden. A estos jóvenes, nuestra gratitud infinita.

Los compiladores

PREFACE “One of the most beautiful and gratifying tasks that we have as teachers is to help students constitute the intelligibility of things, help them learn to comprehend and communicate that comprehension to others”.

Paulo Freire, in El Grito Manso (1996)

This Proceedings compiles the papers that have been presented on the First Meeting of GeoGebra Clubs of Zulia State, an event promoted by “Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática” (TEM Group: Technologies in Mathematics Education), which took place on April 16th, 2015 in the Graduate School of the Faculty of Humanities and Education (FHE) of the University of Zulia (LUZ), in Maracaibo city, Venezuela. The meeting was conceived as a space of socialization and integration of knowledge regarding the creation of simulations with GeoGebra, which has taken shape in seventeen speeches that show the high school students experiences during this activity.

In their papers, the young authors explain with detail the way to solve simulation tasks of some real phenomenon of their interest, supporting their reflections in the use of GeoGebra and in certain mathematical theory that has emerged on the discussions with the promoters and which has been useful to explain and justify their decisions and actions during the process. These papers have been written by twenty five high school students and seven prospective Mathematics and Physics teachers from LUZ (promoters of the GeoGebra Club) who, freely and voluntarily, have participated in both the development of the simulation activities and in their systematization. These activities are framed in the “GeoGebra Club for Diversity” project, which was initiated by the Grupo TEM in October of 2013 and which, for the scholar year 2014-2015, had been consolidated through seven GeoGebra Clubs, brought into operation in equal

ix

number of institutions of the cities of Maracaibo, San Francisco, Cabimas, Mara and La Cañada de Urdaneta.

Reflections about the work in the clubs make us believe that the simulation activity with GeoGebra is an opportunity to live Mathematics from the point of view of its practical use for modeling real phenomenon. Furthermore, we value the systematization practice of simulation experiences as an important mean to establish connections with the concepts and mathematical relationships. In addition, we highlight the possibility that the clubs promoters have, as prospective Mathematics and Physics teachers, to learn Mathematics with high school students and develop their abilities to identify favorable learning moments, interpret the mathematical thinking of students and intervene so they can acquire the institutionalized knowledge.

Besides these papers, there is a conference, two conservatories, an acknowledgment to the investigative performance and a review. The first was in charge of Ángel Olivero and Wilmer Campos, two students pioneers in the simulation with GeoGebra who, from their experience, reflect about the possibilities of learning Mathematics and related sciences through the participation in a GeoGebra Club. The conservatories were in charge of the student Leonela Rubio and the MSc. Milena Véliz, who treat the subjects about the systematization of simulation experiences with GeoGebra and the importance of valuing the student work, respectively.

Subsequently, the Dr. Fidel Gerdéz, in representation of the Mathematics and Physics Department of the FHE-LUZ, makes a special acknowledgment to the student Leonela Rubio, for being the first student of this department to be accredited as PEII researcher by the State.

The organization of the First Meeting of GeoGebra Clubs had the support of the Center of Mathematical and Physical Studies (CEMAFI) and the Master in Mathematics mention Education from FHE-LUZ. We are very grateful for this help because it was determinant for running the event. We also thank the support and the recognition from the Vice Rectorate for Academic Affairs (VAC) of LUZ, the Research Division of the FHE and the Academic Coordination of the Educational Zone of Zulia (ZEZ) and ABECyT Zulia; as well as the efforts made by our allied teachers Hender Vera, Angélica Fuenmayor, Yender Araujo, Yvonne Rodríguez, Irene Sánchez, Franklin Villalobos and Zulay Estrada. In a special way we thank to the parents of the participants from each GeoGebra Club, who presented on the meeting to back up the project.

The cohesion level shown by the team is an evidence of how important is to narrow and keep the relationships between high schools, the university and the community in general, when it is aimed to contribute to the development of the creative potential of our young students and prospective teachers.

We highlight the presence of Antonio Castejón in the meeting (the Director of ZEZ), Xiomara Arrieta (in representation of VAC-LUZ), Dalia Plata (in representation of the Net of Student Research of LUZ), Maria Escalona (Coordinator of the Master in Mathematics mention Education), Dilida Luengo (Coordinator of Education in UBV Zulia), Heriberto Briceño (member of ABECyT Zulia), Fidel Gerdez (Chair of the Department of Mathematics and Physics), Ángel Vílchez, Mercedes Delgado and Yaneth Ríos (teachers of the Department of Mathematics and Physics), Milena Veliz (teacher of “Fe y Alegría” Ana Soto, in Barquisimeto, province of Lara),

x

Mathematics teachers of others institutions, preservice Mathematics and Physics teachers of LUZ and the other institutions.

To finish, we thank the collaboration of the teachers Ana Duarte Castillo, Angélica Martínez, Delisa Bencomo, José Ortiz Buitrago, Juan Carlos Sotillo, Leonard Sánchez, Sandra Quero, Yaneth Ríos, Yolanda Serres and Yofran Rodríguez, who have dedicated to value, with human and professional sense and judgment, the seventeen papers presented in this proceedings.

We also extend our gratitude to the student Verónica Navarro, volunteer of Grupo TEM, for making the translation to English to each one of the abstracts and this preface.

As Paulo Freire claims at the beginning of this preface, having served this group of high school student make us happy and gratifies us enormously, because today they have the opportunity to watch in this proceedings the reflex of that courage of youth that have led them to experiment, comprehend and share what they comprehend. To these young students, our infinite gratitude.

The compilers

xi

TABLA DE CONTENIDOS PALABRAS DE APERTURA Irene Sánchez ………………………………………………………………………………………………………………………

2

CONFERENCIA EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO Wilmer Campos y Ángel Olivero ………………………………………………………………………………………..

4

PONENCIAS MÁQUINA DE VAPOR

Gaby Vargas y Stephanie Díaz ……………………………………………………………………………………………

7

TROMPETA TIPO “SI BEMOL”

Eilynn Figueroa, Daniela Reyes y Rafael Gutiérrez ………..…………………………………………………..

15

LA GRÚA TORRE Y EL SECRETO DE SU ANDAMIAJE Federlyth Reyes, Graciela Sierra y Jhorfy Reyes …………………………………………………………………

23

PUNTADA DOBLE, DE PESPUNTE

Yenire Rodríguez y Angela Cervantes ………………………………………………………………..………………

34

EL SOL COMO FUENTE DE ENERGÍA RENOVABLE Leonel Barboza, Maryeimi Báez y Leonela Rubio ……………………………………………………………..

41

EL BALANCÍN DE POZO PETROLERO Joseph Allen e Ivonne Sánchez …………………………………………………………………………………………..

48

EL MOTOR DE CUATRO TIEMPOS

Yoelby Montiel y Luis Andrés Castillo ……………………………………………..………………………………….

56

¿CÓMO FUNCIONA UN RELOJ DE PÉNDULO? Cesar García y Stephanie Díaz ………………………………………………..…………………………………………..

63

MARCADORA DE PAINTBALL

Christianh Griman, Daneimy Medina y Rafael Gutiérrez …………………………………………….……..

70

LA MÁQUINA DE VAPOR MODELO WATT Luis Daniel Montilla y Jhorfy Reyes ……………………………………………………………………………………..

75

LA RUEDA DE GINEBRA

Leirimar Torres, Annerys García y Stephanie Díaz …………………………………………………………….

85

MÁQUINA DE VAPOR

Jeisson Hernández e Ivonne Sánchez ............................................................................................

91

BOMBA RECIPROCANTE

Gianfranco Fonseca, José Manuel Hurtado y Rafael Gutiérrez ………………………………………… xii

100

BALANCÍN PETROLERO

Lismar Vargas, Kailin Bohórquez y Stephanie Díaz …………………………………………………………… 106 MÁQUINA DE NEWCOMEN

Adriana Reinoso, María Jiménez y Rafael Gutiérrez ………………………………………………..………..

114

LA LOCOMOTORA A VAPOR

María Benítez e Irene Sánchez ……………………………………………………………………………………………

121

ELEMENTOS DE LA M16 Y LA MATEMÁTICA Francisco Contreras y Stephanie Díaz …………………………….………………………………………………….

127

CONVERSATORIOS LA REFLEXIÓN DE NUESTRA EXPERIENCIA COMO UNA HERRAMIENTA PARA SISTEMATIZAR LA PRÁCTICA DE ELABORAR SIMULADORES CON GEOGEBRA Leonela M. Rubio U. ……………………………………………………………………………………………………………. 135 LA MOTIVACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES Milena Véliz ………………………………………………………………………………………………………………………….

137

RECONOCIMIENTO PALABRAS DE RECONOCIMIENTO A LEONELA RUBIO POR SU ACREDITACIÓN EN EL PROGRAMA DE ESTÍMULO A LA INNOVACIÓN E INVESTIGACIÓN (PEII) 2014 Fidel Gerdez ……………………………….………............................................................................................ 140 SEMBLANZA INSTITUTO GEOGEBRA DE MARACAIBO Juan Luis Prieto González ……………………………………………………………………………………………………

144

ANEXOS PROGRAMA DEL ENCUENTRO …………………………………………………………………………………………..

147

AFICHE ….………………………………………………………………………………………………………………………………

148

xiii

1

PALABRAS DE APERTURA Irene Sánchez Es un honor para mí, como profesora voluntaria del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática y Coordinadora General de este encuentro, dirigir estas palabras de apertura a ustedes. Primero quiero darle las gracias a todas y todos por su asistencia. Para nosotros es un verdadero privilegio contar con la presencia de ustedes aquí y especialmente con algunas autoridades de nuestra Universidad del Zulia (LUZ), tales como la Dra. Xiomara Arrieta, en representación del Vicerrectorado Académico de LUZ, la Dra. María Escalona, Coordinadora de la Maestría en Matemática mención Docencia, el Dr. Fidel Gerdez, Jefe del Departamento de Matemáticas y Física y el Dr. Rafael Luque, Director del Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI). También nos complace la presencia del Dr. Antonio Castejón, Autoridad Única de Educación del Zulia, la Dra. Flor Cristalino, Secretaria de Educación del Estado Zulia, y de los miembros de las siete instituciones de Educación Media que participan en este proyecto; me refiero a nuestros profesores aliados y estudiantes liceístas. Jóvenes, gracias a ustedes hemos hecho posible este I Encuentro de Clubes GeoGebra, pido un fuerte aplauso para ustedes.

También quiero saludar a los padres y representantes de estos jóvenes que nos acompañan este día, a los profesores del Departamento de Matemáticas y Física y de la Maestría en Matemática mención Docencia de LUZ, estudiantes de la Licenciatura en Educación mención Matemáticas y Física de LUZ, profesores de otras instituciones del Zulia y del interior del país, especialmente a los participantes del Programa Nacional de Formación de Profesores de Educación Media, Micromisión Simón Rodríguez, distinguidos presentes.

Este encuentro se realiza en el marco del desarrollo del proyecto socio-comunitario “Club GeoGebra para la Diversidad” que el Grupo TEM ofrece a la comunidad de estudiantes de la Facultad de Humanidades y Educación de LUZ. Con mucho esfuerzo hemos logrado que el proyecto funcione en los municipios Maracaibo, San Francisco, Cabimas, Mara y La Cañada de Urdaneta para este año escolar 2014-2015. Las ponencias que nuestros jóvenes liceístas compartirán en este encuentro se corresponden a la última fase del proyecto, en la cual los deben difundir sus experiencias de simulación con GeoGebra. Además de estas ponencias, la jornada cuenta con una conferencia, dos conversatorios y un reconocimiento muy especial a Leonela Rubio por ser la primera estudiante de la Licenciatura en Educación mención Matemáticas y Física en ser acreditada como investigadora PEII por el Estado.

En nombre del Comité Organizador del encuentro les invito a disfrutar de esta velada en la cual los jóvenes liceístas son los protagonistas. Buenos días.

Datos de la autora Irene Sánchez Coordinadora General I Encuentro de Clubes GeoGebra del Estado Zulia irene.sanchez@aprenderenred.com.ve 2

3

EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO Wilmer Campos y Ángel Olivero Para nosotros es un honor que nos hayan pedido aperturar este encuentro, el primero en su tipo, con una “conferencia” que jamás hubiéramos pensado llevar en este momento de nuestras vidas. La conferencia trata sobre nuestra experiencia en la elaboración de un simulador con GeoGebra, tratando de dar respuesta a la pregunta: ¿es posible aprender matemática al elaborar un simulador con GeoGebra? A continuación trataremos de dar respuesta a esta interrogante.

La experiencia de elaborar un simulador con el software GeoGebra nos da argumento para constatar que es posible aprender Matemática en este tipo de actividades. Los conceptos matemáticos que emergen de la simulación con GeoGebra dependen, entre otras cosas, del fenómeno que se pretenda simular. Por tal motivo, en esta conferencia compartimos nuestra experiencia de aprendizaje de la Matemática que hemos utilizado para simular una máquina de vapor modelo Watt usando este software, con el propósito de animar a otros compañeros liceístas a vivir la experiencia de aprender Matemática de una manera distinta y atractiva en un Club GeoGebra.

Una vez iniciado el proceso de simulación, los conceptos matemáticos salían a la luz en el momento que identificábamos aquel objeto geométrico que mejor representaba a la pieza de la máquina de vapor que se pretendía simular. Posteriormente, se generaba una discusión entre todos los participantes sobre la definición, propiedades y características del objeto geométrico identificado previamente, a fin de poder construirlo en la interfaz del GeoGebra satisfactoriamente. Por ejemplo, si en un determinado momento el objeto geométrico que representaba la pieza a simular se correspondía con una circunferencia, se planteaban preguntas como ¿qué es una circunferencia?, ¿cuáles son sus elementos característicos?, ¿qué herramientas ofrece el GeoGebra para construirla?, entre otras.

Sin duda alguna, este momento de la simulación era fundamental para aprender la Matemática que emergía en ese instante. Más aún, el aprendizaje de esta Matemática se robustecía puesto que los objetos geométricos que debíamos construir en el software eran dinámicos, esto es, poseían algún tipo de movimiento. Este hecho nos dio pie a trabajar con el concepto de lugar geométrico en varias oportunidades, entre ellas al representar el “crank” de la máquina.

Notamos que esta pieza se podía representar a través de un segmento, de manera que debíamos localizar sus extremos para luego dibujarlo. Uno de estos puntos permanecía fijo, mientras que el otro se movía de manera circular, esto es, el lugar geométrico que describía este extremo era una circunferencia. De esta forma, sabíamos que al trazar esta circunferencia y ubicar un punto sobre ella, el extremo en cuestión quedaría perfectamente localizado.

Luego de este análisis pasábamos a construir el segmento con las herramientas del software asociadas a puntos y circunferencias. Una vez localizados ambos extremos dibujamos el segmento que los une, finalizando con la representación del crank para pasar a construir otra 4

pieza del mecanismo. Para cada pieza distinta tratábamos de llevar a cabo el mismo procedimiento, topándonos con otros conceptos matemáticos que requerían de nuestra parte reflexionar sobre sus propiedades y características en todo momento. Por todo lo comentado, la experiencia de simular la máquina de vapor con GeoGebra ha sido significativa, y nos ha dejado una serie de conocimientos que hemos aprendido de forma distinta, agradable y de manera colaborativa.

Datos de los autores Wilmer Campos Estudiante de 6to Año mención Informática E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela Ángel Olivero Estudiante de 6to Año mención Informática E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela

5

6

MÁQUINA DE VAPOR Gaby Vargas y Stephanie Díaz Resumen

A través del software GeoGebra y con base en los conceptos de circunferencia, ángulo central, paralelismo, perpendicularidad y polígonos, este trabajo describe una experiencia de simulación del movimiento y aspecto de la manivela y el volante de una máquina de vapor. Al respecto, en la descripción se trata de establecer conexiones entre los procesos de construcción con el software y estos contenidos matemáticos escolares.

Abstract

Through the software GeoGebra and based on the concepts of circumference, central angle, parallelism, perpendicularity and polygons, this paper describes a simulation experience about the movement and the aspect of the crank and the flywheel of a steam machine. Regarding this matter, in the description it is tried to establish connections between the construction processes with the software and these mathematical scholar content.

Introducción En la primera semana del mes de diciembre del 2014 se inició el proyecto de diseño titulado “Máquina de Vapor”. Éste se desarrolla en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Raúl Osorio” que funciona en la U. E. N. Bol. Raúl Osorio del municipio San Francisco, estado Zulia.

Dicho proyecto tiene por objetivo simular el mecanismo de una máquina de vapor con el GeoGebra. Al respecto, en este trabajo se describe el proceso llevado a cabo en la resolución de la tarea de construcción de la manivela y el volante de la máquina de vapor con la ayuda del software, enfocando la atención en los conceptos matemáticos presentes en la realización de dicha tarea, a saber, circunferencia, relación entre rectas (paralelismo y perpendicularidad), entre otros. Además se realiza una breve reseña sobre la máquina de vapor y se concluye con unas reflexiones finales.

Sobre el fenómeno del Proyecto de Diseño Las máquinas de vapor estuvieron en auge durante la primera Revolución Industrial, desde finales del siglo XVIII hasta mediados del siglo XIX, acelerando asombrosamente la evolución económica de muchos países. En general, la máquina de vapor es un motor que genera vapor de agua por el calentamiento en una caldera cerrada herméticamente, el que a su vez produce la expansión del volumen de un cilindro que empuja un pistón. Mediante el mecanismo de biela-manivela, el movimiento lineal alternativo del pistón del cilindro se transforma en un movimiento de rotación que es capaz de accionar, por ejemplo, las ruedas de una locomotora o el rotor de un generador eléctrico. En la actualidad, el uso de las máquinas de vapor es bastante limitado debido a que éstas no cuentan con la potencia y la velocidad necesarias para cubrir las expectativas industriales de esta época. Además, estas máquinas requieren de mucho espacio para ser instaladas y no es posible usar de forma conveniente el vapor a temperaturas 7

muy elevadas, haciendo que su potencia sea relativamente baja. Es por estas razones que han sido sustituidas por turbinas de vapor de alta eficiencia.

Las partes principales de toda måquina de vapor son: la lumbrera de entrada, la vålvula de entrada, la vålvula corredera, la lumbrera de escape, el pistón, el contenedor, la lumbrera izquierda, la lumbrera derecha, el cilindro, la lumbrera de salida, el resorte, la manivela de cambio izquierda, la manivela de cambio derecha, la barra de la vålvula corredera, la biela, la manivela y el volante. Éstas se muestran en la figura 11.

Figura 1 Consideraciones para la representación de la måquina de vapor Para simular la måquina de vapor se consideraron tres aspectos importantes para su construcción: (i) insertar la imagen que serviría de referencia en la Vista Gråfica del GeoGebra, (ii) definir la medida patrón y (iii) decidir la primera tarea de construcción. Estas consideraciones se explican en las siguientes líneas: 

Para la simulaciĂłn de la mĂĄquina de vapor era necesario contar con un referente de ĂŠsta y para ello se ha seleccionado una imagen que se insertarĂ­a en la đ?‘‰đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ??şđ?‘&#x;ĂĄđ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž del GeoGebra.

Tal imagen se corresponde con una versiĂłn de la figura 1 sin el nombre de las piezas. Cuando se inserta una imagen en el software, ĂŠste le asigna automĂĄticamente dos puntos en las esquinas inferiores, los cuales permiten modificar la ubicaciĂłn y tamaĂąo de la imagen. Dichos puntos fueron ubicados a conveniencia, a saber, el punto de la esquina inferior izquierda, llamado đ??´, con coordenadas (0, 0) y el de la esquina inferior derecha como el punto đ??ľ = (9, 0). Este Ăşltimo punto tiene esta posiciĂłn porque se considerĂł que era un tamaĂąo prudente para la imagen. Ahora bien, la opacidad de dicha imagen fue asociada a un

1

Fuente: http://www.jaimevera.tecnoies.com/mecanismos/biela.html. La imagen originalmente estĂĄ en formato GIF pero, para efectos de este trabajo, fue modificada para anexarle los nombres de las partes de la mĂĄquina.

8

deslizador de tipo nĂşmero llamado đ?‘‚đ?‘?đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘. Con ĂŠste se variaba ese atributo de la imagen para ir verificando el status de las construcciones que se fueran realizando (ver Figura 2).

Figura 2 

Seguidamente se definiĂł una medida patrĂłn con la intenciĂłn de hacer depender de ĂŠsta todas las construcciones que requirieran de distancia o longitud. La seleccionada para esta simulaciĂłn fue la unidad de medida predeterminada por el GeoGebra, que representa la longitud del lado de la cuadrĂ­cula del software en su Vista GrĂĄfica estĂĄndar (ver Figura 2). A fin de variar esta medida, se ha creado un deslizador de tipo nĂşmero, llamado đ?‘?, cuyo intervalo mĂ­nimo fue 1 y mĂĄximo 3. Para cada valor que tomara este deslizador, la construcciĂłn a obtener tendrĂ­a unas dimensiones especĂ­ficas, por ejemplo, cuando đ?‘? = 1, los elementos creados tendrĂ­an las mismas dimensiones que las de la imagen de referencia.

En este sentido, se decidiĂł que el mĂĄximo del deslizador fuera tres para que el mayor tamaĂąo que tomaran los elementos construidos fuese el triple de sus dimensiones iniciales.



Finalmente, se decidiĂł iniciar la simulaciĂłn de la mĂĄquina de vapor partiendo de la representaciĂłn de la manivela y el volante. Esta decisiĂłn se tomĂł en base a la observaciĂłn del movimiento de estas piezas en una imagen animada de referencia con que se contaba (imagen GIF). Esta observaciĂłn se considerĂł un elemento importante para iniciar la resoluciĂłn de las tareas de simulaciĂłn, especialmente al representar el movimiento de alguna pieza.

DescripciĂłn de la representaciĂłn de la manivela y el volante Luego de atender las consideraciones anteriores, se iniciĂł con la representaciĂłn de la manivela y el volante. Para ello, se observĂł el comportamiento de estas piezas y las formas geomĂŠtricas inmersas en ellas, segĂşn la imagen de referencia en formato GIF. Posteriormente, se discutiĂł sobre el cĂłmo se realizarĂ­a la tarea seleccionada, decidiĂŠndose que se harĂ­a en dos partes: (i) simular el movimiento producido por la manivela y, a partir de esto, (ii) construir la manivela y el volante.

9

I Parte. SimulaciĂłn del movimiento: Para la simulaciĂłn del movimiento de la manivela se centrĂł la atenciĂłn en los tornillos que posee esta pieza, los cuales pueden ser representados por puntos, digamos đ??¸ y đ??ś. Se observĂł que đ??¸ se movĂ­a describiendo una circunferencia cuyo centro coincidĂ­a con đ??ś, el cual permanecĂ­a fijo. Por lo anterior, se decidiĂł representar el movimiento de la manivela a partir de la construcciĂłn de un ĂĄngulo central en dicha circunferencia, de manera que su centro coincidiera, a su vez, con el vĂŠrtice de este ĂĄngulo; sĂłlo quedaba definir la posiciĂłn de sus lados para poder representarlo. Al respecto, se observĂł que la manivela realizaba un giro completo en torno al tornillo fijo, lo que nos llevĂł a concluir que uno de los lados del ĂĄngulo central no tenĂ­a una posiciĂłn fija en el plano sino que debĂ­a rotar en torno a su vĂŠrtice de 0° a 360° continuamente. Lo anterior suponĂ­a fijar el otro lado del ĂĄngulo para obtener la simulaciĂłn del movimiento de la manivela.

De acuerdo con este anĂĄlisis, se decidiĂł iniciar la construcciĂłn ubicando un punto, llamado đ??ś, en la zona de la imagen donde se localiza el tornillo fijo de la manivela y se centrĂł una 5 circunferencia đ?‘? en este punto con un radio estimado de 4 ∙ đ?‘?, segĂşn la imagen de referencia.

Esto mismo se harĂĄ con cada una de las construcciones que requieran de distancia o longitud para hacerlas depender de đ?‘?. Posteriormente, se trazĂł una recta paralela al đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ľ, llamada đ?‘‘, que pasara por el punto đ??ś para representar la posiciĂłn del lado fijo del ĂĄngulo central a construir. Luego, se determinĂł uno de los puntos de intersecciĂłn entre esta recta y la circunferencia đ?‘?, aquel ubicado a la derecha de đ??ś, y que llamamos đ??ˇ, uno de los puntos laterales del ĂĄngulo central (ver Figura 3).

Figura 3 Como la medida del ĂĄngulo debĂ­a variar en el intervalo [0°, 360°], se creĂł un deslizador de tipo ĂĄngulo, llamado đ?›ź, con un intervalo mĂ­nimo de 0° y mĂĄximo 360°, de manera que ĂŠste permitiera controlar el movimiento de la manivela. Seguidamente, con la herramienta Ă ngulo dada su amplitud, se seleccionĂł el punto đ??ˇ (lateral), luego el punto đ??ś (vĂŠrtice del ĂĄngulo) y 10

por Ăşltimo se indicĂł la amplitud đ?›ź, obteniĂŠndose automĂĄticamente el punto đ??ˇâ€™ que representa el otro lateral del ĂĄngulo (ver Figura 4). El lado mĂłvil se creĂł trazando la semirrecta que parte de đ??ś y pasa por đ??ˇâ€™. Finalmente, para validar lo realizado, se activĂł la opciĂłn AnimaciĂłn del deslizador y se observĂł que el movimiento que se generaba correspondĂ­a al realizado por la manivela.

Figura 4

II Parte. ConstrucciĂłn de la manivela y el volante: Para este segunda parte se decidiĂł iniciar con la construcciĂłn de la manivela y luego con la del volante. Para representar la manivela fue necesario identificar el objeto geomĂŠtrico que mejor la representaba, observĂĄndose que su forma venĂ­a dada por un dibujo mixto que contaba con tres figuras planas, dos cĂ­rculos y un trapecio. De esta forma, la manivela quedarĂ­a representada al definir el centro y radio de ambos cĂ­rculos y los vĂŠrtices del cuadrilĂĄtero en cuestiĂłn. Con respecto a los centros, estos debĂ­an estar ubicados en el lado mĂłvil del ĂĄngulo para garantizar el movimiento de la pieza. Para el caso de los vĂŠrtices del trapecio, cada dos de estos puntos iban a estar ubicados en los dos cĂ­rculos de manera que permita terminar de darle la forma de la pieza.

SegĂşn la imagen de referencia, el punto đ??ś representaba el centro de uno de los cĂ­rculos, de modo que se procediĂł a construirlo mediante una circunferencia đ?‘“ con este centro y un radio 1 estimado de 5 ∙ đ?‘?, al cual posteriormente se modificĂł su opacidad. Para construir el otro cĂ­rculo trazamos otra circunferencia auxiliar, llamada đ?‘”, concĂŠntrica a la anterior con un radio estimado 5 de 8 ∙ đ?‘? que corta a la semirrecta đ?‘’, hallĂĄndose el punto de intersecciĂłn entre ellas. Ese punto, 1

que llamamos đ??¸, es el centro del otro cĂ­rculo que se construyĂł con un radio estimado de 9 ∙ đ?‘?, mediante la modificaciĂłn de la opacidad de la circunferencia correspondiente (ver Figura 5).

11

Figura 5 Ya para finalizar la construcción de la manivela, se procedió a determinar los vértices del trapecio. Esto se hizo mediante el trazado de dos rectas perpendiculares a la semirrecta 𝑒, llamadas 𝑖 y 𝑗, que pasaran por 𝐶 y 𝐸, respectivamente. Posteriormente, se determinaron los cortes de las rectas con las circunferencias y se obtuvieron los puntos 𝐹, 𝐺, 𝐻 e 𝐼 con los cuales se construyó el trapecio, utilizando la herramienta Polígono y de esta manera se finalizó con la representación de la manivela (ver Figura 6).

Figura 6 Habiendo finalizado la construcción de la manivela, se procedió a construir el volante. Para esto se observó que el volante se podía representar a través de tres circunferencias, de las cuales dos estarían contenidas dentro de la región limitada por la otra de mayor radio. Con respecto a la última circunferencia, ya se contaba con la cónica 𝑐 que perfectamente la representaba, hecho que redujo la cantidad de pasos de construcción, de manera que sólo restaba determinar la ubicación de los centros de las circunferencias de menor radio. Observando la imagen de referencia, se conjeturó que los centros estaban ubicados en una recta con cierto grado de 12

inclinaciĂłn con respecto a la semirrecta đ?‘’. Se estimĂł que dicha inclinaciĂłn era de aproximadamente unos 45° en sentido horario. Por tanto, se rotĂł el punto đ??¸ con respecto a đ??ś segĂşn el ĂĄngulo estimado y, automĂĄticamente, se generĂł el punto đ??¸â€™. Luego se trazĂł la recta đ?‘˜ que pasa por los puntos đ??¸â€™ y el punto đ??ś donde se encuentran ubicados los centros de las circunferencias que se desean localizar (ver Figura 7).

Figura 7 Posteriormente, con la intenciĂłn de determinar los centros de estas curvas, se construyĂł una 4 circunferencia auxiliar, llamada đ?‘?, con centro en đ??ś y de radio estimado de 5 ∙ đ?‘?. Esta

circunferencia interseca a la recta đ?‘˜, por lo cual se determinaron los puntos de corte, llamados đ??ž y đ??˝. Estos puntos representan los centros de las circunferencias a construir. Ya para finalizar, 1 se trazĂł la circunferencia đ?‘ž con centro en đ??ž y radio estimado de 4 ∙ đ?‘? y otra circunferencia con el mismo radio pero ahora con centro en đ??˝ (ver Figura 8a). Finalmente, se modificaron los colores de los objetos construidos para representar definitivamente la manivela y el volante de la mĂĄquina de vapor (ver Figura 8b).

Figura 8 13

Reflexiones finales A partir de lo descrito en este trabajo, las autoras destacan lo importante y significativo que ha sido la utilización e identificación de ciertos objetos geométricos en la resolución de una tarea de simulación con el software GeoGebra. Primeramente, representar el movimiento a partir de un ángulo que se moviera constantemente resultó oportuno para utilizar el lado móvil y, de esta forma, construir la manivela. En segundo lugar, la representación de esta pieza a partir de tres objetos geométricos, a saber, dos circunferencias y un trapecio, resultó una decisión fundamental para que ésta quedara correctamente representada y, a su vez, la posibilidad de garantizar la ubicación y la relación entre dichos objetos para mantener la forma deseada, representó un desafío para las autoras. Finalmente, el uso del GeoGebra para construir el volante y detectar la posición de los centros de las circunferencias que allí observaban, resultó de mucha utilidad. En estos momentos, el finalizar la construcción de las piezas móviles de este mecanismo es el siguiente reto de quienes llevan a cabo este proyecto de diseño.

Datos de los autores Gaby Vargas Estudiante de 4to Año U.E.N. Bol. Raúl Osorio San Francisco, Venezuela Stephanie Díaz Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio” stephanie.diaz@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/Y3KU3ypuBRE?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs

14

TROMPETA TIPO “SI BEMOL” Eilynn Figueroa, Daniela Reyes y Rafael Gutiérrez Resumen

En este documento se describe el procedimiento seguido para resolver una de las tareas propias de la elaboración del simulador de una trompeta tipo “Si bemol” con el software GeoGebra. Esta tarea consiste en construir uno de los pistones de la trompeta, resaltando las ideas matemáticas que guiaron el proceso de construcción: traslación de figuras planas y polígonos.

Abstract

In this document we describe the process for solving an inherent task for the construction of a B♭ trumpet simulator with the software GeoGebra. This task consists in building one of trumpet’s piston valve, making emphasis on the mathematical ideas that guided the construction process: translation of plane shapes and polygons.

Introducción El proyecto de diseño intitulado: Trompeta tipo “Si Bemol”, se inició en el mes de febrero del año 2015 en el marco de las actividades del Club GeoGebra que funciona en las instalaciones de la E.T.C.R. “Hermágoras Chávez” ubicada en Cabimas, Estado Zulia. El objetivo de este proyecto es simular con GeoGebra el funcionamiento interno de una trompeta musical tipo Si Bemol, considerando las tres pisadas del instrumento y las notas musicales asociadas. A continuación se describe el procedimiento seguido para resolver la tarea de construcción de uno de los tres pistones de la trompeta, haciendo énfasis en las ideas matemáticas que guiaron el proceso de construcción, éstas son: traslación de figuras planas y polígonos. Se incluye además una breve reseña del fenómeno a simular.

El fenómeno El fenómeno a simular corresponde al funcionamiento de una trompeta, esto es, un instrumento musical de viento perteneciente a la familia de los “viento-metal” o metales, fabricados en aleación de metal. El sonido de la trompeta se produce a partir de la columna del aire (flujo del aire) que introduce el intérprete tras hacer vibrar sus labios en la boquilla. Las trompetas comúnmente están afinadas en tono Si (bemol), es decir, por debajo de la afinación real. Además, éstas constan de tres pistones que, por separado, aumentan la longitud del tubo en una determinada cantidad, lo cual conlleva a que la nota que se esté tocando sea más grave. El pistón central reduce la nota en un semitono, el de la derecha en dos semitonos y el de la izquierda en tres semitonos, pero si se pulsan dos o tres pistones simultáneamente se suman sus efectos de reducción, produciéndose así hasta ocho combinaciones distintas (ver Figura 1)2.

2

Fuente: http://statics.vayagif.com/gifs/2013/02/GIF_154006_asi_funciona_una_trompeta.gif.

15

Figura 1 La inclusión de los pistones en la trompeta se hizo de forma paulatina a lo largo de la historia, siendo el inventor irlandés Charles Clagget quien construye en 1790 una trompeta doble afinada en tonos Re y Mi, con una única embocadura y un pistón como aspecto innovador. En Francia, Dauverne construyó la primera trompeta de dos pistones y Müller de Maguncia y Satter de Leipzig incluyeron el tercer pistón en 1830. En la actualidad, este instrumento musical se utiliza en muchos lugares del mundo por parte de diversas agrupaciones y orquestas que la requieren.

Descripción de la tarea La tarea a resolver consistió en construir uno de los pistones de una trompeta tipo “Si Bemol” usando el GeoGebra. Cabe destacar que esta tarea forma parte de un conjunto de tareas más amplio que cubre toda la elaboración del simulador. Por tratarse de la primera de estas tareas, fue necesario tomar ciertas decisiones de partida para ser más eficientes en el proceso de construcción. Estas decisiones fueron las siguientes: 

Insertar en la vista gráfica del GeoGebra la imagen de la trompeta seleccionada en la fase 1 del proyecto, con el fin de guiarse al momento de realizar las construcciones necesarias de las partes de la trompeta “sobre la imagen”. La opacidad de esta imagen es controlada por un deslizador llamado “Opacidad” con el cual se puede ir revisando el estatus de la construcción cuando se desee (ver Figura 2).

Figura 2 16



Definir un segmento cuya longitud actuara de “patrĂłnâ€? con el cual se pudiera controlar el tamaĂąo del dibujo, de manera que al aumentar o disminuir su medida, el tamaĂąo del pistĂłn en la figura aumentara o disminuyera en la misma proporciĂłn. En nuestro caso, decidimos construir este segmento a partir del lado mĂĄs largo del pistĂłn sobre la imagen de fondo, seĂąalado en color rojo en la figura. La longitud del mismo es una medida con rĂłtulo đ?‘‘ que es controlada por un deslizador đ?‘Ž que la aumenta o disminuye (ver Figura 3).

Figura 3 Una vez tomado en cuenta lo anterior, se dio inicio a la construcciĂłn del pistĂłn que se muestra a la izquierda en la imagen de fondo. Se toma la decisiĂłn de construir un solo pistĂłn ya que los tres se mueven de forma independiente y la construcciĂłn de los otros dos se llevarĂ­a a cabo con el mismo procedimiento.

Para ello, lo primero fue identificar en el dibujo dos elementos: a) La figura del pistĂłn en la trompeta se asemeja a la de un polĂ­gono irregular de 12 lados

(un dodecĂĄgono), cuya relaciĂłn entre los lados venĂ­a dada por la perpendicularidad presente en cualquier pareja de lados contiguos. En conclusiĂłn, para representar al pistĂłn con el GeoGebra era conveniente construir dicho dodecĂĄgono. Esta construcciĂłn consistĂ­a en determinar la localizaciĂłn de los vĂŠrtices del dodecĂĄgono y dibujarlo posteriormente. b) Cada pistĂłn se mueve “linealmenteâ€? dentro de la camisa 3 que le corresponde, esto es, la

pisada del pistĂłn lo desplaza en una sola direcciĂłn. Desde un punto de vista matemĂĄtico; este desplazamiento queda determinado por una traslaciĂłn. Ahora bien, trasladar al pistĂłn segĂşn un vector fijo suponĂ­a tomar una decisiĂłn sobre dos formas de proceder: (i) construir el dodecĂĄgono y trasladarlo, o (ii) trasladar un vĂŠrtice del polĂ­gono y a partir de ĂŠste realizar la construcciĂłn. La segunda opciĂłn fue la decisiĂłn que se tomĂł para dar respuesta a la tarea.

3

La camisa es una pieza hueca, de forma cilĂ­ndrica, en donde va encajado el pistĂłn para ser pulsado.

17

La traslaciĂłn aplicada a un vĂŠrtice Aplicar una traslaciĂłn a una figura plana supone determinar el vector de traslaciĂłn que define el movimiento. Para determinar este vector era necesario establecer su direcciĂłn, mĂłdulo y sentido. La direcciĂłn del vector fue establecida a partir de una recta que coincidiera con uno de los dos lados mĂĄs largos del pistĂłn. Para construir esta recta, se necesitaban dos puntos. Uno de estos fue un punto đ??´ colocado convenientemente sobre uno de los extremos del lado en cuestiĂłn segĂşn la imagen de fondo, el cual a su vez serĂ­a el vĂŠrtice del dodecĂĄgono a trasladar.

El otro punto se obtuvo al rotar la proyecciĂłn del punto đ??´ en el đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ľ a un ĂĄngulo determinado.

La proyecciĂłn se obtuvo al interceptar el đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ľ con una recta perpendicular a este eje que pasara por đ??´. Luego de varias estimaciones, se obtuvo un ĂĄngulo de rotaciĂłn de 19° en sentido âƒĄ que contra horario y con ello el punto đ??ś, homĂłlogo de đ??ľ. Finalmente, se trazĂł la recta đ??´đ??ś define la direcciĂłn del vector de traslaciĂłn (ver Figura 4).

Figura 4 El mĂłdulo del vector representa cuĂĄnto se desplaza el pistĂłn desde el momento en que se pisa la cabecilla. Esta cantidad de desplazamiento no es Ăşnica, pues varĂ­a de acuerdo a la posiciĂłn del pistĂłn en cada instante de tiempo, por lo cual fue necesario establecer un par de valores mĂ­nimo y mĂĄximo de desplazamiento del pistĂłn. En la imagen de fondo se observa que este desplazamiento alcanza un valor mĂĄximo, el cual viene dado por la diferencia entre las 1 posiciones final e inicial del pistĂłn, cuya magnitud estimada fue de 5 ∙ đ?‘‘. Para el caso en que el pistĂłn se encuentra en su posiciĂłn inicial se considerĂł un valor mĂ­nimo de 0.01, evitando con ello que se anule la construcciĂłn del pistĂłn. Con estos valores se construyĂł un deslizador llamado “Primer pistĂłnâ€?, el cual representa el mĂłdulo del vector y lo controla.

Para determinar el sentido del vector de traslaciĂłn fue necesario establecer su origen en algĂşn lugar del plano. De manera conveniente se fijĂł el origen en el punto đ??ˇ(0,0) y se trazĂł una circunferencia đ?‘? centrada en este punto cuyo radio estaba dado por el deslizador “Primer 18

âƒĄ que pasara por đ??ˇ y se interceptĂł con đ?‘?. pistĂłnâ€?. Luego de ello se trazĂł una recta paralela a đ??´đ??ś De los dos puntos obtenidos por la intercepciĂłn, se tomĂł a đ??¸ como el extremo del vector de traslaciĂłn, ya que el pistĂłn se desplaza en ese sentido estando en su posiciĂłn inicial. Con esto se trazĂł el vector đ??ˇđ??¸ (ver Figura 5).

Figura 5 Conocido el vector, aplicamos la traslaciĂłn al punto đ??´ con la herramienta TraslaciĂłn, obteniendo el punto đ??š que serĂ­a el primer vĂŠrtice del dodecĂĄgono y sobre el cual se realizarĂ­a el resto de la construcciĂłn.

ConstrucciĂłn del dodecĂĄgono âƒĄ . Para determinar este vĂŠrtice se El siguiente vĂŠrtice, contiguo a đ??š, se localiza en la recta đ??´đ??ś âƒĄ . De trazĂł una circunferencia â„Ž de centro en đ??š y radio đ?‘‘, que luego se intersectĂł con la recta đ??´đ??ś los dos puntos obtenidos, se seleccionĂł a đ??ş como el siguiente vĂŠrtice del polĂ­gono segĂşn lo refiere la imagen de fondo. El tercer vĂŠrtice, contiguo a đ??ş, se localiza en la recta perpendicular a âƒĄ por este punto. Luego de construida esta recta se trazĂł una circunferencia đ?‘˜, centrada en đ??ş đ??´đ??ś 11 y de radio estimado4 de 50 ∙ đ?‘‘. De los dos puntos obtenidos, se seleccionĂł a đ??ť como el vĂŠrtice âƒĄ que en cuestiĂłn, segĂşn sugiere la imagen. El cuarto vĂŠrtice se localiza en la recta paralela a đ??´đ??ś pasa por đ??ť a una distancia de este punto igual a la que separa a los vĂŠrtices đ??š y đ??ş. Por esta razĂłn, se trazĂł esta recta, llamada đ?‘&#x;, utilizando la herramienta “Paralelaâ€? y, posteriormente, se usĂł la opciĂłn CompĂĄs para trasladar la medida de Ě…Ě…Ě…Ě… đ??šđ??ş a đ??ť, obteniĂŠndose asĂ­ una circunferencia llamada đ?‘ž. Luego de este procedimiento el cuarto vĂŠrtice, llamado đ??ź, fue definido por una de las dos intersecciones entre la circunferencia đ?‘ž y la recta đ?‘&#x; (ver Figura 6).

4

Todas las estimaciones de radios que se mencionan en este documento se realizaron utilizando la opciĂłn

Circunferencia (centro, radio). Esta herramienta permite construir circunferencias con un radio determinado, cuyo valor numĂŠrico es insertado en una ventana emergente que se muestra al hacer clic sobre el centro de la circunferencia.

19

Figura 6 Los siguientes dos vĂŠrtices se encuentran en la recta perpendicular a đ?‘&#x; que pasa por đ??ź, la cual a su vez contiene a đ??š. AdemĂĄs, estos se localizan entre đ??š e đ??ź a distancias diferentes de ambos âƒĄ y dos circunferencias, una centrada en đ??š y de puntos. A partir de lo anterior, se trazĂł la recta đ??šđ??ź radio estimado de

7

90

∙ đ?‘‘ (circunferencia đ?‘ ) y otra centrada en đ??ź y de radio estimado de

8

90

∙đ?‘‘

(circunferencia đ?‘?1 ). De las intersecciones posibles entre estos objetos, se eligieron como vĂŠrtices del dodecĂĄgono a aquellos que se encuentran entre đ??š e đ??ź, llamados đ??˝ y đ??ž (ver Figura 7).

Figura 7 Toca en esta parte describir la construcciĂłn de la cabecilla del pistĂłn. En primer lugar se observĂł que los siguientes dos vĂŠrtices del polĂ­gono, contiguos a đ??˝ y đ??ž, se localizan en rectas 20

âƒĄ que pasan por đ??˝ y đ??ž, respectivamente. MĂĄs aĂşn, cada vĂŠrtice se encuentra perpendiculares a đ??šđ??ź âƒĄ . Partiendo de lo anterior, se trazaron las rectas đ?‘Ž1 y đ?‘™1 a la misma distancia de la recta đ??šđ??ź âƒĄ que pasaran por los puntos đ??ž y đ??˝, respectivamente, asĂ­ como tambiĂŠn un perpendiculares a đ??šđ??ź 1 par de circunferencias de radio 5 ∙ đ?‘‘, una centrada en đ??ž (circunferencia đ?‘‘1 ) y otra centrada en đ??˝ (circunferencia đ?‘?1 ). De las intersecciones posibles entre estos objetos, se seleccionaron a đ??ż y đ?‘€ como vĂŠrtices del dodecĂĄgono, segĂşn lo sugiere la imagen de fondo (ver Figura 8).

Figura 8 Para determinar los cuatro Ăşltimos vĂŠrtices del dodecĂĄgono se siguiĂł el mismo mĂŠtodo antes expuesto. Una vez determinados los vĂŠrtices restantes (đ?‘ , đ?‘ƒ, đ?‘„ y đ?‘‚), la tarea finalizĂł al dibujar el dodecĂĄgono con la herramienta PolĂ­gono, seleccionando todos sus vĂŠrtices segĂşn la secuencia F-G-H-I-J-M-N-P-Q-O-L-K-F (ver Figura 9).

Figura 9 21

Reflexiones finales En base a lo descrito, los autores de este trabajo confirman la importancia de trabajar con los conceptos matemáticos al momento de atender a una tarea de simulación con GeoGebra. Por un lado, la traslación aplicada a uno de los vértices del polígono construido resultó fundamental ya que con ello se podía garantizar el movimiento lineal que realiza el pistón; por otro lado, se resalta el uso de las relaciones de posición entre rectas en un plano para procurar que todos los ángulos formados por cada par de lados consecutivos del polígono fueran de noventa grados.

Agregar los sonidos musicales al funcionamiento interno de esta trompeta es el próximo reto que se tiene por delante en la elaboración de este simulador.

Datos de los autores Eilynn Figueroa Estudiante de 5to Año mención Informática E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela Daniela Reyes Estudiante de 5to Año mención Informática E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela Rafael Gutiérrez Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez” rafael.gutierrez@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/-A_IUYHc0dI?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

22

LA GRĂšA TORRE Y EL SECRETO DE SU ANDAMIAJE Federlyth Reyes, Graciela Sierra y Jhorfy Reyes Resumen

Este trabajo muestra una secuencia de pasos para atender a una de las tareas realizadas para la construcciĂłn del simulador de una “GrĂşa Torreâ€? con el software GeoGebra. La misma consiste en la elaboraciĂłn del corredor vial por el cual la grĂşa realiza sus procesos de carga y descarga, destacando la matemĂĄtica implĂ­cita en el proceso de construcciĂłn, como son los conceptos de: circunferencia, fracciones, equivalencia de fracciones, adiciĂłn y multiplicaciĂłn de fracciones, relaciones de posiciĂłn entre rectas y polĂ­gonos.

Abstract

This paper shows a step sequence to construct a part of a tower crane simulator with GeoGebra. The sequence consists in building up the road corridor through which the crane makes its loading and unloading processes, highlighting the implicit mathematical content in the construction process such as: circumference, fractions, equivalence of fractions, addition and multiplication of fractions, relationships between lines and polygons.

IntroducciĂłn En el mes de Junio del aĂąo 2014 se dio inicio formalmente al proyecto de diseĂąo que lleva por nombre “La GrĂşa Torre y el secreto de su andamiajeâ€?. Dicho proyecto se ha desarrollado sobre la marcha de las actividades del Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayorâ€?, que funciona en la U.E.N. Alejandro Fuenmayor de Maracaibo. El objetivo de este proyecto es simular con el GeoGebra el comportamiento de la grĂşa torre. Sin embargo, esta labor amerita la atenciĂłn de un cĂşmulo de tareas de diseĂąo que no es posible comentar en este trabajo. Es por ello que a continuaciĂłn se describe el proceso realizado para resolver solo la tarea de construcciĂłn del corredor vial asociado a la grĂşa torre con el GeoGebra, centrando la atenciĂłn en las ideas matemĂĄticas implĂ­citas durante su elaboraciĂłn. La descripciĂłn de este procedimiento se fundamenta en un breve relato de la grĂşa torre con el propĂłsito de brindar una mejor perspectiva sobre la construcciĂłn del corredor vial.

Sobre el fenómeno a simular En lo que respecta al fenómeno, se decidió considerar al funcionamiento de una grúa mecånica de tipo torre, esto es, una estructura metålica desmontable que es usada para el trasporte de carga pesada en los puertos marítimos o en la construcción de edificios. La grúa en cuestión es la modelo K-10000, de origen danÊs y patrocinada por la empresa Kroll. Estå compuesta por la torre principal, el brazo mecånico con tres grupos de contrapeso de 223 toneladas (��), la pluma en la que se encuentra el carril donde se desplaza o traslada el gancho de aprehensión y la grúa de servicio que se utiliza para el montaje de la grúa principal y como apoyo para el levantamiento de carga especial. Entre sus características principales resaltan sus 120 metros de altura, lo que hace a esta estructura la mås alta del mundo en su tipo. Ademås, esta grúa torre 23

soporta vientos de hasta 240 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž y levanta 132 đ?‘‡đ?‘› como mĂĄximo, y mĂĄs aĂşn, a 100 metros de la torre, la grĂşa puede soportar unas 92 đ?‘‡đ?‘› (ver Figura 15).

Figura 1 Båsicamente, la grúa torre es capaz de mover al gancho de aprehensión sobre el carril y alrededor de la torre mediante el giro del brazo mecånico hasta en 360°, dentro de una región de carga circular localizada en el piso de la torre y con un radio måximo de 100 metros.

Cuando la grĂşa es usada en puertos y aeropuertos, a esta regiĂłn se le conoce como “corredor vialâ€? por ser la zona de carga y descarga de contenedores por la que se mueven diferentes vehĂ­culos que los trasladan. Para la construcciĂłn del corredor vial con el GeoGebra se asume una perspectiva lineal, paralela o frontal de la grĂşa torre donde el dibujo representado intenta mostrar cierta profundidad, dotĂĄndolo de una naturaleza tridimensional ficticia Consideraciones de la construcciĂłn Para responder a la tarea fue necesario considerar los siguientes aspectos antes de iniciar la construcciĂłn:  Para guiar la construcciĂłn de las partes de la grĂşa, la imagen de la figura 1, seleccionada en la fase 1, se insertĂł en la Vista GrĂĄfica del GeoGebra.  A conveniencia se construyeron los puntos đ??´ y đ??ľ para anclar la imagen a la Vista GrĂĄfica del software, de tal manera que el primero se localizara en el origen del sistema de coordenadas y el segundo se posĂł sobre la rama positiva de đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ś. Luego se hizo corresponder el punto đ??´ con el vĂŠrtice inferior izquierdo de la imagen y el punto đ??ľ con el vĂŠrtice superior izquierdo.

Finalmente la opacidad de la imagen fue controlada por un deslizador llamado “ claridadâ€?, creado para revisar el estatus de la construcciĂłn (ver Figura 2).

5

Fuente: http://ingenieriaycomputacion.blogspot.com/2013/02/kroll-k-10000-la-grua-torre-mas-grande.html.

24

Figura 2 Ě…Ě…Ě…Ě… cuya funciĂłn, en la simulaciĂłn, es la de servir de patrĂłn, esto  Se construyĂł el segmento đ??´đ??ľ es, que las construcciones asociadas a longitudes o distancias dependan de la longitud de este segmento. El GeoGebra le asignĂł un valor determinado a la longitud del segmento patrĂłn (ver Figura 3).

Figura 3 DescripciĂłn de la tarea Para construir el corredor vial en donde la grĂşa realiza sus actividades de carga y descarga fue necesario asociar su forma con alguna figura geomĂŠtrica conocida. Tras observar la imagen de fondo, se tomĂł la decisiĂłn de considerar al rectĂĄngulo como el objeto geomĂŠtrico que mejor representa a esta parte del fenĂłmeno. Dado que el rectĂĄngulo es un polĂ­gono, construirlo en el GeoGebra supuso determinar la posiciĂłn de sus vĂŠrtices. Respecto a esto, se notĂł que al momento de la discusiĂłn ya se contaba con el punto đ??´ como uno de los vĂŠrtices del rectĂĄngulo, razĂłn por lo cual la tarea se reducĂ­a a determinar la posiciĂłn de los tres vĂŠrtices restantes.

25

LocalizaciĂłn del vĂŠrtice superior izquierdo El vĂŠrtice superior izquierdo estaba contenido en el segmento patrĂłn, a cierta distancia del vĂŠrtice đ??´. Conocer esta distancia ayudarĂ­a a construir una circunferencia centrada en đ??´ con un radio igual a este valor, de manera que la intersecciĂłn entre esta curva y el patrĂłn de medida definirĂ­a la localizaciĂłn del vĂŠrtice. Para estimar este valor del radio, el anĂĄlisis se apoyĂł en el uso de la opciĂłn cuadrĂ­cula de la Vista Grafica del GeoGebra, tomando en cuenta que el patrĂłn de medida abarcaba 9 unidades (ver Figura 4). El uso de la cuadrĂ­cula representĂł una forma prĂĄctica de estimar rĂĄpidamente las demĂĄs distancias de la construcciĂłn, en funciĂłn del patrĂłn de medida.

Figura 4 Al centrar la atenciĂłn en la zona donde estarĂ­a ubicado el vĂŠrtice a determinar segĂşn la imagen, se notĂł que ĂŠste se encontraba “mĂĄs o menosâ€? en la mitad de una de las unidades de la cuadrĂ­cula sobre el patrĂłn de medida, especĂ­ficamente en aquella mĂĄs prĂłxima al vĂŠrtice. Esta 1 1 relaciĂłn se expresĂł asĂ­ 9 ∙ đ?‘Ž á 2 = 18 ∙ đ?‘Ž, donde đ?‘Ž representa la longitud del segmento patrĂłn y el resultado de esta expresiĂłn define el valor del radio. Sin embargo al construir la 1 circunferencia đ?‘“ centrada en đ??´ y con radio igual a 18 ∙ đ?‘Ž, notamos que ĂŠsta no era la deseada ya que el punto de corte entre el segmento patrĂłn y la circunferencia se ubicaba por encima del vĂŠrtice estimado por la imagen de fondo (ver Figura 5).

Figura 5 26

Esto nos llevĂł a construir una nueva circunferencia con un radio menor a la dieciochoava parte de la medida patrĂłn. Para ello, el problema radicaba en estimar la medida del radio o al menos una que se aproximara lo mĂĄs posible al vĂŠrtice. A partir de esta experiencia, determinar la posiciĂłn de los vĂŠrtices del rectĂĄngulo se transformaba en un verdadero problema matemĂĄtico para el equipo de trabajo. Fue asĂ­ que nos percatamos de la existencia de un concepto matemĂĄtico que, en este contexto, podĂ­a ser de gran ayuda; nos referimos a la fracciĂłn desde diferentes concepciones. A continuaciĂłn se explica cĂłmo fue usado este concepto para determinar la posiciĂłn del vĂŠrtice superior izquierdo.

En primer lugar, se realizaron varios acercamientos a la zona de la figura 5, hasta que cada unidad de la cuadrĂ­cula se dividiera en dos partes iguales, justo en el punto de corte de la circunferencia đ?‘“ y el segmento patrĂłn. Al insistir con el acercamiento se logrĂł que cada unidad de la cuadrĂ­cula quedara dividida en 10 partes iguales, ocupando el lado del rectĂĄngulo 9 de estas dĂŠcimas partes de una unidad de la cuadrĂ­cula (ver Figura 6).

Figura 6 A sabiendas que cada mitad de unidad de la cuadrĂ­cula es una dieciochoava parte de la medida 1 9 1 patrĂłn, esto es 18 ∙ đ?‘Ž, entonces el radio que debĂ­amos utilizar podĂ­a expresarse como 10 de 18 ∙ đ?‘Ž. Pero, ÂżquĂŠ clase de fracciĂłn es esta? .Luego de varias discusiones se logrĂł comprender que 9 1 estĂĄbamos frente a un problema de multiplicaciĂłn de fracciones, ya que la expresiĂłn 10 de 18 ∙ đ?‘Ž 9

1

podĂ­a escribirse matemĂĄticamente como 10 ∙ 18 ∙ đ?‘Ž y resolverse de esta manera:

9 1 9∙1 9∙1 9∙1 1 1 ∙ ∙đ?‘Ž = ∙đ?‘Ž = ∙đ?‘Ž = ∙đ?‘Ž = ∙đ?‘Ž = ∙đ?‘Ž 10 18 10 ∙ 18 10 ∙ 9 ∙ 2 10 ∙ 9 ∙ 2 10 ∙ 2 20 Usando esta medida como valor del radio, construimos la circunferencia, llamada đ?‘?, que se muestra en la figura 7. Finalmente, el segundo vĂŠrtice, al que llamamos đ??ś, se obtuvo al intersecar el segmento patrĂłn con esta circunferencia.

27

Figura 7

LocalizaciĂłn del vĂŠrtice inferior derecho En cuanto a los otros dos vĂŠrtices, se observĂł que ĂŠstos se encontraban en rectas perpendiculares al segmento patrĂłn por los vĂŠrtices hallados, lo que se justifica ya que los ĂĄngulos internos del rectĂĄngulo son rectos. En este momento surge otra nueva nociĂłn matemĂĄtica, nos referimos a las relaciones de posiciĂłn ente rectas. Entre esta clase de relaciones en el plano, el paralelismo y la perpendicularidad se consideran las mĂĄs comunes. En nuestro caso, nos fijamos que se debĂ­an construir dos rectas perpendiculares al segmento patrĂłn, una que pasara por el vĂŠrtice đ??´ y la otra por đ??ś. Sobre cada una de estas rectas estaban contenidos los vĂŠrtices faltantes del rectĂĄngulo.

Luego de esta reflexiĂłn, se tomĂł la decisiĂłn de determinar la posiciĂłn del vĂŠrtice inferior derecho. Para ello, se construyĂł una recta đ?‘‘ con la herramienta Perpendicular del GeoGebra, haciendo Clic sobre el patrĂłn de medida y el vĂŠrtice đ??´; en esta recta đ?‘‘ se localizarĂ­a el vĂŠrtice deseado. Observando la imagen y tomando en cuenta las unidades de cuadrĂ­cula abarcadas por la medida patrĂłn, se requerĂ­a determinar la fracciĂłn que representarĂ­a el radio de la circunferencia a construir, por lo cual decidimos reducir la longitud de la medida patrĂłn hasta que ĂŠsta abarcara sĂłlo 6 unidades de cuadrĂ­cula con el propĂłsito de ver la cantidad de unidades de cuadrĂ­culas que distaban entre el vĂŠrtice đ??´ y el deseado, facilitando asĂ­ la estimaciĂłn del radio (ver Figura 8).

Figura 8 28

Como la medida patrĂłn abarcaba 6 unidades de la cuadrĂ­cula, cada una de estas unidades đ?‘Ž estaba representada por la fracciĂłn . Al observar la figura 9 nos percatamos que la cantidad de 6

cuadrĂ­culas abarcada por la distancia entre los vĂŠrtices đ??´ y el inferior derecho era de 11 1 unidades completas y una porciĂłn de otra unidad, la cual se estimĂł en 6. Esta relaciĂłn queda 1

đ?‘Ž

expresada de la siguiente manera: (11 + 6) . 6. Luego, aplicando fracciones equivalentes 6

1

đ?‘Ž

66

1

đ?‘Ž

obtenemos la relaciĂłn (11 ∙ 6 + 6) ∙ 6 = ( 6 + 6) ∙ 6 = del rectĂĄngulo y su altura đ?‘Ž.

67 đ?‘Ž 6

67

∙ 6 = 36 ∙ đ?‘Ž, entre la longitud de la base

Al construir la circunferencia centrada en đ??´ y un radio estimado de

67 36

∙ đ?‘Ž nos percatamos que la

misma no era la deseada, ya que el corte de ella con la recta đ?‘‘ no coincidĂ­a con el vĂŠrtice sugerido por la imagen de fondo (ver Figura 9).

Figura 9 Luego de varios intentos, se considerĂł una fracciĂłn mĂĄs aproximada para efectos de la construcciĂłn de la circunferencia. En esta ocasiĂłn, modificamos la longitud de la medida patrĂłn hasta que abarcase 7 unidades de la cuadrĂ­cula, es decir, ahora el lado de cada cuadrado mide 1 de đ?‘Ž y nos percatamos que el lado inferior del rectĂĄngulo, el cual tenĂ­a como extremo el 7 vĂŠrtice deseado, abarcaba exactamente 13 unidades completas de la cuadricula (ver Figura 13 10a), por lo cual decidimos construir la circunferencia centrada en đ??´ con radio de 7 ∙ đ?‘Ž, sin obtener el ĂŠxito esperado (ver Figura 10b).

Figura 10 29

Finalmente, regresamos al patrĂłn de medida con 6 unidades y decidimos trabajar con las 11 unidades de cuadrĂ­cula abarcadas por la distancia entre los vĂŠrtices đ??´ y el deseado –al que terminamos llamando đ??ˇ mĂĄs adelante. Al convertir las 11 unidades en una fracciĂłn con 8 88 denominador 8, es decir 11 ∙ 8 = 8 , logramos cubrir casi toda la zona del corredor. Sin embargo, habĂ­a que adicionar el pequeĂąo trozo de la unidad siguiente. Tras realizar varios acercamientos sobre la zona donde se localizaba el vĂŠrtice đ??ˇ, la unidad de cuadrĂ­cula se dividiĂł en 20 pequeĂąas partes iguales, de las cuales 5 representaban la posiciĂłn del vĂŠrtice, esto es, la 5 1 fracciĂłn 20 ≥ 4 (ver Figura 11).

Figura 11 Ahora bien, como la frĂĄccion anterior a esta Ăşltima era de por 2, resultĂł lo siguiente:

88 8

1 2

+ (4 ∙ 2 ) =

88 8

2

+8=

90

representado por la medida patrĂłn se obtuvo:

88 8

1

al sumarle la frĂĄccion 4 amplificada

. Luego, al relacionar este valor con el 8

90 đ?‘Ž 90 ∙ = ∙đ?‘Ž 8 6 48 Conocido este valor se procediĂł a construir una nueva circunferencia centrada en đ??´ con un 90 radio estimado de 48 ∙ đ?‘Ž, pero la curva representada tampoco era la deseada (Ver Figura 12).

Figura 12 30

Entonces se decidiĂł restarle lo siguiente:

90 8

1

−8 =

89 8

1 8

a la fracciĂłn

90 8

para acercarnos al radio deseado, resultando en

Al multiplicar esta fracciĂłn por aquella que representa el patrĂłn de

medida nos quedĂł la expresiĂłn

89 đ?‘Ž 8

89

∙ 6 = 48 ∙ đ?‘Ž.

Seguidamente se construyĂł una nueva circunferencia, llamada đ?‘’, con centro en đ??´ y un radio 89 estimado de 48 ∙ đ?‘Ž, obteniendo la curva deseada que al intersectarse con la recta đ?‘‘ daba como resultado el vĂŠrtice inferior derecho, al que llamamos đ??ˇ (ver Figura 13).

Figura 13

LocalizaciĂłn del vĂŠrtice superior derecho El vĂŠrtice superior derecho estaba contenido en una recta perpendicular al patrĂłn de medida por el vĂŠrtice đ??ś, la cual se construyĂł usando la herramienta Perpendicular, haciendo Clic sobre el patrĂłn de medida y el punto en cuestiĂłn, y obteniĂŠndose la recta đ?‘–. Seguidamente nos dimos cuenta que la intersecciĂłn entre esta recta y una recta paralela al patrĂłn de medida por el vĂŠrtice đ??ˇ nos determinarĂ­a la posiciĂłn del Ăşltimo vĂŠrtice. Luego de este corto anĂĄlisis, construimos la recta â„Ž con la herramienta Paralela del GeoGebra, seĂąalando al segmento patrĂłn y posĂĄndola sobre el vĂŠrtice đ??ˇ. Al intersecar las rectas đ?‘– y â„Ž se obtuvo el vĂŠrtice superior izquierdo, llamado đ??¸. En la figura 14 se muestra el vĂŠrtice hallado tras ocultar las circunferencias innecesarias.

Figura 14 31

Conocidos los cuatro vĂŠrtices, usamos la herramienta PolĂ­gono para dibujar el rectĂĄngulo haciendo clic en estos puntos segĂşn la secuencia đ??´-đ??ś-đ??¸-đ??ˇ. Para finalizar la primera tarea, la zona del rayado del corredor vial se construyĂł utilizando un segmento con extremos en los puntos medios de los lados Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś y Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??¸ , al cual luego se le cambiĂł su apariencia. Es asĂ­ como se determinaron dichos puntos medios, llamados đ??ş y đ??š, y se trazĂł el segmento Ě…Ě…Ě…Ě… đ??şđ??š, mostrĂĄndose en la figura 15 un aspecto de lĂ­nea a trozos.

Figura 15 Reflexiones finales La experiencia vivida a travĂŠs de este proyecto nos ha permitido ser conscientes del valor que algunas herramientas del GeoGebra y la teorĂ­a geomĂŠtrica tienen para la realizaciĂłn de nuestro trabajo. Por un lado, al relacionar partes de la imagen con objetos geomĂŠtricos como rectĂĄngulos, triĂĄngulos, rectas, segmentos, entre otros, entendimos que habĂ­a que construirlos, aunque no siempre las construcciones eran consistentes con las propiedades del fenĂłmeno. En este caso, la prueba del arrastre o un simple acercamiento de la vista grĂĄfica nos permitieron apreciar inconsistencias en las construcciones que nos llevaron a valorar mucho mĂĄs la correspondencia que debĂ­a existir entre las dimensiones de la imagen y de las construcciones que realizamos. Es asĂ­ como la medida patrĂłn llegĂł a tener sentido para nosotros en el proyecto.

Por otro lado, un anĂĄlisis del tipo de correspondencia entre estas medidas nos hizo entender que el Teorema de Thales estaba presente en la situaciĂłn y con ello el concepto de proporcionalidad de segmentos. SabĂ­amos que la proporcionalidad tenĂ­a que ver con igualdad entre razones, por lo cual decidimos considerar y utilizar la equivalencia de fracciones, el concepto de fracciones y algunas de sus representaciones, para estimar la medida del radio de algunas circunferencias. De las fracciones, en un principio pensamos que la concepciĂłn partetodo era la que predominaba ya que esta nociĂłn de fracciones se aplicaba al momento de usar la cuadrĂ­cula del GeoGebra para estimar distancias. Sin embargo, al investigar seriamente sobre 32

la polisemia de la expresiĂłn đ?‘Ž/đ?‘? , creĂ­mos conveniente utilizar la nociĂłn de fracciĂłn como operador entre magnitudes homogĂŠneas, ya que a lo largo del trabajo se usĂł la razĂłn como un factor amplificador o reductor aplicado a cantidades asociadas a longitudes de segmentos y radios de circunferencias.

Algunas cuestiones pendientes Hasta el momento hemos explicado la construcción del corredor vial con GeoGebra, apoyando nuestras acciones en un anålisis de los objetos matemåticos presentes. Sin embargo, aún queda mucho por hacer para construir otras partes de la grúa, tales como la torre, el brazo mecånico, la grúa de servicio y la pluma. El anålisis de la composición de la torre, por ejemplo, permite ver que ella estå compuesta por 36 ½ rectångulos, todos ellos paralelos y congruentes. TambiÊn el brazo mecånico y la pluma estån compuestos por 24 y 39 rectångulos respectivamente, colocados en serie, siendo paralelos y congruentes. Por este motivo sabemos que el concepto de fracción como operador sigue vivo y presente en el proyecto de diseùo que hemos seleccionado. Solo queda vivir la experiencia y profundizar en su comprensión.

Datos de los autores Federlyth Reyes Estudiante de 5to AĂąo U.E.N. Alejandro Fuenmayor Maracaibo, Venezuela Graciela Sierra Estudiante de 5to AĂąo U.E.N. Alejandro Fuenmayor Maracaibo, Venezuela Jhorfy Reyes Estudiante de la Licenciatura en EducaciĂłn MatemĂĄtica y FĂ­sica Universidad del Zulia, Venezuela Promotor del Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayorâ€? jhorfy.reyes@aprenderenred.com.ve El vĂ­deo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente direcciĂłn: https://youtu.be/9doWSiRQFmY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

33

PUNTADA DOBLE, DE PESPUNTE Yenire Rodríguez y Angela Cervantes Resumen

El presente trabajo describe dos de las tareas realizadas con GeoGebra durante el proceso de simulación de la puntada doble, de pespunte, un tipo de puntada realizada por una máquina de coser. Las tareas de construcción están centradas en representar con GeoGebra dos de las piezas del mecanismo: lanzadera y bobina. Mediante este escrito compartimos el proceso de elaboración de estas piezas, develando la Matemática implícita en la construcción.

Abstract

The present paper describes two of the tasks made with GeoGebra during the process of simulation of the lockstitch, a kind of stitch made by a sewing machine. The constructions tasks are centered on representing with GeoGebra two of the mechanism pieces: the shuttle and the bobbin. Through this writing we share the elaboration process of these pieces, unveiling the implicit Mathematic behind the construction.

Introducción El proyecto de diseño a nuestro cargo lo hemos denominado “Puntada doble, de pespunte”. Éste se inició en el mes de Febrero de 2014, en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Almirante Padilla”, el cual funciona en la U.E.N Almirante Padilla de la ciudad de Maracaibo. El objetivo del proyecto es simular con el GeoGebra este tipo de puntada hecho por una máquina de coser. Aunque la simulación de esta puntada lleva a atender varias tareas de simulación, en este trabajo se describe solo el proceso seguido para representar la lanzadera y la bobina, dos de las piezas que conforman el mecanismo de la máquina de coser. En la descripción centramos la atención en la Matemática que hay detrás de la representación con GeoGebra de estas piezas del mecanismo. Además, se presenta una breve descripción del tipo de puntada a simular y se culmina con unas reflexiones sobre todo el proceso vivido.

El fenómeno En el mundo de la confección, una puntada es la unidad de entrelazado de uno o varios hilos entre sí, a través o dentro de un material y a intervalos más o menos uniformes. Este proyecto de diseño busca simular el mecanismo de la puntada doble, de pespunte, un tipo de puntada cuya función es simplemente servir como adorno, realce o dar terminación al bordado. Ésta se forma por una o varias agujas y dos series de hilos que se entrelazan mutuamente para asegurar la unión del material, aumentando así la resistencia de la costura y cerrando la puntada (generalmente son aguja y bobina). Por lo general, esta puntada es utilizada para la unión de piezas, presillado, bolsillos y dobladillos. El trabajo dinámico que hacen en conjunto la lanzadera y bobina (piezas a simular) es propio de toda máquina de coser. El tipo de tejido que resulta de esta relación es la representación de la puntada doble, de pespunte (ver Figura 1)6.

6

Fuente: La imagen fue tomada de: http://www.taringa.net/Kachy_33/mi/bacBZ. 34

Figura 1 Las piezas que se han representado, la lanzadera y bobina, son de naturaleza móvil, es decir, ellas son sujetas de un movimiento coordinado mientras la máquina hace el pespunte. En otras palabras, estas dos piezas trabajan conjuntamente para lograr el objetivo del mecanismo: la puntada doble. Sin embargo, en este momento el dinamismo trabajado en el simulador ha sido solo el que corresponde a la bobina, específicamente el del perno. Junto a la bobina, también se mostrará cómo fue representada la pieza de lanzadera (sin movimiento) en la interfaz gráfica del GeoGebra.

La lanzadera y la bobina cumplen su función muy particular. Por un lado, la lanzadera tiene la función de tensar el hilo de la aguja, esto es, tirar del lazo para quitarlo del enganche y completar la puntada. Por otro lado, la bobina se encarga de enganchar el hilo de la aguja mediante un giro de 360 grados, en sentido contra horario. Al término de cada giro se forma el nudo con el hilo de la aguja (ver Figura 2).

Figura 2 Descripción de la tarea Para comenzar con la tarea de elaborar la lanzadera y bobina del mecanismo, se optó por una imagen animada que sirviera de referencia, pero sobre todo que ayudara a comprender cómo 35

se mueven estas piezas entre sĂ­ y quĂŠ tipo de figuras podĂ­an asociarse con su forma. A continuaciĂłn se describe lo realizado para construir ambas piezas con el GeoGebra.

ConstrucciĂłn de la lanzadera Para la construcciĂłn de la lanzadera, tras observar la imagen de referencia se pudo identificar dos cuestiones: (i) que el movimiento que realiza esta pieza describe una circunferencia y (ii) su forma (de la lanzadera) podĂ­a ser representada por un objeto geomĂŠtrico conocido como arco de circunferencia. A partir de estas dos cuestiones, se comenzĂł a simular la pieza.

Lo primero que se hizo fue trazar la circunferencia que describe el movimiento de la lanzadera, la cual luego servirĂ­a de guĂ­a para el trazado del arco de circunferencia a partir de la ubicaciĂłn de tres puntos en ella. Previo a la construcciĂłn de la circunferencia fue necesario determinar un punto đ??ś sobre la vista grĂĄfica, que luego se considera como el centro de la curva. Este punto se ubicĂł en la parte central de la bobina, segĂşn lo sugerĂ­a la imagen de fondo (ver Figura 3). Para determinar el radio de la circunferencia fue necesario establecer una relaciĂłn entre la medida de un patrĂłn de unidad o referente, definido previamente a partir de un deslizador llamado “PatrĂłnâ€? y la medida del radio de la bobina en la imagen de referencia, obteniendo como đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;Ăłđ?‘› resultado de la estimaciĂłn un radio con una medida de 6,4 . Esta relaciĂłn garantiza que, al modificar el valor del deslizador, la construcciĂłn aumenta o disminuye sin perder su forma. Una vez determinado estos elementos, la circunferencia fue trazada usando la herramienta Circunferencia (centro, radio).

Figura 3 Luego de obtener la circunferencia se ubicaron tres puntos en ella de tal manera que dos de estos coincidieran con los extremos del arco segĂşn la imagen de fondo y el tercer punto se ubicara entre los otros dos (ver Figura 4a). Esto Ăşltimo se hizo utilizando la herramienta Arco tres puntos del GeoGebra, obteniĂŠndose asĂ­ una apariencia de la lanzadera como la mostrada en la figura 4b.

36

Figura 4 Luego, se ocultó la circunferencia para tener una mejor visión de la lanzadera y trabajar con las propiedades del dibujo del arco (grosor y color), obteniendo así una mejor representación de la pieza (ver Figura 5). Como se ha mencionado anteriormente, el movimiento de rotación que realiza la lanzadera no es atendido en este trabajo; sólo se ha representado la forma de la pieza, tarea que precede a la representación de tal movimiento.

Figura 5

Construcción de la bobina La construcción de la bobina comenzó a realizarse tras terminar la representación de la lanzadera. La simulación de la bobina se inicia por la caja de la bobina, observando que ella también podía ser representada a través de circunferencias. Para ello, se usó una circunferencia con centro en 𝐶 y un radio estimado según la imagen de fondo. Sin embargo, al modificar el grosor de trazo de la línea a su máximo alcance, éste no cubría la caja de la bobina por completo, razón por lo cual fue necesario trabajar con dos circunferencias concéntricas. De esta 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 manera se trazaron las circunferencias 𝑔 y 𝑝, con el mismo centro y con radios de 11 y 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 12

, respectivamente (ver figura 6). Las circunferencias fueron trazadas con la herramienta del

GeoGebra Circunferencia (centro, radio).

37

Figura 6 Una vez terminada de representar la caja de la bobina, se debĂ­a comenzar a trabajar en el carrete de hilo que lleva en su interior, cuya forma en la imagen de referencia podĂ­a ser representada como una corona circular de color verde, colocada dentro de la bobina. Como en el caso de la bobina, aquĂ­ se dibujĂł, con la herramienta Circunferencia (centro, radio), otra đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;Ăłđ?‘› circunferencia con centro en đ??ś y de radio , a la cual se le modificaron sus propiedades 15

para darle la mayor opacidad posible y obtener asĂ­ la apariencia deseada (ver figura 7).

Figura 7 Ahora, la tarea seguĂ­a para representar el interior de la bobina, esto es, ese cĂ­rculo blanco que se observa en la imagen de referencia. Para ello se trazĂł otra circunferencia centrada en đ??ś y con un radio estimado de

đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;Ăłđ?‘› 30

, una medida menor que los radios de todas las circunferencias

anteriores, con un valor justamente la mitad del radio de la circunferencia que representa el carrete de hilo verde. Luego de crear esta circunferencia, se trabajĂł sobre las propiedades de ĂŠsta dĂĄndole mayor opacidad, cambiando su color y obteniendo con esto el cĂ­rculo inferior blanco (ver Figura 8). En este punto, es importante seĂąalar que la corona circular que se querĂ­a representar desde el inicio estarĂ­a determinada por la porciĂłn de cĂ­rculo de color verde que se muestra en la figura 8.

38

Figura 8 En este momento la atenciĂłn estarĂ­a puesta en el dinamismo de la bobina inferior, la cual se pudo observar que ademĂĄs de contar con ese cĂ­rculo blanco, tambiĂŠn debĂ­a representarse el perno que sujeta el carrete de hilo. Este complemento de la pieza (el perno) tiene forma de segmento con uno de sus extremos en đ??ś y que ademĂĄs se mueve segĂşn va rotando con respecto a este punto. A partir de estas consideraciones se decidiĂł trazar una circunferencia centrada en C y de radio

đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;Ăłđ?‘› 20

y un segmento đ?‘Ž cuyos extremos son los puntos đ??ś y đ??ž, siendo

đ??ž un punto libre sobre la circunferencia trazada (ver Figura 9). Finalmente, esta circunferencia se ocultĂł y luego se trabajaron las propiedades del segmento đ?‘Ž (color y estilo) y punto đ??ž (velocidad y repeticiĂłn) hasta lograr la apariencia y movimiento deseado.

Figura 9 Reflexiones finales La experiencia de simular con GeoGebra es algo nuevo para las autoras, tanto que hasta la selecciĂłn del mecanismo llevĂł su tiempo. No es comĂşn sentarse a ver el movimiento que puede describir una de las puntadas que hace una mĂĄquina de coser. Sin embargo, cuando comienza el proceso, la combinaciĂłn de un cĂşmulo de saberes entre la MatemĂĄtica y la TecnologĂ­a, comienzan a hacer de las suyas.

39

El hecho de ir develando la Matemática presente en un mecanismo tan común como la puntada de una máquina de coser, resulta asombroso y enriquecedor. Asociar la forma de cada una de las piezas del mecanismo con un objeto matemático resultó un reto y, al respecto, identificarlas y luego hacernos de sus propiedades para lograr finalmente la representación de las piezas fue lo esencial durante este proceso de simulación.

Como se mencionó en un inicio, las tareas que aquí describimos son sólo dos de todas las necesarias para lograr simular la puntada doble, de pespunte. Sin embargo, la oportunidad de compartir mediante este escrito el proceso de realizarlas representa una forma de mostrar que es posible el estudio de las ciencias, en este caso de la Matemática de una manera distinta y cautivadora para los estudiantes de la Educación Media. La tarea sigue, nos faltan movimientos por identificar y piezas que representar, que nos permitan finalmente lograr el simulador.

Datos de las autoras Yenire Rodríguez Estudiante de 4to Año U.E.N. Almirante Padilla Maracaibo, Venezuela Angela Cervantes Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Almirante Padilla” angela.cervantes@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/pjAB3EbbmLY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

40

EL SOL COMO FUENTE DE ENERGÍA RENOVABLE Leonel Barboza, Maryeimi Báez y Leonela Rubio Resumen

En el presente trabajo se describe la secuencia de pasos seguida para elaborar los primeros elementos de un simulador que pretende ilustrar la transformación de la luz solar en energía eléctrica, realizado con GeoGebra. Específicamente se expondrá el procedimiento utilizado en la construcción del cielo, la tierra y una casa, elementos que forman parte del fondo que ambientará al simulador. En el discurso se destacarán ciertos conceptos matemáticos que han servido de base para la construcción, como el de semiplano, inecuación, circunferencia, rectángulo, entre otros.

Abstract

This paper describes the step sequence followed to elaborate the first elements of a simulator that pretends to illustrate the transformation of the Sun light into electric energy, created with GeoGebra. Specifically, it will be exposed the process used in the construction of the sky, the land and a house, elements that constitute the background of the simulator. In the discourse will be highlighted some mathematical concepts that lay the foundations for the construction, such as half-plane, inequation, circumference, rectangle, and others.

Introducción El proyecto de diseño titulado “El sol como fuente de energía renovable” se inició en el mes de enero de 2015, como parte de las actividades desarrolladas desde el Club GeoGebra adscrito al Liceo Nacional “Caracciolo Parra León” del municipio La Cañada de Urdaneta, estado Zulia. En este proyecto se pretende simular con el GeoGebra la transformación de la luz solar en energía eléctrica en un contexto cotidiano de La Cañada. Esta acción engloba en sí misma un conjunto de tareas de diseño que, por razones de espacio, no podrán ser tratadas en este documento. Es por ello que en este trabajo se describirá sólo el procedimiento seguido para construir el cielo, la tierra y una de las casas que forman parte del paisaje de fondo del simulador, centrando la atención en los conceptos matemáticos subyacentes en cada paso. A continuación se dará una breve explicación del fenómeno a simular, seguida de la descripción mencionada. Para finalizar, se exponen algunas reflexiones que hacemos a partir de la experiencia con la simulación.

Sobre el fenómeno a simular La transformación de la luz solar en energía eléctrica está basada en el efecto fotovoltaico. Esta transformación se produce por medio de células solares y se podría afirmar que es una de las energías renovables con más proyección de futuro por su sencillez técnica. Las células solares están elaboradas a base de silicio puro, son dispositivos sólidos excitables al recibir luz solar y con capacidad para generar pequeñas cantidades de electricidad. Éstas se montan sobre paneles solares para conseguir un voltaje adecuado a las aplicaciones eléctricas; los paneles se orientan hacia el sur para un mayor aprovechamiento de la energía solar que, una vez captada, 41

se transforma en energĂ­a elĂŠctrica en forma de corriente continua, con conexiĂłn a un sistema de almacenamiento o baterĂ­as. Actualmente existen dos formas de utilizaciĂłn de la energĂ­a fotovoltaica, pero nosotros hemos considerado la de autoconsumo, es decir, la instalaciĂłn de un elemento no conectado a la red pĂşblica que abastece a una vivienda aislada (ver Figura 17).

Figura 1 Nuestro simulador mostrarĂĄ dos casas con paneles solares en sus techos, los cuales captarĂĄn la luz emitida por el sol desde el amanecer hasta el ocaso. Una vez que el sol se oculte la energĂ­a almacenada harĂĄ encender las lĂĄmparas exteriores de las casas. A diferencia de otros trabajos presentados en este evento, nuestro simulador parte de una idea (una imagen mental) de la escena que se busca recrear con el simulador, en vez de basarse en una fotografĂ­a de referencia. Esta idea fue concebida a partir de un consenso entre los integrantes del equipo.

DescripciĂłn de la tarea En esta secciĂłn se describe la realizaciĂłn de una tarea de nuestro simulador, la cual consiste en construir una parte del paisaje de fondo, esto es, el cielo, la tierra y una de las casas. Para ello, hemos dividido el proceso en las siguientes fases: (i) construir el cielo y la tierra, (ii) crear el garaje de la casa, (iii) construir la pared delantera de la casa. Cabe destacar que estas construcciones forman parte de los elementos fijos del simulador y, en su conjunto, representan la primera tarea de diseĂąo.

ConstrucciĂłn del cielo y la tierra Antes de iniciar, es necesario acotar que tomamos la decisiĂłn de considerar al đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘Ľ como una representaciĂłn de la lĂ­nea del horizonte, la cual servirĂ­a de referencia durante la construcciĂłn.

Por lo tanto, fue necesario mostrar los ejes cartesianos en la vista grĂĄfica del software.

Para construir el cielo y la tierra es necesario trazar semiplanos en el plano cartesiano, y para lo cual hemos empleado inecuaciones, ya que sus representaciones grĂĄficas son porciones del plano que perfectamente pueden hacer alusiĂłn a lo que todo observador ve cuando se ubica frente a un paisaje que muestra al cielo y la tierra. EspecĂ­ficamente hemos introducido la inecuaciĂłn đ?‘Ś > 0 en la barra de entrada del GeoGebra para obtener asĂ­ un semiplano ubicado 7

Fuente: http://www.autoconsumosi.com/page/4/.

42

por encima del 𝑒𝑗𝑒 𝑥, el cual representa al cielo en este caso. De manera análoga, representamos la tierra con la inecuación 𝑦 < 0, que nos permite crear otro semiplano por debajo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Ambos objetos se matizan de color celeste y verde respectivamente, para darles una apariencia similar a la que tendrían en la realidad. Esto último se ha hecho mediante un cambio en las Propiedades de los objetos representados en el software (ver Figura 2).

Figura 2

Creación del garaje Para la construcción del garaje y la fachada de la casa hemos decidido trasladar las medidas que estos espacios tendrían en la realidad a la interfaz del software, es decir, si una casa tiene normalmente 9 metros de ancho, en el simulador tendrá 9 unidades de ancho. Las dimensiones de una casa fueron establecidas por consenso, a partir de la propia experiencia.

La construcción del garaje se inició fijando su posición con un punto 𝐴, de ubicación cualquiera en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Esta sección de la casa tendría 3 unidades de ancho por 3 de alto, por lo cual un cuadrado podría representarle perfectamente. Para construir esta figura se creó una circunferencia centrada en 𝐴 y de radio 3. De la intersección de esta circunferencia con el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 tomamos el punto 𝐵, localizado a la derecha de 𝐴, con el cual se delimita el piso del garaje, uno de los lados del cuadrado (ver Figura 3).

Figura 3 43

Debido a que todos los lados del garaje tienen la misma medida (3 unidades en el simulador) y que los ĂĄngulos formados entre estos son todos rectos, es posible construir el cuadrado que representa al garaje a travĂŠs de la herramienta PolĂ­gono Regular. Activamos esta opciĂłn y seleccionamos los puntos đ??´ y đ??ľ, para luego modificar las Propiedades de la figura haciĂŠndole corresponder una tonalidad crema en su interior (ver Figura 4).

Figura 4

ConstrucciĂłn de la pared delantera de la casa La pared delantera de la casa medirĂ­a 9 metros de ancho por 3,5 metros de alto en la realidad.

Por lo tanto, en el software estas medidas serĂ­an de 9 y 3,5 unidades, respectivamente. A semejanza del garaje, los ĂĄngulos formados en los bordes de la pared tambiĂŠn son rectos, por lo tanto es posible representar la fachada de la casa a travĂŠs de un rectĂĄngulo. Para construirlo creamos una circunferencia centrada en đ??ľ y de radio 9 unidades. De la intersecciĂłn de ĂŠsta con el đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ seleccionamos el punto đ??š, ubicado a la derecha de đ??ľ. De esta manera, los puntos đ??ľ y đ??š delimitan el piso de la casa y nos permiten asegurarnos que la misma estĂŠ adosada al garaje (ver Figura 5).

Figura 5 44

Seguidamente se crea otra circunferencia con centro en đ??š y radio 3,5, para fijar la altura de la pared (ver Figura 6).

Figura 6 Se sabe que đ??ľ y đ??š son vĂŠrtices del rectĂĄngulo que intentamos construir, por tanto para determinar este polĂ­gono es necesario conocer la ubicaciĂłn de los dos vĂŠrtices restantes. Uno de ellos estĂĄ en la circunferencia centrada en đ??š y a la vez en una recta perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ que pasa por el punto anterior. En consecuencia, si se construye esta recta, la intersecciĂłn de la misma con la circunferencia mencionada proporciona un punto que es el tercer vĂŠrtice del rectĂĄngulo. Esta recta se crea seleccionando la herramienta Perpendicular y haciendo clic en el punto đ??š (por donde pasa la perpendicular) y el đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ (referente de la relaciĂłn). De esta manera, con ayuda de la herramienta IntersecciĂłn, seleccionamos el punto đ??¸ que se ubica por arriba de đ??š, el cual es el tercer vĂŠrtice del rectĂĄngulo (ver Figura 7).

Figura 7 45

â&#x192;Ą que pasa por đ??¸, asĂ­ como tambiĂŠn El Ăşltimo vĂŠrtice se localiza en una recta perpendicular a đ??¸đ??š en otra perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ que pasa por đ??ľ. Para construir estas rectas se utiliza la herramienta Perpendicular, seleccionando el punto por donde pasan y la recta que es referente de la relaciĂłn. Si el cuarto vĂŠrtice se encuentra en ambas rectas, entonces ĂŠste es la intersecciĂłn de las lĂ­neas, llamado đ??ş. Finalmente, con la herramienta PolĂ­gono se dibuja el polĂ­gono đ??ľđ??šđ??¸đ??ş y se hace un cambio de sus propiedades para matizarlo en color mostaza (ver Figura 8).

Figura 7 Reflexiones finales Tras haber realizado la tarea de construcciĂłn del garaje y la pared contigua podemos afirmar que, para lograr construcciones consistentes utilizando el GeoGebra, ha sido imprescindible la utilizaciĂłn de algunos conceptos matemĂĄticos. Para un estudiante liceĂ­sta, enfrentarse a tareas de este tipo es una experiencia de reflexiĂłn, aprendizaje y experimentaciĂłn. Por un lado, implementar la prueba de arrastre como medio de validaciĂłn de nuestras construcciones nos ayudĂł a descubrir caracterĂ­sticas y propiedades de las figuras elaboradas que eran subestimadas, relegadas e incluso desconocidas por nosotros, lo cual contribuyĂł a ampliar nuestra compresiĂłn sobre los objetos matemĂĄticos presentes en la construcciĂłn.

Por otro lado, utilizar la relaciĂłn perpendicularidad entre rectas y las circunferencias como medio para fijar medidas nos permitiĂł obtener una pared acorde con su contraparte en la realidad, aun cuando se manipulen las dimensiones del simulador.

Finalmente, consideramos que el uso de semiplanos para simbolizar el cielo y la tierra resulta en una representaciĂłn que permanecerĂĄ fiel a la realidad sin importar cuĂĄnto se utilice el zoom de alejamiento del GeoGebra. Los retos venideros en la construcciĂłn de este simulador serĂĄn la culminaciĂłn del fondo y la construcciĂłn del sol.

46

Datos de los autores Leonel Barboza Estudiante de 4to Año L. N. Caracciolo Parra León La Cañada de Urdaneta, Venezuela Maryeimi Báez Estudiante de 4to Año L. N. Caracciolo Parra León La Cañada de Urdaneta, Venezuela Leonela Rubio Estudiante de la Licenciatura en Educación mención Matemática y Física Universidad de Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Caracciolo Parra León” leonela.rubio@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/Y_Q1f-MfKm8?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

47

EL BALANCÍN DE POZO PETROLERO Joseph Allen e Ivonne Sánchez Resumen

El presente trabajo describe el procedimiento con el cual se abordó una de las tareas del simulador llamado “El balancín de pozo petrolero” con el GeoGebra. Esta tarea consistió en construir la manivela, destacando la matemática que emergió en la representación de la pieza, entre la que se encuentra la rotación, arcos de circunferencia y polígono.

Abstract

This paper describes the process used to approach one of the tasks of the simulator called “The oil well rocker” with GeoGebra. This task consisted in constructing the crank highlighting the mathematics that emerged in the piece representation, wherein it is found the rotation, arcs and polygon.

Introducción El proyecto de diseño llamado “Balancín de pozo petrolero” se inició en el mes de enero de 2015 como parte de las sesiones de trabajo del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”, ubicado en la ciudad de Maracaibo, Estado Zulia. Con el proyecto se busca simular con GeoGebra el funcionamiento básico del balancín de pozo petrolero, lo que ha supuesto tomar decisiones para dar respuesta a una serie de tareas de construcción con el software.

En este trabajo se describe el procedimiento seguido para resolver solo una de las tareas de la construcción referida a la representación de la manivela del motor, haciendo énfasis en la matemática que ha guiado el proceso de construcción de la pieza. Al inicio del trabajo se describe una breve reseña del balancín de pozo petrolero con el fin de dar a conocer algunas referencias al fenómeno que se simula. Al final se encuentran unas reflexiones finales sobre el papel que tuvo el GeoGebra en el proceso de simulación, la matemática que emergió y el aprendizaje que se obtuvo al atender la simulación.

Sobre el fenómeno El balancín de pozo petrolero es una máquina integrada que utiliza el bombeo mecánico para la extracción del petróleo. Su objetivo es convertir el movimiento angular del eje de un motor a uno ascendente y descendente, con la finalidad de accionar la sarta de cabillas y la bomba de subsuelo; a este movimiento se le conoce como recorrido. El balancín es soportado cerca del centro de gravedad por una estructura llamada poste maestro y el combustible con el cual opera es el gas, el cual lo obtienen del mismo campo en el que es instalado.

Para 1814, en la ciudad de Mene Grande, estado Zulia, se comenzó a utilizar el balancín cuando se perforó el primer pozo, llamado Zumaque 1. La perforación de este pozo marcó el inicio de la comercialización del petróleo en Venezuela. Las Cuencas Petrolíferas más importantes se encuentran en: Maracaibo, Falcón, en el Golfo, Apure, Oriente y Cariaco; siendo estos los principales lugares donde se encuentra petróleo en el país.

48

El balancín seleccionado para este proyecto es el de una “unidad convencional”. Éste es el más antiguo y usado por la industria petrolera en la región debido a su bajo costo y su amplia adaptación a las condiciones de los pozos. A través de los años se han creado otros balancines como el de la unidad Mark II, la balanceadora de aire, los hidráulicos, rotativos, entre otros (ver Figura 1 8).

Figura 1 Las partes del modelo de unidad convencional se pueden diferenciar por el equipo de la superficie y el equipo del subsuelo. Las piezas que conforman al equipo de la superficie son: la manivela, el contrapeso, el motor, cabeza de caballo, freno, cojinete de muñequilla, entre otros (ver Figura 2 9).

Figura 2 8

Fuente: http://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/400-kg-counterweight-center-mass-gmounted-pitman-crank-ab-oil-pumping-unit-figure-1-motor-q5421620 9 Fuente: Adaptación de la imagen original en la Figura 1, con la inserción del nombre de las piezas.

49

Descripción de la tarea Simular el balancín de pozo petrolero supone realizar una serie de tareas donde se representen las piezas de la máquina. En este sentido la primera tarea a describir consistió en construir la manivela del balancín usando el software GeoGebra. Por ser la primera tarea que se llevó a cabo fue conveniente tomar en cuenta algunas cuestiones de partida con la intención de facilitar el proceso de construcción. Estas cuestiones son las siguientes:  Se insertó en la interfaz gráfica del GeoGebra la figura 1, de manera que las construcciones realizadas se apoyaran en la imagen. Posterior a esto, se construyó un deslizador de número llamado “Opacidad”, donde el mínimo valor que toma es 0 y el máximo 1 para manipular este atributo de la imagen. Lo anterior se hizo con el fin de revisar periódicamente el estatus de las construcciones.  Se definió un patrón de medida con el propósito de que todas las construcciones creadas a partir de longitudes y distancias dependan de este patrón. Lo anterior garantiza que al variar la medida patrón se obtengan objetos que mantienen una relación de proporcionalidad con aquellos que se han construidos inicialmente. En este caso, se tomó como medida patrón un segmento, el cual se muestra en color azul en la figura.

La figura 3 muestra el aspecto de la interfaz luego de procurarse estas consideraciones.

Figura 3 Luego de esto, se dio inicio a la construcción de la manivela del balancín identificando en el dibujo lo siguiente: a) El movimiento de la manivela se caracteriza por ser un giro o rotación continua de la pieza con respecto a un punto fijo localizado en uno de sus extremos. Para simular el movimiento se decidió rotar un segmento con respecto a uno de sus extremos. b) El contorno de la manivela posee una forma irregular, esto es, la figura que la representa está compuesta por líneas rectas (segmentos) y curvas (arcos de circunferencia). La construcción de esta figura se hace sobre el segmento anterior para garantizar que toda pieza se mueva según la rotación determinada anteriormente.

50

El movimiento de la manivela La rotaciĂłn es una transformaciĂłn en el plano aplicada a una figura (objeto de la rotaciĂłn), un centro y ĂĄngulo de rotaciĂłn. Para lograr una representaciĂłn grĂĄfica de este movimiento, se ubicĂł un punto đ??ś sobre el freno en la imagen que sirviera de centro de rotaciĂłn. Luego se trazĂł un segmento de longitud fija, en donde uno de sus extremos es đ??ś y su longitud fue definida por el deslizador patrĂłn: Este segmento, llamado đ??śđ??ˇ, serĂ­a el objeto a rotar.

Seguidamente se definiĂł el ĂĄngulo de rotaciĂłn por medio de un deslizador de ĂĄngulo llamado đ?&#x203A;ź con un valor mĂ­nimo de 0° (manivela en posiciĂłn inicial10) y un mĂĄximo de 360° (manivela luego de haber dado un giro completo). Finalmente, utilizando la herramienta RotaciĂłn aplicamos esta transformaciĂłn al segmento đ??śđ??ˇ con centro en đ??ś y ĂĄngulo đ?&#x203A;ź, obteniendo un segmento homĂłlogo al original llamado đ??śđ??ˇâ&#x20AC;˛ (ver Figura 4).

Figura 4

El contorno de la manivela Para dibujar el contorno de la manivela se realizĂł una representaciĂłn de su contrapeso. Se observĂł en la imagen que la parte externa de esta pieza se podĂ­a representar por medio de un arco de circunferencia, construido con el GeoGebra a partir de la herramienta Arco Tres Puntos.

Como su nombre lo indica, esta herramienta requiere la localizaciĂłn de tres puntos en la figura, de los cuales dos son sus extremos. En este caso se observĂł que el tercer punto del arco se correspondĂ­a con đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; por ser este el punto de intersecciĂłn entre el arco a construir y el segmento que representa la manivela.

Para determinar los extremos del arco fue necesario dibujar la circunferencia que lo contiene, lo que suponĂ­a localizar su centro ya que el radio quedaba definido por la distancia entre este punto y đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;. En un principio se supuso que este centro era đ??ś, pero al dibujar la circunferencia se tuvo que ĂŠsta no representaba tan bien al contorno deseado. La pregunta que surgiĂł en ese â&#x192;Ą , ÂżestarĂĄ localizado entre đ??ś y đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; o no? momento fue: si el centro se posa sobre la recta đ??śđ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; 10

La manivela estĂĄ en posiciĂłn inicial cuando el segmento que lo representa coincide con đ??śđ??ˇ 51

Con el fin de dar una respuesta a esta interrogante nos apoyamos en el dinamismo del â&#x192;Ą GeoGebra. En este sentido, se construyĂł la recta đ??śđ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y una circunferencia cuyo centro es un punto libre sobre la recta, al que se llamĂł đ?&#x2018;&#x201A;, y su radio es Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x201A;đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;, de tal manera que al mover đ?&#x2018;&#x201A; sobre la recta, el radio de la circunferencia y su curvatura cambiaban (ver Figura 5). Al mover el punto đ?&#x2018;&#x201A; a la izquierda de đ??ś, la circunferencia obtenida era mĂĄs grande que el contrapeso, por lo tanto, era evidente que el centro buscado se localizaba entre los puntos đ??ś y đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;. Para saber su ubicaciĂłn precisa fuimos variando la posiciĂłn de đ?&#x2018;&#x201A; entre đ??ś y đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;, observando la circunferencia obtenida y comparĂĄndola con el contrapeso. A travĂŠs de esta exploraciĂłn fue posible reconocer que el centro buscado era el punto medio de Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??śđ??ˇÂ´, al que se llamĂł đ??¸ y que fue determinado con la herramienta Medio o Centro.

Figura 5 Conocido el punto đ??¸, se procediĂł a dibujar la circunferencia que coincide con uno de los bordes del contrapeso usando la herramienta Circunferencia (centro, punto). Lo que seguĂ­a era determinar los extremos del arco sobre la circunferencia y para ello se observĂł en la imagen de referencia que estos estaban contenidos en la Mediatriz del segmento đ??¸đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;. Por lo tanto se trazĂł esta mediatriz tal que al intersecarse con la circunferencia permitirĂ­a obtener los puntos đ??š y đ??ş que son los extremos del arco. Al aplicar la opciĂłn Arco Tres Puntos a los puntos đ??š, đ??ş y đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; se logrĂł construir el arco deseado (ver figura 6a).

Figura 6 52

Para dibujar el otro arco de circunferencia, aplicamos una simetrĂ­a axial al arco creado previamente, usando como eje de simetrĂ­a a la mediatriz del segmento đ??¸đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y como herramienta la opciĂłn SimetrĂ­a Axial. Para evitar que se notara la separaciĂłn entre los arcos, se construyĂł el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??şđ??š (ver Figura 6b).

Luego de todo lo anterior, se procediĂł a construir la manivela usando para ello un rectĂĄngulo que pudiera representar parte de la pieza y una semicircunferencia que representarĂĄ su lado curvo. La construcciĂłn del rectĂĄngulo se hizo a partir de la determinaciĂłn de sus vĂŠrtices. En un principio dibujamos la circunferencia de radio đ??¸đ??˝ (đ??˝ es el punto de intersecciĂłn de la mediatriz â&#x192;Ą ) y la centramos en đ??˝ pero, al compararla con la imagen de referencia, de Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??śđ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; con la recta đ??śđ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; ĂŠsta era muy grande para contener a dos de los vĂŠrtices. La curva debĂ­a ser de menor tamaĂąo, lo que nos condujo a dibujar la circunferencia de radio đ??źđ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; (đ??ź es punto medio entre đ??˝ y đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;) centrada en đ??˝, de manera que al intersecarla con la mediatriz se obtuvieran los puntos đ??ž y đ??ť, coincidentes con dos de los vĂŠrtices del rectĂĄngulo (ver Figura 7).

Figura 7 Para determinar los otros vĂŠrtices del rectĂĄngulo dibujamos tres rectas. Dos de estas rectas â&#x192;Ą , una que pasara por đ??ž y la otra por đ??ť. La otra recta serĂ­a paralela a la serĂ­an paralelas a đ??śđ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; mediatriz de đ??¸đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y pasara por đ??ś. La decisiĂłn de trazar paralelas se basĂł en el hecho de que los lados opuestos de un rectĂĄngulo son paralelos e iguales. La manera cĂłmo fueron trazadas estas rectas con el GeoGebra responde al axioma de Euclides que dice: â&#x20AC;&#x153;Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una recta paralela a ella â&#x20AC;?. Es asĂ­ como debĂ­amos hacer clic en el punto por donde pasa la recta paralela y luego en el referente (recta o segmento) de la relaciĂłn.

En la intersecciĂłn de estas rectas estaban contenidos los vĂŠrtices faltantes đ??ż y đ?&#x2018;&#x20AC;. Finalmente con los vĂŠrtices đ??ž, đ??˝, đ??ż y đ?&#x2018;&#x20AC; y usando la herramienta PolĂ­gono se construyĂł el rectĂĄngulo deseado (ver Figura 8).

53

Figura 8 Para construir la semicircunferencia observamos en la imagen que ĂŠsta debĂ­a depender del lado Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??żđ?&#x2018;&#x20AC; del rectĂĄngulo creado anteriormente. MĂĄs aĂşn, este lado es el diĂĄmetro que puede definir a la semicircunferencia, por lo tanto, los puntos đ??ż y đ?&#x2018;&#x20AC; son los extremos de esta figura.

Finalmente, ĂŠsta fue creada con la herramienta Semicircunferencia. Modificamos la opacidad de los arcos de circunferencia, del segmento, el rectĂĄngulo y la semicircunferencia, todos con el mismo color y parecido al que se muestra en la figura 1. Para efectos de presentaciĂłn de la manivela, ocultamos todo lo realizado anteriormente, a excepciĂłn de los arcos de circunferencia, rectĂĄngulo, semicircunferencia, segmento, y el punto đ??ś (ver Figura 9).

Figura 9 54

Reflexiones finales Al culminar el proceso de simulación de la manivela del balancín de pozo petrolero, pudimos concluir que es un proceso muy enriquecedor por tres motivos principales. El primero tiene que ver con toda la matemática que se puede aprender durante la simulación de esta pieza, mediante la reflexión sobre las características esenciales de los objetos matemáticos involucrados en la representación de la manivela. El segundo tiene que ver con el fenómeno en cuestión, ya que su selección ha supuesto más que eso. Los estudiantes deben indagar sobre su origen, sus piezas, su funcionamiento, entre otras cuestiones. Lo anterior supone adquirir un conocimiento extra matemático que es importante para el proceso de simulación. En el caso de esta experiencia, la selección del fenómeno se vio influenciado por el interés en realizar estudios universitarios en el campo de la Ingeniería Petrolera. El tercero tiene que ver con el papel del GeoGebra en todo el proceso de simular la manivela. Sin duda alguna este software es un gran aliado para que los participantes pongan de manifiesto su conocimiento matemático y reflexionen sobre los objetos geométricos que están representados, permitiéndoles manipular y validar las construcciones en tiempo real. Espacios como el Club GeoGebra son una oportunidad más para que los estudiantes y sus promotores aprendan y pongan en práctica la matemática usando tecnologías digitales.

Datos de los autores Joseph Allen Estudiante de 5to Año E.B.N. León de Febres Cordero Maracaibo, Venezuela Ivonne Sánchez Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “León de Febres Cordero” ivonne.sanchez@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/7eXWCmWv34Q?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

55

EL MOTOR DE CUATRO TIEMPOS Yoelby Montiel y Luis Andrés Castillo Resumen

En este trabajo se describe el tratamiento con el cual se abordó una de las tareas propias de la elaboración del simulador de un motor de cuatro tiempos con el GeoGebra. Esta tarea consistió en construir la biela del motor, destacando los conceptos matemáticos que emergen en la elaboración de la pieza, tales como, la rotación, circunferencias, segmentos y relaciones de posición entre rectas, contenidos estos que están contemplados en los programas oficiales de la Educación Media General.

Abstract

In this paper, we describe the treatment used to approach one of the essential tasks in the construction of a four-stroke engine simulator with GeoGebra. This task consisted in building the engine rod, focusing on the mathematical concepts that emerge in piece’s construction, such as rotation, circumference, segments and relationships between lines, contents that are included in the official curriculum of secondary school.

Introducción El Club GeoGebra “Hugo Montiel Moreno” es un espacio educativo no convencional que funciona en el Liceo Bolivariano Hugo Montiel Moreno, ubicado en la parroquia San Rafael de El Moján, Municipio Mara del estado Zulia. Desde este espacio se lleva a cabo el Proyecto de Diseño que se titula “Motor de cuatro tiempos”, iniciado en el mes de febrero del año 2015. El objetivo de este proyecto es simular con GeoGebra el funcionamiento interno de un motor de cuatro tiempos, considerando los tiempos de admisión, compresión, combustión y escape, los cuales son generados por el movimiento de uno o varios pistones. En los siguientes párrafos se describe el procedimiento a seguir para resolver la tarea de construcción de la Biela, haciendo énfasis en las ideas matemáticas que guiaron este proceso, entre las cuales se tiene la rotación, circunferencias, segmentos y relaciones de posición entre rectas. Además se anexa una breve reseña del fenómeno a simular.

El fenómeno Un motor de cuatro tiempos es un tipo de motor de combustión interna, también llamado motor a explosión o a pistón, que obtiene energía mecánica directamente de la energía química de un combustible que arde dentro de la cámara de combustión. Su nombre se debe a que dicha combustión se produce dentro de la propia máquina, a diferencia de, por ejemplo, la máquina de vapor. Este mecanismo se compone de una cámara de combustión cilíndrica, dos conductos (de admisión y de escape) dispuestos en una de las bases que se cierran y abren convenientemente por medio de válvulas en una secuencia, un electrodo (bujía) que permite hacer saltar una chispa en el momento adecuado para iniciar la explosión de los gases acumulados en su interior y una biela que es un elemento mecánico que es sometido a 56

esfuerzos de tracciĂłn o compresiĂłn. Esta Ăşltima pieza transmite el movimiento articulado a otras partes de la mĂĄquina (ver Figura 111).

Figura 1 Actualmente las bielas son un elemento bĂĄsico en los motores de combustiĂłn interna. Ă&#x2030;sta se diseĂąa con una forma especĂ­fica para conectarse con el pistĂłn y el cigĂźeĂąal. Su secciĂłn transversal o perfil puede variar segĂşn la forma que posea, en este caso el motor considerado para la simulaciĂłn tiene una biela con un perfil I. El material del que se fabrica las bielas es de una aleaciĂłn de acero, titanio o aluminio.

Consideraciones sobre la tarea La tarea consistiĂł en construir la biela de un motor de cuatro tiempos ilustrado en la figura 1.

Antes de iniciar esta construcciĂłn fue necesario realizar las siguientes acciones:

Definir un patrĂłn de medida En el caso de este simulador, la medida patrĂłn se asocia a la longitud de la base del â&#x20AC;&#x153;cĂĄrtel del cigĂźeĂąalâ&#x20AC;? (ver Figura 1). Para manipular la plantilla haciendo variar la longitud de esta base se construyĂł un deslizador de tipo nĂşmero, llamado đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;, con valor mĂ­nimo igual a cero (0) y un mĂĄximo de diez (10) unidades. En este momento se decidiĂł ubicar este deslizador y todos los posteriores en la Vista Grafica 2 del GeoGebra, con el fin de evitar la superposiciĂłn de los deslizadores con algĂşn elemento de la construcciĂłn (ver Figura 2). Esta decisiĂłn no impide vincular los deslizadores con los objetos a construir en la primera Vista GrĂĄfica.

La imagen usada como modelo en la simulaciĂłn es una adaptaciĂłn de una imagen original que fue extraĂ­da de: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/13966/Motor%20de%20explosion%20de%204%20ti empos.swf?sequence=2 11

57

Figura 2

Insertar la plantilla Para insertar la plantilla en la Vista GrĂĄfica fue conveniente localizar dos puntos de una forma especial, esto es, que estuvieran contenidos en una recta horizontal y a una distancia entre sĂ­ definida por el deslizador đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;. Estos puntos tienen la funciĂłn de ser los vĂŠrtices inferiores de la plantilla y a su vez las esquinas de la base del cĂĄrtel del cigĂźeĂąal. Para dibujar estos puntos se comenzĂł construyendo un punto đ??´ que se mueve libremente por la Vista GrĂĄfica.

Luego, se trazĂł una recta paralela al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ por đ??´ y seguidamente una circunferencia centrada en este punto y de radio igual a đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;. Al intersectar la recta y la circunferencia se obtuvieron dos puntos de los cuales se decidiĂł trabajar con đ??ľ. Finalmente la plantilla fue insertada con la herramienta Imagen, asociando sus esquinas 1 y 2 con los puntos đ??´ y đ??ľ, respectivamente (ver Figura 3).

Figura 3 58

Vale destacar que, por un lado, la opacidad de la plantilla es controlada por un deslizador de tipo nĂşmero llamado đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;, con un valor mĂ­nimo de cero (0) y un mĂĄximo de uno (1). Por otro lado, la plantilla muestra el momento en que las dos sujeciones y el cigĂźeĂąal estĂĄn alineados, como se muestra en la figura 3. Esto se hizo con la finalidad de facilitar la construcciĂłn.

ConstrucciĂłn de la Biela Tras observar la plantilla fue posible reconocer que la biela podĂ­a ser representada a travĂŠs de un segmento cuyos extremos se posan sobre la sujeciĂłn a la biela y la sujeciĂłn al ĂŠmbolo. La caracterĂ­stica mĂĄs resaltante de este segmento radica en que sus extremos se mueven de una forma muy particular, dado que, mientras que la sujeciĂłn de la biela hace una rotaciĂłn con respecto a un punto fijo sobre el cigĂźeĂąal, la sujeciĂłn al ĂŠmbolo se traslada verticalmente sobre una recta perpendicular a la base del cĂĄrtel del cigĂźeĂąal. De esta manera, la tarea de construir la biela se traduce en localizar los extremos del segmento que la representa. Para lograr esto fue necesario realizar una construcciĂłn auxiliar que facilitara la localizaciĂłn de estos puntos.

Dado que los puntos, la sujeciĂłn a la biela y la sujeciĂłn al embolo estĂĄn alienados en la plantilla, la construcciĂłn auxiliar consistĂ­a en trazar una recta que los contuviera. Una caracterĂ­stica de esta recta es que la misma es perpendicular a la base del cĂĄrtel del cigĂźeĂąal.

ConstrucciĂłn auxiliar Se necesitĂł localizar un punto que estuviera contenido en la recta y en el segmento que representa la base del cartel, en otras palabras, estamos determinando el pie de la perpendicularidad entre ambos objetos geomĂŠtricos. Para esto, con la herramienta Circunferencia (Centro, Radio) trazamos una circunferencia con centro đ??´ y de radio estimado đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; igual al cociente 2.02 . Luego se intersecta la circunferencia y el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ľ, determinando un punto đ??ś, despuĂŠs con la herramienta Recta perpendicular, se levantĂł una perpendicular al segmento como se puede ver en la figura 4.

Figura 4 59

RotaciĂłn de la sujeciĂłn a la biela Para efectuar esta trasformaciĂłn en el plano nos apoyamos de una construcciĂłn auxiliar que facilitara la localizaciĂłn de este punto. Dado que la rotaciĂłn requiere de un centro de rotaciĂłn, para nuestro caso un punto sobre el cigĂźeĂąal, la construcciĂłn auxiliar consistĂ­a en localizar dicho centro. Una caracterĂ­stica de este punto es que el mismo estĂĄ contenido en la perpendicular a la base del cĂĄrtel del cigĂźeĂąal.

ConstrucciĂłn del CigĂźeĂąal Para localizar la posiciĂłn del punto que representarĂĄ al cigĂźeĂąal (centro de la rotaciĂłn de la sujeciĂłn de la biela), se utilizĂł la herramienta Circunferencia (Centro, Radio) para trazar una unidad circunferencia con centro đ??ś y con un radio igual al cociente 2.15 . Algo que acotar es que los denominadores de ĂŠste y otros cocientes presentes en el proceso de la elaboraciĂłn de la biela fueron determinados por estimaciĂłn. Posteriormente al intersectar la recta perpendicular a la base del cĂĄrtel y la circunferencia se obtuvieron dos puntos de los cuales se decidiĂł trabajar con đ??ˇ como se puede observar en la figura 5.

Figura 5 Para ubicar el punto que representarĂĄ a la sujeciĂłn de la biela, se construyĂł una circunferencia unidad con centro đ??ˇ y con un radio de 6.69 , observĂĄndose que dicha curva representa la trayectoria

del movimiento de la sujeciĂłn al cigĂźeĂąal (ver Figura 6). Por esto, se construyĂł un punto, que denominamos đ??¸, sobre la curva. Luego se insertĂł un deslizador de tipo ĂĄngulo, llamado đ?&#x203A;ź, con un valor mĂ­nimo de 0° y un mĂĄximo de 360° y con esto tuvimos todos los elementos para realizar la rotaciĂłn. Posteriormente, se efectuĂł dicha transformaciĂłn al punto đ??¸ con la herramienta RotaciĂłn con centro en đ??ˇ, ĂĄngulo đ?&#x203A;ź y sentido horario, obteniendo un punto đ??¸â&#x20AC;&#x2122; 60

(extremo inferior de la biela). Al aplicar la AnimaciĂłn automĂĄtica sobre el deslizador, se logrĂł la simulaciĂłn del movimiento de la sujeciĂłn de la biela requerido.

Figura 6

TraslaciĂłn de la sujeciĂłn al ĂŠmbolo Para determinar el otro extremo del segmento que representa a la biela, era necesario localizar el punto que esta sobre la sujeciĂłn al ĂŠmbolo. En este sentido, con la herramienta Circunferencia (Centro, Radio) se construyĂł una circunferencia con centro đ??¸â&#x20AC;˛ y con un radio unidad igual al valor 2.1 , observĂĄndose que dicha circunferencia es la mĂĄs prĂłxima a contener el punto sobre la sujeciĂłn al ĂŠmbolo. Al intersectar esta curva y la recta que pasa por đ??ś se obtuvieron dos puntos, de los cuales decidimos trabajar solo con đ??š que determina el otro extremo de la biela (ver Figura 7).

Figura 7 Luego con la herramienta segmento se construyĂł el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??¸â&#x20AC;˛đ??š y con esto la tarea queda concluida. Se agregĂł un deslizador, denominado đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;, de tipo nĂşmero con un valor mĂ­nimo de cero (0) y un mĂĄximo de treinta (30) con la finalidad de variar la velocidad del deslizador đ?&#x2018;&#x17D;, controlando asĂ­ el movimiento de la đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; (ver Figura 8).

61

Figura 8 Reflexiones Finales Al haber transcurrido por el proceso de simular la biela del motor de cuatro tiempos con el GeoGebra, pudimos concluir que es un proceso complejo pero muy significativo por el hecho de redescubrir y aprender la matemática vinculada a la acción de simular esta pieza. Las actividades desarrolladas para lograr la elaboración de cualquier simulador deben poner a sus participantes a reflexionar sobre las características esenciales de los objetos matemáticos escolares con los cuales sustentarán las construcciones para lograr la simulación. En este escenario, el GeoGebra tiene un rol muy importante, debido a la naturaleza dinámica que ofrece para representar los conceptos matemáticos mediante construcciones que pueden manipularse y con ellas explorar para generar conjeturas sobre sus cualidades, las cuales pueden ser validadas en el acto. El Club GeoGebra representa un espacio educativo no convencional en el cual los involucrados (promotores, participantes, profesores aliados) tienen la oportunidad de potenciar su comprensión de estos objetos y reconocer que la matemática va más allá de solo representaciones algebraicas, geométricas, numéricas o tabulares plasmadas en un pizarrón.

Datos de los autores Yoelby Montiel Estudiante de 5to Año U.E.N. Bol. Hugo Montiel Moreno San Rafael de El Moján, Venezuela Luis Andrés Castillo Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotor del Club GeoGebra “Hugo Montiel Moreno” luis.castillo@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/6nDvuVQLbQg?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs. 62

¿CÓMO FUNCIONA UN RELOJ DE PÉNDULO? Cesar García y Stephanie Díaz Resumen

En este trabajo se describe el procedimiento seguido para dar solución a una de las tareas de construcción que corresponden al simulador de un reloj de péndulo, utilizando para ello el software GeoGebra. La tarea consiste en elaborar el engranaje que marca los segundos en el reloj. La misma es descrita destacando la Matemática que guió el proceso de construcción: circunferencia, ángulo central, triángulos y rotación.

Abstract

In this paper, we describe the process that took place in one of the tasks solution for the construction of the pendulum clock simulator with the software GeoGebra. This task consists in producing the gear that indicates the seconds on the clock. It is explained emphasizing the Mathematics behind the construction process: circumference, central angle, triangles and rotation.

Introducción Durante el mes de febrero del 2015 se dio inicio al proyecto de diseño llamado ¿Cómo funciona un Reloj de Péndulo?, el cual se desarrolla en el Club GeoGebra “Raúl Osorio” de la ciudad de San Francisco en el estado Zulia. El objetivo de este proyecto es simular con el GeoGebra el funcionamiento del mecanismo interno de un reloj de péndulo, considerando solo el movimiento de los engranajes. Aunque esta misión requiere atender a una serie de tareas de diseño, en el trabajo se describe solo el procedimiento llevado a cabo para simular al engranaje que marca los segundos, destacando las ideas matemáticas detrás de este proceso. La descripción se apoya en una breve reseña del fenómeno con la finalidad de brindar una panorámica del funcionamiento del mecanismo y al final se plantean unas reflexiones de cierre sobre la experiencia de simulación con el GeoGebra.

Sobre el fenómeno del Proyecto de Diseño El fenómeno a simular es el mecanismo interno de un reloj de péndulo. Este tipo de relojes emplea un péndulo como su manera de medir el paso del tiempo (ver Figura 112). Desde su invención en 1656 por el Holandés Christian Huygens y durante la década de 1930 el reloj de péndulo era considerado el aparato más preciso para medir el tiempo, hasta la llegada del reloj de cuarzo. Durante la década de los 40 este dispositivo empezó a ser reemplazado en los hogares por el reloj eléctrico que proporcionaba a los usuarios la hora con mayor exactitud porque estaba sincronizado con la oscilación de la red eléctrica. El reloj de péndulo más preciso hasta el año 2007 era el reloj experimental Littlemore, construido por Edward T. Hall en la década de 1990 y donado al Museo del Reloj de Columbia en el año 2003.

12

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_I2Scpuz55bg/TVKduBI8MJI/AAAAAAAACNg/1CV0Khj0BD4/s1600/reloj-dependulo.jpg.

63

Figura 1 La parte interna de un reloj de péndulo está compuesta por tres engranajes, a saber, (i) aquel que marca los segundos, (ii) el que marca los minutos y (iii) el que marca las horas. Su péndulo es un peso suspendido de una cuerda que oscila por el aire, donde el tiempo que hay entre una oscilación y la que sigue depende de la longitud de la cuerda que suspende al péndulo y de la gravedad. El retroceso, también conocido como escape de áncora, es lo que permite el avance fijo del mecanismo por cada oscilación del péndulo. Y la pesa, que está colgando de los engranajes, es de quien proviene la energía de este sistema (ver Figura 2).

Figura 2 Consideraciones para la elaboración del simulador Para la simulación de este fenómeno se tomaron en cuenta tres consideraciones iniciales: (i) la ubicación de la imagen del fenómeno en la vista gráfica del software, (ii) el uso de una medida patrón y (iii) la decisión de por cuál tarea comenzar la simulación.

64

Con respecto a la primera, al insertar la imagen en la vista grĂĄfica, el GeoGebra automĂĄticamente asigna un punto del plano a cada una de las esquinas inferiores de la imagen de fondo. Las coordenadas de estos puntos fueron modificadas a conveniencia para situar el punto de la izquierda en el origen del sistema cartesiano y el otro en la posiciĂłn (4,0). La imagen fue vinculada a un deslizador de tipo nĂşmero, llamado đ?&#x2018;&#x17D;, con el cual era posible variar la opacidad de la imagen con la intensiĂłn de revisar periĂłdicamente el estado de las construcciones que se estarĂ­an realizando.

En cuanto a la segunda consideraciĂłn, se definiĂł una medida patrĂłn de la cual dependen todas las construcciones que tienen medidas de longitud o distancias. Para definirla se creĂł un deslizador de tipo nĂşmero llamado đ?&#x2018;? con un intervalo de 1 a 5, destacando que el valor inicial coincide con la unidad de medida predeterminada por el software.

Finalmente, la Ăşltima consideraciĂłn se refiere a la decisiĂłn de comenzar el simulador de este fenĂłmeno con la construcciĂłn del engranaje que marca los segundos debido a que esta pieza es la que genera el movimiento inicial del mecanismo.

ConstrucciĂłn del engranaje Tras observar el funcionamiento del engranaje en la imagen de referencia y luego de discutir sobre las posibles formas de abordar la tarea, se decidiĂł responder a la tarea de la construcciĂłn en dos etapas. La primera etapa consistĂ­a en reproducir el movimiento de la pieza teniendo en cuenta el giro que ĂŠsta realiza en torno al eje del engranaje. La segunda etapa consistiĂł en representar al engranaje a partir del movimiento obtenido en la etapa anterior. Ambas etapas se explican a continuaciĂłn.

Etapa 1. Simulación del movimiento El giro de la pieza fue representado a travÊs del ångulo central de una circunferencia identificada a partir de la forma del engranaje. Para dibujar el ångulo fue necesario determinar esta circunferencia, es decir, definir su centro y radio. El centro de la circunferencia sería el vÊrtice del ångulo. En relación a los lados de la figura, se observó en el dibujo que el ångulo formado por estos iba incrementando su valor de manera indefinida con el movimiento de la pieza. Se notó ademås que cada 360° el ångulo volvía a su posición inicial, lo que nos llevó a definir su amplitud mediante el establecimiento de un intervalo de 0° a 360°. Definir al ångulo de esta manera condicionaba la posición de sus lados, en el sentido de mantenerse uno fijo mientras el otro se mueve según la amplitud cambiase de valor.

A partir de estas precisiones, se dio inicio a la construcciĂłn por la circunferencia que contiene al ĂĄngulo central. Usando la herramienta Circunferencia (centro, radio) se construyĂł la curva đ?&#x2018;? con 4 centro en đ??´ (un punto localizado en el eje del engranaje) y radio estimado de 10 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? para hacer coincidir la lĂ­nea con el borde interno del engranaje. A conveniencia, el lado fijo del ĂĄngulo se asumiĂł con una direcciĂłn horizontal, razĂłn por la cual se trazĂł una recta perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś que pasara por el punto đ??´. Esta recta se muestra punteada en la figura 3. A partir de la intersecciĂłn de esta recta con la circunferencia đ?&#x2018;? se seleccionĂł al punto đ??ˇ, localizado a la derecha de đ??´, el cual serĂ­a un lateral del ĂĄngulo central.

65

Figura 3 La amplitud del ĂĄngulo central fue representada a travĂŠs de un deslizador de tipo ĂĄngulo, llamado đ?&#x203A;ź, cuyo valor mĂ­nimo es 0° y mĂĄximo 360°. La selecciĂłn de estos valores se hizo atendiendo a un giro completo del ĂĄngulo. Luego de esto, con la herramienta Ă ngulo dada su amplitud se seleccionĂł al punto đ??ˇ que representa el lateral del ĂĄngulo, đ??´ es su vĂŠrtice y đ?&#x203A;ź es la amplitud requerida por el software (ver Figura 4). De manera automĂĄtica el software generĂł al punto đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; que representa el otro lateral del ĂĄngulo. El lado mĂłvil se construyĂł a partir de una recta que pasara por đ??´ y đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;. Para validar la construcciĂłn, se activĂł AnimaciĂłn al deslizador đ?&#x203A;ź obteniendo como resultado el movimiento del engranaje.

Figura 4

Etapa 2. RepresentaciĂłn del engranaje La representaciĂłn del engranaje se hizo a partir de la construcciĂłn de la parte interior y exterior de la pieza (los dientes del engranaje). La parte interior se representĂł a travĂŠs de dos diĂĄmetros 66

de la circunferencia đ?&#x2018;?, perpendiculares entre sĂ­. Se decidiĂł que uno de estos diĂĄmetros estuviera contenido en la recta Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; para garantizar el movimiento de la pieza. Uno de sus extremos era đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y el otro, llamado đ??š, se obtuvo a partir de la otra intersecciĂłn entre la recta Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y la circunferencia đ?&#x2018;?. El segundo diĂĄmetro debĂ­a estar contenido en la recta perpendicular a Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; por el punto đ??´. Esta recta, llamada đ?&#x2018;&#x2013;, se trazĂł con la herramienta Perpendicular y luego se intersecĂł con la circunferencia đ?&#x2018;?, obteniĂŠndose los puntos đ??¸ y đ??ş que son los extremos de dicho segmento. Para finalizar esta parte se utilizĂł la herramienta Segmento para construir los diĂĄmetros Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;đ??š y Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??¸đ??ş (Figura 5). A estos diĂĄmetros se les aumentĂł el grosor para lograr una apariencia parecida a la de la imagen.

Figura 5 Para la construcciĂłn de la parte exterior del engranaje se observĂł que los dientes de la pieza se podĂ­an representar a travĂŠs de triĂĄngulos, segĂşn la imagen de referencia. Dado que este engranaje posee 30 dientes se tuvo que construir 30 triĂĄngulos. Estos tienen la misma forma y tamaĂąo, y a su vez bordean la parte exterior de esta pieza, por lo cual era posible utilizar la nociĂłn de rotaciĂłn de una figura plana para lograr esta construcciĂłn. En este caso, la rotaciĂłn se aplicarĂ­a a un primer triĂĄngulo previamente construido y luego al homĂłlogo inmediato, hasta completar los 30 triĂĄngulos.

Para aplicar la primera rotaciĂłn se necesitĂł el objeto a rotar (triĂĄngulo), el centro (punto đ??´) y el ĂĄngulo de rotaciĂłn. Para la construcciĂłn del triĂĄngulo, fue necesario localizar sus vĂŠrtices. Se observĂł que dos de ellos estĂĄn sobre la circunferencia en la cual se posan todos los triĂĄngulos que representan a los dientes. El tercer vĂŠrtice se encuentra en la circunferencia cuya diferencia entre la medida de su radio y la del radio de la circunferencia anterior coincide con una altura del triĂĄngulo.

Partiendo de estas ideas, se construyĂł una circunferencia, llamada đ?&#x2018;&#x2018;, concĂŠntrica en đ?&#x2018;? y con un 6 radio estimado de 11 đ?&#x2018;?. Al hallar la intersecciĂłn de esta circunferencia con la recta Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;đ??´ se obtuvo el punto đ??ť, uno de los vĂŠrtices del triĂĄngulo. El segundo vĂŠrtice se obtuvo al rotar a đ??ť un ĂĄngulo estimado de 7° con respecto al punto đ??´, creĂĄndose asĂ­ el punto đ??ťâ&#x20AC;&#x2122;. Para hallar el 67

tercero, se construyĂł una circunferencia llamada đ?&#x2018; con centro en đ??´ con un radio estimado de 7 đ?&#x2018;? y se determinĂł el corte de estĂĄ con la recta Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;đ??´, obteniĂŠndose el punto đ??ź. Luego, se aplicĂł 11

la herramienta PolĂ­gono a los puntos đ??ť, đ??ťâ&#x20AC;&#x2122; e đ??ź para construir el triĂĄngulo deseado. Para determinar el ĂĄngulo de rotaciĂłn de este triĂĄngulo, de dividiĂł 360° entre 30 que representa la cantidad de triĂĄngulos que bordeaban a la circunferencia đ?&#x2018;?, obteniendo como resultado 12°.

Por tanto, el triĂĄngulo fue rotado 12° con respecto al punto đ??´, obteniendo una figura homĂłloga que representarĂ­a otro diente del engranaje (ver Figura 6).

Figura 6 Este procedimiento se repitiĂł unas 28 veces mĂĄs, y de esa manera se obtuvieron todos los dientes del engranaje. Manipulando convenientemente la opacidad de la figura y cambiando la apariencia de los triĂĄngulos y las circunferencias, se obtuvo una representaciĂłn del engranaje como se muestra en la figura 7.

Figura 7 68

Consideraciones finales Atender la tarea descrita a lo largo de este trabajo representó una ocasión importante para usar ciertas ideas matemáticas que están implícitas en la simulación del movimiento y la representación del engranaje que marca los segundos. Sin duda alguna, identificar la ubicación de los triángulos a través de una rotación fue verdaderamente importante para poder ubicar cada triángulo de manera que, su apariencia y ubicación, fuera muy similar a la de los dientes del engranaje. Además, el trabajo con las rectas perpendiculares que contienen dos diámetros de una de las circunferencias fue esencial para representar la parte interna de esta pieza. Luego de esta tarea, el nuevo reto de los autores es representar el resto de los engranajes y que el movimiento de los mismos dependan uno del otro, tal cual como lo es en la vida real.

Datos de los autores César García Estudiante de 5to Año U.E.N. Bol. Raúl Osorio San Francisco, Venezuela Stephanie Díaz Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio” stephanie.diaz@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://www.youtube.com/watch?v=30mDZ2j_Dgk.

69

MARCADORA DE PAINTBALL Christianh Griman, Daneimy Medina y Rafael Gutiérrez Resumen

En este documento se describe el proceso que se ha seguido para resolver la primera tarea vinculada a la elaboración del simulador de una marcadora de paintball con el software GeoGebra. Esta tarea consistió en construir la empuñadura de la marcadora, lo cual representó una oportunidad para abordar algunas ideas matemáticas: polígonos, relaciones de posición entre rectas en un plano, rotación y simetría de figuras planas.

Abstract

This document describes the process for solving the first task related with the construction of a paintball gun simulator with the software GeoGebra. This task consisted in building the gun grip, which represented an opportunity to work some mathematical ideas like polygons, relationships between lines, rotation and symmetry.

Introducción El proyecto de diseño “Marcadora de Paintball” se inició en diciembre del 2014, como parte de las actividades del Club GeoGebra conformado en las instalaciones de la E.T.C.R. “Hermágoras Chávez”, en Cabimas. El objetivo de este proyecto es simular el funcionamiento interno de una marcadora de paintball con el GeoGebra. En este documento se describe el proceso de construcción de la empuñadura de la marcadora, resaltando los conceptos matemáticos trabajados (polígonos, relaciones de posición entre rectas en un plano, entre otros). Se incluyen además un apartado dedicado a la contextualización del fenómeno que ha sido seleccionado para la simulación y unas consideraciones de la experiencia al final del documento.

Contexto del fenómeno a simular El fenómeno seleccionado para llevar a cabo la simulación es la marcadora de paintball, un dispositivo accionado por aire comprimido que sirve para disparar pequeñas bolas rellenas de pintura. Aunque en sus inicios las marcadoras fueron utilizadas para “marcar” animales y árboles en las granjas, en otros contextos, este dispositivo tiene usos más recreativos, como en el caso del “juego de caza” entre 2 o más amigos (ver Figura 1).

Figura 1 70

Como juego de estrategia, el paintball consiste en enfrentar varios equipos con el fin de obtener posesión de un objeto (bandera) o la caza del equipo contrario. El nombre de este dispositivo fue dado por la National Survival Game, pasando con los años a llamarse “paintball”.

Actualmente, los países donde este deporte es más practicado son Estados Unidos, España, México, Brasil, Chile, Perú, Argentina, Uruguay, Venezuela, Ecuador y Colombia. Una de las partes que componen a una marcadora de paintball es la empuñadura, pieza por la cual se toma al dispositivo para ser utilizado. Se ha decidido iniciar la elaboración del simulador por la construcción de esta pieza, por lo cual corresponde en este documento la descripción del proceso de resolución de esta tarea en el entorno del software GeoGebra.

Construcción de la empuñadura Para resolver esta tarea fue necesario considerar algunas cuestiones que facilitaran el proceso de construcción de la empuñadura. Estas cuestiones fueron las siguientes:  Insertar, en la vista gráfica del GeoGebra, la imagen de la marcadora de paintball seleccionada en la primera fase del proyecto (ver Figura 2)13, de manera que ésta sirviese de guía al momento de realizar las construcciones necesarias “sobre la imagen”. La opacidad de esta imagen es controlada por un deslizador llamado “Opacidad” con el cual es posible revisar el estado de la construcción las veces que se requiera.  Definir una medida de longitud que sirviera como “patrón” para la construcción de todos los elementos que dependen de distancias o longitudes, a fin de controlar el tamaño del dibujo.

Esta medida viene dada por un intervalo de valores reales que va de 1 a 5, de manera que a cada valor le corresponde un tamaño específico del dibujo. Para representar este intervalo se construyó un deslizador de número llamado “p” (ver Figura 2).

Figura 2 Una vez resaltado lo anterior, se dio inicio a la construcción de la empuñadura. Para ello, lo primero que se hizo fue identificar el objeto geométrico que mejor representara el contorno de esta pieza. Tras observar la empuñadura en la imagen de fondo fue posible asociar su forma con la de un polígono irregular de 12 lados (un dodecágono), lo cual conllevó a construir un 13

Fuente: http://www.gifsde.com/uploads/c52a94_aegdiagramow4.gif. Fecha de consulta: 23/11/2014.

71

polĂ­gono de este tipo que representara a la empuĂąadura. Dado que construir un polĂ­gono en el software supone determinar todos sus vĂŠrtices geomĂŠtricamente, el problema de dibujar la empuĂąadura de la marcadora se transformaba en un problema matemĂĄtico que consistĂ­a en determinar la localizaciĂłn de los vĂŠrtices del dodecĂĄgono y luego dibujar esta figura geomĂŠtrica con alguna de las herramientas del GeoGebra. Un anĂĄlisis sobre las caracterĂ­sticas de este polĂ­gono sirviĂł para identificar que todo par de lados consecutivos de esta figura son perpendiculares entre sĂ­, hecho que influirĂ­a en la toma de decisiones al momento de realizar las construcciones en cuestiĂłn.

Partiendo de estas ideas, se decidiĂł iniciar la construcciĂłn colocando un punto đ??´ sobre una de las â&#x20AC;&#x153;esquinasâ&#x20AC;? de la marcadora en la imagen, que se considerĂł como el primer vĂŠrtice del dodecĂĄgono (ver Figura 3a). Para localizar el siguiente vĂŠrtice, contiguo a đ??´, se trazĂł una 3 circunferencia "c" centrada en đ??´ con un radio estimado de 2 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?. Dado que el lado del dodecĂĄgono definido por estos vĂŠrtices no tenĂ­a una direcciĂłn especial (horizontal o vertical) como para apoyarse en alguna recta paralela o perpendicular a un eje coordenado, se decidiĂł realizar una â&#x20AC;&#x153;construcciĂłn auxiliarâ&#x20AC;?: trazar una recta paralela al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ, llamada đ?&#x2018;&#x17D;, que pasara por đ??´ (ver Figura 3b). La intersecciĂłn de esta recta con đ?&#x2018;? generaba un punto đ??ľ que, al ser rotado a un ĂĄngulo determinado con respecto a đ??´, se obtendrĂ­a el segundo vĂŠrtice. En base a ello, se aplicĂł una rotaciĂłn al punto de corte đ??ľ a un ĂĄngulo estimado de 68Âş con respecto a đ??´ en sentido contra horario, obteniendo asĂ­ el segundo vĂŠrtice đ??ś (ver Figura 3c).

Figura 3 â&#x192;Ą que pasaba por El siguiente vĂŠrtice, contiguo a đ??ś, se localizaba en la recta perpendicular a đ??´đ??ś â&#x192;Ą se trazĂł la perpendicular a ĂŠsta đ?&#x2018;&#x201C; que pasara por đ??ś y una đ??ś. Luego de dibujar a đ??´đ??ś 1 circunferencia đ?&#x2018;&#x2018; centrada en este punto con un radio estimado de â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?, la cual se interceptĂł 6

con đ?&#x2018;&#x201C;. De los dos puntos obtenidos se seleccionĂł a đ??ˇ como el vĂŠrtice en cuestiĂłn (ver Figura 4a). El cuarto vĂŠrtice, contiguo a đ??ˇ, se localizaba en la recta perpendicular a đ?&#x2018;&#x201C; que pasaba por đ??ˇ. Luego de dibujar esta recta se trazĂł una circunferencia đ?&#x2018;&#x201D; centrada en đ??ˇ con un radio 1 estimado de 13 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?. Luego de intersectar estos dos objetos, se seleccionĂł a đ??¸ como el siguiente vĂŠrtice del dodecĂĄgono (ver Figura 4b). El quinto vĂŠrtice, contiguo a đ??¸, se ubicaba en la recta que pasaba por este punto, paralela a â&#x192;Ąđ??śđ??ˇ. Luego de dibujar esta recta, se trazĂł una 72

circunferencia đ?&#x2018;&#x2DC; centrada en đ??¸ de radio

127 200

â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?. De los dos puntos obtenidos por la intersecciĂłn

de estos objetos se seleccionĂł a đ??š como el siguiente vĂŠrtice (ver Figura 4c).

Figura 4 â&#x192;Ą por đ??š. AdemĂĄs, se EL siguiente vĂŠrtice, contiguo a đ??š, se localizaba en la recta paralela a đ??ˇđ??¸ notĂł que dicho vĂŠrtice estaba alineado con los vĂŠrtices đ??ś y đ??ˇ. De esta forma, este vĂŠrtice podĂ­a â&#x192;Ą por đ??š. Al dibujar esta Ăşltima determinarse con la intercepciĂłn entre â&#x192;Ąđ??śđ??ˇ y la recta paralela a đ??ˇđ??¸ recta e interceptarla con â&#x192;Ąđ??śđ??ˇ, se seleccionĂł al punto de corte đ??ş como el siguiente vĂŠrtice del dodecĂĄgono (ver Figura 5a). En esta instancia de la construcciĂłn se notĂł que el dodecĂĄgono es simĂŠtrico con respecto a la mediatriz del lado Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??¸đ??š , lo que llevĂł a transportar la medida de los radios de las circunferencias trazadas con la herramienta CompĂĄs. En base a ello, para hallar el siguiente vĂŠrtice se transportĂł el radio de đ?&#x2018;&#x2018; y se centrĂł la circunferencia generada đ?&#x2018;&#x17E; en đ??ş.

Luego de intersectar a đ?&#x2018;&#x17E; con â&#x192;Ąđ??ˇđ??ś , se seleccionĂł a đ??ť como el siguiente vĂŠrtice (ver Figura 5b). De igual manera, el siguiente vĂŠrtice se hallĂł transportando el radio de đ?&#x2018;? y centrando la â&#x192;Ą circunferencia generada đ?&#x2018;&#x; en đ??ť. Dado que este vĂŠrtice se localizaba en la recta paralela a đ??´đ??ś por đ??ť, se trazĂł dicha recta y se interceptĂł con đ?&#x2018;&#x;. De los dos puntos obtenidos, se seleccionĂł a đ??ź como el vĂŠrtice en cuestiĂłn (ver Figura 5c).

Figura 5 Para hallar los Ăşltimos cuatro vĂŠrtices del polĂ­gono se ha seguido el mismo proceso de construcciĂłn descrito. Una vez obtenido todos los vĂŠrtices, se dibujĂł el dodecĂĄgono con la herramienta PolĂ­gono siguiendo la secuencia A-C-D-E-F-G-H-I-J-K-L-M-A, dando por concluida la tarea de construir la empuĂąadura de la marcadora (ver Figura 6).

73

Figura 6 Reflexiones finales Para los autores de este trabajo, resolver la tarea descrita en el texto ha representado una oportunidad distinta y agradable de trabajar los conceptos y relaciones matemáticas emergidas durante la simulación. Sin lugar a dudas, identificar la perpendicularidad entre los lados consecutivos del dodecágono representó un aspecto fundamental al momento de localizar sus vértices con precisión. Asimismo, el trabajo con las circunferencias resultó un punto clave para fijar las distancias en las cuales se podían determinar los vértices del polígono en cuestión.

Partiendo de lo construido, el reto inmediato es simular las partes del fenómeno que poseen dinamismo, en especial, la representación del resorte de la marcadora.

Datos de los autores Christianh Griman Estudiante de 5to Año mención Informática E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela Daneimy Medina Estudiante de 5to Año mención Contabilidad E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela Rafael Gutiérrez Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez” rafael.gutierrez@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/Qs1UToWnAHs?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs 74

LA MÁQUINA DE VAPOR MODELO WATT Luis Daniel Montilla y Jhorfy Reyes Resumen

En el presente trabajo se muestra una serie de procedimientos que describen la solución a una tarea de construcción relacionada con el simulador de una máquina de vapor modelo Watt, usando el software GeoGebra. La tarea contempla la construcción de cuatro partes del mecanismo dinámico de la máquina, a saber, la manivela, biela, vástago de pistón y algunos avances del pistón. También, se intenta realizar una descripción que devele la matemática implícita en la construcción de cada pieza, empleando herramientas del software que responden a cierta teoría geométrica, tal como, los conceptos de circunferencia, recta, segmento y polígono.

Abstract

In this paper we show a series of procedures that describe the solution to a task associated with the simulator building a Watt steam machine model, using the software GeoGebra. The task includes the construction of four parts of the dynamic mechanism of the machine, namely the crank, connecting rod, piston rod and piston some progress to describe to unveil the underlying mathematics in the construction of each piece, using software tools that meet certain geometric theory includes the concepts of circle, line, segment and polygon.

Introducción En el mes de Junio del 2014 se dio inicio formalmente al proyecto de diseño que lleva por nombre “Máquina de vapor modelo Watt”. El mismo es desarrollado desde el Club GeoGebra “Alejandro Fuenmayor” que funciona en la institución con el mismo nombre en la ciudad de Maracaibo, estado Zulia. El objetivo de este proyecto es simular con el GeoGebra el comportamiento de la máquina de vapor, lo que amerita atender a una serie de tareas de diseño y construcción con el software que se van dando en la marcha. En esta ocasión hemos seleccionado una de estas tareas para describir el proceso de su construcción, con el fin de dar a conocer las ideas matemáticas detrás de este proceso. La descripción del proceso se fundamenta en un breve relato del fenómeno con el propósito de brindar una mejor perspectiva sobre la construcción de las partes.

Sobre el fenómeno a simular La máquina de vapor es un motor de combustión externa que transforma la energía térmica de cierta cantidad de agua en energía mecánica y funciona en dos etapas. En la epata 1, una cierta cantidad de vapor a alta presión ingresa por el ducto señalado con la flecha roja en la figura 114, de tal manera que cuando el vapor llega, la alta presión hace que las válvulas se abran en dirección paralela al ducto por el que pasa el vapor hacia la zona de cilindraje. Por esta razón se observa en la imagen un pequeño enrojecimiento en el pistón.

14

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_vapor.

75

Figura 1 En la etapa 2, la manipulaciĂłn de las vĂĄlvulas hace que el vapor salga a travĂŠs del ducto seĂąalado con una flecha azul (ver Figura 1). En la imagen se observa la presencia de una vĂĄlvula que se desliza constantemente hacia arriba y abajo. En el momento en que el pistĂłn se encuentra en el extremo izquierdo es cuando el vapor sale de la zona de cilindraje y vuelve a ingresar, realizando un proceso cĂ­clico. De todo esto, nos llamĂł poderosamente la atenciĂłn el funcionamiento del mecanismo que hacia mover la rueda, especĂ­ficamente cĂłmo el movimiento de vaivĂŠn del pistĂłn se transformaba en movimiento circular. Luego de esto, decidimos asumir el reto de simular esta parte del mecanismo.

Consideraciones iniciales para la construcciĂłn Para dar respuestas a las tareas de construcciĂłn fue necesario tener en cuenta los siguientes aspectos de la construcciĂłn: ď&#x201A;ˇ

La imagen de la figura 1, seleccionada en la fase 1 del proyecto, se insertĂł en la Vista GrĂĄfica del GeoGebra para guiar la construcciĂłn de las partes de la grĂşa. En este sentido, la imagen actĂşa como referente para las construcciones

ď&#x201A;ˇ

A conveniencia se construyeron los puntos đ??´ y đ??ľ para anclar la imagen â&#x20AC;&#x201C;modelo del fenĂłmeno- a la vista grĂĄfica del GeoGebra, de manera que đ??´ fue localizado en el origen del sistema de coordenadas y đ??ľ se situĂł en la rama positiva del đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś. Luego de esto, se hizo corresponder el punto đ??´ con la esquina inferior izquierda de la imagen y el punto đ??ľ con la esquina superior izquierda. Seguidamente se construyĂł el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ľ, llamado đ?&#x2018;? por el software, cuya funciĂłn en la simulaciĂłn es la de servir de patrĂłn a la construcciĂłn de objetos con longitudes o distancias determinadas, relacionĂĄndolas con la longitud de este segmento de manera proporcional. Por Ăşltimo, la opacidad de la imagen fue controlada por un deslizador, llamado đ?&#x2018;&#x17D;, que se ha creado para revisar el estatus de la construcciĂłn (ver Figura 2).

76

Figura 2 

La tarea descrita en este trabajo se realizó luego de atender a otras tareas de construcción previa. Por esta razón la imagen de partida para este caso incluye el producto de algunas construcciones de partes fijas del mecanismo, realizadas con anterioridad. Las mismas fueron la base o piso y la camisa por donde se desplaza el vástago del pistón unido a la biela (ver Figura 3).

Figura 3 Descripción de una tarea del simulador De todas las tareas de la elaboración del simulador, hemos decidido mostrar cómo funciona una parte del mecanismo a través de la representación de cuatro piezas de la máquina interconectadas. En otras palabras, construimos la manivela, la biela, el vástago del pistón y el avance del pistón, otorgarles movimiento (ver Figura 4).

77

Figura 4

ConstrucciĂłn de la manivela Para la construcciĂłn de la manivela, lo primero fue preguntarnos: ÂżquĂŠ objeto geomĂŠtrico puede representar mejor esta pieza? Tras observar la imagen, se decidiĂł por el segmento. Esto nos llevĂł a interesarnos por la localizaciĂłn de los extremos de la figura en la pantalla y estudiar sus cualidades. En el dibujo de fondo se observĂł que un extremo de la manivela (el punto đ??´1 ) permanecĂ­a en la misma posiciĂłn, mientras que el otro extremo realizaba un movimiento circular alrededor del primero. Al hacer esto, el extremo mĂłvil podĂ­a dibujarse sobre una circunferencia centrada en đ??´1 pero, necesitĂĄbamos conocer su radio que, por cierto, debĂ­a depender de la medida patrĂłn.

Para determinar el valor del radio nos apoyamos en las prĂĄcticas realizadas con el simulador de la â&#x20AC;&#x153;GrĂşa Torreâ&#x20AC;? (tercera ponencia en estas memorias); en la cual, la opciĂłn Cuadricula del GeoGebra fue de gran ayuda para estimar distancias o radios de circunferencias. Durante este momento, luego de activar esta opciĂłn, observamos que la medida patrĂłn abarcaba 6 lados de unidades de cuadrĂ­cula (ver Figura 5).

Figura 5 78

Por simple inspecciĂłn, la distancia entre el extremo mĂłvil y el punto đ??´1 abarcaba, al parecer, la mitad de la longitud de un lado de una unidad-cuadrado- de la cuadrĂ­cula, esto es, la mitad de la longitud de un lado de la unidad, como lo muestra la figura 5. Para lograr la consistencia en đ?&#x2018;? la construcciĂłn se tuvo que dividir entre 2 cada unidad contenida por la medida patrĂłn ( 6) y, como la distancia entre đ??´1 y el extremo mĂłvil comprendĂ­a un lado de unidad, decidimos establecer esta relaciĂłn de la siguiente manera: đ?&#x2018;?

1

6

12

( á 2) â&#x2C6;&#x2122; 1 =

â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?.

Al tomar este valor como el radio de la circunferencia centrada en đ??´1 , a la que llamamos đ?&#x2018;&#x201C;, procedimos a construirla. Con ella se pudo notar que la estimaciĂłn del radio fue adecuada.

Luego de esto, con la herramienta â&#x20AC;&#x153;Puntoâ&#x20AC;? del GeoGebra se construyĂł el punto đ??ź1 que representaba el extremo mĂłvil deseado. Seguidamente se utilizĂł la herramienta â&#x20AC;&#x153;Segmentoâ&#x20AC;? para construir la manivela, representada por el segmento đ?&#x2018;&#x203A;3 de color marrĂłn, uniendo los puntos: đ??´1 e đ??ź1 (ver Figura 6).

Figura 6

ConstrucciĂłn de la biela Al igual que la manivela, la biela es una pieza de longitud fija que pudo ser representada por un segmento. Esta biela estĂĄ conectada a la manivela por su extremo mĂłvil đ??ź1 segĂşn se apreciaba en la imagen de fondo. Con esto ya contĂĄbamos con uno de los extremos de la biela, el problema ahora era localizar el otro extremo. Observando la imagen, nos dimos cuenta que dicho punto se ubicaba sobre la recta đ??ž1, a cierta distancia de đ??ź1, por lo cual decidimos utilizar 79

nuevamente la herramienta Circunferencia (centro, radio) para localizarlo con precisiĂłn. Para estimar el radio fue necesario apoyarnos en la imagen de fondo, colocando el extremo đ??ź1 de la biela en el lugar que ĂŠste ocupa en la imagen y tratando luego de estimar un radio de circunferencia de manera que la curva pasara por el extremo deseado.

Usando la cuadrĂ­cula nos percatamos que este extremo estaba separado del punto đ??´1 por 3 unidades y una parte de la siguiente. Modificando la medida patrĂłn hasta conseguir una mejor apreciaciĂłn, esta distancia quedĂł abarcando 8 unidades, por lo tanto decidimos transformar las 3 unidades enteras en una fracciĂłn equivalente amplificĂĄndola por 2 y al relacionarla con la 2

1

đ?&#x2018;?

7

medida patrĂłn, resultĂł la siguiente expresiĂłn: (3 â&#x2C6;&#x2122; 2 + 2) â&#x2C6;&#x2122; 8 = 16 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?. Tomando este valor como radio de la circunferencia đ?&#x2018;&#x;2 centrada en đ??ź1 , notamos que el corte entre la curva y la recta đ??ž1, se aproximaba al extremo de la biela deseado pero no como querĂ­amos (ver Figura 7).

Figura 7 Al no funcionar el anĂĄlisis con las unidades de cuadrĂ­culas vistas como mitades, intentamos pensar en funciĂłn de cuartas partes. De forma anĂĄloga, procedimos hasta obtener la expresiĂłn 4 1 đ?&#x2018;?

13 (3 â&#x2C6;&#x2122; 4 + 4) â&#x2C6;&#x2122; 8 = 32 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?, que definirĂ­a el posible radio en funciĂłn de la medida patrĂłn. Sin embargo, tampoco resultĂł ser la medida requerida.

Insistiendo con este mĂŠtodo, decidimos trabajar con las octavas partes de la unidad, 8

1

đ?&#x2018;?

25

obteniendo la expresiĂłn (3 â&#x2C6;&#x2122; 8 + 8) â&#x2C6;&#x2122; 8 = 64 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?. Seguidamente, al crear la circunferencia centrada en đ??ź1 , tomando como radio

25 64

â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?, obtuvimos una circunferencia, llamada đ?&#x2018;&#x2DC;2 cuyo corte con la

recta đ??ž1 generaba el otro extremo de la biela, al que llamamos đ??ż1 . Uniendo los extremos đ??ż1 y đ??ź1 con un segmento, usando la herramienta Segmento, logramos representar la biela como se esperaba (ver Figura 8).

80

Figura 8

ConstrucciĂłn del vĂĄstago del pistĂłn Con todo lo hecho hasta ahora, la construcciĂłn del vĂĄstago del pistĂłn resultaba mĂĄs sencilla.

Esta pieza tiene su forma semejante a la de un segmento y de ĂŠste ya se conoce uno de sus extremos, nos referimos al punto đ??ż1. La tarea consistĂ­a entonces en determinar el otro extremo y para ello observamos que este punto tambiĂŠn estaba situado en la recta đ??ž1. Obviamente, si el vĂĄstago del pistĂłn se mueve horizontalmente sobre la recta đ??ž1, ambos extremos deben permanecer en la recta, separados por una distancia fija.

Dado que la medida patrĂłn abarcaba 12 lados de unidades de cuadrĂ­cula, se observĂł que la 2 distancia entre el punto đ??ż1 y el otro extremo de la biela representaba 3 unidades y 3 partes de la siguiente unidad, segĂşn nos muestra la figura 9.

Figura 9 81

Para estimar el radio de la circunferencia a construir fue necesario transformar las 3 unidades de cuadrĂ­cula en una fracciĂłn equivalente amplificada por 3, obteniendo asĂ­ la expresiĂłn: 3

2

đ?&#x2018;?

11

(3 â&#x2C6;&#x2122; 3 + 3) â&#x2C6;&#x2122; 12 = 36 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? que representa el valor del radio. Tras construir dicha curva centrada en đ??ż1, cuyo radio era

11 36

â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?, obtuvimos la circunferencia apropiada, llamada đ?&#x2018;?2 . La intersecciĂłn de

esta circunferencia y la recta đ?&#x2018;&#x2DC;1 produjo el otro extremo del vĂĄstago del pistĂłn, un punto que llamamos đ?&#x2018;&#x20AC;1. Para dibujar el vĂĄstago del pistĂłn, bastĂł con usar la herramienta Segmento haciendo clic en los extremo đ??ż1 y đ?&#x2018;&#x20AC;1 (ver Figura 10).

Figura 10

ConstrucciĂłn del avance del pistĂłn Tras un anĂĄlisis de la imagen nos dimos cuenta que la base del pistĂłn se podĂ­a asemejar a un segmento debido a la perspectiva con la que se muestra el dibujo. Para ser mĂĄs especĂ­ficos, dado que en la realidad los pistones se asemejan a cilindros rectos, la imagen de fondo nos mostraba este cuerpo como un rectĂĄngulo cuyos lados eran la altura del cilindro y el diĂĄmetro de su base. En nuestro caso quisimos representar una de la bases del cilindro usando un segmento que a su vez era el diĂĄmetro de las bases en cuestiĂłn. Para dibujar una circunferencia con el diĂĄmetro deseado decidimos trazar una recta đ?&#x2018;&#x161;2 paralela al segmento patrĂłn, usando la herramienta Paralela y haciendo clic sobre el patrĂłn de medida y el extremo đ?&#x2018;&#x20AC;1 del vĂĄstago del pistĂłn. EntendĂ­amos que en dicha recta estaba contenido el segmento a dibujar.

Luego, construimos una circunferencia (đ?&#x2018;&#x17E;2 ) con centro en đ?&#x2018;&#x20AC;1 y radio estimado de un 1 veinticuatroavas partes de la medida patrĂłn ( 24 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?), para luego intersecarla con la recta đ?&#x2018;&#x161;2, obteniendo un par de puntos đ?&#x2018; 1 y đ?&#x2018;&#x201A;1 que representan los extremos del segmento. La medida del radio se obtuvo al modificar la medida del patrĂłn hasta que abarcara 12 lados de unidades de cuadrĂ­cula y observando en la imagen que los bordes de la camisa â&#x20AC;&#x201C;zona de vaivĂŠn del pistĂłn- comprendĂ­a la mitad de una de estas unidades, concluimos que solo bastaba con dividir 82

por 2 los lados de unidades abarcados por el patrĂłn, resultando la siguiente expresiĂłn: đ?&#x2018;?

1 ( á 2) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?.

12

24

Posteriormente, usamos la herramienta Segmento para construir a Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018; 1 đ?&#x2018;&#x201A;1 . La robustez del movimiento de estas piezas en el simulador se dio a travĂŠs de un deslizador llamado đ?&#x2018;¤ que creamos para modificar la velocidad con la cual el extremo de la manivela se moviera (ver Figura11).

Figura 11 Por Ăşltimo, mostramos las partes ya construidas como resultado de la resoluciĂłn de la tarea emprendida (Ver Figura 12).

Figura 12 83

Reflexiones finales La tarea de construir este simulador no resultĂł sencilla a pesar de que el objeto geomĂŠtrico mĂĄs utilizado es la circunferencia. La experiencia adquirida en la marcha con el simulador â&#x20AC;&#x153;GrĂşa Torreâ&#x20AC;? nos fue de gran ayuda para emprender la construcciĂłn de este simulador, ya que nuevamente, la opciĂłn cuadrĂ­cula nos era necesaria para estimar distancias entre puntos y/o radios de circunferencias.

Una de las dificultades presentes en nuestro trabajo ocurriĂł al tratar de comprender la conexiĂłn entre la manivela y la biela. Fueron muchas las horas pensando y practicando por ensayo y error, sin comprender bien su funcionamiento. La observaciĂłn del archivo Gif animado por largos periodos de tiempo y un retorno a las caracterĂ­sticas de las piezas nos permitieron reconocer que ĂŠstas se podĂ­an representar por medio de segmentos con longitud fija y que sus extremos podĂ­an localizarse a travĂŠs de la opciĂłn Circunferencia (centro, radio). Sin embargo, descubrir la relaciĂłn entre el extremo de la biela y su movimiento de vaivĂŠn sobre la recta đ?&#x2018;&#x2DC;1 nos resultĂł difĂ­cil de entender en un principio como para lograr producir el efecto deseado.

Luego de comprender el funcionamiento de las piezas que construimos, aprendimos otras cosas, entre ellas que el movimiento de vaivĂŠn del pistĂłn es de tipo lineal, es decir, que describe a una porciĂłn de lĂ­nea recta que puede verse en la realidad cuando se observa cĂłmo trabajan los trenes a vapor. Estamos conscientes de que aĂşn falta construir las demĂĄs partes de la mĂĄquina de vapor, tales como, la zona de movimiento del pistĂłn llamada camisa, las ruedas, la vĂĄlvula de centrifugar, el conducto de vapor y otras. Pero aun asĂ­, estas tareas futuras nos ocupan la mente y nos invitan a descubrir relaciones interesantes, como la del mecanismo de centrifugar y el movimiento de la manivela, los giros de las ruedas sobre el eje, entre otros. Por esta razĂłn creemos que un tĂłpico que puede emerger con fuerza al tratar estas relaciones tiene que ver con la posiciĂłn relativa entre circunferencias. Solo nos queda aventurarnos y continuar con la labor.

Datos de los autores Luis Daniel Montilla Estudiante de 5to AĂąo U.E.N. Alejandro Fuenmayor Maracaibo, Venezuela Jhorfy Reyes Estudiante de la Licenciatura en EducaciĂłn MatemĂĄtica y FĂ­sica Universidad del Zulia, Venezuela Promotor del Club GeoGebra â&#x20AC;&#x153;Alejandro Fuenmayorâ&#x20AC;? jhorfy.reyes@aprenderenred.com.ve El vĂ­deo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente direcciĂłn: https://youtu.be/O0fU4NtjHB0?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

84

LA RUEDA DE GINEBRA Leirimar Torres, Annerys García y Stephanie Díaz Resumen

A partir de circunferencias, ángulo central y arcos de circunferencia y con la ayuda del software GeoGebra, se ha logrado representar el movimiento y aspectos de la rueda motriz y el rodillo de una “Rueda de Ginebra”. Al respecto, en este trabajo se describe el proceso de construcción llevado a cabo durante la resolución de esta tarea, además se busca establecer conexión entre dicho proceso y los contenidos matemáticos escolares aquí presentes.

Abstract

Starting from circumferences, central angles and arcs, and with the help of the software GeoGebra, it has been accomplished the representation of the movement and the aspect of the drive wheel and the shaft of the Geneva drive. Regarding this matter, in this paper it is described the construction process used to solve this task and it is sought the connection between that process and the scholar mathematical content involved.

Introducción En el mes de enero del 2015 se dio inicio al proyecto de diseño denominado “La Rueda de Ginebra”, el cual se ha llevado a cabo en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Raúl Osorio” que funciona en la U. E. N. Bol. Raúl Osorio del municipio San Francisco. El objetivo de este proyecto es simular el mecanismo de una rueda de ginebra con el GeoGebra y, en este sentido, a continuación se describe una tarea de la simulación del mecanismo que consiste en la representación de la rueda motriz y rodillo de este mecanismo; todo esto con la ayuda del software GeoGebra, destacando las ideas matemáticas presentes en la construcción. Algunas de estas ideas son: circunferencia, ángulo central, entre otras. Antes de esto se reseña el fenómeno de la rueda de ginebra y se finaliza con unas reflexiones finales.

Sobre el fenómeno En líneas generales, la rueda de Ginebra es un mecanismo que convierte un movimiento circular continuo en un movimiento circular intermitente. Cada vez que el rodillo, el cual se encuentra ubicado en la rueda motriz, contacta con la cruz de malta, se genera un giro. La cantidad de giros depende del número de ranuras que tenga la cruz. Entre la cantidad de ranuras que puede tener la cruz de malta se tienen tres, cuatro y seis. Para efectos de este trabajo, se utiliza como referente una imagen con una cruz de malta con seis ranuras (ver Figura 115). Con respecto a su aplicabilidad, éste es uno de los sistemas que usan los proyectores de cine para poner los fotogramas delante del foco. Las películas no corren continuamente en el proyector, 1 sino que avanzan fotograma a fotograma, permaneciendo frente a la lente 24 de segundo,

presentando así un movimiento intermitente que se consigue utilizando una rueda de ginebra.

15

Fuente: http://www.educaplus.org/play-248-Rueda-de-Ginebra.-6-pasos.html. La imagen fue modificada para anexarle el nombre de sus partes 85

Además, su nombre deriva de los primeros dispositivos que fueron utilizados en relojes mecánicos, siendo Suiza y Ginebra pioneros en manufactureras de relojes. En la figura 1 se indican las partes de la rueda de ginebra:

Figura 1 Consideraciones para la representación de la máquina de vapor Para la representación de la rueda de ginebra se tomaron en cuenta tres consideraciones de suma importancia: (1) insertar la imagen de referencia en la Vista Gráfica del software GeoGebra, (2) definir el patrón medida y (3) decidir la primera tarea de construcción. Estas consideraciones se explican a continuación: Con respecto a la primea consideración, se necesitaba contar con un referente para simular la rueda de ginebra, es por ello que se seleccionó una imagen que luego se insertó en la Vista Gráfica del software. Esta imagen es esa que se observa en la figura 1, pero sin incluirle el nombre de las piezas. Al insertar esta imagen en la interfaz, el programa le asignó automáticamente dos puntos en sus esquinas inferiores, los cuales debieron ser modificados en su ubicación y aspecto para crear condiciones favorables a la simulación. Por lo anterior, dichos puntos fueron ubicados a conveniencia como sigue: las coordenadas del punto de la esquina inferior izquierda, llamado 𝐴, fueron modificadas para hacerlas (0, 0) y las coordenadas del punto de la esquina inferior derecha, llamado 𝐵, también fueron modificadas para hacerlas (7, 0). Las coordenadas de B fueron ajustadas a estos valores ya que se concluyó que ese era un tamaño prudente para la imagen en la interfaz del GeoGebra. Con respecto a la opacidad de la imagen, este atributo fue controlado a través de un deslizador de tipo número, llamado 𝑂𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, con el propósito de verificar el estatus de cada una de las construcciones realizadas sobre la imagen de referencia.

La segunda consideración consistió en definir un patrón de medida con el propósito de hacer depender de éste todas las construcciones basadas en distancias o longitudes. El patrón seleccionado fue el radio de la circunferencia que bordea la rueda motriz, según se muestra en la figura 2. Con el fin de variar y controlar la medida del radio patrón, se creó un deslizador de tipo 86

número, llamado 𝑃𝑎𝑡𝑟ó𝑛 y cuyo intervalo consideraba como valor mínimo 1,6 (medida del radio de la circunferencia en la imagen) y como valor máximo 3 unidades. Se decidió por este valor máximo del deslizador para garantizar que, al aumentar el tamaño del patrón, los elementos construidos en la interfaz pudieran ser apreciados.

Figura 2 Finalmente, la última consideración consistió en decidir por dónde comenzar con la simulación de la rueda de ginebra. Al respecto, se decidió comenzar la simulación con la representación de la rueda motriz y el rodillo, teniendo en cuenta la forma del movimiento de esta pieza en una imagen animada (imagen GIF) con que se contaba.

Descripción de la representación de la rueda motriz y del rodillo Partiendo de las consideraciones mencionadas anteriormente, para dar inicio a la simulación lo primero que se hizo fue observar el funcionamiento de la rueda motriz y rodillo para tratar de identificar formas geométricas que les pudieran representar. Posteriormente se discutió sobre la tarea seleccionada y sobre la manera cómo ésta podía ser resuelta. Al respecto, se decidió que la misma fuera resuelta en dos momentos: simular el movimiento de la rueda motriz y, partiendo de esto, construir la rueda motriz y el rodillo. Estos momentos se describen a continuación:

1er Momento. Simulación del movimiento: Dado que el movimiento de la rueda motriz es giratorio, se concluyó que la mejor representación de este movimiento podía hacerse a través de un ángulo central. Para dibujar dicho ángulo fue necesario definir algunas cuestiones y tomar decisiones. En primer lugar, se consideró importante construir la circunferencia que contiene a este ángulo, lo que suponía determinar su centro y radio para ello. De estos dos elementos, el centro sería el vértice del ángulo central. En segundo lugar, se observó que dicho ángulo: (i) incrementaba su valor a medida que se movía la pieza, (ii) volvía a su posición de inicio luego de barrer 360° y (iii) repetía este movimiento constantemente. Tras este análisis fue posible definir la amplitud del ángulo en un intervalo de 0° a 360°. Además, se tomó la decisión de condicionar la posición de 87

los lados del ĂĄngulo, de manera tal que un lado se mantuviera fijo y el otro lado se moviera en funciĂłn de la amplitud del ĂĄngulo.

Partiendo de las precisiones anteriores, se observĂł que ya se contaba con una circunferencia, llamada đ?&#x2018;&#x2018; (aquella usada para definir el patrĂłn de medida), que bordea la rueda motriz y con su centro, el punto đ??ş. Por tanto, la tarea se reducĂ­a a ubicar los lados del ĂĄngulo. Para ello, a conveniencia, se decidiĂł que el lado fijo del ĂĄngulo tuviera una direcciĂłn horizontal, asĂ­ que se trazĂł una recta paralela al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ que pasara por el punto G. Dicha recta se muestra punteada en la figura 3. Luego se intersecĂł esta recta con la circunferencia đ?&#x2018;&#x2018; y se seleccionĂł el punto đ??ź que se encuentra a la derecha de đ??ş, el cual serĂ­a un punto lateral del ĂĄngulo central.

Figura 3 Con respecto a la amplitud del ĂĄngulo, ĂŠsta fue representada con un deslizador de tipo ĂĄngulo, llamado đ?&#x203A;ź, con su valor mĂ­nimo igual a 0° y un mĂĄximo de 360°. Seguidamente, con la herramienta Ă ngulo dada su amplitud se procediĂł a construir el ĂĄngulo central seleccionando el punto đ??ź (punto lateral), luego el punto đ??ş (vĂŠrtice) y đ?&#x203A;ź (amplitud), requeridos por el GeoGebra.

AutomĂĄticamente, el software generĂł el punto đ??źâ&#x20AC;&#x2122; que representa el otro punto lateral del ĂĄngulo. El lado mĂłvil se construyĂł trazando una recta que pasara por los puntos đ??ş e đ??źâ&#x20AC;&#x2122;, llamada đ?&#x2018;?. Finalmente, para la validaciĂłn de la construcciĂłn, se activĂł la opciĂłn AnimaciĂłn del deslizador, cuyo resultado es el movimiento de la rueda motriz (ver Figura 4).

Figura 4 88

2do Momento. ConstrucciĂłn de la rueda motriz y del rodillo: Para dibujar la rueda motriz y el rodillo se decidiĂł iniciar la construcciĂłn por la rueda. En este sentido, se observĂł la forma de esta pieza y se concluyĂł que ĂŠsta estaba compuesta de varios objetos geomĂŠtricos, en particular de una circunferencia (que bordea la parte externa de la rueda) y de dos arcos de circunferencia (que son el contorno de la parte interior de la rueda).

Con respecto a la circunferencia, en este momento ya se contaba con la circunferencia đ?&#x2018;&#x2018; que bien podĂ­a representar el contorno exterior de la rueda (ver Figura 5). De esta forma, la tarea se reducĂ­a a determinar los arcos de circunferencia. Una de las formas de construir un arco de circunferencia en el GeoGebra requiere de contar con tres puntos, de los cuales dos son sus extremos. Vale destacar que los arcos de circunferencia en la rueda compartĂ­an los extremos.

Antes de dibujar estos arcos se construyĂł una circunferencia llamada đ?&#x2018;&#x2019;, concĂŠntrica a đ?&#x2018;&#x2018; y con 5 radio estimado de 8 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A;, segĂşn lo sugerĂ­a la imagen de referencia. Sobre esta circunferencia estarĂ­a contenido uno de los arcos en cuestiĂłn.

Para garantizar que ambos arcos de circunferencia se movieran al girar el ĂĄngulo, fue necesario vincular la construcciĂłn de estos objetos a un punto sobre el lado mĂłvil del ĂĄngulo, especĂ­ficamente al punto đ??ž que resulta de la intersecciĂłn entre la circunferencia đ?&#x2018;&#x2018; y la recta đ?&#x2018;? (lado mĂłvil del ĂĄngulo). Este punto sirviĂł para representar los extremos de los arcos de la siguiente manera: el extremo derecho se hallĂł rotando a đ??ž con respecto a đ??ş, unos 57° en sentido contra horario, generando asĂ­ el punto đ??žâ&#x20AC;&#x2122;. Seguidamente đ??ž fue rotado nuevamente, esta vez unos 57° en sentido horario, dando como resultado el punto đ??žâ&#x20AC;˛â&#x20AC;&#x2122; (ver Figura 5).

Figura 5 Para construir el arco con menor radio era necesario determinar el tercer punto de ĂŠste y para 1 ello se creĂł una circunferencia concĂŠntrica a đ?&#x2018;&#x2019; con un radio estimado de 5 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A;, la cual se

intersecĂł con la recta đ?&#x2018;? para determinar el punto en cuestiĂłn, al que se llamĂł đ??˝. Luego se utilizĂł la herramienta Arco tres puntos, seleccionando los puntos đ??žâ&#x20AC;&#x2122;, đ??˝ y đ??žâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; (ver Figura 6). El arco con mayor radio fue construido mediante la determinaciĂłn del punto de intersecciĂłn entre la recta đ?&#x2018;? y la circunferencia đ?&#x2018;&#x2019;, al que se llamĂł đ??ż y que representaba el tercer punto de este arco.

Seguidamente, con la herramienta Arco tres puntos, se seleccionaron los puntos đ??žâ&#x20AC;&#x2122;, đ??ż y đ??žâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;, 89

respectivamente, construyĂŠndose asĂ­ el segundo arco. De esta manera quedaba representada la rueda motriz.

Figura 6 Con respecto al rodillo, ĂŠste podĂ­a ser representado a travĂŠs de una circunferencia, por lo tanto, se debĂ­a determinar su centro y radio. Observando los objetos que hasta este momento se habĂ­an construido y la imagen de referencia, se concluyĂł que sobre la recta đ?&#x2018;? se ubicaba el centro de la circunferencia representativa del rodillo. Sin embargo, se debĂ­a definir la ubicaciĂłn especĂ­fica del centro de esta circunferencia y para ello se construyĂł una circunferencia centrada 5 en đ??ş y con un radio estimado de 6 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A;, la cual fue intersectada con la recta đ?&#x2018;? para obtener el punto đ?&#x2018;&#x20AC; que serĂ­a el centro de la circunferencia que representa al rodillo. Esta curva se 1 construyĂł con centro en đ?&#x2018;&#x20AC; y radio estimado de 9 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A;, segĂşn lo aludĂ­a la imagen de referencia. La figura 7 muestra el aspecto de la rueda de ginebra despuĂŠs de su representaciĂłn con GeoGebra.

Figura 7 90

Reflexiones finales El trabajo llevado a cabo para simular el funcionamiento de la rueda de ginebra a través de ciertos conceptos matemáticos fue de suma importancia para las autoras a momento de representar la rueda motriz y el rodillo de este mecanismo, el cual se considera de mucha utilidad. La identificación de las circunferencias y los arcos de circunferencia en la misma pieza resultó de mucha ayuda para poder representarlo como se deseaba y el establecer un orden en la construcción favoreció la organización de las ideas. Vale destacar lo oportuno que fue el uso del software GeoGebra ya que éste nos permitía, a través de la visualización de ciertos construcciones, imaginar dónde podían estar los objetos geométricos y poderlos representar.

Actualmente, el reto de las autoras es construir la cruz de malta haciendo ese movimiento intermitente al tener contacto con el rodillo de la rueda motriz.

Datos de los autores Leirimar Torres Estudiante de 4to Año U.E.N. Bol. Raúl Osorio San Francisco, Venezuela Annerys García Estudiante de 4to Año U.E.N. Bol. Raúl Osorio San Francisco, Venezuela Stephanie Díaz Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio” stephanie.diaz@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://www.youtube.com/watch?v=RBiPXyzyc7k&list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7c Bs&index=11

91

MÁQUINA DE VAPOR Jeisson Hernández e Ivonne Sánchez Resumen

En el presente trabajo se describe el procedimiento de resolución de una de las tareas de la simulación de una máquina de vapor convencional con el GeoGebra. La tarea consiste en construir la manivela y el volante de la máquina, y en este documento se enfatiza dicha construcción, destacando los conceptos matemáticos de rotación, circunferencia y polígono, implícitos en la elaboración de estas piezas con el software. Estos contenidos son abordados durante la formación básica de todo estudiante de Educación Media.

Abstract

In this paper it is described the method to solve one of the tasks of simulating a steam engine with GeoGebra. The task consists in building the crank and flywheel and this document emphasizes that construction, highlighting the mathematical concepts implicit on the elaboration of these pieces with the software, such as rotation, circumference and polygon.

These contents are taught during students’ basic instruction in high school.

Introducción El Club GeoGebra es un espacio educativo no convencional que el Grupo TEM ha puesto en marcha dentro de siete instituciones de nivel medio en el estado Zulia. En este espacio, los estudiantes liceístas realizan proyectos de diseño con la orientación de algún estudiante de Educación Matemática y Física de LUZ que actúa como promotor o promotora. En líneas generales, el objetivo de estos proyectos es simular un fenómeno o mecanismo de la realidad con el GeoGebra.

El proyecto de diseño a nuestro cargo, al que hemos llamado “Máquina de vapor”, se inició en el mes de enero de 2015 en el seno del Club GeoGebra “León de Febres Cordero”, ubicado en el municipio Maracaibo. Este proyecto tiene el objetivo de simular con el GeoGebra el funcionamiento básico de una máquina de Newcomen, una de las primeras máquinas de vapor que se conocen.

En este trabajo se describe el procedimiento seguido para resolver una de las tareas de la simulación, referidas a la representación de la manivela y el volante de la máquina, haciendo énfasis en los contenidos matemáticos que apoyaron el proceso de construcción de estas piezas, a saber, los conceptos de rotación, circunferencia y polígono. Además se incluye una breve reseña de la máquina de vapor y algunas consideraciones que se tomaron en cuenta para la simulación. Culminamos con unas reflexiones finales sobre esta experiencia de simulación.

Sobre el fenómeno Una máquina de vapor es un motor de combustión externa que transforma la energía térmica de una cantidad de agua en energía mecánica. En esencia, el ciclo de trabajo se realiza en dos 92

etapas. En la primera etapa se genera vapor de agua por calentamiento en una caldera, lo cual produce la expansión del volumen de un cilindro que empuja al pistón. Mediante un mecanismo de biela-manivela, el movimiento lineal alternativo del pistón del cilindro se transforma en un movimiento de rotación que puede accionar, por ejemplo, las ruedas de una locomotora o el rotor de un generador eléctrico. El émbolo, una vez alcanzado el final de su carrera, retorna a su posición inicial y expulsa el vapor de agua utilizando la energía cinética de un volante de inercia.

En la segunda etapa, el vapor a presión se controla mediante una serie de válvulas de entrada y salida que regulan la renovación de la carga; es decir, de los flujos del vapor hacia y desde el cilindro, como se muestra en la figura 116.

Figura 1 La primera máquina de vapor fue inventada por Thomas Newcomen en el año 1705. Con el paso de los años, otras máquinas de vapor fueron creadas por inventores como Thomas Savery, James Watt, entre otros. Este tipo de máquina fue usada durante la Revolución Industrial para impulsar locomotoras, barcos y en las fábricas.

A pesar de su importancia, en la actualidad el uso de la máquina de vapor es bastante reducido debido a los avances tecnológicos que fueron surgiendo, lo que ha llevado a nuevas creaciones que han ido sustituyendo las máquinas de vapor en la actualidad. Entre las ventajas que ha traído la tecnología se encuentra la reducción de costos y la practicidad de las nuevas invenciones.

La máquina de vapor está compuesta por muchas piezas, entre las cuales se encuentran la manivela y el volante. Ambas piezas están conectadas a la biela y juntas describen un movimiento circular (ver Figura 2).

16

Fuente de la imagen: http://www.jaimevera.tecnoies.com/mecanismos/biela.html.

93

Figura 2 Consideraciones de la simulación Antes de iniciar la construcción del simulador se tomaron en cuenta las siguientes consideraciones: 

La imagen mostrada en la figura 1 fue insertada en la vista gráfica del GeoGebra con la intención de usarla como referencia para realizar las construcciones a futuro. La opacidad de esta imagen fue controlada a través de un deslizador llamado Opacidad, que permitía variar la opacidad de la imagen con la finalidad de revisar el estatus de la construcción (ver Figura 3a).



Se definió una medida patrón que ayudaría a mantener la relación de proporcionalidad entre las dimensiones de los objetos en la imagen y aquellos construidos a partir de longitudes o distancias. En el caso de este trabajo, la medida patrón viene dada por el radio de la circunferencia que bordea al crank y su medida fue controlada a partir de un deslizador de numero llamado “Patrón” (ver Figura 3b).

Figura 3 94

IdentificaciĂłn de objetos matemĂĄticos en la construcciĂłn Teniendo en cuenta lo anterior, se procediĂł a iniciar la construcciĂłn de la manivela y el volante de la mĂĄquina de vapor, partiendo de la identificaciĂłn de las siguientes cuestiones en la imagen de referencia:

En cuanto a la manivela ď&#x201A;ˇ

El movimiento que realiza la manivela es de un giro o rotaciĂłn de la pieza con respecto a un punto fijo. Para simular este movimiento se decidiĂł considerar la rotaciĂłn de una semirrecta con respecto a su origen.

ď&#x201A;ˇ

El contorno de la manivela tiene una forma irregular, compuesta esencialmente por polĂ­gonos y circunferencias. Para su construcciĂłn se tuvo en cuenta realizar el trabajo sobre la semirrecta anterior para garantizar asĂ­ que toda pieza se mueva segĂşn la rotaciĂłn antes mencionada.

En cuanto al volante ď&#x201A;ˇ

El volante realiza el mismo movimiento de rotaciĂłn que la manivela. Para simular este movimiento se decidiĂł considerar la rotaciĂłn de las circunferencias que representan las partes huecas que se observan en el volante de la figura 1.

ď&#x201A;ˇ

El contorno del volante es una figura circular. Para su construcciĂłn se tomĂł como centro el eje central.

ConstrucciĂłn de la manivela Para construir la manivela fue necesario usar ciertas herramientas del software como se explica a continuaciĂłn. Primero se simulĂł el movimiento de la manivela y luego su contorno.

Movimiento de la manivela La rotaciĂłn es una de las transformaciones de figuras en el plano. Para aplicarla es necesario conocer el objeto a rotar, el centro y ĂĄngulo de rotaciĂłn. La simulaciĂłn en GeoGebra del movimiento de la manivela consta de cinco (5) fases. En este sentido, para rotar la semirrecta, primero se ubicĂł un punto đ??ś sobre el eje central en la imagen, el cual serĂ­a el centro de la rotaciĂłn; esto constituye la primera fase de construcciĂłn (ver Figura 4a). En la segunda fase, se utilizĂł la herramienta Circunferencia (centro, radio) para crear la circunferencia llamada đ?&#x2018;? que bordea al crank, haciendo clic sobre đ??ś y utilizando el valor del deslizador â&#x20AC;&#x153;PatrĂłnâ&#x20AC;? como el radio de esta curva (ver Figura 4b). La tercera fase consistiĂł en ubicar un punto đ??ˇ sobre la circunferencia y luego trazar una semirrecta de origen đ??ś y que pasara por đ??ˇ; esta figura serĂ­a el objeto a rotar (ver Figura 4c).

En la cuarta fase se decidiĂł crear un deslizador de ĂĄngulo đ?&#x203A;ź que permitiera controlar el giro de la rotaciĂłn, asignĂĄndole un valor mĂ­nimo de 0° (cuando la manivela estĂĄ su posiciĂłn inicial) y mĂĄximo valor de 360° (cuando la manivela hace un giro completo). Este deslizador serĂĄ el ĂĄngulo de la rotaciĂłn. Finalmente, en la quinta fase, se utilizĂł la herramienta RotaciĂłn haciendo 95

clic sobre la semirrecta y el punto đ??ś en ese mismo orden y luego indicar a đ?&#x203A;ź como ĂĄngulo de rotaciĂłn. AutomĂĄticamente se crea la semirrecta đ??śđ??ˇâ&#x20AC;˛ que es el homĂłlogo de đ??śđ??ˇ (ver Figura 4d).

Figura 4

Contorno de la manivela Para construir el contorno de la manivela en el GeoGebra fue necesario representar una pieza de la maquina (cabeza de biela) y un polĂ­gono. Estos se realizaron en seis (6) fases. Es importante mencionar que lo primero en representar fue la cabeza de biela. En este sentido, la primera fase consistiĂł en construir una circunferencia de radio estimado igual a 2.4 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; y con centro en đ??ś, la cual se rotula đ?&#x2018;&#x2019;. En la segunda fase se determinĂł la intersecciĂłn de la curva con la semirrecta creada en la parte anterior, obteniĂŠndose el punto đ??¸ que fue considerado como el centro de la cabeza de biela. Luego, en la tercera fase se construyĂł otra circunferencia 1 de radio â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; y centrada en đ??¸, llamada â&#x201E;&#x17D; y que representa la cabeza de biela (ver Figura 5a).

2

96

Lo segundo en representar fue el polĂ­gono, para ello fue necesario determinar los extremos de los diĂĄmetros de la circunferencia đ?&#x2018;&#x2019; y â&#x201E;&#x17D;. Por lo tanto, en la cuarta fase se creĂł una recta đ?&#x2018;&#x201C; perpendicular a la semirrecta y que pasa por đ??ś, ĂŠsta contiene al diĂĄmetro de đ?&#x2018;&#x2019; y una recta đ?&#x2018;&#x201D; perpendicular a la semirrecta que pasa por đ??¸ y que contiene al diĂĄmetro de â&#x201E;&#x17D;. La quinta fase fue determinar la intersecciĂłn de la circunferencia â&#x201E;&#x17D; con la recta đ?&#x2018;&#x201D;, obteniĂŠndose los puntos đ??š y đ??ş; de igual manera al intersectar la circunferencia đ?&#x2018;&#x2019; con la recta đ?&#x2018;&#x201C; se obtuvieron đ??ť e đ??ź, que junto a los puntos đ??š y đ??ş forman los vĂŠrtices del polĂ­gono. Finalmente, ya obtenidos estos vĂŠrtices, en la sexta fase se usĂł la herramienta PolĂ­gono para trazar el polĂ­gono de cuatro lados (ver Figura 5b).

Figura 5 ConstrucciĂłn del volante Para construir las circunferencias contenidas en el volante fue necesario ubicar sus centros. Esta ubicaciĂłn se realizĂł en siete (7) fases. En la primera fase se creĂł una circunferencia, llamada đ?&#x2018;&#x2DC;, de radio 5.1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; y que representa el tamaĂąo del volante. En la segunda fase se creĂł una recta perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ que pasa por đ??ś, la cual fue intersectada con la circunferencia đ?&#x2018;&#x2DC; para obtener los puntos đ??ž y đ??˝. La tercera fase consistiĂł en rotar estos puntos con un ĂĄngulo de 45°, con respecto a đ??ś. Esto se hizo con el propĂłsito de ubicar el segmento determinado por los puntos đ??ž â&#x20AC;˛ y đ??˝â&#x20AC;˛ (obtenidos tras la rotaciĂłn) que contiene a los centros de las circunferencias del volante, segĂşn se muestra en la imagen de referencia. Sin embargo, al usar este segmento, las circunferencias representadas se mantenĂ­an en la misma posiciĂłn, es decir, no realizaban la rotaciĂłn.

Por lo tanto, para garantizar este movimiento en la cuarta fase fue necesario rotar los puntos đ??ž â&#x20AC;˛ y đ??˝â&#x20AC;˛ segĂşn el ĂĄngulo đ?&#x203A;ź con respecto al punto đ??ś, obteniĂŠndose asĂ­ los puntos đ??ž â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ y đ??˝â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ , de tal manera que al mover el deslizador, estos cambien de posiciĂłn en el plano. La quinta fase consistiĂł en crear el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; Kâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛đ??˝â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ (ver Figura 6a).

97

Figura 6 7

En la sexta fase se creĂł una circunferencia de radio 2 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; centrada en đ??ś que al â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ đ??˝â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ , se obtuvieron los puntos đ?&#x2018;&#x20AC; y đ?&#x2018; que serĂ­an los centros de Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; interceptarla con el segmento đ??ž 11 las circunferencias. Finalmente en la sĂŠptima fase se crearon las circunferencias de radio 10 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; y centradas en đ?&#x2018;&#x20AC; y đ??ż, tal como se muestra en figura 6b.

De las circunferencias y el polĂ­gono, se decidiĂł modificar el color y la opacidad, de tal manera que se asemeje al que se muestra en la imagen de referencia. Para efectos de presentaciĂłn de la manivela y el volante ocultamos todo lo realizado anteriormente excepto las circunferencias, el polĂ­gono y el punto đ??ś (ver Figura 7).

Figura 7 Reflexiones finales Luego de finalizar la tarea se reflexionĂł sobre todo el proceso de construcciĂłn y lo que esto supuso para nosotros. La primera conclusiĂłn a la que llegamos es que si bien las piezas a representar pueden parecer â&#x20AC;&#x153;fĂĄcilesâ&#x20AC;? de construir a simple vista, cada una de ĂŠstas tenĂ­a un progresivo grado de dificultad, a medida que se avanzaba en las construcciones, lo que 98

representó un reto importante para nosotros. La segunda conclusión fue valorar toda la matemática que estaba inmersa en la representación de la manivela y el volante, la cual fue emergiendo en las quince (15) sesiones de trabajo. La tercera conclusión tiene que ver con el rol desempeñado por el GeoGebra como un medio para simular el movimiento de la máquina de vapor, destacando la facilidad de construir objetos matemáticos que pueden ser manipulados y validados en tiempo real debido a las características dinámicas del software y que constituye un medio que ofrece retroacciones inmediatas al usuario, permitiendo así tomar decisiones justificadas matemáticamente al realizar la simulación.

Otra conclusión muy importante es que el Club GeoGebra representa un espacio para potenciar y aprender matemática de una forma diferente a como se suele estudiar en las aulas de clases, apoyado en el uso de tecnologías digitales libres. Finalmente el GeoGebra representa un medio para dar sentido a nociones matemáticas como: rotación, circunferencia y polígono mediante la manipulación de sus elementos en tiempo real permitiendo así una mejor comprensión de los conceptos trabajados en el software y que en un entorno de lápiz y papel se les dificulta mucho a los estudiantes.

Datos de los autores Jeisson Hernández Estudiante de 5to Año E.B.N. León de Febres Cordero Maracaibo, Venezuela Ivonne Sánchez Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “León de Febres Cordero” ivonne.sanchez@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/UKr3Ja0hCko?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

99

BOMBA RECIPROCANTE Gianfranco Fonseca, José Manuel Hurtado y Rafael Gutiérrez Resumen

En el presente documento se describe el proceso seguido para resolver una de las tareas de simulación de una bomba reciprocante con el software GeoGebra. La tarea consistió en construir la rolinera de este mecanismo, para lo cual fue útil trabajar con algunos conceptos matemáticos, tales como: circunferencia, círculo, rotación y simetría en el plano.

Abstract

This document describes the process followed to solve one of the simulation tasks of a reciprocating pump with GeoGebra. The task consisted in building the ball bearing of this mechanism. In this sense, it was necessary to work with some mathematical concepts such as circumferences, circles, rotation and symmetry.

Introducción A finales de noviembre del año 2014 se puso en marcha el proyecto de diseño cuyo título es “Bomba reciprocante”, en el marco de las actividades del Club GeoGebra que funciona en las instalaciones de la E.T.C.R. “Hermágoras Chávez”, en Cabimas, estado Zulia. Una vez puesto en marcha este proyecto, su objetivo central fue lograr la simulación del funcionamiento de una bomba reciprocante con el software GeoGebra.

A fin de socializar los avances que se tienen en el desarrollo del proyecto, en este trabajo se describe el proceso de resolución de una de las tareas de la simulación con el GeoGebra, relacionada con la rolinera de la bomba reciprocante, enfatizando en las ideas matemáticas consideradas en el proceso de resolución de la tarea de simulación, entre las cuales destacan las circunferencias, círculos, rotación y simetría de figuras planas. La descripción presentada se complementa con una contextualización del fenómeno seleccionado para la simulación, así como también unas reflexiones finales sobre la experiencia que se tuvo a lo largo de todo el proceso.

El fenómeno a simular En este proyecto se ha seleccionado la simulación del funcionamiento de una “bomba reciprocante” modelo TZPMGEHO®, la cual permite extraer agua para abastecer embalses y represas, especialmente usada en tiempos de sequía. Para que esta bomba funcione, cierta cantidad de agua debe ser introducida al cuerpo de la bomba en la cual queda encerrada momentáneamente, para luego ser forzada a salir por una tubería de desagüe.

Actualmente la represa “Burro Negro”, ubicada en el Estado Zulia, es una de las obras del país que utilizan este tipo de bombas. En la figura 117 se muestra la imagen lateral de una bomba reciprocante a pistón.

17

La imagen fue tomada de: http://empresas.catalogometalurgico.com/files/productos/RCsM83jy/4.jpg.

100

Figura 1 Una de las partes que componen a este mecanismo es la rolinera, la cual es una pieza cuya función es reducir la fricción entre el eje donde se conecta la biela y el resto de las piezas que allí se encuentran. En este documento, la tarea que se decidió abordar fue la de construir la rolinera de una bomba reciprocante con el GeoGebra. La localización de esta pieza se muestra en la figura 2, la cual se corresponde con la imagen de una bomba reciprocante seleccionada por los autores en la primera fase del proyecto.

Figura 2 Construcción de la rolinera Para construir la rolinera de la bomba reciprocante en el GeoGebra se tomaron algunas decisiones que se consideraron pertinentes para facilitar las construcciones geométricas necesarias. Estas decisiones fueron: ● Insertar, en la vista gráfica del GeoGebra, la imagen de la bomba reciprocante seleccionada en la primera fase del proyecto, con la finalidad de que ésta sirviese de guía al momento de construir los objetos geométricos, esto es, realizar las construcciones “sobre la imagen”.

101

Asimismo se construyĂł un deslizador llamado đ?&#x2018;&#x17D;, con la intenciĂłn de controlar la opacidad de esta imagen y, de esta forma, revisar el estatus de las construcciones que se van realizando en el proceso (ver Figura 3).

Figura 3 â&#x2014;? Definir un segmento cuya medida sirviese como â&#x20AC;&#x153;medida patrĂłnâ&#x20AC;? para todas las construcciones asociadas a distancias o longitudes, con lo cual es posible controlar el tamaĂąo del dibujo obtenido. Este segmento quedĂł representado por la longitud de la base de la bomba reciprocante segĂşn la imagen insertada en el software. Para controlar su longitud se construyĂł un deslizador de nĂşmero llamado đ?&#x2018;? (ver Figura 4).

Figura 4 Tomadas en cuenta estas consideraciones, se iniciĂł la construcciĂłn de la rolinera. Para ello, lo primero que se hizo fue identificar la figura geomĂŠtrica que mejor representaba la forma de esta pieza segĂşn la imagen de referencia. Tras observar con detalle la pieza, se notĂł que ĂŠsta 102

podĂ­a representarse a travĂŠs de un cĂ­rculo. De esta forma, la tarea de construir la rolinera de la bomba reciprocante en el GeoGebra se reducĂ­a a determinar el centro y el radio de este cĂ­rculo, trazar su borde y darle cierta opacidad18. Un anĂĄlisis sobre esta figura permitiĂł reconocer que su regiĂłn interna contenĂ­a: (i) seis puntos que realizaban un mismo giro en torno a su centro, y (ii) una circunferencia de radio mayor a la distancia entre el centro y los puntos que giraban en torno a ĂŠste (ver Figura 5).

Figura 5 En base a las ideas planteadas, se decidiĂł abordar la tarea de dibujar el cĂ­rculo construyendo todos los objetos geomĂŠtricos que se encuentran desde su centro hasta su borde. Una vez ubicado el centro del cĂ­rculo a travĂŠs de un punto libre llamado đ??´, se pasĂł a localizar los puntos que giraban en torno a ĂŠste. De acuerdo al tipo de movimiento que estos puntos realizaban se decidiĂł aplicar una rotaciĂłn, para lo cual era necesario definir el objeto a rotar, el centro y el ĂĄngulo de rotaciĂłn. El objeto a rotar venĂ­a dado por cualquiera de los puntos que giraban en torno al centro del cĂ­rculo (centro de rotaciĂłn).

1

Para localizarlo, se trazĂł una circunferencia đ?&#x2018;? centrada en đ??´ y de radio estimado (14) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201D; y se ubicĂł un punto đ??ľ en esta curva (ver Figura 6a). El ĂĄngulo de rotaciĂłn quedĂł definido por un deslizador de ĂĄngulo đ?&#x203A;ź de mĂ­nimo 0° y mĂĄximo 360°. Una vez definido este ĂĄngulo, se aplicĂł la rotaciĂłn a đ??ľ con centro en đ??´ segĂşn đ?&#x203A;ź, obteniendo al homĂłlogo đ??ľâ&#x20AC;˛ (ver Figura 6b).

Figura 6 18

El GeoGebra reconoce a un cĂ­rculo como aquella figura plana cuyo borde es una circunferencia de opacidad mayor a cero.

103

De acuerdo a la definiciĂłn de rotaciĂłn de una figura plana, el resto de los puntos a localizar debĂ­an estar sobre la circunferencia đ?&#x2018;?. De tales puntos, se observĂł que uno de ellos estaba alineado con đ??´ y đ??ľâ&#x20AC;˛, por lo cual se decidiĂł aplicar una simetrĂ­a central a đ??ľâ&#x20AC;˛ con respecto a đ??´, obteniendo el punto đ??ľâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛. Para hallar los siguientes dos puntos se decidiĂł aplicar dos rotaciones al punto đ??ľÂ´ en torno a đ??´, una en sentido contra horario y la otra en sentido horario a un ĂĄngulo estimado de 60° cada una, obteniendo los puntos đ??ľâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛1 y đ??ľâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛2 , respectivamente. Para localizar â&#x192;Ą 1 đ??´ y â&#x192;Ąđ??ľâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛2 đ??´ y se intersectĂł cada una de ĂŠstas con los dos Ăşltimos puntos se trazaron las rectas đ??ľâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ la circunferencia đ?&#x2018;?, obteniendo los puntos de corte đ??ś y đ??ˇ, respectivamente (ver Figura 7).

Figura 7 Continuando con la tarea, se trazĂł la circunferencia mencionada anteriormente, denominada đ?&#x2018;&#x2DC;, 1 con centro en đ??´ y de radio estimado (10 ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201D;. Finalmente, se trazĂł el borde del cĂ­rculo centrado 1

en đ??´ y con radio estimado de (8) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201D;. Luego de trazarlo, se le dio un mayor grosor y se le dio cierta opacidad, concluyendo asĂ­ con la tarea de construcciĂłn de la rolinera del mecanismo.

Figura 8 104

La figura 8 muestra la construcciĂłn completada de esta pieza de la bomba reciprocante, en la cual se ha dado un color acorde a todos los objetos geomĂŠtricos construidos. Cabe resaltar que se decidiĂł construir un deslizador llamado â&#x20AC;&#x153;Velocidadâ&#x20AC;?, con la intenciĂłn de poder controlar la velocidad de la rotaciĂłn definida por el deslizador đ?&#x203A;ź.

Reflexiones finales La experiencia de resolver la tarea descrita en este documento ha supuesto, para sus autores, descubrir e interactuar con una MatemĂĄtica distinta a la habitual e interesante. Sin lugar a dudas, el trabajo con la rotaciĂłn de una figura plana fue fundamental para garantizar el movimiento que se observa en la imagen de referencia; al mismo tiempo, este concepto matemĂĄtico resultĂł atractivo desde el punto de vista de su aprendizaje y aplicaciĂłn en la simulaciĂłn. Como puede notarse, la bomba reciprocante es un mecanismo que posee muchas partes y detalles que hacen de su representaciĂłn, en el GeoGebra, el gran reto a lograr en el futuro.

Datos de los autores Gianfranco Fonseca Estudiante de 5to AĂąo menciĂłn InformĂĄtica E.T.C.R. HermĂĄgoras ChĂĄvez Cabimas, Venezuela JosĂŠ Manuel Hurtado Estudiante de 5to AĂąo menciĂłn InformĂĄtica E.T.C.R. HermĂĄgoras ChĂĄvez Cabimas, Venezuela Rafael GutiĂŠrrez Estudiante de la Licenciatura en EducaciĂłn MatemĂĄtica y FĂ­sica Universidad del Zulia, Venezuela Promotor del Club GeoGebra â&#x20AC;&#x153;HermĂĄgoras ChĂĄvezâ&#x20AC;? rafael.gutierrez@aprenderenred.com.ve El vĂ­deo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente direcciĂłn: https://youtu.be/ux8rIqtMPpI.

105

BALANCÍN PETROLERO Lismar Vargas, Kailin Bohórquez y Stephanie Díaz Resumen

En este documento se describe el procedimiento realizado para atender a una de las tareas de la simulación de un “Balancín Petrolero” utilizando el software GeoGebra. Esta tarea consiste en la construcción de la manivela y del contrapeso, haciendo el énfasis debido en las ideas matemáticas implícitas en dicho proceso, tales como, las nociones de circunferencia, ángulo central, polígono y elipse.

Abstract

This document describes the resolution process of one of the tasks to accomplish the simulation of an oil rocker using the software GeoGebra. This task consists in the construction of the crank and the counterweight, making emphasis on the mathematical ideas behind this process like circumference, central angle, polygon and ellipse.

Introducción En el mes de enero del 2015 se inició el proyecto de diseño titulado “Balancín Petrolero”, como parte de las actividades del Club GeoGebra “Raúl Osorio” que funciona en el municipio San Francisco del estado Zulia. Este proyecto tiene por objetivo simular con el software GeoGebra el funcionamiento de un balancín petrolero considerando su movimiento inicial como aquel generado por la manivela y el contrapeso. Es por ello que en este trabajo se describe el procedimiento que se ha realizado para la resolución de una de las tareas de la simulación que consiste en la construcción de la manivela y el contrapeso, resaltando aquellos contenidos matemáticos que han sustentado las decisiones del diseño de tales piezas. Además, se incluye una concisa descripción del fenómeno con la intención de presentar este valioso ingenio, cerrando este documento con unas consideraciones finales.

Sobre el fenómeno El fenómeno a simular tiene que ver con un balancín petrolero. Este mecanismo efectúa un procedimiento de extracción de petróleo por medio de una bomba de subsuelo alimentada por un motor que absorbe y transfiere el recurso mineral hasta la superficie. Este proceso se realiza por medio de una sarta de cabillas de manera constante. El motor usualmente es eléctrico y hace girar a las manivelas. El movimiento angular de las manivelas producido por el motor es producido a una velocidad apropiada, con la finalidad de accionar el consecuente movimiento de la sarta de cabillas. Vale destacar que el 60% de los pozos de extracción artificial en nuestro país utilizan este mecanismo. Además, el primer balancín usado en Venezuela se instaló en la ciudad de Mene Grande, en el municipio Baralt del estado Zulia, durante el año 1814 y fue llamado “Zumaque 1”. En la figura 119 se indican algunas de las partes que componen a un tipo particular de balancín petrolero.

19

Fuente: http://session.masteringengineering.com/problemAsset/1163099/2/Probs.6-98_99.jpg.

106

Figura 1 Consideraciones para la elaboración del simulador Para la simulación del balancín petrolero se tomaron en cuenta tres aspectos: (i) la ubicación de la imagen de referencia en la Vista Gráfica del software, (ii) el uso de una medida patrón y (iii) la tarea para comenzar la simulación de este mecanismo.

En cuanto a lo primero, la inserción de una imagen de referencia en la vista gráfica hace que el GeoGebra asigne automáticamente dos puntos a la imagen en sus esquinas inferiores, en cualquier lugar de la pantalla. Sin embargo, para este proyecto decidimos modificar convenientemente las coordenadas de las esquinas de la imagen para asociar el punto inferior izquierdo, llamado 𝐴, al origen del sistema cartesiano y el punto inferior derecho, llamado 𝐵, en la posición (9,0). La opacidad de la imagen fue vinculada a un deslizador de tipo número, llamado 𝑎, con el cual era posible modificar este atributo con la intención de ir revisando constantemente el estado de las construcciones que se fueran elaborando (ver Figura 2).

Figura 2 Con respecto a lo segundo, se estableció una medida patrón de la cual dependerían todas las construcciones basadas en medidas de distancia o longitud. Para establecerla se creó un 107

deslizador de tipo nĂşmero, llamado đ?&#x2018;?, con un intervalo de 1 a 3, cuyo valor inicial coincide con la unidad de medida propia del software (ver Figura 2).

Sobre el tercer aspecto, se decidiĂł iniciar la simulaciĂłn del balancĂ­n petrolero por la construcciĂłn de la manivela y el contrapeso, dado que esta parte del mecanismo es la que genera su movimiento inicial.

ConstrucciĂłn de la manivela y el contrapeso Luego de observar el movimiento de la manivela y el contrapeso en la imagen de referencia y despuĂŠs de haber discutido las posibles soluciones a la tarea de su construcciĂłn, se tomĂł la decisiĂłn de atender este proceso en dos etapas. La primera consistiĂł en reproducir el movimiento de la manivela considerando el giro que ĂŠsta efectĂşa en torno al tornillo que une a esta pieza con el motor. La segunda etapa consistĂ­a en representar la manivela y el contrapeso, en funciĂłn del movimiento que se obtuvo en la primera etapa. Las mismas se explican a continuaciĂłn.

Etapa 1. Simulación del movimiento El giro de la manivela fue representado a travÊs del ångulo central de una circunferencia identificada a partir de la trayectoria que describe el movimiento de esta pieza. Para dibujar el ångulo fue necesario definir el centro y radio de la circunferencia asociada al ångulo, teniendo en cuenta que este centro sería su vÊrtice. Con respecto a los lados de la figura, se observó en la imagen que: (i) el ångulo formado por ellos iba incrementando su valor de manera indefinida tras el movimiento de la pieza, y que (ii) cada 360° el ångulo volvía a su posición inicial. Lo anterior conllevó a definir la amplitud de la figura por medio de un intervalo de 0° a 360°, lo cual condicionaba la posición de sus lados ya que uno de ellos iba a estar fijo mientras que el otro se movía según la amplitud del ångulo.

Teniendo en cuenta lo anterior, la construcciĂłn comenzĂł por la circunferencia que llamamos đ?&#x2018;?, la cual fue dibujada usando la herramienta Circunferencia (centro, radio) con centro en un 5 punto đ??ś localizado sobre el tornillo que une a la manivela y al motor, y un radio estimado de 4 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? que representa la distancia de đ??ś al tornillo que une a la manivela y al contrapeso, tal como se muestra en la figura 3.

Figura 3 108

Luego de esto, se decidiĂł que el lado fijo del ĂĄngulo tuviera una direcciĂłn horizontal, por lo tanto se trazĂł una recta paralela al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ que pasara por el punto đ??ś y se modificĂł su aspecto para hacerla punteada. Sobre esta recta estarĂ­a localizado el lado horizontal. A partir de la intersecciĂłn de la recta horizontal con la circunferencia đ?&#x2018;? se seleccionĂł al punto đ??ˇ, localizado a la derecha de đ??ś, el cual serĂ­a uno de los puntos laterales del ĂĄngulo central (ver Figura 3).

La amplitud del ĂĄngulo central fue asociado a un deslizador de tipo ĂĄngulo, llamado đ?&#x203A;ź, con un valor mĂ­nimo de 0° y mĂĄximo de 360°. A partir de ĂŠste se utilizĂł la herramienta Ă ngulo dada su amplitud para construir un ĂĄngulo con đ??ˇ como punto lateral, đ??ś como el vĂŠrtice y đ?&#x203A;ź su amplitud, segĂşn es requerido por el GeoGebra. AutomĂĄticamente el software generĂł al punto đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; que representa el otro punto lateral del ĂĄngulo y que sirviĂł para construir el lado mĂłvil de la figura.

Luego se construyĂł el lado mĂłvil a partir de una semirrecta que parte de đ??ś y pasa por đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; (ver Figura 4). Para la validaciĂłn de la construcciĂłn, se activĂł AnimaciĂłn al deslizador đ?&#x203A;ź, obteniendo como resultado el movimiento de la manivela. A partir de este momento, toda la construcciĂłn se hace sobre este lado mĂłvil del ĂĄngulo.

Figura 4

Etapa 2. RepresentaciĂłn de la manivela y el contrapeso En esta etapa se decidiĂł hacer la representaciĂłn de la manivela y del contrapeso de la forma siguiente: primero se dibujĂł la manivela y luego el contrapeso. Para dibujar la manivela se observĂł que su forma se asemeja a la de un rectĂĄngulo, por lo tanto se debĂ­a ubicar los vĂŠrtices de este polĂ­gono. Para ello, se tomĂł la decisiĂłn de que sus vĂŠrtices estuvieran contenidos en dos rectas perpendiculares al lado đ??śđ??ˇâ&#x20AC;˛ del ĂĄngulo en đ??ś para garantizar con ello el movimiento de la manivela a partir del movimiento del ĂĄngulo central. Dos de estos vĂŠrtices estarĂ­an ubicados en la recta perpendicular đ?&#x2018;&#x201C; que pasa por đ??ś y los otros dos en la perpendicular đ?&#x2018;&#x201D; que pasa por đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; (ver Figura 5).

109

Figura 5 Para determinar los dos primeros vĂŠrtices se construyĂł una circunferencia, llamada â&#x201E;&#x17D;, con 1 centro en el punto đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y un radio estimado 6 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? segĂşn el grosor de la manivela en la imagen. La curva â&#x201E;&#x17D; interseca a la recta đ?&#x2018;&#x201D; en los puntos llamados đ??¸ y đ??š, los cuales representan dos de los vĂŠrtices del rectĂĄngulo que se quiere dibujar.

Para localizar los otros vĂŠrtices y garantizar que estos fueran de un rectĂĄngulo se trazaron dos rectas perpendiculares a la recta đ?&#x2018;&#x201D;, una que pasa por đ??¸ y la otra por đ??š. Seguidamente se hallaron los puntos de intersecciĂłn de estas rectas con đ?&#x2018;&#x201C;, obteniĂŠndose los puntos đ??ş y đ??ť que son los otros dos vĂŠrtices del rectĂĄngulo. Luego, con la herramienta PolĂ­gono se seleccionaron los puntos đ??¸, đ??š, đ??ş y đ??ť respectivamente, construyĂŠndose asĂ­ el rectĂĄngulo que representa la manivela (ver Figura 6).

Figura 6 110

Luego se observĂł que el contorno de la parte trasera de la manivela que estaba unida al motor tiene una forma curva. Entonces, para darle una mejor apariencia a esta pieza, se decidiĂł representarla a travĂŠs de un arco de circunferencia y para ello era necesario contar con tres puntos del arco, de los cuales dos debĂ­an ser sus extremos. A conveniencia se decidiĂł que los extremos del arco fueran los puntos đ??ş y đ??ť, por lo cual solo necesitamos conocer el punto por donde pasa el arco.

Para determinarlo, se construyĂł una circunferencia đ?&#x2018;&#x17E; con centro en el punto đ??ś y un radio 1 estimado de 9 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? que representaba la distancia de đ??ś hasta el borde de la misma. El punto requerido se encontraba sobre la circunferencia en esa precisiĂłn, se trazĂł la recta que pasa por los puntos đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y intersecciĂłn entre la circunferencia y la recta llamado utilizando la herramienta Arco tres puntos se trazĂł el Figura 7).

parte del borde y, para ubicarlo con đ??ś, y luego se seleccionĂł un punto de đ??ż. Luego con los puntos đ??ş, đ??ż y đ??ť, arco de circunferencia deseado (ver

Figura 7 Para la construcciĂłn del contrapeso, se observĂł en la imagen que su forma es muy parecida a la de una elipse, por tanto era necesario determinar sus focos y un punto por donde pasara la curva. Para ello, primero se procediĂł a estimar la ubicaciĂłn respectiva de cada uno de los puntos a travĂŠs de una elipse dibujada con la herramienta Elipse, donde sus focos y el punto por donde pasaba la curva estaban libres en la Vista GrĂĄfica del software (ver Figura 8a).

Como el GeoGebra permite la manipulaciĂłn de los objetos libres construidos (ver Figura 8b), se fueron ubicando los focos y el punto por donde pasa la elipse de manera conveniente para que su apariencia fuera lo mĂĄs parecida posible a la del contrapeso segĂşn la imagen (ver Figura 8c).

De esta manera se pudo estimar que los focos estaban localizados en la recta đ?&#x2018;&#x201D; y el punto por donde pasa la elipse estarĂ­a ubicado en la semirrecta đ??śđ??ˇâ&#x20AC;˛.

111

Figura 8 Luego de lo anterior, para determinar los focos sobre la recta đ?&#x2018;&#x201D; se construyĂł una circunferencia 4 con centro en đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y con un radio estimado de 7 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?, y con la herramienta IntersecciĂłn se

determinaron los puntos de corte entre ambas curvas, llamados đ??˝ e đ??ź. Seguidamente se dibujĂł 3 otra circunferencia con centro en đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122; y con un radio estimado de 8 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? y se definiĂł el punto de corte, llamado đ??ž, por cuyo punto pasarĂ­a la curva.

DespuĂŠs de haber determinado los puntos que se necesitaban, con la herramienta Elipse, se construyĂł la curva seleccionando los focos y el punto por donde pasa la curva respectivamente, quedando asĂ­ representado el contrapeso. La figura 9 muestra el resultado de estas tres acciones.

Figura 9 De esta manera, se finaliza la tarea quedando representados la manivela y el contrapeso como se muestra en la figura 10.

112

Figura 10 Reflexiones finales Dar solución a la tarea explicada en el desarrollo de este trabajo ha significado una oportunidad incomparable e interesante para manejar los conceptos matemáticos inmersos en la simulación del movimiento y la representación de la manivela y el contrapeso. Verdaderamente, identificar los vértices del rectángulo a través de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo entre rectas fue un aspecto fundamental para poder ubicarlos con exactitud. Asimismo, el trabajo con la elipse fue fundamental para asemejar fácilmente su forma a la del contrapeso. Ahora bien, el reto de las autoras es representar el resto de las piezas que dependen de lo ya construido, como por ejemplo, la viga viajera y el cabezote.

Datos de las autoras Lismar Vargas Estudiante de 4to Año U.E.N. Bol. Raúl Osorio San Francisco, Venezuela Kailin Bohórquez Estudiante de 4to Año U.E.N. Bol. Raúl Osorio San Francisco, Venezuela Stephanie Díaz Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio” stephanie.diaz@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/3_rWFuQis_w?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs. 113

MÁQUINA DE NEWCOMEN Adriana Reinoso, María Jiménez y Rafael Gutiérrez Resumen

En el presente trabajo se describe el proceso seguido para resolver una de las tareas de elaboración del simulador correspondiente a la máquina de Newcomen, usando para ello el software GeoGebra. La tarea consistió en construir el pistón de este mecanismo, destacando algunos conceptos matemáticos implícitos en la elaboración de la pieza, tales como, los conceptos de vector, traslación, circunferencias, segmentos y mediatriz.

Abstract

In this document, we describe the process whereby it was solved one of the tasks for the construction of a Newcomen engine simulator with GeoGebra. The task consisted on building this mechanism’s piston, highlighting some mathematical concepts implicit on the piece elaboration, such as vector, translation, circumference, segments and perpendicular bisector.

Introducción A finales del año 2014, a lo interno del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez” que funciona en las instalaciones de la E.T.C.R Hermágoras Chávez de Cabimas, estado Zulia, se dio inicio al proyecto de diseño que lleva por título “Máquina de Newcomen”. El objetivo de este proyecto es simular el funcionamiento de este tipo especial de máquina a vapor utilizando el software GeoGebra. En las siguientes páginas se describe el modo en que fue abordada la tarea de construir el pistón de esta máquina, destacando los contenidos matemáticos escolares que guiaron el proceso de resolución, entre los cuales se resaltan los conceptos de vector, traslación, circunferencias, segmentos y mediatriz. La descripción se acompaña de una breve reseña del fenómeno y, para el final, se destacan algunas reflexiones finales de la experiencia.

El fenómeno La máquina de Newcomen es un tipo especial de máquina a vapor atmosférica que fue utilizada en el siglo XVIII para bombear agua fuera de las minas de carbón y estaño, y también para llevar el agua a los molinos que existían al suroeste de Inglaterra. Este diseño fue inventado por dos de los herreros más importantes de la época, como lo fueron Thomas Newcomen (1663 – 1729) y Thomas Savery (1650 – 1715). En su funcionamiento, la máquina de Newcomen crea un vacío en un depósito, con forma de cilindro recto, por medio del enfriamiento de vapor de agua. El vacío creado tira hacia abajo a una viga situada en forma de balancín de modo que, al llenarse el vacío del cilindro con vapor, la viga volvía a subir repitiendo este movimiento. El movimiento de vaivén acciona una bomba alternativa que extraía el agua de la mina. En la figura 120, se muestra una imagen de esta máquina de vapor y las partes que la componen.

20

Figura adaptada a partir de la imagen original en: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Newcomen.

114

Figura 1 Una de las piezas de esta mĂĄquina que cumple un rol importante en cuanto al funcionamiento descrito es el pistĂłn. Esta pieza representa el medio por el cual el balancĂ­n hace el movimiento necesario para accionar la bomba que extrae el agua. En este trabajo, la tarea que se describe corresponde con la construcciĂłn del pistĂłn de la mĂĄquina de Newcomen con el GeoGebra.

Consideraciones para la simulaciĂłn Antes de comenzar con la descripciĂłn de la tarea, es preciso resaltar algunas decisiones y acciones en cuanto a la simulaciĂłn de la mĂĄquina de Newcomen en lĂ­neas generales. Estas decisiones y acciones crean condiciones favorables para atender a la construcciĂłn del pistĂłn y las demĂĄs tareas de la simulaciĂłn.

En primer lugar, la imagen seleccionada en la fase 1 del proyecto fue insertada en la Vista GrĂĄfica del GeoGebra, con el propĂłsito de servir como referencia al momento de decidir los objetos geomĂŠtricos que se usarĂ­an y construirlos sobre dicha imagen. Su opacidad es controlada por un deslizador denominado đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;, que al ser manipulado permite ir validando el estatus de las construcciones geomĂŠtricas ofreciendo una mejor apreciaciĂłn.

En segundo lugar, se definiĂł un segmento que sirviese como â&#x20AC;&#x153;patrĂłn de medidaâ&#x20AC;? en la simulaciĂłn de la mĂĄquina de Newcomen. Este segmento coincide con el largo de la camisa del pistĂłn de la mĂĄquina y su longitud es controlada por un deslizador de nĂşmero denominado đ?&#x2018;&#x17D;, el cual toma valores entre 1 y 3, los cuales se han fijado de manera conveniente. AdemĂĄs de ello, se creĂł una casilla de control llamada â&#x20AC;&#x153;PatrĂłnâ&#x20AC;? para mostrar u ocultar el segmento en el momento que se deseara. Para vincular este patrĂłn con las demĂĄs construcciones se determinĂł la distancia entre sus extremos, quedando este resultado rotulado con la letra đ?&#x2018;&#x2019;. Esta distancia serĂ­a usada como un factor de cambio de las medidas lineales en el dibujo. En la figura 3 se muestra una imagen del simulador con todas las consideraciones comentadas aquĂ­.

115

Figura 3 ConstrucciĂłn del pistĂłn La construcciĂłn del pistĂłn comenzĂł por la identificaciĂłn de aquella figura geomĂŠtrica que mejor representara a esta pieza del mecanismo. SegĂşn lo observado en la imagen de fondo, fue posible reconocer que esta pieza podĂ­a representarse a travĂŠs de un par de segmentos incidentes. En este sentido, la tarea de representar al pistĂłn se reducĂ­a a localizar los extremos de ambos segmentos y luego trazarlos con el software. Un anĂĄlisis sobre estos segmentos permitiĂł identificar que uno de ellos es horizontal y el otro vertical, por lo cual la idea de perpendicularidad podĂ­a tomarse en cuenta al momento de construir estos segmentos en la interfaz del GeoGebra. MĂĄs aĂşn, se observĂł que el segmento vertical se ubicaba en la mediatriz del segmento horizontal.

Otro aspecto que fue sujeto de anĂĄlisis fue el movimiento que posee el pistĂłn en el mecanismo. Al observar la imagen de la mĂĄquina en formato GIF se pudo notar que el pistĂłn se mueve en una sola direcciĂłn, de manera vertical. Para garantizar este tipo de movimiento, se decidiĂł aplicar una traslaciĂłn al segmento horizontal. Para ello, fue necesario definir un vector de traslaciĂłn, lo que suponĂ­a determinar su mĂłdulo, direcciĂłn y sentido. Para determinar la direcciĂłn del vector se ubicĂł un punto đ??´ de manera conveniente en la esquina inferior derecha de la camisa del pistĂłn y luego se trazĂł una recta â&#x201E;&#x17D; perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ que pasara por đ??´. La idea de convertir a esta recta perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ era hacerla coincidir con uno de los lados de la camisa del pistĂłn, como se muestra en la figura 4a. Asimismo, con esta recta se podĂ­a garantizan el movimiento vertical del pistĂłn.

En cuanto al mĂłdulo del vector, fue posible observar que el pistĂłn, al hacer su movimiento, no llegaba al nivel de ninguno de los extremos superior e inferior de la camisa, de modo que se tomĂł la decisiĂłn de acotar el movimiento de la pieza de acuerdo a la referencia que se tenĂ­a en la imagen. Para establecer esta acotaciĂłn bastaba con localizar dos puntos en la recta â&#x201E;&#x17D; trazada previamente; la distancia entre ambos puntos se tomarĂ­a como el equivalente del mĂłdulo del vector.

116

Siguiendo estas ideas, se trazaron dos circunferencias đ?&#x2018;&#x201C; y đ?&#x2018;&#x2DC; centradas en đ??´, la primera con un radio de (1/8) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019; y la segunda con un radio de (23/30) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019;. Vale destacar que los valores de ambos radios se obtuvieron mediante un proceso de estimaciĂłn, al comparar las distancias a obtener con la medida patrĂłn. De las cuatro intersecciones entre ambas circunferencias con la recta â&#x201E;&#x17D;, se seleccionaron los puntos đ??ľ y đ??ś, que serĂ­an los extremos del acotamiento del movimiento de pistĂłn. La distancia entre estos puntos se definiĂł como đ?&#x2018;&#x2013;, la cual coincide con el mĂłdulo del vector de traslaciĂłn (ver Figura 4b).

Figura 4 Para determinar el sentido del vector fue necesario localizar su origen y extremo en el plano cartesiano. A conveniencia, se decidiĂł ubicar el origen del vector en el sistema de coordenadas, recibiendo este punto el rĂłtulo đ??ˇ. El extremo del vector debĂ­a estar sobre el đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś dada la direcciĂłn de la traslaciĂłn del pistĂłn, y para localizarlo se trazĂł una circunferencia đ?&#x2018;? centrada en đ??ˇ con radio igual a đ?&#x2018;&#x2014;, en donde đ?&#x2018;&#x2014; es un Deslizador21 de nĂşmero construido con anterioridad, cuyo mĂ­nimo es 0.01 y mĂĄximo đ?&#x2018;&#x2013;. Al intersectar la circunferencia con la parte positiva del đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś se obtuvo el punto đ??¸. Finalmente se trazĂł el vector đ?&#x2018;˘ de origen đ??ˇ y extremo đ??¸ (ver Figura 5).

Una vez obtenido el vector de traslaciĂłn, se ocultaron los puntos đ??´ y đ??ś.

Figura 5 21

La idea de utilizar el deslizador era la de garantizar el efecto dinĂĄmico de â&#x20AC;&#x153;vaivĂŠnâ&#x20AC;? del pistĂłn durante su movimiento.

117

Una vez definido el vector de traslaciĂłn, se pasĂł a construir el segmento horizontal que serĂ­a objeto de la traslaciĂłn. Ya obtenido uno de sus extremos (el punto đ??ľ), se debĂ­a localizar el otro.

Puesto que el segmento es horizontal, se trazĂł una recta đ?&#x2018;&#x2122; perpendicular a â&#x201E;&#x17D; que pasara por đ??ľ y se intersectĂł con una circunferencia đ?&#x2018;&#x17E; centrada en đ??ľ con un radio estimado de 0.44 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019;. De los dos cortes entre đ?&#x2018;&#x17E; y đ?&#x2018;&#x2122;, se decidiĂł que el extremo deseado fuese el punto đ??š, segĂşn sugiere la imagen de fondo. Luego de ello, se construyĂł el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ľđ??š con la herramienta Segmento (ver Figura 6a). Ya dibujado este segmento, se le aplicĂł a ĂŠste la traslaciĂłn segĂşn el vector đ?&#x2018;˘ obteniendo el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ľâ&#x20AC;˛đ??šâ&#x20AC;˛ que representarĂ­a la parte horizontal del pistĂłn de la mĂĄquina (ver Figura 6b).

Figura 6 Una vez obtenido el segmento que representa la parte horizontal del pistĂłn, se pasĂł a construir el segmento que representa la parte vertical de esta pieza. De acuerdo a lo comentado al inicio de este apartado, se trazĂł la mediatriz del segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ľâ&#x20AC;˛đ??šâ&#x20AC;˛. SegĂşn lo observado en la imagen, uno de los extremos del segmento a dibujar se encontraba en la intersecciĂłn entre el segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ľâ&#x20AC;˛đ??šâ&#x20AC;˛ y su mediatriz, por lo cual se hallĂł este punto por dicha vĂ­a, obteniendo el punto đ??ş (ver Figura 7a). Para localizar el otro extremo se trazĂł una circunferencia đ?&#x2018;&#x; centrada en đ??ş con un radio estimado de (12/20) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019; y se intersectĂł con la mediatriz de Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??ľâ&#x20AC;˛đ??šâ&#x20AC;˛. De los dos cortes entre ambos objetos, se decidiĂł utilizar al punto đ??ť como el otro extremo del segmento vertical. Para Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; (ver Figura 7b). finalizar la construcciĂłn del pistĂłn en el GeoGebra se trazĂł el segmento đ??şđ??ť

Figura 7 118

Un aspecto agregado a la simulación es un deslizador denominado 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 para controlar la velocidad del movimiento vertical de los segmentos que representan al pistón en el GeoGebra, como se muestra en la figura 8.

Figura 8 Además se construyó la camisa del pistón para ofrecer un aspecto más interesante al dibujo obtenido. Esta construcción se fundamentó en procedimientos análogos de trazado de rectas perpendiculares y paralelas, mencionadas a lo largo de este apartado.

Reflexiones finales La experiencia de haber transcurrido por el proceso de simular el pistón de la máquina de Newcomen con el GeoGebra reveló a los autores de este trabajo una visión diferente de ver la Matemática, de reconocer que ese conjunto de ecuaciones, graficas, figuras geométricas y demás objetos que le caracterizan tienen una aplicación directa en la simulación de fenómenos del mundo real. Además, el Club GeoGebra es un espacio educativo diferente al aula de clases, ya que gracias a sus sesiones de trabajo se ha adquirido el deseo de documentarse, leer y comprender mejor los objetos matemáticos que ayudan a simular los fenómenos que se seleccionan.

En este sentido, el GeoGebra tomó un lugar muy importante en el proceso de comprensión debido a que los conceptos matemáticos en el software son representados con una naturaleza dinámica, haciendo que los participantes tengan la posibilidad de manipular y explorar las construcciones geométricas que se realizan.

Entre los retos que quedan por delante en cuanto a la elaboración de este simulador resalta la representación de las cadenas que unen al balancín con el peso y al pistón ya construido, así como también la construcción del propio balancín.

119

Datos de los autores Adriana Reinoso Estudiante de 5to Año mención Contabilidad E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela María Jiménez Estudiante de 5to Año mención Contabilidad E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela Rafael Gutiérrez Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotor del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez” rafael.gutierrez@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/SNXc7lHEiBw?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

120

LA LOCOMOTORA A VAPOR María Benítez e Irene Sánchez Resumen

Este proyecto de diseño tiene por objetivo simular el funcionamiento de una locomotora a vapor a través del GeoGebra, con la finalidad de comprender los conceptos matemáticos que hacen presencia en esta actividad. En el trabajo se describe la experiencia de la simulación con el software en términos de la resolución de la primera tarea de construcción de la locomotora, específicamente la representación de la “manivela”. Durante la experiencia se pusieron de manifiesto algunos conceptos matemáticos que tratamos de destacar en este escrito y cuyo uso, en el momento de la simulación, fue propicio para dar consistencia a la representación del fenómeno.

Abstract

This project of design aims to simulate the operation of a steam locomotive using GeoGebra, with the purpose of comprehending the mathematical concepts that make presence in this activity. In this project it is described the simulation experience with the software in terms of the solution of the first construction task, specifically, the representation of the crank. During the experience arise some mathematical concepts we will try to emphasize in this writing and which use, in the moment of the simulation, was useful to give consistence to the phenomenon representation.

Introducción El desarrollo del Proyecto de Diseño llamado “La locomotora a vapor” se enmarca en las actividades del Club GeoGebra “Hermágoras Chávez” que funciona en la E.T.C.R. Hermágoras Chávez de la ciudad de Cabimas, estado Zulia. La actividad de simulación de la locomotora a vapor es el foco principal de este proyecto, para lo cual se hizo necesario atender a ciertas consideraciones previas a la simulación. Además, fue importante definir una serie de tareas de construcción de las piezas que componen a la locomotora para lograr una representación del fenómeno con consistencia. En este trabajo se describe la elaboración de una pieza particular (primera tarea) del mecanismo, denominada “manivela”, atendiendo a su conexión con las demás piezas del fenómeno, a los conceptos matemáticos implícitos en su construcción y las herramientas del software que facilitan este proceso. Esta descripción se acompaña, al inicio, de una breve reseña del fenómeno y, al final, de unas reflexiones sobre la experiencia con la simulación.

Sobre el fenómeno de la simulación El fenómeno seleccionado se asocia al funcionamiento de una locomotora a vapor. Se denomina “locomotora” al cuerpo rodante con motor que se utiliza para dar tracción a los trenes, siendo, por tanto, una parte fundamental de éste. Una locomotora a vapor es una máquina impulsada por la presión de vapor producida por la ebullición del agua que se calienta 121

en una caldera sometida a la combustión de carbón, leña o biomasa. Esta presión mueve un juego de pistones que, a su vez, impulsan las ruedas de la locomotora mediante un juego de biela-manivela (ver figura 122). Para que este mecanismo funcione, las locomotoras necesitan ser reabastecidas de agua cada cierto tiempo.

Figura 1 El origen de esta palabra locomotora proviene del latín "loco", relativo de "locus", que significa lugar y del latín medieval "motivus", que significa provocar movimiento. La primera locomotora a vapor fue construida por Richard Trevithick en 1804. Esta máquina no dio el resultado esperado ya que debía circular por carriles de hierro fundido, inapropiados para su peso.

George Stephenson, su hijo Robert y Henry Booth, 21 años más tarde, construirían la famosa “The Rocket” ganadora del concurso de Rainhill en 1829, el cual buscaba la locomotora más competente para la nueva línea férrea entre las ciudades de Liverpool y Manchester. Aunque los aportes de Trevithick marcan un hito en la invención de la locomotora, los orígenes de esta se asocian tradicionalmente al nacimiento de las líneas férreas, por lo cual Stephenson es considerado el padre de los ferrocarriles Como se dijo al inicio, simular el funcionamiento de esta locomotora supone realizar una serie de tareas de construcción con GeoGebra. La tarea seleccionada para este trabajo fue la construcción de una pieza que compone la balanza de la locomotora: la manivela. Sin embargo, es importante destacar que para este momento ya se han abordado otras tareas a continuación de ésta.

Consideraciones de la simulación Dado que la simulación de la manivela es la primera tarea del proyecto, fue necesario crear unas condiciones que permitieran dar inicio a la simulación de todo el fenómeno. En este sentido, lo primero fue insertar la imagen seleccionada en la fase 1 en la Vista Gráfica del software para que ésta sirva de referente en la construcción de los objetos geométricos que representarían a la máquina sobre la imagen. La opacidad de esta imagen es controlada por un 22

Fuente: http://trenmonreal.blogspot.com/2013/11/funcionamiento-de-la-locomotora-de-vapor.html.

122

deslizador de nĂşmero, con un mĂ­nimo de 0 y un mĂĄximo de 1, con el fin de revisar el estatus de las construcciones en la marcha. Lo segundo fue definir una longitud como patrĂłn de medida para la construcciĂłn de todos los elementos del simulador dependientes de distancias o longitudes. Se asumiĂł que esta longitud pudiera variar en el intervalo de nĂşmeros reales: [0,5 ; 3], y para su representaciĂłn se construyĂł un deslizador llamado đ?&#x2018;?. Vale destacar que la longitud de đ?&#x2018;? esta predeterminada por el software, es decir, cuando đ?&#x2018;? vale 1 su tamaĂąo coincide con los lados de los cuadros mostrados en la cuadrĂ­cula.

En la figura 2 se muestra un segmento đ?&#x2018;&#x203A;, construido con el propĂłsito de indicar la longitud de đ?&#x2018;?, cuando este toma el valor de 1. Posteriormente este segmento se suprime ya que la cuadrĂ­cula es el referente visual mĂĄs prĂłximo.

Figura 2 ConstrucciĂłn de la manivela Para construir la manivela, lo primero que se hizo fue reconocer en la imagen de fondo un objeto geomĂŠtrico que mejor represente la pieza. Posterior a una observaciĂłn de la escena, se identifica al segmento como el objeto idĂłneo para representar la manivela. En este momento, la tarea consistĂ­a en determinar los extremos del segmento. Ya conocido el objeto, se tiene en cuenta el movimiento que describe la pieza â&#x20AC;&#x201C;movimiento circularâ&#x20AC;&#x201C; mientras la locomotora estĂĄ en marcha. Atendiendo a las caracterĂ­sticas de este movimiento, se precisa que uno de los extremos del segmento debe permanecer fijo (estĂĄtico) y el otro en movimiento (dinĂĄmico).

Para resolver esta tarea se toma la decisiĂłn de realizar una rotaciĂłn bajo ciertas condiciones y utilizando las herramientas del GeoGebra pertinentes.

Para el extremo fijo, se observa en la imagen de referencia que ĂŠste se encuentra en el centro de la rueda, por lo tanto, para representarlo se utiliza la herramienta Punto y se construye esta figura en el lugar antes descrito, estableciĂŠndose asĂ­ un punto đ??ś que representa al extremo (ver Figura 3). Por ser la primera construcciĂłn, đ??ś tiene la propiedad de ser un objeto libre y representa un referente para el resto de las construcciones.

123

Figura 3 Para el extremo con movimiento, tras visualizar otra de las fuentes del fenĂłmeno (una imagen GIF), se acuerda aplicar una rotaciĂłn sobre el punto que represente a este extremo. Para hacer uso de la herramienta RotaciĂłn del software es necesario definir: (i) el objeto a rotar, (ii) el centro de rotaciĂłn y (iii) el valor del ĂĄngulo. En relaciĂłn a lo primero, al inicio ya se habĂ­a precisado que debĂ­a ser un punto, ahora solo queda establecer las condiciones que debe cumplir ĂŠste; segĂşn el movimiento que podĂ­a describir, se concluye que tal extremo puede estar contenido en una circunferencia. En lo segundo, se considera al extremo đ??ś como centro de rotaciĂłn por estar en la parte interna de la rueda y ser un punto estĂĄtico. Por Ăşltimo, se determina el uso de un deslizador de tipo ĂĄngulo que permita controlar la rapidez del objeto, con el fin de tener una semejanza mĂĄs fiel a la realidad.

Ya definida la rotaciĂłn, dimos inicio a la construcciĂłn de estos elementos. Recordando que se dispone del centro de rotaciĂłn, se decide construir una circunferencia centrada en đ??ś, sobre la cual se moverĂ­a el extremo con movimiento. Solo restaba determinar el radio. Para conocer su 2 valor se realiza una estimaciĂłn en base a la medida patrĂłn, estableciendo el valor 3 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? y concluyendo en la circunferencia đ?&#x2019;&#x201E; (ver Figura 4). Durante la estimaciĂłn del radio uno de los conceptos que emergiĂł fue el de fracciĂłn equivalente, ya que resulta la misma distancia si se 2 12 asigna al radio los valores â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? y â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?.

3

18

Figura 4 124

Posteriormente se ubica un punto đ??ˇ sobre la circunferencia đ?&#x2018;?, el cual serĂ­a rotado. Para establecer el valor del ĂĄngulo, se utiliza un deslizador de tipo ĂĄngulo, llamado đ?&#x203A;ź, que varĂ­e en un intervalo [0°, 360°] y que repita esta variaciĂłn de forma creciente. Utilizando la herramienta RotaciĂłn se seleccionan el punto đ??ˇ (objeto a rotar), el punto đ??ś (centro de rotaciĂłn) y el deslizador đ?&#x203A;ź (valor del ĂĄngulo), asumiendo un sentido contrahorario para el giro, con el propĂłsito de asemejar lo mĂĄs posible el movimiento de la manivela. Al final se obtuvo un punto đ??ˇâ&#x20AC;&#x2122;, homĂłlogo a đ??ˇ que representarĂ­a al otro extremo de la manivela (ver Figura 5a). Finalmente se traza el segmento para fijar la manivela (ver Figura 5b).

a)

b) Figura5

Para dar robustez a la construcciĂłn y una apariencia mĂĄs fiel al fenĂłmeno simulado, se construye un deslizador de tipo nĂşmero, denominado â&#x20AC;&#x153;Velocidadâ&#x20AC;?, para controlar la rapidez de la rotaciĂłn aplicada a la manivela con el fin de ajustarla convenientemente segĂşn el funcionamiento de esta pieza en los modelos de locomotora convencionales (ver Figura 6).

Figura 6 125

Reflexiones finales Durante la resolución de la primera tarea de construcción, emergieron algunos conceptos geométricos que poco se recordaban pero, sobre los cuales se tenían algunas ideas intuitivas que permitieron formalizar su conocimiento acerca de estos, tal es el caso de: segmento, ángulo y circunferencia. Otro como la rotación hasta el momento no eran familiares, por lo cual fue necesaria una reflexión sobre éste que involucra su definición y condiciones de construcción y su penitencia para la representación de la manivela. Una situación que vale destacar es el uso de las fracciones en el momento de estimar la medida del radio de la circunferencia, teniendo como referencia la medida patrón. Ya que el valor que se requería no era entero. También resalta el hecho de que, a partir de fracciones obtenidas por estimación, se podían generar expresiones equivalentes mediante una amplificación de fracciones. Por otro lado, el dinamismo que el software transmite a los objetos permite una aproximación más real y estrecha al fenómeno. Aún quedan varias tareas que atender y cada una de ellas tendrá unos requerimientos propios que permitirán la emergencia de conceptos matemáticos útiles para su resolución.

Datos de los autores María Benítez Estudiante de 5to Año mención Mercadeo E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela Irene Sánchez Profesora Aliada E.T.C.R. Hermágoras Chávez Cabimas, Venezuela irene.sanchez@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/pQlNckuEuJY?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

126

ELEMENTOS DE LA M16 Y LA MATEMÁTICA Francisco Contreras y Stephanie Díaz Resumen

En el desarrollo de este trabajo se describe el proceso seguido para dar solución a una de las tareas de simulación del mecanismo de un rifle M16 usando el GeoGebra. La tarea consistió en construir el resorte del mecanismo, destacando la Matemática implícita en esta experiencia, especialmente la referida a la función trigonométrica seno y algunas de sus propiedades fundamentales.

Abstract

In the development of this work, it is described the process to solve one of the tasks designed to simulate a M16 rifle using GeoGebra. The task consisted in the construction of the action spring of this mechanism, highlighting the mathematics implicit in this experience, specially the related with the trigonometric function sine and some of its fundamental properties.

Introducción El proyecto de diseño que hemos llamado “Elementos de la M16 y la Matemática” se inició en el mes de enero del año 2015, en el marco de las actividades del Club GeoGebra “Raúl Osorio”, ubicado en el municipio San Francisco del estado Zulia. El objetivo de este proyecto es crear la simulación con GeoGebra del mecanismo de un rifle M16 a partir del movimiento de su resorte.

Si bien el mecanismo representa un fenómeno de tipo bélico que puede ser objeto de censura en el ámbito escolar, en esta ocasión, su simulación es considerada una oportunidad para dotar de sentido a determinados contenidos matemáticos que muchas veces son tratados en las aulas de forma superficial. En este documento se describe el proceso de construcción del resorte que activa el mecanismo de la M16 con el GeoGebra, destacando el rol de la Matemática implícita en el proceso de representación de esta pieza, entre la que destaca la función trigonométrica seno. Se incluye además una breve descripción de este mecanismo y se culmina con unas reflexiones finales sobre la experiencia de simulación.

Sobre el fenómeno de la simulación La M16 es un rifle de asalto que fue muy utilizado en la segunda guerra mundial. Se caracteriza por ser relativamente largo pero, a la vez, muy liviano debido a los materiales que lo componen: aluminio, acero y materiales sintéticos. Debido a su estructura este rifle tiene la ventaja sobre otras armas con funciones similares. Sin embargo, éste requiere de un mantenimiento muy especial.

Algunos consideran a la M16 como un armamento elegante y muy eficaz debido a su diseño y por ser de funcionamiento automático, versátil y configurable, siendo estas bondades mejoradas con el pasar de los años. En la actualidad, la M16 es usada por organismos de fuerzas armadas, cuerpos policiales y unidades antiterroristas aunque, en general, se desconoce mucho de su alcance y peligrosidad. Este rifle es un ícono reconocido mundialmente y se han hecho varios proyectos para

127

su sustituciĂłn por otros prototipos pero sin el ĂŠxito esperado. A continuaciĂłn, en la figura 123 se muestran algunas de las partes que componen a la M16.

Figura 1 Consideraciones para la construcciĂłn del mecanismo Para la construcciĂłn del simulador de la M16 se tomaron en cuenta tres consideraciones de partida, a saber, la inserciĂłn de la imagen de referencia en la Vista GrĂĄfica del software, el establecimiento de una medida patrĂłn y la decisiĂłn de la tarea de inicio de la simulaciĂłn del fenĂłmeno. A continuaciĂłn estas consideraciones se explican con detalle: ď&#x201A;ˇ Al insertar una imagen en la Vista GrĂĄfica del GeoGebra, el software le asigna automĂĄticamente dos puntos del plano a las esquinas inferiores de esta imagen. En nuestro caso, los puntos asignados fueron modificados a conveniencia, haciendo corresponder la esquina inferior izquierda con el origen del sistema cartesiano y la esquina inferior derecha con un punto en la posiciĂłn (11,0). La opacidad de esta imagen fue controlada por medio de un deslizador de tipo nĂşmero, llamado đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;, con el cual es posible variar a conveniencia este atributo en la imagen con el fin de revisar periĂłdicamente el estatus de las construcciones (ver Figura 2).

Figura 2 23

La imagen fue tomada de: http://www.vayagif.com/180303/funcionamiento-de-una-m16. La imagen original se modificĂł para incluirle el nombre de las piezas del fusil.

128

ď&#x201A;ˇ Para hacer depender las construcciones a partir de medidas de longitud y distancias era necesario establecer una medida patrĂłn. Para ello creamos un deslizador de tipo nĂşmero, llamado đ?&#x2018;&#x17D;, cuyo intervalo comprende un valor mĂ­nimo de 1 y un mĂĄximo de 3 unidades, haciendo coincidir el valor inicial con la unidad de la cuadrĂ­cula del software. El deslizador puede apreciarse en la figura 2. ď&#x201A;ˇ Dado que el movimiento de la M16 parece generarse a partir del resorte ubicado en la cantonera, se tomĂł la decisiĂłn de comenzar la simulaciĂłn por la construcciĂłn de esta pieza del mecanismo.

DescripciĂłn de la tarea Tras observar el comportamiento del resorte en la imagen de referencia y la discusiĂłn de las posibles vĂ­as para atender a la tarea de construir este resorte con el GeoGebra, se tomĂł la decisiĂłn de representar la pieza en tres momentos. El primer momento consiste en la reproducciĂłn del movimiento del resorte. El segundo momento consiste en representar el resorte a partir del movimiento que se obtuviera en el primer momento. Finalmente, en el tercer momento se ubica la representaciĂłn del resorte en la posiciĂłn deseada. Cada uno de estos momentos se explica a continuaciĂłn:

Momento 1. SimulaciĂłn del movimiento del resorte Para simular el movimiento del resorte se considerĂł que la mejor manera de representar su movimiento era a travĂŠs de un segmento cuya longitud varĂ­a desde el tamaĂąo natural del resorte (sin estirarse) hasta alcanzar su mĂĄxima elongaciĂłn. SegĂşn la Real Academia EspaĂąola, la palabra â&#x20AC;&#x153;elongaciĂłnâ&#x20AC;? hace referencia al alargamiento de una pieza sometida a tracciĂłn. En nuestro caso, el resorte del fusil es la pieza sometida a elongaciĂłn por medio del mecanismo que permite disparar. De esta manera, la longitud variable del segmento representarĂ­a la elongaciĂłn del resorte. Visto de esa forma, se hacĂ­a necesario determinar los extremos del segmento, considerando que uno de ellos ha de permanecer fijo, mientras el otro se mueve en la direcciĂłn horizontal.

Como extremo fijo, se construyĂł un punto sobre la Vista GrĂĄfica del GeoGebra al que llamamos đ??´, ubicado sobre la posiciĂłn que ocuparĂ­a dicho extremo en la imagen de referencia. El otro extremo estarĂ­a ubicado en una recta perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś que pasa por el punto đ??´. DespuĂŠs de construir esta recta se creĂł un deslizador de nĂşmero, llamado đ?&#x2018;?, que varĂ­a de 0 (resorte en posiciĂłn inicial o sin elongaciĂłn alguna) a 1.2 (mĂĄxima elongaciĂłn del resorte segĂşn la imagen de fondo). La funciĂłn de este deslizador era controlar la distancia entre los extremos del segmento y, por ende, la elongaciĂłn del resorte. Para determinar la localizaciĂłn del extremo mĂłvil sobre la recta se dibujĂł una circunferencia llamada đ?&#x2018;&#x2018;, con centro en đ??´ y cuyo radio es el deslizador đ?&#x2018;?. De esta manera, el extremo mĂłvil del segmento es el punto de corte entre la recta perpendicular al đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś por đ??´ y la circunferencia đ?&#x2018;&#x2018;, extremo ĂŠste al que llamamos đ??ľ y que se localiza a la izquierda de đ??´.

Luego de esto, mediante la herramienta Segmento, se construyĂł el segmento representativo de la elongaciĂłn del resorte, tal como se muestra en la figura 3.

129

Figura 3

Momento 2. RepresentaciĂłn del resorte Dada la forma del resorte de la M16, para su representaciĂłn se considerĂł de mucha utilidad usar la grĂĄfica de una funciĂłn trigonomĂŠtrica y, al respecto, se contaba con dos opciones, la funciĂłn seno o la funciĂłn coseno pues sus representaciones grĂĄficas tienen la misma apariencia.

En este caso se tomĂł la decisiĂłn de trabajar con la funciĂłn seno, partiendo de su expresiĂłn mĂĄs general: đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;Ľ ) = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? ) + đ?&#x2018;&#x2018; El trabajar con esta expresiĂłn suponĂ­a determinar los valores de los parĂĄmetros đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x2018; convenientes para que la grĂĄfica de la funciĂłn (la senoide) fuera la mĂĄs representativa posible del resorte. Para determinar estos valores, se utilizĂł la Vista GrĂĄfica 2 del GeoGebra sobre la cual se crearon cuatro deslizadores de tipo nĂşmero, llamados đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x2018;, y se insertĂł en la barra de entrada la expresiĂłn general de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;Ľ). Al manipular cada deslizador, observamos que đ?&#x2018;&#x17D; modificaba la amplitud de la senoide, đ?&#x2018;? hacĂ­a lo propio con la longitud de onda, mientras que đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x2018; trasladaban la curva en la direcciĂłn horizontal y vertical, respectivamente.

Tras observar la imagen de fondo con atenciĂłn, concluimos que era necesario disminuir la amplitud de la senoide haciendo ajustes al parĂĄmetro đ?&#x2018;&#x17D; hasta alcanzar un valor tal que la curva adquiriera la amplitud del resorte en la imagen. Dicho valor se estimĂł en 0,15 en funciĂłn de la imagen de referencia. Un razonamiento similar se hizo con el parĂĄmetro đ?&#x2018;? para ajustar el perĂ­odo de la senoide de manera que su apariencia fuera similar a la del resorte en el dibujo. Se observĂł ademĂĄs que, mientras este parĂĄmetro tomaba valores como 50, 60, 80, 100, la grĂĄfica iba tomando la apariencia deseaba. Al final, se decidiĂł por un valor de đ?&#x2018;? = 130.

Los parĂĄmetros đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x2018; no se tomaron en cuenta ya que con la expresiĂłn: đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ ) = 0.15 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;(130đ?&#x2018;Ľ) se resolviĂł el problema de la representaciĂłn del resorte. La figura 4 muestra el aspecto de la senoide definida por la expresiĂłn anterior.

130

Figura 4 Para finalizar la representaciĂłn del resorte fue necesario acotar el dominio de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) ya que solo se necesitaba una porciĂłn de la grĂĄfica. Para poder atender a lo anterior, era necesario utilizar el comando đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; [â&#x152;Šđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A;â&#x152;Ş, â&#x152;Šđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; â&#x152;Ş] del GeoGebra, que facilita la acotaciĂłn del dominio de una funciĂłn. Para esta ocasiĂłn, la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) tiene un intervalo que define su dominio, el cual viene dado por el movimiento del resorte que estĂĄ en funciĂłn del deslizador đ?&#x2018;? y su expresiĂłn algebraica serĂĄ aquella que fue determinada anteriormente en la Vista GrĂĄfica 2. Ya teniendo lo necesario para acotar la senoide, se insertĂł en la Barra de entrada del software el comando de la manera siguiente: đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160; [â&#x152;Šđ?&#x;&#x17D; â&#x2030;¤ đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030;¤ đ?&#x2019;&#x201A; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201E;â&#x152;Ş, â&#x152;Šđ?&#x2019;&#x201A; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?(đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2122;)â&#x152;Ş], obteniĂŠndose asĂ­ la porciĂłn de la grĂĄfica requerida ubicada en el origen del sistema (ver Figura 5).

Figura 5 Vale destacar que, como el deslizador đ?&#x2018;&#x17D; es la medida patrĂłn utilizada para la construcciĂłn del simulador, ĂŠste se encuentra asociado tanto al dominio de la funciĂłn como a la amplitud de su grĂĄfica para que cuando aumente el tamaĂąo del resorte lo haga en la misma proporciĂłn.

131

Momento 3. Ubicación del resorte El resorte quedó ubicado en el origen de coordenadas pero en realidad debía estar ubicado a partir del punto 𝐴, considerado como el extremo fijo del segmento que representa al movimiento. Para lograr esto, fue necesario aplicar a la porción de senoide dos transformaciones en el plano, a saber, primero una rotación y luego una traslación. La rotación se aplicó a 180° con respecto al punto 𝐸 en el origen del sistema, ya que el movimiento de la senoide previamente construida era en sentido contrario al deseado (ver Figura 6). Luego de esto, para la traslación se requería de un vector de traslación que se dibujó con origen en 𝐸 y extremo en 𝐴, utilizando la herramienta Vector que ofrece el GeoGebra. Finalmente, la traslación fue aplicada a la porción de senoide rotada previamente, usando el vector de traslación 𝑢 de la figura 6, dando como resultado la representación del resorte deseada.

Figura 6 Consideraciones finales A pesar de que la M16 puede ser vista como un fenómeno bélico, la simulación del resorte con el GeoGebra representó una gran oportunidad para aprender y utilizar ideas matemáticas relacionadas con una función trigonométrica particular. La posibilidad de dar respuesta a esta tarea por medio de la función seno fue de gran importancia y significación para los autores, debido a todos los cambios que la curva senoide iba experimentando en la medida que los parámetros de la expresión algebraica de la función seno asociada se iban manipulando, hasta hacerla parecer más y más al resorte.

La variación de los parámetros en la expresión por medio de deslizadores facilitó tanto la comprensión del comportamiento de la senoide al variar cada uno de ellos como el papel que esta herramienta (deslizador) puede tener en el estudio de las funciones reales. Las bondades dinámicas que ofrece el GeoGebra y la posibilidad de visualizar la acotación del dominio de la función sin duda que han hecho de este fenómeno una gran oportunidad para comprender mejor la función seno, las transformaciones que puede sufrir su grafica en función de la variación de sus parámetros y la acotación de su dominio.

132

Datos de los autores Francisco Contreras Estudiante de 5to Año U.E.N. Bol. Raúl Osorio San Francisco, Venezuela Stephanie Díaz Estudiante de la Licenciatura en Educación Matemática y Física Universidad del Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Raúl Osorio” stephanie.diaz@aprenderenred.com.ve El vídeo de la ponencia puede visualizarse en la siguiente dirección: https://youtu.be/vxBPLTdZ87A?list=PLU0kpcfdzW0WIsKURMG8Z23z2TXlZ7cBs.

133

134

LA REFLEXIÓN DE NUESTRA EXPERIENCIA COMO UNA HERRAMIENTA PARA SISTEMATIZAR LA PRÁCTICA DE ELABORAR SIMULADORES CON GEOGEBRA Leonela M. Rubio U. Los estudiantes que forman parte de un Club GeoGebra se plantean como meta la elaboración de un proyecto de diseño compuesto por cuatro fases. La primera, llamada selección del fenómeno, consiste en elegir un fenómeno de la realidad que se desee simular. Le sigue la elaboración del simulador, fase en la cual se simula el fenómeno seleccionado en la interfaz del GeoGebra. La tercera fase es la sistematización, en la cual los participantes registran por escrito la experiencia vivida en la elaboración del simulador. En la última fase del proyecto, llamada difusión, se socializan las experiencias sistematizadas en algún evento relacionado con la Educación Matemática y, en especial, con el uso de las Tecnologías Digitales en los procesos de enseñanza y aprendizaje matemático, ya sea de índole regional o nacional. En los primeros meses del inicio de los proyectos de diseño, el proceso de sistematización de las propias experiencias de simulación con GeoGebra no se explica con detalle a los estudiantes, puesto que este proceso corresponde con la tercera fase del proyecto y no con la primera.

Por esta razón, esta charla fue pensada para los estudiantes liceístas que participan en un Club GeoGebra, especialmente para aquellos que están prontos a llegar a la tercera fase de un proyecto de diseño, y en la cual se exponen algunos aspectos del proceso de sistematización que son útiles para el desenvolvimiento óptimo de los participantes en esta fase tan importante del proyecto. Concretamente, en esta charla se da una explicación acerca de lo que es sistematizar, se exponen las razones por las cuales se debe sistematizar y los pasos a seguir para lograr una sistematización adecuada de la experiencia al elaborar un simulador con GeoGebra.

El proceso de sistematizar es presentado, parafraseando al Instituto Interamericano de Derechos Humanos, como aquel en el cual se registran ordenadamente una o varias experiencias, combinando el quehacer con su sustento teórico, haciendo énfasis en los aprendizajes obtenidos de tales experiencias. Dicho proceso, por un lado, permite identificar los elementos de la práctica para clasificarlos y ordenarlos, mejorando así la comprensión del sentido de las experiencias. Por otro lado, representa una fuente productora de nuevos saberes y un medio para poner en orden conocimientos y percepciones dispersas.

La sistematización busca abrir caminos para el intercambio de saberes derivados de las experiencias, puesto que traduce las mismas a un código que permite su comunicación. Esta traducción se realiza por medio de un proceso de análisis de las acciones realizadas en la práctica, lo cual permite descubrir conocimientos que se encontraban ocultos en ella misma. En un Club GeoGebra, a criterio de la autora, la sistematización del proceso de elaboración de un simulador con GeoGebra permite a los estudiantes: (i) organizar los conocimientos adquiridos durante la segunda fase del proyecto, (ii) develar la Matemática subyacente en la construcción, esto es, aquellos conocimientos matemáticos que fueron utilizados consciente o inconscientemente en la elaboración del simulador sin haber sido objetos de un análisis con cierta profundidad, y (iii) socializar las experiencias tenidas en el proceso construcción, bien sea con otros estudiantes, o con expertos en el área.

135

Para sistematizar es necesario seguir ciertos pasos. El primero de ellos es vivir la experiencia, participando activamente en ella y tomando un registro de lo que ocurre en la misma. El segundo paso consiste en delimitar el objeto a sistematizar, lo que se reduce a seleccionar los elementos o momentos de la práctica que se desean sistematizar. Seguidamente se procede a la recuperación del proceso vivido, en donde se reconstruye de forma ordenada lo sucedido y se definen las etapas del proceso. Luego se realiza la reflexión de fondo, el momento en el que se analizan los componentes de la práctica, cuestionándose sobre las causas que originaron cada acción. Finalmente, el quinto paso es concluir y comunicar, es decir, elaborar las conclusiones obtenidas mediante el análisis y comunicarlas. Cabe destacar que el proceso de sistematización no se completará mientras no se difunda la información obtenida a otras personas.

Para finalizar, se considera que los contenidos mencionados en este documento resultan fundamentales para aquellos estudiantes que han de insertarse en la tercera fase de un proyecto de diseño de los propuestos en un Club GeoGebra, dado que la información aquí tratada les servirá de guía en su accionar, permitiéndoles establecer con mayor claridad y firmeza un procedimiento a seguir para elaborar un documento que considere no solo la secuencia de construcción del simulador, sino también la Matemática que justifica cada paso realizado.

Datos de la autora Leonela Rubio Estudiante de la Licenciatura en Educación mención Matemática y Física Universidad de Zulia, Venezuela Promotora del Club GeoGebra “Caracciolo Parra León” leonela.rubio@aprenderenred.com.ve

136

LA MOTIVACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES Milena Véliz “…que esta chispa se convierta en incendio” J.M. Vélaz, s.j.

Un conversatorio con estudiantes de Educación Media-Técnica, participantes del Club GeoGebra en sus centros educativos, es un momento placentero para deconstruir el camino de avance que ha tenido el Grupo TEM. Un camino en donde jóvenes estudiantes de la Universidad del Zulia, junto a profesores ejemplares, reflexionan, analizan y proponen líneas de acción para transformar realidades y hacer que docentes y estudiantes se apropien de estrategias y técnicas novedosas.

Con el ejemplo de estos jóvenes por delante, se hace necesario que los participantes de este encuentro reconozcan que la motivación está en ellos, en la voluntad que los estimula a hacer un esfuerzo con el propósito de alcanzar ciertas metas, el impulso que los lleva a actuar de determinada manera, es decir, que da origen a un comportamiento específico. Este movimiento a la acción puede ser provocado por un estímulo externo, que proviene del ambiente o es generado internamente por los procesos mentales del individuo. En este aspecto, la motivación se relaciona con el sistema de cognición del individuo. La cognición o conocimiento representa lo que las personas saben respecto a sí mismos y del ambiente que los rodea.

En este orden de ideas, es importante que los jóvenes ponentes se reconozcan como seres con potencialidades que se desarrollan de acuerdo a los incentivos recibidos durante los procesos de vivencia y convivencia en la maravillosa oferta pedagógica que les ha ofrecido el Grupo TEM, matizada con emocionalidad en los Clubes a los que ellos pertenecen. Siendo este evento una oportunidad para compartir, evaluar, planificar el propio aprendizaje desde las experiencias de cada uno de los ponentes que hoy nos acompañan, no cabe duda que además este espacio es testimonio de nuevas maneras de enseñar y aprender, en donde una herramienta tecnológica es usada con fines didácticos claros. Me refiero al GeoGebra, un software matemático multiplataforma que ofrece oportunidades para la experimentación y la percepción de la matemática de una forma nunca antes vista, en la que resalta el dinamismo de los objetos que éste nos permite representar.

La invitación es a que los participantes se vean reflejados en sus promotores y docentes, quienes están comprometidos con un proceso educativo bien planificado, quienes día a día engranan aprendizajes y enseñanzas desde la reflexión y el accionar transformador, quienes orientan sus esfuerzos hacia la consolidación de un modelo de “hacer matemática” donde se construye desde la realidad del contexto y de un currículo educativo. Nos hace felices constatar que nuestros estudiantes se sienten protagonistas, investigadores de su experiencia educativa, con capacidades para idear, deconstruir y construir su aprendizajes desde la autorregulación y utilizando herramientas que los hacen seres competentes integralmente

137

Para finalizar, mi agradecimiento al Grupo TEM por esta oportunidad que me dan de hablarles desde el corazón.

Datos de la autora M.Sc. Milena T. Véliz R. Orientadora U.E.C. Fe y Alegría Ana Soto “Heroína Indígena de Barquisimeto” Barquisimeto, Edo. Lara milenathaisvelizr@hotmail.com

138

139

PALABRAS DE RECONOCIMIENTO A LEONELA RUBIO POR SU ACREDITACIÓN EN EL PROGRAMA DE ESTÍMULO A LA INNOVACIÓN E INVESTIGACIÓN (PEII) 2014 Fidel Gerdez Es una hora de reconocimiento y creo que también es oportuno reconocer que ustedes están en una gestión importante, que hay unas instituciones que están elevando su voz y que están dignamente representadas por ustedes. De alguna manera consagra un trabajo integral, una corresponsabilidad porque están involucradas la universidad y la sociedad, esa a la que nos debemos. La universidad es un centro de discusión, de entender ideas, ideas que luego vamos a compartir, ideas que luego vamos a orientar para que se desarrollen, para que se engendren, para que se generen. Ustedes están dando una muestra de que hay un trabajo que está cumpliendo con esa misión. Ya el conocimiento no se está quedando dentro de las aulas, estamos alcanzando unos niveles importantes de la socialización del conocimiento, de la discusión del conocimiento.

Estamos logrando niveles importantes del conocimiento porque nos hemos atrevido a ser autónomos, estamos siendo propios, estamos encontrando una razón de ser a las cosas que hacemos, nos estamos convenciendo. Algunas de las manifestaciones de acá, preguntas que los participantes han hecho a los ponentes, respuestas que los ponentes han ofrecido a los participantes, de alguna manera nos hacen ver que hay una valoración por la matemática que es una inquietud de hace mucho tiempo. Entonces hay unas gestiones viejas, en esas gestiones nos hemos ido insertando, hoy en día lo vemos en concreto. Ya no es algo que se tenga que vender dogmáticamente porque es algo que parte del convencimiento de ustedes, es un acto consiente. Han encontrado la razón de ser. Antes nos obligaban a apoyarnos de una cantidad importante de contenidos que luego no sabíamos qué hacer con eso. Hoy ustedes nos están demostrando que han identificado unos problemas y que luego, identificando esos problemas, se hace necesario un contenido por abordar y es el contenido que cada uno de ustedes ha ido abordando. Por eso, probablemente, han visto una mejor forma de aprender matemática porque la motivación fue natural, porque la encontró usted, porque nadie le está obligando.

Son cosas que las queremos hacer.

Br. Leonela Rubio acompañada por el voluntariado del Grupo TEM 140

Antes había algunos métodos y esos métodos sirvieron para llegar a lo de hoy, así que no cuestionemos mucho el pasado. Estamos en una evolución del conocimiento y es importante que ustedes así lo entiendan. La ponencia de Leonela dice, de alguna manera, que hay una formación progresiva. Ustedes están en un cierto nivel y se espera que lleguen a otro nivel. A esto tendríamos que agregarle una visión de sistema: “el gran paso hacia delante se da con pequeños pasos”. Ustedes están dando esos pequeños pasos. En algún momento van a mirar hacia atrás y el camino está transitado, algún día, a lo mejor, van a ser promotores, algún día van a estar mucho más allá. No se sabe hacia dónde llega todo esto. Lo importante es que hay un movimiento que está en marcha, que ustedes lo han asumido, que lo asume la familia, que lo asume la institución, que lo asume la universidad y que ya es “un ser”, que tiene forma. Así que ese es el primer reconocimiento, creo que es una labor muy interesante.

Dr. Fidel Gerdéz En este momento estoy en representación del Departamento de Matemáticas y Física de la Facultad de Humanidades y Educación (FHE) de la Universidad del Zulia y para nosotros es muy significativa la entrega que estamos haciendo. Y es significativa porque lo sentimos, porque con esta entrega estamos reconociendo nuestro patrimonio. Nosotros tenemos un activo que en algún tiempo entendíamos que solo lo conformaba el capital que generaban los profesores y un entorno inmediato. Hoy tenemos una muestra de que ese patrimonio lo conforma algo más que los profesores. El hecho que estemos hoy ofreciendo un reconocimiento a Leonela Rubio es un acto que está bien fundamentado. Desde una visión filosófica, estamos haciendo el reconocimiento a un descubrimiento. Hemos descubierto la potencialidad académica de Leonela Rubio, pero ese descubrimiento que es más o menos explícito, nos lleva también a reconocer implícitamente un invento.

Ese invento es el Grupo TEM, su creación. Ha sido el escenario que probablemente le ha permitido a Leonela Rubio mostrar su potencialidad, así como ustedes están encontrando unos escenarios que permiten mostrar su potencialidad. Pero no nos quedemos en una visión filosófica, si la vemos desde una visión de sistema, entonces también estamos hoy haciendo un reconocimiento a una contribución que Leonela Rubio hace a nuestro departamento. Leonela 141

Rubio está contribuyendo, con su capital humano, a que en nuestro departamento tengamos una mejor conformación de nuestro capital intelectual. Estamos haciendo un aumento de nuestro patrimonio. Lo estamos reconociendo, pero implícitamente tenemos que ir también a otro reconocimiento, que es una contribución de un capital estructural que nos otorga el Grupo TEM que también ayuda a expandir y a conformar nuestro capital intelectual en el departamento. Así que ahora no es solo lo que hacen los profesores, ahora es toda la vida de los miembros del departamento. Hoy hay una muestra.

Lo que Leonela Rubio hace aquí, como miembro del grupo y como Leonela Rubio, tiene que ver con un capital relacional que pertenece al Grupo TEM pero que también es un capital relacional del departamento. Y en conjunto, esos tres capitales que le otorgo como contribución a nuestro capital en el departamento, nos hace público un capital social que es el que nos merecemos. Tenemos una responsabilidad social con el currículo. Ya no solo vamos a administrar contenidos muertos. Vamos a administrar significados, vamos a generar espacios en donde las personas reflexionan y se convencen por sí solos que la matemática es una ciencia que a través de los años ha permitido la satisfacción de las condiciones humanas.

A nuestra egresada, a nuestra compañera Leonela, le seguimos estimulando. Que sirva esta entrega como un estímulo para que ella continúe mostrando su potencialidad, para que sea modelo de otros, pero también para que siga dando sus contribuciones a la universidad y a la sociedad en general. Que sigan los éxitos, felicidades Leonela.

Dr. Rafael Luque, Dr. Fidel Gerdéz, Br. Leonela Rubio y MSc. Juan Luis Prieto Datos del autor Fidel Gerdéz Jefe del Departamento de Matemáticas y Física Facultad de Humanidades y Educación Universidad del Zulia fgerdez@gmail.com

142

143

INSTITUTO GEOGEBRA DE MARACAIBO Juan Luis Prieto González La historia del Instituto GeoGebra de Maracaibo tiene su origen en el año 2011 con la creación del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática, una iniciativa que comenzó a tomar forma justo cuando recién ingresaba a la Universidad del Zulia (LUZ) como profesor ordinario del Departamento de Matemáticas y Física de la Facultad de Humanidades y Educación. Desde sus inicios el Grupo TEM ha reunido a profesores y estudiantes para profesores de Matemática y Física dedicados al diseño, puesta en práctica y difusión de propuestas y proyectos de capacitación, mejoramiento profesional e investigación en el campo de la Educación Matemática con el apoyo de las Tecnologías Digitales y la Internet. Poco tiempo después de fundado, las circunstancias nos llevaron a asumir al GeoGebra como nuestra principal herramienta de trabajo. Al margen de las dudas y tensiones que producía este cambio de tecnología en nosotros (estábamos habituados a trabajar en Entornos de Geometría Dinámica), la realidad era que GeoGebra nos ofrecía ventajas frente a otros programas para el tratamiento de contenidos matemáticos; en especial nos llamó poderosamente la atención la facilidad con que el programa podía ser descargado e instalado en equipos con diferentes sistemas operativos, incluyendo las portátiles Canaima. Además, las posibilidades de exploración de su interfaz gráfica, la versatilidad de sus herramientas para adaptarlas a las exigencias de nuestras actividades formativas y el provecho que podíamos sacar de la multiplicidad de registros semióticos que se ofrecen para tratar los objetos matemáticos acrecentaban nuestra confianza en el GeoGebra. También debemos reconocer que nos atrajo el hecho de ser GeoGebra un software gratuito y de gran utilidad en los diferentes niveles del subsistema de Educación Básica en Venezuela.

Aunque nuestra comprensión del GeoGebra avanzaba conforme las actividades del grupo se desarrollaban, llegó el momento de conocernos con Juan Pablo Serrano, Embajador de GeoGebra para América Central. Fue en el año 2012 cuando Juan Pablo, un hombre con una calidad humana extraordinaria, nos enseñó a vernos como parte de una gran comunidad internacional de usuarios del GeoGebra. Así comenzó nuestro acercamiento con el Instituto GeoGebra Internacional (IGI), una organización dedicada a promover el uso del GeoGebra en el campo educativo mediante la capacitación, soporte, desarrollo, investigación y colaboración entre comunidades de usuarios y desarrolladores del software en todo el mundo. El camino hacia la conformación del Instituto GeoGebra de Maracaibo no fue fácil, pero los tropiezos que pudimos tener no restan valor al hecho de haber fundado el primer Instituto GeoGebra de Venezuela, algo que para muchos podía parecer distante. El valor de todo esto radica en el interés que esta conformación puede despertar en la comunidad de educadores matemáticos del país en cuanto a reunirse como equipos de promotores del GeoGebra en las demás comunidades educativas y con ello hacer frente a los problemas inherentes a la enseñanza y aprendizaje de la Matemática que debemos enfrentar hoy en día.

La vía para el logro del Instituto GeoGebra de Maracaibo ha sido la del establecimiento de un convenio en abril del 2015 entre el IGI y la Universidad del Zulia, bajo el abrigo del Centro de 144

Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI), en el cual nuestro instituto se compromete a realizar las siguientes actividades, sin ánimos de lucro: 

Capacitación y desarrollo docente: mediante el diseño y puesta en práctica de talleres de formación docente se busca que los profesores se apropien del GeoGebra y elaboren formas de integrarlos eficientemente en el aula.



Producción de materiales y recursos: mediante la elaboración de actividades, documentos teóricos y prácticos, recursos con GeoGebra y demás insumos, se quiere que los usuarios de nuestra comunidad tengan mejores oportunidades para la integración del GeoGebra en los distintos escenarios de actuación.



Auto-capacitación: mediante la auto-capacitación se busca fortalecer el pensamiento y acción de los miembros del Instituto GeoGebra de Maracaibo en relación a formas eficientes de intervenir para lograr mayor impacto en nuestras actividades de promoción del software.



Investigación: mediante la actividad investigativa se quiere llegar a comprender a mayor profundidad las relaciones entre el uso del GeoGebra y los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en los diferentes ambientes de aprendizaje que nos competen.

Con el apoyo del Grupo TEM, el Instituto GeoGebra de Maracaibo se plantea llegar a cada vez más estudiantes y profesores de Matemática de la región y el país, promoviendo con nuestro accionar el uso del GeoGebra para enseñar y aprender matemática. Es nuestro deber servir a todos los interesados en conocer más sobre las posibilidades que les ofrece el GeoGebra para explorar y comprender la matemática en sus diferentes dominios. Si desena contactar con nosotros, pueden hacerlo a través de las siguientes vías: Facebook: https://www.facebook.com/grupo.tem.9 YouTube: https://www.youtube.com/user/GrupoTEM Twitter: https://twitter.com/Grupo_TEM E-mail: institutogeogebrademaracaibo@gmail.com Datos del autor Juan Luis Prieto González Coordinador del Instituto GeoGebra de Maracaibo Departamento de Matemáticas y Física Facultad de Humanidades y Educación, Universidad del Zulia juan.prieto@aprenderenred.com.ve

145

146

PROGRAMA DEL ENCUENTRO HORA 8:15 am-8:25 am

ACTIVIDAD Himno Nacional de la República Bolivariana de Venezuela Palabras de Apertura a cargo de la Lcda. Irene Sánchez

8:25 am a 8:35 am

Acto Cultural a cargo del ensamble de flautas del Sistema de Orquestas y Coros Infantiles y Juveniles de Cabimas, proyecto Simón Bolívar, bajo la dirección de la Lcda. Edivic Rodríguez

8:35 am a 8:45 am

Palabras de saludo a cargo de las autoridades de la Universidad del Zulia y de la Zona Educativa del Zulia

8:45 am a 9:05 am

Conferencia EL CLUB GEOGEBRA COMO UNA OPORTUNIDAD DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO, a cargo de Wilmer Campos y Ángel Olivero, estudiantes del 6to año de la ETCR Hermágoras Chávez de Cabimas

9:05 am a 11:00 am

Socialización de Proyectos de Diseño (I Parte)

11:00 am a 11:15 am

Refrigerio

11:15 am a 12:30 pm

Socialización de Proyectos de Diseño (II Parte) DESCANSO

1:30 pm a 2:00 pm

Conferencia “LA REFLEXIÓN DE NUESTRA EXPERIENCIA COMO UNA HERRAMIENTA PARA SISTEMATIZAR LA PRÁCTICA DE ELABORAR SIMULADORES CON GEOGEBRA”, a cargo de la Br. Leonela Rubio, promotora del Club GeoGebra “Caracciolo Parra León”

2:00pm a 2:30pm

Entrega de reconocimientos por parte de Departamento de Matemáticas y Física de la FHE, y por parte de la Asociación Civil Aprender en Red, a cargo del Dr. Rafael Luque

2:30pm – 3:00pm

Conversatorio LA MOTIVACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN DE APRENDIZAJES, a cargo de la Lcda. Milena Véliz, orientadora de la U.E.C. Fe y Alegría “Ana Soto. Heroína de Barquisimeto”, Barquisimeto, Edo. Lara

3:00 pm a 3:15 pm

Palabras de clausura a cargo del Lcdo. Juan Luis Prieto González

3:15 pm a 3:30 pm

Acto Cultural a cargo del ensamble de flautas del Sistema de Orquestas y Coros Infantiles y Juveniles de Cabimas, proyecto Simón Bolívar, bajo la dirección de la Lcda. Edivic Rodríguez

147

AFICHE

148