Operació Món: Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2 Balears(mostra)

2

IllesBal ears

MATEMÀTIQUES

APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

Operació món

2

1. Sistemes d’equacions lineals

2. Possibles solucions d’un sistema d’equacions lineals

3. Sistemes escalonats

4. Mètode de Gauss

5. Discussió de sistemes d’equacions Exercicis i problemes

5. Criteri per saber si un sistema és compatible

6. Regla de Cramer

7. Sistemes homogenis

8. Discussió de sistemes mitjançant determinants

9. Càlcul de la inversa d’una matriu

Exercicis i problemes

Autoavaluació

4 P rogramació lineal

1. En què consisteix la programació lineal. Alguns exemples

2. Programació lineal per a dues variables. Enunciat general

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc I

Autoavaluació del bloc I

BLOC II. Anàlisi

5 Límits de funcions.

1. Nomenclatura. Definicions

2. Operacions amb matrius

3. Propietats de les operacions amb matrius

4. Matrius quadrades

5. n-uples de nombres reals

6. Rang d’una matriu

7. Forma matricial d’un sistema d’equacions Exercicis i problemes Autoavaluació

3 R esolució de sistem e s

1. Determinant d’una matriu quadrada

2. Menor complementari i adjunt

3. Càlcul d’un determinant pels elements d’una línia

4. El rang d’una matriu a partir dels seus menors

100

Continuïtat 124

1. Idea gràfica dels límits de funcions

2. Operacions senzilles amb límits

3. Indeterminacions

4. Comparació d’infinits. Aplicació als límits quan x → ±∞

5. Càlcul de límits quan x → +∞

6. Càlcul de límits quan x → –∞

7. Límit d’una funció en un punt. Continuïtat

8. Càlcul de límits quan x → c

9. Regla de L’Hôpital

Exercicis i problemes

Autoavaluació

6 D erivades

1. Derivada d’una funció en un punt

2. Funció derivada

3. Regles de derivació

Exercicis i problemes

Autoavaluació

150

7 Aplicacions de les derivades

1. Recta tangent a una corba

2. Creixement i decreixement d’una funció en un punt

3. Màxims i mínims relatius d’una funció

4. Informació extreta de la segona derivada

5. Optimització de funcions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

8 R epresentació de funcions

1. Elements fonamentals per a la construcció de corbes

2. El valor absolut en la representació de funcions

3. Representació de funcions polinòmiques

4. Representació de funcions racionals

5. Representació d’altres tipus de funcions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

9 La integral definida

1. Primitives. Regles bàsiques per al seu càlcul

2. Àrea davall d’una corba

3. Funció «àrea davall d’una corba»

4. Càlcul de l’àrea entre una corba i l’eix X

5. Càlcul de l’àrea compresa entre dues corbes

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc II

Autoavaluació del bloc II

BLOC III. Estadística i probabilitat

10 At zar i probabilitat

1. Experiències aleatòries. Esdeveniments

2. Freqüència i probabilitat

3. Llei de Laplace

4. Probabilitat condicionada. Esdeveniments independents

5. Proves compostes

6. Probabilitat total

7. Probabilitats «a posteriori».

Fórmula de Bayes

Exercicis i problemes

Autoavaluació

11 Le s mostres estadístiques 268

168

1. El paper de les mostres

2. Com han de ser les mostres?

3. Tipus de mostreigs aleatoris

4. Tècniques per obtenir una mostra aleatòria d’una població finita

5. Mostres i estimadors

Exercicis i problemes Autoavaluació

188

12 Inferència estadística.

Estimació de la mitjana

1. Distribució normal. Repàs de tècniques bàsiques

2. Intervals característics

3. Distribució de les mitjanes mostrals

4. En què consisteix l’estadística inferencial

5. Interval de confiança per a la mitjana

6. Relació entre nivell de confiança, error admissible i grandària de la mostra

214

7. En què consisteix un test d’hipòtesi estadístic?

Exercicis i problemes Autoavaluació

244

1. Distribució binomial. Repàs de tècniques bàsiques per al mostreig

2. Distribució de les proporcions mostrals

3. Interval de confiança per a una proporció o una probabilitat

4. Contrast d’hipòtesis per a una proporció

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc III

Autoavaluació del bloc III

SITUACIONS D’APRENENTATGE

Activa

Activa la ment evocant tots els continguts que has adquirit al llarg d’aquests anys. Aquests seran la base per començar a construir els nous aprenentatges que necessitaràs per resoldre el desafiament.

I això, per a què serveix?

Aquesta pregunta es repeteix, any rere any, a les classes de Matemàtiques. El que sol seguir és una llarga explicació: les matemàtiques estan pertot arreu, fins i tot a la naturalesa; serveixen per a tot; s’usen en gairebé qualsevol disciplina...

Però, quan les utilitzaré per a una cosa real?

Bé. Perquè siguin útils els conceptes i les eines que s’aprenen en classe, no sempre s’han d’aplicar directament a problemes reals. L’estudi de les matemàtiques serveix, fonamentalment, per generar estructures mentals, estratègies per afrontar problemes de qualsevol tipus i, a més a més, per desenvolupar el sentit crític. I, també, per gaudir. Sí, també per sentir l’alegria de resoldre autònomament un bon problema.

En les situacions d’aprenentatge que es presenten a continuació trobaràs des de problemes reals, simplificats, que es poden resoldre amb les eines que coneixes i les que aniràs adquirint durant el curs, fins a investigacions en les quals hauràs d’integrar coneixements i implicar-te en la construcció de teories i en la confirmació o rebuig d’hipòtesis, ja sigui boli en mà o amb un ordinador o una calculadora.

Amb aquest objectiu, a anayaeducacion.es trobaràs desafiaments relacionats amb els diferents blocs de contingut, com aquests que et presentam i que hauràs d’afrontar, en grup o de manera individual, per construir el teu propi aprenentatge. Per a això, hauràs d’establir les connexions necessàries entre el que ja saps i els nous coneixements.

Planifica

Planifica el procés de construcció del teu aprenentatge i desenvolupament de competències. Usa les fonts i recursos que tenguis al teu abast.

Avalua

Avalua i revisa el procés que has seguit i recapitula i fes una síntesi de tot el que has après. Has aconseguit arribar al teu objectiu? Com t’has sentit?

Afronta

Afrontar aquests desafiaments contribuirà al fet que generis estructures mentals, que aprenguis a modelitzar situacions, a exposar, a argumentar, a raonar, a enfrontar-te de manera sistemàtica i sòlida a problemes nous, a entendre el món actual i a gaudir de les matemàtiques, de la bellesa dels seus mètodes, formes, estructura, procés de generació i història.

QUANTA MERCADERIA COMPRAM AQUESTA SETMANA? COM GESTIONAR EL GÈNERE D’UN RESTAURANT

En aquest curs veuràs matrius de dimensions petites; en general, no se’n superaran les 5 files o columnes. No obstant això, una de les utilitats de les matrius és la de manejar grans quantitats de dades numèriques per extreure’n informació. Això es pot aconseguir a través d’unes simples operacions matricials, que podem fer nosaltres o ens pot fer, amablement, un ordinador.

L’INTERÉS DE TROBAR L’ÀREA DAVALL D’UNA CORBA

Si coneixem la funció, v = f (t), que dona la velocitat, v, d’un cotxe en cada instant, t, l’espai recorregut per aquest cotxe des de l’instant t0 fins a l’instant t1 és l’àrea davall de la corba en el tram [t0, t1].

Expressarem mitjançant matrius els ingredients de diversos berenars, les quantitats diàries que s’espera consumir durant una setmana i els seus preus. El que cercarem serà una quantitat final d’ingredients setmanals i el que costaran.

L’ús de matrius estructura i sistematitza el procés de manera que, cada setmana, modificant les racions que es volen consumir, s’obté automàticament el resultat final de productes i preus.

Aquesta senzilla propietat permet plantejar un problema curiós en el qual les posicions de dos trens s’obtenen a partir de les àrees davall de les corbes que en descriuen les velocitats respectives.

En desenvolupar aquesta activitat, t’anirà quedant clara la relació entre l’àrea davall de la corba velocitat i l’espai recorregut. I podràs aplicar-la a altres funcions. Per exemple, l’energia consumida en un habitatge és l’àrea davall de la corba que descriu la potència connectada a cada moment. Podràs usar aquesta relació per resoldre problemes domèstics que se’t presentaran o que podràs enunciar.

ESTUDI DEL CREIXEMENT D’ALGUNES FUNCIONS INFINITES

L’estudi de les funcions serveix per entendre com es relacionen dues magnituds. Els seus gràfics resumeixen i ajuden a interpretar aquesta relació sempre que la representació sigui l’adequada.

Els contagis obeeixen a creixements exponencials. L’escala logarítmica ajuda a entendre i a comparar aquests creixements ràpids.

En aquesta situació d’aprenentatge admirarem la rapidesa de creixement de les funcions exponencials i aprendrem a usar el paper semilogarítmic per analitzar i comparar funcions fortament creixents.

Funció logística

Aquests gràfics mostren l’evolució de la quantitat acumulada, en el transcurs dels dies, de morts per COVID en diferents països. S’hi aprecia un augment molt ràpid al principi, que es va alentint fins a acabar estabilitzant-se.

Escala logarítmica

Observa l’escala de l’eix vertical: la primera fita és 10 i la segona, en lloc de ser 20, és 100, i així van augmentant multiplicant-se per 10. Aquesta escala es diu logarítmica.

Si s’hagués utilitzat una escala normal, com la que usam habitualment, les corbes quedarien així:

Si els contagis seguissin funcions exponencials, com és possible que no estiguem tots contagiats de totes les malalties que hi ha? Perquè, en la pràctica, el model exponencial només en descriu la primera fase; després, el nombre de contagiats es va estabilitzant i acaba tendint a un valor constant. La funció exponencial es converteix, així, en la funció logística.

Aquí és impossible captar matisos en la corba de Corea del Sud. I els altres dos gràfics són difícils de comparar en els primers trams.

En aquesta situació d’aprenentatge veuràs casos reals en els quals la funció que els descriu comença sent exponencial i acaba sent funció logística.

El lentíssim creixement dels logaritmes

Com ja sabem, les funcions exponencials de base major que u creixen desmesuradament. En l’extrem contrari estan les funcions logarítmiques, que tenen creixements tan lents que sembla impossible que tendeixin a infinit. Per ser conscients d’aquest comportament tan sorprenent, analitzaràs funcions en les quals, quan el valor de x augmenta tant com el diàmetre de l’univers, el valor de la funció a penes creix uns mil·límetres, i no obstant això aquesta funció presumeix de tendir a infinit!!

de morts per COVID a Itàlia, Corea del Sud, Alemanya

Evolució de morts per COVID a Itàlia, Corea del Sud, Alemanya

QUANTS DE PEIXOS HI HA EN UN LLAC?

De segur que has llegit notícies en les quals es diuen coses com:

• La població de sardines ha experimentat una caiguda del 72 %.

• La població total d’exemplars de tonyines roges a l’oceà Atlàntic s’ha vist reduïda fins a un 90 % en els darrers anys.

Però, és que els compten? Com es poden comptar sardines, amb la quantitat que hi ha? Efectivament, una de les tasques dels científics que estudien la mar és comptar-ne els éssers vius per conèixer les fluctuacions de les diferents poblacions. I comptar animals no és fàcil.

Els biòlegs marins han usat les tècniques de marcatge-recaptura com a eina per a conèixer aspectes importants de la biologia de les espècies marines. Aquestes tècniques consisteixen a marcar, amb marques científiques adaptades a cada espècie, els peixos capturats. L’alliberament d’aquests peixos després del marcatge i la recuperació posterior permeten estimar, entre altres aspectes, la quantitat d’individus.

JUGAM, CALCULAM I RESULTA QUE SERVEIX PER A ALGUNA COSA

Jugam a tirar monedes sobre una quadrícula: es guanya si la moneda no toca les vores i es perd si les toca.

Quant hi apostam?

En aquesta situació d’aprenentatge recrearàs el procés de marcatge-recaptura complet en un àmbit més senzill, però molt més dessaborit, com és estimar el nombre de ciurons que hi ha en un sac. Usaràs també la distribució normal i les tècniques de mostreig que aprendràs en aquest curs per resoldre aquesta situació fictícia de forma completament rigorosa. Després, et proposarem comptatges més interessants, com pot ser el dels cotxes que circulen en una ciutat, o qualsevol altre que se t’ocorri.

Evidentment, el resultat depèn del radi de la moneda i el costat de la quadrícula, però, una vegada els coneixem, quina probabilitat hi ha de guanyar?

Amb l’activitat veuràs que aquesta probabilitat es troba fàcilment a través del càlcul d’àrees.

Podràs contrastar el resultat teòric amb el pràctic llançant moltes vegades una moneda sobre una quadrícula de tals dimensions, i trobant la freqüència relativa del succés «no toca retxa».

Podràs experimentar calculant probabilitats en algunes quadrícules que t’oferirem, o en altres que pugues inventar.

Aquestes probabilitats, que es resolen mitjançant raonaments geomètrics, es denominen probabilitats geomètriques i serveixen per afrontar altres situacions que no estan relacionades amb la geometria com, per exemple, aquesta:

En Jaume i na Susanna queden al costat del quiosc entre les 12:00 i les 13:00. Si cada un decideix acudir en un moment a l’atzar en aquest interval i esperar 10 minuts abans d’anar-se’n, quina probabilitat hi ha que es trobin?

1 Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

El mètode que va utilitzar Gauss

Al començament del segle xix, Gauss va realitzar observacions de l’asteroide Pal·les. A partir d’aquests mesuraments, va arribar a un sistema de sis equacions amb sis incògnites. Per resoldre’l va dissenyar un procediment que, actualment, anomenam «mètode de Gauss». Vint-i-un segles abans es va publicar a la Xina el llibre Els nou capítols sobre l’art de les matemàtiques. En el capítol vuitè hi ha aquest problema: Hi ha tres tipus de cereal. Tres fardells del primer, dos del segon i un del tercer fan 39 mesures. Dos del primer, tres del segon i un del tercer fan 34 mesures. I un del primer, dos del segon i tres del tercer fan 26 mesures. Quantes mesures de cereal hi ha en un fardell de cada tipus?

I per resoldre-ho, en el llibre esmentat es procedia de la manera següent: Es col·loquen els nombres en una taula (cada equació es descriu en una columna, començant per la darrera de l’enunciat):

Mitjançant transformacions amb les seves columnes, la taula de l’esquerra es transforma en aquesta altra:

I de la taula de la dreta s’obté immediatament i successivament el nombre de mesures de cereal de cada fardell.

A la vista de la similitud dels dos procediments, el que avui anomenam mètode de Gauss tal vegada hauria de dir-se «mètode de Chui-Chang Suan-Shu» (que és com es transcriu del xinès el títol de l’esmentat llibre, d’autor desconegut).

Pàgina del llibre «Els nou capítols sobre l’art de les matemàtiques»

El diari científic de Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), per a molts, el matemàtic més gran de la història, conegut amb el sobrenom de «príncep dels matemàtics». No hi ha part de la matemàtica en què no hagi intervingut. I el més curiós és que no va ser gens propici a divulgar els seus descobriments

Quan tenia 19 anys, va trobar un procediment per resoldre un problema geomètric pendent des de l’època d’Euclides. La demostració va ser extraordinària, ja que va emprar tècniques algebraiques per resoldre’l (va resultar una gran novetat solucionar un problema geomètric mitjançant procediments algebraics).

Moneda de plata de 20 marcs de l’extinta República Democràtica Alemanya en honor a Gauss

El mateix dia del seu descobriment va decidir anotar-ho en un petit diari, de 19 pàgines. Va continuar usant-lo durant molts anys, i hi va fer un total de 146 anotacions, la darrera de les quals està datada el 1814, 17 anys després. Per la quantitat d’idees i la profunditat d’aquestes és, segurament, un dels documents més valuosos de tota la història de les matemàtiques.

Aquest quadernet ha estat crucial per conèixer el pensament d’aquest geni, però no va ser publicat fins al 1898, quaranta-tres anys després de la mort de Gauss

Pàgina del diari científic de Gauss

RESOL-HO

Els fardells de cereal

El problema xinès dels fardells de cereal ve acompanyat de dues taules numèriques. La primera descriu les equacions que s’obtenen de l’enunciat. Si tenim en compte que els coeficients de les equacions venen donats en columnes, el sistema queda així:

a) Escriu el sistema d’equacions associat a la segona taula. Observa que aquest sistema és molt senzill de resoldre: de la 1a equació obtenim el valor de z; amb aquest i la segona equació, s’obté y I finalment, de la 3a s’obté x Solució: x = 37/4, y = 17/4, z = 11/4.

b) Comprova que aquesta solució és vàlida per al sistema inicial.

Com varen transformar la taula de l’esquerra per obtenir la de la dreta? Observa:

(1a columna de la 2a taula) = 15 · (1a) – 12 · (2a) + 3 · (3a)

(2a columna de la 2a taula) = 3 · (2a) – 2 · (1a)

(1a), (2a) i (3a) són les columnes de la primera taula.

Encara que les operacions que es fan amb les columnes de la primera taula per aconseguir les de la segona semblen complicades, en aquesta unitat aprendràs un mètode més senzill per arribar-hi.

Sistemes d’equacions lineals

Equació lineal

Les equacions següents són lineals: 2x – 3 = 0 5x + 4y = 20 3x + 2y + 6z = 6 5x – 3y + z – 5t = 0

Tenen la peculiaritat que són polinòmiques de grau 1. És a dir, les incògnites no estan elevades a cap potència, ni multiplicades entre si, ni dins de radicals, ni en el denominador

No són lineals aquestes equacions: 2x – 3y + z = 5 3xy – 2z = 0 x + 2y – sen z = 1

Equació lineal és una equació polinòmica de grau u amb una o diverses incògnites.

• Si ens movem en el pla, disposam de dues incògnites: x, y. Una equació lineal amb dues incògnites o amb només una representa una recta del pla. Els punts de la recta són les solucions de l’equació.

Per exemple, 5x + 4y = 20 és una recta en el pla XY. Els punts (4, 0), (0, 5), (–2; 7,5), (3; 1,25) són de la recta i, per tant, solucions de l’equació.

També les equacions x = 3 o y = 5 representen rectes.

• Una equació lineal amb tres incògnites o amb algunes d’aquestes representa un pla a l’espai. Els punts del pla són les solucions de l’equació.

Per exemple, 3x + 2y + 6z = 6 és un pla a l’espai tridimensional. Els punts (2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1/6) són del pla i, per tant, solucions de l’equació.

També són plans les equacions 5x + 4y = 20, x = 3 o y = 5.

Equacions equivalents

Dues equacions són equivalents quan tenen la mateixa solució (o les mateixes solucions).

Si els dos membres d’una equació els multiplicam o els dividim per un mateix nombre diferent de zero, l’equació resultant és equivalent a la primera

Per exemple:

x y 4 5 + = 1 és equivalent a 5x + 4y = 20 (representen la mateixa recta).

30x + 20y + 60z = 60 és equivalent a 3x + 2y + 6z = 6 (representen el mateix pla).

Sistemes d’equacions lineals

Diverses equacions donades conjuntament amb la finalitat de determinar la solució o les solucions comunes a totes aquestes formen un sistema d’equacions.

• Un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites representa un conjunt de rectes. La seva resolució consisteix a esbrinar si totes tenen algun punt en comú i localitzar-lo.

• Si les equacions d’un sistema tenen tres incògnites, representen plans. Resoldre el sistema és trobar el punt o els punts que tenen en comú tots aquests plans.

equacions lineals amb dues incògnites

equacions lineals amb tres incògnites

SISTEMA

Els sistemes d’equacions són especialment interessants, i ens hi dedicarem en aquesta unitat i en les següents. Per això, d’ara en endavant, l’expressió «sistema d’equacions», o simplement, «sistema», la usarem com a sinònim de «sistema d’equacions lineals».

➜ Dibuixar plans i rectes.

Sistemes equivalents

Dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions

Dos sistemes poden ser equivalents sense que ho siguin les equacions que els formen

Per exemple: x x y y 5 2 3 16 3 ––= = + 4 i x x y y 513 1 + + = = 4 són equivalents, ja que tots dos tenen l’única solució: x = 3, y = –2.

Transformacions en un sistema d’equacions

Consideram vàlida tota transformació que passi d’un sistema a un altre d’equivalent Per exemple:

1 Multiplicar o dividir els dos membres d’una de les equacions per un nombre diferent de zero

Sistemes d’equacions en dues i tres dimensions.

2 Afegir una equació que sigui combinació lineal de les altres, o al contrari, suprimir una equació que sigui combinació lineal de les altres. x

3 Substituir una equació pel resultat de sumar-n’hi una altra multiplicada per un nombre

COMBINACIÓ LINEAL D’EQUACIONS

Una combinació lineal d’equacions és el resultat de multiplicar cada una d’aquestes per un nombre i sumar-les membre a membre.

ATENCIÓ

Anomenam transformacions vàlides les que mantenen les solucions del sistema.

1

Vertader o fals?

a) En un sistema d’equacions amb dues incògnites (x, y) l’equació x + y = 4 té, entre altres, la solució (3, 1).

b) En un sistema amb tres incògnites (x, y, z) l’equació x + y = 4 no té sentit.

c) En un sistema amb tres incògnites (x, y, z) l’equació x + y = 4 sí que té sentit. Representa un pla. Algunes solucions són (3, 1, 0), (3, 1, 7), (3, 1, – 4).

d) Si estam en el pla (dues incògnites, x, y) l’equació y = 0 representa l’eix X

e) Si estam en l’espai (tres incògnites, x, y, z) l’equació y = 0 representa el pla XZ.

En la resolució de sistemes d’equacions hem de fer transformacions que, a més de vàlides, siguin «convenients»; és a dir, que ens aproximin a la solució. Per a això, usarem, fonamentalment, les transformacions 1 i 3 aquí descrites.

2 Sense resoldre’ls, explica per què són equivalents els parells de sistemes següents:

Possibles solucions d’un sistema d’equacions lineals

Un sistema d’equacions pot tenir solució (compatible) o no tenir solució (incompatible).

Els sistemes compatibles poden tenir una solució (determinats) o infinites solucions (indeterminats).

Sistemes d’equacions amb dues incògnites

Observem els sistemes següents amb les interpretacions geomètriques corresponents:

• x x y y 2 3 3 5 9 4 –+= = 4

Aquest sistema d’equacions té per solució x = 3, y = 1. Això vol dir que les dues rectes es tallen en el punt (3, 1).

El sistema és, per tant, compatible i determinat.

EN COMPTE

En lloc de dir que un sistema és compatible o incompatible seria més correcte afirmar que les equacions que el formen són compatibles (és a dir, totes tenen alguna solució comuna) o incompatibles (no hi ha cap solució comuna a totes). No obstant això, la nomenclatura que s’utilitza és la universalment acceptada.

5

9 4 13 –

3 5 2

+= = = 4

y

Aquest sistema és pràcticament igual que l’anterior, ja que les dues primeres equacions són les mateixes i la tercera s’obté sumant, membre a membre, les anteriors.

La nova recta (vermella en el dibuix) passa pel punt (3, 1) en què es tallen les altres dues. El sistema és, també, compatible i determinat.

y y 2 4 3 6 9 18 + + = = 4

Les dues equacions diuen el mateix. Cada solució d’una és, també, solució de l’altra. Les dues rectes coincideixen. És a dir, són la mateixa recta.

El sistema és compatible i indeterminat.

y y 2 4 3 6 9 12 + + = = 4

Les equacions diuen coses contradictòries. No tenen cap solució comuna. Geomètricament, les dues rectes són paral·leles, ja que no tenen cap punt comú.

Aquest sistema no té solució. És incompatible. En intentar resoldre’l s’arriba a expressions absurdes

9

= = 4

Aquest sistema és molt paregut al segon. Només canvia el terme independent de la tercera equació, que ja no passa pel punt (3, 1) on es tallen les altres dues. Les tres rectes no tenen cap punt comú

El sistema és, per tant, incompatible.

Sistemes d’equacions amb tres incògnites

Observem els sistemes següents amb les interpretacions geomètriques corresponents:

Els tres plans es tallen en un punt. El sistema és compatible determinat. Solució: x = 1, y = 7, z = –2

➜ Crea sistemes d’equacions de diferents tipus.

La quarta equació és suma de les altres tres. El pla corresponent (groc) passa pel punt comú. El sistema és compatible determinat.

Solució: x = 1, y = 7, z = –2

La quarta equació contradiu la suma de les altres tres. Aquest pla (groc) no passa pel punt de tall dels altres tres. El sistema és incompatible.

La tercera equació, en ser suma de les altres dues, no aporta informació al sistema. El sistema és compatible indeterminat.

Solució: Tots els punts de la recta on es tallen els plans són solució del sistema

La tercera equació contradiu el que s’obté sumant les altres dues. El sistema és incompatible.

1 Resol i interpreta geomètricament els sistemes d’equacions següents:

2 a) Resol aquest sistema: x x y y 23 4 –+= = *

b) Afegeix una tercera equació de manera que continuï sent compatible.

c) Afegeix una tercera equació de manera que el sistema sigui incompatible

d) Interpreta geomètricament el que has fet en cada cas

Sistemes escalonats

• Els sistemes següents són extraordinàriament fàcils de resoldre:

PROPOSTA

Resol pas a pas cadascun d’aquests tres sistemes.

De baix a dalt, anam obtenint el valor de cada incògnita que, substituïda en les anteriors equacions, permet seguir el procés. Aquests sistemes es diuen escalonats.

• També és escalonat el sistema següent. En tenir més incògnites que equacions, passam una de les incògnites al segon membre, amb la qual cosa les altres es calculen en funció d’aquesta:

(3a) z = 11 – 3t

(2a) y = 8 – z = 8 – (11 – 3t) = –3 + 3t

(1a) x = 5 + t – 2y = 5 + t – 2(–3 + 3t) = 11 – 5t

Com que totes les incògnites estan posades en funció de t, prenem t com a paràmetre, i hi donam un valor variable. Anomenant t = λ, queda: x = 11 – 5λ y = –3 + 3λ z = 11 – 3λ t = λ

Per a cada valor numèric que donam a λ, obtenim els corresponents valors de x, y, z, t. Per exemple:

Per a λ = 0 s’obté x = 11, y = –3, z = 11, t = 0.

Per a λ = 1 s’obté x = 6, y = 0, z = 8, t = 1.

• Tot i que és menys evident, també és escalonat aquest sistema:

λ (lambda), μ (mu), ν (nu) són lletres gregues que solen usar-se com a paràmetres.

x x

–++

y y yz

= = =

35 2 11 4 14

b b b b És clar que podem aïllar, successivament, la y a la 2a equació, la x en la 1a i, finalment, la z a la 3a equació.

_ ` a

També anomenarem escalonats aquests sistemes, encara que la seva fisonomia no ho suggereixi.

1 Reconeix com a escalonats els sistemes següents i resol-los:

2 Són escalonats aquests sistemes? Resol-los:

Com transformar un sistema en un altre equivalent escalonat Vegem, mitjançant alguns exercicis resolts, com es passa d’un sistema qualsevol a un altre equivalent escalonat

Exercici resolt

1 Transforma en escalonats aquests sis-

com els coeficients que són 1 ajuden a fer transformacions fàcils

tenim el sistema en forma escalonada. Les transformacions (*) s’han fet, òbviament, per igualar els coeficients de la y, i així poder eliminar-la sense recórrer a les fraccions.

Resolució: (3a) z = 224/31; (2a) y = 151/31; (1a) x = 134/31

➜ Representa les fases de la

3 Transforma en escalonats i resol-ho.

Resolució:

Mètode de Gauss

El procediment que hem vist a la pàgina anterior per transformar un sistema d’equacions lineals en un altre d’escalonat es diu mètode de Gauss. La seva pràctica pot fer-se més còmoda si, prescindint de les incògnites, ens limitam a usar els nombres (coeficients i termes independents), situant-los en una matriu

Vegem com seria la resolució del segon exemple de la pàgina anterior:

MATRIUS

Aquestes caixes numèriques, anomenades matrius, s’estudiaran a fons a la pròxima unitat. Aquí les utilitzarem, exclusivament, com a suports per als coeficients d’un sistema d’equacions.

Cadascuna de les successives matrius que intervenen en el procés correspon a un sistema d’equacions. El darrer és escalonat i, per tant, es resol fàcilment.

El mètode de Gauss consisteix a transformar un sistema d’equacions lineals en un altre d’escalonat. Per a això, «feim zeros» sotmetent les equacions a dues transformacions elementals:

• Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero

• Sumar a una equació una altra multiplicada per un nombre

El procés es fa molt avantatjosament si, en lloc de les equacions, usam exclusivament els nombres —coeficients i termes independents— estructurats en matrius

En finalitzar el procés, o en algun pas intermedi, podem trobar-nos amb un dels casos següents:

a) Una fila de zeros. Correspon a una equació trivial i podem prescindir-ne

(0 0 … 0 0 ) ⇔ 0x + 0y + … + 0t = 0

b) Dues files iguals o proporcionals. Corresponen a equacions equivalents i podem prescindir immediatament d’una d’aquestes:

EQUACIÓ TRIVIAL

L’equació 0x + 0y + 0z = 0 afirma una trivialitat. Qualsevol terna de nombres és solució seva. S’anomena equació trivial.

c) Una fila de zeros, excepte el darrer nombre —que correspon al terme independent— diferent de zero:

(0 0 … 0 ) ⇔ 0x + 0y + … + 0t =

( és un nombre diferent de zero)

Evidentment, es tracta d’una equació impossible. En aquests casos en què apareix una equació impossible, reconeixem immediatament el sistema com a incompatible

1 Vertader o fals?

a) És possible que un sistema incompatible, en aplicar el mètode de Gauss, doni lloc a un sistema escalonat compatible. O viceversa.

b) En aplicar el mètode de Gauss, el sistema escalonat al qual s’arriba finalment és del mateix tipus que el sistema inicial, ja que tots els passos que es donen transformen cada sistema en un altre equivalent a aquell.

Pensa i practica

Diferents tipus de sistemes d’equacions

El mètode de Gauss permet transformar qualsevol sistema d’equacions lineals en un altre sistema, escalonat, equivalent al primer.

Per saber si el sistema inicial és compatible (determinat o indeterminat) o incompatible, observam la fisonomia del sistema escalonat al qual s’arriba al final del procés. Pot donar-se un dels casos següents:

I. f 0 0 0 0 0 0 p

un nombre diferent de zero

un nombre qualsevol

Hi ha tantes equacions vàlides com incògnites. Pas a pas, anam obtenint un valor numèric per a cada incògnita.

És, per tant, un sistema compatible determinat.

II. f 0 0 0 p

Hi ha menys equacions vàlides que incògnites. Les incògnites que estan de més es passen al segon membre, amb la qual cosa el valor de les altres es donarà en funció d’aquelles.

SISTEMES HOMOGENIS

Un sistema homogeni és el que té tots els termes independents iguals a zero:

El sistema és compatible indeterminat. La seva solució general vendrà donada amb tants paràmetres com incògnites hàgim passat al segon membre.

L’equació senyalada no es pot complir mai. El sistema és incompatible.

És obvi que totes les equacions d’un sistema homogeni tenen com a solució, almenys, la solució trivial, x = 0, y = 0, z = 0. Per tant, un sistema homogeni sempre és compatible. 1

El sistema és compatible determinat. El resolem:

Resol pel mètode de Gauss el sistema

Exercicis resolts

2 Resol pel mètode de Gauss el sistema

Eliminam la segona equació perquè és proporcional a la tercera. El sistema ja està escalonat passant la tercera columna (la z) al terme independent. El sistema és compatible indeterminat.

Pensa i practica ➜ Resolució de sistemes d’equacions.

usant el mètode de Gauss:

3 Resol mitjançant el mètode de Gauss: a)

Discussió de sistemes d’equacions

() x kx x

y

D’aquests infinits sistemes, és possible que uns siguin compatibles, i una altres, incompatibles. Discutir el sistema «dependent» del paràmetre és reconèixer els valors de k per als quals el sistema és d’un tipus o d’un altre.

Exercici resolt

y ky

y kz z z k k 1

• Si k = 1, la darrera fila és (0 0 0 1 ). El sistema és incompatible.

• Si k ≠ 1, llavors:

z = k k 1–y = (1 – k 2) k k 1–= k 2 + k

x = k kk k 1 21 –32 +

És a dir, per a qualsevol k ≠ 1, el sistema és compatible determinat.

eo

x x x y y y z z z 2 21 2 3 + + + + + + = = = 4 La seva solució és: x = –1, y = 6, z = –2

1 Discuteix, en funció de k, aquests sistemes d’equacions:

a) x x kx y y y z z k 42 2 1 –+ + ++ = = = Z [ \ ] ] ] ] b) x x kx y y y z z k 42 2 0 –+ + ++ = = = Z [ \ ] ] ] ]

2 Discuteix aquests sistemes d’equacions en funció de k :

➜ Representa un sistema dependent d’un paràmetre.

Exercicis i problemes resolts

Resol i interpreta geomètricament els següents sistemes d’equacions:

a) Com que hi ha tres variables, x, y, z, cada equació és un pla a l’espai. Canviam l’ordre de les dues primeres equacions perquè el primer coeficient sigui un 1:

Resol i interpreta geomètricament els següents sistemes d’equacions:

Solucions: (1 + λ, λ, –1

El sistema representa quatre plans que es tallen en una recta.

b) Com que cap dels coeficients de les incògnites és igual a 1, prenem la primera equació com a referència:

La tercera equació no es pot complir mai. El sistema és incompatible, no té solució.

Com que en el sistema no hi ha cap parell de plans parallels, representa tres plans que es tallen dos a dos en tres rectes diferents.

c) Com que només hi ha dues variables, x i y, cada equació és una recta del pla. Prenem com a referència la segona fila:

Prescindim de les dues darreres files i ens queda:

(3/4, –1/4)

El sistema representa quatre rectes que es tallen en el punt (3/4, –1/4).

1. Mètode de Gauss

2. Aplicació del mètode de Gauss a la discussió de sistemes d’equacions lineals

Discuteix i resol aquests sistemes, en funció del paràmetre que hi apareix, aplicant el mètode de Gauss. Dona’n, en cada cas, una interpretació geomètrica:

a) Canviam l’ordre de les equacions.

FES-HO TU

Discuteix i resol l’exercici, en funció del paràmetre, aplicant el mètode de Gauss. Dona’n les interpretacions geomètriques.

• Si m = 1, la darrera fila és (0 0 0 0) i es pot suprimir. El sistema és compatible indeterminat perquè té més incògnites que equacions. Té infinites solucions que depenen d’un paràmetre. xz yz y 0

32 44 0

––= = = 4

Solucions: x = 2 – 3λ, y = 4 – 4λ, z = λ

Representen tres plans que tenen una recta en comú.

• Si m ≠ 1, el sistema és compatible determinat.

Els tres plans es tallen en el punt (–1, 0, 1).

Trobam els valors que anul·len el coeficient de la y a la segona equació:

• Si m = –1, la segona equació serà 0 · y = 2. El sistema és incompatible. Són dues rectes paral·leles.

• Si m = 1, la segona equació, 0 · y = 0, es pot suprimir. El sistema és compatible indeterminat. Només ens queda l’equació x + y = 0, que resolem considerant la y com a paràmetre. Les solucions són: (–λ, λ). Les dues rectes coincideixen.

• Si m ≠ ±1, el sistema és compatible determinat. Per a cada valor de m, tenim un sistema diferent amb solució única: ,

mm

. Les dues rectes es tallen en un punt.

Com que

= 0 no té solució, el sistema sempre és compatible determinat.

Per a cada valor de a, tenim un sistema diferent amb solució única, que és (0, 0, 0). Són tres plans que es tallen en l’origen de coordenades.

Exercicis i problemes resolts

3. Sistemes amb més incògnites que equacions

Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:

a) xy z xy z 31 22 3 –+= += *

b) xy z xy z 24 62 23 1 ––+= += *

Aquests sistemes (més incògnites que equacions) no tenen mai solució única. Poden tenir infinites solucions o no tenir-ne cap.

a) Passam z al segon membre i feim z = λ (paràmetre). Així el sistema tendrà tantes equacions com incògnites.

FES-HO TU

Resol i interpreta geomètricament els següents sistemes d’equacions:

a) xy z yz 24 0 ––+= = *

b) xy z xy z 23 36 31 ––+= += *

Les solucions del sistema són (–2 + λ, 1, λ). Com que depenen d’un paràmetre, hi ha infinites solucions que formen una recta.

Per a cada valor de λ, obtenim una solució diferent.

Són dos plans que es tallen en una recta.

Comprovació de les solucions:

() 23 1 22 12 –3 mm mm ++ = ++ = *

b) Les dues equacions representen el mateix pla ja que una és doble de l’altra. Ens quedam només amb la segona equació i, com que té tres incògnites, necessitam dos paràmetres per resoldre-la.

Passam z i y al segon membre, x = 1 + 2y – 3z, i fem y = λ i z = μ.

Les solucions del sistema són (1 + 2λ – 3μ, λ, μ).

El sistema té infinites solucions. Els plans són coincidents.

4. Discussió i resolució d’un problema

Una persona ha obtengut 6 000 € de benefici per invertir 60 000 € en tres empreses A, B i C. La suma dels doblers invertits en A i B va ser k vegades l’invertit en C i els beneficis varen ser el 5 % en A, el 10 % en B i el 20 % en C.

a) Planteja un sistema d’equacions per saber els doblers invertits en cada empresa.

b) Estudia’n la compatibilitat i resol-ho per a k = 5 si és possible.

a) Plantejam un sistema d’equacions amb les condicions del problema. Siguin x els euros invertits en l’empresa A, y en l’empresa B i z en la C.

FES-HO TU

Els doblers que tenen entre A, B i C és el 150 % del que tenen entre A i B, i és el doble del que tenen entre A i C. Si C té el doble que A, podem saber quants de doblers té cada una?

b) Per estudiar-ne la compatibilitat, simplificam la tercera equació i expressam els termes independents en milers d’euros.

A la segona equació observam que si k = –1, l’equació (0z = –60) no tendria solució. Per tant, ha de ser k ≠ –1 i com que k en el problema ha de ser un nombre positiu (k vegades) direm que el sistema és compatible si k > 0.

Exercicis i problemes guiats

1. Sistemes amb un paràmetre i solució única

a) Discuteix el següent sistema segons els valors de m:

+ + *

a) En aplicar el mètode de Gauss arribaràs a un sistema escalonat en el qual la tercera equació és (m + 1)z = 8.

–+ +

z z mz 2 2

y y y

= = =

22 1 3 5

b) Resol-ho per als valors de m que el fan compatible determinat.

Determina quina condició ha de complir m perquè aquesta equació tengui solució.

b) Expressa el valor de z en funció de m i obtén els valors de x i y també en funció de m.

Solució:

a) Si m ≠ −1, el sistema és compatible determinat. Per a cada valor de m ≠ −1, tenim un sistema diferent amb solució única.

b) x = –1; y = m m 1 7–+ ; z = m 1 8 +

2. Sistema amb les mateixes solucions que un altre compatible indeterminat

*

calcula el valor de k perquè en afegir a S una tercera equació de la forma x + y + kz = 1 el sistema resultant sigui equivalent a S.

3. Sistema compatible

xy z xy z xy z xy az a 1 22 3 22 ––++ = ++ = ++ = += *

• Prova que el sistema S és compatible indeterminat i obtén-ne les solucions.

• Escriu la matriu del nou sistema i aplica-hi el mètode de Gauss.

• Determina el valor de k perquè la nova equació sigui trivial i la puguis eliminar.

• Comprova que les solucions de S verifiquen la tercera equació per al valor de k que has obtengut.

Solució: Per a k = –8, les solucions són els punts de la recta (1 + 5λ, 3λ, λ).

• Comprova, aplicant el mètode de Gauss, que el sistema amb només les tres primeres equacions és compatible i que amb la quarta continua sent compatible per a qualsevol valor de a

• Quin ha de ser el valor de a perquè la quarta equació sigui una equació trivial?

• Elimina les equacions trivials i resol el sistema en els casos en què sigui compatible indeterminat i compatible determinat.

• Tria adequadament la incògnita que prens com a paràmetre.

Solució: Si a = –1, és compatible indeterminat amb solució ,, 3 1 3 4 – mm dn .

Si a ≠ –1, és compatible determinat amb solució ,, 3 1 3 1 1 dn

4. Interpretació geomètrica d’un sistema

• Aplica el mètode de Gauss i obtendràs com a 2a equació (1 – m2)y = –(1 + m).

• Quina condició ha de complir m perquè el sistema tengui solució?

––

xmy mx y m 10 10 –

• Determina els valors de m que transformen aquesta equació en incompatible o en una equació trivial.

• El sistema representa dues rectes del pla que poden tenir un punt comú, no tenir-ne cap, o tenir infinits punts en comú.

Solució: Si m ≠ ±1, és compatible determinat, amb solució , mm 1 1 1 1 ––––dn .

Per a cada valor de m ≠ ±1, tenim dues rectes que es tallen en un punt.

Si m = 1, el sistema és incompatible. Es tracta de dues rectes paral·leles.

Si m = –1, el sistema és compatible indeterminat. Les rectes són coincidents.

Exercicis i problemes proposats

Per practicar Resolució i interpretació geomètrica de sistemes d’equacions lineals

1 Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:

Mètode de Gauss

7 Resol aplicant el mètode de Gauss:

2 Resol i interpreta-ho geomètricament.

8 Resol aplicant el mètode de Gauss:

3 Raona si els sistemes següents tenen solució i interpreta’ls geomètricament. Resol-los en el cas que sigui possible.

9 Resol, si és possible, els sistemes següents:

4 Resol els següents sistemes escalonats:

10 Estudia i resol-ho pel mètode de Gauss.

6 Escriu un sistema de tres equacions i dues incògnites que no tengui solució i interpreta’l geomètricament.

11 Classifica els sistemes següents en compatibles o incompatibles:

12 Estudia i resol-ho pel mètode de Gauss:

Discussió de sistemes d’equacions

13 Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre

Per resoldre

19 Classifica els sistemes següents segons el nombre de solucions per als diferents valors de a i resol-los en el cas a = 2: a)

20 a) Determina, segons els valors del paràmetre a, els casos en els quals el següent sistema té o no té solució:

14 Discuteix els sistemes següents i resol-los quan sigui possible:

b) Resol-ho en els casos que sigui compatible determinat.

21 a) Estudia aquest sistema segons els valors de λ:

15 Resol cada un dels sistemes següents per als valors de m que ho fan compatible:

b) Resol-ho per a λ = 3.

22 Estudia els següents sistemes d’equacions. Resol-los quan siguin compatibles i interpreta’n geomètricament les solucions obtengudes.

16 Discuteix aquests sistemes segons els valors de k i resol-los quan sigui possible:

23 Discuteix els sistemes següents segons els valors de α i interpreta’ls geomètricament:

17 Discuteix els següents sistemes d’equacions en funció dels valors del paràmetre:

24 Considera el següent sistema d’equacions:

a) Dedueix per a quins valors de a només té la solució (0, 0, 0).

b) Resol el sistema en el cas en què tengui infinites solucions.

25 Un vaixell transporta 400 vehicles (cotxes, camions i motos). Per cada 2 motos hi ha 5 camions. Els cotxes representen les 9/7 parts dels altres vehicles. Quants de vehicles de cada tipus transporta el vaixell?

Exercicis i problemes proposats

26 Una empresa que fabrica guitarres elèctriques ha de satisfer una comanda de 325 unitats que empaqueta en caixes de diferents grandàries. N’hi ha 3 models de caixes, (A, B i C) on caben, respectivament, 5, 10 i 15 unitats. Es disposa d’un total de 35 caixes. A més, el total de caixes dels models A i B és 6 vegades el nombre de caixes del model C.

a) Planteja un sistema d’equacions per calcular el nombre de caixes de cada model que es poden usar per a aquesta comanda.

b) Analitza la compatibilitat d’aquest sistema i resol-lo.

27 Un llibreter ven 84 llibres a dos preus diferents: uns a 5m euros i altres a 4m euros, i obté per la venda 3 105 euros.

a) Planteja un sistema d’equacions on les incògnites x i y siguen el nombre de llibres venuts de cada tipus i estudia’n la compatibilitat.

b) És possible que el preu dels llibres fos 45 i 36 euros, respectivament?

c) Resol el sistema per a m = 9. Quants de llibres ha venut de cada tipus?

28 En un grup hi ha 288 persones d’entre 18 i 25 anys classificades com a estudiants, empleats i sense ocupació. Per cada cinc estudiants hi ha tres empleats i els que es troben sense ocupació representen el 80 % de la resta.

a) Planteja el corresponent sistema d’equacions.

b) Quants d’estudiants, empleats i persones sense ocupació hi ha?

29 Tenim unes quantes monedes d’un euro distribuïdes en tres munts. Passam dotze monedes del tercer munt al segon i, a continuació, en passam deu del segon al primer. Al final, els tres munts tenen la mateixa quantitat de monedes.

a) Podem determinar quantes monedes hi havia inicialment a cada munt amb aquestes dades? Raona la resposta.

b) Determina quantes monedes hi havia inicialment a cada munt si sabem que en total hi havia 51 monedes.

30 La suma de les tres xifres d’un nombre és 13. Si s’intercanvien la xifra de les unitats i la de les centenes, el nombre augmenta en 495. La xifra de les centenes excedix en m unitats la de les desenes.

a) Planteja un sistema d’equacions i raona per a quins valors de m és compatible determinat.

b) Quins valors pot prendre m perquè el problema tengui solució? Calcula la solució per a m = 4.

31 En una cafeteria, la taula A demana 6 cafès i 3 torrades i paga 12 € , i la taula B demana 6 cafès i m torrades i paga 13,60 €

a) Planteja un sistema d’equacions on les incògnites x i y siguin el preu d’un cafè i el preu d’una torrada, respectivament.

b) Per a quins valors de m el sistema anterior té solució? En cas d’existir, és sempre única? És possible que a la taula B s’hagin demanat 4 torrades? En cas afirmatiu, quant costa cada cafè?

32 Un grup d’amics i amigues varen demanar en un bar 4 refrescs, 3 panets i 5 gelats i varen pagar 30,60 €. Un altre dia, per 2 refrescs, un panet i 2 gelats varen pagar 12,30 €

a) Avui han tornat i han demanat 6 refrescs, 5 panets i 8 gelats. Quant hauran de pagar? Justifica la resposta.

b) Si un refresc, un panet i un gelat costen 8,20 €, quin és el preu de cada un per separat?

33 Les tones de combustible consumides en una fàbrica en el torn de dematí són igual a m vegades les tones consumides en el torn d’horabaixa.

A més, se sap que el torn d’horabaixa consumeix m tones menys que el torn de dematí.

a) Planteja i discuteix el problema en funció de m.

b) És possible que el torn de dematí consumeixi el doble de combustible que el de l’horabaixa?

c) Si se suposa que m = 2, quant consumeix el torn d’horabaixa?

34 Un país importa 21 000 vehicles de tres marques, A, B i C, al preu de 10 000, 15 000 i 20 000 euros. El total de la importació és de 322 milions d’euros. Se sap que hi ha 21 000 vehicles comptant els de la marca B i k vegades els de la A.

a) Planteja un sistema amb les condicions del problema en funció del nombre de vehicles de cada marca.

b) Resol el sistema en el cas k = 3.

c) Comprova que el sistema no té solució en el cas k = 2.

Qüestions teòriques

35 Vertader o fals? Justifica-ho i posa’n exemples.

a) A un sistema de dues equacions amb dues incògnites que és compatible indeterminat, podem afegir-hi una equació que el transformi en compatible determinat o en incompatible.

b) A un sistema de tres equacions amb tres incògnites que és compatible determinat, podem afegir-hi una equació que el transformi en compatible indeterminat.

c) El sistema xy za xy za 2 24 22 1 22 ––+= += +

és incompatible qualsevol que sigui el valor de a

d) El sistema x x y y a b 32 –+= = * és compatible indeterminat per a qualssevol valors de a i b

e) Un sistema compatible determinat i un altre compatible indeterminat poden ser equivalents.

36 Afegeix una equació al sistema xy z xy z22 1 22 3 ––+= += * de manera que sigui:

a) incompatible. b) compatible determinat.

c) compatible indeterminat.

Per aprofundir

37 Per a quin valor de a aquest sistema és incompatible?

1 Resol i interpreta geomètricament aquests sistemes:

*

2 3 6 2 3

++ +

––

1 2 3 2

= = = = *

z az

0 1 2 0

• Pot ser compatible indeterminat per al valor a = 2?

• Resol-ho si a = 2.

• Si a ≠ 1 i a ≠ 2, pot ser compatible determinat?

38 Sigui el sistema d’equacions: ax x ax

++ +

by by y

z cz cz

= = =

2 3 5 2 2 2 3 4 – –

c a b

a) Justifica que per als valors dels paràmetres a = 0, b = 1, c = 2 el sistema és compatible.

b) Determina els valors dels paràmetres a, b i c per als quals es verifica que (x, y, z) = (1, 2, 3) és solució del sistema.

c) Justifica si aquesta solució és o no és única.

AUTOAVALUACIÓ ➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

y y y

0 11 0 ––

+ + b)

= = =

z yz

a) Planteja un sistema d’equacions per esbrinar quants bitllets hi ha de cada tipus.

b) Prova que si m ∈{5, 50, 100, 200} el sistema és compatible determinat i resol-lo en el cas m = 50.

c) Raona si al caixer hi pot haver bitllets de 100 €.

*

4 Siguin les equacions: xy z xy z 32 5 23 4 –– –+= +=

b) Afegeix una equació perquè sigui compatible determinat.

c) Afegeix una equació perquè sigui compatible indeterminat.

Justifica en cada cas el procediment seguit.

() x x x y ay ay z z z 2 2 2 3 3 6 1 2 3 + + + + + ++ = = = *

a) Troba un valor de a per al qual el sistema sigui incompatible.

b) Discuteix si existeix algun valor de a per al qual el sistema sigui compatible determinat.

© GRUPO ANAYA, S.A., 2023 - C/ Valentín Beato, nº 21 - 28037 Madrid.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.