Operació Món: Matemàtiques Aplicades CCSS 2 Batx (mostra)

MATEMÀTIQUES

APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

1. Sistemes d’equacions lineals

2. Possibles solucions d’un sistema d’equacions lineals

3. Sistemes escalonats

4. Mètode de Gauss

5. Discussió de sistemes d’equacions Exercicis i problemes

2

1. Nomenclatura. Definicions

2. Operacions amb matrius

3. Propietats de les operacions amb matrius

4. Matrius quadrades

5. n-uples de nombres reals

6. Rang d’una matriu

7. Forma matricial d’un sistema d’equacions Exercicis i problemes Autoavaluació

3 R esolució de sistem e s

1. Determinant d’una matriu quadrada

2. Menor complementari i adjunt

3. Desenvolupament d’un determinant

pels elements d’una línia

4. El rang d’una matriu a partir dels seus menors

5. Criteri per a saber si un sistema és compatible

6. Regla de Cramer

7. Sistemes homogenis

8. Discussió de sistemes mitjançant determinants

9. Càlcul de la inversa d’una matriu

Exercicis i problemes

Autoavaluació

4 P rogramació lineal 100

1. En què consistix la programació lineal. Alguns exemples

2. Programació lineal per a dues variables. Enunciat general

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc I

Autoavaluació del bloc I

BLOC II. Anàlisi

5 Límits de funcions.

Continuïtat 124

1. Idea gràfica dels límits de funcions

2. Operacions senzilles amb límits

3. Indeterminacions

4. Comparació d’infinits. Aplicació als límits quan x → ±∞

5. Càlcul de límits quan x → +∞

6. Càlcul de límits quan x → –∞

7. Límit d’una funció en un punt. Continuïtat

8. Càlcul de límits quan x → c

9. Regla de L’Hôpital

Exercicis i problemes

Autoavaluació

6 D erivades 150

1. Derivada d’una funció en un punt

2. Funció derivada

3. Regles de derivació

Exercicis i problemes

Autoavaluació

7 Aplicacions de les derivades

1. Recta tangent a una corba

2. Creixement i decreixement d’una funció en un punt

3. Màxims i mínims relatius d’una funció

4. Informació extreta de la segona derivada

5. Optimització de funcions

Exercicis i problemes

Autoavaluació

8 R epresentació de funcions

1. Elements fonamentals per a la construcció de corbes

2. El valor absolut en la representació de funcions

3. Representació de funcions polinòmiques

4. Representació de funcions racionals

5. Representació d’altres tipus de funcions

Exercicis i problemes Autoavaluació

9 La integral definida

1. Primitives. Regles bàsiques per al seu càlcul

2. Àrea davall d’una corba. Integral definida d’una funció

3. Funció «àrea davall d’una corba»

4. Càlcul de l’àrea entre una corba i l’eix X

5. Càlcul de l’àrea compresa entre dues corbes

Exercicis i problemes

Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc II

Autoavaluació del bloc II

BLOC III. Estadística i probabilitat

10 At zar i probabilitat

1. Experiències aleatòries. Esdeveniments

2. Freqüència i probabilitat

3. Llei de Laplace

4. Probabilitat condicionada. Esdeveniments independents

5. Proves compostes

6. Probabilitat total

7. Probabilitats «a posteriori». Fórmula de Bayes Exercicis i problemes

Autoavaluació

11 Le s mostres estadístiques

168

1. El paper de les mostres

2. Com han de ser les mostres?

3. Tipus de mostreigs aleatoris

4. Tècniques per a obtindre una mostra aleatòria d’una població finita

5. Mostres i estimadors

Exercicis i problemes

Autoavaluació

188

12

1. Distribució normal. Repàs de tècniques bàsiques

2. Intervals característics

3. Distribució de les mitjanes mostrals

4. En què consistix l’estadística inferencial?

5. Interval de confiança per a la mitjana

6. Relació entre nivell de confiança, error admissible i grandària de la mostra

214

13

7. En què consistix un test d’hipòtesi estadístic? Exercicis i problemes

244

1. Distribució binomial. Repàs de tècniques bàsiques per al mostreig

2. Distribució de les proporcions mostrals

3. Interval de confiança per a una proporció o una probabilitat

4. Contrast d’hipòtesi per a una proporció

Exercicis i problemes Autoavaluació

Prova d’accés a la universitat: bloc III

Autoavaluació del bloc III

Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

El mètode que va usar Gauss

Al començament del segle xix, Gauss va realitzar observacions de l’asteroide Pallas. A partir dels seus mesuraments, va arribar a un sistema de sis equacions amb sis incògnites. Per resoldre’l va dissenyar un procediment que, actualment, anomenem «mètode de Gauss».

Vint-i-un segles abans es va publicar a la Xina el llibre Els nou capítols sobre l’art de les matemàtiques. En el capítol huité es troba aquest problema:

Hi ha tres tipus de cereal, dels quals tres fardells del primer, dos del segon i un del tercer fan 39 mesures. Dos del primer, tres del segon i un del tercer fan 34 mesures. I un del primer, dos del segon i tres del tercer fan 26 mesures. Quantes mesures de cereal es contenen en un fardell de cada tipus?

I per resoldre-ho, en el llibre esmentat es procedia de la manera següent: Es col·loquen els nombres en una taula (cada equació es descriu en una columna, començant per l’última de l’enunciat):

Mitjançant transformacions amb les columnes, la taula de l’esquerra es transforma en aquesta altra:

I de la taula de la dreta s’obté immediatament i successivament el nombre de mesures de cereal de cada fardell.

A la vista de la similitud dels dos procediments, el que hui anomenem mètode de Gauss tal volta hauria de dir-se «mètode de Chui-Chang Suan-Shu» (que és com es transcriu del xinés el títol de l’esmentat llibre d’autor desconegut).

Pàgina del llibre «Els nou capítols sobre l’art de les matemàtiques»

El diari científic de Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), és per a molts el matemàtic més gran de la història, conegut amb el sobrenom de «príncep dels matemàtics». No hi ha part de la matemàtica en la qual no intervinga. I la cosa curiosa és que no va ser gens propici a divulgar els seus descobriments.

Quan tenia 19 anys, va obtindre un procediment per resoldre un problema geomètric pendent des de l’època d’Euclides. La demostració va ser extraordinària ja que va emprar tècniques algebraiques per resoldre’l (va resultar una gran novetat resoldre un problema geomètric mitjançant procediments algebraics).

Moneda de plata de 20 marcs de l’extinta República Democràtica Alemanya en honor a Gauss

El mateix dia del seu descobriment va decidir anotar-ho en un xicotet diari, un fullet de 19 pàgines. Va continuar usant-lo durant molts anys, i hi va fer un total de 146 anotacions, l’última de les quals està datada el 1814, 17 anys després. Per la quantitat d’idees i la profunditat d’aquestes és, segurament, un dels documents més valuosos en tota la història de les matemàtiques.

Aquest quadernet ha estat crucial per a conéixer el pensament d’aquest geni, però no va ser publicat fins al 1898, quaranta-tres anys després de la mort de Gauss.

Pàgina del diari científic de Gauss

RESOL

Els fardells de cereal

El problema xinés dels fardells de cereal ve acompanyat de dues taules numèriques. La primera descriu les equacions que s’obtenen de l’enunciat. Si tenim en compte que els coeficients de les equacions venen donats en columnes, el sistema queda així:

a) Escriu el sistema d’equacions associat a la segona taula. Observa que aquest sistema és molt senzill de resoldre: de la 1a equació obtenim el valor de z; amb aquest i la segona equació, s’obté y I finalment, de la 3a s’obté x Solució: x = 37/4, y = 17/4, z = 11/4.

b) Comprova que aquesta solució és vàlida per al sistema inicial.

Com van transformar la taula de l’esquerra per obtindre la de la dreta? Observa:

(1a columna de la 2a taula) = 15 · (1a) – 12 · (2a) + 3 · (3a)

(2a columna de la 2a taula) = 3 · (2a) – 2 · (1a)

(1a), (2a) i (3a) són les columnes de la primera taula.

Encara que les operacions que s’hi fan amb les columnes de la primera taula per aconseguir les de la segona semblen complicades, en aquesta unitat aprendràs un mètode més senzill per arribar fins a aquestes.

Sistemes d’equacions lineals

Equació lineal

Les equacions següents són lineals: 2x – 3 = 0 5x + 4y = 20 3x + 2y + 6z = 6 5x – 3y + z – 5t = 0

Tenen la peculiaritat que són polinòmiques de grau 1. És a dir, les incògnites no estan elevades a cap potència, ni multiplicades entre si, ni dins de radicals, ni en el denominador…

No són lineals aquestes equacions: 2x – 3y + z = 5 3xy – 2z = 0 x + 2y – sin z = 1

Equació lineal és una equació polinòmica de grau u amb una o diverses incògnites.

• Si ens movem en el pla, disposem de dues incògnites: x, y. Una equació lineal amb dues incògnites o amb només una representa una recta del pla. Els punts de la recta són les solucions de l’equació.

Per exemple, 5x + 4y = 20 és una recta en el pla XY. Els punts (4, 0), (0, 5), (–2; 7,5), (3; 1,25) són de la recta i, per tant, solucions de l’equació.

També les equacions x = 3 o y = 5 representen rectes.

• Una equació lineal amb tres incògnites o amb algunes d’aquestes representa un pla en l’espai. Els punts del pla són les solucions de l’equació.

Per exemple, 3x + 2y + 6z = 6 és un pla en l’espai tridimensional. Els punts (2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1/6) són del pla i, per tant, solucions de l’equació.

També són plans les equacions 5x + 4y = 20, x = 3 o y = 5.

Equacions equivalents

Dues equacions són equivalents quan tenen la mateixa solució (o les mateixes solucions).

Si els dos membres d’una equació els multipliquem o els dividim per un mateix nombre diferent de zero, l’equació resultant és equivalent a la primera.

Per exemple:

x y 4 5 + = 1 és equivalent a 5x + 4y = 20 (representen la mateixa recta).

30x + 20y + 60z = 60 és equivalent a 3x + 2y + 6z = 6 (representen el mateix pla).

Sistemes d’equacions lineals

Diverses equacions donades conjuntament amb la finalitat de determinar la solució o les solucions comunes a totes aquestes formen un sistema d’equacions.

• Un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites representa un conjunt de rectes. La seua resolució consistix a esbrinar si totes tenen algun punt en comú i localitzar-lo.

• Si les equacions d’un sistema tenen tres incògnites, representen plans. Resoldre el sistema és trobar el punt o els punts que tenen en comú tots aquests plans.

equacions lineals amb dues incògnites

equacions lineals amb tres incògnites

SISTEMA

Els sistemes d’equacions són especialment interessants, i ens hi dedicarem en aquesta unitat i en les següents. Per això, d’ara en avant, l’expressió «sistema d’equacions», o simplement, «sistema», la usarem com a sinònim de «sistema d’equacions lineals».

➜ Dibuixar plans i rectes.

Sistemes equivalents

Dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions. Dos sistemes poden ser equivalents sense que ho siguen les equacions que els formen.

ja que els dos tenen l’única solució: x = 3, y = –2

Per

Transformacions en un sistema d’equacions

Considerem vàlida tota transformació que passe d’un sistema a un altre equivalent. Per exemple:

1 Multiplicar o dividir els dos membres d’una de les equacions per un nombre diferent de zero.

x

2 Afegir una equació que siga combinació lineal de les altres, o al contrari, suprimir una equació que siga combinació lineal de les altres.

x

3 Substituir una equació pel resultat de sumar-li’n una altra multiplicada per un nombre. x

Es diuen transformacions vàlides les que mantenen les solucions del sistema.

Sistemes d’equacions en dues i tres dimensions.

1 Vertader o fals?

a) En un sistema d’equacions amb dues incògnites (x, y) l’equació x + y = 4 té, entre altres, la solució (3, 1).

b) En un sistema amb tres incògnites (x, y, z) l’equació x + y = 4 no té sentit.

c) En un sistema amb tres incògnites (x, y, z) l’equació x + y = 4 sí que té sentit. Representa un pla. Algunes solucions són (3, 1, 0), (3, 1, 7), (3, 1, – 4).

d) Si estem en el pla (dues incògnites, x, y) l’equació y = 0 representa l’eix X

e) Si estem en l’espai (tres incògnites, x, y, z) l’equació y = 0 representa el pla XZ

COMBINACIÓ LINEAL D’EQUACIONS

Una combinació lineal d’equacions és el resultat de multiplicar cada una d’aquestes per un nombre i sumar-les membre a membre.

ATENCIÓ

En la resolució de sistemes d’equacions hem de fer transformacions que, a més de vàlides, siguen «convenients»; és a dir, que ens aproximen a la solució. Per a això, usarem, fonamentalment, les transformacions 1 i 3 ací descrites.

2 Sense resoldre’ls, explica per què són equivalents els parells de sistemes següents:

Possibles solucions d’un sistema d’equacions lineals

Un sistema d’equacions pot tindre solució (compatible) o no tindre solució (incompatible).

Els sistemes compatibles poden tindre una solució (determinats) o infinites solucions (indeterminats).

Sistemes d’equacions amb dues incògnites

Observem els sistemes següents amb les seues interpretacions geomètriques corresponents:

• x x y y 2 3 3 5 9 4 –+= = 4

Aquest sistema d’equacions té per solució x = 3, y = 1. Això vol dir que les dues rectes es tallen en el punt (3, 1).

El sistema és, per tant, compatible i determinat.

3 5 2

9 4 13

4

Aquest sistema és pràcticament igual que l’anterior, ja que les dues primeres equacions són les mateixes i la tercera s’obté sumant, membre a membre, les anteriors.

La nova recta (roja en el dibuix) passa pel punt (3, 1) en què es tallen les altres dues. El sistema és, també, compatible i determinat.

TIN EN COMPTE

En comptes de dir que un sistema és compatible o incompatible seria més correcte afirmar que les equacions que el formen són compatibles (és a dir, totes tenen alguna solució comuna) o incompatibles (no hi ha cap solució comuna a totes). No obstant això, la nomenclatura que s’hi utilitza és la universalment acceptada.

3 6 9 18 + + = = 4

Les dues equacions diuen el mateix. Cada solució d’una és, també, solució de l’altra. Les dues rectes coincidixen. És a dir, són la mateixa recta.

El sistema és compatible i indeterminat.

• x x y y 2 4 3 6 9 12 + + = = 4

Les equacions diuen coses contradictòries. No tenen cap solució comuna. Geomètricament, les dues rectes són paral·leles, ja que no tenen cap punt comú.

Aquest sistema no té solució. És incompatible. En intentar resoldre’l s’arriba a expressions absurdes.

Aquest sistema és molt paregut al segon. Només canvia el terme independent de la tercera equació, que ja no passa pel punt (3, 1) on es tallen les altres dues. Les tres rectes no tenen cap punt comú.

El sistema és, per tant, incompatible.

Sistemes d’equacions amb tres incògnites

Observem els sistemes següents amb les seues interpretacions geomètriques corresponents:

Els tres plans es tallen en un punt. El sistema és compatible determinat.

x = 1, y = 7, z = –2

La quarta equació és suma de les altres tres. El pla corresponent (groc) passa pel punt comú. El sistema és compatible determinat.

Solució: x = 1, y = 7, z = –2

La quarta equació contradiu la suma de les altres tres. Aquest pla (groc) no passa pel punt de tall de les altres tres. El sistema és incompatible.

➜ Crea sistemes d’equacions de diferents tipus.

La tercera equació, en ser suma de les altres dues, no aporta informació al sistema. El sistema és compatible indeterminat.

Solució: Tots els punts de la recta on es tallen els plans són solució del sistema.

La tercera equació contradiu el que s’obté sumant les altres dues. El sistema és incompatible. No té solució.

1 Resol i interpreta geomètricament els sistemes d’equacions

2 a) Resol aquest sistema: x x y y 23 4 –+= = *

b) Afig una tercera equació de manera que continue sent compatible.

c) Afig una tercera equació de manera que el sistema siga incompatible.

d) Interpreta geomètricament el que has fet en cada cas.

Sistemes escalonats

• Els sistemes següents són extraordinàriament fàcils de resoldre:

PROPOSTA

Resol pas a pas cada un d’aquests tres sistemes.

De baix a dalt, anem obtenint el valor de cada incògnita que, substituïda en les equacions anteriors, permet seguir el procés. Aquests sistemes es diuen escalonats.

• També és escalonat el sistema següent. En tindre més incògnites que equacions, passem una de les incògnites al segon membre, amb la qual cosa les altres es calculen en funció d’aquesta:

(3a) z = 11 – 3t

(2a) y = 8 – z = 8 – (11 – 3t) = –3 + 3t

(1a) x = 5 + t – 2y = 5 + t – 2(–3 + 3t) = 11 – 5t

Com que totes les incògnites estan posades en funció de t, prenem t com a paràmetre, li donem un valor variable. Anomenant t = λ, queda: x = 11 – 5λ y = –3 + 3λ z = 11 – 3λ t = λ

Per a cada valor numèric que donem a λ, obtindrem els valors corresponents de x, y, z, t. Per exemple:

Per a λ = 0 s’obté x = 11, y = –3, z = 11, t = 0.

Per a λ = 1 s’obté x = 6, y = 0, z = 8, t = 1.

• Tot i que és menys evident, també és escalonat aquest sistema: x x

λ (lambda), μ (mu), ν (nu) són lletres gregues que solen usar-se com a paràmetres.

–++

y y yz

= = =

35 2 11 4 14

b b b b

_ ` a

És clar que podem aïllar, successivament, la y en la 2a equació, la x en la 1a i, finalment, la z en la 3a equació.

També anomenarem escalonats aquests sistemes, encara que la seua fisonomia no ho suggerisca.

1

2 Són escalonats aquests sistemes? Resol-los.

Reconeix com a escalonats els sistemes següents i resol-los.

Com transformar un sistema en un altre equivalent escalonat Vegem, mitjançant alguns exercicis resolts, com es passa d’un sistema qualsevol a un altre equivalent escalonat.

Exercici resolt

1 Transformar en escalonats aquests sis-

Fixa’t com els coeficients que són 1 ajuden a fer transformacions fàcils.

➜

Ja tenim el sistema en forma escalonada. Les transformacions (*) s’han fet, òbviament, per igualar els coeficients de la y, i així poder eliminar-la sense recórrer a les fraccions.

Resolució: (3a) z = 224/31; (2a) y = 151/31; (1a) x = 134/31

3 Transforma en escalonats i resol:

Resolució:

Mètode de Gauss

El procediment que hem vist en la pàgina anterior per transformar un sistema d’equacions lineals en un altre escalonat es diu mètode de Gauss. La seua pràctica pot fer-se més còmoda si, prescindint de les incògnites, ens limitem a usar els nombres (coeficients i termes independents), situant-los en una matriu.

Vegem com seria la resolució del segon exemple de la pàgina anterior:

MATRIUS

Aquestes caixes numèriques, anomenades matrius, s’estudiaran a fons en la pròxima unitat. Ací les usarem, exclusivament, com a suports per als coeficients d’un sistema d’equacions.

Cada una de les matrius successives que intervenen en el procés correspon a un sistema d’equacions. L’últim és escalonat i, per tant, es resol fàcilment.

El mètode de Gauss consistix a transformar un sistema d’equacions lineals en un altre escalonat. Per a això, «fem zeros» sotmetent les equacions a dues transformacions elementals:

• Multiplicar una equació per un nombre diferent de zero.

• Sumar a una equació una altra multiplicada per un nombre. El procés es fa molt avantatjosament si, en lloc de les equacions, usem exclusivament els nombres — coeficients i termes independents — estructurats en matrius.

En finalitzar el procés, o en algun pas intermedi, podem trobar-nos amb un dels casos següents:

a) Una fila de zeros. Correspon a una equació trivial i podem prescindir-ne:

(0 0 … 0 0 ) ⇔ 0x + 0y + … + 0t = 0

b) Dues files iguals o proporcionals. Corresponen a equacions equivalents i podem prescindir-ne immediatament d’una:

EQUACIÓ TRIVIAL

L´equació 0x + 0y + 0z = 0 afirma una trivialitat. Qualsevol terna de nombres és solució seua. S’anomena equació trivial.

c) Una fila de zeros, excepte l’últim nombre —que correspon al terme independent— diferent de zero:

(0 0 … 0 ) ⇔ 0x + 0y + … + 0t =

( és un nombre diferent de zero)

Evidentment, es tracta d’una equació impossible. En aquests casos en què apareix una equació impossible, reconeixem immediatament el sistema com a incompatible.

1 Vertader o fals?

a) És possible que un sistema incompatible, en aplicar el mètode de Gauss, done lloc a un sistema escalonat compatible. O viceversa.

b) En aplicar el mètode de Gauss, el sistema escalonat al qual s’arriba finalment és del mateix tipus que el sistema inicial, ja que tots els passos que es donen transformen cada sistema en un altre equivalent a aquell.

Diferents tipus de sistemes d’equacions

El mètode de Gauss permet transformar qualsevol sistema d’equacions lineals en un altre sistema, escalonat, equivalent al primer.

Per saber si el sistema inicial és compatible (determinat o indeterminat) o incompatible, observem la fisonomia del sistema escalonat al qual s’arriba al final del procés. Pot donar-se un dels casos següents:

I. f 0 0 0 0 0 0 p

un nombre diferent de zero un nombre qualsevol

Hi ha tantes equacions vàlides com incògnites. Pas a pas, anem obtenint un valor numèric per a cada incògnita.

És, per tant, un sistema compatible determinat.

II. f 0 0 0 p

Hi ha menys equacions vàlides que incògnites. Les incògnites que estan de més es passen al segon membre, amb la qual cosa el valor de les altres es donarà en funció d’aquelles.

El sistema és compatible indeterminat. La seua solució general vindrà donada amb tants paràmetres com incògnites hàgem passat al segon membre. III.

L’equació senyalada no es pot complir mai. El sistema és incompatible.

1

SISTEMES HOMOGENIS

Un sistema homogeni és el que té tots els termes independents iguals a zero:

És obvi que totes les equacions d’un sistema homogeni tenen com a solució, almenys, la solució trivial, x = 0, y = 0, z = 0. Per tant, un sistema homogeni sempre és compatible.

El sistema és compatible determinat. El resolem:

Resoldre pel mètode de Gauss el sistema

Exercicis resolts

2 Resoldre pel mètode de Gauss el sistema següent:

Eliminem la segona equació perquè és proporcional a la tercera. El sistema ja està escalonat passant la tercera columna (la z) al terme independent. El sistema és compatible indeterminat.

Pensa i practica

2

aquests sistemes d’equacions usant el mètode de Gauss.

➜ Resolució de sistemes d’equacions.

3 Resol mitjançant el mètode de Gauss.

= = = ] ] ] ] ]

+ + + Z [ \

Z [ \

] ] ] ] ]

c) x x x 2 5 5

–––

+ +

b) x x x x y y y y z z z w w w 2 5 5 2 22 0 0 0 x

–––+ + + + + y y y y

z z z

+ + +

2 22

w w w

= = = =

––––

1 3 4 3

5

Discussió de sistemes d’equacions

Observa el següent sistema d’equacions lineals:

En realitat, més que un sistema d’equacions és un conjunt d’aquests, ja que per a cada valor del paràmetre k hi ha un sistema d’equacions diferent.

D’aquests infinits sistemes, és possible que uns siguen compatibles, i altres, incompatibles. Discutir el sistema «dependent» del paràmetre és reconéixer els valors de k per als quals el sistema és d’un tipus o d’un altre.

Discutir un sistema d’equacions dependent d’un o més paràmetres és identificar per a quins valors dels paràmetres el sistema és compatible o incompatible, distingint també els casos en què és determinat o indeterminat.

Exercici

1 Discutir i resoldre, quan es puga, el sistema següent:

➜ Representa un sistema dependent d’un paràmetre.

• Si k = 1, l’última fila és (0 0 0 1 ). El sistema és incompatible.

• Si k ≠ 1, aleshores:

És a dir, per a qualsevol k ≠ 1, el sistema és compatible determinat.

Solució:

Atenció: No hi ha infinites solucions, sinó infinits sistemes, un per a cada valor de k. I cada un té solució única, llevat del corresponent a k = 1, que no té solució. Per exemple, per a k = 2, el

Exercicis i problemes resolts

Resoldre i interpretar geomètricament els següents sistemes d’equacions:

a) Com que hi ha tres variables, x, y, z, cada equació és un pla en l’espai. Canviem l’ordre de les dues primeres equacions perquè el primer coeficient siga un 1:

Resol i interpreta geomètricament els següents sistemes d’equacions:

Solucions: (1 + λ, λ, –1

El sistema representa quatre plans que es tallen en una recta.

b) Com que cap dels coeficients de les incògnites és igual a 1, prenem la primera equació com a referència:

La tercera equació no es pot complir mai. El sistema és incompatible, no té solució.

Com que en el sistema no hi ha cap parell de plans paral·lels, representa tres plans que es tallen dos a dos en tres rectes diferents.

c) Com que només hi ha dues variables, x i y, cada equació és una recta del pla. Prenem com a referència la segona fila

Prescindim de les dues últimes files i ens queda:

Solució: (3/4, –1/4)

El sistema representa quatre rectes que es tallen en el punt (3/4, –1/4).

1. Mètode de Gauss

2. Aplicació del mètode de Gauss a la discussió de sistemes d’equacions lineals

Discutir i resoldre aquests sistemes, en funció del paràmetre que hi apareix, aplicant el mètode de Gauss. Donar-ne, en cada cas, una interpretació geomètrica: a)

a) Canviem l’ordre de les equacions.

Discutix i resol, en funció del paràmetre, aplicant el mètode de Gauss. Dona’n les interpretacions geomètriques.

Si m = 1, l’última fila és (0 0 0 0) i es pot suprimir. El sistema és compatible indeterminat perquè té més incògnites que equacions. Té infinites solucions que depenen d’un paràmetre. xz yz y 0

32 44 0

––= = = 4 Solucions: x = 2 – 3λ, y = 4 – 4λ, z = λ

Representen tres plans que tenen una recta en comú.

• Si m ≠ 1, el sistema és compatible determinat.

Els tres plans es tallen en el punt (–1, 0, 1).

Trobem els valors que anul·len el coeficient de la y en la segona equació:

• Si m = –1, la segona equació serà 0 · y = 2. El sistema és incompatible. Són dues rectes paral·leles.

• Si m = 1, la segona equació, 0 · y = 0, es pot suprimir. El sistema és compatible indeterminat. Només ens queda l’equació x + y = 0, que resolem considerant la y com a paràmetre. Les solucions són: (–λ, λ). Les dues rectes coincidixen.

• Si m ≠ ±1, el sistema és compatible determinat. Per a cada valor de m, tenim un sistema diferent amb solució única: ,

mm

. Les dues rectes es tallen en un punt.

homogeni. Com que l’equació

+

= 0 no té solució, el sistema sempre és compatible determinat.

Per a cada valor de a, tenim un sistema diferent amb solució única, que és (0, 0, 0). Són tres plans que es tallen en l’origen de coordenades.

Exercicis i problemes resolts

3. Sistemes amb més incògnites que equacions

Resoldre i interpretar geomètricament els sistemes següents:

a) xy z xy z 31 22 3 –+= += *

b) xy z xy z 24 62 23 1 ––+= += *

Aquests sistemes (més incògnites que equacions) no tenen mai solució única. Poden tindre infinites solucions o no tindre’n cap.

a) Passem z al segon membre i fem z = λ (paràmetre). Així el sistema tindrà tantes equacions com incògnites.

FES-HO TU

Resol i interpreta geomètricament els següents sistemes d’equacions:

a) xy z yz 24 0 ––+= = *

b) xy z xy z 23 36 31 ––+= += *

Les solucions del sistema són (–2 + λ, 1, λ). Com que depenen d’un paràmetre, hi ha infinites solucions que formen una recta. Per a cada valor de λ, obtenim una solució diferent. Són dos plans que es tallen en una recta.

Comprovació de les solucions:

() 23 1 22 12 –3 mm mm ++ = ++ = *

b) Les dues equacions representen el mateix pla ja que una és doble de l’altra. Ens quedem només amb la segona equació i, com que té tres incògnites, necessitem dos paràmetres per a resoldre-la.

Passem z i y al segon membre, x = 1 + 2y – 3z, i fem y = λ i z = μ.

Les solucions del sistema són (1 + 2λ – 3μ, λ, μ).

El sistema té infinites solucions. Els plans són coincidents.

4. Discussió i resolució d’un problema

Una persona ha obtingut 6 000 € de benefici per invertir 60 000 € en tres empreses A, B i C. La suma dels diners invertits en A i B va ser k vegades allò invertit en C i els beneficis van ser el 5 % en A, el 10 % en B i el 20 % en C.

a) Planteja un sistema d’equacions per saber els diners invertits en cada empresa.

b) Estudia’n la compatibilitat i resol-ho per a k = 5 si és possible.

a) Plantegem un sistema d’equacions amb les condicions del problema. Siguen x els euros invertits en l’empresa A, y en l’empresa B i z en la C.

FES-HO TU

Els diners que tenen entre A, B i C és el 150 % del que tenen entre A i B, i és el doble del que tenen entre A i C. Si C té el doble que A, podem saber quant diners té cada una?

b) Per estudiar-ne la compatibilitat, simplifiquem la tercera equació i expressem els termes independents en milers d’euros.

En la segona equació observem que si k = –1, l’equació (0z = –60) no tindria solució. Per tant, ha de ser k ≠ –1 i com que k en el problema ha de ser un nombre positiu (k vegades) direm que el sistema és compatible si k > 0.

Exercicis i problemes guiats

1. Sistemes amb un paràmetre i solució única

a) Discutir el sistema següent segons els valors de m:

+ + *

a) En aplicar el mètode de Gauss arribaràs a un sistema escalonat en el qual la tercera equació és (m + 1)z = 8.

–+ +

z z mz 2 2

y y y

= = =

22 1 3 5

b) Resoldre-ho per als valors de m que el fan compatible determinat.

Determina quina condició ha de complir m perquè aquesta equació tinga solució.

b) Expressa el valor de z en funció de m i obtín els valors de x i y també en funció de m.

Solució:

a) Si m ≠ −1, el sistema és compatible determinat. Per a cada valor de m ≠ −1, tenim un sistema diferent amb solució única.

b) x = –1; y = m m 1 7–+ ; z = m 1 8 +

2. Sistema amb les mateixes solucions que un altre compatible indeterminat

*

calcular el valor de k perquè en afegir a S una tercera equació de la forma x + y + kz = 1 el sistema resultant siga equivalent a S.

3. Sistema compatible

xy z xy z xy z xy az a 1 22 3 22 ––++ = ++ = ++ = += *

• Prova que el sistema S és compatible indeterminat i obtín-ne les solucions.

• Escriu la matriu del nou sistema i aplica-hi el mètode de Gauss.

• Determina el valor de k perquè la nova equació siga trivial i la pugues eliminar.

• Comprova que les solucions de S verifiquen la tercera equació per al valor de k que has obtingut.

Solució: Per a k = –8, les solucions són els punts de la recta (1 + 5λ, 3λ, λ).

• Comprova, aplicant el mètode de Gauss, que el sistema amb només les tres primeres equacions és compatible i que amb la quarta continua sent compatible per a tot valor de a

• Quin ha de ser el valor de a perquè la quarta equació siga una equació trivial?

• Elimina les equacions trivials i resol el sistema en els casos en què siga compatible indeterminat i compatible determinat.

• Tria adequadament la incògnita que prens com a paràmetre.

Solució: Si a = –1, és compatible indeterminat amb solució ,, 3 1 3 4 – mm dn .

Si a ≠ –1, és compatible determinat amb solució ,, 3 1 3 1 1 dn

4.

Interpretació geomètrica d’un sistema

• Aplica el mètode de Gauss i obtindràs com a 2a equació (1 – m2)y = –(1 + m).

• Quina condició ha de complir m perquè el sistema tinga solució?

xmy mx

y m 10 10

• Determina els valors de m que transformen aquesta equació en incompatible o en una equació trivial.

• El sistema representa dues rectes del pla que poden tindre un punt comú, no tindre’n cap o tindre infinits punts en comú.

Solució: Si m ≠ ±1, és compatible determinat, amb solució , mm 1 1 1 1 ––––dn .

Per a cada valor de m ≠ ±1, tenim dues rectes que es tallen en un punt.

Si m = 1, el sistema és incompatible. Es tracta de dues rectes paral·leles.

Si m = –1, el sistema és compatible indeterminat. Les rectes són coincidents.

Exercicis i problemes proposats

Per a practicar Resolució i interpretació geomètrica de sistemes d’equacions lineals

1 Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents:

Mètode de Gauss

7 Resol aplicant el mètode de Gauss.

2 Resol i interpreta geomètricament.

8 Resol aplicant el mètode de Gauss.

3 Raona si els sistemes següents tenen solució i interpreta’ls geomètricament. Resol-los en el cas que siga possible.

9 Resol, si és possible, els sistemes següents:

6 Escriu un sistema de tres equacions i dues incògnites que no tinga solució i interpreta’l geomètricament.

10 Estudia i resol pel mètode de Gauss.

11 Classifica els sistemes següents en compatibles o incompa-

12 Estudia i resol pel mètode de Gauss:

Discussió de sistemes d’equacions

13 Discutix els sistemes següents segons els valors del paràmetre

Per a resoldre

19 Classifica els sistemes següents segons el nombre de solucions per als diferents valors de a i resol-los en el cas a =

14 Discutix els sistemes següents i resol-los quan siga possible:

20 a) Determina, segons els valors del paràmetre a, els casos en els quals el sistema següent té o no té solució:

15 Resol cada un dels sistemes següents per als valors de m que ho fan compatible:

b) Resol-ho en els casos que siga compatible determinat.

21 a) Estudia aquest sistema segons els valors de λ:

b) Resol-ho per a λ = 3.

16 Discutix aquests sistemes segons els valors de k i resol-los quan siga possible:

22 Estudia els següents sistemes d’equacions. Resol-los quan siguen compatibles i interpreta’n geomètricament les solucions obtingudes. a)

17 Discutix els següents sistemes d’equacions en funció dels valors del paràmetre:

23 Discutix els sistemes següents segons els valors de α i interpreta’ls geomètricament: a)

24 Considera el següent sistema d’equacions:

a) Deduïx per a quins valors de a el sistema només té la solució (0, 0, 0).

b) Resol el sistema en el cas en què tinga infinites solucions.

25 Un vaixell transporta 400 vehicles (cotxes, camions i motos). Per cada 2 motos hi ha 5 camions. Els cotxes representen les 9/7 parts dels altres vehicles. Quants vehicles de cada tipus transporta el vaixell?

Exercicis i problemes proposats

26 Una empresa que fabrica guitarres elèctriques ha de satisfer una comanda de 325 unitats que empaqueta en caixes de diferents grandàries. N’hi ha 3 models de caixes, (A, B i C) en els quals caben, respectivament, 5, 10 i 15 unitats. Es disposa d’un total de 35 caixes. A més, el total de caixes dels models A i B és 6 vegades el nombre de caixes del model C.

a) Planteja un sistema d’equacions per calcular el nombre de caixes de cada model que es poden usar per a aquesta comanda.

b) Analitza la compatibilitat d’aquest sistema i resol-lo.

27 Un llibreter ven 84 llibres a dos preus diferents: uns a 5m euros i uns altres a 4m euros, i obté per la venda 3 105 euros.

a) Planteja un sistema d’equacions on les incògnites x i y siguen el nombre de llibres venuts de cada tipus i estudia’n la compatibilitat.

b) És possible que el preu dels llibres fora 45 i 36 euros, respectivament?

c) Resol el sistema per a m = 9. Quants llibres ha venut de cada tipus?

28 En un grup hi ha 288 persones d’entre 18 i 25 anys classificades com a estudiants, empleats i sense ocupació. Per cada cinc estudiants hi ha tres empleats i els que es troben sense ocupació representen el 80 % de la resta.

a) Planteja el corresponent sistema d’equacions.

b) Quants estudiants, empleats i persones sense ocupació hi ha?

29 Tenim unes quantes monedes d’un euro distribuïdes en tres piles. Passem dotze monedes de la tercera pila a la segona i, a continuació, en passem deu de la segona a la primera. Al final, les tres piles tenen la mateixa quantitat de monedes.

a) Podem determinar quantes monedes hi havia inicialment en cada pila amb aquestes dades? Raona la resposta.

b) Determina quantes monedes hi havia inicialment en cada pila si sabem que en total hi havia 51 monedes.

30 La suma de les tres xifres d’un nombre és 13. Si s’intercanvien la xifra de les unitats i la de les centenes, el nombre augmenta en 495. La xifra de les centenes excedix en m unitats la de les desenes.

a) Planteja un sistema d’equacions i raona per a quins valors de m és compatible determinat.

b) Quins valors pot prendre m perquè el problema tinga solució? Calcula la solució per a m = 4.

31 En una cafeteria, la taula A demana 6 cafés i 3 torrades i paga 12 € , i la taula B demana 6 cafés i m torrades i paga 13,60 €

a) Planteja un sistema d’equacions on les incògnites x i y siguen el preu d’un café i el preu d’una torrada, respectivament.

b) Per a quins valors de m el sistema anterior té solució? En cas d’existir, és sempre única? És possible que en la taula B s’hagen demanat 4 torrades? En cas afirmatiu, quant costa cada café?

32 Un grup d’amics i amigues van demanar en un bar 4 refrescos, 3 entrepans i 5 gelats i van pagar 30,60 €. Un altre dia, per 2 refrescos, un entrepà i 2 gelats van pagar 12,30 €

a) Hui han tornat i han demanat 6 refrescos, 5 entrepans i 8 gelats. Quant hauran de pagar? Justifica la resposta.

b) Si un refresc, un entrepà i un gelat costen 8,20  €, quin és el preu de cada un per separat?

33 Les tones de combustible consumides en una fàbrica en el torn de matí són igual a m vegades les tones consumides en el torn de vesprada.

A més, se sap que el torn de vesprada consumix m tones menys que el torn de matí.

a) Planteja i discutix el problema en funció de m .

b) És possible que el torn de matí consumisca el doble de combustible que el de vesprada?

c) Si se suposa que m = 2, quant consumix el torn de vesprada?

34 Un país importa 21 000 vehicles de tres marques, A, B i C, al preu de 10 000, 15 000 i 20 000 euros. El total de la importació és de 322 milions d’euros. Se sap que hi ha 21 000 vehicles comptant els de la marca B i k vegades els de la A.

a) Planteja un sistema amb les condicions del problema en funció del nombre de vehicles de cada marca.

b) Resol el sistema en el cas k = 3.

c) Comprova que el sistema no té solució en el cas k = 2.

Qüestions teòriques

35 Vertader o fals? Justifica i posa’n exemples.

a) A un sistema de dues equacions amb dues incògnites que és compatible indeterminat, podem afegir una equació que el transforme en compatible determinat o en incompatible.

b) A un sistema de tres equacions amb tres incògnites que és compatible determinat podem afegir una equació que el transforme en compatible indeterminat.

c) El sistema xy za xy za 2 24 22 1 22 ––+= += + * és incompatible qualsevol que siga el valor de a

d) El sistema x x y y a b 32 –+= = * és compatible indeterminat per a qualssevol valors de a i b

e) Un sistema compatible determinat i un altre compatible indeterminat poden ser equivalents.

36 Afig una equació al sistema xy z xy z22 1 22 3 ––+= += * de manera que siga:

a) incompatible. b) compatible determinat.

c) compatible indeterminat.

Per a aprofundir

1 Resol i interpreta geomètricament aquests sistemes:

= = = *

x ax x

37 Per a quin valor de a aquest sistema és incompatible? () ()

––

1 2 3 2

++ +

= = = = *

yz z az

0 1 2 0

• Pot ser compatible indeterminat per al valor a = 2?

• Resol-ho si a = 2.

• Si a ≠ 1 i a ≠ 2, pot ser compatible determinat?

38 Siga el sistema d’equacions: ax x ax

= = = *

++ +

by by y

z cz cz

2 3 5 2 2 2 3 4 – –

c a b

a) Justifica que per als valors dels paràmetres a = 0, b = 1, c = 2 el sistema és compatible.

b) Determina els valors dels paràmetres a, b i c per als quals es verifica que (x, y, z) = (1, 2, 3) és solució del sistema.

c) Justifica si aquesta solució és o no és única.

AUTOAVALUACIÓ ➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

2 3 6 2 3

0 11 0 ––

+ + b)

y y y

= = *

xy yz 25 3 ––

xy

z yz

++ = += ++ = *

3 Un caixer automàtic té 1 330  € en bitllets de 10  €, 20  € i de m €. Hi ha en total 97 bitllets i el nombre dels de 10 € és el doble dels de 20 €.

a) Planteja un sistema d’equacions per esbrinar quants bitllets hi ha de cada tipus.

b) Prova que si m ∈{5, 50, 100, 200} el sistema és compatible determinat i resol-lo en el cas m = 50.

c) Raona si en el caixer hi pot haver bitllets de 100 €.

xy z xy z 32 5

23 4 –– –+= += *

b) Afig una equació perquè siga compatible determinat.

c) Afig una equació perquè siga compatible indeterminat. Justifica en cada cas el procediment seguit.

() x x x y ay ay z z z 2 2 2 3 3 6 1 2 3 + + + + + ++ = = = *

a) Troba un valor de a per al qual el sistema siga incompatible.

b) Discutix si existix algun valor de a per al qual el sistema siga compatible determinat.

© GRUPO ANAYA, S.A., 2023 - C/ Valentín Beato, nº 21 - 28037 Madrid.

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a través de cualquier medio, sin la preceptiva autorización.