Trigonometría Básica

TRIGONOMETRÍ A BÁSICA

GREGORIO GONZALEZ

En la fig. 1, tenemos una circunferencia de radio 1, representada por c y centro en A. Dibujemos un eje de coordenadas (x,y), donde el centro de la circunferencia corresponda con el origen de este eje de coordenadas. Dibujemos el triángulo ABC, que es un triángulo rectángulo con su ángulo recto en C, el cual usaremos para definir el seno y el coseno del ángulo α, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.  El seno (α), abreviado sen (α), es la relación o razón que existe entre el cateto opuesto o el lado del triángulo denotado como a, dividido por la hipotenusa del triángulo denotada c, que corresponde al radio r de la circunferencia. Así, definimos que:

 El coseno (α), abreviado como cos (α), es la relación o razón que existe entre el cateto adyacente o el lado del triángulo denotado como b, dividido entre la hipotenusa c del triángulo ABC. Así, definimos que:

IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA De acuerdo a la fig. 1, aplicándole el teorema de Pitágoras al triángulo ABC, tenemos que: , ahora , con c = 1, así tenemos que:

Esta es nuestra primera identidad trigonométrica.

En la fig.2, tenemos la circunferencia de radio r, denotada c, el eje de coordenadas (x,y) y el triángulo rectángulo ABC. Se traza una recta tangente a la circunferencia y paralela al eje y, en el punto D y la recta AB, que representa el radio c, se prolonga hasta que se corten, llamando a este punto F. La distancia DF, representa la tangente del ángulo α y la denotaremos tan (α).

Ahora, expresaremos la tan (α) en función del sen (α) y el cos (α).

Partiremos del triángulo rectángulo ADF. Así, tenemos que:

con c = 1 y AD = 1, así que tenemos que: , despejando AF de ambos términos e igualándolos, tenemos que:

, despejando FD, nos queda que: , y del capítulo anterior, de acuerdo con la definición de seno y coseno, sabemos que: , finalmente nos queda que:

que es nuestra segunda identidad trigonométrica.

Como tarea, demostrar que:

De acuerdo a la fig.3, con la circunferencia de radio r, llamada c, el eje de coordenadas (x,y) y el triángulo ABC, trazamos una recta tangente a la circunferencia por el punto B, hasta que se corte con el eje x, llamando a este punto D. De allí obtenemos el triángulo rectángulo ABD, con el ángulo recto en B. Definiremos la secante del ángulo α, denotada sec (α) como la distancia AD. Así, de acuerdo a lo estudiado, tenemos: , pero c = 1, así que:

y, a esta distancia AD, es la que llamaremos la secante del ángulo α.

De esta manera, obtenemos otra de nuestras identidades.

Como tarea, demostrar que:

En este punto, veremos lo que es el sentido positivo y negativo, para ver la evolución de dichas funciones, a medida que el ángulo varia.  Sentido Positivo: es el sentido de giro anti-horario o contrario a las manecillas del reloj. El ángulo aumenta, a partir de 0 en forma positiva. Así denotamos como: sen (α); cos (α); tan (α).  Sentido Negativo: sería el sentido de giro contrario es decir, el sentido horario. El ángulo aumenta en forma negativa. Así Denotamos como: sen (-α); cos (-α); tan (-α).

Ahora surge la pregunta: ¿Qué pasa con los valores del sen (α) y cos (α), si el ángulo se hace mayor de 90°?.

En la Fig. 4, observamos la circunferencia dividida en 4 partes, llamando a cada una, CUADRANTE, debido a la colocación del eje de coordenadas (x,y) cuyo punto de origen (0,0) corresponde al centro de la circunferencia. Así, tenemos la siguiente tabla donde nos indica el signo, de acuerdo al cuadrante. α

I 0<α<90

II 90<α<180

III 180<α<270

IV 270<α<360

sen

>0

>0

<0

<0

cos

>0

<0

<0

>0

tan

>0

<0

>0

<0

ctg

>0

<0

>0

<0

sec

>0

<0

<0

>0

csc

>0

>0

<0

<0

TABLA I

En la fig. 5, vemos cómo varían las funciones sen (α), cos (α) y la tan (α) a medida que el ángulo aumenta. En ella vemos que el sen (α) y el cos (α) oscilan en el rango entre [-1,1] y la tan (α) oscila en el rango de (-∞,+∞).

La tabla II, muestra los valores de las funciones en el rango de 0° a 90°.

Fig. 5 grados

sen (α)

cos (α)

tan (α)

ctg (α)

sec (α)

csc (α)

0°

0

1

0

±∞

1

±∞

30°

0,5

0,866

0,577

1,73

1,154

2

45°

0,707

0,707

1

1

1,414

1,414

60°

0,866

0,5

1,73

0,577

2

1,154

90°

1

0

±∞

0

±∞

1

TABLA II IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS De acuerdo con las tablas I y II y de acuerdo al sentido, podemos deducir las siguientes identidades:  sen (-α) = - sen (α)  cos (-α) = cos (α)  tan (-α) = - tag (α)  ctg (-α) = - ctg (α)  sec (-α) = sec (α)  csc (-α) = - csc (α)