ESTADO PLURINACIONAL DE BOLIVIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN SUPERIOR: INNOVACIÓN PEDAGÓGICA Y GESTIÓN EDUCATIVA
Título: CARTILLA EDUCATIVA DIGITAL
Actividad 2 - Semana 2
Participante: Gustavo Osvaldo Bazualdo Martínez
Docente: Antonio Coarite Quispe
SUCRE-BOLIVIA 2025
Presentación
La presente Cartilla Educativa ha sido elaborada con el objetivo de fortalecer el aprendizaje significativo de los estudiantes del cuarto año de secundaria en el área de Matemática, abordando de manera clara y estructurada el tema de Ecuaciones de Segundo Grado.
A través de explicaciones sencillas, ejemplos resueltos y una variedad de ejercicios de práctica y aplicación, se busca no solo que los estudiantes comprendan el procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, sino también que desarrollen habilidades analíticas y lógicas que les permitan enfrentar con éxito situaciones matemáticas dentro y fuera del aula.
El material está organizado de forma progresiva, iniciando con la definición de ecuación cuadrática, pasando por los métodos de factorización y resolución, y culminando con desafíos que promueven el razonamiento y laautonomía en elaprendizaje.
Invitamos a estudiantes y docentes a utilizar esta cartilla como una herramienta complementaria que enriquezca el proceso educativo, fomente el interés por la matemática y contribuya aldesarrollo de competencias clave en la formación escolar.
Gustavo Osvaldo Bazualdo Martínez
Gustavo Osvaldo Bazualdo Martínez
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CARTILLA EDUCATIVA
A. DEFINICIÓN
Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la forma general:
ax2 + bx + c= 0 a 0
La ecuación de 2do Grado posee dos “raíces” que cumplen con la ecuación.
Ejemplo
1. x2 + 3x + 2 = 0
*Para x = -1
(-1)2 + 3(-1) + 2 = 0
Se cumple
*Para x = -2
(-2)2 + 3(-2) + 2 = 0
Se cumple
2. x2 + 4x – 5 = 0
*Para x = ________
Se cumple
*Para x = ________
Se cumple
Observación: a . b = 0
Si:
CURSO: CUARTO DE SECUNDARIA
B. MÉTODO DE HALLAR
LAS RAÍCES
1. Factorización.- Es el más recomendable y adecuado, para poder resolver de esta manera se debe tener el polinomio en su forma general() Tendremos los siguientes casos:
b) Forma: ax2 + bx = 0 ()
a = 0 b = 0
a) Forma: ax2 + c = 0 Para esta forma utilizaremos factorización por diferencia de cuadrados y aplicamos la observación.
Ejemplo
x2 – 25 = 0
(x2 - 52) = 0
(x - 5)(x + 5) = 0
Por Obs:
x – 5 = 0 x + 5 = 0
x = 5 x = -5
2x2 – 8 = 0
2(x2 - 4) = 0
2(x2 – 22) = 0
(x + 2)(x - 2) = 0
Por Obs:
x + 2 = 0 x - 2 = 0 -2 x = 2
Por Obs:
Para esta forma utilizaremos factorización por monomio común y aplicamos la observación.
Ejemplo
x2 + 3x = 0
x(x + 3) = 0
x = 0 x + 3 = 0
x = 0 x = -3
2x2 – 5x = 0
x(2x - 5) = 0
x = 0 2x - 5 = 0
x = 0 2x = 5
x = 0 x = 5/2
En este caso una raíz siempre es “cero”.
c) Forma: ax2 + bx + c = 0
Para esta forma se factoriza por aspa simple.Aplicamos la observación:
Ejemplo
x2 – 6x + 5 = 0
x -5
x -1
(x - 5)(x - 1) = 0
Por Obs:
Por Obs:
2x2 + 5x + 2 = 0 2x 1 x 2
(2x + 1)(x + 2) = 0
2x + 1= 0 x 2x = -1
x = -1/2 x = -2
2. Despejando.- Es el menos recomendable “solo se utiliza si no se puede factorizar”.
Si:ax2 + bx + c= 0
Llamaremos discriminante a:
= b2 – 4ac
b x2 =
Luego las raíces son: 2a b x1 + = 2a
"Discriminante"
x – 5 = 0 x - 1 = 0
x = 5 x = 1
Gustavo Osvaldo Bazualdo Martínez
I. RESOLVER:
1.
a) x2 – 25 = 0
b) x2 + 3x = 0
c) x2 – 225 = 0
d) 2x2 – 3x = 0
2.
a) x2 – 16 = 0
b) 2x2 – 10x = 0
c) x2 – 4 = 0
d) 2x2 – 98 = 0
3.
a) x2 – 5x + 6 = 0
b) x2 + 2x – 15 = 0
c) x2 – 2x + 1= 0
d) x2 + 4x + 4 = 0
4.
a) 2x2 + 3x – 2 = 0
b) 5x2 – 11x – 12 = 0
c) 6x2 – 13x + 6 = 0
d) 6x2 + 19x + 15 = 0
EJERCICIOS
DE APLICACIÓN
II. RESOLVER:
5. Dar elconjunto solución de: 3x2 – 2x(x - 4) = x – 12
a) {3;4} b) {3;-2} c) {2;6} d) {-3;-4} e) N.A.
6. Resolver: (x + 4)2 = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)
a) {2;1/9} b) {1/9;-2} c) {-2;-1/9} d) {2;-1/9} e) N.A.
7. Si:a b son raíces de la ecuación. x 74 x x 2 x = + +
Además a <b. Calcular: a/b
a) -9/8 b) 8/9 c) -8/9 d) -1 e) N.A.
8. Si (-6) es una de las raíces de la ecuación: x2 + (n + 3)x + n + 2 = 0
Calcular la otra raízaumentada en “n”.
a) 1 b) -1 c) 3
d) 4 e) 5
9. Una raízde la ecuación: 2x2 + (4a - b)x – 2ab = 0
a) 2b b) 2a c) b/2 d) a/2 e) a + b
10. Si una raízde la ecuación: 2x2 – 4x + c2 – 2c – 3 = 0 es cero.Hallar:“c” (c<0)
a) -2 b) -3 c) -1
d) -4 e) -10
III.RESOLVER:
11. Hallar elvalor de “k” en la ecuación:
(k- 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0
Para que una de sus raíces sea el recíproco de la otra.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
12. Si la ecuación: x2 – x – 6 = 0, tiene por raíces
a x1 yx2 donde x1 >x2.
Indicar elvalor de: 3 2 1 x 5x +
a) 15 b) 8 c) -7 d) 7 e) 21
13. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar la edad de A si es el mayor:
a) x2 – 49 = 0
b) x2 – 144 = 0
c) 2x2 – 32 = 0
2.
a) x2 + 5x = 0
b) 3x2 – 12x = 0
c) 2x2 – 12x = 0
a) 6 b) 17 c) 12 d) 13 e) N.A.
14. La diferencia de 2 números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184.Hallar los números.
a) 17 6 b) 14 11 c) 14 7 d) 15 8 e) N.A.
15. Indicar una de las raíces de la ecuación cuadrática: 9nx2 + 12(n + 1)x + 8 = n3 a) 2 3 n b) 2 1 n + c) 3 2 n d) 3 4 n e) N.A.
a) x2 – 5x - 6 = 0
b) x2 + 2x – 24 = 0
c) x2 + 6x + 9 = 0
a) 5x2 + 9x – 2 = 0
b) 3x2 – 5x –2 = 0
c) 2x2 + 13x + 6 = 0
TAREA DOMICILIARIA Nº 6
I. RESOLVER: 1.
II. RESOLVER:
5. Dar elconjunto solución de: x2 – 2(x - 2) = x2 – 12
a) {3;4} b) {3;-2} c) {2;6} d) {-3;-4} e) N.A.
6. Resolver: (x + 4)2 = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)
a) {2;1/9} b) {1/9;-2} c) {-2;-1/9} d) {2;-1/9} e) N.A.
7. Si:a b son raíces de la ecuación. x 45 x x 3 x = + +
Además a <b. Calcular: a/b
a) -7/6 b) 6/7 c) -6/9 d) -1 e) N.A.
8. Si (-2) es una de las raíces de la ecuación: x2 + (n + 1)x + n = 0
Calcular la otra raízaumentada en “n”.
a) 3 b) -1 c) 3 d) 4 e) N.A.
9. Una raízde la ecuación:
x2 + (3a - 2b)x – 6ab = 0
a) 2b b) -2b c) 2a d) b/a e) a/b
10. Si una raízde la ecuación: 2x2 + 5x + c2 + 2c + 1= 0 es cero.Hallar:“c”
a) +2 b) +3 c) -1 d) -2 e) -10
III.RESOLVER:
11. Hallar elvalor de “k” en la ecuación: (2k+ 3)x2 – 5x + k+ 7 = 0
Para que una de sus partes sea el recíproco de la otra.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
12. Si la ecuación: x2 + x – 2 = 0, tiene por raíces
a x1 yx2 donde x1 >x2.
Indicar elvalor de: 3 2 3 1 x x +
a) 15 b) 8 c) -7 d) 7 e) 21
13. La suma de las edades de A y B es 25 años y su producto 156. Hallar la edad de A si es el mayor:
a) 6 b) 17 c) 12 d) 13 e) N.A.
14. La diferencia de 2 números es 3 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 65.Hallar los números.
a) 5 13 b) 8 5 c) 5 3
d) 8 3 e) N.A.
15. Indicar una raíz: 2nx2 + (n3 + 2)x = -n2
a) 1+ n b) 1 c) 2 n2
d) n 1 e) N.A.
