Matemática financiera

Contabilidad y Auditoría

Matemática Financiera

Segundo Semestre Paralelo “B” Ing. Alberto

Luzuriaga Abril - Septiembre

Redondeo de datos • •

Si el número que le precede a 5 es par o cero, se mantiene.

Si el número que le precede a 5 es impar se incrementa.

13,474 < 5 No se incrementa = 13,47

Sdf 10,438 > 5 Si se incrementa

= 10,44

13,175 - Impar se incrementa = 13,18

No se aproxima en procesos intermedios, si se aproxima en el resultado final a 2 decimales.

15,185 - Par no se incrementa= 15,18

Matemática Financiera • •

Es el estudio del dinero en el tiempo.

Se centra en estudiar el valor del dinero en el tiempo combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.

Elementos del interés simple: • • • • •

Tiempo.

Rédito – tasa de interés.

Monto Interés.

Capital.

𝐼 = 𝐶∗𝑟∗𝑡 Donde: C = Capital

Capital: Valor presente, valor al inicio del período, valor actual.

r = Tasa de interés

Monto: Valor futuro, valor al final del período, valor acumulado.

t = Tiempo

Interés Simple y Compuesto •

El interés es simple cuando solo el capital gana intereses y es compuesto si a intervalos de tiempo preestablecidos, el interés vencido se agrega al capital, por lo que este también genera intereses.

Interés Simple 𝐼 = 𝐶∗𝑟∗𝑡

•

Al conocer el valor actual y al futuro, la fórmula es: 𝐶 = 𝑀(1 + 𝑟 ∗ 𝑡) 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑟 ∗ 𝑡)

Capital: Es la cantidad de dinero que se invierte o se presta al inicio del plazo. 𝐶=

𝐼 𝑟∗𝑡

Rédito: Es el beneficio convencional o legal, producto de dinero “sinónimo de la tasa de interés”. 𝐼 𝑟= 𝐶∗𝑡 Tiempo: Número de periodos temporales, sean estos diarios, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, semestral, anual. 𝐼 𝑡= 𝐶∗𝑟 Monto: Cantidad de dinero al final del plazo, en el que se incluyen los intereses. 𝑀 = 𝐶+𝐼 Tasa de interés: La razón del interés y el capital C por unidad de tiempo. 𝑟=

𝐼 𝐶∗1

Ejemplos: • Calcular el interés simple de un capital inicial de $4950 con una tasa de interés del 5,47% en cuatro años. 𝐼 = 𝐶∗𝑟∗𝑡 𝐼 = 4950 ∗ 0,0547 ∗ 4 𝐼 = 1083,08 •

Calcular el interés simple de un capital inicial de $23700 y una tasa de interés de 6,71% anual. 𝐼 = 𝐶∗𝑟∗𝑡 𝐼 = 23700 ∗ 0,0671 ∗ 1

•

𝐼 = 1590,27 Calcula el monto y el interés simple sobre un capital inicial de $19500 a 11 meses y una tasa de interés del 7,43%.

𝐼 = 𝐶∗𝑟∗𝑡

𝑀 =𝐶+𝐼

𝐼 = 19500 ∗ 0,0743 ∗

11 12

𝐼 = 1328,1125

•

•

𝑀 = 19500 + 1328,1125 𝑀 = 20828,11

Calcula el monto y el interés simple sobre un capital inicial de $23400 a 12 meses y una tasa de interés del 8,31%. 𝐼 = 𝐶∗𝑟∗𝑡

𝑀 =𝐶+𝐼

𝐼 = 23400 ∗ 0,0831 ∗ 1

𝑀 = 23400 + 1944,54

𝐼 = 1944,54

𝑀 = 25344,54

Un cliente deposita por motivos de una póliza de acumulación por $4600 en el plazo de un año del cual recibe %5400. Determinar el interés y la tasa. 𝐼

𝐼 = 𝑀−𝐶

𝑟 = 𝐶∗1

𝐼 = 5400 − 4600

𝑟 = 4600∗1

𝐼 = 800

𝑟 = 0,1739

80

𝑟 = 17,39% •

Una persona abrió una cuenta de inversión en el banco al depositar $20000 después de un año recibe $22348 por su inversión. Calcular: a. El interés. b. La tasa de interés. c. El tipo de interés (simple). 𝐼

𝐼 = 𝑀−𝐶

𝑟 = 𝐶∗1

𝐼 = 22348 − 20000

𝑟 = 20000∗1

𝐼 = 2348

𝑟 = 0,1174

2348

𝑟 = 11,74 Tiempo Exacto y Aproximado Tiempo exacto: Para calcular este tipo de tiempo. Se cuenta el número exacto de días desde una fecha inicial hasta la fecha final.

Ejemplos •

Calcular el tiempo exacto del 28 de febrero de 2016 al 01 de septiembre del mismo año.

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre TOTAL

•

Calcular el tiempo exacto del 15 de enero de 2020 al 30 de agosto del mismo año.

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto TOTAL

•

1 31 30 31 30 31 31 01 186 días

16 29 31 30 31 30 31 30 228 días

Calcular el tiempo exacto del 1 de febrero a julio 30 del año 2018.

Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio TOTAL

27 31 30 31 30 30 179 días

TIEMPO APROXIMADO Para calcular este tipo de tiempo se toma en cuenta a todos los meses con el número de 30 días. Ejemplos: •

Calcular el tiempo aproximado del 28 de febrero del 2016 al septiembre 01 del mismo año.

Año Mes Días Fecha Final 09 01 Fecha Inicial 02 18 Total 07 -27 *30

Total

210 – 27 =183 días.

•

Calcular el tiempo aproximado del 29 de febrero del 2020 al 31 de diciembre del mismo año.

Año Mes Días Fecha Final 12 31 Fecha Inicial 02 29 Total 10 2 *30 Total 300 – 2 = 302 días.

•

Calcular el tiempo aproximado del 29 de febrero del 2020 al 31 de diciembre del mismo año.

T. Exacto T. Ordinario

Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo TOTAL

01 31 30 31 30 31 31 28 01 214 días

Año Fecha Final Fecha Inicial Total Total

Mes

Días 03 07 -4

01 30 -29 *30 1*360 -120–29= 211 días.

INTERÉS SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO.

Interés simple exacto Para calcular este tipo de interés se toma en cuenta el número de 365 días al año o 366 en el caso de ser bisiesto.

Interés simple ordinario Para calcular este tipo de interés se toma en cuenta el número de 360 días al año. En este caso el interés se incrementa.

Ejemplos •

Calcular el interés simple exacto y ordinario de un valor inicial de $13200 al 7,16% durante 73 días en 2016.

Interés simple exacto 𝑰= 𝑪∗𝒓∗𝒕 𝑰 = 13200 ∗ 0,0716 ∗

73 366

𝑰 = 188,51

Interés simple ordinario 𝑰= 𝑪∗𝒓∗𝒕 𝑰 = 13200 ∗ 0,0716 ∗

73 360

𝑰 = 191,65

•

Calcular el interés simple exacto y ordinario de un valor inicial de $27300 al 9,41% del 14 de febrero al 01 de septiembre del año 2020. Tomaren en cuenta el tiempo exacto y aproximado. Concluir con la característica del ejercicio.

T. Exacto Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre TOTAL T. Aproximado

15 31 30 31 30 31 31 01 200 días

Año Fecha Final Fecha Inicial Total Total

Mes

Días 09 02 7

01 14 -13 *30 210 – 13 = 197 días.

Interés simple exacto

Interés simple ordinario

Tiempo exacto

Tiempo ordinario

𝐼 = 𝐶×𝑟×𝑡

𝐼 = 27300 × 0,0941 × 360

200

200

𝐼 = 27300 × 0,00941 × 366

I=1427,18

I=1403,79

Tiempo aproximado

Tiempo aproximado 197

197

𝐼 = 27300 × 0,00941 × 366

𝐼 = 27300 × 0,0941 × 360

I=1382,73

I=1405,78

Característica: El interés que más genera rentabilidad para una entidad financiera, es el interés simple ordinario con el tiempo exacto

MONTO Conocido como valor futuro del capital, más el interés simple ganado Fórmulas:

𝑴 =𝑪+𝑰 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑟 × 𝑡) Ejemplos: 1) Calcular el monto de un préstamo de $4.150.00 al 26% de interés simple, durante dos años. 𝑀 = 4150(1 + 0,26 × 2) 𝑴 = 𝟔𝟑𝟎𝟖 2) El profesor Álvaro Fernández Aguilera consigue un préstamo de $18000.00, para comprar una computadora, la tasa de interés simple es de 4% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 12 bimestres? 𝑀 = 18000(1 + 0,04 × 12) 𝑴 = 𝟐𝟔𝟔𝟒𝟎 3) Armando Morales deposito en su cuenta de ahorros $33000 el día de 6 de marzo y el día 25 de marzo lo retira la tasa de interés simple 3.7% anual ¿Calcular el monto considerando que es año es Bisiesto?

19

M= 33000 (1 + 0.037 ∗ 366)

t= 25-6=19 Días M= 33063,38

4) Calcular el monto de un préstamo de $7300 a una tasa de interés simple de 26% anual, con un plazo del 6 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año Bisiesto.

Septiembre 27 Octubre

31

Noviembre

30

Diciembre

28

116

M = 7300 (1 + 0,26 ∗ 366) M=7901,55

116 días

5) ¿Qué monto hay que pagar al Monte Pio por el empeño de una pulsera de oro de 24 quilates, la cantidad recibida por el préstamo es de $18000 al 12% anual, y después de 1 año y 6 meses recupera la pulsera?

18

M= 1800(1 + 0,12 ∗ 12) M= 21240 540

M= 1800(1 + 0,12 ∗ 360)

En los pagarés se trabaja con 360 días

M= 21240

Valor Presente •

El valor presente de una deuda en una fecha anterior a la de su vencimiento se la conoce como valor presente en dicha fecha.

•

Se entiende por valor presente al valor del dinero en cualquier fecha que nos convenga y se simboliza con VP. La fecha de conveniencia puede ser el día de hoy o dentro de una semana o dentro de dos meses, en un semestre entre otros.

•

El valor presente de un valor futuro (M) en la cantidad de dinero invertida el día de hoy a una determinada tasa de interés.

M= C(1 + 𝑟 ∗ 𝑡) Dónde: C

𝑀

1+𝑟∗𝑡

Ejemplos Calcular un valor actual al 6,46% de interés sobre 4200 con vencimiento de 10 meses 𝑪=

4200 10 1 + 0,0646 ⋅ 12

𝑪 = 𝟑𝟗𝟖𝟓, 𝟒𝟓 ¿Cuánto debe invertir la contadora Axel de la Rosa el dia. Si la tasa de interes es de 1,23% trimestral, para disponer de $500000 dentro de 4 años?

500000

𝑪 = 1+0,0123.16

𝑟 = 0,0123 4 años*trimestre= 16 trimestres

𝑪 = 𝟒𝟏𝟕𝟕𝟖𝟎, 𝟕𝟓 500000

𝑪 = 1+0,0492⋅4

𝑟 = 0,0123 ∗ 4 = 0,0492

𝑪 = 𝟒𝟏𝟕𝟕𝟖𝟎, 𝟕𝟓 ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Porta el dia de hoy, a una tasa de 0,8% simple bimestral para disponer de $23500 de cuatro años?

23500

𝑪 = 1+0,048⋅4 𝑪 = 𝟏𝟏𝟗𝟕𝟏𝟒, 𝟕𝟔

𝑟 = 0,008 ∗ 6 = 0,048

¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Porta el dia de hoy, a una tasa de 80% simple bimestral para disponer de $23500 dentro de 4 años?

23500

𝑪 = 1+4,8⋅4

𝑟 = 0,08 ∗ 6 = 0,48

𝑪 = 𝟏𝟏𝟔𝟑, 𝟑𝟕 ¿Cuánto debe de invertir la señora Andrea Porto el dia de hoy, a una tasa de 8% simple bimestral para disponer de $23500 dentro de 4 años 𝑪=

23500 1+0,48⋅4

𝑟 = 0,08 ∗ 6 = ,48

𝑪 = 𝟖𝟎𝟒𝟕, 𝟗𝟒

El Dr. Vicente Ramírez pago $1850400.00por un préstamo bancario a un año, seir meses y quince días, a tasa de 15% por la compra de un camión de transporte de personal. Encontrar el capital inicial del préstamo 𝐶=

1850400

𝑡 = 360 + 180 + 15

555 360

1+0.15∗

𝑪 = 𝟏𝟓𝟎𝟐𝟓𝟔𝟐. 𝟗𝟒

𝑡 = 555

Fecha Focal Para determinar ejercicios en los cuales intervienen tanto valores presentes como valores futuros, tomaremos en cuenta los siguientes aspectos: La fecha Focales la fecha del vencimiento de la deuda.

Si no se dispone de una fecha focal, tomamos una de acuerdo al problema planteado.

Cuando las deudas contraídas se pagan después de la fecha de vencimiento.

Cuando existe 2 tasas del interés analizamos la primera, operamos con la segunda, teniendo en cuanta el fundamento de los literales anteriores.

FECHA FOCAL

CAPITAL

EJERCICIOS

MONTO

Una persona debe $4500 con vencimiento en 5 meses y $7300 en 7 meses. Se quieren un pago único inmediato en el 9.31% de rendimiento y una fecha focal al día de hoy. Calcule: a) Después de 4 meses b) Después de 4 meses c) Después de 4 meses $4500

$7300

1m

a)

4m

3m 4m

5m

𝑀

𝑀

𝐶 = 1+𝑟∗𝑡

𝑪=

7m

𝐶 = 1+𝑟∗𝑡

4500

𝑪=

1 1+0,0931⋅ 12

𝑪 = 4465,36

7300 3 12

1+0,0931⋅

𝑪 = 7133,96

b)

1m

1m $4500

$7300 5m

6m

6m

𝑴 = 𝐶 (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡 )

𝑪= 1

7m

𝑀 1+𝑟⋅𝑡 7300

𝑴 = 4500 (1 + 0,0931 ⋅ 12)

𝑪=

𝑴 = 4534,91

𝑪 = 7243,80

1+0,0931⋅

1 12

𝑷𝑼𝑰 = 𝑀 + 𝐶 𝑷𝑼𝑰 = 11778,71 c) 4m

2m

$4500 5m

𝑴 = 𝐶 (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡 )

$7300 9m

7m

𝑴 = 𝐶 (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡 )

9m

4

2

𝑴 = 4500 (1 + 0,0931 ⋅ 12)

𝑴 = 7300 (1 + 0,0931 ⋅ 12)

𝑴𝟏 = 𝟒𝟔𝟑𝟗, 𝟔𝟓

𝑴𝟐 = 𝟕𝟒𝟏𝟑, 𝟐𝟕 𝑷𝑼𝑰 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 𝑷𝑼𝑰 = 12052,92

•

Una persona debe $7500 con un vencimiento en 9 meses y $9000 en 11 meses. Se requiere un pago único al 4% con fecha para el día de hoy. a) Después de 6 meses b) Después de 1 año Después de 14 meses

a)

5m

3m $7500

$9000 6m

9m

6m

𝑀

𝑀

𝑪 = 1+𝑟⋅𝑡 𝑪=

7m

𝑪 = 1+𝑟⋅𝑡

7500

𝑪=

3 1+0,04⋅ 12

𝑪 = 𝟕𝟒𝟐𝟓, 𝟕𝟒

9000 5 12

1+0,04⋅

𝑪 = 𝟖𝟖𝟓𝟐, 𝟒𝟔 𝑷𝑼𝑰 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝑷𝑼𝑰 = 𝟏𝟔𝟐𝟕𝟖, 𝟐𝟎

b) 3m

1m

$7500

$9000 9m

12 m

𝑴 = 𝐶 (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡 )

11 m

12 m

𝑴 = 𝐶 (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡 ) 3

1

𝑴 = 7500 (1 + 0,04 ⋅ 12)

𝑴 = 9000 (1 + 0,04 ⋅ 12)

𝑴𝟏 = 𝟕𝟓𝟕𝟓

𝑴𝟐 = 𝟗𝟎𝟑𝟎 𝑷𝑼𝑰 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐

𝑷𝑼𝑰 = 𝟏𝟔𝟔𝟎𝟓 c) 5m

3m

$7500

$9000 9m

𝑴 = 𝐶 (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡 ) 𝑴 = 7500 (1 + 0,04 ⋅

11 m

14 m

14 m

𝑴 = 𝐶 (1 + 𝑟 ⋅ 𝑡 ) 5 12

)

𝑴𝟏 = 𝟕𝟔𝟐𝟓

𝑴 = 9000 (1 + 0,04 ⋅

3 12

)

𝑴𝟐 = 𝟗𝟎𝟑𝟎 𝑷𝑼𝑰 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 𝑷𝑼𝑰 = 𝟏𝟔𝟕𝟏𝟓 Descuento simple

Cuando se concede un préstamo por un capital (c), el deudor se compromete a pagarlo mediante la firma de un pagare, cuyo valor nominal, generalmente es mayor que (c), puesto que incluye los intereses.

Es práctica común que el acreedor, es decir, el propietario del documento lo pueda negociar antes de la fecha de vencimiento, ofreciéndolo a un tercero “empresas de factoraje” por ejemplo, a un precio menor que el estipulado en el propio documento, y se puede evaluar de dos maneras distintas.

Descuento simple real Descuento simple comercial

Descuento simple real Para este tipo de descuento, se opera utilizando las fórmulas del interés simple, donde se identifica a M como valor nominal. 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑟 ∗ 𝑡 ) 𝐶=

𝑀 1+𝑟∗𝑡

𝐷𝑟 = 𝑀 − 𝐶

Descuento simple real A diferencia del anterior, este tipo de descuento se relaciona directamente a la rebaja que los comerciales hacen a sus artículos, cuando los venden, quitando algunos dólares a los precios de lista y calculando su diferencia con el valor nominal.

Es importante conocer en este tipo de descuento, su valor comercial con valor nominal M. 𝐷𝑐 = 𝑀 ∗ 𝑟 ∗ 𝑡

𝑉𝑐 = 𝑀(1 − 𝑟 ∗ 𝑡)

1. Calcular el descuento simple real de un documento con valor nominal de $25300 a 79 días de su vencimiento y un tipo de descuento del 7.31%.

25300 = 𝐶 (1 + 0.0731 ∗ 𝐶=

25300

79 ) 360

79 1 + 0.0731 ∗ 360

𝐶 = 24900.56 𝐷𝑟 = 25300 − 24900.56 𝐷𝑟 = 399.44 2. Calcular el descuento simple comercial de un documento con valor nominal de $6500 a 5 meses antes de su vencimiento y un tipo de descuento del 11.3%. 𝐷𝑐 = 𝑀 ∗ 𝑟 ∗ 𝑡 𝑉𝑐 = 𝑀(1 + 𝑅 ∗ 𝑇)

PAGARÉ QUÉ ES? Es un título de crédito en el que el emisor se compromete a pagar una suma económica a un beneficiario antes de una fecha determinada .Este documento privado puede ser utilizado como instrumento público y se denomina título de crédito porque el tenedor podrá exigir el cumplimiento del pago del mismo dentro de los términos acordados.

Un pagaré bancario es un documento fiscal mediante el cual las empresas o entidades jurídicas se comprometen a pagar un determinado monto de dinero .Se usa habitualmente en transacciones comerciales entre empresas .El comprador que es quien emite el pagaré adquiere un compromiso de pago con el vendedor o beneficiario del pagaré

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Denominación de la entidad y oficina librada.

El vencimiento- es una de las partes más importantes.

Identificación de la persona a la cual se debe dirigir el pago.

Número de serie y numero del documento del pagaré.

Codificación del número de serie y documento.

La fecha y lugar de emisión del pagaré.

La promesa de pago y el importe consignado en cifras.

Cuenta del cliente y código IBAN de la cuenta librada.

Empresas de factoraje Es una institución financiera que compra las facturas pendientes de cobro de otra empresa, la que también se conoce como factoraje de cuentas por cobrar. Por lo general la empresa que cede sus facturas recibirá el pago en un plazo de 24 horas.

Estas empresas ofrecen una alternativa al financiamiento comercial tradicional. Esto ofrece a la empresa cedente la oportunidad de asegurar el financiamiento que necesita para la expansión, compra de materias primas, pagar la nómina o cubrir gastos operativos.

El factoraje convierte las cuentas por cobrar en capital de trabajo sin crear deudas ni agregar pasivos.

Empresas dedicadas al factoraje ➢ Cooperativa Cámara de comercio ➢ Banco de Guayaquil

ECUACIONES DE VALOR En algunas ocasiones es común para el deudor, cambiar el conjunto de sus obligaciones por otras deudas. Para efectuar esta operación, tanto el deudor como el acreedor, deberán estar de acuerdo con la tasa de interés que se ha de utilizar en la transacción y la fecha que se llevara a cabo.

La ecuación de valor es una igualdad que se emplea en operaciones financieras, cuando existen dos o más transacciones diferentes y se desea cambiar una o alguna de las formas de liquidar las obligaciones contraídas, mediante pagos y fechas diferentes a las originales.

Para replantear las diferentes obligaciones en una ecuación de valor en una operación única, es necesario trasladar todas las obligaciones originales a una sola fecha denominada fecha focal, la cual es elegida en forma arbitraria dentro del tiempo que duran las obligaciones. En esta fecha focal todas las operaciones financieras replanteadas deben producir el mismo resultado económico y son equivalentes en valor a las obligaciones originales. Si la ecuación de valor equivalente está bien planteada, esta será básica para determinar cuál de las diferentes alternativas financieras es la más conveniente. Para la cual se recomienda constar un diagrama de valor-tiempo.

PASOS: 1. Trazar una línea horizontal 2. Ubicar la fecha focal en la línea de valor-tiempo. La fecha focal está determinada en relación de los problemas de interés simple, ya que se deja la alternativa a cada persona para determinar la fecha focal a su conveniencia, el resultado puede variar un poco.

3. En la línea de valor-tiempo fijar las fechas de los préstamos (deudas) y los pagos. El cero representa siempre el día de hoy.

- Las operaciones de contratación de deuda se recomienda indicarlas en la parte superior de la línea de valortiempo.

- Las operaciones de pago en la parte inferior de la línea de valor-tiempo 4. Unir con una fecha las operaciones de acuerdo con la fecha focal y también las operaciones de pago.

FECHA ANTERIOR

FECHA FOCAL

UN AÑO

FECHA POSTERIOR

UN AÑO

Ejemplos: ➢ Una persona debe cancelar $7000 en un mes y $5000 en 3 meses. Estas deudas acuerdan ser canceladas mediante 2 pagos iguales en 5 y 7 meses. ¿Cuál será el valor nominal de los nuevos documentos si se reditúan en un 9%? Toma en cuenta la fecha focal en 4 meses.

Deudas 7000 5000 12000

Obligaciones 1 mes 3 meses

X X

Deudas 3m

5 meses 7 meses

6188,62 6188,62 12377,24

12377,24 - 12000,00 377,24

1m 7000

5000

1m 3m

FF

Obligaciones Deudas= Obligaciones 7000 (1 + 0,09 ×

3 1 𝑋 𝑋 ) + 5000 (1 + 0.09 × ) = + 1 3 12 12 1 + 0,09 × 12 1 + 0,09 × 12

7157,50 + 5037,50 = 0,992555831𝑋 + 0,97799511𝑋 12195 = 1,9705509413𝑋 𝑋 = 6188,62 ➢ Una persona debe cancelar %5500 en 2 meses y $4000 en 5 meses, estas deudas acuerdan ser cancelados mediante 2 pagos iguales en 8 y 10 meses ¿Cuál es el calor nominal de los nuevos documentos si se reditúa en 6%? Tomar en cuenta la fecha focal en 9 meses.

Deudas 5500 → 2 meses + 4000 → 5 meses

Obligaciones x→8 meses →

9772,38

4886,19

- 9500,00

x →10 meses→+ 4886,19

272,38

9772,83

9500

Datos: $5500

7m $4000

4m

1m

1m

FF Obligaciones Deudas = Obligaciones 5500 (1 + 0.06 ×

7 4 1 𝑥 ) + 4000 (1 + 0,06 × ) =× (1 + 0,06 × ) + 1 12 12 12 1 + 0,06 × 12 5692,5 + 4080 = 1.005𝑥 + 0,9950248756𝑥

9772,5 = 2,000244876𝑥 𝑥 = 4886,19 •

¿Cuánto deberá invertirse al 5,1% simple anual el 15 de febrero, para disponer de $7.000 el 9 de mayo, de $15.500 el 20 de junio, y de $10.000 el 23 de diciembre?

Feb Mar Abr May

13 31 30 9 83 días

Feb Mar Abr May Jun

13 31 30 31 20 125 días

Feb Mar Abr May

13 31 30 31

𝐶=

7000 83 360

1+0,051×

𝐶 = 6918,648228

𝐶=

15500 125 1 + 0,051 × 360

𝐶 = 15230,2983

Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

30 31 31 30 31 30 23 311 días

𝐶=

10000 311 1 + 0,051 × 360

𝐶 = 9578,008892

𝚺𝑪𝟏 + 𝐂𝟐 + 𝐂𝟑 6918,648228 + 15230,2983 + 15230,2983 Σ = 31726,95

Interés Compuesto Representa la acumulación del interés que se a generado en un periodo determinado, por un capital inicial de una tasa de interés durante periodos de conversión(imposición)de modo que los intereses al final del periodo de cada inversión no se retiran, sino que se invierten al capital inicial.

Es la ganancia que aumenta periódicamente porque intervienen un interés en la transacción comercial por periodo de tiempo y a una tasa de que puede contener convertibilidades.

Formulas 𝑆 = 𝐶 (1 + 𝑅 )𝑛 𝐶=

𝑆 (1 + 𝑟)𝑛

Nota: En algunos casos la tasa de interés suele ser menores a un año, por lo tanto, se deberá encontrar la tasa de interés por frecuencia de conversión y el tiempo de su factor.

Convertibilidad Semanal Quincenal Mensual Bimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral Diariamente Ejemplos

Frecuencia r=7/5200 r=7/2400 r=7/1200 r=7/600 r=7/400 r=7/300 r=7/200 r=7/36000

Factor 52 24 12 6 4 3 2 360

1.Una persona adquiere una deuda por 3500 al 7,61% convertible: Semanal, Quincenal, Mensual, Bimestral, Trimestral, Cuatrimestral, Semestral. Lo anterior a 2 años y medio.

Diaria

Semanal 7,61 130 ) 𝑆 = 3500 (1 + 52000 𝑆 = 4233,35

900

7,61

𝑆 = 3500 (1 + 36000) 𝑆 = 4233,35

Quincenal 7,61 60 (1 ) 𝑆 = 3500 + 24000 𝑆 =Diaria 4232,16 9,52

Mensual 7,61 30 (1 ) 𝑆 = 3500 + 12000 𝑆= 4230,89 Semanal

1200

9,52 173,3

𝑆 = 8500 (1 + 36000) Bimestral 𝑆 = 11673,92 7,61 15 ) 𝑆 = 3500 (1 + 600 𝑆 Quincenal = 4228,37

𝑆 = 8500 (1 + 5200) Trimestral 𝑆 = 11667,33 7,61 10 ) 𝑆 = 3500 (1 + 400 Mensual 𝑆= 4225,87

𝑆 = 8500 (1 + ) 2400 Cuatrimestral 𝑆 = 11667,09

𝑆 = 8500 (1 + ) Semestral1200 𝑆 = 11659,80

9,52 80

9,52 40

7,61 7,5 ) 𝑆 = 3500 (1 + Bimestral600 9,52 20 𝑆 = 4223,40 𝑆 = 8500 (1 + 600 ) 𝑆 = 11645,36

7,61 5 ) 𝑆 = 3500 (1 + Trimestral600 9,52 13,33 𝑆 = 4218,51 𝑆 = 8500 (1 + 400 ) 𝑆 = 11630,18

Cuatrimestral

Semestral

9,52 10

3. Hallar el valor a pagar de un crédito de consumo de $9100 con un renancimiento del 9.31% convertible semestralmente pagándose desde el 01/01/2010 hasta el 30/06/2018.

9,52 6,67

𝑆 = 8500 (1 + 300 ) 𝑆 = 11616,99

9.31 17 ) 𝑠 = 9100 (1 + 200 S= 19722.46

2.Una persona adquiere una deuda por 8500 al 9,52% durante 3 años cuatro meses.

Calcular para todas las convertibilidades.

𝑆 = 8500 (1 + 200 ) 𝑆 = 11591,05

6

𝑛 = (8 + 12) (2) N=17

4. Hallar el valor a pagar de un crédito de consumo de $69300 con un rendimiento del 7.47% convertible cuatrimestralmente pegándose desde el 01/01/2015 hasta el 31/08/2018.

7.47 11 ) 𝑠 = 69300 (1 + 300 S= 90830.07

𝑛 = (3 + N=11

7 ) (3) 12

5. Hallar el valor a pagar de un crédito equivalente a 15 pagos trimestrales, sobre un valor de $15000 con un rendimiento del 11.35% convertible trimestralmente.

11.35 5 ) 𝑠 = 15000 (1 + 400 S= 22822.54

Tasas Financieras

En el sistema financiero nacional existen 2 tasas financieras como la nominal y la efectiva, es importante conocer la tasa efectiva que seda cuando el periodo de capitalización es de un año, mientras la tasa nominal se da cuando el periodo de capitalización es menor a un año, domo son: A) B) C) D) E) F) G)

Semanal Quincenal Mensual Bimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral

Tasa Equivalente Se dice que dos tasas financieras son equivalentes cuando generan un mismo interés en un año, pudiendo calcularlo de la siguiente manera: a) Igualamos los factores de conversión.

(1 + 𝑟)𝑛 ≅ (1 + 𝑟)𝑛 b) Reemplazamos los valores correspondientes. c) Realizamos todas las operaciones necesarias hasta encontrar la tasa buscada.

Ejemplos: 1.- Hallar la tasa nominal mensual aproximadamente igual al 5% convertible semestralmente. 𝑟 12 5 2 ) (1 + ) ≅ (1 + 1200 200 12√(1 +

𝑟 12 5 ) ) ≅ √(1 + 1200 200

1+

𝑟 5 ) ≅ 6√(1 + 1200 200

1+

𝑟 ≅ 1,004123915 1200

𝑟 ≅ 1,004123915 − 1 1200 𝑟 ≅ 4,95 2.- Hallar la tasa nominal semanal aproximadamente igual al 7% convertible cuatrimestralmente.

(1 +

52√(1 +

𝑟 52 7 3 ) ) ≅ (1 + 5200 300 𝑟 52 7 3 ) ) ≅ 52√(1 + 5200 300

𝑟 ≅ (1,001331575 − 1)(5200) 𝑟 ≅ 6,92 3.- Hallar la tasa convertible semestralmente equivalente al 6% anual. 𝑟 2 6 1 ) (1 + ) ≅ (1 + 200 100

𝑟 2 6 1 √ √(1 + ) ) ≅ 52 (1 + 200 100

1∗

𝑟 ≅ 1,029563014 200

𝑟 ≅ (1,029563014 + 1)(200) 𝑟 ≅ 5,91

Valor Presente •

A la tasa r por periodos de conversión de un mono S es la suma C tal que invertido al interés r alcanzaría el monto S después de n periodos de conversión.

Ejercicios: 1.- Hallar el valor actual de $2000p pagados a 6 años suponiendo un rendimiento del 5% convertible semanalmente.

𝐶=

2000 5 (1 + 200)12

𝐶 = 1487,11 2.- Hallar el valor presente con fecha de 05/12/2010 por $5000 pagados al 5 de mayo de 218 sobre un rendimiento del 4,4% convertible trimestralmente. 𝐶=

5000 4,4 (1 + 400)23

𝐶 = 3484,83

ECUACIONES DE VALOR

El estudio de diagramas de tiempo es importante para plantear y resolver problemas financieros por lo que facilitan los desplazamientos simbólicos de capitales de dinero que invierten hasta una fecha común conocida como fecha focal o referencia.

Con todos los valores en esa fecha focal y separando aquellas que corresponden a las deudas, es decir, agrupando por un lado los del debe y por otro lado los del haber, en este caso tenemos una igualdad conocida como ecuación de valor. Estas ecuaciones se resuelven despejando las incógnitas y estas soluciones varían de acuerdo con la localización de la fecha focal en interés simple, mientras que en el interés compuesto la solución es la misma.

Cabe señalar que las cantidades de dinero pueden estar antes o después de la fecha de referencia. Si la cantidad de dinero (A) se encuentra antes de esa fecha se suman los intereses hallando su valor futuro equivalente en la fecha focal, pero si está después entonces se restarán los intereses obteniendo su valor equivalente en dicha fecha, es decir, el valor (B).

S (A)

S (B)

A

B

Fecha Focal

Ejercicio

El dìa de hoy se cumple 5 meses en que un comerciante consiguió un crédito de $30000 firmando un documento a 7 meses plazo. Hace 3 meses le concedieron otro crédito con un valor nominal de $54000, valor que ya incluyen los intereses de los 6 meses plazo. El día de hoy se abona $60000 a sus deudas y se acuerda con su acreedor liquidar la diferencia a 4 meses a partir de hoy. ¿Por qué cantidad será este nuevo pago si se tiene cargos aproximados del11,76-5 convertible mensualmente?

Deudas:

Obligaciones

30000 → 7 meses

60000 → día de hoy

54000 → 6 meses

x → 4 meses → 25732.94

84000 Deudas

3m

54000

5m

30000

4m Obligaciones

60000 +

x 11.76 4 (1+ ) 1200

x

Fecha Focal

11.76 5

= 30000 ∗ (1 + 1200 ) +

54000 11.76 3 ) 1200

(1+

60000 + 0.961741894𝑥 = 31499.09574 + 52443.01609

60000 + 0.961741894𝑥 = 83942.11183

0.961741894𝑥 = 83942.11183 − 60000

0.961741894𝑥 = 23942.11

𝑥 = 24894.53

El día de hoy se cumplen 4 meses de la concesión de un crédito de 25000 que realiza una persona en un banco a 9 meses plazos (este valor no es nominal), hace 5 meses solicita un nuevo crédito firmando un documento de 50000 (valor que

incluye los intereses) a 10 meses plazo. Y la diferencia acuerda con el acreedor liquidar a 6 meses plazo a partir de ahora. ¿Cuál es el valor a pagar si los intereses reditúan en el 9.35% nominal mensual?

Deudas

Obligaciones

25000 → 9 meses

60000 → día de hoy

50000 → 10 meses

x → 6 meses

750000

DEUDAS

(2000) 4m

60.000 5m

50000 60000.00 + 14547.03 74547.04 - 75000.00 452.97

OBLIGACIONES

F.F

6m x

60000 +

𝑋 9,35 4 50000 = 25000(1 + ) + 9,35 9,35 1200 (1 + 1200)6 (1 + 1200)5

60000 + 0,9544988789𝑋 = 25788,32057 + 48096,8008

0,9544988789𝑋 = 73885,12137 − 60000

𝑋 = 14547,03

Con intereses del 16.56% nominal diario, es decir, una tasa del 16,56% anual capitalizable por días, el 21 de abril se otorga un crédito en mercadería por 63000 para pagarse el primero de octubre. El 30 de junio se concede otro crédito por 46000, que vence el 15 de diciembre, y otro el 25 de Julio por 76000, incluidos intereses, con vencimiento al 3 de septiembre . Recuerda liquido los compromisos con dos pagos el 10 de agosto y el 10 de noviembre de tal manera que el segundo duplica al primero. Determine porque cantidad es una de los pagos.

15 dic.

63000 46000 76000

X

F.F

Abr. 9 May. 31 Jun. Jul.

30 31

Ago. 31 Sep. 30 Oct. 31 Nov. 30

Jun.

0

Jul.

31

Ago.

31

Sep.

30

Oct.

31

Nov.

30

Dic.

15 168 Días

Dic. 15

Jul.

6

Ago. 31

Jul.

Sep. 30

Ago. 31

Oct. 31

Sep. 3

Nov. 30

40

Dic. 15 143 Días

238 Días

Sep.

27

Oct.

31

Ago. 21

Nov.

30

Sep. 30

Dic.

15

Oct. 31

103 Días

Nov. 30 Dic. 15 127 Días

Nov. 20 Dic. 15 35

Días

6

Días

63000(1 +

16,56 238 16,56 168 16,56 103 ) + 46000(1 + ) + 76000(1 + ) 36000 36000 36000 16,56 127 16,56 35 = 𝑥(1 + ) + 𝑥(1 + ) 36000 36000

70287,18934 + 49694,96537 + 79686,68009 = 1,060145929𝑋 + 1,016226541(2𝑋)

70287,18934 + 49694,96537 + 79686,68009 = 3,092599011𝑋

199668,8348 = 3,092599011𝑋

𝑋1 = 64563,44133

𝑋2 = 129126,8827 Determine los intereses

Total pagado = 129126,8827 + 64563,44133 -Total recibido = 63000 + 46000 + 74614,70241 𝐶=

76000 16,56 (1 + 3600 )40

𝐶 = 74614,70241 193690,324 183614,7034 10075,62163

I=10075,621

Depreciaciones

Con excepción de los terrenos y algunos otros bienes, el valor de casi todos los activos se reduce con el tiempo desde el momento cuando son adquiridos o se ponen en servicio. Esta pérdida del valor se conoce como depreciación y es causada principalmente por el uso, la insuficiencia o la obsolencia del propio bien.

Desde el punto de vista fiscal o impositivo, los cargos por depreciación son determinados por el gobierno, pero no obsta para que las empresas destinen partidas de dinero, de forma periódica, para no descapitalizarse en el momento de reponer sus activos, es decir, cuando dejan de ser útiles, o su mantenimiento y sus reparaciones resultan muy costosas al final de su vida útil. De aquí que es conveniente, y de gran utilidad, disponer de los diferentes métodos para depreciar activos y estimar su valor real en cualquier momento.

Definición: La pérdida de valor de un activo fijo y tangible a consecuencia de su insuficiencia, uso o obsolencia.

Constituye un gasto periódico generalmente anual, por lo que constituye una renta y se denota con R. Vida útil: es el tiempo que hay entre su compra y su retiro.

La vida útil se expresa con n y se mide en años, unidades de servicio o número de piezas producidas Valor de rescate: es el que tendrá al final de su vida útil

También se conoce como valor de desecho o valor de su salvamento se expresa como Cn. Puede ser positivo cuando se vende para otros usos, por lo que representa alguna recuperación económica para el propietario; puede ser negativo si requiere un gasto adicional para su remoción; por ejemplo, la inversión que se hace al demoler un edificio luego de haber culminado su vida de servicio. También llega a ser nulo, si se convierte en un total y absoluto desperdicio.

Para los cálculos de la depreciación de algunos bienes específicos los automóviles usados, por ejemplo-el valor de compraventa puede ser considerada como su valor de rescate para quien lo vende.

Otros conceptos y valores que participan con la depreciación de activos con su respectiva nomenclatura, son los siguientes: Precio original: valor de arranque por la depreciación, expresada por C. Depreciación acumulada: se obtiene sumando la de un año cualquiera, con la de los anteriores.

Valor contable o valor en libros: el que tiene el activo al final del año k-ésimo, luego de haberse hecho el cargo por depreciación 𝐶𝐶𝑘𝑘 𝑛𝑛 donde 𝑘𝑘 = 1,2,… , 𝑛𝑛 Es evidente que al comenzar la vida útil del activo el valor en libros es igual a su precio y este cambia de acuerdo con la depreciación anual, hasta que en el ultimo año de su vida útil coincide con el valor de rescate. El valor de rescate se denote con Cn.

En algunos casos de depreciación, se utilizan 2 tasas, la tasa de inflación se denota i y los de depreciación d.

El capital total en que se deprecia un activo se llama base de depreciación y es igual a la diferencia entre el precio original y el valor de rescate, es decir, C-Cn. La depreciación se evalúa anualmente y si es necesario estimarla, en alguna fecha intermedia, dentro del periodo anual, bastara con encontrar la parte proporcional correspondiente, planteando una regla de 3. Por ejemplo, si se asume una depreciación lineal, la depreciación hasta el séptimo mes del año, se obtiene multiplicando el cargo por depreciación anual por la fracción 7/12.

MÉTODOS Los métodos más usuales para calcular la depreciación son los siguientes, que se clasifican en tres grupos: Con promedios: De la línea recta o lineal De horas de servicio o unidades producidas Con cargo decreciente: De suma de dígitos De tasa fija Con interés compuesta De fondo de amortización De anualidad ordinaria Dependiendo del método y de si se considera la inflación, los cargos anuales pueden ser todos iguales o diferentes entre sí, pero en todo caso llega hacerse un cuadro de depreciación para ilustrar el comportamiento de duchos cargos en cada año y el valor contable, misma que puede ser útil para el pago de impuesto.

Método de línea recta El cargo anual es el mismo para todos los años de la vida útil del activo, es decir, ofrece el mismo servicio durante cada uno de los periodos de operación.

El cargo por año se obtiene dividiendo la base de depreciación entre el total de años de servicio. 𝑅= • • •

𝐶−𝐶𝑛 𝑛

donde:

C =precio original del activo Cn= valor de rescate n= vida útil del activo en años

➢ Valor contable de un año específico a cualquier año 𝐶𝑘 = 𝐶 − 𝑘(𝑑)donde: • •

C= precio original del activo k= año que se quiere calcular el valor contable

•

d= valor de la depreciación EJERCICIOS: Una constructora compro una maquinaria para hacer ladrillos por 121000. Se estima que este tendrá 5 años de vida útil, y con valor de rescate de 13200. Empleando el método lineal, obtenga la depreciación anual y elabora la tabla.

C Cn N d

Años 0 1 2 3 4 5

121000 13200 5 21560

𝑑=

121000 − 13200 5

𝑑 = 21560

D.anual

D.acumulada

21560 21560 21560 21560 21560

21560 43120 64680 86240 107800

V.contable 121000 99440 778800 56320 34760 13200 121000

𝐶𝑘 = 𝐶 − 𝑘(𝑑) 𝐶4 = 121000 − 4(21560) 𝐶4 = 34760

CON GASTO: •

Una constructora compró una maquinaria para hacer ladrillos por $121000. Se estima que éste tendrá 5 años de vida útil, y por su mantenimiento de la maquinaria se obtiene un valor residual de $13200.

Empleando el método lineal, obtenga la depreciación anual y elabore la tabla.

C Cn n d

121000 13200 5 26840

𝑅=

𝐶 + 𝐶𝑛 𝑛

𝑅=

121000 + 13200 5

𝑅 = 26840

Años 0 1 2 3 4 5

D. Anual

D. Acumulada

26840 26840 26840 26840 26840

26840 53680 80520 107360 134200

V. Contable 121000 94160 67320 40480 13640 13200 121000

•

¿De cuánto es la depreciación anual de una máquina que costó $150000, si será utilizada durante 6 años y al final se gastarían $18600 por su remoción y cambio por una más moderna? A continuación, detalle la tabla.

C Cn n d

150000 18600 6 28100

𝑅=

𝐶 + 𝐶𝑛 𝑛

𝑅= Años 0 1 2 3 4 5 6

D. Anual

D. Acumulada

28100 28100 28100 28100 28100 28100

28100 56200 84300 112400 140500 168600

V. Contable 150000 121900 93800 65700 37600 9500 -18600 150000

150000 + 18600 6

𝑅 = 28100

Glosario UNIDAD 1 Acreedor: El que tiene derecho al cumplimiento de alguna obligación de índole económico. Es la contraparte del deudor.

Adeudor: Deuda.

Aforo: Valor que es considerado por las empresas de factoraje al pagar los documentos por cobrar. Oscila entre el 70 y 95% del valor nominal del documento.

Capital: Cantidad de dinero que se invierte, se presta, etc., al inicio del plazo.

Capital vivo de la deuda: Saldo insoluto.

Cartera vencida: Deuda o documentos que no se han liquidado y ya se vencieron.

Cedente: Persona física o moral que vende sus documentos por cobrar a una empresa de factoraje.

Descuento real: Cuando el descuento se hace en base al capital.

Descuento simple o comercial: Rebaja que se hace a una cantidad, el valor nominal de un documento y depende de ella misma, está dado por 𝐷 = 𝑀𝑛𝑑.

Deuda: Obligación que se contrae o se tiene que pagar.

Deudor: El que debe o está obligado a liquidar una deuda. Es la contraparte del acreedor.

Diagrama de tiempo o temporal: Gráfico que ilustra el traslado simbólico de cantidades de dinero en el tiempo.

Ecuación de valor: Ecuación de valores equivalentes.

Ecuación de valores equivalentes: Igualdad que resulta de trasladar simbólicamente todas las cantidades de dinero hasta una misma fecha en alguna situación particular.

Empréstito: préstamo Factor: organismo que adquiere documentos por cobrar, es la contraparte del cedente Fecha de referencia: fecha focal Fecha focal: día al que se llevan de manera simbólica todas las cantidades de dinero en alguna transacción especifica.

Fecha inicial: día en el que comienza el plazo de una operación financiera.

Fecha terminal: día en que concluye el plazo de una operación financiera o comercial.

Fidecomiso: depósito de un capital en una institución, para que esta la entregue después a un tercero, o lo invierta en un proyecto específico.

Fórmulas de descuento comercial: P=M(1-nd) Formula de interés simple: M=C(1+ni) Intereses: pago por el uso del dinero que no es propio.

Interés simple exacto: cuando los intereses se evalúan considerando el año de 365 días Interés simple ordinario: si los intereses se evalúan considerando 360 días.

Interés simple: cuando solo el capital genera intereses.

Montante: monto del capital.

Monto del capital: cantidad de dinero al final del plazo, incluyendo intereses y capital.

Pagare: documento de crédito en el que se expresa una promesa escrita de pago por una cantidad tiempo y persona especifica.

Pago: Entrega de dinero o bienes por especie que se debe.

Plazo o tiempo: Numeró de días, años. meses. etcétera entre la fecha inicial y terminal en cualquier operación financiera o comercial.

Prestamista: El que otorga dinero en préstamo constituyéndose por ello en acreedor. Es la contraparte del prestatario.

Préstamo: Operación financiera por la que una persona física o moral proporciona dinero a otra para regresarlo posteriormente.

Prestatario: El que recibe dinero en préstamo y por ello se convierte en deudor. Es la contraparte del prestamista.

Principal: Capital. Remanente: saldo insoluto.

Renta: Pagos, depósitos o retiros que se hacen a intervalos de tiempo generalmente iguales.

Retiro: Separación de una cantidad de dinero que es el total o una porción de un capital.

Saldo insoluto: Diferencia entre la deuda inicial y lo que ha abonado a la misma.

Saldo pendiente de amortizar: Saldo insoluto.

Tarjeta de crédito: Instrumento creado por los bancos para otorgar al poseedor dinero en efectivo. En bienes o en servicios. Puede convenirse en herramienta de ahorro e inversión cuando se tiene saldo a favor del usuario.

Tarjeta de débito e inversión: Instrumento que utilizan las empresas con soporte de los bancos para pagar salario y otras prestaciones a sus empleados.

Tasa de descuento: Razón del descuento al valor nominal por unidad de tiempo.

Tasa de interés: Razón del interés al capital por unidad de tiempo.

Tasa de interés global: Razón del total de intereses al capital total.

Tiempo aproximado: si el plazo se mide considerando 30 días para todos los meses.

Tiempo real: cuando el plazo se considera con el interés de días naturales entre las fechas inicial y terminal.

Tipo de interés: la tasa de interés expresada en porcentaje.

Valor actual: capital.

Valor acumulado de un capital: monto del capital.

Valor aforado: aforo.

Valor al vencimiento: valor futuro de un capital, valor nominal.

Valor comercial: cantidad que se paga por un documento no vencido e incluye un descuento.

Valor descontado: valor comercial.

Valor nominal, denominación: cantidad que se estipula o aparece en cualquier documento de índole financiero o comercial, generalmente se incluye los intereses.

Valor presente: capital.

Afore: administradora de fondos para el retiro, empresas privadas que se encargan de administrar las cuentas individuales de ahorro para el retiro.

Deuda externa de un país: lo que deben el sector público y el sector privado de un país al resto del mundo.

Diferencia común: la existencia entre dos términos sucesivos en las progresiones aritméticas.

Fondo de ahorro para retirar: serie de aportaciones o rentas obrero-patronales de una empresa, recuperables en su retiro laboral.

Número real: el que no es imaginario.

Plazo: el tiempo que hay entre las fechas inicial y terminal de cualquier operación financiera o comercial.

Porcentaje o tanto por ciento: una cantidad en relación a 100 unidades de ella misma. El x% de A es (x/100) a.

Porcentajes en cadena: dos o más porcentajes sucesivos de una misma cantidad.

Principio de sustitución: cualquier parte de una expresión se sustituye por otra igual sin alterarla.

Propiedad aditiva: puede sumarse o restarse cualquier número a los dos miembros de una ecuación sin alterar su solución.

Propiedad multiplicativa: la solución de una ecuación no se altera si se multiplican los 2 miembros por cualquier número diferente de cero.

Proporcionalidad: cuando una cantidad varía directamente como varía otra.

Inflación monetaria: desequilibrio económico que se caracteriza por el incremento general de precios; causado por el aumento de papel moneda.

Pérdida del poder adquisitivo: reducción de la capacidad para comprar o adquirir bienes y servicios.

Producto Interno Bruto (PIB): mide la producción realizada en un país, sin importar quién sea su propietario.

Progresión aritmética: cuando la diferencia entre 2 términos sucesivos de la progresión es constante.

Progresión geométrica: si todo término, desde el segundo, es igual al que le precede multiplicado por una constante.

Razón o razón común: es la constante por la que se multiplica un término para obtener el siguiente en las progresiones geométricas.

Serie: la suma de los términos de una sucesión.

Redondeo de números: eliminación de algunas de sus últimas cifras decimales, ajustando las restantes.

Solución de una ecuación: es el conjunto solución.

Unidad 2 Capitalizable: dícese de los intereses o el dinero que se integran al capital.

Devaluación: medida o acción que se toma para intentar reconocer la desvalorización que ha tenido el mercado libre de divisas, la moneda de un país.

Devengar: adquirir derechos, alguna retribución o percepción a causa de trabajo, servicios y otros.

Flujo de coja: registro del movimiento de capitales en alguna situación particular. Puede ilustrarse con diagramas de tiempo.

Fórmula del Interés compuesto: 𝑀 = 𝐶(𝐼 + 𝐼𝐿𝑃)𝑛𝑝 Frecuencia de capitalización de intereses: frecuencia de conversión.

Frecuencia de conversión: número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, es decir, se integran al capital. Es independiente del plazo. Índice de precios: indicador del conjunto de precios, en oposición al concepto de precios relativos que presentan las relaciones entre los mismos.

Inversión: acción y efecto de invertir.

Base de depreciación: cantidad en la que se deprecia un activo a lo largo de su vida útil, es la diferencia entre su valor original y su valor de rescate.

Costo original: el que tiene un activo al comenzar su vida Útil.

Cuadro de depreciación: instrumento que refleja la depreciación anual, la acumulada y el valor contable de un activo en los años de su vida útil.

Depreciación: pérdida del valor de un activo fijo y tangible a consecuencia de su uso, ineficiencia y obsolescencia

Depreciación acumulada: la suma de la depreciación anual desde el primer año de la vida útil de un activo.

Método de la línea recta: evaluación de la depreciación de manera constante de un activo. Se obtiene dividiendo la base de depreciación entre el número de años de su vida útil.

Método de la suma de dígitos: la depredación anual de un activo es decreciente y se obtiene multiplicando la base de depreciación por una fracción cuyo denominador es igual a la suma de los dígitos de los años de la vida útil y el numerador es igual al año que corresponde en orden inverso.

Invertir: empleo productivo de bienes económicos, resultando de mayor magnitud que la que se ha empleado.

Pérdida del poder adquisitivo: reducción en la capacidad de conseguir bienes y servicios con la utilidad monetaria considerada.

Periodo de capitalización de intereses: tiempo comprendido entre 2 fechas sucesivas de capitalización de intereses.

Rédito: beneficio convencional o legal producido por el dinero, sinónimo de interés.

Redituable: que produce réditos, que rinde utilidades o beneficios, periódica o renovablemente.

Reestructuración de un crédito: sustitución de un conjunto de dudas por otro equivalente.

Rentable: dícese de la inversión que produce altos rendimientos.

Tasa efectiva: tasa de interés capitalizable por años equivalente a la tasa nominal que se capitaliza en p periodos por años.

Tasa nominal: tasa de interés que se capitaliza en p periodos por año.

Tasas equivalentes: si con diferentes periodos de capitalización producen los mismos intereses en plazos iguales.

Método de la tasa fija: la depreciación anual del activo es decreciente y se evalúa de acuerdo a una tasa constante de depreciación.

Método de unidades de servido a de producción: la depredación anual es variable y se evalúa de acuerdo con las unidades producidas o las horas de servicio del activo por años.

Método del fondo de amortización: la depreciación anual es constante y se supone se deposita con un fondo generando intereses para la reposición del activo al terminar su vida útil.

Tasa de depreciación: razón de la base de depreciación al costo original de un activo.

Valor de desecho de un activo: es su valor de rescate.

Valor de rescate de un activo: el que tiene o tendrá al terminar su vida útil.

SEGUNDO PARCIAL METODO DE UNIDADES DE PRODUCCION Este método es una variante de la anterior, por eso se puede utilizar la fórmula del teorema 8.1 pero con n representando el número de unidades que se producen o las unidades que da servicio del activo que se deprecia.

𝑹=

𝒄−𝒄𝒏 𝒏

Unidades de producción total

Puede ser que con este método la depreciación sea diferente para cada uno de los años de su vida útil.

Generalmente la capacidad de producción o de horas de servicio es determinada por el fabricante del activo que se deprecia o con los datos históricos que se tengan de bienes semejantes.

EJERCICIOS:

1. Obtenga la depreciación anual de la máquina de ladrillos del ejemplo uno de la sección 8.2 que costo $12100; al final de sus 5 años de vida útil tiene un valor de rescate de $13200 y se considera que se producen 10 millones de piezas distribuidas de la siguiente forma: 𝒅= =

C Cn n d

Años Producción 0 1 2 3 4 5

1800000 2150000 2500000 1950000 1600000 10000000

121000 13200 10 10780

𝒄−𝒄𝒏 𝒏

𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟑𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎

= 𝟏𝟎𝟕𝟖𝟎

Depreciación Anual

Depreciación Acumulada

19404 23177 26950 21021 17248

19404 42581 69531 90552 107800

Valor Contable 121000 101596 7841 51469 30448 13200 121000

SEGUNDA FORMA C Cn n d

121000 13200 10000000 0,010780

𝒅= =

𝒄−𝒄𝒏 𝒏

𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟑𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

= 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟕𝟖𝟎

Años Producción 0 1 2 3 4 5

1,8 2,15 2,5 1,95 1,6 10

Depreciación Anual

Depreciación Acumuladas

19404 23177 26950 21021 17248

19404 42581 69531 90552 107800

Valor Contable 121000 101596 7841 51469 30448 13200 121000

2. Una compañía editorial adquirió en 1.9 millones de pesos una rotativa para producir 20 millones de ejemplares periodísticos durante 7 años distribuidos de la forma siguiente, en miles: Se estima que luego de pagar por el desmantelamiento de la maquinaria, al final de los 7 años, se rescatan $400000.

Calcule toda la tabla 𝒄−𝒄𝒏 𝒅= 𝒏 C 1900000 𝟏𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 Cn 400000 = 𝟐𝟎 n 20 = 𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎 d 75000 Años

Producción

Depreciación Anual

Depreciación Acumulada

2,350 2,500 3,600 3,500 3,450 2,500 2,100 20

176250 187500 270000 262500 258750 187500 157500

156250 363750 633750 896250 1165000 1342500 1500000

0 1 2 3 4 5 6 7

Valor Contable 1900000 1723750 1536250 1266250 1003750 745000 557500 400000 1900000

MÉTODO DE LA SUMA DE DIGITOS En este método, la depreciación anual es variable, ya que el máximo cargo por depreciación se tiene en el primer año y en el ultimo el mínimo.

Para evaluar, la base de depreciación (C-Cn) se multiplica por la fracción a/b, donde b, es la suma de los dígitos que corresponden a la vida útil del activo y el numerador, a, representa el año, en orden inverso en el que se está calculando la depreciación Si, por ejemplo, la vida útil de un activo es de 7 años, entonces el denominador de la fracción es: b= 1+2+3+4+5+6+7 o bien b= 28 Esta suma, sobre todo cuando la vida útil es relativamente grande puede calcularse con la ecuación del teorema 2.2 para sucesiones aritméticas. Así, la suma es: Sn: (n/2) (a1+ an) En este caso es: S7= (n/2) (1+7) = 28 Para el numerador a de la fracción, los dígitos se disponen en orden decreciente, es decir: 7,6,5,4,3,2,1 El digito para la primera fracción es 7, para la segunda es 6 y así sucesivamente hasta la última, cuyo numerador es 1.

EJEMPLO 1: Depreciación de la suma de dígitos

La compañía constructora Villapart, S.R. compro una camioneta en $220000. Calcule la depreciación anual utilizando el método de la suma de dígitos, suponiendo que tiene 6 años de vida útil y un valor de rescate de $73000 Elabore el cuadro de depreciación correspondiente.

Solución La base de depreciación es la diferencia entre el precio original y el valor de rescate.

C-Cn=220000-73000 C-Cn=147000 La suma de los 6 dígitos es: 1+2+3+4+5+6=21 El numerador de la primera fracción es 6 y el cargo por depreciación en el primer año es por lo tanto: R1=147000(6/21)

o bien

R1= $42000

Para el segundo año la fracción es a/b=5/21 y la depreciación es: R2=147000(5/21)

o bien

R2=$35000

Puesto que la base de depreciación, 147000 y la suma de los dígitos 21, sin constantes, cada una puede obtenerse como se ve a continuación.

R1= (147000/21)6

o bien

R1= 7000(6) = 42000 R2= 7000(5) = 35000 Además R3= 7000(4) = 28000 R4= 7000(3) = 21000 R5= 7000(2) = 14000 R6= 7000(1) = 7000

La tabla de depreciación con las cantidades en miles de pesos es: Fin de año 0 1 2 3 4 5 6

Depreciación Anual

Depreciación acumulada

42 35 28 21 14 7

42 77 105 126 140 147

Valor Contable 220 178 143 115 94 80 73

Método de la tasa fija También en este método la depreciación anual, decrece con el tiempo, ya que se evalúa mediante un porcentaje fijo sobre el valor en libros del año que precede y este disminuye en cada periodo.

Para llegar a la fórmula genérica obsérvese lo siguiente: Al precio original del activo se le ha llamado C y éste será el valor contable con un supuesto año 0. Si d en la tasa anual de depreciación, entonces en el primer año el activo se depreciará de pesos y el valor contable al finalizar el primer año será: 𝑑 = 1 − 𝑛√𝐶𝑛 ∕ 𝐶 Teorema 8.4 El valor contable Ck de un activo que se depreciará con el método tasa fija, al final de K-ésimo año es: 𝑐𝑘 = 𝑐(1 − 𝑑 )𝑘 Donde C es el precio original d es la tasa de depreciación anual y está dada por 𝑑 = 1 − 𝑛√𝐶𝑛 ∕ 𝐶

Además, R1=Cd es la depreciación del primer año y en cualquier periodo la suma de la depreciación acumulada y el valor contable es igual al valor original del activo.

Note que: Si el valor de rescate es nulo, Cn=0 entonces la tasa de depreciación anual sería: 𝑛

𝑑 = 1 − √0

o bien

𝑑=1

Esto indica que el activo se depreciará un 100%, es decir totalmente, en su primer año de vida útil, la cual no es razonable; para eludir esta situación simplemente se considera que Cn=1 en la fórmula anterior, tal como se aprecia en el segundo ejemplo además el valor de rescate debe ser positivo, porque de otra manera la raíz será imaginaria cuando n sea un número par o si es impar la tasa resultará mayor que el 100% lo que tampoco tiene sentido.

Ejemplo 1: Depreciación anual acumulada y cuadro de depreciación.

Con el método de la tasa fija obtenga la depreciación anual de un activo que costó 150,000 tiene 25,000 como valor de rescate y ocho años de vida útil. Calcule la depreciación acumulada hasta el final del sexto año y haga el cuadro de depreciación.

Solución 1. En primer lugar se obtiene la tasa de depreciación de con la segunda ecuación del teorema 8.4 y los valores siguientes: C=150000 el valor original del audio

Cn= 25000 el valor de rescate n=8 años la vida útil del activo, entonces 𝑑 = 1 − 8√25000 ∕ 150000 𝑑 = 1 − 0.799339167 𝑑 = 0.200660833

𝑜 20.066% 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

La depreciación en el primer año es, por lo tanto R1= $(0,200660833) o bien R1= $30099,12492 Que se resta del costo original para obtener el valor en libros al del primer año, es decir: C1= 15000- 30099.12 o bien C1=$11990088 La depreciación del segundo año es: R2= 11990088 (0,200660833) R2= $24059.41 redondeado Se continúa de manera semejante para obtener la depreciación anual y el valor en libros de los años restantes. Estos se resumen en el cuadro que se presenta en el inicio C de este problema.

•

Para la depreciación acumulada se encuentra primero el valor contable al final del sexto periodo anual en la primera ecuación del teorema 8,4

C6= 150000( 1 − 0.200660833)6 C6= 150000(0,26084743) C6= $39127,11 Por lo tanto, la depreciación acumulada hasta el sexto año es: 150000-39127,11= $ 110872,89 •

El cuadro de depreciación es el siguiente que se inicia anotando el costo original en la última columna y la depreciación anual R1 la del primer año en la segunda y la tercera.

Sirve para comprobar los resultados anteriores Fin del Año

Depreciación Anual

Depreciación Acumulada

0

Valor Contable 150000,00

1

30099,12

30099,12

119900,88

2

24059,41

54158,53

95841,47

3

19231,63

73390,16

76609,84

4

15372,59

88762,75

61237,25

5

12287,92

101050,67

48949,33

6

9822,21

110872,88

39127,12

7

7851,28

118724,16

31275,84

8

6275,84

125000

25000

Anualidades Aunque literalmente la palabra anualidad indica periodos anuales, no necesariamente los pagos se realizan cada año, sino que su frecuencia puede ser cualquier otra; mensual, semana, semestral, o diaria como se verá en este capítulo.

Definición 5.1 Anualidad es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto.

Quizá los pagos son iguales entre sí, por la misma cantidad, o diferentes. Ahora se estudiará el primer caso y en capítulos subsecuentes el segundo, es decir, las anualidades de renta variable.

Definición 5.2 Renta de la anualidad s el pago periódico y se expresa con R. Definición 5.3 Intervalo de pago es el tiempo que hay entre 2 pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último.

Definición 5.4 El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo, se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de la anualidad que s expresa con M. Ejemplo 1 Elementos de una anualidad Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6500.00 por mes entonces: El plazo es de un año, la renta es R= $6500 y el intervalo de pago es un mes.

Además, que, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá

un capital menor a los $7800 que obtendrá durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad.

Si, al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los $7800 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad.

Clasificación de las anualidades Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero no es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o algunos periodos después.

Dependiendo de estos y otras variables, las anualidades se clasifican de la siguiente manera: Según las fechas inicial y terminal del plazo Anualidad cierta: Cuando se estipulan, es decir, se conocen las fechas extremas del plazo. En un crédito automotriz, por ejemplo, se establecen donde la compra el pago del enganche y el número de mensualidades en los que se liquidara el precio del automóvil.

Anualidad eventual o contingente: Cuando se conoce al menos una de las fechas extremas del plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del IESS recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambia de magnitud al fallecer el empleado. Por esta razón también la conocen como anualidad vitalicia.

Según los pagos Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada período. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura.

Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada período. Un ejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace al terminar el primer período.

De acuerdo con la primera renta Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el enganche se paga en abonos comenzando el día de la compra.

Anualidad diferida: Cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, si no después. El ejemplo típico de este caso se relaciona con las ventas a crédito del tipo “compre ahora y pague después”, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono 2 o más periodos después de la compra.

Según los intervalos de pago Anualidad simple: Cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intereses y coinciden las frecuencias de pagos y de conversión de intereses. Por ejemplo, los depósitos mensuales a una cuenta bancaria que reditúa el 11% de interés anual compuesto por meses.

Anualidad general: cuando los periódicos de capitalización de intereses son diferentes a los intervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplo de esta clase de anualidades.

Otro tipo de anualidad es la perpetuidad o anualidad perpetua, la cual se caracteriza porque los pagos se realizan por tiempo ilimitado. La beca mensual, determinada por los intereses que genera un capital donado por personas, o instituciones filantrópicas, es un claro ejemplo de estas anualidades.

Todas las anualidades de este capítulo son ciertas, los primeros son simples e inmediatos: también se analizan las generales, tomando en cuenta que pueden convertirse en simples utilizando las tasas equivalentes que se estudiaran en el capítulo anterior También es cierto que los problemas de anualidades se reducen: a) Con tablas financieras con las que se obtiene el valor presente o el valor acumulado para no ventas unitarias. En la página web este libro está en tablas para algunas tasas i/p y algunos plazos o número de ventas np. b) Utilizando solamente dos fórmulas la del interés compuesto y la de la suma de los primeros términos de una progresión geométrica, tal como se deducen las fórmulas de las anualidades. c) Empleando fórmulas que para cada clase de anualidad existen y aquí de deducen ya que la gran mayoría d ellos ejercicios en este libro se deducen de esta manera. d) Con programas y paquetería de software que haya en el mercado que son de fácil acceso para el usuario y que fueron elaborados con fundamentos en los conceptos y la teoría de las matemáticas financieras.

Para decir como acierto como plantear o a qué clase de anualidad corresponde o se ajusta una situación particular, se sugiere considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema.

En vez de la recta horizontal que hasta ahora hemos utilizado para los diagramas de este tiempo utilizaremos rectángulos que representan los periodos y en cada uno de sus extremos derecho o izquierdo se grafican fechas verticales indicando la recta o pago de la anualidad utilizando claro puntos suspensivos para representarnos a todos sin tener que graficarlos.

Si una persona deposita digamos $ 300 cada mes durante 7 meses entonces una gráfica será la figura 5.1 donde los depósitos están al final de cada periodo y en el monto acumulado está a final del ultimo rectángulo.

Figura 5.1 R R

1

R 2

R 3

….

7

Monto En esta gráfica se aprecian 2 puntos importantes: El plazo real no es de 7 meses sino solamente de 6, ya que el primer mes no interviene, salvo que el trato se haya realizado al inicio; en la práctica, lo más común es que el primer depósito se realice al comenzar el plazo.

En el momento en que se retira el monto acumulado de los anteriores, se realiza el último depósito.

Esto no tiene razón de ser ya que este pago no se incluiría.

En consecuencia, cuando de la sucesión de rentas se requiera el monto, éstos deberán considerarse al inicio de cada periodo, siendo el diagrama apropiado el de la figura 5.2, donde las flechas horizontales indican que cada renta se traslada en el tiempo hasta el final del plazo, sumando los intereses de cada una y sumándolas todas.

Contrariamente, si de las rentas se requiere el valor presente al comenzar el plazo, entonces éstas deberán ubicarse al final de cada periodo, como se aprecia en la figura 5.3 y de cada una se restan los intereses, llevándolos hasta el inicio del plazo y sumando todos los capitales que resultan.

Figura 5.3 R1

1

2

R2

3

R3

N-ecimo

Rn

Capital C Esto significa que al no especificarse lo contrario las anualidades anticipadas se asociarán con el valor futuro al término del plazo, mientras que las ordinarias serán asociadas con su valor presente al comenzar el plazo; es decir, Anualidad anticipada Anualidad ordinaria

Valor futuro o monto

Valor presente o capital

Por supuesto que lo anterior no es una regla y, como se estudiará después, en muchas ocasiones el monto se relaciona con rentas vencidas; y el valor presente, con una serie de rentas anticipadas.Por otro lado, como se aprecia en las figuras 5.4 y 5.5, cada renta hará las veces de capital al considerar el monto de la anualidad, y será un monto cuando se trate del valor presente.

Figura 5.3 Renta 1

2

….

….

N - ecimo

De cada renta se evalúa el monto Monto Figura 5.3 Renta 1 ….

…. 2

…..

N…..

- ecimo

De cada renta se evalúa el capital Capital Anualidades ordinarias o vencidas Estas anualidades se caracterizan porque los pagos se los realizan al final de cada periodo. Lo más común es asociar las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo, es decir con su valor presente. Por otro lado, si a las rentas lo asociamos con su valor futuro al finalizar el plazo estaríamos determinando su monto.

Las aplicaciones mas comunes de estas anualidades se refieren a la amortización de deudas como créditos hipotecarios, automotrices o cualquier otro que se liquida con pagos periódicos y cargos de interés compuesto.

Fórmulas:

𝑀=𝑅⋅

(1+𝑟)𝑛−1 𝑟

→ Monto de la anualidad ordinaria

𝐶=𝑅⋅

1−(1+𝑟)−𝑛

→ Valor presente de la anualidad ordinaria

𝑟

Ejemplos: 1. Hallar el valor presente y el monto de la anualidad ordinaria sobre $620 en 11 años al 7.5% convertible mensualmente. 𝐶 = 620 ⋅

1−(1+7.5/1200)−132 7.5/1200

𝐶 = 55615.33

𝑀 = 620 ⋅

(1+7.5/1200)132 −1 7.5/1200

𝑀 = 126582.15

𝑛 = 𝑇∗𝐹 𝑛 = 11 𝑎ñ𝑜𝑠 ∗ 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 (𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) 𝑛 = 132

2. Hallar el valor presente y el monto de una anualidad ordinaria sobre $1100 al 8% convertible cuatrimestralmente durante 9 años. 𝐶 = 1100 ×

8 −27 ) 300 8 300

1−(1+

𝐶 = 20981,18

𝑀 = 1100 ×

8 27 ) −1 300 8 300

(1+

𝑀 = 42699,75

Cuando no nos da el intervalo de pago (al inicio o final) lo consideramos como vencida 3. Los beneficios de un seguro de vida recibirán $6100 mensuales durante 10 años, aunque de preferencia es que se acredite su equivalencia total al inicio del plazo. ¿Cuál será el valor si el dinero reditúa un promedio del 15,35% compuesto por un mes. 𝐶 = 6100 ×

15.35 −120 ) 1200 15.35 1200

1−(1+

𝐶 = 373122,90

4. Una persona ahorra $550 cada medio año y los invierte al 7% convertible semestralmente. Hallar el importante de sus ahorros después de 10 años.

7 (1 + 200)20 − 1 𝐶 = 550 × 7 200 𝐶 = 15553,82

5. Una persona paga $400,50 al final de cada semestre por concepto de una póliza, de la cual se pagarían $20000 al final de 20 años. ¿Qué cantidad tendría si en su lugar se depositara cada pago en una cuenta de ahorro que produjera el 4,5% convertible semestralmente?

400,50 (R) = 16020 OPCIÓN 1: póliza= 20000 OPCIÓN 2: cuenta ahorros= 25546,36 𝑀=

4,5 40 ) −1 200 4,5 200

(1+

𝑀 = 25546,36

6. Suponiendo intereses del 9,2% convertible trimestralmente. ¿Qué pago único inmediato será su valor, si se considera el equivalente a 15 pagos trimestrales, por $520 cada uno, siendo el primer pago al final de los 3 meses? 𝐶 = 520

9,2 −15 ) 400 9,2 400

1−(1+

15= 3 años – 9

(3/4x=3)

12

𝐶 = 6534,06

3

= 15

ANUALIDADES ANTICIPADAS Este tipo de anualidades se caracterizan por que los pagos se realizan al inicio de cada periodo o intervalo de pago.

Formulas 𝑀 = 𝑅 (1 + 𝑟 ) ×

(1 + 𝑟)𝑛 − 1 𝑟

Monto de la anualidad anticipada 1 − (1 + 𝑟)−𝑛 𝐶 = 𝑅 (1 + 𝑟 ) × 𝑟 Valor presente de la anualidad anticipada EJERCICIOS 1.Determine el monto y el valor presente de una anualidad anticipada sobre 620 durante 9 años al 9.7% convertible bimestralmente. 𝑀 = 620

9,7 (1 + 600)54 − 1 9.7 600

𝑀 = 53679 9,7 −54 (1 + ) −1 9.7 600 )×1− 𝐶 = 620 (1 + 9.7 600 600 𝐶 = 22578.62

2.Una persona alquila un edificio y sus pagos son cada 3 meses por adelantado y los invierte de manera inmediata 750 de cada pago en un fondo que reditúa el 5% convertible trimestralmente ¿Cuál sería el importe al terminar los 6 años?

5 (1 + 400) 5 )× 𝑀 = 750 (1 + 5 400 400 𝑀 = 21101.58

Repaso de la prueba 1) ¿Cuántos abonos trimestrales vencidos de $40.000 son necesarios para pagar el precio de un tractor, que se compró con un anticipo y un crédito de $350.000? Suponga interese de 13,8% capitalizable bimestralmente? 𝐶=𝑅×

1 − (1 + 𝑟)−𝑛 𝑟

13,8 1 − (1 + 600 )−𝑛 350000 = 40000 × 13,8 600 350000 × 0,023 − 1 = −(1,023)−𝑛 40000 −0,79875 = −(1,023)−𝑛 (1,023)−𝑛 = 0,79875 (−𝑛) ln(0,79875) = ln(0,79875) (−𝑛) =

ln(0,79875) ln(1.023)

= −9,881809277 𝑟

𝑛 = 9,881809277

𝑅 = 𝐶 × 1−(1+𝑟)−𝑛

Ajustes cuando 𝑛 = 9 350000 = 𝑅 × 𝑅 = 350000 ×

13,8 −9 ) 600 13,8 600

1−(1+

13,8 600 13,8 −9 1−(1+ ) 600

𝑅 = 43796,61

Ajustes cuando n=10 350000 = 𝑅 × 𝑅 = 350000 ×

13,8 −10 ) 600 13,8 600

1−(1+

13,8 600 13,8 −10 1−(1+ ) 600

𝑅 = 39579,39

2) Cambio de una cantidad general a una simple con tasas equivalentes. El dueño de un camión de volteo tiene las siguientes opciones para vender su unidad: a) Un cliente desea pagarle $600000 de contado. b) Un segundo cliente le ofrece $200000 de contado y 7 mensualidades de $60000 cada una. c) Un tercer cliente le ofrece $126000 de contado y 20 abonos quincenales de $25000 cada uno.

Si el dinero reditúa el 12,6% anual capitalizable quincenalmente. ¿Cuál opción le conviene más?

(1 + 𝑟)𝑛 ≅ (1 + 𝑟)𝑛 𝑟

12,6

(1 + 1200)12 ≅ (1 + 2400)24 12,6

12

12,6

12

√(1 + 2400)12 ≅ √(1 + 2400)24 𝑟

1 + 1200 ≅ 1,010527563 𝑟 1200

≅ 1,010527563

𝑟 ≅ 0,010527563 × 1200 𝑟 ≅ 12,6330756 a) R: Si tiene la disponibilidad de pagar en efectivo $600000

𝐶 = 6000 ∗

1−(

1 + 12,6330756 ) 1200 12,6330756 1200

𝐶 = 402857,91 200000 + 402857 = 602857,91 C.R

1 + 12,6 −20 1 − ( 2400 ) 𝐶 = 25000 ∗ 12,6 2400 𝐶 = 4734467,41 126000 + 473467,41 = 599467,41

AMORTIZACIÓN Introducción Tanto las organizaciones como los individuos requieren de préstamos de dinero para adelantar consumos a realizar inversiones. Uno de los préstamos más comunes es el que requieren las familias con destino a la compra de viviendas que en general, suele ser otorgada por entidades financieras bajo el sistema francés y en algunos casos, por sistema alemán.

En nuestro medio, existen diferentes modalidades de préstamos en cuanto a la devolución (amortización) del capital y la forma de cálculo de los intereses. En el contexto estricto de las finanzas “amortizar” alude al llamado frecuentemente “principal”.

Entonces cuando hablamos de amortizar un préstamo nos referimos al proceso por el cual se devuelve el capital que originó la obligación. Las modalidades más extendidas son los que calculan intereses sobre saldos, que en general podemos clasificar del siguiente modo.

1.- Sistema francés 2.-Sistema alemán 3.- Sistema americano Describiremos sistemáticamente cada una de estas modalidades con particular énfasis en los más utilizados en nuestro medio. A los efectos de poder establecer una comparación integral entre los mismos, consideraremos un préstamo por valor de $100 con una tasa de contrato i=10% y se amortizara en 4 periodos en todos los casos. Esta metodología permitirá una comparación directa entre las cuotas resultantes de cada modalidad y también establecer comparaciones con los tipos de prestamos que veremos en el próximo capítulo. La comparación se extenderá para tratar el punto de vista de la empresa que solicita un préstamo, en cuyo caso el efecto de palanca financiero y los ahorros fiscales que generan los intereses serán las variables del análisis.

La definiciones y sistemas de amortización Amortizar una deuda es liquidarla mediante pagos periódicos que incluyen intereses.

El capital que se debe al hacer un pago cualquiera se conoce como capital vivo de la deuda, deuda viva o más comúnmente como saldo insoluto se trata digamos de un saldo no sólo saldado. la diferencia entre la deuda original y el saldo insoluto corresponde a los derechos adquiridos por el deudor es la parte o porción del bien que se está amortizando y que ya es prioridad del deudor. también es cierto que cada abono que se hace para cancelar la deuda se separó se divide en 2 partes la primera para cubrir los intereses que se generan en el periodo y la segunda llamada amortización es la que se abona al capital que se adeuda siendo que disminuya con cada pago.

Abono= amortización+ intereses Cabe señalar que para crear sistemas o formas para amortizar una deuda no hay más límite que la propia creatividad de quienes a esto se dedican a prestar su dinero sin embargo aquí abordaremos las más comunes con algunos de sus ventajas o desventajas y sus características.

Amortización gradual Los pagos en este sistema son todos iguales y puesto que el saldo insoluto disminuye con cada bono, los intereses se reducen a la amortización se incrementa es decir que cada pago es mayor que la del pago anterior. constituye una interesante aplicación de las anualidades ordinarias y por ello se simplifica los cálculos pero tiene la desventaja de que los pagos deben ser mayores que los intereses del primer período porque de otra manera nunca se cancelaría totalmente la deuda.

Amortización constante a diferencia del sistema anterior aquí la porción que se abona del capital es decir la amortización es siempre la misma en la cual da lugar a que cada pago sea menor que el anterior y esto puede ser un atractivo para el deudor. además, es muy fácil calcular el saldo insoluto en cualquier momento lo cual como se dijo antes se necesita para cancelar o refinanciar el capital que se debe.

Amortización con renta variable aquí cada bono y su correspondiente posición amortizado ahora crecen con el tiempo y esto lo hacen atractivo para el deudor ya que los primeros pagos pueden ser tan pequeños que ni siquiera cubran los intereses del periodo dando lugar a que las deudas creen en vez de reducirse. tienen la desventaja de generar más intereses que otros sistemas además de que las fórmulas son un tanto más complicado No obstante como se verá en los ejemplos estas dificultades sólo aparente puede suceder que las rentas se reduzcan sucesivamente. los pagos pueden variar uno por uno o en grupos y hacerlo en forma aritmética o geométrica.

Amortización gradual Como ya se mencionó, este sistema es una aplicación de las anualidades ordinarias y, por lo tanto, se emplea la ecuación del teorema 5.2

𝐶=𝑅×

1 − (1 + 𝑖/𝑝)−𝑛𝑝 𝑖/𝑝

Donde C es la deuda original, R es el abono periódico, i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año, y np es el número de rentas.

Ejemplo 1: Para completar la colegiatura cuatrimestral de su hijo, el señor Gutiérrez consigue un préstamo de $195000 con interés del 13.92% anual capitalizable por quincenas ¿Cuántos pagos quincenales de $22300 debe hacer para amortizar su deuda?

Solución: La incógnita es el número de abonos, np: x El capital, es decir, el préstamo es, C = 195000 La renta quincenal es, R = 22300 La frecuencia de conversión y de pagos es p = 24, estos son quincenales y la tasa de interés quincenal, compuesta por quincenas, es: i/p = 0.1392/24

o bien,

i/p = 0.058

por lo tanto,, al reemplazar estos valores en la ecuación 5.2 quedara: 1 − (1 + 0.0058)−𝑥 19500 = 22300 ∗ 0.058 De donde: 195000(0.0058)2 − 1 = −(1.0058)−𝑥 22300 O bien: (1.0058)−𝑥 = 0.949282511 Se toma logaritmo natural, o común, o ambos lados: 𝐼𝑛(1.0058)−𝑥 = 𝐼𝑛(0.949282511) (−𝑥 )𝐼𝑛(1.0058) = 𝐼𝑛(0.949282511)𝐼𝑛(𝑀 𝑥 ) = (𝑥 )𝐼𝑛(𝑀)

−𝑥 =

𝐼𝑛(0.949282511) 𝐼𝑛(1.0058)

−𝑥 = −8.999935727

O bien, x= 9 porque debe de ser entero Al redondear la renta se reduce un poco quedando 9 pagos de $22299.84 cada una.

Amortizaciones Se dice que un documento esta amortizado cuando todas las obligaciones están contraídas con intervalos iguales y mediante serie de pagos.

Elaboración de tabla: 1. En la primera columna irán los periodos de pagos.

2. En la segunda columna se determina el capital insoluto.

3. En la tercera columna se determina el interés simple de la deuda de cada periodo.

4. En la cuarta columna se determina el pago periódico a la anualidad el mismo que se obtendrá aplicando la siguiente formula.

𝐶𝑟(1 + 𝑟)𝑛 𝑎= (1 + 𝑟)𝑛 − 1

5. En la quinta columna el capital pagado de cada periodo, el mismo que se obtiene restando el pago periódico menos el interés de cada deuda correspondiente.

EJERCICIOS 1. Hallar el pago anual necesario para amortizar una deuda de $5000 con interés del 4.5% a 12 años. Elaborar la tabla de amortización.

𝐶𝑟(1 + 𝑟)𝑛 𝑎= (1 + 𝑟)𝑛 − 1 5000(0,045)(1 + 0,045)12 𝑎= (1 + 0,045)12 − 1 𝑎 = 548,3309432

C r R

5000 0,045 548,330943

No. Per. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X

-

Capital Interés Pago insoluto periódico 5000 225 548,3309432 4676,669057 210,45010 548,3309432 8 4338,788221 195,24547 548,3309432 3985,702748 179,35662 548,3309432 4 3616,728428 162,75277 548,3309432 9 3231,150264 145,40176 548,3309432 2 2828,221083 127,26994 548,3309432 9 2407,160089 108,32220 548,3309432 4 1967,151349 88,521810 548,3309432 7 1507,342217 67,830399 548,3309432 8 1026,841674 46,207875 548,3309432 3 524,7186057 23,612337 548,3309432 3 1579,9713 6579,971318 2

Capital pagado 323,3309432 337,8808356 353,0854732 368,9743195 385,5781639 402,9291813 421,0609945 440,0087392 459,8091325 480,5005434 502,1230679 524,7186059 =

5000

Francesa Caso real amortización Datos del crédito concedido Monto del crédito:

$ 1500,00

(A)

Seguro de desgravamen:

$ 9,11

(B)

Líquido a recibir:

$ 1490,89

(=AB)

Tasa:

9%

Plazo:

6 meses

Interés desde concesión hasta 1er dividendo:

$ 2,63 (Valor cobrado en el

1er dividendo)

Sistema de amortización:

C

1500

r

0,0075

R

256,6033612

francesa

𝐶𝑟(1 + 𝑟)𝑛 𝑎= (1 + 𝑟)𝑛 − 1

𝑎=

1500(0,0075)(1 + 0,0075)6 (1 + 0,0075)6 − 1

𝑎 = 256,6033612

N° Capital Dividendo amortizad o 0 1 245,35 2 247,19 3 249,04 4 250,91 5 252,79 6 254,71

Interés

Inter.per.

0 11,25 9,40988 7,55595 5,68812 3,80628 1,91033

0 2,63 0 0 0 0 0

Valor dividendo 0 259,23 256,60 256,60 256,60 256,60 256,62

Saldo Capital 1500 1254,65 1007,46 758,42 507,5 254,71 0,00

Fecha pago Dividendo jul-19 ago-19 sep-19 oct-19 nov-19 dic-19

Fondos de Amortización El fondo de amortización es inverso de la amortización, porque se crea para pagar una obligación en la fecha futura, como puede ser: •

La compra de equipo nuevo para sustituir el equipo despreciador u obsoleto, para prevenir gastos de jubilación de empleados en una compañía, para comprar un automóvil, para la construcción de un inmueble, para el mantenimiento de equipo e inmuebles, o cualquier otro bien o servicio a futuro.

El fondo de amortización acumula cantidades de dinero con pagos iguales al inicio o al vencimiento de periodos iguales que devengan intereses para alcanzar el monto deseado utilizando una cuenta de inversión.

•

Al utilizar la cuenta de inversiones se reúne la cantidad de dinero necesario en la fecha futura deseada, es decir, el fondo de amortización es la acumulación de

• •

pagos periódicos para liquidar una deuda futura El tener un fondo de inversión le permite al inversionista ganar intereses y de esta manera acumular con mayor tranquilidad la cantidad de dinero pensada a futuro.

Este tipo de instrumento financiero genera el hábito del ahorro.

•

Otra ventaja de tener un fondo de inversión es la de disponer de su propio dinero para comprar lo deseado de contado, evadiendo de esta manera el pago de intereses, que por lo regular son altos, y otras cargas por compra a crédito.

Fondo de amortización En este método el acreedor recibe el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al término del plazo, consecuencia de aquello el importe al vencimiento reportará la deuda original.

Elaboración de la tabla 1. En la primera columna se determina el periodo de pago.

2. En la segunda columna se determina el incremento del interés del importe partiendo desde cero.

3. En la tercera columna se determina el pago periódico o deposito, el mismo que se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

𝑎=

𝐶𝑟 (1 + 𝑟)𝑛 − 1

4. En la cuarta columna se determina el incremento del fondo, el mismo que se obtiene sumando el interés más el depósito correspondiente.

5. En la quinta columna se determina el importe anterior más el incremento del fondo correspondiente.

Ejercicio 1. Una deuda de $15000 que devenga intereses del 5% convertible trimestralmente va a ser liquidada mediante el método de fondo de amortización durante 3 años y 6 meses, siendo el primero con un vencimiento en 3 meses, mediante un fondo que paga el 12% convertible trimestralmente.

𝑎=

12 15000 (400) 12 14 (1 + 400) − 1

𝑎 = 877,8950849 C r a

15000 0,03 877,8950849 No. periodos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Increm_Int

Pago_period 877.8950849 877.8950849

Increm_Fond o 877.8950849 904.2319374

Importe Final 877.8950849 1782.127022

0 26.3368525 5 53.4638106 7 81.4045775 4 110.183567 4 139.825927 170.357557 3 201.805136 6 234.196143 2 267.558880 1 301.922499 337.317026 6 373.773389 9 411.323444 1 2709.46881 2

877.8950849

931.3588956

2713.485918

877.8950849

959.2996624

3672.78558

877.8950849

988.0786523

4660.864233

877.8950849 877.8950849

1017.721012 1048.252642

5678.585245 6726.837887

877.8950849

1079.700222

7806.538108

877.8950849

1112.091228

8918.629336

877.8950849

1145.453965

10064.0833

877.8950849 877.8950849

1179.817584 1215.212111

11243.90089 12459.113

877.8950849

1251.668475

13710.78147

877.8950849

1289.218529

15000

12290.53119

15000

2. Una deuda de $5000 que devenga interés del 5% convertible semestralmente, se va a liquidar mediante el método de fondo de amortización si se realiza 8 depósitos semestrales iguales con un fondo que paga el 3% convertible semestralmente. Determinar el pago y calcular la tabla.

𝑎=

3 5000 (200) 3 8 (1 + 200) − 1

𝑎 = 592,920123

C r a

5000 0,015 592,920123

No. periodos 1 2 3 4 5 6 7 8

Increm_Int 0 8.893801845 17.92101072 27.08362772 36.38368398 45.82324109 55.40439155 65.12925927 256.6390162

Pago_period 592.920123 592.920123 592.920123 592.920123 592.920123 592.920123 592.920123 592.920123 4743.360984

Increm_Fondo 592.920123 601.8139248 610.8411337 620.0037507 629.303807 638.7433641 648.3245146 658.0493823 5000

Importe Final 592.920123 1194.734048 1805.575182 2425.578932 3054.882739 3693.626103 4341.950618 5000

Sistema Francés También llamado sistema de amortización progresivo, dado que la amortización generada del préstamo aumenta en progresión geométrica, además de ello los intereses son calculados sobre saldo, por lo que este decrece a medida que se devuelve el capital, no obstante, dicha amortización debe crecer con el fin de que se mantenga la cuota constante, las cuotas de este método están compuestas de la siguiente manera: Cuota total = amortización periódica (tp) + interés periódico I (p-1,p)

La anualidad, en el sistema francés, se calcula mediante una equivalencia financiera. Es decir, lo que el banco nos entrega es el préstamo solicitado y lo que nosotros nos comprometemos a pagar son las cuotas constantes.

𝑎 = 𝐶𝑜

𝑖 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 (1+𝐼)𝑛

Valor del préstamo

𝑉 = 𝐶 (1+𝑖)𝑛 𝑖

Cuota

𝐶 = 𝑉 (1+𝑖)𝑛 −1

Número de interés

(1+𝐼)𝑛 𝑖

𝑛=

ln (

𝐶 ) 𝐶−𝑉𝑖

ln(1+𝑖)

El Tiempo Medio de Reembolso representa la cantidad de períodos que se demora en devolver la mitad del capital, en este sistema se produce después de la mitad del plazo del préstamo, debido a la creciente amortización.

Existen diversos casos donde es necesario recalcular el saldo del préstamo, las causas más comunes son: 1. Cancelación anticipada 2. Atrasos del deudor en el pago de cuotas que motivan una refinanciación 3. Pagos extraordinarios durante la vida del préstamo 4. Cambios en la tasa de interés 5. Alargamiento del plazo Excepto en el caso de la cancelación anticipada.

Sistema Alemán Está compuesto por una parte de amortización de capital y una parte de interés, en este caso, la amortización periódica es constante y siempre representa un enésimo del préstamo, los intereses se calculan sobre un saldo que decrece siempre en una suma fija, además de ello dichos intereses representa una progresión aritmética decreciente.

Este sistema se caracteriza por unos amortizativos constantes e intereses anticipados, calculados estos sobre el capital vivo del período anterior.

𝑎=

𝐶𝑜 ∗ 𝑖 1 − (1 − 𝑖)𝑛

Comparación entre el sistema francés y alemán; ambos calculan intereses sobre saldo, sin embargo, el diferente ritmo de amortización determina que difieren en la cuota a pagar para idéntico préstamo, la cuota en el sistema francés resulta menor al principio que la que se abona en el sistema alemán, no obstante, la cuota del alemán decrece en progresión aritmética, a partir de cierto momento pasa a ser inferior a la del francés.

•

Las cuotas del préstamo, constantes en el francés y decrecientes en el alemán, son distintas en su importe, pero equivalentes ya que en ambos casos la TIR coincide con la tasa de interés “pactada” en el préstamo.

•

En el sistema alemán, se amortiza la mitad del préstamo en la mitad del número de períodos (n), mientras que en el francés la amortización de la mitad del préstamo se produce en un número de períodos mayor a la mitad de n debido a la amortización progresiva del capital.

Sistema Americano En este sistema, se abonan únicamente intereses calculados sobre saldo y el capital se devuelve en una única cuota al final del préstamo, en este sistema se puede tener dos variantes: el tradicional y con constitución de un fondo de amortización o sinking fund.

En otras palabras, se puede deducir que el sistema de amortización americano es aquel en el que el prestatario se compromete a pagar al prestamista una cantidad periódica formada por intereses del préstamo y a abonar, al final de la vida del mismo, los intereses del último año y el capital prestado.

En el sistema americano tradicional, se pagan solamente intereses sobre el capital y éste se devuelve en la última cuota y el sistema americano con constitución de fondo de amortización es una variante del sistema americano tradicional, así es como se deposita una suma de dinero en una institución financiera donde se gana una tasa de interés.

En el sistema de amortización americano la cuota a pagar (a) coincide con el interés del período (I), que se calcula multiplicando el capital vivo (Co) por el tipo de interés (i) y es constante. No existe capital amortizado en cada período. Por otro lado, la cuota del último año (a´) la conforman el capital prestado (Co) y el interés de ese año (I). Veamos las diferentes fórmulas de cálculo:

𝑎 = 𝐼 = 𝐶𝑜 ∗ 𝑖 𝑎´ = 𝐶𝑜 + 𝐼

GLOSARIO Base de depreciación: Cantidad en la que se deprecia un activo a lo largo de su vida útil, es la diferencia entre su valor original y su valor de rescate.

Costo original: El que tiene un activo al comenzar su vida útil.

Cuadro de depreciación: Instrumento que refleja la depreciación anual, la acumulada y el valor contable de un activo en los años de su vida útil.

Depreciación: Pérdida del valor de un activo fijo y tangible a consecuencia de su uso, ineficiencia y obsolescencia.

Depreciación acumulada: La suma de la depreciación anual desde el primer año de la vida útil de un activo.

Método de la línea recta: Evaluación de la depreciación de manera constante de un activo. Se obtiene dividiendo la base de depreciación entre el número de años de su vida útil.

Método de la suma de dígitos: La depreciación anual de un activo es decreciente y se obtiene multiplicando la base de la depreciación por una fracción cuyo denominador es igual a la suma de los dígitos de los años de la vida útil y el numerados es igual al año que corresponde en orden inverso.

Método de la tasa fija: La depreciación anual del activo es decreciente y se evalúa de acuerdo a una tasa constante de depreciación.

Método de unidades de servicio o de producción: La depreciación anual es variable y se evalúa de acuerdo con las unidades producidas o las horas de servicio del activo por año.

Método del fondo de amortización: La depreciación anual es constante y se supone se deposita con un fondo generando intereses para la reposición del activo al terminar su vida útil.

Tasa de depreciación: Razón de la base de depreciación al costo original de un activo.

Valor de desecho de un activo: Es su valor de rescate Valor de rescate de un activo: El que tiene o tendrá al terminar su vida útil.

Capitalizable: dícese de los intereses o el dinero que se integran en o el dinero que se integran al capital Devaluación: medida o acción que se tomaron para intentar reconocer la desvalorización que ha tenido el mercado libre de divisas, la moneda de un país Devengar: adquirir derechos, alguna retribución o percepción a causa de trabajo, servicios y otros Flujo de caja: registro del movimiento de capitales en alguna situación particular. Puede ilustrarse con diagramas de tiempo Formula del interese compuesto: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖/𝑝)𝑛𝑝 Frecuencia de capitalización de intereses: frecuencia de conversión Frecuencia de conversión: número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, es decir, se integran al capital. Es independiente del pazo Índice de precios: indicador del conjunto de precios, en oposición al concepto de precios relativos que presentan las relaciones entre los mismo Inversión: acción y efecto de invertir Invertir: empleo productivo de bienes económicos, resultados de mayor magnitud que la que se ha empleado.

Pérdida de poder adquisitivo: reducción en la capacidad de conseguir bienes y servicios con la unidad monetaria considerada.

Periodo de capitalización interés: tiempo comprendido entre dos fechas sucesivas de capitalización de intereses.

Redito: beneficiario convencional o legal producción por el dinero, sinónimo de interés.

Redituable: que produce réditos, que rinde utilización o beneficios, periódica o renovablemente.

Reestructuración de un crédito: sustitución de un conjunto de deudas por otro equivalente.

Rentable: dícese de la inversión que produce altos rendimientos.

Tasa efectiva: tasa de interés capitalizable por años equivalente a la tasa nominal que se capitaliza en p periodos por años.

Tasa nominal: tasa de interés que se capitaliza en p periodos por años Tasas equivalentes: si con diferentes periodos de capitalización producen los mismos intereses en plazos iguales.

Anticipo: enganche Anualidad: serie de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales a intervalos de tiempo iguales.

Anualidad anticipada: si los pagos o rentas se realizan al comenzar cada periodo Anualidad cierta: cuando se conocen las fechas inicial y terminal del plazo.

Anualidad diferida: cuando la primera renta se realiza después del primer periodo o la última se hace antes del último periodo.

Anualidad perpetua: si las rentas se realizan por tiempo ilimitado Anualidad simple: cuando los intervalos de pago coinciden con los periodos de capitalización de intereses Crédito hipotecario: préstamo respaldado con los bienes inmuebles, unidades agrícolas o industriales que son propiedad del prestatario.

Anualidad eventual o contingente: si no se conoce la inicial, la terminal o ambas del plazo Anualidad general: cuando los periodos de capitalización de intereses no coinciden con los intervalos de pago.

Anualidad inmediata: si la primera renta ge realiza desde el primer o la última se realiza en el último periodo del plazo.

Anualidad ordinaria o vencida: cuando las rentas se realizan al final de cada periodo

Plazo de las anualidades: tiempo comprendido entre las fechas inicial y terminal Renta: pago periódico en las anualidades y otros sistemas en el campo de las finanzas.

Rentas equivalentes: cuando siendo diferentes en frecuencia y magnitud producen el mismo monto o son producto del mismo capital.

Valor actual de anualidades: valor al inicio del plazo, equivalente al de todas las rentas. Es sinónimo de capital o valor presente de la anualidad.

Enganche: cantidad de dinero que se da al comenzar el plazo, como un compromiso en la compraventa de bienes y servicios.

Intervalo de pago: tiempo entre dos pagos sucesivos en una anualidad.

Perpetuidad: anualidad perpetua.

Abono: pago que se hace para reducir una deuda y sus intereses. Acción de abonar, es decir, asentar en las cuentas las partidas que corresponden al haber.

Amortización: acción y efecto de amortizar; porción del abono que reduce una deuda.

Al sumarla con los intereses de su periodo se obtiene la magnitud del abono.

Amortización constante: sistema de amortización en el que la parte que reduce a la deuda se mantiene constante.

Amortización de renta variable: sistema de amortización en el que cada renta es mayor o menor a las anteriores.

Amortización gradual: la deuda se reduce gradualmente, de tal forma que la renta es constante.

Amortizar: proceso de cancelar una deuda y sus intereses mediante pagos periódicos.

Extinción gradual de una deuda.

Cuadro de amortización: instrumento que es útil para ver cómo se reduce o varía una deuda con cada abono.

Valor futuro de las anualidades: es el valor al final del plazo, equivalente a las rentas.

Es sinónimo del monto o valor acumulado de la anualidad.

Derechos adquiridos por el deudor: diferencia entre saldo insoluto y la deuda inicial, son equivalentes a los derechos cedidos por el acreedor.

Gradiente: diferencia común entre 2 rentas sucesivas en la amortización de renta variable aritméticamente.

Renta mínima: magnitud del primer pago que se hace para amortizar gradualmente un crédito, debe ser mayor que los intereses que se generan durante el primer período.

Serie en escalera: sucesión de rentas que crecen geométricamente con una razón constante.

Serie gradiente: conjunto de rentas que crecen aritméticamente, es decir, con una diferencia común.

Tasa n escalada: razón con la que crecen las rentas en una serie en escalera, es el cociente de cualquier renta entre la que le precede.

Traspaso de terrenos y otros bienes: operación de compraventa anticipada de un bien que se ha adquirido en abonos, cediéndole a un tercero quien paga los abonos sucesivos.

APES

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO Facultad de Contabilidad y Auditoría

MATEMÁTICA APE 7.

Segundo Semestre “B”

Nombre: Pamela Llerena

Período: Abril – Septiembre

2. Una deuda de 5000 con interés del 5% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales en os próximos 3 años, el primero con vencimiento a los 6 meses. Hallar el pago a realizar y elaborar la tabla de amortización.

C= 5000 r= 0,025 R= 907,7498553

𝑎=

𝑎=

𝐶𝑟(1+𝑟)𝑛 (1+𝑟)𝑛 −1

5 5 6 5000 (200) (1 + 200) 5 6 (1 + 200) − 1 𝑎 = 907.7498553

No. Periodos 1 2 3 4 5 6

Capital insoluto 5000 4217,250145 3414,931543 2592,554976 1749,618995 885,609615

Interés 125 105,4312536 85,37328858 64,81387441 43,74047489 22,14024037 446,4991319

Pago periódico 907,7498553 907,7498553 907,7498553 907,7498553 907,7498553 907,7498553 5446,499132

Capital pagado 782,7498553 802,3186017 822,3765667 842,9359809 864,0093804 885,6096149 5000

3. Hallar el pago trimestral que debe hacer una persona para amortizar una deuda de 6000 con intereses del 4% convertible trimestralmente en 3 años.

C= 6000 r= 0,01 R= 533,0927321

𝑎=

𝑎=

𝐶𝑟(1+𝑟)𝑛 (1+𝑟)𝑛 −1 4 4 12 )(1+ ) 400 400 4 12 (1+ ) −1 400

6000(

𝑎 = 533.0927321 No. periodos Capital insoluto 1 6000 2 5526,907268 3 5049,083608 4 4566,481712 5 4079,053797 6 3586,751603

Interés 60 55,26907268 50,49083608 45,66481712 40,79053797 35,86751603

Pago periódico 533,0927321 533,0927321 533,0927321 533,0927321 533,0927321 533,0927321

Capital pagado 473,0927321 477,8236594 482,601896 487,427915 492,3021941 497,2252161

7 8 9 10 11 12

3089,526387 2587,328919 2080,109476 1567,817839 1050,403285 527,8145859

30,89526387 25,87328919 20,80109476 15,67817839 10,50403285 5,278145859 397,1127848

533,0927321 533,0927321 533,0927321 533,0927321 533,0927321 533,0927321 6397,112785

502,1974682 507,2194429 512,2916373 517,4145537 522,5886992 527,8145862 6000

UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA

MATEMATICAS II

Tema: APE N°8 Datos informativos: INTEGRANTES: • • • •

TATIANA AMAN NICOLE LAURA PAMELA LLERENA EMILY ZURITA

CURSO: SEGUNDO SEMESTRE PARALELO: “B”

Sistemas de amortización de préstamos Objetivo Conocer la importancia, aplicación y cualidades de cada sistema para comprender de mejor manera cómo se realizan las amortizaciones en los préstamos.

Introducción La amortización es un proceso financiero mediante el cual se liquida, progresivamente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. Al hablar de amortizar una deuda, nos referimos al proceso mediante el cual se devuelve aquel capital del préstamo generado.

Conocer los diferentes tipos de sistemas de amortización, será de gran ayuda al momento de considerar solicitar algún financiamiento. Identificar las divergencias entre el sistema de amortización francés, alemán y americano nos brindarán la oportunidad de estar preparados ante diferentes panoramas que se nos puedan presentar.

La manera de calcular las amortizaciones de un crédito puede variar, y debido a esto tenemos la siguiente clasificación de los sistemas para su cálculo: 1.

Sistema Francés.

2.

Sistema Alemán.

3.

Sistema Americano.

Desarrollo Sistema francés: Es uno de los sistemas más utilizados en nuestra plaza financiera, llamado sistema de amortización progresivo, ya que la amortización del préstamo crece en progresión geométrica. Debido a que los intereses se calculan sobre saldo, y el mismo decrece a medida que se va devolviendo el capital, la amortización indudablemente debe crecer con el objetivo de mantener los pagos constantes. Se puede concluir que los pagos o cuotas de este sistema están compuestas por dos elementos: 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎(𝑡𝑝) + 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜 𝐼(𝑝 − 1, 𝑝)

Fórmulas utilizadas:

(1+𝑖 )𝑝 −1

𝑇𝑝 = 𝑡1

𝑖

𝑇𝑛 = 𝑡1

(1+𝑖 )𝑛 −1 𝑖

Fondo de amortización: es la cuota de amortización del primer período, considerada una de las variables más importantes en este sistema, ya que a partir de esta es posible calcular varios datos necesarios. Representa la base donde se calculará la amortización del préstamo.

Amortización periódica: es la subcuota de la amortización de cualquier período, esta es igual a 𝑡1 multiplicado por el factor de capitalización (1 + 𝑖 ) elevado al número de períodos que se consideró y menos uno.

Total amortizado a un momento determinado: es el total amortizado del préstamo a un determinado tiempo, es la suma de las subcuotas de amortización dadas.

Valor del préstamo: resulta de calcular el valor actual de las cuotas con intereses.

Entonces, es una renta de pagos vencidos.

Cuota del préstamo: se representa por la siguiente fórmula. 𝐶=𝑉

(1 + 𝑖 )𝑛 𝑖 (1 + 𝑖 )𝑛 − 1

Número de períodos: se obtiene realizando el siguiente cálculo.

𝑛=

𝐶 𝑛 (𝐶 − 𝑉𝑖 ) 𝐿𝑛(1 + 𝑖 )

Tasa de interés del préstamo: es siempre igual a la tasa de interés implícita que obtiene la persona que presta su dinero. Para que esta persona obtenga el mismo rendimiento del interés impuesto en un préstamo, deberá reinvertir las cuitas que se va cobrando a la misma tasa de interés, ya que, si lo hace a una tasa menor, su rendimiento va a disminuir.

Sistema alemán La cuota de este sistema está compuesta por una parte de amortización del capital y una parte de interés, a diferencia del sistema francés, la amortización periódica es constante

y siempre representa un enésimo del préstamo. Debido a lo antes mencionado, sus intereses periódicos representan una progresión aritmética decreciente.

Entonces, la amortización es constante y sus intereses son decrecientes, la cuota total del préstamo es decreciente: 𝐶 = 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎(𝑉⁄𝑛) + 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜 𝐼 (𝑝 − 1, 𝑝) Fórmulas utilizadas: Amortización periódica: siempre va a ser igual a un enésimo del total del préstamo ya que todas las cuotas de amortización son iguales. 𝑡𝑝 =

𝑉 𝑛

Intereses periódicos: este es igual al producto de la tasa de interés por el saldo del préstamo al final del período.

Cuota periódica: es igual a la suma de los intereses periódicos y la amortización periódica.

Intereses abonados entre períodos no consecutivos: 𝐼 (𝑝 − 1, 𝑝) = [𝑛 − (𝑝 − 1)]

𝑉 𝑛

Si comparamos los sistemas de amortización francés y alemán podemos concluir que los dos intereses se calculan sobre saldo, pero ambos están determinados por la medida en la que se van a pagar idénticos préstamos, pero a diferentes cuotas. Podemos explicarlo teniendo en cuenta que, debido a esto, la cuota del sistema francés resulta ser menor que la que se abona en el sistema alemán, pero debido a que la cuota del sistema alemán decrece, en un cierto momento la misma pasará a ser menos que la del sistema francés.

Sistema americano: Por medio de este sistema se abonarán únicamente los intereses calculados sobre saldo, y el capital se devolverá en una cuota única al final del préstamo.

En este sistema podemos tener dos tipos: el tradicional y con constitución de un fondo de amortización o sinking fund.

Sistema tradicional: en este sistema se pagan solamente intereses calculados, y el capital se devuelve en la última cuota.

Sistema con constitución de fondo de amortización: es una variante del sistema tradicional a diferencia de que e este caso, es posible ahorrar periódicamente de forma periódica voluntariamente, con el objetivo de constituir el capital del préstamo, depositando una suma de dinero en una entidad financiera donde se gane un interés, debido a esto, este sistema es denominado también como “sistema de las dos tasas”.

Debido a que el deudor paga dos cuotas, la cuota total está dada por: 𝐶𝐴𝑀 = 𝑉𝑖 + 𝐶𝐹 Si comparamos este último sistema, con el sistema francés, demostraremos que podemos reemplazar en la ecuación de la cuota total que se pagará con constitución de fondo de amortización para probar que la cuota total que se pagará sería igual a la cuota que se va a abonar en el sistema francés.

Ahora, al comparar los tres sistemas mencionados, podemos concluir que los tres calculan intereses sobre saldo y sus tasas de contrato son idénticas. De tal manera que el costo financiero es el mismo, a diferencia de que el ritmo en la devolución del capital es distinto ya que en el sistema americano y francés se paga una mayor cantidad de intereses.

Si los comparamos desde un punto de vista corporativo, el sistema americano ofrece una mayor ventaja fiscal, seguido por el francés y el alemán.

Conclusión: Al conocer y determinar la importancia y las características de los sistemas de amortización de los préstamos, podemos concluir que el más usado en varias entidades es el sistema francés. Si bien es cierto que los tres sistemas tienen varias características en común como la base sobre la que se aplica los intereses, hay que tener en cuenta cuál es el ritmo con el que se va a cancelar las cuotas en cada sistema, y definir cuál es el que nos conviene más y cuál se acomoda mejor a nuestra disponibilidad de pago; si lo vemos desde el punto de vista de los prestamistas, podemos concluir que cada uno estudia la situación de cada sistema, para proceder a aplicarlo sobre sus préstamos sin que ellos obtengan una pérdida.

PRUEBAS

Una compañía editorial adquirió en 1,95 millones de pesos una rotativa para produ periodísticos durante 8 años, distribuidos de la siguiente man Para el primer año la producción será de 1,22 millones , de ahí en adelante la prod incremento del 7,13 %, esto durante 5 años de manera secuencial, finalmente los ú será la inicial.

Se estima que luego de pagar por el desmantelamiento de la maquinaria, al final de 455000. Calcule la depreciación de cada año y elabore la tabla $ 1.950.000,00 $ 455.000,00 8 $ 186.875,00

C Cn n d

AÑOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8

PRODUCCIÓN 1220000 1133014 1052230,102 977206,0955 907531,3009 1220000 1220000 1220000

DEPRECIACIÓN ANUAL 186875 186875 186875 186875 186875 186875 186875 186875

DEPRECIACIÓN ACUMULADA 186875 373750 560625 747500 934375 1121250 1308125 1495000

VALOS CONTABLE $ 1.950.000,00 $ 1.763.125,00 $ 1.576.250,00 $ 1.389.375,00 $ 1.202.500,00 $ 1.015.625,00 $ 828.750,00 $ 641.875,00 $ 455.000,00 $ 1.950.000,00

cir x millones de ejemplares nera: ducción se planifica un ltimos años su producción e los 8 años, se rescatan

PROYECTOS

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

ESTUDIO COMPARATIVO DE LA TASA DE INTERÉS DE LOS BANCOS PÚBLICOS Y PRIVADOS Caiza Jessica, Cuñez Brisa, Freire Giovanni, Llamuca Rosa, Masaquiza Isaac y Moreta Jessica jcaiza1234@uta.edu.ec, bcunez9206@uta.edu.ec, ofreire5550@uta.edu.ec, rllamuca6103@uta.edu.ec, imasaquiza1573@uta.edu.ec, jmoreta2943@uta.edu.ec

Resumen El trabajo de investigación tiene como objetivo exponer las tasas de interés correspondientes a las pólizas de acumulación, en las instituciones financieras públicas y privadas del Ecuador. Con el fin de satisfacer las necesidades de las personas naturales o jurídicas interesadas en estas inversiones.

Es importante señalar que, se tomará en cuenta la seguridad de cada institución financiera. Lo cual, se considera con base en la Calificación de Riesgo de Instituciones Financieras, proporcionada por la Superintendencia de Bancos. Además, se contemplarán los requisitos y la tasa de interés, los cuales son el núcleo de esta investigación. Luego de realizar un análisis comparativo entre las dos instituciones financieras se concluye que ambas tienen aspectos positivos y negativos. Por ejemplo, el Banco de Guayaquil demuestra mayor seguridad que BanEcuador. Sin embargo, para acceder a un crédito se deben cumplir con varios requisitos entre los cuales está poseer un capital elevado, y el solicitante debe tener un empleo fijo. Aun así, su tasa de interés es reducida, representando el 5.95%.

Además, el banco privado busca mayores beneficios para sus inversionistas, contrario al objetivo del banco público. El cual, se enfoca en la búsqueda del bien común para sus socios. Uno de los beneficios del Banco BanEcuador, es que para acceder a un crédito no es necesario cumplir con una lista excesiva de requisitos. Las personas no están obligadas a tener un empleo fijo o poseer recursos elevados. Sin embargo, no existe la seguridad suficiente y la tasa de interés fluctúa entre el 11.25% y el 15.30%. En conclusión, los resultados demuestran que el Banco de Guayaquil es más confiable porque genera más interés en las pólizas de acumulación.

Palabras clave: interés, póliza, bancos, privadas y públicas.

Abstrac The research objective is to expose the interest rates corresponding to accumulation policies, in the public and private Ecuadorian financial institutions. In order to satisfy the needs of natural or legal people interested in these investments.

It is important to note that the security of each financial institution will be taken into account. Which is considered based on the Risk Rating of Financial Institutions, provided by the Superintendency of Banks. In addition, requirements and interest rate will be considered, which are this research core.

After conducting a comparative analysis between the two financial institutions, it is concluded that both have positive and

negative aspects. For example, Banco de Guayaquil shows greater security than BanEcuador. However, to access a loan, several requirements must be met, including having a high capital, and the applicant must have a permanent job. Even so, its interest rate is low, representing 5.95%. In addition, the private bank seeks greater benefits for its investors, contrary to the objective of the public bank. Which focuses on the search for the common good for its partners. One of the benefits of BanEcuador is that to access a loan it is not necessary to meet an excessive list of requirements. People are not required to have a steady job or possess high resources. However, there is not enough security, and the interest rate fluctuates between 11.25% and 15.30%. In conclusion, the results show that Banco de Guayaquil is more reliable because it generates more interest in accumulation policies.

Comentado [BL1]: Caiza Jessica, Cuñez Brisa, Freire Giovanni, Llamuca Rosa, Masaquiza Isaac y Moreta Jessica. jcaiza1234@uta.edu.ec, bcunez9206@uta.edu.ec, ofreire5550@uta.edu.ec, rllamuca6103@uta.edu.ec, imasaquiza1573@uta.edu.ec, jmoreta2943@uta.edu.ec

Comentado [BL2]: Antecedentes, Objetivo principal, metodología, resultado principal, esto de manera fluida—Máx 200 palabras

Keywords: interest, policy, banks, private and public.

I. INTRODUCCIÓN

L

a presente investigación es un análisis de la tasa de interés de los bancos públicos y privados, donde entendemos por bancos lugar que recibe depósitos, realiza transacciones, concede préstamos, cajas de seguridad, entre otros. Sin olvidarnos que la tasa de interés es una facilitadora de pagos, cobros. Sin embargo, al hablar de pólizas de acumulación se beneficia más el cliente, por ser una inversión a plazo fijo que devenga intereses pagaderos al vencimiento a través de títulos emitidos por el banco en papel de seguridad. Aclarado esto, la postura de varios autores sobre el tema mencionado, es la siguiente: La tasa de intereses sobre los depósitos a plazo fijo en BanEcuador es muy competitiva. Además, no mantienen un archivo adecuado que permita verificar cada uno de los depósitos a plazo fijo que BanEcuador realiza diariamente, el cual evidencia el mal manejo de los documentos pudiendo ocasionar perdidas de los mismos. (Heras, Zurita, Palacios y Parra, 2019, pp.10-11) Esta investigación es un apoyo para el presente trabajo, por su metodología de carácter descriptivo, es decir, su principal limitación es no tener una adecuada organización dentro del Banco que les permitiera estar en una categoría más alta. No obstante, los datos son muy útiles.

Comentado [BL3]: Estado del arte (minimo 3 investigaciones )y los antecedentes

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En cambio, en la liquidación de la póliza es necesario calcular los intereses devengados durante el periodo de la misma. Por otro lado, la acreditada cobra por los saldos acreedores que tenga a su favor. Respecto a la modalidad de intereses en la póliza de crédito, el interés puede ser fijo y variable. (Pérez, 2018, p.13) Este trabajo demuestra que es de gran importancia calcular los intereses devengados. Sin embargo, tiene limitantes porque utiliza pocas variables. Debido a la ausencia de algunos temas importantes que son los préstamos y su tasa de interés.

Las pólizas son depósitos de dinero a corto plazo o largo plazo, que un cliente realiza en una entidad financiera privada con fin de ganar interés. Cabe mencionar que una vez el cliente ha concluido el pacto de pólizas, no puede hacer retiros, ni aumentar el fondo hasta que el plazo concluya para evitar el riesgo que los gastos fijos no pueden ser recuperados. (Chery, 2018, p.15) La investigación presenta puntos fundamentales, para la toma de decisión del cliente, esta información es muy fiable porque predice varias conductas de los futuros clientes. Aunque, tiene limitantes porque solo ve el bienestar del cliente y no se enfoca mucho en lo que le beneficia al Banco.

Aunque, en BanColombia la tasa de interés depende del entorno inflacionario en la que este desarrollada la economía colombiana, ya que está siendo afectado principalmente por la devaluación del peso y la caída del precio del petróleo; por lo cual la tasa de interés ha venido experimentando un fuerte crecimiento debido a todos los riesgos a los que el país ha sido expuesto. (Chahin,2019, p.10) La investigación identifica los diferentes factores para determinar la tasa de interés. Sin embargo, tiene limitantes porque relaciona la economía colombiana solo con el peso y el petróleo. Esto deja abierta la posibilidad de estudios posteriores para ratificar o rectificar sus afirmaciones, con otros datos.

II. MARCO TEÓRICO El banco es una institución financiera, cuyas operaciones habituales consisten en la prestación y recepción de precios por parte de las personas; los bancos financian una proporción significativa de los préstamos que conceden por medio de los depósitos del público, las entidades financieras financian los préstamos a partir de la emisión de deudas y acciones (Rabasco, Toharia, Freixas, & Rochet, 1999).

Hay que mencionar que las Entidades Financieras están encargadas de la regulación de recursos, donde se tiene un objetivo claro sobre sus actividades que es producir y consumir.

Además, administra los depósitos realizados y da como prestación a los ciudadanos que necesitan de este recurso.

En el Ecuador los sistemas financieros son conformados por bancos, sociedades financieras, cooperativas y mutualistas,

donde se integran las instituciones públicas, sujetas a la Superintendencia de bancos.

Cuando hablamos de instituciones financieras englobamos el funcionamiento al desarrollo económico, ya que un préstamo se adquiere para establecer una inversión productiva.

Meachen (2010) afirma que un banco es como una alcancía gigante, si tienes mucho dinero y tu alcancía está llena, entonces tú y tus padres pueden abrir una cuenta de ahorros. Una cuenta de ahorros se puede abrir en un banco. El banco se encarga de cuidar tu dinero (pp.5-6).

Se creó esta división de bancos públicos y privados en 1992 y 1993, y a partir de 1994 se generó una explosión en el crecimiento del crédito. (Trujillo, 2001).

Las entidades de crédito se encargan de administrar el dinero ajeno, lo reciben y entregan a través de diferentes modalidades ya sea a empresas o individuos demandantes del servicio.

Se le concede un préstamo a quienes aspiran temporalmente beneficiarse con su uso, beneficia a quien hace el préstamo por que a cambio de la prestación obtiene algo a cambio.

Drucker (1990) afirma que “La calidad no es lo que se pone dentro de un servicio, es lo que el cliente obtiene de él y por lo que está dispuesto a pagar” (p. 41).

Se dice estadísticamente si el interés es alto la inversión es alta, debido a que invertir está lleno de incertidumbres ya que se presentan cambios en el entorno, porque no todos los negocios resultan rentables como se espera.

Existen varios tipos de interés, estos son: Tasa de interés nominal: Es el porcentaje que se agrega al capital, como una remuneración durante un periodo determinado.

Tasa de interés efectiva: Se da de forma anual nominal y esta depende del convenio de pago.

• Tasa de interés real: Permite reconocer el interés real que se da a cambio de la inversión.

• Tasa de interés variable: Se actualiza mensual o trimestralmente, por lo general esta se basa en una tasa de referencia.

• Tasa de interés fija: Tasa de interés que no se cambia desde el inicio hasta el final del préstamo.

Hay que mencionar, además que cada tasa de interés está compuesta de ventajas y desventajas, pero cada quien adquiere su prestación económica como le convenga.

Las instituciones financieras están vistas por: La percepción de la calidad del servicio que está dividida en seguridad, sensibilidad, fiabilidad, interfaz web, interacción y empatía.

La fiabilidad está compuesta por la promesa de servicio, tiempo y funcionalidad.

Comentado [BL4]: Deberán realizar la subordinación de variables y eso es un Anexo

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La interfaz web está compuesta por la navegabilidad, actualizaciones, interfaz visual, información, funciones interactivas y la accesibilidad.

La interacción está compuesta por rapidez, servicio 24/7, disponibilidad, contacto web, otros contactos y login.

Finalmente, la empatía está compuesta por comprensión, servicio personalizado, adiciones y simpatía (Reyes Gonzalez, 2010).

Los bancos hoy en día no cumplen con el objetivo de ayudar a las industrias y al personal productivo, no se pedía mayor garantía por la prestación económica.

En este tiempo para adquirir un préstamo bancario se da un avance de la tasa de interés y se exige garantías antes del préstamo esto hace tanto el banco privado como público.

Riesgos financieros que corren los Bancos:

Ilustración 3 Gestión y Control del Riesgo de Crédito en el Banco

En la tasa de interés se dice que hay dos modelos: Modelo de consumo hoy: Los intereses se cobran anticipadamente, sin generar un proceso de capitalización ya que en este sistema los intereses se pagan en un determinado período, sin dar lugar a procesos de reinversión.

Modelo de más tarde: Este modelo emplea el término equivalencia o capitalización de intereses (Molinares, García, Pantoja & Zambrano, 2009).

Ilustración 1 Modelo Conceptual metodología SERVQUAL

Las tasa de interes según el sistema ecuatoriano establecida para el banco se clasifican en:

Las tasas más comunes establecidas por toda entidad financiera son la efectiva y nominal en esta encontramos diferencias como: • En períodos menores a un año la tasa nominal es mayor que la tasa efectiva.

• En períodos mayores a un año la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal.

Las políticas económicas y monetarias relativas a las tasas de interés han jugado un papel importante en la economía mundial.

A medida que aumenta el nivel de actividad en los negocios, la política monetaria toma decisiones sobre el dinero y sobre sus implicaciones.

La base de datos con respecto al interés internacional demuestra información macroeconómica, siendo un punto de vista fundamental para la toma de decisiones por parte de inversionistas y de los países.

III. METODOLOGÍA Esta investigación dispone de un enfoque cuali-cuantitativo, debido a que permite asignar valores numéricos u observaciones. Además, permite realizar una comparación entre una institución bancaria privada y pública.

Ilustración 2 Clases de Tasas de Interés

Comentado [BL5]: ESTE punto es el 3 detallar la metodología , pueden hacer un cuadro de las entidades a trabajar

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TABLA I BANCO PRIVADO (Banco de Guayaquil) Su objetivo es satisfacer las necesidades como inversiones, planificación patrimonial y fiscal de personas que tengan un elevado patrimonio

BANCO PÚBLICO (BanEcuador) Su objetivo es satisfacer las necesidades de los individuos que posean un patrimonio bajo.

Su capital es aportado por accionistas.

Su capital el aportado por el Estado

Normalmente las personas jurídicas guardan su dinero en los bancos privados por que poseen una mayor seguridad.

Quienes acuden a los bancos públicos son normalmente las personas naturales, su seguridad no es tan estricta como la de un banco privado.

Los requisitos para acceder a un crédito es presentar las declaraciones del IVA impuesto a la renta del último año, y RUC con ingresos comprobables de los últimos 3 años, tener entre 22 y 70 años, si aplica la cédula de identidad del cónyuge, planilla de servicios básicos.

Los requisitos para acceder a un crédito es la presentación de la cédula, la planilla del servicio y el RUC de ser necesario

Los multi-créditos se pagan hasta 60 meses de plazo, el cliente decide l día de pago del dividendo mensual, los pagos se pueden hacer atreves de la App

El BanEcuador no concede multicréditos, únicamente presta créditos y microcréditos productivos, con orientación al sector urbano y rural

Los créditos son concedidos solo si el individuo no es de escasos recursos y si tiene un empleo estable La tasa de interés de una póliza digital es de hasta 5.95%. El monto mínimo de inversión en línea es $500.

La institución financiera privada Banco de Guayaquil, su calificación es AAA.Esto demuestra que la institución es muy fuerte, tiene un sobresaliente historial de utilidades y posee una excelente reputación en el medio en el que labora. Si existen inconsistencias o fragilidades en cualquier aspecto de las actividades de la organización, puede ser amortiguado por completo por la solidez con la que cuenta la institución.

Conceden créditos a familias de escasos recursos o para construcciones sociales.

La tasa de interés de una póliza digital es de hasta 7%. El monto mínimo de inversión en línea es $100.

Según la Autoridad Reguladora Bancaria, la institución financiera pública BanEcuador tiene una clasificación A-, lo que significa que la institución es fuerte, tiene un buen historial financiero y es muy receptiva en el medio en el que labora. Puede haber algunas debilidades, pero es poco probable que el problema afecte su fuerte posición.

RESULTADOS TABLA II PÓLIZA DE ACUMULACIÓN Entidad financiera Fórmula del interés

𝐼 =𝐶∗𝑟∗𝑡 Donde “I” es el interés, “C” es el capital invertido, “r” es el redito o tasa de interés y “t” es el tiempo

Ejemplo

El señor Juanito Pérez invirtió $500 en una póliza de acumulación en el banco Guayaquil el 15 de febrero de 2020 y retiro su dinero el 14 de febrero de 2021. Calcule el interés simple exacto.

Datos 𝑟 = 5.95% 𝐶 = $500 𝐹. 𝑜 = 15 − 𝐹𝑒𝑏 − 2019 𝐹. 𝑓𝑖𝑛 = 14 − 𝐹𝑒𝑏 − 2020 𝑡. 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 =365 días 365 Desarrollo 𝑡= Feb 14 366 Mar 31 Abr 30 t=0.9972677596 May 31 Jun 30 Jul 31 5.95 𝑟= Ago 31 100 Sep 30 𝑟 = 0.0595 Oct 31 Nov 30 Dic 31 Ene 31 𝐼 =𝐶∗𝑟∗𝑡 Feb 14 𝐼 = 500 ∗ 0.0595 ∗ 0.9972677596 T.Exa 365 𝐼 = 29.67 Elaborado: Caiza, Cuñez, Freire, Llamuca, Masaquiza y Moreta

TABLA III PÓLIZA DE ACUMULACIÓN Banco de BanEcuador Fórmula del interés

Ejemplo

Datos

Desarrollo Elaborado: Caiza, Cuñez, Freire, Llamuca, Masaquiza y Moreta

Banco de Guayaquil

𝐼 =𝐶∗𝑟∗𝑡 Donde “I” es el interés, “C” es el capital invertido, “r” es el redito o tasa de interés y “t” es el tiempo El señor Juanito Pérez invirtió $500 en una póliza de acumulación en el banco BanEcuador el 15 de febrero de 2020 y retiro su dinero el 14 de febrero de 2021. Calcule el interés simple exacto. 𝑟 = 7% 𝐶 = $500 𝐹. 𝑜 = 15 − 𝐹𝑒𝑏 − 2019 𝐹. 𝑓𝑖𝑛 = 14 − 𝐹𝑒𝑏 − 2020 𝑡. 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 =365 días 365 𝑡= Feb 14 366 Mar 31 Abr 30 t=0.9972677596 May 31 Jun 30 Jul 31 7 𝑟= Ago 31 100 Sep 30 𝑟 = 0.07 Oct 31 Nov 30 Dic 31 Ene 31 𝐼 =𝐶∗𝑟∗𝑡 Feb 14 𝐼 = 500 ∗ 0.07 ∗ 0.9972677596 T.Exa 365 𝐼 = 34.90

Elaborado: Caiza, Cuñez, Freire, Llamuca, Masaquiza y Moreta

Comentado [BL6]: ESTO es el punto 4, los cuadros comparativos y poner sus criterio con relación a los resultados.

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IV. CONCLUSIONES En la tabla II y III se puede apreciar las fórmulas necesarias para realizar los cálculos y obtener los intereses generados. Donde partiremos de la fórmula de interés simple para calcular las ganancias de las pólizas en las instituciones financieras con la diferencia de sus réditos; para resolver los ejercicios planteados debemos primero separar los datos, luego empezamos con el desarrollo. Primero calculamos el tiempo exacto en días para realizar la transformación en años y así obtener el valor con el que trabajaremos. Además, sacamos el porcentaje del rédito y con todos los datos obtenidos podremos determinar las ganancias que genera cada banco.

Con respecto al primer punto, se determinó que BanEcuador genera mayor interés en las pólizas.

• Por tanto, el capital de BanEcuador es aportado por el Estado y normalmente acuden a él las personas naturales ya que sus intereses son altos.

DISCUSIÓN

V. BIBLIOGRAFÍA

De acuerdo a los resultados obtenidos en la investigación, para realizar la comparación de la tasa de interés de una póliza de acumulación, en una institución financiera del Ecuador ya sea esta, del sector público o privado, de los cuales se han tomado datos del Banco de Guayaquil (privado) y BanEcuador (publico), la mejor opción para las personas que realizan este tipo de inversiones son las instituciones públicas como BanEcuador, el cual ofrece una tasa de interés del 7%, ocasionando que el inversor genere más ganancias. Dicho lo anterior conviene resaltar a Heras, Zurita, Palacios y Parra (2019) quienes determinan que la tasa de interés de dicho banco es competitiva, pero está institución no cuenta con una administración adecuada que permita verificar cada uno de los depósitos a plazo fijo que se realizan, ocasionando pérdidas de los mismos, generando desconfianza en los clientes.

En cuanto al sistema bancario del sector privado como el Banco de Guayaquil la tasa de interés en este tipo de inversiones es del 5,95%, el cual en comparación con la banca del sector público es menor y por ende genera menores ganancias para los inversores. A continuación, para Chahin (2019) es más importante analizar varios factores que afecten a la economía del país como la devaluación de la moneda y así poder determinar la tasa de interés en las instituciones bancarias de Colombia como BanColombia.

Acorde con el estudio sobre las tasas de interés en cuanto a pólizas de acumulación, a futuro se podría incrementar con las demás instituciones bancarias existentes en el país, tanto públicas como privadas, así mismo se podrían añadir a dicho estudió a las Cooperativas ya que estas instituciones podrían ofrecer mejores tasas de interés en comparación a los bancos.

• Es así que, al momento de ahorrar dinero en una póliza de acumulación nos conviene BanEcuador (publico), ya que tiene una tasa de interés alta, de esta forma el inversor obtiene más ganancias en comparación con el banco privado.

• En definitiva, el Banco de Guayaquil tiene más confiabilidad en el mercado ya que tiene más seguridad a diferencia de BanEcuador, según la Calificación de Riesgo Instituciones Financieras.

[1] Alfaro, A. C., & Santos, R. A. (2015). El análisis técnico y fundamental en un contexto de globalización: Bancolombia. Aglala, 6(1), 1-37.

[2] Andrade, M. P. (2020). Diagnóstico de la percepción que tienen los usuarios sobre la calidad de productos y servicios que brinda BanEcuador BP sucursal Tulcán. SATHIRI, 15(1), 190-210.

[3] Banco Finandina. (2020, 13 marzo). Tipos de tasa de interés: diferencias, pros y contras. Default. https://www.bancofinandina.com/finanblog/noticias/202 0/03/13/tipos-de-tasa-de-interes

[4] Chahin Camero, A. (2019). Estimación del valor del equity de Bancolombia (Bachelor's thesis, Uniandes).

[5] Chery Josue, A. (2018). Inversiones en papeles fiduciarios de la empresa APAO tierra nueva de la ciudad de Machala aplicando NIC 32.

[6] Fernández, R. (1986). Los costos de intermediación financiera en el sistema bancario privado de Argentina. Revista Libertas N, 5.

[7] Heras, R. L. Y., Zurita, C. I. N., Palacios, M. M. T., & Parra, Y. L. O. (2019). Examen especial a la cuenta de depósitos a plazo fijo de BanEcuador sucursal Cuenca, por el período comprendido entre el 01 de enero al 31 de diciembre de 2018. Visionario Digital, 3(2.1.), 527-549.

[8] Mora Cordero, E. R. (2019). Seguimiento De

Créditos Otorgados Por Banecuador Agencia Vinces (Bachelor's thesis, Babahoyo).

Comentado [BL7]: Aquí deberán realizar un contraste entre lo revisado en el Estado del Arte y su investigación (resultados) máximo de 3 párrafos

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[9] Pérez Cidoncha, L. A. (2018). Análisis financiero, fiscal y contable de la póliza de crédito.

[10 Sabino, M. F. (2015). Sistema bancario argentino. ]

Anexos:

Ilustración 1 Tasa de interés de BanEcuador

Ilustración 2 Certificados de Inversión- Ahorro Programado BanEcuador

Ilustración 3 Tasa de interés del Banco Guayaquil

Ilustración 4 Requisitos del Banco Guayaquil

Ilustración 5 Calificadora de riesgos en las Instituciones financieras públicas y privadas

Ilustración 6 Calificadora de riesgos en las Instituciones financieras públicas y privadas

Ilustración 7 Tasa de Interés del Banco Guayaquil

Ilustración 8 Tasa de interés BanEcuador

Ilustración 9 Determinantes de los tipos de interés

Ilustración 10 ECONOMÍAUNAM

Ilustración 11 El banco de la desolación

Ilustración 12 Fundamentos De Matemáticas Financieras

Ilustración 13 Crédito Bancario

TAREAS