CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE
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Esercizio 3.4: Elasticità e Cobb-Douglas Siano le preferenze di un consumatore descritte dalla generica funzione Cobb-Douglas: 2
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U = x 3 y 3 . Siano px , py e R i prezzi dei due beni e il reddito.
a) Mostrare che le preferenze sono convesse b) Calcolare la scelta ottima per il consumatore. c) Determinare l’elasticità della domanda di x rispetto al proprio prezzo, rispetto al prezzo del bene y e rispetto al reddito
Soluzione a) se U(x, y) = x2/3 y1/3 possiamo effettuare una trasformazione monotona essendo le funzioni d’utilità ordinali e non cardinali. In questo caso ad esempio possiamo trasformare la funzione d’utilità originaria in U(x, y) = x2 y Tale nuova funzione conserva l’ordine delle preferenze della funzione di partenza. Dopodiché si agirà come nell’esercizio precedente. b) L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: px SMS y, x = p y R = p x + p y x y
L’SMS del consumatore è dato dal rapporto tra le utilità marginali dei due beni: Operando sulla funzione U(x, y) = x2 y (ma operare con U(x, y) = x2/3 y1/3 conduce esattamente agli stessi risultati) si ottiene: UM x =
∂U = 2 x 2−1 y = 2 xy ∂x
UM y =
∂U = x2 ∂y
Iacopo Grassi - 2004