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INDICE CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA 1.1

Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata

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5

1.2

Esempio: Un’applicazione economica - il vincolo di bilancio Sistemi lineari

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8

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9

Esempio: Un’applicazione economica - curve di domanda e di offerta Funzioni non lineari e derivate di funzioni elementari

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10

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11

1.3 1.4 1.5

CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’ 2.1

Equilibrio di mercato e spostamento delle curve

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16

2.2

Equilibrio di mercato e controllo sui prezzi

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18

2.3

Elasticità

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21

2.4

Interpolazione della curva di domanda

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24

2.5

Equilibrio e Tasse

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25

CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE 3.1

Scelta del consumatore

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29

3.2

Scelta ottima date le utilità marginali

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31

3.3

Convessità

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32

3.4

Elasticità e Cobb-Douglas

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34

3.5

Beni sostituti

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37

3.6

Cobb-Douglas, effetto reddito e effetto sostituzione

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41

3.7

Beni complementari e effetto sostituzione

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44


3.8

Effetto reddito ed effetto sostituzione

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46

3.9

Effetto reddito ed effetto sostituzione secondo Hicks

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47

3.10 Preferenze concave

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49

3.11 Scelta ottima con tre beni

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50

3.12 Traslazione di una funzione Cobb-Douglas

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51

3.13 Imposta sul reddito vs imposta sulla quantitĂ

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53

CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA PERFETTA 4.1

Rendimenti di scala

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55

4.2

Determinazione della funzione di costo

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56

4.3

Costi di produzione

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58

4.4

Numero di imprese in concorrenza

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60

4.5

Equilibrio concorrenziale di breve e di lungo periodo

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61

CAPITOLO 5. MONOPOLIO 5.1

Scelta ottima di un monopolista e imposte

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65

5.2

Perdita di benessere del monopolio

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67

5.3

Monopolista con piĂš impianti

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69

5.4

Benessere Sociale con un bene discreto

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71

5.5

Discriminazione di prezzo del terzo tipo

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74

5.6

Vendite a pacchetto

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75


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO 6.1

Equilibrio di Cournot ed equilibrio di Stackelberg

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78

6.2

Ripetizione generale

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79

6.3

Concorrenza alla Cournot e alla Bertrànd

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83

6.4

La concorrenza basata sul prezzo nel caso di beni differenziati

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84

6.5

Collusione

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86

6.6

Cournot con n imprese identiche

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88

6.7

Stackelberg con 3 imprese

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89

6.8

Cenni di teoria dei giochi

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90

6.9

Un gioco infinito

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92

CAPITOLO 7. SCAMBIO 7.1

Efficienza nello scambio

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94

7.2

Scambio con funzioni di utilità non derivabili

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96

7.3

Equilibrio economico

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97

7.4

Equilibrio con produzione

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99

BIBLIOGRAFIA Volumi consigliati

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1.1 Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata. È ormai d’uso comune nei libri, in televisione, nei quotidiani descrivere fenomeni di varia natura per mezzo di rappresentazioni grafiche. Tali rappresentazioni permettono di individuare la posizione di un punto in un piano utilizzando degli assi di riferimento: gli assi cartesiani ortogonali. Essi sono definiti come due rette perpendicolari che si intersecano in un punto detto origine. Per individuare la distanza dagli assi occorre avere un’unità di misura e un verso di percorrenza su ognuno dei due assi. Convenzionalmente da sinistra verso destra per l’asse orizzontale (l’ascissa), e dal basso verso l’alto per quello verticale (l’ordinata). Asse delle ordinate

4 0

A

2

Asse delle ascisse

Ogni punto nello spazio compreso fra i due assi è identificabile. Ad esempio il punto A è quel punto che ha come valore dell’ascissa 2 e come valore dell’ordinata 4. Tali valori prendono il nome di coordinate del punto e si possono indicare così: A (2,4) Lo parte di piano compreso tra gli assi cartesiani prende il nome di piano cartesiano. È molto importante prestare attenzione a cosa rappresentino l’ascissa e l’ordinate: un piano in cui l’ordinata rappresenta il prezzo di un bene e l’ascissa la domanda dello stesso bene, è diverso da un piano su cui sono individuati il reddito di un consumatore e la domanda di un bene, o di un piano su cui sono indicati due beni differenti.

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA

5

Sul piano cartesiano è possibile disegnare le relazioni esistenti tra l’ascissa e l’ordinata. Tali relazioni esprimono come varia l’ordinata al variare dell’ascissa, e viceversa. L’ascissa e l’ordinata, che generalmente in matematica sono indicate con le lettere x e y, sono perciò dette variabili La particolare relazione per la quale ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y prende il nome di funzione di y rispetto a x ed è indicata dall’espressione: y = f (x).. Ad esempio il primo grafico rappresenta una funzione, il secondo no:

y

y

y

y

2

y

1

1

x

1

x

x

x

1

Esempi di funzioni possono essere le seguenti espressioni: y = 10 + 2x y=8–x y = 831/2 – 5274,3 x Tali funzioni sono tutte caratterizzate dal fatto che nessuna delle variabili è elevata ad una potenza diversa da 1 e sono dette funzioni lineari. Nel piano cartesiano esse rappresentano delle rette. In forma generica una retta può essere specificata dall’espressione y=a+bx che prende il nome di equazione esplicita della retta. Tale equazione può anche scriversi in forma implicita ossia: a + b x – y = 0 Iacopo Grassi - 2004


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In ogni caso a prende il nome di intercetta verticale, perché rappresenta il valore della funzione quando incontra l’asse delle ordinate. b prende il nome di coefficiente angolare della retta. Esso esprime l’inclinazione o pendenza della retta rispetto all’asse delle ascisse, e misura come varia il valore dell’ordinata al variare del valore dell’ascissa. Ad esempio se la retta è y = 10 + 2 x 10 è l’intercetta verticale 2 è il coefficiente angolare Si nota che: se x = 0

y = 10 + 2⋅0 = 10

se x = 1

y = 10 + 2⋅1 = 12

se x = 6

y = 10 + 2⋅6 = 22

Per ogni variazione di x (che in matematica si indica con il simbolo ∆x), vi è una proporzionale variazione di y (∆y). Per individuare il rapporto di proporzionalità considero ∆y che prende il nome di rapporto incrementale. ∆x

Ad esempio se il valore di x passa da 0 a 6, quello di y passa da 10 a 22. Il valore del rapporto incrementale sarà: ∆y 22 − 10 12 = = =2 ∆x 6−0 6

Se il valore di x passa da 1 a 2, quello di y passa da 12 a 14. Il valore del rapporto incrementale sarà: ∆y 14 − 12 2 = = =2 ∆x 2 −1 1

Generalizzando è possibile dire che nel caso di una retta il valore del rapporto incrementale è costante e pari al coefficiente angolare della retta stessa. Iacopo Grassi - 2004


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Se considero incrementi di x molto piccoli (che in matematica si indicano con l’espressione lim ∆x→0,che si legge limite per delta x che tende a 0), il rapporto

∆y prende il nome di ∆x

derivata. Ossia la derivata è il lim ∆x→0 del rapporto incrementale, e nel caso di una retta è costante e pari al coefficiente angolare della retta stessa. Disegnare il grafico di una retta è piuttosto semplice. Dato che nel piano per 2 punti passa una ed una sola retta basta individuare 2 punti appartenenti alla retta ed unirli. Nel nostro esempio sappiamo già che i punti di coordinate (1, 12) e (6, 22) appartengono alla retta: y 22 12

1

6

x

Esercizio 1.1 Disegna le seguenti rette: y=2–x y=2+x y = 10 – x y = 2 + 2x 2–x–y=0 Quali sono fra loro parallele ? Quali sono fra loro perpendicolari? Quali hanno la stessa intercetta verticale ma differente inclinazione?

Indica anche il coefficiente angolare (ossia la derivata) di tali funzioni Iacopo Grassi - 2004


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1.2 Esempio: Un’applicazione economica - il vincolo di bilancio In economia il vincolo di bilancio di un consumatore che può acquistare 2 beni è dato dall’espressione: p1 x1 + p2 x2 = m p1 e p2 rappresentano i prezzi dei due beni e m il reddito del consumatore. Le variabili sono quindi in questo caso i due beni x1 e x2. Esplicitando l’espressione rispetto a x2 si ottiene: x2 =

m p1 − x1 p2 p2

Ponendo

p m = a e 1 = b si ottiene x2 = a – b x1, che è un espressione analoga a quella vista p2 p2

nel paragrafo precedente. L’intercetta del vincolo di bilancio è quindi data da

p m e il coefficiente angolare da − 1 p2 p2

x2 Intercetta verticale m p2

Coefficiente angolare

p1 p2

x1

Chiaramente se si modificano il reddito m o i prezzi dei due beni, il vincolo di bilancio cambia. Esercizio 1.2 Disegna sul medesimo grafico le seguenti funzioni: 100 = 10 x1 + 5 x2 ;

200 = 10 x1 + 5 x2

100 = 5 x1 + 5 x2;

100 = 20 x1 + 5 x2

100 = 10 x1 + 5 x2 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA

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1.3 Sistemi lineari Consideriamo due rette, ad esempio: y=x+5

e

y = 10 – x

Disegnandole si nota che esse si intersecano in uno ed un solo punto appartenente ad entrambe: y 10 7.5 5

0

2.5

10

x

Per individuare analiticamente tale punto bisogna risolvere un sistema tra le due equazioni: y = x + 5  x = 2,5 ⇒ x + 5 = 10 − x ⇒    y = 10 − x  y = 7,5

Non sempre questi sistemi (che sono detti sistemi lineari) hanno una sola soluzione: se le rette sono parallele non vi sono soluzioni, ossia le due rette non si intersecano mai, se le rette coincidono vi sono infinite soluzioni.

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CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA

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1.4 Esempio: Un’applicazione economica - curve di domanda e di offerta

La curva di domanda di un bene indica come varia la quantità domandata di un bene al variare del proprio prezzo, la curva di offerta indica come varia la quantità offerta al variare del prezzo. Le variabili sono quindi in questo caso prezzo e quantità. L’equilibrio economico è dato dall’intersezione fra la curva di domanda e di quella di offerta. Se tali espressioni sono date da: Domanda: pd = 18 – 3 qd Offerta: po = 6 + qo In equilibrio la quantità e il prezzo sono uguali, ossia: pd = po = p e qd = qo = q L’equilibrio economico sarà dato dalla soluzione del sistema lineare formato dalle due espressioni:  p = 18 − 3q  p* = 9 ⇒ 18 − 3q = 6 + q ⇒   p = 6 + q q* = 3

p pd = 18 – 3 qd

9

po = 6 + qo

3

q

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CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA

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Esercizio 1.3 Risolvi i seguenti sistemi di equazioni lineari: y = x  100 = 10 x + 10 y

x  y = +1 2  212 = 10 x + y

 p = 10 − q  p = q

1.5 Funzioni non lineari e derivate di funzioni elementari Si è mostrato che per una retta il coefficiente angolare è costante e coincide con la derivata. Quando si ha a che fare con funzioni non lineari non è più così. Si consideri la seguente curva (che è la rappresentazione grafica della funzione y = x )

y

∆y3 ∆y2

∆y1

∆ x1

∆ x2

∆ x3

x

In questo caso ad incrementi uguali di x non corrispondono incrementi uguali di y, ossia il rapporto incrementale

∆y non è costante: l’inclinazione cambia in ogni punto e non ∆x

possiamo quindi ragionare come nel paragrafo 1.1 per calcolare la derivata. Per risolvere il problema abbiamo bisogno del concetto di tangente. Una tangente è una retta che tocca la curva in un punto e in quel punto ha la stessa inclinazione della curva.

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CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA

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Ad esempio nel primo grafico la retta non è tangente alla curva, perché pur toccandola solo in quel punto non ne ha lì la stessa pendenza. Nel secondo grafico lo è.

y

y

x

x

Esiste una definizione più precisa di tangente ad una curva in un punto, per la quale dobbiamo utilizzare la nozione di corda di una curva: la corda è un segmento che unisce due punti distinti della curva A e B. La tangente è la posizione limite di una corda della curva al tendere di xB a xA, ossia per lim

∆x→0.

y

y

∆y yB yA

Β

yB

∆y yA

Α

xA

xB

∆x

x

Α

Β

xA xB ∆x

x

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CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA

La tangente ad una curva può quindi essere definita come lim ∆x→0 di

13

∆y . ∆x

Essa è quindi l’inclinazione della curva in quel punto e la sua derivata. Dato che l’inclinazione della curva non è costante, la derivata in questo caso non è costante. Abbiamo quindi bisogno di regole di derivazione di funzioni elementari. Va prima notato che esistono diverse notazioni per indicare la derivata di una funzione. Nel caso la funzione sia del tipo y=f(x) le seguenti notazioni indicano tutte indifferentemente la derivata della funzione: ∂y dy , , y ′ , f ′(x ) , f ′ , Dy ∂x dx

Regole di derivazione: Derivata di una funzione costante: ∂y = 0 essendo y costante nessuna variazione di x determina variazioni di y. ∂x

y=k⇒

Derivata di una funzione lineare: y = ax + b ⇒

∂y =a ∂x

Derivata di una funzione potenza: y = ax n ⇒

∂y = n ⋅ a ⋅ x n−1 ∂x

Derivata di una funzione logaritmo: y = log x ⇒

∂y 1 = ∂x x

Esempi: y =3⇒

∂y =0 ∂x

y = 5 x + 10 ⇒ y = 5x3 ⇒

∂y =5 ∂x

∂y = 3 ⋅ 5 ⋅ x 3−1 = 15 x 2 ∂x

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CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA 1 2

y=x ⇒

∂y 1 = ⋅x ∂x 2

1 −1 2

=

1 x 2

14

1 − 2

Le funzioni elementari si possono combinare fra loro attraverso le operazioni elementari. Somma algebrica di funzioni: la derivata di una somma di funzioni è la somma delle derivate Moltiplicazione fra funzioni: y = f ( x) ⋅ g ( x) ⇒ Divisione fra funzioni: y =

∂y = f ′( x) ⋅ g ( x) + g ′( x) ⋅ f ( x) ∂x

∂y N ′( x) ⋅ D( x) − D′( x) ⋅ N ( x) N ( x) ⇒ = ∂x D( x) (D( x) )2

Ad esempio se: y = 3x 2 − x + 7 ⇒ y = 3x ⋅ log( x) ⇒ y=

∂y = 6x − 1 ∂x

1 ∂y = 3 ⋅ log( x) + ⋅ 3 x ∂x x

x2 ∂y 2 x ⋅ (1 + x) − 1 ⋅ x 2 = ⇒ 1+ x ∂x (1 + x )2

Ovviamente è possibile utilizzare le stesse regole di derivazione per derivare funzioni in due o più variabili. Ad esempio se si ha f(x,y)=5xy è possibile derivare sia rispetto a x che rispetto a y: ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) = 5y e = 5x ∂x ∂y

Se la funzione è f(x,y)=x2y, le derivate saranno ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) = 2 xy e = x2 ∂x ∂y

Esercizio 1.4 Deriva le seguenti funzioni o combinazioni di funzioni: 1 3

y=x ;

y=x

3 2

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y = x −1 ;

y=

CAPITOLO 1. ELEMENTI DI MATEMATICA 1 y= x

x2 ; 1− x

y=

15

log x x

y = x 2 ⋅ log x

Deriva rispetto ad entrambe le variabili le seguenti funzioni: f ( x, y ) = x 3 y ;

f ( x, y ) = log x + log y

f ( x, y ) = x −1 y 2 ;

f ( x, y ) = x 2 y 2

1

1

f ( x, y ) = 2 x + 3 y

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Esercizio 2.1: Equilibrio di mercato e spostamento delle curve La quantità domandata di un certo bene è descritta dalla funzione : Q

D

= 10 −

1 p 2

(D)

la quantità offerta è descritta dalla funzione: Q = 6p −3 S

(S)

a) determinare (anche graficamente) la configurazione d’equilibrio del mercato b) determinare (anche graficamente) come cambia l’equilibrio di mercato a seguito di uno shock positivo sull’offerta tale per cui la nuova curva di offerta è Q ′ = 6 p + 2 (S’), e di uno shock negativo sulla domanda per cui la domanda cala del S

20%. Soluzione a) L’equilibrio di mercato si ha in corrispondenza del livello di prezzo per cui la quantità domandata è uguale a quella offerta. Il prezzo di equilibrio si ottiene quindi eguagliando domanda e offerta: QD = QS ⇒ 10 −

1 p = 6p −3. 2

Da quest’ultima equazione, portando a sinistra dell’uguale i termini con l’incognita (p), a destra quelli senza incognita, e cambiando di segno si ottiene: 6p +

1 12 p + 1 p 13 2 p = 10 + 3 ⇒ = 13 ⇒ p = 13 ⇒ p = 13 ⋅ ⇒ p = 2 2 2 2 13

Sostituito nella funzione di domanda o in quella di offerta, tale prezzo determina la quantità scambiata in equilibrio: 1 Q = 10 − 2 = 9 (oppure Q = 6 ⋅ 2 − 3 = 9 ) 2

L’equilibrio di mercato è quindi determinato da p=2 e Q=9 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

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Graficamente:

p 20

D

S 2 0

9

Q

b) Per determinare il nuovo equilibrio di mercato è necessario conoscere le nuove funzioni di domanda e di offerta. Quella di offerta è già indicata nel testo: Q ′ = 6 p + 2 S

Quella di domanda va calcolata. La quantità domandata è diminuita del 20%, ossia la nuova domanda sarà: QD′ = QD − 0,2QD = 0,8QD (esercizio: il vostro stipendio è di euro 1000, purtroppo subite una riduzione di stipendio del 20%, quale sarà il vostro nuovo stipendio?) Quindi: QD′ = 0,8(10 −

1 2 p) = 8 − p (D’) 2 5

Il nuovo equilibrio di mercato si ottiene eguagliando S’ e D’: 6p + 2 = 8− p=

2 p , da cui operando come in precedenza si ottiene: 5

15 61 e Q= 16 8

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CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

18

p 20

D'

D

S 15/16 0

S' 61/8

Q

Nel grafico osserviamo che la nuova curva di offerta è una traslazione parallela verso il basso di quella originale: l’intercetta verticale è cambiata, il coefficiente angolare – ossia la pendenza - è rimasto immutato (esercizio: determinare le intercette verticali e i coefficienti angolari delle due funzioni di offerta S e S’). Invece la curva di domanda ruota. (esercizio: determinare le intercette verticali e orizzontali e i coefficienti angolari delle due funzioni di offerta D e D’)

Esercizio 2.2: Equilibrio di mercato e controllo sui prezzi Le funzioni di domanda e di offerta in un determinato mercato sono rispettivamente: Q

D

=9− p

QS =

(D)

1 p (S) 2

a) Si determini l’equilibrio di mercato b) Si determini come si modifica l’equilibrio a seguito dell’introduzione, da parte dello Stato, di un tetto di prezzo pari a p = 4 c) Si determini come si modifica l’equilibrio a seguito dell’introduzione, da parte dello Stato, di un pavimento di prezzo pari a p = 8

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CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

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Soluzione a) L’equilibrio di mercato si ottiene eguagliando domanda e offerta: D = S 9− p =

1 p 2

da cui si ottiene la soluzione p=6 e Q=3.

p S

6

D

0

3

Q

b) Un tetto di prezzo non è altro che un livello di prezzo massimo oltre il quale non è consentito effettuare scambi di merci1. Essendo la funzione di domanda Q

D

= 9 − p , in corrispondenza di un prezzo pari a 4, la

quantità che i consumatori sono disposti ad acquistare sarà: Q

D

=9−4 =5

1 2

La quantità che i produttori sono disposti a vendere sarà: QS = 4 = 2 Sul mercato si verificherà quindi un eccesso di domanda: ossia la domanda di mercato supererà l’offerta. In questi casi a “comandare”, ossia a determinare la quantità effettivamente scambiata sul mercato, è il cosiddetto lato corto del mercato, ossia il minore fra domanda e offerta. Nel nostro caso l’offerta QS = 2 . L’eccesso di domanda è pari alla differenza tra domanda e offerta ed in questo caso è pari a 3.

1

Ad esempio la fissazione del prezzo di alcuni generi alimentari di prima necessità, quali il latte o il pane, è spesso imposta e non lasciata al mercato. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

20

Graficamente: p S

4 D

eccesso di domanda

0

2

5

Q

c) Un pavimento di prezzo non è altro che un livello di prezzo minimo al di sotto del quale non è consentito effettuare scambi di merci2. Essendo la funzione di domanda Q

D

= 9 − p , in corrispondenza di un prezzo pari a 8, la

quantità che i consumatori sono disposti ad acquistare sarà: Q

D

= 9−8 =1

1 2

La quantità che i produttori sono disposti a vendere sarà: QS = 8 = 4 Adesso il lato corto del mercato è la domanda, quindi la quantità effettivamente scambiata sarà 1. In questo casi si ha un eccesso di offerta pari a 3. (Esercizio: disegna il grafico dell’eccesso di offerta)

2

Ad esempio nel mercato del lavoro il salario (che rappresenta il prezzo del lavoro), non può scendere al di sotto di certi livelli. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

21

Esercizio 2.3: Elasticità In un determinato mercato le funzioni di domanda e di offerta inverse sono rispettivamente: p = 80 − p=

Q 30

(D)

Q + 5 (S) 20

a) Si determini l’equilibrio di mercato b) Si calcolino l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio c) Si calcolino l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo in corrispondenza di un valore del prezzo p=30 d) Determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a 1 (in valore assoluto) Soluzione a) L’equilibrio di mercato si ottiene eguagliando domanda e offerta: D=S 80 −

Q Q = +5 30 20

da cui si ottiene la soluzione Q=900 e, per sostituzione, p=50

b) L’elasticità della quantità domandata rispetto al prezzo, indica la variazione percentuale della quantità domandata di un bene rispetto alla variazione percentuale del proprio prezzo. Se un bene è a domanda elastica basteranno piccole variazioni percentuali del proprio prezzo per determinare grandi variazioni percentuali della quantità domandata3. Se il bene è a domanda rigida (o inelastica), la domanda del bene varierà poco al variare del prezzo.

3

Ciò si verifica in genere se un bene ha dei sostituti, ossia dei beni di natura simile con cui è possibile sostituirne il consumo. Ad esempio l’aumento del prezzo dell’acqua minerale ne determina una diminuzione del consumo, perché è facilmente sostituibile con l’acqua di rubinetto. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

22

L’elasticità della domanda rispetto al prezzo è data dall’espressione: dQD Q dQD p dQD p = εD = D = dp QD dp dp QD p dQD rappresenta la derivata della quantità (ossia della funzione domanda di mercato) dp

rispetto al prezzo. Essendo la funzione domanda di mercato lineare tale derivata è la pendenza della curva di domanda (espressa in forma diretta). Essendo la funzione di domanda inversa p = 80 − QD = 2400 − 30 p . Quindi

Q , la funzione di domanda diretta sarà: 30

dQD = −30 dp

L’elasticità della domanda al prezzo nel punto di equilibrio, ossia nel punto p=50, Q=900 è: εD =

dQD p 50 5 = −30 =− dp QD 900 3

Analogamente l’elasticità dell’offerta rispetto al prezzo è data da: εS =

dQS p dp QS

Essendo la funzione di offerta inversa p = QS = 20 p − 100 . Quindi

Q + 5 , la funzione di offerta diretta sarà: 20

dQS = +20 dp

L’elasticità dell’offerta al prezzo nel punto di equilibrio sarà: εS =

dQS p 50 10 = 20 = dp QS 900 9

c) Per calcolare l’elasticità della domanda nel punto in cui il prezzo è pari a 30, bisogna innanzitutto determinare la quantità corrispondente a tale prezzo sulla curva di domanda. Sostituendo p=30 nell’equazione della curva di domanda diretta si ottiene: QD = 2400 − 30 p = 2400 − 30 ⋅ 30 = 1500 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

23

Quindi in tale punto l’elasticità è: εD =

dQ D p 30 3 = −30 =− dp QD 1500 5

d) Per determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a –1 imponiamo che l’elasticità assuma tale valore. Dal punto a) dell’esercizio sappiamo che la pendenza della curva di domanda è costante e pari a –30. Quindi: εD =

dQ D p p ⇒ −1 = −30 dp QD QD

Da cui si ottiene QD=30p Sostituendo questa espressione nella curva di domanda diretta si ottiene 30p=2400-30p Da cui p=40 e, per sostituzione, Q=1200. Al fine di vedere come varia l’elasticità lungo la curva di domanda, può essere utile rappresentare graficamente tale curva e associare i valori dell’elasticità che abbiamo determinato, ai punti della curva cui corrispondono. p

50 40 30

ε

D

= -5/3

ε

D

= -1

ε

D

= -3/5

D 0

900 1200 1500

2400

Q

Dalla figura si nota che l’elasticità varia lungo la curva, ed è più elevata (in valore assoluto) nella parte alta (esercizio: quanto vale l’elasticità della domanda nell’intersezione con

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CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

24

l’asse verticale?), e decresce progressivamente man mano che ci si muove verso il basso (esercizio: quanto vale l’elasticità della domanda nell’intersezione con l’asse orizzontale?) Si noti che in presenza di una funzione lineare il punto di elasticità unitaria è esattamente il punto medio della curva di domanda che giace nel quadrante positivo. Esercizio 2.4: Interpolazione della curva di domanda La funzione di domanda di un certo bene è lineare. Si è osservato che in corrispondenza di un prezzo pari a 5 la quantità domandata è pari a 30. Si è inoltre stimato che in tale punto l’elasticità della domanda ha un valore del 40%. Determinare la funzione di domanda. Soluzione Essendo lineare l’espressione della funzione di domanda è del tipo Q = A − B ⋅ p . Occorre determinare i valori dei parametri A (l’intercetta della curva di domanda) e B (l’inclinazione della curva). L’espressione dell’elasticità è data da: ε= ∂Q ∂p

∂Q p . ∂p Q

rappresenta la derivata della funzione di domanda rispetto al prezzo, ossia

l’inclinazione B. Nel punto di coordinate p = 5, Q = 30 l’elasticità vale 0,4: 0,4 = B ⋅

5 30 ⇒ B = 0,4 ⋅ = 2,4 30 5

Sostituendo il valore di B insieme a quello di p e Q all’interno della funzione di domanda ci permette di ottenere il valore di A: Q = A − B ⋅ p ⇒ 30 = A − 2,4 ⋅ 5 ⇒ A = 30 + 12 = 42

La curva di domanda è quindi pari a: Q = 42 − 2,4 p

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CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

25

Esercizio 2.5: Equilibrio e Tasse Si consideri un mercato in cui la domanda aggregata di un bene è data da QD = 12 – 2p e quella di offerta da QS = 3 + p. a) Si calcolino la quantità e il prezzo d’equilibrio. b) Il governo vuole introdurre un’imposta pari a 3 su ogni unità scambiata del bene. Si determini la nuova quantità d’equilibrio, il prezzo pagato dai consumatori e quello ricevuto dai produttori c) In che modi si ripartisce l’imposta tra produttori e consumatori? Che relazione esiste tra l’elasticità delle curve e l’incidenza di una tassa? d) Si calcoli infine la perdita di benessere sociale Soluzione a) L’equilibrio è dato dall’incontro fra la curva di domanda e quella di offerta: QD = QS 12 – 2p = 3 + p

p = 3 che sostituito in una delle due curve ci da q = 6

p S

Q = 3+p

6

3 D

Q = 12-2p

3

6

12

q

b) Un’imposta di 3 su ogni unità scambiata determina una traslazione verso l’alto della curva di offerta4.

4

Per traslare verso l’alto la curva di offerta bisogna sottrarre l’imposta, nel caso in cui la funzione di offerta sia espressa nella forma Q = f(p) Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

26

Adesso si avrà: QS(t) = 3 + p - 3 Il prezzo che i consumatori fronteggeranno (prezzo di domanda) sarà adesso dato da QD = QS(t) 12 – 2p = p ⇒

p = pd = 4, q = 4

Ma pd = 4 non è il prezzo che i produttori ricevono (prezzo di offerta): dato che ben 3€ sono di tasse, il prezzo d’offerta sarà ps = pd – t = 4 – 3 = 1 p S

Q=p

6 D

P=4

D

Q = 12-2p

S

P=1

3

12

q

c) Il prezzo originario, senza imposta era p = 3, pd = 4 e ps = 1. In questo caso l’aumento di prezzo per i consumatori è solo di 1, mentre la diminuzione di prezzo percepito per i produttori e di 2 (prima ricevevano 3 adesso ricevono 1): sono quindi loro a pagare la maggior parte della tassa (il 66%). Ciò è dovuto al fatto che nel punto d’equilibrio iniziale l’elasticità della domanda è superiore all’elasticità dell’offerta:

εD =

∂q D p 3 = 2 =1 ∂p q 6

⇒ εS =

εD > εS

∂q S p 3 1 =1 = ∂p q 6 2

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CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

27

d) Il Benessere Sociale è dato dalla somma fra il Surplus del Consumatore, quello del Produttore e il Gettito Fiscale, che si suppone sia destinato alla produzione di beni di pubblica utilità. Il Surplus del Consumatore è la differenza tra quanto il consumatore sarebbe disposto a spendere per un bene, e quanto realmente spende, ossia l’area compresa tra la curva di domanda e il prezzo. Il Surplus del Produttore è la differenza tra il prezzo a cui il produttore sarebbe disposto a vendere un bene, e quello a cui realmente lo vende, ossia l’area compresa tra la curva di offerta e il prezzo. Nel caso di funzioni di domanda e di offerta lineari tali aree corrispondono a quelle di semplici figure quali triangoli o trapezi. Il Gettito Fiscale è, in questo caso, pari al prodotto tra la quantità venduta del bene e l’imposta. Nel caso in cui non ci siano tasse si avrà: 6 = 27 2

(Area di un triangolo)

3 = 18,5 2

(Area di un trapezio)

S .C. = (12 − 3) ⋅ S .P. = (3 + 6) ⋅

B.S. = S.P. + S.C. = 45,5 Nel caso in cui sia introdotta la tassa si avrà: S .C. = (12 − 4 ) ⋅ S .P. = (3 + 4) ⋅

4 = 16 2

1 = 3,5 2

G.F . = 3 ⋅ 4 = 12

B.S.’ = 31,5

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CAPITOLO 2. EQUILIBRIO PARZIALE ED ELASTICITA’

28

La perdita di Benessere sociale sarà pari 45,5 – 31,5 = 14, e rappresenta la perdita d’utilità che i consumatori subiscono a causa della distorsione delle scelte dovuta alla tassa.

p

p

S

Q=p

S

Q = 3+p

6

6 D

S.C.

perdita di Benessere Sociale

P=4

S.C.

3

G.F. D

S.P.

D

Q = 12-2p

3

6

12

Q = 12-2p

S

P=1

q

S.P.

3

12

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q


Esercizio 3.1: Scelta del consumatore Un consumatore ha preferenze rappresentate dalla seguente funzione d’utilità: U ( x, y ) = x ⋅ y

a) Mostrare che le preferenze sono convesse b) Determinare la scelta ottima nel caso sia px = 2, py = 1, M = 10 Soluzione a) Se individuiamo due panieri sulla stessa curva di indifferenza e questa è convessa, ogni combinazione lineare di essi (ad esempio la media aritmetica) sarà preferita ai due panieri iniziali (o almeno altrettanto buona). Ad esempio nel nostro caso possiamo considerare i panieri A = (1, 2) e B = (2, 1), Entrambi daranno al consumatore un’utilità pari a 2, infatti: U ( A) = 1 ⋅ 2 = 2 U (B ) = 2 ⋅ 1 = 2

I due panieri sono quindi sulla stessa curva d’indifferenza. Se consideriamo la media aritmetica dei due panieri (ma qualunque combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) otteniamo un terzo paniere C le cui coordinate saranno: XC =

X A + XB 1+ 2 = = 1,5 2 2

YC =

YA + YB 2 + 1 = = 1,5 2 2

U (C ) = 1,5 ⋅ 1,5 = 2,25 > 2 U

Il paniere C, che si ottiene dalla media di A e B, è quindi preferito ai panieri originari (da al consumatore un’utilità maggiore)

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

30

Graficamente: y

2

A

1,5

C

1

B

1 1,5 2

x

b) L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: px  SMS = p y  M = p x + p y x y 

L’SMS del consumatore è dato dal rapporto tra le utilità marginali dei due beni: SMS =

UM x UM y

L’utilità marginale di un bene indica come varia l’utilità di un consumatore al variare del consumo di quel bene. Per tanto per calcolarla occorre derivare la funzione di utilità rispetto al bene in questione.

UM x =

∂U ( x, y ) =y ∂x

UM y =

∂U ( x, y ) =x ∂y

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

31

Sostituendo nel sistema: px UM x y 2  y = 2x  y = 2x  y = 2x UM = p  =  ⇒ x 1 ⇒ ⇒ ⇒ y y  10 5 = ⇒ y=5 10 = 2 x + y 10 = 2 x + 2 x  x = M = p x + p y 10 = 2 x + y 4 2  x y 

Il paniere di scelta ottima è quindi x =

5 = 2,5 , y = 5 2

y 10

5

2,5

x

Esercizio 3.2: Scelta ottima date le utilità marginali Siano, per un generico consumatore, le utilità marginali di due beni x1 e x2 rispettivamente UMG1 =

x2 2 x1

e UMG2 =

x1 2 x2

Calcolare la scelta ottima nel caso sia p1=6 ; p2=3 ; R=36

Soluzione L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: p1  SMS = p2  R = p x + p x 1 1 2 2 

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

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L’SMS del consumatore è dato dal rapporto tra le utilità marginali dei due beni: SMS =

x2 2 x2 UMG1 x ⇒ SMS = ⋅ ⇒ SMS = 2 UMG2 x1 2 x1 x1

Sostituendo nel sistema  x2 6 36  =3  x 2 = 2 x1  x 2 = 2 x1  =  x1 = ⇒ ⇒ ⇒ 12  x1 3 36 = 6 x1 + 3x 2 36 = 6 x1 + 6 x1 36 = 6 x + 3x  x 2 = 2 x1 = 6 1 2 

Esercizio 3.3: Convessità a) Un consumatore ha preferenze rappresentate dalla seguente funzione d’utilità: U(x, y) = x1/2 y1/2 Mostrare che le preferenze sono convesse b) Un consumatore ha preferenze rappresentate dalla seguente funzione d’utilità: U(x, y) = x1/2 + y1/2 Mostrare che le preferenze sono convesse. Soluzione a) se U(x, y) = x1/2 y1/2 possiamo considerare i panieri A = (1, 4) e B = (4, 1), Entrambi daranno al consumatore un’utilità pari a 2, infatti: U (A) = 11/2 41/2 = 2 U (B) = 41/2 11/2 = 2 I due panieri sono quindi sulla stessa curva d’indifferenza. Se consideriamo la media aritmetica dei due panieri (ma qualunque combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) otteniamo un terzo paniere C le cui coordinate saranno: XC =

X A + X B 1+ 4 = = 2,5 2 2

YC =

Y A + YB 4 + 1 = = 2,5 2 2

U (C) = 2,51/2 2,51/2 = 2,5 > 2 Il paniere C che si ottiene dalla media di A e B è preferito ai panieri originari

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

33

b) se U(x, y) = x1/2 + y1/2 possiamo considerare i panieri A = (0, 4) e B = (4, 0), Entrambi daranno al consumatore un’utilità pari a 2, infatti: U (A) = 01/2 + 41/2 = 2 U (B) = 41/2 + 01/2 = 2 I due panieri sono quindi sulla stessa curva d’indifferenza. Se consideriamo la media aritmetica dei due panieri (ma qualunque combinazione lineare andrebbe ugualmente bene) otteniamo un terzo paniere C le cui coordinate saranno: XC =

XA + XB 0+4 = =2 2 2

YC =

Y A + YB 4 + 0 = =2 2 2

U (C) = 21/2 + 21/2 = 2,8 > 2 Il paniere C che si ottiene dalla media di A e B è preferito ai panieri originari.

y 4 A

2

C

B 2

4

x

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

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Esercizio 3.4: Elasticità e Cobb-Douglas Siano le preferenze di un consumatore descritte dalla generica funzione Cobb-Douglas: 2

1

U = x 3 y 3 . Siano px , py e R i prezzi dei due beni e il reddito.

a) Mostrare che le preferenze sono convesse b) Calcolare la scelta ottima per il consumatore. c) Determinare l’elasticità della domanda di x rispetto al proprio prezzo, rispetto al prezzo del bene y e rispetto al reddito

Soluzione a) se U(x, y) = x2/3 y1/3 possiamo effettuare una trasformazione monotona essendo le funzioni d’utilità ordinali e non cardinali. In questo caso ad esempio possiamo trasformare la funzione d’utilità originaria in U(x, y) = x2 y Tale nuova funzione conserva l’ordine delle preferenze della funzione di partenza. Dopodiché si agirà come nell’esercizio precedente. b) L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema: px  SMS y, x = p y  R = p x + p y x y 

L’SMS del consumatore è dato dal rapporto tra le utilità marginali dei due beni: Operando sulla funzione U(x, y) = x2 y (ma operare con U(x, y) = x2/3 y1/3 conduce esattamente agli stessi risultati) si ottiene: UM x =

∂U = 2 x 2−1 y = 2 xy ∂x

UM y =

∂U = x2 ∂y

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

Dato che SMS = SMS =

35

UM x UM y

2 xy 2 y = x x2

Sostituendo nel sistema  y px 2 x = p y  R = p x + p y x y  R = px x + p y

1 px  y = x  2 py = R = p x + p y x y 

1 px 1 3 x = p x x(1 + ) = p x x 2 py 2 2

da cui facilmente otteniamo la domanda di x x=

2 R 3 px

e per sostituzione quella di y y=

1 R 3 py

c) Per quanto riguarda il calcolo dell’elasticità operiamo nella maniera consueta, partendo dalle definizioni di elasticità: ε x , px =

∂x p x ∂p x x

Per calcolare

∂x 2 R può risultare utile scrivere la funzione di domanda x = nella ∂p x 3 px

seguente maniera: x=

2 R ⋅ p x−1 3

2 2 R ∂x = −1 R ⋅ p x− 2 = − 3 3 p x2 ∂p x

Sostituendo nell’elasticità si ottiene: ε x , px =

2 R px ∂x p x =− = −1 3 p x2 2 R ∂p x x 3 px

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

36

L’elasticità della domanda di x rispetto al reddito è data da: ε x,R =

∂x R ∂R x

Essendo x =

2 R 3 px

∂x 2 = quindi: ∂R 3 p x

ε x,R =

∂x R 2 R = =1 ∂R x 3 p x 2 R 3 px

l’elasticità della domanda di x rispetto al prezzo del bene y è data da: ε x , py =

∂x p y ∂p y x

Essendo x =

2 R la domanda del bene x non dipende dal prezzo del bene y 3 px

∂x ∂x p y = 0 quindi ε x , py = =0 ∂p y ∂p y x

Ragionate sul significato economico di tali risultati

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

37

Esercizio 3.5: Beni sostituti

Siano le preferenze di un generico consumatore descritte dalla funzione U=3x+2y. a) Mostrare che le preferenze sono convesse b) Calcolare la scelta ottima nel caso sia px=2 ; py=1 ; R=30 c) Calcolare la scelta ottima nel caso raddoppi il prezzo del bene y d) Determinare e disegnare la funzione di domanda del bene x, considerando py=1 e R=30 Soluzione a) Una semplice maniera per mostrare che una funzione è convessa consiste nel individuare due panieri sulla stessa curva di indifferenza. Ogni combinazione lineare dei due panieri (ad esempio la media aritmetica) sarà preferita (o almeno altrettanto buona) dei due panieri iniziali. In questo caso considero i panieri A( X A , Y A ) = (0,2 ) 4  B( X B , YB ) =  ,0  3 

(Ho arbitrariamente scelto due panieri sui due assi per comodità di calcolo) Essendo U=3x+2y U ( A) = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 = 4 U (B ) = 3 ⋅

4 + 2⋅0 = 4 3

U (A) = U (B) quindi i due panieri sono indifferenti tra loro Considero un paniere C combinazione di A e B (calcolo la media delle coordinate di A e B, ma qualunque combinazione lineare andrebbe ugualmente bene)

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

38

C (XC, YC) X + XB = XC = A 2 YC =

4 3 =2 2 3

0+

Y A + YB 2 + 0 = =1 2 2

2 2  C  ,1 ⇒ U (C ) = 3 ⋅ + 2 ⋅ 1 = 4 3 3 

U ( C) = U (A) = U (B), i tre panieri sono indifferenti tra loro, la funzione è convessa (ma non strettamente convessa) b) Quando si affronta un problema di scelta ottima il primo passaggio è riconoscere le preferenze che la funzione d’utilità descrive. In questo caso i beni sono fra loro sostituti. Dobbiamo quindi confrontare fra loro le utilità marginali dei beni, ponderate dai propri prezzi. Il consumatore preferirà il bene x se l’utilità marginale ponderata di x, sarà superiore a quella di y, ossia se:

UM x UM y , > px py

preferirà il bene y se

UM x UM y < px py

e sarà indifferente se

UM x UM y = px py

Nel nostro caso: UM x 3 = = 1,5 px 2

Poiché

e

UM y py

=

2 =2 1

UM x UM y < il consumatore spenderà tutto il suo reddito per il bene y px py

Ossia: x=0 y=30

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

39

Abbiamo una cosiddetta soluzione dâ&#x20AC;&#x2122;angolo:

y 30

vincolo di bilancio curve di indifferenza

scelta ottima

15

c) Se py=2 avremo: UM x 3 = = 1,5 px 2

Adesso

e

UM y py

=

2 =1 2

UM x UM y > quindi il consumatore spende tutto il suo reddito per il bene x px py

Ossia: x=

30 = 15 e y = 0 2

y

vincolo di bilancio curve di indifferenza

15

scelta ottima 15

x

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

40

d) Il consumatore sarà indifferente tra i due beni se UM x UM y = px py

Ossia considerando i dati del nostro problema se: 3 2 = px 1

⇒ px =

3 = 1,5 2

Quindi se p x > 1,5

UM x UM y < px py

⇒ x=0

p x < 1,5

UM x UM y > px py

⇒x=

p x = 1,5

UM x UM y = px py

⇒ Il consumatore è indifferente tra spendere tutto il

30 px

suo reddito per il bene x, il bene y, oppure per una combinazione dei due:

x ∈ [0,20]

Il grafico della domanda del bene x sarà quindi:

px

domanda di x

1,5

20

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

41

Esercizio 3.6: Cobb-Douglas, effetto reddito e effetto sostituzione Si consideri un individuo le cui preferenze siano descritte dalla funzione d’utilità U(x, y) = xα yβ a) Supponendo che il reddito dell’individuo sia pari a M e che i prezzi dei due beni siamo pari a px e py si determini la scelta ottima dell’individuo. b) Si calcoli la scelta ottima nel caso siano α = 6, β = 2 px = 2, py = 3, e M = 24 c) Si supponga che il prezzo del bene x aumenti del 50%, come varia la quantità domandata del bene? Si calcolino l’effetto reddito e l’effetto sostituzione Soluzione a) Ciò che l’esercizio richiede è calcolare la domanda nel caso di una generica funzione d’utilità Cobb- Douglas. Il Saggio Marginale di Sostituzione sarà: ∂U ( x, y ) ∂U ( x, y ) αx α −1 y β αx α x −1 y β α y SMS = = α β −1 = α β −1 = β x ∂x ∂y βx y βx y y

Imponendo

il

solito

sistema

col

vincolo

di

bilancio

ottengo1:

px α y px β px  SMS = p ⇒ β x = p ⇒ y = α p x : y y y  M = p x + p y x y 

β px  β px y = α p x  β ⇒ M = px x + p y x ⇒ M = p x x 1 +  y  α py  α M = p x + p y x y 

Da cui si ottiene la domanda di x e per sostituzione quella di y: x= y=

1

α

M α + β px

β

M α + β py

Si ricorda che dalla condizione

SMS =

px py

si ottiene la curva reddito consumo, che in questo caso è quindi

y=

β px x α py

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

42

b) Basta sostituire i valori assegnati nel punto b alle generiche funzioni di domanda calcolate nel punto a dell’esercizio. Si avrà: x(M , p x ) =

6 24 =9 6+2 2

y (M , p y ) =

2 24 =2 6+2 3 y 8

scelta ottima

2

9

12

x

c) Il prezzo del bene x è aumentato del 50% ossia adesso p ′x = 3 . Ciò determina una rotazione del vincolo di bilancio e una conseguente diminuzione della domanda di x. Dalle formule calcolate nel punto a ottengo immediatamente la nuova domanda di x: x ′(M , p ′x ) =

6 24 =6 8 3 y 8

nuova scelta ottima 2

6

8

12

x

Per distinguere l’entità della variazione della domanda dovuta all’effetto reddito (essendo salito il prezzo del bene x il consumatore ha meno reddito reale), e l’entità dovuta all’effetto sostituzione (il bene y adesso è relativamente più conveniente), bisogna calcolare quale sarebbe stata la scelta ottima nel caso il consumatore avesse lo stesso potere d’acquisto precedente: ossia il potere d’acquisto che aveva prima che i prezzi cambiassero. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

43

Secondo la definizione di Slutsky2 occorre imporre al consumatore un reddito M’ tale che, con i nuovi prezzi p’x e py, egli possa effettuare la stessa scelta ottima precedente la variazione dei prezzi: in questo caso il paniere x = 9, y = 2. Per fare ciò si deve calcolare il nuovo reddito M’, ossia il nuovo vincolo di bilancio deve passare per il paniere di coordinate (9,2): M ′ = p ′x x + p y y = 3 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 = 33

Con questo nuovo reddito la domanda di x sarà: x ′′(M ′, p ′x ) =

6 33 = 8,25 8 3

L’effetto sostituzione è dato dalla differenza (in valore assoluto) tra x(M , p x ) e x ′′(M ′, p ′x ) L’effetto reddito dalla differenza (in valore assoluto) tra x ′′(M ′, p ′x ) e x ′(M , p ′x ) In questo caso: E.S. = 9 – 8,25 = 0,75 E.R. = 8,25 – 6 =2,25 y 8

x' (M, p' x ) x'' (M', p' x) x (M, px )

2.75

2

6

8.25

E.R.

9

x

E.S.

2

Se si adotta la definizione di Slutsky il potere d’acquisto torna ad essere il precedente se, dopo la compensazione, il consumatore può effettuare esattamente la stessa scelta ottima originaria. Secondo la definizione di Hicks il potere d’acquisto torna ad essere il precedente se, dopo la compensazione, il consumatore può acquistare un paniere indifferente alla scelta ottima originaria.

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

44

Esercizio 3.7: Beni complementari e effetto sostituzione Si consideri un individuo le cui preferenze siano descritte dalla funzione d’utilità U(x, y) = Min (ax, by) a) Si disegni una mappa di curve di indifferenza quando a=2, b=3. b) Supponendo che il reddito dell’individuo sia pari a M e che i prezzi dei due beni siamo pari a px e py si determini la scelta ottima dell’individuo. c) Si calcoli la scelta ottima nel caso siano a=2, b=3, px = 1, py = 1, e M = 10 d) Si supponga che il prezzo del bene x raddoppi, come varia la quantità domandata del bene? Si calcolino l’effetto reddito e l’effetto sostituzione. Soluzione a) La funzione d’utilità U(x, y) = Min (ax, by) descrive beni complementari: il consumatore desidera sempre consumarli nella medesima proporzione, indicata dai parametri a e b. Per disegnare la mappa delle curve d’indifferenza, il primo passo è trovare la curva reddito consumo, determinata dall’uguaglianza tra i due termini all’interno della parentesi: ax = by ⇒ x =

b y a

Nel nostro caso sarà quindi x =

3 y 2

Una volta fatto ciò la mappa della curve d’indifferenza è facilmente disegnabile:

y x=3 y 2

2 3

x

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

45

b) Per calcolare la scelta ottima nel caso di beni complementi non è possibile utilizzare la condizione SMS =

px non essendo la funzione derivabile. py

Si conosce però la curva reddito consumo a cui la scelta ottima deve appartenere. Il sistema diventa quindi bM  b  b  x= x= y b  x = y    pxb + p y a a  x = y  a ⇒ ⇒ ⇒ a  p b + pya  aM M = y x M = p x x + p y y M = p b y + p y   y = x y    a a pxb + p y a    

Che sono le formule generali per determinare la domanda nel caso di beni complementi. c) Basta sostituire i valori assegnati nel punto c alle generiche funzioni di domanda calcolate nel punto b dell’esercizio. Si avrà: x(M , p x , p y ) =

3 ⋅ 10 30 = =6 3+ 2 5

y (M , p x , p y ) =

2 ⋅ 10 20 = =4 3+ 2 5

d) Il prezzo del bene x è raddoppiato: adesso p ′x = 2 . Ciò determina una rotazione del vincolo di bilancio. Dalle formule calcolate nel punto b ottengo immediatamente la nuova domanda di x: x ′(M , p ′x , p y ) =

3 ⋅ 10 30 = = 3,75 2⋅3+ 2 8

Applicando la definizione di Slutsky il consumatore dovrà ricevere una compensazione di reddito tale che coi nuovi prezzi p’x e py egli sarà in grado di acquistare il paniere iniziale x =6, y =4. Bisogna quindi calcolare M’: M ′ = p ′x x + p y y = 2 ⋅ 6 + 1 ⋅ 4 = 16

La domanda di x con questi nuovi dati sarà: x ′′(M ′, p ′x , p y ) =

3 ⋅ 16 48 = =6 2⋅3+ 2 8

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

46

L’effetto sostituzione è dato dalla differenza (in valore assoluto) tra x(M , p x ) e x ′′(M ′, p ′x ) ed è quindi in questo caso nullo (6-6=0). (Esercizio: dare una spiegazione economica di ciò)

Esercizio 3.8: Effetto reddito ed effetto sostituzione Si consideri un individuo le cui preferenze siano descritte dalla funzione d’utilità: U ( x, y ) =

x+ y

a) Si calcoli la scelta ottima nel caso i prezzi dei due beni siano px = 2, py = 1e il reddito del consumatore sia M = 1 b) Si calcoli la nuova scelta ottima nel caso il prezzo del bene x diventi 1, distinguendo fra effetto reddito ed effetto sostituzione Soluzione a) Imponendo la solita condizione di tangenza si ottiene  1 2 x 2 p   y x 12  = SMS  =  y = 2 x y = 4x =2 x=  = 2    py 1 ⇒ x ⇒ ⇒ ⇒ 1 ⇒ 6  12 = 2 x + y 12 = 2 x + 4 x  y = 4 ⋅ 2 = 8 2 y 12 = 2 x + y M = p x + p y  x y    12 = 2 x + y

Il paniere scelto dal consumatore sarà il paniere A (2;8) b) Se il prezzo del bene x diventa 1, ripetendo col nuovo dato il sistema si ottiene:  1 2 x 1 px   y 12   =  y = x y=x x= =6  = 1  SMS = p  1 ⇒ x ⇒ ⇒ 1 ⇒ ⇒ 2 y  12 = x + y 12 = x + x  y = 6 2 y 12 = x + y M = p x + p y  x y    12 = x + y

Adesso il paniere scelto dal consumatore sarà il paniere B (6;6) La domanda di x passa da 2 a 6, occorre distinguere quanta di questa variazione è dovuta all’effetto reddito e quanta all’effetto sostituzione.

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

47

Per annullare l’effetto reddito si applica l’equazione di Slutsky e si ottiene il reddito compensato: M ′ = p ′x x A + p y y A = 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 8 = 10

Quindi la scelta ottima coi nuovi prezzi e il reddito compensato diviene:  1 2 x 1 px   y 10  SMS =  =  y = x =5 y = x =1   x = 1 p 1 ⇒ x ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 y  10 = x + y 10 = x + x  y = 5 2 y 10 = x + y M = p x + p y  x y    10 = x + y

Il paniere scelto dal consumatore dopo la compensazione di Slusky sarà il paniere C (5;5) L’effetto sostituzione è la differenza tra la quantità domandata iniziale del bene x , e la quantità domandata dopo la compensazione. Ossia xA - xC. Il resto è l’effetto reddito. In questo caso, considerando il valore assoluto: E.S. = 5 – 2 = 3 E.R. = 6 - 5 = 1 Esercizio 3.9:Effetto reddito ed effetto sostituzione secondo Hicks Un consumatore ha a disposizione un reddito pari a M = 320 e preferenze descritte dalla funzione d’utilità U = x ⋅ y . a) Determinare il paniere di consumo ottimale in corrispondenza dei prezzi p x = 2 e py = 5

b) Si supponga che il prezzo del bene y diminuisca e che sia p ′y = 4 . Mostrare coma varia la scelta del consumatore distinguendo tra effetto reddito ed effetto sostituzione, applicando la definizione di Hicks. Soluzione a) Essendo la funzione d’utilità una Cobb-Douglas la scelta ottima del consumatore sarà: x=

1 320 1 320 = 80 e y = = 32 (punto A) 2 2 2 5

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

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b) Se il prezzo del bene y passa da 5 a 4 il nuovo paniere di scelta ottima per il consumatore sarà: x=

1 320 1 320 = 80 e y = = 40 (punto B) 2 2 2 4

Per distinguere tra effetto reddito ed effetto sostituzione occorre dare al consumatore una compensazione (in questo caso negativa) del reddito che lo riporti allo stesso livello di utilità precedente la diminuzione del prezzo di y. Occorre dunque calcolare le coordinate di un punto C, che si trovi sulla curva di indifferenza di A e per il quale passi il nuovo vincolo di bilancio. Il sistema da risolvere è il seguente: U A = U c  SMS = p x  p ′y 

La prima condizione ci dice che il punto A e il punto C devono essere indifferenti tra loro. La seconda condizione stabilisce che la curva di indifferenza passante per C sia tangente al vincolo di bilancio determinato dal nuovo rapporto tra i prezzi. Il valore dell’utilità nel punto A è dato da U ( A) = x ⋅ y = 80 ⋅ 32 = 2560 Il sistema diventa quindi: 2560 = xc y c   yc 2 x = 4  c

Dalla seconda condizione si ottiene xc = 2 y c che sostituito nella prima condizione dà 1

 2560  2 2560 = 2 y ⇒ y c =   = 35,78 e quindi xc = 71,55  2  2 c

L’effetto sostituzione è dato dalla differenza y A − y c = 32 − 35,78 = 3,78 L’effetto reddito dalla differenza y B − y c = 38 − 35,78 = 2,22

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

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Esercizio 3.10: Preferenze concave

Siano le preferenze di un consumatore rappresentate dalla funzione d’utilità U = x 2 + y 2 , sia M = 10 il suo reddito e i prezzi dei due beni rispettivamente p x = 1 e p y = 2

a) Mostrare se le preferenze sono convesse. b) Determinare la scelta ottima del consumatore. Soluzione

a) In questo caso le preferenze del consumatore non sono convesse. Infatti operando come di consueto si considerano due panieri indifferenti tra di loro: A(1,2) ⇒ U ( A) = 12 + 2 2 = 5 B(2,1) ⇒ U (B ) = 2 2 + 12 = 5 Il paniere medio C è dato da: xC =

1+ 2 2 +1 = 1,5 e y C = = 1,5 2 2

C (1,5;1,5) ⇒ U (C ) = 1,5 2 + 1,5 2 = 4,5 Siccome U (C ) < U ( A) le preferenze non sono convesse, ma concave. b) Essendo le preferenze concave non è possibile utilizzare la condizione di tangenza SMS =

px , py

la cui applicazione si basa, tra l’altro, sull’ipotesi di convessità delle preferenze. La soluzione è in questo caso d’angolo. Ragionando come nel caso di beni sostituti3 il consumatore acquisterà il bene che costa di meno, in questo caso il bene x, il paniere scelto sarà quindi (10,0). (Es: Quale sarebbe stata la scelta ottima nel caso i due beni avessero avuto lo stesso prezzo?) y

5 scelta ottima 10

x

3

Si può pensare alle preferenze concave come ad un particolare caso di beni sostituti: ad esempio a un consumatore può piacere sia la carne che il pesce, ma non contemporaneamente. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

50

Esercizio 3.11: Scelta ottima con tre beni Si consideri un individuo le cui preferenze siano descritte dalla funzione d’utilità:

U (x, y, z) = (x + 3 y) z Si calcoli la scelta ottima nel caso i prezzi dei tre beni siano px = 1, py = 2, pz = 3 e il reddito del consumatore sia M = 24 Soluzione Il modo più generale per risolvere problemi di ottimizzazione vincolata nel caso di due o più variabili è utilizzare il metodo di Khun – Tucker. Tale metodo va però oltre le finalità di questo corso. Come risolvere allora un simile problema di ottimizzazione? Occorre ragionare. Nel nostro caso la funzione è U(x,y,z) = (x+3y) z Essa può anche essere scritta come : U(x,y,z) = zx + 3zy In questo modo ha un aspetto, forse, più familiare. La prima considerazione da fare è che il bene z va consumato in quantità positive: se il suo consumo fosse nullo l’utilità del consumatore sarebbe pari a zero e l’individuo potrebbe sempre incrementare il proprio benessere aumentando il consumo di tale bene. Osservato ciò si nota che i beni x e y sono beni sostituti fra loro, e le rispettive utilità marginali saranno: ∂U =z ∂x

e

∂U = 3z ∂y

Come al solito nel caso dei beni sostituti devono essere confrontate le utilità marginali ponderate. Si avrà: ∂U ∂x z = =z px 1

e

∂U ∂y 3 = z 2 py

Appare quindi evidente, essendo z > 0, che sarà sempre

∂U ∂y ∂U ∂x > py px

La scelta del consumatore sarà quindi di non acquistare il bene x ⇒ x =0 . Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

51

La funzione d’utilità diventerà quindi una più maneggevole Cobb – Douglas: U(y,z) = 3zy

Da massimizzare sotto il vincolo di bilancio 2y + 3z = 24 Agendo come di consueto otterremo le soluzioni: y = 6, z = 4 La scelta ottima sarà quindi il paniere (0, 6, 4) Esercizio 3.12: Traslazione di una funzione Cobb-Douglas Si consideri un consumatore le cui preferenze sono descritte dalla funzione d’utilità U (x, y) = (x+1) (y+1), dove il prezzo del bene x è pari a 1, il prezzo del bene y a 2, mentre il reddito è pari a 20. Dopo aver verificato se le preferenze sono convesse si calcolino la scelta ottima del consumatore e le elasticità della domanda del bene x rispetto al prezzo del bene x, al prezzo del bene y e al reddito. Soluzione Per verificare la convessità della funzione d’utilità vanno considerati due panieri indifferenti tra loro, e va mostrato che una qualunque combinazione lineare di essi è preferita o indifferente ai due panieri di partenza. Ad esempio si possono considerare i panieri A = (1,2) e B = (2,1), ed operare poi come di consueto. Per quanto riguarda la scelta ottima un modo per agire è imporre la seguente trasformazione: ~ x = x +1 e ~ y = y +1

La funzione d’utilità diventerà: U (~ x, ~ y) = ~ x~ y

Il vincolo di bilancio sarà 20 = ~ x − 1 + 2( ~ y − 1) ⇒ 23 = ~ x + 2~ y Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

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Il problema si riduce quindi alla massimizzazione vincolata di una Cobb-Douglas: 1 23 ~ x= = 2 1 1 23 ~ y= = 2 2

23 23 21 ⇒x= −1 = 2 2 2 23 23 19 ⇒y= −1 = 4 4 4

Tutto ciò consiste nel traslare il sistema d’assi cartesiani nel punto di coordinate (1,1), agire normalmente sulla Cobb-Douglas, per poi tornare al sistema d’assi originario. Per calcolare le elasticità c’è bisogno della domanda di x in funzione di M, px e py. Si sa che: ~ 1M ~ x= 2 px ~ ~ ~ M = x + 2~ y ossia in forma generale M = p x ~ x + py ~ y

da cui ~ ~ M = p x ( x + 1) + p y ( y + 1) ⇒ M − p x − p y = p x x + p y y

Dato che px x + py y = M per definizione, si avrà: ~ ~ M − px − p y = M ⇒ M = M + px + p y

Quindi per trovare la domanda di x funzione del reddito M, di px e py si avrà il seguente sistema: ~ ~ 1 M x =  2 px  ~ x = x + 1 ~ M = M + p x + p y 

⇒ x +1 =

1 M + px + p y px 2

⇒ x=

1 M + p y − px 2 px

Una volta individuata la funzione di domanda x(M, px, py), le elasticità sono facilmente calcolabili:

ε x,M =

∂x M 1 M 20 = = ∂M x 2 px x 21

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CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

ε x , px =

∂x p x − 2 p x − 2(M + p y − p x ) p x 22 = =− 2 ∂p x x x 21 (2 p x )

ε x , py =

1 py 1 ∂x p y = = 2 px x 20 ∂p y x

53

Esercizio 3.13: Imposta sul reddito vs imposta sulla quantità Si consideri un individuo le cui preferenze siano descritte dalla funzione d’utilità U = Min( x, y )

Supponendo che il reddito sia pari a M e che i prezzi dei due beni siano p e q si trovi la scelta ottima del consumatore. Si ipotizzi adesso che il governo abbia bisogno di assicurarsi un certo livello di gettito fiscale. Per ottenerlo sono possibili due forme alternative di tassazione: un’imposta proporzionale sul reddito con aliquota ϕ compresa tra 0 e 1 oppure un’imposta specifica sulla quantità venduta del bene pari a t euro per unità. Ipotizzando che le due imposte permettano di ottenere lo stesso gettito fiscale, valutate quale delle due forme d’imposizione il consumatore preferirebbe Soluzione Data la funzione d’utilità (beni complementi), la scelta ottima senza imposte sarà data da x= y=

M p+q

Nel caso di imposta ϕ sul reddito il nuovo reddito che il consumatore avrà sarà: M ′ = M − ϕM = M (1 − ϕ )

La scelta ottima del consumatore tassato sul reddito sarà quindi: xϕ =

M′ M (1 − ϕ ) = p+q p+q

e il gettito fiscale sarà proprio G.F.(ϕ) = ϕM Nel caso di imposta t sulla quantità venduta è il prezzo del bene x ad aumentare. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 3. TEORIA DEL CONSUMATORE

54

La scelta ottima del consumatore tassato sulla quantità sarà: xt =

M p+t +q

e il gettito fiscale sarà: G.F.(t) = t x’ = t M / (p + t +q) Per determinare quale delle due situazioni il consumatore preferisca bisogna verificare in quale caso la sua utilità è maggiore. Essendo la funzione d’utilità del consumatore U = Min (x, y) basterà controllare sotto quale dei due tipi di imposizione fiscale egli consumerà più quantità del bene x. Per confrontare xϕ e xt, abbiamo bisogno di una relazione che leghi ϕ e t Sappiamo dal testo che le due imposte permettono di ottenere lo stesso gettito fiscale, ossia : G.F.(ϕ) = G.F.(t) ϕM =

tM p+t +q

ϕ=

t p+t +q

sostituendo in xϕ si ottiene   p+t +q−t   t   M  M 1 − p+t +q p + t + q  M′ M   ϕ x = = = xt = = p+q p+q p+q p+t +q

Il consumo di x non varia a seconda del sistema fiscale: il consumatore è perfettamente indifferente fra i due tipi di imposta.

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Esercizio 4.1: Rendimenti di scala Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione: a) Q(K , L ) = K ⋅ L 1

1

b) Q(K , L ) = K 2 ⋅ L2 1 2

1 2

c) Q(K , L ) = K + L Soluzione

I rendimenti di scala indicano come varia la quantità prodotta (output) in seguito alla variazione equiproporzionale dei fattori di produzione (input). Se, facendo variare gli input di τ, l’output varia anch’esso di τ i rendimenti di scala si dicono costanti. Se la variazione dell’output è inferiore a τ i rendimenti si dicono decrescenti. Se la variazione dell’output è superiore a τ i rendimenti si dicono crescenti. a) Q ′(τK ,τL ) = τK ⋅ τL = τ 2 K ⋅ L = τ 2 Q(K , L ) in questo caso i rendimenti di scala sono crescenti in quanto moltiplicando gli input per τ l’output risulta essere moltiplicato per τ 2 1

1

1

1

1

1

1

1

b) Q′(τK ,τL ) = (τK )2 ⋅ (τL )2 = τ 2 K 2 ⋅ τ 2 L2 = τ ⋅ K 2 L2 = τ ⋅ Q(K , L ) in questo caso i rendimenti di scala sono costanti in quanto moltiplicando gli input per τ l’output risulta essere moltiplicato per τ 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

c) Q′(τK ,τL ) = (τK )2 + (τL )2 = τ 2 K 2 + τ 2 L2 = τ 2  K 2 + L2  = τ 2 ⋅ Q(K , L ) 

in questo caso i rendimenti di scala sono decrescenti in quanto moltiplicando gli input per τ l’output risulta essere moltiplicato per τ

1 2

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CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

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Esercizio 4.2: Determinazione della funzione di costo Si considerino due impianti che producono un identico bene utilizzando come fattori di produzione il capitale K e il lavoro L. La tecnologia utilizzata dal primo impianto è descritta dalla funzione di produzione Q1 = K2L, quella del secondo dalla funzione di produzione Q2 = Min (2K, L). Supponendo che il prezzo di un’unità di capitale sia pari a 2 euro e che quello di un’unità di lavoro sia pari a 1 euro si determinino le funzioni di costo totale, di costo medio e di costo marginale dei due impianti Soluzione Per determinare il costo totale di un’impresa bisogna conoscere la combinazione efficiente dei fattori produttivi. Nel caso di una tecnologia descritta da una funzione Cobb – Douglas tale combinazione è data dall’uguaglianza tra il Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica (MRTS) e il rapporto tra i prezzi dei fattori di produzione: MRTS =

pK . pL

L’MRTS è dato dal rapporto tra le produttività marginali del capitale e del lavoro. Per il primo impianto si avrà: PM K =

∂Q1 = 2 KL ∂K

PM L =

∂Q1 = K2 ∂L

MRTS =

PM K 2 KL 2 L = 2 = PM L K K

Applicando la condizione di ottimo MRTS =

pK si avrà: pL

2L 2 = ⇒L=K K 1

Che sostituito nella funzione di produzione darà Q1 = K3 ⇒ K = Q11 / 3

L’isocosto è: Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

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C = 2K + L

Sostituendovi le relazioni appena trovate si ottiene la funzione di costo totale per il primo impianto: C1 = 3Q11 / 3

Per definizione la funzione di costo medio (AC) è pari alla funzione di costo totale diviso la quantità prodotta: 1 2 −1 − C1 3Q11 3 3 13 −1 3 AC1 = = = 3Q1 ⋅ Q1 = 3Q1 = 3Q1 3 = 2 3 Q1 Q1 Q1

La funzione di costo marginale (cmg) è pari alla derivata della funzione di costo totale rispetto alla quantità prodotta: ∂C1 ∂3Q11 = ∂Q1 ∂Q1

cmg 1 =

3

1

2

− 1 −1 1 = 3 ⋅ Q13 = Q1 3 = 2 3 Q1

3

Se la tecnologia di un’impresa è descritta da una funzione di tipo Leontief, l’impresa sceglierà la combinazione di input posta sugli angoli di tale funzione. In questo caso si avrà quindi: Q2 = 2 K = L L’isocosto, essendo immutati il prezzo del capitale e quello del lavoro, resta C = 2K + L

Sostituendovi le relazioni appena trovate si ottiene la funzione di costo totale per il secondo impianto: C 2 = 2Q2 AC 2 =

C 2 2Q 2 = =2 Q2 Q2

cmg 2 =

∂C 2 ∂ 2Q 2 = =2 ∂Q 2 ∂Q 2

(esercizio: disegnate le funzioni di costo totale medio e marginale dei due impianti)

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CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

58

Esercizio 4.3: Costi di produzione Si consideri un’impresa con la seguente funzione di produzione: Q = K 1 2 ⋅ L1 2

il prezzo del capitale è p K = 1 quello del lavoro è p L = 2 a) Determinare i rendimenti di scala della funzione di produzione. b) Determinare le funzioni di costo totale, medio e marginale di breve periodo, nel caso il livello del capitale sia fisso a 2 c) Determinare le funzioni di costo totale, medio e marginale di lungo periodo. Soluzione 1

1

1

1

1

1

1

1

a) Q′(τK ,τL ) = (τK )2 ⋅ (τL )2 = τ 2 K 2 ⋅ τ 2 L2 = τ ⋅ K 2 L2 = τ ⋅ Q(K , L ) i rendimenti di scala sono costanti in quanto moltiplicando gli input per τ, l’output risulta essere moltiplicato per τ. b) Se il capitale è fisso nel breve periodo la funzione di produzione diventa: Q = 21 2 ⋅ L1 2

Quindi la domanda del fattore variabile lavoro in funzione dell’output capitale è: L1 2 =

Q Q2 ⇒ L = 2 21 2

Dati il prezzo del capitale e quello del lavoro, l’isocosto sarà: C = pk K + p L L = 1 ⋅ K + 2 ⋅ L

Sostituendo il livello fisso di capitale K=2 e la domanda di lavoro precedentemente determinata si ottiene la funzione di costo totale di breve periodo: Q2 C = 2 + 2⋅ = 2 + Q2 2

Da cui facilmente si ottengono la funzione del costo medio e quella del costo marginale: AC =

C 2 + Q2 = ; Q Q

cmg =

∂C = 2Q ∂Q

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CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

59

c) Nel lungo periodo il capitale è anch’esso variabile. Per determinare la funzione di costo occorre prima individuare la combinazione ottimale dei due input a partire dalla condizione di scelta ottima dei fattori produttivi MRTS =

pK pL

L’MRTS è dato dal rapporto tra le produttività marginali del capitale e del lavoro. Si avrà quindi: 1

PM K

1

1

1

∂Q 1 2 2 −1 1 2 − 2 = = L K = L K 2 ∂K 2 1

PM L =

1

1

1

∂Q 1 2 −1 2 1 − 2 2 = L K = L K ∂L 2 2

MRTS =

( (

) )

PM K 1 2 L1 2 K −1 2 L = = −1 2 1 2 PM L 1 2 L K K

Applicando la condizione di ottimo MRTS =

pK si avrà: pL

L 1 1 = ⇒L= K K 2 2

Che sostituito nella funzione di produzione darà 1 2

1 2

1

1

1

 1 2  1 2 Q = L ⋅K ⇒Q = K K2 ⇒Q =  K 2  2

La domanda del fattore K sarà quindi K =

Q

(1 2)1 2

L’isocosto è: C = K + 2L

Sostituendovi le relazioni appena trovate si ottiene la funzione di costo totale di lungo periodo: 1 Q C = K + 2 K = 2K = 2 2 (1 2)1 2

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CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

60

Da cui facilmente si ottengono la funzione del costo medio e quella del costo marginale: C AC = = Q

2

Q

(1 2)1 2 Q

=

2

(1 2)

12

; cmg =

2 ∂C = ∂Q (1 2 )1 2

Esercizio 4.4: Numero di imprese in concorrenza Si consideri un’impresa operante in un mercato perfettamente concorrenziale, la cui funzione di costo totale sia data da C (q) = q3 – 10 q2 + 35 q. a) Supponendo che il prezzo di mercato sia pari a 35, si calcoli la quantità prodotta ed il profitto dell’impresa. b) Si ipotizzi ora che nel mercato vi sia libertà d’ingresso e di uscita. Supponendo che la curva di domanda di mercato sia data da P = 260 – 0,25 Q, si calcolino la quantità aggregata di equilibrio e il numero di imprese operanti nel mercato. Soluzione a) In concorrenza perfetta il prezzo deve essere uguale al costo marginale. Il costo marginale dell’impresa sarà: Cmg = 3 q2 – 20 q + 35 Il prezzo è dato ed è P = 35, quindi:

⇒ 35 = 3 q2 – 20 q + 35 ⇒

P = Cmg

3 q2 – 20 q = 0 ⇒ q = 20/3

il costo totale dell’impresa sarà: 3

2

20  20   20  ≈ 85 C =   − 10 ⋅   + 35 ⋅ 3  3   3 

I profitti dell’impresa saranno : π = p ⋅ q − C = 35 ⋅

20 − 85 ≈ 148 3

b) Il prezzo nel lungo periodo in concorrenza è dato dalla condizione P = Min AC, ossia il prezzo deve essere pari al minimo dei costi medi. Se fosse superiore imprese dotate della medesima tecnologia potrebbero entrare nel mercato e, abbassando il prezzo, appropriarsi della domanda di mercato; se fosse inferiore l’impresa fallirebbe.

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CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

61

Il costo medio dell’impresa è dato in questo caso da: AC =

C (q ) q 3 − 10q 2 + 35q = q q

per minimizzare la funzione occorre calcolare la derivata prima e porla uguale a zero1 :

(

) (

)

∂AC 3q 2 − 20q + 35 q − q 3 − 10q 2 + 35q 2q 3 − 10q 2 =0⇒ = 0 ⇒ = 0 ⇒ 2q − 10 = 0 ∂q q2 q2

Che permette di ottenere la quantità prodotta da ogni singola impresa in equilibrio2: q = 5 Se q = 5 il valore del costo medio sarà: 53 − 10 * 5 2 + 35 * 5 50 AC = = = 10 5 5

Nel lungo periodo il prezzo d’equilibrio sarà quindi p = 10 Sostituendo tale valore nella funzione di domanda possiamo ottenere la quantità aggregata d’equilibrio: P = 260 – 0,25 Q

10 = 260 – 0,25 Q ⇒

Q = 1000

Il numero di imprese presenti sul mercato sarà quindi: n = Q/q = 1000/5 = 200 Esercizio 4.5: Equilibrio concorrenziale di breve e di lungo periodo Si consideri un mercato concorrenziale caratterizzato dalla curva di domanda Q D = 80 − 4 p , in cui operano 20 imprese identiche la cui tecnologia è caratterizzata dalla funzione di costo: Ci =

3 2 qi + 3 2

Determinare: a) La curva di offerta della singola impresa e dell’industria nel breve periodo. b) L’equilibrio di mercato di breve periodo. c) La quantità prodotta e il numero di imprese operanti nel mercato nel lungo periodo.

1

Per essere certi che il punto determinato sia un minimo, va anche verificato che la derivata seconda sia positiva. In questo caso la derivata seconda (che è la derivata della derivata) è pari a 2, che è sempre maggiore di zero. Siamo quindi certi di aver determinato un minimo. 2

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CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

62

Soluzione a) In concorrenza, come nelle altre forme di mercato, l’impresa offrirà la quantità che le consente di massimizzare i profitti. La condizione di massimizzazione è data dall’uguaglianza tra ricavi marginali e costi marginali. Dato che in concorrenza il prezzo è dato (l’impresa è price taker), il ricavo marginale coincide col prezzo: π = Ricavi − Costi = p ⋅ q − C (q ) ∂π = 0 ⇒ Rmg = Cmg ⇒ p = Cmg ∂q

La curva di offerta della singola impresa coincide quindi con la curva del costo marginale. In questo caso il costo marginale è

∂C = 3q ∂q

Quindi la condizione di massimizzazione dei profitti diviene p = 3q Va però tenuto conto che ciascuna delle imprese deciderà di restare sul mercato solo se i ricavi le consentono di coprire almeno i costi medi variabili, che sono pari a: 3 2 q 3 CMV = 2 = q q 2

quindi dovrà essere: p ≥ CMV ⇒ p ≥

3 3 q ⇒ 3q ≥ q , che è sempre vero per q ≥ 0 2 2

La funzione di offerta della singola impresa i è quindi p = 3qi , che in forma diretta diviene qi =

p 3

Per trovare la curva di offerta aggregata si sommano orizzontalmente le funzioni di offerta delle imprese presenti sul mercato: Q S = 20 ⋅ qi = 20 ⋅

p 3

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CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

63

b) L’equilibrio di mercato è dato dall’uguaglianza tra domanda e offerta: Q D = Q S ⇒ 80 − 4 p = 20

p 240 Q 50 ⇒ p= = 7,5 ⇒ Q = 50 ⇒ qi = = = 2,5 3 32 n 20

Quello considerato non può essere in concorrenza un equilibrio stabile. I profitti di ogni impresa sono infatti pari a: 3 2

π i = pqi − Ci = 7,5 ⋅ 2,5 − 2,52 − 3 = 6,375

Poiché ognuna delle imprese ottiene profitti positivi, nuove imprese entreranno nel mercato nel lungo periodo modificando la quantità prodotta e annullando i profitti. c) Nel lungo periodo i profitti dell’impresa dovranno essere nulli, se non lo fossero nuove imprese sarebbero invogliate ad entrare nel mercato. L’impresa produrrà quindi la quantità in corrispondenza del minimo della funzione dei costi medi di lungo periodo. Il prezzo sarà quindi pari al minimo di tale funzione. Se infatti fosse superiore l’impresa avrebbe profitti positivi e nuove imprese entrerebbero nel mercato, se fosse inferiore l’impresa avrebbe profitti negativi e, nel lungo periodo, fallirebbe. Per trovare il minimo della funzione dei costi medi occorre porne la derivata prima pari a zero3. 3 2 q +3 C 2 3 3 = q+ AC = = q q 2 q ∂AC 3 3 3q 2 − 6 6 =0⇒ − 2 =0⇒ = 0 ⇒ 3q 2 − 6 = 0 ⇒ q 2 = = 2 ⇒ q = 2 2 ∂q 2 q 2q 3

A tale quantità corrisponderà un valore del costo medio e quindi un prezzo pari a: p=

3 3 2+ = 3⋅ 2 2 2

3

Quella che si considera è la condizione necessaria, la condizione necessaria e sufficiente perché la funzione abbia un minimo in un punto, è che la derivata seconda in quel punto sia positiva. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 4. TECNOLOGIA E CONCORRENZA

64

La quantità totale prodotta nell’industria si ricava dalla funzione di domanda aggregata: Q = 80 − 4 p = 80 − 12 2 ≈ 63

Il numero di imprese è dato dal rapporto tra la quantità prodotta nell’industria e la quantità prodotta dalla singola impresa, approssimato per difetto4: n=

4

Q 63 = = 44 qi 2

In questo caso

Q ≈ 44,3 . Tale valore va approssimato per difetto perché se ci fossero 45 imprese i profitti qi

sarebbero negativi. Iacopo Grassi - 2004


Esercizio 5.1: Scelta ottima di un monopolista e imposte Si consideri un monopolista con la seguente funzione di costo totale: CT = 2400 + 1/10 Q2 + 10 Q La domanda di mercato per il bene è: P (Q) = 186 – Q Si determini: a) la scelta ottima del monopolista b) la scelta ottima del monopolista in presenza di un’imposta a somma fissa pari a T = 1000 c) la scelta ottima del monopolista in presenza di un’imposta unitaria sulla quantità venduta pari a t = 11 Soluzione a) L’impresa monopolista, come ogni altra impresa, sceglierà quel livello di produzione che massimizza i profitti. I profitti dell’impresa sono: Π(Q) = P(Q) Q – CT Per massimizzare i profitti bisogna porre uguale a zero la derivata prima di tale funzione rispetto a Q. (Ossia eguagliare i costi e i ricavi marginali dell’impresa). π = (186 − Q )Q − 2400 −

1 2 1 Q − 10Q = 186Q − Q 2 − 2400 − Q 2 − 10Q 10 10

∂π 1 = 186 − 2Q − Q − 10 = 0 ⇒ 11Q = 930 − 50 ∂Q 5

Da cui: Q = 80 ; P = 106

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CAPITOLO 5. MONOPOLIO

66

Graficamente:

p

p= 186 - q

106 mc= 10+1/5 q

MR=186 - 2q

80

q

b) In presenza di un’imposta in somma fissa pari a 1000, la funzione obiettivo del monopolista diventa: Π(Q) = P(Q) Q – CT – T La condizione d’ottimo rimane quella del punto a) poiché un’imposta in somma fissa non influenza la quantità prodotta, non è cioè distorsiva. A cambiare sono solo i profitti dell’impresa monopolista: la funzione del profitto dell’impresa si trasla parallelamente verso il basso c) In presenza di un’imposta unitaria sulle quantità vendute la funzione obiettivo diventa: Π(Q) = P(Q) Q – CT – t Q Ossia in questo caso: π = 186Q − Q 2 − 2400 −

1 2 Q − 10Q − 11Q 10

∂π 1 = 186 − 2Q − Q − 10 − 11 = 0 ⇒ 11Q = 930 − 105 ∂Q 5

Da cui: Q = 75 ; P = 111 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 5. MONOPOLIO

67

L’imposta sulla quantità comporta un aumento del costo marginale per l’impresa, modificando quindi la condizione d’ottimo. La funzione di profitto dell’impresa cambia. Funzione del profitto e scelta ottima nel caso di imposta fissa e nel caso di imposta sulla quantità

Π

Π Πt

Π - 1000

Q =80

Qt=75

Q

(Esercizio: Adeguate il grafico del punto a dell’esercizio a quanto richiesto nei punti b e c) Esercizio 5.2: Perdita di benessere del monopolio La curva di domanda di mercato è pari a Q D = 40 – P La tecnologia dell’impresa monopolista è rappresentata dalla seguente funzione di costo totale: CT (Q) = 20 Q Determinare: a) La scelta ottima del monopolista b) La perdita di benessere rispetto alla concorrenza perfetta

Soluzione a) L’impresa monopolista, come ogni altra impresa, sceglierà quel livello di produzione che massimizza i profitti. I profitti dell’impresa sono: Π(Q) = P(Q) Q – CT In questo caso sarà: π = (40 − Q )Q − 20Q = 20Q − Q 2 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 5. MONOPOLIO

68

Per massimizzare i profitti bisogna porre uguale a zero la derivata prima di tale funzione rispetto a Q1. (Ossia eguagliare i costi e i ricavi marginali dell’impresa). ∂π = 0 ⇒ 20 − 2Q = 0 ⇒ Q = 10 ∂Q

L’equilibrio2 di monopolio sarà quindi Q = 10, P = 30 b) Confrontando questa situazione con quella di concorrenza è possibile verificare che il monopolio comporta una perdita di netta di surplus totale. La condizione di equilibrio in concorrenza perfetta è dato dall’uguaglianza fra il prezzo e il costo marginale: P = Cmg

P = 20

Da cui, sostituendo nella curva di domanda, Q = 20 È possibile rappresentare in un grafico l’equilibrio di monopolio e quello di concorrenza e confrontarli. La perdita di surplus di monopolio è data dall’area tratteggiata. Essa può essere calcolata o direttamente come area del triangolo, o dal confronto tra il surplus in concorrenza e quello di monopolio.

p 40 Eq in monopolio

30 Eq in concorrenza

Cmg

20

10

1 2

20

q

Per essere sicuri di avere ottenuto un massimo occorre anche controllare che la derivata seconda sia negativa. In questo caso la derivata seconda è pari a -2, quindi anche la condizione del secondo ordine è rispettata. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 5. MONOPOLIO

69

Concorrenza perfetta: Surplus del consumatore =

(40 − 20) ⋅ 20 = 200 2

Surplus del produttore = 0 (i profitti sono nulli dato che la curva del costo medio e quella del costo marginale coincidono) Surplus totale = 200 Monopolio: Surplus del consumatore =

(40 − 30) ⋅ 10 = 50 2

Surplus del produttore = (30 − 20) ⋅ 10 = 100 Surplus totale = 150 La perdita di surplus e quindi pari a 50 Esercizio 5.3: Monopolista con più impianti Un monopolista produce utilizzando due impianti caratterizzati rispettivamente dalle seguenti funzione di costo totale: CT1 (q1 ) = 4 + q12 CT2 (q 2 ) = 10 +

q 22 5

Determinare il livello di produzione ottimale del monopolista per ciascun impianto sapendo che la curva di domanda di mercato è data da P = 50 – 2Q, dove Q è la quantità totale prodotta nei due impianti (Q = q1 + q2) Soluzione La funzione obiettivo del monopolista sarà data come al solito da: Π(Q) = P(Q) Q – CT In questo caso bisogna notare che la funzione di costo totale è data dalla somma dei costi sostenuti nei due impianti, e che la quantità totale presente sul mercato è pari alla somma delle quantità prodotte in ognuno dei due impianti. Ossia Q = q1 + q 2 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 5. MONOPOLIO

70

π (q1 , q 2 ) = P (Q)Q − CT1 (q1 ) − CT2 (q 2 ) 

  =   q2 = 50q1 + 50q 2 − 2q12 − 2q 22 − 2q1 q 2 − 2q1 q 2 − 4 − q12 − 10 − 2 5

π (q1 , q 2 ) = [50 − 2(q1 + q 2 )](q1 + q 2 ) − (4 + q12 ) − 10 +

q 22 5

Il monopolista sceglierà di produrre nei due impianti in corrispondenza delle quantità che massimizzano tale funzione. Si otterranno quindi due condizioni del primo ordine da mettere a sistema fra loro3.  ∂π 50 − 4q1 − 4q 2 − 2q1 = 0  ∂q = 0  1  ⇒  2  ∂π = 0 50 − 4q 2 − 4q1 − 5 q 2 = 0  ∂q 2

Dalla prima equazione si ricava: 6q1 = 50 − 4q 2 ⇒ q1 =

25 2 − q2 3 3

Che sostituito nella seconda dà:  25 2  2 50 − 4q 2 − 4 − q 2  − q 2 = 0  3 3  5

750 − 500 − 20q 2 − 6q 2 =0 15

Sostituendo nella prima equazione si ottiene q1 =

⇒ q2 =

250 ≈ 9,6 26

25 2 250 − ≈ 1,9 3 3 26

La quantità totale prodotta dal monopolista sarà quindi Q = q1 + q 2 = 9,6 + 1,9 ≈ 11,5 e il prezzo sarà p = 50 − 2 ⋅ 11,5 = 27

3

Si noti che il sistema delle condizioni di primo ordine equivale al sistema

 Rmg = Cmg1   Rmg = Cmg 2 In altri termini l’impresa produrrà finché i costi marginali dei due impianti non saranno uguali fra loro Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 5. MONOPOLIO

71

Esercizio 5.4: Benessere Sociale con un bene discreto Il signor A è disposto a spendere 10 euro per la prima unità di consumo del bene x, 8 per la seconda, 6 per la terza e 4 per la quarta. Il signor B è disposto a spendere 8 euro per la prima unità di consumo del bene x, 7 per la seconda, 6 per la terza e 5 per la quarta. Le loro domande individuali sono cioè così descritte: Domanda Signor A: se p > 10, x = 0 se 10 ≥ p > 8, x = 1 se 8 ≥ p > 6, x = 2

se 6 ≥ p > 4, x = 3 se p ≤ 4, x = 4

Domanda Signor B: se p > 8, x = 0 se 8 ≥ p > 7, x = 1 se 7 ≥ p > 6, x = 2 se 6 ≥ p > 5, x = 3 se p ≤ 5, x = 4

a) disegnate le funzioni di domanda individuali dei due consumatori; descrivete e disegnate la domanda del mercato (composto ovviamente dai due signori) Il costo di produzione del bene è 6 euro. b) Determinate l’equilibrio, il surplus del consumatore, il profitto del produttore, e il benessere sociale nel caso di concorrenza perfetta. c) Determinate l’equilibrio, il surplus del consumatore, il profitto del produttore, e il benessere sociale nel caso di monopolio.

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CAPITOLO 5. MONOPOLIO

72

Soluzione a) Domanda Signor A: se p > 10, x = 0 se 10 ≥ p > 8, x = 1 se 8 ≥ p > 6, x = 2

se 6 ≥ p > 4, x = 3

p

10 9 8 7 6 5 4

se p ≤ 4, x = 4

Domanda Signor B: se p > 8, x = 0 se 8 ≥ p > 7, x = 1

se 7 ≥ p > 6, x = 2 se 6 ≥ p > 5, x = 3 se p ≤ 5, x = 4

1

2 3 4

X

1

2 3 4

X

p

10 9 8 7 6 5 4

Domanda aggregata: se p > 10, x = 0

se 10 ≥ p > 8, x = 1

p

se 8 ≥ p > 7, x = 3

10 9 8 7 6 5 4

se 7 ≥ p > 6, x = 4

se 6 ≥ p > 5, x = 6 se 5 ≥ p > 4, x = 7 se p ≤ 4, x = 8

1

2 3 4

X

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CAPITOLO 5. MONOPOLIO

73

b) Nel caso di concorrenza perfetta il prezzo sarà pari al costo marginale di produzione ossia: p = 6 Il profitto dell’impresa sarà quindi nullo. La quantità domandata se p = 6 sarà x = 6 Il Surplus del consumatore è pari alla differenza fra quanto egli è disposto a spendere per un bene e quanto effettivamente spende. Per la prima unità di bene consumato il signor A è disposto a spendere 10, spende 6 il suo surplus è quindi 4. Ragionando analogamente il suo surplus sarà 2 per la seconda unità e 0 per la terza. Per il signor B il surplus sarà 2 per la prima unità, 1 per la seconda e 0 per la terza. Il surplus dei consumatori, che nel caso della concorrenza coincide col Benessere Sociale, sarà quindi pari a 4 + 2 + 2 + 1 = 9 c) In monopolio l’impresa è libera di fissare il prezzo che preferisce, ossia quello che gli permette di ottenere il profitto più alto. Se fissasse un prezzo superiore a 10 nessuno acquisterebbe il bene. Se p = 10 il signor A acquisterebbe un’unità del bene. Il profitto sarebbe quindi pari a 10 – 6 = 4 Se p = 8, x = 3. Il profitto sarebbe quindi pari a 8 ⋅ 3 − 6 ⋅ 3 = 6 Se p = 7, x = 4. Il profitto sarebbe quindi pari a 7 ⋅ 4 − 6 ⋅ 4 = 4 Se p = 6 il profitto sarebbe nullo. Il profitto massimo l’impresa l’ottiene quindi ponendo un prezzo pari a 8, per il quale x = 3 Dato quel prezzo il surplus del signor A è pari a 2 per la prima unità consumata e 0 per la seconda, il surplus del signor B è pari a 0 per l’unità consumata del bene. Il Surplus dei consumatori è quindi pari a 2 Il Benessere Sociale nel caso del monopolio è quindi pari a 6 + 2 = 8 La perdita di monopolio è pari a 1.

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CAPITOLO 5. MONOPOLIO

74

Esercizio 5.5: Discriminazione di prezzo del terzo tipo Un monopolista, la cui tecnologia è descritta dalla funzione di costo C = 20 q, agisce su due mercati differenti le cui domande sono: q1 = 40 − p q 2 = 60 − 2 p

Determinare la scelta ottima del monopolista nel caso debba praticare un prezzo unico sui due mercati, e nel caso possa discriminare il prezzo tra i due tipi di consumatori.

Soluzione Nel caso il monopolista debba praticare un prezzo unico occorre sommare orizzontalmente le curve di domanda dei due tipi di consumatori. In questo caso: q = q1 + q2 = 40 – p + 60 – 2p = 100 – 3p Da cui si ricava: p=

100 1 − q 3 3

La funzione del profitto del monopolista sarà quindi:  100 1  − q q − 20q 3   3

π = pq − C = 

Da cui, massimizzando: ∂π 100 2 2 100 − 60 =0⇒ − q − 20 = 0 ⇒ q = ⇒ q = 20 ∂q 3 3 3 3

Che sostituito nella funzione di domanda dà p=80/3=26,6 Nel caso il monopolista possa discriminare tra i due mercati la funzione del profitto totale sarà:  

1 2

 

π = p1 q1 + p 2 q 2 − 20(q1 + q 2 ) = (40 − q1 )q1 +  30 − q 2 q 2 − 20(q1 + q 2 )

Da cui massimizzando rispetto alle due quantità si ottiene: ∂π = 0 ⇒ 40 − 2q1 − 20 = 0 ⇒ q1 = 10 ⇒ p1 = 30 ∂q1

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CAPITOLO 5. MONOPOLIO

75

∂π = 0 ⇒ 30 − q 2 − 20 = 0 ⇒ q 2 = 10 ⇒ p 2 = 25 ∂q 2

Rispetto al caso di assenza di discriminazione di prezzo il monopolista applica un prezzo più alto ai consumatori del primo tipo, e uno più basso a quelli del secondo tipo. (Esercizio: Spiegare ciò in termini di elasticità della domanda. Calcolare la variazione del surplus dei due tipi di consumatori. Confrontare il profitto del monopolista nel casi di assenza e di presenza di discriminazione dei prezzi) Esercizio 5.6: Vendite a pacchetto Si ipotizzi una situazione in cui esistano 80 consumatori di tipo A e 20 di tipo B e sia possibile acquistare due beni x e y. I consumatori di tipo A sono disposti a spendere fino a 150 euro per il bene x e fino a 40 per il bene y. I consumatori di tipo B sono disposti a spendere fino a 20 euro per il bene x e fino a 100 per il bene y. Un’impresa monopolista produce entrambi i beni senza avere costi: CT = 0. a) A quale prezzo dovrà vendere l’impresa i due beni per massimizzare i profitti? b) Permettere all’impresa di vendere i beni a pacchetto (bundling) aumenterà il suo profitto? Si ipotizzi che le proporzioni dei consumatori siano invertite: esistono 20 consumatori di tipo A e 80 consumatori di tipo B c) come cambiano le risposte ai due precedenti quesiti? Soluzione Per comodità è possibile descrivere la situazione illustrata nell’esercizio con la seguente tabella: Bene x

Bene y

A = 80

150

40

B = 20

20

100

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CAPITOLO 5. MONOPOLIO

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Se il prezzo del bene x è pari a 150, la domanda sarà 80 (Lo acquistano solo i consumatori di tipo A) Se il prezzo del bene x è pari a 20, la domanda sarà 100 (lo acquistano entrambi i tipi di consumatori) Se il prezzo del bene y è pari a 100, la domanda sarà 20 (Lo acquistano solo i consumatori di tipo B) Se il prezzo del bene y è pari a 40, la domanda sarà 100 (lo acquistano entrambi i tipi di consumatori) Sono quindi possibili 4 politiche di prezzo da parte dell’impresa: I)

px = 20 ; py =40

In questo caso la domanda di entrambi i beni è 100 e il profitto è pari a: π = p x x + p y y = 20 ⋅ 100 + 40 ⋅ 100 = 6000

II)

px = 20 ; py =100

In questo caso il profitto sarà pari a: π = 20 ⋅ 100 + 100 ⋅ 20 = 4000

III)

px = 150 ; py =100

In questo caso il profitto sarà pari a: π = 150 ⋅ 80 + 100 ⋅ 20 = 14000

IV)

px = 150 ; py =40

In questo caso il profitto sarà pari a: π = 150 ⋅ 80 + 40 ⋅ 100 = 16000

L’impresa quindi massimizza i profitti ponendo i prezzi pari ai valori di riserva dei consumatori del gruppo A. b) la politica del bundling consiste nel vendere in un unico pacchetto beni differenti, ed è tipica, ad esempio, dei software per computer. In questo caso i consumatori di tipo A sono disposti a spendere fino a 190 euro per i due beni congiuntamente, i consumatori di tipo B fino a 120 euro Se l’impresa vende a 190 euro i suo profitti saranno pari a 190 ⋅ 80 = 15200 Se vende a 120 euro i suoi profitti saranno pari a 120 ⋅ 100 = 12000 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 5. MONOPOLIO

77

L’impresa otterrà quindi in ogni caso profitti più bassi rispetto al punto a), e deciderà quindi di non effettuare tale politica. c) La tabella in questo caso diviene: Bene x

Bene y

A = 20

150

40

B = 80

20

100

I profitti delle quattro possibili politiche di prezzo saranno: I)

px = 20 ; py =40 π = p x x + p y y = 20 ⋅ 100 + 40 ⋅ 100 = 6000

II)

px = 20 ; py =100 π = 20 ⋅ 100 + 100 ⋅ 80 = 10000

III)

px = 150 ; py =100 π = 150 ⋅ 20 + 100 ⋅ 80 = 11000

IV)

px = 150 ; py =40 π = 150 ⋅ 20 + 40 ⋅ 100 = 7000

L’impresa quindi massimizza i profitti ponendo px = 150 ; py =100 Nel caso decidesse di effettuare una politica di bundling e vendesse il pacchetto composto dai due software a 190 euro i suo profitti sarebbero pari a 190 ⋅ 20 = 3800 Se vendesse il pacchetto a 120 euro i suoi profitti sarebbero pari a 120 ⋅ 100 = 12000 In questo caso la politica di vendita a pacchetti si rivelerebbe profittevole per l’impresa.

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Esercizio 6.1: Equilibrio di Cournot ed equilibrio di Stackelberg In un mercato due imprese hanno la stessa tecnologia descritta dalla funzione di costo Ci = qi

i=1,2. La curva di domanda di mercato è data da P = 10 − Q , dove Q = q1 + q 2

rappresenta la quantità totale prodotta nel mercato. a) determinare la quantità prodotta e il prezzo di mercato nel caso le due imprese competano alla Cournot. b) determinare la quantità prodotta e il prezzo di mercato nel caso le due imprese competano alla Stackelberg. Soluzione a) Anche nel caso di concorrenza alla Cournot l’obiettivo dell’impresa è massimizzare i propri profitti. Nel modello di Cournot la variabile strategica è la quantità, e le imprese agiscono simultaneamente. La funzione obiettivo della prima impresa è: π 1 = p ⋅ q1 − C1 ⇒ π 1 = (10 − q1 − q 2 )q1 − q1

Massimizzando: 9 − q2 ∂π 1 = 0 ⇒ 10 − 2q1 − q 2 − 1 = 0 ⇒ q1 = 2 ∂q1

Che rappresenta la funzione di reazione dell’impresa 1, che indica la quantità che massimizza il profitto dell’impresa 1, per ogni quantità prodotta dall’impresa 2. Analogamente la funzione di reazione dell’impresa 2 sarà q 2 =

9 − q1 2

L’equilibrio di Cournot-Nash è dato dal sistema tra le due funzioni di reazione: 9 − q2  q1 = 2 ⇒ q1 = q 2 = 3  q = 9 − q1  2 2

da cui si ricava il prezzo di equilibrio p = 10 – 3 – 3 = 4 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

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b) Anche nel caso di concorrenza alla Stackelberg l’obiettivo dell’impresa è massimizzare i profitti. Nel modello di Stackelberg la variabile strategica è la quantità, e le imprese agiscono sequenzialmente: una delle due imprese (in questo caso la 1, detta leader) sceglie per prima la quantità da produrre, l’altra (in questo caso la 2, detta follower) osserva la quantità prodotta da 1 e decide cosa fare. Massimizzando il profitto dell’impresa follower si ottiene la funzione di reazione di Stackelberg. In questo caso sarà: q 2 =

9 − q1 2

L’impresa leader massimizza il proprio profitto conoscendo la funzione di reazione dell’impresa follower. In questo caso avremo: 

π 1 = p ⋅ q1 − C1 ⇒ π 1 = 10 − q1 − 

9 − q1  q1 − q1 2 

Massimizzando: ∂π 1 = 0 ⇒ 10 − 2q1 − 4,5 + q1 − 1 = 0 ⇒ q1 = 4,5 ⇒ q 2 = 2,25 ∂q1 Q = q1 + q 2 = 6,75 ⇒ p = 10 − 6,75 = 3,25

Esercizio 6.2: Ripetizione generale 2

1

La tecnologia di un’impresa è descritta dalla funzione di produzione Q = K 3 ⋅ L3 . Siano w = 1 e r = 2 rispettivamente i costi del lavoro e del capitale.

a) Determinare i rendimenti di scala della funzione di produzione b) Calcolare la funzione di costo totale dell’impresa c) Ipotizzando che l’impresa agisca da monopolista in un mercato la cui funzione di domanda è data da P = 10 − Q , determinare la quantità prodotta dall’impresa, il prezzo di mercato e il profitto dell’impresa. d) Calcolare la perdita di benessere del consumatore rispetto al caso della concorrenza perfetta. e) Nello stesso mercato entra una seconda impresa la cui tecnologia è descritta dalla funzione di costo C 2 = 2q 2 , determinare la quantità prodotta dalle due imprese, il

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CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

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prezzo di mercato e il profitto delle due imprese nel caso in cui esse competano alla Cournot. f) Determinare la quantità prodotta dalle due imprese, il prezzo di mercato e il profitto delle due imprese nel caso in cui esse competano alla Stackelberg e l’impresa entrante agisca da follower.

Soluzione a) Si dimostra facilmente che i rendimenti di scala sono costanti. b) Applicando la condizione di tangenza tra isoquanto e isocosto si ottiene: MRTS =

r 2L 2 ⇒ = ⇒L=K w K 1

Sostituendo nella funzione di produzione si ottiene Q = K Sostituendo nell’isocosto si ottiene: C = 2K + L ⇒ C = 3Q c) La funzione di profitto dell’impresa è π = P ⋅ Q − C = (10 − Q )Q − 3Q = 10Q − Q 2 − 3Q

Massimizzando si ottiene: ∂π = 10 − 2Q − 3 = 0 ⇒ Q = 3,5 P = 6,5 ⇒ π = 6,5 ⋅ 3,5 − 3 ⋅ 3,5 = 12,25 ∂Q

d) In concorrenza perfetta P = Cmg. In questo caso quindi P = 3 ⇒ Q = 7 Il surplus del consumatore è dato dall’area compresa tra la curva di domanda e il prezzo, ossia della differenza tra quanto il consumatore è disposto a spendere e quanto effettivamente spende. Essendo la curva di domanda lineare basterà calcolare l’area di un triangolo: SC conc =

(10 − 3) ⋅ 7 = 24,5

SC mon =

(10 − 6,5) ⋅ 3,5 = 6,125

2

2

La perdita di surplus del consumatore è pari quindi a 18,375

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CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

81

e) Concorrenza alla Cournot: La funzione obiettivo (il profitto) della prima impresa dipende adesso anche dalla quantità prodotta dall’impresa concorrente: π 1 = P ⋅ Q1 − C1 = (10 − Qtot )Q1 − 3Q1 = [10 − (Q1 + Q2 )]Q1 − 3Q1 = 10Q1 − Q12 − Q2 Q1 − 3Q1

Analogamente per la seconda impresa si avrà: π 2 = P ⋅ Q2 − C 2 = (10 − Qtot )Q2 − 2Q2 = [10 − (Q1 + Q2 )]Q2 − 2Q2 = 10Q2 − Q22 − Q2 Q1 − 2Q2

Massimizzando il profitto della prima impresa rispetto alla quantità da essa prodotta (che nel modello di Cournot è la variabile strategica), si ottiene la funzione di reazione, che indica la risposta ottima dell’impresa 1 rispetto alla quantità prodotta dall’impresa 2: 7 − Q2 ∂π 1 = 0 ⇒ 10 − 2Q1 − Q2 − 3 = 0 ⇒ Q1 = 2 ∂Q1

Analogamente per la seconda impresa si avrà: 8 − Q1 ∂π 2 = 0 ⇒ 10 − 2Q2 − Q1 − 2 = 0 ⇒ Q2 = 2 ∂Q2

L’equilibrio di Cournot – Nash è dato dall’intersezione delle due curve di reazione:  8 − Q1  7 − Q2  7−  Q = 1  2 ⇒Q =  2  ⇒ 4Q = 14 − 8 + Q ⇒ Q = 6 = 2 ⇒ Q = 8 − 2 = 3  1 1 1 1 2 2 3 2 Q = 8 − Q1  2 2

La quantità totale prodotta dal mercato sarà quindi Q = 5 e il prezzo P =10 – 5 = 5 I profitti delle due imprese saranno rispettivamente π 1 = P ⋅ Q1 − 3Q1 = 5 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 = 4 e π 2 = P ⋅ Q2 − 2Q2 = 5 ⋅ 3 − 2 ⋅ 3 = 9

q1

funzione di reazione dell'impresa 2

funzione di reazione dell'impresa 1

2 3

q2 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

82

f) Concorrenza alla Stackelberg: Nel caso di concorrenza alla Stackelberg l’impresa leader sceglie per prima la quantità da produrre, l’impresa follower osserva la scelta della leader e massimizza i suoi profitti scegliendo la propria quantità di conseguenza. Per risolvere tali problemi bisogna ragionare per backward induction (induzione retrospettiva) risolvendo prima il problema di massimizzazione del follower, e solo in seguito quello del leader. In questo caso il follower è l’impresa 2.Il suo profitto sarà: π 2 = P ⋅ Q2 − C 2 = [10 − (Q1 + Q2 )] ⋅ Q2 − 2Q2

Che massimizzato darà: ∂π 2 = 0 ⇒ 10 − Q1 − 2Q2 − 2 = 0 ∂Q2

Da cui otteniamo la funzione di reazione di Stackelberg dell’impresa 2: Q2 =

8 − Q1 2

La differenza fra questa funzione di reazione e quella di Cournot del punto e) consiste nel fatto che in questo caso la quantità prodotta dall’impresa 1 è un dato osservabile: è proprio attraverso tale quantità che il leader influenzerà la produzione del follower. Quindi nel determinare il proprio output l’impresa leader considererà la reazione del follower, che va internalizzata nella funzione del profitto dell’leader. Ossia: 

π 1 = P ⋅ Q1 − CT1 = [10 − (Q1 + Q2 )] ⋅ Q1 − 3Q1 = 10 −  Q1 +

8 − Q1   12 − Q1  Q1 − 3Q1 =  Q1 − 3Q1 2   2 

Che massimizzato darà: ∂π 1 = 0 ⇒ 6 − Q1 − 3 = 0 ⇒ Q1 = 3 ∂Q1

Sostituito nella funzione di reazione del follower si avrà Q2 = 2,5 La quantità totale prodotta nel mercato sarà quindi pari a Q = q1 + q2 = 5,5, e il prezzo sarà P = 10 – 5,5 = 4,5 Il profitto dell’impresa 1 sarà: π 1 = P ⋅ Q1 − C1 = 4,5 ⋅ 3 − 3 ⋅ 3 = 4,5

Il profitto dell’impresa 2 sarà: π 2 = P ⋅ Q2 − C 2 = 4,5 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 = 5 Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

83

È interessante rappresentare graficamente la quantità prodotta e il prezzo nelle diverse forme

di mercato, per evidenziarne il confronto:

p

pMono =6,5 pCour=5 pStack =4,5 pConc =3

=5 qMono =3,5 qCour q Conc =7 qStack =5,5

q

Esercizio: Calcolate il benessere del consumatore nei vari tipi di mercato. Esercizio 6.3:Concorrenza alla Cournot e alla Bertrànd Due imprese, la cui tecnologia è descritta dalle funzioni di produzione C1 = 3Q1 e C 2 = Q2 , producono un bene omogeneo in un mercato caratterizzato dalla funzione di domanda P = 11 − Q .

a) Determinare l’equilibrio di mercato nel caso le due imprese competano alla Cournot b) Determinare l’equilibrio di mercato nel caso le due imprese competano alla Bertrand Soluzione a) Nel caso le imprese competano alla Cournot la variabile strategica è la quantità: le imprese fissano indipendentemente e simultaneamente quanto produrre. La funzione obiettivo è, come al solito, il profitto.

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

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Per l’impresa 1 si avrà: π 1 = P ⋅ Q1 − C1 = (11 − Qtot )Q1 − 3Q1 = [11 − (Q1 + Q2 )]Q1 − 3Q1 = 11Q1 − Q12 − Q2 Q1 − 3Q1

Analogamente per la seconda impresa si avrà: π 2 = P ⋅ Q2 − C 2 = (11 − Qtot )Q2 − Q2 = [11 − (Q1 + Q2 )]Q2 − Q2 = 11Q2 − Q22 − Q2 Q1 − Q2

Da cui otteniamo le funzioni di reazione di entrambe le imprese: ∂π 1 8 − Q2 = 0 ⇒ 11 − 2Q1 − Q2 − 3 = 0 ⇒ Q1 = ∂Q1 2 10 − Q1 ∂π 2 = 0 ⇒ 11 − 2Q2 − Q1 − 1 = 0 ⇒ Q2 = 2 ∂Q2

Risolvendo il sistema si ottiene Q1 = 2 , Q2 = 4 e P = 5 b) Nel caso le imprese competano alla Bertrànd cambia la variabile strategica: il prezzo. Bertrànd osservò che modificando un’ipotesi nel modello di oligopolio con scelta simultanea si perveniva a risultati del tutto diversi, tali da permettere l’ottenimento del massimo benessere sociale nel caso di imprese identiche. In questo caso le imprese non sono identiche: l’impresa 2 è più efficiente, avendo un costo marginale minore e pari ad 1. Essa potrà quindi porre un prezzo inferiore a quello dell’impresa 1, il cui costo marginale è 3. L’impresa 2 otterrà profitti positivi, mentre l’impresa 1 non potrà produrre se non in perdita. Il più alto dei prezzi che permettono all’impresa 2 di operare da sola nel mercato è p = Cmg 1 − η , ossia l’impresa 2 porrà un prezzo leggermente inferiore al costo marginale dell’impresa 1. In questo caso si avrà quindi: P = 3 − η e Q = 11 − 3 + η

Esercizio 6.4: La concorrenza nel prezzo nel caso di beni differenziati

Si considerino due imprese, ognuna con un costo fisso pari a 20 euro e un costo variabile nullo. Le curve di domanda delle due imprese siano: Domanda dell’impresa 1:

q1 = 12 − 2 p1 + p 2

Domanda dell’impresa 2:

q 2 = 12 − 2 p 2 + p1

Dove p1 e p2 sono i prezzi che le due imprese praticheranno e q1 e q2 le quantità che le due imprese venderanno. Determinare l’equilibrio di Nash del gioco di determinazione simultanea dei prezzi. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

85

Soluzione I mercati oligopolistici hanno sempre un certo grado di differenziazione dei prodotti La quantità venduta da ciascuna impresa diminuisce quando essa pratica un prezzo più alto o quando l’impresa rivale pratica un prezzo più basso. Se entrambe le imprese praticano il prezzo contemporaneamente, ciascuna impresa effettuerà la propria scelta considerando fisso il prezzo dell’impresa concorrente, come nel modello di Cournot, dove la variabile strategica era la quantità. Il profitto dell’impresa 1 sarà: π 1 = p1 q1 − CT1 = p1 (12 − 2 p1 + p 2 ) − 20 = 12 p1 − 2 p12 + p 2 p1 − 20

Da cui differenziando: ∂π 1 = 0 ⇒ 12 − 4 p1 + p 2 = 0 ∂p1

Che ci permette di ottenere la funzione di reazione dell’impresa 1, che rappresenta il prezzo che massimizza il profitto in funzione del prezzo scelto dall’impresa 2: p1 =

12 + p 2 4

Ragionando analogamente è possibile ottenere la funzione di reazione dell’impresa 2: p2 =

12 + p1 4

L’equilibrio di Nash si situa nel punto di intersezione fra le due curve di reazione: 12 + p 2  12 + p1 12 +  p1 = 4 4 ⇒ p1 = ⇒ p1 = 4 = p 2  4  p = 12 + p1  2 4

La quantità prodotta da ciascuna delle due imprese sarà pari a: qi = 12 − 2 pi + p j = 12 − 8 + 4 = 8

E il profitto per entrambe le imprese sarà: π i = pi qi − CTi = 4 ⋅ 8 − 20 = 12

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

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Funzione di reazione dell’impresa 2

P1

Funzione di reazione dell’impresa 1 4 Equilibrio di Nash

4

P2

Esempio 6.5: Collusione Si ipotizzi che le due imprese del paragrafo precedente decidano di colludere, ossia di accordarsi per fissare un prezzo più alto per entrambe, che permetta di aumentare i profitti. Determinare il nuovo equilibrio. È questo un equilibrio nel senso di Nash? Soluzione Nel caso le due imprese decidano di colludere si comportano come un monopolista con due impianti. La funzione di profitto sarà la somma dei profitti delle due singole imprese. Invece di scegliere indipendentemente i prezzi esse decidono di chiedere lo stesso prezzo che sarà il prezzo che massimizza i profitti di entrambe. π T = π 1 + π 2 = (12 − p ) p − 20 + (12 − p ) p − 20 = 24 p − 2 p 2 − 40

Che massimizzato darà: ∂π T = 0 ⇒ 24 − 4 p = 0 ⇒ p = 6 ∂p

La quantità prodotta da ciascuna delle due imprese sarà pari a: qi = 12 − 2 pi + p j = 12 − 12 + 6 = 6

E il profitto per entrambe le imprese sarà: π i = pi qi − CTi = 6 ⋅ 6 − 20 = 16

Colludendo le due imprese riescono ad ottenere profitti più alti.

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

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Quello collusivo però non è un equilibrio di Nash: entrambe le imprese hanno infatti incentivo a deviare dall’accordo, ossia incrementerebbero i loro profitti se defezionassero. Ipotizziamo ad esempio che l’impresa 2 decida di deviare dall’accordo collusivo e di fissare il prezzo pari a 4, la quantità venduta sarebbe: q 2 = 12 − 2 p 2 + p1 = 12 − 8 + 6 = 10

Il profitto: π 2 = p 2 q 2 − CT2 = 4 ⋅ 10 − 20 = 20

Mentre la quantità venduta dall’impresa 1 sarebbe: q1 = 12 − 2 p1 + p 2 = 12 − 12 + 4 = 4

E il suo profitto: π 1 = p1 q1 − CT1 = 6 ⋅ 4 − 20 = 4

Deviando dall’accordo collusivo l’impresa 2 riesce ad incrementare i propri profitti a danno dell’impresa 1. Ovviamente lo stesso discorso vale per l’impresa 1: quello collusivo non è quindi un equilibrio stabile1. È possibile inserire tutto ciò all’interno di una tabella: Impresa 2 Impresa 1

Collude

Non Collude

Collude

16, 16

4, 20

Non Collude

20, 4

12, 12

Colludere (fissare p = 6) e Non Colludere (fissare p = 4) rappresentano le possibili strategie, in corrispondenza delle quali si individuano i profitti (payoff ) possibili. Quello illustrato è il classico esempio noto in teoria dei giochi come dilemma del prigioniero, dove non colludere è per entrambe le imprese strategia dominante: qualunque sia l’azione dell’altra impresa, sarà conveniente fissare un prezzo pari a 4 perché il profitto ottenuto sarà più alto. 1

Il discorso cambierebbe se il gioco, ossia la decisione del prezzo da porre, fosse ripetuto, cioè se le imprese dovessero effettuare la propria decisione ogni periodo di tempo, per esempio ogni anno. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

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Esercizio 6.6: Cournot con n imprese identiche In un mercato la cui domanda è P = 100 − Q operano 10 imprese identiche caratterizzate dalla funzione di costo Ci = qi . Determinare l’equilibrio di mercato nel caso le imprese competano alla Cournot. Soluzione Consideriamo il caso generale di n imprese identiche. n

La quantità totale prodotta sarà pari a Q = q1 + q 2 + ... + q n = ∑ qi = nqi = Q−i + qi i =1

dove qi è la quantità prodotta dall’i-esima impresa e Q−i rappresenta la quantità prodotta dalle restanti n-1 imprese sul mercato. Il profitto dell’impresa i sarà: π i = P ⋅ qi − ci qi = [A − (Q−i + qi )]qi − ci qi = Aqi − Q−i ⋅ qi − qi2 − ci qi

Massimizzando: ∂π i = 0 ⇒ A − Q−i − 2q i − ci = 0 ∂qi

Essendo le imprese identiche Q−i = (n − 1)qi , quindi: A − (n − 1)qi − 2qi − ci = 0 ⇒ (n − 1)qi + 2qi = A − ci ⇒ (n + 1)qi = A − ci

Quindi qi =

A − ci n +1

Applicando tale formula all’esercizio si avrà: qi =

100 − 1 99 = = 9 ⇒ p = 100 − 10 ⋅ 9 = 10 10 + 1 11

π i = 10 ⋅ 9 − 1 ⋅ 9 = 81

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

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Esercizio 6.7: Stackelberg con 3 imprese In un mercato caratterizzato dalla funzione di domanda P = 100 − Q , tre imprese identiche caratterizzate dalla funzione di costo C i = 10qi decidono in maniera sequenziale ed autonoma la quantità da produrre. Determinare la quantità prodotta da ogni impresa e il prezzo in tale mercato.

Soluzione In questo caso le tre imprese operano in maniera sequenziale. Per prima decide la quantità da produrre l’impresa 1, che è leader di mercato, dopodiché è l’impresa 2 a giocare, comportandosi da follower rispetto all’impresa 1, ma da leader rispetto all’impresa 3 che, muovendo per ultima, è follower di entrambe. Essendo un gioco sequenziale si risolve per backward induction. La funzione obiettivo dell’impresa 3 è: π 3 = P ⋅ q3 − c3 q3 = (100 − q1 − q 2 − q3 )q3 − 10q3 ∂π 3 90 − q1 − q 2 = 0 ⇒ 100 − q1 − q 2 − 2q3 − 10 = 0 ⇒ q3 = ∂q3 2

Sostituendo la funzione di reazione così ricavata nel profitto dell’impresa 2 si ottiene: 

π 2 = P ⋅ q 2 − c 2 q 2 = (100 − q1 − q 2 − q3 )q 2 − 10q 2 =  90 − q1 − q 2 − 

90 − q1 − q 2   90 − q1 − q 2  q 2 =  q 2 2 2   

∂π 2 90 − q1 90 − q1 =0⇒ − q2 = 0 ⇒ q2 = ∂q 2 2 2

Sostituendo le funzioni di reazione dell’impresa 2 e dell’impresa 3 nel profitto dell’impresa 1, e massimizzando, si ottiene la quantità ottima per il leader di mercato.  90 − q1  90 − q1 −  90 − q1  2 π 1 = P ⋅ q1 − c1 q1 = (100 − q1 − q 2 − q3 )q1 − 10q1 = 90 − q1 − −  2 2      90 − q1  = q1  4 

   ⋅ q1 =   

∂π 1 90 2q1 =0⇒ − = 0 ⇒ q1 = 45 ∂q1 4 4

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

90

Sostituendo quindi nelle funzioni di reazione delle due imprese followers: q2 =

90 − q1 90 − 45 = = 22,5 2 2

q3 =

90 − q1 − q 2 90 − 45 − 22,5 = = 11,25 2 2

Il prezzo di mercato sarà quindi: P = 100 − Q = 100 − 45 − 22,5 − 11,25 = 21,25

Esercizio 6.8: Cenni di teoria dei giochi In un mercato sono presenti due imprese identiche che producono un bene omogeneo fissando indipendentemente e simultaneamente il prezzo che può essere pari a 5 o pari a 10. Il profitto dell’impresa 1 è dato dall’espressione: π 1 = 10 −

1 p1 + p 2 2

analogamente quello dell’impresa 2 è dato dall’espressione: π 2 = 10 −

1 p 2 + p1 2

a) Individuare le possibili azioni dell’impresa 1 e dell’impresa 2. b) Calcolare i profitti delle due imprese in ogni possibile situazione. c) Rappresentare in una tabella il gioco di fissazione del prezzo da parte delle due imprese, individuando gli elementi del gioco. d) A che classe di giochi appartiene il gioco proposto? Quali proprietà caratterizza questa classe di giochi? Individuare l’equilibrio di Nash. Soluzione a) L’impresa 1 può fissare p1 = 5 se p 2 = 5 , o p1 = 10 se p 2 = 5 , o p1 = 5 se p 2 = 10 , o p1 = 10 se p 2 = 10 .

Analogamente l’impresa 2 può fissare p 2 = 5 se p1 = 5 , o p 2 = 10 se p1 = 5 , o p 2 = 5 se p1 = 10 , o p 2 = 10 se p1 = 10 .

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

b)

91

1 2

Se p1 = 5 e p 2 = 5 : π 1 = π 2 = 10 − 5 + 5 = 12,5 1 2

1 2

Se p1 = 5 e p 2 = 10 π 1 = 10 − 5 + 10 = 17,5 ; π 2 = 10 − 10 + 5 = 10 1 2

Se p1 = 10 e p 2 = 5 π 1 = 10 − 10 + 5 = 10

1 2

; π 2 = 10 − 5 + 10 = 17,5

1 2

Se p1 = 10 e p 2 = 10 π 1 = π 2 = 10 − 10 + 10 = 15 c) Gli elementi di un gioco sono i giocatori, in questo caso le imprese 1 e 2, le loro strategie, in questo caso fissare p = 5 o p = 10 , e i payoff , in questo caso i vari profitti ottenibili a seconda delle strategie. È possibile inserire tutto ciò all’interno di una tabella: Impresa 2

Impresa 1

p2 = 5

p 2 = 10

p1 = 5

12,5;12,5

17,5; 10

p1 = 10

10; 17,5

15; 15

Ogni casella individua i possibili payoff dei due giocatori a seconda delle strategie attuate: il primo valore rappresenta il payoff del giocatore riga (l’impresa 1), il secondo valore quello del giocatore colonna (l’impresa 2). d) Questa classe di giochi è nota come dilemma del prigioniero ed è caratterizzata dal fatto che entrambi i giocatori hanno una strategia strettamente dominante e la risultante soluzione d’equilibrio di Nash è una situazione inefficiente nel senso di Pareto. Una strategia dominante è una strategia che permette ad un giocatore di ottenere sempre un payoff più alto rispetto alle altre strategie che egli ha a disposizione, indipendentemente da ciò che fa l’altro giocatore. In questo caso per entrambe le imprese fissare un prezzo pari a 5 permette sempre di avere un profitto più alto di quello che si conseguirebbe fissando un prezzo pari a 10, indipendentemente da ciò che decide di fare l’altra impresa. Fissare p = 5 è quindi strategia dominante per entrambe le imprese: l’equilibrio di Nash risultante sarà pertanto p1 = 5 , p 2 = 5 . Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

92

Tale situazione è inefficiente nel senso di Pareto perché ogni impresa ottiene un profitto pari a 12,5 che è inferiore al profitto che entrambe otterrebbero se entrambe fissassero un prezzo pari a 10.

Esercizio 6.9: Un gioco infinito Si consideri ora una ripetizione infinita del gioco precedente, ed una coppia di trigger strategies tale che: - l’impresa 1 fissa sempre p1 = 10 finché l’impresa 2 fissa p 2 = 10 . Da quando osserva 2 fissare p 2 = 5 , 1 fissa all’infinito p1 = 5 . - l’impresa 2 fissa sempre p 2 = 10 finché l’impresa 1 fissa p1 = 10 . Da quando osserva 1 fissare p1 = 5 , 2 fissa all’infinito p 2 = 5 . Quale condizione deve essere soddisfatta affinché p1 = 10 , p 2 = 10 emerga come equilibrio nel senso di Nash nel super-gioco? Soluzione Affinché sì “risolva” il dilemma del prigioniero, e p1 = 10 , p 2 = 10 emerga come equilibrio nel senso di Nash, occorre che il fattore di sconto dei due giocatori sia alto, ossia che i giocatori diano maggiore importanza ai profitti futuri rispetto a quelli presenti. Consideriamo l’impresa 1, ipotizzando che l’impresa 2 rispetti la sua trigger strategy. Se non devia mai dall’accordo collusivo l’impresa 1 avrà un profitto di 15 per sempre: π 1Coll = 15 + δ 15 + δ 2 15 + ... + δ n 15 =

1 15 1−δ

Se devia dall’accordo collusivo l’impresa 1 avrà un profitto di 17,5 per un periodo e poi un profitto di 12,5 per sempre π 1Dev = 17,5 + δ 12,5 + δ 2 12,5 + ... + δ n 12,5 = 17,5 + δ è il fattore di sconto e

δ 1− δ

12,5

1 δ e sono le espressioni che si ottengono dallo sviluppo di 1−δ 1−δ

una serie matematica infinita.

Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 6. OLIGOPOLIO

93

L’impresa 1 non devierà dall’accordo collusivo se il profitto di collusione è superiore rispetto a quello di defezione dall’accordo. π 1Coll ≥ π 1Dev ⇒

1 δ 15 ≥ 17,5 + 12,5 1−δ 1− δ

da cui si ottiene, con semplici passabili algebrici, la condizione che deve essere soddisfatta dal fattore di sconto: δ ≥

1 2

Essendo le imprese identiche, analogo ragionamento può applicarsi all’impresa 2

Iacopo Grassi - 2004


Esercizio 7.1: Efficienza nello scambio Si consideri un sistema economico di puro scambio con due beni x e y e in cui operano due agenti, A e B. Le funzioni di utilità dei due agenti sono rispettivamente: U A = x A y A e U B = x1B 2 y1B

2

Le dotazioni iniziali dei due agenti sono rispettivamente per A il paniere (1,2) e per B il paniere (3,1). Stabilire se l’allocazione iniziale è efficiente e determinare la curva dei contratti.

Soluzione È facile verificare che l’allocazione iniziale non è efficiente: SMS A =

∂U A ∂x A y A 2 = = , ∂U A ∂y A x A 1

SMS B =

∂U B ∂x B y B 1 = = ∂U B ∂y B x B 3

SMS A ≠ SMS B

Il Saggio Marginale di Sostituzione di A è diverso da quello di B in tale punto, e quindi è possibile effettuare uno scambio che sia Pareto efficiente, ossia che accresca il livello d’utilità di uno dei due soggetti, senza diminuire quello dell’altro1. La curva dei contratti è l’insieme delle allocazioni Pareto efficienti, ossia l’insieme delle allocazioni lungo le quali non vi è più possibilità di scambio reciprocamente vantaggioso tra i due agenti. Per determinarla occorre imporre la condizione di uguaglianza tra i SMS dei due agenti insieme a quella di realizzabilità: l’ammontare totale di beni consumati non deve superare quella totale presente nell’economia.

1

In tale punto A è disposto a cedere 2 unita del bene x per una di y, mentre B è disposto a cedere solo 1/3 di x per un’unità aggiuntiva di y. A attribuisce maggior valore a x e minore a y di quanto non faccia B, c’è quindi possibilità di uno scambio reciprocamente vantaggioso. Iacopo Grassi - 2004


CAPITOLO 7. SCAMBIO

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In questo caso: SMS A = SMS B  ⇒  x A + xB = 4 y + y = 3 B  A

 y A yB x = x  y A xB = yB x A B  A   x A = 4 − xB ⇒  x A = 4 − xB ⇒ y = 3− y y = 3− y B B  A  A 

(3 − y B )x B = y B (4 − x B )   x A = 4 − xB y = 3− y B  A

Da cui si ottiene la curva dei contratti2: 3x B − y B xB = 4 y B − y B x B ⇒ xB =

4 yB 3

È possibile rappresentare tutto ciò all’interno di un grafico detto scatola di Edgeworth, dove l’area colorata rappresenta la regione dello scambio (Core), ossia la regione compresa tra le curve di indifferenza dei due consumatori che passano per l’allocazione iniziale. In tale area i due soggetti scambiando migliorano (o meglio non peggiorano) la propria utilità.

yA xB

3

B

1

2

curva dei contratti

A

1

xA yB

2

Risolvendo per xA e yA si sarebbe ricavato l’analoga espressione yA = 3/4 xA


CAPITOLO 7. SCAMBIO

96

Esercizio 7.2: Scambio con funzioni di utilità non derivabili Si consideri un sistema economico di puro scambio con due beni x e y e in cui operano due agenti, A e B. Le funzioni di utilità dei due agenti sono rispettivamente:

(

U A = Min( x A , y A ) e U B = Min x B , y B

)

Le dotazioni iniziali dei due agenti sono rispettivamente per A il paniere (9,1) e per B il paniere (1,4). Determinare l’area dello scambio e la curva dei contratti. Soluzione Il modo più semplice per determinare la curva dei contratti nel caso di funzioni d’utilità non derivabili consiste nel disegnare la scatola di Edgeworth. Entrambi i consumatori percepiscono i beni come complementi e, date le funzioni d’utilità, il sentiero di espansione è per il signor A rappresentato dalla retta yA = xA mentre per il signor B esso è dato da yB = xB

legenda

yA

area dello scambio curva dei contratti

xB

1

4

1 A

B

9

xA yB


CAPITOLO 7. SCAMBIO

97

L’area dello scambio è la regione compresa tra le curve di indifferenza che passano per l’allocazione iniziale. La curva dei contratti è l’insieme delle allocazioni lungo le quali non vi è più possibilità di scambio reciprocamente vantaggioso tra i due agenti. In questo caso è un area: quella compresa tra i due sentieri di espansione degli scambisti. Se infatti si considera un punto all’interno di tale area si nota che non è possibile, scambiando, migliorare l’utilità di entrambi. Esercizio 7.3: Equilibrio economico Si consideri un sistema economico di puro scambio con due beni x e y e in cui operano due agenti, A e B. Le funzioni di utilità dei due agenti sono rispettivamente: U A = x A y A e U B = log x B + log y B

Le dotazioni iniziali dei due agenti sono rispettivamente per A il paniere (1,2) e per B il paniere (2,1). a) Si determino le funzioni eccesso di domanda per entrambi gli agenti b) Dopo aver calcolato la funzione aggregata di eccesso di domanda per il bene x si calcolino i prezzi di equilibrio (si fissi py = 1) c) Determinare l’allocazione corrispondente ai prezzi di equilibrio e verificare se soddisfa le condizioni di efficienza paretiana. Soluzione a) Per trovare le funzioni di domanda di un agente occorre, come al solito, imporre la tangenza tra la curva di indifferenza e il vincolo di bilancio. In questo caso il reddito del consumatore è rappresentato dal valore della sua dotazione iniziale. Per A sarà quindi pari a: M A = p x ⋅ 1 + p y ⋅ 2 . Analogamente il reddito di dotazione di B sarà: M B = p x ⋅ 2 + p y ⋅ 1 Essendo entrambe le funzioni di utilità delle Cobb-Douglas, la domanda dei due beni sarà per il signor A pari a: xA =

1 M A 1 px + 2 p y 1 M A 1 px + 2 p y , yA = = = 2 px 2 px 2 py 2 py


CAPITOLO 7. SCAMBIO

98

Analogamente per il signor B si avrà: xB =

1 M B 1 2 px + p y 1 M B 1 2 px + p y , yB = = = 2 py 2 2 px 2 px py

Le funzioni individuali di eccesso di domanda sono date dalla differenza tra quanto un agente domanda di un bene e quanto possiede. In questo caso si avrà: Z Ax = x A − 1 = Z Ay = y A − 2 = Z Bx = x B − 2 = Z By = y B − 1 =

px + 2 p y 2 px

−1 =

px + 2 p y 2 px + p y

−2=

2 px 2 py

2 px

−2=

2 py

2 px + p y

2 p y − px

−1 =

px − 2 p y 2 px p y − 2 px 2 px

2 px − p y 2 py

b) La funzione aggregata di eccesso di domanda del bene x è data dalla somma delle funzioni individuali dei soggetti presenti nell’economia: Z x = Z Ax + Z Bx =

2 p y − px 2 px

Posto py = 1 si ha Z x =

+

p y − 2 px 2 px

=

3 p y − 3 px 2 px

3 − 3 px 2 px

La legge di Walras stabilisce che, se valgono i vincoli di bilancio dei consumatori, l’eccesso di domanda aggregata per ciascun bene è nullo, ossia che Z x = 0 (e analogamente Z y = 0 ). Applicandola in questo caso si ha: Zx =0⇒

3 − 3 px = 0 ⇒ 3 − 3 px = 0 ⇒ px = 1 2 px


CAPITOLO 7. SCAMBIO

99

c) Quindi p x = 1 , p y = 1 rappresenta un sistema di prezzi di equilibrio, cui corrisponderà una scelta per i due consumatori pari a: xA =

1 px + 2 p y 3 1 px + 2 p y 3 = = , yA = 2 px 2 2 py 2

xB =

3 3 , yB = 2 2

Tale allocazione è ottima dal punto di vista paretiano in quanto si trova sulla curva dei contratti. (verificatelo) Esercizio 7.4: Equilibrio con produzione Si consideri un sistema economico con due agenti A e B le cui funzioni d’utilità sono: U A = x A y A e U B = xB yB

a) Si calcoli la curva dei contratti nel caso le quantità totali disponibili dei due beni siano x = 1 y = 3 . Si supponga ora che le quantità complessive di x e y siano prodotte all’interno del sistema e che la frontiera delle possibilità produttive sia data dalla seguente funzione:

(

y = 10 − x 2

)

1 2

b) Si dimostri che le allocazioni calcolate al punto a) sono migliorabili nel senso di Pareto., e calcolare le dimensioni ottimali della scatola. Soluzione a) La curva dei contratti si ottiene risolvendo il sistema:  y A yB x = x SMS A = SMS B B  A  ⇒ x A = 1 − xB x A + xB = 1 y = 3 − y y + y = 3 B B  A  A 

Da cui facilmente si ricava la soluzione y A = 3x A


CAPITOLO 7. SCAMBIO

100

yA xB 3

B

curva dei contratti

A

1 yB

xA

b) Le allocazioni che giacciono sulla curva dei contratti calcolata al punto a) sono tutte migliorabili in un sistema con produzione. Esiste infatti un'altra maniera, oltre allo scambio, per modificare il consumo dei due beni per i consumatori: produrre minori quantità del bene che ad entrambi piace di meno. Oltre all’uguaglianza tra i Saggi Marginali di Sostituzione tra gli agenti, in un sistema con produzione deve valere un’altra condizione: l’uguaglianza col Saggio Marginale di Trasformazione (SMT) tra i due beni. In questo caso il SMS lungo la curva dei contratti e il SMT sono pari a: SMS =

y =3 ; x

SMT =

∂y 1 = 10 − x 2 ∂x 2

(

) ⋅ (− 2 x ) = 1 −1 2

−x

(10 − x )

1 2 2

=

1 ≠3 3

Non essendo valisa la condizione di uguaglianza è possibile migliorare le allocazioni del punto a). Per determinare l’allocazione ottima occorre risolvere il sistema seguente:


CAPITOLO 7. SCAMBIO

101

1  2 2 = − y x 10  1  y A yB  2 2 =   y = 10 − x x xB A  SMS A = SMS B  x  yA  = SMS A, B = SMT ⇒   xA x = x + x 10 − x 2 A B   x = x A + xB  y = y A + yB y = y + y  A B  

(

(

)

)

(

)

1 2

Sostituendo come di consueto, con semplici passaggi algebrici si ricava x = 5 e y = 5

yA 3 xB

B

S5

A

1

SMSA=SMSB=SMT

S5

yB

xA


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• J. Stiglitz, Principi di microeconomia, Bollati Boringhieri testi introduttivi

• H.R. Varian, Microeconomia, Cafoscarina • R.S. Pindyck, D.L. Rubinfeld, Microeconomia, Zanichelli • R.H. Frank, Microeconomia, McGraw-Hill • H. Gravelle, R. Rees, Microeconomia, Hoepli • Schotter, Microeconomia, Giappichelli Editore letture per approfondimenti

• D.M. Kreps, Corso di microeconomia, Il Mulino • Mas-Colell, A., M. D. Whinston & J. R. Green, Microeconomic Theory, OUP • H. R Varian., Microeconomic Analysis, Norton International Student Edition eserciziari

• L. Brighi, Esercizi di Microeconomia, Giappichelli, Torino • C. Carraro, M. Gambaro, Microeconomia alla prova, Il Mulino • Martinelli, Esercizi svolti per la prova scritta di microeconomia, Simone • B.J. Hermalin, L.M. Valentine, G. Mayer Escoe, Esercizi e complementi di microeconomia, McGraw-Hill • Amendola, G. Marini, A. Rosselli, M. Sportelli, Esercizi di microeconomia, Giappichelli • E. Baici-A. D'Agata, Note ed esercizi di microeconomia, Vita e Pensiero • T.C. Bergstrom-H.R. Varian, Esercizi di microeconomia, Cafoscarina

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