FIGURAS PLANAS LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico al conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica. Un lugar geométrico también puede ser un punto. Ejemplo: El lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia de 2cm de un punto P es la circunferencia de centro P y radio 2cm. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN El TRIÁNGULO Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. El baricentro es un punto que está a una distancia de cada vértice el doble que su distancia al lado opuesto.
A G 2 G A' BG 2 G B' CG 2 GC '
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice del triángulo al lado opuesto. Todo triángulo tiene tres alturas, que se cortan en un punto llamado ortocentro: Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro está en su interior. Si el triángulo es rectángulo, los catetos son alturas, y las tres se cortan en el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo, las prolongaciones de las alturas se cortan en un punto exterior al triángulo.
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Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio. En un triángulo cualquiera, las mediatrices se cortan en un punto, O, llamado circuncentro. Dicho punto está a la misma distancia, R, de los tres vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y radio R que pasa por los tres vértices del triángulo se llama circunferencia circunscrita al triángulo. Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en dos partes iguales. En un triángulo cualquiera, las bisectrices de los tres ángulos se cortan en un punto, I, llamado incentro. Dicho punto está a la misma distancia, r , de los tres lados del triángulo. La circunferencia de centro I y radio r es tangente a los tres lados del triángulo y se llama circunferencia inscrita al triángulo.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
RECUERDA: Figuras semejantes. Escala. Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma. En dos figuras semejantes los ángulos correspondientes son todos iguales y los segmentos correspondientes son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza.
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Los mapas, planos, maquetas son semejantes a la realidad que representan; por eso, acostumbran hacer referencia a la “escala” con la que se construyeron. Se llama escala al cociente entre cada longitud de la reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Ejemplo: Una escala 1:200 significa que 1cm del plano corresponde a 200cm = 2m de la realidad.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si tienen: - Sus lados proporcionales: a b c razón de semejanza . a' b' c ' - Sus ángulos respectivamente iguales: Aˆ Aˆ ' , Bˆ Bˆ ' , Cˆ Cˆ '
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES Los triángulos ABC y AB’C’ tienen un ángulo común, el Aˆ . Además, los lados opuestos a A son paralelos. Decimos que esos dos triángulos están en posición de Tales. - Dos triángulos en posición de Tales son semejantes. - Dos triángulos son semejantes si se pueden poner en posición de Tales.
B c c’
B’
a’ a
A
C’
C
b’ b 3
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario comprobar todas las condiciones. Se llama criterio de semejanza de dos triángulos a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. - Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales. - Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. - Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, los lados menores son los que forman el ángulo recto y se llaman catetos. El lado mayor se llama hipotenusa. b y c son los catetos c
a
a es la hipotenusa
b
a2 b2 c2 El teorema de Pitágoras dice: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. El teorema sólo e cierto en triángulos rectángulos, pero permite saber si el triángulo es rectángulo (=), obtusángulo (>) o acutángulo (<).
ÁNGULOS
RELACIONES ANGULARES
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ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS -
Los ángulos de un triángulo suman 180º. Los ángulos de un polígono cualquiera de n lados suman 180º n 2 , pues se puede descomponer en n-2 triángulos. 180ºn 2 Un ángulo interior de un polígono regular mide . n 360º El ángulo central de un polígono regular de n lados mide . n
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA -
Ángulo central.- Ángulo que tiene el vértice en el centro de la circunferencia.
-
Ángulo inscrito.- Ángulo que tiene el vértice sobre la circunferencia y los lados cortan a dicha circunferencia. Su medida es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia. Por lo tanto, dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales.
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POLÍGONOS
RECUERDA: Perímetro y área.
El perímetro de una figura plana y cerrada es la longitud de la línea que la rodea. Si la figura es un polígono, su perímetro es la suma de la medida de todos sus lados. El área de una figura plana es la medida de la porción de plano ocupada por ella. Unidades de longitud. El metro es la unidad principal de longitud en el Sistema Métrico Decimal. En la siguiente tabla se muestran los principales múltiplos y submúltiplos del metro así como su equivalencia. 10.000 m miriámetro Mm
1.000 m kilómetro Km
100 m hectómetro Hm
10 m decámetro Dm
0’1 m decímetro dm
Metro M
0’01 m centímetro cm
0’001 m milímetro mm
Unidades de superficie. El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. En la siguiente tabla se muestran los principales múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado así como su equivalencia. 1.000.000 m kilómetro Cuadrado
km
2
2
2
10.000 m Hectómetro Cuadrado
Hm
2
2
Metro Cuadrado
0’01 m Decímetro Cuadrado
m2
dm 2
2
100 m Decámetro Cuadrado
Dm
2
2
0’0001 m Centímetro Cuadrado
cm 2
0’000001 m Milímetro Cuadrado
2
mm 2
Habitualmente, cuando se trata de medir superficies agrarias o terrenos, se utilizan las llamadas unidades agrarias, que son: El área (a) que equivale al Dm 2 = dam 2 1 a 1 dam 2 100m 2 La hectárea (ha) que equivale al Hm 2 1 ha 1 Hm 2 10.000m 2 La centiárea (ca) que equivale al m 2 1 ca 1 m 2
TRIÁNGULO:
a
h
c
bh 2 Perímetro P = a + b + c
Área
A
b En un triángulo rectángulo, podemos tomar como base y altura los dos catetos. P Fórmula de Herón: A p p a p b p c siendo p semiperímetro. 2 6
-
Clasificación de los triángulos según sus ángulos. Dos de los ángulos de un triángulo son agudos. Dependiendo de como sea el otro ángulo, el triángulo puede ser: Acutángulo: si es agudo. Rectángulo: si es recto. Obtusángulo: si es obtuso.
-
Clasificación de los triángulos según sus lados. Equilátero: los tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales. Escaleno: todos los lados son distintos.
CUADRILÁTEROS: Rectángulo Área A = b∙a Perímetro P = 2a + 2b
a b Cuadrado
Área A = l2 Perímetro P = 4l
l l Paralelogramo (romboide)
c
Área A = b∙a Perímetro P = 2c + 2b
a
b
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Rombo l Dd 2 Perímetro P = 4l
D
A
Área
d
Trapecio
b Área a
h
A
B b h 2
c Perímetro P = a + b + c + d
B
POLÍGONO REGULAR:
Pa 2 Perímetro P = n∙l donde n es el nº de lados
Área
a
l
A
POLÍGONO IRREGULAR:
Área A = A1 A2 A3 , es decir, se calcula sumando áreas de triángulos. Perímetro P = suma de la medida de sus lados
A1 A2 A3
FIGURAS CIRCULARES
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.
L 2 r r
r
A r2 8
LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA.
nº
La
nº 2 r 360
r
SECTOR CIRCULAR:
nº A
r
nº r 2 360
P
nº 2 r 2 r 360
CORONA CIRCULAR: RR R
A R2 r 2 R2 r 2 P 2 R 2 r 2 R r
r
TRAPECIO CIRCULAR:
R 2 r 2 nº A 360
P
2 R r nº 2 R r 360
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ÁREA DE UN SEGMENTO CIRCULAR:
El área del segmento circular se calcula restando del área del sector circular el área del triángulo.
ELIPSE:
b a
A a b
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