Anais do II colóquio internacional sobre a teoria dos campos conceituais

II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais

Anais

Grupo de Estudos sobre Educação Metodologia de Pesquisa e Ação – Geempa 6, 7, 8 e 9 de dezembro de 2017 Porto Alegre – RS 1

Equipe Organizadora: Dra. Esther Pillar Grossi Dra. Candy Marques Laurendon Dr. GĂŠrard Vergnaud

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Comissão Científica

Dra. Esther Pillar Grossi Dra. Candy Marques Laurendon Dr. Gabriel Goldmeier Dra. Karen Tauceda Dr. Francisco Egger Moellwald Dra. Tânia Campos

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06 dezembro 2017 Aula Magna Prof. Dr. Gérard Vergnaud, Salão de Atos da UFRGS História de elaboração da Teoria dos Campos Conceituais Previ fazer uma apresentação a partir de vários trechos de outras apresentações sobre como eu cheguei à Teoria dos Campos Conceituais, mostrando o caminho que percorri. Inicialmente trabalhei em algo bastante complexo em nível didático. Depois me dei conta que era possível trabalhar com algo mais simples, e é isso que eu vou tentar mostrar agora para vocês.

Primeiramente lhes apresento um exemplo bastante complicado, complexo, mas muito interessante para alunos de 14 e 15 anos, incluso também para alunos do ensino profissional. É a história do senhor Félix, um empresário, que quer avaliar os custos de fabricação para construir fundações de concreto em relação às sapatas.

A construção da racionalidade O Senhor Félix é um empresário que deseja avaliar os custos de fabricação, os tempos de fabricação e a mão de obra necessária para fundações em concreto (sapatas) antes de submeter uma proposta para a construção de um lote de 25 casas; 12F4, 8F5, 5F6, cujas características são dadas num outro quadro.

*

Eu denomino esse problema a construção da racionalidade por que ele trata da função linear e bilinear, porém numa situação bem concreta. Seguem as quantidades de areia, de brita e de cimento. E também seguem os preços tanto da areia como da brita como do cimento.

Os alunos devem calcular primeiro o custo de cada um desses produtos de areia, de brita e de cimento.

São situações bastante complexas, que exigem calcular o custo de 1m³ de concreto.

Propomos aos alunos formularem questões, isto é, fazerem perguntas sobre os dados fornecidos. A primeira delas foi: Qual seria o comprimento da sapata com 1 m³ de concreto?

As sapatas têm dimensões constantes e só a informação do comprimento permite calcular o volume. Há outras perguntas clássicas habituais como o valor do metro cúbico do concreto. Quanto cimento é necessário para meio quilo de areia? Quanto cimento precisa encomendar ao todo? etc... etc...

*

As caixas de textos correspondem a slides apresentados pelo Dr. Gérard Vergnaud ao longo de sua aula.

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A construção da racionalidade As sapatas devem ter uma secção de 25x50 (em cm) O concreto armado terá a dosagem seguinte.

Para 1m³ de concreto 250kg de cimento 580 kg de areia 1.500 kg de brita Os preços são respectivamente R$ 25,50 – 50 kg de cimento R$ 40,00 – 1 tonelada de areia R$ 43,00 – 1 tonelada de brita Escreva um conjunto de perguntas utilizando os dados que você dispõe. As perguntas devem conter só palavras, não números.

Em seguida fornecemos segunda série de informações aos alunos sobre as armações que se devem por sobre as sapatas.

A construção da racionalidade H comprimento da sapata com um metro cúbico de concreto?

C preço de um metro cúbico de concreto?

G quanto de cimento para uma tonelada (1000kg) de areia?

D qual o total de cimento que é preciso encomendar?

E __________________areia ___________________?

Outro dado importante é que em média dois funcionários, dois técnicos fabricam 18 metros lineares de sapata, em um dia de 8 horas. E o custo da força de trabalho, ou seja, o pagamento para esses dois funcionários é 48 euros por hora.

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A armadilha didática para os alunos de 15 anos é de que para resolver esses problemas eles tem que tratar de funções bilineares e não simplesmente de funções lineares.

Escreva sem fazer cálculos, perguntas novas que se pode fazer!

Surgiram outras perguntas a respeito do tamanho da sapata por metro e quanto cada funcionário seria capaz de fazer por dia, isto é o valor unitário de produção dos funcionários. Terse-ia condições de calcular quantos técnicos para fabricar 130 metros de fundação em cinco dias?

A construção da racionalidade O Senhor Félix avalia o custo médio das armaduras em 350 F para um metro cúbico de concreto.

Para a mão de obra, ele toma por base o fato que, em média, dois operários fabricam 18 metros lineares de sapata em uma jornada de 8 horas, colacação de cofragem, armaduras, concreto, retirada da cofragem, etc. A mão de obra, com os encargos sociais, corresponde a um custo horário de 8F. Escreva, sem fazer cálculos, as novas perguntas que se pode propor.

Quais grandezas se pode introduzir no quadro precedente?

Quais grandezas demandam um outro tipo de quadro?

Dentro desse contexto é necessário levar em conta dois valores de variáveis não um só, ou seja, essa é uma função bilinear: quantos dias, 10 técnicos que fabricaram em cinco dias 130 metros de fundação, seriam necessários para fabricar 1400 metros? Ou quantas semanas para fabricar 1400 metros com 10 técnicos?

A construção da racionalidade Comprimento de sapata por operário por dia?

Valor unitário Fc (1,1) Quantos operários para fabricar 130 metros de sapata em 5 dias?

Quantas sapatas se pode fazer em 5 dias com 10 operários?

Quantos dias para fabricar 1400 metros de sapata com 10 operários?

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A representação desses problemas pode ser vista, dentro de um quadro com várias grandezas e a proporcionalidade teria um quadro que teria uma grandeza com dois valores, ou seja, duas variáveis que seria uma horizontal e uma vertical, no quadro, uma na fila e uma por coluna.

Um princípio fundamental para a Didática é que: não há resposta para uma pergunta que a pessoa não se faz. É preciso suscitar a pergunta.

Daí esta encenação para que haja a formulação de perguntas.

Eu estou interessado nos conteúdos conceituais das atividades em situação. Uma das perguntas que posso me fazer é: quais são os conhecimentos matemáticos especialmente que fazem referência à função bilinear, com a qual eles estão sendo provocados.

As propriedades dessa função linear, x+x’= f (x) + f (x’) seria talvez o problema a se apresentar.

Se propomos problemas muito complicados ou bastante complexos para poder analisar o desenvolvimento das competências que estão envolvidas no seu tratamento e na resolução desses problemas, teremos dificuldade.

Outra pergunta que nos surge é se a regra de três, o produto em cruz vai funcionar nos problemas dos alunos.

Eu não tive problema ou dúvida de trazer algumas grandezas que são comuns ou habituais como grandezas de areia, de cimento, de tamanho,ou seja, altura, largura e comprimento da fundação das casas os quais são elementos bastante conhecidos na vida.

Proponho agora uma questão bem filosófica: haveria grandeza se não houvesse número, porque sem os números não se poderia fazer referência a elas?

A construção da racionalidade Sem o conceito de número se compreenderá muito pouco sobre o conceito de grandeza.

Mas sem a experiência das quantidades de objetos e das grandezas físicas, especialmente as espaciais, não se teria o conceito de número.

A experiência do número começa com a experiência das grandezas.

As grandezas remetem muito ao domínio da física e no campo da matemática não se faz muita referência a elas. Entretanto deveria fazer parte do campo da matemática porque toda a história da matemática é atravessada pelas grandezas.

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Por exemplo, no século XIX os matemáticos elaboraram a estrutura de grupo que é necessária para fazer referência aos números relativos e racionais. Com certeza o conceito de grupo é uma grande descoberta, mas é uma estrutura que só remete aos números e não às grandezas, pelo menos na linguagem dos matemáticos.

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A construção da racionalidade Dois casos de proporcionalidade Quanto custam 285 kg de cortiça a € a 0,70 o kg?

Quanto custam para calcular o custo total, é preciso fazer uma multiplicação ou uma decisão?

Quanto custam 0,70m de uma tonelada de concreto ao preço de € 285 uma tonelada?

Slide 9

Para calcular o custo total é preciso fazer uma multiplicação ou uma decisão?

Apresento-lhes mais dois exemplos de problemas que se pode propor a alunos de 12, 14 anos ou até mesmo para adultos.

Quanto custam: 285 quilos de cortiça a 70 centavos de euros o quilo?

Para calcular o preço total é necessária uma multiplicação ou uma divisão? A maioria das pessoas não tem dúvida de que é uma multiplicação.

Porém se o problema tiver a seguinte encenação: Quanto custam 0,70 de uma tonelada de cimento cujo valor da tonelada é 285 euros? À pergunta: para calcular o preço total é necessário uma multiplicação ou uma divisão? Provavelmente haverá uma certa dúvida, uma certa demora.

Para o primeiro problema a maioria das pessoas responderia que é uma multiplicação, para o segundo problema, isto é calcular quanto custa 0,70 de uma tonelada de cimento quando cada tonelada custa 285 euros, haverá dúvida se é uma multiplicação ou uma divisão a fazer. Por que essa dúvida?

A minha tese se apóia na análise conceitual desses dois exemplos. A escolha da operação correta seria impedida pelo menos incomodada ou favorecida pela escolha dos valores numéricos.

Quando se trata do cimento a 0,70 centavos de euro o quilo é menos complexo que se for 285 euros o preço da tonelada.

No segundo problema o valor buscado é menor do que o de uma tonelada. Ele se torna mais complexo.

Muitos alunos e até adultos vão nesse segundo caso responder que não é uma multiplicação, mas uma divisão.

Esse problema faz referência à generalização das competências quando o cálculo que envolve a multiplicação trata de um valor decimal.

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Quero agora responder à pergunta da Esther: como elaborei a Teoria dos Campos Conceituais? Para respondê-la procurei o grau de parentesco que eu teria com alguns teóricos.

Aparecem quatro grandes nomes que são os principais, não os únicos. Eles são os principais e os mais importantes nos quais me apoio.

Qual parentesco?

Dois psicogenéticos: Piaget o mais decisivo na minha formação como psicólogo.

Vygotski redescoberto mais tarde dois matemáticos também Brousseau meu contemporâneo Trahtenbrot congresso de Moscou

Primeiro Piaget, por que eu fui aluno dele e fiz minha tese sob sua orientação.

O segundo Vygostski. Na verdade eu já o tinha lido quando era bem jovem, mas pouco tinha entendido. Fui descobrir Vygostski muito mais tarde. Em 1986 me ofereceram a tradução do livro de Vygostki na hora que eu estava indo de férias para a Córsega.

Dessa vez li Vygostki com muita paixão.

O terceiro é Brousseau que tem exatamente a mesma idade que eu com a diferença de apenas um dia. Brousseau é um professor das séries iniciais e também grande matemático. Vou trazer um pouco da teoria dele sobre as situações e sobre a importância dos números decimais.

E o último Trahtenbrot, ele é da matemática e da informática e em 1966 eu fui num congresso de psicologia na Rússia, em Moscou, e fiquei muito surpreso ao descobrir psicólogos 11

russos falando de algoritmos para o ensino da gramática. Eu fiquei tão surpreso que fui atrás para saber o que era isso.

Acerca de cada um desses quatro grandes pensadores vou trazer alguns elementos.

Piaget a forma operatória •

Suas pesquisas com seus próprios filhos: bebês e enquanto crianças pequenas, especialmente sobre a imitação e a representação

• • • •

E três livros fundadores O nascimento da inteligência A construção do real A formação do símbolo

Primeiro, Piaget. Quando ele trabalhou com os seus próprios filhos, bem pequenos, de 1, 3, 4 anos no máximo, ele já se interessou por investigar atividade em situação.

Ele estudou mais especificamente a questão da imitação e a questão da representação.

A imitação, como Piaget demonstrou é a prova da existência da representação, por que é através da imitação que as crianças representam os objetos, inclusive na ausência deles.

Piaget escreveu muitos livros, como vocês todos devem saber, mas eu vou citar só três livros fundadores. Foram os primeiros livros que ele escreveu a partir da pesquisa com seus próprios filhos, que são: O nascimento da inteligência, A construção do real e A formação dos símbolos.

São livros fundadores da psicologia da inteligência.

Esther: está é uma bela orientação que ele nos dá a respeito dos três livros fundadores de Piaget.

Existem 60 livros que ele escreveu sozinho e 60 que ele escreveu com colaboradores.

Nesses livros não há complexidade técnica. Neles, Piaget simplesmente primeiro se formula perguntas, ou seja proõe, perguntas. É exatamente o que eu já falei: Não existe resposta sem a formulação de uma pergunta.

Vygotski : os mediadores, a linguagem •

Os conceitos científicos e os conceitos cotidianos

•

A significação das palavras

•

O peso da educação e o papel dos professores

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A seguir Vygostksi. Trago dele algumas ideias. As de conceitos científicos e cotidianos.

Qual a relação entre os dois tipos de conceitos? Os conceitos cotidianos são conceitos apesar de não serem muito sofisticados. Eles são a gênese, na verdade dos conceitos científicos e de retorno os conceitos científicos alimentam os conceitos cotidianos.

Mas segundo a ideia de Vygotski, o conceito é o significado das palavras.

Com essa tese eu não concordo muito, mas, no entanto é importante destacar a importância das palavras no mundo da representação.

Isto me permite falar da forma operatória através de Piaget e da forma predicativa através de Vygotski.

Outra ideia muito rapidamente em relação à Vygotski. É que Vygotski atribuiu um peso mais importante à educação do que Piaget. Piaget na realidade era um biólogo e então fazia, com bastante frequência referência à biologia do século XIX até Darwin, apesar de, ele próprio afirmar que não era Darwiniano.

E outra ideia muito importante em Vygostki é de zona de desenvolvimento proximal, cuja a tradução que temos na França é “zona de próximo desenvolvimento”. Ao contrário de Piaget que investigou o desenvolvimento caracterizando estádios gerais, Vygotski o fez em termos de níveis mais próximos, donde ele definiu a de zona de próximo desenvolvimento.

Para a área da educação essa ideia é muito importante, pois faz referência a um recurso didática. Saber em que nível estão os alunos de uma turma, tanto se é uma turma de matemática como se é uma turma de alfabetização.

Uma questão primordial para o professor é saber qual é o próximo passo que ele pode dar com os seus alunos para que eles passem para um nível, superior imediato

Brousseau: a importância das situações O mais importante dos didáticos francêses, e que fez escola.

A longa duração de um processo de aprendizagem: o exemplo dos números decimais A teoria das situações O contrato didático

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De Brousseau eu trago várias ideias, porém a primeira é de que Brousseau é um pesquisador que trabalhou bastante a Didática do Francês.

Ele, portanto foi o grande pensador da Didática, mesmo trabalhando bastante a aprendizagem da língua, ele também o fez em matemática, especialmente sobre a dos números decimais e seus níveis de progressão. Por isso questão ele é bastante vinculado com muitos matemáticos.

Duas ideias são muito importantes em Brousseau e eu as guardei. A primeira delas é a ideia de situação. Brousseau afirmou que se aprende em situação e, portanto para o professor, o mais importante é a escolha das situações que vai propor ao aluno.

Podem ser situações complexas como, por exemplo, a do empresário de fundações. Podem ser situações mais locais, digamos mais próximas, em que se pode colocar em rede, uma em frente da outra e uma ao lado da outra.

Eu, particularmente, estudei bastante a estrutura aditiva, mostrei que há várias relações, nela envolvida: Não há simplesmente a questão da reunião de dois conjuntos que a adição não é simplesmente uma composição binária. Há também o cardinal da parte e do todo e outros elementos na estrutura aditiva, além disso, na verdade se formos analisar o problema da transformação do estado inicial para o final, temos seis tipos de situações.Os problemas da busca pelo estado inicial são muito mais complexos do que pela busca do estado final. Quando se propõe um problema com duas transformações sucessivas à primeira transformação que envolve há 80 por cento de fracasso entre os que tentam resolver esse problema. Não é possível aprofundar agora essa questão, mas é importante destacar a relevância da riqueza da estrutura aditiva até o fato dela introduzir os números negativos A última ideia que trago do Brousseau é a ideia de contrato didático. Brevemente, o contrato didático é um sistema daquilo que tanto o professor como os alunos esperam uns dos outros.

Há pouco acabei de ler o pequeno livro traduzido por Brousseau para o francês que se chama Algoritmo e Máquina de fator. Ele me permite trazer aqui de forma muito rápida a questão do algoritmo. Um algoritmo é, portanto uma regra que comporta uma sequência de ações de maneira sistemática.

Um algoritmo resulta em um número finito de passos. Isso é muito importante. Pode haver uma solução ou a demonstração de que não existe solução.

Portanto o algoritmo é uma realização racional da atividade que termina com um número finito de passos, bem organizados.

Existem os algoritmos principais que são adição, subtração, multiplicação e divisão, mas também algoritmos na álgebra, assim como outros que a Esther trabalhou na sua tese.

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Para poder explicar, definir e caracterizar o que é um algoritmo é necessário levar em conta suas múltiplas facetas.

Trahtenbrot serviu-se do Labirinto de Ariadne ou o fio de Ariadne, algo sumamente interessante como exemplo de algoritmo.

A partir desses quatro teóricos que acabei de apresentar rapidamente, Piaget, Vygotski, Brousseau e Trahtenbrot vou trazer algumas consequências teóricas. Por exemplo, o conceito de eskema que eu desenvolvi bastante, muito mais que o próprio Piaget, ele é para mim herdeiro do conceito de algoritmo só que, no entanto sem a definição que remete à questão do número finito de passos, mas ele se apóia no conceito de algoritmo. À ideia de situação de Brousseau agrego a de uma classe de situações. Essa ampliação é bastante importante porque associa à ideia de eskema que é uma forma organizada de agir frente a uma classe de situações.

Apresento-lhe um animal pré-histórico que eu elaborei quando tinha os filhos muito pequenos. As crianças tinham entre 5 e 8 anos e eu trabalhei esse animal pré histórico durante a minha tese de doutorado.

Como eu era pobre naquela época, jovem pesquisador e pobre, fui criando com pedaços de madeira esse dispositivo. Esse que tenho aqui é o original de 1965.

Esther preparou várias fichas didáticas para trabalhar com esse dispositivo, que vou poder acompanhar.

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Profa. Dra. Esther Pillar Grossi, coordenadora do Colóquio saúda os participantes e faz a explanação sobre o conceito e objetivos do evento.

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Prof. Dr. Gérard Vergnaud, cientista francês que elaborou a Teoria dos Campos Conceituais profere a aula “História de elaboração da Teoria dos Campos Conceituais”. A presença do Dr. Gérard deixou o público entusiasmado e encantado com sua intelectualidade e disposição.

Dr. Gérard apresenta o dispositivo elaborado nos seus estudos de doutorado orientado por Jean Piaget.

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Participantes manuceiam o dispositivo elaborado pelo Dr. GĂŠrard e respondem as fichas didĂĄticas elaboradas a partir deste.

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Situações es didáticas com o Dispositivo de Barras Encaixadas

Este dispositivo foi objeto da Tese de Doutorado Doutorado do professor doutor Gérard rd Vergnaud, sob a direção de Jean Piaget.

Tarefa: Retirar a barra R por deslizamento.

O que impede a barra R de ser retirada do dispositivo?

Quantas uantas letras estão associadas às à barras nele?____ Quais são essas letras?__________________________________ A forma das barras com essas letras é sempre a mesma?

Sim

Não

Por quê?

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Quantas barras vocês retiraram antes do R? É necessário retirar todas elas? Sim Não Por quê?

Considere todas as barras e as classifique, isto é, reparte-as de forma que em cada classe todas as barras tenham algo em comum. Represente suas classificações aqui.

V ou F? Verdadeiro ou falso Todas as barras com letras têm reentrâncias A barra P não tem reentrância A barra J tem duas reentrâncias A barra N se encaixa na barra R A barra J se encaixa na barra V A barra M não se encaixa na barra R A base R tem duas reentrâncias A barra M entra na barra V A barra M entra na barra J Área de Conceitos matemáticos envolvidos nestas situações: Estudo do Espaço e Lógica das Relações Binárias.

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Porto Alegre 6, 7, 8, e 9/Dezembro/2017 Escreva, no lugar adequado, as letras correspondentes às barras deste dispositivo.

Faça um circulo

nas barras móveis e um triângulo fixas

nas barras

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Verdadeiro ou Falso Escreva V ou F na última coluna da direita se a ordem da sequência de retirada de barras de cada fila permite ou não retirar R

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

J

V

N

M

D

R

N

P

J

M

V

R

P

J

M

V

N

R

D

J

M

V

N

R

D

J

N

M

V

R

J

M

D

N

V

R

J

D

M

N

V

R

V

M

N

D

J

R

M

J

V

D

N

R

V

D

N

M

J

R

N

D

J

M

V

R

V ou F

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II Colóquio sobre a Teoria dos Campos Conceituais Situações didáticas sobre o Dispositivo de Barras Encaixadas Trace flecha de cada letra, que representa uma barra quando é verdade que: ...... sai antes de ..... (para conseguir retirar a barra R).

R

N

J

V D

A

M

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Análise de propriedades de relações.

1. Uma relação é simétrica se no seu gráfico de flechas toda vez que vai uma flecha de um elemento a outro, sempre há uma flecha de volta.

A relação acima é simétrica?

Sim Não Por quê?

2. Uma relação é transitiva se no seu gráfico de flechas cada vez que vai uma flecha de um elemento para o outro e deste para um terceiro também sempre há uma flecha única do primeiro para o terceiro, como no desenho a seguir:

A regra de retirada das barras é uma relação transitiva?

Sim Não Por quê?

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Escreva R na 6º coluna deste quadro, quando a sequência da retirada de barras de cada linha, permite retirar R.

1ª J N P D D J J V M V N

2ª V P J J J M D M J D D

3ª N J M M N D M N V N J

4ª M M V V M N N D D M M

5ª D V N N V V V J N J V

6ª

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Situações didáticas sobre o Dispositivo de Barras Encaixadas Trace flecha de cada letra que representa barra quando é verdade que ... entra em...

Isto é, encaixa numa reentrância de outra barra

R

N

B V

J P

D

M

Ponto livre é quando não sai ou não chega nenhuma flecha.

Ponto simples é quando sai ou chega uma só flecha Ponto múltiplo é quando sai ou chega mais de uma flecha Em cada ponto deste gráfico coloque dois símbolos de acordo com o código a seguir

PARTIDA

CHEGADA PONTO LIVRE

PONTO SIMPLES PONTO MULTIPLO 26

II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Trace flechas cada vez que se torna verdadeira a frase cujo sujeito e complemento são barras e cujo predicado é o que segue ... tem mesmo número de reentrâncias que...

D B

N

R

P V

M J

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais 09 dezembro 2017 -Aula Prof. Dr. Gérard Vergnaud, - Sede do Geempa

Conceitualização Gérard Vergnaud Esther: Temos o prazer de terminar estes quatros dias de estudos com uma aula de Gérard Vergnaud sobre Conceitualização. É um tema para a gente puxar pela cabeça.

Fácil não vai ser. Gérard você está com a palavra...

Gérard: Merci, madame...

Gérard: Vou falar sobre a Conceitualização, porque sei, por experiência, que é um tema delicado, dificíl de compreender.

De fato, o conceito de Conceitualização em si não é tão difícil, mas quando se quer estudá-la na atividade em situação, aí é que a Conceitualização pode parecer um pouco mais complexa, porque o conceito de atividade também é difícil.

O que é a atividade? Qual a sua organização? Qual o seu papel na aprendizagem? São alguns elementos difíceis de entender. Mais que complicados são elementos sutis. Então vou tentar trazer o conceito de Conceitualização da forma mais acessível possível, dentro da ideia de atividade.

A Conceitualização À luz da forma operatória e da forma predicativa do conhecimento.

2

Abordo este conceito sempre fiel à ideia de que temos duas formas de conhecimento: a forma operatória que permite agir em situação e a forma predicativa que permite enunciar, falar, na linguagem natural e na forma simbólica, sobre os objetos e as suas propriedades.

2

As caixas de textos correspondem aos slides apresentados pelo Dr. Gérard Vergnaud ao longo de sua aula.

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A ideia de situação, apesar de uma certa proximidade entre Piaget e Vygotski, eles, no fundo não, concordavam inteiramente. Piaget se interessava mais pelas operações, em situação; e Vygotski se interessava mais pela linguagem e pelo significado das palavras.

Uma tentativa de definição bem ampla, de Conceitualização é a identificação dos objetos do mundo, das suas propriedades, das suas transformações, das suas relações.

Definição A Conceitualização é a identificação dos objetos do mundo, de suas propriedades, de suas transformações, de suas relações.

Identificamos estes objetos quer através de um contato direto com eles pela percepção, quer eles resultem de uma construção cultural coletiva ou pessoal. Essa construção tem sua história.

Dentre esses objetos, alguns acessamos direto através da percepção. Hoje em dia temos vários objetos que através da tecnologia não temos acesso direto. O seu acesso resulta de uma construção cultural, coletiva ou pessoal. Não podemos, através da percepção, ter um acesso direto às suas propriedades e à identificação da sua identidade.

O copo é um objeto concreto. Tenho acesso direto a ele e às suas propriedades.

O conceito de função linear também é um objeto. Porém, função linear é um objeto que resulta de um longo trabalho, de uma construção cultural e coletiva através da ciência, notadamente pelos matemáticos e físicos, em longo prazo. Foi um trabalho amplo, com muitas hipóteses antes de ser elaborado no século XVIII. Costuma-se chamar esses objetos de objetos abstratos. Mas afinal o que é abstrato e o que é concreto? Isso é muito relativo.

Lembro o que já falei da outra vez, acerca da forma operatória do conhecimento que é a que permite agir em situação. Lembro que a forma predicativa expressa, através das palavras e enunciados, a partir de uma linguagem natural e também de outras formas simbólicas, como álgebra, gráficos e outros, os objetos do mundo e as suas propriedades tanto as que são acessíveis através da percepção ou as que resultam de elaborações hipotéticas.

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Forma operatória e forma predicativa •

•

A forma operatória do conhecimento baseia-se na atividade e na Conceitualização que permite agir em situação.

A forma predicativa, ela exprime por palavras e enunciados, ou por outras formas simbólicas, os objetos do mundo e suas propriedades, quer sejam aqueles que são acessíveis à percepção ou aqueles que resultam de uma elaboração hipotética.

Portanto, os objetos do mundo não são só esses objetos concretos que temos acesso através da percepção, mas são também esses objetos que foram construídos hipoteticamente e que, portanto, alguns deles podem ter sido construídos através da história há bastante tempo, assim como outros estão sendo construídos recentemente.

Por exemplo, o big-bang que se constitui hoje objeto de muitos debates entre os cosmologistas, isto é, entre os que se interessam pelo cosmos, pelo universo, pode parecer um objeto hipotético porque está em debate, no entanto ele é um objeto muito próprio desse mundo.

Felizmente vou abordar simetria que é um pouco mais simples, um pouco mais concreto e mais acessível, do que o big-bang.

Vou voltar a falar de alguns elementos que eu falei dias atrás. Por exemplo, acerca da forma operatória, aquela forma de conhecimento que permite agir em situação.

Aqui no slide 4, desenhar essa fortaleza, de forma simétrica, a partir dessa folha quadriculada é algo mais simples para crianças de 9 a 10 anos do que desenhar a forma simétrica desse triangulo A B C simplesmente em uma folha branca. Então, são exemplos muito simples, mas, no entanto, mostram que a questão da forma operatória do conhecimento pode começar muito cedo e se prolongar durante muito tempo.

Diferentes níveis de forma operatória

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Eu trabalhei em Paris com engenheiros lançadores de foguetes espaciais, que é um trabalho bastante complexo, e tem níveis diferentes de complexidade na elaboração e no lançamento deles. Como o conhecimento se expressa tanto na forma operatória como na forma predicativa, é preciso saber que na forma predicativa, também, existem níveis de complexidade diferentes. Logo, a complexidade progressiva se refere tanto à forma operatória quanto à forma predicativa do conhecimento.

Nas ciências, na matemática, na física, ou em outras áreas é costume se expressar muito através da linguagem das palavras ou enunciados. Por isso, para captar essa linguagem é indispensável levar em conta a forma predicativa.

A simetria ortogonal que aparece como algo bem simples, pode ter uma forma somente aparente de simplicidade. Vou mostrar que ela tem um nível de complexidade progressiva interessante. Vejamos esses diferentes níveis de complexidade.

1 – No slide número 4 a fortaleza é facilmente simetrizável.

2 – Um triangulo A’ B’ C’ para ser traçado simétrico ao triangulo ABC em relação a reta D, já é menos simples.

3 – Dar-se conta que A’ B’ C’ mantém as medidas de comprimento dos lados e dos ângulos de A B C é mais difícil.

4 – A partir daí, podemos então falar de uma transformação denominada simetria que é uma isometria A segunda tarefa é mais difícil que a primeira, com crianças entre 11/12 anos não é tão simples expressar esse enunciado predicativo que contém três objetos.

Enquanto no primeiro o predicado é de um lugar, ou seja, de um objeto que é referente à simetria. O predicado é “simétrico” e o objeto é a “fortaleza”.

Enquanto no segundo, o predicado é simétrico de... em relação a.…, tem três lugares.

O terceiro enunciado se apresenta como algo completamente novo. Porque a simetria é trazida por predicados, antes, nos dois primeiros enunciados, a simetria está no predicado, enquanto nesse terceiro enunciado a simetria está no objeto.

Não tem esse objeto simetria no mundo, é uma transformação geométrica do objeto, que provém de toda uma série de observações, de várias transformações, de várias relações estabelecidas no predicado e se tornou objeto.

Temos na ciência essa característica de transformação de predicado em objeto.

Aqui tivemos o exemplo da simetria. E esse objeto por sua vez tem suas propriedades, por exemplo, de conservar os comprimentos e os ângulos.

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Diferentes níveis da forma predicativa 1 – A fortaleza é simétrica.

2 – O triângulo A’B’C’ é simétrico ao triângulo ABC em relação à reta d.

3 – A simetria mantém os comprimentos dos lados do triângulo e as medidas dos seus ângulos.

Esse é um fenômeno que ilustra a complexidade da Conceitualização.

Os cientistas e os linguistas não se incomodam em tornar a vida difícil com essa complexificação dos objetos e de suas propriedades.

No quarto enunciado a gente tem a simetria como objeto do mundo, mas também aparece a isometria como outro objeto do mundo que é o fato de conservar ângulos e comprimentos.

Os homens e as mulheres não se cansam de criar novos objetos. Na ciência ou até na moda. Por exemplo, o chapéu foi criado. Essas transformações não tornam fácil a análise em situação e a análise da Conceitualização.

A criação de novos objetos tem que ser levada em conta, na hora de tentar entender o que falam grandes psicólogos como Vygotski.

Tenho uma grande admiração por Vygotski, mas quando Vygotski fala que conceito é a significação das palavras ele não traz elementos em relação à Conceitualização progressiva e à sua complexidade. Podemos ver isso muito claramente na história das ciências.

Não quero desencorajar os professores, não estou aqui para isso.

Mas se não estivermos conscientes da Conceitualização e da sua complexidade progressiva podemos falhar como professores.

O que se acrescenta à tarefa dos professores, a partir desse exemplo da simetria?

Um acréscimo é dar-se conta que a forma operatória e a forma predicativa são diferentes, porém, complementares. Nenhuma nem outra é suficiente por si própria.

Que lição podemos tirar desse exemplo?

•

A simetria ortogonal permite destacar a diferença e a complementaridade entre a forma operatória e a forma predicativa do conhecimento 32

Quando a gente age em situação, além de agir estamos falando e enunciando algumas propriedades sobre aquela situação.

E quando a gente expressa os enunciados há sempre uma referência à certa experiência da prática.

Portanto, a ciência e a pesquisa didática caminham com duas pernas, isto é, caminham juntas.

Tenho grande admiração pelos dois, por Piaget e por Vygotski. Primeiro por Piaget que foi meu mestre, e com quem eu aprendi muito, mas também por Vygotski que eu tive o grande prazer de ler e de estudar. Tento mostrar em Piaget e em Vygotski elementos que são diferentes, mas que podem estar em um certo nível de proximidade.

Um desses elementos em Piaget é a ideia de eskema e em Vygotski é a teoria da atividade.

Eu cheguei a conhecer a filha de Vygotski. Ela me contou que quando ainda bem menina, nos anos 1933/34. Vygotski se reunia com Luria e Leontiev no seu pequeno apartamento na Rússia, para poder pensar e trabalhar acerca da psicologia cognitiva.

Na verdade os três trabalhavam juntos, Vygotski, Luria e Leontiev. Ela lembra que Vygotski era o mais importante. Eles costumavam trabalhar em um canto do apartamento, que era bem pequeno, enquanto ela, criança, dormia no outro canto.

Vygotski faleceu aos trinta e sete anos, mas eu cheguei a conhecer Leontiev e Luria em 1966.

O segundo elemento que valorizo em Piaget é a noção dos Invariantes Operatórios, que em Vygotski pode ser associada à diferenciação entre conceitos cotidianos e conceitos científicos.

Sobre os Invariantes Operatórios vou falar depois amplamente, porém, quero expressar aqui a ideia de que um bebê muito ativo, na sua movimentação, já mobiliza Invariantes Operatórios.

Vygotski, muito mais que Piaget, considerou a educação escolar. Ele traz a ideia de que as crianças quando chegam à escola, já chegam com um conjunto de conceitos que foram conceitos elaborados no cotidiano.

Para ajudar a construir conceitos científicos, a escola tem que se apoiar nos conceitos cotidianos, no entanto, utilizando o aspecto insuficiente do próprio conceito cotidiano para construir o conceito científico.

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As convergências entre Piaget e Vygotski são um pouco mais próximas quando pensamos que função simbólica em Piaget corresponde à linguagem e metacognição em Vygotski; consciência e abstração reflexionante em Piaget, em Vygotski é consciência e metacognição mesmo que Vygotski nunca tenha usado em seus escritos a palavra metacognição, ele tratou da cognição sobre a cognição.

• • • • • • •

PIAGET Eskema Invariante Operatório Função simbólica Consciência, abstração reflexivamente Interação sujeito objeto Estádios e equilíbrio Imitação e interiorização

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VYGOTSKI Teoria da atividade Conceito cotidiano/científico Linguagem e metacognição Consciência / metacognição Interação adulto/criança Zona do próximo desenvolvimento Interação

Outro ponto de divergência é que Piaget se interessava pela interação entre sujeito e objeto, enquanto Vigotsky se interessava mais pela interação entre adulto e criança.

Esther: muito importante essa diferença entre interação entre sujeito e objeto e interação entre adulto e criança. Piaget e Emília Ferreiro nunca se preocuparam com a interação onde entravam os outros sujeitos, as outras pessoas. Emília Ferreiro insiste que os alunos se alfabetizam em contato com o texto. Assim como Piaget, ela sustenta que se aprende em contato com o objeto de conhecimento. Ela nunca previu essa interação com os outros. Porém, já nos últimos anos de sua vida, Piaget, quando eu estive em Genebra, disse que um bom professor pode prestar um péssimo serviço aos alunos, prevendo a aprendizagem entre pares. Vygotski também não previu a aprendizagem entre pares, quando trata da ZPD, ele abordou apenas a colaboração de um adulto para a criança. A grande diferença do pós-construtivismo com as outras teorias sobre aprendizagem é a incorporação dos outros, como mediadores das Conceitualizações. Outros, que sabem mais, que sabem mais ou menos o mesmo e os que sabem menos que o aprendente. E muito especialmente o Outro inconsciente que é fruto da internalização dos outros exteriores.

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Gérard: Muitos colegas meus da didática da matemática, investigam e estudam bastante a encenação de um conceito numa situação. Mas não estudam a evolução dessa encenação, ao longo dos anos, por exemplo, no intervalo de dez anos de escolaridade.

Observação do publico: muito oportuna a intervenção da Esther. Deixou a gente cheia de mais perguntas, mas ela esclareceu para nós o que Vygotski entendeu como social, na cena escolar. Não é a ideia de social como convivência, como relacionamento… para nós ficava parecendo isso. Só que com o esclarecimento da Esther agora, foi diferente. Pela primeira vez foi enfocada, a interação do aluno com outro aluno, do aluno com o adulto.

Gérard: Relativamente ao desenvolvimento, isto é, ao processo de construção de conhecimentos, Piaget elaborou a teoria dos estádios, teoria na qual eu não acredito…

Acompanho, entretanto, a Piaget no seu olhar sobre a equilibração, isto é, a passagem de um conjunto de competências para outro conjunto de competências, que integra elementos do antigo conjunto.

De sua parte Vygotski traz um conceito muito importante: o de zona de próximo desenvolvimento. Isto é, quais seriam as situações que se pode propor para que um aluno que se encontra em certo nível passe para um nível imediatamente superior.

Mas um ponto teoricamente muito importante é que Piaget demonstrou que a representação existe, durante a plena ascensão behaviorista.

Ele trabalhou a imitação em um livro dele que se chama “O nascimento da inteligência” onde ele apresenta critérios da representação. A imitação, tanto na ausência do objeto, ou seja, o objeto não presente, como a representação do próprio sujeito que não se diz a verdade. A criança imita assim mesmo.

Quando estamos restritos à educação escolar, a ideia de representação não é tão importante. Porém, quando se trata de uma elaboração científica em Psicologia Cognitiva ela é central. E foi relevante, Piaget mostrar que existe representação até mesmo no bebê.

Esther: qual a diferença entre interiorização e internalização?

Gérard: Há uma certa diferença enquanto a internalização é, uma imitação a partir do outro, do social no caso de Vygotski, que depois é internalizado. Na interiorização de Piaget seria uma imitação do exterior que depois se torna uma imitação interna, no próprio sujeito.

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Evidentemente a ideia da imitação não esgota o conceito de conhecimento. O conhecimento resulta de uma criação própria do sujeito, e até mesmo do bebê. Essa contribuição de Piaget foi uma revolução naquela época.

Vejamos agora a organização da atividade em situação, para podermos nos aproximar um pouco mais da problemática do conhecimento. Para ela a noção de eskema é fundamental.

Piaget enuncia a palavra eskema, mas não a analisa muito bem.

A ideia de eskema provém de Immanuel Kant, dos filósofos kantianos que trouxeram essa palavra eskema, mas que também não a analisaram muito bem.Porém, eles se aproximaram da ideia de atividade. Na tese de Félix Ravaisson o que ele tinha intitulado “de hábito”, remete à atividade, que se repete. A ideia de repetição existe em Piaget, embora como algo meio afastado. Na verdade, Piaget apresenta o conceito de eskema, mas como um pré-conceito, ou seja, ele pressente algo nesse sentido, mas não aprofunda.

O conceito de eskema Piaget enuncia a palavra eskema e não define como uma organização da atividade, mas como uma espécie de “préconceito”.

Vygotski também não apresenta uma definição analítica de organização de atividade.

Vyotski também não dá uma definição nem analisa a organização da atividade, a partir do eskema.

Portanto, há ainda muito trabalho a ser feito. Eles nos deixaram largo espaço para estudo.

Questão do público: O eskema se estruturaria mais em uma rede de conceitos ou qual seria a estrutura de conceitos na percepção de eskema? Se é uma rede ou outro tipo de estrutura?

Gérard: Eu vou explicar, agora, você é impaciente…. É justamente o ponto que eu vou tratar a seguir…

Antes, porém, preciso fazer um pequeno desvio a partir do conceito de algoritmo. Como eu falei há alguns dias atrás, quando eu fui em 1966 na Rússia eu acabei encontrando um cientista que trabalhava a gramática a partir de algoritmos.

Eu sabia apenas um pouquinho o que era algoritmo.

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Comprei um livro de Trathembort, matemático e informático russo. Além disso, ele fez algo muito interessante para mim: me explicou o que é um algoritmo a partir do labirinto de Ariadne, e aí não tem número. Por consequência mesmo que o conceito de algoritmo tenha sido desenvolvido a partir das ideias de número, podemos estudá-lo fora da matemática, com outros objetos muito mais simples.

Algoritmos e eskemas Foi a leitura de um livro Trathembort “ Algoritmos e máquinas de calcular” que me conduziu à definição do conceito de eskema.

Um algoritmo é uma regra de ação que permite encontrar solução de um problema em um número finito de passos, se ela existe, ou demonstrar que não há solução para ele. É por isso que eu me permiti trabalhar com as crianças, com esse dispositivo de barras de madeira, que vão se encaixando:

Uma definição rigorosa do que é algoritmo, é a seguinte: algoritmo é uma regra ou um conjunto de regras que permite encontrar a solução de um problema, se ela existe, em um número finito de passos. Podemos considerar o caso de algoritmo, cuja solução não existe, através de programas de informática que vão sempre rodando sem acabar em uma solução.

Algoritmos e eskemas II •

Como um algoritmo, um eskema é uma organização de atividade, mas não acaba necessariamente em uma solução e o número finito de passos tem sobretudo sentido em informática.

•

Não há, portanto relação de necessidade entre a organização do eskema e as propriedades da situação.

•

E, entretanto os eskemas são frequentemente operatórios.

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Isso é interessante porque mesmo a partir de exemplos de máquinas que vão rodando elas acabam não chegando a uma solução, apesar de que o objetivo inicial é encontrá-la. Elas podem mostrar que não existe.

Essa passagem pelo conceito de algoritmo me permitiu aprofundar a conceito de eskema.

Para tal, me dei conta que os gestos são muito importantes. Não existe algoritmo para dançar tango. Mas é necessário gesto, que uma atividade com certas regras, com certa regulação.

Supus então o pensamento fosse um gesto. Eu fiz mímica antes de fazer psicologia cognitiva, com Étienne Decroux e Marcel Marceau. Essa ideia de que o pensamento é um gesto, é bem relacionada com o fato de que os gestos são gerenciados por uma regra ou um conjunto de regras. Os gestos são constituídos por um número finito de passos, mesmo que possa não chegar a nenhuma solução.

A diferença fundamental entre algoritmo e eskema é que todo algoritmo é um eskema, mas nem todo eskema é um algoritmo.

Estamos voltando ao conceito de eskema.

Quando fazemos ciências não podemos nos satisfazer com a linguagem corrente. Portanto, temos que expressar com exatidão a definição do conceito de eskema. É isso que vou tentar fazer, hoje neste Colóquio. É preciso aprofundar a definição que temos de eskema. Ir mais profundamente até do que o próprio Piaget.

Façamos uma passagem pelo conceito de algoritmo para poder chegar na definição do conceito de eskema.

Nunca se deve esquecer que o eskema é uma forma de organização da atividade para uma certa classe de situações.

Esta classe pode ser pequena, diminuta ou um pouquinho mais ampla ou às vezes, muito ampla.

Definição analítica de eskema •

1 Uma meta ou diversas.

•

2 Regras para gerar: uma sequencia de ações, tomada de informação e controles.

•

3 Invariantes operatórios: conceitos e teoremas em ato

•

4 Possibilidades de inferência 38

Porém, o eskema depende de uma ou de várias metas que temos nesta atividade, de forma a enunciar as regras que permitem gerenciar a sequência das ações, as tomadas de informação e os controles, ou seja em três instâncias: ação, tomada de informação e controle.

Por exemplo, quando estou dançando tango estou agindo, mas também estou tomando informações para não pisar no vizinho ou até na minha parceira e também estou fazendo controle de direção e de velocidade.

Mas isso não é suficiente. Tenho que compreender porque o que estou fazendo está adequado a essa situação. É por isso que eu preciso dispor de conceitos e teoremas em ação que me permitam tratar dessa tomada de informação.

Por exemplo, para conseguir desenhar o triângulo A’ B’ C’ simétrico ao triângulo A B C, a partir da reta D, eu preciso de conhecimentos da matemática mesmo que eu não consiga expressá-los. Uma parte das nossas Conceitualizações é inconsciente e quando elas são conscientes elas não são obrigatoriamente expressas. Além disso, abrem possibilidades de inferências, ou seja, permitem estabelecer relação de parentesco entre as propriedades do que é possível fazer e do que é possível relacionar. A isso chamamos de possibilidades de inferência. Esta definição permite compreender como a atividade pode ser operatória sem obrigatoriamente ser algorítmica. Se ela é algorítmica, muito bem. Os algoritmos são eskemas, mas os eskemas não são todos algoritmos. Se não compreendermos essa diferença não podemos compreender nem mesmo

a

aprendizagem matemática. Por quê? Porque mesmo quando a matemática tem por finalidade algoritmos, os algoritmos não nascem sozinhos nas situações.

Isso precisa ser considerado didaticamente porque quando se aprende um algoritmo, obrigatoriamente, não se aprende usá-lo corretamente nas situações. Para realizar uma divisão existe um algoritmo. Mas a pesquisa de Jean Brun e de François Conne mostra, que as crianças mesmo sabendo este algoritmo não o usam. Elas os substituem por eskemas pessoais.

Consequentemente importa podermos mobilizar eskemas que não terminem em um resultado, mas que permitam avançar ou não numa solução viável. Vê-se, portanto, que se pode transformar a organização de algoritmos em eskemas pessoais que não são mais algoritmos. Assim funciona a vida real!!

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A elaboração do conceito de eskema (sem a denominação) levou bastante tempo • • • •

Regras de ação há 40 anos: Allen Newell e Imre Simon As metas: Leontiev, mas sem nada dizer sobre a organização da atividade.

As tomadas de informação e sua interpretação: essências para compreender o encadeamento da atividade; Gérard Vergnaud.

Os conceitos em ato e os teoremas em ato, condições para a interpretação para escolhas das ações.

As possibilidades de inferência: a representação é sempre “cálculo”

Se desejamos compreender os problemas que se colocam nas aprendizagens temos que levar em conta a dimensão do desenvolvimento de complexidade.

Podemos agora avançar um pouco mais.

As elaborações trazidas por pesquisadores na informática há 40 anos, como Allen Newell e Imre Simon buscavam explicar ações, do mesmo modo que os sujeitos as realizam, ações a partir de regras. Esses programas apenas explicavam ações, mas nada explicavam sobre a tomada da informação e sobre a interpretação da informação que é completamente essencial na ação. Nada explicavam também sobre a questão da Conceitualização. Com esse modelo não podemos trabalhar na área das aprendizagens, quer seja da matemática, das ciências, da física ou da gramática. Portanto, centra-se apenas na ação não permite um bom trabalho sobre qualquer uma dessas aprendizagens.

Até mesmo para aprender a dançar tango tem que se levar em conta a tomada de informação e poder analisá-la. A regulação entre idas e vindas acerca das informações, é essencial para as Conceitualizações mesmo que ela não seja enunciada.

Uma grande parte da Conceitualização na atividade fica implícita e até mesmo por vezes inconsciente. Isso é a vida, o que torna as coisas difíceis para a pesquisa.

Mas não podemos fugir e escapar dessa análise se quisermos pesquisar sobre aprendizagem, sobre ensino, sobre formação de professores e mesmo sobre a aprendizagem de pais de alunos. Trabalhei durante muitos anos ensinando matemática moderna aos pais que estavam apavorados com os professores de matemática que ensinavam os seus filhos essa matemática.

A ideia fundamental e principal para chegar-se a uma definição de eskema como organizador da atividade é que avancemos para além do que é um algoritmo. Porque dos 40

eskemas vão resultar proposições corretas, mas também erros. E a análise dos erros é algo importantíssimo em Didática.

Trabalhando com problemas sobre a regra de três por alunos de 12, 13 e 14 anos, eu próprio fui surpreendido pela variedade dos procedimentos usados por eles. 15 ou 20 procedimentos diferentes para o mesmo problema foram usados na mesma turma.

Poucos desses procedimentos levavam ao sucesso. Talvez apenas uns 4 ou 5 mais eficazes ou mais gerais que os outros. Alguns deles pareciam completamente absurdos, ou pelo menos não se conseguia ver a lógica que levou esses alunos a usar esse procedimento, isto é qual a lógica por trás deles.

Mas entre os procedimentos que fazem sucesso, que acabam resolvendo o problema ou aqueles procedimentos completamente absurdos, há um intervalo e uma variedade de elementos os quais mostram que os alunos aprenderam alguma coisa, ou seja, são procedimentos parciais pertinentes.

Numa turma o professor não pode se interessar só pelos algoritmos ou só pelos erros totais. Ele deve trabalhar os procedimentos que são parcialmente inteligentes ou parcialmente absurdos.

Isso demanda uma delicada atenção e grande cuidado com a atividade dos alunos. Se é um trabalho pesado para o pesquisador ainda é mais pesado para o professor. Normalmente, se costuma tentar jogar fora, escapar, fugir desse problema. A falsa solução é em geral propor diretamente um algoritmo cientificamente já construído. É assim que se faz, que até eu mesmo faço, que você faz, que você repete.

Ensinar diretamente só o algoritmo é o modelo de ensino mais fácil e mais utilizável, porém nada eficaz.

Observação do público: eu achava que os eskemas estavam dentro dos Invariantes Operatórios, na TCC. Agora me parece que eles permeiam os 3 conjuntos ( Conjunto de situações, conjunto de conceitos, conjunto de representações). Que eles desempenham um papel presente dentro da teoria como um todo.

Gérard: O eskema é um conceito que olha para a organização da atividade enquanto o tempo transcorre. Os Invariantes Operatórios têm a ver com as formas explícitas dos objetos e dos seus predicados. Eles remetem à ideia da Conceitualização, ou seja, da identificação dos objetos do mundo e das suas propriedades.

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A identificação dos objetos do mundo é diferente da organização da atividade.

Apesar de que se precisa dessa identificação dos objetos e das suas propriedades para organizar atividade.

A organização da atividade é que é o eskema?

Ele remete à questão da organização da atividade no decorrer de um tempo, notadamente através da tomada de informação, das regras de ação e do controle. Eu reconheço que é difícil, dificílimo, difícil, mesmo, mas não temos escolhas. Temos que enfrentar essa noção de eskema que é o cerne das aprendizagens.

Quando algo é complicado só resta levar em conta essa complexidade. Parece muito simples dançar tango, ou parece muito simples um esportista saltar com vara às alturas. Apenas parece simples. Mas quando se tenta compreender a organização da atividade enquanto ela decorre em um certo tempo é simultaneamente complicado e esclarecedor.

Para poder produzir uma resposta à essa questão da tomada de informação, das regras de ação e do controle, afirmo que o pensamento é um gesto. É obviamente uma metáfora, mas, ela significa que o pensamento está organizado na duração de um tempo.

Deve ser difícil para vocês compreenderem isso. É também difícil para mim.

Não quero deixar de insistir sobre a questão do controle.

Controle é a relação entre a ação efetuada que é o que está previsto ou esperado que ocorra. Pesquisando sobre a aprendizagem da álgebra, Anibal Cortez, um colega argentino, me alertou: “mas Gérard é preciso considerar a questão do controle.

Impossível fazer álgebra sem controle, ou aprender qualquer coisa sem controle”.

E o controle •

•

A tomada de informação é essencial para compreender a organização da atividade, mas eu deixei de mencionar o controle de relações entre a ação efetuada e o que era previsto ou esperado.

Trabalhando sobre as atividades algébricas é que fui levado a mencioná-la explicitamente. Daí surgiu a expressão tríplice: regras de ação, tomadas de informações e controles.

Daí as expressões que usei hoje e na verdade faz algum tempo que estou usando: regra de ação, tomada de informação e de controle.

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A ação é essencial, mas ela depende da tomada de informação e da interpretação dessas informações e sem o controle não sabemos onde estamos.

Ontem eu escutei algumas comunicações. A Marli, não sei se ela se encontra aqui agora, ela falou acerca da importância do controle na atividade dos alunos para a estimativa do número de carros que estavam envolvidos no engarrafamento.

O que ouvi, ontem, nas comunicações •

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Marli explicou justamente o peso do controle na atividade dos alunos para a estimativa do número de pessoas e do número de carros implicados num grande engarrafamento.

Sintria mostrou as preferências dos alunos para os tratamentos escalares da proporcionalidade e as dificuldades com a regra de três da qual eles controlam mal o sentido.

Veridiana mostrou a fraca compreensão dos números irracionais para os alunos, pela ausência de exemplos nas suas atividades do dia-a-dia.

A Sintria mostrou a preferência dos alunos para os tratamentos escalares da proporcionalidade e as dificuldades para eles da regra de três porque eles não controlam muito este significado.

Veridiana mostrou o significado fraco ou pouco significativo dos números irracionais para os alunos, por falta de exemplos para eles nas atividades cotidianas, comuns.

As atividades comuns, cotidianas muitas vezes, servem de exemplo para entender as atividades científicas. Até mesmo para essa questão de controle.

Encontrarmos aqui as ideias de Vygotski, a respeito da diferença entre conceitos cotidianos e conceitos científicos. Nós desenvolvemos conceitos científicos a partir de conceitos cotidianos, mas há um retorno também dos próprios conceitos científicos para alimentar os conceitos cotidianos.

O interesse por Bachelard •

• •

Eu apreciei igualmente a reaproximação, por Debora, das ideias de Bachelard, especialmente as de filiação e de ruptura, que desempenham um papel importante na Teoria dos Campos Conceituais.

A teoria de Bachelard é inspirada pela história das ciências, mas ela tem também um sentido para a Didática e para a aprendizagem.

O conceito de obstáculo epistemológico, muito especialmente é válido na pesquisa em Didática.

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Permitam-me falar só um pouquinho sobre Bachelard, que foi abordado numa comunicação. Ele foi um grande cientista que trabalhou bastante sobre a filiação e a ruptura que é um problema da Didática, não no mesmo nível no qual ele trabalhou. Ele formulou também o conceito de obstáculo epistemológico que nasceu da história das ciências. Inclusive da historia da Didática. Por exemplo, o conceito de número negativo foi introduzido na época do Renascimento e, sobretudo, em particular, na geometria algébrica. Descartes escreveu em 1636 um tratado muito rico sobre a geometria algébrica, em português, geometria analítica. É interessante e é importante saber que mesmo no século XIX grandes matemáticos na França recusavam a ideia de que os números negativos fossem números. Isto é a recusa de que eles tivessem o estatuto de objeto de conhecimento.

Eles são, entretanto, meios de calcular de uma forma muito cômoda, muito tranquila, mas, no entanto se rejeitou que estes números negativos fossem números, que existissem enquanto objeto de conhecimento.

Ao trabalhar sobre a solução de pequenas equações com crianças, se tínhamos um problema cuja resolução era através de uma equação com uso de números negativos muitos alunos, não todos, mas uma maioria deles pensava que eles se enganaram, porque não é razoável chegar a uma solução negativa. Está fora das suas perspectivas. A isto chamamos de obstáculo epistemológico.

Somos então obrigados a concluir que estamos frente a uma problemática complexa que exige trabalhar de forma séria esses problemas. Vê-se aqui, que o problema se situa para além da organização da atividade. Atinge-se o nível da Conceitualização, ou seja, ter ou não ter o direito de considerar os números negativos como números?

Estou chegando ao final.

Mas o problema é que desde o Renascimento na contabilidade analítica a gente já encontrou a questão do número negativo como simetria dos positivos. Na contabilidade analítica há uma relação entre o negativo e o positivo, porque há tantos resultados negativos como positivos, particularmente dentro de uma empresa. É interessante ver que isso se desenvolveu na mesma época que a álgebra sem, no entanto usar ou se permitir usar álgebra para poder fazer esses cálculos nas empresas.

Ou seja, as ideias podem estar disponíveis sem que se as utilize.

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Aprofundaremos a seguir a diferença entre conceito e teorema e eu o faço em relação aos conceitos e teoremas em ato, mas isso também é verdadeiro para os conceitos explícitos e os teorema explícitos.

Conceitos e Teorema em ato - Diferença e complementaridade • • •

Duas crianças receberam um cronômetro de presente. Elas estão num trem rápido entre Paris e Bordeaux.

O trem leva 16 minutos para ir da cidade X à cidade Y e elas sabem que as duas cidades distam 40 km.

Um pouco mais adiante elas registraram 36 minutos de uma cidade S à cidade T. Elas procuraram calcular a distância entre S e T. Elas têm mais ou menos 10 anos.

Diferença e complementaridade • • • • • •

2 vezes 16 é 32 Falta 4 para ir até 36 Então 2 vezes 40 km, é 80km 4 é a quarta parte de 16.

E a quarta parte de 40 é 10km Ao todo, a distância entre S e T é de 90 km

Diferença e complementaridade •

• • • •

O 2 de “duas vezes mais” é uma razão escalar entre duas grandezas da mesma natureza (os minutos). O mesmo se pode dizer do 4, de “quatro menos”.

Elas são aplicadas (transpostas) às distâncias em Km: Duas vezes 40 e logo a seguir a quarta parte de 40.

As crianças utilizaram o teorema em ato.

D ( 2x16+ 16) = 2 x D (16)+ D (16)

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Vou contar-lhes uma historia rápida: duas crianças ganharam um cronômetro de presente. Elas estão dentro de um trem rápido que vai entre Paris e Bordeaux. O trem leva 16 mim para ir para de uma cidade x à cidade y. Elas sabem que há distância de 40 km entre essas duas cidades. Eles estão felizes com o seu cronômetro. Elas continuam brincando com o cronômetro. Um pouco mais tarde elas observam que levou 36 minutos da cidade s para a cidade t. Elas tentam calcular a distância entre essas cidades.

Eles têm em torno de 11 anos de idade e estão no último ano do ensino fundamental.

Do lado dos tempos, dos minutos ela têm duas referências 16 e 36, como 2 x 16=32, em relação ao 36 falta 4 para 32.

Há um isomorfismo entre 2 x16=32 e 2x40 = 80 quilômetros, entre tempos e distâncias. Então, a quarta parte de 40 é 10. E no todo vai dar, portanto, 90 quilômetros.

Há aqui bastante o que pensar: o 2, de duas vezes mais é uma relação escalar entre duas grandezas da mesma natureza, os minutos; da mesma forma que o 4, de 4 menos. Portanto, eles vão ser aplicados à questão das distâncias em quilômetros de uma forma isomórfica 2 x 40 ou então a quarta parte de 40. O teorema que há por trás desse raciocínio é que a distância que corresponde a 2 x16 mais a quarta parte de 16 é equivalente a 2x a distância de 16 mais a quarta parte de distância de 16. Isso aqui é um teorema e ele é verdadeiro, mas ele poderia ser falso. Teoremas não são verdadeiros nem falsos. Eles são simplesmente pertinentes. Este aspecto é um ponto bem complexo. É importante, não confundir pertinência e verdade. Elas não são a mesma coisa.

Há teorema em ação sem conceito em ação. Isso é uma dialética muito importante, muito útil. Não se pode confundir pertinência e verdade.

Com certeza essa observação conduz a exigir muita atenção ao conteúdo e à especificidade da pertinência e da verdade. Para estudar uma variedade de relações, as estruturas aditivas são exemplos muito bons, porque são simples e remetem a uma variedade de situações que nunca foram abordadas adequadamente, na literatura de ensino.

Como sou um herdeiro da mímica, dela retiro que se o pensamento é um gesto, os raciocínios para tratar da variedade de situações são coreografias de grande riqueza.

Falo de gesto, porque o gesto é o protótipo da organização da atividade no tempo. No slide 23 temos as variedades de relações.

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No próximo slide temos a adição e a subtração como transformação.

Estudar uma variedade de relações •

•

• •

Um campo conceitual cobre um conjunto de situações e de relações, por conseguinte de raciocínios e de atividades e de conceitos.

As estruturas aditivas são um exemplo simples dessa variedade. E isto diz respeito às crianças desde a escola elementar.

Se o pensamento é um gesto, os raciocínios para tratar dessa variedade formam uma coreografia de uma grande riqueza.

Como na dança, há gestos difíceis; na lógica também. Por exemplo, o reconhecimento dos números negativos como números.

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Agora abordemos os Invariantes Operatórios na atividade. Dentre os Invariantes Operatórios há alguns que são conscientes e outros inconscientes. Dentre dos Invariantes conscientes há os que se chama de explicitáveis, ou seja, eles não são explícitos, mas se a gente questionar os aprendentes eles são capazes de ser explicitados. Por exemplo, na Didática profissional quando a gente questiona um condutor de trem sobre sua atividade, apesar de ser difícil, ao longo do questionamento ele consegue explicitar seus Invariantes Operatórios. Neste caso, esses Invariantes Operatórios do condutor de trem são conscientes.No próximo slide há vários círculos que representam Invariantes Operatórios conscientes explicitáveis ou explícitos.

Por exemplo, o meu genro trabalha numa central nuclear. Ele faz parte de uma equipe de 4 engenheiros. Para poderem trabalhar juntos eles precisam tornar seus conhecimentos explícitos. Eles precisam falar uns com os outros de seus Invariantes Operatórios. A explicitação dos Invariantes faz parte da atividade nesse nível e o último nível será quando eles forem formalizados.

Um caminho da Conceitualização é partindo dos Invariantes Operatórios conscientes explicitáveis, torná-los explícitos e por último formalizá-los. Porém, há um caminho inverso. Indo e vindo. Formalizando o conceito e voltando para o Invariante Operatório.O último slide é sobre a mediação do professor, o que ele faz?

O que faz o adulto de Vygotski para ajudar a criança? Entre outras coisas, ele é um mediador e como tal deve intervir para criar situações de forma oportuna. Ele vai também acompanhar a atividade do aluno em situação com as metas, com os Invariantes Operatórios, com as regras de ação, com as inferências e com os controles. A mediação, portanto, se situa entre esses diferentes elementos.

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Na sede do Geempa no último dia do Colóquio Dr. Gérard proferiu a aula sobre Conceitualização levando os participantes a se embrenharem nas essencialidades da Teoria dos Campos Conceituais.

Os participantes escutam atentamente ao Dr.Gérard

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Conversa com Sara Pain sobre Conhecimento, arte histĂłria e polĂ­tica

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JOGO “ADIVINHA PALAVRAS” - JOGO DO CARA A CARA CONVERSA COM SARA PAIN SOBRE CONHECIMENTO, ARTE, HISTÓRIA E POLÍTICA

ALIENAÇÃO ARTE PRECONCEITOS REBELDIA

IDEOLOGIA REINVENTAR CONCEITOS INDIFERENÇA

OBJETOS DE DESEJO

SABER ENSINAR

BURGUESIA INCONSCIENTE CORPO POLÍTICA PROFESSORA PROVOCAR

POVO HISTÓRIA ORGANISMO CONHECIMENTO

HUMANIDADE MUDANÇA

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais 07 de dezembro de 2017 – Salão de Atos da Reitoria da UFRGS Conversa com Dra. Sara Pain sobre “Conhecimento, arte, história e política” BOAS VINDAS Bom dia, É um prazer estar com vocês e para começar agradeço a Esther pelo convite de poder participar daqui da França, e também quero agradecer aos que participaram com as suas perguntas, a Rita, Candy, Claudia Abreu, Penha, Karen, Nair, Carla, Ândrea e Valéria.

Perguntas muito interessantes que eu tratei de respondê-las com exemplos porque teoricamente são muito profundas e difíceis de fazer uma palestra em tão pouco tempo.

Que tenham uma jornada com muito trabalho e muita satisfação de estarem juntas e pensarem juntas.

QUAL DIFERENÇA ENTRE CORPO E ORGANISMO? Sara Pain: Como tenho pouco tempo e a teoria está nos livros, eu vou responder com exemplos. Suponhamos que uma pessoa passe de um lugar muito escuro para um lugar iluminado. A pupila do olho se fecha por conta da luz que vem. Isto é organismo, que se regula só e nós não podemos fazer com que nossa pupila seja maior ou menor.

Nosso organismo age completamente só como para a digestão, para a circulação do sangue. Tudo que vem do nosso funcionamento orgânico. Então se eu tenho uma luz forte e faço sombra sobre os meus olhos com uma viseira, este é um gesto aprendido. É um gesto que eu realizei por mim mesma sobre meu corpo para proteger-me. Quero dizer que aí está comprometido CORPO. Porque esse é um movimento que está associado a uma necessidade como reação e que em algum momento pode ser automática, um princípio de estar inscrita, que compromete ao corpo, que o aprendizado não deixou de ser meu corpo para chegar a proteger-me da claridade. Essa é a diferença.

O organismo tem uma regulação frente à luz. E o corpo tem outra organização. Essa é a diferença entre o orgânico e o corporal.

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O QUE SÃO ESTRUTURA DESEJANTE E ESTRUTURA LÓGICA? Sara Pain: Estrutura de desejo inconsciente não há o que explicar, porque Freud já escreveu sobre isso.

O problema pode ser que alguém não considere que o pensamento lógico é inconsciente.

Se uma pessoa refletir como se pensa, por exemplo: A criança conta um, dois, três, quatro, cinco e diz tem cinco balas. Como passa do contar a dar-se conta desse conjunto? Como passa da ordenação primeira, segundo, terceira a dizer que há cinco? Isso é distinto, é uma conclusão de contar. Que não se dá desde o início, é algo que vem em algum momento do processo e que não é pensado.

Nós, cada vez mais não pensamos. Não contamos quando dizemos o número. Não levamos em conta a ordenação.

Quero dizer que isso acontece inconscientemente. Faz-se sem a participação da consciência. Essa passagem se faz espontaneamente sem que a consciência tenha que explicar por que se faz, como se dá. Não é uma dedução. São passagens internas e isso é inconsciente. Se não, seria fácil a psicologia. Porque tanta teoria que explica como pensamos? Se fosse transparente como pensamos, seria evidente. Não teríamos teoria.

O CONHECIMENTO É UMA CONSTRUÇÃO SOCIAL A PARTIR DO COTIDIANO? Sara Pain: Há conhecimentos que são cotidianos, é um conhecimento por impregnação.

Nós, na língua falada aprendemos por impregnação. Estamos no ambiente onde se fala uma língua, então nós vamos aprender pelas circunstâncias em que estamos.

Aprendemos a dizer uma coisa porque temos que tomar água, então à palavra copo tem um sentido na vida cotidiana. Para esse tipo de aprendizagem por impregnação, geralmente essas estruturas mentais são primárias, intuitivas. As estruturas são lógicas.

Sim, há algumas estruturas classificatórias, mas em geral são muito intuitivas.

Entretanto, os conhecimentos da escrita e da leitura necessitam uma análise, necessitam de uma série de operações, não é por impregnação. Salvo aprender a leitura em alguns lugares muito, muito cultos onde ela está presente todos os dias há certa impregnação.

De toda a maneira há um trabalho de análise sobre as palavras que a criança tem que

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dizer para poder silabar, para fazer todas as etapas que lhe permitem certos hábitos da leitura e da escrita.

Quer dizer que aí não podemos dizer que é a leitura escrita do cotidiano, já exige um nível de elaboração escolar, o ensino sistemático. Sem dúvida para se fazer ciência já estamos em outro momento, já não se parte mais do cotidiano, pelo contrário, no cotidiano é que se vê as contradições. Há que rejeitá-las porque não é ao ver cair uma maçã que a lei da gravidade pode ser formulada, a que se perguntar se no vazio passa o mesmo. Qual a resistência do ar? Qual a relação entre a gravidade, a resistência?...

Estudar toda uma série de coisas como a cair num buraco para chegar a uma compreensão do que é a gravidade. A gravidade não sai do cotidiano. Ninguém saindo do cotidiano pode formular uma teoria tão difícil. Vê-se que há coisas que não acumulam uma teoria.

Daí a necessidade...

Sara Pain: Daí a necessidade da escola e da universidade. Essas coisas não partem do cotidiano?

O QUE PODE A ESCOLA PÚBLICA FAZER...

Sara Pain: Pouco. Primeiro temos que estudar a escola historicamente. A escola nasceu num momento da civilização, para o acesso de uma classe ao poder, contra as leis e contra a religião, e a favor da burguesia que estava nascendo. Não foi pelo povo. E uma parte mais esclarecida fez a escola realmente aberta para o povo, mas com limitações, pois escola é conveniente para uma sociedade que tem que ter mais conhecimento para poder funcionar. Porque precisam de fábricas... Não era o mesmo conhecimento que precisavam para quem trabalhava no campo. Naquela época, porque mesmo para o campo se veio a ter necessidade de conhecimento. O conhecimento de tipo mais científico. Então esse é o problema. Temos um sistema escolar que serve para certo grupo da sociedade. As escolas reproduzem a sociedade na qual vivemos. Ela que não gosta de todos. O que fazer então quando não gostamos dessa sociedade? E não há outra escola? Temos que intervir de uma maneira que pareça mais justa, ainda que seja para mostrar que é possível, se não podemos chegar a grandes mudanças estruturais.

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O RECONHECIMENTO DO LUGAR DE ALGUÉM QUE ENSINA É FUNDANTE PARA O RECONHECIMENTO DO LUGAR DE QUEM APRENDE? Sara Pain: Aí a palavra lugar da professora tem um pouco da psicanálise. O lugar de quem sabe e o de quem não sabe. Creio que esse entendimento está mal colocado. Não é por que as crianças não sabem e os professores sabem. Cada um tem seu conhecimento mais limitado ou mais desenvolvido. Porém, cada um tem conhecimento. Cada um sabe certas coisas. Não que este sabe e aquele não sabe. Mas há um conhecimento que o professor tem e o outro não tem que é saber ensinar. Por que o professor que sabe, sabe ensinar. Ao contrário dos outros, ele tem sua profissão, como o médico que sabe curar, o professor sabe ensinar. Não é a questão do que ele sabe, senão, de como ele ensina.

Então esse certo conhecimento será distinto com os pais também. Por que professor é o que sabe ensinar, se tem mais ou menos conhecimento. Às vezes o professor tem o mesmo conhecimento que os pais, mas os pais não sabem ensinar. Quer dizer que essa é a diferença e esse é o seu lugar. O lugar do professor é o de quem sabe ensinar e não o de que sabe. Deixar ao aluno a possibilidade de saber por que ele também tem o instrumento de saber. Por que uma das possibilidades de ação do professor é saber o conhecimento que o aluno já tem. É um grande erro dizer que o professor é o que sabe e o aluno é o que aprende. Professor é o que sabe, mas é o que sabe ensinar.

NESSE CASO, O PROFESSOR É O QUE SABE ENSINAR, COMO FICA O RECONHECIMENTO? Sara Pain: Esse é o reconhecimento que a sociedade e os pais têm que ter pelo professor. Qual é a diferença entre os pais e o professor? Não é só o saber é o saber ensinar. É esse o reconhecimento que tem que se pedir, que exigir, e que há que se conquistar, por que também há professores que não sabem ensinar. E para conquistar tem que ter alguns instrumentos, seguir demonstrando que tem os instrumentos para ensinar. Digamos que para o médico é mais evidente por que se ele começar a matar aí fica... Um mau cirurgião se percebe em seguida. O professor é mais difícil de determinar quando ele erra. É difícil de identificar quem é o melhor professor. O que tem os melhores instrumentos, que se comunica melhor, que transmite melhor.

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NO CONTEXTO ATUAL...

Sara Pain: Ai é um problema com a transgressão, para que haja transgressão tem que haver lei. Nós sabemos que tudo o que aprendemos é contra a lei. A lei da maçã. Cada vez que aprendemos comemos da maçã por amor à sabedoria e assim pecamos. Por que há uma moda da parte dos pais de que quando uma criança não aprende, de certa maneira se rebela. Esse é um argumento inadmissível, por que quando a gente se rebela contra o outro somente de forma negativa se destrói a si mesmo, é uma alienação. Ao contrário, quando alguém aprende verdadeiramente, transgride a lei do outro. Por que o outro não quer que ele aprenda, isso se vê em todas as mitologias, em todas as religiões porque a aprendizagem é sempre suspeita.

O que um aluno está aprendendo é a sabedoria de um poderoso ou de alguém... Quer dizer que no aprender, entra a nossa rebeldia. Quem não aprende está alienado. Esse argumento das mães caridosas, que dizem: meu filho não aprende por que ele é rebelde.

Não. E até alguns professores têm essa ideia. Então há que se entender o que é a rebeldia por que temos instrumentos para analisar e poder mudar. E mudar as coisas é sempre um ato de se rebelar contra um estado de coisas. Há que se entender que a realidade é a lei, a lei é que muitos não aprendem. E isso está em toda a parte. Quer dizer que, não aprender é justamente cumprir uma lei. Não é transgredir, pelo contrário é alienar-se a essa lei pela negativa. Mas é alienar-se.

A criança diz, não, não, não... E isso não é uma maneira de crescer. É uma maneira de crescer por que sou eu que quero e não o outro. Mas se de outra maneira segue essa atitude, isso é uma alienação. Tudo o que o outro disse sim ele vai dizer não, quer dizer que está alienado do eu do outro. Desalienar-se é justamente aprender e pela aprendizagem provocar uma mudança.

ESCOLA SEM PARTIDO Sara Pain: Eu creio que em principio nós estamos numa democracia. Quer dizer que se pode legislar sobre o ensino, sobre a laicidade, etc.. E para ser laico... Eu não sei como é essa lei no Brasil. Se a igreja esta separada do Estado, então a escola é laica, não deve haver ensino religioso.

Nós somos a favor que a escola seja laica. Da mesma maneira nós somos a favor que a escola seja sem partido. Quer dizer que não haja um partido que possa entrar na escola 56

exclusivamente, se não, que haja uma discussão aberta, se as crianças querem entender os instrumentos para compreender o que passa politicamente. Não vale a pena entrar na escola um só jornal se não vários jornais, afim de que possamos fazer uma discussão do porque um diz uma coisa e porque o outro não.

Porém, sem impor uma ideologia. Por que a imposição de uma ideologia já é uma ideologia que está contra a ideologia que se quer impor. Se eu, em nome da democracia imponho uma ideologia, não é uma democracia.

Eu não creio que seja a intenção da pessoa que está dizendo que é contrária à ideologia.

Que ideologia não tem que entrar. Sempre há ideologia. Não se pode ensinar sem ideologia. Cada coisa que a gente ensina está impregnada de ideologia.

O que se passa é que tem que explicitar essa ideologia.

Quando se diz que não há ideologia a que estão se referindo? Estão se referindo que esse governo não quer que entre a ideologia anterior. Então, qual ideologia se passa? Ao invés dessa, qual é a que está presente? Quando querem eliminar uma ideologia estão impondo uma outra. Dizem que ideologia anterior era explícita e franca, mas uma ideologia que não se explicita é ainda mais nociva. Primeiro por que é impossível ensinar sem ideologia e então é mais difícil dar-se conta de que esta ensinando algo, com outra mensagem. Tinha que ter em cada programa, em cada maneira de não ser ideológico, aquilo que circula... Para ver isso precisa de pessoas que analisem.

O QUE MAIS DEVE SER FEITO NESSE SENTIDO... É difícil porque os professores não se dão conta da manipulação, não estão preparados para analisar criticamente, então eles tem que ser ajudados por cientistas políticos afim de desmascarar o jogo camuflado das ideologias dominantes. Porém, é indubitável que o professor se pergunte a cada vez que ensina o que estou veiculando com o que ensina?

Que ideia está passando? Será que é a mais justa? Pode ser que não, pode ser que esteja passando uma coisa irracional, uma coisa imposta. A criticidade de sempre estar consciente que quando eu ensino estou apoiado em valores. Portanto, devo refletir sabre o que estou ensinando, que mensagem eu estou passando.

QUAL A IMPORTÂNCIA DA ARTE...

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Sara Pain: Seguramente vou desiludir a pessoa que fez essa pergunta.

A importância da arte é não ter nenhuma importância. Quer dizer que é uma coisa que está livre, que não está submetida a... Bom, vou dizer que a não ser que é um profissional que vive disso e está no mercado da arte. Quando alguém ensina arte e faz arte é como quando se põe um adorno. É vivência extraordinária, é um ato de vida, é um ato de expressão. Como quando uma pessoa grita de dor, não se cura ao gritar, mas tem que gritar. A arte é assim, a arte grita, mas não se pode pensar que a arte vai solucionar o problema social. Esse é um chamado de atenção, isso é uma expressão. Para que serve a expressão? O que agrega a expressão? O que agrega o grito a dor? Sim, agrega é uma coisa que eu posso por para fora a minha dor. Eu me faço reconhecer pelos outros. Os outros podem vir acariciar-me. Há uma forma que não é a cura da enfermidade, mas que é um ambiente de reconhecimento do que está passando, de dar significado ao que está acontecendo. Agora, na escola é outra coisa, porque na escola a arte se ensina. A escola ensina. A escola não é recreação e tudo isso, ela existe para ensinar. E quando se ensina arte, se ensina como uma disciplina, quer dizer é uma coisa racional. Não se ensina a gritar, se ensina a cantar. Quer dizer que aí entram as regras da arte. Por que a arte tem as suas regras, a sua lógica. Eu posso ensinar perspectiva... Quer dizer que é nesse sentido que a arte pode ajudar. Ensinar a pensar, como escrever, quer dizer, é uma disciplina. Porque muitos usam a arte como recreação e a escola não está para recreação. A escola está para dar instrumentos de conhecimento. E a arte tem a sua história, tem o seu interesse fora, digamos da diversão.

A ARTE TRAZ ELEMENTOS PARA HUMANIZAR? Sara Pain: A arte é uma produção de significados da sociedade. Fazendo a história da arte, havendo muita arte, a gente escuta a humanidade falar.

COMO ELIMINAR OS PRECONCEITOS EM UMA SALA DE AULA? Sara Pain: Que preconceitos? Há uma só maneira de lidar com os preconceitos. Ter conceitos. Por exemplo: a perspectiva não se pode discutir. É um conceito. Quer dizer que eu posso escolher desenhar uma paisagem sem perspectiva, como faço para não darlhe profundidade. Bom, eu posso discutir se pode haver uma paisagem sem perspectiva.

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Mas a perspectiva não se discute, há leis de perspectiva, de colocar as coisas menores para que pareçam que estão mais longe.

Há uma relação entre o tamanho e a distância numa representação plana. Isso são coisas que não se discutem, isso é um conceito.

Quer dizer que aí não há lugar para o preconceito. Como a escola tem por objetivo dar conhecimentos conceituais aí não há lugar para o preconceito. Não há lugar para que os alunos digam vou fazer outra perspectiva. Há leis da perspectiva e se não, vai sair uma coisa deformada.

Então para criticar uma imagem deformada tem que ser com respeito a uma lógica da perspectiva. Os alunos têm que conhecer a perspectiva como os pintores e deformá-la.

Mas não deformá-la diretamente, uma coisa é mudar ou distorcer uma coisa que eu sei fazer bem e outra coisa é que eu não sei fazer bem.

Quer dizer que o professor não vai ter problemas de preconceito se ele ensina conceitos.

“DIANTE DO IMPOSSÍVEL NOS RESTA A INVENÇÃO...” Essa expressão é da Esther.

Sara Pain: Ela tem mais a ver com a área desejante do que com área lógica. A invenção... A criança não inventa nada, é uma criança. Nós não inventamos nada. Nós nos reinventamos com tudo o que a humanidade construiu através dos séculos.

As crianças não reinventaram a escrita, não reinventam as matemáticas, é absurdo.

Mesmo a arte, se nós fazemos arte não figurativa é porque há pintores que fizeram uma figuração, se não a escola não poderia admitir uma criança que fizera quadrinhos, não poderia admiti-lo nunca, quer dizer, hoje admite porque houve artistas que fizeram e que tem prestigio e que dizem: isto é arte, se não nós dissemos que aqui estás fazendo qualquer coisa. A criança não inventa. Há que acumular muito conhecimento para inventar, para poder saltar de todo esse conhecimento a algo novo. Algo novo vem muito penosamente, quer dizer que o aluno não inventa.

E O PROFESSOR? Sara Pain: E o professor tão pouco. Ele tem um método para ensinar algo que ele aprendeu, se exercitou...

E DIANTE DA DIFICULDADE DO ALUNO APRENDER...

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Sara Pain: O professor provavelmente pode encontrar a elaboração de uma atividade onde pode fazer o aluno ver mais claro o seu problema. Mas em geral esta atividade é uma que ele mesmo já experimentou e que já fora elaborada por especialistas do processo de aprender. Sempre há uma possibilidade, digamos de adaptação local daquilo que o cientista elaborou para a particularidade da turma pela qual o professor é responsável. O professor está sempre fazendo um processo específico para cada uma de suas turmas. Inventam pequenos métodos, mas os grandes métodos em geral já estão inventados. Inventam pequenas astúcias.

Em minha opinião os professores devem ser mais criativos do que inventivos.

DIRIA QUE SERIAM? Sara Pain: São criações, proposições novas que estão dentro de um conhecimento que o professor tem. Mas é interessante estimularmos professores à criação de atividades.

Por exemplo, em um momento que a criança não entende a fração, que poderia eu inventar como atividade? Que material poderia usar para que esse conhecimento seja mais vivo e salte aos olhos da criança?

Criando essa atividade, impede-se à criança que ela atribua uma dificuldade de aprender a si mesma. Essas atividades, sim fazem parte de nossa função como professor criá-las.

Digamos o método Montessori... Todos eles inventaram de alguma maneira. As barrinhas são distintas do ábaco. Cada uma delas pertence a um tipo de matemática que a gente quer transmitir. Então se cria esse tipo de instrumento. Vocês criaram um montão de instrumentos para poder alfabetizar, são situações, vocês colocam o sujeito em situação, essas situações foram criadas, propostas, mas a teoria já estava feita.

A CRIAÇÃO VEM DAS SITUAÇÕES...

Sim. Todo o trabalho é esse. O trabalho é ver aquilo que a criança não faz. Bom, também está a parte simbólica. Mas a atividade também pode ser rica para poder avaliar enquanto o simbólico entra em ação, enquanto a parte dramática entra em ação. Que outra preocupação tem a criança que não lhe deixa resolver esse problema? Porque nem sempre é uma questão intelectual.

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E COMO LIDAR COM AQUELE ALUNO QUE DEMONSTRA...

O aluno que demonstra que não quer aprender pode ser de duas maneiras, resistindo à aprendizagem ou sendo indiferente, quer dizer que pode ter outro desejo. Então, tem-se que descobrir qual é esse outro desejo, que não deixa ao desejo de aprender independizar-se. Esse desejo poderia atuar independentemente, mas há outro desejo tão forte, por outra coisa que impede esse desejo de atuar. Normalmente uma criança deseja aprender, todos nós desejamos aprender. Agora o que acontece se uma criança não aprende. Pode ser que ela tenha outro desejo. Há que descobri-lo. Que quer fazer em vez de aprender? Que deseja?

Outro caso da criança é a indiferença, essa que não tem nenhum desejo. Não quer nada.

Seu desejo é que a deixe tranquila. Em realidade aí há como uma anemia de desejo, há uma falta de desejo.

Esse é um dos problemas mais difíceis. Essa criança tem menosprezo de si mesma.

Porque uma criança que não deseja nada é sem dúvida uma criança que não se deseja e não se sente desejada por ninguém. Então para nós a única solução que temos é torná-la interessante, dizer-lhe tua indiferença me interessa. Como és indiferente! Que te passa que és assim tão indiferente. E torná-la interessante. Sem raiva. Simplesmente que se torne interessante. Através do espelho do nosso olhar ela pode tornar-se objeto de desejo e pode sair dessa indiferença e começar a diferenciar-se. Porque nós a consideramos que sua indiferença o faz diferente. É nessa contradição que nós podemos cativá-lo.

BOM SARA, NESSE UNIVERSO DE QUESTÕES...QUAL A MENSAGEM QUE VOCÊ TEM PARA FINALIZAR ESSA ENTREVISTA Vocês sabem que eu as adoro. Que lhes desejo o melhor. És um país magnífico que merece um destino realmente de um país forte no mundo. És um país que tem inconveniente de muitas desigualdades. Desigualdades geográficas, de origem... Essas desigualdades têm seu encanto, mas também fazem sua dificuldade para criar planos gerais de Educação.

Se vocês se colocam na situação, digamos teórica, de ter que organizar a Educação do país, realmente é uma tarefa infinita ao meu entender. Também no sentido histórico porque a consciência histórica no Brasil é muito diferente da consciência histórica da 61

Argentina, da continuidade da história, de que todos têm a mesma história, ainda que seja mitológica.

Na Argentina todos nós consideramos pertencer à mesma história. No Brasil não, o Norte tem uma história, o Sul tem uma história... Todas são histórias que se entrecruzam. Essa é a riqueza. Porém para ensinar é um problema. Qual é a história que se ensina? A história de quem? É difícil. É difícil se colocar no lugar de quem tem que fazer um programa de educação.

A mim parece necessário que as pessoas que querem mudar o país positivamente reflitam muito sobre a história do Brasil, sobre o que se pode fazer como unidade nacional, respeitando as regiões.

Eu desejo o melhor para o Brasil porque é um país maravilhoso que merece ir adiante.

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Dra. Sara Pain, da França, responde diversas perguntas enviados do Brasil sobre “Conhecimento, arte, história e política

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As oficinas no II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Elas foram pensadas pela equipe organizadora desse Colóquio como uma oportunidade de apresentar aos seus participantes, duas experiências concretas de uma Didática Pós Construtivista em dois Campos Conceituais na sua acepção mais plena, tanto das idéias de Didática com das de Campo Conceitual, ou ainda mais, da possibilidade de uma interpenetração de ambas.

Pois, um Campo Conceitual é o território onde se constroem conhecimentos. E a Didática é o processo que pode ser vivido ou não, percorrendo esse território. À Didática compete saber como provocar com atividades, no interior das múltiplas situações de um Campo Conceitual, a fim de que os aprendentes forjem Invariantes Operatórios. Esses conhecimentos lhes permitem construir eskemas.

Eskemas são formas organizadas de enfrentar classes de situações.

As oficinas giraram em torno de dois Campos Conceituais, a saber: a alfabetização e as estruturas de rede dos divisores de cada número natural, a partir de uma relação de ordem parcial.

A importância da alfabetização é incontestável para as pessoas desse tempo e a definição de seu Campo Conceitual é, portanto sumamente relevante.

Para definir um Campo Conceitual importa em primeiro lugar identificar classes de situações. Na alfabetização claramente podem se identificar quatro grandes classes de situações.

A classe de situações do nível pré-silábico um, do nível pré-silábico dois, do nível silábico e do nível alfabético.

As atividades para essas classes de situações giram em torno de três eixos: O eixo das letras O eixo das palavras O eixo dos textos Essas atividades culturalmente podem estar presentes no dia a dia das crianças desde a mais tenra idade e elas se operacionalizam significativamente quando pessoas do meio das crianças as vivenciam lendo e escrevendo, dando peso afetivo a essas operacionalizações.

Ou ao contrário, não as motivando, porque convivem somente com analfabetos.

A experiência com essas atividades geram Invariantes Operatórios, isto é, geram conhecimentos que tem mais a ver com o fazer do que com o dizer.

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O primeiro, por exemplo, invariante operatório para a alfabetização é a idéia de que imagens são escritos que podem ser lidos. Esse conhecimento deriva do fato de que muitos escritos no cotidiano são acompanhados de desenhos, de fotos ou de imagens a eles associados e pessoas alfabetizadas declaram que estão fazendo leitura de algo que ali está escrito. Como as imagens configuram ideias que se expressam por palavras, elas geram o conhecimento que elas são escritos, os quais podem ser lidos.

O aspecto figurativo das imagens assegurará a sua invariância. Toda a imagem que tiver olhos, boca, cabeça, membros, tronco ereto, será de pessoa. Toda imagem que tiver figuração de paredes, teto, portas, janelas será de casa. E assim por diante, a respeito de árvore, de carro, de peixe, de cachorro, de flor, de montanha...

Esse invariante lhe garante uma forma organizada de interpretar traçados em superfícies quer seja papel, paredes ou o chão.

Tal eskema é capaz de levar aprendentes a afirmarem que placa de uma rua não pode ser lida porque nela há puras letras.

Como as aprendizagens são visceralmente sociais, garantidas por quem sabe mais do que aquele que aprende, o alfabetizando que escreve com desenhos, se surpreenderá quando alguém, com o reconhecimento social de leitor, não identificar o que ele quis escrever apenas desenhando. Por exemplo, ele escreve o nome de seu cachorro desenhando-o e o seu avalizador (pessoa reconhecida como leitora) não lê no seu desenho o nome do seu cachorro, mas apenas reconhece que se parece com um cachorro.

Essa é a hora no qual seu conhecimento anterior, a invariância do aspecto figurativo de imagens é um obstáculo epistemológico a que ele avance no seu processo de alfabetização.

Há que abandoná-lo e construir novo invariante. No caso, o dos traçados lineares, dos sinais gráficos que podem ser letras ou não. Desenho não lhe será, mais considerado uma escrita, mas garatuja sim o será, nesse nível, nesse novo eskema.

A sua forma organizada de produzir escrita será grafando pequenas linhas em superfícies, como as folhas de papel. O invariante operatório desse eskema é o sinal gráfico, isto é a ideia de que traçados passam a ser a escrita.

Mas os aspectos figurativos do referente ainda tem vez nesse eskema – referente grande pede muitos sinais gráficos como escrita. Referente pequeno, poucas linhazinhas para representá-lo. Assim, boi se escreve com muitas letras. Borboleta com poucas.

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Ao referente dramático também corresponde quantidade de letras. Por exemplo, como quando uma criança afirmou: medo tem muita letra porque eu sinto muito forte.

Até então não há invariante relacional entre pronúncia e escrita.

Vê-se que, por de trás de toda ação há pensamento. E mais, por de trás de todo pensamento há afeto. A frase do artista visual André Venzon é muito verdadeira: Eu sei, quando sinto.

Esse Invariante Operatório, isto é, o conhecimento de que a escrita está relacionada com a fala permitirá ao alfabetizando um progresso imenso rumo à leitura e à escrita.

Como o aprendente estabelece esta relação?

Através das iniciais de palavras que lhes sejam significativas, particularmente do seu próprio nome.

Quando se começa a escrever com sinais gráficos, há uma palavra que adquire uma enorme importância: o nome escrito do aprendente. Ele pode ensinar muito se for bem aproveitado didaticamente.

Primeiramente porque ele se conserva, ele é sempre o mesmo como a própria pessoa também o é, além de ser único no mundo.

A conservação de objetos é essencial para o aprender.

O nome próprio deve se conservar. Se ele for bem utilizado didaticamente, o alfabetizando vai dar-se conta disso. Na nossa cultura, costuma ser a primeira palavra da se conservará a escrita. Esta conservação poderá ser fonte preciosa de reflexão sobre a escrita. É importante na Didática da Alfabetização que ela acontece em quatro grandes eixos conforme o esquema a seguir.

Porém, ainda mais importante é que em cada eixo há eskemas ascendentes que são construídos pelos alfabetizandos.

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Estes eixos se interpenetram no desenvolvimento (processo) da aprendizagem.

Por exemplo, há classes de situações que dizem respeito a mais de um desses eixos.

Essa interpenetração ocorre, por exemplo, na aprendizagem dos sons das letras e da sua ordem na palavra. A primeira investida na relação de ordem das letras numa palavra é a força significante da inicial, particularmente a inicial do próprio +nome dos alfabetizandos.

Em geral é a primeira letra do nome que ocupa uma posição privilegiada.

Há indicação de que a segunda conservação de ordem, depois de inicial é a conservação da letra final.

Somente a seguir é que as letras do interior do nome passam a conservar sua ordem.

Estas constatações só podem ser verificadas quando os alunos devem escrever seus nomes pensando e não copiando-os, ou seja, quando não dispõem de um modelo para reproduzir. Trata-se de verificar o que lhes é possível pensar sobre a escrita do seu nome, que é operacional e não memorização mecânica.

Esta perenidade vai se enriquecendo com quatro invariantes operatórios de qualquer palavra escrita.

O de que a quantidade de letras não deve variar O de que a qualidade de suas letras deve se conservar O de que a ordem deve ser sempre a mesma 68

E por fim que o sentido também é só um, na nossa língua, da esquerda para a direita.

Será benéfico se do próprio nome esses invariantes operatórios passarem para outras palavras.

Por isso, a memorização de um conjunto significativo de palavras é muito útil para a alfabetização. São elas que levam ao basilar invariante relacional – pronúncia x escrita.

Como as letras que expressam os sons da nossa língua são vogais ou consoantes, as iniciais das palavras, em particular do próprio nome, desempenham um papel didático central. Quando o nome próprio inicia por vogal essas crianças dão a elas um valor especial. Quando o seu nome inicia por consoante, são essas letras que assumem a maior atenção.

Após a primeira vinculação pronúncia-escrita, de cada sílaba oral a uma letra (ou a um sinal gráfico) o alfabetizando dá-se conta de que não basta uma só letra (ou um só sinal gráfico) não basta porque as palavras escritas de acordo com a hipótese: sílaba oral/ uma letra poderá ter mais de uma significação. Se o aluno escreve bl para bola, pode também ser lido bela, bolo, bules, bilú, bala, balé, belo, bula.

E principalmente, em dias posteriores à sua escrita o próprio aluno não discrimina o que foi que ele quis escrever. Da mesma forma, quando ele busca validar sua competência com alguém alfabetizado, este também não discrimina o que fora escrito.

A sua hipótese é um obstáculo epistemológico.

O aprendente busca vencê-lo, inspirado em situações de leitura de palavras que ele sabe de memória. E dá-se conta que, na maioria delas, as sílabas na nossa língua têm duas letras. E mais que duas letras, uma consoante seguida de uma vogal. Daí ele generaliza e conclui que todas as sílabas que ele não conhece de memória em uma palavra, ela é constituída de sílabas sempre com duas letras, uma consoante seguida de uma vogal. Isto mostra como os Invariantes Operatórios, conhecimentos constituídos para se poder agir, resultam de conclusões a partir do que o aprendente capta do seu ambiente.

Na noite do primeiro dia do II Colóquio foram apresentados modelos de atividades didáticas sobre letras, palavras e textos os quais seriam ampliados nas oficinas de alfabetização. Seguem exemplos de fichas que foram utilizadas, bem como fotos destes momentos.

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Dra. Esther apresenta previamente as oficinas de Matemática e Alfabetização que serão desenvolvidas ao longo do Colóquio.

Prévia das oficinas de Alfabetização.

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Histórico da Rede dos Divisores Quero dividir com vocês minha larga, difícil, mas gratificante aprendizagem sobre essa bela Teoria dos Campos Conceituais.

No meu contrato de casamento havia uma cláusula que certamente vocês vão classificar de jurássica: eu não iria trabalhar fora de casa. Ia somente cuidar dos muitos filhos que pretendíamos ter.

Tive os dois primeiros filhos e não engravidava do terceiro. Miriam e Alberto cresciam e Miriam começou a frequentar escola infantil. Até que Alberto também foi para sua Escola Infantil. Ao deixá-lo na escola e ao voltar para casa no seu primeiro dia de aula, me perguntei: mas o que eu vou ficar fazendo agora?

Vou procurar uma escola e vou ser professora. Parece-me que nem Sérgio se deu conta do descumprimento do nosso contrato de casamento, provavelmente porque havia a novidade de que não estávamos enchendo a casa de criança. E fui ser professora.

Primeiro no Colégio Pio XII, depois no Instituto de Educação. Professora de Matemática, me envolvi imediatamente no movimento da Matemática Moderna.

Quatro anos depois, Sérgio e eu fomos convidados, como bolsistas do governo francês para estudar em Paris.

Nessa estada na França estudamos muito e adoramos a experiência. Nos comprometemos a cada cinco anos parar nossas atividades profissionais e voltar a estudar. Nos seguintes cinco anos, não nos foi possível. Mas, dez anos depois, voltamos a Paris.

Minha filha que já era universitária me provocou: - mãe porque tu não fazes um doutorado? É só apresentar um projeto de pesquisa e se ele for aceito, podes fazê-lo.

Apresentei-o a Pierre Greco psicólogo cognitivo da Maison de Sciences de L’Homme de L´Université de Paris que o aceitou, imediatamente e me encaminhou ao Dr. Gérard Vergnaud como orientador de apoio. Um ano depois solicitei trocar de vez de orientador e Dr. Gérard passou, então oficialmente, a me orientar em minha Tese.

Qual era meu projeto de pesquisa?

Algo que já havíamos iniciado em Porto Alegre, sobre a estrutura de rede. Eu propunha uma pesquisa sobre psicologia cognitiva, mas em cima de uma proposta 71

didática. Eu queria descobrir o processo de aprendizagem desta estrutura de rede (ou reticulado), mas dentro de salas de aula.

Mas, todas as pessoas da área da psicologia cognitiva com quem eu convivia em Paris me afirmavam que Dr. Gérard não aceitaria um foco tão extenso de pesquisa como o da aprendizagem de uma ampla estrutura lógico-matemática. Até então, as pesquisas em psicologia cognitiva, tinham um foco pontual, bem localizado.

Surpreendentemente Dr. Gérard nunca me pediu que eu reduzisse o âmbito de meu estudo. Sempre me entusiasmava a prosseguir e durante 5 anos regularmente recebi sua valiosa orientação.

Uma estrutura de rede é montada sobre uma ou mais relações de ordem. E mais, sobre relações de ordens parciais.

Como trabalhei para produzir minha Tese?

Durante um ano e meio fiquei em Paris definindo o projeto de estudo e participando de seminários sugeridos pelos doutores Pierre Greco e Gérard Vergnaud. O projeto da Tese valeu como Diploma de Estudos Avançados (DEA).

Fiz também aplicação preliminar do instrumento de caracterização das competências de entrada dos alunos.

Defini o conjunto de questões que poderiam me levar a eskemas que cada aluno dispunha para enfrentar as situações que eu iria propor-lhes na sequência didática da Tese.

O projeto previa a constituição de quatro turmas de estudantes de 6ª, 7ª e 8 ª séries do 1º grau e uma turma do 1° ano do 2º grau, na terminologia da época.

O objetivo foi propor atividades com quatro dispositivos, a saber: 1) Uma geometria finita de 64 pontos, principalmente para compreensão do espaço, elemento essencial do raciocínio, uma vez que “o espaço configura o pensamento”. Tic tec tac toe.

2) Uma proposta de partição de punhados de pequenos objetos para, a partir da análise das classes residuais, chegar ao resto zero. Jogo do repartir.

3) Uma representação em cortes de um baralho com marcas para os múltiplos dos 5 primeiros números primos; 2,3,5,7 e 11. Segredos dos números.

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4) Uma representação espacial de redes dos divisores de cada número.

Maketes.

O primeiro dispositivo tinha por objetivo o domínio espacial das direções de retas paralelas que se associavam, cada uma delas a um número primo gerador de uma rede de divisores.

Os três dispositivos seguintes diziam respeito a aspectos convergentes da rede dos divisores de cada número.

O jogo do repartir desafia pela concretização de divisões aleatórias com ênfase na presença ou não de resto.

O segredo dos números apresenta a sequência dos múltiplos dos 5 primeiros números primos em sua complexidade de interrelações, que impossibilita a classificação, por exemplo, deste conjunto de números, nos múltiplos de 2 e de 3, porque há números que são simultaneamente múltiplos de ambos.

A impossibilidade de classificar os números naturais pelo atributo múltiplo prefigura a riqueza da ordem parcial desta relação.

Outrossim, a batalha dos divisores de 60, um jogo que também está incluído no conjunto de atividades da Tese é profundamente fecundo na compreensão da riqueza e da complexibilidade desta rede.

Por último as maketes, representações espaciais particularmente homomorfas às relações de rede completam a criação de atividades de forma operatória para os estudantes.

O jogo como modalidade privilegiada de provocação didática, foi a forma corrente de atividade ao longo de todo o percurso letivo.

O Teorema Fundamental da Aritmética Livro VII dos Elementos de Euclides As estruturas de rede dos divisores de cada número natura l Abrangendo uma geometria finita, o jogo do repartir, o segredo dos números e as maketes são quatro conjuntos de atividades didáticas em torno do conjunto de conceitos que podem conduzir à estrutura de rede, a qual é uma das mais ricas para bem embasar o pensamento, segundo Piaget.

A sua riqueza se justifica por duas razões.

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Primeiro por conta da sua grande complexidade lógica. Esta estrutura se apóia em ordens parciais que são sumamente privilegiadas no campo importante das relações binárias. Segundo Gérard Vergnaud, pensar é realizar cálculos relacionais, portanto estes cálculos são fundamentais para que sejamos inteligentes.

Segundo, porque muitas situações da vida se configuram como tais estruturas de rede, a começar pelas relações de parentesco, que estão na base de nossa inserção no mundo. Isto acontece tanto no plano dos objetos, como no plano social e também no das ideias.

O Tic Tec Tac Toe (ou o Tic tec toe) produz provocações muito interessantes sobre organização espacial. Permite uma referência de localização no ambiente a partir de três eixos perpendiculares que Descartes utilizou para elaborar a geometria analítica.

Estes dispositivos permitem identificar retas e caracterizar suas relações mútuas.

Isto é, quando uma reta é paralela, ou não à outra. Também permite caracterizar direções de retas, isto é, os conjuntos de paralelas entre si.

Ocorre que se este domínio não for obtido as maketes não poderão desempenhar seu esplêndido papel de representar as estruturas de rede dos divisores de cada número natural.

O jogo do repartir faz apelo às relações entre os elementos da multiplicação e da divisão. Ele tem também exigências espaciais, tais como, distribuir bem ou mal os copinhos na mesa para repartir os feijões, onde colocar o punhado de feijão, como colocá-los nos copinhos, mas também como registrar na ficha que o jogo, etc... Ele espelha as primeiras sementes da árvore linda da rede que virá depois.

O segredo dos números condensa, de uma forma muito original, a multiplicidade no conjunto dos números naturais. Cada número com marca do seu primeiro divisor cria um emaranhado que concretiza a impossibilidade de uma partição considerando-as. Isto é, é impossível separar os números vermelhos dos cortados nos cantos, assim como é inteiramente impossível separar qualquer marca das demais. Esta impossibilidade concretiza a relação de ordem parcial que preside a multiplicidade e que tanto a enriquece.

O jogo da batalha dos divisores de 60 escancara a complexidade de rede entre eles, e é de um valor inestimável para o pensamento complexo que a verdadeira vida, exige de cada filhote humano. Saber que ganhar neste jogo é conseqüência de uma trama intrincada e não de cada jogada é uma constatação muito valiosa.

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As maketes completam a gama de situações instigantes que conduzem à construção pelo próprio aluno, da rede dos divisores de cada número natural, objeto do Teorema Fundamental da Aritmética de Euclides, rede que explica muito da nossa realidade cotidiana.

Eis uma concretização de um conjunto de atividades, todas elas envolvendo elementos do mesmo campo conceitual – uma estrutura de rede - que se articula numa relação de ordem parcial, capaz de provocar o processo de sua construção por cada aluno.

Foi uma satisfação para mim ouvir, em quatro turmas de alunos que conduzi ao realizar minha tese de doutorado, que era uma maravilha a conquista que conseguiram realizar intelectualmente ao final daqueles meses de aula. E mais, que daquela vez aprenderam e gostaram de matemática.

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PrĂŠvia das oficinas de MatemĂĄtica

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PrĂŠvia das oficinas de MatemĂĄtica com uso da Makete

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MESA-REDONDA SOBRE IVARIANTES OPERATÓRIOS DO APRENDER

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Os invariantes operatórios do aprender Quando nos tornamos humanos perdemos os instintos. Temos que aprender tudo.

No âmbito escolar e acadêmico, até hoje, há apenas ênfase nas aprendizagens lógicas.

Porém “é preciso também aprender a amar e a desejar”. (Gérard Vergnaud) Nessa perspectiva, as ciências do aprender estão se dando conta de que há construção de conhecimentos subjetivos.

Antes do conhecimento ser explicado por intermédio de palavras ele é operatório, isto é conserva alguns aspectos que permitem a ação em situações. A comunidade cientifica internacional, que se ocupa da Teoria dos Campos Conceituais e do Pós-construtivismo começa a considerar quatro conhecimentos subjetivos como principais para que uma pessoa realize conceitualização: O pertencimento a grupos A capacidade de rebeldia A necessidade de mestres O prazer na experiência aprendente Este tema foi o objeto da única Mesa Redonda do II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais.

Dele participaram: Doutoranda Nair Cristina da Silva Tuboiti (coordenadora) Doutora Lêda Gonçalves de Freitas (Universidade Católica de Brasília) Doutora Candy Marques Laurendon (Universidade Federal do Pernambuco) Professora Sandra Leandro.

Antes do início da MESA REDONDA os participantes do II Colóquio responderam ao instrumento que segue, intitulado Sim, não, por quê? dos invariantes operatórios do aprender.

O conjunto de respostas ao instrumento atendeu às exigências de validade de sua distribuição, que resulta num gráfico onde se verifica uma curva de Gauss, como se vê abaixo:

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A doutoranda Nair Tuboiti, orientanda da Doutora Lêda Gonçalves de Freitas, agraciada com uma bolsa de estudos sanduíche, por ocasião do II Colóquio que estava usufruindo-a em Paris, tem como tema da sua tese: A formação dos professores no Pósconstrutivismo. A problemática dos invariantes operatórios do aprender está muito presente no encaminhamento de suas pesquisas, secundada pela Doutora Candy e pela professora Sandra. As duas últimas aplicaram o Sim, não, Por quê? respectivamente, em estudantes universitários e em alunos do 5º ano do Ensino Fundamental, como teste de descriminação em suas respostas. Os resultados foram positivos, em ambos os casos e esses foram apresentados no II Colóquio.

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Invariantes operatórios do aprender Nome: ____________________________________________________________ Sim

Não

1 – Só se tem mestre enquanto se está na escola?

Porque depois se pode estudar sozinho.

Por quê?

Sim

Não

Por quê?

Porque é o mestre que acena para novos conhecimentos Porque se está formado.

Porque sem mestre não há aprendizagem.

Porque ...

2 – Desobedecer é sempre uma coisa errada?

Sim

Não

Por quê?

Porque desobedecer é desrespeitar as autoridades.

Porque às vezes quem manda pode estar errado.

Porque não há regra sem exceção.

Porque desobedecer é uma falta grave.

Porque ...

3 – Algumas pessoas reunidas, mas que não tem algo em comum formam um grupo?

Porque se se reuniram é porque formaram um grupo.

Sim

Não

Por quê?

Porque grupo é mais do que a soma de seus componentes.

Porque grupo sem coordenador é bando.

Porque...

4 - “A letra somente com sangue entra”. Esta é uma máxima espanhola que expressa a ideia de que é muito penoso ser alfabetizado. Concordas com ela?

Sim Não Por quê?

Porque aprender e trabalhar são castigos: “trabalharás com o suor do teu rosto”.

Porque quando se aprende se fica muito feliz.

Porque aprender é tão difícil que dói mesmo.

Porque descobrir a magia da escrita é um momento de grande prazer.

Porque...

5– Deve-se viver sem rebeldia?

Sim Não Por quê?

Porque ser rebelde é imoral Porque só os rebeldes responsáveis mudam a história Porque a rebeldia é sinal que se pensa diferente Porque um rebelde é um marginal Porque...

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6- Ter consciência de que há pessoas que sabem mais do que a gente, possibilita que se aprenda?

Sim Não Por quê?

Porque os mestres é que apóiam quem aprende a ter coragem de mudar de ideia.

Porque saber mais é ser autoritário.

Porque se aprende com 3 tipos de pessoas: os que sabem mais , o mesmo e menos.

Porque todos são inteligentes, portanto não se precisa de mestres.

Porque ...

7- Fazer parte de um grupo permite cada um se conhecer melhor?

Sim

Não

Porque os olhos dos outros são o espelho de cada pessoa.

Porque cada um já nasce com sua identidade.

Porque somos geneticamente sociais.

Porque grupo não acrescenta nada a ninguém.

Porque ...

8 – Deve-se sempre só dizer a Verdade?

Sim Não Por quê?

Porque não mentir é o 5º mandamento da lei de Deus.

Porque a mentira tem a perna curta e vão descobri-la mais cedo ou mais tarde.

Porque na vida, há razões mais fortes do que só dizer a verdade.

Porque, às vezes, uma mentira não faz mal a ninguém.

Porque...

9 – Quando os outros aprendem e a gente, não, se sofre?

Sim

Não

Por quê?

Porque a gente sofre é quando recebe a nota baixa.

Porque aprender é bom.

Porque o que mais interessa na escola é o recreio e os colegas.

Porque aprender pode dar mais prazer do que um orgasmo.

10 – É imprescindível pertencer a grupos?

Sim

Não

Por quê?

Porque é melhor cada um por si e Deus por todos.

Porque desde que se nasce não se sobrevive sem a ajuda de outros.

Porque cada pessoa se basta.

Porque temos um Outro, que vem dos grupos a que pertencemos.

Porque....

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Por quê?

Compuseram a mesa sobre os Invariantes Operatórios do Aprender a Profa. Sandra Leandro, Profa.

Dra. Lêda Gonçalves, a doutoranda Nair Cristina Tuboiti e a Profa. Dra. Candy Lauredon.

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COMUNICAÇÕES APRESENTADAS NO II COLÓQUIO INTERNACIONAL SOBRE A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS

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Metodologia para as apresentações das comunicações

A modalidade operatória das comunicações foi a seguinte: cada comunicador teve cinco (5) minutos para apresentar uma síntese da sua comunicação, cujo texto foi disponibilizado previamente online pelo site do II Colóquio. A seguir os autores trocaram ideias sobre suas comunicações com os participantes que as escolheram. Eles receberam críticas e fizeram aprofundamentos durante vinte (20) minutos com as pessoas do plenário de cada temática que decidirem interagir com eles. Ao final desta troca de ideias cada autor teve novamente até quinze (15) minutos perante a plenária completa para comentar o que discutiu e o que aprendeu, a partir da troca com os colegas que com ele interagiram.

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2º Dia – 07/12/2017 Primeiro momento.

A tarde aconteceu a sessão de comunicações científicas. Com as seguintes comunicações:

DIFERENÇA ENTRE ALFABETIZAÇÃO NO ENSINO CONVENCIONAL E NO PÓS-CONSTRUTIVISMO. VALERIA REDON ALFABETIZANDO ALUMNOS CON CARACTERÍSTICAS ESPECIALES EN COLOMBIA, A LA LUZ DE LA TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES. SONIA MATALLANA AVALIAÇÃO DAS APRENDIZAGENS DE LEITURA E ESCRITA, POR MÉDICOS RESIDENTES DE PEDIATRIA EM UM AMBULATÓRIO DE ATENÇÃO À SAÚDE DA CRIANÇA. ANA- CECÍLIA SUCUPIRA

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DIFERENÇAS ENTRE A ALFABETIZAÇÃO NO ENSINO CONVENCIONAL E NO PÓS-CONSTRUTIVISMO VALÉRIA LOPES REDON PREFEITURA MUNICIPAL DE LONDRINA – GEEMPA valredon@yahoo.com.br RESUMO: O presente trabalho visa demonstrar as diferenças de alfabetizar no ensino convencional e na proposta pós-construtivista que abarca a Teoria dos Campos Conceituais. No ensino convencional predomina a lógica dos conteúdos, com ênfase na ideia que vai do mais simples para o mais complexo, não considerando o processo de construção do aluno. Em contrapartida a teoria pós-construtivista entrelaçada com a Teoria dos Campos Conceituais permite um trabalho muito mais amplo em uma rede, onde não há uma ordem do simples para o complexo, mas um trabalho com todos os eixos. Levando em consideração o processo de aprendizagem dos alunos, ou seja, em qual dos eskemas3 do processo de aprendizagem os alunos de uma turma se encontram.

ABSTRACT: The aim of the present work is to ilustrate the diferences between traditional teaching and post-constructivist teaching, which is based in Conceptual Fields Theory. The traditional teaching is dominated by the logic of the contents, with emphasis in the idea that we go from more simplest to the most difficult but without considering the construction's process of the student. In return, post-constructivist theory based on the Conceptual Fields Theory enables a network much wider, where there is no order from the most simplest to the most difficult, but working in all axes. We consider the learning process of the students, in other words in what schemes of the learning process are the students.

Palavras chaves: alfabetização, campos conceituais, eskemas, hipóteses, pósconstrutivismo Atualmente temos no Brasil 50 milhões de adultos analfabetos que estiveram nas escolas, ou seja, as escolas brasileiras vem produzindo analfabetos. Essa falência da escola esta diretamente relacionada com a maneira que se ensina.

Muitos profissionais da educação ainda hoje seguem o ensino convencional enfatizando a lógica do processo dos conteúdos para alfabetizar. Utilizando a lógica que vai do simples ao complexo, portanto a lógica de ensinar letra por letra, iniciando pelas vogais, passando para junção das sílabas simples, constituindo palavras simples, seguido por frases e só por ultimo introduz o trabalho com os textos.

Nessa lógica os professores desconhecem o processo de aprendizagem dos alunos, desconsiderando as hipóteses que os mesmos já construíram sobre leitura e escrita. Alguns até fazem as classificações das hipóteses

em que os alunos se

encontram, porém essa preciosidade não é considerada em seu planejamento.

3

Eskemas: a escrita com K se deve a definição de Gérard Vergnaud para os recursos que uma pessoa utiliza para enfrentar situações. Em francês há duas escritas, como em português só temos esquemas, foi então criado o eskema.

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Só podemos mudar essa produção de fracasso escolar, mudando radicalmente o ensino, superando os equívocos das teorias inatistas e empiristas e avançando para além dos achados construtivistas de Piaget, Vygotsky e Wallon.

Um desses avanços é a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, que na alfabetização vem sendo pensada pelo GEEMPA, principalmente pela professora Esther Pillar Grossi, criando a teoria pós-construtivista.

Destaco que para muitos profissionais, o conhecimento de alfabetizar pela lógica do simples para o complexo é um obstáculo epistemológico para o avanço da alfabetização na trilha da Teoria dos Campos Conceituais, sendo assim um obstáculo para se abrir ao novo.

A Teoria dos Campos Conceituais é um conjunto de três conjuntos: um conjunto de conceitos, um conjunto de situações e um conjunto de representações simbólicas.

Esses três conjuntos são o território onde ocorrem as aprendizagens. Esse percurso ocorre de forma pessoal, porque inclui o Outro de cada aluno, que é constituído na relação com outros na vida social.

O que seriam então esses três conjuntos na alfabetização? Conjunto de conceitos: letra, palavra, texto, desenho, número, leitura, escrita.... Conjunto de situações: ver pessoas lendo, escrevendo, livros, revistas, placas, jornais, comunicação via whatsapp, facebook e todas as situações planejadas na sala de aula contemplando letra, palavras e texto, leitura e escrita, fazendo jogos e fichas didáticas, possibilitando que o aluno aprenda dentro de uma rede. E as representações simbólicas, são como os alunos vão produzindo nessa relação com o outro, podendo ter representações simbólicas positivas e negativas.

O processo no interior da Teoria dos Campos Conceituais se caracteriza pelas hipóteses, realizadas pelos alunos que são formulações incompletas e ascendentes.

Ensinar nessa nova visão é organizar situações didáticas que possibilitem aos alunos o avanço de suas hipóteses. Essas hipóteses são os níveis pré-silábico 1 (pensa que se escreve com desenho), pré-silábico 2 ( coloca sinais gráficos, sendo a quantidade definida pelo tamanho do referente) , silábico ( já faz vinculação com a pronuncia e para cada vez que se abre a boca escreve um sinal gráfico) e alfabético ( para cada vez que se abre a boca coloca dois sinais gráficos) que são os eskemas para a organização das sílabas na escrita de palavras.

Para conhecer os eskemas ( hipóteses) dos alunos relacionados com a leitura e a escrita, assim como conhecer melhor o aluno ( o que lhe interessa, como é a 88

constituição de sua família, o que faz de lazer), utilizamos uma aula-entrevista no inicio do período letivo. Ela é composta de 12 tarefas que o professor realiza com cada um de seus alunos. Durante o ano letivo a aula-entrevista acontece várias vezes, para verificar os avanços ou não do aluno, ou melhor, pensando o que os alunos aprenderam ou não com as situações didáticas proposta pela professora. Nesse contexto o aluno não tem problema de aprendizagem ,nós professores é que temos problema de ensinagem.

Com os resultados encontrados na aula-entrevista o professor realiza um planejamento de aula repleto de situações onde os alunos irão construindo conceitos e operando situações, avançando em suas hipóteses. Lembrando que essas situações são planejadas dentro de um contexto semântico significativo para os alunos. É preciso ressaltar que as hipóteses que os alunos constroem no processo de alfabetização são um obstáculo epistemológico para o avanço até chegar a construção da hipótese seguinte. E que é muito melhor que essas hipóteses sejam discutidas, provocadas e confrontadas entre os iguais, ou seja, entre os alunos da turma e não pela professora. Assim o trabalho com os grupos é fundamental. Na teoria do pósconstrutivista esses grupos são chamados de grupos áulicos. Para a constituição deles há uma metodologia consolidada com

eleições de líderes e os alunos convidados a

pertencerem ao grupo tem a opção de aceitar ou recusar. Com a garantia de que todos irão pertencer há um grupo.

Todas essas questões se opõem ao ensino convencional. Neste as avaliações são realizadas posteriormente para verificar aspectos de memorização, e o aluno é o responsável pela não aprendizagem. O professor é detentor do saber, que explica os conceitos e o aluno reproduz em exercícios para fixa-los. O professor é o centro das aprendizagens, tanto que os alunos sentam em filas para prestar atenção nele.

No pós-construtivismo, com a Teoria dos Campos Conceituais, os conceitos só adquirem sentido em situações ou conjunto de situações que vão possibilitando os avanços das hipóteses psicogenéticas. No campo conceitual da alfabetização existem seis classes de situações: leitura de letras, leitura de palavras, leitura de textos, escrita de letras, escrita de palavras e escrita de textos. Por isso no planejamento de quem trabalha com o pós-construtivismo , é preciso todos os dias abranger o trabalho com letra, palavra e texto, nos eixos de leitura e escrita. Os conjuntos de palavras são sempre muito significativos, como por exemplo, o conjunto dos nomes dos alunos da turma e da professora, conjunto das etiquetas que são palavras retiradas de uma história, além do tesouro que é um conjunto de palavras significativas para cada aluno. Com essas 89

palavras memorizadas através de jogos e fichas didáticas os alunos tem um repertório que possibilita confrontar com suas próprias hipóteses possibilitando avanços em dois eixos, a saber: na hipótese da organização das sílabas nas palavras na relação letra x som, primordial para que um aluno se torne alfabetizado.

Nesse trabalho o aluno vai adquirindo a conscientização operatória do que é a palavra escrita que exigem quatro invariantes que são: quantidade de letras, a qualidade dessas letras, a sua ordem, o sentido. Esse aspecto é fundamental para um aluno se tornar alfabetizado, pois se o aluno permanecer lendo silaba por silaba das palavras, ele não consegue compreender o sentido do que leu.

O trabalho com o conjunto de palavras citadas acima possibilita o aluno a realizar a leitura de maneira global. O mesmo ocorre com os textos que tanto no eixo da leitura como no eixo da escrita devem ser propostos desde o inicio do ano letivo. Os textos precisam ser lidos e memorizados de formal global e muitas situações de escrita de textos devem ser propostas, pois cada aluno vai escrever de acordo com os seus eskemas de pensamento, essas escritas devem sempre ter significado para o aluno.

Nesse contexto as letras são abordadas todas ao mesmo tempo, é possível realizar bingo de letras com a cartela sendo o nome do aluno, por exemplo. O invariante operatório de qualidade, para o conhecimento de letras tem relação com os aspectos topológicos de aberto e fechadas, com linhas retas e curvas, além de outros.Tudo isto é descoberto pelo aluno através dos jogos.

Um ponto que é difícil para os professores compreenderem nessa proposta é que um aluno pode estar mais avançado em um eixo do que em outro, principalmente quando há escritas de alunos que se encontram no nível alfabético e que ainda não utilizam letras para a escrita e sim utilizam sinais gráficos. Pois se pensa que a aprendizagem é linear, item por item, então é impensável que um aluno chegue na hipótese alfabética sem utilizar das letras que segunda a ideia de muitos deveriam aprender antes.Mas isso é possível porque os alunos aprendem em uma rede, eles podem estar mais avançados em um eixo do que em outro, dessa maneira é possível que um aluno esteja alfabético sem ter conhecimento de letras. Esse aluno precisa de um trabalho intenso para avançar os conhecimentos do eixo das letras.

Mesmo mostrando a rede que segue, das aprendizagens da alfabetização é difícil a compreensão, pois há realmente um obstáculo. Para avançar é preciso uma desconstrução das ideias dos professores, assim como para o aluno passar de um nível

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ao outro no processo de alfabetização é necessário passar também por uma desconstrução..

Como vemos, no gráfico acima, o trabalho com essa proposta muda radicalmente o ensino convencional da alfabetização. Pois abarca todos os eixos ao mesmo tempo, já que a aprendizagem acontece em rede.

Trabalho com essa proposta há 15 anos, sendo que sou professora há 23.

Durante 8 anos trabalhei com o ensino convencional, pois quando cheguei na escola era o que as professoras consideradas boas faziam. Como não tive uma aprendizagem na universidade para isso passei alguns anos repetindo o que as outras faziam, com a diferença de que não me achava boa, ficava sempre muito inquieta por não conseguir alfabetizar em média 6 ou 7 alunos, ano após ano.

Essa inquietação me fez chegar ao curso do Geempa e nunca mais sair, pois encontrei o que buscava, a alfabetização de todos os alunos, inclusive alunos que já tinham um, dois, ou três anos de experiência de fracasso escolar. E isso não foi uma vez, um caso isolado, foram várias vezes. Isso também não é um milagre é a aplicação de toda uma proposta pós-construtivista que

está ligada com a Teoria dos Campos

Conceituais.

Precisamos então fazer com que o pós-construtivismo chegue ao maior número de professores alfabetizadores, não só chegue mas que possa permanecer, fazendo com 91

que os professores avancem e que possam realmente desconstruir as aprendizagens anteriores do ensino convencional e se tornarem um professor pós-construtivista.

Referências GROSSI, Esther Pillar. A teoria dos Campos Conceituais é algo extraordinário. Porto Alegre: GEEMPA,. 2017. ______, Esther Pillar. Aula-entrevista. Porto Alegre: GEEMPA, 2010 ______, Esther Pillar. Campo Conceitual do Inicio das Aprendizagens da Leitura e da Escrita. Ideias preliminares. I Colóquio Internacional Sobre a Teoria dos Campos Conceituais. Porto Alegre: GEEMPA, 2015.

VERGNAUD, Gérard. Apresentando/ A Gênese dos Campos Conceituais. In: Grossi, Esther Pillar (org.). Por que ainda há quem não aprende? A teoria. Petropólis, RJ: Vozes, 2003. p. 17 e 21. __________, Gérard. Esquemas Operatórios de Pensamento. In Grossi, Esther Pillar (org.). Ensinando que todos aprendem, Fórum Social pelas aprendizagens. Porto Alegre: GEEMPA, 2005. p 85. ____________, Gérard. O Campo Conceitual da Multiplicação. Seminário Internacional sobre Didática da Matemática. Porto Alegre: GEEMPA, 2001.

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PRESENTACIÓN PARA EL II COLOQUIO SOBRE LA TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES

ALFABETIZANDO ALUMNOS CON CARACTERÍSTICAS ESPECIALES EN COLOMBIA, A LA LUZ DE LA TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES. Sonia Inés Matallana Saadi Son nuestros eskemas los que movilizan nuestras acciones. En la sociedad en general, y en particular en la escuela, se ha construido por largo tiempo, la idea, que hay alumnos que no pueden aprender, entonces no vale la pena esforzarse en enseñarles.

Esta idea es tan fuerte en los profesores, que se tornó en un invariante operatorio de sus eskemas, con el que excluyen a una parte de la población, del derecho de aprender.

Ahora bien, esos alumnos van a la escuela y son tratados con mucho afecto y cuidado emocional y físico, para esconder en esas actitudes, el eskema construido: “NO APRENDEN”. El aspecto cognitivo queda relegado tan fuertemente, que finalmente los alumnos no aprenden nada, y los profesores consiguen dar un valor de verdad demostrada a su fatal sentencia: “NO PUEDEN APRENDER”.

El trabajo realizado con Geempa en los últimos doce años en Colombia, nos permite desmentir la sentencia y cambiar el valor de la verdad, demostrando que: “TODOS PUEDEN APRENDER. Esta presentación es una síntesis de cómo la Teoría de los Campos Conceptuales, es una luz que se prende en la oscuridad del analfabetismo.

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1. Geempa en Colombia

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2. Reseña histórica 2004: La ministra de educación Cecilia María Vélez White, se conoce con la Dra Esther Grossi en un congreso y solicita al Geempa una propuesta para iniciar trabajo en Colombia, con el fin de aumentar los índices de alfabetización.

2005: se firma el protocolo de intenciones entre el Ministerio de Educación colombiano y Geempa, y se realiza el primer curso de formación.

TOTAL: 3642 profesores formados Resumen con promedios estadísticos por cada profesor que por lo menos implementó un año. Condición obligatoria de quienes se forman.

3642 profesores formados x 35 estudiantes cada uno= 127.470 beneficiados 127.479 beneficiados= 12.748 con discapacidad que se alfabetiza el 90% = 11.473 114.731 regulares que se alfabetizan al 100% 95

11.473 + 114.731= 126.204 alfabetizados = 99% de éxito

3.- La Teoría de los Campos Conceptuales, hace la diferencia Situaciones Cotidianas Vs Situaciones Geempianas

Rechaços Deserção escolar

Indisciplina

Ausência escolar

Diagnósticos médicos

Situações cotidianas

Baixo rendimento escolar

Família responsáve l de aprendizag em

Agressões entre companheir os

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Classe de entrevista Tarefas de casa

Grupos de aula

Situações

Grupos de estudo

Atividades culturais

GEEMPIANAS

Possibilidade de equivocarse

Jogos Fichas didáticas

En los dos tipos de situaciones se construyen invariantes operatorios, en las cotidianas estos invariantes tienden a generar rupturas que pasan a constituir grandes brechas entre la relación alumno- profesor, pasando por no aprender y llegando a la deserción escolar.

Ejemplo de ellas son: atribuirle a los diagnósticos médicos, a las familias, a

la

agresividad, a la indisciplina, entre otros, el problema de NO aprender.

En las situaciones Geempianas existe un equilibrio entre los acogimientos y las rupturas, necesarias para disponer una conexión adecuada entre alumno-profesor, que conlleva a la construcción del aprendizaje.

Los invariantes operatorios que constituyen los eskemas con los que se afrontan las situaciones geempianas, articulan adecuadamente la teoría y la práctica en el salón de clase.

Por ejemplo, la clase entrevista es una situación Geempiana fundamental y única, en donde el profesor no solo identifica los eskemas de pensamiento de sus estudiantes, sino que logra tender el puente del acogimiento de esos eskemas, para luego convertirlos en 97

posibilidad de aprendizaje, ya que ellos están íntimamente relacionados con los afectos de los alumnos.

Es el caso de los alumnos con síndrome de Down, que generalmente se quedan ubicados entre PS1 y PS2, hipótesis que en el sistema tradicional son tratadas como “dificultades del aprendizaje relacionadas con el Dx clínico”. En Geempa son tratados a la luz de la TCC, como eskemas que se acogen, se trabajan y se les genera un conflicto que conlleve a una rupturay por lo tanto a un cambio de eskema, hasta conseguir la construcción del aprendizaje que se requiere, leer y escribir.

Otras situaciones Geempianas muy importante son: el trabajo en grupo y la dignidad del riesgo, o sea la posibilidad de equivocarse, sin miedo a ser objeto de rechazo o burla, sobre todo por parte del profesor.

98

99

100

3. A modo de conclusión, Preguntas para reflexionar: 1. ¿Por qué con el pasar de los años son menos los docentes formados?

El éxito alcanzado por muchos docentes en la alfabetización, hizo pensar a los funcionarios del Ministerio de Educación, de las Secretarías y a algunos rectores, que esos profesores estaban listos para multiplicar sus experiencias con sus compañeros , entonces, en varios lugares se ha realizado una formación en cascada. Lo cual hace que no haya inversión de recursos financieros, que es lo que siempre quieren evitar los gobiernos.

Por los resultados obtenidos con la implementación de Geempa, algunas empresas que tienen mercantilizada la educación, han plagiado los materiales y ofrecen la formación de docentes.

Los profesores que no comprenden Geempa como un modelo que responde a todo lo que la pedagogía propone y requiere, entre ello, a la transformación teórica y práctica del docente, implementan de manera inadecuada, mezclan modelos, se vuelven activistas y finalmente, al no obtener buenos resultados, murmuran y desprestigian las investigaciones que Geempa viene realizando por 47 años.

2

¿Todos los profesores formados continúan años tras año?

Un 30% continúan, son ellos los que han alcanzado la verdadera transformación, obtienen los mejores resultados y están comprometidos con su

profesión.

Son

considerados transformados, porque han logrado comprender la rigurosidad teórica que sustenta la flexibilidad de la práctica Geempiana, y lo más importante, se sienten inacabados en sus aprendizajes, tiene la claridad “QUE SOLO ENSEÑA EL QUE APRENDE” Entre los que no continúan, se encuentran: Pensionados, trasladados, enfermos, murmuradores y los que piensan que “Aprender es cuestión de capacidades y enseñar es cuestión de explicaciones”.

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AVALIAÇÃO DAS APRENDIZAGENS DE LEITURA E ESCRITA POR MÉDICOS RESIDENTES DE PEDIATRIA EM UM AMBULATÓRIO DE ATENÇÃO À SAÚDE DA CRIANÇA. Ana Cecília Sucupira Universidade de São Paulo - USP Este texto relata uma experiência de formação do pediatra no atendimento de crianças em idade escolar, em um serviço de atenção primária, desenvolvida com residentes de primeiro ano de pediatria no Centro de Saúde Escola da Faculdade de Medicina da USP. É um fato comum, nos serviços de saúde, o pediatra receber crianças encaminhadas das escolas, porque não aprendem a ler e a escrever. O encaminhamento tem como propósito que o médico descubra uma doença, um distúrbio, uma deficiência, enfim um defeito que explique porque a criança não aprende. Nas palavras de uma diretora: “nós damos as oportunidades, se eles não aprendem é porque têm alguma deficiência.” A culpa do não aprendizado está no aluno.

Nas visitas às escolas acompanhando os residentes, quando perguntamos sobre as causas do fracasso escolar ouvimos diretores e coordenadores nos afirmarem que o maior problema são as crianças sem laudo. Para eles é necessário ter um laudo da criança para poderem ensinar, ou melhor, para terem a tranqüilidade de que se a criança não aprende, não é responsabilidade do professor. O curioso é que grande parte dessas crianças terminam recebendo um laudo de “deficiência mental leve”. Atualmente, há inúmeros relatos de crianças com Síndrome de Down que aprenderam a ler e escrever e alguns já estão na universidade.∗ Por que, então, uma criança com “deficiência mental leve” não poderia aprender a ler e escrever?

Algumas questões se impõem: Quem são essas crianças que não aprendem e porque não aprendem? O que cabe ao pediatra fazer?

De um modo geral, os pediatras não sabem o que fazer com as crianças que chegam ao consultório porque não conseguem aprender na escola. Uma prática corrente é o encaminhamento para o neurologista ou para o psiquiatra ou o psicólogo.

Na formação do pediatra, a ênfase é a doença com pouco espaço para o desenvolvimento infantil. Atualmente, vem ganhando algum destaque o estudo do

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desenvolvimento na primeira infância. Para a atenção ao adolescente, hoje o pediatra já tem uma formação mais especializada. O escolar continua esquecido. Como é uma fase de “calmaria biológica” com poucas intercorrências clínicas, a criança em idade escolar não desperta maior atenção na formação do pediatra.

Observando as crianças que vinham encaminhadas das escolas com a queixa de que não conseguiam aprender, procuramos estabelecer uma proposta de atendimento que pudesse melhor conhecer a criança e suas aprendizagens já alcançadas, tanto na vida diária com a família como na escola.

Os pressupostos teóricos dessa proposta de ensino estão fundamentados nas concepções sobre o processo de aprendizagem da criança desenvolvidos por Esther Grossi, que a partir do pensamento de Piaget, Vigostski, Vergnaud e Wallon elaborou a teoria Pós-Construtivista para explicar como a pessoa aprende. A partir dos estudos da Emilia Ferreiro sobre a psicogênese da escrita, Grossi elaborou a “Aula Entrevista” para avaliar as aprendizagens da escrita e leitura que os alunos já desenvolveram.

A consulta pediátrica com o escolar Na nossa experiência, para essa avaliação, em uma situação de consulta pediátrica, fizemos algumas adaptações da Aula Entrevista, que permitem identificar as aprendizagens da criança e avaliar sua capacidade de aprender. Abordamos a criança com os procedimentos próprios da consulta pediátrica nessa faixa etária e acrescentamos algumas questões mais específicas, para conhecer melhor como a criança está fazendo suas aprendizagens.

Inicialmente é importante verificar se a queixa é da família ou apenas da escola.

Em geral, quando a mãe é analfabeta ou tem pouca escolaridade, a queixa que vem da escola é entendida como sendo algum problema que a criança apresenta e que por isso não consegue aprender. Conhecer as características da escola e os métodos de alfabetização adotados é fundamental para que o pediatra possa avaliar as dificuldades que a criança apresenta.

Seguindo o roteiro da consulta pediátrica, realizamos a anamnese completa procurando identificar doenças anteriores e intercorrências clínicas que eventualmente pudessem ter alguma repercussão sobre o desenvolvimento da criança. O exame físico é realizado como em toda consulta.

Destacamos a seguir alguns itens importantes para conhecer a criança que vem com esse tipo de queixa.

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Entender o contexto social da família, quais as interações e provocações que a família proporciona à criança para conhecer as aprendizagens que a criança apresenta.

Identificar a composição familiar e a posição da criança na família. A escolaridade e a ocupação dos pais definem a inserção social da família e, principalmente, o acesso às informações e o contato com a leitura e a escrita que podem oferecer à criança.

Como os pais acompanham as aprendizagens escolares da criança? Qual o acesso a livros de histórias que a criança tem? Os pais costumam ler histórias para a criança?

Pais analfabetos são freqüentemente culpabilizados pela escola por não incentivarem as crianças a aprender. Vários estudos, entretanto, mostram que colocar os filhos na escola expressa o desejo dos pais de que eles tenham as oportunidades de aprender que eles não tiveram.

Identificar os vínculos afetivos que foram estabelecidos com a criança. Procurar entender os cuidados que a criança recebe e que favorecem suas aprendizagens. É muito importante perceber como os pais vêem a criança. Qual a opinião deles sobre como é seu filho(a)? O que acham das aprendizagens dele(a)? Em uma consulta, uma mãe me falou sobre a capacidade do seu filho de aprender em casa: “O que não presta ele aprende rapidinho”. O que demonstra a capacidade cognitiva da criança.

O modo como a questão da educação e do cuidado é visto pelos pais determina formas singulares de relacionamento entre os pais e os filhos. É importante procurar conhecer que interações na família propiciam o desenvolvimento, que outras medidas tendem a inibir a criança de experimentar novas atividades. Que restrições são feitas no cuidado com as crianças que podem inibir seu desenvolvimento.

Uma das maneiras de conhecer as aprendizagens, já desenvolvidas pela criança, é perguntar sobre a rotina de vida da criança. Pedindo a criança que descreva tudo que costuma fazer, desde o momento em que acorda até ir dormir, é possível verificar sua memória temporal, visual, auditiva. Algumas noções de tempo, espaço, quantidade, tamanho podem ser avaliadas nessa conversa com a criança sobre sua rotina de vida. Se a criança vai para a escola de manhã quando acorda ou depois do almoço. A escola é longe ou perto. Como ela vai para a escola, com quem? A escola é grande? Tem muitas crianças? Nome da professora, dos amiguinhos.

O que a criança gosta de brincar, quais os programas de TV que assiste, quais jogos eletrônicos sabe jogar, enfim as atividades que lhe dão prazer são informações que fornecem elementos para realizar a avaliação das suas aprendizagens.

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Essas informações vão sendo importantes para a avaliação da criança em todos os seus aspectos e como está ocorrendo o seu desenvolvimento e aprendizagens.

Nesse momento é possível fazer a avaliação de como está a aprendizagem da escrita e da leitura. É muito comum os pediatras pedirem para que a criança escreva palavras simples e fáceis como gato, bola, bule, casa. São palavras decoradas que não expressam como a criança já percebe a escrita. Não se deve portanto pedir que escrevam essas palavras.

A avaliação da escrita que fazemos na consulta como já foi referido é uma adaptação da Aula Entrevista do GEEMPA. Está fundamentada na psicogênese da escrita, que permite compreender as hipóteses que a criança faz sobre a representação gráfica da escrita. Inicialmente, a criança pode fazer um rabisco e ler o que foi pedido que escrevesse. Crianças de 3 a 4 anos já podem desenhar o que as palavras expressam.

No início do processo de alfabetização elas escrevem as palavras colocando sinais ou bolinhas ou já podem utilizar letras, em geral do próprio nome para escrever as palavras.

Na representação com sinais ou bolinhas elas estão na fase pré-silábica I, quando utilizam letras estão na fase pré-silábica II. É interessante verificar que a quantidades de sinais ou de letras que utilizam para escrever as palavras têm relação como o tamanho do que é representado. Não é concebível por eles que trem ou mar possam ser escritas com poucas letras.

Algumas crianças, embora não tenham o conceito de sílaba, já têm a hipótese de que para cada sílaba, ou seja cada som emitido da palavra, basta escrever uma letra.

Essa é a fase silábica da escrita. Posteriormente, elas aprendem que é necessário colocar mais de uma letra para expressar cada som da palavra, o que indica que estão na fase alfabética. Podem escrever do jeito que acreditam que a escrita expressa a palavra falada. Não importa ainda se as letras estejam corretas, mas ela já sabe que as sílabas precisam ter muitas vezes mais de uma letra. É comum a criança escrever a frase com as palavras todas juntas, porque ainda não tem a noção de que embora na fala seja tudo junto, na escrita as palavras são separadas. Esses conceitos e a ortografia correta de cada palavra vão ser adquiridos, depois de estarem alfabetizadas.

A avaliação da escrita na consulta pediátrica

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Durante a consulta, a conversa com os pais e principalmente, com a criança vai permitindo ao pediatra conhecer as relações dos pais com a criança e o modo como ela interage com eles. A realização dos procedimentos da consulta deve proporcionar um maior contato com a criança, visando sempre deixá-la maia a vontade para que possa ter confiança em atender as solicitações do pediatra.

Utilizando palavras que se referem às atividades que a criança gosta de fazer, já descritas na rotina de vida, solicitamos que escrevam palavras monossílabas, dissílabas, trissílabas e polissílabas (não necessariamente nessa ordem) e uma frase. Em geral, essas crianças estão tão inseguras quanto a sua capacidade de escrever que dizem que não sabem. Reforçando que elas podem escrever do jeito delas, da maneira como sabem escrever, quase todas escrevem o que é solicitado.

Na nossa experiência duas palavras sempre são solicitadas para que a criança escreva, porque fazem parte da vivência de muitas delas: videogame e corinthians. É interessante verificar a partir dessas palavras como elas criam modos diferentes de escrever, mas que expressam as hipóteses que elas têm sobre como deve ser a escrita dessas palavras.

Na avaliação de uma criança de 6 anos, perguntei quais programas de TV assistia. Ela me respondeu Scooby-Doo. Achei que era uma palavra difícil e perguntei o que mais gostava de ver. Ela então falou a Pantera cor de rosa. Pedi que ela escrevesse então a Pantera cor de rosa. Para minha surpresa, em escrita silábica, ela escreveu primeiro Scooby-Doo e depois a Pantera cor de rosa.

Na maioria das vezes, quando concluímos a avaliação, verificamos que a criança não tem nenhum atraso, o que nos indica que pode estar havendo problemas no modo como a escola vê a criança e que proposta pedagógica é utilizada. Nesse momento, encaminhamos para a escola uma solicitação para que descreva, em maiores detalhes, quais as dificuldades que a criança está apresentando. Dessa forma, a escola tem de expressar mais especificamente como vê esse aluno.

Finalizamos a consulta reafirmando que a criança não tem nenhum atraso e que está tudo bem com ela. Mostramos que ela está aprendendo, mas é preciso que a professora ensine mais.

Comentários

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O desenvolvimento da criança que resulta nas aprendizagens de conceitos e habilidades, se dá a partir das situações vivenciadas e das interações com o outro, pais, professores e outras crianças. As aprendizagens ocorrem a partir das provocações geradas pelas características do meio onde ela vive e que definem padrões de desenvolvimento de habilidades diferentes, mas que indicam que ela está aprendendo. O professor entretanto só aceita o resultado final: que o aluno consiga ler. Não reconhece que o aluno que escreve de forma silábica teve um aprendizado, tem um conhecimento, que precisa ser desenvolvido. É possível afirmar: Na escola não há espaço para as crianças diferentes.

As crianças que por não terem tido as mesmas oportunidades que aquelas que praticamente já chegam alfabetizadas na escola, são vistas como portadoras de alguma deficiência, distúrbio ou atraso. Ao avaliarem as crianças no seu processo de aprendizagem não consideram a importância das condições sociais e culturais como interferentes no modo como a criança adquire suas habilidades. Não se reconhecem as oportunidades e provocações para aprender que as crianças já tiveram antes de entrar na escola. O desafio na avaliação da criança com queixa de que não aprende é poder considerar, nos diferentes meios sociais, as diferenças nas habilidades adquiridas pelas crianças, provocadas pela diversidade de experiências vivenciadas em suas famílias.

Por sua vez, o medico não se sente capaz de avaliar como a criança vem se desenvolvendo e aprendendo. Na maioria das vezes, encaminha a criança para que o psicólogo possa fazer os testes que vão afirmar se a criança é normal. Essas avaliações, consideradas mais especializadas, são feitas por meio de testes, fundamentados no modelo psicométrico. Eles confirmam que a criança não tem os comportamentos e habilidades considerados normais para sua idade. O que se observa com os testes é que só há um modelo de normalidade para os comportamentos e aprendizagens.

Na verdade, o que se pode concluir com os resultados dos testes é que as crianças pobres não conseguem realizar as atividades propostas pelas escalas que foram feitas para avaliar crianças de meios sociais e culturais diferentes daqueles onde vivem as crianças pobres.

Na realidade das escolas brasileiras, o preconceito em relação à pobreza molda o olhar dos professores para enxergarem essas crianças como desprovidas de qualquer condição para o aprendizado. Esse modo de ver a criança que ignora a sua história de vida e as relações que são estabelecidas no seu meio social e cultural tendem a ressaltar os determinismos biológicos que transformam problemas sociais em problemas 107

localizados na constituição orgânica do indivíduo. É pensando assim, que vemos como, logo nos primeiros meses, na escola já se dê a sentença de que essas crianças não irão aprender.

Os laudos construídos a partir dos testes tornam-se verdades absolutas sobre a própria essência da criança. No caso das crianças encaminhadas das creches, pré-escolas e escolas para avaliação do desenvolvimento está implícita a intenção de comprovar a incapacidade da criança de aprender, isentando essas instituições de qualquer responsabilidade sobre as dificuldades que a criança possa apresentar em não corresponder às expectativas dos educadores. Não se reconhecem os aspectos sociais e culturais que determinam comportamentos e desempenhos diferentes. Não se reconhece que a lógica e a atuação dessas instituições não estão voltadas para a promoção do desenvolvimento das crianças das classes mais pobres. Esse fato pode ser observado quando se verifica a prevalência do fracasso para a alfabetização aos 6 anos entre as crianças mais pobres que engrossam a fila dos encaminhamentos para avaliação do desenvolvimento nos serviços de saúde. E é por meio dessas avaliações, que se atestam laudos que reforçam sua incapacidade e promovem a exclusão da escola.

A atuação do médico no momento da avaliação reflete não apenas todo o arcabouço teórico adquirido nos anos de formação acadêmica, mas também as concepções de mundo e de vida que vão se constituindo ao longo da vida. Ao conhecer a psicogênese da escrita o medico pode mudar o seu referencial de avaliação da criança.

Ele pode verificar que o aluno está aprendendo e mostrar para a família o quanto ele já aprendeu. O mais importante ainda, é recuperar para a criança que ela pode aprender e que está aprendendo. É necessário que o médico tenha um conhecimento da realidade das escolas. A criança que está diante dele na consulta e que se apresenta tímida, mal respondendo as perguntas feitas, temerosa de mostrar que ainda não sabe ler e escrever corretamente, com certeza não é a mesma que ele poderia ver na escola ou no seu meio familiar.

Temos visto que muitas escolas investem nas crianças que já chegam tendo tido oportunidades que direcionaram para o aprendizado escolar e pouco incentivam aquelas que são vistas como tendo atrasos, porque não tiveram o hábito de escrever e desenhar, assim como outras oportunidades que direcionassem aprendizagens e habilidades necessárias para a escolarização.

Uma dúvida que pode surgir é se essas crianças pobres não podem aprender nas escolas porque não têm esses aprendizados em seu meio familiar. Uma experiência que 108

desfaz essa dúvida foi desenvolvida pelo GEEMPA entre 2009 e 20014. Foi possível alfabetizar em pouco tempo, crianças que estavam do segundo ao nono ano, ainda analfabetas na escola, a partir de métodos pedagógicos adequados às realidades das crianças. Essa experiência mostrou que o processo de formação dos Grupos Áulicos, tendo como base a psicogênese da escrita e o método de ensino desenvolvido por Esther Grossi, presidente do GEEMPA, a partir da teoria Pós-Construtivista, tem contribuído efetivamente para a alfabetização das crianças das classes populares.

Terceiro dia tarde – 08/12/2017 Primeiro momento A tarde aconteceu a sessão de comunicações científicas. Com as seguintes comunicações: REPRESENTAÇÕES NA APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA: CONVERGÊNCIAS ENTRE A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA. KEILA TATIANA BONI, CARLOS EDUARDO LABURÚ - Universidade Estadual de Londrina/ Paraná CONTRIBUIÇÕES DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS PARA A SALA DE AULA: TAREFAS RELACIONADAS AOS NÚMEROS IRRACIONAIS. VERIDIANA REZENDE – UNESPAR - Universidade Estadual do Paraná ESTRUTURAS DE CONTROLE MOBILIZADAS EM UMA SITUAÇÃO DE ISOMORFISMO DE MEDIDAS: UM ESTUDO NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL. MARLÍ SCHMITT ZANELLA, LILIAN AKEMI KATO. Universidade Estadual de Maringá/ Paraná.

O USO DA REGRA DE TRÊS E A COMPREENSÃO DAS RELAÇÕES EM PROBLEMAS DE PROPORÇÃO MÚLTIPLA. SINTRIA LABRES LAUTERT, ANALÚCIA DIAS SCHLLIEMANN, ANNA BÁRBARA BARROS LEITE. Universidade Federal de Pernambuco/ Departamento de Psicologia.

FILIAÇÕES,

RUPTURA

E

OS

OBSTÁCULOS

EPISTEMOLÓGICOS:

APROXIMAÇÕES ENTRE VERGNAUD E BACHELARD. DÉBORA PIAI 109

CEDRAN, JAIME DA COSTA CEDRAN, JHENIFFER MICHELINE CORTEZ DOS REIS, NEIDE MARIA MICHELLAN KIOURANIS. Universidade Estadual de Maringรก. Paranรก. Universidade Tecnolรณgica Federal do Paranรก, Campus Medianeira/ Paranรก.

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REPRESENTAÇÕES NA APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA: CONVERGÊNCIAS ENTRE A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA Keila Tatiana Boni¹, Carlos Eduardo Laburú² ¹Universidade Estadual de Londrina/ Doutoranda do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática. keilaboni@hotmail.com. ²Universidade Estadual de Londrina/ Docente4 do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática. laburu@uel.br.

Resumo: O presente trabalho apresenta convergências existentes entre pressupostos da Teoria dos Campos Conceituais e dos Registros de Representação Semiótica no que diz respeito às representações e suas atribuições no processo de aprendizagem em matemática. A partir de procedimentos à luz da Análise de Conteúdos, as convergências identificadas em ambos os referenciais teóricos à respeito de representações foram:a existência de aspectos comuns entre representação e referente e entre representações, porém sem total redundância; por meio de representações semióticas o sujeito exterioriza indícios de representações mentais; além de fins de comunicação, as representações são essenciais para os desenvolvimentos de pensamento e de atividades matemáticas; e, a aprendizagem está atrelada à coordenação representacional.

Palavras chave:Educação Matemática. Representações. Aprendizagem em Matemática.

Abstract: The present work presents convergences existing between assumptions of the Theory of Conceptual Fields and the Registers of Semiotic Representation with respect to the representations and their attributions in the process of learning in mathematics. Based on procedures in the light of Content Analysis, the convergences identified in both theoretical references regarding representations were: the existence of common aspects between representation and referent and between representations, but without total redundancy; by means of semiotic representations the subject externalizes indications of mental representations; in addition to communication purposes, representations are essential for the development of thought and mathematical activities; and, learning is linked to representational coordination.

Keywords:Mathematical Education. Representations. Learning in Mathematics.

1. Introdução Partindo

do

pressuposto

de

que

conhecimentos

matemáticos

são

circunstanciados por desafios representacionais, tecemos no presente trabalho algumas relações entre duas perspectivas teóricas, ambas amplamente difundidas na área de Educação Matemática, no que diz respeito às representações e suas atribuições no processo de aprendizagem matemática. As perspectivas teóricas a que nos referimos são: a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1996; 2009) e os Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009; 2012).

Não objetivamos explanar ambas as teorias em sua totalidade, mas ressaltar algumas das concepções principais que cada uma apresenta a respeito de representações

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Bolsista CNPq (processo 302281/2015-0).

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no processo de aprendizagem, visando articular possíveis convergências dentre suas concepções que podem auxiliar o professor de Matemática, de qualquer nível escolar, a reconhecer as atribuições das representações para a aprendizagem nessa disciplina.

Com esse intuito, estruturamos o presente trabalho de maneira que, inicialmente, descrevemos o que cada teoria aborda a respeito de representação e, por conseguinte, fundamentados nessas revisões teóricas, tecemos algumas das convergências entre ambos os referenciais, tendo por foco a aprendizagem matemática e o papel fundamental das representações nesse processo. Para auxiliar na evidenciação de tais convergências, recorremos a procedimentos da Análise de Conteúdos (BARDIN, 2004).

2. A Representação segundo a Teoria dos Campos Conceituais A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria cognitivista que objetiva descrever e analisar as relações entre os processos de aprendizado em situação, que ocorrem em curto prazo, e os processos de desenvolvimento cognitivo, que ocorrem em longo prazo (PLAISANGE; VERGNAUD, 2003), bem como visa descrever e analisar as ligações entre o saber fazer e o saber explicitar (VERGNAUD, 1996).

Por tais objetivos fica evidente que a Teoria dos Campos Conceituais tem por concepção que a aprendizagem é interativa. Segundo essa teoria, o desenvolvimento de conceitos é circunstanciado por campos conceituais, definidos por Vergnaud (1996) como conjuntos de situações, que são entendidas como um conjunto de tarefas progressivamente mais complexas, cujo domínio depende de uma variedade de conceitos, procedimentos e representações conectadas entre si.

Tendo como foco as representações, encontramos em Vergnaud (2009) que o sujeito constrói representações mentais da realidade para compreendê-la e estruturar sua ação. Essas representações mentais, grande parte é inacessível ao observador externo, porém, segundo o autor, algumas representações mentais são objetiváveis, pois há a possibilidade de o observador externo perceber indícios nas produções do sujeito a partir de suas representações externas, tais como a linguagem natural, desenhos, procedimentos aritméticos e algébricos, gestos analógicos, entre outros.

Vergnaud (2009) descreve que as principais representações externas utilizadas na matemática são as expressões em linguagem natural (escrita ou oral), os esquemas espaciais no plano (linhas, flechas, regiões do espaço e localizações) e as expressões algébricas, e adverte que nem toda representação pode ser considerada como operatória na matemática, ou seja, nem toda representação reflete o que representa e presta-se a um 112

cálculo relacional5. Para isso, é necessário que a representação seja pertinente e homomorfa à realidade.

Em termos matemáticos, um homomorfismo consiste na aplicação de um conjunto em outro, respeitando estruturas relativas ao conjunto de partida e ao de chegada. Nesse mesmo sentido, Vergnaud (2009) defende a noção de homomorfismo entre a representação e seu referente: essa noção se aplica à função de passar do referente à sua representação, ainda que isso não implique que a representação reflita e seja homomorfa a toda a realidade. Contudo, uma única representação não é capaz de ser homomorfa a todo o referente. Por isso, o autor ressalta que homomorfismo não ocorre apenas entre uma representação e o que ela representa, mas existem múltiplas representações homomorfas ao mesmo referente e existem homomorfismos, também, entre uma representação e outra.

A característica homomorfa das representações é que permite a passagem de uma representação para a outra, bem como o reconhecimento de semelhanças e diferenças entre elas, e entre cada uma delas e o referente. Na Teoria dos Campos Conceituais, a passagem entre representações está diretamente relacionada ao raciocínio do sujeito, uma vez que pensar não consiste apenas em passar de uma situação para uma representação, mas de uma representação à outra e a ela retornar, implicando em certas invariâncias no funcionamento do pensamento (VERGNAUD, 2009).

Dentre as funções e atribuições das representações, Vergnaud (2009) destaca que: auxilia a designar e identificar os invariantes operatórios6 (objetos, propriedades, relações e teoremas colocados em ação pelo sujeito quando diante de situações), contribui com o raciocínio e a inferência, e ajuda na antecipação dos efeitos e dos fins, no planejamento e no controle da ação.

3. A Representação segundo a teoria dos Registros de Representação Semiótica Os objetos matemáticos, em sua maioria, são abstratos e, por isso, Duval (2012, p. 268) defende que eles “[...]não estão diretamente acessíveis à percepção ou à

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Para Vergnaud (2009) o cálculo relacional vai além do cálculo numérico, em que desenvolve-se procedimentos algorítmicos, mas estabelece uma conexão entre o cálculo numérico e os aspectos semânticos e estruturais da situação (entendida como um conjunto de tarefas progressivamente mais complexas em determinado campo conceitual).

6 Os invariantes operatórios (constituídos por teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) são os conhecimentos que o sujeito coloca em ação diante de um conjunto de situações referentes a um mesmo conceito e que conduzem o sujeito a reconhecer os elementos pertinentes à tais situações. Portanto, os invariantes operatórios “constituem a base, implícita ou explícita, que permite obter a informação pertinente e dela inferir a meta a alcançar e as regras de ação adequadas” (MOREIRA, 2002, p. 12).

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experiência intuitiva imediata, como são os objetos comumente ditos ‘reais’ ou ‘físicos’. É preciso, portanto, dar representantes”, tais como símbolos, tabelas, gráficos, desenhos, entre outros. Contudo, Duval (2009) adverte que não é possível haver compreensão em matemática se não houver a distinção entre objeto e sua representação.

Duval (2012) diferencia as representações mentais das representações semióticas:as representações mentais são representações internas constituídas por um conjunto de imagens e de concepções a respeito de um objeto ou uma situação, enquanto que as representações semióticas são produções externas, compostas por signos pertencentes a um sistema de representações que contém inconvenientes próprios de significação e de funcionamento (DUVAL, 2012).

Duval (2009) destaca que as representações semióticas representam um meio de exteriorizar indícios de representações mentais, tornando-as acessíveis a um observador externo. Além disso, “as representações não são somente necessárias para fins de comunicação, elas são igualmente essenciais à atividade cognitiva do pensamento” (DUVAL, 2012, p. 270), pois permitem a realização de diferentes funções cognitivas, tais como as de objetivação (expressão particular) e as de tratamento (DUVAL, 2012).

Para que um sistema semiótico seja considerado como um registro de representação semiótica, Duval (2012) destaca que é necessário satisfazer três atividades cognitivas que são fundamentais: a formação de uma representação identificável, o tratamento de um registro de representação e a conversão entre registros de representação.

Uma representação é identificável quando possibilita reconhecer o que ela representa, permitindo que qualquer pessoa identifique seu sentido a partir das relações e características do conteúdo que representa.Otratamento de uma representação corresponde à transformação desta dentro de um mesmo registro. Por exemplo, ao efetuar a resolução de uma equação ou de uma expressão numérica, o que se realizano mesmo sistema de representação.Como uma única representação pode não contemplar todas as características do objeto, é fundamental uma abordagem que estabeleça uma relação entre uma representação e outra. É nesse contexto que acrescenta-se a atividade cognitiva de conversão, que é uma transformação de representações que consiste em alterar de registro, porém, conservando a referência aos objetos denotados, sendo, portanto, um tipo de transformação externa ao registro de representação inicial. Assim, durante o processo de conversão, o sujeito se torna capaz de diferenciar representação (significante) do referente que é representado (significado).

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Apesar das defesas relativas à conversão, Duval (2012) confere à coordenação entre registros o papel fundamental na apreensão conceitual dos objetos matemáticos: “a compreensão (integral) de um conteúdo conceitual repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação, e esta coordenação se manifesta pela rapidez e a espontaneidade da atividade cognitiva de conversão” (DUVAL, 2012, p. 282).

4. Tecendoaproximações entre ambas as teorias Com o intuito de articular relações entre concepções da Teoria dos Campos Conceituais e da teoria dos Registros de Representação Semiótica no que diz respeito às representações e suas atribuições no processo de aprendizagem em matemática, como modalidade da pesquisa qualitativa optamos por seguir procedimentos à luz da Análise de Conteúdo (BARDIN, 2004) para organizarmos, analisarmos e agruparmos as concepções comuns inferidas em ambos os referenciais teóricos.

A partir dos estudos teóricos realizados, selecionamos algumas citações presentes em Vergnaud (2009) e Duval (2009) que consideramos como nossas unidades de análise, e que foram agrupadas de acordo com algumas das possíveis convergências que evidenciamos entre os referenciais teóricos.

Os agrupamentos e as unidades de análise são apresentados no quadro a seguir:

Teorias → Agrupamentos ↓ A1 – Existem aspectos comuns entre cada representação e o seu referente, mas não há reflexo total entre eles.

TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS “A noção de homomorfismo primeiramente se aplica à função que faz passar da realidade à representação. [...] não significa que a representação reflita toda a realidade, nem que toda representação seja necessariamente homomorfa à realidade” (VERGNAUD, 2009, p. 299).

A2 – Existem aspectos comuns entre representações

“Existem homomorfismos não somente entre a realidade, de um lado, e as representações, de outro, mas também entre as diferentes formas de representação” (VERGNAUD, 2009, p.

300).

A3 – Por meio de representações externas o sujeito comunica indícios de representações mentais

“Para compreender a realidade e agir sobre ela, a criança constrói representações mentais dessa realidade.

Entre essas representações, algumas não são acessíveis ao observador externo [...]. Mas certas representações são objetiváveis, no sentido de que podemos delas perceber indicadores

REGISTROS DE REP. SEMIÓTICA “[...] toda representação é cognitivamente parcial quanto ao que ela representa e que representações de registros diferentes não apresentam os mesmos aspectos de um mesmo conteúdo conceitual” (DUVAL, 2009, p.91. Grifos do autor).

“Duas representações são congruentes quando há correspondência semântica entre suas unidades significantes, univocidade semântica terminal e mesma ordem possível de apreensão dessas unidades nas duas representações” (DUVAL, 2009, p.69) “As representações semióticas [...] parecem apenas ser o meio de que o indivíduo dispõe para exteriorizar suas representações mentais, ou seja, as tornarem visíveis ou acessíveis a outro (DUVAL, 2009, p. 15). “[...] pode haver uma grande diferença

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A4 – Além da comunicação, as representações externas são essenciais para os desenvolvimentos de pensamento e de atividades matemáticas

A5 – A aprendizagem está atrelada à coordenação representacional

importantes nas produções do sujeito (palavras pronunciadas, desenhos, gestos analógicos, operações feitas pelos sujeitos, etc)” (VERGNAUD, 2009, p. 86). “[...] pode-se dizer que o pensamento consiste, ao mesmo tempo, em operações conceituais e pré-conceituais sobre os significados, e em operações simbólicas sobre os significantes, significantes estes que formam vários sistemas simbólicos distintos, tendo elos entre si próprios e com o significado” (VERGNAUD, 2009, p.

300).

entre as representações mentais de um sujeito e as representações semióticas que ele produz para exprimir suas representações mentais” (DUVAL, 2009, p.45-46).

“Para começar, em matemáticas, as representações semióticas não são somente indispensáveis para fins de comunicação, elas são necessárias ao desenvolvimento da atividade matemática.” (DUVAL, 2009, p.15) “As representações externas preenchem então uma função de comunicação. Mas elas preenchem igualmente duas outras funções cognitivas: a função de objetivação, como todas as representações conscientes, e a função de tratamento” (DUVAL, 2009, p.42)

“[...] Em outras palavras, toda representação funcional deve [...]prestar-se a operações, isto é, ao que, no início deste livro chamamos de “cálculo relacional” (VERGNAUD, 2009, p. 304. Grifos do autor). “É com a ajuda simultânea dessas diferentes representações que a criança “A questão da coordenação dos raciocina, passando de um plano a registros e os fatores suscetíveis de outro em função de necessidades e favorecer esta coordenação aparecem relações com as quais ela tem que então como questões centrais para as tratar. Pensar consiste não apenas em aprendizagens intelectuais.

Esta passar de uma situação real à coordenação é simplesmente a das aprendizagens representação, mas em passar de uma consequência representação à outra e a ela retornar” conceituais” (DUVAL, 2009, p.39).

(VERGNAUD, 2009, p. 301).

QUADRO 1 – Agrupamentos e unidades de análise Fonte: Dos autores (2017).

Na sequência, descrevemos cada um dos agrupamentos elencados no Quadro 1: - AgrupamentoA1 – Existem aspectos comuns entre cada representação e o seu referente, mas não há reflexo total entre eles: nesse agrupamento evidenciamos excertos de textos de ambos os referenciais teóricos em que evidenciamos a menção de que existem aspectos comuns entre a representação e o seu referente, de modo que não reflete totalmente o referente, ou seja, não há total redundância entre ambos. Vergnaud (2009) apresenta essa defesa a partir da ideia de homomorfismo entre realidade e sua representação, enquanto Duval (2009) menciona que aspectos diferentes de um mesmo conteúdo conceitual são evidenciados em diferentes representações desse mesmo conteúdo. Nesse agrupamento generalizamos “realidade” e “conteúdo conceitual” como referente.

- AgrupamentoA2– Existem aspectos comuns entre representações: além de existir aspectos comuns entre representação e referente, em ambas as teorias encontramos a defesa de que há aspectos comuns entre diferentes representações de um mesmo referente, o que incluímos nesse segundo agrupamento.

116

- Agrupamento A3 – Por meio de representações externas o sujeito comunica indícios de representações mentais: nesse agrupamento reunimos alguns excertos que nos permitem exemplificar que em cada teoria há a concepção de que é possível um observador externo ter acesso à indícios de representações mentais de outra pessoa a partir de suas representações externas, que Duval (2009) denomina de representações semióticas.

- Agrupamento A4 – Além da comunicação, as representações externas são essenciais para os desenvolvimentos de pensamento e de atividades matemáticas: nesse agrupamento apresentamos excertos de textos de ambos os referenciais teóricos em que explicitam que as representações contribuem não somente para fins de comunicação de representações mentais, mas contribuem com as operações de pensamento e desenvolvimento de atividades matemáticas, que Vergnaud (2009) se refere como cálculo relacional.

- Agrupamento A5 – A aprendizagem está atrelada à coordenação representacional: nesse agrupamento apresentamos os excertos de textos de ambos os referenciais em que identificamos a menção à aspectos relacionados à aprendizagem que são potencializados com a utilização de representações, destacando que tais aspectos são dependentes de um processo dinâmico entre diversas representações.

5. Resultados e conclusão No presente trabalhobuscamos identificar em referenciais teóricosda Teoria dos Campos Conceituais e dos Registros de Representação Semiótica abordagens convergentes a respeito de representações e suas atribuições no processo de aprendizagem em matemática. Fundamentados em procedimentos à luz da Análise de Conteúdos, identificamos algumas concepções convergentes entre ambas as teorias, que são elas: a existência de aspectos comuns entre representação e referente e entre representações, porém sem total redundância; por meio de representações semióticas o sujeito exterioriza indícios de representações mentais; além de fins de comunicação, as representações são essenciais para os desenvolvimentos de pensamento e de atividades matemáticas; e, a aprendizagem está atrelada à coordenação representacional.

Reconhecemos que outras convergências podem ser evidenciadas entre a Teoria dos Campos Conceituais e os Registros de Representação Semiótica, como no que diz respeito às situações e, até mesmo, em outras abordagens relacionadas às representações e o processo de conceitualização. Porém, considerando a extensão do presente trabalho, 117

nos restringimos à apresentação de leituras convergentes mais evidentes à respeito das representações e que estão presentes em ambos os referenciais teóricos.

Considerando a ampla difusão de ambas as teorias em pesquisas matemáticas, acreditamos que a identificação de concepções comuns entre ambas as teorias podem reforçar o reconhecimento de que o desenvolvimento de práticas em sala de aula numa perspectiva representacional plural podem resultar em significantes contribuições ao processo de ensino e de aprendizagem em matemática.

6. Referências BARDIN, L. Análise de Conteúdo. 3. ed. Lisboa: Edições 70, 2004.

DUVAL, R. Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais. 1. ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.

DUVAL, R. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento. Trad.: Moretti, M. T. Revemat, Florianópolis, v.7, n.2, p. 266-297, 2012.

MOREIRA, M. A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de Ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências, Porto Alegre, v. 7, n. 1, p.

7-29, 2002.

PLAISANCE, E.; VERGNAUD, G. Ciências da Educação. São Paulo: Loyola, 2003.

VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, Jean. Didática das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.

VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. Trad.: Maria Lucia Faria Moro. Curitiba: Editora da UFPR, 2009.

118

CONTRIBUIÇÕES DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS PARA A SALA DE AULA: tarefas relacionadas aos números irracionais Veridiana Rezende Universidade Estadual do Paraná - UNESPAR rezendeveridiana@gmail.com

Resumo: Apresentamos neste texto resultados de nossas experiênciasrelacionadas a uma abordagemcognitivista que temos contemplado em salas de aula, respaldada na teoria dos Campos Conceituais. Essa teoria nos proporciona direcionamentos para a elaboração/seleção de tarefas matemáticas, com destaque para se considerar: campo conceitual; erros e conhecimentos implícitos manifestados pelos alunos; tarefas matemáticas que proporcionem reflexões, dúvidas e hesitações. Para exemplificar esta abordagem de elaboração/seleção de tarefas, bem como um breve relato de implementação em sala de aula, trazemos um exemplo relacionados a tarefas matemáticas relacionadas aos números irracionais, que foram elaboradas como instrumento de nossa pesquisa de doutoramento (REZENDE, 2013), e que tem sido implementadas em sala de aula por professores da Educação Básica e de Curso de Licenciatura em Matemática.

Palavras-chave: Didática da Matemática. Invariantes Operatórios. Sala de aula.

Abstract : We present in this text results of our experiences related to a cognitivist approach that we have contemplated in classrooms, supported in the Conceptual Fields theory. This theory gives us directions for the elaboration / selection of mathematical tasks, with emphasis to consider: conceptual field; errors and implicit knowledge expressed by students; mathematical tasks that provide reflections, doubts and hesitations. To exemplify this approach to task elaboration / selection, as well as a brief account of classroom implementation, we bring an example related to mathematical tasks related to irrational numbers, which were elaborated as an instrument of our doctoral research (REZENDE, 2013) , and that have been implemented in the classroom by teachers ofBasic Education and of Course of Degree in Mathematics.

Keywords: Didactics of Mathematics. Operative Invariants. Classroom.

Introdução Para este texto, temos como propósito apresentar parte dos resultados de nossas experiências e pesquisas, relacionadas ao Ensino de Matemática, e respaldadas na teoria dos Campos Conceituais. Trata-se de uma abordagem cognitivista, centrada principalmente em uma questão norteadora: quais tarefas matemáticas devemos selecionar para os nossos alunos, para que ocorra a aprendizagem de determinado conceito? Para responder a esta questão, nos respaldamos no pesquisador francês Gérard Vergnaud.

Gérard Vergnaud é o idealizador da teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1990). Em seus textos e palestras, Vergnaud ressalta que sua teoria não se trata de uma teoria didática, mas que interessa à didáticapor oferecer subsídios para a compreensão

do

desenvolvimento

cognitivo

dos

alunos

em

situações

de

aprendizagens.Para o referido pesquisador, a aprendizagem de um conceito matemático 119

ocorre ao longo do processo escolar, sendo aprimorado a cada situação vivenciada pelos estudantes. Além disso, o pesquisador defende a importância de se reconhecer os conhecimentos implícitos dos sujeitos, principalmente aqueles relacionados aos erros, para que se possa propor situações que os levem à reflexões, conflitos, desestabilização de seus erros.

Parte dos resultados que apresentados neste texto iniciou em nossa tese de doutoramento (REZENDE, 2013), que teve como objetivo principal “analisar conhecimentos mobilizados por alunos brasileiros e franceses relacionados os números irracionais”. Para a tese, foram entrevistados 42 estudantes, sendo 21 brasileiros de Ensino Fundamental, Médio e Licenciatura em Matemática, e 21 estudantes franceses de níveis de ensino correspondente. As entrevistas foram realizadas individualmente, filmadas edirecionadas por dez (10) tarefas matemáticas previamente elaboradas para os estudantes resolverem. As tarefas foram elaboradas com base na teoria dos campos conceituais, cujos critérios estão apresentados na próxima seção. As respostas dos estudantes também foram analisados à luz dessa teoria.

Após a pesquisa realizada, algumas adaptações foram realizadas às tarefas, que têm sido implementadas em sala de aula por professores de Ensino Fundamental, Ensino Médio, Cursos de Licenciatura em Matemática, formação continuada de professores A escolha de tarefas matemáticas para a sala de aula: perspectiva de Gérard Vergnaud Segundo Vergnaud (1990), a aprendizagem de um conceito não ocorre por meio de uma única situação, e, ao mesmo tempo, uma única situação envolve diferentes conceitos.Ou seja, um conceito não pode ser examinado, apreendido, isoladamente; são necessárias diversas situações para compreendê-lo. E, igualmente, uma única situação pode estar ligada a diversos outros conceitos. Nessa direção, o pesquisador introduz a ideia de Campo Conceitual, ao se referir que para o estudo de um conceito são necessários

diversos

outros

conceitos,

situações,

símbolos,

representações,

propriedades, teoremas interligados ao conceito.

Como exemplo de Campo Conceitual, citamos o dos números irracionais, que, de acordo com nossos estudos (REZENDE, 2013), deve contemplar diversos conceitos tais como: números decimais, números racionais, números reais, números inteiros, potências, raízes (quadradas, cúbicas etc.), funções polinomiais, teorema de 120

Pitágoras,figuras planas (áreas e perímetros de quadrados, retângulos, triângulos, círculo), sólidos geométricos (volumes de prismas, pirâmides, cone, cilindro etc.), medidas de segmentos, infinito, continuidade, entre outros, pois dificilmente conseguimos elencar todos os conceitos envolvidos num dado campo conceitual. Além dos conceitos, também fazem parte do campo conceitual as diferentes situações matemáticas que compreendam estes conceitos, bem como seus diferentes símbolos e representações. Considerando este rol de elementos, notamos a complexidade do estudo de um conceito, do ponto de vista dessa teoria. Por esse motivo, Vergnaud defende que um conceito está em constante aprimoramento, e que eles são compreendidos e aprimorados pelos sujeitos no decorrer da experiência escolar, e em função das diferentes situações que lhes são propostas.

Vergnaud (2003) atribui muita importância à reflexão nas aprendizagens matemáticas, e tenta compreender, nas ações dos sujeitos, as que estão relacionadas a conhecimentos implícitos, por ele denominados de invariantes operatórios, que podem ser incorretos, do ponto de vista do conhecimento escolar, ou verdadeiros. Segundo o pesquisador, não é apenas a resolução de um problema pelos sujeitos que interessa, mas sim o modo pelo qual eles resolveme, principalmente, os conhecimentos (invariantes operatórios) que os alunosmobilizam ao resolver um problema.

Segundo Vergnaud (2009),é difícil para uma criança explicar e justificar seus conhecimentos, utilizados na ação, em palavras. E, apesar de certa experiência em determinadas situações, muitos adultos também não conseguem explicitar verbalmente parte dos conhecimentos que utilizam na ação. É nesse segmento que o pesquisador se refere aos invariantes operatórios, relacionados aos conhecimentos implícitos dos sujeitos.

Estes conhecimentos surgem no momento da ação dos sujeitos, e podem ser explicitáveis ou não, conscientes ou não. Em qualquer dos casos, a atenção principal se refere aos seus erros, conhecimentos que os estudantes carregam para si, e que para os reconhecerem e os transformarem em verdadeiros saberes escolares precisam, do ponto de vista de Vergnaud, vivenciarem situações que proporcionem reflexões, hesitações, desequilíbriose, consequentemente, aprendizagens.Com este olhar, surge a necessidade de reconhecemos os principais erros manifestados nas resoluções denossos estudantes, relacionados a um conceito matemático, para que possamos propor boas tarefas em sala de aula na tentativa da desestabilização desses erros.

121

Nem sempre a escolha dessas tarefas é uma empreitada fácil para o professor, e consideramos que este é um dos grandes desafios enfrentados por nós, professores, em sala de aula. No entanto, pesquisas em Educação Matemática, tais como Rezende (2013), têm se debruçado acerca dessas questões, buscando apresentar os principais conhecimentos dos estudantes, com atenção principal aos seus erros na forma de conhecimentos implícitos (invariantes operatórios), e lançando tarefas possíveis de propiciar a desestabilização deerros.

Na sequência, apresentamos três tarefas matemáticas relacionadas aos números irracionais, seguidas de respostas de estudantes, sujeitos colaboradores de nossa pesquisa Rezende (2013). As duas primeiras tarefas fizeram parte do instrumento de pesquisa de nossa tese de doutoramento (REZENDE, 2013), para a qual foram entrevistados 42, estudantes, sendo 21 brasileiros de Ensino Fundamental, Médio e Licenciatura em Matemática, e 21 estudantes franceses de níveis de ensino correspondeste. As entrevistas foram norteadas pela resolução de dez (10) tarefas matemáticas pertencentes ao campo conceitual dos números irracionais, sendo que duas (02) destas tarefas estão apresentadas a seguir. A terceira tarefa disponibilizada na sequência deste texto foi elaborada no momento em que implementamos, pela primeira vez,as tarefas numa turma de 8º ano. Salientamos que as tarefas aqui apresentadas não seguem a mesma enumeração da sequência inicial do instrumento de pesquisa, por exemplo, as tarefas 1 e 2 a seguir se referem às tarefas de ordem 5 e 6 do instrumento de pesquisa.

Tarefa 1:Você acredita que existe ou nãoum quadrado de medida de área 13 cm 2 ? Em caso positivo, apresente a medida do lado do quadrado. Em caso negativo, justifique a sua resposta.

Em relação a esta tarefa, as respostas de 11 alunosdo 9º ano do Ensino Fundamental negaram a existência do quadrado de área 13 cm 2 , alegando que não existe um número que multiplicado por ele mesmo resulte em 13, conforme ilustra a fala de um dos estudantes: Não... porque não existe 13 na tábua de multiplicação... nós não podemos encontrar um número que vezes ele mesmo resulte em 13. Dentre os alunos entrevistados desse nível de ensino, apenas um aluno respondeu corretamente, dizendo que existe a medida do lado, sendo 13 cm .

122

No que diz respeito aos estudantes do 3º ano do Ensino Médio, dentre os 16 (dezesseis) entrevistados, apenas 2 (dois) alunos franceses responderam corretamente, dizendo que o quadrado de medida de área igual a 13 cm2 existe, e que a medida de seu lado é

13 cm . Assim, notamos que dentre os 30 (trinta) estudantes entrevistados da

Educação Básica – Ensino Fundamental eEnsino Médio, apenas três responderam corretamente e indicaram que a medida do lado é

13 cm .Desse modo, concluímos

concluir que esta situação possivelmente não havia sido vivenciada por estes estudantes, fato que os levou a negar a existência do quadrado, uma figura geométrica estudada desde os Anos Iniciais.

Conforme previsto em nossas análises a priori, a maioria dos estudantes entrevistados não reconheceram a existência de um quadrado de medida de lado irracional. Desse modo, elaboramos a tarefa 2 que teve como propósito levar os alunos a refletirem sobre os seus próprios erros,relacionados a não existência do quadrado de medida de área 13 cm2 .

Tarefa 2: Considere a figura a seguir. Podemos afirmar que a área do quadrado ABCD é

13 cm 2 ? Em caso positivo, calcule a medida do lado do quadrado. Em caso

negativo, justifique a sua resposta.

Ao elaboramos tarefa 2, tivemos a intenção de que, em sua resolução, os alunos primeiramente calculassem a área do quadrado ABCD. Assim, considerando l a medida da hipotenusa do triângulo retângulo, por meio do Teorema de Pitágoras, os alunos realizaram os cálculos: l 2 = 22 + 32 = 13 ⇒ l = 13 . Esse fato ospermitiu reflexões, hesitações, dúvidas, retomada das respostas atribuídas à tarefa 1, na qual eles haviam negado a medida do lado do quadrado de área 13 cm2 .

Dentre os 27 alunos da Educação Básica que responderam a esta tarefa, sete (07) concluíram pela existência do quadrado de medida de área 13 cm2 , argumentando, corretamente, que o lado do quadrado ABCD é 13 cm , sendo dois (02) estudantes do Ensino Fundamental e cinco (05) estudantes do Ensino Médio. Assim, entendemos que esta tarefa propiciou um avanço, mesmo que momentâneo, nos conhecimentos dos alunos, reflexões e aprendizagens, como pode ser observado no diálogo entre pesquisadora e uma estudante do 4º ano de Licenciatura em Matemática: Kar: Ai que chato!Não sei! (Silêncio).

Pesquisadora: No que você está pensando?

Kar: Que eu acabei de falar que não existe um quadrado com este lado.

123

Pesquisadora: Mas e agora, sua opinião mudou?

Kar: Não, então, eu tô pensando se... (Silêncio) Se eu pegar dois centímetros aqui e três aqui e ligar, então quer dizer que este aqui é raiz de treze. E se eu pegar esta medida e passar pra cá (aponta para os lados do quadrado ABCD) então vai existir. Mas não vai ser exatamente igual a raiz de treze... não sei.... Como este número é... tem infinitos dígitos, eu acho estranho ele ser uma medida. (Silêncio. A aluna respira fundo, e fala bem baixinho) Se o lado do quadrado é raiz de treze a área vai ser treze.

Kar: Não tem como eu discordar, porque a conta tá falando que é verdade.

Pesquisadora: O lado é

13 ?

Kar: Sim. E 13 × 13 , a área é 13.

Pesquisadora: Mas você concorda ou não com esta afirmação?

O aluno respira fundo, e diz: Kar: Pelas contas eu concordo, mas eu não sei.

Pesquisadora: Você está achando esta situação complicada?

Kar: Sim, está confuso... no exercício anterior... Concordo.

Pesquisadora: Concorda?

Kar: humhum (fazendo sinal de positivo com a cabeça)... Fazer o quê?

Nota-se que a aluna Kar vivenciou conflitos relacionados ao resultado de seu cálculo por meio do teorema em Pitágoras cujo resultado é

13 , que ela entende que

não pode ser negado, e a possibilidade de se considerar um número irracional, com infinitas casas decimais, como medida de um segmento.

Percebemos que os invariantes operatórios de Kar – futura professora de Matemática - não estavam acomodados para afirmar sobre a existência de um quadrado 2 de área 13 cm ,e que esta atividade propiciou momentos de reflexões, hesitações,

desequilíbrios e, portanto, de aprendizagens.Notamos que seus conhecimentos prévios eram tão resistentes, que mesmo após dizer que concorda com a existência do quadrado, afinal ela sabe que não pode contrariar seus cálculos, Kar não se apresenta convencida com a situação, como ela mesma diz: Fazer o quê?

Após a realização de nossa pesquisa, as dez (10) tarefas utilizadas no instrumento de pesquisa têm sido implementadas por professores da Educação Básica e do Ensino Superior (Cursos de Licenciatura em Matemática). Obviamente, por se tratar de objetivos distintos – pesquisa e sala de aula - algumas adaptações nos enunciados foram realizadas em algumas tarefas antes de serem implementadas. Além disso, uma tarefa foi acrescentada no momento da implementação para uma turma de estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental. A justificativa pela proposição desta tarefa (Tarefa 3) decorre das respostas, erros e dificuldades manifestados pelos estudantes na Tarefa 2 em considerar o número raiz de três em sua representação na forma de radical.

Tarefa 3: Considere um quadrado de área A = 13 cm2 . Utilize a tecla da calculadora e apresente um valor aproximado para o lado l deste quadrado, e para a sua área: 124

a) Considere uma casa decimal: medida do lado l = _____. Área do quadrado l × l = _____. b) Considere duas casas decimais: medida do lado l = ____. Área do quadrado l × l = ___. c) Considere três casas decimais: medida do lado l = ____. Área do quadrado l × l = ____. d) Considere quatro casas decimais: medida do lado l = __. Área do quadrado l × l = ___. e) Considere todos os dígitos que aparecem no visor da calculadora: medida do lado l = ___. Área do quadrado l × l = ______. f) A cada casa decimal acrescentada para a medida do lado, a área do quadrado se aproxima de qual valor? g) Agora, sem utilizar a calculadora, calcule 13 × 13 = __________________________. h) Considerando sua resposta nos itens anteriores, qual deve ser a medida do lado do quadrado de área A = 13 cm2 ? Justifique a sua resposta. i) Na sua opinião, por que a calculadora não oferece o valor exato para o lado do quadrado de área A = 13 cm 2 ?

Ao implementar a tarefa 3 em sala de aula, percebemos que ela proporciona aos estudantes reflexões acerca das tarefas anteriores, no que diz respeito à negação da medida do lado do quadrado, e a importância de se reconhecer, em determinadas situações, o número na forma de radical, e não apenas a sua representação decimal.

Assim, considerando as tarefas sobre números irracionais propostas em nossa tese de doutoramento, elaboradas baseadas na perspectiva de Vergnaud, que visam propiciar aos estudantes momentos de hesitações e reflexões acerca de seus próprios erros; as tarefas (no total são 10 tarefas, que podem ser implementadas de modo independente uma da outra) sobre os números irracionais têm sido implementadas em sala de aula de Ensino Fundamental, Médio, Superior (Licenciatura em Matemática), cursos de formação de professores.

Para a implementação das tarefas, temos sugerido aos professores seguirem os pressupostos de Brousseau (1996), de modo que organizem os alunos em duplas, ou em pequenos grupos, para que eles resolvam cada uma das tarefas reflitam, hesitem e criem suas próprias estratégias de resolução (situação de ação). Na sequência, é importante que os alunos troquem informações com os colegas, explicitem suas estratégias em linguagem oral e/ou escrita (situação de formulação); testem seus modelos de resoluções, debatam e validem seus modelos com os colegas (situação de validação).

Nestas três fases de implementação é importante que o professor seja o mediador da situação em sala de aula, e que ele devolva as perguntas dos alunos com outros questionamentos, de modo a levá-los a refletir sobre suas estratégias e possíveis erros, e 125

não disponibilize a resposta aos estudantes. Neste momento de aprendizagem, é importante que o professor evite encaminhamentos que conduzam os alunos a encontrarem respostas imediatas. Após as três fases de implementação, sugerimos que o professor

assuma

a

quarta

fase

proposta

por

Brousseau,

a

dialética

deinstitucionalização. Este é o momento do professor explicitar o conteúdo abordado, no caso os números irracionais, e resolver cada uma das tarefas na lousa considerando a participação dos alunos, formalizando o conteúdo.

Em relação às tarefas sobre os números irracionais, percebemos que no momento em que o professor realiza a institucionalização do conteúdo, os alunos mostram-se interessados pela validação de suas resoluções, ficando atentos à explicação do professor que deverá validar ou não suas respostas. Uma das professoras que implementou estas tarefas em turmas de 8º e 9º anos nos relatou: [...] os alunos se envolveram mais nestas atividades do que com as atividades do livro didático. O fato deles trabalharem em equipe também foi importante. [...] Eles se envolveram muito, chamavam o tempo todo querendo tirar dúvidas, principalmente nas questões que envolvem o teorema de Pitágoras, nossa, eles ficavam quase doidos, eles queriam saber porque não batiam os valores obtidos pelos colegas do grupo. [...] Eu gostei (Prof.2)) Em uma das turmas de 8º ano em que pudemos acompanhar a implementação das tarefas, assistimos a uma ampla participação dos estudantes tanto no momento de suas resoluções em grupos, sinalizando que as tarefas os instigavam e os deixaram inquietos. Os alunos questionavam as professoras a todo momento, pois tinham a necessidade de as professoras afirmarem se as suas respostas estavam corretas ou não.

Nomomento da institucionalização, percebemos a participação em massa dos estudantes. Esse fato também é assegurado pela fala de outra professora, que implementou estas tarefas numa turma de 1º ano do Ensino Médio: Durante a correção eles se interessavam pelos resultados, pois, durante a resolução, nós não falávamos se as resoluções deles estavam ou não corretas. Então, eles queriam saber dos resultados no momento da correção.[...] eu percebi que é na correção (dialética da institucionalização) que você fecha mesmo as ideias(Prof.1).

Verificamos na fala destas professoras que estas tarefas, respaldadas na teoria dos Campos Conceituais, proporcionam aos alunos hesitações, reflexões, o reconhecimento de seus próprios erros, e portanto aprendizagens. Reconhecemos que não é fácil selecionar/escolher tarefas que atendam as perspectivas abordadas neste texto, e entendemos que este é mais um desafio da profissão professor. Mas, por meio 126

de exemplos, procuramos mostrar as possibilidades dessa abordagem para as aprendizagens dos alunos, decorrente de diversos estudos e aproximações entre pesquisa e prática docente.

REFERÊNCIAS BROUSSEAU, Guy. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: Didática das Matemáticas. Org. Brun, Jean. Instituto Piaget, Lisboa, 1996.

REZENDE, V. Conhecimentos sobre números irracionais mobilizados por alunos brasileiros e franceses: um estudo com alunos concluintes de três níveis de ensino.(Tese de doutorado). Universidade Estadual de Maringá, Maringá, 2013.

VERGNAUD, Gérard. O que é aprender? In. A aprendizagem Matemática na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais.Org. BITTAR, Marilena, MUNIZ, Cristiano Alberto. Editora CRV, Curitiba, 2009.

VERGNAUD, Gérard.La théorie des champs conceptuels. Recherche en Didactique des Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage, vol. 10, n. 2.3, pp. 133 a 170, 1990.

127

Estruturas de controle mobilizadas em uma situação de isomorfismo de medidas: um estudo nos anos iniciais do Ensino Fundamental Marlí Schmitt Zanella, Lilian Akemi Kato Universidade Estadual de Maringá, marlischmitt@gmail.com, lilianakemikato@gmail.com Resumo: Este trabalho objetivou investigar estruturas de controle mobilizadas pelos alunos em uma situação multiplicativa de isomorfismo de medidas. A abordagem metodológica da pesquisa foi de natureza qualitativa com caráter descritivo e interpretativo. Os dados recolhidos e descritos neste trabalho referem-se ao desenvolvimento da tarefa de Modelagem Matemática intitulada “Congestionamento em Hessen” com quatro alunos alemães da quarta série do Ensino Primário na Alemanha, a qual tinha por objetivo identificar, a partir de um congestionamento de carros de três quilômetros de extensão, a quantidade de pessoas que estariam paradas em seus veículos nesse congestionamento. Embasamo-nos na Teoria dos Campos Conceituais para analisar e interpretar os dados recolhidos. Como resultado, destacamos que a estrutura de controle explicitou os critérios utilizados pelos alunos para modificar a resolução da situação multiplicativa, além de decidir sobre a validade da ação e da resolução, o que está diretamente relacionada à compreensão da situação problema.

Palavras-chave: Situação multiplicativa. Isomorfismo de medidas. Estrutura de controle.Anosiniciais do Ensino Fundamental.

Abstract:This assignment’s goal was to investigate structures control mobilized by students in a multiplicative situation of isomorphism measurements. The methodological approach of the research was qualitative in nature with a descriptive and interpretative view. The data collected and described in this assignment refer to the development of the Mathematical Modeling task entitled "Congestion in Hessen" with four German students of the fourth grade of Elementary School in Germany, which had the goal to identify, from a congestion of three kilometers of cars in length, the amount of people who would be in their vehicles in that congestion. We are based on Conceptual Field Theory to analyze and interpret the collected data. As a result, we emphasize that the control structure explained the criteria used by the students to modify the resolution of the multiplicative situation, as well as to decide on the validity of the action and the resolution, which is directly related to the understanding of the entire situation.

1. Introdução Neste trabalho apresentamos o desenvolvimento de uma situação multiplicativa de isomorfismo de medidas realizada com alunos da quarta serie da escola primária da Alemanha, correspondente ao quinto ano do Ensino Fundamental no Brasil. Os dados, descritos e analisados, representam um recorte da pesquisa de doutorado (ZANELLA, 2016), em que optamos em apresentar apenas a discussão de um dos grupos colaboradores,constituído de quatro alunos. A Teoria dos Campos Conceituais forneceu-nos subsídios teóricos para analisar o desenvolvimento, pelos alunos, da situação proposta, que teve por objetivo identificar a mobilização de estruturas de controle associados a invariantes operatórios presentes na estrutura multiplicativa.

128

De acordo com Vergnaud (2013) expressamos nossos conhecimentos pelo o que dizemos sobre eles (forma predicativa) e também pelo o que fazemos em situação (forma operatória). A forma operatória do conhecimento permite agir na situação e possibilita, na maioria das vezes, a identificação de elementos cognitivos que os alunos mobilizam sobre a situação, pois descrevem propriedades e relacionam objetos de pensamento do aluno. Nesta perspectiva, a forma operatória se diferencia da forma predicativa em função da competência que o aluno pode manifestar em situação (durante a ação) e sobre o que ele pode dizer ou explicar sobre a situação. É neste sentido, apresentamos uma discussão sobre estruturas de controlemobilizadas pelos alunos em uma situação multiplicativa de isomorfismo de medidas e as formas como essa estrutura auxilia a conceitualização, por parte dos alunos.

2. A teoria dos campos conceituais para análise das produções dos alunos As considerações apresentadas por Vergnaud (2013) nos direciona para olhar as produções matemáticas dos alunos com vistas a compreender o processo de conceitualização. Nesta perspectiva, nosso olhar está voltado para a análise do desenvolvimento das situações e não apenas para o seu resultado. Isso significa que analisar o desempenho do estudante, isoladamente, não é suficiente para avaliar e analisar sua compreensão acerca da situação problema e, consequentemente, da apreensão do conceito. Assim, inferimos que a conceitualização é um processo que não se encerra na análise de uma única situação problema, mas de um conjunto de situações que evocam diversificados conceitos. Neste sentido, apresentamos aqui apenas um recorte de uma situação multiplicativa, componente uma sequência de tarefas de isomorfismo de medidas.

Os conhecimentos prévios dos alunos aparecem durante a resolução de uma situação e têm relação com os conhecimentos implícitos sobre determinado conceito ou objeto matemático, pois significa que podem resolver um problema proposto, sem, entretanto, saber explicar como se obteve tal resultado. O objeto investigado nas produções de um grupo de alunos refere-se à mobilização de estruturas de controle que orientaram quais ações eram pertinentes à resolução de uma situação multiplicativa de isomorfismo de medidas.

De acordo com Bittar eChaachoua (2010, p.5) um invariante pode funcionar como um operador ou como um controle. Para os autores o operador representa a forma como o aluno realizou a ação, enquanto que o controle permite que o aluno avalie a 129

pertinência ou não de uma afirmação ou resultado obtido. Além disso, “em um determinado momento um teorema em ação pode funcionar como operador e em outro como controle”. Desta forma, quando se identifica um teorema em ação falso, o pesquisador propõe outras situações aos alunos para desestabilizá-los. Isso implica identificar a mobilização ou não de estruturas de controle, pois elas permitem aos alunos mudar ou seguir a resolução desenvolvida para uma determinada situação.

3. Desenvolvimento e análise de um episódio envolvendo isomorfismo de medidas Na perspectiva teórica de Blum (2006), uma tarefa de Modelagem Matemática contempla a resolução de problemas advindos do mundo real com o auxílio de modelos matemáticos. Esses problemas possuem uma situação inicial (problemática) como ponto de partida, em que são utilizados procedimentos e diversificadas estratégias de ação para desenvolver um modelo real, a partir de dados reais e simplificações para que, por meio do processo de matematização, se possa desenvolver um modelo matemático. Para que isso ocorra, o aluno deve realizar uma investigação para, na sequência, utilizar conceitos matemáticos e trabalhar matematicamente para desenvolver resultados matemáticos.

Neste trabalho, descrevemos uma tarefa de Modelagem Matemática envolvendo uma situação multiplicativa de isomorfismo de medidas. Esse tipo de situação é representado por uma relação quaternária entre quatro quantidades, sendo, duas a duas medidas diferentes, e uma dessas quantidades corresponde ao valor unitário.Vergnaud (2009) destaca que há três tipos de problemas que envolvem conceitos de multiplicação e divisão em diferentes níveis de complexidade, a saber:Multiplicação, em que conhecemos o valor unitário e outras duas quantidades, em dois tipos de medidas;Divisão, em que se busca o valor unitário (Divisão Partitiva);Divisão, em que se busca a quantidade de unidades (Divisão Quotitiva).

Em especial, a situação que apresentamos neste trabalho contemplou uma divisão, em que se busca a quantidade de unidades, que foi organizada a partir de informações de jornais locais, que retratavam a frequência de congestionamentos em determinados pontos da cidade de Kassel, Alemanha, local em que a pesquisa foi realizada. Informações referentesà frequência destes congestionamentos e imagens foram disponibilizadas para que os alunos negociassem as estratégias que adotariam e quais dados relevantes deveriam considerar para resolver a situação. Destacamos que 130

esta tarefa foi adaptada de Peter-Koop (2003), que teve por objetivo identificar, a partir de um congestionamento de carros de três quilômetros de extensão, a quantidade de pessoas que estariam paradas em seus veículos nesse congestionamento. A Figura 01 ilustra a imagem do congestionamento na Rodovia A7 na Alemanha, entre as cidades de Kassel e Fulda, publicada no jornal local7.

Figura 01: Congestionamento na Rodovia A7 – Alemanha.

Dos seis grupos que realizaram esta tarefa descreveremos aqui o desenvolvimento realizado por um dos grupos, em que os alunos iniciarama discussão a partir da negociação dos dados necessários para resolver a situação, nos quais foram considerados: três pessoas em cada carro, pois de acordo com as justificativas dos alunos poderiam ter carros com apenas uma e até cinco pessoas; três filas de carros, negociado a partir da imagem do congestionamento (Figura 01); e a extensão de três quilômetros de congestionamento, dado fornecido na situação.

No Quadro 01 apresentamos a primeira ação do grupo para resolver a situação proposta, que consistiu em multiplicar o comprimento do congestionamento (uma fila de 3000 metros) por 350 metros (no cálculo apresentado, o grupo considerou o número 350 como sendo a medida, em centímetros, do carro e não o número decimal 3,50). O resultado da multiplicação foi 1 050 000. Na sequência, multiplicaram este valor por 3(referente à quantidade de pessoas) e, novamente, multiplicaram por 3 (referente a 3 filas de carros), obtendo 9 450 000 pessoas.

Quadro 01: Primeira ação da resolução.

Comprimento do congestionamento (em metros)

Comprimento do carro (em centímetros)

Número de filas Nº pessoas/carro Fonte: Zanella (2016).

7

http://www.hr-online.de/website/rubriken/nachrichten/stau_info2336.jsp?rubrik=2336

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Destacamos que a resolução desenvolvida pelos alunos não faz sentido, visto que não há sentido lógico em multiplicar o comprimento de um carro pelo comprimento do congestionamento. Este fato é observado também na fala dos alunos, durante a discussão da resolução, pois informaram que a resolução da situação seria dada pela operação de multiplicação. No entanto, os alunos destacaram que obtiveram um número expressivo, 9 milhões e 450 mil pessoas, e que esse resultado estava incorreto, pois era impossível ter essa quantia de pessoas em uma fila de carros de 3 quilômetros. Desta forma, esse grupo decidiu elaborar outra resolução.

Nesta ação há indicativos da mobilização de estruturas de controle pelos alunos, pois o grupo modificou suas ações na resolução da tarefa em função da estrutura de controle que lhe permitia validar o resultado encontrado, ou seja, com base na coerência em termos da situação proposta (BITTAR, CHAACHOUA, 2010).

O grupo desconsiderou esta primeiraresolução, pois de acordo com o estudante A3: “9 450 000 pessoas é um número muito alto. Isto está errado!”.Esta fala direcionou o grupo a realizar a segunda ação, que foi multiplicar o comprimento de um carro (350) e a quantidade de pessoas (3) em cada carro, obtendo o número 1050. Novamente os estudantes do grupo não consideram o número decimal 3,50 como o comprimento, em metros, de cada carro.

Na sequência, o grupo multiplicou o valor 1050 por 3 (referente à quantidade de filas de carros), obtendo o número 3150, que para os estudantes representou o número total de pessoas no congestionamento. No Quadro 02 apresentamos a segunda ação do grupo para resolver a situação proposta.

Quadro 02: Segunda ação da resolução.

Comprimento do carro

Pessoas/carro

3 filas de congestionamento

Pessoas/carro Fonte: Zanella (2016).

No excerto do diálogo a seguir é possível identificar como o grupo pensou: Pesquisador: O que significa 350? É o número de carros?

A3: Não. É o comprimento do carro!

Pesquisador: Mas quando você multiplica o comprimento do carro pelo número de pessoas, o que você obtém?

A1: Hum. É assim: o que nós encontramos? 1050 o quê?

Pesquisador: Isso. O que significa esse número 1050? Representa número de carros?

Pessoas?

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A3: Não sei. Mas depois disso, nós multiplicamos por 3 filas, e o resultado deu 3150 pessoas. É um número bom.

A1: Mas nós usamos 350 como o comprimento do carro. Isso não está correto.

A2: A gente deveria encontrar a quantidade de carros.

A3: Mas veja: nós encontrarmos 3150 pessoas. É um bom número.

O grupo cometeu equívocos conceituais ao operar com elementos de grandeza diferentes e ao multiplicar o número de pessoas pelo comprimento do carro. No entanto, reconhecemos a mobilização de estruturas de controle neste caso, poiseles percebem que o numeral 3150 é uma resposta razoável para o problema, mesmo que obtido por processos equivocados. Ou seja, eles conseguem ter uma ideia de quais valores são pertinentes com o problema.

A explicação dada pelos alunos sugere a ausência de um invariante que funcione como uma estrutura de controle, uma vez que o aluno A3 parece não ter compreendido a situação proposta. A nosso ver, o aluno não refletiu se o procedimento e o resultado encontrado fizeram sentido ou não em termos do que estava sendo proposto. Tal conduta nos chamou atenção para a importância da mobilização de uma estrutura de controle, pois para o aluno, 3150 pessoas é uma quantidade razoável de pessoas paradas num congestionamento de 3 quilômetros. Assim, a estrutura de controle que o grupo mobilizou na resolução desta situação está relacionada com o valor encontrado, e não com os procedimentos adotados para resolvê-lo. Vergnaud (2009) destaca que muitas vezes as dificuldades dos alunos estão associadas à escolha da operação adequada para resolver o problema, à obtenção das informações e, sobretudo, o numeral envolvido como, por exemplo, números na casa de milhares. No entanto, os alunos reorganizaram ações para resolver a situação proposta, embora sem êxito, em virtude do resultado obtido na casa de milhões, para referir-se a quantidade de pessoas paradas no congestionamento.

Os cálculos relacionais apresentados pelo grupo não são coerentes com a situação proposta, pois não há relações matemáticas que justifiquem tal ação. Durante o processo de validação o grupo entendeu que cometeu equívoco e ao término apresentou uma nova matematização de forma verbal.

4. Considerações A discussão sobre a mobilização de estruturas de controle pelos alunos é uma importante ferramenta para identificar invariantes operatórios falsos presentes na estrutura cognitiva dos alunos, processo este que permite ao professor propor variadas 133

situações para desestabilizar tais invariantes falsos. Destacamos que neste trabalho, apresentamos apenas um recorte de uma situação multiplicativa, mas que elucida estruturas de controle mobilizadas pelos alunos relacionadas aos resultados obtidos na resolução de uma situação. Inferimos também que a estrutura de controle explicita critérios utilizados pelos alunos para modificar ou não a resolução desenvolvida, além de permitir que tomem uma decisão sobre a validade da ação e da resolução, o que está diretamente relacionada à compreensão da situação proposta.

5. Referências BITTAR, M.; CHAACHOUA, H. (2010). Estudo de concepção com o auxílio de um micromundo de álgebra.Disponível em: <http://tecmatufpr.pbworks.com/f/GT6_T03.pdf>. Acesso: 01 jun. 2017.

BLUM, W. (2006).ModellierungsaufgabenimMathematikunterricht: HerausforderungfürSchüler und Lehrer. In: RealitätsnaherMathematikunterricht – vomFachaus und für die Praxis (Hrsg: BÜCHTER, A. et al.). Franzbecker, Hildesheim, p. 8-23.

PETER-KOOP, A. (2003). “Wieviele Autos stehen in einem 3-km-Stau?”

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VERGNAUD, G. (2009).A Criança, a Matemática e a Realidade: Problemas do Ensino da Matemática na Escolar Elementar. Tradução de Maria Lucia Faria Moro; Revisão técnica Maria Tereza Carneiro Soares. Curitiba: Editora da UFPR. VERGNAUD, G. (2013). Pourquoilathéoriedeschampsconceptuels? In.:Infancia y Aprendizaje, 36 (2), p. 131-145.

ZANELLA, M. S. (2016).Tarefas de modelagem matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: um estudo com alunos alemães e brasileiros.2016. 273 folhas.

Tese (Doutorado em Educação para a Ciência e a Matemática) – Universidade Estadual de Maringá, Maringá.

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O USO DA REGRA DE TRÊS E A COMPREENSÃO DAS RELAÇÕES EM PROBLEMAS DE PROPORÇÃO MULTIPLA SintriaLabres Lautert1, Analúcia Dias Schliemann2, Anna Bárbara Barros Leite3 1

Universidade Federal de Pernambuco/Departamento de Psicologia, sintrialautert@gmail.com 2 TuftsUniversity – USA /Departamento de Educação/ aschliemann@me.com n Universidade Federal de Pernambuco/Estudante Doutorado Programa de Pos-graduação em Psicologia Cognitiva, anna.barbara.leite@hotmail.com

RESUMO: Investigamos como 16 estudantes do Ensino Médio, que resolvem problemas de proporcionalidade múltipla utilizando o algoritmo da regra de três representam por escrito as relações entre as quantidades no problema e explicam suas estratégias de resolução.

Apresentamos uma análise quantitativa dos dados e dois exemplos que ilustram as respostas escritas dos alunos e como suas explicações levam em consideração as relações escalares e funcionais entre as quantidades descritas no problema.

Palavras-chave: proporcionalidade múltipla; regra de três; relações escalares e funcionais

Introdução e Objetivos Vergnaud(1983, 1988) analisa o campo conceitual das estruturas multiplicativas e descreve o uso de estratégias escalares e funcionais para resolver problemas de proporcionalidade. Suas análises deram origem a vários estudos sobre como diversos grupos resolvem problemas de proporção simples, favorecendo o uso de uma ou de outra

estratégia

(ver,

por

exemplo,

Nunes,

Schliemann&Carraher,

1993;

Schliemann&Carraher, 1992; Ricco, 1982; Schliemann&Nunes, 1990). Por outro lado, nas escolas, o algoritmo da regra de três para resolver problemas de proporcionalidade, um tópico central do currículo escolar, é frequentemente ensinado como uma série de passos para determinar a quarta proporcional, nem sempre considerando as relações escalares e funcionais entre as quantidades descritas no problema. Surpreendentemente, este algoritmo raramente é usado, mesmo por crianças e adolescentes instruídos sobre proporcionalidade no contexto escolar (Levain, 1992; Schliemann&Carraher, 1992; Vergnaud, 1983).

Tomando como exemplo o problema seguinte, descrevemos como este pode ser resolvido pelas estratégias escalar ou funcional e pela regra de três: “Três cadernos custam nove reais. Quanto irei pagar por 12 cadernos?”

A estratégia escalar considera a relação entre quantidades do mesmo tipo, efetuando-se adições sucessivas de 3cadernos até chegar a 12 cadernos (3+3+3+3=12), 135

com a concomitante adição sucessiva de 9 reais (9+9+9+9=36), o que leva à resposta ao problema: 12 cadernos vão custar 36 reais. Esta estratégia também pode ser utilizada determinando-se que 4 é o fator que, multiplicado por 3 cadernos, leva a 12 cadernos; multiplicando-se 9 reais pelo mesmo fator 4 obtém-se como resultado 36 reais.

Já a estratégia funcional estabelece a relação entre as duas variáveis, número de cadernos e preço em reais, uma razão de um para três, sendo 3 o preço de um caderno; multiplicando-se o número de cadernos (12) por 3, obtêm-se como resultado 36 reais.

Com o algoritmo da regra de três, estabelece-se a igualdade entre duas razões na forma de uma equação como 3/12 = 9/x e, aplicando os passos para a resolução de equações, determina-se que x = 9 x 12/3, x = 108/3 e, finalmente, x=36).

Levain e Vergnaud (1994-1995) propõem que o foco nas relações escalares e funcionais em problemas de proporcionalidade pode constituir um caminho para a apropriação e compreensão das representações e procedimentos mais avançados. Portanto, torna-se pertinente esclarecer como os estudantes relacionam os procedimentos e representações formais às relações entre quantidades em um problema.

No caso dos problemas de proporcionalidade múltipla e dupla, como nos caso da proporcionalidade simples, vários estudos (ver Vergnaud, 1983, 1988; Levain, 1992; Levain&Vergnaud,

1994-1995;

Gitirana,

Campos,Magina&Spinillo,

2014,Leite,

Lautert&Schliemann, submetido) constataram o raro uso da regra de três por estudantes.

Nesse estudo, analisamos como estudantes do Ensino Médio que, em estudo anterior usaram o algoritmo da regra de três para encontrar a quarta proporcional, consideram ou não as relações escalares e funcionais entre as quantidades presentes no enunciado do problema. Nossa análise descreve (i) como os estudantes representam, por escrito, as relações entre as quantidades no problema, considerando as relações escalares e funcionais entre as variáveis, (ii) se os estudantes apresentam ou não uma compreensão das relações escalares e funcionais e, (iii) como eles explicam suas estratégias de resolução.

Método Analisamos, aqui, as respostas de 16 estudantes de ambos os sexos, cursando os três anos do Ensino Médio, os quais, em um estudo anterior com 82 estudantes, foram os únicos que tentaram utilizar a regra de três para resolver o seguinte problema de proporção múltipla: 136

Marina está preparando um bolo de chocolate. Na receita está escrito que para cada copo de leite é preciso usar 2 ovos. Para cada ovo, utilizam-se utilizam 3 xícaras de trigo.Quantas xícaras de trigo Marina precisará para fazer o mesmo bolo com 3 copos deleite?

Os estudantes faziam parte de uma escola pública da cidade de Recife que atende a uma população de classe média e média alta e é considerada como uma escola de referência no estado de Pernambuco. Os livros textos adotados na escola enfatizam as relações entre quantidades em problemas de proporcionalidade. No entanto, a regra de três é introduzida como uma sequencia de etapas etapas de computação para encontrar os valores desconhecidos.

Figura 1. Esquema de representaçãopara as relaçõesfuncionais emproblemas de proporçãomúltipla, adaptado de Vergnaud (1988).

Em uma aplicação coletiva durante o horário da aula de matemática, cada estudante resolveu, individualmente e por escrito, o problema acima e outros três problemas. De seis a 15 dias mais tarde, em entrevistas individuais, os estudantes explicaram como haviam solucionado o problema.

Resultados

O material escrito e as respostas às entrevistas foram analisados por três juízes de forma independente, sendo os casos discordantes recodificados após discussão e consenso entre eles.

Classificamos as repostas escritas dos estudantes em termos de (i) uso de d tabela de dados que relacionam as informações presentes no enunciado do problema; (ii) listagem de pares de dados; (iii) organização dos dados conforme prescrito pelo algoritmo da regra de três, incluindo o valor desconhecido x e (iv) os cálculos realizados realiza para chegarse à solução.

Nenhum estudante tentou utilizar o algoritmo da regra de três composta. Em lugar disto, todos escolheram decompor o problema em duas partes, trabalhando com apenas uma ou duas regras de três. Embora todos os 16 estudantes neste neste estudo tenham 137

representado o problema como uma ou duas regras de três, o trabalho escrito de nove deles sugere que eles estavam utilizando cálculos mentais para encontrar a solução para o problema e não efetuando os passos de computação próprios do algoritmo.

Dez estudantes utilizaram setas ou linhas que indicam a relação funcional entre as variáveis, um indicou relações escalares para cada variável e cinco indicaram ambas as relações. Doze estudantes organizaram todos os dados em uma tabela, três organizam os dados em pares para cada etapa de resolução e um estudante usou ambas as formas de representação escrita. Oito estudantes incluíram, por escrito, o arranjo da regra de três para a primeira parte do problema e oito o fizeram apenas para a segunda parte.

Apenas cinco estudantes representaram a regra de três como a igualdade entre duas razões, ou seja, 1/3 = 2 / x ou 1/3 = 6 / x. Apenas um estudante cometeu um erro ao escrever a informação relevante como uma regra de três.

As explicações dos estudantes durante as entrevistas foram classificadas pelos mesmos três juízes em termos da presença ou ausência da referência à estratégia da regra de três e às relações escalares ou funcionais entre as quantidades presentes no enunciado do problema. Constatou-se que dez estudantes mencionaram a regra de três em suas explicações e, em oito dessas explicações também descreveram as relações escalares ou funcionais entre as quantidades presentes no problema, com apenas dois estudantes limitando-se a dizer que utilizaram a regra de três. Entre os 14 estudantes que descreveram as relações entre as quantidades no problema, cinco apontaram para as relações escalares e funcionais, seis descreveram apenas relações funcionais e três apresentaram resultados de multiplicação sem identificar o referente para os números.

A análise das soluções e explicações de dois estudantes apresentada a seguir visa esclarecer como a compreensão sobre as relações entre as quantidades em problemas de proporcionalidade se relacionam com o uso da regra de três.

Exemplos de soluções escritas e explicações A Figura 2 ilustra a solução e explicação de estudante do sexo masculino, do 1o ano do Ensino Médio. Este estudante organizou os dados do problema em pares, considerando as razões entre duas variáveis, indicando assim as relações funcionais. A primeira razão refere-se ao número de copos de leite para o número de ovos e a segunda ao número de ovos para o número de copos de farinha. As informações aparecem como igualdade entre duas razões e com o arranjo convencional para duas regras de três, a primeira para descobrir o número de ovos para fazer um bolo com três copos de leite e a 138

segunda, usando o resultado da primeira (6 ovos), para determinar o número de xícaras de trigo para 6 ovos. Em ambos os casos, o resultado correto é mostrado sem indicação dos passos computacionais e o resultado final descrito como “Mariana precisará de 18 xícaras de trigo”.

Na entrevista, o estudante afirma que este é um problema de proporcionalidade, mas não se refere à regra de três. Ele repete as informações do enunciado do problema e prossegue expressando a relação funcional que encontrou: “com um copo de leite, fazendo as contas eu, utilizo seis xícaras de trigo”. trigo”. Ele em seguida afirma que “se um copo, eu utilizo seis xícaras de trigo (relação funcional), em três copos eu utilizo seis vezes três, que dá dezoito,” multiplicando o número de xícaras de trigo pelo fator escalar três, para determinar o número de xícaras de trigo para três copos de leite. leite

Figura 2: Solução escrita de estudante do sexo masculino, no 1o ano Ensino Médio

A Figura 3 mostra a solução escrita por uma estudante do 1o ano do Ensino Médio.

Figura 3:Solução escrita de estudante do sexo feminino, no 1o ano do Ensino Médio

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Ela lista os pares de dados das quantidades diferentes e as soluções para o primeiro e o segundo passos, ligando os pares por uma seta, indicando relações funcionais e a solução correta para o problema, 18 xícaras de farinha trigo. No entanto a representação da regra de três erroneamente indica que um copo de leite (1c) corresponderia a 6 ovos (6o), e que 3 copos de leite corresponderiam a x, o que, neste caso seria o número de ovos e não o número de copos de farinha a ser determinado.

Apesar deste erro, a computação efetuada leva ao resultado 18 que ela interpreta como 18 copos de farinha de trigo.

Na entrevista, a estudante estava insegura e, depois de ler a sequência de pares que havia escrito afirmou “calma deixa eu ver, um copo de leite, nos precisamos de seis ovos, então três copos de leite nos precisamos de x ovos”, mais uma vez buscando, erroneamente, determinar o numero de ovos e prossegue: “Então, nós multiplicamos, fazemos uma regra de três. Então, x é igual a seis vezes três, que é dezoito.” Ela menciona a regra de três e explica sua solução, referindo-se a relações funcionais e escalares, aplicando o fator escalar três a seis copos de leite. Neste caso, apesar de incluir referentes para os números no problema e expressar relações funcionais, a estudante não considerou corretamente as relações descritas no problema.

Discussão e conclusões

O objetivo desse trabalho foi analisar como estudantes que usam a regra de três para resolver problemas de proporcionalidade representam por escrito as relações entre as quantidades presentes no enunciado e como consideram e compreendem as relações escalares e funcionais entre as variáveis.

O trabalho escrito da maioria dos estudantes sugere que a representação da regra de três é criada após considerações sobre as relações escalares e ou funcionais entre as quantidades do problema. Os dados são mostrados como tabelas de dados, semelhante às tabelas discutidas por Vergnaud (1988), ou como pares de valores com setas para indicar as relações funcionais e/ou escalares entre dois elementos em um par. Os estudantes explicam suas soluções em termos de relações e a maioria de seus registros inclui números e referentes. Poucos são os estudantes que usam letras para representar os valores desconhecidos ou que representaram a regra de três como uma igualdade entre duas razões. Talvez porque os números presentes no enunciado eram pequenos e

140

os cáculos podiam ser realizados mentalmente, apenas alguns estudantes apresentaram os passos computacionais para determinar a solução para o problema.

Nossos resultados sugerem que a compreensão das relações entre quantidades em problemas de proporcionalidade multipla, pode constituir uma base para o entendimento de conceitos e representações matemáticas. Como sugere Vergnaud (1994), o ensino de matemática precisa considerar os aspectos conceituais dos esquemas mobilizados pelos estudantes que os auxiliam a identificar os invariantes operatórios e a reconhecê-los como objetos matemáticos. Embora o raciocínio sobre relações envolvendo números puros seja importante do ponto de vista matemático, o uso números acompanhados de referentes permite aos estudantes seguir com mais facilidade as etapas do processo.

Como constatado anteriormente por Nunes (1997) estudantes preferem trabalhar com números acompanhados de seus referentes na soluçao de problemas verbais. Assim, pode ser mais útil para os estudantes associar pares de quantidades físicas ou de números com seus referentes, em vez de pares de números puros, como geralmente aparecem na representação da regra das três. No entanto, como aconteceu com a estudante do segundo exemplo descrito neste estudo, é necessário considerar como estes referentes estão relacionados no enunciado do problema. Portanto, como já sugerido por Levain e Vergnaud (1994-1995), a consideração cuidadosa das relações escalares e funcionais em problemas de proporcionalidade é necessária para a apropriação, compreensão e uso das representações e procedimentos matemáticos, como é o caso da regra de três.

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Nunes, T. (1997).Systems of signs and mathematical reasoning. In T. Nunes&P. Bryant (Orgs.). Learning and teaching mathematics: an international perspective, London: Psychology Press, 29-52.

Nunes, T.; Schliemann, A.D. &Carraher, D.W. (1983).Mathematics in the Streets and in Schools.Cambridge, U.K: Cambridge UniversityPress.

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Ricco, G. (1982). Les premières acquisitions de la notion de fonction linéaire chez l’enfant de 7 à 11 ans. Educational Studies in Mathematics, 13, 3, 289-327.

Schliemann, A.D. &Carraher, D.W. (1992). Proportional reasoning in and out of school.

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Schliemann, A.D. &Nunes, T. (1990). A situated schema of proportionality.British Journal of Developmental Psychology, 8, 259-268.

Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In R. Lesh& M. Landau (Eds.).Acquisition of mathematics concepts and proceduresNew York: Academic Press, 127-174.

Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. In H. Hiebert& M. Behr (Eds).Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in Middle Grades Hillsdale: Erlbaum, 141-161.

Vergnaud, G. (1994). Multiplicative conceptual field: what and why? In G. Harel&J. Confrey.The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics .

Albany: State University of New York Press, 41-85.

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FILIAÇÕES, RUPTURA E OS OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS: APROXIMAÇÕES ENTRE VERGNAUD E BACHELARD Débora Piai Cedran1, Jaime da Costa Cedran2, Jheniffer Micheline Cortez dos Reis1, Neide Maria Michellan Kiouranis1 1

Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná; 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Campus Medianeira, Paraná. depiai@yahoo.com.br Resumo: Vergnaud expõe em sua Teoria dos Campos Conceituais, a tese de que o conhecimento de um indivíduo se constrói à medida que ele consegue estabelecer relações e conceituar determinadas situações ou problemas. Por outro lado, Bachelard tem como uma de suas teses, a noção de obstáculo epistemológico e recorre à história da ciência para sustentar seus argumentos. Tendo em vista esses dois pressupostos, o objetivo desta produção, foi traçar paralelos entre Vergnaud e Bachelard, que, embora tenham diferentes objetos de estudo, guardam algumas relações e por meio dessas correspondências foi possível perceber que, os processos de conceitualização e científico guardam similaridades, evidenciadas pelo uso de termos comuns aos dois pensadores. Mais que a denominação dos termos, obstáculo, rupturas e filiações, suas perspectivas filosóficas apresentam confluências e são reveladoras e importantes para a compreensão dos processos de aquisição dos conhecimentos científicos ou individuais.

Palavras-chave: Desenvolvimento Científico; Desenvolvimento Cognitivo; Ruptura; Obstáculo Epistemológico.

Abstract: Vergnaud exposes in his theory of conceptual fields, the thesis that the knowledge of an individual is constructed as he manages to establish relationships and conceptualize certain situations or problems. On the other hand, Bachelard has as one of its theses, the concept of epistemological obstacle and and recurs to the history of science to support their arguments. In view of these two assumptions, the purpose of this production was to draw parallels between Vergnaud and Bachelard, who, although they have different objects of study, keep some relationships and through these correspondences it was possible to perceive that the processes of conceptualization and scientific keep similarities, evidenced by the use of terms common to both thinkers. More than the terms denomination, obstacles, ruptures and affiliations, their philosophical perspectives present confluences and are revealing and important for the understanding of the processes of acquisition of scientific or individual knowledge.

1 - Rupturas e filiações para Vergnaud: um processo de desenvolvimento intelectual Gerard Vergnaud (1933), filósofo, matemático e psicólogo francês, expõe em sua teoria intitulada “Teoria dos Campos Conceituais” (TCC), caracterizada por uma teoria cognitivista, a tese de que o conhecimento de um indivíduo se constrói à medida que ele consegue estabelecer relações e conceitualizar determinadas situações ou problemas, que necessitam de teoremas de níveis diferentes. Dessa forma, a TCC “trata-se de uma teoria psicológica do conceito, ou melhor, da conceitualização do real, que permite situar e estudar as filiações e rupturas entre conhecimentos, do ponto de vista de seu conteúdo conceitual” (VERGNAUD, 1990, p. 133).

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Apesar da expressão, campo conceitual, nos remeter a noção de conceito, Vergnaud (1982, 1990, 2013) assume que, um campo conceitual pode ser considerado em sua primeira premissa como um conjunto de situações e posteriormente é avaliado em termos de conceitos e teoremas. Assim, infere que um campo conceitual deve ser interpretado como “um conjunto de situações, cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas, bem conectados uns com os outros" (VERGNAUD, 1982, p. 36, tradução nossa), o que auxilia na produção do conhecimento científico.

O aperfeiçoamento de um campo conceitual, advém de situações que podem acarretar, quanto ao desenvolvimento intelectual, em filiações e rupturas, com relação a conhecimentos anteriores. Nesse sentido, Vergnaud justifica sua proposta para a utilização desses dois conceitos: - filiações porque as competências novas apoiam-se, em parte, nas competências adquiridas antes; - rupturas porque, às vezes, a tomada de consciência necessária à formação de uma nova competência exige que a criança deixe de lado ideias e formas de agir anteriores. Por vezes, mesmo, é preciso que ela as rejeite (VERGNAUD, 2011, p. 16).

O autor indica que, ambos os casos são relevantes para o desenvolvimento de um campo conceitual, já que, conceitos prévios auxiliam na compreensão de novos conceitos, quando estes são compatíveis e complementares, daí a ideia de filiação ou continuidade. Estes conceitos são construídos de forma a aumentar as ramificações, assim, sua amplitude. Por outro lado, em outros momentos as rupturas se fazem necessárias, já que ao interpretar novas situações o sujeito pode se deparar com fatos que contraponham suas ideias atuais. Nesse caso, é por meio de uma ruptura que o desenvolvimento ocorre.

Vergnaud apresenta alguns exemplos (1991) que consolidam esta perspectiva, entre eles, o caso da subtração. Para esse conceito, uma série de situações são colocadas e podem ser equacionadas de diferentes formas, por exemplo: considerando um estado inicial em que, dele se subtrai uma certa quantidade obtendo no estado final um número menor (como exemplo, 12 - 5 = x); conhecendo o estado final e uma parte do todo, calcula-se a outra parte (como exemplo, x + 5 = 7); conhecendo o estado final e a parte do todo que foi subtraída, calcula-se o estado inicial (como exemplo, x - 7 = 5).

Apesar de a subtração ser o conceito central nos três exemplos, nos dois primeiros casos, a ideia geral implica em uma diminuição, enquanto que, no último exemplo, a elucidação do exemplo necessita de uma adição. Como as primeiras percepções do 144

conceito de subtração perpassam pela ideia de diminuição, é possível que existam maiores dificuldades na resolução de situações como a última apresentada. “Para a maioria dos alunos, essas dificuldades se estendem, durante o aprendizado da álgebra, até o final da faculdade pelo menos” (VERGNAUD, 1991, p.82, tradução nossa).

Estas dificuldades podem constituir, segundo Vergnaud, um obstáculo epistemológico, no sentido de Bachelard, à medida que os indivíduos permanecem usando modelos explicativos que não são capazes de explicar uma situação (VERGNAUD, 2006), ou seja, o conceito formulado não se enquadra à classe de conceitos pertinentes aquele campo conceitual. No caso da subtração, para que o conceito seja desenvolvido, é necessário que o indivíduo supere o obstáculo em que a subtração se remete apenas a processos de diminuição.

Assim o desenvolvimento intelectual se dá por meio de filiações e rupturas, entre a dialética do antigo e do novo, o que também pode ser observado na história da construção da ciência (VERGNAUD, 2013).

2 - Os Obstáculos Epistemológicos de Bachelard: condições de rupturas e linearidades na ciência Por outro lado, no campo da epistemologia da ciência, Gaston Bachelard, um pensador francês que viveu na passagem do século XIX para o XX, tem como uma de suas teses mais difundidas a noção de obstáculo epistemológico, e para o autor, “é em termos de obstáculos que o problema do conhecimento científico deve ser colocado” (BACHELARD, 1996, p. 17). Bachelard recorre à história da ciência para sustentar seus argumentos, e por meio dela tenta explicar o aparecimento dos obstáculos epistemológicos. Nessa perspectiva, se pensarmos na história da construção da ciência, todo erro constituído, ou seja, todo conceito determinado teve de ser retificado, para que novos conceitos fossem estabelecidos. É possível afirmar, portanto, que todos os novos conceitos provém da ineficácia encontrada em conceitos anteriores, em explicar certos fatos.

Como exemplo disso, na Química, temos a teoria do flogístico, ou, até mesmo, as idéias alquímicas, particularmente aquelas dirigidas aos esforços de explicar os fenômenos relacionados à combustão. Todas as idéias e teorias produzidas naquele período sobre o assunto tiveram de ser repensadas, e seus erros, derivados do esforço em explicar o novo, tiveram de ser substituídos por algo que conseguisse apresentar e interpretar, de forma satisfatória, a natureza do fenômeno. Isso se

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mostrou necessário, seja porque mudou-se a maneira de observar, medir e registrar os fenômenos, seja porque as perguntas dirigidas aos dados mudaram de perspectiva.

Ao mesmo tempo, todos os erros cometidos nesse processo foram importantes para o aprofundamento das explicações e para o processo de evolução científica. Nesta medida, eles não podem ser simplesmente considerados retrocessos, devendo, antes, ser tratados como elementos integrantes e indispensáveis ao avanço da ciência.

Portanto, pela epistemologia bachelardiana, é a partir de questionamentos dos erros que se atinge a superação e, consequentemente, um avanço no conhecimento científico. Ou seja, a prática científica não é caracterizada como um caminho linear e ascendente em que o conhecimento se acumula sem conflito e sem enfrentar trajetórias tortuosas. Na situação oposta, quando o erro em vez de ser o caminho para a superação, é defendido e protegido, ele se transforma em obstáculo epistemológico.

Bachelard (1996) afirma que a noção de obstáculo epistemológico pode ser estudada ao longo do processo de desenvolvimento do conhecimento científico. Assim, ele destaca que “[...] no fundo, o ato de conhecer dá-se contra um conhecimento anterior, destruindo conhecimentos mal estabelecidos, superando o que, no próprio espírito, é obstáculo à espiritualização” (BACHELARD, 1996, p. 17), definindo os obstáculos epistemológicos como as causas de inércias e os conflitos que são próprios do ato de conhecer.

Quando se procuram as condições psicológicas do progresso da ciência, logo se chega à convicção de que é em termos de obstáculo epistemológico que o problema do conhecimento científico deve ser colocado. E não se trata de considerar obstáculos externos, como a complexidade e a fugacidade dos fenômenos, nem de incriminar a fragilidade dos sentidos e do espírito humano: é no âmago do próprio ato de conhecer que aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e até de regressão, detectaremos causas de inércia as quais daremos o nome de obstáculos epistemológicos (BACHELARD, 1996, p. 17).

Os obstáculos podem aparecer sob muitas formas. Por exemplo, quando são utilizadas muitas generalizações sobre determinado assunto e as opiniões passam a fazer parte do desfecho teórico e o cientista passa a justificar suas idéias a partir dessas opiniões, dá-se a produção cumulativa de erros e, sucessivamente, de obstáculos. Outra forma de expressão dos obstáculos epistemológicos, observada por Bachelard e destacada por Silva (1999, p.63), assenta-se sobre a posição “de que o conhecimento científico precisa, antes de mais nada, estabelecer uma ruptura com o conhecimento comum ou experiência básica, pois é seguramente o principal obstáculo à construção do conhecimento científico”.

146

3 4

- Aproximações entre as idéias de Bachelard e Vergnaud

Os trabalhos de Vergnaud e Bachelard, embora tenham diferentes objetos de estudo, guardam algumas relações, em especial, a forma como os conhecimentos são desenvolvidos. Para isso, ideias como, obstáculo, rupturas e filiações, entre outras, são abordadas pelos dois autores.

A principal tese de Bachelard, a de obstáculo epistemológico, compõe a noção de obstáculo para Vergnaud (PLAISANCE e VERGNAUD, 2003) pois, para ambos, o obstáculo é um dificultador do desenvolvimento conceitual, seja na perspectiva da legitimação científica, seja na perspectiva cognitiva, no entanto, consideram o estudo dos obstáculos, revelador no sentido de auxiliar o entendimento das causas de rupturas contra conhecimentos anteriores.

Apesar de a noção de obstáculo para os dois estudiosos remeter-se à campos específicos (ciência e indivíduo), Bachelard considera que os obstáculos não são criados pela situação, ou pelo conceito, mas sim, no processo de conhecer, tornando sua teoria epistemológica extensível às questões individuais. Da mesma forma, Vergnaud, extrapola a noção dos problemas do indivíduo para uma comunidade científica, já que, é por meio das situações (problemas) que a produção intelectual ocorre, independente do meio. Nesse sentido, o próprio “conceito de número nem existiria se o homem não tivesse encontrado problemas de medição" (VERGNAUD, 1979, p. 264).

Outra concepção comum entre Vergnaud e Bachelard é a de que os obstáculos podem ser duradouros, seja do ponto de vista de um paradigma, seja do ponto de vista da construção do conhecimento individual - podem perdurar centenas de anos, como no caso da teoria dos quatro elementos de Aristóteles ou algumas décadas, quando se refere a construção conceitual por um indivíduo, mesmo que o conceito já esteja estabelecido cientificamente.

Por consequência, a noção de ruptura para ambos é tratada como a superação dos obstáculos, ou seja, o novo conhecimento se desenvolve contra o conhecimento anterior, por meio das situações em que há a tomada de consciência, e por consequência a mudança de perspectiva conceitual. Dessa forma, o desenvolvimento, para ambos, é abordado como um caminho não linear, com existência de conflitos e questionamentos, internos da ciência (BACHELARD, 1996) ou do indivíduo (VERGNAUD, 1990).

Ainda que, para Bachelard o conhecimento se desenvolve por meio da superação de

147

obstáculos, para Vergnaud isso ocorre por dois caminhos - por meio de rupturas (concordando com Bachelard) e também por meio das filiações.

Para Vergnaud, as filiações ocorrem apoiadas em conceitos prévios, tornando-o mais amplo e ramificado, já Bachelard não demonstra preocupação com as filiações, pois seu objeto de pensamento se dá pela promoção de discussões acerca dos problemas que dificultaram o desenvolvimento científico.

No Quadro 1 encontram-se resumidas algumas características para as ideias de obstáculo, ruptura, filiações e desenvolvimento para Bachelard e Vergnaud.

Quadro 1: Noções de obstáculo, ruptura, filiações e desenvolvimento para Bachelard e Vergnaud

Obstáculo

Ruptura

Bachelard

Vergnaud

● Significativo para a compreensão do desenvolvimento da ciência; ● Se concretiza por meio da proteção do erro (derivados das crenças e ideias dos indivíduos); ● Impeditivo da produção intelectual científica; ● Oriundo do ato de conhecer; ● Proveniente de generalizações e opiniões; ● São anti-rupturas.

Modelos explicativos que não evidenciam uma situação; Conceito formulado não se enquadra ao campo conceitual; Podem perdurar ao longo do processo de conceitualização.

Consequência da mudança no modo Decorrência das situações; de observar, medir e registrar os Tomada de consciência; fenômenos; Oposição a conhecimentos anteriores.

Decorrência da transformação nas perguntas dirigidas aos dados; Resultado dos questionamentos e reconhecimento dos erros; Superação das ideias do senso comum.

Decorrência das situações; Apóiam-se em conhecimentos anteriores; Resultado das ramificações e amplitudes conceituais.

Filiações

Desenvolvimento

Retificação de conhecimentos anteriores para o estabelecimento de novos; Amadurecimento das explicações em decorrência do erro; Não é caracterizado como um caminho linear, cumulativo, e não conflituoso; Transcorre com a superação dos obstáculos epistemológicos; Transposição do conhecimento do senso comum para o científico.

Estabelecimento de relações e conceitualizações em situações; Domínio de conceitos, procedimentos e representações; Consequência das filiações e rupturas; Decurso da dialética do novo e do antigo.

Autoria: os autores.

148

Dessa forma, a filosofia de Bachelard admite que a construção do conhecimento científico não é contínua, pelo contrário, o conhecimento científico é construído por ruptura com o conhecimento anterior e não continuidade. Por outro lado, Vergnaud assume que, o desenvolvimento cognitivo se dá não somente pelas rupturas, mas também por filiações. Embora haja dissonâncias entre as concepções, as noções de erro, ruptura e obstáculos são concordantes.

4 - Considerações Finais Alguns paralelos entre as concepções de Vergnaud e Bachelard foram apresentados no presente trabalho, especialmente, o que se refere ao andamento da ciência e o desenvolvimento cognitivo dos indivíduos. Por meio dessas contraposições foi possível perceber que, os processos de conceitualização dos sujeitos e científico guardam similaridades, evidenciadas pelo o uso de termos comuns aos dois referenciais. Mais que a denominação dos termos, suas perspectivas filosóficas apresentam confluências e são reveladoras e importantes para a compreensão dos processos de aquisição de conhecimentos científicos, bem como as construções cognitivas individuais.

Embora não fosse seu principal objeto de estudo, Bachelard também considera relevante a compreensão da construção de conhecimentos pelos indivíduos. Por outro lado, Vergnaud afirma que a epistemologia, em conjunto com a psicologia e a pedagogia, tem papel importante no desenvolvimento da didática das ciências, pois oferecem aproximações entre os problemas encontrados ao longo da história da construção de um conceito e os processos de rupturas e filiação no desenvolvimento intelectual dos sujeitos.

5 – Referências BACHELARD, G. A Formação do Espírito Científico. Rio de Janeiro: Contraponto, 1996.

PLAISANCE, E.; VERGNAUD, G. As Ciências da Educação. Tradução: Nadyr de Salles Penteado e Odila Aparecida de Queiroz. São Paulo: Edições Loyola, 2003.

SILVA, I. B. da. Inter-relação : A pedagogia da Ciência : Discurso Epistemológico de Gaston Bachelard. Ijuí: Unijuí, 1999.

Uma Leitura do

VERGNAUD, G. The acquisition of arithmetical concepts. Educational Studies in Mathematics, v. 10, p. 263-274, 1979.

149

VERGNAUD, G. Association Cognitive and Developmental Psychology and Research in Mathematics Education: Some Theoretical and Methodological Issues. For the Learning of Mathematics, v. 3, p. 31-41, 1982.

VERGNAUD, G. La Teoría de los Campos Conceptuales. Recherches en Didáctique des Mathématiques, v. 10, n. 2, p. 133-170, 1990.

VERGNAUD, G. Langage et pensée dans l'apprentissage des mathématiques. Revue Française de Pédagogie, n. 96, p. 79-86, 1991.

VERGNAUD, G.; PASTRÉ, P.; MAYEN, P. La didactique professionnelle. Revue française de pédagogie, v. 154, p. 145-198, 2006.

VERGNAUD, G. O longo e o curto prazo na aprendizagem da matemática. Educar em Revista, n. Especial 1/2011, p. 15-27, 2011.

VERGNAUD, G. Pourquoi la théorie des champs conceptuels? Infancia y Aprendizaje, v. 36, n. 2, p. 131-161, 2013.

150

3º dia 9/12/2017 - Segundo momento sessão de comunicações científica

UM MAPEAMENTO SOBRE AS PRODUÇÕES ACADÊMICAS ENVOLVENDO A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS NO BRASIL. VALÉRIA ESPÍNDOLA LESSA. IFRS Campus Erechim/ RS. HISTÓRIA DA CRIAÇÃO DOS GRUPOS ÁULICOS - Dr. JOSÉ LUIZ CAON.

A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS NA FORMAÇÃO INICIAL DE DOCENTES DOS ANOS INICIAIS. ÂNGELA SUSANA JAGMIN CARRETTA. Universidade da Região da Campanha. Bagé/RS. GRUPOS ÁULICOS NO ENSINO SUPERIOR: UMA EXPERIÊNCIA RADICAL NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM. DR. FELIPE BRUNO

MARTINS FERNANDES, UFBA Universidade Federal da Bahia – CANDY LAURENDON, UFPE Universidade Federal Pernambuco – BELENI GRANDO, UFMT Universidade Federal Mato Grosso.

Participação especial do psicanalista JOSÉ LUIZ CAON, idealizador dos grupos áulicos.

151

UM MAPEAMENTO SOBRE AS PRODUÇÕES ACADÊMICAS ENVOLVENDO A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAISNO BRASIL Valéria Espíndola Lessa IFRS Campus Erechim Doutoranda PPGEdu/UPF lessavaleria@gmail.com Resumo: Este artigo apresenta os resultados quantitativos de um estudo do tipo estado do conhecimento a partir de teses e dissertações produzidas no Brasil,de 2006 a 2016, que envolvem a Teoria dos Campos Conceituais. Tal estudo justifica-se pelo interesse em mapear os trabalhos acadêmicos que envolvessem esta Teoria associada a duas temáticas de uma tese de doutorado, a saber, funções matemáticas e programação de computadores, a fim de ajudar na construção do problema de pesquisa da tese. Para tanto, realizamos uma análise quantitativa a partir dos achados e procedemos ao filtro destes dados a fim de encontrar trabalhos com os três temas associados. Como resultados, o estudo permitiu encontrar uma dissertação de mestrado com as temáticas e conhecer a realidade brasileira sobre pesquisas com a Teoria e a inferir sobre a necessidade de mais estudos aprofundados.

Palavras-chave:Teoria dos Campos Conceituais; funções; programação de computadores.

Abstract: This article presents the quantitative results of a state of knowledge study based on theses and dissertations produced in Brazil, from 2006 to 2016, involving Conceptual Field Theory. This study is justified by the interest in mapping the academic works that involve this Theoryassociated to two themes of a doctoral thesis, namely mathematical functions and computer programming, in order to help in the construction of the thesis research problem.To do so, we performed a quantitative analysis based on the findings and proceeded to filter these data in order to find works with the three associated themes.As results, the study allowed to find a master's thesis with the themes and to know the Brazilian reality about research with the Theory and to infer about the need for more in-depth studies.

Keywords: Conceptual Field Theory; functions; computer programming

1. Introdução A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) é uma teoria do desenvolvimento cognitivista, influenciada por pressupostos piagetianos, desenvolvida pelo psicólogo e pesquisador Gérard Vergnaud8 nos anos de 1970, que surge no campo da Didática da Matemática francesa. Considera que o conhecimento está organizado em campos conceituais e o domínio de um campo conceitual ocorre respeitando o tempo cognitivo, a experiência, a maturidade e a aprendizagem de cada um. Os diversos confrontos e superações que vivenciamos a cada situação nova ao longo de nossa experiência de vida, enriquecem e tornam mais complexos os campos conceituais de cada um (MOREIRA, 2002).

8

Nasceu em 1933 e é professor emérito do Centre National de laRechercheScientifiqueda Universidade de Paris VIII. Atualmente segue tendo intensa atividade internacional como orientador e inspirador de trabalhos na área de didática de matemática.

152

O processo de conceituação, ou complexificação de um campo conceitual, pressupões três elementos essenciais que estão intrinsecamente associados: as Situações, os Invariantes Operatórios (conhecimentos em ação) e as Representações.

Uma criança ao resolver um problema que a desestabiliza, por exemplo, recorre aos seus conhecimentos prévios sobre a situação, elabora estratégias e testa-a.

Independentemente do resultado, a criança vai adquirindo mais elementos ao seu repertório de conhecimentos. O problema a ser resolvido é, então, a “situação” ou “classe de situações”;as estratégias que utiliza na seleção dos procedimentos e dos conhecimentos que usará são os “esquemas”;os conhecimentos que emprega para resolver o problema são os “conhecimentos em ação” ou “invariantes operatórios”; e as formas com que ela representa suas ideias seja mentalmente, por desenhos, por equações, por linguagem falada ou escrita, é a “representação”. (VERGNAUD, 1996a, 1996b, 1998, 2003, 2008, 2009) Por se preocupar como o que acontece no processo de aprendizagem e também no processo didático-pedagógico da sala de aula, a TCC vem sendo cada vez mais estudada e utilizada como base teórica em pesquisas com crianças, adolescentes e adultos nos ambientes escolares. Mesmo tendo surgido a partir da Didática da Matemática, a teoria de Vergnaud tem servido a pesquisas de outras áreas do conhecimento, a fim de compreenderem o processo de conceituação de conteúdos específicos de determinada área.

Neste sentido, este artigo objetiva apresentar um estudo do tipo“estado do conhecimento”(ROMANOWSKI& ENS, 2006),realizado como parte integrante de minha tese de doutorado, em que procura mapear estudos pregressos de teses e dissertações que abordassem a TCC como referencial teórico, associada ao conteúdo matemático de funções e que envolvessem o recurso tecnológico da programação de computadores.

Tal

estudo

justifica-se

pela

possibilidade

de

contribuir

na

(re)constituição do problema de pesquisa da tese que, de modo geral,propõe-se a investigar os “invariantes operatórios de estudantes da escola básica sobre funções matemáticas por meio da programação de computadores”, bem como nas escolhas metodológicas.Pois uma tese precisa ser uma investigação original “[...] em que é necessário saber com segurança aquilo que disseram sobre o mesmo assunto outros estudiosos, mas em que é preciso sobretudo ‘descobrir’ qualquer coisa que os outros ainda não tenham dito” (ECO, 2007, p.28).

153

Este artigo apresenta uma primeira sistematização dos dados produzidos no levantamento. Na sequência, apresentam os nossas opções metodológicas, descrevendo como procedemos ao levantamento e aos filtros das informações, seguido de umexame quantitativo sobre alguns aspectos que consideramos relevantes e a descrição de como encontramos o único trabalho que se aproximou do tema da tese.

2. Opções metodológicas Este estudo foi realizado coletivamente9 e demandou um exaustivo levantamento de informações das teses e dissertações a partir da escolha dos descritores a serem buscados, da plataforma digital a ser utilizada e do recorte de tempo estabelecido.

Caracteriza-se por ser descritivo e analítico visando fornecer informações quantitativas dos trabalhos.

Este levantamento teve início em meados de 2015, quando o site da Capes ainda não tinha seu repositório completo e atualizado. Na época, realizamos as buscas nos repositórios virtuais de teses e dissertações (quando existiam) das universidades que possuem programas de pós-graduação em Educação, Ensino e Interdisciplinar, utilizando os descritores “Teoria dos Campos Conceituais” e “Vergnaud” num intervalo de dez anos, de 2006 a 2015. Com a atualização do Banco de Teses da Capes a partir de 2016, refizemos as buscas em 2017 e incluímos os trabalhos defendidos em 2016 obtendo, assim, uma melhor fidedignidade dos dados. O levantamento, então, passou a ser de onze anos de produção acadêmica.

Escolhemos utilizar os dois descritores citados porque, ao realizar as duas buscas separadamente, verificamos que alguns trabalhos se repetiam e outros não. Isto significa que alguns trabalhos fazem referência à teoria usando o nome completo dela e outros pelo nome de seu autor. Para organizar melhor os achados, inserimos todas as informações encontradas numa planilha eletrônica e procedemos a exclusão dos dados repetidos.

Os estudos com base teórica na TCC, têm sido desenvolvidos em diferentes áreas do conhecimento, no entanto, interessa-nos pesquisas que se preocupam com o ensino e a aprendizagem de conhecimentos da matemática e que envolvam informática educativa. Neste sentido, procuramos refinar os resultados do site, a partir das áreas de 9

O estudo foi realizado com o auxílio de bolsistas de iniciação científica do Grupo de Pesquisas de Inclusão Digital (GEPID) da Universidade de Passo Fundo, liderado pelo Prof. Dr. Adriano Canabarro Teixeira.

154

avaliação “educação”, “ensino”, “ensino de ciências e matemática”, “interdisciplinar” e “psicologia”.

Como nosso objetivo é conhecer os trabalhos que utilizaram a TCC, mas que também abordem o conteúdo matemático de funções e que utilizem o recurso tecnológico da programação de computadores, foi preciso classificar os resultados inseridos na planilha eletrônica segundo estes dois critérios: conteúdo matemático e recurso tecnológico. No entanto, resolvemos ampliar estes itens de classificação, já que faríamos a leitura dos dados fornecidos pela Capes de cada trabalho.

Neste sentido, organizamos colunas com os seguintes critérios: link do resumo10, tipo de trabalho (dissertação ou tese), área do conhecimento (matemática, física, química, etc.), conteúdo específico da área do conhecimento (funções, frações, cinemática, etc.), recurso tecnológico, ano, universidade e região do país. Com exceção de alguns trabalhos, foi possível encontrar tais informações apenas a partir do que é disponibilizado pela capes. Quando necessário, procurávamos o resumo na Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD)11 do Instituto Brasileiro de Informação em Ciência e Tecnologia (IBICT) ou o trabalho completo em repositórios das universidades. Como será inviável descrever e analisar cada um dos aspectos acima citados neste texto, focaremos nos itens mais relevantes para a pesquisa de doutorado.

Depois de preenchidas tais informações na planilha, realizamos filtros de modo a examinar quantitativamente as produções e, por fim, examinar qualitativamente o único trabalho encontrado que vai ao encontro da temática da tese (mas este último exame não está incluído neste artigo).

3. Um exame quantitativo Neste levantamento de teses e dissertações sobre a TCC encontramos consideráveis266 trabalhos, a partir da busca pelos descritores “Teoria dos Campos Conceituais” e “Vergnaud”.Tais trabalhos advêm de instituições de ensino superior de todas as regiões do país concentrando a maioria, respectivamente, no sudeste, sul e nordeste, conforme está representado da Figura 1. Também, essas produções são oriundas de 61 instituições de Ensino Superior (IES), concentrando cerca de 53% delas

10

Para trabalhos a partir de 2013, inserimos o link da Plataforma Sucupira que dá acesso ao resumo e, em alguns casos, ao trabalho completo. Para trabalhos anteriores a 2013, tivemos que recorrer ao repositório virtual da universidade.

11 Disponível em:<http://bdtd.ibict.br/vufind/>. Acesso em: 21 mar. 2017.

155

(140 trabalhos) em 5 IES, conforme está representado no Quadro 1. As 56 IES restantes estão representadas na linha “Outras” do referido quadro.

Figura 1–Distribuição do número de teses e dissertações defendidas entre 2006 e 2016 que envolvem a Teoria dos Campos Conceituais, por Regiões do Brasil (n = 266)

Quadro 1–Distribuição do número de teses e dissertações defendidas entre 2006 e 2016 que envolvem a Teoria dos Campos Conceituais, por Instituições de Ensino(n = 266) Número de IES trabalhos UFRGS 36 PUC SP

Fonte: os autores.

33

UFPE

30

ANHANGUERA SP

25

UNB

16

Outras

126

Total Fonte: os autores.

266

De modo geral, muitas produções que envolvem a TCC partem de inquietações advindas do ensino e aprendizagem de conteúdos de certos componentes curriculares das instituições escolares. Referente a isso, vemos que nos 266 trabalhos, a maioria são sobre conteúdos de Matemática (216), seguido de Física (38) e Química (8). Os demais são da área da Biologia, Ciências, Geografia e Interdisciplinar (sem foco numa única disciplina

específica).

A

visível

predominância

da

matemática

deve-se,

provavelmente,pela origem da TCC ser da Didática da Matemática francesa. No entanto, vem encontrando espaço nos estudos sobre os demais componentes curriculares.

Também, verificamos que 50 eram de pesquisas de doutorado e 216 de mestrado. Deste último, encontramos 145 de mestrado acadêmico e 71 de mestrado profissional. Tendo em vista que, em geral, as teses pressupõem um nível de amadurecimento e aprofundamento nas pesquisas, essa informação é relevante, pois a predominância de dissertações de mestrado talvez indique um maior número de estudos exploratórios utilizando a teoria e, portanto, há ainda muito espaço para aprofundamentos. É interessante perceber também, como se dá a evolução desses trabalhos ao longo dos onze anos investigados e a relação da Matemática com os outros componentes curriculares. Vemos, conforme pode ser observado no Gráfico 1, que há um considerável aumento das produções e que o envolvimento da Matemática 156

acompanha esta evolução. Isso pode pode ser justificado por Gèrard Vergnaud situar-se situar entre as referências teóricas contemporâneas mais relevantes para todos aqueles que desejam aprofundar seus estudos sobre desenvolvimento, aprendizagem e didática escolar.

Também, o autor “[...] tem sido, ao longo dos últimos trinta anos, referência intelectual de forte presença no Brasil, tendo em vista o número de pesquisadores brasileiros que formou [...]” (FALCÃO, 2009, p.9).

Gráfico1–Distribuição Distribuição do número de teses e dissertações defendidas entre 2006 e 2016 que envolvem a Teoria dos Campos Conceituais, por ano que envolvem Matemática e outros componentes (n = 216).

35 30 25 20 15 10 5 0

27 16 7 2

3

21

18

23

24

5

5

28 19

20 13

5

3

6

3

7

7

4

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 Demais áreas

Matemática

Fonte: os autores.

São diversos os conteúdos curriculares abordados nos trabalhos e os níveis de ensino ao qual se propõe investigar, mas para chegarmos aos trabalhos que mais se aproximam da temática da minha tese, filtramos os dados segundo o componente Matemática e também segundo o conteúdo funções. Dentre os 216 trabalhos, 12 tratavam de funções na educação básica e os demais conteúdos abarcavam temas desde operações e resolução de problemas do campo aditivo e multiplicativo nas Séries Iniciais até equações diferenciais e a formação de professores de matemática no Ensino Superior (ES), passando por conteúdos do Ensino Fundamental (EF) e Médio (EM). É interessante perceber que, dentre estes 12 trabalhos sobre funções, dois deles focaram no desenvolvimento do raciocínio funcional no 5º ano do EF, a partir do desenvolvimento de ideias básica e intuitivas sobre o tema. O que surpreende, tendo em vista que o trabalho deste conteúdo é iniciado, geralmente, no final do EF e início do EM. Filtrando apenas a coluna dos recursos tecnológicos na planilha, vemos que dos 216 trabalhos, 30 apresentaram algum tipo de tecnologia digital que, em geral, constituem-se softwares com fins educacionais, objetos de aprendizagem online, 157

plataformas para cursos à distância, aplicativos de redes sociais e sites em geral. E, destes 30 trabalhos, apenas 2 utilizam a programação de computadores.

Ao realizar dois filtros filtros ao mesmo tempo na planilha, “funções” e “recursos tecnológicos”, chegamos ao número de 6 trabalhos. Isto é, das 216 produções sobre a TCC com o componente matemática, apenas 6 tratam do tema de funções e associam algum tipo de tecnologia digital em suas suas pesquisas. E, destes 6, apenas um trabalho, a dissertação de mestrado de Ventorini (2015), utiliza a programação de computadores como recurso tecnológico. A Figura 2 apresenta um diagrama de conjuntos relacionando os três temas (TCC, funções e programação programação de computadores) e a região central representa a interseção entre eles.

Figura 2– Distribuição do número de teses e dissertações defendidas entre 2006 e 2016 que envolvem a Teoria dos Campos Conceituais, funções e programação de computadores num diagrama diagram de conjuntos (n = 216).

Fonte: os autores

3. Considerações finais

Neste artigo, apresentamos os resultados quantitativos de um estudo do tipo estado do conhecimento sobre a Teria dos Campos Conceituais em teses e dissertações produzidas no Brasil, de 2006 a 2016, a partir do Banco de Teses e Dissertações da Capes, nas áreas de avaliação Educação, Ensino, Ensino de Ciências e Matemática, Interdisciplinar e Psicologia. Com isso, algumas informações quantitativas relevantes puderam ser inferidas, como as regiões e as IES de maior concentração das produções e o número baixo de tese sobre o tema, se comparado com o número de dissertações. A

158

partir disso, podemos concluir que há grande possibilidade de aprofundamento e avanço para pesquisas que utilizam a TCC. Também, vimos que apesar de o componente curricular mais trabalhado nas produções ser a matemática, pelo simples fato de a TCC estas associada à Didática da Matemática francesa, outras áreas como Física, Química, Biologia e Geografia vem buscando explicações na TCC para suas indagações do processo de ensino e aprendizagem.E, avançando na análise, após a realização dos filtros na planilha eletrônica, visando cruzar as informações sobre os trabalhos que tratavam de funções matemáticas e programação de computadores, chegamos a apenas uma dissertação de mestrado. Isso já traz a indicação de que há pouco produzido sobre o tema e que, sendo uma dissertação, muito ainda pode ser explorado numa tese de doutorado.

Por fim, este estudo proporcionou um mapeamento das produções e o encontro com um trabalho muito semelhante ao meu em termos da temática proposta. E após realizada uma análise qualitativa do trabalho encontrado, foi possível repensar alguns aspectos na organização teórico-metodológica da tese.

Referências

ECO, H. Como se faz uma tese. 13. ed. Editorial Presença: Lisboa, 2007.

FALCÃO, J. T. R. Prefácio. In: BITTAR, Marilena.; MUNIZ, Cristiano. A aprendizagem matemática na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais.

Curitiba: Editora CRV, 2009, p.53-75.

ROMANOWSKI, J. P.; ENS, R. T. As pesquisas denominadas do tipo “estado da arte” em educação. Revista Diálogo Educacional. vol.6. n. 19, PUC-PR, Curitiba, Brasil, p.

37-50,set-dez, 2006.

VENTORINI, A. E. Construção de relações funcionais através do software Scratch.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). 168f.Centro de Ciências Naturais e Exatas. Universidade Federal de Santa Maria. Santa Maria, 2015.

VERGNAUD, G. A trama dos Campos Conceituais na construção do conhecimento.

Revista do GEEMPA, Porto Alegre, n. 4, p.9-19, 1996a. _______. A teoria dos Campos Conceituais. In: BRUN, J. (Org). Didáctica das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996b, p.155-191. _______. Entrevista. Temas transversais na educação. Pátio Revista Pedagógica, Porto Alegre, n. 5, p. 23-26, maio/jul, 1998.

159

_______. A gênese dos Campos Conceituais. In: GROSSI, E.P. (Org.) Por que ainda há quem não aprende?: A teoria. Petrópolis, RJ: Editora Vozes, 2003, p.21-60. _______.Atividade humana e conceituação. Porto Alegre:GEEMPA, 2008. _______. O que é aprender. In: BITTAR, M; MUNIZ, C. A. (Orgs.). A aprendizagem Matemática na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais. Curitiba: Editora CRV, 2009, p. 13-35.

160

Fala sobre os grupos áulicos com José Luz Caon.

Também foi entregue aos participantes um texto que conta a história dos Grupos áulicos escrito por Caon Times de esporte ou grupos áulicos 61 anos depois Por José Luiz Caon, em 22 nov de 2017 Anotação ao leitor: Acredito que a invenção do que atualmente é conhecido como técnica psicopedagógica para formação de grupos em sala de aula, chamada de “grupos áulicos”, faz parte do conjunto de acontecimentos que ultrapassam as perspectivas do autor. Como Paulo de Tarso e Napoleão que exportaram para outras terras o acontecimento (no caso, fundação do cristianismo, revolução francesa), muitos educadores e psicopedagogos exportaram essa técnica democrática e psicopedagógica, sendo que a prima inter pares das iniciativas é a da Profa. Dra. Esther Pillar Grossi e do seu grupo do GEEMPA, incluindo também a Escola “Projeto” de Porto Alegre/RS. A ela e atodos os paladinos dessa causa, minha admiração e estas linhas.

Quando fui para o internato de orientação franquista para me tornar padre religioso católico, aos 12 anos, me vi integrado no primeiro time dos que melhor jogavam futebol. Isso aconteceu por que faltava goleiro. Minha integração durou pouco.

Sob o pretexto de ter tomado um vergonhoso gol, “engolido um frango”, abandonei aquela carreira promissora de vaidades e retornei ao grupo dos excluídos. Esses eram uma turba multa e desorganizada. Mesmo assim, disputavam para fazerem parte dum time de onze jogadores. Os que não entravam, ficavam preliminarmente excluídos e impossibilitados de jogar. É que eram muito mais do que 22 os candidatos a integrar os dois times de 11 jogadores e não havia possibilidade para um terceiro ou quarto time.

Como montar dois times sem que ninguém ficasse fora? Não sei como consegui fazer aceitar a sugestão de que os times começassem a ser formados a partir de uma dupla, ou de goleiros ou de dois centroavantes ou coisa parecida. Usando o dispositivo de “par ou ímpar”, os componentes da dupla começavam a escolher, alternadamente, da turba multa, um parceiro. Este, depois de incluído, já participava na escolha do seguinte jogador a ser incluído. Curiosamente, via-se que a escolha não parava quando o time chegava a onze participantes. Os últimos a serem incluídos, um a um, iam escolhendo, alternadamente, cada um o time ao qual queriam participar. O método se impôs e assim ninguém ficava de fora. Às vezes os times chegavam a ter não onze, mas 13 ou 15 jogadores de cada lado. Isso permitia que todos jogassem. Mas, outras vezes, quando os times chegavam a ter 16 ou mais jogadores, fazia-se rodízio por meio de substituição: os 161

reservas que estavam na espera substituíam um ou dois ou mais dos que estavam jogando. Assim todos participavam em momentos diferentes do jogo de futebol.

Pois, quando era professor de uma turma do antigo Admissão ao Ginásio e também das diversas séries do Ginásio, em 1965, constatei que a mesma antiga segregação esportiva reinava no Colégio Diocesano, em Lages, Santa Catarina. O Campeonato de Futebol promovido por um movimento na cidade, acolhia todo o time que se inscrevesse e pagasse uma pequena quantia. Aplicando o antigo método, consegui fazer com que algumas turmas de meus alunos se organizassem e participassem no campeonato. Evidentemente, nenhuma dessas turmas ganhou troféu, mas puderam participar. E as gurias? Elas também, apesar de naquele tempo as meninas não jogassem futebol de salão, também eram escolhidas e ficavam como torcedoras, acompanhando os meninos.

Passo seguinte, foi introduzir “times” em sala de aula. Hoje, esses times são chamados de “grupos áulicos”, creio que pelo GEEMPA. O grupo piloto que apareceunaquele ano de 1965 foi uma primeira série do ginásio de alunos do noturno: adolescentes, jovens e adultos. O objetivo foi de criar “times” de uma Academia Literária de Oratória. A direção adorou a proposta e mandou fazer um púlpito, onde os colegas do “time” iamaté ao púlpito, escoltando o orador, frequentemente apavorado e encagaçado, apoiando-o silenciosamente, o qual, às vezes, apenas conseguia dizer o próprio nome e algumas palavras. Mesmo assim era aplaudido. Quem não admite que infeliz é aquele que não consegue ir à frente de público para expressar sua opinião e não aquele que assustando e encagaçado consegue dizer alguma coisa em público ou de cima de um púlpito?

Em 1968, apliquei essa técnica com alunos da quarta série, no Ginásio Estadual Santo Antônio da Patrulha. Usei essa mesma técnica no Ginásio e Secundário do Colégio Batista e do Colégio Ruy Barbosatodas as turmas do noturno onde lecionava no Colégio Carlos Chagas de Niterói, Canoas.

Mas, a florescimento e consagração dessa técnica apareceu num Clubinho de meninos e meninas, numa periferia urbana no município de Canoas, onde o GEEMPA, testando o método de alfabetização de Emília Ferreiro, estudou, pesquisou e inventou algumas técnicas psicopedagogias de alfabetização científica. O reconhecimento da técnica de formação de grupos áulicos pelos professores e técnicos do GEEMA me soou muito surpreendente e mesmo enigmático. Até, então para mim, esse procedimento, não passava de uma atividade lúdica de ensino-aprendizagem como qualquer outra.

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A partir de 1975, no Curso de Psicologia da UFRGS, empreguei esse mesmo dispositivo em turmas de jovens universitários. E assim sucessivamente fui utilizando essa técnica psicopedagógica de formação de grupos de aprendentes.

Também empreguei esse dispositivo com diversas turmas de Especialização em Psicopedagogia, tanto no RGS como em Santa Catarina e em muitas jornadas de aperfeiçoamento de professores de sala de aula.

Somente uma vez a atividade causou escândalo e punição irremediável. Segundo a direção que me cassou a atividade em pleno curso, esse trabalho de formação de grupos estava “causando animosidade” entre os alunos (professores e professoras). Esse “alunado” buscava certificado nesse Curso de Extensão em Psicopedagogia para melhorar o salário. Isso foi em Freiburgo, Santa Catarina. A poderosa direção daquele curso me dispensou preliminar e definitivamente por e-mail!

Então, pareceria que esse dispositivo democrático e psicopedagógico de composição de grupos áulicos não seria aconselhado a uma turma dominada por panelas externas à turma? Seria esse o caso das alunas e alunos de Freiburgo? Na verdade, os grupos áulicos são capazes de dissolveras panelas que já existem formadas em classes de alunos ou que, via de regra, surgem,à medida que as classes ou turmas se consolidam. Não há que duvidar, os grupos áulicos impedem a formação de panelas em classes de alunos de sala de aula. E para que um grupo áulico não se torne ele mesmo vítima da peste chamada “panela”, descobriu-se que mesmo grupos áulicos não devem ser perenes, mas votados à autodissolução para que os seus participantes ressurjam em novas dimensões. Como a vida que para se manter sempre se restaura e se renova, os grupos áulicos têm o pendor, a virtude e o poder que a vida tem.

Conheço poucas repercussões globais exportadas por participantes de grupos áulicos de meus alunos jovens ou adultos. Mas, tenho uma experiência que me deixou cético e até um tanto descrente sobre a participação de ex-participantes de grupos áulicos em outros grupos tipo instituições para-escolares.

Certa vez, fui despertado por um curto diálogo no filme MISSION, onde um jovem alerta a outro lhe dizendo que a Igreja Católica Romana não é uma democracia.

Entretanto, não existe eleição para papa? Ora, a democracia na Igreja Católica Romana é apenas palaciana e maximamente delegada. Na verdade, o papa vigente elege os cardeais e esses, depois, por sua vez, elegem o novo papa. No sistema católico romano, não existe eleição direta nem sequer para vigário, muito menos para cardeal e nem pensar eleição direta para papa.

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Certas instituições psicanalíticas, inclusive lacanianas, se pautariam à moda da Igreja Católica Romana? Algumas se servem daquilo que se chama de “mesa”, leia-se “mesa de cardeais”. Os possíveis novos mesários (cardeais) são primeiramente escolhidos, um a um, pelos mesários vigentes, sem a participação da plebe. Esses candidatos, previamente escolhidos pela mesa cardinalícia, são apresentados à plebe para que essa os aclame, leia-se, vote num ou dois deles. Depois, para a escolha do novo Presidente, a mesa de mesários, à moda cardinalícia, elege o novo papa, ops, o novo Presidente. À plebe coube aclamar um dos previamente eleitos pela mesa cardinalícia, achando que está votando e não aclamando.

Na formação de grupos aúlicos, a primeira eleição é direta. Cada um da comunidade escolhe um ou dois dos iguais para ser líder. Depois, esses líderes, os que tiveram mais votos, passam a escolher um igual e com esse igual, em rodada seguinte, passam a escolher outros participantes. E assim por diante.

Conclusões: .01. Grupos áulicos não servem para uma instituição tipo Igreja Católica Romana ou para-instituições, onde vigem panelas, aparentando agir em sã democracia.

Na verdade, estabelecidas à moda da Igreja Católica Romana que é uma instituição bem estudada por Freud, em “Psicologia das massas e psicanálise do eu” (Freud, 1921c), essas para-instituições gozam de perpetuidade e se perenizam, entrando para a lógica férrea do poder que, numa formação diabólica ou para-diabólica, não é imorredouro por que é diabólico ou para-diabólico, mas por que é velho e bem velhaco. Curiosamente, muitos mesários dessas para-instituições viveram a experiência de grupos áulicos na Universidade, alguns deles até se tornaram paladinos da causa dos grupos áulicos e os empregaram com sucesso em suas atividades docentes ou para-docentes. .02. Parece que o a força ou virtude dos grupos áulicos é capaz de semear e implantar transitoriamente a democracia na mesma situação em que vivem os cidadãos, não articulados pelo poder com todos os seus interesses corporativos, mas onde vivem estes outros cidadãos, articulados pela prática da felicidade transitória de convívios no aqui, no agora, no comigo, nessas circunstâncias, nessa situação, nessa posição em que cada um de nós nos encontramos.

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A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS NA FORMAÇÃO INICIAL DE DOCENTES DOS ANOS INICIAIS Ângela Susana Jagmin Carretta Universidade da Região da Campanha angelacarretta@gmail.com RESUMO: A Teoria dos Campos Conceituais dispõe-se a subsidiar o entendimento do processo de aprendizagem, a partir da compreensão de como se formam e se desenvolvem os conceitos matemáticos dos alunos a partir da observação de suas estratégias de ação.

Busca-se utilizar princípios dessa teoria, TCC, no desenvolvimento das ações de pesquisa concentradas em práticas pedagógicas. Dessa forma, objetiva-se avaliar as reflexões dos acadêmicos de Pedagogia do sexto semestre, durante as atividades desenvolvidas na disciplina de Fundamentos Teórico Metodológicos da Matemática, em relação à Teoria dos Campos Conceituais Estruturas Aditivas e Multiplicativas nos Anos Iniciais. Os dados decorrem dos depoimentos no Diário Reflexivo e de um questionário aplicado ao final das unidades de ensino e foram analisados qualitativamente. Os resultados apontam para uma significativa aprendizagem dos conceitos que envolvem os campos conceituais aditivo e multiplicativo, pois os acadêmicos ao elaborarem situações problema, simularam os possíveis esquemas empregados pelas crianças para resolvê-las.

PALAVRAS-CHAVE: Teoria dos Campos Conceituais. Formação de Inicial de Professores. Situações de Ensino 1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Este artigo pretende analisar a proposta de trabalho e as reflexões de uma turma de 16 acadêmicos do 6º semestre do curso de Pedagogia acerca do estudo das Estruturas Aditivas O processo formativo se deu no período de 20 horas-aula, na disciplina de Fundamentos Teórico-Metodológicos da Matemática. Em busca de atender ao propósito deste estudo, inicialmente apresentam-se, sucintamente, alguns aspectos que balizam a compreensão das reflexões e avaliações feitas no transcorrer do texto.

A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1993a) refere-se a aspectos teóricos cognitivistas neopiagetianos, a qual tem propiciado inúmeros estudos voltados ao desenvolvimento cognitivo, e a aprendizagem de competências complexas, considerando os conteúdos e a análise conceitual. O referido autor concebe “um campo conceitual como um conjunto de situações, problemas, relações, estruturas, conceitos e teoremas inter-relacionados”(p.9).

De acordo com o referido autor, (VERGNAUD, 1988), indivíduos enfrentam novas situações, utilizando-se de conhecimentos construídos em suas experiências, adaptando-as. Dessa forma, buscou-se compreender os conhecimentos dos acadêmicos 165

de Pedagogia, ao se encontrarem em situações referentes à prática pedagógica e suas reflexões em torno de conceitos matemáticos e a proposta de ensino fundamentada pela TCC.

2 SITUAÇÕES CONCEITUAIS

E

CONCEITOS

ENTRELAÇADOS

PELOS

CAMPOS

Após a definição de campo conceitual, cabe destacar,o conceito de situação, segundo Vergnaud (1996, p. 167), como “[...]qualquer situação complexa que pode ser analisada como uma combinação de tarefas”, pois a ênfase deste estudo refere-se a este aspecto.. A complexidade da tarefa está vinculada aos conceitos matemáticos que ela abrange e a forma como se apresenta seu enunciado. Por essa razão há necessidade de disponibilizar diversas situações, para que sejam ampliadas as condições de desenvolvimento cognitivo, que decorre do domínio que, pouco a pouco, ocorre, na medida em que dão sentido aos conceitos (VERGNAUD, 1990). Porém inúmeras e variadas situações podem tornar significativo um conceito, bem como apenas uma situação necessita de múltiplos conceitos para ser estudada. Na TCC não se consideram situações, nem conceitos isolados.

Outro aspecto relevante para Vergnaud (1994) refere-se ao domínio de algumas classes de situações mais simples antes que ocorra o domínio de outras cada vez mais complexas. Durante o processo e entre uma situação e outra, ou entre um conceito e outro o indivíduo cruza por entre [...] situações, palavras, algoritmos e esquemas, símbolos, diagramas e gráficos... e aprenderá, às vezes por descoberta, às vezes por repetição, às vezes representando e simbolizando, às vezes diferenciando, às vezes por redução de diferentes coisas para outras. Isso porque o panorama da aquisição do conhecimento é muito complexo [...] (VERGNAUD, 1994, p.

46).

O progressivo domínio destas classes pode ser mediado pelo professor. Dentre as incumbências que cabe à figura do professor estão o planejamento de situações desafiadoras e o acompanhamento durante o desenvolvimento do repertório de esquemas e representações por parte de cada indivíduo.

3 SITUAÇÕES PROPOSTAS AOS ACADÊMICOS DE PEDAGOGIA

166

Trata-se de um estudo qualitativo, desenvolvido com 16 acadêmicos do 6º semestre do curso de Pedagogia da Universidade da Região da Campanha matriculado na disciplina de FTMM, durante 20 h/a.

Utilizou-se durante as aulas, atividades de contextualização para que os acadêmicos analisassem situações aplicadas a crianças dos anos iniciais, extraídas de artigos e dissertações; jogos e atividades práticas; vídeos contendo propostas de professores no que tange ao campo aditivo e ao campo multiplicativo; estudo de textos contendo os fundamentos teóricos; situações problema para resolução, classificação e análise; elaboração de diversas situações , permitindo o “transitar” da incógnita com possíveis soluções por crianças em diferentes etapas. Ao final de cada aula registros foram feitos no Diário Reflexivo. Os dados foram coletados destes diários, dos relatórios dos jogos desenvolvidos, de estudos dirigidos e das demais atividades propostas e analisados descritivamente.

3 RESULTADOS E DISCUSSÕES A atividade inicial

do Campo Aditivo

foi intitulada atividade de

contextualização e realizada em pequenos grupos. Trata-se de um caso de papel: - A professora do 2º ano propôs alguns problemas a seus alunos e orientou-os a registrar os procedimentos de resolução. Ao analisar os registros percebeu que para um mesmo problema, as crianças usaram procedimentos diferentes; alguns evidenciaram a idéia de adição, enquanto outros, a de subtração. Além disso, constatou que alguns problemas foram mais difíceis do que outros. Intrigada, a professora queria saber as razões das dificuldades e dos procedimentos diferentes.

A seguir, disponibilizaram-se as situações e os registros das crianças para análise. No momento de compartilhar idéias, as colocações revelaram o entendimento de que apesar dos procedimentos serem diferentes, as crianças resolveram adequadamente a situação. Uma discussão extremamente produtiva ocorreu em torno da possibilidade do professor não exigir a resolução convencional, representada pelos algoritmos. A aluna D manifestou-se afirmando que “jamais pensei em deixar as crianças encontrarem, livremente, suas estratégias, pois aprendi a adicionar e subtrair a partir dos algoritmos”.

Ao questionar-lhes sobre qual das situações seria a mais desafiante, a grande maioria optou por um problema “de comparação”.

167

Dando prosseguimento, propus que assistissem alguns vídeos contendo situações do campo aditivo, mediadas por um professor e, fizessem anotações. A seguir, durante a análise das situações propostas, um fato mereceu destaque: “A incógnita transitou, durante as atividades com as tampinhas e uma caixa de sapato” (Aluna H). Os acadêmicos relacionaram ao estudo das equações, o que, segundo eles ocorre com alunos bem maiores.

Essa percepção levou ao estudo teórico do Campo Aditivo, a partir da leitura de texto e uma exposição dialogada.

Em outro momento, distribui-se uma lista de problemas do campo aditivo para que, após a leitura identificassem quais as ideias contidas em cada um: combinar, transformar e comparar. Para a execução dessa tarefa, retomaram as ideias apresentadas no texto lido e trabalharam colaborativamente, buscando o apoio da professora da disciplina, quando necessário.

Dessa forma os problemas em que ocorria alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou negativa, a qual interfere no resultado final foram denominados de Transformação. Aqueles em que ocorria a junção de conjuntos de quantidades preestabelecidas foram tratados como Combinação de medidas. Os de Comparação referem-se ao confronto de duas quantidades para encontrar a diferença. Às situações em que ocorriam alterações consecutivas do estado inicial, foramagrupadas como composição de transformações (revista nova escola, 2009).

Alguns jogos foram realizados, dos quais decorreram situações-problema. Dentre eles merece destaque o jogo online, Feche a Caixa. Além disso, a

tarefa extra-classe

desafiou-os a elaborar problemas que se enquadrassem nos conceitos do campo aditivo.

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS Há algum tempo o estudo dos Campos Conceituais de Vergnaud compõe o planejamento da disciplina de FTMM do curso de Pedagogia da Urcamp. Porém a proposta vem sendo remodelada na medida em que os estudos vão sendo aprofundados.

As atividades analisadas neste artigo referem-se à proposta de 2017, em que a professora pesquisadora optou por atividades mais interativas, trazendo situaçõesproblema para a análise e construção dos referenciais teóricos.

Da mesma forma que as crianças criam diferentes estratégias para uma mesma situação, os acadêmicos estabelecem diferentes relações. Dentre os aspectos estudados 168

na unidade do Campo Aditivo, o maior impacto esteve vinculado à transição da incógnita; um mesmo problema, conforme sua elaboração poderá proporcionar diferentes interpretações e desenvolvimento de estratégias.

Substituir as aulas expositivas, mesmo que dialogadas, pelos procedimentos reflexivos argumentativos tem evidenciado maior domínio dos aspectos teóricos, bem como a ampliação das habilidades de produção textual, durante os registros no Diário Reflexivo. Dessa forma ocorre maior interação entre os aspectos teóricos e os práticos, entre os saberes e fazeres docentes.

Depoimentos de acadêmicos em situação de estágio em turmas dos anos iniciais revelam o interesse e o esforço em compreender as estratégias usadas, bem como o incentivo a compartilhar as idéias com os demais.

As mudanças educacionais exigem mudanças na formação inicial de professores. Trabalhar com a TCC permite ampla reflexão e constitui-se num caminho para a educação de qualidade.

REFERÊNCIAS VERGNAUD, G. Multiplicative structures. In. HIEBERT, H. and BEHR, M. (Ed.).

Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum, 1988. p. 141-161.

VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, v. 10, n. 23, p. 133-170, 1990.

VERGNAUD, G. Teoria dos Campos Conceituais. In Nasser, L. (ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro, 1993a. p.1-26.

VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade. Curitiba, PR: UFPR, 2009.

VERGNAUD, G. Multiplicative conceptual field: what and why? In. Guershon, H. e Confrey, J. (Eds.). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany: State University of New York Press, 1994. p. 41-59. https://novaescola.org.br/conteudo/2671/somar-e-subtrair-operacoes-irmas

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GRUPOS ÁULICOS NO ENSINO SUPERIOR: UMA EXPERIÊNCIA RADICAL NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM. Candy Marques Laurendon 12 Beleni Salete Grando13 Felipe Bruno Martins Fernandes14 Resumo: Os grupos áulicos promovem a aprendizagem de conceitos, procedimentos e representações acerca de certo Campo Conceitual, a partir de problemas e situações apresentadas pelo professor. Nesse sentido, esta comunicação tem como objetivo apresentar a aplicação de grupos áulicos no Ensino Superior em uma universidade pública. Tal procedimento pedagógico parte do princípio fundamental que a aprendizagem é social. A constituição dos grupos ocorre através da eleição de líderes e a partir da utilização de um instrumento avaliativo dos conhecimentos de cada estudante em um determinado Campo Conceitual, relativo à disciplina trabalhada. Esta organização permite ao professor conhecer o processo de aprendizagem de cada aluno e desse modo pensar suas aulas, promovendo um ensinoaprendizagem dialógico, graças às provocações didáticas propostas pelo professor e adequadas às hipóteses de cada aluno. Desse modo, a partir de nossas experiências enquanto professores universitários que utilizam a metodologia dos grupos áulicos na Universidade Federal do Pernambuco, Universidade Federal da Bahia e Universidade Federal de Mato Grosso, apresentaremos neste trabalho essa radical forma de ensino e sua potencialidade para o aprender, não somente na Educação Básica, como já vem sendo utilizada de forma exitosa por professores formados pelo GEEMPA, mas igualmente no Ensino Superior como aponta as nossas experiências e de demais colegas de outras universidades.

Introdução Considerando como professores universitários que já realizamos a nossa “primeira transgressão” no meio acadêmico ao “pôr em prática o pós-construtivismo, pois ele não é aceito ainda socialmente” (Grossi, 2017, p.5), propomos neste trabalho de discutir a aplicação de um procedimento didático pós-construtivista, a constituição dos grupos áulicos dentro de salas de aula no ensino superior, baseado no principio fundamental que a aprendizagem é um fenômeno essencialmente social.

Os grupos áulicos, que promovem a aprendizagem entre pares de conceitos, procedimentos e representações acerca de certo campo conceitual, a partir da apresentação de problemas e situações (Vergnaud, 1990) pelo professor da disciplina, 12

Professora Colaboradora e Pós-doutoranda no Programa de Pós-Graduação de Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco.

13 Professora docente e pesquisadora do Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal de Mato Grosso e professora da Faculdade de Educação Física no curso de Licenciatura em Educação Física.

14 Professor da Universidade Federal da Bahia no Bacharelado em Estudos de Gênero e Diversidade e líder do Grupo de Pesquisa: Gira - Grupo de Estudos Feministas em Política e Educação.

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organizam a sala de aula de uma forma revolucionária ao considerar o processo de ensino-aprendizagem não como algo unilateral entre um professor e os estudantes, mas como multidirecional, todos podendo assumir o papel de ensinar e, portanto, de aprender, pois “só ensina quem aprende”. O pós-construtivismo sendo algo ainda não aceite socialmente, este é quase desconhecido nos bancos universitários, apesar de se basear em teorias científicas sólidas como as de Piaget, Vygotsky, Wallon, Vergnaud e Pain, entre outros.

Os questionamentos que orientam a discussão proposta neste trabalho são os seguintes: Como a constituição de grupos áulicos organiza as salas de aula no ensino superior de uma forma revolucionária? Como orientar o processo de ensino-aprendizagem na universidade para respeitar o principio de Gérard Vergnaud que “a didática é uma boa provocação”, considerando os campos conceituais respetivos de cada disciplina?

Após uma breve apresentação do pós-construtivismo, descreveremos em detalhe o processo de constituição dos grupos áulicos nas salas de aula de universidades públicas, vinculando tanto quanto possível com a teoria dos campos conceituais de Vergnaud.

Terminaremos este texto com reflexões decorrentes da aplicação deste procedimento didático no ensino superior, a partir de uma perspectiva antropológica e didática.

A Teoria Pós-construtivista A teoria pós-construtivista corresponde a uma perspectiva do sujeito que ultrapassa o construtivismo piagetiano, considerando outras dimensões do sujeito como a social e a subjetiva para compreender como se aprende e como se ensina. O pósconstrutivismo articula assim as contribuições de Piaget (1983), ao considerar o processo de aprendizagem constituído por etapas, a partir da adaptação do sujeito ao meio, com as ideias de Wallon (1995), afirmando que somos seres geneticamente sociais, com Vygotsky (1994), ao entender a aprendizagem por meio das relações mediadas com o contexto sociocultural de um plano interpessoal para um plano intrapessoal; com Vergnaud (1990), ao pensar o sujeito que constrói conceitos a partir das situações por meio das representações simbólicas e com Pain (1999) ao sustentar que o professor deve levar em conta a questão da lógica e a questão subjetiva (da dramática) das aprendizagens.

Ao considerar o sujeito aprendente na sua integralidade, com as suas diferentes dimensões, o pós-construtivismo objetiva romper com uma série de ‘pré-conceitos’, arraigados no meio escolar, demonstrando que todos podem aprender (Grossi, 2017). É, 171

portanto, uma proposta didático-metodológica que concebe o processo de ensinoaprendizagem, articulando a teoria e a prática, a partir também das contribuições da Psicanálise, da Medicina, da Antropologia, da Sociologia, da Filosofia e da Didática.

A constituição dos grupos áulicose sua relação com a TCC A constituição dos grupos áulicos nas salas de aula geempianas permite, através da operacionalização da interação entre pequenos grupos de estudantes, concretizar o princípio fundamental que a aprendizagem é social, "o qual se deduz de um princípio mais amplo de que "se aprende resolvendo problemas"" (Grossi, 2010, p.71). A organização da sala em pequenos grupos ocorre a partir de uma eleição democrática centrada na aprendizagem. Neste sentido, no caso de formação de adultos (professores do Ensino Fundamental e estudantes universitários), o professor formador pósconstrutivista elabora um instrumento para avaliar os conhecimentos de cada estudante em um determinado Campo Conceitual, relativo à disciplina trabalhada.

De fato não podemos considerar o ensino e a aprendizagem de uma disciplina como independentes do domínio de conhecimento implicado. Isto se deve por conta tanto dos processos de conceitualização necessários, da especificidade das situações e dos fenômenos estudados e das formas de atividades a serem desenvolvidas. (VERGNAUD, 1990).

Este instrumento pode ser composto por várias questões abertas que são respondidas através de sim, não e porquê, ou seja, justificando a tendência da resposta.

Proposto no ínicio do semestre letivo da disciplina, este instrumento avaliativo permite ao professor identificar os conhecimentos prévios de seus estudantes e as diferenças entre eles, decorrentes de níveis psicogenéticos do campo conceitual em questão.

Determinar estes níveis é fundamental para o professor pensar suas aulas, promovendo um ensino-aprendizagem dialógico, graças às provocações didáticas elaboradas e adequadas às hipóteses de cada discente.

O primeiro momento para a constituição dos grupos áulicos origina-se na socialização destes níveis, através da apresentação, pelo professor, de um gráfico em forma de escada, para que os estudantes tomem conhecimento de suas hipóteses quanto aquele campo conceitual da disciplina considerada. A partir da tomada de consciência de seu processo de aprendizagem e de seus colegas, é proposto que cada estudante vota em três colegas, levando em conta o desejo de aprender com os outros: um com quem gostaria de aprender, um com quem gostaria de trocar e um a quem gostaria de ensinar.

Em seguida, se realiza a apuração dos votos registrado num quadro e se contabiliza a quantidade que cada estudante recebeu, para que os líderes sejam reconhecidos, como 172

aqueles que receberam o maior número de votos. Estes coordenadores de grupo são essenciais para a formação dos grupos áulicos, pois "sem coordenação, não é grupo" mas um bando. "Um grupo, para existir, exige como ingrediente básico uma autoridade que assuma a coordenação das autoridades de cada um" (GROSSI E FREIRE, 2010, p.

40). Assim, o coordenador é indispensável para que ele articula as autorias de cada membro do grupo para que estas se transformem num produto visado (idem).

A partir da identificação dos coordenadores dos grupos (levando em conta o número de estudantes da turma e considerando que um grupo áulico ideal é composto por quatro participantes), prossegue o processo de constituição dos grupos com o convite, pelos líderes, de colegas com os quais querem trabalhar, relembrando a todos que o foco é aprendizagem e não afinidade entre pessoas. Assim, se forma primeiramente uma dupla, para depois constituir um trio. O quarto membro de cada grupo tem então a escolha de grupo no qual quer participar, após cada trio ter realizado uma propaganda para despertar o desejo de integrar seu grupo.

Posteriormente, surge a escolha do lugar a ocupar na sala de aula por cada grupo, "na lógica de pensar o território a que pertencem" (TUBOITI, 2015, p.109). E uma etapa importante neste processo de constituição dos grupos áulicos é a escolha de um nome significativo para o grupo, no qual cada membro se identifique. Finaliza-se este processo com uma atividade didática aglutinadora para que cada grupo começa a aprender a coordenar seus esforços, caminhar e pensar juntos para a resolução de tarefas. Assim, esta formação de grupos áulicos permanece por um tempo determinado, medido pela qualidade das aprendizagens e da interação nos grupos.

A experiência de formação dos grupos áulicos no Ensino Superior Como professores no Ensino Superior, a organização da sala de aula em grupos áulicos transforma radicalmente a relação entre docente e discentes, demonstrando uma concepção do processo de ensino-aprendizagem diferente daquela tradicionalmente proposta nos ambientes universitários. Pois este procedimento didático revela uma preocupação do professor com o processo de aprendizagem de cada estudante participando àquela disciplina, e considera este processo como fundamentalmente social, ao promover a construção de conhecimentos a partir das trocas entre pares, o professor no lugar de mediador e orientador do processo de aprendizagem de seus estudantes.

173

Candy: Como professora colaboradora na UFPE, ministro uma disciplina sobre "Aprendizagem" na Graduação e na Pós-Graduação de Psicologia, na qual organizo as turmas a partir da constituição de grupos áulicos. O tema da disciplina focado na aprendizagem, a proposta é de concretizar esta questão, ou seja, de aprender na ação, pois a aprendizagem remete ao processo de conceitualização na ação para Vergnaud (1990) a partir de classes de situações problemáticas e significativas. Assim, participando diretamente do processo de formação de pequenos grupos, eles vivenciam o princípio fundamental que norteia este procedimento de que a aprendizagem é essencialmente social. Considerando como

Vergnaud que a "didática é uma boa

provocação", como professores universitários, propomos uma grande provocação, ao fazer com que os estudantes vivem e tomem consciência da importância dos outros, dos pares para a realização das atividades propostas.

Na primeira aula da disciplina, antes de iniciar uma introdução, entrego um "Sim, Não, Porquê" que elaborei sobre o conteúdo deste campo conceitual para eles responderem. Diversas reações são manifestadas pelos estudantes, mas a maioria demonstra surpresa, por ser algo inédito no contexto do Ensino Superior, e curiosidade, instigados a saber mais sobre este campo conceitual. E no decorrer das duas aulas seguintes, tento conseguir obter o maior número de respostas dos estudantes, para que todos participem da aula do processo de constituição dos grupos áulicos.

No dia desta aula, iniciamos com a apresentação dos resultados ao "Sim, Não, Porquê", contextualizando o objetivo deste procedimento, e a necessidade de estarmos focados no processo de aprendizagem de todos que compõem a turma. Segue a escolha dos colegas, completando as cédulas de votação, insistindo na importância de levar em conta a aprendizagem e não a questão das afinidades. Apesar de estarmos trabalhando com estudantes universitários, os mesmos ainda privilegiam mais as relações de sociabilidade entre pares. O processo de constituição dos grupos áulicos com a integração do quarto e quinto componente, através da propaganda realizada desperta o maior interesse dos estudantes. E por fim, a nomeação dos grupos também reflete a descoberta de um novo caminho relacional ensino-aprendizagem, como demonstram alguns nomes de grupos: "Echange15", "Grupo de Estudos sobre as Teorias da Aprendizagem", "Os piratas de preto", "os 5D"...

15

Echange significa em francês troca.

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Ao usar este método pedagógico no Ensino Superior, o professor democratiza as aprendizagens, demonstrando que todos na turma podem aprender uns com os outros. A cena áulica é, desse modo, transformada, se configurando a partir de pequenos grupos.

E as estratégias didáticas do professor universitário pós-construtivista são orientadas para a elaboração de atividades a serem realizadas pelos grupos. Nesta perspectiva, os jogos constituem uma forma de trabalhar pedagógicamente o conteúdo proposto nas aulas. A própria atividade aglutinadora como jogo, a partir de letras em pedaços ou do Veritek, provoca a necessidade das trocas e da colaboração entre os membros do grupo para resolver a tarefa.

A organização das turmas no Ensino Superior leva o professor a planejar e propor tarefas a serem realizadas nos grupos para cada aula e, portanto, menos tempo a ser consagrado a aulas expositivas, nas quais os estudantes estariam mais passivos. Os jogos e outras atividades em grupo provocam os estudantes a pensar, elaborar e criar em grupo. A cada semestre, a organização da sala de aula em grupos áulicos é única e permite ao professor acompanhar cada vez mais o processo de aprendizagem dos alunos e identificar as possíveis dificuldades de alguns.

Beleni: Como professora no PPG de Educação na UFMT, iniciei as experiências pedagógicas com a constituição dos grupos áulicos em minhas aulas, organizando os processos de ensino-aprendizagem a partir dos grupos, cujos ensaios variam de turma para turma, que a cada semestre se constitui de forma única. Em algumas turmas foi possível a escadinha e avaliação dos processos individuais após a verificação das aprendizagens com o “Veritek” e novas eleições.

Nos grupos fica mais efetiva a possibilidade de identificar as dificuldades individuais e reorganizar a dinâmica dos mesmos a fim de que possamos garantir que todos aprendam. Conforme o número de alunos e alunas, o calendário letivo, a carga horária (dependendo da disciplina é uma vez por semana em encontros de 2 até no máximo 4 horas), o processo de eleição dos grupos acontece mais de uma vez, mas o que pude constatar nesse processo é o envolvimento maior entre os alunos e o compromisso coletivo para a realização das atividades, uma maior controle docente de quem está aprendendo o que, da transparência nos processos individuais e dificuldades nos estudos que são realizados individualmente e em grupo em todas as etapas dos conteúdos programáticos.

A dinâmica das aulas em grupo e com jogos aprofundou as possibilidades de compreensão do processo de aprendizagem por parte dos alunos da licenciatura, pois 175

estabeleceram tanto relação sobre os seus processos próprios de aprendizagem quanto de como promover aprendizagens significativas com crianças na escola. Nos grupos, o vínculo é aprofundado entre os próprios alunos, as responsabilidades coletivas são fortalecidas e as aprendizagens ampliadas, pois aprendem uns com os outros e os exemplos práticos de situações pedagógicas – relações entre alunos e conhecimentos que devem ser aprendidos – são mais significativas, pois passam pelas próprias aprendizagens do corpo que se é, enquanto aluno e professor.

Felipe: Como professor do Bacharelado em Estudos de Gênero e Diversidade da Universidade Federal da Bahia desde 2014 faço uso dos grupos áulicos na disciplina de Introdução à Antropologia do Gênero. No primeiro dia de aula é aplicado o Sim Não Por quê? da antropologia, uma vez que essa disciplina introdutória visa expor os discentes aos conceitos chave da disciplina, a saber, etnocentrismo, alteridade, diferença, cultura e etnografia. Além disso, logo nas primeiras semanas, é exigido um exercício de escrita etnográfica de descrição de situação do cotidiano, além de uma resenha crítica de um texto teórico. Com esses primeiros exercícios são construídas as primeiras escadas. Também nos primeiros dias de aula são definidos os grupos áulicos com base na dinâmica de “sedução" com o olhar e, após a apresentação das escadas um novo grupo áulico, baseado na eleição, é constituído. Os grupos áulicos contribuem não apenas com o aprendizado dos alunos, mas fundamentalmente com o conteúdo da disciplina que envolve o reconhecimento do outro como interlocutor legítimo em nossos processos de crescimento cognitivo. Apesar da resistência dos alunos de primeira fase com um método alternativo de aprendizagem, que comumente reclamam do professor que “não explica” e “não dá aulas expositivas com powerpoint como as outras docentes”, percebo o crescimento da turma em relação à proposta dos conceitos iniciais.

Referências Grossi, E.P. e Freire, M. (2010). Todo grupo precisa de um coordenador. In: GEEMPA. Grupos áulicos: a interação social na sala de aula, Porto Alegre, 37-54.

Grossi, E.P. (2017). A Teoria dos Campos Conceituais é algo extraordinário! Geempa.

Pain, S. (1999). A função da ignorância. Porto Alegre: Artmed.

Piaget, J. (1983). Seis estudos de psicologia. Rio de Janeiro: Editora Forenze Universitária Ltda.

Tuboiti, N. (2015). Grupos áulicos: ressignificando a cena áulica. Revista do Geempa, n°11, 107-116.

176

Vergnaud, G. (1990). La théorie des Champs Conceptuels.

Wallon, H. (1995). A evolução psicológica da criança. Lisboa: Edições 70.

Vygotsky, L. (1994). A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes.

177

Em seguida aconteceu a sessão de comunicação científica.

UMA ANÁLISE DE ESQUEMAS UTILIZADOS POR ESTUDANTES DO SÉTIMO ANO AO RESOLVER PROBLEMAS ENVOLVENDO PROPORCIONALIDADE. MARIANA BRAUN AGUIAR, MARCUS VINICIUS DE AZEVEDO BASSO. UFRGS – Porto Alegre/RS. CONGRUÊNCIA MÓDULO M: ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS EM DISCURSOS DE ESTUDANTES DE LICENCIATURA. RITA DE CÁSSIA DE SOUZA SOARES RAMOSTHAÍS PHILIPSEN GRÜTZMANN A CONCEITUALIZAÇÃO DA NATUREZA DA CIÊNCIA À LUZ DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS. JULIANA MACHADO. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca - CEFET/RJ. SITUAÇÕES ENVOLVENDO O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO NA PERPECTIVA DE PROFESSORES QUE LECIONAM MATEMÁTICA PARA OS ANOS INICIAIS. TÂNIA MARIA MENDONÇA CAMPOS, ANGÉLICA DA FONTOURA GARCIA SILVA, RAQUEL FACTORI CANOVA. UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO.

ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: SITUAÇÕES-PROBLEMA DE TRANSFORMAÇÃO BASEADA NATEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS DE GÉRARD VERGNAUD. GABRIELE BONOTTO SILVA, VERA LUCIA FELICETTI

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UMA ANÁLISE DE ESQUEMAS UTILIZADOS POR ESTUDANTES DO SÉTIMO ANO AO RESOLVER PROBLEMAS ENVOLVENDO PROPORCIONALIDADE Mariana Braun Aguiar UFRGS Marcus Vinicius de Azevedo Basso - UFRGS mariana_braun94@hotmail.com

Resumo: O presente trabalho tem por objetivo analisar os diferentes esquemas utilizados por estudantes do sétimo ano do ensino fundamental ao se depararem com problemas envolvendo proporcionalidade. Para isso, é realizada uma análise de parte de um conjunto de dados, os quais deram origem à dissertação intitulada “Introduzindo a noção de proporcionalidade via resolução de problemas: uma análise de esquemas mobilizados por estudantes do sétimo ano do ensino fundamental”, com um olhar voltado aos conhecimentos organizadores dos esquemas identificados. A Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud permitiu identificar esquemas que foram classificados em três níveis de complexidade, os quais são descritos e caracterizados neste trabalho.

Palavras-chave: Proporcionalidade; Resolução de Problemas; Campos Conceituais.

1. Introdução Em documentos curriculares norteadores como a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), o estudo da proporcionalidade está previsto para o sétimo ano do Ensino Fundamental. No entanto, é fato que os estudantes trazem consigo uma bagagem matemática que, muitas vezes, possibilita que resolvam problemas simples cotidianos envolvendo proporcionalidade. Para identificar os esquemas e as linguagens a que os estudantes lançam mão ao se depararem com problemas de proporcionalidade são propostas quatorze situações a alunos do sétimo ano em Ensino Fundamental, em uma escola da rede municipal de Canoas, cidade pertencente à região metropolitana de Porto Alegre – RS/Brasil. Neste trabalho são analisadas as resoluções apresentadas para uma destas situações, identificando os diferentes esquemas contidos, bem como as diferentes linguagens empregadas nestas resoluções, considerando que os estudantes ainda não haviam sido previamente apresentados a este conteúdo em ambiente escolar.

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2. O Uso da Teoria dos Campos Conceituais (TCC) neste Trabalho A TCC, embora não seja uma teoria especificamente escolar e voltada à didática, acaba sendo utilizada com frequência em pesquisas da área educacional por ser destinada a explicar a aprendizagem e o desenvolvimento de competências complexas. Neste trabalho, a TCC é utilizada na identificação e análise dos esquemas e da linguagem utilizada pelos estudantes participantes da pesquisa.

A TCC considera que a aquisição dos conceitos está ligada a três aspectos principais: a análise e categorização dos diferentes problemas matemáticos (classes de situações problema); a descrição e análise dos diferentes conhecimentos envolvidos na resolução destes problemas, os chamados invariantes operatórios, e a representação simbólica empregada na resolução (linguagens).

No que se refere à categorização dos diferentes problemas matemáticos, Vergnaud (1993) destaca duas classes: uma, em que o sujeito possui as competências necessárias para resolvê-las; outra, em que o sujeito não possui as competências necessárias para resolvê-las de imediato, precisando recorrer à exploração do problema, testagens, identificação de semelhanças com situações anteriores, entre outras estratégias preliminares para traçar o seu caminho até a resolução. Na prática analisada neste trabalho, foram propostos aos alunos problemas que se enquadram no segundo tipo descrito pelo autor, o que exigiu dos estudantes um processo de investigação, mobilização e adaptação de seus conhecimentos anteriores para a sua resolução.

Inicialmente, é importante discutir o significado da expressão “conceito”, no sentido de destacar que conceito, no contexto da TCC, não é simplesmente sinônimo de definição, mas engloba também o sentido que a ideia adquire quando utilizada em situações-problema, bem como o conjunto das formas de linguagem que podem ser utilizadas para representar simbolicamente o conceito. Desta forma, conceituar um objeto matemático, por exemplo, não é apenas defini-lo, é também estabelecer relações, encontrar formas de utilizar e adaptar esta noção para auxiliar na resolução de problemas que a envolvam. Simbolicamente, Vergnaud define conceito como uma terna C= (S, I, R), no qual S representa as situações que dão sentido ao conceito, I representa as invariantes que a definição traz consigo e R representa o conjunto de formas simbólicas que permitem sua representação.

180

Outro conceito central da TCC que será utilizado para análise dos dados coletados é o de esquema, que se define como a “organização invariante do comportamento para uma classe de situações” (VERGNAUD, 1993, p. 2). Dessa forma, o esquema se refere à organização da atividade do sujeito em dada situação, sendo composto por regras, antecipações, inferências e, especialmente, por conhecimentos que o organizam, os quais são denominados pelo autor por “conceitoem-ação” e “teorema- em-ação” ou, de forma global, “invariantes operatórios”.

Nestes esquemas, é possível identificar comportamentos que se automatizam progressivamente, conforme as condutas do sujeito o levam ao sucesso nos diferentes problemas a serem resolvidos. Além disso, também se identifica tomadas de decisões conscientes no esquema, as quais envolvem as variáveis específicas do problema, e não se generalizam e automatizam progressivamente, já que são particulares da situação proposta.

Vergnaud (1993) destaca que a linguagem possui uma grande importância na TCC, pois representa de forma simbólica o pensamento e a conduta do sujeito no processo de resolução de um problema, bem como auxilia na identificação dos invariantes operatórios da situação (conceitos e teoremas envolvidos em um esquema).

A partir da linguagem, se tem acesso ao esquema ou da combinação de esquemas utilizada pelo sujeito para lidar com diferentes situações e problemas.

A solução de problemas muito novos é impossível sem a linguagem, sobretudo quando essa situação evoca conceitualizações novas e a transformação de certos elementos em objetos de pensamento bem identificados. (VERGNAUD, 1993, p.24)

Também é importante ressaltar a dificuldade existente no ato de tornar compreensível, através da linguagem, a tomada de decisões do sujeito que resolve um problema matemático. Em muitos casos, o ato de optar por uma estratégia ou outra durante a construção de um esquema não é facilmente explicado, muito menos é justificado em linguagem escrita. Na análise dos dados desta pesquisa, muitas vezes, houve a necessidade de recorrer a anotações, rascunhos e expressões verbais utilizadas pelos alunos durante discussões acerca do problema, ou seja, indícios de preferências por determinadas ações observadas nos esquemas estabelecidos, na tentativa de

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compreender as tomadas de decisões observadas no trato com os novos conceitos a que os estudantes estarão sendo confrontados. “... os experts mais experimentados não são capazes de colocar em palavras uma boa parte dos conhecimentos que eles utilizam na ação e que são justamente significativas em suas expertises.”

(VERGNAUD, 2009, p.31)

Com base nas ideias abordadas até o momento, é possível definir Campo Conceitual segundo a teoria de Vergnaud. Para o autor, um Campo Conceitual é um conjunto de situações cujo tratamento apresenta invariantes operatórios específicos, isto é, situações problema cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas em conexão estreita. Neste trabalho, interessou principalmente o campo conceitual das estruturas multiplicativas. Neste campo conceitual, as situações se estruturam com base em diferentes organizadores do pensamento, tais como: a correspondência direta e/ou inversa entre grandezas, relações de equivalência, replicações, busca por valor unitário de referência (razão), entre outras estruturas que são geralmente apoiadas nas operações de multiplicação e divisão. Vergnaud (2009). No entanto, com base na observação dos esquemas utilizados pelos estudantes durante a prática analisada neste trabalho, foram identificados elementos também relacionados ao campo aditivo.

3. Análise das Resoluções de um Problema de Proporcionalidade Para análise neste trabalho, é utilizado um conjunto de 18 soluções obtidas durante a aplicação de um problema de proporcionalidade a um conjunto de aproximadamente 80 alunos do sétimo ano do ensino fundamental, os quais realizaram a solução do mesmo em grupos. O problema em questão foi retirado do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2015.

Quadro 1: Problema proposto aos alunos

Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados na figura. Quais são o comprimento e largura reais da pegada?

182

Dentre as 18 respostas analisadas, pudemos classificar 14 como corretas e 4 como incorretas. No entanto, foram identificados conhecimentos organizadores de pensamento distintos.

Dentre as quatro respostas incorretas, foi identificada em duas resoluções uma linha de raciocínio puramente aditiva, a qual, apesar de equivocada, foi explicada e desenvolvida detalhadamente pelos grupos. Ambos observaram quantos centímetros a caneta diminuiu do seu tamanho real para o tamanho adquirido na fotografia e concluíram que as dimensões da pegada na fotografia deveriam aumentar este mesmo número de centímetros, conforme figura abaixo.

Figura 1: resposta e justificativa do grupo 7 para a questão 4.

Fonte: acervo pessoal.

Na resolução identificada acima, observa-se a ausência da proporcionalidade como organizador do pensamento, ao passo que os estudantes consideram que deve ocorrer um aumento ou diminuição igual nas dimensões, independentes de elas serem originalmente iguais ou não. Esta noção leva os estudantes a realizarem somas e subtrações de um mesmo valor em ambas as grandezas, já que as dimensões reais da pegada, no seu entendimento, não irão interferir no quando ela deve diminuir em sua representação na fotografia.

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Nas resoluções dos outros dois grupos que não apresentaram respostas corretas, foi identificado que eles conseguiram concluir que a caneta diminuiu 12 vezes seu tamanho original em relação ao tamanho na fotografia, isto é, identificaram um operador multiplicativo entre as grandezas do problema, mas não prosseguiram com este raciocínio de forma correta, pois somaram largura e comprimento para então realizar a multiplicação por 12. Foi identificada uma linha de raciocínio semelhante nas 14 respostas corretas: os grupos descobriram quantas vezes o tamanho da caneta foi diminuído e multiplicaram as dimensões da pegada por este resultado.

Nestas resoluções, é possível observar a presença da proporcionalidade como um organizador do pensamento que embasa os esquemas utilizados pelos grupos.

Ainda, é possível identificar que, como primeiro passo das suas resoluções, os estudantes buscaram detectar um operador horizontal que leva as dimensões reais às dimensões da fotografia utilizando os dados do problema, utilizando o fato de que a dimensão real da caneta é de 16,8cm e o tamanho observado na fotografia é de 1,4cm.

No entanto, foi percebida uma diferença utilizada pelos grupos para dar seguimento ao esquema e descobrir quantas vezes o tamanho da caneta foi diminuído.

Dos 14 grupos, 3 explicaram ter feito a divisão de 16,8cm por 1,4cm para obter o operador (÷12), isto é, fizeram uso da identificação de um operador inverso através da divisão, como podemos observar na figura 2.

Figura 2: resposta e justificativa do grupo 17 para a questão 4.

Fonte: acervo pessoal.

Os outros 11 grupos indicaram ter utilizado multiplicações do comprimento 1,4cm até obter o comprimento real de 16,8cm, o que indica que procuravam o

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operador horizontal multiplicativo que leva o comprimento na fotografia ao comprimento real.

Acreditamos que a maioria dos grupos optou por encontrar o operador horizontal através da multiplicação, pois, em geral, os alunos apresentam mais dificuldade no algoritmo da divisão, que foi agravada pelo fato de divisor e dividendo serem números decimais, fazendo com que optassem pelo processo inverso da divisão.

Nas resoluções presentes nas figuras 17 e 18, embora distintas, podemos identificar que a busca pela razão entre o comprimento na fotografia e o comprimento real organiza a ação dos estudantes nos esquemas.

Figura 3: resposta e justificativa do grupo 8 para a questão 4.

Fonte: acervo pessoal.

4. Resultados e Considerações Finais Na análise do conjunto de soluções abordado neste trabalho, foi possível identificar esquemas classificados em três níveis de complexidade no que tange os conhecimentos que organizaram a ação dos estudantes durante as resoluções, as quais estão organizadas no quadro abaixo.

Quadro 1 – Níveis de Complexidade dos Esquemas Identificados

NÍVEIS DE COMPLEXIDADE DOS ESQUEMAS IDENTIFICADOS Nível 1 – Esquemas Identificados em resoluções como aquelas presentes na puramente aditivos figura 1, mostraram ausência da noção de proporção entre as dimensões reais e da fotografia, realizando somas de um mesmo valor às diferentes medidas da pegada.

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Nível 2 – Esquemas Identificados em resoluções como aquelas presentes na multiplicativos diretos figura 2, mostraram a presença da noção de proporção entre as dimensões reais e da fotografia, realizando testes através de multiplicações até obter-se o operador multiplicativo horizontal que levasse as dimensões reais da pegada às dimensões na fotografia.

Nível 3 – Esquemas Identificados em resoluções como aquelas presentes na multiplicativos inversos figura 3, mostraram a presença da noção de proporção entre as dimensões reais e da fotografia, realizando a divisão da dimensão real da pegada pela dimensão na fotografia.

Fonte: síntese da autora

Embora os esquemas de níveis 2 e 3 tenham levado os estudantes ao sucesso na resolução, identifica-se uma diferença importante na operacionalização dos mesmos.

Os esquemas classificados como nível 2 demonstram certa fragilidade ao considerarmos que este operador multiplicativo horizontal (× 12) poderia, em outras ocasiões, não ser representado por um número inteiro, o que, provavelmente, inviabilizaria a busca por este operador através de testagens, já que os estudantes realizaram

testes

somente

com

números

inteiros.

Já

os

esquemas

que

operacionalizaram a busca por este operador através de uma divisão (operador inverso), mostram mais segurança no momento em que se encontra o operador que buscam a partir de um única operação e, ainda, independente de ele ser inteiro ou não, o caminho escolhido levará a este operador de forma direta.

Finalmente, é importante ressaltar que, independente do nível de complexidade dos esquemas identificados, mesmo sem ter sido apresentado ao conteúdo de proporcionalidade ainda, os estudantes foram capazes de mobilizar noções próprias sobre o assunto e resolver os problemas propostos, mostrando que estas noções mostram potencial para serem exploradas pelo professor ao introduzir este conteúdo em sua sala de aula.

Referências

BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, Brasília: Ministério da Educação, 2015. Acesso online em 15 jan 2016. Disponível em <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/>.

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VERGNAUD, G. Conceitos e Esquemas numa teoria operatória de representação.

Trad. Ana Franchi e Dioni Luchesi de Carvalho. Psycologie Fraçaise, n. 30/3-4, 1985.

Teoria dos Campos Conceituais. In: Nasser. L. (Ed.) Anais do Primeiro Seminário Internacional de Educação Matemática. Rio de Janeiro, p.1–26, 1993 A Criança, a Matemática e a Realidade. Trad. MORO, M. L. F. UFPR, Curitiba 2009.

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CONGRUÊNCIA MÓDULO M: ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS EM DISCURSOS DE ESTUDANTES DE LICENCIATURA Rita de Cássia de Souza Soares Ramos Thaís Philipsen Grützmann rita.ramos@ufpel.edu.br Resumo: A presente comunicação apresenta uma pesquisa na forma de levantamento, realizada com estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância de uma universidade pública localizada no Sul do Brasil, durante o eixo Ideias da Álgebra. O objetivo da pesquisa foi identificar os esquemas contidos nas representações da congruência módulo m pelos estudantes. Para tal, foi elaborada uma lista com situações solicitando que os mesmos explicassem passo a passo como procederiam algumas divisões. Os dados encontrados foram estudados segundo a Análise de Conteúdo, e as representações indicam que foi utilizada a noção de múltiplo na maior parte das respostas corretas. Sugere-se abordagens diferenciadas e maior discussão a respeito das possibilidades de apresentação da congruência.

Palavras-chave: Álgebra; congruência; Educação Matemática; esquemas.

Abstract:This paper presents a research in the form of a survey, carried out with students of a Licentiate course in Mathematics in the Distance Modality of a public university located in the South of Brazil, during the axis Ideas of Algebra. The aim of the research was to identify the schemas contained in the representations of the congruence module m by the students. For this, a list was drawn up with situations asking them to explain step by step how some divisions would proceed. The data were studied according to the Content Analysis, and representations indicate that the notion of multiple was used in most of the correct answers. Different approaches and greater discussion about the possibilities of presentation of congruence are suggested.

Key-words: Algebra; congruence; Mathematical Education; schemes.

1 – Introdução O eixo Ideias da Álgebra foi planejado a fim de instruir os estudantes a compreenderem os conceitos de álgebra abstrata de forma a aplicarem estes na Educação Básica. Para tal, foram organizadas situações nas quais os alunos pudessem explicar o significado da divisão e da congruência de formas diferentes, segundo seu entendimento. Como o público-alvo era constituído por estudantes que já haviam cursado o eixo em outros momentos, havia uma inquietação sobre a visão dos mesmos sobre a congruência e esperava-se que houvesse maiores possibilidades de discussão para a construção das noções supracitadas.

2 – Estruturas Multiplicativas: visão operacional e visão relacional da congruência módulo m Compreende-se que a estrutura à qual a congruência módulo m pertence é a multiplicativa, e no quadro presente em MAGINA (2012), a relação de congruência 188

parece aproximar-se da relação ternária, no eixo da comparação multiplicativa, tipo discreta, no entanto não trata de variáveis explícitas, pois atua no campo abstrato, indicando relações entre conjuntos (no caso, o conjunto quociente). Segundo SCHMIDT apud CAMPOS (2009), uma representação de congruência pode ser da forma de visão operacional se “pensar sobre congruência [...] em termos de um processo que transforma um inteiro em outro, adicionando ou subtraindo múltiplos de m, ou quando não consegue ver a e b na mesma classe de congruência” ou relacional se “vê a e b na mesma classe de congruência, ou que na divisão pelo módulo ambos os números deixam o mesmo resto, ou que a diferença entre qualquer dois inteiros congruentes é múltiplo do módulo”. CAMPOS (2009)

3 – Metodologia Trata-se de uma pesquisa qualitativa. Os dados foram coletados na forma de levantamento e avaliados segundo a Análise de Conteúdo. O público alvo se constituiu de nove estudantes de Licenciatura em Matemática matriculados no eixo Ideias da Álgebra no ano de 2016. Os sujeitos eram oriundos de semestres variados, e todos haviam repetido o eixo pelo menos uma vez. A coleta se deu por meio de uma tarefa na sala virtual do AVA (Ambiente Virtual de Aprendizagem) Moodle, utilizada oficialmente pela Universidade nos cursos na modalidade a distância. A questão era dissertativa e individual, a respeito da divisão de um número suficientemente grande por 3, por 5 e por 7. Neste texto está presente a discussão da divisão por 3. A resposta esperada era que o resto da divisão de 4 por 3 é 1, portanto 4 é congruente a 1 módulo 3, e assim 1 elevado a qualquer número resulta em 1, no entanto, os retornos dos estudantes saíram de forma diversa da hipótese inicial.

4– Dados e Discussão O prazo dado aos estudantes para a resolução da questão foi de duas semanas, nas quais os mesmos poderiam consultar materiais externos, assistir vídeo aulas do curso e solicitar o auxílio da tutoria presencial ou a distância. A questão foi inserida na forma de tarefa, na qual os estudantes poderiam responder com uma folha escaneada ou diretamente digitando no ambiente virtual. A questão é a que segue: Quadro I - Questão 1 – Levantamento sobre congruência

Calcule o resto das seguintes divisões apontando passo a passo como você fez para resolvê-las. a) 4100÷3= b) 4100÷5= 189

c) 4100÷7= Fonte: A pesquisa

Dos nove estudantes, três não responderam a questão.

Um dos sujeitos fez 4100 = 4000 e procedeu as divisões, encontrando os restos. Tal resposta exigiu uma conversa com a estudante a fim de retomar conceitos da Matemática Básica.

Um dos estudantes chegou a escrever 4100 = r (mod 3) e p={0, 1, 2, 3} indicando um início de pensamento, ainda que os restos possíveis não estejam corretos para a divisão por 3.

Um dos estudantes chegou a iniciar o pensamento de sequência decrescente iniciada no expoente 100, não continuando a resolução da questão.

Figura 1 – Resposta de Estudante à questão da Pesquisa em 2016

Três dos estudantes iniciaram uma sequência e a partir da mesma concluíram que o resto seria sempre 1.

Figura 2 – Respostas dos estudantes utilizando recursos de demonstrações indutivas

Os três estudantes apontam para o pensamento indutivo no sentido de estabelecer conexões com conhecimentos presentes nos esquemas de divisão já conhecidos, sendo que segundo CAMPOS (2009), utilizam a noção de múltiplo ao apontar as subtrações por 3.k, apesar de a generalização não estar presente nas 190

respostas. Assim, está presente nas respostas dadas pelos alunos a “congruência relacional”. Sugere-se ampliar a discussão a respeito da congruência, seu significado e possíveis esquemas organizados por estudantes sobre o tema.

5 – Conclusão Após a análise das respostas dadas pelos estudantes à questão do instrumento, sugere-se retomar com os mesmos as noções de expoente, base e suas propriedades, assim como discutir com os mesmos em fórum adequado suas respostas, na expectativa de novas construções matemáticas serem criadas.

A respeito da congruência módulo m, além das discussões de sua representação operacional ou relacional, é premente debater acerca da utilização da mesma na Educação Básica, em critérios de divisibilidade, compreensão da noção de divisão e de construção da numeração de base decimal ou de outras bases.

6 - Referências CAMPOS, E. A noção de congruência algébrica no Curso de Matemática: uma análise das respostas dos estudantes. Curitiba, 2009. Tese (Doutorado em Educação).

Universidade Federal do Paraná.

MAGINA, S. Contribuição da teoria dos campos conceituais para a formação de conceitos matemáticos.

Disponível em: <http://devotuporanga.edunet.sp.gov.br/OFICINA/ofMATEMATICA/Teoria%20dos% 20Campos%20Conceituais%20%20por%20MAGINA%20Sandra.pdf> Acessado em 25 de setembro 2016.

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A Conceitualização da Natureza da Ciência à luz da Teoria dos Campos Conceituais Juliana Machado Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca - CEFET/RJ juliana.fsc@gmail.com Resumo: Apresento brevemente a problemática da introdução de conhecimentos de Natureza da Ciência no ensino de Ciências, em termos da compreensão das características do conhecimento científico - para além dos seus conteúdos - como objetivo da Educação Básica. Sintetizo brevemente alguns dos principais direcionamentos recentes das pesquisas nessa área de investigação. Identifico uma lacuna nessas discussões, relativa ao estudo do processo de conceitualização da Natureza da Ciência no contexto da Educação Básica. Após uma breve apresentação da Teoria dos Campos Conceituais, defendo a utilização desta como referencial teórico potencialmente frutífero para avançar na compreensão desse processo e levanto questões de investigação baseadas na teoria que podem contribuir para integrar elementos da Natureza da Ciência considerados relevantes na literatura.

Palavras-chave: Teoria dos Campos Conceituais; Natureza da Ciência; Ensino de Ciências; Epistemologia; Educação Científica.

1. Introdução A compreensão das características essenciais da Ciência tem sido defendida como um dos objetivos básicos da educação científica, quer seja através de documentos oficiais (AAAS, 1993; BRASIL, 2002) ou por meio de trabalhos de pesquisa na área de Ensino (McCOMAS, 2008; ABD-EL-KHALICK; LEDERMAN, 2000; LEDERMAN, 2007). De forma geral, há um reconhecimento de que qualquer que seja a opção – entre abordar aspectos da construção do conhecimento científico intencionalmente ou não fazê-lo – na prática educativa, alguma imagem da Ciência sempre estará em jogo. Desconsiderar a importância desses aspectos, seja para a formação de professores, para o planejamento didático, para a elaboração de materiais didáticos ou para outras instâncias envolvidas no sistema educativo, significaria substituir uma epistemologia explícita por uma epistemologia implícita e, portanto, acrítica e irrefletida pois, como foi sintetizado por Cupani e Pietrocola, “(...) para bem ensinar (e aprender) as explicações científicas é preciso conhecer de que forma a ciência pode explicar” (CUPANI; PIETROCOLA, 2002, p. 120). As consequências de se desconsiderar a relevância da Natureza da Ciência podem conduzir à disseminação do que Gil-Pérez et al (2001) denominaram de visões deformadas do trabalho científico16, as quais não detalharei aqui por já serem exaustivamente relatadas na literatura. Em lugar disso, desenvolvo uma breve síntese

de

algumas discussões atuais sobre a Natureza da Ciência (NdC) no ensino e argumento que a 16 Em síntese, as versões deformadas apontadas por Gil-Pérez et al são: concepção empírico-indutivista e ateórica; visão rígida de método científico; visão aproblemática e ahistórica; visão exclusivamente analítica; visão acumulativa de crescimento linear; visão individualista e elitista e visão socialmente neutra da Ciência (GIL-PÉREZ et al, 2001) .

192

Teoria dos Campos Conceituais pode constituir um referencial teórico potencialmente frutífero para integrar aspectos epistêmicos da NdC e avançar na compreensão do processo de conceitualização dos conhecimentos relativos a essa temática.

2. Natureza da Ciência no Ensino de Ciências

Dentre os trabalhos de pesquisa que enfocam a NdC na educação científica, um grupo bastante influente é o de Norman Lederman e seus colaboradores. No programa de Lederman, são instituídas sete categorias para representar os aspectos da NdC que atenderiam aos critérios de acessibilidade aos estudantes, ampla aceitação entre os filósofos da ciência e potencial de serem úteis aos cidadãos (LEDERMAN et al, 2002).

Esse tipo de abordagem da NdC é, por vezes, chamada de “visão consensual” (consensus view)17 na literatura da área. A partir dessa lista consensual, o trabalho de Lederman et al (2002) passa a enfocar a questão da avaliação das concepções dos alunos a respeito desses pontos. Com esse objetivo, os autores desenvolvem e validam um instrumento de avaliação, na forma de um questionário de perguntas abertas, chamado de "Views of the Nature of Science" (VNOS). O objetivo é classificar as posições manifestadas pelos respondentes sobre cada uma das sete categorias em "visões informadas" e "visões ingênuas". Posteriormente, o questionário VNOS tornou-se extremamente popular, chegando a ser o instrumento de avaliação mais amplamente usado para acessar as concepções sobre NdC (Allchin, 2011).

Contudo, a visão consensual não é livre de críticas. Irzik e Nola (2011) apontam que essa proposta ignora a existência de certas regras metodológicas que fazem parte do fazer da ciência. Sem discutir sobre as possíveis metodologias científicas, seria difícil compreender, por exemplo, em que sentido a ciência pode ter as características que são atribuídas a ela. Esses autores propõem uma alternativa para a lista consensual, a que chamam "semelhança de família" (family resemblance) (IRZIK; NOLA, 2011), que fundamenta-se na definição de quatro classes de elementos, as quais seria constitutivas da prática científica: objetivos e valores; atividades; metodologias e produtos. Enquanto todas as áreas científicas possuem algum ou vários elementos de cada uma dessas classes (mas não todos), duas áreas distintas - tais como a astronomia e a zoologia - não necessariamente compartilham os mesmos elementos em cada classe. Essa abordagem 17Resumidamente, as categorias propostas por Lederman (2002 et al) apontam que conhecimento científico: (1) tem caráter empírico; (2) envolve imaginação e criatividade; (3) é carregado de teorias; (4) incorpora influências sociais e culturais, refletindo valores do espaço e do tempo próprios do contexto em que é produzido; (5) não se presta a uma metodologia única; (6) é provisório, já que não é absoluto, embora seja confiável e durável; (7) por fim, os autores invocam a necessidade de enfatizar que leis são fundamentalmente diferentes de teorias.

193

procuraria refletir uma visão mais completa de ciência, capturando a sua complexidade e dinamicidade.

Outra crítica contundente aos pressupostos da visão consensual pode ser apontada no trabalho de Allchin (2011). O principal alvo do ataque de Allchin é o caráter declarativo, tanto da lista consensual quanto do instrumento VNOS, que não contribuiria para equipar os sujeitos com um conhecimento funcional, necessário no enfrentamento de contextos realísticos. Para Allchin (2011), não apenas a configuração da lista consensual é dogmática, pois pretende doutrinar os estudantes para determinadas crenças sobre a ciência, como as próprias crenças são altamente questionáveis, quando não irrelevantes. Em adição, a lista consensual excluiria aspectos relevantes da natureza da ciência, fundamentais para fazer uma "análise bem informada", tais como a credibilidade, os vieses, a revisão por pares, o financiamento das pesquisas e as fraudes. O conjunto de todos esses aspectos, selecionados por sua relevância à "dimensão da confiabilidade na ciência" (isto é, as características da ciência que fazem dela uma forma de conhecimento confiável), é entendido pelo autor como a "Ciência Integral" (Whole Science). Assim como Lederman et al (2002), Allchin (2011) também constrói um instrumento avaliativo para acessar as concepções dos alunos, o qual apresenta como uma alternativa ao VNOS. O objetivo de Allchin, no entanto, não é o de classificar as respostas de acordo com a ingenuidade, mas verificar em que medida os estudantes são capazes de fazer uma "análise bem informada" frente a contextos realistas que requerem tomadas de decisões, como recomendar a alguém fazer ou não um exame de mamografia, ou quais ações de saúde pública tomar face a uma suposta ligação entre a aplicação de vacinas contra sarampo e a ocorrência de autismo nas crianças vacinadas (ALLCHIN, 2011).

Em outra perspectiva, Matthews (2012) argumenta que, ao invés de estabelecer uma caracterização da NdC para ser memorizada e avaliada, seria mais interessante pensar em termos de “características” (features) da Ciência a serem elaboradas, discutidas e investigadas. Nessa perspectiva, várias outras características poderiam ser incluídas, não havendo motivos para limitar o trabalho apenas às sete de Lederman.

Segundo Matthews (2012), não se trata de aumentar uma listagem de items a serem acrescentados como conteúdos a mais para serem aprendidos, mas de reconhecer que o empreendimento científico é complexo e multifacetado, não sendo passível de esgotamento através de uma lista de verificação. O autor alerta, entretanto, para a necessidade de manter objetivos modestos para esse tipo de abordagem: não se pode 194

pretender que os estudantes, ou mesmo professores em formação, tornem-se historiadores e filósofos da Ciência.

Em uma direção semelhante, Martins (2015) também destaca pontos problemáticos que emergem da proposta da visão consensual, discutindo críticas já presentes na literatura e enfatizando o caráter excessivamente fechado e homogêneo da opção por trabalhar com "princípios" da ciência. Procurando oferecer um redirecionamento nessa discussão, Martins (2015) sugere que se procure orientar o trabalho com NdC no ensino a partir de temas, ao invés de princípios. Esse tipo de abordagem não fecharia o currículo em termos de itens sobre "como a ciência funciona" a serem ensinados, mas apontaria assuntos ou questões consideradas relevantes e que devem ser discutidas em um caráter investigativo. Trata-se também de uma mudança de perspectiva profunda sobre o trabalho com a NdC, pois desloca o centro da questão, de respostas a serem traduzidas como conteúdos curriculares para as perguntas que se propõe para discutir, refletir e investigar na educação em ciências.

A partir do exposto, é possível perceber que as discussões sobre a NdC em sala de aula têm constituído um campo de investigação consideravelmente desenvolvido, tendo já avançado bastante no mapeamento das visões dos estudantes sobre essas questões e ofertado uma variedade de ênfases, conteúdos a serem debatidos e estratégias didáticas.

Em adição, é também uma discussão controversa, com distintas linhas de pensamento e questões ainda em aberto. Se, por um lado, é possível encontrar com facilidade na literatura numerosos trabalhos de destaque enfocando conteúdos de NdC, avaliações das concepções de estudantes sobre o tema e abordagens metodológicas para a introdução da NdC nas práticas de ensino, o mesmo não pode ser dito sobre estudos voltados ao processo de conceitualização desses conhecimentos por parte dos estudantes. É nessa direção que pretendo contribuir ao sugerir, para tanto, a utilização da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, que apresento resumidamente a seguir.

3. A Teoria dos Campos Conceituais

A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) consiste em uma teorização acerca do processo de conceitualização do real, proposta pelo psicólogo, matemático e didata francês Gérard Vergnaud. Desenvolvida com forte inspiração piagetiana mas também assimilando contribuições da obra de Vygotsky, a TCC tem como pressuposto fundamental que o conhecimento esteja organizado em Campos Conceituais (CC). A noção de Campo Conceitual em Vergnaud é similar ao conceito de domínio na 195

psicologia cognitiva - isto é, um conjunto de representações que sustenta uma certa área do conhecimento, como a Física ou a Matemática -, mas a este conjunto Vergnaud acrescenta as situações que dão sentido àqueles conceitos. Um CC seria, assim, um conjunto de representações (conceitos) entrelaçados a um conjunto de situações (VERGNAUD, 1990). Ao acrescentar e enfatizar o papel das situações, Vergnaud (1990) permite levar em consideração a própria natureza dos conteúdos científicos ao se estudar o processo de conceitualização. Dessa forma, possibilita explicitar os diferentes sentidos que um conceito assume para o sujeito epistêmico ao longo desse processo. A existência desss diferentes sentidos implica que cada conceito, para ser formado, necessita de uma multiplicidade de situações. Similarmente, cada situação (entendida por Vergnaud no sentido de tarefa) também requer mais de um conceito para ser enfrentada.

Como, então, a TCC pode ajudar a compreender o pensamento dos sujeitos em situação? Segundo Vergnaud (1986), uma prioridade é reconhecer a variedade das classes de situações possíveis, analisar com cuidado a sua estrutura e as operações de pensamento necessárias para tratá-la. Por exemplo, não é a mesma coisa: 1) inverter uma transformação direta; 2) encontrar um complemento; 3) procurar uma diferença, etc. Ainda assim, todas essas operações de pensamento podem ser identificadas com uma subtração. Para possibilitar a organização das classes de situações, Vergnaud utiliza e expande o conceito piagetiano de esquema (schème, no original francês). Para Vergnaud (2002), o esquema é a organização sequencial da conduta do sujeito em situação (ou seja, sua ação), e essa organização é invariante para cada classe de situações dentro de um CC. Um esquema possui quatro componentes: 1) Objetivos, sub-objetos e antecipações, que não apenas precedem, mas também acompanham a conduta do sujeito em situação; 2) invariantes operatórios, ou conhecimentos-em-ação, que formam a parte mais diretamente epistêmica dos esquemas, isto é, aquela que tem por função identificar e reconhecer os objetos, suas propriedade e suas relações e transformações. Estes podem ser de dois tipos: i) teoremas-em-ação, que são proposições tidas como verdadeiras pelo sujeito em determinada situação; e ii) conceitos-em-ação, ou categorias de pensamento tidas como pertinentes pelo sujeito na situação e que são usadas para construir os teoremas-em-ação. Ao contrário dos teoremas-em-ação, conceitos-em-ação não são susceptíveis de serem verdadeiros ou falsos, apenas de serem pertinentes ou não. Em

196

geral, muitos teoremas-em-ação podem ser associados ao mesmo conceito-em-ação, enquanto cada teorema-em-ação requer mais de um conceito para ser formado.

3) As regras de ação, de tomada de informações e controle, que engendram tanto ação material observável do sujeito quanto sua conduta nao-observável. Pode ser entendidas a “tradução pragmática” dos invariantes operatórios.

4) As inferências, que “... são relações entre as proposições e se encadeiam através de metateoremas (ou teoremas de ordem superior) como os silogismos aristotélicos ou a transitividade das relações de ordem:

a>b e b>c => a>c”

(VERGNAUD, 2007, p. 8, tradução minha).

Apesar de ser divisível nessas componentes para fins de análise, é importante ressaltar que o esquema é uma totalidade dinâmica funcional, isto é, sua funcionalidade vem de sua totalidade e não de um ou outro componente isoladamente. Em adição, esquemas não são algoritmos, pois são contingenciais: ao longo do processo de conceitualização, os esquemas vão-se adaptando às situações. Isso significa dizer que esquemas são mobilizados tanto em situações já dominadas quanto em situações novas, nas quais eles ainda estão sendo desenvolvidos pelo sujeito (VERGNAUD, 2007).

Esse progresso pode ocorrer não só para diferentes situações, mas também para a mesma situação ao longo da história cognitiva do sujeito. Um exemplo apresentado por Vergnaud (1986) são os esquemas de enumeração. Em crianças mais novas, os primeiros esquemas de enumeração envolvem um conhecimento-em-ação que é a correspondência biunívoca, isto é, fazer corresponder um gesto para cada objeto contado; mais tarde, se souber a cardinalidade de dois conjuntos de objetos, ela pode iniciar do cardinal de um dos conjuntos e recontar daí os objetos do segundo conjunto.

Eventualmente, ao conceitualizar as operações aditivas, a criança poderá enfrentar essa situação utilizando um teorema-em-ação segundo o qual a cardinalidade da união entre os conjuntos é igual à soma das cardinalidades dos conjuntos (VERGNAUD, 1986). É possível notar, nesse exemplo, a multiplicidade de conceitos-em-ação que tomam parte mesmo para formar um teorema-em-ação relativamente simples.

Outra questão relevante de fundo que perpassa toda a TCC é a inter-relação entre as formas operatória e predicativa do conhecimento. Enquanto a primeira refere-se à atividade (observável ou não) do sujeito em situação, a última consiste na enunciação dos objetos de pensamento e estrutura-se na forma de sentenças e de textos (VERGNAUD, 1998). Nas palavras do autor:

197

As formas predicativas do conhecimento são mais analíticas do que as formas operatórias do conhecimento que utilizamos na ação, embora, paradoxalmente, são as formas operatórias a fonte das formas predicativas.

Os especialistas mais experientes não são capazes de colocar em palavras os conhecimentos que utilizam na ação, mesmo aqueles que são justamente a marca da sua especialidade. Da mesma forma, as crianças não são capazes de explicitar todos os conhecimentos que contribuem para a organização racional de sua atividade (VERGNAUD, 2013, p. 144, tradução minha).

4. Articulações possíveis entre a NdC e a TCC: perspectivas para o ensino de Ciências

Uma das questões controversas no debate sobre a inserção da NdC no ensino gira em torno de qual forma desses conhecimentos deva ser objeto de ensino. Enquanto na visão consensual o foco permanece quase exclusivamente na forma declarativa, baseada na lista das sete categorias de Lederman et al (2002), a proposta da "ciência integral" de Allchin (2011) enfatiza fortemente a forma operatória, propondo avaliar a utilização desses conhecimentos para tomada de decisões em contextos práticos, isto é, na ação. À luz da TCC, essas formas são interligadas no pensamento dos sujeitos e ambas precisam ser consideradas se se procura compreender o processo de conceitualização (VERGNAUD, 2009). Nessa direção, portanto, a questão deixa de ser qual a forma "correta" a ser ensinada e passa a ser como conjugar ambas as formas de modo a favorecer a formação de esquemas conceitualmente mais ricos por parte dos estudantes, em termos das imagens de Ciência que tomam parte em seu pensamento.

Ao desenvolver articulações possíveis entre os debates sobre NdC em sala de aula e a TCC, proponho que a NdC não seja vista como um Campo Conceitual em separado, mas como um componente metacientífico que integra cada um e todos os Campos Conceituais das áreas científicas. Essa opção tem por fundamento a noção de que as características da Ciência são algo que dela fazem parte, ainda que não sejam um objeto de estudo dos cientistas. Ademais, esse componente pode desempenhar diferentes papéis nos distintos Campos Conceituais. Essa leitura permite dar uma interpretação cognitiva para a "semelhança de família" vislumbrada por Irzik e Nola (2011). Por exemplo: uma característica da ciência tal como o estabelecimento de leis é muito importante para a mecânica, mas não o é para a botânica; a experimentação tem um papel essencial para a físico-química, mas praticamente inexiste na cosmologia; e assim por diante. Em cada um desses Campos Conceituais há determinados elementos da NdC que poderão constituir-se como conceitos-em-ação e teoremas-em-ação para o enfrentamento de suas respectivas classes de situações.

198

Com essas observações considero que, na ótica da TCC, as sete categorias de Lederman (2002 et al) constituem teoremas sobre a NdC que se deseja transformar em teoremasem-ação, por exemplo, enquanto as "dimensões de confiabilidade na ciência" propostas por Allchin (2011) - tais como "experimento controlado", "duplo-cego", "incerteza" e "mudança conceitual" - podem ser entendidas como conceitos referentes a NdC que se pretende que constituam conceitos-em-ação. Nessa direção, a ação dos sujeitos em situações tais como as questões prototípicas para acessar os conhecimentos de NdC dos alunos em casos históricos ou notícias contemporâneas nos moldes propostos por Allchin (2011) de fato pode revelar teoremas-em-ação mobilizados pelos sujeitos nessas situações. Mas se o objetivo da ação didática é favorecer a conceitualização, não basta avaliar se um conjunto de teoremas-em-ação pré-estabelecidos é mobilizado nessas situações ou não. Em um olhar fundamentado pela TCC, a questão central desloca-se da avaliação dos conhecimentos-em-ação empregados pelo sujeito para a identificação e oferta de situações potencialmente capazes de ampliar a significação desses conhecimentos. Com esse olhar, diversas questões poderiam ser levantadas. Apresento apenas alguns exemplos a seguir: - Seria possível pensar em classes de situações de acordo com distintos sentidos que podem ser atribuídos aos conhecimentos de NdC, de forma semelhante à classificação de Vergnaud das situações pertinentes ao Campo Conceitual das estruturas aditivas?

- Podem os conhecimentos-em-ação relativos a NdC influenciar na formação e mobilização dos conhecimentos-em-ação científicos?

- Podem os conhecimentos-em-ação relativos a NdC influenciar outros aspectos dos esquemas mobilizados pelos sujeitos, tais como os sub-objetivos e antecipações, as regras de ação e a produção de inferências?

- De que forma a seleção de situações por parte do professor pode contribuir para sintonizar os conhecimentos de NdC operatórios com aqueles que são enunciados em forma predicativa?

5. Conclusões

Nesse breve ensaio, argumentei em defesa da viabilidade do uso da TCC para investigar conhecimentos-em-ação relacionados à Natureza da Ciência no contexto do ensino escolar de ciências. Procurei demonstrar a possibilidade de uma aplicação teórica 199

desse referencial para interpretar alguns dos elementos importantes da discussão sobre NdC no ensino, além de sua potencialidade em contribuir para o estudo do processo de conceitualização dos conhecimentos relacionados a NdC, aspecto ainda relativamente pouco abordado na literatura. Com base nessa discussão, apresentei algumas questões sem pretender exaurir o tema - cuja investigação futuramente poderá auxiliar a aprofundar a compreensão desse processo e a favorecer o desenvolvimento conceitual em NdC em sala de aula.

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SITUAÇÕES ENVOLVENDO O CAMPO CONCEITUAL ADITIVONA PERSPECTIVA DE PROFESSORES QUE LECIONAM MATEMÁTICA PARA OS ANOS INICIAIS Tânia Maria Mendonça Campos, Angélica da Fontoura Garcia Silva, Raquel Factori Canova Universidade Anhanguera de São Paulo, Universidade Brasil faquelc@yahoo.com.br RESUMO:Esta comunicação tem o propósito de identificar conhecimentos de profissionais que lecionam matemática para os anos iniciais sobre as categorias de situações envolvendo o campo conceitual aditivo. Desenvolveu-se uma pesquisa diagnóstica com 86 professores da Rede Pública estadual paulista participantes de um processo formativo no âmbito do Projeto Observatório da Educação. As informações foram coletadas nos protocolos de professores, os quais elaboraram situações comumente trabalhadas em sala de aula, de maneira individual e sem material de apoio, no início do processo formativo. A análise da classificação das situações de autoria desses professores teve como marco teórico os estudos de Vergnaud. Os resultados demonstram que a maior parte das situações elaboradas envolvia problemas protótipo de composição e transformação. A ideia de comparação e situações não prototípicas foi pouco frequente e alguns tipos de situações nem apareceram.

Palavras-chave: Professoras. Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Campo Conceitual Aditivo ABSTRACT: This presentation aims to identify the knowledge of professionals teaching mathematics at the early school years about categories of situations within the Additive Conceptual Field. A needs-analysis research was developed with 86 public school teachers of the Sao Paulo's state network. The teachers were participating in a development process within the Education Observatory. Information was collected from protocols kept by the teachers, who worked individually on routine classroom situations and without supporting materials at the beginning of the development process. The classification analysis of the situations created by these teachers used the theoretical foundations proposed by Vergnaud. Results show that the majority of the situations created involved prototype problems of composition and transformation. The idea of comparison and non-prototypical situations was not frequent and some situation types were not even presented.

Keywords: Teachers. Elementary School.Additive Conceptual Field.

1-Introdução Partindo do pressupostode que as competências e concepções dos alunos desenvolvem-se ao longo do tempo, a estrutura dos Campos Conceituais objetiva habilitar os professores para melhor entender que para ensinar estudantes, é preciso investigar os passos que eles podem ou não ter anteriormente dado e os próximos e decisivos passos de que se gostaria que alcançassem, respeitando o tempo de aprendizagem que se encontra esse aluno.Sendo assim, esta investigação tem o objetivo de identificar conhecimentos de profissionais que lecionam matemática para os anos iniciais participantes de um processo formativo sobre as categorias de situações envolvendo o campo conceitual aditivo.

202

Este estudo foi desenvolvido no âmbito do Programa Observatório da Educação – projeto de pesquisa e formação, financiado pela CAPES18, no decorrer de um processo formativo com professores que lecionam Matemática para os anos inicias do Ensino Fundamental.As informações coletadas para esta pesquisa se referem a parte de um questionário respondido pelos professores participantes no início das sessões de formação, entre os anos de 2011 a 2015. Selecionamos quatro grupos de professores que elaboraram, individualmente e sem material de apoio, situações distintas envolvendo o campo conceitual aditivo.

2-Relevância e Marco Teórico Vários estudos apresentam reflexões sobre os conhecimentos que os professores utilizam para ensinar. Shulman (1987) identificou um domínio mais amplo do conhecimento do professor, ao qual ele se referiu como conhecimento pedagógico do conteúdo. Da mesma forma, no âmbito do ensino da matemática estudos como os de Ball, Hille Bass(2005); Ball, Thames e Phelps (2008); Godino, Pino-Fan (2015); e Schoenfeld e Kilpatrick (2008) ampliam a discussão acerca dos conhecimentos específicos para o profissional que ensina ou ensinará essa disciplina. Esses modelos dão suporte a inúmeros trabalhos sobre formação inicial e continuada de professores.

Em comum esses estudos consideram que o professor de matemática necessita de um tipo de conhecimento específico da profissão que lhe favoreça a compreensão dos programas curriculares para o ensino de um determinado conteúdo; conhecimento sobre a pertinência ou não da inclusão de um conteúdo em um determinado nível escolar e as implicações didáticas que advém desta escolha; entendimento de como os estudantes aprendem, raciocinam e desenvolvem estratégias de compreensão sobre determinados conteúdos, uma vez que dentre as atribuições do professor está a de planejar e gerir entornos de aprendizagem;apoiar o discurso dos alunos como parte do “ensino para a compreensão”; e construir relações que apoiem a aprendizagem. Assim, é nesse contexto que buscamos referências nos estudos de Vergnaud (1990, 2009) para analisar as situações elaboradas pelos professores, uma vez que as orientações curriculares brasileiras sugerem o ensino de números e operações por meio da apresentação dos campos conceituais.

Projeto Observatório da Educação no 99.

18

203

2. Teoria dos Campos Conceituais Para Vergnaud (1990), a construção de um conceito matemático não se dá de maneira imediata. É preciso lidar com o mesmo conceito dentro de um conjunto de situações e o tempo necessário para essa construção varia de pessoa para pessoa e pode se estender por um longo tempo.A Teoria dos Campos Conceituais possibilita repensar como se dá a aprendizagem conceitual e oferece uma estrutura com problemas diferenciados que são categorizados de acordo com as dificuldades envolvidas.

No campo conceitual das estruturas aditivas, as relações são ternárias, ou seja, relacionam-se três elementos entre si e são compreendidas em seis categorias que se diferenciam pela sua estrutura: 1) composição: há duas partes que compõem um todo; 2) transformação: háum estado inicial e uma transformação que levam a um estado final; 3) comparação: tem-se uma comparação, uma relação entre duas medidas; 4) composição de transformações: são dadas duas transformações e se busca uma terceira; 5) transformação de uma relação: é dada uma relação, ocorre uma transformação e resulta em outra relação; 6) composição de duas relações: há duas relações estáticas e se busca outra, dado uma composição.

Segundo o autor, as quatro primeiras categorias são consideradas mais simples, mas vale a pena ressaltar, qualquer que seja a categoria, ela pode apresentar problema mais ou menos sofisticado. Nesse sentido, consideramos assim como Vergnaud (1990) que o importante é explorar os diversos tipos de situações respeitando de onde partir e como avançar para os demais.

4-Procedimentos Metodológicos Participaram deste estudo 86 professores distribuídos entre 4 grupos: grupo A formado por 15 professores, grupo B,30; grupo C, 20 e grupo D, 21 participantes.

Os dados para esta comunicação foram coletados nosgrupos, e os procedimentos para a coleta foram exatamente os mesmos: no primeiro encontro do processo formativo, antes de ser discutido qualquer conteúdo matemático, foi solicitado que cada professor elaborasse, individualmente, 5situações do campo aditivo que consideravam importante trabalhar com os alunos.

Esse procedimento foi adotado nos quatro grupos, sendo esperado um total de 430 situações elaboradas.É importante ressaltar que alguns professores não elaboraram as cinco situaçõese outros elaboraram situações as quais não foram validadaso que

204

resultou num total de 409 situações elaboradas e classificadas, as quais foram analisadas e categorizadas conforme é apresentado no Quadro 1: Classificação Todo desconhecido Composição Parte desconhecida Relação desconhecida Comparação Referido desconhecido Transformação Transformação positiva Estado final desconhecido Transformação negativa Total

Quantidade de situações Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D

Total

32 26,67

18 12,77

56 47,86 2 1,71 2 1,71 12 10,26

3 2,5 10 8,33

163 39,85 10 2,45 7 1,71 41 10,02

23 16,31

23 19,66

41 34,17

87 21,27

14 45,16

31 21,98

22 18,80

34 28,33

101 24,69

31

141

117

120

409

9 29,03 5 16,13 2 6,45 1 3,23

66 46,81 3 2,13

Quadro 1: Classificação das 409 situações elaboradas pelos professores Fonte: acervo das pesquisadoras

0

Em uma primeira análise dessa tabela é possível notar que não teve situações elaboradas de comparação com o referente desconhecido, transformações sendo desconhecida a transformação ou o estado inicial. Também não foram elaborados problemas de composição de duas transformações, de transformação de uma relação e também de composição de duas relações.

Das situações elaboradas pelos professores participantes dos quatro gupos é possível notar que aproximadamente 86% das situações (equivalente a 351 de um total de 409) eram prototípicas.Isso nos parece preocupante uma vez que esse tipo de situação é respondidacorretamente por quase todas as crianças no final do primeiro ano do ensino fundamental e segundo Vergnaud (2009, 2010), por crianças mesmo antes de frequentarem a escola – aos 5 ou 6 anos de idade.

Das situações prototípicas aproximadamente 46,44% delas envolviam a ideia de composição (163 situações de composição de um total de 351 situações prototípicas). O maior percentual foi observado no grupo C , por exemplo – 47,87%,

a situação

representada no diagrama a seguir exemplifica uma delas.

Situação Problema No terceiro ano tem 17 meninas e 18 meninos. Qual é o total de alunos do terceiro ano?

205

Figura 1: Situação Composição criada por uma das professora e o diagrama conforme proposto por Vergnaud

Nessa situação as partes (quantidade de meninos e meninas) são conhecidas e se questiona o valor do todo (total de alunos).

Além dessas, foram elaboradas nos quatro grupos 188 situações envolvendo a ideia de transformações que também são consideradas por Vergnaud (1990,2009) como prototípicas. NoGrupo A, por exemplo, 60,8% das situações prototípicas eram transformações negativas. A análise foi realizada com base no diagrama a seguir: Situação Problema: Fui ao supermercado e levei 150 reais para comprar frutas e legumes.

Gastei 82 reais. Quanto me sobrou?

Figura 2: Situação Transformação criada por uma das professora e o diagrama conforme proposto por Vergnaud

Observamos que neste grupo foram elaboradas somente transformações negativas, já nos outras três grupos apresentaram as três situações: no grupo D, por exemplo, das 120 situações que envolviam transformações, 87 eram positivas e 101 negativas.

Dessas, selecionamos uma transformação positiva que busca o estado final como exemplar: “Monica tinha 12 coelhos e ganhou 2 no seu aniversário, com quantos coelhos ela ficou?”

Analisando as situações e considerando assim como Vergnaud (2010) que as crianças já resolvem esse tipo de situação mesmo antes de frequentarem a escola, acreditamos que se as crianças são expostas somente a esse tipo de situações elas não precisam se valer de outros esquemas para resolvê-las. Nesse sentido, tomando como referência os estudos desse autor consideramos importante que o professor apresente outras categorias de situações aos seus alunos. Sobre isso, consideramos que possivelmente os alunos desses professores, em muitos momentos nas aulas de matemática não têm motivo para se adaptar a situações novas e dessa forma 206

concordamos com Vergnaud: “... porque aprender, se não há motivo para aprender coisas novas”. (VERGNAUD, 2010, notas de aula).

Concernente a composição, além das situações prototípicas foram elaboradas pelos participantes dos quatro grupos dez situações envolvendo os problemas com inversão, ou seja, as que apresentam o todo e uma das partes e pergunta-se sobre o valor da parte restante. Para exemplificar, segue uma situação problema elaborada por uma professora do grupo A: Situação Problema: Numa sala de aula tem 40 alunos, 15 são meninas. Quantos meninos têm nesta sala de aula?

Figura 3: Situação Composição criada por uma professora dogrupo A e o diagrama conforme proposto por Vergnaud

Trata-se de uma situação de composição em que o todo (o número de alunos que estudam na sala) é conhecido e uma das partes (o número de meninas) também, e se questiona a outra parte, que é desconhecida (meninos). Nogrupo B foram elaboradas 03 situações dessa mesma categoria.

Em relação às situações-problema que envolvem a ideia de comparação entre os termos foram elaboradas somente 48 situações (11,73% do total). Delas,41 situações buscavam o valor do referido e 7da relação. Para exemplificar apresentamos uma situação elaborada no Grupo B: Situação Problema Miguel tem 20 figurinhas e Tiago tem 4 figurinhas a mais do que ele.

Quantas figurinhas tem Tiago?

Figura 4: Situação Comparação em que se questinona o referente, elaborada pelo professor integrante dogrupo B e o diagrama conforme proposto por Vergnaud

Nessa situação problema foi dado o referente (figurinhas de Miguel) e a relação entre elas informa a quantidade de figurinhas que Tiago tem a mais do que Miguel (4 figurinhas); investiga-se o referido (quantidade de figurinhas de Tiago). Situações bem próxima a essa também estão entre as mais elaboradas pelos professores dos outros grupos.

207

Outro tipo de situação classificada por Vergnaud (1990, 2009) é aquele cujo referente e referido são dados no enunciado dos problemas e se quer saber qual é a relação que existe entre eles. A análise das situações elaboradas pelas professoras do Grupo D revelou sete problemas desta categoria.

Situação Problema Filó tem 15 anos e Ana 12.Quantos anos Ana têm a menos que Filó?

Figura5: A situação Comparação em que se questinona a relação, elaborada por umparticipante dogrupo D e o diagrama conforme proposto por Vergnaud

Percebemos que os professores deixaram de elaborar situações nas quais se buscava o referente. Para o autor a dificuldade desse tipo de situação está no fato de informar um valor, relacioná-lo a outra quantidade e querer saber o valor dessa outra quantidade. Analisando os dados, nos chama a atenção o fato de esse tipo de situação não ter sido lembrada em nenhuma das 409 situações criadas.

5- Considerações Finais As situações elaboradas foram classificadas apenas em três das seis categorias que

compõem

as

relações

ternárias

do

Campo

conceitual

das

estruturas

aditivas,descritas anteriormente.Não localizamos duas das três subcategorias de transformação: as que apresentavam transformação desconhecida e estado inicial desconhecido e também na que busca o valor do referente.Vergnaud (1990, 2009) considera que tais situações são mais complexas do que as elaboradas pelos professores.

Para o autor a complexidade das situações aumenta no interior de uma mesma classe de problemas, e o seu ensino exige do professor clareza da existência de diferentes níveis de complexidade presentes nas situações que ele propõe as crianças, até para não apresentar aos alunos situações que exijam sempre a mesma forma de pensar.

Analisando o ocorrido na perspectiva dos estudos que discutem a questão do conhecimento profissional do professor consideramos ser fundamental ampliar as discussões acerca do campo conceitual aditivo e seu ensino.Nesse sentido consideramos que a realização deste diagnóstico foi fundamental para design do processo formativo.

Tais resultados nos permitiram elaborar casos de ensino que favorecessem a reflexão 208

sobre a necessidade de se observar as diferentes situações ao planejar as aulas destinadas ao ensino do Campo Conceitual Aditivo.

Finalmente, é importante registrar que os resultados aqui destacados retratam o domínio dos professores participantes do Projeto sobre o campo conceitual aditivo, no início do processo formativo.

Referências BALL, D. L., HILL, H. C., BASS, H. Knowing Mathematics for Teaching. Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? American Educator, fall 2005.

BALL, D.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: what makes it special? In: Journal of teacher educacion. n.5, p. 389-407. 2008. Disponível em: http://jte.sagepub.com/content/59/5/389 GODINO, J. D.; PINO-FAN. L. R. Perspectiva ampliada Del conocimiento didácticomatemático Del profesor. Paradigma, Vol. XXXVI, Nº 1, 87-109, 2015.

SCHOENFELD, A. H.; KILPATRICK, J. Towards a theory of profiency in teaching mathematics. In: D. Tirosh& T. Wood (eds.), Tools and Processes in Mathematics Teacher Education (pp. 321-354). Rotterdam: Sense Publishers. 2008.

SHULMAN, L. S. Knowledge and Teaching: foundations of the New Reform. Harvard Educational Review, vol.57, n.1. 1987.

VERGNAUD, G. (1990). Théoriedes Champs Conceptuls. Recherches em Didactique das Mathématiques, Grenoble.

VERGNAUD G. (2009). A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: Ed. da UFPR. VERGNAUD, G. (2010). Teoria dos Campos Conceituais: o estudo das estruturas multiplicativas. Escola de altos estudos. São Paulo: UNIBAN (DVD).

209

ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: SITUAÇÕES-PROBLEMA DE TRANSFORMAÇÃO BASEADA NATEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS DE GÉRARD VERGNAUD GABRIELE BONOTTO SILVA¹, VERA LUCIA FELICETTI² ¹Universidade La Salle/ Doutoranda em Educação/ Bolsista CAPES/PROSUCgabybonotto@gmail.com ²Universidade La Salle/ Docente do Programa de Pós-Graduação vera.felicetti@unilasalle.edu.br Resumo: Este artigo apresenta o ensino de matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental a partir de situações-problema baseadas na Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. O objetivo da pesquisa é comparar as estratégias de resolução de situaçõesproblema de transformação, no campo aditivo, em que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa. Deve-se buscar o estado inicial. Essa comparação foi feita entreuma turma participante de uma experiência de ensino baseada nesta Teoria e outras quatro turmas não participantes. A análise das estratégias de resolução das situações-problema de transformação evidencia que a Teoria dos Campos Conceituais favorece a aprendizagem de conceitos matemáticos e demonstram a importância de pesquisas relacionadas com esta teoria.

Palavras-chave:Ensino e aprendizagem de matemática; Teoria dos Campos Conceituais; Campo Conceitual das Estruturas Aditivas.

Abstract: This paper presents the mathematics teaching in the initial years of Elementary School from problem situations based on the Gérard Vergnaud’s Conceptual Field Theory. The objective of the research is to compare the problem situation strategies of transformation in the additive field, where the final state is known and a positive or negative transformation.Thus, the need to seek the initial state is sought. This comparison was made between a group participating in a teaching experience based on the Theory and four other non-participating classes. The analysis of the problem situation strategies of transformation shows that the Theory of Conceptual Fields favors the learning of mathematical concepts and demonstrates the importance of research related with this theory.

Key Words: Mathematics teaching and learning; Theory of Conceptual Fields; Conceptual Field of Additive Structures.

1. Introdução A Teoria dos Campos Conceituais foi criada por Gérard Vergnaud (1993) e apresenta conceitos significativos para o ensino e a aprendizagem da matemática, como o de situação-problema e o de Campo Conceitual das Estruturas Aditivas. Tais conceitos foram explorados na dissertação de mestrado de uma das autoras e, neste artigo, os resultados

encontrados serão

confrontados com dados coletados

concomitantemente com a pesquisa, mas que não constam na dissertação defendida devido seu escopo.

Dessa forma, o presente artigo apresenta como objetivo comparar as estratégias 210

de resolução de situações-problema de transformação, no campo aditivo,em que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa,entre uma turma participante de uma

experiência de ensino baseada na Teoria dos Campos Conceituais e outras quatro turmas não participantes.

A experiência de ensino foi realizada em uma turma do 3º ano do Ensino Fundamental de uma escola privada do município de Porto Alegre/RS. A turma trabalhou com situações-problema de composição e transformação com o auxílio de materiais manipulativos. A análise foi feita a partir do pré-teste, aplicado anteriormente à realização da experiência de ensino, e o pós-teste, aplicado após o término. O pré-teste e o pós-teste continham das mesmas situações-problemas, permitindo a comparação e evolução das estratégias dos alunos. O pré-teste e o pós-teste foram aplicados nas turmas B, C, D e E, não participantes da experiência de ensino, da mesma forma que na turma A na qual ela foi desenvolvida.

Abaixo, seguem contribuições da Teoria dos Campos Conceituais para o ensino de Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

2. Teoria dos Campos Conceituais A Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1993) baseia-se na premissa de que o conhecimento está organizado em campos conceituais, ou seja, tudo que envolve aquele conhecimento se articula e se relaciona a partir de situações-problema, conteúdos, operações e estruturas de pensamento. Vergnaud (1993) afirma que a conceitualização é o cerne desta teoria, pois, um conceito leva em consideração o significado, o significante e a referência: C = (S, I, R) (SANTANA, 2010). S é a referência, são as situações que dão sentido ao conceito. As diferentes invariantes e esquemas que baseiam a operacionalidade é o significado, I. A representação simbólica do conceito, expressas através linguagem é a significante, R. Portanto, para construir um conceito é preciso que as situações-problema se aproximem da realidade do aluno, proporcionando a articulação entre os elementos do campo conceitual. A partir do nível de complexidade das situações-problema, o aluno pode ter, ou não, as condições necessárias para a resolução imediata, o que demonstra a importância de trabalhar com diferentes tipos de situações-problema.

A matemática também está dividida em campos conceituais. Neste artigo será citado apenas o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas (VERGNAUD, 1993). Neste campo é necessário utilizar a subtração, a adição ou a combinação de ambas e as 211

estruturas de pensamento associadas a essas operações para resolver situaçõesproblema. Para o autor as situações-problema estão inseridas no Campo Conceitual das Estruturas Aditivas e podem ser utilizadas no processo de ensino e aprendizagem de alunos dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Vergnaud (1993) classifica as situações-problema em: composição, transformação e comparação. Nestas situaçõesproblema a incógnita pode estar em posições diferentes.

A comparação pode apresentar: •

uma parte conhecida e o todo conhecido e o que precisa ser descoberto é a parte desconhecida;

•

as partes conhecidas e o todo é desconhecido.

A transformação pode positiva ou negativa e a incógnita pode estar: •

no estado inicial, sendo conhecidos a transformação e o estado final;

•

no estado final, sendo conhecidos a transformação e o estado inicial;

•

na transformação, sendo conhecidos os estados inicial e final.

A comparação pode apresentar a incógnita: •

no referido, conhecendo apenas o referente e a relação;

•

no referente, conhecendo apenas a relação e o referido;

•

na relação, conhecendo apenas o referido e o referente.

Neste artigo utilizar-se-á apenas o conceito de transformação em que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa utilizado em uma experiência de ensino que será apresentada a seguir. As situações-problema de transformação são aquelas em que ocorre uma alteração no algarismo durante o enunciado.

3. Situações-problema de transformação em que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa.

As situações-problema de comparação e transformação foram trabalhadas,com o auxílio de material manipulativo, com a turma A durante três meses. As turmas B, C, D e E não trabalhavam da mesma forma. Porém, a aplicação do pré-teste e do pós-teste foi feita em todas as turmas do 3º ano da referida escola.A turma A possuía 16 alunos, sendo que uma aluna era considerada de inclusão e não estava alfabetizada, a turma B tinha 19 alunos, na turma C havia 21 alunos, e as turmas D e E, respectivamente, 23 e 24 alunos.

As situações-problema utilizadas no pré-teste e no pós-teste foram:

212

Situação-problema 1: No final do jogo de gude, Pedro ficou com 14 gudes. Pedro perdeu 6 gudes no jogo. Quantas gudes Pedro tinha antes de iniciar o jogo?

Situação-problema 2: Maria tinha alguns biscoitos e ganhou 3 biscoitos de sua avó, ficando com 14 biscoitos. Quantos biscoitos Maria tinha antes?

Ambas as situações-problema são transformações em que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa, e, por isso são complexas. Nestas situaçõesproblema a quantidade inicial é desconhecida. O enunciado evidencia a transformação e a quantidade final. A situação-problema 1, ? – 6 = 14, demonstra uma situação comum de jogo de gudes, porém, o estudante precisa pensar quanto Pedro tinha, se perdeu 6 gudes no meio do jogo e no final ficou com 14. Da mesma forma, a situação-problema 2, ? + 3 = 14, também apresenta uma situação comum, a partir de uma transformação positiva.

A seguir apresentar-se-á dados sobre a execução da experiência de ensino.

4. Experiência de ensino Durante a experiência de ensino, a turma de 3º ano trabalhou com diferentes situações-problema, incluindo as situações-problema do campo aditivo, que possuíam transformaçõesem que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa.O quadro 1 apresenta as situações-problema de transformação com estado inicial desconhecido trabalhadas durante a experiência de ensino.

Durante a experiência de ensino os alunos eram convidados a ler individualmente a situação-problema e após coletivamente. A proposta era que os alunos criassem estratégias para a resolução da situação-problema e registrassem no caderno. A solicialização das estratégias possibilitaram aos alunos refletir e registrar as novas estratégias descobertas.

213

Quadro 1 - Situações-problema problema de transformação em que se sabe o estado final e uma transformação negativa utilizadas na experiência de ensino Situações-problema Esquema Carlos jogou cartas e ganhou 15. No final do jogo ele estava com 39. Quantas ele tinha no ? -15 = 39 começo? ?–1=5 Henrique tinha balas e deu 1 para sua irmã, ficando com 5. Quantas balas ele tinha?

Juliana resolveu dar uma caixa de bombom para sua mãe. A mãe de Juliana comeu 4 bombons e sobrou 7 na caixa. Quantos bombons tinham na caixa?

Mariana tinha enfeites de cabelo. Ganhou mais 5 de sua mãe e ficou com 20. Quantos enfeites ela tinha no começo?

Marcos tinha alguns carrinhos. Ganhou mais 6 e ficou com 79. Quantos carrinhos ele tinha no começo?

Manuel perdeu 12 peças de um jogo, ficando com 24. Quantas peças havia no jogo?

?–4=7

? + 5 = 20

? + 6 = 79 ? – 12 = 24

Fonte: Elaborado pelas autoras.

Para realizar as situações-problema, situações problema, os alunos tinham a disposição materiais manipulativos, a saber: material dourado, ábaco de copos e quadro de pregas. Os materiais auxiliaram na resolução dos cálculos matemáticos de adição e subtração, possibilitando compreensão da construção construção do número e de de seus valores relativo e absoluto.

Figura 1 – Quadro de pregas Figura 2 – Material dourado

Fonte: As autoras.

Fonte: As autoras.

Figura 3 – Ábaco de coposFigura Figura 4 – Resolução de um aluno

214

Fonte: As autoras.Fonte: Documentos analisados.

A figura 4 demonstra o uso dos materiais manipulativos por um dos alunos da turma participante da experiência de ensino. Os materias estavam sempre a diposição dos alunos e a reflexão sobre as resoluções das situações-problema eram constantes durante as aulas. A medida em que a experiência de ensino avançava menos os alunos procuravam os materiais para auxiliar na resolução dos cálculos. A seguir apresentar-seá a análise dos dados referente ao pré-teste e o pós-teste aplicado na turma em questão.

5. Análise dos resultados Os estudantes das turmas A, B, C, D e E realizaram o pré-teste e o pós-teste. A seguir, apresenta-se as tabelas 1 e 2 que comparam as estratégias utilizadas para a resolução das situações-problema de transformação em que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa1 e 2.

Tabela 1 - Respostas da situação-problema 1 de transformação em que se sabe o estado final e uma transformação negativa Tipo de Estratégia Usada

Estratégia Correta

1. Desenhos 2. Algarismos 3. Desenhos e algarismos 4. Escrita cursiva 5. Cálculo mental 6. Dedos

Estratégia Incorreta

SUBTOTAL

1. Operação contrária 2. Errou a montagem do cálculo 3. Errou na interpretação 4. Em branco SUBTOTAL

TOTAL

Turma A Pré-teste Pós-teste F. (%)

RESPOSTAS – Situação-problema 1 Turma B Turma C Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste F. (%) F. (%)

Turma D Pré-teste Pré-teste F. (%)

Turma E Pré-teste Pós-teste F. %)

3 (18,7)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

2 (8,7)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

6 (37,5)

1 (5,3)

2 (10, 3)

1 (4,8)

4 (19,0)

2 (8,7)

2 (8,7)

0 (0)

3 (12,5)

0 (0)

1 (6,3)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

1 (6,3)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

1 (6,3)

0 (0)

2 (10, 3)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

1 (4,8) 18 (81, 7)

3 (18,7)

9 (56,3)

1 (5,3)

4 (21,1)

7 (43,8)

4(25)

18 (94,7)

15 (78,9)

0 (0)

2 (12,5)

0 (0)

0 (0)

4 (19, 0)

2 (8,7)

4 (17,4)

0 (0)

3 (12,5)

13 (61,9)

20 (87,0)

18 (78,3)

21 (87,5)

18 (75)

1 (4, 8)

3 (14,2)

1 (4,3)

1 (4,3)

2 (8,3)

2 (8,3)

2 (12,5)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

1 (4, 8)

1 (4,8)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

4 (25)

1 (6,3)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

1 (4,16)

2

13 (81,3) 16(100)

7 (43,8) 16(100)

18 (94,7) 19 (100)

15 (78,9) 19 (100)

20 (95,2) 21 (100)

17 (80,9) 21 (100)

21 (91,3) 23 (100)

19 (82,6) 23(100)

24 (100) 24 (100)

20(83,3) 24 (100)

Fonte: Elaborado pelas autoras.

A turma A apresentou 18,7% (3) de acertos no pré-teste e 56, 3% (9) no pós-teste, de para As turmas B. C. D e E, também apresentaram aumento no índice de acertos, porém, com menor percentual em relação à turma A. A turma B passou de 5, 3% (1) de acertos para 21,1% (4),. A turma C teve 4,8% (1) de acerto no pré-teste e 19,0%(4) no pós-teste. A turma D apresentou no pré-teste 8,7% (2) e no pós-teste 17,4% (4) e a turma E passou de 0% (0) para 12,5% (3). As turmas B, C, D e E não alcançaram 50% de acertos no pós-teste.

215

As estratégias de resolução dos alunos da turma A também sofreram alterações. Os estudantes passaram a utilizar os algarismos de forma correta, de 0% (0) para 37,5% (6), assim como o cálculo mental de 0% (0) para 6, 3% (1) e o uso de dedos de 0% (0) para 6, 3% (1). A utilização de estratégias incorretas também diminuiu. Enquanto 25% (4) dos alunos deixaram em branco no pré-teste, apenas 6, 3% (1) fez o mesmo no pósteste. O mesmo ocorreu com o erro de interpretação que passou de 12,5% (2) para 0% (0). Isto já não ocorreu com as turmas B, C, D e E, pois as estratégias dos estudantes não demonstraram alterações. O uso de algarismos passou de 5,3% (1) para 10,5% (2), na turma B. Na turma C o erro de interpretação se manteve em 4,8% (1) em ambos os testes. E o percentual de erro na montagem do cálculo permaneceu o mesmo nas turmas D e E, respectivamente 4,3% (1) e 8,3 % (2).

Tabela 2 - Respostas da situação-problema 2 de transformação em que se sabe o estado final e uma transformação positiva

EstratégiaCorreta

Tipo de Estratégia usada 1. Desenhos 2. Algarismos 3. Desenhos e algarismos 4. Escrita cursiva 5. Cálculo mental 6. Dedos

Estratégia Incorreta

SUBTOTAL

1. Operação contrária 2. Errou montagem do cálculo 3. Errou na interpretação 4. Em branco

Turma A PósPré-teste teste F. (%) 3 (18,7) 1 (6,3) 4 (25) 7 (43,7)

RESPOSTAS – Situação-problema 2 Turma B Turma C Turma D PósPósPré-teste Pré-teste Pré-teste Pré-teste teste teste F. (%) F. (%) F. (%) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 2 (8,7) 1 (5, 3) 3(15,8) 2(9,5) 4(19,2) 2 (8,7) 2 (8,7)

Turma E Pósteste F. (%) 0 (0) 0 (0) 2(8,3) 3 (12,5)

Pré-teste

0 (0)

1 (6,3)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

2 (8,7)

0 (0)

0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 2 (12,5)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

0 (0) 0 (0) 0 (0)

1 (5,3) 18 (94, 7)

7 (43,7)

11(68,7)

3 (18,7)

2 (12,5)

0 (0)

2 (12,5)

0 (0)

3(15,8)

2(9,5)

4(19,2)

2 (8,7)

4 (17, 3)

2(8,3)

3 (12,5)

11(57,9)

12(57,1)

11(52,4)

19(82,6)

17(73,9)

18(75)

18 (75)

0 (0)

1 (4, 8)

1(4,8)

2(8,7)

1 (4,3)

1(4,16)

2 (8,3)

1 (6,3)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

2(9,5)

2(9,5)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

6 (37,5)

1 (6,3)

0 (0)

5(26,3)

4(19,2)

3(14,3)

0 (0)

0 (0)

3(12,5)

1 (4,2)

SUBTOTAL

10 (62,5)

5(31,2)

18 (94, 7)

16(84,2)

19(90,5)

17 (80,9)

21 (91,3)

18(78,2)

22(91,7)

21 (87,5)

TOTAL

16(100)

16(100)

19 (100)

19 (100)

21 (100)

21 (100)

23 (100)

23(100)

24 (100)

24 (100)

Fonte: Elaborado pelas autoras.

A tabela 2 ilustra as estratégias utilizadas pelas turmas na situação-problema 2. A turma A apresentou no pré-teste 43, 7% (7) e 68,7% (11) no pós-teste de estratégias corretas. A turma B passou de 5,3% (1) para 15,8% (3). A turma C apresentou 9,5% (2) e posteriormente 19,2% (4). A turma D passou de 8,69 (2) para 17,3% (4) e a turma e iniciou com 8,3% (2) e finalizou com 12,5% (3). Novamente as turmas B, C, D e E não atingiram 50% de acertos e apresentaram pouca evolução entre o pré-teste e o pós-teste.

As estratégias de resolução das turmas B, C, D e E sofreram poucas alterações. A turma B o uso de algarismos passou de 5,3% (1) para 15,8% (3). Na turma C o erro na montagem do cálculo permaneceu em 9,5% (2). O mesmo ocorreu com o uso de algarismos na turma D, se manteve em 8,7% (2). Na turma E, 12,5% (3) haviam deixado em branco, passando para 4,2% (1). A turma A apresentou mudanças nas 216

estratégias de resolução do problema proposto. Houve diminuição no uso de desenhos, de 18, 7% (3) para 6,3% (1). O uso de algarismos aumentou de 25% (4) para 43,7% (7) e o erro de interpretação reduziu de 6,3 (1) para 0% (0).

6. Considerações Finais Os estudantes da turma A, que participaram da experiência de ensino baseada na Teoria dos Campos Conceituais, não apenas obtiveram maior índice de acertos como também evoluíram em suas estratégias de resolução. Passaram a interpretar o enunciado das situações-problema com maior facilidade, a utilizar menos desenhos e mais algarismos para encontrar a resposta e iniciando o cálculo mental como ferramenta de resolução de situações-problema de transformação transformação em que se sabe o estado final e uma transformação positiva ou negativa.

A comparação do pré-teste e do pós-teste evidencia a evolução da turma A.As demais turmas não apresentaram o mesmo crescimento. Estes indicativos evidenciam que a Teoria dos Campos Conceituais e sua proposta de trabalhar com diferentes tipos de situações-problemaauxiliam na aprendizagem da matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

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VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais na construção dos conhecimentos. Revista GEEMA: Tempo de Romper para Fecundar, 4 ed. Porto Alegre: jul 1996, pp. 9-19.

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Pesquisadoras apresentam suas comunicações científicas.

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Apresentação de Pôster PÔSTERS:

O ENSINO DE FÍSICA MEDIADO PELA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS: UM ESTUDO TEÓRICO. JUNIOR DE LIMA, MAYARA HILGERT, MARLÍ SCHMITT ZANELLA. Universidade Estadual de Maringá. Paraná.

GEEMPA EM COLOMBIA. SONIA MATALLANA – Corporación Conpreende – Bogotá/ Colômbia.

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O ensino de Física mediado pela Teoria dos Campos Conceituais: um estudo teórico Junior de Lima, Mayara Hilgert Pacheco, Marlí Schmitt Zanella Universidade Estadual de Maringá,delima.junim@gmail.com, mayarahilgert@live.com, marlischmitt@gmail.com Resumo: Neste trabalho objetivamos sistematizar e analisar a produção acadêmica fundamentada na Teoria dos Campos Conceituais (TCC) para o ensino de Física. Realizamos uma pesquisa bibliográfica, em que buscamos os termos “Teoria dos Campos Conceituais; ensino de física” na plataforma Google Acadêmico para detectar as tendências emergentes entre as publicações de 2000 até 2015. O método de leitura científica orientou leitura de reconhecimento e seleção, crítica, reflexiva e interpretativa dos textos. Identificamos quatro categorias emergentes, que envolvem: (a) trabalhos teóricos sobre relações entre a TCC, modelos mentais e a modelagem científica de campos conceituais da Física, (b) formação de professores da Educação Básica, (c) desenvolvimento de experimentação e de resolução de problemas em Física com alunos do Ensino Superior e, (d) com alunos do Ensino Médio.

Inferimos também que esta pesquisa destacou o desenvolvimento de uma variedade de situações para a conceitualização e da apreensão de campos conceituais da Física.

Abstract: In this assignment our goal was to systemize and analyze the academic production based on the Theory of Conceptual Fields (TCC) for teaching Physics. We performed a bibliographical research, in which we searched for the terms "Theory of Conceptual Fields; teaching physics "in the Google Scholar platform to detect emerging trends between publications from 2000 to 2015. The method of scientific reading guided the reading of recognition and selection, critical, reflective and interpretive texts. We identified four emerging categories that involved it: (a) theory essays on the relationships between TCC, brain storm and the scientific modeling of conceptual fields of physics, (b) teacher training in Basic Education, (c) development of experimentation and resolution of problems in Physics with students of Higher Education and, (d) with students of High School. We also infer that this research highlighted the development of a variety of situations for the conceptualization and apprehension of conceptual fields of physics.

Palavras-chave: Campos Conceituais, conceitualização, ensino de Física.

1. Introdução As pesquisas relacionadas ao ensino de Física estão orientadas para estudar os mecanismos de resolução de problemas e suas imbricações para o ensino da Física. No entanto, uma análise da formação conceitual por parte dos alunos, que tem papel fundamental para a resolução de problemas de diferentes campos da Física tem sido apresentada em quantidade reduzida, dada sua importância para os processos de ensino e de aprendizagem.

A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) é caracterizada como uma teoria didática, pois está situada num sistema que liga o saber, o aluno e o professor. A TCC proporciona o estudo das ações dos alunos e as condições de produção, registro e comunicação durante situações de aprendizagem.Nesse sentido, nossa pesquisa teve por objetivo sistematizar e analisar pesquisas fundamentadas na Teoria dos Campos Conceituais (TCC) voltadas 227

para o ensino de Física, visto que esta é uma teoria cognitivista que busca a compreensão dos processos de conceitualização e/ou apreensão do conhecimento.

2. Materiais e métodos Realizamos uma pesquisa de levantamento de dados e avaliação da produção acadêmica sobre determinado tema, neste caso, o ensino de Física por meio da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1993), que ocorreu por meio dos periódicos disponibilizados pela plataforma Google Acadêmico, publicados entre 2000 até 2015 no Brasil, a partir dos termos: “Teoria dos Campos Conceituais; ensino de física”. O material consultado constituiu-se de periódicos, na forma eletrônica, e foi submetido ao Método de Leitura Científica, que segundo Cervo e Bervian (1996) obedecem a passos sistematizados, a saber: (1) visão sincrética, com leitura de reconhecimento, (2) visão analítica, com leitura crítica e reflexiva dos textos selecionados na busca dos significados e das ideias principais e (3) visão sintética, com leitura interpretativa.

3. Resultados e Discussão A partir dos resultados obtidos nesta pesquisa identificamos quatro categorias emergentes. A primeira categoria (P) buscou identificar concepções e dificuldades de professores do Ensino Médio ao desenvolverem atividades de modelagem científica. A segunda categoria (T) contemplou trabalhos teóricos, em que os autores discorreram sobre relações entre a TCC, modelos mentais e a modelagem científica para desenvolver campos conceituais. A terceira categoria (S) envolveu atividades experimentais e de resolução de problemas em Física com alunos de cursos de Ensino Superior. A quarta categoria (M) contemplou atividades experimentais com alunos do Ensino Médio, os quais estão relacionados na Tabela 01.

Tabela 01 – Código e referência dos trabalhos analisados.

Código/Trabalho analisado (P01) BRANDÃO, R. V.; ARAÚJO, I. S.; VEIT, E. A. Concepções e dificuldades dos professores de Física no campo conceitual da modelagem científica. In: Revista Eletrónica de Enseñanza de lasCiencias. V.9, N.3, p. 669-695, 2010.

(T01) MOREIRA, M. A. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o Ensino de Ciências e a pesquisa nesta área.

In:Investigações em Ensino de Ciências. V7. N.1, p. 7-29, 2002.

(T02) GRECA, I. M.; MOREIRA, M. A. Além da detecção de modelos mentais dos estudantes uma proposta representacional integradora. In: Investigações em Ensino de Ciências. V.7. N.1, p. 31-53, 2002.

(T03) GRECA, I. M.; MOREIRA, M. A. Do saber fazer ao saber dizer: uma análise do papel da resolução de problemas na aprendizagem conceitual de Física. In: Ensaio: Pesquisa em educação em Ciências. V.5. N.1, 2003.

(T04) BRANDÃO, R. V.; ARAÚJO, I. S.; VEIT, E. A. A modelagem cientifica vista como um campo conceitual. In: Cad. Bras. Ens. Fís., V.28, N.3. p. 507-545, 2011.

(S01) SOUSA, C. M. S. G.; LARA, A. E.; MOREIRA, M. A. A Resolução de Problemas em Conteúdos de Ondas na Perspectiva dos Campos Conceituais: Uma Tentativa de Inferir a Construção de Modelos Mentais e Identificar Invariantes Operatórios. In: Rev.Bra.de Pesq. em Ed. em Ciências, Porto Alegre: ABRAPEC, V. 4, N.1, p. 101-113, 2004.

(S02) SOUSA, C. M. S. G.; MOREIRA, M. A.; MATHEUS, T. A. M. A resolução de situações problemáticas experimentais em campos conceituais da física geral. In: Encontro de pesquisa em

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ensino de física, Jaboticatubas. Atas do IX EPEF. Jaboticatubas, 2004.

(S03) SOUSA, C. M. S. G.; MOREIRA, M. A.; MATHEUS, T. A. M. A resolução de situações problema experimentais no campo conceitual do eletromagnetismo: uma tentativa de identificação de conhecimento em ação. Revista Brasileira de Pesquisa em Educação em Ciências, V. 5, N. 3, p. 61-72, 2005.

(S04) GRINGS, E. T. O.; CABALLERO, C.; MOREIRA, M. A. Avanços e retrocessos dos alunos no campo conceitual da termodinâmica. In: Revista Eletrónica de Enseñanza de lasCiencias. V.7, N.1, 2008.

(S05) SERRANO, A.; ENGEL, V. Uso de simuladores no Ensino de física: Um estudo da produção Gestual de Estudantes Universitários. In: Novas Tecnologias na Educação. V.10, N.1, 2012.

(M01) SOUSA, C. M. S. G.; FÁVERO, M. E. Análise de uma situação de resolução de problemas de Física em situação de interlocução entre um especialista e um novato, à luz da Teoria dos Campos Conceituais. In: Investigações em Ensino de Ciências. V.7, N.1, p. 55-75, 2002.

(M02) CARVALHO, G. D. Os Campos Conceituais de Vergnaud como ferramenta para o planejamento didático. In: Cad. Bras.

Ens. Fís., V.25, N.2. p. 207-227, 2007.

(M03) GRINGS, E. T. O.; CABALLERO, C.; MOREIRA, M. A. Uma proposta didática para abordas o conceito de temperatura a partir de situações, à luz da teoria dos campos conceituais de Vergnaud. In: Revista brasileira de ensino de ciência e tecnologia. Ponta Grossa. V.1, N.1, p. 1-21, 2008.

Na primeira categoria, P01 traz elementos teóricos para investigar a construção do conhecimento científico por meio de modelos e modelagem científica, em que identificaram dificuldades dos professores em relação à: (1) propor e responder questões a partir da construção de modelos científicos, (2) diferenciar idealização de aproximação nos modelos científicos, (3) identificar, diferenciar e selecionar os referentes, as variáveis e os parâmetros relevantes nas situações, (4) diferenciar entre domínio de validade e grau de precisão de modelos científicos, (5) avaliar a razoabilidade dos resultados obtidos pelos modelos.

Na segunda categoria, T01 expõe a necessidade de coletar dados referentes aos procedimentos, meios de comunicação e representação do raciocínio mobilizado pelo sujeito na resolução de situações problemas, admitindo-se para isto, estudar o domínio progressivo de um campo conceitual. T02 discute a TCC para a compreensão significativa de situações novas, o que implica na construção de modelos mentais, que é uma representação interna do sujeito. T03 apresenta uma análise teórica da TCC para o estudo da conceitualização a partir de resolução de problemas e, para isto, trazem os Modelos Mentais como uma representação mediadora entre a nova situação e o conhecimento que o sujeito possui. T04 defendem a tese de que o processo de modelagem científica em Física pode ser vista como um campo conceitual.

Na terceira categoria, destacamos cinco pesquisas desenvolvidas com alunos do Ensino Superior, as quais procuraram: (1) inferir se os alunos constroem modelos mentais para resolver situações propostas e identificar invariantes operatórios (teoremas e conceitos-em-ação) usados na construção de tais modelos, (2) promover a aprendizagem significativa de conceitos físicos e a resolução de situações-problema experimentais, (3) discutir a produção gestual utilizados por estudantes com dois diferentes simuladores, (4) investigar se alunos de Física Geral dão evidências de aprendizagem significativa por meio da construção de modelos mentais, para dar conta 229

de situações problemas no laboratório didático, (5) analisar avanços e retrocessos, identificar as dificuldades e os possíveis invariantes operatórios apresentados por alunos do ensino médio e técnico em atividades de conceitos de termodinâmica.

Na quarta categoria, M01 mostra possibilidades para o ensino de Física a partir da TCC, M02 abordou conceitos de calor e de temperatura e concluiu que o ponto mais forte da TCC é a preocupação com o sujeito-em-situação em contato com diversificadas situações problemas. M03 desenvolveu uma proposta didática que utilizou situações problemas para introduzir o conceito de temperatura, e assim, as diferentes situações problemas facilitaram a conceitualização de temperatura.

4. Conclusões Com base em nosso estudo, inferimos que os trabalhos analisados mostram que: (1) a TCC é adequada para o ensino de Física; (2) que a ação mediadora do professor tem relevância para a resolução de problemas; (3) que a conceitualização é progressiva, longa e complexa e (4) que o professor só pode desempenhar o papel de mediador se tiver um domínio amplo do conceito a ser ensinado. Ademais a TCC enquanto ferramenta teórica pode auxiliar a apreensão de diferentes conceitos da Física, sendo necessário o uso de uma variedade de situações para os propósitos da conceitualização e da apreensão de campos conceituais da Física.

5. Referências CERVO, A.; BERVIAN, P. A. Metodologia científica. 4ª ed. Makron Books: São Paulo, 1996.

VERGNAUD, G. Teoria dos Campos Conceituais. In: I Seminário Internacional de Educação Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática – UFRJ, p. 1-26, 1993.

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OFICINAS DE ALFABETIZAÇÃO

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OFICINAS DA ALFABETIZAÇÃO As oficinas da alfabetização foram divididas em quatro momentos, a saber: oficina de letras, de palavras e de texto, além da oficina da Aula-entrevista.

As três primeiras oficinas foram pensadas para abranger os eixos do Campo Conceitual da Alfabetização, já a oficina da Aula-entrevista foi para explicitar como identificamos os eskemas de aprendizagem que o aluno já possui dentro deste Campo Conceitual.

A seguir observamos a “nave” do Campo Conceitual da Alfabetização, destacamos que temos o eixo da leitura e da escrita com as subdivisões nos eixos de letra, palavra e texto, além do eixo das unidades linguísticas.

Nave da zona proximal das aprendizagens rumo à leitura e à escrita PS1 s Texto

Pala v

Sem segmentação

S

Segmentação não-alfabética

A Segmentação alfabética

próprio nome ras

PS1 ra itu Le

PS2

de 0 a 6

PS2 de 7 a 12

S

A

de 13 a 18

mais de 18

rita Esc Conhecimento de letras

Nome Ass

ocia çã o

com sons

Não sabe recitar o alfabeto

de 0 a 6

de 7 a 12 escrita pelo aluno escrita pelo professor

ela bo ra çã o

Es cri ta

s texto e ad id Un ü ing sl

pala vras

Recita o alfabeto associando parcialmente a letras escritas

PS2

S

Não escreve

Escreve incorretamente

Escreve corretamente

íst

PS1

o nome

PS2

mais de 18

de 13 a 18

PS1

o próprio nome

Recita o alfabeto associando-o a todas a letras escritas

S

A Escreve corretamente o nome completo

A

s ica

Ausência completa de classificação

Classificação parcial

Classificação completa

Diariamente na sala de aula é necessário o trabalho de letras, palavras e textos, abrangendo atividades de leitura e escrita. Já que esses três eixos contemplam de forma muito ampla o conjunto de conceitos das unidades básicas da alfabetização.

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Oficina das letras Como esta foi a primeira oficina e os participantes que escolheram o Campo Conceitual da Alfabetização iriam permanecer nos momentos seguintes, fizemos a constituição dos grupos pelo olhar.

De um lado ficaram participantes que não haviam realizado formação na Teoria Pós-Construtivista no Geempa e do lado oposto os participantes que já tiveram cursos do Geempa sobre alfabetização.

Os participantes deveriam encontrar uma dupla através do olhar do lado oposto ao seu, após ambas se “paquerarem”, ou seja, ter uma comunicação expressando a escolha apenas pelo olhar.

Em seguida cada dupla formaria um quarteto escolhendo outra dupla. O objetivo dessa constituição dos grupos áulicos é para que houvesse maior interação entre os participantes e a estabilidade do grupo em todas as oficinas.

Ao escolherem os lugares de cada grupo na turma, os componentes de cada grupo se apresentaram entre si.

A primeira atividade proposta foi uma ficha representando o jogo “cara a cara”, para que jogassem em dupla. As palavras utilizadas estavam relacionadas com os aspectos do conhecimento das letras.

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JOGO “ADIVINHA PALAVRAS” -

CARA A CARA DIDÁTICA PARA A APRENDIZAGEM APREN DAS LETRAS NO O PROCESSO DE ALFABETIZAÇÃO À LUZ DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS

ALFABETO LETRA NÚMERO MAIÚSCULA MINÚSCULA IMPRENSA CURSIVA PRONÚNCIA SOM

ASSOCIAÇÃO FORMA POSIÇÃO INTERIOR CURVA RETA VOGAIS CONSOANTES INICIAL

DENOMINAÇÃO

FINAL

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Como podemos verificar na “nave” da alfabetização no eixo do conhecimento das letras temos: escrita, nome e associação das letras ao som. Deste modo, propomos algumas atividades didáticas que contemplasse esses eixos.

Iniciamos um bingo de letras, cada participante tinha seu próprio nome como cartela, para marcar as letras sorteadas.

Durante a partida de bingo utilizamos maneiras diferentes de sortear as letras, demonstrando que pode ser realizado de forma variada.

O material que utilizamos para o sorteio eram os cartões com as letras em pedaços, constituído de quatro tipos de pedaços que formam qualquer letra do alfabeto.

Por exemplo,

,

,

.

As maneiras que utilizei foram as seguintes: 1) Dizendo o nome da letra sem mostrá-la, como tem alunos que pode ainda não reconhecer a letra pelo seu nome, depois mostra.

2) Mostrando apenas os pedaços das letras desmontadas, para que descobrissem qual letra era representada pelos pedaços (neste caso como havia participantes que não conheciam o alfabeto com os pedaços das letras, disponibilizamos para

o grupo consultar. Exemplo,

ao virar esta parte os participantes podiam

confirmar a letra que falaram, neste caso a letra

.

3) Falando informações sobre aspectos das letras dizendo sobre quantidade de linhas retas e curvas.

4) Revelando informações sobre número de pontas e esquinas.

Neste momento as vogais foram propositalmente sorteadas por último para que todos ficassem atentos até o final do jogo. Este cuidado se deve ao fato de que todos os nomes têm ao menos um vogal, proporcionando maior aprendizagem e evitando que fique desatento e que provoque indisciplina por perder o interesse no bingo, no caso de alguém vencer muito antes do término.

Logo em seguida solicitamos que cada professora contasse quantos pedaços de letras de cada cor é necessário para escrever seu nome, podendo consultar o alfabeto das

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letras em pedaços. Com a quantidade quantid necessária de pedaços as professoras profes puderam montar e colar o nome, verificando se realizaram a contagem adequadamente.

Posteriormente realizamos um veritek das letras em pedaços onde havia a necessidade ecessidade da associação entre a letra constituída pelos pedaços para associar aos pedaços (soltos) que correspondia a determinada letra.

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Para consolidar o trabalho das posições das letras e as características de retas e curvas utilizamos duas fichas didáticas.

A última atividade de jogo que utilizamos foi o bate-bate com o baralho das letras.

Este baralho é constituído de seis naipes, a saber: letras maiúsculas cursivas, letras minúsculas cursivas, letras de imprensa maiúsculas, letras de imprensa minúsculas, nomes das letras e pedaços das letras (somente os pedaços soltos). Das letras ou associação das letras aos sons, ela pode inclusive não saber o nome das letras quando estão desordenadas.

As cartas então foram classificadas primeiramente de acordo com os naipes paras as professoras conhecerem o material. Retiramos o conjunto de cartas das letras em pedaços por terem ainda pouco conhecimento do material neste momento.

Após dividirem as cartas igualmente entre os componentes do grupo, cada um fica com seu monte com as cartas viradas para baixo. O primeiro jogador vira sua primeira carta e diz A, o segundo jogador vira sua primeira carta e diz B, o terceiro jogar vira sua carta e diz C e assim por diante. Ao chegar à letra Z, volta na letra A do alfabeto. Ao coincidir a letra falada com a letra da carta colocada, o primeiro jogador que bater a mão sobre a carta pega todas as cartas que estão na mesa. O que mais ganhar cartas no final é o vencedor.

As atividades propostas aqui nessa oficina puderam abranger diretamente o eixo da escrita das letras. Pois para que o aluno reconheça e escreva é preciso considerar dois Invariantes Operatórios que as letras possuem: forma e posição. A letra de imprensa maiúscula implica em aspectos topológicos como as letras que tem interior ou não, ou seja, as linhas fechadas que são as fronteiras, que dividem a região interior e exterior.

Outra característica das letras é ter ponta ou não, por exemplo, as letras “O”, “B” e o “D” não tem pontas, já as letras “A”, “S” e “V” possuem pontas.

Com relação às características métricas as letras ou parte delas podem ser segmentos de retas e curvas. As letras também implicam obrigatoriamente na sua posição. Quando os alunos espelham as letras é porque ainda não conhecem a posição adequada das mesmas.

Aspectos que foram enfatizados no jogo do bingo e com o trabalho das letras em pedaços, assim como nas fichas didáticas propostas embasaram basicamente os aspectos da escrita das letras.

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O eixo do nome das letras foi também enfatizado no bingo das letras além do jogo do bate-bate. No jogo do bate-bate é necessário ter a sequência falada do alfabeto, desde muito cedo as crianças têm possibilidade de recitar o alfabeto. É bom ressaltar que as aprendizagens de cada eixo são independentes. Recitar o alfabeto é uma aprendizagem importante, mas não quer dizer que também saiba a escrita das letras ou associação das letras aos sons, ela pode inclusive não saber o nome das letras quando estão desordenadas.

Com relação a associação das letras aos sons ela não ocorre de maneira isolada da letra ao seu som, ocorre de maneira contextualizada e significativa. Ela acontece principalmente apoiada nas iniciais de palavras. São necessárias algumas palavras com a mesma inicial para que o aluno estabeleça tais relações. A fonte mais rica para começar essa associação é a partir da primeira letra de palavras do seu próprio nome, de nomes de pessoas e palavras significativas.

Na proposta Pós-construtivista temos três conjuntos de palavras que ajudam na associação das letras ao som: 1) o nome da professora e dos colegas de turma, 2) as palavras do Tesouro, 3) as etiquetas dos contextos semânticos.

A memorização destes conjuntos de palavras facilita a associação das letras aos sons e a organização das sílabas nas palavras, possibilitando um arsenal para que o aluno possa construir hipóteses mais avançadas.

Assim o eixo da associação das letras aos sons estará muito vinculado na oficina das palavras, a seguir.

Fichas utilizadas: - ficha do “cara a cara” sobre as letras - modelo do alfabeto em letra em pedaços página – 172 (Atabaque) - veritek da página - 175 (Atabaque) – 7 letra U são 4 amarelos e nos pedaços número 11 é apenas um azul.

- duas fichas do livro Um abraço com muita força – acho que página 145 e 148, teria que confirmar não fiquei com as fichas.

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Oficina das palavras Para realizar a oficina das palavras, escolhemos o conjunto de palavras dos nomes dos participantes da oficina, para que houvesse um maior significado.

As etiquetas com os nomes foram feitas com dois tipos de letras, a saber: letra de imprensa maiúscula e letra cursiva. Exemplo:

KAREN

Karen

Utilizamos sempre esses dois tipos de letras, com o intuito de proporcionar duas representações de uma mesma realidade que permite uma maior aprendizagem, o objetivo não é que os alunos escrevam neste momento com a letra cursiva.

Outro aspecto importante para justificar o trabalho com a letra cursiva é que os alunos quando se encontram no nível pré-silábico 2 ( PS2) tem a visão da palavra globalmente, o que é proporcionado por esta letra e completado por situações didáticas.

A letra cursiva também possibilita o trabalho com aspectos topológicos de ter e não ter região fechada e com relação a posição se divide em quatro conjuntos: não tem hastes nem para cima nem para baixo; hastes somente para cima; hastes somente para baixo e as que tem ambas as hastes.

As etiquetas dos nomes então foram entregues, realizamos a entrega em duas etapas.

Na primeira entrega cada componente do seu grupo recebeu uma folha, os nomes das folhas que o grupo recebeu eram diferentes entre si. Cada página havia quatro nomes escritos, nos dois tipos de letras, conforme o exemplo a cima.

JULIANA

Juliana

JOSEANE

Joseane

ISABEL

Isabel

MYRLE

Myrle

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ANA CECILIA

Ana Cecilia

NEUSA

Neusa

SUELEN

Suelen

FRANCISCA

Francisca

LEDA

Leda

NARA ELIANE

Nara Eliane

PATRICIA

Patricia

NINA

LOURDES

Nina Lourdes

DINARA

Dinara

AMANDA

Amanda

LUZINETE

Luzinete

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Com as etiquetas em mãos, ressaltamos a importância que cada aluno saiba as suas palavras, neste caso os nomes. Lembrando que muitos dos alunos de uma sala no inicio da alfabetização não reconhecem ainda os nomes dos colegas, neste caso a ajuda dos colegas e/ou da professora é fundamental.

Realizamos então a folha de anotações dos nomes que cada componente do grupo recebeu. Assim, cada pessoa recebe uma ficha e escreve os nomes que cada um do seu grupo recebeu. Esta ficha tem espaço para o aluno escrever as palavras nos dois tipos de letras, pode ser que no inicio do ano letivo a escrita com letra cursiva seja uma tarefa difícil

Primeira entrega

Em seguida cada participante recortou as etiquetas que recebeu, com as etiquetas de todos os componentes do grupo juntas, realizamos alguns jogos. Nestas situações os alunos memorizam as palavras de maneira prazerosa.

O primeiro jogo foi a batalha pela letra inicial que consiste em embaralhar e dividir as cartas entre os jogadores. Cada jogador fica com seu monte de palavras virado para baixo. Em cada jogada, todos do grupo dizem juntos “batalha” e viram simultaneamente sua primeira carta. O jogador que tiver a palavra com a letra inicial “A” ou com a inicial mais próxima do “A” de acordo com a ordem do alfabeto, caso não haja palavra com inicial “A”, pega as cartas dos demais jogadores. Caso ocorra empate as cartas ficam sobre a mesa e quem vencer a jogada posterior pega também as cartas que estão na mesa.

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Uma regra importante para o jogo da batalha é que antes de verificar quem ganhou é necessário que cada jogador leia sua palavra, para que com a ajuda dos colegas os alunos possam fazer a memorização. O vencedor é quem mais tiver cartas no final da partida.

A outra versão do jogo da batalha que também jogamos é pelo número de letras. As regras são as mesmas, porém o vencedor é quem virar a carta cuja palavra tem maior número de letras comparadas às palavras que os outros jogadores viraram.

Em seguida realizamos o jogo do lince. As etiquetas com letra cursiva ficam viradas para cima espalhadas no centro da mesa, o conjunto de palavras de letra de imprensa maiúscula fica num monte, na mão do jogador que irá iniciar o jogo, viradas para baixo. O primeiro jogador vira a primeira carta do monte, aquele que primeiro bater na palavra correspondente em letra cursiva fica com ambas as cartas. Os jogadores se revezam para tirar a carta. Ganha aquele que no final da partida tiver maior número de carta.

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Realizamos então a entrega do segundo conjunto das etiquetas, fazendo a ficha de anotação dos nomes que cada um recebeu.

CLAUDIA

Claudia

LUCINHA

Lucinha

ELZA

Elza

MICHELE

Michele

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DENISE

Denise

GIANE

Giane

REGIANE

Regiane

SUELI

Sueli

KAREN

Karen

MARIA

Maria

SURAMA

Surama

ANA CRISTINA

Ana Cristina

ELIANE

Eliane

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Segunda entrega

Destacamos que trabalhamos o primeiro conjunto e depois trabalhamos um tempo o segundo conjunto para depois juntarmos as etiquetas de ambas as entregas. Porém, aqui devido ao pouco tempo não foi possível fazer jogos somente com as palavras da segunda entrega. Relembramos dos jogos que fizemos com os nomes da primeira entrega, como possibilidade para também fazer com os nomes da segunda entrega.

Nesta situação fizemos em duas entregas, com o objetivo dos participantes compreenderem o sistema de entregas. Porém como é um contexto muito significativo, acho que pode ser prejudicial para alguns alunos não verem o seu nome na primeira entrega. Deste modo podemos pensar que as etiquetas dos nomes fossem feita em uma única entrega, principalmente se o número de alunos for menor. Ou se optar por duas entregas montar as etiquetas de modo que cada grupo seja completado com seus próprios nomes na primeira entrega.

Em seguida juntamos as etiquetas da primeira e da segunda entrega e fizemos então o jogo do bate-bate pela letra inicial, que é o mesmo jogo do bate-bate que fizemos na oficina de letras dizendo a sequência do alfabeto. Aqui utilizamos as etiquetas, que foram divididas e deixadas em montes viradas para baixo. O primeiro jogador vira sua primeira carta e diz “A”, o segundo vira sua primeira carta e diz “B”, o terceiro vira sua primeira carta e diz “C”, e assim por diante. Quando coincidir a letra falada com a letra inicial do nome virado na etiqueta quem bater primeiro a mão ganha todas as cartas que estão sobre a mesa. O vencedor é quem no final da partida tiver o maior número de cartas.

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Outro jogo que realizamos foi o jogo do rouba-monte pela letra inicial. A entrega das cartas foram realizadas simultaneamente nos grupos. Primeiro vira uma carta na mesa, entrega uma carta para cada componente do grupo, vira a segunda carta na mesa e mais uma carta para cada jogador, vira a terceira carta na mesa e entrega mais uma carta para cada participante e vira mais uma sobre a mesa. Então para iniciar o jogo é necessário ter quatro cartas viradas para cima na mesa e cada jogador com três cartas, as cartas restantes ficam em um monte.

O jogo consiste em tentar roubar o máximo de cartas. O primeiro jogador verifica se uma de suas cartas tem a mesma inicial de uma das cartas da mesa, se tiver, pega a carta da mesa e junto com a sua, inicia o monte. Se não tiver carta com a mesma inicial o jogador tem que escolher uma de suas cartas e colocar na mesa. O segundo jogador faz a mesma verificação, porém se já houver algum monte é necessário também analisar com a primeira carta do monte. Se tiver, o jogador pode roubar todo o monte do adversário. Sempre que o jogador já tiver um monte e ele for pegar mais carta da mesa ele coloca a que pegou por ultimo sobre o monte e é a letra inicial desta última carta que vale para os adversários poderem roubar o monte.

Neste jogo cada jogador pode usar apenas uma carta da mão em cada jogada, assim todos terminam com as três cartas da mão na mesma rodada, então é distribuída outras três cartas para cada componente. Até que termine o monte. O vencedor é quem, ao terminar, tiver o maior monte.

O jogo na proposta Pós-Construtivista tem um papel fundamental. Além da aprendizagem lógica, aqui a aprendizagem significativa do nome dos colegas. Tem uma importância ainda maior de ensinar ganhar e a perder, aprendizagem essencial para a vida.

O ganhar e o perder também estão no processo de aprendizagem, no nosso caso, da alfabetização. Por exemplo, um aluno que se encontra no nível silábico que tem o eskema que para cada vez que se abre a boca utiliza apenas um sinal gráfico, para se tornar alfabético em que o eskema consiste em que se utiliza para cada vez que abre a boca dois sinais gráficos, é preciso então perder a ideia anterior para iniciar outra hipótese mais elaborada, rumo a leitura e a escrita.

No jogo do rouba monte a alternância entre ganhar e perder é ainda maior, pois pode acontecer de acabar de ser roubado perdendo todo o monte, e recuperá-lo em seguida. O vencedor é realmente definido apenas quando as cartas acabarem.

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Assim evidencia duas grandes finalidades no jogo, o aspecto lógico que é de proporcionar a construção do conhecimento e a finalidade dramática que é ensinar a lidar com a vitória e especialmente com a derrota. É importante que diariamente tenha jogo na sala de aula, com a presença da ficha de registro, que é uma tabela onde marca os pontos de cada jogador em três partidas. O total de pontos nas três partidas é que define o vencedor.

Após cada atividade de jogo é necessário ter uma ficha didática que esteja relacionada com o jogo proposto. Nesta oficina fizemos apenas alguns exemplos de fichas didáticas, muitas outras se encontram nos cadernos de atividades do Geempa. A finalidade das fichas é para ajudar na compreensão lógica que o jogo quer ensinar. Em um grupo de alunos pode ter alguém que não tenha compreendido bem o jogo, porém o grupo no entusiasmo de ganhar acaba não ajudando ou escondendo essa incompreensão.

A ficha didática representando o jogo minimiza essa lacuna eventualmente ocorrida.

Após as experiências dos jogos com as etiquetas ressaltamos a importância dos alunos memorizarem as palavras das etiquetas, tanto quando utilizamos os nomes dos componentes da turma e da professora, quando também utilizamos as etiquetas com as palavras de um contexto semântico (muitas vezes uma história) e também a memorização das palavras do Tesouro.

A memorização desses conjuntos de palavras tem duas grandes funções: a ampliação da relação letra x som e um arsenal de palavras para que o aluno possa analisá-las e possibilite avançar para eskemas mais elaborados na sua trajetória da leitura e da escrita.

A melhor maneira de acompanhar a memorização das palavras de um desses três conjuntos é através das escadas de leitura e de escrita. Por exemplo: uma turma de 28 alunos e a professora, temos então 29 nomes, fazemos então duas escadas de 0 a 29, cada degrau com um número. Uma escada para a leitura dos nomes e outra escada para escrita dos nomes. Semanalmente ou duas vezes por semana, dependo do andamento da turma, pode se fazer um ditado dos nomes, neste momento não é permitido a consulta em nenhum material, nem com os colegas, chamamos este momento de “escondidinho”, se tiver os nomes nas paredes também é necessário uma estratégia para que não seja consultada.

A professora então recolhe o ditado e faz a conferência dos acertos anotando numa tabela, os nomes que cada um acertou. O resultado é colocado na escada da escrita dos

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nomes. Se o Gabriel acertou 8 nomes, seu nome é colocado no degrau de número 8 até o próximo ditado, momento que tem a chance de subir na escada.

A escada da leitura é feita em momentos que os alunos estão realizando alguma atividade e a professora pega etiquetas com os nomes de todos, cada aluno individualmente é chamado para ler. Também é feita a anotação dos acertos na tabela. O resultado é transposto para o degrau correspondente da escada da leitura. É importante uma dinâmica na sala para que o aluno possa se ver subindo nesta escada com frequência, claro que esses dados também devem servir de planejamento para a professora.

Destacamos duas situações, entre muitas, para proporcionar aprendizagem, com os alunos que não estão avançando o suficiente após alguns dias de aula. No caso de um ou alguns alunos não estejam avançando na leitura dos nomes, este aluno ou estes alunos irão realizar a entrega de crachás diariamente. Assim durante a entrega a professora pode observar se tem avançado neste aspecto.

Quando o aluno não estiver avançando na escrita de palavras, podemos pedir que escreva no quadro o nome de um colega do jeito que se lembra, o aluno que ele escreveu o nome, soletra as letras e ele escreve-as embaixo e faz a comparação para ver se acertou. Aqui vale um lembrete se fizer um aluno por vez, pode demorar muito e gerar tumulto na sala para os que não estiverem muito envolvidos. Uma estratégia é ir um aluno de cada grupo ao mesmo tempo ( aquele que estiver mais abaixo na escada), e solicitar a escrita de nomes primeiro das pessoas do seu grupo e depois ir ampliando.

Desta forma o grupo fica mais envolvido com seu colega do mesmo grupo torcendo para que acerte.

A razão das duas escadas, uma de leitura e outra de escrita, é que as aprendizagens nestes dois eixos não acontecem simultaneamente. Se um aluno sabe ler um nome, não é verdade que ele também sabe escrever e vice-versa. Vale pensar que em todas as situações de jogos propostas enfatiza o eixo da leitura, desta maneira é natural que avancem mais na escada da leitura, então é preciso propor muitas situações de fichas didáticas com as escritas de palavras.

A última atividade de jogo que propomos foi o jogo do “cara-a-cara” com o nome, porém desta vez jogaram no tabuleiro. O tabuleiro tem espaço para 49 palavras e um espaço na frente para colocar a palavra que o adversário terá que descobrir, como o jogo são dois tabuleiros, joga uma dupla do grupo contra a outra dupla. Três conjuntos de

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nomes são necessários, um conjunto para cada tabuleiro e um conjunto para cada dupla pegar uma palavra que o adversário precisa descobrir.

Os nomes também estão nos dois tipos de letras. Cada dupla irá tentar escolher perguntas para abaixar o maior número das cartas do seu tabuleiro a fim de que sobre apenas a carta que precisa descobrir. As perguntas podem ser sobre o tipo de letras, neste caso tem que perguntar se é com letra de imprensa se a resposta for sim abaixa todos os nomes com letra cursiva, se a resposta for não, abaixa todas escritas com letra de imprensa. Pode-se perguntar sobre letra inicial, letra final, número de letras, se tem determinada letra. Vence a dupla que primeiro descobrir a palavra da dupla adversária.

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Os jogos que tem como ênfase a letra inicial como: bate-bate e do rouba monte pela letra inicial, o jogo da batalha pela ordem do alfabeto (pela letra inicial). São situações que se destinam mais a favorecer a associação letra x som.

Já a batalha e o rouba monte pelo número de letras enfatizam a palavra como um todo, bem como o jogo do lince19 entre outros. São atividades propícias a ajudar alunos alfabéticos passarem a alfabetizados.

Desta forma destacamos a importância da unidade linguística da palavra que expressa um ente, uma qualidade dos entes, um estado ou uma ação.

No início do processo de alfabetização os alunos não estabelecem relações entre a articulação oral e palavras. Para eles, as palavras estão vinculadas aos seus referentes.

Nesta fase a palavra não tem vinculação com a pronúncia, não possuindo também segmentação. A palavra é vista globalmente, como um conjunto de linhas. O aluno então relaciona o tamanho do referente (se for substantivo concreto) para orientá-lo no tamanho de sua escrita. Se for uma ação ele pode omitir sua escrita.

Portanto, no eskema pré-sialábico 2 (PS2) o invariante que caracteriza as palavras é somente a quantidade de letras. Porém, se for um aluno que interage com situações em que vê muitas pessoas escrevendo, ele pode ter como invariante da palavra o sentido da escrita, da esquerda para a direita.

A vinculação da escrita com a fala inicia apenas no eskema silábico, quando constrói este invariante relacional.

Ao avançar no processo de alfabetização o aluno descobre que não basta uma letra para cada sílaba, são necessária duas letras, que é o eskema alfabético. O eskema anterior se torna um obstáculo epistemológico para avançar, pois foi uma hipótese construída que precisa ser abandonada, preciso saber perdê-la.

O invariante “qualidade das letras” na escrita de palavras é um interesse que só terá os alunos que não mais escreverem com sinais gráficos e para os alunos que também já estabeleceram a vinculação entre a fala e a escrita. Didaticamente a qualidade das letras é quase uma consequência da memorização dos conjuntos de palavras e a possibilidade de refletir sobre sua escrita. As iniciais de palavras têm um papel importante para proporcionar este invariante.

O conjunto de palavras memorizadas influencia alguns alunos iniciarem a associação letra x som por vogais e outro por consoantes. A tendência é que um aluno

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Esse jogo encontra-se descrito em todas os cadernos de atividades do Geempa.

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que memorizou muitas palavras significativas em que suas iniciais são vogais, pode pensar por um período que só se escreve com vogais. Um aluno que memorizou um conjunto de palavras significativas que inicie com muitas consoantes irá possibilitar o pensamento temporário que só se escreve com consoantes. É importantíssima a memorização das palavras significativas, é claro que o nome próprio costuma ter grande importância no processo de alfabetização.

Oficina de texto O trabalho com texto é muito necessário desde o primeiro dia de aula.

Considera-se texto a passagem de ideias para o papel. Cada aluno irá fazê-lo de acordo com o eskema de pensamento no qual se encontra. Os alunos que pensam que se escreve com desenhos vão fazer textos desenhando. Aqueles que já pensam que se escreve com sinais gráficos, não mais figurativas, vão escrever com garatujas, sinais aleatórios ou letras. Um aluno silábico escreverá textos com uma letra para cada sílaba oral.

Iniciamos esta oficina com a leitura de um texto “glossário” sobre o colóquio.

Fizemos a leitura e enfatizamos que o texto pode ficar exposto na sala e ser lido muitas vezes. Destacamos que muitos textos podem ser utilizados, dentre eles em contrato didático que realizamos no primeiro dia de aula.

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No texto as professoras circularam a primeira letra do seu nome e contaram quantas vezes elas aparecem. Depois epois fizeram ordenação dos componentes do grupo por cada número iniciais texto.

Em seguida falei algumas palavras para destacarem no texto, como: Geempa, Campos Conceituais, onceituais, Gérard Vergnaud, aprender.

Em seguida as professoras pintaram os espaços entre as palavras, nesta mesma ficha.

Para continuar trabalhando a questão da segmentação entre as palavras, alavras, fizemos o jogo do PIN∗. Neste este caso a regra era dizer PIN no espaço entre cada palavra, essa leitura foi realizada de forma coletiva.

A segunda ficha tinha o mesmo texto “glossário”, porém sem os espaços entre as palavras, paraa os participantes assinalarem onde era necessário necessário colocar espaço. Por

∗

O jogo do PIN está descrito nos cadernos de atividade do Geempa.

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causa do tempo reduzido nesta oficina nรฃo solicitei que fizessem a reescrita do texto deixando o espaรงo, apenas falei que era previsto fazermos.

Outra ficha didรกtica foi o texto apresentando lacunas em algumas palavras palavr que precisavam ser preenchidas. s.

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257

Apresentamos também o texto em forma de quebra cabeça, recomendado principalmente para o inicio da alfabetização.

Em seguida solicitamos a cada um a escrita de um texto sobre o que mais afetou até o momento durante o II Colóquio.

Colóquio A produção de texto na sala de aula pode ser realizada individualmente, em pequeno grupo, ou coletivamente.

Tanto o texto oral como o escrito pode ser realizado a partir de várias situações, de histórias, de notícia, de cartas. carta Situações vividass como: passeios, casamento, viagens, nascimentos, acidentes, mortes, m uma atividade cultural (filme, filme, teatro, espetáculo de dança...) É preciso sempre contemplar contempla o trabalho com texto nos dois eixos: da leitura e da d escrita.

Com o cuidado de não cometer um grande equívoco voco de pedir ao aluno que leia seu escrito, lembrando que são eixos distintos e que um aluno pode estar mais avançado na leitura do que na escrita, inviabilizando a leitura mesmo em alunos já quase 258

alfabetizados, até mesmo no inicio da pós-alfabetização. Provocando um mal estar por não conseguir ler, a ponto do aluno se recusar posteriormente a escrever.

Então o texto que o aluno escreve ele não lê, se o professor quer saber suas ideias pode ficar próximo e questioná-lo sobre o que quer escrever, assim irá conhecer suas ideias. Outra maneira é pedir para contar no que pensava quando escrever. Nunca pedir que leia o seu próprio texto.

Porém, deve-se proporcionar leitura de textos ortograficamente corretos, como o texto “glossário”. É importante a memorização de textos “glossários”. Para isso muitas atividades com o mesmo texto são necessárias.

Outra atividade que provoca muito desânimo nos alunos para a escrita é a correção, que para a Teoria Pós-construtivista é crime hediondo sem pagamento de fiança.

A partir do momento que o professor compreender essas duas situações fundamentais irá melhorar a dinâmica da sala de aula rumo à alfabetização. Pois perceberá que os alunos irão construindo textos mais elaborados na questão ortográfica, a partir da evolução de seus eskemas de pensamento e não da correção.

A evolução na concatenação das ideias na elaboração de texto oral ou escrito será maior, quanto mais atividades forem proporcionadas de escuta de histórias, cartas, notícias..., o que irá conduzir a enredos com princípio, meio e fim, que incluirão referências de espaço, de tempo, com personagens e em episódios.

Assim, um aluno pode estar no eskema pré-silábico 1 (PS1), que seu texto será produzido por um desenho, porém irá contar sobre o que escreveu com concatenação de idéias e personagens, as vezes mais avançado do que um aluno que se encontra no eskema alfabético.

Neste caso como seria um texto escrito nos diferentes eskemas do Campo Conceitual da Alfabetização: Eskema pré-silábico 1 (PS1) – a escrita será um desenho; Eskema pré-silábico 2 (PS2) – será uma seqüência de letras e sinais gráficos, sem vinculação com a pronuncia; Eskema silábico (S) – fará associação de cada letra ou sinal gráfico para uma silaba oral ou para uma palavra. Eskema alfabético (A) – associará a cada vez que se abre a boca duas letras ou dois sinais gráficos.

Ressaltamos nesta oficina a importância de uma estratégia para escrita de texto para alunos com particular dificuldades, independente do nível que se encontram. A professora então escolhe este aluno e irá acompanhar de perto sua escrita, e enquanto todos os demais colegas também devem escrever.

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Durante a escrita a professora fica ao lado do aluno perguntando sobre o que pensa em escrever, ajudando nas idéias e na concatenação. A professora discretamente vai anotando essas idéias para si, sem que ele perceba.

No dia seguinte a professora apresenta o texto em cartaz e digitado em pequena folha na quantidade suficiente para todos os alunos, claro que ortograficamente correto.

A professora então realiza a leitura deste texto diversas vezes, pergunta se alguém sabe quem o escreveu. O aluno na maioria das vezes reconhece como seu e é convidado então para assinar o cartaz.

Ao distribuir a folha do seu texto para os demais colegas também é convidado a autografar a folha de todos. E podemos realizar atividades de destacar a letras, palavras e pintar espaços também neste texto.

Essa estratégia é poderosíssima para alunos que estão com alguma dificuldade.

Também muito especial quando faltam só alguns para se alfabetizarem.

Nesta situação a professora e os colegas o reconhecem como está aprendendo. Pois, se nossos escritos são apreciados por outra pessoa, iremos escrevê-lo ainda com mais prazer.

O professor também deve socializar seus escritos, escrevendo eles para seus alunos.

Certamente o prazer de escrever estará muito mais presente no dia-a-dia da sala de aula.

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Alfabetização Oficina da aula-entrevista

Ressaltamos nesta oficina a importância de uma estratégia para escrita de texto para alunos com particular dificuldades, independente do nível que se encontram. A professora então escolhe este aluno e irá acompanhar de perto sua escrita, e enquanto todos os demais colegas também devem escrever.

Durante a escrita a professora fica ao lado do aluno perguntando sobre o que pensa em escrever, ajudando nas idéias e na concatenação. A professora discretamente vai anotando essas idéias para si, sem que ele perceba.

No dia seguinte a professora apresenta o texto em cartaz e digitado em pequena folha na quantidade suficiente para todos os alunos, claro que ortograficamente correto.

A professora então realiza a leitura deste texto diversas vezes, pergunta se alguém sabe quem o escreveu. O aluno na maioria das vezes reconhece como seu e é convidado então para assinar o cartaz.

Ao distribuir a folha do seu texto para os demais colegas também é convidado a autografar a folha de todos. E podemos realizar atividades de destacar a letras, palavras e pintar espaços também neste texto.

Essa estratégia é poderosíssima para alunos que estão com alguma dificuldade.

Também muito especial quando faltam só alguns para se alfabetizarem.

Nesta situação a professora e os colegas o reconhecem como está aprendendo. Pois, se nossos escritos são apreciados por outra pessoa, iremos escrevê-lo ainda com mais prazer.

O professor também deve socializar seus escritos, escrevendo eles para seus alunos.

Certamente o prazer de escrever estará muito mais presente no dia-a-dia da sala de aula.

As próximas tarefas são do conhecimento de letras: escrita de letras (nona tarefa); nome das letras (décima tarefa) e associação das letras aos sons (décima primeira tarefa).

Solicita-se então que o aluno escreva as letras que sabe, é preciso considerar que em várias tarefas anteriores já pode ter escrito muitas letras demonstrando que sabe escrevêlas. Nesse caso a professora solicita outras que ainda não foram escritas.

Na tarefa seguinte a professora solicita que o aluno fale o nome delas, apontando a letra na própria escrita do aluno. A professora também pode apontar para letras nas 261

tarefas em que ele escreveu nas primeiras tarefas da Aula-entrevista. Pergunta-se logo após, se o aluno pode recitar o alfabeto e pede-se que o faça.

Na tarefa de associação das letras aos sons, inicia com as letras que escreveu, valorizando assim seu conhecimento, e pergunta se conhece palavras com a inicial de determinada letra, e quais conhece. O aluno também pode ter demonstrado conhecimentos sobre relação letra x som nas tarefas anteriores.

Além das letras que o aluno escreveu a professora pode perguntar outras, porém não pode tornar a tarefa exaustiva, querendo perguntar de todas as letras do alfabeto.

Mesmo porque o aluno pode dizer palavras associada a algumas letras corretamente, mesmo assim não quer dizer que tenha relação letra x som, pois essas palavras podem ser seu repertório de memória. Exemplificamos com o caso de ter um aluno que nas tarefas anteriores utilizou basicamente as letras do seu nome. Não tem nenhum sentido querer fazer sobre todas as letras do alfabeto, pois esta criança está demonstrando que seu conhecimento ainda é restrito sobre letras.

A décima segunda tarefa é das unidades lingüísticas, com cartões feitos pela professora na frente da criança. São 14 cartões divididos em: 3 letras; 2 palavras; 3 desenhos, 2 textos e 4 números. Essa tarefa avalia a distinção das unidades lingüísticas.

Fomos então destacando cada eixo na “nave” relacionado a cada tarefa, além de mostras que cada ponto no eixo é um degrau da escada correspondente aquela tarefa.

Exemplificamos a zona proximal de um aluno, destacando que pode estar mais avançado em um eixo do que em outro. Sendo necessário o planejamento ser focado no eixo de maior necessidade. Não indo ao extremo de só trabalhar um único eixo.

Relembramos que é necessário diariamente trabalhar letra, palavra e texto, tanto na leitura como na escrita.

Importantíssimo destacar que as atividades propostas nas oficinas são indicadas para o trabalho com toda a turma, o que denominamos de espaço de problema, porque elas podem afetar qualquer aluno, mesmo em hipótese diferentes. Uma dessas atividades é a memorização de palavras significativas – ela serve para todos os alunos.

Porém uma vez na semana na proposta Pós-Construtivista temos metade do tempo de aula para um trabalho diversificado por nível. Para esse trabalho a professora organizar a turma de acordo com os níveis psicogenéticos em que cada aluno se encontra. Por exemplo, uma turma que tem 7 alunos PS2, 9 silábicos e 4 alfabéticos esses alunos são colocados em pequenos grupos de acordo com suas hipóteses. Teremos assim dois grupos com alunos no eskema PS2, 2 grupos no eskema S e 1 grupo com 262

alunos que estão no eskema alfabético. O planejamento neste caso vai ao encontro com o que cada grupo está precisando aprender. É interessante contemplar neste momento, jogo, ficha didática além de produção de texto, dentro do mesmo contexto semântico que se está trabalhando. Os jogos podem variar sobre conhecimento de letras, ênfase na letra inicial ou na palavra como um todo, assim como as fichas que os seguem. A produção de texto é para que o aluno possa perceber e se confortar que também existem outros colegas que pensam no texto como ele.

No restante da aula os alunos voltam para os grupos áulicos de origem. Para atender a diversidade das necessidades dos alunos em aula é importante a lição de casa diariamente e manter uma regularidade também com lição de casa diversificada.

Por esta razão também é necessário manter a escada dos alunos atualizada, fazendo a Aula-entrevista sempre que perceber que um aluno está avançando, para a confirmação do avanço e atualização da escada. Desta maneira os grupos serão organizados de acordo com suas necessidades atuais.

Enfatizamos com a ajuda da “nave” a diferença de um aluno alfabético e um aluno alfabetizado. Um aluno alfabetizado fecha a nave, ou seja, consegue ler um texto simples e também consegue escrever um texto simples, para isto é necessário a associação de no mínimo 18 sons as letras. Para conseguir a compreensão necessária de um texto, o aluno alfabetizado, já atingiu a capacidade de ver o todo das palavras. Um aluno alfabético lê sílaba por sílaba, sem chegar à palavra em sua totalidade.

Um aluno alfabetizado não recua mais em seu processo, pois essa aprendizagem já foi registrada no seu organismo. O texto a ler que comprove a competência leitora não é um texto construído apenas com palavras de sílabas simples.

Repetindo, características bem diferentes tem um aluno alfabético que ainda não consegue ler em não consegue escrever um texto simples e associa menos que 18 sons a suas letras. Principalmente um aluno alfabético não consegue captar a palavra globalmente, num texto.

O maior problema de um aluno não alfabetizado que não fechou a nave é que no ano seguinte ele pode retornar das férias em nível inferior ao que ele se encontrava, pois a aprendizagem ainda não se registrou no organismo. Isto acontece porque ele ainda não fechou o Campo Conceitual da Alfabetização.

Didaticamente um aluno alfabético precisa de muitas palavras memorizadas de forma global, além de avançar na associação letra x som. Um equívoco é segmentar as 263

palavras em forma de cruzadinha, de caça palavras e mesmo propor atividades com sílabas das palavras.

Os participantes fizeram algumas perguntas sobre aspectos da Aula-entrevista que colaborou para serem feitos alguns esclarecimentos. Uma delas foi sobre o tempo necessário para fazer uma Aula-entrevista e quais os momentos possíveis de realizá-la.

A aula-entrevista geralmente leva uns 40 minutos, tudo depende do nível do aluno. É possível fazê-la em vários momentos como: depois da aula, no horário que há aulas de outros professores e também durante a própria aula.

Houve também uma questão sobre a possibilidade de realizar apenas algumas tarefas da Aula-entrevista. Ressaltamos que quando é a primeira vez que a professora realiza a Aula-entrevista, orientamos que faça somente as seis primeiras tarefas, porém a partir da segunda vez é necessário realizar toda, pois é indispensável para o planejamento didática.

Indagaram ainda sobre de quanto em quanto tempo é necessário realizar a Aulaentrevista. Normalmente a cada 45 a 60 dias, porém neste intervalo se se percebe que um aluno avançou para recolocá-lo na escada é adequado refazê-la somente com esse aluno. Da mesma forma também precisamos fazer a Aula-entrevista com alunos que não estão avançando, para que possibilite uma maior interação entre professora e aluno, para descobrir questões dramáticas que possam estar travando seu avanço. Aula entrevista é mesmo uma ocasião de ensino-aprendizagem e não só de avaliação.Após os esclarecimentos, propusemos uma ficha de veritek para corresponder o número da tarefa com o nome da tarefa da Aula-entrevista, ou seja, para reconhecimento dessa ordem.

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Como em vários momentos citamos o Tesouro como sendo um conjunto de palavras significativas para a memorização dos alunos. Conseguimos tempo para minimamente demonstrar um pouco o seu funcionamento. Foi entregue um Tesouro para cada grupo possibilitando a visualização do material que constitui de um envelope com peças de treze formas diferentes repetidas em quatro cores.

Explicamos que um momento muito singular para escrever palavras no Tesouro é durante a Aula-entrevista. Pois o Tesouro é constituído de palavras significativas para cada aluno, reveladas durante a Aula-entrevista. É distribuído um conjunto de peças para cada aluno. É recomendável oferecer um segundo envelope para cada um. Um envelope ficará com as peças onde ainda não foram escritas palavras e outro com as peças que já foram escritas. É fundamental que a professora compreenda que é ela que precisa escrever, pois é um conjunto de palavras que precisa ser memorizada e para tal é necessária a escrita ortograficamente correta. Então as palavras significativas da conversa da Aulaentrevista, assim como o nome das pessoas com quem o aluno mora entre outras, devem ser colocadas no Tesouro. Solicita-se que o aluno escreva seu nome atrás das peças para poder identificá-la quando misturada com as peças dos demais colegas.

Destacamos as fichas do caderno de atividades que tem no Livro do Atabaque Menino sobre o Tesouro, além do Livro Uma Nova Maneira de Estar em Aula. Dentre 265

elas a ficha para anotar as palavras que cada aluno vai colocando no seu tesouro. Assim a professora pode certificar-se certificar de não colocar palavras repetidas e caso o aluno perca palavras ou até mesmo o envelope é mais fácil refazer o Tesouro.

A memorização dos nomes da turma ou das palavras do contexto conte semântico, também precisa de escada da sua leitura e da sua escrita.

Exemplificamos duas formas de ditado das palavras do Tesouro. esouro. Uma delas cada aluno escolhe uma de suas palavras e dita aos demais, assim no final cada cad aluno escreveria o número de palavras correspondente ao número de alunos. Outra maneira é quando um aluno está com mais dificuldade e precisamos evidenciá-lo evidenciá lo na turma, ele dita todas as suas palavras paraa os colegas escreverem. Neste Neste momento a professora pode estar ao lado ajudando e também verificando quais palavras ele já memorizou.

Com relação ção ao conjunto de palavras do Tesouro Tesouro esclarecemos após uma pergunta que também colocamos no Tesouro T no dia-a-dia dia da sala de aula ampliando-o. ampliando Foi apresentado as peças ças do tesouro e algumas fichas do livro “ Uma Nova Maneira de Estar em Sala de Aula” e no livro “ Atabaque Menino” ficha de registro individual do tesouro de cada aluno.

Por fim solicitamos que as professoras escrevessem algo sobre as oficinas. Uma espécie de reflexão que possa nos ajudar também também em próximos planejamentos, a lição,

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segundo Madalena Freire. Isto é, uma retomada do que foi aprendido durante essas oficinas.

Considerações sobre as oficinas da alfabetização Percebemos que as oficinas estabeleceram um vínculo maior com os participantes do Colóquio, principalmente entre os que ficaram na mesma oficina, também estreitou vínculo entre a coordenação do Colóquio e os participantes. As oficinas também possibilitaram duas situações de Campos Conceituais bem distintos, onde cada um pôde escolher a área que mais se aproxima do seu desejo de aprender.

Nas oficinas de letras e palavras os participantes estavam muito preocupados em compreender as regras do jogo, curtir os momentos, buscando estratégias para vencer.

Percebemos muita integração entre os componentes de cada grupo, nos grupos que tinha alguém que já sabia a regra do jogo, ajudava para que todos os componentes do seu grupo compreendessem.

Na oficina de texto as professoras também se divertiram, por exemplo, com o jogo do PIN. Porém percebi algumas professoras incomodadas com o fato de não corrigir os textos dos alunos, assim como não solicitar que os alunos leiam seus textos. Quando perguntei quem poderia ir presa pelo crime de corrigir texto, ou por já terem corrigido, evidenciando a prática anterior e/ou atual.

Quanto a oficina da Aula-entrevista achamos que foi a que provocou maior discussão e perguntas. Uma das grandes discussões foi com relação ao eixo de escrita e leitura das palavras serem distintos. Ou seja, que na tarefa da escrita das palavras não se solicita que o aluno leia, a leitura ocorrerá na tarefa da leitura das palavras ortográficas.

Mesmo evidenciando os eixos diferentes da “nave”, mesmo dizendo ser a razão da Aula-entrevista ter duas tarefas distintas: uma para a leitura e outra para escrita, percebemos que ainda não foi totalmente compreendido pelos participantes.

Os escritos no final das oficinas apontaram aspectos de esclarecimento sobre a Aulaentrevista, sobre as etiquetas e sobre ampliar o conhecimento dos jogos. Demonstrou-se que a idéia de ter destinado parte do Colóquio para as oficinas de alfabetização, enriqueceram os participantes.

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Oficina da Alfabetização - trabalho com o eixo das letras

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270

OFICINAS DE MATEMÁTICA

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JOGO “ADIVINHA PALAVRAS” - CARA A CARA TICTECTOE

RETAS

ESPAÇO

GEOMETRIA

PERPENDICULARES

INFINITA PONTOS HORIZONTAIS DIMENSÕES

OBLÍQUAS PARALELAS COORDENADAS LINHAS

SECANTES

PARALELOGRAMA

DIREÇÃO

SENTIDO

FINITA TICTECTACTOE

PLANOS VERTICAIS

TICTECTOE

ORIENTAÇÃO

DESCARTES

INTERSECÇÃO

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II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais Posição relativa das retas - Jogo do Tic Tac Toe

Sim ou não?

A reta "a" é paralela a reta " d " ?...............

A reta " m " é paralela a reta " j " ?.................

A reta " g " é paralela a reta " h " ?..................

A reta " n " não é paralela a reta " o" ?...............

As retas "a", " b ", " c " , " d " , " e " são paralelas paralela entre si ?..............

Quando duas retas não são paralelas? paralelas

•

Marca com um lápis quais retas se podem formar em uma placa.

Candy disse que pode usar mais de uma placa para formar retas e marca uma em cada placa como mostra a figura. Fernando diz que Candy está certa, mas Mariela tem dúvida

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da resposta. Tu pensas que Candy tem razão? Se Candy tem razão marca outras retas que se podem formar.

Mostra quais destas figuras são paralelogramos, paralelogramos, lembrando que um paralelogramo é um quadrilátero convexo que tem os lados opostos paralelos entre si.

Convexa é a figura plana que não tem reentrâncias.

V ou F ?

Duas retas que tem um ponto em comum não são paralelas ( ) Todas as retas paralelas entre si formam uma direção no plano ( ) A geometria é o estudo do espaço ( ) A parte do espaço que tem só uma dimensão é uma linha ( ) As linhas são sempre retas ( ) Estamos estudando a posição relativa entre retas ( ) Uma caixa ocupa um espaço em duas dimensões ( ) A parte do espaço de duas dimensões não é uma superficie ( ) Duas linhas retas que não se intersectam são paralelas ( ) Liga adequadamente os elementos do conjunto A aos elementos do conjunto B.

B

A

.

.Paralelas

.

.Não paralelas

.

274

Oficina de matemรกtica Jogo do repartir ( fichas didรกticas)

275

Ficha didática sobre a folha de registro do jogo do repartir V ou F? Ganha o jogo quem fica com o maior resto Deve-se colocar feijões em cada copinho, de acordo com o número que caiu no dado.

O resto é sempre igual ao número que caiu dado Ganha sempre o jogo quem pegou mais copinhos O número que caiu no dado é o número de copinhos que se deve pegar Quando se tem um só copinho o resto é zero Ganha sempre quem pegou o maior punhado A soma dos 3 primeiros números da ficha é igual ao número de feijões do punhado Os números escritos, depois de uma partida do jogo do repartir, na primeira coluna da ficha, se referem a feijões

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Sendo: a= número de copinhos b= número de feijões em cada copinho c= número de feijões que sobraram d= número de feijões do punhado inicial Traça as flechas entre o conjunto de equações e quando elas são verdadeiras ... a equação é verdadeira

a x b +c=d . a+b+c=d . a x b x c=d . a + b=c .

. Sempre . Nunca . Às vezes

b + c= d . a x b=d . b x c=d .

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Fichas didáticas sobre a sequência de ações do jogo do repartir Considerando feijões, copinhos, dados e a ficha de registro como material para o jogo do repartir, ordenar as ações descritas a seguir de acordo com o que acontece no jogo. ( ) Anotar nomes na ficha de registro., ( ) Pegar punhado de feijões. ( ) Lançar o dado. ( ) Pegar tantos copinhos quantos cair no dado. ( ) Repartir os feijões nos copinhos. ( ) Registrar, o número de copinhos, o número de feijões em cada copinho e o número de feijões no resto. ( ) Interpretação dos números na ficha para descobrir a quantidade de feijões no punhado inicial.

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Jogo do repartir

FEIJÕES MULTIPLICIDADE ELEMENTOS MULTIPLICANDO PUNHADO NÚMERO REPARTIR MAIOR COPOS MENOR IGUALMENTE PRODUTO REGISTRO PARCELAS SOMA ADIÇÃO RESTO MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO

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Oficina de matemática Segredo os números ( fichas didáticas)

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Segredo dos números

MARCAS VERMELHO CORTE (MORDIDA) JANELA (QUADRADO) TRAÇO ELIPSE MÚLTIPLO DOIS TRÊS CINCO SETE CINCO SETE ONZE PRIMOS

COMPOSTOS DIVISOR MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO FATORES JOGO BATALHA BLOQUEAR COMPARÁVEL TRANSITIVA REFLEXIVA ANTISSIMÉTRICA RELAÇÃO ORDEM PARCIAL NÚMERO

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Oficina de matemática Maketes ( fichas didáticas)

PALITOS BOLINHAS CORES AMARELO VERMELHO AZUL VERDE DADOS LINEAR PLANA VOLUMINOSA

PARALELA RETA PERPENDICULAR OBLIQUA DIREÇÃO DIVISORES MÚLTIPLO CORRESPONDÊNCIA CONSTRUÇÃO TIC TEC TOE TIC TEC TAC TOE

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Os participantes têm o privilégio em ter o Dr. Gérard acompanhando a Oficina de Matemática.

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Fotos de Diversos Momentos do II Colรณquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais

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A poetisa, jornalista, cantora e atriz Elisa Lucinda fala, declama e canta sobre Humanização na abertura do Colóquio no Salão de Atos da Reitoria da UFRGS

O público presente ouve atentamente a atriz abordar, entre outros temas, o poder da palavra e racismo.

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Mesa-redonda com Dra. Esther, Elisa Lucinda e indígena Douglas Kaingang. Juntos retomaram a problematização sobre racismo e preconceitos.

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Livros produzidos pelo o Geempa vendidos no Colóquio.

Entre os livros expostos destaca-se a Coleção Campos Conceituais lançada no Colóquio que é composta pelos volumes : “Piaget e Vygotski em Gérad Vergnaud”, “O que é aprender? O Icerberg da Conceitualização” e “Democracia e Educação em Tempos de Caos”.

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Dr. Gérard juntamente com a Dra. Esther autografam a Coleção Campos Conceituais no Salão de Atos da Reitoria da UFRGS.

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Aapresentação do grupo Alabe Ôni. A presença das artes e da cultura atravessaram toda a programação do Colóquio. Além do som dos tambores, os músicos realizaram reflexões sobre a presença dos negros na Região Sul e todas as suas contribuições à cultura do país. A ancestralidade e a sua importância foram destacadas pela professora Esther e pelo cantor e instrumentista Richard Serraria. Foi feita uma homenagem ao cantor, compositor, percussionista e ativista cultural Giba Giba falecido em 2014 e que foi grande parceiro do Geempa, conforme destacou a professora Esther.

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Dra. Esther e Dr. Gérard direcionam as últimas palavras aos participantes do II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais. Momento de despedidas, mas também de planejamento da próxima edição do evento.

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Com a doce tradição da torre de merengue, marca registrada da Dra. Esther, dá-se ínicio a festa de encerramento do II Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais.

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Os participantes brindam o sucesso do Colรณquio.

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Ficou decidido que o III Colóquio Internacional sobre a Teoria dos Campos Conceituais acontecerá em Brasília, na primeira quinzena de novembro de 2018 com a presença do professor Gérard Vergnaud, por proposta vencedora da professora doutora Lêda Gonçalves de Freitas, da Universidade Católica de Brasília.

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