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Sistemas de Comunicaci贸n Modulaci贸n Angular


Introducción • Los sistemas de modulación lineal analizados tienen algunas características comunes que se pueden resumir en los siguientes puntos: • El espectro de la señal modulada básicamente es el espectro desplazado de la señal mensaje. • Todas las operaciones efectuadas sobre la señal son operaciones lineales, de manera que puede aplicarse el principio de la superposición. • El ancho de banda de transmisión jamás excede el doble del ancho de banda de la señal mensaje.


Introducción • En los sistemas de modulación lineal observamos que la amplitud de la señal modulada variaba en alguna forma en función de la señal mensaje. • En la modulación angular o exponencial veremos que las señales moduladas son de amplitud constante, pero el ángulo o argumento de la portadora varía de acuerdo con la señal mensaje.


Introducción • La modulación angular es entonces un proceso no lineal y las componentes espectrales de la señal modulada no están relacionadas en una forma simple con la señal mensaje. • Puesto que el proceso no es lineal, el principio de la superposición no se aplica y el ancho de banda de la señal modulada generalmente es mucho mayor que el de la señal mensaje.


Introducción • El aumento en el ancho de banda y en la complejidad del sistema son, sin embargo, compensados por el mejoramiento de la ganancia de conversión. • Se puede intercambiar ancho de banda por relación S/N sin tener que aumentar la potencia de la señal transmitida. • Los sistemas de modulación angular son entonces sistemas de modulación de banda ancha en los cuales la relación de expansión del ancho de banda βm es alta.


Esquemas de Modulación Angular de Señales Continuas • Las señales moduladas en ángulo son señales de envolvente constante y la información está contenida en la fase instantánea de la portadora. • La señal modulada en ángulo se puede representar en la forma • donde θ(t) = *2πfc t + φ(t)+ es el “ángulo o fase instantánea” de la portadora, y φ(t) la “desviación instantánea de fase”.


Definiciones Básicas • La “frecuencia instantánea, fi(t) ” de la señal modulada xc(t), es:


Tipos de Modulación Angular • La desviación instantánea de fase φ(t) está relacionada con la señal mensaje y dependiendo de la naturaleza de esa relación, se tienen los siguientes tipos de modulación angular: • Modulación de Fase (PM) En la cual la desviación de fase instantánea es proporcional a la señal mensaje m(t): φ(t) = kpm(t) donde kp es la “constante de desviación de fase” del modulador; la constante kp se expresa en radianes por unidad de m(t), por ejemplo, en rad/Volt.


Tipos de Modulación Angular • Modulación de Frecuencia (FM) En la cual la desviación de fase instantánea es proporcional a la señal mensaje m(t):

La desviación instantánea de fase es proporcional a la integral de la señal mensaje; fd es la “constante de desviación de frecuencia” del modulador y se expresa en Hz por unidad de m(t), por ejemplo, en Hz/Volt.


Tipos de Modulación Angular • Se puede definir kf = 2πfd , donde kf es también una constante de desviación de frecuencia pero expresada en radianes por segundo por unidad de m(t). • El valor constante φo (to) es la desviación de fase para t=to que, sin perder generalidad, podemos hacerla igual a cero.


• Para PM: • Para FM Las señales PM y FM son similares en su forma funcional y la diferencia está en la integración del mensaje en la señal FM. La forma de las expresiones nos permite generar señales FM con un modulador de fase, o señales PM con un modulador de frecuencia.


Como FM y PM son señales de envolvente constante, podemos decir que cuando la frecuencia de portadora es alta, el mensaje reside en los cruces por cero de la señal modulada, característica que se suele utilizar para la extracción del mensaje m(t).


Si m(t) es continua, es casi imposible distinguir a simple vista entre una se単al FM y una PM. Si m(t) es discreta, las se単ales FM y PM se pueden distinguir una de la otra. En la se単al FM se observan los cambios de frecuencia y no hay cambios de fase, mientras que en la se単al PM hay cambios de fase pero la frecuencia se mantiene constante.


Modulaciรณn Angular para un Tono simple โ€ข Si:


Modulaciรณn Angular para un Tono simple โ€ข En FM:


Índice de Modulación Angular • El valor pico a pico de la desviación de frecuencia es una medida o estimación del ancho de banda de la señal modulada FM. • El índice de modulación β es la desviación máxima de fase en modulación sinusoidal. El índice de modulación β es un parámetro muy importante en la determinación de la potencia y del ancho de banda de una señal modulada FM. • Nótese que el índice de modulación es la relación entre la desviación máxima de frecuencia y la frecuencia modulante, y por lo tanto no tiene dimensiones.


Modulación Angular para un Tono simple • En términos de β, la señal modulada FM en modulación sinusoidal tiene la forma: • Por analogía: • Donde el índice de modulación PM es


Ejemplo • Si m(t) = 10 cos(104 πt) ingresa a un modulador de frecuencia cuya constante de desviación de frecuencia es igual a 103. La frecuencia de portadora es de 1 MHz, y su amplitud es de 10 V. Calcular todos los parámetros asociados.


Ejemplo • como


Componente Continua en Modulación Angular • Si m(t) posee una componente continua, y se emplea para modular exponencialmente una portadora. m(t) se puede escribir en la forma:


Componente Continua en Modulación Angular • En FM el espectro está centrado en la frecuencia de portadora, y si el valor de esta portadora varía, el espectro puede salirse de la banda de paso del filtro de salida de RF. • En FM, el efecto de la componente continua es muy grave y produce una distorsión muy severa pues el espectro de la señal transmitida se ha desplazado desde fc hasta la frecuencia fc+fdbo y puede hasta desaparecer si los valores de bo y fd son lo suficientemente altos.


Componente Continua en Modulación Angular • En FM la banda de transmisión de la señal modulada debe estar centrada en fc, por lo que es necesario remover previamente cualquiera componente continua presente en la señal mensaje m(t). • En PM la componente continua del mensaje produce un desfase constante que no afecta ni a la frecuencia de portadora ni a la información en sí, pues suponemos que la información está contenida en mo (t). • En la práctica se elimina cualquiera componente continua presente en el mensaje m(t).


Modulaci贸n Angular de Banda Angosta

Si

es peque帽o, o si

Por tanto:

:


Xc(t) se parece a S(t) excepto por un desfase de 90o en la resultante de las dos bandas laterales respecto a la portadora. Si φ(t) tiene un ancho de banda B, el ancho de banda de la señal modulada será de 2B, de aquí el nombre de “modulación angular de banda angosta”.


En FM:

En PM:


Generaci贸n FM/PM


Banda Angosta Tono simple • Si:

en FM:

Existe gran semejanza con la señal modulada AM; la única diferencia es que en FM la componente de frecuencia lateral inferior es de signo contrario. La señal FM de banda angosta requiere esencialmente el mismo ancho de banda de transmisión (es decir, 2fm ) que la señal AM.


Modulación Angular Banda Angosta • La modulación angular de banda angosta representa un modo de transmisión muy importante en las comunicaciones digitales. • En esta aplicación, la relación S/N de pre detección solamente necesita ser lo suficientemente alta para evitar errores de decisión en el receptor.


Modulación Angular Banda Ancha • En la transmisión de señales continuas, tales como la voz y la música, normalmente se necesita una alta fidelidad por tanto es necesario un alto valor del ancho de banda. • Esto implica un ancho espectral mucho más alto, lo cual se consigue si kp o β son relativamente grandes. • Las condiciones establecidas para el caso de banda angosta (β < π/2) ya no son válidas. • Aunque kp o β aumenten, no se afecta la amplitud de la señal modulada y, por supuesto, la potencia promedio transmitida.


Modulación Angular de Banda Ancha Si:

β es el índice de modulación correspondiente a la desviación máxima de fase.

Donde la envolvente compleja de xc(t) La función exp*jβ sen(2πfmt)] es periódica con una frecuencia fundamental igual a fm, por tanto la envolvente compleja de xc (t) se puede desarrollar en una serie de Fourier de la forma:


Evaluando la parte real, obtenemos:

Aún con la modulación sinusoidal la señal modulada en ángulo contiene un número infinito de bandas laterales, centradas en fc y separadas de la frecuencia de la portadora por múltiplos enteros de la frecuencia fm . Teóricamente, una señal modulada en ángulo tiene un ancho de banda infinito.


• Si tenemos un índice β, las primeras funciones de Bessel, corresponden a las amplitudes de las bandas laterales: – La función de Bessel de orden 0 con índice β: J0(β) produce un escalar que es el coeficiente para la amplitud de fc. – J1(β) produce los coeficientes para las amplitudes de las primeras bandas laterales por encima y por debajo de fc. – J2(β) produce los coeficientes para las amplitudes de las segundas bandas laterales por arriba y por abajo de fc. y así sucesivamente. • Entre mas alto el orden de la frecuencia lateral, mas alto debe ser el índice de modulación para que esta frecuencia tenga una amplitud perceptible o significativa.


• La amplitud de cada componente se puede obtener de una tabla de funciones de Bessel. En la tabla se tiene los valores de Jn(β) para n>0, pero de la definición de Jn(β) se puede notar que

• Para obtener el espectro no especificamos el tipo particular de modulación angular (PM o FM), pues el punto de partida es la definición: φ(t) = β sen(2πfmt) .


• Espectro típico de una señal modulada en ángulo utilizando la representación espectral unilateral; por ello, la amplitud de las componentes es el doble de las correspondientes al espectro bilateral.

El signo de las componentes se basa en las condiciones de Bessel.


• Desde un punto de vista teórico, la señal modulada en ángulo contiene un número infinito de componentes de frecuencia. Sin embargo, en la práctica las amplitudes de las componentes para n grande se pueden despreciar. • En general, el coeficiente de Bessel Jn(β) es despreciable cuando n > β, especialmente cuando β >> 1. En PM φ(t) puede obtenerse m(t)=Amsen(2πfmt) , en cuyo caso β=kpAm. • En FM: • El índice de modulación en FM es una función de fm , mientras que en PM no lo es.


Módulo del espectro unilateral de una señal FM cuando fm disminuye manteniéndose constante la desviación máxima de frecuencia fdAm, y viceversa

Para fm grande (β pequeño) la señal es de banda angosta puesto que solamente dos componentes laterales son significativas. Para fm pequeña (β grande) aparecen muchas componentes laterales significativas.


Observando las curvas de Bessel, notamos que a diferencia de la modulación de amplitud, la amplitud de la componente a la frecuencia de portadora en modulación angular depende del índice de modulación.

Para ciertos valores del índice de modulación la amplitud a la frecuencia fc=0, y toda la señal modulada en ángulo consiste solamente de componentes laterales, es decir, Jo(β)=0 para β = 2,4048; 5,5201; 8,6537; 11,7915, etc. Los ceros de Jo(β) , e igual para los otros coeficientes, no están uniformemente espaciados.


• Cuando β aumenta, los coeficientes de Bessel se comportan como sinusoides amortiguadas. Cuando n aumenta, Jn(β) alcanza un valor máximo a una distancia cada vez mayor desde el origen. • Sin embargo, la observación más importante es que Jn(β) decae rápidamente para n >> β ; en realidad, n no necesita ser mucho mayor que β , lo cual es de extrema importancia en la definición del ancho de banda.


• Si la frecuencia instantánea de una señal modulada en forma angular varía en una forma más compleja que la correspondiente a modulación sinusoidal, su espectro resulta muy complicado. • Las frecuencias presentes en las bandas laterales incluyen no solamente las que se obtendrían con cada frecuencia moduladora separadamente, sino que también existen diversas combinaciones de frecuencias. • Aunque la modulación compleja aumenta notablemente el número de componentes de frecuencia presentes en la señal modulada, esto no ensancha la banda de frecuencias ocupada por la energía de la señal.


• Si consideramos la modulación sinusoidal, el espectro de la señal modulada consta de un número infinito de componentes a frecuencias fijas, lo cual parece estar en contradicción con el hecho de que la frecuencia instantánea de la señal varía solamente en el intervalo (fMIN , fMAX ) . • Reconocer dos conceptos distintos del dominio de la frecuencia. – “Frecuencia instantánea”, que es un parámetro dinámico que relaciona la variación de la función angular respecto a una señal modulante, por lo cual la señal compuesta ya no será de una sola frecuencia. – “Contenido espectral” nos permite determinar las componentes de frecuencia en el sentido de Fourier, cada una de ellas con una frecuencia fija. Si todas estas componentes se suman en la forma descrita por su desarrollo de Fourier, el resultado será indudablemente la señal modulada angular en la cual la frecuencia instantánea varía en el tiempo dentro de un intervalo de frecuencias dado.


Ejemplo Una seĂąal m(t) = 10cos2(104 Ď&#x20AC;t) se va a transmitir en FM. Las caracterĂ­sticas del modulador son: fc=100 kHz; fd=4x103;Ac=10V. La salida del modulador se aplica a un filtro pasabanda ideal de ganancia unitaria, ancho de banda de 50 kHz y centrado en la frecuencia de portadora fc.


Ejemplo โ€ข Como el filtro pasabanda de salida tiene un ancho de banda de 50 kHz y estรก centrado en 100 kHz, solamente dejarรก pasar las componentes a las frecuencias 80, 90, 100, 110 y 120 kHz. Frecuencia instantรกnea:


Modulaci贸n Sinusoidal Compuesta Sea f1 y f2 no est谩n arm贸nicamente relacionadas.


Modulación Sinusoidal Compuesta • Observamos los siguientes tipos de componentes: – Una componente a la frecuencia de la portadora, de amplitud AcJo(β1)⋅Jo(β2) – Componentes a las frecuencias correspondientes a [fc+nf1] y [fc+mf2] – Componentes a las frecuencias [fc + nf1 + mf2 ] que no están presentes en los espectros de las señales modulada por f1 o f2 solas.


Modulación Sinusoidal Compuesta • Esto demuestra que la modulación angular, a diferencia de la modulación de amplitud, es un proceso no lineal pues no se cumple la superposición de los espectros. • El mismo análisis se puede aplicar también en PM en cuyo caso los respectivos índices de modulación son β1=kpA1 y β2=kpA2.


En la figura superior podemos observar que las componentes debidas al tono 1 se concentran alrededor de fc. En la figura inferior se muestran algunas de las componentes debidas al tono 2. Todas las otras componentes son frecuencias de batido generadas por la interacci贸n de los tonos 1 y 2 en el proceso de modulaci贸n FM.


Modulación Sinusoidal Compuesta Cuando las frecuencias de modulación están relacionadas armónicamente, por ejemplo, si m(t) es una señal periódica de período T, entonces φ(t) será periódica e igualmente exp[jφ(t)] . Por tanto:


Modulaci贸n Sinusoidal Compuesta

xc(t) contiene componentes de frecuencia centradas en fc, separadas en fo con amplitud Xn


Potencia y Ancho de Banda en Modulación Angular en Banda Ancha La potencia de la señal modulada es constante e independiente de la modulación. Por tanto la potencia no varía y el diseño de los circuitos electrónicos se simplifica bastante. En modulación sinusoidal la potencia de la señal modulada es


Ancho de Banda en Modulación Angular • El ancho de banda está determinado por la estimación de la dispersión de las componentes significativas del espectro a ambos lados de la portadora. Dependerá de las aplicaciones del sistema. • Después del modulador hay que colocar un filtro pasabanda de RF centrado en la fc, y lo mismo en el receptor.


Ancho de Banda en Modulación Angular • Sea una modulación sinusoidal con BT y filtro centrado en fc sin componente continua.

El ancho de banda vendrá dado por BT = 2kfm para k ≥ 1 donde k es el número de componentes a cada lado de la portadora. La relación de expansión del ancho de banda será:


Formas de estimar BT â&#x20AC;˘ El valor de k depende del criterio empleado para definir las componentes significativas del espectro. â&#x20AC;˘ Existen varias formas de estimar BT: 1. Despreciar aquellas componentes de frecuencia cuya amplitud sea menor del 1% de la amplitud unitaria, es decir, se desprecian aquellas componentes para las cuales se cumple que


Formas de estimar BT • Si kn es el mínimo de n que satisface BT=2 knfm , pero como β=Δf/fm se define un “ancho de banda normalizado Bn” dado por

kn y β se obtienen de una Tabla de Coeficientes de Bessel.

Las curvas de Bn permiten estimar el ancho de banda BT cuando β y Δf son conocidos. A medida que aumenta el índice de modulación β, Bn→2, ó, lo que es lo mismo, BT → 2Δf.


Formas de estimar BT • Un segundo criterio se basa en que n no necesita ser mucho mayor que β. • Si suponemos que se consideran significativas todas aquellas componentes para las cuales se cumple que β≈k , siendo k>>1, entonces: BT≈2βfm, por tanto • BT se puede considerar “el valor pico a pico de la desviación máxima de frecuencia”. Es muy utilizado para estimar, en primera aproximación, BT FM, sobre todo en banda ancha.


Criterio de Potencia Significativa • El criterio más empleado en la práctica es el de la “potencia significativa”. La potencia contenida dentro del ancho de banda BT será Donde:

Pr es la fracción de la potencia total que es transmitida.


Criterio de Potencia Significativa El ancho de banda para alguna aplicaciĂłn particular se puede estimar definiendo un valor aceptable para Pr, resolviendo para k mediante una tabla de valores de los coeficientes de Bessel y reemplazando ese valor de k en Por ejemplo: los valores de n=k correspondientes a Prâ&#x2030;Ľ0,5 son (0.440;0.577;0.430;0.391;0.358;0.321; 0.318) y para Prâ&#x2030;Ľ0,98 son: (0.115;0.129;0.132;0.131; 0.130;0.126;0.123)


Criterio de Potencia Significativa Para Pr≥0,98, el valor de k es aproximadamente igual a la parte entera de (β+1) de manera que En este ancho de banda está contenido aproximadamente el 98% de xc(t). • En banda ancha (β >> 1): BT≈2Δf y BT≈2(β+1)⋅fm son equivalentes, • En banda angosta (β << 1) , BT ≈ 2fm .


Criterio de Potencia Significativa â&#x20AC;˘ Respecto al un ancho de banda normalizado.

Bn se grafica en la curva C


Relación de desviación Δ • β se definió para modulación sinusoidal, para el caso de una m(t) arbitraria se puede obtener una expresión aproximada para BT mediante la definición de la “relación de desviación Δ“ :


“Regla de Carson” Δ es equivalente a β para la modulación no sinusoidal. Por tanto:

• Si Δ << 1: BT corresponde a una señal de banda angosta. • Si Δ >> 1: BT tiende al valor pico a pico de la desviación de frecuencia.


• La Regla de Carson subestima en parte el requerimiento de BT en FM, mientras que el primer criterio requiere más componentes de frecuencia, pero el aumento en la potencia es muy pequeño. • Ej: Para β = 10, se transmiten 28 componentes de frecuencia contra 22 transmitidas según Carson, pero la potencia transmitida prácticamente es la misma en ambos casos • En la práctica se toma el valor más pequeño de BT pues así en el receptor el ancho de banda del filtro de entrada es menor y la potencia de ruido de entrada será menor también.


• Una expresión intermedia entre la Regla de Carson y el primer criterio es la siguiente: • Este ancho de banda es un poco mayor que el dado por la Regla de Carson, pero menor que el dado por la condición |Jn(β)|≤ 0,01. Bn se grafica en la curva B


Ejemplo • Para la Radiodifusión FM, la UIT-R ha establecido las siguientes recomendaciones: 1. Desviación Máxima de Frecuencia, Δf=75kHz 2. Ancho de Banda máximo permitido, BT=200 kHz 3. Estabilidad de frecuencia de la portadora, ±2x10−3% 4. Gama del Espectro, desde 88 hasta 108 MHz


Ejemplo Si el ancho de banda de la señal es Bm=15 kHz, entonces Δ=5 (o β=5). BT puede ser: • Primer criterio : BT=240 kHz • Segundo criterio : BT=150 kHz • Según la Regla de Carson: BT=180 kHz • Expresión Intermedia : BT=210 kHz El valor BT=210 kHz , dado por la expresión intermedia es el más aproximado al valor asignado de 200 kHz.


Aplicaciones FM • Hay cinco grandes aplicaciones en las cuales se utiliza la Modulación FM: 1. Radiodifusión No Comercial, 88 a 90 MHz 2. Radiodifusión Comercial, BT=200 kHz, 90 a 108 MHz 3. Canales de Audio en TV, BT=50 kHz, 54 a 88 MHz, 174 a 216 MHz y 470 a 806 MHz 4. Canales de Banda Angosta para Servicio Público, 108 a 174 MHz, y sobre 806 MHz 5. Canales de Banda Angosta para Radioaficionados, en 29,6 MHz, desde 52 a 53 MHz, 144 a 147,99 MHz, 440 a 450 MHz, y sobre 902 MHz.


• PTFM va desde unos pocos mW para el Servicio de Radioficionados hasta 100 kW para Radiodifusión Comercial. • FM no se emplea para f<30MHz debido a la gran distorsión de fase en las señales FM producidas por la ionosfera a f<30 MHz. • Para f>30 MHz, la trayectoria de transmisión es en línea recta sin reflexiones y no es afectada por la ionosfera. Esta situación explica el poco alcance (máximo 130 km) que impone a las señales FM la curvatura de la tierra.


Ejercicio • La señal de audio en televisión comercial está modulada en FM. El ancho de banda disponible para acomodar la señal de audio es de 50 kHz. • Si la señal moduladora de audio contiene frecuencias entre 30 Hz y 15 kHz. Determinar la amplitud máxima para hacer uso óptimo del ancho de banda disponible. La constante de desviación de frecuencia del modulador FM es de 104 Hz/V. Utilizar la Regla de Carson.


Soluciรณn

Entonces, |m(t)|โ‰ค 1 V para aprovechar al mรกximo el ancho de banda disponible .


Ejercicio • Una portadora de 20 MHz se modula sinusoidalmente en FM de manera que la desviación máxima de frecuencia es de 100 kHz. Determinar el índice de modulación y el ancho de banda de la señal FM para los siguientes valores de la frecuencia fm de la señal moduladora: (a) 1 kHz; (b) 50 kHz; (c) 500 kHz.


Solución Δf=100 kHz; fc=20 MHz. Como es modulación sinusoidal: β = Δf/fm. a) fm=1 kHz; β=105/103=100. Este es un caso de FM de banda ancha donde: BT=2(β+1)fm=202 kHz≈2Δf b) fm=50 kHz; Β=2 y BT=2(β+1)fm=300 kHz. c) fm=500 kHz; β=0,2. Este es un caso de FM de banda angosta donde: BT≈2fm=1 MHz


Ejercicio Una m(t)=Amcos(2πfmt) se utiliza en tres sistemas distintos A, B y C de modulación angular, y los anchos de banda respectivos se dan en la siguiente Tabla :

Determinar a qué tipo de modulación angular corresponde cada sistema


Solución • El sistema A puede ser FM de banda angosta. En ese caso, BTA=2fm, lo cual se verifica en las tres columnas de la Tabla. • Los sistemas B y C son de banda ancha, en cuyo caso: comprobamos los valores. • El valor de fd no coincide con la Tabla, por tanto podemos decir que no es FM.


• Comprobamos si es PM: • Para el sistema B, columna 1, kp=16. Este valor verifica los anchos de banda del sistema B. Por lo tanto, el sistema B es un sistema PM. • Para el sistema C de los valores de la columna 1, fd=105 Hz/ V. Como fd verifica los anchos de banda del sistema C, columnas 2 y 3. Por lo tanto, el sistema C es un sistema de Modulación de Frecuencia.

Modulacion Angular  

Sistemas de Comunicación Modulación Angular

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