Matura 2010 - Matematika Final by Fredi Luarasi

REPUBLIKA E SHQIPËRISË

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS

SHPJEGUES I PROGRAMIT TË ORIENTUAR TË PROVIMEVE TË DETYRUARA TË MATURËS SHTETËRORE 2010 Matematikë

Tiranë, Prill 2010

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

MATEMATIKË GJIMNAZI - DREJTIMI NATYROR Nr. I II III IV V VI VII VIII Totali

Linja Numri Shprehjet me ndryshore Ekuacionet Funksioni (8+18) Figurat gjeometrike Matjet Statistika Kombinatorikë e probabilitet

% 8% 6% 12% 26% 22% 16% 4% 6% 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I. Kuptimi për bashkësitë, paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R, veprime në të. Kuptimi i fuqisë me eksponent real dhe veprimet me fuqi të tilla. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritme. Kuptimi i rrënjës me tregues natyror dhe veprimet me rrënjë. Kuptimi i numrit kompleks dhe veprimet me numra kompleksë. Logjika matematike.

Shembuj: 1.

Jepet n  A B   10; A  B   dhe n  A  6. n  B  është : A) 10 B) 6 C) 4 D) 9

2. Nëse log 2 5  a , atëherë log 2 40 është: A) 8a B) 3a C) a+3



1 4

1 3

3. Vlera e shprehjes 16 .8 është: A) 4 B) 3

4. Vlera e shprehjes log 2 3 2  A) 1

B) 2

D) a-3

C) 2

D) 1

C) 3

2 është: 3 2 3

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 2 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

5. Vlera e shprehjes A) -3

MATEMATIKË

6  4 është: B) -2

C) 2

D) 3

6. Jepen bashkësitë A= 1;3 dhe B  0;4 . Elementi më i vogël i bashkësisë A  B është: A) -1

B) 0

C) 3

D) 4

C) 3

D) 1

7. Vlera e shprehjes 2log5+log4 – 1 është: A) 11

B) 10

8. Vlera e shprehjes A) 2

3 + sin215o-cos215o është: 2 B) 1 C) 0

D) -1

9. Vlera e i4 (ku i = 1 ) është: A) –i

B) i

C) -1

D) 1

10. Të shkruhet në trajtë trigonometrike numri kompleks -1 – i

11. Vlera e A)

1 3

38 është: B)

1 9

12. Gjeni vlerën e shprehjes

C) 3

D) 9

1 1  3 1 3 1

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 3 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

13. Le ta zëmë se është i vërtetë pohimi: “Çdo libër artistik është tërheqës”. Cili nga pohimet e mëposhtme është rrjedhim i tij: a) Nëse një libër është tërheqës, atëherë ai është artistik. b) Nëse një libër nuk është artistik, atëherë nuk është tërheqës. c) Nëse një libër nuk është tërheqës, ai nuk është artistik. d) Të gjithë librat tërheqës janë artistikë. 14. Jepen bashkësitë A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {2, 4}. Gjeni bashkësinë X duke ditur që: a) X  X  B , b) X  X  A . 15. Një klasë ka 28 nxënës. Nga këta, 18 merren me not, 8 me futboll, kurse 7 nxënës merren me të dy llojet e sporteve. Sa nxënës nuk merren as me futboll, as me not? 16. Janë dhënë numrat realë

1 1 5 ,c  . 2 3 2 Tregoni që: 1)a 4  10a 2  1 1 2)b 4  10b 2  1 3)c= 1 11+c a  2  3, b 

II. Shprehjet shkronjore dhe veprimet me to. Gjetja e vlerës së një shprehjeje. Shprehje identike. Zbatimi i formulave kryesore të algjebrës. Kthimi i shprehjeve shkronjore në shprehje identike me to duke shfrytëzuar formulat, kuptimet e fuqisë, logaritmit. Kuptimi i vlerës absolute.

Shembuj: 1. Cila nga vlerat e mëposhtme është vlerë e palejueshme e shprehjes A) 0

B) 1

C) 2

1 : x 2

D) 4

3   2. Jepet sinx= . Gjeni cosx, për x   ;3  5 2  3. Shprehja A) 0

a 2  a për a<0 është identike me: B)a

C)2a D) 3a 2x 1 x2 dhe 4. Për ç’vlerë të x, shprehjet janë të barabarta? 3 2 5. Jepet loga=m. Vlera e log(0,1.a2) është: __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 4 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

A) m+1

MATEMATIKË

B) m2+1

6. Për ç’vlera të m, shprehja:

C) m2-1

D) 2m-1

x 2  mx  1 ka kuptim për çdo x  R?

ln(5  2 x) ?

7. Për ç’vlerë të x, ka kuptim shprehja:



8. Gjeni vlerën e shprehjes: sin( x  )  sin( x   )  sin(3  x)  sin(2  x) 2 2

9. Thjeshtoni thyesën

x2  y 2 . ay  ax

10. Jepet logx4=3. Vlera e x6 është: A) 4

B) 6

11. Thjeshtoni shprehjen:

D) 16

tg 2  sin 2  . tg 2 .sin 

12. Vlera më e madhe e shprehjes A) 1

C) 8

B) 2

4 është: 3  cos x C) 3

D) 4

13. Vërtetoni që për çdo vlerë natyrore të n, shprehja (n+7)2-n2 plotpjesëtohet me 7. 14. Vërtetoni që vlera e shprehjes (x-1)(x2+1)(x+1)-(x2-1)2-2(x2-3) nuk varet nga vlera e ndryshores x. 15. Faktorizoni shprehjen 23x-64. III. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme; kuptimi për zgjidhjen. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, në formë thyese, irracionale dhe trigonometrike. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe e sistemeve të inekuacioneve.

Shembuj: __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 5 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

1. Cila nga vlerat e mëposhtme të x vërteton barazimin A) 3

B) 2

C) 1

3x  5  2 ?

D) -2

1 2. Që ekuacioni ax2+x+ =0 të ketë dy rrënjë të barabarta, duhet që vlera e a të jetë: 4 A) -1

B) 0

C) 1

D) 2

3. Zgjidhje e ekuacionit 2x – 1=1 është numri: A) 2

B) 1

C) 0

D) -1

4. Të zgjidhet ekuacioni: 2sinxcotgx+1=cosx për x  o; 2  .

Jepet ekuacioni x2 – (1-2k)x +k-1=0, i cili ka dy rrënjë. Për cilat vlera të k, rrënjët x1 dhe x2 plotësojnë kushtin x1+x2=x1x2?

3x  4  2 6. Të zgjidhet sistemi:  2 3x  9 x  0 7. Jepet shprehja P(x)=x3-x2+x-1. a) Zbërtheni në faktorë shprehjen. b) Zgjidhni ekuacionin P(x)=0. 8. Të zgjidhet ekuacioni: x4- x2- 12 =0. 9. Të zgjidhet ekuacioni: 4x – 3.2x=-1. 10. Zgjidhni ekuacionin 2 x  1  5 dhe paraqitni bashkësinë e zgjidhjeve në gjuhën e intervaleve.

3 11. Të zgjidhet inekuacioni log 0,5 ( x  ) <2. 4 12. Përcaktoni, sipas vlerave të parametrit m, sasinë e rrënjëve reale të ekuacionit m2x+m=x+1. 13. Të zgjidhet ekuacioni: 18x 4  7 x 2  1  0 __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 6 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

14. Zgjidhni ekuacionin: 2x+2x+1+2x+2=3x+3x-1+3x-2





15. Zgjidhni ekuacionin: 2 x 2  3 =4(x-1)2

1 16. Jepet ekuacioni x 2  (sin   1) x  cos 2   0 . 2 a) Vërtetoni se ekuacioni ka dy rrënjë x1dhe x2 për çdo vlerë të  . b) Për ç’vlerë të  , vlera x12+x22 arrin vlerën më të madhe?

17. Të zgjidhet ekuacioni: 2 log2 x 

18. Zgjidhni ekuacionin

1 për x<1 3

x  6 x -2=0.

 y  x2  x  1 19. Për ç’vlerë të m, sistemi  ka një zgjidhje të vetme? mx  y  5 IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një k funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y = , y = x , eksponencialë, x logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikut të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentes në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar.

Shembuj: 1. Në grafikun e funksionit y= x2  x  1 ndodhet pika M(x;1). Cili nga numrat e mëposhtëm është abshisë e pikës M: A) x = 2

B) x = 1

C) x = -1

D) x = -2

2. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y= ln(5  2 x) . __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 7 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

3. Jepen funksionet f: y = 2x dhe g: y = x2. Vlera e gof(1) është: A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 4. Jepet funksioni f(x) = x2-3x. Të zgjidhet inekuacioni f(x) <f’(x). 5. Jepet funksioni y = x3-2x+3. Në cilën pikë, tangjentja e hequr në pikën me abshisë x = 1, pret boshtin Oy?

6. Vlera e  (4 x3  2 x)dx është: 1

A) 4

B) 8

C) 10

D) 12

 sin 2 x për x  0  7. Jepet funksioni y =  x . m  1 për x  0

Për ç’vlera të m, funksioni është i vazhdueshëm në x = 0?

8. Gjeni lim(3x  x 0

sin x ). x

9. Jepet progresioni aritmetik 3; 6; 9……… Gjeni S10.

10. Jepet funksioni y = ax . a) Përcaktoni vlerën e a, nëse grafiku i tij kalon nga pika M(-2;2). b) Gjeni syprinën e figurës që kufizohet nga grafiku i funksionit dhe drejtëzat x = 0 dhe x = -1 11. Gjeni syprinën e figurës së kufizuar nga grafikët e funksioneve y=x3 dhe y= x 12. Të studiohet monotonia; të gjenden pikat e ekstremumit dhe të infleksionit për funksionin: y = x3-12x+2 13. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y = logx-2(3-x). 14. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në  1;5 . __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 8 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

15. Jepet funksioni f: y =

MATEMATIKË

3x . Gjeni f ( x) . x2

16. A janë të barabarta funksionet: y 

x2 1 dhe y = x+1? x 1

17. Funksioni i dhënë me formulën y = ax2+b ka bashkësi përcaktimi [-2,2] dhe bashkësi vlerash [-1,7]. Gjeni a, b. 18. Vlera më e madhe e funksionit y  A)

5 ; 6

5 ; 3

5 është: x  4x  7 2

D) tjetër numër.

C) 2;

19. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksioneve: a) y  log(

5x  x 2 ) 4

b) y 

1 x  3x  2

1  cos 2 x 2sin 2 x x  sin x . b) lim c) lim 2 x 0 x 0 1  cos x x 0 x  tg 2 x x sin x

20. Gjeni limitet: a) lim

V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan, veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë); ekuacionet kanonike të tyre. Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën, pikën. Vetitë kryesore të trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve.

Shembuj: 1. Në planin koordinativ jepen pikat A( 3; 5); B(-1; 2) dhe C(4; 1) . Gjeni koordinatat e vektorit a  AB  CA . 2. Jepet rrethi me ekuacion x2+y2-2x+4y = 0. Gjeni koordinatat e qendrës dhe rrezen e tij. 3.

 2 Jepen vektorët a    3

dhe b  3i  4 j . Gjeni koordinatat e vektorit a  2b .

4. Jepet drejtëza y = 3x-2. a) Provoni që pika A (1; 2) nuk ndodhet në drejtëz. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 9 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

b) Gjeni ekuacionet e drejtëzave që kalojnë nga pika A dhe janë pingule ose paralele me drejtëzën e dhënë.

x2 y 2 5. Për ç’vlerë të m, drejtëza y = 3x+m është tangjente me elipsin   1? 2 18

6. Vërtetoni se trekëndëshi, në të cilin mesorja dhe përgjysmorja të dala nga i njëjti kulm puthiten, është dybrinjënjëshëm.

7. Jepet A (-1; 2) dhe B (3; 4). Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB b) Gjeni koordinatat e mesit M të segmentit [AB]. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB] e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C (0; 3), paralele me drejtëzën (AB). 8. Drejtkëndëshat ABCD dhe ABMN kanë brinjën AB të përbashkët, por ndodhen në plane të ndryshme. Të vërtetohet se MNDC është drejtkëndësh. 9. Për ç’vlerë të m, drejtëzat 3x-4y+15=0, 5x+2y-1=0 dhe mx-y=0 priten në një pikë?

  1 10. Drejtëza d kalon nga mesi i segmentit [AB] dhe është paralel me vektorin v    .   3 Të shkruhet ekuacioni i saj, në qoftë se jepen A (0, 2) dhe B(-2, 4).

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 10 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

11. Jepet trekëndëshi me kulme A(1,0); B(-4,3 3) dhe C(2, 3). a) Të vërtetohet se ABC është trekëndësh kënddrejtë. b) Të gjenden këndet që drejtëzat CA dhe CB formojnë me boshtin e abshisave. 12. ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij A (2, -1); B (4, 3) dhe D (-2, 5). a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij. b) Të gjenden koordinatat e kulmit C. 13. Simetrikja e drejtëzës ax+4y-1 = 0 në lidhje me drejtëzën y = x kalon nga pika A (-2,3). Të gjendet a. 14. Baza e madhe AB e trapezit ABCD ndodhet në planin α, ndërsa baza e vogël e tij CD, jashtë këtij plani. Të vërtetohet se CD// α. 15. Të gjendet projeksioni i pikës M (-8, 12) në drejtëzën që kalon nga pikat A (2, -3) dhe B (-5, 1). 16. ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij A (2, -1); B (4, 3) dhe D (-2, 5). a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij. b) Të gjenden koordinatat e kulmit C.

VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik dhe prodhimi vektorial i dy vektorëve. Gjetja e syprinave e vëllimeve të trupave gjeometrikë.

Shembuj: 1. Në një trekëndësh, vija e mesme që bashkon brinjët anësore, është 4cm dhe perimetri i tij është 20cm. Brinja anësore e tij është: A) 16

B) 8

C) 6

D) 4

2. Rombi me perimetër 12cm dhe lartësi 4 cm e ka syprinën: A) 9cm2

B) 12cm2

C) 16cm2

D) 24cm2

3. Në paralelogramin ABCD, diagonalja BD formon me brinjët e tij këndet 90o dhe 45o. Gjeni syprinën e paralelogramit, nëse BD = 4cm.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 11 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

4. Në një piramidë të rregullt katërkëndore, brinja anësore është 12cm dhe formon me planin e bazës këndin 60o. Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës. 5. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 6. Në një trekëndësh ABC, jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC. c) Syprinën e trekëndëshit. d) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e të jashtëshkruar trekëndëshit. 7. Në trapezin ABCD (AB║CD). Në mesin E të brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit AEM duke ditur që koordinatat e kulmeve të trapezit janë: A (1, 2) B (3, 4) C (5, 5) D (6, 6). 8. Në drejtëzën x-2y+1 = 0, nuk ndodhet pika: A) (0; 1)

B) (3; 2)

9. Vektorët ka  2a dhe A) -2 B) -1

C) (1; 1)

D) (5, 3)

a janë të barabartë. Vlera e k është: C) 1 D) 2

10. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij (në cm) është: A) 5 B) 5 2 C) 10 D) 10 2 11. Jepet parabola y2 = 2x. Nga cila pikë e parabolës drejtëza y = x+2 ka largesën më të vogël? 12. Prerja boshtore e konit e ka këndin në kulm të drejtë. Diametri i bazës së tij është 12 cm. Të gjendet vëllimi i konit. 13. Të gjendet sipërfaqja anësore dhe e përgjithshme e cilindrit që përftohet nga rrotullimi i katrorit me brinjë 4cm rreth njërës brinjë të tij. 14. Në një piramidë të rregullt katërkëndore, brinja anësore është 17cm dhe lartësia është 15cm. Të gjenden: a) Sipërfaqja anësore e piramidës. b) Vëllimi i piramidës.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 12 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

16. Jepet një piramidë me bazë katror me diagonale 6 2 , dhe një brinjë anësore pingule me planin e bazës me gjatësi 8. Gjeni syprinën e përgjithshme të piramidës.

VII. Sistemimi i të dhënave në tabelë. Gjetja e mesatares, modës, kuartileve dhe karakteristikave të shpërhapjes në një varg të dhënash. Përkëmbimet dhe kombinacionet. Rregulli themelor njehsues. Llogaritja e numrit të përkëmbimeve dhe të kombinacioneve. Shembuj: 1. Në një eksperiment u mat gjatësia e disa insekteve. Të dhënat tregohen në tabelë: Gjatësia(në cm) Numri i insekteve

30 7

34 5

36 5

38 10

Gjeni përqindjen e insekteve që e kanë gjatësinë më të vogël se gjatësia mesatare. 2. Klasa me 30 nxënës e ka notën mesatare 7.8. Klasa ka 20 vajza dhe 10 djem. Nota mesatare e vajzave është 8. Gjeni notën mesatare të djemve. 3. Gjeni n, në barazimin (n-1)P3 = 2n.P2. 4. Zgjidhni ekuacionin 5Cx3=Cx+23. 5. Në një test prej 50 pikësh morën pjesë 30 nxënës. Rezultatet e tyre janë si më poshtë: 42 2 12

40 36 5

36 44 14

48 22 7

20 13 24

16 12 19

17 15 13

8 9 40

12 11 38

9 10 34

a) Formoni klasat [1-10]; [11-20]; [21-30]; [31-40]; [41-50]. b) Gjeni dendurinë për secilën klasë. c) Ndërtoni histogramin e kësaj shpërndarjeje. d) Gjeni mesataren aritmetike m. e) Gjeni dispersionin dhe shmangien mesatare katrore. 6. Për t’u përgatitur për provimin e matematikës, mësuesi u dha nxënësve 4 teorema dhe 7 problema. Secili nxënës kishte të drejtë të përzgjidhte një teoremë dhe një problemë. Në sa mënyra të ndryshme mund të bëhet përzgjedhja? 7. Jepen shifrat 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9. Me to formojmë numra dyshifrorë pa përsëritjen e shifrave. a) Sa numra të tillë formohen? b) Sa prej këtyre numrave janë më të mëdhenj se 60? c) Sa prej këtyre numrave janë më të vegjël se 40? __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 13 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

8. Në sa mënyra të ndryshme mund të radhiten zanoret e alfabetit tonë?

VIII. Kuptimi për probabilitetin. Hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta.

Shembuj: 1. Në një kuti ndodhen 7 sfera të kuqe, 6 sfera të zeza dhe 3 sfera të bardha. Nga kutia nxirren rastësisht 3 sfera njëherësh. Sa është probabiliteti që sferat e nxjerra të jenë dy të zeza dhe një e bardhë? 2. Merren të gjitha radhitjet pa përsëritje të shkronjave A; P; O; R; E; U. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të formohet fjala EUROPA? 3. Jepet bashkësia H = 2;5;7;8 . Zgjidhen rastësisht 2 nga këta numra. Sa është probabiliteti që shuma e tyre të jetë çift? 4. Në një kuti ndodhen pesë sfera të bardha dhe katër sfera të kuqe. Nxjerrim rastësisht dy prej tyre njëherësh. Të gjendet probabiliteti që sferat të jenë të së njëjtës ngjyrë. 5. Në një klasë të përbërë nga 20 vajza dhe 15 djem zgjidhen dy nxënës. Sa është probabiliteti i ngjarjes që: A) Të dy nxënësit e zgjedhur janë djem. B) Të dy nxënësit e zgjedhur janë vajza. C) Nxënësit e zgjedhur janë njëri djalë e tjetri vajzë. D) Nxënësit e zgjedhur janë dy djem ose dy vajza.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 14 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

GJIMNAZI - DREJTIMI I PËRGJITHSHËM Nr I II III IV V VI VII VIII

Linja Numri Shprehjet me ndryshore Ekuacionet Funksioni (8+16) Figurat gjeometrike Matjet Statistika Kombinatorikë e probabilitet Totali

% 8% 8% 12 % 26% 20% 16% 4% 6% 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I. Kuptimi për bashkësitë. Paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R, veprime në të. Kuptimi i fuqive me eksponentë realë dhe veprimet me to. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritme. Kuptimi i rrënjëve me tregues natyrorë dhe veprimet me to. Kuptimi i numrit kompleks dhe veprimet me të. Shembuj: 1. Numri i elementeve të bashkësisë A   x  Z /  2  x  1 është: A) i pafundmë

B) 3

2. Vlera e shprehjes log 2 3 2  A) 1

B) 2

C) 2

D) 1

2 është: 3 C) 3

2 3

3. Vlera e shprehjes 2log6 – log9 është: A) log4

B) log 2

C) log 3

4. Vlera e shprehjes (3-1)2.9 është: 1 A) B) 1 C) 3 3

D) 1

D) 34

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 15 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

5. Jepen bashkësitë B =  x  N /  2  x  5 dhe B = 2;0;5 . A B është: A) A

C) 0;5

B) B

 16  6. Vlera e shprehjes   12  . 3 është:  3  A) 2 B) 10 C) -2

D) 2;0;1; 2;3; 4;5

7. Vlera e 8 3 është: A) 10

B) 16

C) 24

D) 32

C) 3

D) 4

8. Vlera e log335-log552 është: A) 1

B) 2

9. Një klasë ka 28 nxënës. Nga këta, 18 merren me not, 8 me futboll, kurse 7 nxënës merren me të dy llojet e sporteve. Sa nxënës nuk merren as me futboll, as me not? 10. Në një qytet janë 52 hotele, nga të cilët 40 nuk kanë pishina dhe as fusha tenisi, 10 kanë fusha tenisi dhe 3 prej këtyre kanë edhe pishina. Gjeni: a) Sa hotele kanë pishina? b) Sa hotele kanë pishina, por jo fusha tenisi.

11. Vërtetoni barazimin:

123  (9  5)3  (9  5)3

12. Gjeni vlerën e shprehjes log25 +log2

4 -1. 5

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 16 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

12 , ku këndi x është i gjerë. Gjeni sin2x. 13

2. Për ç’vlera të m, shprehja m2-3m +1 merr vlera të barabarta me 1? 3. Për cilat vlera të x, shprehjet 2x-3 dhe x+9 marrin vlera të kundërta? 4. Për ç’vlera të x, shprehja log 1 (x+1) merr vlera pozitive? 2

5. Shprehja sin(180o-x) +sin(90o-x) +sin(-x) është identike me: A) sinx

B) cosx

6. Thjeshtoni shprehjen

7. Nëse a =

8. Nëse cos   A) 1

D) -cosx

a2  4 . a2

3  2 dhe b =

A) 1

C) -sinx

3  2 , atëherë vlera e 2ab është:

B) 2

C) 3

3 , atëherë sin2  është: 2 3 1 B) C) 4 2

D) 4

1 4

9. Vërtetoni që vlera e shprehjes nuk varet nga vlera e ndryshores x: (x2-3)2-(x-2)(x2+4)(x+2)-6(5-x2). 10. Faktorizoni shprehjen 32x – 25. 11. Vërtetoni që për çdo vlerë natyrore të n, shprehja (4n+5)2-9 plotpjesëtohet me 4.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 17 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

12. Jepet

MATEMATIKË

cos x tgx është:  2 . Vlera e sin x cot gx

A) 2

B) 1

C) 0,5

2  ln e është: 1  ln e 2 3 B) C) 2 2

D) 0,25

13. Vlera e shprehjes A) 0,5

4 3

III. Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme; kuptimi për zgjidhjen. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, në formë thyese, irracionale dhe trigonometrike. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe sistemeve të inekuacioneve. Shembuj: 1. Numri i rrënjëve të ekuacionit x  2 =1 është: A) 3 B) 2 C) 1

2. Të zgjidhet ekuacioni 3x

3 x

D) 0

 22.22 .

3. Të zgjidhet inekuacioni log a ( x  1)  1 , ku a <1. 4. Që ekuacioni x2-mx+1 = 0 të ketë vetëm një rrënjë reale, vlera e m mjafton të jetë: A) -1

B) 0

C) 2

x  1 është numri: 2 B) 2 C) 3

D) 3

5. Zgjidhje e ekuacionit 3  A) 1

D) 4

6. Të zgjidhet ekuacioni logx=2log8 –4log2. 7. Të zgjidhet ekuacioni 2sin2x – 1 = 0.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 18 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

x  3  0 8. Të zgjidhet sistemi i inekuacioneve:  . 5  x  0 9. Jepet inekuacioni (x+3)(x2-x)<0. a) A është zgjidhje e tij numri 1? b) Zgjidhni inekuacionin. 10. Jepet ekuacioni x3+mx2-5=0. a) Për ç’vlerë të m, ekuacioni ka si rrënjë numrin 1? b) Për vlerën e gjetur të m, gjeni dhe rrënjët e tjera të ekuacionit. 11. Gjeni vlerën e m në ekuacionin 2x2-15x-4m-1 = 0 në mënyrë që njëra rrënjë të jetë 3 sa e rrënjës tjetër. 2 12. Është dhënë ekuacioni 2x3-3x2+5x-14=0. a) Gjeni me mend një rrënjë të ekuacionit. b) Zgjidhni ekuacionin. 13. Për ç’vlera të parametrit m, trinomi x2+5x+(m-4) është pozitiv për çdo x  R ? 15. Ekuacioni 3  x  3 x  1 vërtetohet për vlerën e x: A) -2

B) -1

16. Të zgjidhet ekuacioni

x x

log x

C) 0

D) 1

 1.

17. Jepet polinomi P(x) = ax2+bx+c, ku P(1)=0 dhe P(2) = 0. Gjeni

a . b

 y  x2  x  1 18. Për ç’vlerë të m, sistemi  ka një zgjidhje të vetme? mx  y  5 IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një k funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y = , y = x , eksponencialë, x logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikëve të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentit në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 19 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

Shembuj: 1. Jepet funksioni f: y = log 2(x-1). f(9) është: A) 2 B) 3 C) 4

D) 6

2. Jepet funksioni y = x2-4x+3. a) Gjeni pikat ku grafiku i funksionit pret boshtet Ox dhe Oy. b) Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës. c) Skiconi grafikun e funksionit. 3. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit: y = log x  1  x .

4. Jepet funksioni y = ln(ax-5). Për ç’vlerë të a, tangjentja ndaj grafikut të tij në pikën me abshisë 2 formon me boshtin e abshisave këndin 450? 5. Në progresionin aritmetik jepen y2 = 5 dhe y6 = 17. Gjeni kufizën e parë dhe diferencën e progresionit. 6. Studioni monotoninë, përkulshmërinë dhe gjeni ekstremumet e funksionit: y=2x3-6x2+5. 7. Jepet funksioni f: y = 6-3x . f-1(-3) (ku f-1 është funksioni i anasjelltë) është: A) -6

B) -3

C) 3

8. Për ç’vlerë të a, tangjentja ndaj grafikut të funksionit y = formon me boshtin Ox këndin 45o?

D) 6

xa në pikën me abshisë x = 1 2x

9. Gjeni syprinën e kufizuar nga grafiku i funksionit y = -(x+2)2+1 dhe drejtëzat x = 0 y = 0.



10. Jepet funksioni f: y = - cos3x. Vlera e f ( ) është: 6 A) -3 B) -1 C) 0 D) 3 11. Njehsoni syprinën e figurës që kufizohet nga grafikët e funksioneve: y = x2 y = 2x. 12. Në grafikun e funksionit y 

k ndodhet pika M(1; 2). Vlera e k është: 2x

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 20 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

A) 1

MATEMATIKË

B) 2

C) 4

D) 8

13. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në  1;5 . 14 . Jepet funksioni f: y =

3x .Gjeni f ( x) . x2

15. Ndërtoni grafikun e funksionit x a) y  b) y = x+|x| x 16. Gjeni limitet: a) lim

x 

c) y=x.|x|

x 2  3x  2 x2  2 x 1  x . b) lim x  2x  5 3x  1

17. a) Ndërtoni grafikun e funksionit y = x2+6x-5, xR duke gjetur kulmin dhe pikat prerjes me boshtet koordinatave. b) Cila është bashkësia e vlerave të funksionit? 18. Vërtetoni që, nëse vargu a, b, c është progresion aritmetik, atëherë edhe vargu a2-bc, b2-ac, c2-ab është progresion aritmetik.

1 19. Kufiza e përgjithshme e një progresioni gjeometrik është yn   2n 1 . 4 Gjeni shumën e 6 kufizave të para të tij. 20. Gjeni syprinën e figurës së formuar nga bashkësia e pikave M (x; y) që plotësojnë kushtin x 2  y  x .

dx . 1 2x 1

21. Gjeni 

V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan; veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë), ekuacionet kanonike të tyre. Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën, pikën. Vetitë kryesore të __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 21 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës, etj.). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve.

Shembuj: 1. Elipsi me vatra F1 (3;0) dhe F2 (3;0) është tangjent me drejtëzën y = -x+5. Shkruani ekuacionin e elipsit. 2. Rombi me një kënd 30 dhe brinjë 6cm e ka syprinën: A) 36cm2 B) 24cm2 C) 20cm2 D) 18cm2 3. Jepet rrethi me qendër O. Në të është brendashkruar trapezi ABCD, ku AB është diametri i rrethit. Jepen DC = 3cm dhe AD = BC = 2cm. Gjeni sipërfaqen e trapezit 4. Jepen pikat A (2; 3) dhe B ( -2; 5). a) Gjeni koordinatat e vektorit AB . b) Gjeni koordinatat e mesit të segmentit [AB]. 5. Jepen pikat A (3; 5) dhe B (-2; 4).Të gjendet pika M (x; y) e tillë që të ketë vend barazimi 2 AM  MB  0 .

x  6. Gjatësia e vektorit a    është 5. Vlera absolute e x është:  4  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 7. Jepet piramida e rregullt trekëndore me brinjë anësore 4m dhe kënd të faqes anësore të drejtë. Gjeni vëllimin e piramidës.

8. Jepet elipsi

x2 y2   1. 25 16

Gjeni: a) vatrat e tij b) kulmet c) ekuacionin e tangjentes së hequr ndaj elipsit, pingule me drejtëzën me ekuacion y = x+6 9. Drejtëza y = kx+t kalon nga origjina e koordinatave dhe pika (1, 1). Të gjendet k + t. 10. ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij A (2, -1); B (4, 3) dhe D (-2, 5). a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij. b) Të gjenden koordinatat e kulmit C. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 22 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

11. Drejtkëndëshat ABCD dhe ABMN kanë brinjën AB të përbashkët, por ndodhen në plane të ndryshme. Të vërtetohet se MNDC është drejtkëndësh. 12. Simetrikja e drejtëzës ax+4y-1 = 0 në lidhje me drejtëzën y = x kalon nga pika A (-2, 3). Të gjendet a. 13. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmentet e barabarta AE dhe CG. Po kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF. Të vërtetohet se: a) EH = FG b) EF = HG c) EFGH – paralelogram

VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik i vektorëve. Gjetja e syprinave e vëllimeve të trupave gjeometrikë. Shembuj: 1. Jepet A (-1; 2) dhe B (3; 4)Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB . b) Gjeni koordinatat e mesit M të AB. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB]. e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C (0; 3), paralel me(AB). 2. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 3. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC. c) Syprinën e trekëndëshit. d) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 4. Në trapezin ABCD (AB║CD), nga mesi E i brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit AEM duke ditur që koordinatat e kulmeve të trapezit janë A(1, 2) B(3, 4) C(5, 5) D(6, 6) 5. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika: __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 23 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

A) (0;1)

B) (3,2)

6. Vektorët ka  2a A) -2

MATEMATIKË

dhe

C) (1;1)

D) (5,3)

a janë të barabartë . Vlera e k është:

B) -1

C) 1

D) 2

7. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij (në cm) është: A) 5

B) 5 2

D) 10 2

C) 10

8. Jepet trekëndëshi barabrinjës ABC me brinjë 10cm. Në kulmin A të tij ndërtohet pingulja me planin e trekëndëshit dhe në të merret pika M e tillë që AM = 5cm. Të gjendet largesa e pikës M nga brinja BC. 9. Një paralelogram dhe një drejtkëndësh kanë brinjët me gjatësi të barabarta. Gjeni këndin e ngushtë të paralelogramit, nëse sipërfaqja e tij është sa gjysma e sipërfaqes së drejtkëndëshit. 10. Baza e kuboidit ka përmasat 3cm; 4cm, ndërsa brinja anësore është 10cm. Të gjenden: a) Sipërfaqja anësore e kuboidit. b) Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit. 11. Brinja e bazës e një piramide katërkëndëshe të rregullt është 8cm dhe lartësia e saj është 7cm. Të gjendet brinja anësore e piramidës. VII. Sistemimi i të dhënave në tabelë. Gjetja e mesatares, modës, kuartileve dhe karakteristikave të shpërhapjes në një varg të dhënash. Përkëmbimet dhe kombinacionet. Rregulli themelor njehsues. Llogaritja e numrit të përkëmbimeve dhe të kombinacioneve. Shembuj: 1. Në një eksperiment u mat gjatësia e disa insekteve. Të dhënat tregohen në tabelë: Gjatësia(në cm) Numri i insekteve

30 7

34 5

36 5

38 10

Gjeni përqindjen e insekteve që e kanë gjatësinë më të vogël se gjatësia mesatare. 2. Klasa me 30 nxënës e ka notën mesatare 7.8. Klasa ka 20 vajza dhe 10 djem. Nota mesatare e vajzave është 8. Gjeni notën mesatare të djemve. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 24 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

3. Gjeni n, në barazimin (n-1)P3=2n.P2. 4. Zgjidhni ekuacionin 5Cx3=Cx+23. 5.

Në një detyrë kontrolli, 40 nxënësit e klasës u vlerësuan me nota si më poshtë: 6 5 5 4

5 8 5 8

8 7 4 7

8 6 6 9

6 10 7 8

8 10 7 9

4 6 6 8

8 7 5 8

7 8 8 9

9 6 6 7

a) I sistemoni këto të dhëna në tabelë. b) Gjeni modën, mesoren dhe mesataren. c) Gjeni dispersionin dhe shmangien mesatare katrore.

VIII. Kuptimi për probabilitetin. Hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta. Shembuj: 1. Në një kuti ndodhen 7 sfera të kuqe, 6 sfera të zeza dhe 3 sfera të bardha. Nga kutia nxirren rastësisht 3 sfera njëherësh. Sa është probabiliteti që sferat e nxjerra të jenë dy të zeza dhe një e bardhë? 2. Merren të gjitha radhitjet pa përsëritje të shkronjave A; P; O; R; E; U. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të formohet fjala EUROPA? 3. Jepet bashkësia A = 2;5;7;8 . Zgjidhen rastësisht dy nga këta numra. Sa është probabiliteti që shuma e tyre të jetë çift?

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 25 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

GJIMNAZI - DREJTIMI SHOQEROR Nr I II III IV V VI VII VIII

Linja Numri Shprehjet me ndryshore. Ekuacionet Funksioni (10+16) Figurat gjeometrike Matjet Statistika Kombinatorika e probabiliteti Totali

% 8% 6% 16 % 26% 20% 14% 4% 4% 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I .Kuptimi për bashkësitë, paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R, veprime në të. Kuptimi i fuqive me eksponentë realë dhe veprimet me to. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritmet. Kuptimi i rrënjës me tregues natyror dhe veprimet me rrënjë.

Shembuj: 1. Vlera e (3-1)-2 është: A) 3

B) 6

2. Vlera e shprehjes 12  3 është: A) 9 B) 2 3 3. Vlera e shprehjes (3-1)2.9 është: 1 A) B) 1 3

C) 9

D) 3-3

C) 3

D) 34

C) 3

4. Jepen bashkësitë B =  x  N /  2  x  5 dhe B = 2;0;5 . A B është: A) A

B) B

C) 0;5

5. Gjeni vlerën e shprehjes log25 +log2 6. Vlera e 8 A) -2

1 3

D) 2;0;1; 2;3; 4;5

4 -1. 5

është: B) 2

C) 0,5

D) 1,5

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 26 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

7. Jepet log35 = b. Vlera e log345 është: A) 3b B) 2b

8. Vlera e shprehjes cos A) -2

C) 2+b

D) 3+b

3   cos   sin është: 2 2 B) -1 C) 0

D) 1

9. Vlera e shprehjes ln48-4ln2 është: A) 3

B) 2

C) ln12

D)ln3

10. Vlera e ( ( 3  1)( 3  1) është: A) 8

B) 2

32

1 3  27 është: 2 B) 0 C) 1

3 1

11. Vlera e shprehjes 18. A) -1

12. Vlera e shprehjes -3 5  2 5 është: A) -5 B) -1

C) 5 5

D) 2

D)- 5

13. Pika M e mbarimit të harkut -850o ndodhet në kuadratin: A) I

B) II

C) III

D) IV

14. Në një klasë janë 39 nxënës. 28 prej tyre luajnë basketboll,16 prej tyre luajnë futboll. Nëse 5 nxënës nuk luajnë asnjë nga këto sporte, sa nxënës luajnë të dy llojet e sporteve?

11 3

11 4 3 dhe cos   .Vlera e tg është: 13 13 33 11 3 B)  C)  4 4

D) 

11 3 12

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 27 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

2. Për cilat vlera të x, shprehjet 3x2 -2x dhe x3 marrin vlera të barabarta?

3. Në barazimin A) 1

3 9  vlera e x është: x 6 B) 2

4. Thjeshtoni thyesën

6. Thjeshtoni thyesën

D) 9

C) 64

D) 128

C) 4y2-4y+1

D) 2y2-9

C) -1

D) 1

a 2  b2 . ma  mb

5. Vlera e shprehjes (-2x-2)2 për x = A) 16

C) 6

1 është: 2

B) 32

x2  4 . x2  4x  4

7. Shprehja (3-2y)(2y+3) është e njëvlershme me: A) 9-4y2

B) 4y2-9

8. Vlera më e vogël e shprehjes 3cos   1 është: A) -3

B) -2

9. Zbërtheni në faktorë: (2x-1)2-(x+3)2; 81a12-16a8; 36x4y6-25x2y4; a 4m  b 4 m . 10. Vlera e sin(-225o) është: 2 A)  B) –0,5 2

C) 0,5

2 2

11. Vërtetoni që shprehja x2+2x+2 mund të marrë vetëm vlera pozitive.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 28 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

III. Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme; kuptimi i zgjidhjes. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, thyesorë, trinomë, irracionalë dhe trigonometrikë. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe zgjidhja e sistemeve të inekuacioneve.

Shembuj: 1. Inekuacioni 8-x <-3x është i njëvlershëm me: A) x>4 B) x <4 C) x<-4

2. Rrënjë e ekuacionit A) 4

D) x>5

2  2  2 është: x B) 2 C) 1

D) 0,5

3. Të zgjidhet inekuacioni 2x2+5x  0.

4. Të zgjidhet ekuacioni 3-x= 9 . 5. Të zgjidhet ekuacioni log(x2-4)=log(x+2).

6. Të zgjidhet inekuacioni 1 

5 x  x. 3

7. Për ç’vlera të a, ekuacioni x 2  (a  1) x  1 = 0 ka vetëm një rrënjë? 8. Të zgjidhet inekuacioni -2x2+7x-6  0 për x  Z. 9. Nëse ekuacioni 2mx-1 = 0 ka si rrënjë numrin A) -2

B) -1

10. Të zgjidhet inekuacioni

C) 1

1 , atëherë vlera e m është: 4 D) 2

x2 2x 1 1  x. 3 2

11. Prodhimi i rrënjëve të ekuacionit x2  3x  5 është: A) -5

B) -3

C) 3

D) 5

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 29 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

12. Jepet ekuacioni x2+(b-2)x +b = 0 dhe

1 1  =3. Gjeni vlerën e b. x1 x2

13. Shuma e rrënjëve të ekuacionit x  7  12 është: A) -16 B) -14 C) -10

D) -8

14. Jepet ekuacioni x3-x2-2x+2=0. a) Zbërtheni anën e majtë në faktorë. b) Zgjidhni ekuacionin. 15. Zgjidhni ekuacionin (x2+x-3)(x2+x+2) = -4.

 y  x2  x  1 16. Për ç’vlerë të m, sistemi  ka një zgjidhje të vetme? mx  y  5

IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një k funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y= , y= x , eksponencialë, x logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikëve të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentes në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar.

Shembuj:

1 1. Pika M( x; ) ndodhet në grafikun e funksionit y  3x . Gjeni abshisën e pikës M . 9 2. Jepet funksionet f: y = 2x dhe g: y = x2. Vlera e gof(1) është: A) 1

B) 2

C) 4

D) 8

3. Grafiku i funksionit y = x2-3x+2 pret boshtin Oy në pikën me ordinatë: A) -3

B) -2

C) 2

D) 3

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 30 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

4. Jepet f(x) = sin2x. Vlera e f / ( A) -1

B) 0

MATEMATIKË

 ) është: 4 C)

2 2

D) 1

5. Funksioni y = -2x2+8x-7 arrin vlerën më të madhe për: A) x=0

B) x=1

C) x=2

D) x=3

6. Jepen vijat y = x2+2 dhe x+y = 4. a) Gjeni pikat e prerjes së dy vijave. b) Gjeni syprinën e figurës që kufizohet nga dy vijat.

7. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y =

x 3 2 x

8. Në progresionin aritmetik jepen y1 = 5; d = 4 dhe yn = 17. Gjeni n. 9. Vlera e lim x 1

A) -1

x2  3 është: 2 x B) -2

C) 1

D) 2

10. Jepet funksioni y=x3-3x+2. a) Gjeni koeficientin këndor të tangjentes së hequr ndaj grafikut në pikën me abshisë x=1. b) Cili është pozicioni i kësaj tangjenteje në lidhje me boshtin Ox? 3

11. Vlera e  ( x 2  2 x)dx është: 0

A) -3

B) 0

C) 3

D) 9

12. Gjeni derivatin e funksionit y = (x-e)(lnx-2) në pikën x. 13. Jepet funksioni y = x3-6x2+4. a) Studioni përkulshmërinë e grafikut. b) Gjeni ekuacionin e tangjentes së hequr në pikën me abshisë x=1. 14. Njehsoni syprinën e figurës që kufizohet nga grafikët e funksioneve: y = x2 dhe y = 2x.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 31 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË



15. Jepet funksioni y = - cos3x. Vlera e f ( ) është: 6 A) -3 B) -1 C) 0 D) 3 16. Provoni që vargu (x-1)2 ; x2+1; (x+1)2 është progresion aritmetik. 17. Jepet funksioni y = x2-8x. a) Studioni monotoninë e funksionit. b) Shkruani ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut, e cila është paralele me drejtëzën y=10x+2.  2

18. Vlera e

 cos xdx është: 0

A) 1

B) 0

C) -1

D) -2

V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan;veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë); ekuacionet kanonike të tyre. Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangjencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën, pikën. Vetitë kryesore të trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve.

Shembuj: 1. Lartësia mbi bazën e një trekëndëshi dybrinjënjëshëm me brinjë anësore 6cm dhe kënd në kulm 120 është9 (në cm): A) 3 B) 2 3 C) 6 D) 12 2. Për ç’vlera të k, rrethi x2  y 2  2 x  4 y  k  0 e ka rrezen 3 njësi? 3. Brinjët e një drejtkëndëshi ndryshojnë me 5cm, kurse syprina fillestare e tij është 36cm2. Gjeni brinjët e drejtkëndëshit. 4. Për piramidën e rregullt katërkëndore me brinjë të bazës 4cm dhe lartësi 3cm, gjeni brinjën anësore dhe vëllimin e saj.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 32 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

5. Jepet parabola y2-x = 0. a) Skiconi grafikun e saj. b) Gjeni syprinën e kufizuar nga vija dhe drejtëza x = 4.

5 1  6. Jepen vektorët a    dhe b    . Gjeni gjatësinë e vektorit a  b .  2  2  7. Që drejtëzat 2x-3y+1 = 0 dhe mx+2y = 3 të jenë pingule, vlera e m duhet të jetë: A) -1

B) 1

C) 2

D) 3

8. Shkruani ekuacionin e hiperbolës me njërën vatër (-6; 0) dhe boshtin 2a = 16.

9. Të gjendet pika simetrike e pikës M(3, -2) në lidhje me drejtëzën që kalon nga pikat A(1, 3) dhe B(-1, 5). 10. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmente te barabarta AE dhe CG. Po kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF. Të vërtetohet që: a) EH = FG b) EF = HG c) EFGH është paralelogram

11. Jepet trekëndëshi me kulme A(1,0); B(-4,3 3) dhe C(2, 3). a) Të kontrollohet nëse ABC është trekëndësh kënddrejtë. b) Të gjenden këndet që drejtëzat CA dhe CB formojnë me boshtin e abshisave. 12. ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij A(2, -1); B(4, 3) dhe D(-2, 5). a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij. b) Të gjenden koordinatat e kulmit C.

  1 13. Drejtëza d kalon nga mesi i segmentit [AB] dhe është paralel me vektorin v    .   3 Të shkruhet ekuacioni i saj, në qoftë se jepen A(0, 2) dhe B(-2, 4). 14. Për ç’vlerë të m, drejtëzat mx+9y-5 = 0 dhe mx-4y+1 = 0 janë pingule?

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 33 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Gjetja e syprinave dhe vëllimeve të trupave gjeometrikë. Shembuj: 1. Jepet A(-1; 2) dhe B(3; 4).Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB . b) Gjeni koordinatat e mesit M të [AB]. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB]. e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C(0;3),paralele me drejtëzën (AB). 2. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 3. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në  1;5 . 4. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC. c) Syprinën e trekëndëshit. d)) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 5. Në trapezin ABCD (AB║CD). Në mesin E të brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni gjatësitë e bazave të trapezit, kur dimë: AM = 5dm, MB = 25dm. 6. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika: A) (0; 1)

B) (3; 2)

7. Vektorët ka  2a A) -2

dhe

B) -1

C) (1; 1)

D) (5, 3)

a janë të barabartë. Vlera e k është:

C) 1

D) 2

8. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij (në cm) është: A) 5

B) 5 2

C) 10

D) 10 2

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 34 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

9. Jepet katërkëndëshi me kulme A(-2, -1); B(0, 3); C(6, 5) dhe D(4, 1). a) Të vërtetohet se ai është paralelogram. b) Të gjendet largesa ndërmjet brinjëve AB dhe CD. c) Të gjendet sipërfaqja e tij. 10. Në boshtin e abshisave të gjendet pika që ndodhet një njësi larg drejtëzës x+y-1=0. 11. Diagonalja e një kuboidi formon me planin e bazës këndin 450. Brinjët e bazës janë 15cm e 8cm. Të gjendet lartësia e kuboidit. 12. Baza e kuboidit ka përmasat 3cm; 4cm, ndërsa brinja anësore është 10 cm. Të gjenden: a) Sipërfaqja anësore e kuboidit. b) Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit. 13. Në një trekëndësh kënddrejtë dybrinjënjëshëm brendashkruhet një katror në mënyrë që dy nga kulmet e tij të gjenden në hipotenuzë, ndërsa dy kulmet e tjera në katete. Gjeni gjatësinë e brinjës së katrorit, nëse hipotenuza ka gjatësi 3cm.

VII. Sistemimi i të dhënave në tabelë. Gjetja e mesatares, modës, kuartileve dhe karakteristikave të shpërhapjes në një varg të dhënash. Përkëmbimet dhe kombinacionet. Rregulli themelor njehsues. Llogaritja e numrit të përkëmbimeve dhe kombinacioneve. Shembuj: 1. Klasa me 30 nxënës e ka notën mesatare 7.8. Klasa ka 20 vajza dhe 10 djem. Nota mesatare e vajzave është 8. Gjeni notën mesatare të djemve. 2. Për një tipar u morën të dhënat e mëposhtme: x f(x)

1 3

2 5

3 4

4 6

5 2

a) Të gjendet mesatarja dhe shmangia mesatare katrore. b) Sa për qind e vlerave ndodhen në [m-, m+] ? 3. Jepen shifrat 2, 3, 5, 6, 8. a) Sa numra dyshifrorë (pa përsëritjen e shifrave) formohen me to? b) Sa numra treshifrorë (pa përsëritjen e shifrave) formohen me to? c) Sa prej numrave treshifrorë janë tek? d) Sa numra treshifrorë që plotpjesëtohen me 5, formohen me to? __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 35 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

4. Në një kuti ndodhen 5 sfera të kuqe, 4 sfera të bardha dhe 6 sfera të zeza. Në sa mënyra mund të nxirren nga kutia: a) Tri sfera të çfarëdoshme? b) Tri sfera të kuqe? c) Tri sfera të bardha? d) Tri sfera të zeza?

VIII. Kuptimi për probabilitetin. Hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta. Shembuj: 1. Në një kuti janë 10 sfera të njëjta të shënuara me numrat 0; 1; 2;………9. Nxirret rastësisht një sferë. Gjeni probabilitetin që sfera e nxjerrë të ketë të shënuar një numër tek. 2. Hidhet një zar kubik. Të gjendet probabiliteti i ngjarjeve: a) bie numri 5; b) bie numër tek; c) bie numër i thjeshtë; d) bie numër më i madh se 4; e) bie numër natyror; f) bie numri 8. 3. Në një kuti ndodhen tri sfera të kuqe dhe katër sfera të bardha. Tërheqim rastësisht dy prej tyre njëherësh. Të gjendet probabiliteti i ngjarjes: a) Të dy sferat janë të kuqe. b) Të dy sferat janë të bardha. c) Njëra nga sferat është e kuqe dhe tjetra është e bardhë.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 36 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

SHKOLLAT: TEKNIKE 3+2 VJECARE; PEDAGOGJIKE; KOHË TË SHKURTUAR Nr I II III IV V VI VII VIII

Linja Numri Shprehjet me ndryshore. Ekuacionet Funksioni (8+16) Figurat gjeometrike Matjet Statistika Kombinatorikë e probabilitet Totali

% 10% 8% 14 % 24% 22% 14% 4% 4% 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I. Kuptimi për bashkësitë; paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R, veprime në të. Kuptimi i fuqive me eksponent realë dhe veprimet me to. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritmet. Kuptimi i rrënjës me tregues natyror dhe veprimet me rrënjë.

Shembuj: 1. Vlera e A) 3

3 është: 3 2 B) 9

C) 27

D) 81

2. Bashkësia 1;3 shkruhet: A)  x  R /1  x  3

B)  x  R /1  x  3

C)  x  R /1  x  3

D)  x  R /1  x  3

3. Vlera e sin(-225o) është: 2 A)  B) –0,5 2

C) 0,5

2 2

1 4. Vlera e shprehjes 2(0,5  ) është: 4 A) 0

B) 0,5

C) 1

D) 2

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 37 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

5. Vlera më e vogël e shprehjes 3cos   1 është: A) -3

B) -2

6. Vlera e log 3 A) -2

7. Vlera e A) -1

1 për x=9 është: x B) -1

8  9 është: B) 1

C) -1

D) 1

C) 1

D) 2

C) 2

D) 0

C) ln12

D) ln3

8. Vlera e shprehjes ln48-4ln2 është: A) 3

B) 2

9. Vlera e ( ( 3  1)( 3  1) është: A) 8

B) 2

9. Vlera e shprehjes A) -1

32

3 1

25  8) është: 2

B) 1

C) 2

D) 3

10. Jepet bashkësia A = {a, b, c, d}. Sa është numri i nënbashkësive të A-së që përmbajnë elementin d? 11. Shkruani shprehjen numerike që vijon si shprehje pa rrënjë në emërues: 3 1 a) 1 4 3 1 12. Jepet x =

16 . Tregoni bashkësinë e vlerave të n që x  N . n

34.(31 ) 2 13. Shprehja është e barabartë me: 9 A) 1

B) 3

C) 9

D) 27

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 38 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

Shembuj: 1. Jepet sinx =

3   . Gjeni cosx për x   ;3  . 5 2  c2 për c= -1 është: 3 B) 0 C) 1

2. Vlera e shprehjes c  A) -1

D) 2

3. Shprehja x2-x(x-2) është identike me : A) 0

B) 2

C) 2x

D) 2x2

4. Për cilat vlera të x shprehjet 2x-3 dhe x+9 marrin vlera të kundërta?

5. Thjeshtoni thyesën

x2  y 2 . ay  ax

6. Vlera e log3x për x = 9-1 është: A) -3

B) -2

7. Vlera e shprehjes (-2x-2)2 për x =

C) 2

1 është: 2

A) 16 B) 32 C) 64 x-1 x 8. Nëse 2 =5, atëherë vlera e 4 është: A) 10

B) 20

D) 3

D) 128

C) 80

D) 100

x2  4 9. Shprehja është e njëvlershme me: x2 A) x+2 B) x-2 C) x+4

D) x-4

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 39 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

10. Shprehja (1-sinx)(1+sinx) është e njëvlershme me: A) 1+sin2x

B) cosx

C) cos2x

D) –cosx

11. Jepet log35=b. Vlera e log345 është: A) 3b

B) 2b

C) 2+b

D) 3+b

12. Polinomi P(x)=x4-3x3+2x2+mx-3 plotpjesëtohet me x-2. Gjeni m.

13. Dihet se për disa vlera të x dhe y, shprehja

1 është e barabartë me 5. x-y

Gjeni y-x.

III . Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme dhe kuptimi për zgjidhjen. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, në formë thyese, irracionale dhe trigonometrike. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe sistemeve të inekuacioneve.

Shembuj: 1. Të zgjidhet inekuacioni x-4  -2(1-x). 2. Zgjidhni inekuacionin –x2+6x-8  0 për x  Z. 3. Zgjidhje e ekuacionit 2 x  1  A) 0

B) 1

4. Të zgjidhet inekuacioni

3 është numri: x C) 2

D) 3

x2 2x 1 1  x. 3 2

5. Trinomi f(x)= ax2  bx  c merr vetëm vlera negative kur: A) D>0

B) D<0

C) D>0 dhe a<0

D) D<0 dhe a<0

6. Për ç’vlerë të x, shprehja x2-3x-3 është më e vogël se 5? __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 40 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

7. Jepet shprehja P(x)=x3-x2+x-1. a) Zbërtheni në faktorë shprehjen. b) Zgjidhni ekuacionin P(x) = 0. 8. Të zgjidhet ekuacioni log(x2+2)=log3+logx.

Për ç’vlera të a, ekuacioni x 2  (a  1) x  1 = 0 ka vetëm një rrënjë?

x  3  0 10. Të zgjidhet sistemi i inekuacioneve  . 5  x  0 11. Të zgjidhet ekuacioni (x2 -4)(x+1)=0.

1 12. Të zgjidhet ekuacioni 2x-3= . 4

 y  x2  x  1 13. Për ç’vlerë të m, sistemi  ka një zgjidhje të vetme? mx  y  5 14. Për ç’vlerë të x, shprehja x2-3x-3 është më e madhe se 5? 15. Të zgjidhet ekuacioni 2 2  4x1 . 16. Zgjidhni në bashkësinë Q ekuacionin: a) 2x=25 b) 2x= 2

17. Të zgjidhet ekuacioni (3x  6) x 2  9  0 .

18. Duke bërë zbërthimin e trinomeve të fuqisë së dytë, zgjidhni ekuacionin. 18 14 x - 2 = 2 . 2 x  4 x  5 x  3x  4 x  9 x  20

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 41 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një k funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y = , y = x eksponencialë, x logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikëve të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentes në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar.

Shembuj:

1 1. Kufiza e përgjithshme e një progresioni gjeometrik është yn   2n 1 . 4 Gjeni shumën e 6 kufizave të para të tij. 2. Në grafikun e funksionit y =  x  1 ndodhet pika M(x; 1). Vlera e abshisës së pikës M është: A) x = 0

B) x = 1

3. Jepet f(x)= 2 sin2x. Vlera e f / ( A) -1

2 2

C) x = -1

D) x = 2

 ) është: 4 C) 1

D) 2

4. Jepet funksioni y=4-x2. a) Gjeni pikat ku grafiku pret boshtin Ox. b) Gjeni ekuacionin e tangjentes së hequr ndaj grafikut në pikën me abshisë x=-1. c) Gjeni syprinën e figurës që kufizohet nga grafiku dhe gjysmëboshti x’x (y>0). 5. Grafiku i funksionit y= x2-3x+2 pret boshtin OY në pikën me ordinatë: A) -3

B) -2

C) 2

D) 3

C) 10

D) 12

6. Vlera e  (4 x3  2 x)dx është: 1

A) 4

B) 8

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 42 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

7. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit: y= log x  1  x .

8. Në progresionin aritmetik jepen y1 = 5; d=4 dhe yn = 17. Gjeni n.

 x 2 për x  0 9. Skiconi grafikun e funksionit  2 .  x për x  0 10. Të studiohet monotonia dhe të gjenden pikat e ekstremumit dhe të infleksionit për funksionin y=x3-12x+2. 11. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në  1;5 .  2

12. Vlera e

 cos xdx është: 0

A) 1

B) 0

C) -1

D) -2

13. Jepet funksioni y=x2-8x. a) Studioni monotoninë e funksionit. b) Shkruani ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut, e cila është paralele me drejtëzën y=10x+2. 14. Derivati i funksionit y = cos2x – x2 për x = 0 është: A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

15. Jepet f(x)= sin  x dhe g(x)=log2x. Vlera fog(4) është: A) -1

B) 0

C) 2

D) 3

16. Në progresionin gjeometrik jepen y2=8 dhe y5=64. Gjeni kufizën e parë dhe herësin.   x 17. Jepet funksioni f(x) =    x

për x  0 për x  0

a) Gjeni f(4) + f(-2). b) Skiconi grafikun e funksionit. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 43 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

18.

Vlera e  ( x 2  2 x)dx është: 0

A) -3

B) 0

C) 3

D) 9

V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan;veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë); ekuacionet kanonike të tyre . Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën, pikën. Vetitë kryesore të trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve.

Shembuj: 1. Lartësia mbi bazë e një trekëndëshi dybrinjënjëshëm me brinjë anësore 6cm dhe kënd në kulm 120 është (në cm): A) 3

B) 2 3

C) 6

D) 12

2. Në trapezin dybrinjënjëshëm vija e mesme dhe brinja anësore janë nga 6cm. Perimetri i trapezit është: A) 48

B) 36

C) 24

D) 12

3. Brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë janë x; x ; 2 2 . a) Gjeni këndet e trekëndëshit. b) Gjeni syprinën e trekëndëshit.

4. Jepen pikat A(2; 3) dhe B( -2; 5). a) Gjeni koordinatat e vektorit AB . b) Gjeni koordinatat e mesit të segmentit [AB]. 5. Drejtëza 2x – 3y =4 pret boshtin Ox në pikën me abshisë: A) -2

B) 1

C) 2

D) 3

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 44 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

 x  2 6. Vektori a    është paralel me boshtin Oy. Vlera e x është:  1  A) -2 B) 1 C)0 D) 2 7. Gjeni ekuacionin e rrethit me qendër në pikën O(3; 2) dhe tangjent me boshtin Ox. 8. Në një trekëndësh kënddrejtë dybrinjënjëshëm brendashkruhet një katror në mënyrë që dy nga kulmet e tij të gjenden në hipotenuzë, ndërsa dy kulmet e tjera në katetet. Gjeni gjatësinë e brinjës së katrorit, nëse hipotenuza ka gjatësi 3 cm. 9. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmentet e barabarta AE dhe CG. Po kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF. Të vërtetohet: a) EH = FG b) EF = HG c) EFGH – paralelogram 10. Pikat A(4a-3,b) dhe B(-a-3,-5) janë simetrike sipas origjinës së koordinatave. Të gjendet (a+b).

VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Gjetja e syprinave dhe vëllimeve të trupave gjeometrikë.

Shembuj: 1. Jepet hiperbola me ekuacion 5x 2  4 y 2  20 . a) Të gjenden vatrat, kulmet dhe ekuacionet e asimtotave. b) Të gjendet ekuacioni i tangjentes së hequr ndaj hiperbolës, e cila është paralele me drejtëzën 3x - 2y + 7 = 0 2. Jepet koni i drejtë rrethor me përftuese 6m, e cila formon me planin e bazës këndin 300. Gjeni vëllimin e konit. 3. Jepet A(-1; 2) dhe B(3; 4)Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB . b) Gjeni koordinatat e mesit M të segmentit [AB]. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB]. e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C(0; 3),paralele me (AB). __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 45 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

4. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 5. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në  1;5 . 6. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC c) Syprinën e trekëndëshit. d) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 7. Në trapezin ABCD (AB║CD), në mesin E të brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit AEM duke ditur që koordinatat e kulmeve të trapezit janë A(1, 2) B(3, 4) C(5, 5) D(6, 6) 8. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika: A) (0; 1)

B) (3; 2)

9. Vektorët ka  2a

dhe

A) -2

B) -1

C) (1; 1)

D)(5,3)

a janë të barabartë . Vlera e k është: C) 1

D) 2

10. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij është: A) 5

B) 5 2

C) 10

D) 10 2

11. Jepet trekëndëshi ABC, ku AB = 10cm. Gjeni lartësinë e hequr mbi AB, nëse këndet në kulmet A dhe B janë 45o dhe 60o.

12. Jepet trekëndëshi me brinjë 5; 7; 8. a) Gjeni kosinusin e këndit më të madh të trekëndëshit. b) Gjeni gjatësinë e mesores më të madhe. 13. Baza e kuboidit ka përmasat 3 cm; 4 cm, ndërsa brinja anësore është 10 cm. Të gjenden: a) Sipërfaqja anësore e kuboidit. b) Sipërfaqja e përgjithshme e kuboidit.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 46 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

Shembuj: 1. Klasa me 30 nxënës e ka notën mesatare 7.8. Klasa ka 20 vajza dhe 10 djem. Nota mesatare e vajzave është 8. Gjeni notën mesatare të djemve. 2. Për një tipar u morën të dhënat e mëposhtme: x f(x)

1 3

2 5

3 4

4 6

5 2

a) Të gjendet mesatarja dhe shmangia mesatare katrore. b) Sa për qind e vlerave ndodhen në [m-, m+] ?

3. Jepen shifrat 2, 3, 5, 6, 8. a) Sa numra dyshifrorë (pa përsëritjen e shifrave) formohen me to? b) Sa numra treshifrorë (pa përsëritjen e shifrave) formohen me to? c) Sa prej numrave treshifrorë janë tek? d) Sa numra treshifrorë që plotpjesëtohen me 5, formohen me to? 4. Në një kuti ndodhen 5 sfera të kuqe, 4 sfera të bardha dhe 6 sfera të zeza. Në sa mënyra mund të nxirren njëherësh nga kutia: a) Tri sfera të çfarëdoshme? b) Tri sfera të kuqe? c) Tri sfera të bardha? d) Tri sfera të zeza?

VIII. Kuptimi për probabilitetin; hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta. Shembuj: 1. Në një kuti janë 10 sfera të njëjta të shënuara me numrat 0;1; 2;………9. Nxirret rastësisht një sferë. Gjeni probabilitetin që sfera e nxjerrë të ketë të shënuar një numër tek

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 47 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

2. Hidhet një zar kubik. Të gjendet probabiliteti i ngjarjeve: a) Bie numri 5; b) Bie numër tek; c) Bie numër i thjeshtë; d) Bie numër më i madh se 4; e) Bie numër natyror; f) Bie numri 8. 3. Në një kuti ndodhen tri sfera të kuqe dhe katër sfera të bardha. Tërheqim rastësisht dy prej tyre. Të gjendet probabiliteti i ngjarjes: a) Të dy sferat janë të kuqe. b) Të dy sferat janë të bardha. c) Njëra nga sferat është e kuqe dhe tjetra është e bardhë.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 48 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

SHKOLLA TEKNIKE 5-VJECARE Nr I II III IV V VI VII VIII

Linja Numri Shprehjet me ndryshore Ekuacionet Funksioni (8+18) Figurat gjeometrike Matjet Statistika Kombinatorikë e probabilitet Totali

% 8% 7% 13 % 26% 22% 16% 4% 4% 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I. Kuptimi për bashkësitë, paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R. Veprime në të. Kuptimi i fuqive me eksponentë realë dhe veprimet me to. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritmet. Kuptimi i rrënjës me tregues natyror dhe veprimet me rrënjë. Kuptimi i numrit kompleks dhe veprimet me numrat kompleksë.

Shembuj: 1. Numri i elementeve të bashkësisë A   x  Z /  2  x  1 është: A) i pafundmë

B) 3

2. Vlera e shprehjes log 2 3 2  A) 1

C) 2

D) 1

C) 3

2 është: 3

B) 2

2 3

3. Vlera e shprehjes 2log6 – log9 është: A) log4

B) log 2

C) log 3

D) 1

C) 3

D) 34

4. Vlera e shprehjes (3-1)2.9 është: A)

1 3

B) 1

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 49 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

5. Jepen bashkësitë B =  x  N /  2  x  5 dhe B= 2;0;5 . A B është: A) A

C) 0;5

B) B

 16  6. Vlera e shprehjes   12  . 3 është:  3  A) 2 B) 10 C) -2

D) 2;0;1; 2;3; 4;5

D) 3

7. Vlera e 8 3 është: A) 10

8. Numri

B) 16

C) 24

D) 32

C) 2 3

D) 3 3

6 është i barabartë me: 3

A) 2

9. Jepen numrat kompleksë z1 = i-2; z2 = i+2 dhe z3 = i+2. Gjeni z3-z1z2. 10. A janë të vërteta fjalitë: a) Që në një trekëndësh kënddrejtë njëri katet të jetë sa gjysma e hipotenuzës, duhet e mjafton që këndi përballë tij të jetë 30o. b) Që katërkëndëshi ABCD të jetë romb, duhet e mjafton që sipërfaqja ABCD të jetë e 1 barabartë me ACBD. 2 c) Që ekuacioni ax = b të ketë 1 rrënjë të vetme në Q, duhet e mjafton që a  0? 11. Jepen bashkësitë A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {2, 4}. Gjeni bashkësinë X duke ditur që a) X  X  B , b) X  X  A . 12. Një klasë ka 28 nxënës. Nga këta, 18 merren me not, 8 me futboll, kurse 7 nxënës merren me të dy llojet e sporteve. Sa nxënës nuk merren as me futboll, as me not? 13. Në një qytet janë 52 hotele, nga të cilët 40 nuk kanë pishina dhe as fusha tenisi, 10 kanë fusha tenisi dhe 3 prej këtyre kanë edhe pishina. Gjeni: a) Sa hotele kanë pishina? b) Sa hotele kanë pishina, por jo fusha tenisi? __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 50 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

14. Shkruani shprehjen numerike që vijon si shprehje pa rrënjë në emërues:

cos



 sin



3 3. 3 1  2 2

Shembuj: 1. Jepet sinx =

12 , ku këndi x është i gjerë. Gjeni sin2x. 13

5. Shprehja sin(180o-x) +sin(90o-x) +sin(-x) është identike me: A) sinx

B) cosx

C) -sinx

D) -cosx

a2  4 6. Thjeshtoni shprehjen . a2

7. Nëse a =

3  2 dhe b =

A) 1

8. Nëse cos   A) 1

B) 2

3  2 , atëherë vlera e 2ab është: C) 3

3 , atëherë sin2  është: 2 3 1 B) C) 4 2

D) 4

1 4

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 51 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

9. Dihet se për disa vlera të x dhe y, shprehja Gjeni: a)

1 është e barabartë me 5. x-y

1 y-x . ; b)x-y; c)y-x; d) y-x 3

10. Dy rrënjë të polinomit x4+x3-7x2-x-6 janë 2 dhe –3. Gjeni dy rrënjët e tjera të polinomit. 11. Vërtetoni që shprehja 6x-3x2-6 mund të marrë vetëm vlera negative. 12. Vërtetoni që për çdo n natyror vlera e shprehjes (n+4)(n-1)-(n+8)(n-5) nuk varet nga n. 13. Jepet log35 = b. Vlera e log345 është: A) 3b

B) 2b

C) 2+b

D) 3+b

14. Vlera e shprehjes A) 6 15. Vlera e A) 3-7

16. 36 është: 3 54 B) 4 C) 2

(32 ) 2 është: 33 B) 3-5

C) 3-1

D) 1

D) 3

III. Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme dhe kuptimi për zgjidhjen. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, në formë thyese, irracionale dhe trigonometrike. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe sistemeve të inekuacioneve.

Shembuj:

3 , atëherë sin2  është: 2 3 1 A) 1 B) C) 4 2 2. Numri i rrënjëve të ekuacionit x  2 =1 është: 1. Nëse cos  

A) 3

B) 2

C) 1

1 4

D) 0

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 52 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

3. Të zgjidhet ekuacioni 3x

MATEMATIKË

3 x

 22.22 .

4. Të zgjidhet inekuacioni log a ( x  1)  1 ku a <1. 5. Që ekuacioni x2-mx+1=0 të ketë vetëm një rrënjë reale, vlera e m mjafton të jetë: A) 1

B) 0

6. Zgjidhje e ekuacionit 3  A) 1

B) 2

C) 2

D) 3

x  1 është numri: 2 C) 3

D) 4

7. Të zgjidhet ekuacioni logx=2log8 –4log2. 8. Të zgjidhet ekuacioni 2sin2x – 1=0.

x  3  0 9. Të zgjidhet sistemi i inekuacioneve:  . 5  x  0 10. Jepet inekuacioni (x+3)(x2-x)<0. a) A është zgjidhje e tij numri 1? b) Zgjidhni inekuacionin. 11. Jepet ekuacioni x3+mx2-5=0. a) Për ç’vlerë të m, ekuacioni ka një rrënjë të barabartë me 1? b) Për vlerën e gjetur të m, gjeni dhe rrënjët e tjera të ekuacionit. 12. Është dhënë ekuacioni 2x3-3x2+5x-14 = 0. a) Gjeni me mend një rrënjë të ekuacionit. b) Zgjidhni ekuacionin. 13. Të zgjidhet ekuacioni 18x 4  7 x 2  1  0 .

14. Gjeni bashkësinë e vlerave të lejuara të shprehjes: x  1  3x  x 2 . __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 53 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

15. Trinomi f(x) = ax2  bx  c merr vetëm vlera negative kur: A) D>0 B) D<0 C) D>0 dhe a<0

D) D<0 dhe a<0

16. Të zgjidhet ekuacioni sin4x+sin2x=sinx. 17. Të zgjidhet inekuacioni x2+|x|-2>0.

IV. Kuptimi i funksionit. Funksioni numerik dhe grafiku i tij. Nxjerrja e karakteristikave të funksionit nëpërmjet leximit të grafikut të tij. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të një k funksioni. Vetitë e funksioneve y = ax + b, y = ax2 + bx + c, y = , y= x , eksponencialë, x logaritmikë, trigonometrikë dhe skicimi i grafikëve të tyre. Formulat kryesore të trigonometrisë. Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Derivati i një funksioni në një pikë. Derivimi i funksioneve të mësipërme. Kuptimi për vazhdueshmërinë e funksionit. Studimi i monotonisë dhe përkulshmërisë së grafikut të funksionit nëpërmjet studimit të shenjës së derivatit të tij. Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe gjetja e tangjentes në një pikë të grafikut. Kuptimi për integralin e funksionit dhe gjetja e primitivës së tij; gjetja e syprinave të figurave me ndihmën e integralit të caktuar.

Shembuj: 1. Jepet funksioni f: y = log 2(x-1) . f(9) është: A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

2. Jepet funksioni y = x2-4x+3. a) Gjeni pikat ku grafiku i funksionit pret boshtet Ox; Oy. b) Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës. c) Skiconi grafikun e funksionit. 3. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y = log x  1  x .

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 54 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

6. Studioni monotoninë, përkulshmërinë dhe gjeni ekstremumet e funksionit Y = 2x3-6x2+5. 7. Jepet funksioni f: y = 6-3x . f-1(-3) ( ku f-1 është funksioni i anasjelltë) është: A) -6

B) -3

C) 3

8. Për ç’vlerë të a, tangjentja ndaj grafikut të funksionit y = abshisë x = 1 formon me boshtin Ox këndin 45o?

D) 6

xa në pikën me 2x

9. Gjeni syprinën e kufizuar nga grafiku i funksionit y = -(x+2)2+1 dhe drejtëzat x = 0 dhe y = 0.



10. Jepet funksioni f: y = - cos3x. Vlera e f ( ) është: 6 A) -3

B) -1

C) 0

D) 3

11. Njehsoni syprinën e figurës që kufizohet nga grafikët e funksioneve y = x2 dhe y = 2x.

12. Në grafikun e funksionit y  A) 1

B) 2

13. Vlera më e vogël e shprehjes A) 1

B) 0,5

k ndodhet pika M(1; 2). Vlera e k është: 2x C) 4 D) 8

1 është: 1  sin x C) 0,25

D) –1

14. Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit y = x3-6x2+9 në  1;5 .

3x .Gjeni f ( x) . x2

15. Jepet funksioni f: y =

16. Vërtetoni që, nëse vargu a, b,c, është progresion aritmetik, atëherë edhe vargu a2-bc, b2-ac, c2-ab është progresion aritmetik.

4x2  4x  1 27 x3  1 b) lim . 1 1 3x  1 4x2 1 x x

17. Gjeni limitet: a) a) lim 2

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 55 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

18. Të studiohet monotonia dhe të gjenden pikat e ekstremumit dhe të infleksionit për funksionin y = x3-12x+2. 19. Nëse për funksionin numerik f kemi f(x+1)=x2+1,  x  R, atëherë gjeni f(x).

20. Gjeni syprinën e kufizuar nga grafikët e funksioneve f: y = x dhe f-1(ku f-1 është funksioni i anasjelltë i f ).

V. Vetitë e figurave plane: trekëndëshi, katrori, drejtkëndëshi, rombi, paralelogrami, rrethi, trapezi. Kuptimi për kongruencën dhe ngjashmërinë e figurave. Simetria qendrore dhe boshtore. Kuptimi për vektorin në plan, veprimet me vektorë. Vijat e fuqisë së dytë në plan (elips, rreth, parabolë, hiperbolë); ekuacionet kanonike të tyre. Lidhja midis a; b; c tek ekuacionet e elipsit dhe hiperbolës. Kushti i tangencës së një drejtëze në një pikë të elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Kuptimi për planin, drejtëzën ,pikën. Vetitë kryesore të trupave gjeometrikë (prizmit, konit, cilindrit, piramidës). Drejtëza dhe plane paralele a pingule. Teorema e tri pinguleve.

Shembuj: 1. Elipsi me vatra F1 (3;0) dhe F2 (3;0) është tangjent me drejtëzën y = -x+5. Shkruani ekuacionin e elipsit. 2. Rombi me një kënd 30 dhe brinjë 6cm e ka syprinën: A) 36cm2

B) 24cm2

C) 20cm2

D) 18cm2

3. Jepet rrethi me qendër O. Në të është brendashkruar trapezi ABCD, ku AB është diametër i tij. Jepen DC = 3cm dhe AD = BC = 2cm. Gjeni sipërfaqen e trapezit.

4. Jepen pikat A(2; 3) dhe B(-2; 5). a) Gjeni koordinatat e vektorit AB . b) Gjeni koordinatat e mesit të segmentit [AB]. 5. Jepen pikat A(3; 5) dhe B(-2; 4). Të gjendet pika M(x; y), e tillë që të ketë vend barazimi 2 AM  MB  0 .

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 56 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

x  6. Gjatësia e vektorit a    është 5. Vlera absolute e x është:  4  A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 7. Jepet piramida e rregullt trekëndore me brinjë anësore 4m dhe kënd të faqes anësore të drejtë. Gjeni vëllimin e piramidës.

x2 y2   1 . Gjeni: 25 16 a) vatrat e tij; b) kulmet; c) ekuacionin e tangjentes së hequr ndaj elipsit, pingule me drejtëzën me ekuacion y + 6 = 0.

8. Jepet elipsi

9. Drejtëza y = kx+t kalon nga origjina e koordinatave dhe pika (1, 1). Të gjendet k+t. 10. ABCD është paralelogram. Jepen tri kulme të tij A(2, -1); B(4, 3) dhe D(-2, 5). a) Të shkruhen ekuacionet e brinjëve të tij. b) Të gjenden koordinatat e kulmit C. 11. Drejtkëndëshat ABCD dhe ABMN kanë brinjën AB të përbashkët, por ndodhen në plane të ndryshme. Të vërtetohet që MNDC është drejtkëndësh. 12. Simetrikja e drejtëzës ax+4y-1 = 0 në lidhje me drejtëzën y = x kalon nga pika A(-2, 3). Të gjendet a. 13. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmentet e barabarta AE dhe CG. Po kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF. Të vërtetohet që: a) EH = FG b) EF = HG c) EFGH është paralelogram

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 57 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

VI. Gjetja e syprinave të figurave plane. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Gjetja e syprinave dhe vëllimeve të trupave gjeometrikë.

Shembuj: 1. Jepet A(-1; 2) dhe B(3; 4)Gjeni koordinatat e vektorit AB . a) Gjeni një vektor pingul dhe një paralel me vektorin AB . b) Gjeni koordinatat e mesit M të segmentit [AB]. c) Gjeni ekuacionin e drejtëzës (AB). d) Gjeni ekuacionin e përmesores së segmentit [AB]. e) Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nga C(0; 3), paralele me drejtëzën (AB). 2. Për trekëndëshin kënddrejtë me hipotenuzë 6 dhe një kënd 60o, gjeni katetet dhe syprinën e tij. 3. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC. c) Syprinën e trekëndëshit. d) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 4. Në trapezin ABCD (AB║CD). Në mesin E të brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit AEM duke ditur që koordinatat e kulmeve të trapezit janë A(1, 2) B(3, 4) C(5, 5) D(6, 6) 5. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika: A) (0; 1)

B) (3; 2)

6. Vektorët ka  2a

dhe

A) -2

C) (1; 1)

D)(5; 3)

a janë të barabartë. Vlera e k është:

B) -1

C) 1

D) 2

7. Syprina e një katrori është 25cm2. Diagonalja e tij është: A) 5

B) 5 2

C) 10

D) 10 2

8. Rombi me perimetër 12cm dhe lartësi 4 cm e ka syprinën: A) 9cm2

B) 12cm2

C) 16cm2

D) 24cm2

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 58 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

9. Raporti i dy kateteve të një trekëndëshi kënddrejtë është 24 cm2. Gjeni hipotenuzën e trekëndëshit.

3 dhe syprina e tij është 4

10. Në paralelogramin ABCD, diagonalja BD formon me brinjët e tij këndet 90o dhe 45o. Gjeni syprinën e paralelogramit, nëse BD = 4cm. 11. Në planin koordinativ jepen pikat A(3; 5) e vektorit a  AB  CA .

B(-1; 2) dhe C(4; 1). Gjeni koordinatat

x2 1  12. Jepen vektorët a    dhe b    të tillë që a  2b . Njehsoni x dhe y.  y  4  3 13. Jepet drejtëza y = 3x-2. a) Provoni që pika A(1; 2) nuk ndodhet në drejtëz. b) Gjeni ekuacionet e drejtëzave që kalojnë nga pika A dhe janë: njëra pingule dhe tjetra paralele me drejtëzën e dhënë.

14. Si bazë e piramidës shërben paralelogrami me diagonale 6cm dhe 4 5 cm. Lartësia e piramidës është 4cm dhe kalon nga pikëprerja e diagonaleve të bazës. Të gjenden brinjët anësore të piramidës. 15. Sipërfaqja e bazës së cilindrit është s, ndërsa sipërfaqja e prerjes boshtore të tij është t. Të gjendet sipërfaqja e përgjithshme e cilindrit.

Shembuj: 1. Jepen shifrat 1; 2; 3; 4; 5. Sa numra katërshifrorë formohen me këta numra, pa i përsëritur shifrat?

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 59 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

2. Në një test prej 50 pikësh morën pjesë 30 nxënës. Rezultatet e tyre janë si më poshtë: 42 2 12

40 36 5

36 44 14

48 22 7

20 13 24

16 12 19

17 15 13

8 9 40

12 11 38

9 10 34

a) Formoni klasat [1-10]; [11-20]; [21-30]; [31-40]; [41-50]. b) Gjeni dendurinë për secilën klasë. c) Ndërtoni histogramën e kësaj shpërndarjeje. d) Gjeni mesataren aritmetike m. e) Gjeni dispersionin dhe shmangien mesatare katrore. 3. Për t’u përgatitur për provimin e matematikës, mësuesi u dha nxënësve 4 teorema dhe 7 problema. Secili nxënës kishte të drejtë të përzgjidhte një teoremë dhe një problemë. Në sa mënyra të ndryshme mund të bëhet përzgjedhja? 4. Jepen shifrat 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9. Me to formojmë numra dyshifrorë pa përsëritjen e shifrave. a) Sa numra të tillë formohen? b) Sa prej këtyre numrave janë më të mëdhenj se 60? c) Sa prej këtyre numrave janë më të vegjël se 40? 5. Në sa mënyra të ndryshme mund të radhiten zanoret e alfabetit tonë?

VIII. Kuptimi për probabilitetin; hapësira e rezultateve dhe ngjarjet. Llogaritja e probabilitetit në situata të thjeshta.

Shembuj: 1. Hidhen njëherësh dy zare .Gjeni probabilitetin që dy vlerat e rëna ta kenë shumën më të vogël se 7. 2. Në një kuti ndodhen 7 sfera të kuqe, 6 sfera të zeza dhe 3 sfera të bardha. Nga kutia nxirren rastësisht 3 sfera njëherësh. Sa është probabiliteti që sferat e nxjerra të jenë dy të zeza dhe një e bardhë? 3. Merren të gjitha radhitjet pa përsëritje të shkronjave A; P; O; R; E; U. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të formohet fjala EUROPA? 4. Jepet bashkësia H = 2;5;7;8 . Zgjidhen rastësisht 2 nga këta numra. Sa është probabiliteti i ngjarjes që shuma e tyre të jetë numër çift? __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 60 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

SHKOLLAT ARTISTIKE, SPORTIVE DHE GJUHE TË HUAJA

Nr I II III IV V VI

Linja Numri Shprehjet me ndryshore. Ekuacionet Funksioni (8+16) Figurat gjeometrike Matjet Totali

% 14% 8% 20% 18% 24% 16% 100%

NJOHURITË BAZË SIPAS LINJAVE DHE SHEMBUJ I. Kuptimi për bashkësitë; paraqitja e bashkësive numerike me ndryshore dhe me gjuhën e intervaleve. Prerja dhe bashkimi i bashkësive. Bashkësia R, veprime në të. Kuptimi i fuqive me eksponentë realë dhe veprimet me to. Kuptimi i logaritmit të numrit dhe veprimet me logaritmet. Kuptimi i rrënjës me tregues natyror dhe veprimet me rrënjë.

Shembuj: 1. Vlera e A) 9

1 është: 3 2 B)

1 3

1 9

D) 6

D) 4 6

2. Vlera e 18  8 është: A) 2

B) 5 2

3. Numri log 2 20  log 2 5 është i barabartë me: A) 2

B) 4

4. Jepen bashkësitë A  1;2;4;6;7 dhe A) 10

B) 9

C) 5

D) 10

B  0;2;4;8;9 . Numri i elementeve të A B është: C) 8

D) 2

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 61 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

2 është i barabartë me: 2 A) 1 B) 2

5. Numri

D) 2 2

6. Vlera e shprehjes 3 +(-2)3 është: A) -11

B) -8

C) -5

D) 11

40% e nxënësve të një klase me 35 nxënës janë djem. Numri i djemve është: A) 7

B) 10

8. Vlera e shprehjes 2(0,5 A) 0,5

C) 14

D) 16

C) 1,5

D) 2

1 ) është: 4

B) 1

9. Numri sin210o+cos210o është i barabartë me: A) 2

B) 1,5

C) 1

D)0

10. Numri 0,0014 është i barabartë me: A) 14.10-2

B) 1,4.10-2

11. Vlera e log3 9  log3 A) 9

12. Vlera e shprehjes A) 2

C) 1,4.10-3

D) 1,4.10-4

1 është: 3

B) 3

C) 1

D) 0

3 +sin215o-cos215o është: 2 B) 1

C) 0

D) -1

13. Në një klasë janë 30 nxënës. Prej tyre, 8 nxënës nuk luajnë shah, kurse 18 nxënës nuk luajnë tenis. Gjeni diferencën midis numrit të nxënësve që i luajnë të dy këto lojëra dhe numrit të nxënësve që nuk luajnë asnjë nga këto lojëra. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 62 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

2x 1 x2 janë të barabarta? dhe 3 2

2. Shprehja x2-x(x-2) është identike me: A) 0

B) 2

C) 2x

D) 2x2

3. Për cilat vlera të x, shprehjet 2x-3 dhe x+9 marrin vlera të kundërta?

4. Gjeni bashkësinë e vlerave të lejuara të x për shprehjen

3 . x 9 2

x2  y 2 5. Thjeshtoni thyesën . ay  ax

6. Nëse a = 3  2 dhe b = 3  2 , atëherë vlera e 2ab është: A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

7. 40% e nxënësve të një klase me 35 nxënës janë djem. Numri djemve të klasës është: A) 7

B) 10

C) 14

D) 16

8. Te shprehja p = rs + 1 veçoni s.

9. Nëse jepen x = -2; y = 3 dhe z = 4, atëherë vlera e shprehjes A) 

13 12

B) 

15 12

5 12

2 x2  y është: 3z

11 12

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 63 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

10. Për ç’vlera të m, shprehja m2-3m +1 merr vlera të barabarta me 1? 11. Gjeni bashkësinë e vlerave të lejuara të x për shprehjen log(1-3x). 12. Vlera e sin(-x)tg(90-x) është: A) –sinx

B) -cosx

C) sinx

D) cosx

13. Shprehja (3-2y)(2y+3) është e njëvlershme me: A) 9-4y2

B) 4y2-9

C) 4y2-4y+1

D) 2y2-9

14. Nëse 2x-1 = 5, atëherë vlera e 4x është: A) 10

15. Nëse

B) 20

C) 100

D) 1000

a b dhe a+b=2, gjeni ab.  2 3

16. Nëse log5 = x, atëherë 51-x është identike me: A) 2x

B) 2-x

C) 2x-1

D) 21+x

17. Shprehja 2sin2x +2cos2x +1 është e barabartë me: A) 4sin2x

B) 3

C) 4cos2x

D) 2

18. Në një klasë janë 39 nxënës. 28 prej tyre luajnë basketboll,16 prej tyre luajnë futboll. Nëse 5 nxënës nuk luajnë asnjë nga këto sporte,sa nxënës luajnë të dy llojet e sporteve?

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 64 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

III. Kuptimi i ekuacionit dhe inekuacionit. Ekuacione dhe inekuacione të njëvlershme dhe kuptimi për zgjidhjen. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë, në formë thyese, irracionale dhe trigonometrike. Zgjidhja e sistemeve të tyre. Zgjidhja e inekuacioneve të fuqisë së parë, të dytë dhe sistemeve të inekuacioneve. Shembuj: 1. Ekuacioni x =2 ka: A) 0 rrënjë

B) 1rrënjë

C) 2 rrënjë

D) 3 rrënjë

2. Cili nga numrat e mëposhtëm është rrënjë e ekuacionit A) -1

B) 1

C) 2

3 x 2? 2

D) 6

3. Ekuacioni x2 +3x = 0 ka: A) 2 rrënjë të barabarta

B) 2 rrënjë të ndryshme

C) asnjë rrënjë

D) 3 rrënjë

4. Inekuacioni 2x-3 <3x- 4 është i njëvlershëm me: A) x<1

B) x>1

5. Të zgjidhet ekuacioni

C) x<-1

D) x> -1

2  x 4x 1   . 3 5 10

6. Të zgjidhet ekuacioni 3x-1 = 9.

x  y  2 7. Të zgjidhet sistemi  . y  x 3

8. Zgjidhni inekuacionin

3 x  1 dhe paraqitni bashkësinë e zgjidhjeve të tij në boshtin numerik. 2

x  3  0 9. Të zgjidhet sistemi i inekuacioneve:  . 5  x  0 __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 65 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

10. Të zgjidhet inekuacioni 2x2+5x  0. 11. Të zgjidhet ekuacioni x4- x2- 12 =0. 12. Zgjidhni inekuacionin –x2+6x-8  0 për x  Z.

2 3 13. Në barazimin x  , ku x>0, vlera e x është: 3 2 x 2 A) 1,5 B) 0,5 C) 3

1 3

14. Të zgjidhet ekuacioni logx = 2log8 –4log2. 15. Jepet ekuacioni x2 – (1-2k)x +k-1=0, i cili ka dy rrënjë. Për cilat vlera të k, rrënjët x1 dhe x2 plotësojnë kushtin x1+x2=x1x2 ? 17. Prodhimi i rrënjëve të ekuacionit x2  3x  5 është: A) -5

B) -3

C) 3

D) 5

18. Jepet ekuacioni x2  bx  64  0 . Nëse ekuacioni ka dy rrënjë të barabarta, atëherë vlera pozitive e b është: A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

19. Të zgjidhet ekuacioni log(8+x) = log8+logx.

20. Për ç’vlerë të k, rrënjët x1 dhe x2 të ekuacionit kx2-4x+2=0 plotësojnë kushtin

x1 =1? x2

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 66 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

Shembuj: 1. Në grafikun e funksionit y= x2  x  1 ndodhet pika M(x; 1). Gjeni vlerën e abshisës së pikës M. 2. Vargu 3; x; 6….. është progresion gjeometrik. Gjeni x. 3. Jepet funksioni f: y = log 2(x-1) . f(9) është: A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

4. Jepet funksioni y = x2-4x+3. a) Gjeni pikat ku grafiku i funksionit pret boshtin Ox; boshtin Oy. b) Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës. c) Skiconi grafikun e funksionit. 5. Jepet funksioni y = 4 - x2. a) Skiconi grafikun e funksionit b) Gjeni syprinën e trekëndëshit që i ka kulmet në pikat ku grafiku pret boshtet.

6. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y =

2  x  x 1 .

7. Në progresionin aritmetik jepen y1 = 5 dhe d = 3. Gjeni S10. 8. Vlera më e vogël e funksionit y = 2 sin x është: A) -2 B) 0 C) 1 D) 2 9. Shkruani tre kufizat e para të progresionit gjeometrik me kufizë të parë 0,5 dhe herës 3 10. Jepet funksioni y = x2-4x+7. a) Gjeni pikat e grafikut të tij me ordinatë 3. b) Gjeni pikat e grafikut të tij me abshisë 1. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 67 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

11. Grafiku i funksionit y = x2-3x+2 pret boshtin Oy në pikën me ordinatë: A) -3

B) -2

C) 2

12. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y 

D) 3

1 . 1 x

13. Jepen funksionet f: y = x2-4 dhe g: y = 2x. a) Gjeni fog(x). b) Zgjidhni ekuacionin fog(x) = 0. 14. Jepen funksionet f: y = x2-2 dhe g: y = 2x+1. Për cilat vlera të x, kemi f(x)>g(x)? 2   x për x  0 15. Skiconi grafikun e funksionit  2 .   x për x  0

19. Grafiku i funksionit y = x2-5x+3 pret boshtin Ox në: A) asnjë pikë

B) 1 pikë

C) 2 pika

20. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y =

D) 3 pika

x  4  2x .

B) 12cm2

C) 16cm2

D) 24cm2

2. Raporti i dy kateteve të një trekëndëshi kënddrejtë është

3 dhe syprina e tij është 24 cm2. 4

Gjeni hipotenuzën e trekëndëshit. __________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 68 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

MATEMATIKË

3. Në paralelogramin ABCD, diagonalja BD formon me brinjët e tij këndet 90o dhe 45o. Gjeni syprinën e paralelogramit, nëse BD = 4cm. 4. Në planin koordinativ jepen pikat A(3; 5) B(-1; 2) dhe C(4; 1). Gjeni koordinatat e vektorit a  AB  CA .

x2 1  5. Jepen vektorët a    dhe b    të tillë që a  2b . Njehsoni x dhe y.  y  4  3 6. Jepet drejtëza y = 3x-2. a) Provoni që pika A(1; 2) nuk ndodhet në drejtëz. b) Gjeni ekuacionin e drejtëzave që kalojnë nga pika A dhe janë pingule ose paralele me drejtëzën e dhënë. 7. Në brinjët AB dhe CD të paralelogramit ABCD merren segmentet e barabarta AE dhe CG. Po kështu, në brinjët AD dhe CB merren segmentet e barabarta AH dhe CF. Të vërtetohet që: a) EH = FG b) EF = HG c) EFGH është paralelogram

  8. Njehsoni vlerën e x-it, që vektorët a dhe b të jenë paralele:    1    2  a   , b    . 2  x 

9. Jepet trekëndëshi me brinjë 5; 7; 8. a) Gjeni kosinusin e këndit më të madh të trekëndëshit. b) Gjeni gjatësinë e mesores më të madhe. 10. Gjeni syprinën e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit kënddrejtë me katete 16cm dhe 12cm.

VI. Gjetja e syprinave dhe perimetrave së figurave plane. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Shembuj: 1. Në drejtëzën x-2y+1 = 0 nuk ndodhet pika: A) (0; 1)

B) (3; 2)

C) (1; 1)

D) (5; 3)

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 69 nga 70 www.mash.gov.al

Shpjegues i Programit të Orientuar

2. Vektorët ka  2a A) -2

dhe

B) -1

MATEMATIKË

a janë të barabartë. Vlera e k është:

C) 1

D) 2

3. Syprina e një katrori është 25 cm2. Diagonalja e tij është (në cm): A) 5

B) 5 2

C) 10

D) 10 2

4. Cila nga fjalitë e më poshtme nuk është teoremë? A) Dy trekëndësha kongruentë janë të ngjashëm. B) Dy trekëndësha barabrinjës janë të ngjashëm. C) Dy trekëndësha barabrinjës janë kongruencë. D) Dy trekëndësha kënddrejtë dybrinjënjëshëm janë të ngjashëm. 5. Perimetri i një rrethi është 8 . Syprina e tij është numri: A) 4 

B) 8 

C) 9 

D) 16 

6. Këndet e një trapezi dybrinjënjëshëm janë 2x dhe 7x. Vlera e x është: A) 50

B) 40

C) 30

D) 20

7. Në trapezin ABCD (AB║CD), nga mesi E i brinjës anësore AD ndërtohet një drejtëz paralele me brinjën anësore BC, deri në pikën M të takimit me bazën e madhe AB. Gjeni gjatësitë e bazave të trapezit, kur dimë: AM = 5 dm, MB = 25 dm. 8. Në një trekëndësh ABC jepen m(A) = 600; AB = 10 dhe AC = 12. Gjeni: a) Brinjën e tretë. b) Lartësinë mbi brinjën BC. c) Syprinën e trekëndëshit. d) Rrezet e rrathëve të brendashkruar e jashtëshkruar trekëndëshit. 9. Numrat 4; 7; x janë brinjë të një trekëndëshi. Gjeni bashkësinë e vlerave të mundshme të x. 10. Këndet e një trekëndëshi formojnë progresion aritmetik me diferencë 20o. Gjeni këndet e trekëndëshit.

__________________________________________________________________________________________________________ © MASH, Prill ‘2010 Faqe 70 nga 70 www.mash.gov.al