Números complejos

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NÚMEROS COMPLEJOS INTRODUCCION: El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan hermoso por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado en educación media. Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad.

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario. Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos que contiene a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importante de la inteligencia humana El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico, por qué se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.

Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.

En 1702 G. W. Leibniz, escribió que los números imaginarios es un “hermoso y maravilloso refugio del espíritu divino”, casi entre la existencia y no existencia. Por ésta razón les invito a conocer y estudiar los números complejos, más que otro sistema numérico, un mundo donde la magia y la imaginación aparecen en cada esquina.

NATURALES 

NÚMEROS COMPLEJOS 

ENTEROS  RACIONALES  FRACCIONARIOS

NÚMEROS REALES 

CERO NEGATIVOS FRACCIÓN PROPIA FRACCIÓN IMPROPIA

ALGEBRAICOS IRRACIONALES IRRACIONALES TRASCENDENTES

IMAGINARIOS

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal NÚMEROS NATURALES ( ) .- Se obtienen al sumar el número 1 a sí mismo la cantidad de veces: Uno: 1.

Naturales ( ) Primos: 1 + 1 + 1 = 3 Compuestos: 1 + 1 + 1 + 1 = 4

NÚMEROS ENTEROS ( ) .- es el conjunto de los naturales distintos de cero, los opuestos de los naturales y el cero. =

..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,....

NÚMEROS RACIONALES ( ) .- son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero.

Exacta.

Racionales ( )

Periódica Pura.

Periódica Mixta.

CANTIDADES IMAGINARIAS DEFINICIÓN.- Las cantidades imaginarias son las raíces de índice par de cantidades negativas.

Ejemplos:

4 ,

4

16 ,

8

12 .

UNIDAD IMAGINARIA.- La cantidad 1 se le denomina “unidad imaginaria”. Según la notación de Gauss, la unidad imaginaria se representa por la letra “i”.

i  1 ; Por definición. i 2  1 Ejemplo:

4  4.(1)  4 1  2 1  2i.

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA 1)

i1  ( 1)1  i

2)

i 2  1 1  1 i 3  i 2 .i  i i 4  i 2 .i 2  1 i 5  i 4 .i  1.i  i i 6  i 4 .i 2  1.(1)  1 i 7  i 4 .i3  1.(i)  i i 8  i 4 .i 4  1.1  1

3) 4) 5) 6) 7) 8)

De lo anterior se observa que los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten en períodos de 4 en 4 y estos valores son: i, -1, -i, 1.

TRANSFORMACIÓN DE LA POTENCIA im, DONDE “m” ES ENTERO Y POSITIVO. m En el caso que se dese calcular i , donde m > 4:

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal 1) Se divide m entre 4, de donde se tiene: m = 4q + r.

2) i m  i 4q r  i 4q .i r  (i 4 )q .i r  i 2 .

 im  ir Donde, r = 0, 1, 2, 3.

r  0  i 0  1  1 m r r  1  i  i i i  2  r  2  i  1 r  3  i 3  i  CONCLUSIÓN: Cuando “ i ” está elevada a una potencia positiva, si el exponente es múltiplo de 4, el resultado es la unidad; si el exponente es igual a un múltiplo de cuatro más 1 el resultado es i; si es igual a múltiplo de cuatro más 2 el resultado es -1; y si es igual al múltiplo de cuatro más 3 el resultado es igual a -i.

151

Ejemplo: i

 i3 

NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIÓN.- Los números complejos son aquellos que tienen una parte real y una imaginaria. Son de la forma:

 a  bi

Donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos.

El conjunto de todos los números complejos se designa por

 a  bi / a, b 

:

.

La expresión a  bi , se llama forma binómica de un número complejo porque tiene dos componentes:

a  componente real. Re( z )  a b  componente imaginaria. Im( z )  b También se llama parte real y parte imaginaria de z.

CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS COMPLEJO REAL.- Es aquel cuya parte imaginaria es nula: a  0i  a. Ejemplo: 3 + 0i = 3.

COMPLEJO PURO.- Es aquel cuya parte real es nula: 0  bi  bi. Ejemplo: 0 – 7i = -7i.

COMPLEJO NULO.- Es aquel cuya parte real y cuya parte imaginaria son nulas: 0  0i  0.

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal COMPLEJOS IGUALES.- Son dos complejos, que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias.

Ejemplo: Si: a + bi = c + di ∴a=c b=d COMPLEJOS CONJUGADOS.- Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de signos contrarios sus partes imaginarias.

z  a  bi

z  a  bi.

y

Ejemplo: z  6  5i , la conjugada es: z  6  5i.

COMPLEJOS OPUESTOS.- Son dos complejos que tienen iguales, pero de signos contrarios, tanto las partes reales como las imaginarias.

z  a  bi

y  z  a  bi.

Ejemplo: z  9  4i , el opuesto es:  z  9  4i.

FORMA DE RECONOCER LA COMPONENTE REAL Y LA COMPONENTE IMAGINARIA. Dadas las siguientes expresiones: 3 +2i; -  3  5i; 0 + 2i; 7 +0i, son números complejos. Sus componentes son:

COMPONENTE REAL

3 + 2i 3

 3  5i

2

5

COMPONENTE IMAGINARIA

 3

0 + 2i 7 +0i 0 7 2

0

Reconocer las siguientes expresiones e indicar qué clase de números complejos son: Son reales.

7  0i 3 Los complejos: 5  3i;  5  i; 5i; i. Son imaginarios.

2 3 Los complejos: 2i; Son imaginarios puros. i;  i; i.

5 El opuesto de: z  5  2i es  z  5  2i .

La conjugada de: z  5  2i es z  5  2i .

1. Los complejos: 4 + 0i; 2.

3.

4.

5.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO 1.- REPRESENTACION CARTESIANA Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo.

Se realiza utilizando un sistema de ejes rectangulares o cartesianos; en el eje “x” se representa los números reales y las cantidades imaginarias en el eje “y”. Al plano formado por los ejes real e imaginario se denomina llama Plano de Gauss. El número complejo a  bi se representa mediante el punto (a, b) , que se llama su afijo, o mediante un vector (flecha) de origen (0, 0) y extremo (a, b) .

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, y los imaginarios puros, sobre el eje imaginario.

En los siguientes gráficos se demuestra, porqué se ubican los reales en el eje x y los imaginarios en el eje y.

Gustavo Salinas E.

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Ejemplos.

1. Graficar el siguiente número complejo: z  4  4i

2. Dado el número complejo: z  5  4i , Graficar: a) El número complejo. b) El opuesto del número complejo. c) La conjugada del número complejo.

5i

5 + 4i = (5 , 4)

4i 3i 2i i

-5

-4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4

5

-i -2i -3i

-5 - 4i = (-5 , -4)

-4i

5 - 4i = (5 , -4)

-5i

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal 2.- MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO MÓDULO.- El módulo de un número complejo z  a  bi , es la longitud del vector. El módulo de dicho número se lo representa por z .

En el triángulo rectángulo ON2 + NP2 = OP2

ONP.

P

a 2  b2  r 2

|z| = r

z  r  a b 2

2

 = arg(z) Ol

N +Real

ARGUMENTO.- El argumento de un número complejo z; z ≠ 0. El ángulo que forma el vector con el eje real se designa por arg(z).

z r

Módulo del número complejo.

Arg(z) = 

z = r Esta es la forma módulo-argumental o polar de describir un número complejo.

b b    arctan   a a r  r360o   r720o   r1080o   ....... tan  

Para determinar el ángulo polar se puede ayudar, utilizando las funciones coseno y seno en el círculo trigonométrico como se observa en el gráfico.

PASO DE LA FORMA BINÓMICA ALA FORMA POLAR Si conocemos el número complejo z  a  bi en forma binómica, permite pasar a la forma polar r .

z  r  a 2  b2 tan  

b a

Ejemplo: Pasar a forma polar el siguiente número complejo: z  2  2 3i .

SOLUCIÓN Módulo: r  a  b 2

2

r  (2)2  (2 3)2 r  4  12 Gustavo Salinas E.

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r  16

z  r

r4

z  4120  4(2 /3) rad

b a 2 3 tan    3 2   tan 1 ( 3)   120

  120 

Argumento: tan  

2 (rad ) 360

2 rad .

3

PASO DE LA FORMA POLAR A LA BINÓMICA Si se conoce z  r , en forma polar se puede determinar a y b.

De acuerdo al gráfico y aplicando las funciones coseno y seno, tenemos: P

cos  

a  a  r cos  . r

sen 

b  b  rsen . r

|z| = r

 Ol

N +Real

Pero z  a  bi , entonces z  r cos   rsen i .

z  r (cos   sen i )  forma trigonométrica que permite pasar de forma polar a forma binómica.

Ejemplo: Transformar la expresión dada en forma polar z  5210 , a la forma binómica.

SOLUCIÓN

a

a  r cos   5cos 210  3 5 3 a  5      2  2 

210° O

z

z r 5

bi

b  rsen i  5sen210i 5  1 b  5   i   i 2  2

5 3 5  i 2 2 5 3 5   i.

2 2

z  a  bi   z  5210 Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS La suma, la resta y la multiplicación de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales y siempre tomando en cuenta que i 2  1.

SUMA.- Esta operación se basa en la suma de los números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.

Si: z1  a1  b1i y

z2  a2  b2i

 z1  z2  (a1  b1i)  (a2  b2i) z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i Ejemplo: z1  3  2i y z2  8  4i

SOLUCIÓN

z1  z2  (3  2i)  (8  4i) z1  z2  (3  8)  (2  4)i z1  z2  (5  6i) RESTA.- La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado.

Si:

z  a  bi w  c  di

 z  w  (a  bi)  (c di) z  w  (a  c)  (b  d )i

Ejemplo: z  4  7i y w  2  3i

SOLUCIÓN

z  w  (4  7i )  (2  3i ) z  w  (4  2)  (7  3)i z  w  (2  4i ) Ejercicio: Representa gráficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba que z1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2. z1 + z2 = 5 + 7i.

z1 + z2

7i z2

5i

z1 i 1

Gustavo Salinas E.

2

3

4

5

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal PROPIEDADES PARA LA SUMA La suma cumple con las siguientes propiedades.

1.- Propiedad Asociativa: Si tenemos: z  a  bi ; w  c  di y u  e  fi

z  ( w  u )  ( z  w)  u (a  bi )   (c  di )  (e  fi )    (a  bi )  (c  di )   (e  fi ) (a  bi )   (c  e)  (d  f )i    (a  c)  (b  d )i   (e  fi ) (a  c  e)  (b  d  f )i  (a  c  e)  (b  d  f )i 2.- Propiedad Conmutativa: Si tenemos: z  a  bi y w  c  di

z  w  w z

(a  bi )  (c  di )  (c  di )  (a  bi ) (a  c)  (b  d )i  (c  a)  (d  b)i 3.- Elemento Neutro.- El número complejo O = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. Si z  a  bi .

z  0  (a  bi )  (0  0i) z  0  (a  0)  (b  0)i z  0  a  bi z0  z 4.- Propiedad del Opuesto: Si z  a  bi es un número complejo, el opuesto de z es  z  a  bi , el cuál es otro número complejo y el opuesto satisface.

Entonces:

z  ( z )  (a  bi )  (a  bi ) z  ( z )  (a  a)  (b  b)i z  ( z )  (0  0i) z  ( z )  0

PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS.- Esta operación aunque pareciera complica, es consecuencia de las reglas de la multiplicación para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de: 1.- Multiplicación de un número real por un número complejo, donde  es el número real y z  a  bi el número complejo, se multiplica el número real por cada componente del número complejo.

 .z   (a  bi)  .z   a   bi Ejemplo: Sean:  = 6 y z  7  5i

 .z  6(7  5i)  .z  42  30i

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal 2.- Multiplicación de dos números complejos, siendo z  a  bi y w  c  di , se resuelve como si se tratara de expresiones algebraicas y se tiene:

z.w  (a  bi ).(c  di ) z.w  (ac  adi  bci  bdi 2 );

pero i 2  1

z.w   ac  bd (1)  (ad  bc)i  z.w  (ac  bd )  (ad  bc)i Ejemplo: z  4  3i y w  3  5i

SOLUCIÓN

z.w  (4  3i ).( 3  5i ) z.w  (12  20i  9i  15i 2 );

pero i 2  1

z.w   12  15(1)  (20  9)i  z.w  (12  15)  (11)i z.w  3  11i PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN La multiplicación de números complejos satisface con las siguientes propiedades.

1. Propiedad Asociativa. z  a  bi ; w  c  di y u  e  fi

z.( w.u )  ( z.w).u 2.- Propiedad Conmutativa: z  a  bi ; w  c  di

z.w  w.z 3.- Elemento Neutro: Sea z  1 el elemento neutro y w  a  bi

z.w  1.(a  bi)  a  bi 4.- Propiedad del Inverso: Si z  a  bi es un número complejo distinto de cero, el inverso de z es otro número complejo que se denota por z 1 , el mismo que satisface:

z.z 1  z 1. z  1 1 1 z.  . z  1 z z Para calcular el inverso, multiplicamos tanto al numerador como al denominador por la conjugada.

Gustavo Salinas E.

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1 z 1 z z 1  . ; si z  a  bi y z  a  bi z z 1 a  bi z 1  . a  bi a  bi a  bi z 1  2 a  b2 a b z 1  2  2 i es otro número complejo que es el inverso de z.

2 a  b a  b2 z 1 

5.- Propiedad Distributiva respecto a la suma: Si z  a  bi ; w  c  di y u  e  fi

z.( w  u )  z.w  z.u CONCLUSIÓN: Por definición z  a  bi

es un número complejo, el Módulo de z es el número real

z  a 2  b2 , Se puede expresar el módulo de z en función de él mismo y de su conjugada, usando la relación: z  zz Se puede probar que dicha relación se verifica para todo z. siendo z  a  bi

y la conjugada de z es

z  a  bi . Entonces se tiene.

z.z  (a  bi ).(a  bi )  (a 2  b 2 )  (ab  ba)i z.z  (a 2  b 2 )  (0)i  a 2  b 2 .

De dónde:

z z  a 2  b2  z Entonces de lo anterior se puede concluir para Z, W y U son números complejos.

1. |Z|≥ 0.

2. |Z|= 0 sí y sólo si Z = 0.

3. |Z + W| ≤ |Z| + |W|.

4. |Z.W| = |Z| . |W|.

5. |Z-1| = |Z|-1.

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: La división de números complejos, también se aplican las reglas de los reales:

Gustavo Salinas E.

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1. División de un número complejo para un número real: Sean z  a  bi y  un número real.

z





(a  bi )





a





b



i

Ejemplo: Sean  = 4 y z  8  6i

(8  6i ) 8 6   i  4 4 4 z 3  2 i  2 z



2. Si z  a  bi y w  c  di , son dos números complejos y w ≠ 0, se puede realizar la división de z entre w, multiplicando al numerador y denominador por la conjugada de w (denominador), de la siguiente forma.

z z w z.w  .  w w w w2 z (a  bi ) (c di ) ac  adi  bci  bdi 2  .  , pero i 2  1 2 2 w (c  di ) (c di) c d

z (ad  bd )  (bc  ad )i  . w c2  d 2 Ejemplo: z  4  3i y w  3  2i

SOLUCIÓN

z (4  3i ) (3  2i) (4)(3)  (4)(2)i  (3)(3)i  (3)(2)i 2  .  , pero i 2  1 2 2 w (3  2i ) (3  2i) 3 2 z 12  8i  9i  6  w 94 z 6  17i 6 17    i w 13 13 13 OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR El módulo z  r  a 2  b 2 y el argumento Arg(z) = , en donde z = r , de la suma de dos números complejos, poco tiene que ver con los módulos y argumentos con los sumandos, de ahí que sólo se estudiará la multiplicación, división, potenciación y radicación.

MULTIPLICACIÓN.- La multiplicación de dos números complejos en forma polar es otro complejo que tiene como módulo el producto de los módulos, y como argumento la suma de los argumentos.

Sean dos números complejos en forma polar: z1 = r1 = r1 (cos + seni) z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)

Gustavo Salinas E.

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z1.z2  r1 (cos   sen i ).r2 (cos   sen i) z1 .z2  r1.r2 (cos  cos   cos  sen i  sen cos  i  sen sen i 2 ), si i 2  1 z1 .z2  r1.r2  (cos  cos   sen sen )  (cos  sen  sen cos)i  z1 .z2  r1.r2  cos(   )  sen(   )i  z1 .z2  r1.r2    r .r  r1.r2    En trigonometría la suma y diferencia de ángulos, se tiene:

cos(   )  cos  cos   sen sen . sen(   )  sen cos   cos  sen  .

Ejemplo: Sean z1  560

y z2  3210

SOLUCIÓN

z1.z2  560.3210  (5.3)(60 210) z1.z2  15(270) z1.z2  15(cos 270  sen 270i ) z1.z2  15(0  i )  15i.

DIVISIÓN.- La división de números complejos en forma polar, también es otro complejo y se obtiene dividiendo sus módulos y el argumento se obtiene restando el argumento del numerador el denominador.

Sean dos números complejos en forma polar: z1 = r1 = r1 (cos + seni) z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)

z1 r1  r1     z2 r2   r2 (   ) Ejemplo: Sean z1  660

y z2  3210

SOLUCIÓN

z1 660  6     z2 3210  3 (60 210) z1  2( 150) z2 z1  2  cos( 150)  sen( 150)i  z2  3 1  z1  2   i    3  i. z2 2   2

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal POTENCIA.- Para realizar la potenciación de un número complejo utilizaremos la Fórmula de Moivre, nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de un número complejo en forma polar. Si z  z (cos   sen i) , y n es un número entero positivo, entonces se obtiene:

z n   z (cos   sen i ) 

n

z n  z (cos( n. )  sen( n. )i ) n

Ejemplo 1: Sea z = 2(cos30° + sen30°i). Calcular la potencia de orden cinco de este número, es decir, z 5.

SOLUCIÓN

z n  z (cos(n. )  sen(n. )i ) n

z5  25  cos(5.30)  sen(5.30)i  z 5  32(cos150  sen150i)  3 1  z 5  32   i  2 2   z 5  16 3  16i.

Ejemplo 2: Sea z = (3 + 4i). Calcular la potencia de orden cinco de este número, es decir, z 6.

En este ejercicio, primero debemos pasar a la forma polar, para ello hay que determinar el módulo y el argumento.

SOLUCIÓN

z  a 2  b2  32  42  9  16  25  5 b   4   arctan   3   53,13.

  arctan   a

Calculamos ahora z6, utilizando la Fórmula de Moivre.

z n  z (cos(n. )  sen(n. )i) n

z 6  56  cos(6.53,13)  sen(6.53,13)i  z 6  15625(cos 318, 78  sen318, 78i ) z 6  15625  0, 7522  0, 6590i  z 6  11753  10296i.

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal RADICACIÓN.- Si z  a  bi es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tenga z  w n , donde w es otro número complejo, entonces se dice que w es una raíz enésima de z.

1

w  z n  n z.

Para facilitar los cálculos, podemos utilizar el teorema de De Moivre para desarrollar una fórmula para determinar raíces positivas de un número complejo: Si z = r (cos  + sin i) es un número complejo diferente de cero y si n es un entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces diferentes que se pueden expresar en radianes o en grados, entonces:

z  r. n

1 1    2 k    2 k   z  z n  r n  n r cos     sin   i n  n   n  n

donde k = 0, 1, 2, …, n -1 Ejemplo 1: Sea z = 1 + 0i). Calcular todas las raíces cúbicas de z.

SOLUCIÓN Primero calculamos el módulo y el argumento.

r

1   0 2

2

1

0  

  tan 1    0 1 Luego calculamos las tres raíces, para k  0, 1, 2 . n

   2 k    2 k   z  n r cos     sin   i n  n   n  n

  0 2k w0  3 1 cos   3   3

  0 2k   sin   3   3

   i  

  0 2  0     0 2  0     w0  3 1 cos     sin    i 3  3   3   3 w0  1 cos  0   sin  0  i  w0  1   0 2 1    0 2 1    w1  3 1 cos     sin    i 3  3   3   3   2   2   w1  1 cos    sin   i  3     3  1 3 w1    i 2 2

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal

  0 2  2   w2  3 1 cos   3   3

  0 2  2     sin   3  3   4   4   w2  1 cos    sin   i  3     3 

   i  

1 3 w2    i 2 2 Si graficamos las raíces, observamos que ellas ocupan los vértices de un triángulo equilátero

w0  1.

1 w1    2 1 w2    2

W1

3 i.

2 3 i.

2

W0 O

W2

Ejemplo 2: Sea z = 64(cos30° + sen30°i). Calcular todas las raíces sextas

6

z.

SOLUCIÓN n

   2 k    2 k   z  n r cos     sen   i n  n   n  n

Para k= 0, 1, 2, 3, 4,5.

  30 2(0)   30 2(0)   w0  6 64 cos      sen  i 6  6    6   6 w0  2  cos(5)  sen(5) i  w0  1,99  0,17i   30 2(1)   30 2(1)   w1  6 64 cos      sen  i 6  6    6   6 w1  2  cos(65)  sen(65) i  w1  0,84  1,81i

Gustavo Salinas E.

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal   30 2(2)   30 2(2)   w2  6 64 cos      sen  i 6  6    6   6 w2  2  cos(125)  sen(125) i  w2  1,15  1, 64i   30 2(3)   30 2(3) w3  6 64 cos      sen  6  6  6   6 w3  2  cos(185)  sen(185)i 

   i  

w3  1,99  0,17i.   30 2(4)   30 2(4) w4  6 64 cos      sen  6  6  6   6 w4  2  cos(245)  sen(245)i 

   i  

w4  0,84  1,81i   30 2(5)   30 2(5) w5  6 64 cos      sen  6  6  6   6 w5  2  cos(305)  sen(305) i 

   i  

w5  1,15  1, 64i

w0  1,99  0,17i.

y W2

w1  0,84  1,81i. w2   1,15  1, 64i.

W1

w3  1,99  0,17i. w4  0,84  1,81i. w5  1,15  1, 64i.

W0 W3

x

O

W4

Gustavo Salinas E.

W5

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NÚMEROS COMPLEJOS | Algebra Lineal

LENGUAJE MATEMÁTICO LENGUAJE GRAFICO PARA INTERPRETAR NÚMEROS COMPLEJOS Mediante la representación gráfica sobre el plano se identifican las familias de números complejos con curvas o con recintos planos. Las familias quedan caracterizadas mediante curvas o inecuaciones en las incógnitas son la parte real de la variable z (Re z), la parte imaginaría (Im z), su módulo (|z|) o su argumento (Arg z).

Ejemplo: 1. Ponga la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas:

a)

b)

a) Re z = 3

c)

b) –1 Ì Im z < 3

d)

c) |z| = 3

e)

d) |z| > 2

e) Arg z = 90°

2. Represente en recintos o líneas las siguientes familias de números complejos: a) Re z = –3

b) Im z = 0

Gustavo Salinas E.

c) 3 < Re z ≤ 5

d) |z|≥ 4

e) Arg z = 180°

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