Derivadas de funciones paramétricas y de orden superior

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA ⎧⎪ x = f ( t ) f:⎨ ; t ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ = y g t ( ) ⎪⎩ De la regla de la cadena dy dy dt = dx dt dx dt En donde se puede calcular despejando " t " de dx x = f ( t ) , lo que no siempre es fácil y en ocasiones es dt imposible. Otra forma de calcular es usando la derivada dx de la función inversa, por la cual, dt 1 = dx dx dt de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a: dy dy dy 1 dy dt dy g ' ( t ) = ⇒ = ⇒ = dx dt dx dx dx dx f ' ( t ) dt dt Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada ⎧⎪ x = 2t 2 − t f:⎨ ; t≥0 ⎪⎩y = + t − 1 i) Por medio de la fórmula obtenida. ii) Eliminando el parámetro " t " y derivando el resultado.

dy : dx

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas de la cicloide: ⎧⎪ x = 2 (θ − senθ ) ⎨ ⎪⎩ y = 2 (1− cos θ ) dy π calcular la derivada y evaluarla para θ = . dx 4

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Ejemplo. Calcular la derivada

dy dx

3

para función siguiente

en el punto donde t = 0 : ⎧⎪ x = ang cot 1− t f:⎨ ⎪⎩y = ang tan 1+ t

DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES Sea una función f definida en un cierto intervalo ( a, b ) .

Entonces, su derivada f ' es a su vez otra función definida en un subconjunto de dicho intervalo, y la operación puede repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es una función definida en un subconjunto del intervalo ⎡⎣a, b⎤⎦.

Para denotar a las derivadas sucesivas de órdenes superiores, se emplean los siguientes símbolos: dy d2 y y = f ( x) ; y ' = = f ' ( x ) ; y '' = = f '' ( x ) dx dx 2 d3 y y ''' = = f ''' ( x ) ; … dx 3 x3 Para ilustrar esto, considérese la función f ( x ) = definida 3 en el intervalo ( −2,2 ) y sean sus tres derivadas sucesivas: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

f '( x ) = x

2

;

f '' ( x ) = 2 x

;

f ''' ( x ) = 2

4

todas ellas definidas en el mismo intervalo. Sus gráficas son: y x3 y= 3

x

dy = x2 dx x d2 y = 2x dx 2

x

d3 y =2 dx 3

x Si se obtuviera la cuarta derivada, a partir de ella todas tendrían como valor cero, las cuales seguirían siendo una función pero su gráfica sería sobre el eje de las abscisas. En cambio hay funciones que se dice que son “infinitamente derivables” 1 1 − 23 2 − 35 10 − 83 3 f ( x ) = x ; f ' ( x ) = x ; f '' ( x ) = − x ; f ''' ( x ) = x 3 9 27 dy d2 y d3 y y = senx ; = cos x ; = − senx ; = − cos x dx dx 2 dx 3 Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente función y evaluarlas para x = 2 . x y= x+2 ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

5

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de las siguientes funciones: i) x 2 + y 2 = 1 ; ii) 2 x + xy = 5 − y

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

6

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES REPRESENTADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

⎪⎧ x = f ( t ) Sea la función f : ⎨ ⎪⎩y = g ( t ) Como ya se vio la primera derivada, es decir, a partir de:

dy , se obtiene dx

dy dy dt = dx dx dt Por otro lado, lo que se pretende es calcular la segunda derivada, esto es, d2 y d ⎛ dy ⎞ = dx 2 dx ⎜⎝ dx ⎟⎠ dy está en términos del parámetro " t " entonces, Como dx para aplicar la expresión anterior, es necesario aplicar la regla de la cadena. Así, d2 y d ⎛ dy ⎞ dt = dx 2 dt ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx pero ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

entonces

7

dt 1 = dx dx dt

d ⎛ dy ⎞ d2 y dt ⎜⎝ dx ⎟⎠ = dx dx 2 dt Para obtener la enésima derivada de orden superior, se tiene que: dny d ⎛ dn−1y ⎞ = ⎜ ⎟ dx n dx ⎝ dx n−1 ⎠ Se aplica la regla de la cadena y se llega a: d ⎛ dn−1y ⎞ ⎜ n−1 ⎟ dny d ⎛ dn−1y ⎞ dt dny dt ⎝ dx ⎠ = ∴ = ⎜ ⎟ dx dx n dt ⎝ dx n−1 ⎠ dx dx n dt

Ejemplo. Obtener las tres primeras derivadas para la función representada en forma paramétrica como sigue: ⎧ x = 5cos θ ; 0 ≤ θ ≤ 2π f:⎨ = 3 θ y sen ⎩

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

8

Ejemplo. La ecuación cartesiana de la Hipocicloide o Astroide está dada por la expresión: 2 3

2 3

2 3

x +y =a y se representa paramétricamente mediante las ecuaciones: ⎧ x = a cos3 t f:⎨ 3 ⎩ y = asen t Determinar el valor de su primera y segunda derivadas cuando a x=y= 2 2 i) A través de la forma implícita ii) Con la forma paramétrica

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

9

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

10

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. DERIVADAS LATERALES La derivada de una función f está dada por el límite: Δy f ' ( x ) = lim Δx → 0 Δx y geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente a la función, en un punto determinado.

Es obvio pensar que la derivada existe si el límite existe y, como se había externado antes, el límite existe si los límites laterales existen y si además son iguales. Luego es posible definir las derivadas laterales mediante los correspondientes límites laterales.

Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral por la izquierda está dada por: Δy f−' ( x ) = lim− Δx → 0 Δx si el límite existe.

Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral por la derecha está dada por: Δy f+' ( x ) = lim+ Δx → 0 Δx si el límite existe.

Teorema. Sea una función f . Una condición necesaria para la existencia de su derivada en un punto es que sus derivadas laterales existan y sean iguales, esto es, f ' ( x0 ) ⇒ f−' ( x0 ) = f+' ( x0 ) RELACIÓN ENTRE LA CONTINUIDAD Y LA DERIVABILIDAD Sean las funciones:

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

⎧ ⎪cos x f1 ( x ) = ⎨ ⎪⎩ 1 ⎧ x2 f2 ( x ) = ⎨ ⎩x

si

−

si

11

π

≤x≤0 2 0<x≤2

si

−2≤ x≤0

si

0<x≤2

y

y = cos x

x

y=x

y =1 y = x2

−

π

x

2

2

−2

2

x

Se estudia la continuidad de ambas en x = 0 y se tiene: Continuidad de f1 en x = 0 : i) f1 ( 0 ) = 1 ( cumple ) ii)

lim f1 ( x ) = 1

x → 0−

lim+ f1 ( x ) = 1

( cumple )

x →0

iii) f1 ( 0 ) = lim f1 ( x ) x →0

∴ f1

es continua en x = 0

Continuidad de f2 en x = 0 : i) f2 ( 0 ) = 0 ii)

( cumple )

lim f2 ( x ) = 0

x →0−

lim+ f2 ( x ) = 0

x →0

( cumple )

iii) f2 ( 0 ) = lim f2 ( x ) x →0

∴ f2

( cumple )

( cumple )

es continua en x = 0

Ahora se calculan las derivadas laterales:

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

f1

;

12

d ⎧ = f ' x ( ) ( cos x ) = − senx ⇒ f− ' ( 0 ) = 0 − ⎪⎪ dx ⎨ ⎪ f ' ( x ) = d (1) = 0 ⇒ f+ ' ( 0 ) = 0 ⎪⎩ + dx ∴ f− ' ( 0 ) = f+ ' ( 0 )

luego la función f1 es derivable en x = 0 . Por otro lado, d 2 ⎧ f ' x x = 2 x ⇒ f− ' ( 0 ) = 0 = ( ) ⎪⎪ − dx f2 ; ⎨ ⎪ f '( x ) = d ( x ) = 1 ⇒ f+ ' ( 0 ) = 1 ⎪⎩ + dx ∴ f− ' ( 0 ) ≠ f+ ' ( 0 ) por lo que la función f2 no es derivable en x = 0 .

( )

Teorema.

Si la función

y = f ( x)

es derivable en

x = x1 ,

entonces también es continua para dicho valor de " x " .

Ejemplo.

Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la

función f ( x ) = x

2 3

en el punto donde x1 = 0 .

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

13

Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función: ⎧ ⎪ 2 − x 2 si − 2 ≤ x < 0 ⎪ f ( x ) = ⎨1+ cos x si 0 ≤ x < π ⎪ 2 x − 2π ⎪ si π ≤ x < 7 ⎩ π −7

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

14

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA La derivada como la pendiente de la recta tangente Ejemplo. Obtener los ángulos que forman con el eje tangentes a la curva i)

( 2,0 )

( x − 4) ;

ii)

2

+ y2 = 4

( 3, 3 )

; ;

" x"

las

y ≥ 0 , en los puntos: iii)

( 4,2 )

Explicar los resultados mediante la gráfica de la curva.

Ejemplo. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de ecuación: y = x2 − 4 en el punto P (1, −3 ) , así como el ángulo que forma dicha tangente con el eje de las abscisas. Hacer una gráfica del problema planteado.

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

15

Ejemplo. Determinar qué ángulo forma la curva y = x 2 con la recta x = 1 al cortarse con ella. Hacer un trazo del problema planteado.

Ejemplo. Determinar los puntos en los que las tangentes a la x 5 3 x 4 11x 3 curva de ecuación y = − + − 3 x 2 son paralelas al 5 2 3 eje " x " . Hacer un trazo aproximado de la gráfica de la curva, considerando los puntos obtenidos.

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

16

Ejemplo. Determinar los puntos de la curva de ecuación 5 donde la tangente es paralela a la recta de y= 1− 2 x ecuación 2 x − 5y − 5 = 0 . Hacer un trazo aproximado del problema planteado con los resultados obtenidos.

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

17

Ejemplo. Obtener punto de la curva y 2 = 2 x 3 donde su tangente es perpendicular a la recta 4 x − 3y + 2 = 0 .

ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO y − y1 = mT ( x − x1 ) ; mT = f ' ( x ) 1 y − y1 = mN ( x − x1 ) donde mN = − mT ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

18

Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación y = 2 x 2 − 5 x + 6 en el punto P ( 2,4 ) . Hacer un trazo aproximado de la gráfica.

Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y 1 4 − x 2 en el punto normal a la curva de ecuación y = − 2 1⎞ ⎛ P ⎜ 3, − ⎟ . Representar gráficamente el problema planteado.

2⎠ ⎝

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

19

ÁNGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS CURVAS y C1 T2

θ P ( x0 , y 0 )

C2 α1

Sean

y = f1 ( x )

T1

y

y = f2 ( x )

α2

x las ecuaciones de

C1

y

C2

Entonces se tiene que: m1 = tanα1 = f1 ' ( x0 ) ; m2 = tanα 2 = f2 ' ( x0 ) Es evidente que θ = α 2 − α1 , luego " θ " se obtiene con: θ = ang tan f2 ' ( x0 ) − ang tan f1 ' ( x0 ) Otra forma de calcular este ángulo es mediante: f ' ( x ) − f1 ' ( x0 ) m − m1 θ = ang tan 2 o bien θ = ang tan 2 0 1+ m2 m1 1+ f2 ' ( x0 ) f1 ' ( x0 ) Ejemplo. Determinar el ángulo que forman al cortarse las curvas siguientes y graficar. x2 y= y x2 + y 2 = 3 2

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

20

2 2 Ejemplo. Demostrar que la elipse 2 x + y = 6 y la parábola y 2 = 4 x se cortan en un ángulo recto, es decir, que son curvas ortogonales. Graficar aproximadamente.

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ