Distribución Normal uft

DISTRIBUCION NORMAL (Z) Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

Caracteres psicológicos,

Caracteres morfológicos

Caracteres fisiológicos

Fenómenos Naturales

Errores cometidos

Otras distribuciones

Caracteres sociológicos Valores estadísticos muéstrales

DISTRIBUCION NORMAL

Propiedades de la distribución normal: La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar:

Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre -∞ y +∞ y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

Es simétrica con respecto a su media μ . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 0.50 de observar un dato mayor que la media μ y un 0.50 de observar un dato menor.

La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica σ Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva de la densidad.

El área bajo la curva comprendido entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 0.95 de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo . (μ - 1.96 σ μ+ 1.96 σ)

DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. Así, la expresión que define su densidad se puede obtener de la Ecuación

-∞ < z < + ∞

a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada

Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución N(0,1), se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación:

*

DISTRIBUCION NORMAL

CARACTERÍSTICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (REDUCIDA, TIPIFICADA ) No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.

La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY Tiene un máximo en este eje Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1 Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribución existen tablas publicadas (Tabla 1) a partir de las que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal.

DISTRIBUCION NORMAL

MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES

Ejemplos

1-Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteínas. Suponiendo que las vidas de tales ratas están normalmente distribuidas con una desviación estándar de 6.3meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada a) viva más de 32 meses; b) menos de 28 meses; c) entre 37 y 49 meses Nota: Para resolver este ejercicio se tiene primero que normalizar los valores ya que la media o promedio y desviación estándar son diferente de 0 y 1 para esto usaremos la formula :

DISTRIBUCION NORMAL

Ejemplos 1 1-Un investigador de la UCLA reporta que las ratas viven un promedio de 40 meses cuando sus dietas son muy restringidas y luego enriquecidas con vitaminas y proteĂ­nas. Suponiendo que las vidas de tales ratas estĂĄn normalmente distribuidas con una desviaciĂłn estĂĄndar de 6.3meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada a) viva mĂĄs de 32 meses; b) menos de 28 meses; c) entre 37 y 49 meses Nota: Para resolver este ejercicio se tiene primero que normalizar los valores ya que la media o promedio y desviaciĂłn estĂĄndar son diferente de 0 y 1 para esto usaremos la formula * Datos:

Normalizando los valores

đ?&#x2018;Ľ = 32; 28; 37 đ?&#x2018;Ś 49 đ?&#x153;&#x2021; = 40 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x17D; = 6,3 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; Formula:

*

đ?&#x2018;§=

32â&#x2C6;&#x2019;40 =-1,26 6,3

Usando las misma formula para los demĂĄs valores de x se obtienen Para (28; Z= -1,90); (37; Z=0,47) ; (49; Z= 1,42)

Ahora tenemos que responder cada una de las peguntas usando La ecuaciĂłn correspondiente con sus respectivas figuras

DISTRIBUCION NORMAL

Preguntas: a) viva más de 32 meses; b) menos de 28 meses; c) entre 37 y 49 meses

a) Viva más de 32 meses P(x>32) ya normalizado cambia a P(Z>-1,26) Aplicando la formula Correspondiente:

P(Z>-1,26)=1-P(Z≤-1,26) Luego este valor se busca en la taba de distribución normal en la sección donde z es negativa.

P(Z>-1,26)=1-0,1038=0,8962 multiplicado por 100% ya que es una probabilidad entonces, la probabilidad de que un ratón viva más de 32 meses será de un 89,62 %

-1,26

DISTRIBUCION NORMAL

b) menos de 28 meses; P(x < 28 ) ya normalizado cambia a P(Z < -1,90 ) Aplicando la formula Correspondiente para este caso se busca directamente en tabla ya que las tablas estรกn echas para trabajar con le lado izquierdo en forma directa

P(Z<-1,90)= Tabla Luego este valor se busca en la taba de distribuciรณn normal en la secciรณn donde z es negativa P(Z<-1,90)= 0,0287 multiplicado por 100% ya que es una probabilidad entonces, la probabilidad de que un ratรณn viva menos de 28 meses serรก de un 2,87%

-1,90

DISTRIBUCION NORMAL

c) entre 37 y 49 meses P(37 < x < 49 ) ya normalizado cambia a P( -0,47 < Z < 1,42 ) Aplicando la formula Correspondiente para este caso se busca directamente en tabla ya que las tablas están echas para trabajar con le lado izquierdo en forma directa

P( 0,47 < Z < 1,42 ) = P( Z< 1,42) - P( Z< -0,47) Luego este valor se busca en la taba de distribución normal en la sección donde z es Positiva P( Z< 1,42)- P( Z< -0,47) = 0,9222 – 0,3169= 0,6064 multiplicado por 100% ya que es una probabilidad entonces, la probabilidad de que un ratón viva menos entre 37 y 49 meses será de un 60,64% (para obtener el valor de Z cuando es -0,47 se procede igual pero en la sección Negativa de la tabla)

0,47 1,42

DISTRIBUCION NORMAL

1

Ahora se realizara el mismo ejemplo realizado en Excel: Se ubica en una celda vacía y escribe =DISTR.NORMAL.N el software le mostrará las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo.

Puede ver que entre paréntesis aparecen cuatro parámetros: • X: aquí debe escribir el número que quiere normalizar.

• Media: Colocar el Promedio o la media • Desv-estándar : Colocar el valor dela desviación estándar • Acumulado: verdadero o falso. ( si escribe verdadero: la distribución calcula la distribución binomial acumulada desde x hasta cero; si escribe falso: la distribución binomial solo calcula el valor puntal x).

2

Insertar Función

3

a) Viva más de 32 meses

P(Z>-1,26)=1-0,1038=0,8962 Aproximación aceptable

DISTRIBUCION NORMAL

b) menos de 28 meses c) entre 37 y 49 meses

DISTRIBUCION NORMAL Ejemplos 1

El dispensador del Quiosco de la esquina sabe que la demanda diaria de su periódico es de 240 unidades, con una varianza de 529; que cantidad debe solicitar para que la probabilidad de que se agote su existencia no sea mayor al 2 % en un día cualquiera?

Solución: en este caso se nos suministra el valor de Z y se nos solicita a buscar X, ¿por qué? Porque Nos dan como un porcentaje, entonces se procese de la siguiente forma: De la formula * se despeja el valor de X dando como resultado X = Z𝝈 + 𝒖 (1) , de esta formula tenemos los datos de la media y desviación estándar 𝜇 = 240 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 529 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (Varianza Desviación Estándar elevada a cuadrado 𝜎 2 por lo tanto 𝜎 = 549 = 23 ), nos faltaría encontrar el valor de Z esta incógnita se calcula por : P(Z < k)= 0,02 debemos encontrar el valor de K con ayuda de la tabla se toma el símbolo de < ya que el enunciado nos indica que no puede ser mayor de 2% el procedimiento es el siguiente se busca dentro de la tabla el valor que se aproxime mas superior o inferior a 0,02 en este caso el valor mas cercano es 0,0202 dirigiéndose ala parte izquierda tenemos -2,0 y luego a la parte superior ,05 por lo tanto en valor de Z= -2,05 Por lo tanto el valor de Z = -2,05 sustituyendo en la ecuación 1 Tenemos que X= -2,05x23+240 = 192,85

DISTRIBUCION NORMAL TABLA