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TIPOS DE ESPIRALES Y REPRESNTACION GRAFICA DE UNA DE ELLAS


INDICE: 1. ¿Qué es una espiral? ¿Para que sirve? 2. Tipos de espirales (Explicandolas): -Espiral de Arquímedes -Espiral Hiperbólica -Espiral Clotoide -Espiral Logarítmica -Espiral de Ulam -Espiral de Sacks -Espiral de Teodoro 3. Espiral de Fermat: -Datos -Importancia en (…) -Representación en Geogebra -Curiosidades 4. Paginas web utilizadas


¿Qué es una espiral? Una espiral es una línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él. Normalmente se define con una función que depende de dos valores: el ángulo del punto respecto a un eje de referencia, y la distancia desde este punto al centro, situado en el vértice del ángulo.

¿Para que sirve? Son utiles tanto en mecánica, resolver problemas geometricos y encontradas frecuentementemente en la naturaleza, lo cual es util en botanica. Algo interesante es que, en los aviones, concretamente en sus motores hay una espiral, que sorprendentemente es usada para activar un mecanismo que avisa a los pasajeros que el motor esta encendido.


Tipos de Espirales: – Espiral de Arquímedes La espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemático griego Arquímedes, quien vivió en el siglo III A.C. Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a velocidad. De manera equivalente, en coordenadas polares (r,θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente: r =a+ b Θ Siendo (a) y (b) números reales. Cuando el parámetro (a) cambia, la espiral gira, mientras que (b) controla la distancia en giros sucesivos. Suele utilizarse en muelles de compresión y en los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos.


– Espiral Hiperbólica La espiral hiperbólica es una curva plana y puede obtenerse como la inversa con respecto al polo de una espiral de Arquímedes, de donde proviene su apodo de espiral inversa. Una espiral hiperbólica es una curva plana trascendental, también conocida como espiral recíproca. Ecuacion polar:

r=

a Θ

Comienza en una distancia infinita del polo central (para θ comenzando desde cero, r = Θa comienza desde el infinito), y se enrolla cada vez más rápidamente mientras se aproxima al polo central, la distancia de cualquier punto al polo, siguiendo la curva, es infinito. Aplicando la transformación desde el sistema de coordenadas polares: x=r cos Θ x=r sen Θ Conduce a la siguiente representación paramétrica en sen∗t ) y=a ( ) coordenadas cartesianas: x=a( cos∗t t t Esta espiral es habitual encontrarla en la naturaleza.


– Espiral Clotoide La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito. La expresión matemática usual es: siendo:

p∗s=C

2

p = el radio de curvatura s = el desarrollo o arco C = la constante de la espiral Esta espiral es utilizada en ingieneria civil, mas concretamente en los ferrocarriles.


– Espiral Logarítmica Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es la curva definida por un objeto que se mueve con velocidad lineal constante y velocidad angular. La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geometrico o exponencial. En coordenadas polares (r, θ) la fórmula de la curva puede escribirse como: r =ab o log Θ( ra ) y en forma paramétrica como: x (Θ)=ab cos Θ y (Θ)=ab sen Θ Θ

Θ

Θ

Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una línea recta. Si α = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en una circunferencia. Esta espiral es muy comun en la naturaleza (ciclones y borrascas), en el universo (galaxia de Bode) y en fracciones de un fractal.


– Espiral de Ulam Allá por 1963 el matemático polaco Stanislaw Ulam garabateó números enteros en forma de espiral. Sorprendentemente descubrió la que hoy día se conoce como Espiral de Ulam, en la que los números primos tienden «misteriosamente» a caer ordenados en líneas diagonales formando un intrigante patrón. Apreciar el misterio requiere saber que no existe ninguna formula que genere únicamente números primos (en otras palabras, más técnicamente: «no es computable»). En cambio en el dibujo de la espiral de Ulam las líneas que marcan los números primos están bastante bien definidas y se diría que pudieran servir como parte de esa intrigante fórmula. Las pruebas que se han hecho hasta ahora confirman que, incluso si se extiende mucho la espiral, se siguen mostrando esas diagonales. El patrón se muestra igualmente aunque el número central no sea 1 (en efecto, puede ser mucho mayor que 1). Esto significa que hay muchas constantes enteras b y c tales que la función. f (n)=4n + bn+ c 2


– Espiral de Sacks La espiral de Sacks es una variante de la espiral de Ulam y fue descrita en 1994 por Robert Sacks. Se diferencia de la espiral de Ulam por tres características: los puntos se ubican sobre una espiral de Arquímedes en vez de sobre una espiral cuadrada como utilizó Ulam, se ubica el cero en el centro del espiral, y se realiza un giro completo para cada cuadrado perfecto mientras que en la espiral de Ulam se ubican dos cuadrados por giro o rotación. Algunas curvas que comienzan en el origen parecen tener una gran densidad de números primos; una de estas curvas por ejemplo contiene números del tipo n + n+ 41 , que es un famoso polimonio abundante en números primos que descubriera Leonhard Euler en 1774. Se desconoce hasta qué punto las curvas de la espiral permiten predecir grandes números primos o compuestos. 2


– Espiral de Teodoro En geometría, la espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de Einstein o espiral de raíces cuadradas es una espiral compuesta de triángulos rectángulos contiguos (uno al lado de otro). El espiral se inicia con un tríangulo rectángulo isósceles, con ambos catetos de longitud 1 unidad (1u). Otro triángulo rectángulo se forma, siendo un cateto de longitud la hipotenusa del primer triángulo, en este caso la raíz cuadrada de dos y el otro cateto de longitud 1 unidad; la longitud de la hipotenusa de segundo triángulo es raíz cuadreda de tres. Este proceso se repite; el n-ésimo triángulo en la secuencia es un triángulo rectángulo con sus catetos de longitud √n y 1, e hipotenusa √(n+1).Llegando a tener un máximo de raíz cuadrada, la cual queda en 17. Propiedades de Crecimiento. – Ángulos:

– Radio:

tg (φ n)=

1 √n

Δ r= √ (n+ 1)− √ n

φ n=arctg (

1 ) √n


Espiral de Fermat La espiral de Fermat, denominada así en honor de Pierre de Fermat y también conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación: r =±Θ 1 ( ) 2

Suele utilizarse en muelles de compresión y en los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos. Es un caso particular de la espiral de Arquímedes.


Geogebra.

Al principio, habia pensado en hacerlo sobre la espiral de Fermat, pero cuando vi la informacion de esta, descubri que procedia de la espiral de ArquĂ­medes, asi que me he decantado por hacerlo de esta ultima.


Geogebra paso a paso. Cambio el eje x y el eje y a Π2 y la cuadricula a polar. A continuacion creo un deslizador, que llamo “a” con un minimo de 0 y un maximo de 5 con un incremento de 0,01. En la parte de entrada, escribo enter.

r (Θ)=a∗Θ

y pulso

En la misma parte de entrada, escribo curva y pongo la siguiente formula: Curva [r (Θ)∗cos (Θ) , r (Θ)∗sen (Θ) ,Θ , 0,5 Π]

Y así consigo hacer la espiral de Arquímedes en el geogebra. Me he ayudado de un video, el cual explica muy bien como hacerlo:

https://youtu.be/H2VN2jkspeA


Galeria: Espiral de Fermat

Espiral de Teodoro

Espiral Hiperbólica

Espiral de Sacks

Espiral Logaritmica

Espiral de Ulam

Espiral Clotoide

Espiral de Arquímedes


Paginas web utilizadas. https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral https://www.ecured.cu/Espiral_de_Arqu%C3%ADmedes https://www.ecured.cu/Espiral_hiperb%C3%B3lica https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide https://www.ecured.cu/Espiral_logar%C3%ADtmica http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/video-espiralulam.html https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Sacks https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Teodoro https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Fermat


REALIZADO POR:

Francisco Javier Puig Diaz 1ยบ. Bachillerato Cientifico Tecnologico A 14/2/2018

Espirales trabajo voluntario  

Trabajo voluntario de Matematicas

Espirales trabajo voluntario  

Trabajo voluntario de Matematicas

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