Matemática 6º ano nos dias de hoje

LeYa MATEMATICA 1

m o T e n r ifiT ic fl na medida certa m s r ília J o s é

C E R T U R IÓ n

manual do

D P K U B O V IC

pr «íesso r

«

m arília CG flTU RIO n Licenciada e bacharel em Matemática (FFCLM São Paulo-SP). Professora e assessora de ensino de Matemática em diversas escolas. Autora de várias obras na área de Matemática.

LeYa MATEMATICA

IJosé JflK U B O V IC Licenciado em Matemática (FFCLM - São Paulo-SP).

Foi professor e assessor de ensino de Matemática em diversas escolas. Autor de várias obras de Matemática direcionadas ao Ensino Fundamental e Médio.

mflTemfiTicfl na medida certa MANUAL DO PROFESSOR São Paulo • 14 edição • 2015

Nos dias de Hoje - Matemática na medida certa - 6^ ano © 2015 Leya

D ireçao e d ito ria l Mônica Vendramin

C o o rdenaçao de ic o n o g ra fia Jaime Yamane

C o orde nação e d ito ria l Viviane Mendes Gonçalves

Ico n o g ra fia Paula Dias

E dição Larissa Calazans Marjorie M. H. Hirata Sorel Hernandes Lopes da Silva (Assessoria Pedagógica)

P ro d u çã o d ig ita l C o ordenação: Camila Carletto E dição: Rafael Nobre

A ssis tê n cia e d ito ria l Tamires Cristina Mendes da Silva Yuriko Sano C o la b o ra çã o té c n ic o -p e d a g ó g ic a Antonio Carlos Brolezzi

Im p re ssã o e a c a b a m e n to

T ítu lo o rig in a l da obra: Nos dias de Hoje - Matemática na medida certa - 6 - ano São Paulo * 1- edição * 2015

C o orde nação de p ro d u çã o Nadiane Oliveira G erência de revisão Miriam de Carvalho Abões A ssistê n cia de co o rd e n a çã o de revisão Vinicius Oliveira de Macedo P reparação de te x to Márcio Delia Rosa

Todos os d ire ito s reservados: Leya Rua Dr. Olavo Egídio, 266 - Santana CEP 02037-000 - São Paulo - SP - Brasil F o n e + 55 11 3129-5448 F a x + 55 11 3129-5448 w ww.leya.com.br leyaeducacao@leya.com ISBN 978-85-451-0078-2 (aluno) ISBN 978-85-451-0079-9 (professor)

Revisão de te x to Equipe Leya C o orde nação de a rte e capa Thais Om etto Ilustração/foto de capa: Fuse/Thinkstock P rojeto g rá fic o Débora Barbieri E dição de arte Renné Ramos

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Ficha elaborada p o r Tereza Cristina Barros - CRB-8/7410 C e n tu rió n , M a r II ia M atem ática nos d ia s de h o je , 62 ano : na medida c e r t a / Mar U ia C e n tu rió n , José J a k u b ovic. — 1. ed . — São P a u lo : L ey a , 2015.

ISBN 978-8 5-45 1-0 07 8-2 ISBN 97 8-8 5-45 1-0 07 9-9

E d ito ra çã o e le trô n ica Estação das Teclas In fo g rá fic o s Sara Paz ilu stra çõ e s Cibele Queiroz Estúdio Mil

(a lu n o ) (p r o fe s s o r )

1. M atem ática (E n sin o fu n d am en ta l) I .

J o s é. I I . T í t u l o .

15.04/2015

J a k u b ovic,

CDD-372.7

índice para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Apresentação Você, provavelmente, conhece alguém que joga vôlei ou futebol muito bem ou toca guitarra espetacularmente.

Como essas pessoas ficaram tão boas nisso?

Em geral, é porque gostam do que fazem e se dedicam a isso.

O gosto tem de vir com prazer e alegria, e a dedicação, com exercício e persistência. As duas coisas se completam: o gosto leva ã dedicação e a dedicação melhora o gosto.

Este livro foi escrito para adoçar o gosto, apresentando desafios, surpresas e curiosidades, e para orientar a dedicação, organizando seu estudo.

Com a ajuda de seu professor e um pouco de gosto e dedicação, você vai se dar bem em Matemática. E vai perceber que esse conhecimento pode ser útil a você pela vida toda.

Os autores

L.

Nesta obra, cada capítulo é formado de pequenos tópicos e tem, em geral, a seguinte estrutura:

A b ertura de capítulo Motiva o estudo do capítulo relacionando o assunto abordado com suas aplicações ou com sua história. Muitas vezes a abertura remete a temas de interesse para a cidadania, como saúde, conservação do meio ambiente, educação financeira etc.

Ação São sugestões de atividades, jogos, experimentos e trabalhos que solicitam uma participação ativa de todo o grupo.

As ações podem ser adaptadas pelos professores ou pelos alunos.

Se for um jogo, poderá ter uma regra alterada para torná-lo mais emocionante, mais rápido etc.

As ações devem ser preparadas com antecedência, pois algumas solicitam materiais específicos.

Teoria Para ser lida individualmente ou em grupo. Segue uma sequência didática com textos que apresentam definições e conceitos de maneira contextualizada.

Quadros Você sabia que...

A seção "Você sabia que..." complementa as informações apresentadas nos textos dos diversos capítulos do livro.

Conexões Apresenta situações em que o conhecimento matemático se relaciona com variadas áreas do saber. É um material rico para contextualizar informações e desenvolver abordagens interdisciplinares.

A matemática tem história Aparece esporadicamente em itens nos quais a abordagem histórica de um conceito ou procedimento ajuda a compreendê-lo e contextuaiizá-lo.

/

\C ° INFORMATIVOS

Pense e responda São atividades motivadoras que envolvem muitas situações do dia a dia, sem artificialidade. Solicitam a leitura, interpretação e tomada de decisões.

C3LCUL3D0R8 CÁLCULO MENTAL TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Desafios e surpresas São atividades curiosas ou que pedem uma solução mais criativa.

Podem apresentar maiores dificuldades, mas elas serão superadas com trocas de ideias.

Muitas vezes é preciso mais tempo para resolver essas questões.

a P R O D ução e s c R iT a ouesTão 3 R G u m e n T 3 T iva ATIVlDSDe 0R 3L

ATiviDSDe e m g r u p o

Pensando em casa Sem repetir o que foi feito em aula, as atividades da seção "Pensando em casa" solicitam raciocínio e intuição. A critério do professor, algumas dessas atividades podem ser feitas em aula.

ATiviDSDe e m d u p l s

ATIVID3De em d u pl3

IMAGENS

ATIVID3De em g ru p o

a

R eP R esenTsção 3RTÍSTIC3: F0R3 De esc3L3 e coR es-F 3 flT 3 S I3

ATIVlDSDe 0R3

im s G e n s f o r q De P R 0P 0R Ç 30

QUeSTSO 3R G U m enT3TIV3 ReCURSO DIGIT3L eXCLUSIVO P3R3 PROFeSSOR.

AÍTIPLI3Ç30 OU Tsm snH O do s s e R e s VIVOS

Revendo conceitos Envolve atividades que abordam temas do capítulo em que se encontra e de outros que o precederam.

Assim, revisa e aprofunda conhecimentos.

Livros Sugestões de leitura de livros paradidáticos de modo a complementar o estudo do capítulo.

Q

A T iviD a o e im e R D is c iP L in a R

Respostas das atividades Ao final do livro, são apresentadas as respostas de todas as atividades com a função de auxiliar o aluno na conferência dos resultados obtidos nas resoluções. in D ic a q u e o l iv r o foi s e L e c io n a D O peLO PROGRama N a c io n a L B iB L io T e ca Da e s c o l 3 c p n b e ).

Sumário #

O

• *

•

n ú m e r o s n a tu ra is , o p e r a ç õ e s e re s o lu ç ã o

5. Estudando algumas figuras geométricas espaciais, 81

d e p ro b le m a s , 8

6. Simetria axial, 84

1. Números naturais, 10

Ação sobre simetria, 88

Ação sobre números em informações de jornais e revistas, 13

Desafios e surpresas 60, 78 e 84

#R e ve n d o c o n c e ito s , 97

2. Situações que envolvem a adição e a subtração, 14 Ação sobre operação inversa, 17 3. Adição e subtração: operações inversas, 18 4. Situações que envolvem a multiplicação, 20

O

P ad rõ e s e re g u la rid a d e s, 9 8

5. Situações que envolvem a divisão, 23 Ação sobre algoritmos, 26

1. Sequências numéricas, 100

6. Multiplicação e divisão: operações inversas, 27

2. Padrões geométricos, 102

7. Expressões numéricas, 29

Ação sobre padrões e regularidades, 107

Ação sobre cálculo mental, 33

Desafios e surpresas, 102

8. Propriedades da adição e da multiplicação, 3 4

#R e ve n d o c o n c e ito s , 111

9. Propriedades da subtração e da divisão, 37 10. Potenciação, 39 11. Potenciação e raiz quadrada, 41 Desafios e surpresas, 16, 23, 25, 29, 32, 37 e 46

O

m ú lt ip lo s e d iv is o re s , 112

# R e ve n d o c o n c e ito s , 53 1. Divisibilidade e padrões, 11 4 2. Outros critérios de divisibilidade, 116

O

G e o m e tria , 5 4

3. Os números primos, 119 4. Decomposição em fatores primos, 122 5. Múltiplos e padrões, 124

1. Introdução, 56

Ação sobre múltiplos, 127

2. Ângulos, 60

6. Mínimo múltiplo comum, 128

3. Polígonos: triângulos, quadriláteros e outros, 68

7. Cálculo prático e cálculo mental do mmc, 129

4. Um pouco mais sobre figuras geométricas planas, 71

8. Divisores e máximo divisor comum, 132

Ação sobre composição e decomposição de figuras planas, 75 Ação sobre figuras geométricas espaciais, 79

O

9. Problemas envolvendo múltiplos e divisores, 133 Desafios e surpresas, 119, 123, 129, 133 e 134

# R e ve n d o c o n c e ito s , 138

T r a ta m e n to d e d a d o s , 2 0 6

F ra ç õ e s e d e c im a is , 140

1. As frações, 142 2. Frações: a generalidade e as porcentagens, 146 3. Frações: equivalência e simplificação, 151 4. Números racionais, 154 5. Números decimais, 158

1. Tabelas e gráficos,

208

2. Média aritmética e porcentagens,

212

Ação sobre médias e porcentagens, 215 Desafios e surpresas, 214

# R e ve n d o c o n c e ito s , 2 2 0

6. Comparação de números decimais, 161 7. Usos dos números decimais, 164 8. Escrevendo frações como números decimais, 166 Desafios e surpresas, 145, 157, 163 e 169

# R e ven d o c o n c e ito s , 175

O

m e d id a s , 2 2 2

1. Comprimento,

224

Ação sobre medidas de comprimento, 227

©

O p e ra ç õ e s c o m n ú m e ro s r a c io n a is , 176

2. Unidades de medida de comprimento, 3. Área,

231 238

4. Volume,

5. Capacidade, 6. Massa,

1. Adição e subtração de frações, 178 2. Multiplicação de frações, 182 3. Divisão de frações, 185 4. Adição e subtração de números decimais, 188 Ação sobre números decimais, 192

228

241

245

Ação sobre estimativas nas medidas de massa, 248 7. Medindo o tempo,

249

Desafios e surpresas, 226, 237, 240, 244 e 252

# R e ve n d o c o n c e ito s , 2 5 9

5. Multiplicação de números decimais, 193 Ação sobre multiplicação de decimais, 198 6. Divisão de números decimais, 199 Desafios e surpresas, 181, 191, 197 e 200

# R e ve n d o c o n c e ito s , 205

©

R e s p o s ta s d a s a tiv id a d e s , 2 6 0 R e fe r ê n c ia s b ib lio g r á fic a s , 2 8 0

Produção artesanal, os azulejos pintados à mão enfeitam as fachadas dos casarões do centro histórico de São Luís.

Observe o painel em destaque: como saber quantos são os azulejos nesse painel sem contá-los um a um?

n e s te c a p ítu lo , v o c ê v a i re ve r e a m p lia r s e u s c o n h e c im e n to s s o b re : • • • •

Números que usamos no dia a dia Situações que envolvem a adição e a subtração Adição e subtração: operações inversas Situações que envolvem a multiplicação e a divisão

Painel de azulejos portugueses de São Luís (MA).

• • • •

Multiplicação e divisão: operações inversas Expressões numéricas Propriedades das operações Potenciação e raiz quadrada

Números naturais Você já deve ter tido contato com diversos tipos de números: fracionários (como 2

— ou 7,5), negativos (como -4), inteiros (como 3 ou 5). Aqui vamos estudar os números que são inteiros e não negativos, chamados n ú m e ro s n a tu ra is: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante.

Você já sabe bastante sobre eles. Por isso, vamos recordar apenas alguns fatos.

Uso do s nú m eros n a tu ra is No dia a dia, usamos os números em diversas situações: para contar, medir, orde­ nar e como códigos diversos.

O rd e m Podemos escrever todos os números naturais em ordem crescente, do menor para o maior: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc.

Nessa sequência, dois ou mais números seguidos são chamados c o n s e ­ c u tiv o s . Por exemplo: 32, 33 e 34 são números consecutivos.

Agora, considere dois números consecutivos, como 99 e 100. Dizemos que 99 é a n te c e s s o r de 100, ou que 100 é su ce sso r de 99.

Todo número natural tem seu sucessor. O que você pode concluir disso? Bom, podemos concluir que existem infinitos números naturais. Para indicar isso, usamos reticências quando escrevemos a sequência dos naturais: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6,7...

C3PITUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

nfio e s c R E V B no l i v r o .

C om p a ra çã o Para comparar dois números, usamos os símbolos > (maior que), < (menor que) ou = (igual a). Veja os exemplos: • 3 900 < 9 300 • 4 000 > 3 999 • 4 mil = 4 000

R epresentação Representamos os números naturais utilizando o Sistema de Numeração Indo-Arábico. Nesse sistema usam-se dez símbolos chamados algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Quando escrevemos um número, cada algarismo indica uma quantidade con­ forme sua posição na escrita. Por exemplo, veja a representação de quatro mil, trezen­ tos e quarenta e cinco: 4 3 4 5 q u a tr o m ilh a re s

tr ê s c e n te n a s

q u a tro d e ze n a s

c in c o u n id a d e s

Essa representação é d e c im a l e p o s ic io n a i.

Decimal porque os algarismos indicam grupos de 10: a dezena tem 10 unidades, a centena tem 10 dezenas, o milhar (ou unidade de milhar) tem 10 centenas etc.

Posicionai porque a quantidade representada pelos algarismos muda conforme a posição do algarismo na escrita. Por exemplo, em 4 345, o algarismo 4 da esquerda representa 4 000 e o algarismo 4 mais à direita representa 40.

n matemática tem história Por que Sistema de Numeração Indo-Arábico?

Porque esse Sistema de N um eração fo i criado p e ­ los antigos habitantes d o Vale do Rio Indo, que cria­ ram sím bolos e regras, que foram aperfeiçoados e divulgados pelos árabes. O sistema tam bém é conhe­ cido com o Sistem a d e N um eração D ecim al, pois a contagem é feita p o r m eio de grupos de dez.

Os dez sím bolos do

Sistema

de

Num eração

Decimal, denom inados algarism os, são assim repre­ sentados: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. E ntretanto, a representação dos algarism os já fo i m u ito d ifere n te da atual. Veja no quadro abaixo:

Século XIII

1 7 1

6 A 8 1

Século XIV

l

6 1

Século XV

t

Por volta de 1524

)

3 * <r c z

3

*. 5 t

A

$

9

%

A s

s

Você sabe p o r que ocorreram essas mudanças de representação ao lo n g o d o te m p o ?

Antes da invenção da imprensa, os algarismos eram escritos à mâo. Nas máquinas de impressão havia moldes para cada algarismo. Por isso, a partir dai praticamente não houve mais variações.

nflo 6SCR6VB no LIVRO.

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | C3PITUL0 1

Uma escrita diferente Para facilitar a leitura de números grandes, jornais e revistas, costumam apresentá-los de forma abreviada, usando uma vírgula. Veja, a seguir, uma notícia em que isso aconteceu.

Conexões______________________________ Domicílios vagos A o se realizar comparações dos dados populacionais de 2010 com os anos anteriores, será ne­ cessário observar que no Censo 2010, pela primeira vez, foi utilizada a estimação dos moradores de domicílios fechados.

O Censo Demográfico 2010 também encontrou 6,1 milhões (9,0%) de domicilios vagos, ou seja, domicílios que não tinham morador na data de referência (noite de 31 de julho para l 2 de agosto de 2010), mesmo que, posteriormente, tivessem sido ocupados. Prédios construídos mas não ha­ bitados, casas colocadas à venda ou para aluguel são exemplos de domicílios vagos.

Os domicílios de uso ocasional, que somaram 3,9 milhões (5,8%), são aqueles que servem oca­ sionalmente de moradia, usados para descanso de fins de semana, férias ou outra finalidade.

D isp o n íve l em : < h ttp ://s a la d e im p re n s a .ib g e .g o v .b r/n o tic ia s ? v ie w = n o tic ia & id = 1 & busca = 1 & id n o tic ia = 1 8 6 6 >.

A ce sso em : 2 6 set. 2014.

______________________________________________________ J A escrita 3,9 milhões é uma representação do número natural três milhões e novecentos mil, ou seja, 3 900 000.

Veja outros exemplos desse tipo de representação: • 1,2 mil representa 1 200 (mil e duzentos); • 1,52 milhão representa 1 520 000 (um milhão, quinhentos e vinte mil).

|W ]

|s= / P e n se e re s p o n d a 1.

Após a realização das atividades dessa seçáo, proponha aos alunos a resolução das atividades 1 a 8 da seção Pensando em casa.

Na ilustração da página 10, o número usado

h.

com o có d ig o é o CEP, no endereço escrito no

Leia o texto abaixo.

Em 23 de outubro de 1906, Santos Dumont pilotou o 14 Bis e voou pela 1- vez.

envelope. Nessa ilustração, qual número indica: a) ordem ? P b) uma contagem ? c) uma m edida?

2.

Agora, selecione no texto:

12 amigas ou 5 envelopes

a) um número usado para ordenar; 1 * b) um número usado como código. 1 4

Medida de tempo: 14h30min

Não desperdice água, é um recurso escasso.

Você sabia que 1,7 bilhão de pessoas no m undo não têm acesso a sistema de saneamento básico? a) Escreva o núm ero 1,7 bilhão com to d o s os IA 1 700 000 000; Um bilhão e setecentos milhões

seus algarism os e com o se lê ^ O, <5^ b) Em sua opinião, o que é possível fazer para evitar O desperdício? Resposta pessoal.

5.

Descubra quais são: a) os dois números consecutivos que, soma­ dos, dão 101; 50 e 51 b) os dois números consecutivos que, soma­ dos, dão 535. c) Como

267 e 268

você fez

para

descobrir? Troque

ideia com um colega e veja se ele fez como Existem quatro números naturais de dois algaris­

o

você. Resposta pessoal. Socialize as diferentes estratégias que surgirem.

mos, escritos com os algarismos 5 e 6. Quais são?

55, 5 6 .6 5 e 66

caplTULO 1 1 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç o e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

nfto escRevfi no

livro .

6.

b) O pico mais alto d o m undo é o Everest, com

Escreva com o se lê cada um dos números das

8 848 m de altura.

informações a seguir: I

itõ Q

O íto m iloito ce nto seq ua re n ta e oito

c) O Rio Amazonas é o segundo mais extenso d o planeta, com 6 515 km . S eism il quinhentosequinze 7.

Descubra quais são os dois números natu­ rais menores que 104 que têm três algarismos diferentes.

8.

102 e 103

Para escrever todos os números naturais de 0 até 60, quantas vezes você deve escrever o algarism o 5?

Foto de trecho da Grande Muralha da China.

9.

a) A Grande Muralha da China, uma das mara­ vilhas do m undo, tem 3 460 km de extensão.

1 6 vezes

C om o vimos, o Sistema Decimal de Numeração é p osicio n a i. Qual é o valor representado pelo algarismo 3 em 4 345?

300

Três mil quatrocentos e sessenta

fiÇ Õ O sobre números em inform ações de jornais e revistas N úm e ros no dia a dia •

O professor vai organizar a turm a em grupos.

•

Cada g ru p o de alunos vai selecionar e recortar notícias de jornais ou revistas em que apareçam nú­ meros em seus diferentes usos: contar, medir, ordenar ou, ainda, codificar.

•

É im p o rta n te anotar a data e a fo n te de onde o a rtig o fo i selecionado.

•

Com as notícias recortadas, cada g ru p o irá fazer cartazes.

•

Sugerim os que os cartazes sejam organizados p o r temas, p o r exem plo, tra b a lh o e consumo, saúde, m eio am biente, entre outros que o g ru p o escolha.

•

Os cartazes serão expos­ tos na sala de aula, e os alunos deverão id e n tifi­ car se o núm ero na in fo r­ mação está sendo usado com o códig o, para con­ tar, para medir, ou para ordenar.

•

A o final, cada g ru p o ela­ bora um problem a com algum

núm ero

do

seu

cartaz. Os grupos trocam o problem a e cada um re­ solve o problem a ela b o ­ rado pelo o u tro grupo.

nfio e s c R e v B no l i v r o .

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | C3PITUL0 1

@ Situações que envolvem a adição e a subtração Juntando, quanto dá?

Os dicionários dizem que adicionar significa juntar, somar ou reunir. Na Matemática, usamos a operação de adição para ju n ta r ou acrescentar quantidades, exemplo Eu tinha 45 bolinhas de gude e ganhei mais 36. Com quantas fiquei?

Para acrescentar as 36 bolinhas que ganhei com as 45 que eu já tinha, efetuo: 45.

-> parcelas

+

36 81 ■*-----

soma

Fiquei, portanto, com 81 bolinhas.

Tirando, quanto sobra?

Os dicionários dizem que subtrair significa tirar, retirar. Na Matemática, a opera­ ção de subtração também é usada para tirar, retirar, exemplo Um criador tem 100 coelhos e vende 36. Com quantos coelhos ele fica? Para respon­ der, tiramos 36 coelhos dos 100 coelhos que havia: 10 0

**-------- minuendo

36 ■*----- subtraendo 64 ■*----- diferença Assim, o criador fica com 64 coelhos.

Quanto falta?

A subtração também é usada nas situações em que temos uma quantidade e que­ remos saber quanto falta para chegar a outra, exemplo Já vimos 35 minutos de um filme que tem 90 minutos de duração. Quanto tem po falta para o filme acabar?

Para saber quantos minutos faltam, tiramos da duração do filme (90) a quantidade (35) que corresponde aos minutos passados: 90 *----- minuendo 35 ■*---------subtraendo

55

■*-------- diferença

Faltam, portanto, 55 minutos desse filme.

C 9 P ÍT U L 0 1 1 n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s

n fio e s c R E V B n o

l iv r o

.

Q ual é a d iferença?

A subtração também é usada nas situações de c o m p a ra ç ã o em que temos uma quantidade e queremos saber quanto ela tem a mais ou a menos que outra. Ou seja, queremos saber a d ife re n ç a entre essas quantidades, exem p lo

Tenho 57 figurinhas, e meu irmão tem 99. Quantas figurinhas ele tem a mais que eu?

Para saber quantas figurinhas ele tem a mais, tiramos a quantidade que eu tenho (57) da quantidade que ele tem (99): 99

- m in u e n d o

57

- s u b tra e n d o

42

■ d ife r e n ç a

Então, meu irmão tem 42 figurinhas a mais que eu.

(W )

1= / Pense e responda 1.

Pensando em casa.

t

Esta figura foi copiada d o cartaz de um ôni-

4.

Luciano tinha R$ 122,00 e gastou R$ 89,00.

bus. Qual é a lotação máxima perm itida nesse

Ele ainda pretende pagar R$ 45,00 que deve

ônibus?

para Mônica.

83 pessoas

3 7

2.

Após a realização das atividades dessa seçáo, proponha aos alunos a resolução das atividades 9 a 18 da seçáo

4 6

a) D epois d o qasto, com quanto Luciano ficou? r

3

^

RS 33,00

b) Para pagar Mônica, fa lto u ou sobrou d in h ei­

-

ro? Q uanto?

5.

Faltaram RS 12,00

Na adição abaixo, A, B e C representam três algarismos (as duas letras B correspondem ao mesmo algarismo). Descubra as parcelas e a S O m a . Parcelas: 93 e 59; soma: 152

B3 +

Uma empresa tem um escritório e uma fábri­ ca. No escritório trabalham 375 pessoas e na fábrica, 5 439. Quantas pessoas trabalham nessa empresa? 5 814 pessoas

5 B AC 2

6.

Num fliperama, Dino, Marcelo e Carla disputa­ ram um torneio de três partidas, em que marca­

3.

Você está no quilóm etro 380 da rodovia que

ram pontos de acordo com o quadro a seguir.

liga Rio de Janeiro (RJ) a Salvador (BA). Passará pelo quilóm etro 395, e de lá ainda percorrerá

Partida 1

Partida 2

Partida 3

188 quilóm etros antes de parar para descansar.

Dino

12 060

12 200

11 580

Em que quilóm etro da rodovia você fará essa

Marcelo

11 960

11 900

13 500

Carla

8 020

12 180

14 590

parada?

583

Diga quem venceria o torneio, se eles tivessem com binado que o vencedor seria quem: a) ganhasse o m aior núm ero de partidas;Oino b) fizesse o m aior núm ero de pontos numa só partida (ou seja, desprezam-se os dois piores resultados); caria c) somar o m aior núm ero de pontos nas três partidas. nfio e s c R e v B no l i v r o .

Marcelo

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | C3PITUL0 1

7.

Fui bater figurinhas. Saí de casa com 105 e logo

Q uer uma ajuda? Faça um esquema para repre­

fiquei com 38. Quantas eu preciso ganhar para

sentar o problema.

recuperar as que perdi?

8.

67

ABC

Qual é a m enor soma que se pod e o b te r numa

+

três algarismos?

9.

DE F

l

l

l

l

G = 5 e F = 4 ou C = 4 e F = 5.

A maior soma é 1 839.

200, na adição de 100 com 100

Qual é a m aior diferença que se pode encontrar quando subtraímos um número de dois algaris­ mos de outro número de dois algarismos?

89. quando subtraímos 10 de 99

10. Considere uma adição em que as duas parcelas

9eD = 8ouA = 8eD = 9:

A _____________________ B = 7 e E = 6 o u B = 6 e E = 7;

adição em que as duas parcelas são números de

Para que a soma seja a m aior possível, que algarismo você deve colocar nas centenas?

C om o os algarismos devem ser to d o s diferen­ tes, que algarismos você deve usar nas dezenas?

Q ue algarismos sobraram para as unidades?

são números de três algarismos, e os seis algaris­

Substitua as letras p o r números e encontre a

mos dessas parcelas são to d o s diferentes. Qual é a m aior soma que se pod e obter?

soma máxima.

D e s a fio s e s u rp re s a s i.

Uma classe de 26 alunos escolherá seu representante. Os candidatos são Andreia e Vítor. No m om ento, Andreia tem 12 votos, e Vítor tem 7. Houve 3 votos nulos e restam alguns votos para ser apurados. Vítor ainda pode vencer? Por auê? Nà0 íoram aPurados 12 + 7 + 3 = 22 votos. Faltam então 26- 22 = 4 votos. Mesmo que esses 4 '

2.

votos sejam para Vitor. ele ficará com 11 votos, e Andreia já tem 12.

Na subtração abaixo, descubra os valores dos algarismos representados p o r A, B e C

Letras iguais devem ter valores iguais. Que interessante... Posso começar pensando no algarismo das centenas...

C deve valer 1, pois 2 + 2 = 4...

A = 5 , B = 3eC = 2

4 A B C C 9 C C 4

3.

Considere uma subtração em que o m inuendo e o subtraendo são números de três algarismos, e os seis algarismos são to d o s diferentes. Diga qual é a m a io r d ife re n ç a que se pod e obter.

Atenção: cuidado com o algarismo zero.

885

m aior diferença

4.

Considere uma subtração em que o m inuendo e o subtraendo são números de três algarismos, e os seis algarismos são to d o s diferentes. Diga qual é a m e n o r d ife re n ç a que se p ode obter.

3

m enor diferença

C3PÍTUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

nfio escR E vn no l iv r o .

•

qçõo__ sobre o p eração inversa

Esconde-esconde O professor pede a um aluno que vire de costas para a lousa. Pede a outro aluno que faça uma adição na lousa, com os números que quiser.

O aluno que escreveu a adição esconde uma das parcelas com uma folha de papel, e o aluno que está de costas vira-se para a lousa. Ele deve descobrir qual é o número escondido. Como? Ele é quem sabe...

Só não vale levantar a folha.

A ação pode ser repetida com outros alunos, ou com regras que a tornem mais difícil.

n fio e s cR G vn n o

l iv r o .

n ú m e r o s n a tu r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | C 3PÍTU L0 1

o Adição e subtração: operações inversas As adições podem ser representadas em uma re ta . Por exemplo, para somar 5 com 4, comece no ponto que representa o número 5 e avance 4 unidades para a direita. Assim, você chegará ao ponto que representa a soma, 9.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5 + 4 = 9

Veja agora uma subtração. Para efetuar 6 - 2 , comece no ponto que representa o número 6 e volte duas unidades para a esquerda. Assim, você chegará ao ponto que representa a diferença, 4.

- 2 .________._______ ._______ ________________________________ ._______ ._______ ________ ________ -________ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

►

6 - 2 = 4

A o p e ra ç ã o inversa da ad içã o é a s u b tra ç ã o Na reta numérica, somar 3 é avançar 3. + 3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

4

5

6

7

8

9

10

11

E subtrair 3 é voltar 3.

0

1

2

Quando somamos 3 e depois subtraímos 3, voltamos ao ponto de partida. + 3

0

1

2

3

5

6

8

9

10

11

- 3

Por isso, dizemos que a adição e a subtração são o p e ra ç õ e s inversas.

Em que número pensei?

Pensei em um número, somei 15 e obtive 70. Em que número pensei?

70

C3PITUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

n fio e s c R E v n n o

l iv r o

.

N o cam inho inverso, em vez de som ar 15 ao núm ero pensado, devem os subtrair 15 da soma o b tid a , 70. Fazendo o cam inho inverso, encontram os o núm ero pensado.

15

70

7 0 - 1 5 = 55 Pensei no núm ero 55. Vamos conferir?

5 5 + 15 = 70

[= £ Pense e re s p o n d a

Após a realização das atividades dessa seçáo. proponha aos alunos a resoluçáo das atividades 19 a 26 da seçáo Pensando em casa.

(Saresp) Na reta numérica a seguir, o ponto M

3.

representa o número 670 e o ponto R representa

Resolva os problemas. a) Joca fez 12 anos em 2010. Em que ano ele

o número 720.

nasceu?

Sugestão: marque as idades do Joca numa

M 670

R 720

reta com o abaixo.

12 anos

Em qual ponto está localizado o número 690, sabendo que a diferença entre o valor de um ponto e o valor de outro ponto consecutivo é de 10 unidades? a) Q

Alternativac

b) P

c) O

d) N

2. Santos Dumont (1873-1932), inventor brasileiro, 2010

ficou conhecido como "O pai da aviação", por ter projetado, criado e voado em um dos pri­

Agora já dá para descobrir em que ano ele nas-

meiros balões dirigíveis m ovido à gasolina. No

ceu, nao e? Faça a conta.

dia 23 de outubro, de 1906, ele executou, em

b) Nena nasceu em 1987. Em que ano ela com ­

. 0 r-

.

Joca nasceu em 1998.

Paris, o primeiro voo em um aparelho mais pesa­

pletou 25 anos?

do que o ar, o "14 Bis". A aeronave atingiu uma

Sugestão: marque as idades de Nena numa reta.

altura de 60 metros, uma façanha para a época!

O restante é com você.

2 5 anos

1987

■

Nena fez 25 anos em 2012.

Santos D um ont e o prim eiro voo d o 14 Bis.

4. Quantos anos você terá em 2022? E em que ano você fará 40 anos?

Respostas pessoais.

Veja na linha do tem po o nascimento de Santos Dumont e o ano em que o "14 Bis" voou pela primeira vez. Quantos anos tinha Santos Du­ mont, quando realizou esse feito? 33anos

5.

Na reta numérica abaixo estão representadas as idades de João e Maria.

M a ria 12 a no s

N a s c im e n to de S a n to s D u m o n t.

1873

n õ o e s c R e v o n o l iv r o .

O " 1 4 B is " v o a p e la p rim e ira vez.

1906

4 2 anos João 21 anos

Qual será a idade de João quando Maria tiver 33 anos?

n ú m e r o s n a tu r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | C 8PÍTU L0 1

6. As cidades A, B e C ficam à beira de uma estra­ da. A distância de A até B é 127 quilómetros; a de A até C, 85 quilómetros. Calcule quan­ tos quilómetros mede a distância de B até C, sabendo que a cidade C fica entre A e B. Quer uma ajuda? Se você representar as cidades na reta, ficará mais fácil entender o problema.

a de E até F, 413 quilómetros. Calcule quantos quilómetros mede a distância de D até F, em cada um destes casos: a) A cidade D fica entre E e F.

58 quilómetros

b) A cidade E fica entre D e F.

768 quilómetros

11. O quadrado representado abaixo tem 3 linhas, 3 colunas e 2 diagonais. c o lu n a

d ia g o n a l

1 lin h a

?

85

Depois de percorrer 85 quilómetros, quantos quilómetros faltam para chegar aos 127?

A distância de B a C é 42 quilómetros.

7.

Quanto vale cada ■? a) 381 + ■ = 918537 b) ■ + 94 = 244 150

Em cada uma das 3 linhas, em cada uma das 3 colunas e nas duas diagonais, a soma dos 3 nú­ meros sempre deve ser igual a 18.

8.

Numa adição, uma parcela é 2 177 e a soma é 3 840. Qual é a outra parcela? 1 663

9.

Numa subtração, o minuendo é 755 e a diferen­ ça é 383. Qual é o subtraendo? 372

3

■

■

8

6

■

10. As cidades D, E e F ficam à beira de uma estra­ da. A distância de D até E é 355 quilómetros;

■ /

■

■

Nos lugares onde se tem ■ , que números de­ vem ser escritos?

10

2

5 4

9

O Situações que envolvem a multiplicação Somando parcelas iguais M u lti significa m u ito s ou m uitas vezes. Considerando os números naturais, usa­ mos a operação de multiplicação para somar muitas vezes o mesmo número. exemplo

Cada estojo tem 12 lápis de cor. Quantos lápis há em 7 desses estojos? Vamos calcular o número total de lápis.

Há, portanto, 84 lápis de cor.

3

C 3 P IT U L 0 1 1 n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s

84 ----- produto

nfio escREvn no

l iv r o

.

A organização retangular Quantos azulejid s

aqu i?

te m o s

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

□

Quando temos objetos arrumados em linhas e colunas, em uma organização re­ tangular, podemos calcular o total de objetos usando uma multiplicação.

Conte: numa linha, há 13 azulejos. Nas 4 linhas, o número total de azulejos é: 13 + 13 + 1 3 + 1 3 = 4 x 13

1 3 ^

4 vezes o núm ero 13

x

.

^atores

4 ^

52 *----- p ro d u to Há, portanto, 52 azulejos.

Usando a organização retangular, responda: quantos azulejos há no painel em destaque na página

9 ? 6 x 10

= 60 azulejos

De quantos modos?

Uma moça tem 3 saias e 4 blusas. De quantos modos diferentes ela pode se vestir usando uma dessas saias e uma dessas blusas?

Cada saia pode ser combinada com 4 blusas. Como ela tem 3 saias, efetuamos: 3 x 4 = 12 Portanto, a moça pode usar suas saias e blusas de 12 modos diferentes.

Esse é um problema de com binatória (neste caso, combinam-se saias e blusas). Os problemas de combinatória costumam ser indicados com perguntas, como: "De quantos modos?", "De quantas maneiras?". Muitos desses problemas se resolvem com a multiplicação.

A proporcionalidade Na papelaria Preço Bom podem-se comprar lápis em pacotes com 3 unidades por 2 reais ou em caixas com 12 unidades que custam 7 reais a caixa. Em qual opção se paga menos?

[ lápis X4

(

3

|

| preço em reais

---------

v 12 ------

2

)

j

X4

8 1

Ao quadruplicarmos a quantidade de lápis, ou seja, ao multiplicarmos a quantida­ de de lápis por 4, imaginamos que o preço também deva ser multiplicado por 4, man­ tendo assim a proporcionalidade entre a quantidade de lápis e seu respectivo preço.

Portanto, paga-se menos levando-se 12 lápis por 7 reais.

n n o 6SC R 6V B n o LIVRO.

n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | c a P lT U L O 1

Você sabia que... usamos nomes especiais para as multiplicações por 2, 3, 4, 5 e 6?

Expressão

Significado

Exemplo

dobro de

2 vezes

dobro de 6 = 2 X 6 = 12

triplo de

3 vezes

triplo de 17 = 3 x1 7 = 51

quádruplo de

4 vezes

quádruplo de 10 = 4 x 1 0 = 40

quíntuplo de

5 vezes

quíntuplo de 13 = 5 X 13 = 65

sêxtuplo de

6 vezes

sêxtuplo de 20 = 6 x 20 = 120

Você já conhece o sinal x usado na multiplicação, mas pode-se também usar um ponto ( ■ ) para indicá-la.

Por exemplo: 3 x 7 = 3 - 7 = 21 Daqui em diante, daremos preferência ao ponto como sinal de multiplicação.

______________________________________________________________ J

P e n se e re s p o n o d 1.

Após a realização das atividades dessa seçáo, proponha aos alunos a resolução das atividades 27 a 33 da seçáo Pensando em casa.

Que economia se faz ao comprar a caixa com 1 quilo de bombons? A economia é de RS 2,00.

2.

Um caderno de 160 páginas tem 28 linhas por página. Quantas linhas tem esse caderno? 4480

3.

Na calculadora:

|g) a) Calcule digitando o menor número possível de teclas.

4.

Uma banana leva 4 dias para amadure­ cer no cacho. Quan­ to tempo 7 bananas do mesmo cacho levam para amadu­ recer? 4 dias

5.

Um vídeo game de kung fu tem dois coman­ dos. Cada comando tem quatro posições: para a frente, para trás, à esquerda e à direita. Por exemplo, quando o comando da mão esquer­ da é acionado para a frente e o da mão d i­ reita é acionado à esquerda, aplica-se o golpe "chute no alto de lado". De quantos modos podem ser combinados os movimentos dos dois comandos para a aplicação dos diferentes golpes?

16

6.

Numa gaveta há 13 cédulas de R$ 10,00, 6 cédu­ las de R$ 50,00 e 8 cédulas de R$ 100,00. Uma pessoa vai tirar 17 cédulas da gaveta, sem olhar.

238 + 238 + 238 + 238 + 238 + 238 + 238 + + 238 + 238 + 238 1o■238 = 2 380 Dessa vez, os cálculos podem ultrapassar o número de dígitos de sua calculadora, mas os resultados serão surpreendentes: b) 27 • 12 345 679

333333333

c) 12 345 679 ■36

444444444

a) Qual é o valor máximo que ela poderá peqar? b) E o valor mínimo?

7.

RS 1 130,00 r s 330,00

Usando os algarismos 1, 2 e 3 sem repetir ne­ nhum, é possível formar quantos números de três algarismos? Qual deles é o maior? É possivel lormar 6 números, e 0 maior deles é 321.

C 3 P IT U L 0 1 1 n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s

nfio escREvn no l i v r o .

D esafios e surpresas Uma esforçada lesminha sobe um muro para encontrar seu namorado, que mora do outro lado, ao pé do muro. A lesminha sobe 50 centímetros por hora e aí descansa 1 hora, enquanto escorrega 40 centí­ metros. O muro tem 180 centímetros de altura. a) Quantas horas a lesminha vai demorar para chegar ao topo do muro? 27 horas b) Após chegar ao topo, ela começa a descer, mas, agora, apenas escorrega. Quanto tem po ela leva para chegar ao chão? 4 horas e meia.

O Situações que envolvem a divisão R epartir em partes iguais Os dicionários dizem que d iv id ir significa p a rtir, re p a rtir. Na Matemática, a ope­ ração de divisão costuma ser usada para repartir, mas re p a rtir em p a rte s iguais. exemplos 1.

Comprei 60 papéis de carta e quero distribuí-los igualmente entre minhas 4 irmãs.

Quantos papéis cada uma receberá? d iv id e n d o --------- ► £ Q

4 * --------- d iv is o r

|

20 r e s to --------- ►

1 5 *--------- q u o c ie n te

0

Essa operação é uma divisão exata, pois tem resto 0.

Cada uma receberá 15 papéis de carta, e não sobrará nenhum papel de carta.

2. Comprei 62 papéis de carta e quero distribuí-los igualmente entre minhas 4 irmãs.

Quantos papéis cada uma receberá? d iv id e n d o --------- ► £ 2 22

|

4

*--------- d iv is o r

1 5 *--------- q u o c ie n te

re s to ---------► 2

Essa é uma divisão com resto: posso dar 15 papéis a cada uma, mas sobrarão 2 papéis.

Quantas vezes cabe?

A divisão também é usada quando se quer saber quantas vezes uma q u a n tid a d e cabe em o utra exemplo

Minha classe tem 27 alunos e queremos formar grupos de 3 alunos. Quantos grupos serão formados?

Em 27 cabem 9 grupos de 3, pois 9 • 3 = 27, ou seja, 27 : 3 = 9.

Portanto, serão formados 9 grupos.

n f l o 6 S C R 6 V B n o LIVRO .

núm eros naturais, operações e resolução de problem as | C3PITUL0 1

C

n

„

.

0 P e ílS e e r e s p o n o d

1.

Após a realização das atividades dessa seçáo, proponha aos alunos a resolução das atividades 34 a 37 da seçáo Pensando em casa.

Colocando 500 refrigerantes em caixas de 24 unidades teremos certo número de caixas completas e mais uma, incompleta. a) Quantas serão as caixas completas?

20

b) Quantos serão os refrigerantes na caixa incompleta?

20

c) Se fossem 504 refrigerantes, as caixas estariam todas completas. Quantas caixas seriam?

2.

21

No dia a dia é comum você precisar do resultado aproximado de um cálculo, mas não do valor exato. Por exemplo, ao comprar um televisor de 2 000 reais em 6 prestações sem acréscimo, uma pessoa pode que­ rer apenas estimar o valor da prestação para verificar se cabe em seu orçamento. Como 6 • 300 = 1 800 e 6 ■400 = 2 400, percebe-se que o valor é mais próximo de 300 reais que de 400 reais, o que dá uma ideia de quanto se vai gastar.

Nas questões seguintes não faça cálculos. Faça apenas estimativas.

Copie e complete as sentenças, escolhendo uma das três possibilidades oferecidas. a) O quociente de 735 : 21 é aproximadamente ■ (10, 35 ou 50).

35

b) O quociente de 1 900 : 12 é aproximadamente ■ (19, 50 ou 150). 150 c) O quociente de 4 320 : 20 é aproximadamente ■ (20, 200 ou 400). 200 d) O quociente de 5 650 : 70 é aproximadamente ■ (8, 18 ou 80). 80 e) O quociente de 11 930 : 300 é aproximadamente ■ (4, 40 ou 140). 40 f) O quociente de 12 500 : 40 é aproximadamente ■ (3, 30 ou 300).

3.

Calcule os quocientes e os restos das divisões: a) 6265 : 62

A.

300

101 com resto 3

b) 6 845 : 15

456 com resto 5

Mariana ficou responsável pela compra dos livros de Matemática de alguns alunos. Cada aluno colocou o

Ç ) nome em uma lista e pagou o valor do livro: 32 reais.

Chegando à livraria, Mariana viu que tinha se esquecido de levar a lista.

Primeiro, ela contou o dinheiro dos livros (inclusive o dela): deu R$ 864,00.

Depois, ela fez uma conta e descobriu quantos livros devia comprar. Quantos eram?

C3PITUL0 11 n ú m e ro s na tura is, o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de problem as

27 livros

n fio e s c R E v n n o

l iv r o

.

Veja a conta feita por Mariana:

-

864

32

640

20

224 -

224

+

7 27

0 Usando a estratégia dela, verifique quantos grupos de 12 cabem em 1 260.

5.

cabem 105 grupos.

Faça uma estim ativa e anote no caderno a melhor opção. Alternativa b a) Você viveu até agora menos de 1 000 dias. b) Você viveu até agora aproximadamente 4 000 dias. c) Você já viveu até agora pelo menos 5 000 dias.

Com uma calculadora, você poderá verificar se sua estimativa está correta.

6. Ana e Maura compraram um conjunto de som por R$ 380,00.

Elas iam dividir igualmente essa despesa, mas Ana lembrou que estava devendo R$ 70,00 para Maura.

Para acertarem a dívida, quanto cada uma deve pagar na loja? Maura deve pagar r s 120,00 e Ana, r $ 260.00.

7.

A biblioteca da escola em que Emílio estuda tem 500 livros, distribuídos em 14 prateleiras, todas com a mesma quantidade de livros, exceto a última, em que sobrou espaço para mais 4 livros. a) Quantos livros foram distribuídos em cada uma das 13 primeiras prateleiras? « 5 400, ; ^ 6504 b) E na 14-1 Na 14àprateleira foram colocados 32 livros (36 - 4= 32) Em cada uma das 13 prateleiras foram colocados 36 livros.

D esafios e surpresas 1.

A luz percorre 300 000 quilómetros a cada segundo. A distância aproximada entre o Sol e a Terra é de 150 000 000 de quilómetros. a) Quantos segundos a luz do Sol leva para chegar à Terra? soos b) Esse tem po corresponde a um certo número de minutos, mais alguns segundos. Quantos são esses minutos e segundos?

8 m in e 2 0 s

2. Temos aqui um tabuleiro de cartolina, formado por quadrados de mesmo tamanho.

Usando as linhas da figura, você deve repartir o tabuleiro em três partes com a mesma forma. Desenhe a solução obtida.

n fio e s c R E v n n o

l iv r o

.

núm eros naturais, operações e resolução de problem as | C3PITUL0 1

R Ç flO ___________________________

^

sobre algoritm os D e cifre o cálculo Isa fez uma m ultiplicação de um je ito m u ito esquisito. Depois, ela m ostrou o cálculo para Estêvão.

Estêvão decifrou o cálculo e explicou com o ele fo i fe ito . Vamos então fazer o mesmo.

A classe deve ser organizada em grupos de 4 alunos, e cada g ru p o deve decifrar estes cálculos:

120

x

30

-

1647

8

1600

200

1200

47

+ 1200

- 40

1200

7

+

35 x

5 205

9 350

-

35 3 15

3600

D epois, em cada gru p o , dois dos alunos farão um cálculo de um m o d o d ife re n te (é preciso usar a im a­ ginação!). O cálculo será registrado no papel e entregue aos outros dois elem entos d o gru p o , que de ve ­ rão decifrá-lo.

C3PITUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

n fio e s c R E v n n o

l iv r o

.

© Multiplicação e divisão: operações inversas A operação inversa da m u ltip lica çã o é a divisão Quando multiplicamos um número por 7 e, depois, dividimos o resultado por 7, voltamos ao ponto de partida.

X7

:7

Por isso, dizemos que a multiplicação e a divisão exata são operações inversas.

Em que núm ero pensei?

Pensei em um número e multipliquei-o por 12. Obtive 204. Em que número pen­ sei? Veja.

Para encontrar o número do qual partimos, fazemos o caminho inverso: em vez de multiplicá-lo por 12, devemos dividi-lo por 12.

Pensei no número 17. Vamos conferir?

17 • 12 = 204

Relações e ntre d ivid e n d o , divisor, q u o cie n te e resto Em toda divisão se tem: • resto < divisor • quociente ■divisor + resto = dividendo não 6SCR6VB no LIVRO.

números naturais, operações e resolução de problemas | caPlTULO 1

e xe m p lo s 1.

38 |_5_ 3

7

3 <5

2.

7 ■5 + 3 = 35 + 3 = 38

40 | 5 q

J0 < 5

g

8 -5 + 0 = 40 + 0 = 40

N ão e x is te d ivisã o p o r zero • Considere, por exemplo, 6 : 0.

O resultado dessa divisão deveria ser o único número que, multiplicado por 0, resulta 6.

Não existe, no entanto, número assim. C o n c lu s ã o : é impossível efetuar 6 : 0.

• Também é impossível efetuar 0 : 0.

Esse resultado deveria ser o único número que, multiplicado porO, resulta 0.

No entanto, todo número multiplicado por 0 resulta 0. Existem assim infinitos valores, quando deveria haver um só para que essa divisão fosse definida.

Após a realização das atividades dessa seção. proponha aos alunos a resolução das atividades 38 a 40 da seção Pensando em casa.

1.

Pensei em um número e m ultipliquei-o p o r 38.

3.

Numa multiplicação, o produto é 3 819, e um dos fatores é 19. Qual é o outro fator?

201

O btive 1 102. Em que número pensei?29 4.

2.

Na calculadora:

Q uando se divide um número natural p o r 102, encontram-se quociente 13 e resto 5. Qual é

j||g] a) verifique se 880 : 18 é uma divisão exata;Não

esse núm ero natural?

1331

b) se não for, encontre o m aior núm ero que é m enor que 880 e, d iv id id o p o r 18, deixa res­ to zero. 864 c) calcule o resto da divisão 880 : 18 usando

5.

Usando a calculadora, descubra o resto da divisão 7 420 ' 23 Rest0 14 Restos: 15-16e 17; e o quociente das

I|H J

’

três é 322.

A seguir, sem efetuar mais cálculos, apresente o

som ente a calculadora (não vale usar lápis e

resto e o quociente das divisões de 7 421, 7 422

papel!), o resto é 16.

e 7 423 p o r 23.

C3PITUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

n fio e s c R E v n n o

l iv r o

.

££& D e s a fio s e s u rp re s a s 1.

N o esquema a seguir, estão representados o dividendo, o divisor, o quociente e o resto. Esta divisão pode te r resto zero ou não. d ivid e n d o

13

resto

7

a) Dê três exem plos de d ividendos que se encaixam nesse esquema.

P o re x e m p io .9 i,9 2 o u 9 3 .

b) O resto dessa divisão p o d e ser 15? Por quê? Não. porque o resto sempre deve ser menor que o divisor c) Q uantos são os possíveis valores d o d ivid e n d o que se encaixam no esquema?

Os possiveis valores do dividendo que se encaixam no esquema são treze: de 91 até 103.

2.

Na divisão de um número natural p o r 15, o resto é 10.

25 I 15

40 I 15

55 I 15

a) Dê três exem plos de divisões com o essa. b) Q uantas divisões se encaixam na situação apresentada?

infinitas

Expressões numéricas Expressão numérica é uma sequência de operações matemáticas.

Por exemplo: 8 + 3 • 2 é uma expressão numérica.

Na expressão numérica 8 + 3 • 2 há uma adição e uma multiplicação.

Começando a efetuar as operações pela adição, o resultado obtido será o mesmo que iniciando pela multiplicação? Veja: i + 3 2 = 11-12 = 22 c o m e ç a n d o p e la a d iç ã o

O resultado certo é 14 ou 22?

8 + 3 _ 2 = 8 + 6 = 14 c o m e ç a n d o p e la m u ltip lic a ç ã o

Para evitar dúvidas desse tipo, foram criadas regras para efetuar as expressões numéricas.

Usando a regra a seguir, você verá que o resultado da expressão 8 + 3 • 2 é 14.

Numa expressão numérica, primeiro efetuamos as multiplicações e divisões, na ordem em que elas aparecem. Só depois efetuamos as adições e subtrações, também na ordem em que aparecem.

e xe m plo

Vamos calcular o valor da expressão 100 - 3 • 20 + 12:2.

100 - 3 • 20 + 12 : 2 = = 100 - 60 + 12 : 2 = I_____ I

= 100 - 60 + 6 = i

i

= 40 + 6 = = 46

n flo

6SC R 6VB

no

L IV R O .

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | C3PITUL0 1

Parênteses, colchetes e chaves Rubens somou 6 com 7 e, depois, m ultipli­ cou o resultado por 2.

Aqui há uma adição e uma multiplicação, mas a sequência de operações não pode ser in­ dicada assim: 6 + 7 - 2 . Nesse caso, pela regra, precisaríamos efetuar primeiro a multiplicação, e o resultado seria 20: 6 +7^2 = 6 + 14 = 20 O resultado obtido por Rubens não foi esse.

Foi 26.

Para casos como esse, são usados os seguin­ tes sinais: (

)

parênteses

[ ] colchetes

{ } chaves

Aplicando a regra que veremos a seguir, a expressão numérica que indica as ope­ rações que Rubens efetuou é esta: (6 + 7) • 2.

Nas expressões numéricas com parênteses, colchetes e chaves, primeiro efe­ tuamos os cálculos dentro dos parênteses; depois, os cálculos dentro dos colche­ tes; e, por fim, os cálculos dentro das chaves.

exemplos 1.

1 0 0 - 3 ■ (2 0 + 1 2 ) : 2

2.

100 - 3 -(2 0 + 1 2 ) : 2 =

2 • {22 • [22 -

(22 - 20 + 2) ] + 2 }

= 2 • {22 • [22 - (22 - 20 + 2)] + 2} =

= 100-3-32:2 =

= 1 0 0 -9I_6 :2 = ___I

= 2 • {22 ■[22 —(22 —10)] + 2} =

= 1 0 0 -4 8 =

= 2 • {22 ■[22 —12] + 2} =

= 52

= 2 -{22-10 + 2} = « l = 2 • {220 + 2} = I______ I = 2 ■222 = = 444

Aprendendo as regras e os símbolos das expressões numéricas, você passou a co­ nhecer características da escrita matemática que são usadas o tempo todo, inclusive com outros tipos de números, como os decimais.

C 9 P ÍT U L 0 1 1 n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s

n fio 6SC REVB n o LIVRO.

.

\=f P e flS e e r e s p o n o s 1.

Após a realização das atividades dessa seção. proponha aos alunos a resolução das atividades 41 a 44 da seção Pensando em casa.

Para e n te n d e r m e lh o r a regra q u e estabelece a

5.

o rd e m em q u e as o p e ra çõ es d e ve m ser feitas

C alcule o va lo r d e cada expressão. N o te q ue elas são apresentadas em trios.

num a expressão num érica, vam os analisar a se­

D e p ois dos cálculos, d ig a em q u e casos a p o si­

g u in te situação.

ção dos parênteses m uda o resultado e em q ue casos não m uda. a) 5 • (9 + 8)85 b) 5 • 9 + 8 53 c) (5 • 9) + 853 d) 7 • (6 + 3)63

ESTUDO MIL

e) 7 • 6 + 3 45 f) (7 • 6) + 345 g) (3 + 4) • 2 14 h) 3 + 4 * 2 11 a) Escreva um a expressão n um érica para a situ a ­

i) 3 + (4 • 2) 11 A posição dos parênteses muda o resultado nos itens a . d e g

ção a prese n ta d a. 5 + 3-2 b) Q u a n to s reais te m A lice ?

6.

n reais

Som ei 11 com 12, m u ltip liq u e i p o r 13, tire i 14 e d iv id i p o r 15.

c) Q ua l cá lcu lo vo cê fez p rim e iro : a d ic io n o u ou m u ltip lic o u ? Espera-se que o aluno observe que, nesta situação, deve-se multiplicar antes de adicionar.

2.

Você sabe q u e a expressão 7 + 3 - 5 d eve resul-

| H ta r 22. Pegue uma calculadora e e fe tu e as o p e ­ rações dessa expressão. O re sultado fo i m esm o 22? Se não fo i, co m o se d eve p ro c e d e r para o b ­ te r esse re sultado na calculadora?

Primeiro efetuar 3 • 5. depois somar 7.

a) In d iq u e essa sequência d e o p e ra ç õ e s com um a expressão n um érica. Só use parênteses, co lch e te s e chaves se eles fo re m necessários. [(11 - 12) • 13-14): 15 b) O re su lta d o dessa expressão é 16? Se não for, qual é?Não: 19 7.

C o lo q u e os sinais + ,

• , :, ( ) e [ ] d e m o d o a

o b te r as igualdades: 3.

Escreva as expressões num éricas q u e co rre sp o n ­

a) ■ 3 ■ 3 ■ 3 ■ 3 = 1 (3-3)+ (3:3) = 1

d e m às ope ra çõ es dadas a seguir, mas só use

b ) B 3 B 3 B 3 B 3 = 2 (3: 3)+ (3: 3) = 2

parênteses se eles fo re m necessários.

c) B 3 B 3 B 3 B 3

a) Som ei 27 com 36. D ivid i o re su lta d o p o r 9.

127 - 36): 9

b) D iv id i 56 p o r 8. Som ei o re su lta d o co m 12.

56 : 8 + 12

c) D e 54 tire i (subtraí) 36. Som ei o re su ltad o COm

4.

108.

54 - 36 + 108

= 3 {3 + 3 + 3):3 = 3

d ) B 3 B 3 B 3 B 3 = 4( 3- 3 + 3):3 = 4 e ) B 3 B 3 B 3 B 3 = 5 3 + 3-(3:3) = 5 f) ■ 3 ■ 3 I

3 ■ 3 = 6 3+ 3+ (3-3) = 6

g ) B 3 B 3 B 3 B 3 = 7 3 + 3 + (3:3) = 7

Escreva com palavras as expressões:

h) ■ 3 ■ 3 ■ 3 ■ 3 = 8 (3-3)-(3:3) = 8

a) 1 7 * 12 + 41 Multipliquei 17 por 12 e somei o resultado com 41.

i) ■ 3 ■ 3 ■ 3 ■ 3 = 9 (3-3)+ (3-3) = 9

b) 17 • (12 + 4 1 ) Multipliquei 17 pela soma de 12 com 41.

j) ■ 3 ■ 3 ■ 3 ■ 3 = 1 0(3 -3)+ (3:3) = 10

n õ o e s c R e v o n o l iv r o .

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | C8PÍTUL0 1

8 . Cada expressão numérica abaixo expressa um

número natural. Que número é esse? a) 30 - 40 : (8 - 3) : 2 26

11. Que número natural deve ser colocado no lugar do ■?

(5 ■■ +

6 )

:7 = 8

10

b) 1 0 0 -4 1 3 • ( 2 0 - 5 • 4) + 1 101 c) 4 0 0 - { 1 0 - [30 : ( 3 0 - 0 : 1 7 )]- 1}392 d) 27 + {14 + 3 ■[100 : ( 1 8 - 4 • 2) + 7 ]}: 13 32 9. Apresente a expressão numérica que resolve cada problema apresentado a seguir. Só use pa­ rênteses se eles forem necessários. a) Fui a um restaurante com quatro amigos.

Nós cinco dividimos igualmente uma conta de R$ 30,00. Paguei a minha parte e fiquei com R$ 8,00. Quanto eu tinha quando entrei no restaurante? 8 + 30:5, rs 14.00 b) Era Natal, e em um ônibus havia 19 adultos e 16 crianças. Papai Noel chegou e distribuiu R$ 70,00 entre eles. Não houve discrimina­ ção: todos receberam a mesma quantia.

Qual foi essa quantia? 7 0 : ( is - 16), r s 2.00 c) Num restaurante, a conta de uma mesa com 8 pessoas foi de R$ 48,00 e a de outra, com 10 pessoas, foi de R$ 150,00. As pessoas das duas mesas estavam juntas e dividiram igual­ mente entre elas o total das duas contas.

Quanto cada uma pagou?(48 + 1so>:(8 + 10), r s 11,00 Sugestão: cubra com uma folha de papel parte do problema.

Qual é o número que, dividido por 7, resulta 8?

Ache esse número. Ele corresponde à parte es­ condida, que é 5 ■■ + 6.

Use a regra mais uma vez, resolvendo a segunda parte do problema.

10. Em cada caso a seguir, faltam parênteses. Coloque-os para obter o resultado indicado.

Qual é o número que adicionado a 6 resulta 56?

Agora ficou fácil!

a) 1 0 - 2 ■3 + 1 = 2 1 0 - 2 (3 + 1) = 2 b) 1 0 - 2 • 3 + 1 = 2 5

c) 72 + 6 0 :1 2 -8 = 87

Continue seguindo as pistas e encontre o valor do número procurado.

(1 0 - 2 ) • 3 + 1 = 2 5

(72 + 601:12 - 8 = 3

72 + 6 0 : (1 2 - 8 ) = 87

d) 72 + 6 0 : 1 2 - 8 = 3

ÇlQi D esafios e surpresas 1.

Que número natural devemos colocar no lugar de ■? 364 [6 • (7 + 8 • 9) —■ ] : 10

2.

Na expressão 120 - 60 : 5 - 2, acrescente parênteses apenas uma vez. Observe que, dependendo do lugar onde eles forem colocados, você obterá resultados diferentes. Faça a lista dos possíveis r e í lilt a H n c

3.

11

(1 2 0 -6 0 ): 5 - 2 = 10 120 - ( 6 0 : 5 ) - 2 = 106

1 2 0 -6 0 : (5 - 2) = 100 1 2 0 -(6 0 : 5 - 2) - 110

Considere a expressão 60 : 3 + 2 • 6. Acrescente parênteses a ela apenas uma vez, de modo que obte­ nha o resultado máximo. Qual é esse resultado? (6 0 :3 + 2) -6 = 132

C3PITUL0 11núm eros naturais, operações e resolução de problem as

nfio escREvn no

l iv r o

.

•

fiçõo sobre cálculo mental

O tim e com mais g o is é...

A classe está d ivid id a em tim es. Em cada rodada, o professor apresenta um cálculo e espera cerca de 10 segundos.

Os alunos tenta m fazer a conta m entalm ente e anotam o resultado num papel em branco. Depois, o professor escreve os resultados na lousa.

Cada tim e, honestam ente, conta seus gois. Cada acerto vale 1 gol.

Cada m em bro do tim e co n trib u i no m áxim o com 6 gois.

O tim e com mais gois ganha a rodada.

O utras rodadas po d e m ser realizadas em outros dias.

Q uem prepara os cálculos é o professor. A q u i vai uma sugestão: Rodada 1 3 6 13 2 6 7

+ + + + + +

7 + 11 + 9 + 4 + 7 + 5+ 8 + 8 + 13 + 12 + 8 + 21 + 9

15 7 17 9 6

Rodada 4

Rodada 2 13 18 27 18 34

19 18 35 15 47

26 + 35 Rodada 5 5 6 7 8 8 9

n fio 6SCR6VB no LIVRO.

+ + + + +

• • • • • •

16 12 13 15 14 16

Rodada 3 8 17 13 8 8 9

+ + + + +

9 8 8 6 5 12

- 7 - 5 - 14 - 9 - 7 - 13

Rodada 6 300 120 104 630 84 78

15 24 8 6 7 13

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | C3PITUL0 1

O

Propriedades da adição e da multiplicação

Em Matemática, a palavra propriedade é usada para se referir às características ou qualidades de um conceito. Neste caso, são algumas características da adição e da multiplicação que vamos mostrar em seguida. É bem provável que você já as conheça; vamos relembrá-las.

Multiplicação Vamos tratar de três propriedades básicas da multiplicação. Veja a seguir.

Comutatividade Como calcular a quantidade de quadradinhos da malha retangular abaixo?

Podemos raciocinar de dois modos: São 5 fileiras, cada uma com 8 quadradinhos. O total é 5 • 8 = 40.

São 8 colunas (ou fileiras verticais), cada uma com 5 quadradinhos. Nesse caso, faz-se: 8 • 5 = 40.

Os dois raciocínios são corretos, mas levam a multiplicações diferentes: muda a ordem dos fatores, mas isso não altera o total.

Os dois raciocínios continuariam corretos para outras malhas. Em todos os casos seria possível trocar a ordem dos fatores sem alterar o produto.

Essa propriedade é chamada comutativa, porque um dos significados de com u­ tar é trocar e, neste caso, podemos trocar a ordem dos fatores.

• •

Associatividade Foram compradas 2 caixas, cada uma com 12 garrafas de refrigerante, ao preço unitário de R$ 3,00. Qual foi o custo?

Aqui também podemos raciocinar de dois modos:

i

1

•

Calculamos a quantidade de garrafas e a multiplicamos pelo preço de 1 unidade: (2 ■ 12) • 3 = 24 ■3 = 72 O custo é 72 reais.

•

Calculamos o preço de cada caixa e o multiplicamos pelo número de caixas: 2 • (12 • 3) = 2 • 36 = 72 De novo, o custo é 72 reais.

C 9 P ÍT U L 0 1 1 n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s

n fio 6SC REVB n o LIVRO.

O que muda de uma multiplicação para outra? A maneira de associar os fatores.

No primeiro raciocínio, associamos primeiro 2 e 12; no segundo, começamos associan­ do 12 e 3. Os dois raciocínios continuariam válidos com outras quantidades e preços.

O produto seria sempre o mesmo.

Esta é a propriedade associativa da multiplicação.

Elemento neutro Você já percebeu que multiplicar um número por 1 resulta o próprio número. Por isso, dizemos que na multiplicação 1 é um elemento neutro, que nada altera.

Essa é a propriedade do elem ento neutro da multiplicação.

Por exemplo, 1 - 1 3 = 13- 1 = 13

Adição A adição tem as mesmas propriedades da multiplicação.

Ela é comutativa porque a ordem das parcelas não altera a soma. Por exemplo, 234 + 307 é o mesmo que 307 + 234.

Ela é associativa porque podemos associar as parcelas de muitos modos. Veja maneiras de fazer o cálculo 17 + 15 + 13 + 5: Associando as parcelas na ordem em que aparecem: 17 + 15 + 13 + 5 =

Associando da melhor maneira: 17 + 1 5 + 1 3 + 5 =

= 32+13 + 5 = = 45 + 5 =

= 30 + 20 =

= 50

= 50

Finalmente, a adição tem elem ento neutro, que é o zero.

Por exemplo, 0 + 71 = 71 + 0 = 71.

Adição e multiplicação As duas operações juntas também têm uma propriedade especial. Vamos conhecê-la.

Um pai compra 3 ingressos de um espetáculo de circo para seus filhos a RS 10,00 cada ingresso; mais tarde, ele e a mulher também decidem ir e compram mais 2 in­ gressos pelo mesmo preço.

Quanto ele gastou?

Há dois modos de pensar: •

Somar as quantidades de ingressos e multiplicar pelo preço de 1 ingresso:

•

Juntar o que se gastou em cada compra e depois obter o total de gastos: 2 • 10 + 3 ■ 10 = 20 + 30 = 5 0 ----- * Gastou R$ 50,00.

(2 + 3) • 10 = 5 • 10 = 5 0 ----- * Gastou R$ 50,00.

Mais uma vez se pode notar que os dois raciocínios seriam corretos com outras quantidades.

Os dois métodos valem sempre. Eles mostram que (2 + 3) • 10 = 2 • 10 + 3 • 10

n ã o 6SC R 6V B n o LIVRO.

n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | c a P lT U L O 1

Isto é, você pode somar e depois multiplicar, ou você pode distribuir a multiplica ção pelas parcelas da adição.

Essa é a propriedade d is trib u tiv a da ultiplicação em relação à adição.

Você já usou essa propriedade. Por 317 = ? exemplo, para efetuar a multiplicação (30 + 1) • 7 ao lado, você sabe que deve multiplicar 30 ■7 + 1 ■7 7 por 1, depois multiplicar 7 por 30 e, 210 + 7 = 217 finalmente, somar os resultados. Você distribuiu a multiplicação por 7 pelas 31 parcelas 1 e 30. x 7 217

Imf Pense e responda

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 45 e 46 da seçáo Pensando em casa.

O gerente de um supermercado encomendou 150 caixas de sabão em pó ao fabricante, ao pre­ ço de R$ 3,00 a unidade. Quando chegou o pro­ duto, o gerente percebeu que havia muita procu­ ra e imediatamente encomendou mais 200 caixas.

3.

Use as propriedades comutativa e associativa da adição para calcular mentalmente sem esforço!

Veja um exemplo: Em 7 + 18 + 3 + 15 + 2 + 1 5 , mudando a ordem, essa adição fica 7 + 3 + 18 + 2 + 1 5 + 15.

Associando as parcelas vizinhas, obtém-se 10 + 20 + 30 = 60.

Use essas ideias e calcule mentalmente as somas: a) 16 + 14 + 9 + 17 + 1 + 3 60 b) 15 + 12 + 5 + 8 + 11 + 19 70 c) 13 + 16 + 1 9 + 1 + 4 + 7 60 d) 13 + 17 + 19 + 14 + 11 + 16

Nessa situação, podemos calcular de duas ma­ neiras diferentes a quantia que o gerente pagou ao fabricante. Como essas maneiras apresentam o mesmo resultado, temos um exemplo da pro­ priedade distributiva da multiplicação em rela­ ção à adição. Mostre as duas maneiras.

2.

4. Vamos calcular a soma de todos os números na­ turais de 1 a 10. Quem quiser, pode ir somando na ordem, mas é mais simples aproveitar as pro­ priedades comutativa e associativa. Assim, asso­ ciamos as parcelas "das pontas para o meio", assim:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

Maneira A: 3 ■ (150 + 200) = 3 ■ 350 = 1 050 Maneira B: 3 ■ 150 + 3 ■200 = 450 + 600 = 1 050

5 + 6 = 11

De vez em quando, a propriedade distributiva também ajuda a efetuar o cálculo mental. Veja o exemplo: 117 • 7 + 117 • 3 = 1170

4 + 7 = 11 3 + 8=11

1 + 10 = 11

117 • (7 + 3) = 117 • 10

Agora, é sua vez. Só escreva a resposta. a) 117 ■25 + 117 • 75 11700 b) 23 • 17 + 23 • 3 460 c) 1 200 ■8 + 1 200 • 2 12000 d) 15 • 7 + 15 ■9 + 15 ■4 300

90

São 5 parcelas valendo 11; portanto, a soma é dada por 5 - 1 1 = 55.

Use esse método e calcule a soma dos números naturais de 1 até 20, isto é: 210 1 + 2 + 3 + 4 +... + 17 + 1 8 + 1 9 + 2 0

C3PITUL0 11núm eros naturais, operações e resolução de problem as

nfio escREvn no

l iv r o

.

D e s a fio s e s u rp re s a s Conta-se que o grande m atem ático alemão Cari Friedrich Gauss, que vi­ veu de 1777 a 1855, quando era ainda menino, assombrou seu professor fazendo um cálculo aparentem ente dem orado em poucos segundos.

0 professor havia p e d ido a soma de to d o s os números naturais de 1 até 100, esperando que seus alunos ficassem vários m inutos ocupa­ dos. Gauss deu a resposta quase im ediatam ente. Ele usou propriedades da adição que tornaram o cálculo bem simples. a) Efetue 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100.

5050

b) Use o m esm o m é to d o e calcule a soma de to d o s os núm eros pares K a r l F r i c d r . c l i O a t iO .

de 2 até 100.

2550

Cari Friedrich Gauss (1777-1855).

2 . Nesta adição, A e B representam algarismos.

3 8

AB

+

+ 83

6 5

7 4

4 7 4-7 4 1

BA

+ 56

12 1 a) Descubra qu a n to vale A + B.

+11

+ 47

2

5 6 6 5

1

8 3

9 2 2 9

11

b) Existem o ito adições com o essa, com soma 121. Quais são?

3.

Você deve fazer o cálculo m entalm ente (tente usar a propriedade distributiva). O cálculo é este:

©

237 • 9 876 - 137 • 9 876. 987 eoo

O

Propriedades da subtração e da divisão

Na subtração e na divisão de números naturais não vale a propriedade comutati­ va. Veja estes exemplos: • 7 - 2 = 5, mas não se consegue efetuar 2 - 7 com os números naturais; • 20 : 10 = 2, mas não se consegue efetuar 10 : 20 com os números naturais.

Na subtração e divisão de números naturais também não vale a propriedade as­ sociativa. Veja estes exemplos: (7—3 )-2 = 4 - 2 = 2] 7 - ( 3 - 2 ) = 7 -1 = 6 (24 : 4): 2 = 6 :2 = 3 24: (4:2) = 24:2 =12j

(7 -3 )-2 * 7 -(3 -2 )

(24 :4): 2 * 24: (4:2)

Afinal, que propriedade tem a subtração?

Propriedade da compensação da subtração

Somando ou subtraindo um mesmo número ao minuendo e ao subtraendo, a diferença não se altera.

n fio e s c r e v o n o li v r o .

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | c a P lT U L O 1

Veja como essa propriedade pode facilitar os cálculos: 1000 —U -

999

432 —U -

431

568

568

Essa propriedade pode ser entendida de modo prático, se você acompanhar a idade de duas pessoas. Com o passar dos anos, as idades delas mudam, mas a dife­ rença entre as duas idades não muda. exem p lo

Luís e Márcio aniversariam hoje: Luís faz 15 anos e Márcio faz 12. Daqui a 20 anos, Luís continuará sendo 3 anos mais velho que Márcio. hoje Luís

daqui a 20 anos

15

Márcio

-

diferença

-±2°,

12

35 -

3

32 3

Compare essas duas subtrações e veja o que aconteceu: • o minuendo aumentou 20; • o subtraendo aumentou 20; • a diferença se manteve a mesma.

A divisão exata tem uma propriedade parecida.

Multiplicando o dividendo e o divisor por um mesmo número, não nulo, o quociente não muda.

|= y P e n se e re s p o n d a 1.

20

4

0

5

20-7 = 140

0

5

Pensando em casa.

3.

João recebeu R$ 15,00 e Maria gastou R$ 9,00;

c) 36 : ■ = 12 : 26

João deu R$ 25,00 para Maria.

d) 9 0 - 12 = 8 0 - « 2

Depois de tu d o isso, João e Maria, juntos, pas­

Por que as três operações de cada item têm re­ sultados iquais?

PT eda?!paraa 50 0 ^ subtraendo toram somados com 100: e da 2-s para a a) 1 7 - 8 , 1 1 7 - 108 e 4 117 - 4 108 cor. 4 ooo.

16

b) 1 5 - 2 = ■ - 1326

João gastou R$ 21,00 e Maria gastou R$ 12,00;

R$30,00

Q ue número natural deve ser colocado no lugar de cada ■ ? a) 20 : 4 = 80 : ■

João gastou R$ 17,00 e Maria recebeu RS 14,00;

2.

28

Após a realização das atividades dessa seção. proponha aos alunos a resolução das atividades 47 e 48 da seção

Juntos, João e Maria tinham R$ 60,00. Veja o que aconteceu depois:

saram a te r quanto?

140

4.

Eu ten h o 12 anos e meu irmão tem 16. a) Q uando eu tive r a idade que ele tem hoje, que idade ele terá?

20 anos

b) Q uando ele tinha a m etade da idade que eu

b) 12 : 4, 120 : 40 e 1 200 : 400

Porque da 1« para a » , tanto o dividendo como o divisor toram multiplicados por 10: e da 2 í para a 3= também.

C3PITUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

te n h o hoje, qual era a minha idade? 2 anos

n fio e s c R E v n n o l i v r o .

©

Potenciação Pegue uma folha de papel e dobre-a ao meio. Sem desdobrá-la, dobre-a ao meio

pela segunda vez. Repita a operação até ter dobrado a folha cinco vezes. Agora, desdobre-a. Os vincos dividem a folha em certo número de partes. Quantas são?

I______ I I______ I ___ I I___ I u Folha.

Folha depois de dobrada.

Folha depois de dobrada pela 2- vez,...

... pela 3 a vez,...

... pela 42vez...

□ ... e pela 52vez.

Você notou? Cada vez que se dobrou a folha, o número de suas partes dobrou, não é? Veja o número de partes em que a folha ficou dividida.

• •

após a 1â dobra: 2 após a 2â dobra: 2 - 2 = 4

•

após a

•

após a 4à dobra: 2 • 2 • 2 • 2 = 16

•

após a 5â dobra: 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

dobra: 2 • 2 • 2 = 8

Portanto, a folha ficou dividida em 32 partes. Confira!

A resposta foi obtida assim: 2 •2 •2 •2 •2 Esse tipo de multiplicação de números naturais em que os fatores são iguais é um exemplo de outra operação matemática: a potenciação.

Potências Considere o produto: 2-22- 2-2 5 vezes

Na Matemática, esse produto é indicado de modo abreviado, assim: 25 ("dois elevado à quinta potência" ou "dois à quinta") n ã o 6SC R 6V B n o LIVRO.

n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | C 3 PI t u l o 1

Nesse tipo de indicação, se o expoente (número de cima) for natural, a base (o nú­ mero de baixo) é o fator que será multiplicado por ele mesmo algumas vezes.

O expoente, nesse caso, indica quantos fatores iguais essa multiplicação vai ter: 25 = 2 - 2 - 2- 2 - 2 5 vezes

25 = 32 i

p o tê n c ia

• o e xp o e n te 5 indica quantas vezes o número 2 será multiplicado por ele mesmo; • a base 2 é o fator que se repete nessa multiplicação; • a po tê n cia 32 é o produto.

Por exemplo: 34 = 3 • 3 • 3 • 3 Então, 34 = 81 ("três à quarta é 81" ou "três elevado à quarta potência é 81").

Im p o rta n te : perceba que a potenciação envolvendo apenas números naturais, é uma operação que "abrevia" uma multiplicação de fatores iguais. Assim, em vez de escrever 2 • 2 • 2 ■2, escrevemos 24.

A potenciação é muito útil na resolução de diversos problemas, como veremos adiante.

9

Você sabia que...

... existe uma forma mais simples de indicar 1 mil, 1 milhão, 1 bilhão e outros números que parecem grandes para a maioria das pessoas? Números como esses podem ser indicados por potências de 10. Veja: 1 mil: 1 000 = 103 1 milhão = 1 000 000 = 106 1 bilhão = 1 000 000 000 = 109 Observe que as potências de 10 permitem escrever esses números de maneira mais curta, mais abreviada.

|W )

Após a realização das atividades dessa seção, proponha aos alunos a resolução das atividades 49 a 55 da seçáo

| = / Pense e responda 1.

Pensando em casa.

Renata digitou em sua calculadora científica:

i

BBBBBB Ela anotou os 3 resultados que apareceram no visor da calculadora todas as vezes que a tecla foi apertada. a) Faça o mesmo procedimento de Renata e anote os 3 resultados. 4,8ei6 b) O que esses resultados indicam? as potências i ‘ e 2‘

3

2

Escreva as potências descritas a seguir e calcule o valor delas. a) A potência de base 2 e de expoente 8.

2a

b) A potência de base 3 e de expoente 3. 3! c) 20 elevado à terceira.

J sooo

20

d) 8 elevado à segunda. s! = 64 e) 10 elevado à sexta potência. io‘ = ioooooo f) 10 elevado à nona potência.

C3PITUL0 11núm eros naturais, operações e resolução de problem as

o* = 1000000000

1

n fio e s c R E v n n o

l iv r o

.

-

256 27

3.

Na figura 1, há quatro quadrados. Dividindo cada um deles em quatro quadrados menores, obtemos a figura 2. E, da mesma maneira, a figura 3.

d) Quantos são os quadrados da figura 3? 64 4. Theo estava curioso: será que 23 e 32 valem o mesmo? Ele então calculou as duas potências.

Que resultados ele obteve? A que conclusão ele deve ter chegado? 2S= 8 e 3: = 9.23# 32.

5.

figura 1

figura 2

figura 3

a) O número de quadrados da figura 2 pode ser indicado com uma potência de base 4.

Qual é? 41 b) O número de quadrados da figura 3 também pode ser indicado com uma potência de base 4. Qual é? 4 c) Quantos são os quadrados da figura 2?

Responda: a) Calculando 107, obtém-se um número natu­ ral com quantos zeros? 7zeros b) Como se lê esse número? Dez milhões

6. Fazendo algumas tentativas, você poderá enjH contrar o número natural que deve ser colocado no lugar de cada ■ . Qual é esse número?

16

a) B 2 = 81 g

d) B 3 = 27 3

b) 122 = ■ 144

e) 6" = 1 296 4

c) 10" = 1 0003

f ) 4 3 = «64

0 Potenciação e raiz quadrada Potências com expoentes especiais Expoente 2 Quando o expoente é 2, dizemos que a base está elevada ao quad ra d o . Por exemplo: 52 = 25, ou seja, 5 ao q u a d ra d o é 25.

De onde vem a expressão "ao quadrado"?

Imagine um quadrado cujo lado mede 5 centímetros.

5 cm

52 = 25 O quadrado de 5 é 25.

Você pode ver que ele é formado por 25 quadradinhos cujo lado mede 1 centíme­ tro. Por isso, dizemos que 25 é 52(5 ao quadrado) e também que 25 é o q u a d ra d o de 5 ou ainda que 25 é um q u a d ra d o p e rfe ito .

Esse fato não acontece só com a base 5. Um quadrado cujo lado mede 7 centíme­ tros pode ser formado por 49 quadradinhos cujo lado mede 1 cm.

T = 49 nflo 6 S C R 6 V B no LIVRO .

núm eros naturais, operações e resolução de problem as | C3PITUL0 1

Dizemos que 4 9 é o q u a d ra d o d e 7 ou ainda que 49 é um q u a d ra d o p e rfe ito .

7 cm

E xpoente 3 Quando o expoente é 3, dizemos que a base está elevada a o c u b o .

Por exemplo: 23 = 8, ou seja, 2 a o c u b o é 8.

De onde vem a expressão "ao cubo"?

Agora, você pode pensar em um cubo cuja aresta mede 2 centímetros.

23 = 8

O cubo de 2 é 8.

Esse cubo é formado por 8 cubinhos cuja aresta mede 1 centímetro.

Por isso dizemos que 8 é 23(2 ao cubo) e também que 8 é o c u b o d e 2.

Esse fato não acontece só com a base 2. Um cubo cuja aresta mede 4 centímetros pode ser formado por 43 = 64 cubinhos cuja aresta mede 1 cm.

4 3 = 64

Dizemos que 6 4 é o c u b o d e 4; e assim por diante.

C3PÍTUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

n fio e s c R e v n n o l i v r o .

Expoentes 0 e 1 Observe o quadro a seguir, com potências de base 3.

34 = 81 De cima para baixo, temos: 33 = 27

•

Os expoentes diminuem de 1 em 1: 4, 3, 2, 1 e 0.

•

Os resultados vão sendo divididos por 3: 81, 27, 9 e ?.

32 = 9 Continuando assim, quais serão as próximas linhas do quadro?

31 = ?

Veja outro exemplo, com potências de base 10.

104 = 10 000 De cima para baixo, temos: •

Os expoentes diminuem de 1 em 1.

103 = 1000

•

Os resultados vão sendo divididos por 10.

102 = 100 Continuando assim, quais serão as próximas linhas do quadro?

101 = ?

10' = ?

10°

= ?

10° = ?

Isso pode ser feito para todas as bases diferentes de zero. De maneira geral, define-se: Todo número natural elevado ao expoente 1 tem como potência o próprio número.

exemplos .

7 '= 7

•

9' = 9

• 10’ = 10 Define-se ainda: Todo número natural (exceto zero) elevado ao expoente zero resulta 1. exemplos •

2°

.

5°= 1

=

1

. 12° = 1

n fio

escrevo

no

l iv r o

.

n ú m e r o s n a t u r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | C 3 PI t u l o 1

Raiz q u a d ra d a Vamos elevar 4 ao quadrado. ^

e le v a n d o a o q u a d r a d o

^2 _

^

^ _

'j ^

Agora, vamos fazer o caminho inverso. n ú m e ro c u jo q u a d r a d o é 16

4 *•

16

Dessa vez, partimos de 16 e vamos procurar o número que, elevado ao quadrado, resulta 16. Esse número é 4. Ao fazer isso, estamos extraindo a ra iz q u a d ra d a de 16:

.

e x tr a in d o a ra iz q u a d r a d a

16 ----------------------------- -

-

4

O símbolo da raiz quadrada de 16 é este: VÍ6 (a raiz quadrada de 16). Então: /j ^

e x tr a in d o a ra iz q u a d r a d a

^

A raiz quadrada de um número natural é um número natural que, elevado ao quadrado, resulta no primeiro.

Indica-se a raiz quadrada com o símbolo: V " ■ Por exemplo, vamos procurar a raiz quadrada de 49.

Precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, resulte 49.

Elevando os números naturais ao quadrado, um a um, veremos que a ra iz q u a d ra d a d e 4 9 é 7.

Procure no quadro ao lado as raízes quadradas: n /1 6 ,

fé,

n /2 5 ^

1 = 1

4 = 16 25 36 1 = 49

V Í6 = 4 ; V 4 = 2 ; V 2 5 = 5

•749 = 7

82= 64 Observe que, elevando um número natural ao quadrado e, depois, extraindo a sua raiz quadrada, volta-se ao ponto de partida. e le v a n d o a o q u a d r a d o

4 ^

J 6

e x tr a in d o a ra iz q u a d r a d a

e le v a n d o a o q u a d r a d o

7^

y

e x tr a in d o a ra iz q u a d r a d a

Que interessante!

Extrair a raiz quadrada e elevar ao quadrado são \op e ra çõe s inversas.

C3PÍTUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

n fio e s c R E v n n o l i v r o .

Você sabia que... ... há números naturais que nao possuem raiz quadrada natural?

Considere os números naturais: 0 ,1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7 ,...

Os quadrados desses números são: 0, 1 ,4 , 9, 16, 25, 36, 49, ...

Observe que há números naturais, como o 2 e o 3, que não aparecem nessa segunda lista: eles não são o quadrado de ne­ nhum número natural; portanto, não possuem raiz quadrada natural.

Por exem plo, >/TÕ não é um número natural, pois não exis­ te número natural que, elevado ao quadrado, dê 10. |W )

\=f Pense e re sp o n d a 1.

Após a realização das atividades dessa seçáo. proponha aos alunos a resolução das atividades 56 a 59 da seçáo Pensando em casa.

Com 25 pontos é possível formar um "quadra­

5.

Sei que 732 = 5 329. E você, sabe quanto é > / 5 3 l9 ? 7 3

d o ", dessa forma: 6.

•

•

•

•

•

•

•

•

O número 2 982 pode ser decom posto assim: 2 • 1 000 4- 9 • 100 + 8 • 10 + 2 • 1

Essa decomposição pode ser escrita com po­ Se for possível, forme um "quadrado" com:

tências de 10:

a) 9 pontos; b) 10 pontos; Não é possivel

2 • 103 + 9 • 102 + 8 • 101 + 2 • 10c

c) 16 pontos; d) 18 pontos.

Não é possível.

Todo número do Sistema Decimal de Numera­ 2.

Dê os resultados: a) 6 ao quadrado b) 6 ao cubo

ção pode ser escrito dessa forma, com potên­ cias de 10. Por isso, dizemos que esse sistema

36

é decimal. Escreva a decomposição com potên­

216

cias de 10:

c) 17117 d) 2 010°

a) 3 421

1

3 •1o3 +

4 102 + 2 •10' + 1 •10o

b) 4 050 4 1o3 + 0 • 1o2 + 5 1o1 + 0 10o

3.

4.

Calcule: a) yfà 2

c) V Í2 Í

b) y/36 6

d) V49

7.

11

a) (53- V 2 5 ) : ( 2 6 - n/3 6 ) 6

7

Qual é o número natural que deve ser colocado no lugar do ■ em cada caso? a) V i = 8 64 b)

=10

b) 2 [ ó 1- (VTÕ Õ + 12) : 11] 8

c) {5 [ ( 3 1 - 7 9 ) : 7 + 23] - V Í 4 4 } : ( 4 - 1 )

16

d) VTó •{3 2 [(2 3 - 5) V Í 6 + 1]-V 25 }44 8

100

n fio e s cR G vn n o

Calcule o valor das expressões numéricas:

l iv r o .

n ú m e r o s n a tu r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | C 3PÍTU L0 1

D e s a fio s e s u rp re s a s 1.

Descubra o núm ero natural que deve ser colocado no lugar d o ■ : 7 [(■ - 3)2 - 6]2 = 100

2.

Uma escola tem 364 alunos. Um deles chegou à escola com a notícia de que iria m orar no Canadá e, em um m inuto, contou a 3 colegas. Pelo je ito , a notícia causou surpresa, porque, no m inuto seguinte, cada um desses 3 contou a novidade a 3 colegas que ainda não a conheciam. Assim, cada um que re­ cebia a notícia sempre a transmitia a 3 colegas desinform ados, gastando, para isso, 1 minuto. a) Q uantos alunos ficaram sabendo da notícia no terceiro m inuto?

2 7 alunos

b) Q uantos alunos ficaram sabendo da notícia nos três prim eiros m inutos?

3 9 alunos

c) Em quantos m inutos to d o s os alunos ficaram sabendo da notícia ? Em5minutos

Você sabia que... ... nosso planeta, em 2011, passou a te r aproxim adam ente 7 bilhões de habitantes?

Vamos escrever 7 bilhões usando algarismos:

7 000 000 000

Podem os tam bém representar esse núm ero com uma potência de 10: e x p o e n te

7 bilhões

7 000 000 000

7 X 109

O Brasil, em 2011, passou a te r aproxim adam ente 191 m ilhões de habitantes. Vamos representar este núm ero usando uma potência de 10: 191 m ilhões

191 000 000

—^expoente 191 X 106

6 z e ro s

Foto da Terra vista do espaço.

C3PITUL0 11 n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s

n fio e s c R E v n n o l i v r o .

P e n san do em ca sa o nome dos planetas em ordem crescente de

N ú m e ro s n a tu ra is

tamanho.

1.

Mercúrio. Marte, Vénus.Terra. Júpiter

O utro dia, saiu em um jornal o seguinte anúncio:

Edifício M orada nas Nuvens Apartam ento com 3 dormitórios, 122

andar, claro e ensolarado.

Tempo de construção: 5 anos. Mude já!

Telefone para contato: 3956 34 07 Atenção: a linha reta AB, que passa pelo centro da esfera, Destaque do texto do anúncio um número que indique: a) ordem;

8.

122

b ) U m C Ó d ig O

rismos são consecutivos, na ordem crescente.

5 anos

d) uma quantidade.

10 0 0 0

234

3 (dormitórios)

Qual é o maior número, maior que 9 837 e me­ nor que

Descubra qual é o número natural descrito. É maior que 200 e menor que 300, e seus alga­

3956 34 07

c) uma medida;

2.

é um diâmetro dela.

que tem apenas três algarismos

@ Situações que envolvem a adição e a subtração

iguais? 9 998 9.

3.

Meu tio fez uma compra para pagar em três

C onsidere os núm eros naturais de três a lg a ­

parcelas: R$ 72,00 de entrada e mais duas pres­

rism os fo rm a d o s p o r 1, 2 e 3, p o d e n d o re­

tações de R$ 48,00 cada. No total, quanto ele pagou? r s 168.00

p e tir algarism os. Estes são os que com eçam p o r 1: 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133. Q uantos são, no to ta l, os núm eros naturais de três algarism os fo rm a d o s p o r 2 e 3?

1,

10.

Para pagar R$ 267,00 dei à caixa três cédulas de R$ 100,00. Ela ainda pediu RS 17,00 para facili­ tar o troco, e eu lhe dei essa quantia.

27

4. Quantos números naturais podem ser escritos usando-se apenas o algarismo 5? Justifique sua

a) Q uanto recebi de troco? rs 50.00 b) Q uanto receberia, se eu não tivesse dado os R$ 17,00?

R S 3 3 ,0 0

resposta com exemplos.

Infinitos: 5,55.555,5 555, e assim por diante.

5.

Descubra dois números consecutivos que, so­ mados, dão

6.

9 7 . 48 e 49

Pense nos números naturais que são escritos com três algarismos diferentes e responda: a) qual é o maior desses números ? 937

7.

102

O diâmetro de Mercúrio é 4 878 km; o da Terra, 12 756 km; o de Júpiter, 142 984 km; o de Mar­ te,

6

786 km; e o de Vênus, 12 103 km. Escreva

nõo e scR evo no

l iv r o .

n ú m e r o s n a tu r a is , o p e r a ç õ e s e r e s o lu ç ã o d e p r o b le m a s | C 8PÍTU L0 1

ESTÚDIO MII

b) qual é o m enor desses números?

11. Na semana passada, de segunda-feira a dom in­

A viagem pelo litoral é mais curta ou mais

go, eu treinei da seguinte maneira: corri 1 000

comprida que a outra? A diferença é de quantos

metros na segunda-feira; nos outros dias, corri

quilómetros? É mais comprida: 337 km.

sempre 200 metros a mais que no dia anterior. a) Quantos metros corri no dom ingo? b) Quantos metros corri na semana? n

2 200 200

m

m

15. Você é o caixa de uma loja. No momento, você só tem cédulas de R$ 50,00 e de R$ 100,00.

Uma pessoa paga uma conta de R$ 82,00 com uma cédula de R$ 100,00. Quanto você ain­ da deve pedir a ela para que o troco seja de R$ 50,00? RS 32.00 16. Considere uma adição em que as duas parce­ las são números de três algarismos, e os seis al­ garismos dessas parcelas são todos diferentes.

Qual é a menor soma que se pode obter?

339, por exemplo, na adição de 104 com 235. Atenção: cuidado com o algarismo zero.

17. Qual é a diferença entre o maior número de três algarismos e o menor número de três 12. Existem quatro adições de dois números natu­

algarismos? 899

rais com soma 3: 0+3=3

2+1=3

1+2 = 3

3 + 0 = 3

a) Quantas são as adições de dois números na­ turais com soma: 5; 8:11 .4 ?

.7 ?

.

10?

b) Você descobriu um padrão nas situações an­ teriores? Se sim, qual?

Resposta pessoal.

? ? ?

18. Temos um número de quatro algarismos e outro de dois, em que os seis algarismos são d ife­ rentes. a) Qual é a maior soma obtida ao adicionar es­ ses dois números?

Seguindo o mesmo padrão, quantas são as adições com soma 527?

528

b) Qual é a menor soma obtida ao adicionar es­ ses dois números?

13. Quantas são as subtrações de dois números na­ turais com diferença 3? Justifique sua resposta.

Infinitas: 3 - 0; 4 - 1; 5 - 2. etc.

14. O mapa a seguir mostra duas rotas para uma via­ gem de automóvel São Paulo-Salvador: uma

9939

1059

c) Qual é a m aior diferença obtida ao subtrair um desses números do o utro? 9 866 d) Qual é a m enor diferença obtida ao subtrair um desses números do outro?

925

pelo interior, e outra pelo litoral.

© Adição e subtração: operações inversas 19. Um caminhoneiro está voltando para casa. Veja na reta a representação do quilóm etro da estra­ da onde ele se encontra e a do quilóm etro do local de sua casa.

Adaptado do Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2009.

Os números nos retângulos indicam quantos

Quantos quilómetros o caminhoneiro ainda terá

quilóm etros tem cada trecho.

de percorrer até chegar à sua casa?

C 3PÍTU L0 1 1núm eros naturais, operações e resolução de problem as

87 quilómetros

n fio e s c R e v o n o

l iv r o .

20 . Roseli

tem 7 anos a mais que Luciana e 8 a me­

O Situações que envolvem a m ultiplica ção

nos que Fernanda. Represente as idades delas numa reta e, depois, responda: quantos anos Fernanda tem a mais que Luciana?

is a n o s

27. Você sabia que com prando a prazo geralm ente

gasta-se mais?

21. Uma adição tem três parcelas: uma é 128 e a

Calcule a economia, em reais, em cada caso,

outra é 315. A terceira você deve descobrir, sa­

quando se opta p o r com prar à vista. a) C o m p u ta d o r— Preço à vista: R$ 1 798,00 ou

bendo que a soma é 600.

157

em 24 parcelas de R$ 95,00.

Economia de 482 reais

b) G eladeira — Preço à vista: R$ 2 428,00 ou em 18 parcelas de R$ 165,00.

Economia de 542 reais

2 8 . Diga quantas voltas dá p o r dia cada um desses 1 7 Q

+

3 1 5

+

?

=

6 0 0

ponteiros de um relógio: a) o p o n te iro menor, que indica as horas; 2 voltas b) o p o n te iro dos m inutos;

2 4 voltas

c) o p o n te iro dos segundos.

1440 voltas

2 9 . Num trem de 8 vagões, cada vagão tem 28 p o l­ 2 2 . Numa subtração, o subtraendo é 721 e a dife­

rença é 299. Qual é o m inuendo?

tronas de dois lugares cada uma. Além disso, perm ite-se que, em cada vagão, até 20 pessoas

1 020

viajem em pé.

Q

3

?

-

7

7

1

=

Qual é a lotação máxima perm itida nesse trem?

7 9 9

608 pessoas

30. O desenho mostra a planta de um pequeno tea­

tro. Quantas poltronas há nesse teatro?

126 poltronas

2 3 . No visor da minha calculadora cabem números

[H de até 8 algarismos.

Peguei a calculadora e coloquei no visor o m aior número possível. Desse número, subtraí outro. O visor indicou que a diferença era de 12 345 678.

Que número eu subtraí? 87654 321

rtríinrfiríriin.rfinrínnínirt Q Q O O Q O O O Q O aO O Q

Q Q a o Q a a m o a Q ô Q 24. Q uanto vale I I em cada caso? a) ■ + 117 = 302 185 b) ■ - 117 = 302

419

O O O O O O O íU O O O íL O O O

2 5 . Ana tem 6 anos a mais que Bia, e Carla tem 15

anos a menos que Denise, que tem 8 anos a

Q Q nQ Q Q Q O Q Q Q Q Q Q

ODDQOQDOOODOQO

mais que Ana. Carla é mais nova d o que Ana? Q uantos anos?

Sim, Carla é 7 anos mais nova do que Ana.

2 6 . Bete tem 7 anos a mais que Gabriela, que tem

8 anos a menos que Júlia. Represente as idades delas numa reta e, depois, responda: qual é a d i­

PALCO

ferença entre as idades de Bete e de Júlia? Qual das duas é a mais velha?

nflo

6SC R 6VB

no

L IV R O .

1 ano; ju iia

n ú m e ro s n a tu ra is , o p e ra ç õ e s e re s o lu ç ã o de p ro b le m a s | C3PITUL0 1

31. Sandra, que trabalha como caixa de um banco,

tinha em sua gaveta 25 cédulas de R$ 50,00, 40 cédulas de R$ 10,00 e 40 cédulas de R$ 5,00. Uma pessoa apresentou um cheque de R$ 1485,00 e Sandra pagou essa quantia a ela. a) No mínimo, quantas cédulas esse cliente re­ cebeu? 49 cédulas b) E no máximo? 96 cédulas

© Situações que envolvem a divisão 34. Numa pista de atletismo, uma volta tem 400 me­

tros. Numa corrida de 10 000 metros, quantas voltas cada atleta tem de dar? 25 vottas

32. Para ir à cidade, dona Luísa sempre passa na

casa de Lilica.

Mundial Júnior de Atletismo, em 13 de I julho de 2012. Barcelona, Espanha.

35. Uma corrida de 1500 metros será realizada

numa pista que tem 400 metros.

Os atletas darão um certo número de voltas e ainda percorrerão o trecho indicado em amarelo.

Ela pode ir por vários caminhos para a cida­ de. Um deles é pegar a estrada a e depois 1 (caminho a1); o outro é percorrer b e depois 1 (caminho b 1) etc. a) Indique todos os caminhos da casa da dona Luísa à cidade que passam por a. a i.a 2 .a 3 .a 4 .a 5 b) Indique todos os caminhos da casa da dona Luísa à cidade que passam por b. b i,b 2 ,b 3 .b 4 ,b 5 c) Quantos são os caminhos da casa da dona Luísa à cidade? 2 0 caminhos 33. (Saresp) Numa caixa de adubo, a tabela abai­

xo indica as quantidades adequadas ao seu DreDa ro Nà0 íoram acrescentados e íonte na tabela para nâo alterar o texto original.

Adubo

Água

30 g

0,2 L

150 g

1L

1 500 g

10 L

3 000 g

20 L

De acordo com a tabela, qual a quantidade de adubo que se deve misturarem 2 litros de água?

a) Quantas voltas completas cada atleta terá de dar? 3 b) Quantos metros tem o trecho indicado em amarelo? 300 36. Quando terminaram de bater figurinhas, Danilo

e seu irmão, tinham, respectivamente, 121 e 67 figurinhas. Danilo sugeriu que dividissem as fi­ gurinhas igualmente entre eles.

Para os dois ficarem com a mesma quantidade, quantas figurinhas Danilo deve dar a seu irmão?

A quantidade é de 300 g.

3

C3PITUL0 11núm eros naturais, operações e resolução de problem as

27 figurinhas

n fio e scR E vn no l i v r o .

37. José, Marcelo e Dino foram jantar num restaujHj rante. A conta de R$ 103,50 foi repartida igual­ mente pelos três amigos. Alternativa b Faça uma e s tim a tiv a de quanto cada um pagou: a) R$ 25,50 b) R$ 34,50 c) R$ 40,50 Confirme se sua estimativa está correta, usan­ do uma calculadora.

Q

M u ltip lica çã o e divisão: operações inversas

38. Pensei em um número, dividi esse número por 14 e obtive 15. Em que número pensei? 210 39. Pensei em um número e multipliquei-o por 9.

Obtive 1 332. Em que número pensei?

148

40. Na calculadora: |H| a) comprove que a divisão 56 887 : 21 não é exata; 2 70 8 ,9047... b) calcule o maior número menor que 56 887 cuja divisão por 21 é exata; 56868 c) usando somente a calculadora, calcule o quociente e o resto da divisão 56 887 : 21; 2 708 (quociente) e 19 (resto) d ) fa ç a u m a m u lt ip lic a ç ã o e u m a a d iç ã o e c o m prove que seus resultados do item anterior estão corretos. 2 708 •21 - 19 = 56 887

Q

Expressões num éricas

41. Encontre o valor das expressões.

a) 10 000 : 100 + 8 ■ 17 ■0 - 10 • 10o b) 3 • 3 ■3 + 125 : 5 : 5 - 2 7 5 c) 12 : 4 • 3 - 2 • 3 - 1 000 : 1 000 2

a) Somei 127 com 356 e subtraí o resultado de 1 000. 1 000 -1 12 7 + 356) b) Somei 19 com 14 e dividi 70 000 pelo resul­ tado. 70 00 0 :(1 9 + 14) 43. Neste exercício é proibido efetuar qualquer cál­

culo. Você só poderá indicá-los. Em cada item, apresentamos um pequeno problema. Como resposta, você não deve escrever um número, mas sim uma expressão numérica, com todas as operações necessárias à resolução do problema.

Só use parênteses se forem necessários. a) Um livro tem 160 páginas e eu já li 92.

Quero completar a leitura em 4 dias, lendo o mesmo número de páginas em cada dia.

Quantas páginas preciso ler por dia?(i6 0 - 92): 4 b) Na bilheteria de um teatro, o responsável começou seu trabalho com R$ 53,00 em cai­ xa. Vendeu 48 ingressos para estudantes a R$ 3,00 cada, e mais 35 ingressos a R$ 7,00 cada. Depois disso, quanto ele deverá ter em caixa? 53 + 4 8 - 3 + 3 5 - 7 c) João tinha R$ 28,00; sua irmã tinha R$ 17,00.

João deu certa quantia para a irmã, que fi­ cou com um total de R$ 36,00. Depois disso, João ficou com que quantia?

28 —(36 —17) ou 28 + 1 7 - 3 6

44. Que número natural devemos colocar no lugar

de ■ em cada caso? a) 7 ■B - 3 1 = 25 8 b) ■ • (3 • 2 + 7) = 91 7 c) (4 • ■ - 1) : 3 = 25 19 d) (■ - 4 • 2) : 2 + 3 = 3 8

O P ro p rie d a d e s da adição e da m u ltip lica çã o

d) 80 + 30 ■2 - 0 : 20 + 2 ■5 150 e) {9 - (63 - 60) + 2 • [41 + (32 - 32) : 13]}: 118 f) 2 5 - { 3 • 1 7 - [ 1 0 + 6 • ( 8 - 4 • 2) + 5 ] - 1 6 } : 5

45. Será que existe também uma propriedade distri[^_J butiva da multiplicação em relação à subtração?

21

42. Escreva a expressão numérica que corresponde

às operações indicadas a seguir. Só use parênte­ ses quando eles forem necessários.

Antes de responder, veja estes exemplos: • 5 ■(2 0 - 12) = 5 ■8 = 40 Distribuindo a multiplicação, obtém-se: 5 • (20-12) = 100-60 = 40 • 10 • (7 -4 ) = 10 ■3 = 30 Distribuindo, obtém-se: 1(m T - 4 ) = 7 0 -4 0 = 30 Agora, responda à pergunta e dê um exemplo.

Resposta pessoal.

n flo E S C R 6 V B no LIVRO .

núm eros naturais, operaçoes e resolução de problem as | cap lT U L01

46. Um marceneiro tem três caixas de parafusos, cai­ xa A, caixa B e caixa C, e quer juntá-las em uma só caixa maior. Ele pode despejar nessa caixa o conteúdo das caixas A e B e depois o da caixa C. Esse fato indicaremos por (a + b) + c. Ele também pode despejar o conteúdo das caixas C e B e depois o da caixa A. a) Como se indica, usando as letras a, b e c, a segunda maneira de juntar os parafusos des­ sas caixas? a + (b + c) b) Nos dois casos, a quantidade de parafusos na caixa grande será a mesma? sim c) Essa situação corresponde a uma proprieda­ de da adição. Que propriedade é essa?

52. Responda:

a) calculando 103, obtém-se um número natural que termina com quantos zeros? 5 b) Como se lê esse número? cemmii 53. Responda:

a) quanto vale a potência de base 2 e expoente 4? b) uma potência de expoente 3 vale 216. Des­ cubra a sua base. 6 c) uma potência de base 7 vale 343. Descubra o seu expoente. 3 54. Veja o valor das fichas de um certo jogo:

1 ficha vermelha vale 10 azuis

Associativa

1 ficha azul vale 10 verdes © P ropriedades da subtração e da divisão 47. Hoje, João tem 10 anos e Maria tem 14. a) Qual é a diferença entre as idades deles hoje? 4 anos b) Qual será a diferença das idades deles daqui a 10 anos? 4 anos c) Qual é a soma das idades deles h o je ? 24anos d) Qual será a soma das idades deles daqui a 10 a n O S ? 44 anos 48. Há 5 anos, a soma da minha idade com a da minha irmã era 25 anos, e a diferença era 7 anos. a) Daqui a 5 anos, qual será a soma das nossas idades? 45 anos b) Daqui a 5 anos, qual será a diferença das nossas idades? 7 anos < ^ c ) A última situação remete à uma proprieda­ de da subtração. Qual é essa propriedade?

Escreva-a. propriedade da compensação da subtração © Potenciação 49. Represente com potências: a) 7 • 7 ■7 ■l f b) 8 • 8 • 8 s1 c) 31 • 31si!

d) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 2S e) 4 • 4 ■4 • 4 • 4 ■44' f) 3 • 3 • 3 3J

1 ficha verde vale 10 pretas 1 ficha preta vale 10 brancas Responda com uma potência: uma ficha verme­ lha pode ser trocada por quantas fichas: a) verdes? io! b) pretas? io! c) brancas? 10* 55. Pegue uma folha de papel e dobre-a ao meio.

Depois, dobre-a de novo ao meio. Após dobrar ao meio 6 vezes, desdobre a folha. Em quantas partes ela ficou dividida? Em 64 partes

0

Potenciação e raiz quadrada

56. Nas expressões numéricas, primeiro efetuamos

os cálculos que estiverem dentro dos parênte­ ses; depois, os que estiverem dentro dos col­ chetes e, por último, os de dentro das chaves.

Dentro dos parênteses, colchetes ou chaves, primeiro as potências e as raízes quadradas; de­ pois, as multiplicações e divisões e, finalmente, as adições e subtrações. Com essas informa­ ções, efetue: a) 4 3 —[ 2 - (VTÕÕ + 3 - 2 ) ] 32 b) V ÍÕ Õ -[V 4 9 -(6 —2■ 2 ) 2 ]

7

57. Escreva qual potência de 10 é igual a:

50. Calcule: a) O2 0 b) 0' c) 13,

d) 1200'

1

e) 104 10000 f) 105 100000

51. Compare as potências usando < , = ou > . a) 33 ■ 52> d) T ■ 43 I I ) b) 29 ■ 103< e) 110 ■ 22< c) T M 182> f) 32 ■ 23 >

a) dez mil; ioJ b) um milhão;

106

c) cem milhões; 1o3 d) um bilhão. 1o9

58. Qual é o número natural que deve ser colocado

no lugar de ■ ? a) B 2 + 42 = 253

b) (■ + 4)2 = 25

1

59. Existem dois números naturais que elevados ao

quadrado resultam eles mesmos. Quais são?oei

C3PITUL0 11núm eros naturais, operações e resolução de problem as

n fio e scR E vn no l i v r o .

#Revendo

conceiTos

1.

2.

A soma das idades de Fabrício e Alessandra é 45 anos. Sabendo que a idade de Fabrício é o dobro da idade de Alessandra, podemos dizer que a idade de Fabrício é: Alternativa b a) 20 anos. b) 30 anos. c) 40 anos. d) 50 anos.

Uma pilha tem 100 caixas, e um carregador vai levá-las para um local distante 50 metros de onde elas estão.

4.

Uma classe tem menos de 40 e mais de 35 alunos. Com os alunos dessa classe é pos­ sível formar grupos de 2 alunos, de 3 alunos, de 4 alunos ou de 6 alunos sem que nenhum aluno fique fora dos grupos. Quantos alunos tem essa classe? Escreva como você pensou.

36 alunos

5. Que número natural devemos colocar no lu­ gar de cada ■? a) 7 • ■ + 32 = 6 7 5 b) (5 + 5 ■6 ) : 7 = ■ 5 c) (■ : 2 + 10) : 3 = 8 28 d) (22 - ■) : 2 + 8 = 14 10 6.

Pense em um número entre 50 e 100. Agora, copie a expressão abaixo trocando cada ■ pelo número que você pensou: (■ • ■ + 6 • ■ + 9) : (■ + 3) Você deve obter como resultado dessa ex­ pressão um número três unidades maior do que o número que você pensou. Se isso não acontecer, é porque você se enganou e, por­ tanto, deve refazer OS cálculos. Resposta pessoal.

7.

Ele carrega 4 caixas por vez. Começando e terminando seu percurso no local da pilha ini­ cial, quantos metros andará esse carregador para fazer o seu serviço? 2 5 00 m

3. Nos esquemas estão indicados: dividendo, divisor, quociente e resto. Encontre o núme­ ro natural que deve ser colocado no lugar de cada ■. a) ■

296

c) 808 | U 6

0 37

4 134

b) ■ |_8

d) 2835 [m_

5 37

666

3

Considere todos os números naturais de três algarismos diferentes, formados por 2, 3 e 4.

Responda: a) quais começam por 2 ? 234 e 243 b) quais começam por c) quais começam por

3?

3 24 e 342

4?

423 e 432

d) quantos são no total?

seis

8. (Prova Brasil) Sara fez um bolo e o repartiu com seus quatro filhos. João comeu 3 peda­ ços, Pedro comeu 4, Marta comeu 5 e Jorge não comeu nenhum pedaço. Sabendo-se que o bolo foi dividido em 24 pedaços iguais, que parte do bolo foi Consumida? Alternativa a 1 a) t

c) -

b)

d)

1

723

24